Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN
BỘ MÔN: ĐẠI SỐ HÌNH HỌC
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên học phần: Đại số tuyến tính Mã học phần: Hình thức thi: Tự luận
Đề số: 03. Thời gian làm bài: 75 phút (không kể thời gian chép/phát đề)
Câu 1 (2.5 điểm): Trong ℝ -không gian vectơ V, cho cơ sở (𝑒) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} và các vectơ
𝑒, = 𝑒1 + 3𝑒2 − 2𝑒3; 𝑒, = 𝑒1 + 2𝑒2 + 3𝑒3; 𝑒, = 4𝑒1 + 𝑒2 + 3𝑒3; 𝑥 = 13𝑒1 + 7𝑒2 + 2𝑒3. 1 2 3
a) Chứng minh rằng hệ vectơ (𝑒′) = {𝑒, , 𝑒, , 𝑒, } cũng là một cơ sở của V. 1 2 3
b) Tìm tọa độ của vectơ x đối với cơ sở (𝑒′) = {𝑒, , 𝑒, , 𝑒, }. 1 2 3
Câu 2 (2.5 điểm): Gọi 𝑀2 là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 và cho ánh xạ 𝑓: 𝑀2 → 𝑀2
[𝑎 𝑏] ↦ 𝑓 ([𝑎 𝑏]) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑑 𝑏 + 𝑐] [ 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑏 + 𝑐 𝑐
a) Chứng minh rằng f là một phép biến đổi tuyến tính trên 𝑀2. b) Tìm Ker(𝑓).
Câu 3 (2.5 điểm): Cho phép biến đổi tuyển tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định bởi
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (6𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3, 3𝑥1 + 6𝑥2, 5𝑥3)
a) Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc của ℝ3.
b) Tìm một cơ sở của ℝ3 sao cho ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Câu 4 (2.5 điểm): Trong ℝ - không gian vectơ ℝ3 cho dạng toàn phương có biểu
thức tọa độ đối với cơ sở (e) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} như sau:
𝜔(𝑥)= 𝑥2 − 8𝑥2 − 9𝑥2 + 2𝑥1𝑥2 − 6𝑥1𝑥3 + 12𝑥2𝑥3 1 2 3
Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc. Tìm
ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở để dạng toàn phương có dạng chính tắc đó.
Tổng cộng có: 04 câu
Ghi chú: Sinh viên không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Đà Nẵng, ngày tháng năm 2021 TRƯỞN G BỘ MÔN KIỂM TRA ĐỀ