Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 năm học 2017 – 2018 trường THPT Yên Dũng 3 – Bắc Giang

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 năm học 2017 – 2018 trường THPT Yên Dũng 3 – Bắc Giang gồm 39 trang tóm tắt lý thuyết, dạng toán kèm theo bài tập ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi HK1 Toán 11.

72 36 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK1 Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

39 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN 11
Năm học: 2017-2018
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Tóm tắt một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.
1.Phương pháp:
Để tìm TXĐ của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước:
B1: Tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.
B2: Kết luận TXĐ dưới dạng tập hợp.
Chú ý: Với các hàm lượng giác cơ bản ta có:
- Hàm số y=sinx và y=cosx xác định với
xR.
- Hàm số y=tanx xác định khi
 ,
2
xkkZ
- Hàm số y=cotx xác định khi
,xkkZ
2. Ví dụ
Câu1:Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2x 1-sinx
. y = tan (x+ ) c.y = b. y= cot (2x+ ) d. y=
4 sinx+cosx 6 1+cosx
a
Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số lượng giác:
1. Phương pháp:
+) Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác.



22
22 22
1 sinx 1; 1 cosx 1 ; 0 cos x 1 ; 0 sin x 1 ;
0 sinx 1 ; 0 cosx 1 ; 0 cosx 1 ; 0 sinx 1, khi sinx 0, cosx 0.
asin cos .ab xb x ab
+) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức : cộng các vế của bất đẳng thức với cùng 1 số, nhân các vế
của bất đẳng thức với cùng 1 số,.......
2. Ví dụ
Câu2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau :

2 2
. y = 3sin6x+5 2 d. y= sin 3 1 . 2cos 3
e.y= sinx-cosx . 3sin2x +4cos2x -1 f. y= 3cosx-5
axbyx
cy
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số
1.Phương pháp giải:
Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số,khi đó:
+) Nếu D là tập đối xứng (tức là :
xD  x D),ta thực hiện tiếp bước 2.
+) Nếu D không phải là tập đối xứng( tức là
 xD m -xD),ta kết luận hàm số không chẵn
cũng không lẻ.
B2: Xấc định f(-x), khi đó:
. Nếu f(-x) = f(x) với
x
D thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với
x
D thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Chú ý:
1.

cos(- ) = cos ; sin(- ) = -sin ; tan(- ) = -tan ;cot(- ) = -cot
2. Với các hàm số lượng giác cơ bản ,ta có:
Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ; Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
3.Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng; Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 2
2. Ví dụ
Câu3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :
22 2
a. y= sin x-cos x c. y =cosx-sin
b. y= sinxcos3x d.y = sinx -cosx
x
Dạng 4 : Giải phương trình lượng giác :
1. Phương pháp chung:
Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.
*) Chú ý: Pt
sinx ;cosaxa có nghiệm nếu 11a ; pt tanx ;cotaxa luôn có
nghiệm với mọi a.
*) Các công thức lượng giác:
Công thức lượng giác cơ bản:
22 2 2
22
11
cos sin 1; 1 tan ; 1 cot ; tan .cot 1
os sinc



1. Công thức cộng cung:
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb
sin( a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
tan tan
1tantan
ab
ab
tan(a - b) =
tan tan
1tantan
ab
ab
2.Công thức nhân đôi:
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 - 2sin
2
a
sin2a = 2sina.cosa
tan2a =
2tan
2
1tan
a
a
3.Công thức nhân ba:
cos3a = 4cos
3
a - 3cosa
4.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
2
sin
2
1
t
a
t
; cosa=
2
1
2
1
t
t
; tana=
2
2
1
t
t
.
5.Công thức hạ bậc:
12
2
2
cos a
cos a
;
12
2
sin
2
cos a
a
6.Công thức biến đổi tích thành tổng.
cosa.cosb=
1
2
[cos(a-b) + cos(a+b)]
sina.sinb=
1
2
[cos(a-b) - cos(a+b)]
sina.cosb=
1
2
[sin(a-b) + sin(a+b)]
7.Công thức biến đổi tổng thành tích.
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
tan tan
cos cos
ab
ab
ab
ab
ab
ab


sin cos 2 sin 2 cos
44
aa a a
 

 
 
sin cos 2 sin 2 cos
44
aa a a
 

 
 
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 3
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab








*) Công thức nghiệm của ptlg cơ bản:
1.




k2
sinx = sin ( )
x = - +k2
x
k
;
2.




k2
cosx =cos ( )
x = - +k2
x
k
3.

 tanx = tan (k )xk ;
4.

 cotx = cot (k )xk
2. Ví dụ
Câu 4:
Giải các phương trình lượng giác sau :

2
22
a. 2sin 3sin 1 =0 b. cos2x- 3sin2x= - 2 c. 3tanx - 4cotx+1 = 0
d. 3cos x+2 3 sinxcosx+5sin x=2 e. 3sin7x - cos7x = 2
xx




22
222 2
22
f. 6cos x+ -3sinxcosx-cos x=1 g. 2 - 5sinx+cos2x = 0
2
h.sin 3 os 4 sin 5 os 6 i.1+cosx+cos2x+cos3x=0
k. 4 sin 2x+8cos x - 9 = 0 l. 1+sinx +cos
xc x xc x


2
2
2
x+sin2x+2cos2x =0
3 1-cosx cos
m. 2sin 3sin 1 =0 n . 5cosx - 2 =
sin
x
xx
x
II. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Phương trình sin 3 cos 1
x
x có tất cả các nghiệm là
A.
2, 2
62
x
kx k

,
k Î
. B.
2, 2
62
x
kx k

,
k Î
.
C.
2
2, 2
3
x
kx k

,
k Î
. D.
2, 2
62
x
kx k
 
,
k Î
.
Câu 2: Giải phương trình
22
sin 3sin cos 2cos 1
x
xx x ta được tất cả các nghiệm là
A.
,,
26
x
kx k
 
k Î . B.
6
x
k

, k Î .
C.
2,
26
x
kx k
 
,
k Î
. D.
2, 2
6
x
kx k


,
k Î
.
Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A.
sin 2yx
. B.
cos 2yx
. C.
cosyx
. D.
sin 1yx
.
Câu 4: Hàm số
sinyx
đồng biến trên khoảng
A.
;
2
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. B.
()
0; p
. C.
0;
2
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
. D.
3
;
2
p
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 4
Câu 5:
Phương trình
2cos 3 3 0
4
x




có tất cả các nghiệm là
A.
2
36 3
xk

và
52
36 3
xk

,
k Î
.
B.
13 2
36 3
xk

và
72
36 3
xk

,
k Î
.
C.
2
36 3
xk

và
52
36 3
xk

,
k Î
.
D.
2
36 3
xk

và
52
36 3
xk

,
k Î
.
Câu 6: Giải phương trình
1
sin
2
x  được tất cả các nghiệm là
A.
5
2, 2
44
x
kx k

, k Î . B.
5
2, 2
44
x
kx k
 
, k Î .
C.
5
2, 2
44
x
kx k

,
k Î
. D.
5
2, 2
44
x
kx k

,
k Î
.
Câu 7: Phương trình
2
cos 3cos 2 0xx
có tất cả các nghiệm là
A. 2
x
k
, k Î . B.
2, arccos2 2
x
kx k

, k Î .
C.
2
k
x
, k Î . D.
x
k
, k Î .
Câu 8: Tập xác định của hàm số
1
sin 1
y
x
là
A.
{}
\2,kkp Î
. B.
{}
\2,kkpp+Î
.
C.
3
\2,
2
kk
p
p
ìü
ïï
ïï
+Î
íý
ïï
ïï
îþ

. D.
\2,
2
kk
p
p
ìü
ïï
ïï
+Î
íý
ïï
ïï
îþ

.
Câu 9: Trong khoảng
0;
2
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
, phương trình
22
sin 4 3sin 4 cos 4 4cos 4 0xxx x
có
A.
1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.
Câu 10: Phương trình
22 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2xxxx
tương đương với phương trình
A.
cos .sin 5 .sin 2 0xxx . B. cos .cos5 .cos 2 0xxx .
C. cos .sin 4 .sin 2 0xxx . D. sin .sin 5 .sin 2 0xxx .
Câu 11: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3cos 2
3
yx




lần lượt là
A.
1 và -5. B. -3 và 1. C. 1 và 5. D. -1 và 5.
Câu 12: Tập giá trị của hàm số
sin 2yx
là
A.
2; 2
éù
-
êú
ëû
. B.
1; 1
éù
-
êú
ëû
. C.
()
1; 1-
. D.
1; 2
éù
-
êú
ëû
.
Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số
tan(2 )
4
yx
A.






3
\,
72
k
Dk
B.






3
\,
82
k
Dk
C.






3
\,
52
k
Dk
D.






3
\,
42
k
Dk
Câu 14: Cho hàm số: xxy 21cos , TXĐ của hàm số là:
A.
;1 B. );1(  C. )1;( D. R
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 5
Câu 15:
Cho hàm số:
xxy cos31sin2
2
, TXĐ của hàm số là:
A.
;1 B. )1;( C.

1;1 D. R
Câu 16: Cho hàm số:
1sin2
cos3
x
x
y
, TXĐ của hàm số là:
A.
2
1
\RD B.
kkRD ,2
6
\
C. D=R D.
kkkRD ,2
6
;2
6
5
\
Câu 17: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?
(A) y = sinx. (B) y = cosx. (C) y = tanx (D) y = cotx.
Câu 18: Gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau

2
34cos2
y
x
A.
 min 1,max 4
y
y
B.
 min 1,max 7
y
y
C.
 min 1,max 3
y
y
D.
 min 2, max 7
y
y
Câu 19:
tan 5
y
x
là hàm số tuần hoàn với chu kì:
A.
T
B.
2
5
T
C.
5
T
D.
2T
Câu 20:
Tìm tập xác định của hàm số sau
 tan( ).cot( )
43
yx x
A.






\,;
43
Dkkk
B.







3
\,;
45
Dkkk
C.







3
\,;
43
Dkkk
D.







3
\,;
56
Dkkk
Câu 21: Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ?
(A) sin cos .
yxx (B) ycos2x (C)
1
y
s
inx
(D)
3
sinyx
Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

22
2sin cos 2
y
xx
A.
max 4
y
,
3
min
4
y
B.
max 3
y
,
min 2
y
C.
max 4
y
,
min 2
y
D.
max 3
y
,
3
min
4
y
Câu 23: Nghiệm của phương trình
2
55sin 2cos 0xx là:
A.
,kk
. B.
2,kk
.
C. 2,
2
kk
 . D. 2,
6
kk
 .
Câu 24: Nghiệm dương bé nhất của phương trình
2
2sin 5sin 3 0xx
là
A.
3sin 3 0x 
B.
2
2cos cos 1 0xx
C. tan 2 0x  D. 2sin 3 0x 
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình
2cos2 3sin 1 0xx
là
A.
1
arcsin 2
4
k




B.
1
arcsin 2
4
k




C.
11
arcsin
22 4
k




D.
1
arcsin
24
k




TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 6
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
1) Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án một có m cách thực
hiện , phương án hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất
thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc cộng như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k phương án A
1
, A
2
, …, A
k
. phương án A
1
có n
1
cách thực hiện, phương án A
2
có n
2
cách thực hiện , …, phương án A
k
có n
k
cách thực hiện .Tất cả
các phương án này không trùng nhau. Khi đó số cách hoàn thành công việc là :
123
....
k
nnn n
cách .
2) Quy tắc nhân :
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp .Nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công
việc đó .
Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc nhân như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A
1
, A
2
, …, A
k
liên tiếp nhau. Hành
động A
1
có n
1
cách thực hiện, hành động A
2
có n
2
cách thực hiện , …, hành động A
k
có n
k
cch thực
hiện . Khi đó số số cách hoàn thành công việc là : n
1
n
2
…n
k
cách .
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
1. Hoán vị
a. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (
1n
). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó .
Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự xắp xếp.
b. Số các hoán vị
Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của n phần tử. Ta có :
Quy ước: 0! 1, 1! 1.
2. Chỉnh hợp
a. Định nghĩa
! .( 1).( 2)...2.1
n
Pnnn n
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 7
Cho tập hợp A gồm n phần tử (
1n
). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của
tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
b. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu
k
n
A
l số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (
0 kn
) . Khi đó ta có :
Chú ý : Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hóan vị của n phần tử.Như vây :
!
n
nn
A
Pn
3. Tổ hợp
a.Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (
1n
). Mỗi tập con có k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử .
b.Số các tổ hợp
Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử (
0 kn
) . Khi đó ta có :
c.Các tính chất của tổ hợp
Ta có : a)
knk
nn
CC
b)
1
11
kk k
nn n
CC C


VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Nhị thức Newton dùng để khai triển biểu thức dạng : ( ) ,
n
ab nN
Công thức nhị thức Newton :
Hoặc :
Số hạng tổng quát trong khai triển triển là:
,0
knkk
kn
TCab kn

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên( hay phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà
!
()!
k
n
n
A
nk
!
!( )!
k
n
n
C
kn k
011222 11
( ) ... ...
nnn n knkk nnnn
nn n n n n
ab Ca CabCa b Ca b C ab Cb


0
() ,0
n
nknkk
n
k
ab Ca b k n

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 8
Ta không đoán trước được kết quả xảy ra
Tuy nhiên ta có thể liệt kê được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của phép thử đó .
2.Không gian mẫu
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu .
Kí hiệu :
3. Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu .
Biến cố không thể : là biến cố không bao giờ xảy ra.
4.Tính chất của biến cố
a.Biến cố đối
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tập
\
A
được gọi là biến cố đối của biến cố A.
Kí hiệu :
__
A
. Vậy
__
A
\
A

b.Biến cố xung khắc
Gọi A và B là 2 biến cố của một phép thử nào đó . A và B được gọi là 2 biến cố xung khắc nếu A
và B không đồng thời xảy ra hay
AB
.
5. Xác suất của biến cố
a.Định nghĩa cổ điển của xác suất
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tỉ số
()
()
nA
n
được gọi là xác xuất củ a biến cố A.
Kí hiệu :
()
()
()
nA
PA
n
b.Các tính chất của biến cố
1. () 0P 
2.
()1P 
3.
0()1,
P
AA
4.
A
ta có :
___
()1 ()
P
APA
c. Các quy tắc tính xác suất.
Qui tắc cộng: Nếu ( ) () ()
A
BPABPAPB
Qui tắc nhân: Nếu
,
A
B độc lập thì (.) ().()
P
AB P A P B
II. TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
Dạng toán 1:Sử dụng quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm số phương án
Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 9
Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau.
Bước 2. Nếu nhóm 1 có n
1
cách chọn khác nhau
Nhóm 2 có n
2
cách chọn khác nhau
…
Nhóm k có n
k
cách chọn khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n
1
+n
2
+...+n
k
phương án.
• Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp
Bước 2. Nếu công việc 1có n
1
cách thực hiện khác nhau
Công việc có n
2
cách thực hiện khác nhau
…
Công việc k có n
k
cách thực hiện khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n
1
.n
2
...n
k
cách thực hiện.
Dạng toán 2 :Sử dụng các quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm các số hình thành từ 1 tập
hợp số cho trước nào đó
+ Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Số cần tìm có dạng:
12 1
... , , 1,2,..., , 0.
ki
aa a a Ai k a .
Bước 2. Đếm số cách chọn
i
a (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có
i
n cách.
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả
12
. ...
k
nn n số.
+ Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình
thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chia các số cần đếm thành các tập con H
1
, H
2
, … độc lập với nhau.
Bước 2. Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập H
1
, H
2
, …, giả sử bằng k
1
, k
2
,...
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả k
1
+ k
2
+... số.
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
Dạng toán 1:Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để thực hiện bài toán đếm.
Phương pháp:
1. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các
dấu hiệu sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 10
2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Dạng toán 2:Các bài toán: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình trong đó có chứa các toán tử hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp.
Phương pháp:
• Sử dụng thành thạo các công thức
,,
kk
nn n
PAC
.
• Nắm được các tính chất của
,,
kk
nn n
PAC
chẳng hạn:
! 1 ! 2 ! 1 ...nn nn nn 
1
11
,
knkk k k
nnn n n
CCC C C



Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
• Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi.
• Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.
• Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp
• Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm.
VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Dạng toán 1: Khai triển nhị thức Niuton
Phương pháp giải: Sử dụng công thức
011222 11
( ) ... ...
nnn n knkk nnnn
nn n n n n
ab Ca CabCa b Ca b C ab Cb

 
011222 111
( ) ... ( 1) ... ( 1) ( 1)
nnn n kknkk nnn nnn
nn n n n n
ab Ca CabCa b Ca b C ab Cb

  
- Trong khai triển nhị thức cần chú ý:
+Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng số mũ của a và b luôn bằng
n.
+Có n+1 số hạng trong khai triển.
Dạng toán 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.
Phương pháp giải: Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:
Bước 1. Viết số hạng tổng quát.
Bước 2. Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 11
Bước 3. Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau.
Chú ý:
- Số hạng không chứa x tức là số hạng chứa
0
x
.
- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác.
- Các công thức lũy thừa cần nhớ:

.
.; ;
m
n
a
mn m n mn m mn
aaaa aa
n
a


Dạng toán 3: Tính tổng
Phương pháp giải: Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:
- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số.
VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu
Phương pháp giải: Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đó mô tả tập hợp này
bằng phương pháp liệt kê.
+ Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu.
+ Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không
gian mẫu.
Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố. Tính số phần tử của tập hợp
này
Phương pháp giải:
+ Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T .
+ Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của
A.
+ Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu Ω
A
.
Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố
+ Xác định được số phần tử của không gian mẫu và của biến cố.
+ Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất và các quy tắc tính xác suất.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1:
Tìm số hạng thứ năm trong khai triển biểu thức :
10
2
()x
x
Baøi 2: Trong khai triển
220
1
()
2
x
thành đa thức, tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 12
Baøi 3:
Tìm hệ số của
26
x
trong khai triển
7
4
1
()
n
x
x
biết rằng
123 20
21 21 21 21
... 2 1
n
nnn n
CCC C


, nZ
.
Baøi 4: Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển
210
(1 2 3 )
x
x theo lũy thừa của
x
.
Baøi 5: Tính các tổng sau:
16 0 15 1 14 2 16
1161616 16
3 3 3 ...SC C C C
0 2 2 4 4 2016 2016
2201720172017 2017
3 3 ... 3SC C C C
0 2019 1 2018 1 2 2017 2 2018 1 2018 2019
3 2019 2019 2019 2019
3 3 4 3 4 ... 3 4 4SC C C C
Baøi 6:
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
Baøi 7: Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẩu nhiên
một lần 3 viên bi. Tính xác suất trong các trường hợp sau:
a.
Lấy được 3 viên bi màu xanh.
b.
Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
c.
Lấy được 3 bi cùng màu.
d.
Lấy được 3 bi khác màu.
Baøi 8: Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên
bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
Baøi 9: Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ. Xác suất để xạ thủ A bắn trúng là
2
7
; xác
suất để xạ thủ B bắn trúng là
1
8
. Tính xác suất để:
a.
Cả hai xạ thủ điều bắng trúng.
b.
Chỉ một trong 2 xạ thủ bắn trng.
c.
Ít nhất một trong 2 xạ thủ bắn trng.
d.
Cả hai đều bắn trượt.
Baøi 10: Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 5 quyển sách Toán, 4 quyển
sách Vật lý, và 3 quyển sách Hóa học.Ông muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh
A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách xong mỗi một trong ba loại
Toán, Vật lý, Hóa học đều còn lại ít nhất một quyển.
IV. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1
: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
A.
12
B.
24
C.
4
D.
6
Câu 2: Số tự nhiên n thỏa mãn
21
1
5
n
nn
AC

là:
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 13
A.
3n
B.
5n
C.
4n
D.
6n
Câu 3: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?
A.
207360
B.
120096
C.
120960
D.
34560
Câu 4: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 hoc sinh?
A.
85
B.
58
C.
508
D.
805
Câu 5: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao
cho có đúng 3 học sinh nữ.
A.
110790
B.
119700
C.
117900
D.
110970
Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt
12 10
,,,
A
AA
trong đó có 4 điểm
1234
,,,
A
AAA
thẳng hàng, ngoài ra
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cs bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 diểm trên?
A.
96
tam giác B.
60
tam giác C.
116
tam giác D.
80
tam giác
Câu 7: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi
sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?
A. 105 B.924 C.917 D.665280
Câu 8: Có 120 cách sắp xếp n người vào một bàn tròn. Khi đó giá trị của n là:
A.
10n
B.
7n
C.
5n
D.
6n
Câu 9
: Tính tích các nghiệm của phương trình
1
1
PP
1
P6
xx
x
.
A. 6. B. 12. C. 5. D. 3.
Câu 10: Một tổ công nhân có 12 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ công tác gồm 3
người sao cho có 1 người làm tổ trưởng, 1 người làm tổ phó và 1 người làm thư kí. Biết rằng không
có ai kiêm nhiệm và ai cũng có thể được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
A.
3
12
3!
A
B.
12!
C.
3
12
C
D.
3
12
A
Câu 11: Hệ số của x
8
trong khai triển
10
2
2 x
là:
A.
64
10
2C
B.
6
10
C
C.
4
10
C
D.
66
10
2C
Câu 12: Số hạng của x
31
trong khai triển
40
2
1
x
x



là:
A.
37 31
40
Cx
B.
331
40
Cx
C.
231
40
Cx
D.
431
40
Cx
Câu 13: Tìm hệ số của
33
x
y trong khai triển của

6
2
x
y
.
A. 8. B. 120. C. 20. D. 160.
Câu 14: Số số hạng trong khai triển

2017
1xx
là:
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 14
A.
2017
B.
2018
C.
1
D.
4034
Câu 15:
Tính
1 2 3 2017
2017 2017 2017 2017
CCC CS 
.
A.
2017
2S . B.
2017
21
. C.
2017
21
. D.
2016
2
.
Câu 16: Với hai số thực ,ab bất kì, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.

4
432234
46 4ab a a ab b b
. B.

4
43 22 34
ab a abab ab b
.
C.

4
44
ab a b
. D.

4
43 22 34
46 4ab a ab ab ab b
.
Câu 17: Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau đây?
A.
012
2 ...
nn
nnn n
CCC C
B.

012
0 ... 1
n
n
nnn n
CCC C
C.

012
1 2 4 ... 2
n
n
nnn n
CCC C
D.
012
3 2 4 ... 2
nnn
nnn n
CCC C
Câu 18: Tính giá trị của biểu thức
0 2 4 2018
2018 2018 2018 2018
2018
11 1
CC C C
416 2
S 
.
A.
2018
2019
31
2
S
. B.
2018
2018
31
2
S
. C.
2018
2019
31
2
S
. D.
2018
2018
31
2
S
.
Câu 19: Tổng
1 2 2 2 3 2 2016 2 2017
2017 2017 2017 2017 2017
2 3 ... 2016 2017AC C C C C
bằng
A.
2016
2016.2017.2 . B.
2015
2017.2018.2 .
C.
2015
2016.2017.2 . D.
2017
2016.2017.2 .
Câu 20: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển biểu thức
4
1
,
n
xx
x



biết
21
44?
nn
CC
A. 525 B. 238 C. 165 D. 485
Câu 21. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp bốn lần. Tính xác suất của
biến cố
A
: “Cả bốn lần đều xuất hiện mặt ngửa”.
A.

3
8
PA
. B.

3
16
PA
. C.

1
8
PA
. D.

1
16
PA
.
Câu 22. Bài kiểm tra một tiết này có 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (A,
B, C, D) và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất để tất cả các đáp án đều là phương án C.
A.
1
4
. B.
20
1
4
. C.
4
1
20
. D.
1
80
.
Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để mặt sáu
chấm xuất hiện ít nhất một lần.
A.
11
36
. B.
1
3
. C.
1
36
. D.
1
9
.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 15
Câu 24:
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng.
Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của mỗi người tương ứng là
1
5
và
2
7
. Xác suất để cả hai
người cùng ném bóng vào rổ là:
A.
12
35
B.
1
25
C.
4
49
D.
2
35
Câu 25:Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố A: ” Tổng số
chấm xuất hiện là 7”.
A.
1
6
B.
2
9
C.
5
18
D.
1
9
Câu 26
: Một tổ học sinh gồm có
6
nam và
4
. Chọn ngẫu nhiên
3
em. Tính xác suất
3
em được
chọn có ít nhất 1 nữ.
A.
5
6
B.
1
6
C.
1
30
D.
1
2
Câu 27
: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.
A.
2
7
B.
1
21
C.
37
42
D .
5
42
Câu 28
: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.
A.
2
7
B.
1
21
C.
37
42
D .
5
42
Câu 29
: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán.
A.
2
7
B.
1
21
C.
37
42
D .
5
42
Câu 30
: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện
mặt sấp”
A.
1
()
2
PA
B.
3
()
8
PA
C.
7
()
8
PA
D.
1
()
4
PA
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 16
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến
A
n
là một mệnh đề đúng với mọi giá
trị nguyên dương
n
, ta thực hiện như sau:
Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n
.
Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương
nk
tuỳ ý
1k
, chứng minh rằng
mệnh đề đúng với
1nk
.
1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề
A
n
là đúng với với mọi số nguyên dương
np
thì :
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với np
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì nk p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với
1nk
.
Vấn đề 2. DÃY SỐ
2.1.Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên
:*
()
uN R
nun
2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
n
u
là dãy số tăng
*
1
,
nn
uunN


*
1
*
1
0,
1, 0,
nn
n
n
n
uu nN
u
unN
u


n
u
là dãy số giảm
*
1
,
nn
uunN


*
1
*
1
0,
1, 0,
nn
n
n
n
uu nN
u
unN
u


2.3.Dãy số bị chặn
n
u
là dãy số bị chặn trên
*
:,
n
M
Ru M n N
.
n
u
là dãy số bị chặn dưới
*
:,
n
mRu m nN
.
n
u
là dãy số bị chặn
*
,: ,
n
mM Rmu M nN
.
Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG
+ Định nghĩa :Dãy số

n
u
là cấp số cộng
*
1
,
nn
uudn

d
là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 17
+ Số hạng tổng quát :
*
1
(1), 2,
n
uu n d n n
.
+ Tính chất :

*
11
,2,
2
kk
k
uu
ukk


.
+
Tổng n số hạng đầu tiên :

1
1
12
2(1)
()
...
22
n
nn
nu n d
nu u
Suu u


Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN
+ Định nghĩa :Dãy số

n
u
là cấp số nhân

*
1
,
nn
uuqn

q
là số không đổi , gọi là công bội của cấp số nhân .
+ Số hạng tổng quát :
1*
1
., 2,
n
n
uuq n n

.
+ Tính chất :
2*
11
., 2,
kkk
uuu k k


.
+ Tổng n số hạng đầu tiên :
12 1
1
12
... khi 1
(1 )
... 1
1
nn
n
nn
Suu unu q
uq
Suu u q
q


khi
II. TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp
Phương pháp :
Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi
1n
(hoặc
np
) .
Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi
nk
với
1k

hay kp
,ta phải
chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi
1nk
.
2. Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức
truy hồi .
Phương pháp :
Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng
quát thì muốn tìm số hạng thứ
k
ta chỉ việc thay
nk
vào công thức tổng quát . Nếu dãy số
cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .
Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều
cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng
minh lại bằng quy nạp .
3. Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .
Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa :
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 18
o
n
u
là dãy số tăng
*
1
,
nn
uun


*
1
*
1
0,
1, 0,
nn
n
n
n
uu n
u
un
u


o
n
u
là dãy số giảm
*
1
,
nn
uun


*
1
*
1
0,
1, 0,
nn
n
n
n
uu n
u
un
u


o
n
u
là dãy số bị chặn
*
,: ,
n
mM mu M n 
.
4. Chứng minh các dãy số là cấp số
Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh

*
11
,
nnn nn
CSC u u u d u u d n


, (
:d
không đổi) .
*
1
1
() ,
n
nnn
n
u
CSN u u u q q n
u

, (
:q
không đổi) .
5. Tìm
1
,,,
n
udqS của cấp số
Phương pháp :
Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của
n
số hạng đầu tiên của cấp
số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
+ Nếu
n
u
là cấp số cộng thì :
*
1
(1), 2,
n
uu n d n n

1
1
12
2(1)
()
...
22
n
nn
nu n d
nu u
Suu u


.
+ Nếu
n
u
là cấp số nhân thì :
1*
1
., 2,
n
n
uuq n n

.
12 1
1
12
... khi 1
(1 )
... 1
1
nn
n
nn
Suu unu q
uq
Suu u q
q


khi
6. Các bài toán ứng dụng tính chất của cấp số
Phương pháp :
Dựa vào các công thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân :
Nếu
n
u
là cấp số cộng thì :

*
11
,2,
2
kk
k
uu
ukk


Nếu
n
u
là cấp số nhân thì :
2*
11
., 2,
kkk
uuu k k


.
III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1:
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 19
a)
3
231, 8
n
nn

b)
32
35
n
un n n
chia hết cho 3, với mọi
*
n
c) Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
*
n
:
(1)(2)
1.2 2.3 ... ( 1)
3
nn n
nn


Bài 2:
Xét tính tăng , giảm của các dãy số
n
u
biết :
a)
21
32
n
n
u
n
b)
2
n
n
u
n
c)
(1)
2
n
n
u
n
Bài 3: Xét tính bị chặn của các dãy số
n
u
biết:
a)
2
2
2
1
n
nn
u
nn

b)
2
2
n
n
u
nnn

c)
2
2
42
21
n
nn
u
nn

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
u
biết:
a)

1
1
1
:
21
n
nn
u
u
uu


b)

1
1
5
4
:
1
2
n
n
n
u
u
u
u
;
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a)
153
25
10
7
uuu
uu


; b)
253
46
10
26
uuu
uu


; c)
24
22
15
5
25
uu
uu


Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số ,,abclập thành một cấp số cộng thì :


22
222
36abc ab abc
.
Bài 7. Tìm các giá trị của
m
để phương trình :

42
22 230xmxm
có 4 nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng .
Bài 8. Cho dãy số


1
1
2
:
32, 1
n
nn
u
u
uun n

Xét dãy số
n
v
biết :
1
,1
nn n
vu u n

a) Chứng minh dãy số
n
v
là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và công sai của nó.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
u
.
Bài 9. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a)
13
22
13
10
50
uu
uu


; b)

123
123
21
,0
1117
12
uuu
q
uuu


Bài 10. Cho dãy số


12
11
1, 2
:
32, 2
n
nnn
uu
u
uuu n



.
Xét dãy số
n
v
biết :

1
,1
nn n
vu u n

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 20
a) Chứng minh dãy số
n
v
là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
u
.
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1
2
2 . víi n 1
n
nn
u
uu

. Ta có u
5
bằng:
A. 10 B. 1024 C. 2048 D. 4096
Câu 2: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1
1
2
2 víi mäi n 2
nn
u
uu n

. Khi đó u
50
bằng:
A. 1274,5 B. 2548,5 C. 5096,5 D. 2550,5
Câu 3: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
1
1
2 . víi mäi n 2
nn
u
unu


. Khi đó u
11
bằng:
A. 2
10
.11! B. -2
10
.11! C. 2
10
.11
10
D. -2
10
.11
10
Câu 4: Dãy số
31
31
n
n
u
n
là dãy số bị chặn trên bởi?
A.
1
2
B.
1
3
C. 1 D. Tất cả đều sai
Câu 5: Trong các dãy số (u
n
) sau đây, hãy chọn dãy số giảm:
A. u
n
= sin n B. u
n
=
2
1n
n
C. u
n
= 1nn D. u
n
=


121
n
n

Câu 6: Trong các dãy số (u
n
) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn
A. u
n
=
2
1n B. u
n
= n +
1
n
C. u
n
=2
n
+ 1 D. u
n
=
1
n
n
Câu 7: Cho dãy số (u
n
) vói u
n
= 3
n
. Hãy chọn hệ thức đúng:
A.
19
5
2
uu
u
B.
24
3
2
uu
u
C.
100
12 100
1
1 ...
2
u
uu u

D.
1 2 100 5050
...uu u u
Câu 8: Cho dãy số (u
n
), biết u
n
= 3
n
. Số hạng u
2n - 1
bằng:
A. 3
2
.3
n
- 1 B. 3
n
.3
n - 1
C. 3
2n
- 1 D. 3
2(n - 1)
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 21
Câu 9:
Cho dãy số
2
2
1
n
n
u
n
. Số
9
41
là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 10 B. 9 C. 8 D. 11
Câu 10: Cho dãy số

1
2
1
1
1
n
nn
u
uu

Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A. 1
n
un B. 1
n
un C.

2
11
n
n
u
D.
n
un
Câu 11: Cho dãy số
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u


. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A.
1
n
n
u
n

B.
1
n
n
u
n
C.
1
n
n
u
n

D.
1
n
n
u
n

Câu 12: Cho dãy số
1
2
1
1
nn
u
uun

. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A.
21 1
1
6
n
nn n
u


B.
122
1
6
n
nnn
u


C.
121
1
6
n
nnn
u


D. Tất cả đều sai
Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy tăng:
A.
n
u
n
n
sin)1(
1
B.
23
32
n
n
u
n
C.
1
1
nn
u
n
D.
)13()1(
2
nn
n
u
Câu 14:Cho dãy số
1
1
5
nn
uun

u
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
A.
1
2
n
nn
u
B.

1
5
2

n
nn
u
C.
1
5
2

n
nn
u
D.
12
5
2


n
nn
u
Câu 15: Tính tổng
1.1! 2.2! ........... 2007.2007!Sn . Khi đó công thức của
Sn là:
A.
2007!
B.
2008!
C.
2008! 1
D.
2007! 1
Câu 16: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi:
1
*
1
3
1
2
nn
u
uun

Tìm công thức tính số
hạng tổng quát
n
u của dãy số
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 22
A.
3
2
n
n
u
B.
1
3
2
n
n
u
C.
3
21
n
n
u
D.
3
21
n
n
u
Câu 17: Cho CSC có d=-2 và
8
72s
, khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu?
A.
1
16u
B.
1
16u
C.
1
1
16
u
D.
1
1
16
u
Câu 18: Cho CSC có
1
1, 2, 483
n
uds . Hỏi số các số hạng của CSC?
A. n=20 B. n=21C. n=22D. n=23
Câu 19:
Xác đinh a để 3 số
2
13, 5,1aa a lập thành CSC.
A.
0a
B.
1a 
C.
2a 
D.Tất cả đều sai.
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
22
22a c ab bc B.
22
22a c ab bc
C.
22
22a c ab bc
D.
22
ac abbc
Câu 21: Cho CSC có
414
12, 18uu . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là
A.
1
20, 3ud 
B.
1
22, 3ud
C.
1
21, 3ud
D.
1
21, 3ud 
Câu 22: Cho CSC có
414
12, 18uu . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là?
A.24 B. -24 C. 26 D. – 26
Câu 23:
Cho CSC có
520
15, 60uu . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là?
A. 200 B. -200 C. 250 D. -25
Câu 24: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
A.
1
3
n
u
B.

1
1
3
n
u

C.
31
n
un
D.Tất cả đều là CSC
Câu 25: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC?
A.
1
1
1
21
nn
u
uu


B.
1
1
1
1
nn
u
uu


C.
2
n
un
D.

3
1
n
un
Câu 26: Cho CSN có
25
1
;16
4
uu
. Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN?
A.
1
11
;
22
qu
B.
1
11
,
22
 qu
C.
1
1
4,
16
qu
D.
1
1
4,
16
 qu
Câu 27:
Cho CSN có
16
1, 0,00001uu
. Khi đó q và số hạng tổng quát là?
A.
1
11
,
10 10

n
n
qu
B.
1
1
,10
10

n
n
qu
C.
1
11
,
10 10

n
n
qu
D.

1
1
1
,
10 10

n
n
n
qu
Câu 28:
Cho CSN có
1
1
1;
10
uq

. Số
103
1
10
là số hạng thứ bao nhiêu?
A. số hạng thứ 103 B. số hạng thứ 104 C. số hạng thứ 105 D. Đáp án khác
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 23
Câu 29:
Cho dãy số
1
;,2
2
b
. Chọn b để ba số trên lập thành CSN
A.
1b 

B.
1b

C.
2b

D. Đáp án khác
Câu 30: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.
A.
1
2
1
1
2
nn
u
uu
B.
1
nn
unu
C.
1
1
2
5

nn
u
uu
D.
11
3


nn
uu
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 24
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
I - TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG.
BÀI 1. PHÉP TỊNH TIẾN
1. Định nghĩa
: Trong mặt phẳng, cho véc tơ

;vab
. Phép tịnh tiến theo véc tơ
;vab
là phép
biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho
'
M
Mv

. Ký hiệu :
v
T
.
2.Các tính chất của phép tịnh tiến :
a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó.
HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng
thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn
thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
- Giả sử cho
;vab
và một điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
thì M’ có tọa độ là :
'
'
x
xa
yyb


BÀI 2. PHÉP QUAY
1. Định nghĩa
Cho điểm O và góc lượng giác
. PBH biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M O thành
điểm M
sao cho OM = OM và góc (OM; OM) = đgl phép quay tâm O góc .
Điểm O: tâm quay.
Góc
: góc quay.
Kí hiệu: Q
(O,
)
.
Nhận xét:
Chiều quay dương là chiều dương của đường tròn lượng giáC.
Với k Z,
– Q
(O,2k
)
là phép đồng nhất.
– Q
(O,(2k+1)
)
là phép đối xứng tâm O.
2. Tính chất
Tính chất 1:
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng bằng nó, tam
giác
tam giác bằng nó, đường tròn đường tròn có cùng bán kính.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 25
Nhận xét:
Giả sử Q
O,
)
(d) = d. Khi đó:

0
2
,'
2
neáu
dd
neáu


3. Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là
:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q
(
I
,
)
, với I(a; b). Khi đó Q
(
I
,
)
biến điểm M (x; y) thành
M’(x’; y’) xác định bởi:
cos)(sin)('
sin)(cos)('
byaxby
byaxax
BÀI 3. PHÉP DỜI HÌNH
1. Định nghĩa:
Phép dời hình là PBH bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nhận xét:
– Các phép
v
T
, Đ
d
, Đ
O
, Q
(O,
)
đều là những phép dời hình.
– PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.
2. Tính chất
Phép dời hình:
1) Biến 3 điểm thẳng hàng
3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
2) Biến đường thẳng
đường thẳng, tia tia, đoạn thẳng đoạn thẳng bằng nó.
3) Biến tam giác
tam giác bằng nó, góc góc bằng nó.
4) Biến đường tròn
đường tròn có cùng bán kính.
Chú ý:
a) Nếu PDH biến
ABC ABC thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp của
ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội
tiếp của
ABC.
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh
đa giác n cạnh, đỉnh đỉnh, cạnh cạnh.
BÀI 4. PHÉP VỊ TỰ
1. Định nghĩa
Cho điểm O và số k 0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M : 'OM kOM
 
đgl phép vị tự tâm
O, tỉ số k
.
Kí hiệu: V
(O,k)
.
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự.
Nhận xét:
1) V
(O,k)
: O O
2) Khi k =1 thì V
(O,1)
là phép đồng nhất.
3) Khi k= –1 thì V
(O,–1)
= Đ
O
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 26
4) V
(O,k)
(M) = M
1
(,)O
k
V
(M) = M
2. Tính chất
Tính chất 1:
(,)
:'
''
'
''
Ok
VMM
M
NkMN
NN
M
NkMN
 
Tính chất 2: Phép V
(O,k)
:
a) Biến 3 điểm thẳng hàng
3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
b) Biến đt
đt song song hoặc trùng với nó, tia tia, đoạn thẳng đoạn
thẳng.
c) Biến tam giác
tam giác đồng dạng với nó, biến góc góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R
đường tròn bán kính /k/R
3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm
M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có :


''
'
''
x
a kxa x kxa a
IM k IM
y b ky b y ky b b








 
(*) .
Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .
BÀI 5. PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Định nghĩa
PBH F đgl phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M, N bất kì có ảnh M, N thì MN =
kMN.
Nhận xét:
1) PDH là PĐD tỉ số 1.
2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
3) Nếu thực hiện liên tiếp PĐD tỉ số k và PĐD tỉ số p ta được PĐD tỉ số pk.
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
b) Biến đt đt, tia tia, đoạn thẳng đoạn thẳng.
c) Biến tam giác tam giác đồng dạng với nó, góc góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R đường tròn bán kính kR.
Chú ý:
a) Nếu một PĐD biến ABC thành ABC thì cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
nội tiếp, ngoại tiếp của ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,
ngoại tiếp của ABC.
b) PĐD biến đa giác n cạnh đa giác n cạnh, biến đỉnh đỉnh, cạnh cạnh.
3. Hình đồng dạng
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 27
Hai hình đgl đồng dạng với nhau nếu có một PĐD biến hình này thành hình kia.
II - DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn,.... qua phép tịnh tiến, phép
quay, phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng.
*) Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa, tích chất.
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
III - BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1.
Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho điểm A(- 6; - 3), B( 4; - 5) và điểm C thay đổi trên
đường tròn (T) : x
2
+ y
2
+2x – 4y –11 = 0. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B.
1)
Viết phương trình đường thẳng d’ và phương trình đường tròn
1
T
là ảnh của đường thẳng d và
đường tròn (T) qua
a) Phép tịnh tiến theo vec tơ
2;5v 
.
b) Phép quay tâm O, góc quay
0
90
.
c) Phép vị tự tâm I(-1; -4), tỉ số k=
1
3
.
2)
Tìm phép tịnh tiến biến (T) thành (T
’
): (x – 10)
2
+ (y + 5)
2
=16.
3)
Tìm quỹ tích trọng tâm G của ABC.
Bài 2. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+ 2y – 3 = 0 và đường tròn
22
:2270Cx y x y . Tìm ảnh của d, (C) qua:
1.
Phép tịnh tiến theo vec tơ
2;3v
2.
Phép quay tâm O, góc quay
0
90 .
3.
Phép vị tự tâm O, tỉ số k =
1
2
.
4.
Phép vị tự tâm I(2; -1), tỉ số k = - 3
Bài 3. Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng 250:.xyD++= Tìm ảnh của đường
thẳng D qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k =
và phép quay tâm
O góc quay
2
.
p
Bài 4.
Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ,
A
BC biết
(
)
22;A và
M
là điểm thỏa mãn
32 ;CM CA CB N=+
  
là điểm thuộc cạnh
A
C sao cho 2 .NC AN= Đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
MN có phương trình
22
4240.xy xy+-+-= Hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
.
A
BCD
IV - CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 28
Câu 1:
Cho tam giác
A
BC
có ,,
D
EF lần lượt là trung điểm
,,.
A
CCBBA
Khi đó phép tịnh tiến theo vec tơ
D
F

biến điểm
E
thành điểm:
A. .B B. .C
C.
.
D
D. .
F
Câu 2:
Trong hệ trục tọa độ ,Oxy cho véctơ
(2;1)=
v
và điểm
3; 2M
. Tìm tọa độ ảnh của điểm
M
qua phép tịnh tiến theo véctơ
v
?
A.
5; 3 .
B.

5; 3 .
C.
5;3 .
D.
5;3 .
Câu 3: Trong hệ trục tọa độ ,Oxy cho véctơ (2; 3)=
v và điểm
4; 2M
. Tìm tọa độ điểm
M
biết
M
¢
là ảnh của
M
qua phép tịnh tiến theo véctơ
v
?
A.

2;1 .
B.
2;1 .
C.
6;5 .
D.
2; 1 .
Câu 4: Cho lục giác đều
A
BCDEF tâm O (như hình vẽ). Tìm ảnh của
tam giác
A
OF qua phép quay tâm O góc quay 120
0
?
A. Tam giác .
A
OB
B. Tam giác .EOD
C. Tam giác .BOC
D. Tam giác .
D
OC
O
A
B
C
D
E
F
Câu 5:
Cho hình bình hành
A
BCD tâm ,O phép quay

0
;180O
Q
biến đường thẳng
A
D thành đường
thẳng:
A.
.CD B. .
A
C C.
.BA
D. .
B
C
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ ,Oxy cho điểm

x; y , ;
M
Mxy

và
()
2
,
.
O
M
QM
p
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
¢
=
Khi đó biểu
thức nào sau đây đúng?
A. ;
x
y
yx


B.
;
x
y
yx

C.
;
x
y
yx

D. ;
x
y
yx
Câu 7: Cho 3
A
BAC

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

;3
() .
A
VCB
B.

;3
() .
A
VBC
C.

;3
() .
A
VBC
D.

;3
() .
A
VCB
Câu 8: Cho 2017AB = và
()
()
()
()
22;;
;.
II
A
VABVB
¢¢
==
Khi đó độ dài
A
B
¢¢
bằng
A.
2017.
B.
2017
2
.
C.
4034.
D.
2017 2.
Câu 9:
Trong hệ trục tọa độ ,Oxy cho điểm
4; 2M
. Tìm tọa độ ảnh của điểm
M
qua phép vị tự
tâm
O tỉ số
2k 
?
A.
()
48;.-- B.
()
84.;- C.
()
48;. D.
()
48;.-
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 29
Câu 10:
Cho hình chữ nhật ,
A
BCD tâm ;OI là trung điểm .
A
D
Khi đó phép vị tự tâm
,
A
tỉ số
2k =
biến tam giác
A
OI
thành
tam giác
A.
.
A
CDD
B.
.
A
CBD
C.
.ODCD
D.
.OIDD
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 5). Phép tịnh tiến theo vectơ
v
= (1; 2) biến A thành
điểm có tọa độ là:
A. (3; 1) B. (1; 6) C. (3; 7) D. (4; 7)
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 5). Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau
qua phép tịnh tiến theo vectơ
v = (1; 2)?
A. (3; 1) B. (1; 6) C. (4; 7) D. (2; 4)
Câu 13: Cho P, Q cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành M
2
sao cho
PQMM 2
2
.
A. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ . B. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ
2
MM .
C. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ 2
PQ
. D. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ
PQ
2
1
.
Câu 14: Cho phép tịnh tiến
u
T biến điểm M thành M
1
và phép tịnh tiến
v
T biến M
1
thành M
2
.
A. Phép tịnh tiến
vu
T
biến M
1
thành M
2
.
B. Một phép đối xứng trục biến M thành M
2
C. Không thể khẳng định được có hay không một phép dời hình biến M thành M
2
D. Phép tịnh tiến
vu
T
biến M thành M
2
.
Câu 15: Cho phép tịnh tiến vectơ v biến A thành A’ và M thành M’. Khi đó:
A. ''
M
A
A
M B. ''2
M
A
A
M C. ''
M
A
A
M D. ''23 MAAM
Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho v = (a; b). Giả sử phép tịnh tiến theo v biến điểm M(x; y)
thành M’(x’;y’). Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ
v là:
A.
byy
axx
'
'
B.
byy
axx
'
'
C.
byay
axbx
'
'
D.
byay
axbx
'
'
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn: (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 16 qua phép tịnh tiến
theo vectơ
v = (1;3) là đường tròn có phương trình:
A. (x – 2)
2
+ (y – 1)
2
= 16 B. (x + 2)
2
+ (y + 1)
2
= 16
C. (x – 3)
2
+ (y – 4)
2
= 16 D. (x + 3)
2
+ (y + 4)
2
= 16
Câu 18: Cho phép tịnh tiến theo v
=0
, phép tịnh tiến
o
T
biến hai điểm M và N thành 2 điểm M
/
và N
/
khi đó:
A. Điểm M trùng với điểm N B. Vectơ
MN

là vectơ
0
C. Vectơ
//
MM NN 0
 
D.
/
MM 0

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 30
Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép tịnh tiến theo
v
(1; 1), phép tịnh tiến
theo
v
biến : x – 1 = 0 thành đường thẳng
/
. Khi đó phương trình của
/
là:
A. x – 1 = 0 B. x – 2 = 0 C. x – y – 2 = 0 D. y – 2 = 0
Câu 20: Phép quay Q
(O;
)
biến điểm M thành M’. Khi đó:
A. 'OMOM và (OM,OM’) = B. OM = OM’ và (OM,OM’) =
C. 'OMOM và MÔM’ = D. OM = OM’ và MÔM’ =
Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay
)
2
;(
O
Q
A. A’(0; –3); B. A’(0; 3); C. A’(–3; 0); D. A’(2 3; 2 3).
Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay
)
2
;(
O
Q
A. A’(–3; 0); B. A’(3; 0);
C. A’(0; –3); D.A’(–2 3; 2 3).
Câu 23: Cho tam giác đều ABC hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C:
A.
0
30 B.
0
90
C.
0
120 D.
0
60
 hoặc
0
60
Câu 24: Trong măt phẳng Oxy cho điểm M(–2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm sau?
A. (–3; 4) B. (–4; –8) C. (4; –8) D. (4; 8)
Câu 25: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm
O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?
A. 2x + y + 3 = 0 B. 2x + y – 6 = 0 C. 4x – 2y – 3 = 0 D. 4x + 2y – 5 = 0
Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4. Phép vị
tự tâm O tỉ số k = – 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x – 2)
2
+ (y – 4)
2
= 16 B. (x – 4)
2
+ (y – 2)
2
= 4
C. (x – 4)
2
+ (y – 2)
2
= 16 D. (x + 2)
2
+ (y + 4)
2
= 16
Câu 27: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k 0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:
A. '
1
OM
k
OM B. 'OMkOM C. 'OMkOM D. OMOM '
Câu 28: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì:
A. MNkNM '' và M’N’ = –kMN B. MNkNM ''và M’N’ = kMN
C. MNkNM '' và M’N’ = kMN D. MNNM //''và M’N’ =
2
1
MN
Câu 29: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?
A. Phép vị tự tâm G, tỉ số 2. B. Phép vị tự tâm G, tỉ số –2.
C. Phép vị tự tâm G, tỉ số –3. D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3.
Câu 30: Cho hình thang ABCD, với AB
2
1
CD . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Gọi V là phép vị tự biến
AB thành CD . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng:
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 31
A.
V là phép vị tự tâm I tỉ số k =
2
1
B. V là phép vị tự tâm I tỉ số k =
2
1
C. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = –2 D. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = 2
Câu 31: Cho tam giác ABC, với G là trọng tâm tam giác, D là trung điểm của BC. Gọi V là phép
vị tự tâm G biến điển A thành điểm D. Khi đó V có tỉ số k là:
A. k =
2
3
B. k = –
2
3
C. k =
1
2
D. k =
1
2
Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm M(4; 6) và M
/
(–3; 5). Phép vị tự
tâm I tỉ số k =
2
1
biến điểm M thành M
/
. Khi đó tọa độ điểm I là:
A. I(–4; 10) B. I(11; 1) C. I(1; 11) D. I(–10; 4)
Câu 33: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1;2), B(–3; 4) và I(1; 1). Phép
vị tự tâm I tỉ số k = –
3
1
biến điểm A thành A
/
, biến điểm B thành B
/
. Trong các mệnh đề sau mệnh
đề nào đúng:
A.
3
2
;
3
4
BA
//
B.
3
2
;
3
4
BA
//
C.
320BA
//
D.
0;
3
7
B,
3
2
;1A
//
Câu 34: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai đường tròn (C) và (C
/
), trong đó (C
/
) có
phương trình:(x+2)
2
+(y+1)
2
= 9. Gọi V là phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C)
thành (C
/
). Khi đó phương trình của (C) là:
A. 1y
3
1
x
2
2
B. 9
3
1
yx
2
2
C. 1
3
1
yx
2
2
D. x
2
+ y
2
= 1
Câu 35: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
= 4. Phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k =
2
1
và phép quay tâm O
góc 90
0
sẽ biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?
A. (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
= 1 B. (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1
C. (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
= 1 D. (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1
Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(–2; –3), B(4; 1). phép đồng dạng tỉ số k =
2
1
biến điểm A thành A
/
, biến điểm B thành B
/
. Khi đó độ dài A
/
B
/
là:
A.
2
52
B. 52 C.
2
50
D. 50
Câu 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(3; 2), bán kính R = 2.
Gọi (C
/
) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k = 3. khi đó trong các mệnh đề sau mệnh đề nào
sai:
A. (C
/
) có phương trình (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 36 B. (C
/
) có phương trình x
2
+ y
2
– 2y – 35= 0
C. (C
/
) có phương trình x
2
+ y
2
+ 2x – 36= 0 D. (C
/
) có bán kính bằng 6.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 32
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG.
I - TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG.
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Mở đầu về hình học không gian
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian:
Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng:
Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (
mp(A,d))
Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (
mp(a, b))
4. Hình chóp và hình tứ diện
§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt
2. Hai đường thẳng song song
a. Định nghĩa
,()
//
ab P
ab
ab

b. Tính chất
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
§3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
2. Định nghĩa:
d // (P)
d
(P) =
3. Tính chất
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d
nằm
trong (P) thì d song song với (P).
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P)
thì cắt theo giao tuyến song song với d.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song
với b.
§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
(P) // (Q)
(P)
(Q) =
2. Tính chất
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) song song với (Q).
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với
(P).
a
b
P
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 33
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho một điểm A
(P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong
một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và
các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d
lần lượt lấy các điểm A, B, C và A
,
B
, C
sao cho:
'' '' ''
AB BC CA
AB BC CA

Khi đó, ba đường thẳng AA
, BB
, CC
lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng
cùng song với một mặt phẳng.
II - TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1
: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (
)
Phương pháp giải: Tìm đường thẳng
b nằm trong mặt phẳng (
)
Giao điểm của
a và b là giao đt a và mặt phẳng (
)
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp () a
Cần chọn mp () chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
mp () và mp () dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp : Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt
Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp
Dạng 4: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Phương pháp:
Cách 1: Chứng minh 3 đường thẳng này không đồng phẳng và cắt nhau đôi một
Cách 2: Chứng minh hai trong 3 đường thẳng này cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc
đường thẳng thứ 3.
Dạng 5: Thiết diện của hình chop cắt bởi mặt phẳng
Phương pháp :
Cách 1: Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
Cách 2: Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
Dạng 6 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối
của hình
bình hành , định lý talet … )
Sử dụng các định lý
Chứng minh bằng phản chứng
Dạng 7 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) :
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 34
Phương pháp : Chứng minh
//// d
a
ad
d
Dạng 8 : Chứng minh () // () : Sử dụng các cách sau :
–
)//()(
)//(),//(
)(),(
ba
Mba
ba
–
)//()(
//,//
)(),(
)(),(
dbca
Ndc
dc
Mba
ba
– )//()(
)//()(
)//()(
III - BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1:
Cho hình chóp S.ABCD. Điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh BC và SD.
a/ Tìm I= BN
(SAC).
b/ Tìm J= MN
(SAC).
c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng
d/ Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN)
Baøi 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần kượt là trung điểm của AD và CD và G trên đoạn AB
sao cho GA= 2GB.
a/ Tìm M = GE
mp(BCD),
b/ Tìm H = BC
(EFG). Suy ra thiết diện của (EFG) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì ?
c/ Tìm (DGH)
(ABC).
Baøi 3: Cho hình chóp SABCD. Gọi O = AC
BD. Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’,
D’. Giả sử AB
C’D = E, A’B’
C’D’ = E’.
a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng
b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui
Baøi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a/ Tìm (SAC)
(SBD); (SA B)
(SCD), (S BC)
(SAD).
b/ Một mp
qua CD, cắt SA và SB tại E và F. Tứ giác CDEF là hình gì? Chứng tỏ giao điểm của
DE và CF luôn luôn ở trên 1 đường thẳng cố đinh.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 35
c/ Gọi M, N là trung điểm SD và BC. K là điểm trên đoạn SA sao cho KS = 2KA. Hãy tìm thiết
diện của hình chop SABCD về mp (MNK)
Baøi 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD; AB > CD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm các cạnh SA, SB.
a/ Chứng minh: MN // CD
b/ Tìm P = SC
(ADN)
c/ Kéo dài AN và DP cắt nhau ở I. Chứng minh: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Baøi 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.
a/ Chứng minh rằng MN // (ABD)
b/ Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm
ABC và
ACD . Chứng minh rằng GG’ // (BCD)
Baøi 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD
a/ Tìm (SAD)
(SCD).
b/ M là trung điểm SA, tìm (MBC)
(SAD) và (SCD)
c/ Một mặt phẳng
di động qua AB, cắt SC và SD tại H và K. Tứ giác A BHK là hình gì?
d/ Chứng minh giao điểm của BK và AH luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.
Baøi 8: Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, BD
a/ Chứng minh AD // (MNP)
b/ NP // (SBC)
c/ Tìm thiết diện của (MNP) với hình chóp. Thiết diện là hình gì?
Baøi 9: Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AD, BC. Các điểm I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF,
ADC, BCE. Chứng minh: (IJK) // (CDEF)
Baøi 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
A'B'C' và ACC'. Chứng minh rằng: (IKG) // (BB'C'C) và (A'GK) // (AIB).
Baøi 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SC. Mặt phẳng
qua M và song song với (SBD). Mặt phẳng

qua N và song
song với (SBD).
a/ Xác định thiết diện của hình chóp lần lượt cắt bởi 2 mặt phẳng
và
.
b/ Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AC với hai mặt phẳng nói trên. Chứng minh: AC = 2IJ.
Baøi 12: Cho lăng trụ tam giác
a/ Chứng minh: B'C // (AHC')
b/ Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (A'BC). Chứng minh: d // (BB'C'C).
c/ Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (H; d)
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 36
Baøi 13:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC'
sao cho
'
A
MCN
A
DCC
.
a/ Chứng minh: MN // (AB'C')
b/ Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng
qua MN và song song với (AB'C').
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho mp(
) và đường thẳng d (
). Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Nếu d // (
) thì trong (
) tồn tại đường thẳng a sao cho a // d
B. Nếu d // (
) và b (
) thì d // b
C. Nếu d // c (
) thì d // (
)
D. Nếu d (
) = A và d (
) thì d và d hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 2. Cho đường thẳng a mp(
) và đường thẳng b mp(
). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. (
) // (
) a // b B. (
) // (
) a // (
)
C. (
) // (
) b // (
) D. a và b hoặc song song hoặc chéo
nhau.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mp(
) qua M và song song với AB. Thiết
diện của tứ diện cắt bởi mp(
) là:
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi
Câu 4. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mp(
) tuỳ ý với hình
chóp không thể là:
A. Lục giác B. Ngũ giác C. Tứ giác D. Tam giác
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ABCD và BCDA là hai hình bình hành có chung một đường trung bình
B. BD và BC chéo nhau
C. AC và DD chéo nhau
D. DC và AB chéo nhau
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB.
Mp(ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình:
A. Tam giác B. Hình thang C. Hình bình hành D. Hình chữ
nhật
Câu 8. Cho tứ diện ABCD và điểm M ở trên cạnh BC. Mp(
) qua M song song với AB và CD. Thiết
diện của (
) với tứ diện là :
A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Tứ giác lồi
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC, AD = 2BC. M là trung điểm
S
A. Mp(MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là:
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 37
A.
Tam giác MBC B. Hình bình hành C. Hình thang vuông D. Hình chữ
nhật
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. M là trung điểm của OC,
mp(
) qua M song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mp(
) là:
A. Hình tam giác B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình ngũ
giác
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mp(
) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD
cắt ABCD theo thiết diện là:
A. Hình tam giác B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình chữ
nhật
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mp(ABD) song song với mặt phẳng nào trong các mặt
phẳng sau đây?
A. (BCA) B. (BCD) C. (ACC) D. (BDA)
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Mp(MAC) cắt hình hộp
ABC
D.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thoi D. Hình thang
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC.
Khẳng định nào sau đây
sai?
A. IO // mp(SAB)
B. IO // mp(SAD)
C. Mp(IBD) cắt S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác
D. (IBD)(SAC) = IO
Câu 15. Cho tứ diện ABCD. O là một điểm bên trong tam giác BCD. M là một điểm trên AO. I, J là
hai điểm trên BC, B
D. IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là:
A. KM B. AK C. MF D. KF
Câu 16. Cho đường thẳng a nằm trên mp (
) và đường thẳng b nằm trên mp (
). Biết (
) // (
).
Tìm câu
sai:
A. a // (
) B. b // (
)
C. a // b D. Nếu có một mp (
) chứa a và b thì a //
B.
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
và G
2
lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD.
Chọn câu
sai :
A. G
1
G
2
//(ABD) B. G
1
G
2
//(ABC)
C. BG
1
, AG
2
và CD đồng qui D. G
1
G
2
=
3
2
AB
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm I trên đoạn SO
sao cho
2
3
SI
SO
, BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N. MNBD là hình gì ?
A. Hình thang B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật D. Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, BC, BD, AD. Tìm điều kiện để
MNPQ là hình thoi:
A. AB = BC B. BC = AD C. AC = BD D. AB = CD
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 38
Câu 20.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mp (
) qua BD và song song với
SA, mp (
) cắt SC tại K. Chọn khẳng định đúng :
A. SK = 2 KC B. SK = 3 KC C. SK = KC D. SK =
1
2
K
C.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB. Điểm M là trung điểm
C
D. Mp (
) qua M và song song với BC và SA, mp (
) cắt AB tại N và cắt SB tại P.
Nói gì về thiết diện của mp (
) và S.ABCD ?
A. là một hình bình hành B. là một hình thang có đáy lớn là MN
C. là tam giác MNP D. là một hình thang có đáy nhỏ là NP
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD, AC BD = M, AB CD = N. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) là đường thẳng :
A. SN B. SC C. SB D. SM.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD, AC BD = M, AB CD = N. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD) là đường thẳng :
A. SN B. SA C. MN D. SM.
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm
của SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng nào sau đây đường thẳng nào không song
song với AB ?
A. AB B. CD C. CD D. SC.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mp (MNP) là một đa giác có bao
nhiêu cạnh ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp
(ABC) là một đa giác có bao nhiêu cạnh ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 27. Cho tứ diện ABCD với M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD, ACD.
Xét các khẳng định sau :
(I) MN // mp (ABC) (II) MN // mp (BCD)
(III) MN // mp (ACD) (IV) MN // mp (ABD)
Các mệnh đề nào đúng ?
A. I, II B. II, III C. III, IV D. I, IV.
Câu 28. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC.
Mệnh đề nào sau đây
sai ?
A. MN // BD và MN =
2
1
BD B. MN // PQ và MN = PQ
C. MNPQ là hình bình hành D. MP và NQ chéo nhau.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng
nào sau đây ?
A. AB B. AC C. BC D. SA
Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC, (
) là mặt phẳng đi qua M và
song song với các đường thẳng AB và C
D. Thiết diện của tứ diện và mp (
) là hình gì ?
A. Hình bình hành B. Hình tứ diện C. Hình vuông D. Hình thang.
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 39
Câu 31.
Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng a song song với mp()?
A. a // b và b // (
) B. a // b và b (
)
C. a // mp (
) và (
) // (
) D. a (
) = .
Câu 32. Cho một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và
song song với (P) ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số.
Câu 33. Cho một điểm A nằm ngoài mp(P). Qua A vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với
(P
) ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. vô số.
Câu 34. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy
nhất.
D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng
hàng.
Câu 35. Hãy chọn câu đúng:
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.
Câu 36. Hãy chọn câu đúng :
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.
B. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có,
của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng
đó.
C. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có hai đường thẳng p và q song song với
nhau
mà mỗi đường đều cắt cả a và b
.
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Câu 37. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy
các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây:
A. (BCD) B. (ABD) C. (CMN) D. (ACD).
Câu 38. Trong các hình sau :
Hình nào có thể là
hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn câu đúng nhất)
A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III),
(IV).
A
B
C
D
()I
A
B
C
D
()III
A
B
C
D
()II
A
B
C
D
()IV
A
B
D
C
| 1/39
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN 11 Năm học: 2017-2018
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Tóm tắt một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác. 1.Phương pháp:
Để tìm TXĐ của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước:
B1: Tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.
B2: Kết luận TXĐ dưới dạng tập hợp.
Chú ý: Với các hàm lượng giác cơ bản ta có:
- Hàm số y=sinx và y=cosx xác định với x R . 
- Hàm số y=tanx xác định khi x   
k , k Z 2
- Hàm số y=cotx xác định khi x  
k , k Z 2. Ví dụ
Câu1:Tìm tập xác định của các hàm số sau :   2x 1-sinx . y = ta a n (x+ ) c.y = b. y= cot (2x+ ) d. y= 4 sinx+cosx 6 1+cosx
Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số lượng giác: 1. Phương pháp:
+) Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác.
1  sinx  1; 1  cosx  1 ; 0  2 cos x  1 ; 0  2 sin x  1 ;
0  sinx  1 ; 0  cosx  1 ; 0  cosx  1 ; 0  sinx  1, khi sinx  0, cosx  0.  2 a  2
b  a sin x b cos x  2 a  2 b .
+) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức : cộng các vế của bất đẳng thức với cùng 1 số, nhân các vế
của bất đẳng thức với cùng 1 số,....... 2. Ví dụ
Câu2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau : ax   b y  2 2 . y = 3sin6x+5 2 d. y= sin 3 1 . 2cos x  3 e.y= sinx-cosx .
c y  3s in2x +4cos2x -1 f. y= 3cosx-5
Dạng 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số 1.Phương pháp giải:
Để xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f(x) ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Tìm tập xác định D của hàm số,khi đó:
+) Nếu D là tập đối xứng (tức là : xD  x D),ta thực hiện tiếp bước 2.
+) Nếu D không phải là tập đối xứng( tức là x  D m -x  D ),ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
B2: Xấc định f(-x), khi đó:
. Nếu f(-x) = f(x) với xD thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với xD thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. Chú ý: 1. co  s(- ) = cos; si  n(- ) = -si  n ; ta  n(- ) = -t  an ;cot  (- ) = -co  t
2. Với các hàm số lượng giác cơ bản ,ta có:
Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ; Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
3.Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng; Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 1
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 2. Ví dụ
Câu3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau : 2 2 2
a. y= sin x-cos x c. y =cosx-sin x
b. y= sinxcos3x d.y = sinx -cosx
Dạng 4 : Giải phương trình lượng giác : 1. Phương pháp chung:
Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.
*) Chú ý: Pt sinx  a;cos x a có nghiệm nếu 1
  a 1; pt t anx  ;
a cot x a luôn có nghiệm với mọi a.
*) Các công thức lượng giác:
Công thức lượng giác cơ bản: 2 2 2 1 2 1
cos   sin  1; 1 tan   ; 1 cot   ; tan.cot 1 2 2 os c  sin 
1. Công thức cộng cung:
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tan a  tan b
cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb tan(a + b) = 1 tan a tan b
sin( a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan a  tan b
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tan(a - b) = 1 tan a tan b
2.Công thức nhân đôi:
3.Công thức nhân ba:
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a – 1 = 1 - 2sin2a sin2a = 2sina.cosa cos3a = 4cos3a - 3cosa 2 tan a tan2a = 2 1 tan a a
4.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 2 2  sin t a  1 t 2t 2 ; cosa= ; tana= . 1 t 2 1 t 2 1t 2 1 cos2a 2 1 cos2a
5.Công thức hạ bậc: cos a  ; sin a  2 2
6.Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 sin(a b)
cosa.cosb= [cos(a-b) + cos(a+b)]
tan a  tan b  2 cos a cosb 1
sina.sinb= [cos(a-b) - cos(a+b)] sin(a b)
tan a  tan b  2 cos a cosb 1
sina.cosb= [sin(a-b) + sin(a+b)]       2
sin a  cos a  2 sin a   2 cos a       4   4
7.Công thức biến đổi tổng thành tích.       
sin a  cos a  2 sin a    2 cos a       4   4 
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 2
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN  
cos  cos  2cos a b cos a b a b 2 2   cos  cos  2
 sin a b sin a b a b 2 2  
sin  sin  2sin a b cos a b a b 2 2  
sin sin  2cos a b sin a b a b 2 2
*) Công thức nghiệm của ptlg cơ bản:x     k2 1. sinx = sin  (k   ); x =   - +k  2 x     k2 2. cosx =co  s  (k   ) x =  - +k  2
3. tanx = tan  x    
k (k  ) ;
4. cotx = cot  x    
k (k  ) 2. Ví dụ
Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau : 2
a. 2sin x  3 sin x  1 =0 b. cos2x- 3sin2x= - 2 c. 3tanx - 4cotx+1 = 0 2 2
d. 3cos x+2 3 sinxcosx+5sin x=2 e. 3sin7x - cos7x = 2 2    f. 6cos  x+  2
-3sinxcosx-cos x=1 g. 2 - 5sinx+cos2x = 0  2  2 h.sin 3x  2 cos 4 x  2 sin 5x  2
cos 6 x i.1+cosx+cos2x+cos3x=0 2 2
k. 4 sin 2x+8cos x - 9 = 0 l. 1+sinx +cosx+sin2x+2cos2x =0 3 1-cosx  2 cos x 2
m. 2sin x  3 sin x  1 =0 n . 5cosx - 2 = 2 sin x
II. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Phương trình sin x  3 cos x  1 có tất cả các nghiệm là     A. x
k2 , x    k2 , k Î  .
B. x    k2 , x
k2 , k Î  . 6 2 6 2 2  
C. x k2 , x
k2 , k Î  . D. x   k2 , x   k2 , k Î  . 3 6 2
Câu 2: Giải phương trình 2 2
sin x  3 sin x cos x  2cos x  1 ta được tất cả các nghiệm là    A. x
k , x   k , k Î  . B. x   k , k Î  . 2 6 6    C. x
k2 , x   k , k Î  . D. x    k2 , x   k2 , k Î  . 2 6 6
Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y  sin 2x . B. y  cos 2x . C. y  cos x .
D. y  sin x 1.
Câu 4: Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng æp ö æ pö æ 3pö A. çç ;p÷÷ ç ÷ ç ÷ ç . B. (0;p). C. 0; ç ÷ . D. ç ; p ÷ . çè2 ÷÷ø çè 2÷÷ø çè 2 ÷÷ø
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 3
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN   
Câu 5: Phương trình 2 cos 3x   3  0  
có tất cả các nghiệm là  4   2 5 2 A. x    k và x    k , k Î  . 36 3 36 3 13 2 7 2 B. x    k và x   k , k Î  . 36 3 36 3  2 5 2 C. x   k và x    k , k Î  . 36 3 36 3  2 5 2 D. x   k và x   k , k Î  . 36 3 36 3 1
Câu 6: Giải phương trình sin x  
được tất cả các nghiệm là 2  5  5
A. x    k2 , x
k2 , k Î  . B. x    k2 , x  
k2 , k Î  . 4 4 4 4  5  5 C. x
k2 , x
k2 , k Î  . D. x   k2 , x  
k2 , k Î  . 4 4 4 4
Câu 7: Phương trình 2
cos x  3cos x  2  0 có tất cả các nghiệm là
A. x k2 , k Î  .
B. x k2 , x   arccos 2  k2 , k Î  . kC. x  , k Î  .
D. x k , k Î  . 2 1
Câu 8: Tập xác định của hàm số y  là sin x 1 A.  \ {k2 , p k Î }.
B.  \ {p + k2 , p k Î }. ìï3p üï ìïp üï C.  \ ïí k2 , p k ï + Î ý  . D.  \ ïí k2 , p k ï + Î  . ï ý 2 ï ïî ïþ ï2 ï ïî ïþ æ pö
Câu 9: Trong khoảng 0; ç ÷ ç ÷ ç , phương trình 2 2
sin 4x  3sin 4x cos 4x  4 cos 4x  0 có çè 2÷÷ø
A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 4 nghiệm.
Câu 10: Phương trình 2 2 2 2
cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  2 tương đương với phương trình A. cos . x sin 5 .
x sin 2x  0 . B. cos . x cos5 .
x cos 2x  0 . C. cos . x sin 4 .
x sin 2x  0 . D. sin . x sin 5 .
x sin 2x  0 .   
Câu 11: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3cos x   2   lần lượt là  3  A. 1 và -5. B. -3 và 1. C. 1 và 5. D. -1 và 5.
Câu 12: Tập giá trị của hàm số y  sin 2x là A. é 2;2ù - ê é ù é ù ë úû . B. -1;1 êë úû . C. (-1; ) 1 . D. -1;2 êë úû .
Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số 
y  tan(2x  ) 4 A.   3  k  3 kD  \ 
, k   B.   D  \  , k    7 2   8 2  C.   3  k  3 kD  \ 
, k   D.   D  \  , k    5 2   4 2 
Câu 14: Cho hàm số: y  cos x 1  2x , TXĐ của hàm số là: A.  ; 1  B. ; 1 ( ) C. ( ) 1 ; D. R
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 4
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 15: Cho hàm số: y  2sin 1 x2  3cos x , TXĐ của hàm số là: A.  ; 1  B. ( ) 1 ; C.   1 ; 1 D. R 3cos x
Câu 16: Cho hàm số: y  , TXĐ của hàm số là: 2sin x 1 1  
A. D R \  
B. D R \   k2 ,k   2  6  5   C. D=R D. D R \ 
k2 ;  k2 , k    6 6 
Câu 17: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ? (A) y = sinx. (B) y = cosx. (C) y = tanx (D) y = cotx.
Câu 18: Gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y   2 3 4 cos 2x
A. min y  1,max y  4
B. min y  1,max y  7
C. min y  1,max y  3
D. min y  2,max y  7
Câu 19: y  tan 5x là hàm số tuần hoàn với chu kì: A.   T   B. 2 T
C. T
D. T  2 5 5
Câu 20: Tìm tập xác định của hàm số sau  
y  tan(x  ).cot(x  ) 4 3 A.   3  D \  k ,    
k ; k  B.   D  \   k ,  
k ; k    4 3   4 5  C.   3  3  D \  k ,    
k ; k  D.   D  \   k ,  
k ; k    4 3   5 6 
Câu 21: Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ? 1
(A) y  sin x cos . x
(B) y  cos2x (C) y  (D) 3 y  sin x sinx
Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y  2 x  2 2 sin cos 2x A. max y  4 , y  3 min
B. max y  3 , min y  2 4
C. max y  4 , min y  2 D. max y  3 , y  3 min 4
Câu 23: Nghiệm của phương trình 2
5  5sin x  2cos x  0 là:
A. k , k  .
B. k2 , k  .   C.
k2 , k  . D.
k2 , k  . 2 6
Câu 24: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2
2sin x  5sin x  3  0 là
A. 3sin x  3  0 B. 2
2 cos x  cos x 1  0
C. tan x  2  0
D. 2sin x  3  0
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2cos 2x  3sin x 1  0 là  1   1  A.   arcsin   k2   B.  arcsin   k2    4   4   1  1    1  C.  arcsin   k   D.  arcsin   k   2 2  4  2  4 
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 5
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT I.
TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN
VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM. 1) Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án. Nếu phương án một có m cách thực
hiện , phương án hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất
thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc cộng như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k phương án A1 , A2 , …, Ak . phương án A1 có n1
cách thực hiện, phương án A2 có n2 cách thực hiện , …, phương án Ak có nk cách thực hiện .Tất cả
các phương án này không trùng nhau. Khi đó số cách hoàn thành công việc là : n n n  .... n 1 2 3 k cách . 2) Quy tắc nhân :
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp .Nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc đó .
Chú ý : Có thể mở rộng quy tắc nhân như sau :
Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1 , A2 , …, Ak liên tiếp nhau. Hành
động A1 có n1 cách thực hiện, hành động A2 có n2 cách thực hiện , …, hành động Ak có nk cch thực
hiện . Khi đó số số cách hoàn thành công việc là : n1 n2 …nk cách .
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP. 1. Hoán vị a. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1). Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó .
Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự xắp xếp.
b. Số các hoán vị
Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử. Ta có : n P n!  .
n (n 1).(n  2)...2.1 n
Quy ước: 0!  1, 1!  1. 2. Chỉnh hợp a. Định nghĩa
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 6
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của
tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
b. Số các chỉnh hợp Kí hiệu k
A l số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0  k n ) . Khi đó ta có : n n k ! A n (n k)!
Chú ý : Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hóan vị của n phần tử.Như vây : n
A P n! n n 3. Tổ hợp a.Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1). Mỗi tập con có k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp
chập k của n phần tử . b.Số các tổ hợp Kí hiệu k
C là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0  k n ) . Khi đó ta có : n n k ! C n
k!(n k)!
c.Các tính chất của tổ hợp Ta có : a) k n k C C   n n b) k k k 1 C CC n n 1  n 1 
VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Nhị thức Newton dùng để khai triển biểu thức dạng : (  )n
a b , n N
Công thức nhị thức Newton : n 0 n 1 n 1  2 n2 2 k nk k n 1  n 1
(a b)  C a C a b C a b  ...  C a b  ...  n n
C ab C b n n n n n n Hoặc : n n k nk k
(a b)  C a b , 0  k n n k 0
Số hạng tổng quát trong khai triển triển là: k nk k
T C a b , 0  k n k n
VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên( hay phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 7
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
 Ta không đoán trước được kết quả xảy ra
 Tuy nhiên ta có thể liệt kê được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của phép thử đó . 2.Không gian mẫu
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu . Kí hiệu :  3. Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu .
 Biến cố không thể : là biến cố không bao giờ xảy ra.
4.Tính chất của biến cố a.Biến cố đối
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A. __ __
Kí hiệu : A . Vậy A   \ A
b.Biến cố xung khắc
Gọi A và B là 2 biến cố của một phép thử nào đó . A và B được gọi là 2 biến cố xung khắc nếu A
và B không đồng thời xảy ra hay AB   .
5. Xác suất của biến cố
a.Định nghĩa cổ điển của xác suất n( ) A
Gọi A là biến cố của một phép thử . Khi đó tỉ số
được gọi là xác xuất củ a biến cố A. n() n( ) A Kí hiệu : P( ) A n()
b.Các tính chất của biến cố 1. P()  0 2. P()  1 3. 0  P( ) A  1, A  ___
4. A ta có : P( A )  1 P( ) A
c. Các quy tắc tính xác suất.
Qui tắc cộng: Nếu A B    P(A B)  P( )
A P(B) Qui tắc nhân: Nếu ,
A B độc lập thì P( . A B)  P( ) A .P(B) II.
TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
Dạng toán 1:Sử dụng quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm số phương án
Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 8
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau.
Bước 2. Nếu nhóm 1 có n1 cách chọn khác nhau
Nhóm 2 có n2 cách chọn khác nhau …
Nhóm k có nk cách chọn khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1+n2+...+nkphương án.
• Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp
Bước 2. Nếu công việc 1có n1 cách thực hiện khác nhau
Công việc có n2cách thực hiện khác nhau …
Công việc k có nk cách thực hiện khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1.n2...nk cách thực hiện.
Dạng toán 2 :Sử dụng các quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm các số hình thành từ 1 tập
hợp số cho trước nào đó
+ Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình thành từ tập A, ta
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Số cần tìm có dạng: a a ...a , a  ,
A i  1, 2,..., k, a  0. . 1 2 k i 1
Bước 2. Đếm số cách chọn a (không nhất thiết phải theo thứ tự) giả sử có n cách. i i
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n .n ...n số. 1 2 k
+ Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số các số gồm k chữ số hình
thành từ tập A, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Chia các số cần đếm thành các tập con H1, H2 , … độc lập với nhau.
Bước 2. Sử dụng qui tắc nhân để đếm số phần tử của các tập H1, H2 , …, giả sử bằng k1, k2,...
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả k1+ k2 +... số.
VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP.
Dạng toán 1:Sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để thực hiện bài toán đếm. Phương pháp:
1. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
- Tất cả n phần tử đều có mặt
- Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần.
- Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 9
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Dạng toán 2:Các bài toán: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình trong đó có chứa các toán tử hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp. Phương pháp:
• Sử dụng thành thạo các công thức P , k A , k C . n n n
• Nắm được các tính chất của P , k A , k C chẳng hạn: n n n
n!  n  
1 !n  n  2  ! n   1 n  ... k nk k 1 C C ,  k k CCC n n n 1  n 1  n
Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
• Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi.
• Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.
• Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp
• Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm.
VẤN ĐỀ 3:NHỊ THỨC NIU-TƠN.
Dạng toán 1: Khai triển nhị thức Niuton
Phương pháp giải: Sử dụng công thức n 0 n 1 n 1  2 n2 2 k nk k n 1  n 1
(a b)  C a C a b C a b  ...  C a b  ...  n nC ab C b n n n n n n n 0 n 1 n 1  2 n2 2 k k nk k n 1  n 1  n 1 (a b) C a C a b C a b ... ( 1) C a b ... ( 1) C ab             (1)n n n C b n n n n n n
- Trong khai triển nhị thức cần chú ý:
+Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
+Có n+1 số hạng trong khai triển.
Dạng toán 2: Tìm hệ số, số hạng trong khai triển.
Phương pháp giải: Với yêu cầu về hệ số trong nhị thức Niu-tơn, ta cần làm theo các bước:
Bước 1. Viết số hạng tổng quát.
Bước 2. Dùng công thức lũy thừa rút gọn số hạng tổng quát.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 10
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Bước 3. Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau. Chú ý:
- Số hạng không chứa x tức là số hạng chứa 0 x .
- Phải phân biệt được yêu cầu đề hỏi là số hạng hay hệ số mà trả lời cho chính xác.
- Các công thức lũy thừa cần nhớ: m mn m n mn a    mn . . ; ; m n a a a a aa n a
Dạng toán 3: Tính tổng
Phương pháp giải: Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:
- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số.
VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu
Phương pháp giải: Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đó mô tả tập hợp này
bằng phương pháp liệt kê.
+ Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu.
+ Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không gian mẫu.
Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố. Tính số phần tử của tập hợp này Phương pháp giải:
+ Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T .
+ Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của A.
+ Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu ΩA .
Dạng 3. Tính xác suất của một biến cố
+ Xác định được số phần tử của không gian mẫu và của biến cố.
+ Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất và các quy tắc tính xác suất. III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Baøi 1: 2
Tìm số hạng thứ năm trong khai triển biểu thức : 10 (x  ) x Baøi 2: 1 Trong khai triển 2 20
(x  ) thành đa thức, tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. 2
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 11
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN Baøi 3: 1 Tìm hệ số của 26 x trong khai triển 7 (  )n x biết rằng 4 x 1 2 3 n 20 CCC  ... C  2 1 , n Z   . 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
Baøi 4: Tìm hệ số của 3 x trong khai triển 2 10
(1 2x  3x ) theo lũy thừa của x .
Baøi 5: Tính các tổng sau: 16 0 15 1 14 2 16
S  3 C  3 C  3 C  ...  C 1 16 16 16 16 0 2 2 4 4 2016 2016 S C  3 C  3 C  ... 3 C 2 2017 2017 2017 2017 0 2019 1 2018 1 2 2017 2 2018 1 2018 2019 S C 3  C 3 4  C 3 4  ...  C 3 4  4 3 2019 2019 2019 2019
Baøi 6: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
Baøi 7: Một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẩu nhiên
một lần 3 viên bi. Tính xác suất trong các trường hợp sau:
a. Lấy được 3 viên bi màu xanh.
b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
c. Lấy được 3 bi cùng màu.
d. Lấy được 3 bi khác màu.
Baøi 8: Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên
bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Baøi 9: 2
Hai xạ thủ A và B cùng nhắm bắn một con thỏ. Xác suất để xạ thủ A bắn trúng là ; xác 7 1
suất để xạ thủ B bắn trúng là . Tính xác suất để: 8
a. Cả hai xạ thủ điều bắng trúng.
b. Chỉ một trong 2 xạ thủ bắn trng.
c. Ít nhất một trong 2 xạ thủ bắn trng.
d. Cả hai đều bắn trượt.
Baøi 10: Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 5 quyển sách Toán, 4 quyển
sách Vật lý, và 3 quyển sách Hóa học.Ông muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh
A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách xong mỗi một trong ba loại
Toán, Vật lý, Hóa học đều còn lại ít nhất một quyển. IV.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn? A.12 B. 24 C. 4 D. 6
Câu 2: Số tự nhiên n thỏa mãn 2 n 1
A C   5 là: n n 1 
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 12
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN A. n  3 B. n  5 C. n  4 D. n  6
Câu 3: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau? A. 207360 B.120096 C.120960 D. 34560
Câu 4: Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 hoc sinh? A.85 B. 58 C. 508 D.805
Câu 5: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao
cho có đúng 3 học sinh nữ. A.110790 B.119700 C.117900 D.110970
Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt A , A ,, A trong đó có 4 điểm A , A , A , A thẳng hàng, ngoài ra 1 2 10 1 2 3 4
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cs bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 diểm trên? A. 96 tam giác B. 60 tam giác C.116 tam giác D. 80 tam giác
Câu 7: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi
sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh? A. 105 B.924 C.917 D.665280
Câu 8: Có 120 cách sắp xếp n người vào một bàn tròn. Khi đó giá trị của n là: A. n 10 B. n  7 C. n  5
D. n  6 P  P 1
Câu 9: Tính tích các nghiệm của phương trình x x 1   . P 6 x 1  A. 6. B. 12. C. 5. D. 3.
Câu 10: Một tổ công nhân có 12 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ công tác gồm 3
người sao cho có 1 người làm tổ trưởng, 1 người làm tổ phó và 1 người làm thư kí. Biết rằng không
có ai kiêm nhiệm và ai cũng có thể được chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. A. 3 3!A B. 12! C. 3 C D. 3 A 12 12 12
Câu 11: Hệ số của x8 trong khai triển x  10 2 2 là: A. 6 4 C 2 B. 6 C C. 4 C D. 6 6 C 2 10 10 10 10 40  1 
Câu 12: Số hạng của x31 trong khai triển x   là: 2   x A. 37 31 C x B. 3 31 C x C. 2 31 C x D. 4 31 C x 40 40 40 40
Câu 13: Tìm hệ số của 3 3
x y trong khai triển của  x y6 2 . A. 8. B. 120. C. 20. D. 160.
Câu 14: Số số hạng trong khai triển x   x2017 1 là:
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 13
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN A. 2017 B. 2018 C. 1 D. 4034 Câu 15: Tính 1 2 3 2017 S  C  C  C  C . 2017 2017 2017 2017 A. 2017 S  2 . B. 2017 2 1. C. 2017 2 1. D. 2016 2 .
Câu 16: Với hai số thực a,b bất kì, khẳng định nào dưới đây đúng?
A. a b4 4 3 2 2 3 4
a  4a  6a b  4b b . B.   4 4 3 2 2 3 4
a b a a b a b ab b . C.   4 4 4
a b a b . D. a b4 4 3 2 2 3 4
a  4a b  6a b  4ab b .
Câu 17: Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau đây? A. n 0 1 2
2  C C C  ... nC B. 0 1 2
0  C C C  ...   C n n n   1 n n n n n n n C. 0 1 2
1  C  2C  4C  ...  2n n C D. n 0 1 2
3  C  2C  4C  ...  2n n C n n n n n n n n 1 1 1
Câu 18: Tính giá trị của biểu thức 0 2 4 2018 S  C  C  C   C . 2018 2018 2018 2018 2018 4 16 2 2018 3 1 2018 3 1 2018 3 1 2018 3 1 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 2019 2 2018 2 2019 2 2018 2 Câu 19: Tổng 1 2 2 2 3 2 2016 2 2017 A C  2 C  3 C  ... 2016 C  2017 C bằng 2017 2017 2017 2017 2017 A. 2016 2016.2017.2 . B. 2015 2017.2018.2 . C. 2015 2016.2017.2 . D. 2017 2016.2017.2 .  1 n
Câu 20: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức x x  ,  biết 2 1 C C  44? 4   x n n A. 525 B. 238 C. 165 D. 485
Câu 21. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp bốn lần. Tính xác suất của
biến cố A : “Cả bốn lần đều xuất hiện mặt ngửa”.
A. P A 3  .
B. P A 3  .
C. P A 1  .
D. P A 1  . 8 16 8 16
Câu 22. Bài kiểm tra một tiết này có 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (A,
B, C, D) và chỉ có một phương án đúng. Tính xác suất để tất cả các đáp án đều là phương án C. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 20 4 4 20 80
Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để mặt sáu
chấm xuất hiện ít nhất một lần. 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 36 3 36 9
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 14
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 24: Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng. 1 2
Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của mỗi người tương ứng là và . Xác suất để cả hai 5 7
người cùng ném bóng vào rổ là: 12 1 4 2 A. B. C. D. 35 25 49 35
Câu 25:Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố A: ” Tổng số
chấm xuất hiện là 7”. 1 2 5 1 A. B. C. D. 6 9 18 9
Câu 26: Một tổ học sinh gồm có 6 nam và 4 . Chọn ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất 3 em được chọn có ít nhất 1 nữ. 5 1 1 1 A. B. C. D. 6 6 30 2
Câu 27: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau. 2 1 37 5 A. B. C. D. 7 21 42 42
Câu 28: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán. 2 1 37 5 A. B. C. D. 7 21 42 42
Câu 29: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán. 2 1 37 5 A. B. C. D. 7 21 42 42
Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” 1 3 7 1 A. P( ) A B. P( ) A C. P( ) A D. P( ) A 2 8 8 4
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 15
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1.1.
Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến An là một mệnh đề đúng với mọi giá
trị nguyên dương n , ta thực hiện như sau:
Bước 1:Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1.
Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n k tuỳ ý k   1 , chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n k 1. 1.2.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề An là đúng với với mọi số nguyên dương
n p thì :
 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p
 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n k 1.
Vấn đề 2. DÃY SỐ
u : N*  R
2.1.Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên
n u(n)
2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
 u là dãy số tăng *  u
u , n N n n 1  n *
u u  0, n   N n 1  n u n 1    1 ,  * u  0 , n   N nun
 u là dãy số giảm *  u
u , n N n n 1  n *
u u  0, n   N n 1  n u n 1    1 ,  * u  0 , n   N nun
2.3.Dãy số bị chặn
 u là dãy số bị chặn trên *
 M R: u M , n N . n n
 u là dãy số bị chặn dưới *
 m R: u m , n  N . n n
 u là dãy số bị chặn *
 m , M R: m u M , n N . n n
Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG
+ Định nghĩa :Dãy số u là cấp số cộng *  u
u d , n    n n 1  n
d là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 16
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
+ Số hạng tổng quát : u u  (n 1)d ,  * n
  2 , n . n 1  uu
+ Tính chất : k 1  k 1 u   , k k   . k  * 2 ,  2
+ Tổng n số hạng đầu tiên :
n(u u )
n 2u  (n 1)d 1 n  1 
S u u  ... u   n 1 2 n 2 2
Vấn đề 4. CẤP SỐ NHÂN
+ Định nghĩa :Dãy số u là cấp số nhân  u u q , n   nn  * 1  n
q là số không đổi , gọi là công bội của cấp số nhân .
+ Số hạng tổng quát : n 1 u u .q   , n   n . n  * 2 , 1 
+ Tính chất : 2
u u .u , k   k   . k   * 2 , k k 1 1 
+ Tổng n số hạng đầu tiên :
S u u  ... u nu khi q  1 n 1 2 n 1  u (1 nq )  1
S u u  ...  u  khi q  1 n 1 2 n  1 q II.
TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1.
Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp
Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi n 1 (hoặc n p ) .
Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi n k với k 1 hay k p ,ta phải
chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi n k 1. 2.
Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi .
Phương pháp :
 Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng
quát thì muốn tìm số hạng thứ k ta chỉ việc thay n k vào công thức tổng quát . Nếu dãy số
cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .
 Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều
cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp . 3.
Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .
Phương pháp : Dựa theo định nghĩa :
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 17
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN o u là dãy số tăng *  u
u , n   n n 1  n *
u u  0, n    n 1  n u n 1    1 ,  * u  0 , n    nun o u là dãy số giảm *
u u , n   n n 1  n *
u u  0, n    n 1  n u n 1   1 ,  * u  0 , n    nun o u là dãy số bị chặn *
 m , M  : m u M , n  . n n 4.
Chứng minh các dãy số là cấp số
Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh CSC u  *  u
u d u u d , n   , ( d : không đổi) . n n 1  n n 1  nu n 1  *
CSN (u )  uu q   q , n
   , ( q : không đổi) . n n 1  n un 5.
Tìm u , d, q, S của cấp số 1 n
Phương pháp : Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp
số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
+ Nếu u là cấp số cộng thì : n   *
u u  (n 1)d , n
  2 , n   n 1
n(u u )
n 2u  (n 1)d 1 n  1 
S u u ... u   . n 1 2 n 2 2
+ Nếu u là cấp số nhân thì : n   n 1  *
u u .q
, n  2 , n   . n 1
S u u  ... u nu khi q  1 n 1 2 n 1   u (1 nq )  1
S u u  ...  u  khi q  1 n 1 2 n  1 q 6.
Các bài toán ứng dụng tính chất của cấp số
Phương pháp : Dựa vào các công thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân : uu
Nếu u là cấp số cộng thì : k 1  k 1 u   , k k   k  * 2 ,  n  2
 Nếu u là cấp số nhân thì : 2
u u .u , k   k   . k   * 2 , k k 1 1  n III. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 18
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN a) n3 2  3n 1 , n   8 b) 3 2
u n  3n  5n chia hết cho 3, với mọi * n   n
c) Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi * n   :
n(n 1)(n  2)
1.2  2.3  ...  n(n 1)  3
Bài 2: Xét tính tăng , giảm của các dãy số u biết : n  2  n u  2n 1 n (1)n a) u  b) n c) u n 3n  2 n n  2
Bài 3: Xét tính bị chặn của các dãy số u biết: n  2 n  2n n 2 4n  2n a) u  b) u  c) u n 2 n n 1 n 2 n
n  2n n 2 2n n 1
Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số u biết: n   5  u   1  u  a) u b) u ; n  1 4 : n  1 :  u  2u 1  u 1 n 1  nn un 1   2
Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: u
  u u  10 u
  u u  10 u u  5 a) 1 5 3  ; b) 2 5 3  ; c) 2 4  u u  7  u u  26 2 2 u u  25 2 5  4 6  1 5
Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số a , b , c lập thành một cấp số cộng thì :
a b c  ab2 abc2 2 2 2 3 6 .
Bài 7. Tìm các giá trị của m để phương trình : 4
x  m   2 2
2 x  2m  3  0 có 4 nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số cộng . u  2 
Bài 8. Cho dãy số u n  1
: u u 3n  2 , n   1  n 1 n  
Xét dãy số v biết : v u u , n  1 n n 1  n   n
a) Chứng minh dãy số v là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và công sai của nó. n
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u . n
Bài 9. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: u
  u u  21
u u  10  1 2 3  a) 1 3  ; b)  1 1 1 7 , q  0 2 2
u u  50     1 3 u u u 12  1 2 3
u  1 , u  2 
Bài 10. Cho dãy số u . n  1 2
: u  3u  2u , n   2  n 1 n n 1   
Xét dãy số v biết : v u u , n  1 n n 1  n   n
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 19
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
a) Chứng minh dãy số v là cấp số nhân. n
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u . n IV.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM u  2 
Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1  . Ta có u5 bằng:
u  2n.u víi n   1  n1 n A. 10 B. 1024 C. 2048 D. 4096  1 u
Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1  2 . Khi đó u50 bằng:
u u  2n víi mäi n  2  n n 1  A. 1274,5 B. 2548,5 C. 5096,5 D. 2550,5 u  1 
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1  . Khi đó u11 bằng: u  2 . n u víi mäi n  2  n n 1  A. 210.11! B. -210.11! C. 210.1110 D. -210.1110 3n 1
Câu 4: Dãy số u
là dãy số bị chặn trên bởi? n 3n 1 1 1 A. B. C. 1
D. Tất cả đều sai 2 3
Câu 5: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số giảm: 2  A. u n 1 n n n = sin n B. un =
C. un = n n 1 D. un =   1 2   1 n
Câu 6: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn A. un = 2 n  1 B. un = n + 1 n C. u n n =2n + 1 D. un = n  1
Câu 7: Cho dãy số (un) vói un = 3n. Hãy chọn hệ thức đúng: u u u u A. 1 9  u B. 2 4  u 5 2 3 2 u 1 C. 100
1  u u  ...  u
D. u u ...uu 1 2 100 2 1 2 100 5050
Câu 8: Cho dãy số (un), biết un = 3n. Số hạng u2n - 1 bằng: A. 32.3n - 1 B. 3n.3n - 1 C. 32n - 1 D. 32(n - 1)
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 20
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 2n 9
Câu 9: Cho dãy số u  . Số
là số hạng thứ bao nhiêu? n 2 n 1 41 A. 10 B. 9 C. 8 D. 11 u  1 
Câu 10: Cho dãy số 1 
Số hạng tổng quát của dãy số trên là? u   u     n  2 1 n n 1
A. u  1 n
B. u  1 n C. u  
D. u n n  2 1 1 n n n n u   2  1 
Câu 11: Cho dãy số 
1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là? u  2   n 1   unn 1 n 1 n 1 n A. u B. u C. u   D. u   n n n n n n n n 1 u  1
Câu 12: Cho dãy số 1 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 2 uu nn 1 n n2n   1 n   1
n  1n2n  2 A. u  1 B. u  1 n 6 n 6
n  1n2n  1 C. u  1
D. Tất cả đều sai n 6
Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy tăng: 2n  3 1 1   A. u n  ( ) 1 sin B. u C. u D. n n n 3n  2 n n n 1 u  ( ) 1 2n 3 ( n  ) 1 n u  5 Câu 14:Cho dãy số 1 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là? uu nn 1 nn 1nn  1n A. u B. u  5 n 2 n 2 n n   1
n  1n  2 C. u  5  D. u  5  n 2 n 2
Câu 15: Tính tổng S n 1.1! 2.2!........... 2007.2007!. Khi đó công thức của S n là: A. 2007! B. 2008! C. 2008!1 D. 2007!1 u   3 1 
Câu 16: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi:  1 Tìm công thức tính số * uu n     n 1   2 n
hạng tổng quát u của dãy số n
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 21
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 3 3 3 3 A. u B. u C. u D. u n 2n n n 1 2  n 2n 1 n 2n 1
Câu 17: Cho CSC có d=-2 và s  72 , khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu? 8 1 1
A. u  16 B. u  16  C. u D.u   1 1 1 16 1 16
Câu 18: Cho CSC có u  1
 , d  2, s  483 . Hỏi số các số hạng của CSC? 1 n A. n=20
B. n=21C. n=22D. n=23
Câu 19: Xác đinh a để 3 số 2
1 3a, a  5,1 a lập thành CSC.
A. a  0 B. a  1
C. a   2 D.Tất cả đều sai.
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a c  2ab  2bc B. 2 2
a c  2ab  2bc C. 2 2
a c  2ab  2bc D. 2 2
a c ab bc
Câu 21: Cho CSC có u  12
 ,u 18 . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là 4 14 A. u  20  ,d  3  u  22  ,d  3 1 B. 1 C. u  21  , d  3 u  21  ,d  3  1 D. 1
Câu 22: Cho CSC có u  12
 ,u 18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là? 4 14 A.24 B. -24 C. 26 D. – 26
Câu 23: Cho CSC có u  15
 ,u  60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là? 5 20 A. 200 B. -200 C. 250 D. -25
Câu 24: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? A. 3n u B. 3 n u   
C. u  3n 1 D.Tất cả đều là CSC 1   1 1 n
Câu 25: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? u   1  u   1  A. 1  B. 1  C. 2 u n u n u  2u 1  uu 1 n D.  3 1 n n 1  nn 1 n 1
Câu 26: Cho CSN có u  ;u  16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN? 2 5 4 1 1 1 1 1 1
A. q  ;u
B. q   ,u  
C. q  4,u
D. q  4,u   1 2 2 1 1 1 2 2 16 16
Câu 27: Cho CSN có u  1
 ,u  0,00001. Khi đó q và số hạng tổng quát là? 1 6 1 1 1 A. q  ,u B. n 1 q
,u  10  n n 1 10 10  10 nn 1 1 1    1 C. q  ,u D. q  ,u n n 1 10 10  n n 1 10 10  1 1
Câu 28: Cho CSN có u  1; q  . Số
là số hạng thứ bao nhiêu? 1 10 103 10
A. số hạng thứ 103 B. số hạng thứ 104 C. số hạng thứ 105 D. Đáp án khác
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 22
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 1  Câu 29: Cho dãy số
; b, 2 . Chọn b để ba số trên lập thành CSN 2 A. b  1  B. b  1
C. b  2 D. Đáp án khác
Câu 30: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.  1 u  u  2 A. 1  2 B. unu D. uu  3 n 1  n C. 1 u  5  u n 1  n 1  2 u    u n 1  n n 1  n
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 23
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
I - TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG.
BÀI 1. PHÉP TỊNH TIẾN  
1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho véc tơ v  ;
a b. Phép tịnh tiến theo véc tơ v ; a b là phép  
biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM '  v . Ký hiệu : T . v
2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1:
*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm đó. HỆ QUẢ :
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng
thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn
thành một đường tròn có cùng bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
- Giả sử cho v  ;
a b và một điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
x '  x a
thì M’ có tọa độ là : 
y '  y b BÀI 2. PHÉP QUAY 1. Định nghĩa
Cho điểm O và góc lượng giác . PBH biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M  O thành
điểm M sao cho OM = OM và góc (OM; OM) =  đgl phép quay tâm O góc . Điểm O: tâm quay. Góc : góc quay. Kí hiệu: Q(O,). Nhận xét:
 Chiều quay dương là chiều dương của đường tròn lượng giáC.  Với k  Z,
– Q(O,2k) là phép đồng nhất.
– Q(O,(2k+1)) là phép đối xứng tâm O. 2. Tính chất
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng  đường thẳng, đoạn thẳng  đoạn thẳng bằng nó, tam
giác  tam giác bằng nó, đường tròn  đường tròn có cùng bán kính.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 24
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN Nhận xét:
Giả sử QO,)(d) = d. Khi đó:  neáu         d d  0 2 , '   neáu        2
3. Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và góc quay là  :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, ) , với I(a; b). Khi đó Q(I, ) biến điểm M (x; y) thành
M’(x’; y’) xác định bởi:
x'  a (x a)cos  (y b)sin 
y' b(x a)sin  (y b)  cos BÀI 3. PHÉP DỜI HÌNH
1. Định nghĩa: Phép dời hình là PBH bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nhận xét: – Các phép v
T , Đd, ĐO, Q(O,) đều là những phép dời hình.
– PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình. 2. Tính chất Phép dời hình:
1) Biến 3 điểm thẳng hàng  3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
2) Biến đường thẳng  đường thẳng, tia  tia, đoạn thẳng  đoạn thẳng bằng nó.
3) Biến tam giác  tam giác bằng nó, góc  góc bằng nó.
4) Biến đường tròn  đường tròn có cùng bán kính. Chú ý:
a) Nếu PDH biến ABC  ABC thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp của ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của ABC.
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh  đa giác n cạnh, đỉnh  đỉnh, cạnh  cạnh. BÀI 4. PHÉP VỊ TỰ 1. Định nghĩa  
 Cho điểm O và số k  0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M : OM '  kOM đgl phép vị tự tâm O, tỉ số k. Kí hiệu: V(O,k).
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự. Nhận xét: 1) V(O,k): O  O
2) Khi k =1 thì V(O,1) là phép đồng nhất.
3) Khi k= –1 thì V(O,–1) = ĐO
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 25
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 4) V(O,k)(M) = M  V 1 (M) = M (O, ) k 2. Tính chất   V M M Tính chất 1: ( , O k) : '
M'N'  kMNN N'
M'N'  k MN
Tính chất 2: Phép V(O,k):
a) Biến 3 điểm thẳng hàng  3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
b) Biến đt  đt song song hoặc trùng với nó, tia  tia, đoạn thẳng  đoạn thẳng.
c) Biến tam giác  tam giác đồng dạng với nó, biến góc  góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R  đường tròn bán kính /k/R
3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu tâm vị tự là I(a;b) , điểm
M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có :  
x ' a k
x a x'  k
x a a
IM '  k IM     (*) .
y ' b k
y b y'  k
y bb
Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k .
BÀI 5. PHÉP ĐỒNG DẠNG 1. Định nghĩa
PBH F đgl phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M, N bất kì có ảnh M, N thì MN = kMN. Nhận xét: 1) PDH là PĐD tỉ số 1.
2) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
3) Nếu thực hiện liên tiếp PĐD tỉ số k và PĐD tỉ số p ta được PĐD tỉ số pk. 2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
b) Biến đt  đt, tia  tia, đoạn thẳng  đoạn thẳng.
c) Biến tam giác  tam giác đồng dạng với nó, góc  góc bằng nó.
d) Biến đường tròn bán kính R  đường tròn bán kính kR. Chú ý:
a) Nếu một PĐD biến ABC thành ABC thì cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
nội tiếp, ngoại tiếp của ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,
ngoại tiếp của ABC.
b) PĐD biến đa giác n cạnh  đa giác n cạnh, biến đỉnh  đỉnh, cạnh  cạnh.
3. Hình đồng dạng
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 26
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Hai hình đgl đồng dạng với nhau nếu có một PĐD biến hình này thành hình kia.
II - DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn,.... qua phép tịnh tiến, phép
quay, phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng.
*) Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa, tích chất.
- Sử dụng biểu thức tọa độ.
III - BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho điểm A(- 6; - 3), B( 4; - 5) và điểm C thay đổi trên
đường tròn (T) : x2 + y2 +2x – 4y –11 = 0. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B.
1) Viết phương trình đường thẳng d’ và phương trình đường tròn T là ảnh của đường thẳng d và 1  đường tròn (T) qua 
a) Phép tịnh tiến theo vec tơ v   2;  5.
b) Phép quay tâm O, góc quay 0 90 . 1
c) Phép vị tự tâm I(-1; -4), tỉ số k= . 3
2) Tìm phép tịnh tiến biến (T) thành (T’): (x – 10)2 + (y + 5)2 =16.
3) Tìm quỹ tích trọng tâm G của  ABC.
Bài 2. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+ 2y – 3 = 0 và đường tròn C 2 2
: x y  2x  2 y  7  0 . Tìm ảnh của d, (C) qua: 
1. Phép tịnh tiến theo vec tơ v  2;3
2. Phép quay tâm O, góc quay 0 90 . 1
3. Phép vị tự tâm O, tỉ số k = . 2
4. Phép vị tự tâm I(2; -1), tỉ số k = - 3
Bài 3. Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D : x + 2y + 5 = 0. Tìm ảnh của đường 1
thẳng D qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 p
và phép quay tâm O góc quay . 2
Bài 4. Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy, cho tam giác A ,
BC biết A(2; 2) và M là điểm thỏa mãn    3CM = 2CA + ;
CB N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
AMN có phương trình 2 2
x + y - 4x + 2y - 4 = 0. Hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp A D BC.
IV - CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 27
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 1: Cho tam giác ABC có , D ,
E F lần lượt là trung điểm  A , C C , B B .
A Khi đó phép tịnh tiến theo vec tơ DF biến điểm E thành điểm: A. . B B. C. C. . D D. F.
Câu 2: Trong hệ trục tọa độ Ox ,
y cho véctơ v = (2;1) và điểm M 3; 2 . Tìm tọa độ ảnh của điểm 
M qua phép tịnh tiến theo véctơ v ? A. 5;3. B. 5;3. C. 5;3. D. 5;3. 
Câu 3: Trong hệ trục tọa độ Ox ,
y cho véctơ v = (2; 3)và điểm M 4;2 . Tìm tọa độ điểm M biết
M ¢ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v ? A. 2;  1 . B. 2;  1 . C. 6;5. D. 2;  1 .
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O (như hình vẽ). Tìm ảnh của A B
tam giác AOF qua phép quay tâm O góc quay 1200 ? A. Tam giác A . OB B. Tam giác . EOD F C O
C. Tam giác BOC.
D. Tam giác DOC. E D
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD tâm , O phép quay  Q
biến đường thẳng AD thành đường 0 O; 1  80  thẳng: A. . CD B. A . C C. . BA D. B . C
Câu 6: Trong hệ trục tọa độ Ox ,
y cho điểm M x; y, M  x ; y và M ¢ = Q Khi đó biểu æ ö (M ç p ). O ç , ÷÷ ç ÷ çè 2÷ø thức nào sau đây đúng?
x   yx  yx  yx  y A.  ; B.  ; C.  ; D.  ; y  xy  x
y  xy  x  
Câu 7: Cho AB  3
AC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. V (C)  . B B. V (B)  C. C. V (B)  C. D. V (C)  . B A;3  A;3  A;3  A;3
Câu 8: Cho AB = 2017 và A¢ = V
A ; B¢ = V
B . Khi đó độ dài A¢B¢ bằng I ;2 ( ) I;2 ( ) ( ) ( ) A. 2017. B. 2017 . C. 4034. D. 2017 2. 2
Câu 9: Trong hệ trục tọa độ Ox ,
y cho điểm M 4;2 . Tìm tọa độ ảnh của điểm M qua phép vị tự
tâm O tỉ số k  2  ? A.(-4;- ) 8 . B.(-8; 4). C.(4; ) 8 . D. (4;- ) 8 .
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 28
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 10: Cho hình chữ nhật ABC , D tâm ;
O I là trung điểm A . D
Khi đó phép vị tự tâm ,
A tỉ số k = 2 biến tam giác AOI thành tam giác A. A D . CD B. A D . CB C. ODC D . D. OI D . D
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 5). Phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2) biến A thành điểm có tọa độ là: A. (3; 1) B. (1; 6) C. (3; 7) D. (4; 7)
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 5). Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau
qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (1; 2)? A. (3; 1) B. (1; 6) C. (4; 7) D. (2; 4)
Câu 13: Cho P, Q cố định. Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành M2 sao cho MM  2PQ . 2
A. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ .
B. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ MM . 2 1
C. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ 2 PQ .
D. T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ . 2
Câu 14: Cho phép tịnh tiến T biến điểm M thành M1và phép tịnh tiến T biến M1 thành M2. u v
A. Phép tịnh tiến T biến M1 thành M2. uv
B. Một phép đối xứng trục biến M thành M2
C. Không thể khẳng định được có hay không một phép dời hình biến M thành M2
D. Phép tịnh tiến T biến M thành M2. uv
Câu 15: Cho phép tịnh tiến vectơ v biến A thành A’ và M thành M’. Khi đó: A. AM   ' A M ' B. AM  2 ' A M ' C. AM  ' A M ' D. 3AM  2 ' A M '
Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho v = (a; b). Giả sử phép tịnh tiến theo v biến điểm M(x; y)
thành M’(x’;y’). Ta có biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ v là:
x' x ax x  ' ax
' b x ax
' b x a A. B. C. D.
y' y by y  ' by
' a y by
' a y b
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16 qua phép tịnh tiến
theo vectơ v = (1;3) là đường tròn có phương trình:
A. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16
B. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16
C. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16
D. (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16  
Câu 18: Cho phép tịnh tiến theo v = 0 , phép tịnh tiến T biến hai điểm M và N thành 2 điểm M/ o và N/ khi đó:  
A. Điểm M trùng với điểm N
B. Vectơ MN là vectơ 0      C. Vectơ / / MM  NN  0 D. / MM  0
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 29
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép tịnh tiến theo v (1; 1), phép tịnh tiến 
theo v biến : x – 1 = 0 thành đường thẳng /. Khi đó phương trình của / là: A. x – 1 = 0 B. x – 2 = 0 C. x – y – 2 = 0 D. y – 2 = 0
Câu 20: Phép quay Q(O; ) biến điểm M thành M’. Khi đó:
A. OM OM ' và (OM,OM’) = 
B. OM = OM’ và (OM,OM’) = 
C. OM OM ' và MÔM’ = 
D. OM = OM’ và MÔM’ = 
Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay Q  (O; ) 2 A. A’(0; –3); B. A’(0; 3); C. A’(–3; 0); D. A’(2 3 ; 2 3 ).
Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay Q  (O; ) 2 A. A’(–3; 0); B. A’(3; 0); C. A’(0; –3); D.A’(–2 3 ; 2 3 ).
Câu 23: Cho tam giác đều ABC hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C: A. 0   30 B. 0   90 C. 0   120 D. 0   60  hoặc 0   60
Câu 24: Trong măt phẳng Oxy cho điểm M(–2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm sau? A. (–3; 4) B. (–4; –8) C. (4; –8) D. (4; 8)
Câu 25: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm
O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x + y + 3 = 0 B. 2x + y – 6 = 0 C. 4x – 2y – 3 = 0 D. 4x + 2y – 5 = 0
Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4. Phép vị
tự tâm O tỉ số k = – 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16
B. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4
C. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 16
D. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 16
Câu 27: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho: 1
A. OM OM '
B. OM kOM '
C. OM  kOM '
D. OM '  OMk
Câu 28: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì:
A. M ' N '  k MN và M’N’ = –kMN
B. M ' N '  k MN và M’N’ = kMN 1
C. M ' N '  k MN và M’N’ = kMN
D. M ' N ' // MN và M’N’ = MN 2
Câu 29: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC, AC, AB của tam giác ABC. Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC?
A. Phép vị tự tâm G, tỉ số 2.
B. Phép vị tự tâm G, tỉ số –2.
C. Phép vị tự tâm G, tỉ số –3.
D. Phép vị tự tâm G, tỉ số 3. 1
Câu 30: Cho hình thang ABCD, với CD   AB . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và 2
BD. Gọi V là phép vị tự biến AB thành CD . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng:
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 30
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN 1 1
A. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = 
B. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 2
C. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = –2
D. V là phép vị tự tâm I tỉ số k = 2
Câu 31: Cho tam giác ABC, với G là trọng tâm tam giác, D là trung điểm của BC. Gọi V là phép
vị tự tâm G biến điển A thành điểm D. Khi đó V có tỉ số k là: 3 3 1 1 A. k = B. k = – C. k = D. k =  2 2 2 2
Câu 32: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm M(4; 6) và M/(–3; 5). Phép vị tự 1
tâm I tỉ số k = biến điểm M thành M/. Khi đó tọa độ điểm I là: 2 A. I(–4; 10) B. I(11; 1) C. I(1; 11) D. I(–10; 4)
Câu 33: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm A(1;2), B(–3; 4) và I(1; 1). Phép 1
vị tự tâm I tỉ số k = – biến điểm A thành A/, biến điểm B thành B/. Trong các mệnh đề sau mệnh 3 đề nào đúng: / /  4 2  / /  4 2  A. A B   ; 
B. A B   ;   3 3   3 3  /  2  /  7  C. A/B/  203 D. A  ; 1  , B  0 ;   3   3 
Câu 34: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai đường tròn (C) và (C/), trong đó (C/) có
phương trình:(x+2)2 +(y+1)2 = 9. Gọi V là phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C)
thành (C/). Khi đó phương trình của (C) là:  1 2      2 1 2 2 1 2
A.  x    y2  1
B. x   y    9
C. x   y    1 D. x2 + y2 = 1  3   3   3 
Câu 35: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4. Phép 1
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = và phép quay tâm O 2
góc 900 sẽ biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?
A. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 1
B. (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
C. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 1
D. (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1
Câu 36: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(–2; –3), B(4; 1). phép đồng dạng tỉ số k =
1 biến điểm A thành A/, biến điểm B thành B/. Khi đó độ dài A/B/ là: 2 52 50 A. B. 52 C. D. 50 2 2
Câu 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(3; 2), bán kính R = 2.
Gọi (C/) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng tỉ số k = 3. khi đó trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
A. (C/) có phương trình (x – 3)2 + (y – 2)2 = 36
B. (C/) có phương trình x2+ y2 – 2y – 35= 0
C. (C/) có phương trình x2+ y2 + 2x – 36= 0
D. (C/) có bán kính bằng 6.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 31
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.
I - TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA CHƯƠNG.
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Mở đầu về hình học không gian
2. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian:
Một số qui tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường
thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
 Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
3. Điều kiện xác định mặt phẳng:
 Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
 Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))
 Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
4. Hình chóp và hình tứ diện
§2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt
2. Hai đường thẳng song song
a. Định nghĩa  ,  ( ) a / / a b P a b   b
a b   P b. Tính chất
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao
tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
§3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
2. Định nghĩa: d // (P) d (P) = 3. Tính chất
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d nằm
trong (P) thì d song song với (P).
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt (P)
thì cắt theo giao tuyến song song với d.
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
cũng song song với đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1. Định nghĩa
(P) // (Q) (P) (Q) = 2. Tính chất
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) song song với (Q).
Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song với (P).
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 32
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Cho một điểm A (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm trong
một mp(Q) đi qua A và song song với (P).
Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia và
các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn
thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và A,
B, C sao cho: AB BC CA  
A'B' B'C ' C ' A' Khi
đó, ba đường thẳng AA, BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng
cùng song với một mặt phẳng.
II - TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải:  Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
 Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ()
Phương pháp giải:  Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ()
 Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng ()
Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp () và mp ()  a
Cần chọn mp () chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của
mp () và mp () dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a
Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp :  Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt
 Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp
Dạng 4: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy Phương pháp:
 Cách 1: Chứng minh 3 đường thẳng này không đồng phẳng và cắt nhau đôi một
 Cách 2: Chứng minh hai trong 3 đường thẳng này cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc đường thẳng thứ 3.
Dạng 5: Thiết diện của hình chop cắt bởi mặt phẳng Phương pháp :
 Cách 1: Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
Cách 2: Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
Dạng 6 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
 Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
 Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
 Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình
bình hành , định lý talet … )
 Sử dụng các định lý
 Chứng minh bằng phản chứng
Dạng 7 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) :
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 33
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN d   
Phương pháp : Chứng minh d // ad // a   
Dạng 8 : Chứng minh () // () : Sử dụng các cách sau :
a  (),b  () 
– a b M  ( ) //( )
a //(),b//() 
a  (),b  ()
a b M 
– c  ( ),d  ( )  ( ) //( ) 
c d N
a // c,b //  d (   ) //( ) –   ( ) //( ) (   ) //( )
III - BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm M và N lần lượt thuộc các cạnh BC và SD. a/ Tìm I= BN  (SAC). b/ Tìm J= MN  (SAC).
c/ Chứng minh I, J, C thẳng hàng
d/ Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN)
Baøi 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần kượt là trung điểm của AD và CD và G trên đoạn AB sao cho GA= 2GB. a/ Tìm M = GE  mp(BCD),
b/ Tìm H = BC  (EFG). Suy ra thiết diện của (EFG) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì ? c/ Tìm (DGH)  (ABC).
Baøi 3: Cho hình chóp SABCD. Gọi O = AC  BD. Một mp(α) cắt SA, SB, SC, SD tại A’, B’, C’,
D’. Giả sử AB  C’D = E, A’B’  C’D’ = E’.
a/ Chứng minh: S, E, E’ thẳng hàng
b/ Chứng minh A’C’, B’D’, SO đông qui
Baøi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a/ Tìm (SAC)  (SBD); (SA B)  (SCD), (S BC)  (SAD).
b/ Một mp   qua CD, cắt SA và SB tại E và F. Tứ giác CDEF là hình gì? Chứng tỏ giao điểm của
DE và CF luôn luôn ở trên 1 đường thẳng cố đinh.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 34
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
c/ Gọi M, N là trung điểm SD và BC. K là điểm trên đoạn SA sao cho KS = 2KA. Hãy tìm thiết
diện của hình chop SABCD về mp (MNK)
Baøi 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD; AB > CD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. a/ Chứng minh: MN // CD b/ Tìm P = SC  (ADN)
c/ Kéo dài AN và DP cắt nhau ở I. Chứng minh: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Baøi 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.
a/ Chứng minh rằng MN // (ABD)
b/ Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm  ABC và  ACD . Chứng minh rằng GG’ // (BCD)
Baøi 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD,và AB = 2CD a/ Tìm (SAD)  (SCD).
b/ M là trung điểm SA, tìm (MBC)  (SAD) và (SCD)
c/ Một mặt phẳng   di động qua AB, cắt SC và SD tại H và K. Tứ giác A BHK là hình gì?
d/ Chứng minh giao điểm của BK và AH luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định.
Baøi 8: Cho hình chóp SABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, BD a/ Chứng minh AD // (MNP) b/ NP // (SBC)
c/ Tìm thiết diện của (MNP) với hình chóp. Thiết diện là hình gì?
Baøi 9: Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AD, BC. Các điểm I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF,
ADC, BCE. Chứng minh: (IJK) // (CDEF)
Baøi 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
A'B'C' và ACC'. Chứng minh rằng: (IKG) // (BB'C'C) và (A'GK) // (AIB).
Baøi 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SC. Mặt phẳng   qua M và song song với (SBD). Mặt phẳng   qua N và song song với (SBD).
a/ Xác định thiết diện của hình chóp lần lượt cắt bởi 2 mặt phẳng   và  .
b/ Gọi I và J lần lượt là giao điểm của AC với hai mặt phẳng nói trên. Chứng minh: AC = 2IJ.
Baøi 12: Cho lăng trụ tam giác
a/ Chứng minh: B'C // (AHC')
b/ Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (A'BC). Chứng minh: d // (BB'C'C).
c/ Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (H; d)
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 35
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Baøi 13: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC' AM CN sao cho  . AD CC '
a/ Chứng minh: MN // (AB'C')
b/ Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng   qua MN và song song với (AB'C').
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho mp() và đường thẳng d  (). Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Nếu d // () thì trong () tồn tại đường thẳng a sao cho a // d
B. Nếu d // () và b  () thì d // b
C. Nếu d // c  () thì d // ()
D. Nếu d  () = A và d   () thì d và d  hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 2. Cho đường thẳng amp() và đường thẳng bmp(). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. () // ()  a // b
B. () // ()  a // ()
C. () // ()b // ()
D. a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mp() qua M và song song với AB. Thiết
diện của tứ diện cắt bởi mp() là: A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi
Câu 4. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mp() tuỳ ý với hình chóp không thể là: A. Lục giác B. Ngũ giác C. Tứ giác D. Tam giác
Câu 6. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. ABCD và BCDA là hai hình bình hành có chung một đường trung bình
B. BD và BC chéo nhau
C. AC và DD chéo nhau
D. DC và AB chéo nhau
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB.
Mp(ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình: A. Tam giác B. Hình thang C. Hình bình hành D. Hình chữ nhật
Câu 8. Cho tứ diện ABCD và điểm M ở trên cạnh BC. Mp() qua M song song với AB và CD. Thiết
diện của () với tứ diện là : A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Tứ giác lồi
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC, AD = 2BC. M là trung điểm
SA. Mp(MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là:
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 36
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
A. Tam giác MBC B. Hình bình hành C. Hình thang vuông D. Hình chữ nhật
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O. M là trung điểm của OC,
mp() qua M song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mp() là: A. Hình tam giác B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình ngũ giác
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mp() qua trung điểm của AC và song song với AB, CD
cắt ABCD theo thiết diện là: A. Hình tam giác B. Hình vuông C. Hình thoi D. Hình chữ nhật
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Mp(ABD) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A. (BCA)
B. (BCD)
C. (ACC) D. (BDA)
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Mp(MAC) cắt hình hộp
ABCD.ABCD theo thiết diện là hình gì? A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thoi D. Hình thang
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. IO // mp(SAB)
B. IO // mp(SAD)
C. Mp(IBD) cắt S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác
D. (IBD)(SAC) = IO
Câu 15. Cho tứ diện ABCD. O là một điểm bên trong tam giác BCD. M là một điểm trên AO. I, J là
hai điểm trên BC, BD. IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là: A. KM B. AK C. MF D. KF
Câu 16. Cho đường thẳng a nằm trên mp () và đường thẳng b nằm trên mp (). Biết () // (). Tìm câu sai: A. a // () B. b // ()
C. a // b
D. Nếu có một mp () chứa a và b thì a // B.
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Chọn câu sai :
A. G1G2//(ABD)
B. G1G2//(ABC) C. BG 2
1, AG2 và CD đồng qui
D. G1G2= AB 3
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy điểm I trên đoạn SO SI 2 sao cho
 , BI cắt SD tại M và DI cắt SB tại N. MNBD là hình gì ? SO 3 A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật
D. Tứ diện vì MN và BD chéo nhau.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AC, BC, BD, AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi:
A. AB = BC
B. BC = AD
C. AC = BD
D. AB = CD
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 37
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mp () qua BD và song song với
SA, mp () cắt SC tại K. Chọn khẳng định đúng : 1
A. SK = 2 KC
B. SK = 3 KC
C. SK = KC
D. SK = KC. 2
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB. Điểm M là trung điểm
CD. Mp () qua M và song song với BC và SA, mp () cắt AB tại N và cắt SB tại P.
Nói gì về thiết diện của mp () và S.ABCD ?
A. là một hình bình hành
B. là một hình thang có đáy lớn là MN
C. là tam giác MNP
D. là một hình thang có đáy nhỏ là NP
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD, ACBD = M, ABCD = N. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) là đường thẳng : A. SN B. SC C. SB D. SM.
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD, ACBD = M, ABCD = N. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD) là đường thẳng : A. SN B. SA C. MN D. SM.
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm
của SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng nào sau đây đường thẳng nào không song
song với AB ? A. AB B. CD
C. CDD. SC.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, AD, SC. Thiết diện của hình chóp với mp (MNP) là một đa giác có bao nhiêu cạnh ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD. Điểm C nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp
(ABC) là một đa giác có bao nhiêu cạnh ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Câu 27. Cho tứ diện ABCD với M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD, ACD.
Xét các khẳng định sau :
(I) MN // mp (ABC)
(II) MN // mp (BCD)
(III) MN // mp (ACD)
(IV) MN // mp (ABD)
Các mệnh đề nào đúng ? A. I, II B. II, III C. III, IV D. I, IV.
Câu 28. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, CD, BC.
Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. MN // BD và MN = 1 BD
B. MN // PQ và MN = PQ 2
C. MNPQ là hình bình hành
D. MP và NQ chéo nhau.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây ? A. AB B. AC C. BC D. SA
Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác ABC, () là mặt phẳng đi qua M và
song song với các đường thẳng AB và CD. Thiết diện của tứ diện và mp () là hình gì ? A. Hình bình hành B. Hình tứ diện C. Hình vuông D. Hình thang.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 38
TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3 TỔ: TOÁN - TIN
Câu 31. Giả thiết nào sau đây là điều kiện đủ để kết luận đường thẳng a song song với mp()?
A. a // b và b // ()
B. a // b và b  ()
C. a // mp () và () // ()
D. a  () = .
Câu 32. Cho một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với (P) ? A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số.
Câu 33. Cho một điểm A nằm ngoài mp(P). Qua A vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với (P) ? A. 1 B. 2 C. 3 D. vô số.
Câu 34. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
D. Nếu ba điểm phân biệt M, N, P cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
Câu 35. Hãy chọn câu đúng:
A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau.
Câu 36. Hãy chọn câu đúng :
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui.
B. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có,
của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó.
C. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có hai đường thẳng p và q song song với
nhau mà mỗi đường đều cắt cả a và b.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Câu 37. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy
các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I. Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây: A. (BCD) B. (ABD) C. (CMN) D. (ACD).
Câu 38. Trong các hình sau : (I ) A (II ) A (III ) A (IV ) A D B C D C B C B D C B D
Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn câu đúng nhất) A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III), (IV).
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 39