TOÁN KINH TẾ
(Đạo hàm và khái niệm cận biên)
Trong các Bài tập 1 - 8, tổng doanh thu tính bằng USD và x là số đơn vị sản phẩm. Problem 1.
1. Nếu hàm tổng doanh thu cho một sản phẩm là R(x) = 4x, thì hàm doanh thu cận
biên cho sản phẩm đó là gì?
2. Hàm doanh thu cận biên này cho chúng ta biết điều gì?
Problem 2. Nếu hàm tổng doanh thu cho một sản phẩm là R(x) = 32x, thì doanh thu cận biên của sản
phẩm là bao nhiêu? Điều đó có nghĩa là gì?
Problem 3. Giả sử rằng hàm tổng doanh thu của một loại hàng hóa là R = 64x − 0, 02x2.
1. Tìm R(100) và giá trị này đại diện cho điều gì?
2. Tìm hàm doanh thu cận biên.
3. Tìm doanh thu cận biên tại x = 100 và cho biết nó dự đoán những gì về việc bán 1 đơn vị tiếp theo và 3 đơn vị tiếp theo.
4. Tìm R(101) − R(100) và giải thích giá trị này đại diện cho điều gì.
Problem 4. Giả sử rằng hàm tổng doanh thu của một loại hàng hóa là R(x) = 44x − 0, 05x2.
1. Tìm R(50) và giá trị này đại diện cho điều gì?
2. Tìm hàm doanh thu cận biên.
3. Tìm doanh thu cận biên tại x = 50 và cho biết nó dự đoán những gì về việc bán 1 đơn vị tiếp theo và 2 đơn vị tiếp theo.
4. Tìm R(51) − R(50) và giải thích giá trị này đại diện cho điều gì.
Problem 5. Giả sử rằng nhu cầu về dịch vụ truyền hình cáp địa phương được đưa ra bởi p = 120 − 0, 4x.
Trong đó, p là giá hàng tháng cho mỗi người đăng ký tính bằng USD và x (đơn vị là trăm) là số lượng người đăng ký.
1. Tìm tổng doanh thu dưới dạng một hàm của số người đăng ký (trăm).
2. Tìm số lượng người đăng ký khi công ty trả chi phí $80 mỗi tháng cho dịch vụ cáp. Sau đó tìm tổng doanh thu cho p = $80.
3. Làm thế nào công ty có thể thu hút nhiều người đăng ký hơn?
4. Tìm và giải thích doanh thu cận biên khi giá là $80 mỗi tháng. Điều này gợi ý điều gì về phí hàng
tháng cho người đăng ký?
Problem 6. Giả sử rằng trong một thị trường độc quyền, hàm cầu đối với một sản phẩm được cho bởi p = 160 − 0, 1x
trong đó x là số đơn vị và p là giá tính bằng đô la.
1. Tìm tổng doanh thu từ việc bán 500 đơn vị.
2. Tìm và giải thích doanh thu cận biên ở mức 500 đơn vị.
3. Doanh thu dự kiến từ sản phẩm thứ 501 được bán là nhiều hơn từ sản phẩm thứ 701? Giải thích.
Problem 7. Giả sử tổng doanh thu cho một sản phẩm được cho bởi R(x) = 36x 2 − 0, 01x .
1. Vẽ đồ thị hàm doanh thu cận biên cho sản phẩm này. TS. Đặng Văn Hiếu 1
2. Với giá trị nào của x thì tổng doanh thu sẽ đạt mức tối đa?
3. Doanh thu tối đa là bao nhiêu?
Problem 8. Giả sử tổng doanh thu cho một sản phẩm được cho bởi R(x) = 25x 2 − 0, 05x .
1. Vẽ đồ thị hàm doanh thu cận biên cho sản phẩm này.
2. Xác định số đơn vị phải bán để tối đa hóa tổng doanh thu.
3. Doanh thu tối đa là bao nhiêu?
Problem 9. Giả sử rằng hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = 40 + x2 đô la.
1. Tìm chi phí cận biên tại x = 5 đơn vị và cho biết điều gì được dự đoán về chi phí sản xuất thêm 1 đơn vị.
2. Tính C(6) − C(5) để tìm chi phí thực tế của sản xuất thêm 1 đơn vị.
Problem 10. Giả sử rằng hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = 300 + 6x + 0, 05x2 đô la
1. Tìm chi phí cận biên tại x = 8 đơn vị và cho biết điều này dự đoán điều gì về chi phí sản xuất thêm 1 đơn vị bổ sung.
2. Tính C(9) − C(8) để tìm chi phí thực tế của sản xuất thêm 1 đơn vị.
Problem 11. Nếu hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = x3 − 4x2 + 30x + 20 đô la. Tìm chi phí
cận biên ở x = 4 đơn vị và cho biết điều này dự đoán về chi phí sản xuất thêm 1 đơn vị và 3 đơn vị bổ sung.
