Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 – 2024 trường THPT Nguyễn Huệ – Phú Yên

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 năm học 2023 – 2024 trường THPT Nguyễn Huệ, thành phố Tuy Hòa, tỉnh Phú Yên; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

57 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

4 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
TỔ TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2023 - 2024
Môn: TOÁN – Khối: 11
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (6 điểm)
a) Giải phương trình:
22
2 6 12 7 0xx x x− + − +=
.
b) Giải hệ phương trình:
22
4
( 1) ( 1) 2
x y xy
xx y yy
+ ++=
+++ +=
.
Câu 2. (5 điểm)
a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện:
222
326abc++=
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2H a b c abc= ++ −
.
b) Xét các số thực dương
,,
abc
thỏa mãn
2 3 20.abc
++≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
L abc
Câu 3. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số
:f →
thoả mãn:
( ) () ,fx y fx y xy+= +∀ ∈
và
2
1 ()
0
fx
fx
xx

= ∀≠


.
Câu 4. (5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy
; cho tam giác ABC. Tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC có tọa độ là
(
)
4; 0
I
, trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là
11 1
;
33
G



. Tìm tọa
độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng
:2 1 0d xy+ −=
và điểm
( )
4; 2M
là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC ( M
∈
AC).
------------------ HẾT ------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1
Câu 2
a) Giải phương trình
22
2 6 12 7 0xx x x− + − +=
. Đặt
2
6 12 7, 0T x xT= −+ ≥
⇒
2
22 2 2
7
6 12 7 6(2 x ) 7 2 x
6
T
Tx x x x
−
= − +=− − +⇒ − =
−
. Thay vào PT trên ta được
2
7
0
6
T
T
−
+=
−
2
6 70TT⇔ − −=
1( )
7
TL
T
= −
⇔
=
Với
2 22
122
7 6 12 77 2 70
1 22
x
T x x xx
x
= −
=⇒ − += ⇔ − −=⇔
= +
Kết luận PT trên có 2 nghiệm là
122, 1 22
xx=−=+
.
b) Giải hệ phương trình
22
4
( 1) ( 1) 2
x y xy
xx y yy
+ ++=
+++ + =
.
Hệ trên
2
2
( )2 4
() 2
xy xyxy
xy xyxy
+ − ++=
⇔
+ − ++=
. Đặt
,S x y P xy=+=
ta được
2
2
01
24
;
22
2
SS
S PS
PP
S PS
= = −
− +=

⇔

=−=−
−+=

+
0 0 22
;
22
22
S xy x x
P xy
yy

= += = =−


⇔⇔

=−=−
=−=



+
1 1 12
;
2 2 21
S xy x x
P xy y y
=− +=− = =−

⇔⇔

=− =− =−=

Kết luận PT trên có 4N là
( 2; 2), ( 2; 2),(1; 2), ( 2;1)− − −−
.
a) Với bốn số a, b, x, y bất kỳ, ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(
)
( )
( )
2
222 2
(1)
ax by a b x y+ ≤+ +
Áp dụng bất đẳng thức (1) , ta có
( ) ( )

= −+ +

2
2
2 2. 2H a bc b c
( )
( ) ( )

≤+ − + +


22
2
2. 2 2a bc b c
( ) ( ) ( )
=+++
222
2. 2. 2abc
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
( )( )( ) ( )
( ) ( )
+ + += + + +
222 2 2 2
1
2 2 2 2 .3 2 .2 2
6
abc a b c
( ) ( ) ( )
3
3
222
222
23222
1 1 3 2 12
36
6 3 63
abc
abc

++ ++ +

+++

≤==




Từ đó suy ra
≤
2
36H
. Suy ra
−≤ ≤66H
.
3
3
Câu 3
Mặt khác với
= 2
a
,
= 0b
,
=
1c
thì
++=
222
326abc
và
= 6H
.
Với
= −2a
,
= 0b
,
= −1c
thì
++=
222
326
abc
và
= −6H
Vậy
= −6
MinH
khi
= −2a
,
= 0b
,
= −1c
.
=
6MaxH
khi
= 2a
,
= 0b
,
=1c
.
b) Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:
4 4 34
2 · 4 3,
4
aa a
aa a

+≥ =⇒ + ≥


dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2a =
9 9 19
2 · 6 3,
2
bb b
bb b

+≥ =⇒ + ≥


dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3b
=
16 16 1 16
2 · 8 2,
4
cc c
cc c

+≥ =⇒ + ≥


dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4c
=
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được
3 394
8
4 24 2
abc
a bc
++++ +≥
(1)
Mặt khác, do
2 3 20abc++≥
nên
3
5
42 4
ab c
++ ≥
(chia hai vế cho 4) (2)
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được
394
13.
2
L abc
a bc
=+++ + + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2,3,4.abc= = =
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu
thức L bằng 13, đạt được khi
2,3,4.abc
= = =
Ta có:
(
) ( )
( ) (0) .fx y fx y fy f y y+ = + ⇒ = + ∀∈
()fx a x⇒=+
với
(0)af=
.
1 11
(0) 0.f f ax
x xx

= + = + ∀≠


Mặt khác
222
1 ( ) (0)
0
fx f x a x
fx
xx x x
++

= = = ∀≠


.
2
2
1
0 0 0.
ax
a xaxaxa
xx
+
⇒ + = ∀≠ ⇔ = ∀≠ ⇔ =
Vậy
() .fx x x= ∀∈
3
2
4
Chú ý: Các cách làm khác của học sinh đúng: cho đủ số điểm.
Câu 4
Ta biết
3.IH IG=
 
( H là trực tâm tam giác ABC)
Suy ra
( )
3;1H
42
: 20
34 12
xy
pt MH x y
−−
⇒ = ⇔−−=
−−
.
Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
(
)
20 1
1; 1
2 10 1
xy x
B
xy y
−−= =

⇔ ⇒−

+ −= =−

.
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó
( )
3
5;1
2
BN BG N= ⇒
 
(
)
1; 1
MN = −

( )
1;1
AC
n =

Ta có
(
) (
)
:1 5 1. 1 0 6 0pt AC x y x y− + − =⇔+−=
.
Do A thuộc đường thẳng AC nên
( )
;6
At t−
,
kết hợp với
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên
( ) ( )
22
22
3
4 6 10
7
t
IA IB t t
t
=
= ⇔− +− = ⇔
=
+) Với
( ) ( )
3 3; 3 , 7; 1t AC=⇒−
+) Với
( ) ( )
7 7; 1 , 3; 3
tAC=⇒−
Vậy
( ) ( )
( )
3;3, 1;1, 7;1AB C−−
hoặc
( ) ( )
( )
7; 1, 1; 1, 3;3A BC−−
.
5
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2023 - 2024 TỔ TOÁN
Môn: TOÁN – Khối: 11
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (6 điểm) a) Giải phương trình: 2 2
2x − x + 6x −12x + 7 = 0 . 2 2  + + + =
b) Giải hệ phương trình: x y x y 4  .
x(x + y +1) + y(y +1) = 2 Câu 2. (5 điểm)
a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
a + 3b + 2c = 6.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 2(a +b + c)− abc.
b) Xét các số thực dương a, ,
b c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 9 4
L = a + b + c + + + ⋅ a 2b c Câu 3. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f :  →  thoả mãn:
f (x + y) = f (x) + y x ∀ , y ∈  1  f (x)  và f = x ∀ ≠   0. 2  x x Câu 4. (5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy ; cho tam giác ABC. Tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC có tọa độ là I (4;0) , trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là 11 1 G  ;   . Tìm tọa 3 3   
độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x + y −1 = 0
và điểm M (4;2) là chân đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC ( M∈AC).
------------------ HẾT ------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2023-2024
Câu 1 a) Giải phương trình 2 2
2x − x + 6x −12x + 7 = 0 . Đặt 2
T = 6x −12x + 7,T ≥ 0 2 T ⇒ 2 2 2 2 7 T 6x 12x 7 6(2 x x ) 7 2 x x − = − + = − − + ⇒ − =
. Thay vào PT trên ta được 6 − 2 T − 7 T  = 1( − L) +T = 0 2
⇔ T − 6T − 7 = 0 ⇔  6 −  T = 7 x =1− 2 2 Với 2 2 2
T = 7 ⇒ 6x −12x + 7 = 7 ⇔ x − 2x − 7 = 0 ⇔  x =1+ 2 2 3
Kết luận PT trên có 2 nghiệm là x =1− 2 2, x =1+ 2 2 . 2 2 
x + y + x + y = 4
b) Giải hệ phương trình  .
x(x + y +1) + y(y +1) = 2 2
(x + y) − 2xy + x + y = 4 Hệ trên ⇔ 
. Đặt S = x + y, P = xy ta được 2
 (x + y) − xy + x + y = 2 2
S − 2P + S = 4
S = 0 S = 1 −  ⇔  ; 2
S − P + S = 2 P = 2 − P = 2 − S = 0 x + y = 0
 x = 2 x = − 2 +  ⇔  ⇔  ; 3 P 2  xy 2  = − = −
y = − 2  y = 2 S = 1 − x + y = 1 −
x =1 x = 2 − +  ⇔  ⇔  ; P = 2 −  xy = 2 − y = 2 −  y =1
Kết luận PT trên có 4N là ( 2;− 2),(− 2; 2),(1; 2 − ),( 2 − ;1) .
Câu 2 a) Với bốn số a, b, x, y bất kỳ, ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(ax +by)2 ≤ ( 2 2 a + b )( 2 2 x + y ) (1)
Áp dụng bất đẳng thức (1) , ta có 2 2 2 2 H
a(2 bc) 2. 2 (b c) = − + + ≤ ( 2
a + 2) .(2 − bc) + 2(b + c)  = ( 2a + ) ( 2b + ) ( 2 2 . 2 . c + 2)    
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1
( 2a +2)( 2b +2)( 2c +2) = ( 2a +2).3( 2b +2).2( 2c +2) 6 1 ( 2 a + ) + ( 2 b + ) + ( 2 c + ) 3 3  2 2 2 2 3 2 2 2
1  a + 3b + 2c +12  ≤   =   = 36 6  3  6  3    2
Từ đó suy ra H ≤ 36 . Suy ra −6 ≤ H ≤ 6.
Mặt khác với a = 2 , b = 0 , c = 1 thì 2 a + 2 b + 2 3
2c = 6 và H = 6 .
Với a = −2 , b = 0 , c = −1 thì 2 a + 2 b + 2 3
2c = 6 và H = −6
Vậy MinH = −6 khi a = −2 , b = 0 , c = −1. 3
MaxH = 6 khi a = 2 , b = 0 , c = 1.
b) Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 4 4 3  4 a 2 · a 4 a  + ≥ = ⇒ + ≥ 
 3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2 a a 4  a 9 9 1  9  b + ≥ 2 · b = 6 ⇒ b + ≥ 
 3, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = 3 b b 2  b 16 16 1  16 c 2 · c 8 c  + ≥ = ⇒ + ≥ 
 2, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = 4 c c 4  c a b c
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được 3 3 9 4 + + + + + ≥ 8 (1) 4 2 4 a 2b c a b c
Mặt khác, do a + 2b + 3c ≥ 20 nên 3 + +
≥ 5 (chia hai vế cho 4) (2) 4 2 4
Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được 3 9 4
L = a + b + c + + + ≥ 13. 2 a 2b c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2,b = 3,c = 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu
thức L bằng 13, đạt được khi a = 2,b = 3,c = 4.
Câu 3 Ta có: f (x + y) = f (x) + y ⇒ f (y) = f (0) + y y ∀ ∈ .
 ⇒ f (x) = a + x với a = f (0) .  1  1 1 f = f (0) + = a + x ∀ ≠   0.  x x x
Mặt khác  1  f (x)
f (0) + x a + x f = = = x ∀ ≠   0 . 2 2 2  x x x x 1 a + x 2 ⇒ a + = x
∀ ≠ 0 ⇔ ax = a x ∀ ≠ 0 ⇔ a = 0. 2 x x
Vậy f (x) = x x ∀ ∈ .  4 Câu 4  
Ta biết IH = 3.IG ( H là trực tâm tam giác ABC) x − 4 y − 2 Suy ra H (3; ) 1 ⇒ pt MH : =
⇔ x − y − 2 = 0 . 3− 4 1− 2
Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
x − y − 2 = 0 x =1  ⇔  ⇒ B(1;− ) 1 .
2x + y −1 = 0 y = 1 −  3 
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó BN = BG ⇒ N (5; ) 1 2  MN = (1;− ) 1  n = AC (1; )1
Ta có pt AC :1(x −5) +1.( y − )
1 = 0 ⇔ x + y − 6 = 0 .
Do A thuộc đường thẳng AC nên A(t;6 − t) ,
kết hợp với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên t = 3 5 2 2
IA = IB ⇔ (t − 4)2 + (6 − t)2 =10 ⇔  t = 7
+) Với t = 3 ⇒ A(3;3),C (7;− ) 1
+) Với t = 7 ⇒ A(7;− ) 1 ,C (3;3)
Vậy A(3;3), B(1;− ) 1 ,C (7;− ) 1 hoặc A(7;− ) 1 , B(1;− ) 1 ,C (3;3) .
Chú ý: Các cách làm khác của học sinh đúng: cho đủ số điểm.
Document Outline

  • ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 11- NĂM HỌC 2023-2024.
  • ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 - 2023-2024 - Copy