Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ÔN TÂP CHƯƠNG 3 - 4 - 5
CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VÉCTƠ
I. Tổ hợp tuyến tính - Độc lập tuyến tính - Phụ thuộc tuyến tính
Bài 1. Trong không gian R3. Chứng minh rằng véctơ x tổ hợp qua hệ {a1, a2, a3} và
chỉ ra một tổ hợp tuyến tính trong các trường hợp sau
a. x = (2, 4, 3), a1 = (0, −3, 1), a2 = (1, 0, −5), a3 = (2, −4, 0).
b. x = (3, 1, 2), a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, 3, 0), a3 = (2, −4, 1)
c. x = (0, 1, 2), a1 = (−1, 0, 7), a2 = (4, 1, 6), a3 = (0, 5, 0)
d. x = (3, 1, 4), a1 = (−2, 1, 6), a2 = (3, 0, −1), a3 = (2, 4, 1)
Bài 2. Trong không gian M2(R). Chứng minh rằng véctơ x tổ hợp qua hệ {a1, a2, a3, a4}
và chỉ ra một tổ hợp tuyến tính trong các trường hợp sau a. x = 2 1 , a 1 = 1 3 , a2 = 2 0 , a3 = 2 5 , a4 = 0 , 0 4 0 0 −1 4 5 1 0 4 −3 5 −1 2 0 0 3 2 0 0 1 b. x = , a 1 = , a2 = , a3 = , a4 = , 4 3 0 7 1 3 4 0 5 3 6 4 5 1 2 0 2 1 0 0 c. x = , a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , 3 1 0 0 4 9 −3 0 7 2
Bài 3. Trong không gian P2[x]. Tìm giá trị của m để véctơ g tổ hợp qua hệ {f1, f2, f3}.
a. g = 1 + mx + x2, f1 = 1 + 3x, f2 = 1 + 2x2, f3 = 1 + 2x + x2.
b. g = 1 + 2x − x2, f1 = 2m − 2x + x2, f2 = 4x + 2x2, f3 = −1 + 2x2.
c. g = 3x + x2, f1 = −x + 3x2, f2 = 4x, f3 = −m.
Bài 4. Trong không gian P3[x]. Xét tính độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến của các hệ sau
a. f1 = 2 + x3, f2 = x2, f3 = −1 + x, f4 = 3.
b. f1 = x3, f2 = 1 − x2, f3 = 1 + 2x, f4 = 1 − 2x + 5x3.
c. f1 = 1 + x3, f2 = 1 − x2, f3 = 1 − 2x + 3x2, f4 = x3.
d. f1 = 1 + x3, f2 = −2 + x + x2, f3 = 3x, f4 = x3.
Bài 5. Tìm giá trị của m để các hệ sau là cơ sở của R4
a. u1 = (1, 3, 0, −1), u2 = (2, 0, 4, 5), u3 = (2, 5, −1, 0), u4 = (0, 0, m, −5)
b. u1 = (0, 3, 0
, 7), u2 = (2, 0, 1, 3), u3 = (m, −1, 4, 0), u4 = (0, 1, 5, 3)
c. u1 = (5, 1, 0, 0), u2 = (2, 0, 4, m), a3 = (2, 1, −3, 0), a4 = (0, 0, 7, 2)
Bài 6. Hệ nào sau đây là cơ sở của M2(R). −1 0 1 0 2 1 0 2 a. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = , 0 0 0 0 2 0 0 1 1 −1 5 1 1 0 2 0 b. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = , 0 0 0 0 −1 1 0 −1 −3 −1 1 0 2 0 4 1 c. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = , 1 0 5 0 4 1 −2 1
Bài 7. Xét tính độc lập hay phụ thuộc tuyến tính của hệ sau trong Rn, n = 3, 4.
a. a1 = (3, 2, 1), a2 = (2, 1, 6), a3 = (1, 1, 0)
b. a1 = (1, 0, 2), a2 = (1, 3, 1), a3 = (1, 6, 0)
c. a1 = (1, 0, 2, 1), a2 = (1, 3, 1, 2), a3 = (1, 6, 0, 3)
d. a1 = (1, 1, 2, 1), a2 = (0, 0, 1, 1), a3 = (1, 1, 0,
0), a4 = (2, 1, 1, 0). m 0 Bài 8. Trong M
2(R), tìm giá trị của m để véctơ tổ hợp qua hệ sau: 2 1 1 1 1 2 1 0 2 1 a. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = . 1 1 3 4 0 −1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 b. u1 = , u2 = , a3 = , a4 = , 1 2 0 1 1 0 1 1 1 −1 1 2 3 4 4 2 c. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = , 3 4 5 6 2 4 5 1 2 −1 4 2 1 1 1 1 d. u 1 = , u2 = , a3 = , a4 = . 1 0 1 3 5 2 −1 0
II. Toạ độ của véctơ - Ma trận chuyển cơ sở
Bài 9. Trong không gian R3 cho véctơ x = (3, 1, 4). Tìm toạ độ của x đối với cơ sở sau:
a. a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1), a3 = (1, 0, 1),
b. a1 = (0, 3, −1), a2 = (1, 0, −5), a3 = (2, −6, −7),
c. a1 = (4, 0, 0), a2 = (2, 1, 0), a3 = (0, 2, 1).
d. a1 = (5, 1, 0), a2 = (1, −1, 0), a3 = (1, −1, 1). 4 2
Bài 10. Trong không gian M2(R). Tìm toạ độ của véctơ A =
, đối với các cơ 1 3 sở sau: 1 0 1 1 1 1 1 1 a. U 1 = , U2 = , U3 = , U4 = 0 0 0 0 1 0 1 1 1 3 2 0 2 5 0 0 b. U 1 = , U2 = , U3 = , U4 = . 0 −1 4 5 −1 0 4 −3 5 −1 0 3 2 0 0 1 c. U 1 = , U2 = , U3 = , U4 = . 0 7 1 3 4 0 5 3
Bài 11. Trong không gian P3[x] gồm các đa thức bậc bé hơn bằng 3. Tìm toạ độ của
véc tơ h = 1 + x + x2 + x3 đối với các cơ sở sau:
a. f1 = 4, f2 = 2 + x, f3 = −1 + 2x2, f4 = 2x + x3
b. f1 = 5 + x, f2 = 1 − x, f3 = 1 − 2x2 + x3, f4 = 2 − x3
c. f1 = 5 + x, f2 = 2 + x2 + 9x3, f3 = 2 + x − 3x2, f4 = 7x2 + 2x3.
Bài 12. Trong không gian véctơ R3. Cho hai hệ véctơ
(u) = {u1 = (4, 2, 5), u2 = (0, 3, 7), u3 = (−1, 2, 2)}
(v) = {v1 = (3, 0, −2), v2 = (−2, 3, 0), u3 = (0, −2, 3)}
a. Chứng minh rằng (u), (v) là hai cơ sở của R3.
b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v).
c. Cho a = u1 + 2u2 + 3u3. Tìm toạ độ của a đối với cơ sở (u).
d. Cho b = v1 + 3v2 − 2v3. Tìm toạ độ của b đối với cơ sở (v).
Bài 13. Trong không gian véctơ V. Cho cơ sở (a) ={a1, a2, a3, a4}.
a. Chứng minh rằng các hệ véc tơ
(b) = {b1 = 5a1 − 3a2 + 4a4, b2 = a1 + 7a2 − 3a3, b3 = 6a3 − a4, b4 = a1 + 5a4} là cơ sơ của V.
b. Tìm ma trận chuyển cở sở từ cơ sở (a) sang cơ sở (b).
c. Cho x = 3a1 + a3. Tìm toa độ của x đối với cở sở (b).
Bài 14. Trong không gian véctơ V. Cho hai cơ sở (a) = {a1, a2, a3, a4} và (b) =
{b1, b2, b3, b4} có ma trận chuyển cơ sở là 2 0 1 −3 −1 0 5 2 T = 0 4 5 1 4 3 2 1
a. Cho x = 2a1 + a2 − a3 − a4. Tìm toạ độ của x đôí với (b).
b. a. Cho y = b1 − 2a2 − 2a3 + a4. Tìm toạ độ của x đôí với (a).
Bài 15. Trong không gian M2(R). Cho hai hệ véctơ 0 1 1 0 0 2 2 0 (A) = {A 1 = , A2 = , A3 = , A4 = }, 0 2 2 0 0 1 1 0 1 −2 −2 0 0 1 0 0 (B) = {B 1 = , B2 = , B3 = , A4 = }. 0 0 −2 0 1 −2 0 1
a. Chứng minh rằng (A), (B) là hai cơ sở của M2(R).
b Tìm ma trận chuyển cở sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở (A).
c. Tìm ma trận chuyển cở sở từ cơ sở (A) sang cơ sở (B).
d. Cho ma trận M có toạ độ đối với (B) là M = (2, −1, 3, 5). Tìm toạ độ của M
đối với (A).
III. Không gian con - Hạng của hệ véctơ
Bài 16. Trong không gian R3. Cho tập hợp
W = {x = (x1, x2, x3)| x1 + 4x2 − 5x3 = 0}.
a. Chứng minh rằng W là một không gian véc tơ con của R3.
b. Tìm một cơ sở của W, và dim W.
Bài 17. Trong không gian R4. Cho tập hợp
W = {x = (x1, x2, x3, x4)| x1 + x2 − 5x3 = 0; 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.
a. Chứng minh rằng W là không gian con của R4.
b. Tìm một có sở và số chiều của W.
Bài 18. Trong không gian M(R). Cho tập hợp a b W = {A =
| a + 2b − d = 0, a + c + 3d = 0} c d
a. Chứng minh rằng W là một không gian con của M2(R).
b. Tìm một cơ sở và số chiều của W.
Bài 19. Trong không gian P3[x]. Cho tập hợp
U = {a0 + a1x + a2x2 + a3x3| a0 + a1 + a2 + a3 = 0; a1 = a2 + 2a4}
a. Chứng minh rằng U là một không gian con của P3[x]
b. Tìm một cơ sở và số chiều của U.
Bài 20. Trong không gian véctơ R4. Tìm hạng của hệ véctơ sau:
a. (a) = a1 = (3, 0, 1, 0), a2 = (−1, 5, 4, 0), a3 = (0, 0, 6, −2), a4 = (4, 7, 0, 5)
b. (a) = a1 = (0, 0, 1, 0), a2 = (9, −9, 4, 3), a3 = (−2, 0, 5, −2), a4 = (−3, 3, 2, −1)
c. (a) = a1 = (4, 0, 8, 0), a2 = (3, 5, 1, 3), a3 = (0, 0, 0, −2), a4 = (2, 6, −2, 5)
Bài 21. Tìm hạng của hệ véctơ sau theo m:
a. (f ) = {f1 = −1 + 5x − 3x2 − 4x3, f2 = −3 + 2x − x2 − 3x3, f3 = −2 − 3x + 2x2 +
x3, f4 = m + x
x2 = 2x3}.
b. (a) = {(a1 = (1, −3, 5, −2), a2 = (−3, 5, −7, −5), a3 = (5, m, 4, 2), a4 = (−2, 3, −2, −1
(−1, 1, −5, −5)} 1 −1 5 11 −4 −6 2 −1 c. (A) = {A 1 = , A2 = , A3 = , A4 = } −3 −4 1 12 2 −4 m −6
CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài 1. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bời
f (x1, x2, x3) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3)
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở
(e) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
(u) = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)
Bài 2. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bời
f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, x1 + x2, x1 + x2 + x3)
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tuyến.
b. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cặp cở sở sau
(u) = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 1, −1), u3 = (1, 0, 1)}
(u) = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 2, 3), e3 = (2, 1, 4)
c. Tìm im(f ) và ker(f )
Bài 3. Cho ánh xạ f : P2[x] → P2[x] xác định bởi
f (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1 − 2a2) + (a1 + a2)x − (a0 + 2x1 − a2)x2.
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính
b. Tìm ma trân của f đối với cặp cơ sở
(h) = {h1 = 2 + x + 4x2, h2 = 1 + 3x, h3 = 2 − 4x + x2}
(g) = {g1 = 1 + x, g2 = 1 + x2, g3 = x + x2}
c. Tìm im(f ), ker(f ) và dim im(f ), dim ker(f )
Bài 4. Cho ánh xạ f : R3 → P2[x] xác định bởi
f (a1, a2, a3) = (a1 + a3) + (a1 − 4a2 + 2a3)x + (4a2 − a3)x2
a. Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính
b. Tìm ma trận của f đối với cặp cở sở
(a) = {a1 = (3, −1, 0), a2 = (−7, 1, 1), a3 = (5, 1, 1)}
(f ) = {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2}.
c. Tìm im(f ), ker(f ) và dim im(f ), dim ker(f ).
Bài 5. Cho ánh xạ f : M2(R) → M2(R) xác định bởi
a − b + c 2a + c + d a b f ( ) = c d
a + b + d b + d
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm im f, ker f và dim im(f ), dim ker(f ).
Bài 6. Cho phép biến đổi tuyến tính từ f : R3 → R3, xác định bởi
f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, x1 + x3, 4x1 − 4x2 + 5x3)
a. Tìm ma trận của f đối với cơ cở chính tắc.
b. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f.
c. Tìm một cơ sở của R3 để ma trận của f có dạng chéo.
Bài 7. Cho ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → M2(R) xác định bởi 2 a0 + a2
2a0 − a1 + 3a2 f (a
0 + a1x + a2x ) = a 1
− 2a2 a0 + a1
a. Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở sau
(f ) = {f1 = 5 + x, f2 = 1 − x, f3 = 1 − x + x2} 1 3 2 0 2 5 0 0 (M ) = {M 1 = , M2 = , M3 = , M4 = } 0 −1 4 5 −1 0 4 −3
b. Tìm im(f ), ker(f ). Bài 8. f : R3 → R3, xác định bởi biểu thức
f (x1, x2, x3) = (2x3, x1 + x2 − 2x3, x1 + x2 + 4x3)
a. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f.
c. Tìm một cơ sở của R3 để ma trận của f có dạng chéo.
Bài 8. Cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3, xác định bởi biểu thức
f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + 4x3, −x2, x1 + 2x2 + 4x3)
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ cở chính tắc.
b. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f.
c. Tìm một cơ sở của R3 để ma trận của f có dạng chéo.
d. Tìm ma trận chéo B và ma trận khả nghịch T sao cho A = T−1BT.
Bài 9. Cho phép biến đổi tuyến tính f : P2[x] → P2[x], xác định bởi biểu thức
f (a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1 + (a0 + a1)x + (3a0 + 9a2)x2
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ cở {1, x, x2}.
b. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f.
c. Tìm một cơ sở của R3 để ma trận của f có dạng chéo.
d. Tìm ma trận chéo B và ma trận khả nghịch T sao cho A = T−1BT.
Bài 10. Cho phép biến đổi tuyến tính f : P2[x] → P2[x], xác định bởi biểu thức
f (a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1 + (3a0 + a1 − 2a2)x + (a1 + 3a2)x2
a. Tìm ma trận A của f đối với cơ cở {1, x, x2}.
b. Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f.
c. Tìm một cơ sở của R3 để ma trận của f có dạng chéo.
d. Tìm ma trận chéo B và ma trận khả nghịch T sao cho A = T−1BT.
CHƯƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Dùng phương pháp Lagrange. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
1. f (x1, x2, x3) = x2 + x2 − x2 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3. 1 2 3
2. f (x1, x2, x3) = x2 − x2 − 7x2 + 4x1x2 − 8x1x3 + 4x2x3. 1 2 3
3. f (x1, x2, x3) = x2 + 5x2 + 8x2 + 4x1x2 − 8x1x3 − 10x2x3. 1 2 3
4. f (x1, x2, x3) = 4x2 + 2x2 + 10x2 − 4x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3. 1 2 3
5. f (x1, x2, x3) = x2 − 31x2 + 4x1x2 + 4x1x3 − 16x2x3. 1 3
6. f (x1, x2, x3, x4) = x2 + x2 + 5x2 − 3x2 + 6x2x3 − 2x2x4 + x3x4. 1 2 4 4
7. f (x1, x2, x3, x4) = x2 + 2x2 + 2x2 + 2x1x2 − 2x1x3 + 2x1x4 + 4x2x4 − 4x3x4. 1 2 4