lOMoAR cPSD| 47207194 MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ................................................................... 01
1. Ma trận .......................................................................................................................... 01
1.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 01
1.2. Các phép toán .......................................................................................................... 02
1.2.1. Các phép toán thông thường ......................................................................... 02
1.2.2. Phép nhân ma trận với ma trận .....................................................................03
1.3. Hạng của ma trận .....................................................................................................04
2. Định thức của ma trận vuông ...................................................................................... 05
2.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 05
2.2. Tính chất ..................................................................................................................06 2.3. Phương pháp tính ịnh thức
.....................................................................................07
2.3.1. Hạ bậc ma trận ..............................................................................................07
2.3.2. Đưa về ma trận tam giác ...............................................................................07
3. Ma trận nghịch của ma trận vuông ............................................................................ 08
3.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 08
3.2. Tính chất ..................................................................................................................08
3.3. Phương pháp tìm ma trận nghịch .............................................................................09
3.3.1. Chuyển về ma trận ơn vị
..............................................................................09 3.3.2. Dùng ịnh thức
..............................................................................................10
CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................... 12
1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 12
2. Hệ phương trình Cramer (Cramer System) .............................................................. 13
2.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 13
2.2. Phương pháp giải hệ Cramer ................................................................................... 13 lOMoAR cPSD| 47207194
2.2.1. Dùng ma trận nghịch .....................................................................................13 2.2.2. Dùng ịnh thức
..............................................................................................14
2.3. Ví dụ minh họa ........................................................................................................ 14
3. Phương pháp Gauss-Jordan Elimination ................................................................... 15
3.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 15
3.2. Ví dụ minh họa ........................................................................................................ 16
3.2.1. Ví dụ 1 ............................................................................................................16
3.2.2. Ví dụ 2 ............................................................................................................17
4. Hệ phương trình thuần nhất (Homogeneous System) ............................................... 17
CHUYÊN ĐỀ: CHÉO HÓA MA TRẬN ....................................................................... 19
1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 19
2. Phương pháp chéo hóa ma trận .................................................................................. 19
3. Ứng dụng ....................................................................................................................... 21
CHƯƠNG III: KHÔNG GIAN VECTOR ..................................................................... 22
1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 22
2. Tổ hợp tuyến tính ......................................................................................................... 23
3. Không gian sinh - Cơ sở và số chiều ........................................................................... 23
4. Các dạng bài tập không gian vector ............................................................................ 23
4.1. Không gian con (subspace) ......................................................................................24
4.2. Không gian sinh .......................................................................................................25
4.3. Cơ sở và tổ hợp tuyến tính .......................................................................................26
CHƯƠNG IV: GIẢI TÍCH 1 BIẾN ................................................................................ 27
1. Định nghĩa hàm số ........................................................................................................ 27
2. Giới hạn của hàm số ..................................................................................................... 27
2.1. Định nghĩa giới hạn ................................................................................................. 27
2.2. Giới hạn một bên ..................................................................................................... 27 lOMoAR cPSD| 47207194
2.3. Phương pháp tính giới hạn .......................................................................................28
2.3.1. Phương pháp chung
.......................................................................................28
2.3.2. Một số công thức lượng liên hợp
...................................................................28
2.3.3. Một số giới hạn ã ược thừa nhận
............................................................. 28
3. Hàm số liên tục .............................................................................................................. 28
4. Đạo hàm ......................................................................................................................... 30 4.1. Định nghĩa ạo hàm
.................................................................................................30
4.2. Đạo hàm một bên .....................................................................................................30 4.3. Một số công thức ạo hàm
.......................................................................................31
5. Định lý L’Hospital ........................................................................................................ 32
CHƯƠNG V: NGUYÊN HÀM - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ................................... 34
1. Nguyên hàm ................................................................................................................... 34
