Giải bài toán chứa căn – Nguyễn Tiến

Tài liệu gồm 89 trang được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Tiến tổng hợp kiến thức chuyên đề căn thức, giúp học sinh lớp 9 nắm được phương pháp giải các bài toán chứa căn, tài liệu không có các bài tập dạng nâng cao, phức tạp, phù hợp với các đối tượng học sinh học lớp 9. Mời bạn đọc đón xem.

154 77 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Môn: Toán 9

Thông tin:

89 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 1
MỤC LỤC
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN ...................................................................................... 4
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. ........................................................................................ 4
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI) ..................... 5
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ............................................... 7
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. .................................................................... 7
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. ....................................................................... 7
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” ......................... 10
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng… ........................ 12
I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. ............................................................................. 15
I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức ............................................................................. 17
I.6: Loại 6: Căn bậc ba. ..................................................................................................... 18
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) ....................................... 20
II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ......................................... 20

Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu
thức. ................................................................................................................................... 20

Loại 2: Phương trình dạng
( ) ( )f x g x
........................................................... 20

Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới dạng bình
phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) ...................................................... 21

Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng giống
nhau. .................................................................................................................................. 23

Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn không viết được
dưới dạng bình phương. .................................................................................................... 23

Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. ..................... 24

Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng
tích ..................................................................................................................................... 25

Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba ............................................................... 26
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ................................................ 28
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức ............................................................................... 28
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: .......................................................................... 29
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
........................................................................................................................................... 31
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ ................................................... 34
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 2
Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn,
bằng một giá trị cho trước) ............................................................................................... 34
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. ............................................... 34
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. ............................................................... 34
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ......................................................................... 37
2. PHẦN BÀI TẬP (Có hướng dẫn giải) .......................................................................... 40
99 BÀI TOÁN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) ......................................................... 44
PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI .......................................................................... 59
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. .................................................................. 59
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. ..................................................................... 59
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” ......................... 60
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng… ........................ 61
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ................................................ 64
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức ............................................................................... 64
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: .......................................................................... 66
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
..................................................................................................................................... 71
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ........................................................ 80
Tài liệu này tôi tổng hợp kiến thức các nguồn trên mạng và của các nhà giáo trong
các sách, mục đích sử dụng cho chính bản thân sử dụng trong quá trình dạy học học
sinh lớp 9, dùng làm tài liệu tham khảo, cho học sinh làm các đề bài và dạy kèm nên
khi tổng hợp còn nhiều thiếu xót về các dạng và cách giải. Rất mong sự thông cảm
của quý bạn độc giả.
Tài liệu không có các bài tập dạng nâng cao, phức tạp. Phù hợp với các đối tượng
học sinh học lớp 9 và học ôn thi vào 10 các trường công lập trên cả nước với các dạng
đề về căn bậc hai không khó.
Có bản word.
Nếu quý thầy cô nào có nhu cầu dùng nó để chế thành các dạng bài học để làm giáo
án vui lòng liên hệ SDT: 0986 915 960
Hoặc theo fb: https://www.facebook.com/hoa.toan.902266
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 3
KIẾN THỨC LÝ THUYẾT
1. KIẾN THỨC QUAN TRỌNG CẦN NHỚ.
a, Tính chất về phân số (phân thức:
)0,0(
.
.
BM
B
A
MB
MA
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
2
22
2A B A AB B
2
22
2A B A AB B
22
A B A B A B
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0,
a
= x  x
2
= a
2) Để
A
có nghĩa thì A ≥ 0
3)
AA
2
4)
BAAB .
( với A
0 và B
0 )
5)
B
A
B
A
( với A
0 và B > 0 )
6)
BABA
2
(với B
0 )
7)
BABA
2
( với A
0 và B
0
BABA
2
( với A < 0 và B
0 )
9)
B
AB
B
A
(với A, B
0 và
0B
)
10)
B
BA
B
A
(với B > 0 )
11)
2
()C C A B
AB
AB
(với A
0 và A
B
2
)
12)
()C C A B
AB
AB
(với A
0, B
0 và A
B )
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 4
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI.
I. LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
2. Ký hiệu:
a > 0:
a
: Căn bậc hai của số a
a
: Căn bậc hai âm của số a
a = 0:
00
3. Chú ý: Với a
0:
22
( a ) ( a ) a
4. Căn bậc hai số học:
Với a
0: số
a
được gọi là căn bậc hai số học của a
Phép khi phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số a không âm.
So sánh các căn bậc hai số học: Với a
0, b
0:
a b a b
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1.1 Điền vào ô trống trong bảng sau:
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
2
1.2 Tính:
a)
0,09
b)
16
c)
0,25. 0,16
d)
( 4).( 25)
e)
25
4
f)
0405
166
,
g)
490360 ,,
1.3 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai:
a)
5
b) 1,5 c) 0,1 d)
9
1.4 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a)
– 4 –6 1xx
b)
3– –5 – 4xx
c)
2
6 – 9xx
d)
2
5 8 – 4xx
e)
–1 1 2 1 x x x x
f)
2
20 101xx
(HD: Học sinh chứng minh biểu thức không âm)
1.5 Dùng kí hiệu viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy
tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân.
a) x
2
= 2 b) x
2
= 3 c) x
2
= 3,5 d) x
2
= 4,12
e) x
2
= 5 f) x
2
= 6 g) x
2
= 2,5 h) x
2
=
5
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 5
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI)
I. LÍ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai:
Nếu A là một biểu thức đại số thì
A
gọi là căn thức bậc hai của A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A
các định (có nghĩa) khi A
0
Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A(x) là một đa thức
A(x) luôn có nghĩa.
A( x )
B( x )
có nghĩa
B(x)
0
( ) ( )
:
( ) ( )
A x C x
B x D x
có nghĩa khi
( ) 0; ( ) 0; ( ) 0B x C x D x
( ) ( )
:
( ) ( )
A x C x
B x D x
có nghĩa khi
( ) 0; ( ) 0; ( ) 0; ( ) 0A x B x C x D x
A( x )
có nghĩa
A(x)
0
1
A( x )
có nghĩa
A(x) > 0
b) Với M > 0, ta có:
22
X M X M M X M
22
X M X M X M
hoặc
XM
2. Hằng đẳng thức
2
( A) A
Định lí: Với mọi số a, ta có:


2
a khi a 0
aa
a khi a 0
Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có:


2
A khi A 0
AA
A khi A 0
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x3
b)
x24
c)
x32
d)
x31
e)
x92
f)
x61
ĐS: a)
x 0
b)
x 2
c)
x
2
3
d)
x
1
3

e)
x
2
9
f)
x
1
6
Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
2
2
x
x
x
b)
x
x
x
2
2

c)
x
x
x
2
2
4

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 6
d)
x23
1
e)
x
4
23
f)
x
2
1
ĐS: a)
x 2
b)
x 2
c)
x 2
d)
x
3
2
e)
x
3
2

f)
x 1
Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x
2
1
b)
x
2
43
c)
xx
2
9 6 1
d)
xx
2
21
e)
x 5
f)
x
2
21
ĐS: a)
xR
b)
xR
c)
xR
d)
x 1
e)
x 5
f)không có
Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x
2
4
b)
x
2
16
c)
x
2
3
d)
xx
2
23
e)
xx( 2)
f)
xx
2
56
ĐS: a)
x 2
b)
x 4
c)
x 3
d)
x 1
hoặc
x 3
e)
x 2
hoặc
x 0
f)
x 2
hoặc
x 3
Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x 1
b)
x 13
c)
x4
d)
xx21
e)
xx
2
1
9 12 4
f)
xx
1
21
ĐS: a)
x 1
b)
x 2
hoặc
x 4
c)
x 4
d)
x 1
e)
x
3
2
f)
x 1
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 7
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ.
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.
1. Phương pháp:
A neáu A
AA
A neáu A
2
0
0


Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dễ dàng đặt thừa số chung.
Khai phương một tích:
A B A B A B. . ( 0, 0)
Nhân các căn bậc hai:
A B A B A B. . ( 0, 0)
Khai phương một thương:
AA
AB
B
B
( 0, 0)
Chia hai căn bậc hai:
AA
AB
B
B
( 0, 0)
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
A B A B
2
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì
A B A B
2

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
A B A B
2
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì
A B A B
2

2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1: Rút gọn
45 245 80M
Giải
2 2 2
45 245 80
3 .5 7 .5 4 .5
3 5 7 5 4 5 6 5
M
Bài tập 2: Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức:
2015 36 25A
Giải
Có
2017 36 25A
=
2017 6 – 5 2018
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức :
5 8 50 2 18A
Giải
5 8 50 2 18A
=
5.2 2 5 2 2.3 2 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 8
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức
3( 27 4 3)A 
Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau:
(2 3 5 27 4 12): 3A
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức :
27 2 12 75A
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: A=
12 27 48
Bài tập 05.. Rút gọn biểu thức:
2 3 3 27 300B
Bài tập 06 .Rút gọn các biểu thức sau:
(2 3 5 27 4 12): 3A
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau:
125 4 45 3 20 80A
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức:
3 2 4 18A 
Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau:
2 3 4 27 5 48A
Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau :
(3 50 5 18 3 8) 2M
Bài tập 11. Rút gọn biểu thức sau
2 9 25 5 4
Bài tập 12. Tính
2 32 5 27 4 8 3 75
Bài tập 13. Rút gọn biểu thức:
2 2 2
2 3.5 3. 3.2 3.3A
Bài tập 14. Tính:
2 5 3 45 500A
Bài tập 15. Rút gọn các biểu thức sau :
(3 50 5 18 3 8) 2M
Bài tập 16. Rút gọn các biểu thức sau:
3 12 27A
Bài tập 17. Rút gọn:
20 45 2 5B
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn)
Bài tập 1: Rút gọn
1. a)
64090 .,
b)
24
72 ).(
c)
360112 .,
d)
42
32 .
e)
8045.
f)
4875.
g)
4690 ,.
h)
41452 ,.,
2. a)
637.
b)
483052 ..,
c)
4640 ,.,
d)
51572 ,..,
e)
4010.
f)
455.
g)
1352.
h)
162.2
3. a)
22
1213
b)
22
817
c)
22
108117
d)
22
312313
e)
22
2386 ,,
f)
22
218821 ,,
g)
2562751095146
22
.,,
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 9
4. a)
169
9
b)
144
25
c)
16
9
1
d)
81
7
2
e)
00250,
f)
91663 ,.,
5. a)
18
2
b)
735
15
c)
500
12500
d)
53
5
32
6
.
e)
23
2300
f)
50
512
,
,
6. a)
010
9
4
5
16
9
1 ,..
b)
164
124165
22
c)
22
22
384457
76149
d)
40441211441 ,.,,.,
7. a)
3
35273122
b)
2
85032
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)
2
0,8 ( 0,125)
b)
6
( 2)
c)
2
32
d)
2
2 2 3
e)
2
11
2
2



f)
2
0,1 0,1
ĐS: a)
0,1
b) 8 c)
23
d)
3 2 2
e)
11
2
2
f)
0,1 0,1
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:
a)
22
3 2 2 3 2 2
b)
22
5 2 6 5 2 6
c)
22
2 3 1 3
d)
22
3 2 1 2
e)
22
5 2 5 2
f)
22
2 1 2 5
ĐS: a) 6 b)
46
c) 1 d) 4 e)
25
f)
2 2 4
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 10
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
1. Phương pháp:
A neáu A
AA
A neáu A
2
0
0


Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng các hằng đẳng thức:
2
22
2A AB B A B
2
22
2A AB B A B
22
A B A B A B
Với m, n > 0 thỏa mãn m + n = A và m . n = B
ta có:
2
)nm(n.m2nmB2A
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1. a) Rút gọn biểu thức sau:
6 2 5 6 2 5N
b) Rút gọn biểu thức:
2 3 2 3
22
A


Giải
22
) 6 2 5 6 2 5
5 2 5 1 5 2 5 1
( 5 1) ( 5 1)
| 5 1| | 5 1| 5 1 5 1 2
aN
22
2 3 2 3 4 2 3 4 2 3
)
2 2 4 4
1
( ( 3 1) ( 3 1) )
2
11
(| 3 1| | 3 1|) ( 3 1 3 1) 1
22
bA
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau :
(3 2 6) 6 3 3B
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau
( 5 1) 6 2 5B
Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức:
1
7 2 10 20 8
2
A
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 11
Bài tập 04. Tính
2
(2 3) 3B
Bài tập 05: Rút gọn biểu thức :
22
21 2 3 6 2 5 6 2 3 3 5B
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức :
(3 2 6) 6 3 3B
Bài tập 07. Tính giá trị của biểu thức:
4 2 3
13
P
và
4 2 3
62
B
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải)
Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
5 2 6 5 2 6
b)
7 2 10 7 2 10
c)
4 2 3 4 2 3
d)
24 8 5 9 4 5
e)
17 12 2 9 4 2
f)
6 4 2 22 12 2
g)
2 3 2 3
h)
21 12 3 3
ĐS: a)
22
b)
22
c)
23
d)
3 5 4
g)
2
h)
33
Tương tự:
2
4 2 3 3 1 3 1
23
22
2
Bài tập 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
5 3 29 12 5
b)
13 30 2 9 4 2
c)
3 2 5 2 6
d)
5 13 4 3 3 13 4 3
e)
1 3 13 4 3 1 3 13 4 3
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 12
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng…
1. Phương pháp:
Với A.B ≥ 0 và B
0 thì
A AB
B
B
+ Với B > 0 thì
A A B
B
B
Với A ≥ 0 và
AB
2
thì
C C A B
AB
AB
2
()
Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A
B thì
C C A B
AB
AB
()
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn..)
Rút gọn biểu thức sau
1 1 3 4 1
A= 2 200 :
2 2 2 5 8





Giải
2
2
1 1 3 4 1 1 2 3 4 1
2 200 : 2 10 .2 :
2 2 2 5 8 2 2 2 5 8
13
2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2
42
A



Bài tập 02. (PP quy đồng)
Rút gọn biểu thức
1 1 2 2 6
3 1 3 1 2
A

Giải
3 1 3 1 2(2 3) 2 3
2 3 3 2 3 2
31
( 3 1)( 3 1) 2
A

Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung)
Rút gọn biểu thức :
33
( 3 1)
23
P

Giải
3 3 3( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
( 3 1) ( 3 1) 1
22
2 3 2 3
P
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 13
Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung):
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:
1 8 10
2 1 2 5
A


Giải
1 8 10 2 1 2(2 5)
2 1 2 1
1
2 1 2 5 2 5
A
Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn):
Rút gọn biểu thức :
2 3 2 3
7 4 3 7 4 3
A



Giải.
2 3 2 3
7 4 3 7 4 3
A



22
22
2 3 2 3
(2 3) (2 3)
2 3 2 3
2 3 2 3
(2 3) (2 3)
( 3 2 2 3)(2 3 2 3)
83






3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức :
5
25
52
P 
Bài tập 02: Rút gọn biểu thức :
11
3 7 3 7
B 

Bài tập 03. Rút gọn biểu thức :
11
5 2 5 2
P 

Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau
11
3 2 3 2
B 

Bài tập 05. Tính:
21
. 18
3
22
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 14
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức :
2
28 54
76
B
Bài tập 07: Cho
3 1; 3 1AB
. Tính giá trị của biểu thức
22
; . ; ;
A
A B A B A B
B

Bài tập 08. Rút gọn biểu thức:
23
27
3 1 3
P
Bài tập 09. Rút gọn biểu thức :
2
28 54
76
B
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức sau:
5 5 5 3 5
5 2 5 1 3 5
A
Bài tập 11. Cho biểu thức :
2
6
(2 3) 75
23
M
. Rút gọn M.
Bài tập 12. Rút gọn biểu thức
1
7 4 3
23
A
Bài tập 13. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức:
7 4 3
( 5 2)( 5 2)
32
A
Bài tập 14. Thu gọn biểu thức
2 3 2 3
1 4 2 3 1 4 2 3
A


Bài tập 15. Rút gọn biểu thức sau:
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
A



Bài tập 16. Rút gọn biểu thức sau:
11
5 3 5 3
A 

1 2 2
2 3 6 3 3
C

4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải)
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
15 6
35 14
b)
10 15
8 12
c)
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
d)
2 3 6 8 16
234

ĐS: a)
3
7
b)
5
2
c)
32
12
d)
12
. Tách
16 4 4
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 15
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)
7 5 6 2 7 6 5
24
7 2 4 7


b)
2 2 5
6 2 6 2 6


c)
11
3 2 5 3 2 5
d)
6 2 5 1
:
1 3 5 5 2





e)
1 1 1 5 1
12
3 3 2 3 6
f)
2 3 3 13 48
62
ĐS: a)
32 7 20
9
b)
17 6
6
c)
30
6
d)
3
e)
3
2
f) 1
I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số.
1. Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau.
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 9
b/
2 3 2 3 6
c/
22
44
8
2 5 2 5


Giải:
a) Biến đổi vế trái ta có :
2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9VT VP
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
b) Biến đổi vế trái ta có :
2 2 3 2 3
2 3 2 3
2
VT
22
3 1 3 1
4 2 3 4 2 3
22

3 1 3 1
3 1 3 1 2 3
6
2 2 2
VP
.
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 16
c/
22
44
8
2 5 2 5


Biến đổi vế trái ta có :
22
22
22
4 4 2 2
2 5 2 5
2 5 2 5
VT


2 5 2 2 5 2
2 2 2 2
5 2 5 2
2 5 2 5
5 2 5 2



2 5 4 2 5 4
8
54
VP
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01: Chứng minh:
a)
13232 )()(
b)
8179179 .
c)
( 2014 2013)
.
( 2014 2013)
=1
d)
9622212322
2
)()(
Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên:
a)
16
66
23
2233
A
b)
116
63
12
26
4
16
15
B
c)
32
13
22323232
C
Bài tập 03: Chứng minh rằng:
a)
2
25549 )(
b)
25549
c)
2
747823 )(
d)
17 12 2 2 2 3
Bài tập 04: Chứng minh các đẳng thức sau:
1. a)
2 3 6 216 1
1,5
3
8 2 6




b)
14 7 15 5 1
:2
1 2 1 3 7 5





c)
63232
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 17
d)
2
2
44
8
(2 5)
(2 5)

e)
2
2
3
4
3
2
26
2
3
2
3
4
3
2
26
2
3
I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức
1. Phương pháp :Với a
0, b
0:
a b a b
Một số tính chất của bất đẳng thức:
1)
a b b a
2)

ab
ac
bc
3)
a b a c b c
(cộng 2 vế với c)
a c b a b c
(cộng 2 vế với – c)
a b a b 0
(cộng 2 vế với – b)
a b a b 0
(cộng 2 vế với – b)
4)
ab
a c b d
cd
5)
a b a.c b.c
(nếu c > 0: giữ nguyên chiều)
a b a.c b.c
(nếu c < 0: đổi chiều)
6)
a b 0
a.c b.d
c d 0



7)
n n *
a b 0 a b ( n )
11
a b 0
ab
2. Ví dụ minh họa
Bài tập 1: So sánh a)
12617
và
99
b)
1437
và 6–
15
Giải:
a)
17 26 1 16 25 1 10
và
2
10 100 99 10 99
Vậy
17 26 1 10 99 17 26 1 99
b) Ta có
37 6 1
và
1 14 15
37 6 14 15 37 14 6 15
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 18
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 1 và
2
b) 2 và
3
c) 6 và
41
d) 7 và
47
e) 2 và
12
f) 1 và
3
1
g) 2
31
và 10 h)
3
và 12 i) -5 và
29
j) 2
5
và
19
k)
3
và
2
l)
32
và
23
m) 2 +
6
và 5 n) 7 – 2
2
và 4 o)
15
+
8
và 7
Bài tập 02: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)
72
và 1 b)
85
và
76
Bài tập 03: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a) 9 và 6 + 2
2
b)
2
+
3
và 3
c) 16 và 9 + 4
5
d)
311
và 2
Bài tập 04: So sánh hai số sau (không dùng máy tính):
a)
33
và
12
b) 20 và
53
c)
54
3
1
và
150
5
1
d)
6
2
1
và
2
1
6
e)
2573
5
và
13
3
f)
2829vaø2930
g)
2012 2014
và
2 2013
h)
2014 2013
và
2013 2012
Bài tập 05: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a)
25
,
62
,
29
,
53
b)
36
,
33
,
47
,
142
Bài tập 06: Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
a)
ab
ab
2
b)
a b a b
c)
a b a b
1
2
d)
a b c ab bc ca
e)
a b a b
22

I.6: Loại 6: Căn bậc ba.
1. Phương pháp
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho
xa
3
.
Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
A B A B
33
A B A B
33
3
..
Với B
0 ta có:
AA
B
B
3
3
3
Áp dụng:
aa
3
3
;
aa
3
3
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 19
và các hằng đẳng thức:
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
3
3 2 2 3
3 3A B A A B AB B
Tính chất:
33
a b a b
3 3 3
ab a. b
Với b 0, ta có
3
3
3
aa
b
b
2. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01. Tính:
a)
3
512
;
3
729
;
3
064,0
;
3
216,0
;
3
008,0
.
b)
3
343
;
3
027,0
;
3
331,1
;
3
512,0
;
3
125
.
Bài tập 02. Thực hiện các phép tính sau:
a)
3
( 2 1)(3 2 2)
b)
3
(4 2 3)( 3 1)
c)
3 3 3
64 125 216
d)
33
33
4 1 4 1
e)
33
3 3 3
9 6 4 3 2
ĐS: a)
21
b)
31
c)
3
d)
3
12 2 2
e) 5.
Bài tập 03. Thực hiện các phép tính sau:
a)
A
33
2 5 2 5
b)
B
33
9 4 5 9 4 5
c)
C
3
(2 3). 26 15 3
d)
D
33
125 125
3 9 3 9
27 27
ĐS: a)
A 1
. Chú ý:
3
15
25
2




b)
B 3
. Chú ý:
3
35
9 4 5
2




c)
C 1
. Chú ý:
3
26 15 3 (2 3)
d)
D 1
. Đặt
a
3
125
39
27
,
b
3
125
39
27
a b ab
33
5
6,
3
.
Tính
D
3
.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 20
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN)
II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một
biểu thức.
Cách 1:
2
()
( ) ( )
()
f x a
f x a f x a
f x a

với
0;a Ra 
Cách 2:
22
( ) (x)f x a f a
với
0;a Ra 
với
0;a Ra 
Phương pháp: Để giải dạng phương trình này điều cơ bản là phải viết được biểu thức
dưới dấu căn ở dạng bình phương rồi sử đưa ra ngoài dấu căn để trở thành phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng phương pháp bình phương 2 vế của
phương trình.
Lưu ý: Nếu
0a
thì phương trình
2
Aa
vô nghiệm
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Giải phương trình
2
4( 1) 6x 
Giải:
2
2( 1) 6 4
4( 1) 6 2( 1) 6
2( 1) 6 2
xx
xx
xx



Vậy x = 4 hoặc x = -1 là nghiệm của phương trình
Bài 2: Giải phương trình
2
4 9 3xx
Giải:
2 2 2
0
4 9 3 4 9 9 4
4
x
x x x x x x
x
. Vậy
0; 4xx
là
nghiệm của phương trình.

Loại 2: Phương trình dạng
( ) ( )f x g x
Phương pháp giải
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g( ) 0
( ) ( )
fx
f x g x
f x g x
x
f x g x

Ví dụ minh họa:
Bài 3: Giải phương trình:
2
6 4 4 x x x
Giải:
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 21
Ta có:
2
22
4
44
6 4 4 0
0
6 4 4 5 0
5
x
xx
x x x x
x
x x x x x
x




Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới
dạng bình phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức )
( ) ( ) (1)f x g x
( hoặc dạng
()f x a
, lúc này
( ) a g x hang so
)
Cách giải 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
ĐK:
( ) 0fx
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có pt hệ quả:
2
,f x g x
giải tìm x= ?
Thế vào phương trình (1) xem có thảo mãn hay không.
Kết luận nghiệm của phương trình (1)
Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)
2
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x g x
gx
f x g x
Lưu ý: Khi
0gx
phương trình (1) vô nghiệm.
Ví dụ minh họa:
Bài 4: Giải phương trình:
4 1 8x 
Giải: (HD cách thường dùng)
Điều kiện
1
4 1 0
4
xx
2
2
63
4 1 8 4 1 64 4 1 64 4 63
4
x x x x x
Kết hợp với điều kiện đầu bài
1
4
x
ta được nghiệm của phương trình là x =
63
4
Bài 5:
) 2 4 2 b) 3 15 3 a x x
2
c) 2 1 1xx
Giải:
a) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)
ĐK:
02 24 xx
Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt:
22 44 84 xxx  
Thế
4x
vào pt đã cho thỏa mãn
Vậy pt có nghiệm
4x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 22
Cách 2: Vì 2
0
hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau:
2 4 2 2 4 4 4x x x
Vậy pt có nghiệm x=4.
b) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
ĐK:
3 15 0 5xx
PT(b)
Ta thấy
8x
thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào pt (b) không thỏa mãn
Vậy pt (b) vô nghiệm.
Cách 2: ( Chỉ cần để ý
30
) nên pt (b) vô nghiệm.
c) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
Ta có:
2
2 1 0, x Rx
Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt:
22
22
2
2 1 ( 1)
2 1 2 1
20
0
2
xx
x x x
xx
x
x

Thế
0x
và
2x 
vào pt đã cho chỉ có
0x
thỏa mãn
Vậy pt có nghiệm
0x
.
Cách 2: ( Sử dụng phương trình tương đương)
Ta có:
2
22
2
10
2 1 1
2 1 ( 1)
1
1
0
0
20
2
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
x




Vậy pt có nghiệm
0.x
Đôi lời: Nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải
thử lại nghiệm (tránh trường hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai), còn phương pháp giải
theo phương trình tương đương có phần ưu điểm là tiện lợi hơn, (không cần phải thử
lai nghiệm).nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải
thử lại
Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc thù của phương trình chứa căn mà ta có thể
chọn cách giải 1 hoặc 2 cho phù hợp.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 23
Vì vậy sau này chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài toán chứa căn thức thì ta mới cảm nhận
được sự sâu sắc trong mọi khía cạnh của bài toán lúc đó ta mới thấy rõ mỗi phương
pháp điều có những ý nghĩa đặc sắc riêng của nó.

Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng
giống nhau.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
a f x b f x c f x d a b c f x d f x
a b c

với
0;
dd
R
a b c a b c

Sau khi rút gọn đưa về giải phương trình Loại 3
( ) ( )f x g x
Ví dụ minh họa:
Bài 6: Giải phương trình:
3 2 5 8 7 18 28x x x
Giải: Điều kiện
0x
3 2 5 8 7 18 28x x x
3 2 5.2 2 7.3 2 28xxx
14 2 28
22
24
2
x
x
x
x




(Thỏa mãn điều kiện
0x
). Vậy pt có nghiệm là x=2.

Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn không viết
được dưới dạng bình phương.
( ) ( )f x g x k
hoặc
( ) ( ) ( )f x g x h x
Phương pháp:
Với điều kiện
( ) 0
( ) 0
fx
gx
hoặc
( ) 0
( ) 0
h( ) 0
fx
gx
x
Ta thường bình phương 2 vế đưa về Loại 3
( ) ( )f x g x
để giải.
Đối với các phương trình có dạng
( ) ( )f x g x k
cần biến đổi về dạng
( ) ( )f x g x k
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 24
( ) ( ) ( )f x g x h x
cần biến đổi về dạng
( ) ( ) ( )f x g x h x
(Lí do: Để đảm bảo 2 vế của phương trình đều dương rồi mới đem bình phương
Ví dụ minh họa:
Bài 7: Giải phương trình: a)
3 6 3 xx
b)
3 2 1xx
Hướng dẫn giải:
36
) 3 6 3
3 6 2 (3 )(6 ) 9
36
36
3 6 3
3
(3 )(6 ) 0 6
(3 )(6 ) 0
6
x
a x x
x x x x
x
x
xx
x
x x x
xx
x




Vậy phương trình có 2nghiệm là
3x 
và
6x
2
2
3 2 3 2
b) 3 2 1
3 1 2 3 1 (2 ) 2 2
32
02
32
02
0
1
1
20
2
2
2
xx
xx
x x x x x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx












Vậy phương trình có nghiệm là
1x

Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp: Sử dụng các phương pháp biến đổi đưa phương trình về dạng
( ) ( ) 0f x f x c
rồi đặt ẩn phụ
( ) ; 0f x t t
đưa về giải phương trình bậc hai
ẩn
t
.
Ví dụ minh họa:
Bài 8: Giải phương trình:
) 2x + 5 - 5 2 1 0 ax
b)
1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x
Hướng dẫn giải:
a) Ta biến đổi
2 5 5 2 1 0 (2 1) 5 2 1 4 0x x x x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 25
Đặt :
21tx
, (đk: t
0)
PT(a) trở thành pt: t
2
-5t+4=0
1
4
t
t
+ Với t=1
2 1 1 2 1 1 0x x x
+ Với t=4
15
2 1 4 2 1 16
2
x x x
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0; x=15/2
b) Đặt t=
14xx
(đk t
0)
2
5
( 1)(4 )
2
t
xx
PT(1) trở thành:
2
2
3
5
5 2 15 0
5 (l)
2
t
t
t t t
t

Với t=3
1 4 3 5 2 ( 1)(4 ) 9 ( 1)(4 ) 2x x x x x x
2
0
( 1)(4 ) 4 3 0
3
x
x x x x
x
Vậy pt có 2 nghiệm là
0x
và
3x

Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc
dạng tích
( ) 0
( ). ( ). ( ) ( ) 0
( ) 0
fx
f x g x h x g x
hx

2. Ví dụ minh họa:
Bài 9: Giải phương trình:
(2 8)(4 ) 2 (2 8) 0x x x
Giải: Ta có
(2 8)(4 ) 2 2 8) 0x x x
(2 8)(4 ) 2 2 8) 0 2 8 4 2 0
2 8 0
4
4 2 0 (VN)
x x x x x
x
x
x

Vậy pt có nghiệm
4x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 26

Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba
3 3 3
f(x) a; f(x) g(x) a
.
+ Ở căn bậc lẻ:
2k 1 2k 1
f(x); g(x)

có nghĩa với
x
nên không cần đặt điều kiện .
+ Ở luỹ thừa bậc lẻ:
ab
2 1 2 1
;
nn
ab

(n
N) nên không cần xét đến dấu của
hai vế.
Phương pháp: Lập phương hai vế theo công thức
3
3 2 2 3 3 3
a b a 3a b 3ab b a 3ab(a b) b
và biến đổi linh hoạt đưa về
dạng
.0AB
để giải toán
Ví dụ minh họa:
Bài 10: Giải phương trình :
3
3
x 1 7 x 2
(*)
+ Ở phương trình (*) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến
việc lập phương hai vế :
Giải:
Điều kiện xác định
xR
Lập phương hai vế
(*)
22
3
33
x 1 7 x 3 x 1 . 7 x 3 x 1. 7 x 8
3
3
3
x 1 7 x 3 (x 1)(7 x). x 1 7 x 8
(1)
thay
3
3
x 1 7 x 2
vào phương trình (*) ta được:
3
8 3 (x 1)(7 x).2 8 (x 1)(7 x) 0
(2)
Giải ra:
12
x 1;x 7
; thay lại vào phương trình (*) ta thấy nghiệm đúng, nên đó là
2 nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy (*) có nghiệm
12
x 1;x 7
.
Chú ý: Do từ (1) suy ra (2) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì
nó chỉ tương đương khi x thoả mãn :
3
3
x 1 7 x 2
. Vì vậy việc thay lại
nghiệm của (1) vào phương trình đã cho là cần thiết. Nếu không thử lại có thể sẽ có
nghiệm ngoại lai.
Bài tập tự luyện ( Không có hướng dẫn)
Bài tập 1: Giải phương trình:
a)
2
x9
= 2x + 1 b)
7x
4
c)
1x39x6x
2
d)
7x
2
e)
8x
2
f)
5x4x41
2
g)
9x
4
h)
2
(x 2) 2x 1
i)
2
x 6x 9 5
j)
2
4x 12x 9 x 3
k)
22
4x 4x 1 x 2x 1
l)
22
4x 12x 9 9x 24x 16
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 27
Bài tập 2: Giải phương trình:
1. a)
8x16
b)
5x4
c)
061x2x4
2
)(
d)
21x1x9 )(
e)
35x
f)
210x
g)
51x2
h)
12x54
2. a)
5xx4
2
b)
1x23x
2
)(
c)
6x3
d)
211x7 )(
3. a)
050x2 .
b)
08x2
Bài tập 3: Giải các phương trình:
a)
2
1x
3x2
và
2
1x
3x2
b)
3
1x
3x4
và
3
1x
3x4
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
1. a)
645x9
3
4
x5320x4
b)
1x6
9
1x
2
15
25x25
c)
45x45x9
3
1
20x4
d)
1x164x49x916x16
.
2. a)
1xx1
2
b)
2x4x4x
2
c)
x27x2
2
d)
2x3x4x
2
e)
0x24x
2
f)
1x24x4x
2
g)
1x)1x)(4x2(
h)
2x1x4x2
2
.
3. a)
x459x2
b)
1x1x2
c)
3x3x
d)
x3xx
2
e)
1x1x3x
2
f)
3x43x2
2
g)
3x6xx
2
h)
3x2x4x9
2
.
4. a)
54x4x
b)
21x2x1x2x
c)
12x67x2x42x
d)
225x232x5x232x
.
5. a)
7x3x5x3x
22
b)
4x5x28x5x5
22
c)
6x3x25x3x22
22
d)
33x3x29x3x2
22
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 28
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a)
5,1x
3
b)
9,05x
3
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a)
x15
3
1
11x15x15
3
5
b)
15
8
5x7
1x3
c)
3)1x2(
2
d)
3x48x2
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Lí thuyết:
Cho x
0, y
0. Ta có các công thức biến đổi sau:
1.
2
x ( x )
;
3
x x ( x )
2.
x x x( x 1)
3.
x y y x xy( x y )
4.
x y ( x y )( x y )
5.
2
x 2 xy y ( x y )
6.
33
x x y y ( x ) ( y ) ( x y )( x xy y )
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức
1. Ví dụ minh hoạ
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
2
11
( ).( )
1
1
a a a
Pa
a
a


(với a
0;a
1)
Giải:
Với a
0 a
1 ta có:
2
11
( ).( )
1
1
a a a
Pa
a
a


2
2
2
2
(1 )(1 ) 1
1 (1 )(1 )
1
(1 ) . 1
(1 )
a a a a
a
a a a
a
a









2. Bài tập (có hướng dẫn giải)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức
22
(a b) ( )ab
M
ab
với ab ≠ 0
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức
1 2 2 1 2B x x x
với 2 ≤ x < 3
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức:
2 1 2
( ):(1 )
1 1 1
x x x
A
x x x x x

với x ≥ 0, x ≠ 1
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 29
Bài tập 04: Cho biểu thức
11
1
1
x x x
A
x
x


(với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A.
Bài tập 05. Cho biểu thức:
2
(1 ) . 1 2D x x x
Bài tập 06: Rút gọn biểu thức
1 2 1
( )( )
1
11
x x x
Q
x
x x x x

( với x>0;x
1)
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng:
1. Ví dụ minh hoạ:
Bài 1. Rút gọn biểu thức :
11
B
11xx


Giải
2
(1 ) (1 ) 2
B
(1 )(1 ) 1
x x x
x x x

2. Bài tập (có hướng dẫn giải)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức:
4 2 5
1
11
x
B
x
xx

với x ≥ 0, x ≠ 1
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức:
21
1
11
xx
B
x
xx

với
0x
và
1x
Bài tập 03. Cho biểu thức G =
1
11
x x x
xx


. Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức:
22
11
xx
P
xx



điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức
24
( ):
2 2 2
xx
A
x x x

với x 0 và x 4
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức
1 1 2
B ( )
22
x
x x x


với x > 0 và x ≠ 4..
Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức:
1 1 1
( ):
1
11
a
P
a
aa


Bài tập 08: Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 2
B ( )
22
x
x x x


với x > 0 và x ≠ 4
Bài tập 09: Rút gọn biểu biểu thức
11
11
aa
A
aa



(với a
,0Ra
và a
1).
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 30
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức :
1 1 1
( ): (x 0;x 1)
1
B
x x x x

Bài tập 11. Rút gọn các biểu thức:
1 1 4
()
44
x
Q
x x x


Bài tập 12. Rút gọn các biểu thức:
11
(1 ).
1
x
Q
xx

với x > 0, x 1.
Bài tập 13. Rút gọn biểu thức:
11
( )( )
1
P x x x
xx
với x>0
Bài tập 14. Rút gọn
1 1 1 2
( ):( )
1 2 1
aa
P
a a a a

Với a>0;a
1;a
4
Bài tập 15. Rút gọn biểu thức:
3 4 12
( 0; 4)
4
22
B x x
x
xx

Bài tập 16. Rút gọn biểu thức
3 1 1
( 3).
1 1 2
xx
A
x x x
với x ≥ 0 và x ≠ 1
Bài tập 17. Rút gọn
4 8 4 1
:
4
22
x x x
P
x
x x x x

với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4
Bài tập 18. Rút gọn biểu thức
1 1 1 2
:
1 2 1
aa
P
a a a a








.
Bài tập 19. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 3
( ): ( 0; 4)
4
22
a
N a a
a
aa

Bài tập 20. Rút gọn biểu thức
2 3 5 7 2 3
( ): ( 0; 4)
2 2 1 2 3 2 5 10
xx
A x x
x x x x x x

.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 31
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy
đồng.
Ví dụ minh hoạ:
Bài 1.Rút gọn biểu thức
2 2 2
2
22
xx
P
x
xx

với x > 0, x 2
Giải:
Với điều kiện đã cho thì
2 2( 2) 2
1
2 ( 2 ) ( 2)( 2) 2 2
x x x
P
x x x x x x
2. Bài tập (có hướng dẫn giải)
Bài tập 01. Chứng minh rằng:
1
:
x y y x
xy
xy x y

; với x>0;y0 và x
y
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức:
a b b a a b
B
ab a b


với a,b, là số dương.
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức
5
33
15
a a a a
A
aa


với a ≥ 0, a ≠ 25
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức:
1 1 ,
11
a a a a
P
aa


với a ≥ 0; a ≠ 1
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức:
( 1)(1 )
11
a a a a
M
aa


với
0; 1aa
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức:
( 1)(1 )
11
a a a a
M
aa


với
0; 1aa
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi):
Bài tập 08. Cho biểu thức
2 1 1
( ):
4
22
P
x
xx


Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
Bài tập 09.Cho biểu thức
11
( ):
1
11
x
A
x
xx


Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
Bài tập 10. Cho biểu thức
14
4
2
P
x
x

. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu
thức P.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 32
Bài tập 11. Cho biểu thức
11
( )( 3)
9
3
x
Px
x
x
.Tìm điều kiện xác định và rút
gọn P
Bài tập 12. Cho biểu thức
1 2 4
( ).( 1 )
4
2
xx
Px
x
xx

(với x > 0 và x ≠ 4).
Chứng minh rằng
3Px
Bài tập 13. Chứng minh rằng với x 0 và x 1 thì
11
1
xx
x x x x


Bài tập 14. Rút gọn biểu thức:
2
1
x x x
A
x x x


Với x > 0; x ≠ 1.
Bài tập 15. Rút gọn biểu thức:
2
1
x x x
A
x x x


Với x > 0; x ≠ 1.
Bài tập 16. Cho biểu thức
2 1 1
( ).
2 2 1
xx
P
x x x x


với x > 0 và x khác 1
Chứng minh rằng
1x
P
x
Bài tập 17. Cho biểu thức
1 5 2
4
2
xx
Q
x
x


với x>0, x 4. Rút gọn biểu thức Q.
Bài tập 18. Với x > 0, cho biểu thức
1 2 1xx
B
x x x


. Rút gọn biểu thức B.
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức
33
) ( 3 1)
23
aP

1 1 2
)Q ( )(1 )
22
b
x x x

với x>0 và x khác 4
Bài tập 20. Rút gọn biểu thức
12 6
( 0 va x 36)
6 36 6
x
Bx
x x x

Bài tập 21. Rút gọn:
2
11
()
1 ( ) 1
x
C
x x x x

với x>0 và
1x
Bài tập 22. Rút gọn biểu thức
12
()
2 2 2
x
P
x x x x

với x > 0; x ≠ 4.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 33
Bài tập 23. Cho biểu thức
22
( ):
1
2 1 1
x x x
A
x
x x x


với x > 0 và x khác 1.
Bài tập 24. Cho biểu thức:
2 1 6 4
4
22
x x x x x
P
x
xx

với x
0; 4x
. Rút gọn
biểu thức P.
Bài tập 25. Cho biểu thức:
1 1 2( 2 1)
:
1
x x x x x x
A
x
x x x x






(với x > 0 và x ≠ 1)
Rút gọn biểu thức A
Bài tập 26. Cho biểu thức:
2
1 1 1
:( )
1
x
A
xx
xx

với x > 0;x
1. Rút gọn A.
Bài tập 27. Cho biểu thức
4 3 6 2
1
11
a
P
a
aa

(với a 0 và a 1). Rút gọn P
Bài tập 28. Thu gọn các biểu thức sau:
33
( ).
9
33
xx
A
x
xx


với
0; 9xx
22
21( 2 3 3 5) 6( 2 3 3 5) 15 15B
Bài tập 29. Rút gọn biểu thức:
1 2 1
1
x
A
x
x x x x

với x > 1, x ≠ 1.
Bài tập 30.Thu gọn các biểu thức sau:
1 10
( 0, 4)
4
22
x x x
A x x
x
xx


Bài tập 31. Cho
2 24
9
3
xx
B
x
x

với x ≥ 0, x ≠ 9. Chứng minh
8
3
x
B
x
Bài tập 32. Cho
2
1
1 3 5
( 0, 1)
1
14
a
a
P a a
a
a a a a a









. Rút gọn P
Bài tập 33. Rút gọn biểu thức P
21
:3
( 9) 3 3 3
xx
Px
x x x x x






với x > 0; x 9
Bài tập 34. Rút gọn biểu thức
1
( ):
2 2 4 4
a a a
B
a a a a a

với a>0;
a
4
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 34
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
Sau khi rút gọn bài toán chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài toán ý
phụ của bài toán chứa căn gồm:
Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ
hơn, bằng một giá trị cho trước)
Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đó
ta đi giải phương trình hoặc bất phương trình đó. (Xem Dạng 1 – Loại 1)
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước.
Thay giá trị cho trước của ẩn vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính.
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên.
* Hay dùng: Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một
biểu thức có tử là một số nguyên
Cho mẫu là ước của tử suy ra ẩn.
Các phương pháp cụ thể:
1. Tách phần nguyên:
B
k
C
B
A
Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó
B
A
nhận giá trị
nguyên
B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước k
i
của k và
giải các phương trình B = k
i
rồi tìm các giá trị nguyên của biến.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1x
5x2
nhận giá trị nguyên?
Giải: Ta có A =
1x
5x2
=
1x
3
2
.
Khi x
Z ta có x -1
Z, vậy A
Z
1x
3
nhận giá trị nguyên
x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3
2
4
0
2
31
31
11
11
x
x
x
x
x
x
x
x
(thoả mãn x
Z)
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 35
Vậy với x
2,4,0,2
thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
2. Khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc
nhỏ hơn bậc của B?
Khi đó ta viết
B
K
C
B
A
. Khi đó sử dụng tính chất chia hết của số nguyên để
giải. Khi giải xong bắt buộc phải có bước thử lại.
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1x2
1x
2
nhận giá trị nguyên
Giải : Giả sử tồn tại x
Z để (x -1)
(2x
2
+1)
)x()x( 121
22
)x()x( 12312
22
)x( 123
2
3112
2
,x
};;{x 101
Thử lại: với x = -1 thì biểu thức nhận giá trị -
Z
3
2
(loại )
với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1
Z
với x = 1 thì biểu thức nhận giá trị 0
Z
Vậy với x = 0 ; 1 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
3. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆
’
≥ 0)
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
1xx
1x3xx
A
2
34
nhận giá trị
nguyên.
Giải:
Ta có:
1xx
x2
1xA
2
2
Với x
Z ta có x
2
- 1
Z nên A
Z
1xx
x2
y
2
nhận giá trị nguyên.
Giả sử y
0
là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để
1xx
x2
y
2
0
phương trình: 2x = y
0
(x
2
+x+1) có nghiệm x.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 36
y
0
x
2
+ (y
0
- 2)x + y
0
= 0 (1) có nghiệm
+) Xét y
0
= 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) Xét y
0
0 phương trình có nghiệm
= (y
0
-2)
2
- 4y
0
0
- 2
y
0
3
2
(y
0
0)
Do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là - 2
y
0
3
2
Những giá trị nguyên của y có thể đạt được là y
{ -2 ; -1 ; 0 }
+) Với y = -2 ta có phương trình : 2x
2
+ 4x +2 = 0
x= -1
Z
+) Với y = -1 ta có phương trình : x
2
+3x+1 = 0
=9 - 4 = 5 không chính phương
phương trình có nghiệm x
Z (loại)
+) Với y = 0
x = 0
Z
Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.
4. Sử dụng miền giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tìm x để C =
1x
3x
( x
0) đạt giá trị nguyên
Giải:
Ta có C = 1 -
1x
4
nhận giá trị nguyên khi
1x
4
nhận giá trị nguyên. Mà x
0 nên
0 <
1x
4
4
. Vậy các giá trị nguyên có thể có của
1x
4
là 1, 2, 3, 4
*)
1x
4
=1
x =3 khi đó C=0 *)
1x
4
=2
x = 1 khi đó C = -1
*)
1x
4
=3
x =
3
1
khi đó C = -2 *)
1
4
x
= 4
x = 0 khi đó C = -3
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tương ứng của x là 3, 1,
3
1
, 0
(Lưu ý: Ở đây học sinh có thể nhầm là
1x
là ước của 4. Nhưng do
xR
nên
1x
có
thể ra là một số không nguyên, tức không phải là ước của 4. Thông thường ta phân
cách làm như sau: Cách sử dụng Ước khi đề bài có tìm
xZ
để
AZ
. Cách sử
dụng miền giá trị khi đề cho là tìm x để
AZ
)
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 37
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
-Hay dùng: Biến đổi biểu thức về dạng A
2
+ m hoặc – A
2
+ m
Các phương pháp cụ thể
1. Áp dụng hằng đẳng thức:
2
22
2 A AB B A B
để biến đổi biểu thức về
dạng:
*
2
A a f x a


suy ra minA = a khi f(x) = 0
*
2
B b f x b


suy ra maxB = b khi f(x) = 0
2. Áp dụng tính chất :
x y x y
để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
. 0xy
3. Áp dụng tính chất :
– x y x y
để tìm GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
4. Áp dụng bất đẳng thức:
baba
(a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
0b a b
0b
hoặc
ab
5. Áp dụng bất đẳng thức:
baba
(a , b ≥0 ) để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0
0a
hoặc
0b
6. Áp dụng bất đẳng thức CôSi:
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2
ab
(1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
+ Với a
1
, a
2
, a
3
, …., a
n
≥ 0 thì
1 2 3
.
n
a a a a
≥ n
n
n
aaaa .....
321
( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi
1 2 3
..
n
a a a a
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
- Nếu
. a b k
( không đổi) thì min (a +b) = 2
k
a = b
- Nếu
a b k
(không đổi ) thì max( a.b) =
4
2
k
a = b
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
- Nếu
1 2 3
. . .
n
a a a a k
(không đổi ) thì min(a
1
+ a
2
+ a
3
+ ….+ a
n
) = n
n
k
1 2 3
..
n
a a a a
- Nếu
1 2 3
.
n
a a a a k
(không đổi ) thì max(a
1
.a
2
.a
3
…. a
n
) =
n
n
k
1 2 3
..
n
a a a a
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 38
7. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆
’
≥ 0)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép
a
b
x
2
(
a
b
x
'
)
CÔNG THỨC NÂNG CAO THỰC HIỆN TRONG BIẾN ĐỔI CĂN THỨC:
22
2
0, 0,
22
A A B A A B
A B A B A B
1. Ví dụ minh hoạ
Bài tập 01: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nội
Cho hai biểu thức
4
1
x
A
x
và
3 1 2
2 3 3
x
B
x x x

với
0; 1xx
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9 ( loại bài toán 2)
b) Chứng minh
1
1
B
x
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
5
4
Ax
B

(loại bài toán 1)
Giải
a) Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có
9 4 3 4 7
3 1 2
91
A

.
b)
3 1 2
2 3 3
x
B
x x x

3 1 2
( 3)( 1) 3
3 1 2( 1)
( 3)( 1)
31
( 3)( 1) 1
x
x x x
xx
xx
x
x x x



c)
41
5 : 5
44
11
A x x x
B
xx

2
4( 4) 20 4 4 0 2 0 2 0 4x x x x x x x
x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì
5
4
Ax
B

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 39
Bài tập 02: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nam
a) Rút gọn biểu thức
11
2 8 6. 3
22
A
b) Cho biểu thức
32
9
33
aa
B
a
aa

với
0; 9aa
. Rút gọn B. Tìm các số
nguyên
a
để B nhận giá trị nguyên. (bài toán 3)
Giải:
a) Rút gọn
2
2
1 1 2 2 .2
2 8 6. 3 6.3 2 2 3 .2 3 2
2 2 2
2
A
b)
32
9
33
aa
B
a
aa

=
32
3 3 ( 3)( 3)
aa
a a a a

( 3) 3( 3) 2
( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)
3 3 9 2 11
9
3)( 3)
a a a a
a a a a a a
a a a a
a
aa



Để
11
11 ( 9) ( 9) (11)
9
B Z Z a a U
a
.
(11) 1;11; 1; 11U
Khi đó ta có bảng giá trị
9a
-11
-1
1
11
a
-2
8
10
20
Không thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Thoả mãn
Vậy
8;10;20a
thì
BZ
Bài tập 03: Đề thi Tuyển Sinh chuyên chung vào 10 năm 2018 – 2019 Thái Bình
Cho biểu thức :
41
1:
3 2 2 3 1
x
P
x x x x




(với
1
0, ; 1; 4
4
x x x x
)
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm
x
sao cho
2019P
. (loại bài toán 1)
c) Với
5x
, tìm giá trị nhỏ nhất của
10
TP
x

. (loại bài toán 4)
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 40
Giải:
a)
( 2)( 2)
1 .(2 1)( 1)
( 1)( 2)
xx
P x x
xx





21
(2 1)( 1)
1
x
P x x
x
41Px
b)
2019 4 1 2019Px
505x
c)
10 10 10 2 18
4 1 ( ) 1
55
xx
T P x
x x x
10 2 18 10 2 18
( ) 1 2 . .5 1
5 5 5 5
x x x
T
xx
=21 ( Do
5x
và côsi)
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 21 khi
5x
.
2. PHẦN BÀI TẬP (Có hướng dẫn giải)
Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16
Cho biểu thức
2
1
4
2
xx
B
x
x
(với x ≥ 0 và x ≠ 4).
Rút gọn B và tìm x để B = 1.
Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17.
Rút gọn: với
04x
Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15
Cho biểu thức
3 2 9 3 9
P : 1
9
2 3 6
x x x x
x
x x x x
(với
0; 4; 9x x x
)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị biểu thức P khi
4 2 3.( 3 1)
6 2 5 5
x


“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 41
Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16
Cho biểu thức
1 1 1
1
11

Q
a a a
(với
0a
và
1a
)
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị biểu thức Q khi
3 2 2a
Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14
Với x > 0, cho hai biểu thức
2 x
A
x
và
1 2 1xx
B
x x x


1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm x để
3
2
A
B
Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14
Cho biểu thức:
1 1 1 2
( ):( )
1 2 1
aa
P
a a a a

Với a>0;a
1;a
4
a) Rút gọn P
b) So sánh giá trị của P với số
1
3
Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14
Cho biểu thức
22
( ):
1
2 1 1
x x x
A
x
x x x


với x > 0 và x khác 1.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15
1) Tính giá trị của biểu thức
1
1
x
A
x
khi x=9
2) Cho biểu thức
2 1 1
( ).
2 2 1
xx
P
x x x x


với x > 0 và x khác 1
a) Chứng minh rằng
1x
P
x
b)Tìm các giá trị của x để
2 2 5Px
Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15
Cho biểu thức
11
( ):
1
11
x
A
x
xx


a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 0.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 42
Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15
Cho biểu thức A:
2 3 5 7 2 3
( ): ( 0; 4)
2 2 1 2 3 2 5 10
xx
A x x
x x x x x x

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 14-15
Cho biểu thức:
2
1 1 1
:( )
1
x
A
xx
xx

với x > 0;x
1
1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi
4 2 3x 
Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hoà năm 15-16
Cho biểu thức
1
x y y y y x
M
xy
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
b) Tính giá trị của M, biết rằng
2
(1 3) ; 3 8xy
Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16
Cho biểu thức
2
1 1 4 2
1 1 1
x
A
x x x
với x 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x khi A =
4
2015
Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16
Cho biểu thức:
2 1 6 4
4
22
x x x x x
P
x
xx

với x
0; 4x
Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị của P khi x =
9 4 5
Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17
Cho biểu thức
1 2 4
( ).( 1 )
4
2
xx
Px
x
xx

(với x > 0 và x ≠ 4).
1) Chứng minh rằng
3Px
2) Tìm các giá trị của x sao cho P = x + 3
Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 16-17
Cho biểu thức:
1 1 2( 2 1)
:
1
x x x x x x
A
x
x x x x






(với x > 0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 43
Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17
Cho biểu thức
11
: ( 0; 1)
1 2 1
x
P x x
x x x x x



1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm các giá trị của x để
1
2
P
.
Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hoá năm 14-15
Cho biểu thức:
3 16 7 1 3
2 3 3 1
x x x x
P
x x x x
(Với x > 0)
1.Rút gọn biểu thức P
2.Tính giá trị của biểu thức khi
2 2 3x 
Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16
Cho biểu thức:
11 2 1
2 1 2
x x x
A
x x x x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A
b) Tìm số chính phương x sao cho A có giá trị là số nguyên
Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10
Cho biểu thức
2
x 2 +3 x x
x x+1
P= +
1x
1x

a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P > 0
Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16
Cho biểu thức:
22
11
xx
P
xx



điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P khi
17 12 2x 
Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17
Cho hai biểu thức
7
8
A
x
và
2 24
9
3
xx
B
x
x

với x ≥ 0, x ≠ 9
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25
2) Chứng minh
8
3
x
B
x
3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 44
99 BÀI TOÁN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm)
1.1 Rút gọn biểu thức:
a)
15 12 1
A
5 2 2 3


b)
a 2 a 2 4
Ba
a 2 a 2 a









, với a > 0, a ≠ 4
TS lớp 10 TPHCM 06 - 07 ĐS :
A2
;
B8
1.2 Rút gọn biểu thức:
a)
A 2 4 6 2 5 10 2



b)
2
a 1 a 1 2
B1
a1
a 1 a 1









, với a > 0, a ≠ 1
TS lớp 10 chuyên TPHCM 06 - 07 ĐS :
A8
;
2( a 1)
B
a1
1.3 Rút gọn biểu thức:
a)
A 7 4 3 7 4 3
b)
x 1 x 1 x x 2x 4 x 8
B
x4
x 4 x 4 x





, với x > 0, x ≠ 4
TS lớp 10 TPHCM 08 - 09 ĐS :
A 2 3
;
B6
1.4 Cho biểu thức:
1 x x
P:
x x 1 x x






, với x > 0.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của P khi x = 4.
c) Tìm x để P =
13
3
.
TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09ĐS : a)
1
P x 1
x
; b) P = 7/2; c)
1
x ; x 9
9

1.5 a) Trục căn thức ở mẫu:
5
5
và
5
23
b) Rút gọn:
2
ab 2 b a
A
bb

, trong đó a 0, b > 0
TS lớp 10 Đà Nẵng 08 - 09 ĐS : a)
5; 10 5 3
b)
A2
1.6 Rút gọn biểu thức:
a)
3 3 4 3 4
A
2 3 1 5 2 3



“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 45
b)
x x 2x 28 x 4 x 8
B
x 3 x 4 x 1 4 x
, với
x 0,x 16
TS lớp 10 TPHCM 11 - 12 ĐS :
A6
;
B x 1
1.7 a) Thực hiện phép tính:
12 75 48 : 3
b) Trục căn thức ở mẫu:
15
15 5 3 1

TS lớp 10 An Giang 11 - 12 ĐS :
A1
;
31
B
2
1.8 a) Thực hiện phép tính:
A 3. 27 144 : 36
b) Rút gọn:
a 3 a a 1
B 2 1
a 3 a 1









, với
a 0,a 1
TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12 ĐS :
A7
;
B a 4
1.9 Thực hiện phép tính:
1
P 12 5 3
3
TS lớp 10 Bến Tre 11 - 12 ĐS :
20
P3
3
1.10 Rút gọn biểu thức:
a)
A 32 3 18 : 2
b)
15 12 6 2 6
B
5 2 3 2



TS lớp 10 Bình Thuận 11 - 12 ĐS :
A 13
;
B3
1.11 Tính:
2
M 15x 8x 15 16
, tại
x 15
TS lớp 10 Bình Dương 11 - 12 ĐS :
M 11
1.12 Cho biểu thức:
x 1 2 x x x
A
x 1 x 1


, với x 0.
a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị của x thì A < 1.
TS lớp 10 Cần Thơ 11 - 12ĐS : a)
x 0,x 1
; b)
A 2 x 1
; c)
0 x 1
1.13 a) Rút gọn biểu thức:
21
A
1 2 3 2 2


b) Cho:
1 1 1 2
B1
x1
x x 1 x 1

, với
x 0,x 1
i) Rút gọn biểu thức B. ii) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 3.
TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12 ĐS : a) A = 1 b) i)
2
B
x
ii)
9
x
4
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 46
1.14 a) Tính giá trị các biểu thức:
i)
A 25 16 9
ii)
B 3( 12 5) 5( 3 5)
b) Rút gọn biểu thức:
1 1 x 4
C
x 2 x 2 x




, với
x 0,x 4
TS lớp 10 Đồng Tháp 11 - 12 ĐS : a) C = 2
1.15 Cho biểu thức:
x 10 x 5
A
x 25
x 5 x 5

, với x 0 và x 25.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A khi x = 9.
c) Tìm x để A <
1
3
.
TS lớp 10 Hà Nội 11 - 12ĐS : a)
x5
A
x5
; b)
1
A
4

; c)
0 x 100
1.16 Rút gọn:
6 3 5 5 2
Q : .
2 1 5 1 5 3






TS lớp 10 Đà Nẵng 11 - 12 ĐS :
Q1
1.17 Cho
x 7 3 x
P
x 3 x x


, với x > 0 và x ≠ 9.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của biểu thức
1
Q P :
x3
với
2
x
10 3 11
.
TS lớp 10 Hà Nam 11 - 12 ĐS : a)
2
P
x( x 3)
b)
Q 11 3
1.18 Rút gọn các biểu thức:
a)
3
A 3 2 27 75 12
2



b)
8 2 12
B
31
TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12 ĐS : a)
12
b)
2
1.19 Rút gọn các biểu thức:
a)
2
A 3 2 3
b)
23
B 24
32

TS lớp 10 Thừa Thiên Huế 11 - 12 ĐS : a) 2 b) 6
1.20 Rút gọn các biểu thức: TS lớp 10 Hải Phòng 11 – 12
a)
3
A 3 2 27 75 12
2



b)
8 2 12
B
31
ĐS : a)
A 12
b)
B2
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 47
1.21 Rút gọn biểu thức:
1
A3
23

TS lớp 10 Khánh Hòa 11 - 12 ĐS :
A2
1.22 Cho
2
3
x 2 1 1
P (x 0,x 1)
1x
2(1 x) 2(1 x)

.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức
1
Q
(x 1)P
có giá trị nguyên.
TS lớp 10 Kon Tum 11 - 12ĐS : a)

2
1
P
1 x x
b)
x 0;x 2;x 4
1.23 a) Rút gọn biểu thức:
2
A 3 2 3
b) Trục căn ở mẫu số rồi rút gọn biểu thức :
23
B 24
32

TS lớp 10 Huế 11 - 12 ĐS : a)
A2
b)
B6
1.24 a) Tính giá trị của các biểu thức
2
A 25 9; B ( 5 1) 5
.
b) Cho
x y 2 xy
1
P : (x 0;y 0;x y)
x y x y


i) Rút gọn P.
ii) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011.
TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12ĐS : a)
A 8;B 1
b)
i )P x y ii)P 1
1.25 Cho
2
1 1 x 1
A:
x x x 1 ( x 1)




. TS lớp 10 Nghệ An 11 – 12
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để
1
A
3
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P A 9 x
.
ĐS : a)
x1
A
x
b)x = 9/4 c) GTLN P = 1 khi x = 1/97
1.26 Rút gọn các biểu thức sau:.
a)
A 2 8
b)
ab
B a b b a (a 0,b 0,a b)
ab b ab a





.
TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12 ĐS : a)
A 3 2
b) B = a – b
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 48
1.27 Rút gọn các biểu thức:
a)
A 12 75 48
b)
B (10 3 11)(3 11 10)
TS lớp 10 Kiên Giang 11 - 12 ĐS : a)
A3
b)
B1
1.28 Cho biểu thức:
x x 8
P 3(1 x) (x 0)
x 2 x 4

.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức
2P
Q
1P
nhận giá trị nguyên.
TS lớp 10 Ninh Thuận 11 - 12 ĐS : a)
A 1 2 x
b) x = 1
1.29 Rút gọn các biểu thức:
a)
A 3 2 2 3 2 2
b)
11
B
3 1 3 1


TS lớp 10 Phú Yên 11 - 12 ĐS : a)
A2
b)
B1
1.30 Rút gọn các biểu thức:
a)
A 2 5 3 45 500
b)
1 15 12
B
3 2 5 2


TS lớp 10 Quảng Nam 11 - 12 ĐS : a)
A5
b)
B2
1.31 a) Thực hiện phép tính:
A 2 9 3 16
.
b) Rút gọn biểu thức:
x 2x x
M (x 0,x 1)
x 1 x x

TS lớp 10 Quảng Ngãi 11 - 12 ĐS : a) A = 18 b)
M x 1
1.32 Rút gọn các biểu thức:
a)
2
A (1 2) 1
b)
11
B 5 3
2 3 2 3

TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12 ĐS : a)
A2
b)
B 3 3
1.33 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay).
a)
M 27 5 12 2 3
b)
1 1 a
N : (a 0,a 4)
a4
a 2 a 2




TS lớp 10 Quảng Trị 11 - 12 ĐS : a)
A 11 3
b) N = 2
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 49
1.34 Cho biểu thức:
3 1 x 3
A (x 0,x 1)
x1
x 1 x 1

.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi
x 3 2 2
.
TS lớp 10 Thái Bình 11 - 12 ĐS : a)
1
A
x1
b)
2
A
2
1.35 a) Đơn giản biểu thức:
2 3 6 8 4
A
234

.
b) Cho biểu thức:
11
Pa
a a 1 a a 1



, với a ≥ 1
i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0.
TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13 ĐS : a)
A 1 2
b)
P a 2 a 1
1.36 a) Thực hiện phép tính:
1
A2
21

.
b) Rút gọn:
1 2 a 3 a 2
B 1 (a 0,a 4)
a 2 a 2 a a 2








TS lớp 10 An Giang 12 - 13 ĐS : a) A = 1 b) B = 1
1.37 a) Tìm x để giá trị các biểu thức sau có nghĩa:
i)
3x 2
ii)
4
2x 1
b) Rút gọn biểu thức:
(2 3) 2 3
A
23

TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13 ĐS : a) x
2/3, x > ½ b) A = 1
1.38 a) Thực hiện phép tính:
A 4 2 3 7 4 3
.
b) Rút gọn:
2
5 a 3 3 a 1 a 2 a 8
B (a 0,a 4)
a4
a 2 a 2

TS lớp 10 Bình Định 12 - 13 ĐS : A = 3, B = 4 – a
1.39 Rút gọn biểu thức:
1
A 1 x x
x1



với x 0.
TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13 ĐS : A = x
1.40 Cho biểu thức:
23
A 50x 8x
54

.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của x khi A = 1.
TS lớp 10 Bình Dương 12 - 13 ĐS : a)
1
Ax
2
b) x = 2
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 50
1.41 a) Tính giá trị của các biểu thức sau:
i)
A 3 5 2 5
ii)
B 3 4 2 3
b) Rút gọn:
x x x x
M 1 1 (0 x 1)
1 x 1 x


TS lớp 10 Bình Phước 12 - 13ĐS : a)
A5
, B = –1, M = 1 – x
1.42 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay).
a)
P 50 6 8 32
.
b)
22
2
Q 8x (1 4x 4x )
2x 1
với x > 0 và
1
x
2
.
TS lớp 10 Bình Thuận 12 - 13 ĐS : a)
P 3 2
b)
Q 4x 2
1.43 Cho biểu thức:
2
1 1 a 1
K 2 :
aa
a 1 a








với a > 0 và a 1.
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tìm a để
K 2012
.
TS lớp 10 Cần Thơ 12 - 13 ĐS : a)
K 2 a
b) a = 503
1.44 Rút gọn các biểu thức:
a)
12 3
M
3
b)
3 2 2
N
21
TS lớp 10 Đồng Nai 12 - 13 ĐS :
M 3 2,N 2 1
1.45 Rút gọn các biểu thức:
a)
A 2 5 5 45 500
b)
8 2 12
B8
31

TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13 ĐS :
A 5, B 2
1.46 a) Cho biểu thức
x4
A
x2
. Tính giá trị của A khi x = 36.
b) Rút gọn:
x 4 x 16
B:
x 4 x 4 x 2





, với x 0 và x 16
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị
của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13ĐS : a)
5
A
4
b)
x2
B
x 16
c)
{14;15;17;18}
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 51
1.47 a) Tìm các số là căn bậc hai của 36.
b) Cho
A 3 2 5
,
B 3 2 5
. Tính A + B.
c) Rút gọn:
x 1 4 1
C:
x9
x 3 x 3


, với x 0 và x 9
TS lớp 10 Đồng Tháp 12 - 13 ĐS : c) C = 1
1.48 a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
5
A
61
.
b) Cho biểu thức:
2
4a a a 1
P
a
a 1 a a





, với a > 0 và a 1
i) Rút gọn biểu thức P.
ii) Với những giá trị nào của a thì P = 3.
TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13ĐS : a)
A 6 1
b) i)
2
4a 1
P
a
ii)
1
a
3
1.49 Cho biểu thức:
a a a a
A:
ba
a b a b a b 2 ab
với a và b là các số
dương khác nhau.
a) Rút gọn biểu thức
a b 2 ab
A
ba

.
b) Tính giá trị của A khi
a 7 4 3
và
b 7 4 3
.
TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13 ĐS : a) A = 0 b)
A 2 3 / 3
1.50 Tính giá trị của biểu thức
H ( 10 2) 3 5
.
TS lớp 10 Ninh Thuận 12 - 13 ĐS : H = 4
1.51 Rút gọn các biểu thức:
a)
N 12 2 3 18 2 8 : 2
b)
5 5 4
M
5 1 5 1


TS lớp 10 Hải Phòng 12 - 13 ĐS : N = 7; M = 1
1.52 Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức:
a)
1
x1
b)
x2
TS lớp 10 Hòa Bình 12 - 13
1.53 a) Tìm x, biết
3x 2 2(x 2)
.
b) Rút gọn biểu thức:
2
A (1 3) 3
TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13 ĐS : a)
x2
b)
A1
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 52
1.54 a) Đơn giản biểu thức:
2 3 6 8 4
A
234

.
b) Cho biểu thức:
11
Pa
a a 1 a a 1



, với a ≥ 1
i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0.
TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13 ĐS : a)
A 1 2
b)
P a 2 a 1
1.55 a) Đơn giản biểu thức:
A 3 2 11 3 2 11
.
b) Chứng minh rằng:
ab a b a 1 b a 1
a1
1a
, với a ≥ 0, a ≠ 1, b.
TS lớp 10 Kiên Giang 12 - 13 ĐS : a)
A 6 2
1.56 a) Tính:
A 18 2 2 32
.
b) Rút gọn:
37 20 3 37 20 3
TS lớp 10 Lâm Đồng 12 - 13 ĐS : a)
A2
b)
B 10
1.57 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A 28 63 2 7
.
b)
a a a a
B 1 1
a 1 a 1


, với a 0 và a 1.
TS lớp 10 Long An 12 - 13 ĐS : a) A =
37
b)
B 1 a
1.58 a) Tính giá trị của các biểu thức sau:
i)
2
A ( 3 1) 1
ii)
12 27
B
3
b) Cho biểu thức:
1 1 x 1
P 2 :
x 1 x 1 1 x x 1 1




i) Tìm x để P có nghĩa và rút gọn P.
ii) Tìm x để P là một số nguyên.
TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13
ĐS : a)
A 3; B 5
b)
P 2 / ( x 1 )
, P
Z khi x
{2; 5}
1.59 Cho
1 x 2 1
A:
x1
x x x 1 x 1







, với x > 0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng A – 2 > 0 với mọi x thỏa mãn x > 0 và x 1.
TS lớp 10 Nam Định 12 - 13ĐS : a) A =
x1
x
b)
2
( x 1)
A2
x

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 53
1.60 Cho
1 1 x 2
A
x 2 x 2 x




a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A > 1/2.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
7
BA
3
đạt giá trị nguyên.
TS lớp 10 Nghệ An 12 - 13ĐS : a) A =
2
x2
b) 0 < x < 4 c) x
{1/9; 64/9}
1.61 Cho
1 1 1 2
Q:
x1
x 1 x x x 1
, với x > 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với
x 7 4 3
.
TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13ĐS : a) Q =
( x 1) / x
b) Q =
33
1.62 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
1
A 2 18
2

b)
1 1 2
B
x1
x 1 x 1


, với x 0; x ≠ 1.
TS lớp 10 Quảng Ninh 12 - 13 ĐS : a)
A 3 2
b)
B 2 / ( x 1)
1.63 a) Tính giá trị biểu thức
1
A 9 4 5
52
.
b) Cho biểu thức:
2(x 4) x 8
B
x 3 x 4 x 1 x 4
, với x 0 ; x 16
i) Rút gọn biểu thức P.
ii) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
TS lớp 10 Thái Bình 12 - 13ĐS : a)
A4
b) i)
3x
B
x1
ii)
x {0;1/4;4}
1.64 a) Thực hiện phép tính:
A 4 9 16 25
b) Tìm x dương, biết:
x 1 3
TS lớp 10 An Giang 13 - 14 ĐS : a)
A2
b)
x2
1.65 Rút gọn:
8 32 18 1
A 6 5 14
9 25 49 2




TS lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 13 - 14 ĐS : A = 123/7
1.66 a) Thực hiện phép tính:
A 3. 27 144 : 36
b) Rút gọn biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x


, với
x 0, x 1
.
TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14 ĐS a) A = – 63 b)
B x 1
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 54
1.67 a) Với giá trị nào của x thì biểu thức:
x5
các định ?
b) Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2
A
2 1 2 1



TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14 ĐS : A = 2
1.68 Tính :
11
P 8 18
2
2
TS lớp 10 Bến Tre 13 - 14 ĐS :
P0
1.69 a) Rút gọn:
x x x 1
A:
x1
x 1 x x






, với 0 < x ≠ 1.
b) Tính giá trị của biểu thức:
2 8 12 5 27
B
18 48 30 162



TS lớp 10 Bình Định 13 - 14 ĐS : a)
A x 1
b)
B 6 / 2
1.70 a) Tính giá trị của biểu thức:
25
V
121
,
11
L
2 3 2 3


b) Cho
x 6 x 9 x 4
T
x 3 x 2


. Tìm x để T có nghĩa và rút gọn T.
TS lớp 10 Bình Phước 13 - 14ĐS : a) V = 5/11; L = 4 b) T = 1
1.71 a) Tìm x không âm biết:
x2
b) Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
P 1 1
2 1 2 1


.
TS lớp 10 Đà Nẵng 13 - 14 ĐS : a) x = 4 b) P = 1
1.72 a) Rút gọn biểu thức:
A 12 27 48
b) Chứng minh:
x y y x
1
: x y
xy x y

với x > 0, y > 0 và x ≠ y.
TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14 ĐS : a)
A3
1.73 Cho biểu thức sau:
22
2
( x 1) ( x 1) 8
M
x1
x x x

, với x > 0, x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá trị của x để M > 0.
TS lớp 10 Đăk Nông 13 - 14 ĐS : a)
M 4 / ( x 1)
b) x > 1
1.74 a) Cho hai biểu thức:
A x 3
và
B 9 4
i) Tính B. ii) Với giá trị nào của x thì A = B.
b) Chứng minh:
x x 1
x2
x 1 x 1 x








, với x > 0, x ≠ 1.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 55
TS lớp 10 Đồng Tháp 13 - 14 ĐS : a) i)
B1
ii)
x4
1.75 Rút gọn các biểu thức sau
a)
a a a 1
A
a1
a1


, với a ≥ 0, a ≠ 1.
b)
4 2 3 6 8
B
2 2 3

TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14 ĐS : a)
1
A
a1
b)
B 1 2
1.76 Cho biểu thức
a 1 a 1
A
a 1 a 1



, với a R, a ≥ ), a ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2.
TS lớp 10 Đồng Nai 13 - 14 ĐS : a)
4a
A
a1
b)
A 4 2
1.77 Với x > 0, cho hai biểu thức
2x
A
x
và
x 1 2 x 1
B
x x x


a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn B
c) Tìm x để
A3
B2
.
TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14ĐS : 36 km/ha)
5
A
4
b)
x2
B
x1
c)
0 x 4
1.78 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
P 12 27 2 48
b)
1 1 x 3
Q
x 3 x 3 x




, với x > 0, x ≠ 9.
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS : a)
P 7 3
b)
2
Q
x1
1.79 Rút gọn biểu thức:
x 2 x 3 x 1 1
A
x x 1 x x 1 x 1
, với x ≥ 0.
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS :
1
A
x1
1.80 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
M 3 50 5 18 3 8 2
b)
N 6 2 5 6 2 5
TS lớp 10 Hải Phòng 13 - 14 ĐS : a) M = 12 b) N = 2
1.81 a) Thực hiện phép tính:
11
2 3 2 3

.
b) Rút gọn biểu thức:
6 4 7 2 6
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 56
TS lớp 10 Lâm Đồng 13 - 14 ĐS : a) 4 b)
32
1.82 a) Tính giá trị của các biểu thức:
A 9 4
;
2
B ( 2 1) 2
b) Rút gọn:
2
1 1 x
C
x 1 ( x) x x 1



, với x > 0 và x ≠ 1.
TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14 ĐS : a)
A 5;B 1
b)
C 1 / ( x 1)
1.83 a) Thực hiện phép tính:
i)
3. 12
ii)
3 20 45 2 80
b) Cho:
1 1 a 1 a 2
P:
a 1 a a 2 a 1








, với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4.
i) Rút gọn P. ii) So sánh giá trị của P với số
1
3
.
TS lớp 10 Lào Cai 13 - 14ĐS : a) i) 6 ii)
5
b) i)
a2
P
3a
ii)
1
P
3
1.84 Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A 2 9 25 5 4
b)
x y y x
B x y
xy




, với x > 0, y > 0.
TS lớp 10 Long An 13 - 14 ĐS : a)A = 1 b) B = x – y
1.85 Cho biểu thức:
x 2 x 2 x
A:
x1
x 2 x 1 x 1






, với x > 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
TS lớp 10 Nam Định 13 - 14 ĐS : a)
A 2 / ( x 1)
b)
x 2; x 3
1.86 Cho biểu thức
2 1 1
P:
x4
x 2 x 2





TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
b) Tìm x để
2
P
3
. ĐS: a)
x 0,x 4
;
x
P
x2
b)
x 36
1.87 Cho biểu thức:
x 2 x 1 x x
P(x) 1
x 1 x 1





, với x ≥ 0, x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức P(x).
b) Xác định x để:
2
2x P(x) 0
TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14 ĐS: a)
P( x) x 1
b)
0 x 1 / 2
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 57
1.88 a) Tính
A 2 16 49
b) Rút gọn:
a a a a)
B 1 1
a 1 a 1


, với a ≥ 0 và a ≠ 1.
TS lớp 10 Phú Thọ 13 - 14 ĐS: a)
A1
b)
B 1 a
1.89 Cho biểu thức
1 1 1
A1
x
x 1 x 1







, với x > 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14 ĐS: a)
A 2/ x
b)
x4
1.90 a) Tính
A 3 16 5 36
b) Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì
x 1 x 1
x 1 x x x


.
TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14 ĐS: a)
A 42
1.91 a) Tính
50 25
A
36
b) Rút gọn biểu thức:
x x 2x
B
x 1 x x


, với x > 0 và x ≠ 1.
TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14 ĐS: a)
A 15/2
B)
b x 1
1.92 Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a)
2
A 2 2
21

b)
2
B 3 8 50 ( 2 1)
TS lớp 10 Thừa Thiên – Huế 13 - 14 ĐS: a) A = 2 b) B = 1
1.93 Rút gọn biểu thức:
3 4 21
A
7 2 3 7 7

TS lớp 10 Tiền Giang 13 - 14 ĐS:
A4
1.94 a) Tính giá trị của biểu thức


11
6 2 6 2
A
b) Rút gọn biểu thức
1 2 2 1 2B x x x
với
23x
TS lớp 10 Cà Mau 14 - 15 ĐS: a)
A 6 / 2
b) B = 2
1.95 Rút gọn:
10 2 3 1
( 0; 1)
3 4 4 1
x x x
A x x
x x x x

TS lớp 10 Hải Dương 14 - 15 ĐS:
A (7 3 x )/ ( x 4 )
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 58
1.96 a) Tính giá trị của biểu thức
x1
A
x1
khi x = 9
b) Cho biểu thức
x 2 1 x 1
P.
x 2 x x 2 x 1





với x > 0 và
x1
i) Chứng minh rằng
x1
P
x
ii) Tìm các giá trị của x để
2P 2 x 5
TS lớp 10 Hà Nội 14 - 15ĐS: a) A = 2 b) i) HS tự cm ii) x = 1/4
1.97 Cho biểu thức
11
:
1
11
x
A
x
xx






a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A< 0.
TS lớp 10 Nghệ An 14 - 15 ĐS: a) x ≥ 0 và x ≠ 1 b) 0 ≤ x < 1
1.98 Cho biểu thức:
4
2
1
2
1
a
a
aa
A
với a
0; a
4
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức
2
3
A
khi
7 4 3a 
TS lớp 10 Quảng Bình 14 - 15 ĐS: a)
A x / ( x 2)
b) A = 1
1.99 a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau:
A 22 7 2 30 7 11
b) Rút gọn biểu thức
x x 1 x 6 x 2
B : 1
x4
x 2 x 2 x 2
TS lớp 10 Thái Nguyên 14 - 15ĐS: a) A = 38 b)
B ( x 2) / ( x 2 )
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 59
PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ.
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.
Bài tập 01.
A 3( 27 4 3) 81 4 9 9 4.3 21
Bài tập 02.
(2 3 5 27 4 12): 3 (2 3 5.3 3 4.2 3): 3 5 3 : 3 5A
Bài tập 03.
27 2 27 75 3 3 4 3 5 3 6 3A
Bài tập 04.
12 27 48 2 3 3 3 4 3 3A
Bài tập 05.
22
2 3 3 27 300 2 3 3 3 .3 10 .3 2 3 3.3. 3 10 3 3B
Bài tập 06.
(2 3 5 27 4 12): 3 (2 3 5.3 3 4.2 3): 3 5 3 : 3 5A
Bài tập 07.
5 5 12 5 6 5 4 5 5 5A
Bài tập 08.
3 2 4 9.2A 
3 2 12 2
15 2
Bài tập 09.
2 3 4 27 5 48 2 3 12 3 20 3 10 3A
Bài tập 10.
(3 50 5 18 3 8) 2 (15 2 15 2 6 2) 2 6 2. 2 12M
Bài tập 11.
2 9 25 5 4
= 5+6-10 =1
Bài tập 12.
2 32 5 27 4 8 3 75
2 2 2 2
2 4 .2 5. 3 .3 4. 2 .2 3. 5 .3
8 2 15 3 8 2 15 3
= 0
Bài tập 13.
2 2 2
) 2 3.5 3 3.2 3.3 2.5. 3 3.2. 3 3 3
10 3 6 3 3 3 7 3
aA
Bài tập 14.
2 5 3 45 500 2 5 3.3 5 10 5 5A
Bài tập 15.
(3 50 5 18 3 8) 2 (15 2 15 2 6 2) 2 6 2. 2 12M
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 60
Bài tập 16.
22
3 2 .3 3 .3 3 2 3 3 3 2 3A
Bài tập 17.
22
2 .5 3 .5 2 5 2 5 3 5 2 5 5B
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
Bài tập 01.
(3 2 6) 6 3 3 (3 3) 12 6 3
(3 3)|3 3 | (3 3)(3 3) 9 3 6
B
Bài tập 02.
2
) ( 5 1) 6 2 5 ( 5 1) ( 5 1)
( 5 1)| 5 1|
( 5 1)( 5 1)
5 1 4
bB
Bài tập 03.
2
1
7 2 10 20 8
2
1
( 5 2) 2 5 .2 2
2
| 5 2 | 2 5 2 5 2 2 5 2( 5 2 0)
35
A
Do
Bài tập 04. Có B=
| 2 3 | 3 2 3 3 2(Do 2> 3)
Bài tập 05:
22
22
2
21
4 2 3 6 2 5 3 4 2 3 6 2 5 15 15
2
21
3 1 5 1 3 3 1 5 1 15 15
2
15
3 5 15 15 60
2
B
Bài tập 06.
(3 2 6) 6 3 3 (3 3) 12 6 3
(3 3) | 3 3 | (3 3)(3 3) 9 3 6
B
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 61
Bài tập 07.
2
31
31
4 2 3
1
1 3 1 3 1 3
P
22
3 2 3 1 3 1
4 2 3
62
2 3 1 2 3 1
31
3 1 1 2
2
2
2 3 1 2 3 1
B


I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng…
Bài tập 01.
5
25
52
P 
5 2 5( 5 2) 5 10 4 5
5 2 5 2
5 5 10 5( 5 2)
5
5 2 5 2




Bài tập 02:
2
2
1 1 6 6
3
97
3 7 3 7
37
B

Bài tập 03.
5 2 5 2 2 5P
Bài tập 04.
1 1 3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 2 3
B



Bài tập 05.
2 1 2 9.2 2( 2 1) 3 2
18
3 3 1 2 3
2 2 1 2
22
2 2 2 2 2
1

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 62
5 5 5 3 5
5 2 5 1 3 5
(5 5)( 5 2) 5( 5 1) 3 5(3 5)
( 5 2)( 5 2) ( 5 1)( 5 1) (3 5)(3 5)
5 5 9 5 15
3 5 5
44
5 5 9 5 15
3 5 5
4
3 5 5 5 2 5
5
A

Bài tập 06.
2
28 54
76
2( 7 6)
7.4 9.6
( 7 6)( 7 6)
2 7 2 6
2 7 3 6
76
2 7 2 6 2 7 3 6
56
B

Bài tập 07:
Ta có:
22
2
2 2 2 2
( 3 1) ( 3 1) 2 3
( 3 1)( 3 1) ( 3) 1 3 1 2
3 1 ( 3 1) 4 2 3
23
2
3 1 ( 3 1)( 3 1)
( ) 2 (2 3) 2.2 12 4 8
AB
AB
A
B
A B A B AB
Bài tập 08.
2 3 1 2 3 1
3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 3
31
3 1 3 1
P


Bài tập 09.
2
28 54
76
2( 7 6)
7.4 9.6
( 7 6)( 7 6)
2 7 2 6
2 7 3 6
76
2 7 2 6 2 7 3 6
56
B

Bài tập 10.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 63
22
2 3 2 3
)
1 4 2 3 1 4 2 3
2 3 2 3
1 3 2.1. 3 1 1 3 2.1. 3 1
2 3 2 3
1 ( 3 1) 1 ( 3 1)
2 3 2 3
1 3 1 1 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
(4 4 3 3) (3 4 3 3)
41
14
1
14
aA











Bài tập 11.
6
| 2 3 | 75
23
6(2 3) 2 3 5 3 14
M
Bài tập 12.
1
7 4 3
23
A
2
11
4 4 3 3 (2 3)
2 3 2 3
1 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3 4
1
2 3 (2 3)(2 3)


Bài tập 13. Bài tập 14.
Ta có
2
22
(2 3)
( 5) 2
32
23
5 4 1 ( 1) 2
32
A
Bài tập 15.
22
2
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3
2 3 1 5 2 3
A





22 11 3 26 13 3
11 13
2 3 2 3


22
4 2 3 4 2 3 1
3 1 3 1
22
2
11
3 1 3 1 .( 2) 2
22




“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 64
Bài tập 16.
11
5 3 5 3
A 

5 3 5 3
5 3 5 3

5 3 5 3 2 3
3
5 3 2
1 2 2
2 3 6 3 3
C

1 1 2
2 3 3
3 3 1
3 3 1 2 3 3 1 2 2 3
3 3 1 2 3

2 3 2
2 3 4
3 3 1 2 3 3 3 1 2 3

2. 3 3 1 2 3 3 1 3 3 1
3 3 3
1
3 3 1 3 3 3
3 3 1 3 1

II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức
Bài tập 01.
22
(a b) ( )ab
M
ab
( )(a b a ) 2 .2
4
a b a b b a b
ab ab
Bài tập 02.
1 2 2 1 2B x x x
với 2 ≤ x < 3
2
( 2 1) 1 2 | 2 1| 1 2
2 1 1 2 2
B x x x x
xx
(Vì 2 < x < 3 =>
2x
– 1 < 0)
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 65
Bài tập 03.
a)
2 1 2
( ):(1 )
1 1 1
x x x
A
x x x x x

với x ≥ 0, x ≠ 1
33
2 1 1 ( 2)
:
( ) 1 ( ) 1 1
2 1 1
.
( 1)( 1) 1 2
21
( 1)( 1)
1
( 1)( 1)
1
1
x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
xx
x
xx
x







Bài tập 04:
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
3
2
1 1 1
1
1
11
11
11
11
1
1
1
11
x x x
xx
Ax
xx
xx
x x x
x
xx
xx
A
xx







Bài tập 05.
22
( 1) . ( 1)
| 1|.( 1)
D x x
xx
- Nếu
1 0 1 ( 1)( 1) 1x x D x x x  
- Nếu
1 0 0 1 ( 1)( 1) 1x x D x x x 
Bài tập 06:
1 2 ( 1) 1
.
1
( 1)( 1) 1 (1 )
x x x x
Q
x
x x x x x
1 2 1
.( )
11
x
x
xx
x





1 1 1
.
1
x x x
x
xx








“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 66
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng:
Bài tập 01.
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
4 2 5
1
11
4( 1) 2( 1) 5
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
4( 1) 2( 1) ( 5)
( 1)( 1)
11
( 1)( 1) 1
x
B
x
xx
x x x
x x x x x x
x x x
xx
x
x x x



Vậy B =
1
1x
Bài tập 02.
2
21
1 ( 1)( 1) 1
( 1) 2 ( 1) 2 1
( 1)( 1) ( 1)( 1)
2 1 ( 1) 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1
xx
B
x x x x
x x x x x x x x
B
x x x x
x x x x
B
x x x x x


Bài tập 03.
Điều kiện
0x
và
1x
1 ( 1) ( 1)( 1)
( 1) 1
1 1 1 1
x x x x x x x
G x x
x x x x
Bài tập 04.
Có
(2 )( 1) (2 )( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 2) ( 2) 2
11
x x x x
P
x x x x
x x x x x
xx



“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 67
Bài tập 05. Với x 0 và x 4 ta có:
24
( ):
2 2 2
( 2) 2( 2) 2
( ).
4
( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 2 4 2
.
4
( 2)( 2)
1
2
2
4
xx
A
x x x
x x x x
x
x x x x
x x x x
x
xx
x
x
x



Bài tập 06.
1 1 2
()
22
( 2) ( 2) 2
.
( 2)( 2)
2 ( 2) 2
( 2)( 2) 2
( 0; 4)
x
B
x x x
x x x
x x x
xx
x x x x
xx





Bài tập 07.
ĐK:
0; 1aa
1 ( 1) 1
:
1
( 1)( 1)
21
.
11
2
1
a a a
a
aa
a
aa
a


Bài tập 08: với x > 0 và x ≠ 4.
1 1 2
()
22
( 2) ( 2) 2
.
( 2)( 2)
2 ( 2) 2
( 2)( 2) 2
x
B
x x x
x x x
x x x
xx
x x x x




“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 68
Bài tập 09:
22
1 1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 4
1 1 1
11
a a a a a a a a a
A
a a a
aa

Bài tập 10.
1 1 1 ( 1)
( ): .
1
1 ( 1)
1
.1
1
x x x x
B
x x x x x x
xx
xx

Bài tập 11.
4 4 4 2 4
..
( 4)( 4) ( 4)( 4)
2
4
x x x x x
Q
x x x x x x
x

Bài tập 12.
1 1 1 2 1 2
. . (0 1)
( 1) 1 1
x x x
Qx
x x x x x



Bài tập 13.
Với x > 0 có
11
( )( )
1
P x x x
xx
1
. ( 1)
( 1)
1
. .( 1)
( 1)
xx
xx
xx
x x x
xx


Bài tập 14.
1 1 1 2
( ):( )
1 2 1
1 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
:
( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
1 ( 2)( 1) 2
.
( 1) (a 4)
( 1) 3
aa
P
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a
a a a







“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 69
Bài tập 15.
3 4 12
( 0; 4)
4
22
B x x
x
xx

=
3( 2) 4( 2) 12
( 2)( 2)
xx
xx

=
7 14
( 2)( 2)
x
xx

=
7( 2) 7
( 2)( 2) 2
x
x x x
Bài tập 16.
3 1 1
( 3).
1 1 2
3 ( 1) ( 1) 3( 1)( 1) 1
.
( 1)( 1) 2
xx
A
x x x
x x x x x x
x x x
3 3 1 3 3 1
.
1
2
x x x x x
x
x
2( 2) 1
.
1
2
xx
x
x

2
1x
Bài tập 17.
Ta có:
4 8 4 1
:
4
22
4 .(2 ) 8 4 ( 2)
:
(2 )(2 ) ( 2)
x x x
P
x
x x x x
x x x x x
x x x x

4 8 2 2
:
(2 )(2 ) ( 2)
4 ( 2)
.
2 2 2
2
1
x x x
x x x x
x x x
xx
x
x

. Vậy
2
1
x
P
x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 70
Bài tập 18.
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
( 1) ( 1)( 1) ( 2)( 2)
:
( 1) ( 2)( 1)
1 ( 1) ( 4) 1 ( 2)( 1)
:.
3
( 1) ( 2)( 1) ( 1)
2
3
a a a a a a
P
a a a a
a a a a
a a a a a a
a
a

Bài tập 19. Ta có:
1 1 3
( ):
4
22
2 2 4
.
( 2)( 2) 3
24
.
4
3
2
3
a
N
a
aa
a a a
a a a
aa
a
a



Bài tập 20.
2 3 5 7 2 3
( ):
2 2 1 2 3 2 5 10
2(2 1) 3( 2) (5 7) 2 3
:
( 2)(2 1) 5 ( 2)
2 3 5 ( 2)
.
( 2)(2 1) 2 3
5
21
xx
A
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x
x


“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 71
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy
đồng.
Bài tập 01.
()
1
: .( )
x y y x xy x y
x y x y
xy x y xy

Bài tập 02
( ) ( )( )a b b a a b ab a b a b a b
B
ab a b ab a b

2B a b a b a
với a,b, là số dương.
Bài tập 03.
5
33
15
a a a a
A
aa


với a ≥ 0, a ≠ 25
( 1) ( 5)
33
15
(3 )(3 )
9
a a a a
aa
aa
a



Bài tập 04. Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có
2
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1
11
a a a a
P a a a a
aa


Bài tập 05.
( 1)(1 )
11
a a a a
M
aa


với
0; 1aa
( 1) ( 1)
( 1)(1 )
11
( 1)(1 )
1a
a a a a
aa
aa



Bài tập 06.
( 1)(1 )
11
a a a a
M
aa


( 1) ( 1)
( 1)(1 )
11
( 1)(1 )
1a
a a a a
aa
aa



“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 72
Bài tập 07.
2
1 . 1
12
a a a a
P
aa


với
0; 1aa
2
1 . 1
12
a a a a
P
aa


với
0; 1aa
( 1) ( 2)
(1 )(1 )
12
a a a a
aa


(1 )(1 )aa
22
1 ( ) 1aa
Bài tập 08.
ĐKXD:
00
4 0 4
xx
xx





2 1 1 2 2
( ): .( 2)
4
2 2 ( 2)( 2) 2
xx
Px
x
x x x x x

33
22
2
x
P
x

2 3 6 6 36( )x x x x TM 
Bài tập 09.
Điều kiện
0
1
x
x
1 1 1 1 1
:.
1
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1
x x x
A
x x x x x x
Bài tập 10.
ĐKXĐ : x 0 , x 4 (0,5 đ)
Rút gọn:
1 4 2 4 2
4
2 ( 2)( 2) ( 2)( 2)
1
2
xx
P
x
x x x x x
x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 73
Bài tập 11.
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9
13
( 3)
( 3)( 3) ( 3)( 3)
1 ( 3)
.( 3)
( 3)( 3)
4
3
xx
Px
x x x x
xx
x
xx
x






Bài tập 12.
1 2 4
( ).( 1 )
4
2
( 1)( 2) 2 ( 1) 4
.
44
34
.
4
( 3)
3
xx
Px
x
xx
x x x x x
xx
xx
x x x
x
x
xx
x
x




Bài tập 13.
1 1 1
1 1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)( 1) 1
( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x

Bài tập 14.
Ta có:
2
22
1 1 ( 1)
2 (x 2 1)
( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
1
1
x x x x x x
A
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x
x
x

Kết luận:
1Ax
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 74
Bài tập 15.
Ta có:
2
22
1 1 ( 1)
2 (x 2 1)
( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
1
1
x x x x x x
A
x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x
x
x

Bài tập 16.
2 1 ( 1)( 2) 1 1
( ). ( ).
( 2) 1 ( 2) 1
x x x x x x x
P
x x x x x x x
Bài tập 17.
Với
1 5 2
4
2
xx
Q
x
x


( 1)( 2) 5 2
4
x x x
x
3 2 5 2 2 ( 2)
44
( 2)( 2) 2
x x x x x x x x
xx
x x x

Bài tập 18.
( 1)( ) (2 1) 2 1 2
1
( ) 1 1
x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x
Bài tập 19:
Giải.
3 3 3( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
) ( 3 1) ( 3 1) 1
22
2 3 2 3
aP
1 1 2 2 2 2
)Q ( )(1 ) ( )( )
2 2 ( 2)( 2)
2 2 2
( )( )
( 2)( 2) 2
x x x
b
x x x x x x
xx
x x x x

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 75
Bài tập 20.
2
12 6 12 6
0,5
6 36 6 6( 6) ( 6)
( 12) 6.6 12 36
B= 0,5
6 ( 6) 6 ( 6)
( 6) 6
B= 0,5
6 ( 6) 6
xx
B
x x x x x x
x x x x
x x x x
xx
x x x



Bài tập 21.
1
()
( 1) ( 1) 1
xx
C
x x x x x

( 1) 1
( 1)( 1) 1
xx
C
x x x x

Bài tập 22.
12
()
2 2 2
2
()
( 2) ( 2) 2
21
.
( 2) 2 2
x
P
x x x x
xx
x x x x x
xx
x x x x



Bài tập 23.
2
22
2
2
22
( ):
1
2 1 1
2 2 1
.
( 1) ( 1)( 1)
( 2)( 1) ( 2)( 1) 1
.
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2 ( 2 2) 1
.
( 1) ( 1)
21
.
( 1) ( 1)
2
1
x x x
A
x
x x x
x x x
A
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x
xx
x x x
x














Vậy A=
2
1x
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 76
Bài tập 24.
2 1 6 4
2 2 ( 2)( 2)
( )( 2) (2 1)( 2) 6 4
( 2)( 2)
x x x x x
P
x x x x
x x x x x x x
xx

2 2 2 4 2 6 4
( 2)( 2)
x x x x x x x x x x
xx

22
( 2)( 2)
x x x x
xx

( 2) 2 ( 1)( 2)
( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x
x x x x

1
2
x
x
Vậy với x
0; 4x
thì P=
1
2
x
x
Bài tập 25.
2
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2( 1)
:
( 1) ( 1) ( 1)( 2)
1 1 2( 1)
:
1
21
.
2( 1)
1
1
x x x x x x x
A
x x x x x x
x x x x x
x x x
xx
xx
x
x









Bài tập 26.
2
1 1 1
:( )
1
11
:( )
( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1)
.
1
( 1)
1
x
A
xx
xx
x x x
x x x x x
xx
xx
x

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 77
4 3 6 2
1
11
4( 1) 3( 1) 6 2
1 1 ( 1)( 1)
4 4 3 3 6 2
( 1)( 1)
1
( 1)( 1)
1
1
a
P
a
aa
a a a
a a a a
a a a
aa
a
aa
a



Bài tập 27.
Bài tập 28.
Với x 0;x9
22
22
2
3 3 9 3
( ).
9
( 3)( 3)
1
3
21
( 4 2 3 6 2 5) 3( 4 2 3 6 2 5) 15 15
2
21
( 3 1 5 1) 3( 3 1 5 1) 15 15
2
15
( 3 5) 15 15 60
2
x x x x
A
x
xx
x
B

1 2 6
( ):(1 )(x 0)
3 3 3
1 2 6
( ):( )
3 3 ( 3)
1 ( 2)( 3) 6
:
3 ( 3)
( 1). 1
x
B
x x x x x x
xx
x x x x x
x x x
x x x
x
x
xx

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 78
2 2 2
2
22
( 2) ( 1)( 2) 10 2 8
2
44
(13 4 3)(7 4 3) 8 20 2 43 24 3
(2 3 1) (2 3) 8 20 2 (4 3 3)
(3 3 4) 8 20 2(4 3 3)
(3 3 4) 8 (3 3 1)
43 24 3 8(3 3 1) 35
x x x x x x
A
xx
B

Bài tập 29.
1 2 1
( 1) ( 1)( 1) ( 1)
1 2 ( 1)
( 1)( 1)
22
( 1)
2
x
A
x x x x x x
x x x x
x x x
x
xx
x

Bài tập 30.
Bài tập 31.
2 24 ( 3) 2 24
9
3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
3 2 24 3 8 24
( 3)( 3) ( 3)( 3)
( 3) 8( 3) ( 8)( 3) 8
( 3)( 3) ( 3)( 3) 3
x x x x x
B
x
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x

Bài tập 32.
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:
2
22
1 3 5 ( 2 1) 4
.
( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
4 4 2 1 4 ( 1)
..
( 1) ( 1) 4 ( 1) 4
1
a a a a a
P
a a a a a
a a a a
a a a a a
a





“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 79
Bài tập 33.
2 ( 3) ( 3) ( 3)( 3)
:
( 9) 3
99
:
( 3)( 3) 3
9 ( 3) 1
9 ( 3)( 3) 3
x x x x x x x x
P
x x x
x
x x x x
xx
x x x x



Bài tập 34.
1
( ):
2 2 4 4
a a a
B
a a a a a

với a>0;
a
4
2
22
( 2)
.
2 2 1
( 2) (1 ) ( 2)
. . ( 2)
2 1 2 1
a a a
a a a a
a a a a a a
aa
a a a a




“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 80
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16
2( 2) 4 3
44
x x x x x
B
xx


3
1 1 3 4 0 ( 1)( 4) 0 1(TM)
4
x
B x x x x x
x
Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17.
B= =
Để B = 12 x = (thỏa đk 0< x
Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15
a)
9 4 9
9 3 9
P:
9
23
x x x
xx
x
xx

33
42
:
2 3 3
xx
xx
x
x x x x


b)
2
2
3 1 3 1
3 1 3 1
2
1 5 5
1 5 5
x




Nên
22
P 2 1
2
Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16
Giải
a)
1 1 1 2 1
..
(1 )(1 ) (1 )(1 )
a a a a a
Q
a a a a a a

2
1 a
b)
2
3 2 2 2 1 2 1aa
Khi đó
2
2
1 2 1
Q

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 81
Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14
1) Với x = 64 ta có
2 64 2 8 5
84
64
A

2)
( 1)( ) (2 1) 2 1 2
1
( ) 1 1
x x x x x x x x x
B
x x x x x x x x
3) Với x > 0 ta có:
3 2 2 3 1 3
:
2 2 2
1
2 2 3 2 0 4 ( x>0)
A x x x
B
x x x
x x x x Do
Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14
a) Rút gọn
1 1 1 2
( ):( )
1 2 1
1 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
:
( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
1 ( 2)( 1) 2
.
( 1) (a 4)
( 1) 3
aa
P
a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a
a a a







b) So sánh giá trị của P với số
1
3
Xét hiệu:
2 1 2 2
0
3
3 3 3
1
3
a a a
a a a
P

Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14
2
22
2
2
22
( ):
1
2 1 1
2 2 1
.
( 1) ( 1)( 1)
( 2)( 1) ( 2)( 1) 1
.
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2 2 ( 2 2) 1
.
( 1) ( 1)
21
.
( 1) ( 1)
2
1
x x x
A
x
x x x
x x x
A
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x
xx
x x x
x














.
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 82
Vậy A=
2
1x
b) Với x > 0 và x
1 ta có: A=
2
1x
Chỉ ra khi A có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi x – 1 là ước của 2
Mà Ư{2} = {-2 ;-1 ;1 ;2}
TH1 : x – 1 = -2 x = -1 (không thỏa mãn điều kiện)
TH2 : x – 1 = -1 x = 0 (không thỏa mãn điều kiện)
TH3 : x – 1 = 1 x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)
TH4 : x – 1 = 2 x = 3 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 2, x = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15
Giải:
1. Với x = 9 ta có
31
2
31
A

2. a)
2 1 ( 1)( 2) 1 1
( ). ( ).
( 2) 1 ( 2) 1
x x x x x x x
P
x x x x x x x
b)Từ câu 2a ta có
22
2 2 5 2 5
2 2 2 5 va x>0
2x+3 2 0 va x>0
( 2)(2 1) 0 va x>0
2 1 0
1
4
x
P x x
x
x x x
x
xx
x
x

Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15
a). Điều kiện
0
1
x
x
1 1 1 1 1
:.
1
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1
x x x
A
x x x x x x
b). A<0 thì
1
0
1
10
1
1
x
x
x
x


Kết hợp ĐK: để A < 0 thì 0 ≤ x < 1
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 83
Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15
Giải:
1.Với x>0;x
4 , biểu thức có nghĩa ta có:
2 3 5 7 2 3
( ):
2 2 1 2 3 2 5 10
2(2 1) 3( 2) (5 7) 2 3
:
( 2)(2 1) 5 ( 2)
2 3 5 ( 2)
.
( 2)(2 1) 2 3
5
21
xx
A
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x
x


Vậy với x>0;x
4 thì A=
5
21
x
x
2.Ta có
0, 0; 4
5 5 5 5
22
2 2(2 1)
x x x
x
A
xx


5
0
2
A
, kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên thì A
{1;2}
11
1 5 2 1 ( )
39
2 5 4 2 2 4( )
A x x x x TM
A x x x x L
Vậy với
1
9
x
thì A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 14-15
Với với x > 0;x 1
2
1 1 1
:( )
1
11
:( )
( 1)( 1) ( 1)
1 ( 1)
.
1
( 1)
1
x
A
xx
xx
x x x
x x x x x
xx
xx
x

Với
22
4 2 3 ( 3 1) ( 3 1) 3 1
1 3 1
2
31
xx
A
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 84
Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hoà năm 15-16
a) ĐK: x0; y0
11
( ) ( ) ( )(1 )
11
x y y y y x x y y x x y
M
xy xy
xy x y x y x y xy
xy
xy xy



b) Với
2
(1 3) ; 3 8xy
=
2
3 2 2 ( 2 1)
22
(1 3) ( 2 1) 3 1 2 1 3 2M
Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16
a)
2
1 1 4 2
1 1 1
x
A
x x x
với x 1
2 2 2
1 1 4 2
1 1 1
x x x
x x x
1 1 4 2
( 1)( 1)
x x x
xx

4 4 4
( 1)(x 1) 1
x
xx

( với x 1)
4
1
A
x
với x 1
b)
4
A=
2015
44
1 2015
Khi
x

=>x-1=2015
x=2016(TMĐK)
Vậy khi
4
1
A
x
thì x = 2016
Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16
Giải
a) Với x
0; 4x
ta có:
2 1 6 4
2 2 ( 2)( 2)
( )( 2) (2 1)( 2) 6 4
( 2)( 2)
x x x x x
P
x x x x
x x x x x x x
xx

2 2 2 4 2 6 4
( 2)( 2)
x x x x x x x x x x
xx

“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 85
22
( 2)( 2)
x x x x
xx

( 2) 2 ( 1)( 2)
( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x
x x x x

1
2
x
x
Vậy với x
0; 4x
thì P=
1
2
x
x
b) Ta có:
2
9 4 5 (2 5)x
(thỏa mãn điều kiện xác định)
25x
Khi đó :
9 4 5 1 10 4 5
2 5 4
2 5 2 5
P

Vậy với
9 4 5x 
thì P=
2 5 4
Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17
1 2 4
( ).( 1 )
4
2
( 1)( 2) 2 ( 1) 4
.
44
34
.
4
( 3)
3
xx
Px
x
xx
x x x x x
xx
xx
x x x
x
x
xx
x
x




Vậy P=
3x
2. Với x > 0 và x ≠ 4 Ta có:
3 3 3
0
( 1) 0
1
0
P x x x
xx
xx
x
x




Đối chiếu với điều kiện ta được x = 1 thỏa mãn
Vậy x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 86
Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 16-17
Giải
1) Có
2
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2( 1)
:
( 1) ( 1) ( 1)( 2)
1 1 2( 1)
:
1
21
.
2( 1)
1
1
x x x x x x x
A
x x x x x x
x x x x x
x x x
xx
xx
x
x









2)
1 2 2
1
11
x
A
xx


Vì x nguyên nên ta có A nguyên
2
1x

nguyên
1x
là ước của 2
Mặt khác x > 0, x ≠ 1 nên
1x
>-1. Do đó:
1 1 2 4
()
9
1 2 3
x x x
TM
x
xx

 



Vậy x = 4 hoặc x = 9 thỏa mãn đề bài.
Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17
a) Rút gọn biểu thức:
11
: ( 0; 1)
1 2 1
x
P x x
x x x x x



2
2
1 ( 1)
.
( 1) ( 1)
1 ( 1)
.
( 1)
( 1)( 1)
1
xx
x x x x x
xx
x x x
xx
xx
x
x








b)Tìm các giá trị của x để
1
2
P
Với x > 0, x 1 thì
11
2( 1) 2
2
x
x x x
x
 
. Vậy với x > 2 thì
1
2
P
“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 87
Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hoá năm 14-15
1.1
3 16 7 1 3
2 3 3 1
3 4 7 1 3
( 3)( 1) 3 1
3 4 7 ( 1)( 1) ( 3)( 3)
( 3)( 1)
3 4 7 1 9
=
( 3)( 1)
4 3 ( 3)( 1) 1
=
( 3)( 1) ( 3)( 1) 1
x x x x
P
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
xx
x x x x
xx
x x x x x
x x x x x



1.2
2
2 2 3 ( 2 1)x
(thỏa mãn ĐKXĐ)
2 1 (0,5 )
1 2 1 1 2 2
P 1 2
2 2 1 1 2
xd
x
x


Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16
1)
11 2 1
2 1 2
x x x
A
x x x x

a) Để A có nghĩa, điều kiện là:
0
2 0 0
0
4
2 0 2
10
x
x x x
x
x
xx
x



Với điều kiện trên, ta có:
11 2 1
2 1 2
11 ( 2) (2 1)( 1)
( 1)( 2)
11 ( 2 ) (2 1)
( 1)( 2)
4 12 ( 2)( 6)
( 1)( 2) ( 1)( 2)
6
1
x x x
A
x x x x
x x x x x
xx
x x x x x
xx
x x x x
x x x x
x
x




“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 88
Vậy A =
6
1
x
x
với x ≥ 0 và x ≠ 4.
b) Ta có: A =
6
1
x
x
= 1 +
5
1x
Để A có giá trị là số nguyên thì
5
1x
là số nguyên
1x
là ước của 5 (*)
Mặt khác
11x 
nên (*) ⇔
1x
∈{1; 5}
– Nếu
1x
= 1 ⇒ x = 0 (tm)
– Nếu
1x
= 5 ⇒ x = 16 (tm)
Vậy các giá trị x cần tìm là x = 0 và x = 16.
Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10
P xác định
1 x 0
x1
1 x 0
x0
x0


b) Rút gọn P
2
x 2 +3 x x
x x+1 x x+1
x 4 +4 +3 x x
P= + = +
1x
1 x 1 x
1 x 1 x
x +4 4
P= +
1x
1 x 1 x
x
x





c) P > 0
4
0
1x
1
0
x
x
1 x 0
1 1 x 0
0

x
x
Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16
a) Có
(2 )( 1) (2 )( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 2) ( 2) 2
11
x x x x
P
x x x x
x x x x x
xx



“Giải bài toán chứa căn”
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950
Trang 89
b) Có
2
2
17 12 2 9 2.3.2 2 8 (3 2 2) 3 2 2 0, 1
3 2 2 2 2 2.1 1 ( 2 1) 2 1
2( 2 1) 2( 2 1)
1
3 2 2 1 2(1 2)
x x x
x
P



Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17
1) x = 25 nên ta có:
5x
Khi đó ta có:
77
5 8 13
A 
2)
2 24 ( 3) 2 24
9
3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)
3 2 24 3 8 24
( 3)( 3) ( 3)( 3)
( 3) 8( 3) ( 8)( 3) 8
( 3)( 3) ( 3)( 3) 3
x x x x x
B
x
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x

3) P = A.B nên ta có:
7 8 7
.
8 3 3
x
P
x x x

+) Ta có x 0 nên P > 0
+) x 0 =>
77
33
3
3
x
x

Nên :
7
0
3
P
Để P Z => P{1;2}
+) P = 1 <=> x = 16 (thỏa mãn điều kiện)
+) P = 2 <=> x =
1
4
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy x{
1
4
;16}
Biên tập và sưu tầm các nguồn tài liệu: Nguyễn Văn Tiến
Liên hệ: FB/Zalo 0986 915 960
Nguồn tài liệu: Tổng hợp Internet.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã chia sẻ tài liệu.
Chúc các em học sinh học tập tốt!
| 1/89
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

“Giải bài toán chứa căn” MỤC LỤC
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN ...................................................................................... 4
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. ........................................................................................ 4
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI) ..................... 5
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ............................................... 7
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. .................................................................... 7
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. ....................................................................... 7
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” ......................... 10
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng… ........................ 12
I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. ............................................................................. 15
I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức ............................................................................. 17
I.6: Loại 6: Căn bậc ba. ..................................................................................................... 18
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) ....................................... 20
II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ......................................... 20
 Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu
thức. ................................................................................................................................... 20
 Loại 2: Phương trình dạng f ( ) x g( )
x ........................................................... 20
 Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới dạng bình
phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) ...................................................... 21
 Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng giống
nhau. .................................................................................................................................. 23
 Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn không viết được
dưới dạng bình phương. .................................................................................................... 23
 Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. ..................... 24
Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng
tích ..................................................................................................................................... 25
 Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba ............................................................... 26
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ................................................ 28
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức ............................................................................... 28
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: .......................................................................... 29
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
 ........................................................................................................................................... 31
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ ................................................... 34
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 1
“Giải bài toán chứa căn”
Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn,
bằng một giá trị cho trước) ............................................................................................... 34
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. ............................................... 34
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. ............................................................... 34
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ......................................................................... 37
2. PHẦN BÀI TẬP (Có hướng dẫn giải) .......................................................................... 40
99 BÀI TOÁN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) ......................................................... 44
PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI .......................................................................... 59
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. .................................................................. 59
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. ..................................................................... 59
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” ......................... 60
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng… ........................ 61
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ................................................ 64
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức ............................................................................... 64
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: .......................................................................... 66
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
 ..................................................................................................................................... 71
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ........................................................ 80
Tài liệu này tôi tổng hợp kiến thức các nguồn trên mạng và của các nhà giáo trong
các sách, mục đích sử dụng cho chính bản thân sử dụng trong quá trình dạy học học
sinh lớp 9, dùng làm tài liệu tham khảo, cho học sinh làm các đề bài và dạy kèm nên
khi tổng hợp còn nhiều thiếu xót về các dạng và cách giải. Rất mong sự thông cảm
của quý bạn độc giả.
Tài liệu không có các bài tập dạng nâng cao, phức tạp. Phù hợp với các đối tượng
học sinh học lớp 9 và học ôn thi vào 10 các trường công lập trên cả nước với các dạng
đề về căn bậc hai không khó. Có bản word.
Nếu quý thầy cô nào có nhu cầu dùng nó để chế thành các dạng bài học để làm giáo
án vui lòng liên hệ SDT: 0986 915 960
Hoặc theo fb: https://www.facebook.com/hoa.toan.902266
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 2
“Giải bài toán chứa căn”
KIẾN THỨC LÝ THUYẾT
1. KIẾN THỨC QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. . A M A
a, Tính chất về phân số (phân thức:  (M  ,
0 B  0) . B M B
b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: AB2 2 2
A  2AB B AB2 2 2
A  2AB B 2 2
A B   AB AB AB3 3 2 2 3
A  3A B  3AB B AB3 3 2 2 3
A 3A B  3AB B 3 3
A B   A B 2 2
A AB B 3 3
A B   A B 2 2
A AB B
2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a A AB 9) 
(với A, B  0 và B  0 ) B B
2) Để A có nghĩa thì A ≥ 0 A A B 3) A2  A 10)  (với B > 0 ) B B 4) AB
A. B ( với A  0 và B  0 ) C C( A B) 11)  2 A A A B A B 5) 
( với A  0 và B > 0 ) B B (với A  0 và A  B2 )
6) A2 B A B (với B  0 ) C C( A B ) 12)  A B A B 7) A B A2 
B ( với A  0 và B  0
(với A  0, B  0 và A  B ) A B A2 
B ( với A < 0 và B  0 )
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 3
“Giải bài toán chứa căn”
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. I. LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.
2. Ký hiệu: a > 0:
a : Căn bậc hai của số a
a : Căn bậc hai âm của số a
a = 0: 0 0
3. Chú ý: Với a 0: 2   2 ( a ) (
a ) a
4. Căn bậc hai số học:
Với a 0: số a được gọi là căn bậc hai số học của a
Phép khi phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số a không âm.
So sánh các căn bậc hai số học: Với a 0, b 0: a b a b
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1.1 Điền vào ô trống trong bảng sau: x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x2 1.2 Tính: a) 0,09 b) 16  c) 0,25. 0,16 d) ( 4)  .( 25  ) 4 6 16 e) f) g) 0 36 ,  0,49 25 5 0,04
1.3 Trong các số sau, số nào có căn bậc hai: a) 5 b) 1,5 c)  0,1 d)  9
1.4 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có căn bậc hai:
a) x – 4x – 6 1
b) 3 – xx – 5 – 4 c) 2
x  6x – 9 d) 2 5
x  8x – 4 e) xx –  1 x  
1 x  21 f) 2
x  20x 101
(HD: Học sinh chứng minh biểu thức không âm) 1.5 Dùng kí hiệu
viết nghiệm của các phương trình đưới đây, sau đó dùng máy
tính để tính chính xác nghiệm với 3 chữ số thập phân. a) x2 = 2 b) x2 = 3 c) x2 = 3,5 d) x2 = 4,12 e) x2 = 5 f) x2 = 6 g) x2 = 2,5 h) x2 = 5
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 4
“Giải bài toán chứa căn”
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI) I. LÍ THUYẾT
1. Căn thức bậc hai:
Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A.
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A các định (có nghĩa) khi A 0
Chú ý:
a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức:
A(x) là một đa thức A(x) luôn có nghĩa. A( x )
có nghĩa B(x) 0 B( x )  ( A x) C(x) : có nghĩa khi ( B ) x  0; C( ) x  0; ( D ) x  0
B(x) D(x)  ( A x) C(x) : có nghĩa khi ( A ) x  0; ( B ) x  0; C( ) x  0; ( D ) x  0 B(x) D(x)  A( x ) có nghĩa A(x) 0 1 có nghĩa A(x) > 0 A( x )
b) Với M > 0, ta có: 2 2
X M X M  M X M 2 2
X M X M X  M hoặc X M
2. Hằng đẳng thức 2
( A ) A a khi a   0
Định lí: Với mọi số a, ta có: 2 a a  
a khi a 0
Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có: A khi A 0 2
A A  A khi A0
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a)  3x b) 4  2x c) 3  x  2 d) 3x 1 e) 9x  2 f) 6x 1
ĐS: a) x  0 b) x  2 c) x 2      3 d) x 1 3 e) x 2 9 f) x 1 6
Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: x x x a)  x  2 b)  x  2 c)  x  2 x  2 x  2 x2  4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 5
“Giải bài toán chứa căn” 1 4 2  d) e) f) 3  2x 2x  3 x 1
ĐS: a) x  2 b) x  2 c) x  2 d) x 3      2 e) x 3 2 f) x 1
Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 2 a) x2 1 b) x2 4  3
c) 9x  6x 1 2
d) x  2x 1 e)  x  5 f)  x2 2 1
ĐS: a) x R b) x R c) x R d) x  1 e) x  5 f)không có
Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) x2 4  b) x2 16 c) x2  3 2 2
d) x  2x  3 e) x(x  2)
f) x  5x  6
ĐS: a) x  2 b) x  4 c) x  3
d) x  1 hoặc x  3
e) x  2 hoặc x  0
f) x  2 hoặc x  3
Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) x 1 b) x 1 3 c) 4  x 1 1
d) x  2 x 1 e) f) 9 12x  4x2 x  2 x 1 ĐS: a) x  1
b) x  2 hoặc x  4 c) x  4 d) x  1 e) x 3   2 f) x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 6
“Giải bài toán chứa căn”
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ.
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. 2 A neáu A  0
1. Phương pháp: A A   A neáu A  0 Chú ý:
Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Dễ dàng đặt thừa số chung.
Khai phương một tích: A B
.  A. B (A  0,B  0)
Nhân các căn bậc hai:
A. B A B
. (A  0,B  0) A A
Khai phương một thương:
(A  0, B  0) B B A A
Chia hai căn bậc hai:
(A  0, B  0) B B 2 2
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B A B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B  A B 2 2
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B A B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B   A B
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1: Rút gọn M  45  245  80 Giải M  45  245  80 2 2 2  3 .5  7 .5  4 .5
 3 5  7 5  4 5  6 5
Bài tập 2: Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A  2015  36  25 Giải
Có A  2017  36  25 = 2017  6 – 5  2018
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức : A  5 8  50  2 18 Giải
A  5 8  50  2 18
= 5.2 2  5 2  2.3 2  10 2  5 2  6 2  (10  5  6) 2  9 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 7
“Giải bài toán chứa căn”
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức A  3( 27  4 3)
Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : A  27  2 12  75
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: A= 12  27  48
Bài tập 05.. Rút gọn biểu thức: B  2 3  3 27  300
Bài tập 06 .Rút gọn các biểu thức sau: A  (2 3  5 27  4 12) : 3
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau: A  125  4 45  3 20  80
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: A  3 2  4 18
Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau: A  2 3  4 27  5 48
Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau : M  (3 50  5 18  3 8) 2
Bài tập 11. Rút gọn biểu thức sau 2 9  25  5 4
Bài tập 12. Tính 2 32  5 27  4 8  3 75
Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: 2 2 2
A  2 3.5  3. 3.2  3.3
Bài tập 14. Tính: A  2 5  3 45  500
Bài tập 15. Rút gọn các biểu thức sau : M  (3 50  5 18  3 8) 2
Bài tập 16. Rút gọn các biểu thức sau: A  3  12  27
Bài tập 17. Rút gọn: B  20  45  2 5
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn)
Bài tập 1: Rút gọn 1. a) 0 4 2 ,09 64 . b) 2 2 .( 7  ) c) 12 1 , 360 . d) 4 2 .3 e) 45 80 . f) 75 48 . g) 90 6 . ,4 h) 2 5 , 14 . ,4 2. a) 7. 63 b) 2 5 , . 30. 48 c) 0,4. 6,4 d) 2,7. 5. 1 5 , e) 10. 40 f) 5. 45 g) 52. 13 h) 2. 162 3. a) 2 2 13 12 b) 2 2 17 8 c) 2 2 117 108 d) 2 2 313  312 e) 2 2 6 8 2 , 3 2 , f) 2 218 , 18 2 , g) 146 52 , 109 52 ,  27 256 .
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 8
“Giải bài toán chứa căn” 9 25 9 4. a) b) c) 1 169 144 16 7 d) 2 e) 0,0025 f) 3 6 , 16 . 9 81 , 2 15 12500 5. a) b) c) 18 735 500 5 6 2300 12,5 d) e) f) 3 5 2 3 . 23 0,5 9 4 1652 1242 6. a) 1 5 . 0 . ,01 b) 16 9 164 2 2 149  76 c) 1,44 1 . 21 , 1,44 0 2 2 d) . ,4 457  384 2 12  3 27  5 3 32  50  8 7. a) b) 3 2
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau: 2 6 a) 0  ,8 ( 0  ,125) b) ( 2  ) c)   2 3 2 2  1 1  d)   2 2 2 3 e)    f)   2 0,1 0,1  2 2  ĐS: a) 0  ,1 b) 8 c) 2  3 1 1 d) 3  2 2 e) f) 0,1  0,1 2 2
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau: 2 2 2 2
a) 3  2 2   3  2 2 
b) 5  2 6   5  2 6   2 2 2  32  1 32 c)
d) 3  2   1 2   2 2
5  22   5  2 2 e) f)  2   1   2  5 ĐS: a) 6 b) 4  6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2  4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 9
“Giải bài toán chứa căn”
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức”
1. Phương pháp 2 A neáu A  0 : A A   A neáu A  0 Chú ý:
Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Sử dụng các hằng đẳng thức:
A AB B   A B2 2 2 2
A AB B   A B2 2 2 2 2 2
A B   AB AB
Với m, n > 0 thỏa mãn m + n = A và m . n = B ta có: 2
A 2 B m n 2 m n
. ( m n)
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 1.
a) Rút gọn biểu thức sau: N  6  2 5  6  2 5 2  3 2  3
b) Rút gọn biểu thức: A   2 2 Giải
a) N  6  2 5  6  2 5
 5  2 5 1  5  2 5 1 2 2  ( 5 1)  ( 5 1) |
 5 1|  | 5 1| 5 1 5 1  2 2  3 2  3 4  2 3 4  2 3 b) A     2 2 4 4 1 2 2
 ( ( 3 1)  ( 3 1) ) 2 1 1
 (| 3 1|  | 3 1|)  ( 3 1 3 1) 1 2 2
3. Bài tập (có đáp án)
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau : B  (3 2  6) 6  3 3
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau B  ( 5 1) 6  2 5 1
Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức: A  7  2 10  20  8 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 10
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 04. Tính 2 B  (2  3)  3 2 2
Bài tập 05: Rút gọn biểu thức : B  2  1
2  3  6  2 5  6 2 3  3 5 
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức : B  (3 2  6) 6  3 3 4  2 3 4  2 3
Bài tập 07. Tính giá trị của biểu thức: P  và B  1 3 6  2
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải)
Bài tập 1. Thực hiện các phép tính sau: a) 5  2 6  5  2 6 b) 7  2 10  7  2 10 c) 4  2 3  4  2 3 d) 24  8 5  9  4 5 e) 17 12 2  9  4 2 f) 6  4 2  22 12 2 g) 2  3  2  3 h) 2112 3  3 ĐS: a) 2 2 b) 2 2 c) 2 3
d) 3 5  4 g) 2 h) 3  3    2 4 2 3 3 1 3 1
Tương tự: 2  3    2 2 2
Bài tập 2. Thực hiện các phép tính sau: a) 5  3  29 12 5 b) 13  30 2  9  4 2 c)  3  2  5  2 6
d) 5  13  4 3  3  13  4 3
e) 1 3  13  4 3  1 3  13  4 3
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 11
“Giải bài toán chứa căn”
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng… 1. Phương pháp: A AB A A B
Với A.B ≥ 0 và B 0 thì   B B + Với B > 0 thì B B C C( A B)
Với A ≥ 0 và A B2  thì A B A B2 C C( A B)
Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A B thì A B A B
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn..)  1 1 3 4  1
Rút gọn biểu thức sau A=   2  200 :   2 2 2 5 8   Giải  1 1 3 4  1  1 2 3 4  1 2 A    2  200  :    2  10 .2  : 2     2 2 2 5 8 2 2 2 5 8      1 3   2 
2  8 2 .8  2 2 12 2  64 2  54 2    4 2 
Bài tập 02. (PP quy đồng) 1 1 2 2  6
Rút gọn biểu thức A    3 1 3 1 2 Giải 3 1 3 1 2(2  3) 2 3 A   
 2  3  3  2  3  2 ( 3 1)( 3 1) 2 3 1
Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung) 3  3
Rút gọn biểu thức : P  ( 3 1) 2 3 Giải 3  3 3( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1 P  ( 3 1)  ( 3 1)    1 2 3 2 3 2 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 12
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung): 1 8  10
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A   2 1 2  5 Giải 1 8  10 2 1 2(2  5) A      2 1 2  1 2 1 2  5 1 2  5
Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn): 2  3 2  3
Rút gọn biểu thức : A   7  4 3 7  4 3 Giải. 2  3 2  3 A   7  4 3 7  4 3 2  3 2  3   2 2 (2  3) (2  3) 2  3 2  3   2  3 2  3 2 2  (2  3)  (2  3)
 ( 3  2  2  3)(2  3  2  3)  8 3
3. Bài tập (có đáp án) 5
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức : P   2 5 5  2 1 1
Bài tập 02: Rút gọn biểu thức : B   3  7 3  7 1 1
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : P   5  2 5  2 1 1
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau B   3  2 3  2 2 1
Bài tập 05. Tính:  . 18 2  2 3
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 13
“Giải bài toán chứa căn” 2
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức : B   28  54 7  6 A
Bài tập 07: Cho A  3 1; B  3 1. Tính giá trị của biểu thức 2 2 A B; . A B; ; A B B 2 3
Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: P   27  3 1 3 2
Bài tập 09. Rút gọn biểu thức : B   28  54 7  6 5  5 5 3 5
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức sau: A    5  2 5 1 3  5 6
Bài tập 11. Cho biểu thức : 2 M
 (2  3)  75 . Rút gọn M. 2  3 1
Bài tập 12. Rút gọn biểu thức A   7  4 3 2  3 7  4 3
Bài tập 13. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức: A  ( 5  2)( 5  2)  3  2 2  3 2  3
Bài tập 14. Thu gọn biểu thức A   1 4  2 3 1 4  2 3 3 3  4 3  4
Bài tập 15. Rút gọn biểu thức sau: A   2 3 1 5  2 3
Bài tập 16. Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A   5  3 5  3 1 2 2 C    2  3 6 3  3
4. Bài tập tự luyện. (không có hướng dẫn giải)
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức: 15  6 10  15 a) b) 35  14 8  12 2 15  2 10  6  3 2  3  6  8  16 c) d) 2 5  2 10  3  6 2  3  4 3 5 3  2 ĐS: a) b)
d) 1  2 . Tách 16  4  4 7 2 c) 1 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 14
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau: 7  5 6  2 7 6 5 2 2 5 a)      2 4 b) 7  2 4  7 6  2 6  2 6 1 1  6 2 5   1 c)  d)    : 3  2  5 3  2  5   1 3 5    5  2 1 1 1 5 1 2 3  3  13  48 e)    f) 3 3 2 3 12 6 6  2 32 7  20 17 6 30 3 ĐS: a)  9 b) 6 c) 6 d) 3 e) 2 f) 1
I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số.
1. Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau.
2. Ví dụ minh hoạ:
Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau: a/     2 2 2 3 2 1 2 2  2 6  9 b/ 2  3  2  3  6 4 4 c/    2  5  8 2 2 52 Giải:
a) Biến đổi vế trái ta có : VT      2 2 2 3 2 1 2 2
 2 6  2 6  4 2 1 4 2 8  2 6  9  VP
Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 2  2  3  2  3 
b) Biến đổi vế trái ta có : VT  2  3  2  3  2   2       2 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3   2 2 3 1  3 1 3 1 3 1 2 3     6  VP . 2 2 2
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 15
“Giải bài toán chứa căn” 4 4 c/    2  5  8 2 2 52
Biến đổi vế trái ta có : 2 2 4 4 2 2 VT      2  5 2
2 52 2 52 2 52
2 5  2  2 5  2 2 2 2 2       2  5 2  5 5  2 5  2  52 52 2 5  4  2 5  4   8  VP 5  4
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01: Chứng minh: a) (2  3) (2  3)  1 b) 9  17. 9  17  8
c) ( 2014  2013) . ( 2014  2013) =1 d) 2 2( 3  2)  1 (  2 2 2 )  2 6  9
Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên: 3 3  2 2 6  6 a) A   3  2 6 1  15 4 12 B       6    b) 11  6 1 6  2 3  6 
2 3  2 3  2  3  2 2 c) C   2 3 3 1
Bài tập 03: Chứng minh rằng: a) 2 9  4 5  ( 5  2) b) 9  4 5  5  2  c) 2 23 8 7  (4  7) d) 17 12 2  2 2  3
Bài tập 04: Chứng minh các đẳng thức sau:  2 3  6 216  1 1. a)      1  ,5   8  2 3 6    14  7 15  5  1 b)   :  2    1 2 1 3 7  5   c) 2  3  2  3  6
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 16
“Giải bài toán chứa căn” 4 4 d)   8 2 2 (2  5) (2  5)  3 2 3   3 2 3  e)  6  2  4   6  2  4   2  2 3 2   2 3 2     
I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức
1. Phương pháp :Với a  0, b 0: a b a b
Một số tính chất của bất đẳng thức:
1) a b b a a b2)   a c b c
3) a b a c b c (cộng 2 vế với c)
a c b a b c (cộng 2 vế với – c)
a b a b 0 (cộng 2 vế với – b)
a b a b 0 (cộng 2 vế với – b) a b 4)
  a c b d c d
5) a b a.c b.c (nếu c > 0: giữ nguyên chiều)
a b a.c b.c (nếu c < 0: đổi chiều)
a b 0 6)
  a.c b.d
c d 07) n n *
a b 0 a b ( n ) 1 1
a b 0   a b
2. Ví dụ minh họa
Bài tập 1: So sánh a) 17  26 1 và 99 b) 37  14 và 6– 15 Giải:
a) 17  26 1  16  25 1  10 và 2
10  100  99  10  99 Vậy 17  26 1
 10  99  17  26 1   99
b) Ta có 37  6  1 và 1  14  15  37  6  14  15  37  14  6  15
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 17
“Giải bài toán chứa căn”
3. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01: So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 1 và 2 b) 2 và 3 c) 6 và 41 d) 7 và 47 e) 2 và 2  1 f) 1 và 3  1 g) 2 31 và 10 h) 3 và 12 i) -5 và  29 j) 2 5 và 19 k) 3 và 2 l) 2 3 và 3 2 m) 2 + 6 và 5
n) 7 – 2 2 và 4 o) 15 + 8 và 7
Bài tập 02: So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 7  2 và 1 b) 8  5 và 7  6
Bài tập 03: So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 9 và 6 + 2 2 b) 2 + 3 và 3 c) 16 và 9 + 4 5 d) 11  3 và 2
Bài tập 04: So sánh hai số sau (không dùng máy tính): a) 3 3 và 12 b) 20 và 3 5 1 1 1 1 c) 54 6 3 và 150 5 d) 6 2 và 2 5 3 e) và f) 30  29 vaø 29  28 3 7  5 2 13 g) 2012  2014 và 2 2013
h) 2014  2013 và 2013  2012
Bài tập 05: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: a) 2 5 , 2 6 , 29 , 3 5 b) 3 6 , 3 3 , 4 7 , 2 14
Bài tập 06: Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh: a b 1 a)  ab        2 b) a b a b c) a b a b 2 a b a b
d) a b c ab bc ca e)  2 2
I.6: Loại 6: Căn bậc ba. 1. Phương pháp 3
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x a .
Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. 3 3 3 3 3 3 A A
A B A B A B
.  A. B Với B 0 ta có: 3  B 3 B 3 3  3 3 a Áp dụng: a a ; a
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 18
“Giải bài toán chứa căn”
và các hằng đẳng thức: AB3 3 2 2 3
A  3A B  3AB B AB3 3 2 2 3
A 3A B  3AB B 3 3
A B   A B 2 2
A AB B 3 3
A B   A B 2 2
A AB B Tính chất:
a b 3 a 3 b 3 ab 3 3 a. b 3 a a
Với b  0, ta có 3 3 b b
2. Bài tập tự luyện (không có hướng dẫn)
Bài tập 01. Tính: a) 3 512 ; 3  729 ; 3 0 , 0 64 ; 3 2 , 0 16 ; 3  0 008 , . b) 3  343 ; 3 0 , 0 27 ; 3 3 , 1 31 ; 3  0 512 , ; 3 125 .
Bài tập 02. Thực hiện các phép tính sau: 3 3 3 3 3 a) ( 2  1)(3  2 2) b) (4  2 3)( 3 1) c) 6  4  125  216  4  3 1   4  3 3 3 3 3 3 3 3 d) 1
e)  9  6  4  3  2  3
ĐS: a) 2 1 b) 3 1 c) 3
d) 12 2  2 e) 5.
Bài tập 03. Thực hiện các phép tính sau: a) A 3 3  2  5  2  5 b) B 3 3  9  4 5  9  4 5 125 125 c) C 3  (2  3). 26 15 3 d) D 3 3  3  9   3   9  27 27 3  3 1 5    3 5  
ĐS: a) A  1. Chú ý: 2  5   
b) B  3 . Chú ý: 9  4 5     2   2  3
c) C  1. Chú ý: 26 15 3  (2  3) 3 3 5
d) D  1. Đặt a 3 125  3  9         6,  27 , b 3 125 3 9 27 a b ab 3 . Tính D3 .
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 19
“Giải bài toán chứa căn”
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN)
II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
 Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức.
f (x)  a Cách 1: 2
f (x)  a f (x)  a  
với a  0;a R
f (x)  a Cách 2: 2 2
f (x)  a f (x)  a với a  0;a R với a  0;a R
Phương pháp: Để giải dạng phương trình này điều cơ bản là phải viết được biểu thức
dưới dấu căn ở dạng bình phương rồi sử đưa ra ngoài dấu căn để trở thành phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng phương pháp bình phương 2 vế của phương trình.
Lưu ý: Nếu a  0 thì phương trình 2
A a vô nghiệm
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Giải phương trình 2 4(x 1)  6 2(x 1)  6 x  4 Giải: 2
4(x 1)  6  2(x 1)  6     2(x 1)  6  x  2 
Vậy x = 4 hoặc x = -1 là nghiệm của phương trình
Bài 2: Giải phương trình 2
x  4x  9  3 x  0 Giải: 2 2 2
x  4x  9  3  x  4x  9  9  x  4x   . Vậy x  0; x  4 là x  4
nghiệm của phương trình.
 Loại 2: Phương trình dạng f ( ) x g( ) x
 f (x)  0 
 f (x)  g(x)
Phương pháp giải f (x)  g(x)   g(x)  0 
 f (x)  g(x)
Ví dụ minh họa:
Bài 3: Giải phương trình: 2
x  6x  4  4  x Giải:
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 20
“Giải bài toán chứa căn” x  4 x  4 x  4  Ta có: 2
x  6x  4  4  x    
 x  0  x  0 2 2
x  6x  4  4  x
x  5x  0  x  5
 Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới
dạng bình phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) f ( ) x g( ) x (1) ( hoặc dạng f ( )
x a , lúc này g(x)  a  hang so )
Cách giải 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
ĐK: f (x)  0
Bình phương hai vế phương trình (1) ta có pt hệ quả: f x 2
g x, giải tìm x= ?
Thế vào phương trình (1) xem có thảo mãn hay không.
Kết luận nghiệm của phương trình (1)
Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)
f (x)  g(x) g(x)  0   2
f (x)  g (x)
Lưu ý: Khi g x  0  phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ minh họa:
Bài 4: Giải phương trình: 4x 1  8
Giải: (HD cách thường dùng) Điều kiện 1
4x 1  0  x  4   4x 12 63 2
 8  4x 1  64  4x 1  64  4x  63  x  4 63
Kết hợp với điều kiện đầu bài 1 x
ta được nghiệm của phương trình là x = 4 4
Bài 5: a) 2x  4  2 b) 3x 15  3  2
c) 2x 1  x 1 Giải:
a) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)
 ĐK: 2x  4  0  x  2
 Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 2x  4  4  2x  8  x  4
 Thế x  4 vào pt đã cho thỏa mãn
 Vậy pt có nghiệm x  4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 21
“Giải bài toán chứa căn” Cách 2:
Vì 2  0 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau: 
2x  4  2  2x  4  4  x  4
 Vậy pt có nghiệm x=4.
b) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
 ĐK: 3x 15  0  x  5
 PT(b)  3x 15  9  3x  24  x  8
 Ta thấy x  8 thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào pt (b) không thỏa mãn
 Vậy pt (b) vô nghiệm.
Cách 2: ( Chỉ cần để ý 3  0 ) nên pt (b) vô nghiệm.
c) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)  Ta có: 2 2x 1  0, x  R
 Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 2 2
2x 1  (x 1) 2 2
 2x 1  x  2x 1 2
x  2x  0 x  0  x  2
 Thế x  0 và x  2 vào pt đã cho chỉ có x  0 thỏa mãn
 Vậy pt có nghiệm x  0 .
Cách 2: ( Sử dụng phương trình tương đương)  Ta có: x 1  0 2
2x 1  x 1   2 2
2x 1  (x 1) x 1 x  1   
 x  0  x  0 2
x  2x  0  x  2 
 Vậy pt có nghiệm x  0.
Đôi lời: Nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải
thử lại nghiệm (tránh trường hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai), còn phương pháp giải
theo phương trình tương đương có phần ưu điểm là tiện lợi hơn, (không cần phải thử
lai nghiệm).nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại
Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc thù của phương trình chứa căn mà ta có thể
chọn cách giải 1 hoặc 2 cho phù hợp.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 22
“Giải bài toán chứa căn”
Vì vậy sau này chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài toán chứa căn thức thì ta mới cảm nhận
được sự sâu sắc trong mọi khía cạnh của bài toán lúc đó ta mới thấy rõ mỗi phương
pháp điều có những ý nghĩa đặc sắc riêng của nó.
 Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng giống nhau. d a
f (x)  b
f (x)  c
f (x)  d  (a b c) f (x)  d f (x) 
a b c với d d  0;  R
a b c
a b c
Sau khi rút gọn đưa về giải phương trình Loại 3 f ( ) x g( ) x Ví dụ minh họa:
Bài 6: Giải phương trình: 3 2x  5 8x  7 18x  28
Giải: Điều kiện x  0
3 2x  5 8x  7 18x  28  3 2x  5.2 2x  7.3 2x  28  14 2x  28  2x  2 
(Thỏa mãn điều kiện x  0 ). Vậy pt có nghiệm là x=2. 2x  4  x  2
 Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn không viết
được dưới dạng bình phương. f ( ) x g( ) x k hoặc f ( ) x g( ) x  ( h ) x Phương pháp: f (x)  0  f (x)  0 
Với điều kiện
hoặc g(x)  0 g(x)  0 h(x)  0 
Ta thường bình phương 2 vế đưa về Loại 3 f ( ) x g( )
x để giải.
Đối với các phương trình có dạng f ( ) x g( )
x k cần biến đổi về dạng f ( ) x g( ) x k
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 23
“Giải bài toán chứa căn” f ( ) x g( ) x  ( h )
x cần biến đổi về dạng f ( ) x g( ) x  ( h ) x
(Lí do: Để đảm bảo 2 vế của phương trình đều dương rồi mới đem bình phương Ví dụ minh họa:
Bài 7: Giải phương trình: a) 3  x  6  x  3
b) 3  x  2  x  1
Hướng dẫn giải:  3   x  6 
a) 3  x  6  x  3  3
  x  6  x  2 (3  x)(6  x)  9   3   x  6  3   x  6   3   x  6  x  3       x  3   
 (3  x)(6  x)  0 
(3  x)(6  x)  0  x  6 x  6
Vậy phương trình có 2nghiệm là x  3 và x  6  3   x  2   3   x  2 
b) 3  x  2  x  1    
 3 x 1 2  x 3
  x 1 (2  x)  2 2  x  3   x  2 0  x  2  3   x  2   0  x  2     x  0  
 x 1  x 1 2
 2  x x 
x x  2  0  2
2  x x x  2 
Vậy phương trình có nghiệm là x  1
 Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp: Sử dụng các phương pháp biến đổi đưa phương trình về dạng f ( ) x f ( )
x c  0 rồi đặt ẩn phụ f ( )
x t;t  0 đưa về giải phương trình bậc hai ẩn t . Ví dụ minh họa:
Bài 8: Giải phương trình:
a) 2x + 5 - 5 2x 1  0
b) x 1  4  x  (x 1)(4  ) x  5
Hướng dẫn giải:
a) Ta biến đổi 2x  5  5 2x 1  0  (2x 1)  5 2x 1  4  0
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 24
“Giải bài toán chứa căn”
Đặt : t  2x 1 , (đk: t  0) t  1
PT(a) trở thành pt: t2-5t+4=0   t  4
+ Với t=1  2x 1  1  2x 1  1  x  0 15
+ Với t=4  2x 1  4  2x 1  16  x  2
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0; x=15/2 2 t  5
b) Đặt t= x 1  4  x (đk t  0)  (x 1)(4  x)  2 2 t  5 t  3 PT(1) trở thành: 2 t
 5  t  2t 15  0   2 t  5  (l)
Với t=3  x 1  4  x  3  5 2 (x 1)(4  )
x  9  (x 1)(4  ) x  2 x  0 2
(x 1)(4  x)  4  x  3x  0   x  3
Vậy pt có 2 nghiệm là x  0 và x  3
Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng tích f (x)  0 
f (x). g(x). h(x)  g(x)  0  h(x)  0 
2. Ví dụ minh họa:
Bài 9: Giải phương trình: (2x 8)(4  )
x  2 (2x 8)  0
Giải: Ta có (2x 8)(4  )
x  2 2x 8)  0
(2x  8)(4  x)  2 2x  8)  0 
2x  8  4  x  2  0 2x 8  0    x  4
 4  x  2  0 (VN)
Vậy pt có nghiệm x  4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 25
“Giải bài toán chứa căn”
 Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba 3 3 3
f (x)  a; f (x)  g(x)  a .
+ Ở căn bậc lẻ: 2k 1 2k 1
f (x);  g(x) có nghĩa với x nên không cần đặt điều kiện .
+ Ở luỹ thừa bậc lẻ: ab  2n 1 2n 1 a b  
; (nN) nên không cần xét đến dấu của hai vế.
Phương pháp: Lập phương hai vế theo công thức   3 3 2 2 3 3 3 a b
 a  3a b  3ab  b  a  3ab(a  b)  b và biến đổi linh hoạt đưa về dạng .
A B  0 để giải toán Ví dụ minh họa:
Bài 10: Giải phương trình : 3 3 x 1  7  x  2 (*)
+ Ở phương trình (*) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến
việc lập phương hai vế : Giải:
Điều kiện xác định x  R Lập phương hai vế 2 2 (*) 
     3   3     3 x 1 7 x 3 x 1 . 7 x 3 x 1. 7  x   8        3 3 3 x 1 7 x 3 (x 1)(7 x).
x 1  7  x   8 (1) thay 3 3
x 1  7  x  2 vào phương trình (*) ta được: 3
8  3 (x 1)(7  x).2  8  (x 1)(7  x)  0 (2) Giải ra: x  1
 ;x  7 ; thay lại vào phương trình (*) ta thấy nghiệm đúng, nên đó là 1 2
2 nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy (*) có nghiệm x  1  ;x  7 . 1 2
Chú ý: Do từ (1) suy ra (2) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì
nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : 3 3
x 1  7  x  2 . Vì vậy việc thay lại
nghiệm của (1) vào phương trình đã cho là cần thiết. Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai.
Bài tập tự luyện ( Không có hướng dẫn)
Bài tập 1: Giải phương trình: a) 2 9x = 2x + 1 b) x4  7 c) x2  6x  9  x 3  1 d) x2  7 e) x2   8 f) 1 4x  4x2  5 g) x4  9 h) 2 (x  2)  2x 1 i) 2 x  6x  9  5 j) 2 4x 12x  9  x  3 k) 2 2 4x  4x 1  x  2x 1 l) 2 2 4x 12x  9  9x  24x  16
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 26
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 2: Giải phương trình: 1. a) x 16  8 b) 4x  5 c) 4(x2  x 2 1) 6  0 d) 9(x 1)x  21 e) x  5  3 f) x 10  2  g) 2x 1  5 h) 4  x 5  12 2. a) 4x2  x  5 b) (x  3 2 )  x 2 1 c) x 3  6 d) 7(x 1)  21 3. a) 2 x .  50  0 b) 2  x  8  0
Bài tập 3: Giải các phương trình: 2x  3 2x  3 4x  3 4x  3 a)  2 và  2 b)  3 và  3 x 1 x 1 x 1 x 1
Bài tập 4: Giải các phương trình sau: 4
1. a) 4x  20  3 5  x  9x  45  6 3 15 x 1 b) 25x  25   6  x 1 2 9 1 c) 4x  20  9x  45  x  5  4 3
d) 16x 16  9x  9  4x  4  16  x 1 . 2. a) 1  x2  x  1
b) x2  4x  4  x  2 c) x 2 2  7  2  x d) x2  x 4  3  x  2 e) x2  4  2  x  0
f) x2  4x  4  2x  1 g) x 2 (  x )( 4  ) 1  x 1
h) 2x2  4x  1  x  2 . 3. a) 2x  9  5  4x b) 2x 1  x 1 c) x  3  x  3 d) x2  x  3  x e) x2  x 3 1  x 1 f) x 2 2 3  x 4 3 g) x2  x  6  x  3 h) x 9 2  x 4  x 2 3 . 4. a) x  4 x  4  5
b) x  2 x 1  x  2 x 1  2
c) x  2  4 x  2  x  7  6 x  2  1
d) x  2  3 2x  5  x  2  3 2x  5  2 2 . 5. a) x2  x 3  5  x2  x 3  7 b) 5 x2  x 5  28  x2  x 5  4 c) 2 x 2 2  x 3  5  x 2 2  x 3  6 d) x 2 2  x 3  9  x 2 2  x 3  33
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 27
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 3 x   5 , 1 b) 3 x  5  9 , 0
Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 5 1 3 x 1 8 a) 15x  15x 11  15x  3 3 b) 7 x  5 15 c) 2 ( x  ) 1 2  3
d) 2  x  8  4x  3
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Lí thuyết:
Cho x 0, y 0. Ta có các công thức biến đổi sau: 1. 2 x ( x ) ; 3 x x ( x ) 2. x x x( x 1 )
3. x y y x xy( x y )
4. x y ( x y )( x y ) 5.     2 x 2 xy y ( x y ) 6.   3 3 x x y y ( x ) ( y ) ( x y )( x xy y )
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 1. Ví dụ minh hoạ 1 a a 1 a
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 2 P  (  a).( ) (với a  0;a  1) 1 a 1 a Giải: Với a  0 a  1 ta có: 1 a a 1 a 2 P  (  a).( ) 1 a 1 a 2 2
 (1 a)(1 a a )  1 a     a      1 a
(1 a )(1 a )    1 2  (1 a) . 1 2 (1 a )
2. Bài tập (có hướng dẫn giải) 2 2 (a b)  (a  ) b
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức M  với ab ≠ 0 ab
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức B x 1 2 x  2 1 x  2 với 2 ≤ x < 3 2 x x 1 x  2
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: A  (  ) : (1
) với x ≥ 0, x ≠ 1 x x 1 x 1 x x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 28
“Giải bài toán chứa căn” x x 1 x 1
Bài tập 04: Cho biểu thức A  
(với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A. x 1 x 1
Bài tập 05. Cho biểu thức: 2
D  (1 x ) . x 1 2 x 1 2 x x 1 x
Bài tập 06: Rút gọn biểu thức Q  (  )(  ) ( với x>0;x  1) x 1 x 1 x 1 x x
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng:
1. Ví dụ minh hoạ: 1 1
Bài 1. Rút gọn biểu thức : B   1 x 1 x Giải
(1 x)  (1 x) 2  x B   2 (1 x)(1 x) 1 x
2. Bài tập (có hướng dẫn giải) 4 2 x  5
Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: B    với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 1 x x 1 x 2 x 1
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B   
với x  0 và x  1 x 1 x 1 x 1 x x x 1
Bài tập 03. Cho biểu thức G = 
. Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G. x 1 x 1 2  x 2  x
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: P  
điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1. x 1 x 1 x 2 x  4
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức A  (  ) : với x  0 và x  4 x  2 x  2 x  2 1 1 x  2
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức B  (  ) với x > 0 và x ≠ 4.. x  2 x  2 x 1 1 a 1
Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức: P  (  ) : a 1 a 1 a 1 1 1 x  2
Bài tập 08: Rút gọn các biểu thức sau: B  (  ) với x > 0 và x ≠ 4 x  2 x  2 x a 1 a 1
Bài tập 09: Rút gọn biểu biểu thức A   (với a ,
R a  0 và a  1). a 1 a 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 29
“Giải bài toán chứa căn” 1 1 1
Bài tập 10. Rút gọn biểu thức : B  (  ) : (x  0; x  1) x 1 x x x 1 1 x  4
Bài tập 11. Rút gọn các biểu thức: Q  (  ) x  4 x  4 x 1 x 1
Bài tập 12. Rút gọn các biểu thức: Q  (1 ). với x > 0, x  1. x 1 x 1 1
Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: P  ( 
)(x x x) với x>0 x x 1 1 1 a 1 a  2
Bài tập 14. Rút gọn P  (  ) : ( 
) Với a>0;a  1;a  4 a 1 a a  2 a 1 3 4 12
Bài tập 15. Rút gọn biểu thức: B   
(x  0; x  4) x  2 x  2 x  4 3 x 1 x 1
Bài tập 16. Rút gọn biểu thức A  (   3). với x ≥ 0 và x ≠ 1 x 1 x 1 x  2  4 x 8x   x  4 1 
Bài tập 17. Rút gọn P     :      
 với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 2  x 4  x x  2 x x      1 1   a 1 a  2 
Bài tập 18. Rút gọn biểu thức P   :        a 1 a a  2 a 1   . 1 1 3 a
Bài tập 19. Rút gọn các biểu thức sau: N  (  ) :
(a  0; a  4) a  2 a  2 a  4
Bài tập 20. Rút gọn biểu thức 2 3 5 x  7 2 x  3 A  (   ) :
(x  0; x  4) x  2 2 x 1 2x  3 x  2 5x 10 x .
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 30
“Giải bài toán chứa căn”
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng. Ví dụ minh hoạ: x 2 2x  2
Bài 1.Rút gọn biểu thức P  
với x > 0, x  2 2 x x 2 x  2 Giải:
Với điều kiện đã cho thì x 2 2( x  2) x 2 P     1 2x( 2  x)
( x  2)( x  2) 2  x x  2
2. Bài tập (có hướng dẫn giải) x y y x 1
Bài tập 01. Chứng minh rằng: :
x y ; với x>0;y0 và x  y xy x y a b b a a b
Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B   với a,b, là số dương. ab a ba a   a  5 a
Bài tập 03. Rút gọn biểu thức A  3  3     với a ≥ 0, a ≠ 25 a 1 a  5     a a   a a
Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: P  1 1 ,  
 với a ≥ 0; a ≠ 1 a 1 1 a    a a a a
Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: M  ( 1)(1
) với a  0;a  1 a 1 1 a a a a a
Bài tập 06. Rút gọn biểu thức: M  ( 1)(1
) với a  0;a  1 a 1 1 a
Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi): 2 1 1
Bài tập 08. Cho biểu thức P  (  ) : x  4 x  2 x  2
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. 1 x 1
Bài tập 09.Cho biểu thức A  (  ) : x 1 x 1 x 1
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A 1 4
Bài tập 10. Cho biểu thức P  
. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu x  2 x  4 thức P.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 31
“Giải bài toán chứa căn” x 1 1
Bài tập 11. Cho biểu thức P  ( 
)( x  3) .Tìm điều kiện xác định và rút x  9 x  3 gọn P x 1 2 x  4
Bài tập 12. Cho biểu thức P  (  ).( x 1
) (với x > 0 và x ≠ 4). x  2 x  4 x
Chứng minh rằng P x  3 x 1 x 1
Bài tập 13. Chứng minh rằng với x  0 và x  1 thì   x 1 x x x x x  2x
Bài tập 14. Rút gọn biểu thức: A   Với x > 0; x ≠ 1. x 1 x x x x  2x
Bài tập 15. Rút gọn biểu thức: A   Với x > 0; x ≠ 1. x 1 x x x  2 1 x 1
Bài tập 16. Cho biểu thức P  (  ). với x > 0 và x khác 1 x  2 x x  2 x 1 x 1
Chứng minh rằng P x x 1 5 x  2
Bài tập 17. Cho biểu thức Q  
với x>0, x  4. Rút gọn biểu thức Q. x  2 x  4 x 1 2 x 1
Bài tập 18. Với x > 0, cho biểu thức B   . Rút gọn biểu thức B. x x x
Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức 3  3
a)P  ( 3 1) 2 3 1 1 2 ) b Q  (  )(1 ) với x>0 và x khác 4 x  2 x  2 x x 12 6
Bài tập 20. Rút gọn biểu thức B   (x  0 va x  36) 6 x  36 x  6 x 1 1 x
Bài tập 21. Rút gọn: C  (  )
với x>0 và x  1 2 x 1 ( x)  x x 1 1 2 x
Bài tập 22. Rút gọn biểu thức P  (  ) với x > 0; x ≠ 4. x  2 x  2 x x  2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 32
“Giải bài toán chứa căn” x  2 x  2 x
Bài tập 23. Cho biểu thức A  (  ) : với x > 0 và x khác 1. x  2 x 1 x 1 x 1 x x 2 x 1 x  6 x  4
Bài tập 24. Cho biểu thức: P   
với x  0; x  4 . Rút gọn x  2 x  2 x  4 biểu thức P.
x x 1 x x 1 2(x  2 x 1)
Bài tập 25. Cho biểu thức: A     :   (với x > 0 và x ≠ 1) x x x x x 1   Rút gọn biểu thức A x 1 1 1
Bài tập 26. Cho biểu thức: A  : ( 
) với x > 0;x  1. Rút gọn A. 2 x x x x 1 4 3 6 a  2
Bài tập 27. Cho biểu thức P   
(với a  0 và a  1). Rút gọn P a 1 a 1 a 1
Bài tập 28. Thu gọn các biểu thức sau: x 3 x  3 A  (  ).
với x  0; x  9 x  3 x  3 x  9 2 2
B  21( 2  3  3  5 )  6( 2  3  3  5 ) 15 15 1 2 x 1
Bài tập 29. Rút gọn biểu thức: A   
với x > 1, x ≠ 1. x x x 1 x x
Bài tập 30.Thu gọn các biểu thức sau: x x 1 x 10 A   
(x  0, x  4) x  2 x  2 x  4 x 2 x  24 x  8
Bài tập 31. Cho B  
với x ≥ 0, x ≠ 9. Chứng minh B x  3 x  9 x  3       a a 2 1 1 3 5 
Bài tập 32. Cho P    
(a  0, a  1)   . Rút gọn P a 1  
a a a a 1 4 a    
Bài tập 33. Rút gọn biểu thức P  x 2 1   xP      : x  3    với x > 0; x  9  x(x 9) x  3 x  3  x  3  a a a 1
Bài tập 34. Rút gọn biểu thức B  (  ) : với a>0; a  4 a  2 a a  2 a  4 a  4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 33
“Giải bài toán chứa căn”
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
Sau khi rút gọn bài toán chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài toán ý
phụ của bài toán chứa căn gồm:
Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ
hơn, bằng một giá trị cho trước)
Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đó
ta đi giải phương trình hoặc bất phương trình đó. (Xem Dạng 1 – Loại 1)
Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước.
Thay giá trị cho trước của ẩn vào biểu thức đã được rút gọn rồi tính.
Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên.
* Hay dùng: Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số nguyên và một
biểu thức có tử là một số nguyên
Cho mẫu là ước của tử suy ra ẩn.
Các phương pháp cụ thể: A k 1. Tách phần nguyên:  C  B B A
Khi k là một hằng số; B là biểu thức nguyên của biến. Khi đó nhận giá trị B
nguyên  B nhận giá trị là ước nguyên của k. Vì vậy ta cần tìm các ước ki của k và
giải các phương trình B = ki rồi tìm các giá trị nguyên của biến. 2x  5
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên? x 1  Giải: 2x 5 3 Ta có A = = 2  . x 1 x 1 3
Khi x  Z ta có x -1  Z, vậy A  Z  x  nhận giá trị nguyên 1
 x -1 nhận giá trị là ước nguyên của 3 x  1  1 x  2   x 1 1 x 0
         (thoả mãn x  x  1  3 x  4 Z)   x  1  3 x  2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 34
“Giải bài toán chứa căn” Vậy với x , 2 , 0 , 4  
2 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
2. Khi phần dư không chỉ là một hằng số, mà phần dư là một biểu thức của biến, bậc nhỏ hơn bậc của B? A K Khi đó ta viết  C 
. Khi đó sử dụng tính chất chia hết của số nguyên để B B
giải. Khi giải xong bắt buộc phải có bước thử lại. x  1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
nhận giá trị nguyên 2x 2  1
Giải : Giả sử tồn tại x Z để (x -1)  (2x2+1) 2  (x  ) 1 2 (2x  ) 1 2 2  ( x 2 1 ) 3 ( x 2  ) 1  3 2  ( x 2  ) 1  2 2 x  1 1,  3 x {   ; 1 0; } 1 2
Thử lại: với x = -1 thì biểu thức nhận giá trị - Z 3 (loại )
với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị -1  Z
với x = 1 thì biểu thức nhận giá trị 0  Z
Vậy với x = 0 ; 1 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
3. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) x 4  x3  x 3 1
Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A  nhận giá trị x 2  x 1 nguyên. Giải: 2 2x Ta có: A  x 1  x 2  x 1 2x
Với x Z ta có x2 - 1  Z nên A  Z  y  nhận giá trị nguyên. x 2  x  1 2x Giả sử y 
0 là 1 giá trị của biểu thức. Khi đó tồn tại x để y 0 x 2  x  1
 phương trình: 2x = y0 (x2+x+1) có nghiệm x.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 35
“Giải bài toán chứa căn”
 y0 x2 + (y0 - 2)x + y0 = 0 (1) có nghiệm
+) Xét y0 = 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) Xét y0  0 phương trình có nghiệm   = (y0 -2)2 - 4y0  0 2  - 2  y0  (y0  0) 3
Do đó điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 - 2  y0  3
 Những giá trị nguyên của y có thể đạt được là y { -2 ; -1 ; 0 }
+) Với y = -2 ta có phương trình : 2x2 + 4x +2 = 0  x= -1  Z
+) Với y = -1 ta có phương trình : x2 +3x+1 = 0
 =9 - 4 = 5 không chính phương  phương trình có nghiệm x Z (loại) +) Với y = 0  x = 0 Z
Vậy x= 0 hoặc x= -1 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.
4. Sử dụng miền giá trị của biểu thức x  3 Ví dụ: Tìm x để C =
( x  0) đạt giá trị nguyên x  1 Giải: 4 4 Ta có C = 1 -
nhận giá trị nguyên khi x  1
x  nhận giá trị nguyên. Mà x  0 nên 1 4 4 0 <
 4 . Vậy các giá trị nguyên có thể có của là 1, 2, 3, 4 x  1 x  1 4 4 *) =1  x =3 khi đó C=0 *) =2  x = 1 khi đó C = -1 x  1 x  1 4 1 4 *) =3  x = khi đó C = -2 *)
= 4  x = 0 khi đó C = -3 x  1 3 x  1 1
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tương ứng của x là 3, 1, , 0 3
(Lưu ý: Ở đây học sinh có thể nhầm là x 1 là ước của 4. Nhưng do x R nên x 1 có
thể ra là một số không nguyên, tức không phải là ước của 4. Thông thường ta phân
cách làm như sau: Cách sử dụng Ước khi đề bài có tìm x Z để AZ . Cách sử
dụng miền giá trị khi đề cho là tìm x để AZ )
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 36
“Giải bài toán chứa căn”
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
-Hay dùng: Biến đổi biểu thức về dạng A2 + m hoặc – A2 + m
Các phương pháp cụ thể
1. Áp dụng hằng đẳng thức: A AB B   AB2 2 2 2
để biến đổi biểu thức về dạng:
* A a   f   x 2   a  suy ra minA = a khi f(x) = 0
* B b   f   x 2   b  suy ra maxB = b khi f(x) = 0
2. Áp dụng tính chất : x y
xy để tìm GTNN Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi . x y  0
3. Áp dụng tính chất : xyx – y để tìm GTLN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
4. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi ba b  0  b  0 hoặc ab
5. Áp dụng bất đẳng thức: a b a b (a , b ≥0 ) để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0  a  0 hoặc b  0
6. Áp dụng bất đẳng thức CôSi:
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ 0 thì a a a  .
  a ≥ n n a a . a . .. a . ( 2) 1 2 3 n 1 2 3 n
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a a a  .  .  a 1 2 3 n
Từ đẳng thức (1) ta suy ra: - Nếu .
a bk ( không đổi) thì min (a +b) = 2 k  a = b 2 k
- Nếu abk (không đổi ) thì max( a.b) =  a = b 4
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
- Nếu a .a .a .
a k (không đổi ) thì min(a 1 2 3 n
1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n n k
a a a  .  .  a 1 2 3 n nk
- Nếu a a a  .
  a k (không đổi ) thì max(a   1 2 3 n 1.a2.a3 …. an ) =  n
a a a  .  .  a 1 2 3 n
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 37
“Giải bài toán chứa căn”
7. Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0) b b'
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x   ( x   ) 2a a
CÔNG THỨC NÂNG CAO THỰC HIỆN TRONG BIẾN ĐỔI CĂN THỨC: 2 2 A A B A A B A B    2
A  0, B  0, A B 2 2 1. Ví dụ minh hoạ
Bài tập 01: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nội x  4 3 x 1 2
Cho hai biểu thức A  và B  
với x  0; x  1 x 1 x  2 x  3 x  3
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9 ( loại bài toán 2) 1 b) Chứng minh B x 1 A x
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
  5 (loại bài toán 1) B 4 Giải
a) Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có 9  4 3  4 7 A    . 9 1 3 1 2 3 x 1 2 b) B   x  2 x  3 x  3 3 x 1 2  
( x  3)( x 1) x  3
3 x 1 2( x 1) 
( x  3)( x 1) x  3 1  
( x  3)( x 1) x 1 A x x  4 1 x c)   5  :   5 B 4 x 1 x 1 4  x   x   x x     x  2 4( 4) 20 4 4 0 2
 0  x  2  0  x  4 A x
x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì   5 B 4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 38
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 02: Đề thi Tuyển Sinh vào 10 năm 2018 – 2019 Hà Nam 1 1
a) Rút gọn biểu thức A  2  8  6. 3 2 2 a 3 a  2
b) Cho biểu thức B   
với a  0; a  9 . Rút gọn B. Tìm các số a  3 a  3 a  9
nguyên a để B nhận giá trị nguyên. (bài toán 3) Giải: 2 1 1 2 2 .2 a) Rút gọn 2 A  2  8  6. 3  
 6.3  2  2  3 .2  3 2 2 2 2 2 a 3 a  2 a 3 a  2 b) B    =   a  3 a  3 a  9 a  3 a  3
( a  3)( a  3) a ( a  3) 3( a  3) a  2  
( a  3)( a  3)
( a  3)( a  3)
( a  3)( a  3)
a  3 a  3 a  9  a  2 11  
a  3)( a  3) a  9 Để 11 B Z
Z  11 (a  9)  (a  9)U (11) . U(11) 1;11; 1  ; 1   1 a  9
Khi đó ta có bảng giá trị a  9 -11 -1 1 11 a -2 8 10 20 Không thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn
Vậy a 8;10;20 thì B Z
Bài tập 03: Đề thi Tuyển Sinh chuyên chung vào 10 năm 2018 – 2019 Thái Bình Cho biểu thức :  x  4  1 1 P  1 :  
(với x  0, x  ; x  1; x  4 )
x  3 x  2
 2x  3 x 1 4
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm x sao cho P  2019 . (loại bài toán 1) 10
c) Với x  5 , tìm giá trị nhỏ nhất của T P
. (loại bài toán 4) x
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 39
“Giải bài toán chứa căn” Giải:
 ( x  2)( x  2)  a) P  
1.(2 x 1)( x 1)
( x 1)( x  2)   2 x  1 P
(2 x 1)( x 1) x 1 P  4x 1
b) P  2019  4x 1 2019 x  505 10 10 10 2x 18x c) T P   4x  1  (  )  1 x x x 5 5 10 2x 18x 10 2x 18 T  (  )  1 2 . 
.5 1=21 ( Do x  5 và côsi) x 5 5 x 5 5
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 21 khi x  5 .
2. PHẦN BÀI TẬP (Có hướng dẫn giải)
Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16 x x 2 Cho biểu thức B  
1 (với x ≥ 0 và x ≠ 4). x  4 2  x
Rút gọn B và tìm x để B = 1.
Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17. Rút gọn: với 0  x  4
Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15x  3 x  2 9  x   3 x  9  Cho biểu thức P      : 1  2  x 3  x x x  6 x  9    
(với x  0; x  4; x  9 )
a) Rút gọn biểu thức P. 4  2 3.( 3 1)
b) Tính giá trị biểu thức P khi x  6  2 5  5
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 40
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16  1 1  1  Cho biểu thức Q   1  
 (với a  0 và a  1)
1 a 1 a  a
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị biểu thức Q khi a  3  2 2
Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14 2  x x 1 2 x 1
Với x > 0, cho hai biểu thức A  và B   x x x x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để  B 2
Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14 1 1 a 1 a  2
Cho biểu thức: P  (  ) : ( 
) Với a>0;a  1;a  4 a 1 a a  2 a 1 a) Rút gọn P 1
b) So sánh giá trị của P với số 3
Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14 x  2 x  2 x
Cho biểu thức A  (  ) : với x > 0 và x khác 1. x  2 x 1 x 1 x 1
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15 x 1
1) Tính giá trị của biểu thức A  khi x=9 x 1 x  2 1 x 1
2) Cho biểu thức P  (  ). với x > 0 và x khác 1 x  2 x x  2 x 1 x 1
a) Chứng minh rằng P x
b)Tìm các giá trị của x để 2P  2 x  5
Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15 1 x 1
Cho biểu thức A  (  ) : x 1 x 1 x 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 0.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 41
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15 Cho biểu thức A: 2 3 5 x  7 2 x  3 A  (   ) :
(x  0; x  4) x  2 2 x 1 2x  3 x  2 5x 10 x
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 14-15 x 1 1 1
Cho biểu thức: A  : (  ) với x > 0;x  1 2 x x x x 1 1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x  4  2 3
Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hoà năm 15-16 x y y y y x Cho biểu thức M  1 xy
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
b) Tính giá trị của M, biết rằng 2
x  (1 3) ; y  3  8
Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16 1 1 4x  2 Cho biểu thức A    với x 1 2 x 1 x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức A. 4 b) Tìm x khi A = 2015
Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16 x x 2 x 1 x  6 x  4
Cho biểu thức: P   
với x  0; x  4 x  2 x  2 x  4 Rút gọn biểu thức P.
Tìm giá trị của P khi x = 9  4 5
Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17 x 1 2 x  4
Cho biểu thức P  (  ).( x 1
) (với x > 0 và x ≠ 4). x  2 x  4 x
1) Chứng minh rằng P x  3
2) Tìm các giá trị của x sao cho P = x + 3
Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 16-17
x x 1 x x 1 2(x  2 x 1)
Cho biểu thức: A     :   (với x > 0 và x ≠ 1) x x x x x 1   1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 42
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17  1 1  x Cho biểu thức P   :
(x  0; x  1)    x x
x 1 x  2 x 1
1. Rút gọn biểu thức P. 1
2. Tìm các giá trị của x để P  . 2
Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hoá năm 14-15 3x  16x  7 x 1 x  3
Cho biểu thức: P    (Với x > 0) x  2 x  3 x  3 x 1 1.Rút gọn biểu thức P
2.Tính giá trị của biểu thức khi x  2 2  3
Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16 x 11 x 2 x 1
Cho biểu thức: A    x x  2 x 1 x  2
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A
b) Tìm số chính phương x sao cho A có giá trị là số nguyên
Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10 x  x +  1   2 x 2 +3 x  x Cho biểu thức P= + 1  x 1  x
a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P c) Tìm x để P > 0
Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16 2  x 2  x
Cho biểu thức: P  
điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị P khi x  17 12 2
Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17 7 x 2 x  24
Cho hai biểu thức A  và B   với x ≥ 0, x ≠ 9 x  8 x  3 x  9
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 x  8 2) Chứng minh B x  3
3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 43
“Giải bài toán chứa căn”
99 BÀI TOÁN TỔNG HỢP – TỰ GIẢI. (Sưu tầm) 1.1 Rút gọn biểu thức: 15  12 1 a) A   5  2 2  3  a  2 a  2   4  b) B     a      , với a > 0, a ≠ 4 a  2 a  2    a 
TS lớp 10 TPHCM 06 - 07 ĐS : A 2; B 8 1.2 Rút gọn biểu thức:   a) A  2 4  6  2 5     10  2   2  a 1 a 1  2  b) B     1     , với a > 0, a ≠ 1 a 1 a 1    a 1 
TS lớp 10 chuyên TPHCM 06 - 07 ĐS : A 8 ; 2( a 1 ) B a 1 1.3 Rút gọn biểu thức:
a) A  7  4 3  7  4 3  x 1 x 1  x x  2x  4 x 8 b) B       , với x > 0, x ≠ 4 x  4 x  4 x  4 x  
TS lớp 10 TPHCM 08 - 09 ĐS : A 23 ; B 6  1 x  x 1.4 Cho biểu thức: P    :   , với x > 0. x x 1 x  x  
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của P khi x = 4. 13 c) Tìm x để P = . 3
TS lớp 10 Hà Nội 08 - 09ĐS : a) 1 P x 1 ; b) P = 7/2; c) 1 x ; x 9 x 9 5 5 1.5
a) Trục căn thức ở mẫu: và 5 2  3 2 ab  2 b a b) Rút gọn: A  
, trong đó a  0, b > 0 b b
TS lớp 10 Đà Nẵng 08 - 09
ĐS : a) 5; 10 5 3 b) A 2 1.6 Rút gọn biểu thức: 3 3  4 3  4 a) A   2 3 1 5  2 3
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 44
“Giải bài toán chứa căn” x x  2x  28 x  4 x  8 b) B    , với x  0, x  16 x  3 x  4 x 1 4  x
TS lớp 10 TPHCM 11 - 12
ĐS : A 6 ; B x 1 1.7
a) Thực hiện phép tính:  12  75  48: 3 1  5
b) Trục căn thức ở mẫu: 15  5  3 1 
TS lớp 10 An Giang 11 - 12
ĐS : A 1; 3 1 B 2 1.8
a) Thực hiện phép tính: A  3. 27  144 : 36  a  3 a   a 1  b) Rút gọn: B    2 1     , với a  0,a  1 a  3    a 1 
TS lớp 10 Bắc Giang 11 - 12
ĐS : A 7 ; B a 4 1 1.9
Thực hiện phép tính: P  12  5 3  3
TS lớp 10 Bến Tre 11 - 12 ĐS : 20 P 3 3
1.10 Rút gọn biểu thức: 15  12 6  2 6
a) A   32  3 18: 2 b) B   5  2 3  2
TS lớp 10 Bình Thuận 11 - 12
ĐS : A 13 ; B   3 1.11 Tính: 2
M  15x  8x 15 16 , tại x  15
TS lớp 10 Bình Dương 11 - 12 ĐS : M 11 x 1 2 x x  x
1.12 Cho biểu thức: A   , với x  0. x 1 x 1 a) Tìm x để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị của x thì A < 1.
TS lớp 10 Cần Thơ 11 - 12ĐS : a) x 0,x 1 ; b) A 2 x 1 ; c) 0 x 1 2 1
1.13 a) Rút gọn biểu thức: A   1  2 3  2 2  1  1 1 2  b) Cho: B  1      , với x  0, x  1  x  x 1 x 1 x 1
i) Rút gọn biểu thức B.
ii) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 3.
TS lớp 10 Đăk Lăk 11 - 12
ĐS : a) A = 1 b) i) 2 B ii) 9 x x 4
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 45
“Giải bài toán chứa căn”
1.14 a) Tính giá trị các biểu thức: i) A  25  16  9
ii) B  3( 12  5)  5( 3  5)  1 1  x  4
b) Rút gọn biểu thức: C      , với x  0, x  4  x  2 x  2  x
TS lớp 10 Đồng Tháp 11 - 12 ĐS : a) C = 2 x 10 x 5
1.15 Cho biểu thức: A    , với x  0 và x  25. x  5 x  25 x  5
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A khi x = 9. 1 c) Tìm x để A < . 3 x
TS lớp 10 Hà Nội 11 - 12ĐS : a) 5 A ; b) 1 A  
; c) 0 x 100 x 5 4  6  3 5  5  2
1.16 Rút gọn: Q    : .   2 1 5 1 5  3  
TS lớp 10 Đà Nẵng 11 - 12 ĐS : Q 1 x  7 3  x 1.17 Cho P   , với x > 0 và x ≠ 9. x  3 x x
a) Rút gọn biểu thức P. 1 2
b) Tính giá trị của biểu thức Q  P : với x  . x  3 10  3 11
TS lớp 10 Hà Nam 11 - 12 ĐS : a) 2 P
b) Q 11 3 x( x 3 )
1.18 Rút gọn các biểu thức:  3  8  2 12 a) A  3 2 27  75  12   b) B   2  3 1
TS lớp 10 Hải Phòng 11 - 12 ĐS : a) 12 b) 2
1.19 Rút gọn các biểu thức: 2 3 a)    2 A 3 2  3 b) B   24 3  2
TS lớp 10 Thừa Thiên Huế 11 - 12 ĐS : a) 2 b) 6
1.20 Rút gọn các biểu thức: TS lớp 10 Hải Phòng 11 – 12  3  8  2 12 a) A  3 2 27  75  12   b) B 
ĐS : a) A 12 b) B 2  2  3 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 46
“Giải bài toán chứa căn” 1
1.21 Rút gọn biểu thức: A   3 2  3
TS lớp 10 Khánh Hòa 11 - 12 ĐS : A 2 2 x  2 1 1 1.22 Cho P    (x  0, x  1) . 3 1 x 2(1 x ) 2(1 x )
a) Rút gọn biểu thức P. 1
b) Tính giá trị nguyên của x để biểu thức Q  có giá trị nguyên. (x 1)P
TS lớp 10 Kon Tum 11 - 12ĐS : a) 1 P
b) x 0; x 2; x 4
1 x 2 x
1.23 a) Rút gọn biểu thức:    2 A 3 2  3 2 3
b) Trục căn ở mẫu số rồi rút gọn biểu thức : B   24 3  2
TS lớp 10 Huế 11 - 12
ĐS : a) A 2 b) B 6
1.24 a) Tính giá trị của các biểu thức 2
A  25  9; B  ( 5 1)  5 . x  y  2 xy 1 b) Cho P  : (x  0; y  0; x  y) x  y x  y i) Rút gọn P.
ii) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011.
TS lớp 10 Lạng Sơn 11 - 12ĐS : a) A 8;B  1 b) i )P x y ii )P 1  1 1  x 1 1.25 Cho A   :   .
TS lớp 10 Nghệ An 11 – 12 2  x  x x 1  ( x 1)
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 1
b) Tìm giá trị của x để A  . 3
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A  9 x . ĐS : a) x 1 A
b)x = 9/4 c) GTLN P = 1 khi x = 1/97 x
1.26 Rút gọn các biểu thức sau:. a) A  2  8  a b  b) B       a b  b a  (a  0, b  0,a  b) . ab  b ab  a  
TS lớp 10 Ninh Bình 11 - 12
ĐS : a) A 3 2 b) B = a – b
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 47
“Giải bài toán chứa căn”
1.27 Rút gọn các biểu thức: a) A  12  75  48
b) B  (10  3 11)(3 11 10)
TS lớp 10 Kiên Giang 11 - 12
ĐS : a) A 3 b) B 1 x x  8
1.28 Cho biểu thức: P   3(1 x) (x  0) . x  2 x  4
a) Rút gọn biểu thức A. 2P
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q  nhận giá trị nguyên. 1  P
TS lớp 10 Ninh Thuận 11 - 12
ĐS : a) A 12 x b) x = 1
1.29 Rút gọn các biểu thức: 1 1
a) A  3  2 2  3  2 2 b) B   3 1 3  1
TS lớp 10 Phú Yên 11 - 12
ĐS : a) A 2 b) B 1
1.30 Rút gọn các biểu thức: 1 15  12 a) A  2 5  3 45  500 b) B   3  2 5  2
TS lớp 10 Quảng Nam 11 - 12
ĐS : a) A 5 b) B   2
1.31 a) Thực hiện phép tính: A  2 9  3 16 . x 2x  x
b) Rút gọn biểu thức: M   (x  0, x  1) x 1 x  x
TS lớp 10 Quảng Ngãi 11 - 12
ĐS : a) A = 18 b) M x 1
1.32 Rút gọn các biểu thức: 1 1 a) 2 A  (1 2) 1 b) B    5 3 2  3 2  3
TS lớp 10 Quảng Ninh 11 - 12
ĐS : a) A 2 b) B 3 3
1.33 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay). a) M  27  5 12  2 3  1 1  a b) N   : (a  0,a  4)    a  2 a  2  a  4
TS lớp 10 Quảng Trị 11 - 12
ĐS : a) A 11 3 b) N = 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 48
“Giải bài toán chứa căn” 3 1 x  3
1.34 Cho biểu thức: A    (x  0, x  1) . x 1 x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x  3  2 2 .
TS lớp 10 Thái Bình 11 - 12 ĐS : a) 1 A b) 2 A x 1 2 2  3  6  8  4
1.35 a) Đơn giản biểu thức: A  . 2  3  4  1 1 
b) Cho biểu thức: P  a     , với a ≥ 1  a  a 1 a  a 1  i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0.
TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13 ĐS : a) A 12 b) P a 2 a 1 1
1.36 a) Thực hiện phép tính: A   2 . 2 1  1 2  a  3 a  2  b) Rút gọn: B     1 (a  0,a  4)    a  2 a  2 a  a  2  
TS lớp 10 An Giang 12 - 13
ĐS : a) A = 1 b) B = 1
1.37 a) Tìm x để giá trị các biểu thức sau có nghĩa: 4 i) 3x  2 ii) 2x  1 (2  3) 2  3
b) Rút gọn biểu thức: A  2  3
TS lớp 10 Bắc Ninh 12 - 13
ĐS : a) x 2/3, x > ½ b) A = 1
1.38 a) Thực hiện phép tính: A  4  2 3  7  4 3 . 2 5 a  3 3 a 1 a  2 a  8 b) Rút gọn: B    (a  0,a  4) a  2 a  2 a  4
TS lớp 10 Bình Định 12 - 13
ĐS : A = 3, B = 4 – a  1 
1.39 Rút gọn biểu thức: A  1 
x  x  với x  0.  x 1
TS lớp 10 ĐăkLăk 12 - 13 ĐS : A = x 2 3
1.40 Cho biểu thức: A  50x  8x . 5 4
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của x khi A = 1.
TS lớp 10 Bình Dương 12 - 13 ĐS : a) 1 A x b) x = 2 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 49
“Giải bài toán chứa căn”
1.41 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: i) A  3 5  2 5 ii) B  3  4  2 3  x  x  x  x  b) Rút gọn: M  1 1  (0  x 1)    1 x 1 x   
TS lớp 10 Bình Phước 12 - 13ĐS : a) A 5 , B = –1, M = 1 – x
1.42 Rút gọn các biểu thức sau (không sử dụng máy tính cầm tay). a) P  50  6 8  32 . 2 1 b) 2 2 Q 
8x (1  4x  4x ) với x > 0 và x  . 2x 1 2
TS lớp 10 Bình Thuận 12 - 13
ĐS : a) P  3 2 b) Q  4x 2  1 1   a 1
1.43 Cho biểu thức: K  2  :   
 với a > 0 và a  1. 2    a 1 a  a  a  
a) Rút gọn biểu thức K. b) Tìm a để K  2012 .
TS lớp 10 Cần Thơ 12 - 13
ĐS : a) K 2 a b) a = 503
1.44 Rút gọn các biểu thức: 12  3 3  2 2 a) M  b) N  3 2 1
TS lớp 10 Đồng Nai 12 - 13
ĐS : M 3 2,N 2 1
1.45 Rút gọn các biểu thức: 8  2 12 a) A  2 5  5 45  500 b) B   8 3 1
TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13
ĐS : A 5, B   2 x  4
1.46 a) Cho biểu thức A 
. Tính giá trị của A khi x = 36. x  2  x 4  x 16 b) Rút gọn: B    :   , với x  0 và x  16 x  4 x  4 x  2  
c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị
của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. x
TS lớp 10 Hà Nội 12 - 13ĐS : a) 5 2 A b) B
c) {14;15;17;18} 4 x 16
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 50
“Giải bài toán chứa căn”
1.47 a) Tìm các số là căn bậc hai của 36.
b) Cho A  3  2 5 , B  3  2 5 . Tính A + B. x 1 4 1 c) Rút gọn: C   : , với x  0 và x  9 x  3 x  9 x  3
TS lớp 10 Đồng Tháp 12 - 13 ĐS : c) C = 1 5
1.48 a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A  . 6 1  4a a  a 1
b) Cho biểu thức: P     , với a > 0 và a  1 2   a 1 a  a a  
i) Rút gọn biểu thức P.
ii) Với những giá trị nào của a thì P = 3. 4a
TS lớp 10 Hà Tĩnh 12 - 13ĐS : a) 1
A 6 1 b) i) P ii) 1 a 2 a 3  a a   a a 
1.49 Cho biểu thức: A     :     
 với a và b là các số a  b b  a a  b a  b  2 ab     dương khác nhau. a  b  2 ab
a) Rút gọn biểu thức A  . b  a
b) Tính giá trị của A khi a  7  4 3 và b  7  4 3 .
TS lớp 10 Hà Nam 12 - 13
ĐS : a) A = 0 b) A 2 3 / 3
1.50 Tính giá trị của biểu thức H  ( 10  2) 3  5 .
TS lớp 10 Ninh Thuận 12 - 13 ĐS : H = 4
1.51 Rút gọn các biểu thức: 5  5 4
a) N  12 2  3 18  2 8: 2 b) M   5 1 5 1
TS lớp 10 Hải Phòng 12 - 13 ĐS : N = 7; M = 1
1.52 Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức: 1 a) b) x  2 x 1
TS lớp 10 Hòa Bình 12 - 13
1.53 a) Tìm x, biết 3x  2  2(x  2). b) Rút gọn biểu thức: 2 A  (1 3)  3
TS lớp 10 Hưng Yên 12 - 13
ĐS : a) x 2 b) A  1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 51
“Giải bài toán chứa căn” 2  3  6  8  4
1.54 a) Đơn giản biểu thức: A  . 2  3  4  1 1 
b) Cho biểu thức: P  a     , với a ≥ 1  a  a 1 a  a 1  i) Rút gọn P ii) Chứng tỏ P ≥ 0.
TS lớp 10 Khánh Hòa 12 - 13 ĐS : a) A 12 b) P a 2 a 1
1.55 a) Đơn giản biểu thức: A  3  2  113  2  11. ab  a  b a 1 b a 1 b) Chứng minh rằng: 
, với a ≥ 0, a ≠ 1, b. a 1 1 a
TS lớp 10 Kiên Giang 12 - 13
ĐS : a) A 6 2
1.56 a) Tính: A  18  2 2  32 .
b) Rút gọn: 37  20 3  37  20 3
TS lớp 10 Lâm Đồng 12 - 13
ĐS : a) A 2 b) B 10
1.57 Rút gọn các biểu thức sau: a) A  28  63  2 7 .  a  a  a  a  b) B  1 1   
 , với a 0 và a  1. a 1 a 1   
TS lớp 10 Long An 12 - 13
ĐS : a) A = 3 7 b) B 1a
1.58 a) Tính giá trị của các biểu thức sau: 12  27 i) 2 A  ( 3 1) 1 ii) B  3  1 1  x 1 b) Cho biểu thức: P  2  :    x 1
x 1 1  x  x 1 1
i) Tìm x để P có nghĩa và rút gọn P.
ii) Tìm x để P là một số nguyên.
TS lớp 10 Lạng Sơn 12 - 13
ĐS : a) A 3; B 5 b) P 2 / ( x 1 ) , P Z khi x {2; 5}  1 x   2 1  1.59 Cho A    :    
 , với x > 0 và x  1 x  x x 1    x 1 x 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng A – 2 > 0 với mọi x thỏa mãn x > 0 và x  1.  2 ( x 1 )
TS lớp 10 Nam Định 12 - 13ĐS : a) A = x 1 b) A 2 x x
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 52
“Giải bài toán chứa căn”  1 1  x  2 1.60 Cho A       x  2 x  2  x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A > 1/2. 7
c) Tìm tất cả các giá trị của x để B  A đạt giá trị nguyên. 3
TS lớp 10 Nghệ An 12 - 13ĐS : a) A = 2
b) 0 < x < 4 c) x {1/9; 64/9} x 2  1 1   1 2  1.61 Cho Q   :    
 , với x > 0 và x ≠ 1.
 x 1 x  x   x 1 x 1 a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q với x  7  4 3 .
TS lớp 10 Ninh Bình 12 - 13ĐS : a) Q = ( x 1) / x b) Q = 3 3
1.62 Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 1 2 a) A  2  18 b) B    , với x  0; x ≠ 1. 2 x 1 x  1 x 1
TS lớp 10 Quảng Ninh 12 - 13 ĐS : a) A 3 2 b) B 2 / ( x 1) 1
1.63 a) Tính giá trị biểu thức A   9  4 5 . 5  2 2(x  4) x 8 b) Cho biểu thức: B    , với x  0 ; x  16 x  3 x  4 x 1 x  4
i) Rút gọn biểu thức P.
ii) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
TS lớp 10 Thái Bình 12 - 13ĐS : a) 3 x
A  4 b) i) B
ii) x {0;1/4;4} x 1
1.64 a) Thực hiện phép tính: A  4  9  16  25
b) Tìm x dương, biết: x 1  3
TS lớp 10 An Giang 13 - 14 ĐS : a) A 2 b) x 2  8 32 18  1 1.65 Rút gọn: A   6  5 14    9 25 49 2  
TS lớp 10 Bà Rịa – Vũng Tàu 13 - 14 ĐS : A = 123/7
1.66 a) Thực hiện phép tính: A  3. 27  144 : 36 x 2x  x
b) Rút gọn biểu thức: B   , với x  0, x 1. x 1 x  x
TS lớp 10 Bắc Giang 13 - 14
ĐS a) A = – 63 b) B x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 53
“Giải bài toán chứa căn”
1.67 a) Với giá trị nào của x thì biểu thức: x  5 các định ? 2  2 2  2
b) Rút gọn biểu thức: A   2 1 2 1
TS lớp 10 Bắc Ninh 13- 14 ĐS : A = 2 1 1
1.68 Tính : P  8   18 2 2
TS lớp 10 Bến Tre 13 - 14 ĐS : P 0  x x  x 1 1.69 a) Rút gọn: A     :   , với 0 < x ≠ 1. x 1 x  x x 1   2 8  12 5  27
b) Tính giá trị của biểu thức: B   18  48 30  162
TS lớp 10 Bình Định 13 - 14
ĐS : a) A x 1 b) B   6 / 2 25 1 1
1.70 a) Tính giá trị của biểu thức: V  , L   121 2  3 2  3 x  6 x  9 x  4 b) Cho T  
. Tìm x để T có nghĩa và rút gọn T. x  3 x  2
TS lớp 10 Bình Phước 13 - 14ĐS : a) V = 5/11; L = 4 b) T = 1
1.71 a) Tìm x không âm biết: x  2  2  2  2  2 
b) Rút gọn biểu thức P   1 1    . 2 1 2 1   
TS lớp 10 Đà Nẵng 13 - 14
ĐS : a) x = 4 b) P = 1
1.72 a) Rút gọn biểu thức: A  12  27  48 x y  y x 1 b) Chứng minh: :
 x  y với x > 0, y > 0 và x ≠ y. xy x  y
TS lớp 10 Đăk Lăk 13 - 14
ĐS : a) A 3 2 2 ( x 1)  ( x 1) 8
1.73 Cho biểu thức sau: M   , với x > 0, x ≠ 1. 2 x x  x x 1 a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá trị của x để M > 0.
TS lớp 10 Đăk Nông 13 - 14
ĐS : a) M 4 / ( x 1) b) x > 1
1.74 a) Cho hai biểu thức: A  x  3 và B  9  4 i) Tính B.
ii) Với giá trị nào của x thì A = B.  x x   1  b) Chứng minh:    x   2     , với x > 0, x ≠ 1. x 1 x 1    x 
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 54
“Giải bài toán chứa căn”
TS lớp 10 Đồng Tháp 13 - 14
ĐS : a) i) B 1 ii) x 4
1.75 Rút gọn các biểu thức sau a  a a 1 a) A   , với a ≥ 0, a ≠ 1. a 1 a 1 4  2  3  6  8 b) B  2  2  3
TS lớp 10 Hà Nam 13 - 14 ĐS : a) 1 A
b) B 12 a 1 a 1 a 1
1.76 Cho biểu thức A  
, với a  R, a ≥ ), a ≠ 1. a 1 a 1
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A tại a = 2.
TS lớp 10 Đồng Nai 13 - 14 ĐS : a) 4 a A b) A 4 2 a 1 2  x x 1 2 x 1
1.77 Với x > 0, cho hai biểu thức A  và B   x x x  x
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. b) Rút gọn B A 3 c) Tìm x để  . B 2 
TS lớp 10 Hà Nội 13 - 14ĐS : 36 km/ha) 5 A b) x 2 B
c) 0 x 4 4 x 1
1.78 Rút gọn các biểu thức sau: a) P  12  27  2 48  1 1  x  3 b) Q      , với x > 0, x ≠ 9.  x  3 x  3  x
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14
ĐS : a) P 7 3 b) 2 Q x 1 x  2 x  3 x 1 1
1.79 Rút gọn biểu thức: A    , với x ≥ 0. x x 1 x  x 1 x 1
TS lớp 10 Hà Tĩnh 13 - 14 ĐS : 1 A x 1
1.80 Rút gọn các biểu thức sau:
a) M  3 50  5 18  3 8 2 b) N  6  2 5  6  2 5
TS lớp 10 Hải Phòng 13 - 14
ĐS : a) M = 12 b) N = 2 1 1
1.81 a) Thực hiện phép tính:  . 2  3 2  3 b) Rút gọn biểu thức: 6  4  7  2 6
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 55
“Giải bài toán chứa căn”
TS lớp 10 Lâm Đồng 13 - 14
ĐS : a) 4 b) 3 2
1.82 a) Tính giá trị của các biểu thức: A  9  4 ; 2 B  ( 2 1)  2  1 1  x b) Rút gọn: C     
, với x > 0 và x ≠ 1. 2  x 1 ( x )  x  x 1
TS lớp 10 Lạng Sơn 13 - 14 ĐS : a) A 5;B 1 b) C 1 / ( x 1)
1.83 a) Thực hiện phép tính: i) 3. 12 ii) 3 20  45  2 80  1 1   a 1 a  2  b) Cho: P   :      
, với a > 0, a ≠ 1 và a ≠ 4.  a 1 a  a  2 a 1   1 i) Rút gọn P.
ii) So sánh giá trị của P với số . 3 
TS lớp 10 Lào Cai 13 - 14ĐS : a) i) 6 ii) 5 b) i) a 2 P ii) 1 P 3 a 3
1.84 Rút gọn các biểu thức sau: a) A  2 9  25  5 4  x y  y x  b) B    
  x  y  , với x > 0, y > 0. xy  
TS lớp 10 Long An 13 - 14
ĐS : a)A = 1 b) B = x – y  x  2 x  2  x
1.85 Cho biểu thức: A    :   , với x > 0 và x ≠ 1. x  2 x 1 x 1 x 1  
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
TS lớp 10 Nam Định 13 - 14 ĐS : a) A 2 / ( x 1) b) x 2; x 3  2 1  1
1.86 Cho biểu thức P   :  
TS lớp 10 Nghệ An 13 - 14  x  4 x  2  x  2
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. 2 x b) Tìm x để P  .
ĐS: a) x 0,x 4 ; P b) x 36 3 x 2 x  2 x 1  x  x 
1.87 Cho biểu thức: P(x)   1   , với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 x 1  
a) Rút gọn biểu thức P(x). b) Xác định x để: 2 2x  P(x)  0
TS lớp 10 Ninh Thuận 13 - 14 ĐS: a) P( x ) x 1 b) 0 x 1 / 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 56
“Giải bài toán chứa căn”
1.88 a) Tính A  2 16  49  a  a  a  a )  b) Rút gọn: B  1 1   
 , với a ≥ 0 và a ≠ 1. a 1 a 1   
TS lớp 10 Phú Thọ 13 - 14
ĐS: a) A 1 b) B 1a  1 1  1 
1.89 Cho biểu thức A   1  
 , với x > 0 và x ≠ 1.  x 1 x 1 x 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
TS lớp 10 Quảng Bình 13 - 14
ĐS: a) A 2/ x b) x 4
1.90 a) Tính A  3 16  5 36 
b) Chứng minh rằng với x > 0 và x ≠ 1 thì x 1 x 1   . x 1 x  x x
TS lớp 10 Quảng Ngãi 13 - 14
ĐS: a) A 42 50  25 1.91 a) Tính A  36 x x  2x
b) Rút gọn biểu thức: B   , với x > 0 và x ≠ 1. x 1 x  x
TS lớp 10 Quảng Ninh 13 - 14
ĐS: a) A 15/2 B) b x 1
1.92 Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp: 2 a) A   2 2 b) 2
B  3 8  50  ( 2 1) 2 1
TS lớp 10 Thừa Thiên – Huế 13 - 14 ĐS: a) A = 2 b) B = 1 3 4 21
1.93 Rút gọn biểu thức: A    7  2 3  7 7
TS lớp 10 Tiền Giang 13 - 14 ĐS: A 4 1 1
1.94 a) Tính giá trị của biểu thức A   6  2 6  2
b) Rút gọn biểu thức B x 1 2 x  2 1 x  2 với 2  x  3
TS lớp 10 Cà Mau 14 - 15
ĐS: a) A 6 / 2 b) B = 2 10 x 2 x  3 x 1
1.95 Rút gọn: A   
(x  0; x  1) x  3 x  4 x  4 1 x
TS lớp 10 Hải Dương 14 - 15
ĐS: A (7 3 x ) / ( x 4 )
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 57
“Giải bài toán chứa căn” x 1
1.96 a) Tính giá trị của biểu thức A  khi x = 9 x 1  x  2 1  x 1 b) Cho biểu thức P   .   với x > 0 và x  1  x  2 x x  2  x 1 x 1 i) Chứng minh rằng P  x
ii) Tìm các giá trị của x để 2P  2 x  5
TS lớp 10 Hà Nội 14 - 15ĐS: a) A = 2 b) i) HS tự cm ii) x = 1/4  1 x  1
1.97 Cho biểu thức A     :   x 1 x 1 x 1  
a) Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A< 0.
TS lớp 10 Nghệ An 14 - 15 ĐS: a) x ≥ 0 và x ≠ 1 b) 0 ≤ x < 1 1 1 a
1.98 Cho biểu thức: A   
với a  0; a  4 a  2 a  2 a  4 a) Rút gọn A 2
b) Tính giá trị của biểu thức A  khi a  7  4 3 3
TS lớp 10 Quảng Bình 14 - 15 ĐS: a) A x / ( x 2 ) b) A = 1
1.99 a) Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức sau:
A   22  7 2  30  7 11  x x 1 x  6   x  2 
b) Rút gọn biểu thức B      : 1  x  2 x  2 x  4   x  2 
TS lớp 10 Thái Nguyên 14 - 15ĐS: a) A = 38 b) B ( x 2 ) / ( x 2 )
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 58
“Giải bài toán chứa căn”
PHẦN ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ.
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản.
Bài tập 01. A  3( 27  4 3)  81  4 9  9  4.3  21
Bài tập 02.
A  (2 3  5 27  4 12) : 3  (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3  5  3 : 3  5 
Bài tập 03. A  27  2 27  75  3 3  4 3  5 3  6  3
Bài tập 04. A  12  27  48  2 3  3 3  4 3  3 Bài tập 05. 2 2
B  2 3  3 27  300  2 3  3 3 .3  10 .3  2 3  3.3. 3 10 3  3
Bài tập 06.
A  (2 3  5 27  4 12) : 3  (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3  5  3 : 3  5 
Bài tập 07. A  5 5 12 5  6 5  4 5  5  5
Bài tập 08. A  3 2  4 9.2  3 2 12 2  15 2
Bài tập 09. A  2 3  4 27  5 48  2 3 12 3  20 3  10 3 Bài tập 10.
M  (3 50  5 18  3 8) 2  (15 2 15 2  6 2) 2  6 2. 2  12
Bài tập 11. 2 9  25  5 4 = 5+6-10 =1
Bài tập 12. 2 32  5 27  4 8  3 75 2 2 2 2
 2 4 .2 5. 3 .3 4. 2 .2 3. 5 .3
 8 2 15 3 8 2 15 3 = 0
Bài tập 13. 2 2 2
a) A  2 3.5  3 3.2  3.3  2.5. 3  3.2. 3  3 3
10 3  6 3  3 3  7 3
Bài tập 14. A  2 5  3 45  500  2 5  3.3 5 10 5  5
Bài tập 15.
M  (3 50  5 18  3 8) 2  (15 2 15 2  6 2) 2  6 2. 2  12
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 59
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 16. 2 2
A  3  2 .3  3 .3  3  2 3  3 3  2 3
Bài tập 17. 2 2
B  2 .5  3 .5  2 5  2 5 3 5  2 5  5
I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” Bài tập 01.
B  (3 2  6) 6  3 3  (3  3) 12  6 3
 (3  3) | 3  3 | (3  3)(3  3)  9  3  6
Bài tập 02. 2
b)B  ( 5 1) 6  2 5  ( 5 1) ( 5 1)  ( 5 1) | 5 1|  ( 5 1)( 5 1)  5 1  4
Bài tập 03. 1
A  7  2 10  20  8 2 1 2
 ( 5  2)  2 5  .2 2 2  | 5  2 | 2
 5  2  5  2  2 5  2(Do 5  2  0)  3 5
Bài tập 04. Có B= | 2  3 |  3  2  3  3  2(Do 2> 3)
Bài tập 05: 21 B
 42 3 62 523 42 3  62 5215 15 2 21   31 5 2
1  3 3 1 5  2 1 15 15 2 15   3 52 15 15 60 2
Bài tập 06.
B  (3 2  6) 6  3 3  (3  3) 12  6 3
 (3  3) | 3  3 | (3  3)(3  3)  9  3  6
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 60
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 07.    2 3 1 3 1 4 2 3 P     1 1 3 1 3 1 3  2      2 3 2 3 1 3 1 4 2 3 B    6  2 2  3   1 2  3   1 3 1 3 1 1 2     2  3   1 2  3   1 2 2
I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng…
Bài tập 01. 5 P   2 5 5  2 5  2 5( 5  2) 5 10  4 5   5  2 5  2 5 5 10 5( 5  2)    5 5  2 5  2
Bài tập 02: 1 1 6 6 B      3 2 2 3  7 3  7 9  7 3  7
Bài tập 03. P  5  2  5  2  2 5
Bài tập 04. 1 1 3  2 3  2 B     3  2 3  2 3  2 3  2
 3  2  3  2  2 3
Bài tập 05. 2 1 2 9.2 2( 2 1) 3 2  18     2  2 3 1 2 3 1 2 3 2  2   2  2  2  2  2 1 
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 61
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 06. 2 B   28  54 7  6 2( 7  6)   7.4  9.6 ( 7  6)( 7  6) 2 7  2 6   2 7  3 6 7  6
 2 7  2 6  2 7  3 6  5 6
Bài tập 07: Ta có:
A B  ( 3 1)  ( 3 1)  2 3 2 2
AB  ( 3 1)( 3 1)  ( 3) 1  3 1  2 2 A 3 1 ( 3 1) 4  2 3     2  3 B 3 1 ( 3 1)( 3 1) 2 2 2 2 2
A B  ( A B)  2 AB  (2 3)  2.2  12  4  8
Bài tập 08. 2 3   1 2 3   1 P            3   1  3   3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 3 1 3 1
Bài tập 09. 2 B   28  54 7  6 2( 7  6)   7.4  9.6 ( 7  6)( 7  6) 2 7  2 6   2 7  3 6 7  6
 2 7  2 6  2 7  3 6 5  5 5 3 5 A     5 6 5  2 5 1 3  5 (5  5)( 5  2) 5( 5 1) 3 5(3  5)
Bài tập 10.    ( 5  2)( 5  2) ( 5 1)( 5 1) (3  5)(3  5) 5  5 9 5 15  3 5  5   4 4 5  5  9 5 15  3 5  5  4  3 5  5  5  2 5  5
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 62
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 11. 6 M   | 2  3 |  75 2  3
 6(2  3)  2  3  5 3 14
Bài tập 12. 1 A   7  4 3 2  3 1 1 2   4  4 3  3   (2  3) 2  3 2  3 1 2  3 2  3   2  3   2  3   2  3  4 2  3 (2  3)(2  3) 1
Bài tập 13.
Bài tập 14. 2  3 2  3 Ta có a) A   1 4  2 3 1 4  2 3 2 (2  3) 2 2 2  3 2  3 A  ( 5)  2     3 2 1 3  2.1. 3 1 1 3  2.1. 3 1 2  3 2  3 2  3  5  4  1 ( 1  )  2   3  2 2 2 1 ( 3 1) 1 ( 3 1) 2  3 2  3   1 3 1 1 3 1
Bài tập 15. 2  3 2  3   3 3  4 3  4 2  3 2  3 A   2 3 1 5  2 3
(4  4 3  3)  (3  4 3  3)  4 1
3 342 3 1  3452 3   14 2 2 2  2 3 1 5  2 3 1  14 22 11 3 26 13 3   11 13  2  3  2  3         2     2 4 2 3 4 2 3 1  3 1 3 1  2 2 2   1       1 3 1 3 1  .( 2  )   2 2 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 63
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 16.  5 3 5 3 1 1 5  3  5  3 2  3 A        3 5  3 5  3  5 3 5 3 5  3 2 1 2 2 1 1 2 C       2  3 6 3  3 2  3 3 3  3   1 3  3  
1  2  3 3   1  22  3  3  3   1 2  3 2   32 2 3 4    3  3   1 2  3 3  3   1 2  3 2. 3  3   1 2 3  3   1 3  3   1 3  3 3       3 3   1  3   1    1 3 3 1 3 3 3
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức Bài tập 01. 2 2 (a b)  (a  ) b
a b a b    b a b M  ( )(a b a ) 2 .2    4 ab ab ab Bài tập 02. B
x 1 2 x  2 1
x  2 với 2 ≤ x < 3 2 B  ( x  2 1) 1 x  2 |  x  2 1| 1   x  2
  x  2 11 x  2  2
(Vì 2 < x < 3 => x  2 – 1 < 0)
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 64
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 03. 2 x x 1 x  2 a) A  (  ) : (1 ) với x ≥ 0, x ≠ 1 x x 1 x 1 x x 1  2 x x x x 1 
x x 1 ( x  2)     :  3 3  ( x ) 1 ( x ) 1 x x 1  
2 x x x x 1 x x 1  .
( x 1)( x x 1)
x x 1 x  2
2 x x x x 1 
( x 1)(x 1) x 1
 ( x 1)(x1) 1  x1 Bài tập 04: Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có  x3 1
x  1 x  1 xx 1 A       x   x 1  x    1 1 x 1 x 1
x x 1  x  2 1 x   x 1 x 1
x   x   1 1 A 1   x 1 x 1 Bài tập 05. 2 2
D  ( x 1) . ( x 1) |
x 1|.( x 1)
- Nếu x 1  0  x  1  D  ( x 1)( x 1)  x 1
- Nếu x 1  0  0  x  1  D  ( x 1)( x 1)  1 x Bài tập 06: x 1 2   x ( x 1) 1 xQ    .      
( x 1)( x 1) x 1 x 1 x (1 x )      x 1 2  1         x 1 x 1 x 1   .( x  )     .      x 1 x 1 x   x 1    x x
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 65
“Giải bài toán chứa căn”
Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: Bài tập 01.
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có: 4 2 x  5 B    x 1 1 x x 1 4( x 1) 2  ( x 1) x  5   
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1)
4( x 1)  2( x 1)  ( x  5) 
( x 1)( x 1) x 1 1  
( x 1)( x 1) x 1 1 Vậy B = x 1 Bài tập 02. x 2 x 1 B    x 1
( x 1)( x 1) x 1
x ( x 1)  2 x  ( x 1) x
x  2 x x 1 B  
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1) 2 x  2 x 1 ( x 1) x 1 B   
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1) x 1 Bài tập 03.
Điều kiện x  0 và x  1 x x x 1 x ( x 1)
( x 1)( x 1) G    
x  ( x 1)  1 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài tập 04. Có
(2  x )( x 1)
(2  x )( x 1) P  
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1)
(x x  2)  (x x  2) 2 x   x 1 x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 66
“Giải bài toán chứa căn”
Bài tập 05. Với x  0 và x  4 ta có: x 2 x  4 A  (  ) : x  2 x  2 x  2 x ( x  2) 2( x  2) x  2  (  ).
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2) x  4
x  2 x  2 x  4 x  2  .
( x  2)( x  2) x  4 1  x 2 x  2  x4 Bài tập 06. 1 1 x  2 B  (  ) x  2 x  2 x
( x  2)  ( x  2) x  2  .
( x  2)( x  2) x 2 x ( x  2) 2  
x ( x  2)( x  2) x  2
(x  0; x  4) Bài tập 07.
ĐK: a  0;a 1
a 1 ( a 1) a 1  :
( a 1)( a 1) a 1 2 a 1  . a 1 a 1 2  a1
Bài tập 08: với x > 0 và x ≠ 4. 1 1 x  2 B  (  ) x  2 x  2 x
( x  2)  ( x  2) x  2  .
( x  2)( x  2) x 2 x ( x  2) 2  
x ( x  2)( x  2) x  2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 67
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 09: 2 2 a 1 a 1
( a 1)  ( a 1)
a  2 a 1 a  2 a 1 4 a A      a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 Bài tập 10. 1 1 1
x  ( x 1) x x B  (  ) :  . x 1 x x x x ( x 1) 1 1 x x  . 1 x x 1 Bài tập 11.
x  4  x  4 x  4 2 x x  4 Q  .  .
( x  4)( x  4) x
( x  4)( x  4) x 2  x 4 Bài tập 12.
x 1 x 1 1 2 x 1 2 Q   .  .  (0  x  1) ( x 1) x x 1 x x 1   Bài tập 13. 1 1
Với x > 0 có P  (  )(x x x) x x 1 x 1 x  .x( x 1) x ( x 1) 1  . .( x x 1)  x x ( x 1) Bài tập 14. 1 1 a 1 a  2 P  (  ) : (  ) a 1 a a  2 a 1
a a 1  ( a 1)( a 1)
( a  2)( a  2)   :      a ( a 1)
( a  2)( a 1)
( a  2)( a 1)   1
( a  2)( a 1) a  2  .  a ( a 1) (a 1)  (a 4) 3 a
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 68
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 15. 3 4 12 B   
(x  0; x  4) x  2 x  2 x  4
3( x  2)  4( x  2) 12 =
( x  2)( x  2) 7 x 14 =
( x  2)( x  2) 7( x  2) 7 = 
( x  2)( x  2) x  2 Bài tập 16. 3 x 1 x 1 A  (   3). x 1 x 1 x  2
3 x ( x 1)  ( x 1)  3( x 1)( x 1) x 1  .
( x 1)( x 1) x  2
3x  3 x x 1 3x  3 x 1  . x 1 x  2 2( x  2) x 1  . x 1 x  2 2  x 1 Bài tập 17. Ta có:  4 x 8x   x  4 1  P     :        2  x 4  x x  2 x x    
4 x.(2  x )  8x
x  4  ( x  2)  : (2  x )(2  x ) x ( x  2) 4  x  8 x 2 x  2  : (2  x )(2  x ) x ( x  2) 4 x x ( x  2)  2x . . Vậy P  2  x 2 x  2 x 1 2xx 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 69
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 18.
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
a  ( a 1) ( a 1)( a 1)  ( a  2)( a  2) P  : a ( a 1)
( a  2)( a 1) 1
(a 1)  (a  4) 1
( a  2)( a 1)  :  .
a ( a 1) ( a  2)( a 1) a ( a 1) 3 a  2  3 a Bài tập 19. Ta có: 1 1 3 a N  (  ) : a  2 a  2 a  4
a  2  a  2 a  4  .
( a  2)( a  2) 3 a 2 a a  4  . a  4 3 a 2  3 Bài tập 20. 2 3 5 x  7 2 x  3 A  (   ) : x  2 2 x 1 2x  3 x  2 5x 10 x
2(2 x 1)  3( x  2)  (5 x  7) 2 x  3  :
( x  2)(2 x 1) 5 x ( x  2) 2 x  3 5 x ( x  2)  .
( x  2)(2 x 1) 2 x  3 5 x  2 x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 70
“Giải bài toán chứa căn”
Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
Bài tập 01. x y y x 1 xy ( x y ) :  .( x
y )  x y xy x y xy Bài tập 02 a b b a a b
ab ( a b )
( a b )( a b ) B     ab a b ab a b B
a b a b  2 a với a,b, là số dương.  a a   a  5 a
Bài tập 03. A  3  3     với a ≥ 0, a ≠ 25 a 1 a  5    
a ( a 1)   a ( a  5)   3 3     a 1 a  5   
 (3 a)(3 a)  9  a
Bài tập 04. Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có  a a    a a   P      
    a   a    a 2 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 a a 1 1 a     Bài tập 05. a a a a M  ( 1)(1 ) a 1
1 a với a  0;a 1 a ( a 1) a ( a 1)  ( 1)(1 ) a 1 1 a
 ( a 1)(1 a) 1 a Bài tập 06. a a a a M  ( 1)(1 ) a 1 1 a a ( a 1) a ( a 1)  ( 1)(1 ) a 1 1 a
 ( a 1)(1 a) 1 a
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 71
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 07. a a   a  2 a P  1 .1    
 với a  0;a 1 a 1 a  2      a a   a  2 a P  1 .1    
với a  0;a 1 a 1 a  2     a ( a 1) a ( a  2)  (1 )(1 ) a 1 a  2
 (1 a)(1 a) 2 2
1  ( a) 1 a Bài tập 08.x  0 x  0 ĐKXD:    x  4  0 x  4 2 1 1 2  x  2 x P  (  ) :  .( x  2)  x  4 x  2 x  2
( x  2)( x  2) x  2 3 x 3 P    2 x  2 2
 2 x  3 x  6  x  6  x  36(TM ) Bài tập 09. x  0 Điều kiện  x  1 x 1 x 1 1 x 1 1 A  :  . 
( x 1)( x 1) x 1
( x 1)( x 1) 1 x 1 Bài tập 10.
ĐKXĐ : x 0 , x  4 (0,5 đ) Rút gọn: 1 4 x  2  4 x  2 P     x  2 x  4
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2) 1  x 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 72
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 11.
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9  x 1 x  3  P     ( x  3)
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)  
x 1 ( x  3)  .( x  3)
( x  3)( x  3) 4  x 3 Bài tập 12. x 1 2 x  4 P  (  ).( x 1 ) x  2 x  4 x
 ( x 1)( x  2)
2   ( x 1) x x  4     .       x  4 x  4 x x    
x  3 x x  4  . x  4 x x ( x  3)  xx  3 Bài tập 13. x 1 x 1 x x 1     x 1 x x x 1 x ( x 1) x ( x 1) x 1
( x 1)( x 1) x 1    x ( x 1) x ( x 1) x Bài tập 14. Ta có: x x  2x x x  2x A     x 1 x x x 1 x ( x 1) x x  2x
x (x 2 x 1)    x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 2 ( x 1)   x 1 x 1
Kết luận: A x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 73
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 15. Ta có: x x  2x x x  2x A     x 1 x x x 1 x ( x 1) x x  2x
x (x 2 x 1)    x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 2 ( x 1)   x 1 x 1 Bài tập 16. x  2  x x 1
( x 1)( x  2) x 1 x 1 P  ( ).  ( ).  x( x  2) x 1 x( x  2) x 1 x Bài tập 17. x 1 5 x  2
( x 1)( x  2)  5 x  2 Với Q    x  2 x  4 x  4
x  3 x  2  5 x  2 x  2 x x( x  2) x     x  4 x  4
( x  2)( x  2) x  2 Bài tập 18.
( x 1)(x x)  (2 x 1) x x x  2x 1 x  2 B   1 
x(x x) x x x x 1 x 1 Bài tập 19: Giải. 3  3 3( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
a)P  ( 3 1)  ( 3 1)   1 2 3 2 3 2 2 1 1 2
x  2  x  2 x  2 b) Q  (  )(1 )  ( )( ) x  2 x  2 x
( x  2)( x  2) x 2 x x  2 2  ( )( ) 
( x  2)( x  2) x x  2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 74
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 20. x 12 6 x 12 6 B     0,5 6 x  36 x  6 x 6( x  6) x ( x  6)
x ( x 12)  6.6 x 12 x  36 B=  0,5 6 x ( x  6) 6 x ( x  6) 2 ( x  6) x  6 B=  0,5 6 x ( x  6) 6 x Bài tập 21. x 1 x C  (  )    x( x 1) x( x 1) x 1 x( x 1) 1 C  
x( x 1)( x 1) x 1 Bài tập 22. 1 2 x P  (  ) x  2 x  2 x x  2 x 2 x  (  ) x ( x  2) x ( x  2) x  2 x  2 x 1  .  x ( x  2) x  2 x  2 Bài tập 23. x  2 x  2 x A  (  ) : x  2 x 1 x 1 x 1  x  2 x  2  x 1  A    .  2  ( x 1)
( x 1)( x 1) x  
 ( x  2)( x 1) ( x  2)( x 1)  x 1    .  2 2 
( x 1) ( x 1)
( x 1) ( x 1) x  
x x  2 x  2  (x x  2 x  2) x 1  . 2
( x 1) ( x 1) x 2 x x 1  . 2
( x 1) ( x 1) x 2  x1 2 Vậy A= x  1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 75
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 24. x x 2 x 1 x  6 x  4 P    x  2 x  2
( x  2)( x  2)
(x x )( x  2)  (2 x 1)( x  2)  x  6 x  4 
( x  2)( x  2)
x x  2x x  2 x  2x  4 x x  2  x  6 x  4 
( x  2)( x  2)
x x  2x x  2 
( x  2)( x  2)
x( x  2)  x  2
(x 1)( x  2)  
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2) x 1  x  2 x 1
Vậy với x  0; x  4 thì P= x  2 Bài tập 25. 2
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) 2( x 1) A     : x ( x 1) x ( x 1)
( x 1)( x  2)  
x x 1 x x 1 2( x 1)     :   x x x 1   2 x x 1  . x 2( x 1) x 1  x 1
Bài tập 26. x 1 1 1 A  : (  ) 2 x x x x 1 x 1 x 1 x  : ( )
x( x 1)( x 1) x ( x 1) 1 x ( x 1)  . x( x 1) 1 1  x
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 76
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 27. 4 3 6 a  2 P    a 1 a 1 a 1
4( a 1) 3( a 1) 6 a  2    a 1 a 1
( a 1)( a 1)
4 a  4  3 a  3  6 a  2 
( a 1)( a 1) a 1
( a 1)( a 1) 1  a 1 Bài tập 28. Với x 0;x9
x  3 x  3 x  9 x  3 A  ( ).
( x  3)( x  3) x  9 1  x 3 21 2 2 B
( 4  2 3  6  2 5 )  3( 4  2 3  6  2 5 ) 15 15 2 21 2 2 
( 3 1 5 1)  3( 3 1 5 1) 15 15 2 15 2  ( 3  5) 15 15  60 2 x 1 2 6 B  (  ) : (1  )(x  0) x  3 x x  3 x x  3 x x 1 x  2 6  (  ) : (  ) x  3 x  3 x x ( x  3)
x 1 ( x  2)( x  3)  6  : x  3 x ( x  3) x  ( x 1). 1 x x
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 77
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 29. 1 2 x 1 A    x ( x 1)
( x 1)( x 1) x ( x 1)
x 1 2 x x  ( x 1) 
x ( x 1)( x 1) 2x  2  x(x1) 2  x Bài tập 30.
x ( x  2)  ( x 1)( x  2)  x 10 2x  8 A    2 x  4 x  4
B  (13  4 3)(7  4 3)  8 20  2 43  24 3 2 2 2
 (2 3 1) (2  3) 8 20  2 (4  3 3) 2
 (3 3  4) 8 20  2(4  3 3) 2 2
 (3 3  4) 8 (3 3 1)
 43 24 3 8(3 3 1)  35 Bài tập 31. x 2 x  24 x ( x  3) 2 x  24 B     x  3 x  9
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
x  3 x  2 x  24
x  3 x  8 x  24  
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
x ( x  3)  8( x  3)
( x  8)( x  3) x  8   
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3) x  3 Bài tập 32.
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:  a 1 3 a  5
 (a  2 a 1)  4 a P    .
(a 1)( a 1)
(a 1)( a 1) 4 a   2 4 a  4 a  2 a 1 4 ( a 1)  .  . 2 2
( a 1) ( a 1) 4 a ( a 1) 4 a 1  a
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 78
“Giải bài toán chứa căn” Bài tập 33.
x  2 x( x  3)  x( x  3) ( x  3)( x  3)  x P  : x (x  9) x  3 9 x 9   :
x ( x  3)( x  3) x  3 9 x ( x  3) 1        9 x ( x 3)( x 3) x 3 Bài tập 34. a a a 1 B  (  ) : với a>0; a  4 a  2 a a  2 a  4 a  4 2  a a  ( a  2)   .    a  2 a a  2  a 1 2 2
a a ( a  2)
a (1 a ) ( a  2)  .  .  a( a  2) a  2 a 1 a  2 a 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 79
“Giải bài toán chứa căn”
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ
Bài 1: Tuyển sinh Hà Nam năm 15-16 x
x  2( x  2)  x  4 3  x B   x  4 x  4 3  x B  1 
 1 x  3 x  4  0  ( x 1)( x  4)  0  x  1(TM) x  4
Bài 2: Tuyển sinh Hà Nam năm 16-17. B= = Để B = 12   x = (thỏa đk 0< x
Bài 3: Tuyển sinh chuyên Hà Nam năm 14-15
x 9  4 x  9 xx 93 x 9 a) P  
2  x 3  x  : x  9    x
x 3 x 3 4  2 x  
x   x : 2 3 x x  3 x  3 2 1  3   1  3 1 3 1 b) x       2 2 1 5  5 1 5  5 2  2 Nên P   2 1 2
Bài 4: Tuyển sinh chuyên chung Hà Nam năm 15-16 Giải 1 a 1 a a 1 2 a a 1 2 a) Q  .  . 
(1 a )(1 a ) a
(1 a )(1 a ) a 1 a b) a      2 3 2 2 2 1  a  2 1 Khi đó 2 Q    2 1 2 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 80
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 5: Tuyển sinh Hà Nội năm 13-14 2  64 2  8 5
1) Với x = 64 ta có A    64 8 4
( x 1)(x x)  (2 x 1) x x x  2x 1 x  2 2) B   1 
x(x x) x x x x 1 x 1 3) Với x > 0 ta có: A 3 2  x 2  x 3 x 1 3   :    B 2 x x 1 2 x 2
 2 x  2  3 x x  2  0  x  4 (Do x>0)
Bài 6: Tuyển sinh Lào Cai năm 13-14 a) Rút gọn 1 1 a 1 a  2 P  (  ) : (  ) a 1 a a  2 a 1
a a 1  ( a 1)( a 1)
( a  2)( a  2)   :      a ( a 1)
( a  2)( a 1)
( a  2)( a 1)   1
( a  2)( a 1) a  2  .  a ( a 1) (a 1)  (a 4) 3 a 1
b) So sánh giá trị của P với số 3 Xét hiệu: a  2 1 a  2  a 2      0 3 a 3 3 a 3 a 1  P  3
Bài 7: Tuyển sinh Nam Định năm 13-14 x  2 x  2 x A  (  ) : x  2 x 1 x 1 x 1  x  2 x  2  x 1 A    .  2  ( x 1)
( x 1)( x 1) x  
 ( x  2)( x 1) ( x  2)( x 1)  x 1    .  2 2 
( x 1) ( x 1)
( x 1) ( x 1) x   .
x x  2 x  2  (x x  2 x  2) x 1  . 2
( x 1) ( x 1) x 2 x x 1  . 2
( x 1) ( x 1) x 2  x1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 81
“Giải bài toán chứa căn” 2 Vậy A= x  1 2
b) Với x > 0 và x  1 ta có: A= x  1
Chỉ ra khi A có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi x – 1 là ước của 2 Mà Ư{2} = {-2 ;-1 ;1 ;2}
TH1 : x – 1 = -2  x = -1 (không thỏa mãn điều kiện)
TH2 : x – 1 = -1  x = 0 (không thỏa mãn điều kiện)
TH3 : x – 1 = 1  x = 2 ( thỏa mãn điều kiện)
TH4 : x – 1 = 2  x = 3 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 2, x = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 8: Tuyển sinh Hà Nội năm 14-15 Giải: 3 1
1. Với x = 9 ta có A   2 3 1 x  2  x x 1
( x 1)( x  2) x 1 x 1 2. a) P  ( ).  ( ).  x( x  2) x 1 x( x  2) x 1 x b)Từ câu 2a ta có 2 x  2
2P  2 x  5   2 x  5 x
 2 x  2  2x  5 x va x>0
 2x+3 x  2  0 va x>0
 ( x  2)(2 x 1)  0 va x>0  2 x 1  0 1  x  4
Bài 9: Tuyển sinh Nghệ An năm 14-15 x  0 a). Điều kiện  x  1 x 1 x 1 1 x 1 1 A  :  . 
( x 1)( x 1) x 1
( x 1)( x 1) 1 x 1 b). A<0 thì 1  0 x 1  x 1  0  x  1  x  1
Kết hợp ĐK: để A < 0 thì 0 ≤ x < 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 82
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 10: Tuyển sinh Thái Bình năm 14-15 Giải:
1.Với x>0;x  4 , biểu thức có nghĩa ta có: 2 3 5 x  7 2 x  3 A  (   ) : x  2 2 x 1 2x  3 x  2 5x 10 x
2(2 x 1)  3( x  2)  (5 x  7) 2 x  3  :
( x  2)(2 x 1) 5 x ( x  2) 2 x  3 5 x ( x  2)  .
( x  2)(2 x 1) 2 x  3 5 x  2 x 1 5 x
Vậy với x>0;x  4 thì A= 2 x 1 2.Ta có x  0, x   0; x  4 5 x 5 5 5  A     2 x  2 2(2 x 1) 2 5
 0  A  , kết hợp với A nhận giá trị là một số nguyên thì A {  1;2} 2 1 1
A  1  5 x  2 x 1  x   x  (TM ) 3 9
A  2  5 x  4 x  2 
x  2  x  4(L) 1 Vậy với x
thì A nhận giá trị là một số nguyên. 9
Bài 11: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 14-15 Với với x > 0;x 1 x 1 1 1 A  : (  ) 2 x x x x 1 x 1 x 1 x  : ( )
x( x 1)( x 1) x ( x 1) 1 x ( x 1)  . x( x 1) 1 1  x Với 2 2
x  4  2 3  ( 3 1) 
x  ( 3 1)  3 1 1 3 1  A   3 1 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 83
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 12: Tuyển sinh Khánh Hoà năm 15-16 a) ĐK: x0; y0 x y
y y y x
x y y x x y M   1 xy 1 xy xy ( x y )  ( x y ) ( x y )(1 xy )    x y 1 xy 1 xy b) Với 2
x  (1 3) ; y  3  8 = 2 3  2 2  ( 2 1) 2 2
M  (1 3)  ( 2 1)  3 1 2 1  3  2
Bài 13: Tuyển sinh Quảng Bình năm 15-16 1 1 4x  2 a) A    với x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4x  2    2 2 2 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 4x  2  (x 1)(x 1) 4x  4 4   ( với x 1) (x 1)(x1) x 1 4 A  với x 1 x 1 b) 4 Khi A= 2015 4 4   x 1 2015 =>x-1=2015 x=2016(TMĐK) 4 Vậy khi A  thì x = 2016 x 1
Bài 14: Tuyển sinh Thái Bình năm 15-16 Giải
a) Với x  0; x  4 ta có: x x 2 x 1 x  6 x  4 P    x  2 x  2
( x  2)( x  2)
(x x )( x  2)  (2 x 1)( x  2)  x  6 x  4 
( x  2)( x  2)
x x  2x x  2 x  2x  4 x x  2  x  6 x  4 
( x  2)( x  2)
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 84
“Giải bài toán chứa căn”
x x  2x x  2
 ( x 2)( x 2)
x( x  2)  x  2
(x 1)( x  2)  
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2) x 1  x  2 x 1
Vậy với x  0; x  4 thì P= x  2 b) Ta có: 2
x  9  4 5  (2  5) (thỏa mãn điều kiện xác định)  x  2  5    Khi đó : 9 4 5 1 10 4 5 P    2 5  4 2  5  2 5
Vậy với x  9  4 5 thì P= 2 5  4
Bài 15: Tuyển sinh Nam Định năm 16-17 x 1 2 x  4 P  (  ).( x 1 ) x  2 x  4 x
 ( x 1)( x  2)
2   ( x 1) x x  4     .       x  4 x  4 x x    
x  3 x x  4  . x  4 x x ( x  3)  xx  3 Vậy P= x  3
2. Với x > 0 và x ≠ 4 Ta có:
P x  3 
x  3  x  3
 x x  0
 x( x 1)  0 x  1  x  0
Đối chiếu với điều kiện ta được x = 1 thỏa mãn
Vậy x = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 85
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 16: Tuyển sinh Thanh Hoá năm 16-17 Giải 1) Có 2
( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) 2( x 1) A     : x ( x 1) x ( x 1)
( x 1)( x  2)  
x x 1 x x 1 2( x 1)     :   x x x 1   2 x x 1  . x 2( x 1) x 1  x 1 x 1 2 2 2) A   1 x 1 x 1 2
Vì x nguyên nên ta có A nguyên 
nguyên  x 1 là ước của 2 x 1
Mặt khác x > 0, x ≠ 1 nên x 1>-1. Do đó:  x 1 1  x  2 x  4     (TM )       x  9 x 1 2 x 3
Vậy x = 4 hoặc x = 9 thỏa mãn đề bài.
Bài 17: Tuyển sinh Chuyên Sơn La năm 16-17  1 1  x
a) Rút gọn biểu thức: P   :
(x  0; x  1)    x x
x 1 x  2 x 1 2  1 x  ( x 1)    .   x ( x 1) x ( x 1) x   2 1 x ( x 1)  . x ( x 1) x
( x 1)( x 1)  x x x 1  x 1
b)Tìm các giá trị của x để P  2 x 1 1 1 Với x > 0, x  1 thì
  2(x 1)  x  x  2 . Vậy với x > 2 thì P x 2 2
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 86
“Giải bài toán chứa căn”
Bài 18: Tuyển sinh Lam Sơn – Thanh Hoá năm 14-15 1.1 3x  16x  7 x 1 x  3 P    x  2 x  3 x  3 x 1 3x  4 x  7 x 1 x  3   
( x  3)( x 1) x  3 x 1
3x  4 x  7  ( x 1)( x 1)  ( x  3)( x  3) 
( x  3)( x 1)
3x  4 x  7  x 1 x  9 =
( x  3)( x 1) x  4 x  3
( x  3)( x 1) x 1 =  
( x  3)( x 1)
( x  3)( x 1) x 1 1.2 2
x  2 2  3  ( 2 1) (thỏa mãn ĐKXĐ)
 x  2 1 (0,5d) x 1 2 11 2  2  P    1 2 x  2 2 11 2
Bài 19: Tuyển sinh Bắc Giang năm 15-16 x 11 x 2 x 1 1) A    x x  2 x 1 x  2
a) Để A có nghĩa, điều kiện là: x  0
xx 2  0  x  0  x  0      x  2  0   x  2 x  4   x 1  0
Với điều kiện trên, ta có: x 11 x 2 x 1 A    x x  2 x 1 x  2
x 11 x ( x  2)  (2 x 1)( x 1) 
( x 1)( x  2)
x 11 (x  2 x )  (2x x 1) 
( x 1)( x  2) x  4 x 12
( x  2)( x  6)  
( x 1)( x  2)
( x 1)( x  2) x  6  x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 87
“Giải bài toán chứa căn” x  6 Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4. x 1 x  6 5 b) Ta có: A = = 1 + x 1 x 1 Để 5
A có giá trị là số nguyên thì là số nguyên x 1
x 1 là ước của 5 (*)
Mặt khác x 1  1nên (*) ⇔ x 1∈{1; 5}
– Nếu x 1= 1 ⇒ x = 0 (tm)
– Nếu x 1= 5 ⇒ x = 16 (tm)
Vậy các giá trị x cần tìm là x = 0 và x = 16.
Bài 20: Tuyển sinh Chuyên Hà Nam năm 09-10 1   x  0    P xác đị x 1 nh  1   x  0    x  0 x  0  b) Rút gọn P x  x +  1   2 x 2 +3 x  x x  x +  1 x  4 x +4 +3 x  x P= + =   1 x1 x+ 1 x 1 x 1 x x  x +4 4 P=   1 x  + 1 x 1 x  4     0 1 x 1   x  0   c) P > 0    x     x  1 1 1 x 0  x  x  0 0 
Bài 21: Tuyển sinh Ninh Thuận năm 15-16 a) Có
(2  x )( x 1)
(2  x )( x 1) P  
( x 1)( x 1)
( x 1)( x 1)
(x x  2)  (x x  2) 2 x   x 1 x 1
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 88
“Giải bài toán chứa căn” b) Có 2
x  17 12 2  9  2.3.2 2  8  (3  2 2)  3  2 2  x  0, x  1 2 x  3  2 2 
2  2 2.11  ( 2 1)  2 1 2( 2 1) 2( 2 1)  P   1 3  2 2 1 2(1 2)
Bài 22: Tuyển sinh Hà Nội năm 16-17
1) x = 25 nên ta có: x  5 Khi đó ta có: 7 7 A   5  8 13 2) x 2 x  24 x ( x  3) 2 x  24 B     x  3 x  9
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
x  3 x  2 x  24
x  3 x  8 x  24  
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3)
x ( x  3)  8( x  3)
( x  8)( x  3) x  8   
( x  3)( x  3)
( x  3)( x  3) x  3 3) P = A.B nên ta có: 7 x  8 7 P  .  x  8 x  3 x  3
+) Ta có x  0 nên P > 0 7 7
+) x  0 => x  3  3   x  3 3 7 Nên : 0  P  3 Để P Z => P{1;2}
+) P = 1 <=> x = 16 (thỏa mãn điều kiện) 1 +) P = 2 <=> x = (thỏa mãn điều kiện) 4 1 Vậy x{ ;16} 4
Biên tập và sưu tầm các nguồn tài liệu: Nguyễn Văn Tiến
Liên hệ: FB/Zalo 0986 915 960
Nguồn tài liệu: Tổng hợp Internet.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã chia sẻ tài liệu.
Chúc các em học sinh học tập tốt!
Người tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 950 Trang 89