TOÁN KINH TẾ
(Giá trị hiện tại và tương lai của dòng tiền)
Problem 1. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều 5000 USD được gửi vào một tài khoản tại thời
điểm cuối mỗi năm, trong thời gian 10 năm, nếu nó kiếm được 9% lãi gộp hàng năm.
Problem 2. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều cuối kỳ 8000 USD được trả hàng quý trong 3
năm, nếu lãi suất gộp 8% theo quý.
Problem 3. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều cuối kỳ $3000 trả hàng quý trong 5 năm, nếu
lãi suất 6% gộp theo quý.
Problem 4. Weidmans muốn có khoản tiết kiệm 40.000 USD trong 2 năm để thanh toán tiền cho một
ngôi nhà. Nếu cuối mỗi tháng họ gửi vào tài khoản một lượng tiền cố định, với lãi suất 12% gộp hàng
tháng, hỏi số tiền họ phải gửi hàng tháng là bao nhiêu để đạt được mục tiêu của họ?
Problem 5. Một quỹ (để thanh toán nợ) được thành lập để xử lý một khoản nợ 80.000 USD trong 10
năm. Nếu tiền gửi được thực hiện vào cuối mỗi kỳ hạn 6 tháng, và lãi suất được trả 8% gộp nửa năm
một lần, hỏi số tiền gửi mỗi tháng là bao nhiêu?
Problem 6. Nếu 2500 USD được gửi vào cuối mỗi quý trong một tài khoản với lãi suất 5% gộp hàng
quý, sau bao nhiêu quý tài khoản tăng lên 80.000 USD?
Problem 7. Nếu $4000 được gửi vào cuối mỗi nửa năm trong một tài khoản với lãi suất 6,2% gộp 6
tháng một lần, hỏi sau bao lâu tài khoản đó có 120.000 USD? Problem 8.
1. Patty Stacey gửi $2000 vào cuối mỗi năm trong 5 năm ở tài khoản IRA. Nếu cô ấy
để lại số tiền tích lũy đó trong tài khoản IRA thêm 25 năm nữa, thì số tiền trong tài khoản của cô
ấy vào cuối năm 30 là bao nhiêu? Giả sử lãi suất là 9% gộp hàng năm.
2. Giả sử rằng chồng của Patty trì hoãn việc bắt đầu một tài khoản IRA trong 10 năm đầu tiên, nhưng
sau đó anh ý gửi $2000 vào tài khoản tại cuối mỗi năm trong 15 năm. Nếu anh ta để tiền trong tài
khoản của mình trong 5 năm nữa, hỏi anh ta sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản ở cuối năm 30,
biết lãi suất là 9% gộp hàng năm?
3. Patty hay chồng cô ấy có nhiều tiền IRA hơn?
Problem 9. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều được gửi vào đầu mỗi quý $100 trong thời gian
2 1 năm, với mức lãi suất 12% gộp hàng quý. 2
Problem 10. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều đầu kỳ trị giá 1500 USD được gửi mỗi tháng
trong thời gian 3 năm, nếu lãi suất gộp 12% hàng tháng.
Problem 11. Tìm giá trị tương lai của một dòng tiền đều đầu kỳ $2000 được gửi vào đầu mỗi 6 tháng
trong thời gian 8 năm, nếu lãi suất 6% gộp nửa năm một lần.
Problem 12. Một ngôi nhà được cho thuê với giá 7200 đô la mỗi quý, với tiền thuê của mỗi quý phải
trả trước. Nếu tiền được tính lãi là 8% gộp hàng quý và tiền thuê được gửi vào một tài khoản, thì giá trị
tương lai của tiền thuê là bao nhiêu trong tài khoản trong thời gian một năm?
Problem 13. Tìm số tiền phải gửi vào đầu mỗi năm trong một tài khoản trả lãi 8% gộp hàng năm để
tài khoản có $24,000 vào cuối năm thứ 5?
Problem 14. Bao nhiêu tiền cần phải gửi vào đầu mỗi 6 tháng trong một tài khoản trả lãi 7,8% gộp
nửa năm để tài khoản có giá trị trong tương lai là 120.000 USD vào cuối năm thứ 15?
Problem 15. Một công ty muốn có 800.000 USD để cải tạo văn phòng của họ. Nếu công ty có thể gửi
$40.000 vào đầu mỗi quý vào một tài khoản với lãi suất 5,2% gộp hàng quý. Trong bao lâu trước khi công
ty đạt được mục tiêu đề ra?
Problem 16. Seana muốn tiết kiệm 20.000 đô la để mua một chiếc xe hơi mới. Cô ấy có thể đóng góp
400 đô la vào đầu mỗi tháng trong một tài khoản kiếm trả lãi 4,8% gộp hàng tháng. Hỏi trong bao lâu để
cô ấy đạt được mục tiêu của mình?
Problem 17. Cha mẹ đồng ý đầu tư $500 (lãi gộp 10% nửa năm một lần) cho con trai của họ vào ngày
31 tháng 12 hoặc ngày 30 tháng 6 sau mỗi học kỳ mà anh ấy phải đóng trong suốt 4 năm học đại học.
Nếu anh ấy lập một danh sách gồm 8 kỳ học, hỏi bao nhiêu tiền bố mẹ anh ấy sẽ phải cho anh ấy khi anh ấy tốt nghiệp? TS. Đặng Văn Hiếu 1
Problem 18. Jake Werkheiser quyết định đầu tư $2000 vào IRA tại cuối mỗi năm trong 10 năm tiếp
theo. Nếu anh ấy thực hiện các khoản đầu tư này và nếu các chứng chỉ ngân hàng xác nhận trả lãi gộp
12% hàng năm, thì anh ta sẽ có bao nhiêu vào cuối năm thứ 10?
Problem 19. Phải đầu tư bao nhiêu tiền vào đầu mỗi năm ở mức lãi suất 10% gộp hàng năm để trả
khoản nợ một khoản tiền 50.000 đô la trong 8 năm?
Problem 20. Nếu $1000 được gửi vào đầu mỗi quý vào một tài khoản kiếm được 8% gộp hàng quý, trong
bao lâu tài khoản có $31,000.
Problem 21. Giả sử công việc đầu tiên của một sinh viên tốt nghiệp đại học gần đây cho phép cô ấy gửi
100 đô la vào cuối mỗi tháng trong một khoản tiết kiệm trả lãi 9% gộp hàng tháng. Kế hoạch tiết kiệm
này được thực hiện trong 8 năm trước khi có nhiệm vụ mới và làm cho việc gửi tiền không thể tiếp tục.
Nếu số tiền tích lũy vẫn nằm trong kế hoạch trong 15 năm tới mà không gửi hoặc rút tiền. Hỏi bao nhiêu
tiền sẽ vào tài khoản sau 23 năm đó?
Problem 22. Giả sử một đôi bạn trẻ gửi $1000 tại cuối mỗi quý trong một tài khoản trả lãi 7,6% gộp
hàng quý trong thời gian 8 năm. Sau 8 năm, họ kết hôn và thấy rằng họ chỉ có thể đóng góp 200 đô la
mỗi quý. Nếu họ để lại tiền từ 8 năm đầu tiên trong tài khoản và tiếp tục đóng góp $200 vào cuối mỗi
quý cho kỳ tiếp theo 18 1 năm nữa. Họ sẽ có bao nhiêu trong tài khoản (để giúp đỡ với chi phí học đại 2 học của con họ)?
Problem 23. Một chủ doanh nghiệp nhỏ đóng góp $3000 mỗi quý vào tài khoản hưu trí kiếm được 8% gộp hàng quý.
(a) Sẽ mất bao lâu cho đến khi tài khoản có giá trị 150.000 đô la?
(b) Giả sử khi tài khoản đạt 150.000 đô la, chủ doanh nghiệp tăng đóng góp lên $5000 vào cuối mỗi
quý. Tổng giá trị của tài khoản là bao nhiêu sau 15 năm nữa?
Problem 24. Một giám đốc điều hành trẻ gửi $300 vào cuối mỗi tháng trong 8 năm và sau đó tăng tiền
gửi. Nếu tài khoản kiếm được 7,2% gộp hàng tháng. Bao nhiêu tiền được gửi sau 8 năm đầu để tài khoản
có tổng cộng $400.000 sau 25 năm?
Problem 25. Với giá trị hiện tại là $135,000, hãy tìm số tiền rút tiền có thể được thực hiện vào cuối
mỗi quý trong 10 năm tới nếu lãi suất được trả 6,4% gộp theo quý?
Problem 26. Nếu 88.000 đô la được đầu tư vào một dòng tiền đều trả lãi 5,8% gộp hàng quý. Khoản
tiền được rút là bao nhiêu vào cuối mỗi quý trong 5 1 năm tới? 2
Problem 27. Một tài khoản cá nhân (khi nghỉ hưu) chứa 242.400 đô la. Giả sử 200.000 đô la được sử
dụng để thiết lập một dòng tiền điều với lãi suất 6% gộp hàng quý và trả $4500 vào cuối mỗi quý. Trong
bao lâu số dư tài khoản là $0?
Problem 28. Một vận động viên chuyên nghiệp đã đầu tư 2,5 triệu đô la tiền thưởng vào một tài khoản
kiếm được 6,8% hai năm một lần. Nếu 120.000 đô la sẽ được rút vào cuối mỗi sáu tháng, sau bao lâu
nữa cho đến khi số dư tài khoản là 0 đô la?
Problem 29. Giải thích sự khác biệt giữa dòng tiền đều cuối kỳ và dòng tiền đều đầu kỳ.
Problem 30. Có bất kỳ sự khác biệt nào giữa các giá trị hiện tại trong phần (a) và (b)? Giải thích.
(a) Một dòng tiền đều đầu kỳ trả $1000 vào đầu mỗi năm trong 10 năm.
(b) Nhận $1000 bây giờ và thành lập một dòng tiền đều cuối kỳ trả $1000 vào cuối mỗi năm trong 9 năm.
Problem 31. Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền đều đầu kỳ trả $3000 vào đầu mỗi quý trong 7 năm
tới. Giả sử rằng tiền được trả với lãi suất 5,8% gộp hàng quý.
Problem 32. Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền đều đầu kỳ trả $25,000 mỗi 6 tháng trong 2 1 năm 2
tới nếu tiền có lãi suất 6,2% gộp nửa năm một lần.
Problem 33. Số tiền phải được bỏ ra bây giờ là bao nhiêu để tạo ra các khoản thanh toán trị giá 50.000
USD vào đầu mỗi năm trong 12 năm tiếp theo, nếu tiền có lãi suất 5,92% gộp hàng năm?
Problem 34. Giả sử một dòng tiền đều chi trả 15.000 USD vào đầu mỗi năm trong 7 năm tới. Bao
nhiêu tiền cần bỏ ra ban đầu cho dòng tiền này nếu lãi suất 7,3% gộp hàng năm?
Problem 35. Tiền thưởng cuối năm là 25.000 đô la sẽ tạo ra bao nhiêu tiền vào đầu mỗi tháng trong
năm tiếp theo, nếu nó được đầu tư ở mức lãi suất 6,48% gộp hàng tháng? TS. Đặng Văn Hiếu 2
Problem 36. Một cặp vợ chồng thừa kế 89.000 USD. Điều này có thể tạo ra bao nhiêu tiền vào đầu mỗi
tháng trong vòng 5 năm tới, nếu tiền có lãi suất 6,3% gộp hàng tháng?
Problem 37. Khoản thanh toán bảo hiểm trị giá 1,5 triệu đô được đầu tư trong 40 năm tới. Khoản tiền
này sẽ cung cấp vào cuối mỗi tháng là bao nhiêu nếu nó được đầu tư vào một dòng tiền đều với lãi suất 8,4% gộp hàng tháng?
Problem 38. Một thư viện địa phương nhận được tặng một gói tiền trị giá 100.000 USD từ một gia đình
nổi tiếng của địa phương. Số tiền này sẽ cung cấp vào đầu mỗi khoảng thời gian 3 tháng trong 2 1 năm 2
tiếp theo nếu lãi suất là 7,4% gộp hàng quý?
Problem 39. Giả sử một cá nhân đầu tư ban đầu 2500 đô la trong một tài khoản kiếm được 7,8% gộp
hàng tháng và đóng góp thêm $100 vào cuối mỗi tháng trong thời hạn 12 năm. Sau 12 năm, cá nhân này
muốn rút tiền vào cuối mỗi tháng trong 5 năm tiếp theo (vì vậy, rằng số dư tài khoản là $ 0).
(a) Số tiền trong tài khoản sau lần gửi cuối cùng là bao nhiêu?
(b) Số tiền đã gửi là bao nhiêu?
(c) Số tiền mỗi lần rút là bao nhiêu?
(d) Tổng số tiền được rút là bao nhiêu?
Problem 40. Giả sử Hoàng Anh gửi tiền thưởng $12.500 của mình vào một tài khoản với lãi suất 8%
gộp hàng quý và gửi thêm $500 vào cuối mỗi quý trong 22 1 năm tiếp theo cho đến khi ông nghỉ hưu. Khi 2
về hư, Hoàng Anh muốn rút tiền vào cuối mỗi quý trong 12 năm tới (khi nào số dư tài khoản sẽ là $0)
(a) Số tiền trong tài khoản sau lần gửi cuối cùng là bao nhiêu?
(b) Số tiền đã gửi là bao nhiêu?
(c) Số tiền mỗi lần rút là bao nhiêu?
(d) Tổng số tiền được rút là bao nhiêu?
Problem 41. Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền đều $2000 tại cuối mỗi quý trong 5 năm sau khi
được trả chậm 3 năm, nếu tiền có lãi suất 8% gộp hàng quý.
Problem 42. Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền đều $2000 vào cuối mỗi năm trong 8 năm sau khi
được hoãn lại 6 năm, nếu tiền có có lãi suất 7% gộp hàng năm.
Problem 43. Vào sinh nhật lần thứ 48 của mình, một người đàn ông muốn dành đủ một số tiền tiền để
cung cấp thu nhập $1500 vào cuối mỗi tháng từ sinh nhật thứ 60 đến sinh nhật thứ 65 của anh ấy. Nếu
ông kiếm được lãi suất 6% gộp hàng tháng, kế hoạch nghỉ hưu này đã khiến anh ta bỏ bao nhiêu tiền để
đầu tư vào sinh nhật lần thứ 48 của mình?
Problem 44. Khoản đóng học phí nửa năm một lần tại một trường đại học lớn dự kiến là $30.000 trong
4 năm và bắt đầu từ năm thứ 18 kể từ bây giờ. Trường đại học nên chấp nhận thanh toán một lần là bao
nhiêu bây giờ thay vì thanh toán học phí bắt đầu từ 18 năm kể từ bây giờ? Giả sử rằng tiền có lãi suất
7% gộp nửa năm một lần và học phí đó được trả vào cuối mỗi nửa năm trong 4 năm. Tài liệu
[1] Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, [2019], Mathematical Applications for the Management,
Life, and Social Sciences, 12th ed., Cengage Learning. TS. Đặng Văn Hiếu 3