16 trang 1 lượt tải

Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

2

DùngphươngphápLagrangeđểđưadạngtoànphươngtrênvềdạngchínhtắc.Tìmmatrận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.

Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Tài liệu gồm 16 trang , giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao.

Môn: Đại số tuyến tính (ĐSTT1) 36 tài liệu

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

giang le

4 giờ trước
Danh sách Quiz
/16
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 01 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
là một cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
và hệ vectơ
(
𝑣
)
=
{
𝑣
1
= 𝑒
1
+ 𝑒
2
, 𝑣
2
= 𝑒
1
+ 2𝑒
2
+ 𝑒
3
, 𝑣
3
= 𝑒
1
+ 3𝑒
2
+ 𝑒
3
}
.
a.
Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ
3
.
b.
Cho vectơ 𝑦 = 2𝑒
1
+ 6𝑒
2
+ 𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ y đối với cơ sở (v).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑃
3
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊
=
{
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
2
+ 𝑑𝑥
3
∈ 𝑃
3
[𝑥] | 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0
}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃
3
[𝑥]. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 𝑥
2
− 𝑥
3
, 𝑥
1
+ 3𝑥
3
, 5𝑥
1
− 2𝑥
2
)
a.
Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b.
Tìm ma trận của f đối với cơ sở
{
𝑒
1
= (1, −1,1); 𝑒
2
= (2,2,1); 𝑒
3
= (3,1,0)
}
của ℝ
3
.
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 3𝑥
3
, 4𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 3𝑥
1
+ 2𝑥
3
).
Tìm một cơ sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ
3
cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥
2
+ 7𝑥
2
+ 23𝑥
2
+ 8𝑥
1
𝑥
2
− 16𝑥
1
𝑥
3
− 28𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 02 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
là một cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
và hệ vectơ
(
𝑣
)
=
{
𝑣
1
= 𝑒
1
+ 2𝑒
2
+ 3𝑒
3
, 𝑣
2
= 2𝑒
1
− 𝑒
2
+ 𝑒
3
, 𝑣
3
= −𝑒
1
+ 𝑒
2
− 𝑒
3
}
.
a.
Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ
3
.
b.
Cho vectơ 𝑦 = 4𝑒
1
+ 3𝑒
2
+ 2𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ y đối với cơ sở (v).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑃
3
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊
=
{
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
2
+ 𝑑𝑥
3
∈ 𝑃
3
[𝑥] | − 𝑎 + 3𝑐 − 2𝑑 = 0
}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃
3
[𝑥]. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (𝑥
1
+ 2𝑥
2
− 3𝑥
3
, −𝑥
1
+ 2𝑥
3
, 5𝑥
2
− 2𝑥
3
)
a.
Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b.
Tìm ma trận của f đối với cơ sở
{
𝑒
1
= (1,1,0); 𝑒
2
= (1,2,1); 𝑒
3
= (1,3,1)
}
của ℝ
3
.
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 4𝑥
3
, 3𝑥
1
+ 5𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 𝑥
1
+ 2𝑥
3
).
Tìm một cơ sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ
3
cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔
(
𝑥
)
= 2𝑥
2
− 2𝑥
2
+ 15𝑥
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 12𝑥
1
𝑥
3
− 21𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 03 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
(
𝑒
)
=
{
𝑒
1
=
(
1,2, −3
)
; 𝑒
2
=
(
0, −1,1
)
; 𝑒
3
=
(
2,1, −2
)}
;
(
𝑣
)
= {𝑣
1
=
(
−1,1,1
)
; 𝑣
2
(
−1,2,3
)
; 𝑣
3
= (0,2,1)}.
a.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
.
b.
Cho vectơ 𝑥 = 2𝑒
1
− 𝑒
2
+ 3𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 đối với cơ sở (𝑣).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑀
2
là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Gọi
𝑊
= { (
𝑎 𝑏
) ∈ 𝑀
2
| 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0}
𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀
2
. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Gọi 𝑃
2
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét
ánh xạ sau
𝑓∶ ℝ
3
→ 𝑃
2
[𝑥]
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
➙ 𝑓
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
= 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑏𝑥 + (𝑎 − 5𝑏 − 𝑐)𝑥
2
.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (3𝑥
1
+ 5𝑥
3
, 4𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 5𝑥
1
+ 3𝑥
3
).
Tìm một cơ sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ
3
cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥
2
+ 14𝑥
2
+ 49𝑥
2
+ 12𝑥
1
𝑥
2
− 24𝑥
1
𝑥
3
− 56𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 04 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
(
𝑒
)
=
{
𝑒
1
=
(
1,1,1
)
; 𝑒
2
=
(
3,2,1
)
; 𝑒
3
=
(
0,1,3
)}
;
(
𝑣
)
= {𝑣
1
=
(
1, −1,2
)
; 𝑣
2
(
3, −4,4
)
; 𝑣
3
= (0,2,5)}.
a.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
.
b.
Cho vectơ 𝑥 = 3𝑣
1
− 𝑣
2
+ 2𝑣
3
. Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 đối với cơ sở (𝑒).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑀
2
là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Gọi
𝑊
= { (
𝑎 𝑏
) ∈ 𝑀
2
| − 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 4𝑑 = 0}
𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀
2
. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Gọi 𝑃
2
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét
ánh xạ sau
𝑓∶ ℝ
3
→ 𝑃
2
[𝑥]
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
➙ 𝑓
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
= 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑐𝑥 + (2𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐)𝑥
2
.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (𝑥
1
+ 2𝑥
2
, 2𝑥
1
+ 4𝑥
2
, 2𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
).
Tìm một cơ sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ
3
cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥
2
+ 4𝑥
2
+ 7𝑥
2
+ 6𝑥
1
𝑥
2
− 18𝑥
1
𝑥
3
− 14𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 01 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu hỏi
Nội dung
Điểm
1
Câu hỏi: Cho
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
là một cơ sở của ℝ - không gian
vectơ ℝ
3
và hệ vectơ
(
𝑣
)
=
{
𝑣
1
= 𝑒
1
+ 𝑒
2
, 𝑣
2
= 𝑒
1
+ 2𝑒
2
+ 𝑒
3
, 𝑣
3
= 𝑒
1
+ 3𝑒
2
+ 𝑒
3
}
a.
Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ
3
.
b.
Cho vectơ 𝑦 = 2𝑒
1
+ 6𝑒
2
+ 𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ
y đối với cơ sở (v).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa.
1 1 1
Chỉ ra được |
1 2 3
| = −1 ≠ 0
0 1 1
1đ
Nội dung ý 2: Viết được ma trận chuyển cở sở từ (e) sang
(v) và dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑦/(𝑣) =
(1, −2,3).
1đ
2
Câu hỏi: Gọi 𝑃
3
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có
bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊
=
{
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
2
+ 𝑑𝑥
3
∈ 𝑃
3
[𝑥] | 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0
}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃
3
[𝑥].
Tính dim(W).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3.
1đ
3
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 𝑥
2
− 𝑥
3
, 𝑥
1
+ 3𝑥
3
, 5𝑥
1
− 2𝑥
2
)
a.
Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b.
Tìm ma trận của f đối với cơ sở
{
𝑒
1
= (1, −1,1); 𝑒
2
=
(2,2,1); 𝑒
3
= (3,1,0)
}
của ℝ
3
.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
0 11/4 25/4
Nội dung ý 2: 𝐴 = [
3 21/4 27/4
]
−2 −11/4 −17/4
1đ
4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 3𝑥
3
, 4𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 3𝑥
1
+ 2𝑥
3
).
Tìm một cở sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở
này có dạng chéo.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là -1; 4; 5
1đ
Nội dung ý 2:
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = −1 là 𝑢
1
=
(
−1, −3/5,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢
2
=
(
0,1,0
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢
3
=
(
1,3,1
)
.
Chọn {u
1
, u
2
, u
3
} làm một cơ sở của ℝ
3
thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo.
1đ
5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ
3
cho dạng toàn
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥
2
+ 7𝑥
2
+ 23𝑥
2
+ 8𝑥
1
𝑥
2
− 16𝑥
1
𝑥
3
− 28𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương:
𝜔
(
𝑥
)
= 2𝑦
2
− 𝑦
2
− 5𝑦
2
1
2
3
1đ
Nội dung ý 2: với
𝑦
1
= 𝑥
1
+ 2𝑥
2
− 4𝑥
3
𝑥
1
= 𝑦
1
− 2𝑦
2
{
𝑦
2
= 𝑥
2
− 2𝑥
3
⇔ {
𝑥
2
= 𝑦
2
+ 2𝑦
3
𝑦
3
= 𝑥
3
𝑥
3
= 𝑦
3
1 −2 0
𝑃 = [
0
1
2
]
0 0 1
P là ma trận cần tìm.
