Đề cương giữa học kỳ 2 Toán 11 năm 2021 – 2022 trường THPT Xuân Đỉnh – Hà Nội

Nhằm giúp các em học sinh lớp 11 ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi kiểm tra chất lượng giữa HK2 môn Toán 11 sắp tới, giới thiệu đến các em đề cương giữa học kỳ 2 Toán 11 năm học 2021 – 2022 trường THPT Xuân Đỉnh – Hà Nội.

38 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề giữa HK2 Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

38 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
TRƯỜNG THPT YÊN HÒA
TỔ: TOÁN TIN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II,
NĂM HỌC 2021 - 2022
MÔN TOÁN - KHỐI 11
CẤU TRÚC
PHẦN TT
NỘI DUNG CÁC DẠNG TOÁN Trang
ĐẠI SỐ
1
DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG
CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp chứng minh quy nạp.
2 – 11
Xác định một dãy số: Tìm các số hạng của
một dãy số cho trước, tìm các số hạng của
cấp số nhân, cấp số cộng.
Xét tính tăng giảm và tính bị chặn của một
dãy số.
Xét một dãy số có là một cấp số cộng hoặc
cấp số nhân hay không. Xét xem một số cho
trước có là một số hạng của cấp số cộng
hoặc cấp số nhân không.
Tìm các số hạng đầu và công sai của cấp
số cộng, tìm số hạng đầu và công bội của
cấp số nhân.
Giải các bài toán sử dụng tính chất của cấp
số cộng và cấp số nhân.
Giải các bài toán thực tế áp dụng của cấp
số cộng, cấp số nhân.
2
GIỚI HẠN
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Tìm giới hạn của dãy số.
11 –
20
Tìm giới hạn của hàm số.
Giải quyết các bài toán áp dụng giới hạn.
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,
xét tính liên tục của hàm số trên một
khoảng.
Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một
điểm hoặc liên tục trên một khoảng.
Áp dụng định lý về hàm số liên tục để xét
số nghiệm của phương trình.
Các bài toán áp dụng.
3 ĐẠO HÀM.
Tìm đạo hàm tại một điểm của hàm số.
Tìm đạo hàm trên một khoảng của hàm số.
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm.
Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số.
Bài toán tiếp tuyến của đạo hàm.
Bài toán ứng dụng thực tế của đạo hàm.
Một số bài toán khác về đạo hàm của hàm
số.
Trang 2
HÌNH
HỌC
4
VÉC TƠ TRONG
KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG
GÓC TRONG KHÔNG
GIAN.
Các bài toán về véc tơ trong không gian.
20 -
27
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng.
27 -
38
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Bài toán về góc: Góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng; góc giữa hai mặt phẳng.
Bài toán về khoảng cách: Khoảng cách từ
một điểm đến 1 đường thẳng; khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng
cách từ một đường thẳng đến một mặt
phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng;
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
Bài toán về giao điểm của một đường thẳng
và một mặt phẳng; bài toán về giao tuyến
của hai mặt phẳng; bài toán về thiết diện.
Một số bài toán áp dụng quan hệ vuông góc
trong không gian.
PHẦN I. GIẢI TÍCH.
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
I. Lý thuyết.
1. Kiến thức.
- Trình bày được phương pháp quy nạp toán học.
- Nêu được khái niệm dãy số; cách cho dãy (công thức TQ, hệ thức truy hồi); tính tăng, giảm, bị
chặn.
- Trình bày được khái niệm cấp số cộng, tính chất, số hạng tổng quát u
n
, tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng S
n
.
- Trình bày được khái niệm cấp số nhân, tính chất, số hạng tổng quát u
n
, tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số nhân S
n
.
2. Kỹ năng.
- Cách giải một số bài toán đơn giản bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số đơn giản. Xét được tính tăng, giảm; bị chặn
của một dãy số đơn giản cho trước.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u
1
, u
n
, n, d, S
n
.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u
1
, u
n
, n, q, S
n
.
II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
1) Dãy số
Câu 1. Cho mệnh đề “
1 *
2 2 3 * , 2,
n
n n n
”. Để chứng minh mệnh đề đúng bằng
phương pháp quy nạp, bước đầu tiên cần làm là kiểm tra
*
đúng với
n
bằng bao nhiêu ?
A.
2
n
B.
2
n
. C.
0
n
. D.
3
n
.
Trang 3
Câu 2. Cho dãy số
n
u
, biết
1
1 1
n
n
u n
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
8
3
u
. B.
8
3
u
. C.
8
8
u . D.
8
8
u
.
Câu 3. Cho dãy số
n
u
có số hạng tổng quát
*
1
,
2
n
n
u n N
n
. Số hạng thứ
100
của dãy số là
A.
100
33
.
34
u
B.
100
37
.
34
u
C.
100
39
.
34
u
D.
100
35
.
34
u
Câu 4. Cho dãy số
( )
n
u
được xác định như sau:
1
2 1
n
n
u
n
. Tìm số hạng thứ 3 của dãy số đã
cho.
A.
3
. B.
5
3
. C.
1
. D.
7
3
.
Câu 5. Số
7922
là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số
n
u
, biết
2
1
n
u n
A.
79
. B.
69
. C.
89
. D.
99
Câu 6. Cho dãy số
n
u
thỏa mãn
1
1
1
3
1
; n 1
3
n
n
u
n u
u
n
.
Có bao nhiêu số nguyên dương
n
thỏa mãn
1
2020
n
u
A.
0
B.
9
C. vô số D.
5
Câu 7. Cho dãy số
n
u
với
3
n
n
n
u
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Số hạng thứ
1
n
của dãy số là
1
1
3
n
n
n
u
. B. Số hạng thứ
1
n
của dãy số là
1
1
1
3
n
n
n
u
.
C. Số hạng thứ
1
n
của dãy số là
1
1
1
3
n
n
n
u
. D. Số hạng thứ
1
n
của dãy số là
1
1
3
n
n
n
u
Câu 8. Cho dãy số
1
1
4
n n
u
u u n
. Tìm số hạng thứ
5
của dãy số.
A.
16
. B.
14
. C.
12
. D.
15
.
Câu 9. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1 2
1
u u
và
1 2
n n n
u u u
, với mọi
3
n
. Số hạng thứ 4
của dãy có giá trị là
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 10. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A.
2
n
u n
. B.
2 3
1
n
n
u
n
. C.
3
1
n
u n
. D.
2
n
u n
.
Câu 11. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm?
A. Dãy
n
a
, với
1
2
n
n
a
. B. Dãy
n
b
với
2
1
n
n
b
n
.
C. Dãy
n
c
, với
3
1
1
n
c
n
. D. Dãy
n
d
, với
3.2
n
n
d
.
Trang 4
Câu 12. Cho dãy số
n
u
, biết
*
2 2,
n
u a n a n
. Dãy số
n
u
là dãy tăng khi và chỉ
khi
A.
2
a
. B.
2
a
. C.
2
a
. D.
2.
a
Câu 13. Trong các dãy số
n
u
cho bởi số hạng tổng quát
n
u
sau, dãy số nào là dãy số tăng
A.
2 1
1
n
n
u
n
. B.
1
n
u
n
. C.
5
3 1
n
n
u
n
. D.
1
2
n
n
u .
Câu 14. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn trên?
A.
,
n n
u u n n N
. B.
, 2 1
n n
u u n n N
.
C.
2
,
n n
u u n n N
. D.
2 3
,
4
n n
n
u u n N
n
.
Câu 15. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn dưới?
A.
,
n n
u u n n
. B.
2
,
n n
u u n n
.
C.
, 1
n n
u u n n
. D.
, 2
n n
u u n n
.
Câu 16. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn?
A.
*
,
1
n n
n
u u n
n
. B.
*
, 1
n n
u u n n
.
C.
*
,
n n
u u n n
. D.
2 *
,
n n
u u n n
.
Câu 17. Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
9 2
n
u n
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
( )
n
u
bị chặn. B.
( )
n
u
tăng.
C.
( )
n
u
giảm và bị chặn dưới. D.
( )
n
u
giảm và bị chặn trên.
Câu 18*. Cho dãy số
n
u
với
1
2
1
1
n n
u
u u n
Số hạng tổng quát u
n
của dãy số là số hạng nào
dưới đây?
A.
1 2 1
1 .
6
n
n n n
u
B.
1 2 2
1 .
6
n
n n n
u
C.
1 2 1
1 .
6
n
n n n
u
D.
1 2 2
1 .
6
n
n n n
u
Câu 19*. Cho dãy số
( )
n
u
thỏa mãn
2
( 3 2) 1
n
n n u
với
*
x
và dãy số
( )
n
v
thỏa mãn
1 1
*
1 1
0,
n n n
v u
v u v n
. Biết số hạng tổng quát
n
v
được biểu diễn dưới dạng
.
n
n a
v
b n c
với
, ,a b c
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
T a b c
A.
30
T
. B.
20
T
. C.
20
T
. D.
21
T
.
Câu 20*. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
3 *
1
1
,
n n
u
u u n n
. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao
cho
1 2039190
n
u
là
A.
2017.
n
B.
2019.
n
C.
2020.
n
D.
2018.
n
2) Cấp số cộng.
Câu 21. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
Trang 5
A.
1,2,4,8,16,...
. B.
1,3,9, 27,81,...
.
C.
2,5,8,11,14,17,...
. D.
1, 5, 25, 125, 625,...
.
Câu 22. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
Câu 23. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu
1
u
, công sai
d
,
2
n
?
A.
1n
u u d
. B.
1
1
n
u u n d
. C.
1
1
n
u u n d
. D.
1
1
n
u u n d
.
Câu 24. Cho một cấp số cộng
1
1 1
,
2 2
u d
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Dạng khai triển:
1 1
;0;1; ;1;...
2 2
. B. Dạng khai triển:
1 1 1
;0; ;0; ;...
2 2 2
.
C. Dạng khai triển:
1 3 5
;1; ;2; ;...
2 2 2
. D. Dạng khai triển:
1 1 3
;0; ;1; ;...
2 2 2
.
Câu 25. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng.
A.
2
n
u n
. B.
1 .
n
n
u n
. C.
2
n
u n
. D.
3
n
n
n
u
.
Câu 26. Cho cấp số cộng
n
u
có
1 5
2; 14
u u
. Công sai của cấp số cộng đã cho là
A.
4
d
. B.
12
d
. C.
7
d
. D.
3
d
.
Câu 27. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
3
u
và công sai
2
d
. Số hạng tổng quát
n
u
của cấp số
cộng là
A.
2 5
n
u n
. B.
3 5
n
u n
. C.
2 3
n
u n
. D.
3 2
n
u n
.
Câu 28. Cho cấp số cộng
n
u
có
9
47
u
, công sai
5
d
. Số
10092
là số hạng thứ mấy của cấp
số cộng đó?
A.
2019
. B.
2018
.
C.
2016
. D.
2017
.
Câu 29. Cho cấp số cộng
n
u
với
1
3
u
và
10
21
u
. Tính giá trị
4
u
?
A.
9
. B.
3
. C.
18
. D.
10
.
Câu 30. Một cấp số cộng có hai số hạng đầu tiên lần lượt là
1
và
4
, hỏi số hạng thứ
5
bằng bao
nhiêu?
A.
13
. B.
16
. C.
7
. D.
10
.
Câu 31. Cho 3 số
,3,7
x
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó giá trị của
x
là
A.
4
x
. B.
10
x
. C.
4
x
. D.
1
x
.
Câu 32. Biết bốn số
5; ;15;
x y
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của
3 2
x y
bằng
A.
30
. B.
50
. C.
80
. D.
70
.
Câu 33. Cho cấp số cộng
n
u
có
10 14
6,u 18
u
. Tổng của số hạng đầu
1
u
và công sai
d
của
cấp số cộng
n
u
là
A.
24
. B.
24
. C.
18
D.
17
Trang 6
Câu 34. Cho cấp số nhân
n
u
với công bội nhỏ hơn 2 thỏa mãn
9 6
1 7
8
195
u u
u u
. Tính tổng 11 số
hạng đầu của cấp số nhân này.
A.
195
. B.
19682
. C.
6141
. D.
3069
.
Câu 35. Cho cấp số cộng
n
u
có
1
2
u
và công sai
0
d
. Biết
1 4 16
, ,
u u u
lập thành một cấp số
nhân. Tính
10
u
.
A.
10
10
u
. B.
10
16
u
. C.
10
18
u
. D.
10
20
u
.
Câu 36. Cho cấp số cộng
n
u
thỏa mãn
4 6
3 9
26
2 11
u u
u u
. Tính tổng
2020
S
.
A.
2020
12239180
S
. B.
2020
6119590
S
. C.
2020
6118580
S
. D.
2020
4088480
S
.
Câu 37. Cho cấp số cộng
n
u
với
1 2
11; 13
u u
. Tính tổng
1 2 2 3 99 100
1 1 1
....S
u u u u u u
.
A.
9
209
S
. B.
10
211
S
. C.
10
209
S
. D.
9
200
S
.
Câu 38. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là . Gọi là nửa chu vi của tam giác. Biết
dãy số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác
đó
A. . B. . C. . D. .
Câu 39**. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước.
Biết giá của mét khoan đầu tiên là
80.000
đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan
tăng thêm
5.000
đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống
50
m
mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A.
4.000.000
đồng. B.
10.125.000
đồng. C.
52.500.000
đồng. D.
52.000.000
đồng.
Câu 40**. Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung
vào ngày
01
tháng
01
năm
2015.
Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này
quyết định dùng
122550
đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự
tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có
4901
đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi
100
đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?
A.
54
. B.
50
. C.
49
. D.
55
.
3) Cấp số nhân
Câu 41. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A.
1;2;3;4;5
. B.
1; 2;4;8;16
. C.
1; 1;1; 1;1
. D.
1; 2;4; 8;16
.
; ;
a b c
p
; ; ;
a b c p
4
5
3
4
5
6
3
5
Trang 7
Câu 42. Trong các dãy số
n
u
cho bởi số hạng tổng quát
n
u
sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A.
7 3
n
n
u
. B.
7.3
n
n
u
. C.
7
3
n
u
n
. D.
7 3
n
u n
.
Câu 43. Cho cấp số nhân
n
u
, biết
1
81, 9
n n
u u
. Lựa chọn đáp án đúng.
A.
1
9
q
. B.
9
q
. C.
1
9
q
. D.
9
q
.
Câu 44. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số
n
a
, với
3 2,
n
a n n
. B. Dãy số
n
b
, với
1
,
2 1
n
n
b n
.
C. Dãy số
n
c
, với
2.3 ,
n
n
c n
. D. Dãy số
n
d
, với
2 5 ,
n
n
d n
.
Câu 45. Cho cấp số nhân
n
u
với
1 6
2, 486
u u
. Công bội của cấp số nhân
n
u
là
A.
1
3
q
. B.
1
3
q
. C.
3
q
. D.
3
q
.
Câu 46. Cho cấp số nhân
n
u
biết
3
n
n
u
. Công bội
q
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Câu 47. Cho cấp số nhân
n
u
với
1
2
u
và
2
q
. Tính số hạng thứ 2020.
A.
2020
2
. B.
2021
2
. C.
2022
2
. D.
2019
2
.
Câu 48. Cho cấp số nhân
n
u
có công bội
0
q
và
2 6
1
8,
2
u u
. Tìm
1
u
.
A.
1
2
. B.
16
. C.
1
2
. D.
16
.
Câu 49. Cho cấp số nhân
n
u
với
1
1
u
và
13
4096
u
. Tính
7
u
.
A.
64
. B.
62
. C.
66
. D.
65
.
Câu 50. Cho dãy số:
1; ; 0,36
x
. Tìm
x
để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
A.
0,18
x
. B.
0,06
x
.
C. Không có giá trị nào của
x
. D.
0, 6
x
.
Câu 51. Có bao nhiêu cấp số nhân gồm bốn phần tử mà tổng của chúng bằng 45 và số hạng thứ
tư bằng bốn lần số hạng thứ 2?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số nhân:
3 2 2
7 2 6 8 0
x x m m x
A.
1
m
hoặc
7
m
. B.
1
m
hoặc
7
m
. C.
1
m
. D.
7
m
.
Câu 53. Tính tổng vô hạn sau:
2
1 1 1
1 ... ...
2
2 2
n
S
A. 4. B.
1
1
1
2
.
1
2
1
2
n
. C. 2. D.
2 1
n
.
Câu 54. Cấp số nhân 5; 10; …; 1280 có bao nhiêu số hạng?
A. 9 B. 7 C. 8 D. 10
Trang 8
Câu 55. Cho cấp số nhân
n
u
có
2
2
u
và
5
54
u
. Tính tổng
1000
số hạng đầu tiên của cấp
số nhân đã cho.
A.
1000
1000
3 1
2
S
. B.
1000
1000
1 3
4
S
. C.
1000
1000
1 3
6
S
. D.
1000
1000
3 1
6
S
.
Câu 56. Cho
n
u
là cấp số nhân, đặt
1 2
...
n n
S u u u
. Biết
2 3
4, 13
S S
và
2
0
u
, giá trị
của
6
S
bằng
A.
481
64
. B.
181
16
. C.
35
16
. D.
1 2 1
.
Câu 57. Biết tổng
1 1 1
2 ... ...
3 9
3
n
a
S
b
(với
,b ;
a
a
b
là phân số tối giản). Tính tích
.
a b
A.
9
B.
60
C.
7
D.
10
Câu 58*. Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
3
2 1, 1
n n
u
u u n
. Đặt
1 2 3
...
n n
S u u u u
,
1
n
.Tính
2020
S
.
A.
2018
2020
1
2024
2
S
. B.
2019
2020
1
2020
2
S
.
C.
2020
2020
1
2024
2
S
. D.
2018
2020
1
2020
2
S
.
Câu 59**. Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là
50000
đồng
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm
7%
so với giá của mét khoan
ngay trước đó. Tính số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được
50
m
giếng
gần bằng số nào sau đây?
A.
20326446
. B.
21326446
. C.
22326446
. D.
23326446
.
Câu 60**. Năm 2020, một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 800.000.000 đồng và dự định
trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2% giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định
đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng
nghìn)?
A. 720.000.000 đồng. B. 723.137.000 đồng. C. 700.674.000 đồng. D. 737.895.000 đồng.
B. Bài tập tự luận.
Bài 1. Chứng minh rằng băng phương pháp quy nạp toán học với các đẳng thức sau:
a)
2 2 2 2
1 2 1
1 2 3 ...
6
n n n
n
.
b)
2
1.4 2.7 ... (3 1) 1 ( 1)
n n n n n
c)
2
1.2 2.5 3.8 ... . 3 1 1
n n n n với mọi n dương.
Bài 2. Cho dãy số
n
u
với
1
1
1
2
n
n
u
u
u
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
Trang 9
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số.
Bài 3. Dãy số
n
u
được xác định bằng công thức
1
3 '
1
1
1
n n
u
n
u u n
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
Bài 4. Cho dãy số
n
u
, biết
2
1 1
3; 1
n n
u u u
với
1
n
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát
n
u
và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Bài 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số
n
u
sau:
a)
2
1
n
n
n
u
n
b)
1
1
2
3 1
, 2
4
n
n
u
u
u n
Bài 6. Xét tính bị chặn của dãy số sau:
a)
n
u
biết
4 5
.
1
n
n
u
n
b)
n
u
, biết
2
3 1
1
n
n n
u
n
c)
n
u
biết
1.3.5... 2 1
2.4.6.2
n
n
u
n
Bài 7*. Cho
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 4 8
2
n
n
S
. Tính S
10
.
Bài 8. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
a) Dãy số
n
u
với
2020 2021.
n
u n
b) Dãy số
n
u
với
2 5.
n
u n
c) Dãy số
n
u
với
2
1.
n
u n n
d) Dãy số
n
u
với
1 3 .
n
n
u n
Bài 9. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó
a)
1
1
3
9
n
n
u
u
u
b)
1
2
1
2
n n
u
u u
Bài 10*. Cho dãy số
n
u
được xác định bởi
1
1
2
, 1
4 9
n n
u
n
u u
. Chứng minh rằng dãy số
n
v
xác định bởi
3, 1
n n
v u n
là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp
số nhân đó
Bài 11. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa mãn:
a)
1 2 3
2 2 2
1 2 3
9
.
35
u u u
u u u
b)
1 5
4
2 0
14
u u
S
c)
12
18
34
.
45
S
S
d)
4
1 2 3 4
20
.
1 1 1 1 25
24
S
u u u u
Bài 12. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết
a)
1 5
2 6
51
102
u u
u u
b)
2
3
6
43
u
S
c)
5 2
6 4
36
48
u u
u u
Trang 10
Bài 13. Cho cấp số nhân
n
u
có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn
1 2 3
1 3
31
26
u u u
u u
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365?
c) Số
390625
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Bài 14.
a) Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120.
b) Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng
,
n
u
biết rằng
5
9
19
.
35
u
u
Bài 15. Cho các số dương a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng
1 1 1
; ;
b c c a a b
theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng.
Bài 16. Tìm x, y biết
5 ; 2 3 ; 2
x y x y x y
theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số
2 2
1 ; 1; 1
y xy x
theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Bài 17. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh
a)
3 3
ab bc ca abc a b c
b)
2
2 2 2 2
a b b c ab bc
Bài 18**.
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Tìm
số đo của góc thứ nhất.
b) Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng
thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
c) Ba số
; ;
x y z
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội
q
khác 1; đồng thời các số
;2 ;3
x y z
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của
q
.
d) Cho ba số
, ,
a b c
là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng số thứ nhất
thêm 1, tăng số thứ 2 thêm 1 và tăng số thứ 3 thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một
cấp số nhân. Tính
a b c
Bài 19.
a) Tìm m để phương trình
2
4 2
20 1 0
x x m
có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
b) Tìm giá trị của m để phương trình
2
2 3 2 0
x x x m
có 3 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2.
Bài 20. Tìm m để phương trình
3 2
3 1 5 4 8 0
x m x m x
(1) có 3 nghiệm lập thành một
cấp số nhân
Bài 21. Chứng minh rằng: Nếu phương trình
3 2
- - 0
x ax bx c
có ba nghiệm lập thành cấp số
cộng thì
3
9 2 27 .
ab a c
Bài 22. Tính các tổng sau
a)
2 3
1 1 1 1
...
2
2 2 2
n
n
S
b)
2 2 2
1 1 1
3 9 ... 3
3 9
3
n
n
n
S
Trang 11
c)
n soá 1
1 11 111 ... 111...1
n
S
d)
n soá 6
6 66 666 ... 666...6
n
S
Bài 23**. Cho hình vuông
1
C
có cạnh bằng a. Người ta chia
mỗi
cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm
chia một cách thích hợp để có hình vuông
2
C
như hình vẽ. Từ
hình vuông
2
C
lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các
hình vuông
1 2 3
, , ,...,
n
C C C C
. Gọi
i
S
là diện tích của hình vuông
1,2,3,...
i
C i
. Đặt
1 2 3
... ...
n
T S S S S
Biết
32
3
T
, tìm giá trị của a.
Bài 24*. Cho
2 2
1
; ;
2
x y
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2
3 .
P xy y
Chương 4: Giới hạn
I. Lý thuyết.
1. Kiến thức.
- Nêu được khái niệm giới hạn của dãy số (qua ví dụ). Biết các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy
số. Các qui tắc tìm giới hạn vô cực. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
- Nêu được khái niệm giới hạn của hàm số, giới hạn một bên. Ghi nhớ và vận dụng được các định
lý về giới hạn hữu hạn của hàm số. Các dạng giới hạn vô định
- Nêu được khái niệm hàm số liên tục.Định lí về tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục. Tính
liên tục hàm đa thức, phân thức hữu tỷ. Định lí (giá trị trung gian) và ý nghĩa hình học.
2. Kỹ năng.
- Sử dụng các kiến thức trên tìm giới hạn của dãy số. Tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
- Trong một số trường hợp đơn giản, tính được:
+) Giới hạn của hàm số tại một điểm;Giới hạn một bên; Giới hạn của hàm số tại
.
+) Giới hạn dạng
0
0
;
;
; 0.
.
- Ứng dụng các định lí nói trên xét tính liên tục của một hàm số đơn giản. Chứng minh một
phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian.
II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
4) Giới hạn dãy số
Câu 61. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy có giới hạn
0
?
A.
3
2
2
n
n n
u
n
. B.
2
2
2 1
2 3
n
n
u
n n
. C.
2
2 3
2 1
n
n n
u
n n
. D.
2
2
3
1
n
u
n
.
Câu 62. Cho dãy
n
u
có
lim 3
n
u
, dãy
n
v
có
lim 5
n
v
. Khi đó
lim . ?
n n
u v
A. 15. B. 8. C. 5. D. 3.
Trang 12
Câu 63. Cho
lim 0
n
u a
,
lim 0
n
v
,
0,
n
v n
. Giới hạn
lim
n
n
u
v
bằng?
A. 0. B.
. C.

. D.
.
Câu 64. Tính
cos
lim
n
n
.
A.
1
. B.
0
. C.
. D. Không tồn tại
Câu 65. Cho
lim 3
n
u
;
lim 2
n
v
. Khi đó
lim
n n
u v
bằng
A.
5
. B.
1
. C.
5
. D.
1
.
Câu 66. Cho
lim 5, lim 13
n n
u v
và
lim 2007
n n
u kv
. Khi đó
k
bằng
A.
2002
5
. B.
398
. C.
2007
13
. D.
154
.
Câu 67. Tính giới hạn sau đây
2
3
2 1
lim
3 3
n
n n
.
A.
1
3
. B.
2
. C.
0
. D.
.
Câu 68. Tính
2 3.5
lim
4.3 5
n n
n n
.
A.
3
4
. B.
3
. C.
1
4
. D.
2
5
.
Câu 69. Dãy nào sau đây có giới hạn khác
?
A.
2020
2019
n
. B.
n
. C.
2019
2018
n
. D.
2020
1
n
.
Câu 70. Cho
,
a b
là các số thực thỏa mãn
3 2
2
2 4
lim 1.
1
an bn n
n
Tổng
2
a b
bằng
A.
4.
B.
1.
C.
3.
D.
5.
Câu 71. Biết
2 2
0
lim 4 5 2020 4 3 2019
n n n n a
. Giá trị biểu thức
0
0
2
1
a
T
a
bằng
A.
3
2
T
. B.
5
3
T
. C.
2
T
. D.
4
3
T
.
Câu 72. Biết giới hạn
2 2
lim 3 2
a
n n n
b
với
,a b
và
a
b
là phân số tối giản. Khi đó,
giá trị
2
a b
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
5
. D.
8
.
Câu 73*. Tính giới hạn:
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
.
A.
1
4
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
2
.
Câu 74*. Tính
2 2 2 2
1 2 3 2 4
lim ...
4 4 4 4
n
n n n n
.
A.
1
2
. B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Trang 13
Câu 75*. Cho dãy số
n
u
:
1
2
*
1
2020
5
,
2 2
n
n
n
u
u
u n
u
. Khẳng định nào sau đây sai về dãy
n
u
:
A.
n
u
là dãy số giảm. B.
n
u
bị chặn dưới. C.
5
lim
4
n
u
. D.
lim 1
n
u
.
5) Giới hạn của hàm số
Câu 76. Chọn khẳng định đúng:
A.
0
0
lim
x x
c x
B.
0
lim
x x
f x L
khi và chỉ khi
0
lim
x x
f x L
C.
0
lim
x x
f x L
khi và chỉ khi
0
lim
x x
f x L
D.
0
lim
x x
f x L
khi và chỉ khi
0 0
lim lim
x x x x
f x f x L
Câu 77. Giả sử ta có
0
lim
x x
f x a
và
0
lim
x x
g x b
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
0
lim . .
x x
f x g x a b
. B.
0
lim
x x
f x g x a b
.
C.
0
lim
x x
f x
a
g x b
. D.
0
lim
x x
f x g x a b
.
Câu 78. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để
12
I
biết
4 2
1
lim 2 3
x
I x mx m
.
A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.
Câu 79. Cho giới hạn
2 2
2
lim 2 3 3
x
x ax a

thì
a
bằng bao nhiêu?
A.
2
a
. B.
0
a
C.
2
a
. D.
1
a
.
Câu 80. Cho hàm số
f x
xác định trên
và thỏa mãn
3
lim ( ) 7
x
f x
thì
3
lim 10 2 ( )
x
f x
bằng
bao nhiêu?
A.
4
. B.
4
C.
10
. D.
14
.
Câu 81. Cho
,
a b
là các số nguyên và
2
1
5
lim 20
1
x
ax bx
x
. Tính
2 2
P a b a b
A. 400 B. 225 C. 325 D. 320
Câu 82.
2
2
4
3 4
lim
4
x
x x
x x
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
5
4
. D.
5
4
.
Câu 83. Biết
0
1 1
lim
2 1 1
x
x a
b
x
. Khẳng định nào sao đây là đúng?
A.
3
a b
. B.
3
a b
. C.
2
a b
. D.
1
a b
.
Câu 84. Tìm giới hạn
3
2
2
5 2 7 3
lim
( 2)( 4)
x
x x
L
x x
ta được giá trị của
L
là:
Trang 14
A.
1
12
L
B.
1
8
L
C.
1
8
L
D.
1
4
Câu 85. Cho
f x
là đa thức thỏa mãn
3
8
lim 6
3
x
f x
x
. Tính
3
2
3
7 1
lim
2 3
x
f x
L
x x
.
A.
3
4
L
. B.
3
2
L
. C.
1
2
L
. D.
1
4
L
.
Câu 86. Cho đa thức
P x
thỏa mãn
3
2
lim 2
3
x
P x
x
. Tính
3
2
2
lim
9 2 1
x
P x
x P x
A.
1
6
. B.
1
12
. C.
1
9
. D.
2
9
.
Câu 87. Giả sử
2020 2019
1
2020 2019
lim , ,
1 1
x
a
a b
b
x x
và
a
b
là phân số tối giản, khi đó
a b
có giá
trị là
A.
3
B.
4
C.
2
D.
1
Câu 88. Tìm giới hạn
2
2 3 5
lim
3 10
x
x x x
x

ta được kết quả là
A.
2
B.
5
3
C.
4
3
D.
1
3
Câu 89. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng
1
?
A.
2
1
lim
1
x
x
x
. B.
3 2
2 3
3
lim
5
x
x x
x x

. C.
2
2 3
lim
5
x
x
x x

. D.
2
2
2 1
lim
3
x
x x
x x

.
Câu 90. Cho các số thực
, ,
a b c
thỏa mãn
2
18
c a
và
2
lim 2
x
ax bx cx

. Tính giá trị
của biểu thức
5
P a b c
.
A.
9
. B.
5
. C.
18
. D.
1 2
.
Câu 91. Biết rằng
2
lim 2 2 2
x
x x x a b
. Tính
4
S a b
A.
5
S
. B.
1
S
. C.
1
S
. D.
5
S
.
Câu 92. Tính
3
2 7
lim
3
x
x
x
.
A.
. B.

. C.
0
. D.
2
.
Câu 93. Chọn kết quả đúng của
5 3
lim 4 3 1
x
x x x

A. 4. B. 0. C.
. D.

.
Câu 94. Cho hàm số
2
1 1
2 1 1
x khi x
f x
x khi x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A.
1
lim 0.
x
f x
B.
1
lim 3.
x
f x
C.
1
lim 1.
x
f x
D.
1
lim 0.
x
f x
Trang 15
Câu 95. Tính
2
2
2
lim
5 6
x
x
x x
?
A.
1
. B.
1
2
. C.
1
2
. D.
1
6) HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 96. Chọn khẳng định sai:
A. Hàm số đa thức liên tục trên
.
B. Hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
;
a b
nếu nó liên tục trên khoảng
;
a b
.
C. Hàm số
y f x
liên tục tại điểm
0
x
nếu
0
0
lim
x x
f x f x
.
D. Hàm số
y f x
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Câu 97. Hàm số nào sau đây liên tục tại
2
x
?
A.
2
2 6 1
( )
2
x x
f x
x
. B.
1
( )
2
x
f x
x
. C.
2
1
( )
2
x x
f x
x
. D.
2
2
3 2
( )
4
x x
f x
x
.
Câu 98. Cho hàm số
2 3
2
x
f x
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số liên tục trên khoảng
1;5
. B. Hàm số gián đoạn tại
2020
x
C. Hàm số liên tục tại
2
x
D. Hàm số gián đoạn tại
2
x
Câu 99. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên
?
A.
3
2
2 1
2
x x
y
x
. B.
3
1 cos
x
y
x
. C.
3 2
2 5 6
1
x x
y
x
. D.
tan 3
y x
.
Câu 100. Cho hàm số
2
2
1
5 6
x
f x
x x
. Hàm số
y f x
liên tục trên khoảng nào sau đây?
A.
3;2
. B.
3;

. C.
;3
. D.
2;3
.
Câu 101. Trong các hàm số sau đây, có bao nhiêu hàm số liên tục trên
.
1)
3 2
3 1
y x x x
.2)
cos 2 tan
y x x
.3)
2
sin 2020
y x x
.4)
sin
x
y
x
.
5)
2
2 1
2
x x
y
x
.6)
3
1 2
y x x
.7)
2
2
2 1
x
y
x x
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 102. Xét tính liên tục của hàm số
1 2 khi 0
2 khi 0
.
f
x x
x
x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số
f x
liên tục tại
0.
x
B. Hàm số
f x
liên tục tại
1.
C. Hàm số
f x
liên tục trên
.
D. Hàm số
f x
gián đoạn tại
1.
x
Câu 103. Hàm số
3 4
f x x x
liên tục trên
Trang 16
A.
3;10
. B.
3;4
. C.
3;
. D.
;4
.
Câu 104. Cho các hàm số
2
2
2
1
; sin ; tan ; .
1
x
y x y x y x y
x x
Có bao nhiêu hàm số liên tục
trên
.
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 105. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại
1
x
?
A. B.
C. D. .
Câu 106. Tìm
a
để hàm số
2
2
1 1
2 3 1
x ax khi x
f x
x x a khi x
liên tục trên
.
A.
1
2
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
.
Câu 107. Cho hàm số
2
2 3 1
khi 1
1
2 1 khi 1
x x
x
f x
x
a x
. Tìm giá trị của tham số
a
để hàm số
f x
liên tục tại
1
x
.
A.
4
a
. B.
1
a
. C.
0
a
. D.
3
a
.
Câu 108. Cho hàm số
2
4
khi 2
2
khi 2
x
x
f x
x
k x
. Tìm
k
để hàm số liên tục trên tập
.
A.
2
k
. B.
0
k
. C.
2
k
. D.
4
k
.
Câu 109. Cho
khi 2
1 khi 2;3 .
khi 3
a x
f x x x
b x
Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên đoạn
2;3
là
A.
2, 3.
a b
B.
3, 4.
b a
C.
3, 2.
a b
D.
3, 4.
a b
Trang 17
Câu 110. Cho hàm số
2
3
3 13 1
2
2
x x x
f x x
x
. Để hàm số liên tục trên
thì phải
bổ sung thêm
2 , ; , 1
a
f a b a b
b
. Khi đó
H b a
chia hết cho số nào sau đây?
A.
8
. B.
6
. C.
4
. D.
5
.
Câu 111. Cho hàm số
2
2
2
2 , 1
3 6 , 1
4 5, 1
x x
f x x x
a x
. Tìm
a
để hàm số gián đoạn tại điểm
0
1
x
.
A.
1
. B.
1
. C.
1
. D.
2
.
Câu 112. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I.
( )
f x
liên tục trên đoạn
;
a b
và
( ). ( ) 0
f a f b
thì phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm.
II.
( )
f x
không liên tục trên đoạn
;
a b
và
( ). ( ) 0
f a f b
thì phương trình
( ) 0
f x
vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 113. Cho phương trình
3
3 2 2 0
x x
. Xét phương trình
0 1
f x
, trong các mệnh đề
sau, tìm mệnh đề đúng?
A.
1
vô nghiệm. B.
1
có nghiệm trên khoảng
1;2
.
C.
1
có 4 nghiệm trên
. D.
1
có ít nhất một nghiệm.
Câu 114. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
1;5
và
1 2, 5 10
f f
. Khẳng định nào
sau đây ĐÚNG ?
A. Phương trình
6
f x
vô nghiệm.
B. Phương trình
7
f x
có ít nhất một nghiệm trên khoảng
1;5
.
C. Phương trình
2
f x
có hai nghiệm
1, 5
x x
.
D. Phương trình
7
f x
vô nghiệm.
Câu 115. Cho phương trình:
2020
2
4 1 2019. 4
m x x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình trên vô nghiệm?
A.
5
B.
3
C.
4
D.
1
B. Bài tập tự luận.
Bài 26. Tính giới hạn của các dãy số sau
1)
2
2
3 4 1
lim .
2 3 7
n n
n n
2)
1
3
1 sin 2
lim
2 1
n
n
n
3)
2
2 2
lim
n n n
n
4)
2 2
2 3
1 2 1
lim .
1 2 3
n n n n
n n n
Trang 18
5)
3 4
lim .
3 4
n n
n n
6)
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 2 1 2 1
n n
7)
2
1 2 ...
lim
3
n
n n
8)
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n
Bài 27. Tìm giới hạn của hàm số
1)
6
2 tan 1
lim
sin 1
x
x
A
x
2)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
B
x
3)
4 2
3
2
5 4
lim
8
x
x x
C
x
4)
3 4
0
1 5 1 6
lim
x
x x
D
x
5)
0
1 1 2 1 3 1
lim
x
x x x
E
x
6)
0
2 3 1 1
lim
x
x
F
x
7)
2
0
3
lim
4 1 1
x
x x
G
x
8)
5
3 1 4
lim
3 4
x
x
H
x
9)
3
2
1 1
lim
2
x
x
K
x

10)
3
2
0
1 4 1 6
lim
x
x x
L
x
Bài 28**. Tìm các giới hạn sau: (Bài tập của chương 5)
1)
1
tan 1
lim
1
x
x
x
2)
2
0
tan 2 .sin 5
lim
x
x x
x
3)
0
cos3 cos 4
lim
cos5 cos6
x
x x
x x
4)
3
0
1 1 2sin2
lim
sin3
x
x
x
5)
4
4
0
sin 2
lim
sin 3
x
x
x
6)
2
2
3 5sin 2 cos
lim
2
x
x x x
x

7)
2
0
2
lim cos
x
x
nx
8)
2
0
1 cos
lim
n
x
ax
x
Bài 29. Cho
2
lim 3
x
f x
. Tìm giới hạn
2
2
2 1
lim
1
x
f x
A
f x
.
Bài 30. Cho biết
2
3
1
2
1 2
lim
4 3 1
x
ax bx
c
x x
, với c là một số nguyên và
,a b
. Phương trình
4 2
2 1 0
ax bx c
có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên
?
Bài 31. Tìm các giới hạn sau:
1)
2 2
lim 2 1
x
x x x
2)
2
2
2 3 2
lim
5 2
x
x x
x x

