Đề thi Olympic Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic Toán 11 năm học 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội, đề thi gồm có 01 trang với 05 bài toán, thời gian học sinh làm bài 150 phút, đề thi có lời giải chi tiết.

Trường THPT M Đức A
ĐỀ CHÍNH THC
--------
K THI OLYMPIC LP 11 NĂM HC 2019 - 2020
Môn: Toán
Thi gian: 150 phút (không k thi gian phát đ)
------------------- oOo -------------------
H và tên thí sinh: ………………………………………..….. S báo danh: …………
Câu 1. (5 đim)
a) Gii phương trình lưng giác:
22
sin sin5 2cos 2cos 2
44
xx x x
ππ

+ = −− +


.
b) Tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s:
22
2sin 3sin cos 5cosy x xx x=++
.
Câu 2. (4 đim)
a) Cho
,2nn∈≥
hãy tính tng
S
sau:
( )
234
2.1 3.2 4.3 ... 1
n
nnn n
S C C C nn C= + + ++
.
b) Ba bn A, B, C mi bn viết ngu nhiên lên bng mt s t nhiên thuc đon
[ ]
1; 20 .
Tính xác sut đ tng các lp phương ca ba s đưc viết ra chia hết cho 3.
Câu 3. (5 đim)
a) Mt t giác có bn góc to thành mt cp s nhân và s đo góc ln nht gp 8 ln s
đo góc nh nht. Tính s đo các góc ca t giác.
b) Cho dãy s
đưc xác đnh bi
1
1
1
2 3,
n
nn
u
uu n
+
=
= + ∀∈
.
Tìm công thc ca s hng tng quát
n
u
theo
n
.
Câu 4. (5 đim)
Cho mt phng
( )
α
và hai đưng thng chéo nhau
12
,dd
ct
(
)
α
ti
,AB
. Gi
là
đưng thng thay đi luôn song song vi
( )
α
, ct
1
d
ti
,M
ct
2
d
ti
.N
Đưng
thng
d
qua
N
luôn song song vi
1
d
ct
(
)
α
ti
N
.
a) T giác
AMNN
là hình gì?
b) Tìm tp hp các đim
.N
c) Gi
O
trung đim ca
,AB I
trung đim ca
.MN
Chng minh rng
OI
đưng
thng c định khi
M
di đng.
Câu 5. (1 đim)
Cho các s thc dương
,,xyz
tha mãn điu kin:
1.xyz =
Tìm giá tr nh nht ca
biu thc
H
biết:
( )
( )
( )
2 22
.
222
xyz yzx zxy
H
yy zz zz xx xx yy
+++
=++
+++
------------------- HT -------------------
NG DN CHM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LP 11
Câu 1
5,0 đ
Ni dung Đim
a)
3,0 đ
sin sin5 1 cos 2 1 cos 4
22
PT x x x x
ππ

 
+=+−+++
 

 

0,5 đ
sin sin5 sin2 sin4xxxx⇔+ = +
0,5 đ
2sin3 cos2 2sin3 cosx x xx⇔=
0,5 đ
sin3 0
cos2 cos
x
xx
=
=
0,5 đ
3
22
22
xk
xxk
x xk
π
π
π
=
⇔=+
=−+
0,5 đ
3
2
3
2
3
k
x
k
xk x
k
x
π
π
π
π
=
= ⇔=
=
0,5 đ
b)
2,0 đ
(
)
( )
22
2sin 3sin cos 5cos
1 cos2
3
1 cos2 sin 2 5.
22
337
cos2 sin 2
222
y x xx x
x
xx
xx
=++
+
=−+ +
=++
0,5 đ
32 7
cos 2
2 42
x
π

= −+


0,5 đ
Giá tr nh nht ca hàm s :
min
7 32
22
y =
đạt được ti
5
,
8
x kk
π
π
=+∈
0,5 đ
Giá tr ln nht ca hàm s :
max
7 32
22
y = +
đạt được ti
,
8
x kk
π
π
=+∈
0,5 đ
Câu 2
4,0 đ
Ni dung Đim
a)
2,0 đ
S hng tng quát
( )
1
k
kn
u kk C=
0,5 đ
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) (
)
2
2
!
1
!!
1 2!
2! 2 2 !
12
n
k
n
n
u kk
knk
nn n
knk
nn C k n
=
−−
=
−−


= ≤≤
0,5 đ
( )
( )
01 3 2
223 2
1 ...
n
nnn n
SnnCCC C
−−−
= + + ++
0,5 đ
( )
2
1 .2
n
S nn
=
0,5 đ
b)
2,0 đ
S phn t ca không gian mu là:
( )
3
20n Ω=
0,25 đ
Đon
[ ]
1; 20
có 6 s chia hết cho 3; có 7 s chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư
2.
0,25 đ
Vi mi s t nhiên
n
ta luôn có
( )( )
3
1 13n n nn n−= +
.
Do đó tổng lập phương của ba s chia hết khi và ch khi tng ca ba s đó chia
hết cho 3.
0,5 đ
TH1: C 3 s được viết chia hết cho 3: có
3
6
kh năng xảy ra
TH2: C 3 s được viết chia cho 3 dư 1: có
3
7
kh năng xảy ra.
TH3: C 3 s đều chia cho 3 dư 2 : có
3
7
kh năng xảy ra.
TH4: C 3 s được viết gm 1 s chia hết cho 3; 1 s chia 3 dư 1 và 1 số chia 3
dư 2: có
6.7.7.3!
kh năng xảy ra
0,5 đ
S kết qu thun li là
333
6 7 7 6.7.7.3! 2666+++ =
0,25 đ
Xác sut cn tính là
333
3
6 7 7 6.7.7.3! 1333
20 4000
P
+++
= =
0,25 đ
Câu 3
5,0 đ
Ni dung Đim
a)
2,5 đ
Gi s bn góc A, B, C, D
( )
ABCD<<<
theo th t lp thành cp s nhân
vi công bi
q
. Ta có
2
3
B qA
C qA
D qA
=
=
=
0,5 đ
Ta có h
360
8
ABCD
DA
+++ =
=
( )
23
3
1 360
.8
A qq q
Aq A
++ + =
=
0,5 đ
0,5 đ
2
24
q
A
=
=
0,5 đ
Suy ra
48 , 96 , 192BC D= = =

0,5 đ
b)
2,5 đ
Vi mi
n
, ta có :
(
)
1
11
23 3 2 3
nn n
nn n n
uu u u
+
++
= +⇔ =
0,5 đ
Xét dãy s
( )
n
v
, vi
3,
n
nn
vu n
= ∀∈
. ta có
1
2
nn
vv
+
=
.
Do đó, dãy số
( )
n
v
là 1 cp s nhân có công bi
2q =
và s hạng đầu bng -2
0,5 đ
0,5 đ
Suy ra
1
1
.2
nn
n
v vq
= =
0,5 đ
Vy
332
nnn
nn
uv=+=−
0,5 đ
Câu 4
5,0 đ
Ni dung Đim
a)
2,0 đ
0,5 đ
Có AM // NN’
Do d // dR
1
R nên tn ti mt phng
(
)
β
cha d và dR
1
0,5 đ
( ) ( )
( ) ( )
'
'/ / .
, //
AN
AN MN
MN MN
αβ
βα
∩=
0,5 đ
AMNN
là hình bình hành
0,5 đ
b)
2,0 đ
Gi (P) là mt phng cha d và d
R
2
R
, vì d // d
R
1
R
nên (P) // d
R
1
R
.
0,5 đ
Do (P) cha đưng thng c định d
R
2
R
và song song với đường thng c định d
R
1
R
nên (P) c
định.
0,5 đ
N’ là điểm chung của (α) và (P) nên
( ) ( )
'NP
α
∈∩
0,5 đ
Gi
( ) ( )
.Pb
α
∩=
Vy tp hợp các điểm N’ là đường thng b.
0,5 đ
c)
1,0 đ
0,5 đ
Dựng đường thng qua E và song song vi d
R
1
R
ct d
R
2
R
ti N
R
0
R
, Dựng đường thng
0
qua N
R
0
R
song song với AE, đường thng này ct dR
1
R ti MR
0
R.
0,5 đ
d
b
d
2
d
1
(
)
α
I
N
A
N'
B
M
O
u 5
1,0 đ
Ni dung
Đim
Áp dng bất đẳng thc Cauchy ta có:
22
2
22
2
222
22 2
222
2
22
222
x yz z xy
y zx
H
yy zz zz xx xx yy
x x xyz y y xyz z z xyz
yy zz zz xx xx yy
yy
xx zz
yy zz zz xx xx yy
++
+++
= ++
+++
= ++
+++
0,25 đ
Đặt:
( )
( )
( )
1
24
9
2
1
2 24
9
2
1
42
9
xx a bc
a yy zz
b zz xx yy a b c
c xx yy
zz ab c
= −+ +
= +

= + = −+


= +

= +−
0,25 đ
Khi đó
33
224 24 4 2
9
2
64
9
2
6 4.3. 3.
9
2
a bc a b c ab c
H
a bc
bac cab
aca abc
bac cab
aca abc
+ + + +−

++




= + ++ + ++





+ ⋅⋅+ ⋅⋅


=
0,25 đ
2H
=
khi
abc= =
1xyz= = =
. Vy giá tr nh nht ca H bng 2.
0,25 đ
Chú ý: Nếu hc sinh làm theo cách gii khác ngoài đáp án và vn đúng thì vn cho đim
ti đa ca câu đó.
| 1/5

Preview text:

Trường THPT Mỹ Đức A
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán --------
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------- oOo -------------------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………..….. Số báo danh: …………
Câu 1. (5 điểm)  π   π 
a) Giải phương trình lượng giác: 2 2
sin x + sin 5x = 2cos − x − 2cos + 2x     .  4   4 
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2
y = 2sin x + 3sin x cos x + 5cos x . Câu 2. (4 điểm)
a) Cho n ∈ ,n ≥ 2 hãy tính tổng S sau: 2 3 4
S = 2.1C + 3.2C + 4.3C + ... + n(n − ) 1 n C . n n n n
b) Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1;20].
Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3. Câu 3. (5 điểm)
a) Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số
đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác. u  =1 1
b) Cho dãy số (u được xác định bởi  . n ) u
= 2u + 3n,∀n ∗ ∈   n 1 + n
Tìm công thức của số hạng tổng quát u theo n . n Câu 4. (5 điểm)
Cho mặt phẳng (α ) và hai đường thẳng chéo nhau d ,d cắt (α ) tại , A B . Gọi ∆ là 1 2
đường thẳng thay đổi luôn song song với (α ) , cắt d tại M , cắt d tại N. Đường 1 2
thẳng d qua N luôn song song với d cắt (α ) tại N′ . 1
a) Tứ giác AMNN′ là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm N .′
c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng OI là đường
thẳng cố định khi M di động. Câu 5. (1 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức H biết: 2
x ( y + z) 2
y ( z + x) 2
z ( x + y) H = + + . y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y
------------------- HẾT -------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 Câu 1 Nội dung Điểm 5,0 đ   π    π 
PT ⇔ sin x + sin 5x = 1+ cos − 2x + 1+ cos + 4x       0,5 đ   2    2 
⇔ sin x + sin5x = sin 2x + sin 4x 0,5 đ
⇔ 2sin3xcos2x = 2sin3xcos x 0,5 đ sin 3x = 0 ⇔  0,5 đ
cos 2x = cos x a) 3x = kπ 3,0 đ 
⇔ 2x = x + k2π  0,5 đ
2x = −x + k2π   kπ x =  3  kπ
x = k2π ⇔ x =  0,5 đ 3  k 2π x =  3 2 2
y = 2 sin x + 3sin x cos x + 5 cos x = ( + x 1− cos 2x) 3 (1 cos2 ) + sin 2x + 5. 2 2 0,5 đ 3 3 7
= cos 2x + sin 2x + b) 2 2 2 2,0 đ 3 2  π  7 = cos 2x − +   0,5 đ 2  4  2 7 3 2 5π
Giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = −
đạt được tại x =
+ kπ , k 0,5 đ min 2 2 8 7 3 2 π
Giá trị lớn nhất của hàm số : y = +
đạt được tại x =
+ kπ , k 0,5 đ max 2 2 8 Câu 2 Nội dung Điểm 4,0 đ
Số hạng tổng quát u = k (k − ) 1 k C 0,5 đ k n n u = k k n ( ) !
1 k (!nk)! n (n − ) 1 (n − 2)! = 0,5 đ a) (
k − 2)!(n − 2) − (k − 2)!  2,0 đ
= n(n − ) k−2 1 C 2 ≤ k n n−2 ( )
S = n (n − ) 1 ( 0 1 3 2 C + C + C + ... n + C − 0,5 đ n−2 n−2 n−3 n−2 ) ( ) 2 1 .2n S n n − = − 0,5 đ b) 2,0 đ
Số phần tử của không gian mẫu là: n (Ω) 3 = 20 0,25 đ
Đoạn [1;20] có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư 0,25 đ 2.
Với mọi số tự nhiên n ta luôn có 3
n n = n (n − ) 1 (n + ) 1 3 . Do đó tổ 0,5 đ
ng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia hết cho 3.
TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có 3 6 khả năng xảy ra
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có 3 7 khả năng xảy ra. 0,5 đ
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có 3 7 khả năng xảy ra.
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3
dư 2: có 6.7.7.3! khả năng xảy ra
Số kết quả thuận lợi là 3 3 3 6 + 7 + 7 + 6.7.7.3! = 2666 0,25 đ 3 3 3 6 + 7 + 7 + 6.7.7.3! 1333
Xác suất cần tính là P = = 0,25 đ 3 20 4000 Câu 3 Nội dung Điểm 5,0 đ
Giả sử bốn góc A, B, C, D ( A < B < C < D) theo thứ tự lập thành cấp số nhân B = qA  0,5 đ
với công bội q . Ta có 2 C  = q A  3 D = q A
A + B + C + D = 360  a) Ta có hệ  0,5 đ D = 8A 2,5 đ  A( 2 3
1+ q + q + q ) = 360 ⇔  0,5 đ 3  . A q = 8Aq = 2 ⇔  0,5 đ A = 24
Suy ra B = 48 ,C = 96 , D = 192 0,5 đ Với mọi n ∗ ∈  , ta có : n n 1 u
= 2u + 3 ⇔ u − 3 + = 2 u − 3n 0,5 đ n 1 + n n 1 + ( n )
Xét dãy số (v , với v u 3n , n ∗ = −
∀ ∈  . ta có v = 2v . n ) n n n 1 + n 0,5 đ b)
Do đó, dãy số (v là 1 cấp số nhân có công bội q = 2 và số hạng đầu bằng -2 0,5 đ n ) 2,5 đ Suy ra n 1 v v .q − = = 2n − 0,5 đ n 1
Vậy u = v + 3n = 3n − 2n 0,5 đ n n Câu 4 Nội dung Điểm 5,0 đ d2 d d1 I N M ( ) 0,5 đ N' B b a) A O 2,0 đ α Có AM // NN’ 0,5 đ Do d // d β
1 nên tồn tại mặt phẳng ( ) chứa d và d1 R R R (  α  ) ∩ (β ) = AN '  ⇒ 0,5 đ MN ⊂ 
(β ) MN (α ) AN '/ /MN. , / /
AMNN′ là hình bình hành 0,5 đ
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1. 0,5 đ R R R R R R
Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P) cố R R R R 0,5 đ b) định.
2,0 đ N’ là điểm chung của (α) và (P) nên N '∈(α)∩(P) 0,5 đ
Gọi (α ) ∩ ( P) = .
b Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b. 0,5 đ 0,5 đ
Dựng đường thẳng qua E và song song với d ∆
1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng qua N0 R R R R R R 0 R R
song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0. R R R R c) 1,0 đ 0,5 đ Câu 5 Nội dung Điểm 1,0 đ
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 2 2 x 2 yz y 2 zx z 2 xy H ≥ + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y 2x x xyz 2 y y xyz 2z z xyz = + + 0,25 đ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y 2x x 2 y y 2z z = + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y  1 x x = ( 2
a + 4b + c) 
a = y y + 2z z 9   Đặ   1 t: b
 = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c) 0,25 đ 9  
c = x x + 2 y y   1 z z = 
(4a +b − 2c)  9 Khi đó 2  2
a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c H ≥ + +   9  a b c  2 
b a c   c a b  = 6 − + 4 + + + + +      0,25 đ 9 
a c a   a b c  2  b a c c a b  3 3 ≥  6 − + 4.3. ⋅ ⋅ + 3. ⋅ ⋅  9 a c a a b c   = 2
H = 2 khi a = b = c x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2. 0,25 đ
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngoài đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa của câu đó.

Document Outline

  • HSG11-MDA-2020-RÚT-GỌN