24 trang 11 lượt tải

Dạng Toán Phương Trình Nghiệm Nguyên Ôn Thi HSG Đại Số 8 Có Lời Giải Chi Tiết

21

Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242. Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện  tích bằng số đo chu vi. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 271 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

4 tuần trước
Danh sách Quiz
/24
Trang 1
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A.Bài toán
Bài 1:
Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
sao cho:
22
3 2 2 2 40 0x y xy x y− − − − + =
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2
6 5 8x xy x y− = − −
Bài 3:
Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 4:
Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
( )
22
2 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
Bài 5:
Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho :
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3
x
– y
3
= 1
Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ 5x
2
y
2
+ 60 = 37xy.
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên
,xy
thỏa mãn
0xy
và
33
77x y y x+ = +
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2 2 2
x xy y x y+ + =
Bài 10:
Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba
số ấy bằng
242
.
Bài 11:
. Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho:
22
2 13x y y= + +
Bài 12: : Tìm
,xy
nguyên dương thỏa mãn:
22
2 4 10 0x y x y− + − − =
Bài 13: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số
nguyên.
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
y
2016 x 2015
2
x y y 2015 4031 x 2016
+ + + =
+ + +
Bài 15: Tìm tất cả các số
x, y,z
nguyên thỏa mãn:
2 2 2
x y z xy 3y 2z 4 0+ + − − − + =
Bài 15:
Tìm các giá trị
x, y
nguyên dương sao cho
22
x y 2y 13= + +
Bài 16: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:
( )
2
25 6x y y− = +
Bài 17: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
Bài 18: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 19: Với giá trị nào của
a
và
b
thì đa thức
( )( )
10 1x a x− − +
phân tích thành
tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.
Bài 20: a) Tìm các cặp số nguyên
( )
,xy
thỏa mãn
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
b) Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
sao cho tích
.xy
đạt giá trị lớn nhất.
x
32
2 2 5
21
x x x
A
x
+ + +
=
+
( )
;xy
( )
,xy
( )
;xy
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
.xy
Trang 2
Bài 21: Ký hiệu
a
(phần nguyên của
a
) là số nguyên lớn nhất không vượt quá
.a
Tìm
x
biết rằng:
34 19
21
11
x
x
+

=+


Bài 22: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
Bài 23:
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Bài 24:
Tìm nguyên dương thỏa mãn:
Bài 25: Tìm các số nguyên
x, y
thỏa mãn:
3 2 3
x 2x 3x 2 y+ + + =
Bài 26: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 27: Tìm các số nguyên
x, y
thỏa mãn
3 2 3
x 2x 3x 2 y+ + + =
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x y 3 xy+ = −
Bài 29: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x; y
thỏa mãn
2
3x 3xy 17 7x 2y+ − = −
Bài 30:
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
( )
x; y
thỏa mãn:
y
x
2 5 624=−
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x; y
thỏa mãn:
2
10x 50y 42xy 14x 6y 57 0+ + + − +
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
x xy 2012x 2013y 2014 0+ − − − =
Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2
3 3 17 7 2x xy x y+ − = −
Bài 33: Tìm cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn phương trình:
4 2 6 3
10 2 4 6 05x x y y+ + + − =
Bài 34: Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
22
8 4 2 4 4x y xy x y+ + − − =
Bài 35: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3 4 5
x x x
+=
Bài 36: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 37: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2016 2015
2
2015 4031 2016
xy
x y y x
+ + + =
+ + +
Bài 38: Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho
22
2 13x y y= + +
Bài 39: Tìm tất cả các số
,,x y z
nguyên thỏa mãn:
2 2 2
3 2 4 0x y z xy y z+ + − − − + =
Bài 40: Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn:
22
3x x y+ + =
Bài 41: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 5 16 0x xy y− + − =
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3x y xy+ = −
Bài 44:
a) Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
( )
x; y
22
x x 3 y+ + =
22
x 2x 10 y+ − =
x, y
22
x y 2x 4y 10 0− + − − =
Trang 3
b) Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
22
2 4 10 0x y x y− + − − =
với
,xy
nguyên
dương.
Bài 45: Tìm giá trị nguyên của x để
AB
biết
2
10 7 5A x x= − −
và
23Bx=−
Bài 46: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
2012 2013 2014 0x xy x y+ − − − =
.
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên
( )
;xy
của phương trình
( )( )( )
2
1 2 3x y y y y= + + +
.
Bài 49:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
3 2 3
2 3 2 .x x x y+ + + =
Bài 50: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( )
2 6 3
2 32y x x y= − − −
Bài 51: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn:
2
2 5 6 0y xy x+ − − =
Bài 52: Tìm các số nguyên x,y
thỏa mãn:
x
3
+ 2x
2
+ 3x + 2 = y
3
Bài 53: Giải phương trình nghiệm nguyên : x
2
+ y
2
= 3 - xy
Bài 54: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 55: Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 56:
Tìm giá trị nguyên của
x
để biểu thức
32
4 6 8
21
x x x
B
x
−+
=
−
nhận giá trị nguyên
Bài 57: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên:
2 3 3
1 x x x y+ + + =
Bài 58:
Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
( )
22
2 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
Bài 59:
Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
2 3 3 5 15x y xy x y+ + + + =
Bài 60:
Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn:
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
Bài 61:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
2
6 5 8x xy x y− = − −
Bài 62:
Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 63: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn phương trình:
( )
2
25 6x y y− = +
Bài 64:
Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Bài 65: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2
3 3 17 7 2x xy x y+ − = −
Bài 66: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
2012 2013 2014 0x xy x y+ − − − =
Trang 4
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1:
Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
sao cho:
22
3 2 2 2 40 0x y xy x y− − − − + =
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )
( )( )
22
2 2 2
22
3 2 2 2 40 0
4 2 2 2 1 41
1 2 41
3 1 1 41
x y xy x y
x x y xy x y
x y x
x y y x
− − − − + =
− + + + + + = −
+ + − =
+ + − + =
Đặt :
31x y a+ + =
và
1.y x b− + =
Suy ra
a
và
b
là các ước của
41,
có tích bằng
41.
Nhận thấy
41
là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:
a
41−
1−
1
41
b
1−
41−
41
1
4
ab
x
−
=
10−
10
10−
10
34
4
ab
y
+−
=
12−
32−
30
10
Vậy các cặp số nguyên
( )
;xy
cần tìm là
( ) ( ) ( ) ( )
10; 12 ; 10; 32 ; 10;30 ; 10;10− − − −
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2
6 5 8x xy x y− = − −
Lời giải
( )
22
6 5 8 6 8 5 (2)x xy x y x x y x− = − − − + = −
2
68
5
xx
y
x
−+
=
−
(vì
5x =
không là nghiệm của
( )
2
)
( )
3
1
5
yx
x
= + +
+
Vì
,xy
nguyên nên
5x −
là ước của 3
5 1;1;3; 3x − − −
hay
4;6;8;2x
x
2
6
4
8
y
0
8
0
8
Vậy nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 2;0 ; 4;0 ; 6;8 ; 8;8xy =
Bài 3: . Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
Lời giải
Ta có:
2
3 3 2
37
2 3 2 2 0 (1)
48
y x x x x x y

− = + + = + +


( )
2
3
32
9 15
2 4 9 6 2 0 2 (2)
4 16
x y x x x y x

+ − = + + = + + +


Từ
( )
1
và
( )
2
ta có:
2x y x +
mà
,xy
nguyên suy ra
1yx=+
Trang 5
Thay
1yx=+
vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
10xy= − =
Vậy
( ) ( )
; 1;0xy =−
Bài 4: Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
( )
22
2 7 2 10 0x xy x y y+ + + + + =
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( )
22
22
2
2
2 7 2 10 0
4 8 28 28 8 40 0
2 2 7 4 9 *
x xy x y y
x xy x y y
x y y
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + =
Ta thấy
( )
2
2 2 7 0xy+ +
nên
22
9
49
4
yy
do
y
nguyên nên
2
0;1y
01; 1y = −
Với
0y =
thay vào
( )
*
ta được:
( )
2
2 7 9x +=
tìm được
2; 5x − −
Với
1y =
thay vào
( )
*
ta có:
( )
2
2 9 5x +=
, không tìm được
x
nguyên
Với
1y =−
thay vào
( )
*
ta có
( )
2
2 5 5x +=
không tìm được
x
nguyên
Vậy
( ) ( ) ( )
; 2;0 ; 5;0xy = − −
Bài 5: Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho :
22
2 13x y y= + +
Lời giải
Ta có:
( )
( )( )
2
2 2 2
2 13 1 12
1 1 12
x y y x y
x y x y
= + + = + +
+ + − − =
Do
( )
1 1 2 2x y x y y+ + − − − = +
là số chẵn và
,*xy
nên
1 1.x y x y+ + − −
Do đó
1xy++
và
1xy−−
là hai số nguyên dương chẵn
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp :
16xy+ + =
và
12xy− − =
4x=
và
1.y =
Vậy
( ) ( )
; 4;1xy =
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3
x
– y
3
= 1
Lời giải
3
x
– y
3
= 1 3
x
= y
3
+ 1 (1)
- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).
- Nếu x < 0 thì 3
x
=
n
3
1
( n nguyên dương, n = - x)
suy ra 0 < 3
x
< 1. Mà y
3
+ 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
- Nếu x > 0 thì 3
x
3
(1) 3
x
= (y + 1)
3
– 3y(y + 1) (y + 1)
3
3 nên y + 1
3
Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3
x
=
(3k – 1)
3
+ 1 = 9k(3k
2
– 3k + 1) nên 3k
2
– 3k + 1 là ước của 3
x
mà 3k
2
– 3k + 1
3 và 3k
2
– 3k + 1=
0
4
1
2
1
k3
2
+
−
nên 3k
2
– 3k + 1 = 1 3k(3k – 1) = 0 k = 0 hoặc k = 1.
Trang 6
Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3
x
= 0 phương trình vô nghiệm.
Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3
x
= 9 nên x = 2.
Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ 5x
2
y
2
+ 60 = 37xy.
Lời giải
a) x
2
+ y
2
+ 5x
2
y
2
+ 60 = 37xy.
x
2
+ y
2
– 2xy = 35xy - 5x
2
y
2
- 60
(x – y)
2
= 5(3 – xy)(xy – 4) (1)
Vì (x – y)
2
≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0
3 ≤ xy ≤ 4
xy
{3;4}
Đng thức (1) xảy ra
4
,
=
=
xy
xy
xy
2
2
2
2
=
=
=−
=−
x
y
x
y
.
Vậy (x,y)
{(2;2);(-2;-2)}
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên
,xy
thỏa mãn
0xy
và
33
77x y y x+ = +
Lời giải
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
22
7 7 0
7 0( ) 7 3 0 2
PT x y x xy y x y x y x xy y
x xy y Vi x y x y xy xy
− + + = − − + + − =
+ + − = − = −
Vì
0xy
nên
2xy =
, do đó
2; 1xy==
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2 2 2 2
x xy y x y+ + =
Lời giải: Thêm
xy
vào hai vế của phương trình ta có:
( ) ( )
2 2 2 2
2
2
1
x xy y x y xy
x y xy xy
+ + = +
+ = +
Ta thấy
&1xy xy +
là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên
tồn tại một số bằng 0
TH1:
22
00xy x y x y= + = =
TH2:
10xy +=
ta có
1xy =−
nên
( ) ( ) ( )
; 1; 1 ; 1;1xy − −
Thử lại ba cặp số
( ) ( ) ( )
0;0 ; 1;1 ; 1; 1−−
đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 10:
Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba
số ấy bằng
242
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là
, 1, 2x x x++
. Ta có:
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2 2
22
22
2
2
1 2 1 2 242
2 3 2 242
3 6 2 242 3 6 240
2 80 2 1 81
19
1 9 8 ( )
1 9 10( )
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x x TM
x x KTM
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ + = + =
+ = + + =
+ =
+ = =



