Đạo hàm và vi phân - Khai Triển Taylor, Công Thức Leibniz, Ứng Dụng Kinh Tế | Toán cao cấp 1 | Đại học Tôn Đức Thắng

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I. Khai triển T aylor – McLaurin.
Khai triển hàm số 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑥0 𝑓′(𝑥0) 𝑓′ (𝑥0) 𝑓(𝑛)(𝑥0) 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥 (𝑥 − 𝑥 (𝑥 − 𝑥 1! 0) + 2! 0)2 + ⋯ + 𝑛! 0)𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛)
Nếu khai triển tại 𝑥 = 0 → Khai triển McLaurin.
Một số khai triển thường dùng:
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 1! 2! 𝑛!
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 + 𝑥5 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑥2𝑛−1 + 𝑜(𝑥2𝑛) 1! 3! 5! (2𝑛−1)!
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑥2 + 𝑥4 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥2𝑛 + 𝑜(𝑥2𝑛+1) 2! 4! (2𝑛)!
1 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 − ⋯ + (−1)𝑛𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 1+𝑥
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 + 𝑥3 − ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑜(𝑥𝑛) 2 3 𝑛
Ví dụ: Khai triển 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2 tại 𝑥 = 1 đến 𝑥3 𝑓′(1) 𝑓′ (1) 𝑓′′′(1) 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) + (𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2 + (𝑥 − 1)3 + 𝑜(𝑥3) 1! 2! 2!
= 𝑒 + 2𝑒 (𝑥 − 1) + 6𝑒 (𝑥 − 1)2 + 20𝑒 (𝑥 − 1)3 + 𝑜(𝑥3) 1! 2! 3!
= 𝑒 + 2𝑒(𝑥 − 1) + 3𝑒(𝑥 − 1)2 + 10𝑒 (𝑥 − 1)3 + 𝑜(𝑥3) 3
= 𝑒 (10 𝑥3 − 7𝑥2 + 6𝑥 − 7 ) + 𝑜(𝑥3) 3 3
*Ứng dụng: Tính xấp xỉ giá trị.
Ví dụ: Tính xấp xỉ √2
Xét hàm số 𝑓(𝑥) = √𝑥
Tại 𝑥0 = 1 thì 𝑓(1) = 1 và 𝑓′(𝑥) = 1 2
Ta có: 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0) = 𝑓(1) + (𝑥 − 1)𝑓′(1)
với 𝑥 = 2 → 𝑓(2) ≈ 𝑓(1) + (2 − 1)𝑓′(1) = 1,5
II. Công thức Leibniz tính đạo hàm cấp cao Công thức :
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)](𝑛) = ∑ 𝑛 𝐶 𝑘 . 𝑘=0 𝑛
𝑔(𝑥)(𝑛−𝑘). 𝑓(𝑥)(𝑘)
Tip chọn 𝑔(𝑥): Ưu tiên chọn hàm đa thức vì nó có giới hạn số lượng cần đạo hàm Ví dụ:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 2
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 𝑓′ (𝑥) = 6𝑥 + 6 𝑓′′′(𝑥) = 6
Nhận thấy hàm 𝑓(𝑥) chỉ cần đạo hàm 3 lần để có hằng số, 𝑓(4)(𝑥) = 0.
Ví dụ: Đạo hàm hàm số 𝑦 = (𝑥3 + 3𝑥2 + 2)𝑒2𝑥 đến cấp 3. 3
𝑦′′′ = [(𝑥3 + 3𝑥2 + 2)𝑒2𝑥]′′′ = ∑ 𝐶 𝑘 3
. (𝑒2𝑥)(3−𝑘). (𝑥3 + 3𝑥2 + 2)(𝑘) 𝑘=0 = 𝐶 0 1 2 3
3 . 23𝑒2𝑥(𝑥3 + 3𝑥2 + 2) + 𝐶 ) 3
. 22𝑒2𝑥(3𝑥2 + 6𝑥 + 𝐶3 . 2𝑒2𝑥(6𝑥 + 6) + 𝐶3 𝑒2𝑥. 6
= 8𝑒2𝑥(𝑥3 + 3𝑥2 + 2) + 36𝑒2𝑥(𝑥2 + 2𝑥) + 36𝑒2𝑥(𝑥 + 1) + 6𝑒2𝑥
= 𝑒2𝑥(8𝑥3 + 60𝑥2 + 72𝑥 + 58)
III. Ứng dụng của đạo hàm cấp 1 vào các hàm kinh tế. 1. à
H m chi phí cận biên. 𝒚 = 𝒇(𝒙)
* Các hàm thường dùng (Sẽ dùng trong cả các môn tiếp theo). P: Giá cả (Price) L: Lao động (Labour) K: Vốn (Capital)
QS: Hàm cung (Quantity Supplied)
QD: Hàm cầu (Quantity Demanded) U: Hàm lợi ích (Utility)
TC: Hàm (tổng) chi phí (Total Cost)
TR: Hàm (tổng) doanh thu (Total Revenue)
𝜋 = TR – TC: Hàm lợi nhuận (Profit)
Y: Hàm thu nhập quốc dân (National Income)
C: Hàm tiêu dùng (Consumption)
S = Y – C: Hàm tiết kiệm (Saving)
I: Hàm đầu tư (Investment)
* Hàm cận biên có kí hiệu: M#
Ví dụ: MR là hàm cận biên của hàm doanh thu TR
MC là hàm cận biên của hàm chi phí TC
* Công thức: 𝑀# = # ′hay tính đạo hàm của hàm kinh tế sẽ ra hàm cận biên.
Ví dụ: 𝑀𝑅 = 𝑇𝑅′, 𝑀𝐶 = 𝑇𝐶′
* Ý nghĩa: Khi tăng (giảm) giá trị của x 1 đơn vị thì giá trị y tương ứng sẽ tăng (giảm) 𝑥0 đơn vị.
Ví dụ: Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm của nhà sản xuất độc quyền với giá p tính
bằng USD: 𝑄 = 500 − 0,2𝑝
Hãy tính MR tại mức sản lượng 𝑄 = 90 và giải thích ý nghĩa.
𝑄 = 500 − 0,2𝑝 → 𝑝 = 2500 − 5𝑄
𝑇𝑅(𝑄) = 𝑝𝑄 = 𝑄(2500 − 5𝑄) = 2500𝑄 − 5𝑄2
𝑀𝑅(𝑄) = 𝑇𝑅′(𝑄) = 2500 − 10𝑄
Khi 𝑄 = 90 → 𝑀𝑅 = 2500 − 10.90 = 1600
Ý nghĩa: Tại 𝑄 = 50, khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì lượng doanh thu tăng thêm khoảng 1600USD.
2. Hệ số co dãn của hàm kinh tế.
* Công thức: 𝜀 = 𝑓′(𝑥). 𝑥 𝑓(𝑥)
* Ý nghĩa :Tại 𝑥 = 𝑥0, nếu x tăng (giảm )thêm 1% thì 𝑓(𝑥) tăng (giảm) khoảng 𝜀%.
Ví dụ: Cho biết hàm cầu đối với một loại hàng hóa như sau: 𝑄 = 3200 − 0,5𝑝2
Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá 𝑝 = 20.
𝜀(𝑝) = 𝑄′(𝑝) . 𝑝 = −𝑝2 𝑄(𝑝) 3200−0,5𝑝2 Khi 𝑝 = 20 thì 𝜀(20) = −202 = − 1 = −0,1429 3200−0.5.202 7
Ý nghĩa: Tại mức giá 𝑝 = 20, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm khoảng 0,1429%