Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

TỔNG HỢP ĐỀ THI CUỐI KỲ ĐẠI SỐ BÁCH KHOA ĐÀ NẪNG ——oOo——-
TÀI LISU SINH VIÊN BÁCH KHOA SINHVIENDOC.COM ————- ĐỀ 01
Tỗng hợp tài liệu được sưu tầm và soạn lại bơi HNT - Sinhviendoc.Com
Câu 1. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3 cho hệ vectơ.
e1 = (1, 2, 1); e2 = (2, 1, 1); e3 = (3, −2, 0).
(a). Chùng minh rằng hệ {e1, e2, e3} là một cơ sơ cǔa R3
(b). Tìm tọa độ cǔa vectơ x = (0, 3, 11) đối với cơ sơ {e1, e2, e3}
Câu 2. (2 điểm) Trong không gian vectơ thục R3 cho tªp con. n ,
W = x = (α1, α2, α3) ∈ R3/α1 + 3α2 − α3 = 0
Chùng minh W là một không gian vectơ con cǔa R3, và tìm số chiều cǔa W.
Câu 3. (2 điểm) Cho R3 [x] là R - không gian vectơ gồm các đa thùc một ẩn x với hệ số thục,
có bªc nhǒ hơn ho°c bằng 3. Cho ánh xạ f = R3 [x] → R3 [x] xác định bơi
f (p(x)) = 2p(x) − (x + 1)p′(x) với mọi p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ R3 [x].
(a) Chùng minh rằng f là một phép biến đỗi tuyến tính.
(b) Tìm Im( f ), Ker( f ).
Câu 4. (2 điểm) Cho phép biến đỗi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bơi
f (x1, x2, x3) = (6x1 − 2x2 + 2x3; −2x1 + 5x2; 2x1 + 7x3), ∀(x1, x2, x3) ∈ R3.
(a) Tìm ma trªn A cǔa f đối với cơ sơ chính tắc cǔa R3.
(b) Tìm một cơ sơ cǔa R3 sao cho ma trªn cǔa f đối với cơ sơ này có dạng chéo.
Câu 5. (2 điểm) Dùng phường pháp Lagrange để đưa ra dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc ω(x) = x2 + 2x2 − 2x2 + 4x1x2 + 2x2x3 + 4x2x3 và tìm cơ sơ tương ùng với dạng 1 2 3 chính tắc đó. ĐỀ 02
Học học núa, học mãi, học mệt nghǐ
Câu 6. (2 điểm) Trong không gian vectơ thục P2 [x] gồm các đa thùc một ẩn x với hệ số thục,
có bªc nhǒ hơn ho°c bằng 2, cho hệ vectơ {u0(x), u1(x), u2(x)}, trong đó
u0(x) = 1, u1(x) = 1 + x, u2(x) = x + x2
(a) Chùng minh hệ vectơ {u0(x), u1(x), u2(x)} là một cơ sơ cǔa P2 [x]
(b) Tìm tọa độ cǔa vectơ f (x) = 1 + 2x + 3x2 đối với cơ sơ {u0(x), u1(x), u2(x)}
Câu 7. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R3, cho hai hệ cơ sơ
{e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 1), e3 = (1, 0, 0)} và { f1 = (2, 0, 2), f2 = (0, 2, 2), f3 = (3, 3, 0)}
Tìm ma trªn chuyển cơ sơ tø {e1, e2, e3} sang cơ sơ { f1, f2, f3}
Câu 8. (2 điểm) Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bơi
f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 + x2 + x3, 3x1 + 3x2)
(a) Chùng minh f là một phép biến đỗi tuyến tính và tìm hạt nhân cǔa f .
(b) Tìm ma trªn cǔa f đối với cơ sơ chính tắc cǔa R3.
Câu 9. (2 điểm) Cho phép biến đỗi tuyến tính
f trên R3 có ma trªn theo cơ sơ chính tắc cǔa 7 3 3
R3 là A = 10 6 4 . Tìm một cơ sơ gồm các vectơ riieeng cǔa f sao cho ma trªn cǔa f đối 8 4 6
với cơ sơ đó là ma trªn chéo.
Câu 10. (2 điểm) Trong R - không gian vectơ R4, cho dạng toàn phương ω(x) = α21 + 2α1α2 +
4α2α3 − 2α2α4. Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
và tìm cơ sơ tương ùng với dạng chính tắc đó. ĐỀ 03
Học để kiếm học bống, lấy tiền học lại!!!
Câu 11. (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sơ {u1, u2, u3} và {v1, v2, v3}, với
u1 = (1; −1; 2), u2 = (3; 2; 0), u3 = (1; 4; 1); v1 = (12; 8; 5), v2 = (−1; 2; 3), v3 = (8; −3; 5).
Tìm ma trªn chuyển tø hệ cơ sơ {u1, u2, u3} sang hệ cơ sơ {v1, v2, v3}
Câu 12. (2 điểm) Trong R - không gian vecto R4, cho hệ vecto {u1, u2, u3, u4} với u1 =
(0; 1; 1; 1), u2 = (1; 2; 3; 4), u3 = (−3; 1; 1; 2), u4 = (2; 4; 3; 1). Tìm hạng cǔa vecto {u1, u2, u3, u4}
Câu 13. (2 điểm)Gọi M2 là một không gian vecto các ma trªn vuông cấp 2 trên trường số
thục R và ánh xạ f được xác định như sau:
f : M2 → M2 a b '→ a + 2b
−b + c , ∀ a b ∈ M2 c d
a + b + c d c d
(a) Chùng minh rằng f là phép biến đỗi tuyến tính
(b) Tìm Im f , Ker f .
Câu 14. (2 điểm) Cho phép biến đỗi tuyến tính
f trên R3 có ma trªn theo cơ sơ chính tắc cǔa 2 4 1 3 R là A = 1
1 −1 . Tìm một cơ sơ gồm các vecto riêng cǔa f sao cho ma trªn cǔa f −2 4 5
đối với cơ sơ đó là ma trªn ché.
Câu 15. (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương sau về dạng chính
tắc ω(x) = 9x2 + 6x2 + 6x2 − 6x1x2 + 12x2x3 − 6x1x3 và tìm cơ sơ tương ùng với dạng chính 1 2 3 tắc đó. ĐỀ 04
Nhớ mang tài liệu, điện thoại vào phòng thi, nhà trường sẽ đuỗi học bạn!
Câu 16. (2 điểm) Trong R - không gian R3 cho hai hệ cơ sơ {u1, u2, u3} và {v1, v2, v3}, với
u1 = (1; 3; 4), u2 = (1; 2; 3), u3 = (1; 5; 1); v1 = (2; −3; 1), v2 = 1; −1; 2), v3 = (3; −4; 1). Tìm
ma trªn chuyển tø hệ cơ sơ {u1, u2, u3} sang hệ cơ sơ {v1, v2, v3}
Câu 17. (2 điểm) Trong không gian vectơ thục R3 cho tªp con. n ,
W = x = (α1, α2, α3) ∈ R3/α1 + 3α2 − α3 = 0
Chùng minh W là một không gian vectơ con cǔa R3, và tìm số chiều cǔa W.
Câu 18. (2 điểm) Cho ánh xạ f : R4 → R4 xác định bơi
f (x1, x2, x3, x4) = (x1 + 2x2 + x3 − x4, 2x1 + x2 + x3 + x4, x1 − x2 + x3 + x4, 4x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4)
(a) Chùng minh f là một phép biến đỗi tuyến tính.
(b) Tìm Im f , Ker f .
Câu 19. (2 điểm) Cho phép biến đỗi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bơi
f (x1, x2, x3) = (6x1 − 2x2 + 2x3; −2x1 + 5x2; 2x1 + 7x3), ∀(x1, x2, x3) ∈ R3
(a) Tìm ma trªn A cǔa f đối với cơ sơ chính tắc R3.
(b) Tìm một cơ sơ cǔa R3 sao cho ma trªn cǔa f đối với cơ sơ này có dạng chéo.
Câu 20. (2 điểm) Dùng phương pháp Lagrange để đưa dạng toàn phương sau trên không
gian vecto R4 về dạng chính tắc ω(x) = α21 + 2α1α2 − 4α1α3 + 2α2α4 và tìm cơ sơ tương ùng
với dạng chính tắc đó.