64 trang 5 lượt tải

Giải Tích Hàm Ứng Dụng | Giải tích hàm | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

9

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa trực tiếp, nhưng được hiểu như sau: Tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có chung một thuộc tính nào đó; những đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp. Người ta thường xác định một tập hợp bằng một tính chất đặc trưng 𝑃 ( 𝑥 ) P(x) của các phần tử của nó. Tập hợp 𝑋 X gồm tất cả các phần tử 𝑥 x thỏa mãn tính chất 𝑃 ( 𝑥 ) P(x) được ký hiệu là: 𝑋 = { 𝑥 ∣ 𝑃 ( 𝑥 ) } X={x∣P(x)}. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn: Giải tích hàm 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/64
ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNGĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN
KHOATOÁN-CƠ-TINHỌC
———————o0o——————–
GIẢITÍCHHÀMỨNGDỤNG
AppliedFunctionalAnalysis
Mãlớphọcphần: MAT3409
Sinhviên: LƯUVĂNVIỆT
HàNội,tháng12năm2022
Mụclục
Chương1 Tậphợp 5
1. Tập vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Phân loại ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Tập đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Hai tập tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Tập đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Lực lượng Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Các mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương2 Khônggianmetric 19
1. Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Hình cầu đóng, hình cầu mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 Lân cận của một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
MỤCLỤC 3
3. Điểm dính và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Tập trù mật. Không gian khả ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1 Tập trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Không gian khả ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1 Định nghĩa ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1 Không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Bổ đề về các hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7. Nguyên lý ánh xạ co. Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8. Tập Compact. Không gian Compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1 Tập hoàn toàn bị chặn (Triệt để giới nội) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Tập Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Chương3 Ôntậpthicuốikì 47
1. Câu hỏi lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Câu hỏi bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 MỤCLỤC
Chương1
Tậphợp
1. Tậpvôhạn
1 Kháiniệmtậphợp
Tập hợp là một khái niệm "nguyên thủy", không được định nghĩa, mà được hiểu như sau:
Mộttậphợplàmộtsựtụtậpcácđốitượngcócùngmộtthuộctínhnàođó;nhữngđốitượng
nàyđượcgọilàphầntửcủatậphợpđó.
Ngườitaxácđịnhmộttậphợpbởimộttínhchấtđặctrưng nàođócủacácphầntửcủaP(x)
nó.Tậphợp cótínhchất đượckýhiệulà:X cácphầntửx P(x)
X = {x x|P( )}
2 Ánhxạ
Địnhnghĩa1.1
ChoX vàY làcáctậphợp.Mộtánhxạφ từX vàoY làmộtquytắcđặttươngứngmỗi
phầntử mộtphầntửxácđịnh .Ánhxạđókýhiệubởi:x ∈ X y = φ(x) ∈ Y
φ : X → Y
x 7→φ y(x) =
VớiA ⊂ X,tậpφ A φ A( ) = {y|y = (x),x ∈ } đượcgọilàảnhcủatậpA quaánhxạφ
VớiB ⊂ Y,tậpφ φ
−1
(B) = {x ∈ X| (x) ∈ B} đượcgọilànghịchảnhcủatậpB quaánhxạφ
Tínhchất:
(1)Cho .Khiđó:A
i
⊂ X,i ,m= 1
φ
m
[
i=1
A
i
!
=
m
[
i=1
φ(A
i
)
5
6 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
(2)Cho .Khiđó:A
i
⊂ X,i ,m= 1
φ
m
\
i=1
A
i
!
⊂
m
\
i=1
φ(A
i
)
(3)Cho .Khiđó:B
i
⊂ Y,i ,m= 1
φ
m
\
i=1
B
i
!
=
m
\
i=1
φ(B
i
)
(4)Cho .Khiđó:B
i
⊂ Y,i ,m= 1
φ
m
[
i=1
B
i
!
=
m
[
i=1
φ(B
i
)
(5)Cho: .Khiđó:φ : X → Y
∀
A ⊂ X,A ⊂ φ
−1
( ( ))φ A
∀
B ⊂ Y,φ(φ
−1
(B)) ⊂ B
3 Phânloạiánhxạ
Địnhnghĩa1.2
(1)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộtđơnánh nếu∀ x = x
′
, (x,x
′
∈ X) thìf(x) = f(x
′
)
(2)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộttoànánh nếu∀ ∃y ∈ Y, x ∈ X saochoφ(x) = y
(3)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộtsongánh nếunóvừalàđơnánhvừalàtoánánh
Nhậnxét:
Nếuφ : X → Y làmộtsongánhthìkhiđó:
∀ ∃y ∈ Y, !x ∈ X,φ y(x) =
2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 7
2. Tậpđếmđược
1 Haitậptươngđương
Địnhnghĩa2.1
ChoA vàB làhaitậptùy ý.Tanóihaitập A vàB là tươngđươngvớinhaunếutồn tại
songánh .Kíhiệuφ : A → B A ∼ B
Vídụ:
[0; 1] ]∼ [a; b
Tínhchất:
(1)Phảnxạ:A ∼ A
(2)Đốixứng:A ∼ B ⇒ B ∼ A
(3)Bắccầu:A A∼ B,B ∼ C ⇒ ∼ C
(4)Nếu:
A
1
,A ,A ,......
2 3
,......,A
n
B
1
,B ,B ,......
2 3
,......,B
n
thỏamãn:
A
i
∩ A j
j
= ∅ ∀i =
B B j
i
∩
j
= ∅ ∀i =
A
i
∼ B i
i
∀
Khiđó:
∞
[
i=1
A
i
∼
∞
[
i=1
B
i
2 Tậpđếmđược
Địnhnghĩa2.2
Tanóitập làđếmđượcnếuA A ∼ N
∗
Vídụ:
A
= {1,
1
2
,
1
3
,...,
1
n
,...}
8 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
TậpA làđếmđượcvì dotaxácđịnhđượcsongánhA ∼ N
∗
φ
: N
∗
→ A
n
7→
1
n
Địnhlý2.1
TậpA làđếmđượckhivàchỉ khicácphầntửcủa viếtđượcdướidạngmộtdãycácphầnA
tửkhácnhau.Haynóicáchkháctacóthểđánhsốcácphầntửcủa :A
A = {a a
1
,a ,...
2
,...,a
n
}, a
i
=
j
∀i = j
Chứngminh:
(⇒) GiảsửAlàđếmđược,khiđótồntạisongánh:
φ
: N
∗
→ A
n 7→φ(n) = a
n
Dođó:A = {a a
1
,a ,...
2
,...,a
n
}, a
i
=
j
∀i = j
(⇐) GiảsửA = { }a
1
,a ,...