1.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 34
1.2. Một số công thức nguyên hàm .................................................................................34
1.3. Phương pháp tính nguyên hàm ................................................................................
351.3.1. Đổi biến ......................................................................................................... 35
1.3.2. Nguyên hàm từng phần ...................................................................................36
2. Phương pháp giải phương trình vi phân .................................................................... 36
2.1. Phương pháp tách biến ............................................................................................ 36
2.2. Phương pháp thuần nhất (Homogeneous equation) .................................................37
CHƯƠNG VI: GIẢI TÍCH HAI BIẾN .......................................................................... 39
1. Định nghĩa hàm số hai biến ......................................................................................... 39
2. Đạo hàm riêng của hàm số hai biến ............................................................................ 39 lOMoAR cPSD| 47207194
2.1. Đạo hàm riêng cấp một ............................................................................................39
2.2. Đạo hàm riêng cấp hai ............................................................................................. 40 3. Cực trị
ịa phương của hàm số hai biến ..................................................................... 41
3.1. Điều kiện của cực trị ................................................................................................41
3.2. Ví dụ minh họa ........................................................................................................ 41
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN .................................................................... 43
1. Định nghĩa ..................................................................................................................... 43
2. Phương pháp nhân tử Lagrange ................................................................................. 433. Ví dụ minh họa
.............................................................................................................. 44 CHUYÊN ĐỀ:
TOÁN KINH TẾ .................................................................................... 46
1. Toán kinh tế vĩ mô ........................................................................................................ 46
1.1. Phương trình Leontief - Ma trận nghịch ..................................................................46
1.2. Phương trình Leontief - Cách giải khác ...................................................................47
2. Toán kinh tế một mặt hàng .......................................................................................... 48
2.1. Một số công thức toán kinh tế ................................................................................. 48
2.2. Toán cực trị trong kinh tế ........................................................................................ 49
2.3. Ví dụ minh họa ........................................................................................................ 49
3. Toán kinh tế hai mặt hàng ........................................................................................... 50
4. Toán cực trị có
iều kiện trong kinh tế ...................................................................... 51 lOMoAR cPSD| 47207194
CHƯƠNG I: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1. Ma trận: 1.1. Định nghĩa:
Một ma trận A là một hình chữ nhật (hoặc hình vuông) là tập hợp của nhiều số. × ược gọi là
kích thước của ma trận A với là số dòng và là số cột.
Các vị trí của các phần tử trong ma trận A ược ánh số lần lượt theo vị trí của phần tử ó theo dòng
và vị trí của phần tử ó theo cột. 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ ⋮ ⋮ 1 2 ⋯
Khi = , số dòng và số cột của ma trận A bằng nhau. Khi ó A là một ma trận vuông. Ma trận
vuông thường gặp là ma trận 2 × 2 hay 3 × 3. , 1121 1222 112131122232 132333
Ma trận không (Null matrix): là một ma trận có tất cả các phần tử bằng 0. Kí hiệu: ×
Lưu ý: Trong bài làm, ta có thể ghi là một số 0 tròn trĩnh thay vì chữ O, nhưng ta phải hiểu ó
là ma trận không.
Đường chéo chính (Main diagonal): Là ường chéo trải dài từ phần tử 11 , 22 cho ến phần tử .
Đường chéo chính chỉ có ở trong ma trận vuông.
Ma trận tam giác (Triangular matrix): Có 2 loại ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên: Các phần tử ở phía dưới ường chéo chính là 0. 2 1 2 0 3 4 0 0 1
Ma trận tam giác dưới: Các phần tử ở phía trên ường chéo chính là 0. lOMoAR cPSD| 47207194 1 0 0 2 3 0 4 1 4
Khi ma trận vừa thỏa tính chất của ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới, ma trận
ó ược gọi là ma trận ường chéo: 2 0 0 0 4 0, 𝑑𝑖(2, 3, 4) 0 0 3
Ma trận ơn vị (Identity matrix): Là ma trận ường chéo có các phần tử nằm trên ường chéo
chính là 1. Ma trận ơn vị ược kí hiệu là với là số dòng và số cột của . 2 = 10 01 , 3 =10 01 00 0 0 1
Ma trận chuyển vị (Transpose of an matrix): Là ma trận ã ược chuyển từ dòng sang cột và
ngược lại. Kí hiệu là
Cách nhớ: Ma trận gốc viết từ trái sang phải, ma trận chuyển vị viết từ trên xuống dưới. 4 3 =4 2 1, = 2 1 3 1 4 1 4
Ma trận ối xứng (Symmetric matrix): Là ma trận có các phần tử ối xứng qua ường chéo chính.
Dấu hiệu nhận biết: Chuyển vị của ma trận bằng chính ma trận ó. 2 3 1 3 4 5 , = 3 4 5 2 3 1 =⇒ = 1 5 3 1 5 3 1.2. Các phép toán:
1.2.1. Các phép toán thông thường: 2 lOMoAR cPSD| 47207194
Bằng nhau: Hai ma trận ược gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kích thước và các
phần tử tương ứng của chúng bằng nhau (nghĩa là nhìn hai ma trận y như 1)
Phép tổng (Addition): Thực hiện phép tổng của ma trận C = A + B, ta viết các phần tử của ma
trận C là tổng của các phần tử tương ứng của ma trận A và ma trận B.
Điều kiện: Hai ma trận A và B phải có cùng kích thước. 7 6 2 6 5 2 + 4 7 5 = 10 12 7 1 6 4 8 12 6 3 3 4 4 1 1 7 4 5
Tính chất của phép cộng:
- Có tính giao hoán: A + B = B + A
- Có tính kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C)
- Với ma trận không: A + Ocùng cỡ = A (giống cộng số 0 trong số thực)
Phép nhân hệ số (Scalar Mutiplication): Thực hiện phép nhân hệ số của ma trận A, ta nhân hệ
số cho tất cả các phần tử. 7 6 27 6 2 .6 = 5 26 5 2 3 3 43 3 4
Khi α = − 1, ta gọi ( − 1)A = − A là ma trận ối của A.
Tính chất của phép nhân hệ số:
- Có tính giao hoán: α × A = A × α
- Có tính phân phối: 2A + 3A = (2 + 3)A = 5A, 2A + 2B = 2(A + B)
- Có tính kết hợp: 3 × (2A) = (3 × 2) × A = 6A
1.2.2. Phép nhân ma trận với ma trận:
Cho hai ma trận A và B, với A có kích thước × và B có kích thước × .
Phép nhân ma trận với ma trận ược ịnh nghĩa như sau:
Thứ nhất: ma trận kết quả C có kích thước × ×. × = × lOMoAR cPSD| 47207194
Thứ hai: phần tử ở dòng cột của là tổng kết quả nhân tương ứng các phần tử của dòng của và cột của . 1 0 × 21 0 −1 2 −2 −11 2 1 0 0 = 1 × 1 + 2 × 1 1 × 0 + 2 × 2 1 × ( − 1) + 2 × 1 1 × 2 + 2 × 0
0 × 1 + ( − 1) × 1 0 × 0 + ( − 1) × 2 0 × ( − 1) + ( − 1) × 1 0 × 2 + ( − 1) × 0 ( − 2) × 1 + 0
× 1( − 2) × 0 + 0 × 2( − 2) × ( − 1) + 0 × 1 ( − 2) × 2 + 0 × 0 = 3 4 1 2 −1 −2 −1 0 −2 0 2 −4
Điều kiện: Số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. Nếu không thỏa iều kiện này,
phép nhân × không xác ịnh.
Tính chất của phép nhân ma trận:
- Không có tính giao hoán: AB ≠ BA trong a số trường hợp. 1 × = , × = 20 4−4 100 41 2−12 16 −3 4−2 3−8 0−2 3−3 4−11 8
- Có tính kết hợp: (AB)C = A(BC)
- Có tính phân phối: (A + B)C = AC + BC
- Với ma trận ơn vị: A × I = A, I × A = A (giống nhân với số 1 trong số thực) - Với ma trận
không: A × O = O, O × A = O (giống nhân với số 0 trong số thực)
1.3. Hạng của ma trận:
Ba phép biến ổi sơ cấp:
- Hoán ổi vị trí 2 dòng. 1 2 3 4 1 ↔ 2 5 6 4 5 6 1 2 3 1 3 3 1 3 3
- Nhân hệ số khác 0 cho 1 dòng. 4 lOMoAR cPSD| 47207194 1 2 3 2 21 4 6 4 5 6 4 5 6 1 3 3 1 3 3
- Nhân hệ số khác 0 cho 1 dòng rồi cộng vô dòng khác. 1 2 3 1 (−3)1+2 2 3 4 5 6 1 −1 −3 1 3 3 1 3 3
Row-echelon form: là một ma trận thỏa 2 tính chất sau:
- Các phần tử 0 nằm ở vùng lân cận hàng dưới của ma trận.
- Phần tử khác 0 ầu tiên trong hàng, là phần tử dẫn ầu, phải nằm trước các phần tử dẫn ầu khác trong những hàng dưới. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 ∗ ∗
Reduced Row-echelon form: Là ma trận thỏa tính chất của Row-echelon form và phần tử dẫn
ầu trong một hàng là số 1. 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 0 0 0 1 ∗
Hạng của ma trận: là số các phần tử 1 dẫn ầu trong dạng Reduced Row-echelon form của ma trận.
Cách tìm hạng của ma trận A:
- Bước 1: Dùng 3 phép biến ổi
ưa ma trận A về dạng Row-echelon form.
- Bước 2: Đếm số phần tử dẫn
ầu khác 0. Hạng của ma trận A là số phần tử vừa ếm ược. 3 2 3+1 21+3 2 ↔ 3 −1 1 2 4 10 2 4 10 0 0 10 0 4 1 2 0 −21+2 1 2 0 1 2 0 =⇒ () = 3 −2 0 1 −2 0 1 0 4 1 0 0 10 lOMoAR cPSD| 47207194 Chìa khóa: Biến ổi dòng
ầu tiên của A sao cho số 1 là phần tử dẫn ầu, xong rồi
dùng số 1 ể cho các phần tử khác từ dòng ó xuống dòng dưới cùng là 0. Làm tương tự với dòng thứ 2 trở i.
2. Định thức của ma trận vuông: 2.1. Định nghĩa:
Định thức của một ma trận vuông A
ược kí hiệu là: 𝑑, 𝑑(),
Công thức tính ịnh thức ma trận vuông cơ bản: = − , =
(𝑑 + 𝑖 + ℎ) − (𝑑 + ℎ + 𝑑) 𝑖 ℎ
Đối với ma trận vuông 3 × 3 hoặc cao hơn, ta có cách tính khác: 11 12 13 21 22 = 2311. 11 + 12. 12 + 13. 13 31 32 33 22 2321 2321 22 = 11 32 33− 1231 33+ 1331 32 Kí = −1 + × 𝑑 hiệu:với
là ma trận còn lại sau khi bỏ dòng cột của . Ví dụ: −1 11 = 11 =1+1𝑑 2232 2333 −1 12 =− 12 =1+2𝑑 3121 3323 −1 𝑑 13 = 13 =1+32131 2232
Lưu ý: Ta có thể khai triển theo bất kì dòng nào hoặc bất kì cột nào khi tính ịnh thức ma trận A. 2.2. Tính chất: 6 lOMoAR cPSD| 47207194
Tính chất 2.2.1. 𝑑 = 𝑑
Định thức của một ma trận gốc bằng ịnh thức của một ma trận chuyển vị tương ứng.
Tính chất 2.2.2. Nếu một ma trận có một dòng hoặc một cột toàn số 0, ịnh thức của ma trận ó bằng 0.
Tính chất 2.2.3. Nếu ta hoán ổi vị trí của hai dòng hoặc hai cột bất kì trong một ma trận, ta ổi
dấu của ịnh thức của ma trận ó. 1 2 31 ↔ 24 5 64 5 61 2 3 4 5 61 2 3 , 1 23= −4 5 6 1 3 31 3 31 3 31 3 3
Tính chất 2.2.4. Nếu ta nhân hệ số cho một dòng hoặc một cột bất kì trong ma trận, ta nhân hệ số
ó cho ịnh thức của ma trận ó. 1 2 32 4 62 4 61 2 3 4 5 64 5 6 , 4 5 6= 2 ×4 5 6 1 3 31 3 31 3 31 3 3
Hệ quả của tính chất 2.2.4: Nếu ta nhân hệ số cho cả ma trận, ta nhân lũy thừa của hệ số ó cho
ịnh thức của ma trận ó. Lũy thừa, số mũ của hệ số, là số dòng và số cột của ma trận. 2 4 62 × 1 2 × 2 2 × 31 2 3 8 10 12 = 2 × 4 2 × 52 × 6= 23 ×4 5 6 2 6 62 × 1 2 × 3 2 × 31 3 3
Tính chất 2.2.5. Nếu ta nhân hệ số cho một dòng (hoặc cột) rồi cộng vào dòng (hoặc cột) khác
trong ma trận, ta không thay ổi kết quả của ịnh thức. 3 1 2 (−3)1+21 2 31 2 31 2 3 4 5 61 −1 −3 , 4 5 6 = 1 −1 −3 1 3 31 3 31 3 31 3 3
Tính chất 2.2.6. Định thức của một ma trận tam giác bằng tích của các phần tử trên ường chéo chính.
Tính chất 2.2.7. Định thức của tích hai hoặc nhiều ma trận bằng tích ịnh thức của mỗi ma trận thành phần. lOMoAR cPSD| 47207194 𝑑 × = 𝑑 × 𝑑
Tuy nhiên, ịnh thức của tổng hai hoặc nhiều ma trận không bằng tổng ịnh thức của mỗi ma trận thành phần. 𝑑 + ≠ 𝑑 + 𝑑
Hệ quả của tính chất 2.2.7: Định thức của một ma trận ược lũy thừa bằng lũy thừa ịnh thức của ma trận ó. 𝑑 = 𝑑 , ∈ ∗
2.3. Phương pháp tính ịnh thức:
2.3.1. Hạ bậc ma trận:
Nguyên tắc: Dùng phép biến ổi sơ cấp ể làm xuất hiện một dòng (hoặc cột) chỉ có 1 phần tử
khác 0, còn lại toàn số 0. Khi ó, ta sẽ khai triển ịnh thức theo dòng (hoặc cột) ã ược biến ổi. Làm
tương tự cho ến khi ra ược ịnh thức của ma trận 2 × 2.
Chìa khóa: Hãy biến ổi làm sao xuất hiện số 1 rồi dùng số 1 ể biến các phần tử khác cùng
dòng (hoặc cột) thành số 0. −2 −1−3 0 30 42 ========( − 2) 4 4 + 2 −9−7 −9−6 00 −10−4 2 52 53 −9 01 ( − 4) −10 4 + 1 52 53 01 42 4+3 × −7 −4 5 4 −9 −10−9 −9 = 1 × 1 −1−6 −4 = −2 −−7 −6 (Expand − −7 along the 3rd column) −18 5 14 5 45 5 −1 1+1 23 + 1−61
−2−4========71 + 2 −10 11 ======5 4 ( − 5)1 + 30 0 = ( − 1) ×1
−18 (Expand along the 1st column) 0 14 = ( − 1) ×
1 × 14 − 0 × ( − 18) = − 14
2.3.2. Đưa về ma trận tam giác: 8 lOMoAR cPSD| 47207194
Nguyên tắc: Dùng phép biến ổi sơ cấp ể làm xuất hiện cột ầu tiên chỉ có một phần tử khác 0 ở
vị trí cao nhất, các phần tử khác từ phần tử khác 0 ó cho ến hàng cuối cùng của ma trận ều là số
0. Làm tương tự với hàng thứ hai. (Biến ổi về dạng Row-echelon form)
Chìa khóa: Hãy biến ổi làm sao xuất hiện số 1 rồi dùng số 1 ể biến các phần tử khác cùng
dòng (hoặc cột) thành số 0. 2 −4 6 −81 −2 3 −4 2 −3 0 −12 −3 0 −1 =2 −3 0 1 3−3 0 1 3 0 1 3 20 1 3 2 =======31 + 3 210 −21 −63 −47 ======− 2 + 4 2 10 −21 −63 −47 −2 1 + 200 −61 103 −92 62 + 3 00 00 −269 −533 1 −2 3 −41 −2 3 −4 34 + 3 2 0 1 −6 7 −9 3 + 4 20 1 −6 7 ====== 0 0 1 18 ========0 0 1 18 0 0 9 −50 0 0 −167
= 2 × 1 × 1 × 1 × ( − 167) =− 334
3. Ma trận nghịch của ma trận vuông: 3.1. Định nghĩa:
Cho một ma trận vuông A. Nếu có ma trận B cùng kích thước với ma trận A mà thỏa AB = BA
= I, ta gọi ma trận B là ma trận nghịch của ma trận A. Kí hiệu: B = A−1 Ví dụ: A = 1 2 , B = 3 −2 1 1 3 −1 1 0 AB = 1 2 × 3 = −2, BA =3−2 × 1 2 = 1 0 0 1 1 3 −1 1−1 1 1 3 0 1
Lưu ý: Một ma trận vuông khả nghịch (invertible) khi và chỉ khi ịnh thức của ma trận ó khác 0. 3.2. Tính chất: lOMoAR cPSD| 47207194
Cho ma trận A là một ma trận vuông khả nghịch.
Tính chất 3.2.1. Có một và chỉ một ma trận B là ma trận nghịch của ma trận A.
Tính chất 3.2.2. Nếu B là ma trận nghịch của A thì A là ma trận nghịch của B.
Tính chất 3.2.3. Muốn tìm ma trận nghịch của tích hai hoặc nhiều ma trận khả nghịch, ta nhân
ma trận nghịch của ma trận cuối cùng với ma trận nghịch của ma trận kề cuối với …, theo thứ tự từ phải sang trái.
12. . . −1 −1 = −1−1−1. . . 2−11−1
Tính chất 3.2.4. Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận lũy thừa Ak cũng khả nghịch, với: −1 = −1
Tính chất 3.2.5. Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nhân hệ số của nó cũng khả nghịch, với: −1 = −1−1 = 1 −1
Tính chất 3.2.6. Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận chuyển vị tương ứng AT cũng khả nghịch, với: −1 = −1
Tính chất 3.2.7. Định thức của một ma trận nghịch bằng nghịch
ảo của ịnh thức của ma trận gốc tương ứng. −1 = 𝑑 −1 = 1 𝑑 𝑑
3.3. Phương pháp tìm ma trận nghịch:
3.3.1. Chuyển về ma trận ơn vị:
Cho A là một ma trận vuông khả nghịch. Ta gọi ma trận phức hợp là A I . Ta dùng phép biến ổi
ồng thời hai ma trận, biến ổi ma trận A trở thành ma trận I mới. Khi ó, ma trận I ban ầu trở
thành một ma trận nào ó, ó là ma trận nghịch của ma trận A. phép biến đổi A−1 A II Ví dụ: 1 −1 2
A = −5 7 −11 , (𝑑() =− 1) 10 lOMoAR cPSD| 47207194 −2 3 −5 1 −1 21 0 0 5211++321 −1 21 0 0 1 3 =−5 7 −110 10 2 −15 1 −2 3 −50 00 1 −12 0 −3+21 −1 21 0 01 −1 2 1 0 0 0 1 03 1 −1 0 1 0 3 1 −1 2 −1 3 0 1 −1 2 0 10 0 1 −1 A−1 = 3 1 −1 −1 2 1 1 −2 223++111 0 02 −11 0 0 2 −1 3 0 1 03 10 1 0 3 1 −1⇒ 0 0 −1 −1 −10 0 1 1 1 −2
