Đề thi học sinh giỏi Toán 11 lần 1 năm 2023 – 2024 trường THPT Vĩnh Lộc – Thanh Hóa

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 11 đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11 lần 1 năm học 2023 – 2024 trường THPT Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa; kỳ thi được diễn ra vào ngày 07 tháng 04 năm 2024; đề thi có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

57 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

26 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile M. Hậu
Mã đề 110- trang 1
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề có 6 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
KHỐI 11 - MÔN: TOÁN
NĂM HỌC: 2023 - 2024
Ngày thi: 07/4/2024
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)
Họ, tên thí sinh:.....................................................................
Số báo danh: .........................................................................
A. PHẦN I: (24 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Câu 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và .
B.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
C.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
D.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu của điểm
( )
1; 3; 5
M
−
trên mặt phẳng
( )
Oxz
có tọa độ là
A.
( )
0;1; 5
. B. (1; 0; 5). C.
( )
0; 3; 5−
. D.
( )
0;0;5
.
Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi
lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
[
)
5; 7
[
)
7;9
[
)
9;11
[
)
11;13
[
)
13;15
7
3
1
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
[
)
7; 9
.
B.
[
)
9; 11
.
C.
[
)
11; 13
.
D.
[
)
13; 15
.
Câu 4: Tất cả các giá trị của m để hàm số có tập xác định
R
khi
A. . B. . C. . D. .
Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình :
A. . B. . C. . D. .
( )
y fx=
1
;
2

−∞ −


( )
3; +∞
1
;
2

− +∞


( )
;3−∞
( )
3; +∞
2 sin 2
cos 1
−
=
+
x
y
mx
0>m
01<<m
1≠−m
11−< <m
S
( ) ( )
0,5 0,5
log 1 log 2 1xx−> −
( )
0;S = +∞
( )
1;S = +∞
( )
;0S = −∞
( )
;1S = −∞
Mã đề: 110
Mã đề 110- trang 2
Câu 6. Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Biết ,. Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Khi khai triển nhị thức Newton thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng và
. Tìm a và n
A. B. C. D.
Câu 9: Cho hàm số xác định và liên tục trên
R
và có đồ thị của đạo hàm như
hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng về hàm số .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. .
C. . D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 10: Nếu hàm số có giá trị lớn nhất bằng thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;2;3I −
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
:2 2 1 0P xy z− − +=
. Phương trình của
( )
S
là
A.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 33xy z++−+−=
. B.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 39xy z−++++=
.
C.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 39xy z++−+−=
. D.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 33xy z−++++=
.
Câu 12. Tìm số nghiệm của phương trình
( )
sin cos 0x =
trên đoạn
[ ]
1;2021
.
A.
672
. B.
643
. C.
642
. D.
673
.
Câu 13. Cho các số
,,abc
thỏa mãn:
log 3 2
a
=
,
1
log 3
4
b
=
và
2
log 3
15
abc
=
. Giá trị của
log 3
c
bằng:
A.
1
3
. B.
3
. C.
2
. D.
1
2
Câu 14. Nếu
2
2
.
lim 3
2
x
x ax b
x
→
++
=
−
thì
S ab= +
bằng
A.
4−
. B.
8
. C.
3−
. D.
6−
.
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có độ dài cạnh đáy bằng
a
và diện tích xung
quanh là
2
6a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
( )
n
u
1
1
1
2
2
nn
u
uu
+
=
= −
( )
1
21
2
n
un=+−
( )
1
21
2
n
un=−−
1
2
2
n
un= −
1
2
2
n
un= +
2
2
1
3 24
lim
1
x
x xa
xb
→
+− +
=
−
P ab= −
5P =
1P =
2P =
3P =
( ) ( 1)
n
G x ax= +
24x
2
252x
3; 8an= =
2; 7an= =
4; 9an= =
5; 10an= =
( )
y fx=
( )
y fx
′
=
( )
y fx=
( )
3; 0−
( ) ( )
42ff−> −
( ) ( )
03ff>
( )
y fx=
2
1y xm x=++ −
22
m
2
2
2−
2
2
2
−
Mã đề 110- trang 3
A.
3
23
3
Va=
. B.
3
3
4
Va=
. C.
3
3
2
Va=
. D.
3
3
3
Va=
.
Câu 16. Chọn ngẫu nhiên
4
số phân biệt
a
,
b
,
c
,
d
từ tập hợp
{ }
2;3;...;2020S =
. Tính xác suất để
( )
222 2
abcd+++
chia hết cho
4
.
A.
44
1009 1009
4
2020
CC
C
+
. B.
44
1010 1010
4
2020
CC
C
+
. C.
4
1020
4
2010
C
C
. D.
44
1009 1010
4
2019
CC
C
+
.
Câu 17: Cho hàm số
1
,0
1
a xb
yd
c xd



có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1, 0, 1.ab c
B.
1, 0, 1.ab c
C.
1, 0, 1.ab c
D.
1, 0, 1.ab c
Câu 18: Tìm số các giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
4 22
2 2 12y x mx m m 
có
bảy điểm cực trị
A.
1
. B.
4
. C.
0
. D.
2
.
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 10Pz−=
và
( )
: 30Qxyz++−=
. Gọi
d
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
P
, cắt đường
thẳng
123
':
1 11
xy z
d
−−−
= =
−−
và vuông góc với đường thẳng
∆
. Phương trình của đường thẳng
d
là
A.
3
1
xt
yt
zt
= +
=
= +
. B.
3
1
xt
yt
z
= −
=
=
. C.
3
1
xt
yt
z
= +
=
=
. D.
3
1
xt
yt
zt
= +
= −
= +
.
Câu 20: Theo số liệu thông kê điểm môn toán của một trường được cho bởi bảng số liệu sau:
Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?
A.
6,5
. B.
7,5
. C.
7,25
. D.
8
.
Câu 21. Gọi
n
là số nguyên dương sao cho
23
2020 2020
2020 2020 2020
1 1 1 1 210
...
log log log log log
n
x x x xx
+ + ++ =
đúng với mọi
x
dương,
1x ≠
. Tính giá trị của biểu thức
34Pn= +
.
A.
16P =
.
B.
61P =
.
C.
46P =
.
D.
64P =
.
Câu 22:Cho tứ diện có tam giác vuông tại . Ngoài
ra là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng với là trung điểm
của .
ABCD
,DA DB DC= =
ABC
,A
, 3AB a AC a= =
DBC
và ,AM CD
M
BC
Mã đề 110- trang 4
A.
21
7
a
. B. . C. . D. .
Câu 23. Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao
cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách ?
A.
90.
B.
144.
C.
60.
D.
16.
Câu 24. Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng
5
ngày số lượng loài
của vi khuẩn
A
tăng lên gấp đôi, còn sau đúng
10
ngày số lượng loài của vi khuẩn
B
tăng lên gấp ba.
Giả sử ban đầu có
50
con vi khuẩn
A
và
100
con vi khuẩn
B
, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong
môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng
20900
con, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi
loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A.
20
(ngày). B.
30
(ngày). C.
40
(ngày). D.
50
(ngày).
B. PHẦN II: (Câu hỏi lựa chọn đúng sai)
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, xét đường thẳng
∆
đi qua điểm
(
)
0;0;1
A
và vuông góc
với mặt phẳng
Ozx
. Cho điểm
( )
0; 4;0B
với điểm
C
là điểm cách đều đường thẳng
∆
và trục
Ox
. Các
mệnh đề sau đúng hay sai ?.
a) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là:
(
)
1;0;0
n
b) Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là:
1
0
2
z −=
.
c) Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA.
d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B và C là:
1
2
.
Câu 2: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) mốt của mẫu số liệu là 24.
b) Cỡ của mẫu số liệu bằng 3.
c) Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là 18,2.
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25.
Câu 3: Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
22
3 2 4 63
.3 3 3
xx x x
mm
−+ − −
+=+
(với
m
là tham số). Các
mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khi
0m =
thì tập
S
có một phần tử.
3
7
a
7
7
a
17
7
a
Mã đề 110- trang 5
b) Có vô số giá trị nguyên dương của
m
để phương trình
22
3 2 4 63
.3 3 3
xx x x
mm
−+ − −
+=+
có
nghiệm.
c) Số tập con của tập
S
không quá 3 tập hợp con.
d) Số giá trị của
m
để tập
S
có đúng 3 phần tử luôn nhỏ hơn 3.
Câu 4: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
1AB =
,
10
AD
=
,
SA SB
=
,
SC SD=
. Biết mặt phẳng
(
)
SAB
và
( )
SCD
vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác
SAB∆
và
SCD∆
bằng
2
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Các mệnh đề sau đúng hay
sai?.
a)
..
2.
S ABCD S ACD
VV=
b)
( ).SN mf SCD⊥
c)
6.
SM SN+=
d)
.
1
S ABCD
V =
Câu 5: Có
8
bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả
8
bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Các mệnh
đề sau đúng hay sai ?.
a) Xác suất để mỗi bạn tung đồng xu xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa là bằng nhau.
b) Xét biến cố A= “Không có hai người liền kề cùng đứng” thì
biến cố đối
A =
“ Tồn tại hai người liền kề cùng đứng”.
c) Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
8!n Ω=
d) Xác suất để không có hai bạn liền kề nhau cùng đứng là:
47
256
P =
.
C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Câu 1. Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
2
36y fx x x
′′
= =−+
. Biết
( )
01
f = −
. Tính giá trị lớn nhất
của hàm số
(
)
( )
2
3 2 2022
gx f x x= −++
trên đoạn
1
3;
2

−


.
Câu 2. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Hùng và đúng một bạn tên Phượng vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6 chỗ, 7 chỗ và 8 chỗ. Tính xác suất để hai bạn Hùng và Phượng
ngồi cạnh nhau. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tham số
m
để phương trình
( )
( )
3
2
2
4
3
25
mm
fx
fx
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt trên nửa đoạn
[
)
3; 7−
. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Mã đề 110- trang 6
Câu 4. Xét các số thực dương
,xy
thỏa mãn
−
= ++ −
+
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của
= +Pxy
( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 5. Cho khối lăng trụ
.
ABC A'B'C'
, khoảng cách từ
C
đến
'BB
là
5
, khoảng cách từ
A
đến
'BB
và
'CC
lần lượt là
1; 2
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
'''
ABC
là trung điểm
M
của
''BC
,
15
'
3
=
AM
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.
ABC A'B'C'
.
( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 6. Lãi suất tiền gửi ngân hàng của một số ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn Châu
gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất
0,7%
/tháng. Chưa
đầy một năm thì lãi suất tăng lên
1,15%
/tháng trong nửa năm tiếp theo mà bạn Châu gửi tiếp. Sau nửa
năm đó lãi suất lại giảm xuống còn 0,9% /tháng và bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi
rút tiền về. Khi rút tiền bạn Châu được cả gốc và lãi là 5816672,205 đồng ( chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu
đã gửi tiết kiệm tất cả bao nhiêu tháng?
Hết.
Mã đề 110- trang 7
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề có ........ trang)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LẦN 1
KHỐI 11 - MÔN: TOÁN
NĂM HỌC: 2023 - 2024
Ngày thi: ..../.../20.....
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)
A. PHẦN I: ( Câu hỏi 4 lựa chọn)
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
D
B
B
D
B
B
B
A
C
C
Câu 11
Câu 12
Câu 13
Câu 14
Câu 15
Câu 16
Câu 17
Câu 18
Câu 19
Câu 20
C
B
A
C
C
D
D
C
C
C
Câu 21
Câu 22
Câu 23
Câu 24
D
A
A
C
B. PHẦN II:( Câu hỏi lựa chọn đúng – sai)
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
a) Đ
a) S
a) S
a) Đ
a) Đ
b) Đ
b) S
b) Đ
b) Đ
b) Đ
c) S
c) S
c) S
c)S
c) S
d) Đ
d) Đ
d) S
d) Đ
d) Đ
C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
2025
0,1
3,04
1,21
2,58
17
A. PHẦN I: ( Câu hỏi 4 lựa chọn) - Đáp án chi tiết.
Câu 1: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và .
B.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
C.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .
( )
y fx=
1
;
2

−∞ −


( )
3; +∞
1
;
2

− +∞


( )
;3−∞
Mã đề 110- trang 8
D.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Câu 2. Trong không gian
Oxyz
, hình chiếu của điểm
( )
1; 3; 5
M
−
trên mặt phẳng
( )
Oxz
có tọa độ là
A.
( )
0;1; 5
. B.
( )
1; 0; 5
. C.
( )
0; 3; 5−
. D.
( )
0;0;5
.
Lời giải
Chọn B.
Khi chiếu điểm
(1; 3; 5)M −
lên mặt phẳng
( )
Oxz
thì hoành độ và cao độ giữ nguyên, tung độ
bằng 0.
Vậy hình chiếu của điểm
M
trên mặt phẳng
( )
Oxz
có tọa độ là
( )
1; 0; 5
.
Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi
lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
[
)
5; 7
[
)
7;9
[
)
9;11
[
)
11;13
[
)
13;15
7
3
1
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.
[
)
7; 9
.
B.
[
)
9; 11
.
C.
[
)
11; 13
.
D.
[
)
13; 15
.
Lời giải
Chọn B
Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
6.2 8.7 10.7 12.3 14.1
9, 4
20
x
++ + +
= =
Câu 4: Hàm số có tập xác định khi
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số có tập xác định khi .
Khi thì luôn đúng nên nhận giá trị .
Khi thì nên đúng khi .
Khi thì nên đúng khi .
Vậy giá trị thoả .
Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình :
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
( )
3; +∞
( )
3; +∞
2 sin 2
cos 1
−
=
+
x
y
mx
0>m
01<<m
1≠−m
11−< <m
cos 1 0,+> ∀mx x
( )
*
0=m
(*)
0=m
0>m
[ ]
cos 1 1; 1+∈− + +mx mm
( )
*
10 0 1− +> ⇒ < <mm
0<m
[ ]
cos 1 1; 1+∈ + − +mx m m
( )
*
10 1 0+ > ⇒− < <mm
m
11−< <m
S
( ) ( )
0,5 0,5
log 1 log 2 1xx−> −
( )
0;S = +∞
( )
1;S = +∞
( )
;0S = −∞
( )
;1S = −∞
Mã đề 110- trang 9
Điều kiện: .
.
Kết hợp điều kiện: ..
Câu 6. Cho dãy số với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: .
Cộng hai vế ta được .
Câu 7: Biết ,. Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
, nên .
Câu 8: Khi khai triển nhị thức Newton thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng và
. Tìm a và n
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
1
10
1
1
2 10
2
x
x
x
x
x
>
−>
⇔ ⇔>

−>
>
( ) ( )
0,5 0,5
log 1 log 2 1 1 2 1 0x x xxx−> −⇔−< −⇔>
1x >
( )
n
u
1
1
1
2
2
nn
u
uu
+
=
= −
( )
1
21
2
n
un=+−
( )
1
21
2
n
un=−−
1
2
2
n
un= −
1
2
2
n
un= +
1
21
32
1
1
2
2
2
...
2
nn
u
uu
uu
uu
−
=
= −
= −
= −
( )
11
2 2... 2 2 1
22
n
un= −− −= − −
2
2
1
3 24
lim
1
x
x xa
xb
→
+− +
=
−
P ab= −
5P =
1P =
2P =
3P =
2
2
1
3 24
lim
1
x
xx
x
→
+− +
=
−
2
2
1
3 24
lim
1
x
xx
x
→
+− +
=
−
2
2
1
3 2554
lim
1
x
xx
x
→
+− + − +
−
2
22
1
3 25 54
lim
11
x
xx
xx
→

+− − +
= +


−−

( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
1
22
31
1
lim
15 4
13 2 5
x
x
x
xx
xx
→

−
−

= +

− ++
− ++


( )
( )
2
1
3 15
lim
4
15 4
3 25
x
xx
x
→


=−=

+ ++
++

5a⇒=
4b =
1P =
( ) ( 1)
n
G x ax= +
24x
2
252x
3; 8an= =
2; 7an= =
4; 9an= =
5; 10an= =
Mã đề 110- trang 10
Ta có:
Từ giả thiết ta có:
Vậy là các số cần tìm.
Câu 9: Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị của đạo hàm như
hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng về hàm số .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. .
C. . D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên nên B sai.
Hàm số nghịch biến trên nên A sai.
Dễ thấy hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị, đạt tại các điểm ; ; (tại các
điểm đó hàm số xác định và đạo hàm đổi dấu) nên D sai.
Hơn nữa, Hàm số nghịch biến trên nên . C đúng.
Câu 10: Nếu hàm số có giá trị lớn nhất bằng thì giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét hàm số
Tập xác định: .
0
( ) ( 1)
n
n kkk
n
k
G x ax C a x
=
=+=
∑
22
1
2
2
2
222 2
24
24
576
24
( 1)
2 16
( 1)
252
252
252
2
( 1) 7
2
n
n
na
na
na
C ax
nn
n
nn
a
a
Cax x
nn
=
=
=
=

⇔⇔⇔

−
−
=
=
=
=

−
24 8
14 16( 1) 3
na n
nn a

= =
⇔⇔

=−=

3; 8an= =
( )
y fx=
( )
y fx
′
=
( )
y fx=
( )
3; 0−
( ) ( )
42ff−> −
( ) ( )
03ff>
( )
y fx=
( )
y fx
′
=
( )
4; 2−−
( ) ( )
42ff−< −
( )
2;3−
4x = −
2x = −
3x = −
( )
2;3−
( ) ( )
03ff>
2
1y xm x=++ −
22
m
2
2
2−
2
2
2
−
2
1y xm x=++ −
[ ]
1;1D = −
Mã đề 110- trang 11
Ta có:
.
Ta có: .
Do hàm số liên tục trên nên .
Theo bài ra thì , suy ra .
Câu 11. Trong không gian
Oxyz
, cho mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
1;2;3I −
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
:2 2 1 0P xy z− − +=
. Phương trình của
( )
S
là
A.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 33xy z++−+−=
. B.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 39xy z−++++=
.
C.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 39xy z++−+−=
. D.
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 33xy z−++++=
.
Lời giải
Chọn C
Bán kính mặt cầu
( )
( )
( )
( ) ( )
22
2
2 1 2 2.3 1
d, 3
21 2
r IP
−−− +
= = =
+− +−
.
Phương trình mặt cầu là
( ) ( ) ( )
2 22
1 2 39xy z++−+−=
.
Câu 12. Tìm số nghiệm của phương trình
( )
sin cos 0x =
trên đoạn
[ ]
1;2021
.
A.
672
. B.
643
. C.
642
. D.
673
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
sin cos 0 cosx xk k
π
=⇔= ∈
.
Mà:
11
1 cos 1 1 1 0
k
xk k k
π
ππ
∈
−
−≤ ≤⇒−≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ → =
.
Ta được phương trình
cos 0
2
x xm
π
π
=⇔= +
Theo đề:
1 2021 0 642
2
xm m
π
π
≤= + ≤ ⇒≤ ≤
{ }
0;1;2;...;642m⇒∈
Vậy cos
643
nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn
[ ]
1;2021
.
Câu 13. Cho các số
,,abc
thỏa mãn:
log 3 2
a
=
,
1
log 3
4
b
=
và
2
log 3
15
abc
=
. Giá trị của
log 3
c
bằng:
A.
1
3
. B.
3
. C.
2
. D.
1
2
.
Lời giải
2
1
1
x
y
x
′
= −
−
2
2
1
0
10
xx
y
x
−=
′
= ⇔
−>
2
10
1
x
xx
>≥
⇔
−=
2
10
1
10
1
2
21
2
1
2
x
x
x
x
x
x
>≥
>≥
=
⇔ ⇔ ⇔=

=
= −
( ) ( )
1
1 1,11, 2
2
y my m y m

− =−+ =+ = +


2
1y xm x=++ −
[ ]
1;1−
[ ]
1;1
Max 2
ym
−
= +
[ ]
1;1
Max 2 2
y
−
=
2 22 2mm+ = ⇔=
Mã đề 110- trang 12
Ta có:
3
2 15
log 3 log
15 2
abc
abc=⇔=
333
15
log log log
2
abc⇔++=
1 1 1 15
log 3 log 3 log 3 2
abc
⇔++=
1 1 15
4
2 log 3 2
c
⇔ ++ =
1
3
log 3
c
⇔=
1
log 3
3
c
⇔=
Câu 14. Nếu
2
2
.
lim 3
2
x
x ax b
x
→
++
=
−
thì
S ab
= +
bằng
A.
4−
. B.
8
. C.
3−
. D.
6−
.
Lời giải
•
Vì
2
lim( 2) 0
x
x
→
−=
và
2
2
.
lim 3
2
x
x ax b
x
→
++
=
−
là số hữu hạn nên ta có
2
2
lim( . ) 0
x
x ax b
→
+ +=
. Do đó
ta có
42 0 2 4ab b a+ +=⇒=− −
. Khi đó, ta có:
•
22
22
. .24
lim 3 lim 3
22
xx
x ax b x ax a
xx
→→
++ +−−
=⇔=
−−
⇔
2
( 2)( 2) .( 2)
lim 3
2
x
x x ax
x
→
− ++ −
=
−
⇔
2
lim ( 2 ) 3 4 3 1 2.
x
xa a a b
→
+ + = ⇔ + = ⇔ =−⇒ =−
•
Vậy
1; 2ab=−=−
nên
3S = −
.
•
Kết luận:
3S = −
.
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có độ dài cạnh đáy bằng
a
và diện tích xung
quanh là
2
6
a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
23
3
Va=
. B.
3
3
4
Va=
. C.
3
3
2
Va=
. D.
3
3
3
Va=
.
Lời giải
Đặt
( 0)AA x x
′
= >
.
Ta có
2
3
4
ABC
a
S
∆
=
và
.
ABB A
S xa
′′
=
.
Diện tích xung quanh của lăng trụ là
2
6a
. Suy ra
2
36 2xa a x a= ⇔=
.
Thể tích khối lăng trụ
ABCA B C
′′′
là
23
33
. .2
42
ABC
aa
V S AA a
∆
′
= = =
.
Câu 16. Chọn ngẫu nhiên
4
số phân biệt
a
,
b
,
c
,
d
từ tập hợp
{ }
2;3;...;2020S =
. Tính xác suất để
( )
222 2
abcd+++
chia hết cho
4
.
A.
44
1009 1009
4
2020
CC
C
+
. B.
44
1010 1010
4
2020
CC
C
+
. C.
4
1020
4
2010
C
C
. D.
44
1009 1010
4
2019
CC
C
+
.
Mã đề 110- trang 13
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:
(
)
4
2019
nC
Ω=
.
* Nếu
2nm=
thì
2
n
chia hết cho 4. Có
1010
số thỏa mãn điều kiện này.
* Nếu
21nm= +
thì
22
4 41nmm
= ++
chia 4 dư 1. Có
1009
số thỏa mãn điều kiện này.
TH 1:
222 2
;;;
abcd
chia hết cho 4 sẽ có
4
1010
C
cách chọn.
TH 2:
222 2
;;;abcd
chia cho 4 dư 1 sẽ có
4
1009
C
cách chọn.
Vậy xác suất cần tìm là
44
1009 1010
4
2019
CC
C
+
.
Câu 17: Cho hàm số
1
,0
1
a xb
yd
c xd



có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1, 0, 1.ab c

B.
1, 0, 1.ab c

C.
1, 0, 1.ab c
D.
1, 0, 1.ab c
Lời giải
Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
.
1
d
x
c

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
1
.
1
a
y
c
Nhìn đồ thị ta thấy:
0
1
d
x
c

mà
0 10 1dc c

.
1
0 10 1
1
a
y aa
c

.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
00
b
b
d

.
Câu 18: Tìm số các giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
4 22
2 2 12y x mx m m 
có
bảy điểm cực trị
A.
1
. B.
4
. C.
0
. D.
2
.
Lờigiải
Đồ thị hàm số
4 22
2 2 12y x mx m m 
có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số
4 22
2 2 12y x mx m m 
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
4 22
2 2 12 0x mx m m 
có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Mã đề 110- trang 14
22
2
2 12 0
20
2 12 0
m mm
m
mm


43
0
1 97 1 97
44
m
m
mm




1 97
3
4
m


Vậy không có giá trị nguyên của tham số
m
để đồ thị hàm số
4 22
2 2 12
y x mx m m

có bảy điểm cực trị.
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho đường thẳng
∆
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
: 10Pz−=
và
(
)
: 30Qxyz++−=
. Gọi
d
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( )
P
, cắt đường
thẳng
123
':
1 11
xy z
d
−−−
= =
−−
và vuông góc với đường thẳng
∆
. Phương trình của đường thẳng
d
là
A.
3
1
xt
yt
zt
= +
=
= +
. B.
3
1
xt
yt
z
= −
=
=
. C.
3
1
xt
yt
z
= +
=
=
. D.
3
1
xt
yt
zt
= +
= −
= +
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
( )
0;0;1
P
n =
và
( )
1;1;1
Q
n =
lần lượt là véctơ pháp tuyến của
( )
P
và
( )
Q
.
Do
( ) ( )
PQ∆= ∩
nên
∆
có một véctơ chỉ phương
( )
, 1;1; 0
PQ
u nn
∆

= = −


.
Đường thẳng
d
nằm trong
( )
P
và
d ⊥∆
nên
d
có một vectơ chỉ phương là
[ ]
( )
, 1; 1; 0
dP
u nu
∆
= =−−

.
Gọi
123
:
1 11
xy z
d
−−−
′
= =
−−
và
( )
Id d Id P
′′
= ∩⇒= ∩
Xét hệ phương trình
10
123
1 11
z
xy z
−=
−−−
= =
−−
1
0
3
z
y
x
=
⇔=
=
( )
3; 0;1I⇒
.
Do đó phương trình đường thẳng
3
:
1
xt
d yt
z
= +
=
=
.
Câu 20: Theo số liệu thông kê điểm môn toán của một trường được cho bởi bảng số liệu sau:
Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?
A.
6,5
. B.
7,5
. C.
7,25
. D.
8
.
d'
d
Q
P
I
Mã đề 110- trang 15
Lời giải
Chọn C
Theo bảng thống kê, giá trị lớn nhất là 60 thuộc lớp
[
)
6, 5;8
nên giá trị đại diện là
6,5 8
7,25
2
+
=
.
Câu 21. Gọi
n
là số nguyên dương sao cho
23
2020 2020
2020 2020 2020
1 1 1 1 210
...
log log log log log
n
x x x xx
+ + ++ =
đúng với mọi
x
dương,
1x ≠
. Tính giá trị của biểu thức
34Pn= +
.
A.
16P =
.
B.
61P =
.
C.
46P =
.
D.
64P =
.
Lời giải
Với mọi
x
dương,
1x ≠
. Ta có
23
2020
2020 2020 2020
111 1
...
log log log log
n
xxx x
+ + ++
23
log 2020 log 2020 log 2020 ... log 2020
n
xx x x
= + + ++
( )
1 2 3 .. log 2020
x
n= ++++
( )
1
log 2020
2
x
nn+
=
.
Do đó theo yêu cầu đề bài, ta có
( )
2
1
20
210 420 0
21
2
nn
n
nn
n
+
=
= ⇔ +− =⇔
= −
.
Do đó
20n =
(thỏa mãn là số nguyên dương). Khi đó
3 4 64Pn= +=
.
Câu 22:Cho tứ diện có tam giác vuông tại . Ngoài
ra là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng với là trung điểm
của .
A.
21
7
a
. B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là trung điểm Ta chứng minh được
Do đó
Xét tứ diện . Thể tích tứ diện này là :
Suy ra (*)
Gọi là trung điểm . Khi đó, suy ra
nên
(1)
(2)
Áp dụng công thức trung tuyến
Ta có nên cân tại Gọi là trung điểm thì
Trong tam giác vuông , ta có
ABCD
,DA DB DC= =
ABC
,A
, 3AB a AC a= =
DBC
và ,AM CD
M
BC
3
7
a
7
7
a
17
7
a
N
.BD
( )
// .CD AMN
( ) ( )
( )
( )
( )
, , ,.d CD AM d CD AMN d C AMN= =
ACMN
( )
( )
( )
( )
11
,. ,.
33
ACMN AMN ACM
V d C AMN S d N ACM S
∆∆
= =
( )
( )
( )
( )
,.
,
ACM
AMN
d N ACM S
d C AMN
S
∆
∆
=
H
BM
//NH DM
( )
NH ACM⊥
( )
( )
11
,.
22
NH d N ACM DM a= = =
2
13
.
24
ACM ABC
a
SS
∆∆
= =
2 2 2 22
11
.
22
AN AB AD DB a AN a

= + − =⇒=


1
2
AM BC a= =
AMN∆
.A
K
MN
.AK MN⊥
2
.
22
CD a
MN = =
AKM∆
14
.
4
a
AK =
Mã đề 110- trang 16
Suy ra (3)
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được Vậy
Câu 23. Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao
cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách ?
A.
90.
B.
144.
C.
60.
D.
16.
Lời giải
Chọn A
Để mỗi hàng có tổng bằng không thì mỗi hàng có các dạng sau:
1;1; 1; 1−−
,
1; 1;1;1−−
,
1; 1;1; 1−−
,
1;1; 1;1−−
,
1; 1; 1;1−−
,
1;1;1; 1−−
.
TH1. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai không có số nào giống hàng thứ nhất khi
đó có một cách chọn. Khi đó tổng các cột của hai hàng bằng không nên
Hàng thứ ba có 6 cách chọn.
Hàng thứ tư tương tự để tổng các cột bằng không thì có duy nhất 1 cách chọn.
Vậy TH1 có
6*1*6*1 36=
cách.
TH2. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai có hai số giống hàng thứ nhất khi đó hàng
thứ hai có 4 cách chọn. Hàng thứ ba có 2 cách chọn và hàng thứ tư có một cách chọn.
Vậy TH2 có
6*4*2*1 48=
cách.
TH3. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai có 4 số giống hàng thứ nhất. Khi đó để
tổng 4 cột bằng không thì hàng thứ ba có 1 cách chọn và hàng thứ tư có một cách chọn
Vậy TH3 có 6*1*1*1 cách chọn.
Vậy có tất cả:
36 48 6 90+ +=
cách.
Câu 24. Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng
5
ngày số lượng loài
của vi khuẩn
A
tăng lên gấp đôi, còn sau đúng
10
ngày số lượng loài của vi khuẩn
B
tăng lên
gấp ba. Giả sử ban đầu có
50
con vi khuẩn
A
và
100
con vi khuẩn
B
, hỏi sau bao nhiêu ngày
nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng
20900
con, biết rằng
tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?
A.
20
(ngày). B.
30
(ngày). C.
40
(ngày). D.
50
(ngày).
Lời giải
Chọn C
Giả sử sau
x
ngày nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng
20900
con
(ĐK
0x >
).
Ở ngày thứ
x
số lượng vi khuẩn của loài
A
là:
5
50 2
x
×
con vi khuẩn.
2
17
..
28
AMN
a
S AK MN
∆
= =
( )
( )
21
,.
7
a
d C AMN =
( )
21
,.
7
a
d CD AM =
Mã đề 110- trang 17
Ở ngày thứ
x
số lượng vi khuẩn của loài
B
là:
10
100 3
x
×
con vi khuẩn.
Theo bài ra ta có phương trình:
5 10
50 2 100 3 20900
xx
×+ × =
(*)
Xét hàm số
5 10
( ) 50 2 100 3
xx
fx=×+ ×
có
5 10
( ) 10 2 ln 2 10 3 ln 3 0
xx
fx
′
=× +× >
()fx⇒
là hàm
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
( )
0; +∞
. Mà
40x
=
thỏa mãn (*) nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là
40
x =
.
B. PHẦN II:( Câu hỏi lựa chọn đúng – sai)- Đáp án chi tiết.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
a) Đ
a) S
a) S
a) Đ
a) Đ
b) Đ
b) S
b) Đ
b) Đ
b) Đ
c) S
c) S
c) S
c)S
c) S
d) Đ
d) Đ
d) S
d) Đ
d) Đ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, xét đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
0;0;1A
và vuông góc
với mặt phẳng
Ozx
. Cho điểm
( )
0; 4;0
B
với điểm
C
là điểm cách đều đường thẳng
∆
và trục
Ox
. Các
mệnh đề sau đúng hay sai ?.
a) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là:
( )
1;0;0n
b) Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là:
1
0
2
z −=
.
c) Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA.
d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B và C là:
1
2
.
Lời giải
a) Mệnh đề đúng.
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là:
( )
1;0;0n
b) Mệnh đề đúng.
Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là:
1
0
2
z −=
.
Vì đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
0;0;1A
và vuông góc với mặt phẳng
Ozx
thì
∆
song song với trục
Oy
và nằm trong mặt phẳng
Oyz
. Dễ thấy
OA
là đường vuông góc chung của
∆
và
Ox
.
Xét mặt phẳng
( )
α
đi qua
1
0;0;
2



I
và là mặt phẳng trung trực của
OA
. Khi đó
( )
//
α
∆
,
( )
//
α
Ox
và mọi điểm nằm trên
( )
α
có khoảng cách đến
∆
và
Ox
là bằng nhau. Vậy tập hợp điểm
C
là các
điểm cách đều đường thẳng
∆
và trục
Ox
là mặt phẳng
( )
α
.
Mặt phẳng
( )
α
đi qua
1
0;0;
2



I
có véc tơ pháp tuyến là
( )
0;0;1
=
k
nên có phương trình:
1
0
2
−=z
.
Mã đề 110- trang 18
x
y
z
A
B
O
C
1
12
α
∆
4
I
c)
Mệnh đề sai.
Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA.
d) Mệnh đề đúng.
Đoạn
BC
nhỏ nhất khi
C
là hình chiếu vuông góc của
B
lên
( )
α
. Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa
điểm
(
)
0; 4;0
B
tới điểm
C
chính là khoảng cách từ
(
)
0; 4;0
B
đến mặt phẳng
( )
α
:
1
0
2
−=z
suy ra
( )
(
)
( )
1
0
1
2
min ;
12
α
−
= = =
BC d B
.
Câu 2 Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
a) mốt của mẫu số liệu là 24.
b) Cỡ của mẫu số liệu bằng 3.
c) Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là 18,2.
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25.
Lời giải
a) mệnh đề sai.
(đúng là 19,37)
b) Mệnh đề sai.
( đúng là 56 )
c) Mệnh đề sai.
( đúng là 18,1 )
d) Mệnh đề đúng.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25.
Câu 3: Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
22
3 2 4 63
.3 3 3
xx x x
mm
−+ − −
+=+
(với
m
là tham số). Các
mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khi
0m =
thì tập
S
có một phần tử.
b) Có vô số giá trị nguyên dương của
m
để phương trình
22
3 2 4 63
.3 3 3
xx x x
mm
−+ − −
+=+
có
nghiệm.
c) Số tập con của tập
S
không quá 3 tập hợp con.
d) Số giá trị của
m
để tập
S
có đúng 3 phần tử luôn nhỏ hơn 3.
Lời giải
a) Khi
0m =
ta có
22 2
3 2 4 63 4 63 2
.3 33 33 320
xxxx xx
m m xx
−+−− −−
+ = + ⇔ = ⇔ − +=
Mã đề 110- trang 19
Suy ra mệnh đề sai.
b) Nhận thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm
1x =
. Suy ra mệnh đề đúng.
c) Nhận thấy
1, 2xx
= =
là hai nghiệm của phương trình suy ra tập
S
có ít nhất 2 phần tử
Do đó
S
có ít nhất 4 tập con suy ra mệnh đề sai.
d) Đặt
2
2
32
63
4
3
.3
3
xx
x
x
u
uv
v
−+
−
−
=
⇒=
=
. Khi đó phương trình trở thành
(
) (
) (
)
( )
( )
2
32
2
2
2
2
3
2
3
1 10 1 0
1
3 20
1
31
2
4 log
30
4 log
xx
x
mu v uv m m u v u u m v
x
xx
u
x
vm
xm
mm
xm
−+
−
+= + ⇔ − − − =⇔ − − =
=
− +=
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔=
=
−=
= >
= −
Để tập
S
có đúng 3 phần tử thì phương trình
2
3
4 logxm= −
có đúng một nghiệm khác
1; 2
,
hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc bằng 2
3
3
3
4 log 0
81
4 log 1 27
1
4 log 4
m
m
mm
m
m
−=
=
⇔− =⇔ =
=
−=
. Suy ra mệnh đề sai.
Câu 4: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
1AB =
,
10
AD
=
,
SA SB=
,
SC SD
=
. Biết mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SCD
vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác
SAB∆
và
SCD∆
bằng
2
. Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB và CD. Các mệnh đề sau đúng hay
sai?.
a)
..
2.
S ABCD S ACD
VV
=
b)
( ).SN mf SCD⊥
c)
6.SM SN+=
d)
.
1
S ABCD
V =
Lời giải
a) Mệnh đề đúng.
Ta có
..
2
S ABCD A SCD
VV=
( )
( )
2
,.
3
SCD
d A SCD S=
b) Mệnh đề đúng.
Ta có
( ) ( )
SAB SCD Sx∩=
// AB
. Gọi
M
là trung điểm của
CD
,
N
là trung điểm của
AB
.
SM CD⇒⊥
,
SN AB⊥
SM Sx⇒⊥
,
SN Sx⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
SAB SCD⊥
( )
SN SCD⇒⊥
tại
S
,
S
A
N
B
C
D
M
O
x
Mã đề 110- trang 20
c) Mệnh đề sai.
90
NSM
= °
( )
( )
( )
( )
,,d A SCD d N SCD SN= =
.
21
. .. .
32
S ABCD
V SN SM CD⇒=
.
22 22
10SN SM MN AD
+= ==
.
( )
11 1
2 ..
22 2
SAB SCD
S S SN AB SM CD AB SN SM=+= + = +
4SN SM⇒+ =
d) Mệnh đề đúng.
22
2 . 16SN SM SN SM⇒+ + =
.3SN SM⇒=
. Vậy
.
21
. .3.1 1
32
S ABCD
V
= =
.
Câu 5: Có
8
bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả
8
bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Các mệnh
đề sau đúng hay sai ?.Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
a) Xác suất để mỗi bạn tung đồng xu xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa là bằng nhau.
b) Xét biến cố A= “Không có hai người liền kề cùng đứng” thì
biến cố đối
A =
“ Tồn tại hai người liền kề cùng đứng”.
c) Số phần tử của không gian mẫu là
( )
8!n Ω=
d) Xác suất để không có hai bạn liền kề nhau cùng đứng là:
47
256
P
=
.
Hướng dẫn giải
a) Mệnh đề đúng.
b) Mệnh đề đúng.
c) Mệnh đề sai.
Gọi
A
là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.
Số phần tử của không gian mẫu là
( )
8
2 256
n Ω= =
.
d) Mệnh đề đúng.
Rõ ràng nếu nhiều hơn
4
đồng xu ngửa thì biến cố
A
không xảy ra.
Để biến cố
A
xảy ra có các trường hợp sau:
TH1: Có nhiều nhất
1
đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là
18 9+=
.
TH2: Có
2
đồng xu ngửa.
Hai đồng xu ngửa kề nhau: có
8
khả năng.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là
2
8
8 20C −=
.
TH3: Có
3
đồng xu ngửa.
Cả
3
đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.
Trong
3
đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có
8.4 32=
kết quả.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là
3
8
8 32 16C −− =
.
TH4: Có
4
đồng xu ngửa.
Trường hợp này có
2
kết quả thỏa mãn biến cố
A
xảy ra.
Như vậy
( )
9 20 16 2 47nA=+ + +=
.
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là
( )
( )
47
256
nA
P
n
= =
Ω
.
C. PHẦN III: (Câu hỏi trả lời ngắn)- Đáp án chi tiết.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
2025
0,1
3,04
1,21
2,58
17
Mã đề 110- trang 21
Câu 1. Cho hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
2
36y fx x x
′′
= =−+
. Biết
( )
01
f
= −
. Tính giá trị lớn nhất
của hàm số
(
)
( )
2
3 2 2022gx f x x
= −++
trên đoạn
1
3;
2

−


.
Lời giải
Chọn C
Hàm số
( )
y fx=
có đạo hàm
( )
2
36y fx x x
′′
= =−+
và
( )
01f
= −
nên hàm số:
( )
32
31
y fx x x= =−+ −
( )
0
0
2
x
fx
x
=
′
= ⇔
=
Bảng biến thiên:
Xét:
( ) ( )
( )
22
2
31
3;
22
1
1 3;
2
2 30
1
23. 320 320 2 3;
2
3 22
1
0 3;
2
1
3 3;
2
x
x
x
gx x fxx xx x
xx
x
x

= ∉−



=∉−


−=

′′
= − −+=⇔ −+=⇔ =∉−


− +=

= ∈−



= ∉−


Bảng biến thiên của hàm số
( )
y gx=
trên đoạn
1
3;
2

−


là:
Suy ra:
( ) ( ) ( )
1
3;
2
max 0 2 2022 2025gx g f

−


==+=
.
Mã đề 110- trang 22
Câu 2. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Hùng và đúng một bạn tên Phượng vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6 chỗ, 7 chỗ và 8 chỗ. Tính xác suất để hai bạn Hùng và Phượng
ngồi cạnh nhau.
Lời giải
Chọn B
Đánh số ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 là bàn 1, bàn 2, bàn 3.
+) Xét phép thử: “Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh vào ba bàn tròn 1, 2, 3 nói trên”.
Chọn 6 học sinh trong số 21 học sinh và xếp vào bàn 1 có
6
21
.5!C
cách.
Chọn 7 học sinh trong số 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có
7
15
.6!C
cách.
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có
7!
cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
( )
67
21 15
.5!. .6!.7!n CCΩ=
.
+) Gọi A là biến cố: “ Hai bạn Hùng và Phượng luôn ngồi cạnh nhau ”.
Trường hợp 1: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 1.
Chọn
4
học sinh từ 19 học sinh còn lại có
4
19
C
cách.
Xếp
4
học sinh vừa chọn và hai bạn Hùng, Phượng vào bàn 1 có
4!.2!
cách.
Chọn
7
học sinh từ
15
học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có
7
15
.6!C
cách.
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có
7!
cách.
Số cách xếp thỏa mãn trường hợp 1 là :
47
19 15
.4!.2!. .6!.7!CC
.
Trường hợp 2: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 2.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 2 là:
56
19 14
.5!.2!. .5!.7!CC
.
Trường hợp 3: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 3.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 3 là:
66
19 13
.6!.2!. .5!.6!CC
.
( )
47 56 66
19 15 19 14 19 13
.4!.2!. .6!.7! .5!.2!. .5!.7! .6!.2!. .5!.6!nACC CC CC⇒= + +
.
Vậy,
( )
( )
( )
nA
PA
n
=
Ω
47 56 66
19 15 19 14 19 13
67
21 15
.4!.2!. .6!.7! .5!.2!. .5!.7! .6!.2!. .5!.6!
.5!. .6!.7!
CC CC CC
CC
++
=
1
0,1
10
= =
.
Câu 3. Cho hàm số
(
)
y fx=
liên tục trên
,
có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tham số
m
để phương trình
( )
( )
3
2
2
4
3
25
mm
fx
fx
+
= +
+
có hai nghiệm phân biệt trên nửa đoạn
[
)
3; 7−
( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
3
2 32 2
2
4
3 4 32 5
25
mm
fx mm fx fx
fx
+

= +⇔ + = + +

+
Mã đề 110- trang 23
(
) ( )
32 2
8 2 2 62 5m m fx fx

⇔ += + +

( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
3
22 2
22252525 *.m m fx fx fx⇔ + = + ++ +
Xét hàm số:
( )
( )
( )
32
; 3 1 0,ft t tf t t t ft
′
= + = + > ∀∈ ⇒
đồng biến trên
.
Do đó:
(
) (
) ( )
(
)
( )
22
*2 25225
fm f fx m fx⇔ = +⇔ = +
( )
( )
2
2
2
5
0
2
.
45
45
2
2
m
m
m
fx
m
fx
>
≥

⇔⇔

−
=
−

=
Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số
( )
y fx=
đều nằm phía trên trục hoành với
[
)
3; 7x
∈−
, vì vậy hàm
số
( )
y fx=
có đồ thị trùng với đồ thị hàm số
( )
y fx=
với mọi
[
)
3; 7x
∈−
.
Do vậy
( )
[
)
( )
22
3;7
45 45
22
x
mm
fx fx
∈−
−−
= ⇔=
với
5
2
m ≥
(*).
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy (*) tương đương
2
5
2
45
4
2
m
m
≥
−
=
37
2
m⇒=
.
Vậy
37
3, 04
2
m = =
Câu 4. Xét các số thực dương
,
xy
thỏa mãn
−
= ++ −
+
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của
= +P xy
( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Với
,
xy
dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức
−
= ++ −
+
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
ta được
−>10xy
Biến đổi
−
= ++ −
+
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
( )
( ) ( ) (
)
⇔ −− +=−−++−
33 3
log 1 log 2 3 1 2 log 3xy x y xy x y
( ) ( )
( ) ( )

⇔ −+ +−= +++

33 3
log 1 log 3 3 1 log 2 2xy xy x y x y
( ) ( ) ( ) ( )( )

⇔ − +−= +++

33
log 3 1 3 1 log 2 2 1xy xy x y x y
Xét hàm số
( )
= +
3
logft t t
trên
( )
= +∞0;D
( )
= +>
1
' 10
.ln 3
ft
t
với mọi
∈xD
nên hàm số
( )
= +
3
logft t t
đồng biến trên
( )
= +∞0;D
Từ đó suy ra
( ) ( ) (
)
−
⇔ − =+ ⇔− = + ⇔=
+
32
1 31 2 3 2 1 3
13
y
xy x y y x y x
y
(do
> 0y
)
Mã đề 110- trang 24
Theo giả thiết ta có
>>0, 0xy
nên từ
−
=
+
32
13
y
x
y
ta được
<<
3
0
2
y
.
− −+
=+= +=
++
2
32 3 3
13 3 1
y yy
Pxy y
yy
Xét hàm số
(
)
−+
=
+
2
33
31
yy
gy
y
với
<<
3
0
2
y
( )
( )
+−
= =
+
2
2
9 6 10
'0
31
yy
gy
y
ta được
−+
=
1 11
3
y
.
Từ đó suy ra

−+
−
= =

=
2 11 3
1,21.
1 11
min
3 3
Pg
Câu 5. Cho khối lăng trụ
.ABC A'B'C'
, khoảng cách từ
C
đến
'BB
là
5
, khoảng cách từ
A
đến
'BB
và
'CC
lần lượt là
1; 2
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
'''ABC
là trung điểm
M
của
''BC
,
15
'
3
=AM
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABC A'B'C'
.
( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Kẻ
'⊥AI BB
,
'⊥AK CC
( hình vẽ ).
Khoảng cách từ
A
đến
'BB
và
'CC
lần lượt là
1; 2
1⇒=AI
,
2=AK
.
Gọi
F
là trung điểm của
BC
.
15
'
3
=AM
15
3
⇒=AF
Ta có
( )
'
'
'
⊥
⇒⊥
⊥
AI BB
BB AIK
BB AK
'⇒⊥BB IK
.
Vì
''CC BB
( , ')⇒ d C BB
( , ')= d K BB
= IK
5=
⇒∆AIK
vuông tại
A
.
Gọi
E
là trung điểm của
IK
'⇒ EF BB
( )
⇒⊥EF AIK
⇒⊥EF AE
.
F
E
K
I
A'
B'
M
C
B
A
Mã đề 110- trang 25
Lại có
( )
⊥AM ABC
. Do đó góc giữa hai mặt phẳng
( )
ABC
và
( )
AIK
là góc giữa
EF
và
AM
bằng
góc
=AME FAE
. Ta có
cos =
AE
FAE
AF
5
2
15
3
=
3
2
=
30⇒=°FAE
.
Hình chiếu vuông góc của tam giác
ABC
lên mặt phẳng
( )
AIK
là
∆
AIK
nên ta có:
cos=
AIK ABC
S S EAF
3
1
2
⇒=
ABC
S
2
3
⇒=
ABC
S
.
Xét
∆AMF
vuông tại
A
:
tan =
AF
AMF
AM
15
3
3
3
⇒=AM
5⇒=AM
.
Vậy
.'''
2
5.
3
=
ABC A B C
V
2 15
2,58
3
= =
.
Câu 6. Lãi suất tiền gửi ngân hàng của một số ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn Châu
gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất
0,7%
/tháng. Chưa
đầy một năm thì lãi suất tăng lên
1,15%
/tháng trong nửa năm tiếp theo mà bạn Châu gửi tiếp. Sau nửa
năm đó lãi suất lại giảm xuống còn 0,9% /tháng và bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi
rút tiền về. Khi rút tiền bạn Châu được cả gốc và lãi là 5816672,205 đồng ( chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu
đã gửi tiết kiệm tất cả bao nhiêu tháng?
Lời giải
Chọn C
+ Gọi
(0 12)aa<<
là số tháng bạn Châu gửi khi lãi suất là 0,7%/tháng. Sau a tháng số tiền gốc và lãi
bạn Châu có là:
0,7
5.(1 )
100
a
+
triệu.
+ Sau nửa năm tiếp theo lãi suất là 1,15%/tháng nên số tiền của Châu là
6
0, 7 1,15
5.(1 ) .(1 )
100 100
a
++
+ Gọi
(0 )
bb<
là số tháng tròn tiếp theo bạn Châu gửi khi lãi suất 0,9%/tháng. Sau b tháng thì số tiền bạn
Châu là:
6
0,7 1,15 0.9
5.(1 ) .(1 ) .(1 )
100 100 100
ab
+++
.
+ Ta có:
6
0,7 1,15 0.9
5.(1 ) .(1 ) .(1 ) 5,816672205
100 100 100
ab
+ + +=
.
+ Vì
66
0,7 5,816672205 5,816672205
(1 ) 10,5688
1,15 0, 9 1,15 0, 9
100
5.(1 ) .(1 ) 5.(1 ) .(1 )
100 100 100 100
a
b
a+ = ≤ ⇒≤
++ ++
Do đó:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.aaaaaaaaaa= = = = = = = = = =
+ Thử lại chỉ có
8a =
thì thỏa mãn
b
nguyên và
3b =
. Vậy tổng số tháng Châu đã gửi là: 8+6+3=17
(tháng)
Lưu ý: 1. Dạng thức trả lời ngắn: Viết, tô đáp án không quá 4 ký tự, kể cả dấu – và dấu ,
2. Mức độ nhận thức: VD-2 câu; VDC-4 câu.
Mã đề 110- trang 26
........Hết........
Lưu ý: 1. Giới hạn kiến thức: đến thời điểm học và có sự điều chỉnh.
2. Với khối 11 và 12 theo ma trận của Sở của năm vừa thi.
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC
KHỐI 11 - MÔN: TOÁN
NĂM HỌC: 2023 - 2024
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 07/4/2024 (Đề có 6 trang)
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)
Họ, tên thí sinh:.....................................................................
Số báo danh: ......................................................................... Mã đề: 110
A. PHẦN I: (24 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  1 ;  −∞ −   và (3;+∞) .  2 
B.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1 ;  − +∞   .  2 
C.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 3) .
D.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+∞) .
Câu 2. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (1; 3
− ;5) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là A. (0;1;5) . B. (1; 0; 5). C. (0; 3 − ;5) . D. (0;0;5) .
Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi
lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng): Doanh thu [5;7) [7;9) [9;1 )1 [11;13) [13;15) Số ngày 2 7 7 3 1
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. [7; 9) . B. [9; 1 ) 1 . C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 4: Tất cả các giá trị của m để hàm số 2 − sin 2 = x y có tập xác định R khi mcos x +1 A. m > 0.
B.0 < m <1 . C. m ≠ 1 − . D. 1 − < m <1 .
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x −1 > log 2x −1 0,5 ( ) 0,5 ( ) :
A. S = (0;+∞) .
B. S = (1;+∞) . C. S = ( ;0 −∞ ) . D. S = (−∞ ) ;1 . Mã đề 110- trang 1  1 u  =
Câu 6. Cho dãy số (u 1  2 n ) với
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u  = −  + u n n 2 1 A. 1 u = + n − 1 u = − n − 1 u = − n 1 u = + n n 2 n 2 n 2( )1 n 2( )1. B. . C. . D. . 2 2 2 2 2 3x + 2 − 4 lim + x a = Câu 7: Biết 2 x 1 → x −1
b ,. Tính P = a −b A. P = 5. B. P =1. C. P = 2 . D. P = 3.
Câu 8: Khi khai triển nhị thức Newton ( ) = ( +1)n G x ax
thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng 24x và 2 252x . Tìm a và n
A. a = 3;n = 8
B. a = 2;n = 7
C. a = 4;n = 9
D. a = 5;n = 10
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàm y = f ′(x) như
hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng về hàm số y = f (x) .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;0) . B. f ( 4 − ) > f ( 2 − ) .
C. f (0) > f (3) .
D. Hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị.
Câu 10: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m là A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I ( 1;
− 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):2x − y − 2z +1= 0. Phương trình của (S) là
A. (x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 3 .
B. (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 1 2 3 = 9.
C. (x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 9 .
D. (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 1 2 3 = 3.
Câu 12. Tìm số nghiệm của phương trình sin (cos x) = 0 trên đoạn [1; ] 2021 . A. 672 . B. 643. C. 642 . D. 673. Câu 13. 1 2
Cho các số a,b,c thỏa mãn: log = = = a 3 2, log và log
. Giá trị của log c3 bằng: abc 3 b 3 4 15 A. 1 . B. 3. C. 2 . D. 1 3 2 2 Câu 14. Nếu x + . lim
a x + b = 3 thì S = a +b bằng x→2 x − 2 A. 4 − . B.8 . C. 3 − . D. 6 − .
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có độ dài cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh là 2
6a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là: Mã đề 110- trang 2 A. 2 3 3 V = a . B. 3 3 V = a . C. 3 3 V = a . D. 3 3 V = a . 3 4 2 3
Câu 16. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt a , b , c , d từ tập hợp S = {2;3;...; }
2020 . Tính xác suất để ( 2 2 2 2
a + b + c + d ) chia hết cho 4 . 4 4 4 4 4 4 4 A. C + C C + C C C + C 1009 1009 . B. 1010 1010 . C. 1020 . D. 1009 1010 . 4 C 4 C 4 C 4 C 2020 2020 2010 2019 a  1 x b
Câu 17: Cho hàm số y
, d  0 có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng? c  1 x d
A. a 1,b  0,c 1. B. a 1,b  0,c 1. C. a 1,b  0,c 1. D. a 1,b  0,c 1.
Câu 18: Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x 2mx  2m m12 có
bảy điểm cực trị A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 2 .
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P): z −1= 0 và (Q): x + y + z −3 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng
x −1 y − 2 z − 3 d ': = =
và vuông góc với đường thẳng ∆ . Phương trình của đường thẳng d là 1 1 − 1 − x = 3 + tx = 3 − tx = 3 + tx = 3 + t A.     y = t .
B. y = t .
C. y = t .
D. y = t − . z =1+     t z =  1 z =  1 z =1+  t
Câu 20: Theo số liệu thông kê điểm môn toán của một trường được cho bởi bảng số liệu sau:
Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất? A. 6,5. B. 7,5. C. 7, 25 . D. 8.
Câu 21. Gọi n là số nguyên dương sao cho 1 1 1 1 210 + + + ... + = log x log x log x log x x n log 2 3 2020 2020 2020 2020 2020
đúng với mọi x dương, x ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức P = 3n + 4 .
A. P = 16.
B. P = 61.
C. P = 46 . D. P = 64.
Câu 22:Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC, tam giác ABC vuông tại ,
A AB = a, AC = a 3 . Ngoài
ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC . Mã đề 110- trang 3 A. a 21 a 3 a 7 a 17 . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 23. Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao
cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách ? A. 90. B. 144. C. 60. D. 16.
Câu 24. Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài
của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B tăng lên gấp ba.
Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B , hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong
môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20900 con, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi
loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. 20 (ngày). B. 30 (ngày). C. 40 (ngày). D. 50 (ngày).
B. PHẦN II: (Câu hỏi lựa chọn đúng sai)
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;0; ) 1 và vuông góc
với mặt phẳng Ozx . Cho điểm B(0;4;0) với điểm C là điểm cách đều đường thẳng ∆ và trục Ox . Các
mệnh đề sau đúng hay sai ?. 
a) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là: n(1;0;0) 1
b) Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là: z − = 0 2 .
c) Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA. 1
d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B và C là: 2 .
Câu 2: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) mốt của mẫu số liệu là 24.
b) Cỡ của mẫu số liệu bằng 3.
c) Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là 18,2.
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25.
Câu 3: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 2 x −3x+2 4−x 6−3 .3 + 3 = 3 x m
+ m (với m là tham số). Các
mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khi m = 0 thì tập S có một phần tử. Mã đề 110- trang 4
b) Có vô số giá trị nguyên dương của m để phương trình 2 2 x −3x+2 4−x 6−3 .3 + 3 = 3 x m + m có nghiệm.
c) Số tập con của tập S không quá 3 tập hợp con.
d) Số giá trị của m để tập S có đúng 3 phần tử luôn nhỏ hơn 3.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =1, AD = 10 , SA = SB ,
SC = SD . Biết mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác S ∆ AB và SC
∆ D bằng 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?. a) V = V S ABCD 2. . S.ACD
SN ⊥ mf (SCD). b) SM + SN = 6. c) V = S ABCD 1 d) .
Câu 5: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8
bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?.
a) Xác suất để mỗi bạn tung đồng xu xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa là bằng nhau.
b) Xét biến cố A= “Không có hai người liền kề cùng đứng” thì
biến cố đối A = “ Tồn tại hai người liền kề cùng đứng”.
c) Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 8! 47
d) Xác suất để không có hai bạn liền kề nhau cùng đứng là: P = . 256
C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) 2 = 3
− x + 6x . Biết f (0) = 1
− . Tính giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( 2
x − 3x + 2) + 2022 trên đoạn  1 3;  −  . 2  
Câu 2. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Hùng và đúng một bạn tên Phượng vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6 chỗ, 7 chỗ và 8 chỗ. Tính xác suất để hai bạn Hùng và Phượng
ngồi cạnh nhau. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. 3 + Tìm tham số 4m m
m để phương trình 2
= f (x) + 3 có hai nghiệm phân biệt trên nửa đoạn 2 2 f (x) + 5 [ 3
− ;7) . ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Mã đề 110- trang 5 1− xy
Câu 4. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log
= 3xy + x + 2y − 4 P 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của x + 2y min
P = x + y ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 5. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là 5 , khoảng cách từ A đến BB '
và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A'B'C ' là trung điểm M của B 'C ', 15 A'M =
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' 3
. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 6. Lãi suất tiền gửi ngân hàng của một số ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn Châu
gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% /tháng. Chưa
đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15% /tháng trong nửa năm tiếp theo mà bạn Châu gửi tiếp. Sau nửa
năm đó lãi suất lại giảm xuống còn 0,9% /tháng và bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi
rút tiền về. Khi rút tiền bạn Châu được cả gốc và lãi là 5816672,205 đồng ( chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu
đã gửi tiết kiệm tất cả bao nhiêu tháng? Hết. Mã đề 110- trang 6 SỞ GD&ĐT THANH HÓA
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC LẦN 1
KHỐI 11 - MÔN: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
NĂM HỌC: 2023 - 2024
(Đề có ........ trang)
Ngày thi: ..../.../20.....
(Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề)
A. PHẦN I: ( Câu hỏi 4 lựa chọn) Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 D B B D B B B A C C
Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 C B A C C D D C C C
Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 D A A C
B. PHẦN II:( Câu hỏi lựa chọn đúng – sai) Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 a) Đ a) S a) S a) Đ a) Đ b) Đ b) S b) Đ b) Đ b) Đ c) S c) S c) S c)S c) S d) Đ d) Đ d) S d) Đ d) Đ
C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm) Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 2025 0,1 3,04 1,21 2,58 17
A. PHẦN I: ( Câu hỏi 4 lựa chọn) - Đáp án chi tiết.
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  1 ;  −∞ −   và (3;+∞) .  2 
B.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1 ;  − +∞   .  2 
C.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ; −∞ 3) . Mã đề 110- trang 7
D.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+∞) . Hướng dẫn giải Chọn D
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3;+∞) .
Câu 2. Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (1; 3
− ;5) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là A. (0;1;5) . B. (1;0;5) . C. (0; 3 − ;5) . D. (0;0;5) . Lời giải Chọn B.
Khi chiếu điểm M (1; 3
− ;5) lên mặt phẳng (Oxz) thì hoành độ và cao độ giữ nguyên, tung độ bằng 0.
Vậy hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (1;0;5) .
Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi
lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng): Doanh thu [5;7) [7;9) [9;1 )1 [11;13) [13;15) Số ngày 2 7 7 3 1
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. [7; 9) . B. [9; 1 ) 1 . C. [11; 13). D. [13; 15). Lời giải Chọn B 6.2 8.7 10.7 12.3 14.1
Số trung bình của mẫu số liệu trên là: x + + + + = = 9,4 20 Câu 4: Hàm số 2 − sin 2 = x y
có tập xác định  khi mcos x +1 A. m > 0.
B.0 < m <1 . C. m ≠ 1 − . D. 1 − < m <1 .
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Hàm số có tập xác định  khi mcos x +1> 0,∀x (*) .
Khi m = 0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m = 0.
Khi m > 0 thì mcos x +1∈[−m +1;m + ]
1 nên (*) đúng khi −m +1> 0 ⇒ 0 < m <1.
Khi m < 0 thì mcos x +1∈[m +1;−m + ]
1 nên (*) đúng khi m +1> 0 ⇒ 1 − < m < 0 .
Vậy giá trị m thoả 1 − < m <1 .
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x −1 > log 2x −1 0,5 ( ) 0,5 ( ) :
A. S = (0;+∞) .
B. S = (1;+∞) . C. S = ( ;0 −∞ ) . D. S = (−∞ ) ;1 . Lời giải Chọn B Mã đề 110- trang 8 x > 1 x −1 > 0 Điều kiện:   ⇔  1 ⇔ x >1 . 2x −1 > 0 x >  2 log x −1 > log
2x −1 ⇔ x −1< 2x −1 ⇔ x > 0 0,5 ( ) 0,5 ( ) .
Kết hợp điều kiện: x >1..  1 u  =
Câu 6. Cho dãy số (u 1 n ) với  2
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u  = −  + u n n 2 1 A. 1 u = + n − 1 u = − n − 1 u = − n 1 u = + n n 2 n 2 n 2( )1 n 2( )1. B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B  1 u =  1 2 u = u −  2 2 1 Ta có: u   = u − 2 3 2 . ...  u =u − n n− 2 1  Cộng hai vế ta được 1 1 u = − − − = − n − n 2 2... 2 2( ) 1 . 2 2 2 3x + 2 − 4 lim + x a = Câu 7: Biết 2 x 1 → x −1
b ,. Tính P = a −b A. P = 5. B. P =1. C. P = 2 . D. P = 3. Lời giải 2 3x + 2 − 4 2 2 lim + x + − + + − + − + = 3x 2 4 lim x = 3x 2 5 5 4 lim x 2 x 1 → x −1 2 x 1 → x −1 2 x 1 → x −1    2 3x + 2 − 5 5 − 4  3  ( 2x − )1 1− x = lim + x   +  = lim + 2 2 x 1 →  x −1 x −1  x 1 →  2 2 2     (x − )
1 ( 3x + 2 + 5) (x − )1( 5 + 4+ x)    3 1  5 lim  = − =
⇒ a = 5 , b = 4 nên P =1. x 1 →  2 3x + 2 + 5 (x ) 1  ( 5 4 x) + + + 4 
Câu 8: Khi khai triển nhị thức Newton ( ) = ( +1)n G x ax
thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng 24x và 2 252x . Tìm a và n
A. a = 3;n = 8
B. a = 2;n = 7
C. a = 4;n = 9
D. a = 5;n = 10 Lời giải Chọn A Mã đề 110- trang 9 n
Ta có: G(x) = (ax +1)n k k k = ∑ C a x n k=0 Từ giả thiết ta có:   =  2 2 1 na 24  na = 24 n a = 576  C ax = 24 n     ⇔  − ⇔  ⇔ 2 ( n n 1) ( n n −1)  2n 16 2 2 2 2 2 2 Ca x = 252x a = 252   a = 252 = n 2  2     ( n n −1) 7  na = 24 n = 8 ⇔  ⇔  14
n = 16(n −1) a = 3
Vậy a = 3;n = 8 là các số cần tìm.
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  và có đồ thị của đạo hàm y = f ′(x) như
hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng về hàm số y = f (x) .
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3 − ;0) . B. f ( 4 − ) > f ( 2 − ) .
C. f (0) > f (3) .
D. Hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị. Lời giải Chọn C
Từ đồ thị hàm số y = f ′(x) ta có hàm số đồng biến trên ( 4; − 2 − ) nên f ( 4 − ) < f ( 2 − ) B sai.
Hàm số nghịch biến trên ( 2; − 3) nên A sai.
Dễ thấy hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị, đạt tại các điểm x = 4 − ; x = 2 − ; x = 3 − (tại các
điểm đó hàm số xác định và đạo hàm đổi dấu) nên D sai.
Hơn nữa, Hàm số nghịch biến trên ( 2;
− 3) nên f (0) > f (3) . C đúng.
Câu 10: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m là A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Lời giải Xét hàm số 2
y = x + m + 1− x
Tập xác định: D = [ 1; − ] 1 . Mã đề 110- trang 10 Ta có: ′ =1 x y − 2 1− x 1  > x ≥ 0  1  > ≥   1 x 0  = 2 x 1  1 1  >  x ≥ 0  ′ = 0 − x = x y ⇔ ⇔  ⇔  ⇔ x =  ⇔  2 2 2x = 1   2 . 2 1  − x > 0 2
 1− x = x  1  x = −   2 Ta có: y( ) m y( )  1 1 1 , 1 1 , m y  − = − + = + = 2 +   m .  2  Do hàm số 2
y = x + m + 1− x liên tục trên [ 1; − ]
1 nên Maxy = m + 2 . [ 1 − ] ;1
Theo bài ra thì Maxy = 2 2 , suy ra m + 2 = 2 2 ⇔ m = 2 . [ 1 − ] ;1
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I ( 1;
− 2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):2x − y − 2z +1= 0. Phương trình của (S) là
A. (x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 3 .
B. (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 1 2 3 = 9.
C. (x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 9 .
D. (x − )2 + ( y + )2 + (z + )2 1 2 3 = 3. Lời giải Chọn C 2 1 − − 2 − 2.3+1
Bán kính mặt cầu r = d(I, (P)) ( ) = = 3. 2 2 + (− )2 1 + ( 2 − )2
Phương trình mặt cầu là (x + )2 + ( y − )2 + (z − )2 1 2 3 = 9 .
Câu 12. Tìm số nghiệm của phương trình sin (cos x) = 0 trên đoạn [1; ] 2021 . A. 672 . B. 643. C. 642 . D. 673. Lời giải
Ta có: sin (cosx) = 0 ⇔ cosx = kπ (k ∈) . − Mà: 1 1 1 − ≤ cos ≤1⇒ 1 − ≤ π ≤1 k x k ⇔ ≤ k ∈ ≤  →k = 0 . π π π
Ta được phương trình cos x = 0 ⇔ x = + mπ 2 π
Theo đề: 1≤ x = + mπ ≤ 2021⇒ 0 ≤ m ≤ 642 ⇒ m∈{0;1;2;...; } 642 2
Vậy cos 643 nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn [1; ] 2021 . Câu 13. 1 2
Cho các số a,b,c thỏa mãn: log = = = a 3 2, log và log
. Giá trị của log c3 bằng: abc 3 b 3 4 15 A. 1 . B. 3. C. 2 . D. 1 . 3 2 Lời giải Mã đề 110- trang 11 Ta có: 2 15 log 15 = ⇔ abc =
⇔ log a + log b + log c = abc 3 log 3 15 2 3 3 3 2 1 1 1 15 1 1 15 ⇔ + + = ⇔ + 4 + = log 2 log c3 2 a 3 log b3 log c3 2 1 1 ⇔ = 3 ⇔ log = c 3 log 3 c 3 2 Câu 14. Nếu x + . lim
a x + b = 3 thì S = a +b bằng x→2 x − 2 A. 4 − . B.8 . C. 3 − . D. 6 − . Lời giải 2 x + . a x + b
• Vì lim(x − 2) = 0 và lim
= 3 là số hữu hạn nên ta có 2 lim(x + .
a x + b) = 0 . Do đó x→2 x→2 x − 2 x→2
ta có 4 + 2a + b = 0 ⇒ b = 2
− a − 4 . Khi đó, ta có: 2 2 x + . a x + b x + . a x − 2a − 4
(x − 2)(x + 2) + .( a x − 2) • lim = 3 ⇔ lim = 3 ⇔ lim = 3 x→2 x→2 x − 2 x − 2 x→2 x − 2
⇔ lim(x + 2 + a) = 3 ⇔ 4 + a = 3 ⇔ a = 1 − ⇒ b = 2 − . x→2 • Vậy a = 1; − b = 2 − nên S = 3 − . • Kết luận: S = 3 − .
Câu 15. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có độ dài cạnh đáy bằng a và diện tích xung quanh là 2
6a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là: A. 2 3 3 V = a . B. 3 3 V = a . C. 3 3 V = a . D. 3 3 V = a . 3 4 2 3 Lời giải
Đặt AA′ = x (x > 0) . 2 Ta có a 3 S = và S = . ′ ′ x a ABB A . ABC ∆ 4
Diện tích xung quanh của lăng trụ là 2 6a . Suy ra 2
3xa = 6a ⇔ x = 2a .
Thể tích khối lăng trụ ABCA′B C ′ ′ là 2 3 a 3 a 3 V = S ′ = = . ∆ AA a ABC . .2 4 2
Câu 16. Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt a , b , c , d từ tập hợp S = {2;3;...; }
2020 . Tính xác suất để ( 2 2 2 2
a + b + c + d ) chia hết cho 4 . 4 4 4 4 4 4 4 A. C + C C + C C C + C 1009 1009 . B. 1010 1010 . C. 1020 . D. 1009 1010 . 4 C 4 C 4 C 4 C 2020 2020 2010 2019 Mã đề 110- trang 12 Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω) 4 = C . 2019
* Nếu n = 2m thì 2
n chia hết cho 4. Có 1010 số thỏa mãn điều kiện này.
* Nếu n = 2m +1 thì 2 2
n = 4m + 4m +1 chia 4 dư 1. Có 1009số thỏa mãn điều kiện này. TH 1: 2 2 2 2
a ;b ;c ;d chia hết cho 4 sẽ có 4 C cách chọn. 1010 TH 2: 2 2 2 2
a ;b ;c ;d chia cho 4 dư 1 sẽ có 4 C cách chọn. 1009 4 4
Vậy xác suất cần tìm là C + C 1009 1010 . 4 C2019 a  1 x b
Câu 17: Cho hàm số y
, d  0 có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng? c  1 x d
A. a 1,b  0,c 1. B. a 1,b  0,c 1. C. a 1,b  0,c 1. D. a 1,b  0,c 1. Lời giải
Theo bài ra, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là d x   . c1
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: a1 y  . c1 Nhìn đồ thị ta thấy: d x  
 0 mà d  0  c1 0  c 1. c1 a1 y
 0  a 1 0  a 1. c1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b  0  b  0. d
Câu 18: Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x 2mx  2m m12 có
bảy điểm cực trị A. 1. B. 4 . C. 0 . D. 2 . Lờigiải Đồ thị hàm số 4 2 2
y x 2mx  2m m12 có bảy điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số 4 2 2
y x 2mx  2m m12 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt 4 2 2
x 2mx  2m m12  0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Mã đề 110- trang 13   2 m     2
2m m12 0   4  m  3     1 97 2m  0   m  0   m  3   4 2
2m m12  0      1 97 1 97 m   m   4 4
Vậy không có giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x 2mx  2m m12
có bảy điểm cực trị.
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P): z −1= 0 và (Q): x + y + z −3 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng
x −1 y − 2 z − 3 d ': = =
và vuông góc với đường thẳng ∆ . Phương trình của đường thẳng d là 1 1 − 1 − x = 3 + tx = 3 − tx = 3 + tx = 3 + t A.     y = t .
B. y = t .
C. y = t .
D. y = t − . z =1+     t z =  1 z =  1 z =1+  t Lời giải Chọn C d' Q I d P Đặt n = và n =
lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P) và (Q) . Q (1;1; )1 P (0;0; )1
Do ∆ = (P) ∩(Q) nên ∆ có một véctơ chỉ phương u =    = − . ∆ n n
P, Q  ( 1;1;0)
Đường thẳng d nằm trong (P) và d ⊥ ∆ nên d có một vectơ chỉ phương là
u = nu = − − . d [ P, ∆] ( 1; 1;0) Gọi
x −1 y − 2 z − 3 d′: = =
và I = d′∩ d ⇒ I = d′∩(P) 1 1 − 1 − z −1 = 0 z =1 Xét hệ phương trình  
x −1 y − 2 z − 3 ⇔ y = 0 ⇒ I (3;0; ) 1 . = =  1 1 − 1 − x =  3 x = 3 + t
Do đó phương trình đường thẳng d : y = t . z =  1
Câu 20: Theo số liệu thông kê điểm môn toán của một trường được cho bởi bảng số liệu sau:
Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất? A. 6,5. B. 7,5. C. 7, 25 . D. 8. Mã đề 110- trang 14 Lời giải Chọn C
Theo bảng thống kê, giá trị lớn nhất là 60 thuộc lớp [6,5;8) nên giá trị đại diện là 6,5 + 8 = 7,25. 2
Câu 21. Gọi n là số nguyên dương sao cho 1 1 1 1 210 + + + ... + = log x log x log x log x x n log 2 3 2020 2020 2020 2020 2020
đúng với mọi x dương, x ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức P = 3n + 4 .
A. P = 16.
B. P = 61.
C. P = 46 . D. P = 64. Lời giải
Với mọi x dương, x ≠ 1. Ta có 1 1 1 1 + + + ... + log x log x log x log x 2 3 2020 2020 2020 2020n 2 3
= log 2020 + log 2020 + log 2020 + ... + log 2020n x x x x
= (1+ 2 + 3 + .. + n)log x 2020 n(n + ) 1 = log 2020 . 2 x
Do đó theo yêu cầu đề bài, ta có n(n + ) 1 n = 20 2
= 210 ⇔ n + n − 420 = 0 ⇔ . 2  n = 21 −
Do đó n = 20 (thỏa mãn là số nguyên dương). Khi đó P = 3n + 4 = 64 .
Câu 22:Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC, tam giác ABC vuông tại ,
A AB = a, AC = a 3 . Ngoài
ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC . A. a 21 a 3 a 7 a 17 . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Gọi N là trung điểm B .
D Ta chứng minh được CD / / ( AMN ).
Do đó d (CD, AM ) = d (CD,( AMN )) = d (C,( AMN )).
Xét tứ diện ACMN . Thể tích tứ diện này là : 1
VACMN = d (C ( AMN )) 1 , .S A = ∆ MN
d (N,( ACM )).S A ∆ CM 3 3
d (N, ACM ).S
Suy ra d (C,( AMN )) ( ) A∆CM = (*) S A ∆ MN
Gọi H là trung điểm BM . Khi đó, NH / /DM suy ra
NH ⊥ ( ACM ) nên
NH = d (N ( ACM )) 1 1 , = DM = . a (1) 2 2 2 1 a 3 S A = = ∆ CM S A ∆ BC . (2) 2 4 1  1
Áp dụng công thức trung tuyến 2 2 2 2  2 AN =
AB + AD − DB = a ⇒ AN =   . a 2  2  1
Ta có AM = BC = a nên A ∆ MN cân tại .
A Gọi K là trung điểm MN thì AK ⊥ MN. 2 CD a 2 MN = = . a 14
Trong tam giác vuông A
∆ KM , ta có AK = . 2 2 4 Mã đề 110- trang 15 2 1 a 7 Suy ra S A = = ∆ MN AK.MN . (3) 2 8
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được d (C ( AMN )) a 21 , =
. Vậy d (CD AM ) a 21 , = . 7 7
Câu 23. Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao
cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách ? A. 90. B. 144. C. 60. D. 16. Lời giải Chọn A
Để mỗi hàng có tổng bằng không thì mỗi hàng có các dạng sau: 1;1; 1; − 1 − , 1; − 1; − 1;1, 1; 1; − 1; 1 − , 1; − 1; 1; − 1, 1; 1; − 1; − 1, 1; − 1;1; 1 − .
TH1. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai không có số nào giống hàng thứ nhất khi
đó có một cách chọn. Khi đó tổng các cột của hai hàng bằng không nên
Hàng thứ ba có 6 cách chọn.
Hàng thứ tư tương tự để tổng các cột bằng không thì có duy nhất 1 cách chọn. Vậy TH1 có 6*1*6*1 36 = cách.
TH2. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai có hai số giống hàng thứ nhất khi đó hàng
thứ hai có 4 cách chọn. Hàng thứ ba có 2 cách chọn và hàng thứ tư có một cách chọn. Vậy TH2 có 6*4*2*1 4 = 8cách.
TH3. Hàng thứ nhất có 6 cách chọn và hàng thứ hai có 4 số giống hàng thứ nhất. Khi đó để
tổng 4 cột bằng không thì hàng thứ ba có 1 cách chọn và hàng thứ tư có một cách chọn
Vậy TH3 có 6*1*1*1 cách chọn. Vậy có tất cả: 36 + 48 + 6 = 90 cách.
Câu 24. Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài
của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B tăng lên
gấp ba. Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B , hỏi sau bao nhiêu ngày
nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20900 con, biết rằng
tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau? A. 20 (ngày). B. 30 (ngày). C. 40 (ngày). D. 50 (ngày). Lời giải Chọn C
Giả sử sau x ngày nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20900 con (ĐK x > 0 ). x
Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài A là: 5 50× 2 con vi khuẩn. Mã đề 110- trang 16 x
Ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài B là: 10 100×3 con vi khuẩn. x x
Theo bài ra ta có phương trình: 5 10 50×2 +100×3 = 20900 (*) x x x x Xét hàm số 5 10
f (x) = 50× 2 +100×3 có 5 10
f (′x) =10× 2 ln 2 +10×3 ln 3 > 0 ⇒ f (x) là hàm
đồng biến trên khoảng(0;+∞) nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
(0;+∞). Mà x = 40 thỏa mãn (*) nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là x = 40.
B. PHẦN II:( Câu hỏi lựa chọn đúng – sai)- Đáp án chi tiết. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 a) Đ a) S a) S a) Đ a) Đ b) Đ b) S b) Đ b) Đ b) Đ c) S c) S c) S c)S c) S d) Đ d) Đ d) S d) Đ d) Đ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;0; ) 1 và vuông góc
với mặt phẳng Ozx . Cho điểm B(0;4;0) với điểm C là điểm cách đều đường thẳng ∆ và trục Ox . Các
mệnh đề sau đúng hay sai ?. 
a) Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là: n(1;0;0) 1
b) Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là: z − = 0 2 .
c) Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA. 1
d) Khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B và C là: 2 . Lời giải
a) Mệnh đề đúng.
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxz là: n(1;0;0)
b) Mệnh đề đúng. 1
Phương trình mặt phẳng trung trực của OA là: z − = 0 2 .
Vì đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;0; )
1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì ∆ song song với trục
Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz . Dễ thấy OA là đường vuông góc chung của ∆ và Ox .
Xét mặt phẳng (α ) đi qua  1 I 0;0;  
và là mặt phẳng trung trực của OA. Khi đó ∆// (α ) , Ox// (α ) 2   
và mọi điểm nằm trên (α ) có khoảng cách đến ∆ và Ox là bằng nhau. Vậy tập hợp điểm C là các
điểm cách đều đường thẳng ∆ và trục Ox là mặt phẳng (α ) . 
Mặt phẳng (α ) đi qua  1 I 0;0;  
có véc tơ pháp tuyến là k = (0;0; ) 1 nên có phương trình: 1 z − = 0 . 2    2 Mã đề 110- trang 17 z A 1 ∆ I C 1 2 α B 4 O y x c) Mệnh đề sai.
Điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA.
d) Mệnh đề đúng.
Đoạn BC nhỏ nhất khi C là hình chiếu vuông góc của B lên (α ) . Do đó khoảng cách nhỏ nhất giữa
điểm B(0;4;0) tới điểm C chính là khoảng cách từ B(0;4;0) đến mặt phẳng (α ) : 1 z − = 0 suy ra 2 1 0 − min (BC) = d ( ; B (α )) 2 1 = = . 1 2
Câu 2 Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
a) mốt của mẫu số liệu là 24.
b) Cỡ của mẫu số liệu bằng 3.
c) Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là 18,2.
d) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25. Lời giải a) mệnh đề sai. (đúng là 19,37) b) Mệnh đề sai. ( đúng là 56 ) c) Mệnh đề sai. ( đúng là 18,1 ) d) Mệnh đề đúng.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu của mẫu số liệu là 15,25.
Câu 3: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 2 x −3x+2 4−x 6−3 .3 + 3 = 3 x m
+ m (với m là tham số). Các
mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Khi m = 0 thì tập S có một phần tử.
b) Có vô số giá trị nguyên dương của m để phương trình 2 2 x −3x+2 4−x 6−3 .3 + 3 = 3 x m + m có nghiệm.
c) Số tập con của tập S không quá 3 tập hợp con.
d) Số giá trị của m để tập S có đúng 3 phần tử luôn nhỏ hơn 3. Lời giải 2 2 2
a) Khi m = 0 ta có x −3x+2 4−x 6−3x 4−x 6−3x 2 . m 3 + 3 = 3 + m ⇔ 3 = 3
⇔ x − 3x + 2 = 0 Mã đề 110- trang 18
Suy ra mệnh đề sai.
b) Nhận thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm x =1. Suy ra mệnh đề đúng.
c) Nhận thấy x =1, x = 2 là hai nghiệm của phương trình suy ra tập S có ít nhất 2 phần tử
Do đó S có ít nhất 4 tập con suy ra mệnh đề sai. 2 x −3x+2 3  = u d) Đặt 6−3 
⇒ u.v = 3 x . Khi đó phương trình trở thành 2 4 3 −x  = v
mu + v = uv + m ⇔ m(u − ) 1 − v(u − ) 1 = 0 ⇔ (u − ) 1 (m − v) = 0 2  = − + x x x 1 3 2  2 u =1 3 = 1
x − 3x + 2 = 0  ⇔ ⇔  ⇔   ⇔ x = 2 2 v m  = 3 −x = m  (m > 0) 2 2
4 − x = log m 3  2 x = 4 −  log m 3
Để tập S có đúng 3 phần tử thì phương trình 2
x = 4 − log m có đúng một nghiệm khác 1;2 , 3
hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc bằng 2 4 − log m = 0  = 3 m 81 4 log m 1  ⇔ −
= ⇔ m = 27 . Suy ra mệnh đề sai. 3  
4−log m = 4 m =1 3
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =1, AD = 10 , SA = SB ,
SC = SD . Biết mặt phẳng (SAB) và (SCD) vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác S ∆ AB và SC
∆ D bằng 2 . Gọi N, M lần lượt là trung điểm của AB và CD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?. a) V = V S ABCD 2. . S.ACD
SN ⊥ mf (SCD). b) SM + SN = 6. c) V = S ABCD 1 d) . Lời giải
a) Mệnh đề đúng. S x A D N O M B C Ta có V 2 = V = d ( ,
A (SCD)).S S ABCD 2 . . A SCD 3 SCD b) Mệnh đề đúng.
Ta có (SAB) ∩(SCD) = Sx // AB . Gọi M là trung điểm của CD , N là trung điểm của AB .
⇒ SM ⊥ CD , SN ⊥ AB ⇒ SM ⊥ Sx , SN ⊥ Sx .
Mặt khác (SAB) ⊥ (SCD) ⇒ SN ⊥ (SCD) tại S , Mã đề 110- trang 19 c) Mệnh đề sai.  NSM = 90° 2 1 d ( ,
A (SCD)) = d (N,(SCD)) = SN ⇒V = SN SM CD . S ABCD . . . . . 3 2 2 2 2 2
SN + SM = MN = AD =10 . 1 1 1 2 = S +S
= SN AB + SM CD = AB SN + SM ⇒ SN + SM = 4 SAB SCD . . ( ) 2 2 2 d) Mệnh đề đúng. 2 2
⇒ SN + SM + 2SN.SM =16 ⇒ SN.SM = 3. Vậy 2 1 V = = . S ABCD . .3.1 1 . 3 2
Câu 5: Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8
bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Các mệnh
đề sau đúng hay sai ?.Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
a) Xác suất để mỗi bạn tung đồng xu xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa là bằng nhau.
b) Xét biến cố A= “Không có hai người liền kề cùng đứng” thì
biến cố đối A = “ Tồn tại hai người liền kề cùng đứng”.
c) Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 8! 47
d) Xác suất để không có hai bạn liền kề nhau cùng đứng là: P = . 256
Hướng dẫn giải a) Mệnh đề đúng. b) Mệnh đề đúng. c) Mệnh đề sai.
Gọi A là biến cố không có hai người liền kề cùng đứng.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 8 = 2 = 256. d) Mệnh đề đúng.
Rõ ràng nếu nhiều hơn 4 đồng xu ngửa thì biến cố A không xảy ra.
Để biến cố A xảy ra có các trường hợp sau:
TH1: Có nhiều nhất 1 đồng xu ngửa. Kết quả của trường hợp này là 1+ 8 = 9 . TH2: Có 2 đồng xu ngửa.
Hai đồng xu ngửa kề nhau: có 8 khả năng.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là 2 C −8 = 20 . 8 TH3: Có 3 đồng xu ngửa.
Cả 3 đồng xu ngửa kề nhau: có 8 kết quả.
Trong 3 đồng xu ngửa, có đúng một cặp kề nhau: có 8.4 = 32 kết quả.
Suy ra số kết quả của trường hợp này là 3 C −8 − 32 =16. 8 TH4: Có 4 đồng xu ngửa.
Trường hợp này có 2 kết quả thỏa mãn biến cố A xảy ra.
Như vậy n( A) = 9 + 20 +16 + 2 = 47 . n( A)
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là 47 P = = . n(Ω) 256
C. PHẦN III: (Câu hỏi trả lời ngắn)- Đáp án chi tiết. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 2025 0,1 3,04 1,21 2,58 17 Mã đề 110- trang 20
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) 2 = 3
− x + 6x . Biết f (0) = 1
− . Tính giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( 2
x − 3x + 2) + 2022 trên đoạn  1 3;  −  . 2   Lời giải Chọn C
Hàm số y = f (x) có đạo hàm y′ = f ′(x) 2 = 3
− x + 6x và f (0) = 1 − nên hàm số: y = f (x) 3 2
= −x + 3x −1  = f ′(x) x 0 = 0 ⇔  x = 2 Bảng biến thiên:  3  1 x 3;  = ∉ −  2  2      1 x 1 3;  = ∉ −   2 2x − 3 = 0    
Xét: g (x) = ( x − ) f ( 2 x − x + ) 2  1 2 3 . 3
2 = 0 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2∉ 3 − ;  ′ ′  2    2 x − 3x + 2 =  2    1 x 0 3;  = ∈ −   2     1 x 3 3;  = ∉ −   2  
Bảng biến thiên của hàm số  
y = g (x) trên đoạn 1 3 − ;  là: 2  
Suy ra: max g (x) = g (0) = f (2) + 2022 = 2025.  1 3;  −  2   Mã đề 110- trang 21
Câu 2. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Hùng và đúng một bạn tên Phượng vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6 chỗ, 7 chỗ và 8 chỗ. Tính xác suất để hai bạn Hùng và Phượng ngồi cạnh nhau. Lời giải Chọn B
Đánh số ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 là bàn 1, bàn 2, bàn 3.
+) Xét phép thử: “Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh vào ba bàn tròn 1, 2, 3 nói trên”.
Chọn 6 học sinh trong số 21 học sinh và xếp vào bàn 1 có 6 C .5! cách. 21
Chọn 7 học sinh trong số 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có 7 C .6! cách. 15
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) 6 7
= C .5!.C .6!.7!. 21 15
+) Gọi A là biến cố: “ Hai bạn Hùng và Phượng luôn ngồi cạnh nhau ”.
Trường hợp 1: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 1.
Chọn 4 học sinh từ 19 học sinh còn lại có 4 C cách. 19
Xếp 4 học sinh vừa chọn và hai bạn Hùng, Phượng vào bàn 1 có 4!.2! cách.
Chọn 7 học sinh từ 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có 7 C .6! cách. 15
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.
Số cách xếp thỏa mãn trường hợp 1 là : 4 7
C .4!.2!.C .6!.7!. 19 15
Trường hợp 2: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 2.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 2 là: 5 6
C .5!.2!.C .5!.7!. 19 14
Trường hợp 3: Hai bạn Hùng và Phượng ngồi bàn 3.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 3 là: 6 6
C .6!.2!.C .5!.6!. 19 13 ⇒ n( A) 4 7 5 6 6 6
= C .4!.2!.C .6!.7!+ C .5!.2!.C .5!.7!+ C .6!.2!.C .5!.6!. 19 15 19 14 19 13 4 7 5 6 6 6 Vậy,
C .4!.2!.C .6!.7!+ C .5!.2!.C .5!.7!+ C .6!.2!.C .5!.6!
P( A) n( A) = 19 15 19 14 19 13 = 1 = = 0,1. n(Ω) 6 7 C .5!.C .6!.7! 10 21 15
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ. 3 Tìm tham số 4m + m
m để phương trình 2
= f (x) + 3 có hai nghiệm phân biệt trên nửa đoạn 2 2 f (x) + 5 [ 3
− ;7) ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Hướng dẫn giải: 3 Ta có: 4m + m 2 = f (x) 3 2
+ 3 ⇔ 4m + m =  f (x) 2
+ 3 2 f (x) + 5 2 2 f (x) 5   + Mã đề 110- trang 22 3 2
⇔ m + m =  f (x) 2 8 2 2
+ 6 2 f (x) + 5  
⇔ ( m)3 + m = ( 2 f (x) + ) 2 f (x) 2 2 2 2 5 2 + 5 + 2 f (x + ) 5 (*).
Xét hàm số: f (t) 3
= t + t f ′(t) 2 ;
= 3t +1 > 0, t
∀ ∈  ⇒ f (t) đồng biến trên  .
Do đó: ( ) ⇔ f ( m) = f ( 2 f (x) + ) 2 * 2 2
5 ⇔ 2m = 2 f (x) + 5  5 m > 0 m ≥   2 2 ⇔  4m − 5 ⇔  . 2  f ( x) 2 =   f (x) 4m − 5 2 =  2
Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số y = f (x) đều nằm phía trên trục hoành với x∈[ 3 − ;7), vì vậy hàm
số y = f (x) có đồ thị trùng với đồ thị hàm số y = f (x) với mọi x∈[ 3 − ;7). 2 x [ ∈ 3; − 7) 2 − − Do vậy f (x) 4m 5 = ⇔ f (x) 4m 5 = với 5 m ≥ (*). 2 2 2  5 m ≥
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy (*) tương đương  2 37  ⇒ m = . 2  4m − 5 2 = 4  2 Vậy 37 m = = 3,04 2 1− xy
Câu 4. Xét các số thực dương x,y thỏa mãn log
= 3xy + x + 2y − 4 P 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của x + 2y min
P = x + y ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải 1− xy
Với x, y dương và kết hợp với điều kiện của biểu thứclog
= 3xy + x + 2y − 4 3 ta được x + 2y 1− xy > 0 1− xy Biến đổi log
= 3xy + x + 2y − 4 3 x + 2y
⇔ log (1− xy) − log (x + 2y) = −3(1− xy) + (x + 2y) − log 3 3 3 3 ⇔ log 1 xy log 3 3 1 xy log x 2y x 2y 3 ( − )+  + 3 ( − ) = 3 ( + )+( +   ) ⇔ log 3 1 xy 3 1 xy log x 2y x 2y 1 3
( − ) + ( − ) = 3 ( + )+( +   )( )
Xét hàm số f (t) = log t + t trên D = (0;+∞) 3 f (t) 1 ' =
+ 1 > 0 với mọi x∈ D nên hàm số f (t) = log t + t đồng biến trên D = (0; +∞) t.ln 3 3 3 2y Từ đó suy ra(1)
3(1 xy) x 2y 3 2y x(1 3y) − ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ x = (do ) 1+ 3y y > 0 Mã đề 110- trang 23 3 − 2y
Theo giả thiết ta có x 3
> 0, y > 0 nên từ x = ta được . 1+ 3y 0 < y < 2 − 2 3 2y 3y − y + 3
P = x + y = + y = 1+ 3y 3y + 1 2
Xét hàm số g(y) 3y − y + 3 = với 3 3y 0 < y < + 1 2 g (y) 2 9y + 6y −10 ' −1+ = = 0 11 y = ( ta được . 3y + 1)2 3  −1+  Từ đó suy ra 11 2 11 − 3 min P = g  =  = 1,21.  3  3
Câu 5. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là 5 , khoảng cách từ A đến BB '
và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A'B'C ' là trung điểm M của B 'C ', 15 A'M =
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' 3
. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải A B F I E C B' A' K M
Kẻ AI ⊥ BB ', AK ⊥ CC ' ( hình vẽ ).
Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 ⇒ AI =1, AK = 2.
Gọi F là trung điểm của BC . 15 A'M = 15 ⇒ AF = 3 3 AI ⊥ BB '  Ta có
 ⇒ BB ' ⊥ ( AIK ) ⇒ BB ' ⊥ IK . BB ' ⊥ AK
Vì CC '  BB' ⇒ d(C, BB') = d(K, BB') = IK = 5 ⇒ ∆AIK vuông tại A .
Gọi E là trung điểm của IK ⇒ EF BB' ⇒ EF ⊥ ( AIK ) ⇒ EF ⊥ AE . Mã đề 110- trang 24
Lại có AM ⊥ ( ABC) . Do đó góc giữa hai mặt phẳng ( ABC) và ( AIK ) là góc giữa EF và AM bằng 5 góc  AME =  FAE . Ta có  cos = AE FAE 2 = 3 = ⇒  FAE = 30° . AF 15 2 3
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng ( AIK ) là ∆AIK nên ta có: 3 S =  S EAF ⇒1 = S 2 ⇒ = S . AIK ABC cos ABC 2 3 ABC 15
Xét ∆AMF vuông tại A :  tan = AF AMF 3 ⇒ AM = ⇒ AM = 5 . AM 3 3 2 Vậy V = 2 15 = = ABC A B C 5. . ' ' ' 2,58. 3 3
Câu 6. Lãi suất tiền gửi ngân hàng của một số ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn Châu
gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% /tháng. Chưa
đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15% /tháng trong nửa năm tiếp theo mà bạn Châu gửi tiếp. Sau nửa
năm đó lãi suất lại giảm xuống còn 0,9% /tháng và bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi
rút tiền về. Khi rút tiền bạn Châu được cả gốc và lãi là 5816672,205 đồng ( chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu
đã gửi tiết kiệm tất cả bao nhiêu tháng? Lời giải Chọn C
+ Gọi a (0 < a <12) là số tháng bạn Châu gửi khi lãi suất là 0,7%/tháng. Sau a tháng số tiền gốc và lãi bạn Châu có là: 0,7 5.(1 )a + triệu. 100
+ Sau nửa năm tiếp theo lãi suất là 1,15%/tháng nên số tiền của Châu là 0,7 a 1,15 6 5.(1+ ) .(1+ ) 100 100
+ Gọi b(0 < b) là số tháng tròn tiếp theo bạn Châu gửi khi lãi suất 0,9%/tháng. Sau b tháng thì số tiền bạn Châu là: 0,7 a 1,15 6 0.9 5.(1 ) .(1 ) .(1 )b + + + . 100 100 100 + Ta có: 0,7 a 1,15 6 0.9 5.(1 ) .(1 ) .(1 )b + + + = 5,816672205 . 100 100 100 + Vì 0,7 a 5,816672205 5,816672205 (1+ ) = ≤ ⇒ a ≤10,5688 100 1,15 6 0,9 b 1,15 6 0,9 5.(1+ ) .(1+ ) 5.(1+ ) .(1+ ) 100 100 100 100
Do đó: a =1,a = 2,a = 3,a = 4,a = 5,a = 6,a = 7,a = 8,a = 9,a =10.
+ Thử lại chỉ có a = 8 thì thỏa mãn b nguyên và b = 3 . Vậy tổng số tháng Châu đã gửi là: 8+6+3=17 (tháng)
Lưu ý: 1. Dạng thức trả lời ngắn: Viết, tô đáp án không quá 4 ký tự, kể cả dấu – và dấu ,
2. Mức độ nhận thức: VD-2 câu; VDC-4 câu. Mã đề 110- trang 25 ........Hết........
Lưu ý: 1. Giới hạn kiến thức: đến thời điểm học và có sự điều chỉnh.
2. Với khối 11 và 12 theo ma trận của Sở của năm vừa thi. Mã đề 110- trang 26
Document Outline

  • A. PHẦN I: (24 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
  • B. PHẦN II: (Câu hỏi lựa chọn đúng sai)
  • C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
  • C. PHẦN III: (6 câu, mỗi câu đúng được 0,5 điểm)
  • C. PHẦN III: (Câu hỏi trả lời ngắn)- Đáp án chi tiết.
  • Lưu ý: 1. Dạng thức trả lời ngắn: Viết, tô đáp án không quá 4 ký tự, kể cả dấu – và dấu ,
  • 2. Mức độ nhận thức: VD-2 câu; VDC-4 câu.
  • ........Hết........
  • Lưu ý: 1. Giới hạn kiến thức: đến thời điểm học và có sự điều chỉnh.
  • 2. Với khối 11 và 12 theo ma trận của Sở của năm vừa thi.