Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Câu 3.27 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Tính các nguyên hàm sau:
a) ∫(2x−3)√x−3dx, đặt u=√x−3
b) ∫x/(1+x2)3/2dx, đặt u=√x2+1
c) ∫ex/ex+e−xdx, đặt u=e2x+1 d) ∫1/sinx−sinadx
e) ∫√xsin√xdx, đặt t=√x g) ∫xlnx/1+xdx Hướng dẫn làm bài a) 2/5(x−3)3/2(2x−1)+C b)−1/√1+x2+C c) 1/2ln(e2x+1)+C d) 1/cosaln|
|+C. HD: Ta có: cosa=cos(x−a/2−x+a/2)
e) −2xcos√x+4√xsin√x+4cos√x+C
g) x2/2.lnx/1+x+1/2ln|1+x|−1/2x+C
Bài 3.28 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Tính các tích phân sau:
a) 1∫0(y−1)2√ydy, đặt t=√y b) 2∫1(z2+1) dz, đặt u= c) e∫1
d) π/2∫0(cos5φ−sin5φ)dφ e) π∫0cos3αcos3αdα Hướng dẫn làm bài a) 16/105 b) 2.49/220 c) 38/15 HD: e∫1
=1/5e∫1(4+5lnx)1/2d(4+5lnx) d) 0 e)π/8
HD: Dùng công thức hạ bậc đối với cos3x
Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Tính các tích phân sau: a) π/4∫0cos2x.cos2xdx b) 1∫1/2ex/e2x−1dx c) 1∫0x+2/x2+2x+1ln(x+1)dx
d) π/4∫0xsinx+(x+1)cosx/xsinx+cosxdx Hướng dẫn làm bài
a) 1/4(1+π/4). HD: 1+cos2x/2=cos2
b) 1/2ln(e−1)(√e+1)/(e+1)(√e−1). HD:ex/e2x−1=1/2(ex/ex−1−ex/ex+1)
c) 1/2(ln22−ln2+1). HD: x+2/x2+2x+1ln(x+1)=ln(x+1)/x+1+ln(x+1)/(x+1)2 d) π/4+ln(1+π/4)−1/2ln2 HD:
xsinx+(x+1)cosx/xsinx+cosx=1+xcosx/xsinx+cosx và d(xsinx+cosx)=xcosxdx
Câu 3.30 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính diện tich các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y=x−1+lnx/x,y=x−1 và x = e;
b) y = x3 – x2 và y=1/9(x−1); c) y=1−√1−x2 và y = x2 Hướng dẫn làm bài a) 1/2
b) 8/81. HD: Đường thẳng y=1/9(x−1) đi qua tâm đối xứng I(1/3;−2/27) của hàm số y = x3 – x2.
Do đó, hình phẳng giới hạn bởi hai đường đã cho gồm hai hình vẽ đối xứng
nhau qua điểm I (hình 85).
Vậy : S=21/3∫−1/3[(x3−x2)−1/9(x−1)]dx =41/3∫0(1/9−x2)dx=8/81
(theo bài 3.14. 1/3∫−1/3(x3−1/9x)dx=0 c) π/2−4/3
Câu 3.31 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi
a) y=x2/3,x=0 và tiếp tuyến với đường y=x2/3 tại điểm có hoành độ x = 1, quanh trục Oy;
b) y=1/x−1,y=0,y=2x quanh trục Ox
c) y = |2x – x2|, y = 0 và x = 3, quanh: * Trục Ox * Trục Oy Hướng dẫn làm bài a) π/36
Phương trình tiếp tuyến là: y=2/3x+1/3
V=π1∫0y3dy−π1∫1/3(3/2y−1/2)2dy
=π/4−2π/9(3/2y−1/2)3 ∣ 11/3=π/36 b) π(5/3−2ln2)
c) Vx=18/5π và Vy=596πVy=59/6.π
Vy=π{1∫0[(1+√1−y)2−(1−√1−y)2]dy+3∫0[9−(1+√1+y)2]dy}
=π[1∫04√1−ydy+3∫0(7−y−2√1+y)dy]=59π/6
Câu 3.32 trang 187 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:
a) (1∫0xn(1−x)mdx=1∫0xm(1−x)ndx;m,n∈ N∗
b) 1∫−1t2/et+1dt=1∫0t2dt c) 1∫0sin3xcosxdx=1∫0t3dt Hướng dẫn làm bài a) Đúng
b) Ta có: 1∫−1t2dt/et+1=0∫−1t2dt/et+1+−1∫0t2dt/et+1
Dùng phương pháp đổi biến t = - x đối với tích phân 0∫−1t2dt/et+1, ta được:
0∫−1t2dt/et+1=1∫0x2dx/e−x+1=1∫0t2dt/e−t+1
Thay vào (*) ta có: 1∫−1t2dt/et+1=1∫0t2dt c) Sai.