+ = − = −

Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là
8;9;10
Trang 7
Bài 11: . Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho:
22
2 13x y y= + +
Lời giải
Biến đổi đng thức đã cho về dạng
( )( )
1 1 12x y x y+ + − − =
Lập luận để có
11x y x y+ + − −
và
1; 1x y x y+ + − −
là các ước dương của 12.
Từ đó ta có các trường hợp:
1xy++
12
6
4
1xy−−
1
2
3
x
13
2
4
7
2
y
9
2
1
1
2
−
Mà
;xy
nguyên dương nên
( ) ( )
; 4;1xy =
Bài 12: : Tìm
,xy
nguyên dương thỏa mãn:
22
2 4 10 0x y x y− + − − =
Lời giải
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
22
2 4 10 0 2 1 4 4 7 0
1 2 7 1 3 7
x y x y x x y y
x y x y x y
− + − − = + + − + + − =
+ − + = − − + + =
Vì
,xy
nguyên dương nên
3 1 0 3 7x y x y x y+ + − − + + =
và
1 1 3; 1x y x y− − = = =
Phương trình có nghiệm dương duy nhất
( ) ( )
, 3,1xy =
Bài 13: Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số
nguyên.
Lời giải:
ĐKXĐ:
Ta có:
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì
Lập bảng:
2x +1
-4
-2
-1
1
2
4
2x
-5
-3
-2
0
1
3
x
-1
0
Vậy, .
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
y
2016 x 2015
2
x y y 2015 4031 x 2016
+ + + =
+ + +
Giải:
+) Với
a, b,c,d
dương, ta có:
x
32
2 2 5
21
x x x
A
x
+ + +
=
+
1
2 1 0
2
xx
−
+
( ) ( )
2
32
2
2 1 2 1 4
2 2 5 4
1
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
Ax
x x x
+ + + +
+ + +
= = = + +
+ + +
( )
2 1 4 4; 2; 1;1;2;4xU+ = − − −
5
2
−
3
2
−
1
2
3
2
1;0x −
Trang 8
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
22
a b c d
F
b c c d d a a b
a d a c b c b a b d c d
a c b d
b c d a c d a b
b c d a c d a b
4 a b c d ab ad bc cd
a c ad bc b d ab cd
11
a b c d
. b c d a c d a b
44
= + + +
+ + + +
+ + + + + +
= + + + = +
+ + + +
+ + + +
+ + + + + + +
+ + + + + +
+ =
+ + +
+ + + + + +
(theo bất đng thức
( )
2
1
xy x y )
4
+
Mặt khác:
( )
( )
2
2 2 2 2
2 a b c d ab ad bc cd a b c d+ + + + + + + − + + +
( ) ( )
22
2 2 2 2
a b c d 2ac 2bd a c b d 0= + + + − − = − + −
Suy ra
F2
và đng thức xảy ra
a c; b d = =
+)Áp dụng
F2
với
a 2016, b x,c y,d 2015= = = =
ta có:
y
2016 x 2015
2
x y y 2015 4031 x 2016
+ + +
+ + +
Đng thức xảy ra
y 2016,x 2015 = =
Bài 15: Tìm tất cả các số
x, y,z
nguyên thỏa mãn:
2 2 2
x y z xy 3y 2z 4 0+ + − − − + =
Giải:
a)
2 2 2
x y z xy 3y 2z 4 0+ + − − − + =
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
22
y
3
x xy z 2z 1 y 3y 3 0
44
y
3
x z 1 y 2 0
24


− + + − + + − + =





− + − + − =


Có các giá trị
( ) ( )
x, y,z 1; 2;1=
Bài 16:
Tìm các giá trị
x, y
nguyên dương sao cho
22
x y 2y 13= + +
Giải:
Biến đổi đng thức đã cho về dạng
( )( )
x y 1 x y 1 12+ + − − =
Lập luận để có
x y 1 x y 1+ + − −
và
x y 1; x y 1+ + − −
là các ước dương của 12 từ
đó có các trường hợp
x y 1++
12
6
4
x y 1−−
1
2
3
x
13
2
4
7
2
y
9
2
1
1
2
−
Mà
x, y
nguyên dương nên
( ) ( )
x; y 4;1=
Bài 17: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:
( )
2
25 6x y y− = +
( )
;xy
Trang 9
Lời giải
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
25 6
3 16
4 . 4
3 3 2 . 8
1 . 16
x y y
xy
x y x y
− = +
− + =

+ + − − =

7
-1
5
1
11
-5
4
2
19
-13
1
-7
5
-11
-1
5
13
-19
-2
-4
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4; 3 ; 4; 3 ; 5;0 ; 5; 6 ; 5; 6 ; 5;0− − − − − − −
Bài 18: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
Lời giải
( ) ( )( )( )
2 2 2 2
2 3 2 0 2 3 2
1 2 *
y xy x x xy y x x
x y x x
+ − − = + + = + +
+ = + +
V T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải
có 1 số bằng 0
1 0 1
2 0 2
xx
xx
+ = = −



+ = = −

Với
11xy= − =
Với
22xy= − =
Bài 19: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Điều kiện
22
2 2 2
22
22
11
2 4 2 2
44
1
2
2
yy
x x x xy xy
xx
y
x x xy
x


+ + = + − + + − + =




− + − + =
Vì
22
1
0; 0
2
y
xx
x
− −
với mọi mọi y
Do đó mà
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1; 2
2; 1
1; 2
2; 1
xy
xy
xy
xy
==
==
= − = −
= − = −
xy−
xy+
( )
,xy
( )
;xy
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
.xy
0x
0;x
2xy
,xy
Trang 10
Bài 20: Với giá trị nào của
a
và
b
thì đa thức
( )( )
10 1x a x− − +
phân tích thành
tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.
Lời giải
Giả sử :
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
22
10 1 ,
10 10 1
10
10 1
x a x x m x n m n
x a x a x m n x mn
m n a
mn a
− − + = − −
− + + + = − + +
+=+
=+
Khử
a
ta có:
( )
10 10 1
10 10 100 1
( 10) 10( 10) 1
mn m n
mn m n
m n n
= + − +
− − + =
− − − =
Vì
,mn
nguyên ta có:
10 1 10 1 12
&
10 1 10 1 8
m m a
n n a
− = − = − =

− = − = − =
Bài 21: a) Tìm các cặp số nguyên
( )
,xy
thỏa mãn
2
2 3 2 0y xy x+ − − =
b) Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2
2
2
1
24
4
y
x
x
+ + =
sao cho tích
.xy
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a)
( ) ( )( )( )
2 2 2 2
2 3 2 0 2 3 2
1 2 *
y xy x x xy y x x
x y x x
+ − − = + + = + +
+ = + +
VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số
bằng 0
1 0 1
2 0 2
xx
xx
+ = = −



+ = = −

Với
11xy= − =
Với
22xy= − =
b)
Điều kiện
0x
22
2 2 2
22
22
11
2 4 2 2
44
1
2
2
yy
x x x xy xy
xx
y
x x xy
x


+ + = + − + + − + =




− + − + =
Vì
22
1
0; 0
2
y
xx
x
− −
với mọi
0;x
mọi y
Do đó
2xy
mà
,xy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1; 2
2; 1
1; 2
2; 1
xy
xy
xy
xy
==
==
= − = −
= − = −
Trang 11
Bài 22: Ký hiệu
a
(phần nguyên của
a
) là số nguyên lớn nhất không vượt quá
.a
Tìm
x
biết rằng:
34 19
21
11
x
x
+

=+


Lời giải
( )
34 19 34 19
2 1 0 2 1 1
11 11
xx
xx
++

= + − +


vả
21x +
4 1 1 3
0 12 8 11 8 12 3 2 2 1
3 2 3 2
x x x x
−−
+ − +
Do
1
2 1 0
21
2
2 1 1
0
x
x
x
x
x
+=
=−
+
+=
=
Bài 23: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:
Lời giải
1)
Bài 24:
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
Lời giải
Ta có:
Vì nên
(2) viết thành:
Vậy
Bài 25: Tìm nguyên dương thỏa mãn:
Lời giải
Ta có:
Vì nguyên dương nên
( )
x; y
22
x x 3 y+ + =
( )
2
2 2 2 2 2
x x 3 y 4x 4x 12 4y 2x 1 4y 11+ + = + + = + − = −
( )( )
2x 2y 1 2x 2y 1 11 + + − + = −
2x 2y 1 1 x 3
2x 2y 1 11 y 3
2x 2y 1 1 x 2
2x 2y 1 11 y 3
2x 2y 1 11 x 2
2x 2y 1 1 y 3
2x 2y 1 11 x 3
2x 2y 1 1 y 3
+ + = = −