2
,...,a
n
, a
i
= a
j
∀ i = j.Khiđóánhxạ:
φ
: N
∗
→ A
n 7→φ(n) = a
n
làsongánh.Dođó làđếmđược.A ∼ N
∗
⇒ A
Mệnhđề2.1
ChoA
i
, (i = 1,n) làcáctậpđếmđượcsaochoA A
i
∩
j
= ∅, ∀i = j.KhiđóA =
n
S
i=1
A
i
làmột
tậpđếmđược⇒Hợpcủahữuhạncáctậpđếmđượclàmộttậpđếmđược.
Chứngminh:
2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 9
Taviếtcáctập nhưsau:A
i
A
1
= {a
(1)
1
,a
(1)
2
,a
(1)
3
,....,a
(1)
n
,...}
A
2
= {a
(2)
1
,a
(2)
2
,a
(2)
3
,....,a
(2)
n
,...}
...................................................
A
n
= {a
(n)
1
,a
(n)
2
,a
(n)
3
,....,a
(n)
n
,...}
Khiđó,dễthấytậpAlà1matrậngồmnhàng,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheo
mỗicộttathuđượcmộtsongánhtừ vàoA.DođóAlàđếmđược.N
∗
Mệnhđề2.2
Cho
A
i
= {a
(i)
1
,a
(i)
2
,...,a
( )i
n
i
} làcáctậphữuhạnsaocho .KhiđóA
i
∩ A
j
= ∅, ∀i = j A =
∞
S
i=1
A
i
làmộttậpđếmđược⇒Hợpcủađếmđượccáctậphữuhạnlàmộttậpđếmđược.
Chứngminh:
Taviếtcáctập nhưsau:A
i
A
1
= {a
(1)
1
,a
(1)
2
,a
(1)
3
,....,a
(1)
n
1
}
A
2
= {a
(2)
1
,a
(2)
2
,a
(2)
3
,....,a
(2)
n
2
}
...............................................
A
k
= {a
(n)
1
,a
(n)
2
,a
(n)
3
,....,a
(k)
n
k
}
...............................................
Khiđó,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheotừngtập tathuđượcmộtsongánhtừA
i
N
∗
vàoA.DođóAlàđếmđược.
Mệnhđề2.3
ChoA
i
, (i = 1, ∞) làcáctậpđếmđượcsaochoA A
i
∩
j
= ∅, ∀i = j.KhiđóA =
∞
S
i=1
A
i
làmột
tậpđếmđược⇒Hợpcủađếmđượccáctậpđếmđượclàmộttậpđếmđược.
Chứngminh:
10 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
Taviếtcáctập nhưsau:A
i
A
1
= {a
(1)
1
,a
(1)
2
,a
(1)
3
,....,a
(1)
n
,...}
A
2
= {a
(2)
1
,a
(2)
2
,a
(2)
3
,....,a
(2)
n
,...}
...................................................
A
n
= {a
(n)
1
,a
(n)
2
,a
(n)
3
,....,a
(n)
n
,...}
...................................................
Khiđó,dễthấytậpAlà1matrậngồmnhàng,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheo
từng đường chéo từ phần tử
a
(1)
1
ta thu được một song ánh từ vào A. Do đó A là đếmN
∗
được.
Mệnhđề2.4
Nếumỗiphầntử phụthuộcvàomộtbộgồmnchỉsố,mỗichỉsốđộclậpvớia củatậpA
cácchỉsốkhácvàchạytrên1tậpđếmđượcthì làmộttậpđếmđược:A
A = {a a|a =
x
1
x
2
...x
n
,x
i
∈ D
i
, vớiD
i
làcáctậpđếmđược}
Chứngminh:
Vớin = 1,TacóA = {a a|
x
1
,x
1
∈ D D
1
}⇒A ∼
1
MàD
1
làđếmđượcnên đếmđược.DođómệnhđềđúngvớitrườnghợpA n = 1
Giảsửmệnhđềđúngvới ,nghĩalà:n = k
A = {a a|a =
x
1
x
2
...x
k
,
x
i
∈ D
i
, vớiD
i
làcáctậpđếmđược}
làmộttậpđếmđược.
Tachứngminhmệnhđềđúngcho ,nghĩalà:n = k + 1
A = {a a|a =
x
1
x
2
...x
k
x
k+1
,x
i
∈ D
i
, vớiD
i
làcáctậpđếmđược}
làmộttậpđếmđược.Thậtvậy
Đặt:A
i
= {a|a = a
x
1
x
2
...x
k
x
( )i
k+1
,x
i
∈ D
i
}
D
k+1
= {x
(1)
k
+1
,x
(2)
k
+1
,...,x
(k)
k
+1
,....}
Khiđócáctập chỉphụthuộcvàobộkchỉsố .Theogiảthiếtquynạp, làA
i
x
1
,x
2
,....,x
k
A
i
cáctậpđếmđược.
2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 11
Mặtkhác:A =
∞
S
i=1
A
i
.Theomệnhđề2.3A làtậpđếmđược
Hệquả:
Tậpsố hữutỷ làđếmđượcdo
Q Q = {q|q =
m
n
,m ,n∈ Z ∈ N
∗
},mỗi phầntử q của Q phụ
thuộcvàomộtbộgồmhaichỉsốm vàn,trongđó chạytrêncáctậpm,n Z, N
∗
làcáctậpđếm
được.
Hệquả:
Tậpsốhữutỷnchiều làđếmđược.Q Q
n
= { |r r = (r
1
,r
2
,...,r
m
),r
i
∈ }
12 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
3. LựclượngContinuum
1 Địnhnghĩa
Địnhlý3.1
Khôngphảimọitậpvôhạnđềuđếmđược.
Chứngminh:
Tachứngminhtập khôngđếmđượcbằngphảnchứng.U = [0, 1]
GiảsửtậpUlàđếmđược.Khiđótacó:
U = {x
1
,x ,... ,x j
2
,...,x
n
}
i
= x
j
∀i =
Tachiađoạn thành3đoạnbằngnhau tồntạimộtđoạn trong3đoạnnàykhông[0, 1] ⇒ U
1
chứax
1
Tiếp tục chia đoạn thành 3 đoạn bằng nhau tồn tại một đoạn trong 3 đoạn nàyU
1
⇒ U
2
khôngchứax
2
Tiếptụcquátrìnhtrên.Tacó:
∀
n ∈ N
∗
, ∃ đoạnU
n
màkhôngchứax
n
vàU ⊃ U U U
1
⊃
2
⊃ ...⊃
n
⊃ ...với|U
n
| =
1
3
n
→ 0
TheonguyênlýCantor:∃ ∈!ξ
∞
T
n=1
U U
n
⇒∃n
0
∈ N
∗
màx
n
0
= ξ ∈
n
0
Màx
n
0
/∈ U
n
0
nênđiềutrênlàvôlý.Dođógiảthiếtphảnchứnglàsai.
Địnhnghĩa3.1
Nếutập thìtanóitập cólựclượngContinuum.A ∼ [0, 1] A
Vídụ: [a,b] ∼ [0, 1] nên[a,b] cólựclượngContinuum.
Mệnhđề3.1
ChoA làtập vôhạn khôngđếm đượcvà ,D hoặclà tậphữu hạnhoặc đếmđược,D ⊂ A
khiđó:
(A \ D) ∼ A
Chứngminh:
Đặt:A
1
= A \ D
3.. LỰCLƯỢNGCONTINUUM 13
LấyD
1
đếmđượcthuộcA
1
CóA A
1
= D
1
∪ (
1
\ D
1
)
⇒ A = D ∪ ∪ ∪(A \ D) = D D
1
(A
1
\ D
1
)
Tacó:D ∪ D
1
∼ D
1
vàA
1
\ D A D
1
∼
1
\
1
⇒ A = D ∪ D
1
∪ ∪(A
1
\ D
1
) ∼ D
1
(A
1
\ D A
1
) =
1
Hệquả:
Cáctập: làcáctậpcólựclượngContinuum.(0, 1); [0 1); (0, , 1]
2 Cácmệnhđề
Mệnhđề3.2
ChoA
1
,A
2
,...,A
n
làcáctậpcólựclượngContinuumthỏamãn .KhiđóA A
i
∩
j
= ∅, ∀i = j
A =
n
[
i=1
A
i
làtậpcólưclượngContinuum.
Chứngminh:
Lấy0 = c
0
<c <c <...<c
1 2 n
= 1 1) = [ )⇒ [0, c
0
,c
1
) )∪ [c
1
,c
2
∪ ...∪ [c
n−1
,c
n
Mà[c
i−1
,c
i
) ∼ A
i
, ∀i = 1 =,n ⇒ A
n
S
i=1
A
i
∼
n
S
i=1
[c
i−1
,c
i
) = [0 1),
Dođó làtậpcólựclượngContinuumA
Mệnhđề3.3
ChoA
1
,A ,...
2
,...,A
n
làcáctậpcólựclượngContinuumthỏamãn .KhiA A
i
∩
j
= ∅, ∀i = j
đó
A =
∞
[
n=1
A
n
làtậpcólưclượngContinuum.
Chứngminh:
Xétdãy thỏamãn0 = c
0
<c <c <...<c <...
1 2 n
lim
n
→+∞
c
n
= 1
Do[c
n−1
,c
n
) ⊂ [0, 1), ∀n = 1, ∞⇒
∞
S
i=1
[c
n−1
,c
n
) ⊂ [0, 1) (1)
Lấyx ∈ [0, 1) 1⇒ 0 ≤ x<
Do lim
n
→+∞
c
n
= 1 ⇒ n đủlớnsaochoc
n−1
<x<c
n
⇒ x ∈ [ )c
n−1
,c
n
, ∀n = 1, ∞⇒ ∈x
∞
S
i=1
[ [0c
n−1
,c
n
) ⇒ , 1) ⊂
∞
S
i=1
[c
n−1
,c
n
) (2)
14 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
Từ(1),(2) tađược:[0, 1) =
∞
S
i=1
[c
n−1
,c
n
)
Mà[c
n−1
,c
n
) ∼ A
n
, ∀i = 1 =, ∞⇒A
∞
S
n=1
A
n
∼
∞
S
n=1
[c
n−1
,c
n
) = [0 1),
Dođó làtậpcólựclượngContinuumA
Mệnhđề3.4
Nếumỗiphầntử phụthuộcvàomộtbộgồmnchỉsố;mỗichỉsốđộclậpvớicácchỉsốa ∈ A
khácvàchạytrênmộttậpcólựclượngContinuumthìtập làtậpcólựclượngContinuum.A
Hệ quả:TậpR
n
làtậpcólựclượngContinuum.
Bàitập
Bài1:Lậpsongánhφ : [0; 1] → (0; 1)
Lờigiải
Đặt:A = [0, ,1],B = (0 1)
A ...
1
= {a a
1
;
2
; } = {0; 1;
1
2
;
1
3
; ...;
1
n
; ...}⊂A
B ...
1
= {b b
1
;
2
; } = {
1
2
;
1
3
; ...;
1
n
; ...}⊂B
Lậpánhxạ:
φ : A → B
a a
i
7→φ(
i
) = b
i
(i = 1, 2,...)
a 7→φ(a) = a nếua/∈ A
Thìtathuđượcánhxạ làmộtsongánhtừφ A vào .B
Bài2:Chof làhàmsốđơnđiệutăngtrên làtậpcácđiểmgiánđoạncủa .R.GọiG(f) f
Chứngminhrằng làtậphữuhạnhoặcđếmđươcG(f)
Lờigiải
Lấyx
0
∈ G(f) vàđặtL = lim
x x→
−
0
f(x),R = lim
x x
→
+
0
f(x)
Dof đơnđiệutăngvàf giánđoạntạix
0
nênL < R
3.. LỰCLƯỢNGCONTINUUM 15
Lấyr ∈ Q ∩ (L,R) vàlậpánhxạ:
φ : G(f) → Q
x 7→φ r(x) =
TaCMRφ làmộtđơnánh,thậtvậy:
Lấyx
1
,x
2
∈ G(f) saocho vàđặt:x
1
<x
2
L
1
= lim
x→x
−
1
f(x),R
1
= lim
x
→x
+
1
f(x)
L
2
= lim
x→x
−
2
f(x),R
2
= lim
x
→x
+
2
f(x)
Dof đơnđiệutăngnênR
1
<L
2
⇒ (L
1
,R ,R
1
) ∩ (L
2 2
) = ∅
Màr r
1
∈ (L
1
,R
2
);
2
∈ (L
2
,R
2
) nênr
1
= r
2
Dođó φ làmộtđơn ánh tồn tạimột đơn ánhtừ⇒ G(f) vàomột tậpQ đếmđượcnên
G(f) làđếmđược.
Bài3:Chứngminhrằngtậpcácsố8rờinhautrongmặtphẳnglàtậphữuhạnhoặcđếm
được.
Lờigiải
ĐặtE làtậpcácsố8rờinhautrongmặtphẳng.
Lấyx
0
∈ E, x
0
đượccấutạo từ2vònggiaonhautại duynhất mộtđiểm. Trong 2vòng
củax
0
tachọn2điểm từmỗivòngvàlậpánhxạ:( ) (x
1
,y
1
, x
2
,y
2
)
φ
: E → R
4
x 7→φ(x) = (x
1
,y ,x ,y
1 2 2
)
TaCMRφ làđơnánh.
Thậtvậy,lấy .Docácsố8rờinhautrongmặtphẳngnêncácsố8giaox x
1
,x
2
∈ E,x
1
=
2
vớinhaunhiềunhấtlàmộtvòng,dođóφ φ(x
1
) = (x
2
)
⇒ tồntạimộtđơnánhtừE vàotập đếmđượcvàdođó làđếmđược.R
4
E
Bài4:GọiP
n
= {P (x x x x)|P( ) = a
0
n
+ a
1
n−1
+ a
2
x
n−2
+ +... a
n−1
x + a
n
}
Chứngminhrằngtậpcácđathứcbậcnvớihệsốhữutỉlàtậpđếmđược
Lờigiải
16 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
Talậpánhxạ:
φ
: P
n
→ Q
n
P 7→φ ...(P) = (a a
0
;
1
; ; a
n−1
)
TaCMRφ làđơnánh.