.
3)
2
lim 4 1
x
x x x

. 4)
3
4 6
3 4
1
lim
1
x
x x
x x
Trang 19
5)
4 2
lim 3
x
x x

. 6)
2 2
lim 3 2 2 3
x
x x x
.
7)
4 2
2
3
lim
2 4 5
x
x x
x x

8)
2
3
lim
4 1 2
x
x x x

10)
2
lim 4 3 2 2
x
x x x

11)
3
1
1
lim
1
x
x
x
12)
2
3 2
1
4 3
lim
x
x x
x x
12)
2
2
2
2 3
lim 2
2
x
x x
x
x x
Bài 32. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
3
, 3
1 2
3
x
khi x
f x
x
m khi x
có giới hạn
3
lim
x
f x
.
Bài 33. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm tương ứng.
a) Cho hàm số
3
2
27
khi 3
6
27
khi 3
5
x
x
x x
f x
x
. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
3
x
.
b) Cho hàm số
2
1
khi 1
1
2, khi 1
x
x
f x
x
x
. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định.
c) Cho hàm số
2
3
3
2 3 3
1 3
x
khi x
x
f x
x khi x
. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
3
x
.
d) Cho hàm số
2
3
, 1
2
, 0 1
1
sin , 0
x x
x
f x x
x
x x x
. Xét tính liên tục trên
.
Bài 34. a) Cho hàm số
3
3
( )
1 2
3 2 3
x
khi x
f x
x
m khi x
. Xác định
m
để hàm số liên tục tại điểm
3
x
.
b) Cho hàm số
2 1 5
4
( )
4
2 4
x x
khi x
f x
x
a khi x
. Xác định
a
để hàm số liên tục tại điểm
4
x
.
Trang 20
c) Cho hàm số
2
2
2
2 2
1 2
a x
khi x
f x
x
a x khi x
. Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định.
d) Cho hàm số
4 2
3
2 2
5 4
1
1
2 5 1
x x
khi x
f x
x
m x mx khi x
. Tìm m để hàm số liên tục tại
1
x
Bài 35. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau thỏa mãn điều kiện chỉ ra
a) Phương trình
4 2
4 2x 3 0
x x
có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc
( 1;1).
b) Phương trình
3
3 1 0
x x
có đúng ba nghiệm phân biệt.
c) Phương trình
4
3 0
x x
có một nghiệm thuộc khoảng
1;2
.
d) Phương trình
3
2 4 3 3 2
x x x
có đúng một nghiệm.
e*) Phương trình
2019
2 2020
5 6 5 2 2 1 0
m x x x x x
có ít nhất 1 nghiệm với
.
m
Chương 5: Đạo hàm
I. Lý thuyết.
1. Kiến thức.
- Nêu được định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng), ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ
học. Nhớ và áp dụng được quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số; hàm hợp
và đạo hàm của hàm hợp.
- Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục. Đạo hàm của hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
- Nhớ
0
sin
lim 1
x
x
x
và vận dụng trong một số giới hạn dạng
0
0
. Nhớ và vận dụng được công thức
tính đạo hàm của hàm số lượng giác vào làm bài tập.
- Nhớ được
'.
dy y dx
. Ghi nhớ định nghĩa đạo hàm cấp cao.
2. Kỹ năng.
- Tính được đạo hàm của hàm số.Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
thuộc đồ thị. Biết tìm tốc độ tức thời tại một thời điểm của một chuyển động có phương trình
( ).
S f t
- Tính được đạo hàm của một số hàm số lượng giác và một số giới hạn của hàm số lượng giác.
- Tính được vi phân của một hàm số và giá trị gần đúng của hàm số tại một điểm nhờ vi phân. Tính
được đạo hàm cấp cao của một số hàm số. Tính được gia tốc tức thời của một chuyển động có
phương trình
( ).
S f t
cho trước.
II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
Câu 116. Cho
f x
là hàm số liên tục tại
0
x
. Đạo hàm của hàm số
f x
tại
0
x
là
A.
0 0
0
lim
h
f x h f x
h
(nếu tồn tại giới hạn). B.
0 0
f x h f x
h
.
Trang 21
C.
0
f x
. D.
0
0 0
lim
h x
f x h f x
h
(nếu tồn tại giới hạn).
Câu 117. Nếu
f x
là các hàm số có đạo hàm và
1 2
f
, thì giá trị
1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
bằng.
A.
1
2
. B.
2
. C.
4
. D.
1
.
4
y
Câu 118. Cho hàm số
f x
xác định trên
\ 2
bởi
3 2
2
4 3
, 1
3 2
0 , 1
x x x
x
f x
x x
x
. Tính
' 1
f
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D. Không tồn tại.
Câu 119. Cho
cos3
f x x
. Tính
3 2
f f
.
A.
3
. B.
3
. C. 0. D. 6.
Câu 120. Tính đạo hàm của hàm số
2
2 1
y x
.
A.
2
2
2 2 1
x
y
x
. B.
2
2
2 2 1
x
y
x
. C.
2
2
2 1
x
y
x
. D.
2
2
2 1
x
y
x
.
Câu 121. Tính đạo hàm của hàm số
3 2
2
3
2
3
x x
y x
x
với
3
x
.
A.
4
x
. B.
2
x
. C.
6
x
. D.
2
x
.
Câu 122. Hàm số
ax b
y
cx d
(
,
c d
không đồng thời bằng
0
) có đạo hàm được tính bằng công
thức:
A.
2
ad bc
y
cx d
. B.
2
ab cd
y
cx d
. C.
2
ad bc
y
cx d
. D.
2
a b
y
cx d
.
Câu 123. Cho
2
3
2 1
2 1
b
x x a
x
x
. Tính
S a b
?
A.
29
S
. B.
23
S
. C.
22
S
. D.
30
S
.
Câu 124. Đạo hàm của hàm số
2
2
3 1
1
x x
y
x
có dạng
2
2
2
1
ax bx c
x
. Tổng các nghiệm của
phương trình
2
0
ax bx c
bằng bao nhiêu?
A.
1
. B.
1
. C.
0
. D.
2
.
Câu 125. Cho
2 3
6 1 6 1 6 1
x ax b
x x x
, với
0
b
. Tính
a
A
b
.
A.
1
A
. B.
3
A
. C.
1
3
A
. D.
1
3
A
.
Câu 126. Cho hàm số
2
2 1 5 3
y x x x
có đạo hàm
3 2
'
y ax bx cx
. Khi đó
10
a b c
bằng
Trang 22
A.
4
. B.
31
. C.
51
. D.
34
.
Câu 127. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
thỏa mãn
219
f
. Đạo hàm của hàm số
sin 2 .
g x x f x
tại
x
bằng
A.
219
. B.
438
. C.
220
. D.
436
.
Câu 128. Cho hàm số
( ) 2
f x x
có đạo hàm là
f x
, hàm số ( ) 4 sin
4
x
g x x
có đạo hàm là
g x
. Tính giá trị biểu thức
2 . 2
P f g
.
A.
1
P
. B.
16
16
P
. C.
1
4
P
. D.
16
P
.
Câu 129. Cho hàm số
2
2 3
( )
1
x x
y f x
x
. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số tại
2
x
.
A.
(2) 2
y
. B.
(2) 2
y
. C.
(2) 3
y
. D.
(2) 3
y
.
Câu 130. Cho
5
2
f x x
. Tính
3
f

.
A.
20
. B.
20
. C.
27
. D.
27
.
Câu 131. Cho hàm số
2sin 2 2 1
y x x
. Tập nghiệm của phương trình
' 0
y
trên
0;
2
là:
A.
5
;
12 12
S
. B.
12
S
. C.
6
S
. D.
S
.
Câu 132. Cho hàm số
2
f x x x
. Gọi
S
là tập nghiệm của bất phương trình
f x f x
.
Tập
S
có bao nhiêu phần tử là các số nguyên?
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 133. Cho hàm số
3
5 2
2 2
3
f x x
x
x
. Phương trình
0
f x
có tất cả bao nhiêu
nghiệm?
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 134. Cho hàm số
3 2
1
2 2 3 2020
3
f x x m x m x
, biết rằng tồn tại giá trị
m
sao
cho
0
f x
với
x
, khi đó
m
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
0;2
. B.
3; 1
. C.
3;6
. D.
4; 2
.
Câu 135. Cho hàm số
sin cos 2 2019
f x x x x
. Tập nghiệm của phương trình
0
f x
là
A.
3
2 ,
4
k k
. B.
3
2 ,
4
k k
. C.
2 ,
4
k k
. D.
2 ,
4
k k
.
Câu 136. Cho hàm số
2
1, 0
1, 0
ax bx x
f x
ax b x
. Khi hàm số
f x
có đạo hàm tại
0
0
x
. Hãy
tính
2
T a b
.
A.
4
T
. B.
0
T
. C.
6
T
. D.
4
T
.
Trang 23
Câu 137. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3 2
3
s t t
(
t
tính bằng giây,
s
tính bằng mét). Tìm mệnh đề đúng.
A. Vận tốc của chuyển động khi
3
t s
là
24
/
m s
.
B. Gia tốc của chuyển động khi
4
t s
là
9
2
/
m s
.
C. Vận tốc của chuyển động khi
3
t s
là
1 2
/
m s
.
D. Gia tốc của chuyển động khi
4
t s
là
18
2
/
m s
.
Câu 138. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
tại điểm có hoành độ
3
x
là
A.
3 13
y x
. B.
3 5
y x
. C.
3 13
y x
. D.
3 5
y x
.
Câu 139. Cho hàm số
2 1
3
x
y
x
có đồ thị là
C
và điểm
M
thuộc
có hoành độ bằng 2.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại điểm
M
có dạng
y ax b
với
,a b
. Tính
2
P a b
.
A.
31
P
. B.
31
P
. C.
1 1
P
. D.
5
P
.
Câu 140. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
1
2 3 1
3
y x x x
, biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
: 8 2
d y x
.
A.
11 97
8 , 8
3 3
y x y x . B.
1 7
8 , 8
3 3
y x y x
.
C.
2
8 , 8
3
y x y x
. D.
1 11 1 97
,
8 3 8 3
y x y x
.
Câu 141. Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
có đồ thị
C
. Tìm phương trình tiếp tuyến của
C
đi qua
điểm
1;0
A .
A.
3
1
4
y x
. B.
3
4
y x
. C.
3 1
y x
. D.
3 1
y x
.
Câu 142. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
y f x
thỏa mãn
2 3
3 2 1
f x x f x
tại điểm có hoành độ
1
x
.
A.
1 8
7 7
y x
. B.
1
1
7
y x
. C.
1
1
7
y x
. D.
1 8
7 7
y x
.
Câu 143. Cho đồ thị hàm số
3 2
f x x bx cx d
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ
1
,
x
2
,
x
3
x
. Tính giá trị của biểu thức
1 2 3
1 1 1
P
f x f x f x
.
A.
3 2
P b c
. B.
0
P
. C.
P b c d
. D.
1 1
2
P
b c
.
Trang 24
Câu 144. Cho hàm số
1
2 1
f x
x x
,
1
x
. Gọi
1 2 ... 2020
S f f f
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
0
2
S
. B.
1
1
2
S
. C.
1
S
. D.
0
S
.
Câu 145. Cho đa thức
( ) (1 2 )
n
f x x
2 *
0 1 2
n
n
a a x a x a x n N
. Tìm hệ số
2
a
, biết
rằng
1 2
2 13122
n
a a na n
.
A.
2
756
a
. B.
2
252
a
. C.
2
2268
a
. D.
2
144
a
.
Câu 146. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
y f x
như hình bên dưới
Đặt
3
2
2
3
x
g x f x x x
. Số nghiệm của phương trình
0
g x
là
A.
2
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Câu 147. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
. Đồ thị hàm số
y f x
như hình bên dưới
Đạo hàm của hàm số
3 2
g x f x
nhận giá trị âm trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.
0;2
. B.
1;3
. C.
; 1
. D.
1;
.
Câu 148. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
2
3 1 4 4
f x x x
với mọi
x
. Tính
4
f
.
A.
2
. B.
2
3
. C.
2
. D.
12
.
Câu 149. Cho hàm số
( )
y f x
và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
; ; ;
A B C D
x x x x
như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là SAI?
Trang 25
A.
( ) 0; ( ) 0
A D
f x f x
. B.
( ). ( ). ( ) 0
A B C
f x f x f x
.
C.
( ). ( ). ( ) 0
A B D
f x f x f x
. D.
( ). ( ). ( ). ( ) 0
A B C D
f x f x f x f x
.
Câu 150. Cho hai hàm số
y f x
,
y f f x
có đồ thị lần lượt là
C
và
C
. Đường thẳng
2x
cắt
C
,
C
lần lượt tại
M
và
.N
Biết phương trình tiếp tuyến với
C
tại điểm
M
là
2 2y x
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
N
là
A.
2 6y x
. B.
4 6y x
. C.
2 2y x
. D.
4 8y x
.
B. Bài tập tự luận.
Bài 36. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
5 4 3 2
1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x . 2)
5 3
4 2 3y x x x x
.
3)
2
3
1 4x x
y
x
4)
3
2y x x
5)
2 3
2y x x x
. 6)
2 2 2 2
2 3 4 5y x x x x
7)
2
.
4 3
x x
y
x
8)
2
2 8
2 3
x x
y
x
9)
5
2
1
1
y
x x
10)
2
5 9y x x
11)
3
1
x
y
x
12)
2
4 3 2 2y x x x
.
13)
sin 2 cos5y x x
14)
sin .cos4y x x
15)
6 4 2 2 4 4
cos 2sin .cos 3sin .cos siny x x x x x x
. 16)
tan cotf x x x
Bài 37. Tìm
,a b
để hàm số
2
3 khi 2
khi 2
x x x
f x
ax b x
có đạo hàm tại
2x
Bài 38.
Cho đồ thị hàm số
y f x
xác định trên
khoảng
;ba
như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm
1 2 3 4
, , , .x x x x
a) Hàm số có liên tục không?
b) Hàm số có đạo hàm không?
Trang 26
Tính đạo hàm nếu có.
Bài 39.
a) Cho hàm số
2
2
y x x
. Chứng minh
3
. 1 0
y y
.
b) Cho hàm số
3 3
sin cos
1 sin .cos
x x
y
x x
. Chứng minh
0
y y
.
c) Cho hàm số
sin
y x x
. Chứng minh
. 2 sin 0
x y y x xy

.
Bài 40. Cho hàm số
3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx
. Tìm
m
để:
a)
0
y
có hai nghiệm phân biệt.
b)
y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức.
c)
y
0, x R.
d)
0 , 1 ; 2
y x
.
e)
0 , 0
y x
.
Bài 41.
1) Cho hàm số
2
2
f x x x
. Giải bất phương trình
f x f x
.
2) Giải phương trình
0
f x
trong các trường hợp sau
a)
sin3 3sin 7
f x x x
; b)
cos 2 2sin 1
f x x x
.
3) Cho hàm số
2
2 4
4 3
x
y
x x
. Giải phương trình
0
y

.
Bài 42. Cho hàm số
3 2
2 4
y x x x
.
a). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
1.
x
b). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ
4.
y
c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 2.
Bài 43.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
2 1
:
2
x
C y
x
song song với đường thẳng
: 3 2 0
x y
.
b) Cho hàm số
2
3 1
2
x x
y
x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
có hệ số góc
2
k
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
2 1
:
1
x
C y
x
đi qua điểm
1;4
A
.
Trang 27
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
2
: 1
4
x
C f x x
đi qua điểm
2; 1
M
.
Bài 44. Cho hàm số
3 2
3
y x x
có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng
1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng
2
: 4 2 1
d y m x m
.
Bài 45. Cho hàm số
4 2
2 1 2
y x m x m
có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số
có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với
đường thẳng
: 4 1 0
x y
.
Bài 46.
a) Cho hàm số
2 2
1
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
b) Cho hàm số
3
3 2
y x x
có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đường thẳng
: 9 14
d y x
sao cho
từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C).
Bài 47.
a) Cho hàm số
2018 2017 2 2016 3 ... 1 2018
f x x x x x
. Tính
1
f .
b) Cho hàm
f x
thỏa mãn
2
sin 1 cos cos
4
f x f x x
. Tính
1
f
.
II. Phần Hình học:
Chương 3: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG
KHÔNG GIAN.
I. Lý thuyết.
1. Kiến thức.
- Ghi nhớ quy tắc hình hộp để cộng vectơ. Khái niệm, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
- Nêu được vectơ chỉ phương của đường thẳng; Cách xác định góc giữa hai đường thẳng; khái
niệm và điều kiện hai đường thẳng vuông góc với nhau.
- Trình bày được định nghĩa, điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Phép chiếu vuông
góc; mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Trình bày được khái niệm góc giữa hai mặt phẳng; Khái niệm, điều kiện hai mp vuông góc.
Tính chất hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương;
Khái niệm hình chóp đều, chóp cụt đều.
- Nêu được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
- Biết được: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Xác định được góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng. Xác định được góc giữa hai mặt phẳng.
Trang 28
2. Kỹ năng.
- Xác định được góc giữa hai vectơ. Vận dụng được: phép cộng, trừ; nhân vectơ với một số, tích
vô hướng của hai vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ. Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không
đồng phẳng của ba vectơ.
- Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng. Biết chứng minh
hai đường thẳng vuông góc.
- Biết cách chứng minh: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hai đường thẳng vuông góc. Xác
định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác. Xác định được góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Vận dụng
được tính chất của lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều vào giải một số bài tập.
- Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
- Biết và xác định được: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Xác định
được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xác định được góc giữa hai mặt phẳng.
II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
1) Vectơ trong không gian
Câu 1. Cho hình hộp
. ' ' ' '.
ABCD A B C D
Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
' ' ' '
AB B C DD AC
   
. B.
' ' ' 0
AB B C DD
  
.
C.
' ' ' '
AB B C DD A C
   
. D.
' ' ' ' '
AB B C DD A C
   
.
Câu 2. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vì
0
IA IB
 
nên
I
là trung điểm của đoạn
A B
.
B. Vì
I
là trung điểm của đoạn
A B
nên với điểm
O
bất kỳ, ta luôn có
1
( )
2
IO AO BO
.
C. Vì
2 0
AB AD AC
  
nên
, , ,
A B C D
đồng phẳng.
D. Vì
0
AB CB CD AD
   
nên
, , ,
A B C D
đồng phẳng.
Câu 3. Cho tứ diện
ABCD
, gọi
, '
G G
lần lượt là trọng tâm tứ diện
ABCD
và tam giác
BCD
.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
A.
0.
GA GB GC GD
   
B.
3 ' 0.
GA GG
 
C.
, , '
A G G
thẳng hàng. D.
G
là trung điểm của đoạn
'
AG
.
Câu 4. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
, ,
M N G
lần lượt là trung điểm
, ,
AB CD MN
;
I
là điểm bất kỳ
trong không gian, đẳng thức nào dưới đây sai?
A.
1
2
IG IM IN
. B.
1
2
MN AD BC
 
C.
4
GA GB GC GD GI
    
. D.
1
4
AG AB AC AD

.
Câu 5. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
,
I
là trung điểm của đoạn
SO
. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
A.
SA SD SB SC
   
. B.
4
SA SB SC SD SO
    
.
C.
2
IA IB IC ID SO
    
. D.
SB SD SA SC
   
.
Trang 29
Câu 6. Cho hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
có
' , ,
AA a AB b AC c
.
G
là trọng tâm của tam giác
.
A B C
Đẳng thức nào dưới đây sai?
A.
1
.
3
AG a b c
B.
'
BC a b c

. C.
2 1
3 3
BG a b c
. D.
1 2
'
3 3
C G b c
.
Câu 7*. Cho tứ diện
ABCD
và các điểm
M
,
N
xác định bởi
2 3
AM AB AC
  
;
DN DB xDC
  
. Tìm
x
để các véc tơ
AD
,
BC

,
MN
đồng phẳng.
A.
1
x
. B.
3
x
. C.
2
x
. D.
2
x
.
Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt
, ,
a b c
. Chọn mệnh đề đúng:
A. Nếu
a
vuông góc với
b
và
b
vuông góc với
c
thì
a
vuông góc với
c
.
B. Nếu
a
vuông góc với
b
và
b
song song với
c
thì
a
vuông góc với
c
.
C. Nếu
,
a b
cùng vuông góc với
c
thì
a
vuông góc với
b
.
D.
a
và
b
song song với nhau,
c
vuông góc với
a
thì
c
vuông góc với mọi đường nằm trong
, .
mp a b
Câu 9. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Khi đó
. ' '
AB A C
 
bằng:
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
0
. D.
2
2
2
a
.
Câu 10. Cho hình chóp
.
S ABCD
có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
và
ABCD
là
hình vuông. Gọi
M
là trung điểm của đoạn
.
CD
Giá trị
.
MS CB
 
