Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2025 Toán 11 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
LẦN THỨ XXIX - NĂM 2025 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG Môn: TOÁN Khối: 11
Ngày thi: 05/04/2025
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Câu Nội dung Điểm Giải hệ phương trình  7 27 2 16x    1  x y  3 9 21 2 16  y   .  y x 
Điều kiện xác định: x  0, y  0. Khi đó hệ tương đương với 72 2 2
 16(3x  y )   y 1  56  2 2
 16(x  3y )   x  9 2 3  3x y  y   2   1 7 3 2   x  3xy   2  1 3 x  8 
  ( y  x)   2     3 1
  ( y  x) 3   y  .   2  1 3  1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y)  ; .    2 2 
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 1 Câu Nội dung Điểm Câu 1. Ký hiệu { }
x là phần lẻ của số thực . x Đặt  1 x { } x khi { } x    2 f (x)   1 x { } x 1 khi { } x  .   2 2 4
a. Tìm tập hợp tất cả các số nguyên n sao cho f ( n )  2025. 1 1 1 b. Với mỗi *
n   , đặt u      2 n. n f ( 1) f ( 2) f ( n )
Chứng minh dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. n
Với mỗi số nguyên dương k, đặt N là tập các số nguyên dương m sao cho k
f ( m)  k. Ta có 1   1 1 
N  m   | k   m  k  k   2 2  a.   1 1 2 2   m   | k  k 
 m  k  k    4 4  2 2
 [k  k  1, k  k]  [(k 1)k  1, k(k  1)]. 1
Do vậy n f ( n)  20  25  N
 [2024.2025  1; 2025.2026]. 2025
Dễ thấy N có 2k phần tử và mỗi số nguyên dương m nằm trong đúng một tập k 0,5
N với k nào đó. k
Đặt   f ( n ) . Trong công thức của u , với mỗi số nguyên dương k    1 , n 1 1 hạng tử
xuất hiện 2k lần; còn hạng tử
xuất hiện n  (  1) lần (tương ứng 0,5 k  b.
với m  (  1)  1,, n ). Từ đó 2 2 n  ( 1)
n  2 n   (  n) u  2( 1)   2 n  1  1. n    1 1 Để ý rằng n   
và  tiến ra  khi n tiến ra  nên (u )  1.  2 n
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 2 Câu Nội dung Điểm
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho có thể điền vào bảng 4  4 mỗi ô một
số trong tập hợp {1, 2,, }
n sao cho mỗi số 1, 2,, n đều có mặt trong bảng, đồng 3 4
thời trong mỗi hàng và trong mỗi cột không có hai số bằng nhau hoặc hơn kém nhau 1 đơn vị.
Xét một cách điền thỏa mãn yêu cầu. Do các số trong mỗi hàng đôi một khác nhau
nên n  4. Nói riêng số 2 buộc phải xuất hiện trong bảng. Xét hàng/cột chứa một 1,5
số 2. Theo giả thiết các số trong hàng/cột này đôi một hơn kém nhau ít nhất 2 đơn vị nên n  8.
Nếu n  8 thì trên hàng/cột chứa số 2 phải xuất hiện các số 2, 4, 6, 8.
Xét hàng/cột chứa số 7. Khi đó hàng/cột này phải chứa các số 1, 3, 5, 7. 1,5
Suy ra ô giao của hàng chứa một số 2 và cột chứa một số 7 phải được điền một
số vừa chẵn vừa lẻ, mâu thuẫn.
Với n  9, ta có cách điền sau thỏa mãn 2 4 6 8 9 1 3 5 1 7 9 1 3 5 7 9 1
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 3 Câu Nội dung Điểm
Gọi a, b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 ! 2  ( !) b a b  a . 4
a. Chứng minh b  a  2. 4
b. Tìm tất cả các cặp số ( ;
a b) thỏa mãn điều kiện đã cho.
Giả sử b  a  2. Khi đó ta có 2a 4 a! 2(a 2)! a     .
Do b  1 nên a  3. Rõ ràng a  3 không thỏa mãn điều kiện trên nên a  4. a. 1,5 Khi đó 2a4 a a
 a và ! 2((  2)!)  2( !)  2  2  3 a a a a
a  a , vô lý.
Vậy b  a  2. Rõ ràng a  1. Với a  2 thì 2
2  2  ( !)  2 b b .
Dễ thấy b  1 thỏa mãn vì 2 2  2 1!  2 . 0,5
Nếu b  2 thì 2 b
∣ ! do đó 2  2(b!)  2mod 4 trong khi đó 2 4 2 b ∣ , mâu thuẫn. Xét a  3.
Nếu b  a 1 thì (a 1) b
∣ ! và (a 1) a ∣ ! nên ta có 2 ( 1) b a a ∣ , mâu thuẫn do 1
a 1  2 và a  1 nguyên tố cùng nhau với . a b.
Suy ra b  a  3 (do b  a  2 ). Khi đó 
(b  1)(b  2)...(a  1)  2 2b! 1 b  a  a .    2 
(b 1)(b  2)(a 1) 1 Nhân tử 1
 a , lớn hơn a và nguyên tố cùng nhau với a , 2
vì thế không thể là ước của 2b
a được, mâu thuẫn.
Vậy (a,b)  (2,1) là cặp số duy nhất thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 4 Câu Nội dung Điểm
Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp đường tròn (I ). Gọi M , N và P theo thứ tự
là trung điểm của BC,CA và .
AB Gọi X ,Y và Z theo thứ tự là giao điểm của
các tiếp tuyến khác BC, C ,
A AB kẻ từ N và P , kẻ từ M và P , kẻ từ M và N
tới (I ) , sao cho tam giác XYZ nhận (I ) làm đường tròn nội tiếp và các điểm 5
M , N , P theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng YZ , ZX , XY. 5
a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác XPN ,YPM , ZMN tiếp xúc với
đường tròn nội tiếp tam giác MN . P
b. Chứng minh I là tâm đẳng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác
XPN ,YPM và ZMN.
Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.
Gọi (J ) , (J ) , (J ) , (J ) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác a b c
XPN ,YPM , ZMN , MNP và U ,V , R, S lần lượt là tiếp điểm của (I ) với
YZ , BC, XZ , AC. Gọi E là tiếp điểm của (J ) với MN. c 1 Ta có
ZM  ZN  MU  UZ  NR  RZ  MU  NR  MV  NS a.
 VC  MC  CS  CN  CN  CM  PM  PN.
MN  MZ  NZ
MN  MP  PN Do đó ME   . 2 2
Suy ra E cũng là tiếp điểm của (J ) với MN. Suy ra (J ) tiếp xúc với (J ). 1 c
Tương tự (J ) cũng tiếp xúc với (J ), (J ). a b
Gọi F , K là tiếp điểm của (J ) với MP, YZ , L là tiếp điểm của (J ) với YZ , G b c
là trọng tâm của tam giác ABC,VV  là đường kính của (I ).
Xét phép vị tự tâm F biến (J ) thành (J ), biến K thành H . Khi đó tiếp tuyến b b.
tại H của (J ) song song với YZ. Tương tự ta thu được KF cắt EL tại H nằm 1 trên (J ).
Ta có ML  ME  MF  MK nên KFEL là tứ giác nội tiếp.
Từ đó HM là trục đẳng phương của (J ) và (J ). b c
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 5
Chú ý rằng tiếp tuyến tại U của (I ) song song với tiếp tuyến tại H của (J ) nên 1  2 V
: ABC  MNP , (I )  (J ) , U  H . 1 G
Suy ra MH  AU . Mặt khác , A V ,
 U thẳng hàng nên IM  AU. 0,5
Suy ra H , I , M thẳng hàng.
Suy ra I thuộc trục đẳng phương của (J ) và (J ). 0,5 b c
Chứng minh tương tự ta thu được điều phải chứng minh.
K ỳ t h i O l y m p i c t r u y ề n t h ố n g 3 0 / 4 l ầ n t h ứ X X I X n ă m 2 0 2 5 6
Document Outline

• Doc1
• 01. OLP2025. TOAN 11. DAP AN