Thậtvậy,lấy saochoP
1
(x x),P
2
( ) ∈ P
n
P P
1
(x) =
2
(x)
⇒
P
1
(x) = a a a a a
10
x
n
+
11
x
n−1
+
12
x
n−2
+ ...+
1n−1
x +
n
P
2
(x x x x) = a
20
n
+ a
21
n−1
+ a
22
n−2
+ ...+ a a
2n−1
x +
n
vàφ(P
1
(x)) = (a
10
; a
11
; ; ;... a
1n−1
) = φ(P
2
(x)) = (a
20
a
21
; ...; a
2n−1
)
DođótồntạimộtđơnánhtừP
n
(x) vàoQ
n
đếmđượcnên làmộttậpđếmđược.P
n
(x)
4.. LỰCLƯỢNGCỦATẬPHỢP 17
4. Lựclượngcủatậphợp
1 Lựclượngcủatậphợp
GọiU làlớpcáctậphợp.Tachia thànhcáclớp tươngđương.Chomỗilớp tươngđươngU
mộtkýhiệuvàgọikýhiệuđólàlựclượngcủabấtkỳtậpnàotronglớpđó.Lựclượngcủatập
A
đượckýhiệulà
=
A
Vídụ:
Gọi:a làlựclượngcủacáctậpđếmđược; làlựclượngContinuumc
Khiđó:
=
[0
, 1]= c;
=
N
∗
= a;
=
Q
= a
Địnhnghĩa4.1
Cho
α =
=
A
,β =
=
B
.Tanóiα<β nếu
A B
A ∼ B B
1
⊂
Vídụ:
Cho
A = {a
1
,a
2
,...,a
10
},
=
A
= 10
B
= {b
1
,b ,b ,b
2
,...,b
10 11 12
},
=
B
= 12
Tanói
10 < 12 vì
A B
A ∼ B
1
= {b
1
,b
2
,...,b B
10
}⊂
Vídụ:
Tacó:
=
[0
, 1]= c;
=
N
∗
= a
Tanói
a > c vì
[0
, 1] N
∗
N
∗
∼ C
1
= {1,
1
2
,
1
3
,...,
1
n
,...}⊂[0 1],
2 Địnhlý
Địnhlý4.1
Khôngtồntạitậpcólựclượnglớnnhất.
Chứngminh:
18 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
VớiM làmộttậptùyý.GọiT là :tậptấtcảcáctậpconcủaM
T = {A|A ⊂ M}
Tasẽchứngminh
=
T
>
=
M
.Thậtvậy:
(i)Chứngminh:T M
Phảnchứng:Giảsử .Khiđótồntạisongánh:M ∼ T
φ : M → T
m 7→φ(m)
Taquyước:
+)Cácphầntửm ∈ M màm/∈ φ(m) thìđượcgọilàcácphầntửxấu.
+)Cácphầntử thìđượcgọilàcácphầntửtốt.m ∈ M màm ∈ φ(m)
DoM ∈ T vàφ : M → T làmộtsongánhnêntồntại saochom
∗
∈ M φ m M(
∗
) =
⇒ m
∗
∈ φ(m
∗
) vàdođó làmộtphầntửtốt.m
∗
Do∅ ∈ T vàφ : M → T làmộtsongánhnêntồntại saochom
∗
∈ M φ m(
∗
) = ∅
Màm /
∗
∈ ∅ ⇒ m /
∗
∈ φ(m
∗
) vàdođó làmộtphầntửxấu.m
∗
GọiX làtậptấtcảcácphầntửxấucủa làsongánhnêntồntạiM ⇒ X ∈ T .Doφ x
0
∈ M
saocho .φ(x
0
) = X
Nếux
0
làphầntửtốtthì (Vôlýdo làtậpcácphầntửxấu)x
0
∈ φ(x
0
) = X X
Nếux
0
làphầntửxấuthìx
0
/∈ φ(x
0
) = X (Vôlýdo làtậpcácphầntửxấu)X
Dođógiảthiếtphảnchứnglàsaivàtađượcđpcm.
(ii)Chứngminh:M ∼ T T
1
⊂
GọiT
1
⊂ T = {A ∈ M|A cóđúngmộtphầntử .Khiđótaxácđịnhđượcsongánh:}
φ : M → T
1
a 7→{a}
Dođó:M ∼ T T
1
∈
Từkếtquảcủa(i)và(ii)tađươc:
=
T
>
=
M
Chương2
Khônggianmetric
1. Địnhnghĩavàcácvídụ
1 Khoảngcách
Địnhnghĩa1.1
ChoX làmộttậptùyý. thỏamãn:X × X = {( )x,y |x ∈ X,y ∈ X}.Ánhxạd : X × X → R
(i)d( 0x,y) ≥ , ∀x,y ∈ X
d(x,y y) = 0 ⇔ x =
(ii)d(x,y y,x x,y X) = d( ), ∀ ∈
(iii)d d d(x,y) ≤ (x,z) + (z,y), ∀x,y,z ∈ X
Khiđóánhxạ đượcgọilàmộtkhoảngcáchtrênd X vàsốd(x,y) đượcgọilàkhoảngcách
giữax và .y
2 Khônggianmetric
Địnhnghĩa1.2
TậpX cùngvớimộtkhoảngcách trênnóđượcgọilàmộtkhônggianmetric.d
Vídụ:
1.
TậpX = R, ∀x,y ∈ X, đặt d(x,y) = |x − y|. Khi đó làmột không gian metric do là(X,d) d
mộtkhoảngcáchtrên .X
(i)d(x,y) = |x − y|≥0; d(x,y y) = |x − y| = 0 ⇔ x =
(ii)d(x,y y,x) = d( )
(iii)d d(x,y) = |x − y y| = |x x− z + z − y|≥| − z| + |z − | = ( )x,z) + d(z,y , ∀x,y,z ∈ R
19
20 CHƯƠNG2. KHÔNGGIANMETRIC
2.
Cho
X làtậptùyý.Tađịnhnghĩa:d(x,y) =
1 nếux = y
0 nếux = y
Dễdàngkiểmtrađược làmộtkhoảngcáchtrên vàdođó làmộtkhônggianmetric.d X (X,d)
3.
Tập
X = R
n
, ∀x = (x
1
,x ,y ,y
2
,...,x
n
) = (y
1 2
,...,y
n
) ∈ X, đặt d(x,y) =
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
− y
i
2
.Khi đó
(X,d) làmộtkhônggianmetricdod làmộtkhoảngcáchtrên .X
Dễdàngkiểmtrađượctiênđề(i)và(ii).