1đ
Tổng số câu hỏi: 05 câu
10 điểm
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 02 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu hỏi
Nội dung
Điểm
1
Câu hỏi: Cho
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
là một cơ sở của ℝ - không gian
vectơ ℝ
3
và hệ vectơ
(
𝑣
)
=
{
𝑣
1
= 𝑒
1
+ 2𝑒
2
+ 3𝑒
3
, 𝑣
2
= 2𝑒
1
− 𝑒
2
+ 𝑒
3
, 𝑣
3
= −𝑒
1
+ 𝑒
2
− 𝑒
3
}
.
a.
Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ
3
.
b.
Cho vectơ 𝑦 = 4𝑒
1
+ 3𝑒
2
+ 2𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ
y đối với cơ sở (v).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa.
1 2 −1
Chỉ ra được |
2 −1 1
| = 5 ≠ 0
3 1 −1
1đ
Nội dung ý 2: Viết được ma trận chuyển cở sở từ (e) sang
(v) và dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑦/(𝑣) = (1,4,5).
1đ
2
Câu hỏi: Gọi 𝑃
3
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có
bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊
=
{
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥
2
+ 𝑑𝑥
3
∈ 𝑃
3
[𝑥] | − 𝑎 + 3𝑐 − 2𝑑 = 0
}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃
3
[𝑥].
Tính dim(W).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3.
1đ
dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương:
3
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (𝑥
1
+ 2𝑥
2
− 3𝑥
3
, −𝑥
1
+ 2𝑥
3
, 5𝑥
2
− 2𝑥
3
)
a.
Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b.
Tìm ma trận của f đối với cơ sở
{
𝑒
1
= (1,1,0); 𝑒
2
=
(1,2,1); 𝑒
3
= (1,3,1)
}
của ℝ
3
.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
−2 −6 −9
Nội dung ý 2: 𝐴 = [
14 17 29
]
−9 −9 −16
1đ
4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (2𝑥
1
+ 4𝑥
3
, 3𝑥
1
+ 5𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 𝑥
1
+ 2𝑥
3
).
Tìm một cở sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở
này có dạng chéo.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là 0; 4; 5
1đ
Nội dung ý 2:
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 0 là 𝑢
1
=
(
−2,3/5,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢
2
=
(
2, −9,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢
3
=
(
0,1,0
)
.
Chọn {u
1
, u
2
, u
3
} làm một cơ sở của ℝ
3
thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo.
1đ
5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ
3
cho dạng toàn
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔
(
𝑥
)
= 2𝑥
2
− 2𝑥
2
+ 15𝑥
2
+ 4𝑥
1
𝑥
2
− 12𝑥
1
𝑥
3
− 21𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
2đ
1đ
𝜔
(
𝑥
)
= 2𝑦
2
− 4𝑦
2
+
33
𝑦
2
1
2
16
3
Nội dung ý 2: với
𝑦 = 𝑥
+ 𝑥 − 3𝑥
𝑥 = 𝑦
− 𝑦
+
33
𝑦
1
1
2
3
1
1
2
8
3
{
𝑦
= 𝑥 +
9
𝑥
⇔
9
2 2
8
3
𝑥
2
= 𝑦
2
− 𝑦
3
𝑦
3
= 𝑥
3
⎝𝑥 = 𝑦
8
3
3
33
⎡1 −1 ⎤
8
𝑃 =
9
⎢
0 1 −
8
⎥
⎣
0 0 1
⎦
P là ma trận cần tìm.
1đ
Tổng số câu hỏi: 05 câu
10 điểm
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
ℝ - không gian vectơ các đa thức có
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 03 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu hỏi
Nội dung
Điểm
1
Câu hỏi: Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
(
𝑒
)
=
{
𝑒
1
=
(
1,2, −3
)
; 𝑒
2
=
(
0, −1,1
)
; 𝑒
3
=
(
2,1, −2
)}
;
(
𝑣
)
= {𝑣
1
=
(
−1,1,1
)
; 𝑣
2
(
−1,2,3
)
; 𝑣
3
= (0,2,1)}.
a.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
.
b.
Cho vectơ 𝑥 = 2𝑒
1
− 𝑒
2
+ 3𝑒
3
. Tìm tọa độ của vectơ
𝑥 đối với cơ sở (𝑣).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
là:
−3 −9 −6
𝑃 = [
−6 −16 −11
] .
1 4 3
1đ
Nội dung ý 2: Dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑥/(𝑣) =
(2/3, −26/3,37/3).
1đ
2
Câu hỏi: Gọi 𝑀
2
là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông
cấp 2. Gọi
𝑊
= { (
𝑎 𝑏
) ∈ 𝑀
2
| 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0}
𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀
2
. Tính
dim(W).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3.
1đ
2đ
3
bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau
𝑓∶ ℝ
3
→ 𝑃
2
[𝑥]
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
➙ 𝑓
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
= 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑏𝑥 + (𝑎 − 5𝑏 −
𝑐)𝑥
2
.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: Ker (𝑓) = {(𝑎, 0, 𝑎)|𝑎 tù𝑦 ý}
1đ
4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (3𝑥
1
+ 5𝑥
3
, 4𝑥
2
+ 3𝑥
3
, 5𝑥
1
+ 3𝑥
3
).
Tìm một cở sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở
này có dạng chéo.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là -2; 4; 8
1đ
Nội dung ý 2:
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = −2 là 𝑢
1
=
(
−1, −1/2,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢
2
=
(
0,1,0
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 8 là 𝑢
3
=
(
1,3/4,1
)
.
Chọn {u
1
, u
2
, u
3
} làm một cơ sở của ℝ
3
thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo.
1đ
5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ
3
cho dạng toàn
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥
2
+ 14𝑥
2
+ 49𝑥
2
+ 12𝑥
1
𝑥
2
− 24𝑥
1
𝑥
3
− 56𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương:
𝜔
(
𝑥
)
= 3𝑦
2
+ 2𝑦
2
− 7𝑦
2
1
2
3
1đ
Nội dung ý 2: với
1đ
𝑦
1
= 𝑥
1
+ 2𝑥
2
− 4𝑥
3
𝑥
1
= 𝑦
1
− 2𝑦
2
{
𝑦
2
= 𝑥
2
− 2𝑥
3
⇔ {
𝑥
2
= 𝑦
2
+ 2𝑦
3
𝑦
3
= 𝑥
3
𝑥
3
= 𝑦
3
1 −2 0
𝑃 = [
0
1
2
]
0 0 1
P là ma trận cần tìm.
Tổng số câu hỏi: 05 câu
10 điểm
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính
Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03
Đề số: 04 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu hỏi
Nội dung
Điểm
1
Câu hỏi: Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ
3
(
𝑒
)
=
{
𝑒
1
=
(
1,1,1
)
; 𝑒
2
=
(
3,2,1
)
; 𝑒
3
=
(
0,1,3
)}
;
(
𝑣
)
= {𝑣
1
=
(
1, −1,2
)
; 𝑣
2
(
3, −4,4
)
; 𝑣
3
= (0,2,5)}.
a.
Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
.
b.
Cho vectơ 𝑥 = 3𝑣
1
− 𝑣
2
+ 2𝑣
3
. Tìm tọa độ của vectơ
𝑥 đối với cơ sở (𝑒).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Ma trận chuyển cơ sở từ
(
𝑒
)
sang
(
𝑣
)
là:
−20 −63 3
𝑃 = [
7
22
−1
]
.
5 15 1
1đ
Nội dung ý 2: Dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑥/(𝑣) =
(9, −3,2).
1đ
2
Câu hỏi: Gọi 𝑀
2
là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông
cấp 2. Gọi
𝑊
= { (
𝑎 𝑏
) ∈ 𝑀
2
| − 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 4𝑑 = 0}
𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀
2
. Tính
dim(W).
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3.
1đ
Câu hỏi: Gọi 𝑃
2
[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có
bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau
giang
2đ
3
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
➙ 𝑓
(
𝑎, 𝑏, 𝑐
)
= 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑐𝑥 + (2𝑎 + 4𝑏 −
5𝑐)𝑥
2
.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa
1đ
Nội dung ý 2: Ker (𝑓) = {(−2𝑎, 𝑎, 0)|𝑎 tù𝑦 ý}
1đ
4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ
3
→ ℝ
3
xác định
bởi
𝑓(𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
) = (𝑥
1
+ 2𝑥
2
, 2𝑥
1
+ 4𝑥
2
, 2𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 𝑥
3
).
Tìm một cở sở của ℝ
3
sao cho ma trận của f đối với cơ sở
này có dạng chéo.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là 0; 1; 5
1đ
Nội dung ý 2:
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 0 là 𝑢
1
=
(
−2/3,1/3,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 1 là 𝑢
2
=
(
0,0,1
)
.
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢
3
=
(
1,2,1
)
.
Chọn {u
1
, u
2
, u
3
} làm một cơ sở của ℝ
3
thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo.
