Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân
Bài 3.21 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = 2x – x2, x + y = 2; b) y = x3 – 12x, y = x2
c) x + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1; d) y=1/1+x2,y=12
e) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với y = x3 – 1 tại điểm (-1; -2). Hướng dẫn làm bài a) 1/6
b) 78.1/12 .HD: S=0∫−3(x3−12x−x2)dx+4∫0(x2−x3+12x)dx c) 2; HD: S=41∫0(1−x)dx d) π/2−1
HD: S=21∫0(1/1+x2−1/2)dx=21∫01/1+x2dx−1
Đặt x=tan để tính 1∫01/1+x2dx
e) 27/4 .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích:
S=2∫−1(3x+1−x3+1)dx=2∫−1(3x+2−x3)dx
Bài 3.22 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính thể tích vật thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x, y = 0, và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với
trục Ox là một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông. Hướng dẫn làm bài a) 1/3 .
HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại x∈ [0;1] là hình vuông cạnh bằng x, S(x) = x2.
Vậy V=1∫0S(x)dx=1∫0x2dx=1/3 b) 16/3
HD: (H.83) Thiết diện tại x∈ [−1;1] là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với
y=√1−x2. Khi đó, AB=2√1−x2. Diện tích thiết diện là: S(x)=4(1−x2)
Vậy V=41∫−1(1−x2)dx=81∫0(1−x2)dx=16/3
Bài 3.23 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 – x2, y = 1, quanh trục Ox.
b) y = 2x – x2, y = x, quanh trục Ox.
c) y=(2x+1)1/3, x=0, y=3 quanh trục Oy.
d) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.
e) y = ln x, y = 0, x = e, quanh trục Oy. Hướng dẫn làm bài a) 56/15π b) π/5 c) 480/7π. HD: Xem hình d) 8/15π e) e2+1/2π
Bài 3.24 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
các đường y=1/x, y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể
tích của vật thể khi a→+∞ (tức là lima→+∞V(a) Hướng dẫn làm bài
V(a)=π(1−1/a) và lima→+∞V(a)=π
Câu 3.25 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Một hình phẳng được giới hạn bởi y=e−x,y=0,x=0,x=1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n
phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).
a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).
b) Tìm limn→∞Sn và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân. Hướng dẫn làm bài
a) Sn=1/n(1−e−1)e/1/n−1. HD: Theo hình 80 ta có:
Sn=1/n[e−1/n+e−21/n+...+e−n/n]=1/ne−1/n1−e−1/1−e−1/n=1/n(1−e−1)e1/n−1 b) limn→∞Sn=1−e−1
Mặt khác 1∫0e−xdx=1−e−1
Câu 3.26 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?
a) {y=x+sinx,y=x với 0≤x≤π} và {y=x+sinx,y=x với π≤x≤2π};
b) {y=sinx,y=0 với 0≤x≤π} và {y=cosx,y=0 với 0≤x≤π};
c) {y = 2x – x2, y = x} và {y = 2x – x2, y = 2 – x };
d) {y=logx,y=0,x=10} và {y=10x,x=0,y=10};
e) {y=√x,y=x2} và {y=√1−x2,y=1−x} Hướng dẫn làm bài: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng e) Sai