(iii)Gọi .Tacầnchứngminh:z = (z
1
,z
2
,...,z
n
) ∈ R
n
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
− y
i
2
≤
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
− z
i
2
+
v
u
u
t
n
X
i=1
(
z
i
− y
i
)
2
Chúýrằng:
n
X
i=1
| |
x
i
y
i
!
2
≤
n
X
i=1
x
2
i
n
X
i=1
y
2
i
⇔
n
X
i=1
|
x
i
y
i
|≤
v
u
u
t
n
X
i=1
x
2
i
v
u
u
t
n
X
i=1
y
2
i
Từđótacó:
n
X
i=1
( )
x
i
+ y
i
2
=
n
X
i=1
x
2
i
+ 2
n
X
i=1
x
i
y
i
+
n
X
i=1
y
2
i
≤
n
X
i=1
x
2
i
+ 2
n
X
i=1
|x
i
y
i
| +
n
X
i=1
y
2
i
≤
n
X
i=1
x
2
i
+ 2
v
u
u
t
n
X
i=1
x
2
i
v
u
u
t
n
X
i=1
y
2
i
+
n
X
i=1
y
2
i
=
v
u
u
t
n
X
i=1
x
2
i
+
v
u
u
t
n
X
i=1
y
2
i
2
⇒
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
+ y
i
2
≤
v
u
u
t
n
X
i=1
x
2
i
+
v
u
u
t
n
X
i=1
y
2
i
⇒
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
− y
i
2
≤
v
u
u
t
n
X
i=1
( )
x
i
− z
i
2
+
v
u
u
t
n
X
i=1
(
z y
i
−
i
)
2
3 Hìnhcầuđóng,hìnhcầumở

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀNỘI
TRƯỜNGĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN KHOATOÁN-CƠ-TINHỌC
———————o0o——————– GIẢITÍCHHÀMỨNGDỤNG AppliedFunctionalAnalysis Mãlớphọcphần: MAT3409 Sinhviên: LƯUVĂNVIỆT Lớp: A2K65TOÁN-TIN HàNội,tháng12năm2022 Mụclục Chương1 Tậphợp 5
1. Tập vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
Phân loại ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Tập đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
Hai tập tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
Tập đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Lực lượng Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2
Các mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương2 Khônggianmetric 19
1. Định nghĩa và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1
Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2
Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3
Hình cầu đóng, hình cầu mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4
Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
Lân cận của một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2
Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3
Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 MỤCLỤC 3
3. Điểm dính và bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2
Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Tập trù mật. Không gian khả ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1
Tập trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2
Không gian khả ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1
Định nghĩa ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2
Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1
Không gian đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2
Bổ đề về các hình cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7. Nguyên lý ánh xạ co. Nguyên lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8. Tập Compact. Không gian Compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1
Tập hoàn toàn bị chặn (Triệt để giới nội) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2
Tập Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương3 Ôntậpthicuốikì 47
1. Câu hỏi lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Câu hỏi bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 MỤCLỤC Chương1 Tậphợp 1. Tậpvôhạn 1 Kháiniệmtậphợp
Tập hợp là một khái niệm "nguyên thủy", không được định nghĩa, mà được hiểu như sau:
Một tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có cùng một thuộc tính nào đó; những đối tượng
nàyđượcgọilàphầntửcủatậphợpđó.
NgườitaxácđịnhmộttậphợpbởimộttínhchấtđặctrưngP(x) nàođócủacácphầntửcủa
nó.TậphợpX cácphầntửx cótínhchấtP(x) đượckýhiệulà: X = {x|P(x)} 2 Ánhxạ Địnhnghĩa1.1
ChoX vàY làcáctậphợp.Mộtánhxạφ từX vàoY làmộtquytắcđặttươngứngmỗi
phầntửx ∈ X mộtphầntửxácđịnhy = φ(x) ∈ Y .Ánhxạđókýhiệubởi: φ : X → Y x 7→φ(x) = y
VớiA ⊂ X, tậpφ(A) = {y|y = φ(x),x ∈ A} đượcgọilàảnhcủatậpA quaánhxạφ
Với B ⊂ Y, tậpφ−1(B) = {x ∈ X|φ(x) ∈ B} được gọi là nghịch ảnh của tập B quaánhxạφ Tínhchất:
(1)ChoAi ⊂ X,i = 1,m.Khiđó: m ! φ(A m[ [ i) φ i=1 A i=1 i = 5 6 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
(2)ChoAi ⊂ X,i = 1,m.Khiđó: m ! φ(A m\ \ i) φ i=1 A i=1 i ⊂
(3)ChoBi ⊂ Y,i = 1,m.Khiđó: m ! φ(B m i) \ \ φ i=1 B i=1 i =
(4)ChoBi ⊂ Y,i = 1,m.Khiđó: m ! φ(B m[ [ i) φ i=1 B i=1 i = (5)Cho:φ : X → Y .Khiđó: ∀A ⊂ X,A ⊂ φ−1(φ(A)) ∀B ⊂ Y,φ(φ−1(B)) ⊂ B 3 Phânloạiánhxạ Địnhnghĩa1.2
(1)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộtđơnánh nếu∀x = x′, (x,x′ ∈ X) thìf(x) = f(x′)
(2)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộttoànánh nếu∀y ∈ Y,∃x ∈ X saochoφ(x) = y
(3)Ánhxạφ : X → Y đượcgọilàmộtsongánh nếunóvừalàđơnánhvừalàtoánánh Nhậnxét:
Nếuφ : X → Y làmộtsongánhthìkhiđó:
∀y ∈ Y,∃!x ∈ X,φ(x) = y 2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 7 2. Tậpđếmđược 1 Haitậptươngđương Địnhnghĩa2.1
Cho A và B là hai tập tùy ý. Ta nói hai tập A và B là tương đương với nhau nếu tồn tại
songánhφ : A → B.KíhiệuA ∼ B Vídụ: [0; 1] ∼ [a; b] Tínhchất: (1)Phảnxạ:A ∼ A
(2)Đốixứng:A ∼ B ⇒ B ∼ A
(3)Bắccầu:A ∼ B,B ∼ C ⇒ A ∼ C (4)Nếu: A1,A2,A3,......,An,...... B1,B2,B3,......,Bn,...... thỏamãn: Ai ∩ Aj = ∅ ∀i = j Bi ∩ Bj = ∅ ∀i = j Ai ∼ Bi ∀i Khiđó: ∞ ∞ A B [ i ∼ [ i i=1 i=1 2 Tậpđếmđược Địnhnghĩa2.2
TanóitậpA làđếmđượcnếuA ∼ N∗ Vídụ: 1 1 1 A = {1, , ,..., ,...} 2 3 n 8 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
TậpA làđếmđượcvìA ∼ N∗ dotaxácđịnhđượcsongánh φ : N∗ → A 1 n 7→n Địnhlý2.1
TậpA làđếmđượckhivàchỉ khicácphầntửcủaA viếtđượcdướidạngmộtdãycácphần
tửkhácnhau.HaynóicáchkháctacóthểđánhsốcácphầntửcủaA:
A = {a1,a2,...,an,...}, ai = aj ∀i = j Chứngminh:
(⇒) GiảsửAlàđếmđược,khiđótồntạisongánh: φ : N∗ → A n 7→φ(n) = an
Dođó:A = {a1,a2,...,an,...}, ai = aj ∀i = j
(⇐) GiảsửA = {a1,a2,...,an,...}, ai = aj ∀i = j.Khiđóánhxạ: φ : N∗ → A n 7→φ(n) = an
làsongánh.DođóA ∼ N∗ ⇒ A làđếmđược. Mệnhđề2.1 n
ChoAi, (i = 1,n) làcáctậpđếmđượcsaochoAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j.KhiđóA = Ai làmột S i=1
tậpđếmđược⇒Hợpcủahữuhạncáctậpđếmđượclàmộttậpđếmđược. Chứngminh: 2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 9 TaviếtcáctậpAi nhưsau:
A1 = {a(1)1 ,a(1)2 ,a(1)3 ,....,a(1)n ,...}
A2 = {a(2)1 ,a(2)2 ,a(2)3 ,....,a(2)n ,...}
...................................................