Lưu ý: Cách biến ổi này chỉ hữu dụng ối với ma trận có ịnh thức nhỏ (có ịnh thức từ nằm trong
khoảng từ -2 ến 2). Đối với những ma trận có ịnh thức lớn, kết quả sẽ phức tạp hơn nhiều. 1 −1 3 = 2 0 5 , 𝑑() = 6 −1 1 0 1 −1 31 0−21+1+321 −1 31 0 0 3 =2 0 50 10 2 −1−2 1 0 −1 1 00 00 0 31 0 1 −1 0 1 1 310 −12 −13−21 01 0 3 −33+3+2101 −12 −053 10 1 1 1 3 3 3 0 0 113 5 5 00 0 0 − 6 6 5 1 1 0 − 6 2 6 1 1 0 10 −10 3 3 0 12 − 12210 −11 00− 56 2 162+11 0 0 1 0 13 0 1 0 lOMoAR cPSD| 47207194 − 1 −5 3 A−1 − = × −5 3 = −5 6 2 0 1 0 2 ⇒
3.3.2. Dùng ịnh thức: 11 12 13
Cho ma trận A là ma trận vuông khả nghịch với =21 22 23 31 32 33 Kí = −1 + × 𝑑 hiệu:với
là ma trận còn lại sau khi bỏ dòng cột của .
Ma trận phụ hợp (Adjugate matrix): Là ma trận
ược tạo nên từ những phần tử , cụ thể: 12 22 32 11 13 𝑖() =21 23 31 33 Nhận xét: × 𝑖 = 𝑖 × = 𝑑 ×
Nhân 2 vế cho −1 ở vị trí thích hợp với , ta có: 1 𝑖 = 𝑑 × −1 ⇒ −1 Ví dụ: =× 𝑖 𝑑 1 −1 3 Cho ma trận =2 0 5. Tìm −1 (nếu có): −1 1 0
Các bước tìm ma trận nghịch của ma trận A:
Bước 1: Tính ịnh thức của ma trận A. Nếu ịnh thức của A khác 0, chuyển sang bước 2. 1 −1 3 = 𝑑 2 0
5= 6 ≠ 0 ⇒ khả nghịch. −1 1 0
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận A: 12 lOMoAR cPSD| 47207194 11 = 01 50 = − 5 12 = −−12 05= − 5 13 =−1210 = 2 21 = − −11 03 22 = −11 03 = 3 23 = − −11 −11 = 0 = − ( − 3) = 3 31 = −10 35 = − 5 32 = − 12 35 33 = 12 −10 = 2 = − ( − 1) = 1 11 12 13 −5 −5 2 = −5 3 = 3 3 0 = −5 𝑖 21 22 23−5 3 1 31 32 33 −5 1 2 2 0 2
Bước 3: Tìm ma trận nghịch của ma trận A: 1−5 3 −5 1 = × −1 =× 𝑖 −5 3 1 6 𝑑 2 0 2
CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa:
Phương trình tuyến tính: Là một phương trình mà vế trái là một a thức bậc nhất với n biến,
vế phải là một hằng số, là hệ số tự do không phụ thuộc vào biến.
Phương trình tuyến tính có dạng: 11 + 22 + . . . + = Trong ó:
1, 2, . . . , là biến (variables)
1, 2, . . . , là hệ số của biến (coefficients)
là hệ số tự do (constant term)
Hệ phương trình tuyến tính: Là một hệ gồm nhiều phương trình tuyến tính: lOMoAR cPSD| 47207194 111 + 122 + . . . + 1 = 1 11 + 22 + . . . + =
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: Một hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra ba trường hợp:
- Vô nghiệm, ta nói hệ phương trình không tương thích (inconsistent).
- Có nghiệm, ta nói hệ phương trình tương tính (consistent).
+ Hệ có một bộ nghiệm 1, 2, . . . , duy nhất (unique solution).
+ Hệ có vô số nghiệm (infinitely many solutions).
Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính:
Một hệ phương trình tuyến tính có thể ược viết dưới dạng ma trận: ⋯ 11 12 1 1 1 21 22 ⋯ 2 2 2 × = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⇔ 𝐴 = ⋯ 1 2
2. Hệ phương trình Cramer (Cramer System): 2.1. Định nghĩa: 111 + 122 + . . . + 1 = 1 11 + 22 + . . . + =
Một hệ phương trình tuyến tính ược gọi là hệ Cramer nếu hệ phương trình này thỏa hai iều kiện sau:
- Có số phương trình bằng số ẩn.
- Có một bộ nghiệm 1, 2, . . . , duy nhất.
Gọi A là ma trận ược tạo bởi các hệ số của biến . Ta có: 11 12 ⋯ 1 =⋮21 ⋮22 ⋯ ⋮2 1 2 ⋯ 14 lOMoAR cPSD| 47207194
Khi hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, ma trận A trở thành một ma trận vuông, khi
ó ta có thể ịnh thức của ma trận A. Như vậy, hệ có một bộ nghiệm 1, 2, . . . , duy nhất khi ịnh
thức của ma trận A khác 0. 𝑑 ≠ 0 Ta viết lại ma trận A: 11 12 ⋯ 1 =⋮21 ⋮22 ⋯ ⋮2 1 2 ⋯
2.2. Phương pháp giải hệ Cramer:
2.2.1. Dùng ma trận nghịch:
Ta viết lại hệ phương trình tuyến tính dưới dạng phương trình ma trận: ⋯ 11 12 1 1 1 1 21 22 ⋯ 2 2 2 2 × = ⇔ × ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ = 1 2
Vì 𝑑 ≠ 0 nên ma trận A khả nghịch. Nhân hai vế cho −1 ở vị trí bên trái ở hai vế của phương trình, khi ó: 11 = . . . 2 = −1 ⇔2 = . . .⋮ ⋮ = . . .
2.2.2. Dùng ịnh thức: Ta có cách ặt như sau: 11 12 ⋯ 1 = 𝑑 = ⋮21 ⋮22 ⋯ ⋮2 1 2 ⋯ 1 12 ⋯ 111 1 = ⋯ 111 12 ⋯ 1 lOMoAR cPSD| 47207194 1 = ⋮2 ⋮22 ⋯ ⋮2 , 2 = ⋮21 ⋮2 ⋯ ⋮2 , . . . , ⋮ ⋮ 2 ⋯ 1 ⋯ 1 2 ⋯
Lưu ý: là ịnh thức của ma trận mới, là ma trận ã ược bỏ cột và thay thế bằng cột hệ số tự do.
Khi ó, các thành phần trong bộ nghiệm 1, 2, . . . , của hệ phương trình ược tính như sau: 1 2 1 = , 2 = , . . . , =
2.3. Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Giải hệ phương trình: 1 + 2 + 3 = 6 21 − 2 + 3 = 3 1 − 2 + 23 = 5 1 1 1 Đặt =2−1 1, = 𝑑
= − 5 ⇒ Đây là hệ phương trình Cramer. 1 −1 2
Cách 1: Viết lại hệ phương trình dưới dạng phương trình ma trận: 1 6 2 = , = 3 3 5 Dễ dàng tìm ược: 1 −1 −3 2 −1 = −−3 1 1 5 −1 2 −3
Bộ nghiệm của hệ phương trình trên là: 1 1 −1 −3 21 6 1 = 1 × 3 = 2 ⇒ 5 3 = 2 = −1 = − 5 −3−1 12 −3123 = 2= 3 = 1 ,2, 3 3
Như vậy, hệ phương trình trên có bộ nghiệm 1, 2, 3
Cách 2: Dùng ịnh thức tính từng thành phần trong bộ nghiệm: 16