Problem 12. Nếu hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = 1 x3 + 4x2 + 4x + 10 đô la. Tìm chi 90
phí cận biên ở x = 3 đơn vị và cho biết điều này dự đoán về chi phí sản xuất thêm 1 đơn vị và 2 đơn vị bổ sung.
Problem 13. Nếu hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = 300 + 4x + x2. Vẽ đồ thị hàm chi phí cận biên.
Problem 14. Nếu hàm chi phí của một loại hàng hóa là C(x) = x3 − 12x2 + 63x + 15.
Vẽ đồ thị hàm chi phí cận biên.
Trong Bài toán 15 - 18, chi phí, doanh thu và lợi nhuận được tính bằng đô la và x là số đơn vị.
Problem 15. Hàm tổng lợi nhaaun là P (x) = 5x
. Hãy tìm hàm tổng lợi nhận. Điều này có ý ngĩa − 25 gì?
Problem 16. Nếu hàm tổng lợi nhuận là P (x) = 16x
. Hãy tìm hàm tổng lợi nhận. Điều này có ý − 32 ngĩa gì?
Problem 17. Giả sử rằng hàm tổng doanh thu cho một sản phẩm là R(x) = 50x và hàm tổng chi phí là C(x) = 1900 + 30x + 0, 01x2.
1. Tìm lợi nhuận từ việc sản xuất và bán 500 các đơn vị.
2. Tìm hàm lợi nhuận cận biên.
3. Tìm MP tại x = 500 và giải thích nó dự đoán điều gì?
4. Tìm P (501) − P (500) và giải thích giá trị này đại diện.
Problem 18. Giả sử rằng hàm tổng doanh thu được cho bởi R(x) = 46x
và rằng hàm tổng chi phí được cho bởi C(x) = 100 + 30 + 0, 1x2 TS. Đặng Văn Hiếu 2
1. Tìm P (100) các đơn vị.
2. Tìm hàm lợi nhuận cận biên.
3. Tìm MP tại x = 500 và giải thích nó dự đoán điều gì?
4. Tìm P (101) − P (100) và giải thích giá trị này mà nó đại diện.
Problem 19. (a) Vẽ đồ thị hàm lợi nhuận cận biên cho hàm lợi nhuận P (x) = 30x − x2 − 200, trong đó
P (x) tính theo hàng nghìn đô la và x là hàng trăm đơn vị.
(b) Mức sản xuất và bán hàng nào sẽ cho lợi nhuận cận biên bằng 0?
(c) Ở mức sản xuất và bán hàng nào thì lợi nhuận sẽ ở mức tối đa?
(d) Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Problem 20. (a) Vẽ đồ thị hàm lợi nhuận cận biên cho hàm lợi nhuận P (x) = 16x − 0, 1x2 − 100, trong
đó P (x) được tính bằng trăm đô la và x là hàng trăm đơn vị.
(b) Mức sản xuất và bán hàng nào sẽ cho lợi nhuận cận biên bằng 0?
(c) Ở mức sản xuất và bán hàng nào thì lợi nhuận sẽ ở mức tối đa?
(d) Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Problem 21. Giá của sản phẩm trên thị trường cạnh tranh là $300. Nếu chi phí trên một đơn vị sản
xuất sản phẩm là 160 + 0, 1x đô la, trong đó x là số đơn vị sản xuất mỗi tháng. Công ty nên sản xuất và
bán bao nhiêu sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận của nó?
Problem 22. Chi phí cho một đơn vị sản xuất một sản phẩm là 60 + 0, 2x đô la, trong đó x đại diện
cho số lượng đơn vị được sản xuất mỗi tuần. Nếu giá cân bằng của trường cạnh tranh là $220. Hỏi bao
nhiêu đơn vị phải mà công ty sản xuất và bán hàng tuần để tối đa lợi nhuận?
Problem 23. Giả sử chi phí hàng ngày cho việc sản xuất một đơn vị một sản phẩm bởi công ty ACE là
10 + 0, 1x đô la và giá trên thị trường cạnh tranh là $70. Hỏi lợi nhuận hàng ngày tối đa mà Công ty Ace
có thể mong đợi là bao nhiêu?
Problem 24. Công ty bánh kẹo Mary Ellen sản xuất sô cô la với chi phí trên mỗi đơn vị là 0, 40 + 0, 005x
đô la, trong đó x là số lượng được sản xuất. Nếu giá trên thị trường cạnh tranh cho một bánh kiểu này là
$10,00, thì công ty nên sản xuất bao nhiêu để tối đa lợi nhuận của họ? Tài liệu
[1] Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, [2019], Mathematical Applications for the Management,
Life, and Social Sciences, 12th ed., Cengage Learning. TS. Đặng Văn Hiếu 3