− + = − =

+ + = − =

− + = = −

+ + = =

− + = − =

+ + = − = −

− + = = −

22
x 2x 10 y+ − =
( )
( )( )
2
2 2 2
x 2x 10 y x 1 y 11
x 1 y x 1 y 11 (2 )
+ − = + − =
+ + + − =
x, y
x 1 y x 1 y 0+ + + −
( )( )
x 1 y x 1 y 11.1+ + + − =
x 1 y 11 x 5
x 1 y 1 y 5
+ + = =


+ − = =

( ) ( )
x; y 5; 5=
x, y
22
x y 2x 4y 10 0− + − − =
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
22
x y 2x 4y 10 0 x 2x 1 y 4y 4 7 0
x 1 y 2 7 x y 1 x y 3 7
− + − − = + + − + + − =
+ − + = − − + + =
x, y
Trang 12
và
Phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 26: Tìm các số nguyên
x, y
thỏa mãn:
3 2 3
x 2x 3x 2 y+ + + =
Lời giải
Ta có:
2
3 3 2
37
y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1)
48

− = + + = + +


( )
2
3
32
9 15
x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2)
4 16

+ − = + + = + + +


Từ
( )
1
và
( )
2
ta có:
x y x 2 +
mà
x, y
nguyên suy ra
y x 1=+
Thay
y x 1=+
vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
x 1 y 0= − =
Vậy
( ) ( )
x; y 1;0=−
Bài 27: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là
x, y,z
trong đó cạnh huyền là
z
(x, y, z
là các số nguyên dương). Ta có
( )
xy 2 x y z (1)= + +
và
2 2 2
x y z (2)+=
Từ (2) suy ra
( )
2
2
z x y 2xy,= + −
thay (1) vào ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
22
22
22
z x y 4 x y z
z 4z x y 4 x y z 4z 4 x y 4 x y 4
z 2 x y 2
= + − + +
+ = + − + + + = + − + +
+ = + −
z 2 x y 2
z 2 x y 2(ktm vi z 0)
+ = + −
+ = − − +
z x y 4; = + −
thay vào (1) ta được:
( )
xy 2 x y x y 4= + + + −
( )( )
xy 4x 4y 8
x 4 y 4 8 1.8 2.4
− − = −
− − = = =
Từ đó tìm được các giá trị của
x, y,z
là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x; y; z 5;12;13 ; 12; 5;13 ; 6;8;10 ; 8; 6;10
Bài 28: Tìm các số nguyên
x, y
thỏa mãn
3 2 3
x 2x 3x 2 y+ + + =
Lời giải Ta có:
2
3 3 2
37
y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1)
48

− = + + = + +


( )
2
3
32
9 15
x 2 y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2)
4 16

+ − = + + = + + +


Từ (1) và (2) ta có :
x y x 2, +
mà
x, y
nguyên suy ra
y x 1=+
Thay
y x 1=+
vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
x1
x1
=
=−
x y 3 x y 1 0 x y 3 7+ + − − + + =
x y 1 1 x 3; y 1− − = = =
( ) ( )
x,y 3,1=
Trang 13
Từ đó tìm được hai cặp số
( )
x,y
thỏa mãn Câu toán là:
( ) ( )
1;0 ; 1; 2−
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
x y 3 xy+ = −
Lời giải
Ta có:
( )
2
22
x y 0 x y 2 xy 3 xy 2xy xy 1− + −
Lại có:
( )
2
22
x y 0 x y 2xy 3 xy 2xy xy 3+ + − − − −
Suy ra
3 xy 1.−
Mà
x, y xy 3; 2 1; 0;1 − − −
Lần lượt thử ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x, y 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1; 2 ; 1;1 − − − −
là nghiệm của PT
Bài 30: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x; y
thỏa mãn
2
3x 3xy 17 7x 2y+ − = −
Lời giải
Ta có:
( )
2 2 2
3x 3xy 17 7x 2y 3xy 2y 3x 7x 17 3x 2 y 3x 7x 17+ − = − + = − + + + = − + +
Vì
x
nguyên nên
2x 3 0+
nên ta có:
( ) ( )
22
3x 7x 17 3 x 2x 9x 6 11
y
3x 2 2
x 3x 2 3 3x 2 11
11
x3
3x 2 3x 2
− + + − − + + +
==
+
− + + + +
= = − + +
++
Vì
x, y
nguyên nên ta có
11
3x 2+
nguyên
11 3x 2 3x 2 1; 11 + + =
Xét các trường hợp ta tìm được
x 1; y 1; x 3; y 5= − = − = − =
thỏa mãn và kết luận
Bài 31:
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
( )
x; y
thỏa mãn:
y
x
2 5 624=−
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x; y
thỏa mãn:
2
10x 50y 42xy 14x 6y 57 0+ + + − +
Lời giải
a) Ta có:
yy
xx
2 5 624 2 624 5= − + =
(*)
+Xét
x 0,=
ta có:
y
5 625 y 4= =
+Xét
x
và
x0
ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý
Vậy
( ) ( )
x; y 0; 4=
b) Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
10x 50y 42xy 14x 6y 57 0
9x 42xy 49y x 14x 49 y 6y 9 1 0
3x 7y x 7 y 3 1 0
3x 7y x 7 y 3 1
+ + + − +
+ + + + + + − + −
+ + + + − −
+ + + + −
Vì
( )
( )
( )
2
2
2
3x 7y 0
x 7 0
y 3 0
+
+
−
và
x, y
nên
( ) ( ) ( )
2 2 2
3x 7y x 7 y 3 0+ + + + − =
( ) ( ) ( )
2 2 2
x7
3x 7y x 7 y 3 0
y3
= −
+ = + = − =
=
Trang 14
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
x xy 2012x 2013y 2014 0+ − − − =
Lời giải
2
x xy 2012x 2013y 2014 0+ − − − =
( ) ( )
( )( )
2
x xy x 2013x 2013y 2013 1
x x y 1 2013 x y 1 1
x 2013 x y 1 1
x 2013 1 x 2014
x y 1 1 y 2014
x 2013 1 x 2012
x y 1 1 y 2014
+ + − − − =
+ + − + + =
− + + =

− = =


+ + = = −




− = − =


+ + = − = −



Bài 33: Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2
3 3 17 7 2x xy x y+ − = −
Lời giải
Ta có:
( )
2 2 2
3 3 17 7 2 3 2 3 7 17 3 2 3 7 17x xy x y xy y x x x y x x+ − = − + = − + + + = − + +
Vì
x
nguyên nên
2 3 0x +
nên ta có:
22
3 7 17 3 2 9 6 11
3 2 2
x x x x x
y
x
− + + − − + + +
==
+
( ) ( )
3 2 3 3 2 11
11
3
3 2 3 2
x x x
x
xx
− + + + +
= = − + +
++
Vì
,xy
nguyên nên ta có
11
32x +
nguyên
11 3 2 3 2 1; 11xx + + = M
Xét các trường hợp ta tìm được
1; 1; 3; 5x y x y= − = − = − =
Bài 34: Tìm cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn phương trình:
4 2 6 3
10 2 4 6 05x x y y+ + + − =
Lời giải
4 2 6 3
10 2 4 6 05x x y y+ + + − =
( ) ( )
4 2 6 3
10 5 2 4 2 135x x y y+ + + + + =
4 2 6 3
2 1) 2( 2 1) 135(x x y y+ + + + + =
2 2 3 2
1) 2( 1) 135( x y+ + + =
Vì:
2
3
1
1
x Z x Z
yZ
yZ
+

+
Mà
2 2 2
1) 13 1 15( x x+ +
Mặt khác
2
11x +
với mọi x
2
11x +=
2
0x =
0x =
Với
0x =
, ta có:
32
2( 1) 135y+ + =
32
2( 1) 8y +=
32
( 1) 4y +=
3
3
12
12
y
y
+=
+ = −
3
3
1
3
y
y
=
=−
Vì y
Z nên y
3
= 1
y = 1
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên
( ) ( )
; 0;1xy =
Trang 15
Bài 35: Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
22
8 4 2 4 4x y xy x y+ + − − =
Lời giải
( )
2
2 2 2
8 4 2 4 4 2 1 4 5x y xy x y x y y+ + − − = + − + =
Do
( )
2
22
4 4; 2 1 0;4 0 ,y x y y x y+ − M
nên
( )
2
2
44
2 1 1
y
xy
=
+ − =
( )
( )
( )
2
2
2
1
1
0
1
11
2
1
11
2 1 1
2
31
4
y
y
x
y
x
x
y
yy
xy
x
x
x
=
=
=
=

+=
=−

=−
= − = −

+ − =
=
−=
=
thỏa mãn
,xy
nguyên
Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; 0;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 4; 1xy − − −
Bài 36: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
3 4 5
x x x
+=
Lời giải
Ta thấy
2x =
là nghiệm của phương trình đã cho.
Với
2x
ta xét:
Nếu
2x
thì
34
1
55
xx
+
Với
2x
dễ thấy
0; 1xx==
không phải là nghiệm của phương trình
Với
0x
ta đặt
xy=−
thì
0y
nên
1y
. Ta có:
3 4 3 4 5 5
1 1 1
5 5 5 5 3 4
x x y y y y−−
+ = + = + =
Phương trình này vô nghiệm vì
5 5 5 5
1
3 4 3 4
yy
+ +
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2x =
Bài 37: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là
,,x y z
trong đó cạnh huyền là
z
(
,,x y z
là các số nguyên dương)
Ta có:
( )( )
21xy x y z= + +
và
2 2 2
(2)x y z+=
Từ (2) suy ra
( )
2
2
2,z x y xy= + −
thay (1) vào ta có:
( ) ( )
2
2
4z x y x y z= + − + +
( ) ( )
2
2
44z z x y x y+ = + − +
( ) ( )
2
2
4 4 4 4z z x y x y+ + = + − + +
( ) ( )
22
22z x y+ = + −
Suy ra
2 2 4;z x y z x y+ = + − = + −
thay vào
( )
1
ta được:
( )
( )( )
24
4 4 8
4 4 8 1.8 2.4
xy x y x y
xy x y
xy
= + + + −
− − = −
− − = =
Trang 16
Từ đó ta tìm được các giá trị của
,,x y z
là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10x y z
Bài 38: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2016 2015
2
2015 4031 2016
xy
x y y x
+ + + =
+ + +
Lời giải
+) Với
, , ,a b c d
dương, ta có:
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2
22
4
11
.
44
a b c d
F
b c c d d a a b
a d a c b c b a b d c d
a c b d
b c d a c d a b b c d a c d a b
a b c d ab ad bc cd
a c ad bc b d ab cd
a b c d
b c d a c d a b
= + + +
+ + + +
+ + + + + +
= + + + = +
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + +
+ =
+ + +
+ + + + + +
(theo bất đng thức
( )
2
1
)
4
xy x y+
Mặt khác:
( )
( )
2
2 2 2 2
2 a b c d ab ad bc cd a b c d+ + + + + + + − + + +
( ) ( )
22
2 2 2 2
2 2 0a b c d ac bd a c b d= + + + − − = − + −
Suy ra
2F
và đng thức xảy ra
;a c b d = =
+)Áp dụng
2F
với
2016, , , 2015a b x c y d= = = =
ta có:
2016 2015
2
2015 4031 2016
xy
x y y x
+ + +
+ + +
Đng thức xảy ra
2016, 2015yx = =
Bài 39: Tìm các giá trị
,xy
nguyên dương sao cho
22
2 13x y y= + +
Lời giải Biến đổi đng thức đã cho về dạng
( )( )
1 1 12x y x y+ + − − =
Lập luận để có
11x y x y+ + − −
và
1; 1x y x y+ + − −
là các ước dương của 12 từ đó
có các trường hợp
1xy++
12
6
4
1xy−−
1
2
3
x
13
2
4
7
2
y
9
2
1
1
2
−
Mà
,xy
nguyên dương nên
( ) ( )
; 4;1xy =
Bài 40: Tìm tất cả các số
,,x y z
nguyên thỏa mãn:
2 2 2
3 2 4 0x y z xy y z+ + − − − + =
Lời giải
2 2 2
3 2 4 0x y z xy y z+ + − − − + =
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
22
3
2 1 3 3 0
44
3
1 2 0
24
y
x xy z z y y
y
x z y


− + + − + + − + =





− + − + − =


Có các giá trị
( ) ( )
, , 1;2;1x y z =
Trang 17
Bài 41: Tìm các cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn:
22
3x x y+ + =
Lời giải
( )
2
2 2 2 2 2
3 4 4 12 4 2 1 4 11x x y x x y x y+ + = + + = + − = −
( )( )
2 2 1 2 2 1 11x y x y + + − + = −
2 2 1 1 3
2 2 1 11 3
2 2 1 1 2
2 2 1 11 3
2 2 1 11 2
2 2 1 1 3
2 2 1 11 3
2 2 1 1 3
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
+ + = = −


− + = − =

+ + = − =


− + = = −

+ + = =


− + = − =

+ + = − = −


− + = = −

Bài 42: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là
,,x y z
trong đó cạnh huyền là
z
( , ,x y z
là các số nguyên dương). Ta có
( )
2 (1)xy x y z= + +
và
2 2 2
(2)x y z+=
Từ (2) suy ra
( )
2
2
2,z x y xy= + −
thay (1) vào ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
22
22
22
4
4 4 4 4 4 4
22
z x y x y z
z z x y x y z z x y x y
z x y
= + − + +
+ = + − + + + = + − + +
+ = + −
22
2 2( 0)
z x y
z x y ktm vi z
+ = + −
+ = − − +
4;z x y = + −
thay vào (1) ta được:
( )
24xy x y x y= + + + −
( )( )
4 4 8
4 4 8 1.8 2.4
xy x y
xy
− − = −
− − = = =
Từ đó tìm được các giá trị của
,,x y z
là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10x y z
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên:
22
4 5 16 0x xy y− + − =
Lời giải
( )
2
2 2 2
4 5 16 0 2 16 (1)x xy y x y y− + − = − = −
Từ
( )
1
suy ra
2 2 2
16 0 16 0;4;9;16y y y−
Trang 18
2
2
2
2
*) 0 0 4
*) 4 2 ( )
*) 9 3 ( )
*) 16 4 8
y y x
y y x ktm
y y x ktm
y y x
= = =
= =
= =
= = =
Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là
( ) ( ) ( ) ( )
4;0 ; 4;0 ; 8;4 ; 8; 4− − −
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên :
22
3x y xy+ = −
Lời giải
Ta có:
( )
2
22
0 2 3 2 1x y x y xy xy xy xy− + −
Lại có:
( )
2
22
0 2 3 2 3x y x y xy xy xy xy+ + − − − −
Suy ra
3 1.xy−
Mà
, 3; 2 1;0;1x y xy − − −
Lần lượt thử ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1;2 ; 1;1xy − − − −
là nghiệm của
phương trình
Bài 45: a) Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
3 2 3
2 3 2x x x y+ + + =
b) Tìm các số nguyên
,xy
thỏa mãn:
22
2 4 10 0x y x y− + − − =
với
,xy
nguyên dương.
Lời giải
a) Ta có:
2
3 3 2
37
2 3 2 2 0 (1)
48
y x x x x x y

− = + + = + +


( )
2
3
32
9 15
2 4 9 6 2 0 2 (2)
4 16
x y x x x y x

+ − = + + = + + +


Từ
( )
1
và
( )
2
ta có:
2x y x +
mà
,xy
nguyên suy ra
1yx=+
Thay
1yx=+
vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
10xy= − =
Vậy
( ) ( )
; 1;0xy =−
( ) ( )
2 2 2 2
) 2 4 10 0 2 1 4 4 7 0− + − − = + + − + + − =b x y x y x x y y
( ) ( ) ( )( )
22
1 2 7 1 3 7x y x y x y + − + = − − + + =
Vì
,xy
nguyên dương nên
3 7 3
3 1 0
1 1 1
x y x
x y x y
x y y
+ + = =

+ + − −

− − = =

Vậy
( ) ( )
; 3;1xy =
Bài 46: Tìm giá trị nguyên của x để
AB
biết
2
10 7 5A x x= − −
và
23Bx=−
Lời giải
Xét
2
10 7 5 7
54
2 3 2 3
A x x
x
B x x
−−
= = + +
−−
Với
x
thì
AB
khi
( )
7
7 2 3
23
x
x
−
−
Mà Ư
(7) 1;1;7; 7= − −
nên
5; 2;2;1x = − −
thì
AB
Trang 19
Bài 47: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có :
2( ) (1)xy x y z= + +
và
2 2 2
(2)x y z+=
Từ (2) suy ra
( )
2
2
2,z x y xy= + −
thay (1) vào ta có :
( )
2
2
2,z x y xy= + −
thay (1) vào ta có:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
22
4
4 4( )
4 4 4( ) 4
2 2 2 2
z x y x y z
z z x y x y
z x x y x y
z x y z x y
= + − + +
+ = + − +
+ + = + − + +
+ = + − + = + −
4z x y= + −
, thay vào (1) ta được:
( )
( ) ( )
2 4 4 4 8
4 . 4 8 1.8 2.4
xy x y x y xy x y
xy
= + + + − − − = −
− − = = =
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
; ; 5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10x y z
Bài 48: Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
2012 2013 2014 0x xy x y+ − − − =
.
Lời giải
( )
( )
2
2
2
4 2. 2 43x x x− + − =
( ) ( )
2
22
4 2 4 4 43;x x x x− + − + =
Đặt x
2
- 4x = t. ĐK t
- 4
Khi đó ta có được phương trình: t
2
+ 2t - 35 = 0
(t + 7)(t – 5) = 0
t = -7 (loại) hoặc t = 5
Với t = 5, khi đó x
2
- 4x - 5 = 0
(x +1)(x – 5) = 0
x = 5 hoặc x = -1
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}
Bài 49: Tìm nghiệm nguyên
( )
;xy
của phương trình
( )( )( )
2
1 2 3x y y y y= + + +
.
Lời giải
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )
22
2 2 2
1 2 3 3 1 2
3 3 2
x y y y y x y y y y
x y y y y
= + + + = + + +
= + + +
Đặt
2
31t y y= + +
ta được
( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1x t t x t x t x t x t= − + = − − = − − + = −
Vì x, y là những số nguyên nên
xt−
và
xt+
cũng là những số nguyên. Do đó ta
có hai trường hợp sau:
* TH1:
1xt−=
và
1xt+ = −
. Suy ra
0x =
và
1t =−
.
Với
1t =−
thì
( )( )
22
3 1 1 3 2 0 1 2 0y y y y y y+ + = − + + = + + =
1y = −
hoặc
2y =−
.
* TH2:
1xt− = −
và
1xt+=
. Suy ra
0x =
và
1t =
.
Với
1t =
thì
( )
22
3 1 1 3 0 3 0 0y y y y y y y+ + = + = + = =
hoặc
3y =−
.
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên
( )
;xy
là
( ) ( ) ( ) ( )
0; 3 , 0; 2 , 0; 1 , 0;0− − −
Trang 20
Bài 50: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
3 2 3
2 3 2 .x x x y+ + + =
Lời giải
Ta có
2
3 3 2
37
2 3 2 2 0
48
y x x x x x y