An = {a(n)1 ,a(n)2 ,a(n)3 ,....,a(n)n ,...}
Khiđó,dễthấytậpAlà1matrậngồmnhàng,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheo
mỗicộttathuđượcmộtsongánhtừN∗ vàoA.DođóAlàđếmđược. Mệnhđề2.2 ∞ ChoA i i = {a(i)
} làcáctậphữuhạnsaochoAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j.KhiđóA = 1 ,a(i) 2 ,...,a( )ni Ai iS =1
làmộttậpđếmđược⇒Hợpcủađếmđượccáctậphữuhạnlàmộttậpđếmđược. Chứngminh: TaviếtcáctậpAi nhưsau: A1 = {a(1)1 ,a(1)2 ,a(1) 3 ,....,a(1)n } 1 A2 = {a(2)1 ,a(2)2 ,a(2) 3 ,....,a(2)n } 2
...............................................
Ak = {a(n)1 ,a(n)2 ,a(n)3 ,....,a(k)n } k
...............................................
Khiđó,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheotừngtậpAi tathuđượcmộtsongánhtừ
N∗ vàoA.DođóAlàđếmđược. Mệnhđề2.3 ∞
ChoAi, (i = 1, ∞) làcáctậpđếmđượcsaochoAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j.KhiđóA = Ai làmột S i=1
tậpđếmđược⇒Hợpcủađếmđượccáctậpđếmđượclàmộttậpđếmđược. Chứngminh: 10 CHƯƠNG1. TẬPHỢP TaviếtcáctậpAi nhưsau: A1 = {a(1)1 ,a(1)2 ,a(1) 3 ,....,a(1)n ,...} A2 = {a(2)1 ,a(2)2 ,a(2) 3 ,....,a(2)n ,...}
...................................................
An = {a(n)1 ,a(n)2 ,a(n)3 ,....,a(n)n ,...}
...................................................
Khiđó,dễthấytậpAlà1matrậngồmnhàng,thựchiệnviệcgánsốthứtựlầnlượttheo
từng đường chéo từ phần tử a(1)
ta thu được một song ánh từ N∗ vào A. Do đó A là đếm 1 được. Mệnhđề2.4
Nếu mỗi phần tử a của tập A phụ thuộc vào một bộ gồm n chỉ số, mỗi chỉ số độc lập với
cácchỉsốkhácvàchạytrên1tậpđếmđượcthìA làmộttậpđếmđược: A = {a|a = ax ,x 1x2...xn
i ∈ Di, với Di là các tập đếm được} Chứngminh: Vớin = 1,TacóA = {a|ax ,x 1 1 ∈ D1}⇒A ∼ D1
MàD1 làđếmđượcnênA đếmđược.Dođómệnhđềđúngvớitrườnghợpn = 1
Giảsửmệnhđềđúngvớin = k,nghĩalà:
A = {a|a = ax1x2...xk,xi ∈ Di, vớiDi làcáctậpđếmđược} làmộttậpđếmđược.
Tachứngminhmệnhđềđúngchon = k + 1,nghĩalà: A = {a|a = ax ,x 1x2...xkxk+1
i ∈ Di, với Di là các tập đếm được}
làmộttậpđếmđược.Thậtvậy Đặt:Ai = {a|a = ax i ,xi ∈ Di} 1x2...xkx( ) k+1
Dk+1 = {x(1) ,x(2) ,...,x(k) ,....} k+1 k+1 k+1
Khi đó các tập Ai chỉphụthuộcvàobộkchỉsốx1,x2,....,xk.Theogiảthiếtquynạp,Ai là cáctậpđếmđược. 2.. TẬPĐẾMĐƯỢC 11 ∞ Mặtkhác:A =
Ai.Theomệnhđề2.3A làtậpđếmđược S i=1 Hệquả: m
Tập số hữu tỷ Q là đếm được do Q = {q|q =
,m ∈ Z,n ∈ N∗}, mỗi phần tử q của Q phụ n
thuộcvàomộtbộgồmhaichỉsốm vàn,trongđóm,n chạytrêncáctậpZ, N∗ làcáctậpđếm được. Hệquả:
TậpsốhữutỷnchiềuQn = {r|r = (r1,r2,...,rm),ri ∈ Q} làđếmđược. 12 CHƯƠNG1. TẬPHỢP 3. LựclượngContinuum 1 Địnhnghĩa Địnhlý3.1
Khôngphảimọitậpvôhạnđềuđếmđược. Chứngminh:
TachứngminhtậpU = [0, 1] khôngđếmđượcbằngphảnchứng.
GiảsửtậpUlàđếmđược.Khiđótacó:
U = {x1,x2,...,xn,...},xi = xj ∀i = j
Tachiađoạn[0, 1] thành3đoạnbằngnhau⇒ tồntạimộtđoạnU1 trong3đoạnnàykhông chứax1
Tiếp tục chia đoạn U1 thành 3 đoạn bằng nhau ⇒ tồn tại một đoạn U2 trong 3 đoạn này khôngchứax2
Tiếptụcquátrìnhtrên.Tacó: 1
∀n ∈ N∗, ∃ đoạnUn màkhôngchứaxn vàU ⊃ U1 ⊃ U2 ⊃ ...⊃ Un ⊃ ...với|Un| = → 0 3n ∞
TheonguyênlýCantor:∃!ξ ∈
Un ⇒∃n0 ∈ N∗ màxn = ξ ∈ U 0 n0 T n=1
Màxn /∈ U nênđiềutrênlàvôlý.Dođógiảthiếtphảnchứnglàsai. 0 n0 Địnhnghĩa3.1
NếutậpA ∼ [0, 1] thìtanóitậpA cólựclượngContinuum.
Vídụ: [a,b] ∼ [0, 1] nên[a,b] cólựclượngContinuum. Mệnhđề3.1
Cho A là tập vô hạn không đếm được và D ⊂ A, D hoặc là tập hữu hạn hoặc đếm được, khiđó: (A \ D) ∼ A Chứngminh: Đặt:A1 = A \ D 3.. LỰCLƯỢNGCONTINUUM 13
LấyD1 đếmđượcthuộcA1 CóA1 = D1 ∪ (A1 \ D1)
⇒ A = D ∪ (A \ D) = D ∪ D1 ∪ (A1 \ D1)
Tacó:D ∪ D1 ∼ D1 vàA1 \ D1 ∼ A1 \ D1
⇒ A = D ∪ D1 ∪ (A1 \ D1) ∼ D1 ∪ (A1 \ D1) = A1 Hệquả:
Cáctập:(0, 1); [0, 1); (0, 1] làcáctậpcólựclượngContinuum. 2 Cácmệnhđề Mệnhđề3.2
ChoA1,A2,...,An làcáctậpcólựclượngContinuumthỏamãnAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j.Khiđó n A =
Ai làtậpcólưclượngContinuum. [i=1 Chứngminh: Lấy0 = c0 n n
Mà[ci−1,ci) ∼ Ai, ∀i = 1,n ⇒ A = Ai ∼ [ci−1,ci) = [0, 1) S i=1 S i=1
DođóA làtậpcólựclượngContinuum Mệnhđề3.3
Cho A1,A2,...,An,... làcáctậpcólựclượngContinuumthỏamãnAi ∩ Aj = ∅, ∀i = j.Khi đó ∞ A =
An làtậpcólưclượngContinuum. [n=1 Chứngminh: Xétdãy0 = c0 cn = 1 n→+∞ ∞
Do[cn−1,cn) ⊂ [0, 1), ∀n = 1, ∞⇒ [cn−1,cn) ⊂ [0, 1) (1) S i=1
Lấyx ∈ [0, 1) ⇒ 0 ≤ x<1
Do lim cn = 1 ⇒ n đủlớnsaochocn−1 n→+∞ ∞ ∞
⇒ x ∈ [cn−1,cn), ∀n = 1, ∞⇒x ∈ [cn−1,cn) ⇒ [0, 1) ⊂ [cn−1,cn) (2) S i=1 S i=1 14 CHƯƠNG1. TẬPHỢP ∞
Từ(1),(2) tađược:[0, 1) = [cn−1,cn) S i=1 ∞ ∞
Mà[cn−1,cn) ∼ An, ∀i = 1, ∞⇒A = An ∼ [cn−1,cn) = [0, 1) S n=1 S n=1
DođóA làtậpcólựclượngContinuum Mệnhđề3.4
Nếumỗiphầntửa ∈ A phụthuộcvàomộtbộgồmnchỉsố;mỗichỉsốđộclậpvớicácchỉsố
khácvàchạytrênmộttậpcólựclượngContinuumthìtậpA làtậpcólựclượngContinuum.
Hệ quả:TậpRn làtậpcólựclượngContinuum. Bàitập
Bài1:Lậpsongánhφ : [0; 1] → (0; 1) Lờigiải Đặt:A = [0, 1],B = (0, 1) 1 1 1 A1 = {a1; a2; ...} = {0; 1; ; ; ...; ; ...}⊂A 2 3 n 1 1 1 B1 = {b1; b2; ...} = { ; ; ...; ; ...}⊂B 2 3 n Lậpánhxạ: φ : A → B
ai 7→φ(ai) = bi (i = 1, 2,...) a 7→φ(a) = a nếua/ ∈ A
Thìtathuđượcánhxạφ làmộtsongánhtừA vàoB.
Bài2:Chof làhàmsốđơnđiệutăngtrênR.GọiG(f) làtậpcácđiểmgiánđoạncủaf.
ChứngminhrằngG(f) làtậphữuhạnhoặcđếmđươc Lờigiải
Lấyx0 ∈ G(f) vàđặtL = lim f(x),R = lim f(x) x→x− x→x+ 0 0
Dof đơnđiệutăngvàf giánđoạntạix0 nênL < R 3.. LỰCLƯỢNGCONTINUUM 15
Lấyr ∈ Q ∩ (L,R) vàlậpánhxạ: φ : G(f) → Q x 7→φ(x) = r
TaCMRφ làmộtđơnánh,thậtvậy:
Lấyx1,x2 ∈ G(f) saochox1 L1 = lim f(x),R1 = lim f(x) x→x− x→x+ 1 1 L2 = lim f(x),R2 = lim f(x) x→x− x→x+ 2 2
Dof đơnđiệutăngnênR1 Màr1 ∈ (L1,R2); r2 ∈ (L2,R2) nênr1 = r2
Do đó φ là một đơn ánh ⇒ tồn tại một đơn ánh từ G(f) vào một tập Q đếm được nên G(f) làđếmđược.
Bài3:Chứngminhrằngtậpcácsố8rờinhautrongmặtphẳnglàtậphữuhạnhoặcđếm được. Lờigiải
ĐặtE làtậpcácsố8rờinhautrongmặtphẳng.
Lấy x0 ∈ E, x0 được cấu tạo từ 2 vòng giao nhau tại duy nhất một điểm. Trong 2 vòng
củax0 tachọn2điểm(x1,y1), (x2,y2) từmỗivòngvàlậpánhxạ: φ : E → R4 x 7→φ(x) = (x1,y1,x2,y2) TaCMRφ làđơnánh.
Thậtvậy,lấyx1,x2 ∈ E,x1 = x2.Docácsố8rờinhautrongmặtphẳngnêncácsố8giao
vớinhaunhiềunhấtlàmộtvòng,dođóφ(x1) = φ(x2)
⇒ tồntạimộtđơnánhtừE vàotậpR4 đếmđượcvàdođóE làđếmđược. Bài4:GọiP n n−1 n = {P (x)|P (x) = a0x + a1x
+ a2xn−2 + ...+ an−1x + an}
Chứngminhrằngtậpcácđathứcbậcnvớihệsốhữutỉlàtậpđếmđược Lờigiải 16 CHƯƠNG1. TẬPHỢP Talậpánhxạ: φ : Pn → Qn
P 7→φ(P ) = (a0; a1; ...; an−1) TaCMRφ làđơnánh.
Thậtvậy,lấyP1(x),P2(x) ∈ Pn saochoP1(x) = P2(x)
⇒ P1(x) = a10xn + a11xn−1 + a12xn−2 + ...+ a1n−1x + an P n n−1 n−2 2(x) = a20x + a21x + a22x + ...+ a2n−1x + an
vàφ(P1(x)) = (a10; a11; ...; a1n−1) = φ(P2(x)) = (a20; a21; ...; a2n−1)
DođótồntạimộtđơnánhtừPn(x) vàoQn đếmđượcnênPn(x) làmộttậpđếmđược.
4.. LỰCLƯỢNGCỦATẬPHỢP 17 4. Lựclượngcủatậphợp 1 Lựclượngcủatậphợp
Gọi U là lớp các tập hợp. Ta chia U thành các lớp tương đương. Cho mỗi lớp tương đương
mộtkýhiệuvàgọikýhiệuđólàlựclượngcủabấtkỳtậpnàotronglớpđó.Lựclượngcủatập = A đượckýhiệulà A Vídụ:
Gọi:a làlựclượngcủacáctậpđếmđược;c làlựclượngContinuum = = =
Khiđó: [0, 1]= c;N∗= a; Q= a Địnhnghĩa4.1 = = A B Choα = A,β = B.Tanóiα<β nếu A ∼ B1 ⊂ B Vídụ: = ChoA = {a1,a2,...,a10}, A= 10 = B = {b1,b2,...,b10,b11,b12}, B= 12 A B Tanói10 < 12 vì A ∼ B1 = {b1,b2,...,b10}⊂B Vídụ: = = Tacó: [0, 1]= c;N∗= a [0, 1] N∗ 1 1 1 Tanóia > c vì
N∗ ∼ C1 = {1, , ,..., ,...}⊂[0, 1] 2 3 n 2 Địnhlý Địnhlý4.1
Khôngtồntạitậpcólựclượnglớnnhất. Chứngminh: 18 CHƯƠNG1. TẬPHỢP
VớiM làmộttậptùyý.GọiT làtậptấtcảcáctậpconcủaM: T = {A|A ⊂ M} = = Tasẽchứngminh T > M.Thậtvậy: (i)Chứngminh:T M
Phảnchứng:GiảsửM ∼ T .Khiđótồntạisongánh: φ : M → T m 7→φ(m) Taquyước: +)Cácphầntửm ∈ M màm/
∈ φ(m) thìđượcgọilàcácphầntửxấu.
+)Cácphầntửm ∈ M màm ∈ φ(m) thìđượcgọilàcácphầntửtốt.
DoM ∈ T vàφ : M → T làmộtsongánhnêntồntạim∗ ∈ M saochoφ(m∗) = M
⇒ m∗ ∈ φ(m∗) vàdođóm∗ làmộtphầntửtốt.
Do∅ ∈ T vàφ : M → T làmộtsongánhnêntồntạim∗ ∈ M saochoφ(m∗) = ∅
Màm∗ /∈ ∅ ⇒ m∗ /∈ φ(m∗) vàdođóm∗ làmộtphầntửxấu.
GọiX làtậptấtcảcácphầntửxấucủaM ⇒ X ∈ T .Doφ làsongánhnêntồntạix0 ∈ M saochoφ(x0) = X.
Nếux0 làphầntửtốtthìx0 ∈ φ(x0) = X (VôlýdoX làtậpcácphầntửxấu)
Nếux0 làphầntửxấuthìx0 /∈ φ(x0) = X (VôlýdoX làtậpcácphầntửxấu)
Dođógiảthiếtphảnchứnglàsaivàtađượcđpcm. (ii)Chứngminh:M ∼ T1 ⊂ T
GọiT1 ⊂ T = {A ∈ M|A cóđúngmộtphầntử}.Khiđótaxácđịnhđượcsongánh: φ : M → T1 a 7→{a} Dođó:M ∼ T1 ∈ T = =
Từkếtquảcủa(i)và(ii)tađươc: T > M Chương2 Khônggianmetric 1. Địnhnghĩavàcácvídụ 1 Khoảngcách Địnhnghĩa1.1
ChoX làmộttậptùyý.X × X = {(x,y)|x ∈ X,y ∈ X}.Ánhxạd : X × X → R thỏamãn: (i)d(x,y) ≥ 0, ∀x,y ∈ X d(x,y) = 0 ⇔ x = y
(ii)d(x,y) = d(y,x), ∀x,y ∈ X
(iii)d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), ∀x,y,z ∈ X
Khiđóánhxạd đượcgọilàmộtkhoảngcáchtrênX vàsốd(x,y) đượcgọilàkhoảngcách giữax vày. 2 Khônggianmetric Địnhnghĩa1.2
TậpX cùngvớimộtkhoảngcáchd trênnóđượcgọilàmộtkhônggianmetric. Vídụ: 1.
Tập X = R, ∀x,y ∈ X, đặt d(x,y) = |x − y|. Khi đó (X,d) là một không gian metric do d là mộtkhoảngcáchtrênX.
(i)d(x,y) = |x − y|≥0; d(x,y) = |x − y| = 0 ⇔ x = y (ii)d(x,y) = d(y,x)
(iii)d(x,y) = |x − y| = |x − z + z − y|≥|x − z| + |z − y| = d(x,z) + d(z,y), ∀x,y,z ∈ R 19 20 CHƯƠNG2. KHÔNGGIANMETRIC 2. 1 nếux = y
ChoX làtậptùyý.Tađịnhnghĩa:d(x,y) = 0 nếux = y
Dễdàngkiểmtrađượcd làmộtkhoảngcáchtrênX vàdođó(X,d) làmộtkhônggianmetric. 3. n v 2 u (xi − yi) . Khi đó u X Tập X = Rn, i=1 ∀x = (x t
1,x2,...,xn),y = (y1,y2,...,yn) ∈ X, đặt d(x,y) =
(X,d) làmộtkhônggianmetricdod làmộtkhoảngcáchtrênX.
Dễdàngkiểmtrađượctiênđề(i)và(ii).
(iii)Gọiz = (z1,z2,...,zn) ∈ Rn.Tacầnchứngminh: n n n vu vu v u (zi − yi)2 u X u X u X t i=1 i=1 i=1 (x 2 t 2 t i − yi) ≤ (xi − zi) + Chúýrằng: n n !2 ≤ x2 y2 nX X i X i i=1 |x i=1 i=1 iyi| n n n ⇔ v x2v y2 X u u u X u X i i=1 |x t i=1 t i=1 iyi|≤ i Từđótacó: n n n n (x 2 i + yi) = x2 x y2 X X i + 2 X iyi + X i i=1 i=1 i=1 i=1 n n n ≤ x2 |x y2 X i + 2 X iyi| + X i i=1 i=1 i=1 2 n n n n n n ≤ x2 v x2v y2 y2 v x2 v y2 X uu X uu X i + X uu X uu X i=1 t i=1 t i=1 i=1 t i=1 t i=1 i + 2 i i = i + i n n n v v v u u x2 u y2 u X u X u X i i=1 i=1 i=1 ⇒ t (x 2 t t i + yi) ≤ i + n n n vu v u v u (zi − yi)2 u X u X u X i=1 i=1 i=1 ⇒ t (x 2 t 2 t i − yi) ≤ (xi − zi) + 3
Hìnhcầuđóng,hìnhcầumở

Tài liệu liên quan: