Giáo trình Đại số tuyến tính | Giáo trình môn Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Giáo trình Đại số tuyến tính | Giáo trình môn Toán cao cấp | Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 385 trang giúp bạn tham khảo, củng cố kiến thức và ôn tập đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán cao cấp 14 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 3.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
TS. NGUY N DUY THU N (Ch biên)
ThS. PHI M NH BAN – TS. NÔNG QU C CHINH I S TUY N TÍNH NHÀ XU T B N I H C S PH M Mã s : 01.01.90/92. H- 2003 M C L C L I NÓI
U .......................................................................................... 11
CÁC KÍ HI U .......................................................................................... 15
Ch ng I: NH TH C............................................................................ 18 M
U .................................................................................................. 18
§1. PHÉP TH .............................................................................................. 20
1.1. nh ngh a phép th ............................................................................ 20
1.2. Ngh ch th .......................................................................................... 21
1.3. D u c a phép th ................................................................................ 21
§2. KHÁI NI M MA TR N......................................................................... 24
§3. NH NGH A VÀ TÍNH CH T C A NH TH C ............................. 26
3.1. nh ngh a.......................................................................................... 26
3.2. Tính ch t c a nh th c ...................................................................... 27
§4. KHAI TRI N NH TH C.................................................................... 33
4.1. nh th c con - Ph n bù i s ........................................................... 33
4.2. Khai tri n nh th c theo m!t dòng..................................................... 34
4.3. Khai tri n nh th c theo r dòng ......................................................... 38
§5. PH ƠNG PHÁP TÍNH NH TH C .................................................... 42
5.1. Tính nh th c c p 3........................................................................... 42
5.2. Áp d#ng phép khai tri n nh th c theo m!t dòng ho$c m!t c!t.......... 43 5.3.
a nh th c v% d ng tam giác.......................................................... 44
5.4. Áp d#ng các tính ch t c a nh th c ................................................... 47
5.5. Ph ng pháp quy n p và ph ng pháp truy h&i .................................. 49
5.6. Tính nh th c b'ng máy tính b( túi và máy tính i)n t* .................... 51
§6. NG D+NG - H PH ƠNG TRÌNH CRAMER.................................... 55
6.1. nh ngh a.......................................................................................... 55
6.2. Cách gi,i ............................................................................................ 55
6.3. Gi,i h) Cramer b'ng máy tính b( túi và máy tính i)n t*.................... 58
TÓM T-T................................................................................................. 60
BÀI T P................................................................................................... 62
VÀI NÉT L CH S. .................................................................................. 67
Ch ng II: KHÔNG GIAN VECTƠ ......................................................... 69 M
U .................................................................................................. 69
§1. NH NGH A VÀ CÁC TÍNH CH T ƠN GI N................................ 71
1.1. nh ngh a.......................................................................................... 71
1.2. M!t s tính ch t n gi,n ................................................................... 72
1.3. Hi)u c a hai vect .............................................................................. 73
§2. KHÔNG GIAN CON .............................................................................. 74
2.1. nh ngh a.......................................................................................... 74
2.2. Tính ch t $c tr ng............................................................................. 74
2.3. T/ng c a nh0ng không gian con......................................................... 76
2.4. Giao c a nh0ng không gian con.......................................................... 76
2.5. Không gian sinh b1i m!t h) vect ...................................................... 77
§3. S2 3C L P TUY N TÍNH - S2 PH+ THU3C TUY N TÍNH.......... 80
3.1. nh ngh a.......................................................................................... 80
3.2. Các tính ch t....................................................................................... 81
§4. CƠ S C A KHÔNG GIAN VECTƠ .................................................... 85
4.1. nh ngh a.......................................................................................... 85
4.2. S4 t&n t i c a c s1 ............................................................................ 86
§5. S CHI5U C A KHÔNG GIAN VECTƠ.............................................. 89
5.1. nh ngh a.......................................................................................... 89
5.2. S chi%u c a không gian con .............................................................. 89
§6. T A 3 C A M3T VECTƠ................................................................. 92
6.1. nh ngh a.......................................................................................... 92
6.2. Ma tr6n chuy n................................................................................... 93
6.3. Liên h) gi0a các t7a ! c a m!t vect i v8i hai c s1 khác nhau..... 95
§7. H NG C A H VECTƠ- H NG C A MA TR N............................... 97
7.1. H ng c a h) vect .............................................................................. 97
7.2. H ng c a ma tr6n................................................................................ 98
7.3. Cách tìm h ng c a ma tr6n ............................................................... 103
7.5. Tìm c s1, s chi%u c a không gian sinh b1i m!t h) vect b'ng máy tính
i)n t*..................................................................................................... 107
TÓM T-T............................................................................................... 111
BÀI T P................................................................................................. 113
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 121
Ch ng III: ÁNH X TUY N TÍNH ..................................................... 123 M
U ................................................................................................ 123
§1. NH NGH A ÁNH X TUY N TÍNH - S2 XÁC NH M3T ÁNH X
