Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

TR7ȌNG ĐẠI HỌC S7 PHẠM KHOA: TOÁN-TIN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 3
Phvong pháp đánh giá: Tü luªn
Thòi gian làm bài: 90 phút Đề số: 01
☒ Sinh viên không được sr dṇng tài li»u khi làm bài.
Sinh viên được sr dṇng tài li»u khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho (e) = {e1, e2, e3} là một co sỏ của R-không gian vécto R3 và hệ vécto
(v) = {v1 = e1 + e2, v2 = e2 + e3, v3 = e1 + e3}
(a) Tìm hạng của hệ vécto (v).
(b) Cho vécto y = v1 + 2v2 + 3v3. Hãy biểu dien tuyến tính của vécto y qua các vécto của hệ (e).
Câu 2 (2 điểm). Gọi P [
3 x] là R-không gian vécto các đa thức có bªc bé hon ho°c bằng 3 và }
W = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P [
3 x] | a + b + d = 0; a + 2b + c + 2d = 0 .
Chứng minh W là không gian vécto con của P [
3 x]. Tìm một co sỏ của W .
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bỏi f (x ) = ( ) 1, x2, x3
x1 + x2, x1 + 2x2 + x3, 3x1 − 2x3 .
(a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
(b) Tìm ma trªn của f đối vói co sỏ {e1 = (1, 1, 1); e2 = (0, 1, −1); e3 = (2, 1, 2)} của R3.
Câu 4 (2.5 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bỏi f (x ) = ( ) 1, x2, x3
x1 + 4x2 + x3, x1 − x3, −2x1 + 4x2 + 4x3 .
Gọi A là ma trªn của f đối vói co sỏ chính tắc của R3. Tìm ma trªn chéo B và ma trªn khả nghịch T
sao cho A = TBT −1.
Câu 5 (1.5 điểm). Trong R-không gian vécto R4 cho dạng toàn phvong có biểu thức tọa độ đối vói
co sỏ (e) = {e1, e2, e3, e4} nhv sau:
ω(x) = 1x2 + 2 2x2 + 3 x2 + 54 x2 + 12x2x3 − 2x2x4 − 2x3x4.
Dùng phvong pháp Lagrange để đva dạng toàn phvong trên về dạng chính tắc. Tìm ma trªn chuyển
co sỏ từ co sỏ (e) sang co sỏ để dạng toàn phvong có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 05 câu. HẾT
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(Sinh viên kẹp đề vào bài thi khi nëp.)
Đà Nẫng, ngày 04 tháng 5 năm 2025 TRƯÐNG NGÀNH
TR7ȌNG ĐẠI HỌC S7 PHẠM KHOA: TOÁN-TIN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
(Mau dành cho hình thức TỤ LUẬN/VẤN ĐÁP)
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 3
Phvong pháp đánh giá (*): Tü luªn Thòi gian: 90 phút Đề số: 01
I. NộI DUNG ĐÁP ÁN Câu hỏi Nội dung Điểm
Câu hỏi: Cho (e) = {e 2 đ
1, e2, e3} là một co sỏ của R-không gian vécto R3 và hệ vécto 1
(v) = {v1 = e1 + e2, v2 = e2 + e3, v3 = e1 + e3}
(a) Tìm hạng của hệ vécto (v).
(b) Cho vécto y = v1 + 2v2 + 3v3. Hãy biểu dien tuyến tính của vécto
y qua các vécto của hệ (e). Đáp án: ∫ ( ∫ 3x − 2)dx 3 (2x + 4) − 8 √ = √ 2 dx x2 + 4x + 5 x2 + 4x + 5 ∫ ∫ 3 d x2 + 4x + 5 dx = · √ 8 − · √ 2 x2 + 4x + 5 (x + 2)2 + 1 √ √
= 3 x2 + 4x + 5 − 8 ln x + 2 + x2 + 4x + 5 + C.
Nội dung ý 1: Tách tử số về đúng dạng 0.5 đ
Nội dung ý 2: Đva về hiệu hai tích phân 0.5 đ
Nội dung ý 3: Tính đúng từng tích phân 1 đ
Nội dung ý 4: Kết luªn đáp số đúng 0.5 đ
Câu hỏi: Gọi P [x] là R-không gian vécto các đa thức có bªc bé hon 2 đ 3 ho°c bằng 2 3 và }
W = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P [
3 x] | a + b + d = 0; a + 2b + c + 2d = 0 .
Chứng minh W là không gian vécto con của P [
3 x]. Tìm một co sỏ của W . Đáp án: ∫ +∞ ∫ dx a dx 1 a = lim = lim − = e2 x ln3 x a e2 x ln3 x a 2 ln2 x 2 →+∞ →+∞ e = − lim − = − − = . 1 1 1 1 1 1
2 a→+∞ ln2 a 4 2 4 8
Nội dung ý 1: Viết đvọc định nghĩa tích phân suy rộng 0.5 đ Tính đvọc nguyên hàm 0.5đ
Nội dung ý 3: Thế đúng cªn và tính giói hạn 1 đ
Nội dung ý 4: Kết luªn đúng 0.5 đ
Câu hỏi: Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bỏi 2 đ 3 f (x ) = ( ) 1, x2, x3
x1 + x2, x1 + 2x2 + x3, 3x1 − 2x3 .
(a) Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính. (b) Tìm ma trªn của f đối vói co sỏ
{e1 = (1, 1, 1); e2 = (0, 1, −1); e3 = (2, 1, 2)} của R3.
Đáp án: Trên khoảng [1; +∞), hàm số f (x) = x + 2 chỉ nhªn các giá trị √3 1 x2
dvong và x + 2 > . 2 2 ∫ x 3 x 3 +∞ Tuy nhiên, tích phân
dx phân kỳ. Do đó, theo tiêu chuẩn so sánh, √3 ∫ 1 x2 +∞ tích phân
x + 2 dx cũng phân kỳ. √3 1 x2
Nội dung ý 1:Dùng tiêu chuẩn so sánh 0.5đ
Nội dung ý 2: Tích phân phân kỳ. 0.5đ
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bỏi 2.5 đ 4 f (x ) = ( ) 1, x2, x3
x1 + 4x2 + x3, x1 − x3, −2x1 + 4x2 + 4x3 .
Gọi A là ma trªn của f đối vói co sỏ chính tắc của R3. Tìm ma trªn chéo
B và ma trªn khả nghịch T sao cho A = TBT −1.
Đáp án: Các đạo hàm riêng cấp 1 của f (x, y) = ye−x2−y2/18 là
f ′(x, y) = 2e−x2−y2 − 4x2e−x2−y2 ,
f ′(x, y) = −4xye−x2−y2 . x y
Giải hệ hệ phvong trình f ′ = ′ = x 0 và fy
0 để tìm các điểm nghi ngò là cục trị: ( (
f ′(x, y) = 2e−x2−y2 − 4x2e−x2−y2 = 0 2 − 4x2 = 0 x ⇔ 2 2 f ′(
y x, y) = −4xye−x −y = 0 4xy = 0 √2
PT thứ nhất của hệ suy ra x = ± . Thay vào phvong trình thứ hai của 2
hệ suy y = 0. Có 2 điểm dừng: √ ! √ ! 2 2 P , 0 , P − , 0 1 2 2 2
Tính các đạo hàm riêng cấp 2:
f ′′ (x, y) = 8x3e−x2−y2 − 12xe−x2−y2 e−(x+y)2 1 − 2(x + y)2 xx
f ′′ (x, y) = f ′′ (x, y) = 8x3e−x2−y2 − 12xe−x2−y2 xy xy
f ′′ (x, y) = 8xy2e−x2−y2 − 4xe−x2−y2 yy √ ! 2
• Xét điểm dừng P , 0 ta có 1 2 ′′ ′′ ′′ A = f ( ) = − ( ) = ( ) = − x x P1
2 < 0, B = fx y P1 0,C = fy y P1 2.
D = AC − B2 = 4 > 0.
Vªy P1 là điểm cục đại.
Nội dung ý 1: Tính đvọc gradient 0.5 đ
Nội dung ý 2: Giải ra điểm dừng 0.5 đ
Nội dung ý 3: Tính đvọc các đạo hàm riêng cấp hai 0.5 đ
Nội dung ý 4: Tính D = AC − B2 0.5 đ
Nội dung ý 4: Kết luªn đúng 0.5 đ
Câu hỏi: Trong R-không gian vécto R4 cho dạng toàn phvong có biểu 1.5 đ
thức tọa độ đối vói co sỏ ( 5
e) = {e1, e2, e3, e4} nhv sau:
ω(x) = x2 + 2x2 + x2 + 5x2 + 12x2x3 − 2x2x4 − 2x3x4. 1 2 3 4
Dùng phvong pháp Lagrange để đva dạng toàn phvong trên về dạng
chính tắc. Tìm ma trªn chuyển co sỏ từ co sỏ (e) sang co sỏ để dạng
toàn phvong có dạng chính tắc đó.
Đáp án: a) Vẽ đúng m°t parabloid elliptic.
b) Đ°t F(x, y, z) = 2x2 + y2 − 1 − z. Tính ∇ ′ ′ ′ F = (F ) = ( z , Fy , Fz 4x, 2y, −1)
→n = ∇F(M) = (4, −4, −1)
Tiếp diện nhªn vector tại M nhªn →n là vector pháp tuyến nên có phvong trình:
4(x − 1) − 4(y + 2) − 1(z − 5) = 0 hay
4x − 4y − z = 7.
Pháp tuyến tại M nhªn →n là vector chỉ phvong nên có phvong trình (dạng chính tắc)
x − 1 = y + 2 = z − 5 . 4 −4 −1 hay dạng tham số x = 1 + 4t
y = −2 − 4t , (t ∈ R) z = 5 − t
Nội dung ý 1: Vẽ đúng hình 0.5 đ
Nội dung ý 2: Viết đvọc vector pháp tuyến 0.5 đ
Nội dung ý 3: Viết đvọc phvong trình tiếp diện và pháp tuyến 0.5 đ
Tổng số câu hỏi: 5 câu 10 điểm
Chú ý: Sinh viên làm cách khác và đúng thì van cho đủ điểm.
II. LIÊN H› GIỮA CÁC CÂU HÔI THI VÀ CHUẨN ĐẦU RA HỌC PHẦN
Các chuẩn đầu ra của học phần (theo đề cvong chi tiết học phần):
1. Giải thích đvọc ý nghĩa của các khái niệm, định lý liên quan tói tích phân, tích phân suy rộng, hàm
nhiều biến, cục trị của hàm nhiều biến
2. Vªn dụng một số phần mềm máy tính để tính toán các bài toán liên quan tích phân, tích phân suy
rộng, hàm nhiều biến, cục trị của hàm nhiều biến
3. Áp dụng đvọc lý thuyết về tích phân, tích phân suy rộng, hàm nhiều biến, cục trị của hàm nhiều
biến để làm các bài tªp toán liên quan và các bài toán ứng dụng trong thục tế thuộc các chuyên ngành khác nhau
4. Tổ chức nhóm để giải quyết một dụ án học tªp ho°c làm bài tªp lón dụa trên các kiến thức mô hình toán
Chuẩn đầu ra học phần (**) Câu hỏi CLO 1 CLO 2 CLO 3 CLO 4 1 X X X 2 X X X 3 X X 4 X X X 5 X
(*) Phvong pháp đánh giá đvọc mô tả trong đề cvong học phần (**) Tùy thuộcv
ào CLO và cách bố trí dạy học mà CLO có thể đvọc đánh giá qua bài thi cuối kỳ.
Chỉ liệt kê các CLO có liên quan đến bài đánh giá này vào đây.
Đà Nẫng, ngày 12 tháng 03 năm 2025
GIÂNG VIÊN BIÊN SOẠN TRƯÐNG Bộ MÔN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN