Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số – Nguyễn Trọng Toán 12

Tài liệu gồm 112 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng (giáo viên Toán trường THPT Đắk Glong – Đắk Nông), phân dạng, hướng dẫn giải và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm (có đáp án) chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, giúp học sinh ôn luyện khi học chương trình Giải tích 12 chương 1 và ôn thi THPT QG môn Toán.

19 10 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TRƯỜNGTHPTĐĂKGLONG    TÀILIỆUÔNTHITHPTQG2021

Thầy Nguyễn Trọng 1

§1_SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

 DẠNG 1_ TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ Y = F(X)

PHƯƠNG PHÁP

 Quan sát dấu



y

hay



y

• Nếu



y

trên khoảng





;ab thì hàm số đồng biến trên khoảng





;ab .

• Nếu



y

trên khoảng





;ab thì hàm số đồng biến trên khoảng





;ab .

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số





x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?





2;0

. B.





2; 

. C.



0; 2

. D.





0; 

Lời giải

Chọn C

Trong khoảng





0; 2

ta thấy



y

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến.

Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?





2;

. B.





2;3

. C.





3; 

. D.



1; 4

Lời giải

Chọn B

Trong khoảng





2;3 ta thấy



y

. Suy ra hàm số đồng biến.

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx có bảng biến thiên như

sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên



;1

B. Hàm số nghịch biến trên









;0 1;  

C. Hàm số đồng biến trên





0;1

D. Hàm số đồng biến trên





;2

Lời giải

Chọn C

Thầy Nguyễn Trọng 2

Trong khoảng





0;1 ta thấy



y

. Suy ra hàm số đồng biến.

B – BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 1. Cho hàm số





x có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?





1;0

. B.





1;

. C.





;1 

. D.





0;1

Câu 2. Cho hàm số





có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây.





0; 

. B.





0; 2

. C.





2;0

. D.





;2 

Câu 3. Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như sau

Hàm số





yfx

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?





2;0

. B.





;2 

. C.



0; 2

. D.





0; 

Câu 4. Cho hàm số





yfx

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng





2;0

. B. Hàm số đồng biến trên khoảng





;0

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng





0; 2

. D. Hàm số đồng biến trên khoảng





;2 

Câu 5. Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như sau

Thầy Nguyễn Trọng 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?



1;

. B.



1; 

. C.



1; 1

. D.



;1

Câu 6. Cho hàm số



yfx

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



1; 3

. B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



2;1

. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1; 2

Câu 7. Cho hàm số



yfx

xác định trên



\2

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hãy chọn mệnh đề đúng.



nghịch biến trên từng khoảng



;2

và



2; 



đồng biến trên từng khoảng



;2

và



2; 



nghịch biến trên





đồng biến trên



Câu 8. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



;3

. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



3;3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



3;

. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1;2

Thầy Nguyễn Trọng 4

Câu 9. Cho hàm số





yfx có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng





1; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng





;1 .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng





1;. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





1; 3 .

Câu 10. Cho hàm số





yfx có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. Hàm số nghịch biến trên





2;1

. B. Hàm số đồng biến trên





1;3

C. Hàm số nghịch biến trên





1;2

. D. Hàm số đồng biến trên





;2

 DẠNG 2_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X)

PHƯƠNG PHÁP

 Dáng đồ thị tăng (đi lên) trên khoảng





;ab

. Suy ra hàm số ĐB trên





;ab

 Dáng đồ thị giảm (đi xuống) trên khoảng





;ab . Suy ra hàm số NB trên





;ab.

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?





0;1 . B.





;1 .





1; 1

. D.





1; 0

Lời giải

Chọn D

Trong khoảng





1; 0

ta thấy dáng đồ thị đi lên. Suy ra hàm số đã cho đồng biến.

Thầy Nguyễn Trọng 5

Ví dụ 2. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm

số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?



;8

. B.



1; 4



4; 

. D.



0;1

Lời giải

Chọn B

Trong khoảng



1; 4

ta thấy dáng đồ thị đi xuống. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến.

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx

xác định, liên tục trên



và có đồ thị

như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



;1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;1 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



0;

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



3;

Lời giải

Chọn B

Trong khoảng



;1 

ta thấy dáng đồ thị đi lên. Suy ra hàm số đã cho đồng biến.

Trong các khoảng khác đồ thị hàm số có dáng đi lên và có cả đi xuống

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 11. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0;1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0

và



1; 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



;3

và



1; 

D. Hàm số đi qua điểm



1; 2

Câu 12. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1;1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



1; 3

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



;1 

và



1; 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



1; 0

Câu 13. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ

Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?



2;0

. B.



1; 1



0; 2

. D.



2; 1

-1

Thầy Nguyễn Trọng 6

Câu 14. Cho đồ thị hàm số



yfx

như hình bên. Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng.

C. Hàm số có hai cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng



;0 và



0;  .

Câu 15. Cho hàm số



yfx có đồ thị



như hình vẽ. Chọn khẳng

định sai về hàm số



A. Hàm số



tiếp xúc với

B. Hàm số



fx đồng biến trên



0;1

C. Hàm số



fx nghịch biến trên



;1  .

D. Đồ thị hàm số



fx không có đường tiệm cận.

Câu 16. Cho đồ thị hàm số



yfx

hình bên. Khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

1x

, tiệm cận ngang

1y

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



;1 

và



1;

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng



;1 

và



1;

D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

Câu 17. Cho hàm số



có đạo hàm



'fx

xác định, liên tục trên



và



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên



1; 

B. Hàm số đồng biến trên



;1 

và



3; 

C. Hàm số nghịch biến trên



4;3

D. Hàm số đồng biến trên



;1 3;   

Câu 18. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



0; 2

. B.



2;0



3; 1

. D.



2;3

Câu 19. Cho hàm số



yfx

xác định, liên tục trên



và có đồ

thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



;1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;1 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



0;

D. Hàm số đồng biến trên khoảng



3;

-4

-1

-2

-1

-2

-1

Thầy Nguyễn Trọng 7

Câu 20. Cho hàm số



có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên

khoảng nào sau đây?



2; 4

. B.



0;3



2;3

. D.



1; 4

 DẠNG 3_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI CHO HÀM SỐ Y = F(X) TƯỜNG MINH

PHƯƠNG PHÁP

 Tìm tập xác định.

 Tính



, giải phương trình



y

hoặc



không xác định.

 Lập BBT.

 Dựa vào BBT kết luận nhanh khoảng ĐB, NB.

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Hàm số

3yxxx

đồng biến trên khoảng nào sau đây?



2;  . B.



1; 

. C.



1; 3 . D.



; 1 và



3;  .

Lời giải

Chọn D

Ta có

223

31 430.



 xyxyxxx















BBT  Hàm số đồng biến trên khoảng



; 1

và



3; 

Ví dụ 2. Hỏi hàm số

2 2020 yx x

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?



;1 

. B.



1; 1

. C.



1; 0

. D.



;1

Lời giải

Chọn A

42 3

2 2020 4 4



   yx x y x x















BBT

Thầy Nguyễn Trọng 8

 Hàm số nghịch biến trên khoảng





;1  .

Ví dụ 3. Cho hàm số







(C), chọn phát biểu đúng

A. Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

B. Hàm số luôn đồng biến trên

 .

C. Hàm số có tập xác định





\1 .

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.

Lời giải

Chọn D



23 1

0, 1.









yy x

 Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 21. Hàm số

31  yx x đồng biến trên các khoảng





;1

. B.





0; 2

. C.





2; 

. D.  .

Câu 22. Các khoảng nghịch biến của hàm số

31yx x là





;1  . B.





1;  . C.





1; 1 . D.





0;1 .

Câu 23. Hàm số

21  yx x nghịch biến trên





;1 

và





0,1

. B.





1, 0

và





1, 

.C.



. D.



2, 2 .

Câu 24. Hàm số

24 yx x đồng biến trên các khoảng





;0

. B.





0;

. C.





1;0

và





1; 

. D.





;1 

và





0;1

Câu 25. Hàm số







đồng biến trên

 . B.





;3

. C.





3;

. D.









;3; 3;    

Câu 26. Hàm số







nghịch biến trên các khoảng





;1

và





1; 

.B.





1; 

. C.





1;

. D.





\1

Câu 27. Cho sàm số







(C). Chọn phát biểu đúng?

Hàm số luôn nghịch biến trên miền xác định.

B. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số luôn đồng biến trên 

D. Hàm số có tập xác định





1 D \

Câu 28. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng





;1 

23124yx x x

. B.

23124yx x x

23124   yxx x. D.

23124   yxx x.

Câu 29. Cho hàm số

() 3 2

xx x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Thầy Nguyễn Trọng 9





nghịch biến trên khoảng





1;1

. B.





nghịch biến trên khoảng













x đồng biến trên khoảng





1;1 . D.



x nghịch biến trên khoảng







Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng





1; 3 ?







. B.







2yxx. D.

45yx x .

 DẠNG 4_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT HÀM SỐ Y = F’(X)

PHƯƠNG PHÁP

 Lập BBT

 Dựa vào BBT tìm khoảng ĐB, NB

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số





yfx

có đạo hàm









fx x

. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số nghịch biến trên





;1

. B. Hàm số nghịch biến trên





;  

C. Hàm số nghịch biến trên





1;1

. D. Hàm số đồng biến trên





;  

Lời giải

Chọn D









fx x với mọi x nên hàm số luôn đồng biến trên



Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx

có đạo hàm

  



yfx x x

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hàm số đồng biến trên khoảng





;2

B. Hàm số đồng biến trên khoảng





2; 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng





; 

Hàm số nghịch biến trên khoảng





;2

Lời giải

Chọn D

  

20,



 fx x x

nên hàm số đồng biến trên



Chú ý: Mệnh đề sai.

Ví dụ 3. Cho hàm số





x có đạo hàm trên  là













fx xx . Hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng





1; 

. B.





; 

. C.





0;1

. D.





;1

Lời giải

Chọn A

Ta có

  

'0 10





  







fx xx

Bảng xét dấu

Thầy Nguyễn Trọng 10

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng





1;  .

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 31.

Cho hàm số





có đạo hàm

    

112.



  

xx x x

Hàm số





đồng biến trên

khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?





1; 1 . B.





1; 2 . C.





;1  . D.





2;  .

Câu 32. Cho hàm số





yfx

có đạo hàm

    

12 3



  fx x xx

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng





3; 1

và





2; 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng





3; 2

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng





;3 

và





2; 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng





3; 2

Câu 33. Cho hàm số





yfx

liên tục trên



và có đạo hàm

     

2021 2020

21 2



  fx x x x

. Khẳng

định nào sau đây đúng?

Hàm số đạt cực đại tại điểm

1

và đạt cực tiểu tại các điểm

2x

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng





1;2

và





2;

C. Hàm số có ba điểm cực trị.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





2;1

Câu 34. Hàm số





yfx

có đạo hàm

(5)



yxx . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số đồng biến trên





5; 

. B. Hàm số nghịch biến trên

(0; )

C. Hàm số nghịch biến trên  . D. Hàm số nghịch biến trên





;0

và





5; .

Câu 35. Cho hàm số





yfx

xác định trên tập  và có







fx x x

. Khẳng định nào sau đây

là đúng?

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng





1; 4 .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng





3;  .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng





;3 .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng





1; 4 .

Câu 36. Cho hàm số

()

có đạo hàm



() ( 2) 5( 1)



  

fx x x x , x . Mệnh đề nào sau đây

đúng?

Hàm số

()

đồng biến trên khoảng





1; 2

B. Hàm số

()

đồng biến trên khoảng





1;

C. Hàm số

()

nghịch biến trên khoảng





1;

D. Hàm số

()

nghịch biến trên khoảng





1; 1

Câu 37. Cho hàm số





yfx

có đạo hàm



2, .





fx x x

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?









11

. B.









11

. C.









11

. D.









11

Thầy Nguyễn Trọng 11

Câu 38. Cho hàm số



có đạo hàm

    

2 3 2021

123



  fx x x x

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



3; 1

và



2; 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng



3; 2

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



;3 

và



2; 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



3; 2

 DẠNG 5_ TÌM KHOẢNG ĐB, NB ĐỀ CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F’(X)

PHƯƠNG PHÁP

 Đồ thị hàm số





yfx

nằm phía trên trục

trên khoảng



;ab

. Suy ra hàm số



yfx

đồng biến trên



;ab

 Đồ thị hàm số



yfx

nằm phía dưới trục

trong khoảng



;ab

. Suy ra hàm số



yfx

nghịch biến trên



;ab

 Nếu cho đồ thị hàm số





yfx

mà hỏi sự biến thiên của hàm số hợp



yfu

thì sử dụng

đạo hàm của hàm số hợp và xét dấu hàm số





yfu

dựa vào dấu của hàm





yfx

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số



xác định trên



và có đồ thị hàm số





yfx

là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. Hàm số



nghịch biến trên khoảng



1; 1

B. Hàm số



đồng biến trên khoảng



1; 2

C. Hàm số



đồng biến trên khoảng



2;1

D. Hàm số



nghịch biến trên khoảng



0; 2

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị của hàm





yfx

ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số



yfx

nghịch biến trên khoảng



0; 2

Thầy Nguyễn Trọng 12

Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx.Hàm số









yfxcó đồ thị như

hình bên. Hàm số



2yf x đồng biến trên khoảng:





1; 3

. B.





2; 





2;1

. D.





;2

Lời giải

Chọn C

Ta có:



 

22.2 2





 

Hàm số đồng biến khi



21 3

2020

12 4 2 1

 





  



 



fx f x

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx. Biết hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số





3

đồng biến trên khoảng





2;3

. B.





2; 1

. C.





1; 0

. D.



0;1

Lời giải

Chọn C

Hàm số





3

đồng biến khi



y





23 0



  xf x





23 0



xf x



















63 1



















 









































 







 





















13 2



















  





















































So sánh với đáp án Chọn

Ví dụ 4.

Cho hàm số





xác định trên tập số thực



và có đồ thị







như hình sau. Đặt

 



xfxx

, hàm số





nghịch biến trên khoảng:



1; 

. B.





1; 2





2; 

. D.





;1 

Lời giải

Chọn B

Ta có

 



gx f x

Thầy Nguyễn Trọng 13

Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy



1; 2x

thì

 



 fx gx

và





gx x

nên hàm số



ygx

nghịch biến trên



1; 2

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 39. Cho hàm số



yfx

xác định, liên tục trên

và có đạo hàm





. Biết rằng





có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng



2;0

B. Hàm số



yfx

nghịch biến trên khoảng



0; 

C. Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng



;3

D. Hàm số



yfx

nghịch biến trên khoảng



3; 2

Câu 40. Cho hàm số



yfx

. Hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số



3 2 2020yf x

nghịch biến trên khoảng?



1; 2

. B.



2; 



;1

. D.



1; 1

Câu 41. Cho hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng nào sau đây



;0

. B.



;4



3;

. D.



4;0

Câu 42. Cho hàm số



yfx

. Hàm số





yfx

có đồ thị như hình

bên. Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng



;1 

. B.



2; 



1; 1

. D.



1; 4

Câu 43. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình bên.Hàm số



2yfx

đồng biến trên khoảng



1; 2

. B.



2;3



1; 0

. D.



1; 1

Thầy Nguyễn Trọng 14

Câu 44. Cho hàm số



yfx

. Biết rằng hàm số



có đạo hàm là



'fx

và hàm số



'yfx

có đồ thị như hình vẽ bên.Khẳng

định nào sau đây sai?

A. Hàm



nghịch biến trên khoảng



;2. 

B. Hàm



đồng biến trên khoảng



1; 

C. Trên



1;1

thì hàm số



luôn tăng.

D. Hàm



giảm trên đoạn có độ dài bằng

Câu 45. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên M và có đồ thị



'yfx

như

hình vẽ. Xét hàm số



2.gx f x

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số



nghịch biến trên



0; 2

B. Hàm số



đồng biến trên



2; 

C. Hàm số



nghịch biến trên



;2 

D. Hàm số



nghịch biến trên



1; 0 .

Câu 46. Cho hàm số



'yfx

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số



2yf x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây



;0

. B.



0;1



1; 2

. D.



0; 

Câu 47. Cho hàm số



có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số



32 3yfx x x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?



;1 

. B.



1; 

. C.



1; 0

. D.



0; 2

Câu 48. Cho hàm số



. Hàm số





yfx

có bảng xét dấu như sau

Hàm số



2yfx x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?



0;1

. B.



2; 1

. C.



2;1

. D.



4; 3

 DẠNG 6_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TỪNG

KHOẢNG XÁC ĐỊNH, TRÊN KHOẢNG (A ; B) HAY TRÊN R.

PHƯƠNG PHÁP

1. Hàm đa thức.

Cho hàm số



yfx

có đạo hàm trên

Thầy Nguyễn Trọng 15

 Nếu trên K ,

'( ) 0fx

và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì

()

đồng biến trên K .

 Nếu trên K ,

'( ) 0fx

và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm K thì

()

nghịch biến trên K .

 Cho tam thức bậc hai







xaxbxc

có biệt thức

4 bac

. Ta có:

() 0,













fx x R

() 0,













fx x R

 Xét bài toán: “Tìm m để hàm số



,yfxm đồng biến trên

”. Ta thường thực hiện theo các bước

• Tính đạo hàm

'( , )

• Lý luận: Hàm số đồng biến trên K

'( , ) 0,

xm x K



(), ()  mgx xKmgx

• Lập bảng biến thiên của hàm số

()

trên K , từ đó suy ra giá trị cần tìm của m.

 Hàm số bậc 3:

axybxcxd

• Hàm số đồng biến trên

'0,yx

















bac

• Hàm số nghịch biến trên

'0,yx

















bac



. Chú ý: Xét hệ số 0a khi nó có chứa tham số.

2. Hàm phân thức hữu tỷ:







ax b

cx d

 Xét tính đơn điệu trên tập xác định:

• Tập xác định











; Đạo hàm











ad bc

cx d

• Nếu



y



, suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

;



 





và

;









• Nếu



y



, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

;



 





;









 Xét tính đơn điệu trên khoảng





;ab

thuộc tập xác định D :

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng





;ab

thì



0, ;

;















ad bc x a b

• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng





;ab thì



0, ;

;















ad bc x a b

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số



49 5    yxmx m x (với

là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để hàm số nghịch biến trên



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D



49 5    yxmx m x.

TXĐ:

 .

Thầy Nguyễn Trọng 16

32 49



   yxmxm

Hàm số nghịch biến trên

 0



y

x (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

32 490    xmxm

x 0



 

(do

30 a

)



34 9 0 mm

12 27 0 mm

93  m

Vậy có

giá trị nguyên của

thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

245

 yxmxx

đồng biến trên  .

11 m

. B.

11 m

. C.

01m

. D.

01m

Lời giải

Chọn A

TXĐ:

 D

Ta có,



 yx mx .

YCBT



4 4.1.4 0













   







10 1 1mm

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số





2018yxmx



1 đồng biến trên khoảng





1; 2 .

[3;+ )m

. B.

[0; )m

. C.

[3; ) m

. D.

(;1]m

Chọn A

Ta có



 yxmx. Để hàm số



đồng biến trên





1; 2

thì





0, 1;2



yx

Khi đó

32 0 xmx





1; 2x







1; 2x



3m

Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

để hàm số







nghịch biến trên





2; 

A. 1. B.

. C. Vô số. D. 2 .

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: 4

m .

Để hàm số xác định trên





2; 

thì

mm

Ta có:









Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi



'0,x 2; 0, x 2;



 



430

mm

Vậy

 m

nên có 1 số nguyên

0m

thỏa mãn.

Ví dụ 5. Tìm các giá trị của tham số

để hàm số







đồng biến trên các khoảng xác định của nó.





1; m

. B.



;1m

. C.



1; m

. D.





;1m

Lời giải

Thầy Nguyễn Trọng 17

Chọn C

Tập xác định:





\1D .

Ta có:











Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi



yxD









;



10 1   mm

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

9





nghịch biến trên khoảng





1;  ?

5. B. 3. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định:





\Dm

Ta có:



9







Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng





1; 



;









 







y













 











Vì





1;0;1;2mm

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm số



322

32 3 4 1

xmxmmx    

nghịch biến trên khoảng



0;1

. B.

. C.

. D.

Câu 50. Cho hàm số



49 5    yxmx m x

, với

là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m để hàm số nghịch biến trên



;  ?

5. B. 6. C. 7. D. 4.

Câu 51. Giá trị của

để hàm số



21 15    yx mxmx

đồng biến trên



là



;1 ;



  





. B.











;1 ;



  







. D.









Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số



23 2

2210     ymmxmxx đồng biến trên



0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 53. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số









23 2

114 

mxmxx

nghịch biến trên 

1. B. 2. C. 0. D. 3.

Thầy Nguyễn Trọng 18

Câu 54. Có bao nhiêu giá trị nguyên

để hàm số

2





nghịch biến trên khoảng





5; 

7. B. 8. C. 9. D. 10.

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của

để hàm số

16





đồng biến trên





0;10









;10 4;  m

. B.









;4 4;  m









;10 4;  m

. D.









;4 4;  m

Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số







nghịch biến trên khoảng





10; .

A. 5. B. 3. C.

. D. Vô số.

Câu 57. Cho hàm số

23





mx m

với

là tham số. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

để hàm số đồng biến trên khoảng



2; 

. Tìm số phần tử của

. B. 4 . C.

. D. 1.

Câu 58. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

để hàm số







đồng biến trên từng

khoảng xác định.





6;6 . B.





6; 6



6; 6









6;6







 -BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C

11.C 12.C 13.D 14.D 15.B 16.C 17.A

18.B 19.B 20.C

21.B 22.C 23.B 24.B 25.D 26.A 27.B 28.A 29.C 30.A

31.B 32.D 33.D 34.A 35.A 36.D 37.D 38.D 39.B 40.A

41.C 42.C 43.A 44.D 45.D 46.B 47.C 48.B 49.B 50.C

51.D 52.C 53.B 54.A 55.A 56.C 57.A 58.B

 

Thầy Nguyễn Trọng 19

§2_CỰC TRỊ HÀM SỐ

 DẠNG 1_TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT BBT, BẢNG DẤU CỦA HÀM SỐ Y = F(X).

PHƯƠNG PHÁP

 Qua







đổi dấu từ









 thì

là điểm cực đại của hàm số.

 Qua







đổi dấu từ









 thì

là điểm cực tiểu của hàm số.

A – VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1.

Cho hàm số



yfx

có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

CĐ

y  . B. . C. 5

x  . D. 1

x  .

Lời giải

Chọn A

Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại 1

 , giá trị cực đại





CĐ

yy.

Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm



. B.

0x 

. C.

5x 

. D.

2x 

Lời giải

Chọn D

Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm

2x 

Ví dụ 3. Cho hàm số





có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

2 . B.

. C.

. D. 1.

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại

1; 4.xx

Ví dụ 4. Cho hàm số





có bảng biến thiên như sau:

Thầy Nguyễn Trọng 20

Hàm số đã cho đạt cực đại tại:

5x 

. B.

3x 

. C.

2x 

. D.

2x 

Lời giải

Chọn B

Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm 3x  .

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 1.

Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại

y và giá trị cực tiểu

của hàm số đã cho.

CĐ

y  và 0

y  . B. 3

CĐ

y  và 2

y  .

C. 2

CĐ

y  và 2

y  . D. 2

CĐ

y  và 0

y  .

Câu 2. Cho hàm số





x có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm

2x 

. B.



. C.

1x 

. D.

3x 

Câu 3. Cho hàm số





có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

5x 

. B.

3x 

. C.

2x 

. D.

2x 

Câu 4. Cho hàm số





có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

. B. 1. C. 2 . D.

Thầy Nguyễn Trọng 21

Câu 5. Cho hàm số



có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số là

3x 

. B.

1x 

2y 

. D.

2y 

Câu 6. Cho hàm số



có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

3x 

. B.



1;3



2; 2

. D.

2x 

Câu 7. Cho hàm số



có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

. B.

. C.

. D.

Câu 8. Cho hàm số



có bảng biến thiên như

sau. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị

. B.

. D.

Câu 9. Cho hàm số



có bảng biến thiên như

hình

vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu

. B.

. D.

Câu 10. Cho hàm số



có bảng xét dấu của





như hình vẽ

Hàm số có điểm cực đại là

. B.

. C.

. D.

 DẠNG 2_TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X).

PHƯƠNG PHÁP

 Nếu đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

 Nếu đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Thầy Nguyễn Trọng 22

A – VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số



yfx

xác định, liên tục trên đoạn



2; 2

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số



đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

2x 

. B.

1x 

1x 

. D.

2x 

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại

1.x 

Ví dụ 2. Cho hàm số

yax bx cxd



,,,abcd

có đồ thị như

hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

. B.

. D.

Lời giải

Chọn C

Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 2 cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số



có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. D.

Lời giải

Chọn B

Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 3 cực trị.

Ví dụ 4. Cho hàm số

yax bx c

(

c 

) có đồ thị như hình

vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

. B.

. D.

Chọn A

Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 3 cực trị

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 11. Cho hàm số



yfx

liên tục trên



và có đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. D.

Thầy Nguyễn Trọng 23

Câu 12. Cho hàm số



yfx

liên tục trên



và có đồ thị như hình vẽ

bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. D.

Câu 13. Hàm số



yfx

xác định và liên tục trên đoạn



2; 2

và có

đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số



đạt cực

đại tại điểm nào dưới đây?

1x 

. B.

2x 

1x 

. D.

2x 

Câu 14. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số

bằng

1

. B.

2

. D.

Câu 15. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình bên dưới. Tìm số điểm

cực trị của hàm số



yfx

. B.

. D.

Câu 16. Cho hàm số bậc ba



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên.

Điểm cực đại của hàm số đã cho bằng

3

. B.

. D.

Câu 17. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng



;ab

. B.

. D.

Câu 18. Cho hàm số



có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. Hàm số có ba cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

và giá trị nhỏ nhất bằng

2

D. Hàm số đạt cực đại tại

0x 

và đạt cực tiểu tại

2x 

Thầy Nguyễn Trọng 24

Câu 19. Cho hàm số

yax bx cxd



,,,abcd 

có đồ thị như

hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

. B.

. D.

Câu 20. Cho hàm số



có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm

số đã cho là

. B.

. D.

 DẠNG 3_TÌM CỰC TRỊ ĐỀ CHO HÀM SỐ Y = F(X) TƯỜNG MINH

PHƯƠNG PHÁP

 Lập BBT

 Dựa vào BBT kết luận cực trị

A – VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1. Tìm giá trị cực đại của hàm số

32yx x

. B.

. C.

. D.

1

Lời giải

Chọn B

Ta có

33yx







110

03 30

114

 

 



  





Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng

Ví dụ 2. Cho hàm số



yfx

có đạo hàm

  

2,fx xx x





. Số điểm cực trị của hàm số đã

cho là.

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có phương trình



0fx





có hai nghiệm

0x 

và

2x 

(là nghiệm kép)

Bảng xét dấu

Thầy Nguyễn Trọng 25

Suy ra hàm số đã cho có

1 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Hàm số







có bao nhiêu cực

A. 3. B. 0 . C.

. D.

Lời giải

Chọn



0, 2









Suy ra hàm số không có cực trị.

Ví dụ 4. Hàm số

21yx x  có bao nhiêu điểm cực trị.

3. B.

. C. 0 . D.

Lời giải

Chọn





xxx





fx x







 









, các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Vậy hàm số có 3 cực trị.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 21.

Gọi

và

là hai điểm cực trị của hàm số



xxxx

. Giá trị của

x

bằng?

. B.

. C.

. D.

Câu 22. Hàm số

394yx x x  đạt cực trị tại

và

thì tích các giá trị cực trị bằng?

302

. B.

. C.

207

. D.

82

Câu 23. Giá trị cực đại

của hàm số

12 20yx x  là

4y  . B.

2y  . C.

36y  . D.

2y  .

Câu 24. Số cực trị của hàm số

yxx là

1. B. 2 . C.

. D.

Câu 25. Hàm số







có bao nhiêu điểm cực trị?

1. B. 2 . C.

. D.

Câu 26. Cho hàm số





x có đạo hàm









22021

13 2,fx x x x x



   

. Số điểm cực tiểu của

hàm số đã cho là

. B. 2. C.

. D. 4 .

Thầy Nguyễn Trọng 26

Câu 27. Cho hàm số





x có đạo hàm





2020

152fx x x x



  

. Số điểm cực trị của hàm số





x bằng

4. B. 3. C. 1. D. 2.

Câu 28. Hàm số

2020yx x có bao nhiêu điểm cực trị?

3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 29. Hàm số

3 2020yx x đạt cực tiểu tại

1x 

. B.

3x 

. C.



. D.

0x 

Câu 30. Cho hàm số





có đạo hàm

    

1223fx x x x



  

. Tìm số điểm cực trị của





. B. 2 . C.

. D. 1.

 DẠNG 4_ TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F’(X)

PHƯƠNG PHÁP

 Xác định số giao điểm mà đồ thị







cắt trục

 Kết luận số cực trị của hàm số





bằng số giao điểm với trục

 Chú ý nếu đồ thị tiếp xúc với trục

thì điểm ấy không là cực trị.

A – VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1.

Cho hàm số





yfx liên tục trên



. Biết đồ thị của hàm số





yfx



 như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số





yfx là

4 . B.

C. 2 . D.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào hình vẽ ta có:

















, và đồ thị hàm số





yfx





nằm phía trên trục

hoành.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số





yfx

không có cực trị.

Thầy Nguyễn Trọng 27

Ví dụ 2. Cho hàm số



yfx

xác định trên



và có đồ thị hàm

số



yfx





là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số



yfx

có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. D.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị



yfx





ta thấy phương trình



0fx





có 4 nghiệm nhưng giá trị





chỉ đổi dấu 3 lần.

Vậy hàm số



yfx

có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx

xác định trên



và hàm số



yfx





có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số



3yfx

. B.

. D.

Lời giải

Chọn A

Quan sát đồ thị ta có



yfx





đổi dấu từ âm sang dương qua

2x 

nên hàm số



yfx

có một điểm cực trị là

2x 

Ta có

 

32. 3yfx xfx







 







 









Do đó hàm số



3yfx

có ba cực trị.

Ví dụ 4. Cho hàm số



yfx

. Đồ thị của hàm số



yfx





như hình

bên. Hàm số



gx f x

có bao nhiêu điểm cực trị?

. B.

. D.

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị



yfx





ta có



























Ta có



2gx xf x







gx x



















   





















Ta có hàm số



gx f x

có

điểm cực trị.

-2

Thầy Nguyễn Trọng 28

B - BÀI TẬP ÁP DỤNG.

Câu 31. Cho hàm số



yfx

có đồ thị của hàm



yfx





như hình vẽ đưới

đây. Số điểm cực trị của hàm số



yfx

là



yfx

Cho hàm số



yfx

liên tục trên



. Biết đồ thị của hàm số



yfx





như hình

vẽ. Số điểm cực trị của hàm số



yfx

là

. B.

. D.

Câu 33. Cho hàm số

()fx

có đồ thị

'( )fx

như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số

()fx

là

. B.

. D.

Câu 34. Cho hàm số



yfx

có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số



yfx





trên R như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số



yfx

có 1 điểm cực tiểu và không có cực đại.

B. Hàm số



yfx

có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

C. Hàm số



yfx

có 1 điểm cực đại và không có cực tiểu.

D. Hàm số



yfx

có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Câu 35. Cho hàm số



yfx

. Hàm số



yfx





có đồ thị như hình vẽ:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Đồ thị hàm số



yfx

có hai điểm cực đại.

B. Đồ thị hàm số



yfx

có ba điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số



yfx

có hai điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số



yfx

có một điểm cực trị.

Câu 36. Cho hàm số



yfx

, có đạo hàm là





liên tục trên



và hàm

số





có đồ thị như hình dưới đây.Hỏi hàm số



yfx

có bao

nhiêu cực trị ?

A. 1. B. 0.

C. 3. D. 2.

Câu 37. Cho hàm số



yfx xác định và liên tục trên



, có đạo

hàm





. Biết đồ thị của hàm số





như hình vẽ.

Xác định điểm cực tiểu của hàm số

 

gx f x x

A. Không có cực tiểu. B.

0x 

1x 

. D.

2x 

-1

Thầy Nguyễn Trọng 29

Câu 38. Cho hàm số

()yfx

có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị hàm số

'( )yfx

như hình vẽ sau.

Số điểm cực trị của hàm số

() 5yfx x

là

. B.

. D.

Câu 39. Cho hàm số



yfx

xác định trên có đồ thị của hàm số



yfx





như hình vẽ. Hỏi hàm số



yfxx

có bao nhiêu điểm

cực đại?

. B.

. D.

Câu 40. Cho hàm số



yfx

có đạo hàm liên tục trên



. Hàm số



yfx





có đồ thị như hình vẽ dưới đây:Cho bốn mệnh đề sau:

1. Hàm số



yfx

có ba điểm cực trị.

2. Hàm số



yfx

đồng biến trên khoảng



0;1

3. Hàm số



yfx

có một điểm cực tiểu.

4. Hàm số



yfx

đạt cực đại tại điểm

1x 

Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là

. B.

. C.

. D.

 DẠNG 5_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM CHO TRƯỚC.

PHƯƠNG PHÁP

 Tìm

 

;fxf x



 Hàm số đạt cực đại tại























 Hàm số đạt cực tiểu tại





















A – VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1. Tìm giá trị thực của tham số

để hàm số



322

yxmxmmx

đạt cực đại tại

1x 

0m 

. B.

3m 

. C.

m

. D.

2m 

Lời giải

Chọn B

Ta có

21yx mxmm



  

22yxm





Hàm số đạt cực đại tại





















12 10

12 0

mm m































Thầy Nguyễn Trọng 30



























Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của

để hàm số



322

yxmxmmx

đạt cực đại tại



1m 

. B.

2m 

. C.

2m 

. D.

1m 

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D  .

Ta có

21;22yx mxmm y x m



    .

Hàm số đạt cực đại tại



khi



320

22 0





















 





















Ví dụ 3. Tìm giá trị thực của tham số

để hàm số

3yx x mx 

đạt cực đại tại

0.x 

1m 

. B.

2m 

. C.

2m 

. D.

0m 

Lời giải

Chọn D

TXĐ

D 

36 ,yxxm





66.yx





Hàm số

3yx x mx 

đạt cực đại tại

0x 

(0) 0y





0.m

Với

0m 

ta có

(0) 6 0y



 

0x

là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy

0m 

là giá trị cần tìm.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 41.

Hàm số



242 54yx mx m x 

đạt cực đại tại

0x 

thì giá trị của

là?

5 . B. 5. C.

2

. D. 13.

Câu 42. Hàm số

322

22yx mx mx   đạt cực tiểu tại



khi

3m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

3m 

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số



32 2

mx x m x

đạt cực tiểu tại











B. 4m  . C. 1m  . D.

m 

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

43 2

443yx x mx x   đạt cực tiểu tại



2m 

. B.

4m 

. C.

6m 

. D.

1m 

Câu 45. Để hàm số

3yx x mx  đạt cực tiểu tại

2x 

thì tham số thực

thuộc khoảng nào sau

đây?



3; 5m

. B.



3; 1m 

. C.



1; 3m 

. D.





1;1m

Thầy Nguyễn Trọng 31

Câu 46. Tìm giá trị thực của

sao cho hàm số



322

xxmxm x

đạt cực đại tại



1m 

. B.

3m 

. C.

1m 

. D.

3m 

Câu 47. Tìm các giá trị thực của tham số

để hàm số

y x mx mx  đạt cực tiểu tại

2x 

4m 

. B.

2m 

. C.

2m 

. D.

4m 

Câu 48. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số



322

yxmxm x

đạt cực đại tại

3x  .

A. 1m  . B. 1m  . C. 7m  . D. 5m  .

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

321yx mx x  nhận điểm



làm

điểm cực tiểu.

m

. B.

m 

. C. Vô số

. D.

m 

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số





422

1yx m x m 

đạt cực tiểu tại

0x 

1m 

. B.

1m 

. C.

m 

. D.

1m 

 DẠNG 6_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA ĐIỀU KIỆN.

PHƯƠNG PHÁP

 Tính







 Cho



0fx





Biện luận m để thỏa điều kiện.

A – VÍ DỤ MINH HỌA.

Ví dụ 1.

Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để hàm số

2020

yxxmx

có cực trị.





;1m 

. B.





;1m 



;0 0;1m 

. D.