TUY N TÍNH ............................................................................................ 124
1.1. Các nh ngh a.................................................................................. 124
1.2. S4 xác nh m!t ánh x tuy n tính .................................................... 128
§2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH......................... 129
2.1. nh ngh a và tính ch t..................................................................... 129
2.2. Liên h) gi0a s chi%u c a ,nh, h t nhân và không gian ngu&n........... 133
2.3. S4 9ng c u gi0a hai không gian cùng s chi%u ................................ 135
§3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC ÁNH X TUY N TÍNH -
HOMK(V, W)............................................................................................. 136
3.1. Phép c!ng hai ánh x tuy n tính ....................................................... 136
3.2. Phép nhân m!t ánh x tuy n tính v8i m!t s ..................................... 137
3.3. Không gian vect HomK(V, W) ........................................................ 138
3.4. Tích hai ánh x tuy n tính................................................................. 139
TÓM T-T............................................................................................... 141
BÀI T P................................................................................................. 143
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 147
Ch ng IV: H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH................................. 148
M1 u.................................................................................................... 148
§1. PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH - PH ƠNG PHÁP GAUSS............. 149
1.1. nh ngh a........................................................................................ 149
1.2. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng ph ng pháp Gauss (kh* d n :n
s )........................................................................................................... 150
1.3. Th4c hi)n ph ng pháp Gauss trên máy tính i)n t* ........................ 156 §2. DI5U KI N
H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ NGHI M 159
2.1. i%u ki)n có nghi)m......................................................................... 159
2.2. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng nh th c ................................ 160
§3. H PH ƠNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T ........................ 165
3.1. nh ngh a........................................................................................ 165
3.2. Không gian nghi)m c a h) thu n nh t .............................................. 166
3.3. Liên h) gi0a nghi)m c a h) ph ng trình tuy n tính và nghi)m c a h)
thu n nh t liên k t ................................................................................... 170
3.4. Gi,i h) ph ng trình tuy n tính b'ng máy tính i)n t* ..................... 171
TÓM T- T.............................................................................................. 174
BÀI T P................................................................................................. 175
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 181
Ch ng V: MA TR N............................................................................ 183 M
U ................................................................................................ 183
§1. MA TR N C A M3T ÁNH X TUY N TÍNH ................................. 184
1.1. nh ngh a........................................................................................ 184
1.2. Liên h) gi0a HomK(V, W) v8i Mat(m.n)(K) ........................................ 186
§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC T P MA TR N ................................. 188
2.1. Phép c!ng......................................................................................... 188
2.2. Phép nhân m!t ma tr6n v8i m!t s .................................................... 189
2.3. Phép tr;............................................................................................ 190
2.4. Không gian vect Mat(m,n)(K) ........................................................... 190
2.5. Tích c a hai ma tr6n ......................................................................... 191
2.6. Th4c hi)n các phép toán ma tr6n b'ng máy tính b( túi và mây tính i)n
t* ............................................................................................................ 196 §3.
I S MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N......................... 200
3.1. nh th c c a tích hai ma tr6n .......................................................... 200
3.2. Ma tr6n ngh ch ,o........................................................................... 202
3.3. Tìm ma tr6n ngh ch ,o.................................................................... 204
3.4. M!t vài ng d#ng u tiên c a ma tr6n ngh ch ,o ........................... 210
3.5. Ma tr6n c a m!t 9ng c u................................................................. 211
§4. S2 THAY KHI THAY 4.1. S4 thay /i c a ma tr6n c a m!t ánh x tuy n tính khi thay /i c s1212
4.2. Ma tr6n &ng d ng............................................................................ 213
§5. VECTƠ RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG ........................................................ 215
5.1. Vect riêng- Giá tr riêng.................................................................. 215
5.2. Da th c $c tr ng - Cách tìm vect riêng.......................................... 217
5.3. Tìm giá tr riêng và vect riêng b'ng máy tính i)n t*...................... 222
§6. CHÉO HOÁ MA TR N ....................................................................... 224
6.1. nh ngh a........................................................................................ 224
6.2. i%u ki)n m!t ma tr6n chéo hoá >c .......................................... 224
6.3. nh lí .............................................................................................. 227
TÓM T-T............................................................................................... 228
BÀI T P................................................................................................. 230
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 240
Ch ng VI: D NG SONG TUY N TÍNH D NG TOÀN PH ƠNG ... 241 M
U ................................................................................................ 241
§1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH .................... 242
1.1. nh ngh a, ví d# .............................................................................. 242
§2. D NG TOÀN PH ƠNG...................................................................... 249
2.1. nh ngh a........................................................................................ 249
