Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Đông Hà – Quảng Trị

TRƯỜNG THPT ĐÔNG HÀ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỔ TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15 /4/2021 Câu 1. (5,0 điểm).
1. Tìm số nguyên dương n biết rằng: 1 3 5 2n 1 C C C . . C   1024 . 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
2. Một trường có 50 học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học
sinh trong số 50 học sinh để tham gia trại hè. Tính xác suất để 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi. x
Câu 2. (2,0 điểm). Giải phương trình x   2 2 . 2 x 1 Câu 3. (5,0 điểm).
1. Cho ba số a  0, b  0, c  0 thỏa mãn 2 2 2
a b c  3 . Chứng minh rằng 3 3 3 a b c 3    . 2 2 2 b  3 c  3 a  3 2 1 1 1
2. Chứng minh dãy số u với u   ..  là một dãy số tăng và bị chặn. n  n 2 2 2 1 2 n
Câu 4. (2,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2
P  1  x  y  2y  9  x y  6y y
trong đó x, y là các số thực thỏa mãn x   1. 2 Câu 5. (6,0 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a,
SA  (ABCD) và SA  a , M là trung điểm của CD .
a) Tính góc giữa SM và mp(SAB).
b) Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBM )
2. Cho M , N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, C , A AB của A  BC . Gọi H,G,O
lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp A
 BC , I là tâm đường tròn ngoại tiếp M
 NP . Chứng minh H,G,O, I thẳng hàng. .........HẾT........
Họ và tên:………………………….……… Lớp:………SBD:…… Đề thi gồm 1 trang HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2020-2021. MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm Câu +Xét khai triển 1.1 2n 1  0 1 1 2 2 2n 1  2n 1 (1  x)  C C x C x . . C x  (1) (2 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  0 1 1 2 2 2n 1  2n 1  0.5 điểm) (1  x)  C C x C x  . .C x (2) 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1 
+Trừ từng vế (1), (2) ta có 2n 1  2n 1  1 1 3 3 5 5 2n 1  2n 1 (1  x) (1x)
 2(C x C x C x . . C x  ) (3) 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  0.5
+Thay x  1 vào (3) rồi chia hai vế cho 2 ta có 1 3 5 2n 1 2 C C C .. C   2 n 2n 1  2n 1  2n 1  2n 1  0.5 +Suy ra 2n 10
2  1024  2  2n  10  n  5 0.5 Câu
+Số cách chọn 3 học sinh bất kì từ 50 học sinh là 3 3 C    C  19600 1 1.2 50 50 0,5 (3
+Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là 4.48
điểm) Gọi biến cố A: “Chọn được 3 học sinh không có cặp anh em sinh đôi” +Ta có 3   C  4.48  19408 A 50 1  A 19408 1213 P( ) A     19600 1225 0.5 +
Câu 2 +Điều kiện x  1  x  1  hoặc x  1 (2 0.5 điểm) x  1
  Phương trình vô nghiệm 1   +Xét x  1: Đặt x  ,t   0;  cost  2 Ta có phương trình 1 1 
 2 2  sint  cost  2 2 sint cost cost sint      2 sin t   
    2 sin2t  sin2t  sin t    1       4    4 Đề thi gồm 1 trang  2t  k2      t      k2  4      4    (k  )             2  2t k2        4 t     k    4 3      1 + t  0;   t   x   2  thỏa x  1  2 4 cos  4 0.5
Vậy nghiệm của phương trình là x  2 Câu +Ta có 3.1 3 3 2 6 a a b  3 a 3 (3 2 3    3  a (1) điểm) 2 2 2 b  3 2 b  3 16 64 4 3 3 2 6 b b c  3 b 3 2 3    3  b (2) 2 2 2 c  3 2 c  3 16 64 4 3 3 2 6 c c a  3 c 3 1.5 2 3    3  c (3) 2 2 2 a  3 2 a  3 16 64 4
+Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có 2 2 2 a b c  9 3 2 2 2 P   (a b c ) 16 4 12 9 9 12 3  P    P    1.5 16 4 4 16 2
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 Câu 1 3.2 Ta có * * n  N : u  u   u  u , n  N n 1  n 2 n 1 (n 1)  n (2 0.5 điểm)  Dãy (u )tăng n (u )tăng *  u  u  1, n  N n n 1 0.25 1 1 1 1 1 1 u  1   . .   1   . .  n 2 2 2 2 3 n 1.2 2.3 (n 1).n  1 1 1  1 1                 1 1 1 . .  1.0         2   2 2 2 3   n 1 n  n  1  u  2 * , n  N n  (u )bị chặn 0.25 n Đề thi gồm 1 trang Câu 4 +Ta có 2 2 2 2
P  x (y 1)  x (y  3) 0.5 (2
điểm) Đường thẳng  : 2x  y  2  0
+Lấy M(x;y)   , hai điểm ( A 0;1),B(0;3) 0.5  P  AM  BM
A, B nằm cùng phía đối với  , lấy A’ đối xứng với A qua  4 7  A' ;   ,MA'  MA  5 5 0.5
+P  AM  BM  A ' M  BM  A ' B  2 5
+ min P  2 5 khi A’, B, M thẳng hàng 2 2
Khi M  A'B    M  ;     3 3 2 2 0.5
Vậy min P  2 5 khi x  ;y   3 3 Câu 5.1 (4 điểm)
a) +Gọi E là trung điểm AB M  E / /AD     ME  (SAB) A  D  (SAB) 
Góc giữa SM và (SAB) là góc    MSE 0 0 (0    90 ) 1
+Tính tan : ME  AD  2a 2 2 2 2 a a 5 SE  AS  AE  a   4 2  ME 2a 4 5  tan  tanMSE    SE 1 5 5 a 2 Đề thi gồm 1 trang
b. + AN  BM  (SAN )  (SBM )
Kẻ AK  SN  AK  (SBM) 0.5 AK  d( , A (SBM)) +Tính AK : S  S (S  S ) A  BM ABCD A  DM B  CM 2 2 2  S 2S  2a a  a ABCD A  DM 0,5 2 1 2S A  BM 2  . a S AN BM  AN   A  BM 2 2 2 BM BC  BM 0.5 2 2a 4a   2 2 a 17 4a  + 4 1 1 1 4a 4      ( ,( )) a AK d A SBM  AK  2 2 2 AK SA AN 33 33 0,5 Câu V : A  BC  M  NP 0.5 5.2 1 + (G, ) 2 (2  điểm) PN / /BC +Ta có   MO  PN M  O  BC  Tương tự NO  PM  0.5
O là trực tâm tam giác MNP  1  V
: H  O  GO   GH  H,G,O thẳng hàng 1 0.5 G  2 + ( , ) 2  1  V
:O  I  GI   GO  I,G,O thẳng hàng 1 G  2 + ( , ) 2 Vậy H ,G,O, I 0.5 thẳng hàng. .........HẾT........ Đề thi gồm 1 trang