;0 0;1m 

Lời giải

Chọn B

Ta có

2yx xm





Hàm bậc ba có cực trị khi và chỉ khi



có hai nghiệm phân biệt 10 1mm



      .

Cách hỏi hàm bậc 3 có cực trị hoặc có hai điểm cực trị, đều như nhau.

Có thể ta dùng công thức:

3bac

Có cực trị; hai cực trị:

30bac

Không có cực trị

30bac

Với

,,abc

là hệ số của y .

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để hàm số

2017

yxxmx

có cực trị.



\2;2m 

. B.









22;m   





2; 2m 

. D.





2; 2m 

Lời giải

Thầy Nguyễn Trọng 32

Chọn B

xmx x

'24yx mx 

Điều kiện cần và đủ của để hàm số có hai điểm cực trị là

'0















Hay









22;m   

Ví dụ 3. Đồ thị hàm số

yax bx cxd

có hai điểm cực trị là





1; 7A 





2; 8B 

. Tính





1y 





17y 

. B.





111y 





111y 

. D.





135y 

Lời giải

Chọn D

232

32.yax bx cxd y ax bxc



 

Theo đề bài ta có hệ



32 0

32 0 2

12 4 0

12 4 0 9

73 1

712

842 8 12

abc

abc a

abc

abc b

abc

abcd c

dabc

abcd d



 











 









  



   

 





Vậy

2 9 12 12yx x x





135.y

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 51.

Cho hàm số



322

6yx mx m x  

. Tìm số các giá trị nguyên của tham số

để hàm số đã

cho có cực trị.

. B. Vô số. C. 4 . D.

Câu 52. Điều kiện cần và đủ của m để hàm số

yxmxx

có hai điểm cực trị là.



\2;2m 

. B.









;2 2;m   





2; 2m 

. D.





2; 2m 

Câu 53. Tất cả các giá trị thực của tham số

để hàm số

33 1yx x mx   không có cực trị là.

1m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

1m 

Câu 54. Tìm các số thực

để hàm số





23 5ym x xmx  

có cực trị.







 



31m 

. C.











21m 

Câu 55. Điều kiện cần và đủ của tham số

để hàm số

5yxxmx 

có cực trị là

m 

. B.

m 

. C.

m 

. D.

m 

Thầy Nguyễn Trọng 33

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

31yx x mx  

không có cực trị

3m  . B. 3m  . C. 3m  . D. 3m  .

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

3yx xm

có giá trị cực đại và giá trị

cực tiểu trái dấu





2; 2m

. B.

2m 

hoặc

2m 

22m 

. D.

.m 

Câu 58. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số



221ymx mx m x 

không có cực trị





6;0m

. B.





0;m 









;6 0;m  

. D.



6;0m

Câu 59. Biết rằng đồ thị hàm số

3yx x axb  có điểm cực tiểu là





2; 2A 

. Tính tổng

Sab

34S 

. B.

14S 

. C.

14S 

. D.

20S 

Câu 60. Giá trị của tham số

để hàm số

31yx x mx   có hai cực trị

x thỏa mãn

6xx

là

3m  . B. 1m  . C. 1m  . D. 3m  .

 DẠNG 7_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA ĐIỀU

KIỆN

PHƯƠNG PHÁP

 Tính







 Cho



0fx





Biện luận m để thỏa điều kiện.

 Hoặc xét hệ số

;ab

 Hàm trùng phương có:

• 3 điểm cực trị

.0ab

• 1 điểm cực trị

.0ab

 Từ đó ta có thêm:

• Có cực đại không có cực tiểu













• Có cực tiểu không có cực đại













A – VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

trên miền





10;10

để hàm số





22 1 7yx m x  

có ba điểm cực trị?

. B. 11. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có





'4 42 1yx mx 

Thầy Nguyễn Trọng 34





'0 4 42 1 0yxmx   













Để hàm số có ba điểm cực trị thì

210 .

mm  

Vậy các giá trị nguyên của

trên miền



10;10

là





0;1; 2;3;4;5;6; 7;8;9;10m

Ví dụ 2. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số



42 2

261yx m m x m  

có 3 điểm

cực trị.

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Để hàm số có 3 điểm cực trị



02 60 2 3ab m m m 

nguyên nên





1; 0;1; 2m

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của

để hàm số





21 3yx m x m  

có đúng một điểm cực trị.

1m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

1m 

Lời giải

Chọn B





0210 1ab m m  

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Câu 61.

Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số





112ymx m x m

chỉ có một

cực trị.

1m 

. B.

0m 

. C.

01m

. D.











Câu 62. Tập hợp các số thực

thỏa mãn hàm số

1ymx x có đúng một điểm cực trị là





;0

. B.





;0

. C.





0; 

. D.





0; 

Câu 63. Tìm giá trị của tham số m

để hàm số

210ymx x

có ba điểm cực trị.

0m 

. B.

0m 

. C.

0m 

. D.

0m 

Câu 64. Có bao nhiêu số nguyên

để đồ thị hàm số

 

16ym x mxm   có đúng 1 cực trị.

. B. 1. C.

. D.

Câu 65. Hàm số

1yx mx 

có ba cực trị khi và chỉ khi

0m  . B. 0m  . C. 0m  . D. 0m  .

Câu 66. Hàm số

5yx mx m  (

là tham số) có

điểm cực trị khi các giá trị của

là

45m

. B.

0m 

. C.

8m 

. D.

1m 

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị của

để đồ thị hàm số



242

12ym xmxm 

chỉ có một điểm cực

đại và không có điểm cực tiểu

m 

. B.

10m 

. C.

01m

. D.

m 

Thầy Nguyễn Trọng 35

Câu 68. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

yxmx 

có cực tiểu mà không có

cực đại

0m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

0m 

Câu 69. Tìm tham số m để hàm số

yxmx

có cực tiểu mà không có cực đại.

1m 

. B.

1m 

. C.

0m 

. D.

0m 

Câu 70. Xác định các hệ số

,,abc

của đồ thị của hàm số

yax bx c biết



1; 4 , 0; 3AB

là các

điểm cực trị của đồ thị hàm số?

1; 0; 3ab c 

. B.

;3; 3

abc  

1; 3; 3ab c

. D.

1; 2; 3abc  

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D 9.A 10.B

11.B 12.C 13.B 14.B 15.D 16.A 17.B 18.A 19.C 20.A

21.B 22.C 23.C 24.B 25.D 26.B 27.D 28.D 29.C 30. B

31.A 32.B 33.C 34.A 35.B 36.C 37.C 38.C 39.D 40. C

41.B 42.B 43.C 44.C 45.D 46.A 47.A 48.D 49.D 50.B

51.A 52.B 53.D 54.A 55.B 56.B 57.C 58.D 59.C 60.A

61.D 62.B 63.D 64.C 65.B 66.B 67.C 68.D 69.C 70.D

Thầy Nguyễn Trọng 36

§3_GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT

 DẠNG 1 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F (X)

PHƯƠNG PHÁP

 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số.

A - VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số

()

yfx=

liên tục trên đoạn

[]

1; 3-

và có đồ thị

như hình vẽ bên. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

[]

1; 3-

. Giá trị của

Mm-

bằng

A. 1. B. 4.

C. 5. D. 0

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy:



 

1;3

max 3 3



Mfxf

và



 

1;3

min 2 2



mfxf

Vậy

5Mm

Ví dụ 2. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



1; 1

và có đồ thị

như hình vẽ. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số đã cho trên đoạn



1; 1

. Giá trị của

Mm

bằng

. B.

. D.

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị ta thấy

1, 0Mm

nên

1Mm

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



1; 3

và có đồ thị

như hình vẽ bên dưới. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn



1; 3

. Giá trị của

Mm

bằng

. B.

. D.

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy

2, 3Mm

nên

13Mn

Thầy Nguyễn Trọng 37

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1.

Cho hàm số



yfx liên tục trên đoạn





1; 2 và có đồ thị

như hình vẽ bên. Gọi

, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn





1; 2 . Ta có 2 

bằng

A. 4 . B.

. D.

Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [-1;3]

và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của

2M + m bằng

1. B. 4.

C. 5. D. 0.

Câu 3. Cho hàm số

()yfx

liên tục trên đoạn





2; 4 và có đồ thị như

hình

vẽ bên. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số đã cho trên đoạn





2; 4

. Giá trị của



bằng

. B.

C. 53. D. 65.

Câu 4. Cho hàm số

()yfx

liên tục trên đoạn

[1;2]

và có đồ thị như

hình vẽ bên. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số đã cho trên đoạn

[1;2]

. Ta có



bằng

1. B. 4 .

C. 2 . D.

Câu 5. Cho hàm số



yfx





2;3x

có đồ thị như hình vẽ. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số





trên đoạn



2;3

. Giá trị



là

. B.

. D.

Câu 6.

Cho hàm số

()yfx

liên tục trên đoạn

[3;4]

và có đồ thị

như hình vẽ bên. Gọi

và

lần lượt là các giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

[3;4]

. Tính

.

. B.

. D. 1.

Thầy Nguyễn Trọng 38

Câu 7. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



2;3

và có đồ thị như

hình vẽ bên dưới. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn



2;3

. Giá trị của

Mm

bằng

. B.

. D.

Câu 8. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



3;1

và có đồ thị như

hình vẽ bên dưới. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số đã cho trên đoạn



3;1

. Giá trị của

2 Mm

bằng

. B.

. D.

Câu 9. Cho hàm số



yfx

có đồ thị trên đoạn



2; 4

như hình

vẽ bên. Tìm





2; 4

max



. B.



. D.

Câu 10. Cho hàm số



liên tục trên đoạn



2; 4

có đồ thị như

hình vẽ dưới đây. Gọi

,mM

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn



2;3

. Giá trị của

23mM

bằng:

13

. B.

12

16

. D.

15.

 DẠNG 2 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ Y = F (X)

PHƯƠNG PHÁP

 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số thông qua chiều

BBT.

A - VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số



yfx

liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn



1; 3

như hình bên. Gọi

là

giá trị lớn nhất của hàm số



yfx

trên đoạn



1; 3

. Tìm mệnh đề đúng?



0Mf

. B.



3Mf

. C.



2Mf

. D.



1Mf

-3 -2 -1 1

-3

-2

-1

Thầy Nguyễn Trọng 39

Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số



yfx

đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi

0x

Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 5

y . B. min 4



y . C. 0

y . D.

max 5



Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên

+ Hàm số đạt cực tiểu tại

0x



4

+ Hàm số đạt cực đại tại

1x



5

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 11. Cho hàm số



yfx

xác định trên đoạn 3; 5







và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?



3; 5

min 0







y

. B.



3; 5

max 2 5







y

. C.



3; 5

max 2







y . D.



3; 5

min 2







y

Câu 12. Cho hàm số

()yfx

liên tục trên đoạn



3; 2

và có bảng biến thiên như sau. Gọi

,Mm

lần

luợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

()yfx

trên đoạn



1; 2

. Tính

.Mm

. B.

. C.

. D.

Câu 13. Cho hàm số



yfx

xác định trên đoạn 3; 5







và có bảng biến thiên như hình vẽ



yfx

Thầy Nguyễn Trọng 40

Khẳng định nào sau đây là đúng?

3; 5

min 0







y

. B.

3; 5

max 2







y . C.

3; 5

max 2 5







y

. D.

3; 5

min 1









Câu 14. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:

1. B.

. C. 1 . D.

Câu 15. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn





3; 2

và có bảng biến thiên như sau.

Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



yfx trên

đoạn





1; 2

. Tính



. B. 2 . C. 1. D. 4 .

Câu 16. Cho hàm số



yfx

có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây

sai?





max 4



. B.





2;3

max 4



fx

. C.





min 2



. D.





1;3

min 1fx

Câu 17. Cho hàm số



liên tục trên





3; 2

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Gọi

lần

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của





trên

[3;2]

. Tính



()yfx



1;1

Thầy Nguyễn Trọng 41

A. 4 . B.

. C.

. D.

Câu 18. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên là

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

và giá trị nhỏ nhất bằng



C. Hàm số số có giá trị lớn nhất bằng

trên đoạn

[1;2]

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng



Câu 19. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên là

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất 3.

C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm

1

D. Tổng của giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất bằng 4.

Câu 20. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên

Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của





trên

. Tính



bằng

. B. 2 . C. 1. D.

 DẠNG 3 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F’ (X)

PHƯƠNG PHÁP

Thầy Nguyễn Trọng 42

 Dựa vào đồ thị của







x để suy ra dấu của đạo hàm, từ đó lập bảng biến thiên của hàm





x .

A - VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho đồ thị hàm số





yfx

như hình vẽ. Hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng





0; 2

tại

bằng bao nhiêu?

x

. B.

0x

1

. D.

2x

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số



yfx ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng





0; 2

tại

1

Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số





yfx

như hình vẽ. Hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng





1; 4

tại

bằng bao nhiêu?

3x

. B.

0x

C. 4x . D. 1x .

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị của hàm số



'yfx

ta có BBT như sau:

BBT suy ra hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng



1; 4

tại

3x

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 21.

Cho đồ thị hàm số



'yfx

như hình vẽ. Hàm số



yfx

đạt giá trị lớn nhất trên đoạn





1; 3

tại

. Khi đó giá trị của

22020xx

bằng bao nhiêu?

2020

. B.

2022

2018

. D.

2024

Thầy Nguyễn Trọng 43

Câu 22. Cho đồ thị hàm số



'yfx

như hình vẽ. Hàm số



yfx

đạt

giá trị lớn nhất trên đoạn



2; 2

tại

bằng bao nhiêu?

2x

. B.

0x

2x

. D.

1x

Câu 23. Cho đồ thị hàm số



'yfx

như hình vẽ. Hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn



2; 2

tại

bằng bao nhiêu?

3x

. B.

0x

2x

. D.

1x

Câu 24. Cho hàm số



yfx

liên tục trên







có đồ thị hàm số



'yfx

như hình vẽ sau: Hàm số



yfx

đạt giá trị nhỏ

nhất trên







tại điểm

x nào dưới đây?

0x

. B.



3x

. D.

1x

Câu 25. Cho hàm số



yfx

xác định và liên tục trên



2; 2

, có đồ thị

của hàm số



'yfx

như hình bên. Tìm giá trị

x để hàm số



yfx

đạt giá trị lớn nhất trên



2; 2

2x

. B.

1x

2x

. D.

1x

 DẠNG 4 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [A; B]

PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN

 Tìm các điểm

, ,...,

xx x thuộc khoảng

() ;ab

mà tại đó hàm số

có đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm.

 Tính

     

123

; ; ;...; ; ;

fx fx fx fx fa fb

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của

trên đoạn

[] ;ab

; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

trên đoạn

[]:ab

 Đặc biệt:

 Nếu



đồng biến trên đoạn



;ab

thì



 



 

;

max ; min

fx fb fx fa

 Nếu



nghịch biến trên đoạn



;ab

thì



 



 

;

max ; min

fx fa fx fb

12 12

Thầy Nguyễn Trọng 44

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số





3 2 fx x x trên đoạn

[]3; 3

bằng

A. 0. B. 16 . C. 20. D. 4.

Lời giải

Chọn B





'33fx x









13;3









  





   

3 16; 1 4; 1 0; 3 20.   ffff

[3;3]

min ( ) 16



fx

Ví dụ 2.

Giá trị lớn nhất của hàm số



3

xxx

trên đoạn





-3; 3

bằng

2- . B. 18. C. 2. D.

18-

Lời giải

Chọn B



'33fx x









13;3









  





   

318;12;12;318.   ffff

[3;3]

() 18



maxf x

Ví dụ 3.

Tìm giá trị lớn nhất

của hàm số







trên đoạn



0;2

5M

. B.

5M

. C.

M

. D.

M

Lời giải

Chọn C

Hàm số đã cho xác định trên



0;2

Ta có:





0, 0;2











y





25y

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là

M

Ví dụ 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

yx

trên đoạn





2; 4

là



2;4

min 6y . B.



2;4

min

y

. C.



2;4

min

y

. D.



2;4

min 6y .

Lời giải

Chọn A





 

Thầy Nguyễn Trọng 45





























 

 









f





36f



f

Vậy





2;4

min 3 6yf

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 26.

Giá trị lớn nhất của hàm số



32fx x x

trên đoạn



1; 2

là

. B.

. C. 2 . D. 2 .

Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số





241 

xx x x

trên đoạn



1;3





1;3

max 7fx

. B.





1;3

max 4fx





1;3

max 2fx

. D.





1;3

max

fx

Câu 28. Hàm số

yx xx

đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn



1;3 lần lượt tại

hai điểm

và

. Khi đó



x bằng

2 . B. 4 . C.

. D.

Câu 29. Cho hàm số

44

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 . B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

0x

C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

4x

. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

Câu 30. Cho hàm số

4x 7







. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn





2; 4 . Tính 

m .

17Mm

. B.

Mm

. C.

Mm

. D.

5Mm

Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số

() 4 5yfx x x trên đoạn





2;3

bằng

1. B.

. C.

. D. 122.

Câu 32. Giá trị lớn nhất của hàm số







trên đoạn



8;12

là

. B.

. C.

. D.

Câu 33. Cho hàm số







có giá trị lớn nhất trên đoạn





1; 1

là

. B.



. C.

. D.

Câu 34. Giá trị lớn nhất của hàm số







trên





0; 2

bằng

. B.

. C.

. D.

Thầy Nguyễn Trọng 46

Câu 35. Gọi

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số







trên



0;3

. Khi

đó



bằng

. B.

. C.

. D.

 DẠNG 5 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG (A; B)

PHƯƠNG PHÁP

 Lập bảng biến thiên của hàm số





yfx

trên khoảng





;ab

cho trước

Từ bảng biến thiên, tùy theo sự thay đổi giá trị của hàm số suy ra kết quả cần tìm

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

  



trên nửa khoảng





4; 2 .





4;2

min 4



y

. B.





4;2

min 7



y

. C.





4;2

min 5



y

. D.





4;2

min



y .

Lời giải

Chọn B

Ta có:





 



Xét















Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có





4;2

min 7



y

Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số









trên khoảng





1; 

là



min 3



y . B.



min 1



y . C.



min 5



y . D.



min



y

Lời giải

Chọn A









fx x







 



Ta có

















Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng





1; 

Thầy Nguyễn Trọng 47

Từ đó



min 3



y .

Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số





12yx

trên khoảng





0;  là

A. Không tồn tại. B. 3 . C. 12 . D. 0 .

Lời giải

Chọn B

Hàm số xác định và liên tục trên khoảng

Bảng biến thiên:

Vậy

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 36.

Cho hàm số

.yx

Giá trị nhỏ nhất của hàm sô trên





0; 

bằng

2. B.

. C. 0. D. 1.

Câu 37. Trên khoảng





0;

thì hàm số

31  yx x

Có giá trị lớn nhất là

max 1

. B. Có giá trị nhỏ nhất là

min 1y

C. Có giá trị lớn nhất là

max 3y

. D. Có giá trị nhỏ nhất là

min 3y

Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số







trên tập hợp





;1 1;



 









max 0

không tồn tại





min

. B.









max 0;min 5

fx fx









max 0;min 1

fx fx

. D.



min 0

không tồn tại





max

Câu 39. Cho hàm số

21 yx x . Khẳng định nào sau đây sai?

Điểm cực đại của hàm số là

0x

. B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là





0;1



0; .





 





















min 2 3.yf





Thầy Nguyễn Trọng 48

C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. D. Hàm số không có giá trị lớn nhất.

Câu 40. Tìm

để hàm số







đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng





1; 

2x

. B.

0x

. C.

2x

. D.

3x

Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số





là

10. B. 3. C. 5. D. 2 .

Câu 42. Tìm

để hàm số







đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng





1; 

2x

. B.

0x

. C.

2x

. D.

3x

Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số







trên tập hợp





;1 1;



 









max 0

không tồn tại





min

. B.









max 0;min 5

fx fx









max 0;min 1

fx fx

. D.



min 0

không tồn tại





max

Câu 44. Gọi

và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số







. Khi đó,

tích

.mM

bằng bao nhiêu?

. B. 3. C.

. D.

Câu 45. Cho hàm số





có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính giá trị biểu thức

PM m

P

. B.

P

. C. 2. D. 1.

 DẠNG 6 _ TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT GTLN-GTNN BẰNG K

PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN

 Tìm các điểm

, ,...,

xx thuộc khoảng

() ;ab

mà tại đó hàm số

có đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm.

 Tính

























123

; ; ;...; ; ;

xfxfx fx fafb

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của

trên đoạn

[] ;ab

; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

trên đoạn

[]:ab

 Đặc biệt:

 Nếu





đồng biến trên đoạn



;ab

thì



 



 

;

max ; min

 Nếu





nghịch biến trên đoạn



;ab

thì



 



 

;

max ; min

Thầy Nguyễn Trọng 49

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

( a là tham số) trên đoạn



1;2 .



1;2

min 1



ya. B.



1;2

min



ya. C.



1;2

min 4



ya. D.



1;2

min 0



y .

Lời giải

Chọn

Hàm số liên tục và xác định trên



1;2 .

Ta có

200.



yxy x







11.

24.







Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

a đạt được khi 0.x

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

()







trên đoạn





1;2

bằng 1

1m

. B.

2m

. C.

2m

. D. Không có giá trị

Lời giải

Chọn A

Ta có











Nếu

3: ( ) 0

(1)

mfx









nên hàm số đồng biến trên





1; 2

[1;2]

min ( ) (1) 1.fx f

Vậy

[1;2]

min ( ) 1 (1) 1 1 1



   

fx f m

(nhân).

Nếu

3: ( ) 0

(1)

mfx









nên hàm số nghịch biến trên





1;2

[1;2]

min ( ) (2) 1.fx f

Vậy

[1;2]

min ( ) 1 (2) 1 1 0



   

fx f m

(loại).

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 46.

Có một giá trị

m của tham số

để hàm số





11  yx m xm

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

trên đoạn





0;1

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

2018 0mm

. B.

210m .

60mm

. D.

210m .

Câu 47. Gọi

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số







trên đoạn



2;3

. Tìm

tất cả các giá trị thực của tham số

để

AB

1m

;

2m

. B.

2m

. C.

2m

. D.

1m

;

2m

Thầy Nguyễn Trọng 50

Câu 48. Cho hàm số

39 yx x xm có giá trị lớn nhất trên đoạn





2;0 bằng 2 , với m là tham số

thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3m . B. 4m . C. 2m . D. 3m .

Câu 49. Cho hàm số





thỏa



1;2

min max 8yy, với

là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

4m . B. 02m . C. 24m . D. 0m .

Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

23yx xm trên đoạn



0;5 bằng 5 khi m là

6 . B. 10 . C. 7 . D. 5.

Câu 51. Cho hàm số









với

là tham số. Giá trị lớn nhất của

để







0;3

min 2fx

là

5m

. B.

6m

. C.

4m

. D.

3m

Câu 52. Cho hàm số

23yx xm. Trên





1; 1

hàm số có giá trị nhỏ nhất là

1 . Tính

6m

. B.

3m

. C.

4m

. D.

5m

Câu 53. Giá trị lớn nhất của hàm số









trên đoạn





3; 5 bằng 2 khi và chỉ khi:

7m . B.





7;13 .m

C. m . D. 13m .

Câu 54. Tìm m để hàm số

23  yxxm có giá trị lớn nhất trên đoạn



0;3 bằng 2021.

2022m

. B.

2020m

. C.

2018m

. D.

2017m

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để giá trị lớn nhất của hàm số







trên





2; 4

bằng

2 .

0m

. B.

2m

. C.

2m

. D.

4m

 DẠNG 7 _ ỨNG DỤNG GTLN-GTNN VÀO PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP

1. Tìm đk của tham số để phương trình

(, ) 0fxm

có nghiệm



 Chuyển trạng thái tương giao:

() ( )

xhm



 Lập bảng biến thiên của

()

trên I

 Ycbt 

E (Miền giá trị của

()

trên

Đặc biệt: Phương trình

() ( )

xhm

có nghiệm

[;] [;]

[;] ( )

() ()

 

ab ab

xab hm

min f x max f x

2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình

(, ) 0fxm

có nghiệm (nghiệm đúng với

mọi )



 Biến đổi bpt về dạng:

() ( )(1)gx hm

(()(),()(),()())

xhm



Thầy Nguyễn Trọng 51

 Bất pt (1) có nghiệm



() ( )

xhm

 Bất pt (1) nghiệm đúng với mọi 

() ( )

in f x h m

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

30xxm

có 2 nghiệm phân

biệt

Không có m . B.





4;0m . C.





4;0m . D. 0m .

Lời giải

Chọn

Ta có

32 32

303

xm x xm

Xét hàm số

3yx x:

TXĐ:  D ,

360 0



yxx x hoặc

2x

Bảng biến thiên:













4

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

0m

hoặc

4m

Vậy





4;0m

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

3410 xxm

có ít nhất một nghiệm

thực trong





3; 4

51 19



m

. B.

51 19



m

. C.

51 19m

. D.

51 19m

Lời giải

Chọn B

Ta có

3410 xxm

314   

Đặt





31  

xxx

Ta có





liên tục trên





3; 4

 

'33,'0





   







fx x fx

   

319,4 51, 1 1,13   ffff

Suy ra







3;4

max 19



fx

khi

3x





3;4

min 51



fx

khi

4x

Phương trình

3410 xxm

có ít nhất một nghiệm thực trong





3; 4

khi









3;4

51 19

min 4 max



  fx m fx m

Ví dụ 3. Gọi

là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số

để phương trình



có

nghiệm. Tập

có bao nhiêu phần tử?

Thầy Nguyễn Trọng 52

. B.

. C. 4 . D. 2 .

Lời giải

Chọn C

Ta có:



(*)

điều kiện xác định: 22 x .

Xét hàm số



4 

xx x,





2; 2x .

Có











'01 04

22;2









   



















 

fx x x

Hàm số



4 

xx x

liên tục trên





2; 2

; có đạo hàm trên





2; 2

 





22;22;222  fff

. Suy ra













2;2

min 2; max 2 2



 fx fx

Vậy phương trình

(*)

có nghiệm

222442

     

Mặt khác

nguyên âm nên





4; 3; 2; 1   S

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 56.

Tìm

để phương trình

30xxm

có nghiệm



0; 2x





;2m

. B.





2; 2

. C.





2; 

. D. Đáp án khác.

Câu 57. Tìm

để phương trình

2320 xxm

có nghiệm





1;x

m

. B.

m

. C.

1m

. D.

1m

Câu 58. Biết



;mab

thì phương trình

22 0xx m

cónghiệm





2;0x

. Tính

Tba

. B.

. C.

. D.

Câu 59. Tìm

để bất phương trình

21 (1) xmx

nghiệm đúng với mọi



1; 0x

1m

. B.

m

. C.

m

. D.

m

Câu 60. Tìm

để bất phương trình

590xmx

có nghiệm





1; 9x

2m . B.

m

. C. 2m . D.

m

Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của

để bất phương trình

57

nghiệm đúng với mọi





5; 0x

7m

. B.

143m

. C.

143m

. D.

7m

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của

để bất phương trình







có nghiệm

[2;0]

Thầy Nguyễn Trọng 53

1m

. B.

m

. C.

1m

. D.

m

Câu 63. Tìm tất cả các giá trị thực của

để phương trình

212

có nghiệm





1;x

1m

. B.

0m

. C.

2m

. D. Đáp án khác.

Câu 64. Tìm tất cả các giá trị thực của

để bất phương trình

2410

nghiệm đúng với mọi





;1x

12m

. B.

12m

. C.

8m

. D.

m

Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của

để phương trình

253

có nghiệm?

5m . B. 5m . C.

35m

D. 0m .

Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của

để bất phương trình 54 1

m nghiệm đúng với mọi





1;1x

4m . B. 2m . C. 3m . D.

15m

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình

4 2018 

m có nghiệm?

2018m

. B.

2020m

. C.

2021m

. D.

2022m

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B

11.D 12.A 13.C 14.D 15.A 16.A 17.C 18.C 19.C 20.C

21.A 22.A 23.D 24.C 25.D 26.A 27.C 28.D 29.A 30.D

31.B 32.C 33.D 34.B 35.C 36.B 37.C 38.B 39.C 40.C

41.D 42.C 43.B 44.D 45.B 46.A 47.A 48.A 49.C 50.A

51.C 52.C 53.A 54.B 55.A 56.B 57.A 58.C 59.D 60.C

61.A 62.A 63.A 64.A 65.A 66.A 67.A

Thầy Nguyễn Trọng 54

§4_ ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 DẠNG 1_TÌM TIỆM CẬN BẰNG ĐỊNH NGHĨA, BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ.

PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa:

 Hàm số

()yfx

thỏa mãn 1 trong các ĐK:

lim

















yy được gọi là TCN.

 Hàm số

()yfx

thỏa mãn 1 trong các ĐK:

lim





























x được gọi là TCĐ.

2. Dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra tiệm cận:

 Nếu



mà

yy

( một số) thì

yy

là TCN.

 Nếu



( một số) mà

y

thì



là TCĐ.

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số





yfx có





lim 0





và





lim





. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề

đúng?

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng

0y

C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lời giải

Chọn C





lim 0 0





fx y

tức trục hoành là TCN.

Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx

xác định trên





\1

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây

đúng?

Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

2x

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Lời giải

Chọn A

Thầy Nguyễn Trọng 55

Khi

1 xy

nên

1

là TCN.

Khi

1 xy

nên

1y

là TCN.

Ví dụ 3. Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

4 . B. Không có tiệm cận.

C. 2 . D. 3.

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số có 2 TCN là

0;y yb

và 2 TCĐ là



Ví dụ 4. Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho

có bao nhiêu đường tiệm cận?

1. B.

. C. 2 . D. 4

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta có:





lim







, suy ra đường thẳng

2x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.





lim







, suy ra đường thẳng

0x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.





lim 0





, suy ra đường thẳng

0y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1.

Cho hàm số





yfx

có đồ thị





và





lim









lim 2





. Số tiệm cận ngang

của





là

0. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 2. Cho hàm số





yfx có





lim







và





lim 2







. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

1

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

2y

Câu 3. Cho hàm số





yfx

xác định trên





\1

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây

sai?

Thầy Nguyễn Trọng 56

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là

1

và

1y

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

1x

C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là 1

và 1x .

Câu 4. Cho hàm số





yfx có bảng biến thiên như bảng dưới đây

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào

đúng?

Đồ thị của hàm số





yfx

có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị của hàm số





yfx

có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

C. Đồ thị của hàm số





yfx

có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

D. Đồ thị của hàm số





yfx

không có tiệm cận ngang và

tiệm cận đứng.

Câu 5. Cho hàm số

()yfx

xác định trên





\0R

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến

thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận?

0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên  , có bảng biến thiên như hình sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

sai?

Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng .

C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.

D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng









;1,2;   

Câu 7. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số



có bao nhiêu

đường tiệm cận?





yfx

3

()

xaxbxc

Thầy Nguyễn Trọng 57

. B.

. C.

. D.

Câu 8. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới. Chọn khẳng định sai?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Câu 9. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số



yfx

có tiệm cận

ngang là?

A. và . B. và .

C. và . D. .

Câu 10. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

. B.

. C.

. D.





yfx

1.x

2.y





yfx

 2y  1y  2y 

 2y  2y 

f(x)

f'(x)

∞

2+∞

∞

Thầy Nguyễn Trọng 58

 DẠNG 2_TÌM SỐ TIỆM CẬN CỦA NHỮNG HÀM SỐ TƯỜNG MINH THƯỜNG GẶP.

PHƯƠNG PHÁP:

1. Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận.

2. Hàm phân thức dạng



0; 0







ax b

y c ad bc

cx d

Đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là



và 1 TCĐ

.

3. Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức

()



 Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN là

0y

 Nếu bậc của tử  bậc của mẫu thì đồ thị có TCN.

 Nếu bậc của tử



bậc của mẫu hoặc có tập xác định là 1 khoảng hữu hạn





;ab hoặc





;ab thì

không có TCN.

4. Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức

()



 Hàm phân thức mà mẫu có nghiệm



x nhưng không là nghiệm của tử thì đồ thị có tiệm

cận đứng



x ( với đk hàm số xác định trên khoảng

\{x }; 

xK).

 Tìm nghiệm mẫu

(x) 0g

 Mẫu

() 0gx

vô nghiệm  đồ thị hàm số không có TCĐ.

 Mẫu

() 0gx

có nghiệm

- Thay

vào tử, nếu

()0fx

()

lim

()





thì ta kết luận



x là TCĐ.

- Thay

vào tử, nếu

()0fx (tức là

là nghiệm của cả tử và mẫu thì ta tính

(x)

lim

(x)

xx

(dùng máy tính Casio để tính giới hạn).

 Nếu

()

lim

()





thì ta kết luận



x là TCĐ.

 Nếu

()

lim

()





thì ta kết luận



không là TCĐ.

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Đồ thị hàm số







có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

2x

và

3y

. B.

2x

và

1y

2x

và

3y

. D.

2x

và

1y

Lời giải

Chọn A

Thầy Nguyễn Trọng 59

TCĐ



x

; TCN



y

Ví dụ 2. Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số







bằng

. B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

lim 0 0









là TCN.

lim 1; lim

32 32







 

 

xx xx

Suy ra

2x

là TCĐ.

Ví dụ 3. Đồ thị hàm số nào nào sau đây không có tiệm cận đứng?

y

. B.





. C.







. D.







Lời giải

Chọn C

Mẫu có nghiệm

2x

nhưng nó không phải giá trị xác định của hàm số nên đồ thị hàm số

không có TCĐ.

Ví dụ 4.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

42





là

3. B. 0 . C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Tập xác định





\1;0D

Ta có

 

42 1 42

lilm.







 









xx x x

 

42 1 42

lim lim .



 



 









xx x x

Do đó đường

1x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có



42 1 1

lim lim

142











Do đó đường

0x

không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là đường

1x

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 11.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số







là

2x

. B.

3x

. C.

1y

. D.

3y

Câu 12. Đường thẳng

3x

2y

lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







. B.







. C.







. D.







Thầy Nguyễn Trọng 60

Câu 13. Đồ thị hàm số







có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

2x

và

3y

. B.

2x

và

1y

2x

và

3y

. D.

2x

và

1y

Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

1 yx x . B.







. C.

2018yx

. D.







Câu 15. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số





có phương trình là

0y

. B.

2y

. C.

3x

. D.

2x

Câu 16. Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số











2;1

. B.





2; 2

. C.





2; 2

. D.





2;1

Câu 17. Đồ thị của hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

logyx







. C.







1x

Câu 18. Cho hàm số







. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

y

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

y

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

2y

Câu 19. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

. B.

. C.

. D.

Câu 20. Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

. B. 1. C.

. D. 2 .

Câu 21. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số







là

. B.

. C. 2 . D. 1.

Câu 22. Số đường tiệm cận của đồ hàm số







A. 4 . B. 2 . C. 1. D.

Câu 23. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

0. B. 3. C. 1. D. 2.

Thầy Nguyễn Trọng 61

Câu 24. Đồ thị hàm số







có bao nhiêu đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D.

Câu 25. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 26. Cho hàm số







. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

. B. 1. C.

. D. 2 .

Câu 27. Đồ thị hàm số

51 1

 





có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

0 . B.

. C.

. D. 3.

Câu 28. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

93





là

. B. 4 . C. 2 . D. 1.

Câu 29. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số







là

. B.

. C.

. D.

Câu 30. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số







là

. B.

. C.

. D.

 DẠNG 3_TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN THỎA

ĐIỀU KIỆN.

PHƯƠNG PHÁP

 Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận, các tính chất về tiệm cận của hàm số thường gặp và các

kiến thức liên quan để giải quyết bài toán.

 Đồ thị hàm số









ax b

yadbc

cx d

có tâm đối xứng là giao điểm của 2 tiệm cận.

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm

để đồ thị của hàm số

1





có đường tiệm cận đứng đi qua điểm





3; 2A

2m

. B.

2m

. C.

3m

. D.

3m

Lời giải

Chọn D

Vì

10 ad bc m

nên có TCĐ





3; 2 3 Axmm

Thầy Nguyễn Trọng 62

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số







có tiệm cận ngang mà

không có tiệm cận đứng.

1m

. B.

1m

. C.

1m

. D.

1m

Lời giải

Chọn A

Đths có TCN

0y

Đths không có TCĐ

2

vô nghiệm

10 1    mm

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

sao cho đồ thị của hàm số







có hai tiệm

cận ngang.

Không có giá trị thực nào của

thỏa mãn yêu cầu đề bài. B.

0m

0m

. D.

0m

Lời giải

Chọn D

Xét các trường hơp sau:

Với

0m

: hàm số trở thành

1yx

nên không có tiệm cận ngang.

Với

0m

hàm số







mx m x

có tập xác định là

;











suy ra không tồn tại giới hạn

lim

x

hay hàm số không có tiệm cận ngang.

Với

0m

Ta có:

11 1

lim lim lim .

xx x

xm m

  















 

11 1

lim lim lim .

xx x

xm m

  

















Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là :

;yy

khi

0m

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để đồ thị hàm số







mx x

có đúng bốn

đường tiệm cận?

. B.

. C.

. D. Vô số.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

820mx x

Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn đường tiệm cận khi đồ thị có đúng hai đường tiệm

cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.

Thầy Nguyễn Trọng 63

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng khi

820mx x

có hai nghiệm phân biệt

khác 1

16 2 0

820

















0; 6



















nên đồ thị có đúng hai đường tiệm cận ngang khi

0m

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn đường tiệm cận khi đồ thị có đúng hai đường tiệm cận

ngang và hai đường tiệm cận đứng













mà

m

nên





1; 2;3;4;5;7m

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 31.

Cho hàm số







có đồ thị





. Tọa độ giao điểm

của hai đường tiệm cận của





là





2;3I

. B.





1;3I

. C.





3; 2I

. D.





3;1I

Câu 32. Cho hàm số







có đồ thị





C . Tọa độ tâm đối xứng

của





là





2;2I

. B.





1;2I

. C.





2; 1I

. D.





1;2I

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị của hàm số

39





có tiệm cận đứng.

3m

. B.

3m

. C.

3m

. D.

3m

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số







có tiệm cận đứng.

4m

. B.

4m

. C.

4m

. D.

4m

Câu 35. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số







nhận đường thẳng

1

làm tiệm cận

ngang

4m

. B.

4m

. C.

2m

. D.

2m

Câu 36. Tìm giá trị của tham số

để đồ thị hàm số







nhận đường thẳng

1

làm tiệm cận

đứng

3m

. B.

3m

. C.

2m

. D.

2m

Câu 37. Tìm tất các các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số

45





có tiệm cận đứng nằm bên

phải trục tung

0m

. B.

0m

và

m

. C.

0m

. D.

0m

và

m

Câu 38. Tìm

để đồ thị của hàm số

1





có đường tiệm cận đứng đi qua điểm





2; 3A

2m

. B.

2m

. C.

3m

. D.

3m

Thầy Nguyễn Trọng 64

Câu 39. Tìm m để đồ thị của hàm số











có đường tiệm cận ngang đi qua điểm





2; 1A .

A. 4m . B. 2m . C. 3m . D. 3m .

Câu 40. Tìm

để đồ thị hàm số







có đường tiệm cận đứng cắt đường thẳng

:1 dy x

tại

điểm





1;0A

4m

. B.

2m

. C.

3m

. D.

2m

Câu 41. Biết rằng đồ thị hàm số







có tiệm cận đứng là

2x

và tiệm cận ngang là

3y

. Hiệu

2ab

có giá trị là

4 . B.

. C. 1. D.

Câu 42. Cho hàm số







với tham số

0m

. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm

số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

20xy

. B.

2

. C.

20xy

. D.

20xy

Câu 43. Cho hàm số











. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và

tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức



A. 2P . B. 1P . C.

0P

. D.

3P

Câu 44. Biết đồ thị hàm số









mnx mx

xmxn

, (

,mn

là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm

hai đường tiệm cận. Tính mn.

A. 6 . B. 9. C. 6 . D. 8 .

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số







có tiệm cận ngang mà

không có tiệm cận đứng.

A. 4m . B. 4m . C. 4m . D. 4m .

Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

sao cho đồ thị hàm số







mx m

có đường

tiệm cận đứng.











B. Không có

thỏa mãn.











m

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị của hàm số

1





có hai tiệm cận đứng

0m

;

1m

. B.

0m

. C.

0m

;

1m

. D.

1m

Câu 48. Tính tổng

các giá trị nguyên dương của tham số

để đồ thị hàm số







xm m

có

3 tiệm cận.

6S

. B.

19S

. C.

3S

. D.

15S

Thầy Nguyễn Trọng 65

Câu 49. Tìm

để đồ thị hàm số







có đúng hai đường tiệm cận?

0m

. B.

1m

. C.

1m

. D.

1m

Câu 50. Đồ thị hàm số

31 yx x x

Có tiệm cận đứng 3x . B. Có tiệm cận ngang

y

C. Có tiệm cận ngang

3y

. D. Không có tiệm ngang.

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.B

11.B 12.D 13.A 14.B 15.A 16.D 17.C 18.A 19.D 20.B

21.D 22.D 23.C 24.C 25.A 26.A 27.C 28.C 29.D 30.B

31.D 32.A 33.A 34.B 35.C 36.D 37.B 38.A 39.C 40.D

41.C 42.C 43.C 44.B 45.A 46.C 47.A 48.C 49.D 50.B

Thầy Nguyễn Trọng 66

§5_ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

 DẠNG 1_NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC BA KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP:

Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

 Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số

0; 0aa

 Chú ý điểm cực trị: 0ac  : có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung

 Điểm uốn nằm bên phải trục

khi

0ab 

và bên trái trục

khi

0ab 

 Các giao điểm đặc biệt với trục

,Ox Oy

(0)yax bx cxda 

0a 

0a 







có 2 nghiệm phân

biệt







có nghiệm kép







vô nghiệm

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn

hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

31yx x   . B.

3yx x.

31yx x. D.

31yx x.

Lời giải

Chọn

Đồ thị hàm số đã cho là của hàm số bậc ba có hệ số

0a 

nên

phương án đúng là hàm số

31.yx x

Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

1yx 

41yx 

31yx. D.

2yxx  .

Lời giải

-1

Thầy Nguyễn Trọng 67

Chọn A

Ta thấy đồ thị chứa

(1; 0)A

(0;1)B

(1;2)C 

nên thay toạ độ các điểm này vào đáp án có kết

luận đồ thị là của hàm số

1yx  .

Ví dụ 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn

hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi

hàm số đó là hàm số nào?

3yx x  . B.

1yx x.

31yx x  

. D.

3yx x

Lời giải

Chọn A

Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra hàm bậc ba có hệ số

0a 

. Loại đáp án B và D.

Vì đồ thị đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án C.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1. Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm

số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số

đó là hàm số nào?

31yx x   . B.

31yx x   .

31yx x. D.

31yx x   .

Câu 2. Đường cong trong hình bên là hình dạng đồ thị của hàm số nào?

31yx x   . B.

1yx x.

1yxx   . D.

31yx x.

Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong

bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án

,,AB

,CD

dưới

đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 4. Đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau

31yx x   . B.

31yx x.

31yx x

. D.

31yxx  

Câu 5. Đường cong trong hình bên là hình dạng đồ thị của hàm số nào?

31yx x  

. B.

1yx x

1yxx  

. D.

31yx x

Câu 6. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào?

32yx x  

32yx x 

32yx x 

32yx x  

Thầy Nguyễn Trọng 68

34yx x. B.

32yx x .

4yx  . D.

32yx x   .

Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

34yx x 

. B.

34yxx  

34yx x 

. D.

34yx x  

Câu 8. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào

trong các hàm số được cho bởi các phương án

A, B, C, D dưới đây?

21yx. B.

1yx x.

1yx

. D.

21yx x  

Câu 9. Đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

34yx x . B.

+3 4yxx  .

34yx x . D.

34yx x   .

Câu 10. Cho hàm số

32yx x .

Đồ thị của hàm số là hình nào dưới đây?

A. . B. .

C. . D. .

Thầy Nguyễn Trọng 69

 DẠNG 2_BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP

 Biện luận số nghiệm của phương trình









xgm được quy về tìm số giao điểm của

đồ thị hàm số

 

yfxC và đường thẳng

 

:dygm

 Có 2 cách biện luận số nghiệm của phương trình:

. Biện luận số nghiệm của phương trình









xgm

bằng đồ thị ( khi bài toán cho sẵn đồ

thị): ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng

 

:dygm

theo hướng lên hoặc xuống trên

trục tung.

. Biện luận số nghiệm của phương trình









xgm

bằng bảng biến thiên (bài toán cho sẵn

bảng biến thiên hoặc tự xây dựng).

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số





yfx

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình





20fx

là

1. B. 2 . C.

. D.

Lời giải

Chọn

Ta có

 

20 2.fx fx 

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình





2fx

có ba nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2. Cho hàm số

yax bx cxd có đồ thị như hình bên dưới.

Hỏi phương trình

20ax bx cx d

có bao nhiêu

nghiệm?

Phương trình có đúng một nghiệm.

B. Phương trình có đúng hai nghiệm.

C. Phương trình không có nghiệm.

D. Phương trình có đúng ba nghiệm.

Lời giải

Chọn B

Thầy Nguyễn Trọng 70

Ta có phương trình

2ax bx cx d

Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng

2y 

và đồ thị hàm số

yax bx cxd.

Từ đồ thị ta thấy có ba giao điểm. Vậy phương trình có ba nghiệm.

Ví dụ 3. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



2;4

và có đồ thị

như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình



340fx

trên đoạn



2;4

là

A. 1. B. 0.

C. 2. D. 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 

340

fx fx

 

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số



yfx

và đường

thẳng



Xét trên đoạn



2;4

, đường thẳng



cắt đồ thị hàm



yfx

tại ba điểm.

Vậy phương trình



340fx

có ba nghiệm trên đoạn



2;4

Ví dụ 4. Tìm

để đồ thị hàm số

3yx x m  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?

4m 

. B.



4;0m 

. C.



4;0m 

. D.

0m 

Lời giải

Chọn C

Tập xác định:

.D 

36.yxx





Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán thỏa khi

40.





  







B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 11. Cho hàm số

()yfx

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Đồ thị

hàm số

()yfx

cắt đường thẳng

2021y 

tại bao nhiêu điểm?

Thầy Nguyễn Trọng 71

. B.

. C.

. D.

Câu 12. Cho hàm số



yfx

liên tục trên đoạn



2; 4

và có đồ thị như

hình bên. Số nghiệm thực của phương trình



350fx

trên đoạn



0; 4

là

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 0.

Câu 13. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

() 2 0fx

là

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 14. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của

phương trình

3() 4 0fx

là

. B.

. D.

Câu 15. Cho hàm số

  

,,,f x ax bx cx d a b c d  

có đồ thị

như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình



430fx

là

. B.

. D.

Câu 16. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên như sau:

Tập tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

()fx m

có ba nghiệm phân biệt là

(4; )

. B.

(;2) 

. C.

[-2;4]

. D.

(2;4)

Câu 17. Cho hàm số



có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực của phương

-1

Thầy Nguyễn Trọng 72

trình



10fx

bằng

A. 3. B. 6.

C. 4. D. 1.

Câu 18. Cho hàm số

  

0f x ax bx cx d a 

có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình



310fx

bằng

. B.

. D.

Câu 19. Đồ thị sau đây là của hàm số

34yx x   . Với giá trị nào

của

thì phương trình

30xxm

có hai nghiệm phân biệt.

Hãy chọn câu trả lời đúng.











. B.





















. D.

0m 

Câu 20. Tìm số giá trị nguyên của

để phương trình

31 0xx m

có

nghiệm phân biệt:

. B.

. C.

. D.

 DẠNG 3_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM)

PHƯƠNG PHÁP

Cho 2 hàm số

 

,yfxygx

có đồ thị lần lượt là



và





 Lập phương trình hoành độ giao điểm của và:

 

fx gx

, (1)

 Giải phương trình (1) tìm

từ đó suy ra

và tọa độ giao điểm.

 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị

 

,yfxygx

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số

33yx x

với trục

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có

330;yx x



, hàm số



yfx

luôn đồng biến trên



Bảng biến thiên

Thầy Nguyễn Trọng 73

Vậy đồ thị hàm số

33yx x

và trục

Ox có 1 giao điểm.

Ví dụ 2. Biết rằng đường thẳng

x 

cắt đồ thị hàm số

2yx x tại điểm duy nhất có tọa độ





;

y . Tìm

0y  . B.

4y  . C.

2y  . D.

1y  .

Lời giải

Chọn C

Ta có phương trình hoành độ giao điểm





332

222 30 30 0 2xx x x x xx x y     

Ví dụ 3. Cho hàm số

231yx x có đồ thị





C và đường thẳng



d :

x

. Tìm số giao

điểm của





C và



d .

. B. 2 . C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm của





và



231 1

xx

231 10xx x

23 20xxx

117



























Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên





và



có 3 giao điểm.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 21.

Đồ thị của hàm số

2yx và đồ thị của hàm số

2yx

có tất cả bao nhiêu điểm chung.

A. 1. B.

. C.

. D. 2 .

Câu 22. Cho hàm số

231yx x có đồ thị





và đường thẳng

:1dy x

. Số giao điểm của





và

là

1. B.

. C.

. D. 2 .

Câu 23. Đường thẳng  có phương trình

21yx

cắt đồ thị của hàm số

3yx x tại hai điểm A

và

với tọa độ được kí hiệu lần lượt là





;

và





;

Bx y

trong đó

x . Tìm

y

A. 5

xy. B. 2

xy. C. 4

xy. D. 7

xy.

Câu 24. Số giao điểm của đồ thị hàm số

(3)( 32)yx x x  với trục

là:

. B.

. C. 1. D. 2 .



Thầy Nguyễn Trọng 74

Câu 25. Biết rằng đường thẳng

x

và đồ thị hàm số

23yx x x

có hai điểm chung phân

biệt

và

, biết điểm

có hoành độ âm. Tìm

A. 1

x  . B. 5

x  . C. 2

x  . D. 0

x  .

Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số

để đồ thị hàm số

3yx x cắt đường thẳng ym tại ba

điểm phân biệt.





;4m  . B.





0;m .









;4 0;m  . D.





4;0m .

Câu 27. Cho hàm số



256yx x x 

có đồ thị





. Mệnh đề nào dưới đây đúng?





không cắt trục hoành. B.





cắt trục hoành tại

điểm.





cắt trục hoành tại 1 điểm. D.





cắt trục hoành tại 2 điểm.

Câu 28. Tìm tọa độ giao điểm

của đồ thị hàm số

43yx x với đường thẳng

2yx 





2;1I

. B.





2; 2I

. C.





1; 2I

. D.





1; 1I

Câu 29. Giả sử

và

là các giao điểm của đường cong

32yx x

và trục hoành. Tính độ dài đoạn

thẳng

A. 65. B.

. C.

. D. 53.

Câu 30. Cho hàm số

231yx x có đồ thị





và đường thẳng

:1d

x

. Giao điểm của





và

lần lượt là





1; 0A

và

. Khi đó độ dài

là

BC 

. B.

BC 

. C.

BC 

. D.

BC 

Câu 31. Đồ thị của hàm số

yx x và đồ thị hàm số

yx x có tất cả bao nhiêu điểm chung?

. B. 2 . C. 1. D.

Câu 32. Đồ thị của hàm số

21yx x x  và đồ thị của hàm số

3yx xcó bao nhiêu điểm

chung?

1. B.

. C.

. D. 2 .

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

26 1yx xm luôn cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt?

2 . B.

. C.

. D.

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị hàm số



32yx x C 

cắt đường thẳng

:(1)dy mx

tại ba điểm phân biệt

123

xx.

2m 

. B.

2m 

. C.

3m 

. D.

3m 

Câu 35. Cho hàm số

3 3(2 1) 1( ).

xmx mxC

Với giá trị nào của tham số

thì đường thẳng

(): 2 4 3dy mx m

cắt đồ thị ()

C tại ba điểm phân biệt?

(;0)(;)\



  





. B.

(0; )

m 

(; )

m 

. D. Không có giá trị m thỏa mãn.

Thầy Nguyễn Trọng 75

 DẠNG 4_XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C, D TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3.

PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

 Hệ số

: Xác định dáng đi lên hay đi xuống của đồ thị

• Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số

0; 0aa

 Tích số

: Xác định vị trí điểm uốn

• Điểm uốn bên phải trục

nếu

0ab 

; bên trái trục

nếu

0ab 

 Tích số

: Xác định vị trí hai điểm cực trị

•

0ac 

: có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung

•

0ac 

: có 2 điểm cực trị nằm về 1 phía trục tung

•

0c 

: đồ thị có 1 cực trị nằm trên trục tung.

 Hệ số

: Xác định giao điểm với trục tung.

•

0d 

: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm trên gốc tọa độ

•

0d 

: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới gốc tọa độ

•

0d 

: giao điểm của đồ thị với trục tung trùng với gốc tọa độ

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba



f x ax bx cx d

(

d 

0a 

) có đồ thị như hình vẽ bên.Mệnh đề nào sau đây đúng?

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

Lời giải

Chọn B

Ta có:

lim





















0a 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm 

0d 

Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, ta có

32 0yaxbxc





có hai nghiệm phân biệt

x ,

 



0b 

;





0c 

Vậy

0a 

;

0b 

;

0c 

;

0d 

Ví dụ 2. Cho hàm số

yax bx cxd

có đồ thị như hình bên.

Khẳng định nào sau đây đúng ?

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

Lời giải

Thầy Nguyễn Trọng 76

Chọn D

Nhìn đồ thị ta có

lim





nên

0a 

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm





0; d

nằm dưới trục hoành nên

0d 

Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên

32yax bxc



 có hai nghiệm trái dấu, mà 0a 

nên

0c 

Ví dụ 3. Hàm số

yax bx cxd có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng trong các mệnh đề sau:

0, 0ad bc

. B.

0, 0ad bc

0, 0ad bc

. D.

0, 0.ad bc

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm số cắt

tại điểm

(0; )

nên 0.d 

lim 0 0 (1)

yaad



   

Ta có

32 0

CT C

yaxbxc x x





Vì hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Do đó:



Ta có





có 2 nghiệm dương phân biệt nên

.00

CT C

xx c



Suy ra:

0bc 

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 36.

Hàm số

yax bx cxd có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

đề nào sau đây là đúng?

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd 

Câu 37. Cho hàm số

yax bx cxd

có đồ thị như hình vẽ dưới

đây

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

0, 0,c 0,d 0ab

Thầy Nguyễn Trọng 77

Câu 38. Cho hàm số

()yfx axbxcxd có đồ thị như hình vẽ ở

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

Câu 39. Hàm số

yax bx cxd

có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào là đúng?

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

0a 

0b 

0c 

0d 

Câu 40. Cho hàm số

yax bx cxd

có đồ thị như hình bên.

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

,0;,0ad bc

,, 0; 0abd c

,, 0; 0acd b

,, 0; 0abc d

Câu 41. Cho đồ thị hàm số bậc ba

yax bx cxd có đồ thị được

biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Nhận xét đúng về dấu của các

hệ số là.

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

Câu 42.

Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định

nào sau đây là đúng?

  

1, 5 0 2, 5ff

  

1, 5 0, 2, 5 0ff

  

1, 5 0, 2, 5 0ff

  

1, 5 0 2, 5ff

Thầy Nguyễn Trọng 78

Câu 43. Cho hàm số

()

xaxbxcxd

có đồ thị như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0, 0abcd 

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd 

Câu 44. Cho hàm số



,,y x ax bx c a b c   

có đồ thị như

hình vẽ. Khẳng định nào sau đây

sai?

1abc.

2ac b

11ab c

D. 0abc  .

Câu 45. Cho đồ thị hàm số

yax bx cxd có đồ thị như hình vẽ.

mệnh đề nào sau đây đúng?

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd 

0, 0, 0, 0abcd

0, 0, 0, 0abcd

BẢNG ĐÁP ÁN

1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D

11.A 12.B 13.B 14.B 15.A 16.D 17.C 18.B 19.A 20.B

21.C 22.B 23.A 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.C 30.B

31.B 32.A 33.C 34.C 35.A 36.D 37.A 38.C 39.D 40.A

41.B 42.D 43.B 44.B 45.C

Thầy Nguyễn Trọng 79

§6_ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

 DẠNG 1 _ NHẬN DẠNG HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

 Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số

0; 0aa

 Chú ý điểm cực trị:

•

ab 0

: hàm số có 3 điểm cực trị.

•

ab 0

: hàm số có 1 điểm cực trị.

 Các giao điểm đặc biệt với trục

,Ox Oy

•

0c

: giao điểm trục tung nằm trên Oy .

•

0c

: giao điểm trục tung nằm dưới Oy .

•

0c

: giao điểm trục trùng với

yax bx c

(0)a

0a

0a

.

'0y

có 3

nghiệm phân biệt

nếu

0ab

.

'0y

có

đúng 1 nghiệm

nếu

0ab

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm

số sau:







. B.

22 yx x

22  yx x . D.

22 yx x .

Lời giải

Chọn B

Đồ thị trên là đồ thị của hàm trùng phương có hệ số

dương nên từ các phương án đã cho ta

suy ra đồ thị trên là đồ thị của hàm số

22 yx x .

Ví dụ 2. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

23 yx x .

33 yx x

23 yx x . D.

  

yxx

Thầy Nguyễn Trọng 80

Lời giải

Chọn C

Đồ thị có:

lim





 D sai.

Hàm số có các điểm cực trị là:

0x

1x

 A, B sai.

Ví dụ 3. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

21  yx x. B.

2 yx x.

2yx x

. D.

21 yx x

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy

0, 0ac

nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Ví dụ 4. Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

23  yx x . B.

23 yx x .

23  yx x

. D.

3 yx

Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị ta có nhận xét:

lim





loại phương án B

Đồ thị giao với trục hoành tại hai điểm có tọa độ



1; 0 ;



1; 0

loại phương án C, D.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

235  yxx. B.

1  yxx .

21  yx x. D.

34  yx x .

Câu 2. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các

hàm số sau:







. B.

22 yx x .

22  yx x . D.

22 yx x .

Câu 3. Cho hàm số



yfx

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng



yfx

là một trong bốn hàm được đưa ra trong các phương án A,

B, C, D dưới đây. Phương án nào trong các phương án dưới đây là

đúng?



2 fx x x

. B.



2fx x x



2fx x x

. D.



21  fx x x

Thầy Nguyễn Trọng 81

Câu 4. Cho hàm số



yfx

có đồ thị



như hình vẽ. Khẳng định nào sau

đây là sai?

A. Đồ thị



nhận

làm trục đối xứng.



cắt

tại 4 điểm phân biệt.

C. Hàm số có 3 điểm cực trị.

D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại

2x

Câu 5. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?

2 yx x

. B.

31  yx x

4 yx x. D.

3yx x.

Câu 6.

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

21  yx x. B.

21  yx x .

31 yx x . D.

21 yx x .

Câu 7. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới

đây?

42  yx x

. B.

31 yx x

42 yx x

. D.

42 yx x

Câu 8. Đồ thị hình bên là của hàm số

22 yx x . B.

2 yx x.

2yx x. D.

22  yx x .

Câu 9. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào

trong 4 hàm số sau:

 

yx. B.

  

yx.



yx. D.



y .

Câu 10. Cho hàm số

()yfx

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

23  yx x

. B.

  

yxx.

23 yx x . D.

23 yx x .

-1

Thầy Nguyễn Trọng 82

Câu 11. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

43  yx x

. B.

23  yx x



21yx

. D.



21yx

Câu 12. Đồ thị hàm số trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

1yx x . B.

1  yxx .

1  yxx . D.

1yx x .

 DẠNG 2 _ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP

 Biện luận số nghiệm của phương trình

  

fx gm

được

quy về tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

 

yfxC

và đường thẳng

 

: dygm

 Có 2 cách biện luận số nghiệm của phương trình:

. Biện luận số nghiệm của phương trình

  

fx gm

bằng đồ thị

( khi bài toán cho sẵn đồ thị): ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng

 

: dygm

theo hướng lên hoặc xuống trên trục tung.

. Biện luận số nghiệm của phương trình

  

fx gm

bằng bảng

biến thiên (bài toán cho sẵn bảng biến thiên hoặc tự xây dựng).

A - VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số



yfx

liên tục trên



và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình



4fx

có bao nhiêu nghiệm thực?

-∞

+∞

Thầy Nguyễn Trọng 83

A. 4 . B. 2 . C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình





4fx

có bao nhiêu nghiệm thực.

Ví dụ 2. Cho hàm số





yfx

liên tục trên  và có đồ thị ở hình bên.

Số nghiệm dương phân biệt của phương trình





3fx là

1. B.

C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Chọn C

Số nghiệm dương phân biệt của phương trình





3fx

là

số giao điểm có hoành độ dương phân biệt của đồ thị hàm số





yfx và đường thẳng

3y .

Đồ thị hàm số





yfx

như hình vẽ, đường thẳng

3y

song song với trục

và cắt trục

tại điểm có tọa độ

(0; 3)

Suy ra phương trình





3fx có 2 nghiệm dương phân biệt.

Ví dụ 3. Cho hàm số





yfx

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình





450fx

là

4. B. 3.

C. 2. D. 0.

Lời giải

Chọn A

 

450

 fx fx

Dựa vào đồ thị ta có phương trình



fx

có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4. Cho hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ. Phương trình



10fx

có mấy nghiệm?

A. 2 . B.

C. 1. D. 4 .

Lời giải

Chọn D

Ta có :









10 1  fx fx

Đồ thị của hàm số





yfx

cắt đường thẳng

1

tại bốn điểm phân biệt.

Vậy phương trình



10fx

có 4 nghiệm.

Thầy Nguyễn Trọng 84

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 13.

Cho hàm số





yfx có đồ thị như sau

Số nghiệm của phương trình





230fx là

0 . B. 2 .

. D.

Câu 14. Cho hàm số





yfx

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình





450fx

là

4. B. 3.

C. 2. D. 0.

Câu 15. Cho hàm số





yfx

xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình



1

có đúng hai nghiệm.











21 m

. C.





















Câu 16. Tập tất cả các giá trị của tham số

để phương trình

43 0xx m

có 4 nghiệm phân biệt

là





1;3

. B.





3;1

. C.





2;4

. D.





3;0

Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ thị hàm

22 yx x . Tìm tất

cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

21

có

4 nghiệm phân biệt.

3m

. B.

21 m

2m

. D.

32 m

Câu 18. Cho hàm số

2 yx x có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình

21 

có bốn nghiệm thực phân biệt.

01m

. B.

12m

01m

. D.

12m

Câu 19. Cho hàm số





yfx

liên tục trên



có bảng biến thiên sau:

-2

-3

-2

Thầy Nguyễn Trọng 85

Phương trình





4fx

có bao nhiêu nghiệm thực?

4 . B. 2 . C.

. D.

Câu 20. Cho hàm số





yfx

có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số

để phương trình



2fx m

có bốn nghiệm phân biệt.

43 m

. B.

43 m

C. 65 m . D. 65 m .

Câu 21. Cho hàm số





yfx

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phương trình





0fx

có 4 nghiệm thực phân biệt.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng





0; 

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.

D. Hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 22. Cho hàm số

21 yx x có đồ thị





và đường thẳng





:1dym

(

là tham số). Đường

thẳng



cắt





tại 4 điểm phân biệt khi các giá trị của

là

35m

. B.

12m

. C.

10 m

. D.

53 m

Câu 23. Cho hàm số

()

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên như hình sau:

Đồ thị hàm số

()yfx

cắt đường thẳng

2020y

tại bao nhiêu điểm?

4 . B.

. C. 2 . D. 1.

Câu 24. Cho hàm số





yfx

có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình



12. 0fx

có tất cả bao nhiêu nghiệm?

2 . B. Vô nghiệm.

. D. 4 .

-4

-3

Thầy Nguyễn Trọng 86

Câu 25. Cho hàm số

  

, b, c  yfx axbxca có đồ thị như

sau: Số nghiệm thực của phương trình



230fx là

0. B. 2.

C. 4. D. 3.

Câu 26. Cho hàm số



yfx xác định, liên tục trên



và có bảng biến

thiên sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình



1

có đúng hai nghiệm.

2,m

1m

. B.

0,m

1m

. C.

2,m

1m

. D.

21 m

Câu 27. Tất cả các giá trị của

để đường thẳng

ym

cắt đồ thị hàm số

 

yx tại 4 điểm

phân biệt là

3m . B. 1m . C. 12 3m . D. 31 m .

Câu 28. Cho hàm số

23 yx x có đồ thị hàm số như hình bên dưới.

Với giá trị nào của tham số

phương trình

2324xx m

có hai nghiệm phân biệt?











m











m

 DẠNG 3_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM).

PHƯƠNG PHÁP

 Cho 2 hàm số

 

,yfxygx

có đồ thị lần lượt là



và





• Lập phương trình hoành độ giao điểm của và:











xgx

, (1)

• Giải phương trình (1) tìm

từ đó suy ra

và tọa độ giao điểm.

• Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị

 

,yfxygx

 Nghiệm của PT:

0ax bx c

Thầy Nguyễn Trọng 87

• Nhẩm nghiệm:

- Nhẩm nghiệm: Giả sử



x là một nghiệm của phương trình.

- Khi đó ta phân tích:







 







fxm x x gx

- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2



0gx

• Ẩn phụ - tam thức bậc 2:

Đặt





,0txt

. Phương trình:

0at bt c

- Nếu có đúng 1 nghiệm thì có nghiệm

,tt thỏa mãn:











- Nếu có đúng 2 nghiệm thì có nghiệm

,tt

thỏa mãn:











- Nếu có đúng 3 nghiệm thì có nghiệm

,tt

thỏa mãn:

0 tt

- Nếu có đúng 4 nghiệm thì có nghiệm

,tt thỏa mãn:

0 tt.

. PP đồ thị hàm số.

- Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng



,0Fxm

Cô lập m đưa phương trình về dạng





mfx

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm tất cả các giá trị

nguyên để phương trình

24 0xx m

có bốn nghiệm thực.

m

. B.

1m

. C.

2m

. D.

3m

Lời giải

Chọn

Ta có





24 01xx m .

Đặt





0txt

ta được phương trình





24 02tt m



có bốn nghiệm phân biệt





2

có hai nghiệm dương phân biệt









 



























34m

Vậy

m

Ví dụ 2. Đường thẳng

1

cắt đồ thị hàm số

1yx x

tại mấy điểm phân biệt?

2 . B. 4 . C. 1. D.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

11

42 3

0( 1)0 xxx xxx













Thầy Nguyễn Trọng 88

Xét

10xx

không có nghiệm 0x và hàm số





1

xxx.

Có



03 10



 fx x x

và

 



 

 

Nên đồ thị hàm số





1

xxx cắt trục hoành tại một điểm. Suy ra phương trình.

10xx

có một nghiệm.

Vậy đường thẳng

1

cắt đồ thị hàm số

1yx x tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 3. Hai đồ thị

yx x và

31yx có bao nhiêu điểm chung?

2. B. 4. C. 1. D. 0.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm:



42 2

311 xx x .



42 2 4 2

1310410  xx x x x

















xVN

Số điểm chung của hai đồ thị

yx x và

31yx bằng số nghiệm của phương trình



là hai.

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số



1 yx m x m

cắt trục hoành

tại 4 điểm phân biệt.





0;  . B.





0; \{1} . C.





0;  . D.





0;  \

{1}

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm:





10 xmxm

. (1)

422

0 xmxxm









22 2

0xx m x m









10 xmx













Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình



có hai nghiệm phân

biệt khác

1 











B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 29.

Đồ thị hàm số

  yxx

cắt trục hoành tại mấy điểm?

. B. 4 . C. 2 . D.

Câu 30. Tìm

để đồ thị của hàm số

2 yx mx m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

0m

. B.

1m

. C.

1m

. D.

0m

hoặc

1m

Câu 31. Đồ thị hàm số





3yxx

tiếp xúc với đường thẳng

2

tại bao nhiêu điểm?

. B. 2 . C.

. D. 1.

Thầy Nguyễn Trọng 89

Câu 32. Đồ thị hàm số

23yx x

và đồ thị hàm số

2 yx

có bao nhiêu điểm chung?

. B.

. C.

. D.

Câu 33. Tìm

để đường thẳng

ym

cắt đồ thị hàm số

22 yx x tại 4 điểm phân biệt.

23m

. B.

2m

. C.

12m

. D.

2m

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

4ym

cắt đồ thị hàm số

83 yx x tại bốn điểm phân biệt?

13 3



. B.

13 3



. C.



. D.



Câu 35. Tất cả các giá trị của tham số

để hàm số

2 yx x m cắt trục hoành tại

điểm là

10 m

. B.

01m

. C.

10 m

. D.

01m

Câu 36. Phương trình

430xxm

(

là tham số) có đúng bốn nghiệm khi và chỉ khi

7m

. B.

7m

. C.

3m

. D.

37m

Câu 37. Cho hàm số



yfx

xác định, liên tục trên



và có bảng biến thiên sau

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để phương trình



1fx m

có đúng hai nghiệm.

2, m

1m

. B.

0, m

1m

. C.

2,m

1m

. D.

21 m

Câu 38. Cho hàm số



12 yx m x m

. Tìm

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân

biệt.



1;m

. B.



2;m

. C.



2; \ 3m

. D.



2;3m

 DẠNG 4_ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C TỪ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG.

PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

 Hệ số

: Xác định dáng đi lên hay đi xuống của đồ thị

Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số

0; 0aa

 Tích số

: Xác định số điểm cực trị

0ab

: hàm số có 3 cực trị

0ab

: hàm số có 1 cực trị

 Hệ số

: Xác định giao điểm với trục tung.

0c

: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm trên gốc tọa độ

0c

: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới gốc tọa độ

0c

: giao điểm của đồ thị với trục tung trùng với gốc tọa độ

Thầy Nguyễn Trọng 90

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số

.yax bx ccó đồ thị như hình vẽ sau.

Khẳng định nào sau đây đúng?

0, 0, 0abc

. B.

0, 0, 0abc

0, 0, 0abc

. D.

0, 0, 0abc

Lời giải

Chọn B

Hàm số là hàm bậc 4 trùng phương có:

+ Nhìn dạng đồ thị suy ra

0a

+ Chọn

00xycc

+ Vì hàm số có 3 cực trị

, ab

trái dấu nên

0b

Ví dụ 2. Cho hàm số

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

0, 0, 0abc

. B.

0, 0, 0abc

0, 0, 0abc

. D.

0, 0, 0abc

Lời giải

Chọn C

Đồ thị có bề lõm quay xuống nên

0a

0x

suy ra

yc

. Đồ thị cắt trục

tại

3y

30c

Ta có:

204



ax bxy















B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 39.

Cho hàm số

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên.

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

0, 0, 0abc

. B.

0, 0, 0abc

0, 0, 0abc

. D.

0, 0, 0abc

Câu 40. Cho hàm số

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm kết luận đúng.

0ab

. B.

0bc

0ab

. D.

0ac

Câu 41. Hàm số

yax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

0a

0b

0c

. B.

0a

0b

0c

0a

0b

0c

. D.

0a

0b

0c

Thầy Nguyễn Trọng 91

Câu 42. Cho hàm số

(0)yax bx ca có đồ thị như hình bên.

Hãy chọn mệnh đề đúng.

0, 0, 0abc

. B.

0, 0, 0abc

0, 0, 0abc

. D.

0, 0, 0abc

Câu 43. Cho hàm số

yax bx c có đồ thị như hình bên dưới.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0a

0b

0c

. B.

0a

0b

0c

0a

0b

0c

.D.

0a

0b

0c

Câu 44. Cho hàm số

yax bx c

có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận

đúng

0ab

. B.

0bc

0ab

. D.

0ac

Câu 45. Cho hàm số bậc bốn trùng phương

yax bx c có đồ thị

như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

0, 0, 0abc

. B.

0, 0, 0abc

0, 0, 0abc

. D.

0, 0, 0abc

Câu 46. Cho hàm số

yax bx c có dạng đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0; 0; 0abc

. B.

0; 0; 0abc

0; 0; 0abc

. D.

0; 0; 0abc

Câu 47. Cho hàm số

yax bx c có dạng đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

0abc

. B.

0abc

0; 0; 0abc

. D.

0; 0; 0abc

BẢNG ĐÁP ÁN

1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.C 12.C

13.C 14.A 15.A 16.B 17.B 18.D 19.B 20.D 21.D 22.C 23.C 24.D

25.B 26.C 27.D 28.A 29.C 30.B 31.D 32.A 33.C 34.A 35.D 36.D

37.C 38.C 39.B 40.B 41.C 42.C 43.B 44.B 45.C 46.D 47.D



Thầy Nguyễn Trọng 92

§7_ ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỮU TỈ

 DẠNG 1_NHẬN DẠNG HÀM SỐ HỮU TỈ KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP

 Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

Quan sát dáng đồ thị, chú ý dấu đạo hàm



ad bc

cx d









Xác định các đường tiệm cận đứng:





, tiệm cận ngang:



Các giao điểm đặc biệt với trục

, Ox Oy

0, 0

ax b

cx d

cadbc









.

0ad bc

.

0ad bc

.

'0y 

: Hàm

số tăng

.

'0y 

: Hàm

số giảm

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số

ax b

cx d







với

,,,abcd

là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

y0,x1





. B.

y0,x2





y0, 2





. D.

y0, 1





Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2,

Hàm số nghịch biến vậy chọn B

Ví dụ 2. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào

dưới đây?







. B.







1yx x. D.

31yx x.

Lời giải

Chọn

Tập xác định:





\1D 

Thầy Nguyễn Trọng 93

Ta có:











1x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng



;1

và



1; 

lim lim

 







1

1y

là đường tiệm cận ngang.

lim lim













lim lim













1x

là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị đã cho là của hàm số







Ví dụ 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào

trong các phương án A, B, C, D dưới đây?







. B.











. D.







Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị ta có: Tiệm cận đứng

1x 

; tiệm cận ngang

2.y 







có

lim 1; lim













tiệm cận đứng

1x 

; tiệm cận ngang

1y 

A sai







có

21 21

lim 2, lim













tiệm cận đứng

1x 

; tiệm cận ngang

2y 

B đúng







có

221

lim 1, lim













tiệm cận đứng

1x 

; tiệm cận ngang

1y 

C sai







có

321

lim 1, lim









 



tiệm cận đứng

1x 

; tiệm cận ngang

1y 

D sai

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?







. B.











. D.







Câu 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?







. B.











. D.







-1

Thầy Nguyễn Trọng 94

Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới

đây?

21yx x . B.

31yx x .







. D.







Câu 4. Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào dưới

đây?







. B.













. D.







Câu 5. Hình vẽ bên đây là đồ thị cuả hàm số nào trong các hàm số





. B.









. D.







Câu 6. Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?





. B.













. D.







Câu 7. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?







. B.











. D.







Câu 8. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

31yx x   . B.







. C.

34xx

. D.







Thầy Nguyễn Trọng 95

Câu 9. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:







. B.







. C.







. D.







Câu 10. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?









. B.









. C.









. D.









 DẠNG 2_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM)

PHƯƠNG PHÁP

Cho 2 hàm số

 

,yfxygx

có đồ thị lần lượt là





và







 Lập phương trình hoành độ giao điểm của và:









xgx

, (1)

 Giải phương trình (1) tìm

từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.

 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị

 

,yfxygx

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm tung độ giao điểm của đồ thị

():







và đường thẳng

:1.dy x

A. 1. B.

3

. C. 1 . D.

Lời giải

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

()C

và

là

1 ( 3) 0 0 1.

xx x x y



  



Thầy Nguyễn Trọng 96

Ví dụ 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số







với đường thẳng

23yx

là

2 . B.

. C. 1. D.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:









2123 1xxx  

(do



không là nghiệm của phương trình)

133

240

133





















Ví dụ 3. Đồ thị hàm số







và đường thẳng

211yx 

cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

. Tìm

hoành độ trung điểm

I của đoạn thẳng

B .

A. 3

x  . B. 2.

x 

Lời giải

Chọn

Gọi



;

và





;Bx y

với

là nghiệm của phương trình

211



 



Hay

là nghiệm của phương trình

660xx 

(*)

là trung điểm của đoạn thẳng

nên

121 2









Từ phương trình (*), ta có

63.



 

Vậy hoành độ của điểm

I bằng 3.

Ví dụ 4. Cho hàm số







có đồ thị





. Đường thẳng



:1dyx

cắt đồ thị





tại 2 điểm

phân biệt

và

thì tung độ trung điểm I của đoạn thẳng

bằng

2

. B.

3

. C. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn D

Ta có

là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của





và



230

















MN I

xx x



 

Vì

I thuộc



y.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 11.

Số giao điểm của đồ thị hàm số







với đường thẳng

23yx

là

. B.

. C.

. D.

Thầy Nguyễn Trọng 97

Câu 12. Biết rằng đồ thị hàm số





và đồ thị hàm số

1yx x cắt nhau tại hai điểm, ký hiệu









11 2 2

;,;

yxy

là tọa độ hai điểm đó. Tìm

yy .

0yy. B.

2yy. C.

6yy. D.

4yy.

Câu 13. Gọi

là giao điểm của đường thắng

x

và đường cong







. Khi đó hoành độ

trung điểm

I của đoạn

bằng

. B.



. C.

. D.

Câu 14. Tìm tung độ giao điểm của đồ thị

():







và đường thẳng

:1.dy x

1. B.

3

. C. 1 . D.

Câu 15. Đường thẳng

x

cắt đồ thị hàm số







tại các điểm có tọa độ là

(1;0);(2;1)

. B.

(1; 2)

. C.

(0; 1);(2;1)

. D.

(0;2)

Câu 16. Đồ thị của hàm số cắt hai trục và tại và . Khi đó diện tích tam giác

(

là gốc tọa độ bằng)

. B. . C. . D. .

Câu 17. Đường cong

28x





cắt đường thẳng

yx

tại hai điểm

. Tính độ dài đoạn thẳng

4MN 

. B. 25MN  . C.

42MN 

. D.

62MN 

Câu 18. Đường thẳng

x 

cắt đồ thị hàm số







tại hai điểm phân biệt

. Trung điểm

của đoạn thẳng

có hoành độ là

5

. B.

7

. C.



. D.

3

Câu 19. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số







tại điểm có hoành độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ lần lượt

tại

và

. Diện tích tam giác

OAB

bằng

2 . B.

. C.

. D.

Câu 20. Đường thẳng

1yx

cắt đồ thị hàm số







tại hai điểm phân biệt

. Tính độ dài đoạn

thẳng

6AB 

. B. 17AB  . C. 34AB  . D.

8AB 

Câu 21. Biết đường thẳng

1yx

cắt đồ thị hàm số







tại hai điểm phân biệt

có hoành

độ lần lượt là

;

. Tính giá trị của

x .







OAB O

Thầy Nguyễn Trọng 98

xx

xx

xx

Câu 22. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng

xm

tiếp xúc với đồ thị hàm số







2m 

. B.





1; 5m 

. C.

5m 

. D.





2; 2m

 DẠNG 3 _ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C, D TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỮU TỶ

PHƯƠNG PHÁP:

Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

 Tiệm cận đứng:

0cd  ; TCĐ nằm bên trái trục

0cd 

; TCĐ nằm bên phải trục

Đặc biệt:

0d 

: TCĐ trùng với trục

 Giao điểm trục ox:

0ab 

; nằm bên trái gốc tọa độ

0ab 

; nằm bên phải gốc tọa độ

Đặc biệt:

0a 

: Đồ thị không cắt trục

 Tiệm cận ngang:

0ac 

; TCN nằm bên trên trục

0ac 

; TCN nằm bên dưới trục

Đặc biệt:

0a 

: TCN trùng với trục

 Giao điểm trục oy:

0bd 

; nằm bên trên gốc tọa độ

0bd 

; nằm bên dưới gốc tọa độ

Đặc biệt:

0b 

: Giao trục tung trùng với gốc tọa độ

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Cho hàm số

ax b







có đồ thị như hình vẽ.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

0ba

. B.

0 ab

0ab

. D.

0 ba

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

10ya 

020xyb

Vậy

0 ab

Ví dụ 2. Cho hàm số

ax b







có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây là

đúng?

0 ab

. B.

0ba

0 ba

. D.

0ba

Lời giải

Chọn D

Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị cắt

tại

2x 

và cắt

tại

2y 

-1

Thầy Nguyễn Trọng 99

Nên với hàm số

ax b







, cho

0x 

2yb b

, cho



hay





1a

Vậy

0ba

. Đáp án được chọn là D

Ví dụ 3. Cho hàm số

1ax

bx c







có đồ thị như dưới đây.Tính giá

trị biểu thức

23Ta b c 

1T 

. B.

2T 

3T 

. D.

4T 

Lời giải

Chọn A

Đồ thị nhận

1x 

là tiệm cận đứng





Đồ thị nhận

2y 

là tiệm cận ngang



Đồ thị đi qua điểm



0;1

.0 1

1112

cba







Vậy

2322(1)3(1)1Ta b c   

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 23. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào

dưới đây là đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 24. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. . B. .

C. . D. .

Câu 25. Biết hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số .

Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. ,. B. ,.

C. ,. D. ,.

ax b







0ba 0ba

0ab 0 ba

ax b

0ab

0ba

0 ba 0 ab

ax b

cx d







0ac  0cd  0ad  0bc 

0ac  0ab  0cd  0ad 

-1 O 1

Thầy Nguyễn Trọng 100

Câu 26. Cho hàm số có đồ thị như hình bên

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

. B. .

C. . D. .

Câu 27. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. khẳng định nào

dưới đây đúng?

. B. .

C. . D. .

Câu 28. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm khẳng

định đúng trong các khẳng định sau.

A. . B. .

C. . D. .

Câu 29. Cho hàm số , có đồ thị như hình vẽ. Tính

A. . B. .

C. . D. .

Câu 30. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ , , là các

số nguyên. Giá trị của biểu thức bằng

. B. .

C. . D. .

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?

. B. .

C. . D. .

Câu 32. Cho hàm số có đồ thị như hình trên.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

. B. .

C. . D. .

ax b







0ba 0ba

0ab 0 ba

ax b







0ba 0ab

0 ba 0ba

ax b







0 ab 0ba

0ab 0 ba







Tab

2T 

0T 

1T 

3T 

ax b







a b c

32Ta b c 

12T 

10T 

7T  9T 

0;b 0c << 0; 0bc<>

0; 0bc>> 0; 0bc><







axb

cxd







1, 0, 1ab c 1, 0, 1ab c 

1, 0, 1ab c 1, 0, 1ab c 

Thầy Nguyễn Trọng 101

Câu 33. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

. B. .

C. . D. .

 DẠNG 4_ TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ M THỎA ĐK CHO TRƯỚC

PHƯƠNG PHÁP

 Cho hàm số



ax b

cx d







và đường thẳng

px q

 Phương trình hoành độ giao điểm của và:



ax b

px q F x m

cx d



 



 Xử lý điều kiện và tìm tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 34.

Tìm

để đường thẳng

1ymx

cắt đồ thị







tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh đồ

thị.





;0m

. B.



;\0



 









0;m 

. D.

0m 

Câu 35. Giả sử



, , , , 1

mabab





   là giá trị thực của tham số

để đường thẳng

:3d

xm 

cắt đồ thị hàm số











tại hai điểm phân biệt

sao cho trọng tâm tam giác

OAB

thuộc đường thẳng

:220xy 

, với

là gốc tọa độ. Tính

2.ab

2 . B.

. C. 11. D. 21.

Câu 36. Cho đường cong









và đường thẳng

:3d

xm

. Tìm tất cả các giá trị của

để

và





cắt nhau tại hai điểm phân biệt

sao cho trung điểm

của đoạn thẳng

có

hoành độ bằng

0m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

2m 

Câu 37. Tìm

để đường thẳng

2yxm

cắt đồ thị hàm số







tại hai điểm

sao cho độ

dài

là nhỏ nhất.

. B. 1 . C. 2 . D. 1.

Câu 38. Gọi

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

để đường thẳng

:dy x m 

cắt đồ

thị





hàm số







tại hai điểm phân biệt

sao cho

22AB 

. Tổng tất cả các phần

tử của

bằng:

6

. B.

. C. 9. D. -27.

ax b

cx d







0 ad bc 0ad bc

0bc ad 0ad bc

Thầy Nguyễn Trọng 102

Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

để đường thẳng

xm 

cắt đồ thị hàm

số







tại hai điểm phân biệt

và

sao cho trọng tâm tam giác

OAB

(

là gốc tọa độ)

thuộc đường thẳng

220xy

2 . B. 1. C.

. D.

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đường thẳng

xm

cắt đồ thị của hàm số







tại hai điểm phân biệt.





;m. B.





1;m  . C.





2;4m  . D.





;2m  .

Câu 41. Cho hàm số







với

là tham số. Biết rằng

0m

đồ thị hàm số luôn cắt đường

thẳng

:33dy x m

tại hai điểm phân biệt

. Tích tất cả các giá trị của tham số

tìm

được để đường thẳng

cắt

lần lượt tại

, D sao cho diện tích tam giác

OAB

bằng 2

lần diện tích tam giác

OCD

bằng



. B.

4

. C.

1

. D. 0 .

Câu 42. Cho đường cong









và đường thẳng

:3dy x m

. Tìm tất cả các giá trị của

để

và





cắt nhau tại hai điểm phân biệt

sao cho trung điểm I của đoạn thẳng

B có

hoành độ bằng

0m 

. B.

1m 

. C.

1m 

. D.

2m 

Câu 43. Cho hàm số







có đồ thị





. Tiếp tuyến của





cắt hai đường tiệm cận của





tại

hai điểm

. Giá trị nhỏ nhất của

B là

. B. 23. C.

. D.

Câu 44. Biết đường thẳng

2yx

cắt đồ thị hàm số







tại hai điểm phân biệt

có hoành

độ lần lượt là , .

Khi đó

x là:

xx. B. 2

xx. C. 1

xx. D. 3

xx.

Câu 45. Để đường thẳng

:2dy x m 

cắt đồ thị hàm số









tại hai điểm phân biệt

và

sao cho độ dài

ngắn nhất thì giá trị

thuộc khoảng nào?





4; 2m 

. B.





2;4m 

. C.





2;0m

. D.





0;2m

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6 7.A 8.D 9.B 10.A

11.A 12.D 13.D 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.C 20.C

21.A 22.B 23.B 24.D 25.B 26.B 27.A 28.A 29 30.D

31.C 32.D 33.B 34.C 35.D 36.D 37.A 37.A 39.C 40.A

41.A 42.D 43.A 44.A 45.D

    

Thầy Nguyễn Trọng 103

§8 _TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

 DẠNG 1 _ TIẾP TUYẾN TẠI TIẾP ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ

PHƯƠNG PHÁP

 Tiếp tuyến với





C tại









;

xfx

là đường thẳng

  

00 0



  

yfxxx fx.

Để viết PTTT của





tại









;

xfx

• Xác định tọa độ tiếp điểm

;

từ giả thiết

• Tính hệ số góc tiếp tuyến:





• Thay vào công thức













00 0

'yfxxx fx

 Chú ý: Tọa độ giao điểm đặc biệt sau:

• Giao điểm của đồ thị với trục tung:





0; y

• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:





;0x

A - BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

45 yx x tại điểm có hoành độ

1.x

46yx

. B.

42yx

. C.

46yx

. D.

42.yx

Lời giải

Chọn C

Ta có



yxx,





14.





Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ

1x

là:





1; 2 .M

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại



1; 2M

là

 

112



 

yy x





412 yx

46. yx

Ví dụ 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có hoành độ bằng

, tương ứng là

713yx

. B.

730 yx

. C.

39yx

. D.

2 yx

Lời giải

Chọn C

39 xy;



'3 7









Phương trình tiếp tuyến tương ứng là



739 730     yx yx

Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số









tại giao điểm của





với trục hoành

là

 yx

. B.

yx

. C.

 yx

. D.

yx

;f x



C()

Thầy Nguyễn Trọng 104

Lời giải

Chọn A

Giao điểm của





và

là:





1; 0A

Ta có:











nên





y

Phương trình tiếp tuyến của





tại





1; 0A

là:

 

110





yy x



 yx

hay

 yx

Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có tung độ bằng 2 là

31

. B.

31 

. C.

31 

. D.

33 

Lời giải

Chọn C

Gọi





;

thuộc đồ thị của hàm số







mà

2y .

Khi đó

 

000

2122 11;2



        



xxxM

Ta có











, suy ra









Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại





1; 2M

là



31231    yx x

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số









tại giao điểm của





với trục hoành

là

 yx

. B.

yx

. C.

 yx

. D.

yx

Câu 2. Cho hàm số

41 yx x có đồ thị





. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị





tại điểm

có hoành độ

1

53 

. B.

53

. C.

35

. D.

35 

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





tại điểm có hoành độ bằng 1 là

2yx

. B.

2 yx

. C.

3 yx

. D.

1yx

Câu 4. Cho hàm số

yxxx

có đồ thị là





. Phương trình tiếp tuyến của





tại điểm







là

32yx

. B.

32 yx

. C.

yx

. D.

 yx

Thầy Nguyễn Trọng 105

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm





2;3C

là

27yx

. B.

21yx

. C.

27 yx

. D.

21 yx

Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3yx x tại điểm có hoành độ bằng 2.

916 yx

. B.

920 yx

. C.

920yx

. D.

916yx

Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số









yfx

tại điểm



3; 2M

có hệ số góc bằng bao nhiêu?

. B. 2 . C. 0 . D. 2 .

Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





yfx x tại điểm



2; 4 .M

3yx

. B.

32yx

. C.

31yx

. D.

310 yx

Câu 9. Cho hàm số







Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm





2; 3A là

21 

. B.

27 

. C.

21

. D.

27yx

Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

32 yx x x tại điểm có hoành độ bằng 1 là

25 yx

. B.

21 yx

. C.

22 yx

. D.

10 13yx

Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có hoành độ bằng 3 là

313 yx

. B.

35

. C.

313yx

. D.

35 

Câu 12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

31 yx x tại điểm





3;1A là

93 

. B.

926yx

. C.

92

. D.

926 yx

Câu 13. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có tung độ

y

. B.



. C.

. D.

10

Câu 14. Cho hàm số

32  yx x có đồ thị





Viết phương trình tiếp tuyến của





tại giao điểm

của





với trục tung.

21 

. B.

21

. C.

32yx

. D.

32 yx

Câu 15. Cho hàm số







. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ

0x .

32yx

. B.

32 yx

. C.

33

. D.

32yx

Câu 16. Cho hàm số





34yx x C

. Tiếp tuyến của đồ thị





tại điểm



2; 2M

có hệ số góc bằng

bao nhiêu?

. B.

. C. 24 . D.

Thầy Nguyễn Trọng 106

 DẠNG 2_TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ BIẾT HỆ SỐ GÓC K

PHƯƠNG PHÁP

 Viết PTTT của





C tại tiếp điểm





;

xy khi biết hệ

số góc tiếp tuyến bằng

• Hệ số góc tiếp tuyến:





' 

?x

• Xác định

?xy

• Thay vào công thức













00 0

'yfxxx fx

 Chú ý: Các vị trí tương đối cơ bản:

Cho

111

:ykxm

và

222

:ykxm

. Ta có:

•

 











;

•

 











;

•

 

1kk ;

 Cho



0;90



 

, ta có:

 tạo với

 góc





tan









;

• Đặc biệt: nếu

0k

thì:



tạo với



góc





tan



k .

 Hàm số bậc ba: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất khi

0a

và lớn nhất khi

0a

A - VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có tung độ

y

. B.



. C.

. D.

10

Lời giải

Chọn C

734 7

323



    



Ta có:









Vậy hệ số góc cần tìm là





y

Ví dụ 2. Cho hàm số

25yx x x có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số

góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là

. B.

. C.

. D.

Lời giải

;f x



C()

Thầy Nguyễn Trọng 107

Chọn D

Ta có hệ số góc:





'322

yx x x

Hệ số góc nhỏ nhất khi



00 0

06 20



  yx x x

Thay

x

vào

'( )

yx

Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số





3yx xC

. Số các tiếp tuyến của đồ thị





song song với đường thẳng

32021yx

là

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

333



 yx x y x

Gọi





;

xy là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng

310yx

nên



00 0

33 33 2



  fx x x

Với

22xy

: phương trình tiếp tuyến là



322342yx x

Với

22  xy : phương trình tiếp tuyến là





322342yx x

Ví dụ 4. Cho hàm số

33  yx x

có đồ thị





. Số tiếp tuyến của





vuông góc với đường thẳng

2020

yx

là

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi





;

y là tọa độ tiếp điểm.

Ta có



 yxx.

Vì tiếp tuyến của





vuông góc với đường thẳng

2020

yx

nên





















3690   xx













Với

1x

1y , suy ra PTTT là:





911  yx

98

Với

3x

3y

, suy ra PTTT là:





933  yx

924yx

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 17.

Cho hàm số





34yx x C

. Tiếp tuyến của đồ thị





tại điểm



2; 2M

có hệ số góc bằng

bao nhiêu?

. B.

. C. 24 . D.

Câu 18. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số

32 yx x

, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

nhất bằng

3

. B.

. C. 4 . D.

Thầy Nguyễn Trọng 108

Câu 19. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tanyx tại điểm có hoành độ



x

là

. B.

. C.

. D.

Câu 20. Cho hàm số

231

   

xxx

có đồ thị





. Trong các tiếp tuyến với





, tiếp tuyến có

hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu?

3k . B. 2k . C. 1k . D. 0k .

Câu 21. Cho hàm số

65yx x có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó

là:

3x

. B.

4y

. C.

4y

. D.

3x

Câu 22. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

có hệ số góc

9,k

có phương trình là:

16 9( 3) yx

. B.

9( 3) yx

. C.

16 9( 3) yx

. D.

16 9( 3) yx

Câu 23. Cho hàm số

2y

có đồ thị





Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng

: 2 dy x

và tiếp xúc với





thì phương trình của  là

4yx

. B.





















D. Không tồn tại.

Câu 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong

(): 3 8 1 Cyx x x , biết tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng

: 2020yx

2021yx

. B.

4yx

4

;

28yx

. D.

2021yx

Câu 25. Cho hàm số

(C)







. Có bao nhiêu cặp điểm

thuộc





C mà tiếp tuyến tại đó song

song với nhau

. B. 2 . C. 1. D. Vô số.

Câu 26. Cho hàm số

32  yx x có đồ thị





. Số tiếp tuyến của





song song với đường thẳng

97 

là

1. B.

. C. 4 . D. 2 .

Câu 27. Cho hàm số

22 yx x x có đồ thị. Gọi

x là hoành độ các điểm

trên





, mà

tại đó tiếp tuyến của





vuông góc với đường thẳng

2020 yx

. Khi đó



x bằng

. B.



. C.

. D. 1 .

Câu 28. Số cặp điểm

trên đồ thị hàm số

335 yx x x , mà tiếp tuyến tại

vuông góc

với nhau là

1. B.

. C. 2 . D. Vô số.

Thầy Nguyễn Trọng 109

Câu 29. Biết đồ thị

(C)

của hàm số





cắt đồ thị

()



của hàm số

1yx tại hai điểm

Tiếp tuyến tại hai điểm

với đồ thị

()C

có hệ số góc lần lượt là

;kk. Tính tổng

kk.

3kk

kk

. C.

1kk

kk

Câu 30. Cho hàm số



() ,







. Tiếp tuyến của





C song song với đường thẳng

3

có

phương trình là

31; 311   yxyx

. B.

310; 34   yx yx

35; 35   

. D.

32; 32   

Câu 31. Cho hàm số

()







. Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng

320xy

tại điểm

có hoành độ

0x

. B.

2x

. C.





















Câu 32. Cho hàm số

31xxy có đồ thị là



. Phương trình tiếp tuyến của



song song với

đường thẳng

910yx

là

96, 928 yx yx

. B.

9, 9 26yxyx

96, 928 yx yx

. D.

96, 926 yx yx

Câu 33. Cho hàm số

32 yx x có đồ thị



. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị



biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng

:9 7 0dxy

là

925yx

. B.

925 yx

. C.

925yx

. D.

925 yx

Câu 34. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

() 2 1

, biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng

360xy

yx

. B.

yx

. C.

yx

. D.

yx

Câu 35. Cho hàm số

 

có đồ thị là





.C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị



C biết

tiếp tuyến có hệ số góc

9k .





16 9 3 yx. B.





93 yx.





16 9 3 yx. D.





16 9 3 yx.

Câu 36. Có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số

   yxxx

mà tiếp tuyến của đồ thị hàm số

đã cho tại điểm đó song song với trục tung.

A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1.

 DẠNG 4_ BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ, DIỆN TÍCH TAM GIÁC, …

PHƯƠNG PHÁP

 Ứng dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 Khai thác điều kiện của bài toán

Thầy Nguyễn Trọng 110

 Giải quyết bài toán

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1.

Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(2 3) 1   

xmx m x

đều có hệ số góc

dương.

A. 0m . B. 1m . C. 1m . D. m .

Lời giải

Chọn D

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(2 3) 1   

xmx m x

tại tiếp điểm





;

là





00 0

32 23



 

yx x mx m

Hệ số góc luôn dương

  

0, 3 0







 









yx x m m

Ví dụ 2. Cho hàm số





có đồ thị





. Gọi



là tiếp tuyến của





tại điểm





2;1M

. Diện tích

tam giác được tạo bởi

 và các trục bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B











. Theo đề





00 0

2; 1; 1



 

xyyx

Suy ra pttt



là:

3 

Tiếp tuyến



cắt các trục

,Ox O

lần lượt tại









3; 0 , 0; 3AB.

Do đó diện tích tam giác được tạo bởi

 và các trục tọa độ bằng:

SOAOB

Ví dụ 3. Cho hàm số









212   

yx x m x mC

. Tìm

để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của

đồ thị





vuông góc với đường thẳng

:21yx

1m

. B.

2m

. C.

m

. D.

m

Lời giải

Chọn C

34 1



yx xm

Ta có

277

333











yx m m

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x

có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc đó có giá trị

km

Theo bài ra:

711

2. 1 2 1



     





km m

Thầy Nguyễn Trọng 111

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 37.

Cho hàm số







có đồ thị là





. Với giá trị nào của

thì tiếp tuyến của





tại điểm

có hoành độ bằng

song song với đường thẳng

:31dy x

3m

. B.

2m

. C.

1m

. D.

2m

Câu 38. Cho hàm số









11 

yx mx C

. Có bao nhiêu giá trị của

để tiếp tuyến tại





tạo

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng

1. B. 2 . C.

. D. 4 .

Câu 39. Gọi đường thẳng



ax b

là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số







tại điểm có

hoành độ

1

. Tính Sab.

S

. B.

2S

. C.

1S

. D.

1S

Câu 40. Cho hàm số





1 

xxmxx

. Gọi

là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

có

hoành độ

1

. Tất cả các giá trị thực của tham số

để thỏa mãn



.10kf

2m

. B.

2m

. C.

21 m

. D.

1m

Câu 41. Gọi là tiếp tuyến của hàm số







tại điểm có hoành độ bằng

3

. Khi đó tạo với hai trục

tọa độ một tam giác có diện tích là:

169

S

. B.

121

S

. C.

S

. D.

S

Câu 42. Đường thẳng

9yxm

là tiếp tuyến của đường cong

31 yx x khi

bằng

6

hoặc

. B. 1 hoặc

. C.

3

hoặc 1. D.

hoặc

5

Câu 43. Tìm

để đồ thị:

 

1341

ymxmx m x

có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc

với đường thẳng

2013 0 xy

1m

. B.

m

. C.

 m

. D.

 m

Câu 44. Cho hàm số

31yx x có đồ thị là





Giả sử



là tiếp tuyến của





tại điểm có hoành

độ

2x

, đồng thời



cắt đồ thị





tại

tìm tọa độ





1; 1N

. B.





2;3N

. C.





4; 51N

. D.





3;19N

Câu 45. Cho hàm số

yxxx

có đồ thị





. Trong các tiếp tuyến với đồ thị





, hãy tìm

phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất?

810 yx

. B.

10yx

. C.

810 yx

. D.

10 yx

Câu 46. Cho hàm số

23   y x mx mx m có đồ thị là





, với

là tham số thực. Gọi T là tập

tất cả các giá trị nguyên của

để mọi đường thẳng tiếp xúc với





đều có hệ số góc dương.

Tính tổng các phần tử của

T .

. B.

. C.

6

. D.

3

Thầy Nguyễn Trọng 112

Câu 47. Cho hàm số

1   yxmxmx có đồ thị





C . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có

hệ số góc lớn nhất của





C đi qua gốc tọa độ

2 . B. 1. C.

. D. 4 .

Câu 48. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số







chắn

hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

2yx

. B.

2

. C.

2 

. D.

yx

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A 2.A 3.C 4.C 5 6.D 7.A 8.B 9.D 10.B

11.A 12.B 13.C 14.C 15.A 16.A 17.A 18.A 19.D 20.C

21.B 22.A 23.C 24.C 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.A

31.C 32.D 33.C 34.D 35.C 36.C 37.D 38.D 39.D 40.C

41.A 42.A 43.C 44.C 45.C 46.D 47.B 48.A

---------------- TOANMATH.com ----------------

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/112

| | Tải xuống

Preview text:

TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§1_SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
 DẠNG 1_ TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ Y = F(X) PHƯƠNG PHÁP
 Quan sát dấu y  0 hay y  0 .
• Nếu y  0 trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên khoảng a;b .
• Nếu y  0 trên khoảng a;b thì hàm số đồng biến trên khoảng a;b .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;  0 . B. 2;  . C. 0;2 . D. 0; . Lời giải Chọn C
Trong khoảng 0;2 ta thấy y  0 Suy ra hàm số đã cho nghịch biến.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;   . B.  2;  3 . C. 3;  . D. 1;4 . Lời giải Chọn B Trong khoảng  2;
 3 ta thấy y  0 . Suy ra hàm số đồng biến.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như
sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên   ;1  .
B. Hàm số nghịch biến trên  ;0
  1; .
C. Hàm số đồng biến trên 0;  1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ;2   . Lời giải Chọn C
Thầy Nguyễn Trọng 1
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Trong khoảng 0; 
1 ta thấy y  0 . Suy ra hàm số đồng biến.
B – BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;0 .
B. 1;  . C. ;  1 . D. 0;  1 .
Câu 2. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây. A. 0; . B. 0;2 . C.  2;  0 . D.  ;  2   .
Câu 3. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau
Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;  0 . B.  ;   2. C. 0;2 . D. 0; .
Câu 4. Cho hàm số y  f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;  0 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  2   .
Câu 5. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau
Thầy Nguyễn Trọng 2
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1  ; . B. 1; . C.  1  ;  1 . D.   ;1  .
Câu 6. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;3 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;2   .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;   1 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 .
Câu 7. Cho hàm số y  f  x xác định trên  \ 
2 và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. f  x nghịch biến trên từng khoảng  ;2
  và 2; .
B. f  x đồng biến trên từng khoảng  ;2
  và 2; .
C. f  x nghịch biến trên  .
D. f  x đồng biến trên  .
Câu 8. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;  3 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;
   . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2.
Thầy Nguyễn Trọng 3
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 9. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1  .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  1
 ;  . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1  ; 3 .
Câu 10. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên
Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. Hàm số nghịch biến trên  2;  1 .
B. Hàm số đồng biến trên  1;  3.
C. Hàm số nghịch biến trên 1;2 .
D. Hàm số đồng biến trên ;2 .
 DẠNG 2_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X) PHƯƠNG PHÁP
 Dáng đồ thị tăng (đi lên) trên khoảng a;b . Suy ra hàm số ĐB trên a;b .
 Dáng đồ thị giảm (đi xuống) trên khoảng a;b . Suy ra hàm số NB trên a;b .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;  1 . B.   ;1  . C.  1  ;  1 . D.  1  ;0 . Lời giải Chọn D Trong khoảng  1
 ;0 ta thấy dáng đồ thị đi lên. Suy ra hàm số đã cho đồng biến.
Thầy Nguyễn Trọng 4
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Ví dụ 2. Cho hàm
số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;8   . B. 1;4 . C. 4; . D. 0;  1 . Lời giải Chọn B
Trong khoảng 1;4 ta thấy dáng đồ thị đi xuống. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có đồ thị
như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;  1 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;    . Lời giải Chọn B
Trong khoảng ; 
1 ta thấy dáng đồ thị đi lên. Suy ra hàm số đã cho đồng biến.
Trong các khoảng khác đồ thị hàm số có dáng đi lên và có cả đi xuống
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào sau đây là sai? 3
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  1 . 2
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0
  và 1;. 1 1
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;3
  và 1;. 0 x
D. Hàm số đi qua điểm 1;2 .
Câu 12. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. y
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 . 1
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;3 . -1 1 0 x
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;    1 và 1; . -1
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1  ;0 .
Câu 13. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ
Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;  0 . B.  1  ;  1 . C. 0;2 . D.  2;    1 .
Thầy Nguyễn Trọng 5
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 14. Cho đồ thị hàm số y  f  x như hình bên. Khẳng định nào sau y đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng.
C. Hàm số có hai cực trị. 1 x
D. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;0
  và 0; . -2 -1 0 1
Câu 15. Cho hàm số y  f  x có đồ thị C như hình vẽ. Chọn khẳng y
định sai về hàm số f  x :
A. Hàm số f  x tiếp xúc với Ox . 1
B. Hàm số f  x đồng biến trên  0;  1 . -1 1
C. Hàm số f  x nghịch biến trên  ;    1 . 0 x
D. Đồ thị hàm số f  x không có đường tiệm cận. -1
Câu 16. Cho đồ thị hàm số y  f  x hình bên. Khẳng định nào đúng? y
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1, tiệm cận ngang y  1.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;    1 và  1  ; .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;    1 và  1  ; . 1 -2 -1 1 x
D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
Câu 17. Cho hàm số f  x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên  y
và y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 1; . O 1 -1 3 x
B. Hàm số đồng biến trên  ;    1 và 3; .
C. Hàm số nghịch biến trên  4;  3 . -4
D. Hàm số đồng biến trên  ;    1 3; .
Câu 18. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. 0;2 . B.  2;  0 . C.  3;    1 . D. 2;3.
Câu 19. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có đồ
thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;1 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;  1 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;    .
Thầy Nguyễn Trọng 6
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 20. Cho hàm số f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 2;4 . B. 0;3 . C. 2;3. D.  1  ;4 .
 DẠNG 3_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI CHO HÀM SỐ Y = F(X) TƯỜNG MINH PHƯƠNG PHÁP
 Tìm tập xác định.
 Tính y , giải phương trình y  0 hoặc y không xác định.  Lập BBT.
 Dựa vào BBT kết luận nhanh khoảng ĐB, NB.
A – VÍ DỤ MINH HỌA: 1 Ví dụ 1. Hàm số 3 2
y  x  2x  3x 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? 3 A. 2; . B. 1; . C. 1; 3 . D.  ;   1 và 3;  . Lời giải Chọn D 1 Ta có 3 2 2
y  x  2x  3x 1  y  x  4x  3  0. 3 x  1
y  0  x 3
BBT  Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   1 và 3;  .
Ví dụ 2. Hỏi hàm số 4 2
y  x  2x  2020 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A.  ;    1 . B.  1  ;  1 . C.  1  ;0 . D.   ;1  . Lời giải Chọn A 4 2 3
y  x  2x  2020  y  4x  4x x  0
y  0  x  1 BBT
Thầy Nguyễn Trọng 7
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;    1 . 2x  3
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
(C), chọn phát biểu đúng x 1
A. Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.
B. Hàm số luôn đồng biến trên  .
C. Hàm số có tập xác định  \  1 .
D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định. Lời giải Chọn D 2x  3 1 y   y   0 , x  1. x 1 x  2 1
 Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định.
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG: Câu 21. Hàm số 3 2
y  x  3x 1 đồng biến trên các khoảng A.   ;1  . B. 0;2 . C. 2; . D.  .
Câu 22. Các khoảng nghịch biến của hàm số 3
y  x  3x 1 là A.  ;    1 . B. 1; . C.  1  ;  1 . D. 0;  1 . Câu 23. Hàm số 4 2
y  x  2x 1 nghịch biến trên A.  ;    1 và 0,  1 . B.  1,
 0 và 1,.C.  . D.  2, 2. Câu 24. Hàm số 4 2
y  x  2x  4 đồng biến trên các khoảng A.  ;0  . B. 0;   . C.  1;
 0 và 1;   . D. ;   1 và 0;  1 . 2x  5
Câu 25. Hàm số y  đồng biến trên x  3 A.  . B.  ;3   . C.  3;   . D.  ;   3; 3  ;  . x  2
Câu 26. Hàm số y 
nghịch biến trên các khoảng x 1 A.   ;1
 và 1;.B. 1;. C.  1  ; . D.  \  1 . 2x  3
Câu 27. Cho sàm số y 
(C). Chọn phát biểu đúng? x 1
A. Hàm số luôn nghịch biến trên miền xác định.
B. Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số luôn đồng biến trên  .
D. Hàm số có tập xác định D   \  1 .
Câu 28. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  ;    1 . A. 3 2
y  2x  3x 12x  4 . B. 3 2
y  2x  3x 12x  4 . C. 3 2 y  2
 x  3x 12x  4 . D. 3 2 y  2
 x  3x 12x  4 . Câu 29. Cho hàm số 3
f (x)  x  3x  2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Thầy Nguyễn Trọng 8
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021  1 
A. f  x nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 .
B. f  x nghịch biến trên khoảng 1;   .  2   1 
C. f  x đồng biến trên khoảng  1  ;  1 .
D. f  x nghịch biến trên khoảng ;1   .  2 
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng 1;3 ? x  3 2 x  4x  8 A. y  . B. y  . C. 2 4
y  2x  x . D. 2
y  x  4x  5 . x 1 x  2
 DẠNG 4_TÌM KHOẢNG ĐB, NB KHI BIẾT HÀM SỐ Y = F’(X) PHƯƠNG PHÁP  Lập BBT
 Dựa vào BBT tìm khoảng ĐB, NB
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x 2
 x 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên   ;1  .
B. Hàm số nghịch biến trên  ;    .
C. Hàm số nghịch biến trên  1  ;  1 .
D. Hàm số đồng biến trên  ;    . Lời giải Chọn D Do f  x 2
 x 1  0 với mọi x  nên hàm số luôn đồng biến trên  .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm y  f  x   x  2
2 ,x   . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  2 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2 . Lời giải Chọn D
Do f  x   x  2
2  0,x   nên hàm số đồng biến trên  . Chú ý: Mệnh đề sai.
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  là f  x 2
 x x  
1 . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng A. 1; . B.  ;   . C. 0;  1 . D.   ;1  . Lời giải Chọn A x  0
Ta có f ' x 2
 0  x x   1  0   x 1 Bảng xét dấu
Thầy Nguyễn Trọng 9
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1; .
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x   x  2  x  3 1
1 2  x. Hàm số f  x đồng biến trên
khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A.  1  ;  1 . B. 1;2 . C.  ;    1 . D. 2; .
Câu 32. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x   x  2
1 2  x x  3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  3;    1 và 2;   .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;  2 .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;  3 và 2;   .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;  2 .
Câu 33. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đạo hàm f  x   x   x  2021  x  2020 2 1 2 . Khẳng định nào sau đây đú ng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 và đạt cực tiểu tại các điểm x  2  .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoả
ng 1;2 và 2;  .
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  1 .
Câu 34. Hàm số y  f  x có đạo hàm 2
y  x (x  5) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 5; .
B. Hàm số nghịch biến trên (0; ) .
C. Hàm số nghịch biến trên  .
D. Hàm số nghịch biến trên  ;0   và5;.
Câu 35. Cho hàm số y  f  x xác định trên tập  và có f  x 2
 x  5x  4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;4 .
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3; .
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3   .
D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;4 .
Câu 36. Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm f  x  x   x   3 ( ) ( 2)
5 (x 1) , x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y  f (x) đồng biến trên khoảng  1  ; 2 .
B. Hàm số y  f (x) đồng biến trên khoảng  1  ;  .
C. Hàm số y  f (x) nghịch biến trên khoảng  1  ;  .
D. Hàm số y  f (x) nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 .
Câu 37. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x 2
 x  2,x  .
 Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f   1  f   1 . B. f   1  f   1 . C. f   1  f   1 . D. f   1  f   1 .
Thầy Nguyễn Trọng 10
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 38. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x   x  2  x  3  x  2021 1 2 3
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  3;    1 và 2;   .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  3;  2 .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;  3 và 2;   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;  2 .
 DẠNG 5_ TÌM KHOẢNG ĐB, NB ĐỀ CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F’(X) PHƯƠNG PHÁP
 Đồ thị hàm số y  f  x nằm phía trên trục Ox trên khoảnga;b . Suy ra hàm số
y  f  x đồng biến trên a;b .
 Đồ thị hàm số y  f  x nằm phía dưới trục Ox trong khoảnga;b . Suy ra hàm số
y  f  x nghịch biến trên a;b .
 Nếu cho đồ thị hàm số y  f  x mà hỏi sự biến thiên của hàm số hợp y  f u thì sử dụng
đạo hàm của hàm số hợp và xét dấu hàm số y  f u dựa vào dấu của hàm y  f  x .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị hàm số
y  f  x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng  1  ;  1 .
B. Hàm số f  x đồng biến trên khoảng 1;2 .
C. Hàm số f  x đồng biến trên khoảng  2;   1 .
D. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng 0;2 . Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm y  f  x ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng 0;2 .
Thầy Nguyễn Trọng 11
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x .Hàm số y  f  x có đồ thị như
hình bên. Hàm số y  f 2  x đồng biến trên khoảng: A. 1;3 . B. 2; . C.  2;   1 . D.  ;  2 . Lời giải Chọn C
Ta có:  f 2  x  2  x . f 2  x   f 2  x    x   x 
Hàm số đồng biến khi  f   x   f   x 2 1 3 2 0 2  0   . 1   2 x 4      2   x  1
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x . Biết hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y  f  2
3  x  đồng biến trên khoảng A. 2;3. B.  2;    1 . C.  1  ;0 . D. 0;  1 . Lời giải Chọn C
Hàm số y  f  2
3  x  đồng biến khi y  0   xf  2 2
3  x   0  xf  2 2 3  x   0. x  0 x  0    x  0   2 x  1  1   x  0  2  3 x  2   f      2 3  x   0  x  0  3   x  2  2  6   3 x  1   2 4  x  9 x  0 x  0    x  0   2 x  9 x  3  2  3 x  6    . f      2 3  x   0  x  0 1   x  2 2  1   3  x  2  2  1   x  4
So sánh với đáp án Chọn C.
Ví dụ 4. Cho hàm số f  x xác định trên tập số thực  và có đồ thị
f  x như hình sau. Đặt g  x  f  x  x , hàm số g  x
nghịch biến trên khoảng: A. 1; . B.  1  ;2 . C. 2;  . D.  ;    1 . Lời giải Chọn B
Ta có g x  f  x 1.
Thầy Nguyễn Trọng 12
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy x  1  ;2 thì
f  x 1  g x  0 và g x  0  x 1 nên hàm số y  g  x nghịch biến trên  1  ;2 .
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 39. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên R và có đạo hàm
f  x . Biết rằng f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng  2;  0 .
B. Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng 0; .
C. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng  ;3  .
D. Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng  3;  2   .
Câu 40. Cho hàm số y  f  x . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y  f 3 2x  2020 nghịch biến trên khoảng? A. 1; 2 . B. 2;  . C.   ;1  . D.  1  ;  1 .
Câu 41. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng nào sau đây A. ;0 . B. ;4 . C.  3;    . D.  4;  0 .
Câu 42. Cho hàm số y  f  x . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình
bên. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng A.  ;    1 . B. 2;  . C.  1  ;  1 . D. 1;4 .
Câu 43. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình bên.Hàm số y  2
 f x đồng biến trên khoảng A. 1;2 . B. 2;3. C.  1  ;0 . D.  1  ;  1 .
Thầy Nguyễn Trọng 13
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 44. Cho hàm số y  f  x . Biết rằng hàm số f  x có đạo hàm là
f ' x và hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ bên.Khẳng
định nào sau đây sai?
A. Hàm f  x nghịch biến trên khoảng  ;  2  .
B. Hàm f  x đồng biến trên khoảng 1; . C. Trên  1  ; 
1 thì hàm số f  x luôn tăng.
D. Hàm f  x giảm trên đoạn có độ dài bằng 2 .
Câu 45. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên M và có đồ thị y  f ' x như
hình vẽ. Xét hàm số g  x  f  2
x  2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số g  x nghịch biến trên 0;2 .
B. Hàm số g  x đồng biến trên2; .
C. Hàm số g  x nghịch biến trên  ;  2   .
D. Hàm số g  x nghịch biến trên  1;  0.
Câu 46. Cho hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y  f  2
2  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây A.  ;0  . B. 0;  1 . C. 1;2 . D. 0; .
Câu 47. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số y  f  x   3 3
2  x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;    1 . B. 1; . C.  1  ;0 . D. 0;2 .
Câu 48. Cho hàm số f  x . Hàm số y  f  x có bảng xét dấu như sau
Hàm số y  f  2
x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0;  1 . B.  2;    1 . C.  2;  1 . D.  4;   3 .
 DẠNG 6_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TỪNG
KHOẢNG XÁC ĐỊNH, TRÊN KHOẢNG (A ; B) HAY TRÊN R. PHƯƠNG PHÁP 1. Hàm đa thức.
Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên K .
Thầy Nguyễn Trọng 14
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 Nếu trên K , f '(x)  0 và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì f (x) đồng biến trên K .
 Nếu trên K , f '(x)  0 và dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm K thì f (x) nghịch biến trên K .
 Cho tam thức bậc hai f  x 2
 ax  bx  c có biệt thức 2
  b  4ac . Ta có: a  0 a  0
f (x)  0, x  R  
f (x)  0, x  R     0   0
 Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y  f  x, m đồng biến trên K ”. Ta thường thực hiện theo các bước sau:
• Tính đạo hàm f '(x, m)
• Lý luận: Hàm số đồng biến trên K  f '(x, m)  0, x  K  m  g(x),x  K m  g(x)
• Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K , từ đó suy ra giá trị cần tìm của m.  Hàm số bậc 3: 3 2
y  ax  bx  cx  d  a  0  a  0
• Hàm số đồng biến trên   y '  0,x       2   0  b ac y   3  0 '  a  0  a  0
• Hàm số nghịch biến trên   y '  0,x       2   0  b ac y   3  0 '
. Chú ý: Xét hệ số a  0 khi nó có chứa tham số. ax  b
2. Hàm phân thức hữu tỷ: y  . cx  d
 Xét tính đơn điệu trên tập xác định:  d  ad  bc
• Tập xác định D   \   ; Đạo hàm y  .  c  cx  d 2  d   d 
• Nếu y  0 , x  D , suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;     và  ;   .  c   c   d   d 
• Nếu y  0 , x  D , suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;     ;  ;   .  c   c 
 Xét tính đơn điệu trên khoảng  ;
a b thuộc tập xác định D :
ad  bc  0,x  ; a b 
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng  ;
a b thì  d .   ; a b  c
ad  bc  0,x  ; a b 
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng  ;
a b thì  d .   ; a b  c
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  4m  9 x  5 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để hàm số nghịch biến trên  ? A. 0 . B. 6 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn D 3 2
y  x  mx  4m  9 x  5 . TXĐ:  .
Thầy Nguyễn Trọng 15
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2 y  3
 x  2mx  4m  9 .
Hàm số nghịch biến trên   y  0 x   (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm) 2
 3x  2mx  4m  9  0 x      0 (do a  3   0 ) 2
 m  34m  9  0 2
 m 12m  27  0  9   m  3  .
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. 1
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  2mx  4x  5 đồng biến trên  . 3 A. 1   m 1. B. 1   m 1.
C. 0  m  1.
D. 0  m  1. Lời giải Chọn A TXĐ: D   Ta có, 2
y  x  4mx  4 . a  1  0 
YCBT  y  0,x         4
 m2  4.1.4  0 2
 m 1  0  1  m  1.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 2
y  x m  x  2018  
1 đồng biến trên khoảng 1;2 .
A. m [3;+) .
B. m [0; ) .
C. m [  3; ) . D. m  ( ;  1] . Chọn A Ta có 2 y  3
 x  2mx . Để hàm số 
1 đồng biến trên 1;2 thì y  0, x 1;2 . 3 Khi đó 2
3x  2mx  0 ,x 1;2   x m
x 1;2  m  3 . 2 x  3
Ví dụ 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 
nghịch biến trên 2; . x  4m A. 1. B. 3 . C. Vô số. D. 2 . Lời giải Chọn A
Điều kiện: x  4  m . 1
Để hàm số xác định trên 2; thì 4m  2  m   2 4m  3 Ta có: y '  x  4m2
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi y     4m  3 ' 0, x 2;   0,  x  2; 2   x  4m 3
 4m  3  0  m  . 4 1 3
Vậy   m  nên có 1 số nguyên m  0 thỏa mãn. 2 4 x  m
Ví dụ 5. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên các khoảng xác định của nó. x 1 A. m 1  ; . B. m ;    1 . C. m  1  ;. D. m ;    1 . Lời giải
Thầy Nguyễn Trọng 16
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Chọn C
Tập xác định: D   \  1 . 1 m Ta có: y  x  2 1 1 m
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó khi y  0, x  D 
 0 ; x  D x  2 1
 1 m  0  m  1  . mx  9
Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng x  m 1;? A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn D
Tập xác định: D  \  m . 2 m  9 Ta có: y  . x  m2  y  0  2 m  9  0
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;     . m  
1; m 1  3   m  3    1   m  3 . m  1 
Vì m   m 1;  0;1;  2 .
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3
y  x  m   2 x   2 3 2
3 m  4m x 1
nghịch biến trên khoảng 0;  1 . A. 1. B. 4 . C. 3. D. 2 . Câu 50. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  4m  9 x  5, với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m để hàm số nghịch biến trên  ;   ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Câu 51. Giá trị của m để hàm số 3
y  x  m   2 2
1 x  m  
1 x  5 đồng biến trên  là    7 
A. m   7 ;1  ;    . B. m  1;   .  4   4     7 
C. m   7 ;1  ;    . D. m  1; .  4   4  
Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y   2 m  m 3
x  m   2 2
2 x  x 10 đồng biến trên  A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 53. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y   2 m   3
x  m   2 1
1 x  x  4 nghịch biến trên  A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Thầy Nguyễn Trọng 17
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x  2
Câu 54. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng 5; x  m A. 7. B. 8. C. 9. D. 10. mx 16
Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 
đồng biến trên 0;10 . x  m A. m  ;
 104;  . B. m  ;
  4 4;  . C. m  ;
 104;   . D. m  ;
  44;   . x  6
Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y 
nghịch biến trên khoảng x  5m 10;  . A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. Vô số. mx  2m  3
Câu 57. Cho hàm số y 
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x  m
m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Tìm số phần tử của S . A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 1. mx  3
Câu 58. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y  đồng biến trên từng 2x  m khoảng xác định. A.  6;  6. B.  6; 6 . C.  6; 6  . D.  6;6 .  -BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C 11.C 12.C 13.D 14.D 15.B 16.C 17.A 18.B 19.B 20.C 21.B 22.C 23.B 24.B 25.D 26.A 27.B 28.A 29.C 30.A 31.B 32.D 33.D 34.A 35.A 36.D 37.D 38.D 39.B 40.A 41.C 42.C 43.A 44.D 45.D 46.B 47.C 48.B 49.B 50.C 51.D 52.C 53.B 54.A 55.A 56.C 57.A 58.B
Thầy Nguyễn Trọng 18
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§2_CỰC TRỊ HÀM SỐ
 DẠNG 1_TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT BBT, BẢNG DẤU CỦA HÀM SỐ Y = F(X). PHƯƠNG PHÁP
 Qua x , f  x đổi dấu từ    thì x là điểm cực đại của hàm số. 0 0
 Qua x , f  x đổi dấu từ    thì x là điểm cực tiểu của hàm số. 0 0
A – VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. y  5 . B. . C. x  5 . D. x  1. CĐ CD CT Lời giải Chọn A
Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại x  1, giá trị cực đại y  y   1  5 . CĐ
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực đại tại điểm A. x  1. B. x  0 . C. x  5. D. x  2 . Lời giải Chọn D
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x  2 .
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  1; x  4.
Ví dụ 4. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:
Thầy Nguyễn Trọng 19
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Hàm số đã cho đạt cực đại tại: A. x  5. B. x  3. C. x  2  . D. x  2 . Lời giải Chọn B
Qua bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x  3.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Câu 1. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại y và giá trị cực tiểu y CĐ CT của hàm số đã cho. A. y  3 và y  0 . B. y  3 và y  2  . CĐ CT CĐ CT C. y  2
 và y  2 . D. y  2 và y  0 . CĐ CT CĐ CT
Câu 2. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm A. x  2 . B. x  1. C. x  1  . D. x  3  .
Câu 3. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x  5. B. x  3. C. x  2  . D. x  2 .
Câu 4. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 5 . B. 1. C. 2 . D. 0 .
Thầy Nguyễn Trọng 20
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 5. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số là A. x  3. B. x  1. C. y  2 . D. y  2 .
Câu 6. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là A. x  3. B. 1;3 . C. 2; 2 . D. x  2 .
Câu 7. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Câu 8. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như
sau. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Câu 9. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như hình
vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 .
Câu 10. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của f  x như hình vẽ
Hàm số có điểm cực đại là A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 .
 DẠNG 2_TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X). PHƯƠNG PHÁP
 Nếu đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
 Nếu đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Thầy Nguyễn Trọng 21
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A – VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên đoạn  2;  2
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f  x
đạt cực đại tại điểm nào dưới đây? A. x  2  . B. x  1  . C. x  1. D. x  2 . Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x  1. 
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d a, ,
b c, d   có đồ thị như
hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn C
Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 2 cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x có đồ thị như hình vẽ:
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 3 cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c ( a , b , c   ) có đồ thị như hình
vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Chọn A
Qua đồ thị hàm số ta có hàm số có 3 cực trị
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Câu 11. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình bên.
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Thầy Nguyễn Trọng 22
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 12. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ
bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 13. Hàm số y  f  x xác định và liên tục trên đoạn  2;  2 và có
đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số f  x đạt cực
đại tại điểm nào dưới đây? A. x  1  . B. x  2  . C. x  1. D. x  2 .
Câu 14. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng A. 1. B. 2  . C. 1. D. 0 .
Câu 15. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình bên dưới. Tìm số điểm
cực trị của hàm số y  f  x . A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .
Câu 16. Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên.
Điểm cực đại của hàm số đã cho bằng A. 3  . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 17. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng  ; a b ? A. 4 . B. 2 . C. 7 . D. 3 .
Câu 18. Cho hàm số f  x có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có ba cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 2 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x  0 và đạt cực tiểu tại x  2 .
Thầy Nguyễn Trọng 23
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 19. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d a, ,
b c, d   có đồ thị như
hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 20. Cho hàm số f  x có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1.
 DẠNG 3_TÌM CỰC TRỊ ĐỀ CHO HÀM SỐ Y = F(X) TƯỜNG MINH PHƯƠNG PHÁP  Lập BBT
 Dựa vào BBT kết luận cực trị
A – VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1. Tìm giá trị cực đại của hàm số 3
y  x  3x  2 . A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B Ta có
 x  1 y 1  0 2   2
y  3x  3  y  0  3x  3  0   x  1 y    1  4 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 4 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x  x x  2
2 ,x   . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là. A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn D
Ta có phương trình f  x  0 có hai nghiệm x  0 và x  2  (là nghiệm kép) Bảng xét dấu
Thầy Nguyễn Trọng 24
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Suy ra hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. 1 2x
Ví dụ 3. Hàm số y  có bao nhiêu cực x  2 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B 3 y   0, x   2 x  22
Suy ra hàm số không có cực trị. Ví dụ 4. Hàm số 4 2
y  x  2x 1 có bao nhiêu điểm cực trị. A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A f  x 3  4x  4x  x  0 f  x 0    x 1 
, các nghiệm này đều là nghiệm đơn. x  1  
Vậy hàm số có 3 cực trị.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 1
Câu 21. Gọi x và x là hai điểm cực trị của hàm số f  x 3 2
 x  3x  2x . Giá trị của 2 2
x  x bằng? 1 2 3 1 2 A. 13 . B. 32 . C. 40 . D. 36 . Câu 22. Hàm số 3 2
y  x  3x  9x  4 đạt cực trị tại x và x thì tích các giá trị cực trị bằng? 1 2 A. 30  2. B. 25 . C. 20  7. D. 82  .
Câu 23. Giá trị cực đại y của hàm số 3
y  x 12x  20 là CD A. y  4  . B. y  2  . C. y  36 . D. y  2 . CD CD CD CD
Câu 24. Số cực trị của hàm số 5 2
y  x  x là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 2x  5
Câu 25. Hàm số y 
có bao nhiêu điểm cực trị? x 1 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 26. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x  x  x  2 x  2021 2 1 3 2 , x
  . Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 5 . B. 2. C. 3 . D. 4 .
Thầy Nguyễn Trọng 25
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2020
Câu 27. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x   2 x   1
x 5x  2. Số điểm cực trị của hàm số
f  x bằng A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. Câu 28. Hàm số 4 2
y  x  x  2020 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 29. Hàm số 3
y  x  3x  2020 đạt cực tiểu tại A. x  1  . B. x  3. C. x  1. D. x  0 .
Câu 30. Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x   x  2  x  3 1
2 2x  3 . Tìm số điểm cực trị của f  x A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
 DẠNG 4_ TÌM CỰC TRỊ KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F’(X) PHƯƠNG PHÁP
 Xác định số giao điểm mà đồ thị f  x cắt trục Ox .
 Kết luận số cực trị của hàm số f  x bằng số giao điểm với trục Ox .
 Chú ý nếu đồ thị tiếp xúc với trục Ox thì điểm ấy không là cực trị.
A – VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  . Biết đồ thị của hàm số
y  f  x như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x là A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B x  
Dựa vào hình vẽ ta có: f  x 1  0  
, và đồ thị hàm số y  f  x nằm phía trên trục x 1 hoành. Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số y  f  x không có cực trị.
Thầy Nguyễn Trọng 26
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x xác định trên  và có đồ thị hàm
số y  f  x là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số
y  f  x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 . B. 4 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị y  f  x ta thấy phương trình
f  x  0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f  x chỉ đổi dấu 3 lần.
Vậy hàm số y  f  x có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x xác định trên  và hàm số y  f  x y
có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  2 x  3 . 2 A. 3 . B. 2 . 1 x -2 C. 5 . D. 4 . O Lời giải Chọn A
Quan sát đồ thị ta có y  f  x đổi dấu từ âm sang dương qua x  2
 nên hàm số y  f x
có một điểm cực trị là x  2  .  x  0 x  0
Ta có y   f   2
x    x f    2 3 2 .
x  3 y '  0    . 2  x  3  2  x  1 
Do đó hàm số y  f  2
x  3 có ba cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị của hàm số y  f  x như hình
bên. Hàm số     2 g x
f x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B x  2  x  0
Từ đồ thị y  f  x ta có f  x  0   x  1  x  3 x  0  x  0 2 x  0 x  1  
Ta có g x  xf  2 2
x  gx  0       . f    x 1 2 x  2  0   x  3   x   3 2 x  0
Ta có hàm số     2 g x
f x  có 5 điểm cực trị.
Thầy Nguyễn Trọng 27
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
B - BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 31. Cho hàm số y  f  x có đồ thị của hàm y  f  x như hình vẽ đưới
đây. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x là y  f  x Cho hàm số
y  f  x liên tục trên  . Biết đồ thị của hàm số y  f  x như hình
vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x là A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 .
Câu 33. Cho hàm số f (x) có đồ thị f '(x) như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số f (x) là A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1.
Câu 34. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y
y  f  x trên R như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x có 1 điểm cực tiểu và không có cực đại. 2
B. Hàm số y  f  x có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. 1 O
C. Hàm số y  f  x có 1 điểm cực đại và không có cực tiểu. -1 x
D. Hàm số y  f  x có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Câu 35. Cho hàm số y  f  x . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ:
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y  f  x có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số y  f  x có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y  f  x có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y  f  x có một điểm cực trị.
Câu 36. Cho hàm số y  f  x , có đạo hàm là f  x liên tục trên  và hàm
số f  x có đồ thị như hình dưới đây.Hỏi hàm số y  f  x có bao nhiêu cực trị ? A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 37. Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  , có đạo
hàm f  x . Biết đồ thị của hàm số f  x như hình vẽ.
Xác định điểm cực tiểu của hàm số g  x  f  x  x
A. Không có cực tiểu. B. x  0 . C. x  1. D. x  2 .
Thầy Nguyễn Trọng 28
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 38. Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số
y  f '(x) như hình vẽ sau.
Số điểm cực trị của hàm số y  f (x)  5x là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 39. Cho hàm số y  f  x xác định trên  có đồ thị của hàm số
y  f  x như hình vẽ. Hỏi hàm số y  f  x  x có bao nhiêu điểm cực đại? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 40. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  . Hàm số
y  f  x có đồ thị như hình vẽ dưới đây:Cho bốn mệnh đề sau:
1. Hàm số y  f  x có ba điểm cực trị.
2. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng 0;  1 .
3. Hàm số y  f  x có một điểm cực tiểu.
4. Hàm số y  f  x đạt cực đại tại điểm x 1.
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
 DẠNG 5_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM CHO TRƯỚC. PHƯƠNG PHÁP
 Tìm f  x; f   x .  f    x  0 0 
 Hàm số đạt cực đại tại x  x  . 0   f   x  0 0   f    x  0 0 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x  x  . 0   f   x  0 0 
A – VÍ DỤ MINH HỌA. 1
Ví dụ 1. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  mx   2 m  m  
1 x đạt cực đại tại x  1. 3 A. m  0 . B. m  3 . C. m . D. m  2 . Lời giải Chọn B Ta có 2 2
y  x  2mx  m  m 1 .
y  2x  2m . 2  y       1  0 2 1
  2m  m  m 1  0 m 3m 0 
Hàm số đạt cực đại tại x  1       1  y    1  0 1   2m  0 m   2
Thầy Nguyễn Trọng 29
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 m  0  m  3    m  3 .  1 m   2 1
Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số 3 2
y  x  mx   2 m  m  
1 x 1 đạt cực đại tại x  1. 3 A. m  1  . B. m  2  . C. m  2 . D. m 1. Lời giải Chọn C
Tập xác định D   . Ta có 2 2
y  x  2mx  m  m 1; y  2x  2m .
Hàm số đạt cực đại tại x  1 khi   y    m 1 2 1  0
m  3m  2  0          . y    m 2 m 2 1  0 2  2m  0  m  1
Ví dụ 3. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3x  mx đạt cực đại tại x  0. A. m 1. B. m  2 . C. m  2  . D. m  0 . Lời giải Chọn D TXĐ D   2
y  3x  6x  ,
m y  6x  6. Hàm số 3 2
y  x  3x  mx đạt cực đại tại x  0  y (0
 )  0  m  0.
Với m  0 ta có y (0
 )  6  0  x  0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy m  0 là giá trị cần tìm.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Câu 41. Hàm số 3
y  x    m 2 2 4 2
x  m  5 x  4 đạt cực đại tại x  0 thì giá trị của m là? A. 5  . B. 5 . C. 2  . D. 13 . Câu 42. Hàm số 3 2 2
y  x  2mx  m x  2 đạt cực tiểu tại x  1 khi A. m  3 . B. m 1. C. m  1  . D. m  3  .
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  mx  x   2
m  6 x 1 đạt cực tiểu tại x  1. m  1 1 A.  . B. m  4  . C. m 1. D. m   . m  4  3
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4 3 2
y  x  4x  mx  4x  3 đạt cực tiểu tại x  1. A. m  2 . B. m  4 . C. m  6 . D. m 1.
Câu 45. Để hàm số 3 2
y  x  3x  mx đạt cực tiểu tại x  2 thì tham số thực m thuộc khoảng nào sau đây?
A. m 3;5 . B. m  3;    1 .
C. m1;3. D. m  1  ;  1 .
Thầy Nguyễn Trọng 30
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 1
Câu 46. Tìm giá trị thực của m sao cho hàm số f  x 3 2
 x  mx   2
m  4 x đạt cực đại tại x 1? 3 A. m 1. B. m  3 . C. m  1  . D. m  3  .
Câu 47. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  mx  mx đạt cực tiểu tại x  2 . A. m  4 . B. m  2  . C. m  2 . D. m  4  . 1
Câu 48. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  mx   2
m  4 x  3 đạt cực đại tại 3 x  3. A. m 1. B. m  1  . C. m  7  . D. m  5 .
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3mx  2x 1 nhận điểm x  1 làm điểm cực tiểu. 5 5 A.  m . B. m  .
C. Vô số m . D. m  . 2 6
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 4
y  x  m   2 2
1 x  m đạt cực tiểu tại x  0 A. m 1. B. m 1. C. m  . D. m 1.
 DẠNG 6_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ THỎA ĐIỀU KIỆN. PHƯƠNG PHÁP
 Tính f  x .
 Cho f  x  0  Biện luận m để thỏa điều kiện.
A – VÍ DỤ MINH HỌA. 1
Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  x  mx  2020 có cực trị. 3
A. m   ;1 .
B. m   ;1 .
C. m  ;0   0;  1 .
D. m  ;0   0;  1 . Lời giải Chọn B Ta có 2
y  x  2x  m .
Hàm bậc ba có cực trị khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt    1 m  0  m  1.
Cách hỏi hàm bậc 3 có cực trị hoặc có hai điểm cực trị, đều như nhau.
Có thể ta dùng công thức: 2 b  3ac .
Có cực trị; hai cực trị: 2
b  3ac  0 . Không có cực trị 2
b  3ac  0 .
Với a ,b , c là hệ số của y . 1
Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  x  mx  2017 có cực trị. 3
A. m  \  2  ;2 .
B. m   2 2; . C. m  2;  2 . D. m 2;  2 . Lời giải
Thầy Nguyễn Trọng 31
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Chọn B 1 3 2
y  x  mx  4x  5 2
 y '  x  2mx  4 3
Điều kiện cần và đủ của để hàm số có hai điểm cực trị là  '  0 2  m  4  0 m  2    m  2
Hay m   2 2; .
Ví dụ 3. Đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị là A1; 7  , B2; 8
  . Tính y  1 . A. y   1  7 . B. y   1 11. C. y   1  1  1. D. y   1  3  5. Lời giải Chọn D 3 2 2
y  ax  bx  cx  d  y  3ax  2bx  . c Theo đề bài ta có hệ 3
 a  2b  c  0 3
 a  2b  c  0 a  2   12
 a  4b  c  0 12  a 4b c 0 b       9       .
a  b  c  d  7 
7a  3b  c  1  c  12    8
 a  4b  2c  d  8  d  7   
a b  c d  1  2 Vậy 3 2
y  2x  9x 12x 12  y   1  3  5.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Câu 51. Cho hàm số 3 2
y  x  mx   2
m  6 x . Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có cực trị. A. 5 . B. Vô số. C. 4 . D. 6 . 1
Câu 52. Điều kiện cần và đủ của m để hàm số 3 2
y  x  mx  4x  5 có hai điểm cực trị là. 3
A. m  \  2  ;2 . B. m  ;  2   2; . C. m  2;  2 . D. m 2;  2 .
Câu 53. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3x  3mx 1 không có cực trị là. A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1.
Câu 54. Tìm các số thực m để hàm số y  m   3 2
2 x  3x  mx  5 có cực trị. m  2 m  3  A.  . B. 3   m 1. C.  . D. 2   m 1.  3   m 1 1   m
Câu 55. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số 3 2
y  x  x  mx  5 có cực trị là 1 1 1 1 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 3 3 3 3
Thầy Nguyễn Trọng 32
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 2
y  x  3x  mx 1 không có cực trị A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 .
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3
y  x  3x  m có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu A. m  2;   2 . B. m  2  hoặc m  2 . C. 2   m  2 . D. m  .  .
Câu 58. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y  mx  2mx  m  2 x 1 không có cực trị A. m 6;  0 .
B. m 0; . C. m  ;  6   0; . D. m  6;  0.
Câu 59. Biết rằng đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  ax  b có điểm cực tiểu là A2; 2
 . Tính tổng S  a b A. S  34 . B. S  14  . C. S 14 . D. S  20  .
Câu 60. Giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y  x  3x  mx 1 có hai cực trị x , x thỏa mãn 2 2 x  x  6 1 2 1 2 là A. m  3  . B. m 1. C. m  1  . D. m  3 .
 DẠNG 7_TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ THỎA ĐIỀU KIỆN PHƯƠNG PHÁP
 Tính f  x .
 Cho f  x  0  Biện luận m để thỏa điều kiện.
 Hoặc xét hệ số a ;b .  Hàm trùng phương có:
• 3 điểm cực trị  . a b  0 .
• 1 điểm cực trị  . a b  0 .  Từ đó ta có thêm: a  0
• Có cực đại không có cực tiểu   . b   0 a  0
• Có cực tiểu không có cực đại   . b   0
A – VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền  10  ;10 để hàm số 4
y  x   m   2 2 2 1 x  7
có ba điểm cực trị? A. 20 . B. 11. C. 10 . D. 9 . Lời giải Chọn B Ta có 3
y '  4x  42m   1 x .
Thầy Nguyễn Trọng 33
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x  0 3
y '  0  4x  42m   1 x  0   2 x  2m 1 1
Để hàm số có ba điểm cực trị thì 2m 1  0  m   . 2
Vậy các giá trị nguyên của m trên miền  10
 ;10 là m0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;1  0 .
Ví dụ 2. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4
y  x   2
m  m   2 2
6 x  m 1 có 3 điểm cực trị. A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Để hàm số có 3 điểm cực trị  ab    2 0
2 m  m  6  0  2  m  3 .
Do m nguyên nên m  1  ;0;1;  2 .
Ví dụ 3. Tìm các giá trị của m để hàm số 4
y  x  m   2 2
1 x  3  m có đúng một điểm cực trị. A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Lời giải Chọn B ab  0  2  m   1  0  m  1.
B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
Câu 61. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 4
y  mx  m   2
1 x 1 2m chỉ có một cực trị. m  0 A. m 1. B. m  0 .
C. 0  m 1. D.  . m  1
Câu 62. Tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số 4 2
y  mx  x 1 có đúng một điểm cực trị là A.  ;0  . B.  ;0   . C. 0;. D. 0; .
Câu 63. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y  mx  2x 10 có ba điểm cực trị. A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 .
Câu 64. Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số y  m   4
x    m 2 1 6
x  m có đúng 1 cực trị. A. 5 . B. 1. C. 6 . D. 0 . Câu 65. Hàm số 4 2
y  x  mx 1có ba cực trị khi và chỉ khi A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Câu 66. Hàm số 4 2
y  x  mx  m  5 ( m là tham số) có 3 điểm cực trị khi các giá trị của m là
A. 4  m  5 . B. m  0 . C. m  8 . D. m 1.
Câu 67. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y   2 m   4 2
1 x  mx  m  2 chỉ có một điểm cực
đại và không có điểm cực tiểu 3 1
A.   m  0 . B. 1   m  0 .
C. 0  m 1.
D. 1  m  . 2 2
Thầy Nguyễn Trọng 34
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 3 7
Câu 68. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y  x  2mx 
có cực tiểu mà không có 2 3 cực đại A. m  0 . B. m 1. C. m  1  . D. m  0 . 1 3
Câu 69. Tìm tham số m để hàm số 4 2
y  x  mx  có cực tiểu mà không có cực đại. 2 2 A. m  1  . B. m 1. C. m  0 . D. m  0 .
Câu 70. Xác định các hệ số a,b, c của đồ thị của hàm số 4 2
y  ax  bx  c biết A1;4, B0;3 là các
điểm cực trị của đồ thị hàm số? 1
A. a  1;b  0;c  3 .
B. a   ;b  3;c  3 . 4
C. a  1;b  3;c  3 .
D. a  1;b  2;c  3 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D 9.A 10.B 11.B 12.C 13.B 14.B 15.D 16.A 17.B 18.A 19.C 20.A 21.B 22.C 23.C 24.B 25.D 26.B 27.D 28.D 29.C 30. B 31.A 32.B 33.C 34.A 35.B 36.C 37.C 38.C 39.D 40. C 41.B 42.B 43.C 44.C 45.D 46.A 47.A 48.D 49.D 50.B 51.A 52.B 53.D 54.A 55.B 56.B 57.C 58.D 59.C 60.A 61.D 62.B 63.D 64.C 65.B 66.B 67.C 68.D 69.C 70.D
Thầy Nguyễn Trọng 35
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§3_GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT
 DẠNG 1 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F (X) PHƯƠNG PHÁP
 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số.
A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1 - ; ] 3 và có đồ thị
như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1; ] 3 . Giá trị của
M -m bằng A. 1. B. 4. C. 5. D. 0 Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy:
M  max f  x  f 3  3 và m  min f  x  f 2  2 1; 3 1; 3
Vậy M  m  5 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  1  ;  1 và có đồ thị
như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1  ; 
1 . Giá trị của M  m bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta thấy M  1, m  0 nên M  m  1.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1  ;  3 và có đồ thị
như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1  ;  3 . Giá trị của 2 2
M  m bằng A. 15 . B. 11. C. 4 . D. 13 . Lời giải Chọn D
Từ đồ thị ta thấy M  2, m  3 nên 2 2
M  n  13
Thầy Nguyễn Trọng 36
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  1
 ; 2 và có đồ thị
như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1
 ; 2. Ta có 2M  m bằng A. 4 . B. 0 . C. 3 . D. 5 .
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [-1;3]
và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của 2M + m bằng A. 1. B. 4. C. 5. D. 0.
Câu 3. Cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn  2;
 4 và có đồ thị như hình
vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn  2;  4. Giá trị của 2 2
M  m bằng A. 8 . B. 20 . C. 53 . D. 65.
Câu 4. Cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [ 1; 2] và có đồ thị như
hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; 2]. Ta có M  m bằng A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 0 .
Câu 5. Cho hàm số y  f  x , x 
2;3 có đồ thị như hình vẽ. Gọi
M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số f  x trên đoạn   2;3 
. Giá trị M  m là A. 6 . B. 1. C. 5 . D. 3 .
Câu 6. Cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn [  3;4] và có đồ thị
như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là các giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [  3; 4] . Tính M  . m A. 5 . B. 8 . C. 7 . D. 1.
Thầy Nguyễn Trọng 37
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 7. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 2;  3và có đồ thị như
hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2; 
3 . Giá trị của M m bằng A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 5 .
Câu 8. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 3;   1 và có đồ thị như y 2
hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ 1
nhất của hàm số đã cho trên đoạn 3;  
1 . Giá trị của 2M  m x -3 -2 -1 1 bằng -1 A. 0 . B. 1. -2 C. 4 . D. 5 . -3
Câu 9. Cho hàm số y  f  x có đồ thị trên đoạn  2;  4 như hình
vẽ bên. Tìm max f  x .  2;  4 A. 2 . B. f 0 . C. 3 . D. 1.
Câu 10. Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn  2;  4 có đồ thị như
hình vẽ dưới đây. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;  3. Giá trị của
2m  3M bằng: A. 13  . B. 12 C. 16  . D. 15. 
 DẠNG 2 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ Y = F (X) PHƯƠNG PHÁP
 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số thông qua chiều BBT.
A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn  1  ; 
3 như hình bên. Gọi M là
giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x trên đoạn  1  ;  3 . Tìm mệnh đề đúng?
A. M  f 0 .
B. M  f 3 .
C. M  f 2 .
D. M  f   1 .
Thầy Nguyễn Trọng 38
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Lời giải Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y  f  x đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi x  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. y  5 .
B. min y  4 . C. y  0 .
D. max y  5 . CD CT   Lời giải Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x  0  y  4 . CT 
+ Hàm số đạt cực đại tại x  1  y  5 . CD 
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Cho hàm số y  f  x xác định trên đoạn  3; 5 
 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. min y  0 .
B. max y  2 5 .
C. max y  2 . D. min y  2  .  3; 5    3; 5  3; 5      3; 5  
Câu 12. Cho hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn  3;
 2 và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần
luợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên đoạn  1
 ;2. Tính M  . m A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 13. Cho hàm số y  f  x xác định trên đoạn  3; 5 
 và có bảng biến thiên như hình vẽ
Thầy Nguyễn Trọng 39
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. min y  0 .
B. max y  2 .
C. max y  2 5 . D. min y  1.  3; 5    3; 5       3; 5   3; 5  
Câu 14. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  1;   1 bằng: A. 1. B. 3 . C. 1. D. 0 .
Câu 15. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  3;
 2và có bảng biến thiên như sau.
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x trên đoạn  1
 ;2. Tính M  m . A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 16. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. max f  x  4 .
B. max f  x  4 .
C. min f  x  2 .
D. min f  x  1  .   2;  3  1; 3
Câu 17. Cho hàm số f  x liên tục trên  3;
 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f  x trên [  3;2] . Tính M  m .
Thầy Nguyễn Trọng 40
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .
Câu 18. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên là
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 9
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng . 20 9 3
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
và giá trị nhỏ nhất bằng  . 20 5 9
C. Hàm số số có giá trị lớn nhất bằng trên đoạn [ 1; 2] . 20 3
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  . 5
Câu 19. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên là
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất 3.
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x  1.
D. Tổng của giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất bằng 4.
Câu 20. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f  x trên R . Tính M  m bằng 1 A. . B. 2 . C. 1 . D. 0 . 2
 DẠNG 3 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F’ (X) PHƯƠNG PHÁP
Thầy Nguyễn Trọng 41
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 Dựa vào đồ thị của f  x để suy ra dấu của đạo hàm, từ đó lập bảng biến thiên của hàm f  x .
A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ. Hàm số y  f  x
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0;2 tại x bằng bao nhiêu? 3 A. x  . B. x  0 . 2 C. x  1.
D. x  2 . Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f  x ta có BBT như sau:
Dựa vào BBT suy ra hàm số y  f  x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng0;2 tại x 1.
Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ. Hàm số y  f  x
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng  1
 ;4 tại x bằng bao nhiêu? A. x  3. B. x  0 . C. x  4 . D. x  1  . Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f ' x ta có BBT như sau:
BBT suy ra hàm số y  f  x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng  1
 ;4 tại x  3.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 21. Cho đồ thị hàm số y  f ' x như hình vẽ. Hàm số y  f  x
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 
3 tại x . Khi đó giá trị của 0 2
x  2x  2020 0 0 bằng bao nhiêu? A. 2020 . B. 2022 . C. 2018 . D. 2024 .
Thầy Nguyễn Trọng 42
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 22. Cho đồ thị hàm số y  f ' x như hình vẽ. Hàm số y  f  x đạt
giá trị lớn nhất trên đoạn  2;
 2 tại x bằng bao nhiêu? A. x  2 . B. x  0 . C. x  2  . D. x  1.
Câu 23. Cho đồ thị hàm số y  f ' x như hình vẽ. Hàm số y  f  x
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2;
 2 tại x bằng bao nhiêu? A. x  3. B. x  0 . C. x  2 . D. x  1.  7 
Câu 24. Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0;  có đồ thị hàm số 2   
y  f ' x như hình vẽ sau: Hàm số y  f  x đạt giá trị nhỏ  7  nhất trên 0; 
tại điểm x nào dưới đây? 2    0 7 A. x  0 . B. x  . 2 C. x  3. D. x  1. y
Câu 25. Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên 2;  2, có đồ thị
của hàm số y  f ' x như hình bên. Tìm giá trị x để hàm số 0 x
y  f  x đạt giá trị lớn nhất trên  2;  2.  2  1 O 1 2 A. x  2 . B. x  1  . C. x  2  . D. x  1.
 DẠNG 4 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [A; B]
PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN
 Tìm các điểm x , x ,...,
x thuộc khoảng (a ;b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc 1 2 m không có đạo hàm.
 Tính f  x ; f x ; f x ;...; f x ; f a ; f b 1   2  3
 n     
 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của f
trên đoạn [a ;b] ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a : b] .  Đặc biệt:
 Nếu f  x đồng biến trên đoạn a;b thì max f  x  f b ;
min f  x  f a a;b a;b
 Nếu f  x nghịch biến trên đoạn a;b thì max f  x  f a ;
min f  x  f b a;b a;b
Thầy Nguyễn Trọng 43
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x 3
 x  3x  2 trên đoạn [3; ] 3 bằng A. 0. B. 16  . C. 20. D. 4. Lời giải Chọn B f  x 2 '  3x  3 x  1 3  ;  f  x 3 '  0   x  1     3  ;  3 f  3    1  6; f   1  4; f  
1  0; f 3  20.
min f (x)  16 [3;3]
Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x 3
 x  3x trên đoạn -3;  3 bằng A. -2 . B. 18. C. 2. D. 18 - . Lời giải Chọn B f  x 2 '  3x  3 x  1 3  ;  f  x 3 '  0   x  1     3  ;  3 f  3    1  8; f   1  2; f   1  2
 ; f 3 18.
maxf (x)  18 [3;3] 3x 1
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y 
trên đoạn 0;2 . x  3 1 1 A. M  5. B. M  5  . C. M  . D. M   . 3 3 Lời giải Chọn C
Hàm số đã cho xác định trên 0;2 . 8  Ta có: y   0,x  0;2 . 2   x 3 y   1
0  , y 2   5 3 1
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là M  . 3 9
Ví dụ 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  trên đoạn 2;4 là x 13 25
A. min y  6 . B. min y  . C. min y  . D. min y  6  . 2;4 2;4 2 2;4 4 2;4 Lời giải Chọn A 2 9  9  1  x y . 2 2 x x
Thầy Nguyễn Trọng 44
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2  x  9 2  y  0   0 x  9  0 2    x 3.    x  2  x  4  2  x  4 2  x  4 f   13 2 
, f 3  6 , f   25 4  . 2 4
Vậy min y  f 3  6. 2;4
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x 2
 x  3x  2 trên đoạn  1  ;2 là A. 6 . B. 0 . C. 2  . D. 2 .
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f  x 3 2
 x  2x  4x 1 trên đoạn 1;  3 .
A. max f  x  7  .
B. max f  x  4 . 1; 3 1; 3 67
C. max f  x  2  .
D. max f  x  . 1; 3 1; 3 27 1 5 Câu 28. Hàm số 3 2
y  x  x  6x 1 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;  3 lần lượt tại 3 2
hai điểm x và x . Khi đó x  x bằng 1 2 1 2 A. 2 . B. 4 . C. 5 . D. 3 .
Câu 29. Cho hàm số y  4  x  4  x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 .
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  0 .
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  4 .
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4 . 2 x  4x  7
Câu 30. Cho hàm số y 
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x 1
trên đoạn 2;4 . Tính M  m. 16 13
A. M  m 17 .
B. M  m  .
C. M  m  .
D. M  m  5 . 3 3
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y  f (x)  x  4x  5 trên đoạn  2;  3 bằng A. 1. B. 50 . C. 5 . D. 122 . x  5
Câu 32. Giá trị lớn nhất của hàm số y 
trên đoạn 8;12 là x  7 17 13 A. 15 . B. . C. 13 . D. . 5 2 3x 1
Câu 33. Cho hàm số y 
có giá trị lớn nhất trên đoạn  1  ;  1 là x  2 1 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 3 3x  2
Câu 34. Giá trị lớn nhất của hàm số y 
trên 0;2 bằng x 1 8 10 A. 2 . B. . C. . D. 3 . 3 3
Thầy Nguyễn Trọng 45
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2x  9
Câu 35. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên 0;  3 . Khi x  3
đó M  m bằng 7 9 11 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2
 DẠNG 5 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG (A; B) PHƯƠNG PHÁP
 Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x trên khoảng  ;
a b cho trước
Từ bảng biến thiên, tùy theo sự thay đổi giá trị của hàm số suy ra kết quả cần tìm
A – VÍ DỤ MINH HỌA: 1
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  3  trên nửa khoảng  4;  2   . x  2 15
A. min y  4 .
B. min y  7 .
C. min y  5 . D. min y  .  4;  2  4;  2  4;  2 4;2 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có: y  1   . x  22 x  1  Xét y  0   . x  3  Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có min y  7 .  4;  2 2 x  x 1
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x 
trên khoảng 1; là x 1 7
A. min y  3 . B. min y  1  .
C. min y  5 .
D. min y   . 1; 1; 1; 1; 3 Lời giải Chọn A 2 2 1 x  2x
f  x x  x 1 1   x 
.  f  x 1  . x 1 x 1 x  2 1 x  2 1 x 
Ta có f  x 0  0   x  2
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng 1;
Thầy Nguyễn Trọng 46
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Từ đó min y  3 . 1;
Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x     2 2 1
2 trên khoảng 0; là x A. Không tồn tại. B. 3  . C. 1   2 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng 0;. 2 2 x  2 y  1  . 2 2 x x x  2 y  0   . x   2 Bảng biến thiên: Vậy min y  f 2  3. 0;    
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1
Câu 36. Cho hàm số y  x  . Giá trị nhỏ nhất của hàm sô trên 0; bằng x A. 2. B. 2 . C. 0. D. 1.
Câu 37. Trên khoảng 0 ;   thì hàm số 3
y  x  3x 1
A. Có giá trị lớn nhất là max 1 y  .
B. Có giá trị nhỏ nhất là min 1 y   .
C. Có giá trị lớn nhất là max 3 y  .
D. Có giá trị nhỏ nhất là min 3 y  . 2 x 1  
Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y 
trên tập hợp D     3 ; 1  1; x  2  2  
A. max f  x  0 không tồn tại min f  x .
B. max f  x  0;min f  x   5 . D D D D
C. max f  x  0;min f  x  1  .
D. min f  x  0 không tồn tại max f  x . D D D D Câu 39. Cho hàm số 4 2
y  x  2x 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Điểm cực đại của hàm số là x  0 .
B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là 0;  1 .
Thầy Nguyễn Trọng 47
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất. 2 x  x 1
Câu 40. Tìm x để hàm số y 
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 1; . x 1 A. x  2  . B. x  0 . C. x  2 . D. x  3. 4
Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số y  là 2 x  2 A. 10 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . 2 x  x 1
Câu 42. Tìm x để hàm số y 
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 1; . x 1 A. x  2  . B. x  0 . C. x  2 . D. x  3. 2 x 1  
Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y 
trên tập hợp D     3 ; 1  1; x  2  2  
A. max f  x  0 không tồn tại min f  x .
B. max f  x  0;min f  x   5 . D D D D
C. max f  x  0;min f  x  1  .
D. min f  x  0 không tồn tại max f  x . D D D D 2 x  x 1
Câu 44. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . Khi đó, 2 x  x 1 tích .
m M bằng bao nhiêu? 1 10 A. . B. 3 . C. . D. 1. 3 3 x
Câu 45. Cho hàm số y 
có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính giá trị biểu thức 2 x 1 2 2
P  M  m . 1 1 A. P  . B. P  . C. 2. D. 1. 4 2
 DẠNG 6 _ TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT GTLN-GTNN BẰNG K
PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN
 Tìm các điểm x , , x ...,
x thuộc khoảng (a ;b) mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc 1 2 m không có đạo hàm.
 Tính f  x ; f x ; f x ;...; f x ; f a ; f b 1   2  3
 n     
 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của f
trên đoạn [a ;b] ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a : b] .  Đặc biệt:
 Nếu f  x đồng biến trên đoạn a;b thì max f  x  f b ;
min f  x  f a a;b a;b
 Nếu f  x nghịch biến trên đoạn a;b thì max f  x  f a ;
min f  x  f b a;b a;b
Thầy Nguyễn Trọng 48
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  x  a ( a là tham số) trên đoạn  1;  2 .
A. min y  1 a .
B. min y  a .
C. min y  4  a .
D. min y  0 .  1;  2 1;2  1;  2  1;  2 Lời giải Chọn B
Hàm số liên tục và xác định trên  1;  2 .
Ta có y  2x  y  0  x  0. y   1  1 . a y 0  . a y 2  4  . a
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng a đạt được khi x  0. 2x  m 1
Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x)  trên đoạn x 1 1;2 bằng 1 A. m 1. B. m  2  . C. m  2 .
D. Không có giá trị m . Lời giải Chọn A 3  m
Ta có f  x  x  2 1 3  m
Nếu m  3: f (  x) 
 0 nên hàm số đồng biến trên 1;2  min f (x)  f (1) 1. 2 (x 1) [1;2] m 1
Vậy min f (x)  1  f (1)  1 
 1  m  1 (nhân). [1;2] 2 3  m
Nếu m  3: f (  x) 
 0 nên hàm số nghịch biến trên 1;2 2 (x 1)
 min f (x)  f (2) 1. [1;2] 3  m
Vậy min f (x)  1  f (2)  1 
 1  m  0 (loại). [1;2] 3
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 46. Có một giá trị m của tham số m để hàm số 3
y  x   2 m  
1 x  m 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 5 trên đoạn 0; 
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m  m  0 . B. 2m 1  0 . 0 0 0 C. 2
6m  m  0 .
D. 2m 1  0 . 0 0 0 2
x  m  m
Câu 47. Gọi A , B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  trên đoạn 2;  3 . Tìm x 1 13
tất cả các giá trị thực của tham số m để A  B  . 2
A. m 1; m  2  . B. m  2  . C. m  2  . D. m  1  ; m  2 .
Thầy Nguyễn Trọng 49
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 48. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  9x  m có giá trị lớn nhất trên đoạn  2;
 0 bằng 2 , với m là tham số
thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m  3  . B. m  4 . C. m  2 . D. m  3 . 
Câu 49. Cho hàm số  x m y
thỏa min y  max y  8 , với m là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây x 1;2 1;2 đúng? A. m  4 .
B. 0  m  2 .
C. 2  m  4 . D. m  0 .
Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y  2x  3x  m trên đoạn 0; 
5 bằng 5 khi m là A. 6 . B. 10 . C. 7 . D. 5 . 2 x  m
Câu 51. Cho hàm số f  x 
, với m là tham số. Giá trị lớn nhất của m để min f  x  2 là x  8 0; 3 A. m  5 . B. m  6 . C. m  4 . D. m  3 . Câu 52. Cho hàm số 3 2
y  2x  3x  m . Trên  1  ; 
1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1. Tính m . A. m  6  . B. m  3  . C. m  4  . D. m  5  . mx 
Câu 53. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x 1  trên đoạn 3; 
5 bằng 2 khi và chỉ khi: 2x  m A. m  7 .
B. m 7;1  3 . C. m . D. m  13 .
Câu 54. Tìm m để hàm số 3 2 y  2
 x  3x  m có giá trị lớn nhất trên đoạn 0;  3 bằng 2021. A. m  2022 . B. m  2020 . C. m  2018. D. m  2017 . 2 x  m
Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  trên 2;4 x 1 bằng 2 . A. m  0 . B. m  2  . C. m  2 . D. m  4  .
 DẠNG 7 _ ỨNG DỤNG GTLN-GTNN VÀO PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT CHỨA THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP
1. Tìm đk của tham số để phương trình f (x, m)  0 có nghiệm x  K ?
 Chuyển trạng thái tương giao: g(x)  h(m) , x  I .
 Lập bảng biến thiên của g(x) trên I .
 Ycbt  x  E (Miền giá trị của g(x) trên I ).
Đặc biệt: Phương trình g(x)  h(m) có nghiệm x [ ;
a b]  min f (x)  h(m)  max f (x) [a;b] [a;b]
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình f (x, m)  0 có nghiệm (nghiệm đúng với
mọi ) x  K ?
 Biến đổi bpt về dạng: g(x)  h(m) (1) , (g(x)  h(m), g(x)  h(m), g(x)  h(m)) , x  I .
Thầy Nguyễn Trọng 50
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 Bất pt (1) có nghiệm x  I  Max f (x)  h(m) . I
 Bất pt (1) nghiệm đúng với mọi x  I  Min f (x)  h(m) . I
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 2
x  3x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt A. Không có m .
B. m 4;  0 . C. m  4;   0 . D. m  0 . Lời giải Chọn C Ta có 3 2 3 2
x  3x  m  0  x  3x  m . Xét hàm số 3 2
y  x  3x : TXĐ: D   , 2
y  3x  6x  0  x  0 hoặc x  2 . Bảng biến thiên: x  0 2  y   0 0  y 0   4
Dựa vào bảng biến thiên suy ra m  0 hoặc m  4  . Vậy m  4;   0 .
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3
x  3x  4m 1  0 có ít nhất một nghiệm thực trong  3;  4? 51 19 51 19 A.  m  . B.  m  . C. 51   m 19. D. 51   m 19. 4 4 4 4 Lời giải Chọn B Ta có 3
x  3x  4m 1  0 3
 x  3x 1  4m .
Đặt f  x 3
 x  3x 1.
Ta có f  x liên tục trên  3;  4. x  f ' x 1 2  3
 x  3, f 'x  0   . x  1  f  3
  19, f 4  5  1, f   1  1  , f   1  3 .
Suy ra max f  x  19 khi x  3
 . min f x  51 khi x  4 .  3;  4  3;  4 Phương trình 3
x  3x  4m 1  0 có ít nhất một nghiệm thực trong 3;  4 khi
f  x  m  f  x 51 19 min 4 max   m  . 3;4  3;  4 4 4
Ví dụ 3. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình 2  4   m x x 2 có
nghiệm. Tập S có bao nhiêu phần tử?
Thầy Nguyễn Trọng 51
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có: 2  4   m x x
(*) điều kiện xác định: 2   x  2 . 2
Xét hàm số f  x 2
 x  4  x , x 2;  2. x
Có f ' x 1 . 2 4  x x  0 x  f ' x 2  0  1
 0  4  x  x    x  2 2 4  x 
x   2  x  2  2  ;2
Hàm số f  x 2
 x  4  x liên tục trên  2;
 2; có đạo hàm trên  2;  2 . f  2    2
 ; f 2  2; f  2  2 2 . Suy ra min f x  2
 ; max f x  2 2 .  2;  2  2;  2 m
Vậy phương trình (*) có nghiệm  2   2 2  4  m  4 2 . 2
Mặt khác m nguyên âm nên S   4;  3  ; 2;    1
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 56. Tìm m để phương trình 3
x  3x  m  0 có nghiệm x 0; 2 ? A. m  ;  2   . B.  2;  2. C. 2;  . D. Đáp án khác..
Câu 57. Tìm m để phương trình 3 2
2x  3x  2m  0 có nghiệm x 1; ? 1 1 A. m   . B. m  . C. m 1. D. m  1  . 2 2
Câu 58. Biết m  ;
a b thì phương trình 4 2
x  2x  2  m  0 cónghiệm x  2;
 0 . Tính T  b  a ? A. 1. B. 8 . C. 9 . D. 10 .
Câu 59. Tìm m để bất phương trình 2x 1  m(x 1) nghiệm đúng với mọi x  1  ;0 ? 1 2 3 A. m 1. B. m  . C. m  . D. m  . 2 3 2
Câu 60. Tìm m để bất phương trình 2
x  5mx  9  0 có nghiệm x 1;9 ? 6 6 A. m  2 . B. m  . C. m  2 . D. m  . 5 5
Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 3
x  5x  7  m nghiệm đúng với mọi x  5;  0 ? A. m  7 . B. m  14  3 . C. m  14  3 . D. m  7 . 2x 1
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình
 m có nghiệm [2;0]? x 1
Thầy Nguyễn Trọng 52
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 5 5 A. m 1. B. m  . C. m  1  . D. m   . 3 3
Câu 63. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 4 2
x  2x 1  2m có nghiệm x 1;  ? A. m 1. B. m  0 . C. m  2 . D. Đáp án khác.
Câu 64. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 4 2
2x  4x 10  m nghiệm đúng với mọi x  ;    1 ? A. m  12  . B. m  12 . C. m  8  . D. m .
Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2
x  2x  5  3  m có nghiệm? A. m  5 . B. m  5 .
C. m  3  5 . D. m  0 .
Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 5  4x 1  m nghiệm đúng với mọi x  1;   1 ? A. m  4 . B. m  2 . C. m  3 .
D. m  1 5 .
Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình 2
4  x  2018  m có nghiệm? A. m  2018. B. m  2020 . C. m  2021. D. m  2022 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 13.C 14.D 15.A 16.A 17.C 18.C 19.C 20.C 21.A 22.A 23.D 24.C 25.D 26.A 27.C 28.D 29.A 30.D 31.B 32.C 33.D 34.B 35.C 36.B 37.C 38.B 39.C 40.C 41.D 42.C 43.B 44.D 45.B 46.A 47.A 48.A 49.C 50.A 51.C 52.C 53.A 54.B 55.A 56.B 57.A 58.C 59.D 60.C 61.A 62.A 63.A 64.A 65.A 66.A 67.A
Thầy Nguyễn Trọng 53
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§4_ ĐƯỜNG TIỆM CẬN
 DẠNG 1_TÌM TIỆM CẬN BẰNG ĐỊNH NGHĨA, BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ. PHƯƠNG PHÁP 1. Định nghĩa:  lim y  y0
 Hàm số y  f (x) thỏa mãn 1 trong các ĐK: x 
 y  y được gọi là TCN.  lim y  y 0 0 x  lim y    x 0  x  lim y    xx
 Hàm số y  f (x) thỏa mãn 1 trong các ĐK:  0 
 x  x được gọi là TCĐ. lim y   0  x 0x  lim y    x  0 x
2. Dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra tiệm cận:
 Nếu x   mà y  y ( một số) thì y  y là TCN. 0 0
 Nếu x  x ( một số) mà y   thì x  x là TCĐ. 0 0
A - BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x có lim f  x  0 và lim f  x   . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề x x đúng?
A. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng y  0 .
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Lời giải Chọn C
lim f  x  0  y  0 tức trục hoành là TCN. x
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x xác định trên  \  1
 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 .
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 .
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Lời giải Chọn A
Thầy Nguyễn Trọng 54
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Khi x    y  1 nên y  1 là TCN.
Khi x    y  1 nên y  1 là TCN.
Ví dụ 3. Cho đồ thị một hàm số có hình vẽ như hình dưới đây.
Hỏi đồ thị trên có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4 .
B. Không có tiệm cận. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn A
Đồ thị hàm số có 2 TCN là y  0; y  b và 2 TCĐ là x  a .
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho
có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 Lời giải Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
+ lim f  x   , suy ra đường thẳng x  2
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 2 
+ lim f  x   , suy ra đường thẳng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 0 
+ lim f  x  0, suy ra đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Cho hàm số y  f  x có đồ thị C và lim f  x   , lim f  x  2  . Số tiệm cận ngang x x của C là A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 2. Cho hàm số y  f  x có lim f  x   và lim f  x  2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1  x 1 
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 .
Câu 3. Cho hàm số y  f  x xác định trên  \  1
 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Khẳng định nào dưới đây sai?
Thầy Nguyễn Trọng 55
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là y  1 và y  1  .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1  .
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là x  1 và x  1  .
Câu 4. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như bảng dưới đây
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Đồ thị của hàm số y  f  x có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị của hàm số y  f  x có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số y  f  x có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
D. Đồ thị của hàm số y  f  x không có tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
Câu 5. Cho hàm số y  f (x) xác định trên R \  
0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Hỏi đồ thị hàm số trên có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 6. Cho hàm số
y  f x liên
tục trên  , có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng . 3
C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ;    1 , 2;  . Câu 7. Cho hàm số 4 2
f (x)  ax  bx  c có
đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số f  x có bao nhiêu đường tiệm cận?
Thầy Nguyễn Trọng 56
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 y 2 x O A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 8. Cho đồ thị hàm số
y  f  x như hình vẽ dưới. Chọn khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1. 
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Câu 9. Cho hàm số
y  f  x có
đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y  f  x có tiệm cận ngang là?
A. y 1 và y  2 . B.
y  1 và y  2 .
C. y 1 và y  2 . D. y  2 .
Câu 10. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau: x ∞ 2 +∞ f'(x) 5 1 f(x) ∞ 5
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1
Thầy Nguyễn Trọng 57
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 DẠNG 2_TÌM SỐ TIỆM CẬN CỦA NHỮNG HÀM SỐ TƯỜNG MINH THƯỜNG GẶP. PHƯƠNG PHÁP:
1. Đồ thị hàm đa thức không có tiệm cận. ax  b
2. Hàm phân thức dạng y   0; c 
ad  bc  0 cx  d
Đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là  a y
và 1 TCĐ   d x . c c ( )
3. Tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức  f x y g(x)
 Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN là y  0 .
 Nếu bậc của tử  bậc của mẫu thì đồ thị có TCN.
 Nếu bậc của tử  bậc của mẫu hoặc có tập xác định là 1 khoảng hữu hạn a;b hoặc  ; a b thì không có TCN. ( )
4. Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức  f x y . g(x)
 Hàm phân thức mà mẫu có nghiệm x  x nhưng không là nghiệm của tử thì đồ thị có tiệm 0
cận đứng x  x ( với đk hàm số xác định trên khoảng K \{x }; x  K ). 0 0 0
 Tìm nghiệm mẫu g(x)  0 .
 Mẫu g(x)  0 vô nghiệm  đồ thị hàm số không có TCĐ.
 Mẫu g(x)  0 có nghiệm x . 0 f (x)
- Thay x vào tử, nếu f (x )  0  lim
  thì ta kết luận x  x là TCĐ. 0 0 0
xx g ( x) 0
- Thay x vào tử, nếu f (x )  0 (tức là x là nghiệm của cả tử và mẫu thì ta tính 0 0 0 f (x) lim
(dùng máy tính Casio để tính giới hạn). xx g (x) 0 f (x)  Nếu lim
  thì ta kết luận x  x là TCĐ. 0
xx g ( x) 0 f (x)  Nếu lim
  thì ta kết luận x  x không là TCĐ. 0
xx g ( x) 0
A - BÀI TẬP MINH HỌA: 3x 1
Ví dụ 1. Đồ thị hàm số y 
có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x  2 A. x  2
 và y  3 . B. x  2
 và y  1. C. x  2
 và y  3 . D.
x  2 và y  1. Lời giải Chọn A
Thầy Nguyễn Trọng 58
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2 3 TCĐ x   2  ; TCN y   3  . 1 1 x 1
Ví dụ 2. Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y  bằng 2 x 3x  2 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn B x 1 lim
 0  y  0 là TCN. 2
x x 3x  2 x 1 x 1 lim  1; lim    2  2 x 1  x  x  x2 3 2 x 3x  2
Suy ra x  2 là TCĐ.
Ví dụ 3. Đồ thị hàm số nào nào sau đây không có tiệm cận đứng? 1 1 x  3 3x 1 A. y   . B. y  . C. y  . D. y  . x 2 x  2x 1 x  2 2 x 1 Lời giải Chọn C
Mẫu có nghiệm x  2
 nhưng nó không phải giá trị xác định của hàm số nên đồ thị hàm số không có TCĐ.  4  2
Ví dụ 4. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  x là 2 x  x A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn C
Tập xác định D   \  1  ;  0 . x  4  2  1 x  4  2  Ta có lim  lim  .    . x  2 1 x  x x   1    x 1  x  x  4  2  1 x  4  2  lim  lim  .    . x   2 1 x  x x   1      x 1  x 
Do đó đường x  1
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x  4  2 1 1 Ta có lim  lim  . 2 x0 x0 x  x x  
1  x  4  2 4
Do đó đường x  0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là đường x  1 
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 2  x
Câu 11. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x  3 A. x  2 . B. x  3  . C. y  1. D. y  3 .
Câu 12. Đường thẳng x  3, y  2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2x  3 x  3 3x 1 2x  3 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  3 x  3 x  3 x  3
Thầy Nguyễn Trọng 59
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 1 3x
Câu 13. Đồ thị hàm số y 
có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x  2 A. x  2
 và y  3 . B. x  2  và y  1. C. x  2  và y  3 . D.
x  2 và y  1.
Câu 14. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? x 1 2 x 1 A. 2
y  x  x 1 . B. y  .
C. y  x  2018 . D. y  . 2x 1 2 2x 1 2
Câu 15. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  x3 có phương trình là A. y  0 . B. y  2 . C. x  3. D. x  2  . x  2
Câu 16. Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  . x  2 A. 2;  1 . B.  2;  2 . C.  2;  2  . D.  2;   1 .
Câu 17. Đồ thị của hàm số nào sau đây không có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? 3x  2 2 x  2x 1
A. y  log x . B. y  . C. y  . D. . 2 x 1 x  2 2 x 1 x 1
Câu 18. Cho hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2x  2 1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  . 2 1
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x  . 2 1
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y   . 2
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  2 . x  2 1
Câu 19. Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x  3x  2 A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 4  x
Câu 20. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 x  3x A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 2 4  x
Câu 21. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x  3x  4 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. 2 x  2
Câu 22. Số đường tiệm cận của đồ hàm số y  . x  3 A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . x  4
Câu 23. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x 1 A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.
Thầy Nguyễn Trọng 60
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x  7
Câu 24. Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  3x  4 A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . 2 x  3x  2
Câu 25. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 4  x A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 2 x  x 1
Câu 26. Cho hàm số y 
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: x  2 A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 .
5x 1 x 1
Câu 27. Đồ thị hàm số y 
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? 2 x  2x A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . x  9  3
Câu 28. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x  x A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. x  2 1
Câu 29. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là 2 x  3x  2 A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . x  3  2
Câu 30. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là 2 x 1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .
 DẠNG 3_TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ SỐ TIỆM CẬN THỎA ĐIỀU KIỆN. PHƯƠNG PHÁP
 Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận, các tính chất về tiệm cận của hàm số thường gặp và các
kiến thức liên quan để giải quyết bài toán. ax  b
 Đồ thị hàm số y 
ad bc  0 có tâm đối xứng là giao điểm của 2 tiệm cận. cx  d
A - BÀI TẬP MINH HỌA: mx 1
Ví dụ 1. Tìm m để đồ thị của hàm số y 
có đường tiệm cận đứng đi qua điểm A3;2 . x  m A. m  2  . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3  . Lời giải Chọn D Vì 2
ad  bc  m 1  0 nên có TCĐ x  m .
A3;2 x  m  m  3  .
Thầy Nguyễn Trọng 61
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x 1
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận ngang mà 2
x  2x  m
không có tiệm cận đứng. A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Lời giải Chọn A
Đths có TCN y  0 . Đths không có TCĐ 2
x  2x  m vô nghiệm
  1 m  0  m 1. x 1
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  có hai tiệm 2 mx 1 cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 Lời giải Chọn D Xét các trường hơp sau:
Với m  0 : hàm số trở thành y  x 1 nên không có tiệm cận ngang. Với m  0 : x 1 x 1  1 1  hàm số y  
có tập xác định là D    ;  2 2 mx 1 1 m x  m m   
suy ra không tồn tại giới hạn lim y hay hàm số không có tiệm cận ngang. x Với m  0 : Ta có:  1   1 x 1 x 1      x  1 lim  lim  lim   . x 2 mx 1 x 1 x 1 m x m  m  2 2 x x  1  1 x 1 x 1      x  1 lim  lim  lim  . x 2 mx 1 x 1 x 1 m x m  m  2 2 x x 1 1
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là : y  ; y   khi m  0 . m m x 1
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng bốn 2 mx  8x  2 đường tiệm cận? A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. Vô số. Lời giải Chọn B Điều kiện: 2
mx  8x  2  0 .
Nhận thấy đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn đường tiệm cận khi đồ thị có đúng hai đường tiệm
cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Thầy Nguyễn Trọng 62
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng khi 2
mx  8x  2  0 có hai nghiệm phân biệt m  0 
m  0;m  6 khác 1  16
  2m  0   .  m  8 m  8  2  0  x 1 y 
nên đồ thị có đúng hai đường tiệm cận ngang khi m  0 . 8 2 x m   2 x x
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng bốn đường tiệm cận khi đồ thị có đúng hai đường tiệm cận 0  m  8
ngang và hai đường tiệm cận đứng  
mà m nên m 1;2;3;4;5;  7 . m  6
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: x  2
Câu 31. Cho hàm số y 
C . Tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của C
x  3 có đồ thị   là A. I  2;  3 .
B. I 1;3 . C. I 3; 2   . D. I 3;  1 . 2x  2
Câu 32. Cho hàm số y 
C . Tọa độ tâm đối xứng I của C
x  2 có đồ thị   là
A. I 2;2 . B. I  1;  2. C. I 2;  1  .
D. I 1;2 . 3x  9
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y 
có tiệm cận đứng. x  m A. m  3  . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3  . mx  8
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng. x  2 A. m  4 . B. m  4  . C. m  4  . D. m  4 . mx 1
Câu 35. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
nhận đường thẳng y  1 làm tiệm cận 4  2x ngang. A. m  4 . B. m  4  . C. m  2  . D. m  2 . 3x 1
Câu 36. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
nhận đường thẳng x  1 làm tiệm cận m  2x đứng. A. m  3 . B. m  3  . C. m  2  . D. m  2 . 4x  5
Câu 37. Tìm tất các các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng nằm bên x  m phải trục tung. 5 5 A. m  0 .
B. m  0 và m  . C. m  0.
D. m  0 và m   . 4 4 mx 1
Câu 38. Tìm m để đồ thị của hàm số y 
có đường tiệm cận đứng đi qua điểm A2; 3   . x  m A. m  2  . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3  .
Thầy Nguyễn Trọng 63
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
1 m x 1
Câu 39. Tìm m để đồ thị của hàm số y 
có đường tiệm cận ngang đi qua điểm A2;  1  . 2x  m A. m  4  . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3  . 2x 1
Câu 40. Tìm m để đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng cắt đường thẳng d : y  x 1 tại 2x  m điểm A1;0 A. m  4  . B. m  2  . C. m  3 . D. m  2 . ax 1
Câu 41. Biết rằng đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng là x  2 và tiệm cận ngang là y  3 . Hiệu bx  2
a  2b có giá trị là A. 4 . B. 0 . C. 1. D. 5 . mx 1
Câu 42. Cho hàm số y 
với tham số m  0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm x  2m
số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
A. 2x  y  0 .
B. y  2x .
C. x  2 y  0 .
D. x  2 y  0 . m   1 x  2
Câu 43. Cho hàm số y 
. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và x  n 1
tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức P  m  n . A. P  2 . B. P  1. C. P  0 . D. P  3 .
2m  n 2x  mx 1
Câu 44. Biết đồ thị hàm số y 
, ( m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm 2
x  mx  n  6
hai đường tiệm cận. Tính m  n . A. 6  . B. 9 . C. 6 . D. 8 . x  2
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận ngang mà 2
x  4x  m
không có tiệm cận đứng. A. m  4 . B. m  4 . C. m  4 . D. m  4 . 2 2
x  mx  2m
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y  có đường x  2 tiệm cận đứng. m  2  A.  .
B. Không có m thỏa mãn. m  1 m  2 C.  . D. m  . m  1 x 1
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y 
có hai tiệm cận đứng 2 x  m
A. m  0 ; m  1  . B. m  0 .
C. m  0 ; m  1. D. m  1  . x  2
Câu 48. Tính tổng S các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y  có 2 2
x  2x  m  3m 3 tiệm cận. A. S  6 . B. S 19 . C. S  3. D. S 15 .
Thầy Nguyễn Trọng 64
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 mx  2
Câu 49. Tìm m để đồ thị hàm số y 
có đúng hai đường tiệm cận? 2 x  4 A. m  0 . B. m 1. C. m  1  . D. m  1  .
Câu 50. Đồ thị hàm số 2
y  x  3  x  x 1 5
A. Có tiệm cận đứng x  3  .
B. Có tiệm cận ngang y  . 2
C. Có tiệm cận ngang y  3 .
D. Không có tiệm ngang. BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.A 10.B 11.B 12.D 13.A 14.B 15.A 16.D 17.C 18.A 19.D 20.B 21.D 22.D 23.C 24.C 25.A 26.A 27.C 28.C 29.D 30.B 31.D 32.A 33.A 34.B 35.C 36.D 37.B 38.A 39.C 40.D 41.C 42.C 43.C 44.B 45.A 46.C 47.A 48.C 49.D 50.B
Thầy Nguyễn Trọng 65
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§5_ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
 DẠNG 1_NHẬN DẠNG HÀM SỐ BẬC BA KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:
 Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số a  0; 0 a 
 Chú ý điểm cực trị: ac  0 : có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung Oy .
 Điểm uốn nằm bên phải trục Oy khi ab  0 và bên trái trục Oy khi ab  0 .
 Các giao điểm đặc biệt với trục Ox,Oy . 3 2
y  ax  bx  cx  d (a  0) a  0 a  0
y  0 có 2 nghiệm phân  biệt 
y  0 có nghiệm kép 
y  0 vô nghiệm
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y  x  3x 1. B. 4 2
y  x  x  3 . C. 3
y  x  3x 1. D. 2
y  x  3x 1 . Lời giải Chọn C
Đồ thị hàm số đã cho là của hàm số bậc ba có hệ số a  0 nên y
phương án đúng là hàm số 3
y  x  3x 1.
Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 2 A. 3
y  x 1. B. 3 y  4  x 1. C. 2 y  3x 1. D. 3 2 y  2  x  x . -1 O 1 x Lời giải
Thầy Nguyễn Trọng 66
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Chọn A
Ta thấy đồ thị chứa (1
A ;0) , B(0;1) , C(1; 2) nên thay toạ độ các điểm này vào đáp án có kết
luận đồ thị là của hàm số 3
y  x 1.
Ví dụ 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y   x  3x . B. 4 2
y  x  x 1. C. 3
y   x  3x 1. D. 3
y  x  3x . Lời giải Chọn A
Dựa vào dáng điệu đồ thị suy ra hàm bậc ba có hệ số a  0 . Loại đáp án B và D.
Vì đồ thị đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án C.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Đường cong trong hình sau là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm
số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 3
y  x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 3
y  x  3x 1. D. 3 2
y  x  3x 1.
Câu 2. Đường cong trong hình bên là hình dạng đồ thị của hàm số nào? A. 3
y  x  3x 1. B. 4 2
y  x  x 1. C. 2
y  x  x 1. D. 3
y  x  3x 1.
Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong
bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án ,
A B, C, D dưới
đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y   x  3x  2 . B. 3 2
y  x  3x  2 . C. 3 2
y  x  3x  2 . D. 3 2
y   x  3x  2 .
Câu 4. Đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau A. 3 2
y  x  3x 1. B. 3
y  x  3x 1. C. 3
y  x  3x 1. D. 3 2
y  x  3x 1.
Câu 5. Đường cong trong hình bên là hình dạng đồ thị của hàm số nào? A. 3
y  x  3x 1. B. 4 2
y  x  x 1. C. 2
y  x  x 1. D. 3
y  x  3x 1.
Câu 6. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào?
Thầy Nguyễn Trọng 67
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 A. 3
y  x  3x  4 . B. 3 2
y  x  3x  2 . C. 3
y  x  4 . D. 4 2
y  x  3x  2 .
Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? A. 3 2
y  x  3x  4 . B. 3 2
y  x  3x  4 . C. 3 2
y  x  3x  4 . D. 3 2
y  x  3x  4 .
Câu 8. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây? A. 3 y  2x 1. B. 3
y  x  x 1. C. 3 y  x 1. D. 3
y  x  2x 1.
Câu 9. Đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 3 2
y  x  3x  4 . B. 3 2
y  x +3x  4 . C. 3 2
y  x  3x  4 . D. 3 2
y  x  3x  4 . Câu 10. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 . Đồ thị của hàm số là hình nào dưới đây? A. . B. . C. . D. .
Thầy Nguyễn Trọng 68
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 DẠNG 2_BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ. PHƯƠNG PHÁP
 Biện luận số nghiệm của phương trình
f  x  g m được quy về tìm số giao điểm của
đồ thị hàm số y  f  xC và đường thẳng
d: y  gm.
 Có 2 cách biện luận số nghiệm của phương trình:
. Biện luận số nghiệm của phương trình f  x  g m bằng đồ thị ( khi bài toán cho sẵn đồ
thị): ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng d  : y  g m theo hướng lên hoặc xuống trên trục tung.
. Biện luận số nghiệm của phương trình f  x  g m bằng bảng biến thiên (bài toán cho sẵn
bảng biến thiên hoặc tự xây dựng).
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f  x  2  0 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0. Lời giải Chọn B
Ta có f  x  2  0  f  x  2.
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình f  x  2 có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi phương trình 3 2
ax  bx  cx  d  2  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. Phương trình có đúng một nghiệm.
B. Phương trình có đúng hai nghiệm.
C. Phương trình không có nghiệm.
D. Phương trình có đúng ba nghiệm. Lời giải Chọn B
Thầy Nguyễn Trọng 69
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Ta có phương trình 3 2
 ax  bx  cx  d  2 .
Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y  2 và đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d .
Từ đồ thị ta thấy có ba giao điểm. Vậy phương trình có ba nghiệm.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  2;  4 và có đồ thị
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
3 f  x  4  0 trên đoạn  2;  4 là A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D
Ta có: f  x    f  x 4 3 4 0  3
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x và đường 4 thẳng y  . 3 4 Xét trên đoạn  2;
 4 , đường thẳng y  cắt đồ thị hàm y  f x tại ba điểm. 3
Vậy phương trình 3 f  x  4  0 có ba nghiệm trên đoạn  2;  4 .
Ví dụ 4. Tìm m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt? A. m  4  . B. m 4;  0. C. m  4;  0 . D. m  0 . Lời giải Chọn C
Tập xác định: D  .  2
y  3x  6 . x Bảng biến thiên: m  0
Yêu cầu bài toán thỏa khi   4   m  0. m  4  0
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 11. Cho hàm số y  f (x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Đồ thị
hàm số y  f (x) cắt đường thẳng y  2021 tại bao nhiêu điểm?
Thầy Nguyễn Trọng 70
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 0 .
Câu 12. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn  2;
 4 và có đồ thị như
hình bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f  x  5  0 trên đoạn 0;4 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 13. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình f (x)  2  0 là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
Câu 14. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của y
phương trình 3 f (x)  4  0 là 3 A. 1. B. 3 . -1 C. 0 . D. 2 . 1 x -1
Câu 15. Cho hàm số f  x 3 2
 ax  bx  cx  d a, ,
b c, d   có đồ thị
như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 4 f  x  3  0 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 16. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như sau:
Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f (x)  m có ba nghiệm phân biệt là A. (4; ) . B. (; 2) . C. [-2;4]. D. (2; 4) .
Câu 17. Cho hàm số f  x có đồ thị như hình bên. Số nghiệm thực của phương
Thầy Nguyễn Trọng 71
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 trình 2
f  x 1  0 bằng A. 3. B. 6. C. 4. D. 1.
Câu 18. Cho hàm số f  x 3 2
 ax  bx  cx  d a  0 có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm của phương trình 3 f  x 1  0 bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 19. Đồ thị sau đây là của hàm số 3 2
y  x  3x  4 . Với giá trị nào
của m thì phương trình 3 2
x  3x  m  0 có hai nghiệm phân biệt.
Hãy chọn câu trả lời đúng. m  0 m  4  A.  . B.  . m  4 m  4 m  4  C.  . D. m  0 . m  0
Câu 20. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 3 2
x  3x 1 m  0 có 3 nghiệm phân biệt: A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 .
 DẠNG 3_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM) PHƯƠNG PHÁP
Cho 2 hàm số y  f  x, y  g  x có đồ thị lần lượt là C và C
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của và: f  x  g  x , (1)
 Giải phương trình (1) tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị
y  f  x, y  g  x .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số 3
y  x  3x  3 với trục Ox ? A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta có 2
y  3x  3  0; x
   , hàm số y  f x luôn đồng biến trên  Bảng biến thiên
Thầy Nguyễn Trọng 72
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x  + y' + + y  Vậy đồ thị hàm số 3
y  x  3x  3 và trục Ox có 1 giao điểm.
Ví dụ 2. Biết rằng đường thẳng y  2
 x  2 cắt đồ thị hàm số 3
y  x  x  2 tại điểm duy nhất có tọa độ
x ; y . Tìm y . 0 0  0 A. y  0 . B. y  4 . C. y  2 . D. y  1  . 0 0 0 0 Lời giải Chọn C
Ta có phương trình hoành độ giao điểm 3 3
x  x    x   x  x   x  2 2 2 2 3 0
x  3  0  x  0  y  2 .
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C và đường thẳng d  : y  x 1. Tìm số giao điểm của
C và d. A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C và d  : 3 2
2x  3x 1  x 1 3 2
 2x  3x 1 x 1  0  x  1 1   1 17 3 2
 2x  3x  x  2  0  x  . 2  4   1 17 x  3  4
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên C và d  có 3 giao điểm.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 21. Đồ thị của hàm số 3
y  x  2 và đồ thị của hàm số y  x  2 có tất cả bao nhiêu điểm chung. A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . Câu 22. Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C và đường thẳng d : y  x 1. Số giao điểm của C và d là A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 23. Đường thẳng  có phương trình y  2x 1 cắt đồ thị của hàm số 3
y  x  x  3 tại hai điểm A
và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A x ; y và B x ; y trong đó x  x . Tìm x  y B B  A A  B A B B
A. x  y  5  .
B. x  y  2  .
C. x  y  4 .
D. x  y  7 . B B B B B B B B
Câu 24. Số giao điểm của đồ thị hàm số 2
y  (x  3)(x  3x  2) với trục Ox là: A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Thầy Nguyễn Trọng 73
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 25. Biết rằng đường thẳng y  2x  3 và đồ thị hàm số 3 2
y  x  x  2x  3 có hai điểm chung phân
biệt A và B , biết điểm B có hoành độ âm. Tìm x . B A. x  1  . B. x  5  . C. x  2  . D. x  0 . B B B B
Câu 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x cắt đường thẳng y  m tại ba điểm phân biệt. A. m  ;  4  . B. m0; . C. m  ;  4   0; . D. m  4;  0 .
Câu 27. Cho hàm số y   x   2
2 x  5x  6 có đồ thị C. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. C không cắt trục hoành.
B. C cắt trục hoành tại 3 điểm.
C. C cắt trục hoành tại 1 điểm.
D. C cắt trục hoành tại 2 điểm.
Câu 28. Tìm tọa độ giao điểm I của đồ thị hàm số 3
y  4x  3x với đường thẳng y  x  2 . A. I 2;  1 .
B. I 2;2 .
C. I 1;2 . D. I 1;  1 .
Câu 29. Giả sử A và B là các giao điểm của đường cong 3
y  x  3x  2 và trục hoành. Tính độ dài đoạn thẳng AB . A. 6 5 . B. 4 2 . C. 3 . D. 5 3 . Câu 30. Cho hàm số 3 2
y  2x  3x 1 có đồ thị C và đường thẳng d : y  x 1. Giao điểm của C và
d lần lượt là A1;0 , B và C . Khi đó độ dài BC là 14 34 30 3 2 A. BC  . B. BC  . C. BC  . D. BC  . 2 2 2 2
Câu 31. Đồ thị của hàm số 3
y  x  x và đồ thị hàm số 2
y  x  x có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 32. Đồ thị của hàm số 3 2
y  x  2x  x 1 và đồ thị của hàm số 2
y  x  x  3 có bao nhiêu điểm chung? A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số 3 2
y  2x  6x  m 1 luôn cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt? A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 9 .
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  2 C cắt đường thẳng
d : y  m(x 1) tại ba điểm phân biệt x , x , x . 1 2 3 A. m  2  . B. m  2  . C. m  3  . D. m  3  .
Câu 35. Cho hàm số 3 2
y  x  3mx  3(2m 1)x 1(C ). Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng m
(d ) : y  2mx  4m  3 cắt đồ th ị (C ) tại ba điểm phân biệt? m 4 9 4 A. m  ( ;
 0)  ( ;) \  .
B. m  (0; ) . 9 8 9 4
C. m  ( ; ) . D.
Không có giá trị m thỏa mãn. 9
Thầy Nguyễn Trọng 74
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 DẠNG 4_XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C, D TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3.
PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:
 Hệ số a : Xác định dáng đi lên hay đi xuống của đồ thị
• Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số a  0; 0 a  .
 Tích số ab : Xác định vị trí điểm uốn
• Điểm uốn bên phải trục Oy nếu ab  0 ; bên trái trục Oy nếu ab  0 .
 Tích số ac : Xác định vị trí hai điểm cực trị
• ac  0 : có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung Oy .
• ac  0 : có 2 điểm cực trị nằm về 1 phía trục tung Oy .
• c  0 : đồ thị có 1 cực trị nằm trên trục tung.
 Hệ số d : Xác định giao điểm với trục tung.
• d  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung nằm trên gốc tọa độ O .
• d  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới gốc tọa độ O .
• d  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung trùng với gốc tọa độ O .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba   3 2
f x  ax  bx  cx  d ( a , b , c , d 
, a  0 ) có đồ thị như hình vẽ bên.Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . Lời giải Chọn B  lim y    Ta có: x   a  0 . lim y   x
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm  d  0 .
Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị, ta có 2
y  3ax  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 2b c x  x  
 0  b  0; x x   0  c  0 . 1 2 3a 1 2 3a
Vậy a  0 ; b  0 ; c  0 ; d  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
y  a x  bx  cx  d có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. a  0,b  0, c  0, d  0 .
B. a  0,b  0,c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0, c  0, d  0 . Lời giải
Thầy Nguyễn Trọng 75
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Chọn D
Nhìn đồ thị ta có lim y   nên a  0 . x
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm 0;d  nằm dưới trục hoành nên d  0 .
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu nên 2
y  3ax  2bx  c có hai nghiệm trái dấu, mà a  0 nên c  0 . Ví dụ 3. Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng trong các mệnh đề sau:
A. ad  0,bc  0 .
B. ad  0,bc  0 .
C. ad  0,bc  0 .
D. ad  0,bc  0. Lời giải Chọn D
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm (0
A ; d ) nên d  0.
lim y    a  0  ad  0 (1) x 2b Ta có 2
y  3ax  2bx  c  0  x  x   CT CD 3a
Vì hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm ở góc phần tư thứ nhất. 2b Do đó:   0  b  0 3a c
Ta có y  0 có 2 nghiệm dương phân biệt nên x .x   0  c  0 CT CD 3a Suy ra: bc  0 .
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 36. Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. a  0,b  0,c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0, c  0, d  0 .
D. a  0,b  0,c  0, d  0 .
Câu 37. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ dưới y đây
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. a  0,b  0, c  0,d  0 . x
B. a  0,b  0,c  0,d  0 . O
C. a  0,b  0, c  0,d  0 .
D. a  0,b  0, c  0,d  0 .
Thầy Nguyễn Trọng 76
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 38. Cho hàm số 3 2
y  f (x)  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ ở
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . Câu 39. Hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
Khẳng định nào là đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
B. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 .
D. a  0 , b  0 , c  0 , d  0 . Câu 40. Cho hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. a, d  0;b, c  0 .
B. a,b, d  0;c  0 .
C. a, c, d  0;b  0 .
D. a,b,c  0; d  0 .
Câu 41. Cho đồ thị hàm số bậc ba 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị được
biểu diễn như hình vẽ bên dưới. Nhận xét đúng về dấu của các hệ số là.
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 .
Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định
Câu 42. nào sau đây là đúng?
A. f 1,5  0  f 2,5 .
B. f 1,5  0, f 2,5  0 .
C. f 1,5  0, f 2,5  0 .
D. f 1,5  0  f 2,5 .
Thầy Nguyễn Trọng 77
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 43. Cho hàm số 3 2
f (x)  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0, b  0, c  0, d  0 .
B. a  0, b  0, c  0, d  0 .
C. a  0, b  0, c  0, d  0 .
D. a  0, b  0, c  0, d  0 . Câu 44. Cho hàm số 3 2
y  x  ax  bx  c  a, ,
b c   có đồ thị như
hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai?
A. a  b  c  1  .
B. a  c  2b . C. 2 3
a  b  c  11. D. abc  0 .
Câu 45. Cho đồ thị hàm số 3 2
y  ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ.
mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0,b  0,c  0, d  0 .
B. a  0,b  0, c  0, d  0 .
C. a  0,b  0,c  0, d  0 .
D. a  0,b  0,c  0, d  0 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D 11.A 12.B 13.B 14.B 15.A 16.D 17.C 18.B 19.A 20.B 21.C 22.B 23.A 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.C 30.B 31.B 32.A 33.C 34.C 35.A 36.D 37.A 38.C 39.D 40.A 41.B 42.D 43.B 44.B 45.C
Thầy Nguyễn Trọng 78
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§6_ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
 DẠNG 1 _ NHẬN DẠNG HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:
 Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số a  0; 0 a  .
 Chú ý điểm cực trị:
• ab  0 : hàm số có 3 điểm cực trị.
• ab  0 : hàm số có 1 điểm cực trị.
 Các giao điểm đặc biệt với trục Ox,Oy .
• c  0 : giao điểm trục tung nằm trên Oy .
• c  0 : giao điểm trục tung nằm dưới Oy .
• c  0 : giao điểm trục trùng với Oy . 4 2
y  ax  bx  c a  0 a  0 (a  0)
. y '  0 có 3 nghiệm phân biệt nếu ab  0
. y '  0 có đúng 1 nghiệm
nếu ab  0
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau: x  2 A. y  . B. 4 2
y  x  2x  2 . x 1 C. 4 2
y  x  2x  2 . D. 3 2
y  x  2x  2 . Lời giải Chọn B
Đồ thị trên là đồ thị của hàm trùng phương có hệ số a dương nên từ các phương án đã cho ta
suy ra đồ thị trên là đồ thị của hàm số 4 2
y  x  2x  2 .
Ví dụ 2. Đồ thị sau đây là của hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x  3 . 4 2
B. y  x  3x  3 . 1 C. 4 2
y  x  2x  3 . D. 4 2
y   x  3x  3 . 4
Thầy Nguyễn Trọng 79
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Lời giải Chọn C
Đồ thị có: lim y    D sai. x
Hàm số có các điểm cực trị là: x  0 , x  1   A, B sai.
Ví dụ 3. Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  x  2x . C. 4 2
y  x  2x . D. 4 2
y  x  2x 1. Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy a  0, c  0
nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Ví dụ 4. Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 4 2
y  x  2x  3 . B. 4 2
y  x  2x  3 . C. 4 2
y  x  2x  3 . D. 2
y  x  3 . Lời giải Chọn A
Từ đồ thị ta có nhận xét:
lim y   loại phương án B x
Đồ thị giao với trục hoành tại hai điểm có tọa độ  1
 ;0; 1;0 loại phương án C, D.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 4 2 y  2
 x  3x  5 . B. 4 2
y  x  x 1. C. 4 2
y  x  2x 1. D. 4 2
y  x  3x  4 .
Câu 2. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau: x  2 A. y  . B. 4 2
y  x  2x  2 . x 1 C. 4 2
y  x  2x  2 . D. 3 2
y  x  2x  2 .
Câu 3. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng
y  f  x là một trong bốn hàm được đưa ra trong các phương án A,
B, C, D dưới đây. Phương án nào trong các phương án dưới đây là đúng?
A. f  x 4 2
 x  2x . B. f x 4 2  x  2x .
C. f  x 4 2  x  2x .
D. f  x 4 2
 x  2x 1.
Thầy Nguyễn Trọng 80
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 4. Cho hàm số y  f  x có đồ thị C như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng.
B. C cắt Ox tại 4 điểm phân biệt.
C. Hàm số có 3 điểm cực trị.
D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x   2 .
Câu 5. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x . B. 4 2
y  x  3x 1. C. 4 2
y  x  4x . D. 4 2
y  x  3x .
Câu 6. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? y A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 4 2
y  x  3x 1 . D. 4 2
y  x  2x 1. 1 -1 1 0 x
Câu 7. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới -1 đây? A. 4 2
y  x  4x  2 . B. 3 2
y  x  3x 1. C. 4 2
y  x  4x  2 . D. 4 2
y  x  4x  2 .
Câu 8. Đồ thị hình bên là của hàm số A. 4 2
y  x  2x  2 . B. 4 2
y  x  2x . C. 4 2
y  x  2x . D. 4 2
y  x  2x  2 .
Câu 9. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong 4 hàm số sau: 4 x 4 x A. 2 y   2x 1. B. 2 y    2x 1. 4 4 4 x 4 2 x x C. 2 y   x 1. D. y   1. 4 4 2
Câu 10. Cho hàm số y  f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới 1 A. 4 2
y  x  2x  3 . B. 4 2
y   x  3x  3 . 4 C. 4 2
y  x  2x  3 . D. 4 2
y  x  2x  3 .
Thầy Nguyễn Trọng 81
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 11. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên? A. 4 2
y  x  4x  3 . B. 4 2
y  x  2x  3 .
C. y  x  2 2 2 1.
D. y  x  2 2 2 1.
Câu 12. Đồ thị hàm số trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào? A. 4 2
y  x  x 1. B. 4 2
y  x  x 1. C. 4 2
y  x  x 1. D. 4 2
y  x  x 1.
 DẠNG 2 _ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ. PHƯƠNG PHÁP
 Biện luận số nghiệm của phương trình f  x  g m được
quy về tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  xC
và đường thẳng d  : y  g m .
 Có 2 cách biện luận số nghiệm của phương trình:
. Biện luận số nghiệm của phương trình f  x  g m bằng đồ thị
( khi bài toán cho sẵn đồ thị): ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng
d: y  g mtheo hướng lên hoặc xuống trên trục tung.
. Biện luận số nghiệm của phương trình f  x  g m bằng bảng
biến thiên (bài toán cho sẵn bảng biến thiên hoặc tự xây dựng).
A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: x -∞ 3 5 7 +∞ y' + 0 0 + 0 5 3 y 1 -∞ -∞
Phương trình f  x  4 có bao nhiêu nghiệm thực?
Thầy Nguyễn Trọng 82
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f  x  4 có bao nhiêu nghiệm thực.
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị ở hình bên.
Số nghiệm dương phân biệt của phương trình f  x   3 là A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn C
Số nghiệm dương phân biệt của phương trình f  x   3 là
số giao điểm có hoành độ dương phân biệt của đồ thị hàm số y  f  x và đường thẳng y   3 .
Đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ, đường thẳng y   3 song song với trục Ox và cắt trục
Oy tại điểm có tọa độ (0;  3) .
Suy ra phương trình f  x   3 có 2 nghiệm dương phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ
dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình 4 f  x  5  0 là A. 4. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn A
f  x    f  x 5 4 5 0  . 4
Dựa vào đồ thị ta có phương trình f  x 5
 có 4 nghiệm phân biệt. 4
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f  x 1  0 có mấy nghiệm? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn D
Ta có : f  x 1  0  f  x 1.
Đồ thị của hàm số y  f  x cắt đường thẳng y  1 tại bốn điểm phân biệt.
Vậy phương trình f  x 1  0 có 4 nghiệm.
Thầy Nguyễn Trọng 83
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 13. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như sau
Số nghiệm của phương trình 2 f  x  3  0 là A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 1.
Câu 14. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ
dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình 4 f  x  5  0 là A. 4. B. 3. C. 2. D. 0.
Câu 15. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x 1  m có đúng hai nghiệm. m  2  m  0 m  2  A.  . B. 2   m  1  . C.  . D.  . m  1  m  1  m  1 
Câu 16. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2
x  4x  3  m  0 có 4 nghiệm phân biệt là A.  1;  3. B.  3;  1. C. 2;4 . D.  3;  0 .
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ thị hàm 4 2
y  x  2x  2 . Tìm tất y
cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x  2x 1  m có 4 nghiệm phân biệt. -2 O 1 2 x A. m  3  . B. 2   m  1  . C. m  2  . D. 3   m  2  . -2 -3 Câu 18. Cho hàm số 4 2
y  x  2x có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2
x  2x 1  m có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. 0  m 1.
B. 1 m  2 .
C. 0  m 1.
D. 1 m  2 .
Câu 19. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  có bảng biến thiên sau:
Thầy Nguyễn Trọng 84
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Phương trình f  x  4 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 20. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực y
của tham số m để phương trình f  x  m  2 có bốn nghiệm phân biệt. x A. 4   m  3  . B. 4   m  3  . C. 6   m  5  . D. 6   m  5  . -3
Câu 21. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ -4
bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Phương trình f  x  0 có 4 nghiệm thực phân biệt.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; .
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0.
D. Hàm số có 3 điểm cực trị. Câu 22. Cho hàm số 4 2
y  x  2x 1 có đồ thị C và đường thẳng d  : y  m 1 ( m là tham số). Đường
thẳng d  cắt C tại 4 điểm phân biệt khi các giá trị của m là A. 3  m  5 .
B. 1 m  2 . C. 1   m  0 . D. 5   m  3  .
Câu 23. Cho hàm số y  f (x) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình sau:
Đồ thị hàm số y  f (x) cắt đường thẳng y  2020 tại bao nhiêu điểm? A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 24. Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ.
Phương trình 1 2. f  x  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. Vô nghiệm. C. 3 . D. 4 .
Thầy Nguyễn Trọng 85
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 25. Cho hàm số y  f  x 4 2
 ax  bx  c a, b, c   có đồ thị như
sau: Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x  3  0 là A. 0. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 26. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x 1  m có đúng hai nghiệm.
A. m  2, m  1  .
B. m  0, m  1  .
C. m  2, m  1  . D. 2   m  1  . 4 x
Câu 27. Tất cả các giá trị của m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số 2 y 
 2x 1 tại 4 điểm 4 phân biệt là A. m  3  . B. m 1. C. 12   m  3. D. 3   m 1. Câu 28. Cho hàm số 4 2
y  x  2x  3 có đồ thị hàm số như hình bên dưới.
Với giá trị nào của tham số m phương trình 4 2
x  2x  3  2m  4
có hai nghiệm phân biệt? m  0 1 A.  1  m   . B. 0 . m  2  2 m  0 1 C.  1 m   . D. . m  2  2
 DẠNG 3_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM). PHƯƠNG PHÁP
 Cho 2 hàm số y  f  x, y  g  x có đồ thị lần lượt là C và C
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của và: f  x  g  x, (1)
• Giải phương trình (1) tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
• Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị
y  f  x, y  g  x .
 Nghiệm của PT: 4 2
ax  bx  c  0
Thầy Nguyễn Trọng 86
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 • Nhẩm nghiệm:
- Nhẩm nghiệm: Giả sử x  x là một nghiệm của phương trình. 0 x  x
- Khi đó ta phân tích: f  x, m  x  x  g x 0 2 2  0  . 0 
g  x  0
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 g  x  0 .
• Ẩn phụ - tam thức bậc 2: Đặt 2
t  x ,t  0 . Phương trình: 2
at  bt  c  0 . t  0  t
- Nếu có đúng 1 nghiệm thì có nghiệm t ,t thỏa mãn: 1 2 . 1 2 t  t  0  1 2 t  0  t
- Nếu có đúng 2 nghiệm thì có nghiệm t ,t thỏa mãn: 1 2 . 1 2 0  t   t 1 2
- Nếu có đúng 3 nghiệm thì có nghiệm t ,t thỏa mãn: 0  t  t . 1 2 1 2
- Nếu có đúng 4 nghiệm thì có nghiệm t ,t thỏa mãn: 0  t  t . 1 2 1 2
. PP đồ thị hàm số.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F  x,m  0 .
- Cô lập m đưa phương trình về dạng m  f  x .
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị m nguyên để phương trình 4 2
x  2x  4  m  0 có bốn nghiệm thực. A. m . B. m 1. C. m  2 . D. m  3 . Lời giải Chọn A Ta có 4 2
x  2x  4  m  0  1 . Đặt 2
t  x t  0 ta được phương trình 2
t  2t  4  m  02 .  
1 có bốn nghiệm phân biệt  2có hai nghiệm dương phân biệt    0  m  3   b    0  2  0 3  m  4.  a   4  m  0 c   0 a Vậy m .
Ví dụ 2. Đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số 4 2
y  x  x 1 tại mấy điểm phân biệt? A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn A
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 4 2
x  x 1  x 1.  x  0 4 2 3
 x  x  x  0  x(x  x 1)  0   . 3
x  x 1  0
Thầy Nguyễn Trọng 87
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Xét 3
x  x 1  0 không có nghiệm x  0 và hàm số f  x 3
 x  x 1. 1  1   1 
Có f  x 2
 0  3x 1  0  x   và f f   0     . 3  3   3 
Nên đồ thị hàm số f  x 3
 x  x 1 cắt trục hoành tại một điểm. Suy ra phương trình. 3
x  x 1  0 có một nghiệm.
Vậy đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số 4 2
y  x  x 1 tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3. Hai đồ thị 4 2
y  x  x và 2
y  3x 1 có bao nhiêu điểm chung? A. 2. B. 4. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2
x  x  3x 1   1 . 2    x  2  5 4 2 2 4 2
1  x  x  3x 1  0  x  4x 1  0  
 x   2  5 . 2 x  2  5  VN 
Số điểm chung của hai đồ thị 4 2
y  x  x và 2
y  3x 1 bằng số nghiệm của phương trình   1 là hai.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4
y  x  m   2
1 x  m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. A. 0; .
B. 0; \{1}. C. 0; .
D. 0; \{1}. Lời giải Chọn B
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 4
x  m   2
1 x  m  0 . (1) 4 2 2
 x  mx  x  m  0 2  x  2
x  m   2
x  m  0   2 x  m 2 x   1  0 2 x  1   . 2 x  m
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình 2
x  m có hai nghiệm phân m  0 biệt khác 1   . m  1
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1 3
Câu 29. Đồ thị hàm số 4 2
y   x  x  cắt trục hoành tại mấy điểm? 2 2 A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 0 .
Câu 30. Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2
y  x  2mx  m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. A. m  0 . B. m 1. C. m 1.
D. m  0 hoặc m 1.
Câu 31. Đồ thị hàm số 2 y  x  2
x  3 tiếp xúc với đường thẳng y  2x tại bao nhiêu điểm? A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.
Thầy Nguyễn Trọng 88
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 32. Đồ thị hàm số 4 2
y  2x  3x và đồ thị hàm số 2
y  x  2 có bao nhiêu điểm chung? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 .
Câu 33. Tìm m để đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x  2 tại 4 điểm phân biệt.
A. 2  m  3. B. m  2 .
C. 1  m  2 . D. m  2 .
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  4m cắt đồ thị hàm số 4 2
y  x  8x  3 tại bốn điểm phân biệt? 13 3 13 3 3 13 A.   m  . B.   m  . C. m  . D. m   . 4 4 4 4 4 4
Câu 35. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 4 2
y  x  2x  m cắt trục hoành tại 4 điểm là A. 1   m  0 .
B. 0  m 1. C. 1   m  0 .
D. 0  m 1.
Câu 36. Phương trình 4 2
x  4x  m  3  0 ( m là tham số) có đúng bốn nghiệm khi và chỉ khi A. m  7 . B. m  7 . C. m  3 .
D. 3  m  7 .
Câu 37. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên sau
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f  x 1  m có đúng hai nghiệm.
A. m  2, m  1  .
B. m  0, m  1  .
C. m  2, m  1  . D. 2   m  1  . Câu 38. Cho hàm số 4
y  x  m   2
1 x  m  2 . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
A. m 1; .
B. m 2; .
C. m 2; \ 
3 . D. m2;3
 DẠNG 4_ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C TỪ ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG.
PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:
 Hệ số a : Xác định dáng đi lên hay đi xuống của đồ thị
Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số a  0; 0 a  .
 Tích số ab : Xác định số điểm cực trị
ab  0 : hàm số có 3 cực trị
ab  0 : hàm số có 1 cực trị
 Hệ số c : Xác định giao điểm với trục tung.
c  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung nằm trên gốc tọa độ O .
c  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới gốc tọa độ O .
c  0 : giao điểm của đồ thị với trục tung trùng với gốc tọa độ O .
Thầy Nguyễn Trọng 89
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A - BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số 4 2 y  .
a x  bx  c có đồ thị như hình vẽ sau.
Khẳng định nào sau đây đúng? A. a  0, 0, b 
c  0 . B. a  0, 0, b  c  0 . C. a  0, 0, b 
c  0 . D. a  0, 0 b  , c  0 . Lời giải Chọn B
Hàm số là hàm bậc 4 trùng phương có:
+ Nhìn dạng đồ thị suy ra a  0
+ Chọn x  0  y  c  c  0
+ Vì hàm số có 3 cực trị  a,b trái dấu nên b  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0 .
C. a  0,b  0, c  0 .
D. a  0,b  0, c  0 Lời giải Chọn C
Đồ thị có bề lõm quay xuống nên a  0
x  0 suy ra y  c . Đồ thị cắt trục Oy tại y  3  c  3   0 x  0 Ta có: 3
y  4ax  2bx  0   b . 2 x    2a
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 39. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?
A. a  0,b  0, c  0 .
B. a  0,b  0, c  0 .
C. a  0,b  0, c  0 .
D. a  0,b  0, c  0 . Câu 40. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm kết luận đúng.
A. a  b  0 . B. bc  0 . C. ab  0 . D. ac  0 . Câu 41. Hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 , c  0 .
Thầy Nguyễn Trọng 90
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 42. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c (a  0) có đồ thị như hình bên.
Hãy chọn mệnh đề đúng.
A. a  0,b  0,c  0 .
B. a  0,b  0, c  0 .
C. a  0,b  0,c  0 .
D. a  0,b  0, c  0 . Câu 43. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình bên dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .
C. a  0 , b  0 , c  0 .D. a  0 , b  0 , c  0 . Câu 44. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng
A. a  b  0 . B. bc  0 . C. ab  0 . D. ac  0 .
Câu 45. Cho hàm số bậc bốn trùng phương 2 2
y  ax  bx  c có đồ thị
như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. a  0,b  0,c  0 .
B. a  0,b  0, c  0 .
C. a  0,b  0,c  0 .
D. a  0,b  0, c  0 . Câu 46. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có dạng đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a  0;b  0;c  0 .
B. a  0;b  0;c  0 .
C. a  0;b  0;c  0 .
D. a  0;b  0;c  0 . Câu 47. Cho hàm số 4 2
y  ax  bx  c có dạng đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. abc  0 . B. abc  0 .
C. a  0;b  0;c  0 .
D. a  0;b  0;c  0 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.C 12.C
13.C 14.A 15.A 16.B 17.B 18.D 19.B 20.D 21.D 22.C 23.C 24.D
25.B 26.C 27.D 28.A 29.C 30.B 31.D 32.A 33.C 34.A 35.D 36.D
37.C 38.C 39.B 40.B 41.C 42.C 43.B 44.B 45.C 46.D 47.D
Thầy Nguyễn Trọng 91
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§7_ ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỮU TỈ
 DẠNG 1_NHẬN DẠNG HÀM SỐ HỮU TỈ KHI CHO ĐỒ THỊ HÀM SỐ. PHƯƠNG PHÁP
 Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau: ad  bc
Quan sát dáng đồ thị, chú ý dấu đạo hàm y  cx  d 2 d a
Xác định các đường tiệm cận đứng: x 
, tiệm cận ngang: y  . c c
Các giao điểm đặc biệt với trục Ox, Oy . ax  b y  , cx  d
. ad  bc  0
. ad  bc  0
c  0, ad  bc  0
. y '  0 : Hàm số tăng
. y '  0 : Hàm số giảm
A – VÍ DỤ MINH HỌA: ax  b
Ví dụ 1. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y  với cx  d
a,b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. y  0, x  1.
B. y  0, x  2 .
C. y  0,  2 .
D. y  0,x  1 Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2,
Hàm số nghịch biến vậy chọn B
Ví dụ 2. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 2x 1 x 1 A. y  . B. y  . x 1 x 1 C. 4 2
y  x  x 1. D. 3
y  x  3x 1. Lời giải Chọn B
Tập xác định: D   \  1 .
Thầy Nguyễn Trọng 92
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2 Ta có: y   0 , x   1. x  2 1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và 1;. x 1 lim y  lim
 1  y  1 là đường tiệm cận ngang. x
x x 1 x 1 x 1 lim y  lim
 , lim y  lim   . x 1 x 1   x 1 x 1 x 1   x 1
 x 1 là đường tiệm cận đứng. x 1
Vậy đồ thị đã cho là của hàm số y  . x 1
Ví dụ 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào
trong các phương án A, B, C, D dưới đây? x 1 2x 1 A. y  . B. y  . x 1 x 1 x  2 x  3 C. y  . D. y  . x 1 1 x Lời giải Chọn B
Từ đồ thị ta có: Tiệm cận đứng x  1
 ; tiệm cận ngang y  2. x 1 x 1 x 1 y  có lim  1; lim
   tiệm cận đứng x  1
 ; tiệm cận ngang y  1 x 1 x  x 1 x 1    x 1 A sai 2x 1 2x 1 2x 1 y  có lim  2, lim
   tiệm cận đứng x  1
 ; tiệm cận ngang y  2 x 1 x  x 1 x 1    x 1 B đúng x  2 x  2 2x 1 y  có lim  1, lim
   tiệm cận đứng x  1
 ; tiệm cận ngang y  1 x 1 x  x 1 x 1    x 1 C sai x  3 x  3 2x 1 y  có lim  1  , lim
   tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y  1 1 x x  x 1 1 x    x 1 D sai
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: y
Câu 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? x 1 x 1 A. y  . B. y  . 2x 1 2x 1 1 2 x 1 x 1 C. y  . D. y  . 1 O 1 x - 1 2x 2x 1 2 -1
Câu 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? y 2x 1 x 1 A. y  . B. y  . x 1 x  2 2 2x 1 2x 1 C. y  . D. y  . O x 1 x 1 -1 x -1
Thầy Nguyễn Trọng 93
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 3 2
y  x  3x 1. 2x 1 x  2 C. y  . D. y  . x  2 x 1
Câu 4. Đường cong trong hình sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x  2 2x  3 A. y  . B. y  . 2  x  4 x  2 x 1 x  3 C. y  . D. y  . x  2 2x  4
Câu 5. Hình vẽ bên đây là đồ thị cuả hàm số nào trong các hàm số sau: x x A. y  . B. . 2x 1 2x 1 x x C. y  . D. y  . 2x 1 2x 1
Câu 6. Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x 2x  3 A. y  . B. y  . x 1 2x  2 x 1 x 1 C. y  . D. y  . x 1 x 1
Câu 7. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? x 1 2x 1 A. y  . B. y  . x 1 2x  2 x x 1 C. y  . D. y  . 1 x x 1
Câu 8. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ? x  3 2x 1 A. 4 2
y  x  3x 1. B. y  . C. 3 2
x  3x  4 . D. y  . x 1 x 1
Thầy Nguyễn Trọng 94
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 9. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên: 2x  3 x  3 2x  7 x  3 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  2 x  2 x  2 x  2
Câu 10. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? x  x  x  x 
A. f  x 3  .
B. f  x 3  .
C. f  x 3  .
D. f  x 2 3  . x  2 2  x x  2 x  2
 DẠNG 2_ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ (LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM) PHƯƠNG PHÁP
Cho 2 hàm số y  f  x, y  g  x có đồ thị lần lượt là C và C
 Lập phương trình hoành độ giao điểm của và: f  x  g  x , (1)
 Giải phương trình (1) tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f  x, y  g  x .
A - BÀI TẬP MINH HỌA: 2x  3
Ví dụ 1. Tìm tung độ giao điểm của đồ thị (C) : y 
và đường thẳng d : y  x 1. x  3 A. 1. B. 3  . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C) và d là 2x  3 2
 x 1 (x  3)  x  0  x  0  y  1. x  3
Thầy Nguyễn Trọng 95
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2x 1
Ví dụ 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số y 
với đường thẳng y  2x  3 là x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn A 2x 1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:  2x  3 x 1
 2x 1  2x  3x  
1 (do x  1 không là nghiệm của phương trình)  1 33 x  2 4
 2x  x  4  0   .  1 33 x   4 x 1
Ví dụ 3. Đồ thị hàm số y 
và đường thẳng y  2x 11 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A , B . Tìm x 1
hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB . 5 7 A. x  3. B. x  2. C. x  .
D. x  . I I I 2 I 2 Lời giải Chọn A x 1
Gọi A x ; y và B x ; y với x , x là nghiệm của phương trình  2x 11. 2 2  1 1  1 2 x 1
Hay x , x là nghiệm của phương trình 2
x  6x  6  0 (*) 1 2
 x  x y  y 
Do I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên 1 2 1 2 I ; .    2 2  x  x
Từ phương trình (*), ta có 1 2
x  x  6   3. 1 2 2
Vậy hoành độ của điểm I bằng 3. 2x  2
Ví dụ 4. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Đường thẳng d  : y  x 1 cắt đồ thị C tại 2 điểm x 1
phân biệt M và N thì tung độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng A. 2  . B. 3  . C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D
Ta có x , x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của C và d  : M N 2x  2 x  1  x 1   2 x 1
x  2x  3  0 x  x
 x  x  2 M N  x   1. M N I 2
Vì I thuộc d   y  2 . I
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 2x 1
Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số y 
với đường thẳng y  2x  3 là x 1 A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .
Thầy Nguyễn Trọng 96
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2x 1
Câu 12. Biết rằng đồ thị hàm số y  và đồ thị hàm số 2
y  x  x 1 cắt nhau tại hai điểm, ký hiệu x
x ; y , x ; y là tọa độ hai điểm đó. Tìm y  y . 1 1   2 2  1 2
A. y  y  0 .
B. y  y  2 .
C. y  y  6 .
D. y  y  4 . 1 2 1 2 1 2 1 2 2x  4
Câu 13. Gọi M , N là giao điểm của đường thắng y  x 1 và đường cong y  . Khi đó hoành độ x 1
trung điểm I của đoạn MN bằng 5 5 A. . B.  . C. 2 . D. 1. 2 2 2x  3
Câu 14. Tìm tung độ giao điểm của đồ thị (C) : y 
và đường thẳng d : y  x 1. x  3 A. 1. B. 3  . C. 1. D. 3 . 2x 1
Câu 15. Đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số y 
tại các điểm có tọa độ là x 1 A. (1;0);(2;1) . B. (1; 2) . C. (0; 1);(2;1) . D. (0; 2) .
Câu 16. Đồ thị của hàm số x 1 y 
cắt hai trục O x và O y tại A và . B Khi đó diện tích tam giác x 1
OAB ( O là gốc tọa độ bằng) A. 1 . B. 1 . C. 1. D. . 2 2 4 2x  8
Câu 17. Đường cong y 
cắt đường thẳng y  x
M N . Tính độ dài đoạn thẳng x tại hai điểm , MN A. MN  4 . B. MN  2 5 . C. MN  4 2 . D. MN  6 2 . x 1
Câu 18. Đường thẳng y  x  3 cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt A , B . Trung điểm x  2
của đoạn thẳng AB có hoành độ là 11 A. 5  . B. 7  . C.  . D. 3  . 2 2x 1
Câu 19. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 0 cắt hai trục tọa độ lần lượt x 1
tại A và B . Diện tích tam giác OAB bằng 1 1 A. 2 . B. 3 . C. . D. . 2 4 x  3
Câu 20. Đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt ,
A B . Tính độ dài đoạn x 1 thẳng AB . A. AB  6. B. AB  17 . C. AB  34 . D. AB  8 . 2x 1
Câu 21. Biết đường thẳng y  x 1 cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt A , B có hoành x 1
độ lần lượt là x ; x . Tính giá trị của x  x . A B A B
Thầy Nguyễn Trọng 97
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
A. x  x  2 .
B. x  x  2  .
C. x  x  0 .
D. x  x  1. A B A B A B A B
Câu 22. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số x 1 y  x  2 A. m  2  . B. m  1  ;  5 . C. m  5  . D. m  2;   2 .
 DẠNG 3 _ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ A, B, C, D TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỮU TỶ
PHƯƠNG PHÁP: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:  Giao điểm trục ox:  Tiệm cận đứng:
ab  0 ; nằm bên trái gốc tọa độ O
cd  0 ; TCĐ nằm bên trái trục Oy
ab  0 ; nằm bên phải gốc tọa độ O
cd  0 ; TCĐ nằm bên phải trục Oy
Đặc biệt: a  0 : Đồ thị không cắt trục Ox
Đặc biệt: d  0 : TCĐ trùng với trục Oy  Giao điểm trục oy:  Tiệm cận ngang:
bd  0; nằm bên trên gốc tọa độ O
ac  0 ; TCN nằm bên trên trục Ox
bd  0 ; nằm bên dưới gốc tọa độ O
ac  0 ; TCN nằm bên dưới trục Ox
Đặc biệt: b  0 : Giao trục tung trùng với gốc tọa độ O
Đặc biệt: a  0 : TCN trùng với trục Ox
A - BÀI TẬP MINH HỌA: ax  b
Ví dụ 1. Cho hàm số y 
có đồ thị như hình vẽ. y x 1 4
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. b  0  a .
B. 0  a  b . 2
C. a  b  0 .
D. 0  b  a . 1 Lời giải x 5 -1 O 1 Chọn B
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1  a  0 , 2
x  0  y  b  2  0 .
Vậy 0  a  b ax  b
Ví dụ 2. Cho hàm số y 
có đồ thị như hình vẽ. x 1
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. 0  a  b .
B. b  0  a .
C. 0  b  a .
D. b  a  0 . Lời giải Chọn D
Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị cắt Ox tại x  2 và cắt Oy tại y  2 .
Thầy Nguyễn Trọng 98
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 ax  b b 2
Nên với hàm số y 
, cho x  0 y  b  b  2 , cho y  0  x  hay 2  x 1 a a  a  1  .
Vậy b  a  0 . Đáp án được chọn là D ax 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
có đồ thị như dưới đây.Tính giá y bx  c 4
trị biểu thức T  a  2b  3c . A. T  1. B. T  2 . 2 1 C. T  3. D. T  4 . x Lời giải 5 -1 O 1 Chọn A 2
Đồ thị nhận x  1 là tiệm cận đứng c 
 1 b  c . b a
Đồ thị nhận y  2 là tiệm cận ngang 
 2  a  2b . b .0 a 1
Đồ thị đi qua điểm 0;  1 
 1 c  1 b  1 a  2 . .0 b  c
Vậy T  a  2b  3c  2  2(1)  3(1)  1.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: ax  b Câu 23. Cho hàm số y  có
đồ thị như hình bên. Khẳng định nào x 1 dưới đây là đúng?
A. b  0  a .
B. b  a  0 .
C. a  b  0 .
D. 0  b  a . ax +b Câu 24. Cho hàm số y = có
đồ thị như hình vẽ bên dưới. y x +1
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. a  b  0 .
B. b  0  a .
C. 0  b  a .
D. 0  a  b . 1 x O ax  b
Câu 25. Biết hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số .
y  cx  d
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ac  0 , cd  0 .
B. ad  0 , bc  0 .
C. ac  0 , ab  0 .
D. cd  0 , ad  0 .
Thầy Nguyễn Trọng 99
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 ax  b Câu 26. Cho hàm số y  có đồ thị như hình bên x 1
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. b  0  a .
B. b  a  0 .
C. a  b  0 .
D. 0  b  a . ax  b Câu 27. Cho hàm số y  có
đồ thị như hình vẽ. khẳng định nào x 1 dưới đây đúng?
A. b  0  a .
B. a  0  b .
C. 0  b  a .
D. b  a  0 . ax  b Câu 28. Cho hàm số y  có
đồ thị như hình vẽ. Tìm khẳng x 1
định đúng trong các khẳng định sau.
A. 0  a  b .
B. b  0  a .
C. a  b  0 .
D. 0  b  a . ax 1
Câu 29. Cho hàm số , y  có
đồ thị như hình vẽ. Tính bx  2
T  a  b A. T  2 . B. . T  0 C. T  1 . D. T  3 . ax  b Câu 30. Cho hàm số y  có
đồ thị như hình vẽ , , là các x  a b c c
số nguyên. Giá trị của biểu thức
T  a  3b  2c bằng A. T 12 . B. T 10 . C. T  7 . D. T  9 . Câu 31. Cho hàm số x + b y = có
đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh cx -1
đề nào dưới đây đúng?
A. c < 0 ; b < 0 .
B. b < 0 ;c > 0 .
C. b > 0 ; c > 0 .
D. b > 0 ; c < 0 . a   1 x  b
Câu 32. Cho hàm số có y  , d  0 đồ thị như hình trên. c   1 x  d
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. a  1,b  0, c  1 .
B. a  1,b  0, c  1 .
C. a  1,b  0, c  1 .
D. a  1,b  0,c  1 .
Thầy Nguyễn Trọng 100
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 ax  b Câu 33. Cho hàm số y  có đồ thị như hình vẽ. cx  d
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. 0  ad  bc .
B. ad  bc  0 .
C. bc  ad  0 .
D. ad  0  bc .
 DẠNG 4_ TÌM ĐIỀU KIỆN THAM SỐ M THỎA ĐK CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP ax  b  Cho hàm số y 
C và đường thẳng d : y  px  q . cx  d ax  b
 Phương trình hoành độ giao điểm của và:
 px  q  F x,m  0 cx  d
 Xử lý điều kiện và tìm tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: x 1
Câu 34. Tìm m để đường thẳng y  mx 1 cắt đồ thị y 
tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh đồ x 1 thị.  1 
A. m  ;0   .
B. m   ;  \     0 .  4 
C. m 0; . D. m  0 . a
Câu 35. Giả sử m , a,b    
,a,b  1 là giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y   3x  m b 2x 1
cắt đồ thị hàm số y 
C tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho trọng tâm tam giác OAB x 1
thuộc đường thẳng : x  2 y  2  0 , với O là gốc tọa độ. Tính a  2 . b A. 2 . B. 5 . C. 11. D. 21. x 
Câu 36. Cho đường cong C  3 : y 
và đường thẳng d : y  x  3m . Tìm tất cả các giá trị của m để x 1
d và C cắt nhau tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho trung điểm I của đoạn thẳng AB có hoành độ bằng 3 . A. m  0 . B. m 1. C. m  1  . D. m  2  . x  3
Câu 37. Tìm m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm M , N sao cho độ x 1
dài MN là nhỏ nhất. A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 1.
Câu 38. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ 2  x 1
thị C hàm số y 
tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho AB  2 2 . Tổng tất cả các phần x 1
tử của S bằng: A. 6  . B. 0 . C. 9. D. -27.
Thầy Nguyễn Trọng 101
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
Câu 39. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y  3x  m cắt đồ thị hàm 2x 1 số y 
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB ( O là gốc tọa độ) x 1
thuộc đường thẳng x  2 y  2  0 ? A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x  m cắt đồ thị của hàm số x  3 y 
tại hai điểm phân biệt. x 1
A. m ;  . B. m  1;    . C. m  2;  4.
D. m ; 2 . 3x  2m
Câu 41. Cho hàm số y 
với m là tham số. Biết rằng m
  0 đồ thị hàm số luôn cắt đường mx 1
thẳng d : y  3x  3m tại hai điểm phân biệt A , B . Tích tất cả các giá trị của tham số m tìm
được để đường thẳng d cắt Ox , Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
lần diện tích tam giác OCD bằng 4 A.  . B. 4  . C. 1. D. 0 . 9 x 
Câu 42. Cho đường cong C  3 : y 
và đường thẳng d : y  x  3m . Tìm tất cả các giá trị của m để x 1
d và C cắt nhau tại hai điểm phân biệt ,
A B sao cho trung điểm I của đoạn thẳng AB có hoành độ bằng 3 . A. m  0 . B. m 1. C. m  1  . D. m  2  . 2x 1
Câu 43. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Tiếp tuyến của C cắt hai đường tiệm cận của C tại x 1 hai điểm ,
A B . Giá trị nhỏ nhất của AB là A. 4 . B. 2 3 . C. 2 2 . D. 2 . 2x 1
Câu 44. Biết đường thẳng y  x  2 cắt đồ thị hàm số y 
tại hai điểm phân biệt , A B x 1 có hoành
độ lần lượt là x , x .
x  x là: A B Khi đó A B
A. x  x  5 .
B. x  x  2 .
C. x  x  1.
D. x  x  3. A B A B A B A B 2x
Câu 45. Để đường thẳng d : y  x  m  2 cắt đồ thị hàm số y 
C tại hai điểm phân biệt A và x 1
B sao cho độ dài AB ngắn nhất thì giá trị m thuộc khoảng nào? A. m  4;   2 .
B. m 2;4 . C. m  2;  0 .
D. m 0;2 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6 7.A 8.D 9.B 10.A 11.A 12.D 13.D 14.C 15.C 16.A 17.D 18.D 19.C 20.C 21.A 22.B 23.B 24.D 25.B 26.B 27.A 28.A 29 30.D 31.C 32.D 33.B 34.C 35.D 36.D 37.A 37.A 39.C 40.A 41.A 42.D 43.A 44.A 45.D
Thầy Nguyễn Trọng 102
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
§8 _TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
 DẠNG 1 _ TIẾP TUYẾN TẠI TIẾP ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP
 Tiếp tuyến với C tại M  x ; f x là đường thẳng y (C) 0  0
 : y  f x x  x  f x . Δ 0   0   0
Để viết PTTT của C tại M  x ; f x : 0  0
• Xác định tọa độ tiếp điểm x ; y từ giả thiết M x    0;f x0 0 0
• Tính hệ số góc tiếp tuyến: f ' x O x 0 
• Thay vào công thức y  f ' x
x  x  f x 0   0   0
 Chú ý: Tọa độ giao điểm đặc biệt sau:
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: 0; y 0 
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:  x ;0 0 
A - BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y  x  4x  5 tại điểm có hoành độ x  1. 
A. y  4x  6 .
B. y  4x  2 .
C. y  4x  6 .
D. y  4x  2. Lời giải Chọn C Ta có 3
y  4x  8x , y  1  4.
Điểm thuộc đồ thị đã cho có hoành độ x  1  là: M  1  ;2.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  1  ;2 là
y  y  1  x  
1  2  y  4 x  
1  2  y  4x  6. 2x  3
Ví dụ 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 3 , tương ứng là x  2
A. y  7x 13 .
B. y  7x  30 .
C. y  3x  9 .
D. y  x  2 . Lời giải Chọn C
x  3  y  9 ; 0 0 7 y   y ' 3  7 . 2   x  2
Phương trình tiếp tuyến tương ứng là y  7
 x 3  9  y  7  x  30 .  x
Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C 1 : y 
tại giao điểm của C với trục hoành 2x 1 là 1 1 1 1 1 1 1 1
A. y   x  .
B. y  x  .
C. y   x  .
D. y  x  . 3 3 3 3 3 3 3 3
Thầy Nguyễn Trọng 103
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Lời giải Chọn A
Giao điểm của C và Ox là: A1;0 3 Ta có: y  nên y  1 1   2x  2 1 3 1
Phương trình tiếp tuyến của C tại A1;0 là: y  y  1  x  
1  0  y    x   1 hay 3 1 1
y   x  . 3 3 x 1
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có tung độ bằng 2  là x  2
A. y  3x 1 . B. y  3  x 1.
C. y  3x 1 .
D. y  3x  3 . Lời giải Chọn C x 1
Gọi M  x ; y thuộc đồ thị của hàm số y  mà y  2  . 0 0  x  2 0 x 1 Khi đó 0
 2  x 1  2 x  2  x  1 M 1;2 . 0  0  0   x  2 0 3  Ta có y  , suy ra y  1  3  . x  22 x 1
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại M 1; 2   là x  2 y  3  x   1  2  3  x 1.
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:  x
Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C 1 : y 
tại giao điểm của C với trục hoành 2x 1 là 1 1 1 1 1 1 1 1
A. y   x  .
B. y  x  .
C. y   x  .
D. y  x  . 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 2. Cho hàm số 3 2
y  x  4x 1 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm
M có hoành độ x  1. A. y  5  x  3.
B. y  5x  3 .
C. y  3x  5 .
D. y  3x  5 . 4
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 1 là x 1
A. y  x  2 .
B. y  x  2 .
C. y  x  3 .
D. y  x 1. 1 Câu 4. Cho hàm số 3 2
y  x  x  2x 1 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm 3  1  M 1;   là  3  2 2
A. y  3x  2 .
B. y  3x  2 .
C. y  x  .
D. y  x  . 3 3
Thầy Nguyễn Trọng 104
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 x 1
Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm C  2;  3 là x 1
A. y  2x  7 .
B. y  2x 1.
C. y  2x  7 .
D. y  2x 1.
Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  3x tại điểm có hoành độ bằng 2.
A. y  9x 16 .
B. y  9x  20 .
C. y  9x  20 .
D. y  9x 16 . x 
Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x 1  tại điểm M  3;
 2 có hệ số góc bằng bao nhiêu? x 1 1 A. . B. 2 . C. 0 . D. 2  . 2 2 x
Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x 
 x tại điểm M 2;4. 2
A. y  3x .
B. y  3x  2 .
C. y  3x 1 .
D. y  3x 10 . x 1
Câu 9. Cho hàm số y 
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A 2;  3 là x 1
A. y  2x 1.
B. y  2x  7 .
C. y  2x 1.
D. y  2x  7 .
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  x  2 tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y  2x  5 .
B. y  2x 1.
C. y  2x  2 .
D. y  10x 13 . x 1
Câu 11. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 3 là x  2
A. y  3x 13 .
B. y  3x  5 .
C. y  3x 13.
D. y  3x  5 .
Câu 12. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x 1 tại điểm A3;  1 là A. y  9  x  3.
B. y  9x  26 .
C. y  9x  2 .
D. y  9x  26 . 3  4x 7
Câu 13. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có tung độ y   . x  2 3 9 5 5 A. . B.  . C. . D. 10  . 5 9 9
Câu 14. Cho hàm số 3
y  x  3x  2 có đồ thị C. Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm
của C với trục tung.
A. y  2x 1.
B. y  2x 1.
C. y  3x  2 .
D. y  3x  2 . x  2
Câu 15. Cho hàm số y 
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ x 1 x  0 . 0
A. y  3x  2 .
B. y  3x  2 .
C. y  3x  3 .
D. y  3x  2 . Câu 16. Cho hàm số 3
y  x  3x  4 C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M  2;
 2 có hệ số góc bằng bao nhiêu? A. 9 . B. 0 . C. 24 . D. 45 .
Thầy Nguyễn Trọng 105
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 DẠNG 2_TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ BIẾT HỆ SỐ GÓC K PHƯƠNG PHÁP
 Viết PTTT của C tại tiếp điểm M  x ; y khi biết hệ y (C) 0 0 
số góc tiếp tuyến bằng k . Δ
• Hệ số góc tiếp tuyến: f ' x  k  x  ? 0  0
• Xác định x  y  ? M x    0;f x0 0 0 x
• Thay vào công thức y  f ' x
x  x  f x O 0   0   0
 Chú ý: Các vị trí tương đối cơ bản:
Cho  : y  k x  m và  : y  k x  m . Ta có: 1 1 1 2 2 2 k  k •     1 2 ; 1 2 m   m 1 2 k  k •     1 2 ; 1 2 m   m 1 2
•     k k  1  ; 1 2 1 2 k  k  Cho  0 ;
 90 , ta có:  tạo với  góc   1 2  tan ; 1 2 1 k k 1 2
• Đặc biệt: nếu k  0 thì:  tạo với  góc   k  tan . 2 1 2 1
 Hàm số bậc ba: Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất khi a  0 và lớn nhất khi a  0
A - VÍ DỤ MINH HỌA 3  4x 7
Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có tung độ y   . x  2 3 9 5 5 A. . B.  . C. . D. 10  . 5 9 9 Lời giải Chọn C 7 3  4x 7 y   
   x  1. 3 x  2 3 5 Ta có: y  . x  22
Vậy hệ số góc cần tìm là y  5 1  . 9
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2
y  x  x  2x  5 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là 4 5 2 1 A. . B. . C. . D. 3 3 3 3 Lời giải
Thầy Nguyễn Trọng 106
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Chọn D
Ta có hệ số góc: y ' x  2
 3x  2x  2 0 o o 1
Hệ số góc nhỏ nhất khi y x  0  6x  2  0  x  0  0 0 3 2 5
Thay x  vào y '(x )  0 3 0 3
Ví dụ 3. Cho đồ thị hàm số 3
y  x  3x C . Số các tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường thẳng
y  3x  2021 là A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn D 3 2
y  x  3x  y  3x  3
Gọi M  x ; y là tiếp điểm. 0 0 
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x 10 nên f  x  2
 3  3x  3  3  x   2 0 0 0
Với x  2  y   2 : phương trình tiếp tuyến là y  3x  2  2  3x  4 2 0 0
Với x   2  y  2 : phương trình tiếp tuyến là y  3x  2  2  3x  4 2 0 0
Ví dụ 4. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  3 có đồ thị C. Số tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng 1
y  x  2020 là 9 A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Gọi  x ; y là tọa độ tiếp điểm. 0 0  Ta có 2 y  3  x  6x . 1  1 
Vì tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y  x  2020 nên y x .  1 0    9  9  x  1 
 yx  9  2
 3x  6x  9  0 0  . 0  0 0 x  3  0
Với x  1  y  1, suy ra PTTT là: y  9  x   1 1  y  9  x  8 0 0
Với x  3  y  3, suy ra PTTT là: y  9
 x 3 3  y  9x  24 . 0 0
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Câu 17. Cho hàm số 3
y  x  3x  4 C . Tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M  2;
 2 có hệ số góc bằng bao nhiêu? A. 9 . B. 0 . C. 24 . D. 45 .
Câu 18. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  2 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3  . B. 3 . C. 4 . D. 0 .
Thầy Nguyễn Trọng 107
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 
Câu 19. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số ta
y  n x tại điểm có hoành độ x  là 0 4 1 2 A. . B. . C. 1. D. 2 . 2 2 1 Câu 20. Cho hàm số 3 2
y   x  2x  3x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với C , tiếp tuyến có 3
hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? A. k  3. B. k  2 . C. k  1. D. k  0 . Câu 21. Cho hàm số 2
y  x  6x  5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. x  3  . B. y  4 . C. y  4 . D. x  3. 3 x
Câu 22. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 y 
 3x  2 có hệ số góc k  9,
 có phương trình là: 3 A. y 16  9
 (x  3) . B. y  9(x  3) .
C. y 16  9(x  3) . D. y 16  9(x  3) . 4
Câu 23. Cho hàm số y  2  có đồ thị H . Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d :
y  x  2 x
và tiếp xúc với H  thì phương trình của  là
 y  x  2
 y  x  2
A. y  x  4 . B.  . C.  . D. Không tồn tại.
 y  x  4
 y  x  6
Câu 24. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong 3 2
(C) : y  x  3x  8x 1, biết tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng  : y  x  2020 ?
A. y  x  2021 .
B. y  x  4 .
C. y  x  4 ; y  x  28 . D.
y  x  2021. x 1
Câu 25. Cho hàm số y 
(C) . Có bao nhiêu cặp điểm ,
A B thuộc C mà tiếp tuyến tại đó song x 1 song với nhau A. 0 . B. 2 . C. 1. D. Vô số. Câu 26. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị C . Số tiếp tuyến của C song song với đường thẳng
y  9x  7 là A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 27. Cho hàm số 3 2
y  x  2x  2x có đồ thị. Gọi x , x là hoành độ các điểm M , N trên C , mà 1 2
tại đó tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng y  x  2020. Khi đó x  x bằng 1 2 4 4 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3
Câu 28. Số cặp điểm ,
A B trên đồ thị hàm số 3 2
y  x  3x  3x  5, mà tiếp tuyến tại ,
A B vuông góc với nhau là A. 1. B. 0 . C. 2 . D. Vô số.
Thầy Nguyễn Trọng 108
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 2
Câu 29. Biết đồ thị (C) của hàm số y  cắt đồ thị (C )  của hàm số 2
y  x 1 tại hai điểm , A B . 2  x
Tiếp tuyến tại hai điểm ,
A B với đồ thị (C) có hệ số góc lần lượt là k ; k . Tính tổng k  k . 1 2 1 2 5 5
A. k  k  3.
B. k  k  .
C. k  k  1.
D. k  k   . 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2x 1
Câu 30. Cho hàm số f (x) 
,C  . Tiếp tuyến của C song song với đường thẳng y  3x có x 1 phương trình là A. y  3
 x 1; y  3  x 11.
B. y  3x 10; y  3x  4 . C. y  3
 x  5; y  3x  5 .
D. y  3x  2; y  3x  2 . 2x 1
Câu 31. Cho hàm số y 
(C) . Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng x  3y  2  0 tại điểm x 1 có hoành độ x  0 x  0 A. x  0 . B. x  2  . C.  . D.  . x  2  x  2 Câu 32. Cho hàm số 3 2
y  x  3x 1 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C song song với
đường thẳng y  9x 10 là
A. y  9x  6, y  9x  28 .
B. y  9x, y  9x  26 .
C. y  9x  6, y  9x  28 .
D. y  9x  6, y  9x  26 . Câu 33. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng d : 9x  y  7  0 là
A. y  9x  25 .
B. y  9x  25 .
C. y  9x  25 .
D. y  9x  25 .
Câu 34. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x)  2x 1 , biết rằng tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng x  3y  6  0 . 1 1 1 5 1 5
A. y  x 1.
B. y  x 1.
C. y  x  .
D. y  x  . 3 3 3 3 3 3 3 x Câu 35. Cho hàm số 2 y 
 3x  2 có đồ thị là C. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết 3
tiếp tuyến có hệ số góc k  9  . A. y 16  9  x  3. B. y  9  x  3 . C. y 16  9  x 3 . D. y 16  9  x  3 . 1 7
Câu 36. Có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số 3 2
y   x  3x  5x  mà tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 3
đã cho tại điểm đó song song với trục tung. A. vô số. B. 2. C. 0. D. 1.
 DẠNG 4_ BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ, DIỆN TÍCH TAM GIÁC, … PHƯƠNG PHÁP
 Ứng dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị
 Khai thác điều kiện của bài toán
Thầy Nguyễn Trọng 109
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
 Giải quyết bài toán
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  mx  (2m  3)x 1 đều có hệ số góc dương. A. m  0 . B. m 1. C. m  1. D. m . Lời giải Chọn D
Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y  x  mx  (2m  3)x 1tại tiếp điểm M  x ; y là 0 0  y x  2
 3x  2mx  2m  3 0 0 0 3   0
Hệ số góc luôn dương  y x   0,x    
 m 32  0  m 0 0   0 1
Ví dụ 2. Cho hàm số y 
có đồ thị C . Gọi  là tiếp tuyến của C tại điểm M 2;  1 . Diện tích x 1
tam giác được tạo bởi  và các trục bằng 3 9 A. 3 . B. . C. 9 . D. . 2 2 Lời giải Chọn B 1 y 
. Theo đề x  2; y  1; y x  1  . 0 0  0 x  2 1
Suy ra pttt  là: y  x  3 .
Tiếp tuyến  cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại A3;0, B0;3 . 1 9
Do đó diện tích tam giác được tạo bởi  và các trục tọa độ bằng: S  .O . A OB  . 2 2
Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2
y  x  2x  m  
1 x  2m C . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của m 
đồ thị C vuông góc với đường thẳng  : y  2x 1 m  11 6 A. m 1. B. m  2 . C. m  . D. m  . 6 11 Lời giải Chọn C 2
y  3x  4x  m 1 2  2  7 7
Ta có y  3 x 
 m   m     3  3 3 2 7
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc đó có giá trị k  m  3 3  7  11
Theo bài ra: 2.k  1  2 m   1 m    .  3  6
Thầy Nguyễn Trọng 110
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021
B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN: x  m
Câu 37. Cho hàm số y 
có đồ thị là C . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của C tại điểm m  m  x 1
có hoành độ bằng 0 song song với đường thẳng d : y  3x 1. A. m  3 . B. m  2 . C. m 1. D. m  2  . Câu 38. Cho hàm số 3
y  x 1 m x  
1 C . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến tại C tạo m  m 
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . 2x 1
Câu 39. Gọi đường thẳng y  ax  b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm có x 1
hoành độ x  1. Tính S  a  b . 1 A. S  . B. S  2 . C. S  1  . D. S 1. 2
Câu 40. Cho hàm số f  x 3 2
 x  mx  x 1. Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có
hoành độ x  1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn k. f   1  0 . A. m  2 . B. m  2  . C. 2   m 1. D. m 1. x 1
Câu 41. Gọi là tiếp tuyến của hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 3
 . Khi đó tạo với hai trục x  2
tọa độ một tam giác có diện tích là: 169 121 25 49 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 6 6 6 6
Câu 42. Đường thẳng y  9x  m là tiếp tuyến của đường cong 3 2
y  x  3x 1 khi m bằng A. 6  hoặc 26 . B. 1 hoặc 3 . C. 3  hoặc 1. D. 3 hoặc 5  . 1
Câu 43. Tìm m để đồ thị: 3
y  mx  m   2
1 x  3m  4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc 3
với đường thẳng x  y  2013  0 . 1 1 1 A. m 1. B.   m .
C.   m  1.
D.   m  1. 2 2 2 Câu 44. Cho hàm số 3
y  x  3x 1 có đồ thị là C.Giả sử d  là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành
độ x  2 , đồng thời d  cắt đồ thị C tại N, tìm tọa độ N . A. N 1;  1  .
B. N 2;3 . C. N  4;  5   1 .
D. N 3;19 . 1 Câu 45. Cho hàm số 3 2
y  x  3x  x 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C , hãy tìm 3
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất?
A. y  8x 10 .
B. y  x 10 .
C. y  8x 10 .
D. y  x 10 . Câu 46. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  mx  2m  3 có đồ thị là C , với m là tham số thực. Gọi T là tập
tất cả các giá trị nguyên của m để mọi đường thẳng tiếp xúc với C đều có hệ số góc dương.
Tính tổng các phần tử của T . A. 3 . B. 6 . C. 6  . D. 3  .
Thầy Nguyễn Trọng 111
TRƯỜNG THPT ĐĂK GLONG
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021 Câu 47. Cho hàm số 3 2
y  x  mx  mx 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có
hệ số góc lớn nhất của C đi qua gốc tọa độ O ? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . 2x  3
Câu 48. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  chắn x  2
hai trục tọa độ một tam giác vuông cân? 1 3
A. y  x  2 .
B. y  x  2 .
C. y  x  2 .
D. y  x  . 4 2 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.A 3.C 4.C 5 6.D 7.A 8.B 9.D 10.B 11.A 12.B 13.C 14.C 15.A 16.A 17.A 18.A 19.D 20.C 21.B 22.A 23.C 24.C 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.A 31.C 32.D 33.C 34.D 35.C 36.C 37.D 38.D 39.D 40.C 41.A 42.A 43.C 44.C 45.C 46.D 47.B 48.A
---------------- TOANMATH.com ----------------
Thầy Nguyễn Trọng 112

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số – Nguyễn Trọng Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng tính đơn điệu của hàm số

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng cực trị của hàm số