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
2
2
a
.
2) Hai đường thẳng vuông góc.
Câu 11. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Góc giữa hai đường thẳng
BD
và
AA
bằng
60
.
B. Góc giữa hai đường thẳng
AC
và
BD
bằng
90
.
C. Góc giữa hai đường thẳng
AD
và
BC
bằng
45
.
D. Góc giữa hai đường thẳng
'
BD
và
AC
bằng
90
.
Câu 12. Cho tứ diện
ABCD
có
AB AC AD BD a
và
0 0
120 , 90
BAC CAD . Góc giữa
&
AB CD
 
bằng
A.
0
180
. B.
0
120
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Câu 13. Cho tứ diện
ABCD
có
AB AC AD BD a
và
0 0
60 , 90 .
BAC BAD CAD Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của đoạn
,
AB CD
. Góc giữa
&
AB IJ
 
bằng:
A.
0
60
. B.
0
120
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2
AB a
,
BC a
. Các cạnh
bên của hình chóp cùng bằng
2
a
. Tính góc giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
arctan2
.
Câu 15. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
,
AC
,
AD
đôi một vuông góc với nhau, biết
1
AB AC AD
. Góc giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Trang 30
Câu 16. Trong không gian cho hai tam giác đều
, '
ABC ABC
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
Góc giữa
& '
AB CC
 
bằng:
A.
0
60
. B.
0
120
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Câu 17*. Gọi S là diện tích tam giác
ABC
. Khi đó
2 2
2
1
. ( . )
2
S AB AC k AB AC
. Giá trị của
k
bằng:
A. 0. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
1
.
Câu 18. Trong hình hộp
.
ABCD A B C D
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai?
A.
BB BD
. B.
A C BD
. C.
A B DC
. D.
BC A D
.
Câu 19. Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
O
. Qua
O
có mấy đường thẳng vuông
góc với
?
A.
1
. B.
3
. C. Vô số. D.
2
.
Câu 20. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Biết
. '
MA k MD
 
,
' .
NA l NB
 
. Khi
MN
vuông góc
với
'
A C
thì khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1,
k l R
. B.
1,
l k R
. C.
1,
k l R
. D.
1,
l k R
.
3) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mp
P
thì nó vuông góc với mp
.
P
B. Một đường vuông góc với một trong hai mp song song thì nó cũng vuông góc với mp còn lại.
C. Đường thẳng vuông góc với mp thì vuông góc với mọi đường nằm trong đó.
D. Một đường thẳng vuông góc với một mp cho trước thì mọi đường thẳng song song với đường
thẳng đó đều vuông góc với mp.
Câu 22. Dữ kiện nào dưới đây có thể khẳng định
d P
.
(I)
(Q)
( ) / /( )
d
P Q
(II)
' ( )
/ / '
d P
d d
(III)
1
2
1 2
( ) :
d d
d d
Trong P d d I
(IV)
0
( ,( )) 90
d P
A. Chỉ có (III). B. (I), (II), (III). C. (III), (IV). D. Cả 4 khẳng định.
Câu 23. Tìm các mệnh đề sai:
/ /
( ) ( )
( )
a b
I b
a
/ /
II a
a
( )
( ) ( )
( )
a
III
a
(I ) / /
a
V a b
b
A. (I). B. (II). C. (III). D. (III), (IV).
Trang 31
Câu 24. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
A. Là góc giữa véctơ chỉ phương của đường thẳng và véctơ khác không vuông góc với mặt
phẳng.
B. Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mp.
C. Có thể là góc tù.
D. Luôn luôn là góc nhọn.
Câu 25. Cho tứ diện
ABCD
có
, ,
AB BC CD
đôi một vuông góc với nhau. Khi đó
CD
vuông góc
với
A.
ABD
B.
ABC
.
C. mp trung trực của đoạn
BC
. D. mp trung trực của
BD
.
Câu 26. Cho tứ diện
OABC
có ba cạnh
, ,
OA OB OC
đôi một vuông góc nhau. Khi đó hình chiếu
vuông góc của
O
lên mp
ABC
là:
A. Trọng tâm
ABC
. B. Trực tâm
ABC
.
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
. D. Tâm đường tròn nội tiếp
ABC
.
Câu 27. Cho tứ diện
OABC
có ba cạnh
, ,
OA OB OC
đôi một vuông góc nhau. H là hình chiếu
vuông góc của điểm
O
lên mặt phẳng
.
ABC
Chọn kết luận sai:
A.
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
. B.
( )
BC OAH
.
C.
H
là trực tâm
ABC
. D. Tam giác
ABC
có
ít nhất một góc không nhỏ hơn 90
o
.
Câu 28. Cho hình chóp
.
S ABC
có
,
SA ABC
Tam giác
ABC
có ba góc nhọn. Gọi
,
H K
lần lượt
là trực tâm tam giác
ABC
và
SBC
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây:
A.
( )
HK SBC
. B. CK
(SAB). C. BH
(SAC). D. CH
(SAB).
Câu 29. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a,
, 2.
SA ABCD SA a
Góc giữa
SC
và
SAB
bằng:
A. 90
0
. B. 30
0.
C. 45
0
. D. 60
0
.
Câu 30. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh a,
, 2 .
SA ABCD SA a
Tính góc giữa
SC
và
.
SBD
A.
0
18 26 '
. B.
0
45 35 '
. C.
0
15 47 '
. D.
0
20 42'
.
Câu 31. Cho tứ diện
ABCD
,
AB BCD
,
3
AB a
,
BCD
đều cạnh a. Góc giữa
AC
và
BCD
A. 90
0
. B. 30
0.
C. 45
0
. D. 60
0
.
Câu 32. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
vuông tại
B
,
SA
vuông góc với
( ).
ABC
Khẳng định
nào là sai?
A.
SB AC
. B.
SA AB
. C.
SB BC
. D.
SA BC
.
Trang 32
Câu 33. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA ABCD
và đáy
ABCD
là hình vuông. Từ
A
kẻ
AM SB
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AM SBD
. B.
AM SBC
. C.
SB MAC
. D.
AM SAD
.
Câu 34. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB SC
và tam giác
ABC
vuông tại
B
. Vẽ
SH ABC
,
H ABC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
H
trùng với trực tâm tam giác
ABC
. B.
H
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
.
C.
H
trùng với trung điểm
AC
. D.
H
trùng với trung điểm
BC
.
Câu 35. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB SC
,
90
ASB
,
60
BSC
,
120
ASC
. Tính góc
giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
ABC
.
A.
90
. B.
45
. C.
60
. D.
30
.
Câu 36. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có
2
2
a
AA
,
AC a
,
2
BC a
,
135
ACB
. Hình
chiếu vuông góc của
C
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm
M
của
AB
. Tính góc tạo bởi
đường thẳng
C M
với mặt phẳng
ACC A
?
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 37. Cho tứ diện
ABCD
có
AB AC
và
DB DC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AB ABC
. B.
AC BC
. C.
CD ABD
. D.
BC AD
.
Câu 38. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
. Kết luận nào dưới đây sai:
A.
' ( ' )
AC A BD
. B.
' ( ' ')
AC B CD
.
C.
' ( ' ')
A BD B CD
.
D.
0
' ,( ' ' ) 45
A B AB C D .
Câu 39. Cho hình chóp
.
S ABCD
,có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
,
SA ABCD
. Gọi
M
là
trung điểm của
BO
. Mặt phẳng
P
qua
M
và
P BC
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện
là hình gì?
A. Hình thang cân. B. Hình thang vuông. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Câu 40. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
với
, 2 .
AB a BC a
Điểm
H
thuộc cạnh
AC
sao cho
1
3
CH CA
,
SH
là đường cao hình chóp
.
S ABC
và
6
3
a
SH
. Gọi
I
là trung điểm
BC
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua
H
và vuông góc
với
AI
.
A.
2
2
3
a
. B.
2
2
6
a
. C.
2
3
3
a
. D.
2
3
6
a
.
4) Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 41. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một mp thứ ba thì song song với nhau.
B. Nếu hai mp vuông góc với nhau thì mọi đường trong mp này sẽ vuông góc với mp kia.
Trang 33
C. Nếu hai mp phân biệt (P), (Q) cùng vuông góc với mp (R) thì giao tuyến d của (P), (Q) sẽ
vuông góc với (R).
D. Hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, với mỗi điểm A thuộc (P), B thuộc (Q) thì
AB vuông góc d.
Câu 42. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một đường thẳng d cho trước xác định được duy nhất một mp (P) vuông góc với (Q) cho
trước.
B. Có duy nhất một mp đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mp cắt nhau cho trước.
C. Các mp cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước thì luôn đi qua
một đường thẳng cố định.
D. Hai mp vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mp này và vuông góc với giao tuyến sẽ
vuông góc với mp còn lại.
Câu 43. Dữ kiện nào dưới đây không thể kết luận (P)
(Q)?
A.
(Q)
( )
d
d P
. B.
1 2
1 2
( ), ( )
( , ) 90
o
d Q d P
d d
.
C.
1 2
1 2 1 2
( ), , ( )
, ,
d Q d d P
d d d d d d I
. D.
1 2
1 2
( ), ( )
d Q d P
d d
.
Câu 44. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với đáy,
2
SA BC
và
120
BAC
. Hình chiếu
vuông góc của
A
lên các đoạn
SB
và
SC
lần lượt là
M
và
N
. Góc của hai mặt phẳng
ABC
và
AMN
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
15
. D.
30
.
Câu 45. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh a,
SA SB SC a
. Góc giữa
ABCD
và
SBD
bằng:
A. 30
0
. B. 45
0
. C. 60
0
. D. 90
0.
Câu 46. Giả sử
là góc của hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng
a
. Khẳng định đúng là
A.
tan 8
. B.
tan 3 2
. C.
tan 2 3
. D.
tan 4 2
.
Câu 47. Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng
a
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
AB C
và
A B C
.
A.
6
. B.
3
. C.
3
arccos
4
. D.
3
arcsin
4
.
Câu 48. Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
,
2
AD a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
ABCD
,
2
SA a
. Tính
tan
của góc giữa hai mặt phẳng
SBD
và
ABCD
.
A.
1
5
. B.
2
5
. C.
5
. D.
5
2
.
Câu 49. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
,
AD DC a
.
Biết
SAB
là tam giác đều cạnh
2
a
và mặt phẳng
SAB
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính
cosin của góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
.
Trang 34
A.
2
7
. B.
2
6
. C.
3
7
. D.
5
7
.
Câu 50. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, tam giác đều
SAB
nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Ta có
tan
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
bằng:
A.
2
3
. B.
2 3
3
. C.
3
3
. D.
3
2
.
Câu 51. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác đều và mặt bên
SAB
vuông góc với mặt
phẳng đáy
ABC
. Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
AC SAB
. B.
CH SAB
. C.
BC SAB
. D.
SA ABC
.
Câu 52. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
SA
vuông góc với đáy.
Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
BM AC
. B.
SBM SAC
. C.
SAB SBC
. D.
SAB SAC
.
Câu 53. Cho tứ diện
ABCD
có hai mặt phẳng
ABC
và
ABD
cùng vuông góc với
DBC
. Gọi
BE
và
DF
là hai đường cao của tam giác
BCD
,
DK
là đường cao của tam giác
ACD
. Chọn
khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.
ABE ADC
. B.
ABD ADC
. C.
ABC DFK
. D.
DFK ADC
.
Câu 54. Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.
' ' '
ABC A DC
. B.
' '
A BD BDC
.
C.
' ' '
ABD BCC B
. D.
' ' '
A BC ADC B
.
Câu 55.
Cho tứ diện
ABCD
có
AC AD BC BD a
và hai mặt phẳng
ACD
,
BCD
vuông
góc với nhau. Tính độ dài cạnh
CD
sao cho hai mặt phẳng
ABC
,
ABD
vuông góc.
A.
2
3
a
. B.
3
a
.
C.
2
a
. D.
3
a
.
5) Khoảng cách
Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
cạnh đáy bằng
2
a
và chiều cao bằng
3
a
. Tính
khoảng cách từ tâm
O
của đáy
ABC
đến một mặt bên.
A.
5
2
a
. B.
2 3
3
a
. C.
3
10
a
. D.
2
5
a
.
Câu 57. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
1
. Tam giác
SAB
đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
ABCD
. Tính khoảng cách từ
B
đến
.
SCD
A.
1
. B.
21
3
. C.
2
. D.
21
7
.
Câu 58. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
, 2 , 3 , 2
AD a AB a BC a SA a
,
H
là trung điểm cạnh
AB
,
SH
là đường cao của hình chóp
.
S ABCD
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SCD
.
Trang 35
A.
30
7
a
. B.
30
10
a
. C.
13
10
a
. D.
17
7
a
.
Câu 59. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
, khoảng cách giữa
AB
và
CD
bằng:
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
a
.
Câu 60. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh a,
SO
vuông góc với
mặt phẳng
ABCD
và
.
SO a
Khoảng cách giữa
SC
và
AB
bằng
A.
3
15
a
. B.
5
5
a
. C.
2 3
15
a
. D.
2 5
5
a
.
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
,
2
AA a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD
và
CD
.
A.
5
5
a
. B.
2 5
5
a
. C.
2
a
. D.
2
a
.
Câu 62. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm của
SB
,
BC
,
SD
. Tính
khoảng cách giữa
AP
và
MN
.
A.
3
15
a
. B.
4 15
a
. C.
3 5
10
a
. D.
5
5
a
.
Câu 63. Cho hình lăng trụ tam giác
.
ABC AB C
có độ dài cạnh bên bằng
7
a
, đáy
ABC
là tam
giác vuông tại
A
,
AB a
,
3
AC a
. Biết hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của
BC
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA
và
B C
bằng
A.
3
2
a
. B.
3
2
a
. C.
2
3
a
. D.
3
2
a
.
Câu 64. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và có
4 cm
AB
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
ABC
. Lấy
M
thuộc
SC
sao cho
2
CM MS
.
Khoảng cách giữa hai đường
AC
và
BM
là
A.
4 21
cm
7
. B.
8 21
cm
21
. C.
4 21
cm
21
. D.
2 21
cm
3
.
Câu 65. Cho hình hộp
.
ABCD A B CD
có tất cả các cạnh đều bằng
1
và các góc phẳng đỉnh
A
đều
bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
.
A C
A.
22
11
. B.
2
11
. C.
2
11
. D.
3
11
.
B. Bài tập tự luận.
1) Véc tơ trong Không gian- Hai đường thẳng vuông góc
Bài 1. Cho hình chóp
SABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình hành,
SA SB
,
AB
vuông góc với
SC
Gọi
M
là trung điểm
SD
.
Trang 36
1) Biểu diễn
AM

