Công thức toán học môn Giải tích 1 | Đại học Bách khoa Hà Nội

Tóm tắt toàn bộ Công thức toán học môn Giải tích 1 của Đại học Bách Khoa Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống. Mời bạn đọc đón xem!

64 32 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

28 trang 10 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Văn Tiến
Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số
1. Dạng
0
,
0
Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital
Khi
o
xx→
mà
( )
( )
fx
gx
→
→
hoặc
( )
( )
0
0
fx
gx
→
→
=>
( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'
oo
x x x x
f x f x
I
g x g x
→→
==
Ví dụ:
( )
00
1
lim lim 1
1
ln 1
1
xx
x
x
x
→→
==
+
+
00
1
2
lim lim
sin cos
xx
x
x
xx
→→
==
Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1
( )
00
4cos
ln 1 4sin
4
1 4sin
lim lim
3 1 3 ln3 ln3
xx
xx
x
x
x
I
→→
+
+
= = =
−
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2
2. Dạng
1
. Vận dụng
( )
1
0
1
lim 1 lim 1
x
x
xx
ex
x
→ →

+ = = +


Ví dụ:
( )
( )
( )
cos 1
cos 1
sin
1
1
1
cos 1
0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x e e
−
−
−
−
→ → → →

= + − = = =


2.
2
2
22
lim 1 lim 1
x
x
xx
e
xx
→→
+ = + =
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3
( ) ( )
( )
cos 1
cos 1 sin
1
1
sin cos
cos 1
sin
0 0 0 0
lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1
x
xx
x
xx
x
x
x x x x
x x e e
−
−−
−
→ → → →

= + − = = =


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
3. Dạng
00
0, ,0
Khi
,
o
xx→
( )
( )
0
0
ux
vx
→
→
=>
( )
( )
( ) ( )
ln
lim lim
oo
vx
v x u x
x x x x
I u x e


→→
==
Ví dụ
ln 1/
lim lim lim
2
1/
1/
0 0 0
0
lim ln
ln
00
lim lim 1
xx
x
x
x
x x x
x
xx
x x x
xx
x e e e e e
−
+ + +
−
→ → →
+
→
++
→→
= = = = = =
5 5ln 5
lim lim lim 1
x
xxx
x x x
x e e
→ → →
= = =
Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3:
( )
tan
0
lim sin
x
x
Ix
+
→
=
( )
( )
( )
22
cos
ln sin
sin
1
1
tan
tan ln sin
sin cos 0
tan tan .cos
0 0 0 0 0
lim sin lim lim lim lim 1
x
x
x
x
xx
xx
x x x
x x x x x
I x e e e e e
+ + + + +
−
−
→ → → → →
= = = = = = =
Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2:
2
lim 1
n
n
n
→+
+
Xét
( )
( )
2
2
ln 1
2
1
lim
lim
2 2 0
1
lim 1 lim 1 1
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
I x x e e e
→+
→+
+
+ →+
+
→
= + = + = = = =
=>
2
lim 1
n
n
n
→+
+
=1
4. Vô cùng bé – Vô cùng lớn
( )
( )
: , 0
:,
o
o
VCB x x f x
VCL x x f x
→→
→ →
a. So sánh VCB: Cho
,

là các VCB khi
o
xx→
. Xét
lim
o
xx
k
→
=
1k

=
0k =
cấp cao hơn
0;1k 
cùng cấp
b. So sánh VCL: Cho
,AB
là các VCL khi
o
xx→
. Xét
lim
o
xx
A
K
B
→
=
1K A B=
K =
A cấp cao hơn B
0;1K 
A, B cùng cấp
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x
( )
00
1
ln 1
1
lim lim 1
sin cos
xx
x
x
k
xx
→→
+
+
= = =
=> ln(1+x) và sin x tương đương
So sánh VCL khi x ->
:
2
x
và
x
e
2
22
lim lim lim 0
x x x
x x x
xx
K
e e e
→ → →
= = = =
=>
x
e
cấp cao hơn
2
x
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 1
So sánh VCL khi x ->
:
( )
2
x x x
=+
và
( )
1
x
xe
=−
Xét
2
1 2 2
lim lim lim 0
1
x x x
x x x
x x x
K
e e e
→ → →
++
= = = =
−
=> B cao cấp hơn A
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?
( ) ( )
52
sin5 ; 1
x
x x x e x

= = − −
( )
( )
5 2 5
0 0 0
sin5 5cos5
lim lim lim 1
1 5 2
xx
x x x
x
xx
k
x e x e x
→ → →
= = = =
− − −
=> có tương đương
c. Ngắt bỏ, thay thế VCL, VCB
- Thay VCB, VCL tương đương trong tích/ thương
- Ngắt VCB bậc cao, VCL bậc thấp trong tổng/hiệu
d. Bảng VCB tương đương:
0x →
( )
ln 1
1
x
xx
ex
+
−
( )
11
1 ln
a
x
x ax
a x a
+−
−
sin tan arctan arcsinx x x x x
Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x
( )
00
ln 1
lim lim 1
sin
xx
x
x
k
xx
→→
+
= = =
=> ln(1+x) và sin x tương đương
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?
( ) ( )
52
sin5 ; 1
x
x x x e x

= = − −
( )
( )
5 2 5
0 0 0
sin5 5
lim lim lim 1
11
xx
x x x
x
xx
k
x e x e
→ → →
= = = =
− − −
=> có tương đương
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4
Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0:
( ) ( )
( )
2 3 4 3
, sinx ax bx x x x

= + + =
Ta có:
( )
( )
33
sinx x x
=
( )
2 3 4 2
x ax bx x ax
= + +
nếu a khác 0 => a = 0
( )
3 4 4
x bx x x
=+
nếu b = 0;
( )
3 4 3
x bx x x
=+
nếu b =1
Vậy a = 0; b =1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn
I. Giới hạn trái – Giới hạn phải – Hàm số liên tục
• Giới hạn phải của hàm số f(x) tại x
o
:
( )
( )
lim
o
o
xx
f x f x
+
+
→
=
• Giới hạn trái của hàm số f(x) tại x
o
:
( )
( )
lim
o
o
xx
f x f x
−
−
→
=
Ví dụ:
0
1
lim
x
x
+
→
=
( )
0
lim ln
x
x
+
→
=−
Câu 3 – GK20173 – N2 – D4:
21
1
2
lim
1
x
x
x
x
+
+
→
+

=

−

Câu 3 – GK20171 – N3 – D7:
1
11
ln
1 ln
00
1
lim lim 0
1 ln
x
x
x x x
xx
x
e
xx
++

−

−

→→

− = =

−

• Hàm số f(x) liên tục tại x
o
khi và chỉ khi:
( ) ( )
( )
o o o
f x f x f x
−+
==
Ví dụ:
Xét sự liên tục của f(x) = x
2
+2x+5 tại x
o
=0 => f(x
o
+
) = f(x
o
-
)= f(x
o
) = 5=> LT
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục
y =
( )
2
ln 1 4
;0
0; 0
x
x
x
x
−
=
Nhận xét: Hàm số liên tục trên R\{0}
Tại x = 0:
( ) ( )
( )
( )
( )
22
00
ln 1 4 ln 1 4
0 0 lim lim 0 0
xx
xx
f f f
xx
++
+−
→→
−−
= = = = =
=> liên tục tại 0
Hàm số liên tục trên R
Đề 5 – 20141: Tìm m để f(x) =
2
1 cos 2
;0
;0
x
x
x
mx
−
=
liên tục tại x = 0
( ) ( )
00
lim lim 2 2
xx
f x f x m
+−
→→
= = = =
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
II. Điểm gián đoạn
o Điểm gián đoạn x
o
: tại đó không tồn tại f(x
o
)
o Phân loại điểm gián đoạn:
• Tìm f(x
o
+
) và f(x
o
-
)
• Nếu tồn tại cả f(x
o
+
) và f(x
o
-
): loại 1
Khi đó: h = | f(x
o
+
) - f(x
o
-
) | gọi là bước nhảy
h = 0 => Gián đoạn bỏ được
• Không phải loại 1 => loại 2
Ví dụ:
Xét sự gián đoạn của hàm số:
( )
1
fx
x
=
Tại x = 0, ta có: f(0
+
) = ∞ và f(0
-
) = - ∞ => Loại 2
C3 – 20181 – N3 – D7:Xét sự gián đoạn của y =
1
arctan
x
Ta có:
( )
( )
0 ; 0
22
ff

+−
= = =
−
Loại 2
C4 – 20181 – N1 – D1: Xét sự gián đoạn của y = cot
1
arctan
x



f(0
+
) =0 và f(0
-
) = 0 => Loại 1
C3 – 20181 – N1 – D3: Tìm a để x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được
f(x) =
1
;0
1
;0
ln
x
a e x
x
x
+
. Ta có f(0
+
) =0 và f(0
-
) = a = > a = 0
C2 – 20173 – N1 – D1
Phân loại điểm gián đoạn
( )
sin
1
x
y
xx
=
−
f(0
+
) = - 1 và f(0
-
) = -1 => L1
f(1
+
) = ∞ và f(1
-
) = - ∞ => L2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
III. Đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm:
( )
( ) ( )
' | lim
o
o
o
x
xx
o
f x f x
fx
xx
→
−
=
−
2. Đạo hàm trái – Đạo hàm phải
Phải:
( )
( ) ( )
' lim
o
o
o
xx
o
f x f x
fx
xx
+
+
→
−
=
−
Trái:
( )
( ) ( )
' lim
o
o
o
xx
o
f x f x
fx
xx
−
−
→
−
=
−
Chú ý: f(x) có đạo hàm tại x
o
=> Liên tục tại x
o,
không có ngược lại
Ví dụ:
Tính đạo hàm
2
tan
tan '
cos
2
xx
y x x y
x
x
= = +
C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với
3
arcsiny x x=
( ) ( )
3
00
0
arcsin
'(0) lim lim 0
xx
f x f
xx
y
xx
→→
−
= = =
C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0
f(x) =
sin ; 0
cos ; 0
x
e a x x
xx
−
. Với a tìm được, tính f’(0)
f(0) = f(0
+
)= f(0
+
) = 1: Hàm số liên tục tại x = 0
f’(0
+
) = 1 – a; f’(0
-
) = 0 => a = 1 => f’(0) = 0
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ
Vi phân của y = f(x) là
( ) ( ) ( )
'.y f x x f x f x x = + −
Cách tính xấp xỉ:
( ) ( ) ( )
'
o o o
f x x f x f x x+ = +
Ví dụ:
Áp dụng vi phân, tính gần đúng
3
7.97
Xét
( )
( )
2
3
3
1
'
3
f x x f x x
−
= =
. Ta có
8; 0.03
o
xx= = −
Áp dụng
( ) ( ) ( )
'
o o o
f x x f x f x x+ = +
=>
3
7.97 7.9975=
Tồn tại đạo hàm khi và
chỉ khi f’(x
o
+
) = f’(x
o
-
)
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Áp dụng vi phân, tính gần đúng
sin 0.01
4

+


Xét
( )
sin '( ) cosf x x f x x= =
. Ta có
; 0.01
4
o
xx
= =
sin 0.01 sin 0.01cos 0.714
4 4 4
+ = + =
Câu 6 – 20181 – D4 – N1:
Ứng dụng vi phân, tính gần đúng
4
2
2 0.02−
Xét
( )
( )
13
44
4
2
2 2 1 2
'
2
f x f x
x x x x
−
−
= = =
. Ta có
2; 0.02
o
xx= = −
( ) ( )
4
2
2 0.02 ' 2 1.0025
2 0.02
ff= − =
−
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 3: Đạo hàm, vi phân cấp cao
Khai triển Taylor, Maclaurin
I. Đạo hàm, vi phân cấp cao
• Đạo hàm cấp n:
( )
( )
( )
( )
1nn
f x f x
−

=

• Vi phân cấp n:
( )
n
nn
d y y dx=
Ví dụ:
( ) ( )
34
7 6 5 4 3
' 7 '' 42 210 840y x y x y x y x y x= = = = =
Bảng đạo hàm cấp cao của một số hàm số:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chú ý: Công thức Leibiniz:
( )
( )
( ) ( )
0
..
n
n
n k k
k
n
k
u v C u v
−
=
=
Trong đó:
( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v
(k)
= 0
Ví dụ: x
5
có đạo hàm cấp 5 bằng 0
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
12
2 2 1
0 1 2
2 2 2 2
0
( ) sin . ' cos sin '' 2cos
'' sin . sin . sin . sin .
sin . 2cos . sin . 2cos .
x x x
k
k
k x x x x
k
x x x x
f x x e f x x x e f x xe
f x C x e C x e C x e C x e
x e x e x e x e
−
=
= = + =
= = + +
= − + + =
• Cho y = xlnx. Tính y
(20)
(1)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
20
20 20 19
20 0 1
01
20 20 20
0
20 19 19 18
20 19 19 19 19
ln ln ln
20.18! 19!
19! 18! 19! 20.18!
ln 20 ln 1 . . 20 1
k
k
k
k
y C x x C x x C x x
x x x x
x x x x x
−
=
= = +
−
−
= + = − + − = + =
y
(20)
(1) = 20.18!-19!
Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp
( ) ( )
23
1 1 2
' ''
1
11
y y y
x
xx
−
= = =
+
++
Giả sử
( )
( )
( )
1
1!
1.
1
1
n
n
n
n
x
x
+

=−

+

+
(*)
Với
( )
2
1
1'
1
ny
x
−
= =
+
=> n = 1 đúng với (*)
Với
( )
3
2
2 ''
1
ny
x
= =
+
=> n = 2 đúng với (*)
Giả sử
( )
( )
( )
1
!
1.
1
k
k
k
k
n k y
x
+
= = −
+
là đúng
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2 2 2
1 1 1 !
1 1 . !. 1
11
k
kk
kk
kk
k x k
n k y y k
xx
+
+
++
− + + +

= + = = − = −

++
(đúng với *)
Ví dụ:
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2: Cho y = (x+1)lnx. Tính y
(20)
(1)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
20
20 20 0 19
20 1
01
20 20 20
0
20 19 19 18
20 19
ln 1 ln 1 ln ( 1)
19! 18!
ln 1 20 ln 1 . .( 1) 20 1 2.19! 20.18! 2.19! 19! 18! 18! 19!
kk
k
k
y C x x C x x C x x
x x x x
xx
−
=
= + = + + +
= + + = − + + − = − + = − + + = −
Câu 5 – 20171 – Đề 1 – N1: Tính y
(5)
(x) với y = ln(2x
2
-x)
( )
( )
5
(5)
5
5
2
4! 2 .4!
ln ln ln 2 1
2
2
1
y x x yx
x
x
x
= = + −− = = +
−
Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x
2
ln(1-3x). Tính y
(n)
(0), n≥3.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
0
0 0 ln 1 3 0 , 0
n
kk
nk
n
k
n
k
y C x x x
−
=
= − =
2; 2
0; 0
k
k
=
=
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
0 2 ln 1 3 0
n
n
n
y C x
−
= −
Ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1
()
2
3
39
ln 1 3 ' '' 1 1 !
13
1 3 1 3
n
n
n
n
y x y y y n
x
xx
−
−
−−
= − = = = − −
−
−−
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2
2
3
2 ln 1 3 0 2 1 3 ! 2.3 3 !
13
n
n
n
n
n n n
n
C x C n C n
x
−
−
−
−
−
−
− = − − = − −
−
Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho
( )
( )
4
1
( ) ln 2
5!
x
f x x
−
=−
. Tính d
10
f(1).
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
10
4
10 10
10 10
10
0
1
1 1 , 1 1 ln 2
5!
k
k
k
k
d y y dx y C x x
−
=
= = − −
.
Ta có
( )
( )
()
4
1
k
x −=
4!; 4
0; 4
k
k
=
=>
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6
66
5
(10) 4
10
6
1
1
1 4! ln 2 42 ln 2 42. 1 .5!. 5040
5!
2
y C x x
x
−
= − = − = − = −
−
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
II. Khai triển Taylor, Maclaurin
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
' ''
... ...
1! 2! !
' 0 '' 0
0 ... ...
1! 2! !
k
k
o o o
o o o o
k
o
k
f x f x f x
f x f x x x x x x x
k
f f x f
f x f x x x
k
= + − + − + + − +
= + + + + +
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 4
1
2
ln 1 ... 1
2 3 4
1
( 1)...( 1)
1 1 ...
2! !
n
n
n
x x x x
xx
n
n
x x x x
n

−
+ = − + − + + −
−
− − +
+ = + + + +
x~0
a. Tìm khai triển Maclaurin hoặc Taylor
Ví dụ:
Tìm khai triển Maclaurin của
( )
( )
5
1
13
fx
x
=
−
đến số hạng o(x
2
)
( )
( )
( )
( )
5
22
5
1
1 3 1 15 135
13
f x x x x o x
x
−
= = − = + + +
−
Câu 8 – 20173 – Đề 4 – N2: Khai triển Maclaurin của
( )
( ) ( )
40 50
1
1 2 1
fx
xx
=
+−
đến số hạng o(x
2
).
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
40
22
50
22
40 50
2 2 2 2 2 2
1 2 1 80 3280
1 1 50 1275
1 2 1 1 50 1275 80 4000 3280 1 30 555
x x x o x
x x x o x
y x x x x x x x o x x x o x
−
−
−−
+ = − + +
− = + + +
= + − = + + − − + + = − + +
Bỏ qua những x có bậc cao hơn 2.
Câu 9 – 20171 – Đề 1 – N1:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số
3
1yx=+
đến x
3
để tính gần đúng
3
1,09
Quy tròn đến 10
-6
.
( )
( )
1
2 3 3
3
3
23
33
1 1 5
1 1 1
3 9 81
1 1 5
1,09 1 0,09 1 .0,09 .0,09 .0,09 1,029145
3 9 81
x x x x x o x+ = + = + − + +
= + = + − + =
b. Vận dụng khai triển Taylor để tìm đạo hàm cấp cao
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
• Khai triển Maclaurin hàm số y
• Hệ số của số hạng chứa x
n
. n! = kết quả cần tìm
Ví dụ:
Tìm đạo hàm cấp cao y
(5)
(0) của y = sin x.
y
(5)
(0) = sin (x+5π/2)|
x=0
= 1
Ta có khai triển Mac của y là:
35
11
sin
3! 5!
x x x x= − +
Hệ số của x
5
là
1
5!
=> y
(5)
(0) =
1
5!
. 5! = 1
Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3: Cho y = e
x
sinx. Tính đạo hàm cấp cao y
(6)
(0).
2 3 4 5
1 1 1 1
1
2 3! 4! 5!
x
e x x x x x= + + + + +
35
11
sin
3! 5!
x x x x= − +
=> Hệ số của x
6
của
sin
x
ex
là:
2
6 3 6
1 1 1 1
5! 3! 5! 90
x x x
−

− + =


( )
( )
( )
( )
6
6
0
1
08
6! 90
y
y
−
= = −
Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho
2
2
1
x
y
x
=
+
. Tính đạo hàm cấp cao y
(7)
(0).
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
( )
( )
( )
( )
( )
( )
8
2 (7) 2
2
2
ln 1 ln 1
1
x
y x y x x
x
= = + = +
+
.
Ta có:
( )
2 3 4
ln 1 ...
2 3 4
x x x
xx+ = − + − +
=>
( )
4 6 8
22
ln 1 ...
2 3 4
x x x
xx+ = − + − +
( )
( )
( )
( )
( )
8
2
(7)
ln 1 0
1 8!
0 10080
4 8! 4
x
y
+
−−
= = = −
c. Vận dụng khai triển maclaurin để tìm giới hạn
Cách làm: khi x => 0. Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất
phụ thuộc mẫu
Ví dụ:
Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính
( )
( )
42
53
0
1 1 2 cos 2
lim
ln 1 2
x
xx
xx
→
−+
−
( )
5 3 8
ln 1 2 2x x x−−
( )
8
44
8
24
1 2 1
2
cos 2 1
6
x
xx
x
xx
+ + −
−+
=>
( )
( )
88
4 2 4 4 8 8
8
4
1 2 cos 2 1 1
2 6 3
xx
x x x x x o x x
−
+ = + − − − + + = +
( )
( )
8
42
8
53
00
4
1 1 2 cos 2
2
3
lim lim
23
ln 1 2
xx
x
xx
x
xx
→→
−+
−
==
−
−
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 4: Các vấn đề về hàm số - đồ thị
I. Tìm cực trị
Cách làm: Hàm số y=f(x) có cực trị <=> y' đổi dấu
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận
Ví dụ:
Câu 5 – GK20141 – Đề 4: Tìm cực trị của hàm số
2
2
3
x
y
x
+
=
Điều kiện xác định:
0x
2 2 2 2
2 2 2
6 3 6 3 6 2
'
9 9 3
x x x x
y
x x x
− − − −
= = =
.
' 0 2yx= =
. Vẽ bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại
22
3
y
−
=
tại x =
2−
Hàm số đạt cực tiểu y =
22
3
tại x =
2
Câu 5 – GK20151 – Đề 2: Tìm cực trị của hàm số
5
4
45y x x=−
41
1/5
55
1/5 1/5
11
4 5 ' 4 4 1
' 0 1
x
y x x y x
xx
yx
−
−
= − = − = − =
= =
. Ta có bảng biến thiên
x -∞
2−
0
2
∞
y’ 1/3 + 0 - -∞ -∞ - 0 + 1/3
22
3
−
∞ ∞
y -∞ -∞
22
3
x -∞ 0 1 ∞
y’ + - 0 +
0 ∞
y -∞ -1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
II. Tiệm cận
1.
( )
fx
- Tiệm cận ngang: xét f(x) khi x tiến tới ∞ và -∞
- Tiệm cận đứng: xét f(x) tại điểm x gián đoạn
- Tiệm cận xiên: y = ax + b
Trong đó:
()
lim lim ( )
()
lim lim ( )
xx
xx
fx
a b f x ax
x
fx
a b f x ax
x
→

→→
→− −
= = −
= = −
2.
( )
( )
x f t
y g t
=
=
. Xét lim tiến tới t
o
hoặc ∞
• Tiệm cận đứng:
( )
( )
lim
lim
o
o
tt
tt
f t a
gt
→
→
=
=
• Tiệm cận ngang:
( )
( )
lim
lim
o
o
tt
tt
ft
g t b
→
→
=
=
• Tiệm cận xiên:
Nếu
( )
lim
o
tt
ft
→
=
và
( )
lim
o
tt
gt
→
=
thì đường cong có thể có tiệm cận xiên.
( )
lim
lim
o
o
tt
tt
y
a
x
b y ax
→
→
=
=−
Ví dụ:
Tìm tiệm cận của hàm số
2
2
x
y
x
=
−
.
lim 1; lim 1
xx
yy
→ →−
= = −
=> 2 tiệm cận ngang
22
lim l; im
xx
yy
+−
→ →−
= = −
=> 2 tiệm cận đứng
Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của
1
2
1
x
x
y xe
+
−
=
( )
( )
22
2 2 2 2
1
lim lim lim 4 4
x
x
x x x
y
e e y e x e y e x
x
+
→→
−
→
= = − = = +
. Xét lim tại -∞ tương tự.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e
-2x
).
( )
( )
( )
( )
2
2
2
ln 1
lim lim 0 lim limln 1 0
ln 1
lim lim 2 lim 2 0 2
x
x
x x x x
x
x x x
e
y
y e khongco
xx
e
y
y x y x
xx
−
−
→ → → →
−
→
−→
→
+
= = = + = =
+
= = − + = = = −
Ví dụ: Tìm tiệm cận của
2
1
x
t
yt
=
=
00
0
lim lim 0 : 0
lim 0 li
;
;:m
tt
tt
T
x y TCN y
xy CD y
→→
→→

= = = =
= ==
Câu 9 – 20161 – D4:
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi
2
33
2016 2016
;
11
tt
xy
tt
==
−−
11
;lim lim
tt
xy
→→
==
=> Không có TCD, TCN. Có TCX
0;lim 0 lim
tt
xy
→ →
==
=> Không có
( )
1 1 1
2016
lim lim 1;lim
3
2016
3
t t t
y
t y x
x
yx
→ → →
−
= = − =
= −
III. Tiếp tuyến:
1. Tìm tiếp tuyến y = f(x) tại x
o
.
y = f’(x
o
)(x-x
o
) + y
o
2. Tiếp tuyến của hàm số có tham số t:
( )
( )
x x t
y y t
=
=
tại t
o
( )
( )
( )
( )
''
oo
oo
x x t y y t
x t y t
−−
=
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Ví dụ:
Câu 8 – 20181 – Đề 3 – N1:
sin
1 cos
x t t
yt
=−
=−
tại
2
o
t
=
.
Ta có:
1; 1
2
oo
xy
= − =
.
x’= 1 – cost => x’
o
= 1 và y’= sint => y’
o
= 1
1
1
2
1 1 2 0
1 1 2 2
x
y
x y x y

−+
−
= − + = − − − + =
3. Tọa độ cực: r = f(φ)
• Cách 1: Đưa về tọa độ Oxy
22
2 2 2 2
;cos ;sin
xy
r x y
x y x y

= + = =
++
Từ f(x;y) = 0, viết pttt: f’(x
o
)(x – x
o
) + f’(t
o
)(y – y
o
) = 0
• Cách 2: Tính tan V =
'
r
r
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực
Ví dụ:
Câu 10 – 20181 – D1 – N1: tìm tiếp tuyến tại φ = 0 của r = 2+cos φ
Cách 1:
Với φ = 0 => r = 3. Chuyển tọa độ Oxy
( )
2 2 2 2 2 2
22
22
22
2 2 0 3;0
2
' 2 1 ' 3
2
' 2 ' 0
o
o
x
x y x y x y x M
xy
x
f x x f x
xy
y
f y y f y
xy
+ = + + − + − =
+
= − − =
+
= − =
+
3(x – 3) + 0.y = 0 => x = 3
Cách 2:
r = 2+cos φ => r’ = - sin φ = 0 và r = 3 => tan V = ∞ => Tiếp tuyến vuông góc r
tại M => x = 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân
I. Bảng nguyên hàm
II. Một số cách tính nguyên hàm
- Đổi biến.
- Tích phân từng phần.
- Phân tích các phân thức.
- Hàm lượng giác:
• áp dụng công thức t = tan(x/2)
• Dạng
sin cos
mn
x xdx
+ Nếu m lẻ: đặt t = cos x
+ Nếu n lẻ: đặt t = sin x
+ Nếu m,n chẵn: hạ bậc
Ví dụ:
32
sin cosI x x dx=
.
Đặt t = cos x =>
( ) ( )
5 3 5 3
2 2 4 2
cos cos
1
5 3 5 3
t t x x
I t t dt t t dt C I C= − = − = − + = = − +

Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2:
2
2
22
x
I dx
xx
+
=
−+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
ln 1 1
2 2 1 3
3arctan 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x
x x x
I dx dx dx x C
xx
x x x
−+

+ + −
= = = + = + − +


−+
− + − + − +

Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1:
( )
3/2
2ln 1
2ln 1
3
x
x
I dx C
x
+
+
= = +
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1:
2
arccosI xdx=
Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt
2 2 2
sin cos 2 cos cos 2 sin 2cosI t tdt t t t tdt t t t t t C= − = − = − − +

Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7:
2
arctan x
I dx
x
=
I
Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan
2
t +1)dt
2
22
(tan 1) 1 arctan
ln sin ln sin(arctan )
tan sin tan tan
t t tdt t x
I dt td t C x C
t t t t x
+ − − −

= = = = + + = + +


Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3:
2
2
arcsin
1
1
arcsin
1
21
1
2 1 2
2arcsin 1 2arcsin 1 2arcsin 1 4 1
1
1
x
I dx
x
u x du dx
x
dx
dv v x
x
x
I x x dx x x dx x x x C
x
x
=
+
= = =
−
= = +
+
+
= + − = + − = + + − +
−
−

Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
7/4 3/4
3/4 1/4 7/4 3/4
1/4
4
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1
7 3 7 3
1
1
x
x
xx
e tdt
I dx t t dt t t C e e C
t
e
−

= = = + − + = + − + + = + − + +

+
+
Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1:
( )
( )
22
32
2
2 2 1 1 2 2 1
ln 1 arctan
1 1 1 2
11
33
xx
I dx dx dx x x C
x x x x
x x x
+ +
= = = − = − − + +

− − + +
− + +

Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1:
( )
2
ln 1I x x dx= + +
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Đặt
( )
2
2
21
ln 1
1
x
u x x du dx
xx
dv dx v x
+
= + + =
++
= =
( )
2
2
2
2
ln 1
1
xx
I x x x dx
xx
+
= + + −
++
.
Xét
( )
2
1
2 2 2 2
2
13
22
22
22
1 1 1 1
1 2 1
2 ln 1 3 arctan
22
3
x
x x x
I dx dx dx
x x x x x x x x
x x x x

+

++

= = − = − −


+ + + + + + + +





= − + + − +




( ) ( )
22
1 2 1
ln 1 2 ln 1 3 arctan
22
3
I x x x x x x x C


= + + − + + + + + +




Câu 7 – 20171 – Đề 4 – N1:
2 sin
x
I xe xdx=
Đặt
( )
2 sin 2sin 2 cos 2(sin cos )
xx
u x x du x x x dx du x x x
dv e dx v e
= = + = +
= =
2 sin 2sin 2 cos
x x x
I x xe xe dx x xe dx= − −

Xét
1
2 cos
x
I x xe dx=
Đặt
( )
2 cos 2cos 2 sin 2(cos sin )
xx
u x x du x x x dx du x x x
dv e dx v e
= = − = −
= =
1
2 cos 2cos 2 sin
x x x
I x xe xe dx x xe dx= − +

( )
( )
( )
2 sin 2sin 2 cos 2cos 2 sin
2 sin 2 cos 2 cos sin
2 2 sin cos 2cos
sin cos cos
x x x x x
x x x
xx
xx
I x xe xe dx x xe xe dx x xe dx
I x xe x xe x x e dx I
I xe x x xe
I xe x x xe C
= − − + −
= − + − −
= − +
= − + +
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 6: Tích phân suy rộng
I. Loại 1:
( )
a
I f x
=
Cách làm:
• Tính
( )
A
a
fx
=>
( )
lim
A
x
a
I f x
→
=
.
• Nếu I hữu hạn => I hội tụ. Ngược lại, I không xác định => I phân kỳ
Tương tự:
Ví dụ:
1
I xdx
=
2
1
dx
I
x
−
=
+
II. Loại 2:
( )
b
a
I f x=
trong đó f(x) không xác định tại a hoặc b
Ví dụ:
2
1
1
dx
x −
1
2
1
1
dx
I
x
−
=
−
III. Một số lưu ý khi giải bài
•
( ) ( )
lim
A
x
aa
I f x f x
→
==

*
( ) ( )
t
t
f x f x
−
−

•
a
dx
I
x
=
hội tụ khi
1
; phân kì khi
1
•
1
0
dx
I
x
=
hội tụ khi ∝ < 1; phân kì khi ∝ ≥1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
• Tiêu chuẩn so sánh áp dụng cho f(x), g(x) dương
+
( ) ( )
0 f x g x
với mọi x > x
o
g hội tụ thì f hội tụ; f phân kì thì g phân kì
+
( )
( )
lim
x
fx
k
gx
→
=
hoặc x tiến tới điểm kì dị
k = 0 : g hội tụ => f hội tụ
k = ∞: g phân kỳ => f phân kỳ
k hữu hạn => f và g cùng tính chất
• Hội tụ và hội tụ tuyệt đối
•
( )
b
a
I f x=
có a là điểm kỳ dị,
( )
lim
xa
fx
+
→
hữu hạn thì I hội tụ
Ví dụ:
1
0
sin x
dx
x
hội tụ
Ví dụ:
1
0
tan
dx
x
1
sin
0
1
x
xdx
e −
2
6
2
1
x
dx
x
−
1
2
0
1x
I
xx
+
=
( )
3
1
sin
2
x
xx
+
(trị tuyệt đối)
Câu 10 – 20173:
3
10
0
sinxx
I
x
−
=
1
12
3 3 3
10 10 10
0 0 1
sin sin sinx x x x x x
I I I
x x x

− − −
= = + = +
1
1
3
10
0
sinxx
I
x
−
=
. Ta có
1/3
3
10
0
sin 1 1
lim :
6
x
xx
x
x
+
→
−
=
và
1
1/3
0
1
()ht
x
. Tương tự I
2
hội tụ
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Câu 9 – 20173 – đề 3:
3
0
sin x
dx
xx
+
1
12
3 3 3
0 0 1
sin sin sinx x x
dx dx dx I I
x x x x x x

= + = +
+ + +
1
3
0
sin
lim 1
x
x
I
xx
+
→
= =
+
hội tụ
I
2
hội tụ tuyệt đối => I hội tụ
Câu 10 – 20173 – đề 3:
3
0
arctan
( ln(1 ))
x
dx
xx
++
1
12
3 3 3
0 0 1
arctan arctan arctan
( ln(1 )) ( ln(1 )) ( ln(1 ))
x x x
dx dx dx I I
x x x x x x

= + = +
+ + + + + +
3
0
arctan 1 1
lim :
22
( ln(1 ))
x
x
x
xx
+
→
=
++
mà
1
0
dx
x
hội tụ => I
1
hội tụ
3/2
3
arctan 1
lim :
2
( ln(1 ))
x
x
x
xx
→
=
++
mà
3/2
1
dx
x
hội tụ => I
2
hội tụ
I hội tụ
Câu 10 – 20181 – đề 1 – N1:
( )
0
ln 1 2x
dx
xx
+
( )
( )
( )
1
12
0 0 1
ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2x x x
dx dx dx I I
x x x x x x

+ + +
= + = +
Ta có:
( )
0
ln 1 2
2
lim : 1
x
x
x
x x x x
+
→
+
=
. Mà
1
0
2
dx
x
hội tụ => I
1
hội tụ
( )
2
1
ln 1 2x
I dx
xx
+
=
. Đặt
( )
3
2
2
ln 1 2
12
2
dx
u x du
x
dv x dx v
x
−
= + =
+
−
= =
( )
( )
23
1
1
2ln 1 2
4
2ln3
12
x
dx
II
x x x
−+
= + = +
+
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Với
( )
3
1
4
12
dx
I
xx
=
+
. Đặt
( )
2
3
2
2
11
4.2 8
4 2 arctan 2
1 2 2
12
tdt dt
t x x t I
t
tt


= = = = = −

+
+


2
2ln 3 4 2 arctan 2
2
I

= + −


hội tụ
I hội tụ
Câu 9 – 20181 – Đề 3 – N1:
0
arctan
1 cos
x
dx
x x x
+−
1
12
0 0 1
arctan arctan arctan
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
dx dx dx I I
x x x x x x x x x

= + = +
+ − + − + −
0 0 0
arctan arctan
lim : lim lim 1
1 cos 1 cos 1 cos
x x x
x x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x
+ + +
→ → →
= = =
+ − + − + −
(ngắt vcb bậc cao)
1
0
1
dx
x
hội tụ => I
1
hội tụ
x →
thì
/arctan
1 cos
2x
x x x x x
+−
1
/2
dx
xx
hội tụ => I
2
hội tụ
I hội tụ
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 7: Ứng dụng của tích phân xác định
I. Tính diện tích hình học phẳng:
• Oxy
()
()
a x b
y f x
y g x

=
=
=>
( ) ( )
b
a
S f x g x dx=−
()
()
c x d
xy
xy

=
=
=>
( ) ( )
d
c
S y y dy

=−
12
0
()
()
t x t
y
xt
yt

=
=
=
=>
2
1
.'
t
t
y x dt
Ví dụ:
22
2
2
xy
x y x
+
+
;
3
4
0
yx
yx
yx
x
=
=
=
; y = x
2
+ 4 và x – y +4 =0; y = |lnx|, y =1
• Tọa độ cực
( )
rr


=
=
=
=>
( )
2
1
2
S r d

=
Nhắc lại: Tính tan V =
'
r
r
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng tạo bởi r=a(1+cosφ)
' sin 0ra
= − =
=>
0
02ra
r
=
=
=
=
Hình vẽ có tính đối xứng
( )
2
2
0
2
3
1 cos
2
S
a
ad

= + =
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Câu 5 – 20161 – Đề 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho
bởi hệ tọa độ cực
7 2cosr
=−
( )
2
2
0
1
7 2cos 51
2
Sd

= − =
II. Tính chiều dài đường cong phẳng
( )
( )
2
1
22
22
1 ' 1 '
''
bd
ac
t
t
l f x dx g y dy
l x y dt
= + = +
=+

Ví dụ: Tính chiều dài
( )
( )
1 sin
1 cos
x a t
y a t
=−
=−
0≤ t ≤ 2π
Tính chiều dài x
2/3
+ y
2/3
= a
2/3
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2: Tính độ dài cung y = ln(cos x) với 0≤x≤π/3
( )
2
3
00
3
1 ' ln 2 3
cos
dx
L y dx
x

= + = = +

III. Tính thể tích
( ) ( ) ( )
22
b d
ca
b
a
Vdf x yS x x dx g dy

= ==

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường
y = 2x - x
2
và y = 0 khi xoay quanh trục Ox.
Ta có đường y = 2x - x
2
cắt trục Ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:
IV. Tính diện tích mặt tròn xoay
•
( ) ( )
2
12 '
b
a
xS f x f x d
= +
quay quanh Ox
(tương tự với x=g(y) quay quanh Oy)
•
22
'2 '
b
a
x x y dtS
+=
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Ví dụ: Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi
2
01
xy
y
=

Ví dụ: Tính diện tích y = tan x, với 0 <x≤ π/4 quanh trục Ox
=>
5
2
2
1
1
1
du
u
S

+

−

=
Câu 5 – 20173 – Đề 1 – Nhóm 1: Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi
2
4
11
yx
x
=−
−
khi quay quanh Ox một vòng
1
2
2
2
1
12 4
4
S x
x
xd
x
−
−
−
= +
Câu 6 – 20183 – Đề 2 – Nhóm 1:
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi
(x-3)
2
+(y+2)
2
=4
3 2cos ' 2sin
2 2sin ' 2cos
x t x t
y t y t
= + = −
= − + =
=>
( )
2
2
0
3 2cos 244 x dxS

== +
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số 0  1. Dạng , 0 
Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital f ( x) →  f ( x) → 0 f ( x) f '( x)
Khi x → x mà hoặc => I = lim = lim o g ( x) →  g ( x) → 0 x→ → o x g ( x) x o x g '( x) Ví dụ: 1 x 1 x 2 x lim = lim =1 lim = lim =  x→0 ln (1+ x) x→0 1 x→0 x→0 sin x cos x x +1
Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1 4 cos x ln (1+ 4sin x) + 4 1 4sin = lim = lim x I = →0 x →0 3 −1 3x x x ln 3 ln 3
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2 3 4 2 3 2 x + x 3x + 4x 6x +12x 6 + 24x lim = lim = lim = lim = 6 x→0 x→0 x→0 x→0 x − sin x 1− cos x sin x cos x x  1 
2. Dạng 1 . Vận dụng lim 1+ = e = lim   (1+ x)1x x→ x→0  x  Ví dụ: cos x 1 − 1 1 cos x 1 − −sin x x  
lim (cos x)x = lim (1+ (cos x − ) 1 )cosx 1 − x 1 = lim e = lim e =1  x→0 x→0 x→0 x→0   x x 2.2  2   2  2 lim 1+ = lim 1+ = e     x→ xx →   x
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3 cos x 1 − 1 1 cos x 1 − −sin x x  
lim (cos x)sin x = lim (1+ (cos x − ) 1 )cosx 1 − sin x cos = lim e = lim x e =1  x→0 x→0 x→0 x→0  
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 3. Dạng 0 0 0 , , 0  u ( x) → 0 v x v x ln ux    Khi x → x ,
=> I = lim u ( x) ( ) ( ) ( ) = lim e o v ( x) → 0 x→ → o x x o x Ví dụ ln x 1/ x lim lim lim − lim x ln x x + 1/x + 2 → → 1/ − + 0 0 x x x x 0 x x ln x → + x 0 lim x = lim e = e → = e = e = e =1 + + x→0 x→0 5 5ln x 5 lim x x = lim x e = lim x e = 1 x→ x→ x→
Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3: x
I = lim (sin x)tan + x→0 cos x ln(sin x) sin x 1 1 − x
I = lim (sin x)tan tan x ln(sin x) 2 2 −sin xcos x 0 tan x tan x.cos = lim e = lim e = lim x e = lim e = e =1 + + + + + x→0 x→0 x→0 x→0 x→0
Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2: n 2 lim n +1 n→+ ln + 1 ( 2 1 x ) 2 x lim lim 2 x 2 2 x x→+ x→+ + 0 Xét I = x + = ( + x ) x 1 lim 1 lim 1 x = e = e = e =1 => n 2 lim n +1 =1 x→+ x→+ n→+
4. Vô cùng bé – Vô cùng lớn
VCB : x → x , f x → o ( ) 0
VCL : x → x , f x →  o ( ) 
a. So sánh VCB: Cho ,  là các VCB khi x → x . Xét k = lim o x→  o x k = 1   
k = 0   cấp cao hơn 
k  0;1   cùng cấp  A b. So sánh VCL: Cho ,
A B là các VCL khi x → x . Xét K = lim o x→ o x B K = 1 A B
K =  A cấp cao hơn B
K  0;1  A, B cùng cấp
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x 1 ln (1+ x)  + 1 = lim = lim x k
=1 => ln(1+x) và sin x tương đương x→0 x→0 sin x cos x
So sánh VCL khi x ->  : 2 x và x e 2  x 2x 2 K = lim = lim = lim = 0 => x e cấp cao hơn 2 x x x x x→ x→ x e e → e
Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 1
So sánh VCL khi x ->  :  ( ) 2
x = x + x và  ( ) x x = e −1 2 x + x 1+ 2x 2 Xét K = lim = lim = lim = 0 => B cao cấp hơn A x → e −1 x x x x→ x e → e
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?  ( x) = x  ( x) 5x 2 sin 5 ; = e −1− x  (x) sin 5x 5 cos 5x k = lim = = = => có tương đương →  ( x) lim lim 1 5 x 2 5 0 →0 →0 e −1− x 5 x x x x e − 2x
c. Ngắt bỏ, thay thế VCL, VCB
- Thay VCB, VCL tương đương trong tích/ thương
- Ngắt VCB bậc cao, VCL bậc thấp trong tổng/hiệu
d. Bảng VCB tương đương: x → 0 ln (1+ x) x ( a 1+ x) −1 ax sin x tan x arctan x arcsin x x x e −1 x x a −1 x ln a Ví dụ:
So sánh VCB khi x -> 0: ln(1+x) và sin x ln (1+ x)  x k = lim
= lim =1 => ln(1+x) và sin x tương đương x→0 x→0 sin x x
Câu 4 – N3 – GK20181 – Đề 7
Khi x->0, các VCB sau có tương đương không?  ( x) = x  ( x) 5x 2 sin 5 ; = e −1− x  (x)  sin 5x 5x k = lim = = = => có tương đương →  ( x) lim lim 1 5 x 2 5 0 →0 →0 e −1 x x x x − x e −1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4
Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0:  (x) 2 3 4
= ax + bx + x  (x) = ( 3 , sin x ) Ta có:  ( x) = ( 3x) 3 sin x  ( ) 2 3 4 2
x = ax + bx + x
ax nếu a khác 0 => a = 0  ( ) 3 4 4
x = bx + x x nếu b = 0;  ( ) 3 4 3
x = bx + x x nếu b =1 Vậy a = 0; b =1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn I.
Giới hạn trái – Giới hạn phải – Hàm số liên tục
• Giới hạn phải của hàm số f(x) tại x + = o : f ( x f x o ) lim ( ) + x→ o x
• Giới hạn trái của hàm số f(x) tại x − = o : f ( x f x o ) lim ( ) − x→ o x Ví dụ: 1 lim =  lim ln ( x) = − + x→0 x + x→0 2 x 1 +  x + 2 
Câu 3 – GK20173 – N2 – D4: lim =    + x 1 →  x −1  1 1  x 1  x ln  x 1 −    x
1−x ln x
Câu 3 – GK20171 – N3 – D7: lim − = lim e = 0   + + x→0  − x→0 1 x ln x
• Hàm số f(x) liên tục tại x − +
o khi và chỉ khi: f ( x = f x = f x o ) ( o ) ( o) Ví dụ:
Xét sự liên tục của f(x) = x2+2x+5 tại x + -
o=0 => f(xo ) = f(xo )= f(xo) = 5=> LT
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục ( 2 ln 1− 4x )  y = ; x 0 x 0; x = 0
Nhận xét: Hàm số liên tục trên R\{0} 2 2 ln 1− 4x ln 1− 4x
Tại x = 0: f (0+ ) = f (0− ) ( ) ( ) = lim = lim
= 0 = f (0) => liên tục tại 0 + + x→0 x→0 x x
 Hàm số liên tục trên R 1− cos 2x Đề ; x  0
5 – 20141: Tìm m để f(x) = 2 x liên tục tại x = 0 ; m x = 0
lim f ( x) = lim f ( x) = 2 = m = 2 + − x→0 x→0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 II. Điểm gián đoạn
o Điểm gián đoạn xo: tại đó không tồn tại f(xo)
o Phân loại điểm gián đoạn: • Tìm f(x + - o ) và f(xo )
• Nếu tồn tại cả f(x + - o ) và f(xo ): loại 1 Khi đó: h = | f(x + -
o ) - f(xo ) | gọi là bước nhảy
h = 0 => Gián đoạn bỏ được
• Không phải loại 1 => loại 2 Ví dụ:
Xét sự gián đoạn của hàm số: ( ) 1 f x = x
Tại x = 0, ta có: f(0+) = ∞ và f(0 -) = - ∞ => Loại 2 1
C3 – 20181 – N3 – D7:Xét sự gián đoạn của y = arctan x +  −  −
Ta có: f (0 ) = ; f (0 ) = = Loại 2 2 2  1 
C4 – 20181 – N1 – D1: Xét sự gián đoạn của y = cot arctan    x
f(0+) =0 và f(0 -) = 0 => Loại 1
C3 – 20181 – N1 – D3: Tìm a để x = 0 là điểm gián đoạn bỏ được 1 x
a + e ; x  0 f(x) =
. Ta có f(0+) =0 và f(0 -) = a = > a = 0 1 ; x  0 ln x
C2 – 20173 – N1 – D1 sin x
Phân loại điểm gián đoạn y = x ( x − ) 1
f(0+) = - 1 và f(0 -) = -1 => L1
f(1+) = ∞ và f(1 -) = - ∞ => L2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 III. Đạo hàm f x − f x
1. Định nghĩa đạo hàm: f ( x) ( ) ( o ) ' | = lim o x x→ − o x x xo
2. Đạo hàm trái – Đạo hàm phải f x − f x Phải: f (x + = o ) ( ) ( o ) ' lim+ x→ −
Tồn tại đạo hàm khi và o x x xo chỉ khi f’(x +) = f’(x - o o ) f x − f x
Trái: f (x − = o ) ( ) ( o ) ' lim− x→ − o x x xo
Chú ý: f(x) có đạo hàm tại x không có ngượ o => Liên tục tại xo, c lại Ví dụ: Tính đạ tan x x
o hàm y = x tan x y ' = + 2 2 x cos x
C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với 3
y = x arcsin x
f ( x) − f (0) 3 x arcsin x y '(0) = lim = lim = 0 x→0 x→0 x x
C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 x e − a sin ; x x  0 f(x) =
. Với a tìm được, tính f’(0) cos ; x x  0
f(0) = f(0+)= f(0+) = 1: Hàm số liên tục tại x = 0
f’(0+) = 1 – a; f’(0 -) = 0 => a = 1 => f’(0) = 0
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ
Vi phân của y = f(x) là y
 = f (x + x
 ) − f (x)  f '(x). x
 Cách tính xấp xỉ: f (x + x
 ) = f (x ) + f ' x xo o ( o) Ví dụ:
Áp dụng vi phân, tính gần đúng 3 7.97 2 − 1 Xét f ( x) 3
= x f '(x) 3
= x . Ta có x = 8;x = −0.03 3 o
Áp dụng f ( x + x
 ) = f (x ) + f ' x x  => 3 7.97 = 7.9975 o o ( o)
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750   
Áp dụng vi phân, tính gần đúng sin + 0.01    4  
Xét f ( x) = sin x f '(x) = cos x . Ta có x = ; x  = 0.01 o 4           sin + 0.01 = sin + 0.01cos = 0.714        4   4   4 
Câu 6 – 20181 – D4 – N1: Ứ 2
ng dụng vi phân, tính gần đúng 4 2 − 0.02 1 3 − 4 4 2  2  1 −  2  Xét f ( x) 4 = =  f '(x) =  
  . Ta có x = 2; x  = −0.02 2 xx  2x x o  2 4
= f (2) − 0.02 f '(2) =1.0025 2 − 0.02
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 3: Đạo hàm, vi phân cấp cao
Khai triển Taylor, Maclaurin I.
Đạo hàm, vi phân cấp cao • (n) n 1 −  =   Đạo hàm cấp n: f (x) ( ) f (x)   • n (n) Vi phân cấp n: n d y = y dx 7 6 5 ( ) 3 4 (4) Ví dụ: 3
y = x y ' = 7x y ' = 42x y
= 210x y = 840x
Bảng đạo hàm cấp cao của một số hàm số:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 ( n n − . u v)( ) k (n k) (k)
Chú ý: Công thức Leibiniz: = C u .v n k =0 Trong đó:
( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v(k) = 0
Ví dụ: x5 có đạo hàm cấp 5 bằng 0
f (x) = sin . x
x e f '( x) = (cos x + sin x) x
e f ' ( x) = 2cos x xe ( − f ( x)) 2 k (2 k) k ' = C sin x .( x e )( ) 0 (2)
= C sin x .( x e ) 1 ( )1
+ C sin x .( x e )( )1 2 + C sin . x x e 2 2 2 2 ( )(2) k =0 = −sin . x x e + 2 cos . x x e + sin . x x e = 2 cos . x x e
• Cho y = xlnx. Tính y(20)(1) (20) 20 k − y = C ( k ln x)(20 ) (k) 0 x
= C (ln x)(20) (0) 1 x + C ln x x 20 20 20 ( )(19) ( )1 k =0 = ( − −
ln x)(20) x + 20(ln x)(19) = (− )19 19! 18! 19! 20.18! 20.18! 19! 1 . .x + 20 1 − = + = 20 ( )18 ( ) 19 19 19 19 x x x x x  y(20)(1) = 20.18!-19!
Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp 1 1 − 2 y =  y ' =  y = x +1 (x + ) ' 2 1 (x + )3 1 (n)  1  n n! Giả sử = (−   )1 . (*)  x +1 ( n+ 1+ x) 1 1 −
Với n = 1 y ' = ( => n = 1 đúng với (*) x + )2 1 2
Với n = 2  y ' = ( => n = 2 đúng với (*) x + )3 1 k k k ! Giả sử ( )
n = k y = (− ) 1 . ( là đúng k + 1+ x) 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 k (  − + + + + k x + k k ) k k 1 1 k 1 ! 1 ( )
n = k +1  y =  y  = (− ) ( )( ) 1 .k !. = 1 − (đúng với *) 2k +2 ( ) 1 ( )   ( k + 1+ x) (1+ x) 2 Ví dụ:
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2: Cho y = (x+1)lnx. Tính y(20)(1) (20) 20 − y = C ( k k k
ln x)(20 ) ( x + )( ) 0 1
= C (ln x)(20) (x + )(0) 1 1 + C ln x (x +1) 20 20 20 ( )(19) ( )1 k =0
= ( x)(20) (x + ) + ( x)(19) = (− )19 19! x + + (− )18 18! ln 1 20 ln 1 . .( 1) 20 1 = 2.19 − !+ 20.18! = 2.19 − !+19!+18! = 18!−19! 20 19 x x
Câu 5 – 20171 – Đề 1 – N1: Tính y(5)(x) với y = ln(2x2-x) y = ln ( 4! 2 .4! 2 2x − x) 5 (5)
= ln x + ln 2x −1 = y = + 5 x (2x − )5 1
Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x2ln(1-3x). Tính y(n) (0), n≥3. n k = n−k k 2; k 2 (n) y (0) k = C x − x x = n (
2 )( ) (0)(ln (1 3 ))( ) (0),( 2 )( ) (0) 0; k = 0 k =0 ( ) −  y ( ) 2 n n 0 = 2C − x n ( ln (1 3 ))( 2) (0) n 3 − 9 − − n− 3
Ta có y = ln (1− 3x)  y ' =  y ' n =  y = (− ) 1 ( ) 1 n −1 ! 2 ( ) ( ) 1− 3x ( n 1− 3x) (1−3x) n−2 − n− n−  2C − x = C − n − − = − C n − n ( ln (1 3 ))( 2) (0) 2 n ( ) 3 3 2 2 1 ( 3) ( ) n 2 2 ! 2.3 3 ! n−2 n ( ) (1−3x) (x − )4 1
Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho f (x) =
ln (2 − x) . Tính d10f(1). 5! k 1 − 10 d y ( ) (10) k 1 = y ( ) 10 (10) 1 dx , y ( ) 10 1 k = C x −1 ln 2 − x . 10 ( )4 )( ) ( ( ))(10 ) 5! k=0 k 4!; k = 4 Ta có ( x − ) )( ) 4 1 = => 0; k  4 6 − y ( ) 1 1 1 = C 4! ln 2 − x = 42 ln 2 − x = 42. 1 − .5!. = 5 − 040 10 ( ( ))(6) ( ( ))(6) ( )5 (10) 4 ( ) 5! (2− x)6
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 II. Khai triển Taylor, Maclaurin (k) ( ) = ( f x f x f x f x f x + x − x + x − x + + x − x + o ) '( ) ( o ) ' ( ) ( o )2 ( o ) k o o ... ( o ) ... 1! 2! k ! k ( ) = ( f f x f f x f 0) '(0) ' ( o ) ( ) 0 2 ( ) + x + x + ... k + x + ... 1! 2! k ! n x x x n− x ln (1+ x) 2 3 4 = x − + − +...+ (− )( )1 1 2 3 4 n (    −   −  − n + 1+ x) ( ) 1 ( 1)...( 1) 2 =1+ x + x + ... n + x 2! n! x~0
a. Tìm khai triển Maclaurin hoặc Taylor Ví dụ: 1
Tìm khai triển Maclaurin của f ( x) = ( đến số hạng o(x2) 1− 3x)5 − f ( x) 1 = = (1−3x) 5 2
=1+15x +135x + o( 2 x 5 ) (1−3x)
Câu 8 – 20173 – Đề 4 – N2: Khai triển Maclaurin của f (x) 1 =
(1+ 2x)40 (1− x)50 đến số hạng o(x2). ( − 1+ 2x) 40 2
=1−80x + 3280x + o( 2 x ) ( − 1− x) 50 2
= 1+ 50x +1275x + o( 2 x ) − −
y = (1+ 2x) 40 (1− x) 50 2 2 2
= 1+ 50x +1275x − 80x − 4000x + 3280x + o( 2 x ) 2
=1− 30x + 555x + o ( 2 x )
Bỏ qua những x có bậc cao hơn 2.
Câu 9 – 20171 – Đề 1 – N1:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số 3
y = 1+ x đến x3 để tính gần đúng 3 1, 09 Quy tròn đến 10-6. 1 1 5 3 1+ x = (1+ x)1 2 3 3 = 1+ x − x + x + o ( 3 x ) 3 9 81 1 1 5 2 3 3 3
1, 09 = 1+ 0, 09 = 1+ .0, 09 − .0, 09 + .0, 09 = 1, 029145 3 9 81
b. Vận dụng khai triển Taylor để tìm đạo hàm cấp cao
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
• Khai triển Maclaurin hàm số y
• Hệ số của số hạng chứa xn . n! = kết quả cần tìm Ví dụ:
Tìm đạo hàm cấp cao y(5)(0) của y = sin x.
y(5)(0) = sin (x+5π/2)|x=0 = 1 1 1 3 5
Ta có khai triển Mac của y là: sin x = x − x + x 3! 5! 1 1 Hệ số của x5 là => y(5)(0) = . 5! = 1 5! 5!
Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3: Cho y = exsinx. Tính đạo hàm cấp cao y(6)(0). 1 1 x 1 1 1 1 2 3 4 5 e = 1+ x + x + x + x + x 3 5 sin x = x − x + x 2 3! 4! 5! 3! 5! 2 1  1  1 1 −
=> Hệ số của x6 của x e sin x là: 6 3 6 x − x + x =   5!  3!  5! 90 (6) y (0)  1 − (6) =  y (0) = 8 − 6! 90 2x
Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho y =
. Tính đạo hàm cấp cao y(7)(0). 2 x +1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 2xy = = (ln( 2x + ) 1 (7)  y (x) = (ln( 2 1+ x . 2 ) (8) x +1 x x x x x x Ta có: ( + x) 2 3 4 ln 1 = x − + − + ... => ( + x ) 4 6 8 2 2 ln 1 = x − + − + ... 2 3 4 2 3 4 − (ln( 2 1+ x ) (8) (0 1 )  8 − ! (7) =  y (0) = = 1 − 0080 4 8! 4
c. Vận dụng khai triển maclaurin để tìm giới hạn
Cách làm: khi x => 0. Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất phụ thuộc mẫu Ví dụ: 4 1− 1+ 2x cos ( 2 2x )
Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính lim 5 x→ x ln ( 3 0 1− 2x ) 5 x ( 3 − x ) 8 ln 1 2 2 − x 8 x 4 4 1+ 2x 1+ x − 2 => x cos ( 2x ) 8 2 4 1− x + 6 x x − 1+ 2x cos ( 2x ) 8 8 4 4 2 4 4 8 =1+ x − − x − x + + o( 8 x ) 8 = 1+ x 2 6 3 1− 1+ 2 cos ( 2 ) 4 8 4 2 x x x  2 − 3 lim = lim = 5 x→ x ln ( 3 0 1− 2x ) 8 x→0 2 − x 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 4: Các vấn đề về hàm số - đồ thị I. Tìm cực trị
Cách làm: Hàm số y=f(x) có cực trị <=> y' đổi dấu
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận Ví dụ: 2 x + 2
Câu 5 – GK20141 – Đề 4: Tìm cực trị của hàm số y = 3x
Điều kiện xác định: x  0 2 2 2 2 6x − 3x − 6 3x − 6 x − 2 y ' = = =
. y ' = 0  x =  2 . Vẽ bảng biến thiên: 2 2 2 9x 9x 3x x -∞ − 2 0 2 ∞ y’ 1/3 + 0 - -∞ -∞ - 0 + 1/3 2 − 2 ∞ ∞ 3 2 2 y -∞ -∞ 3 −2 2
Vậy hàm số đạt cực đại y = tại x = − 2 3 2 2
Hàm số đạt cực tiểu y = tại x = 2 3
Câu 5 – GK20151 – Đề 2: Tìm cực trị của hàm số 5 4
y = 4x − 5 x 4 1 − 1/5 1 x −1 5 5
y = 4x − 5x y ' = 4 − 4x =1− = 1/5 1/5 x x
. Ta có bảng biến thiên
y ' = 0  x = 1 x -∞ 0 1 ∞ y’ + - 0 + 0 ∞ y -∞ -1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 II. Tiệm cận 1. f ( x)
- Tiệm cận ngang: xét f(x) khi x tiến tới ∞ và -∞
- Tiệm cận đứng: xét f(x) tại điểm x gián đoạn
- Tiệm cận xiên: y = ax + b f (x) a = lim
b = lim f (x) − ax Trong đó: x→ x→ x f (x) a = lim
b = lim  f (x) − axx  →− x x →  −
x = f (t ) 2.
. Xét lim tiến tới to hoặc ∞
y = g (t )
lim f (t ) = a • t →t
Tiệm cận đứng: o lim g (t ) =  t →to lim f (t ) =  • t →t Tiệm cận ngang: o
lim g (t ) = b t →to • Tiệm cận xiên:
Nếu lim f (t) =  và lim g (t) =  thì đường cong có thể có tiệm cận xiên. t t → t t → o o y a = lim t →to x
b = lim ( y − ax) t →to Ví dụ: x
Tìm tiệm cận của hàm số y = . 2 x − 2
lim y = 1; lim y = 1
− => 2 tiệm cận ngang x→ x→  − lim y = ;
 lim y = − => 2 tiệm cận đứng + − x→ 2 x→− 2 x 1 + 2
Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của x 1 y xe − = 2 x+2 y − 2 x = e = e  ( 2 y − e x) 2 2 1 lim lim lim
= 4e y = e (x + 4) . Xét lim tại -∞ tương tự. x→ x→ x x →
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e-2x). ln ( 2 1 − x + e y ) lim = lim
= 0  lim y = lim ln ( 2 1 − x
+ e ) = 0 = khongco x→ x→ x→ x x x → ln ( 2 1 − x + e y ) lim = lim = 2
−  lim ( y + 2x) = 0 = y = 2 − x x→− x→ x x x → 1 x =
Ví dụ: Tìm tiệm cận của t 2 y = t lim x = ;
 lim y = 0 = TCN : y = 0 t →0 t →0
lim x = 0; lim y =   TCD : y = 0 t → t →
Câu 9 – 20161 – D4: 2 2016t 2016t
Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi x = ; y = 3 3 1− t 1− t lim x = ;
 lim y =  => Không có TCD, TCN. Có TCX t 1 → t 1 → lim x = ;
0 lim y = 0 => Không có t → t → y − = t = ( y − x) 2016 lim lim 1; lim = t 1 → t 1 → t 1 x → 3 2016  y = x − 3 III. Tiếp tuyến:
1. Tìm tiếp tuyến y = f(x) tại xo.  y = f’(xo)(x-xo) + yo
x = x (t )
2. Tiếp tuyến của hàm số có tham số t: tại to
y = y (t )
x − x (t y − y t o ) ( o ) = x '(t y t o ) '( o )
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 Ví dụ:
x = t − sin t
Câu 8 – 20181 – Đề 3 – N1: tại t = . y = 1− cos t o 2  Ta có: x = −1; y =1 . o 2 o
x’= 1 – cost => x’o= 1 và y’= sint => y’o= 1  x − +1  y −1   2 =
x − +1 = y −1 x − y − + 2 = 0 1 1 2 2
3. Tọa độ cực: r = f(φ)
• Cách 1: Đưa về tọa độ Oxy x y 2 2 r = x + y ; cos = ;sin = 2 2 2 2 x + y x + y
 Từ f(x;y) = 0, viết pttt: f’(x ) + f’(t o)(x – xo o)(y – yo) = 0 • r Cách 2: Tính tan V = r '
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực Ví dụ:
Câu 10 – 20181 – D1 – N1: tìm tiếp tuyến tại φ = 0 của r = 2+cos φ Cách 1:
Với φ = 0 => r = 3. Chuyển tọa độ Oxy x 2 2 2 2 2 2 x + y = 2 +
x + y −2 x + y − x = 0  M (3;0) 2 2 x + y 2x
f ' x = 2x −
−1 f ' x = 3 o 2 2 x + y 2 y
f ' y = 2 y −  f ' y = 0 o 2 2 x + y
 3(x – 3) + 0.y = 0 => x = 3 Cách 2:
r = 2+cos φ => r’ = - sin φ = 0 và r = 3 => tan V = ∞ => Tiếp tuyến vuông góc r tại M => x = 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân I. Bảng nguyên hàm II.
Một số cách tính nguyên hàm - Đổi biến. - Tích phân từng phần.
- Phân tích các phân thức. - Hàm lượng giác:
• áp dụng công thức t = tan(x/2) 
• Dạng sinm cosn x xdx
+ Nếu m lẻ: đặt t = cos x
+ Nếu n lẻ: đặt t = sin x
+ Nếu m,n chẵn: hạ bậc Ví dụ: 3 2
I = sin x cos x dx  . Đặ t t cos x cos x
t t = cos x => I = (t − )
1 t dt = (t −t ) 5 3 5 3 2 2 4 2 dt = − + C = I = − + C 5 3 5 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 x + 2
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2: I = dx  2 x − 2x + 2   ln − + x + x + x − ( x )21 )1 2 2 1 3 I = dx = dx =  + dx =
+ 3arctan x −1 + C    2 2 2 2 ( ) x − 2x + 2 (x − ) 1 +1   ( x − ) 1 +1 (x − ) 1 +1  2  2 ln x +1 ( x + )3/2 2 ln 1
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1: I = dx = + Cx 3
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1: 2 I = arccos xdx
Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt 2 2 2 I = t
− sin tdt = t cost − 2 t costdt t
= cost − 2t sin t − 2cost + C   arctan x
Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7: I = dxI 2 x
Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan2t +1)dt 2 t(tan t +1) tdt  1 −  t − −arctan x I = dt = = td = + ln sint + C =
+ ln sin(arctan x) + C      2 2 tan t sin t
 tan t  tan t x
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3: arcsin x I = dx  1+ x 1
u = arcsin x = du = dx 2 1− x dx dv =  v = 2 1+ x 1+ x 2 1+ x 2
I = 2 arcsin x 1+ x −
dx = 2 arcsin x 1+ x −
dx =2 arcsin x 1+ x + 4 1− x + C   2 1− x 1− x
Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3: 2 x e tdt − 4 4 4 x 4 I = dx = =  t +1 − t +1 dt  = t +1 − t +1 + C = e +1 x − e +1 + C    x 1/ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7/4 ( )3/4 3/ 4 1/ 4 7/ 4 3/ 4   4 +1 (t e + ) 1 7 3 7 3
Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1: 2 2 x + 2 x + 2  1 1  2  2  1  I = dx = dx = −
dx = ln x −1 − arctan x + + C        3  x −1 (x − ) 1 ( 2 x + x + ) 2 1
x −1 x + x +1 3  3  2 
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1: I = ( 2 ln x + x +  )1dx
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 2x +1
Đặ u = ln( 2x + x + ) 1  du = dx t 2 x + x +1
dv = dx v = x x + x
I = x ln (x + x + ) 2 2 2 1 − dx  . 2 x + x +1  1 3  + 2 x 2x + xx + 2    2 2 I = dx = 2 − dx =    2− − dx 1 2 2 2 2 x + x +1  x + x +1  x + x +1 x + x +1 Xét     1    = 2x − ln ( 2 1 2 x + x + ) 1 − 3 arctan x +    2  3  2       1 2 1 I = x ln ( 2 x + x + ) 1 − 2x + ln ( 2 x + x + ) 1 + 3 arctan x + + C    2  3  2 
Câu 7 – 20171 – Đề 4 – N1: = 2 x I xe sin xdx
Đặ u = 2xsin x du = (2sin x + 2xcos x)dx du = 2(sin x + xcos x) t x x
dv = e dx v = e
 = 2 sin x − 2sin x − 2 cos x I x xe xe dx x xe dx   Xét = 2 cos x I x xe dx  1
Đặ u = 2xcos x du = (2cos x − 2xsin x)dx du = 2(cos x − xsin x) t x x
dv = e dx v = e
 = 2 cos x − 2cos x + 2 sin x I x xe xe dx x xe dx   1 I = 2x sin x xe − 2sin x xe dx − 2x cos x xe + 2 cos x xe dx − 2x sin x xe dx   
I = 2xsin x xe − 2x cos x
xe + 2(cos x −sin x) x −  e dx I  2I = 2 x
xe (sin x − cos x) + 2 cos x xe x
I = xe (sin x − cos x) + cos x xe + C
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 6: Tích phân suy rộng  I. Loại 1: I = f  (x) a Cách làm: A A • Tính f (x
) => I = lim f  (x) . x→ a a
• Nếu I hữu hạn => I hội tụ. Ngược lại, I không xác định => I phân kỳ Tương tự:   dx
Ví dụ: I = xdxI =  2 x +1 1 − b II. Loại 2: I = f
 (x) trong đó f(x) không xác định tại a hoặc b a  2 dx 1 dx Ví dụ:  I =  x −1 2 − 1 1 − 1 x
III. Một số lưu ý khi giải bài  At • I = f  (x) = lim f  (x) * f  (x)  f  (x) x→ a a − −t  • dx I = 
hội tụ khi  1; phân kì khi  1 xa 1 • dx I = 
hội tụ khi ∝ < 1; phân kì khi ∝ ≥1 x 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
• Tiêu chuẩn so sánh áp dụng cho f(x), g(x) dương
+ 0  f ( x)  g ( x) với mọi x > xo
 g hội tụ thì f hội tụ; f phân kì thì g phân kì f ( x) + lim
= k hoặc x tiến tới điểm kì dị
x→ g ( x)
 k = 0 : g hội tụ => f hội tụ
 k = ∞: g phân kỳ => f phân kỳ
 k hữu hạn => f và g cùng tính chất
• Hội tụ và hội tụ tuyệt đối b • I = f
 (x) có a là điểm kỳ dị, lim f (x) hữu hạn thì I hội tụ + x→a a 1 sin x Ví dụ: dx  hội tụ x 0 1   dx 1 xdx 2 x 1 2 x +1 sin x Ví dụ:   dxI =   (trị tuyệt đối) tan x sin x e −1 6 − x x 0 0 2 x 1 0 x ( x + 2)3 1  x − sin x
Câu 10 – 20173: I =  3 10 0 x  1  x − sin x x − sin x x − sin x I = = + = I + I    1 2 3 10 3 10 3 10 0 x 0 x 1 x 1 x − sin x x − sin x 1 1 1 1 I =  . Ta có lim : = và (ht)  . Tương tự I 1 2 hội tụ 3 10 + 1/3 → 3 10 1/3 x 0 x 6 x 0 x x 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750  sin x
Câu 9 – 20173 – đề 3: dx  3 x + x 0  1  sin x sin x sin x dx = dx +
dx = I + I    3 3 3 1 2 x + x x + x x + x 0 0 1 sin x lim =1 = I hội tụ + 3 1 x→0 x + x
I2 hội tụ tuyệt đối => I hội tụ  arctan x
Câu 10 – 20173 – đề 3: dx  3 + + 0 (x ln(1 x))  1  arctan x arctan x arctan x dx = dx +
dx = I + I    1 2 3 3 3 + + + + + + 0 (x ln(1 x)) 0 (x ln(1 x)) 1 (x ln(1 x)) arctan x 1 1 1 dx lim : = mà 
hội tụ => I1 hội tụ + → 3 x 0 (x + ln(1+ x)) x 2 2 x 0  arctan x 1  dx lim : = mà  hội tụ => I 3/ 2 2 hội tụ x→ 3 + + x 2 3/ 2 (x ln(1 x)) x 1  I hội tụ  ln (1+ 2x)
Câu 10 – 20181 – đề 1 – N1: dxx x 0  ln (1 2x) 1 ln (1 2x)  + + ln (1+ 2x) dx = dx +
dx = I + I    1 2 x x x x x x 0 0 1 ln (1+ 2x) 2x 1 2 Ta có: lim : =1. Mà dx
hội tụ => I1 hội tụ + x→0 x x x x x 0 dx u = ln (1+ 2x) 2  =  du ln (1+ 2x) 1+ 2x I = dx  . Đặt 2 3 − x x 2 − 1 2
dv = x dx v = x  2 ln (1 2x)  − +  4dx I = + = 2ln 3+ I  2 x (1+ 2x) 3 1 x 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750  4dx Với I =  . Đặt 3 1+ 2x x 1 ( )   4.2tdt 8dt    2 t =
x x = t I = = = 4 2 − arctan 2   3 (   2 1+ 2t t 1+ 2t  2  1 ) 2 1     I = 2ln 3 + 4 2 − arctan 2 hội tụ 2    2   I hội tụ  arctan x
Câu 9 – 20181 – Đề 3 – N1: dxx x +1− cos x 0  1  arctan x arctan x arctan x dx = dx +
dx = I + I    1 2 x x +1− cos x x x +1− cos x x x +1− cos x 0 0 1 arctan x x arctan x x x x x lim : = lim = lim =1 (ngắt vcb bậc cao) + + + x→0 x→0 x→0
x x +1− cos x x x x x x +1− cos x x x +1− cos x 1 1 dx
hội tụ => I1 hội tụ x 0 arctan x  / 2 x →  thì  x x +1− cos x x x   / 2 dx
hội tụ => I2 hội tụ x x 1  I hội tụ
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Chuyên đề 7: Ứng dụng của tích phân xác định I.
Tính diện tích hình học phẳng: • Oxy
a x b
c x d b d
y = f (x) => S =
f (x) − g(x) dx
x = ( y) => S = ( y) − ( y) dyy = g(x) a x = ( y) c
t x t 1 2 y = 0 t2
=> y.x ' dtx = (t) 1 t y = (t) 3 y = x x + y  2 = Ví dụ: ; y
x ; y = x2 + 4 và x – y +4 =0; y = |lnx|, y =1 2 2
x + y  2x y = 4x x  0 • Tọa độ cực  =    =  1 => 2 S = r  ()d 2  r = r ( ) r Nhắc lại: Tính tan V = r '
tan V = 0 => tt trùng bán kính cực
tan V = ∞ => tt vuông góc bán kính cực
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng tạo bởi r=a(1+cosφ)
 = 0  r = 2a
r ' = −a sin = 0 =>  =   r = 0  2 3 a
Hình vẽ có tính đối xứng S a (1 cos )2 2 d  = + =  2 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Câu 5 – 20161 – Đề 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho
bởi hệ tọa độ cực r = 7 − 2cos 2 1 S =
 (7−2cos)2d = 51 2 0 II.
Tính chiều dài đường cong phẳng b d l = 1+ f ' 
(x)2dx = 1+ g '  ( y)2dy a c t 2 2 2 l =
x ' + y ' dt  1 t
x = a (1− sin t ) Ví dụ: Tính chiều dài 0≤ t ≤ 2π
y = a (1− cost )
Tính chiều dài x2/3 + y2/3 = a2/3
Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2: Tính độ dài cung y = ln(cos x) với 0≤x≤π/3   3 3 dx 2 L = 1+ y ' dx = = ln   (2+ 3) cos x 0 0 III. Tính thể tích b b d V = S
 (x)dx = f  (x)2 dx  = g  (y)2 dy a a c
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường
y = 2x - x2 và y = 0 khi xoay quanh trục Ox.
Ta có đường y = 2x - x2 cắt trục Ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:
IV. Tính diện tích mặt tròn xoay b • S = 2 f
 (x) + f '(x)2 1 dx quay quanh Ox a
(tương tự với x=g(y) quay quanh Oy) b • 2 2 S = 2 x
x ' + y ' dta
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750 2
Ví dụ: Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi x = y 0  y  1
Ví dụ: Tính diện tích y = tan x, với 0 5 1 => S =    1+ du    2  u −1 2
Câu 5 – 20173 – Đề 1 – Nhóm 1: Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi 2
y = 4 − x khi quay quanh Ox một vòng 1 −  x 1 1 2 x 2 S = 2 4 − x 1+ x d  2 4 − x 1 −
Câu 6 – 20183 – Đề 2 – Nhóm 1:
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi (x-3)2+(y+2)2 =4
x = 3 + 2 cos t x ' = 2 − sin t 2
=> S = 4  (3+ 2cos x) 2 dx = 24
y = −2 + 2 sin t y ' = 2 cos t 0
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)