2.2. Ma tr6n c a d ng toàn ph ng.......................................................... 250
2.3. D ng toàn ph ng xác nh .............................................................. 251 §3.
A D NG TOÀN PH ƠNG V5 D NG CHÍNH T-C .................... 252
3.1. nh ngh a........................................................................................ 252
3.2. nh lý ............................................................................................. 252
3.3. D a d ng toàn ph ng v% d ng chinh tác b'ng máy tính i)n t*....... 257
3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 259
§4. KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 262
4.1. nh ngh a không gian vect Ơclit ................................................... 262
4.2. C s1 tr4c chu:n .............................................................................. 263
4.3. Không gian con bù tr4c giao............................................................. 268
4.4. Hình chi u c a m!t vect lên không gian con................................... 269
4.5. Phép bi n /i tr4c giao - Ma tr6n tr4c giao ....................................... 270
4.6. Phép bi n /i d i x ng ..................................................................... 271
4.7. ng d#ng ......................................................................................... 272
TÓM T-T............................................................................................... 280
§1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH.......................... 280
1.1. nh ngh a........................................................................................ 280
1.2. Ma tr6n c a d ng song tuy n tính ..................................................... 281
1.3. Liên h) gi0a hai ma tr6n c a cùng m!t d ng song tuy n tính i v8i hai
c s1 khác nhau....................................................................................... 281
§2. D NG TOÀN PH ƠNG...................................................................... 282
2.1. D ng toàn ph ng ............................................................................ 282
2.2. Ma tr6n c a d ng toàn ph ng.......................................................... 282
2.3. D ng toàn ph ng xác nh .............................................................. 282 §3.
A D NG TOÀN PH ƠNG V5 D NG CHÍNH T-C .................... 283
3.1. nh ngh a........................................................................................ 283
3.2. nh lý. ........................................................................................... 283
3.3. Dùng ph n m%m Maple a d ng toàn ph ng v% d ng chính t?c 283
3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 284
§4. KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT ........................................................... 285
4.1. nh ngh a........................................................................................ 285
4.2. C s1 tr4c chu:n .............................................................................. 285
4.3. Không gian con bù tr4c giao............................................................. 286
4.4. Hình chi u c a m!t vect lên không gian con................................... 286
4.5. Phép bi n /i tr4c giao - Ma tr6n tr4c giao ....................................... 286
4.6. Phép bi n /i i x ng ..................................................................... 287
4.7. ng d#ng ......................................................................................... 287
BÀI T P................................................................................................. 288
§1. D NG SONG TUY N TÍNH............................................................... 288
§2. D NG TOÀN PH ƠNG...................................................................... 289
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 293
Ch ng VII: QUY HO CH TUY N ANH............................................. 294
M D U ................................................................................................ 294
§1. BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH ........................................... 295
1.1. M!t vài bài toán th4c t .................................................................... 295
1.2. Bài toán quy ho ch tuy n tính........................................................... 297
1.3. Ý ngh a hình h7c và ph ng pháp & th ........................................... 302
§2. PH ƠNG PHÁP ƠN HÌNH VÀ CÁC THU T TOÁN C A NÓ ..... 306
2.1. M!t s tính ch t c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t?c ... 306
2.2. Ph ng pháp n hình...................................................................... 313
2.3. Gi,i các bài toán quy ho ch tuy n tính b'ng máy tính i)n t* ( Theo l6p
trình tính toán v8i Mathematica 4.0)........................................................ 335
TÓM T-T............................................................................................... 339
BÀI T P................................................................................................. 340
VÀI NÉT L CH S. ................................................................................ 346
L I GI I -H @NG DAN -TR L I ..................................................... 347
TÀI LI U THAM KH O ....................................................................... 385 L I NÓI U
thBi i c a chúng ta, khoa h7c và k thu6t phát tri n nh vC bão.
Chúng òi h(i ngành giáo d#c ph,i luôn luôn /i m8i k p thBi áp
ng m7i nhu c u v% tri th c khoa h7c c a thanh thi u niên, giúp h7 có
kh, nDng lao !ng và sáng t o trong cu!c s ng sôi !ng. Hi)n nay
ch ng trình và sách giáo khoa b6c ph/ thông 1 n 8c ta ã b?t u và
ang thay /i phù h>p v8i òi h(i y. Tr Bng Cao 9ng S ph m, cái
nôi ào t o giáo viên THCS, c n ph,i có nh0ng /i m8i t ng ng v%
ch ng trình và sách giáo khoa. Vì m#c ích ó, b! sách giáo khoa m8i
ra Bi, thay th cho b! sách giáo khoa cC. Cu n sách
i s tuy n tính biên so n l n này, n'm trong khuôn kh/
c a cu!c /i m8i y. Nó nh'm làm m!t giáo trình tiêu chu:n chung cho
các tr Bng Cao 9ng S ph m trong c, n 8c theo ch ng trình m8i
(ch ng trình 2002), òi h(i không nh0ng ph,i /i m8i nh0ng n!i dung
ki n th c (n u c n) và c, ph ng pháp gi,ng d y c a gi,ng viên cCng
nh ph ng pháp h7c t6p c a sinh viên. M$t khác, qua m!t thBi gian dài
th4c hi)n ch ng trình và sách giáo khoa cC, n nay ã có th ánh giá
nh0ng u, khuy t i m c a nó, s4 phù h>p c a nó v8i trình ! u vào
c a sinh viên các tr Bng Cao 9ng S ph m. Do ó cu n sách biên so n
l n này cCng th;a h 1ng nh0ng u i m và kh?c ph#c nh0ng thi u sót c a nh0ng cu n sách cC.
i t >ng s* d#ng cu n sách này là sinh viên và gi,ng viên các
tr Bng Cao 9ng S ph m trong c, n 8c, các giáo viên THCS c n >c
b&i d Eng t trình ! chu:n hoá. Cu n sách cCng có th >c dùng cho các tr Bng
i h7c và Cao 9ng khác và cho t t c, nh0ng ai mu n t4 h7c môn h7c này.
C s1 l4a ch7n n!i dung c a giáo trình này là yêu c u u ra và
trình ! u vào c a sinh viên Cao 9ng S ph m hi)n nay, &ng thBi
cCng c n tính n vai trò c a môn h7c i v8i các môn khoa h7c khác
nh Gi,i tích, Hình h7c, V6t lý, Hoá h7c,v.v.., và t o i%u ki)n cho
ng Bi h7c có th h7c lên cao h n. C# th , giáo trình này ph,i trang b
>c cho ng Bi giáo viên toán t ng lai 1 tr Bng THCS nh0ng ki n th c c n thi t, y , v0ng vàng v%
i s tuy n tính gi,ng d y t t nh0ng
ph n liên quan trong ch ng trình toán THCS. Tuy nhiên, n!i dung và
ph ng pháp trình bày nh0ng n!i dung y l i ph,i phù h>p v8i trình ! 11
nh6n th c và kh, nDng ti p nh6n sinh viên. M$t khác, giáo trình này cCng
ph,i cung c p y ki n th c giúp ng Bi 7c có th h7c >c nh0ng
môn khoa h7c khác nh ã nói trên; &ng thBi áp ng mong mu n c a
nh0ng sinh viên có hoài bão nâng cao h n n0a trình ! c a mình. Vì th ,
n!i dung cu n sách ch a 4ng nh0ng i%u r t c b,n mà m7i sinh viên
c n n?m v0ng, nh ng cCng có nh0ng ph n không òi h(i m7i sinh viên %u ph,i hi u.
Môn quy ho ch tuy n tính có s* d#ng nhi%u ki n th c i s tuy n tính. Nhi%u sách
i s tuy n tính trên th gi8i x p nó nh m!t ch ng
c a mình d 8i % m#c "B t ph ng trình tuy n tính". Trong ch ng
trình Cao 9ng S ph m m8i c a h) ào t o giáo viên d y hai môn, n!i
dung c a môn Quy ho ch tuy n tính có gi,m b8t. Nó cCng >c x p vào m!t ch ng trong giáo trình i s tuy n tính này.
Cu n sách này g&m b,y ch ng:
Ch ng I. Trình bày nh ngh a, các tính ch t c a nh th c và các
ph ng pháp c b,n tính nh th c. ó là m!t ph ng ti)n nghiên
c u không gian vect và lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính.
Ch ng II và ch ng III. Nghiên c u không gian vect và các ánh x
gi0a các không gian y - ánh x tuy n tính. Nó là c s1 c a i s tuy n
tính. Nó giúp cho vi)c hoàn thi)n lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính.
Ch ng IV. H) ph ng trình tuy n tính. ó là m!t trong nh0ng
h 8ng m1 r!ng c a ph ng trình
>c h7c 1 tr Bng ph/ thông. V8i
ch ng này, lý thuy t h) ph ng trình tuy n tính >c coi là hoàn thi)n.
Ch ng V. Nghiên c u ma tr6n và m i liên h) gi0a ma tr6n v8i
không gian vect . NhB nó mà các ánh x tuy n tính >c nghiên c u sâu s?c h n.
Ch ng VI. Nghiên c u d ng song tuy n tính và d ng toàn ph ng,
m!t ph n c a lý thuy t d ng trong
i s tuy n tính nh ng l i có ,nh
h 1ng sâu s?c n Hình h7c, Ph ng trình vi phân và Ph ng trình o hàm riêng.
Ch ng VII: Nghiên c u m!t s bài toán c a Quy ho ch tuy n tính. Ph n
i s tuy n tính c a cu n sách này >c dùng chung cho c,
hai h) ào t o giáo viên toán (h) ào t o giáo viên d y môn Toán cùng
v8i môn th hai, và h) ào t o giáo viên d y chF m!t môn Toán). Yêu
c u i v8i mGi h) có khác nhau.
i v8i h) ào t o giáo viên d y hai 12
môn, ch ng trình chF yêu c u sinh viên n?m >c nh0ng i%u r t c
b,n. Ch9ng h n, i v8i ch ng nh th c yêu c u chF là hi u >c nh
ngh a nh th c, n?m v0ng các tính ch t tính >c các nh th c
thông th Bng, không c n hi u k ch ng minh c a các tính ch t này. Song
i v8i h) ào t o giáo viên chF d y Toán thì òi h(i cao h n c, v% n!i
dung và c, v% rèn luy)n và phát tri n t duy toán h7c. Tuy nhiên nh0ng
òi h(i này >c th4c hi)n n âu còn tuH thu!c vào trình ! sinh viên
1 t;ng a ph ng. ó là ph n m%m dIo mà các tr Bng v6n d#ng linh
ho t. Ph n Quy ho ch tuy n tính 1 ây chF dùng cho h) ào t o giáo viên d y hai môn.
MGi ch ng %u có ph n m1 u nêu lên nh0ng yêu c u và cách h7c
t6p c a ch ng y. Cu i mGi ch ng có ph n tóm t?t ôi nét chính n!i
dung c a ch ng b n 7c có d p ôn t6p l i. Ph n bài t6p có m!t s
l >ng có th v >t quá yêu c u chung ôi chút vì các tác gi, cu n sách
mong mu n giúp cho nh0ng b n 7c ham thích môn h7c này có thêm c
h!i rèn luy)n k nDng. Vì v6y, i v8i s ông sinh viên thì gi,ng viên
c n chF dJn cho h7 nh0ng bài c# th . Tuy nhiên b n 7c c g?ng gi,i
càng nhi%u bài t6p càng t t. Các ph n in ch0 nh( không òi h(i sinh viên
ph,i 7c. Chúng chF dành cho nh0ng ai thích thú tìm hi u. h7c
>c giáo trình này, ng Bi h7c c n >c b/ sung ki n th c
v% s ph c khi mà ch ng trình Toán 1 THPT ch a % c6p t8i; h n n0a
cCng c n có khái ni)m v% các c u trúc i s nh nhóm, vành, tr Bng
ti)n diKn t và b?t nh p >c v8i cách trình bày giáo trình; c n c ng c
v0ng vàng ki n th c toán h7c b6c THPT. Giáo trình này
>c h7c vào nDm th nh t sau ph n c u trúc i s
c a giáo trình Nh6p môn Toán h7c Cao c p.
Khi gi,ng d y giáo trình này, có th k t h>p nhi%u hình th c nh
thuy t trình c a gi,ng viên, h 8ng dJn sinh viên t4 7c sách, t/ ch c
xêmina, v.v... Ch9ng h n, có th t/ ch c xêmina 1 các m#c: Các ph ng
pháp tính nh th c; Gi,i h) ph ng trình tuy n tính; Các phép tính v%
ma tr6n. M!t i%u mà các tác gi, mu n l u ý thêm i v8i các gi,ng viên là: vì giáo trình còn
>c s* d#ng t4 h7c nên có nhi%u chG ph,i $t
v n % dJn d?t ng Bi h7c, có nhi%u ví d#. Do ó khi gi,ng bài 1 l8p, các
gi,ng viên nên l4a ch7n nh0ng i%u c n thi t nh t có thBi gian
truy%n t nh0ng ki n th c c b,n, nh0ng ph n còn l i dành cho sinh
viên t4 h7c. CCng nh ã nói trên,
i s tuy n tính có nhi%u ng d#ng,
do ó sinh viên c n có k nDng v6n d#ng ki n th c và kL nDng tính toán. 13
Mu n th vi)c th4c hành c a sinh viên c n >c coi tr7ng. Nên c g?ng
gi,m b8t thBi gian h7c lý thuy t 1 l8p giành thêm thBi gian cho vi)c
gi,i bài t6p c a sinh viên, và n u có th thu x p >c m!t tF l) gi0a thBi
gian d y lý thuy t và thBi gian làm bài t6p là 1/1 thì càng t t.
i v8i ng Bi h7c, khi h7c giáo trình này luôn luôn có giây và bút
trong tay t4 mình mô t, các khái ni)m d4a theo nh0ng nh ngh a; t4
mình ch ng minh các nh lí sau khi ã tìm hi u k gi, thi t và k t lu6n;
v6n d#ng các khái ni)m, các nh lí t4 mình trình bày các ví d# cho
trong sách. Cu i mGi ch ng có ph n tóm t?t, b n 7c nên t6n d#ng nó
c ng c và h) th ng l i ki n th c ã h7c >c 1 ch ng y. CCng c n nói thêm r'ng
i s tuy n tính là m!t trong nh0ng ngành khoa h7c c/
nh t nh ng cCng r t hi)n i. Nh0ng i%u
>c trình bày 1 ây chF là
nh0ng i%u c b,n nh t, m1 u c a
i s tuy n tính trên tr Bng s (mà
ch y u là tr Bng s th4c). Còn nhi%u v n % n!i dung ch a th % c6p t8i.
Trong cu n sách này ch0 K >c kí hi)u chung cho c, ba tr Bng s ,
tr Bng s h0u tF Q, tr Bng s th4c R và tr Bng s ph c C, mGi khi mu n
nói m!t i%u gì chung cho c, ba tr Bng s y.
Cu i cùng, các tác gi, hi v7ng r'ng cu n sách áp ng >c nh0ng
òi h(i c a ch ng trình, nh0ng mong mu n c a b n 7c. Tuy nhiên,
cu n sách ch a tránh kh(i h t m7i khi m khuy t. Vì th , các tác gi,
mong nh6n >c nhi%u ý ki n c a b n 7c có th s*a ch0a nh0ng sai
sót làm cho cu n sách ngày càng hoàn thi)n và ngày càng h0u ích h n. Xin chân thành c,m n! Các tác gi 14 CÁC KÍ HI U Xn
T6p h>p {1, 2,..., n} g&m n s t4 nhiên t; 1 n n. 1 2 ... n M =
Phép th M bi n ph n t* 1 thành M(i). M(1) M(2) ... M(n) Sn
T6p h>p các phép th trên t6p Xn sgn(M) D u c a phép th M. n a T/ng a i 1 + a2 +...+ an. i=1 a T/ng các s a j j, v8i j thu!c t6p chF s J. ∈ j J n ∏a Tích a i 1a2...an. i=1 ∏a Tích các th;a s a j j, v8i j thu!c t6p chF s J. ∈ j J A = (aij)(m,n)
Ma tr6n A có m dòng, n c!t,v8i các thành
ph n aij 1 dòng th i, c!t th j. A = (aij)n Ma tr6n vuông c p n. Matn(K)
T6p h>p các ma tr6n vuông c p n v8i các
thành ph n thu!c tr Bng K. tA
Ma tr6n chuy n v c a ma tr6n A. A-1
Ma tr6n ngh ch ,o c a ma tr6n A. |A| nh th c c a ma tr6n A. I Ma tr6n n v . ~ M
nh th c con bù c a thành ph n a ij ij trong ma tr6n vuông (aij). 15 Aij
Ph n bù i s c a thành ph n aij. il...ir M
nh th c con xác nh b1i các dòng i1,.., ir l j .... rj và các c!t i1,..., jr. ~ 1 i ...ir M
nh th c con bù c a nh th c con il...ir M . j ....j 1 j ... rj l r 1 i ...ir A
Ph n bù i s c a nh th c con il...ir M . 1 j ....jr l j .... rj h ng(A) H ng c a ma tr6n A. A + B T/ng c a hai ma tr6n A và B. AB
Tích c a hai ma tr6n A và B. N
Vect , là m!t ph n t* c a không gian vect . - N Vect i c a N . 0 Vect không. = { N 1, N 2,..., N m}
H) vect g&m các vect N 1, N 2,... N m. h ng( ) H ng c a h) vect (O) ={ O 1 O 2,..., O n}
C s1 (O) c a không gian vect . dimKV
S chi%u c a K- không gian vect V. f: V → W
Ánh x tuy n tính t; không gian V n không gian W. f(X)
nh c a t6p X qua ánh x tuy n tính f. Imf
nh c a không gian V hay ,nh c a ánh x tuy n tính f. f-1(Y) nh ng >c c a t6p Y. Kerf hay f-1(0)
H t nhân c a ánh x tuy n tính f. HomK(V, W)
T6p h>p các ánh x tuy n tính t; V n W. f + g
T/ng c a hai ánh x tuy n tính f và g. gf
Tích c a hai ánh x tuy n tính f và g. P . N
Tích vô h 8ng c a hai vect . 16 N ⊥ P N tr4c giao v8i P . H ⊥ G
Không gian H tr4c giao v8i không gian G. N Chu:n c a N . hchw N
Hình chi u c a N lên không gian W. |z| Mô un c a s ph c z. z
S ph c liên h>p c a s ph c z. “ ” Ch ng minh i%u ki)n c n. “⇐” Ch ng minh i%u ki)n . x* Ph ng án t i u. X* T6p ph ng án t i u. Ai
Vect dòng th i c a ma tr6n A. Aj Vect c!t th j c a ma tr6n A. 17 Ch ng I NH TH C M U
l8p 9, ta gi,i h) ph ng trình b6c nh t hai :n b'ng ph ng pháp
c!ng i s ho$c ph ng pháp th . Nh0ng ph ng pháp này ã giúp ta
dK dàng gi,i các h) ph ng trình v8i h) s b'ng s . Nh ng lên l8p 10,
khi ph,i bi)n lu6n h) ph ng trình:
ta th y hai ph ng pháp trên kém t/ng quát. Song n u dùng khái ni)m
nh th c c p hai thì vi)c trình bày tr1 nên sáng s a, g7n gàng.
Ta sQ th y r'ng khi khái ni)m nh th c c p n, (v8i n là m!t s
nguyên d ng tuH ý) >c xây d4ng, thì nó có m!t vai trò r t to l8n. Nó
còn >c áp d#ng vào h u h t các ch ng trong giáo trình này; $c bi)t, nó góp ph n
a v n % gi,i h) ph ng trình b6c nh t tr1 thành m!t lý thuy t. Nó còn
>c áp d#ng trong nhi%u b! môn khoa h7c khác nh
Hình h7c, Gi,i tích, V6t lí, Hoá h7c, v.v...
Chính vì th mà ta c n n?m v0ng các tính ch t c a nh th c và các
ph ng pháp tính nh th c, làm nhi%u bài t6p rèn luy)n k nDng tính
nh th c có th v6n d#ng t t khi h7c t6p và nghiên c u b! môn i
s tuy n tính này cCng nh nh0ng môn khoa h7c khác.
nh ngh a nh th c c p n ta c n các khái ni)m phép th và ma tr6n.
Yêu c u chính c a ch ng này là:
- Hi u rõ và n?m v0ng các tính ch t c a nh th c.
- N?m v0ng các ph ng pháp tính nh th c có th tính thành th o nh0ng nh th c c n thi t. 18
H n n0a, trong ch ng này ta c n dùng m!t vài kí hi)u sau: T/ng n
c a n s : a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an, (n ≥ 1 ), >c vi t g7n là a , i i=1
7c là "xích ma ai, i ch y t; 1 n n". T/ng quát h n, n u chF s ch y
kh?p m!t t6p I nào ó thì ta vi t là
a , và 7c là "xích ma a i i, thu!c I". ∈ i I 7
Ví d : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = a , 7c là “xích ma a i i, i i=1 ch y t; 1 n 7”. n
• Tích c a n s : a1a2a3...an. (n ≥ 1),
>c vi t g7n là ∏a , và 7c là i i=1
“pi ai, i ch y t; 1 n n”. N u chF s t ch y kh?p m!t t6p I nào ó thì ta
vi t là ∏a và 7c là “pi, a i i, i thu!c I”. i ∈ I n
Ví d : a1a2a3a4a5 = ∏a , 7c là “pi a i i, i ch y t; 1 n 5”. i=1
• Cu i cùng trong cu n sách này ta dùng t; “tr Bng K” mGi khi
mu n nói n m!t i%u nào ó chung cho c, tr Bng s h0u tF Q, tr Bng
s th4c R và tr Bng s ph c C.
Ta hãy tìm hi u khái ni)m phép th . 19 §1. PHÉP TH
ây ta chF dùng khái ni)m phép th nh m!t ph ng ti)n nghiên
c u nh th c ch ch a nghiên c u sâu v% nó. h7c ch ng này b n
7c chF c n hi u và nh8 nh ngh a các d ng phép th và tính ch t v% d u
c a nó, không c n nh8 ch ng minh. 1.1. nh ngh a phép th
a) Gi s t p h p Xn = {1, 2, 3,..., n}, ( n ≥ 1 ). M t song ánh : Xn → Xn
c g i là m t phép th trên t p Xn.
Nói riêng, song nh ng nh t
c g i là phép th ng nh t.
b) M t phép th trên t p Xn
c g i là m t chuy n trí hai ph n t
i, j thu c Xn n u (i) = j, (j) = i và (k) = k, v i m i k ∈ Xn, k ≠ i, k ≠ i. Nó còn c kí hi u b i (i, j).
Nói m!t cách n gi,n, m!t chuy n trí chF hoán v hai ph n t* nào ó
c a Xn, còn gi0 nguyên m7i ph n t* khác.
T6p h>p t t c, các phép th trên t6p Xn >c kí hi)u b1i Sn.
Phép th M : Xn → Xn >c bi u diKn nh sau:
trong ó M(i) là ,nh c a ph n t* i ∈ Xn >c vi t 1 dòng d 8i, trong cùng m!t c!t v8i i. 1 2 3 4 Ví d 1. M = là phép th trên t6p X 3 2 4 1 4 = {1, 2, 3, 4} xác nh b1i:
M(1) = 3, M(2) = 2, O(3) = 4, M(4) = 1. 1 2 3 4 R =
là m!t chuy n trí hoán v hai s 2 và 4. Nó >c 1 4 3 2 vi t g7n là R = (2, 4).
Chú ý. nh c a các ph n t* c a t6p Xn qua mGi phép th cho ta m!t
hoán v trên t6p Xn. Ng >c l i, mGi hoán v l i xác nh m!t phép th , 20 1 2 3 4
(ch9ng h n, hoán v (3, 4, 1, 2) xác nh phép th S = trên 3 4 1 2
t6p X4). Vì th s các phép th trên t6p Xn b'ng s các hoán v trên t6p
y; ngh a là b'ng n!. Nh v6y, t6p Sn có n! ph n t*.
Ví d 2. S3 có 3! = 1.2.3 = 6 ph n t*. ó là nh0ng phép th sau: 1.2. Ngh ch th
nh ngh a. Gi s mà m t phép th trên t p Xn. V i i,j ∈ Xn, i ≠ j,
ta nói c p ( (i), (j)) là m t ngh ch th c a n u i (j). 1 2 3
Ví d . Trên X3, phép th M2 =
Có 2 ngh ch th là: (2, 1), (3, 2 3 1 1 2 3 1), phép th R2 =
có 3 ngh ch th là: (3, 2), (3, 1), (2, 1). 3 2 1 1.3. D u c a phép th
nh ngh a. Ta g i phép th là m t phép th ch n nên nó có m t s ch n ngh ch th .
c g i là phép th l n u nó có m t s l ngh ch th .
Ta gán cho m i phép th ch n m t giá tr b ng +1, m i phép th l m t giá tr b ng -1.
Giá tr này c a phép th c g i là d u c a và c kí hi u b i sgn( ).
Nh v6y, theo nh ngh a, sgn(M) = 1 2 3
Ví d . Trong ví d# 1 m#c 1.2, ta th y phép th R = là m!t 3 2 1 21