− = + + = + +


(1)
2
3 3 2
9 15
( 2) 4 9 6 2 0 2
4 16
x y x x x y x

+ − = + + = + + +


(2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x =
1;
Từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
(-1 ; 0) và (1; 2)
KL nghiệm
Bài 51: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( )
2 6 3
2 32y x x y= − − −
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 6 3 6 6 3 2
32
23
2 32 2 64
64
y x x y x x x y y
x x y
= − − − + − + =
+ − =
Vì
2
xN
và 64 chỉ được phân tích thành
2 3 3 2
64 0 4 0 8= + = +
nên ta có:
2
3
4
0
x
xy
=
−=
hoặc
( )
2
2
32
0
8
x
xy
=
−=
2; 2
8; 8
xx
yy
= = −
= = −
hoặc
0
8; 8
x
yy
=
= = −
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên:
( ) ( ) ( ) ( )
0; 8 ; 0; 8 ; 2; 8 ; 2; 8x y x y x y x y= = = = − = = = − = −
Bài 52: : Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )xy
thỏa mãn:
2
2 5 6 0y xy x+ − − =
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2
2 5 6 0 2 5 6y xy x x xy y x x+ − − = + + = + +
(*)
2
( ) ( 2)( 3)x y x x + = + +
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên
phải có 1 số bằng 0
2 0 2
3 0 3
xx
xx
+ = = −



+ = = −

*) Với
22xy= − =
*) Với
33xy= − =
Vậy có 2 cặp số nguyên
( ; ) ( 2;2)xy =−
hoặc
( ; ) ( 3;3)xy =−
.
Bài 53: Tìm các số nguyên x,y
thỏa mãn: x
3
+ 2x
2
+ 3x + 2 = y
3
Lời giải
Ta có:

= 2

󰇡
󰇢
 󰇛󰇜
󰇛
󰇜




󰇡

󰇢


> 0 󰇛󰇜
Từ (1) và (2) ta có : 
Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1
hoặc -1.
Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2)

