Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba

Tài liệu gồm 15 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 8 chương 3: Tam giác đồng dạng.

Môn:

Toán 8 1.7 K tài liệu

Thông tin:
15 trang 10 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba

Tài liệu gồm 15 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề trường hợp đồng dạng thứ ba, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 8 chương 3: Tam giác đồng dạng.

85 43 lượt tải Tải xuống
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì
hai tam giác đó đồng dạng.
G
T
ABC, A 'B 'C '
A A',B B '
K
L
ABC A 'B 'C '
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra
hai tam giác đồng dạng.
1. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song
với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:
a)
ABD ECD;
b)
ACE
cân tại C.
2. Hình thang ABCD
AB CD
, có
DAB CBD
.Chứng minh
ABD BDC.
3. Cho
ABC
AM là phân giác của
BAC M BC
. Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng
bờ BC không chứa A sao cho
1
BCx BAC.
2
Gọi N giao của Cx tia AM. Chứng
minh:
a)
BM.MC MN.MA;
b)
ABM ANC;
c) Tam giác BCN cân.
4. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và
các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh:
a)
GCF GDA;
b)
GCF ABF;
c)
GDA ABF
và tích số
BF.DG
luôn không đổi khi d quay quanh A.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng
minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai
tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương
ứng tỉ lệ.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a)
2
AB BH.BC;
b)
2
AH BH.HC.
C'
B'
A'
C
B
A
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
6. Cho tam giác ABC vuông tại A, Q điểm trên AC. Gọi D hình chiếu của Q trên BC
và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh:
a)
QA.QC QD.QE;
b)
AB.AE AQ.AC.
7. Cho tam giác ABC
AB AC
, đường phân giác trong AD. Gọi MN theo thứ tự
là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh:
a)
BM AB
;
CN AC
b)
AM.DN AN.DM.
8. Cho tam giác ABC
AB AC
, đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA
lấy điểm I sao cho
ACI BDA.
Chứng minh:
a)
ABD AIC;
b)
ABD CID;
c)
2
AD AB.AC DB.DC.
HƯỚNG DẪN
PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh:
a)
;
ABD ECD
b)
ACE
cân tại C.
Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD,
4
AB cm
, DB = 6cm và
A CBD
. Tính
độ dài CD.
Bài 3: Cho
ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.
a) Chứng minh:
ABK
CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.
b) Chứng minh:
ABK CAK
c) Chứng minh:
CAK CBA
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao
cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt
CO, OA lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh:
FCM OBM
PAE PBO
b) Chứng minh:
. . 1
MB NC PA
MC NA PB
.
Bài 5: Cho
ABC
có 3 góc nhọn, các đường cao
, ,
AD BE CF
cắt nhau ở
H
. Chứng
minh:
a)
. . .
AD BC BE AC CF AB
b)
. .
AD HD DB DC
và suy ra các hệ thức tương tự
c)
ABH EDH
và suy ra các kết quả tương tự
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
d)
AEF ABC
BDF EDC
e)
AHB AFD
và suy ra các kết quả tương tự.
f) Điểm H cách đều 3 cạnh của
DEF
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD.
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh
OH AB
OK CD
Bài 7: Cho tam giác ABC
2.B C , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tính độ dài cạnh BC ?
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:
a) Do
//AB CE
nên
BAD DEC . Chứng minh được
~ ( ) ABD ECD g g
b) Chứng minh được
( ) CAD CED BAD nên ACE cân tại C.
Bài 2: Xét ABD và BDC:
A CBD;
ABD BDC (so le trong)
ABD BDC
(g – g)
2 2
AB BD BD 6
= CD = = 9 cm
BD CD AB 4
Bài 3: a) Chứng minh:
ABK
CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.
0
0
( 90 )
, :
( 90 )
ABK CBA BAK
ABK CBA ABK CBA
AKB CAB
D
B
A
E
C
K
B
A
C
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
ΔABC vuông tại A:
2 2
20BC AB AC cm
1 1 .
. . 8, 6
2 2
ABC
BA AC
S AK BC AB AC AK cm
BC
b)
0
0
( 90 )
, :
( 90 )
ABK KAC BAK
ABK CAK ABK CAK
AKB CKA
c)
ABK CAK
CAK CBA
ABK CBA
(cách khác g-g)
Bài 4:
a)
( / / )
, : ~
FCM OBM OB CF
FCM OBM FCM OBM
FMC OMB
( // )
, :
PAE PBO OB AE
PAE PBO PAE PBO
EPA OPB
b) .
MB OB
FCM OBM
MB PA AE
MC FC
PA AE
MC PB FC
PAE PBO
PB BO
: / / ,
: / / ,
N AC
AE AC
AEC ON AE
O EC
ON NC
AE AN
FC NC
O FA
ON AN
AFC ON CF
O AC
FC AC
Từ các kết quả trên suy ra đpcm: . . . 1
MB NC PA AE FC
MC NA PB FC AE
Bài 5: a) Vì
, , AD BE CF
là đường cao của
ABC
; ;AD BC CF AB BE AC
Xét CFA
BEA
có:
90
( )
CFA BEA
CFA BEA g g
A chung
. .
CF AC
AC BE CF AB
BE AB
(1)
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Xét
CFB
ADB
có:
90
( )
B
CFB ADB
CFB ADB g g
chung
FCB DAB
. .
CF CB
AD BC CF AB
AD AB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
. . .
AD BC BE AC CF AB
b) Xét
CDH
ADB
có:
90
( )
( )
CDH ADB
CDH ADB g g
HCD BAD cmt
. . ; . . ; . .
HD CD CH
AD HD CD BD AB HD CH BD CD AB CH AD
BD AD AB
c) Xét
AEH
BDH
có:
90
( )
(dd)
AEH BDH
AHE BDH g g
AHE BHD
AH EH
BH DH
Xét
AHB
EHD
có:
( )
(dd
(
)
)
A
AHB EDH c g c
H EH
cmt
B
AH E D
DH
B
H
H
Tương tự ta có:
;
AHC FHD BHC FHE
d) Vì
FA AC
CFA BEA
EA AB
Xét
AEF
ABC
có:
( )
( )
( )
AEF ABC c g c
A c
FA AC
c
hung
mt
AE AB
Chứng minh tương tự ta có
BDF BAC
BDF EDC
BAC EDC
(t/c..)
e) Vì
BDF BAC BDF BAC
ADF ABH
(cùng phụ với
BDF BAC
)
Xét
AHB
AFD
có:
( )
( )
ABH ADF
AHB AFD g g
A chung
Tương tự ta có:
AED AHC
f)
AHB AFD ABH FDA
FDA EDH
AHB EHD ABH EDH
DH
là tia phân giác
FDE
(3)
H
D
F
E
A
B
C
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Lại có:
FEB FAD (cùng phụ với
AEF FDB )
Mà:
( )HAB HED cmt
FEB HED EH là tia phân giác
FED (4)
Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H
cách đều 3 cạnh của tam giác FED
Bài 6:
a)
( // )
AOB COD
OA OB
OAB OCD
OC OD
OAB OCD AB CD
đpcm
b)
0
( 90 )
//
AHO CKO
OA OH
OAH OCK
OC OK
OAH OCK AB CD
OA AB
OAB OCD
OC CD
nên
OH AB
OK CD
Bài 7:
Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.
Xét ∆ABC và ∆ADB có
A chung,
D
2
ABC
ACB AB
suy ra ∆ABC ∆ADB (g.g)
2 2
4
D 2 (cm)
D 8
AB AC AB
A
A AB AC
CD = 6 (cm).
∆ABC có BD là đường phân giác nên
D . D 4.6
12 (cm)
D D 2
BC C AB C
BC
AB A A
.
PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD , gọi
E
trung điểm của
AB
,
F
trung điểm của CD
. Chứng minh hai tam giác
ADF
CBE đồng dạng với nhau.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại
A
,
15 ; 20AB cm AC cm
. Kẻ đường cao
AH
.
a. Chứng minh : ABC HBA từ đó suy ra:
2
.AB BC BH
b. Tính
BH
CH .
Bài 3: Cho hình thang ABCD (
AB
//CD).
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Biết
3 ; 2,5 ; 6
AB cm AD cm BD cm
DBC DAB
.
a. Chứng minh hai tam giác
ADB
BCD
đồng dạng.
b. Tính độ dài các cạnh
BC
CD
.
Bài 4: Cho tam giác vuông
0
90
ABC A
9 , 12
AB cm AC cm
. Dựng
AD
vuông c
với
BC D BC
. Tia phân giác góc
B
cắt
AC
tại
E
.
a. Tính độ dài các đoạn thẳng
,
AD DB
DC
.
b. Tính diện tích các tam giác
ABD
ACD
.
Bài 5: Cho hình bình hành
ABCD
với đường chéo
AC BD
. Gọi
,
E F
lần lượt chân
đường vuông góc kẻ từ
C
đến các đường thẳng
AB
và
AD
. Gọi
G
chân đường vuông
góc kẻ từ
B
đến
AC
. Chứng minh rằng:
a.
BCG
đồng dạng với
CAF
b.
. .
BG AF CG CF
Bài 6: Cho hình bình hành
ABCD
, trên tia đối của tia
DA
lấy điểm
M
sao cho
,
DM AB
trên tia đối của tia
BA
lấy điểm
N
sao cho
BN AD
. Chứng minh:
a.
CNB
MDC
cân.
b.
CNB MDC
c. Chứng minh
, ,
M C N
thẳng hàng.
Bài 7: Cho tam giác
ABC AB BC
các góc đều nhọn, đường phân giác
AD
. Các
đường cao
,
BE CF
cắt nhau ở
H
, đường phân giác
AD
. Vẽ tia
Dx
sao cho
CDx BAC
(tia
Dx
A
cùng phía đối với
),
BC
tia
Dx
cắt
AC
.
K
Chứng minh:
a.
ABE ACF
. Từ đó suy ra:
. .
AE AC AF AB
b.
.
ABC DKC
c.
.
DK DB
Bài 8: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
6 , 8 , 10
AB cm AC cm BC cm
. Đường cao
.
( )
AH H BC
a. Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng.
b. Chứng minh rằng
2
.
AH BH HC
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
c. Cho
AD
là đường phân giác của tam giác
( )
ABC D BC
. Vẽ đường thẳng vuông góc
với
AC
tại
C
cắt đường phân giác
AD
tại
E
. Chứng minh tam giác
ABD
đồng dạng
tam giác
ECD
.
Bài 9: Cho tam giác
ABC
, đường trung tuyến
AM
. Qua điểm
D
thuộc cạnh
BC
, vẽ
đường thẳng song song với
AM
, cắt
AB
AC
theo thứ tự tại
E
F
.
a. Chứng minh rằng khi điểm
D
chuyển động trên cạnh
BC
thì tổng
DE DF
giá
trị không đổi.
b. Qua
A
vẽ đường thẳng song song với
,
BC
cắt
EF
K
. Chứng minh rằng
K
trung
điểm của
EF
.
Bài 10: Cho các tam giác
ABC
' ' '
A B C
0
' 180 , '
A A B B
. Gọi
, ,
BC a AC b
,
AB c
' ' ', ' ' ', ' ' '
B C a A C b A B c
. Chứng minh rằng
' ' '.
aa bb cc
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1:
AECF
là hình bình hành (Vì có
,
AE FC
song song và bằng nhau), suy ra:
AF
//
EC
.
Khi đó, ta có:
AFD ECF
(hai góc đồng vị)
CEB ECF
(hai góc so le trong)
Từ đó:
AFD CEB
Xét
ADF
CBE
, ta có:
0
90
B D
AFD CEB
Do vậy:
ADF CBE
(g.g)
Bài 2:
a. Xét
ABC
HBA
, ta có:
0
90
A H
B
chung
Do đó:
ABC HBA
(g.g)
AB BC
HB BA
. .
AB BA HB BC
hay
2
.
AB BC BH
A
D
C
B
F
E
B
A
C
H
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
b. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông
ABC
:
2 2 2
AB AC BC
2 2 2
15 20
BC
25
BC cm
.
Theo a, ta có:
AB BC
HB BA
hay
15 25
15
HB
15.15
9 .
25
HB cm
25 9 16 .
CH BC HB cm
Vậy
9 , 16 .
HB cm CH cm
Bài 3:
a. Xét
ADB
BCD
có:
ABD BDC
(hai góc so le trong)
DBC DAB
Do đó:
ADB BCD
(g.g)
b. Vì
ADB BCD
nên
AD AB DB
BC BD CD
Hay
2,5 3 6
6
BC CD
5 , 12 .
BC cm CD cm
Bài 4:
A
C
B
D
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
a. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông
ABC
:
2 2 2
AB AC BC
2 2 2
9 12
BC
15
BC cm
.
Xét
ABC
DAC
có:
ABC DAC
(cùng phụ với
C
)
C
góc chung
Do đó:
ABC DAC
(g.g)
AB AC BC
AD DC AC
Hay
9 12 15
12
AD DC
hay
9 12 5
4
AD DC
7, 2 ; 9, 6 ; 5, 4 .
AD cm DC cm DB cm
b. Tính diện tích các tam giác
ABD
là:
2
1 1
. . .5, 4.7, 2 19, 44
2 2
BD AD cm
Tính diện tích các tam giác
ACD
là:
2
1 1
. . .9,6.7, 2 34,56
2 2
DC AD cm
Bài 5:
a. Xét
BCG
CAF
có:
G F
(
0
90
)
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
G
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
BCG CAF
(hai góc so le trong)
Do đó:
BCG CAF
(g.g)
b.
BCG CAF
(g.g)
BG CG
CF AF
Hay
. .
BG AF CG CF
Bài 6:
a. Xét
CNB
có:
BN AD
(gt), mà
AD BC
nên
BN BC
.
CNB
cân tại
.
B
Xét
MDC
có:
DM AB
(gt), mà
AB DC
nên
DM DC
.
MDC
cân tại
.
D
b.Vì
CNB
cân tại
B
nên
0
180
2
B
BCN BNC
MDC
cân tại
D
nên
0
180
2
D
DCM DMC
B D
(vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên
BCN BNC DCM DMC
Xét
CNB
MDC
có:
DCM BNC
(cùng bù với hai góc bằng nhau
CBA
BCD
)
CMD NCB
(cmt)
Do đó:
CNB MDC
(g.g).
c.Ta có:
CMD NCB
(hai góc đồng vị)
DCM BNC
(hai góc đồng vị)
M
A
B
C
D
N
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
BCD CDM
(hai góc so le trong)
0
180
DCM CDM DMC (Định lí tổng ba góc trong một tam giác).
Nên
0
180
NCM NCB BCD DCM .
Do đó
, ,
M C N
thẳng hàng.
Bài 7:
a. Xét
ABE
ACF
có:
E F
(
0
90
)
A
góc chung
Do đó:
ABE ACF
(g.g)
AE AB
AF AC
Hay
. .
AE AC AF AB
b. Xét
ABC
DKC
có:
BAC CDx
(gt)
C
góc chung
Do đó:
ABC DKC
(g.g)
c. Theo b. và tính chất đường phân giác ta có:
DB DE
DC DC
vì cùng bằng
.
AB
AC
.
DK DB
Bài 8:
A
B
C
F
E
D
x
K
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
a. Các cặp tam giác đồng dạng:
;
ABC HBA
;
ABC HAC
HBA HAC
.
b. Xét hai tam giác vuông
HBA
HAC
có:
0
90
BAH HAC
0
90
ACH HAC
Suy ra:
BAH HCA
HBA HAC
(g.g)
BH AH
AH CH
hay
2
.
AH BH HC
c. Vì
,
EC AC BA AC
BA
//
CE
Xét
ABD
ECD
có:
BAD DEC
(hai góc so le trong)
ABD DCE
(hai góc so le trong)
Do đó:
ABD ECD
(g.g).
Bài 9:
a. Ta có:
2
DE DF BD DC BC
AM AM BM MC BM
Vậy
2
DE DF AM
.
B
A
C
H
E
D
E
A
C
B
M
F
D
K
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
AM
không đổi, nên
DE DF
không đổi.
b. Ta chứng minh được:
FK KE
AM AM
(cùng bằng
KA
MC
).
FK KE
Do đó:
K
là trung điểm của
EF
.
Bài 10:
Vẽ
ADE
bằng
' ' '
A B C
, kẻ
EF
//
.
BC
EF
//
BC
AE AF
AB AC
'
b AF
c b
' .
bb c AF
(1)
ABC
EDF
đồng dạng (g.g)
' '
BC AB a c
DF ED AF c a
' . '
aa c AF cc
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
' ' '.
aa bb cc
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
B
E
D
A
C
| 1/15

Preview text:

TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì
hai tam giác đó đồng dạng. A G A  BC, A  'B'C ' T A  A', B  B' A' K L ABC ∽ A 'B'C ' B C B' C'
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra hai tam giác đồng dạng.
1. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song
với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: a) A  BD ∽ ECD; b) ACE cân tại C.
2. Hình thang ABCD AB  CD , có  DAB  
CBD .Chứng minh ABD ∽ BDC.
3. Cho ABC có AM là phân giác của 
BAC M BC . Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng
bờ BC không chứa A sao cho  1 BCx  
BAC. Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng 2 minh: a) BM.MC  MN.MA; b) A  BM ∽ A  NC; c) Tam giác BCN cân.
4. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và
các đường thẳng BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh: a) G  CF ∽ G  DA; b) G  CF ∽ A  BF;
c) GDA ∽ ABF và tích số BF.DG luôn không đổi khi d quay quanh A.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng
minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau
Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai
tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh: a) 2 AB  BH.BC; b) 2 AH  BH.HC.
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
6. Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC
và E là giao điểm của AB và QD. Chứng minh: a) QA.QC  QD.QE; b) AB.AE  AQ.AC.
7. Cho tam giác ABC AB  AC, đường phân giác trong AD. Gọi M và N theo thứ tự
là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Chứng minh: a) BM AB  ; b) AM.DN  AN.DM. CN AC
8. Cho tam giác ABC AB  AC, đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho  ACI   BDA. Chứng minh: a) A  BD ∽ A  IC; b) A  BD ∽ C  ID; c) 2 AD  AB.AC  DB.DC. HƯỚNG DẪN PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt tia AD tại E. Chứng minh: a) A  BD ” E  C ; D b) ACE cân tại C.
Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB  4cm , DB = 6cm và   A  CBD. Tính độ dài CD.
Bài 3: Cho ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.
a) Chứng minh: ABK ∽CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK.
b) Chứng minh: ABK” CAK
c) Chứng minh: CAK” CBA
Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao
cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt
CO, OA lần lượt ở E và F.
a) Chứng minh: FCM” OBM và P  AE” P  BO
b) Chứng minh: MB .NC . PA  1. MC NA PB Bài 5: Cho A
 BC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H . Chứng minh: a) AD.BC  BE.AC  CF.AB
b) AD.HD  DB.DC và suy ra các hệ thức tương tự
c) ABH ” EDH và suy ra các kết quả tương tự
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
d) AEF  ABC và BDF  EDC
e) AHB  AFD và suy ra các kết quả tương tự.
f) Điểm H cách đều 3 cạnh của DEF
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh OH AB  OK CD
Bài 7: Cho tam giác ABC có  
B  2.C , AB = 4 cm, AC = 8 cm, Tính độ dài cạnh BC ?
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN A Bài 1: a) Do AB//CE nên  BAD   DEC . Chứng minh được ABD ~ ECD(g  g) B C D b) Chứng minh được  CAD   CED( 
BAD) nên ACE cân tại C.
Bài 2: Xét ABD và BDC: E   A  CBD ;   ABD  BDC (so le trong)   A  BD” B  DC (g – g) 2 2  AB BD BD 6 =  CD = =  9 cm BD CD AB 4
Bài 3: a) Chứng minh: ABK ∽CBA. Tính độ dài đoạn thẳng BC, AK. A C B K   0  A  BK  CB ( A  90  BAK) ABK,CBA :      A  BK” C  BA 0 A  KB  CAB( 90 ) 
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ΔABC vuông tại A: 2 2 BC  AB  AC  20cm 1 1 B .  .  . AAC S AK BC AB AC  AK   8,6cm ABC 2 2 BC   0  A  BK  KAC( 90 BAK) b) ABK,CAK :      A  BK” C  AK 0 A  KB CK ( A  90 )   A  BK ” C  AK c)   CAK” C  BA  (cách khác g-g) A  BK ” C  BA  Bài 4:  FCM   OBM (OB / /CF ) a) F  CM ,OBM :         FCM ~ OBM FMC OMB   P  AE  PBO (OB//AE) PAE,PBO :      P  AE” P  BO E  PA  OPB   MB OB FCM ” O  BM    b)  MC FC MB PA AE   .  PA AE MC PB FC PAE” PBO    PB BO  N  AC AE AC  A  EC : ON / / AE,    O   EC ON NC AE AN    O    FA ON AN FC NC A  FC : ON / /CF,    O    AC FC AC
Từ các kết quả trên suy ra đpcm: MB . NC . PA AE  . FC  1 MC NA PB FC AE
Bài 5: a) Vì AD, BE, CF là đường cao của ABC  AD  BC; CF  AB; BE  AC  CFA   BEA  90 Xét  C  FA và B  EA có:        CFA BE ( A g g) A chung  CF AC    AC.BE  CF.AB (1) BE AB
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Xét C  FB và ADB có:  CFB   ADB  90      CFB ADB(g g) B chung  A   CF CB E FCB   DAB và   AD.BC  CF.AB (2) AD AB F Từ (1) và (2) suy ra: A . D BC  B . E AC  CF.AB H b) Xét C  DH và  B ADB có: D  CDH   ADB  90 C        HCD   CDH ADB(g g) BAD(cmt)  HD CD CH    A . D HD  C . D BD; AB.HD  CH.BD;C . D AB  CH.AD BD AD AB  AEH   BDH  90 c) Xét   AH EH AEH và BDH có:    ”      AHE   AHE BDH (g g) BHD(dd)  BH DH AH EH   (cmt) Xét  AHB và EHD có: BH DH   AHB” E  DH (c  g  c)  AHB  EHD(dd)  
Tương tự ta có: AHC  FHD;BHC  FHE d) Vì FA AC CFA” BEA   EA AB FA AC   (cmt) Xét  AEF và A  BC có: AE AB   AEF” A  BC(c  g  c) ( A chung)  B  DF” BAC
Chứng minh tương tự ta có   B  DF” E  DC (t/c. ) B  AC” E  DC e) Vì  
BDF” BAC  BDF  BAC   ADF   ABH (cùng phụ với  BDF   BAC )  ABH   ADF  Xét  AHB và AFD có:    ”    AHB AFD(g g) ( A chung)  Tương tự ta có: A  ED  A  HC f)   AHB” AFD ABH FDA         
  FDA  EDH  DH là tia phân giác  FDE (3) AHB” EHD ABH EDH     
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Lại có:  FEB   FAD (cùng phụ với  AEF   FDB ) Mà:  HAB   HED(cmt)   FEB  
HED  EH là tia phân giác  FED (4)
Từ (3) và (4) suy ra: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H
cách đều 3 cạnh của tam giác FED Bài 6:  AOB   COD a) OA OB    ”        OAB OCD ( // ) OC OD OAB OCD AB CD đpcm  AHO   0 CKO( 90 ) b) OA OH    ”    O  AH   OAH OCK OCK   AB//CD OC OK Mà OA AB O  AB” O  CD   nên OH AB  OC CD OK CD Bài 7:
Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC.
Xét ∆ABC và ∆ADB có A chung,       D ABC ACB AB       
suy ra ∆ABC ∽ ∆ADB (g.g)  2    2 2 AB AC AB 4    D A    2 (cm) D A AB AC 8  CD = 6 (cm).
∆ABC có BD là đường phân giác nên BC CD A . B CD 4.6   BC    12 (cm). AB D A D A 2 PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm của AB , F là trung điểm của CD
. Chứng minh hai tam giác ADF và CBE đồng dạng với nhau.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  15cm; AC  20cm . Kẻ đường cao AH . a. Chứng minh : A  BC  H  BA từ đó suy ra: 2 AB  BC.BH b. Tính BH và CH .
Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB //CD).
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Biết AB  3c ; m AD  2,5c ; m BD  6cm và  DBC   DAB .
a. Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
b. Tính độ dài các cạnh BC và CD.
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC   0
A  90  có AB  9cm, AC 12cm . Dựng AD vuông góc
với BC D  BC . Tia phân giác góc B cắt AC tại E .
a. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DB và DC .
b. Tính diện tích các tam giác ABD và ACD .
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC  BD. Gọi E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ C đến các đường thẳng AB và AD . Gọi G là chân đường vuông
góc kẻ từ B đến AC . Chứng minh rằng:
a. BCG đồng dạng với C  AF b. B . G AF  C . G CF
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD , trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM  AB,
trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN  AD . Chứng minh: a. C  NB và M  DC cân. b. C  NB  M  DC
c. Chứng minh M ,C, N thẳng hàng.
Bài 7: Cho tam giác ABC  AB  BC  có các góc đều nhọn, đường phân giác AD . Các
đường cao BE, CF cắt nhau ở H , đường phân giác AD . Vẽ tia Dx sao cho  CDx   BAC
(tia Dx và A cùng phía đối với BC), tia Dx cắt AC ở K. Chứng minh: a. A  BE  A
 CF . Từ đó suy ra: AE.AC  AF.AB b. A  BC  D  KC. c. DK  D . B
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB  6cm, AC  8cm, BC 10cm . Đường cao AH (H  BC . )
a. Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng. b. Chứng minh rằng 2 AH  BH.HC
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
c. Cho AD là đường phân giác của tam giác ABC(D  BC) . Vẽ đường thẳng vuông góc
với AC tại C cắt đường phân giác AD tại E . Chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác ECD.
Bài 9: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Qua điểm D thuộc cạnh BC , vẽ
đường thẳng song song với AM , cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F .
a. Chứng minh rằng khi điểm D chuyển động trên cạnh BC thì tổng DE  DF có giá trị không đổi.
b. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt EF ở K . Chứng minh rằng K là trung điểm của EF .
Bài 10: Cho các tam giác ABC và A'B 'C ' có A   0 A'  180 ,  B  
B ' . Gọi BC  a, AC  b,
AB  c, B 'C '  a ', A'C '  b ', A' B '  c ' . Chứng minh rằng aa '  bb' cc '.
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
LỜI GIẢI PHIẾU TỰ LUYỆN SỐ 2 Bài 1: A E B D C F
AECF là hình bình hành (Vì có AE, FC song song và bằng nhau), suy ra: AF // EC . Khi đó, ta có:  AFD   ECF (hai góc đồng vị)  CEB   ECF (hai góc so le trong) Từ đó:  AFD   CEB Xét ADF và C  BE , ta có: B   0 D  90  AFD   CEB Do vậy: A  DF  C  BE (g.g) Bài 2: B H A C a. Xét A  BC và HBA , ta có: A  0 H  90 B chung Do đó: A  BC  H  BA (g.g) AB BC   HB BA  A . B BA  H . B BC hay 2 AB  BC.BH
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
b. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC : 2 2 2 AB  AC  BC 2 2 2  15  20  BC  BC  25cm . Theo a, ta có: AB BC  hay 15 25  HB BA HB 15 15.15  HB   9c . m 25
CH  BC  HB  25  9 16c . m Vậy HB  9cm,CH 16c . m Bài 3: A B D C a. Xét ADB và B  CD có:  ABD   BDC (hai góc so le trong)  DBC   DAB Do đó: A  DB  B  CD (g.g) b. Vì A  DB  B  CD nên AD AB DB   BC BD CD Hay 2,5 3 6   BC 6 CD  BC  5cm,CD  12c . m Bài 4:
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B D A E C
a. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC : 2 2 2 AB  AC  BC 2 2 2  9 12  BC  BC 15cm . Xét A  BC và DAC có:  ABC   DAC (cùng phụ với  C ) C góc chung Do đó: A  BC  D  AC (g.g) AB AC BC    AD DC AC Hay 9 12 15   hay 9 12 5   AD DC 12 AD DC 4  AD  7, 2c ; m DC  9,6c ; m DB  5, 4c . m
b. Tính diện tích các tam giác 1 1 ABD là: 2 .B .
D AD  .5, 4.7, 2  19, 44cm 2 2
Tính diện tích các tam giác 1 1 ACD là: 2
.DC.AD  .9, 6.7, 2  34,56cm 2 2 Bài 5: E B C G A D F a. Xét BCG và C  AF có: G  F ( 0  90 )
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  BCG   CAF (hai góc so le trong) Do đó: B  CG  C  AF (g.g) b. B  CG  C  AF (g.g) BG CG   CF AF Hay B . G AF  C . G CF Bài 6: N B C A D M a. Xét C
 NB có: BN  AD (gt), mà AD  BC nên BN  BC .  C  NB cân tại . B Xét M
 DC có: DM  AB (gt), mà AB  DC nên DM  DC .  M  DC cân tại . D 0 b.Vì 180  B C  NB cân tại B nên  BCN    BNC  2 0 Vì 180  D M  DC cân tại D nên  DCM    DMC  2
Mà B  D (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau) nên  BCN   BNC   DCM   DMC Xét C  NB và M  DC có:  DCM  
BNC (cùng bù với hai góc bằng nhau  CBA và  BCD )  CMD   NCB (cmt) Do đó: C  NB  M  DC (g.g). c.Ta có:  CMD   NCB (hai góc đồng vị)  DCM   BNC (hai góc đồng vị)
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  BCD   CDM (hai góc so le trong) Mà  DCM   CDM   0
DMC  180 (Định lí tổng ba góc trong một tam giác). Nên  NCM   NCB   BCD   0 DCM  180 .
Do đó M ,C, N thẳng hàng. Bài 7: x A E F K B D C a. Xét ABE và A  CF có: E  F ( 0  90 ) A góc chung Do đó: A  BE  A  CF (g.g) AE AB   AF AC Hay AE.AC  AF.AB b. Xét A  BC và D  KC có:  BAC   CDx (gt) C góc chung Do đó: A  BC  D  KC (g.g)
c. Theo b. và tính chất đường phân giác ta có: DB DE  vì cùng bằng AB . DC DC AC  DK  D . B Bài 8:
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com E B H D A C
a. Các cặp tam giác đồng dạng: ABC  HB ; A ABC  HAC; H  BA  H  AC .
b. Xét hai tam giác vuông HBA và HAC có:  BAH   0 HAC  90  ACH   0 HAC  90 Suy ra:  BAH   HCA  H  BA  H  AC (g.g) BH AH   hay 2 AH  BH.HC AH CH
c. Vì EC  AC, BA  AC  BA //CE Xét ABD và E  CD có:  BAD   DEC (hai góc so le trong)  ABD   DCE (hai góc so le trong) Do đó: A  BD  E  CD (g.g). Bài 9: F A K E B D M C a. Ta có: DE DF BD DC BC      2 AM AM BM MC BM Vậy DE  DF  2AM .
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com
Mà AM không đổi, nên DE  DF không đổi.
b. Ta chứng minh được: FK KE  (cùng bằng KA ). AM AM MC  FK  KE
Do đó: K là trung điểm của EF . Bài 10: B E C A D
Vẽ ADE bằng A'B'C ', kẻ EF // BC. Vì AE AF b AF EF // BC   '    bb'  . c AF (1) AB AC c b A
 BC và EDF đồng dạng (g.g) BC AB a c     DF ED AF  c ' a '  aa '  . c AF  cc ' (2)
Từ (1) và (2) suy ra: aa'  bb' cc'.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com