Cực trị của hàm nhiều biến - Ví dụ và lý thuyết | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
I. Cực trị hàm nhiều biến không có điều kiện. Cách làm:
Bước 1. Điều kiện cần: Giải 𝑧′ = 0, 𝑧′ ặ ị (𝑥, 𝑦) 𝑥
𝑦 = 0 để tìm c p giá tr
Mỗi điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) thỏa mãn gọi là một điểm dừng.
Bước 2. Điều kiện đủ: 𝑧′ )
𝑥𝑥 = (𝑧′𝑥 ′𝑥 𝑧′ 𝑧 𝑧′ )
𝑥𝑦 = (𝑧′𝑥 ′𝑦 Xét 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦 𝐷 = | | với 𝑧′ 𝑧′ 𝑦𝑥 𝑧′ 𝑦𝑦 𝑦𝑥 = (𝑧′ ′ 𝑦) 𝑥
{ 𝑧′ 𝑦𝑦 = (𝑧′ ′ 𝑦) 𝑦
- Nếu 𝐷 > 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một cực trị của hàm số + 𝑧′
𝑥𝑥 > 0 → 𝑀0 là điểm cực tiểu + 𝑧′
𝑥𝑥 < 0 → 𝑀0 là điểm cực đại
- Nếu 𝐷 < 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) không là một cực trị của hàm số
- Nếu 𝐷 = 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một điểm nghi ngờ.
Bước 3. Kết luận. (Chỉ kết luận điểm cực trị và điểm nghi ngờ và giá trị cực trị)
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 12𝑥 − 12𝑦 + 5 Điều kiện cần: 𝑥 = 2 { 𝑧′ 𝑦 = 6
{ 𝑥 = 3𝑥2 − 12 = 0 ↔ [
↔ 𝐴(2; 6) và 𝐵(−2; 6) là các điểm dừng . 𝑧′ = 2𝑦 − = 0 𝑥 = −2 𝑦 12 { 𝑦 = 6 Điều kiện đủ: 𝑧′′𝑥𝑥 = 6𝑥 𝑧′′𝑥𝑦 = 0 𝑧′ 𝑦𝑥 = 0 𝑧′ 𝑦𝑦 = 2 𝑧′ 𝑧 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦 𝐷 = | | = |6𝑥 0 | = 12𝑥 𝑧′ 𝑧 0 2 𝑦𝑥 ′ 𝑦𝑦
Với 𝐴(2; 6) → 𝐷 = 12.2 = 24 > 0 → 𝐴(2; 6) là điểm cực trị. Lại có: 𝑧′
𝑥𝑥 = 6𝑥 = 6.2 = 12 > 0
→ 𝐴(2; 6) là điểm cực tiểu
Với 𝐵(−2; 6) → 𝐷 = 12. (−2) = −24 < 0 → 𝐵(−2; 6) không là điểm cực trị.
Vậy: Tại 𝐴(2; 6) thì hàm số đạt cực tiểu với giá trị là 𝑧(2; 6) = −47
II. Cực trị hàm nhiều biến có điều kiện .
Cách làm: (Phương pháp nhân tử Largrange)
Bước 1. Lập hàm số. 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜆. 𝑔(𝑥, 𝑦)
với 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm cần tính cực trị; 𝑔(𝑥, 𝑦) là hàm điều kiện.
Bước 2. Điều kiện cần: 𝐿′𝑥 = 0 𝑥 Giải { 𝐿′ = 0 𝑦
→ { 𝑦 → Mỗi điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0, 𝜆0) thỏa mãn gọi là một điểm dừng. 𝐿′ 𝜆 𝜆 = 0
Bước 2. Điều kiện đủ. 0 𝑔′𝑥 𝑔′𝑦 𝐻 = | 𝑔′ 𝐿 𝐿 𝑥 ′ 𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑦|
𝑔′𝑦 𝐿′ 𝑦𝑥 𝐿′ 𝑦𝑦
- Nếu 𝐻 > 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là cực đại của hàm số.
- Nếu 𝐻 < 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là cực tiểu của hàm số.
- Nếu 𝐻 = 0 → 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là một điểm nghi ngờ. Bước 3. Kết luận.
Ví dụ: Tìm cực trị của 𝑧 = 𝑥𝑦 với điều kiện 2𝑥 − 3𝑦 = −24
Hàm số Largrange: 𝐿 = 𝑥𝑦 − 𝜆(2𝑥 − 3𝑦 + 24) Điều kiện cần:
𝐿′𝑥 = 𝑦 − 2𝜆 = 0 𝑥 = −6 { 𝐿′𝑦 = 𝑥 + 3𝜆 = 0 ↔ {
𝑦 = 4 ↔ 𝑀(−6; 4; 2) là điểm dừn g
𝐿′𝜆 = 2𝑥 − 3𝑦 + 24 = 0 𝜆 = 2 Điều kiện đủ: 0 2 −3
𝐻 = | 2 0 1 | = −12 < 0 → 𝑀(−6; 4) là cực tiểu −3 1 0
Vậy: Tại 𝑀(−6; 4) thì hàm số đạt cực tiểu với giá trị −24
III. Tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến trong một miền. Cách làm:
Bước 1. Xét hàm số bên trong miền.
- Giải như tìm điểm dừng của hàm nhiều biến không điều kiện.
- Kiểm tra tọa độ của điểm dừng có thỏa mãn điều kiện không.
- Nếu thỏa mãn điều kiện → Tính giá trị của hàm số tại điểm đó.
Bước 2. Xét hàm số trên biên của miền.
- Giải như tìm điểm dừng của hàm nhiều biến
+ (không điều kiện) nếu 1 trong các biến bằng hằng số;
+ (có điều kiện) nếu các biến có quan hệ với nhau.
- Kiểm tra tọa độ của điểm dừng có thỏa mãn điều kiện không.
- Nếu thỏa mãn điều kiện → Tính giá trị của hàm số tại điểm đó.
Bước 3. Tính giá trị của hàm số tại cái đầu mút – giao các đường biên (nếu có) Bước 4. Kết luận.
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 𝑦 trên giới hạn bởi các
đường 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑦 ≤ 3. 𝑥 > 1
∙ Xét hàm số bên trong miền → Điều kiện {𝑦 > 1 (1) 𝑥 + 𝑦 < 3 𝑧′ 𝑥 = 2 { 𝑥 = 2𝑥 − 4 = 0 ↔ {
(Không thỏa mãn điều kiện (1)) 𝑧′ = 2𝑦 − 1 = 0 𝑦 = 1 𝑦 2
∙ Xét hàm số trên biên 𝑥 = 1, 1 < 𝑦 < 2 (2)
Với 𝑥 = 1 → 𝑧 = 𝑦2 − 𝑦 − 3 → 1
𝑧′ = 2𝑦 − 1 = 0 ↔ 𝑦 = 𝑦
(Không thỏa mãn điều kiện (2)) 2
∙ Xét hàm số trên biên 𝑦 = 1, 1 < 𝑥 < 2 (3)
Với 𝑦 = 1 → 𝑧 = 𝑥2 − 4𝑥
→ 𝑧′ = 2𝑥 − 4 = 0 ↔ 𝑥 = 2 (Không th 𝑥 ỏa mãn điều kiện (3))
∙ Xét hàm số trên biên 𝑥 > 1, 𝑦 > 1, 𝑥 + 𝑦 = 3 (4)
Lập hàm số Largrange: 𝐿 = 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 𝑦 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 3) 𝐿′ 𝑥 = 9
𝑥 = 2𝑥 − 4 − 𝜆 = 0 4
{𝐿′ = 2𝑦 − 1 − 𝜆 = 0 𝑦 ↔
𝑦 = 3 (Không thỏa mãn điều kiện (4)) 4
𝐿′𝜆 = 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 { 𝜆 = 12
∙ Xét hàm số trên các đầu mút:
Tại 𝐴(1; 2) thì 𝑧(1; 2) = −1
Tại 𝐵(2; 1) thì 𝑧(2; 1) = −4
Tại 𝐼(1; 2) thì 𝑧(1; 1) = −3
Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số là −1 tại 𝐴(1; 2)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4 tại 𝐵(2; 1)