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A.Bài toán
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( ; x y) sao cho: 2 2
3x − y − 2xy − 2x − 2y + 40 = 0 Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2
x − xy = 6x − 5y − 8 Bài 3:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y Bài 4:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2
x + xy + ( x + y) 2 2 7 + 2y +10 = 0 Bài 5:
Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : 2 2
x = y + 2y +13
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x y  0 và 3 3
x + 7 y = y + 7x
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2
x + xy + y = x y
Bài 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242 .
Bài 11: . Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: 2 2
x = y + 2y +13
Bài 12: : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y −10 = 0
Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số 3 2 nguyên.
2x + x + 2x + 5 A = 2x +1
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 + + + = 2 x + y y + 2015 4031 x + 2016
Bài 15: Tìm tất cả các số x,y,z nguyên thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0
Bài 15: Tìm các giá trị x,y nguyên dương sao cho 2 2 x = y + 2y + 13
Bài 16: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ;
x y)thỏa mãn phương trình: 2
x − 25 = y( y + 6)
Bài 17: Tìm các cặp số nguyên ( x, y)thỏa mãn 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0 2 1 y
Bài 18: Tìm các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn 2 2x + + = 4 sao cho tích 2 x 4 .
x y đạt giá trị lớn nhất.
Bài 19: Với giá trị nào của a và b thì đa thức (x − a)(x −10) +1 phân tích thành
tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.
Bài 20: a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0 2
b) Tìm các cặp số nguyên ( 1 y ; x y) thỏa mãn 2 2x + + = 4 sao cho tích . x y 2 x 4
đạt giá trị lớn nhất. Trang 1
Bài 21: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá  x +  .
a Tìm x biết rằng: 34 19 = 2x+1  11   
Bài 22: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 x + x + 3 = y Bài 23:
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 2 2 x + 2x − 10 = y Bài 24:
Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y − 10 = 0
Bài 25: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 3 2 3 x + 2x + 3x + 2 = y
Bài 26: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 27: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 3 2 3 x + 2x + 3x + 2 = y
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x + y = 3 − xy
Bài 29: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 3x + 3xy − 17 = 7x − 2y Bài 30:
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: x y 2 = 5 − 624
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2
10x + 50y + 42xy + 14x − 6y + 57  0
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0
Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn 2
3x + 3xy −17 = 7x − 2y Bài 33: Tìm cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn phương trình: 4 2 6 3
5x +10x + 2y + 4y − 6 = 0
Bài 34: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
x + 8y + 4xy − 2x − 4y = 4
Bài 35: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x + =
Bài 36: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 37: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 + + + = 2 x + y
y + 2015 4031 x + 2016
Bài 38: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho 2 2
x = y + 2y +13
Bài 39: Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0 ( ;x y)
Bài 40: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 2 2
x + x + 3 = y
Bài 41: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2
x + y = 3 − xy Bài 44:
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y Trang 2
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y −10 = 0 với x, y nguyên dương.
Bài 45: Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 2
A = 10x − 7x − 5 và B = 2x − 3
Bài 46: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0 .
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên ( ;
x y) của phương trình 2
x = y ( y + )
1 ( y + 2)( y + 3) . Bài 49:
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y .
Bài 50: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y = − ( 6 3
2 x − x y −32)
Bài 51: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn: 2
y + 2xy − 5x − 6 = 0
Bài 52: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
Bài 53: Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = 3 - xy
Bài 54: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bài 55: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y Bài 56: 3 2 Tìm giá trị nguyên của
4x − 6x + 8x
x để biểu thức B = nhận giá trị nguyên 2x −1
Bài 57: Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 2 3 3
1+ x + x + x = y 2 2
Bài 58: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x + 2xy + 7( x + y) + 2y +10 = 0
Bài 59: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x + 2y + 3xy + 3x + 5y =15
Bài 60: Tìm các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn: 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0
Bài 61: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2
x − xy = 6x − 5y − 8
Bài 62: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y
Bài 63: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ;
x y)thỏa mãn phương trình: 2
x − 25 = y( y + 6) + + + =
Bài 64: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3 x 2x 3x 2 y
Bài 65: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn 2
3x + 3xy −17 = 7x − 2y
Bài 66: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0 Trang 3 B. HƯỚNG DẪN Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( ;x y)sao cho: 2 2
3x − y − 2xy − 2x − 2y + 40 = 0 Lời giải Ta có: 2 2
3x − y − 2xy − 2x − 2y + 40 = 0 2  4x − ( 2 2
x + y + 2xy + 2x + 2y + ) 1 = −41  (x + y + )2 1 − (2x)2 = 41  (3x + y + ) 1 ( y − x + ) 1 = 41
Đặt : 3x + y +1 = a và y − x +1 = .
b Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng
41.Nhận thấy 41là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau: a −41 −1 1 41 b −1 −41 41 1 a − b −10 10 −10 10 x = 4 a + 3b − 4 −12 −32 30 10 y = 4
Vậy các cặp số nguyên ( ; x y)cần tìm là ( 1 − 0; 1 − 2);(10; 3 − 2);( 1 − 0;30);(10;10) Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2
x − xy = 6x − 5y − 8 Lời giải 2 2
x − xy = 6x − 5y − 8  x − 6x + 8 = y( x − 5) (2) 2 x − 6x + 8  y =
(vì x = 5 không là nghiệm của (2)) x − 5  y = (x + ) 3 1 + x + 5
Vì x, y nguyên nên x − 5 là ước của 3  x − 5 1 − ;1;3;−  3 hay x 4;6;8;  2 x 2 6 4 8 y 0 8 0 8
Vậy nghiệm của phương trình ( ; x y) = (  2;0);(4;0);(6;8);(8;8)
Bài 3: . Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y Lời giải 2   Ta có: 3 3 2 3 7
y − x = 2x + 3x + 2 = 2 x +
+  0  x y (1)    4  8 2 (   x + )3 3 2 9 15
2 − y = 4x + 9x + 6 = 2x + +
 0  y x + 2 (2)    4  16 Từ ( )
1 và (2)ta có: x y x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x +1 Trang 4
Thay y = x +1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 −  y = 0 Vậy ( ; x y) = ( 1 − ;0)
Bài 4: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2
x + xy + ( x + y) 2 2 7 + 2y +10 = 0 Lời giải Ta có: 2
x + 2xy + 7( x + y) 2 + 2y +10 = 0 2 2
 4x + 8xy + 28x + 28y + 8y + 40 = 0
 (2x + 2y + 7)2 2 + 4y = 9(*)
Ta thấy ( x + y + )2 2 2 7  0 nên 2 2 9
4y  9  y  do y nguyên nên 2 y 0;  1 4  y = 01;−  1
Với y = 0 thay vào (*) ta được: ( x + )2 2
7 = 9 tìm được x  2 − ;−  5
Với y = 1thay vào (*) ta có: ( x + )2 2
9 = 5, không tìm được x nguyên
Với y = −1 thay vào (*) ta có ( x + )2 2
5 = 5 không tìm được x nguyên Vậy ( ; x y) = (  2 − ;0);( 5 − ;0)
Bài 5: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : 2 2
x = y + 2y +13 Lời giải Ta có:
x = y + y +  x = ( y + )2 2 2 2 2 13 1 +12  (x + y + )
1 ( x − y − ) 1 = 12
Do x + y +1− ( x − y − )
1 = 2y + 2 là số chẵn và x, y  *nên
x + y +1  x − y −1.Do đó x + y +1 và x − y −1là hai số nguyên dương chẵn
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : x + y +1 = 6 và x − y −1 = 2
x = 4và y =1.Vậy ( ; x y) = (4; ) 1
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 Lời giải
3x – y3 = 1  3x = y3 + 1 (1)
- Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).
- Nếu x < 0 thì 3x = 1 ( n nguyên dương, n = - x) n 3
suy ra 0 < 3x < 1. Mà y3 + 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
- Nếu x > 0 thì 3x  3
(1)  3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1)  (y + 1)3  3 nên y + 1  3
Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3x =
(3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 3x mà 3k2 – 3k + 1  2 3 và 3k2 – 3k + 1=  1  1 3k −  +  0  2  4
nên 3k2 – 3k + 1 = 1  3k(3k – 1) = 0  k = 0 hoặc k = 1. Trang 5
Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm.
Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2.
Bài 7: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy. Lời giải
a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
 x2 + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60
 (x – y)2 = 5(3 – xy)(xy – 4) (1)
Vì (x – y)2 ≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0  3 ≤ xy ≤ 4  xy  {3;4} x = 2 xy = 4   y = 2
Đẳng thức (1) xảy ra  x, y   .  x = 2 − x =  y  y = 2 −
Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)} 3 3
Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x y  0 và x + 7 y = y + 7x Lời giải
PT  ( x − y)( 2 2
x + xy + y ) = 7(x − y)  (x − y)( 2 2
x + xy + y − 7) = 0
x + xy + y − 7 = 0(Vi x y)  (x − y)2 2 2
= 7 − 3xy  0  xy  2
Vì x y  0 nên xy = 2 , do đó x = 2; y =1
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2
x + xy + y = x y
Lời giải: Thêm xy vào hai vế của phương trình ta có: 2 2 2 2
x + 2xy + y = x y + xy
 (x + y)2 = xy(xy + ) 1
Ta thấy xy & xy +1là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên
tồn tại một số bằng 0 TH1: 2 2
xy = 0  x + y x = y = 0
TH2: xy +1 = 0 ta có xy = −1nên ( ; x y) (  1;− )1;( 1 − ; ) 1 
Thử lại ba cặp số (0;0);( 1 − ; ) 1 ;(1;− )
1 đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 10: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 242 Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x, x +1, x + 2 . Ta có: x ( x + )
1 + x ( x + 2) + ( x + ) 1 ( x + 2) = 242 2 2 2
x + x + x + 2x + x + 3x + 2 = 242 2 2
 3x + 6x + 2 = 242  3x + 6x = 240 2 2
x + 2x = 80  x + 2x + 1 = 81  ( x + )2 2 1 = 9 x + 1 = 9 x = 8 (TM )    x 1 9  + = − x = 10( − KTM )
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 8;9;10 Trang 6
Bài 11: . Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho: 2 2
x = y + 2y +13 Lời giải
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + )
1 ( x − y − ) 1 = 12
Lập luận để có x + y +1  x − y −1và x + y +1; x − y −1là các ước dương của 12.
Từ đó ta có các trường hợp: x + y +1 12 6 4 x − y −1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 − 2 2 Mà ;
x y nguyên dương nên ( ; x y) = (4; ) 1
Bài 12: : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y −10 = 0 Lời giải 2 2
x − y + 2x − 4y −10 = 0  ( 2 x + 2x + ) 1 − ( 2
y + 4y + 4) − 7 = 0  (x + )2
1 − ( y + 2)2 = 7  ( x − y − )
1 ( x + y + 3) = 7
Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3  x − y −1  0  x + y + 3 = 7 và
x − y −1 = 1 x = 3; y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất ( x, y) = (3, ) 1
Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 3 2
2x + x + 2x + 5 A = 2x +1 Lời giải: − ĐKXĐ: 1
2x +1  0  x  2 3 2 2
2x + x + 2x + 5 x (2x + ) 1 + (2x + ) 1 + 4 Ta có: 4 2 A = = = x +1+ 2x +1 2x +1 2x +1
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 2x +1U (4) =  4 − ; 2 − ; 1 − ;1;2;  4 Lập bảng: 2x +1 -4 -2 -1 1 2 4 2x -5 -3 -2 0 1 3 x 3 − -1 0 1 3 5 − 2 2 2 2 Vậy, x 1 − ;  0 .
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 + + + = 2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 Giải:
+) Với a,b,c,d dương, ta có: Trang 7 a b c d F = + + + b + c c + d d + a a + b  a c   b d 
a (d + a) + c (b + c) b(a + b) + d(c + d) = + + + = +     
 b + c d + a   c + d a + b  (b+c)(d+a) (c+d)(a + b) 4 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c + d + ab + ad + bc + + + + + + + cd a c ad bc b d ab cd )  + = 1 ( ) 1( ) (a + b+c+ + + + + + + d . b c d a c d a b )2 2 2 4 4 (theo bất đẳng thức 1 xy  (x + y)2) 4
Mặt khác: ( + + + + + + + )−( + + + )2 2 2 2 2 2 a b c d ab ad bc cd a b c d = + + + − − = ( − )2 + ( − )2 2 2 2 2 a b c d 2ac 2bd a c b d  0
Suy ra F  2 và đẳng thức xảy ra  a = c; b = d
+)Áp dụng F  2 với a = 2016,b = x,c = y,d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 + + +  2 x + y y + 2015 4031 x + 2016
Đẳng thức xảy ra  y = 2016,x = 2015
Bài 15: Tìm tất cả các số x,y,z nguyên thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0 Giải: a) 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0 2  y    2  x − xy +  + ( 2 z − 2z + 1) 3 2 +  y − 3y + 3 =  0  4   4  2  y   − + ( − )2 3 x z 1 + (y − 2)2 =   0  2  4
Có các giá trị (x,y,z) = (1;2;1) Bài 16:
Tìm các giá trị x,y nguyên dương sao cho 2 2 x = y + 2y + 13 Giải:
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng (x + y +1)(x − y −1) = 12
Lập luận để có x + y + 1  x − y −1và x + y + 1; x − y −1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x + y + 1 12 6 4 x − y − 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 − 2 2
Mà x,y nguyên dương nên (x; y) = (4;1)
Bài 17: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn phương trình: 2
x − 25 = y( y + 6) Trang 8 Lời giải 2
x − 25 = y( y + 6)
x − ( y + 3)2 2 =16 ( 4  ).( 4  ) ( 
x + y + 3)(x − y − 3) = (2).( 8   ) ( )1.( 16   ) x − y 7 -1 5 1 11 -5 4 2 19 -13 x + y 1 -7 5 -11 -1 5 13 -19 -2 -4
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là: (4; 3 − );( 4 − ; 3 − );(5;0);( 5 − ; 6 − );(5; 6 − );( 5 − ;0)
Bài 18: Tìm các cặp số nguyên ( x, y)thỏa mãn 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0 Lời giải 2 2 2 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0  x + 2xy + y = x + 3x + 2
 (x + y) = (x + ) 1 ( x + 2)(*)
V T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x +1 = 0 x = −1    x 2 0  + = x = −2 Với x = 1 −  y =1 Với x = 2 −  y = 2 2 1 y
Bài 19: Tìm các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn 2 2x + + = 4 sao cho tích 2 x 4 .
x y đạt giá trị lớn nhất. Lời giải
Điều kiện x  0 2 2     2 1 y 2 1 2 y 2x + + = 4  x + − 2 + x + − xy + xy = 2 2  2    x 4  x   4  2 2  1   y   x − + x − + xy = 2      x   2  2 2  1   y  Vì x −  0; x −  0    
với mọi x  0; mọi y  x   2 
Do đó xy  2 mà x, y  x =1; y = 2 x = 2; y =1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x = 1 − ; y = −2  x = 2 − ; y = −1 Trang 9
Bài 20: Với giá trị nào của a và b thì đa thức (x − a)(x −10) +1 phân tích thành
tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên. Lời giải Giả sử :
(x − a)(x −10) +1= (x − m)(x − n)(m,n ) 2
x − (a +10) 2
x +10a +1 = x − (m + n) x + mn
m + n = a +10
 mn =10a+1 Khử a ta có:
mn = 10(m + n −10) +1
mn −10m −10n +100 = 1
m(n −10) −10(n −10) = 1
m −10 =1 m −10 = 1 − a =12
Vì m,n nguyên ta có:  &  
n 10 1 n 10 1  − = − = − a = 8
Bài 21: a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0 2
b) Tìm các cặp số nguyên ( 1 y ; x y) thỏa mãn 2 2x + + = 4 sao cho tích . x y 2 x 4
đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) 2 2 2 2
y + 2xy − 3x − 2 = 0  x + 2xy + y = x + 3x + 2
 (x + y) = (x + ) 1 ( x + 2)( ) *
VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x +1 = 0 x = 1 −    x 2 0  + = x = 2 −
Với x = −1 y = 1
Với x = −2  y = 2 b) Điều kiện x  0 2 2 1 y  1   y  2 2 2 2x + + = 4  x + − 2 +    x +
− xy  + xy = 2 2 2 x 4  x   4  2 2  1   y   x − + x − + xy = 2      x   2  2 2 Vì  1   y x −  0; x −  0    
với mọi x  0; mọi y  x   2 
Do đó xy  2 mà x, y  x = 1; y = 2 x = 2; y =1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
x = −1; y = −2 
x = −2; y = −1 Trang 10
Bài 22: Ký hiệu a (phần nguyên của a ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá  x +  .
a Tìm x biết rằng: 34 19 = 2x+1  11    Lời giải 34x +19 34x +19 = 2x +1  0  − (2x + ) 1 1  vả 2x +1 11    11 4 − 1 1 − 3
 0 12x + 8 11  8 − 12x  3   2x    2x +1 3 2 3 2  1 2x +1 = 0 = − Do x 2x 1  +     2 2x +1 = 1  x = 0
Bài 23: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 x + x + 3 = y Lời giải 1) + + =  + + =  ( + )2 2 2 2 2 2 x x 3 y 4x 4x 12 4y 2x 1 − 4y = 1 − 1
 (2x + 2y +1)(2x − 2y +1) = 1 − 1 2x + 2y + 1 = 1 x = −3    2x − 2y + 1 = −11 y =   3
2x + 2y +1 = −1 x = 2    2x − 2y +1 = 11 y = 3 −   2x + 2y + 1 = 11 x = 2     2x − 2y +1 = −1 y =   3  2x + 2y + 1 = −11 x = −3    2x − 2y + 1 = 1 y = 3 −   Bài 24:
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 2 2 x + 2x − 10 = y Lời giải x + 2x − 10 = y  (x + 1)2 2 2 2 − = Ta có: y 11
 (x +1+ y)(x +1− y) = 11 (2)
Vì x,y  nên x + 1+ y  x + 1− y  0
(2) viết thành: (x +1+ y)(x +1− y) = 11.1 x +1+ y = 11 x = 5     x + 1− y = 1 y =   5 Vậy (x; y) = (5;5)
Bài 25: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y − 10 = 0 Lời giải Ta có: 2 2
x − y + 2x − 4y − 10 = 0  ( 2 x + 2x + 1) − ( 2 y + 4y + 4) − 7 = 0
 (x +1)2 −(y + 2)2 = 7  (x − y −1)(x + y + 3) = 7 Vì x,y nguyên dương nên Trang 11
x + y + 3  x − y − 1  0  x + y + 3 = 7 và x − y − 1 = 1  x = 3; y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x,y) = (3,1)
Bài 26: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 3 2 3 x + 2x + 3x + 2 = y Lời giải 2 Ta có:   3 3 2 3 7 y − x = 2x + 3x + 2 = 2 x + +  0  x    y (1)  4  8 2 ( + )3   3 2 9 15 x 2 − y = 4x + 9x + 6 = 2x + +  0  y  x +   2 (2)  4  16
Từ (1) và (2) ta có: x  y  x + 2 mà x,y nguyên suy ra y = x +1
Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = −1  y = 0 Vậy (x; y) = ( 1 − ;0)
Bài 27: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x,y,z trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương). Ta có xy = 2 (x + y + z) (1) và 2 2 2 x + y = z (2) Từ (2) suy ra = ( + )2 2 z
x y − 2xy, thay (1) vào ta có: z = (x + y)2 2 − 4(x + y + z)
 z + 4z = (x + y)2 − 4(x + y)  z + 4z + 4 = (x + y)2 2 2 − 4(x + y)+ 4  (z + 2)2 = (x + y − 2)2 z + 2 = x + y − 2   z + 2 = −x − y + 2(ktm vi z   0)
 z = x + y − 4; thay vào (1) ta được: xy = 2(x + y + x + y − 4)  xy − 4x − 4y = 8 −
 (x − 4)(y − 4) = 8 = 1.8 = 2.4
Từ đó tìm được các giá trị của x,y,z là:
(x;y;z) (5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10)
Bài 28: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 3 2 3 x + 2x + 3x + 2 = y 2 Lời giải Ta có:   3 3 2 3 7 y − x = 2x + 3x + 2 = 2 x + +  0  x    y (1)  4  8 2 ( + )3   3 2 9 15 x 2 − y = 4x + 9x + 6 = 2x + +  0  y  x +   2 (2)  4  16
Từ (1) và (2) ta có : x  y  x + 2,mà x,y nguyên suy ra y = x + 1  =
Thay y = x + 1vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x 1  x = 1 −  Trang 12
Từ đó tìm được hai cặp số (x,y) thỏa mãn Câu toán là: ( 1 − ;0);(1;2) Bài 29:
Giải phương trình nghiệm nguyên : 2 2 x + y = 3 − xy Lời giải Ta có: ( − )2 2 2 x y
 0  x + y  2xy  3 − xy  2xy  xy  1 Lại có: ( + )2 2 2 x y  0  x + y  2 − xy  3 − xy  2 − xy  xy  3 −
Suy ra −3  xy  1.Mà x,y  xy 3 − ; 2 − − 1;0;  1
Lần lượt thử ta được (x,y) (  2 − ;1);(1; 2 − );(2; 1 − );( 1
− ; 2);(1;1) là nghiệm của PT
Bài 30: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2 3x + 3xy − 17 = 7x − 2y Lời giải Ta có: 2 2 + − = −  + = − + +  ( + ) 2 3x 3xy 17 7x 2y 3xy 2y 3x 7x 17 3x 2 y = 3 − x + 7x +17 Vì x
nguyên nên 2x + 3  0 nên ta có: 2 2 −3x + 7x + 17 3 − x − 2x + 9x + 6 + 11 y = = 3x + 2 2 −x(3x + 2) + 3(3x + 2) +11 11 = = −x + 3 + 3x + 2 3x + 2
Vì x,y nguyên nên ta có 11 nguyên  11 3x + 2  3x + 2 = 1  ; 11  3x + 2
Xét các trường hợp ta tìm được x = 1 − ; y = 1 − ; x = 3;
− y = 5 thỏa mãn và kết luận Bài 31:
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: x y 2 = 5 − 624
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2
10x + 50y + 42xy + 14x − 6y + 57  0 Lời giải a) Ta có: x y x y
2 = 5 − 624  2 + 624 = 5 (*) +Xét x = 0,ta có: y 5 = 625  y = 4
+Xét x  và x  0 ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý Vậy (x; y) = (0;4) b) Ta có: 2 2
10x + 50y + 42xy + 14x − 6y + 57  0  ( 2 2 9x + 42xy + 49y ) + ( 2 x + 14x + 49) + ( 2 y − 6y + 9) −1  0
 (3x + 7y)2 + (x + 7)2 + (y − 3)2 −1  0
 (3x + 7y)2 + (x + 7)2 + (y − 3)2  1 (3x+7y)2  0  Vì (   2 2 2 x + 7)2  0
và x,y  nên (3x + 7y) + (x +7) + (y − 3) = 0 (y−3)2  0   ( + )  = − 2 = ( + )2 = ( − )2 x 7 3x 7y x 7 y 3 = 0   y =  3 Trang 13
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0 Lời giải 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0 2
 x + xy + x − 2013x − 2013y − 2013 = 1
 x(x + y +1) − 2013(x + y +1) = 1  (x − 2013)(x + y +1) = 1 x − 2013 = 1 x = 2014   x + y + 1 = 1 y = 201 −   4     x − 2013 = 1 − x = 2012     x + y +1 = −1 y = −2014
Bài 33: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn 2
3x + 3xy −17 = 7x − 2y Lời giải Ta có: 2 2 x + xy −
= x − y xy + y = − x + x +  ( x + ) 2 3 3 17 7 2 3 2 3 7 17 3 2 y = 3
− x + 7x +17 Vì x
nguyên nên 2x + 3  0 nên ta có: 2 2 3 − x + 7x +17 3
− x − 2x + 9x + 6 +11 y = = 3x + 2 2
−x(3x + 2) + 3(3x + 2) +11 11 = = −x + 3+ 3x + 2 3x + 2
Vì x, y nguyên nên ta có 11 nguyên 11 3
Mx + 2  3x + 2 = 1  ; 11  3x + 2
Xét các trường hợp ta tìm được x = −1; y = −1; x = −3; y = 5
Bài 34: Tìm cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn phương trình: 4 2 6 3
5x +10x + 2y + 4y − 6 = 0 Lời giải 4 2 6 3
5x +10x + 2y + 4y − 6 = 0  ( 4 2 5x + x + ) + ( 6 3 10 5
2y + 4y + 2) =13  4 2 6 3
5(x + 2x +1) + 2( y + 2 y +1) = 13  2 2 3 2
5( x +1) + 2( y +1) = 13 2 x Z x +1Z Vì:    3 y Z y +1Z Mà 2 2 2
5( x +1)  13  x +1  1 Mặt khác 2
x +1  1 với mọi x  2 x +1 = 1  2 x = 0  x = 0 Với x = 0 , ta có: 3 2
5 + 2( y +1) = 13  3 2 2( y +1) = 8  3 2 ( y +1) = 4 3  y +1 = 2 3  y =1     3  y +1 = −2 3  y = 3 −
Vì y Z nên y3 = 1 y = 1
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên ( ; x y) = (0; ) 1 Trang 14
Bài 35: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
x + 8y + 4xy − 2x − 4y = 4 Lời giải
x + y + xy − x − y =  (x + y − )2 2 2 2 8 4 2 4 4 2 1 + 4y = 5 2 4y = 4 Do 
y M ( x + y − )2 2 2 4 4; 2 1  0;4y  0 x  , y nên (   x + 2y −  )2 1 = 1 y =1 y 1   =  x = 0  y =1    (   x +  )2 1 = 1  x = 2 −  y = 1 −    
thỏa mãn x, y nguyên   = −  ( yy = − x 2y  ) 1 1 2 1 1  + − =  (   x − 3  )2 =1 x = 2  x = 4 Vậy ( ; x y) (  0 ) ;1 ;( 2 − ) ;1 ;(2;− ) 1 ;(4;− ) 1 
Bài 36: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 4x 5x + = Lời giải
Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho. Với x  2 ta xét: x x Nếu     x  2 thì 3 4 + 1      5   5 
Với x  2 dễ thấy x = 0; x =1 không phải là nghiệm của phương trình
Với x  0 ta đặt x = − y thì y  0nên y 1. Ta có:  3 x   4 x   3 −y   4 −y   5 y   5 y  + =1  + =1  + =1              5   5   5   5   3   4  y y
Phương trình này vô nghiệm vì  5   5  5 5 +  + 1      3   4  3 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 37: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z (
x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có: xy = 2(x + y + z)( ) 1 và 2 2 2
x + y = z (2)
Từ (2) suy ra z = (x + y)2 2
− 2xy, thay (1) vào ta có:
z = ( x + y)2 2
− 4(x + y + z)
z + z = ( x + y)2 2 4 − 4(x + y)
z + z + = ( x + y)2 2 4 4
− 4(x + y) + 4
(z + )2 = (x + y − )2 2 2
Suy ra z + 2 = x + y − 2  z = x + y − 4;thay vào ( ) 1 ta được:
xy = 2( x + y + x + y − 4)
xy − 4x − 4y = 8 −
(x − 4)( y − 4)8 =1.8 = 2.4 Trang 15
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là:
( ;x y; z) (5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10)
Bài 38: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 + + + = 2 x + y
y + 2015 4031 x + 2016 Lời giải
+) Với a,b,c,d dương, ta có: a b c d F = + + +
b + c c + d
d + a a + ba c   b
d a (d + a) + c(b + c) b(a + b) + d (c + d ) = + + + = +     
b + c d + a   c + d a + b
(b + c)(d + a)
(c + d )(a +b)
a + c + ad + bc
b + d + ab + cd 4( 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + d + ab + ad + bc + cd )  + = 1 ( + + + ) 1 . ( + + + )
(a +b + c + d b c d a c d a b )2 2 2 4 4 (theo bất đẳng thức 1
xy  ( x + y)2) 4 Mặt khác: ( + + + + + + + )−( + + + )2 2 2 2 2 2 a b c d ab ad bc cd a b c d
= a + b + c + d − ac − bd = (a − c)2 + (b − d )2 2 2 2 2 2 2  0
Suy ra F  2 và đẳng thức xảy ra  a = ; c b = d
+)Áp dụng F  2 với a = 2016,b = x,c = y,d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 + + +  2 x + y
y + 2015 4031 x + 2016
Đẳng thức xảy ra  y = 2016, x = 2015
Bài 39: Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho 2 2
x = y + 2y +13
Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng (x + y + )
1 ( x − y − ) 1 = 12
Lập luận để có x + y +1  x − y −1và x + y +1; x − y −1là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x + y +1 12 6 4 x − y −1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 − 2 2
Mà x, y nguyên dương nên ( ; x y) = (4; ) 1
Bài 40: Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0 Lời giải 2 2 2
x + y + z − xy − 3y − 2z + 4 = 0 2  y   3 2 
  x − xy +  + ( 2 z − 2z + ) 2 1 + y − 3y + 3 = 0    4   4  2  y   x − +   (z − )2 3 1 + ( y − 2)2 = 0  2  4
Có các giá trị (x, y, z) = (1;2 ) ;1 Trang 16
Bài 41: Tìm các cặp số nguyên ( ; x y)thỏa mãn: 2 2
x + x + 3 = y Lời giải
x + x + = y x + x + = y  ( x + )2 2 2 2 2 2 3 4 4 12 4 2 1 − 4y = 1 − 1  (2x + 2y + ) 1 (2x − 2y + ) 1 = 1 − 1
2x + 2y +1=1 x = 3 −   
2x − 2y +1 = 11 − y = 3
2x + 2y +1= 1 − x = 2   
2x − 2y +1=11 y = 3 −  
2x + 2y +1 =11 x = 2   
2x − 2y +1= 1 − y = 3 
2x + 2y +1 = 11 − x = 3 −   
2x − 2y +1 =1 y = 3 −
Bài 42: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương). Ta có
xy = 2( x + y + z) (1) và 2 2 2 x + y = z (2)
Từ (2) suy ra z = ( x + y)2 2
− 2xy, thay (1) vào ta có:
z = ( x + y)2 2
− 4(x + y + z)
z + 4z = (x + y)2 − 4(x + y)  z + 4z + 4 = (x + y)2 2 2
− 4(x + y) + 4
 (z + 2)2 = (x + y − 2)2
z + 2 = x + y − 2  
z + 2 = −x − y + 2(ktm vi z  0)
z = x + y − 4; thay vào (1) ta được: xy = 2(x + y + x + y − 4)
xy − 4x − 4y = −8
 (x − 4)( y − 4) = 8 =1.8 = 2.4
Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:
( ;x y;z) (5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10)
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2
x − 4xy + 5y −16 = 0 Lời giải
x − xy + y − =  (x − y)2 2 2 2 4 5 16 0 2 =16 − y (1) Từ ( ) 1 suy ra 2 2 2
16 − y  0  y 16  y 0;4;9;1  6 Trang 17 2
*) y = 0  y = 0  x = 4  2
*) y = 4  y = 2
  x (ktm) 2
*) y = 9  y = 3
  x (ktm) 2
*) y =16  y = 4   x = 8 
Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là (4;0);( 4 − ;0);(8;4);( 8 − ; 4 − ) 2 2
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên : x + y = 3 − xy Lời giải
Ta có: ( x − y)2 2 2
 0  x + y  2xy  3 − xy  2xy xy 1
Lại có: ( x + y)2 2 2
 0  x + y  2
− xy  3 − xy  2
− xy xy  3 −
Suy ra −3  xy  1. Mà x, y   xy  3 − ; 2 − −1;0;  1
Lần lượt thử ta được ( x, y) (  2 − ; ) 1 ;(1; 2 − );(2;− ) 1 ;( 1 − ;2);(1; ) 1 là nghiệm của phương trình
Bài 45: a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
x − y + 2x − 4y −10 = 0 với x, y nguyên dương. Lời giải 2   a) Ta có: 3 3 2 3 7
y − x = 2x + 3x + 2 = 2 x +
+  0  x y (1)    4  8 2 (   x + )3 3 2 9 15
2 − y = 4x + 9x + 6 = 2x + +
 0  y x + 2 (2)    4  16 Từ ( )
1 và (2)ta có: x y x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x +1
Thay y = x +1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 −  y = 0 Vậy ( ; x y) = ( 1 − ;0) 2 2 b
x − y + x − y − =  ( 2
x + x + ) − ( 2 ) 2 4 10 0 2 1
y + 4y + 4) − 7 = 0
 (x + )2 − ( y + )2 1
2 = 7  ( x − y − )
1 ( x + y + 3) = 7 x + y + 3 = 7 x = 3
Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3  x − y −1  0    
x − y −1 =1 y =1 Vậy ( ; x y) = (3; ) 1
Bài 46: Tìm giá trị nguyên của x để A B biết 2
A = 10x − 7x − 5 và B = 2x − 3 Lời giải 2
Xét A 10x − 7x −5 7 = = 5x + 4 + B 2x − 3 2x − 3 Với 7
x  thì A B khi   7 (2x −3) 2x − 3 Mà Ư(7) =  1 − ;1;7;− 
7 nên x = −5; −2; 2;1 thì A B Trang 18
Bài 47: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên
dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có : xy = 2(x + y + z) (1) và 2 2 2
x + y = z (2)
Từ (2) suy ra z = (x + y)2 2
− 2xy, thay (1) vào ta có :
z = ( x + y)2 2
− 2xy, thay (1) vào ta có:
z = ( x + y)2 2
− 4(x + y + z)
z + 4z = ( x + y)2 2 − 4(x + y)
z + 4x + 4 = ( x + y)2 2 − 4(x + y) + 4
(z + 2)2 = (x + y − 2)2  z + 2 = x + y − 2
z = x + y − 4 , thay vào (1) ta được:
xy = 2(x + y + x + y − 4)  xy − 4x − 4y = 8 − (
x − 4).( y − 4) = 8 =1.8 = 2.4
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
( ;x y;z) (5;12;13);(12;5;13);(6;8;10);(8;6;10)
Bài 48: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
x + xy − 2012x − 2013y − 2014 = 0 . Lời giải ( 2
x − x)2 + (x − )2 2 4 2. 2 = 43  ( 2 x − x) + ( 2 4
2 x − 4x + 4) = 43;
Đặt x2- 4x = t. ĐK t  - 4
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0  (t + 7)(t – 5) = 0
 t = -7 (loại) hoặc t = 5
Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0  (x +1)(x – 5) = 0  x = 5 hoặc x = -1
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}
Bài 49: Tìm nghiệm nguyên ( ;
x y) của phương trình 2
x = y ( y + )
1 ( y + 2)( y + 3) . Lời giải 2
x = y ( y + )
1 ( y + 2)( y + 3) 2
x = y ( y + 3)( y + ) 1 ( y + 2) 2  x = ( 2 y + 3y)( 2 y + 3y + 2) Đặt 2
t = y + 3y +1 ta được 2
x = (t − )(t + ) 2 2 2 2 1
1  x = t −1  x − t = 1
−  (x − t)(x + t) = −1
Vì x, y là những số nguyên nên x − t và x + t cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau:
* TH1: x − t = 1 và x + t = 1
− . Suy ra x = 0 và t = −1. Với t = −1 thì 2 2 y + 3y +1 = 1
−  y + 3y + 2 = 0  ( y + )
1 ( y + 2) = 0  y = −1 hoặc y = −2 .
* TH2: x − t = 1
− và x + t = 1. Suy ra x = 0 và t = 1. Với t =1 thì 2 2
y + 3y +1 = 1  y + 3y = 0  y ( y + 3) = 0  y = 0 hoặc y = −3 .
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên ( ; x y) là (0; 3 − ),(0; 2 − ),(0;− ) 1 ,(0;0) Trang 19
Bài 50: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3
x + 2x + 3x + 2 = y . Lời giải 2 Ta có  3  7 3 3 2
y − x = 2x + 3x + 2 = 2 x +
+  0  x y   (1)  4  8 2  9  15 3 3 2
(x + 2) − y = 4x + 9x + 6 = 2x + +
 0  y x + 2   (2)  4  16
Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x =  1;
Từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) và (1; 2) KL nghiệm
Bài 51: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 y = − ( 6 3
2 x − x y −32) Lời giải Ta có: 2 y = 2 − ( 6 3
x − x y − 32) 6  x + ( 6 3 2
x − 2x y + y ) = 64
 (x )3 + (x − y)2 2 3 = 64 Vì 2
x N và 64 chỉ được phân tích thành 2 3 3 2
64 = 0 + 4 = 0 + 8 nên ta có: 2  2 x = 4 x = 0  x = 2; x = 2 − x = 0  hoặc    hoặc  3 2
x − y = 0   = = −  = = − ( 3 x − y) 2 = 8 y 8; y 8 y 8; y 8 Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên:
(x = 0; y = 8); (x = 0; y = 8
− ); (x = 2; y = 8); (x = 2 − ; y = 8 − )
Bài 52: : Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn: 2
y + 2xy − 5x − 6 = 0 Lời giải Ta có: 2 2 2 2
y + 2xy − 5x − 6 = 0  x + 2xy + y = x + 5x + 6 (*) 2
 (x + y) = (x + 2)(x + 3)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x + 2 = 0 x = 2 −    x 3 0  + = x = 3 −
*) Với x = −2  y = 2
*) Với x = −3  y = 3
Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; x y) = ( 2 − ;2) hoặc ( ; x y) = ( 3 − ;3) .
Bài 53: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3 Lời giải 2 Ta có: 3 7
y3 − x3 = 2x2 + 3x + 2 = 2 (x + ) + > 0 ⇒ x < y (1) 4 8 2 ( 9 15
x + 2)3− y3 = 4x2 + 9x + 6 = (2x + ) + > 0 ⇒ y < x + 2 (2) 4 16
Từ (1) và (2) ta có : x < y < x + 2, mà x, y nguyên nên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 hoặc -1.
Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2) Trang 20

Tài liệu liên quan: