Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Bình Chiểu – TP HCM
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Bình Chiểu, thành phố Hồ Chí Minh; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.
Preview text:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
NĂM HỌC: 2023 - 2024
TRƯỜNG THPT BÌNH CHIỂU MÔN: TOÁN 11
(Đề thi gồm 01 trang)
Ngày thi: 19/01/2024 - Thời gian: 120 phút
Câu 1 (5 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:
a. sin 3x + cos 2x + sin x +1 = 0 b. 2
4sin x + tan x + 2 (1+ tan x)sin3x =1
Câu 2 (2 điểm): Tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của một tỉnh X từ năm 2010 đến năm 2019 là 0, 4% . Vì
thực hiện các chính sách về dân số nên tỉnh X dự kiến từ năm 2020 đến năm 2030 tỉ lệ tăng dân số
mỗi năm chỉ còn lại 0,35% . Theo thống kê số dân tỉnh X năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là 30400
người. Hỏi số dân tỉnh X năm 2030 khoảng bao nhiêu?
Câu 3 (6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 3BC. Gọi M, K
lần lượt là trung điểm của SC, BC.
a) Gọi E, O lần lượt là trung điểm của SB, AC và G, N lần lượt là trọng tâm của SAB , ABC . Chứng
minh rằng: đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SBC). SL
b) Gọi I = AK CD , L = SD ( AMN ) . Tính tỉ số . SD
Câu 4 (5 điểm) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian
T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này sẽ bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với
sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã)
(Nguồn: Đại số và giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021)
Gọi u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. n
a. Tìm số hạng tổng quát u của dãy số (u n ) n
b. Chứng minh rằng (u có giới hạn bằng 0. n )
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng xạ đã cho ban đầu
không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu
khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10− g .
Câu 5 (2 điểm) Cho hai số tự nhiên ;
n k thỏa mãn: k + 3 n
Chứng minh tồn tại không quá hai giá trị của k sao cho k k 1 + k +2 C ;C ;C
là ba số hạng liên tiếp của một n n n cấp số cộng. HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:................................................ ĐÁP ÁN TOAN 11
Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 5 điểm
a) sin 3x + cos 2x + sin x +1 = 0 2
2sin2x cos x + 2cos x = 0 0.5x2 2
2cos x (2sin x + ) 1 = 0 0.5 x = + k 2 1.5 x
= − + k2 (k ) 6 7 x = + k2 6 b) 2
4sin x + tan x + 2 (1+ tan x)sin3x =1 ĐKXĐ: x + k (k ) 0.5 2
Phương trình đã cho tương đương với: ( 2
4sin x − 2) + (tan x + )
1 + 2 (1+ tan x)sin 3x = 0 2( 2 2 sin x − o
c s x) + (tan x + )
1 + 2 (1+ tan x)sin 3x = 0 ( x − c )( x + c ) sin x + o c s x sin x + o c s x 2 sin os x sin os x + + 2 sin 3x = 0 cosx cosx ( 0.5 x + c x) 1 sin 3x sin os 2sin x − 2 o c s x+ + 2 = 0 cosx cosx
sin x + cos x = 0(3) 1 sin 3 x 2sin x − 2os x+ + 2 = 0(4) cosx cosx
Giải (3) : sin x + cos x = 0 sin x +
= 0 x = − + k;k 0.5 4 4 Giải (4): 2
sin 2x − 2cos x +1+ 2 sin3x = 0 k 2 x = + 20 5 o
c s 2x - sin 2x = 2 sin 3x sin
− 2x = sin3x ; k 0.25 4 3 x = + k2 4
Đối chiếu điều kiện phương trình có họ nghiệm sau: k 2 3 0.25 x = − + k ; x = + ; x =
+ k2 ;k 4 20 5 4 Câu 2: 2 điểm
Gọi số dân tỉnh X năm 2010 là n (người).
Ta có số dân tỉnh X từ năm 2010 đến năm 2019 là một cấp số nhân với số
hạng đầu u = n và công bội q =1,004 . 0.5 1
Số dân tỉnh X năm 2017 là 7 7
u = u .q = .1 n , 004 . 8 1
Số dân tỉnh X năm 2019 là 9 9
u = u .q = .1 n , 004 . 10 1
Số dân tỉnh X từ năm 2020 đến năm 2030 là một cấp số nhân với số hạng đầu
v = u .1, 0035 và công bội q =1,0035 . 0.5 1 10
Số dân tỉnh X năm 2021 là 2 9 2
v = v .q = u .1, 0035 = .1 n , 004 .1, 0035 . 2 1 10 0.5
Theo thống kê số dân tỉnh X năm 2021 nhiều hơn năm 2017 là 30400 người nên 9 2 7 n − n = n( 9 2 7 .1, 004 .1, 0035 .1, 004
1, 004 .1, 0035 −1, 004 ) = 30400 0.5 Suy ra n 1959782 .
Số dân tỉnh X năm 2030 là: 10 11 9 11 v = v .q = u .1,0035 = .1
n , 004 .1, 0035 2111068 (người). 11 1 10 Câu 3: 6 điểm a) AG AN 2 = = 1 AE
AK 3 (G, N lần lượt là trong tâm của tam giác SAB và tam giác ABC)
Mà EK (SBC), NG (SBC) 0.5x2 0.5x2
Vậy NG / / (SBC). b)
Trong mặt phẳng (SCD), L = IM SD . Khi đó L = SD ( AMN ) 0.5
Dựng CH / /SD (H IM) 0.5 IC CH IC DL
Trong tam giác ILD có CH // LD, suy ra = . = 1 ID DL ID CH (1) 0.5 MS SL MS CH
Tam giác MLS đồng dạng với tam giác MHC, suy ra = . = 1 MC CH MC SL 0.5 (2) IC MS DL 1 DL DL SL 1 Từ (1) và (2), suy ra . . =1 .1. =1 = 6 = ID MC SL 6 SL SL SD 7 . 0.5 Câu 4: 5 điểm
a) Tìm số hạng tổng quát u của dãy số (u n ) n 1 1
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 1 là u = .1 = 0.5 1 2 2 1 1 1
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 2 là u = . = 0.5 2 2 2 2 2 1 1 1 0.5
Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì bán rã thứ 3 là u = . = 3 2 3 2 2 2 Khi đó 1 u = n 0.5 2n
b) Chứng minh rằng (u có giới hạn bằng 0 n ) 1 1 lim u = lim = 0 n 2n
c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng phóng
xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất
phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10− g .
Chất phóng xạ sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 0.5 6 − 9 10 g 10− = kg Khi đó: − 1 9 9 − n 9 1.5 u 10
10 2 10 n 30 n 2n
Vậy sau ít nhất 30 chu kì bằng 30.24000=720000 năm thì khối lượng phóng xạ 0.5
đã cho ban đầu không còn độc hại với con người. Câu 5: 2 điểm Ta có: n n n k k + k + ! ! ! 2 1 C + C = 2C + = 2. n n n
k !(n − k)!
(k + 2)!(n − k − 2)!
(k +1)!(n − k −1)! (k + )
1 (k + 2) + (n − k )(n − k − )
1 = 2(k + 2)(n − k )
Đây là phương trình bậc 2 ẩn k nên có nhiều nhất 2 nghiệm.