Chuyên Đề Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân Có Đáp Án
Chuyên đề trắc nghiệm Ứng Dụng Tích Phân được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 30 trang. Chuyên đề là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!
Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn: Toán 12
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
PHẦN 3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ 1
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Dạng 1: Cho hàm số y f x liên tục trên ;
a b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y f x , trục Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a và x b là: b S f (x) dx a y x b
x a
(C) : y f (x) x a O y 0 b
Phương pháp giải:
Bước 1.Lập bảng xét dấu hàm số y f (x) trên đoạn ; a b . b
Bước 2.Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : f (x) dx . a b
Chú ý: có 2 cách tính tích phân f (x) dx a b b
+ Cách 1: Nếu trên đoạn ;
a b hàm số f x không đổi dấu thì: f (x)dx f ( ) x dx a a
+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số f x trên đoạn ;
a b rồi khử trị tuyệt đối.
Dạng 2: Cho hàm số x f y liên tục trên ;
a b . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số x f y , trục Oy ( x 0 ) và hai đường thẳng y a và y b là: b S f ( y) dy a y b y b x 0
(C) : x f ( y) y a a x O Trang1
2. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho 2 hàm số y f x và y g x liên tục trên ;
a b . Khi đó diện tích của hình phẳng
(H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x và y g x và hai đường thẳng x a và x b là: b S
f (x) g(x) dx a y x x b a
(C ) : y f (x) 1 (H )
(C ) : y g(x) 2 x a O b
Phương pháp giải:
Bước 1.Lập bảng xét dấu hàm số f x g x trên đoạn ; a b . b
Bước 2.Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f (x) g(x) dx . a
Dạng 2: Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên ;
a b . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y f x và y g x là: S f (x) g(x) dx .
Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f x g x a b
Phương pháp giải:
Bước 1.Giải phương trình f x g x 0 . Giả sử ta tìm được , là nghiệm nhỏ nhất và
lớn nhất của phương trình a b .
Bước 2.Lập bảng xét dấu hàm số : f x g x trên đoạn ; .
Bước 3.Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:
f (x) g(x) dx .
Dạng 3: Cho hai hàm số x f y và x g y liên tục trên ;
a b . Khi đó diện tích của hình phẳng
(H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x f y và x g y và hai đường thẳng y a và y b là: b S
f ( y) g( y) dy y
(C ) : x g( y) a 2 b y b (H ) a y a x O
Phương pháp giải:
(C ) : x f ( y) 1
Bước 1.Lập bảng xét dấu hàm số f y g y trên đoạn ; a b . Trang2 b
Bước 2.Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f ( y) g( y) dy . a
Dạng 4: Cho hai hàm số x f y và x g y liên tục trên ;
a b . Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường x f y và x g y là: S g (y) g (y) dy . 1 2
Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f y g y a b
Phương pháp giải:
Bước 1.Giải phương trình f y g y 0 . Giả sử ta tìm được , là nghiệm nhỏ nhất và
lớn nhất của phương trình a b .
Bước 2.Lập bảng xét dấu hàm số : f y g y trên đoạn ; .
Bước 3.Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân:
f ( y) g( y) dy .
Dạng 5:khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa
vào đồ thị để tính.
Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số y f x , y g x và y hx liên tục trên
;ab. Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y f x , y gx và
y h x là: x x 2 S f
x gx 3 dx h
x gx dx x x 1 2
Với: + x là nghiệm phương trình: f x g x 1
+ x là nghiệm phương trình: f x h x 2
+ x là nghiệm phương trình: h x g x 3
Trong đó: a x x x b 1 2 3
Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:
y f ( x ) b
1. Diê ̣n tích S của miền giới hạn: y 0
S f ( ) x dx
x a;x b a
y f ( x ) b
2. Diê ̣n tích S của miền giới hạn: y g( x ) S f x ( ) ( g ) x dx
x a;x b a
x f ( y ) b
3. Diê ̣n tích S của miền giới hạn: x g( y ) S f y ( ) ( g ) y dy
y a; y b a Trang3 DẠNG 1
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Câu 1.
Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn ;
a b và cắt trục hoành
tại điểm x c (như hình vẽ). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng? b c b A. S f xdx B. S f
xdx f xdx a a c c b c b
C. S f
xdx f
xdx D. S f
xdx f xdx a c a c Câu 2.
Cho đồ thị hàm số y f (x) . Diện tích hình phẳng (phần có y
đánh dấu gạch trong hình) là: 0 4 4 4 x -3 O 1 A. S
f (x)dx f (x) . dx B.
S f (x)dx . 3 0 3 4 0 4 C. S f (x) . dx D. S
f (x)dx f (x) . dx 3 3 0 Câu 3.
Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các
đường y f x, trục hoành và hai đường thẳng x 1,x 2 (như hình vẽ). 0 2
Đặt a f xdx, b f xd .x Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 0
A. S b . a
B. S b . a
C. S b . a
D. S b . a Câu 4.
Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là: 4 0 0 A. S f xdx B. S f
xdx f xdx 3 3 4 1 4 3 4 C. S f
xdx f xdx D. S f
xdx f xdx 3 1 0 0 Trang4 Câu 5.
Cho đồ thị hàm số y f (x) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là: 0 0 1 4 A. S
f (x)dx f (x)dx B. S
f (x)dx f (x)dx 3 4 3 1 3 4 4 C. S
f (x)dx f (x)dx D. S f (x)dx 0 0 3 Câu 6.
Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong Hình 1) là: 2 2 2 A. S f xdx B. S f
xdx f xdx 2 0 0 0 0 1 2 C. S f xdx f xdx D. S f
xdx f xdx 2 2 2 1 Câu 7.
Cho đồ thị hàm số y = f (x). Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là: 3 y A. S = f (x )dx ò . - 2 0 3 B. S =
f (x )dx + f (x )dx ò ò . - 2 0 y=f(x) - 2 3 x O C. S =
f (x )dx + f (x )dx ò ò . - 2 3 0 0 0 0 D. S =
f (x )dx + f (x )dx ò ò . - 2 3 Câu 8.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ dưới y
đây. Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình vẽ) được tính bằng công thức nào 0 b 0 b
A. S f
xdx f
xdx B. S f
xdx f xdx a 0 a 0 Trang5 a O b x b b
C. S 2 f xdx
D. S f xdx 0 a Câu 9. Cho hình phẳng
(H) giới hạn bởi các đường y = 2
x , y = 0, x = 0, x = 4 . Đường thẳng y = k (0 < k < 16 ) chia hình
(H) thành hai phần có diện tích S , S (hình vẽ). Tìm k để S = S . 1 2 1 2 A. k = 3. B. k = 8 C. k = 4 D. k = 5.
Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = 2 y x , y 1 4 y = - x +
và trục hoành như hình vẽ. y = x2 3 3 7 56 2 A. . B. . 3 3 1 4 1 39 11 y = - x+ C. . D. . 3 3 2 6 x O 4 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số y = f '( )
x như hình vẽ. Diện tích các hình phẳng A, B lần lượt là 5 8 19 và . Biết f (- ) 1 = , tính f (2) 12 3 12 11 A. f (2)= 6 2 B. f ( ) 2 = - 3 C. f ( ) 2 = 3 D f ( ) 2 = 0 .
Câu 12. Tính diện tích S của phần hình phẳng giới hạn bởi đường
Parabol đi qua gốc toạ độ và hai đoạn thẳng AC và BC như hình vẽ bên ? A. S = 9 . 10 B. S . 3 C. S 20 . 3 25 D. S = . 6
Câu 13. Cho đồ thị hàm số y = f ( )
x trên đoạn é0; 4 ùnhư hình vẽ và có ë û 4 11 9 diện tích S = ,S =
. Tính tích phân I = f (x)dx ò 1 2 6 2 0 Trang6 8 19 A. I = - B. I = 3 3 8 19 C. I = D. I = - 3 3 Câu 14.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y 4x x và y 2x là: A. S 4 2 (2x x )dx B. S 2 2 (x 2x)dx C. S 2 2 (2x x )dx D. S 0 0 0 4 2 (x 2x)dx 0 Câu 15.
Tìm d để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 y
, Ox, x=1, x = d (d >1) bằng 2: x A. 2 e B. e C. 2e D. e+1 2 x Câu 16.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 4 x và parabol y bằng: 2 A. S 28 B. S 25 C. S 22 D. S 26 3 3 3 3 Câu 17.
Cho Parabol y = x2 và tiếp tuyến At tại A(1 ; 1) có phương trình: y = 2x – 1. Diện tích của phần
bôi đen như hình vẽ là: y 4 1 Trang7 A 1 x -2 -1 -1 A. S 1 B. S 2 C. S 4 D. Một số khác 3 3 3 Câu 18.
Cho ba đồ thị: 2x y
, y x 3 và y 1 như hình vẽ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên (phần gạch trong hình) là: 1 47 1 A. S 1 1 . B. S 1. C. S . D. S 3 . ln 2 2 ln 2 50 ln 2
Câu 19. Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (bên dưới) giới
hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba 3 2 y ax
bx cx d và trục hoành.
A. S 31 . B. S 27 . 5 4 19 31 C. . D. . 3 5
Câu 20. Cho hàm số y f (x) có đồ thị y f (x) cắt trục Ox tại
ba điểm có hoành độ a b c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (c) f ( ) a f ( ) b .
B. f (c) f ( ) b f ( ) a . C. f ( ) a f ( )
b f (c). D. f ( ) b f ( )
a f (c).
Câu 21. Cho đồ thị hàm số y f x trên đoạn 2; 2 như 22 76
hình vẽ ở bên và có diện tích S S ,S . Tính tích 1 2 3 15 15 2 phân I f xdx 2 32 A. I . B. I 8. 15 Trang8 18 C. I 32 . D. I . 5 15
Câu 22. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 y x 1
và y k, 0 k 1. Tìm k để diện tích của hình phẳng H gấp
hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. 3 k 4. B. 3 k 2 1. 1 C. k . D. 3 k 4 1. 2 Câu 23.
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường x
y e ; y 0; x 0 và x ln 4 . Đường thẳng
x k,0 k ln 4 chia (H) thành hai phần có diện tích S và S như hình vẽ bên. 1 2 y y=ex S2 S1 x O k ln4
Tìm k để S 2S . 1 2 2 8 A. k ln 4 . B. k ln 2 . C. k ln . D. k ln 3. 3 3 Câu 24. Cho hàm số 4 2
y x 3x m có đồ thị C
với m là tham số thực.Giả sử C cắt trục Ox m m
tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ : y Cm S3 O x S S 1 2
Gọi S , S và S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để S S S . 1 2 3 1 2 3 5 5 5 5 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 4 2 4 2 x Câu 25. Parabol y
chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện 2 S
tích là S và S , trong đó S S . Tìm tỉ số 1 . 1 2 1 2 S2 3 2 3 2 3 2 9 2 A. . . . D. . 21 B. 2 9 C. 2 12 3 2 Câu 26.
Gọi S là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng y mx với m < 2 và parabol (P) 1
có phương trình y x 2 x . Gọi S là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào của m thì 2 1 S S ? 1 2 2 Trang9 2 1 A. 3 2 4 . B. 3 2 2 . C. . D. . 5 4 Câu 27.
Cho hàm số y f x 3 2
ax bx cx d,a, ,
b c , a 0 có đồ thị C . Biết rằng đồ thị
C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y f x cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục hoành. 27 21 5
A. S 9 . B. S . C. . D. . 4 4 4 Câu 28.
Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: 2
y x 4x 4 , trục tung và trục hoành.
Xác định k để đường thẳng d đi qua điểm A0;4 có hệ số góc k chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau. A. k 4 . B. k 8 . C. k 6 . D. k 2 .
Câu 29. Cho hai hàm số y f ( ) x , y ( g )
x có đồ thị C C a;b 2 1 và liên tục trên . Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi C , C
x a, x b 1
2 và hai đường thẳng
được tính bởi công thức: b b A. S f x g x . dx B. S f x
g x dx . a a b b b C. S
f xdx gx . dx D. S gx
f x . dx a a a Câu 30.
Cho y f (x) và y f (x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử: và , với 1 1 2 2
a b , là các nghiệm của phương trình f (x) f (x) 0 . Khi đó diện tích của hình phẳng giới 1 2
hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức: b S
f (x) f (x) dx
f (x) f (x)dx
f (x) f (x)d . x 1 1 2 1 2 1 2 a b
hoặc S f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx f (x) f (x)dx . 2 1 2 1 2 1 2 a
Nhận xét nào sau đây đúng nhất? A. 1 đúng nhưng 2 sai.
B. 2 đúng nhưng 1 sai. C. Cả 1 và 2 đều đúng. D. Cả 1 và 2 đều sai.
Câu 31. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x2 và y = x. 9 11 A. 5 B. 7 C. D. 2 2 Trang10
Câu 32. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 y
x , y 2 x và y 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 2 1 1 3 1
A. S x dx x 2d . x B. S 3 x 2 x d . x C. S 3xdx . D. 2 0 1 0 0 2 S 3 x x 2dx . 0
Câu 33. Cho hàm số f (x) liên tục trên [0;1] . Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y f (x), y 0, x 0 và x 1. Công thức tính diện tích S của (D) là công thức nào trong các công thức dưới đây? 1 1 1 1
A. S f (x) d . x
B. S f (x)d . x C. 2
S f (x)d . x D. 2
S f (x)d . x 0 0 0 0
Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 2
x 2x và trục hoành là: 4 29 8 20 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 35. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 3 y x và 5 y x . 1 A. 0. B. 4. C. . D. 2. 6
Câu 36. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y x 5 0, x y 3 0. A. S 3. B. S 4. C. S 4, 5. D. S 5.
Câu 37. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x y 2 và
2 – x . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 2 2
A. S 2 (x 1) . dx
B. S 2 (1 x ) . dx C. S 2 2 (x 1)d . x D. 0 0 1 1 S 2 (1 2 x )d . x 1 Câu 38.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y .
x ln 3x
1 , trục Ox và hai đường thẳng
x 0; x 1 bằng a .
b ln 2 với a,b . Khi đó giá trị của a b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a b 6 . B. 2
a b 0 .
C. 0 a b 2 .
D. 2 a b 4 . Câu 39.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y e 1 x và 1 x y
e x bằng a . b e với
a, b . Khi đó giá trị của .
a b thuộc khoảng nào sau đây? A. 4 . a b 6 . B. 2 . a b 0 . C. 0 . a b 2 . D. 2 . a b 4 . 2 2 x x Câu 40.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y 4 ; y bằng a .
b với a,b . 4 4 2
Khi đó giá trị của a b thuộc khoảng nào sau đây?
A. 4 a b 6 . B. 2
a b 0 .
C. 0 a b 2 .
D. 2 a b 4 1 Câu 41.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2
y x ; y ln ; x 1 a b với x bằng .ln 2 1 b
a, b . Khi đó giá trị của
thuộc khoảng nào sau đây? a b b b b A. 4 2 . B. 2 0 . C. 0 4 . D. 4 8 a a a a Câu 42.
Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol 2
P : y x 4x 5 và 2 tiếp tuyến tại
các điểm A 1;2, B4;5 nằm trên P . Trang11 7 11 9 13 A. S B. S C. S D. S 2 6 4 8 x ln(x 2) Câu 43.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y và trục hoành bằng 2 4 x
a ln 2 b c 3 d. với a, ,
b d ; c . Khi đó giá trị của . a . b .
c d thuộc khoảng nào sau đây? A. 4 . a . b . c d 2 . B. 2 . a . b . c d 0 . C. 0 . a . b . c d 4 . D. 4 . a . b . c d 8 Câu 44.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2
y x x 1 và trục Oxvà đường thẳng x 1bằng
a 2 b với a,b . Khi đó giá trị của .
a b thuộc khoảng nào sau đây? A. 4 . a b 2 . B. 2 . a b 0 . C. 0 . a b 4 . D. 4 . a b 8 Câu 45.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2
y 2 x ; y 1 x và trục Ox bằng a . b a
với a,b . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây? b a a A. 15 9 . B. 9 3. C. 3 . a b 4 . D. 4 . a b 10 b b Câu 46.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e+ ) 1 x và = (1 x y
+ e )x . Giá trị S cần tìm là: e + 2 e e- 2 e- 2 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 4 Câu 47.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x y =
e + 1 , trục hoành và hai đường thẳng
x = ln 3 , x = ln 8 nhận giá trị nào sau đây: 2 3 3 3 A. S = 2 + ln . B. S = 2 + ln . C. S = 3 + ln . D. S = 2 - ln . 3 2 2 2 Câu 48.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y = e + x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 là: 1 1
A. S = e + . B. S = e- .
C. S = e + 1.
D. S = e- 1. 2 2 Câu 49.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x
y = e + x , x - y + 1 = 0 và x = ln 5 là:
A. S = 5 + ln 4 .
B. S = 5- ln 4 .
C. S = 4 + ln 5 .
D. S = 4 - ln 5 .
Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y
x , y 2 x và trục Ox được tính bởi công thức 2 2 x 2 x A. . dx 2x x B. . dx 0 0 1 2 2 2 C. xdx 2 xd . x D. xdx 2 xd . x 0 1 0 0 Câu 51.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) 2
: y = x - 2x + 2 , tiếp tuyến với nó tại điểm M (3; )
5 và trục Oy là giá trị nào sau đây? A. S = 4 . B. S = 27 . C. S = 9 . D. S = 12 . Câu 52. Cho hàm số 2
y = x - 2x + 2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ bằng 3 có đồ thị D . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng V và trục tung.
Giá trị của S là: 9 9 9 A. S = 9 . B. S = . C. S = . D. S = . 2 4 10 1 Câu 53.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 -
đường thẳng y = - 1 , đường thẳng 2 x
y = 1 và trục tung được tính như sau: Trang12 1 æ 1 1 1 ö 1 1 A. S 4 ç = ò ç - d ÷÷ x . B. S = 4 - dx. ò C. S = . ò D. 2 ç ÷ è x ø 2 x 4 - y - 1 - 1 - 1 1 - 1 S = dy. ò 4 - y - 1 Câu 54.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình 2 x - y = 0 và 2
x + 2 y - 12 = 0 bằng: A. S = 15. B. S = 32 . C. S = 25. D. S = 30. 2 x - 2x
Câu 55. Với giá trị nào của a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = , đường tiệm cận x - 1
xiên của (C) và hai đường thẳng x = ,
a x = 2a (a > ) 1 bằng ln 3 ? A. a = 1. B. a = 2 . C. a = 3 . D. a = 4 . Câu 56.
Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
y = - x + 3x - 2 , trục hoành, trục
tung và đường thẳng x = 2 có dạng a (với a là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa a và b là: b b
A. a - b = 2.
B. a - b = 3 .
C. a - b = - 2.
D. a - b = - 3. Câu 57.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số 2 2 y x
x 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 bằng
a b ln 1 b với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của abc là c A. 11. B. 12 . C. 13 . D. 14 .
Câu 58. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường x 2y 1, trục hoành, trục tung và đường
y 4 Tìm giá trị của m, (0y ,
m chia hình phẳng (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau 3 14 1 3 14 1 3 196 1 3 196 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 DẠNG 2
ỨNG DỤNG THỰC TẾ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 59. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiều rộng là 30m người ta
làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai
đường elip và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí để làm mỗi 2
m làm đường 500.000 đồng. Tính
tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) 50 m 2m 30m Trang13 A. 119000000 . B. 152000000 . C. 119320000 . D. 125520000 .
Câu 60. Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 và chiều rộng là 60m , người ta làm
một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ). 100 m 2m 60m
Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục
lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí cho mỗi 2
m làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 293904000. B. 283904000. C. 293804000. D. 283604000.
Câu 61. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai
phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu
mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại
của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và
kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần
đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) 4m 4m 4m
A. 3.895.000 (đồng).
B. 1.948.000 (đồng).
C. 2.388.000 (đồng). D. 1.194.000 (đồng).
Câu 62. Cô Minh Hiền có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn
bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m . Cô Minh Hiền muốn trồng hoa
trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như 8m
hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ 2 1m . Hỏi Cô Minh
Hiền cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Câu 63. Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây
trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng 2
/ m . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm 6m
tròn đến hàng đơn vị) O A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. Trang14 D. 4821322 đồng.
Câu 64. Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được
giới hạn bởi cạnh AB , CD , đường trung bình MN của mảnh đất
hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ).
Biết AB 2 (m) , AD 2 (m) . Tính diện tích phần còn lại. A. 4 1. B. 4 1 . C. 4 2 . D. 4 3.
Câu 65. Thầy Hiền muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong
phía trên là một Parabol. Giá 2
1 m của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Thầy Hiền phải trả bao nhiêu tiền
để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn). 2m 1, 5m 5m A. 6.520.000 đồng. B. 6.320.000 đồng. C. 6.417.000 đồng. D. 6.620.000 đồng. 12 m
Câu 66. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh A I B
trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ F E
nhật ABCD có chiều cao BC 6 m, chiều dài CD 12 m
(hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN 4 m ; 6 m
cung EIF có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là
trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C , D . Kinh phí làm M N
bức tranh là 900.000đồng/ 2 m . D 4 m C
Hỏi công tyX cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ? A. 20.400.000 đồng. B. 20.600.000 đồng. C. 20.800.000 đồng. D. 21.200.000 đồng. CHỦ ĐỀ 2
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY y y d f(x) f(x) O a b x c x O Trang15 Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy
Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục Ox b
và hai đường thẳng x a và x b a b quay xung quanh trục Ox là: V f
x 2 dx . Ox a y x b x a
(C) : y f (x) x a O y 0 b
Chú ý: Hàm số y f x 0 x ;
a b và liên tục trên đoạn ; a b .
Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x f y , trục Oy b
và hai đường thẳng y a và y b a b quay xung quanh trục Oy là: V f
y 2 dy . Oy a y b y b x 0
(C) : x g( y) a y a x O
Chú ý: Hàm số x f y 0 y ;
a b và liên tục trên đoạn ; a b .
Dạng 3: Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục, cùng dấu trên đoạn ;
a b . Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng x a và x b a b quay xung quanh trục Ox b 2 2
tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: V f x g x dx Ox a
Dạng 4: Cho hai hàm số x f y và x g y liên tục, cùng dấu trên đoạn ;
a b . Hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng y a và y b a b quay xung quanh trục Ox b 2 2
tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là: V f y g y dx Oy a
Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:
y f ( x )
1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau : y 0 quanh
x a;x b b
Ox một vòng là : 2 V f x .dx . Ox a Trang16
y f ( x )
2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau : y g( x ) quanh
x a;x b b
Ox một vòng là : 2 V
f x g x .dx . Ox 2 a
x f ( y )
3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau : x 0 quanh
y a; y b b
Oy một vòng là : 2 V f y .dy . Oy a
x f ( y )
4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn c ác đường sau: x g( y ) quanh
y a; y b b
Oy một vòng là : 2 V f y g y .dy . Oy 2 a DẠNG 1
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Câu 67. Cho y f (x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b . Hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f (x), y 0, x a và x b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V. Khẳng
định nào sau đây là đúng? b b b b 2 2 A. V f (x) dx.
B. V f ( x) dx. C. V
f (x) dx. D. V f (x) dx. a a a a
Câu 68. Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường x ;
a x b (với a<b) và đồ thị của hai hàm
số y f (x), y (
g x) . Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? Trang17 b b A. V
f 2 x g2 ( ) (x) dx.
B. V f x g x dx 2 ( ) ( ) . a a b b 2 C. 2 2 V
f (x) g (x) d . x D.
V f (x) g(x) dx. a a
Câu 69. Thể tích vâ ̣t thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới ha ̣n bởi các đường x y , y , 0 x ,
1 x 4 quanh tru ̣c ox là 4 A. 6 . 21 B. . C.12 . D. 8 . 16
Câu 70. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y 3 1 e
, x 0 , x 1, y 0 quay quanh Ox . 1 3 4 2 1 1 3 A. V
e e . B. V
3e e . C. V 3 e e . D.
V e e 3 6 3 3 .
Câu 71. Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y tan x , trục hoành, các đường thẳng x 0 , x
. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình H quay quanh trục Ox . 4 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 2 4 2 4 4
Câu 72. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2
y x 2x , trục hoành, trục tung, đường thẳng
x 1 .Tính thể tích V hình tròn xoay sinh bởi H khi quay H quanh trục Ox . 7 A. V 4 . B. V 15 . C. V 8 . D. V . 8 3 8 15
Câu 73. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường thẳng y x 2 , y 0,x 0,x 2 . Tính thể
tích V khối tròn xoay khi hình phẳng H quay quanh trục Ox . 8 8 A. V . B. V . C. V 2 .
D. V . 2 3 3
Câu 74. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x , trục Ox và hai đường thẳng x 1; x 4
quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay 32 4 229 5 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 6 6
Câu 75. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2 π b. b
y tanx,y 0,x 0,x
xung quanh trục Ox là V . a
(với a,b,c và phân 3 c c
số tối giản). Giá trị của S a b c là A. S 3 B. S 1 C. S 7 D. S 9
3 x 2 x e
Câu 76. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y
, trục hoành và hai đường thẳng x xe 1 1
x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V a b ln 1 , e
trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a 2b 7 .
B. a b 3 .
C. a b 5 .
D. a 2b 5 . Trang18
Câu 77. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đường cong
5 x 4 x e y
, trục hoành và hai đường thẳng x 0, x 1 quanh trục hoành có thể tích x xe 1
V a b ln e 1
, trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a b 5.
B. a 2b 3 .
C. a b 9 .
D. a 2b 13 . 2
2x xsin x x 1 cos x
Câu 78. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y , trục hoành và hai
x sin x cos x 2 4
đường thẳng x 0 và x
. Biết rằng diện tích của hình phẳng Dbằng
a ln 2 b ln 4, 4 16
với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a b 12.
B. 2a b 6 .
C. 2a b 1 2.
D. 2a b 6 .
Câu 79. Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol P y 2 ( ) : x và đường
thẳng d : y x quay xung quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào sau đây ? 1 1 1 2 2 2 4
A. V (x x) d . x
B. V x dx x d . x 0 0 0 1 1 1 2 4 2
C. V x dx x d . x
D. V (x x )d . x 0 0 0
Câu 80. Kí hiệu (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 2
x và trục hoành. Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục . Ox 16 17 18 19 A. V B. V C. V D. V 15 15 15 15
Câu 81. Thể tích V của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y 1 x , y 0 a a
quay quanh trục Ox có kết quả là V (với *
a Z, b Z ,
là phân số tối giản). Tính a . b b b A. 25. B. 31. C.17. D.11.
Câu 82. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình H quanh Ox với H được giởi hạn bởi đồ thị hàm số 2 y
4x x và trục hoành. 35 31 32 34 A. B. C. D. 3 3 3 3
Câu 83. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2
y x 2x và 2
y x quay quanh Ox . 4 4 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 84. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x x2 2
, y 0 . Khi H quay xung quanh a a
trục Ox thu được khối tròn xoay có thể tích V 1 , vơ
́ i là phân số tối giản . Khi đó a.b bằng b b bao nhiêu? A. a.b . 24 B. a.b . 15
C. a.b . 3 D. a.b . 12
Câu 85. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y 2
x ; y 0; x 2. Tính thể tích V của khối
tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục Ox . Trang19 32 32 8 8 A. V . B. V . C. V . D. V . 5 5 3 3
Câu 86. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x ; y 2 x và y 0 . 2 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 6 x
Câu 87. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
, trục Ox và đường thẳng x 1. 2 4 x
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox 4 1 4 3 4 A. V ln . B.V ln . C. V ln . D. V ln . 2 3 2 3 2 4 3
Câu 88. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x ,trục Ox và đường thẳng x 2 .Thể
tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox bằng 2
A. 2ln 2 4 ln 2 2. B. 2
π 2ln 2 4ln 2 2. C. 2 2
π 2ln 2 4ln 2 2. D. 2
π 2ln 2 4 ln 2 2.
Câu 89. Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 4 x y x
e , trục tung và trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox . 8 8e 39 e 39 8 e 41 A. V . B. V . C. V . D. 4 4 4 8e 41 V . 4
Câu 90. Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đường thẳng d : y 2x , trục Ox và x 3 . Hình H
quay quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích là V . Hỏi V được tính bởi công thức nào sau đây ? 3 3 3 3 2 2 2
A. V 4 x d . x
B. V 2 x d . x
C. V 4x d . x
D. V 2 xd . x 0 0 0 0 Câu 91. Cho (
A 1 ; 2) và B(3 ; 4) . Gọi / /
A , B lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục Ox . Tính
thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang / /
AA B B khi quay quanh tru ̣c Ox. 56 98 A. . B. V . C. V 6. D. V 8. 3 3
Câu 92. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x ln x, y 0, x e quay xung quanh trục Ox tạo
thành khối tròn xoay có thể tích bằng
be3 2. Tìm a và b. a
A. a 27 ; b . 5
B. a 26; b . 6
C. a 24; b . 5
D. a 27 ; b . 6 Câu 93.
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x
, y 0 và x 4 quanh trục Ox . Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm y x tại M (hình vẽ Trang20
bên). Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng 1
V 2V . Khi đó 1 y y x M a H O K 4 x 5 A. a 2 . B. a 2 2 . C. a . D. a 3. 2
Câu 94. Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong x
y e , trục hoành ,trục tung và đường thẳng x ln 4 . Đường x y e
thẳng x k 0 k ln 4 chia H thành hai phần H ,H như 1 2
hình vẽ bên. Khi quay H ,H quanh trục hoành ta được hai khối 1 2
tròn xoay có thể tích tương ứng là V ,V .Tìm k để V 2V . 1 2 1 2 1 A. k ln 3. 2 1 B. k ln11. 2 C. k ln 3. 1 k D. k ln11. 4
Câu 95. Trong mặt phẳng (P) cho đường elí p(E) có độ dài trục lớn là B
AA' 8 , độ dài trục nhỏ là BB' 6 ; đường tròn tâm O đường kính là
BB' như hình vẽ . Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho
miền hình phẳng giới ha ̣n bởi đường elíp và đường tròn (phần hình phẳng
được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh tru ̣c AA'. A A' A. S 36 . O B. S 12 . C. V 16 . 64 B' D. S . 3
Câu 96. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x a và x b a b , biết rằng
thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b là một
hình chữ nhật có hai kích thước là f x và g x . b b
A.V f
x gx .dx . B. V f
x.gx.dx . a a b f x b C. V dx .
D.V 2 f
x gx .dx . g x a a
Câu 97. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 3 , biết rằng thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x0 x 3 là một hình chữ nhật
có hai kích thước là x và 2 2 9 x . A. 18. B. 19. C. 20. D. 21. Trang21
Câu 98. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3 , biết rằng khi cắt vật
thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 x 3 ) thì được thiết diện là một
hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 2 3x 2 .
A. V 32 2 15 B. V 124 C. V 124 D. 3 3 V (32 2 15 )
Câu 99. Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz, gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng x 0 và . x
Tính thể V của B. Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc 2
với trục Ox tại điểm có hoành độ x (với 0 x
) là một nửa hình tròn có bán kính bằng sin . x 2 2 2 A. . V B. . V C. . V D. . V 4 8 4 8
Câu 100. Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi 2 x y
, y 2, y 4, x 0 xung quanh trụcOy? 2 A.12. B. 12π. 2 C. 12π . D. 12π. DẠNG 2
ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Câu 101. Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của
đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa
hình tròn đường kính AB có diện tích là 32π và 0
BAC = 30 . Tính thể tích
vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm)
xung quanh đường thẳng AB. 620 784 A. π B. π 3 3 325 C. 279π D. π 3
Câu 102. Một hình cầu có bán kính 6 dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt
phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của
một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích V mà chiếc lu chứa được biết
mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4 dm. 736 A. V (dm3). B. V (dm3 192 ). 3 368 C. V (dm3). D. V (dm3 288 ). 3 Câu 103. Từ
một tấm tôn hình chữ nhật ABCD với 55 AB 30c ; m D A
cm . Người ta cắt miếng tôn theo đường 3
hình sin như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ.Biết
AM 20cm,CN 15cm,BE 5cm .Tính thể tích V của lọ hoa
được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục AD (kết
quả làm tròn đến hàng trăm). A. 3
V 81788 cm . B. 3 V 87388 cm . C. Trang22 3
V 83788 cm . D. 3 V 7883cm .
Câu 104. Từ mô ̣t khúc gõ hình trụ có đường kính
30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua
đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 0 45 để lấy
một hình nêm (xem hình minh ho ̣a dưới đây ). Kí hiệu
V là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính V . A.V cm3 2250 . 225 B.V cm3 4 C.V cm3 1250 . D.V cm3 1350 . Hình 1 Hình 2
Câu 105. Trong chương trình nông thôn mới, tại xã Vĩnh Ngọc - Nha
Trang có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối 0, 5m
bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). 2m 3 A. 19m . 3 B. 21m . 5m 3 C. 18m . 3 0, 5m 19m 0, 5m D. 40m .
Câu 106. Thành phố Nha Trang định xây cây cầu bắc ngang
con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp
cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu
cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề
dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ.
Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua
diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) 3 A. 20m 3 . B. 50m . 3 C. 40m 3 D.100m .
Câu 107. Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt
phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol
( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông? A. 6 B.12 3 C. 2 D.16 1
Câu 108. Gọi H là phần giao của hai khối
hình trụ có bán kính a , hai 4
trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của H . 3 2a 3 3a A.V B. V . H H 3 4 a 3 a 3 a C. V . D. V . a H H 2 4 Trang23
Câu 109. Cho hình chữ nhâ ̣t ABCD có AB 4 , AD 8 (như hình vẽ).
Gọi M , N, E, F lần lươ ̣t là trung điểm của BC , AD , BN và NC . Tính thể tích V của vật thể tròn
xoay khi quay hình tứ giác BEFC quanh tru ̣c AB . A. 84 B. 90 . C.100 D. 96 .
Câu 110. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một
cái ly như hình vẽ dưới đây 4 cm
. Người ta đo được đường kính của A B
miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm . Biết rằng thiết diện của O
chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích 3
V cm của vật thể đã cho.
A.V 12 . 6 cm
B.V 12. 72 C.V . 5 I 72 D.V . 5
Câu 111. Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol
bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt
đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng 16 A. . 5 32 B. . 3 C.16. 28 D. . 3
Câu 112. Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình
tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm . Đường cong của bình là một cung
tròn của đường tròn bán kính là 9. 2864 A. V= 2864 . B. V= . 3 6 2864 2 C. V= 2864 . D. V= . 3 3
Câu 113. Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề I
mặt có được bằng cách quay đường tròn C quanh trục d ). Biết R (C)
rằng OI 30 cm, R 5 cm . Tính thể tích V của chiếc phao. Trang24 d O 2 3 2 3
A.V 1500 cm .
B.V 9000 cm . 3 3
C.V 1500 cm ..
D.V 9000 cm . .
Câu 114. Một khối cầu có bán kính bằng 5dm , người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai
mặt phẳng cùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu
một khoảng bằng 3dm đề làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng A. V 3 132 dm . B. V 3 41 dm . 100 3 C. V dm . D. V 3 43 dm . 3
Câu 115. Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường
kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn C
nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 8 và 0
BAC 30 . Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H)
hình (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB. A B 220 A. 98 .B. 224 . C. .D. 2 4 . 3 3 3
Câu 116. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới
đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông
góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: 256 32 A.V . B.V . 3 3 256 3 32 3 C.V . D.V . 3 3
Câu 117. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
x y 16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được
thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là: y x O 256 3 256 32 3 32 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 3 3
Câu 118. Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h và
bán kính đáy bằng R. Khi đặt thùng nước nằm ngang như hình 1 thì R 3
khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước bằng (mặt nước thấp 2
hơn trục của hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì h
chiều cao của mực nước trong thùng là h . Tính tỉ số 1 . 1 h Trang25 2π- 3 3 π- 3 A. B. 12 6 2π- 3 3 C. D. 12 4
Câu 119. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua
đỉnh và vuông góc với mặt đáy là tam giác đều. Cắt hình nón bởi
mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh
của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).Kí hiệu V là thể
tích cái nêm. Thể tích V là? 3 r 3 r A. V = . B. V = . 2 3 3 3 πr 3 πr C. V = . D. V = . 2 3 3
Câu 120. Cho một khối chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h. Tính thể
tích V của khối chỏm cầu (S). h 2 h
A. V = πh (R + ). B. 2
V = πh (R- ) . 3 3 h h C. 2
V = πh (R + ) . D. 2
V = πh (R- ) . 2 2
Câu 121. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích
của hình đó theo R và r. A. 2 2 V = 2π r R. B. 2 2 V = 2π rR C. 2 2 V = π r R D. 2 2 V = π rR
Câu 122. Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Tại bốn đỉnh A, B, C, D
người ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1 . cm
Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục XY. A. 2
V = 6π + 16π. 20 B. 2 V = 10π + π . 3 44 C. 2 V = 8π + π . 3 52 D. 2 V = 6π + π . 3
Câu 123. Câu lạc bộ bóng đá Manchester United dự định xây dựng SVĐ mới
có tên làOld trafford. Hệ thống mái của SVĐ dự định được xây dựng có dạng
hai hình elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là 146
mét, độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là
110mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí vật liệu là 100 đôla mỗi
mét vuông. Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân.
A.98100 đôla .
B. 98100 π đôla.
C.196200 đôla.
D.196200 π đôla.
Câu 124. Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác
cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của hình (H) là một hình lục giác đều cạnh
3m. Chiều cao SO = 6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên
của (H) là các sợi dây C ,C ,C ,C ,C ,C nằm trên các đường parabol có 1 2 3 4 5 6
trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt
phẳng (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích
phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó. Trang26 135 3 3 96 3 3 A. (m ) . B. (m ) . 5 5 135 3 3 135 3 C. (m ) 3 . D. (m ) . 4 8 CHỦ ĐỀ 3
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG
Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t và s(t
) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian
t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t
) và v(t) như sau:
● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s (
¢ t)= v(t).
● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s(t)=
v (t )dt. ò
¾ ¾® từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t Î [ ; a b ] là b
v(t)dt = s( )
b - s(a). ò a
Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t) như sau:
● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v (
¢ t)= a(t).
● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v(t)= a(t )dt. ò
Câu 125. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc (
v t) 5t 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt
đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0.2m . B. 20m . C.10m . D. 2m .
Câu 126. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc vt 160 10t m / s.Quãng đường vật di
chuyển được thời điểm t 0 s đến thời điểm mà vật dừng lại là
A. S 1280 m.
B. S 1240 m.
C. S 2560 m.
D. S 640 m.
Câu 127. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v 2t 10 (m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc
đạp phanh). Hỏi trong thời gian 7 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quảng đường bằng bao nhiêu? A. S 45( ) m . B. S 100( ) m . C. S 21( ) m . D. S 16( ) m .
Câu 128. Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a t t 2 ( ) 1
(m s ) tính quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc. 3 A. S 90 . m B. S 246 . m C. S 58 . m D. S 100 . m
Câu 129. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất
đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo
phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t t 2 ( ) 10
t , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc
bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận
tốc v của khí cầu là:
A. v 7(m ) p
B. v 9 (m ) p
C. v 5 (m ) p
D. v 3 (m ) p Trang27
Câu 130. Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t) 6
t 12 (m / s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 24m . B. 12m . C. 6m . D. 0, 4m .
Câu 131. Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là 2
a t 3t t . Tính quảng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc. 130 3400 4300 A. km . B. 130km. C. km . D. km . 3 3 3
Câu 132. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25m / s , gia tốc trọng trường là 2
9,8m / s . Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất gần bằng kết quả nào
nhất trong các kết quả sau: A. 30, 78m . B. 31,89m . C. 32, 43m . D. 33,88m .
Câu 133. Mô ̣t ca nô đang cha ̣y trên hồ Tây với vâ ̣n tốc m
20 / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển
đô ̣ng châ ̣m dần đều với vâ ̣n tốc v(t) 5
t 20, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây , kể từ lúc
hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét? A. 10 . B.20. C.30. D.40.
Câu 134. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t 7t m / s . 5s 1 Đi được ,
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 2
70 m / s . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S 95, 70m .
B. S 96, 25m .C. S 87,50m .
D. S 94, 00 m .
Câu 135. Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là 2 2 a t 3t t
m / s . Tính quảng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc. 130 3400 4300 A. km . B.130km . C. km . D. km . 3 3 3
Câu 136. Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 100Km/h thì đạp phanh dừng lại, vận tốc của xe giảm dần
theo công thức v t 5000
t 100 (Km/h) cho đến khi dừng lại. Hỏi xe chạy thêm được bao nhiêu met thì dừng lại. A. 25 B. 1 C. 103 D. 10-3
Câu 137. Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng 2000
là N x . Biết rằng Nx
và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con .Vậy ngày thứ 12 số lượng vi 1 x khuẩn là? A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10129.
Câu 138. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc 2
a(t) 3t t . Tính quãng
đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 430 A. m. B. 4300 m. C. 430 m. D. m. 3 3
Câu 139. Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 24, 5m / s và gia tốc trọng trường là 2
9,8 m / s . Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là (coi
như viên đạn được bắn lên từ mặt đất) A. 61,25 m B. 30,625 m C. 29,4 m D. 59,5 m
Câu 140. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho ’ h t 2
3at bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 3 150m . Sau 10
giây thì thể tích nước trong bể là 3
1100m . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. 3 A. 8400m 3 B. 8400m 3 C. 6000m 3
D. 4200m Trang28
Câu 141. Một người đứng từ sân thượng một tòa nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương thẳng
đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất một đoạn d
bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng trường a 2 10 m / s ) A.35 m B.36 m C.37 m D.40 m
Câu 142. Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt vận
tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B cũng xuất phát từ cùng vị trí O
nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp Asau 8 giây
(kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.12m/s. B.48m/s. C.24m/s. D.36m/s.
Câu 143. Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là vt 2
3t 5(m/ s). Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: A.36m . B.252m. C.1134m. D.966m. Câu 144. Gọi (
h t) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h't 1 3
t 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm 5
tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 2.66( cm). B.0,55(cm). C.3,14(cm ). D.2,66( cm).
Câu 145. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 / m s thì người người đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt 4
0t 20m / s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc
bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? 5 A. 5( cm). B.7,5(m). C. (m ). D.5( m). 2
Câu 146. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v (t) 7 ( t m / )
s . Đi được 5(s) , 1
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc 2 a 7
0(m/ s ) . Tính quãng đường (
S m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S 94, 00( ) m .
B. S 96, 25( ) m .
C. S 87, 50( ) m .
D. S 95,70(m).
Câu 147. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời
điểm t giây là v t t 3 ( ) 10
500 m / s . Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã
thoát đi một lượng nước là bao nhiêu? A. 4 3 5.10 (m ) . B. 6 3 4.10 (m ) . C. 7 3 3.10 (m ) . D. 6 3 6.10 (m ) .
Câu 148. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã
được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương
thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v t 2
10t t , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu
chuyển động, v t được tính theo đơn vị mét/phút ( m/p ). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là
A. v 5m/p .
B. v 7 m/p .
C. v 9m/p .
D. v 3m/p .
Câu 149. Một dòng điện có điện lượng truyền trong dây dẫn tại thời điểm t là (
Q t) (c) , có cường độ là I t 20cos t ( )
A . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn từ thời điểm t 0 s đến t 1 s . 6 3 5 10 15 20 A. (c) B. (c) C. (c) D. (c)
Câu 150. Cổng trường ĐHBK Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m. Diện tích của cổng là: 2 100 200 A. 100m 2 . B. 200m 2 . C. m 2 . D. m . 3 2 Trang29
Câu 151. Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ t với số lượng là F(t), biết nếu 1000
phát hiện sớm khi số lượng không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết F (t ) 2t 1
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao
nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không?
A. 5433,99 và không cứu được.
B. 1499,45 và cứu được.
C. 283,01 và cứu được.
D.3716,99 và cứu được. 1000
Câu 152. Sự sản sinh vi rút Zika ngày thứ t có số lượng là N(t), biết N '(t) và lúc đầu đám vi rút 1 0, 5t
có số lượng 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi rút (lấy gần đúng hàng đơn vị): A. 264.334 con B.257.167 con C.258.959 con D. 253.584 con.
Câu 153. Người ta bơm nước vào một bồn chứa, lúc đầu bồn không chứa nước, mức nước ở bồn chứa sau
khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h = h(t) trong đó h tính bằng cm, t tính bằng
giây. Biết rằng ht 3
2t 1 . Mức nước ở bồn sau khi bơm được 13 giây là 243 243 A. cm B. cm C. 30 cm D. 60 cm 4 8
Câu 154. Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết
mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ
dùng nên người này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi
người này thu hoạch được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ phần số thập phân). A. 3722 B. 7445 C. 7446 D. 3723 Trang30