Đề thi Olympic Toán 11 năm 2024 – 2025 liên cụm trường THPT – Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT
LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN 11 ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi: 15 tháng 3 năm 2025
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 02 trang)
PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm).
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.   
Câu 1 (1,0 điểm) Giá trị lớn nhất của hàm số y  cos 2x  sin x 1 trên đoạn  ;    4  bằng bao nhiêu?
Câu 2 (1,0 điểm) Mẫu số liệu ghép nhóm về tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận
động viên quần vợt được cho trong bảng sau: Tốc độ 150;15  5 155;160 160;16  5 165;170 170;17  5 175;180 (km/h) Số lần 28 28 35 43 41 35
Trung vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu? 3 3
x  3  2x 1
Câu 3 (1,0 điểm) Giá trị của lim 2 x 2  x  bằng bao nhiêu? 4
Câu 4 (1,0 điểm) Một cấp số cộng có chẵn số hạng. Tổng các số hạng thứ lẻ là 24, tổng các
số hạng thứ chẵn là 30. Biết rằng số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là 21, cấp số cộng đó có 2 bao nhiêu số hạng? 2
 x 3  ax b  khi x  1
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số f  x    . x 1
Biết hàm số f (x) liên tục   2 khi x  1
tại điểm x 1, giá trị của ab bằng bao nhiêu?    x
Câu 6 (1,0 điểm) Phương trình 5 cos cot  x   2  
có bao nhiêu nghiệm trên  2  1sin x đoạn 0;2025 ?
Câu 7 (1,0 điểm) Cho cấp số nhân u có mọi số hạng đều dương và công bội q  1. Biết n  45 1 1 1 1 5
u  u  u  u  và   
 , giá trị của u .u .u .u bằng bao nhiêu? 1 2 3 4 4 u u u u 2 1 2 3 4 1 2 3 4
Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD và O là điểm bất kì nằm bên trong tam giác BC .
D Qua điểm O kẻ các đường thẳng song song với A ,
B AC, AD theo thứ tự cắt các 1
mặt phẳng  ACD, ABD, ABC lần lượt tại các điểm M , N, .
P Giá trị của biểu thức OM ON OP T    bằng bao nhiêu? AB AC AD
Câu 9 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , a cạnh
SA  2a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng AC và .
SD Khi đó giá trị của cos bằng bao nhiêu?
Câu 10 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB  BC  a, AD  2 .
a Cạnh SA  2a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của S ,
B CD và  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt
phẳng (SAC). Khi đó giá trị của sin bằng bao nhiêu?
PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm).
Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.
Câu 11 (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình   
sin 2x  2msin x  cos x  m  0 có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn 5 0; .    2 
Câu 12 (4,0 điểm) Cho tứ diện OABC có ba đường thẳng O ; A O ;
B OC đôi một vuông góc
với nhau. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC .
a) Chứng minh rằng đường thẳng OH vuông góc với mặt phẳng  ABC.
b) Gọi  ,  , lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng OH với các đường thẳng O , A OB và .
OC Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
T  cos   cos   cos  . S S S c) Chứng minh H  BC H  AC H  AB    3. S S S O  BC O  AC O  AB u   2 1 
Câu 13 (3,0 điểm) Cho d y số (u ) ác định bởi  2n  2u . n n * u    n  2, n   n 1    . n 1
a) Chứng minh d y số u là d y số tăng. n  u u u u u b) Chứng minh 1 2 3 2024 2025      . ... 2 3 4 2025 2026
-----------------HẾT-----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh:……………………………………...Số báo danh:…………………………...
Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1:
Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2: 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT
LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN 11 Ngày thi: 15/3/2025 HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
PHẦN I - Trả lời ngắn (10,0 điểm). CÂU ĐÁP SỐ ĐIỂM GHI CHÚ * 2 y  2
 sin xsin x2  17 * Đặt sin x t 17 1 1,0 max y  8  2  8 * 2 y  2
 t t  2,t  ;1 2   7140 5 7140 2 1,0 * Q 165  . 100 91 Q  2   43 43 2 43 3 3
x  3  2x 1 3 5 x  2 1 3 - 1,0   60  3 x  32 3
 x  32x   1  2x  2 3 3 1 12 25
* u  u ... u  24 1 3 2n 1 
* u u ...u  30 2 4 2n n  4 4 8 1,0 * Trừ vế nd  6 Có 8 số hạng 21
* u u  2n 1 d  2n 1   2
* b  a  2 2
x  3  ax  a  2 21 * lim  2 3 7 5  1,0 x 1  x  1
a  ;b   4 2 2 x 1 * lim  a  2 x 1  2 x  3  2 cos x *  tan x   2 1 sin x
* cos x  0,sin x    1 6 2025 1,0 2025 nghiệm * 1
 sin x  2cos x1sin x 1 * cos x   2 4 1 q 45 * u .  1 1 q 4 81 1 81 7 1,0 1 4 6
u u u u  u .q  4 4 4 1 q 5 1 1 q 1 5 1 2 3 4 1 4 * .   . .  3 u 1 2 u 1 q q 2 1 1 1 q 1 * Chia vế 9 2 3 u q  1 2 OM EO S A * O  CD   AB EB S B  CD ON IO S * O  BD   AC IB S B  CD 8 1 1,0 OP HO S * O  BC   M AD HB S I B  CD B D * S  S  S  S O O  CD O  BD O  BC B  CD H E C *  A ;
C SD   A ; C OK  S a 2 a 5 a 5 * OA  ;OK  ; AK  2 2 2 2a K 1 5 5 10   9 1,0 10 2 4 4  10 * cos   A a 2 5 10 B 2. . a 2 2 O D C
* MN;SAC  HK;SAC  KHI S 3 3a 2 * KI  CD  . 4 4 2a H 3 26 10 0,6 2 M 9a a 13 26 * 2 HK  a   2a K A 4 2 D a I N 3 26 a B * sin  C 26 TỔNG 10,0 điểm
PHẦN II - Tự luận (10,0 điểm). Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu 11
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m … 3,0
(3,0 điểm) Ta có  1  1,0 x m x x m  x  x m sin x sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 cos 0           2 .  cos x  m   
Giải được phương trình 1 sin x  có 3 nghiệm trên đoạn 5 0; .   1,0 2  2 
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình cos x  m có đúng hai nghiệm    phân biệt trên đoạn 5 0; 
 và khác nghiệm của phương trình 1 sin x  . 0,5  2  2
Học sinh vẽ được đồ thị, hoặc vẽ được đường tròn lượng giác để biện luận. 2  1   m  0 
Tìm được m 1 và  . 3 m   0,5  2 Câu 12
a) Chứng minh OH   ABC. 1,5 (4,0 điểm) A G E H O C K B
Chứng minh được BC  OAK  OH  BC . 0,5
Chứng minh được AB  OEC OH  AB . 0,5
Ta có OH  BC và OH  AB theo chứng minh trên
AB và BC cắt nhau trong mặt phẳng  ABC nên suy ra OH   ABC 0,5 b) Tính 2 2 2
T  cos   cos   cos  . 1,5 2 Chỉ ra được  OH
OH;OA  AOH suy ra AOH   và 2 cos   . 0,5 2 OA 2 2 Chứng minh tương tự OH OH 2 2 cos   ;cos   . 2 2 OB OC Suy ra 0,5 2 2 2 OH OH OH 1 1 1 2 2 2 2 cos  cos  cos          OH     2 2 2 2 2 2 OA OB OC  OA OB OC  Chứng minh được 1 1 1 1    để suy ra 2 2 2 2 OA OB OC OH 0,5 2 2 2
T  cos   cos   cos  1 S S S c) Chứng minh H  BC H  AC H  AB    3. 1,0 S S S O  BC O  AC O  AB S HK Ta có H  BC   cos HKO . 0,5 S OK O  BC 3 Lại có S
HKO  AOH   nên suy ra H  BC  cos . S O  BC
Chứng minh tương tự suy ra S S S H  BC H  AC H  AB P   
 cos  cos   cos. S S S O  BC O  AC O  AB
Áp dụng bất đẳng thức x  y  z2   2 2 2
3 x  y  z  ta có: 2 Do đó 2 P           2 2 2 cos cos cos
3 cos   cos   cos    3. 0,5
Vậy P  3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi OA  OB  O . C Câu 13
a) Chứng minh dãy số u là dãy số tăng. n  1,5 (3,0 điểm) Ta có 2n  2u n  u n ( 3) 0,5 u u   n  2 n u   n  2. n 1  n n 1 n n  1 Dễ thấy * u  0, n   suy ra u u  0. n n 1  n 1,0
Vậy u là dãy số tăng n 
b) Chứng minh u u u u u 1 2 3 2024 2025      . ... 1,5 2 3 4 2025 2026 Ta có u u u u n 1  n n 1 2 1       1 2 n 1 .   n  2 n 1 n  2  n 1  1,0 v   2
Đặt un 1 v ta có 1 
, suy ra v  2n . n 1 n v  2v  n n 1  n u Ta có n  2n 1. n  Do đó 1 0,5 u u u u u 1 2 3 2024   ...   1 2 2024 2  2 ... 2  2025 2025 2024  2 2026  . 2 3 4 2025 2026
Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa. 4
Document Outline

• 8.Đề Toán 11-2025
• 8.HDC Toán 11- 2025