Cực trị của hàm nhiều biến - Tìm hiểu & Phân tích 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
I. Giới thiệu về hàm nhiều biến.
- Phương trình hàm nhiều biến có dạng: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (thường sẽ làm việc với hàm 2 biến) - Đạo hàm cấp một:
Cách làm: Đạo hàm với một biến, coi biến kia là một tham số.
Ví dụ: Đạo hàm cấp một hàm số: 𝑧 = 8𝑥 + 5𝑥𝑦 + 3𝑦 theo biến 𝑥
Đạo hàm theo biến 𝑥, ê
n n biến 𝑦 được coi là hằng số. 𝑧′ = 8 + 5𝑦 𝑥 - Đạo hàm cấp hai:
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai 𝑧′ hàm s 2 2 𝑥𝑦
ố: 𝑧 = 𝑥 + 5𝑥𝑦 + 3𝑦
Ta có: 𝑧′ = 2𝑥 + 5𝑦 𝑥 𝑧′ )
𝑥𝑦 = (𝑧′𝑥 ′𝑦 = 5
Cách làm ví dụ: Đạo hàm lần lượt theo thứ tự cấp một theo biến 𝑥 → cấp hai theo biến y.
Từ đó rút ra cách làm: Đạo hàm lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải của chỉ số
dưới, đạo hàm theo biến nào thì biến còn lại được coi làm tham số.
II. Cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện. Cách làm:
Bước 1. Điều kiện cần: Giải 𝑧′ = 0, 𝑧′ ặ ị (𝑥, 𝑦) 𝑥
𝑦 = 0 để tìm c p giá tr
Mỗi điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) thỏa mãn gọi là một điểm dừng.
Bước 2. Điều kiện đủ: 𝑧′ )
𝑥𝑥 = (𝑧′𝑥 ′𝑥 𝑧′ 𝑧 𝑧′ )
𝑥𝑦 = (𝑧′𝑥 ′𝑦 Xét 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦 𝐷 = | | với 𝑧′ 𝑦𝑥 𝑧′ 𝑦𝑦
𝑧′ 𝑦𝑥 = (𝑧′𝑦)′𝑥
{ 𝑧′ 𝑦𝑦 = (𝑧′ ′ 𝑦) 𝑦
- Nếu 𝐷 > 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một cực trị của hàm số + 𝑧′
𝑥𝑥 > 0 → 𝑀0 là điểm cực tiểu + 𝑧′
𝑥𝑥 < 0 → 𝑀0 là điểm cực đại
- Nếu 𝐷 < 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) không là một cực trị của hàm số
- Nếu 𝐷 = 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một điểm nghi ngờ.
Bước 3. Kết luận. (Chỉ kết luận điểm cực trị và điểm nghi ngờ và giá trị cực trị)
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 5 Điều kiện cần: 𝑥 = 2 { 𝑧′ 𝑦 = 6
{ 𝑥 = 3𝑥2 − 12 = 0 ↔ [
↔ 𝐴(2; 6) và 𝐵(−2; 6) là các điểm dừng . 𝑧′ = 2𝑦 − = 0 𝑦 12 𝑥 = −2 { 𝑦 = 6 Điều kiện đủ: 𝑧′′𝑥𝑥 = 6𝑥 𝑧′′𝑥𝑦 = 0 𝑧′ 𝑦𝑥 = 0 𝑧′ 𝑦𝑦 = 2 𝑧′ 𝑧 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦 𝐷 = | | = |6𝑥 0 | = 12𝑥 𝑧′ 𝑧 𝑦𝑥 ′ 𝑦𝑦 0 2
Với 𝐴(2; 6) → 𝐷 = 12.2 = 24 > 0 → 𝐴(2; 6) là điểm cực trị. Lại có: 𝑧′
𝑥𝑥 = 6𝑥 = 6.2 = 12 > 0
→ 𝐴(2; 6) là điểm cực tiểu
Với 𝐵(−2; 6) → 𝐷 = 12. (−2) = −24 < 0 → 𝐵(−2; 6) không là điểm cực trị.
Vậy: Tại 𝐴(2; 6) thì hàm số đạt cực tiểu với giá trị là 𝑧(2; 6) = −47
III. Cực trị hàm nhiều biến có điều kiện.
Cách làm: (Phương pháp nhân tử Largrange)
Bước 1. Lập hàm số. 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜆. 𝑔(𝑥, 𝑦)
với 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm cần tính cực trị; 𝑔(𝑥, 𝑦) là hàm điều kiện.
Bước 2. Điều kiện cần: 𝐿′𝑥 = 0 𝑥 Giải { 𝐿′ = 0 𝑦
→ { 𝑦 → Mỗi điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0, 𝜆0) thỏa mãn gọi là một điểm dừng. 𝐿′ 𝜆 𝜆 = 0 Bước 2. Điều k ệ i n đủ. 0 𝑔′𝑥 𝑔′𝑦 𝐻 = | 𝑔′ 𝐿 𝐿 𝑥 ′ 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦|
𝑔′𝑦 𝐿′ 𝑦𝑥 𝐿′ 𝑦𝑦
- Nếu 𝐻 > 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là cực đại của hàm số.
- Nếu 𝐻 < 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là cực tiểu của hàm số.
- Nếu 𝐻 = 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một điểm nghi ngờ. Bước 3. Kết luận.
Ví dụ: Tìm cực trị của 𝑧 = 𝑥
𝑦 với điều kiện 2𝑥 − 3𝑦 = −24
Hàm số Largrange: 𝐿 = 𝑥𝑦 − 𝜆(2𝑥 − 3𝑦 + 24) Điều kiện cần:
𝐿′𝑥 = 𝑦 − 2𝜆 = 0 𝑥 = −6 { 𝐿′𝑦 = 𝑥 + 3𝜆 = 0 ↔ {
𝑦 = 4 ↔ 𝑀(−6; 4; 2) là điểm dừng
𝐿′𝜆 = 2𝑥 − 3𝑦 + 24 = 0 𝜆 = 2 Điều kiện đủ: 0 2 −3
𝐻 = | 2 0 1 | = −12 < 0 → 𝑀(−6; 4) là cực tiểu −3 1 0
Vậy: Tại 𝑀(−6; 4) thì hàm số đạt cực tiểu với giá trị −24