1đ
5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ
3
cho dạng toàn
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) =
{
𝑒
1
, 𝑒
2
, 𝑒
3
}
như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥
2
+ 4𝑥
2
+ 7𝑥
2
+ 6𝑥
1
𝑥
2
− 18𝑥
1
𝑥
3
− 14𝑥
2
𝑥
3
1
2
3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
2đ
Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương:
𝜔
(
𝑥
)
= 3𝑦
2
+ 𝑦
2
− 24𝑦
2
1
2
3
1đ
Nội dung ý 2: với
𝑦
1
= 𝑥
1
+ 𝑥
2
− 3𝑥
3
𝑥
1
= 𝑦
1
− 𝑦
2
+ 5𝑦
3
{
𝑦
2
= 𝑥
2
+ 2𝑥
3
⇔ {
𝑥
2
= 𝑦
2
− 2𝑦
3
𝑦
3
= 𝑥
3
𝑥
3
= 𝑦
3
1 −1 5
𝑃 =
[
0 1 −2
]
0 0 1
P là ma trận cần tìm.
1đ
Tổng số câu hỏi: 05 câu
10 điểm
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
TRƯỞNG BỘ MÔN

Tài liệu khác của Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 01 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} là một cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3 và hệ vectơ
(𝑣) = {𝑣1 = 𝑒1 + 𝑒2, 𝑣2 = 𝑒1 + 2𝑒2 + 𝑒3, 𝑣3 = 𝑒1 + 3𝑒2 + 𝑒3 }.
a. Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ3.
b. Cho vectơ 𝑦 = 2𝑒1 + 6𝑒2 + 𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ y đối với cơ sở (v).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑃3[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∈ 𝑃3[𝑥] | 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃3[𝑥]. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3, 𝑥1 + 3𝑥3, 5𝑥1 − 2𝑥2)
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở {𝑒1 = (1, −1,1); 𝑒2 = (2,2,1); 𝑒3 = (3,1,0)} của ℝ3.
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 3𝑥3, 4𝑥2 + 3𝑥3, 3𝑥1 + 2𝑥3).
Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥2 + 7𝑥2 + 23𝑥2 + 8𝑥1𝑥2 − 16𝑥1𝑥3 − 28𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023 TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 02 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} là một cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3 và hệ vectơ
(𝑣) = {𝑣1 = 𝑒1 + 2𝑒2 + 3𝑒3, 𝑣2 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3, 𝑣3 = −𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 }.
a. Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ3.
b. Cho vectơ 𝑦 = 4𝑒1 + 3𝑒2 + 2𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ y đối với cơ sở (v).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑃3[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi
𝑊 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∈ 𝑃3[𝑥] | − 𝑎 + 3𝑐 − 2𝑑 = 0}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃3[𝑥]. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Cho ánh xạ 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3, −𝑥1 + 2𝑥3, 5𝑥2 − 2𝑥3)
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở {𝑒1 = (1,1,0); 𝑒2 = (1,2,1); 𝑒3 = (1,3,1)} của ℝ3.
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 4𝑥3, 3𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3, 𝑥1 + 2𝑥3).
Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥2 − 2𝑥2 + 15𝑥2 + 4𝑥1𝑥2 − 12𝑥1𝑥3 − 21𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023 TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 03 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3
(𝑒) = {𝑒1 = (1,2, −3); 𝑒2 = (0, −1,1); 𝑒3 = (2,1, −2)};
(𝑣) = {𝑣1 = (−1,1,1); 𝑣2(−1,2,3); 𝑣3 = (0,2,1)}.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣).
b. Cho vectơ 𝑥 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 3𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 đối với cơ sở (𝑣).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑀2 là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Gọi 𝑎 𝑏 𝑊 = { (
) ∈ 𝑀2 | 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0} 𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀2. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Gọi 𝑃2[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau 𝑓∶ ℝ3 → 𝑃2[𝑥]
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ➙ 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑏𝑥 + (𝑎 − 5𝑏 − 𝑐)𝑥2.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (3𝑥1 + 5𝑥3, 4𝑥2 + 3𝑥3, 5𝑥1 + 3𝑥3).
Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥2 + 14𝑥2 + 49𝑥2 + 12𝑥1𝑥2 − 24𝑥1𝑥3 − 56𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023 TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 04 Thời gian: 90 phút
☑ Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
🗌 Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Câu 1 (2 điểm). Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3
(𝑒) = {𝑒1 = (1,1,1); 𝑒2 = (3,2,1); 𝑒3 = (0,1,3)};
(𝑣) = {𝑣1 = (1, −1,2); 𝑣2(3, −4,4); 𝑣3 = (0,2,5)}.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣).
b. Cho vectơ 𝑥 = 3𝑣1 − 𝑣2 + 2𝑣3. Tìm tọa độ của vectơ 𝑥 đối với cơ sở (𝑒).
Câu 2 (2 điểm). Gọi 𝑀2 là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2. Gọi 𝑎 𝑏 𝑊 = { (
) ∈ 𝑀2 | − 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 4𝑑 = 0} 𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀2. Tính dim(W).
Câu 3 (2 điểm). Gọi 𝑃2[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau 𝑓∶ ℝ3 → 𝑃2[𝑥]
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ➙ 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑐𝑥 + (2𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐)𝑥2.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓).
Câu 4 (2 điểm). Cho phép biến đổi tuyến tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1 + 2𝑥2, 2𝑥1 + 4𝑥2, 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3).
Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 5 (2 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu thức tọa độ đối
với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥2 + 4𝑥2 + 7𝑥2 + 6𝑥1𝑥2 − 18𝑥1𝑥3 − 14𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 5 câu
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023 TRƯỞNG BỘ MÔN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 01 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu hỏi Nội dung Điểm
Câu hỏi: Cho {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} là một cơ sở của ℝ - không gian 2đ vectơ ℝ3 và hệ vectơ
(𝑣) = {𝑣1 = 𝑒1 + 𝑒2, 𝑣2 = 𝑒1 + 2𝑒2 + 𝑒3, 𝑣3 1 = 𝑒1 + 3𝑒2 + 𝑒3 }
a. Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ3.
b. Cho vectơ 𝑦 = 2𝑒1 + 6𝑒2 + 𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ
y đối với cơ sở (v). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa. 1đ 1 1 1
Chỉ ra được |1 2 3| = −1 ≠ 0 0 1 1
Nội dung ý 2: Viết được ma trận chuyển cở sở từ (e) sang 1đ
(v) và dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑦/(𝑣) = (1, −2,3).
Câu hỏi: Gọi 𝑃3[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có 2đ
bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi 2
𝑊 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∈ 𝑃3[𝑥] | 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃3[𝑥]. Tính dim(W). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3. 1đ 2đ
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi 3
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3, 𝑥1 + 3𝑥3, 5𝑥1 − 2𝑥2)
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở {𝑒1 = (1, −1,1); 𝑒2 =
(2,2,1); 𝑒3 = (3,1,0)} của ℝ3. Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ 0 11/4 25/4 1đ Nội dung ý 2: 𝐴 = [ 3 21/4 27/4 ] −2 −11/4 −17/4 4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định 2đ bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 3𝑥3, 4𝑥2 + 3𝑥3, 3𝑥1 + 2𝑥3).
Tìm một cở sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là -1; 4; 5 1đ Nội dung ý 2: 1đ
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = −1 là 𝑢1 = (−1, −3/5,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢2 = (0,1,0).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢3 = (1,3,1).
Chọn {u1, u2, u3} làm một cơ sở của ℝ3 thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo. 5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ3 cho dạng toàn 2đ
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥2 + 7𝑥2 + 23𝑥2 + 8𝑥1𝑥2 − 16𝑥1𝑥3 − 28𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương: 1đ
𝜔(𝑥) = 2𝑦2 − 𝑦2 − 5𝑦2 1 2 3 Nội dung ý 2: với 1đ
𝑦1 = 𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 𝑥1 = 𝑦1 − 2𝑦2 {𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑥3 ⇔ {𝑥2 = 𝑦2 + 2𝑦3 𝑦3 = 𝑥3 𝑥3 = 𝑦3 1 −2 0 𝑃 = [0 1 2] 0 0 1 P là ma trận cần tìm.
Tổng số câu hỏi: 05 câu 10 điểm
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN TRƯỞNG BỘ MÔN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 02 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu hỏi Nội dung Điểm
Câu hỏi: Cho {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} là một cơ sở của ℝ - không gian 2đ vectơ ℝ3 và hệ vectơ
(𝑣) = {𝑣1 = 𝑒1 + 2𝑒2 + 3𝑒3, 𝑣2 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3, 𝑣3 1
= −𝑒1 + 𝑒2 − 𝑒3 }.
a. Chứng minh hệ (v) là một cơ sở của ℝ3.
b. Cho vectơ 𝑦 = 4𝑒1 + 3𝑒2 + 2𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ
y đối với cơ sở (v). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa. 1đ 1 2 −1 Chỉ ra được |2 −1 1 | = 5 ≠ 0 3 1 −1
Nội dung ý 2: Viết được ma trận chuyển cở sở từ (e) sang 1đ
(v) và dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑦/(𝑣) = (1,4,5).
Câu hỏi: Gọi 𝑃3[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có 2đ
bậc bé hơn hoặc bằng 3. Gọi 2
𝑊 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 ∈ 𝑃3[𝑥] | − 𝑎 + 3𝑐 − 2𝑑 = 0}
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑃3[𝑥]. Tính dim(W). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3. 1đ 2đ
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định bởi 3
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3, −𝑥1 + 2𝑥3, 5𝑥2 − 2𝑥3)
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính.
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở {𝑒1 = (1,1,0); 𝑒2 =
(1,2,1); 𝑒3 = (1,3,1)} của ℝ3. Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ −2 −6 −9 1đ Nội dung ý 2: 𝐴 = [ 14 17 29 ] −9 −9 −16 4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định 2đ bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (2𝑥1 + 4𝑥3, 3𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3, 𝑥1 + 2𝑥3).
Tìm một cở sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là 0; 4; 5 1đ Nội dung ý 2: 1đ
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 0 là 𝑢1 = (−2,3/5,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢2 = (2, −9,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢3 = (0,1,0).
Chọn {u1, u2, u3} làm một cơ sở của ℝ3 thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo. 5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ3 cho dạng toàn 2đ
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 2𝑥2 − 2𝑥2 + 15𝑥2 + 4𝑥1𝑥2 − 12𝑥1𝑥3 − 21𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương: 1đ
𝜔(𝑥) = 2𝑦2 − 4𝑦2 + 33 𝑦2 1 2 16 3 Nội dung ý 2: với 1đ 33 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 𝑥 = 𝑦 − 𝑦 + 𝑦 1 1 2 3 1 1 2 9 8 3 {𝑦 = 𝑥 + 𝑥 ⇔ 9 2 2 8 3 𝑥2 = 𝑦2 − 𝑦3 𝑦 8 3 = 𝑥3 ⎝𝑥 = 𝑦 3 3 33 ⎡1 −1 ⎤ 8 𝑃 = 9 ⎢0 1 − 8⎥ ⎣0 0 1 ⎦ P là ma trận cần tìm.
Tổng số câu hỏi: 05 câu 10 điểm
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN TRƯỞNG BỘ MÔN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 03 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu hỏi Nội dung Điểm
Câu hỏi: Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3 2đ
(𝑒) = {𝑒1 = (1,2, −3); 𝑒2 = (0, −1,1); 𝑒3 = (2,1, −2)};
(𝑣) = {𝑣1 = (−1,1,1); 𝑣2(−1,2,3); 𝑣3 = (0,2,1)}.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣). 1
b. Cho vectơ 𝑥 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 3𝑒3. Tìm tọa độ của vectơ
𝑥 đối với cơ sở (𝑣). Đáp án:
Nội dung ý 1: Ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣) là: 1đ −3 −9 −6 𝑃 = [−6 −16 −11] . 1 4 3
Nội dung ý 2: Dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑥/(𝑣) = 1đ (2/3, −26/3,37/3).
Câu hỏi: Gọi 𝑀2 là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông 2đ cấp 2. Gọi 2 𝑎 𝑏 𝑊 = { (
) ∈ 𝑀2 | 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 = 0} 𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀2. Tính dim(W). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3. 1đ
ℝ - không gian vectơ các đa thức có 2đ bậc
bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau 3 𝑓∶ ℝ3 → 𝑃2[𝑥]
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ➙ 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 2𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 + 2𝑏𝑥 + (𝑎 − 5𝑏 − 𝑐)𝑥2.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: Ker (𝑓) = {(𝑎, 0, 𝑎)|𝑎 tù𝑦 ý} 1đ 4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định 2đ bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (3𝑥1 + 5𝑥3, 4𝑥2 + 3𝑥3, 5𝑥1 + 3𝑥3).
Tìm một cở sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là -2; 4; 8 1đ Nội dung ý 2: 1đ
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = −2 là 𝑢1 = (−1, −1/2,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 4 là 𝑢2 = (0,1,0).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 8 là 𝑢3 = (1,3/4,1).
Chọn {u1, u2, u3} làm một cơ sở của ℝ3 thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo. 5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ3 cho dạng toàn 2đ
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥2 + 14𝑥2 + 49𝑥2 + 12𝑥1𝑥2 − 24𝑥1𝑥3 − 56𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương: 1đ
𝜔(𝑥) = 3𝑦2 + 2𝑦2 − 7𝑦2 1 2 3 Nội dung ý 2: với 1đ
𝑦1 = 𝑥1 + 2𝑥2 − 4𝑥3 𝑥1 = 𝑦1 − 2𝑦2 {𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑥3 ⇔ {𝑥2 = 𝑦2 + 2𝑦3 𝑦3 = 𝑥3 𝑥3 = 𝑦3 1 −2 0 𝑃 = [0 1 2] 0 0 1 P là ma trận cần tìm.
Tổng số câu hỏi: 05 câu 10 điểm
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN TRƯỞNG BỘ MÔN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA: TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: 3190260 Số tín chỉ: 03 Đề số: 04 Thời gian: 90 phút
Phương pháp đánh giá (*): Tự luận NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu hỏi Nội dung Điểm
Câu hỏi: Cho hai cơ sở của ℝ - không gian vectơ ℝ3 2đ
(𝑒) = {𝑒1 = (1,1,1); 𝑒2 = (3,2,1); 𝑒3 = (0,1,3)};
(𝑣) = {𝑣1 = (1, −1,2); 𝑣2(3, −4,4); 𝑣3 = (0,2,5)}.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣). 1
b. Cho vectơ 𝑥 = 3𝑣1 − 𝑣2 + 2𝑣3. Tìm tọa độ của vectơ
𝑥 đối với cơ sở (𝑒). Đáp án:
Nội dung ý 1: Ma trận chuyển cơ sở từ (𝑒) sang (𝑣) là: 1đ −20 −63 3 𝑃 = [ 7 22 −1] . 5 15 1
Nội dung ý 2: Dùng công thức đổi tọa độ để suy ra 𝑥/(𝑣) = 1đ (9, −3,2).
Câu hỏi: Gọi 𝑀2 là ℝ - không gian vectơ các ma trận vuông 2đ cấp 2. Gọi 2 𝑎 𝑏 𝑊 = { (
) ∈ 𝑀2 | − 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 − 4𝑑 = 0} 𝑐 𝑑
Chứng minh W là không gian vectơ con của 𝑀2. Tính dim(W). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: dim(W) = 3. 1đ
Câu hỏi: Gọi 𝑃2[𝑥] là ℝ - không gian vectơ các đa thức có 2đ
bậc bé hơn hoặc bằng 2. Xét ánh xạ sau giang 3
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ➙ 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑐𝑥 + (2𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐)𝑥2.
Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker (𝑓). Đáp án:
Nội dung ý 1: Chứng minh theo định nghĩa 1đ
Nội dung ý 2: Ker (𝑓) = {(−2𝑎, 𝑎, 0)|𝑎 tù𝑦 ý} 1đ 4
Câu hỏi: Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓∶ ℝ3 → ℝ3 xác định 2đ bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1 + 2𝑥2, 2𝑥1 + 4𝑥2, 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3).
Tìm một cở sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo. Đáp án:
Nội dung ý 1: f có 3 trị riêng phân biệt là 0; 1; 5 1đ Nội dung ý 2: 1đ
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 0 là 𝑢1 = (−2/3,1/3,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 1 là 𝑢2 = (0,0,1).
Vector riêng ứng với trị riêng 𝜆 = 5 là 𝑢3 = (1,2,1).
Chọn {u1, u2, u3} làm một cơ sở của ℝ3 thì ma trận của f
đối với cơ sở này có dạng chéo. 5
Câu hỏi: Trong ℝ - không gian vector ℝ3 cho dạng toàn 2đ
phương có biểu thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 3𝑥2 + 4𝑥2 + 7𝑥2 + 6𝑥1𝑥2 − 18𝑥1𝑥3 − 14𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên
về dạng chính tắc. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e)
sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó. Đáp án:
Nội dung ý 1: Dạng chính tắc của dạng toàn phương: 1đ
𝜔(𝑥) = 3𝑦2 + 𝑦2 − 24𝑦2 1 2 3 Nội dung ý 2: với 1đ
𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3
𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 + 5𝑦3 {𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑥3 ⇔ {𝑥2 = 𝑦2 − 2𝑦3 𝑦3 = 𝑥3 𝑥3 = 𝑦3 1 −1 5 𝑃 = [0 1 −2] 0 0 1 P là ma trận cần tìm.
Tổng số câu hỏi: 05 câu 10 điểm
Đà Nẵng, ngày 26 tháng 11 năm 2023
GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN TRƯỞNG BỘ MÔN
ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN

Tài liệu liên quan: