Đề cương học kỳ 1 Toán 11 năm 2021 – 2022 trường THPT Nguyễn Du – TP HCM

Đề cương học kỳ 1 Toán 11 năm 2021 – 2022 trường THPT Nguyễn Du, thành phố Hồ Chí Minh gồm 149 trang, tổng hợp lý thuyết và bài tập các chuyên đề Toán 11

35 18 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 1

GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................................. 2

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 1 ................................................................................................ 4

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ...................................................... 4

§ 0. ÔN TẬP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ......................................................................... 4

§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ...................................................................................................... 5

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ......................................................................... 24

§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ................................................. 31

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 2 ............................................................................................... 48

TỔ HỢP – XÁC SUẤT ............................................................................................................... 48

§ 1. QUY TẮC ĐẾM ................................................................................................................. 48

§ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP .................................................................................. 51

§ 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN ........................................................................................................ 61

§ 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ................................................................................................... 66

§ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ.................................................................................................. 69

HÌNH HỌC 11 – Chương 1 ................................................................................................................ 78

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG............................................... 78

§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH ............................................................................................................. 78

§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN .............................................................................................................. 79

§ 2. PHÉP QUAY ...................................................................................................................... 83

§ 4. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU .......................................... 89

§ 5. PHÉP VỊ TỰ ...................................................................................................................... 92

§ 6. PHÉP ĐỒNG DẠNG .......................................................................................................... 98

HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG 2 ........................................................................................................... 101

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ............... 101

§ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ....................................................... 101

§ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG .................... 113

§ 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGSONG SONG .............................................................. 119

§ 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ...................................................................................... 124

§ 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN ............... 133

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 ............................................................................................... 136

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ......................................................................................................... 141

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 2

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

.............................................................................................................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 3

ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 4

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC

§ 0. ÔN TẬP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

tan .cot 1

 



2 2

sin cos 1

 

 

1 tan

cos



 

1 cot

sin



 

2. Cung liên kết

Cung đ

ố

i nhau

Cung bù nhau

Cung ph

ụ

nhau

cos( ) cos

a a

 

sin( ) sin

a a



 

sin cos

a a



 







 











 

sin( ) sin

a a

  

cos( ) cos

a a



  

cos sin

a a



 







 











 

tan( ) tan

a a

  

tan( ) tan

a a



  

tan cot

a a



 







 











 

cot( ) cot

a a

  

cot( ) cot

a a



  

cot tan

a a



 







 











 

Cung hơn kém



Cung hơn kém



sin( ) sin

a a



  

sin cos

a a



 







 











 

cos( ) cos

a a



  

cos sin

a a



 







  











 

tan( ) tan

a a



 

tan cot

a a



 







  











 

cot( ) cot

a a



 

cot tan

a a



 







  











 

3. Công thức cộng

sin( ) sin cos cos sin .

a b a b a b

    

cos( ) cos cos sin sin .

a b a b a b

   



tan tan

tan( )

1 tan tan

a b



  

 

tan tan

tan( )

1 tan tan

a b



  

 

Hệ quả:

1 tan

tan

4 1 tan



 









 













 

và

1 tan

tan

4 1 tan



 









  













 

4. Công thức nhân đôi và hạ bậc

Nhân đôi Hạ bậc

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 5

sin 2 2 sin cos

  

 

1 cos2

sin







2 2

cos sin

cos2 2 cos 1

1 2 sin

 









 









1 cos2

cos







2 tan

tan 2

1 tan







1 cos 2

tan

1 cos2









cot 1

cot2

2 cot







1 cos 2

cot

1 cos 2









Nhân ba

sin 3 3 sin 4 sin

cos 3 4 cos 3 cos

  

 

3 tan tan

tan 3

1 3 tan

 









5. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

2 2

a b a b

a b

 

   cos cos 2 sin sin

2 2

a b a b

a b

 

   

sin sin 2 sin cos

2 2

a b a b

a b

 

   sin sin 2 cos sin

2 2

a b a b

a b

 

  

sin( )

tan tan

cos cos

a b



 



sin( )

tan tan

cos cos

a b



 



sin( )

cot cot

sin sin

a b



 



sin( )

cot cot

sin sin

b a

a b



 



Đặc biệt

sin cos 2 sin 2cos

4 4

x x x x

 

   

 

 

 

    

 

 

 

 

 

   

sin cos 2sin 2 cos

4 4

x x x x

 

   

 

 

 

     

 

 

 

 

 

   

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos cos cos( ) cos( )

a b a b a b

 

     

 

 

sin sin cos( ) cos( )

a b a b a b

 

     

 

 

sin cos sin( ) sin( )

a b a b a b

 

     

 

 

§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Trước hết, ta nhắc lại bảng các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 6

Cung

Giá trị

lượng giác



sin

cos

tan

cot

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính

sin , cos

x x

với

là các số sau :

; ;1,5;2; 3,1;4,25;5.

6 4

 

b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc

, hãy xác định các điểm

mà số đo của cung



bằng

(rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định

sin ,cos

x x

(lấy

3,14





1. Hàm số sin và hàm số côsin

a) Hàm số sin

Ở lớp 10 ta đã biết, có thể đặt tương ứng mỗi số thực

với một điểm

duy nhất trên đường tròn

lượng giác mà số đo của cung



bằng

(rad) (h.1a). Điểm

có tung độ hoàn toàn xác định, đó

chính là giá trị

sin .

Biểu diễn giá trị của

trên trục hoành và giá trị của

sin

trên trục tung, ta được Hình 1b.

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực

với số thực

sin

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 7

sin

x y x





 



được gọi là

hàm số sin

, kí hiệu là

sin .

y x



Tập xác định của hàm số sin là



b) Hàm số côsin

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực

với số thực

cos

cos:

cos

x y x





 



được gọi là

hàm số côsin

, kí hiệu là

cos .

y x



Tập xác định của hàm số sin là



2. Hàm số tang và hàm số côtang

a) Hàm số tang

Hàm số

tang

là hàm số được xác định bởi công thức

 

sin

cos 0 ,

cos

y x

 

kí hiệu là

tan .

y x



Vì

cos 0



khi và chỉ khi

 

x k k



  



nên tập xác định của hàm số

tan

y x



là

\ , .

D k k



 

 

  

 

 

 

 

b) Hàm số côtang

Hàm số

côtang

là hàm số được xác định bởi công thức

 

cos

sin 0 ,

sin

y x

 

kí hiệu là

cot .

y x



Vì

sin 0



khi và chỉ khi





x k k



 



nên tập xác định của hàm số

tan

y x



là

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 8





\ , .

D k k



 

 

Hãy so sánh các giá trị

sin

và





sin



cos

và





cos



NHẬN XÉT

Hàm số

sin

y x



là hàm số lẻ, hàm số

cos

y x



là hàm số chẵn, từ đó suy ra

các hàm số

tan

y x



và

cot

y x



đều là những hàm số lẻ.

II – TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC

Tìm những số

sao cho





( )

f x T f x

 

với mọi

thuộc tập xác định của các hàm số sau:

( ) sin ;

f x x



( ) tan .

f x x



Người ta chứng minh được rằng





là số dương nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức





sin sin , .

x T x x

   



Hàm số

sin

y x



thoả mãn đẳng thức trên được gọi là

hàm số tuần hoàn

với

chu kì



Tương tự, hàm số

cos

y x



là hàm số tuần hoàn với chu kì

2 .



Các hàm số

tan

y x



và

cot

y x



cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì



III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số

sin

y x



Từ định nghĩa ta thấy hàm số

sin

y x



 Xác định với mọi





và

1 sin 1;

  

 Là hàm số lẻ ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì

2 .



Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số

sin

y x



a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số

sin

y x



trên đoạn



 

 

 

Xét các số thực

1 2

, ,

x x

trong đó

1 2

0 .

x x



  

Đặt

3 2 4 1

, .

x x x x

 

   

Biểu diễn chúng trên đường tròn lượng giác và xét

sin

tương ứng





1,2, 3, 4



(h.3a).

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 9

Trên Hình 3 ta thấy, với

1 2

x x

tuỳ ý thuộc đoạn



 

 

 

và

1 2

x x



thì

1 2

sin sin

x x



Khi đó

3 4

x x

thuộc đoạn

;



 

 

 

và

3 4

x x



nhưng

3 4

sin sin .

x x



Vậy hàm số

sin

y x



đồng biến

trên



 

 

 

và

nghịch biến

trên

;



 

 

 

Bảng biến thiên :

Đồ thị của hàm số

sin

y x



trên đoạn



 

 

 

đi qua các điểm





0;0 ,





1 1

;sin ,

x x





2 2

;sin ,

x x

;1 ,



 

















 





3 3

;sin ,

x x









4 4

;sin , ;0

x x



(h.3b).

CHÚ Ý

Vì

sin

y x



là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn



 

 

 

qua gốc toạ

độ

ta được đồ thị hàm số trên đoạn

;0 .



 



 

 

Đồ thị hàm số

sin

y x



trên đoạn

;

 

 



 

 

được biểu diễn trên Hình 4.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 10

b) Đồ thị hàm số

sin

y x



trên



Hàm số

sin

y x



là hàm số tuần hoàn chu kì



nên với mọi





ta có





sin 2 sin , .

x k x k



  



Do đó, muốn có đồ thị hàm số

sin

y x



trên toàn bộ tập xác định



, ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị

hàm số trên đoạn

;

 

 



 

 

theo các vectơ





2 ; 0







và





2 ; 0



  



, nghĩa là tịnh tiến song song

với trục hoành từng đoạn có độ dài

2 .



Hình 5 dưới đây là đồ thị hàm số

sin

y x



trên



c) Tập giá trị của hàm số

sin

y x



Từ đồ thị ta thấy tập hợp mọi giá trị của hàm số

sin

y x



là đoạn

1;1 .

 



 

 

Ta nói

tập giá trị

của hàm

số này là

1;1 .

 



 

 

2. Hàm số

cos

y x



Từ định nghĩa ta thấy hàm số

cos

y x



 Xác định với mọi





và

1 cos 1

  

;

 Là hàm số chẵn ;

 Là hàm số tuần hoàng với chu kì

2 .



Với mọi





ta có đẳng thức

sin cos .

x x



 







 











 

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số

sin

y x



theo vectơ



 







 











 



(sang trái một đoạn có

độ dài bằng



, song song với trục hoành), ta được đồ thị của hàm số

cos

y x



(h.6).

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 11

Từ đồ thị của hàm số

cos

y x



trên Hình 6, ta suy ra :

Hàm số

cos

y x



đồng biến

trên đoạn



 



 

 

và

nghịch biến

trên đoạn



 

 

 

Bảng biến thiên :

Tập giá trị của hàm số

cos

y x



là

1;1 .

 



 

 

Đồ thị của các hàm số

cos , sin

y x y x

 

được gọi chung là các

đường hình sin.

3. Hàm số

tan

y x



Từ định nghĩa ta thấy hàm số

tan

y x



 Có tập xác định là \ ,

D k k



 

 

  

 

 

 

 

;

 Là hàm số lẻ ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì



Vì vậy, để xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

tan ,

y x



ta chỉ cần xét sự biến thiên và vẽ đồ

thị của hàm số này trên nửa khoảng

0; ,



 















sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ

, ta được đồ thị

hàm số trên khoảng

; .

2 2

 

 



















 

Cuối cùng, do tính tuần hoàn với chu kì



nên đồ thị hàm số

tan

y x



trên

thu được từ đồ thị

hàm số trên khoảng

;

2 2

 

 



















 

bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành tưng đoạn có độ dài

bằng



a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số

tan

y x



trên nửa khoảng



 















Từ biểu diễn hình học của

tan

(h.7a), với

0; ,



 



















1 1

AM x





2 2

AM x





1 1

tan ,

AT x



2 2

tan ,

AT x

 ta thấy :

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 12

1 2 1 2

tan tan .

x x x x

  

Điều đó chứng tỏ rẳng, hàm số

tan

y x



đồng biến

trên nửa khoảng

0; .



 















Bảng biến thiên :

Để vẽ đồ thị hàm số

tan

y x



trên nửa khoảng



 















ta làm như sau :

Tính giá trị của hàm số

tan

y x



tại một số điểm đặc biệt như

0, , , ,

6 4 3

x x x x

  

   



rồi

xác định các điểm

 

0; tan 0 , ;tan , ; tan , ; tan , .

6 6 4 4 3 3

     

     

  

  

  

  

  

  

  

  

     



Ta có bảng sau :

Đồ thị hàm số

tan

y x



trên nửa khoảng



 















đi qua các điểm tìm được.

Nhận xét rằng khi

càng gần



thì đồ thị hàm số

tan

y x



càng gần đường thẳng





(h.7b).

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 13

b) Đồ thị hàm số

tan

y x



trên

Vì

tan

y x



là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm

đối xứng là gốc toạ độ

Lấy đối xứng qua tâm

đồ

thị hàm số

tan

y x



trên nửa khoảng

0; ,



 















ta được

đồ thị hàm số trên nửa khoảng

;0 .



 

















Từ đó, ta được đồ thị hàm số

tan

y x



trên khoảng

;

2 2

 

 



















 

. Ta thấy trên khoảng này, hàm số

tan

y x



đồng biến (h.8).

Vì hàm số

tan

y x



tuần hoàn với chu kì



nên tịnh

tiến đồ thị hàm số trên khoảng

;

2 2

 

 



















 

song song

với trục hoành từng đoạn có độ dài



, ta được đồ thị

hàm số

tan

y x



trên

(h.9).

 Tập giá trị của hàm số

tan

y x



là khoảng





; .

 

4. Hàm số

cot

y x



Từ định nghĩa ta thấy hàm số

cot

y x



 Có tập xác định là





\ ,D k k



 

 

;

 Là hàm số lẻ ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 14

Sau đây, ta xét sự biến thiên và đồ thị của hàm số

cot

y x



trên khoảng





0; ,



rồi từ đó suy ra đồ

thị của hàm số trên

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số

cot

y x



trên khoảng







Với hai số

và

sao cho

1 2

0 ,

x x



  

ta có

2 1

0 .

x x



  

Do đó

 

1 2

2 1 2 1

1 2

2 1

1 2

cos cos

cot cot

sin sin

sin cos cos sin

sin sin

sin

sin sin

x x

x x x x

x x

  







 

hay

1 2

cot cot .

x x



Bảng biến thiên :

Hình 10 biểu diễn đồ thị hàm số

cot

y x



trên khoảng





0; .



b) Đồ thị của hàm số

cot

y x



trên

Đồ thị hàm số

cot

y x



trên

được biểu diễn trên Hình 11.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 15

 Tập giá trị của hàm số

cot

y x



là khoảng





; .

 

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Tìm tập xác định của hàm số

①

Hàm số

tan ( )

y u x



có điều kiện xác định

cos ( ) 0 ( ) , .

u x u x k k



    



② Hàm số





cot

y u x



có điều kiện xác định









sin 0 , .

u x u x k k



   



③ Hàm số





y u x n 



có điều kiện xác định





u x



④ Hàm số





y n

u x

 



có điều kiện xác định





u x



⑤

Chú ý









1 sin , cos 1

u x u x

  

và

   









. 0 .

u x

u x v x

v x









 











1. Tìm tập xác định của hàm số

1 cos

sin





.....................................................................

2. Tìm tập xác định của hàm số

tan .

y x



 







 











 

.....................................................................

3. Tìm tập xác định của hàm số

cot .

y x



 







 











 

.....................................................................

4. Tìm tập xác định của hàm số

1 cos







.....................................................................

Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Dựa vào tập giá trị của các hàm số lượng giác

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 16

①

2 *

0 sin 1,

1 sin 1, , .

0 sin 1

x n

x x x

  

       

 



 

②

2 *

0 cos 1,

1 cos 1, , .

0 cos 1

x n

x x x

  

       

 



 

③ Trên đoạn

; ;

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(nửa bên phải đường tròn lượng giác) thì

sin sin sin

tan tan tan

 

 

④ Trên đoạn

; ;

2 3

 

 

 

 



 

 

 

 

(nửa bên trái đường tròn lượng giác) thì

sin sin sin

tan tan tan

 

 

⑤ Trên đoạn

; 0;

  

   



   

   

(nửa bên trên đường tròn lượng giác) thì

cos cos cos

cot cot cot

 

 

⑥ Trên đoạn

; ;2

   

   



   

   

(nửa bên dưới đường tròn lượng giác) thì

cos cos cos

cot cot cot

 

 

Biến đổi về dạng

m y M

 

. Kết luận

min , max

y m y M

 

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số .

.....................................................................

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số

5 4 cos

y x

 

.....................................................................

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số

3 sin cos 2

y x x

 

.....................................................................

4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

hàm số

2 tan 1

y x

  

trên đoạn

; .

3 4

 

 

 



 

 

.....................................................................

 

y 3sinx 2

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 17

.....................................................................

Dạng 3 : Xét tính chẵn, lẻ



Bước 1. Tìm tập xác định

của hàm số lượng giác.

Nếu

x D

 

thì

x D

  

là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.



Bước 2.

x D

 

, tính

( ),

f x



nghĩa là sẽ thay

bằng



sẽ có 2 kết quả thường gặp sau:



Nếu

( ) ( ) ( )

f x f x f x

  

là hàm số chẵn trên



Nếu

( ) ( ) ( )

f x f x f x

   

là hàm số lẻ trên

Lưu ý:



Nếu không là tập đối xứng

( )

x D x D

    

hoặc

( )

f x



không bằng

( )

f x

hoặc

( )

f x



ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.



Nếu

là tập đối xứng và tồn tại

sao cho









0 0

f x f x

 

thì hàm số không chẵn.



Nếu

là tập đối xứng và tồn tại

sao cho









0 0

f x f x

  

thì hàm số không lẻ.

1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

( ) sin 3 .

f x x x

 

.....................................................................

2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

3 cos

( ) .

g x



.....................................................................

Dạng 4 : Đồ thị

1. Dựa vào đồ thị hàm số, hãy xác định các giá trị của

trên đoạn

;



 

 



 

 

để hàm số

tan

y x



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 18

a) Nhận giá trị bằng 0 ;

.....................................................................

b) Nhận giá trị bằng 1 ;

.....................................................................

c) Nhận giá trị dương ;

.....................................................................

d) Nhận giá trị âm.

.....................................................................

2. Dựa vào đồ thị của hàm số

sin ,

y x



hãy vẽ đồ thị của hàm số

sin .

y x



.......................................................................................................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 19

.......................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

 

y tan2x 2cotx

;







1 cosx

sin2x 2cosx

;

2 2

cos

 

 

BT 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) ;

b) ;

y cosx cos x

 



  

 

 

;

 

y sin x cos2x

;

 

4 4

y sin x cos x

;

f) ;

sin 2 , 0;

y x x



 

 

   

 

 

cos , ;0

3 3

y x x

 

   





 



     







 





 

 

4 4

sin cos , 0;

y x x x



 

 

    

 

 

2 sin cos2 , 0;

y x x x



 

 

    

 

 

cot , ;

4 4 4

y x x

  

   





 



      







 





 

 

BT 3. Xác định tính chẵn- lẻ của các hàm số sau :

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

BT 4. Chứng minh rằng





sin 2 sin 2

x k x



 

với mọi số nguyên

. Từ đó vẽ đồ thị hàm số

sin 2 .

y x



BT 5. Dựa vào đồ thị hàm số

cos

y x



, tìm các giá trị của

để

cos .

x 

BT 6. Dựa vào đồ thị hàm số

sin

y x



, tìm các khoảng giá trị của

để hàm số đó nhận giá trị

dương.

BT 7. Dựa vào đồ thị hàm số

cos

y x



, tìm các khoảng giá trị của

để hàm số đó nhận giá trị âm.

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập xác định của hàm số

sin cos

x x





là

x k





. B.

x k





. C.

x k



 

. D.

x k



 

Câu 2. Tập xác định của hàm số

1 3cos

sin





là

x k



 

. B.

x k





. C.





. D.

x k





1 sinx

cosx





y tanx 2cot x

 

cot 2x

1 tanx



 



 

 





1 sinx

2 sinx







y sin2x cos

 

y 2 cos x



 

  

 

 

y 3 2sinx

 

y 1 sinx 1 sinx

   

y sinx.cos3x



y tanx 2x

 

cosx sin x





y 1 cosx

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 20

Câu 3. Tập xác định của hàm số y=

2 2

sin cos

x x



là

\ ,

k k Z



 

 

 

 



. B.

\ ,

k k Z



 

 

 

 



\ ,

4 2

k k Z

 

 

 

 

 



. D.

\ 2 ,

k k Z



 

 

 

 



Câu 4. Tập xác định của hàm số

cot

cos 1





là

\ ,

k k Z



 



 

 



\ ,

k k Z



 

 

 

 







\ ,

k k Z







Câu 5. Tập xác định của hàm số

2sin 1

1 cos







là

x k





x k





x k



 

x k



 

Câu 6. Tập xác định của hàm số

tan 2x



 

 

 

 

là

6 2

 

 

x k



 

x k



 

12 2

x k

 

 

Câu 7. Tập xác định của hàm số

tan 2x



là

4 2

 



 

x k



 

4 2

 

 

x k



 

Câu 8. Tập xác định của hàm số

1 sin

sin 1







là

x k



 

. B.

x k





. C.

x k



 

. D.

x k

 

 

Câu 9. Tập xác định của hàm số

cos

y x



là



. B.



. C.



. D.



Câu 10. Hàm số

cot 2x



có tập xác định là



\ ;

k k



 

 

 

 

 

\ ;

k k



 



 

 

 

\ ;

4 2

k k

 

 

 

 

 

 

Câu 11. Tập xác định của hàm số

tan cot

y x x

 

là







\ ;k k





 

\ ;

k k



 

 

 

 

 

\ ;

k k



 



 

 

 

Câu 12. Tập xác định của hàm số

1 sin





là



D \ , .

k k



 

  

 

 

 

sin sin .

y x x x x

    D.

3 2

 

  

Câu 13. Tập xác định của hàm số

cot



là

D \ , .

k k



 

  

 

 

 





D \ , .

k k



 

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 21

D \ , .

k k



 

 

 

 

 

D \ 0; ; ; .

2 2

 



 



 

 



Câu 14. Tập xác định của hàm số:

tan 2





là





\ , .

k k





 

\ , .

k k



 



 

 

 

\ , .

k k



 

 

 

 

 

\ , .



 



 

 

 

Câu 15. Tập xác định của hàm số

3 1

1 cos







là

D \ , .

k k



 

  

 

 

 

D \ , .

k k



 

   

 

 

 





D \ , .

k k

 

  

 

D .

 

Câu 16. Tập xác định của hàm số:

cot x





là

\ , .

k k



 

 

 

 

 

\ , .



 



 

 

 





\ , .

k k





 

\ 2 , .

k k



 

 

 

 

 

Câu 17. Tập xác định của hàm số





tan 3 1

y x

 

là

D \ , .

6 3 3

k k

 

 

   

 

 

 

D \ , .

3 3

k k



 

  

 

 

 

D \ , .

6 3 3

k k

 

 

   

 

 

 

D , .

6 3 3

k k

 

 

   

 

 



Câu 18. Tập xác định của hàm số





sin 1

y x

 

là



\{1}



\ 2 |

k k



 

 

 

 

 

. D.

\{ }





Câu 19. Tập xác định của hàm số

sin







là





\ 1





. B.





1;1



\ 2 |

k k



 

 

 

 

 

. D.

\ |

k k



 

 

 

 

 

Câu 20. Hàm số nào sau đây có tập xác định



2 cos

2 sin







. B.

2 2

tan cot

y x x

 

1 sin

1 cot







. D.

sin

2cos 2





Câu 21. Tập xác định của hàm số

1 cos

cos



 là

,\ 2

D kk



 

  

 

 

 

. B.





kD k



 

  

 

 

 

. D.





,\D kk



 

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 22

Câu 22. Tập xác định của hàm số

cot

cos



là

x k



 

. B.

x k





. C.

x k





. D.





Câu 23. Chọn khẳng định sai

A. Tập xác định của hàm số

sin

y x



là



B. Tập xác định của hàm số

cot

y x



là

\ k kD



 

 

 

 



 

C. Tập xác định của hàm số

cos

y x



là



D. Tập xác định của hàm số

tan

y x



là

\ k kD



 

 

 

 



 

Câu 24. Khẳng định nào sau đây sai?

tan

y x



là hàm lẻ. B.

cot

y x



là hàm lẻ.

cos



là hàm lẻ. D.

sin

y x



là hàm lẻ.

Câu 25. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

sin 3

y x



. B.

.cos

y x x



. C.

cos . tan 2

y x x



. D.

tan

sin



Câu 26. Cho hàm số





cos2

f x x



và





tan3

g x x



, chọn mệnh đề đúng





f x

là hàm số chẵn,





g x

là hàm số lẻ.





f x

là hàm số lẻ,





g x

là hàm số chẵn.





f x

là hàm số lẻ,





g x

là hàm số chẵn.





f x

và





g x

đều là hàm số lẻ.

Câu 27. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số

cos

y x x

 

là hàm số chẵn.

B. Hàm số

sin sin +

y x x x x

  

là hàm số lẻ.

C. Hàm số

sin



là hàm số chẵn.

D. Hàm số

sin 2

y x

 

là hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 28. Trong các hàm số sau:

(1)

cot 2 ;

y x



(2)

cos( );

y x



 

(3)

1 sin ;

y x

 

(4)

2016

tan .

y x



Có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó?

. B.

. C.

. D.

Câu 29. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?

2 cos

y x x

 

. B.

cos 3

y x



. C.





sin 3

y x x

 

. D.

cos



Câu 30. Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?

sin tan

2 cos

x x





. B.

tan cot

y x x

 

sin 2 cos 2

y x x

 

. D.

2 sin 3

y x

 

Câu 31. Trong các hàm số dưới đây:

(1)

cos3

y x



; (2)





sin 1

y x

 

; (3)

tan



; (4)

cot



Có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn?

. B.

. C.

. D.

Câu 32. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 23

sin

y x



. B.

y x

 

. C.

y x



. D.







Câu 33. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

sin

y x x

 

. B.

cos

y x



. C.

sin

y x x







Câu 34. Chu kỳ của hàm số

sin

y x



là

2 , k k







. B.



. C.



. D.



Câu 35. Chu kỳ của hàm số

cos

y x



là



. B.



. C.



. D.



Câu 36. Chu kỳ của hàm số

tan

y x



là



. B.



. C.

, k k







. D.



Câu 37. Chu kỳ của hàm số

cot

y x



là



. B.



. C.



. D.

, k k







Câu 38. Hàm số

cos

y x



đồng biến trên đoạn nào dưới đây:



 

 

 

. B.





 

. C.





;

 



. D.







Câu 39. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng



 

 

 

khác với các hàm số còn lại ?

sin

y x



. B.

cos

y x



. C.

tan

y x



. D.

cot

y x

 

Câu 40. Hàm số

tan

y x



đồng biến trên khoảng:



 

 

 

. B.



 





 

. C.



 

 

 

. D.

;

2 2

 

 



 

 

Câu 41. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng



 

 

 

sin

y x



. B.

cos

y x



. C.

tan

y x



. D.

cot

y x

 

Câu 42. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

;

2 2

 

 

 

 

sin

y x



. B.

cos

y x



. C.

cot

y x



. D.

tan

y x



Câu 43. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

3 sin 2 5

y x

 

lần lượt là

8 à 2

 

. B.

2 à 8

. C.

5 à 2



. D.

5 à 3



Câu 44. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

4 sin 3 1

y x

  

lần lượt là

2 à 2

. B.

2 à 4

. C.

4 2 à 8

. D.

4 2 1 à 7



Câu 45. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin 4sin 5

y x x

  

là



. B.



. C.

. D.

Câu 46. Giá trị lớn nhất của hàm số

1 2cos cos

y x x

  

là

. B.

. C.

. D.

Câu 47. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

2 3 sin 3

y x

 

min 2; max 5

y y

  

min 1; max 4

y y

  

min 1; max 5

y y

  

min 5; max 5

y y

  

Câu 48. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

1 4sin 2

y x

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 24

min 2; max 1

y y

  

min 3; max 5

y y

  

min 5; max 1

y y

  

min 3; max 1

y y

  

Câu 49. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

2 cos(3 ) 3

y x



  

min 2



max 5



m in 1



max 4



m in 1



max 5



m in 1



max 3



Câu 50. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

3 2sin 2 4

y x

  

min 6



max 4 3

y  

min 5



max 4 2 3

y  

min 5



max 4 3 3

y  

min 5



max 4 3

y  

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. KIẾN THỨC

I. Phương trình sinx = m (1)

 Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu , đặt .

Khi đó : ,

(nếu  được cho bằng độ)

hay ,

(nếu  được cho bằng radian)

Lưu ý : Với thì ,

II. Phương trình cosx = m (2)

 Nếu thì phương trình (2) vô nghiệm

 Nếu , đặt .

Khi đó :

(nếu  được cho bằng độ)

hay

(nếu  được cho bằng radian)

Lưu ý : Với thì ,

III. Phương trình tanx = m

Điều kiện : ,

tanx = tan  x =  + k ,

(nếu  được cho bằng radian)

Hay : tanx = tana

 x = a

+ k180

Lưu ý : Với thì ,

IV. Phương trình cotx = m

m 1



m 1



 

m sin



  

  



   



o o

x k360

sinx sin

x 180 k360





k



   



  



     



x k2

sinx sin

x k2





k



m 1



x arcsin(m) k2

sinx m

x arcsin(m) k2



  

 



    







k



m 1



m 1



 

m cos



  

  



  



x k360

cosx cos

x k360









   



  



   



x k2

cosx cos

x k2









m 1



x arccos(m) k2

cosx m

x arccos(m) k2



  

 



   







k





  

x k





(k )





(k )





(k )





tanx m x arctan(m) k

    





k



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 25

Điều kiện : ,

cotx = cot  x =  + k ,

(nếu  được cho bằng radian)

Hay : cotx = cota

 x = a

+ k180

Lưu ý : Với thì ,

 Các giá trị arcsin(m), arcos(m) (với ), arctan(m) và

arccot(m) là những số thực. Do vậy ta không viết

mà nên viết .

 Khi giải phương trình lượng giác, ẩn x có thể là số đo rađian hoặc số đo độ.

Do vậy sử dụng kí hiệu số đo trong "công thức nghiệm” nên thống nhất.

Chẳng hạn, phương trình có nghiệm , chứ không nênviết

 Quy ước rằng nếu không có giải thích gì thêm hoặc trong phương trình lượng giác không sử

dụng số đo là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Phương trình cơ bản và các phương trình đặc biệt

Các phương trình cơ bản

①

sin sin , .

u v k



 



 



  



  







②

cos cos , .

u v k





 



  



  







③

tan tan ,

u v u v k k



    



với điều kiện

u k k



  



hoặc

, .

v k k



  



④

cot cot ,

u v u v k k



    



với điều kiện

u k k



 



hoặc

, .

v k k



 



Các phương trình đặc biệt

⑤

sin 1 2 , .

u u k k



    



⑧

cos 1 2 , .

u u k k



   



⑥

sin 1 2 , .

u u k k



      



⑨

cos 1 2 , .

u u k k

 

     



⑦

sin 0 , .

u u k k



   



⑩

cos 0 , .

u u k k



    



Chú ý nếu phương trình cho đơn vị độ thì đổi



là

180 .



1. Giải phương trình .

.....................................................................

2. Giải phương trình

cos 2 .

3 2



 







  







 

.....................................................................

 

x k





(k )





(k )





(k )





cot x m x arccot(m) k

    





k



m 1



arctan1 45



arctan1





sin(x 20 )

 

o o

x 40 k360

 

x 40 k2

  



 

 

 

 

sin 2x

3 2

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 26

.....................................................................

3. Giải phương trình

tan .

x  

.....................................................................

4. Giải phương trình

3 cot 2 1.



 







 







 

.....................................................................

5. Giải phương trình

cos(2 15 ) .

x   

.....................................................................

6. Giải phương trình

sin 1.



 







  







 

.....................................................................

7. Giải phương trình

tan 2.



 







  







 

.....................................................................

8. Giải phương trình .

.....................................................................



 

 

 

 

sin 2x cosx

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 27

.....................................................................

9. Giải phương trình

cos 3 cos 0.

x x



 







  







 

.....................................................................

10. Giải phương trình

tan2 .cot 1.

x x



 







 







 

.....................................................................

11. Giải phương trình

sin2 cos 0.

x x



 







  







 

.....................................................................

12. Giải phương trình

sin .cos .

x x 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 28

.....................................................................

13. Giải phương trình

cos 2 .

x 

.....................................................................

14. Giải phương trình

 

sin 2 1 .

x  

.....................................................................

15. Giải phương trình

sin3 cot 0.

x x



.....................................................................

16. Giải phương trình

2cos2

1 sin2





.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Giải các phương trình sau :

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 29

 

   

  

   

   

sin 2x sin x

3 6

;

b) ;



 

 

 

 

sin 2x cosx

;



 

 

 

 

tan 2x 0

BT 2. Giải các phương trình sau :



 

 

 

 

tan2x tan x

;

  

tanx cotx 2

;

 

3 3

cos x.sinx sin x.cosx

;









  

1 cos 4x tan x cot x 4

;

tan2x cot x 0



 

  

 

 

BT 3. Giải các phương trình sau :



 

 

 

 

tan 2x 0

;



 

  

 

 

tan2x tan x 0

;



 

  

 

 

tanx cot 2x 0

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Phương trình

sin



có nghiệm thỏa mãn

2 2

 

  

là

x k



 





. C.

x k



 

. D.





Câu 2. Số nghiệm của phương trình

sin2

x 

trong khoảng





0;3



là

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình:

sin 1



 

 

 

 

với

 

 

là

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Câu 4. Phương trình

sin2



có bao nhiêu nghiệm thõa 0 x



 

. B.

. C.

. D.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình

sin 1



 

 

 

 

với

 

 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 6. Phương trình





2 sin 2 40 3



 x

có số nghiệm thuộc





180 ;180

 



là

. B.

. C.

. D.

Câu 7. Số nghiệm của phương trình:

2 cos 1



 

 

 

 

với

0 2



 

là

. B.

. C.

. D.

  

sin(x 20 )

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 30

Câu 8. Số nghiệm của phương trình

cos 0

2 4



 

 

 

 

thuộc khoảng





 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 9. Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

2cos( ) 1



 

trên

( ; )

 



Câu 10. Phương trình

cos 1 0

m x

 

có nghiệm khi

thỏa điều kiện











. B.



 











Câu 11. Phương trình

cos 1

x m

 

có nghiệm khi

là

1 1

  

. B.



. C.

 

. D. 

2 0

  

Câu 12. Cho phương trình:

3cos 1 0

x m

  

. Với giá trị nào của

thì phương trình có nghiệm

1 3

m 

. B.

1 3

m 

1 3 1 3

m   

. D.

3 3

m  

Câu 13. Cho phương trình

cos 2 2

x m



 

  

 

 

. Tìm m để phương trình có nghiệm?

A. Không tồn tại m. B.





1;3

m 





3; 1 .

  

D. mọi giá trị của m.

Câu 14. Để phương trình

cos

2 4



 

 

 

 

có nghiệm, ta chọn



. B.

0 1

 

. C.

1 1

  

. D.



Câu 15. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình

sin 4 cos 5 0

x x

 

theo thứ tự

là

;

18 2

x x

 

 

. B.

;

18 9

x x

 

 

;

18 6

x x

 

 

. D.

;

18 3

x x

 

 

Câu 16. Tìm tổng các nghiệm của phương trình

sin(5 ) cos(2 )

3 3

x x

 

  

trên

[0; ]



Câu 17. Trong nửa khoảng





0;2



, phương trình

cos 2 sin 0

x x

 

có tập nghiệm là

; ;

6 2 6

  

 

 

 

. B.

7 11

; ; ;

6 2 6 6

   



 

 

 

. C.

5 7

; ;

6 6 6

  

 

 

 

. D.

7 11

; ;

2 6 6

  

 

 

 

Câu 18. Số nghiệm của phương trình

sin cos

x x



trong đoạn





;

 



là

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 31

Câu 19. Nghiệm của phương trình

3tan 3 0

 

trong nửa khoảng





0;2



là

;

3 3

 

 

 

 

. B.



 

 

 

. C.

;

2 2

 

 

 

 

. D.



 

 

 

Câu 20. Nghiệm của phương trình

tan(2 15 ) 1

 

, với

0 0

90 90

x  

là

 

x 

 

x 

Câu 21. Số nghiệm của phương trình

tan tan





trên khoảng



 

 

 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 22. Phương trình nào tương đương với phương trình

2 2

sin cos 1 0

x x

  

cos 2 1



. B.

cos 2 1

 

2 cos 1 0

 

. D.

(sin cos ) 1

x x

 

Câu 23. Phương trình

3 4 cos 0

 

tương đương với phương trình nào sau đây?

cos2



. B.

cos2



. C.

sin2



. D.

sin2



Câu 24. Số nghiệm của phương trình

sin3

cos 1





thuộc đoạn

[2 ; 4 ]

 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 25. Tìm số nghiệm

0;14

  

 

nghiệm đúng phương trình:

cos 3 4cos 2 3cos 4 0

x x x

   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A. KIẾN THỨC

I – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất

đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

(1)

at b

 

trong đó

a b

là các hằng số







và

là một trong các hàm số

lượng giác.

2. Cách giải

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho

ta đưa phương trình (1) về phương trình

lượng giác cơ bản.

II - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai

đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at bt c

  

trong đó

, ,

a b c

là các hằng số







và

là một trong các hàm số

lư

ợng giác.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 32

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo

ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

3. Phương tình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Hãy nhắc lại :

a) Các hằng đẳng thứa lượng giác cơ bản ;

b) Công thức cộng ;

c) Công thức nhân đối ;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

sin

và

c o s

1. Công thức biến đổi biểu thức

sin cos

a u b u



Trong trường hợp tổng quát, với

2 2

a b

 

ta có

2 2

2 2 2 2

sin cos sin cos .

a b

a u b u a b u u

a b a b

 









   













 

 

Vì

2 2

2 2 2 2

a b

a b a b

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

nên có một góc



sao cho

2 2 2 2

cos , sin .

a b

a b a b

 

 

 

Khi đó









2 2 2 2

sin cos sin cos cos sin sina u b u a b u u a b u

  

      

(*)

Đặc biệt,

sin cos 2 sin

u u u



 







  











 

và

sin cos 2 sin .

u u u



 







  











 

2. Phương trình dạng

sin cos

a u b u c

 

Xét phương trình

sin cos

a u b u c

 

(4.0) với

, , ; ,

a b b a b





không đồng thời bằng 0





2 2

0 .

a b 

Nếu

0, 0

a b

 

hoặc

0, 0

a b

 

, phương trình (4.0) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác

cơ bản. Nếu

0, 0

a b

 

, ta áp dụng công thức (*).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Phương trình bậc nhất và phương trình đưa được bậc nhất đối với một hàm số

lượng giác

. 0

A B







 









trong đó

A B

là các phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác.

1. Giải phương trình

3cos 5 0.

 

.....................................................................

2. Giải phương trình

3cot 3 0.

 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 33

.....................................................................

3. Giải phương trình

5cos 2sin2 0.

x x

 

.....................................................................

4. Giải phương trình

8sin cos cos2 1.

x x x

 

.....................................................................

Dạng 2 : Phương trình bậc hai và phương trình được về bậc hai đối với một hàm số lượng

giác

Với





u u x



① Đặt

sin

t u



hoặc

cos

t u



thì

1 1.

  

② Phương trình dạng

tan cot 0

a u b u c

  

(2)

Điều kiện của phương trình (2) là

cos 0



và

sin 0



Vì

cot

tan



nên phương trình (2) có thể viết dưới dạng

tan 0 tan tan 0.

tan

a u c a u c u b

      

Ta đưa được phương trình (2) về phương trình bậc hai theo hàm số

tan .

③ Phương trình đẳng cấp bậc hai (toàn phương) đối với

sin

và

c o s

là phương trình có dạng

2 2

sin sin . cos cos

a d

u u

b u u c

  

(3)

CHÚ Ý :

 

2 2

2 2 2

sin sin cos

tan ; tan ; 1 tan .

cos cos cos

u u u d

u u d u

u u u

   

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 34

Cách giải :

Nếu

cos 0



thì phương trình (3) có hai khả năng sau :

 Khả năng 1 :

a d



đúng thì

u k k



  



thoả phương trình (2). Giải tìm nghiệm

 Khả năng 2 :

a d



sai thì

cos 0.



Xét

cos 0



, chia hai vế phương trình (3) cho

cos ,

ta được





2 2 2

tan tan tan tan 1 tan .

cos

a u b u c a u b u c d u

       

Ta đưa được phương trình (3) về phương trình bậc hai theo

tan .

LƯU Ý :

Ta có thể đưa phương trình (2) về dạng bậc nhất đối với

sin 2

và

cos2

như sau :

1 cos2

sin





;

1 cos2

cos ;





sin cos sin2 .

u u u



Khi đó phương trình (2) trở thành

sin2 cos2 .

A u B u C

 

Đây là dạng phương trình cổ điển ta xét ở phần tiếp theo.

④ Các phương trình dạng

(4.0)

hoaëc (4.1)

(4.2)

2 2 2 2

sin cos

sin cos sin sin cos cos

sin cos sin cos

a u b u c

a u b u a b v a u b u a b v

a u b u a v b v

 

     

  

Dùng công thức









2 2 2 2

sin cos sin cos cos sin sina u b u a b u u a b u

  

      

để

biến đổi các phương trình.

1. Giải phương trình

2sin 2 sin 2 0.

2 2

x x

  

.....................................................................

2. Giải phương trình

2 tan cot 3.

x x

 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 35

.....................................................................

3. Giải phương trình

4 sin 8 cos 7 0.

x x

  

.....................................................................

4. Giải phương trình

cos2 sin 2 0.

x x

  

.....................................................................

5. Giải phương trình

tan 7.

cos

 

.....................................................................

6. Giải phương trình

3 sin cos 2 2.

x x

 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 36

.....................................................................

7. Giải phương trình

2 2

sin .

sin2 2cos

x x x  

.....................................................................

8. Giải phương trình

4 4 3

sin 2 cos sin . cos 1.

x x x x

  

.....................................................................

9. Giải phương trình

sin 3 cos 2.

x x

 

.....................................................................

10. Giải phương trình

sin cos 2 sin2 .

x x x

 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 37

.....................................................................

11. Giải phương trình

3 sin3 cos3 2cos .

x x x

 

.....................................................................

12. Giải phương trình

3 cos5 2sin3 cos2 sin 0.

x x x x

  

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Giải các phương trình sau :

2 sin sin 1 0

x x

  

;

  

2 2

sin x 3 cos x 3 sin x 1

Đáp số :





 

     

x k2 ; x k2

6 6

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 38

  

cos2x 3sinx 1 0

Đáp số :





 

      

x k2 ; x k2

6 6

  

4 cos x 2 cos 2x 1 cos 4x

Đáp số :









x k

 

   

   

   

   

sin x sin 2x 1

3 6

Đáp số :





 

      

x k2 ; x k2

6 2

BT 2. Giải các phương trình sau :

 

2 4

sin x cos x

Đáp số :







   

x k2

  

4 6

cos x cos 2x 2 sin x 0

Đáp số :





 

x k

 

4 4

sin x cos x

Đáp số :





 

 

x k

8 4

  



  

4 4 6 6

2 cos4x

sin x cos x sin x cos x

Đáp số :





 

 

x k

4 2

BT 3. Giải các phương trình sau :

  

2 2

sin x 2 sin 2x 3 cos x 1

Đáp số :







     

x k ; x arctan k

2 2

  

2 2

4 sin x sin 2x 2 3 cos x 3

Đáp số :





 

     

x k ; x k

3 12

  

2 cos x cos 2x sin x 0

Đáp số :





 

      

x k2 ; x k

2 4



 

2 1

3sinxcosx sin x

e) 3sin

x + 5cos

x – 2cos2x – 4sin2x = 0. Đáp số :





 

     

x k ; x k

24 24

BT 4. Giải các phương trình sau :

  

cos7x.cos5x 3sin2x 1 sin7x.sin5x

Đáp số :







     

x k ; x k

  

sin4x cos3x 3(sin3x cos4x)

Đáp số :





  

    

x k2 ; x k

2 6 7

   

2 2

sin x 3sin2x 3cos x 2(1 sin4x)

Đáp số :





  

     

x k ; x k

36 3 12

  

4 4

4(sin x cos x) 3sin4x 2

Đáp số :





   

    

x k ; x k

12 2 4 2

  

sin4x 8cos x 4cos2x 4

Đáp số :





  

  

x k ; x k

2 8 2

BT 5. Giải các phương trình sau :

(1 2)(cosx sinx) sin2x 1 2 0

     

Đáp số :







    

x k2 ; x k2



 

  

 

 

sin2x 2.sin x 1

Đáp số :







      

x k ; x k2

    

2 2

sin xcosx 12(sinx cosx sin2x) sinxcos x 12

Đáp số :





 

   

x k ; x

4 2

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 39







3 3

sin x cos x 1

sin4x

2 sin2x

4 2

Đáp số :







   

x k

BT 6. Giải các phương trình sau :

  

cosx cos2x cos3x 0

Đáp số :





  

     

x k2 ; x k

3 4 2

   

1 cosx cos2x cos3x 0

Đáp số :





  

    

x k ; x k

3 3 2

c)  

2 2 2

sin x sin 2x sin 3x

Đáp số :





  

  

x k ; x k

2 6 3



 

3 3

3 2 2

sin3xsin x cos3xcos x

Đáp số :





 

  

16 2



 

 

 

 

2 2sin x cosx 1

Đáp số :





 

     

x k ; x k

4 3

TRÍCH MỘT SỐ CÂU ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG

Câu 1: (A_2014) Giải phương trình :

sin 4 cos 2 sin 2

x x x

  

ĐS :

x k



 

 

 

  

 

 

Câu 2: (B_2014) Giải phương trình :





2 sin 2 cos 2 sin 2

x x x

  

ĐS :

x k



 

 

 

  

 

 

Câu 3: (A_2013) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 4: (B_2013) Giải phương trình : ĐS :

Câu 5: (D_2013) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 6: (A_2012) Giải phương trình :

3 sin 2 cos 2 2 cos 1

x x x

  

ĐS :

Câu 7: (B_2012) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 8: (D_2012) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 9: (CĐ_2012) Giải phương trình : ĐS :

1 tan 2 2 sin

x x



 







  







 

; 2

4 3

x k x k

 

 

 

 

     

 

 

sin 5 2 cos 1

x x

 

2 2

;

6 3 14 7

k k

x x

   

 

 

 

     

 

 

sin 3 cos 2 sin 0

x x x

  

; 2 ; 2

4 2 6 6

x k x k x k

   

 

 

 

 

      

 

 

; 2 ; 2

2 3

x k x k x k

 

  

 

 

 

    

 

 

2(cos 3 sin )cos cos 3 sin 1

x x x x x

   

2 2

2 ;

3 3

x k x k

 



 

 

 

  

 

 

sin 3 cos 3 sin cos 2 cos 2

x x x x x

   

; 2 ; 2

4 2 12 12

x k x k x k

   

 

 

 

 

      

 

 

2 cos 2 sin sin 3

x x x

 

; 2

4 2 2

x k x k

  



 

 

 

   

 

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 40

Câu 10: (A_2011) Giải phương trình : ĐS :

; 2

2 4

x k x k

 

 

 

 

   

 

 

Câu 11: (B_2011) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 12: (D_2011) Giải phương trình : ĐS :

Câu 13: (CĐ_2011) Giải phương trình : ĐS :

Câu 14: (A_2010) Giải phương trình :

(1 sin cos2 )sin

cos

1 tan

x x x



 







  







 





ĐS :

Câu 15: (B_2010) Giải phương trình : ĐS :

Câu 16: (D_2010) Giải phương trình :

ĐS :

2 ; 2

6 6

x k x k

 

 

 

 

   

 

 

Câu 17: (CĐ_2010) Giải phương trình :

ĐS :

Câu 18: (A_2009) Giải phương trình : ĐS :

18 3

 

 

 

 

  

 

 

Câu 19: (B_2009) Giải phương trình :

ĐS :

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 CỦA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Nghiệm của phương trình

sin – sin 0



x x

thỏa điều kiện:

 





. B.





. C.



. D.



 

Câu 2. Nghiệm của phương trình lượng giác:

2sin 3sin 1 0

x x

  

thỏa điều kiện



 

là

















Câu 3. Nghiệm của phương trình

sin sin 0

x x

 

thỏa điều kiện:

2 2

 

  

1 sin 2 cos2

2 sin sin 2

1 cot

x x

 





sin 2 cos sin cos cos 2 sin cos

x x x x x x x

   

2 ; 2 ; 2

2 3

x k x x k x k

 

   

 

 

 

       

 

 

sin 2 2 cos sin 1

tan 3

x x x

  





x k



 

 

 

 

 

 

cos 4 12 sin 1 0

x x

  





x k





2 ; 2

6 6

x k x k

 

 

 

 

    

 

 

(sin 2 cos 2 )cos 2 cos 2 sin 0

x x x x x

   

4 2

x k

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 cos 2 3 sin cos 1 0

x x x x

    

5 3

4 cos cos 2(8 sin 1)cos 5

2 2

x x

  

;

12 12

x k x k

 

 

 

 

   

 

 

(1 2 sin )cos

(1 2 sin )(1 sin )

x x





 

sin cos sin 2 3 cos 3 2(cos 4 sin )

x x x x x x

   

2 ,

6 42 7

x k x k

  



 

 

 

    

 

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 41



. B.





. C.





. D.





Câu 4. Trong





0; 2



, phương trình

sin 1 cos

x x

  có tập nghiệm là

; ; 2



 

 

 

 

. B.







. C.

0; ;



 

 

 

. D.

0; ; ; 2



 

 

 

 

Câu 5. Nghiệm của phương trình

2sin – 3sin 1 0

x x

 

thỏa điều kiện:



 





. B.





. C.





. D.



 

Câu 6. Nghiệm của phương trình lượng giác:

2cos 3sin 3 0

x x

  

thõa điều kiện



 

là





. B.





. C.





. D.





Câu 7. Nghiệm của phương trình

sin 2 2 sin 2 1 0

x x

  

trong khoảng





;

 



là

;

4 4

 

 

 

 

 

. B.

;

4 4

 

 



 

 

;

4 4

 

 

 

 

. D.

;

4 4

 

 



 

 

Câu 8. Giải phương trình lượng giác

4 2

4sin 12 cos 7 0

x x

  

có nghiệm là

x k



  

. B.

4 2

x k

 

 

. C.

x k



 

. D.

x k



  

Câu 9. Phương trình

cos 2 4cos

3 6 2

x x

 

   

   

   

   

có nghiệm là

x k





  



 





. B.

x k





 



 





. C.

x k





  



 





. D.

x k





 



 





Câu 10. Tìm m để phương trình





2 2 1 0

sin x m sinx m

   

có nghiệm



 

 

 

 

1 0.

  

1 2.

 

1 0.

  

0 1.

 

Câu 11. Nghiệm của phương trình

cos cos 0

x x

 

thỏa điều kiện:

2 2

 

 





. B.





. C.





. D.



 

Câu 12. Phương trình

2 2

sin sin 2 1

x x

 

có nghiệm là

( )

x k





 







  







. B.

3 2

x k

 





 



  





12 3

x k

 





 



  





. D. Vô nghiệm.

Câu 13. Họ nghiệm của phương trình

3tan 2 2cot 2 5 0

x x

  

là

4 2

 

 

. B.

4 2

 



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 42

1 2

arctan

2 3 2



 

. D.

1 2

arctan

2 3 2





Câu 14. Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình

2 tan 5 tan 3 0

x x

  

là





. B.





. C.





. D.





Câu 15. Số nghiệm của phương trình

2 tan 2cot 3 0

x x

  

trong khoảng

;



 



 

 

là

. B.

. C.

. D.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1. Nghiệm của phương trình

sin 3 cos 2

x x 

là

2 ; 2

12 12

x k x k

 

    

. B.

2 ; 2

4 4

x k x k

 

    

2 ; 2

3 3

x k x k

 

   

. D.

2 ; 2

4 4

x k x k

 

     

Câu 2. Nghiệm của phương trình

sin – 3 cos 0

x x



là

x k



 

. B.

x k



 

. C.

x k



 

. D.

x k



 

Câu 3. Số nghiệm của phương trình

sin cos 1

x x

 

trên khoảng







là

. B.

. C.

. D.

Câu 4. Nghiệm của phương trình

sin 3 cos 2

x x

 

là

x k



 

. B.

x k



 

. C.

x k



  

. D.

x k



 

Câu 5. Phương trình:

3.sin 3x cos3x 1

  

tương đương với phương trình nào sau đây:

sin 3x

6 2



 

  

 

 

sin 3x

6 6

 

 

  

 

 

sin 3x

6 2



 

  

 

 

sin 3x

6 2



 

 

 

 

Câu 6. Với giá trị nào của

thì phương trình

( 1) sin cos 5

m x x  

có nghiệm.

3 1

  

. B.

0 2

 

. C.







 



. D.

2 2

m  

Câu 7. Điều kiện để phương trình

sin 3cos 5

m x x

 

có nghiệm là



. B.

4 4

  

. C.

m  . D.

 









Câu 8. Cho phương trình:





2 2

2 cos 2 sin 2 1 0

m x m x

   

. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích

hợp của tham số

là

1 1

  

. B.

1 1

2 2

  

. C.

1 1

4 4

  

. D.

| | 1



Câu 9. Tìm m để pt

sin 2 cos

x x

 

có nghiệm là

1 3 1 3

m   

. B.

1 2 1 2

m    . C.

1 5 1 5

m   

. D.

0 2

 

Câu 10. Điều kiện có nghiệm của pt

sin5 cos5

a x b x c

 

là

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 43

2 2 2

a b c

 

. B.

2 2 2

a b c

 

. C.

2 2 2

a b c

 

. D.

2 2 2

a b c

 

Câu 11. Điều kiện để phương trình

sin 8cos 10

m x x

 

vô nghiệm là



. B.

 









. C.

 

. D.

6 6

  

Câu 12. Điều kiện để phương trình

12sin cos 13

x m x

 

có nghiệm là



. B.

 









. C.

 

. D.

5 5

  

Câu 13. Tìm điều kiện để phương trình

sin 12cos 13

m x x

  

vô nghiệm.



. B.

 









. C.

 

. D.

5 5

  

Câu 14. Tìm điều kiện để phương trình

6sin cos 10

x m x

 

vô nghiệm.

 









. B.



. C.

 

. D.

8 8

  

Câu 15. Tìm

để phương trình

5cos sin 1

x m x m

  

có nghiệm

 

. B.



. C.



. D.



Câu 16. Tìm m để phương trình

2 1 (1)

sinx mcosx m

  

có nghiệm

;

2 2

 



 



 

 

3 1

  

2 6

  

1 3

 

1 3

  

Câu 17. Tìm m để phương trình

sin 5cos 1

m x x m

  

có nghiệm.



Câu 18. Phương trình

cos2 sin 2 2

m x x m

  

có nghiệm khi và chỉ khi

;

 

 





 

. B.

;

 

 





 

. C.

;

 

 





 

. D.

;

 

 





 

Câu 19. Phương trình

sin cos 2 sin 5

x x x

  có nghiệm là

4 2

6 3

x k

 



 







 







. B.

12 2

24 3

x k

 



 







 







16 2

8 3

x k

 



 







 







. D.

18 2

9 3

x k

 



 







 







Câu 20. Phương trình





sin 8 cos 6 3 sin 6 cos8

x x x x

  

có các họ nghiệm là

12 7

x k



 



 



 





. B.

6 2

x k



 



 



 





. C.

7 2

x k



 



 



 





. D.

9 3

x k



 



 



 





Câu 21. Phương trình:

3sin3 3 cos9 1 4sin 3

x x x

  

có các nghiệm là

6 9

7 2

6 9

x k

 



  



 





. B.

9 9

7 2

9 9

x k

 



  



 





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 44

12 9

7 2

12 9

x k

 



  



 





. D.

54 9

18 9

x k

 





  



 





Câu 22. Phương trình

3 1

8cos

sin cos

 x

x x

có nghiệm là

16 2

 





 



 





x k

. B.

12 2

 





 



 





x k

. C.

8 2

 





 



 





x k

. D.

9 2

 





 



 





x k

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1. Phương trình

2 2

2sin sin cos cos 0

x x x x

  

có nghiệm là





, k





. B.

,arctan

4 2

k k

 

 

 

 



 

, k





,arctan

4 2

k k

 

  

 

 



 

, k





. D.

2 , arctan 2

4 2

k k

 

  

 

 



 

, k





Câu 2. Trong khoảng

0 ; ,



 

 

 

phương trình

2 2

sin 4 3.sin4 .cos4 4.cos 4 0

  

x x x x có:

A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm.

Câu 3. Phương trình

2 2

2cos 3 3 sin 2 4sin 4

x x x

   

có họ nghiệm là

x k





 



 





, k





. B.

x k



 

, k





x k



 

, k





. D.

x k



 

, k





Câu 4. Giải phương trình

2 2

cos 3 sin 2 1 sin

  

x x x









 



x k

3 2









 





x k

3 3









 





x k









 



x k

Câu 5. Giải phương trình

2 2

2 cos 6sin cos 6sin 1

  

x x x x

2 ; arctan 2

4 5



 

 

     

 

 

x k x k

2 1 2

; arctan

4 3 5 3



 

 

     

 

 

x k x k

1 1 1

; arctan

4 4 5 4



 

 

     

 

 

x k x k

; arctan

4 5



 

 

     

 

 

x k x k

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1. Phương trình

sin cos 1 sin 2

x x x

  

có nghiệm là

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 45

6 2

x k

 





 









, k





. B.

x k





 









, k





x k





 







, k





. D.

x k





 







, k





Câu 2. Giải phương trình





sin 2 12 sin cos 12 0

   

x x x

, 2



  

    

x k x k

2 ,

2 3



  

    x k x k

1 2

2 3 3



  

    x k x k

2 , 2



  

    

x k x k

Câu 3. Giải phương trình

sin 2 2 sin 1



 

  

 

 

x x

, , 2

4 2

 

   

     

x k x k x k

1 1 1

, ,

4 2 2 2 2

 

   

     x k x k x k

2 2

, , 2

4 3 2 3

 

   

     

x k x k x k

, 2 , 2

4 2

 

   

     

x k x k x k

Câu 4. Giải phương trình

cos sin 2sin 2 1

  

x x x

















Câu 5. Giải phương trình

3 3

cos sin cos 2

 

x x x

2 , ,

4 2

 

  

      

x k x k x k

, ,

4 3 2

 

  

      

x k x k x k

1 2

, , 2

4 3 2 3

 

  

      

x k x k x k

, 2 , 2

4 2

 

  

      

x k x k x k

Câu 6. Giải phương trình

3 3

cos sin 2 sin 2 sin cos

   

x x x x x













x k





Câu 7. Cho phương trình

sin cos sin cos 0

x x x x m

   

, trong đó

là tham số thực. Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của

là

2 2

m    

. B.

2 1

   

. C.

1 2

m  

. D.

2 2

  

Câu 8. Phương trình

2sin 2 3 6 sin cos 8 0

x x x

   

có nghiệm là

x k





 



 









. B.

x k



 



 



 







x k





 



 









. D.

x k





 



 









Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 46

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 1. Phương trình

    

2 2

1 3 0

cosx cos x cos x sin x tương đương với phương trình.





 

3 0

cosx cosx cos x

. B.





 

2 0

cosx cosx cos x





 

2 0

sinx cosx cos x . D.





 

2 0

cosx cosx cos x .

Câu 2. Số nghiệm thuộc

;

14 10

 

 





 

của phương trình





2sin 3 1 4sin 0

x x

 

là

. B.

. C.

. D.

Câu 3. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt









2sin cos 1 cos sin

x x x x

  

là

















Câu 4. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt

2sin 2 2 sin cos 0

x x x

 

là

















Câu 5. Tìm số nghiệm trên khoảng

( ; )

 

của phương trình:

2( 1)( 2 3 1) 4 .

sinx sin x sinx sin x cosx

   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 6. Phương trình

sin 3 cos 2 1 2 sin cos 2

x x x x

  

tương đương với phương trình

sin 0

sin











. B.

sin 0

sin 1











. C.

sin 0

sin 1







 



. D.

sin 0

sin







 



Câu 7. Giải phương trình

3 3

cos sin cos2

x x x

  .

2 , ,

2 4

x k x k x k

 

  

    

. B.

2 , , 2

2 4

x k x k x k

 

  

     

2 , ,

2 4

x k x k x k

 

  

     

. D.

, ,

2 4

x k x k x k

 

  

    

Câu 8. Giải phương trình

1 sin cos tan 0

x x x

   

2 ,

x k x k



  

   

, k





. B.

2 , 2

x k x k



  

   

, k





2 , 2

x k x k



  

   

, k





. D.

2 ,

x k x k



  

   

, k





Câu 9. Phương trình

2 sin cot 1 2 sin 2

x x x

  

tương đương với phương trình

2sin 1

sin cos 2sin cos 0

x x x x

 





  



. B.

2sin 1

sin cos 2sin cos 0

x x x x







  



2sin 1

sin cos 2sin cos 0

x x x x

 





  



. D.

2sin 1

sin cos 2sin cos 0

x x x x







  



Câu 10. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin sin2 cos 2cos

  

x x x x

là



. B.



. D.



Câu 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2 cos cos sin sin 2

  

x x x x

là?





. B.





. C.





. D.



x

Câu 12. Phương trình

sin 3 cos 2 1 2 sin cos 2

  

x x x x

tương đương với phương trình:

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 47

sin 0

sin 1











. B.

sin 0

sin 1







 



. C.

sin 0

sin











. D.

sin 0

sin







 



Câu 13. Phương trình

4 6

cos cos2 2sin 0

  

x x x có nghiệm là



 

x k

. B.

4 2

 

 

x k

. C.





x k

. D.





x k

Câu 14. Phương trình:









sin sin 2 sin sin 2 sin 3

  

x x x x x

có các nghiệm là















x k

. B.















x k

. C.













x k

. D.













x k

Câu 15. Phương trình

2 2 2 2

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

  

x x x x

có các nghiệm là















x k

. B.















x k

. C.













x k

. D.













x k

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP

Câu 1. Số nghiệm phương trình

2 2 2

x π x

sin ( ).tan x cos = 0

2 4 2

 

với









là

. B.

. C.

. D.

Câu 2. Cho phương trình: sinx + sin2x = cosx + 2cos2x nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là



. B.



. C.



. D.



Câu 3. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình:

sinxsin 2 xsin 3 x sin 4



là





. B.





. C.





. D.





Câu 4. Phương trình

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x sinx = 0



có nghiệm

 

π kπ

x = + k , n

4 n

 

 

Khi đó giá trị n là

. B.

. C.

. D.

Câu 5. Số nghiệm trên





0;2



của phương trình:

sin cos sin cos 1 0

x x x x

   

là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 6. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos²x + cosx = sinx + sin2x là?

A. x =



. B. x =



. C. x =



. D. x =



Câu 7. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

2cos² cos sin sin2

x x x x

  

là?





. B.





. C.





. D.





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 48

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 2

TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về

Đại số tổ hợp

và

Lí thuyết xác suất

Phần thứ nhất bao gồm

quy tắc cộng

và

quy tắc nhân,

các khái niệm, các công thức về

hoán vị,

chỉnh hợp

và

tổ hợp.

Các bài toán này thường gặp trong Toán ứng dụng. Ngoài ra, công thức

khai

triển nhị thức Niu-tơn

và các áp dụng của nó cũng được trình bày.

Phần tiếp theo cung cấp những khái niệm mở đầu và các công thức đơn giản nhất của

Lí thuyết

xác suất,

một lĩnh vực quan trọng của Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế.

§ 1. QUY TẮC ĐẾM

A. KIẾN THỨC

Số phần tử của tập hợp hữu hạn

được kí hiệu là





n A

Người ta cũng dùng kí hiệu

để chỉ số

phần tử của tập

a) Nếu





, ,

A a b c



thì số phần tử của tập hợp

là 3, ta viết





n A



hay



b) Nếu









1,2, 3, 4,5,6,7, 8,9 , 2, 4,6, 8 ,

A B

 

thì





\ 1, 3,5, 7,9 .

A B



 Số phần tử của tập hợp

là





n A



 Số phần tử của tập hợp

là





n B



 Số phần tử của tập hợp

A B

là





\ 5.

n A B



I – QUY TẮC CỘNG

QUY TẮC

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có

cách thực hiện, hành động kia có

cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của

hành động thứ nhất thì công việc đó có

m n



cách thực hiện.

Quy tắc cộng được phát hiện ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu

hạn không giao nhau, được phát biểu như sau :

Nếu

và

là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì













n A B n A n B

  

CHÚ Ý

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

II – QUY TẮC NHÂN

QUY TẮC

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 49

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có

cách thực hiện hành

động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có

cách thực hiện hành động thứ hai thì có

m n

cách hoàn thành công việc.

CHÚ Ý

Quy tắc nhân có thể được mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Dùng các quy tắc cộng và nhân

1. Các thành phố

, , ,

A B C D

được nối với nhau

bởi các cong đường như hình dưới. Hỏi :

a) Có bao nhiêu cách đi từ

đến

mà qua

và

chỉ một lần ?

b) Có bao nhiêu cách đi từ

đến

rồi quay

lại

.....................................................................

2. Có bao nhiêu số tự nhiên :

a) có ba chữ số bất kì ;

b) có ba chữ số khác nhau đôi một ;

c) có ba chữ số khác nhau đôi một và số đó

là số chẵn ;

d) có ba chữ số khác nhau đơi một và số đó

chia hết cho 5.

3. Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số

bất kì ?

.....................................................................

4. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn

1000 ?

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 50

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. a/ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện : ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy

bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có

bao nhiêu sự lựa chọn phương tiện để đi từ A tới B ?

b/ Từ A đến B có 4 con đường để đi ; từ B đến C có 5 con đường để đi. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn đường đi từ A đến C (qua B) ? Đáp số: a/20, b/20

BT 2. a/ Hùng có hai đôi giày và ba đôi dép. Hỏi Hùng có bao nhiêu sự lựa chọn (một đôi giày hoặc

một đôi dép để mang) ?

b/ Hùng có 2 quần tây và 3 áo sơ mi. Hỏi Hùng có bao nhiêu cách để chọn một bộ quần áo?

Đáp số: a/ 5, b/ 6

BT 3. Một đội văn nghệ có 6 nam và 7 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a/ Một đôi song ca nam – nữ ?

b/ Một bạn để biểu diễn đơn ca ? Đáp

số: a/ 42, b/ 13

BT 4. Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi

có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ? Đáp số:12

BT 5. Một lớp học có 26 học sinh nam và 19 học sinh nữ.

a/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn phụ trách quỹ lớp ?

b/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn nam và một bạn nữ phụ trách phong trào ?

c/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một ban cán sự lớp gồm ba người : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó

phụ trách kỷ luật và một lớp phó phụ trách học tập với điều kiện lớp trưởng phải là một bạn

nữ và lớp phó kỷ lật phải là một bạn nam ? Đáp số: a/ 45, b/ 26.19, c/ 19.26.43

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 51

BT 6. Trên giá sách có 9 quyển sách tiếng Việt (khác nhau), 5 quyển sách tiếng Hoa (khác nhau) và 16

quyển sách tiếng Anh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a/ Một quyển sách ?

b/ Ba quyển sách với ba thứ tiếng khác nhau ? Đáp số: a/ 30, b/ 720

BT 7. Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc. Tính số cách chọn ra một người đàn ông và một người đàn bà trong

bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho :

a/ Hai người đó là một cặp vợ chồng ?

b/ Hai người đó không là vợ chồng ? Đáp số: a/10, b/90

BT 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? Đáp số:20

BT 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên

a/ Có hai chữ số ?

b/ Có hai chữ số khác nhau ? Đáp số:a/ 42, b/ 36

BT 10. Từ các chữ số 2, 3, 4, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

Đáp số:30

BT 11. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8}. Từ các phần tử của tập X có thể lập bao nhiêu số tự nhiên

trong các trường hơp sau :

a/.Số đó có 3 chữ số.

b/ Số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.

c/ Số đó là số chẵn và có 4 chữ số khác nhau từng đôi một. Đáp số:a/ 512, b/ 1680, c/840

BT 12. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A

mà không có đường nào đi hai lần ? Đáp số : 20

BT 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau

Đáp số : 3024

BT 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?

Đáp số : 2580480

BT 15. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia

hết cho 5. Đáp số : 54

BT 16. Có bao nhiêu ước nguyên dương của 360 ? Đáp số : 24

BT 17. Trong 100 000 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số chứa một chữ số 3, một chữ số 4, và

một chữ số 5 ? Đáp số : 2940

§ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

A. KIẾN THỨC

I – HOÁN VỊ

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA

Cho tập

gồm

phần tử (



Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự

phần tử của tập hợp

được gọi là một

hoán vị

của

phần tử đó.

NHẬN XÉT

Hai hoán vị của

phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

2. Số các hoán vị

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 52

Kí hiệu

là số các hoán vị của

phần tử. Ta có định lí sau đây.

ĐỊNH LÍ

( 1) 2.1.

P n n

 



Chứng minh.

Để lập được mọi hoán vị của

phần tử, ta tiến hành như sau :

Chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất. Có

cách.

Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất, có



cách chọn một phần tử cho vị trí thứ hai.

…

Sau khi đã chọn



phần tử cho



vị trí đầu tiên, có hai cách chọn một trong hai phần tử còn

lại để xếp vào vị trí thứ



Phần tử còn lại sau cùng được xếp vào vị trí thứ

Như vậy, theo quy tắc nhân, có





. 1 2.1

n n





kết quả sắp xếp thứ tự

phần tử đã cho.

Vậy





1 2.1

P n n

 





CHÚ Ý

Kí hiệu





1 2.1

n n





là

(đọc là

giai thừa

), ta có

P n



II – CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa

Cho tập

gồm

phần tử (



Kết quả của việc lấy

phần tử khác nhau từ

phần tử của tập hợp

và sắp xếp chúng

theo một thứ tự nào đó được gọi là một

chỉnh hợp chập

của

phần tử

đã cho.

2. Số các chỉnh hợp

Kí hiệu

là số các chỉnh hợp chập hợp chập

của

phần tử





1 .

k n

 

ĐỊNH LÍ









1 1 .

A n n n k

   



Chứng minh.

Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập

của

phần tử, ta tiến hành như sau :

Chọn một trong

phần tử đã cho vào vị trí thứ nhất. Có

cách.

Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong



phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai. Có



cách.

…

Sau khi đã chọn



phần tử rồi, chọn một trong





n k

 

phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ

Có

n k

 

cách.

Từ đó theo quy tắc nhân, ta được









1 1 .

A n n n k

   





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 53

CHÚ Ý

a) Với quy ước

0! 1,



ta có





n k





1 .

k n

 

b) Mỗi hoán vị của

phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập

của

phần tử đó. Vì

vậy

n n

P A



III – TỔ HỢP

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA

Cho tập

gồm

phần tử (



Mỗi tập con gồm

phần tử của

được gọi là một

tổ hợp chập

của

phần tử

đã cho.

CHÚ Ý

Số

trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện

1 .

k n

 

Tuy vậy, tập hợp không có phần

tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của

phần tử là tập rỗng.

2. Số các tổ hợp

Kí hiệu

là số các tổ hợp chập

của

phần tử





0 .

k n

 

ĐỊNH LÍ





! !

k n k





Chứng minh.

Với



công thức hiển nhiên đúng.

Với



ta thấy một chỉnh hợp chập

của

phần tử được thành lập như sau :

 Chọn một tập con

phần tử của tập hợp gồm

phần tử. Có

cách chọn.

 Sắp thứ tự

phần tử chọn được. Có

cách.

Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các chỉnh hợp chập

của

phần tử là

. !

k k

n n

A C k



Từ đó





! !

k n k

 





3. Tính chất của các số

a) Tính chất 1

k n k

n n

C C









0 .

k n

 

b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan)

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 54

1 1

k k k

n n n

C C C



 

 





1 .

k n

 

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp

1. a) Hãy liệt kê 5 hoán vị của tập hợp A = {a ; b

; c ; d}.

b) Hãy liệt kê 5 chỉnh hợp chập 3 của các

phần tử {a ; b ; c ; d}.

c) Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 2 của tập

hợp A = {a ; b ; c, d}.

.....................................................................

3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự

nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi :

a) Có tất cả bao nhiêu số ?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000 ?

.....................................................................

2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho

mười người khách vào mười ghế kê thành

một dãy ?

.....................................................................

4. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn

được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?

.....................................................................

5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm :

a) 5 chữ số khác nhau đôi một ?

b) 5 chữ số khác nhau đôi một và là số chẵn

.....................................................................

6. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần

lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi :

a) Có tất cả bao nhiêu cách lập ?

b) Có tất cả bao nhiêu cách lập đoàn đại

biểu, trong đó có ba nam, hai nữ ?

c) Có tất cả bao nhiêu cách lập đoàn đại

biểu, trong đó có ít nhất một nữ ?

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 55

.....................................................................

8. Cho đa giác đều 16 đỉnh. Gọi

là tập hợp

tất cả các đỉnh của đa giác trên. Hỏi :

a) có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ

không có các điểm đầu và điểm cuối thuộc

b) có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng có đỉnh

thuộc

c) có tất cả bao nhiêu đường chéo của đa

giác đó ?

c) có tất cả bao nhiêu tam giác mà các đỉnh

của nó thuộc

d) có tất cả hình chữ nhật mà các đỉnh của

nó thuộc

.....................................................................

9. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ mà,

trong đó :

a) các chữ số giảm dần ?

b) các chữ số tăng dần ?

.....................................................................

Dạng 2 : Rút gọn biểu thức, giải phương trình

①





! 1 2.1

P n n n

  

















! . 1 ! 1 . 2 !n n n n n n

     



② Với quy ước

0! 1,



ta có





n k





1 .

k n

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 56

n n

P A



③





! !

k n k

 



④

k n k

n n

C C









0 .

k n

 

1 1

k k k

n n n

C C C



 

 





1 .

k n

 

1. Không dùng máy tính, tính và thu gọn các

biểu thức sau với điều kiện xác định của nó:

10!

; b)





2 !

n 

;

; d)

.....................................................................

3. Giải phương trình

1 2 3

n n n

C C C x

  

.....................................................................

2. Giải phương trình

3 2

14 .

n n

A C n



 

.....................................................................

4. Giải phương trình

2 3

3 2

20.

n n

A C

 

 

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 57

.....................................................................

5. Giải phương trình

2 2

3 42 .

n n

A A

 

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1.

a/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện cùng một công việc ?

b/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện ba công việc khác nhau ?

Đáp số : a) 120 ; b) 720

BT 2. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt.

a/ Có bao nhiêu véctơ khác véctơ



có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho ?

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 58

b/ Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc về tập hợp điểm đã cho?

Đáp số : a) 30 ; b) 15

BT 3. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu

số:

a) Được tạo thành

b) Bắt đầu bởi chữ số 1?

c) Không bắt đầu bằng chữ số 2?

Đáp số : a) 24 ; b) 6 ; c) 182

BT 4. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số

đó có bao nhiêu số:

a) Bắt đầu bởi 19?

b) Không bắt đầu bởi 135?

Đáp số : a) 6 ; b) 118

BT 5. Cho 6 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

a) Từ các chữ số trên, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?

c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?

Đáp số : a) ; b) ; c) 4.5! = 480

BT 6. Cho 7 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a) Từ 7 chữ số trên, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?

b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn?

c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7 ?

Đáp số : a) ; b) 1080 ; c)

BT 7. Cho 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9.

d) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?

e) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?

f) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?

g) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?

Đáp số : a) ; b) 54 ; c) ; d)

BT 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

và lớn hơn 300.000. Đáp số: 4.5! = 480

BT 9. Từ tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau

và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? Đáp số:

BT 10. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó:

a) hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau? Đáp số: 48

b) hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? Đáp số: 72

BT 11. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt

2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Đáp số:

A 720



A .3 360



A 2520



5.A 1800



96A.4



3 2

4 3

A .1 3.A .1 42

 

3.A 3.3! 18

 

4 4

6 5

6.A 5.A 1560

 

A .1 360



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 59

BT 12. Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 3 xuất

hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần. Đáp số: 6.6.5.1 = 180

BT 13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

Đáp số: 8676

BT 14. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và

thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu

nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Đáp số: 108

BT 15. Lúc khai mạc một hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Đáp số: 24

BT 16. Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng và 1 bó

hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm bình.

Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất

a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . Đáp số: 10800

b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Đáp số: 15000

BT 17. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem

thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư.

Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. Đáp số:

BT 18. Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh .

Hỏi có bao nhiêu cách :

a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Đáp số: = 9880

b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Đáp số: 2625

c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Đáp số: 9425

BT 19. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chia số

học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít

nhất 2 học sinh khá. Đáp số: 3780

BT 20. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế mà không có hai bạn

nữ nào ngồi cạnh nhau, trong các trường hợp sau :

a) Ghế sắp thành hàng ngang Đáp số: 604800

b) Ghế sắp quanh một bàn tròn Đáp số: 43200

BT 21. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho

6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên.

Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.

b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

Đáp số: a) 2.6!6! ; b) 2

.6!.6!

BT 22. Một Hội nghị bàn tròn có các doanh nhân từ các nước, gồm có 3 người Việt Nam, 5 người Lào,

2 người Campuchia, 3 người Thái Lan, 4 người Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi

cho các thành viên này , sao cho người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau ?

Đáp số: 4976640

BT 23. Chuẩn bị cho ngày khai giảng cần chọn 7 bạn trong 50 bạn vào đội vệ sinh. Trong đó có 4 bạn

nhổ cỏ và 3 bạn sơn ghế. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.

Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các phần tử của tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Hỏi có bao nhiêu số:

a) Được tạo thành?

b) Bắt đầu bởi hai chữ số 12?

c) Không bắt đầu bằng hai chữ số 12?

3 3 3 3

6 5 6 5

C .C .3! C .A



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 60

d) Trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1?

e) Trong đó hai chữ số 23 đứng cạnh nhau?

BT 24. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có

mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?

BT 25. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em để tham gia đồng diễn thể dục, yêu cầu

không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

BT 26. Giải các phương trình sau :

( trong đó là số tổ hợp chập k của n phần tử và là số chỉnh hợp chập k của n phần tử ).



 

  

n 1 n

n 4 n 3

C C 7(n 3)

Đáp số : a) n = 2 hay n = 3 ; b) n = 5 ; c) n = 5 ; d) n = 6 ; e) n = 6 hay n = 11 ; f) n = 4 ; g) n = 6 ;

h) n = 12 ; i) n = 5 ; j) n = 2 ;

BT 27. Giải các phương trình : (với )

  

2 2 3

2x x x

A A C 40

Đáp số : a) x = –1 hay x = 4 ; b) x = 4 ; c) x = 11 ; d) n = 4 hay n = 20 ; e) x = 5 ; f) x = 9 ;

g) x = 3 hay x = 8 ; h) x = 4, x = 8

BT 28. Giải bất phương trình sau

a) b) c)



 



n 3 4

3 n 1 n 1

14P .C A

Đáp số: a) n = 2, n = 3 ; b) n = 5 ; c) n = 3, n = 4, n =5

BT 29. Cho hai đường thẳng

và

là hai đường thẳng song song. Trên

lấy 5 điểm và

trên

lấy

điểm . Tìm

để số tam giác lập từ



(n 5)

điểm đó là

Đáp số :



n 3

BT 30. (

B_2002

) Cho đa giác đều

1 2 2

... ( 2, )

 



A A A n n

nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam

giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm

1 2 2

, ,...,

A A A

nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4

trong 2n điểm

1 2 2

, ,...,

A A A

, tìm n? Đáp số :



BT 31. (

B_2004

) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : Có 5 câu khó ;10 câu trung bình ; 15 câu dễ .

Hỏi từ 30 câu hỏi trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra sao cho mỗi đề có 5 câu hỏi khác nhau

trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại câu hỏi : khó ; trung bình ; dễ và câu dễ không ít

hơn hai . Đáp số : 56.875

BT 32. (

B_2006

) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20

lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là

lớn nhất. Đáp số:



BT 33. (

D_2006

) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh

lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học

sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Đáp số: 225









n n 1

n 1

P P

P 6







n 2

n 4

3 n 1

210

P A



 

3 n 2

n n

A C 14n

 

3 2 2

n n n

3C 2C 3A

 

3 4 2

n n n

A 2C 3A





2 n 1

n n

A .C 48



 

4 5 6

n n n 1

C C 3C









3 n 4

n 1 n

A C

 

n n n

4 5 6

1 1 1

C C C





 

2 3

P .x P .x 8

  

1 2 3

x x x

C C C x

 

10 9 8

x x x

A A 9A

2 2

x 2x

2A 50 A

 

  

 

3 2 2

x 1 x 1 x 2

C C A

 

 

1 2 1

x x 1 x 4

1 1 7

C C 6C

 

 

x x 2 x 1

14 14 14

C C 2C

3 n 1

n 1 n 1

A C 14(n 1)



 

  

2 4 3 3

n n n

(n 5)C 2C 2A

  

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 61

BT 34. (

D_2014

) Cho một đa giác đều

đỉnh ,

, 3

n n

 



. Tìm

biết đa giác đã cho có 27 đường

chéo. Đáp số:



§ 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN

A. KIẾN THỨC

I – CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN

Ta có :

2 2 2 0 2 1 2 2

2 2 2

( ) 2 ,

a b a ab b C a C ab C b

      

3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2 3 3

3 3 3 3

( ) 3 3 .

a b a a b ab b C a C a b C ab C b

        

Tổng quát, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức





a b



thành tổng các đơn thức như sau :

0 1 1 1 1

( ) ... ... .

n n n k n k k n n n n

n n n n n

a b C a C a b C a b C ab C b

   

       

(1)

Công thức (1) được gọi là

công thức nhị thức Niu-tơn.

HỆ QUẢ

Với

a b

 

ta có





0 1

2 1 1 .

n n

n n n

C C C

     

Với

1; 1,

a b

  

ta có













0 1

0 1 1 1 1 .

n k n

k n

n n n n

C C C C

          

CHÚ Ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1) :

a) Số các hạng tử là



;

b) Các hạng tử có số mũ của

giảm dần từ

đến 0, các số mũ của

tăng dần từ 0 đến

nhưng có tổng số mũ của

và

trong mỗi hạng tử luôn bằng

(quy ước

0 0

a b

 

) ;

c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Khai triển, tìm số hạng, tính tổng các hệ số

Xét khai triển của nhị thức





a b



Số hạng tổng quát thứ



là :

k n k k

C a b







0 , .

k n k

  



CHÚ Ý

 

; ; .

k kl k l k l k l

x x x x x x

 

  

1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn :





a b

 ; b)





a 

; c)

 



















 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 62

........................................................................................................................................................

2. Tìm hệ số của

trong khai triển của biểu

thức :

 



















 

.....................................................................

3. Tìm số hạng không chứa

trong khai triển

của

 



















 

.....................................................................

4. Biết hệ số của

trong khai triển của





1 3



là 90. Tìm

.....................................................................

5. Tìm hệ số của

trong khai triển thành đa

thức của

5 2 10

(1 2 ) (1 3 ) .

x x x x

  

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 63

.....................................................................

6. Tìm hệ số của

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

 



















 

, biết rằng

là số nguyên

dương thỏa mãn

3 2 3

2 4 .

n n n

A C C



 

........................................................................................................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 64

........................................................................................................................................................

7. Tính giá trị của biểu thức

0 1 2 2 2020 2020

2020 2020 2020 2020

2 2 2 .

C C C C

   



........................................................................................................................................................

8. Chứng tỏ rằng với



ta có

0 2 4 2 1 3 5 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 .

n n n

n n n n n n n n

C C C C C C C C

 

         

 

........................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Khai triển nhị thức



(x 2)

, và cho biết hệ số của

trong khai triển đó.

BT 2. Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức

 



 

 

BT 3. Tìm hệ số a

trong khai triển (a + b)

. Đáp số: 56

BT 4. Xét khai triển của: Tính hệ số của hạng tử chứa Đáp số: 455

BT 5. Tìm hệ số của x

trong khai triển (2x–3y)

Đáp số:

3 15

(x xy) .



21 12

x y .

9 11 9

C .2 .3

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 65

BT 6. Tìm hệ số x

trong khai triển ( x

+ xy )

Đáp số:

BT 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của: Đáp số: –8064

BT 8. Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : Đáp số: 210

BT 9. Tìm n biết trong khai triển , hệ số của x

bằng bốn lần hệ số của x

.Đáp số: n = 10

BT 10. Biết rằng hệ số của x

n-2

trong khai triển bằng 31. Tìm n Đáp số: n = 32

BT 11. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển Đáp số: 9

BT 12. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển Đáp số: –200

BT 13. Cho khai triển:

     

          

9 10 14

2 14

o 1 2 14

1 x 1 x ... 1 x a a x a x ... a x

. Tìm giá trị

Đáp số: 3003

BT 14. (

D_2003

) Với

là số nguyên dương, gọi

3 3



là hệ số của

3 3



trong khai triển thành đa thức

của





 

1 2

 

x x

. Tìm n để

3 3

26 .





a n

Đáp số : n = 5

BT 15. (

A_2004

) Tìm hệ số của

trong khai triển :

 

1 1

 

 

 

x x

Đáp số :

238

BT 16. Không dùng máy tính, hãy tính các biểu thức sau :

    

0 1 2 9

9 9 9 9

A C C C ... C

     

15 16 17 18 30

30 30 30 30 30

B C C C C ... C

BT 17. (

CĐ_2005

) Cho

(1 ) (1 )



   

n n

x x x P

. Khai triển

0 1 2

...    

x n

P a a x a x a x

Biết :

0 1 2

... 512

    

a a a a

. Tìm



Đáp số :

 

BT 18. (

A_2006

) Tìm hệ số của số hạng chứa x

trong khai triển nhị thức Newton của

 



 

 

biết rằng:

1 2 20

2 1 2 1 2 1

... 2 1

  

    

n n n

C C C

Đáp số :

210

C

BT 19.

(B_2007

) Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển nhị thức Newton của (2+

)

, biết:

3

1

2

3

+ … +(1)

=2048

Đáp số :

BT 20. (

A_2008

) Cho khai triển

0 1 2

(1 2 ) ...     

n n

x a a x a x a x

, trong đó



* và các hệ số

0 1

, ,...,

a a a

thỏa mãn hệ thức

4096

2 2

   

a a

. Tìm số lớn nhất trong các số

0 1

, ,...,

a a a

. Đáp số :

126720

a

BT 21. (

A_2012

) Cho

là số nguyên dương thỏa mãn

1 3

n n

C C





. Tìm số hạng chứa

trong khai

triển nhị thức Niu-tơn

 



 

 



BT 22. Tìm số hạng chứa

trong khai triển của biểu thức

  

9 n

P (2x 1) (x 2)

Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn     

0 1 2 n

n n n n

C C C ... C 2048

C 3003



 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

(2x 3)(x 2)

 

2 5

(x x 2)

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 66

§ 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

A. KIẾN THỨC

I – PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU

1. Phép thử

Phép thử ngẫu nhiên

là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã

ế

t t

ậ

p h

ợ

p t

ấ

t c

ả

các k

ế

t qu

ả

có th

ể

ủ

a phép th

ử

đó.

Để đơn giản, từ nay phép phép thử ngẫu nhiên được gọi tắt là phép thử. Trong Toán học phổ thông,

ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kết quả.

2. Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép

ử

và kí hi

ệ

u là



(đ

ọ

c là ô

mê

ga).

II – BIẾN CỐ

ế

n c

ố

là m

ộ

t t

ậ

p con c

ủ

a không gian m

ẫ

Một biến cố liên quan đến phép thử là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó

của phép thử.

Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa

, , ,

A B C



Từ nay về

sau, khi nói cho các biến cố

, ,

A B



mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng

cùng liên quan đến một phép thử.

Tập  được gọi là

biến cố không thể

(gọi tắt là

biến cố không

). Còn tập



được gọi là

biến cố chắc chắn

Ta nói rằng

biến cố

xảy ra

trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết

quả của phép thử đó là một phần tử của

(hay thuận lợi cho

Như vậy, biến cố không thể (tức là



) không bao giờ xảy ra, trong khi đó,

biến cố chắc chắn



luôn luôn xảy ra.

III – PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

Giả sử

là biến cố liên quan đến một phép thử.

Tập



được gọi là

biến cố đối

của biến cố

, kí hiệu là

(h.31).

A A

 

  

nên

xảy ra khi và chỉ khi

không xảy ra.

Giả sử

và

là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau :

Tập

A B



được gọi là

hợp

của các biến cố

và

Tập

A B



được gọi là

giao

của các biến cố

và

ế

A B

  





thì ta nói

và

xung kh

ắ

Theo định nghĩa,

A B



xảy ra khi và chỉ khi

xảy ra hoặc

xảy ra ;

A B



xảy ra khi và

chỉ khi

và

đồng thời xảy ra.

Biến cố

A B



còn được viết là

. .

A B

và

xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra (h. 32).

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 67

Ta có bảng sau :

Kí hi

ệ

Ngôn ng

ữ

ế

n c

ố

 

là biến cố

 

là bi

ế

n c

ố

không

 

là bi

ế

n c

ố

ắ

c ch

ắ

C A B

 

là biến cố : “

hoặc

”

C A B

 

là bi

ế

n c

ố

: “

và

”

A B

  

và

xung kh

ắ

B A



và

đối nhau

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Mô tả không gian mẫu, xác định các biến cố

9. Gieo một đồng tiền ba lần (quy ước : mặt ghi

số là mặt ngửa, viết tắt là

và mặt kia là

mặt sấp, viết tắt là

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố :

: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp” ;

: “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần”;

: “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”;

: là biến cố đối của biến cố “mặt

ngửa xuất hiện ít nhất một lần”.

.....................................................................

10. Gieo một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh

đề :





























6,1 , 6,2 , 6, 3 , 6, 4 , 6,5 , 6,6

A 

;

























2, 6 , 6,2 , 3,5 , 5, 3 , 4, 4

B 

;





























1,1 , 2,2 , 3, 3 , 4, 4 , 5,5 , 6, 6

C 

c) Xác định biến cố

là biến cố đối của

biến cố

ở câu b).

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 68

.....................................................................

11. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2,

3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau :

: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” ;

: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.

.....................................................................

12. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu

là

biến cố : “Người thứ

bắn trúng”,

1,2.



a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các

biến cố

1 2

A A

: “Không ai bắn trúng” ;

: “Cả hai đều bắn trúng” ;

: “Có đúng một người bắn trúng” ;

: “Có ít nhất một người bắn trúng”.

b) Chứng tỏ rằng

A D



;

và

xung

khắc.

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Từ một cái hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6

màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 69

b) Kí hiệu

, ,

A B C

là các biến cố sau :

: “Lấy được thẻ màu đỏ” ;

: “Lấy được thẻ màu trắng” ;

: “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.

Hãy biểu diễn các biến cố

, ,

A B C

bởi các tập con tương ứng của không gian mẫu.

BT 2. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa

thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố :

: “Số lần gieo không vượt quá ba” ;

: “Số lần gieo là bốn”.

BT 3. Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi

lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau :

: “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước” ;

: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau” ;

: “Hai chữ số bằng nhau”.

§ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

1. Định nghĩa

Một đặc trưng định tính quan trọng của biến cố liên quan đến một phép thử là nó có thể xảy ra hoặc

không xảy ra khi phép thử được tiến hành. Một câu hỏi được đặt ra là nó có xảy ra không ? Khả năng

xảy ra của nó là bao nhiêu ? Như vậy, nảy sinh một vấn đê là cần phải gắn cho biến cố đó một con số

hợp lí để đánh giá khả năng xảy ra của nó. Ta gọi số đó là

xác suất của biến cố.

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA

Giả sử

là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả

năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số









n A



là

xác suất của biến cố

, kí hiệu là





P A

 









n A

P A





CHÚ Ý





n A

là số phần tử của

hay cũng là số các kết quả thuận lọi cho biến cố

, còn







là

số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

II – TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 70

Giả sử

và

là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng

xuất hiện.

ĐỊNH LÍ









0, 1.

P P

   





0 1,

P A

 

với mọi biến cố

c) Nếu

và

xung khắc, thì













P A B P A P B

  

(

công thức cộng xác suất

)

HỆ QUẢ

Với mọi biến cố

ta có









1 .

P A P A

 

Chứng minh.

Vì

A A

  

và

A A

  

nên theo công thức cộng xác suất ta có













1 .

P P A P A

   

Từ đó ta có điều phải chứng minh. 

III – CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói

hai biến cố đó

độc lập

Tổng quát, đối với hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau :

và

là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi













. . .

P A B P A P B



B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Tính xác suất của các biến cố

①

 









n A

P A





② Nếu

và

xung khắc, thì













P A B P A P B

  

(

công thức cộng xác suất

③ Với mọi biến cố

ta có









1 .

P A P A

 

④

và

là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi













. . .

P A B P A P B



1. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và

đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến

cố sau :

: “Mặt sấp xuất hiện hai lần” ;

: “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần” ;

: “Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”.

.....................................................................

2. Trong một lớp học gồm có 17 học sinh nam

và 13 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên

4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác

suất để 4 học sinh được gọi :

a) có tất cả đều là nam ;

b) có 1 nam và 3 nữ ;

c) có cả nam và nữ ;

d) có ít nhất một nữ.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 71

.....................................................................

3. Năm bạn nam và năm bạn nữ được xếp ngồi

ngẫu nhiên và 10 ghế hàng ngang. Tính xác

suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ.

.....................................................................

4. Năm bạn nam và năm bạn nữ được xếp ngồi

ngẫu nhiên và 10 ghế xếp thành hai dãy đối

diện nhau. Tính xác suất sao cho :

a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau ;

b) Nữ ngồi đối diện nhau.

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 72

5. Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba

chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3;

4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn

ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số

được chọn là số chẵn.

.....................................................................

6. Ba xạ thủ bắn súng độc lập vào bia. Xác suất

trúng đích của người thứ nhất là 0,9, của

người thứ hai là 0,7, của người thứ ba là 0,5.

Tính xác suất sao cho :

a) Cả ba xạ thủ cùng bắn trúng ;

b) Có đúng một xạ thủ bắn trúng ;

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

.....................................................................

7. Một đề thi Toán có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu hỏi có bốn đáp án và chỉ có duy

nhất một đáp án đúng. Học sinh A không biết câu trả lời và lựa chọn ngẫu nhiên các đáp án,

mỗi câu được chọn một đáp án duy nhất. Biết mỗi câu đúng được 0,2 điểm và không bị trừ điểm

khi lựa chọn đáp án sai. Tính xác suất để học sinh A được :

a) 0 điểm ; b) 10 điểm ; c) 5 điểm ; d) 7 điểm.

....................................................................................................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 73

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện

b) Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện nhỏ hơn 10

c) Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện hoặc là số lẻ hoặc chia hết cho 3

BT 2. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp thứ hai

chứa 4 quả màu trắng và 6 quả màu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả từ mỗi hộp.

Gọi A là biến cố : “Quả lấy từ hộp thứ nhất màu trắng”

Gọi B là biến cố : “Quả lấy từ hộp thứ hai màu trắng”

a) A và B có phải là hai biến cố độc lập không ?

b) Tính xác suất để hai quả lấy ra cùng màu

c) Tính xác suất để hai quả lấy ra khác màu

BT 3. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.

b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.

c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.

Đáp số: a) ; b) ; c)

BT 4. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố sau:

a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.

b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.

c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.

d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.

Đáp số: a) ; b) ; c) ; d)

BT 5. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.

b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.

Đáp số: a) ; b)

BT 6. Một bình chứa 6 viên bi gồm 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ. (các viên bi này chỉ khác nhau về màu)

Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được .

a) Hai viên màu xanh. b) Hai viên khác màu.

Đáp số: a)

; b)

BT 7. Một bình đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác

suất để được:

a) Hai viên cùng màu b) Hai viên khác màu.

Đáp số: a)

; b)

BT 8. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau về màu.

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được :

a) 3 viên xanh b) 3 viên đỏ c) 3 viên cùng màu d) ít nhất 2 viên xanh

Đáp số: a)

; b)

; c)

; d)

BT 9. Một bình đựng 7 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Lấy

ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được :

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 74

a) 2 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. b) Tất cả là bi xanh.

Đáp số: a)

; b)

BT 10. Một hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng, 8 quả cầu đen, có kích thước, trọng lượng như nhau.

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Tìm xác suất của biến cố trong 5 quả cầu có đúng 3 quả cầu đỏ.Đáp số:

BT 11. Một tổ sinh viên có 6 nam, 5 nữ.

a) Tìm xác suất lấy 4 sinh viên lao động trong đó có 1 nữ.

Tìm xác suất lấy 4 sinh viên lao động trong đó có không quá 3 nữ

Đáp số: a)

; b)

BT 12. Một tổ gồm 9 nam và 3 nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm có 4 người để trực nhật.

b) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1 nhóm có 4 người có đúng một nữ.

c) Cần chia tổ làm 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm 3 công việc khác nhau.

Tính xác suất để mỗi nhóm có đúng một nữ.

Đáp số: a) 495 ; b)

; c)

BT 13. Một đề thi gồm 100 câu hỏi khác nhau. Mỗi đề thi có 5 câu hỏi, một học sinh thuộc 80 câu

hỏi. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên một đề thi trong đó có 4 câu hỏi mà mình học

thuộc. Đáp số:



5135

12222

0,4201

BT 14. Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải

tư, 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì và 2 giải khuyến

khích. Đáp số:

133313

975,124

BT 15. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú-lơ-khơ, ta được một xấp bài. Tính xác suất để

trong xấp bài này chứa hai bộ đôi (Tức là có 2 con cùng thuộc một bộ; 2 con thuộc bộ thứ hai; con

thứ 5 thuộc bộ khác). Đáp số:

198

4165

BT 16. Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ

nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. Đáp số:

BT 17. Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần, với xác suất làm bàn của người thứ

nhất là 0,8 và xác suất làm bàn của người thứ hai là 0,6. Tính xác suất :

a) Người thứ nhất sút hỏng

b) Cả hai cùng sút trúng

c) Cả hai cùng sút trượt

d) Có ít nhất một người sút trúng

e) Có đúng một người sút trúng

Đáp số: a) 0,2 ; b) 0,48 ; c) 0,08 ; d) 0,92 ; e) 0,44

BT 18. Một đơn vị vận tải có 10 xe ôtô, có 6 xe tốt. Điều ngẫu nhiên 3 xe đi công tác.

Tính xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất một xe tốt. Đáp số:

BT 19. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 8 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 75

Tính xác suất để lấy được:

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt.

Đáp số: a) b)

BT 20. Một máy bay được trang bị 4 động cơ, trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái

và các động cơ này hoạt động độc lập. Biết rằng ở cánh phải , xác xuất mỗi động cơ bị hỏng lần lượt

là 0,1 và 0,2. Ở cánh trái , xác xuất mỗi động cơ bị hỏng lần lượt là 0,1 và 0,3.

a) Tính xác suất để máy bay hoạt động an toàn, nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất 1 động cơ

hoạt động.

b) Tính xác suất để máy bay có thể đáp xuống, nếu có ít nhất 1 động cơ hoạt động.

Đáp số: a) 0,9506 ; b) 0,9994

BT 21. Một bà mẹ mong sinh bằng được con gái ( sinh được rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được

thì sẽ sinh nữa ), xác suất sinh con gái trong một lần là 0,486. Tính xác suất sao cho bà mẹ đạt

được mong muốn ở lần sinh thứ 2. Đáp số: 0,249804

BT 22. Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tính xác suất sao cho sinh 3 lần thì có ít

nhất 1 trai ( Chỉ xét 1 lần sinh 1 con) Đáp số: 0, 882351

BT 23. (

B_2013

) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ

hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2

viên bi được lấy ra có cùng màu. Đáp số:

D. NHÌN RA THẾ GIỚI

1) Two real numbers are selected independently at ramdom from the interval





20,10



What is the probability that the product of those numbers is greater than zero ?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

2) Positive integers

and

are randomly and independently selected with

replacement from the set





1,2,3,...,2010

. What is the probability that

abc ab c

 

is divisible by

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

3) A palindrome between 1000 and 10,000 is chosen at random. What is the

probability that it is divisible by 7 ?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(

Trích các câu hỏi trong Đề thi Toán AMC

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 76

4) Bernardo randomly picks 3 distinct numbers from the set





1,2,3,4,5,6,7,8,9

and

arranges them in descending order to form a 3-digit number. Silvia randomly

picks

3 distinct numbers from the set





1,2,3,4,5,6,7,8

and also arranges them in

descending order to form a 3-digit number. What is the probability that

Bernardo’s number is larger than Silvia’s number ?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

5) Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he picks six different

integers from 1 through 46, inclusive. He chooses his numbers so that the sum of

the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the

integers on the winning ticket have the same property – the sum of the base-ten

logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the

winning ticket ?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

6) The state income tax where Kristin lives is levied at the rate of

of the first

$28000 of annual income plus

( 2)%



of any amount above $28000. Kristin

noticed that the state income tax the paid amounted to

( 0.25)%



of her annual

income. What was her annual income ?

(A) $28000 (B) $32000 (C) $35000 (D) $42000 (E) $56000

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 77

HÌNH HỌC

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 78

HÌNH HỌC 11 – Chương 1

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT

PHẲNG

§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH

A. KIẾN THỨC

Ta đã biết rằng với mỗi điểm

có một điểm



duy nhất là hình chiếu vuông góc của điểm

trên đường thẳng

cho trước (h.1.1).

ĐỊNH NGHĨA

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm

của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất



của mặt phẳng đó được gọi là

phép biến hình

trong mặt phẳng.

Nếu kí hiệu phép biến hình là

thì ta viết





F M M





hay





M F M





và gọi điểm



là ành

của điểm

qua phép biến hình

Nếu



là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu









 

là tập các điểm





M F M





với mọi điểm

thuộc



. Khi đó ta nói

biến hình



thành hình





, hay hình





là ảnh của hình



qua phép biến hình

Phép biến hình biến mỗi điểm

thành chính nó được gọi là

phép đồng nhất.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định các phép biến hình

1. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng

và

điểm

không thuộc

Gọi điểm



sao

cho

là đường trung trực của đoạn



Quy tắc đặt tương ứng điểm

với điểm



nêu trên có phải là một phép biến hình

không ?

.....................................................................

2. Trong mặt phẳng, cho điểm

và

phân

biệt. Gọi điểm



sao cho

là trung điểm

của đoạn



. Quy tắc đặt tương ứng điểm

với điểm



nêu trên có phải là một

phép biến hình không ?

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 79

.....................................................................

3. Cho trước số

dương, với mỗi điểm

trong mặt phẳng, gọi



là điểm sao cho

MM a





. Quy tắc đặt tương ứng điểm

với điểm



nêu trên có phải là một phép

biến hình không ?

.....................................................................

§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng cho vectơ



. Phép biến hình biến mỗi điểm

thành



sao cho

MM v









được gọi là

phép tính tiến theo vectơ



Phép tịnh tiến theo vectơ



thường được kí hiệu là là



được gọi là

vectơ tịnh tiến.

Như vậy





T M M MM v

 

  







Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là

phép đồng

nhất.

Phép tính tiến



biến hình



thành hình





II – TÍNH CHẤT

TÍNH CHẤT 1

Nếu









v v

T M M T N N

 

 

  thì

M N MN

 



 

và từ đó suy ra

M N MN

 



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 80

Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

TÍNH CHẤT 2

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho





;

v a b





. Với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là ảnh của của

qua phép tịnh tiến theo



Ta có

x x a

MM v

y y b







 





 







 









B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định các yếu tố và tập hợp điểm qua phép tịnh tiến

①

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho





;

v a b





. Với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là ảnh của

của

qua phép tịnh tiến theo



Ta có

x x a

MM v

y y b







 





 







 









②

Nếu

MM v









với



là vectơ không đổi, thì tồn tại một phép tính tiến theo



biến

thành



1. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho vectơ





1;2 ,

 



điểm





3;5

, đường thẳng

có

phương trình

2 3 0

x y

  

và đường tròn





có phương trình









2 2

1 3 8.

x y

   

2. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho hình bình

hành

ABCD

với









1; 2 , 5;1

B C



. Biết

chuyển trên đường tròn





có phương trình

2 2

4 2 1 0.

x y x y

    

Chứng minh tập

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 81

a) Tìm toạ độ của điểm



là ảnh của

qua

phép tịnh tiến theo



b) Tìm toạ độ của điểm

sao cho

là ảnh

của

qua phép tịnh tiến theo



c) Tìm phương trình của đường thẳng



là

ảnh của

qua phép tịnh tiến theo



d) Tìm phương trình của đường thẳng







là ảnh của





qua phép tịnh tiến theo



.....................................................................

hợp điểm

là một đường tròn. Viết phương

trình đường tròn đó.

.....................................................................

3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

Oxy

, cho

vectơ





1; 3

 



, hai đường thẳng

: 2 4 0

d x y

  

và

: 2 3 2 0.

d x y



  

Tìm tọa độ điểm

M d



và

N d





sao cho





T M N





.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 82

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Qua phép tịnh tiến , tìm ảnh của :

a) Điểm ĐS :

b) Đường thẳng ĐS : 3x – 5y – 12 = 0

c) Đường tròn ĐS :

BT 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2, - 2) và B(6, 3). Tìm ảnh của mỗi đường

sau qua phép tịnh tiến :

a) Đường thẳng (d) : 2x + 3y – 4 = 0. ĐS : 2x + 3y – 27 = 0

b) Đường tròn (C) : ĐS :

BT 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba điểm A(- 1, - 1), B(3, 1) và C(2, 3). Tìm tọa độ điểm

D để tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS : D(- 2, 1)

BT 4. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





2; 3



và vectơ





4; 1 .





Tìm ảnh của

qua



ĐS : (6; – 2)



(2, 3)



'(3, 5)



(d) : 3x 5y 1 0

  

2 2

    

2 2

x y 6x 5y 10 0

    



2 2

(x 1) (y 2) 9

   

2 2

(x 5) (y 3) 9

   

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 83

BT 5. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 3 5 0

d x y

  

và vectơ





2; 3 .

 



Tìm ảnh

của

qua



ĐS : 3x – y + 14 = 0

BT 6. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





2 2

: 4 2 4 0

C x y x y

    

và vectơ





3; 1 .

  



Tìm ảnh của

(C)

qua



ĐS: ( x + 5)

+ y

= 9

BT 7. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho vectơ





 



2; 3 .

v Hãy tìm các điểm

A’, B’

lần lượt là ảnh

của các điểm









1; 1 , 4; 3

A B

qua phép tịnh tiến theo vectơ



. ĐS: A’( - 1; 2), B’(2 ; 6)

BT 8. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho





1; 3

 



và đường thẳng

  

: 2 3 5 0

d x y

. Tìm phương

trình đường thẳng

là ảnh của

qua phép tịnh tiến



. ĐS: 2x – 3y – 6 = 0

BT 9. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho đường tròn





có phương trình

2 2

2 4 4 0

x y x y

    

Tìm ảnh của





qua phép tịnh tiến theo vectơ





2; 3

 



. ĐS: ( x – 1)

+ (y + 1)

= 9

BT 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng , đường tròn

và vec tơ . Tìm tọa độ điểm và sao cho

ĐS : hay

BT 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình:

(d) : 2x – 3y + 3 = 0 , (d

) : 2x – 3y – 5 = 0 . Tìm tọa độ vectơ có giá vuông góc với đường thẳng

(d) để (d

) là ảnh của (d) qua . ĐS :

BT 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm , . Điểm C di động trên đường

tròn (C) tâm , bán kính . Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Chứng minh

rằng D di động trên một đường tròn cố định. Tìm phương trình đường tròn này. ĐS :

§ 2. PHÉP QUAY

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm

và góc lượng giác



. Phép biến hình biến điểm

thành chính nó, biến mỗi

điểm

khác

thành điểm



sao cho

OM OM





và góc lượng giác





;

OM OM



bằng



được gọi là

phép quay tâm

góc



( ) : 3 0

d x y

  

2 2

( ) : 2 24 0

T x y x

   

(1, 2)

v 



( )

M d



( )

N T



( )

T M N





(3, 6)

(4, 4)











( 4,1)

(3, 3)













16 24

w ,

13 13

 

 

 

 



( 1, 2)



(6,0)

(1,3)



2 2

( 6) ( 5) 16

x y

   

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 84

Điểm

được gọi là

tâm quay

còn



được gọi là

góc quay

của phép quay đó.

Phép quay tâm

góc



thường được kí hiệu là

 



NHẬN XÉT

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều

ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

2) Với

là số nguyên ta luôn có phép quay

 

O k



là phép đồng nhất.

II – TÍNH CHẤT

Quan sát chiếc tay lái (vô-lăng) trên tay ngươi lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một góc

nào đó thì hai điểm

và

trên tay lái cũng quay theo. Tuy vị trí

và

thay đổi nhưng khoảng

cách giữa chúng không thay đổi. Điều đó được thể hiện trong tính chất sau của phép quay.

TÍNH CHẤT 1

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép quay tâm

, góc





;

OA OA



biến điểm

thành

A B



thành



. Khi đó ta có

A B AB

 



TÍNH CHẤT 2

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 85

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng

bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có

cùng bán kính.

NHẬN XÉT

Phép quay góc



với

0 ,

 

 

biến đường thẳng

thành đường thẳng



sao cho góc

giữa

và



bằng



(nếu 0





 

), hoặc bằng

 



(nếu



 

 

Phép quay góc







hoặc



 



, biến đường thẳng

thành đường thẳng



thì



vuông góc với

III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là ảnh của của

qua phép

quay

 



Ta chỉ xét hai phép quay sau :

 

0, 90

x y

Q M M

y x









 





 















 

0, 90

x y

Q M M

y x















 







 







Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 86

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định ảnh của phép quay

1. Khi bánh xe

quay theo chiều dương thì

bánh xe

quay theo chiều nào ?

.....................................................................

2. Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12 giờ đến 15

giờ, kim giờ và kim phút đã quay một góc

bao nhiêu độ ?

.....................................................................

Dạng 2 : Tìm toạ độ, phương trình ảnh qua phép quay

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

, với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là ảnh của của

qua phép

quay

 



①

 

0, 90

x y

Q M M

y x









 





 















②

 

0, 90

x y

Q M M

y x















 







 







1. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

điểm





2; 0

đường thẳng

có phương trình

2 0

x y

  

và đường tròn





có phương

trình









2 2

1 3 5.

x y

   

a) Tìm toạ độ của điểm



là ảnh của

qua

phép quay tâm

góc

90 .



b) Tìm phương trình của đường thẳng



là

ảnh của

qua phép quay tâm

góc

90 .



2. Qua phép quay





, 90





, tìm :

a) toạ độ ảnh của điểm





3; 4 .

b) phương trình đường thẳng



là ảnh của

đường thẳng

: 2 4 0.

d x y

  

c) phương trình đường tròn







là ảnh của

đường tròn





2 2

: 4 12 0.

C x y x

   

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 87

c) Tìm phương trình của đường thẳng







là ảnh của





qua phép quay tâm

góc

90 .



.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho tam giác đều

ABC

tâm

. Tìm ảnh của tam giác

ABC

qua phép quay

 

,120

 





, 60

BT 2. Cho hình vuông

ABCD

tâm

. Tìm ảnh của hình vuông qua phép quay

 





, 90

 



B,90

BT 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía

ngoài của ΔABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên nửa đường tròn cố định.

BT 4. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm AB, N là trung điểm OA. Tìm ảnh của ΔAMN

qua phép quay tâm O góc quay 90

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 88

BT 5. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của điểm





5; 2

M 

qua phép quay tâm 𝑂 góc quay

90 .



BT 6. Qua phép quay , tìm ảnh của đường thẳng .

ĐS :

BT 7. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của đường thẳng

: 3 2 6 0

d x y

  

qua phép quay tâm 𝑂 góc

quay

90 .





BT 8. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của đường tròn





2 2

: 4 6 3 0

C x y x y

    

qua phép quay tâm

𝑂 góc quay

90 .



BT 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường

tròn (C) là ảnh của (T) qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay

và phép tịnh tiến với ĐS :

2 2

( 2) ( 6) 25

x y

   

BT 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn . Viết phương trình đường

tròn (C) là ảnh của (T) qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay

và phép tịnh tiến với ĐS :

2 2

( 6) ( 2) 25

x y

   

BT 11. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho





2;5



và đường tròn

     

2 2

: 2 1 25

C x y

   

. Gọi





là ảnh

của





qua phép tịnh tiến







là ảnh của





qua phép quay

 

,90

. Viết phương trình





BT 12. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên đường tròn đó. Dựng về phía ngoài

của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng điểm E chạy trên một đường tròn cố định.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm







2; 4

. Điểm

là ảnh của điểm nào sau đây qua phép quay

tâm

góc quay









4; 2







4; 2





4;2





 

4; 2

Câu 2. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường thẳng

:3 4 0

d x y

 

. Phương trình ảnh của

qua phép quay

tâm

góc quay

180

là

3 4 0

x y

 

  

4 3 2 0

x y

  

4 3 2 0

x y

  

3 4 2 0

x y

Câu 3. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường thẳng

   

: 2 3 0

x y

. Phương trình ảnh của

qua phép

quay tâm

góc quay



là

  

2 1 0

x y

  

2 3 0

x y

  

2 3 0

x y

  

2 3 0

x y

Câu 4. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường thẳng

  

: 3 0

. Phương trình ảnh của

qua phép quay

tâm

góc quay





là

 

3 0

 

3 0

  

3 0

x y

 

3 0

Câu 5. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường tròn





 

2 2

: 9

C x y . Phương trình ảnh của





qua phép

quay tâm

góc quay



là

 

2 2

x y









   

2 2

1 1 9

x y

(O, 90 )



( ) : 3 4 12 0

d x y

  

3 4 12 0

x y

  

2 2

( ) : ( 2) ( 4) 25

T x y

   

( ,90 )



(2, 4)

 



2 2

( ) : ( 3) ( 4) 25

T x y

   

( ,90 )



( 2,5)

v  



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 89





  

1 9

x y





  

1 9

x y

Câu 6. Cho hình vuông

ABCD

tâm

Gọi

lần lượt là trung điểm của

và

(hình bên). Theo hình bên thì khẳng định nào sau đây là khẳng

định sai

A. Góc giữa

và

bằng

B. Tam giác

ODC

là ảnh của tam giác

OAB

qua phép quay tâm

góc

quay

180

C. Đường thẳng

là ảnh của đường thẳng

qua phép quay tâm

góc quay 

D. Tam giác

OBC

là ảnh của tam giác

OAB

qua phép quay tâm

góc quay

Câu 7. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm







2; 4

. Ảnh của điểm

qua phép quay tâm

góc quay



có tọa độ là





' 4;2





 

' 4; 2







' 4; 2







' 2;4

Câu 8. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho đường tròn









  

: 1 4

C x y

. Phương trình ảnh của





qua

phép quay tâm

góc quay



là





  

1 4

x y









   

2 2

1 1 4

x y





  

1 4

x y









   

2 2

1 1 4

x y

Câu 9. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho điểm





0;1

. Ảnh của điểm

qua phép quay tâm

góc quay





có tọa độ là







' 1;0





' 1;0







' 0; 1







' 1;1

Câu 10. Cho hình vuông

ABCD

tâm

, góc giữa



và



bằng 

90 .

Gọi

lần lượt là trung

điểm của

Khi đó, phép quay tâm

góc quay 

sẽ biến tam giác

ODN

thành tam

giác nào dưới đây?

OBQ

OAM

OCK

KNO

Câu 11. Cho phép quay tâm

góc quay

120

biến đường thẳng

thành

Khi đó, góc giữa hai

đường thẳng

và

bằng

120

D. 

§ 4. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

A. KIẾN THỨC

I – KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH

ĐỊNH NGHĨA

Phép dời hình

là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình

biến các điểm

M N

lần lượt thành các điểm

M N

 

thì

M N MN

 



NHẬN XÉT

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 90

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến và phép quay đều là những phép dời hình.

2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời

hình.

II – TÍNH CHẤT

Phép dời hình :

1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ;

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan

thẳng bằng nó ;

3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó ;

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III – KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU

ĐỊNH NGHĨA

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định toạ độ ảnh, phương trình qua phép dời hình

1. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho vectơ





2; 1 ,

 



điểm





3;5

. Tìm toạ độ điểm

ảnh của

lần lượt liên tiếp qua phép tịnh

tiến theo



và phép quay





,90



.....................................................................

2. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

vectơ





3;1





và đường tròn





có phương

trình





2 9.

x y

  

Viết phương trình

đường tròn ảnh lần lượt liên tiếp qua





, 90





và



.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 91

C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

3 3 0

x y

  

. Hỏi phép dời

hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm





1;2

và phép tịnh tiến theo vectơ





2;1

 



biến đường thẳng

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

3 1 0.

x y

  

3 8 0.

x y

  

3 3 0.

x y

  

3 8 0.

x y

  

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn













2 2

: 1 2 4

C x y

   

. Hỏi phép dời hình có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục

và phép tịnh tiến theo vectơ





2;3





biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

2 2

x y

 









2 2

2 6 4.

x y

   









2 2

2 3 4.

x y

   









2 2

1 1 4.

x y

   

Câu 3. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.

Câu 4. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ



và phép đối

xứng tâm

là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép đồng nhất. D. Phép tịnh tiến.

Câu 5. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng

song song là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay, góc quay khác



Câu 6. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng

vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng tr B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay, góc quay khác



Câu 7. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng

cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác



Câu 8. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm là phép nào trong

các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc

Câu 9. Cho hình chữ nhật

ABCD

tâm

với

M N

lần lượt là trung điểm

và

Hỏi phép dời hình

có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ



và phép đối xứng trục

là phép

nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm

B. Phép đối xứng tâm

C. Phép đối xứng tâm

D. Phép đối xứng trục

Câu 10. Cho hình vuông

ABCD

tâm

Gọi

là phép quay tâm

biến



thành

là phép đối

xứng trục

Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay

và phéo đối xứng

trục

là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm

B. Phép đối xứng trục

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 92

C. Phép đối xứng tâm

D. Phép đối xứng trục

§ 5. PHÉP VỊ TỰ

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm

và số



. Phép biến hình biến mỗi điểm

thành điểm



sao cho

OM k OM





 

được gọi là phép vị tự tâm

, tỉ số

Phép vị tự tâm

, tỉ số

thường được kí hiệu là

 

O k

NHẬN XÉT

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

Khi



, phép vị tự là đồng nhất.

 









, 1

O k

M V M M V M

 

















 

 

  

II – TÍNH CHẤT

TÍNH CHẤT 1

Nếu phép vị tự tỉ số

biến hai điểm

M N

tùy ý theo thứ tự thành

M N

 

thì

M N k MN

 



 

và

. .

M N k MN

 



Chứng minh.

Gọi

là tâm của phép vị tự tỉ số

Theo

định nghĩa của phép vị tự ta có :

OM kOM





 

và

ON kON





 

Do đó :





M N ON OM kON kOM

k ON OM kMN

   

   

  

    

  

Từ đó suy ra

M N k MN

 



TÍNH CHẤT 2

Phép vị tự tỉ số

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm

ấy (h.1.53).

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia,

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 93

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (h.1.54).

d) Biến đường tròn bán kính

thành đường tròn bán kính

k R

(h.1.55).

III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho điểm





;

I a b

và số



. Với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là

ảnh của của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

Ta có









. .

x a k x a

IM k IM

y b k y b







  





 







  





 

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định các yếu tố và tập hợp điểm qua phép vị tự

Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho điểm





;

I a b

và số



. Với mỗi điểm





;

M x y

, gọi





;

M x y

  

là ảnh của của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

Ta có









. .

x a k x a

IM k IM

y b k y b







  





 







  





 

1. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho vectơ





1;2 ,



điểm





3;5

, đường thẳng

có

2. Trong mặt phẳng toạ độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình

2 2

x y

 

và hai

điểm









4; 3 , 6; 5

A B



. Gọi

là một điểm

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 94

phương trình

2 3 0

x y

  

và đường tròn





có phương trình









2 2

1 3 8.

x y

   

a) Tìm toạ độ của điểm



là ảnh của

qua

phép vị tự tâm

tỉ số

 

b) Tìm toạ độ của điểm

sao cho

là ảnh

của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

 

c) Tìm phương trình của đường thẳng



là

ảnh của

qua phép vị tự tâm

tỉ số

 

d) Tìm phương trình của đường thẳng







là ảnh của





qua phép vị tự tâm

tỉ số

 

.....................................................................

di chuyển trên đường tròn





. Chứng minh

rằng trọng tâm

của tam giác

MAB

chuyển trên một đường tròn. Tìm phương

trình đường tròn đó.

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho hình vuông

ABCD

tâm

. Dựng ảnh của hình vuông qua phép vị tự tâm

tỉ số

BT 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét phép vị tự . Qua phép , tìm ảnh của :

( , 2)

O k



( , 2)

O k



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 95

a) Điểm ĐS :

b) Đường thẳng ĐS : (d’) : 3x + 2y + 12 = 0

c) Đường tròn ĐS :

BT 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : . Viết phương

trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỷ số k = - 2.

ĐS :

BT 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng . Viết phương trình

đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỷ số k = - 2.

ĐS :

BT 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip . Tìm ảnh của elip (E) qua phép vị tự tâm

, tỷ số 3. ĐS :

BT 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y−4=0.

a) Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.

b) Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(

−1; 2) t

ỉ số k=−2.

BT 7. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x + 2y − 6 = 0 . Hãy viết phương trình của đường

thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số vị tự k =

−2

BT 8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x−3)

+(y+1)

=9. Hãy viết phương trình đường

tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=−2.

BT 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường

tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của đường tròn đó.

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và

. Có bao nhiêu phép vị tự biến

thành đường thằng

D. Vô số.

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song

và

. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số



biến đường

thẳng

thành đường thẳng

D. Vô số.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song

và

và một điểm

không nằm trên chúng. Có bao nhiêu

phép vị tự tâm

biến đường thẳng

thành đường thằng

D. Vô số.

Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau

và

. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành

chính nó.

D. Vô số.

Câu 5. Cho hai đường tròn bằng nhau





;

O R

và





'; '

O R

với tâm

và

phân biệt. Có bao nhiêu

phép vị tự biến





;

O R

thành





'; '

O R

D. Vô số.

Câu 6. Cho đường tròn





;

O R

. Có bao nhiêu phép vị tự với tâm

biến





;

O R

thành chính nó?

D. Vô số.

(2, 1)



'( 4, 2)



( ) : 3 2 6 0

d x y

  

2 2

( ) : 2 4 1 0

C x y x y

    

2 2

( 2) ( 4) 16

x y

   

2 2

(x 3) (y 1) 9

   

2 2

(x 3) (y 8) 36

   

( ) : 3 4 12 0

d x y

  

3 4 9 0

x y

  

2 2

( ) : 9 16 144

E x y 

( 2,5)



2 2

( 4) ( 10)

144 81

x y 

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 96

Câu 7. Cho đường tròn





;

O R

. Có bao nhiêu phép vị tự biến





;

O R

thành chính nó?

D. Vô số.

Câu 8. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn





;

O R

thành đường tròn





; '

O R

với

R R



D. Vô số.

Câu 9. Phép vị tự tâm

tỉ số



là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm. B. Phép đối xứng trục.

C. Phép quay một góc khác



. D. Phép đồng nhất.

Câu 10. Phép vị tự tâm

tỉ số

 

là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm. B. Phép đối xứng trục.

C. Phép quay một góc khác



. D. Phép đồng nhất.

Câu 11. Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đồng nhất. B. Phép quay.

C. Phép đối xứng tâm. D. Phép đối xứng trục.

Câu 12. Phép vị tự tâm

tỉ số







biến mỗi điểm

thành điểm



. Mệnh đề nào sau đây

đúng?

OM OM









OM kOM









OM kOM



 





OM OM



 





Câu 13. Phép vị tự tâm

tỉ số



lần lượt biến hai điểm

A B

thành hai điểm

C D

. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

3 .

AC BD

 

 

3 .

AB DC



 

3 .

AB CD

 

 

AB CD



 

Câu 14. Cho phép vị tự tỉ số



biến điểm

thành điểm

, biến điểm

thành điểm

. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

2 .

AB CD



 

2 .

AB CD



 

2 .

AC BD



 

2 .

AC BD



 

Câu 15. Cho tam giác

ABC

với trọng tâm

là trung điểm

. Gọi

là phép vị tự tâm

tỉ số

biến điểm

thành điểm

. Tìm



 



 

Câu 16. Cho tam giác

ABC

với trọng tâm

. Gọi

', ', '

A B C

lần lượt là trụng điểm của các cạnh

, ,

BC AC AB

của tam giác

ABC

. Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác

' ' '

A B C

thành tam giác

ABC

A. Phép vị tự tâm

, tỉ số



B. Phép vị tự tâm

, tỉ số

 

C. Phép vị tự tâm

, tỉ số

 

D. Phép vị tự tâm

, tỉ số



Câu 17. Cho hình thang

ABCD

có hai cạnh đáy là

và

thỏa mãn

3 .

AB CD



Phép vị tự biến

điểm

thành điểm

và biến điểm

thành điểm

có tỉ số

là



 

k  D.

 

Câu 18. Cho hình thang

ABCD

, với

CD AB

 

 

. Gọi

là giao điểm của hai đường chéo

và

Xét phép vị tự tâm

tỉ số

biến



thành



. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 97

k  

k 

 



Câu 19. Xét phép vị tự

 

biến tam giác

ABC

thành tam giác

' ' '

A B C

. Hỏi chu vi tam giác

' ' '

A B C

gấp mấy lần chu vi tam giác

ABC

Câu 20. Một hình vuông có diện tích bằng

Qua phép vị tự

 

, 2



thì ảnh của hình vuông trên có

diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu.

Câu 21. Cho đường tròn





và điểm

nằm ngoài





sao cho



Gọi





'; '

O R

là ảnh của





qua phép vị tự

 

. Tính

' 9.



' .

R 

' 27.



' 15.



Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép vị tự tâm





2;3

I tỉ số



biến điểm





7;2



thành điểm

có tọa độ là





10;2







20;5





18;2





10;5



Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho phép vị tự

tỉ số



biến điểm





1; 2



thành điểm





' 5;1 .



Hỏi phép vị tự

biến điểm





0;1

thành điểm có tọa độ nào sau đây?





0;2 .





12; 5 .







7;7 .







11;6 .

Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai điểm





4;6

M và





' 3;5



. Phép vị tự tâm

, tỉ số



biến điểm

thành

. Tìm tọa độ tâm vị tự





4;10 .







11;1 .





1;11 .





10;4 .



Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho ba điểm









2; 1 , 1;5

I M

 

và





' 1;1



. Phép vị tự tâm

tỉ

số

biến điểm

thành

. Tìm

k 



Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2 3 0.

d x y

  

Phép vị tự tâm

tỉ số



biến

thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

2 3 0.

x y

  

2 6 0.

x y

  

4 2 3 0.

x y

  

4 2 5 0.

x y

  

Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

: 2 1 0

x y

   

và điểm





1;0

I . Phép vị tự tâm

tỉ số

biến đường thẳng



thành



có phương trình là

2 3 0.

x y

  

2 1 0.

x y

  

2 1 0.

x y

  

2 3 0.

x y

  

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường thẳng



lần lượt có phương trình

2 1 0

x y

  

2 4 0

x y

  

và điểm





2;1

. Phép vị tự tâm

tỉ số

biến đường thẳng



thành



Tìm



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 98

Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn













2 2

: 1 5 4

C x y

   

và điểm





2; 3



. Gọi





là ảnh của





qua phép vị tự tâm

tỉ số

 

Khi đó





có phương trình là









2 2

4 19 16.

x y   









2 2

6 9 16.

x y   









2 2

4 19 16.

x y   









2 2

6 9 16.

x y   

§ 6. PHÉP ĐỒNG DẠNG

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Phép biến hình

được gọi là

phép đồng dạng tỉ số







, nếu với hai điểm

M N

bất kì và ảnh

M N

 

tương ứng của chúng, ta luôn có

M N kMN

 



NHẬN XÉT

1) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

2) Phép vị tự tỉ số

là phép đồng dạng tỉ số

3) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số

và phép đồng dạng tỉ số

, ta được phép

đồng dạng tỉ số

II – TÍNH CHẤT

Phép đồng dạng tỉ số

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm

ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan

thẳng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính

thành đường tròn bán kính

III – HÌNH ĐỒNG DẠNG

ĐỊNH NGHĨA

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành

hình kia.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 99

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Xác định ảnh qua phép đồng dạng

1. Trong mặt phẳng

Oxy

cho điểm





1;1

và đường tròn





có tâm

bán kính 2. Qua phép đồng

dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm

góc quay



và phép vị tự tâm

tỉ số

tìm :

a) Tìm toạ độ ảnh của điểm

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của





.............................................................................................................................................................

C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Phép dời hình là phép đồng dạng. B. Phép vị tự là phép đồng dạng.

C. Phép đồng dạng là phép dời hình. D. Phép vị tự không phải là phép dời hình.

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng. B. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng.

C. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng. D. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng.

Câu 3. Cho tam giác

ABC

và

' ' '

A B C

đồng dạng với nhau theo tỉ số

. Mệnh đề nào sau đây là sai?

là tỉ số hai trung tuyến tương ứng B.

là tỉ số hai đường cao tương ứng

là tỉ số hai góc tương ứng

là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng

Câu 4. Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số

bằng:



 



Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số



B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C. Phép vị tự tỉ số

là phép đồng dạng tỉ số

D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 100

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho điểm





2;4 .

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện

liên tiếp phép vị tự tâm

tỉ số



và phép đối xứng qua trục

sẽ biến

thành điểm nào trong

các điểm sau:





1;2





2;4







1;2







1; 2



Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường thẳng

có phương trình

2 0.

x y

  

Viết phương

trình đường thẳng

là ảnh của

qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị

tự tâm





1; 1

 

tỉ số



và phép quay tâm

góc

45 .





y x



y x

 

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho đường tròn





có phương trình









2 2

2 2 4.

x y

   

Phép

đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép vị tự có tâm

tỉ số



và phép quay

tâm

góc

sẽ biến





thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?









2 2

2 2 1.

x y

   









2 2

1 1 1.

x y

   









2 2

2 1 1.

x y

   









2 2

1 1 1.

x y

   

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai điểm





2; 3

 

và





4;1 .

B Phép đồng dạng tỉ số



biến

điểm

thành



biến điểm

thành



Tính độ dài

A B

 

A B

 



52.

A B

 



A B

 



50.

A B

 



Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hai đường tròn





và







có phương trình

2 2

4 5 0

x y y

   

và

2 2

2 2 14 0.

x y x y

    

Gọi







là ảnh của





qua phép đồng dạng tỉ số

khi

đó giá trị

là

k 

k  C.

k 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 101

HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG 2

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG

GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

§ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. KIẾN THỨC

I – KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. Mặt phẳng

Mặt bảng, mặt bàn, mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng

không có bề dày và không có giới hạn.

 Để biểu diễn mặt phẳng ta

thường dùng hình bình

hành hay một miền góc và

ghi tên của mặt phẳng vào

một góc của hình biểu diễn.

 Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc





















, , , , ,

P Q

 

 

2. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm

và mặt phẳng







Khi điểm

thuộc mặt phẳng







ta nói

nằm trên







hay







chứa

, hay







đi qua

và kí

hiệu là









Khi điểm

không thuộc mặt phẳng







ta nói điểm

nằm ngoài







hay







không chứa

và kí

hiệu là









3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây :

 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường

thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

 Dùng nét vẽ liền để biểu diễn những đường nhìn thấy và nét đức đoạn biểu diễn cho đường bị

che khuất.

Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.

II – CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN

TÍNH CHẤT 1

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

TÍNH CHẤT 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 102

TÍNH CHẤT 3

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của

đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng

đều thuộc mặt phẳng







thì ta nói đường thẳng

nằm trong







hay







chứa

và kí hiệu









hay









TÍNH CHẤT 4

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó

đồng phẳng

, còn nếu

không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng

không đồng phẳng

TÍNH CHẤT 5

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác

nữa.

Từ đó suy ra : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng

sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng chung

của hai mặt phẳng phân biệt







và







được gọi là

giao tuyến

của







và







và kí hiệu là









 

 

TÍNH CHẤT 6

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng

đều đúng.

III – CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG

Dựa vào các tính chất thừa nhận trên, ta có ba cách xác định một mặt phẳng sau đây :

a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Ba điểm

, ,

A B C

không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.

b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không

đi qua điểm đó.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 103

Cho đường thẳng

và điểm

không thuộc

Khi đó điểm

và đường thẳng

xác định một mặt

phẳng, kí hiệu là





A d

hoặc





, .

d A

c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau

và

. Khi đó hai đường thẳng

và

xác định một mặt phẳng và

kí hiệu





a b

hoặc





b a

IV – HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

1) Trong mặt phẳng







cho đa giác lồi

1 2

A A A



. Lấy điểm

nằm ngoài mặt phẳng







. Lần lượt

nối

với các đỉnh

1 2

, , ,

A A A



ta được

tam giác

1 2 2 3 1

, , ,

SA A SA A SA A



. Hình gồm đa giác

1 2

A A A



và

tam giác

1 2 2 3 1

, , ,

SA A SA A SA A



gọi là

hình chóp

, kí hiệu là

1 2

S A A A



. Ta gọi

là

đỉnh

và đa giác

1 2

A A A



là

mặt đáy

. Các tam giác

1 2 2 3 1

, , ,

SA A SA A SA A



được gọi là các

mặt bên

;

các đoạn

1 2

, ,

SA SA SA



là các

cạnh bên

; các cạnh của đa giác đáy gọi là các

cạnh đáy

của hình

chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là

hình chóp tam giác

hình

chóp tứ giác

hình chóp ngũ giác

, …

2) Cho bốn điểm

, , ,

A B C D

không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác

, ,

ABC ACD ABD

và

BCD

gọi là

hình tứ diện

(hay ngắn gọn là

tứ diện

) và được kí hiệu là

ABCD

. Các điểm

, , ,

A B C D

gọi là

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 104

các

đỉnh

của tứ diện. Các đoạn thẳng

, , , ,

AB BC CD DA BD

gọi là các

cạnh

của tứ diện. Hai cạnh

không đi qua một đỉnh gọi là hai

cạnh đối diện

. Các tam giác

, , ,

ABC ACD ABD BCD

gọi là các

mặt

của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là

đỉnh đối diện

với mặt đó.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là

hình tứ diện đều

Thiết diện

(hay

mặt cắt

) của hình



khi cắt bởi mặt phẳng







là phần chung của



và







B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng

①

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng thì ta tìm hai điểm chung phân biệt của chúng.

Trình bày điểm chung của hai mặt phẳng :









hoặc





 

A a











 











và









hoặc





 

A b











 











Suy ra

là điểm chung của







và







hay









 

 

②

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng

phân biệt.

1. Cho bốn điểm không đồng phẳng

, , ,

A B C D

Trên hai đoạn

và

lấy hai điểm

và

sao cho



và



. Hãy xác

định các giao tuyến sau :









DMN ABD



;









DMN ACD



;









DMN ABC



;









DMN BCD



2. Cho hình chóp

S ABCD

đáy

ABCD

là tứ

giác có các cặp cạnh đối không song song với

nhau, điểm

thuộc cạnh

. Tìm các giao

tuyến sau :









SAC SBD



;









SAB SCD



;









SAD SBC



;









SAC MBD



;









SAD SBC



.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 105

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 106

.....................................................................

3. Cho hình chóp tam giác

S ABC

. Trên

SB SC

lần lượt lấy các điểm

và

sao

cho

không song song với

. Trong

miền trong tam giác

ABC

lấy điểm

. Xác

định giao tuyến của hai mặt phẳng sau :





IJK

và





ABC





IJK

và





SAC





IJK

và





SAB

.....................................................................

4. Cho bốn điểm không đồng phẩng

, , ,

A B C D

Trên ba cạnh

AB AC

và

lần lượt lấy

các điểm

M N

và

sao cho đường thẳng

cắt đường thẳng

tại

, đường

thẳng

cắt đường thẳng

tại

đường thẳng

cắt đường thẳng

tại

. Chứng minh ba điểm

, ,

H I J

thẳng hàng.

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 107

.....................................................................

Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao

đi

ể

m c

ủ

a đư

ờ

ng th

ẳ

và m

ặ

t ph

ẳ







. Đ

ể

tìm giao

đi

ể

m c

ủ

a m

ộ

t đư

ờ

ng th

ẳ

ng và m

ộ

ặ

t ph

ẳ

ng ta có th

ể

đưa v

ề

ệ

c tìm giao

đi

ể

m c

ủ

a đư

ờ

ng th

ẳ

ng đó v

ớ

i m

ộ

t đư

ờ

ng th

ẳ

ng n

ằ

m trong

mặt phẳng đã cho.

Bước 1. Chọn một mặt phẳng







chứa

Bước 2. Tìm giao tuyến

của hai mặt phẳng







và







Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 108

Bước 3. Trong







, gọi

là giao điểm của

và

. Ta có





 

A a











 











Do đó

là giao điểm của

và







1. Cho tam giác

BCD

và điểm

không thuộc

mặt phẳng





BCD

. Gọi

là trung điểm của

đoạn

và

là trọng tâm của tam giác

ABC

. Tìm giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng





BCD

.....................................................................

2. Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

M N

lần lượt là

trung điểm của

và

. Trên đoạn

lấy điểm

sao cho

BP PD



. Tìm giao

điểm của :

và





MNP

và





MNP

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 109

.....................................................................

Dạng 3 : Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Chứng minh ba đường thẳng

, ,

a b c

thẳng hàng, ta đưa bài toán ba đường thẳng đồng quy về bài

toán ba điểm thẳng hàng.

Bước 1. Trong mặt phẳng







chứa

a b

, gọi

là giao điểm của

và

Bước 2. Chứng minh

A c



, nghĩa là với hai điểm phân biệt

B C c



, chứng minh ba điểm

, ,

A B C

thẳng hàng.

1. Cho hình chóp

S ABCD

đáy

ABCD

là tứ

giác lồi có hai cặp cạnh đối không song song

với nhau, gọi

là giao điểm hai đường chéo

của tứ giác. Lấy điểm

thuộc cạnh

a) Tìm giao điểm

của

với





ABM

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 110

b) Chứng minh ba đường thẳng

, ,

AB CD MN

đồng quy.

c) Chứng minh ba đường thẳng

, ,

AM BN SO

đồng quy.

.....................................................................

Dạng 4: Tìm thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng







Bước 1. Tìm tất cả các giao điểm của các cạnh của hình chớp với







Bước 2. Tìm tất cả các giao tuyến của







với các mặt của hình chóp.

Bư

ớc 3.

ố

i các đo

ạ

n giao tuy

ế

n đóng và kính ta đư

ợ

c thi

ế

t di

ệ

n c

ầ

n tìm.

1. Cho hình chóp

S ABCD

đáy là hình bình

hành

ABCD

. Gọi

, ,

M N P

lần lượt là trung

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 111

điểm của

, ,

AB AD SC

. (tham khảo hình vẽ

dưới)

a) Tìm giao điểm của





MNP

với các cạnh

của hình chóp ;

b) Tìm giao tuyến của





MNP

với các mặt

của hình chóp ;

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi





MNP

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử các cạnh đối của tứ giác ABCD không song song nhau. Tìm giao

tuyến của hai mặt phẳng sau :

a) (SAC) và (SBD). b) (SAB) và (SCD).

BT 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: MN  AB = I, NP

 BC = K và PM  AC = E. Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 112

BT 3. Cho bốn điểm

, , ,

A B C D

không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng

, ,

AB AC BD

lần lượt lấy các điểm

, ,

M N P

sao cho

không song song với

. Tìm giao tuyến của





BCD

và





MNP

BT 4. Cho tứ diện

ABCD

là một điểm bên trong tam giác

ABD

là một điểm bên trong tam

giác

ACD

. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau





AMN

và





BCD





DMN

và





ABC

BT 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến hai mp (IBC) và (JAD).

b) Gọi M và N là hai điểm trên AB và AC sao cho MN không song song BC. Tìm giao tuyến hai

mp (IBC) và (DMN).

BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB.

a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAD) và (SBC).

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tìm giao tuyến của (AMN) và (SAD).

BT 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và AB, K là điểm nằm trên BD sao

cho : BK = 2KD. Tìm giao tuyến của hai mp :

a) (IJK) và (ACD).

b) (IJK) và (ABN) với N là điểm tùy ý trên cạnh CD.

BT 8. Cho tam giác BCD và A là điểm nằm ngoài mp chứa tam giác. Gọi I là trung điểm của AB, K là

điểm trong tam giác BCD. Xác định giao điểm của :

a) IK với (ACD). b) AC với (IKD).

BT 9. Cho tứ diện SABC. Gọi I là trung điểm SA, H là trung điểm AB. Trên SC lấy điểm K sao cho

CK = 3KS. Tìm giao điểm của BC với (IHK).

BT 10. Cho tứ diện

ABC

.Trên hai đoạn

và

lấy hai điểm

M N

sao cho



và



. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng





DMN

BT 11. Cho tứ diện

ABC

. Gọi

M N

lần lượt là trung điểm

D, BC

A và

là trọng tâm tam giác

ABC

. Giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng





BT 12. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

là trung điểm của

Gọi

là giao điểm của

với mặt phẳng





SBD

BT 13. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C’ nằm trên cạnh SC. Tìm thiết diện của hình chóp với (ABC’).

BT 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AC, BC và I là điểm trên BD sao cho IB = 2 ID.

Tìm thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện.

BT 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh

SB và SC.

a) Tìm (SAD)  (SBC).

b) Tìm SD  (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AMN).

BT 16. Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SCD ta lấy điểm M.

a) Tìm (SBM)  (SAC).

b) Tìm BM  (SAC).

c) Tìm thiết diện của hình chóp với (ABM).

BT 17. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên BC, N là một điểm trên SD.

a) Tìm I = BN  (SAC), J = MN  (SAC).

b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 113

c) Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN).

BT 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành và I là trung điểm SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao điểm G của AI và (SBD). Chứng minh G là trọng tâm tam giác SAC.

c) Gọi H là trung điểm CD. Tìm thiết diện tạo bở

i (IAH) và hình chóp S.ABCD.

BT 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là

điểm trên cạnh SB sao cho : MA = 2MS, SN = 2NB. Gọi I là trung điểm của CD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao điểm và . Tính tỷ số và

c) Xác định thiết diện tạo bởi (IMN) và hình chóp.

BT 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD, I là điểm trên

cạnh SA sao cho AI = 2IS.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Tìm K là giao điểm của IM với (ABCD). Tính tỷ số .

c) Gọi N là trung điểm của BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (AMN).

§ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG

SONG

A. KIẾN THỨC

I – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trường hợp 1.

Có một mặt phẳng chứa

và

Khi đó ta nói

và

đồng phẳng

. Theo kết quả của hình học phẳng có ba khả năng sau đây xảy ra :

và

có điểm chung duy nhất

. Ta nói

và

cắt nhau

tại

và kí hiệu là





a b M

 

. Ta

còn có thể viết

a b M

 

ii)

và

không có điểm chung. Ta nói

và

song song với nhau

và kí hiệu là

/ /

a b

iii)

trùng

, kí hiệu là

a b



Như vậy,

hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không

có điểm chung

Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa

và

Khi đó ta nói

và

chéo nhau

hau

chéo với

( )

H IMN AB



 ( )

K IMN BC





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 114

II – TÍNH CHẤT

ĐỊNH LÍ 1

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ

một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

NHẬN XÉT

Hai đường thẳng song song

và

xác định một mặt phẳng, kí hiệu là





a b

ĐỊNH LÍ 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy

hoặc đồng quy hoặc đôi một song song vối nhau.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 115

HỆ QUẢ

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của

chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai

đường thẳng đó.

ĐỊNH LÍ 3

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.

Khi hai đường thẳng

và

cùng song song với đường thẳng

, ta kí hiệu

/ / / /

a b c

và gọi là

đường thẳng song song

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song với

nhau, chứng minh hai đường thẳng song song

①

Ta có

   









   

/ /

, / / / /

a b

a b Mx a b

   

 





    





 





②

Sử dụng các tính chất của hình học để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.

1. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy là hình bình

hành

ABCD

. Xác định giao tuyến của các

mặt phẳng :





SAB

và





SCD

;

2. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình thang đáy lớn

. Gọi

là điểm bất

kì thuộc đoạn thẳng

. Tìm giao tuyến của

các mặt phẳng :

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 116





SAD

và





SBC

.....................................................................









d SAB SCD

 

;









d MAB SCD

 

;

c) Chứng minh

1 2

/ /

d d

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 117

3. Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

và

là trọng

tâm các tam giác

ABC

và

ABD

. Chứng

minh

song song với

.....................................................................

4. Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

và

lần lượt là

trung điểm của

và





là mặt

phẳng qua

và cắt

AC AD

lần lượt tại

M N

. Chứng minh rằng tứ giác

IJNM

là

hình thang. Nếu

là trung điểm của

thì tứ giác

IJNM

là hình gì ?

.....................................................................

5. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình thang đáy lớn

. Gọi

M N

lần lượt

là trung điểm của

SA SB

a) Chứng minh

song song với

b) Tìm





P SC AND

 

c) Gọi

I AN DP

 

. Chứng minh

/ /

SI AB

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 118

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Tìm giao tuyến của hai mp

(BCD) và (DMN).

BT 2. Cho tứ diện

ABCD

có

lần lượt là trọng tâm của tam giác

ABC

và

ABD

. Tìm giao tuyến

của





AIJ

và





ACD

BT 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh

SA. Xác định giao tuyến của hai mp :

a) (SAD) và (SBC). b) (SAD) và (BCM).

BT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh

tứ giác MNPQ là hình bình hành.

BT 5. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

, ,

M N H

lần lượt là trung

điểm của các cạnh

, ,

SA SB BC

. Chứng minh

MH SC

;

// //

MN AB CD

BT 6. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang với đáy lớn

. Gọi

lần lượt là

trung điểm của

a) Chứng minh

MN CD

b) Tìm giao điểm

của

và





AND

c) Kéo dài

cắt

tại

. Chứng minh

// //

SI AB CD

. Tứ giác

SABI

là hình gì?

BT 7. Cho tứ diện . Gọi

lần lượt là trung điểm của

a) Chứng minh

MSNR

là hình bình hành.

b) Chứng minh

cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

BT 8. Cho hai hình bình hành ABCD và ABC’D’ không nằm trong cùng một mp. Gọi O và O’ là tâm

của hai hình bình hành ấy.

a) Chứng minh : CC’ = DD’. b) Chứng minh : OO’ // DD’.

BT 9. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên các đường chéo

AC, BF lấy hai điểm M, N sao cho : . Chứng minh rằng MN // DE.

ABCD



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 119

BT 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN ( khi đó ta

còn nói G là trọng tâm của tứ diện ).

a) Chứng minh rằng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD.

b) Chứng minh GA = 3GA’.

§ 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGSONG SONG

A. KIẾN THỨC

I – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng

và mặt phẳng







. Tuỳ theo số điểm chung của

và







, ta có ba trường hợp



và







không có điểm chung

. Khi đó ta nói

song song

với







hay







song song

với

và kí hiệu là





/ /d



hay





/ /





và







có một điểm chung duy nhất

. Khi đó ta nói

và







cắt nhau

tại điểm

và kí

hiệu là









d M



 

hay





d M



 



và







có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó

nằm trong







hay







chứa

và kí hiệu









hay









II – TÍNH CHẤT

ĐỊNH LÍ 1

Nếu đường thẳng

không nằm trên mặt phẳng







và

song song với đường thẳng



nằm trong







thì

song song với







ĐỊNH LÍ 2

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 120

Cho đường thẳng

song song với mặt phẳng







. Nếu mặt phẳng







chứa

và cắt







theo giao tuyến

thì

song song với

HỆ QUẢ

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của

chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

ĐỊNH LÍ 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và

song song với đường thẳng kia.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Ta có









 

/ /

a b



 











 





1. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình bình hành. Gọi

và

trung điểm

các cạnh

và

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 121

a) Chứng minh





/ /

MN SBC

;





/ /

MN SAD

b) Gọi

là trung điểm cạnh

. Chứng

minh rằng





/ /

SB MNP

;





/ /

SC MNP

.....................................................................

Dạng 2 : Tìm giao tuyến, thiết diện có đường thẳng song song với mặt phẳng

①

Tìm giao tuy

ế

n c

ủ

a hai m

ặ

t ph

ẳ

ng bi

ế

t m

ặ

t ph

ẳ

ng ch

ứ

a đư

ờ

ng th

ẳ

ng song song v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

kia,





 









   

/ /

a Mx a



  

 





   





 









 









   

/ /

/ / / /

a Mx a



  

 





  





 





② Chứng minh hai đường thẳng song song





 









/ /

a d a





 





 





 





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 122





 









/ /

/ / / /

a d a





 











 





1. Cho tứ diện

ABCD

. Lấy

là điểm thuộc

miền trong của tam giác

ABC

. Gọi







là

mặt phẳng qua

và song song với các

đường thẳng

và

. Xác định thiết

diện tạo bởi







và tứ diện

ABCD

. Thiết

diện đó là hình gì ?

.....................................................................

2. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình thang đáy lớn

. Gọi

là trung

điểm của

và







là mặt phẳng qua

và song song với

SA BC

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng







với





ABCD

và





SAB

b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt

phẳng







. Thiết diện này là hình gì ?

c) Tìm giao tuyến của







và





SAD

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 123

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho

MB = 2MC. Chứng minh rằng : MG song song với (ACD).

BT 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ACD. Chứng minh

rằng

a) MN song song (BCD). b) MN song song (ABC).

BT 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng .

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành. Chứng minh : OO’ // (ADF) và (BCE).

b) Gọi M vàN là trọng tâm hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN // (CED).

BT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AD và N là điểm tùy ý trên BC.  là mặt phẳng chứa

đường thẳng MN và song song CD.

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng  .

b) Xác định vị trí của điểm N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành.

ĐS : a) Hình thang ; b) N là trung điểm BC.

BT 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và

BD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  đi qua O song song với AB, SC. Thiết diện đó

là hình gì? ĐS : Hình thang.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 124

BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp với

mặt phẳng  qua trung điểm M của AB, song song với BD và SA.

ĐS : Thiết diện là ngũ giác MNPQR

BT 7. Cho hình chóp S.ABCD, K là điểm nằm trên cạnh bên SD, N là điểm nằm trên cạnh đáy AB. Dựng

thiết diện của mặt phẳng (P) đi qua K, N và song song AC.

BT 8. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M là một điểm bất kỳ trên

cạnh AB,  là mặt phẳng qua M và song song với AD, SB.

a) Mặt phẳng  cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?

b) Chứng minh rằng SC song song  .

c) Chứng minh giao điểm hai cạnh bên của thiết diện luôn di động trên một đường thẳng cố định

khi M di động trên AB.

BT 9. Cho hình chóp

S A BCD

. Gọi

là hai điểm trên

và





là mặt phẳng qua

và song song với

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng





với các mặt phẳng





SCD





SBC





SAC

b) Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng





§ 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

A. KIẾN THỨC

I – ĐỊNH NGHĨA

Hai mặt phẳng









 

được gọi là song song với nhau nếu

chúng không có điểm chung.

Khi đó ta kí hiệu









/ /

 

hay









/ /

 

NHẬN XÉT

Cho hai mặt phẳng song song







và







. Nếu đường thẳng

nằm trong







, thì đường

thẳng

song song với







II – TÍNH CHẤT

ĐỊNH LÍ 1

Nếu mặt phẳng







chứa hai đường thẳng cắt nhau

a b

và

a b

cùng song song với mặt

phẳng







thì







song song với







HỆ QUẢ 1

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 125

Nếu mặt phẳng







chứa hai đường thẳng cắt nhau

a b

lần lượt song song với hai đường

thẳng chứa trong mặt phẳng







thì hai măt phẳng







và







song song nhau.

ĐỊNH LÍ 2

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song

song với mặt phẳng đã cho.

HỆ QUẢ 2

Nếu đường thẳng

song song với mặt phẳng







thì qua

có duy nhất một mặt phẳng

song song với







HỆ QUẢ 3

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.

HỆ QUẢ 4

Cho điểm

không nằm trên mặt phẳng







. Mọi đường thẳng đi qua

và song song với







đều nằm trong mặt phẳng đi qua

và song song với







ĐỊNH LÍ 3

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt

phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 126

HỆ QUẢ 5

Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng

nhau.

III – ĐỊNH LÍ TA-LÉT (THALÈS)

ĐỊNH LÍ 4 (Định lí Ta-lét)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương

ứng tỉ lệ.

IV – HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Cho hai mặt phẳng song song







và









. Trên







cho đa giác lồi

1 2

A A A



. Qua các đỉnh

1 2

, , ,

A A A



ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt









lần lượt tại

1 2

, , ,

A A A

  



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 127

Hình gồm hai đa giác

1 2 1 2

n n

A A A A A A

  

 

và

các hình bình hành

1 1 2 2

A A A A

 

2 2 3 3

A A A A

 

, …,

1 1

n n

A A A A

 

được gọi là

hình lăng trụ

và được kí

hiệu là

1 2 1 2

n n

A A A A A A

  

 

 Hai đa giác

1 2

A A A



và

1 2

A A A

  



được

gọi là hai

mặt đáy

của hình lăng trụ.

 Các đoạn thẳng

1 1 2 2

, ,

n n

A A A A A A

  



được

gọi là các

cạnh bên

của hình lăng trụ.

 Các hình bình hành

1 1 2 2

A A A A

 

2 2 3 3

A A A A

 

…,

1 1

n n

A A A A

 

được gọi là các

mặt bên

của hình lăng trụ.

 Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các

đỉnh

của hình lăng trụ.

NHẬN XÉT

 Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

 Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

 Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy.

 Hình lâng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là

hình lăng trụ tam giác

 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là

hình hộp

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 128

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1 : Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng song song với

mặt phẳng

①

Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau





     

, / /

a b

a b A



  





 





 





hoặc

 

   

/ / , / /

/ /

a c b d

a b

c d

a c A



 





















 





② Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng













 

/ /

/ /d

 





















1. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình bình hành tâm

. Gọi

M N

lần lượt là

trung điểm của

SA SD

. Chứng minh









/ /

OMN SBC

.....................................................................

2. Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

1 2 3

, ,

G G G

lần lượt là

trọng tâm của các tam giác

, ,

ABC ACD ABD

. Chứng minh









1 2 3

/ /

G G G BCD

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 129

.....................................................................

3. Cho hình thang

ABCD

có

/ /

AB CD

và

điểm





S ABCD



. Trên

SA BD

lần lượt

lấy hai điểm

M N

sao cho

SM DN

SA DB

 

Lấy điểm

thuộc đoạn

sao cho

/ /

NI AB

. Chứng minh





/ / .

MN SCD

.....................................................................

Dạng 2 : Tìm giao tuyến, thiết diện có mặt phẳng song song với mặt phẳng, chứng minh

đường thẳng song song với đường thẳng

①

Tìm giao tuy

ế

n c

ủ

a hai m

ặ

t ph

ẳ

ng bi

ế

t m

ặ

t ph

ẳ

ng ch

ứ

a đư

ờ

ng th

ẳ

ng song song v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

kia,

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 130









   









   

/ /

a Mx a

 

   

 





    





 





② Chứng minh hai đường thẳng song song









   









/ /

a a b

 

 

 





  





 





1. Cho hình chóp

S ABCD

có đáy

ABCD

là

hình thang đáy lớn

. Gọi

là điểm trên

cạnh

. Xác định thiết diện của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng







, biết







qua

và









/ /

SAB



.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 131

.....................................................................

Dạng 3 : Hình lăng trụ, hình hộp

1. Cho lăng trụ tam giác

ABC A B C

  

. Gọi

và



lần lượt là trung điểm của của các

cạnh

và

B C

 

a) Chứng minh

song song với

A M

 

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng





AB C

 

với đường thẳng

A M



c) Tìm giao tuyến

của hai mặt phẳng





AB C

 

và





BA C

 

d) Tìm giao điểm

của đường thẳng

với

mặt phẳng





AM M



. Chứng minh

là

trọng tâm tam giác

AB C

 

.....................................................................

2. Cho hình hộp

ABCD A B C D

   

a) Chứng minh hai mặt phẳng





BDA



và





B D C

 

song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo



đi

qua trọng tâm

và

của hai tam giác

BDA



và

B D C

 

c) Chứng minh

và

chia đoạn



thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi

và

lần lượt là tâm của các hình

bình hành

ABCD

và

AA C C

 

. Xác định

thiết diện của mặt phẳng





A IO



với hình

hộp đã cho.

.....................................................................

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 132

.....................................................................

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BT 1. Cho hình chóp

S ABCD

, đáy là hình bình hành tâm

. Gọi

M N

lần lượt là trung điểm của

và

. Gọi

là trung điểm của

là một điểm trên





ABCD

cách đều

và

Chứng minh





IJ SAB



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 133

BT 2. Cho hình chóp

S ABCD

, đáy là hình bình hành tâm

, các tam giác

SAD

và

ABC

đều cân tại

. Gọi

AE AF

là các đường phân giác trong của các tam giác

ACD

và

SAB

. Chứng minh





EF SAD



BT 3. Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷. Gọi

1 2 3

, ,

G G G

lần lượt là trọng tâm của các tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐷. Chứng

minh rằng mặt phẳng





1 2 3

G G G

song song với mặt phẳng (𝐵𝐶𝐷).

BT 4. Hai hình vuông

ABCD

và

ABEF

ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo

và

lần lượt lấy các điểm

M N

sao cho

AM BN



. Các đường thẳng song song với

vẽ từ

M N

lần lượt cắt

AD AF

tại

', '

M N

a) Chứng minh









BCE ADF



. b) Chứng minh









EF ' '

D MNN M



BT 5. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh AB chung nhưng không nằm trong cùng một mặt

phẳng. Trên hai đường chéo AC và BF theo thứ tự lấy hai điểm M và N sao cho : . Vẽ từ

M và N hai đường thẳng song song với AB, cắt AD tại Q và AF tại P. Chứng minh (MNPQ)//(DEF).

BT 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm cạnh A’B’.

a) Chứng minh : CB’ song song (AHC’).

b) Tìm giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh : (d) song song với mặt

phẳng (BB’C’C).

c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (H,d) với lăng trụ đã cho.

BT 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’.

Gọi P là một điểm nằm trên cạnh bên DD’.

a) Tìm Q = BB’  (MNP).

b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện là hình gì?

c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD).

§ 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH

KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC

I – PHÉP CHIẾU SONG SONG

Cho mặt phẳng







và đường thẳng



cắt







. Với mỗi

điểm

trong không gian, đường thẳng đi qua

và

song song hoặc trùng với



sẽ cắt







tại điểm



xác

định. Điểm



được gọi là

hình chiếu song song

của

điểm

trên mặt phẳng







theo phương của đường

thẳng



hoặc nói gọn là theo phương



Mặt phẳng







gọi là

mặt phẳng chiếu

. Phương



gọi là

phương chiếu

Phép đặt tương ứng mỗi điểm

trong không gian với hình chiếu



của nó trên mặt phẳng







được gọi là

phép chiếu song song lên







theo phương



AM BN

AC BF



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 134

Nếu



là một hình nào đó thì tập hợp





các hình chiếu



của tất cả những điểm

thuộc



được gọi là hình chiếu của



qua phép chiếu song song nói trên.

CHÚ Ý

Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng

đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của các đường thẳng có phương không

trùng với phương chiếu.

II – CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

ĐỊNH LÍ 1

a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không

làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến

đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song

song hoặc trùng nhau.

d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song

hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 135

III – HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

Hình biểu diễn của một hình



trong không gian là hình chiếu song song của hình



trên một

mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Hình biểu diễn các hình thường gặp



Tam giác.

Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình chiếu của một tam giác có

dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, …).



Hình bình hành

. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của

một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi,

hình chữ nhât, …).



Hình thang

. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình

thang tuỳ ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ

dài hai đáy của hình thang ban đầu.



Hình tròn

. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 136

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1

ĐỀ 1 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2020 – 2021

Bài 1:

(4,0 điểm).

Giải các phương trình sau:

cos sin 1 0

  

x x

2 2

3sin 2sin 2 cos 3

  

x x x

sin 2 3 cos 2 2 0

  

x x

sin 2 2sin 4cos2

 

x x x

Bài 2:

(1,0 điểm).

Tìm tập xác định của hàm số :

 

2 tan 3

sin





f x

Bài 3:

(1,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4sin 2 1

 

y x

Bài 4:

(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho hai điểm

(2;1)

( 3;1)



B và đường tròn

2 2

( ) : 4 6 3 0

    

C x y x y

a) Tìm toạ độ điểm

là ảnh của điểm

qua phép vị tự tâm

có tỉ số



b) Viết phương trình đường tròn





là ảnh của đường tròn





qua phép quay tâm

góc

Bài 5:

(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

, cho





1; 2

v 



, đường thẳng

: 2 2 0

   

x y

và

parabol





: 2 2

  

P y x x

a) Viết phương trình



là ảnh của



qua phép tịnh tiến theo



Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 137

b) Tìm toạ độ điểm

nằm trên đường thẳng



và điểm

nằm trên parabol (P) sao cho

là

ảnh của

qua phép tịnh tiến theo



---------------- Hết -----------------

ĐỀ 2 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2019 – 2020

Bài 1:

(5,0 điểm).

Giải các phương trình sau:

cos sin 1 0

x x

  

;

3 sin cos 2 0

x x

  

;

2 2

4sin 2 3 3 sin 4 2cos 2 4

x x x

  

;

sin 2 2sin 4 cos 2

x x x

 

Bài 2:

(1,0 điểm).

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :

 

cos

x x

f x





Bài 3:

(1,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 cos 2 1

y x

 

Bài 4:

(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng

Oxy

, cho

(1; 2)

( 2;1)



và đường tròn

2 2

( ) : 2 8 0

C x y x

   

c) Viết phương trình đường tròn





là ảnh của đường tròn





qua phép quay tâm

và góc

quay

;

d) Cho biết

lần lượt là ảnh của

và

qua phép vị tự tâm

có tỉ số



. Tính độ dài

đoạn thẳng

' '

A B

Bài 5:

(1,0 điểm).

Trong mặt phẳng

Oxy

, cho hai đường thẳng

: 0

x y

  

và

' : 2 0

x y

   

. Biết



là ảnh của



qua phép tịnh tiến theo vectơ

( ; )



v a b



. Tìm vectơ



có độ dài ngắn nhất.

---------------- Hết ----------------

ĐỀ 3 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2016 – 2017

Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau :

2cos 2x 1 0

 

Đs:

x k



   

b) (sinx + 3)(tanx + 1) = 0 Đs:



    



x k , (k )

cos 2x sin x 2cos x 1 0

   

Đs:

x k2 , (k )

    



3 sin 2x cos 2x 2cos3x 0

  

Đs:

x , x k2

15 5 3

  

     

1 1

2 2 sin x

4 sin x cos x



 

  

 

 

Đs:

x k , x k

4 4

 

      

Câu 2 (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y 3 2sin 3x

 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 138

Đs: GTLN của hàm số bằng 5 khi

6 3

 

  

; GTNN của hàm số bằng 1 khi

6 3

 

 

Câu 3 (3 điểm): Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm





A 1;2

, phương trình đường thẳng

: x 2y 3 0

   

và phương trình đường tròn





2 2

C : x y 4x 2y 4 0

    

a) Viết phương trình đường thẳng





là ảnh của phương trình



qua phép quay tâm O góc quay

b) Viết phương trình đường tròn







là ảnh của





qua phép tịnh tiến theo





v 2; 1

 



c) Cho biết phương trình đường thẳng

d : x 2y 1 0

  

là ảnh của phương trình



qua phép

vị tự tâm A tỷ số k. Tìm số k trong phép vị tự đó .

Đs: a)

' : 2x y 3 0

   





2 2

C ' : x y 1 0

  

c) k = 3

ĐỀ 4 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2015 - 2016

Bài 1: (5.5 điểm). Giải các phương trình sau:

6sin x 5cos2x 10cosx 3 0

   

Đs:

x k2 , x k2 (k )

3 3

 

      



cos3x 3sin3x sin 4x 3cos4x

  

Đs:

k 2

x , x k 2

4 2 7 2

  

    

2 2

2cos x sin2x 4sin x 4

  

Đs:

x k



  

;

x k (k )



    



2 2 2

sin x sin 2x sin 3x

 

Đs:

x k , x k

6 3 2

  

  

Bài 2: (1.5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y 4cos x 5sin2x 2

  

Đs: GTLN của y là 7 ; GTNN của y là 1

Bài 3: (3.0 điểm).

a) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn

2 2

(C): x y 2x 4y 1 0

    

qua phép

vị tự tâm K(1; 2) tỉ số – 2 .

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

(d): 3x y 5 0

  

, đường thẳng





D : 3x y 15 0

  

. Tìm tọa độ vectơ



có giá vuông góc với đường thẳng (d) sao cho (D) là ảnh

của (d) qua phép tịnh tiến theo



Đs: a) (C’):

   

2 2

x 5 y 2 16

   

; b)

 

v 6; 2

 



ĐỀ 5 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2014 – 2015

Bài 1: Giải các phương trình sau:

3sin 2 3 cos 2 3

x x 

Đs:

x k

 



x k

 



2 tan 2tan 2 0

cos

x x

   

Đs:

( )

x k k

  





Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 139

3. cosx – cos2x + cos3x = 0 Đs:

4 2

x k

 

 

x k

  



(sin cos )(1 2cos3 )

cos

1 tan

x x x

 





Đs:

( )

3 3

x k k  



 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (2sinx + cosx)(3sinx – cosx) – 3

Đs:

5 2 1 5 2 1

;

2 2

Min y Max y

  

 

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0,



: x – 2y – 4 = 0, đường tròn

(C): x

+ y

– 2x + 4y – 4 = 0 và vectơ

(1; 2)

 



1. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ



2. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay

, với O là gốc tọa độ.

3. Tìm tọa độ của vectơ



sao cho đường thẳng



là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến

theo vectơ



và độ dài của vectơ



bằng

Đs:1) (C’): (x – 2)

+ (y + 4)

= 9 ; 2) d’ : 2x + y + 1 = 0; 3)

(1; 2 )

 



ĐỀ 6 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2013 – 2014

Bài 1. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số





2cos sinx+cos 2

y x x

 

Đs: Giá trị lớn nhất của hàm số là

2 1

–

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là

2 1

 

Bài 2. (5 điểm) Giải các phương trình sau:

3cos sin 2

x x

 

Đs:

 

x k k

= +





co s4x 6 sin x 7 0

 

Đs:

x k

= +



2 2

3cos x 6sinx.cosx 2 sin x 2

  

Đs:

x ar tan

2 6

x k c= + =



sin 2 3cos 2 11cos sin 7

tan 3

x x x x

   





Đs:

x k



=-

Bài 3. (4.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

: 3x y 3 0

  

và

đường tròn





2 2

: 2 4 4 0

C x y x y

    

1) Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 90

2) Viết phương trình đường tròn (C’) sao cho đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua

phép tịnh tiến theo vectơ





2; 1

u 

–



3) Tìm tọa độ điểm E sao cho đường tròn





2 2

: 6 8 24 0

T x y x y

    

là ảnh của đường

tròn (C) qua phép đối xứng tâm E.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 140

4) Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường tròn





2 2

: x y 25

K + =

sao cho điểm D(3;2) là ảnh

của điểm M qua phép đối xứng trục với trục là đường thẳng d.

Đs: 1)

ď: 3 3 0

+ + =

; 2)

   





’ : 3 3 1

C x y

   

; 3)





E –

; 4)





M –

ĐỀ 7 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2017 – 2018

Bài 1: (1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2

y cos x sin x 1

  

Đs:

Miny = 0 khi x = ; Maxy = 2 khi x = 0

Bài 2: (6.0 điểm) Giải các phương trình sau:

sin3x 3cos3x 2

 

. Đs:

x k (k )

18 3

 

  



cos 8x 6 sin 2x 4 0

  

. Đs:

x k

6 2

 

  

sin x sin 2x sin 3x 0

  

. Đs:

x k

x k2













   





 

1 3

sin 2x cos x sin x cos x

2 2

2 sin x 1

  





. Đs:

x k2

x k





  







  





Bài 3: (3.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + 2y + 1 = 0, đường tròn (C): x

+ 2x – 4y – 4 = 0 và (C’):









2 2

x 5 y 1 36

   

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ

u ( 1;2)

 



. Đs:

d ' : x 2 y 2 0

  

b) Viết phương trình đường tròn (T) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép quay tâm O góc quay

, với O là gốc tọa độ. Đs:





2 2

T : x y 4x 2y 4 0

    

c) Phép vị tự tâm E tỉ số k biến (C) thành (C’). Tìm tọa độ điểm E và tỉ số k.

Đs:

k 2 E 1;

 

  

 

 

;

k 2 E ( 7; 3)

  

ĐỀ 8 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2018 – 2019

Bài 1:

(4.0 điểm)

Giải các phương trình lượng giác sau:

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 141

2 sin 2 0

 

; Đs:

2 2

4 4

x k x k

 

    

cos 4 cos 2 1 0

x x

  

; Đs:

4 2 6

x k x k

  



     

3sin3 cos3 2

x x

 

; Đs:

9 3

x k

 

 

2 2

2 sin sin 2 cos 2

x x x

  

. Đs:

arctan

2 2

x k x k



 

    

Bài 2:

(1.0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3sin cos 2

y x x

  

Đs: GTLN của hàm số



khi

s 2

x k



 

; GTNN của hàm số



khi

x k



  

Bài 3:

(2.0 điểm)

Số giờ có ánh sáng của thành phố A ở vĩ độ

5 0

bắc trong ngày thứ t của một năm

không nhuận được cho bởi hàm số

   

3sin 80 13

182

A t t



 

  

 

 

,với t





và

0 365

 

a) Thành phố A có đúng 13 giờ có ánh sáng vào ngày nào trong năm ? Đs: 80 và 262

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?Đs:

353



Bài 4:

(3.0 điểm)

Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ

Oxy

a) Tìm tọa độ

’

là ảnh của





1; 2



qua phép quay tâm

một góc quay

9 0

;Đs:





' 2;1

b) Viết phương trình đường tròn





là ảnh của đường tròn

     

2 2

: 1 2 3

C x y

   

qua phép

tịnh tiến theo





3;1

v 



; Đs:

     

2 2

' : 4 1 3

C x y

   

c) Gọi

A B

lần lượt là giao điểm của đường thẳng

: 1

d y x

 

và parabol





: 1

P y x x

  

. Gọi

’

và

’

lần lượt là ảnh của

và

qua phép vị tự tâm





1; 1



tỷ số

 

. Tính độ dài

đoạn thẳng

’ ’

A B

. Đs:

' ' 4 2

A B 

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I

ĐỀ 1 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2020 - 2021

Bài 1.

(2.0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a) sin

+ 3sin

+ 2 = 0.

√

sin

+ cos

= 2.

Bài 2.

(1.0 điểm)

Giải phương trình:

2 2

n n

A C

 

Bài 3.

(1.0 điểm)

Tìm số hạng không chứa

trong khaitriển

 



















 

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 142

Bài 4.

(2.0 điểm)

Một hộp có 9 quả cầu khác nhau, trong đó có 2 quả cầu màu đỏ; 3 quả cầu màu

vàng và 4 quả cầu màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp, tính xác suất của các biến cố

• A: " 3 quả cầu được chọn có đủ 3 màu".

• B: " 3 quả cầu được chọn có đúng 1 màu".

Bài 5.

(3.0 điểm)

Cho hình chóp

S.ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang và đáy lớn

= 2

. Gọi

M, I, J

lần lượt là trung điểm cạnh

SC, SB, SA

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (

SAD

) và (

SBC

), (

SAB

) và (

SCD

b) Tìm giao điểm

của đường thẳng

và mặt phẳng (

SBD

c) Gọi

là trọng tâm tam giác

SAD

. Chứng minh

song song mặt phẳng (

SBC

Bài 6.

(1.0 điểm)

Cho hình hộp

ABCD.A’B’C’D’

. Gọi

là giao điểm giữa

và

O’

là giao điểm

giữa

A’C’

và

B’D’

. Chứng minh mặt phẳng (

ABO’

) song song với mặt phẳng (

OC’D’

—–Hết—–

ĐỀ 2 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2019 - 2020

Bài 1:

(2.0 điểm)

Giải các phương trình sau:

cos 3 cos 2 0

x x

  

sin 3cos 1 0

x x

  

Bài 2:

(1.0 điểm)

Giải phương trình

2 2

4 50

n n

C A

 

Bài 3:

(1.0 điểm)

Đoàn trường THPT Nguyễn Du có 14 đoàn viên ưu tú, trong đó có 6 đoàn viên nam

và 8 đoàn viên nữ. Hãy cho biết đoàn trường có bao nhiêu cách chọn ra 6 đoàn viên đi dự hội trại sao

cho có ít nhất hai đoàn viên nữ và hai đoàn viên nam.

Bài 4:

(1.0 điểm)

Tìm hệ số của

trong khai triển biểu thức

 



 





Bài 5:

(1.0 điểm)

Trong giờ học môn giáo dục quốc phòng tại trường THPT Nguyễn Du, thầy giáo yêu

cầu ba học sinh

độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn

trúng mục tiêu của ba em học sinh

tương ứng là

0, 7

;

0, 6

và

0, 5

. Tính xác suất để có ít

nhất một em học sinh bắn trúng mục tiêu.

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 143

Bài 6:

(2.0 điểm)

Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

là điểm nằm trên cạnh

sao cho 2

BM MC



là trung

điểm của

và

là trọng tâm của

ABD



a) Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng





AMN

và





ACD

b) Chứng minh đường thẳng

song song với mặt phẳng





ACD

Bài 7:

(2.0 điểm)

Cho hình chóp .

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

là giao điểm của

và

là trung điểm trên cạnh

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng





SAC

và





SBD

;





SAD

và





SBC

b) Tìm giao điểm

của mặt phẳng





MCD

và

. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp

S ABCD

cắt bởi của mặt phẳng





MCD

là hình gì?

------------ Hết ------------

ĐỀ 3 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2014 – 2015

Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:

sin 2x 3cos2x 1

 

Đs:

x k x k



  

= + = +

cos4x cos2x 2

 

Đs:

 

k k



= + 



sin2x 2cosx sinx 1

tanx 3

 



Đs:

 

x k k



= + 



Bài 2: (1 điểm) Lớp 11B có 30 học sinh, trong đó có 14 nam và 16 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4

bạn để dự hội trại truyền thống sao cho 4 bạn được chọn có cả nam và nữ? Đs:

24584

Bài 3: (1 điểm) Tìm số hạng chứa

trong khai triển

 

 

 

. Đs:

8 0 6 4

Bài 4: (1 điểm) Một hộp có 4 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Chọn ra ngẫu nhiên cùng

lúc 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để 3 quả cầu chọn ra có đúng một màu. Đs:

Bài 5: (1 điểm) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình. Có

bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, biết mỗi tổ có 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học

sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Đs: 7560

Bài 6: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB và

AB CD



. Gọi M

là trung điểm SA, O là giao điểm của AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao điểm N của (MBC) và SD. Chứng minh

ON // SB

c) Gọi J là giao điểm của SO và NB. Chứng minh M; J; C thẳng hàng. Tính tỉ số

.Đs:

ĐỀ 4 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2015 – 2016

Bài 1:(4.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 144

3sinx 3cosx 6

 

. Đs:

x k2 ,x k2 (k )

12 12

 

      



6 sin 3x cos12 x 7

 

. Đs:

x (k )

6 3

 

  



cos2x cos8x+cos6x=1



. Đs:

k k

x ,x

8 4 3

  

  

1 cos2x

1 cot2x

sin 2x



 

. Đs:

x k , x k

4 4

 

      

Bài 2:(2.0 điểm)

a) Giải phương trình :

n 3 3 2

n 1 n 1 n

C C A



 

+ +

. Đs: n = 10

b) Tìm hệ số của x

trong khai triển của biểu thức

4 5

A (x 3) (x 2)

   

. Đs: 52

Bài 3:(1.0 điểm) Trong giờ học Giáo dục quốc phòng. Thầy giáo mời 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ,

sau đó thầy yêu cầu các học sinh này xếp thành một hàng ngang và thực hiện những động tác mà thầy

đã dạy để cho các học sinh ở dưới theo dõi. Hãy tính xác suất để sắp xếp không có học sinh nữ nào

đứng gần nhau. Đs:

Bài 4:(3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao điểm I của AM với mặt phẳng (SBD). Tính tỷ số :

. Đs:

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng (ABM). Thiết diện này là hình gì?

Đs: Thiết diện là hình thang

ĐỀ 5 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2016 – 2017

Bài 1:(4.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:

3 sin 2 x 7 cos 2x 3 0

  

. Đs:

π kπ

4 2

 

 

sinx 6 3cosx

 

. Đs:

x k2 , x k2

12 12

 

     

2 2

2sin x (3 3)sinx.cosx ( 3 1)cos x 1

     

. Đs:

π π

x k

π,x kπ

4 6

     

2 2

1 1 8

cos 2x sin 2x 3

 

. Đs:

π kπ π kπ

x ,x

6 2 6 2

    

Bài 2:(2.0 điểm)

a) Giải phương trình:

3 n 2

n n

A C 14n



 

. Đs: n = 5

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 145

b) Tìm hệ số của x

trong khai triển nhị thức Newton

x , x 0

 

 

 

 

. Đs:

220

Bài 3:(1.0 điểm) Trường THPT Nguyễn Du có 16 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 7

học sinh, khối 11 có 6 học sinh và khối 10 có 3 học sinh. Văn phòng Đoàn cần chọn ra 1 nhóm gồm 5

học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia xây nhà tình thương. Tính xác suất để chọn được 5 học sinh

có đủ 3 khối. Đs:

Bài 4:(2.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) ; (SAD) và (SBC).

b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD và N, P lần lượt là điểm nằm trên cạnh AB, CD sao

cho AN = 2NB, CP = 2DP. Tìm giao điểm của SA và (MNP).

Bài 5:(1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , K , M lần lượt

là trung điểm của các cạnh SA , SC , OD. Chứng minh: SD song song (IKM).

ĐỀ 6 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2017 – 2018

Bài 1. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:

sin x cos x 2 0

  

. Đs:

x k2 (k )



    



cos x

1 sin x

 



. Đs:

x k2

(k )

x k2





  







 





Bài 2. (1.0 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa:

1 2

n n

A C 78

 

. Đs: n =12

Bài 3. (1.5 điểm) Cho tập hợp





A 0,1, 2,3, 4,5, 6



. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được lấy

từ tập hợp A sao cho:

a) Các chữ số này đôi một khác nhau. Đs: 720

b) Chữ số liền sau lớn hơn chữ số liền trước . Đs: 15

Bài 4. (1.0 điểm) Tìm hệ số của

trong khai triển biểu thức

 



 

 

. Đs:

112640



Bài 5. (1.5 điểm) Trong chuyến đi học tập tham quan ngoại khóa ở Đà lạt của Trường THPT Nguyễn

Du, bạn An vào một cửa hàng bán hoa để mua hoa tặng mẹ. Bạn An chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa hồng

từ một chậu hoa có 10 bông hồng nhung và 7 bông hồng trắng. Tính xác suất để mẹ bạn An nhận

được:

a) 5 bông hoa cùng màu. Đs:

b) 5 bông hoa có đủ hai màu. Đs:

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 146

Bài 6. (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB, và

AB 3a, CD 2a

 

. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là điểm trên cạnh SA sao cho

AM SA.



c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

d) Tìm giao điểm N của mặt phẳng (MCD) và SB. Chứng minh

ON / /(SAD )

e) Gọi

I SO MC

 

. Tính

O I

S I

. Đs:

ĐỀ 7 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2018 – 2019

Bài 1:

(2.0 điểm)

Giải các phương trình lượng giác sau:

cos 3sin 3 0

x x

  

. Đs:

x k



 

3sin2 cos2 1 0

x x

  

. Đs:

x k





 



 





Bài 2:

(1.0 điểm)

Tìm hệ số của

trong khai triển nhị thức Newton





x x



. Đs:

448



Bài 3:

(1.0 điểm)

Tìm số tự nhiên n thoả mãn :

2 2 1

n n n

A C C

  

. Đs:



Bài 4:

(1.0 điểm)

Trước Tết Nguyên đán Kỷ Hợi năm 2019, Ban Giám Hiệu Trường THPT Nguyễn Du

sẽ tổ chức chương trình “ Tình ca mùa xuân” tại trường, Ban Giám Hiệu dự định mời các ca sĩ được

học sinh yêu thích gồm : Mỹ Tâm, Đông Nhi, Hồ Ngọc Hà, Hương Tràm, Bích Phương, Tóc Tiên ( 6 ca

sĩ nữ ), Đan Trường, Đàm Vĩnh Hưng, Noo Phước Thịnh, Hà Anh Tuấn ( 4 ca sĩ nam ). Hiện tại Ban

Giám Hiệu đã mời được 2 ca sĩ là Mỹ Tâm và Đan Trường, trong các ca sĩ còn lại Ban Giám Hiệu chọn

ngẫu nhiên 3 ca sĩ. Tính xác suất để Ban Giám Hiệu chọn được ít nhất hai ca sĩ nữ. Đs:

Bài 5:

(2.0 điểm)

Cho tập

{1; 2;3; 4; 5}



a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được thành lập từ các số trong tập A. Đs:

625

b) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các số

trong tập A. Đs: 3.999.960

Bài 6:

(3.0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung

điểm của SD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SA và mặt phẳng (BCM).

c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng (SBD). Tính

. Đs:

ĐỀ 8 :

Bài 1. Giải các phương trình sau:

4 tan

cos

= .

2 sin sin 1 sin 3

x x x

  

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 147

sin 2 2cos sin 1

tan 3

x x x

  





Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

 

x x

 

 

 



Bài 3. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh, 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng

lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu chọn được chỉ có một màu.

Bài 4. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác

nhau từng đôi một.

Bài 5. Tìm số tự nhiên x thỏa phương trình

3 2

x x

A C x

–

+ =

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là các điểm trên cạnh

SA và SB sao cho

4 ,

SA SI

SB JB

= =

, K là trung điểm cạnh CD.

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Tìm giao điểm E của BC với mặt phẳng (IJK).

2) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (IJK) và (SCD). Gọi M là giao điểm của d với SD. Tính tỉ số

ĐỀ 9 :

Bài 1: Giải các phương trình sau:

cos x 3sin xco sx 0

– =

6sin 3 x c o s1 2 x 7

+ =

2 2 2 2

sin x sin 2 x s in 3 x s in 4 x 2

+ + + =

Bài 2: Cho tập hợp





X 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

. Từ các phần tử của tập X có thể lập bao nhiêu số tự

nhiên biết:

a) Số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.

b) Số đó là số chẵn và có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.

Bài 3: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

n 1 3

n n

5C C

–

. Tìm số hạng chứa x

trong khai triển nhị thức

Newton





nx 1

14 x

–

Bài 4: Chứng minh rằng:

1 3 2n 1 0 2 2n 2n 1

2n 2n 2n 2n 2n 2n

C C C C C C 2

– –

+ + + = + + + = 

Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Chọn

ngẫu nhiên 3 em để dự đại hội. Tính xác suất để:

a) Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi.

b) Có ít nhất một học sinh giỏi.

c) Không có học sinh trung bình.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm trên đoạn SC sao

cho

S C 4S M

,N là trung điểm BC. Gọi K là điểm đối xứng của C qua B, L là điểm đối xứng của C

qua D.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).

b) Tìm thiết diện của hình chóp với (OMN). Thiết diện là hình gì ?

c) Gọi E là giao điểm của MK và SB;F là giao điểm của ML và SD. Chứng minh rằng

EF BD

d) Chứng minh K;A;L thẳng hàng và

KL 5EF

Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 148

ĐỀ 10 :

Bài 1: Giải các phương trình sau:

4tanx

cos x

2sin x sinx 1 sin3x

– = –

2 2

sin x 2sin x co sx 3co s x 0

– – =

sin2x 2cosx sinx 1

tanx 3

+ – –

–

Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển





 

x ; x 0

 

–



Bài 3: Một hộp chứa 4 quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu màu xanh, 7 quả cầu mầu vàng. Lấy ngẫu nhiên

cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu chọn được:

a) Chỉ có một mầu.

b) Có đúng hai mầu.

c) Có đủ cả ba mầu.

Bài 4: Tìm số nguyên dương n thỏa:

1 2 3 2

n n n

C 6C 6C 9n 14n

+ + = –

Bài 5: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát đạn vào bia. Xác suất để người thứ nhất bắn trúng bia

là 0.9, và của người thứ hai là 0.7. Tính xác suất để:

a) C

ả

hai cùng b

ắ

n trúng bia.

b) Ít nh

ấ

t m

ộ

t ngư

ờ

i b

ắ

n trúng bia.

c) Chỉ một người bắn trúng bia.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I;J lần lượt là các điểm trên cạnh

SA và SB sao cho

S A 4S I; S B 4 JB

= =

. K là trung điểm cạnh CD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm E của BC với mặt

phẳng (IJK).

b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (IJK) và (SCD). Gọi M là giao điểm của d với SD.

Tính tỉ số

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/149

| | Tải xuống

Preview text:

GIỚI THIỆU MÔN HỌC ............................................................................................................. 2
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 1 ................................................................................................ 4
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ...................................................... 4
§ 0. ÔN TẬP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ......................................................................... 4
§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ...................................................................................................... 5
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ......................................................................... 24
§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP ................................................. 31
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 2 ............................................................................................... 48
TỔ HỢP – XÁC SUẤT ............................................................................................................... 48
§ 1. QUY TẮC ĐẾM ................................................................................................................. 48
§ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP .................................................................................. 51
§ 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN ........................................................................................................ 61
§ 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ................................................................................................... 66
§ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ.................................................................................................. 69
HÌNH HỌC 11 – Chương 1 ................................................................................................................ 78
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG............................................... 78
§ 1. PHÉP BIẾN HÌNH ............................................................................................................. 78
§ 2. PHÉP TỊNH TIẾN .............................................................................................................. 79
§ 2. PHÉP QUAY ...................................................................................................................... 83
§ 4. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU .......................................... 89
§ 5. PHÉP VỊ TỰ ...................................................................................................................... 92
§ 6. PHÉP ĐỒNG DẠNG .......................................................................................................... 98
HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG 2 ........................................................................................................... 101
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ............... 101
§ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ....................................................... 101
§ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG .................... 113
§ 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGSONG SONG .............................................................. 119
§ 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ...................................................................................... 124
§ 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN ............... 133
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 ............................................................................................... 136
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ......................................................................................................... 141
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 1 GIỚI THIỆU MÔN HỌC
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 2 ĐẠI SỐ – GIẢI TÍCH 11
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 3
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 1
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 0. ÔN TẬP CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản 1 1 tan .  cot  1 2 2 sin   cos   1 2 1  tan   2 1  cot   2 cos  2 sin  2. Cung liên kết Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau   cos( a  )  cosa sin( a)  sina sin   a  cosa  2  sin( a  )   sina   cos( a)   cosa cos   a  sina  2  tan( a  )   tana   tan( a)   tana tan   a  cota  2  cot( a  )   cota   cot( a)   cota cot   a  tana  2  Cung hơn kém  Cung hơn kém  2 sin( a)   sina   sin   a  cosa  2  cos( a)  cosa   cos   a  sina  2  tan( a) tana   tan   a   cota  2  cot( a) cota   cot   a   tana  2  3. Công thức cộng
sin(a  b)  sina  cosb  cosa  sin . b
cos(a  b)  cosa  cosb  sina  sinb. tana  tan tan(  ) b a b   tana  tan tan(  ) b a b   1 tana  tanb 1  tana  tanb     Hệ quả:    1  tan tan x   x      x  và 1 tan tan  x   4  1 tanx 4  1 tanx
4. Công thức nhân đôi và hạ bậc Nhân đôi Hạ bậc
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 4
sin2  2 sin   cos  2 1 cos2 sin     2  2 2 cos   sin     2 1 cos2 cos    2 cos2  2cos  1 2  2 1 2sin   2 tan   tan 2    2 1 cos2 tan   2 1  tan  1  cos2 2 cot   1   cot2  2 1 cos2 cot   2cot 1 cos2 Nhân ba 3
sin 3  3sin   4 sin  3 3 tan  tan  3
cos 3  4 cos   3cos  tan 3  2 1 3 tan 
5. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos a b cos a b a b      cos cos 2sin a b sin a b a b       2 2 2 2 sin sin 2sin a b cos a b a b      sin sin 2 cos a b sin a b a b      2 2 2 2 sin(a b) tana  tanb  sin(a b) tana  tanb  cosa  cosb cosa  cosb sin(a b) cota  cotb  sin(b a) cota  cotb  sina  sinb sina  sinb Đặc biệt         sinx cosx  2sin x       2cos x                     sinx cosx 2sin x  2cos x       4    4  4    4
6. Công thức biến đổi tích thành tổng 1
cosa  cosb   cos(a b)  cos(a b) a  b    a b  a b  2   1 sin sin cos( ) cos( ) 2   1
sina  cosb   sin(a b)  sin(a b) 2  
§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Trước hết, ta nhắc lại bảng các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 5 Cung Giá trị 0     6 4 3 2 lượng giác sin x 0 1 2 2 3 1 2 2 1 cosx 1 3 2 0 2 2 2 tanx 0 3 1 3 3 cotx 3 1 3 0 3 1
a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx,cosx với x là các số sau :  ;;1,5;2;3,1;4,25;5. 6 4
b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A , hãy xác định các điểm M mà số đo của cung 
AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sin x,cosx (lấy   3,14 ).
1. Hàm số sin và hàm số côsin a) Hàm số sin
Ở lớp 10 ta đã biết, có thể đặt tương ứng mỗi số thực x với một điểm M duy nhất trên đường tròn 
lượng giác mà số đo của cung AM bằng x (rad) (h.1a). Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị sin x.
Biểu diễn giá trị của x trên trục hoành và giá trị của sin x trên trục tung, ta được Hình 1b.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 6 sin:    x  y  sinx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y  sinx.
Tập xác định của hàm số sin là  . b) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx cos:    x  y  cosx
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y  cosx.
Tập xác định của hàm số sin là  .
2. Hàm số tang và hàm số côtang a) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức sinx y  cosx  0, cosx kí hiệu là y  tan x.
Vì cosx  0 khi và chỉ khi x 
  k k   nên tập xác định của hàm số y  tanx là 2   D  \   k ,  k         .  2    b) Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức cosx y  sinx  0, sinx kí hiệu là y  cotx.
Vì sinx  0 khi và chỉ khi x  k k   nên tập xác định của hàm số y  tanx là
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 7
D   \ k ,k  . 2
Hãy so sánh các giá trị sin x và sin x  , cosx và cos x  . NHẬN XÉT
Hàm số y  sin x là hàm số lẻ, hàm số y  cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra
các hàm số y  tanx và y  cotx đều là những hàm số lẻ.
II – TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC 3
Tìm những số T sao cho f x T  f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số sau:
a) f(x)  sin x; b) f(x)  tanx.
Người ta chứng minh được rằng T  2 là số dương nhỏ nhất thoả mãn đẳng thức
sinx T  sinx,x  . 
Hàm số y  sin x thoả mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 .
Tương tự, hàm số y  cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . 
Các hàm số y  tanx và y  cotx cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì  .
III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số y  sin x
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y  sin x :
 Xác định với mọi x   và 1  sin x  1;  Là hàm số lẻ ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . 
Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y  sin x .
a) Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y  sin x trên đoạn 0;  
Xét các số thực x ,x , trong đó 0 x x 
   . Đặt x   x ,x   x . 1 2 1 2 2 3 2 4 1
Biểu diễn chúng trên đường tròn lượng giác và xét sinx tương ứng i  1,2,3,4 (h.3a). i
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 8  
Trên Hình 3 ta thấy, với x ,x tuỳ ý thuộc đoạn 0;  và x  x thì sinx  sinx . 1 2  2   1 2 1 2  
Khi đó x ,x thuộc đoạn  ; và x  x nhưng sin x  sinx . 3 4 2    3 4 3 4    
Vậy hàm số y  sin x đồng biến trên 0;   
và nghịch biến trên  ; . 2    2    Bảng biến thiên :  
Đồ thị của hàm số y  sin x trên đoạn 0;   
  đi qua các điểm 0; 
0 , x ;sinx , x ;sinx ,  ;1, 2 2  1 1  2 
x ;sinx , x ;sinx , ;0 (h.3b). 4 4    3 3  CHÚ Ý
Vì y  sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn 0;   qua gốc toạ
độ O,ta được đồ thị hàm số trên đoạn  ;  0.  
Đồ thị hàm số y  sin x trên đoạn  ;   
 được biểu diễn trên Hình 4.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 9
b) Đồ thị hàm số y  sin x trên 
Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn chu kì 2 nên với mọi x   ta có
sinx  k2  sinx,k  . 
Do đó, muốn có đồ thị hàm số y  sin x trên toàn bộ tập xác định  , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị
hàm số trên đoạn  ;     
 theo các vectơ v  2 ;  0 và v
  2 ;0, nghĩa là tịnh tiến song song
với trục hoành từng đoạn có độ dài 2 . 
Hình 5 dưới đây là đồ thị hàm số y  sin x trên . 
c) Tập giá trị của hàm số y  sinx
Từ đồ thị ta thấy tập hợp mọi giá trị của hàm số y  sin x là đoạn 1;1. 
 Ta nói tập giá trị của hàm số này là 1;1.   2. Hàm số y  cosx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y  cosx :
 Xác định với mọi x   và 1  cosx  1 ;  Là hàm số chẵn ;
 Là hàm số tuần hoàng với chu kì 2 . 
Với mọi x   ta có đẳng thức   sin x        cosx.   2   
Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x theo vectơ u      ;0 
(sang trái một đoạn có  2 
độ dài bằng  , song song với trục hoành), ta được đồ thị của hàm số y  cosx (h.6). 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 10
Từ đồ thị của hàm số y  cosx trên Hình 6, ta suy ra :
Hàm số y  cosx đồng biến trên đoạn  ;  0    
 và nghịch biến trên đoạn 0;   . Bảng biến thiên :
Tập giá trị của hàm số y  cosx là 1;1.  
Đồ thị của các hàm số y  cosx,y  sin x được gọi chung là các đường hình sin. 3. Hàm số y  tanx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y  tanx :  
 Có tập xác định là D  \  k ,  k      ; 2       Là hàm số lẻ ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì . 
Vì vậy, để xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  tan x, ta chỉ cần xét sự biến thiên và vẽ đồ  
thị của hàm số này trên nửa khoảng 0; , 
sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ O , ta được đồ thị 2     hàm số trên khoảng    ; .   2 2
Cuối cùng, do tính tuần hoàn với chu kì  nên đồ thị hàm số y  tanx trên D thu được từ đồ thị   hàm số trên khoảng    ;  
bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành tưng đoạn có độ dài  2 2 bằng .   
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y  tanx trên nửa khoảng 0;   2      
Từ biểu diễn hình học của tanx (h.7a), với x , x  0; , AM  x , AM  x , AT  tanx , 1 2  2   1 1 2 2 1 1 AT  tanx , ta thấy : 2 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 11 x  x  tanx  tanx . 1 2 1 2  
Điều đó chứng tỏ rẳng, hàm số y  tanx đồng biến trên nửa khoảng 0; .  2   Bảng biến thiên :  
Để vẽ đồ thị hàm số y  tanx trên nửa khoảng 0;   ta làm như sau : 2  
Tính giá trị của hàm số y  tanx tại một số điểm đặc biệt như x 0,x  ,x ,x      , rồi 6 4 3      
xác định các điểm 0;tan0,   ;tan ,      ;tan ,     Ta có bảng sau :      ;tan , . 6 6 4 4    3 3  
Đồ thị hàm số y  tanx trên nửa khoảng 0;  
đi qua các điểm tìm được. 2  
Nhận xét rằng khi x càng gần  thì đồ thị hàm số y  tanx càng gần đường thẳng x   (h.7b). 2 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 12
b) Đồ thị hàm số y  tanx trên D
Vì y  tanx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm
đối xứng là gốc toạ độ O. Lấy đối xứng qua tâm O đồ  
thị hàm số y  tanx trên nửa khoảng 0; ,  ta được 2    
đồ thị hàm số trên nửa khoảng    ;0.   2 
Từ đó, ta được đồ thị hàm số y  tanx trên khoảng      ;  
. Ta thấy trên khoảng này, hàm số y  tanx  2 2 đồng biến (h.8).
Vì hàm số y  tanx tuần hoàn với chu kì  nên tịnh  
tiến đồ thị hàm số trên khoảng    ;   song song  2 2
với trục hoành từng đoạn có độ dài  , ta được đồ thị
hàm số y  tanx trên D (h.9).
 Tập giá trị của hàm số y  tanx là khoảng  ;  . 4. Hàm số y  cotx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số y  cotx :
 Có tập xác định là D   \ k ,k   ;  Là hàm số lẻ ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì . 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 13
Sau đây, ta xét sự biến thiên và đồ thị của hàm số y  cotx trên khoảng 0;, rồi từ đó suy ra đồ
thị của hàm số trên D.
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y  cotx trên khoảng 0;
Với hai số x và x sao cho 0  x  x  ,  ta có 0  x  x  .  Do đó 1 2 1 2 2 1 cosx cosx 1 2 cotx  cotx   1 2 sinx sinx 1 2 sinx cosx  cosx sinx 2 1 2 1  sinx sinx sinx x 2 1 1 2   0 sinx sinx 1 2 hay cotx  cotx . 1 2 Bảng biến thiên :
Hình 10 biểu diễn đồ thị hàm số y  cotx trên khoảng 0;.
b) Đồ thị của hàm số y  cotx trên D
Đồ thị hàm số y  cotx trên D được biểu diễn trên Hình 11.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 14
 Tập giá trị của hàm số y  cotx là khoảng  ;  .
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Tìm tập xác định của hàm số 
① Hàm số y  tan u(x) có điều kiện xác định cosu(x)  0  u(x)   k ,  k  .  2
② Hàm số y  cotu x có điều kiện xác định sinu x  0  u x  k ,  k  .  ③ Hàm số n y  u x * 2
,n   có điều kiện xác định u x  0. 1 ④ Hàm số * y 
,n   có điều kiện xác định u x  0. 2n u x u  x  0
⑤ Chú ý 1  sin u x,cosu x  1 và u x.v x     0  v  x .  0
2. Tìm tập xác định của hàm số 1.  x
Tìm tập xác định của hàm số 1 cos y  . sinx        
..................................................................... y tan x  .  3
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Tìm tập xác định của hàm số
4. Tìm tập xác định của hàm số   y  cot x      . 1  cosx  y  .  6 1  cosx
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Dựa vào tập giá trị của các hàm số lượng giác
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 15 2n * 0  sin x  1,n   ① 1  sin x  1, x     , x  .  0  sinx  1 2n * 0  cos x  1,n  
②1  cos x  1, x    , x  .  0  cosx  1    sin   sinx  sin  ③ Trên đoạn  ;     ;    
(nửa bên phải đường tròn lượng giác) thì . 2 2    tan  tanx  tan    sin   sinx  sin  ④ Trên đoạn 3  ;     ;    
(nửa bên trái đường tròn lượng giác) thì . 2 3    tan   tanx  tan  cos   cosx  cos  ⑤ Trên đoạn  ;    0; 
   (nửa bên trên đường tròn lượng giác) thì . cot  cotx  cot cos   cosx  cos  ⑥ Trên đoạn  ;     ;  2   
 (nửa bên dưới đường tròn lượng giác) thì cot  cotx  cot
Biến đổi về dạng m  y  M . Kết luận miny  m,max y  M
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y  3sin x  2 . hàm số 2 y  5  4cos x .
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y  3 sin x  cos2x .  
hàm số y  2 tan x  1 trên đoạn   ; .
.....................................................................  3 4  
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 16
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 3 : Xét tính chẵn, lẻ
 Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số lượng giác. Nếu x   D thì x
  D  D là tập đối xứng và chuyển sang bước 2.
 Bước 2. x  D , tính f( x
 ), nghĩa là sẽ thay x bằng x
 , sẽ có 2 kết quả thường gặp sau:  Nếu f( x
 )  f(x)  f(x) là hàm số chẵn trên D .  Nếu f( x
 )  f(x)  f(x) là hàm số lẻ trên D . Lưu ý:
 Nếu không là tập đối xứng (x  D  x   D) hoặc f ( x
 ) không bằng f(x) hoặc f (x)
ta sẽ kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
 Nếu D là tập đối xứng và tồn tại x sao cho f  x 
 f x thì hàm số không chẵn. 0   0 0
 Nếu D là tập đối xứng và tồn tại x sao cho f  x 
 f x thì hàm số không lẻ. 0   0 0
1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 3 cosx f(x)  x  sin 3x.
2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g(x)  . 2 x
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... Dạng 4 : Đồ thị   1. 
Dựa vào đồ thị hàm số, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn 3  ;    để hàm số y  tanx : 2   
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 17
a) Nhận giá trị bằng 0 ;
b) Nhận giá trị bằng 1 ;
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
c) Nhận giá trị dương ; d) Nhận giá trị âm.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
2. Dựa vào đồ thị của hàm số y  sin x, hãy vẽ đồ thị của hàm số y  sin x .
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 18
....................................................................................................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : 1 sin x 1 sin x 1 cosx a) y  ; d) y  ; g) y  ; cosx 2  sin x sin2x  2cosx b) y  tan x  2cot x ; 3 2 2 e) y  sin2x  cos ; h)   x y      x cosx cot2x   c)  3 y   ; f) y  tan2x  2cot x ; 1 tan x
BT 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :       
a) y  2  cos x  ; h)    2 y  cos x   , x     ;0   3    3   3    b) y  3  2sin x ;            i) 4 4 y sin x cos x, x 0;    c) y  cosx  cos x  ; 6   3      d)  2 y sin x  cos2x ; j) 2
y  2 sin x  cos2x, x  0;    3   e)  4  4 y sin x cos x ;        
y  1 sin x  1 sin x         f) ; k) 3 y cot x , x ;    4   4 4    
g) y  sin2x, x  0;    2  
BT 3. Xác định tính chẵn- lẻ của các hàm số sau : a) y  sin x.cos3x ; 2 cosx  sin x   c) y  y 1 cosx ; d) ; b) y  tan x  2x ; x
BT 4. Chứng minh rằng sin2x  k  sin2x với mọi số nguyên k . Từ đó vẽ đồ thị hàm số y  sin2x.
BT 5. Dựa vào đồ thị hàm số y  cosx , tìm các giá trị của x để 1 cosx  . 2
BT 6. Dựa vào đồ thị hàm số y  sin x , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
BT 7. Dựa vào đồ thị hàm số y  cosx , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tập xác định của hàm số 1 y  là sin x  cos x   A. x  k . B. x  k2 . C. x   k . D. x   k . 2 4 
Câu 2. Tập xác định của hàm số 1 3cos x y  là sin x   A. k x   k . B. x  k2 . C. x  . D. x  k . 2 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 19
Câu 3. Tập xác định của hàm số y= 3 là 2 2 sin x  cos x   A.  
 \   k , k  Z  .
B.  \   k , k  Z .  4   2      C.  
 \   k , k  Z . D. 3  \   k2 , k  Z .  4 2   4 
Câu 4. Tập xác định của hàm số cot x y  là cos x 1    A.    \ k , k  Z 
B.  \   k , k  Z  C.  \k ,k  Z D.   2   2  
Câu 5. Tập xác định của hàm số 2sin x 1 y  là 1 cos x   A. x  k2 B. x  k C. x   k D. x   k2 2 2  
Câu 6. Tập xác định của hàm số  y  tan 2x    là  3        A. k x   B. 5 x   k C. x   k D. 5 x   k 6 2 12 2 12 2
Câu 7. Tập xác định của hàm số y  tan 2x là        A. k k x   B. x   k C. x   D. x   k 4 2 2 4 2 4 
Câu 8. Tập xác định của hàm số 1 sin x y  là sin x 1   A. x   k2 . B. x  k2 . C. 3 x   k2 . D. x    k2 . 2 2
Câu 9. Tập xác định của hàm số y  cos x là A. x  0 . B. x  0 . C.  . D. x  0 .
Câu 10. Hàm số y  cot 2x có tập xác định là  A.  k
B.  \   k;k    4      C.    \ k ;k   
D.  \   k ;k    2   4 2 
Câu 11. Tập xác định của hàm số y  tan x  cot x là A.  B.  \k;k     C.  
 \   k ;k    D.  \ k ;k    2   2 
Câu 12. Tập xác định của hàm số 2x y  là 2 1 sin x  A. 5   .
B. D   \   k ,k  . 2  2    C. k
y  sin x  x  sin x  x . D. x    . 3 2
Câu 13. Tập xác định của hàm số 1 y  là cot x  A. 
D   \   k ,k   .
B. D   \k ,k .  2 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 20      C.  
D   \ k ,k  . D. 3 D   \ 0; ;; .  2   2 2  
Câu 14. Tập xác định của hàm số: x 1 y  là tan 2x   A.   \ k ,k  . B.  \ k , k  .  4     C.  k 
 \   k , k   . D.  \  , k   .  2   2  
Câu 15. Tập xác định của hàm số 3x 1 y  là 2 1 cos x    A.  
D   \   k ,k   .
B. D   \   k ,k  .  2   2 
C. D   \  k,k . D. D  .  
Câu 16. Tập xác định của hàm số: x 1 y  là cot x    A.  k 
 \   k , k  . B.  \  , k   .  2   2   C.   \ k ,k  .
D.  \   k2 ,k  .  2 
Câu 17. Tập xác định của hàm số y  tan 3x   1 là     A. 1  
D   \    k , k  . B. 1
D   \   k , k  .  6 3 3  3 3      C. 1  
D   \    k , k  . D. 1
D     k ,k  .  6 3 3   6 3 3 
Câu 18. Tập xác định của hàm số y  sin x   1 là A.  . B.  \{1}.  C. 
 \   k2 | k    . D.  \{k}.  2  
Câu 19. Tập xác định của hàm số x 1 y  sin là x 1 A.  \  1 . B.  1  ;  1 .   C.  
 \   k2 | k    .
D.  \   k | k  .  2   2 
Câu 20. Hàm số nào sau đây có tập xác định  . 2  cos x A. y  . B. 2 2 y  tan x  cot x . 2  sin x 2  3 C. 1 sin x sin x y  . D. y  . 2 1 cot x 2cos x  2 1 cos x
Câu 21. Tập xác định của hàm số y  là 2 cos x  A. 
D   \   k2 , k    . B. D   .  2   C. 
D   \   k ,k   .
D. D   \k ,k .  2 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 21
Câu 22. Tập xác định của hàm số cot x y  là cos x  A. k x   k . B. x  k2 . C. x  k . D. x  . 2 2
Câu 23. Chọn khẳng định sai
A. Tập xác định của hàm số y  sin x là  .  
B. Tập xác định của hàm số y  cot x là D   \   k,k   .  2 
C. Tập xác định của hàm số y  cos x là  .  
D. Tập xác định của hàm số y  tan x là D   \   k,k   .  2 
Câu 24. Khẳng định nào sau đây sai?
A. y  tan x là hàm lẻ. B. y  cot x là hàm lẻ.
C. y  cos x là hàm lẻ. D. y  sin x là hàm lẻ.
Câu 25. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn A. x y  sin 3x . B. y  . x cos x . C. y  cos x. tan 2x . D. tan y  . sin x
Câu 26. Cho hàm số f  x  cos2x và g  x  tan3x , chọn mệnh đề đúng
A. f x là hàm số chẵn, g  x là hàm số lẻ.
B. f  x là hàm số lẻ, g  x là hàm số chẵn.
C. f  x là hàm số lẻ, g  x là hàm số chẵn.
D. f  x và g  x đều là hàm số lẻ.
Câu 27. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số 2
y  x cos x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y  sin x  x  sin x + x là hàm số lẻ. C. Hàm số sin x y  là hàm số chẵn. x
D. Hàm số y  sin x  2 là hàm số không chẵn, không lẻ.
Câu 28. Trong các hàm số sau:
(1) y  cot 2 x; (2) y  cos(x   ); (3) y  1  sin x; (4) 2016 y  tan . x
Có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó? A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 29. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ? A. cos x y  2 x  cos x . B. y  cos 3x . C. 2 y  x sin  x  3 . D. y  . 3 x
Câu 30. Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ? A. sin x  tan x y  . B. y  tan x  cot x . 2 2 cos x
C. y  sin 2x  cos 2 x . D. 2 y  2 sin 3x .
Câu 31. Trong các hàm số dưới đây: (1) y  cos3x ; (2) y   2 sin x   1 ; (3) 2
y  tan x ; (4) y  cot x .
Có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 32. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 22 A. x  y  sin x . B. y  x  1. C. 2 y  x . D. 1 y  . x  2
Câu 33. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? 2 x 1 A. y  sin x  x . B. y  cos x . C. y  x sin x D. y  . x
Câu 34. Chu kỳ của hàm số y  sin x là A.  k 2 , k   . B. . C.  . D. 2 . 2
Câu 35. Chu kỳ của hàm số y  cos x là A. k2 . B. 2 . C.  . D. 2 . 3
Câu 36. Chu kỳ của hàm số y  tan x là A. 2 . B.  . C. k , k   . D.  . 4
Câu 37. Chu kỳ của hàm số y  cot x là A. 2 . B.  . C.  . D. k , k   . 2
Câu 38. Hàm số y  cos x đồng biến trên đoạn nào dưới đây:    A. 0;  . B. ;2. C.    ;. D. 0;. 2      
Câu 39. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0; 
 khác với các hàm số còn lại ?  2  A. y  sin x . B. y  cos x . C. y  tan x . D. y   cot x .
Câu 40. Hàm số y  tan x đồng biến trên khoảng:        3   3   A. 0;   . B. 0;  . C. 0;   . D.  ;   .  2  2     2   2 2    
Câu 41. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng 0;   ?  2  A. y  sin x . B. y  cos x . C. y  tan x . D. y   cot x .   3 
Câu 42. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ;   ?  2 2  A. y  sin x . B. y  cos x . C. y  cot x . D. y  tan x .
Câu 43. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin 2x  5 lần lượt là A. 8 và  2 . B. 2 và 8 . C. 5 và 2 . D. 5 và 3 .
Câu 44. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x 3 1 lần lượt là A. 2 à v 2. B. 2 và 4 . C. 4 2 à v 8. D. 4 2 1  à v 7.
Câu 45. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y sin x4sin x5 là A. 2  0. B. 8  . C. 0. D. 9.
Câu 46. Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y 12cosxcos x là A. 2. B. 5. C. 0. D. 3.
Câu 47. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2  3sin 3x
A. min y  2; max y  5
B. min y  1; max y  4
C. min y  1; max y  5
D. min y  5; max y  5
Câu 48. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 y 14sin 2x
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 23
A. min y  2; max y  1
B. min y  3; max y  5
C. min y  5; max y  1
D. min y  3; max y  1
Câu 49. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau  y  2 cos(3x  )  3 3 A. min y  2 , max y  5 B. min y  1 , max y  4 C. min y  1 , max y  5 D. min y  1 , max y  3
Câu 50. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 y  3  2sin 2x  4
A. min y  6 , max y 4 3
B. min y  5 , max y  42 3
C. min y  5 , max y  43 3
D. min y  5 , max y 4 3.
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC
I. Phương trình sinx = m (1)
 Nếu m  1 thì phương trình (1) vô nghiệm
 Nếu m  1, đặt m  sin . x    o k360
Khi đó : sin x  sin   , k   x  o 180    o k360
(nếu  được cho bằng độ) x    k2 hay sin x  sin  , k    x      k2
(nếu  được cho bằng radian) x  arcsin(m)  k2
Lưu ý : Với m  1 thì sin x  m   , k  
x    arcsin(m)  k2
II. Phương trình cosx = m (2)
 Nếu m  1 thì phương trình (2) vô nghiệm
 Nếu m  1, đặt m  cos . x    o k360
Khi đó : cosx  cos   k  x    o k360
(nếu  được cho bằng độ) x    k2 hay cosx  cos  k   x    k2
(nếu  được cho bằng radian) x  arccos(m)  k2
Lưu ý : Với m  1 thì cosx  m   , k  
x  arccos(m)  k2 III. Phương trình tanx = m  Điều kiện : x    k , (k  ) 2
tanx = tan  x =  + k , (k  )
(nếu  được cho bằng radian)
Hay : tanx = tanao  x = ao + k180o , (k  )
Lưu ý : Với m   thì tan x  m  x  arctan(m)  k , k   IV. Phương trình cotx = m
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 24
Điều kiện : x  k , (k  )
cotx = cot  x =  + k , (k  )
(nếu  được cho bằng radian)
Hay : cotx = cotao  x = ao + k180o , (k  )
Lưu ý : Với m   thì cot x  m  x  arccot(m)  k , k  
 Các giá trị arcsin(m), arcos(m) (với m  1), arctan(m) và
arccot(m) là những số thực. Do vậy ta không viết o arctan1  45  mà nên viết arctan1  . 4
 Khi giải phương trình lượng giác, ẩn x có thể là số đo rađian hoặc số đo độ.
Do vậy sử dụng kí hiệu số đo trong "công thức nghiệm” nên thống nhất.
Chẳng hạn, phương trình o 3 sin(x  20 )  có nghiệm o o
x  40  k360 , chứ không nênviết 2 o x  40  k2
 Quy ước rằng nếu không có giải thích gì thêm hoặc trong phương trình lượng giác không sử
dụng số đo là độ thì mặc nhiên ẩn số là số đo rađian của góc lượng giác.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Phương trình cơ bản và các phương trình đặc biệt
Các phương trình cơ bản u  v  k2 u  v k2 ① sinu sinv    ,k  .  u   v  k2  ② cosu  cosv  ,k  .     u  v  k2   
③ tan u  tan v  u  v  k ,k   với điều kiện u  k ,  k   v  k k   2 hoặc , . 2
④ cotu  cotv  u  v  k ,k   với điều kiện u  k ,k   hoặc v  k ,k  .
Các phương trình đặc biệt  ⑤ sinu  1  u  k2 ,  k  . 
u   u  k  k   2 ⑧ cos 1 2 , .  ⑥ sinu  1   u   k2 ,  k  . 
u    u    k  k   2 ⑨ cos 1 2 , . 
⑦ sin u  0  u  k ,k  . ⑩ cosu  0  u  k ,  k  .  2
Chú ý nếu phương trình cho đơn vị độ thì đổi  là 180.    2  
1. Giải phương trình sin2x    .   1
2. Giải phương trình cos 2  x      .  3  2  3 2
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 25
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................   3. Giải phương trình 1 tan x   .
4. Giải phương trình 3 cot 2  x     1. 3  6
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................   5. Giải phương trình o 2 cos(2x 15 )   .
6. Giải phương trình sin  x  1. 2 4 
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................     3 
7. Giải phương trình tan x  2  . 
8. Giải phương trình sin2x    cosx . 3   4 
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 26
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................    
9. Giải phương trình cos 3x  cos x        0.   
10. Giải phương trình tan2x.cot x      1. 3  6
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................   1
11. Giải phương trình sin2x  cos  x  0.  sinx.cosx  . 6  12. Giải phương trình 4
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 27
.....................................................................
..................................................................... 13. Giải phương trình 2 1 cos 2x  . x   2 14. Giải phương trình   1 sin 2 1 . 2
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
15. Giải phương trình sin3x cotx  0. 2cos2x
..................................................................... 16. Giải phương trình  0. 1sin2x
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Giải các phương trình sau :
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 28         
a) sin2x    sin  x sin2x   cosx  3   6  ; c)  6  ; b)  o 3 sin(x 20 )   ;   d) tan2x   0 2  3 .
BT 2. Giải các phương trình sau :   
d) 1  cos 4xtan x  cot x   4 ; a) tan2x  tanx    4 ;  
e) tan2x  cotx    0 b) tanx  cot x  2 ;  3  . c) 3  3 1 cos x.sinx sin x.cosx  8;
BT 3. Giải các phương trình sau :     a) tan2x   0 tanxcot2x   0  3 ; c)  4  .  
b) tan2x  tanx    0  3  ; D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1  
Câu 1. Phương trình sin x  có nghiệm thỏa mãn   x là 2 2 2 5    A. x   k2 B. x  . C. x  2 k  . D. x  . 6 6 3 3 3
Câu 2. Số nghiệm của phương trình sin 2x 
trong khoảng 0;3  là 2 A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 .   
Câu 3. Số nghiệm của phương trình: sin x  1   với   x  5 là  4  A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 1
Câu 4. Phương trình sin2x  có bao nhiêu nghiệm thõa 0  x   . 2 A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 .   
Câu 5. Số nghiệm của phương trình sin x  1   với   x  3 là  4  A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3.
Câu 6. Phương trình 2 sin 2x 40 
  3 có số nghiệm thuộc  180;180  là A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 .   
Câu 7. Số nghiệm của phương trình: 2 cos x  1   với 0  x  2 là  3  A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 29  x  
Câu 8. Số nghiệm của phương trình cos   0  
thuộc khoảng ,8 là  2 4  A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 9. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos(x   ) 1 3 trên (; ) 2  4 7 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
Câu 10. Phương trình mcos x 1  0 có nghiệm khi m thỏa điều kiện m   1  m  1 A. . B. m  1. C. m 1  . D. m    1 m   1 
Câu 11. Phương trình cos x  m 1 có nghiệm khi m là A. 1   m 1. B. m  0. C. m  2  . D.  2   m 0 .
Câu 12. Cho phương trình: 3cosxm 1
 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm A. m 1   3. B. m 1   3. C. 1 3  m1 3. D.  3  m 3 .   
Câu 13. Cho phương trình cos 2x   m  2  
. Tìm m để phương trình có nghiệm?  3  A. Không tồn tại m. B. m   1  ;  3 . C. m 3  ;  1 . D. mọi giá trị của m.  x  
Câu 14. Để phương trình 2 cos   m   có nghiệm, ta chọn  2 4  A. m  1. B. 0  m  1 . C. 1   m 1. D. m  0.
Câu 15. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x  cos 5x  0 theo thứ tự là    2 A. x   ; x  . B. x   ; x  . 18 2 18 9     C. x   ; x  . D. x   ; x  . 18 6 18 3  
Câu 16. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x )  cos(2x ) 3 3 trên [0; ] 7 4 47 47 A. 18 B. 18 C. 8 D. 18
Câu 17. Trong nửa khoảng 0;2  , phương trình cos 2x  sin x  0 có tập nghiệm là    5      7 11   5 7   7 11  A.  ; ; . B.  ; ; ; . C.  ; ;  . D.  ; ; . 6 2 6   6 2 6 6   6 6 6   2 6 6 
Câu 18. Số nghiệm của phương trình sin x  cos x trong đoạn    ; là
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 30 A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. x
Câu 19. Nghiệm của phương trình 3tan  3 0 trong nửa khoảng 0;2  là 4  2  3   3   2  A.  ;  . B.   . C.  ;  . D.   .  3 3   2   2 2   3 
Câu 20. Nghiệm của phương trình 0 tan(2x 1  5 ) 1  , với 0 0 90  x  90 là A. 0 x  30 B. 0 x  60 C. 0 x  30 D. 0 x  60 , 0 x  30 3  
Câu 21. Số nghiệm của phương trình tan x  tan trên khoảng ;2 11    4  A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 22. Phương trình nào tương đương với phương trình 2 2 sin x  cos x  1  0 . A. cos 2x  1. B. cos 2x  1  . C. 2 2 cos x  1  0 . D. 2 (sinxcos ) x 1  . Câu 23. Phương trình 2
3  4 cos x  0 tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 1 1 A. cos2x  . B. cos2x  . C. sin2x  . D. sin2x  . 2 2 2 2 sin3x
Câu 24. Số nghiệm của phương trình 0   là cosx 1  thuộc đoạn [2 ; 4 ] A. 2. B. 6. C. 5. D. 4.
Câu 25. Tìm số nghiệm x  0;14 
 nghiệm đúng phương trình: cos 3x  4 cos 2x  3cos x  4  0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A. KIẾN THỨC
I – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at  b  0, (1) trong đó a ,b là các hằng số a  0 và t là một trong các hàm số lượng giác. 2. Cách giải
Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.
II - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 2
at bt c  0, trong đó a,b,c là các hằng số a  0 và t là một trong các hàm số lượng giác.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 31 2. Cách giải
Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo
ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
3. Phương tình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Hãy nhắc lại :
a) Các hằng đẳng thứa lượng giác cơ bản ; b) Công thức cộng ;
c) Công thức nhân đối ;
d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
III - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinu và co s u
1. Công thức biến đổi biểu thức a sinu b cosu
Trong trường hợp tổng quát, với 2 2 a b  0, ta có   2 2 sin  cos  a    sin b a u b u a b u  cosu  .  2 2 2 2  a b a b  2 2     Vì  a     b       nên có một góc      1  sao cho 2 2     2 2 a b   a  b  a  cos , b  sin . 2 2 2 2 a  b a  b Khi đó 2 2 a u  b u  a  b  u   u  2 2 sin cos sin cos cos sin
 a  b sin u   (*)    
Đặc biệt, sinu  cosu  2 sin u          và 
sin u  cos u  2 sin u    .  4   4 
2. Phương trình dạng a sinu b cosu  c
Xét phương trình a sinu b cosu  c (4.0) với a,b,b  ;a,b không đồng thời bằng 0  2 2 a  b  0.
Nếu a  0,b  0 hoặc a  0,b  0 , phương trình (4.0) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác
cơ bản. Nếu a  0,b  0 , ta áp dụng công thức (*).
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Phương trình bậc nhất và phương trình đưa được bậc nhất đối với một hàm số lượng giác A   0 . AB 0 
  B  0 trong đó ,AB là các phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác. 
1. Giải phương trình 3cosx  5  0.
2. Giải phương trình 3cotx 3  0.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 32
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Giải phương trình 5cosx 2sin2x  0.
4. Giải phương trình 8sinx cosx cos2x  1  .
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Phương trình bậc hai và phương trình được về bậc hai đối với một hàm số lượng giác Với u  u x.
① Đặt t  sinu hoặc t  cosu thì 1   t  1.
② Phương trình dạng a tanu b cotu c  0 (2)
Điều kiện của phương trình (2) là cosu  0 và sinu  0 . 1
Vì cotu  tanu nên phương trình (2) có thể viết dưới dạng b 2 a tanu 
c  0 a tan u c tanu b  0. tanu
Ta đưa được phương trình (2) về phương trình bậc hai theo hàm số tan . u
③ Phương trình đẳng cấp bậc hai (toàn phương) đối với sinu và c o s u là phương trình có dạng 2 a u  b u u  2 sin sin . cos c cos u  d (3) 2 sin u sinu cosu d CHÚ Ý : 2  tan u;  tan ; u  d  2 1  tan u . 2 2 2  cos u cos u cos u
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 33 Cách giải :
Nếu cosu 0 thì phương trình (3) có hai khả năng sau : 
 Khả năng 1 : a  d đúng thì u  k ,  k   2
thoả phương trình (2). Giải tìm nghiệm x .
 Khả năng 2 : a  d sai thì cosu 0.
Xét cosu 0, chia hai vế phương trình (3) cho 2 cos , u ta được 2 d 2 a tan u b tanu c 
 a tan u b tanu c  d 2 1 tan u . 2  cos u
Ta đưa được phương trình (3) về phương trình bậc hai theo tan . u LƯU Ý :
Ta có thể đưa phương trình (2) về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos2x như sau : u u 1 2 1 cos2 sin u   u   sinu cosu  sin2 . u 2 ; 2 1 cos2 cos ; 2 2
Khi đó phương trình (2) trở thành Asin2u B cos2u C.
Đây là dạng phương trình cổ điển ta xét ở phần tiếp theo.
④ Các phương trình dạng a sinu b cosu  c (4.0) 2 2
a sinu b cosu  a b sinv hoaëc 2 2
a sinu b cosu  a b cosv (4.1)
a sinu b cosu  a sinv b cosv (4.2) Dùng công thức 2 2 a u  b u  a  b  u   u   2 2 sin cos sin cos cos sin
 a  b sin u   để
biến đổi các phương trình. 1. Giải phương trình
2. Giải phương trình 2 tanx  cotx  3.
..................................................................... 2 2sin x 2 sin x  2  0. 2 2
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 34
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 3. Giải phương trình 2
4 sin x  8 cos x  7  0.
4. Giải phương trình cos2x  sinx  2  0.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 4 6. Giải phương trình 4 3 sin x  cos 2x  2. 5. Giải phương trình  tanx  7. 2 cos x
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 35
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 7. Giải phương trình 8. Giải phương trình 4 4 3
sin x  2 cos x  sin x . cos x  1. 2 2 sin x  x  x 1 sin2 2cos  . 2
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
9. Giải phương trình sinx  3 cosx  2.
10. Giải phương trình sinx cosx  2 sin2 . x
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 36
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 11. Giải phương trình 12. Giải phương trình 3sin3x cos3x  2cos . x
3cos5x 2sin3x cos2x sinx  0.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Giải các phương trình sau : a) 2
2 sin x  sin x  1  0 ;   5 a) 2  2
sin x 3 cos x  3 sin x  1 Đáp số : x  k  2 ; x   k2 6 6 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 37   7 b) cos2x  3sinx 1  0
Đáp số : x   k  2 ; x   k2 6 6   c) 2
4 cos x  2 cos 2x  1  cos 4x Đáp số : x  k 2        
d) sinx   sin2x   1 x    k  2 ; x   k  2  3   6  Đáp số :  6 2 
BT 2. Giải các phương trình sau :  a) 2  4 1 sin x cos x  x    k  2 4 Đáp số :  4  b) 4   6 cos x cos 2 x 2 sin x  0 Đáp số : x  k     c) 4  4 3 sin x cos x  x  k 4 Đáp số :  8 4 2 cos4x   d)  4 4 sin x cos x 6 6 sin x cos x     x  k 8 Đáp số :  4 2
BT 3. Giải các phương trình sau :  1 a) 2   2 sin x 2 sin 2x 3 cos x  1 Đáp số : x    k ; x  arctan  k 2 2    b) 2   2
4 sin x sin 2 x 2 3 cos x  3 Đáp số : x    k ; x   k 3 12    c) 3
2 cos x  cos 2x  sin x  0 Đáp số : x  k  2 ; x    k 2 4  2 2 1 d) 3sinxcosxsin x  2   7
e) 3sin2x + 5cos2x – 2cos2x – 4sin2x = 0. Đáp số : x    k ; x   k 24 24 
BT 4. Giải các phương trình sau : 
a) cos7x.cos5x  3 sin2x  1 sin7x.sin5x
Đáp số : x  k ; x    k 3    2
b) sin 4x  cos3x  3(sin3x  cos4x)
Đáp số : x   k2 ; x   k 2 6 7    7 c) 2   2 sin x
3 sin 2x 3cos x  2(1 sin 4x)
Đáp số : x   k ; x    k 36 3 12      d) 4  4
4(sin x cos x)  3 sin 4x  2
Đáp số : x    k ; x   k 12 2 4 2    e)  4 sin4x 8cos x  4cos2x  4
Đáp số : x  k ; x   k 2 8 2
BT 5. Giải các phương trình sau : 
a) (1 2)(cosx  sin x)  sin2x 1 2  0
Đáp số : x  k2 ; x   k2 2     
b) sin2x  2.sin x    1 Đáp số : x    k ; x    k2 4   4   k c) 2     2
sin x cosx 12(sin x cosx sin 2x) sin x cos x  12 Đáp số : x   k ; x  4 2 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 38 3  3 sin x cos x 1  d)  sin 4x
Đáp số : x    k 4  2  sin2x 4 2
BT 6. Giải các phương trình sau : 2  
a) cosx  cos2x  cos3x  0
Đáp số : x    k2 ; x   k 3 4 2  2 
b) 1 cosx  cos2x  cos3x  0
Đáp số : x   k ; x   k 3 3 2     c) 2  2  2 sin x sin 2x sin 3x
Đáp số : x  k ; x   k 2 6 3 3 3 3 2  2  k
d) sin3xsin x  cos3x cos x  Đáp số : x    16 2  8      e) 2 2 sin x  cosx  1
Đáp số : x   k ; x   k 4 3   12 
TRÍCH MỘT SỐ CÂU ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG    
Câu 1: (A_2014) Giải phương trình : sin x  4 cosx  2  sin 2x ĐS : x     k2     3     
Câu 2: (B_2014) Giải phương trình : 2 sinx 2cosx  2  sin2x ĐS : 3 x     k2     4     
Câu 3: (A_2013) Giải phương trình : 1  tan x  2 2 sin x        4     ĐS : x     k ;x      k2    4 3       
Câu 4: (B_2013) Giải phương trình : 2 sin5x  2 cos x  1ĐS :  k2  k2 x    ;x        6 3 14 7   
Câu 5: (D_2013) Giải phương trình : sin 3x  cos2x  sin x  0     ĐS :    7
x   k ;x    k2 ;x     k2    4 2 6 6   
Câu 6: (A_2012) Giải phương trình : 3 sin 2x  cos2x  2 cos x 1     ĐS :  2 x   k ;x  k2 ;x      k2    2 3   
Câu 7: (B_2012) Giải phương trình : 2(cosx  3 sinx)cosx  cosx  3 sin x  1     ĐS : 2 2 x   k2 ;x  k      3 3   
Câu 8: (D_2012) Giải phương trình : sin 3x  cos 3x  sin x  cosx  2 cos 2x     ĐS :   7 x   k ;x    k2 ;x      k2    4 2 12 12       
Câu 9: (CĐ_2012) Giải phương trình : 2 cos2x  sinx  sin 3x ĐS : x    k  ;x    k2    4 2 2   
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 39
Câu 10: (A_2011) Giải phương trình : 1  sin 2x  cos 2x  2 sinx sin 2x ĐS : 2 1  cot x   x     k ;x     k2     2 4 
Câu 11: (B_2011) Giải phương trình : sin 2x cosx  sin x cosx  cos2x  sin x  cosx     ĐS : x 
  k2 ;x  x   k2 ;x        k2    2 3       
Câu 12: (D_2011) Giải phương trình : sin 2x  2 cos x  sin x 1  0 ĐS : x    k2   tanx  3  3 
Câu 13: (CĐ_2011) Giải phương trình : 2 cos 4x  12sin x 1  0 ĐS : x  k  
(1  sinx  cos2x)sin x        
Câu 14: (A_2010) Giải phương trình : 4 1  cosx 1  tanx 2     ĐS :  7 x    k2 ;x     k2    6 6 
Câu 15: (B_2010) Giải phương trình : (sin2x  cos2x)cosx  2 cos2x  sin x  0 ĐS :     x    k     4 2
Câu 16: (D_2010) Giải phương trình : sin 2x  cos2x  3sin x  cosx 1  0     ĐS :  5 x   k2 ;x     k2     6 6 
Câu 17: (CĐ_2010) Giải phương trình : 5x 3 4 cos
cos x  2(8 sinx 1)cosx  5 2 2     ĐS :  5 x   k ;x     k    12 12    (1 2sin x)cosx    
Câu 18: (A_2009) Giải phương trình :  3 ĐS : k2 x        (1  2sinx)(1 sin x)   18 3 
Câu 19: (B_2009) Giải phương trình : 3
sinx  cosx sin 2x  3 cos3x  2(cos 4x  sin x)     ĐS :   2 x    k2 ,x   k      6 42 7    D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 CỦA MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Nghiệm của phương trình 2
sin x – sin x  0 thỏa điều kiện: 0  x   .   A. x  . B. x   . C. x  0 . D. x   . 2 2 
Câu 2. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2sin x  3sin x 1  0 thỏa điều kiện 0  x  là 2     A. x  B. x  C. x  D. 5 x  3 2 6 6  
Câu 3. Nghiệm của phương trình 2
sin x  sin x  0 thỏa điều kiện:   x  . 2 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 40   A. x  0 . B. x   . C. x  . D. x  . 3 2
Câu 4. Trong 0; 2  , phương trình 2
sin x  1 cos x có tập nghiệm là         A.  ; ;2 . B. 0;  . C. 0; ; . D. 0; ;;2 .  2   2   2  
Câu 5. Nghiệm của phương trình 2
2sin x – 3sin x 1  0 thỏa điều kiện: 0  x  . 2     A. x  . B. x  . C. x  . D. x   . 6 4 2 2 
Câu 6. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2
2cos x  3sin x  3  0 thõa điều kiện 0  x  là 2     A. x  . B. x  . C. x  . D. 5 x  . 3 2 6 6
Câu 7. Nghiệm của phương trình 2
sin 2x  2sin 2x 1  0 trong khoảng    ;  là           A. 3      ;  . B. 3  ;  . C. 3  ; . D. 3  ;  .  4 4   4 4   4 4   4 4 
Câu 8. Giải phương trình lượng giác 4 2
4sin x 12 cos x  7  0 có nghiệm là      A. x    k2 . B. x   k . C. x   k . D. x    k . 4 4 2 4 4      Câu 9. Phương trình  5 cos 2 x   4cos  x      có nghiệm là  3   6  2         x    k2  x   k2  x    k2  x   k2  A. 6  . B. 6  . C. 3  . D. 3  .   3   5     x   k2     x   k2 x k2 x   k2  2  2  6  4  
Câu 10. Tìm m để phương trình  2
2sin x  2m 1 sinx  m  0 có nghiệm x   ;0   .  2  A. 1  m  0. B. 1  m  2. C. 1  m  0. D. 0  m  1.  
Câu 11. Nghiệm của phương trình 2
cos x  cos x  0 thỏa điều kiện: 3  x  . 2 2    A. x   . B. x  . C. 3 x  . D. 3 x   . 3 2 2 Câu 12. Phương trình 2 2
sin x  sin 2x  1 có nghiệm là      x   k  x   k  A. 2  (k   ) . B. 3 2  .     x    k  x    k  6  4    x   k  C. 12 3  . D. Vô nghiệm.   x    k  3
Câu 13. Họ nghiệm của phương trình 3tan 2x  2cot 2x 5  0 là     A.   k . B.  k . 4 2 4 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 41   C. 1 2  arctan  k . D. 1 2 arctan  k . 2 3 2 2 3 2
Câu 14. Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2
2 tan x  5 tan x  3  0 là     A.  . B.  . C.  . D. 5  . 3 4 6 6  
Câu 15. Số nghiệm của phương trình 
2 tan x  2cot x  3  0 trong khoảng  ;   là  2  A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
Câu 1. Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là     A. 5 x    k2 ; x   k2 . B. 3 x    k2 ; x   k2 . 12 12 4 4     C. 2 x   k2 ; x   k2 . D. 5
x    k2 ; x    k2 . 3 3 4 4
Câu 2. Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x  0 là     A. x   k2 . B. x   k2 . C. x   k . D. x   k . 6 3 6 3
Câu 3. Số nghiệm của phương trình sin x  cos x 1 trên khoảng 0;  là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  2 là     A. 5 x   k . B. 5 x   k2 . C. x    k . D. x   k2 . 6 6 6 6
Câu 5. Phương trình: 3.sin 3x  cos3x  1
 tương đương với phương trình nào sau đây:       A.  1 sin 3x      B. sin 3x       6  2  6  6     C.  1  sin 3x      D. 1 sin 3x      6  2  6  2
Câu 6. Với giá trị nào của m thì phương trình (m 1)sin x  cos x  5 có nghiệm. m 1 A. 3   m 1. B. 0  m  2 . C.  . D.  2  m  2 . m  3 
Câu 7. Điều kiện để phương trình msin x 3cos x  5 có nghiệm là m  4  A. m  4. B. 4   m  4 . C. m  34 . D.  . m  4
Câu 8. Cho phương trình:  2 m   2
2 cos x  2m sin 2x 1  0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là A. 1   m 1. B. 1 1   m  . C. 1 1   m  . D. | m |1 . 2 2 4 4 Câu 9. Tìm m để pt m 2 sin 2x  cos x  có nghiệm là 2
A. 1 3  m 1 3 . B. 1 2  m 1 2 . C. 1 5  m 1 5 . D. 0  m  2 .
Câu 10. Điều kiện có nghiệm của pt asin5x  bcos5x  c là
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 42 A. 2 2 2 a  b  c . B. 2 2 2 a  b  c . C. 2 2 2 a  b  c . D. 2 2 2 a  b  c .
Câu 11. Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vô nghiệm là m  6 A. m  6. B.  . C. m  6  . D. 6   m  6 . m  6
Câu 12. Điều kiện để phương trình 12sin x  mcos x 13 có nghiệm là m  5 A. m  5 . B.  . C. m  5  . D. 5  m  5 . m  5
Câu 13. Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x  1  3 vô nghiệm. m  5 A. m  5 . B.  . C. m  5  . D. 5  m  5 . m  5
Câu 14. Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  mcos x 10vô nghiệm. m  8 A.  . B. m  8 . C. m  8  . D. 8  m  8 . m  8
Câu 15. Tìm m để phương trình 5cos x  msin x  m 1 có nghiệm A. m  1  3 . B. m 12 . C. m  24. D. m  24.  
Câu 16. Tìm m để phương trình 2sinx  mcosx 1 m (1) có nghiệm x    ;  .  2 2  A.  3  m  1 B.  2  m  6 C. 1  m  3 D.  1  m  3
Câu 17. Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  1 có nghiệm. A. m  12 B. m  6 C. m  24 D. m  3
Câu 18. Phương trình mcos 2x  sin 2x  m  2 có nghiệm khi và chỉ khi  3   4   4  3  A. m   ;   . B. m   ;   . C. m  ;    . D. m  ;   . 4    3     3  4 
Câu 19. Phương trình sin x  cos x  2 sin 5x có nghiệm là       x   k  x   k  A. 4 2  , k   k     . B. 12 2 ,  .    x   k   x   k  6 3  24 3       x   k  x   k  C. 16 2  , k  . D. 18 2  , k  .       x   k  x   k  8 3  9 3
Câu 20. Phương trình sin 8x  cos 6x  3 sin 6x  cos8x có các họ nghiệm là         x   k  x   k  x   k  x   k  A. 4  . B. 3  . C. 5  . D. 8  .             x   k  x   k x   k x   k  12 7  6 2  7 2  9 3 Câu 21. Phương trình: 3
3sin3x  3 cos9x 1 4sin 3x có các nghiệm là   2   2 x    k  x    k  A. 6 9  . B. 9 9  . 7   2 7   2 x   k  x   k  6 9  9 9
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 43   2     x    k  x    k  C. 12 9  . D. 54 9  . 7   2   2 x   k  x   k  12 9  18 9 Câu 22. Phương trình 3 1 8cos x   có nghiệm là sin x cos x             x    k x    k x    k x    k A. 16 2  . B. 12 2  . C. 8 2  . D. 9 2  . 4    2 x     x   k x     k x   k k  3  3  6  3
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN Câu 1. Phương trình 2 2
2sin x  sin x cos x  cos x  0 có nghiệm là   A.  k ,   k  . B. 1  k ,arctan  k , k  . 4   4  2    C.  1      k ,arctan  k    , k  . D. 1   k2 ,arctan  k2    , k  . 4  2  4  2    Câu 2. Trong khoảng  0 ; ,   phương trình 2 2 sin 4x  3.sin 4 .
x cos4x  4.cos 4x  0có:  2  A. Ba nghiệm. B. Một nghiệm. C. Hai nghiệm. D. Bốn nghiệm. Câu 3. Phương trình 2 2
2cos x 3 3 sin 2x  4sin x  4  có họ nghiệm là   x   k   A. 2  , k  .
B. x   k2 , k  .   2 x   k  6  
C. x   k , k  .
D. x   k , k  . 6 2
Câu 4. Giải phương trình 2 2
cos x  3 sin 2x 1 sin x  1  2 x  k 2 x  k   x  k   x  k A.   B. 2 C. 3  D.     x   k2  1   2 x   k   3 x   k  x   k    3 3 2  3 3
Câu 5. Giải phương trình 2 2
2 cos x  6sin x cos x  6sin x  1   1  2  1  2 A. 
x    k2; x  arctan   k2  
B. x    k ; x  arctan   k    4  5  4 3  5  3  1  1  1   1 C. 
x    k  ; x  arctan   k    D. x     k ; x  arctan   k   4 4  5  4 4  5 
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN 1
Câu 1. Phương trình sin x  cos x 1 sin 2x có nghiệm là 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 44      x   k  x   k  A. 6 2  , k  . B. 8  , k  .     x  k  x  k  4  2     x   k x   k2 C.  4 , k   , k    . D. 2   . x  k x  k2
Câu 2. Giải phương trình sin 2x 12sin x  cos x 12  0   A. x   k , x     k2 B. 2 x   k2 , x     k  2 2 3   C. 1 2 x   k  , x     k  D. x   k2 , x     k2 2 3 3 2  
Câu 3. Giải phương trình  sin 2x  2 sin x  1    4     
A. x   k , x   k , x    k2 B. 1 1 1 x 
 k  , x   k  , x    k  4 2 4 2 2 2 2     C. 2 2 x 
 k  , x   k  , x    k2
D. x   k , x   k2 , x    k2 4 3 2 3 4 2
Câu 4. Giải phương trình cos x  sin x  2sin 2x  1     A. 3  k x B. 5  k x C. 7  k x D.  k x 2 2 2 2
Câu 5. Giải phương trình 3 3 cos x  sin x  cos 2x    
A. x    k2 , x    k , x  k B. 2
x    k  , x    k , x  k 4 2 4 3 2     C. 1 2 x  
 k  , x    k  , x  k2
D. x    k , x    k2 , x  k2 4 3 2 3 4 2
Câu 6. Giải phương trình 3 3
cos x  sin x  2sin 2x  sin x  cos x    A. 3  k x B. 5  k x C. x   k D.  k x 2 2 2
Câu 7. Cho phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  0 , trong đó m là tham số thực. Để phương
trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là 1 1 1 1 A. 2   m    2 . B.   2  m 1. C. 1 m   2 . D.  2  m  2 . 2 2 2 2
Câu 8. Phương trình 2sin 2x  3 6 sin x  cos x 8  0 có nghiệm là   x   k    x   k A. 3  , k  . B.  4 , k  . 5    x   k       x 5 k  3     x   k  x   k  C. 6  , k  . D. 12  , k  . 5   5 x   k      x k  4  12
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 45
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH
Câu 1. Phương trình  cosx  2 cos x  cos x  2 1 3
sin x  0 tương đương với phương trình. A. cosxcosx  co 3 s x  0. B. cosxcosx  co 2 s x  0. C. sinxcosx  co 2 s x  0 . D. cosxcosx  co 2 s x  0 .    Câu 2. Số nghiệm thuộc 69  ; 2 
 của phương trình 2sin 3x 1 4sin x  0 là 14 10  A. 40 . B. 34. C. 41. D. 46 .
Câu 3. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  x  x  x 2 2sin cos 1 cos  sin x là  5  A. x  B. x  C. x   D. x  6 6 12
Câu 4. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sin x  2 2 sin x cos x  0 là 3   A. x  B. x  C. x  D. x   4 4 3 Câu 5. Tìm số nghiệm trên khoảng (; ) của phương trình: 2
2(sinx  1)(sin 2x  3sinx  1)  sin4 . x cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 6. Phương trình sin 3x  cos 2x  1  2 sin x cos 2x tương đương với phương trình sin x  0    sin x 0 sin x  0 sin x  0 A.  1 . B. . C. . D.  .    1 sin x  sin x  1 sin x  1  sin x    2  2
Câu 7. Giải phương trình 3 3 cos x sin x  cos 2x .    
A. x  k2, x   k , x   k .
B. x  k2 , x   k   , x   k2 . 2 4 2 4    
C. x  k2 , x   k   , x   k .
D. x  k , x   k , x   k . 2 4 2 4
Câu 8. Giải phương trình 1 sin x  cos x  tan x  0 .  
A. x    k2, x   k , k  .
B. x    k2 , x    k2 , k  . 4 4  
C. x    k2 , x   k2 , k  .
D. x    k2 , x    k , k  . 4 4
Câu 9. Phương trình 2 sin x  cot x  1 2 sin 2x tương đương với phương trình 2sin x  1  2sin x  1 A.  . B.  .
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0 2sin x  1  2sin x  1 C.  . D.  .
sin x  cos x  2sin x cos x  0
sin x  cos x  2sin x cos x  0
Câu 10. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2
sin x  sin2x  cos x  2cos x là  2   A. . B. . D. 6 3 . C. 4 3 .
Câu 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2
2 cos x  cos x  sin x  sin 2x là?    2 A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 6 4 3 3
Câu 12. Phương trình sin 3x  cos 2 x  1  2 sin x cos 2x tương đương với phương trình:
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 46 sin x  0 sin x  0 sin x  0 sin x  0 A.  . B. . C.  . D.  . sin x  1  1 1  sin x  1  sin x  sin x    2  2 Câu 13. Phương trình 4 6
cos x  cos2x  2sin x  0 có nghiệm là    A. x    k . B. x   k . C. x  k . D. x  k 2 . 2 4 2 Câu 14. Phương trình:  x  x  x  x  2 sin sin 2 sin sin 2
 sin 3x có các nghiệm là     x   k x   k  2 x  x  k3 A. 3 k  . B. 6 . C.  . D. .   3     x  k2   x  x  x  k  k k  2  4 Câu 15. Phương trình 2 2 2 2
sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x có các nghiệm là     x   k x   k     x  x  A. 12 k k  . B. 9 . C.  . D.  .   6 3     x   x  k x  k   k x  k 2  4  2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP
Câu 1. Số nghiệm phương trình x π x 2 2 2 sin (  ).tan x cos
= 0 với x 0; là 2 4 2 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3.
Câu 2. Cho phương trình: sinx + sin2x = cosx + 2cos2x nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là A.  . B.  . C.  . D. 2 . 6 4 3 3
Câu 3. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình: 1
sinxsin 2 xsin 3 x  sin 4x là 2 A.   . B.   . C.   . D.   . 2 3 6 8 Câu 4. Phương trình π kπ
(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x sinx = 0 có nghiệm x = + k ,n   . 4 n Khi đó giá trị n là A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 8 .
Câu 5. Số nghiệm trên 0;2 của phương trình: sinxcosxsin c x osx 1 0 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos²x + cosx = sinx + sin2x là? A. x =  . B. x =  . C. x =  . D. x = 2 . 6 3 4 3
Câu 7. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos²x cosx  sinx sin2x là? A.     x  . B. x  . C. x  . D. 2 x  6 3 4 3
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 47
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 – Chương 2 TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Chương này cung cấp những kiến thức cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và Lí thuyết xác suất.
Phần thứ nhất bao gồm quy tắc cộng và quy tắc nhân, các khái niệm, các công thức về hoán vị,
chỉnh hợp và tổ hợp. Các bài toán này thường gặp trong Toán ứng dụng. Ngoài ra, công thức khai
triển nhị thức Niu-tơn và các áp dụng của nó cũng được trình bày.
Phần tiếp theo cung cấp những khái niệm mở đầu và các công thức đơn giản nhất của Lí thuyết
xác suất, một lĩnh vực quan trọng của Toán học, có nhiều ứng dụng thực tế. § 1. QUY TẮC ĐẾM A. KIẾN THỨC
Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n  
A . Người ta cũng dùng kí hiệu A để chỉ số phần tử của tập . A
a) Nếu A  a, ,bc thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n   A  3 hay A  3.
b) Nếu A  1,2,3,4,5,6,7,8,9,B  2,4,6,8, thì A \ B  1,3,5,7,  9 .
 Số phần tử của tập hợp A là n   A  9.
 Số phần tử của tập hợp B là n B  4.
 Số phần tử của tập hợp A \ B là n A \ B  5. I – QUY TẮC CỘNG QUY TẮC
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m
cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của
hành động thứ nhất thì công việc đó có m  n cách thực hiện.
Quy tắc cộng được phát hiện ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu
hạn không giao nhau, được phát biểu như sau :
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì n A  B  n  A  n B. CHÚ Ý
Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động. II – QUY TẮC NHÂN QUY TẮC
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 48
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n
cách hoàn thành công việc. CHÚ Ý
Quy tắc nhân có thể được mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Dùng các quy tắc cộng và nhân 1. Các thành phố ,
A B,C,D được nối với nhau
3. Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số
bởi các cong đường như hình dưới. Hỏi : bất kì ?
a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua
..................................................................... B và C chỉ một lần ?
.....................................................................
b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay
..................................................................... lại A ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
2. Có bao nhiêu số tự nhiên :
a) có ba chữ số bất kì ;
.....................................................................
b) có ba chữ số khác nhau đôi một ;
.....................................................................
c) có ba chữ số khác nhau đôi một và số đó
..................................................................... là số chẵn ;
d) có ba chữ số khác nhau đơi một và số đó
..................................................................... chia hết cho 5.
.....................................................................
..................................................................... 4. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn
..................................................................... 1000 ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 49
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. a/ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện : ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy
bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ôtô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có
bao nhiêu sự lựa chọn phương tiện để đi từ A tới B ?
b/ Từ A đến B có 4 con đường để đi ; từ B đến C có 5 con đường để đi. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn đường đi từ A đến C (qua B) ? Đáp số: a/20, b/20
BT 2. a/ Hùng có hai đôi giày và ba đôi dép. Hỏi Hùng có bao nhiêu sự lựa chọn (một đôi giày hoặc
một đôi dép để mang) ?
b/ Hùng có 2 quần tây và 3 áo sơ mi. Hỏi Hùng có bao nhiêu cách để chọn một bộ quần áo? Đáp số: a/ 5, b/ 6
BT 3. Một đội văn nghệ có 6 nam và 7 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a/ Một đôi song ca nam – nữ ?
b/ Một bạn để biểu diễn đơn ca ? Đáp số: a/ 42, b/ 13
BT 4. Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa). Hỏi
có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ? Đáp số:12
BT 5. Một lớp học có 26 học sinh nam và 19 học sinh nữ.
a/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn phụ trách quỹ lớp ?
b/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một bạn nam và một bạn nữ phụ trách phong trào ?
c/ Lớp có bao nhiêu cách lựa chọn một ban cán sự lớp gồm ba người : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó
phụ trách kỷ luật và một lớp phó phụ trách học tập với điều kiện lớp trưởng phải là một bạn
nữ và lớp phó kỷ lật phải là một bạn nam ? Đáp số: a/ 45, b/ 26.19, c/ 19.26.43
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 50
BT 6. Trên giá sách có 9 quyển sách tiếng Việt (khác nhau), 5 quyển sách tiếng Hoa (khác nhau) và 16
quyển sách tiếng Anh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn a/ Một quyển sách ?
b/ Ba quyển sách với ba thứ tiếng khác nhau ? Đáp số: a/ 30, b/ 720
BT 7. Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc. Tính số cách chọn ra một người đàn ông và một người đàn bà trong
bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho :
a/ Hai người đó là một cặp vợ chồng ?
b/ Hai người đó không là vợ chồng ? Đáp số: a/10, b/90
BT 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? Đáp số:20
BT 9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên a/ Có hai chữ số ?
b/ Có hai chữ số khác nhau ? Đáp số:a/ 42, b/ 36
BT 10. Từ các chữ số 2, 3, 4, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ? Đáp số:30
BT 11. Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8}. Từ các phần tử của tập X có thể lập bao nhiêu số tự nhiên
trong các trường hơp sau :
a/.Số đó có 3 chữ số.
b/ Số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
c/ Số đó là số chẵn và có 4 chữ số khác nhau từng đôi một. Đáp số:a/ 512, b/ 1680, c/840
BT 12. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A
mà không có đường nào đi hai lần ? Đáp số : 20
BT 13. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau Đáp số : 3024
BT 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1? Đáp số : 2580480
BT 15. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. Đáp số : 54
BT 16. Có bao nhiêu ước nguyên dương của 360 ? Đáp số : 24
BT 17. Trong 100 000 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số chứa một chữ số 3, một chữ số 4, và
một chữ số 5 ? Đáp số : 2940
§ 2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A. KIẾN THỨC I – HOÁN VỊ 1. Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA
Cho tập A gồm n phần tử ( n  1 ).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. NHẬN XÉT
Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. 2. Số các hoán vị
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 51
Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí sau đây. n ĐỊNH LÍ P  n(n 1)2.1. n
Chứng minh. Để lập được mọi hoán vị của n phần tử, ta tiến hành như sau :
Chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất. Có n cách.
Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất, có n  1 cách chọn một phần tử cho vị trí thứ hai. …
Sau khi đã chọn n  2 phần tử cho n  2 vị trí đầu tiên, có hai cách chọn một trong hai phần tử còn
lại để xếp vào vị trí thứ n  1.
Phần tử còn lại sau cùng được xếp vào vị trí thứ n.
Như vậy, theo quy tắc nhân, có n.n  12.1 kết quả sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho.
Vậy P  n n  12.1  n CHÚ Ý Kí hiệu n n  
1 2.1 là n ! (đọc là n giai thừa), ta có P  n ! n II – CHỈNH HỢP 1. Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử ( n  1 ).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng
theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp Kí hiệu k
A là số các chỉnh hợp chập hợp chập k của n phần tử 1  k  n. n ĐỊNH LÍ k A  n n   n  k  n  1  1.
Chứng minh. Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau :
Chọn một trong n phần tử đã cho vào vị trí thứ nhất. Có n cách.
Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n  1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ hai. Có n  1 cách. …
Sau khi đã chọn k 1 phần tử rồi, chọn một trong n  k  1 phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k . Có n k  1 cách.
Từ đó theo quy tắc nhân, ta được k
A  n n   n  k   n  1  1.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 52 CHÚ Ý
a) Với quy ước 0!  1, ta có k n ! A  1  k  n. n n k ,!
b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy n P  A . n n III – TỔ HỢP 1. Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA
Cho tập A gồm n phần tử ( n  1 ).
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. CHÚ Ý
Số k trong định nghĩa cần thoả mãn điều kiện 1  k  n. Tuy vậy, tập hợp không có phần
tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. 2. Số các tổ hợp Kí hiệu k
C là số các tổ hợp chập k của n phần tử 0  k  n. n ĐỊNH LÍ k n ! C  n k n k . ! !
Chứng minh. Với k  0, công thức hiển nhiên đúng.
Với k  1, ta thấy một chỉnh hợp chập k của n phần tử được thành lập như sau :
 Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử. Có k C cách chọn. n
 Sắp thứ tự k phần tử chọn được. Có k ! cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là k k A  C .k ! n n k A Từ đó k n n ! C    n k k n k . ! ! !
3. Tính chất của các số k C n a) Tính chất 1 k n k C C   0  k  n. n n
b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan)
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 53 k 1  k k C C  C 1  k  n. n 1  n 1  n
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
1. a) Hãy liệt kê 5 hoán vị của tập hợp A = {a ; b 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho ; c ; d}.
mười người khách vào mười ghế kê thành
b) Hãy liệt kê 5 chỉnh hợp chập 3 của các một dãy ? phần tử {a ; b ; c ; d}.
.....................................................................
c) Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 2 của tập
..................................................................... hợp A = {a ; b ; c, d}.
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 4. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn
được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm :
3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự
a) 5 chữ số khác nhau đôi một ?
nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi :
b) 5 chữ số khác nhau đôi một và là số chẵn
a) Có tất cả bao nhiêu số ?
.....................................................................
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?
.....................................................................
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000 ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 6. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần
.....................................................................
lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi :
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập ?
.....................................................................
b) Có tất cả bao nhiêu cách lập đoàn đại
.....................................................................
biểu, trong đó có ba nam, hai nữ ?
.....................................................................
c) Có tất cả bao nhiêu cách lập đoàn đại
.....................................................................
biểu, trong đó có ít nhất một nữ ?
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 54
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
8. Cho đa giác đều 16 đỉnh. Gọi A là tập hợp
.....................................................................
tất cả các đỉnh của đa giác trên. Hỏi :
.....................................................................
a) có tất cả bao nhiêu vectơ khác vectơ
.....................................................................
không có các điểm đầu và điểm cuối thuộc
..................................................................... A ?
.....................................................................
b) có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng có đỉnh
..................................................................... thuộc A ?
9. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ mà,
c) có tất cả bao nhiêu đường chéo của đa trong đó : giác đó ?
a) các chữ số giảm dần ?
c) có tất cả bao nhiêu tam giác mà các đỉnh
b) các chữ số tăng dần ? của nó thuộc A ?
.....................................................................
d) có tất cả hình chữ nhật mà các đỉnh của
..................................................................... nó thuộc A ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Rút gọn biểu thức, giải phương trình
① P  n !  n n   1 2.1, n  1. n n !  n.n  
1 !  n n  1.n 2!  
② Với quy ước 0!  1, ta có k n ! A  1  k  n. n n k ,!
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 55 n P  A . n n k k An n ! ③ C   n k k n k . ! ! ! ④ k n k C C   0  k  n. n n k 1  k k C C  C 1  k  n. n 1  n 1  n
1. Không dùng máy tính, tính và thu gọn các 2. Giải phương trình 3 n 2 A C    14n. n n
biểu thức sau với điều kiện xác định của nó:
..................................................................... a) 10! ; b) n ! ; 8! n 2!
..................................................................... c) 3 A ; d) 3 C .
..................................................................... n n
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 3. Giải phương trình 1 2 3 7 C C C  x. n n n 2
.....................................................................
..................................................................... 4. Giải phương trình 2 3 A  C  20. n3 n 2 
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 56
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 5. Giải phương trình 2 2 3A  42  A . n 2n
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 1.
a/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện cùng một công việc ?
b/ Có bao nhiêu cách chọn 3 người từ 10 người để thực hiện ba công việc khác nhau ? Đáp số : a) 120 ; b) 720
BT 2. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. 
a/ Có bao nhiêu véctơ khác véctơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho ?
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 57
b/ Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc về tập hợp điểm đã cho? Đáp số : a) 30 ; b) 15
BT 3. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số: a) Được tạo thành
b) Bắt đầu bởi chữ số 1?
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2?
Đáp số : a) 24 ; b) 6 ; c) 182
BT 4. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bởi 19?
b) Không bắt đầu bởi 135? Đáp số : a) 6 ; b) 118
BT 5. Cho 6 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2? Đáp số : a) 5 A  720 ; b) 4 A .3  360 ; c) 4.5! = 480 6 5
BT 6. Cho 7 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn?
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7 ? Đáp số : a) 5 A  2520 ; b) 1080 ; c) 4 5.A  1800 7 6
BT 7. Cho 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9.
d) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
e) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?
f) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?
g) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3? Đáp số : a) 4 A . 3  3 2 A .1 3.A .1  42 3 3.A  3.3!  18 4 96 ; b) 54 ; c) ; d) 4 3 3
BT 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 và lớn hơn 300.000. Đáp số: 4.5! = 480
BT 9. Từ tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau
và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? Đáp số: 4 4 6.A  5.A  1560 6 5
BT 10. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó:
a) hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau? Đáp số: 48
b) hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? Đáp số: 72
BT 11. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt
2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Đáp số: 4 A .1  360 6
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 58
BT 12. Từ 4 chữ số 0,1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số , trong đó chữ số 3 xuất
hiện 4 lần, các chữ số 0, 1, 2 chỉ xuất hiện 1 lần. Đáp số: 6.6.5.1 = 180
BT 13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần? Đáp số: 8676
BT 14. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và
thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu
nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Đáp số: 108
BT 15. Lúc khai mạc một hội nghị có 5 đại biểu. Các đại biểu đều lần lượt bắt tay nhau.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay? Đáp số: 24
BT 16. Nhân ngày sinh nhật, các bạn tặng Hồng Nhung 1 bó hoa gồm 10 bông hồng trắng và 1 bó
hoa gồm 10 bông hồng nhung. Hồng Nhung muốn chọn ra 5 bông để cắm bình.
Hỏi Hồng Nhung có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 bông ấy phải có ít nhất
a) 2 bông trắng và 2 bông nhung . Đáp số: 10800
b) 1 bông trắng và 1 bông nhung . Đáp số: 15000
BT 17. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem
thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư.
Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy. Đáp số: 3 3 3 3 C .C .3!  C .A 6 5 6 5
BT 18. Lớp học có 40 học sinh ( 25 nam và 15 nữ) . Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh . Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ . Đáp số: 3 C = 9880 40
b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Đáp số: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Đáp số: 9425
BT 19. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chia số
học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá. Đáp số: 3780
BT 20. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế mà không có hai bạn
nữ nào ngồi cạnh nhau, trong các trường hợp sau :
a) Ghế sắp thành hàng ngang Đáp số: 604800
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn Đáp số: 43200
BT 21. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
Đáp số: a) 2.6!6! ; b) 26.6!.6!
BT 22. Một Hội nghị bàn tròn có các doanh nhân từ các nước, gồm có 3 người Việt Nam, 5 người Lào,
2 người Campuchia, 3 người Thái Lan, 4 người Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi
cho các thành viên này , sao cho người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau ? Đáp số: 4976640
BT 23. Chuẩn bị cho ngày khai giảng cần chọn 7 bạn trong 50 bạn vào đội vệ sinh. Trong đó có 4 bạn
nhổ cỏ và 3 bạn sơn ghế. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các phần tử của tập hợp A=0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Hỏi có bao nhiêu số: a) Được tạo thành?
b) Bắt đầu bởi hai chữ số 12?
c) Không bắt đầu bằng hai chữ số 12?
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 59
d) Trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1?
e) Trong đó hai chữ số 23 đứng cạnh nhau?
BT 24. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có
mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
BT 25. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em để tham gia đồng diễn thể dục, yêu cầu
không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
BT 26. Giải các phương trình sau : ( trong đó k
C là số tổ hợp chập k của n phần tử và k
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử ). n n P  P 1 3 3C  2 2C  2 3A n n1 d) n 1 C  n C  7(n  3) a)  h)  n n n n4 n3 P 6 3 4 2 4 n1 e) A  2C  3A A 24 n n n i) n  P 2 n1 3 n A  4 C 23 b) n2  210 f) A .C  48 n n n1 n n4 P A 3 n1 g) 4 C  5 C  6 3C 1 1 1 n n n1 j)   c) 3 n A  2 C  14n n n n C C C n n 4 5 6
Đáp số : a) n = 2 hay n = 3 ; b) n = 5 ; c) n = 5 ; d) n = 6 ; e) n = 6 hay n = 11 ; f) n = 4 ; g) n = 6 ;
h) n = 12 ; i) n = 5 ; j) n = 2 ;
BT 27. Giải các phương trình : (với x   ) a) 2 P .x  P .x  8 d) 2 A  2 A  3 C  40 1 1 7 2 3 2x x x g)   7 2 2 1 2 1 C C 6C b) 1 C  2 C  3 C  x e) 2A  50  A x 2x x x1 x4 x x x 2 2 h) x x2 x C  C  1 2C 3 2 2 14 14 14 c) 10 A  9 A  8 9A f) C  C  A x1 x1 x2 x x x 3
Đáp số : a) x = –1 hay x = 4 ; b) x = 4 ; c) x = 11 ; d) n = 4 hay n = 20 ; e) x = 5 ; f) x = 9 ;
g) x = 3 hay x = 8 ; h) x = 4, x = 8
BT 28. Giải bất phương trình sau a) 3 n 1
A  C   14(n 1) b) 2 4 3 3 (n  5)C   n 2Cn 2An c) n3 14P .C  4 A n 1  n 1  3 n1 n1
Đáp số: a) n = 2, n = 3 ; b) n = 5 ; c) n = 3, n = 4, n =5
BT 29. Cho hai đường thẳng d và d là hai đường thẳng song song. Trên d lấy 5 điểm và 1 2 1
trên d lấy n điểm . Tìm n để số tam giác lập từ (n  5) điểm đó là 45 2 Đáp số : n  3
BT 30. (B_2002) Cho đa giác đều A A ...A (n  2,n ) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam 1 2 2n
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A , A ,..., A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 1 2 2n
trong 2n điểm A , A ,..., A , tìm n? Đáp số : n  8 1 2 2n
BT 31. (B_2004) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : Có 5 câu khó ;10 câu trung bình ; 15 câu dễ .
Hỏi từ 30 câu hỏi trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra sao cho mỗi đề có 5 câu hỏi khác nhau
trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại câu hỏi : khó ; trung bình ; dễ và câu dễ không ít
hơn hai . Đáp số : 56.875
BT 32. (B_2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20
lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,…, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. Đáp số: k  9
BT 33. (D_2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh
lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học
sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Đáp số: 225
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 60
BT 34. (D_2014) Cho một đa giác đều n đỉnh , n ,n  3. Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo. Đáp số: n  9 § 3. NHỊ THỨC NIU-TƠN A. KIẾN THỨC
I – CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN Ta có : 2 2 2 0 2 1 2 2
(a b)  a  2ab b  C a C ab C b , 2 2 2 3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2 3 3
(a b)  a  3a b  3ab b  C a C a b C ab C b . 3 3 3 3
Tổng quát, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức   n
a b thành tổng các đơn thức như sau : n 0 n 1 n 1  k n k  k n 1  n 1
(a b)  C a C a b  . . C a b  . .  n n C ab C b . (1) n n n n n
Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-tơn. HỆ QUẢ
Với a  b  1, ta có    n n 0 1 2 1 1 n  C C C . n n n
Với a  1;b  1, ta có    n 0 1 0
1 1  C C   C   C n n  1k n  1n k n . n CHÚ Ý:
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1) :
a) Số các hạng tử là n  1 ;
b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, các số mũ của b tăng dần từ 0 đến n ,
nhưng có tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước 0 0 a  b  1) ;
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Khai triển, tìm số hạng, tính tổng các hệ số
Xét khai triển của nhị thức   n a b :
Số hạng tổng quát thứ k  1 là : k n k k
C a b , 0  k  n,k  . n CHÚ Ý x  k l k kl x ; k l k l x x x  ; x k l x     . l x
1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu- tơn : 13   a) a  b5 2 ; b) a  6 2 ; c) 1 x      .   x 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 61
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................ 2. Tìm hệ số của 3
x trong khai triển của biểu
3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 6   8   thức : 2 x      .  3 1  của x    . 2     x   x 
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 4. Biết hệ số của 2 x trong khai triển của 5. Tìm hệ số của 5
x trong khai triển thành đa 13 n x là 90. Tìm n. thức của 5 2 10 x(12x)  x (1  3x) .
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 62
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................   6. Tìm hệ số của 7
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  2 2 n x     
, biết rằng n là số nguyên  x  dương thỏa mãn 3 2 3 A  2C  4C . n n n 1 
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 63
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
7. Tính giá trị của biểu thức 0 1 2 2 2020 2020 C  2C  2 C   2 C . 2020 2020 2020 2020
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
8. Chứng tỏ rằng với n  2, ta có 0 2 4 2n 1 3 5 2n 1 2n 1 C C C  C C C C  C  2            . 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................ C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Khai triển nhị thức  5
(x 2) , và cho biết hệ số của 2 x trong khai triển đó. 12 BT 2.  1 
Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 2  x    x 
BT 3. Tìm hệ số a5b3 trong khai triển (a + b) 8. Đáp số: 56
BT 4. Xét khai triển của: 3 15
(x  xy) .Tính hệ số của hạng tử chứa 21 12 x y . Đáp số: 455
BT 5. Tìm hệ số của x11y9 trong khai triển (2x–3y)20 Đáp số: 9 11 9 C .2 .3 20
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 64
BT 6. Tìm hệ số x 25.y10 trong khai triển ( x3+ xy )15 Đáp số: 10 C  3003 15 10  1 
BT 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của: 2x  Đáp số: –8064  x     2 1 10
BT 8. Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển :  x  3  Đáp số: 210  x  n  1 
BT 9. Tìm n biết trong khai triển  x   , hệ số của x6 bằng bốn lần hệ số của x4 .Đáp số: n = 10  2  n  1 
BT 10. Biết rằng hệ số của xn-2 trong khai triển  x   bằng 31. Tìm n Đáp số: n = 32  4 
BT 11. Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển 3 (2x  3)(x  2) Đáp số: 9
BT 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển 2 5 (x  x  2) Đáp số: –200 BT 13. 9 10 14
Cho khai triển: 1 x  1 x ... 1 x  a  a x  2 a x  ... 14 a x . Tìm giá trị a . o 1 2 14 9 Đáp số: 3003
BT 14. (D_2003) Với n là số nguyên dương, gọi a là hệ số của 3n 3 x
trong khai triển thành đa thức 3n 3  của  2  n 1   2n x x . Tìm n để a  26 . n Đáp số : n = 5 3n 3 
BT 15. (A_2004) Tìm hệ số của 8
x trong khai triển :   x   x 8 2 1 1    Đáp số : 238
BT 16. Không dùng máy tính, hãy tính các biểu thức sau : A  0 C  1 C  2 C  ... 9 C B  15 C  16 C  17 C  18 C  ... 30 C 9 9 9 9 30 30 30 30 30 BT 17. (CĐ_2005) Cho n n 1 (1 x) x(1 x)      P . Khai triển 2
P  a  a x  a x  ... n a x x x 0 1 2 n
Biết : a  a  a ... a  512 . Tìm a  ? Đáp số : a  8  4 0 1 2 n 3 3 n BT 18.  1 
(A_2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của 7   x  , 4  x  biết rằng: 1 2 n 20 C  C  ... C  2 1 Đáp số : 4 C  210 2n 1  2n 1  2n 1  10
BT 19. (B_2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nC n
n03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCn =2048 Đáp số : 22
BT 20. (A_2008) Cho khai triển n 2
(1 2x)  a  a x  a x  ... n
a x , trong đó nN* và các hệ số 0 1 2 n a a
a , a ,...,a thỏa mãn hệ thức 1 a 
 n  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 n 0 2 2n a , a ,...,a . Đáp số : a 126720 0 1 n 8
BT 21. (A_2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1  3 5 n C
 C . Tìm số hạng chứa 5 x trong khai n n 2 n  
triển nhị thức Niu-tơn nx 1    , x  0 .  14 x 
BT 22. Tìm số hạng chứa 19
x trong khai triển của biểu thức   9  n P (2x 1) (x 2) .
Biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 0 C  1 C  2 C  ... n C  2048 n n n n
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 65
§ 4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC
I – PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU 1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã
biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.
Để đơn giản, từ nay phép phép thử ngẫu nhiên được gọi tắt là phép thử. Trong Toán học phổ thông,
ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kết quả. 2. Không gian mẫu
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép
thử và kí hiệu là  (đọc là ô-mê-ga). II – BIẾN CỐ
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Một biến cố liên quan đến phép thử là một tập hợp bao gồm các kết quả nào đó của phép thử.
Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa , A B,C, Từ nay về
sau, khi nói cho các biến cố ,
A B, mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng
cùng liên quan đến một phép thử.
Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết
quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A ).
Như vậy, biến cố không thể (tức là  ) không bao giờ xảy ra, trong khi đó,
biến cố chắc chắn  luôn luôn xảy ra.
III – PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.
Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A (h.31). Do   A    ,
A nên A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau :
Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B .
Nếu A  B   A B= thì ta nói A và B xung khắc.
Theo định nghĩa, A  B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra ; A  B xảy ra khi và
chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.
Biến cố A  B còn được viết là . AB.
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra (h. 32).
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 66 Ta có bảng sau : Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố A   A là biến cố A   A là biến cố không A  
A là biến cố chắc chắn
C  A  B C là biến cố : “A hoặc B ” C  A  B
C là biến cố : “A và B ” A  B   A và B xung khắc B  A A và B đối nhau
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Mô tả không gian mẫu, xác định các biến cố
9. Gieo một đồng tiền ba lần (quy ước : mặt ghi 10. Gieo một con súc sắc hai lần.
số là mặt ngửa, viết tắt là N và mặt kia là
mặt sấp, viết tắt là S ).
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
A  6, 1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6 ;
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố :
B  2,6,6,2,3,5,5,3,4,4 ;
A : “Lần đầu xuất hiện mặt sấp” ;
C  1, 1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6
B : “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần”;
C : “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần”;
c) Xác định biến cố A là biến cố đối của
D : là biến cố đối của biến cố “mặt biến cố A ở câu b).
ngửa xuất hiện ít nhất một lần”.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 67
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
11. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 12. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu A là k
3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
biến cố : “Người thứ k bắn trúng”, k  1,2.
a) Mô tả không gian mẫu.
a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các
b) Xác định các biến cố sau : biến cố A ,A : 1 2
A : “Không ai bắn trúng” ;
A : “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn” ;
B : “Cả hai đều bắn trúng” ;
B : “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”.
C : “Có đúng một người bắn trúng” ;
D : “Có ít nhất một người bắn trúng”.
.....................................................................
b) Chứng tỏ rằng A  D ; B và C xung
..................................................................... khắc.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Từ một cái hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6
màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 68 b) Kí hiệu ,
A B,C là các biến cố sau :
A : “Lấy được thẻ màu đỏ” ;
B : “Lấy được thẻ màu trắng” ;
C : “Lấy được thẻ ghi số chẵn”.
Hãy biểu diễn các biến cố ,
A B,C bởi các tập con tương ứng của không gian mẫu.
BT 2. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố :
A : “Số lần gieo không vượt quá ba” ;
B : “Số lần gieo là bốn”.
BT 3. Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi
lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau :
A : “Chữ số sau lớn hơn chữ số trước” ;
B : “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau” ;
C : “Hai chữ số bằng nhau”.
§ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THỨC
I – ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT 1. Định nghĩa
Một đặc trưng định tính quan trọng của biến cố liên quan đến một phép thử là nó có thể xảy ra hoặc
không xảy ra khi phép thử được tiến hành. Một câu hỏi được đặt ra là nó có xảy ra không ? Khả năng
xảy ra của nó là bao nhiêu ? Như vậy, nảy sinh một vấn đê là cần phải gắn cho biến cố đó một con số
hợp lí để đánh giá khả năng xảy ra của nó. Ta gọi số đó là xác suất của biến cố.
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau đây. ĐỊNH NGHĨA
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả n   A
năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
là xác suất của biến cố A , kí hiệu là P   A . n      n  A P A  n  .  CHÚ Ý
n A là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lọi cho biến cố A, còn n   là
số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
II – TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 69
Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. ĐỊNH LÍ a) P   0,P     1. b) 0  P  
A  1, với mọi biến cố . A
c) Nếu A và B xung khắc, thì P A  B  P  
A  P B (công thức cộng xác suất) HỆ QUẢ Với mọi biến cố , A ta có P   A  1  P   A .
Chứng minh. Vì A  A   và A  A   nên theo công thức cộng xác suất ta có 1  P     P   A  P   A .
Từ đó ta có điều phải chứng minh. 
III – CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của một biến cố khác thì ta nói
hai biến cố đó độc lập.
Tổng quát, đối với hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau :
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P  . AB  P   A .P B.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Tính xác suất của các biến cố n A ① P     A  n  . 
② Nếu A và B xung khắc, thì P A  B  P  
A  P B (công thức cộng xác suất). ③ Với mọi biến cố , A ta có P   A  1  P   A .
④ A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P  . AB  P   A .P B.
1. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và
2. Trong một lớp học gồm có 17 học sinh nam
đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến
và 13 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên cố sau :
4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác
a) A : “Mặt sấp xuất hiện hai lần” ;
suất để 4 học sinh được gọi :
b) B : “Mặt sấp xuất hiện đúng một lần” ;
a) có tất cả đều là nam ;
c) C : “Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”. b) có 1 nam và 3 nữ ;
..................................................................... c) có cả nam và nữ ; d) có ít nhất một nữ.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 70
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Năm bạn nam và năm bạn nữ được xếp ngồi
4. Năm bạn nam và năm bạn nữ được xếp ngồi
ngẫu nhiên và 10 ghế hàng ngang. Tính xác
ngẫu nhiên và 10 ghế xếp thành hai dãy đối
suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ.
diện nhau. Tính xác suất sao cho :
.....................................................................
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau ;
.....................................................................
b) Nữ ngồi đối diện nhau.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 71
5. Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba
6. Ba xạ thủ bắn súng độc lập vào bia. Xác suất
chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3;
trúng đích của người thứ nhất là 0,9, của
4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn
người thứ hai là 0,7, của người thứ ba là 0,5.
ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số Tính xác suất sao cho :
được chọn là số chẵn.
a) Cả ba xạ thủ cùng bắn trúng ;
.....................................................................
b) Có đúng một xạ thủ bắn trúng ;
.....................................................................
c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
7. Một đề thi Toán có 50 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, mỗi câu hỏi có bốn đáp án và chỉ có duy
nhất một đáp án đúng. Học sinh A không biết câu trả lời và lựa chọn ngẫu nhiên các đáp án,
mỗi câu được chọn một đáp án duy nhất. Biết mỗi câu đúng được 0,2 điểm và không bị trừ điểm
khi lựa chọn đáp án sai. Tính xác suất để học sinh A được :
a) 0 điểm ; b) 10 điểm ; c) 5 điểm ; d) 7 điểm.
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 72 C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện
b) Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện nhỏ hơn 10
c) Tổng số chấm trên các mặt xuất hiện hoặc là số lẻ hoặc chia hết cho 3
BT 2. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp thứ hai
chứa 4 quả màu trắng và 6 quả màu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả từ mỗi hộp.
Gọi A là biến cố : “Quả lấy từ hộp thứ nhất màu trắng”
Gọi B là biến cố : “Quả lấy từ hộp thứ hai màu trắng”
a) A và B có phải là hai biến cố độc lập không ?
b) Tính xác suất để hai quả lấy ra cùng màu
c) Tính xác suất để hai quả lấy ra khác màu
BT 3. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 1 1 11 Đáp số: a) ; b) ; c) 16 4 16
BT 4. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. 1 1 11 25 Đáp số: a) ; b) ; c) ; d) 6 6 36 36
BT 5. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. 1 1 Đáp số: a) ; b) 6 6
BT 6. Một bình chứa 6 viên bi gồm 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ. (các viên bi này chỉ khác nhau về màu)
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được .
a) Hai viên màu xanh. b) Hai viên khác màu. Đáp số: a) 1 ; b) 4 15 5
BT 7. Một bình đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được:
a) Hai viên cùng màu b) Hai viên khác màu. Đáp số: a) 5 ; b) 13 18 18
BT 8. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau về màu.
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được :
a) 3 viên xanh b) 3 viên đỏ c) 3 viên cùng màu d) ít nhất 2 viên xanh
Đáp số: a) 14 ; b) 1 ; c) 3 ; d) 42 55 55 11 55
BT 9. Một bình đựng 7 viên bi chỉ khác nhau về màu, trong đó có 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để được :
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 73
a) 2 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. b) Tất cả là bi xanh. 12 4 Đáp số: a) ; b) 35 35
BT 10. Một hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng, 8 quả cầu đen, có kích thước, trọng lượng như nhau.
Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu. Tìm xác suất của biến cố trong 5 quả cầu có đúng 3 quả cầu đỏ.Đáp số: 5 17
BT 11. Một tổ sinh viên có 6 nam, 5 nữ.
a) Tìm xác suất lấy 4 sinh viên lao động trong đó có 1 nữ.
b) Tìm xác suất lấy 4 sinh viên lao động trong đó có không quá 3 nữ. 10 65 Đáp số: a) ; b) 33 66
BT 12. Một tổ gồm 9 nam và 3 nữ.
a) Có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm có 4 người để trực nhật.
b) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1 nhóm có 4 người có đúng một nữ.
c) Cần chia tổ làm 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm 3 công việc khác nhau.
Tính xác suất để mỗi nhóm có đúng một nữ. 29 16 Đáp số: a) 495 ; b) ; c) 55 55
BT 13. Một đề thi gồm 100 câu hỏi khác nhau. Mỗi đề thi có 5 câu hỏi, một học sinh thuộc 80 câu
hỏi. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên một đề thi trong đó có 4 câu hỏi mà mình học 5135 thuộc. Đáp số:  0,4201 12222
BT 14. Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải
tư, 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để một người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì và 2 giải khuyến khích. Đáp số: 124 9 , 75 133313
BT 15. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú-lơ-khơ, ta được một xấp bài. Tính xác suất để
trong xấp bài này chứa hai bộ đôi (Tức là có 2 con cùng thuộc một bộ; 2 con thuộc bộ thứ hai; con 198 thứ 5 thuộc bộ khác). Đáp số: 4165
BT 16. Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ 3 1 4
nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. Đáp số: 5 2 5
BT 17. Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần, với xác suất làm bàn của người thứ
nhất là 0,8 và xác suất làm bàn của người thứ hai là 0,6. Tính xác suất :
a) Người thứ nhất sút hỏng b) Cả hai cùng sút trúng
c) Cả hai cùng sút trượt
d) Có ít nhất một người sút trúng
e) Có đúng một người sút trúng
Đáp số: a) 0,2 ; b) 0,48 ; c) 0,08 ; d) 0,92 ; e) 0,44
BT 18. Một đơn vị vận tải có 10 xe ôtô, có 6 xe tốt. Điều ngẫu nhiên 3 xe đi công tác.
Tính xác suất để trong 3 xe đó có ít nhất một xe tốt. Đáp số: 29 30
BT 19. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 8 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 74
Tính xác suất để lấy được:
a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt. 28 54 Đáp số: a) b) 55 55
BT 20. Một máy bay được trang bị 4 động cơ, trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái
và các động cơ này hoạt động độc lập. Biết rằng ở cánh phải , xác xuất mỗi động cơ bị hỏng lần lượt
là 0,1 và 0,2. Ở cánh trái , xác xuất mỗi động cơ bị hỏng lần lượt là 0,1 và 0,3.
a) Tính xác suất để máy bay hoạt động an toàn, nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất 1 động cơ hoạt động.
b) Tính xác suất để máy bay có thể đáp xuống, nếu có ít nhất 1 động cơ hoạt động.
Đáp số: a) 0,9506 ; b) 0,9994
BT 21. Một bà mẹ mong sinh bằng được con gái ( sinh được rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được
thì sẽ sinh nữa ), xác suất sinh con gái trong một lần là 0,486. Tính xác suất sao cho bà mẹ đạt
được mong muốn ở lần sinh thứ 2. Đáp số: 0,249804
BT 22. Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tính xác suất sao cho sinh 3 lần thì có ít
nhất 1 trai ( Chỉ xét 1 lần sinh 1 con) Đáp số: 0, 882351
BT 23. (B_2013) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ
hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 10
viên bi được lấy ra có cùng màu. Đáp số: 21 D. NHÌN RA THẾ GIỚI
( Trích các câu hỏi trong Đề thi Toán AMC
1) Two real numbers are selected independently at ramdom from the interval  2  0,10
What is the probability that the product of those numbers is greater than zero ? (A) 1 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 2 9 3 9 9 3
2) Positive integers a , b and c are randomly and independently selected with
replacement from the set 1,2,3,...,201 
0 . What is the probability that abc  ab  c is divisible by 3 ? (A) 1 (B) 29 (C) 31 (D) 11 (E) 13 3 81 81 27 27
3) A palindrome between 1000 and 10,000 is chosen at random. What is the
probability that it is divisible by 7 ? (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1 10 9 7 6 5
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 75
4) Bernardo randomly picks 3 distinct numbers from the set 1,2,3,4,5,6,7,8,  9 and
arranges them in descending order to form a 3-digit number. Silvia randomly picks
3 distinct numbers from the set 1,2,3,4,5,6,7,  8 and also arranges them in
descending order to form a 3-digit number. What is the probability that
Bernardo’s number is larger than Silvia’s number ? (A) 47 (B) 37 (C) 2 (D) 49 (E) 39 72 56 3 72 56
5) Professor Gamble buys a lottery ticket, which requires that he picks six different
integers from 1 through 46, inclusive. He chooses his numbers so that the sum of
the base-ten logarithms of his six numbers is an integer. It so happens that the
integers on the winning ticket have the same property – the sum of the base-ten
logarithms is an integer. What is the probability that Professor Gamble holds the winning ticket ? (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1 5 4 3 2
6) The state income tax where Kristin lives is levied at the rate of p% of the first
$28000 of annual income plus ( p  2)% of any amount above $28000. Kristin
noticed that the state income tax the paid amounted to ( p  0.25)% of her annual
income. What was her annual income ? (A) $28000 (B) $32000 (C) $35000 (D) $42000 (E) $56000
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 76 HÌNH HỌC 11
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 77 HÌNH HỌC 11 – Chương 1
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG § 1. PHÉP BIẾN HÌNH A. KIẾN THỨC
Ta đã biết rằng với mỗi điểm M có một điểm M duy nhất là hình chiếu vuông góc của điểm M
trên đường thẳng d cho trước (h.1.1). ĐỊNH NGHĨA
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M
của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F M   M hay M   F M  và gọi điểm M là ành
của điểm M qua phép biến hình F.
Nếu  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu   F  là tập các điểm
M   F M, với mọi điểm M thuộc . Khi đó ta nói F biến hình  thành hình , hay hình
 là ảnh của hình  qua phép biến hình F.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định các phép biến hình
1. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và
2. Trong mặt phẳng, cho điểm I và M phân
điểm M không thuộc d. Gọi điểm M sao
biệt. Gọi điểm M sao cho I là trung điểm
cho d là đường trung trực của đoạn MM .
của đoạn MM . Quy tắc đặt tương ứng điểm
Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M
M với điểm M nêu trên có phải là một
nêu trên có phải là một phép biến hình phép biến hình không ? không ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 78
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Cho trước số a dương, với mỗi điểm M
trong mặt phẳng, gọi M là điểm sao cho
MM  a . Quy tắc đặt tương ứng điểm M
với điểm M nêu trên có phải là một phép biến hình không ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... § 2. PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M sao cho  MM   v 
được gọi là phép tính tiến theo vectơ v.
Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là là
Tv , v được gọi là vectơ tịnh tiến.  Như vậy T 
 M   M   MM   v. v
Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất. Phép tính tiến T  .
v biến hình  thành hình  II – TÍNH CHẤT TÍNH CHẤT 1  
Nếu T M  M ,T N  N  thì M N   MN và từ đó suy ra M N    MN. v v  
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 79
Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. TÍNH CHẤT 2
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho v  a;b. Với mỗi điểm M x;y, gọi M x ;y là ảnh của của M 
qua phép tịnh tiến theo v. Ta có   x   x  a MM v      . y   y  b 
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định các yếu tố và tập hợp điểm qua phép tịnh tiến 
① Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho v  a;b. Với mỗi điểm M x;y, gọi M x ;y là ảnh của 
của M qua phép tịnh tiến theo v. Ta có   x   x  a MM v      . y   y  b   
② Nếu MM   v với v là vectơ không đổi, thì tồn tại một phép tính tiến theo v biến M thành M .
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình
v  1;2, điểm A3;5, đường thẳng d có
hành ABCD với B 1;2,C 5; 1. Biết A di
phương trình x  2y  3  0 và đường tròn
chuyển trên đường tròn C  có phương trình
C có phương trình x  2 y  2 1 3  8. 2 2
x  y  4x  2y  1  0. Chứng minh tập
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 80
a) Tìm toạ độ của điểm A là ảnh của A qua
hợp điểm D là một đường tròn. Viết phương  phép tịnh tiến theo v. trình đường tròn đó.
b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh
..................................................................... 
của C qua phép tịnh tiến theo v.
.....................................................................
c) Tìm phương trình của đường thẳng d là 
.....................................................................
ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v.
d) Tìm phương trình của đường thẳng C 
..................................................................... 
.....................................................................
là ảnh của C  qua phép tịnh tiến theo v.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho 
.....................................................................
vectơ v  1;3, hai đường thẳng
.....................................................................
d : x  2y  4  0 và d : 2x  3y  2  0.
.....................................................................
Tìm tọa độ điểm M  d và N  d sao cho
..................................................................... T M  N. v
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 81
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Qua phép tịnh tiến T , tìm ảnh của : v a) Điểm ( A 2, 3  ) ĐS : A'(3, 5  )
b) Đường thẳng (d) :3x  5y 1  0 ĐS : 3x – 5y – 12 = 0 c) Đường tròn 2 2
(C) : x  y  4x  y 1  0 ĐS : 2 2
x  y  6x  5y 10  0
BT 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2, - 2) và B(6, 3). Tìm ảnh của mỗi đường
sau qua phép tịnh tiến T : AB
a) Đường thẳng (d) : 2x + 3y – 4 = 0. ĐS : 2x + 3y – 27 = 0 b) Đường tròn (C) : 2 2
(x 1)  (y  2)  9 ĐS : 2 2 (x  5)  (y  3)  9
BT 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba điểm A(- 1, - 1), B(3, 1) và C(2, 3). Tìm tọa độ điểm
D để tứ giác ABCD là hình bình hành. ĐS : D(- 2, 1) 
BT 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M2;  3 và vectơ v  4; 
1 . Tìm ảnh của M qua T. v ĐS : (6; – 2)
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 82 
BT 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 3x y 5  0 và vectơ v  2; 3. Tìm ảnh
của d qua T. ĐS : 3x – y + 14 = 0 v
BT 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C 2 2
: x  y  4x  2y  4  0 và vectơ  v  3;  
1 . Tìm ảnh của (C) qua T. ĐS: ( x + 5)2 + y2 = 9 v 
BT 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vectơ v  2;3. Hãy tìm các điểm A’, B’ lần lượt là ảnh  của các điểm A1; 1
 ,B4; 3 qua phép tịnh tiến theo vectơ v. ĐS: A’( - 1; 2), B’(2 ; 6) 
BT 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v  1; 3và đường thẳng d : 2x  3y  5  0 . Tìm phương
trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép tịnh tiếnT . ĐS: 2x – 3y – 6 = 0 v
BT 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C có phương trình 2 2
x  y  2x4y 4  0 . 
Tìm ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v  2; 3
  . ĐS: ( x – 1)2 + (y + 1)2 = 9
BT 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x  y  3  0 , đường tròn  2 2
(T ) : x  y  2x  24  0 và vec tơ v  (1, 2) . Tìm tọa độ điểm M (d) và N  (T ) sao cho T (M )  N . v M (3,6) M (4,1) ĐS :  hay   N (4, 4)  N(3, 3  )
BT 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình: 
(d) : 2x – 3y + 3 = 0 , (d1) : 2x – 3y – 5 = 0 . Tìm tọa độ vectơ w có giá vuông góc với đường thẳng  16 24 
(d) để (d1) là ảnh của (d) qua T . ĐS : w  ,    w  13 13 
BT 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm (
A 1, 2) , B(6,0). Điểm C di động trên đường
tròn (C) tâm I(1,3) , bán kính R  4 . Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Chứng minh
rằng D di động trên một đường tròn cố định. Tìm phương trình đường tròn này. ĐS : 2 2
(x  6)  ( y  5)  16 § 2. PHÉP QUAY A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm O và góc lượng giác  . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi
điểm M khác O thành điểm M sao cho OM   OM và góc lượng giác OM;OM  bằng
 được gọi là phép quay tâm O góc  .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 83
Điểm O được gọi là tâm quay còn  được gọi là góc quay của phép quay đó.
Phép quay tâm O góc  thường được kí hiệu là  Q . O, NHẬN XÉT
1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều
ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
2) Với k là số nguyên ta luôn có phép quay  Q là phép đồng nhất. O,2k II – TÍNH CHẤT
Quan sát chiếc tay lái (vô-lăng) trên tay ngươi lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một góc
nào đó thì hai điểm A và B trên tay lái cũng quay theo. Tuy vị trí A và B thay đổi nhưng khoảng
cách giữa chúng không thay đổi. Điều đó được thể hiện trong tính chất sau của phép quay. TÍNH CHẤT 1
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Phép quay tâm O , góc O ;
A OA biến điểm A thành A,B thành B. Khi đó ta có AB  A . B TÍNH CHẤT 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 84
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. NHẬN XÉT
Phép quay góc  với 0    ,
 biến đường thẳng d thành đường thẳng d sao cho góc
giữa d và d bằng  (nếu 0 
   ), hoặc bằng    (nếu      ). 2 2
Phép quay góc   90 hoặc   90 , biến đường thẳng d thành đường thẳng d thì d vuông góc với d.
III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , với mỗi điểm M x;y, gọi M x ;y là ảnh của của M qua phép quay 
Q . Ta chỉ xét hai phép quay sau : 0, x    y  x    y 1)    Q 2) Q  M  M    .  M  M    . 0,90    y    x  0,90    y    x  
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 85
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định ảnh của phép quay
1. Khi bánh xe A quay theo chiều dương thì
2. Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12 giờ đến 15
bánh xe B quay theo chiều nào ?
giờ, kim giờ và kim phút đã quay một góc bao nhiêu độ ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Tìm toạ độ, phương trình ảnh qua phép quay
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , với mỗi điểm M x;y, gọi M x ;y là ảnh của của M qua phép quay  Q . 0, x    y   ①  Q  M  M    . 0, 9  0    y    x  x    y  ②  Q  M  M    . 0,90    y    x  
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm A2;0, 2. Qua phép quay Q , tìm : o, 9  0
đường thẳng d có phương trình
a) toạ độ ảnh của điểm A3;4.
x  y  2  0 và đường tròn C  có phương
b) phương trình đường thẳng d là ảnh của
trình x  2 y  2 1 3  5.
đường thẳng d : 2x  y  4  0.
a) Tìm toạ độ của điểm A là ảnh của A qua
c) phương trình đường tròn C  là ảnh của
phép quay tâm O góc 90 . đường tròn C  2 2 : x  y  4x 12  0.
b) Tìm phương trình của đường thẳng d là
.....................................................................
ảnh của d qua phép quay tâm O góc 90 .
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 86
c) Tìm phương trình của đường thẳng C 
.....................................................................
là ảnh của C  qua phép quay tâm O góc
..................................................................... 90 .
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho tam giác đều ABC tâm O. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay a) Q . b) Q . 0 O,120  B   , 60 
BT 2. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của hình vuông qua phép quay a) Q . b) Q . O   , 90    B,90 
BT 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía
ngoài của ΔABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên nửa đường tròn cố định.
BT 4. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm AB, N là trung điểm OA. Tìm ảnh của ΔAMN
qua phép quay tâm O góc quay 900.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 87
BT 5. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của điểm M  5
 ; 2 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 90 . BT 6. Qua phép quay Q (d) : 3x  4 y 12  0 0
, tìm ảnh của đường thẳng . (O,90 ) ĐS : 3x  4y 12  0
BT 7. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của đường thẳng d : 3x  2y  6  0 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 9  0 .
BT 8. Trong mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, tìm ảnh của đường tròn C 2 2
: x  y  4x  6y  3  0 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 90 .
BT 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 2 2
(T ) : (x  2)  ( y  4)  25 . Viết phương trình đường
tròn (C) là ảnh của (T) qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay  Q T v  (2, 4) 0 và phép tịnh tiến với ĐS : 2 2 (x  2)  (y  6)  25 (O,90 ) v
BT 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 2 2
(T ) : (x  3)  ( y  4)  25 . Viết phương trình đường
tròn (C) là ảnh của (T) qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay  Q T v  ( 2  ,5) 0 và phép tịnh tiến với ĐS : 2 2
(x  6)  (y  2)  25 (O,90 ) v 
BT 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho v 2;5 và đường tròn C x  2   y  2 : 2
1  25 . Gọi C ' là ảnh
của C qua phép tịnh tiến T , C '  là ảnh của C ' qua phép quay Q . Viết phương trình v  ,90o O  C ' .
BT 12. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên đường tròn đó. Dựng về phía ngoài
của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng điểm E chạy trên một đường tròn cố định. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2;4. Điểm A là ảnh của điểm nào sau đây qua phép quay  tâm O góc quay ? 2 A. E 4;2 B. B4;2 C. C 4;  2 D. F 4;2
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d :3x  4 y  0 . Phương trình ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 0 180 là A. 3x  4 y  0 B. 4x 3y 2  0 C. 4x 3y 2 0 D. 3x  4y 2  0
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : x 2y 3  0 . Phương trình ảnh của d qua phép  quay tâm O góc quay là 2 A. 2x  y 1  0 B. 2x  y 3 0 C. x  2y  3  0 D. 2x  y 3  0
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  : y 3 0 . Phương trình ảnh của d qua phép quay  tâm O góc quay  là 2 A. x  3  0 B. x  3  0 C. x  y 3  0 D. y 3 0
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C 2 x  2 :
y  9 . Phương trình ảnh của C  qua phép  quay tâm O góc quay là 4 A. 2 x  2 y  9
B. x  2   y  2 1 1  9
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 88 C. x  2  2 1 y  9 D. x  2  2 1 y  9
Câu 6. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của M A B
AB và AD (hình bên). Theo hình bên thì khẳng định nào sau đây là khẳng định sai O N
A. Góc giữa DM và CN bằng 0 90
B. Tam giác ODC là ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc D C quay 0 180
C. Đường thẳng DM là ảnh của đường thẳng CN qua phép quay tâm O góc quay  0 90
D. Tam giác OBC là ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay 0 90 
Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2;4. Ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay 2 có tọa độ là A. A'4;2 B. A'4;2 C. A'4;2 D. A'2;4
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C  x   y  2 2 :
1  4 . Phương trình ảnh của C  qua 
phép quay tâm O góc quay là 2 A. x  2  2 1 y  4
B. x  2   y  2 1 1  4 C. x  2  2 1 y  4
D. x  2   y  2 1 1  4 
Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A0;1 . Ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay  2 có tọa độ là A. A'1;0 B. A'1;0 C. A'0;1 D. A'1;1  
Câu 10. Cho hình vuông ABCD tâm O, góc giữa AB và AD bằng  0
90 . Gọi M, N, K, Q lần lượt là trung
điểm của AD, DC, CB, BA. Khi đó, phép quay tâm O góc quay  0
90 sẽ biến tam giác ODN thành tam giác nào dưới đây? A. OBQ B. OAM C. OCK D. KNO
Câu 11. Cho phép quay tâm O góc quay 0
120 biến đường thẳng d thành d'. Khi đó, góc giữa hai
đường thẳng d và d ' bằng A. 0 60 B. 0 120 C. 0 90 D.  0 60
§ 4. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU A. KIẾN THỨC
I – KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH ĐỊNH NGHĨA
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nếu phép dời hình F biến các điểm M,N lần lượt thành các điểm M ,N  thì M N    MN. NHẬN XÉT
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 89
1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến và phép quay đều là những phép dời hình.
2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình. II – TÍNH CHẤT Phép dời hình :
1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ;
2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó ;
3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó ;
4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
III – KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU ĐỊNH NGHĨA
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định toạ độ ảnh, phương trình qua phép dời hình
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy vectơ
v  2; 1, điểm A3;5. Tìm toạ độ điểm
v  3; 1 và đường tròn C  có phương
ảnh của A lần lượt liên tiếp qua phép tịnh trình x  y  2 2
2  9. Viết phương trình
tiến theo v và phép quay Q  . O,90 
đường tròn ảnh lần lượt liên tiếp qua Q O,90
..................................................................... và T.
..................................................................... v
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 90 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x  y 3  0 . Hỏi phép dời
hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I 1;2 và phép tịnh tiến theo vectơ
v 2; 1 biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau? A. 3x  y 1 0. B. 3x  y 8  0. C. 3x  y 3  0. D. 3x  y 8  0.
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C x  2 y  2 : 1
2  4 . Hỏi phép dời hình có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục 
Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v  2;  3
biến C thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. 2 2 x  y  4.
B. x  2 y 2 2 6  4.
C. x  2 y 2 2 3  4.
D. x  2 y 2 1 1  4.
Câu 3. Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Câu 4. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối
xứng tâm I là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép đồng nhất. D. Phép tịnh tiến.
Câu 5. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng
song song là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép tịnh tiến.
D. Phép quay, góc quay khác . 
Câu 6. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng
vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây? A. Phép đối xứng tr B. Phép đối xứng tâm C. Phép tịnh tiến.
D. Phép quay, góc quay khác . 
Câu 7. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng
cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm C. Phép tịnh tiến
D. Phép quay, góc quay khác . 
Câu 8. Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc
Câu 9. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O với M, N lần lượt là trung điểm AB và C . D Hỏi phép dời hình 
có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ AB và phép đối xứng trục BC là phép
nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm M.
B. Phép đối xứng tâm N.
C. Phép đối xứng tâm O.
D. Phép đối xứng trục MN.
Câu 10. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành , D Ñ là phép đối
xứng trục AD. Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay Q và phéo đối xứng
trục AD là phép nào trong các phép sau đây? A. Phép đối xứng tâm . D
B. Phép đối xứng trục AC.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 91
C. Phép đối xứng tâm O.
D. Phép đối xứng trục AB. § 5. PHÉP VỊ TỰ A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Cho điểm O và số k  0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho  
OM   k.OM được gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k.
Phép vị tự tâm O , tỉ số k thường được kí hiệu là  V . O,k NHẬN XÉT
1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2) Khi k  1, phép vị tự là đồng nhất. 3) M    V M  M V    M . O,k    1   O  ,   k II – TÍNH CHẤT TÍNH CHẤT 1
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N tùy ý theo thứ tự thành M ,N  thì   M N    k.MN và M N    k .MN.
Chứng minh. Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k. Theo  
định nghĩa của phép vị tự ta có : OM   kOM và   ON   kON. Do đó :
     M N
   ON  OM   kON kOM     k ON OM kMN. Từ đó suy ra M N    k MN. TÍNH CHẤT 2 Phép vị tự tỉ số k :
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy (h.1.53).
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 92
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (h.1.54).
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R (h.1.55).
III – BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm I a;b và số k  0 . Với mỗi điểm M x;y, gọi M x ;y là
ảnh của của M qua phép vị tự tâm I tỉ số k. Ta có   x    a  k   x a IM  k.IM  y   b  k  y b .
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định các yếu tố và tập hợp điểm qua phép vị tự
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm I a;b và số k  0 . Với mỗi điểm M x;y, gọi
M x ;y là ảnh của của M qua phép vị tự tâm I tỉ số k. Ta có   x    a  k   x a IM  k.IM  y   b  k  y b .
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn
I 1;2, điểm A3;5, đường thẳng d có
C có phương trình 2 2 x  y  4 và hai
điểm A4;3,B6;5. Gọi M là một điểm
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 93
phương trình x  2y  3  0 và đường tròn
di chuyển trên đường tròn C . Chứng minh
C có phương trình x  2 y  2 1 3  8.
rằng trọng tâm G của tam giác MAB di
a) Tìm toạ độ của điểm A là ảnh của A qua
chuyển trên một đường tròn. Tìm phương
phép vị tự tâm I tỉ số k  2  . trình đường tròn đó.
b) Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh
.....................................................................
của C qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2  .
.....................................................................
c) Tìm phương trình của đường thẳng d là
.....................................................................
ảnh của d qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2
..................................................................... .
d) Tìm phương trình của đường thẳng C 
.....................................................................
là ảnh của C  qua phép vị tự tâm I tỉ số
..................................................................... k  2.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1
BT 1. Cho hình vuông ABCD tâm O. Dựng ảnh của hình vuông qua phép vị tự tâm O tỉ số . 2
BT 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét phép vị tự V V (O,k  2  ) . Qua phép (O,k  2  ) , tìm ảnh của :
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 94 a) Điểm M (2, 1  ) ĐS : M '(4,2)
b) Đường thẳng (d) : 3x  2y  6  0 ĐS : (d’) : 3x + 2y + 12 = 0 c) Đường tròn 2 2
(C) : x  y  2x  4y 1  0 ĐS : 2 2
(x  2)  ( y  4)  16
BT 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2
(x  3)  (y 1)  9. Viết phương
trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỷ số k = - 2. ĐS : 2 2
(x  3)  (y  8)  36
BT 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 3x  4y 12  0 . Viết phương trình
đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép vị tự tâm I(1, 2), tỷ số k = - 2. ĐS : 3x4y90
BT 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip 2 2
(E) : 9x 16y  144 . Tìm ảnh của elip (E) qua phép vị tự tâm 2 2 (x  4) ( y 10) ( A 2  ,5) , tỷ số 3. ĐS :   1 144 81
BT 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y−4=0.
a) Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3.
b) Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(−1; 2) tỉ số k=−2.
BT 7. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x + 2y − 6 = 0 . Hãy viết phương trình của đường
thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số vị tự k = −2
BT 8. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x−3)2+(y+1)2=9. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k=−2.
BT 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường
tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của đường tròn đó. D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thằng d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d '. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k  20 biến đường
thẳng d thành đường thẳng d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d ' và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu
phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó. A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 5. Cho hai đường tròn bằng nhau O;R và O';R' với tâm O và O' phân biệt. Có bao nhiêu
phép vị tự biến O;R thành O';R'? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 6. Cho đường tròn O;R. Có bao nhiêu phép vị tự với tâm O biến O;R thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 95
Câu 7. Cho đường tròn O;R. Có bao nhiêu phép vị tự biến O;R thành chính nó? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 8. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn O;R thành đường tròn O;R' với R  R' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Câu 9. Phép vị tự tâm O tỉ số k 1 là phép nào trong các phép sau đây? A. Phép đối xứng tâm.
B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác k . D. Phép đồng nhất.
Câu 10. Phép vị tự tâm O tỉ số k  1
 là phép nào trong các phép sau đây? A. Phép đối xứng tâm.
B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác k . D. Phép đồng nhất.
Câu 11. Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây? A. Phép đồng nhất. B. Phép quay. C. Phép đối xứng tâm.
D. Phép đối xứng trục.
Câu 12. Phép vị tự tâm O tỉ số k k  0 biến mỗi điểm M thành điểm M  . Mệnh đề nào sau đây
đúng?         A. 1 OM  OM . B. OM  kOM . C. OM  k  OM . D. OM  O  M . k
Câu 13. Phép vị tự tâm O tỉ số 3
 lần lượt biến hai điểm ,
A B thành hai điểm C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. AC  3  B . D B. 3AB  DC. C. AB  3  C . D D. 1 AB  C . D 3
Câu 14. Cho phép vị tự tỉ số k  2 biến điểm A thành điểm B , biến điểm C thành điểm D . Mệnh đề nào sau đây đúng?         A. AB  2C . D B. 2 AB C . D C. 2 AC B . D D. AC  2B . D
Câu 15. Cho tam giác ABC với trọng tâm G , D là trung điểm BC . Gọi V là phép vị tự tâm G tỉ số k
biến điểm A thành điểm D . Tìm k . A. 3 k  B. 3 k   C. 1 k  D. 1 k   2 2 2 2
Câu 16. Cho tam giác ABC với trọng tâm G . Gọi A', B ', C ' lần lượt là trụng điểm của các cạnh
BC, AC, AB của tam giác ABC . Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác A' B 'C ' thành tam giác ABC ?
A. Phép vị tự tâm G , tỉ số k  2.
B. Phép vị tự tâm G , tỉ số k  2  .
C. Phép vị tự tâm G , tỉ số k  3  .
D. Phép vị tự tâm G , tỉ số k  3.
Câu 17. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và CD thỏa mãn AB  3C . D Phép vị tự biến
điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là A. k  3. B. 1 k   . C. 1 k  . D. k  3. 3 3  
Câu 18. Cho hình thang ABCD , với 1
CD   AB . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . 2  
Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến AB thành CD . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 96 A. 1 k   . B. 1 k  . C. k  2  . D. k  2. 2 2 Câu 19. Xét phép vị tự . Hỏi chu vi tam giác  V
biến tam giác ABC thành tam giác A' B 'C ' A' B 'C ' I ,  3
gấp mấy lần chu vi tam giác ABC . A. 1. B. 2. C. 3. D. 6.
Câu 20. Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự
thì ảnh của hình vuông trên có  V I, 2  
diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu. A. 1. B. 2. C. 4. D. 8. 2
Câu 21. Cho đường tròn O; 
3 và điểm I nằm ngoài O sao cho OI  9. Gọi O ';R' là ảnh của O;  3 qua phép vị tự  V . Tính R '. I ,  5 A. R'  9. B. 5 R '  . C. R'  27. D. R' 15. 3
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 2;  3 tỉ số k  2  biến điểm M  7  ;2
thành điểm M ' có tọa độ là A.  1  0;2 B. 20;  5 C. 18;2 D.  1  0;  5
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V tỉ số k  2 biến điểm A1;2 thành điểm A' 5  ; 
1 . Hỏi phép vị tự V biến điểm B0; 
1 thành điểm có tọa độ nào sau đây? A. 0;2. B. 12;  5 . C.  7  ;7. D. 11;6.
Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M 4;6 và M ' 3  ; 
5 . Phép vị tự tâm I , tỉ số 1 k  2
biến điểm M thành M ' . Tìm tọa độ tâm vị tự I. A. I  4  ;10. B. I 11; 1. C. I 1;1 1. D. I  1  0;4.
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm I  2  ;  1 , M 1;  5 và M ' 1  ; 
1 . Phép vị tự tâm I tỉ
số k biến điểm M thành M ' . Tìm . k A. 1 k  . B. 1 k  . C. k  3. D. k  4. 3 4
Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : 2x  y 3  0. Phép vị tự tâm O, tỉ số k  2
biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x  y 3  0. B. 2x  y 6  0. C. 4x 2y3  0. D. 4x 2y5  0.
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :x 2y1 0 và điểm I 1;0. Phép vị tự tâm
I tỉ số k biến đường thẳng  thành ' có phương trình là A. x 2y 3  0. B. x 2y1 0. C. 2x  y 1 0. D. x 2y 3  0.
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  ,  lần lượt có phương trình 1 2
x 2 y 1  0 , x 2y  4  0 và điểm I 2; 
1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng  thành  . 1 2 Tìm k . A. k 1. B. k  2. C. k  3. D. k  4.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 97
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C x  2 y 2 : 1
5  4 và điểm I 2;  3 . Gọi
C ' là ảnh của C qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2
 . Khi đó C ' có phương trình là
A. x  2 y  2 4 19  16.
B. x  2 y  2 6 9  16.
C. x  2 y 2 4 19  16.
D. x  2 y  2 6 9  16. § 6. PHÉP ĐỒNG DẠNG A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k k  0, nếu với hai điểm M,N
bất kì và ảnh M ,N  tương ứng của chúng, ta luôn có M N    kMN. NHẬN XÉT
1) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
3) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p , ta được phép đồng dạng tỉ số pk. II – TÍNH CHẤT
Phép đồng dạng tỉ số k :
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k . R III – HÌNH ĐỒNG DẠNG ĐỊNH NGHĨA
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 98
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định ảnh qua phép đồng dạng
1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I 1; 1 và đường tròn C  có tâm I bán kính 2. Qua phép đồng
dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90 và phép vị tự tâm O , tỉ số 2, tìm :
a) Tìm toạ độ ảnh của điểm I.
b) Viết phương trình đường tròn ảnh của C .
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................. C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép dời hình là phép đồng dạng.
B. Phép vị tự là phép đồng dạng.
C. Phép đồng dạng là phép dời hình.
D. Phép vị tự không phải là phép dời hình.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng.
B. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng.
C. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng.
D. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng.
Câu 3. Cho tam giác ABC và A' B 'C ' đồng dạng với nhau theo tỉ số k . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. k là tỉ số hai trung tuyến tương ứng
B. k là tỉ số hai đường cao tương ứng
C. k là tỉ số hai góc tương ứng
D. k là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng
Câu 4. Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số k bằng: A. k 1. B. k  1  . C. k  0. D. k  2.
Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k 1.
B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 99
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 2;4. Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1
k  và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào trong 2 các điểm sau: A. 1;2 B.  2  ;4 C.  1  ;2 D. 1; 2  
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y2  0. Viết phương
trình đường thẳng d ' là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I  1  ;  1 tỉ số 1
k  và phép quay tâm O góc 0 45 . 2 A. y  0. B. x  0. C. y  x. D. y  x  .
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình x  2 y 2 2 2  4. Phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép vị tự có tâm O tỉ số 1 k  và phép quay 2 tâm O góc 0
90 sẽ biến C thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?
A. x  2 y 2 2
2  1. B. x  2 y  2 1 1  1.
C. x  2 y  2 2 1  1.
D. x  2 y 2 1 1  1.
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A2;  3 và B4; 
1 . Phép đồng dạng tỉ số 1 k  biến 2
điểm A thành A , biến điểm B thành B . Tính độ dài AB . A. 52 AB   . B. AB  52. C. 50 AB   . D. AB  50. 2 2
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C và C có phương trình 2 2 x  y 4y 5  0 và 2 2 x  y 2x 2y 1
 4  0. Gọi C là ảnh của C qua phép đồng dạng tỉ số k, khi đó giá trị k là A. 4 k  . B. 3 k  . C. 9 k  . D. 16 k  . 3 4 16 9
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 100 HÌNH HỌC 11 – CHƯƠNG 2
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
§ 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC
I – KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1. Mặt phẳng
Mặt bảng, mặt bàn, mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng
không có bề dày và không có giới hạn.
 Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình
hành hay một miền góc và
ghi tên của mặt phẳng vào
một góc của hình biểu diễn.
 Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc  : P,Q, ,  ,,
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng .
Khi điểm A thuộc mặt phẳng  ta nói A nằm trên  hay  chứa A, hay  đi qua A và kí hiệu là A  .
Khi điểm A không thuộc mặt phẳng  ta nói điểm A nằm ngoài  hay  không chứa A và kí hiệu là A  .
3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian người ta dựa vào những quy tắc sau đây :
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
 Dùng nét vẽ liền để biểu diễn những đường nhìn thấy và nét đức đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
II – CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN TÍNH CHẤT 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. TÍNH CHẤT 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 101 TÍNH CHẤT 3
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng  thì ta nói đường thẳng d nằm trong
 hay  chứa d và kí hiệu d  hay d. TÍNH CHẤT 4
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu
không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng. TÍNH CHẤT 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng
sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.
Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt  và  được gọi là
giao tuyến của  và  và kí hiệu là d  . TÍNH CHẤT 6
Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
III – CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Dựa vào các tính chất thừa nhận trên, ta có ba cách xác định một mặt phẳng sau đây :
a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Ba điểm ,
A B,C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 102
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Khi đó điểm A và đường thẳng d xác định một mặt phẳng, kí hiệu là  , A d hoặc d,  A .
c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b . Khi đó hai đường thẳng a và b xác định một mặt phẳng và
kí hiệu  ,ab hoặc  ,ba.
IV – HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
1) Trong mặt phẳng  cho đa giác lồi AA A . Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng . Lần lượt 1 2 n
nối S với các đỉnh A ,A , ,
 A ta được n tam giác SAA ,SA A ,,SA A . Hình gồm đa giác 1 2 n 1 2 2 3 n 1
A A A và n tam giác SAA ,SA A ,,SA A gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A A A . Ta gọi S là 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 n
đỉnh và đa giác A A A là mặt đáy. Các tam giác SA A ,SA A ,,SA A được gọi là các mặt bên ; 1 2 n 1 2 2 3 n 1
các đoạn SA ,SA ,SA là các cạnh bên ; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình 1 2 n
chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình
chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, … 2) Cho bốn điểm ,
A B,C,D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD và BCD
gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD . Các điểm , A B,C,D gọi là
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 103
các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB,BC,CD,D ,
A BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh
không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC,AC ,
D ABD,BCD gọi là các mặt
của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.
3) Thiết diện (hay mặt cắt) của hình  khi cắt bởi mặt phẳng  là phần chung của  và .
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng
① Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng thì ta tìm hai điểm chung phân biệt của chúng.
Trình bày điểm chung của hai mặt phẳng : A   a A   hoặc     a     A   A  b
và A   hoặc     b     A  
Suy ra A là điểm chung của  và  hay A  .
② Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
1. Cho bốn điểm không đồng phẳng ,
A B,C,D . 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là tứ
Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M
giác có các cặp cạnh đối không song song với AM AN
nhau, điểm M thuộc cạnh SA . Tìm các giao và N sao cho  1 và  2. Hãy xác BM NC tuyến sau :
định các giao tuyến sau : a) SACSBD ; a) DMNABD ; b) SABSCD ; b) DMNACD ; c) SADSBC ; c) DMNABC ; d) SACMBD ; d) DMNBCD. e) SADSBC.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 104
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 105
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Trên
4. Cho bốn điểm không đồng phẩng , A B,C,D .
SB,SC lần lượt lấy các điểm I và J sao
Trên ba cạnh AB,AC và AD lần lượt lấy
cho IJ không song song với BC . Trong
các điểm M,N và K sao cho đường thẳng
miền trong tam giác ABC lấy điểm K . Xác
MN cắt đường thẳng BC tại H , đường
định giao tuyến của hai mặt phẳng sau :
thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I , a) IJK và ABC.
đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại b) IJK và SAC.
J . Chứng minh ba điểm H,I,J thẳng hàng.
..................................................................... c) IJK và SAB.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 106
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng . Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một
mặt phẳng ta có thể đưa về việc tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.
Bước 1. Chọn một mặt phẳng  chứa d .
Bước 2. Tìm giao tuyến a của hai mặt phẳng  và .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 107
Bước 3. Trong , gọi A là giao điểm của d và a . Ta có A   a     . a     a  
Do đó A là giao điểm của d và .
1. Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là
mặt phẳng BCD. Gọi K là trung điểm của
trung điểm của AC và BC . Trên đoạn BD
đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác
lấy điểm P sao cho BP  2PD . Tìm giao
ABC . Tìm giao điểm của đường thẳng GK điểm của : và mặt phẳng BCD. a) CD và MNP. b) AD và MNP.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 108
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 3 : Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Chứng minh ba đường thẳng a, ,
b c thẳng hàng, ta đưa bài toán ba đường thẳng đồng quy về bài
toán ba điểm thẳng hàng.
Bước 1. Trong mặt phẳng  chứa ,ab , gọi A là giao điểm của a và b .
Bước 2. Chứng minh A  c , nghĩa là với hai điểm phân biệt B,C  c , chứng minh ba điểm , A , B C thẳng hàng.
1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là tứ
.....................................................................
giác lồi có hai cặp cạnh đối không song song
.....................................................................
với nhau, gọi O là giao điểm hai đường chéo
của tứ giác. Lấy điểm M thuộc cạnh SC .
.....................................................................
a) Tìm giao điểm N của SD với ABM .
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 109
b) Chứng minh ba đường thẳng
..................................................................... AB,CD,MN đồng quy.
.....................................................................
c) Chứng minh ba đường thẳng
..................................................................... AM,BN,SO đồng quy.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 4: Tìm thiết diện (hay mặt cắt) của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng
Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .
Bước 1. Tìm tất cả các giao điểm của các cạnh của hình chớp với .
Bước 2. Tìm tất cả các giao tuyến của  với các mặt của hình chóp.
Bước 3. Nối các đoạn giao tuyến đóng và kính ta được thiết diện cần tìm.
1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình
.....................................................................
hành ABCD . Gọi M,N,P lần lượt là trung
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 110
điểm của AB,AD,SC . (tham khảo hình vẽ
..................................................................... dưới)
.....................................................................
a) Tìm giao điểm của MNP với các cạnh
..................................................................... của hình chóp ;
.....................................................................
b) Tìm giao tuyến của MNP với các mặt
..................................................................... của hình chóp ;
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
..................................................................... MNP.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử các cạnh đối của tứ giác ABCD không song song nhau. Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng sau :
a) (SAC) và (SBD). b) (SAB) và (SCD).
BT 2. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: MN  AB = I, NP
 BC = K và PM  AC = E. Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 111 BT 3. Cho bốn điểm , A ,
B C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD
lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC . Tìm giao tuyến của BCD và MNP .
BT 4. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam
giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau
a)  AMN  và BCD b) DMN  và  ABC
BT 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến hai mp (IBC) và (JAD).
b) Gọi M và N là hai điểm trên AB và AC sao cho MN không song song BC. Tìm giao tuyến hai mp (IBC) và (DMN).
BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB.
a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAD) và (SBC).
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tìm giao tuyến của (AMN) và (SAD).
BT 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và AB, K là điểm nằm trên BD sao
cho : BK = 2KD. Tìm giao tuyến của hai mp : a) (IJK) và (ACD).
b) (IJK) và (ABN) với N là điểm tùy ý trên cạnh CD.
BT 8. Cho tam giác BCD và A là điểm nằm ngoài mp chứa tam giác. Gọi I là trung điểm của AB, K là
điểm trong tam giác BCD. Xác định giao điểm của :
a) IK với (ACD). b) AC với (IKD).
BT 9. Cho tứ diện SABC. Gọi I là trung điểm SA, H là trung điểm AB. Trên SC lấy điểm K sao cho
CK = 3KS. Tìm giao điểm của BC với (IHK). AM AN
BT 10. Cho tứ diện ABCD .Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M, N sao cho 1 và  2 BM NC
. Hãy xác định giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng DMN .
BT 11. Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm D
A , BC và G là trọng tâm tam giác
ABC . Giao điểm của đường thẳng GM và mặt phẳng  BCD
BT 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I
là giao điểm của AM với mặt phẳng SBD.
BT 13. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C’ nằm trên cạnh SC. Tìm thiết diện của hình chóp với (ABC’).
BT 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AC, BC và I là điểm trên BD sao cho IB = 2 ID.
Tìm thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện.
BT 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh SB và SC. a) Tìm (SAD)  (SBC). b) Tìm SD  (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AMN).
BT 16. Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SCD ta lấy điểm M. a) Tìm (SBM)  (SAC). b) Tìm BM  (SAC).
c) Tìm thiết diện của hình chóp với (ABM).
BT 17. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên BC, N là một điểm trên SD.
a) Tìm I = BN  (SAC), J = MN  (SAC).
b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 112
c) Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN).
BT 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành và I là trung điểm SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mp (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm G của AI và (SBD). Chứng minh G là trọng tâm tam giác SAC.
c) Gọi H là trung điểm CD. Tìm thiết diện tạo bởi (IAH) và hình chóp S.ABCD.
BT 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là
điểm trên cạnh SB sao cho : MA = 2MS, SN = 2NB. Gọi I là trung điểm của CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). HB KB
b) Tìm giao điểm H  (IMN)  AB và K  (IMN)  BC . Tính tỷ số và HA KC
c) Xác định thiết diện tạo bởi (IMN) và hình chóp.
BT 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SD, I là điểm trên cạnh SA sao cho AI = 2IS.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). KD
b) Tìm K là giao điểm của IM với (ABCD). Tính tỷ số . KA
c) Gọi N là trung điểm của BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (AMN).
§ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. KIẾN THỨC
I – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trường hợp 1. Có một mặt phẳng chứa a và b .
Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có ba khả năng sau đây xảy ra :
i) a và b có điểm chung duy nhất M . Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là a b  M. Ta
còn có thể viết a b  M .
ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a / /b .
iii) a trùng b , kí hiệu là a  b .
Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Trường hợp 2. Không có mặt phẳng nào chứa a và b .
Khi đó ta nói a và b chéo nhau hau a chéo với b .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 113 II – TÍNH CHẤT ĐỊNH LÍ 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ
một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. NHẬN XÉT
Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là  ,ab.
ĐỊNH LÍ 2 (về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song vối nhau.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 114 HỆ QUẢ
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. ĐỊNH LÍ 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.
Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c , ta kí hiệu a / /b / /c và gọi là ba đường thẳng song song.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song với
nhau, chứng minh hai đường thẳng song song a  / /b  ①  Ta có a
  ,b   Mx //a //b  . M    
② Sử dụng các tính chất của hình học để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hành ABCD . Xác định giao tuyến của các
hình thang đáy lớn AB . Gọi M là điểm bất mặt phẳng :
kì thuộc đoạn thẳng SD . Tìm giao tuyến của a) SAB và SCD ; các mặt phẳng :
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 115 b) SAD và SBC . a) d  SAB  SCD ; 1    
..................................................................... b) d  MAB  SCD ; 2    
..................................................................... c) Chứng minh d / /d . 1 2
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 116
3. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J là trọng
4. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là
tâm các tam giác ABC và ABD . Chứng
trung điểm của BC và BD . P là mặt minh IJ song song với CD .
phẳng qua IJ và cắt AC,AD lần lượt tại
.....................................................................
M,N . Chứng minh rằng tứ giác IJNM là
.....................................................................
hình thang. Nếu M là trung điểm của AC
.....................................................................
thì tứ giác IJNM là hình gì ?
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
.....................................................................
hình thang đáy lớn AB . Gọi M,N lần lượt
..................................................................... là trung điểm của S , A SB .
.....................................................................
a) Chứng minh MN song song với CD .
b) Tìm P  SC  AND.
.....................................................................
c) Gọi I  AN  DP . Chứng minh
..................................................................... SI / /AB .
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 117
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Tìm giao tuyến của hai mp (BCD) và (DMN).
BT 2. Cho tứ diện ABCD có I , J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD . Tìm giao tuyến
của AIJ  và ACD.
BT 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh
SA. Xác định giao tuyến của hai mp :
a) (SAD) và (SBC). b) (SAD) và (BCM).
BT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
tứ giác MNPQ là hình bình hành.
BT 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của các cạnh S ,
A SB, BC . Chứng minh MH //SC ; MN //AB //CD .
BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA , SB . a) Chứng minh MN //CD .
b) Tìm giao điểm P của SC và AND.
c) Kéo dài AN cắt DP tại I . Chứng minh SI //AB //CD . Tứ giác SABI là hình gì?
BT 7. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P , Q , R , S lần lượt là trung điểm của AB , CD , BC , AD , AC , BD .
a) Chứng minh MSNR là hình bình hành.
b) Chứng minh MN , PQ , RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
BT 8. Cho hai hình bình hành ABCD và ABC’D’ không nằm trong cùng một mp. Gọi O và O’ là tâm
của hai hình bình hành ấy.
a) Chứng minh : CC’ = DD’. b) Chứng minh : OO’ // DD’.
BT 9. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên các đường chéo AM BN 1
AC, BF lấy hai điểm M, N sao cho : 
 . Chứng minh rằng MN // DE. AC BF 3
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 118
BT 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN ( khi đó ta
còn nói G là trọng tâm của tứ diện ).
a) Chứng minh rằng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD. b) Chứng minh GA = 3GA’.
§ 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGSONG SONG A. KIẾN THỨC
I – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d và mặt phẳng . Tuỳ theo số điểm chung của d và , ta có ba trường hợp sau :
 d và  không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với  hay  song song với d
và kí hiệu là d / / hay / /d .
 d và  có một điểm chung duy nhất M . Khi đó ta nói d và  cắt nhau tại điểm M và kí
hiệu là d    M hay d   M .
 d và  có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó d nằm trong  hay  chứa d và kí hiệu
d   hay   d . II – TÍNH CHẤT ĐỊNH LÍ 1
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng  và d song song với đường thẳng d
nằm trong  thì d song song với . ĐỊNH LÍ 2
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 119
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng  chứa a và cắt 
theo giao tuyến b thì b song song với a . HỆ QUẢ
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. ĐỊNH LÍ 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng a  / /b  Ta có      b  a ,b  .   // 
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
.....................................................................
hình bình hành. Gọi M và N trung điểm
..................................................................... các cạnh AB và CD .
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 120
a) Chứng minh MN / /SBC  ;
..................................................................... MN / /SAD.
.....................................................................
b) Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng
.....................................................................
minh rằng SB / /MNP ; SC / /MNP.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Tìm giao tuyến, thiết diện có đường thẳng song song với mặt phẳng
① Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng biết mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia, a  / /  a) a   
   Mx / /a  . M      a  / /  b) a  / /
   Mx / /a  . M     
② Chứng minh hai đường thẳng song song a  / /  a) a     d / /a  . d     
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 121 a  / /  b) a  / /  d / /a  . d     
1. Cho tứ diện ABCD . Lấy M là điểm thuộc
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
miền trong của tam giác ABC . Gọi  là
hình thang đáy lớn AB . Gọi M là trung
mặt phẳng qua M và song song với các
điểm của CD và  là mặt phẳng qua M
đường thẳng AB và CD . Xác định thiết và song song với S , A BC .
diện tạo bởi  và tứ diện ABCD . Thiết
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  với diện đó là hình gì ? ABCD và SAB.
b) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt
phẳng . Thiết diện này là hình gì ?
c) Tìm giao tuyến của  và SAD.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 122
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho
MB = 2MC. Chứng minh rằng : MG song song với (ACD).
BT 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ACD. Chứng minh rằng
a) MN song song (BCD). b) MN song song (ABC).
BT 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng .
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hai hình bình hành. Chứng minh : OO’ // (ADF) và (BCE).
b) Gọi M vàN là trọng tâm hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh MN // (CED).
BT 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AD và N là điểm tùy ý trên BC.  là mặt phẳng chứa
đường thẳng MN và song song CD.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng  .
b) Xác định vị trí của điểm N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành.
ĐS : a) Hình thang ; b) N là trung điểm BC.
BT 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  đi qua O song song với AB, SC. Thiết diện đó
là hình gì? ĐS : Hình thang.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 123
BT 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng  qua trung điểm M của AB, song song với BD và SA.
ĐS : Thiết diện là ngũ giác MNPQR
BT 7. Cho hình chóp S.ABCD, K là điểm nằm trên cạnh bên SD, N là điểm nằm trên cạnh đáy AB. Dựng
thiết diện của mặt phẳng (P) đi qua K, N và song song AC.
BT 8. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M là một điểm bất kỳ trên
cạnh AB,  là mặt phẳng qua M và song song với AD, SB.
a) Mặt phẳng  cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
b) Chứng minh rằng SC song song  .
c) Chứng minh giao điểm hai cạnh bên của thiết diện luôn di động trên một đường thẳng cố định khi M di động trên AB.
BT 9. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M , N là hai điểm trên SB , CD và P là mặt phẳng qua MN và song song với SC .
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng P với các mặt phẳng SCD, SBC, SAC.
b) Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng P.
§ 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A. KIẾN THỨC I – ĐỊNH NGHĨA
Hai mặt phẳng , được gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm chung.
Khi đó ta kí hiệu / / hay / /. NHẬN XÉT
Cho hai mặt phẳng song song  và . Nếu đường thẳng d nằm trong , thì đường
thẳng d song song với . II – TÍNH CHẤT ĐỊNH LÍ 1
Nếu mặt phẳng  chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b và a,b cùng song song với mặt
phẳng  thì  song song với . HỆ QUẢ 1
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 124
Nếu mặt phẳng  chứa hai đường thẳng cắt nhau a,b lần lượt song song với hai đường
thẳng chứa trong mặt phẳng  thì hai măt phẳng  và  song song nhau. ĐỊNH LÍ 2
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song
song với mặt phẳng đã cho. HỆ QUẢ 2
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng  thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với . HỆ QUẢ 3
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song nhau. HỆ QUẢ 4
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với
 đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với . ĐỊNH LÍ 3
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 125 HỆ QUẢ 5
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
III – ĐỊNH LÍ TA-LÉT (THALÈS)
ĐỊNH LÍ 4 (Định lí Ta-lét)
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
IV – HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
Cho hai mặt phẳng song song  và . Trên  cho đa giác lồi AA A . Qua các đỉnh 1 2 n A ,A , ,
 A ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt  lần lượt tại A,A , ,  A . 1 2 n 1 2 n
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 126
Hình gồm hai đa giác A A A ,A A  A và 1 2 n 1 2 n các hình bình hành AA A  A  , A A A  A  , …, 1 1 2 2 2 2 3 3 A AA A
 được gọi là hình lăng trụ và được kí n n 1 1 hiệu là A A A .A A  A . 1 2 n 1 2 n
 Hai đa giác A A A và A A  A được 1 2 n 1 2 n
gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.
 Các đoạn thẳng A A ,A A ,A A được 1 1 2 2 n n
gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.
 Các hình bình hành AA A  A  , A A A  A  , 1 1 2 2 2 2 3 3 …, A AA A
 được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ. n n 1 1
 Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ. NHẬN XÉT
 Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
 Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
 Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy.
 Hình lâng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.
 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 127
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
① Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau a  / / ,cb / /d a    ,b / /   a  ,b    a
 ,b    //    / /   hoặc  ,cd  .       a  b  A  a c  A 
② Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng   / /    . d     d / / 
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
2. Cho tứ diện ABCD . Gọi G ,G ,G lần lượt là 1 2 3
hình bình hành tâm O . Gọi M,N lần lượt là
trọng tâm của các tam giác trung điểm của S , A SD . Chứng minh ABC,ACD,ABD . Chứng minh OMN//SBC. GGG // BCD . 1 2 3   
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 128
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
3. Cho hình thang ABCD có AB / /CD và
.....................................................................
điểm S  ABCD. Trên S , A BD lần lượt
.....................................................................
.....................................................................
lấy hai điểm M,N sao cho SM DN 2   . SA DB 3
.....................................................................
Lấy điểm I thuộc đoạn AB sao cho
.....................................................................
NI / /AB . Chứng minh MN / /SCD.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 2 : Tìm giao tuyến, thiết diện có mặt phẳng song song với mặt phẳng, chứng minh
đường thẳng song song với đường thẳng
① Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng biết mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia,
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 129 / /
a   Mx / /a  . M     
② Chứng minh hai đường thẳng song song / /
a a //b .     b
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
.....................................................................
hình thang đáy lớn AB . Gọi M là điểm trên
.....................................................................
cạnh BC . Xác định thiết diện của hình chóp
.....................................................................
cắt bởi mặt phẳng , biết  qua M và 
..................................................................... / /SAB.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 130
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Dạng 3 : Hình lăng trụ, hình hộp
1. Cho lăng trụ tam giác ABC.AB C
  . Gọi M 2. Cho hình hộp ABC . D AB C  D  .
và M lần lượt là trung điểm của của các
a) Chứng minh hai mặt phẳng BDA và cạnh BC và B C   .
B D C song song với nhau.
a) Chứng minh AM song song với AM.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng AB C  
b) Chứng minh rằng đường chéo AC  đi
qua trọng tâm G và G của hai tam giác
với đường thẳng AM . 1 2
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng BDA và B D  C  . AB C
c) Chứng minh G và G chia đoạn AC  và BAC. 1 2 thành ba phần bằng nhau.
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với
d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình mặt phẳng AM M  . Chứng minh G là bình hành ABCD và AAC C  . Xác định trọng tâm tam giác AB C   .
thiết diện của mặt phẳng AIO với hình
..................................................................... hộp đã cho.
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 131
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
..................................................................... C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN BT 1. Cho hình chóp .
S ABCD, đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
SA và CD . Gọi I là trung điểm của SD , J là một điểm trên ABCD cách đều AB và CD . Chứng minh IJ SAB.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 132 BT 2. Cho hình chóp .
S ABCD, đáy là hình bình hành tâm O , các tam giác SAD và ABC đều cân tại
A . Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB . Chứng minh EF SAD.
BT 3. Cho tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷. Gọi G , G , G lần lượt là trọng tâm của các tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐷, 𝐴𝐵𝐷. Chứng 1 2 3
minh rằng mặt phẳng G G G song song với mặt phẳng 1 2 3  (𝐵𝐶𝐷).
BT 4. Hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC
và BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM  BN . Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M,N lần lượt cắt AD, AF tại M',N '.
a) Chứng minh BCE ADF .
b) Chứng minh DEF MNN ' M ' .
BT 5. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh AB chung nhưng không nằm trong cùng một mặt AM BN
phẳng. Trên hai đường chéo AC và BF theo thứ tự lấy hai điểm M và N sao cho :  . Vẽ từ AC BF
M và N hai đường thẳng song song với AB, cắt AD tại Q và AF tại P. Chứng minh (MNPQ)//(DEF).
BT 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm cạnh A’B’.
a) Chứng minh : CB’ song song (AHC’).
b) Tìm giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh : (d) song song với mặt phẳng (BB’C’C).
c) Xác định thiết diện của mặt phẳng (H,d) với lăng trụ đã cho.
BT 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’.
Gọi P là một điểm nằm trên cạnh bên DD’. a) Tìm Q = BB’  (MNP).
b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện là hình gì?
c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABCD).
§ 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC I – PHÉP CHIẾU SONG SONG
Cho mặt phẳng  và đường thẳng  cắt . Với mỗi
điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và
song song hoặc trùng với  sẽ cắt  tại điểm M xác
định. Điểm M được gọi là hình chiếu song song của
điểm M trên mặt phẳng  theo phương của đường
thẳng  hoặc nói gọn là theo phương .
Mặt phẳng  gọi là mặt phẳng chiếu. Phương  gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M của nó trên mặt phẳng
 được gọi là phép chiếu song song lên  theo phương .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 133
Nếu  là một hình nào đó thì tập hợp  các hình chiếu M của tất cả những điểm M thuộc
 được gọi là hình chiếu của  qua phép chiếu song song nói trên. CHÚ Ý
Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng
đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của các đường thẳng có phương không
trùng với phương chiếu.
II – CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG ĐỊNH LÍ 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song
hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 134
III – HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG
Hình biểu diễn của một hình  trong không gian là hình chiếu song song của hình  trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Hình biểu diễn các hình thường gặp
 Tam giác. Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình chiếu của một tam giác có
dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, …).
 Hình bình hành. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của
một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhât, …).
 Hình thang. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình
thang tuỳ ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ
dài hai đáy của hình thang ban đầu.
 Hình tròn. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 135
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1
ĐỀ 1 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2020 – 2021
Bài 1: (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2 cos x  sin x 1  0. b) 2 2
3sin x  2sin 2x  cos x  3.
c) sin 2x  3 cos 2x  2  0 . d) 2
sin 2x  2sin x  4cos 2x . 
Bài 2: (1,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số :   2 tan 3  x f x . sin x
Bài 3: (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y  4sin 2x 1.
Bài 4: (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2;1) , B( 3  ;1) và đường tròn 2 2
(C) : x  y  4x  6 y  3  0 .
a) Tìm toạ độ điểm M là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm B có tỉ số k  2.
b) Viết phương trình đường tròn C ' là ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm O góc 0 90 . 
Bài 5: (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v  1;2 , đường thẳng  : 2x  y  2  0 và parabolP 2 : y  x  2x  2 . 
a) Viết phương trình  ' là ảnh của  qua phép tịnh tiến theo v .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 136
b) Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng  và điểm N nằm trên parabol (P) sao cho N là 
ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v .
---------------- Hết -----------------
ĐỀ 2 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2019 – 2020
Bài 1: (5,0 điểm). Giải các phương trình sau: e) 2 cos x  sin x 1  0 ; f)
3 sin x  cos x  2  0 ; g) 2 2
4sin 2x  3 3 sin 4x  2cos 2x  4 ; h) 2
sin 2x  2sin x  4 cos 2x . 2 
Bài 2: (1,0 điểm). Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :   cos x x f x  . x
Bài 3: (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y  2 cos 2x 1.
Bài 4: (2,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho ( A 1; 2) , B( 2  ;1) và đường tròn 2 2
(C) : x  y  2x  8  0
c) Viết phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn C qua phép quay tâm O và góc quay 0 90 ;
d) Cho biết A' , B ' lần lượt là ảnh của A và B qua phép vị tự tâm O có tỉ số k  2 . Tính độ dài đoạn thẳng A' B ' .
Bài 5: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng  : x  y  0 và  ': x  y  2  0 . Biết  
' là ảnh của  qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (a;b) . Tìm vectơ v có độ dài ngắn nhất.
---------------- Hết ----------------
ĐỀ 3 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2016 – 2017
Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau : 
a) 2cos 2x 1  0 Đs: x    k 3 
b) (sinx + 3)(tanx + 1) = 0 Đs: x    k, (k   ) 4 c) 2
cos 2x  sin x  2cos x  1  0 Đs: x    k2, (k   )  k2 
d) 3sin 2x  cos2x  2cos3x  0 Đs: x   , x    k2 15 5 3    1 1   e) 2 2 sin x      Đs: x   k ,  x    k  4  sin x cos x 4 4
Câu 2 (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  3  2sin 3x
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 137  k2  k2
Đs: GTLN của hàm số bằng 5 khi x   
; GTNN của hàm số bằng 1 khi x   6 3 6 3
Câu 3 (3 điểm): Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A1;2 , phương trình đường thẳng
 : x  2y  3  0 và phương trình đường tròn   2 2
C : x  y  4x  2y  4  0
a) Viết phương trình đường thẳng  là ảnh của phương trình  qua phép quay tâm O góc quay 0 90 
b) Viết phương trình đường tròn C C v  2;  1
là ảnh của qua phép tịnh tiến theo
c) Cho biết phương trình đường thẳng d : x  2y 1  0 là ảnh của phương trình  qua phép
vị tự tâm A tỷ số k. Tìm số k trong phép vị tự đó .
Đs: a)  ' : 2x  y  3  0 b)   2 2
C ' : x  y 1  0 c) k = 3
ĐỀ 4 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2015 - 2016
Bài 1: (5.5 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2 6sin x5cos2x 1
 0cosx30 Đs: x  k2 , x 
    k2 (k ) 3 3
b) cos3x  3sin3x  sin 4x  3cos4x Đs:   k 2 x  , x      k 2  4 2 7 2 c) 2 2
2cos x sin2x 4sin x  4 Đs: x    k  ; x     k (k ) 2 4 d) 2 2 2
sin x sin 2 x  sin 3x Đs: x  k , x k     6 3 2
Bài 2: (1.5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y4cos x 5sin2x2
Đs: GTLN của y là 7 ; GTNN của y là 1 Bài 3: (3.0 điểm).
a) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn 2 2 (C): x y 2x4y 1  0 qua phép
vị tự tâm K(1; 2) tỉ số – 2 .
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x y50 , đường thẳng  D: 3xy 1
 50 . Tìm tọa độ vectơ v có giá vuông góc với đường thẳng (d) sao cho (D) là ảnh 
của (d) qua phép tịnh tiến theo v . 
Đs: a) (C’):   2   2 x 5
y 2 16 ; b) v6;  2
ĐỀ 5 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2014 – 2015
Bài 1: Giải các phương trình sau:  
1. 3sin 2x  3 cos 2x  3 Đs: x   k , x   k 6 2 1  2. 2 2 tan x  2tan x 
 2  0 Đs: x   k (k  ) 2 cos x 4
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 138   
3. cosx – cos2x + cos3x = 0 Đs: x   k , x    k2 4 2 3 (sin x  cos x)(1 2cos3x)  2 4.  cos x Đs: x   k (k  ) 1 tan x 3 3
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (2sinx + cosx)(3sinx – cosx) – 3 5  2 1 5 2 1 Đs: Min y  ; Max y  2 2
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0,  : x – 2y – 4 = 0, đường tròn (C): x 
2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và vectơ v  (1;2) . 
1. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v
2. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O , góc quay
900, với O là gốc tọa độ.
3. Tìm tọa độ của vectơ u sao cho đường thẳng  là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến 
theo vectơ u và độ dài của vectơ u bằng 5 .
Đs:1) (C’): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 9 ; 2) d’ : 2x + y + 1 = 0; 3) u  (1; 2)
ĐỀ 6 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2013 – 2014
Bài 1. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2cosxsinx+cos  x 2
Đs: Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 –1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là  2 1
Bài 2. (5 điểm) Giải các phương trình sau: 
1) 3cos x sin x  2 Đs: x = +k2  k Z 6  2) 2 cos4x + 6sin x  7  0 Đs: x = + k 2  1 3) 2 2
3cos x  6sinx.cosx  2sin x  2 Đs: x = +k  x =arctan 2 6
sin 2x  3cos 2x 11cos x  sin x  7  4)  0 Đs: x=-  k2 tan x  3 3
Bài 3. (4.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x  y  3  0 và đường tròn C 2 2 : x  y 2x4y 4  0.
1) Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay 900.
2) Viết phương trình đường tròn (C’) sao cho đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua 
phép tịnh tiến theo vectơ u 2; –  1 .
3) Tìm tọa độ điểm E sao cho đường tròn T  2 2 : x
 y 6x 8y 24  0 là ảnh của đường
tròn (C) qua phép đối xứng tâm E.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 139
4) Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường tròn K 2 2 : x
+y =25 sao cho điểm D(3;2) là ảnh
của điểm M qua phép đối xứng trục với trục là đường thẳng d. Đs: 1) 2
ď: x + 3 y + 3 = 0 ; 2) C’: 
x  3   y  32  1 ; 3) E 1 – ;  1 ; 4) M  3 – ; 4
ĐỀ 7 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2017 – 2018
Bài 1: (1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 ycos xsin x 1  . Đs: π Miny = 0 khi x = ; Maxy = 2 khi x = 0 2
Bài 2: (6.0 điểm) Giải các phương trình sau: a)   sin3x  3cos3x  2. Đs: 2 x   k ( k   ) 18 3 b)   2
cos 8x  6 sin 2x  4  0 . Đs: x    k 6 2   x  k 
c) sin x  sin 2x  sin 3x  0 . Đs: 2   x    k2  3 1   2 3 sin 2x  cos x  sin x  cos x x   k2  d) 2 2  6 0 . Đs:  2 sin x  1  x   k  4
Bài 3: (3.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + 2y + 1 = 0, đường tròn (C): x2 +
y2 + 2x – 4y – 4 = 0 và (C’):   2    2 x 5 y 1  36 .
a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ u( 1
 ;2). Đs: d ': x  2y  2  0
b) Viết phương trình đường tròn (T) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép quay tâm O góc quay
900, với O là gốc tọa độ. Đs:   2 2
T : x  y  4x  2y  4  0
c) Phép vị tự tâm E tỉ số k biến (C) thành (C’). Tìm tọa độ điểm E và tỉ số k.  5 Đs: k  2   E 1;  ; k  2  E(7;3)  3
ĐỀ 8 : KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ NĂM HỌC 2018 – 2019
Bài 1: (4.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 140 a)   2 sin x  2  0 ; Đs: 3 x   k 2  x   k 2 4 4 b)   
cos 4x  cos 2x 1  0 ; Đs: x   k  x    k 4 2 6 c)   3sin3xcos3x  2; Đs: 2 x   k 9 3 d)  2 2
2 sin x  sin 2 x  cos x  2 . Đs: 1 x 
 k  x  arctan  k 2 2
Bài 2: (1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3sin xcosx2. Đs: GTLN của hàm số   y  4 khi s x 
 k 2 ; GTNN của hàm số y  0 khi 2 x    k 2 3 3
Bài 3: (2.0 điểm) Số giờ có ánh sáng của thành phố A ở vĩ độ 50 o bắc trong ngày thứ t của một năm   
không nhuận được cho bởi hàm số At  3sin
t 80 13 ,với t  và 0  t  365 1  82   
a) Thành phố A có đúng 13 giờ có ánh sáng vào ngày nào trong năm ? Đs: 80 và 262
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?Đs: t  353
Bài 4: (3.0 điểm) Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy a) Tìm tọa độ ’ E là ảnh của E1; 2
  qua phép quay tâm O một góc quay 90o ;Đs: E '2;  1
b) Viết phương trình đường tròn C' là ảnh của đường tròn C  x  2   y  2 : 1 2  3 qua phép 
tịnh tiến theo v  3; 
1 ; Đs: C   x  2   y  2 ' : 4 1  3 c) Gọi ,
A B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d : y  x  1 và parabol  P 2 : y  x  x 1  . Gọi ’ A và ’
B lần lượt là ảnh của A và B qua phép vị tự tâm I 1; 
1 tỷ số k  2 . Tính độ dài đoạn thẳng ’ A ’ B . Đs: A ' B '  4 2 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
ĐỀ 1 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài 1. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: a) sin2 x + 3sinx + 2 = 0. √ b) 3 sinx + cosx = 2.
Bài 2. (1.0 điểm) Giải phương trình: 2 2 A 16 C . n 2n 10  2 
Bài 3. (1.0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khaitriển  2 x      . 2  x 
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 141
Bài 4. (2.0 điểm) Một hộp có 9 quả cầu khác nhau, trong đó có 2 quả cầu màu đỏ; 3 quả cầu màu
vàng và 4 quả cầu màu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp, tính xác suất của các biến cố sau:
• A: " 3 quả cầu được chọn có đủ 3 màu".
• B: " 3 quả cầu được chọn có đúng 1 màu".
Bài 5. (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và đáy lớn AB = 2CD. Gọi M, I, J
lần lượt là trung điểm cạnh SC, SB, SA.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).
b) Tìm giao điểm K của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Chứng minh DG song song mặt phẳng (SBC).
Bài 6. (1.0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm giữa AC và BD, O’ là giao điểm
giữa A’C’ và B’D’. Chứng minh mặt phẳng (ABO’) song song với mặt phẳng (OC’D’). —–Hết—–
ĐỀ 2 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2019 - 2020
Bài 1: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2
cos x  3 cos x  2  0 . b) sin x 3cosx 1  0.
Bài 2: (1.0 điểm) Giải phương trình 2 2 4C 50  A n 2n .
Bài 3: (1.0 điểm) Đoàn trường THPT Nguyễn Du có 14 đoàn viên ưu tú, trong đó có 6 đoàn viên nam
và 8 đoàn viên nữ. Hãy cho biết đoàn trường có bao nhiêu cách chọn ra 6 đoàn viên đi dự hội trại sao
cho có ít nhất hai đoàn viên nữ và hai đoàn viên nam. 12
Bài 4: (1.0 điểm) Tìm hệ số của  3  3
x trong khai triển biểu thức 2 x    .  x 
Bài 5: (1.0 điểm) Trong giờ học môn giáo dục quốc phòng tại trường THPT Nguyễn Du, thầy giáo yêu cầu ba học sinh A A A
1, 2 , 3 độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn
trúng mục tiêu của ba em học sinh A A A 1 , 2 ,
3 tương ứng là 0, 7 ; 0, 6 và 0 , 5 . Tính xác suất để có ít
nhất một em học sinh bắn trúng mục tiêu.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 142
Bài 6: (2.0 điểm) Cho tứ diện ABCD . Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM  2MC , N là trung
điểm của BD và G là trọng tâm của A  BD .
a) Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng  AMN  và  AC  D .
b) Chứng minh đường thẳng MG song song với mặt phẳng  ACD.
Bài 7: (2.0 điểm) Cho hình chóp .
S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của
AC và BD , M là trung điểm trên cạnh SA .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng SAC và SBD ; SADvà SBC .
b) Tìm giao điểm N của mặt phẳng MCD và SB . Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp .
S ABCD cắt bởi của mặt phẳng MCD là hình gì?
------------ Hết ------------
ĐỀ 3 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2014 – 2015
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) sin 2x  3cos2x 1 Đs: x = +k  x = +k 6 
b) cos4x  cos2x  2 Đs: x = +k  k    2  c) sin2x + 2cosx  sinx 1  0 Đs: x = +k2  k    tanx + 3 3
Bài 2: (1 điểm) Lớp 11B có 30 học sinh, trong đó có 14 nam và 16 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4
bạn để dự hội trại truyền thống sao cho 4 bạn được chọn có cả nam và nữ? Đs: 24584 10
Bài 3: (1 điểm) Tìm số hạng chứa 5   x trong khai triển 2 2  x +  . Đs: 5 8 0 6 4 x  x 
Bài 4: (1 điểm) Một hộp có 4 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Chọn ra ngẫu nhiên cùng 3
lúc 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để 3 quả cầu chọn ra có đúng một màu. Đs: 44
Bài 5: (1 điểm) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình. Có
bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, biết mỗi tổ có 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học
sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Đs: 7560
Bài 6: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB và AB  2CD . Gọi M
là trung điểm SA, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm N của (MBC) và SD. Chứng minh ON // SB . OJ 1
c) Gọi J là giao điểm của SO và NB. Chứng minh M; J; C thẳng hàng. Tính tỉ số .Đs: OS 4
ĐỀ 4 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2015 – 2016
Bài 1:(4.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 143  7
a) 3sinx  3cosx  6. Đs: x   k2 ,  x   k2  (k ) 12 12  k b) 2 6 sin 3x  cos12 x  7 . Đs: x   (k  ) 6 3  k k
c) cos2x  cos8x+cos6x=1. Đs: x   ,x  8 4 3 1 cos2x   d) 1 cot 2x  . Đs: x    k ,  x   k 2 sin 2x 4 4 Bài 2:(2.0 điểm)  11
a) Giải phương trình : n 3 3 2 C  C  A n 1 + n 1 + . Đs: n = 10 n 6
b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức 4 5
A  (x  3)  (x  2) . Đs: 52
Bài 3:(1.0 điểm) Trong giờ học Giáo dục quốc phòng. Thầy giáo mời 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ,
sau đó thầy yêu cầu các học sinh này xếp thành một hàng ngang và thực hiện những động tác mà thầy
đã dạy để cho các học sinh ở dưới theo dõi. Hãy tính xác suất để sắp xếp không có học sinh nữ nào 7 đứng gần nhau. Đs: 99
Bài 4:(3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD). IM
b) Tìm giao điểm I của AM với mặt phẳng (SBD). Tính tỷ số : . Đs: 1 IA 2
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng (ABM). Thiết diện này là hình gì?
Đs: Thiết diện là hình thang
ĐỀ 5 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2016 – 2017
Bài 1:(4.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau: π kπ a) 2
3 sin 2 x  7 cos 2 x  3  0 . Đs: x   4 2 1  7
b) sin x   6  3cosx. Đs: x   k2 ,  x   k2 3 12 12 π π c) 2 2
2sin x  (3 3)sinx.cosx  ( 3 1)cos x  1
 . Đs: x    kπ,x    kπ 4 6 1 1 8 π kπ π kπ d)   . Đs: x   ,x    2 2 cos 2x sin 2x 3 6 2 6 2 Bài 2:(2.0 điểm) a) Giải phương trình: 3 n2 A  C 14n. Đs: n = 5 n n
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 144 12
b) Tìm hệ số của x3 trong khai triển nhị thức Newton  1  x  , x  0  . Đs: 220 2   x 
Bài 3:(1.0 điểm) Trường THPT Nguyễn Du có 16 học sinh là đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 7
học sinh, khối 11 có 6 học sinh và khối 10 có 3 học sinh. Văn phòng Đoàn cần chọn ra 1 nhóm gồm 5
học sinh là đoàn viên ưu tú để tham gia xây nhà tình thương. Tính xác suất để chọn được 5 học sinh 5 có đủ 3 khối. Đs: 8
Bài 4:(2.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) ; (SAD) và (SBC).
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD và N, P lần lượt là điểm nằm trên cạnh AB, CD sao
cho AN = 2NB, CP = 2DP. Tìm giao điểm của SA và (MNP).
Bài 5:(1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi I , K , M lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA , SC , OD. Chứng minh: SD song song (IKM).
ĐỀ 6 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2017 – 2018
Bài 1. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: a)  5 2
sin x  cos x  2  0 . Đs: x    k2 (k   ) 2 3   x   k2
b) cos x  1  sin x . Đs:  2 (k   ) 1  sin x  x  k2
Bài 2. (1.0 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa: 1 2 A C  78 n n . Đs: n =12
Bài 3. (1.5 điểm) Cho tập hợp A  0,1,2,3,4,5, 
6 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được lấy từ tập hợp A sao cho:
a) Các chữ số này đôi một khác nhau. Đs: 720
b) Chữ số liền sau lớn hơn chữ số liền trước . Đs: 15 12
Bài 4. (1.0 điểm) Tìm hệ số của 3  1 
x trong khai triển biểu thức 2x   . Đs: 1  12640 2   x 
Bài 5. (1.5 điểm) Trong chuyến đi học tập tham quan ngoại khóa ở Đà lạt của Trường THPT Nguyễn
Du, bạn An vào một cửa hàng bán hoa để mua hoa tặng mẹ. Bạn An chọn ngẫu nhiên 5 bông hoa hồng
từ một chậu hoa có 10 bông hồng nhung và 7 bông hồng trắng. Tính xác suất để mẹ bạn An nhận được:
a) 5 bông hoa cùng màu. Đs: 3 68
b) 5 bông hoa có đủ hai màu. Đs: 65 68
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 145
Bài 6. (3.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB, và AB  3a, CD  2a
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là điểm trên cạnh SA sao cho 3 AM  SA. 5
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
d) Tìm giao điểm N của mặt phẳng (MCD) và SB. Chứng minh ON / /(SAD) .
e) Gọi I  SOMC. Tính O I . Đs: 3 S I 5
ĐỀ 7 : ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2018 – 2019
Bài 1: (2.0 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:  a) 2
cos x 3sin x 3  0. Đs: x   k2 2   x   k  6 b)
3sin2x cos2x 1 0 . Đs:   x  k  2
Bài 2: (1.0 điểm) Tìm hệ số của 11
x trong khai triển nhị thức Newton x  x 8 2 2 . Đs: 4  48
Bài 3: (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên n thoả mãn : 2 2 1 A  C  C2  65 n n n . Đs: n  10
Bài 4: (1.0 điểm) Trước Tết Nguyên đán Kỷ Hợi năm 2019, Ban Giám Hiệu Trường THPT Nguyễn Du
sẽ tổ chức chương trình “ Tình ca mùa xuân” tại trường, Ban Giám Hiệu dự định mời các ca sĩ được
học sinh yêu thích gồm : Mỹ Tâm, Đông Nhi, Hồ Ngọc Hà, Hương Tràm, Bích Phương, Tóc Tiên ( 6 ca
sĩ nữ ), Đan Trường, Đàm Vĩnh Hưng, Noo Phước Thịnh, Hà Anh Tuấn ( 4 ca sĩ nam ). Hiện tại Ban
Giám Hiệu đã mời được 2 ca sĩ là Mỹ Tâm và Đan Trường, trong các ca sĩ còn lại Ban Giám Hiệu chọn 5
ngẫu nhiên 3 ca sĩ. Tính xác suất để Ban Giám Hiệu chọn được ít nhất hai ca sĩ nữ. Đs: 7
Bài 5: (2.0 điểm) Cho tập A  {1; 2;3; 4;5}
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được thành lập từ các số trong tập A. Đs: 625
b) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các số trong tập A. Đs: 3.999.960
Bài 6: (3.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm N của đường thẳng SA và mặt phẳng (BCM). CE
c) Gọi E là giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng (SBD). Tính . Đs:2 NE ĐỀ 8 :
Bài 1. Giải các phương trình sau: 3 1) = 4 tan x . 2 cos x 2) 2
2 sin x  sin x  1  sin 3 x .
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 146
sin 2x  2cos x  sin x 1 3)  0 . tan x  3 8
Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  5   x +   x  0 3  x 
Bài 3. Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh, 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng
lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu chọn được chỉ có một màu.
Bài 4. Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
Bài 5. Tìm số tự nhiên x thỏa phương trình 3 x–2 A +C =14x . x x
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là các điểm trên cạnh
SA và SB sao cho SA = 4SI , SB = 4 JB , K là trung điểm cạnh CD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Tìm giao điểm E của BC với mặt phẳng (IJK).
2) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (IJK) và (SCD). Gọi M là giao điểm của d với SD. Tính tỉ số SM . SD ĐỀ 9 :
Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 2 cos x – 3sin xcosx=0 b) 2 6sin 3 x+ co s1 2 x=7 c) 2 2 2 2
s in x+ s in 2 x + s in 3 x+ s in 4 x= 2 Bài 2: Cho tập hợp X  =0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 
8 . Từ các phần tử của tập X có thể lập bao nhiêu số tự nhiên biết:
a) Số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
b) Số đó là số chẵn và có 4 chữ số khác nhau từng đôi một.
Bài 3: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn n 1 – 3 5 n C = n
C . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton  – n 2 nx 1 . 14 x Bài 4: Chứng minh rằng: 1 3 2n 1 – 0 2 2n 2n 1 C C  C C C  C 2 – + + + = + + + = 2n 2n 2n 2n 2n 2n
Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Chọn
ngẫu nhiên 3 em để dự đại hội. Tính xác suất để:
a) Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi.
b) Có ít nhất một học sinh giỏi.
c) Không có học sinh trung bình.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm trên đoạn SC sao
cho S C=4S M ,N là trung điểm BC. Gọi K là điểm đối xứng của C qua B, L là điểm đối xứng của C
qua D. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD).
b) Tìm thiết diện của hình chóp với (OMN). Thiết diện là hình gì ?
c) Gọi E là giao điểm của MK và SB;F là giao điểm của ML và SD. Chứng minh rằng EF// BD .
d) Chứng minh K;A;L thẳng hàng và KL 5 = EF.
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 147 ĐỀ 10 :
Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 a) 4 = tanx b) 2 2sin x –sinx 1 = –sin3x 2 cos x + – – c) 2 2
sin x – 2sin x co sx – 3cos x=0 d) sin2x 2cosx sinx 1=0 tanx – 3 8
Bài 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  5 x– ; x 0  . 3 x   
Bài 3: Một hộp chứa 4 quả cầu mầu đỏ, 5 quả cầu màu xanh, 7 quả cầu mầu vàng. Lấy ngẫu nhiên
cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu chọn được: a) Chỉ có một mầu. b) Có đúng hai mầu. c) Có đủ cả ba mầu.
Bài 4: Tìm số nguyên dương n thỏa: 1 2 3 2 n C 6 + n C 6 + n C 9 = n 1 – 4n
Bài 5: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát đạn vào bia. Xác suất để người thứ nhất bắn trúng bia
là 0.9, và của người thứ hai là 0.7. Tính xác suất để:
a) Cả hai cùng bắn trúng bia.
b) Ít nhất một người bắn trúng bia.
c) Chỉ một người bắn trúng bia.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I;J lần lượt là các điểm trên cạnh
SA và SB sao cho S A=4S I; S B=4 JB . K là trung điểm cạnh CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm giao điểm E của BC với mặt phẳng (IJK).
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (IJK) và (SCD). Gọi M là giao điểm của d với SD. Tính tỉ số SM . SD
Biên soạn : Tổ Toán – Trường THPT Nguyễn Du 148

Đề cương học kỳ 1 Toán 11 năm 2021 – 2022 trường THPT Nguyễn Du – TP HCM

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Ma trận đề thi học kì 1 lớp 11 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều

Đề thi học kì 1 môn Toán 11 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều | đề 3

Đề thi học kì 1 môn Toán 11 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều | đề 2

Đề thi học kì 1 môn Toán 11 năm 2023 - 2024 sách Cánh diều | đề 1

Đề thi học kì 1 môn Toán 11 sách Chân trời sáng tạo | đề 1