theo ba vectơ
, ,
SA SB SC
.
2) Chứng minh:
AM
vuông góc với
.
AB
Bài 2. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
, góc
0
120
BAD
. Biết
SA SC a
,
6
2
a
SB SD
. Gọi
, ,
M I J
lần lượt là trung điểm
, ,
AB SD CD
;
G
là trọng tâm tam giác
SAB
.
Tính góc giữa hai đường thẳng:
1)
SA
và
DC
2)
SB
và
AD
3)
SM
và
BD
4)
BG
và
IJ
.
Bài 3. Cho tứ diện
ABCD
có
6; 8.
AB CD
Gọi
, ,
I J K
lần lượt là trung điểm
, ,
BC AC BD
. Biết
5.
JK
CMR:
AB
vuông góc với
CD
;
IJ
vuông góc với
CD
.
Bài 4. Cho tứ diện
ABCD
có tất cả các cạnh bằng
a
. Các điểm
,
M N
lần lượt là trung điểm
, ;
AB CD
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
.
1) CMR:
AO
vuông góc với
CD
;
MN
vuông góc với
CD
.
2) Tính góc giữa:
AC
và
BN
;
MN
và
BC
.
Bài 5. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
.
1) Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm
, ' '
CD A D
. CMR:
'
B I
vuông góc với
' .
C J
2) Trên các cạnh
DC
và
'
BB
ta lần lượt lấy các điểm
,
M N
không trùng với hai đầu mút sao cho
DM BN
. Chứng minh
'
AC
vuông góc với
MN
.
Bài 6. Cho hình hộp
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có tất cả các cạnh đều bằng
, ' ' 60
o
a A AD A AB DAB .
1) CMR:
' '
DCB A
và
' '
BCD A
là những hình vuông.
2) CMR:
'
AC
vuông góc với
'
DA
;
'
AC
vuông góc với
'.
BA
3) Tính độ dài đoạn
'.
AC
2) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 7. Cho tứ diện
ABCD
có tất cả các cạnh bằng
a
, gọi
H
là chân đường vuông góc hạ từ
A
xuống mặt phẳng
( )
BCD
.
1) Tính độ dài đường cao
AH
.
2) Tính độ dài đoạn nối trung điểm của một cặp cạnh đối.
3) Tính góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
( ).
BCD
4) Tìm điểm
O
cách đều 4 đỉnh của tứ diện.
5) Gọi
I
là trung điểm của
AH
. Chứng minh
, ,
IB IC ID
đôi một vuông góc với nhau.
6) Chứng minh tứ diện
ABCD
có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
7) Tìm điểm
M
sao cho
2 2 2 2
MA MB MC MD
đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó.
Bài 8. Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
, 2, ( )
a SA a SA ABCD
.
Gọi
, ,
M N P
lần lượt là hình chiếu của
A
lên
, , .
SB SD SC
1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông.
2) Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy.
3) Chứng minh
( ), / /( ).
BD SAC BD AMN
4) CMR
( )
SC AMN
;
, ,
AM AN AP
đồng phẳng và
.
AP MN
5) Tìm điểm
J
cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.
Trang 37
6) Tính diện tích thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
( )
qua
A
và vuông góc
với
.
SB
Bài 9. Cho tứ diện
.
S ABC
có
( )
SA ABC
, tam giác
ABC
vuông tại
B
. Trong mặt phẳng
,
SAB
kẻ
AM
vuông góc với
SB
tại
M
, trên cạnh
SC
lấy điểm
N
sao cho
SM SN
SB SC
.
1) CMR:
( ); ( ); .
BC SAB AM SBC SB AN
2) Biết
2;
SA a AB BC a
, tính diện tích tam giác
.
AMN
3)
H
là hình chiếu của
A
lên
,
SC K
là giao của
HM
với
( )
ABC
. CMR
.
AK AC
4)
E
là điểm tùy ý trên cạnh
AB
, đặt
(0 )
AE x x a
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp
.
S ABC
theo a và x khi cắt bởi mặt phẳng
( )
qua
E
và vuông góc với
AB
. Tìm x để diện tích có
giá trị lớn nhất.
Bài 10.
Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình chữ nhật có
; 3, 5
AB a BC a SD a
,
mặt bên
SBC
là tam giác vuông tại
B
mặt bên
SCD
là tam giác vuông tại
.
D
1) CMR:
( )
SA ABCD
, tính
.
SA
2) Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng qua
A
vuông góc với
AC
cắt các đường
,
CB CD
lần
lượt tại
,
I J
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
; ,
SC K L
lần lượt là giao điểm của
,
SB SD
với mặt phẳng
( )
HIJ
. CMR:
( ); ( ).
AK SBC AL SCD
3) Tính diện tích tứ giác
.
AKHL
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, , 3
C CA a CB a
,
mặt bên
' '
AA B B
là hình vuông. Từ
C
kẻ
', / / ' ( ', ').
CH AB HK A B H AB K AA
1) CMR:
, ' ( ).
BC CK AB CHK
2) Tính góc giữa
'
A B
và mặt phẳng
' ' .
BB C C
3) Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ
A
đến mặt phẳng
( ).
CHK
4)
M
là trung điểm
AB
. Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo a khi cắt
bởi mặt phẳng
( )
qua
M
và vuông góc với
' .
A B
Bài 12. Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam giác
đều, mặt bên
SCD
là tam giác vuông cân tại
S
. Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của
, .
AB AD
1) CMR:
( ), ( ).
SI SCD SJ SAB
2) Gọi
H
là hình chiếu của
S
lên
IJ
.CMR:
.
SH AC
3) Gọi
M
là điểm thuộc đường thẳng
CD
sao cho:
BM SA
. Tính
AM
theo
.
a
3) Hai mặt phẳng vuông góc và khoảng cách
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
, gọi
O
là tâm
hình vuông
.
ABCD
1) Tìm độ dài đoạn
.
SO
2) Gọi
M
là trung điểm của
SC
. CMR:
( ) ( ).
MBD SAC
3) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
MBD
và
.
ABCD
4) Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Trang 38
5) Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy.
6) Gọi
( )
P
là mặt phẳng qua
AM
và song song với
BD
. Hãy tính diện tích thiết diện của hình
chóp được cắt vởi
( ).
P
Bài 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
I
, cạnh
6
, 60 , ;( )
2
o
a
a A SC SBC
và
( )
SCD
cùng vuông góc với
( ).
ABCD
1) CMR:
( ) ( )
SBD SAC
2) Trong tam giác
SCA
kẻ
IK
vuông góc với
SA
tại
K
. Tính độ dài
IK
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
,
( )
SAD
và
( )
ABCD
.
4) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
( )
là mặt phẳng qua
C
và vuông góc với
SA
.
Bài 15. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
, có
2 ,
AB a AD DC a
,
cạnh
SA
vuông góc với đáy,
SA a
1) CMR:
( ) ( );( ) ( ).
SAD SDC SAC SBC
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SDC
;
( )
SBC
và
( );( )
ABCD SBC
và
(SAB)
3) Xác định thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
( )
chứa
SD
và vuông góc với
( )
SAC
.
Bài 16. Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
1) CMR:
' ';
AD DB
' ( ' ');( ') ( ' ' )
B D BA C BDA AB C D
.
2) Tính góc giữa
'
BC
và
'; '
CD BC
và
( ' ' )
BB D D
3) Tính khoảng cách giữa
'
BC
và
( ' )
AD C
.
Bài 17. Cho tứ diện
OABC
có
, ,
OA OB OC
đôi một vuông góc,
2
, ,
2
a
OA OB OC a I
là trung
điểm
BC
1) CMR:
( ) ( ).
OAI ABC
2) Tính góc giữa
AB
và mặt phẳng
( ).
AOI
3) Dựng và độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
OC
và
;
AB AI
và
.
OC
4) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng chứa
OB
và vuông góc với mặt phẳng
( ).
ABC
Tính diện tích của thiết diện đó.
Bài 18. Cho hình chóp
.
S ABCD
có
ABCD
là nửa lục giác đều cạnh
( / / , ).
a AB CD AB CD
Mặt
bên
SAB
là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
1) CMR:
.
BD SC
2) Tính khoảng cách giữa
SD
và
AB
; khoảng cách giữa
B
và
( ).
SAD
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAD
và
( ).
ABCD
----- HẾT-----
| 1/38
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT YÊN HÒA
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, TỔ: TOÁN TIN NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN TOÁN - KHỐI 11 CẤU TRÚC PHẦN TT NỘI DUNG CÁC DẠNG TOÁN Trang
Phương pháp chứng minh quy nạp.
Xác định một dãy số: Tìm các số hạng của
một dãy số cho trước, tìm các số hạng của
cấp số nhân, cấp số cộng.
Xét tính tăng giảm và tính bị chặn của một dãy số.
Xét một dãy số có là một cấp số cộng hoặc DÃY SỐ
cấp số nhân hay không. Xét xem một số cho 1 CẤP SỐ CỘNG
trước có là một số hạng của cấp số cộng 2 – 11 CẤP SỐ NHÂN
hoặc cấp số nhân không.
Tìm các số hạng đầu và công sai của cấp
số cộng, tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
Giải các bài toán sử dụng tính chất của cấp
số cộng và cấp số nhân.
Giải các bài toán thực tế áp dụng của cấp
số cộng, cấp số nhân.
Tìm giới hạn của dãy số. ĐẠI SỐ
Tìm giới hạn của hàm số.
Giải quyết các bài toán áp dụng giới hạn.
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm,
xét tính liên tục của hàm số trên một GIỚI HẠN 11 – 2 khoảng. HÀM SỐ LIÊN TỤC 20
Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một
điểm hoặc liên tục trên một khoảng.
Áp dụng định lý về hàm số liên tục để xét
số nghiệm của phương trình. Các bài toán áp dụng.
Tìm đạo hàm tại một điểm của hàm số.
Tìm đạo hàm trên một khoảng của hàm số.
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm.
Tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số. 3 ĐẠO HÀM.
Bài toán tiếp tuyến của đạo hàm.
Bài toán ứng dụng thực tế của đạo hàm.
Một số bài toán khác về đạo hàm của hàm số. Trang 1
Các bài toán về véc tơ trong không gian. 20 -
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 27
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Bài toán về góc: Góc giữa hai đường
thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng; góc giữa hai mặt phẳng. VÉC TƠ TRONG
Bài toán về khoảng cách: Khoảng cách từ KHÔNG GIAN HÌNH
một điểm đến 1 đường thẳng; khoảng cách QUAN HỆ VUÔNG HỌC 4
từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng 27 -
GÓC TRONG KHÔNG cách từ một đường thẳng đến một mặt 38 GIAN.
phẳng; khoảng cách giữa hai mặt phẳng;
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài toán về giao điểm của một đường thẳng
và một mặt phẳng; bài toán về giao tuyến
của hai mặt phẳng; bài toán về thiết diện.
Một số bài toán áp dụng quan hệ vuông góc trong không gian. PHẦN I. GIẢI TÍCH.
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân I. Lý thuyết. 1. Kiến thức.
- Trình bày được phương pháp quy nạp toán học.
- Nêu được khái niệm dãy số; cách cho dãy (công thức TQ, hệ thức truy hồi); tính tăng, giảm, bị chặn.
- Trình bày được khái niệm cấp số cộng, tính chất, số hạng tổng quát un, tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng Sn.
- Trình bày được khái niệm cấp số nhân, tính chất, số hạng tổng quát un, tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số nhân Sn. 2. Kỹ năng.
- Cách giải một số bài toán đơn giản bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số đơn giản. Xét được tính tăng, giảm; bị chặn
của một dãy số đơn giản cho trước.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1, un, n, d, Sn.
- Tìm được các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5 yếu tố u1, un, n, q, Sn. II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm. 1) Dãy số
Câu 1. Cho mệnh đề “ n 1  n    * 2 2 3 * , n
  2, n   ”. Để chứng minh mệnh đề đúng bằng
phương pháp quy nạp, bước đầu tiên cần làm là kiểm tra * đúng với n bằng bao nhiêu ? A. n  2 B. n  2 . C. n  0 . D. n  3 . Trang 2
Câu 2. Cho dãy số u , biết u   
n  . Mệnh đề nào sau đây đúng? n  n 1 n  1 1 A. u  3. B. u  3  . C. . D. . 8 8 u  8 u   8 8 8 n 1
Câu 3. Cho dãy số u có số hạng tổng quát u 
, n  N . Số hạng thứ 100 của dãy số là n  *  n  n  2 A. 33 37 39 35 u  . B. u  . C. u  . D. u  . 100 34 100 34 100 34 100 34 n 1 
Câu 4. Cho dãy số (u ) được xác định như sau: 2  1 n u 
. Tìm số hạng thứ 3 của dãy số đã n n cho. A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 7 . 3 3
Câu 5. Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số u , biết 2 u  n 1 n  n A. 79 . B. 69 . C. 89. D. 99  1 u  1 
Câu 6. Cho dãy số u thỏa mãn  3 . n   n   1 u  n u  ; n  1 n 1   3n
Có bao nhiêu số nguyên dương n thỏa mãn 1 u  n 2020 A. 0 B. 9 C. vô số D. 5 Câu 7. Cho dãy số  n u với u 
. Khẳng định nào sau đây đúng? n  n 3n n n 1
A. Số hạng thứ n 1 của dãy số là u  .
B. Số hạng thứ n 1 của dãy số là u  . n 1  n 1 3  n 1  n 1 3   
C. Số hạng thứ n 1 của dãy số là n 1 n 1 u 
. D. Số hạng thứ n 1 của dãy số là u  n 1  n 1 3  n 1  3n   Câu 8. Cho dãy số u 4 1 
. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. u  u  n  n 1 n A. 16 . B. 14. C. 12. D. 15 .
Câu 9. Cho dãy số u xác định bởi u u 1 và u  u  u , với mọi n  3 . Số hạng thứ 4 n  1 2 n n 1  n2 của dãy có giá trị là A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 10. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?  A. u  2n. B. 2n 3  . C. 3 u  n 1. D. 2 u  n . n un n 1 n n
Câu 11. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm? n 2 A. Dãy a , với  1  n  1 a   . B. Dãy b với  . n  n  b n    2  n n C. Dãy  1 c , với c  .
D. Dãy d , với d  3.2n . n  n  n 3 n  1 n Trang 3
Câu 12. Cho dãy số u , biết u   a n  a  n
   . Dãy số u là dãy tăng khi và chỉ n  n   * 2 2, n  khi A. a  2 . B. a  2 . C. a  2 . D. a  2.
Câu 13. Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là dãy số tăng n  n 2n 1 1 n  5 1 A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n n 1 n n n 3n  1 n 2n
Câu 14. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn trên? A. u ,u n n N    . B. u u n n N     . n  , 2 1 n n n  C.  n u  2 ,u n n N    . D. u u  n   N . n  2 3 , n n n n  4
Câu 15. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn dưới? A. u ,u n n 
     . B. u u n n       . n  2 , n n n C. u ,u n 1 n       . D. u u n n       . n  , 2 n n n
Câu 16. Dãy số nào trong các dãy số sau đây là dãy số bị chặn? n A. u u  n    . B. u u  n  n    . n  * , 1 n  * , n n  1 n C. u  * , u  n n   . D. u u  n n    . n  2 * , n n n
Câu 17. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  9 2n. Mệnh đề nào dưới đây đúng? n n A. (u )bị chặn. B. (u )tăng. n n
C. (u )giảm và bị chặn dưới.
D. (u )giảm và bị chặn trên. n n u  1
Câu 18*. Cho dãy số u với 1 Số hạng tổng quát u n  
n của dãy số là số hạng nào 2 u  u  n  n 1 n dưới đây? nn   1 2n   1 nn   1 2n  2 A. u  1 . B. u 1 . n 6 n 6 nn   1 2n   1 nn   1 2n  2 C. u  1 . D. u 1 . n 6 n 6
Câu 19*. Cho dãy số (u ) thỏa mãn 2 (n  3n  2)u 1 với * x
  và dãy số (v ) thỏa mãn n n n v  u n  a 1 1 
. Biết số hạng tổng quát v được biểu diễn dưới dạng v  với * n v  u  v  0, n  n   . b n  c n 1  n 1  n
a,b, c . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 T  a  b  c A. T  3  0. B. T  2  0. C. T  20. D. T  2  1. u  1
Câu 20*. Cho dãy số u xác định bởi 1
. Số nguyên dương n nhỏ nhất sao n   3 * u  u  n ,n    n 1  n cho u 1  2039190 là n A. n  2017. B. n  2019. C. n  2020. D. n  2018. 2) Cấp số cộng.
Câu 21. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? Trang 4 A. 1,2,4,8,16,... . B. 1,3,9, 27,81,.... C. 2,5,8,11,14,17,....
D. 1,  5,  25, 125,  625,....
Câu 22. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
Câu 23. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d , n  2 ? 1 A. u  u  d . B. u  u  n 1 d . C. u  u  n 1 d . D. u  u  n 1 d . n 1   n 1   n 1   n 1 1 1
Câu 24. Cho một cấp số cộng u  ,d  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 2 2 A. Dạng khai triển: 1 1  ;0;1; ;1;.... B. Dạng khai triển: 1 1 1  ;0; ; 0; ;.... 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3
C. Dạng khai triển: ;1; ; 2; ;....
D. Dạng khai triển:  ;0; ;1; ;.... 2 2 2 2 2 2
Câu 25. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng. A. 2 u  n . B. n u   n . C. u 2n. D. u  . n  1n n . n n 3n
Câu 26. Cho cấp số cộng u có u  2; u 14. Công sai của cấp số cộng đã cho là n  1 5 A. d  4 . B. d 12 . C. d  7 . D. d  3.
Câu 27. Cho cấp số cộng u có u  3
 và công sai d  2. Số hạng tổng quát u của cấp số n  1 n cộng là A. u  2n 5. B. u  3n 5. C. u  2  n3. D. u  3  n2. n n n n
Câu 28. Cho cấp số cộng u
u 47, công sai d  5. Số 10092 n  có 9
là số hạng thứ mấy của cấp số cộng đó? A. 2019 . B. 2018 . C. 2016 . D. 2017 .
Câu 29. Cho cấp số cộng u với u  3 và u  21. Tính giá trị u ? n  1 10 4 A. 9 . B. 3 . C. 18 . D. 10 .
Câu 30. Một cấp số cộng có hai số hạng đầu tiên lần lượt là 1 và 4, hỏi số hạng thứ 5 bằng bao nhiêu? A. 13 . B. 16 . C. 7 . D. 10 .
Câu 31. Cho 3 số x,3, 7 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó giá trị của x là A. x  4  . B. x 10. C. x  4 . D. x  1  .
Câu 32. Biết bốn số 5;x;15;y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x  2y bằng A. 30. B. 50 . C. 80. D. 70.
Câu 33. Cho cấp số cộng u có u  6,u 18. Tổng của số hạng đầu u và công sai d của n  10 14 1 cấp số cộng u là n  A. 2  4. B. 24 . C. 1  8 D. 17 Trang 5 u  8u
Câu 34. Cho cấp số nhân u với công bội nhỏ hơn 2 thỏa mãn 9 6 . Tính tổng 11 số n  u  u 195  1 7
hạng đầu của cấp số nhân này. A. 195. B. 19682. C. 6141. D. 3069.
Câu 35. Cho cấp số cộng u có u  2 và công sai d  0 . Biết u ,u ,u lập thành một cấp số n  1 1 4 16 nhân. Tính u . 10 A. u 10 . B. u 16 . C. u 18 . D. u  20. 10 10 10 10 u  u  26
Câu 36. Cho cấp số cộng u thỏa mãn 4 6 . Tính tổng S . n  2u u  11 2020  3 9 A. S 12239180. B. S  6119590. C. S 6118580. D. S  4088480. 2020 2020 2020 2020
Câu 37. Cho cấp số cộng u với u  11; u  13 . Tính tổng 1 1 1 S    . ..  . n  1 2 u u u u u u 1 2 2 3 99 100 A. 9 S  . B. 10 S  . C. 10 S  . D. 9 S  . 209 211 209 200
Câu 38. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là ; a ;
b c . Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số ; a ; b ;
c p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó 4 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 5 4 6 5
Câu 39**. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước.
Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan
tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50 m
mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó? A. 4.000.000 đồng. B. 10.125.000 đồng. C. 52.500.000 đồng. D. 52.000.000 đồng.
Câu 40**. Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung
vào ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này
quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự
tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 100
đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng? A. 54. B. 50. C. 49. D. 55. 3) Cấp số nhân
Câu 41. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 2;3;4;5. B. 1;2;4;8;16 . C. 1;  1;1;  1;1. D. 1; 2; 4; 8;16 . Trang 6
Câu 42. Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là một cấp số nhân? n  n 7 A. u  7  3n . B. u  7.3n . C. u  . D. u  7 3n. n n n 3n n
Câu 43. Cho cấp số nhân u , biết u  81,u  9 . Lựa chọn đáp án đúng. n  n n 1  A. 1 q  . B. q  9 . C. 1 q   . D. q  9 . 9 9
Câu 44. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân? 1 A. Dãy số a , với a 3n 2, n      . B. Dãy số b , với b , n      . n  n  n n 2n  1 C. Dãy số c , với c 2.3n , n     . D. Dãy số d , với d 2 5n , n      . n  n  n n
Câu 45. Cho cấp số nhân u với u  2,u  486. Công bội của cấp số nhân u là n  n  1 6 A. 1 q   . B. 1 q  . C. q  3 . D. q  3 . 3 3
Câu 46. Cho cấp số nhân u biết u  3n . Công bội n  n q bằng A. 3 . B. 3  . C. 1 . D. 3  . 3
Câu 47. Cho cấp số nhân u với u  2 và q  2 . Tính số hạng thứ 2020. n  1 A. 2020 2 . B. 2021 2 . C. 2022 2 . D. 2019 2 .
Câu 48. Cho cấp số nhân  1
u có công bội q  0 và u  8,u  . Tìm u . n  2 6 2 1  A. 1 . B. 1  6. C. 1. D. 16 . 2 2
Câu 49. Cho cấp số nhân u với u 1 và u  4096. Tính u . n  1 13 7 A. 64 . B. 62 . C. 66. D. 65. Câu 50. Cho dãy số: 1
 ; x; 0,36 . Tìm x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân. A. x  0,18 . B. x  0,06 .
C. Không có giá trị nào của x . D. x  0, 6 .
Câu 51. Có bao nhiêu cấp số nhân gồm bốn phần tử mà tổng của chúng bằng 45 và số hạng thứ
tư bằng bốn lần số hạng thứ 2? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 52*. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số nhân: 3 2 x  x   2 7 2 m  6m  x  8  0 A. m  1
 hoặc m  7. B. m  1 hoặc m  7  . C. m  1. D. m  7  .
Câu 53. Tính tổng vô hạn sau: 1 1 1 S  1   ...   ... 2 2 2 2n 1 1 1 n A. 4. B. 2 . . C. 2. D. 2n 1. 2 1 1 2
Câu 54. Cấp số nhân 5; 10; …; 1280 có bao nhiêu số hạng? A. 9 B. 7 C. 8 D. 10 Trang 7
Câu 55. Cho cấp số nhân u có u  2
 và u  54. Tính tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp n  2 5 số nhân đã cho. 1000 1000 1000 1000 A. 3  1 1  3 1  3 3  1 S  . B. S  . C. S  . D. S  . 1000 2 1000 4 1000 6 1000 6
Câu 56. Cho u là cấp số nhân, đặt S  u u . . u . Biết S  4,S 13 và u 0, giá trị n  n 1 2 n 2 3 2 của S bằng 6 481 181 35 A. . B. . C. . D. 1 2 1 . 64 16 16 Câu 57. Biết tổng 1 1 1 a S  2    ...   ...  (với , a b  ;
 a là phân số tối giản). Tính tích 3 9 3n b b . a b A. 9 B. 60 C. 7 D. 10 u  3
Câu 58*. Cho dãy số u xác định bởi 1
. Đặt S  u u u . .u , n  2u  u 1,n  1 n 1 2 3 n  n 1 n n   1.Tính S . 2020 2018 2019 A.  1   1  S  2024  . B. S  2020  . 2020      2  2020  2  2020 2018 C.  1   1  S  2024  . D. S  2020  . 2020      2  2020  2 
Câu 59**. Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là 50000 đồng
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% so với giá của mét khoan
ngay trước đó. Tính số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được 50m giếng
gần bằng số nào sau đây? A. 20326446. B. 21326446. C. 22326446. D. 23326446.
Câu 60**. Năm 2020, một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 800.000.000 đồng và dự định
trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2% giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định
đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 720.000.000 đồng. B. 723.137.000 đồng. C. 700.674.000 đồng. D. 737.895.000 đồng. B. Bài tập tự luận.
Bài 1. Chứng minh rằng băng phương pháp quy nạp toán học với các đẳng thức sau: n n  1 2n  1 2 2 2 2   
a) 1  2  3  ... n  . 6 b)    n n   n n  2 1.4 2.7 ... (3 1) 1 (n  1) c)     n  n   2 1.2 2.5 3.8 ... . 3 1  n n   1 với mọi n dương. u  1 1 Bài 2. Cho dãy số   u với n   un u   n 1  2
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát. Trang 8
b) Tính số hạng thứ 10 của dãy số. u  1
Bài 3. Dãy số u được xác định bằng công thức 1   n  n 1 3 ' u  u  n  n1 n
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b) Tính số hạng thứ 30 của dãy số.
Bài 4. Cho dãy số u , biết 2    với n 1 n  u 3; u 1 u 1 n 1 n
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. n
Bài 5. Xét tính tăng, giảm của dãy số u sau: n  u  2 n    1 n 1 a)  u  b) n   2 3u 1 n n 1 u   ,n  2  n  4
Bài 6. Xét tính bị chặn của dãy số sau:  2 1.3.5...2n   1 a)  n u biết 4 5   u  . b) u , biết n 3n 1  c) u biết u  n  n  n  u n n 1 n n  1 n 2.4.6.2n  1   1   1   1  Bài 7*. Cho S  1  1  1  ...  1 . Tính S n          2   4   8   2n  10.
Bài 8. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng.
a) Dãy số u với u  2020n 2021.
b) Dãy số u với u  2  n 5. n  n  n n c) Dãy số u với 2 u  n  n 1.
d) Dãy số u với u    n n  1n n  n  n 3 .
Bài 9. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm công bội của cấp số nhân đó  u  3 1    a)  9 b) u 2 1 u   2 n 1   u  u u   n 1  n n   Bài 10*. Cho dãy số  u 2 u được xác định bởi 1 
  . Chứng minh rằng dãy số vn  n  , n 1 u  4u  9  n 1 n
xác định bởi v  u 3, n
 1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp n n số nhân đó
Bài 11. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thỏa mãn: S  20 u   u  u  9  4 u  2u  0 S  34  a) 1 2 3  . b) 1 5 c) 12  . d)  1 1 1 1 25. 2 2 2  u   u  u  35  S  14 S  45     1 2 3  4  18 u u u u 24  1 2 3 4
Bài 12. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết         a) u u 51 u 6 u u 36 1 5  b) 2  c) 5 2  u  u  102  S  43 u  u  48 2 6  3  6 4 Trang 9    
Bài 13. Cho cấp số nhân  u u u 31
u có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn 1 2 3 n   u  u  26  1 3
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
b) Tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiện bằng 1365?
c) Số 390625 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? Bài 14.
a) Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120.
b) Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số u  19 cộng u , biết rằng 5 n  . u  35  9
Bài 15. Cho các số dương a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng 1 1 1 ; ;
theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng. b  c c  a a  b
Bài 16. Tìm x, y biết 5x  y;2x  3y; x  2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số
 y  2 xy  x  2 1 ; 1;
1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân
Bài 17. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh a)    3     3 ab bc ca abc a b c
b)         2 2 2 2 2 a b b c ab bc Bài 18**.
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Tìm
số đo của góc thứ nhất.
b) Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng
thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
c) Ba số x; y; z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số ;
x 2y;3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm giá trị của q .
d) Cho ba số a,b, c là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng số thứ nhất
thêm 1, tăng số thứ 2 thêm 1 và tăng số thứ 3 thêm 3 thì được ba số mới là ba số liên tiếp của một
cấp số nhân. Tính abc Bài 19.
a) Tìm m để phương trình x  x  m  2 4 2 20 1
 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
b) Tìm giá trị của m để phương trình  2
x  2x  3 x  2m  0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2.
Bài 20. Tìm m để phương trình 3 x   m   2 3
1 x  5m  4 x  8  0 (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số nhân
Bài 21. Chứng minh rằng: Nếu phương trình 3 2
x - ax  bx - c  0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 3 9ab  2a  27 . c
Bài 22. Tính các tổng sau 2 2 2 a) 1 1 1 1  1   1   n 1 S     ...  b)  S  3   9   ...  3  n 2 3 2 2 2 2n n        3   9   3n  Trang 10
c) S  1  11  111  ...  111...1
S  6  66  666  ...  666...6 n  d) n  n soá 1 n soá 6
Bài 23**. Cho hình vuông C có cạnh bằng a. Người ta chia 1  mỗi
cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm
chia một cách thích hợp để có hình vuông C như hình vẽ. Từ 2 
hình vuông C lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các 2 
hình vuông C ,C ,C ,. .,C . Gọi S là diện tích của hình vuông 1 2 3 n i
C i 1,2,3,.. . . Đặt T  S  S  S . . S . . i  1 2 3 n Biết 32 T  , tìm giá trị của a. 3 1 Bài 24*. Cho 2 2
x ; ; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 2 nhất của biểu thức 2 P  3xy  y . Chương 4: Giới hạn I. Lý thuyết. 1. Kiến thức.
- Nêu được khái niệm giới hạn của dãy số (qua ví dụ). Biết các định lý về giới hạn hữu hạn của dãy
số. Các qui tắc tìm giới hạn vô cực. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
- Nêu được khái niệm giới hạn của hàm số, giới hạn một bên. Ghi nhớ và vận dụng được các định
lý về giới hạn hữu hạn của hàm số. Các dạng giới hạn vô định
- Nêu được khái niệm hàm số liên tục.Định lí về tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục. Tính
liên tục hàm đa thức, phân thức hữu tỷ. Định lí (giá trị trung gian) và ý nghĩa hình học. 2. Kỹ năng.
- Sử dụng các kiến thức trên tìm giới hạn của dãy số. Tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
- Trong một số trường hợp đơn giản, tính được:
+) Giới hạn của hàm số tại một điểm;Giới hạn một bên; Giới hạn của hàm số tại  .  +) Giới hạn dạng 0 ; ;   ; 0.  . 0 
- Ứng dụng các định lí nói trên xét tính liên tục của một hàm số đơn giản. Chứng minh một
phương trình có nghiệm dựa vào định lí giá trị trung gian. II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm. 4) Giới hạn dãy số
Câu 61. Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy có giới hạn 0 ? 3 2 2 2 A. n  n 2n  1 n  2n  1 3  n u  . B. u  . C. u  . D. u  . n 2 n  2 n 2 n  2n  3 n 2 3 n  n n 2 n  1
Câu 62. Cho dãy u có limu  3, dãy v có limv  5. Khi đó limu .v  n n  ? n  n  n n A. 15. B. 8. C. 5. D. 3. Trang 11 u
Câu 63. Cho limu  a  0, limv  0, v  0,n . Giới hạn lim n bằng? n  n n vn A. 0. B.  . C.  . D.  . cos n Câu 64. Tính lim . n A. 1 . B. 0 . C.  . D. Không tồn tại Câu 65. Cho limu  3
 ; limv  2. Khi đó limu  v bằng n n  n n A. 5  . B. 1 . C. 5 . D. 1 .
Câu 66. Cho limu  5, limv 13 và lim u  kv   . Khi đó k bằng n n 2007 n n 2002 2007 A. . B. 398. C. . D. 154. 5 13 2
Câu 67. Tính giới hạn sau đây 2n  1 lim . 3 n  3n  3 A. 1 . B. 2 . C. 0 . D.  . 3 n n Câu 68. Tính 2  3.5 lim . 4.3n  5n A. 3  . B. 3 . C. 1 . D. 2  . 4 4 5
Câu 69. Dãy nào sau đây có giới hạn khác  ? n n A.  2020    1   . B.  2019 n . C. 2019   . D. .  2019   2018  2020 n 3 2 Câu 70. Cho   
a, b là các số thực thỏa mãn an bn 2n 4 lim  1. Tổng 2a  b bằng 2 n  1 A. 4. B. 1. C. 3. D. 5. a  2 Câu 71. Biết lim 2 2
4n  5n  2020  4n  3n  2019  a T  0 . Giá trị biểu thức 0 bằng a  1 0 A. 3 T  . B. 5 T  . C. T  2 . D. 4 T  . 2 3 3 Câu 72. Biết giới hạn n với a, b 
là phân số tối giản. Khi đó,   a 2 2 lim n 3 n 2         và a b b giá trị 2a  b bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 8 .  1  1   1 
Câu 73*. Tính giới hạn: lim 1 1 ... 1  . 2   2   2   2 3 n       1 1 3 A. . B. . C. 1 . D. . 4 2 2  1 2 3 2n  4  Câu 74*. Tính lim    ...  . 2 2 2 2   n  4 n  4 n  4 n  4  A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. 2 . 2 Trang 12 u  2020 1
Câu 75*. Cho dãy số u :  2
. Khẳng định nào sau đây sai về dãy u : n  n   u  5 n * u  ,n    n 1  2  u  2 n  5
A. u là dãy số giảm. B. u bị chặn dưới. C. limu  . D. limu  1. n  n  n 4 n
5) Giới hạn của hàm số
Câu 76. Chọn khẳng định đúng: A. lim c  x 0 x  x0
B. lim f  x  L khi và chỉ khi lim f  x  L x  0 x x 0 x
C. lim f  x  L khi và chỉ khi lim f  x  L x  0 x x 0 x
D. lim f  x  L khi và chỉ khi lim f  x  lim f  x  L x   0 x x 0 x x 0 x
Câu 77. Giả sử ta có lim f  x  a và lim g  x  b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x  0 x x 0 x A. lim  f
  x.g  x  . a b  . B. lim  f
  x  g  x  a  b  . x  0 x x 0 x f  x C. a lim  . D. lim  f
  x  g  x  a  b  . x x xx 0 g  x  b 0
Câu 78. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 4 2
I  12 biết I  lim  x  2mx  m   3 . x 1  A. 6. B. 5. C. 8. D. 7.
Câu 79. Cho giới hạn lim  2 2
x  2ax  3  a   3 thì a bằng bao nhiêu? x 2  A. a  2 . B. a  0 C. a  2  . D. a  1  .
Câu 80. Cho hàm số f  x xác định trên  và thỏa mãn lim f (x)  7 thì lim 10  2 f (x) bằng x3 x  3 bao nhiêu? A. 4 . B. 4 C. 10 . D. 14 . 2 Câu 81. Cho  
a, b là các số nguyên và ax bx 5 lim  20 . Tính 2 2 P  a  b  a  b x 1  x  1 A. 400 B. 225 C. 325 D. 320 2 Câu 82. x  3x  4 lim bằng 2 x4 x  4x A. 1 . B. 1 . C. 5 . D. 5  . 4 4   Câu 83. Biết x 1 1 a lim
 . Khẳng định nào sao đây là đúng? x0 2x  1 1 b A. a  b  3. B. a b  3  . C. a  b  2. D. a b 1. 3 Câu 84. Tìm giới hạn 5  2x  7  3x L  lim
ta được giá trị của L là: 2 x2 (x  2)(x  4) Trang 13 A. 1 L  B. 1 L  C. 1 L   D. 1 12 8 8 4 f  x 8 3 f  x  7 1
Câu 85. Cho f  x là đa thức thỏa mãn lim  6. Tính L  lim . x 3  x  3 2 x3 x  2x  3 A. 3 L  . B. 3 L  . C. 1 L  . D. 1 L  . 4 2 2 4 Px  2 P  x  2
Câu 86. Cho đa thức P  x thỏa mãn lim  2. Tính lim x 3  x  3 x 3   2
x  9 Px  2   1 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 6 12 9 9  2020 2019  a a Câu 87. Giả sử lim   , , a b  
 và là phân số tối giản, khi đó ab có giá 2020 2019  x 1  1 x 1 x  b b trị là A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 2 x  2x  3  5x Câu 88. Tìm giới hạn lim ta được kết quả là x 3x 10  A. 2 B. 5 C. 4 D. 1 3 3 3
Câu 89. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? 2 3 2  2 A. x  1 x  x  3 2x 3 2x  x  1 lim . B. lim . C. lim . D. lim . x  x  1 2 3 x 5x  x 2 x x  5x 2 x 3x  x
Câu 90. Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 2 c  a  18 và  2 lim
ax  bx  cx   . Tính giá trị   2 x
của biểu thức P  a  b  5c . A. 9 . B. 5 . C. 18 . D. 1 2 . Câu 91. Biết rằng     . Tính S  4a  b   2 lim 2x x x 2 a 2 b x A. S  5. B. S  1 . C. S  1  . D. S  5  .  Câu 92. Tính 2x 7 lim . x 3  x  3 A.  . B.  . C. 0 . D. 2 .
Câu 93. Chọn kết quả đúng của  5 3 lim 4x  3x  x   1 x A. 4. B. 0. C.  . D.  . 2  Câu 94. Cho hàm số   f  x x 1 khi x 1  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 2x  1 khi x  1 A. lim f x  0. B. lim f x  3. C. lim f x  1. D. lim f x  0. x 1  x 1  x 1  x 1 Trang 14 Câu 95. Tính x  2 lim ?  2 x2 x  5x  6  A. 1 . B. 1. C. 1 . D. 1 2 2 6) HÀM SỐ LIÊN TỤC
Câu 96. Chọn khẳng định sai:
A. Hàm số đa thức liên tục trên  .
B. Hàm số y  f x liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng a;b.
C. Hàm số y  f  x liên tục tại điểm x nếu lim f x  f  x . 0  0 x 0 x
D. Hàm số y  f  x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Câu 97. Hàm số nào sau đây liên tục tại x  2 ? 2  2 2 A. 2x  6x  1 x x  x  1 3x  x  2 f (x)  . B. 1 f (x)  . C. f (x)  . D. f (x)  . x  2 x  2 x  2 2 x  4 x 
Câu 98. Cho hàm số f  x 2 3 
. Mệnh đề nào sau đây đúng ? x  2
A. Hàm số liên tục trên khoảng 1;5.
B. Hàm số gián đoạn tại x  2020
C. Hàm số liên tục tại x  2
D. Hàm số gián đoạn tại x  2
Câu 99. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên  ? 3 x  3 3 2 A. x  2 x  1 2x  5x  6 y  . B. y  . C. y  . D. y  tan 3x . 2 x  2 1 cos x x  1 2 Câu 100. Cho hàm số  f  x x 1 
. Hàm số y  f  x liên tục trên khoảng nào sau đây? 2 x  5x  6 A. 3;2. B. 3; . C.  ;   3 . D. 2;3.
Câu 101. Trong các hàm số sau đây, có bao nhiêu hàm số liên tục trên  . sin x 1) 3 2
y  3x  x  x 1.2) y  cos 2x  tan x .3) 2
y  sin x  x  2020.4) y  . x 2  5) 2 x  x  1 x 2 y  .6) 3
y  x 1  x  2 .7) y  . x  2 2 2x  x 1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 .   x x 
Câu 102. Xét tính liên tục của hàm số f  x 1 2 khi 0  
.Khẳng định nào sau đây đúng? 2 khi x  0
A. Hàm số f  x liên tục tại x  0.
B. Hàm số f  x liên tục tại 1  .
C. Hàm số f  x liên tục trên . 
D. Hàm số f  x gián đoạn tại x 1.
Câu 103. Hàm số f  x  3  x  4  x liên tục trên Trang 15 A.  3  ;10 . B. 3;4. C.  3  ;   . D.  ;   4 . 2 Câu 104. Cho các hàm số x  1 2
y  x ; y  sin x; y  tan x; y 
. Có bao nhiêu hàm số liên tục 2 x  x  1 trên  . A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 105. Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x 1? A. B. C. D. . 2
x  ax 1 khi x  1
Câu 106. Tìm a để hàm số f  x   liên tục trên  . 2
2x  x  3a khi x 1 A. 1 . B. 1  . C. 1  . D. 1 . 2 2 6 2 2x  3x 1  
Câu 107. Cho hàm số f  x khi x 1   x 1
. Tìm giá trị của tham số a để hàm số f  x 2a 1 khi x 1 liên tục tại x 1. A. a  4 . B. a 1. C. a  0 . D. a  3 . 2  x  4  
Câu 108. Cho hàm số f x khi x 2   x  2
. Tìm k để hàm số liên tục trên tập  . k khi x  2 A. k  2  . B. k  0 . C. k  2 . D. k  4 . a khi x  2 Câu 109. Cho 
f  x  x  1 khi x  2;3. Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên đoạn 2;  3 là  b khi x  3 A. a  2,b  3. B. b  3, a  4. C. a  3,b  2. D. a  3,b  4. Trang 16 2 3 x  x  3  13x 1
Câu 110. Cho hàm số f  x 
x  2. Để hàm số liên tục trên  thì phải x  2 bổ sung thêm  a f 2 a,b     ;a,b  
1 . Khi đó H  b  a chia hết cho số nào sau đây? b A. 8 . B. 6 . C. 4 . D. 5 .   x  22 , x  1  Câu 111. Cho hàm số  f  x 2  3
 x  6 , x  1 . Tìm a để hàm số gián đoạn tại điểm x 1. 0  2 4a  5, x  1  A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 2 .
Câu 112. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f (x) liên tục trên đoạn a;b và f (a). f (b)  0 thì phương trình f (x)  0 có nghiệm.
II. f (x) không liên tục trên đoạn a;b và f (a). f (b)  0 thì phương trình f (x)  0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng. C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai.
Câu 113. Cho phương trình 3
3x  2x  2  0 . Xét phương trình f x  0   1 , trong các mệnh đề
sau, tìm mệnh đề đúng? A.   1 vô nghiệm. B.  
1 có nghiệm trên khoảng 1;2 . C.   1 có 4 nghiệm trên  . D.  
1 có ít nhất một nghiệm.
Câu 114. Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 1;5 và f  
1  2, f 5  10 . Khẳng định nào sau đây ĐÚNG ?
A. Phương trình f  x  6 vô nghiệm.
B. Phương trình f  x  7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng 1;5.
C. Phương trình f  x  2 có hai nghiệm x  1, x  5 .
D. Phương trình f x  7 vô nghiệm.
Câu 115. Cho phương trình: m  x  2020 2 4 1  2019. 4  x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể phương trình trên vô nghiệm? A. 5 B. 3 C. 4 D. 1 B. Bài tập tự luận.
Bài 26. Tính giới hạn của các dãy số sau n 2   1 1 sin 2n 1) 3n  4n  1 lim . 2) lim 2 2n  3n  7 3 2n  1 2   n   1  2 2n  n 2  n 1 3) n  2n  2n lim   4)  lim . n  2 3   n   1 n  2  3n Trang 17 n n  1 1 1  5) 3  4 lim . 6) lim  ...  3n  4n 1.3 3.5 2n 12n 1         2 n 7) 1 2 ... n     lim 8) 1 2 2 ... 2 lim 2 n  3n 2 1  3  3  ...  3n
Bài 27. Tìm giới hạn của hàm số 2 1) 2 tan x  1 x  3x  2 A  lim 2) B  lim  x 2 x sin x  1 x  2 6 3 4 4 2
1 5x  1 6x 3) x  5x  4 C  lim 4) D  lim 3 x 2 x  8 x0 x
1 x1 2x13x 1 2 3x 1   1 5) E  lim 6) F  lim x 0  x x 0  x 2 x  3x 3x  1  4 7) G  lim 8) H  lim x0 4x 1 1 x5 3  x  4 3 x 1 1 3 1 4x  1 6x 9) K  lim 10) L  lim x 2  x  2 2 x 0  x
Bài 28**. Tìm các giới hạn sau: (Bài tập của chương 5) tan x   1 1) lim 2) tan 2 . x sin 5x lim x 1  x 1 2 x0 x  3 1 1 2sin 2x 3) cos3x cos 4x lim 4) lim x0 cos 5x  cos 6x x 0  sin3x 4 2 5) sin 2x 3x  5sin 2x  cos x lim 6) lim 4 x0 sin 3x 2 x  x  2 1 n  cos ax 7) 2 2 lim x cos 8) lim x0 nx 2 x 0  x 2 f  x 1
Bài 29. Cho lim f  x 3. Tìm giới hạn A  lim . x 2  2 x2 f  x 1 2    Bài 30. Cho biết 1 ax bx 2 lim
 c , với c là một số nguyên và a,b   . Phương trình 3 1 x 4x  3x 1 2 4 2
ax  2bx  c 1  0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên  ?
Bài 31. Tìm các giới hạn sau: 2 1) 2x  3x  2    2) lim .    2 2 lim x 2 x x 1 x  x 2 5x  x  2 3 4 6 3) x   . 4) 1 x  x lim   2 lim 4x 1 x x  x 3 4 1 x  x Trang 18 5)  4 2 lim x  x  3. 6)    .  2 2 lim 3x 2 2x 3x x  x 4 2 x  x  3 3 7) lim 8) lim x 2 2 x 4x  5 x 2 4x  x 1  2x  10) 1 x    11) lim    2 lim 4 x 3x 2 2x x   3 x 1 x  1 2 x  4x  3 2 x  2x  3 12) lim 12) lim x  2  2 x     3 2 1 x  x x2 x  2x  3 x  , khi x  3
Bài 32. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f  x   x 1 2 có giới hạn m khi x 3 lim f  x  . x  3
Bài 33. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm tương ứng. 3  x  27 khi x  3  2 a) Cho hàm số  f  x x  x  6  
. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 3. 27  khi x  3  5 2  x 1    b) Cho hàm số f  x khi x 1   x 1
. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định. 2, khi x  1  x  3 khi x  3 c) Cho hàm số  f  x  2x  3  3 
. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 3.   x   2 1 khi x  3 2 x , x  1  3  2x
d) Cho hàm số f  x  
, 0  x  1. Xét tính liên tục trên .  1 x  x sin x, x  0   3 x  khi x  3
Bài 34. a) Cho hàm số f ( ) x   x 1 2
. Xác định m để hàm số liên tục tại điểm x 3. 3  m2 khi x 3  2x 1  x 5  khi x  4 b) Cho hàm số f ( ) x   x  4
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x 4 a2 khi x  4 . Trang 19 2  a x  2  khi x  2
c) Cho hàm số f x   x  2  2
. Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định.   1 a   x khi x  2 4 2 x  5x  4  khi x  1  d) Cho hàm số f  x 3   x 1
. Tìm m để hàm số liên tục tại x  1   2 2 m  x  2mx  5 khi x  1 
Bài 35. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau thỏa mãn điều kiện chỉ ra a) Phương trình 4 2
4x  2x  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (1;1). b) Phương trình 3
x  3x 1  0 có đúng ba nghiệm phân biệt. c) Phương trình 4
x  x  3  0 có một nghiệm thuộc khoảng 1;2 . d) Phương trình 3
x  2x  4 3 3 2x có đúng một nghiệm.
e*) Phương trình m  x  x  2019 2  2020 5 6 5 x
 2 x   2x  1  0 có ít nhất 1 nghiệm với  m. Chương 5: Đạo hàm I. Lý thuyết. 1. Kiến thức.
- Nêu được định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng), ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ
học. Nhớ và áp dụng được quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số; hàm hợp
và đạo hàm của hàm hợp.
- Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục. Đạo hàm của hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. sin x 0 - Nhớ lim
 1 và vận dụng trong một số giới hạn dạng . Nhớ và vận dụng được công thức x0 x 0
tính đạo hàm của hàm số lượng giác vào làm bài tập.
- Nhớ được dy  y '.dx . Ghi nhớ định nghĩa đạo hàm cấp cao. 2. Kỹ năng.
- Tính được đạo hàm của hàm số.Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
thuộc đồ thị. Biết tìm tốc độ tức thời tại một thời điểm của một chuyển động có phương trình S  f (t).
- Tính được đạo hàm của một số hàm số lượng giác và một số giới hạn của hàm số lượng giác.
- Tính được vi phân của một hàm số và giá trị gần đúng của hàm số tại một điểm nhờ vi phân. Tính
được đạo hàm cấp cao của một số hàm số. Tính được gia tốc tức thời của một chuyển động có
phương trình S  f (t). cho trước. II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm.
Câu 116. Cho f  x là hàm số liên tục tại x . Đạo hàm của hàm số f  x tại x là 0 0 f  x  h  f x f  x  h  f x 0   0 0   0  A. lim
(nếu tồn tại giới hạn). B. . h 0  h h Trang 20 f x  h  f x 0   0 C. f  x . D. lim
(nếu tồn tại giới hạn). 0  h 0 x h  Câu 117. Nếu f (x) f (1)
f  x là các hàm số có đạo hàm và f   1  2 , thì giá trị lim bằng. x 1  x 1 1 1 A. . B. 2 . C. 4 . D. y  . 2 4 3 2  x  4x  3x   Câu 118. Cho hàm số , x 1
f  x xác định trên  \   2 bởi f  x 2   x  3x  2 . Tính f '  1 0 , x  1 A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. Không tồn tại.      
Câu 119. Cho f  x  cos3x . Tính f    f      .  3   2  A. 3 . B. 3  . C. 0. D. 6.
Câu 120. Tính đạo hàm của hàm số 2 y  2x  1 . 2x 2x 2x 2x A. y   . B. y  . C. y   . D. y  . 2 2 2x 1 2 2 2x 1 2 2x 1 2 2x  1 3 2
Câu 121. Tính đạo hàm của hàm số x  3x 2 y  2x  với x  3 . x  3 A. 4x. B. 2x. C. 6x. D. 2 x . ax  b Câu 122. Hàm số y 
( c, d không đồng thời bằng 0 ) có đạo hàm được tính bằng công cx  d thức: A. ad  bc ab  cd ad  bc a  b y  . B. y  . C. y  . D. y  . cx  d 2 cx  d 2 cx  d 2 cx  d 2 2 x  x  3    a Câu 123. Cho    . Tính S  a  b?  2x 1  2x  1b A. S  29 . B. S  2  3. C. S  2  2. D. S  30. 2 2
Câu 124. Đạo hàm của hàm số x  3x  1 ax  bx  c y  có dạng . Tổng các nghiệm của 2  x  1 x  2 2 1 phương trình 2
ax  bx  c  0 bằng bao nhiêu? A. 1 . B. 1 . C. 0 . D. 2 .  Câu 125. Cho  2  3x  ax  b    , với b  0 . Tính a A  .  6x 1  6x   1 6x  1 b  A. A  1 . B. A  3  . C. 1 A  . D. 1 A  . 3 3 Câu 126. Cho hàm số 2 y  x 2x  
1 5x  3có đạo hàm 3 2
y'  ax bx cx . Khi đó a 10b  c bằng Trang 21 A. 4 . B. 31. C. 51. D. 34.
Câu 127. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  thỏa mãn f    219. Đạo hàm của hàm số g  x  sin 2 .
x f  x tại x   bằng A. 219. B. 438. C. 220. D. 436.  x Câu 128. Cho hàm số f ( )
x  x  2 có đạo hàm là f x , hàm số g(x)  4x  sin có đạo hàm là 4
g x . Tính giá trị biểu thức P  f 2.g2 .  16 1  A. P  1 . B. P  . C. P  . D. P  . 16 4 16 2 Câu 129. Cho hàm số 2x  3x y  f (x) 
. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số tại x  2 . 1  x A. y(2)  2. B. y (2)  2 . C. y(2)  3 . D. y (2)  3 .
Câu 130. Cho f x   x  5 2 . Tính f 3 . A. 2  0. B. 20. C. 27. D. 2  7.   
Câu 131. Cho hàm số y  2sin 2x  2x 1. Tập nghiệm của phương trình y '  0 trên 0;  là: 2      5       A. S   ;  . B. S    . C. S   . D. S     . 1  2 12  1  2  6 
Câu 132. Cho hàm số   2 f x 
x  x . Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình f  x  f  x .
Tập S có bao nhiêu phần tử là các số nguyên? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1 . 5 2
Câu 133. Cho hàm số f x  2x  
 2 . Phương trình f x  0 có tất cả bao nhiêu 3 x 3x nghiệm? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 134. Cho hàm số f  x 1 3  x  m  2 2
x  2m  3 x  2020 , biết rằng tồn tại giá trị m sao 3 cho f  x  0với x
   , khi đó m thuộc khoảng nào sau đây? A. 0;2. B.  3  ;  1 . C. 3;6 . D.  4  ; 2 .
Câu 135. Cho hàm số f  x  sin x  cos x  2 x  2019 . Tập nghiệm của phương trình f x  0 là  3    3        A. 
 k2, k . B.   k2, k  . C. 
 k2, k . D.   k2, k .  4   4   4   4  2  Câu 136. Cho hàm số    f  x ax bx 1, x 0  
. Khi hàm số f  x có đạo hàm tại x 0. Hãy 0 ax  b  1, x  0 tính T  a  2b . A. T  4 . B. T  0 . C. T  6  . D. T  4 . Trang 22
Câu 137. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2
s  t  3t ( t tính bằng giây, s
tính bằng mét). Tìm mệnh đề đúng.
A. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là 24 m / s.
B. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 9 2 m / s .
C. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là 1 2 m / s.
D. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là 18 2 m / s . 
Câu 138. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 y 
tại điểm có hoành độ x  3  là x  2 A. y  3x  13 . B. y  3x  5 . C. y  3  x 13 . D. y  3x  5 . 2x 1 Câu 139. Cho hàm số y 
có đồ thị là C và điểm M thuộc C có hoành độ bằng 2. x  3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M có dạng y  ax  b với a,b   . Tính P  a  2b. A. P  3  1. B. P  31. C. P  1 1 . D. P  5  .
Câu 140. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 3 2
y  x  2x  3x  1 , biết tiếp tuyến 3
song song với đường thẳng d : y  8x  2 . 11 97 1 7 A. y  8x  , y  8x  .
B. y  8x  , y  8x  . 3 3 3 3 C. 2 y  8x  , y  8x . D. 1 11 1 97 y   x  , y   x  . 3 8 3 8 3 2 Câu 141. Cho hàm số x  x  1 y 
có đồ thị C. Tìm phương trình tiếp tuyến của C đi qua x  1 điểm A 1  ;0 . A. 3 y   x   1 . B. 3 y  x . C. y  3x   1 . D. y  3x  1. 4 4
Câu 142. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f x thỏa mãn 2 f   x 3 3 2
 x 1 f  x tại điểm có hoành độ x 1. 1 8 1 1 1 8 A. y  x  . B. y  x  1. C. y  x  1. D. y  x  . 7 7 7 7 7 7
Câu 143. Cho đồ thị hàm số   3 2
f x  x  bx  cx  d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có 1 1 1
hoành độ x , x , x . Tính giá trị của biểu thức P    . 1 2 3 f  x f  x f  x 1   2   3  A. P  3  2b  c . B. P  0. C. P  b  c  d . D. 1 1 P   . 2b c Trang 23
Câu 144. Cho hàm số f  x 1  , x  1  . Gọi S  f  
1  f 2  ...  f 2020 . x  2  x  1
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1 0  S  . B. 1  S  1. C. S  1 . D. S  0. 2 2
Câu 145. Cho đa thức ( )  (1 2 )n f x x 2 n
 a  a x  a x    a x n  N . Tìm hệ số a , biết n  * 0 1 2  2 rằng a  2a    na 13122n. 1 2 n A. a  756. B. a  252. C. a  2268. D. a 144. 2 2 2 2
Câu 146. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y  f  x như hình bên dưới 3
Đặt g x  f x x 2 
 x  x  2 . Số nghiệm của phương trình g x  0 là 3 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1 .
Câu 147. Cho hàm số y  f  x  
có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y
f  x như hình bên dưới
Đạo hàm của hàm số g  x  f 3 2x nhận giá trị âm trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0; 2 . B. 1;3 . C.  ;    1 . D.  1  ;.
Câu 148. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên  và thỏa mãn f  x   2 3
1  x  4x  4 với mọi
x. Tính f 4 . A. 2 . B. 2  . C.  2 . D. 12 . 3
Câu 149. Cho hàm số y  f (x) và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x ;x ; x ; x như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là SAI? A B C D Trang 24 A. f (
 x )  0; f (x )  0. B. f (x ).f (x ).f (x )  0. A D A B C C. f (
 x ).f (x ). f (x )  0. D. f (
 x ).f (x ). f (x ). f (x )  0. A B D A B C D
Câu 150. Cho hai hàm số y  f  x , y  f  f x có đồ thị lần lượt là C và C . Đường thẳng
x  2 cắt C, C lần lượt tại M và .
N Biết phương trình tiếp tuyến với C tại điểm M là
y  2x  2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến của C tại điểm N là A. y  2x  6 . B. y  4x  6 . C. y  2x  2 . D. y  4x  8 . B. Bài tập tự luận.
Bài 36. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 2 3 1) 5 4 3 2 y 
x  x  x  x  4x  5 . 2) 5 3
y  x  4x  2x  3 x . 2 3 2 2 3) 1  4x  x y  4) y  x  x 3 2 3 x 5) y   2 x  x  3 x  2 . 6) y   2 x   2 x   2 x   2 2 3 4 x  5  2 7) 2x x   y  . 8) x 2x 8 y  4  3 x 2x  3 1 9) y   10) 2 y  x  5x  9 x  x  5 2 1 3 x 11) y  12) y   x   2 4 3 x  2 x  2 . x  1 13) y  sin 2x  cos 5x 14) y  sin . x cos 4x 15) 6 4 2 2 4 4 y  cos x  2sin . x cos x 3sin . x cos x sin x.
16) f  x  tan x  cot x 2  Bài 37. Tìm x  3x khi x  2
a, b để hàm số f  x  
có đạo hàm tại x  2 ax  b khi x  2 Bài 38.
Cho đồ thị hàm số y  f  x xác định trên khoảng  ; a b như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm x , x , x , x . 1 2 3 4
a) Hàm số có liên tục không?
b) Hàm số có đạo hàm không? Trang 25 Tính đạo hàm nếu có. Bài 39. a) Cho hàm số 2
y  2x  x . Chứng minh 3 y .y 1 0. 3 3 b) Cho hàm số sin x  cos x y 
. Chứng minh y  y  0 . 1  sin x.cos x
c) Cho hàm số y  xsin x . Chứng minh .
x y  2 y  sin x  xy  0 . Bài 40. Cho hàm số 1 3 y  x  2m   2
1 x  mx  4 . Tìm m để: 3
a) y  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) y  có thể viết được thành bình phương của nhị thức. c) y   0, x  R. d) y  0 , x  1 ; 2 . e) y  0 , x  0 . Bài 41. 1) Cho hàm số f  x 2
 x  2 x . Giải bất phương trình f  x  f  x .
2) Giải phương trình f  x  0 trong các trường hợp sau
a) f x  sin3x 3sin x  7 ;
b) f x  cos2x  2sin x 1. 2x  4 3) Cho hàm số y 
. Giải phương trình y  0 . 2 x  4x  3 Bài 42. Cho hàm số 3 2 y  x  x  2x  4.
a). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  1  .
b). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y  4.
c). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 2. Bài 43. 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 2x 1 : y 
song song với đường thẳng x  2
:3x  y 2  0 . 2 b) Cho hàm số x  3x  1 y 
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x  2 có hệ số góc k  2 . 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 2x 1 : y  đi qua điểm A 1  ;4. x 1 Trang 26 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   x C : f  x  
 x  1 đi qua điểm M 2;  1 . 4 Bài 44. Cho hàm số 3 2
y  x 3x có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng
1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng d y   2 : m  4 x  2m 1. Bài 45. Cho hàm số 4 y  x  m   2 2
1 x  m  2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số
có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A vuông góc với
đường thẳng  : x  4y 1  0 . Bài 46.  a) Cho hàm số 2x 2 y 
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo x 1
với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. b) Cho hàm số 3
y  x 3x 2 có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đường thẳng d : y  9x 14 sao cho
từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với (C). Bài 47.
a) Cho hàm số f x  2018  x2017  2x2016  3x...1 2018x . Tính f 1 .   
b) Cho hàm f  x  thỏa mãn f  x    f  x 2 sin 1 cos  cos x   . Tính f 1 .  4  II. Phần Hình học:
Chương 3: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. I. Lý thuyết. 1. Kiến thức.
- Ghi nhớ quy tắc hình hộp để cộng vectơ. Khái niệm, điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
- Nêu được vectơ chỉ phương của đường thẳng; Cách xác định góc giữa hai đường thẳng; khái
niệm và điều kiện hai đường thẳng vuông góc với nhau.
- Trình bày được định nghĩa, điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Phép chiếu vuông
góc; mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Trình bày được khái niệm góc giữa hai mặt phẳng; Khái niệm, điều kiện hai mp vuông góc.
Tính chất hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương;
Khái niệm hình chóp đều, chóp cụt đều.
- Nêu được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Biết được: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Xác định được góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng. Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. Trang 27 2. Kỹ năng.
- Xác định được góc giữa hai vectơ. Vận dụng được: phép cộng, trừ; nhân vectơ với một số, tích
vô hướng của hai vectơ; sự bằng nhau của hai vectơ. Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không
đồng phẳng của ba vectơ.
- Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng. Biết chứng minh
hai đường thẳng vuông góc.
- Biết cách chứng minh: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hai đường thẳng vuông góc. Xác
định được hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng, một tam giác. Xác định được góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Biết xét mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
- Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Vận dụng
được tính chất của lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều vào giải một số bài tập.
- Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Biết và xác định được: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Xác định
được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. II. Bài tập.
A. Bài tập trắc nghiệm. 1) Vectơ trong không gian Câu 1. Cho hình hộp ABC .
D A'B'C'D'. Đẳng thức nào sau đây đúng?
   
   
A. AB  B 'C '  DD '  AC ' .
B. AB  B 'C '  DD '  0 .
   
   
C. AB  B 'C '  DD '  A 'C .
D. AB  B 'C '  DD '  A 'C ' .
Câu 2. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:   
A. Vì IA  IB  0 nên I là trung điểm của đoạn A B .   
B. Vì I là trung điểm của đoạn A B nên với điểm O bất kỳ, ta luôn có 1 IO  (AO  BO) . 2    
C. Vì AB  2 AD  AC  0 nên A , B ,C , D đồng phẳng.
    
D. Vì AB  CB  CD  AD  0 nên A, B ,C , D đồng phẳng.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD, gọi G ,G ' lần lượt là trọng tâm tứ diện ABCD và tam giác BCD.
Khẳng định nào dưới đây là sai?
       
A. GA  GB  GC  GD  0. B. GA  3GG '  0. C. A , G , G ' thẳng hàng.
D. G là trung điểm của đoạn AG '.
Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N ,G lần lượt là trung điểm AB ,CD, MN ; I là điểm bất kỳ
trong không gian, đẳng thức nào dưới đây sai?       A. 1 1 IG  IM  IN  . B. MN   AD  BC 2 2
    
 1   
C. GA  GB  GC  GD  4GI .
D. AG   AB  AC  AD . 4 Câu 5. Cho hình chóp .
S ABCD , đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm của đoạn
SO . Đẳng thức nào dưới đây là sai?
   
     A. SA  SD  SB  SC .
B. SA  SB  SC  SD  4SO .
    
   
C. IA  IB  IC  ID  2SO . D. SB  SD  SA  SC . Trang 28
     
Câu 6. Cho hình lăng trụ AB . C A'B'C' có AA'  , a AB  ,
b AC  c. G là trọng tâm của tam giác A B  C
 .Đẳng thức nào dưới đây sai?                A. 1
AG  a  b  c. B. BC '  a  b  c . C. 2 1 BG  a  b  c . D. 1 2 C 'G  b  c . 3 3 3 3 3   
Câu 7*. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi AM  2 AB  3AC ;   
  
DN  DB  x DC . Tìm x để các véc tơ AD , BC , MN đồng phẳng. A. x  1  . B. x  3  . C. x  2  . D. x  2 .
Câu 8. Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a,b,c . Chọn mệnh đề đúng:
A. Nếu a vuông góc với b và b vuông góc với c thì a vuông góc với c .
B. Nếu a vuông góc với b và b song song với c thì a vuông góc với c .
C. Nếu a,b cùng vuông góc với c thì a vuông góc với b .
D. a và b song song với nhau, c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường nằm trong mp a ,b.
 
Câu 9. Cho hình lập phương ABC .
D A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Khi đó AB.A 'C ' bằng: 2 a 2 A. 2 a . B. 2 a 2 . C. 0 . D. . 2 Câu 10. Cho hình chóp .
S ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là  
hình vuông. Gọi M là trung điểm của đoạn C . D Giá trị MS.CB bằng 2 2 2 2 2a A. a . B. a  . C. a . D. . 2 2 3 2
2) Hai đường thẳng vuông góc.
Câu 11. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Góc giữa hai đường thẳng B D
  và AA bằng 60.
B. Góc giữa hai đường thẳng AC và B D   bằng 90.
C. Góc giữa hai đường thẳng AD và BC  bằng 45.
D. Góc giữa hai đường thẳng BD' và AC bằng 90.
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  BD  a và  0 BAC   0 120 ,CAD  90 . Góc giữa   AB & CD bằng A. 0 180 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  BD  a và  BAC   0 BAD   0 60 ,CAD  90 . Gọi  
I , J lần lượt là trung điểm của đoạn AB ,CD . Góc giữa AB & IJ bằng: A. 0 60 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a , BC  a . Các cạnh
bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC . A. 45. B. 30. C. 60. D. arctan 2 .
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau, biết
AB  AC  AD 1. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45. B. 60. C. 30. D. 90. Trang 29
Câu 16. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC , ABC ' nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.  
Góc giữa AB & CC ' bằng: A. 0 60 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 45 . 1    
Câu 17*. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Khi đó 2 2 2 S  AB .AC  k(A . B AC) . Giá trị của k 2 bằng: 1 1 A. 0. B. . C. . D. 1 . 2 4
Câu 18. Trong hình hộp ABC . D A B  C  D
  có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. BB  BD. B. AC  BD . C. A B   DC . D. BC  A D  .
Câu 19. Trong không gian cho đường thẳng  và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với ? A. 1 . B. 3 . C. Vô số. D. 2 . 
  
Câu 20. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
 . Biết MA  k.MD ', NA'  l.NB . Khi MN vuông góc
với A'C thì khẳng định nào sau đây đúng? A. k  1,l  R . B. l  1, k  R . C. k  1  ,l  R . D. l  1  , k  R .
3) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mp P thì nó vuông góc với mp P.
B. Một đường vuông góc với một trong hai mp song song thì nó cũng vuông góc với mp còn lại.
C. Đường thẳng vuông góc với mp thì vuông góc với mọi đường nằm trong đó.
D. Một đường thẳng vuông góc với một mp cho trước thì mọi đường thẳng song song với đường
thẳng đó đều vuông góc với mp.
Câu 22. Dữ kiện nào dưới đây có thể khẳng định d  P. d  d d  (Q) d '  (P) 1  (I)  (II)  (III) d  d (IV) 0 (d,( ) P )  90 (P) / /(Q) d / /d ' 2 T  rong(P) : d d  I  1 2   A. Chỉ có (III). B. (I), (II), (III). C. (III), (IV). D. Cả 4 khẳng định.
Câu 23. Tìm các mệnh đề sai: a / /b   / /   (I )
  ( )  b II       a   ( )  a a       ( )  a  a    (III )
  ( )    ( IV )   a / /b ( )  a b    A. (I). B. (II). C. (III). D. (III), (IV). Trang 30
Câu 24. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
A. Là góc giữa véctơ chỉ phương của đường thẳng và véctơ khác không vuông góc với mặt phẳng.
B. Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mp. C. Có thể là góc tù.
D. Luôn luôn là góc nhọn.
Câu 25. Cho tứ diện ABCD có AB, BC ,CD đôi một vuông góc với nhau. Khi đó CD vuông góc với A.  ABD B.  ABC .
C. mp trung trực của đoạn BC . D. mp trung trực của BD.
Câu 26. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đôi một vuông góc nhau. Khi đó hình chiếu
vuông góc của O lên mp  ABClà: A. Trọng tâm A  BC . B. Trực tâm A  BC .
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp A  BC .
D. Tâm đường tròn nội tiếp A  BC .
Câu 27. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đôi một vuông góc nhau. H là hình chiếu
vuông góc của điểm O lên mặt phẳng  ABC. Chọn kết luận sai: A. 1 1 1 1    . B. BC  (OAH ) . 2 2 2 2 OH OA OB OC C. H là trực tâm A  BC . D. Tam giác ABC có
ít nhất một góc không nhỏ hơn 90o. Câu 28. Cho hình chóp .
S ABCcó SA   ABC, Tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H , K lần lượt
là trực tâm tam giác ABC và SBC . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây: A. HK  (SBC) . B. CK (SAB). C. BH (SAC). D. CH (SAB).
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD, SA  a 2.
Góc giữa SC và SAB bằng: A. 900. B. 300. C. 450. D. 600.
Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA   ABCD, SA  2 . a
Tính góc giữa SC và SBD. A. 0 18 26 ' . B. 0 45 35 ' . C. 0 15 47 ' . D. 0 20 42 ' .
Câu 31. Cho tứ diện ABCD, AB  BCD , AB  a 3, B
 CD đều cạnh a. Góc giữa AC và BCD A. 900. B. 300. C. 450. D. 600. Câu 32. Cho hình chóp .
S ABCcó đáy ABC vuông tại B, SA vuông góc với ( ABC). Khẳng định nào là sai? A. SB  AC . B. SA  AB. C. SB  BC. D. SA  BC . Trang 31
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD và đáy ABCD là hình vuông. Từ A kẻ
AM  SB. Khẳng định nào sau đây đúng? A. AM  SBD . B. AM  SBC . C. SB  MAC . D. AM  SAD . Câu 34. Cho hình chóp .
S ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH   ABC ,
H   ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H trùng với trực tâm tam giác ABC.
B. H trùng với trọng tâm tam giác ABC.
C. H trùng với trung điểm AC .
D. H trùng với trung điểm BC .    Câu 35. Cho hình chóp .
S ABC có SA  SB  SC, ASB  90, BSC  60, ASC 120. Tính góc
giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC . A. 90. B. 45. C. 60. D. 30. a 2 
Câu 36. Cho hình lăng trụ AB . C A B  C   có AA 
 , BC  a 2 , ACB 135. Hình 2 , AC a
chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C M
 với mặt phẳng ACC A? A. 90. B. 60. C. 45. D. 30.
Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AB   ABC. B. AC  BC . C. CD   ABD . D. BC  AD .
Câu 38. Cho hình lập phương ABC .
D A'B'C'D' . Kết luận nào dưới đây sai: A. AC '  (A' BD) . B. AC '  (B 'CD ') . C.  A'BD  (B'CD')  . D.  A B AB C D  0 ' ,( ' ' ) 45 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD ,có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA   ABCD . Gọi M là
trung điểm của BO. Mặt phẳng P qua M và P  BC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. Hình thang cân.
B. Hình thang vuông. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật. Câu 40. Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại Avới AB  a , BC  2 . a Điểm H a 6 thuộc cạnh AC sao cho 1
CH  CA , SH là đường cao hình chóp . S ABC và SH  . Gọi I 3 3
là trung điểm BC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng đi qua H và vuông góc với AI . 2 2a 2 2a 2 3a 2 3a A. . B. . C. . D. . 3 6 3 6
4) Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 41. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một mp thứ ba thì song song với nhau.
B. Nếu hai mp vuông góc với nhau thì mọi đường trong mp này sẽ vuông góc với mp kia. Trang 32
C. Nếu hai mp phân biệt (P), (Q) cùng vuông góc với mp (R) thì giao tuyến d của (P), (Q) sẽ vuông góc với (R).
D. Hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, với mỗi điểm A thuộc (P), B thuộc (Q) thì AB vuông góc d.
Câu 42. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một đường thẳng d cho trước xác định được duy nhất một mp (P) vuông góc với (Q) cho trước.
B. Có duy nhất một mp đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mp cắt nhau cho trước.
C. Các mp cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mp cho trước thì luôn đi qua
một đường thẳng cố định.
D. Hai mp vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mp này và vuông góc với giao tuyến sẽ
vuông góc với mp còn lại.
Câu 43. Dữ kiện nào dưới đây không thể kết luận (P) (Q)? d  (Q) d  (Q),d  (P)  A. 1 2  . B.  . d  (P)  (  d ,d )  90o  1 2 d  (Q), d , d  (P) d  (Q), d  (P) C. 1 2  . D. 1 2  .
d  d , d  d , d  d  I  d  d 1 2 1 2  1 2 Câu 44. Cho hình chóp .
S ABC có SA vuông góc với đáy, SA  2BC và  BAC 120. Hình chiếu
vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là M và N . Góc của hai mặt phẳng  ABC và  AMN  bằng A. 45. B. 60. C. 15 . D. 30. Câu 45. Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA  SB  SC  a . Góc giữa
 ABCD và SBDbằng: A. 300. B. 450. C. 600. D. 900.
Câu 46. Giả sử  là góc của hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng a . Khẳng định đúng là A. tan  8 . B. tan   3 2 . C. tan  2 3 . D. tan   4 2 .
Câu 47. Cho hình lăng trụ đều AB . C A B  C
  có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a . Tính góc
giữa hai mặt phẳng  AB C   và  AB C  .   3 3 A. . B. . C. arccos . D. arcsin . 6 3 4 4 Câu 48. Cho hình chóp .
S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  2a. Cạnh bên SA
vuông góc với đáy  ABCD , SA  2a. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng SBD và  ABCD . 5 A. 1 . B. 2 . C. 5 . D. . 5 5 2
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD  DC  a .
Biết SAB là tam giác đều cạnh 2a và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Tính
cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC . Trang 33 3 5 A. 2 . B. 2 . C. . D. . 7 6 7 7
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng: 2 2 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Câu 51. Cho hình chóp .
S ABC có đáy là tam giác đều và mặt bên SAB vuông góc với mặt
phẳng đáy  ABC. Gọi H là trung điểm của AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. AC  SAB . B. CH  SAB . C. BC  SAB . D. SA   ABC . Câu 52. Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy.
Gọi M là trung điểm của AC . Khẳng định nào sau đây sai? A. BM  AC . B. SBM   SAC . C. SAB  SBC . D. SAB  SAC .
Câu 53. Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng  ABC và  ABD cùng vuông góc với DBC . Gọi
BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD . Chọn
khẳng định sai trong các khẳng định sau? A.  ABE   ADC.
B.  ABD   ADC .
C.  ABC  DFK  . D. DFK    ADC .
Câu 54. Cho hình lập phương ABC . D A B  C  D
 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.  ABC '   A'DC '.
B.  A'BD  BDC ' .
C.  ABD'  BCC 'B'.
D.  A'BC   ADC 'B' .
Câu 55. Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a và hai mặt phẳng  ACD , BCD vuông
góc với nhau. Tính độ dài cạnh CD sao cho hai mặt phẳng  ABC ,  ABD vuông góc. A. 2a . B. a . a C. . D. a 3 . 3 3 2 5) Khoảng cách
Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Tính
khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên. a 5 2a 3 3 2 A. . B. . C. a . D. a . 2 3 10 5
Câu 57. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 . Tam giác SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABCD . Tính khoảng cách từ B đến SCD. 21 21 A. 1 . B. . C. 2 . D. . 3 7
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
AD  a , AB  2a , BC  3a , SA  2a , H là trung điểm cạnh AB , SH là đường cao của hình chóp
S.ABCD . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD . Trang 34 a 30 a 30 a 13 a 17 A. . B. . C. . D. . 7 10 10 7
Câu 59. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a , khoảng cách giữa AB và CD bằng: a 2 a 3 A. a . B. . C. . D. a . 2 2 2
Câu 60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với
mặt phẳng  ABCD và SO  .
a Khoảng cách giữa SC và AB bằng a 3 a 5 2a 3 2a 5 A. . B. . C. . D. . 15 5 15 5
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A B  C  D
  có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 ,
AA  2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD. a 5 2a 5 A. . B. . C. 2a. D. a 2 . 5 5
Câu 62. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , BC , SD . Tính
khoảng cách giữa AP và MN. 3a 5 a 5 A. 3a . B. 4 15a . C. . D. . 15 10 5
Câu 63. Cho hình lăng trụ tam giác AB . C A B  C
  có độ dài cạnh bên bằng a 7 , đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB  a , AC  a 3 . Biết hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  ABC
là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C   bằng 3 2 a 3 A. a . B. 3a . C. a . D. . 2 2 3 2 Câu 64. Cho hình chóp .
S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB  4 cm . Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABC . Lấy M thuộc SC sao cho CM  2MS .
Khoảng cách giữa hai đường AC và BM là 4 21 8 21 4 21 2 21 A. cm. B. cm. C. cm. D. cm. 7 21 21 3 Câu 65. Cho hình hộp ABC . D A B  C
 Dcó tất cả các cạnh đều bằng 1 và các góc phẳng đỉnh A đều
bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A C  . 22 2 A. . B. 2 . C. . D. 3 . 11 11 11 11 B. Bài tập tự luận.
1) Véc tơ trong Không gian- Hai đường thẳng vuông góc
Bài 1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình bình hành, SA  SB , AB vuông góc với SC
Gọi M là trung điểm SD . Trang 35 
  
1) Biểu diễn AM theo ba vectơ S , A S , B SC .
2) Chứng minh: AM vuông góc với A . B
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc  0
BAD 120 . Biết SA  SC  a, a 6 SB  SD 
. Gọi M , I, J lần lượt là trung điểm AB, SD,CD ; G là trọng tâm tam giác SAB . 2
Tính góc giữa hai đường thẳng: 1) SA và DC 2) SB và AD 3) SM và BD 4) BG và IJ .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB  6;CD  8. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm BC, AC, BD . Biết
JK  5.CMR: AB vuông góc với CD; IJ vuông góc với CD.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Các điểm M , N lần lượt là trung điểm AB,C ; D
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
1) CMR: AO vuông góc với CD; MN vuông góc với CD.
2) Tính góc giữa: AC và BN ; MN và BC .
Bài 5. Cho hình lập phương ABC .
D A'B'C 'D' có cạnh bằng a .
1) Gọi I, J lần lượt là trung điểm CD, A ' D ' . CMR: ' B I vuông góc với C'J.
2) Trên các cạnh DC và B '
B ta lần lượt lấy các điểm M , N không trùng với hai đầu mút sao cho
DM  BN . Chứng minh AC ' vuông góc với MN. Bài 6. Cho hình hộp ABC .
D A'B'C 'D' có tất cả các cạnh đều bằng ,  '   '    60o a A AD A AB DAB .
1) CMR: DCB' A'và BCD' A' là những hình vuông.
2) CMR: AC ' vuông góc với D '
A ; AC ' vuông góc với BA'.
3) Tính độ dài đoạn AC'.
2) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a , gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) .
1) Tính độ dài đường cao AH.
2) Tính độ dài đoạn nối trung điểm của một cặp cạnh đối.
3) Tính góc giữa đường thẳng ABvà mặt phẳng (BCD).
4) Tìm điểm O cách đều 4 đỉnh của tứ diện.
5) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IB, IC, ID đôi một vuông góc với nhau.
6) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. 7) Tìm điểm M sao cho 2 2 2 2
MA  MB  MC  MD đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a 2,SA  (ABC ) D .
Gọi M , N, P lần lượt là hình chiếu của Alên SB, SD, SC.
1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác vuông.
2) Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy.
3) Chứng minh BD  (SAC), BD / /( AMN ).
4) CMR SC  (AMN) ; AM , AN , AP đồng phẳng và AP  MN.
5) Tìm điểm J cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp. Trang 36
6) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với S . B Bài 9. Cho tứ diện .
S ABC có SA  (ABC) , tam giác ABCvuông tại B. Trong mặt phẳng SAB,kẻ AM SM SN
vuông góc với SB tại M , trên cạnh SC lấy điểm N sao cho  . SB SC
1) CMR: BC  (SAB); AM  (SBC); SB  AN.
2) Biết SA  a 2; AB  BC  a , tính diện tích tam giác AM . N
3) H là hình chiếu của Alên SC, K là giao của HM với (ABC) . CMR AK  A . C
4) E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt AE  x (0  x  a). Tính diện tích thiết diện của hình chóp .
S ABC theo a và x khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua E và vuông góc với AB. Tìm x để diện tích có giá trị lớn nhất.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  ; a BC  a 3,SD  a 5 ,
mặt bên SBC là tam giác vuông tại Bmặt bên SCDlà tam giác vuông tại . D
1) CMR: SA  (ABCD) , tính S . A
2) Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường CB,CD lần
lượt tại I, J . Gọi H là hình chiếu của Alên SC; K , L lần lượt là giao điểm của SB, SD với mặt phẳng
(HIJ ) . CMR: AK  (SBC); AL  (SCD).
3) Tính diện tích tứ giác AKH . L
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứng AB .
C A'B'C' đáy ABClà tam giác vuông tại , C CA  , a CB  a 3 ,
mặt bên AA'B'B là hình vuông. Từ Ckẻ CH  AB ', HK / / A' B (H  AB ', K  AA').
1) CMR: BC  CK, AB '  (CHK). 2) Tính góc giữa '
A Bvà mặt phẳng BB'C 'C.
3) Tính độ dài đoạn vuông góc hạ từ Ađến mặt phẳng (CHK ).
4) M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ AB . C A'B'C' theo a khi cắt
bởi mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với A' . B Bài 12. Cho hình chóp .
S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác
đều, mặt bên SCDlà tam giác vuông cân tại S . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, A . D
1) CMR: SI  (SCD), SJ  (SAB).
2) Gọi H là hình chiếu của S lên IJ .CMR: SH  A . C
3) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CDsao cho: BM  SA. Tính AM theo . a
3) Hai mặt phẳng vuông góc và khoảng cách
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a , gọi Olà tâm hình vuông ABC . D 1) Tìm độ dài đoạn S . O
2) Gọi M là trung điểm của SC . CMR: (MBD)  (SAC).
3) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD)và  ABCD.
4) Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Trang 37
5) Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy.
6) Gọi (P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. Hãy tính diện tích thiết diện của hình
chóp được cắt vởi (P).
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thoi tâm I , cạnh a  a o 6 , A  60 , SC 
;(SBC) và (SCD) cùng vuông góc với (ABCD). 2 1) CMR: (SBD)  (SAC)
2) Trong tam giác SCAkẻ IKvuông góc với SA tại K . Tính độ dài IK
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) , (SAD) và ( ABCD) .
4) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) là mặt phẳng qua Cvà vuông góc với SA.
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thang vuông tại Avà D , có
AB  2a, AD  DC  a , cạnh SAvuông góc với đáy, SA  a
1) CMR: (SAD)  (SDC);(SAC)  (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SDC) ; (SBC ) và ( ABCD);(SBC) và (SAB)
3) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( ) chứa SD và vuông góc với (SAC ) .
Bài 16. Cho hình lập phương ABC .
D A'B'C 'D' có cạnh bằng a
1) CMR: AD '  DB '; B ' D  (BA'C ');(BDA')  (AB 'C ' D) .
2) Tính góc giữa BC'và CD '; BC ' và (BB ' D ' D)
3) Tính khoảng cách giữa BC'và (AD 'C) . a 2
Bài 17. Cho tứ diện OABC có O ,
A OB, OC đôi một vuông góc, OA  ,OB  OC  , a I là trung 2 điểm BC 1) CMR: (OAI)  (ABC).
2) Tính góc giữa ABvà mặt phẳng (AOI).
3) Dựng và độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng OC và AB ; AI và O . C
4) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng chứa OB và vuông góc với mặt phẳng
( ABC ). Tính diện tích của thiết diện đó.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCDlà nửa lục giác đều cạnh a (AB / /CD, AB  CD). Mặt
bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 1) CMR: BD  S . C
2) Tính khoảng cách giữa SD và AB; khoảng cách giữa Bvà (SAD).
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD). ----- HẾT----- Trang 38