Giáo trình tư duy luyện thi 2018 phần khảo sát hàm số – Võ Thanh Bình Toán 12

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 phần khảo sát hàm số – Võ Thanh Bình Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

32 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

124 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
1 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 00. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
A. Định nghĩa hàm số:
Trong toán học, ta giả sử cho hai tập hợp ( tập nguồn và tập đích), mỗi phần tử của tập nguồn ứng với
một và chỉ một phần tử thuộc tập đích thì ta có thể coi đó là một hàm số.
:f D T
hoặc
:f x f x
hoặc
y f x
D
: là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số, với
D
. Hiểu là:
xD
.
T
: là miền giá trị của hàm số. Hiểu là:
yT
.
: gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
y
: gọi là biến phụ thuộc hay còn gọi là hàm số.
fx
: là giá trị của hàm
f
tại
.
Xét hàm số:
2
31y f x x x
. ứng với
2x
ta tìm đƣợc:
2
2 2 2 3.2 1 1yf
.
B. Tập xác định:
Hàm số
Điều kiện có nghĩa
()y A x
(hàm đa thức)
Hàm không mẫu, không căn
x
Tập xác định là
D
()
()
Ax
y
Bx
(hàm phân thức- hữu tỉ)
Hàm có mẫu, không căn
0Bx
Giả sử tìm đƣợc
x
\D

()y A x
(hàm vô tỉ)
Hàm có căn ở phía tử
0Ax
từ đó ta tìm đƣợc khoảng (đoạn,..) K cũng
chính là tập xác định của hàm số
()
()
Ax
y
Bx
(hàm vô tỉ)
Hàm có căn ở phía mẫu
0Bx
từ đó ta tìm đƣợc khoảng K cũng chính là
tập xác định của hàm số
Chú ý: các hàm trên là đại diện tính tổng quát cho hàm đại số. Ở chƣơng trình phổ thông chúng ta cần
nắm 3 loại hàm: hàm đại số; hàm lượng giác; hàm siêu việt –hàm này sẽ đào sâu trong phần sau.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Câu 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
22
3 2 9y x x x
.
A.
;1 2;D 
B.
3;3D 
C.
3;1 2;3D
D.
3;1D 
Câu 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
1
3
1
log
5
x
y
x



Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
2 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
1;D 
B.
; 5 1;D 
C.
;1D 
D.
; 1 1;D  
Câu 3: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
3
1 cos2
yx
x

A.
\;D R k k

B.
\;
2
D R k k


C.
\;
4
D R k k


D.
\;
6
D R k k


Câu 4: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
1
ln 5
x
y
x
A.
\4DR
B.
1;5D 
C.
1;5 \ 4D 
D.
1;5D 
Câu 5: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
1y x x x
A.
0;D 
B.
;0D 
C.
DR
D.
\ 0DR
Câu 6: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
34
1
xx
y
x
A.
\1DR
B.
\ 1;1DR
C.
\ 1;1DR
D.
DR
Câu 7: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
1
log 1
y
x
A.
\ 0; 2DR
B.
\0DR
C.
DR
D.
\2DR
Câu 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
x
x
e
y
e
A.
\2DR
B.
DR
C.
\D R e
D.
\ ln2DR
Câu 9: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
ln
ln ln
xx
y e e

A.
DR
B.
0;D 
C.
\;D R e e
D.
;De 
Câu 10: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
2
2
25
9
x
y
xx

A.
\3DR
B.
3;D
C.
; 3 3;D 
D.
3;3D 
C. Tính chẵn - lẻ:
Cho hàm số
()y f x
.
Nếu
( ) ( )f x f x
thì hàm số
()y f x
là hàm chẵn – tính chất là đồ thị đối xứng qua Oy.
Nếu
( ) ( )f x f x
thì hàm số
()y f x
là hàm lẻ – tính chất là đồ thị đối xứng qua O.
Nếu
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
f x f x

thì hàm số
()y f x
là hàm không chẵn, không lẻ.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
3 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 01. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là sự miêu tả biến thiên của hàm số tại một điểm nào
đó. Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng
điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số
()y f x
xác định trên khoảng
( ; )ab
và
0
;x a b
. Đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
đƣợc kí hiệu
0
()fx
(hay
0
()yx
), là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa
y
và
x
tại điểm
0
x
khi
x
tiến dần tới 0.
Trong đó:
0
x x x
gọi là số gia của biến số.
0 0 0
y f x f x f x x f x
gọi là số gia của hàm số.
Vậy:
0
0 0 0
0
00
0
( ) lim lim lim
x x x x
f x x f x f x f x
y
fx
x x x x
Chú ý:
- Nếu hàm số có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
-
0
()fx
tồn tại khi
00
lim lim
xx
yy
xx



, Trong đó
00
00
lim ; lim
xx
yy
f x f x
xx






đƣợc gọi lần
lƣợt là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của hàm số tại
0
x
.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
( ) 3 2y f x x x
. Tìm số gia của hàm số tại
1x
, biết
3x
.
Giải: áp dụng
00
4 1 26 4 22y f x x f x f f
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
( ) 4y f x x
. Tìm số gia của hàm số tại
4x
, biết
2x
.
Giải: áp dụng
00
2 4 2 3y f x x f x f f
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
31
()
23
x
y f x
x

. Tìm số gia của hàm số tại
2x 
, biết
0,21x
.
Giải: áp dụng
00
2,21 2 1,3857042y f x x f x f f
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
( ) sin2 cosy f x x x
. Tìm số gia của hàm số tại
2
x
, biết
0,1x
.
Giải: áp dụng
00
0,1 2,0863604
22
y f x x f x f f

.
Ví dụ 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2
31f x x x
tại
0
1x
. b)
21
2
x
fx
x
tại
0
1x
. c)
2
3f x x x
.
Nhận xét :Ta có thể làm theo quy trình sau :
- Gọi
x
là số gia của biến số
số gia của hàm số là
00
y f x x f x
.
- Rút gọn tỉ số :
y
x
- Tính giới hạn :
0
lim
x
y
x

Vậy:
0
0
( ) lim const
x
y
fx
x


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
4 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giải:
a) Cách 1:
Gọi
x
là số gia của biến số
số gia của hàm số là
22
1 1 1 3 1 1 3 5y f x f x x x x
.
2
5
5
xx
y
x
xx

00
lim lim 5 5
xx
y
x
x
Vậy:
(1) 5f
Cách 2:
Ta có:
0
2
0
0
1 1 1
0
1
34
( ) lim lim lim lim 4 5
11
x x x x x
f x f x f x f
xx
f x x
x x x x


Vậy:
(1) 5f
b) Cách 1:
Gọi
x
là số gia của biến số
số gia của hàm số là
5
11
1
x
y f x f
x

.
00
5
lim lim 5
1
xx
y
xx
Vậy:
(1) 5f

Cách 2:
Ta có:
0
2
0
0
1 1 1
0
1
34
( ) lim lim lim lim 4 5
11
x x x x x
f x f x f x f
xx
f x x
x x x x


Vậy:
(1) 5f
c) Gọi
x
là số gia của biến số
số gia của hàm số là
2
0
00
2
2
0 0 0 0
2 . 3
33
x x x x
y f x x f x
x x x x x x
.
00
22
00
2
00
0 0 0 0
2 3 2 3
lim lim
23
33
xx
x x x
y
x
xx
x x x x x x
Vậy:
2
23
(x)
23
x
f
xx

Ví dụ 6: Cho hàm số
2
2
2 0 1
3 3 1
x khi x
fx
x x khi x
. Tính
1f
.
Giải:
2
00
2 1 1
1 lim lim 1
xx
x
y
f
xx


.
2
00
1 3 1 2
1 lim lim 1
xx
xx
y
f
xx


: 1 1 1 1 1Do f f f

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
5 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
B. Các quy tắc tính đạo hàm
QUI TẮC
y
'y
-u v w
' '- 'u v w
. ( )k f x
. '( )k f x
.uv
'. '.u v v u
. .wuv
'. .w+ . '.w . .w'u v u v u v
u
v
2
'. '.u v v u
v
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
y
'y
y
'y
n
x
1
.
n
nx
n
u
1
. . '
n
nu u
1
n
x
1n
n
x
1
n
u
1
.'
n
nu
u
x
e
x
e
u
e
.'
u
eu
x
k
.ln
x
kk
u
k
.ln . '
x
k k u
ln x
1
x
lnu
'u
u
log
k
x
1
.lnxk
log
k
u
'
.ln
u
uk
sin x
cosx
sinu
u'.cosu
cosx
sin x
cosu
u'.sinu
tan x
2
1
cos x
tanu
2
'
cos
u
u
cot x
2
1
sin x
cotu
2
'
sin
u
u
kx
k
x
1
2 x
u
'
2
u
u
k
m
x
1
m
k
m
x
k
k
m
u
1
.'
m
k
m
uu
k
1
x
2
1
x
1
u
2
'u
u
ax b
cx d
2
ad bc
cx d
2
ax bx c
mx n

2
2
2amx anx bn cm
mx n
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây:
a)
32
3 2 5y x x x
. b)
2
1 2 1y x x
. c)
2
21
31
xx
y
x

.
Giải:
a)
32
3 2 5y x x x
.
3 2 3 2 2
3 2 5 3 2 5 3 6 2y x x x x x x x x

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
6 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Vậy:
2
3 6 2y x x
.
b)
2
1 2 1y x x
.
2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1y x x x x x x x
Vậy:
2
6 2 2y x x
.
c)
2
21
31
xx
y
x

.
2 2 2
22
2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 3 1 3 2 1
3 1 3 1
x x x x x x x x x x
y
xx

Vậy:
2
2
3 2 5
31
xx
y
x

.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây:
a)
3
45yx
. b)
2
32y x x
. c)
32
sin 3 1yx
.
Giải:
a)
3
45yx
.
2
' 3 4 5 4 5y x x
Vậy:
2
' 12 4 5yx
.
b)
2
32y x x
.
2
2
32
2 3 2
xx
y
xx

Vậy:
2
31
32
x
y
xx
.
c)
32
sin 3 1yx
.
2 2 2 2 2 2 2
3sin 3 1 sin 3 1 3sin 3 1 cos 3 1 . 3 1y x x x x x
Vậy:
2 2 2
18 .sin 3 1 cos 3 1y x x x
.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây tại
2x
a)
32
2 3 1y x x
. b)
2
32yx
.
Giải:
a)
3 2 2
2 3 1 6 6 2 12y x x y x x y

.
b)
2
2
3 3 10
3 2 2
5
32
x
y x y y
x

.
Bài tập tự luận nhằm mục đích thuộc công thức
1/
32
2 6 1y x x x
2/
3 2 2
1
2 1 2 6 1 3
3
y x m x m x m
3/
42
23y x x
4/
4 2 2
2 1 3 ( 2)y mx m x m m
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
7 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
5/
21
2
x
y
x
6/
4mx
y
xm
7/
43
2
x
y
x
8/
2
1
mx m
y
xm


9/
2
( 3)(2 1)y x x
10/
32
( 4 3)(2 1)y x x x
11/
25
(2 1)yx
12/
4
23
(2 1) 2 1y x x
13/
45yx
14/
3
4 5 1y x x
15/
22
3 4 5y x x x
16/
2
34y x x x
17/
sin 4 5yx
18/
22
sin 3 2 1y x x
19/
3
43
2
x
y
x
20/
2
43
52
x
y
x
21/
2
( 2 2)
x
y x x e
22/
2
.sin
x
y e x
23/
2
2xx
ye
24/
2
2
xx
xx
ee
y
ee
25/
cos
2.
xx
ye
26/
cot
cos .
x
y x e
27/
2
3
1
x
y
xx

28/
2
ln(2 3)y x x
29/
.ln(cos )
x
y e x
30/
2
(2 1)ln(3 )y x x x
31/
ln(2 1)
21
x
y
x
32/
2
log (cos )yx
Bài tập bắt buộc
Câu 1: Hàm số
2
1
x
y
x
có đạo hàm là:
A.
2
1
( 1)
y
x
B.
2
3
( 1)
y
x

C.
2
3
( 1)
y
x
D.
2
2
( 2)
y
x
Câu 2: Đạo hàm của hàm số
2
21yx
bằng
A.
2
2
21
x
x
B.
2
2 2 1
x
x
C.
2
1
2 2 1x
D.
2
21
x
x
Câu 3: Đạo hàm của hàm số
2
33
1
xx
y
x

bằng
A.
2
2
2
1
xx
x
B.
2
2
86
1
xx
x

C.
2
2
26
1
xx
x

D.
2
2
28
1
xx
x

Câu 4: Đạo hàm của hàm số
3
1
43yx
x
bằng
A.
2
1
6x
x
B.
2
1
6x
x
C.
2
2
1
6x
x
D.
2
2
1
6x
x
Câu 5: Hàm số
44
sin cosyxx
có đạo hàm là:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
8 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
' 2sin2yx
B.
' 2cos2yx
C.
' 2sin2yx
D.
' 2cos2yx
Câu 6: Đạo hàm của hàm số
2
12y x x
tại
3x
bằng
A.
B.
5
C.
11
D.
15
Câu 7: Hàm số
1
2
3
21y x x
có đạo hàm là:
A.
2
2
3
41
'
3 2 1
x
y
xx

B.
2
2
3
4 1 2 1
'
3
x x x
y
C.
2
2
3
41
'
3 2 1
x
y
xx


D.
2
2
3
4 1 2 1
'
3
x x x
y

Câu 8: Hàm số
2 . 3sin2
x
y xe x
có đạo hàm là:
A.
' 1 cos2
x
y e x x
B.
' 2 1 cos2
x
y e x x
C.
' 2 1 6cos2
x
y e x x
D.
' 2 1 6cos2
x
y e x x
Câu 9: Hàm số
1
3
x
x
y
có đạo hàm là:
A.
1 1 ln3
'
3
x
x
y

B.
1 ln3
'
3
x
y
C.
1 ln3
'
3
x
x
y
D.
ln3
'
3
x
y
Câu 10: Hàm số
2
ln 3 1y x x
có đạo hàm là:
A.
2
31
'
23
xx
y
x

B.
2
23
'
31
x
y
xx

C.
2
2
23
'
31
x
y
xx

D.
2
2
31
'
23
xx
y
x

C. Ý nghĩa của đạo hàm
- Ý nghĩa hình học:
Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
00
;M x y
là:
0 0 0
y y f x x x
, trong đó
0
fx
gọi là hệ số góc của tiếp tuyến và
00
y f x
.
- Ý nghĩa vật lý:
o Vận tốc tức thời tại thời điểm
0
t
của một chất điểm chuyển động với phƣơng trình
s s t
là
00
v t s t
.
o Cƣờng độ tức thời tại thời điểm
0
t
của một dòng điện với điện lƣợng
q q t
là
00
i t q t
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
9 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M, ta cần chú ý sau
o Tiếp tuyến song song
0
'( )y ax b y x a
o Tiếp tuyến vuông góc
0
1
'( )y ax b y x
a
o Tiếp tuyến tạo với Ox một góc
0
'( ) tanyx

o Tiếp tuyến tạo với
0
0
12
'( )
tan
1 '( )
cos ; cos
y x a
ay x
y ax b
nn
Ví dụ : Cho hàm số
32
32y x x
. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. Tại điểm M( 2; -2)
b. Tại điểm có hoành độ bằng – 1.
c. Tại điểm có tung độ bằng 2.
d. Tại giao điểm với trục tung.
e. Tại giao điểm với đƣờng thẳng y = -2
f. Biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7.
g. Biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng
1
45
yx
h. Biết côsin của góc tạo bởi tiếp tuyến và đƣờng thẳng 4x – 3y = 0 bằng
3
5
.
Giải:
D=R
2
' 3 6y x x
a/ ta có:
00
2; 2xy
;
/
(2) 0y
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)
2y
b/ ta có:
00
12xy
;
/
( 1) 9y 
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)
y = 9x + 7
c/ ta có: y
0
= 2
0
3 2 3 2
0 0 0 0
0
0
3 2 2 3
3
x
x x x x
x
* Với
0
0x
; y
0
= 2;
/
(0) 0y
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)
y = 2.
* Với
0
3x
; y
0
= 2;
/
(3) 9y
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)
y = 9x – 25 .
d/ ta có:
0
0x
; y
0
= 2;
/
(0) 0y
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)
y = 2.
e/ xét PTHĐGĐ:
0
32
00
0
1
3 2 2
2
x
xx
x

* Với
00
12xy
;
/
( 1) 9y 
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)
y = 9x + 7
* Với
00
22xy
;
/
(2) 0y
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)
2y
f/ Hệ số góc của tiếp tuyến là
/2
0 0 0
( ) 3 6y x x x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
10 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Do tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7
Nên
0
/2
0 0 0
0
1
( ) 9 3 6 9
3
x
y x x x
x

* Với
00
12xy
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)
y = 9x + 7
* Với
0
3x
; y
0
= 2
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)
y = 9x – 25 .
g/ Hệ số góc của tiếp tuyến là
/2
0 0 0
( ) 3 6y x x x
Do tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng
1
45
yx
Nên
0
/2
0 0 0
0
5
1
( ) 45 3 6 45
1
3
45
x
y x x x
x

* Với
00
5 52xy
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5)
y = 45x – 173
* Với
00
3 52xy
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x +3)
y = 45x +83
h/ Gọi tiếp tuyến d có hệ số góc
/2
0 0 0
( ) 3 6k y x x x
vectơ chỉ phƣơng của d là
(1; )
d
uk
Vectơ pháp tuyến của d là:
( ; 1)
d
nk
Đƣờng thẳng
: 4x – 3y = 0
Vectơ pháp tuyến của
là:
(4; 3)n

Theo đề ta có
2
2 2 2 2
.4 ( 1).( 3) 4 3
33
cos( ; ) 4 3 3 1
55
1. 4 ( 3) 1.5
kk
d k k
kk
0
24
7
k
k

* Với k = 0 ta có:
0
/2
0 0 0
0
0
( ) 0 3 6 0
2
x
y x x x
x
00
02xy
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)
y = 2.
00
22xy
phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)
2y
* Với
24
7
a 
ta có:
/ 2 2
0 0 0 0 0
24 24
( ) 3 6 21 42 24 0
77
y x x x x x
vô nghiệm
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2; y = -2
D. Vi phân và đạo hàm cấp cao
I. Vi Phân
- Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm tại điểm
. Khi đó
f x x
đƣợc gọi là vi phân của hàm số
tại điểm
ứng với số gia
x
đã cho.
Kí hiệu:
( ) ( )y f x dy d f x f x dx
- Trong phép tính gần đúng, với
x
khá nhỏ, xét tại điểm
0
x
,
ta có công thức sau:
0 0 0
f x x f x f x x
Ví dụ 1: Cho hàm số
sin cos
()
sin cos
xx
y f x
xx

. Tính vi phân của hàm số tại
0
2
x
ứng với
0,01x
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
11 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giải: Ta có:
2
2
sin cos
fx
xx
.
Vi phân cần tìm:
0,02
22
d f f x




.
Ví dụ 2: Tính vi phân của hàm số:
1 2tanyx
.
Giải: Ta có:
2
2
1 2tan 1 2tan
cos 1 2tan
dy d x x dx dx
xx
Ví dụ 3: Tính gần đúng của
16,001
.
Giải: Ta đặt
1
2
f x x f x
x
.
Áp dụng
0 0 0
1
16,001 4 .0,001 4,000125
8
f x x f x f x x
II. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp n
( , 2)n N n
của hàm số
()y f x
là
n
fx
( hay
n
yx
).
Chú ý:
o Đạo hàm cấp hai:
2
yy

.
o Đạo hàm cấp ba:
3
yy

.
o
1nn
f x f x


.
- Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: xét một chất điểm chuyển động có phƣơng trình
s s t
.
Khi đó gia tốc tức thời tại thời điểm
0
t
là
00
a t s t

.
Ví dụ 1: Cho hàm số
4 3 2
( ) 2 4 6 1y f x x x x x
. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số.
Giải: Ta có:
32
4 6 8 6y x x x
.
2
12 12 8y x x

24 12yx

Ví dụ 2: Cho hàm số
2
2y x x
. Chứng minh rằng:
3
. 1 0yy


.
Giải: Ta có:
2 2 2
11
2 2 2
x
yy
x x x x x x
.
3
32
22
1
. 1 2 . 1 1 1 0
22
VT y y x x VP
x x x x






Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
12 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 02. XÉT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
THUẦN GIÁO KHOA:
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K (x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K (x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Giả sử: cho hàm số
y f x
.
Xét các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
1. Nếu
1 2 1 2
:x D x x f x f x
thì hàm số đồng biến trên D. …………………..
2. Nếu
1 2 1 2
:x D x x f x f x
thì hàm số nghịch biến trên D. …………………..
3. Nếu
0fx
thì hàm số đồng biến. …………………..
4. Nếu
0fx
thì hàm số nghịch biến. …………………..
5. Nếu
0fx
, mà
0fx
có nghiệm hữu hạn thì hàm số đồng biến. …………………..
6. Nếu hàm số đồng biến trên D thì
0fx
…………………..
7. Nếu hàm số đồng biến trên D thì
0fx
…………………..
8. Hàm số đã cho có đạo hàm trên D, nếu
0fx
,
xD
thì hàm số nghịch biến trên D……
9. Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi
0,f x x K
…………………….
10. Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi
0,f x x K
…………………….
Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
. Tìm các điểm mà tại đó y
= 0 hoặc y
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
2
2 4 5y x x
b)
2
5
44
x
yx
c)
2
43y x x
d)
32
22y x x x
e)
2
(4 )( 1)y x x
f)
32
3 4 1y x x x
g)
42
1
21
4
y x x
h)
42
23y x x
i)
42
11
2
10 10
y x x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
13 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
k)
21
5
x
y
x
l)
1
2
x
y
x
m)
1
1
1
y
x

n)
2
2 26
2
xx
y
x

o)
1
3
1
yx
x
p)
2
4 15 9
3
xx
y
x

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
4 3 2
6 8 3 1y x x x
b)
2
2
1
4
x
y
x
c)
2
2
1
1
xx
y
xx


d)
2
21x
y
x
e)
2
32
x
y
xx

f)
3 2 2y x x
g)
2 1 3y x x
h)
2
2y x x
i)
2
2y x x
j)

2
2y x x
Ghi nhớ nhanh
Hàm bậc nhất:
,0y ax b a
CẦN NHỚ
0a
thì hàm số luôn đồng biến trên R.
0a
thì hàm số luôn nghịch biến trên R.
Hàm bậc hai:
2
, 0 ' 2 0
2
b
y ax bx c a y ax b x
a
0a
thì hàm số nghịch biến trên
;
2
b
a




, đồng
biến trên
;
2
b
a




.
0a
thì hàm số nghịch biến trên
;
2
b
a




, đồng
biến trên
;
2
b
a




.
Hàm bậc ba:
3 2 2 2
, 0 ' 3 2 0 ' 3y ax bx cx d a y ax bx c b ac
.
2
0
' 3 0
a
b ac
thì hàm số luôn đồng biến trên R.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
14 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
2
0
' 3 0
a
b ac
thì hàm số luôn nghịch biến trên R.
2
0
' 3 0
a
b ac
Giả sử
'0y
có hai nghiệm
12
xx
thì hàm số đồng biến trên
1
;x
và
2
;x 
. Hàm số nghịch biến trên
12
;xx
.
2
0
' 3 0
a
b ac
Giả sử
'0y
có hai nghiệm
12
xx
thì hàm số nghịch biến trên
1
;x
và
2
;x 
. Hàm số đồng biến trên
12
;xx
.
Hàm nhất biến:
, 0, 0,
ax b d
y c ad bc x
cx d c



2
'
ad bc
y
cx d

0ad bc
thì hàm số đồng biến trên
;
d
c




và
;
d
c




0ad bc
thì hàm số nghịch biến trên
;
d
c




và
;
d
c




Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
15 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Hàm trùng phƣơng:
42
,0y ax bx c a
3
2
0
' 4 2 0
2
x
y ax bx
b
x
a

.
0
0
a
ab
thì hàm số nghịch biến trên
;0
. Hàm số
đồng biến trên
0;
.
0
0
a
ab
thì hàm số đồng biến trên
;0
. Hàm số
nghịch biến trên
0;
.
0
0
a
ab
Thì hàm số đồng biến trên
;0
2
b
a




và
;
2
b
a




. Hàm số nghịch biến trên
;
2
b
a




và
0;
2
b
a



.
0
0
a
ab
Thì hàm số nghịch biến trên
;0
2
b
a




và
;
2
b
a




. Hàm số đồng biến trên
;
2
b
a




và
0;
2
b
a



.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
16 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Hàm số nào dƣới đây đồng biến trên .
A.
42
3 4 2017y x x
. B.
32
7 4 2
1
8 3 5
y x x x
.
C.
25
35
x
y
x
. D.
32
1
31
3
y x x x
.
Câu 2. Cho hàm số
32
34y x x
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
A.
( ;0)
. B.
(2; )
. C.
0;2
. D.
( ;0)
và
(2; )
.
Câu 3. Cho hàm số
42
24y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
2; 
.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;2
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
0;
.
D. Hàm số luôn đồng biến trên .
Câu 4. Cho hàm số
42
1
22
4
y x x
. Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
2;
.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;2
và
0;2
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
2; 1
.
D. Hàm số đồng biến trong khoảng
2;0
và
1; 
.
Câu 5. Cho hàm số
7 6 5
7
9 7 12
5
y x x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trong khoảng
1
;
3




.
B. Hàm số không có khoảng nghịch biến.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
1
0;
3



.
D. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;0
.
Câu 6. Cho hàm số
5 4 2
2 3 3
21
5 4 2
y x x x x
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
A.
( ; 1)
. B.
(1; )
. C.
( ; 1)
và
(1; )
. D.
1;1
.
Câu 7. Cho hàm số
42
22y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
1; 
.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;1
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
1;1
.
D. Hàm số đồng biến trong khoảng
1;0
và
1; 
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
17 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 8. Cho hàm số
21
1
x
y
x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
3; 
.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;1
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
;1
và
1; 
.
D. Hàm số đồng biến trên .
Câu 9. Cho hàm số
2
1
x
y
x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
3
;2
2



.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;1
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
0;1
và
1; 
.
D. Hàm số đồng biến trên
1\
.
Câu 10. Khoảng nghịch biến của hàm số
2
5
2
xx
y
x
là:
A.
5;
. B.
5;1
và
3; 
.
C.
;2
và
2; 
. D.
2\
.
Câu 11. Cho hàm số
3
48
2
xx
y
x

. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
;0
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
;2
.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
2;3
và
3; 
.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
;2
.
Câu 12. Tìm khoảng đồng biến hàm số
2
3 3 2y x x x
?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
;0
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
3;0
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
3;2
.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
0;
.
Câu 13. Cho hàm số
2
1 2 3 3y x x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
;1
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
;2
.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
2;
.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
;1
.
Câu 14. Cho hàm số
2
23y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
18 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A. Hàm số đồng biến trong khoảng
1;3
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
;1
.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;1
và
1;3
.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1;1
và
3; 
.
Câu 15. Cho hàm số
2
4 3 4 3y x x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
;1
.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
;0
.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
3; 
.
Câu 16. Cho hàm số
2
1
x
e
y
x
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. Hàm số có khi đồng biến, có khi nghịch biến.
B. Hàm số nghịch biến khi
1x
.
C. Hàm số nghịch biến khi
1x
.
D. Hàm số luôn đồng biến trên R .
Câu 17. Khoảng đồng biến của hàm số
lny x x
là:
A.
0;
. B.
0;e
.
C.
1
;
e




. D.
2
1
;e
e



.
Câu 18. Cho hàm số
()y f x
xác định trên D và liên tục R, có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
1
;x
và
2
;x 
.
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng
1
;x 
.
D. Hàm số nghịch biến trên .
Câu 19. Bảng biến thiên sau đây ứng với hàm số nào?
A.
1
y
x
. B.
2
2
1
x
y
x
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
19 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
C.
32
69y x x x
. D.
42
2y x x
.
Câu 20. Cho hàm số
()y f x
xác định trên D và liên tục tại
1x 
, có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
; 
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
0;4
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
1;1
.
D. Hàm số nghịch biến trên
1; 
.
Câu 21. Cho hàm số
()y f x
, có đồ thị nhƣ hình vẽ bên:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
4;0
.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng
0;2
.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng
0;4
.
D. Hàm số nghịch biến trên
0;
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
20 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 03. XÉT DẤU-GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH
A. XÉT DẤU
• ( )f x ax b
2
• ( )f x ax bx c
Trường hợp có hai nghiệm phân biệt:
Trường hợp có nghiệm kép:
Trường hợp vô nghiệm:
Nhận xét: khi làm toán bảng xét dấu đƣợc làm ngoài nháp nên ta sẽ vẽ dƣới dạng trục.
Ví dụ: giải nhanh các bất phƣơng trình sau:
Bất phƣơng trình:
Nháp trục
Kết luận
2
3 7 0xx
2
3 7 0xx
2
6 9 0xx
2
6 9 0xx
2
6 9 0xx
2
6 9 0xx
2
3 4 0xx
2
3 1 0xx
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
21 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
2
5 6 0xx
2
5 6 0xx
2
3 5 6 0xx
2
3 5 6 2 4 1 0x x x x
2
1 3 4
0
2
x x x
x
2
2
1 3 4
0
4
x x x
x
2
22
1 3 4 9
0
41
x x x x
x x x
B. GIAO-HỢP NGHIỆM
GIAO:
A
AB
B

(xử lý A xong, rồi mới xử lý B)
HỢP:
A
AB
B

(xử lý A và B cùng lúc)
Có
Nháp trục
Kết luận
2
5
x
x
2
5
x
x
3
6
x
x

6
2
x
x

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
22 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
4
1
x
x
2
5
x
x
2
2
3
x
x
x

2
0
12
x
x
x

2
3
32
1
0
x
x
x
x
x

C. TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG:
I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2:
2
( ) 0 (1)f x ax bx c
Biện luận:
22
12
1,2
0:
0
0:
0
0
0
0 4 , ' ' 0
2
0
2
c vsn
b
c vn
a
b
bx
a
vn
b
a b ac b ac x x
a
b
x
a



Từ biện luận ấy ta có các trường hợp thường gặp như sau:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
23 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
(1) vô nghiệm
0
0
0
0
ab
c
a

(1) có nghiệm
0
0
0
0
0
abc
a
b
a

(1) có 1 nghiệm
0
0
0
0
a
b
a


(1) có đúng 1 nghiệm
0
0
a
b
(1) có hai nghiệm
0
0
a

(1) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a

Chú ý: Trường hợp nào vô lý thì bỏ đi trường hợp đó.
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình sau:
2
2( 1) 2 0 (1)x m x m
. Tìm m để (1) :
a/ vô nghiệm.
b/ có nghiệm.
c/ có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho phƣơng trình sau:
2
1 2( 1) 2 0 (1)m x m x m
. Tìm m để (1) :
a/ vô nghiệm.
b/ có nghiệm.
c/ có 1 nghiệm .
d/ có 2 nghiệm phân biệt.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
24 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
II. VI-ET
2
( ) 0 (1)f x ax bx c
. Giả sử (1) có hai nghiệm là:
12
;xx
.
Ta luôn có :
12
12
.
b
S x x
a
c
P x x
a

(điều kiện
2
40SP
).
III. So sánh nghiệm
2
( ) 0 (1)f x ax bx c
. Giả sử (1) có hai nghiệm là:
12
;xx
.
(1) có hai nghiệm trái dấu
12
0xx
12
.0xx
(1) có hai nghiệm cùng dấu
12
12
0
0
xx
xx


12
0
.0xx

(1) có hai nghiệm pb cùng dấu
12
12
0
0
xx
xx


12
0
.0xx

(1) có hai nghiệm dƣơng
12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


(1) có hai nghiệm dƣơng pb
12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


(1) có hai nghiệm âm
12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


(1) có hai nghiệm âm pb
12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


Chú ý : so sánh nghiệm với 0
12
0xx
12
.0xx
12
0xx
12
.0xx
12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
25 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0 xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


12
0xx
12
12
0
.0
0
xx
xx


Chú ý : so sánh nghiệm với số bất kỳ
12
xx

12
0xx

12
.0xx

12
xx

12
0xx

12
.0xx

12
xx

12
0 xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0 xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0 xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
26 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
12
xx

12
0 xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


12
xx

12
0xx

12
12
0
.0
0
XX
XX


Với
11
Xx

và
22
Xx

Ví dụ : Cho phƣơng trình sau:
2
2( 1) 2 3 0 (1)x m x m
. Tìm m để (1) :
a/ có hai nghiệm trái dấu.
b/ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c/ có hai nghiệm dƣơng.
d/ có hai nghiệm âm phân biệt.
e/ có hai nghiệm
12
,xx
thỏa:
12
0 xx
f/ có hai nghiệm
12
,xx
thỏa:
12
0xx
g/ có hai nghiệm
12
,xx
thỏa:
12
1 xx
h/ có hai nghiệm
12
,xx
thỏa:
12
2xx
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
27 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
IV. Biểu thức sử dụng vi-et:
22
1 2 2 1 1 2 1 2
2
22
1 2 1 2 1 2
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
12
1 2 1 2
2
22
1 2 1 2
12
22
22
12
1 2 1 2
2
3
24
11
2
11
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
D x x D x x x x x x x x x x
xx
x x x x
x x x x
xx
xx
x x x x



Ví dụ : Cho phƣơng trình sau:
2
2( 1) 2 3 0 (1)x m x m
. Tìm m để (1) :
a/ có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa:
22
12
4xx
b/ có hai nghiệm
12
,xx
thỏa:
22
12
1xx
c/ có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa:
22
1 2 1 2 2 1 1 2
10x x x x x x x x
d/ có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa:
12
3xx
e/ có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
thỏa:
12
21xx
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
28 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 04. KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất
()y f x
TXĐ:
???D
Hàm số liên tục trên
D
' '( ) 0 x ??? y(x) ???y f x
Tìm giới hạn
BBT
KL
Dựa vào BBT để tìm Max - Min
( ), x ;y f x a b
TXĐ
Hàm số liên tục trên
;ab
' '( ) 0
x
y f x
x
(giả sử
;ab
)
???; ???; ???y y a y b
KL
Số lớn nhất là Max; số nhỏ nhất là Min
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
32
3 9 5y x x x
D=R; Hàm số liên tục trên
D
2
' 3 6 9y x x
Cho
2
1 10
' 0 3 6 9 0
3 22
xy
y x x
xy
lim
x
y


BBT
Vậy: hàm số không có GTLN và GTNN trên D.
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
43
2 2 1y x x x
D=R; Hàm số liên tục trên
D
32
' 4 6 2y x x
Cho
32
12
' 0 4 6 2 0
15
2 16
xy
y x x
xy
lim
x
y


BBT
Vậy: GTNN:
5
16
x
Miny
khi
1
2
x 
. Hàm số không có GTLN trên D.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
29 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
2
23
1
xx
y
x

,
(1;3]x
(1;3]D
(hoặc D=
\{1}R
xét
(1;3]x
)
2
2
25
'
( 1)
xx
y
x

Cho
2
' 0 2 5 0 1 6y x x x
BBT
Vậy:
(1;3]
93
x
Min y x
và
(1;3]x
Max y
không tồn tại.
Đối với hs có MXĐ trên đoạn thì ta không dùng đến BBT nữa.
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
42
25y x x
,
[ 2;3]x
Hàm số liên tục trên
2;3
3
' 4 4y x x
Cho
2
0 2;3
' 0 4 ( 1) 0
1 2;3
x
y x x
x
(0) 5; ( 1) 4; (1) 4; ( 2) 13; (3) 68.y y y y y
Vậy: GTLN:
[ 2;3]
68
x
Max y

khi
3x
và GTNN:
[ 2;3]
4
x
Min y

khi
1x 
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
5 4 3
5 5 2y x x x
,
[ 1;2]x
Hàm số liên tục trên
1;2
4 3 2
' 5 20 15y x x x
Cho
4 3 2
0 [ 1;2]
' 0 5 20 15 0 1 [ 1;2]
3 [ 1;2]
x
y x x x x
x
(0) 2; (1) 3; ( 1) 9; (2) 6.y y y y
Vậy:
[ 1;2]
31
x
Max y x

và
[ 1;2]
91
x
Min y x

Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
2
4yx
[ 2;2]D
2
'
4
x
y
x
Cho
' 0 0yx
(0) 2; ( 2) 0; (2) 0.y y y
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
30 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Vậy:
[ 2;2]
20
x
Max y x

và
[ 2;2]
02
x
Min y x

Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs:
2
sin 1
sin sin 1
x
y
xx

Đặt
sin , 1t x t
2
1
1
t
y
tt

;
[ 1;1]t 
2
22
2
'
( 1)
tt
y
tt


Cho
2
0
' 0 2 0
2 [ 1;1]
t
y t t
t
2
(0) 1; ( 1) 0; (1) .
3
y y y
Vậy:
[ 1;1]
10
t
Max y x

và
[ 1;1]
01
x
Min y x

Bài tập bắt buộc
Câu 1. Cho hàm số
42
25y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A.
2;3
max 108
x
y

. B.
2;3
max 13
x
y

.
C.
2;3
max 68
x
y

. D.
2;3
max 5
x
y

.
Câu 2. Cho hàm số
5 4 3
5 5 2y x x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A.
1;2
min 9
x
y


khi
1x
.
B.
1;2
min 9
x
y


khi
0x
.
C.
1;2
min 9
x
y


khi
2x 
.
D.
1;2
min 9
x
y


khi
1x 
.
Câu 3. Cho hàm số
y f x
có đồ thị nhƣ hình bên.
Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn
1;2
bằng:
A. 5. B. 2.
C. 1. D. không xác định đƣợc.
Câu 4. Cho hàm số
2
2018 2017 2016y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
y
x
5
-2
2
-1
-1
4
3
2
1
O
1
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
31 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 5. Tìm M và m lần lƣợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
3 9 35y x x x
trên
đoạn
4;4
.
A.
40; 41Mm
. B.
15; 41Mm
.
C.
40; 8Mm
. D.
40; 8Mm
.
Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) 3 2f x x x
trên đoạn [-10;10] bằng
A. 152. B. 110. C. 132. D. 72.
Câu 7. Cho hàm số
2
35y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng nhất?
A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
1x
.
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
1x 
.
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
5x 
.
D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
5x 
.
Câu 8. Cho hàm số
2
4y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số là
2
.
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là
22
.
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là
.
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là
42
.
Câu 9. Cho hàm số
2
64y x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A.
max 3 13
x
y

. B.
max
x
y
.
C.
;
max 3 13
x
y
 

. D.
0;3
max 3 13
x
y

.
Câu 10. Đặt M và m lần lƣợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
20 10 3
3 2 1
xx
y
xx


. Khẳng
định nào dƣới đây đúng?
A.
5
2
Mm
. B.
24Mm
.
C.
13
23
2
Mm
. D.
21
2
2
Mm
.
Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số
2
2
19
81
xx
y
x

trên khoảng
0;
bằng
A.
32
4
. B.
22
3
. C.
62
. D.
32
.
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin 1
sin sin 1
x
y
xx

bằng
A.
1
. B.
. C.
2
3
. D.
1
.
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3
4
2sin sin , 0;
3
y x x x
?
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
32 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
32
4
. B.
22
3
. C.
2
. D.
32
.
Câu 14. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2 2
12y x m x m
trên
0;2
bằng 7
A.
3m 
. B.
1m 
. C.
7m 
. D.
2m 
.
Câu 15. Cho hàm số
32
36y x mx
, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
0;3
bằng 2 khi
A .
31
27
m
. B.
1m
. C.
2m
.
D.
3
2
m
.
Câu 16. Cho hàm số
2
1
xm
y
x
, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
0;3
bằng
2
khi
A .
1m 
. B.
0m
. C.
1m
. D.
2m
.
Câu 17. GTLN và GTNN của hàm số
2cosy f x x x
trên đoạn
0;
2



lần lƣợt là
A.
1
4
và
2
. B.
1
4
và
2
.
C.
4
và
2
. D.
4
và
21
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
33 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 05. ĐƠN ĐIỆU MỞ RỘNG
I/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định ( hay từng khoảng xác định – đối với hàm
hữu tỷ):
ĐL1
2
0
0
0,
0
'0
AB
C
Ax Bx C x R
A

2
0
0
0,
0
'0
AB
C
Ax Bx C x R
A

Bài toán 1:
32
y ax bx cx d
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ
Tìm m để hàm số nghịch biến trên TXĐ
Bƣớc 1: tập xác định
D
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng
2
'y Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên TXĐ
2
' 0, x D 0, x Dy Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên TXĐ
2
' 0, x D 0, x Dy Ax Bx C
Từ đó áp dụng ĐL1 vào tìm m rồi kết luận
Ví dụ: Định m để hàm số
32
3y x x mx m
luôn đồng biến trên tập xác định.
D=R
2
' 3 6y x x m
Hàm số luôn đồng biến trên TXĐ
'0
' 0,
10
y x R
a


9 3 0 3mm
Vậy: với
3m
thì hs luôn đồng biến trên D.
Ví dụ: Định m để hàm số
32
(2 1) ( 2) 2y mx m x m x
luôn nghịch biến trên tập xác định.
D=R
2
' 3 2(2 1) 2y mx m x m
Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định
3 2(2 1) 0
()
20
' 0,
30
'0
mm
loai
m
y x R
m


2
4 4 1 3 ( 2) 0
0
m m m m
m
2
( 1) 0
0
m
m

1m
Vậy: với
1m 
thì hs luôn đồng biến trên D.
Bài toán 2:
2
ax bx c
y
mx n

( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
định.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
Bƣớc 1: tập xác định
\
n
D
m



Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
34 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng
2
2
'
Ax Bx C
y
mx n

Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
định.
2
' 0, x D 0, x Dy Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
2
' 0, x D 0, x Dy Ax Bx C
Từ đó áp dụng ĐL1 vào tìm m rồi kết luận
Bài toán 3:
ax b
y
cx d
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
định.
Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
Bƣớc 1: tập xác định
\
d
D
c



Bƣớc 2: tính đạo hàm
2
'
ad bc
y
cx d
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
định.
' 0, x D 0y ad bc
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
' 0, x D 0y ad bc
Từ đó tìm m rồi kết luận
Ví dụ: Định m để hàm số
4mx
y
xm
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
D=
\{ }Rm
2
2
4
'
()
m
y
xm
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
2
2
' 0, 4 0
2
m
y x D m
m

Vậy: với
2
2
m
m

thì hs luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
II/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng K cho trƣớc:
Nhắc sơ lại:
So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
()g x ax bx c
với số 0:
12
0
00
0
x x P
S

12
0
00
0
x x P
S

12
00x x P
So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
()g x ax bx c
với số
:
1 2 1 2 1 2
12
0
00
0
x x x x x x
xx


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
35 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
1 2 1 2 1 2
12
0
00
0
x x x x x x
xx


1 2 1 2 1 2
00x x x x x x
ứng dụng max-min vào BPT:
( ), Min ( )
( ), Max ( )
xK
xK
m g x x K m g x
m g x x K m g x


Ví dụ: Định m để hàm số
32
3 ( 1) 4y x x m x m
nghịch biến trong ( - 1; 1)
D=R
2
' 3 6 1y x x m
Cách 1:
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
'0y
,
12
11xx
( 1) 0
(1) 0
af
af

3(3 6 1) 0
3(3 6 1) 0
m
m
4
8
m
m

8m
Vậy:
8m 
là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
'0y
,
1;1x
Hay:
22
3 6 1 0 3 6 1 ( ), 1;1x x m m x x g x x
'( ) 6 6 0 1 1;1g x x x
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1;1
( ) 8m Ming x
Vậy:
8m 
là giá trị cần tìm.
Ví dụ: Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (2 3 2)y x m x m m x
tăng trên
(2; )
D=R
22
' 3 2( 1) (2 3 2)y x m x m m
Hàm số tăng trên
(2; )
'0y
,
12
2xx
12
12
'0
'0
2 2 0
2 2 0
xx
xx


3
2
2
5
m
m

3
2
2
m
Vậy:
3
2
2
m
thì hs tăng trên
(2; )
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
36 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
III/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên độ dài L:
Bài toán 1:
32
y ax bx cx d
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn L
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn L
Bƣớc 1: tập xác định
D
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng
2
'y Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên đoạn L
12
2
2
1 2 1 2
' 0,
0
'0
4.
y x x L
A
x x x x L
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên đoạn L
12
2
2
1 2 1 2
' 0,
0
'0
4.
y x x L
A
x x x x L
Từ đó áp dụng vi-et vào tìm m rồi kết luận
Ví dụ: Định m để hàm số
32
3y x x mx m
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
D=R
2
' 3 6y x x m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
'0y
,
12
1xx
2
9 3 0
3
3
4 4 1
4
41
m
m
m
m
SP




Vậy:
3
4
m
thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
BÀI TẬP:
1/ Cho hàm số (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng
biến trên tập xác định của nó. đáp số
2/ Cho hàm số (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên
khoảng . đáp số
3/ Cho hàm số có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
đáp số
4/ Cho hàm số .
Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng . đáp số
5
4
m
5/ Cho hàm số .
Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng . đáp số
6/ Cho hàm số (1) .
Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng . đáp số
y m x mx m x
32
1
( 1) (3 2)
3
m 2
y x x mx
32
34
( ;0)
m 3
y x m x m m x
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
(2; )
m 1
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2
K (0; )
y m x m x m x
32
1
( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
K ( ; 1) 
m
1
1
3

y m x m x x
2 3 2
1
( 1) ( 1) 2 1
3
m( 1)
K ( ;2)
m11
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
37 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
7/ Cho hàm số
32
1
1 2 1 6
3
y x m x m x
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số
0m
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
2;
đáp số
0
1
2
m
m
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
3;1
đáp số
2m 
8/ Cho hàm số
32
1
2 10
3
y x x mx
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số
4m 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
0;
đáp số
0m
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên
;1
đáp số
4m 
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. đáp số
3
4
m
9/ Cho hàm số
32
12 1y x mx x
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số
66m
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
1; 
đáp số
6m
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
1;2
đáp số
6m
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2. đáp số
m
10/ Cho hàm số
9mx
y
xm
.
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. đáp số
3;3m
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
2;
. đáp số
3m
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
;1
đáp số
31m
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Hàm số
4mx
y
xm
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi
A.
2m 
hoặc
2m
. B.
2m 
.
C.
2m
. D.
22m
.
Câu 2. Nếu hàm số
21x
y
xm
nghịch biến trên khoảng
2;
thì
A.
1
2
m
. B.
2m
. C.
1
2
m
. D.
1
2
2
m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
38 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 3. Nếu hàm số
4mx
y
xm
nghịch biến trên khoảng
;1
thì
A.
21m
. B.
21m
. C.
21m
. D.
21m
.
Câu 4. Nếu hàm số
32
3y x x mx m
luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì
A.
3m
. B.
3m
. C.
3m
. D.
3m
.
Câu 5. Tìm m để hàm số
32
2 1 2 2y mx m x m x
luôn đồng biến trên .
A.
m
. B.
m
. C.
1m 
. D.
0m
.
Câu 6. Nếu hàm số
3 2 2
2
2 3 1
3
m
y x m x m x m
luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì
A.
1
4
m 
. B.
1
2
4
m
. C.
1
2
4
m
. D.
2m 
.
Câu 7. Nếu hàm số
2 3 2
1
1 1 3
3
y m x m x x
luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì
A.
1;2m
. B.
; 1 2;m 
.
C.
1;2m
. D.
; 1 2;m 
.
Câu 8. Nếu hàm số
2
11y x m x
luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì
A.
1m
. B.
1m
. C.
1m 
. D.
11m
.
Câu 9. Nếu hàm số
2
32
21
x mx
y
x
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì
A.
11
2
m
. B.
11
2
m
. C.
11
2
m
. D.
11
2
m
.
Câu 10. Nếu hàm số
2
1 2 6
1
m x mx m
y
x
đồng biến trên khoảng
4;
thì
A.
1m 
. B.
1m 
. C.
1m 
. D.
1m 
.
Câu 11. Hàm số
32
3 1 4y x x m x m
nghịch biến trong khoảng
1;1
khi
A.
8m 
. B.
8m 
. C.
8m 
. D.
8m 
.
Câu 12. Hàm số
32
34y x x mx
đồng biến trên khoảng
0;
khi
A.
3m 
. B.
3m 
. C.
3m 
. D.
3m 
.
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của m để hàm số
32
1 2 2 2y x m x m x m
đồng biến trên khoảng
0;
?
A.
. B.
1
. C.
. D. Vô số.
Câu 14. Hàm số
32
1
2 1 1 2017
3
y mx m x m x
đồng biến trên khoảng
2;
khi
A.
9
;
13
m




. B.
9
;
13
m



. C.
9
;
13
m




. D.
9
;
13
m


.
Câu 15. Hàm số
3 2 2
1 2 3 2y x m x m m x
nghịch biến trên khoảng
2;
khi
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
39 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
3
2
2
m
. B.
3
2
m 
. C.
2m
. D.
3
2
2
m
m

.
Câu 16. Hàm số
32
3y x x mx m
nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 khi
A.
3;m 
. B.
9
;
4
m



. C.
9
;3
4
m



. D.
9
;
4
m



.
Câu 17. Tồn tại hai giá trị m để hàm số
32
36 5y x mx m x
nghịch biến trên khoảng có độ dài
bằng
42
khi đó tổng hai giá trị m bằng
A.
3
. B.
. C.
1
. D.
.
Câu 18. Cho hàm số
6 6 2 2
( ) sin cos 3sin cosf x x x x x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A.
()fx
là hàm số đồng biến trên .
B.
()fx
là hàm số nghịch biến trên .
C.
()fx
là hàm số không đơn điệu.
D.
()fx
là hàm số hằng.
Câu 19. Hàm số
siny x mx
đồng biến trên khi
A.
1m
. B.
m
. C.
1m 
. D.
11m
.
Câu 20. Hàm số
.sin .cos 2y A x B x x
, (A, B là các tham số) đồng biến trên khi
A.
22
4AB
. B.
22
4AB
.
C.
22
4AB
. D.
22
4AB
.
Câu 21. Xét ba hàm số:
I.
2
1
x
y
x
; II.
2
6
2
xx
y
x
; III.
tanyx
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là:
A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III.
C. Chỉ I và III . D. Cả I, II, III.
Câu 22. Xét ba hàm số:
I.
()f x x x
; II.
1
()gx
x
; III.
2
( ) 2h x x x
Hàm số nào đồng biến trên đoạn [1,2]?
A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III.
C. Chỉ I và III . D. Cả I, II, III.
Câu 23. Cho ba hàm số
I.
2
()f x x
với
xR
; II.
3
()g x x
với
xR
; III.
()h x x x
với
xR
Hàm số nào đơn điệu trên tập xác định của nó?
A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III .
C. Chỉ I và III. D. Cả I, II, III.
Câu 24. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
2
1
xm
y
x

nghịch biến trên từng khoảng xác
định của nó?
A.
3m 
. B.
3m 
. C.
1m
. D.
1m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
40 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 25. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
32
1
2 3 2
3
y x mx m x m
nghịch biến
trên .
A.
31m
. B.
1m
. C.
31m
. D.
3
1
m
m

.
Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số
m
sao cho hàm số
32
1
3
y x mx mx m
luôn đồng biến trên
.
A.
6m 
. B.
5m 
. C.
1m 
. D.
0m
.
Câu 27. Tìm số nguyên
m
nhỏ nhất sao cho hàm số
32mx
y
xm

luôn nghịch biến trên từng khoảng
xác định của nó?
A.
1m 
. B.
2m 
. C.
0m
. D. Không có
m
.
Câu 28. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
32
61y x x mx
đồng biến trên khoảng
0;
.
A.
0m
. B.
12m
. C.
0m
. D.
12m
.
Câu 29. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
42
2 1 2y x m x m
đồng biến trên khoảng
1;3
.
A.
5;2m
. B.
;2m 
. C.
2;m 
. D.
;5m 
.
Câu 30. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
4mx
y
xm
nghịch biến trên khoảng
;1
.
A.
2;2m
. B.
2; 1m
. C.
2; 1m
. D.
2;2m
.
Câu 31. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
32
7 14 2
3
m
y x mx x m
nghịch biến trên nửa
khoảng
1; 
.
A.
14
15
m 
. B.
14
15
m 
. C.
14
2
15
m
. D.
14
15
m 
.
Câu 32. Tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
42
23y x m x m
nghịch biến trên khoảng
1;2
là
;
p
q



, trong đó phân số
p
q
tối giản và
0q
. Khi đó
qp
bằng
A.
5
. B.
9
. C.
. D.
3
.
Câu 33. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
cosy m x x
luôn đồng biến trên .
A.
1m
. B.
3
2
m
. C.
1m
. D.
1
2
m
.
Câu 34. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
3 2 1 cosy m x m x
luôn nghịch biến trên
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
41 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
2
4;
3
m




. B.
2;m 
. C.
3;m 
. D.
;2m 
.
Câu 35. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
tan 2
tan
x
y
xm
đồng biến trên khoảng
0;
4



.
A.
12m
. B.
0
12
m
m

. C.
2m
. D.
0m
.
Câu 36. Tìm tất cả giá trị thực của
m
sao cho hàm số
1 sin
sin
x
y
xm
nghịch biến trên khoảng
0;
6



.
A.
1m
. B.
0
1
1
2
m
m

. C.
1m
. D.
0
1
1
2
m
m

.
BÀI 06. TIỆM CẬN
ĐỊNH NGHĨA:
Đƣờng thẳng
0
xx
đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
0
lim ( )
xx
fx
;
0
lim ( )
xx
fx
;
0
lim ( )
xx
fx
;
0
lim ( )
xx
fx
Đƣờng thẳng
0
yy
đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
0
lim ( )
x
f x y

;
0
lim ( )
x
f x y

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
42 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Đƣờng thẳng
,0y ax b a
đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
()y f x
nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

;
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

Với
()
lim
lim ( )
x
x
fx
a
x
b f x ax



hoặc
()
lim
lim ( )
x
x
fx
a
x
b f x ax



Chú ý
- Đồ thị hàm hằng và hàm đa thức không có tiệm cận.
- Điều kiện cần đồ thị hàm số dạng
()
()
()
Px
y f x
Qx

( kể cả hàm căn thức) nếu
o
()Qx
có nghiệm là
0
x
mà
0
x
không phải là nghiệm của
()Px
thì
0
xx
là tiệm cận
đứng.
o
()Qx
vô nghiệm thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
o Bậc
()Px
bậc
()Qx
thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận
xiên.
o Bậc
()Px
bậc
( ) 1Qx
thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên mà không có tiệm cận
ngang.
o Bậc
()Px
bậc
( ) 1Qx
thì đồ thị hàm số có tiệm cận cong ( toán cao cấp).
o Một đồ thị hàm số có thể có nhiều đƣờng tiệm cận đứng, ngang (hay xiên), chỉ cần thỏa
mãn đƣợc định nghĩa SGK hiện hành.
Ví Dụ : Tìm các đƣờng tiệm cận của các hàm số sau:
a)
1
2
x
x
y
D=
}1{\R
11
lim ;lim 1
xx
y y x



là đƣờng tiệm cận đứng.
lim 1; lim 1 1
xx
y y y
 
là đƣờng tiệm cận ngang.
b)
1
1
2
1
33
2
x
x
x
xx
y
D=
}1{\R
11
lim ;lim 1
xx
y y x



là đƣờng tiệm cận đứng.
1
lim ( 2) lim 0;
1
1
lim ( 2) lim 0
1
xx
xx
yx
x
yx
x
 
 






2yx
là đƣờng tiệm cận xiên
.c)
x
x
y
1
2
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
43 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
D=
}0{\R
00
lim ;lim 0
xx
y y x



là đƣờng tiệm cận đứng.
11lim

yy
x
là đƣờng tiệm cận ngang.
11lim

yy
x
là đƣờng tiệm cận ngang.

0lim;0lim
x
y
x
y
xx
không có tiệm cận xiên.
Nhắc tí xíu về bấm máy tìm giới hạn
Câu 1: Chọn khẳng định đúng ?
A.
23
0
1
lim 0
1
x
x x x
x
B.
23
0
1
lim
1
x
x x x
x

C.
23
0
1
lim 1
1
x
x x x
x
D.
23
0
1
lim
1
x
x x x
x

Câu 2: Chọn khẳng định đúng ?
A.
2
2
1
34
lim 2
1
x
xx
x

B.
2
2
1
3 4 5
lim
12
x
xx
x

C.
2
2
1
3 4 3
lim
12
x
xx
x

D.
2
2
1
34
lim 1
1
x
xx
x

Câu 3: Tính
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
I
x

.
A.
1
6
I
B.
I 
C.
1
4
I
D.
I 
Câu 4: Chọn khẳng định sai ?
A.
2017
2
1
32
lim 3
2
x
xx
x

B.
2
2
2
3 2 1
lim
44
x
xx
x


C.
1
34
lim
1
x
x
x

D.
2
2
1
34
lim
1
x
xx
x


Câu 5: Chọn khẳng định sai ?
A.
2
2
11
lim
2 1 2
x
x
xx


B.
2
32
21
lim 0
32
x
x
xx


C.
2
2
(2 1) 3 2
lim
53
x
xx
xx


D.
2
1
lim
2
x
x x x

PHƢƠNG PHÁP TÌM CÁC ĐƢỜNG TIỆM CẬN
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
44 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Liệt kê các đƣờng tiệm cận của các đồ thị hàm số (nếu có).
HÀM SỐ
ĐÁP ÁN
GHI NHẬN
1/
1y
2/
23yx
3/
32
2 3 1y x x
4/
3
1
y
x
5/
2
3
4
y
x
6/
31
4
x
y
x
7/
23
54
x
y
x
8/
2
31
1
x
y
x
9/
2
2
31
1
x
y
x
10/
85
8
3 4 1
61
xx
y
x

11/
2
3 4 1
24
xx
y
x

12/
2
2
56
4
xx
y
x

13/
3
2
1
1
x
y
x
14/
2
1
1
x
y
x
15/
2
2
1
1
x
y
x
16/
x
y
x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
45 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
17/
2
1
1
x
y
x
18/
1
1
x
y
x
19/
2
1
1
x
y
x
20/
2
1
x
y
x
21/
2
1
x
y
x
22/
2
51
31
x
y
x
23/
6
3
2
31
25
x
y
x
24/
2
31y x x
25/
2
1 3 1y x x x
26/
sin
1
x
yx
x
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
12
3
x
y
x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 2. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
21
43
x
y
xx

là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 3. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 4. Cho hàm số
2
3
4
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Câu 5. Cho hàm số
2
32
4
x
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
46 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Câu 6. Cho hàm số
()y f x
. Nếu
lim 1
x
fx


và
lim 1
x
fx

. Tìm khẳng định đúng:
A. Đồ thị hàm số đã cho không có đƣờng tiệm ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đƣờng tiệm ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai đƣờng tiệm ngang là
1y 
và
1y
.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đƣờng tiệm ngang là
1x 
và
1x
.
Câu 7. Cho hàm số
x
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có đƣờng tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng
0x
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
0x
và hai tiệm cận ngang
1y 
và
1y
.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
1y 
và
1y
.
Câu 8. Cho hàm số
2
1
1
x
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có đƣờng tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng
1x 
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x 
và hai tiệm cận ngang
1y 
và
1y
.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
1y 
và
1y
.
Câu 9. Cho hàm số
4mx
y
xm
(Cm). Kết luận nào sau đây đúng nhất:
A. Khi
2m
thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Khi
2m
thì đồ thị hàm số có tiệm cận.
C. Với mọi m thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
D. Khi
2m 
thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Câu 10. Cho hàm số
2
45
21
xx
y
xx

(C). Kết luận nào sau đây đúng nhất:
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Câu 11. Đồ thị hàm số
1
2
mx
y
xm
có đƣờng tiệm cận đứng đi qua
4; 2017A
. Khi đó:
A.
2m
. B.
2m 
.
C.
22m 
. D.
22m 
.
Câu 12. Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số
2
( 1) 2 3
32
m x m
y
xx

có đúng hai đƣờng tiệm cận.
A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số.
Câu 13. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
2
25
1
xx
y
x

là:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
47 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 14. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
2
22y x x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 15. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số
sin
2
3
xx
y
x
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 16. Gọi
y ax b
là đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
2
2 3 2 2y x x x
thì :
A.
2ab
. B.
1ab
.
C.
1ab
. D.
2ab
.
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
mx
có hai đƣờng tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m để thỏa yêu cầu đề bài.
B.
0m
.
C.
0m
.
D.
0m
.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
3xm
y
xm
không có tiệm cận đứng?
A. Không có giá trị thực nào của m để thỏa yêu cầu đề bài.
B.
0m
.
C.
0m
.
D.
0m
.
Câu 19. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
23x x m
y
xm

không có tiệm cận đứng, khi đó
tổng hai giá trị m đó bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 20. Nếu đồ thị hàm số
2
2017 1
2017
mx
y
x

có hai tiệm cận ngang thì
A.
2017m
. B.
2017m
.
C.
2017m
. D.
2017m
.
Câu 21. Cho hàm số
1
mx n
y
x
có đồ thị (C). Nếu đƣờng tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm
1;2A
và đồng thời điểm
2;1B
thuộc (C). Khi đó
mn
bằng
A.
1
. B.
1
. C.
3
. D.
3
.
Câu 22. Cho hàm số
1
xm
y
mx
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C) không có tiệm cận
đứng.
A.
0; 1m 
. B.
1m 
. C.
1m 
. D.
1m
.
Câu 23. Cho hàm số
2
22
2
x x mx
y
x
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C) có hai
đƣờng tiệm cận ngang.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
48 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
m
. B.
1m
. C.
0;1m
. D.
0m
.
Câu 24. Cho hàm số
2
1
1
x x mx
y
x
có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) có tiệm cận đứng thì
A.
0m
. B.
m
. C.
1m 
. D.
1m
.
Câu 25. Cho hàm số
2
2 3 2 1
2
x m x m
y
x
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C)
không có tiệm cận đứng.
A.
2m 
. B.
2m
. C.
3m
. D.
1m
.
Câu 26. Cho hàm số
22
3
4 2 2 3 1
y
x m x m
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C)
có đúng hai đƣờng tiệm cận đứng.
A.
13
12
m 
. B.
11m
. C.
3
2
m 
. D.
13
12
m 
.
Câu 27. Cho hàm số
22
1
2 1 2
x
y
x m x m
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C)
có đúng hai đƣờng tiệm cận đứng.
A.
1\
3
; 3;
2
m




. B.
;1\
3
2
m



.
C.
3
;
2
m




. D.
3
;
2
m




.
Câu 28. Cho hàm số
2
1y x mx
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C) có đƣờng
tiệm cận ngang.
A.
01m
. B.
1m 
. C.
1m
. D.
1m
.
BÀI 07. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1/ Định nghĩa: Cho hàm số:
()y f x
liên tục trên
,ab
và
0
,x a b
.Khi đó:
Nếu
0
( ) ( )f x f x
với
0
,,x x x a b
ta nói hàm số đạt cực đại tại
0
.x
- Giá trị cực đại là
D0C
y f x
.
- Điểm
00
;M x f x
gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số
f
.
Nếu
0
( ) ( )f x f x
với
0
,,x x x a b
ta nói hàm số đạt tiểu đại tại
0
.x
- Giá trị cực tiểu là
0CT
y f x
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
49 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
- Điểm
00
;M x f x
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f
.
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
x
gọi là đạt cực trị tại
0
.x
2/ Định lí Fermat: Nếu hàm số
()y f x
có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại
0
x
thì
0
'( ) 0fx
.
Định lí 1: Cho hàm số:
()y f x
có đạo hàm trên
,ab
và
0
,x a b
:
Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ dƣơng sang âm thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
Nếu khi x đi qua
0
x
mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dƣơng thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
Định lí 2: Cho hàm số:
()y f x
có đạo hàm cấp hai liên tục tại
0
x
,
'( ) 0fx
và
''( ) 0fx
:
Nếu
0
''( ) 0fx
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
Nếu
0
''( ) 0fx
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.
Chú ý:
Nếu hàm số đạt cực trị tại
0
x
thì tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm cực trị song song với Ox.
Nếu
0
''( ) 0fx
thì không thể áp dụng định lí 2, khi đó phải vẽ BBT để kiểm chứng.
Nếu hàm số đạt cực trị tại
0
x
, mà
'( ) 0fx
hoặc
'( )fx
không xác định đƣợc gọi là điểm tới
hạn.
B. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Phương pháp chung: lập BBT để kết luận.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
HÀM SỐ
GHI KẾT QUẢ
PHƢƠNG PHÁP
1/
32
3 9 5y x x x
2/
32
3 3 7y x x x
3/
42
21y x x
4/
43
2 2 1y x x x
5/
2
22
1
xx
y
x

6/
2
4yx
7/
4y x x
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BA:
I/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị
Bài toán:
32
y ax bx cx d
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Hàm số có cực đại cực tiểu
'0y
có hai nghiệm phân biệt
0
0a

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
50 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Hàm số có cực trị
'0y
có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm đơn
0
0
0
0
a
b
a


Hàm số không có cực trị
'0y
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
0
0
0
0
a
b
a


Nếu
0
0
'0
'' 0
yx
yx
thì hàm số nhận
0
x
làm cực trị
Nếu
0
0
'0
'' 0
yx
yx
thì hàm số nhận
0
x
làm cực đại
Nếu
0
0
'0
'' 0
yx
yx
thì hàm số nhận
0
x
làm cực tiểu
Ví dụ: CMR hs
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m
sau luôn có cực đại, cực tiểu
D=R
22
' 3 6 3( 1)y x mx m
Cho
22
' 0 3 6 3( 1) 0y x mx m
22
' 9 9 9 0mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
Ví dụ: CMR hs
2 2 4
( 1) 1x m m x m
y
xm
sau luôn có cực đại, cực tiểu
D=
\{ }Rm
2 2 2 4 2 2
22
2 ( 1) ( 1) 2 1
'
( ) ( )
x mx m m m x mx m
y
x m x m


Cho
22
' 0 2 1 0y x mx m
22
' 1 0mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
Ví dụ: Tìm m để hs
32
( 2) 3 5y m x x mx
có cực đại, cực tiểu
D=R
2
' 3( 2) 6y m x x m
hs có cực đại, cực tiểu
'0y
có 2 nghiệm phân biệt
2
2
2 2 2
' 0 9 3 ( 2) 0 3 1
3 6 9 0
m
m m m
m m m
mm

Vậy:
2
31
m
m

thì hs có cực đại, cực tiểu.
Ví dụ: Tìm m để hs
32
( 2) 3 5y m x x mx
có cực trị
D=R
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
51 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
2
' 3( 2) 6y m x x m
hs có cực trị
'0y
có 2 nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm đơn.
22
31
22
' 0 9 3 ( 2) 0
mm
m
mm
mm








Vậy:
31m
thì hs có cực trị.
Ví dụ: Tìm m để hs
2
2
1
x mx
y
x

không có cực trị
D=
\{1}R
2
2
22
'
( 1)
x x m
y
x
hs không có cực trị
'0y
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
' 0 1 2 0 3mm
Vậy:
3m 
thì hs không có cực trị.
Ví dụ: Tìm m để hs
32
3 3 2y mx x x
đạt cực đại tại x =1.
D=R
2
' 3 6 3y mx x
'' 6 6y mx
hs đạt cực đại tại x =1
'(1) 0
3
''(1) 0
y
m
y
Vậy:
3m 
thì hs đạt cực đại tại x =1.
Ví dụ: Tìm a, b để hs
32
y ax bx x
đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.
D=R
2
' 3 2 1y ax bx
'' 6 2y ax b
hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2
'(1) 0
1
''(1) 0
6
'(2) 0
3
4
''(2) 0
y
a
y
y
b
y





Vậy:
1
6
a
;
3
4
b 
thì hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m m
. CRM hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
2/ Cho hàm số
3
2
(2 1) ( 9) 1
3
x
y m x m x
. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=2. (Đs: m=1)
3/ Cho hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x
. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1. (Đs: m=2)
II/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và thỏa mãn vi-et:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
52 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ví dụ: Cho hàm số
32
3( 1) 9y x m x x m
. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
12
,xx
sao
cho
12
2xx
.
D=R
2
' 3 6( 1) 9.y x m x
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
12
,xx
phƣơng trình
'0y
có hai nghiệm pb là
12
,xx
Pt
2
2( 1) 3 0x m x
có hai nghiệm phân biệt là
12
,xx
.
2
13
' ( 1) 3 0
13
m
m
m
(1)
Theo định lý Viet ta có
1 2 1 2
2( 1); 3.x x m x x
Khi đó
22
1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 1 12 4x x x x x x m
2
( 1) 4 3 1 (2)mm
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
3 1 3
1 3 1
m
m
Vậy:
3 1 3
1 3 1
m
m
là giá trị cần tìm.
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho
32
(1 2 ) 2 2y x m x m x m
. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
1
3
xx
. Đs:
1
3 93
8
m
m

2/ Cho hàm số , với là tham số thực.
Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . Đs:
3/ Cho
32
3 3 2y x x mx
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
22
12
77xx
. Đs:
299
15;
25
m



4/ Cho
32
43y x mx x
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
40xx
. Đs:
9
2
m 
5/ Cho
32
1
34
3
y x mx mx
. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
2
2
12
22
21
29
2
29
x mx m
m
m x mx m



. Đs:
4m 
y x mx mx
32
1
1
3
m
m
xx
12
,
xx
12
8
m
m
1 65
2
1 65
2
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
53 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
6/ Cho
32
( 1) 2( 2) 4y x m x m x
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
12
1
P x x
xx
đạt giá trị nhỏ nhất.
III/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và sử dụng lý thuyết so sánh nghiệm:
Ví dụ: Cho
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m
. Tìm m để hàm số có hoành độ cực trị trái dấu nhau. (hay
12
0xx
)
D=R
22
' 3 6 3( 1)y x mx m
Cho
22
' 0 3 6 3( 1) 0y x mx m
22
' 9 9 9 0mm
hs sau luôn có cực đại, cực tiểu tại
12
,xx
Hàm số có cực trị trái dấu nhau
12
0xx
2
12
0 1 0 1 1x x m m
Vậy
11m
thì hàm số có cực trị trái dấu nhau.
Ví dụ: Cho
32
1
2 5 4 3 1
3
y x m x m x m
.
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại
12
;xx
sao cho
12
2xx
D=R
2
' 2( 2) 5 4y x m x m
Hàm số đạt cực trị tại
12
;xx
'0y
có hai nghiệm phân biệt
0
'0
9
m
m
(1)
Từ
12
2xx
1 2 1 2 1 2 1 2
2 0 2 2 2 0 2( ) 4 0x x x x x x x x
Với
12
;xx
là nghiệm pt y’=0, theo vi-et ta có:
12
12
2( 2)
. 5 4
x x m
x x m

nên có:
5 4 2.2( 2) 4 0 0m m m
so lại điều kiện (1) ta thấy
0m
thỏa
Vậy
0m
là giá trị cần tìm.
Ví dụ: Cho
32
1 2 2 2y x m x m x m
.
Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2; 0).
D=R
2
' 3 2(1 2 ) 2y x m x m
Hàm số có ít nhất một cực trị thuộc (-2; 0)
2
' ( ) 3 2(1 2 ) 2 0y g x x m x m
có hai nghiệm
phân biệt thỏa
12
12
12
2 0
20
20
xx
xx
xx
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
54 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
TH1:
12
20xx
12
12
12
12
'0
2 2 0
10
2 2 0 1
7
0
0
xx
x x m
xx
xx


TH2:
12
20xx
12
12
12
'0
(0) 0
2 2 0 2
2 2 0
0
g
x x m
xx
xx

TH3:
12
20xx
12
12
12
'0
( 2) 0
5
01
3
0
2 2 0
g
x x m
xx
xx


Vậy : tóm lại
5
1
3
2
m
m
thỏa mãn bài toán.
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số (m là tham số) (1).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm
cực tiểu nhỏ hơn 1. đáp số
2/ Cho hàm số (Cm).
Tìm m để hàm số có cực đại tại x
1
, cực tiểu tại x
2
thỏa mãn . đáp số
3/ Cho
32
11
4 2 5 1
32
y x m x m x
Tìm m để hàm số
a/ có hoành độ hai cực trị lớn hơn -1 đáp số
10
2
3
2
m
m
b/ có đúng một hoành độ lớn hơn -1 đáp số
10
3
m 
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2
m
57
45

m
y x m x m x
32
( 2) ( 1) 2
3
xx
12
1
m
54
43
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
55 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
c/ có ít nhất một hoành độ cực trị lớn hơn 3/2. đáp số
5
2
2
m
m

d/ có hai hoành độ cực trị nhỏ hơn 4. đáp số
2
5
2
2
m
m


e/ có một hoành độ cực trị trong khoảng (3;5) đáp số
10
2
3
m
f/ không có cực trị đáp số
22m
4/ Cho
3 2 2
1
11
3
y x mx m m x
Tìm m để hàm số có hoành độ cực trị:
a/ trong khoảng
;1
đáp số
12m
b/ trong khoảng
1; 
c/
12
;xx
sao cho
12
1xx
đáp số
12m
d/
12
;xx
sao cho
12
1 xx
đáp số
2m
IV/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và so sánh cực trị với trục tọa độ:
Hai điểm cực trị
Nằm về hai phía Ox khi
12
0yy
hoặc y=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Nằm cùng phía Ox khi
12
0yy
hoặc y=0 có 1 nghiệm phân biệt.
Nằm về hai phía Oy khi
12
0xx
Nằm cùng phía Oy khi
12
0xx
Nằm phía trên trục hoành khi
12
12
0
0
yy
yy

Nằm phía dƣới trục hoành khi
12
12
0
0
yy
yy

Trong đó 1 điểm tiếp xúc trục hoành khi
12
0yy
Cách đều Ox khi
;;d A Ox d B Ox
Cách đều Oy khi
;;d A Oy d B Oy
Đối xứng O khi O trung điểm AB
Cách đều O khi OA=OB
Với A,B là hai điểm cực trị
Bài tập luyện
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
56 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
1/ Cho hàm số
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m
(1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại,
cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. đáp số
1
2
m 
2/ Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
3/ Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
4/ Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
Chú ý thêm:
Nếu
2
'y ax bx c
=0 có hai nghiệm
12
;xx
theo m ( nghĩa là denta đẹp)
Lƣu ý: dạng này phải biết hình giải tích ( vecto)
Ví dụ: Cho
3 2 3
2 3 1 6y x m x mx m
. Tìm m để hàm số
a/ có hoành độ cực trị
12
;xx
sao cho
12
2xx
b/ có hoành độ cực trị
12
;xx
sao cho
2
12
31xx
c/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho
2AB
d/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
D=R
2
' 6 6 1 6y x m x m
Hàm số đạt cực trị
'0y
có hai nghiệm phân biệt
2
' 0 1 0 1mm
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
32
1; 3 1 , ;3A m m B m m
a/ hoành độ cực trị:
12
2xx
2m
b/ hoành độ cực trị:
2
12
31xx
2
1 3 1
0
2
31
m
m
m
m




c/
23
1;3 3 1AB m m m m
2
2
23
0
1 3 3 1 2
2
m
AB m m m m
m
d/
32
1; 3 1 , ;3OA m m OB m m
Tam giác OAB vuông tại O.
23
42
0
. 0 3 3 1 0
3 9 3 1 0
m
OAOB m m m m
m m m
0m
y x x mx m
32
32
m 3
y x m x m m x
3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4
m12
y x mx m x
32
1
(2 1) 3
3
m
m
1
1
2
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
57 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số
3 2 2 2
3 3 1 3 1 1y x x m x m
.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O
tạo thành một tam giác vuông tại O. đáp số
1
6
2
m
m


2/ Cho hàm số (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
3 2 2m
3/ Cho hàm số (C). Tìm m để đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với
đƣờng tròn (S) có phƣơng trình .
4
2;
3
m




4/ Cho hàm số .
Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là
không đổi.
5/ Cho hàm số
(1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực
trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với .
6/ Cho hàm số (1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao
cho .
12 2 3
3
m

7/ Cho hàm số (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng
7, với điểm C(–2; 4 ).
2;3m 
8/ Cho hàm số (C)
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm lập thành tam
giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
1
2
m 
9/ Cho hàm số ( ). Tìm m để có hai điểm cực trị sao
cho các điểm và B(0; –1) thẳng hàng.
V/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và sử dụng phƣơng trình đƣờng thẳng qua 2 cực trị đó:
ứng dụng đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
Để viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phƣơng pháp tách
y x mx m x m m
3 2 2 3
3 3( 1)
2
y x x
32
32
x m y m
22
( ) ( 1) 5
m
y x m x m m x m m C
3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 3 ( )
AB 25
y x m x mx m
2 2 3
2 3( 1) 6
C(4;0)
m 1
y x x m
32
3
AOB
0
120
y x x m m
3 2 2
31
y x m x mx m
32
3( 1) 12 3 4
C
9
1;
2




y f x x m x m
32
( ) 2 3( 3) 11 3
m
C
m
C()
MM
12
,
MM
12
,
m 4
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
58 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
đạo hàm.
– Phân tích .
– Suy ra .
Do đó phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: .
Chú ý:
1
'. ''
18
y y y
a
Ví dụ: Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
D=R
2
' 3 6y x x m
Hàm số đạt cực trị
'0y
có hai nghiệm phân biệt
' 0 3m
Gọi hai điểm cực trị là
Thực hiện phép chia y cho y ta đƣợc:
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là :
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số (1)
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). ĐS:
Chúng ta biết đt qua hai điểm cực trị có dạng
:d y x


( xuất hiện các dạng liên quan đến đt)
/ / :
a
d y ax b
b
: . 1d y ax b a
:
a
d y ax b
b
d 
một góc
cos( , ) cos ; cos
d
d u u
A,B đối xứng qua
:
d
y ax b
M


với M là trung điểm AB
Chú ý lúc đó
1 1 2 2
; , ;A x x A x x

nên trở về bài toán tọa độ
Ví dụ: Cho hàm số (1).
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đƣờng thẳng d: .
y f x q x h x( ). ( ) ( )

y h x y h x
1 1 2 2
( ), ( )
y h x()
y x x mx
32
32
A x B xyy
1212
; ; ;
mm
y x y x
1 1 2
' 2 2
3 3 3 3
m m m m
xxy y x y y x
121122
22
2 2 ; 2 2
3 3 3
))
3
((


mm
yx
2
22
33



y x mx m x m m
3 2 2 3 2
3 3(1 )
y x m m
2
2
y x x mx
32
3
xy2 5 0
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
59 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
D=R
2
' 3 6y x x m
Hàm số đạt cực trị
'0y
có hai nghiệm phân biệt
' 0 3m
Ta có:
đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị có phƣơng trình
nên có hệ số góc .
d: d có hệ số góc
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta
thấy I d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0 là giá trị cần tìm
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số
32
3 3 1 1 3
m
y x x m x m C
Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 4 . đáp số m = 1
2/ Tìm m để hàm số
32
( ) 2 3( 1) 6( 2) 1f x x m x m x
có đƣờng thẳngđi qua CĐ,CT song song với
đƣờng thẳng
21yx
đáp số
32m 
3/ Tìm m để hàm số
32
( ) 2 3( 1) 6 (1 2 )f x x m x m m x
có cực đại và cực tiểu nằm trên đƣờng thẳng
4yx
đáp số m=1
4/ Tìm m để hàm số
32
( ) 7 3f x x mx x
có đƣờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với
đƣờng thẳng
37yx
5/ Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (C
m
).
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đƣờng thẳng .
6/ Cho hàm số có đồ thị là (C
m
).
Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu và đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đƣờng thẳng
d: một góc .
7/ Cho hàm số (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đƣờng thẳng đi
qua hai điểm cực trị bằng .
8/ Cho hàm số .
y x y m x m
1 1 2 1
2
3 3 3 3
y m x m
21
2
33



km
1
2
2
3

xy2 5 0
yx
15
22
k
2
1
2
k k m m
12
12
1 2 1 0
23



y x x mx
32
32
yx1
y x x mx
32
32
xy4 5 0
0
45a
m
1
2

y x mx x m
32
6 9 2
4
5
m 1
y x x mx
32
3 2 (1)
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
60 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục
toạ độ một tam giác cân.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG CỰC TRỊ CỦA HÀM TRÙNG PHƢƠNG:
I/ Điều kiện để hàm số trùng phƣơng có cực trị
Bài toán:
42
y ax bx c
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
D
32
' 4 2 2y ax bx x ax b
. Cho
2
2
0
' 0 2 0
x
y x ax b
x
( với
b
a

).
Hàm số có một cực trị
0

Hàm số có ba cực trị
0

Hàm số có 1 cực đại
0
0
0
0
a
a

Hàm số có 1 cực tiểu
0
0
0
0
A
A
a

Hàm số có 1 cực đại, hai cực tiểu
0
0
A
a
Hàm số có 2 cực đại, một cực tiểu
0
0
A
a
Ví dụ: Tìm m để hs
42
1 2 5y x m x m
có 3 cực trị
D=R
32
2
0
4 2 1 2 2 2 1 2 0
12
2
x
y x m x x x m
m
x
.hs có 3 cực trị
1 2 1
0
22
m
m
Vậy:
1
2
m
thì hs có 3 cực trị.
Ví dụ: Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
D=R
;
m
3
2

y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1
y x m m x
32
4 4( 1)
x
y
x m m
2
0
0
1

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
61 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d =
3
m = .
II/ Điều kiện để hàm số trùng phƣơng có cực trị và thỏa tính chất cho trƣớc
42
y ax bx c
( giả sử trong đó có chứa tham số m)
D
32
' 4 2 2y ax bx x ax b
. Cho
2
2
0
' 0 2 0
x
y x ax b
x
( với
b
a

).
Đồ thị hàm trùng phƣơng có 3 điểm cực trị thì:
22
0; , ; , ;A c B a b c C a b c
Luôn có A thuộc trục Oy, tam giác ABC luôn cân tại A.
(Các câu hỏi thường xoay quanh vấn đề hình giải tích Oxy.)
Tam giác ABC cân và có cạnh bên bằng n lần cạch
đáy.
AB nBC
Tam giác ABC nhận M làm trọng tâm.
3
3
A B C M
A B C M
x x x x
y y y y
Tam giác ABC nhận M làm trực tâm.
M Oy
BM AC
0
.0
M
y
BM AC
Tam giác ABC vuông cân.
AB AC
.0AB AC
Tam giác ABC đều
AB BC
Tam giác ABC có góc
, (với
0
90
)
.
,
.
AB AC
cos AB AC cos
AB AC

Tam giác ABC có diện tích S
1
.
2
AH BC S
(với H là trung điểm BC).
Tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn có R
Cách 1:
. 2 .AB AC R AH
Cách 2:
0;I a Oy
IA IB IC R
Tam giác ABC ngoại tiếp đƣờng tròn có r
Cách 1:
..AH BC AB AC BC r
Cách 2:
0;
; ; ;
I a Oy
d I AB d I AC d I BC r
Tam giác ABOC là hình bình hành (hình thoi)
AB CO
...............................
Ví dụ: Cho hàm số (với là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài
cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên.
D=R
m m m
2
2
13
2 1 2
24



dmin 3
1
2
y x m x
42
(3 1) 3
m
m
2
3
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
62 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ta có: ;cho
2
0
'0
31
2
x
y
m
x


Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị (*).
Gọi ba điểm cực trị là: ; ;
luôn cân tại
, thoả (*).
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số .
Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông
cân.
1m
2/ Cho hàm số
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại
và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
3/ Cho hàm số có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một
tam giác có diện tích .
4/ Cho hàm số có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một
tam giác có một góc bằng .
5/ Cho hàm số có đồ thị (C
m
) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một
tam giác có bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp bằng .
1
51
2
m
m
6/ Cho hàm số (Cm). Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có đƣờng tròn ngoại tiếp đi qua điểm .
7/ Cho hàm số (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài tập bắt buộc
y x m x
3
' 4 2(3 1)
m
1
3
A(0; 3)
mm
B
2
3 1 (3 1)
;3
24



mm
C
2
3 1 (3 1)
;3
24




ABC
A
2 m m m
BC AB
3
4
3 1 3 1 (3 1)
9.4 4
2 2 16






m
5
3
y f x x m x m m
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
m
C()
m
C()
m
y x m x m m C
4 2 2
2( 2) 5 5
m
3
23
y x mx m
42
1
2
4
S 32 2
m 2
y x mx m m
4 2 2
2
0
120
m
3
1
3

y x mx m
42
21
1
y x mx
42
22
D
39
;
55



m 1
y x m x m
4 2 2
2(1 ) 1
m 0
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
63 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 1. Đồ thị hàm số
32
1
2 3 1
3
y x x x
có điểm cực đại
A.
1
1;
3



. B.
3;1
. C.
1;3
. D.
1
;1
3



.
Câu 2. Giá trị cực đại của hàm số
3
2 3 4y x x
bằng
A.
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Câu 3. Hàm số
42
23y x x
đạt cực đại tại
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
.
Câu 4. Cho hàm số
32
3
63
2
y x x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại
2, 7
CT
xy
.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại
13
1,
2
CD
xy
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
2, 7
CT
xy
.
D. Hàm số đạt cực đại tại
13
,1
2
CT
xy
.
Câu 5. Cho hàm số
42
15
44
y x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
Câu 6. Cho hàm số
3
2 3 1y x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 7. Cho hàm số
2
1
24
xx
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 8. Cho hàm số
2
1y x x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 9. Cho hàm số
4
4
x
y
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
64 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Câu 10. Cho hàm số
1
3
1
yx
x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại .
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
Câu 11. Cho hàm số
2sin2 3yx
. Đồ thị hàm số nhận điểm nào dƣới đây là điểm cực tiểu ?
A.
;1
4
M



. B.
5
;1
4
N



.
C.
3
;5
4
P



. D.
9
;5
4
Q



.
Câu 12. Cho hàm số
3 2cos cos2y x x
. Các điểm dƣới đây điểm nào là điểm cực đại của đồ thị hàm
số trên?
A.
9
;
42
M



. B.
9
;
2
N



.
C.
9
;
22
P



. D.
29
;
32
Q



.
Câu 13. Cho hàm số
()y f x
xác định trên D và liên tục R, có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số
()y f x
không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số
()y f x
có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số
()y f x
có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
D. Đồ thị hàm số
()y f x
có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại .
Câu 14. Hàm số
32
2 3 5y m x x mx
có cực trị khi
A.
3;m 
. B.
;1m 
.
C.
3; 2\1m
. D.
3;1m
.
Câu 15. Hàm số
32
2 3 5y m x x mx
có cực đại, cực tiểu khi
A.
3;m 
. B.
;1m 
.
C.
3; 2\1m
. D.
3;1m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
65 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 16. Nếu hàm số
32
3 1 3 2 4y x m x m x m
có cực trị thì
A.
m
. B.
m
.
C.
;1 5;m
. D.
1;5m
.
Câu 17. Nếu hàm số
32
3 1 1y mx mx m x
có cực trị thì
A.
0
1
4
m
m
. B.
0
1
4
m
m
.
C.
1
0
4
m
. D.
1
0
4
m
.
Câu 18. Nếu đồ thị hàm số
42
2016 2017 2018y x mx
có ba điểm cực trị thì
A.
0m
. B.
0m
. C.
8064
6051
m 
. D.
8064
6051
m 
.
Câu 19. Nếu đồ thị hàm số
42
1 1 2y mx m x m
có một điểm cực trị thì
A.
0m
. B.
1m
. C.
0
1
m
m
. D.
0
1
m
m
.
Câu 20. Nếu đồ thị hàm số
42
13
22
y x mx
có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại thì
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Câu 21. Hàm số
3 2 2
1
11
3
y x mx m m x
đạt cực đại tai
1x
khi
A.
1m
. B.
2m
. C.
1;2m
. D.
1;2m
.
Câu 22. Hàm số
32
1
2 1 9 1
3
y x m x m x
đạt cực tiểu tai
1x
khi
A.
1m
. B.
2m
. C.
1;2m
. D.
m
.
Câu 23. Hàm số
2
1x mx
y
mx

đạt cực tiểu tai
1x
khi
A.
2m 
. B.
0m
. C.
2
0
m
m

. D.
m
.
Câu 24. Hàm số
2
.mx nx m n
y
mx n

đạt cực trị tại
0x
và
4x
khi đó:
A.
6mn
. B.
4mn
.
C.
2mn
. D.
0mn
.
Câu 25. Hàm số
2
11
1
x m x m
y
x
. Tìm tất cả giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
?
A.
1m
. B.
1;2m
. C.
0m
. D.
m
.
Câu 26. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số
3 2 3
2 3 1 6y x m x mx m
có hai điểm cực trị A, B
sao cho
2AB
. Khi đó tổng hai giá trị m đó bằng
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
66 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
2
. B.
. C.
1
. D.
1
.
Câu 27. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số
22
2 1 4
2
x m x m m
y
x
có hai điểm cực trị A, B sao
cho
22
120OA OB
, với O là gốc tọa độ. Khi đó tích hai giá trị m đó bằng
A.
52
9
. B.
52
9
. C.
26
9
. D.
26
9
.
Câu 28. Hàm số
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m
có hai cực trị trái dấu khi
A.
1m
. B.
1m
. C.
1m
. D.
1m
.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng m để đồ thị hàm số
32
32y x x mx m
có các điểm cực
đại và cực tiểu nằm về hai phía với trục hoành?
A.
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Câu 30. Đồ thị hàm số
32
1
2 1 3
3
y x mx m x
có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng một phía
đối với trục tung?
A.
1
;
2
m




. B.
\
1
;1
2
m




.
C.
1
;
2
m




. D.
1
;1
2
\m




.
Câu 31. Nếu đồ thị hàm số
42
24y x mx
có tất cả các điểm cực trị thuộc các trục tọa độ thì
A.
2m
. B.
0m
.
C.
0m
. D.
;0 2m 
.
Câu 32. Cho hàm số
32
32y x x
, có đồ thị (C) . Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị
của (C) có dạng:
A.
22yx
. B.
22yx
.
C.
22yx
. D.
22yx
.
Câu 32’. Cho hàm số
32
32y x x mx
. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị là
A.
2
22
33
mm
yx
. B.
2
22
33
mm
yx
.
C.
2
22
33
mm
yx
. D.
2
22
33
mm
yx
.
Câu 33. Cho hàm số
32
32y x x mx
. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị song song
với đƣờng thẳng
43yx
khi
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Câu 34. Đồ thị hàm số
32
3 3 1y x mx m
có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đƣờng
thẳng
8 74 0xy
khi
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
67 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 35. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số
32
6 9 2y x mx x m
có hai điểm cực trị A, B sao cho
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng thẳng AB bằng
45
5
. Khi đó tổng hai giá trị m bằng
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Câu 36. Nếu đồ thị hàm số
32
2 3 5y m x x mx
có điểm cực đại và cực tiểu sao cho hoành độ là
các số dƣơng thì
A.
32m
. B.
32m
.
C.
3m 
. D.
3
2
m
m


.
Câu 37. Có hai giá trị của m để hàm số
32
2 1 3 1y x m x m x m
đạt cực trị tại
12
,xx
mà
12
2xx
. Tổng hai số đó là:
A.
3
. B.
1
. C.
5
. D.
7
.
Câu 38. Nếu hàm số
32
1 2 2 2y x m x m x m
đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
1
3
xx
thì
A.
3 93
8
m
. B.
3 93
8
m
.
C.
3 93
8
m
. D.
1m 
.
Câu 39. Nếu hàm số
32
1
1
3
y x mx mx
đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
8xx
thì
A.
1 65 1 65
;;
22
m





.
B.
1 65
;
2
m



.
C.
1 65
;
2
m



.
D.
1 65 1 65
;;
22
m

 
.
Câu 40. Nếu hàm số
3 2 2
11
3
32
y x mx m x
đạt cực trị tại
12
,xx
với
12
0, 0xx
và
22
12
5
2
xx
thì
A.
14
2
m
. B.
14
2
m 
.
C.
14
2
m 
. D.
32m
.
Câu 41. Nếu hàm số
2
1
2
x m x
y
x

đạt cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn
22
12
12
11
60xx
xx



thì
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
68 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
4m
.
Câu 42. Nếu hàm số
32
1
2 5 4 3 1
3
y x m x m x m
đạt cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn
12
2xx
thì
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Câu 43. Nếu đồ thị hàm số
32
1 2 2 2y x m x m x m
có ít nhất một điểm cực trị sao cho
hoành độ thuộc khoảng
2;0
thì
A.
10
;
7
m



. B.
10
;
7
m



.
C.
10
7
m 
. D.
10
0
7
m
.
Câu 44. Tồn tại hai giá trị m để hàm số
32
43y x mx x
đạt cực trị tại
12
,xx
sao cho
12
40xx
khi
đó tổng hai giá trị m đó bằng:
A.
. B.
9
. C.
9
. D.
9
2
.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
21y x m x m
có ba điểm cực trị A,
B, C sao cho
OA BC
, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
A.
22m 
. B.
22m 
.
C.
22m 
. D.
m
.
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
4 2 2
21y x m x m
có ba điểm cực trị sao
cho ba điểm đó lập thành tam giác vuông cân?
A.
0m
. B.
1m 
. C.
1;0m 
. D.
1;0m 
.
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
3 1 3y x m x
có ba điểm cực trị lập
thành tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng
2
3
lần độ dài cạnh bên?
A.
5
3
m
. B.
1
3
m 
. C.
5
3
m 
. D.
1
3
m
.
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
2 2 1y x mx m
có ba điểm cực trị lập
thành tam giác sao cho chu vi bằng
4 1 65
A.
1m
. B.
2m
. C.
3m
. D.
4m
.
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
4 2 2
2 2 5 5y x m x m m
có ba điểm
cực trị lập thành tam giác vuông?
A.
1m 
. B.
1m
. C.
2m
. D.
2m 
.
Câu 50. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số
4 2 2
21y x m x
có 3 điểm cực trị lập thành tam giác
vuông cân, khi đó tích hai giá trị m đó bằng
A.
. B.
1
. C.
1
. D.
.
Câu 51. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số
42
2 1 1y x m m x m
có 3 điểm cực trị lập thành
tam giác vuông cân, khi đó tổng hai giá trị m đó bằng
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
69 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
. B.
1
2
. C.
1
. D.
5
.
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
4 2 2
2y x mx m m
có ba điểm cực trị lập
thành tam giác có một góc bằng
0
120
?
A.
3
1
2
m 
. B.
3
1
3
m 
. C.
1
2
m 
. D.
1
3
m 
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
22y x mx
có ba điểm cực trị lập thành
một tam giác nhận gốc tọa độ là trực tâm?
A.
15
2
m
. B.
1m
. C.
15m 
. D.
1
15
m
.
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
44y x mx m
có ba điểm cực trị lập
thành một tam giác nhận
31
0;
4
H



là trực tâm?
A.
2m
. B.
2m
. C.
3m
. D.
3m
.
Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
42
6
2
m
y x mx
có ba điểm cực trị lập
thành một tam giác có diện tích bằng 32.
A.
8m 
. B.
4m 
. C.
32m 
. D.
16m 
.
Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
42
6
2
m
y x mx
có ba điểm cực trị A, B,
C sao cho ABOC là hình bình hành, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung.
A.
6m 
. B.
3m 
. C.
6m 
. D.
3m 
.
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
2y x mx m
có ba điểm cực trị lập thành
một tam giác có bán kính đƣờng tròn nội tiếp bằng 1.
A.
1m
. B.
2m
. C.
51
2
m
. D.
3
2m
.
Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
42
21y x mx m
có ba điểm cực trị lập
thành một tam giác nội tiếp trong đƣờng tròn có bán kính bằng 1.
A.
1m
. B.
51
2
m
.
C.
51
;1
2
m





. D.
51
0; ;1
2
m





.
Câu 59. Cho hàm số
42
1
26
4
y x x
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Câu 60. Cho hàm số
2
xx
ee
y
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
70 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 61. Cho hàm số
5
4
yx
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
. B.
1
. C.
. D.
3
.
Câu 62. Cho hàm số
32
22
2 1 . 1y x x
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A.
3
. B.
9
. C.
5
. D.
.
Câu 63. Cho hàm số
.sin , 0
ax
y e x x
. Hàm số đạt cực trị tại
4
x
, thế thì hoành độ điểm cực
đại của đồ thị hàm số là:
A.
3
4
. B.
3
. C.
4
. D.
4
.
Câu 64. Cho hàm số
()
x
f x x e
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Tại
0x
thì
()fx
đạt cực tiểu.
B. Tại
0x
thì
()fx
đạt cực đại .
C. Tại
0x
thì
()fx
không xác định.
D. Tại
0x
thì
()fx
không đạt cực trị.
Câu 65. Cho hàm số
ln
x
y
x
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Tại
xe
thì
()fx
đạt cực tiểu.
B. Tại
xe
thì
()fx
đạt cực đại.
C. Tại
xe
thì
()fx
không xác định.
D. Tại
xe
thì
()fx
không đạt cực trị.
Câu 66. Giả sử hàm số
sin2 cos3 2 , 0;2y a x b x x x
đạt cực trị tại
2
x
và
x
. Khi đó
giá trị của biểu thức
33P a b ab
bằng
A.
3
. B.
1
. C.
1
. D.
3
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
71 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
PHỤ LỤC: GHI NHỚ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG
Cho hàm số
42
y ax bx c
Tập xác định
D
32
2
0
0
' 4 2 2 2 0
2
2
x
x
y ax bx x ax b
b
b
x
x
a
a

Nếu
Hàm số có 1 cực trị
0ab
Hàm số có 3 cực trị
0ab
Hàm số có 1 cực tiểu
0
0
0
0
a
ab
a
ab

Hàm số có 1 cực đại
0
0
0
0
a
ab
a
ab

(Hàm số có ba cực trị khi
0ab
)
Gọi
22
44
0;c , ; , ;
2 4 2 4
b ac b b ac b
A B C
a a a a

là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
( A thuộc trục Oy, tam giác ABC luôn cân tại A).
Nhớ:
2
4
2
2
;
24
8
16
;
24
2
2 ;0
2
bb
AB
aa
b ab
AB AC
a
bb
AC
aa
bb
BC BC
aa










Nếu tam giác ABC vuông tại A
3
80ab
Nếu tam giác ABC đều
3
24 0ab
Nếu tam giác ABC có góc
BAC
3
8a
sin
8a 2b

Nếu tam giác ABC có góc
0
120BAC
2
3 8a 0b
Nếu tam giác ABC có diện tích S
5
2
3
32
b
S
a
Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đƣờng tròn có bán kính R
3
8
8
ba
R
ab

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
72 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Nếu tam giác ABC ngoại tiếp đƣờng tròn có bán kính r
2
2
4a
11
8a
b
r
b


Nếu ABOC là hình thoi
2
2b ac
Nếu tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm
2
60b ac
Nếu tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trực tâm
3
8 1 0b a bc
Nếu tam giác ABC có trọng tâm G
2
6
0;
6
ac b
G
a



Nếu tam giác ABC có trực tâm H
3
48
0;
4
abc a b
H
ab




Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
73 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 08. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHƢƠNG PHÁP CHUNG VẼ MỘT ĐỒ THỊ:
()y f x
Bƣớc 1: Tìm tập xác định
TXĐ: D=???
Bƣớc 2: Tính đạo hàm cấp 1
(và tìm các điểm dừng)
' '( )y f x
Cho
' 0 '( ) 0 x ? y(x) ?y f x
Bƣớc 3: Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)
Bƣớc 4: Bảng biến thiên và nhận xét
Bƣớc 5: Tìm các điểm đặc biệt
Bƣớc 6: đồ thị
A. DẠNG HÀM BẬC HAI:
Hàm số:
2
,0y ax bx c a
-Tập xác định D=R
-Đây là một Parabol có định là
;
22
bb
Sy
aa







-Đồ thị luôn đối xứng qua đƣờng thẳng
2
b
x
a

Trƣờng hợp :
0a
Trƣờng hợp :
0a
Hình dáng đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
74 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
B. DẠNG HÀM BẬC BA:
Hàm số:
32
,0y ax bx cx d a
Tập xác định :
D
2
' 3 2y ax bx c
; cho
'0y
. Xét
2
'3b ac
Trƣờng hợp
'0
'0y
vô nghiệm.
0a
0a
Hình dáng đồ thị
Trƣờng hợp
'0
'0y
có nghiệm kép ( giả sử là
0
x
).
0a
0a
Hình dáng đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
75 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Trƣờng hợp
'0
'0y
có hai nghiệm phân biệt ( giả sử là
12
xx
).
0a
0a
Hình dáng đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
76 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
C. DẠNG HÀM TRÙNG PHƢƠNG:
Hàm số:
42
,0y ax bx c a
Tập xác định :
D
3
' 4 2y ax bx
; cho
'0y
. Xét tích của a.b
Trƣờng hợp
0ab 
'0y
có 1 nghiệm là
0x
.
0a
0a
Hình dáng đồ thị
Trƣờng hợp
0ab 
'0y
có 3 nghiệm phân biệt là
0x
,
,
22
bb
xx
aa
.
0a
0a
Hình dáng đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
77 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
D. DẠNG HÀM NHẤT BIẾN:
Hàm số:
, 0, 0
ax b
y a ad bc
cx d
Tập xác định :
\
d
D
c



Đồ thị có tiệm cận đứng là:
d
x
c

và tiệm cận ngang là
a
y
c
.
2
'
ad bc
y
cx d
; Xét
ad bc
Trƣờng hợp
0ad bc
'0y
0ad bc
'0y
Hình dáng đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
78 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
1/ khảo sát
3
32y x x
D
2
' 3 3yx
. Cho
2
14
' 0 3 3 0
10
xy
yx
xy
lim
x
y

BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:
1;1
; nghịch biến trên các khoảng:
;1
và
1; 
Hàm số đạt cực đại tại
1, 0xy
và cực tiểu tại
1, 4xy
Đồ thị nhận điểm
0; 2I
làm tâm đối xứng.
cho
2 4; 2 0x y x y
đồ thị
2/ khảo sát
32
32y x x
D
2
' 3 6y x x
. Cho
2
02
' 0 3 6 0
22
xy
y x x
xy
lim
x
y


BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:
;0
và
2;
; nghịch biến trên các khoảng:
0;2
Hàm số đạt cực đại tại
0, 2xy
và cực tiểu tại
2, 2xy
Đồ thị nhận điểm
1;0I
làm tâm đối xứng.
cho
1 2; 3 2x y x y
đồ thị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
79 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
3/ khảo sát
3
32y x x
D
2
' 3 3yx
. Cho
2
' 0 3 3 0y x vn
lim
x
y

BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:
; 
Hàm số không có cực trị
Đồ thị nhận điểm
0;2I
làm tâm đối xứng.
cho
1 6; 1 2x y x y
đồ thị
4/ khảo sát
32
3 3 1y x x x
D
2
' 3 6 3y x x
. Cho
2
' 0 3 6 3 0 1 2y x x x y
lim
x
y

BBT
Hàm số nghịch biến trên khoảng:
; 
Hàm số không có cực trị
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
80 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Đồ thị nhận điểm
1; 2I
làm tâm đối xứng.
cho
0 1; 2 3x y x y
đồ thị
5/ khảo sát
42
21y x x
D=R
3
' 4 4y x x
. Cho
3
2
0
0
' 0 4 4 0
1
1
x
x
y x x
x
x

lim ; lim
xx
yy
 

BBT
Vậy: hs tăng
( ; 1)
và
(0;1)
. Hs giảm
( 1;0)
và
(1; )
.
Hs đạt cực đại tại (-1;2) và (1;2), cực tiểu tại (0;1).
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Cho
2
42
2
12
0 2 1 0 1 2
1 2( )
x
y x x x
xL


Đồ thị:
6/ khảo sát
1
1
x
y
x
D=
\{1}R
2
2
'0
( 1)
y
x

.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
81 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
1x
là đƣờng tiệm cận đứng vì
1
lim
x
y
;
1
lim
x
y
1y
là đƣờng tiệm cận ngang vì
lim 1
x
y

;
lim 1
x
y

BBT
Vậy: hs giảm trên các khoảng
;1
và
1; 
.
Hs không có cực trị
Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng.
Cho
0 1; 0 1x y y x
Đồ thị:
PHIẾU 1:
Vẽ nhanh đồ thị:
Hình vẽ
Ghi chú
1/
3
32y x x
2/
32
32y x x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
82 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
3/
3
32y x x
4/
32
3 3 1y x x x
5/
42
21y x x
6/
1
1
x
y
x
7/
42
41y x x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
83 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
8/
12
12
x
y
x
PHIẾU 2:
TẬP ĐỌC THÔNG TIN TỪ ĐỒ THỊ
Đồ thị
Thông tin
Nhận xét
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
84 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
85 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
86 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
87 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bài tập bắt buộc
Câu 1: Chọn hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ bên:
A.
3
y x 3x 1
B.
3
y x 3x 1
C.
3
y x 3x 1
D.
3
y x 3x 1
Câu 2: Cho hàm số
32
y f x x ax bx 4
có đồ thị nhƣ hình vẽ:
Hàm số
y f x
là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
A.
32
y x 3x 2
B.
32
y x 3x 2
C.
32
y x 6x 9x 4
D.
32
y x 6x 9x 4
Câu 3: Đồ thị trong hình là của hàm số nào:
A.
3
y x 3x
B.
3
y x 3x
C.
42
y x 2x
D.
42
y x 2x
Câu 4: Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đƣợc
liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
3
y x 3x 2
B.
3
y x 3x 1
C.
42
y x x 1
D.
3
y x 3x 1
Câu 5: Đồ thị sau đây là của hàm số nào?
2
O
1
1
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
88 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
3
31y x x
. B.
32
31y x x
.
C.
32
3 3 1y x x x
. D.
32
31y x x
.
Câu 6: Cho hàm số
32
ax bx cx d
có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Mệnh đề nào dƣới đây là đúng:
A.
0, 0, 1 a b d
. B.
0, 0, 0abc
.
C.
0, 0, 1 a b d
. D.
0, 0, 0a b c
.
Câu 7: Hàm số
42
y f x ax bx c a 0
có đồ thị nhƣ hình vẽ sau:
Hàm số
y f x
là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
A.
2
2
y x 2 1
B.
2
2
y x 2 1
C.
42
y x 2x 3
D.
42
y x 4x 3
Câu 8: Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng
án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
A.
42
1y x x
.
B.
42
1y x x
.
C.
32
31y x x
.
D.
32
31y x x
.
Câu 9: Đƣờng cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn
phƣơng án A, B, C, D dƣới đây?
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
89 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
4
2
2 3.
4
x
yx
B.
4
2
1.
4
x
yx
C.
4
2
2 1.
4
x
yx
D.
42
1.
42
xx
y
-3 -2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
Câu 10: Cho hàm số
y f x
có đồ thị nhƣ hình vẽ bên dƣới. Khi đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là
A.
0; 2 .M
B.
1; 3 ; 1;3 .NP
C.
0.x
D.
1.x 
Câu 11: Đồ thị hàm số tƣơng ứng với hình bên là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 12: Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dƣới trục hoành
A.
42
y x 3x 1
B.
32
y x 2x x 1
C.
42
y x 2x 2
D.
42
y x 4x 1
Câu 13: Hàm số
fx
có đạo hàm
f ' x
trên khoảng K. Hình vẽ bên dƣới là đồ thị của hàm số
f ' x
trên khoảng K. Số điểm cực trị của hàm số
fx
trên là:
31
2
x
y
x
31
2
x
y
x
21
2
x
y
x
21
2
x
y
x
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
90 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 14: Cho hàm số
y f x
xác định, liên tục trên đoạn
2;2
và có
đồ thị là đƣờng cong hình vẽ bên. Hàm số
fx
đạt cực đại tại điểm nào dƣới đây?
A.
2x 
. B.
1x 
. C.
1x
. D.
2x
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
91 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 09. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x
0
laø heä soá goùc cuûa tieáp
tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm
0 0 0
; ( )M x f x
.
Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm
0 0 0
; ( )M x f x
laø:
y – y
0
= f (x
0
).(x – x
0
) (y
0
= f(x
0
))
2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C
1
): y = f(x) vaø (C
2
): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình
sau coù nghieäm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
(*)
Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.
3. Neáu (C
1
): y = px + q vaø (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) vaø (C
2
) tieáp xuùc nhau phöông trình
2
ax bx c px q
coù nghieäm keùp.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG TIẾP TUYẾN:
I/ Sử dụng pp viết tiếp tuyến tại điểm M
Tiếp tuyến của (C) tại
00
( ; )M x y
luôn có dạng
0 0 0
'y y x x x y
Chú ý: nếu
Tiếp tuyến song song
0
'( )y ax b y x a
Tiếp tuyến vuông góc
0
1
'( )y ax b y x
a
Tiếp tuyến tạo với Ox một góc
0
'( ) tanyx

Tiếp tuyến tạo với
0
0
12
'( )
tan
1 '( )
cos ; cos
y x a
ay x
y ax b
nn
Ví dụ: Cho đồ thị (C) của hàm số
21
1
x
y
x
. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ
điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng
2
.
Tiếp tuyến của (C) tại điểm
00
( ; ( )) ( )M x f x C
có phƣơng trình
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x
Hay
22
0 0 0
( 1) 2 2 1 0x x y x x
(d)
Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (d) bằng
2
0
4
0
22
2
1 ( 1)
x
x


0
0x
hoặc
Với
0
0x
tiếp tuyến cần tìm là :
10xy
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
92 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Với
0
2x
tiếp tuyến cần tìm là :
50xy
Ví dụ: Cho hàm số
1
21
x
y
x

(C)
a. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm
()MC
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có
diện tích bằng 1.
b . Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm
()MC
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
cân.
a. Gọi
0
0
1 3 1
; ( )
2 4 2
M x C
x



. Tiếp tuyến tại M có dạng:
0
22
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:
4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x

Giả sử
Ox;A d B d Oy
suy ra:
0 0 0
0
2 ( 3) 3
;0 ; 0;
3
x x x
AB
x







OAB
vuông tạo O
2
0
12
. (3 ) 1
23
OAB
S OAOB x
00
6 6 6
3
22
xx
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
yx


hay
3 4 6
20
40 12 6
yx


b. Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1k 
. Gọi
00
( ; ) ( )M x y C
là tiếp điểm
- Nếu
00
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
(2 1) 2
k x x
x
Với
00
1 3 1 3
22
xy
,
suy ra tiếp tuyến là:
13yx
Với
00
1 3 1 3
22
xy
,
suy ra tiếp tuyến là:
13yx
- Nếu
2
0
2
0
3
1 1 (2 1) 3 ( )
(2 1)
k x PTVN
x
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
13yx
;
13yx
Ví dụ: Cho hàm số (C). Tìm trên đƣờng thẳng (d): các điểm M mà từ đó kẻ đƣợc
đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Gọi . PT đƣờng thẳ ạng: .
y x x
3
3
yx
M m m d( ; )
y k x m m()
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
93 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
là tiếp tuyến của (C) hệ PT sau có nghiệm: (*)
Thay (2) vào (1) ta đƣợc: (**)
Từ M kẻ đƣợc đúng 2 tiếp tuyến với (C) (**) có 2 nghiệm phân biệt
Xét hàm số . Tập xác định
;
Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt . Vậy: hoặc .
II/ Sự tiếp xúc của hai đồ thị và tiếp tuyến đi qua một điểm:
Cho y = f(x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C
1
)
Khi đó, (C) và (C
1
) tiếp xúc
//
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
có nghiệm.
Ví dụ: Cho hàm
32
2 3 5y x x
(C). Tìm phƣơng trình các đƣờng thẳng qua
19
;4
12
A



và tiếp xúc với
đồ thị của hàm số .
Đƣờng thẳng (d) qua A và có hệ số góc k:
(d) tiếp xúc (C) hệ
32
2
19
2 3 5 4 (1)
12
6 6 (2)
x x k x
x x k




có nghiệm.
Thay (2) vào (1):
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng qua A và tiếp xúc với (C) là:
x x k x m m
xk
3
2
3 ( ) (1)
3 3 (2)

x mx m
32
2 3 4 0
x
m
x
3
2
2
34
x
fx
x
3
2
2
()
34
DR
2 3 2 3
\;
33




xx
fx
x
42
22
6 24
()
(3 4)
x
fx
x
0
( ) 0
2


m
m
2
2

M( 2;2)
M(2; 2)
19
( ) 4
12
y k x
19
3 2 2
2 3 5 (6 6 )( ) 4
12
32
8 25 19 2 0
2
( 1)(8 17 2) 0
10
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
xk
xk
xk
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
94 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
y=4 hoặc y=12x - 15 hoặc
21 645
32 128
y
Ví dụ: Cho hàm số
2
.
2
x
yC
x
Viết phƣơng trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp tuyến đi qua điểm
6;5 .A
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua
6;5A
là
: 6 5d y k x
.
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
2
2
2
2
2
2
2
42
2
65
65
2
2
2
4
4
2
2
4 24 0
4 6 5 2 2 2
0; 1
4
4
1
6;
2
4
2
x
x
x
kx
x
x
x
k
k
x
x
xx
x x x x
xk
k
k
xk
x
x











Suy ra có 2 tiếp tuyến là :
12
7
: 1; :
42
x
d y x d y
Ví dụ: Xác định m để đồ thị hàm số
32
2 ( 1)y x x m x m
tiếp xúc với trục hoành.
Đồ thị tiếp xúc với trục hoành: y = 0
2
32
3 4 1 0 (1)
2 ( 1) 0 (2)
x x m
x x m x m
có nghiệm.
Từ (1)
2
3 4 1m x x
thay vào (2) ta đƣợc:
32
1
2 5 4 1 0
1
2
x
x x x
x
* Với
10xm
* Với
11
24
xm
Vậy
1
0;
4
mm
thỏa điều kiện bài toán.
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng 8.
2/ Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
3/ Cho hàm số (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C)
phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đƣờng thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các
trục Ox, Oy tƣơng ứng tại A và B sao cho .
y x x
32
2 3 1
M( 1; 4)
y x x
32
31
42
AB(3;1), ( 1; 3)
y f x x x x
32
( ) 6 9 3
OA OB2011.
kk
9
; 6039
2

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
95 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
4/ Cho hàm số (1) (m là tham số).
Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng d: góc , biết
. hoặc
5/ Cho hàm số có đồ thị là (C
m
). Tìm các giá trị m sao cho trên
đồ thị (C
m
) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đƣờng thẳng (d):
. .
6/ Cho hàm số (Cm).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ cắt đƣờng tròn (C) có phƣơng trình
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
7/ Cho hàm số . Tìm trên đƣờng thẳng các điểm mà từ đó kẻ đƣợc đúng 2 tiếp
tuyến với (C).
; ; .
8/ Cho hàm số (Cm). Tìm m để từ điểm kẻ đƣợc đúng 2 tiếp tuyến
với (Cm).
9/ Cho hàm số (C). Tìm trên đƣờng thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp
tuyến phân biệt với đồ thị (C).
10/ Cho hàm số (1) , m là tham số. Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành
độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất
. m = 1.
12/ Cho hàm số có đồ thị là (C). Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm
thuộc đồ thị có khoảng cách đến đƣờng thẳng bằng 2.
13/ Cho hàm số . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp
tuyến bằng .
14/ Cho hàm số (C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm
đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
15/ Cho hàm số . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2
xy70
1
cos
26
m
1
4

m
1
2
y f x mx m x m x
32
1
( ) ( 1) (4 3 ) 1
3
xy2 3 0
m hay m
2
0
3

y x mx m
3
1
x 1
xy
22
( 2) ( 3) 4
m 2
y x x
3
32
dy:4
( 1;4)
2
;4
3



(2;4)
y x x m x m
32
2 ( 1) 2
M(1;2)
m
A Ox
B Ox
m
4
3
109
81
y x x
32
32
m m
m
5
1
3
2
y x mx m
42
2
B
3
;1
4



x
y
x
23
1
d x y:3 4 2 0
x
y
x
21
1
2
x
y
x
2
2
x
y
x
21
1
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
96 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
điểm A(2; 4), B(4; 2).
16/ Cho hàm số y = . Gọi I là giao điểm của 2 đƣờng tiệm cận, là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị
(C). d là khoảng cách từ I đến . Tìm giá trị lớn nhất của d.
17/ Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m, đƣờng thẳng luôn cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Gọi lần lƣợt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Cho hàm số
32
31y x x
có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm
M
có hoành độ bằng
1
thì tung độ đó bằng
A.
. B.
3
. C.
3
. D.
4
.
Câu 2. Cho hàm số
32
31y x x
có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm
M
có hoành độ bằng
1
thì hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng
A.
9
. B.
3
. C.
3
. D.
9
.
Câu 3. Cho hàm số
32
31y x x
có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm
M
có hoành độ bằng
thì phƣơng trình tiếp tuyến đó có dạng
A.
9 21yx
. B.
24 27yx
. C.
9 39yx
. D.
24 69yx
.
Câu 4. Cho hàm số
32
31y x x
có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm
M
có tung hoành độ bằng
1
thì tồn tại hai phƣơng trình tiếp tuyến với (C) trong đó là
1y
. Tìm phƣơng
trình tiếp tuyến còn lại?
A.
9 28yx
. B.
91yx
. C.
9 28yx
. D.
91yx
.
Câu 5. Cho đồ thị hàm số
()y f x
xác định và liên tục trên . Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C)
song song với đƣờng thẳng
2016 2017yx
thì hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng
A.
2016
. B.
2017
. C.
2016
. D.
2017
.
Câu 6. Cho hàm số
42
6y x x
có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với
đƣờng thẳng
6 2017 0xy
thì phƣơng trình tiếp tuyến đó có dạng
A.
6 10yx
. B.
6 10yx
. C.
6 10yx
. D.
6 10yx
.
Câu 7. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
3 9 5y x x x
tồn tại một tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất. Hỏi hệ số góc đó bằng bao nhiêu?
A.
24
. B.
12
. C.
9
. D.
6
.
Câu 8. Cho hàm số
32
2 3 5y x x
có đồ thị (C). Tồn tại ba tiếp tuyến với của (C) là các đƣờng thẳng đi
qua điểm
19
;4
12
A



. Gọi
1 2 3
,,k k k
lần lƣợt là các hệ số góc của tiếp tuyến nói trên. Đặt biểu thức
1 2 3
P k k k
, khi đó giá trị
P
bằng bao nhiêu?
A.
405
32
P
. B.
405
32
P 
. C.
363
32
P
. D.
363
32
P 
.
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
31y x x
tại điểm trên đồ thị có hoành độ
1x
, có phƣơng
trình là
x
x
2
1
2
x
y
x
1
21

d y x m: 
kk
12
,
kk
12
m 1
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
97 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
2 3 0xy
. B.
2 3 0xy
. C.
2 3 0xy
. D.
2 3 0xy
.
Câu 10. Cho hàm số
32
33y x x
có đồ thị (C). Qua điểm
2;5M
có thể kẻ đƣợc mấy tiếp tuyến đến
(C)?
A.
1
. B.
. C.
3
. D. Không có tiếp tuyến.
Câu 11. Cho hàm số
1
1
x
y
x
có đồ thị (H). Từ điểm
M Oy
có tung độ
m
kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến
(H) thì giá trị
m
là:
A.
1
1
m
m

. B.
2
1
m
m

. C.
1m 
. D.
2m 
.
Câu 12. Cho hàm số
32
32y x x
có đồ thị (C). Từ điểm
2;Mm
có thể kẻ đƣợc ba tiếp tuyến đến
(C) thì giá trị
m
là:
A.
;2m 
. B.
2;3m
. C.
3;m 
. D.
;2 3;m  
.
Câu 13. Cho hàm số
.lny x x
có đồ thị (C). Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm
00
;M x y C
có dạng
1
3
2
yx
thì
00
xy
bằng
A.
2e
. B.
3e
. C.
4e
. D.
5e
.
Câu 14. Cho hàm số
32
1
2 3 5
3
y x x x
có đồ thị (C). Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) song song với đƣờng thẳng x = 1.
B. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) song song với trục hoành.
C. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) có hệ số góc dƣơng.
D. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) có hệ số góc bằng 1.
Câu 15. Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
tại giao điểm của nó với trục tung là:
A.
32yx
. B.
32yx
. C.
32yx
. D.
32yx
.
Câu 16. Tìm những điểm
M
thuộc đồ thị
32
: 3 2C y x x
biết hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng
9
?
A.
1; 6 , 3; 2MM
. B.
1; 6 , 3; 2MM
.
C.
1; 6 , 3; 2MM
. D.
1;6 , 3;2MM
.
Câu 17. Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
32
32y f x x x
tại điểm có hoành độ
0
x
thỏa
mãn
0
'' 0fx
là:
A.
1yx
. B.
33yx
. C.
1yx
. D.
33yx
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
98 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 10. TƢƠNG GIAO
A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
Cho hai ñoà thò (C
1
): y = f(x) vaø (C
2
): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C
1
) vaø (C
2
) ta giaûi
phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm).
Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò.
Ví dụ: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số sau:
1
1
x
y
x
(C) và y = m – x (d)
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
1
1
x
mx
x

(
1x
)
2
1x mx m x x
2
10x mx m
(*)
2
44mm
(do pt(*) luôn không nhận x=1 làm nghiệm)
Biện luận:
*
0 2 2m
hoặc
22m 
(C) và d có hai điểm chung.
*
0 2 2m
hoặc
22m 
(C) và d có một điểm chung.
*
0 2 2 2 2m
(C) và d không có điểm chung.
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số (C)
3
5y x mx
cắt đƣờng thẳng
d: y = 6x + m tại ba điểm phân biệt.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
3
56x mx x m
(*)
32
( 6) 5 0 1 5 0x m x m x x x m
2
1
5 0 (**)
x
x x m
Đồ thị (C) cắt đƣờng thẳng d tại ba điểm phân biệt
phƣơng trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phƣơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
21
21 4 0
4
1 1 5 0
3
m
m
m
m


Vậy
21
4
3
m
m
đồ thị (C) cắt đƣờng thẳng d tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ: Cho hàm số
42
(3 2) 3y x m x m
có đồ thị (C
m
).
Xác định m để (C
m
) cắt đƣờng thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm:
42
(3 2) 3 1x m x m
42
(3 2) 3 1 0x m x m
(*)
Đặt
2
,0t x t
Phƣơng trình (1) trở thành:
2
(3 2) 3 1 0t m t m
(**)
Đồ thị (C
m
) cắt đƣờng thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt
phƣơng trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
99 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
phƣơng trình (**) có hai nghiệm dƣơng phân biệt
0
0
0
P
S


2
0
90
0
1
3 1 0
1
3
3 2 0
3
2
3
m
m
m
mm
m
m
m




Vậy
0
1
3
m
m

thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C
m
)
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
PT hoành độ giao điểm của (C
m
) với trục hoành:
Xét hàm số:
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT suy ra:
Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG SỰ TƢƠNG GIAO:
I/ Sử dụng cực trị vào sự tƣơng giao
1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.
Phƣơng trình (1) có 1 nghiệm duy nhất
2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.
(C) tiếp xúc với Ox Phƣơng trình (1) có đúng 2 nghiệm
y x mx
3
2
x mx
3
20
m x x
x
2
2
( 0)
x
f x x f x x
x
xx
3
2
22
2 2 2 2
( ) '( ) 2

fx()
fx()

0 1

0
+
+ –
–3




x
m 3
CÑ CT
f khoâng coù cöïc trò
f coù cöïc trò
yy
2
.0
CÑ CT
f coù cöïc trò
yy
2
.0
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
100 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.
Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng.
Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt.
5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.
Ví dụ: Cho hàm số (Cm) ( m là tham số).
Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
D=R
Ta có:
+ Khi m = 0 thì (1) đồng biến trên R thoả yêu cầu bài toán.
CÑ CT
f coù cöïc trò
yy
2
.0
CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
yy
xx
a f hay ad
2
.0
0, 0
. (0) 0 ( 0)


CÑ CT
CÑ CT
f coù cöïc trò
yy
xx
a f hay ad
2
.0
0, 0
. (0) 0 ( 0)


y f x x mx m
32
( ) 2
y x mx x x m
2
3 2 (3 2 )
yx
2
30

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
101 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
+ Khi thì (1) có 2 cực trị . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi
Kết luận: khi thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm.
Ví dụ: Cho hàm số ( là tham số) (1).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng.
Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng (*)
+ + +
Suy ra: (*)
II/ Hai đƣờng cong cắt nhau thỏa một tính chất nào đó
Ví dụ: Cho hàm số
3
2
x
y
x
có đồ thị (C). Xác định m để đƣờng thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho
32AB
.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
3
2
x
xm
x

(
2x
)
2
( 3) 2 2 0x m x m
(*)
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
2
2
2 1 0
1 0 1 0 1
2
mm
m m m
x
Với
1m
, đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
( ; ) ( ; )
ABAB
A x và B xx m x m
.
Ta có
AB
x và x
là nghiệm của phƣơng trình (*) nên theo vi-et ta có:
3
. 2 2
AB
AB
x x m
x x m

Theo đề ta có
22
3 2 ( ) ( ) 3 2
B A B A
AB x x x x
2
2( ) 3 2
BA
xx
2
.
2 4 3 2
A B A B
x x x x


2
2 (3 ) 4 2 2 3 2mm


2
2 4 2 3 2mm
m 0
m
xx
12
2
0,
3

f x f x
12
( ). 0
mm
m m m
32
2
42
2 2 0 4 1 0
27 27
m
m
0
3 6 3 6
22
m
3 6 3 6
;
22




y x mx m x m
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
m
CÑ CT
CÑ CT
coù cöïc trò
yy
xx
ay
(1) 2
.0
0, 0
. (0) 0

y x mx m
22
3 6 3( 1)
y
m m m
22
9( 1) 9 0,
CÑ
CT
x m x
y
x m x
1
0
1

m
m
m
m m m m
m
2 2 2
2
10
10
3 1 2
( 1)( 3)( 2 1) 0
( 1) 0


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
102 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
22
2 ( )
2 4 2 18 2 8 0
4 ( )
mn
m m m m
mn

Vậy m = 2; m = - 4 thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số
32
( 3) (2 1) 3( 1)y x m x m x m
. Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục hoành là:
32
( 3) (2 1) 3( 1) 0x m x m x m
(*)
2
1 ( 4) 3 3 0x x m x m
2
1
( 4) 3 3 0 (**)
x
x m x m

Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm
phƣơng trình (*) có ba nghiệm âm phân biệt
phƣơng trình (**) có hai nghiệm âm phân biệt khác – 1
2
0
0
0
( 1) ( 4)( 1) 3 3 0
P
S
mm

2
2
4 4 0
1
3 3 0
1
10
2
4 8 0
m
mm
m
m
m
m
m
m
m










Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số
32
34y x x
(C). Chứng minh rằng với k > -3 thì đƣờng thẳng d đi qua I(1; 2) có
hệ số góc k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của AB.
Đƣờng thẳng d có phƣơng trình: y – 2 = k( x – 1) hay y = kx + 2 - k
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
3 2 2
2
1
3 4 2 (*) 1 2 2 0
2 2 0 (**)
x
x x kx k x x x k
x x k
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
phƣơng trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phƣơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1
30
3
30
k
k
k
Suy ra với k > - 3 đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B. (1)
Gọi
( ; 2 ) , ( ; 2 ), I(1;2)
A A B B
A x kx k B x kx k
là ba giao điểm của (C) và d, trong đó
,
AB
xx
là hai
nghiệm của phƣơng trình (**), nên theo vi-et ta có
2
2
AB
AB
xx
x x k

Ta thấy:
2
1
22
( ) 4 2
.2 4 2
2
22
AB
AB
xx
k x x k
kk



suy ra I là trung điểm của AB. (Đpcm)
Ví dụ: Cho hàm số
32
2 (1 )y x x m x m
(Cm) .Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt khi có hoành độ
1 2 3
,,x x x
thỏa mãn điều kiện
222
1 2 3
4xxx
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
103 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Phƣơng trình xác định hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là:
32
2 (1 )x+ m=0 (*)x x m
2
( -1)( ) 0x x x m
2
1
0 (**)
x
x x m
Đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .
phƣơng trình (*) có ba nghiệm âm phân biệt
phƣơng trình (**) có hai nghiệm âm phân biệt khác 1
2
1
1 4 0
()
4
1 1 0
0
m
m
a
m
m



Gọi
3 1 2
1; ,x x x
là hai nghiệm của pt (**)
Theo Viet ta có:
1 2 1 2
1,x x x x m
nên
222
1 2 3
4xxx
2
1 2 1 2
23x x x x
1 ( )mb
Tổng hợp các điều kiện (a) và (b) ta đƣợc các giá trị cần tìm của m là:
1
0; 0 1
4
mm
Ví dụ: Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C) .Tìm k để đƣờng thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.
Pt hoành độ giao điểm :
21
21
1
x
kx k
x
(
1x
)
kx
2
+ (3k - 1)x + 2k = 0 (*)
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
0
3 2 3
6 1 0
3 2 3
1
0
k
k
kk
k
x
k




(a)
Gọi
( ; 2 1) , ( ; 2 1)
A A B A
A x kx k B x kx k
là giao điểm của (C) và d, trong đó
,
AB
xx
là hai nghiệm của
phƣơng trình (**), nên theo vi-et ta có
13
2
AB
AB
k
xx
k
xx

Khoảng cách từ A và B đến Ox bằng nhau
,,d A Ox d B Oy
2 1 2 1
AB
kx k kx k
()
13
4 2 0
( ) 4 2 0
AB
AB
kx kx loai
k
kk
k x x k
k



k = – 3 (thỏa đk (a) ).
Vậy k = – 3 là gia trị cần tìm.
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C
m
), trong đó là tham số thực.
Tìm để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phƣơng trình: (1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lƣợt là ta có:
Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phƣơng trình (1)
y x mx x
32
3 9 7
m
m
x mx x
32
3 9 7 0
x x x
1 2 3
;;
x x x m
1 2 3
3
x x x
1 2 3
;;
xm
2
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
104 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
. Thử lại ta có là giá trị cần tìm.
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C
m
), trong đó là tham số thực.
Tìm để (C
m
) cắt đƣờng thẳng d: tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:
Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lƣợt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có:
Suy ra:
Vì nên ta có:
Thử lại , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy: .
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị là .
Định để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm: (1)
Đặt thì (1) trở thành: .
Để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì phải có 2 nghiệm dƣơng phân biệt
(*)
Với (*), gọi là 2 nghiệm của , khi đó hoành độ giao điểm của (C
m
) với Ox lần lƣợt là:
lập thành cấp số cộng
(thoả (*))
Bài tập tƣơng tự
1/ Cho hàm số (C). Tìm m để đƣờng thẳng (d): cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
mm
3
2 9 7 0
m
m
m
1
1 15
2
1 15
2


m
1 15
2

y x mx mx
32
3
m
m
yx2
x mx mx x g x x mx m x
3 2 3 2
3 2 ( ) 3 ( 1) 2 0
x x x
1 2 3
;;
g x x x x x x x
1 2 3
( ) ( )( )( )
x x x m
x x x x x x m
x x x
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
3
1
2
x x x x x
2 3 3
1 3 2 2 2
22
m m m
3
3
5
1 4 2.3
3 2 1
m
3
5
3 2 1

m
3
5
3 2 1

y x m x m
42
2( 1) 2 1
m
C
m
m
C
x m x m
42
2( 1) 2 1 0
t x t
2
,0
f t t m t m
2
( ) 2( 1) 2 1 0
ft( ) 0
m
m
Sm
m
Pm
2
'0
1
2 1 0
2
0
2 1 0




tt
12
ft( ) 0
x t x t x t x t
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;
x x x x
1 2 3 4
, , ,
x x x x x x t t
2 1 3 2 4 3 2 1
9
m
mm
m m m m m m
mm
m
4
5 4 4
1 9 1 5 4 1
4
5 4 4
9


x
y
x
22
1
y x m2
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
105 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
sao cho .
2/ Cho hàm số .
Tìm các giá trị của tham số k sao cho đƣờng thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.
3/ Cho hàm số .Tìm m để đƣờng thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho độ dài AB ngắn nhất.
4/ Cho hàm . Tìm m để đƣờng thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
.
5/ Cho hàm số (C). Tìm m để đƣờng thẳng d: cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho OAB vuông tại O. m = –2.
6/ Cho hàm số .
Tìm các giá trị của m sao cho đƣờng thẳng (d): cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện
tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).
7/ Cho hàm số có đồ thị (C
m
), trong đó là tham số thực.
Tìm để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
8/ Cho hàm số có đồ thị . Tìm m để cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có tổng bình phƣơng các hoành độ lớn hơn 15.
9/ Cho hàm số . Tìm các giá trị của tham số m để đƣờng thẳng cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị
(C) đạt giá trị nhỏ nhất.
10/ Cho hàm số có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
Cho đƣờng thẳng (d): và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng .
11/ Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi là đƣờng thẳng đi qua điểm với hệ số
góc . Tìm để đƣờng thẳng cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C
cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng .
1k
12/ Cho hàm số (m là tham số) (1)
Tìm m để đƣờng thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp
tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
9 65
8
m
AB 5
mm10; 2
x
y
x
21
1
y kx k21
k 3
x
y
x
2
1
d y mx m:2
m 1
x
y
x
2
22
d y x m: 
OA OB
22
37
2

mm
5
;2
2
x
y
x
21
1
y x m
x
y f x
x
21
()
1

y x m
mm3; 1
y x mx m m x m m
3 2 2
3 2 ( 4) 9
m
m
m 1
y x mx x m
32
12
33
m
C()
m
C()
m 1
y x x
32
32
d y m x: ( 2) 2
m 1
y x mx m x
32
2 ( 3) 4
yx4
82
m
1 137
2
y x x
32
34
k
d
A( 1;0)
k
k()
k
k
d
O
1
y x x mx
32
31
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
106 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Cho hàm số
32
6 9 1y x x x
có đồ thị (C). Đƣờng thẳng
3y
cắt (C) tại mấy điểm?
A. 3. B. 2. C.1. D. Không cắt.
Câu 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số
32
2 5 6y x x x
với trục hoành là
A. 1. B. 2. C.3. D. 0.
Câu 3. Các điểm dƣới đây điểm nào là giao điểm của đồ thị hàm số
32
32y x x
với đƣờng thẳng
9 25yx
?
A.
( 3; 52)M 
. B.
( 3; 42)M 
. C.
(3; 52)M
. D.
(3; 42)M
.
Câu 4. Tìm giá trị m để đồ thị hàm số
2
3y x x
cắt đƣờng thẳng
y mx
tại ba điểm phân biệt?
A.
0m
. B.
0m
. C.
0
9
m
m
. D.
m
.
Câu 5. Cho hàm số
32
22y x x m x m
có đồ thị (C). Biết khi (C) cắt trục Ox có một hoành độ
nguyên mà ta có thể tính đƣợc đó là:
A.
2x 
. B.
1x 
. C.
1x
. D.
2x
.
Câu 6. Cho hàm số
22
23y x x mx m
có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm
khác nhau thì giá trị của m phải là:
A.
22m
. B.
12m
.
C.
21m
. D.
21
12
m
m
.
Câu 7. Cho hàm số
32
99y x mx x m
có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành thì giá trị
của m phải là:
A.
0m
. B.
3m 
. C.
3m
. D.
3m 
.
Câu 8. Cho hàm số
3
31y x x
có đồ thị (C). Tồn tại các giá trị nguyên của m để đồ thị (C) cắt đƣờng
thẳng
ym
tại ba điểm phân biệt. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng
A.
3
. B.
. C.
5
. D.
.
Câu 9. Đồ thị hàm số
42
13
22
y x x
cắt trục hoành tại mấy điểm?
A. 1. B. 2. C.3. D. 4.
Câu 10. Đồ thị (C) của hàm số
42
y x bx c
có một điểm cực tiểu
(0; 2)
và cắt trục hoành tại hai
điểm có hoành độ
1x 
thì đồ thị (C) có dạng:
A.
42
34y x x
. B.
42
21y x x
.
C.
42
2y x x
. D.
42
32y x x
.
Câu 11. Đồ thị (C) của hàm số
42
2 1 2 1y x m x m
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có các
hoành độ đối xứng nhau qua gốc tọa độ, khi đó
A.
1m
. B.
1
2
m 
.
C.
0m
. D.
10m
.
Câu 12. Nếu đƣờng thẳng
ym
cắt đồ thị của hàm số
42
54y x x
tại bốn điểm phân biệt thì
A.
9
4
m 
. B.
9
4
m 
.
C.
9
4
4
m
. D.
9
4
4
m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
107 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 13. Đồ thị (C) của hàm số
4 2 3 2
2y x mx m m
tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì
giá trị thực của m phải bằng
A.
0m
. B.
1m
.
C.
2m
. D.
0;2m
.
Câu 14. Trong các đồ thị của hàm số dƣới đây, đồ thị nào cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
A.
32
1
x
y
x
. B.
41
2
x
y
x
.
C.
34
1
x
y
x
. D.
23
31
x
y
x
.
Câu 15. Đồ thị (H) của hàm số
21
1
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
y x m
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ
khi:
A.
1
1;
2
m



. B.
; 3 3;m  
.
C.
3; 3m
. D.
m
.
Câu 16. Đồ thị (H) của hàm số
23
2
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
y x m
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ
khi:
A.
2;6m
. B.
;2 6;m 
.
C.
6;m
. D.
m
.
Câu 17. Đồ thị (H) của hàm số
2
1
2
xx
y
x

cắt đƣờng thẳng
1y mx
tại hai điểm thuộc hai nhánh
khác nhau của (H), khi đó
A.
0;1m
. B.
;2m 
.
C.
1;m 
. D.
2;3m
.
Câu 18. Nếu đồ thị hàm số
32
2y x mx m
cắt trục hoành tại điểm duy nhất thì
A.
3 6 3 6
;
22
m





. B.
3 6 3 6
;;
22
m
 
.
C.
3 6 3 6
;0
22
\m





. D.
m
.
Câu 19. Nếu đồ thị hàm số
32
y x mx m
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì
A.
3 3 3 3
;
22
m





. B.
3 3 3 3
;;
22
m
 
.
C.
3 3 3 3
;0
22
\m





. D.
m
.
Câu 20. Đồ thị (C) của hàm số
32
61y x x
cắt đƣờng thẳng
1y mx
tại ba điểm phân biệt A, B, C
sao cho
0;1A
và B là trung điểm của AC, khi đó
A.
9
2
m
. B.
4m
.
C.
3m
. D.
1m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
108 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 21. Đồ thị (C) của hàm số
32
3 3 1 6 6y x mx m x m
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 3
,,x x x
thỏa
222
1 2 3 1 2 3
20x x x x x x
, khi đó:
A.
2m
. B.
2
3
m 
.
C.
2
;2
3
m




. D.
22
3
m 
.
Câu 22. Đồ thị (C) của hàm số
32
39y x x x m
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng , khi đó:
A.
11m
. B.
9m 
.
C.
9m
. D.
11m 
.
Câu 23. Cho đồ thị (C) của hàm số
21
1
x
y
x
. Gọi
d
là đƣờng thẳng đi qua
( 2;2)A
và có hệ số góc
.
Tìm tất cả các giá trị thực của
để (C) cắt
d
tại hai điểm phân biệt.
A.
0;1 1\2m
. B.
;0 12;m 
.
C.
;0m 
. D.
12;m 
.
Câu 24. Cho đồ thị (C) của hàm số
21
1
x
y
x
. Gọi
d
là đƣờng thẳng đi qua
( 2;2)A
và có hệ số góc
.
Tìm tất cả các giá trị thực của
để (C) cắt
d
tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C).
A.
0;1 1\2m
. B.
;0 12;m 
.
C.
;0m 
. D.
12;m 
.
Câu 25. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị hàm số
1x
y
xm
cắt đƣờng thẳng
2yx
tại hai điểm
phân biệt
,MN
sao cho
22MN
. Khi đó tổng hai giá trị của m bằng
A.
8
. B.
6
. C.
. D.
8
.
Câu 26. Đồ thị (C) của hàm số
1
3
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
2y mx
tại hai điểm phân biệt
,MN
với độ
dài đoạn
MN
ngắn nhất thì
A.
0m
. B.
1m
. C.
2m
. D.
3m
.
Câu 27. Cho đồ thị (C) của hàm số
32
5 3 9y x x x
. Gọi
d
là đƣờng thẳng đi qua
( 1;0)A
và có hệ
số góc
m
. Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để (C) cắt
d
tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác
OBC nhận điểm
5
;2
3
G



làm trọng tâm, với O là gốc tọa độ.
A.
5
3
m
. B.
4
3
m
. C.
3
5
m
. D.
3
4
m
.
Câu 28. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị (C)
32
2 6 9 2 2y m x mx m x
cắt đƣờng tiệm
cận ngang của (H)
12
3
x
y
x
tại ba điểm phân biêt A, B, C sao cho diện tích của tam giác OBC bằng
13
, với O là gốc tọa độ và
0; 2A
. Tổng hai giá trị thực của m đó bằng
A.
196
13
. B.
13
196
. C.
209
14
. D.
14
209
.
Câu 29. Cho hàm số
42
2( 2) 2 3y x m x m
có đồ thị (C). Bốn giá trị m liệt kê dƣới đây có một giá
trị m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Giá trị m đó là
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
109 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A.
13
9
m
. B.
3m
. C.
0m
. D.
1m
.
Câu 30. Đồ thị (C) của hàm số
1
3
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
2y mx
tại hai điểm phân biệt
,MN
. Nếu
đoạn
MN
ngắn nhất thì độ dài đoạn
MN
bằng
A.
1
. B.
22
. C.
3
. D.
.
Câu 31. Giá trị m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số
21
1
x
y
x
cắt đƣờng thẳng
y x m
tại hai điểm phân
biêt
,AB
sao cho tam giác AOB vuông tại O, với O là gốc tọa độ?
A.
2m 
. B.
1m 
. C.
0m
. D.
1m
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
110 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 11. SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH
A. SỬ DỤNG ĐÚNG ĐỒ THI (C):
Cho hàm số
( ) (C)y f x
Phƣơng trình:
( ) (C)
( , ) 0 (*) ( ) ( )
( ) (d)
y f x
g x m f x A m
y A m
Số nghiệm PT (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và (d).
Chú ý: so sánh A(m) với tung độ cực trị.
Ví dụ: Cho hs
32
32y x x
(C).
a/ khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b/ biện luận số nghiệm phƣơng trình :
32
32x x m
.
c/ Tìm m để phƣơng trình
32
33x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
a)
32
32y x x
D=R
2
' 3 6y x x
. Cho
2
0
' 0 3 6 0
2
x
y x x
x
lim ; lim
xx
yy
 

BBT
Nhận xét: hs tăng trên các khoảng:
( ;0)
và
(2; )
. Hs giảm trên khoảng
(0;2)
.
Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2).
'' 6 6yx
. Cho
'' 0 6 6 0 1 0y x x y
. Vậy hs nhận điểm uôn I(1;0) làm tâm đối
xứng.
Cho
1 2; 3 2x y x y
Đồ thị:
b)
32
32x x m
(*)
ym
(D)
số nghiệm PT(*) là số giao điểm của đƣờng thẳng (D) cắt (C)
dựa vào đồ thị (C),
biện luận:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
111 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
2
2
m
m

=> (D) cắt (C) tại 1 điểm => pt (*) có 1 nghiệm.
2
2
m
m

=> (D) cắt (C) tại 2 điểm => pt (*) có 2 nghiệm (1 kép, 1 đơn).
22m
=> (D) cắt (C) tại 3 điểm => pt (*) có 3 nghiệm phân biệt.
c)
32
33x x m
(*)
1ym
(D)
số nghiệm PT(*) là số giao điểm của đƣờng thẳng (D) cắt (C)
dựa vào đồ thị (C), PT(*) có ba nghiệm phân biệt khi (D) cắt (C) tại 3 giao điểm.
2 1 2 1 3mm
B. SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Cho hàm số
( ) (C)y f x
( ) ( ) 0
( ) (C')
( ) ( ) 0
f x if f x
y f x
f x if f x

Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) trên Ox
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox.
( ) 0
( ) (C')
( ) 0
f x if x
y f x
f x if x

Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy.
(C')
ax b d
if x
ax b
cx d c
y
ax b d
cx d
if x
cx d c

Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng.
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng qua tiệm cận đứng.
Ví dụ: Cho hs
32
32y x x
(C).
a/ khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b/ Tìm m để phƣơng trình
32
32x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
c/ Tìm m để phƣơng trình
3
2
32x x m
có 2 nghiệm phân biệt.
a/ tƣơng tự trên phần A.
b/
32
32x x m
(*)
3 2 3 2
32
3 2 3 2
3 2;( 3 2 0)
32
3 2;( 3 2 0)
x x x x
y x x
x x x x
(C’)
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
112 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Phần 1: phần đồ thị (C) trên Ox
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox.
Dựa vào (C’) , PT(*) có 6 nghiệm phân biệt
02m
c)
3
2
32x x m
(*)
32
3
2
32
3 2;( 0)
32
3 2;( 0)
x x x
y x x
x x x
(C’)
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy.
Dựa vào (C’) , PT(*) có 2 nghiệm phân biệt
02m
2
2
m
m

C. SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI ĐIỀU KIỆN ĐƢỢC SINH RA DO ĐẶT ẨN PHỤ:
Cho hàm số
( ) (C)y f x
Nếu đặt
22
sin ;cos 1
sin ;cos 0;1
0;
x
x x t
t x x t
at

Ví dụ: Cho hàm số
42
( ) 8x 9x 1y f x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình
42
8 os 9 os 0c x c x m
với
[0; ]x
.
1. Tự làm nào ( Thầy tin đến giờ này thì các em đã làm đƣợc, Thầy tin các em)
2. Xét phƣơng trình
42
8 os 9 os 0c x c x m
với
[0; ]x
(1)
Đặt
osxtc
, phƣơng trình (1) có dạng:
42
8 9 0 (2)t t m
Vì
[0; ]x
nên
[ 1;1]t
, giữa x và t có sự tƣơng ứng một đối một, do đó số nghiệm của phƣơng trình
(1) và (2) bằng nhau.
Ta có:
42
(2) 8 9 1 1 (3)t t m
Gọi (C
1
):
42
8 9 1y t t
với
[ 1;1]t 
và (D): y = 1 – m.
Phƣơng trình (3) là phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (D).
Đồ thị (C
1
) giống nhƣ đồ thị (C) trong miền
11t
.
Dựa vào đồ thị (C
1
) ta có kết luận sau:
81
32
m
: Phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
81
32
m
: Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
113 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
81
1
32
m
: Phƣơng trình đã cho có 4 nghiệm.
01m
: Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm.
0m
: Phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm.
m < 0 : Phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập tƣơng tự
Bài 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá
nghieäm cuûa phöông trình:
a)
33
3 1; 3 1 0y x x x x m
b)
33
3 1; 3 1 0y x x x x m
c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m
d)
33
3 1; 3 4 0y x x x x m
e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m
g)
3 2 3 2 3 2
( ): 3 6; ( ): 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m
Bài 2. Cho hàm số
34
24
xxy
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
)(C
của hàm số đã cho.
b) Biện luận theo tham số
số nghiệm của phƣơng trình
k
xx 334
24
.
Bài 3. Cho hàm số
1
.
1
x
y
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình
1
.
1
x
m
x
Bài 4. Cho hàm số
.
2
3
42
24
xxy
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm m để phƣơng trình sau có đúng 8 nghiệm thực phân biệt:
.
2
1
|
2
3
42|
224
mmxx
Bài 5. Cho hàm số
13
3
xxy
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Định m để phƣơng trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
mmxx 33
3
3
Bài 6. Cho haøm soá
2
()
1
x
y f x
x

.
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
30xy
.
c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình:
2
3 ( 2) 2 0x m x m
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
114 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Bài tập bắt buộc (VỀ BBT VÀ ĐỒ THỊ)
Câu 1. Cho hàm số
()y f x
, xác định, liên tục và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số không có GTLN và GTNN.
C. Đồ thị hàm số có một cực trị.
D. Hàm số có đạo hàm tại
0
x
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 2. Cho hàm số
()y f x
, xác định, liên tục và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên
12
;xx
.
B. Hàm số không có GTLN và GTNN.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai cực trị.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 3. Cho hàm số
()y f x
, xác định, liên tục và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên
0;
.
B. Hàm số không có GTNN.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
0x
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 4. Cho hàm số
()y f x
liên tục
;3
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
0;4
.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại
1x 
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1x 
.
D. Hàm số không có cực trị.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 5. Cho hàm số
()y f x
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên
1;0
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
115 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
B. Hàm số đạt cực đại tại
0x
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
0x
.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3y
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 6. Cho hàm số
()y f x
liên tục
2;5
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A.
2;5
max ( ) 3
x
fx
.
B.
2;3
max ( ) 1
x
fx
.
C.
3;5
min ( ) 1
x
fx

.
D.
2;5
max ( ) 1
x
fx

.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 7. Cho hàm số
()y f x
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng ?
A. Phƣơng trình
( ) 0fx
vô nghiệm.
B. Phƣơng trình
( ) 3fx
vô nghiệm .
C. Đồ thị hàm số
()fx
cắt đƣờng thẳng
ym
tại hai điểm phân biệt khi
0
3
m
m
.
D. Đồ thị hàm số
()fx
cắt đƣờng thẳng
2017y
tại một giao điểm duy nhất.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 8. Bảng biến thiên bên là của một trong bốn hàm số đƣợc liệt kê bên dƣới. Hãy tìm hàm số đó?
A.
.ln2 2017yx
.
B.
2
2016 2017 2018y x x
.
C.
32
1
3
3
y x x x
.
D.
32
3 9 5y x x x
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
116 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Câu 9. Cho hàm số
2
1
1
x
y
x
. Hãy tìm bảng biến thiên của hàm số đã cho? (phần tô đen là không xác
định).
A. B.
C. D.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 10. Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào?
A.
32
31y x x
.
B.
32
3y x x
.
C.
32
3y x x
.
D.
32
31y x x
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 11. Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn
hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó
là hàm số nào?
A.
42
21y x x
. B.
42
21y x x
.
C.
42
242y x x
. D.
42
2y x x
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 12. Đồ thị hàm số
()y f x
là đƣờng cong trong
hình.
Khẳng định nào sao đây đúng?
A. Đồ thị hàm số đi qua điểm
(2;5)M
.
B. Hàm số đạt GTLN tại
2x
.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại
2x 
.
D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng
2
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
117 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 13. Cho hàm số
()y f x
xác định và liên tục . Đô thị hàm số
()fx
là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình
( ) 1f x m
có bốn
nghiệm phân biệt khi
A.
24m
.
B.
13m
.
C.
24m
.
D.
13m
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 14. Cho hàm số
()y f x
xác định và liên tục . Đô thị hàm số
()fx
là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình
()f x m
có 6
nghiệm phân biệt khi
A.
1m
.
B.
1m
.
C.
1m
.
D.
03m
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 15. Cho hàm số
()y f x
xác định và liên tục . Đô thị hàm số
()fx
là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình
( ) 1f x m
có
4 nghiệm phân biệt khi
A.
13m
.
B.
14m
.
C.
01m
.
D.
04m
.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
118 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
BÀI 12. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (C)
A. ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN:
Cho hàm số
( ) (C)y f x
(hàm nhất biến)
Tìm M thuộc (C) sao cho M có tọa độ nguyên.
( ) (C)y f x A x
Ax

Ví dụ: Cho hàm số
3
1
x
y
x
có đồ thị là (C) .
Tìm điểm M thuộc (C), sao cho M có tọa độ nguyên đồng thời hoành độ dƣơng.
D=R
Ta có:
4
1
1
y
x

Gọi
0
0
4
;1
1
M x C
x




. Tọa độ M nguyên dƣơng
0
0
0
00
0 0 0
0
0
*
*
*
1 1 1
4
1
4 1 1 2 3
1
14
xZ
xZ
xZ
xx
Z
x x x
x
x




Vậy
1; 1 , 3;0MM
thõa mãn bài toán.
B. CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG:
Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b
A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB
Phƣơng trình đƣờng thẳng vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
:
1
y x m
a
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của và (C):
f(x) =
1
xm
a

(1)
Tìm điều kiện của m để cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó x
A
, x
B
là các nghiệm của (1).
Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìm
đƣợc m x
A
, x
B
y
A
, y
B
A, B.
Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành
AB
AB
xx
yy

(d)
(C)
()
B
A
I
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
119 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
A, B đối xứng nhau qua trục tung
AB
AB
xx
yy

A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng y = b
2
AB
AB
xx
y y b

A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng x = a
2
AB
AB
x x a
yy

Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm của AB.
Phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng:
()y k x a b
.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) =
()k x a b
(1)
Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1).
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm đƣợc k x
A
, x
B
.
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O
AB
AB
xx
yy


Ví dụ: Cho hàm số
3
32y x x
(C).
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đƣờng thẳng d:
2 – 2 0xy
.
Gọi
1 1 2 2
; ; ;M x y N x y
thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đƣờng thẳng d
I là trung điểm của AB nên
1 2 1 2
;
22
x x y y
I




, ta có
Id
Có:
33
1 1 2 2
1 2 1 2
3 2 3 2
2. 2
2 2 2
x x x x
y y x x

3
12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22
1 1 2 2
0
3 3 2
1
xx
x x x x x x x x x x
x x x x

Lại có:
2 1 2 1
.1 .2 0MN d x x y y
2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
7
7 2 0
2
x x x x x x x x x x x x
- Xét
12
0xx
12
77
;
22
xx
- Xét
22
22
12
1 1 2 2
22
1 1 2 2
12
9
1
4
7
5
2
4
xx
x x x x
x x x x
xx





vô nghiệm
Vậy 2 điểm cần tìm là:
7 1 7 7 1 7
;2 ; ;2
2 2 2 2 2 2
A
B
I
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
120 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ví dụ: Cho hàm số
3
2
11
3x
33
x
yx
.
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Hai điểm
1 1 2 2
( ; ), ( ; ) ( )M x y N x y C
đối xứng nhau qua Oy
21
12
0xx
yy
2
21
33
23
12
1 1 2
0
11 11
33
3 3 3 3
xx
xx
x x x x
1
2
3
3
x
x

hoặc
1
2
3
3
x
x

Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là:
16 16
3; , 3;
33
MN
.
Ví dụ: Cho hàm số
24
1
x
y
x
.
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đƣờng thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
(2; 1)MN 
Phƣơng trình MN:
2 3 0xy
.
Phƣơng trình đƣờng thẳng (d) MN có dạng:
2y x m
.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
24
2
1
x
xm
x

2
2 4 0 ( 1)x mx m x
(1)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
2
–8 – 32 0mm
(2)
Khi đó
1 1 2 2
( ;2 ), ( ;2 )A x x m B x x m
với
12
,xx
là các nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là
12
12
;
2
xx
I x x m




;
42
mm
I



(theo định lý Vi-et)
A, B đối xứng nhau qua MN I
MN
4m 
Suy ra (1)
2
0
2 4 0
2
x
xx
x
A(0; –4), B(2; 0).
Ví dụ: Cho hàm số
3
32y x x
(C).
Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
Gọi
00
;A x y
,
B
là điểm đối xứng với A qua điểm
( 1;3)M
00
2 ;6B x y
, ( )A B C
3
0 0 0
3
0 0 0
32
6 ( 2 ) 3( 2 ) 2
y x x
y x x
3
32
0 0 0 0 0 0
6 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0x x x x x x
00
10xy
Vậy 2 điểm cần tìm là:
1;0
và
1;6
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
121 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
C. ĐIỂM – TRỤC ĐỐI XỨNG:
Đối xứng tâm ( đối xứng điểm)
y=f(x) (C) nếu ta dời trục Oxy -> IXY theo
0
0
x X x
y Y y


đƣợc Y=f(X) là hs lẻ => I
00
( ; )xy
là tâm đối xứng
của (C).
Đối xứng trục
tƣơng tự nhƣ trên => Y=f(X) là hàm chẳn => (C) nhận y=... làm trục đối xứng.
Ví dụ: CM hs
32
31y x x
nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng.
Dời trục tọa độ Oxy thanh IXY. Ta có:
1
1
xX
yY


=>
3 2 3 2 2
1 ( 1) 3( 1) 1 3 3 1 3( 2 1) 2Y X X Y X X X X X
3
3 ( )Y X X f X
3
( ) 3 ( )f X X X f X
hs lẻ => đồ thị của hàm số trên nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng.
D. ĐIỂM CỐ ĐỊNH:
Cho hàm số
m
( , ) (C )y f x m
Tìm điểm cố định M mà (Cm) luôn đi qua khi m thay đổi.
00
00
2
0
0
0
( ; ) ( )
0
( , )
00
0
m
A
Am B
B
M x y C
A
y f x m
Am Bm C B
C

Ví dụ: Cho hàm số
32
32y x x mx m
(C).
Tìm điểm cố định trên đồ thị hàm số với
m
Gọi
00
; ( )A x y C
3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
3 2 1 3 2 0 (*)y x x mx m x m x x y
Theo YCBT
(*) có vô số nghiệm
0
0
32
0
0 0 0
10
1
0
3 2 0
x
x
y
x x y


Vậy:
1;0A
là điểm cố định trên (C) với
m
E. ĐIỂM THỎA TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ ĐÃ HỌC:
Ví dụ: Cho hàm số
32
31y x x
có đồ thị (C).
Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài
đoạn AB =
42
.
Giả sử
3 2 3 2
( ; 3 1), ( ; 3 1)A a a a B b b b
thuộc (C), với
ab
.
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
122 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:
( ) ( )y a y b

2 2 2 2
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0a a b b a b a b a b a b
2 0 2a b b a
. Vì
ab
nên
21a a a
Ta có:
2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
AB ( ) ( 3 1 3 1) ( ) ( 3( ))b a b b a a b a b a b a
2
23
( ) ( ) 3 ( ) 3( )( )b a b a ab b a b a b a


2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 3.2b a b a b a ab


2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6b a b a b a ab


2 2 2
( ) ( ) ( 2 )b a b a ab
2 2 2 2 2 2
AB ( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)b a ab a a a
2
2 2 2 4 2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10a a a a a


6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)a a a
Mà
42AB
nên
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1) 32a a a
6 4 2
( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0a a a
(*)
Đặt
2
( 1) , 0t a t
. Khi đó (*) trở thành:
3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4t t t t t t t
2
31
( 1) 4
13
ab
a
ab
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:
(3;1), ( 1; 3)AB
.
Ví dụ: Cho hàm số
32
32y x x
(C).
Tìm trên đƣờng thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).
Gọi
( ;2) ( )M m d
.
PT đƣờng thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng :
( ) 2y k x m
là tiếp tuyến của (C) hệ PT sau có nghiệm
32
2
3 2 ( ) 2 (1)
3 6 (2)
x x k x m
x x k
(*).
Thay (2) và (1) ta đƣợc:
3 2 2
2 3( 1) 6 4 0 ( 2) 2 (3 1) 2 0x m x mx x x m x


2
2
( ) 2 (3 1) 2 0 (3)
x
f x x m x
Từ M kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt
(3) có hai nghiệm phân biệt khác 2
5
0
1
3
(2) 0
2
m hoÆc m
f
m



.
Vậy từ các điểm M(m; 2) (d): y = 2 với
5
1
3
2
m hoÆc m
m
có thể kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến (C).
Ví dụ: Cho hàm số
23
2
x
y
x
có đồ thị (C).
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
123 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ví dụ: Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao
cho AB ngắn nhất.
Lấy điểm
1
;2
2
Mm
m



C
. Ta có:
2
1
()
( 2)
ym
m

Tiếp tuyến (d) tại M có phƣơng trình:
2
11
( ) 2
( 2) 2
y x m
mm

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là:
2
2;2
2
A
m



Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là:
(2 – 2;2)Bm
Ta có:
22
2
1
4 ( 2) 8
( 2)
AB m
m



. Dấu “=” xảy ra
3
1
m
m
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là:
(3;3)M
hoặc
(1;1)M
Ví dụ: Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C).
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đƣờng thẳng đi qua M và giao điểm hai
đƣờng tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
Giao điểm 2 tiệm cận là
( 1;2)I
.
Gọi
0
2
00
33
;2 ( )
1 ( 1)
MI
IM
MI
yy
M x C k
x x x x



+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:
0
2
0
3
()
1
M
k y x
x

+ YCBT
.9
M IM
kk
0
0
0
2
x
x

. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)
Ví dụ: Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C).
Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Gọi
00
( ; )M x y
(C), (
0
1x 
)
thì
0
0
00
21
1
2
11
x
y
xx

Gọi A, B lần lƣợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:
00
0
1
1, 2
1
MA x MB y
x
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
0
0
1
2 . 2 1. 2
1
MA MB MAMB x
x
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi
0
0
0
0
0
1
1
2
1
x
x
x
x

.
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
124 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Ví dụ: Cho hàm số
34
2
x
y
x
(C).
Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.
Gọi
( ; )M x y
(C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.
Ta có:
34
2 3 2 2 2
22
xx
x y x x
xx

1
( 2)
4
2
x
x
x
x
x
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M
1
( 1; 1) và M
2
(4; 6)
Ví dụ: Cho hàm số
21
1
x
y
x
.
Tìm tọa độ điểm M (C) sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;2)I
tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Giả sử
0
0
3
;2 ( )
1
M x C
x




. PTTT của (C) tại M là:
0
2
00
33
2 ( )
1 ( 1)
y x x
xx

2
0 0 0
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x
Khoảng cách từ
( 1;2)I
tới tiếp tuyến là:
0 0 0
44
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
91
( 1)
( 1)
x x x
d
x
x
x
x



.
Theo BĐT Cô–si:
2
0
2
0
9
( 1) 2 9 6
( 1)
x
x
6d
.
Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
2
2
0 0 0
2
0
9
( 1) 1 3 1 3
( 1)
x x x
x
.
Vậy có hai điểm cần tìm là:
1 3;2 3M
hoặc
1 3;2 3M
Ví dụ: Cho hàm số
3
1
x
y
x
.
Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.
Tập xác định D =
\{ 1}R
. Tiệm cận đứng
1x 
.
Giả sử
44
1 ;1 , 1 ;1A a B b
ab
(với
0, 0ab
) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 16 16 64
( ) 16 ( ) 1 4 1 4 32AB a b a b ab ab
a b a b a b ab

AB nhỏ nhất
4
4
4 2 4
16
4
4
ab
ab
AB a b
ab
a
ab

Khi đó:
44
44
1 4;1 64 , 1 4;1 64AB
.
| 1/124
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 00. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
A. Định nghĩa hàm số:
Trong toán học, ta giả sử cho hai tập hợp ( tập nguồn và tập đích), mỗi phần tử của tập nguồn ứng với
một và chỉ một phần tử thuộc tập đích thì ta có thể coi đó là một hàm số.
f : D T hoặc f : x f x hoặc y f x
D : là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số, với D  . Hiểu là: x   D .
T : là miền giá trị của hàm số. Hiểu là: y  T .
x : gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
y : gọi là biến phụ thuộc hay còn gọi là hàm số.
f x : là giá trị của hàm f tại x .
Xét hàm số: y f x 2
x 3x 1. ứng với x  2 ta tìm đƣợc: y   f   2 2 2  2  3.2 1  1  . B. Tập xác định: Hàm số
Điều kiện có nghĩa y  ( A x) (hàm đa thức) x  
Hàm không mẫu, không căn
Tập xác định là D  ( A x)
B x  0 y
(hàm phân thức- hữu tỉ) B(x)
Giả sử tìm đƣợc x    D  \
Hàm có mẫu, không căn y  ( A x) (hàm vô tỉ)
Ax  0 từ đó ta tìm đƣợc khoảng (đoạn,..) K cũng
Hàm có căn ở phía tử
chính là tập xác định của hàm số ( A x)
B x  0 từ đó ta tìm đƣợc khoảng K cũng chính là y  (hàm vô tỉ) B(x)
tập xác định của hàm số
Hàm có căn ở phía mẫu
Chú ý: các hàm trên là đại diện tính tổng quát cho hàm đại số. Ở chƣơng trình phổ thông chúng ta cần
nắm 3 loại hàm: hàm đại số; hàm lượng giác; hàm siêu việt –hàm này sẽ đào sâu trong phần sau.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Câu 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau: 2 2 y
x  3x  2  9  x .
A. D   ;   1 2; B. D   3  ;3 C. D   3  ;  1 2;  3 D. D   3  ;  1 x 1 
Câu 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  log 1    x  5  3
1 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
A. D  1;
B. D   ;  5
 1;
C. D    ;1
D. D   ;    1  1; 3
Câu 3: Tìm miền xác định của các hàm số sau: 2 y x  1 cos 2x  
A. D R \ k;k  
B. D R \   k ;k    2     
C. D R \   k ;k  
D. D R \   k ;k    4   6  x 1
Câu 4: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  ln 5  x
A. D R \   4 B. D   1  ;  5 C. D   1  ;5 \  4 D. D   1  ;5
Câu 5: Tìm miền xác định của các hàm số sau: 2 y
x x x 1
A. D  0;
B. D   ;0  
C. D R
D. D R\  0 2
x  3x  4
Câu 6: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y x 1
A. D R \   1
B. D R \  1  ;  1
C. D R \  1  ;  1
D. D R 1
Câu 7: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  2 log x 1
A. D R \ 0; 2
B. D R \   0
C. D R
D. D R \  2 x e
Câu 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y x e  2
A. D R \   2
B. D R
C. D R \  
e D. D R \ ln  2
Câu 9: Tìm miền xác định của các hàm số sau:  ln ln ln x x y e e   
A. D R
B. D  0;
C. D R \  ; e e D. D   ; e  2 2x  5
Câu 10: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  2 x x  9
A. D R \   3
B. D  3;
C. D   ;    3 3; D. D   3  ;  3
C. Tính chẵn - lẻ:
Cho hàm số y f (x) .
Nếu f (x)  f (x) thì hàm số y f (x) là hàm chẵn – tính chất là đồ thị đối xứng qua Oy.
Nếu f (x)   f (x) thì hàm số y f (x) là hàm lẻ – tính chất là đồ thị đối xứng qua O.
f (x)  f (x) Nếu 
thì hàm số y f (x) là hàm không chẵn, không lẻ.
f (x)   f (x)
2 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 01. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là sự miêu tả biến thiên của hàm số tại một điểm nào
đó. Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng
điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ( ; a ) b và x  ;
a b . Đạo hàm của hàm số tại điểm x 0   0 đƣợc kí hiệu f (
x ) (hay y (x ) ), là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa y  và x  tại điểm 0 0 x khi x  tiến dần tới 0. 0 Trong đó: x
  x x gọi là số gia của biến số. 0 y
  f x  f x f x
  x f x gọi là số gia của hàm số. 0   0   0 yf x
  x f x f x f x 0   0    0 Vậy: f (  x )  lim  lim  lim 0 x  0 x  0 xx xx   0 x x0 Chú ý:
- Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó. 0 yy   y   y  - f (
x ) tồn tại khi lim  lim
, Trong đó f x  lim ; f x  lim đƣợc gọi lần 0    0  0    x  0  x  0 x xx  0  x  0 x x
lƣợt là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của hàm số tại x . 0
Ví dụ 1: Cho hàm số 2
y f (x)  x  3x  2 . Tìm số gia của hàm số tại x  1, biết x   3.
Giải: áp dụng y   f x
  x f x f 4  f 1  26  4  22 . 0   0    
Ví dụ 2: Cho hàm số 2
y f (x) 
x  4 . Tìm số gia của hàm số tại x  4 , biết x   2  .
Giải: áp dụng y   f x
  x f x f 2  f 4  2  3 . 0   0     2  Ví dụ 3: 3x 1
Cho hàm số y f (x) 
. Tìm số gia của hàm số tại x  2  , biết x   0,21. 2x  3
Giải: áp dụng y   f x
  x f x f 2  ,21  f 2  1,3857042 . 0   0     
Ví dụ 4: Cho hàm số 2
y f (x)  sin 2x  cos x . Tìm số gia của hàm số tại x  , biết x   0,1. 2      
Giải: áp dụng y   f x
  x f x f  0,1  f  2  ,0863604. 0   0      2   2 
Ví dụ 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau : x  a) f x 2
x  3x 1 tại x 1. b) f x 2 1 
tại x  1. c) f x 2  3x x . 0 x  2 0
Nhận xét :Ta có thể làm theo quy trình sau : - Gọi x
 là số gia của biến số  số gia của hàm số là y   f x
  x f x . 0   0 y - Rút gọn tỉ số : x y  - Tính giới hạn : lim x  0 x   Vậy: y f (  x )  lim  const 0 x  0 x
3 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Giải: a) Cách 1: Gọi x
 là số gia của biến số
 số gia của hàm số là y   f x
    f     x   2   x
      x  2 1 1 1 3 1 1 3  5 x  . y   x  2  5 x     x   5 xxy   lim  lim  x   5  5 x  0 x  0 x  Vậy: f (  1)  5 Cách 2:
f x  f x f x f 1 x  3x  4 0      2 Ta có: f (  x )  lim  lim  lim  lim x  4  5 0   xx x 1  x 1  x 1     0 x x x 1 x 1 0 Vậy: f (  1)  5 b) Cách 1: Gọi x
 là số gia của biến số 
 số gia của hàm số là       f   5 x y f x 1 1  . x  1 y  5  lim  lim  5  x  0 x  0 xx  1 Vậy: f (  1)  5  Cách 2:
f x  f x f x f 1 x  3x  4 0      2 Ta có: f (  x )  lim  lim  lim  lim x  4  5 0   xx x 1  x 1  x 1     0 x x x 1 x 1 0 Vậy: f (  1)  5 c) Gọi x
 là số gia của biến số 2        2x . x x 3 x
số gia của hàm số là y   f x
  x f x  . 0   0 0   x x
 2  3x x   2  3x x 0 0 0 0 y  2  x x   3 2  x  3 0 0  lim  lim  x  0 x  0 x  x x
 2  3x x   2 2  3x x 2 3x x 0 0 0 0 0 0   Vậy: 2x 3 f (  x)  2 2 3x x     Ví dụ 6: 2 x khi 0 x 1
Cho hàm số f x 2   . Tính f   1 . 2
x 3x  3 khi x 1 Giải:       f    y 2 1 x2 1 1  lim  lim  1  .   x  0  x  0 x x          f    y
1 x2 31 x 2 1  lim  lim  1    x  0  x  0 x x
Do : f 1   f 1     1   f   1  1 
4 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
B. Các quy tắc tính đạo hàm QUI TẮC y   y ' 
u v - w
u ' v '- w' k. f (x)
k. f '(x) . u v
u '.v v '.u . u . v w u '. . v w+ . u v '.w  . u . v w' u
u '.v v '.u v 2 v
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM y   y '  y   y '  n x 1 . n n x n u n 1 . n u  .u ' 1 n 1 . n u '   n x n 1 x n u n 1 u x e x e u e u e .u ' x k x k .ln k u k x
k .ln k.u ' ln x 1 ln u u ' x u log x 1 log u u ' k k . x ln k . u ln k sin x cos x sin u u'.cos u cos x sin x cos u u'.sinu tan x 1 tan u u ' 2 cos x 2 cos u cot x 1  cot u u '  2 sin x 2 sin u k 0 kx k x 1 u u ' 2 x 2 u k m m m x 1 mk m mk x u 1 k u .u ' k k 1 1 1 u '   x 2 x u 2 u ax b ad bc 2
ax bx c 2
amx  2anx bn cm cx dcx d2 mx nmx n2
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây: 2 x  2x 1 a) 3 2
y x  3x  2x  5 . b) y   2 x   1 2x   1 . c) y  . 3x 1 Giải: a) 3 2
y x  3x  2x  5 .       y   3 2
x x x     3 x    2
x    x    2 3 2 5 3 2
5  3x  6x  2
5 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Vậy: 2
y  3x  6x  2 . b) y   2 x   1 2x   1 .    y   2
x    x     2
x   x    xx     2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 x   1 Vậy: 2
y  6x  2x  2 . 2 x  2x 1 c) y  . 3x 1  2   x  2x   1 3x   1  3x   1  2 x  2x   1
2x  23x   1  3 2 x  2x   1  y    3x  2 1 3x  2 1 2   Vậy: 3x 2x 5 y   . 3x  2 1
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây:
a) y   x  3 4 5 . b) 2
y  3x  2x . c) 3 y   2 sin 3x   1 . Giải:
a) y   x  3 4 5 . 
y   x  2 ' 3 4 5 4x  5 Vậy: y   x  2 ' 12 4 5 . b) 2
y  3x  2x .  2  3x  2x  y  2 2 3x  2x  Vậy: 3x 1 y  . 2 3x  2x c) 3 y   2 sin 3x   1 .  2   y 
 2x    2x   2 
 2x    2x    2 3sin 3 1 sin 3 1 3sin 3 1 cos 3 1 . 3x   1 Vậy: 2 y  x  2x    2 18 .sin 3 1 cos 3x   1 .
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây tại x  2 a) 3 2
y  2x  3x 1. b) 2
y  3x  2 . Giải: a) 3 2 2
y  2x  3x 1 y  6x  6x y2 12 . 3x 3 10 b) 2
y  3x  2  y   y2  . 2  5 3x 2
Bài tập tự luận nhằm mục đích thuộc công thức 1/ 3 2
y x  2x  6x 1 1 2/ 3 y
x  21 2m 2
x  6m   2 1 x m  3 3 3/ 4 2
y x  2x  3 4/ 4
y mx    m 2 2 2 1 3 x  ( m m  2)
6 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2x 1 mx  4 5/ y  6/ y x  2 x m 4  3x mx  2  m 7/ y  8/ y x  2 x m 1 9/ 2
y  (x  3)(2x 1) 10/ 3 2
y  (x  4x  3)(2x 1) 11/ 2 5 y  (2x 1) 12/ y x   x  4 2 3 (2 1) 2 1
13/ y  4x  5 14/ 3
y  4x  5x 1 2 15/ y   2 x x 2 3 4x  5
16/ y x   x  3 4  x
17/ y  sin 4x  5 18/ 2 y   2 sin
3x  2x   1 4  3x  19/ y  4 3x 20/ y  3 x  2 2 5x  2 21/ 2  (  2  2) x y x x e 22/ 2  x y e .sin x 2 2 x x 23/ 2 x x y e   ee 24/ y  2 x x ee 25/ cos  2 .x x y e 26/ cot  cos . x y x e 3x 28/ 2
y  ln(2x x  3) 27/ y  2 x x 1 29/ x
y e .ln(cos x) 30/ 2
y  (2x 1) ln(3x x) ln(2x 1)
32/ y  log (cos x) 31/ y  2 2x 1
Bài tập bắt buộc 2  x
Câu 1: Hàm số y  có đạo hàm là: x 1 1 3 3 2 A. y B. y   C. y D. y 2  2  2  2  (x 1) (x 1) (x 1) (x 2)
Câu 2: Đạo hàm của hàm số 2
y  2x 1 bằng 2x x 1 x A. B. C. D. 2 2x 1 2 2 2x 1 2 2 2x 1 2 2x 1 2 x  3x  3
Câu 3: Đạo hàm của hàm số y  bằng x 1 2 x  2x 2 x  8x  6 2 x  2x  6 2 x  2x  8 A. B. C. D. 2 2 2 x  2 1 x   1 x   1 x   1 1
Câu 4: Đạo hàm của hàm số 3 y  4x   3 bằng x 1 1 1 1 A. 6x B. 6x C. 2 6x D. 2 6x 2 x 2 x 2 x 2 x Câu 5: Hàm số 4 4
y  sin x  cos x có đạo hàm là:
7 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
A. y '  2sin 2x
B. y '  2cos 2x C. y '  2  sin 2x D. y '  2  cos2x
Câu 6: Đạo hàm của hàm số y   2 x   1
x  2 tại x  3 bằng A. 0 B. 5 C. 11 D. 15
Câu 7: Hàm số y   x x  1 2 3 2 1 có đạo hàm là: 4x 1
x   x x  2 2 3 4 1 2 1 A. y '  B. y '  3
32x x  2 2 3 1  4x 1
x   x x   2 2 3 4 1 2 1 C. y '   D. y '   3
32x x  2 2 3 1 Câu 8: Hàm số  2 . x y
x e  3sin 2x có đạo hàm là: A. ' x
y e x   1  cos 2x B. '  2 x y e x   1  cos 2x C. '  2 x y e x   1  6cos 2x D. '  2 x y e x   1  6cos 2x x 1
Câu 9: Hàm số y  có đạo hàm là: 3x 1  x   1 ln 3 1 ln 3 A. y '  B. y '  3x 3xx   1 ln 3 ln 3 C. y '  D. y '  3x 3x
Câu 10: Hàm số y   2
ln x  3x   1 có đạo hàm là: 2 x  3x 1 2x  3 A. y '  B. y '  2x  3 2 x  3x 1 2x  3 2 x  3x 1 C. y '   D. y '  2
x  3x  2 2 1 2x 3
C. Ý nghĩa của đạo hàm
- Ý nghĩa hình học:
Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x thì phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0
M x ; y là: y y f x x x
, trong đó f  x gọi là hệ số góc của tiếp tuyến và 0  0  0 0  0 0  y f x . 0  0
- Ý nghĩa vật lý:
o Vận tốc tức thời tại thời điểm t của một chất điểm chuyển động với phƣơng trình s s t là 0
v t st . 0   0
o Cƣờng độ tức thời tại thời điểm t của một dòng điện với điện lƣợng q q t là it qt 0   0 0
8 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M, ta cần chú ý sau
o Tiếp tuyến song song y ax b y '(x )  a 0 1
o Tiếp tuyến vuông góc y ax b y '(x )   0 a
o Tiếp tuyến tạo với Ox một góc   y '(x )   tan 0
y '(x )  a 0   tan  o 1 ay '(x )
Tiếp tuyến tạo với y ax b    cos   0 n ; n  cos 1 2 
Ví dụ : Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số a. Tại điểm M( 2; -2)
b. Tại điểm có hoành độ bằng – 1.
c. Tại điểm có tung độ bằng 2.
d. Tại giao điểm với trục tung.
e. Tại giao điểm với đƣờng thẳng y = -2
f. Biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7.
g. Biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng 1 y   x 45
h. Biết côsin của góc tạo bởi tiếp tuyến và đƣờng thẳng 4x – 3y = 0 bằng 3 . 5 Giải:  D=R 2
y '  3x  6x
a/ ta có: x  2; y  2  ; / y (2)  0 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2  b/ ta có: x  1   y  2  ; / y ( 1  )  9 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7 x  0 c/ ta có: y 3 2 3 2        0 = 2 0 x 3x 2 2 x 3x 0 0 0 0 x  3  0 * Với x  0 ; y y  0 0 = 2; / (0) 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2. * Với x  3; y y  0 0 = 2; / (3) 9
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)  y = 9x – 25 . d/ ta có: x  0 ; y y  0 0 = 2; / (0) 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2. x  1  e/ xét PTHĐGĐ: 3 2 0
x  3x  2  2   0 0 x  2  0 * Với x  1   y  2  ; / y ( 1  )  9 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7
* Với x  2  y  2  ; / y (2)  0 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2 
f/ Hệ số góc của tiếp tuyến là / 2
y (x )  3x  6x 0 0 0
9 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Do tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7 x  1  Nên / 2 0
y (x )  9  3x  6x  9  0 0 0 x  3  0 * Với x  1   y  2  0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7 * Với x  3; y 0 0 = 2
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)  y = 9x – 25 .
g/ Hệ số góc của tiếp tuyến là / 2
y (x )  3x  6x 0 0 0
Do tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng 1 y   x 45 1  x  5 Nên / 2 0 y (x ) 
 45  3x  6x  45  0 0 0  1 x  3    0 45
* Với x  5  y  52 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5)  y = 45x – 173 * Với x  3   y  5  2 0 0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x +3)  y = 45x +83
h/ Gọi tiếp tuyến d có hệ số góc / 2
k y (x )  3x  6x 0 0 0
 vectơ chỉ phƣơng của d là u  (1;k)  Vectơ pháp tuyến của d là: n  (k;1) d d
Đƣờng thẳng  : 4x – 3y = 0  Vectơ pháp tuyến của  là: n  (4;  3)  k.4  ( 1  ).( 3  ) 3 4k  3 Theo đề ta có 3 2 cos(d; )   
  4k  3  3 k 1 2 2 2 2    5  5 k 1. 4 ( 3) k 1.5 k  0   24  k    7 x  0 * Với k = 0 ta có: / 2 0
y (x )  0  3x  6x  0  0 0 0 x  2  0
x  0  y  2  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2. 0 0
x  2  y  2
  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2  0 0 * Với 24 24 24 a   ta có: / 2 2 y (x )  
 3x  6x  
 21x  42x  24  0 vô nghiệm 7 0 0 0 0 0 7 7
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2; y = -2
D. Vi phân và đạo hàm cấp cao I. Vi Phân
- Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại điểm x . Khi đó f  xx
 đƣợc gọi là vi phân của hàm số
tại điểm x ứng với số gia x  đã cho.
Kí hiệu: y f (x)  dy d f (x)  f xdx
- Trong phép tính gần đúng, với x
 khá nhỏ, xét tại điểm x , 0
ta có công thức sau: f x x
  f x f x x  0   0  0   Ví dụ 1: x x Cho hàm số sin cos
y f (x) 
. Tính vi phân của hàm số tại x  ứng với x   0,01. sin x  cos x 0 2
10 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Giải: 2
Ta có: f  x   .
sin x  cos x2       
Vi phân cần tìm: d ff x   0  ,02      .   2   2 
Ví dụ 2: Tính vi phân của hàm số: y  1 2 tan x .  Giải: 2
Ta có: dy d  1 2tan x    1 2tan x dx dx 2
cos x 1 2 tan x
Ví dụ 3: Tính gần đúng của 16,001 .
Giải: Ta đặt f x  x f x 1  . 2 x 1
Áp dụng f x x
  f x f x x
  16,001  4  .0,001 4,000125 0   0  0 8
II. Đạo hàm cấp cao n n
- Đạo hàm cấp n (n N, n  2) của hàm số y f (x) là f
x ( hay y x). Chú ý:
o Đạo hàm cấp hai: 2 yy .
o Đạo hàm cấp ba:  3 yy. o n   fx n  1   fx   .
- Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: xét một chất điểm chuyển động có phƣơng trình s s t  .
Khi đó gia tốc tức thời tại thời điểm t là at st . 0   0 0
Ví dụ 1: Cho hàm số 4 3 2
y f (x)  x  2x  4x  6x 1. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số. Giải: Ta có: 3 2
y  4x  6x  8x  6 . 2
y 12x 12x 8
y  24x 12
Ví dụ 2: Cho hàm số 2 y
x  2x . Chứng minh rằng: 3
y .y 1  0 .  Giải: x 1 1 Ta có: y   y   . 2 x  2x
 2x 2x 2x 2x   3 1  3
VT y .y 1   2
x  2x  .     1  1  1  0  VP 2 x  2x 2 x  2x 
11 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 02. XÉT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THUẦN GIÁO KHOA: 1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Giả sử: cho hàm số y f x .
Xét các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai? 1. Nếu x
  D : x x f x f x thì hàm số đồng biến trên D. ………………….. 1 2  1  2 2. Nếu x
  D : x x f x f x thì hàm số nghịch biến trên D. ………………….. 1 2  1  2
3. Nếu f  x  0 thì hàm số đồng biến. …………………..
4. Nếu f  x  0 thì hàm số nghịch biến. …………………..
5. Nếu f  x  0 , mà f  x  0 có nghiệm hữu hạn thì hàm số đồng biến. …………………..
6. Nếu hàm số đồng biến trên D thì f  x  0…………………..
7. Nếu hàm số đồng biến trên D thì f  x  0 …………………..
8. Hàm số đã cho có đạo hàm trên D, nếu f  x  0 , x
  D thì hàm số nghịch biến trên D……
9. Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi f  x  0, x
  K …………………….
10. Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi f  x  0, x
  K …………………….
Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 2 x 5 2
a) y   2x  4x  5 b) y   x
y x  4x  3 4 4 c) 3 2 2 3 2
d) y x  2x x  2
e) y  (4  x)(x 1)
f) y x  3x  4x 1 1 4 2 4 2 1 4 1 2 g) y x  2x 1
y  x  2x  3 y x x  2 4 h) i) 10 10
12 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2x 1 x 1 1 k) y y y  1 x l) m)  5 2  x 1 x 2 2x x  26 1 2 4x 15x  9 n) y
y  x  3 y x o) p)  2 1 x 3x
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 2 4 3 2 x 1 x x 1 a) y  6
x  8x 3x 1 b) y y  2 c) x  4 2 x x 1 2x 1 x d) y y y x    x 2 e) f) 3 2 2 x 2 x  3x  2 2 2 g) y
2x 1  3 x
h) y x 2  x
i) y  2x x j) y x  2 2 x Ghi nhớ nhanh
Hàm bậc nhất: y ax  , b a  0 CẦN NHỚ a  0
thì hàm số luôn đồng biến trên R. a  0
thì hàm số luôn nghịch biến trên R. bHàm bậc hai: 2
y ax bx c,a  0  y '  2ax b  0  x   2a a  0  b
thì hàm số nghịch biến trên  ;     , đồng  2a   b  biến trên  ;  .  2aa  0  b
thì hàm số nghịch biến trên  ;   , đồng  2a   b  biến trên  ;     .  2a   3 2 2 2
Hàm bậc ba: y ax bx cx d,a  0  y '  3ax  2bx c  0  '  b  3ac . a  0
thì hàm số luôn đồng biến trên R.  2
'  b  3ac  0
13 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số a  0
thì hàm số luôn nghịch biến trên R.  2
'  b  3ac  0 a  0
thì hàm số đồng biến trên  ;
 x và x ; 2  1   2
'  b  3ac  0
. Hàm số nghịch biến trên  x ; x . 1 2 
Giả sử y '  0 có hai nghiệm x x 1 2 a  0
thì hàm số nghịch biến trên  ;  x và 1   2
'  b  3ac  0
x ; . Hàm số đồng biến trên x ;x . 1 2  2 
Giả sử y '  0 có hai nghiệm x x 1 2 ax b d ad bc
Hàm nhất biến: y
, c  0, ad bc  0, x      y'  cx d c  cx d2 ad bc  0  d   
thì hàm số đồng biến trên ;   và  c   d   ;    cad bc  0  d   
thì hàm số nghịch biến trên ;   và  c   d   ;    c
14 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số x  0   Hàm trùng phƣơng: 4 2
y ax bx  , c a  0 3
y'  4ax  2bx  0  b . 2 x    2aa  0
thì hàm số nghịch biến trên  ;0   . Hàm số  ab  0
đồng biến trên 0; . a  0
thì hàm số đồng biến trên  ;0   . Hàm số  ab  0
nghịch biến trên 0; . a  0    b
Thì hàm số đồng biến trên    ;0  và ab  0 2a    b   
;  . Hàm số nghịch biến trên 2a       b b   ;     và 0;  . 2a   2a   a  0    b
Thì hàm số nghịch biến trên    ;0  và ab  0 2a    b   
;  . Hàm số đồng biến trên 2a       b b   ;     và 0;  . 2a   2a  
15 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Bài tập bắt buộc
Câu 1. Hàm số nào dƣới đây đồng biến trên . 7 4 2 A. 4 2
y  3x  4x  2017 . B. 3 2 y x x x 1. 8 3 5 2x  5 1 C. y  . D. 3 2 y
x x  3x 1 . 3  5x 3 Câu 2. Cho hàm số 3 2
y x  3x  4 . Hàm số nghịch biến trên khoảng A. ( ;  0). B. (2; )  . C. 0; 2 . D. ( ;  0) và (2; )  . Câu 3. Cho hàm số 4 2
y x  2x  4 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  2;  .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  2  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng 0;  .
D. Hàm số luôn đồng biến trên . 1 Câu 4. Cho hàm số 4 2 y
x  2x  2 . Khẳng định nào dƣới đây sai? 4
A. Hàm số đồng biến trong khoảng 2;  .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  2  và 0;2 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  2  ;  1 .
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  2  ;0 và 1;. 7 Câu 5. Cho hàm số 7 6 5
y  9x  7x
x 12 . Khẳng định nào dƣới đây đúng? 5  1 
A. Hàm số nghịch biến trong khoảng ;    .  3 
B. Hàm số không có khoảng nghịch biến.  1 
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng 0;   .  3 
D. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  0. 2 3 3 Câu 6. Cho hàm số 5 4 2 y x x
x  2x 1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng 5 4 2 A. ( ;  1  ) . B. (1; )  . C. ( ;  1  ) và (1; )  . D.  1   ;1 . Câu 7. Cho hàm số 4 2
y x  2x  2 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  1  ;.
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng   ;1  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  1   ;1 .
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  1
 ;0 và 1; .
16 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2x 1
Câu 8. Cho hàm số y
. Khẳng định nào dƣới đây đúng? x 1
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  3;   .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;    1 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;    1 và  1  ;.
D. Hàm số đồng biến trên . 2 x
Câu 9. Cho hàm số y
. Khẳng định nào dƣới đây đúng? 1 x  3 
A. Hàm số đồng biến trong khoảng ; 2   .  2 
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng   ;1  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng 0  ;1 và 1;  .
D. Hàm số đồng biến trên \  1 . 2 x x  5
Câu 10. Khoảng nghịch biến của hàm số y  là: x  2 A.  5;   . B.  5   ;1 và 3;  . C.  ;  2   và  2;   . D. \  2 . 3 x  4x  8
Câu 11. Cho hàm số y
. Khẳng định nào dƣới đây đúng? x  2
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;  0.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;  2 .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng 2;3 và 3;  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2 .
Câu 12. Tìm khoảng đồng biến hàm số y   x   2 3
3  2x x ?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;  0.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  3  ;0.
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  3  ;2.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  . Câu 13. Cho hàm số 2
y x 1 2 x  3x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;    1 .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;  2 .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng 2;  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;    1 . Câu 14. Cho hàm số 2
y x  2x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
17 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
A. Hàm số đồng biến trong khoảng 1;3 .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;    1 .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;    1 và 1;3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1   ;1 và 3;  . Câu 15. Cho hàm số 2
y x  4x  3  4x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng   ;1  .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;  0.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;  . x e
Câu 16. Cho hàm số y
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: 2 x 1
A. Hàm số có khi đồng biến, có khi nghịch biến.
B. Hàm số nghịch biến khi x  1.
C. Hàm số nghịch biến khi x  1.
D. Hàm số luôn đồng biến trên R .
Câu 17. Khoảng đồng biến của hàm số y x ln x là: A. 0;  . B. 0;e .  1   1  C. ;    . D. ; e   .  e  2  e
Câu 18. Cho hàm số y f (x) xác định trên D và liên tục R, có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;
 x và x ; . 2  1 
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  x ;  . 1 
D. Hàm số nghịch biến trên .
Câu 19. Bảng biến thiên sau đây ứng với hàm số nào? 1 2x A. y  . B. y  . x 2 x 1
18 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số C. 3 2
y x  6x  9x . D. 4 2
y  x  2x .
Câu 20. Cho hàm số y f (x) xác định trên D và liên tục tại x  1
 , có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng 0; 4 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  1   ;1 .
D. Hàm số nghịch biến trên 1;  .
Câu 21. Cho hàm số y f (x) , có đồ thị nhƣ hình vẽ bên:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 4;0 .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng 0; 2 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng 0; 4 .
D. Hàm số nghịch biến trên 0;  .
19 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 03. XÉT DẤU-GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH A. XÉT DẤU
• f (x)  ax b 2
• f (x)  ax bx c
Trường hợp có hai nghiệm phân biệt:
Trường hợp có nghiệm kép:
Trường hợp vô nghiệm:
Nhận xét: khi làm toán bảng xét dấu đƣợc làm ngoài nháp nên ta sẽ vẽ dƣới dạng trục.
Ví dụ: giải nhanh các bất phƣơng trình sau: Bất phƣơng trình: Nháp trục Kết luận 2
x  3x  7  0 2
x  3x  7  0 2
x  6x  9  0 2
x  6x  9  0 2
x  6x  9  0 2
x  6x  9  0 2
x  3x  4  0 2
x  3x 1  0
20 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2
x  5x  6  0 2
x  5x  6  0 2 3
x  5x  6  0  2 3
x  5x  62x  4x   1  0 x   2
1 x  3x  4  0 x  2
x 1 2x 3x4  0 2 x  4
x 1 2x 3x49x   0 2 x  4 2
x x   1 B. GIAO-HỢP NGHIỆM A
GIAO: A B   (xử lý A xong, rồi mới xử lý B) BA
HỢP: A B   (xử lý A và B cùng lúc) B Có Nháp trục Kết luận x  2  x  5 x  2  x  5 x  3  x  6  x  6   x  2
21 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số x  4  x 1 x  2  x  5 x  2  x  2  x  3 x  2   x  0   1   x  2 x  2  x  3  3  x  2 x  1  x  0
C. TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG: I.
PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2: 2
f (x)  ax bx c  0 (1)   c  0 : vsn  b  0       c  0 : vn a 0   b
b  0  x    a    Biện luận:     0  vn     b 2
a  0    b  4ac , 2
'  b'  ac    0  x x   1 2  2a     b       0  x  1,2    2a
Từ biện luận ấy ta có các trường hợp thường gặp như sau:
22 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số (1) vô nghiệm
a b  0  c  0  a  0    0 (1) có nghiệm 
a b c  0  a  0   b   0 a  0    0 (1) có 1 nghiệm a  0 b   0  a  0    0 (1) có đúng 1 nghiệm a  0  b   0 (1) có hai nghiệm a  0    0
(1) có hai nghiệm phân biệt a  0    0
Chú ý: Trường hợp nào vô lý thì bỏ đi trường hợp đó.
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình sau: 2
x  2(m 1)x  2  m  0 (1) . Tìm m để (1) : a/ vô nghiệm. b/ có nghiệm.
c/ có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho phƣơng trình sau: m   2
1 x  2(m 1)x  2  m  0 (1) . Tìm m để (1) : a/ vô nghiệm. b/ có nghiệm. c/ có 1 nghiệm .
d/ có 2 nghiệm phân biệt.
23 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số II. VI-ET 2
f (x)  ax bx c  0 (1) . Giả sử (1) có hai nghiệm là: x ; x . 1 2  b
S x x   1 2  a Ta luôn có :  (điều kiện 2
S  4P  0 ). c
P x .x  1 2  a III. So sánh nghiệm 2
f (x)  ax bx c  0 (1) . Giả sử (1) có hai nghiệm là: x ; x . 1 2
(1) có hai nghiệm trái dấu x  0  x x .x  0 1 2 1 2
(1) có hai nghiệm cùng dấu 0  x x   0 1 2   x x  0  x .x  0  1 2 1 2
(1) có hai nghiệm pb cùng dấu 0  x x   0 1 2   x x  0  x .x  0  1 2 1 2 (1) có hai nghiệm dƣơng 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2
(1) có hai nghiệm dƣơng pb 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 (1) có hai nghiệm âm x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 (1) có hai nghiệm âm pb x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2
Chú ý : so sánh nghiệm với 0 x  0  x x .x  0 1 2 1 2 x  0  x x .x  0 1 2 1 2 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2
24 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 0  x x   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2 x x  0   1 2 0  x .x  0 1 2 x x  0  1 2
Chú ý : so sánh nghiệm với số bất kỳ
x    x
x   0  x  
x  . x   0 1   2  1 2 1 2
x    x
x   0  x  
x  . x   0 1   2  1 2 1 2
  x x
0  x    x     1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2
  x x
0  x    x     1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2
  x x
0  x    x     1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2
25 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
  x x
0  x    x     1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2 x x  
x   x    0   1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2 x x  
x   x    0   1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2 x x  
x   x    0   1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2 x x  
x   x    0   1 2 1 2 0  X .X  0 1 2 X X  0  1 2
Với X x  và X x  1 1 2 2
Ví dụ : Cho phƣơng trình sau: 2
x  2(m 1)x  2  3m  0 (1) . Tìm m để (1) :
a/ có hai nghiệm trái dấu.
b/ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. c/ có hai nghiệm dƣơng.
d/ có hai nghiệm âm phân biệt.
e/ có hai nghiệm x , x thỏa: 0  x x 1 2 1 2
f/ có hai nghiệm x , x thỏa: x x  0 1 2 1 2
g/ có hai nghiệm x , x thỏa: 1  x x 1 2 1 2
h/ có hai nghiệm x , x thỏa: x  2   x 1 2 1 2
26 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số IV.
Biểu thức sử dụng vi-et: 2 2
x x x x x x x x 1 2 2 1 1 2  1 2 
x x  x x 2 2 2  2x x 1 2 1 2 1 2
x x  x x x x x x   x x x x 2 3 3 2 2  3x x  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  
D x x D  x x 2  x x  2x x  x x 2 2 2 2  4x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x 1 2    x x x x 1 2 1 2 1 1 x x x x  2x x 1 2  2 2 2 1 2 1 2     2 2 x x 1 2 x x x x 1 2 2  1 22
Ví dụ : Cho phƣơng trình sau: 2
x  2(m 1)x  2  3m  0 (1) . Tìm m để (1) :
a/ có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa: 2 2 x x  4 1 2 1 2
b/ có hai nghiệm x , x thỏa: 2 2 x x  1 1 2 1 2
c/ có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa: 2 2
x x x x x x x x 10 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
d/ có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa: x x  3 1 2 1 2
e/ có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa: x  2x  1 1 2 1 2
27 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 04. KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất
y f (x)
y f (x), x  ; a b  TXĐ: D  ???  TXĐ
Hàm số liên tục trên D
Hàm số liên tục trên  ; a b 
y '  f '(x)  0  x  ???  y(x)  ???  Tìm giới hạn    x
y '  f '(x)  0  (giả sử   ; a b)   BBT x   KL
y   ???; ya  ???; yb  ???
Dựa vào BBT để tìm Max - Min KL
Số lớn nhất là Max; số nhỏ nhất là Min
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: 3 2
y x  3x  9x  5
D=R; Hàm số liên tục trên D  2
y '  3x  6x  9 x  1   y 10 Cho 2
y '  0  3x  6x  9  0  
x  3  y  2  2  lim y   x  BBT
Vậy: hàm số không có GTLN và GTNN trên D.
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: 4 3
y x  2x  2x 1
 D=R; Hàm số liên tục trên D  3 2
y '  4x  6x  2
x 1 y  2 Cho 3 2 
y '  0  4x  6x  2  0  1 5  x    y   2 16  lim y   x  BBT 5 1 Vậy: GTNN: Miny  khi x  
. Hàm số không có GTLN trên D. x 16 2
28 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2 x  2x  3
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: y  , x (1;3] x 1
D (1;3] (hoặc D= R \{1} xét x (1;3]) 2    x 2x 5 y '  2 (x 1) Cho 2
y '  0  x  2x  5  0  x  1 6  BBT
Vậy: Min y  9  x  3 và Max y không tồn tại. x (  1;3] x (  1;3]
Đối với hs có MXĐ trên đoạn thì ta không dùng đến BBT nữa.
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: 4 2
y x  2x  5 , x [ 2  ;3]
Hàm số liên tục trên  2  ;  3  3
y '  4x  4x x  0 2  ;  3 Cho 2
y '  0  4x(x 1)  0   x  1     2  ;  3 y(0)  5; y( 1
 )  4; y(1)  4; y( 2
 ) 13; y(3)  68.
Vậy: GTLN: Max y  68 khi x  3 và GTNN: Min y  4 khi x  1  x [  2  ;3] x [  2  ;3]
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: 5 4 3
y x  5x  5x  2 , x [ 1  ;2]
Hàm số liên tục trên  1  ;2  4 3 2
y '  5x  20x 15x x  0[ 1  ;2]  Cho 4 3 2
y '  0  5x  20x 15x  0  x  1[ 1  ;2]  x  3[ 1  ;2] 
y(0)  2; y(1)  3; y( 1  )  9  ; y(2)  6  .
Vậy: Max y  3  x  1 và Min y  9   x  1  x [  1  ;2] x [  1  ;2]
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: 2 y  4  x D[ 2  ;2]   x y '  2 4  x
Cho y '  0  x  0 y(0)  2; y( 2
 )  0; y(2)  0.
29 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Vậy: Max y  2  x  0 và Min y  0  x  2  x [  2  ;2] x [  2  ;2] sin x 1
Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của hs: y  2
sin x  sin x 1  Đặt t  sin , x t  1   t 1 y  ; t [ 1  ;1] 2 t t 1 2    t 2t y '  2 2 (t t 1) t  0 Cho 2 y '  0  t
  2t  0   t  2  [ 1  ;1] 2 y(0)  1; y( 1
 )  0; y(1)  . 3
Vậy: Max y  1  x  0 và Min y  0  x  1  t [   1  ;1] x [  1  ;1]
Bài tập bắt buộc Câu 1. Cho hàm số 4 2
y x  2x  5 . Khẳng định nào dƣới đây đúng? A. max y  108 . B. max y  13 . x   2  ;  3 x   2  ;  3 C. max y  68 . D. max y  5 . x   2  ;  3 x   2  ;  3 Câu 2. Cho hàm số 5 4 3
y x  5x  5x  2 . Khẳng định nào dƣới đây đúng? y A. min y  9  khi x 1. 5 x   1  ;2 B. min y  9  khi x  0 . 4 x   1  ;2 C. min y  9  khi x  2  . 3 x   1  ;2 2 D. min y  9  khi x  1  . x   1  ;2 1
Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình bên. -1 O 1 x -2 2
Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  1  ;2 bằng: -1 A. 5. B. 2. C. 1.
D. không xác định đƣợc. Câu 4. Cho hàm số 2
y  2018  2017x  2016x . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
30 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Câu 5. Tìm M và m lần lƣợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y x  3x  9x  35 trên đoạn  4  ;4.
A. M  40; m  4  1.
B. M  15; m  4  1.
C. M  40; m  8.
D. M  40; m  8  .
Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số 2
f (x)  x  3x  2 trên đoạn [-10;10] bằng A. 152. B. 110. C. 132. D. 72.
Câu 7. Cho hàm số y    x 2 3
5  x . Khẳng định nào dƣới đây đúng nhất?
A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1.
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1  .
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x   5 .
D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x   5 . Câu 8. Cho hàm số 2
y x  4  x . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 .
B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2 .
C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2 .
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 4 2 .
Câu 9. Cho hàm số y   x   2 6
x  4 . Khẳng định nào dƣới đây đúng? A. max y  3  13 . B. max y   . xx C. max y  3  13 . D. max y  3  13 . x   ; x   0;  3 2 20x 10x  3
Câu 10. Đặt M và m lần lƣợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  . Khẳng 2 3x  2x 1
định nào dƣới đây đúng? 5 A. M m  .
B. M  2m  4 . 2 13 21 C. 2M  3m  . D. 2M m  . 2 2 2 x  1 9x
Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số y
trên khoảng 0;  bằng 2 8x 1 3 2 2 2 A. . B. . C. 6 2 . D. 3 2 . 4 3 sin x 1
Câu 12. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  bằng 2
sin x  sin x 1 2 A. 1  . B. 0 . C. . D. 1. 3 4
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 y  2sin x  sin , x x 0;  ? 3
31 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3 2 2 2 A. . B. . C. 2 . D. 3 2 . 4 3
Câu 14. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y x   2 m   2
1 x m  2 trên 0; 2 bằng 7 A. m  3  . B. m  1  . C. m   7 . D. m   2 . Câu 15. Cho hàm số 3 2
y x  3mx  6 , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;  3 bằng 2 khi 31 3 A . m  . B. m  1. C. m  2 . D. m  . 27 2 2x m
Câu 16. Cho hàm số y
, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;  3 bằng 2  khi x 1 A . m  1  . B. m  0 . C. m  1. D. m  2 .   
Câu 17. GTLN và GTNN của hàm số y f x  x  2 cos x trên đoạn 0;   lần lƣợt là  2      A. 1 và 2 . B. 1 và 2 . C. và 2 . D.  và 2 1. 4 4 4 4
32 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 05. ĐƠN ĐIỆU MỞ RỘNG
I/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định ( hay từng khoảng xác định – đối với hàm hữu tỷ): ĐL1
A B  0
A B  0   C   0 C   0 2
Ax Bx C  0, x   R   2
Ax Bx C  0, x   R  A  0    A 0   '  0 '  0 Bài toán 1: 3 2
y ax bx cx d ( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ
Tìm m để hàm số nghịch biến trên TXĐ
Bƣớc 1: tập xác định D
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng 2
y '  Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên TXĐ
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên TXĐ 2
y'  0,xD  Ax Bx C  0,xD 2
y'  0,xD  Ax Bx C  0,xD
Từ đó áp dụng ĐL1 vào tìm m rồi kết luận
Ví dụ: Định m để hàm số 3 2
y x  3x mx m luôn đồng biến trên tập xác định.  D=R  2
y '  3x  6x m  '  0
Hàm số luôn đồng biến trên TXĐ  y '  0, x   R  
 9 3m  0  m  3 a 1  0
 Vậy: với m  3 thì hs luôn đồng biến trên D.
Ví dụ: Định m để hàm số 3 2
y mx  (2m 1)x  (m  2)x  2 luôn nghịch biến trên tập xác định.  D=R  2
y '  3mx  2(2m 1)x m  2  3  m  2  (2m 1)  0  (loai) m  2  0
Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định  y '  0, x
  R   3m0  '  0 2
4m  4m 13 ( m m  2)  0 2     (m 1) 0     m  1  m  0 m  0  
Vậy: với m  1 thì hs luôn đồng biến trên D. 2
ax bx c
Bài toán 2: y mx
( giả sử trong đó có chứa tham số m) n
Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. định.  n
Bƣớc 1: tập xác định D  \    m
33 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2
Ax Bx C
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng y '   mx n2
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. định. 2
y'  0,xD  Ax Bx C  0,xD 2
y'  0,xD  Ax Bx C  0,xD
Từ đó áp dụng ĐL1 vào tìm m rồi kết luận ax b
Bài toán 3: y cx ( giả sử trong đó có chứa tham số m) d
Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
Tìm m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. định.  d
Bƣớc 1: tập xác định D  \    c ad bc
Bƣớc 2: tính đạo hàm y '   cx d 2
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. định.
y'  0,xD  ad bc  0
y'  0,xD  ad bc  0
Từ đó tìm m rồi kết luận mx  4
Ví dụ: Định m để hàm số y
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. x m  D= R \{ } m 2   m 4 y '  2 (x m) m  2 
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định 2  y '  0, x
  D m  4  0   m  2     m 2 Vậy: với 
thì hs luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. m  2
II/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng K cho trƣớc: Nhắc sơ lại: So sánh các nghiệm x   
1, x2 của tam thức bậc hai 2 g(x) ax bx c với số 0:   0   0  
x x  0  P  0
 0  x x  P  0  1 2 1 2   S  0  S  0 
x  0  x P  0 1 2 So sánh các nghiệm x   
1, x2 của tam thức bậc hai 2 g(x) ax bx c với số  :   0 
x x    x   x   0   x  x   0 1 2 1 2  1  2  
x   x   0  1   2 
34 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số   0 
   x x  0  x   x    x  x   0 1 2 1 2  1  2  
x   x   0  1   2 
x    x x   0  x   x  x   0 1 2 1 2  1  2 
m g(x), x
  K m  Ming(x) ứng   dụng max-min vào BPT: x K
m g(x), x
  K m  Maxg(x) xK
Ví dụ: Định m để hàm số 3 2
y x  3x  (m 1)x  4m nghịch biến trong ( - 1; 1)  D=R  2
y '  3x  6x m 1 Cách 1: af ( 1  )  0 3
 (3 6  m 1)  0
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)  y '  0 , x  1  1 x     1 2 af (1)  0 3
 (3 6  m 1)  0 m  4    m  8  m  8   Vậy: m  8
 là giá trị cần tìm. Cách 2:
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)  y '  0 , x   1  ;  1 Hay: 2 2
3x  6x m 1  0  m  3
x  6x 1 g(x), x   1  ;  1 g '(x)  6
x  6  0  x  1   1  ;  1
Dựa vào bảng biến thiên ta có: m Ming(x)  8   1  ;  1  Vậy: m  8
 là giá trị cần tìm.
Ví dụ: Định m để hàm số 3 2 2
y x  (m 1)x  (2m  3m  2)x tăng trên (2; )   D=R  2 2
y '  3x  2(m 1)x  (2m  3m  2)  '  0     3 '  0   m  2 Hàm số tăng trên (2; )
  y '  0 , x x  2     2 1 2
 x 2 x 2  0 1  2   m  5   
x  2  x  2  0  1   2  3    m  2 2  3 Vậy: 
m  2 thì hs tăng trên (2; )  2
35 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
III/ Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên độ dài L: Bài toán 1: 3 2
y ax bx cx d ( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn L
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn L
Bƣớc 1: tập xác định D
Bƣớc 2: tính đạo hàm giả sử có dạng 2
y '  Ax Bx C
Bƣớc 3: hàm số đồng biến trên đoạn L
Bƣớc 3: hàm số nghịch biến trên đoạn L
y'  0, x x L
y'  0, x x L 1 2 1 2 A  0    A 0     '  0  '  0     2 x x  2 2
 4x .x L   x x
 4x .x L  1 2  2 1 2 1 2 1 2
Từ đó áp dụng vi-et vào tìm m rồi kết luận
Ví dụ: Định m để hàm số 3 2
y x  3x mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.  D=R  2
y '  3x  6x m
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.  y '  0 , x x  1 1 2 9   3m  0 m  3 3      m  2 S  4P 1 4  4m 1 4  3 Vậy: m
thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 4 BÀI TẬP: 1 3 2
1/ Cho hàm số y  (m 1)x mx  ( m
3  2)x (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng 3
biến trên tập xác định của nó. đáp số m  2 3 2
2/ Cho hàm số y x  3x mx  4 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ;  0) . đáp số m  3  3 2
3/ Cho hàm số y  2x  3( m 2 1)x m
6 (m 1)x 1 có đồ thị (Cm).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )  đáp số m 1 3 2
4/ Cho hàm số y x  (1 m
2 )x  (2  m)x m  2 .
Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  (0; )  . đáp số 5 m  4 1 3 2
5/ Cho hàm số y  (m 1)x  (2m 1)x  3(2m 1)x 1 . 3 1 
Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K  ( ;  1  ) . đáp số  m  1 3 1 2 3 2
6/ Cho hàm số y  (m 1)x  (m 1)x  2x 1 (1) (m  1  ) . 3
Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K  ( ;  2) . đáp số 1   m 1
36 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1 7/ Cho hàm số 3 y
x  m   2
1 x  2m   1 x  6 3
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số m  0 m  0
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;  đáp số  1  m   2
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  3   ;1 đáp số m  2  1 8/ Cho hàm số 3 2 y
x  2x mx 10 3
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số m  4 
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 0;  đáp số m  0
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên   ;1  đáp số m  4   d. Xác định m để 3
hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. đáp số m  4 9/ Cho hàm số 3 2
y x mx 12x 1
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. đáp số 6   m  6
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 1; đáp số m  6
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 1;2 đáp số m  6
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2. đáp số m mx  9
10/ Cho hàm số y  . x m
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. đáp số m 3  ;3
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;  . đáp số m  3
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  ;    1 đáp số 3   m 1
Bài tập bắt buộc mx  4
Câu 1. Hàm số y
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi x m A. m  2  hoặc m  2 . B. m  2  . C. m  2 . D. 2   m  2 . 2x 1
Câu 2. Nếu hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2;  thì x m 1 1 1 A. m  . B. m  2 . C. m  . D.  m  2 . 2 2 2
37 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số mx  4
Câu 3. Nếu hàm số y
nghịch biến trên khoảng   ;1  thì x m A. 2   m  1  . B. 2   m  1  . C. 2   m  1  . D. 2   m  1  .
Câu 4. Nếu hàm số 3 2
y x  3x mx m luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì A. m  3 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 .
Câu 5. Tìm m để hàm số 3
y mx   m   2 2
1 x  m  2 x  2 luôn đồng biến trên . A. m . B. m  . C. m  1  . D. m  0 . m  2
Câu 6. Nếu hàm số 3 y
x  m  2 2
x  3m   2
1 x m luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì 3 1 1 1 A. m   . B. 2   m   . C. 2   m   . D. m  2  . 4 4 4 1
Câu 7. Nếu hàm số y   2 m   3
1 x  m   2
1 x  3x luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì 3 A. m  1  ;2 . B. m  ;    1 2; . C. m  1  ;2 . D. m  ;    1  2; .
Câu 8. Nếu hàm số 2
y x 1 m x 1 luôn đồng biến trên tập xác định của nó thì A. m  1. B. m  1. C. m  1  . D. 1   m 1. 2 3
x mx  2
Câu 9. Nếu hàm số y
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó thì 2x 1 11 11 11 11 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 2 2 2 2 m  2
1 x  2mx  6m
Câu 10. Nếu hàm số y
đồng biến trên khoảng 4;  thì x 1 A. m  1  . B. m  1  . C. m  1  . D. m  1  . Câu 11. Hàm số 3 2
y x  3x  m  
1 x  4m nghịch biến trong khoảng  1   ;1 khi A. m  8  . B. m  8  . C. m  8  . D. m  8  . Câu 12. Hàm số 3 2
y x  3x mx  4 đồng biến trên khoảng 0;  khi A. m  3  . B. m  3  . C. m  3  . D. m  3  .
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của m để hàm số 3
y x    m 2 1 2
x  2  mx m  2
đồng biến trên khoảng 0;? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số. 1 Câu 14. Hàm số 3 y
mx  2m   2
1 x  m  
1 x  2017 đồng biến trên khoảng 2;  khi 3  9   9   9   9  A. m  ;    . B. m   ;   . C. m   ;    . D. m  ;    .   13   13  13  13  Câu 15. Hàm số 3
y x  m   2 x   2 1
2m  3m  2 x nghịch biến trên khoảng 2; khi
38 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  3 3 3 m   A.    m  2 . B. m   . C. m  2 . D. 2 . 2 2  m  2 Câu 16. Hàm số 3 2
y x  3x mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 khi  9   9  9 
A. m 3; . B. m   ;    . C. m  ;3  . D. m  ;    .  4   4  4 
Câu 17. Tồn tại hai giá trị m để hàm số 3 2
y x mx  m  36 x  5 nghịch biến trên khoảng có độ dài
bằng 4 2 khi đó tổng hai giá trị m bằng A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 18. Cho hàm số 6 6 2 2
f (x)  sin x  cos x  3sin x cos x . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. f (x) là hàm số đồng biến trên .
B. f (x) là hàm số nghịch biến trên .
C. f (x) là hàm số không đơn điệu.
D. f (x) là hàm số hằng.
Câu 19. Hàm số y  sin x mx đồng biến trên khi A. m  1. B. m  . C. m  1  . D. 1   m 1.
Câu 20. Hàm số y  . A sin x  .
B cos x  2x , (A, B là các tham số) đồng biến trên khi A. 2 2 A B  4 . B. 2 2 A B  4 . C. 2 2 A B  4 . D. 2 2 A B  4 .
Câu 21. Xét ba hàm số: x  2 2 x x  6 I. y  ; II. y  ;
III. y  tan x x 1 x  2
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là: A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III. C. Chỉ I và III . D. Cả I, II, III.
Câu 22. Xét ba hàm số: 1
I. f (x)  x x ; II. g(x)  ; III. 2 (
h x)  x  2 x x
Hàm số nào đồng biến trên đoạn [1,2]? A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III. C. Chỉ I và III . D. Cả I, II, III.
Câu 23. Cho ba hàm số I. 2 f (x) 
x với x R ; II. 3
g(x)  x với x R ; III. (
h x)  x x với x R
Hàm số nào đơn điệu trên tập xác định của nó? A. Chỉ I và II. B. Chỉ II và III . C. Chỉ I và III. D. Cả I, II, III. x m  2
Câu 24. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y
nghịch biến trên từng khoảng xác x 1 định của nó? A. m  3  . B. m  3  . C. m  1. D. m  1.
39 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1
Câu 25. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số 3 2
y   x mx  2m  3 x m  2 nghịch biến 3 trên . m  3  A. 3   m 1. B. m  1. C. 3   m 1. D.  . m 1 1
Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số 3 2 y
x mx mx m luôn đồng biến trên 3 . A. m  6  . B. m  5  . C. m  1  . D. m  0 .
m3 x 2
Câu 27. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y
luôn nghịch biến trên từng khoảng x m xác định của nó? A. m  1  . B. m  2  . C. m  0 . D. Không có m .
Câu 28. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số 3 2
y x  6x mx 1 đồng biến trên khoảng 0;. A. m  0 . B. m  12 . C. m  0 . D. m  12 .
Câu 29. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m  2 đồng biến trên khoảng 1;3. A. m  5  ;2 . B. m  ;  2.
C. m 2; . D. m  ;  5  . mx  4
Câu 30. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y
nghịch biến trên khoảng   ;1  . x m A. m  2  ;2 . B. m  2  ;  1 . C. m  2  ;  1 . D. m  2  ;2 . m
Câu 31. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số 3 2 y
x  7mx 14x m  2 nghịch biến trên nửa 3 khoảng 1;. 14 14 14 14 A. m   . B. m   . C. 2   m   . D. m   . 15 15 15 15
Câu 32. Tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số 4
y  x   m   2 2
3 x m nghịch biến trên khoảng   p p 1;2 là ;  
 , trong đó phân số tối giản và q  0. Khi đó q p bằng  q q A. 5 . B. 9 . C. 7 . D. 3 .
Câu 33. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y mcos x x luôn đồng biến trên . 3 1 A. m  1. B. m  . C. m  1. D. m  . 2 2
Câu 34. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y  m  
3 x  2m  
1 cos x luôn nghịch biến trên .
40 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  2  A. m  4;    .
B. m 2; .
C. m 3; . D. m  ;  2.  3  tan x  2   
Câu 35. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y
đồng biến trên khoảng 0;   . tan x m  4  m  0 A. 1  m  2 . B.  . C. m  2 . D. m  0 . 1   m  2 1 sin x   
Câu 36. Tìm tất cả giá trị thực của m sao cho hàm số y
nghịch biến trên khoảng 0;   . sin x m  6  m  0 m  0 A. m  1. B.   1  . C. m  1. D. .  1 m  1   m 1 2 2 BÀI 06. TIỆM CẬN ĐỊNH NGHĨA:
 Đƣờng thẳng x x0 đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim f (x)  ;
lim f (x)   ;
lim f (x)   ;
lim f (x)   x x   x x   x x   x x   0 0 0 0
 Đƣờng thẳng y  0
y đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn: lim f (x)  0 y ;
lim f (x)  y x 0 x
41 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
 Đƣờng thẳng y ax  ,
b a  0 đƣợc gọi là đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f (x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau đƣợc thoả mãn:
lim  f (x)(ax  ) b   0;
lim  f (x)(ax  ) b   0 x x  f (x)  f (x) a  lim  a  lim  Với x x  hoặc x xb
  lim  f (x)  axb
  lim  f (x)  ax  x  x Chú ý
- Đồ thị hàm hằng và hàm đa thức không có tiệm cận. P(x)
- Điều kiện cần đồ thị hàm số dạng y f (x)  (
Q x) ( kể cả hàm căn thức) nếu
o Q(x) có nghiệm là x mà x không phải là nghiệm của P(x) thì x x là tiệm cận 0 0 0 đứng.
o Q(x) vô nghiệm thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
o Bậc P(x)  bậc Q(x) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận xiên.
o Bậc P(x)  bậc Q(x) 1 thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên mà không có tiệm cận ngang.
o Bậc P(x)  bậc Q(x) 1 thì đồ thị hàm số có tiệm cận cong ( toán cao cấp).
o Một đồ thị hàm số có thể có nhiều đƣờng tiệm cận đứng, ngang (hay xiên), chỉ cần thỏa
mãn đƣợc định nghĩa SGK hiện hành.
Ví Dụ : Tìm các đƣờng tiệm cận của các hàm số sau: x  2 a) y x 1  D= R \ } 1 {  lim y   ;
 lim y    x 1 là đƣờng tiệm cận đứng.   x 1  x 1 
 lim y 1; lim y 1 y 1 là đƣờng tiệm cận ngang. x x 2 x  3x  3 1 b) y   x  2  x 1 x 1  D= R \ } 1 {  lim y   ;
 lim y    x 1 là đƣờng tiệm cận đứng.   x 1  x 1      y x   1 lim ( 2)  lim  0;   x
x  x 1     y x   1 lim ( 2)  lim  0   x
x  x 1 
y x  2 là đƣờng tiệm cận xiên x2  1 .c) y x
42 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  D= R \ } 0 {  lim y   ;
 lim y    x  0 là đƣờng tiệm cận đứng.   x 0  x 0 
 lim y  1 y  1 là đƣờng tiệm cận ngang. x  lim y  1   y  1
 là đƣờng tiệm cận ngang. x  y y lim  ; 0 lim
 0 không có tiệm cận xiên. x x x x
Nhắc tí xíu về bấm máy tìm giới hạn
Câu 1: Chọn khẳng định đúng ? 2 3
1 x x x 2 3
1 x x x A. lim  0 B. lim   x0 1 x x0 1 x 2 3
1 x x x 2 3
1 x x x C. lim 1 D. lim   x0 1 x x0 1 x
Câu 2: Chọn khẳng định đúng ? 2 x  3x  4 2 x  3x  4 5 A. lim  2 B. lim  2 x 1  x 1 2 x 1  x 1 2 2 x  3x  4 3 2 x  3x  4 C. lim  D. lim 1 2 x 1  x 1 2 2 x 1  x 1 4x 1  3
Câu 3: Tính I  lim . 2 x2 x  4 1 1 A. I
B. I   C. I
D. I   6 4
Câu 4: Chọn khẳng định sai ? 2017 x  3x  2 2 x  3x  2 1 A. lim  3 B. lim   2  2 x 1  2x x 2  x  4 4 3x  4 2 x  3x  4 C. lim   D. lim     2 x 1  x 1 x 1  x 1
Câu 5: Chọn khẳng định sai ? 2 x 1 1 2 2x 1 A. lim  B. lim  0 2
x 2x x 1 2 3 2
x x  3x  2 2
(2x 1) x  3 2 1 C. lim  D. lim
x x x x  2  2 x x  5x 3 2
PHƢƠNG PHÁP TÌM CÁC ĐƢỜNG TIỆM CẬN
43 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Liệt kê các đƣờng tiệm cận của các đồ thị hàm số (nếu có). HÀM SỐ ĐÁP ÁN GHI NHẬN 1/ y  1
2/ y  2x  3 3/ 3 2
y  2x  3x 1 3 4/ y x  1 3 5/ y  2 x  4 3x 1 6/ y x  4 2  3x 7/ y  5x  4 2 3x 1 8/ y x  1 2 3x 1 9/ y  2 x  1 8 5 3x  4x 1 10/ y  8 6x  1 2 3x  4x 1 11/ y  2x  4 2 x  5x  6 12/ y  2 x  4 3 x 1 13/ y  2 x  1 x 1 14/ y  2 x  1 x 1 15/ y   x  2 2 1 x 16/ y x
44 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2 x 1 17/ y x  1 x 1 18/ y x  1 2 x 1 19/ y x  1 x 20/ y  2 x 1 x 21/ y  2 x  1 5x 1 22/ y  2 3x 1 3 6 3x 1 23/ y  2 2x  5 24/ 2 y x  3x 1 25/ 2
y x 1 x  3x 1 sin x
26/ y x 1  x
Bài tập bắt buộc 1 2x
Câu 1. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: x  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 2 2x 1
Câu 2. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: 2 x  4x  3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. x
Câu 3. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: 2 x 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. 3
Câu 4. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 x  4
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. 3x  2
Câu 5. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 x  4
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
45 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
Câu 6. Cho hàm số y f (x) . Nếu lim f x  1
 và lim f x 1. Tìm khẳng định đúng: x x
A. Đồ thị hàm số đã cho không có đƣờng tiệm ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một đƣờng tiệm ngang.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai đƣờng tiệm ngang là y  1  và y 1 .
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đƣờng tiệm ngang là x  1  và x 1. x
Câu 7. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? x
A. Đồ thị hàm số không có đƣờng tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng x  0 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 và hai tiệm cận ngang y  1  và y 1.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1  và y 1. 2 x 1
Câu 8. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1
A. Đồ thị hàm số không có đƣờng tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng x  1  .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1
 và hai tiệm cận ngang y  1  và y 1.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1  và y 1. mx  4
Câu 9. Cho hàm số y
(Cm). Kết luận nào sau đây đúng nhất: x m
A. Khi m  2 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Khi m  2 thì đồ thị hàm số có tiệm cận.
C. Với mọi m thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. D. Khi m  2
 thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. 2 x  4x  5
Câu 10. Cho hàm số y
(C). Kết luận nào sau đây đúng nhất: 2x x   1
A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. mx 1
Câu 11. Đồ thị hàm số y
có đƣờng tiệm cận đứng đi qua A4; 2  017 . Khi đó: x  2m A. m  2 . B. m  2  . C. m  2  2 . D. m  2  2 .
(m 1)x  2  3m
Câu 12. Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số y
có đúng hai đƣờng tiệm cận. 2 x  3x  2 A. 1. B. 2. C. 3. D. vô số. 2 x  2x  5
Câu 13. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: x 1
46 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 14. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số 2 y
x  2x  2 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. x sin x
Câu 15. Số các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số y   2  là: 3 x A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 16. Gọi y ax b là đƣờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2
y  2x  3  x  2x  2 thì : A. a b  2  .
B. a b  1. C. a b  1  .
D. a b  2 . x 1
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y
có hai đƣờng tiệm cận ngang. 2 mx 1
A. Không có giá trị thực nào của m để thỏa yêu cầu đề bài. B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . 3x m
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y
không có tiệm cận đứng? x m
A. Không có giá trị thực nào của m để thỏa yêu cầu đề bài. B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . 2
2x  3x m
Câu 19. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị hàm số y
không có tiệm cận đứng, khi đó x m
tổng hai giá trị m đó bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. m  2 2017 x 1
Câu 20. Nếu đồ thị hàm số y
có hai tiệm cận ngang thì x  2017 A. m  2017 . B. m  2017 . C. m  2017 . D. m  2017 . mx n
Câu 21. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Nếu đƣờng tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm A 1  ;2 x 1
và đồng thời điểm B2; 
1 thuộc (C). Khi đó m n bằng A. 1  . B. 1. C. 3  . D. 3 . x m
Câu 22. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) không có tiệm cận mx 1 đứng. A. m  0;  1 . B. m  1  . C. m  1  . D. m  1. 2
x  2x  2  mx
Câu 23. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) có hai x  2 đƣờng tiệm cận ngang.
47 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. m  . B. m  1. C. m  0;  1 . D. m  0 . 2
x x 1  mx
Câu 24. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) có tiệm cận đứng thì x 1 A. m  0 . B. m  . C. m  1  . D. m  1. 2
x  2m  3 x  2m   1
Câu 25. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) x  2
không có tiệm cận đứng. A. m  2  . B. m  2 . C. m  3 . D. m  1. 3
Câu 26. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) 2
4x  22m  3 2 x m 1
có đúng hai đƣờng tiệm cận đứng. 13 3 13 A. m   . B. 1   m 1. C. m   . D. m   . 12 2 12 x 1
Câu 27. Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) 2
x  2m   2 1 x m  2
có đúng hai đƣờng tiệm cận đứng.  3   3  A. m   ;  \    3  ;  1 . B. m   ;  \     1 .  2   2   3   3  C. m   ;    . D. m   ;    .  2   2  Câu 28. Cho hàm số 2
y x mx 1 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) có đƣờng tiệm cận ngang. A. 0  m  1. B. m  1  . C. m  1. D. m  1.
BÀI 07. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1/ Định nghĩa: Cho hàm số: y f (x) liên tục trên a,b và x a,b .Khi đó: 0  
 Nếu f (x)  f (x ) với x x , x a,b ta nói hàm số đạt cực đại tại x . 0   0 0
- Giá trị cực đại là yf x . D C  0
- Điểm M x ; f x
gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f . 0  0
 Nếu f (x)  f (x ) với x x , x a,b ta nói hàm số đạt tiểu đại tại x . 0   0 0
- Giá trị cực tiểu là yf x . CT  0
48 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
- Điểm M x ; f x
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f . 0  0
 Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x gọi là đạt cực trị tại x . 0 0
2/ Định lí Fermat: Nếu hàm số y f (x) có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại x thì f '(x )  0 . 0 0 0
Định lí 1: Cho hàm số: y f (x) có đạo hàm trên a,b và x a,b : 0  
 Nếu khi x đi qua x mà đạo hàm đổi dấu từ dƣơng sang âm thì hàm số đạt cực đại tại x 0 0
 Nếu khi x đi qua x mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dƣơng thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 0
Định lí 2: Cho hàm số: y f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục tại x , f '(x)  0 và f '(x)  0: 0
 Nếu f '(x )  0 thì hàm số đạt cực đại tại x . 0 0
 Nếu f '(x )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x . 0 0 Chú ý:
 Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm cực trị song song với Ox. 0
 Nếu f '(x )  0 thì không thể áp dụng định lí 2, khi đó phải vẽ BBT để kiểm chứng. 0
 Nếu hàm số đạt cực trị tại x , mà f '(x)  0 hoặc f '(x) không xác định đƣợc gọi là điểm tới 0 hạn.
B. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Phương pháp chung: lập BBT để kết luận.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: HÀM SỐ GHI KẾT QUẢ PHƢƠNG PHÁP 1/ 3 2
y x  3x  9x  5 2/ 3 2
y x  3x  3x  7 3/ 4 2
y x  2x 1 4/ 4 3
y x  2x  2x 1 2 x  2x  2 5/ y x 1 6/ 2 y  4  x
7/ y x 4  x
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BA:
I/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị Bài toán: 3 2
y ax bx cx d ( giả sử trong đó có chứa tham số m)
Hàm số có cực đại cực tiểu    0
y '  0 có hai nghiệm phân biệt   a  0
49 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Hàm số có cực trị a  0 b   0
y '  0 có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm đơn     0  a  0
Hàm số không có cực trị a  0 b   0
y '  0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép     0  a  0 y '   x  0 0  Nếu 
thì hàm số nhận x làm cực trị  0 y '   x  0 0  y '   x  0 0  Nếu 
thì hàm số nhận x làm cực đại  0 y '   x  0 0  y '   x  0 0  Nếu 
thì hàm số nhận x làm cực tiểu  0 y '   x  0 0  Ví dụ: CMR hs 3 2 2 3
y x  3mx  3(m 1)x m sau luôn có cực đại, cực tiểu  D=R  2 2
y '  3x  6mx  3(m 1) Cho 2 2
y '  0  3x  6mx  3(m 1)  0 2 2
'  9m 9m 9  0  hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm. 2 2 4 x  (
m m 1)x m 1
Ví dụ: CMR hs y
sau luôn có cực đại, cực tiểu x m  D= R \{ } m 2 2 2 4 2 2           x 2mx m (m 1) ( m 1) x 2mx m 1 y '   2 2 (x  ) m (x  ) m Cho 2 2
y '  0  x  2mx m 1  0 2 2
'  m m 1 0  hs sau luôn có cực đại, cực tiểu. đpcm.
Ví dụ: Tìm m để hs 3 2
y  (m  2)x  3x mx  5 có cực đại, cực tiểu  D=R  2
y '  3(m  2)x  6x m
hs có cực đại, cực tiểu  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt m  2  m  2  m  2  m  2          2  '  0 9   3 ( m m  2)  0  3
m  6m  9  0  3   m  1     m 2 Vậy: 
thì hs có cực đại, cực tiểu.  3   m 1
Ví dụ: Tìm m để hs 3 2
y  (m  2)x  3x mx  5 có cực trị  D=R
50 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  2
y '  3(m  2)x  6x m
hs có cực trị  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm đơn. m  2  m  2     m  2   m  2   3   m 1     '  0  9   3 ( m m  2)  0  Vậy: 3
  m 1 thì hs có cực trị. 2 x mx  2
Ví dụ: Tìm m để hs y  không có cực trị x 1  D= R \{1} 2     x 2x m 2 y '  2 (x 1)
hs không có cực trị  y '  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép   '  0 1 m  2  0  m  3   Vậy: m  3
 thì hs không có cực trị.
Ví dụ: Tìm m để hs 3 2
y mx  3x  3x  2 đạt cực đại tại x =1.  D=R  2
y '  3mx  6x  3
y '  6mx  6 y '(1)  0
hs đạt cực đại tại x =1    m  3  y '(1)  0  Vậy: m  3
 thì hs đạt cực đại tại x =1.
Ví dụ: Tìm a, b để hs 3 2
y ax bx x đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2.  D=R  2
y '  3ax  2bx 1
y '  6ax  2b y '(1)  0  1  a  y '(1)  0  hs đạ 6
t cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2     y '(2)  0 3  b   
y'(2)  0  4  1 3 Vậy: a  ; b  
thì hs đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x = 2. 6 4
Bài tập tƣơng tự 1/ Cho hàm số 3 2 2 3
y x  3mx  3(m 1)x m m . CRM hàm số luôn có cực đại, cực tiểu 3 x 2/ Cho hàm số 2 y
 (2m 1)x  (m  9)x 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=2. (Đs: m=1) 3 1 3/ Cho hàm số 3 2 2 y
x mx  (m m 1)x 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x=1. (Đs: m=2) 3
II/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và thỏa mãn vi-et:
51 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  3(m 1)x  9x m . Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x , x sao 1 2
cho x x  2 . 1 2  D=R  2
y '  3x  6(m 1)x  9.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x , x  phƣơng trình y '  0 có hai nghiệm pb là x , x 1 2 1 2  Pt 2
x  2(m 1)x  3  0 có hai nghiệm phân biệt là x , x . 1 2 m  1   3 2
  '  (m 1)  3  0   (1) m  1   3
 Theo định lý Viet ta có x x  2(m 1); x x  3. Khi đó 1 2 1 2
x x  2   x x 2  4x x  4  4m  2 1 12  4 1 2 1 2 1 2 2
 (m 1)  4  3   m 1 (2)  3   m  1   3
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là   1   3  m 1       3 m 1 3 Vậy:  là giá trị cần tìm.  1   3  m 1
Bài tập tƣơng tự 1/ Cho 3 2
y x  (1 2 )
m x  2  mx m  2 . Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x , x 1 2 m  1  1 
sao cho x x  . Đs: 1 2 3  93 3 m   8 1 3 2 2/ Cho hàm số y
x mx mx 1, với m là tham số thực. 3  m 1 65 
Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x , x sao cho x x  . Đs: 2  1 2 1 2 8 m 1 65   2 3/ Cho 3 2
y x  3x  3mx  2  
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x , x sao cho 2 2
x x  77 . Đs: 299 m   1  5;  1 2 1 2  25  4/ Cho 3 2
y  4x mx  3x
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x , x sao cho x  4x  0. Đs: 9 m   1 2 1 2 2 1 5/ Cho 3 2 y
x mx  3mx  4 . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x , x 3 1 2 2 2
x  2mx  9m m sao cho 1 2   2 . Đs: m  4  2 2 m
x  2mx  9m 2 1
52 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 6/ Cho 3 2
y  x  (m 1)x  2(m  2)x  4 Tìm m để 1
hàm số đạt cực trị tại x , x sao cho P x x
đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 1 2 x x 1 2
III/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và sử dụng lý thuyết so sánh nghiệm: Ví dụ: Cho 3 2 2 3
y x  3mx  3(m 1)x m . Tìm m để hàm số có hoành độ cực trị trái dấu nhau. (hay x  0  x ) 1 2  D=R  2 2
y '  3x  6mx  3(m 1) Cho 2 2
y '  0  3x  6mx  3(m 1)  0 2 2
'  9m 9m 9  0  hs sau luôn có cực đại, cực tiểu tại x , x 1 2
 Hàm số có cực trị trái dấu nhau  x  0  x 2
x x  0  m 1 0  1   m 1 1 2 1 2  Vậy 1
  m 1 thì hàm số có cực trị trái dấu nhau. 1 Ví dụ: Cho 3 y
x  m  2 2
x  5m  4 x  3m 1. 3
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x ; x sao cho x  2  x 1 2 1 2  D=R  2
y '  x  2(m  2)x  5m  4
Hàm số đạt cực trị tại x ; x y '  0 có hai nghiệm phân biệt 1 2 m  0   '  0   (1) m  9
Từ x  2  x x  2  0  x  2  x  2
x  2  0  x x  2(x x )  4  0 1 2  1  2  1 2 1 2 1 2 x x  2  (m  2)
Với x ; x là nghiệm pt y’=0, theo vi-et ta có: 1 2  1 2
x .x  5m  4  1 2
nên có: 5m  4  2.2(m  2)  4  0  m  0
so lại điều kiện (1) ta thấy m  0 thỏa
 Vậy m  0 là giá trị cần tìm. Ví dụ: Cho 3
y x    m 2 1 2
x  2  mx m  2.
Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2; 0).  D=R  2
y '  3x  2(1 2 )
m x  2  m
Hàm số có ít nhất một cực trị thuộc (-2; 0)  2
y '  g(x)  3x  2(1 2 )
m x  2  m  0 có hai nghiệm  2
  x x  0 1 2  phân biệt thỏa 2
  x  0  x 1 2  x  2   x  0  1 2
53 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  '  0 
x  2 x  2  0 1  2    10 TH1: 2
  x x  0  
x  2  x  2  0    m  1  1   2  1 2 7 x x  0 1 2  x x  0  1 2  '  0 g(0)  0   TH2: 2
  x  0  x  
x  2 x  2  0  m  2 1  2  1 2 
x  2  x  2  0  1   2  x x  0  1 2 '  0 g( 2  )  0   5 TH3: x  2
  x  0  x x  0    m  1 1 2 1 2 3 x x  0 1 2
x 2 x 2 0  1  2   5   m  1  Vậy : tóm lại  3  thỏa mãn bài toán. m  2
Bài tập tƣơng tự 3 2
1/ Cho hàm số y x  (1 m
2 )x  (2  m)x m  2 (m là tham số) (1).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm 5 7 cực tiểu nhỏ hơn 1. đáp số  m  4 5 m 3 2 2/ Cho hàm số y
x  (m  2)x  (m 1)x  2 (Cm). 3 5 4
Tìm m để hàm số có cực đại tại x x x    m
1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn . đáp số 1 2 1 4 3 1 1 3/ Cho 3 y x
m 4 2x 2m5 x 1 3 2 Tìm m để hàm số  10   m  2  a/ có hoành độ 
hai cực trị lớn hơn -1 đáp số 3  m  2
b/ có đúng một hoành độ 10 lớn hơn -1 đáp số m   3
54 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  5 m  
c/ có ít nhất một hoành độ cực trị lớn hơn 3/2. đáp số  2  m  2 m  2 
d/ có hai hoành độ cực trị nhỏ hơn 4. đáp số  5  2  m   2 10
e/ có một hoành độ cực trị trong khoảng (3;5) đáp số 2  m  3 f/ không có cực trị đáp số 2   m  2 1 4/ Cho 3 2 y
x mx   2 m m   1 x 1 3
Tìm m để hàm số có hoành độ cực trị: a/ trong khoảng   ;1 
đáp số 1 m  2
b/ trong khoảng 1; 
c/ x ; x sao cho x  1  x
đáp số 1 m  2 1 2 1 2
d/ x ; x sao cho 1  x x đáp số m  2 1 2 1 2
IV/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và so sánh cực trị với trục tọa độ: Hai điểm cực trị
Nằm về hai phía Ox khi y y  0 hoặc y=0 có 3 nghiệm phân biệt. 1 2
Nằm cùng phía Ox khi y y  0 hoặc y=0 có 1 nghiệm phân biệt. 1 2
Nằm về hai phía Oy khi x x  0 1 2
Nằm cùng phía Oy khi x x  0 1 2 y y  0
Nằm phía trên trục hoành khi 1 2  y y  0  1 2 y y  0
Nằm phía dƣới trục hoành khi 1 2  y y  0  1 2
Trong đó 1 điểm tiếp xúc trục hoành khi y y  0 1 2
Cách đều Ox khi d  ;
A Ox  d  ; B Ox
Cách đều Oy khi d  ;
A Oy  d  ; B Oy
Đối xứng O khi O trung điểm AB Cách đều O khi OA=OB
Với A,B là hai điểm cực trị Bài tập luyện
55 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1/ Cho hàm số 3 2
y  x x   2 m   2 3 3
1 x  3m 1 (1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1) có cực đại,
cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ. đáp số 1 m   2 3 2
2/ Cho hàm số y x  3x mx m  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (C ) có các điể m  3 m
m cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. 3 2 2
3/ Cho hàm số y  x  ( m 2 1)x m (  m
3  2)x  4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (C ) có các điể 1 m  2 m
m cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 1 3 2 4/ Cho hàm số y
x mx  (2m 1)x  3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 m  1 Xác đị 
nh m để (C ) có các điể  m
m cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.  1 m   2 Chú ý thêm: Nếu 2
y '  ax bx c =0 có hai nghiệm x ; x theo m ( nghĩa là denta đẹp) 1 2
Lƣu ý: dạng này phải biết hình giải tích ( vecto) Ví dụ: Cho 3
y x  m   2 3 2 3
1 x  6mx m . Tìm m để hàm số
a/ có hoành độ cực trị x ; x sao cho x  2  x 1 2 1 2
b/ có hoành độ cực trị x ; x sao cho 2 x  3x  1 1 2 1 2
c/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho AB  2
d/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.  D=R  2
y '  6x  6m   1 x  6m
Hàm số đạt cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt
    m  2 ' 0 1  0  m 1
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A 3
m m   B 2 1; 3 1 , ; m 3m
a/ hoành độ cực trị: x  2  x m  2 1 2 1   3m 1 m  0 b/ hoành độ cực trị: 2
x  3x  1    1 2  2 m  3 1 m  2  m  0 c/ AB   2 3
m 1;3m m  3m  
1  AB  m  
1  3m m  3m  2 2 2 3 1  2   m  2 d/ OA   3
m m   OB   2 1; 3 1 , ; m 3m  m  0 Tam giác OAB vuông tại O. 2 O .
A OB  0  m  3m  3 m  3m   1  0    m  0 4 2
3m  9m  3m 1  0
56 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Bài tập tƣơng tự 1/ Cho hàm số 3 2
y  x x   2 m   2 3 3
1 x  3m 1   1 .
Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O m  1  
tạo thành một tam giác vuông tại O. đáp số 6  m    2 3 2 2 3
2/ Cho hàm số y x m 3 x  3 m (
1)x m m (1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của
đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. m  3   2 2 3 2
3/ Cho hàm số y x  3x  2 (C). Tìm m để đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với 2 2  
đƣờng tròn (S) có phƣơng trình (x m)  (y m 1)  5 . 4 m  2;    3  3 2 3 2
4/ Cho hàm số y x  3 m ( 1)x m
3 (m  2)x m m 3 C ( ) . m
Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không đổi. AB  2 5 2 2 3 5/ Cho hàm số
y  2x 3(m 1)x m
6 x m (1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực
trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4;0) . m  1  3 2
6/ Cho hàm số y x  3x m
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao 1  2  2 3 cho AOB 0 120 . m  3 3 2 2
7/ Cho hàm số y x  3x m m 1 (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ). m   2  ;  3 3 2
8/ Cho hàm số y x  3 m ( 1)x 1 m 2 x m 3  4 (C)  
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C 9 1;     lập thành tam  2  1
giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm. m   2 3 2
9/ Cho hàm số y f (x)  2x  3(m  3)x 11 m
3 (C ). Tìm m để có hai điểm cực trị , sao m m C ( ) M M 1 2
cho các điểm M ,M và B(0; –1) thẳng hàng. m  4 1 2
V/ Điều kiện để hàm số BẬC 3 có cực trị và sử dụng phƣơng trình đƣờng thẳng qua 2 cực trị đó:
ứng dụng đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị
Để viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phƣơng pháp tách
57 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số đạo hàm.
– Phân tích y f (x) q
. (x)  h(x) .
– Suy ra y h(x ),y h(x ) . 1 1 2 2
Do đó phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y h(x) . 1
Chú ý: y y '.y ' 18a 3 2
Ví dụ: Cho hàm số y x  3x mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị  D=R  2
y '  3x  6x m
Hàm số đạt cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt   '  0  m  3 
Gọi hai điểm cực trị là Ax ;y 1
;Bx ;y 1 2 2   1 1   2m   m
Thực hiện phép chia y cho y ta đƣợc: y x   y  '   2 x   2    3 3   3   3   2   2   m m m m
y y(x )    2 x
  2  ; y y(x )    2 x   2  1 1 1 2 2 2  3  3  3  3  2   m m
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : y    2 x   2   3  3
Bài tập tƣơng tự 3 2 2 3 2
1/ Cho hàm số y  x m
3 x  3(1 m )x m m (1) 2
Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: y  2x m m
Chúng ta biết đt qua hai điểm cực trị có dạng d : y   x   ( xuất hiện các dạng liên quan đến đt)    a
d / / : y ax b     b
d   : y ax b  .a  1     a
d   : y ax b     b
d   một góc   cos(d, )  cos u ;u    cos dd  
A,B đối xứng qua  : y ax b   với M là trung điểm AB M 
Chú ý lúc đó Ax ; x   , A x ; x   nên trở về bài toán tọa độ 1 1   2 2  3 2
Ví dụ: Cho hàm số y x  3x mx (1).
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua
đƣờng thẳng d: x  2y  5  0 .
58 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  D=R  2
y '  3x  6x m
Hàm số đạt cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt   '  0  m  3  1 1   2  1 Ta có: y x   y    m   2 x   m  3 3   3  3  2  1
 đƣờng thẳng  đi qua các điểm cực trị có phƣơng trình y m   2 x m   3  3 2
nên  có hệ số góc k m  2 . 1 3 1 5 1
d: x  2y  5  0  y
x   d có hệ số góc k  2 2 2 2
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d   1  2   k k  1   m   2  1   m  0 1 2 2  3 
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta
thấy I  d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0 là giá trị cần tìm
Bài tập tƣơng tự 1/ Cho hàm số 3 2
y x  3x  31 mx 1 3m C m
Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 4 . đáp số m = 1 2/ Tìm m để hàm số 3 2
f (x)  2x  3(m 1)x  6(m  2)x 1 có đƣờng thẳngđi qua CĐ,CT song song với
đƣờng thẳng y  2  x 1
đáp số m  3 2 3/ Tìm m để hàm số 3 2
f (x)  2x  3(m 1)x  6 ( m 1 2 )
m x có cực đại và cực tiểu nằm trên đƣờng thẳng y  4  x đáp số m=1 4/ Tìm m để hàm số 3 2
f (x)  x mx  7x  3 có đƣờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với
đƣờng thẳng y  3x  7 3 2
5/ Cho hàm số y x  3x mx  2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
Xác định m để (C ) có các điể y x 1 m
m cực đại và cực tiểu cách đều đƣờng thẳng . 3 2
6/ Cho hàm số y x  3x mx  2 có đồ thị là (Cm).
Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đƣờng thẳng 0
d: x  4y  5  0 một góc a  45 . m 1   2 3 2
7/ Cho hàm số y x m
6 x  9x m
2 (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đƣờng thẳng đi 4
qua hai điểm cực trị bằng . m  1  5 3 2
8/ Cho hàm số y x  3x mx  2 (1) .
59 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đƣờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục
toạ độ một tam giác cân. m 3   2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG CỰC TRỊ CỦA HÀM TRÙNG PHƢƠNG:
I/ Điều kiện để hàm số trùng phƣơng có cực trị Bài toán: 4 2
y ax bx c ( giả sử trong đó có chứa tham số m) D  x  0 3
y ax bx x 2 ' 4 2 2
ax b . Cho y '  0  2x 2
ax b  0   ( với b    ). 2 x   a
Hàm số có một cực trị    0 Hàm số có ba cực trị    0 Hàm số có 1 cực đại a  0      0   a  0       0 Hàm số có 1 cực tiểu A  0      0   A  0  a  0
Hàm số có 1 cực đại, hai cực tiểu A  0   a  0
Hàm số có 2 cực đại, một cực tiểu A  0   a  0
Ví dụ: Tìm m để hs 4
y x    m 2 1 2
x m  5 có 3 cực trị  D=R x  0  3 y 4x
21 2mx 2x  2 2x 1 2m 0         
1 2m .hs có 3 cực trị 2 x   2 1 2m 1   0  m  2 2  1 Vậy: m  thì hs có 3 cực trị. 2 4 2 2
Ví dụ: Cho hàm số y x  2(m m 1)x m 1 .
Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.  D=R x  0  3 2
y  4x  4(m m 1)x y  0   ;
x   m2  m 1
60 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2 2  1  3
Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = 2 m m 1  2  m     3  2  4 1
 mind  3  m = . 2
II/ Điều kiện để hàm số trùng phƣơng có cực trị và thỏa tính chất cho trƣớc 4 2
y ax bx c ( giả sử trong đó có chứa tham số m) D  x  0 b 3
y ax bx x 2 ' 4 2 2
ax b . Cho y '  0  2x 2
ax b  0   ( với    ). 2 x   a
Đồ thị hàm trùng phƣơng có 3 điểm cực trị thì: AcB 2
  a  b  cC 2 0; , ; ,
 ;a b  c
Luôn có A thuộc trục Oy, tam giác ABC luôn cân tại A.
(Các câu hỏi thường xoay quanh vấn đề hình giải tích Oxy.)
Tam giác ABC cân và có cạnh bên bằng n lần cạch  AB nBC đáy.
Tam giác ABC nhận M làm trọng tâm.
x x x  3x A B C M  
y y y  3yA B C M
Tam giác ABC nhận M làm trực tâm. M Oyy  0    M   BM AC
BM.AC  0 Tam giác ABC vuông cân.
AB AC A . B AC  0 Tam giác ABC đều  AB BC
Tam giác ABC có góc  , (với 0   90 )
B ACA .BAC cos A ,   cosA . B AC
Tam giác ABC có diện tích S
1 AH.BC S (với H là trung điểm BC). 2
Tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn có R Cách 1: A . B AC  2 . R AH
I 0;aOy Cách 2: 
IA IB IC R
Tam giác ABC ngoại tiếp đƣờng tròn có r
Cách 1: AH.BC   AB AC BC.r I
 0;aOy Cách 2:  d
 I; AB  d I; AC  d I; BC  r
Tam giác ABOC là hình bình hành (hình thoi) AB CO
............................... 4 2
Ví dụ: Cho hàm số y x  ( m
3 1)x 3 (với m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ dài 2 cạnh đáy bằng
lần độ dài cạnh bên. 3  D=R
61 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số x  0 3
 Ta có: y'  4x  2( m
3 1)x ;cho y ' 0    3m 1 2 x    2
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  m 1   (*). 3  m m 2 3 1 (3 1)       m m 2 3 1 (3 1)     
Gọi ba điểm cực trị là: A(0; 3  ) ; B ;  3 ;C ;  3  2 4   2 4  ABC luôn cân tại A 2   m 3 1   m 3 1 ( m 4  BC AB 3 1)  9.4   4    m 5   , thoả (*). 3  2   2 16  3
Bài tập tƣơng tự 4 2 2
1/ Cho hàm số y f (x)  x  2(m  2)x m m 5  5 . m C ( )
Tìm các giá trị của m để đồ thị
của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông m C ( ) cân. m  1 4 2 2
2/ Cho hàm số y x  2 m
(  2)x m m 5  5  m C
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C ) có điể m
m cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại
và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. m 3  2  3 1 4 2 3/ Cho hàm số y
x  2mx m có đồ thị (Cm) . 4
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C ) có ba điể m
m cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một
tam giác có diện tích S  32 2 . m  2 4 2 2
4/ Cho hàm số y x m
2 x m m có đồ thị (Cm) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C ) có ba điể m
m cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một 0 1
tam giác có một góc bằng 120 . m   3 3 4 2
5/ Cho hàm số y x m
2 x m 1 có đồ thị (Cm) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C ) có ba điể m
m cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một m 1
tam giác có bán kính đƣờ 
ng tròn ngoại tiếp bằng 1 . 5 1  m   2 4 2
6/ Cho hàm số y x  2mx  2
(Cm). Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một  
tam giác có đƣờng tròn ngoại tiếp đi qua điểm D 3 9  ;  . m 1  5 5  4 2 2
7/ Cho hàm số y x  2(1 m )x m 1
(Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một
tam giác có diện tích lớn nhất. m  0
Bài tập bắt buộc
62 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1
Câu 1. Đồ thị hàm số 3 2
y   x  2x  3x 1 có điểm cực đại 3  1   1  A. 1;    . B. 3  ;1 . C. 1;3 . D.  ;1   .  3   3 
Câu 2. Giá trị cực đại của hàm số y   x  3 2 3x  4 bằng A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 4  . Câu 3. Hàm số 4 2
y x  2x  3 đạt cực đại tại A. 3  . B. 1. C. 1  . D. 0 . 3 Câu 4. Cho hàm số 3 2 y x
x  6x  3. Khẳng định nào sau đây đúng? 2
A. Hàm số đạt cực đại tại x  2, y  7  . CT 13
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  , y  . CD 2
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2, y  7  . CT 13
D. Hàm số đạt cực đại tại x  , y  1  . 2 CT 1 5 Câu 5. Cho hàm số 4 2 y   x x
. Khẳng định nào sau đây đúng? 4 4
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. Câu 6. Cho hàm số 3
y  2x  3x 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. 2 x x 1
Câu 7. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2x  4
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Câu 8. Cho hàm số 2 y
x x x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. 4  x
Câu 9. Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? 4  x
63 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. 1
Câu 10. Cho hàm số y x  3 
. Khẳng định nào sau đây đúng? x 1
A. Đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại .
D. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
Câu 11. Cho hàm số y  2sin 2x  3 . Đồ thị hàm số nhận điểm nào dƣới đây là điểm cực tiểu ?     5  A. M ; 1    . B. N ; 1    .  4   4   3   9  C. P ; 5    . D. Q ; 5    .  4   4 
Câu 12. Cho hàm số y  3  2cos x  cos 2x . Các điểm dƣới đây điểm nào là điểm cực đại của đồ thị hàm số trên?   9   9  A. M ;   . B. N  ;   .  4 2   2    9   2 9  C. P  ;   . D. Q  ;   .  2 2   3 2 
Câu 13. Cho hàm số y f (x) xác định trên D và liên tục R, có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số y f (x) không có điểm cực trị nào.
B. Đồ thị hàm số y f (x) có một điểm cực trị.
C. Đồ thị hàm số y f (x) có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
D. Đồ thị hàm số y f (x) có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại .
Câu 14. Hàm số y  m   3 2
2 x  3x mx  5 có cực trị khi A. m  3;   . B. m   ;1 . C. m  3  ;  1 \  2 . D. m  3  ;  1 .
Câu 15. Hàm số y  m   3 2
2 x  3x mx  5 có cực đại, cực tiểu khi A. m  3;   . B. m   ;1 . C. m  3  ;  1 \  2 . D. m  3  ;  1 .
64 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Câu 16. Nếu hàm số 3
y x  m   2 3
1 x  32m  4 x m có cực trị thì A. m . B. m . C. m  ;   1  5; . D. m 1;5 .
Câu 17. Nếu hàm số 3 2
y mx  3mx  m  
1 x 1 có cực trị thì m  0 m  0 A.   1  . B. 1 . m  m   4  4 1 1 C. 0  m  . D. 0  m  . 4 4
Câu 18. Nếu đồ thị hàm số 4 2
y  2016x  2017mx  2018 có ba điểm cực trị thì 8064 8064 A. m  0 . B. m  0 . C. m   . D. m   . 6051 6051
Câu 19. Nếu đồ thị hàm số 4
y mx  m   2
1 x 1 2m có một điểm cực trị thì m  0 m  0 A. m  0 . B. m  1. C.  . D.  . m  1 m  1 1 3
Câu 20. Nếu đồ thị hàm số 4 2 y x mx
có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại thì 2 2 A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . 1 Câu 21. Hàm số 3 2 y
x mx   2 m m  
1 x 1 đạt cực đại tai x  1 khi 3 A. m  1. B. m  2 . C. m  1;  2 . D. m 1;2 . 1 Câu 22. Hàm số 3 y
x  2m   2
1 x  m  9 x 1 đạt cực tiểu tai x  1 khi 3 A. m  1. B. m  2 . C. m  1;  2 . D. m  . 2 x mx 1
Câu 23. Hàm số y
đạt cực tiểu tai x  1 khi m xm  2  A. m  2  . B. m  0 . C.  . D. m . m  0 2 mx nx  . m n
Câu 24. Hàm số y
đạt cực trị tại x  0 và x  4 khi đó: mx n
A. m n  6 .
B. m n  4 .
C. m n  2 .
D. m n  0 . 2
x  m   1 x m 1
Câu 25. Hàm số y
. Tìm tất cả giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và x 1
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 ? A. m  1. B. m  1;  2 . C. m  0 . D. m  .
Câu 26. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số 3
y x  m   2 3 2 3
1 x  6mx m có hai điểm cực trị A, B
sao cho AB  2 . Khi đó tổng hai giá trị m đó bằng
65 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. 2  . B. 2 . C. 1. D. 1  . 2
x  m   2 2
1 x m  4m
Câu 27. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số y
có hai điểm cực trị A, B sao x  2 cho 2 2
OA OB  120 , với O là gốc tọa độ. Khi đó tích hai giá trị m đó bằng 52 52 26 26 A. . B.  . C. . D.  . 9 9 9 9 Câu 28. Hàm số 3 2
y x mx   2 m   3 3 3
1 x m có hai cực trị trái dấu khi A. m  1. B. m  1. C. m  1. D. m  1.
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng m để đồ thị hàm số 3 2
y x  3x mx m  2 có các điểm cực
đại và cực tiểu nằm về hai phía với trục hoành? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 1
Câu 30. Đồ thị hàm số 3 2 y
x mx  2m  
1 x  3 có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng một phía 3 đối với trục tung?  1   1  A. m  ;    . B. m  ;  \     1 .  2   2   1    C. m   ;    . D. m   1 ;1 \   .  2  2
Câu 31. Nếu đồ thị hàm số 4 2
y  x  2mx  4 có tất cả các điểm cực trị thuộc các trục tọa độ thì A. m  2 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  ;  0  2 . Câu 32. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 , có đồ thị (C) . Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị của (C) có dạng: A. y  2  x  2 . B. y  2  x  2.
C. y  2x  2 .
D. y  2x  2 .
Câu 32’. Cho hàm số 3 2
y x  3x mx  2 . Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị là  2m   m   2m   m  A. y   2 x  2      . B. y    2 x  2      .  3   3   3   3   2m   m   2m   m  C. y   2 x  2      . D. y    2 x  2      .  3   3   3   3  Câu 33. Cho hàm số 3 2
y x  3x mx  2 . Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua các điểm cực trị song song
với đƣờng thẳng y  4  x  3 khi A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  3 .
Câu 34. Đồ thị hàm số 3 2
y  x  3mx  3m 1 có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đƣờng
thẳng x  8y  74  0 khi A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  3 .
66 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Câu 35. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số 3 2
y x  6mx  9x  2m có hai điểm cực trị A, B sao cho 4 5
khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng thẳng AB bằng
. Khi đó tổng hai giá trị m bằng 5 A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  3 .
Câu 36. Nếu đồ thị hàm số y  m   3 2
2 x  3x mx  5 có điểm cực đại và cực tiểu sao cho hoành độ là các số dƣơng thì A. 3   m  2  . B. 3   m  2  . m  3  C. m  3  . D.  . m  2 
Câu 37. Có hai giá trị của m để hàm số 3
y x  m   2
2 x  1 mx  3m 1 đạt cực trị tại x , x mà 1 2
x x  2 . Tổng hai số đó là: 1 2 A. 3  . B. 1  . C. 5  . D. 7  . 1
Câu 38. Nếu hàm số 3
y x    m 2 1 2
x  2  mx m  2 đạt cực trị tại x , x sao cho x x  thì 1 2 1 2 3 3  93 3  93 A. m  . B. m  . 8 8 3  93 C. m  . D. m  1  . 8 1
Câu 39. Nếu hàm số 3 2 y
x mx mx 1 đạt cực trị tại x , x sao cho x x  8 thì 3 1 2 1 2  1 65  1 65  A. m   ;     ;     . 2 2      1 65  B. m   ;    . 2   1 65  C. m   ;   . 2    1 65  1 65  D. m   ;    ;       . 2 2     1 1 5
Câu 40. Nếu hàm số 3 2 y x mx   2
m  3 x đạt cực trị tại x , x với x  0, x  0 và 2 2 x x  3 2 1 2 1 2 1 2 2 thì 14 14 A. m  . B. m   . 2 2 14 C. m   . D. 3  m  2 . 2 2
x m x   1  1 1 
Câu 41. Nếu hàm số y
đạt cực trị tại x , x thỏa mãn 2 2 x x  6    0 thì x  2 1 2 1 2 x x  1 2 
67 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  4 . 1
Câu 42. Nếu hàm số 3 y
x  m  2 2
x  5m  4 x  3m 1 đạt cực trị tại x , x thỏa mãn x  2  x thì 3 1 2 1 2 A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 .
Câu 43. Nếu đồ thị hàm số 3
y x    m 2 1 2
x  2  mx m  2 có ít nhất một điểm cực trị sao cho
hoành độ thuộc khoảng  2  ;0 thì  10   10  A. m   ;     . B. m   ;    .  7   7  10 10 C. m   . D. 0  m  . 7 7
Câu 44. Tồn tại hai giá trị m để hàm số 3 2
y  4x mx  3x đạt cực trị tại x , x sao cho x  4x  0 khi 1 2 1 2
đó tổng hai giá trị m đó bằng: 9 A. 0 . B. 9 . C. 9  . D. . 2
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4
y x  m   2 2
1 x m có ba điểm cực trị A,
B, C sao cho OA BC , O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. A. m  2  2 . B. m  2  2 . C. m  2  2 . D. m .
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4
y x  m   2 2 2
1 x m có ba điểm cực trị sao
cho ba điểm đó lập thành tam giác vuông cân? A. m  0 . B. m  1  . C. m   1  ;  0 . D. m   1  ;0.
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4
y x   m   2 3
1 x  3 có ba điểm cực trị lập
thành tam giác cân sao cho độ 2 dài cạnh đáy bằng
lần độ dài cạnh bên? 3 5 1 5 1 A. m  . B. m   . C. m   . D. m  . 3 3 3 3
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx  2m 1 có ba điểm cực trị lập
thành tam giác sao cho chu vi bằng 41 65 A. m  1. B. m  2 . C. m  3 . D. m  4 .
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4
y x  m   2 2 2
2 x m  5m  5 có ba điểm
cực trị lập thành tam giác vuông? A. m  1  . B. m  1. C. m  2 . D. m  2  .
Câu 50. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2m x 1 có 3 điểm cực trị lập thành tam giác
vuông cân, khi đó tích hai giá trị m đó bằng A. 0 . B. 1. C. 1  . D. 2 .
Câu 51. Tồn tại hai giá trị m để đồ thị hàm số 4
y x mm   2 2
1 x m 1 có 3 điểm cực trị lập thành
tam giác vuông cân, khi đó tổng hai giá trị m đó bằng
68 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1 A. 0 . B. . C. 1. D. 5 . 2
Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2 2
y x  2mx m m có ba điểm cực trị lập
thành tam giác có một góc bằng 0 120 ? 1 1 1 1 A. m   . B. m   . C. m   . D. m   3 2 3 3 2 3
Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx  2 có ba điểm cực trị lập thành
một tam giác nhận gốc tọa độ là trực tâm? 1 5 1 A. m  . B. m  1. C. m  1 5 . D. m  . 2 1 5
Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y  x  4mx  4m có ba điểm cực trị lập  31
thành một tam giác nhận H 0;   là trực tâm?  4  A. m  2 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  3 . 2 m
Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x mx  6 
có ba điểm cực trị lập 2
thành một tam giác có diện tích bằng 32. A. m  8  . B. m  4  . C. m  32  . D. m  16  . 2 m
Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x mx  6 
có ba điểm cực trị A, B, 2
C sao cho ABOC là hình bình hành, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung. A. m  6  . B. m  3  . C. m   6 . D. m   3 .
Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m có ba điểm cực trị lập thành
một tam giác có bán kính đƣờng tròn nội tiếp bằng 1. 5 1 A. m  1. B. m  2 . C. m  . D. 3 m  2 . 2
Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 4 2
y x  2mx m 1 có ba điểm cực trị lập
thành một tam giác nội tiếp trong đƣờng tròn có bán kính bằng 1. 5 1 A. m  1. B. m  . 2  5 1   5 1   C. m   ;1 . D. m  0; ;1 .  2    2   1 Câu 59. Cho hàm số 4 2 y
x  2x  6 . Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 4 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . xx e e
Câu 60. Cho hàm số y
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? 2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
69 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số Câu 61. Cho hàm số 5 4
y   x . Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 3 2
Câu 62. Cho hàm số y   2 x    2 2 1 . x  
1 . Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 7 .  Câu 63. Cho hàm số ax y e .sin ,
x 0  x    . Hàm số đạt cực trị tại x
, thế thì hoành độ điểm cực 4
đại của đồ thị hàm số là: 3    A. . B. . C. . D.  . 4 3 4 4
Câu 64. Cho hàm số ( ) x
f x x e . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Tại x  0 thì f (x) đạt cực tiểu.
B. Tại x  0 thì f (x) đạt cực đại .
C. Tại x  0 thì f (x) không xác định.
D. Tại x  0 thì f (x) không đạt cực trị. x
Câu 65. Cho hàm số y
. Khẳng định nào dƣới đây đúng? ln x
A. Tại x e thì f (x) đạt cực tiểu.
B. Tại x e thì f (x) đạt cực đại.
C. Tại x e thì f (x) không xác định.
D. Tại x e thì f (x) không đạt cực trị. 
Câu 66. Giả sử hàm số y a sin 2x b cos 3x  2 , x x
 0;2  đạt cực trị tại x
và x   . Khi đó 2
giá trị của biểu thức P a  3b  3ab bằng A. 3 . B. 1  . C. 1. D. 3  .
70 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
PHỤ LỤC: GHI NHỚ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƢƠNG Cho hàm số 4 2
y ax bx c
 Tập xác định D  x  0 x  0    3
y '  4ax  2bx  2x  2
2ax b  0  b  2 bx    x     2a  2a Nếu
Hàm số có 1 cực trị  ab  0
Hàm số có 3 cực trị  ab  0 a  0  ab  0
Hàm số có 1 cực tiểu   a  0  ab  0 a  0  ab  0
Hàm số có 1 cực đại   a  0  ab  0
 (Hàm số có ba cực trị khi ab  0 )       Gọi   2 2 b 4ac b b 4ac b
A 0;c , B    ; , C   ;    
 là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. 2a 4a 2a 4a    
( A thuộc trục Oy, tam giác ABC luôn cân tại A). 2  b b  AB     ;     4 2a 4a   b  8ab
AB AC  2 2   16a   b b Nhớ: AC    ;      2a 4a     b  2b BC   2  ; 0   BC     2a a  
 Nếu tam giác ABC vuông tại A 3
8a b  0
 Nếu tam giác ABC đều 3
 24a b  0   8a
Nếu tam giác ABC có góc BAC     sin 3 8a  b 2
 Nếu tam giác ABC có góc 0 BAC  120 2  3b 8a  0 5  b
Nếu tam giác ABC có diện tích S 2    S 3 32a 3   b 8a
Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đƣờng tròn có bán kính R  R  8 a b
71 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2 b 4a
 Nếu tam giác ABC ngoại tiếp đƣờng tròn có bán kính r  r  2 b 1 1 8a  Nếu ABOC là hình thoi 2  b  2ac
 Nếu tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm 2
b  6ac  0
 Nếu tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trực tâm 3
b 8a1bc  0 2     6ac b
Nếu tam giác ABC có trọng tâm G  G 0;   6a  3      4abc 8a b
Nếu tam giác ABC có trực tâm H  H 0;   4ab
72 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 08. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHƢƠNG PHÁP CHUNG VẼ MỘT ĐỒ THỊ:
y f (x)
Bƣớc 1: Tìm tập xác định TXĐ: D=???
Bƣớc 2: Tính đạo hàm cấp 1
y '  f '(x)
(và tìm các điểm dừng)
Cho y '  0  f '( )
x  0  x  ?  y(x)  ?
Bƣớc 3: Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)
Bƣớc 4: Bảng biến thiên và nhận xét
Bƣớc 5: Tìm các điểm đặc biệt Bƣớc 6: đồ thị
A. DẠNG HÀM BẬC HAI: Hàm số: 2
y ax bx  , c a  0 -Tập xác định D=R  bb 
-Đây là một Parabol có định là S  ; y    
 2a  2a  b
-Đồ thị luôn đối xứng qua đƣờng thẳng x   2a
Trƣờng hợp : a  0
Trƣờng hợp : a  0 Hình dáng đồ thị
73 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
B. DẠNG HÀM BẬC BA: Hàm số: 3 2
y ax bx cx d,a  0
Tập xác định : D  2
y '  3ax  2bx c ; cho y '  0 . Xét 2
'  b  3ac
Trƣờng hợp '  0  y '  0 vô nghiệm. a  0 a  0 Hình dáng đồ thị
Trƣờng hợp '  0  y '  0 có nghiệm kép ( giả sử là x ). 0 a  0 a  0 Hình dáng đồ thị
74 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Trƣờng hợp '  0  y '  0 có hai nghiệm phân biệt ( giả sử là x x ). 1 2 a  0 a  0 Hình dáng đồ thị
75 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
C. DẠNG HÀM TRÙNG PHƢƠNG: Hàm số: 4 2
y ax bx  , c a  0
Tập xác định : D  3
y '  4ax  2bx ; cho y '  0 . Xét tích của a.b
Trƣờng hợp ab  0  y '  0 có 1 nghiệm là x  0 . a  0 a  0 Hình dáng đồ thị b b
Trƣờng hợp ab  0  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt là x  0, x    , x   . 2a 2a a  0 a  0 Hình dáng đồ thị
76 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
D. DẠNG HÀM NHẤT BIẾN: ax b Hàm số: y
,a  0,ad bc  0 cx dd
Tập xác định : D  \    c d a
Đồ thị có tiệm cận đứng là: x   và tiệm cận ngang là y  . c c ad bc y '    ; Xét ad bc cx d 2 Trƣờng hợp
ad bc  0  y '  0
ad bc  0  y '  0 Hình dáng đồ thị
77 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 1/ khảo sát 3
y  x  3x  2 D  x  1   y  4  2 y '  3  x  3 . Cho 2 y '  0  3
x  3  0  
x 1 y  0  lim y   x BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:  1  
;1 ; nghịch biến trên các khoảng:  ;    1 và 1; 
Hàm số đạt cực đại tại x  1, y  0 và cực tiểu tại x  1  , y  4 
Đồ thị nhận điểm I 0; 2
  làm tâm đối xứng. c
ho x  2  y  4  ; x  2   y  0  đồ thị 2/ khảo sát 3 2
y x  3x  2 D
x  0  y  2 2
y '  3x  6x . Cho 2
y '  0  3x  6x  0  
x  2  y  2   lim y   x BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:  ;
 0 và 2; ; nghịch biến trên các khoảng: 0;2
Hàm số đạt cực đại tại x  0, y  2 và cực tiểu tại x  2, y  2 
Đồ thị nhận điểm I 1;0 làm tâm đối xứng. cho x  1   y  2
 ; x  3  y  2  đồ thị
78 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3/ khảo sát 3
y x  3x  2 D  2
y '  3x  3. Cho 2
y '  0  3x  3  0vn  lim y   x BBT
Hàm số đồng biến trên khoảng:  ;  
Hàm số không có cực trị
Đồ thị nhận điểm I 0;2 làm tâm đối xứng. c
ho x 1 y  6; x  1   y  2   đồ thị 4/ khảo sát 3 2
y  x  3x  3x 1 D  2 y '  3
x  6x 3. Cho 2 y '  0  3
x  6x 3  0  x 1 y  2   lim y   x BBT
Hàm số nghịch biến trên khoảng:  ;  
Hàm số không có cực trị
79 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Đồ thị nhận điểm I 1; 2
  làm tâm đối xứng. c
ho x  0  y  1
 ; x  2  y  3   đồ thị 5/ khảo sát 4 2
y  x  2x 1  D=R x  0    x 0 3 y '  4
x  4x . Cho 3 y '  0  4
x  4x  0     2 x 1 x  1   lim y   ;  lim y   x x  BBT  Vậy: hs tăng ( ;  1
 ) và (0;1) . Hs giảm ( 1  ;0) và (1; )  .
Hs đạt cực đại tại (-1;2) và (1;2), cực tiểu tại (0;1).
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. 2     x 1 2 Cho 4 2
y  0  x  2x 1  0    x   1 2 2
x 1 2(L)  Đồ thị:  6/ khảo sát x 1 y x 1  D= R \{1}   2 y '   0 . 2 (x 1)
80 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
x 1 là đƣờng tiệm cận đứng vì lim y   ; lim y     x 1  x 1 
y 1 là đƣờng tiệm cận ngang vì lim y 1; lim y 1 x x  BBT
Vậy: hs giảm trên các khoảng   ;1  và 1; . Hs không có cực trị
Đồ thị nhận I(1;1) làm tâm đối xứng.
 Cho x  0  y  1
 ; y  0  x  1   Đồ thị:  PHIẾU 1:
Vẽ nhanh đồ thị: Hình vẽ Ghi chú 1/ 3
y  x  3x  2 2/ 3 2
y x  3x  2
81 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3/ 3
y x  3x  2 4/ 3 2
y  x  3x  3x 1 5/ 4 2
y  x  2x 1 x 1 6/ y x 1 7/ 4 2
y x  4x 1
82 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 8/ 1 2x y  1 2x PHIẾU 2:
TẬP ĐỌC THÔNG TIN TỪ ĐỒ THỊ Đồ thị Thông tin Nhận xét
83 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
84 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
85 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
86 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Bài tập bắt buộc
Câu 1: Chọn hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ bên: A. 3 y  x  3x 1 B. 3 y  x  3x 1 C. 3 y  x  3x 1 D. 3 y  x  3x 1 Câu 2: Cho hàm số    3 2 y
f x  x  ax  bx  4 có đồ thị nhƣ hình vẽ:
Hàm số y  f x là hàm số nào trong bốn hàm số sau: A. 3 2 y  x  3x  2 B. 3 2 y  x  3x  2 C. 3 2 y  x  6x  9x  4 D. 3 2 y  x  6x  9x  4
Câu 3: Đồ thị trong hình là của hàm số nào: A. 3 y  x  3x B. 3 y  x  3x C. 4 2 y  x  2x D. 4 2 y  x  2x
Câu 4: Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đƣợc
liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 3 y  x  3x  2 B. 3 y  x  3x 1 C. 4 2 y  x  x 1 D. 3 y  x  3x 1
Câu 5: Đồ thị sau đây là của hàm số nào? 2 1 O 1
87 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. 3
y x  3x  1 . B. 3 2
y x  3x 1. C. 3 2
y x  3x  3x 1. D. 3 2
y x  3x  1. Câu 6: Cho hàm số 3 2
ax bx cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ bên. Mệnh đề nào dƣới đây là đúng:
A. a  0, b  0, d 1  .
B. a  0, b  0, c  0 .
C. a  0, b  0, d 1  .
D. a  0,b  0, c  0 . Câu 7: Hàm số    4 2 y
f x  ax  bx  ca  0 có đồ thị nhƣ hình vẽ sau:
Hàm số y  f x là hàm số nào trong bốn hàm số sau: A.    2 2 y x 2 1 B.    2 2 y x 2 1 C. 4 2 y  x  2x  3 D. 4 2 y  x  4x  3
Câu 8: Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng
án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? A. 4 2    y x x 1. B. 4 2     y x x 1. C. 3 2    y x 3x 1. D. 3 2     y x 3x 1.
Câu 9: Đƣờng cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn
phƣơng án A, B, C, D dƣới đây?
88 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số y 1 x 4 x 4 x 2 2 -3 -2 -1 1 2 3 A. y    2x  3. B. y    x  1. 4 4 -1 -2 4 x 4 2 x x 2 C. y   2x  1. D. y    1. -3 4 4 2 -4 -5
Câu 10: Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ bên dƣới. Khi đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là A. M 0; 2  . B. N  1  ; 3
 ;P1;3. C. x  0. D. x  1. 
Câu 11: Đồ thị hàm số tƣơng ứng với hình bên là: 3x   1 3x   1 2x   1 2x   1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x  2 x  2 x  2 x  2
Câu 12: Đồ thị hàm số nào sau đây luôn nằm dƣới trục hoành A. 4 2 y  x  3x 1 B. 3 2 y  x  2x  x 1 C. 4 2 y  x  2x  2 D. 4 2 y  x  4x 1
Câu 13: Hàm số f x có đạo hàm f 'x trên khoảng K. Hình vẽ bên dƣới là đồ thị của hàm số f 'x
trên khoảng K. Số điểm cực trị của hàm số f x trên là:
89 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 14: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên đoạn  2  ;2 và có
đồ thị là đƣờng cong hình vẽ bên. Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dƣới đây? A. x  2  . B. x  1  .
C. x  1 .
D. x  2 .
90 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 09. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
1. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 laø heä soá goùc cuûa tieáp
tuyeán vôùi ñoà thò (C) cuûa haøm soá taïi ñieåm 0
M x0; f (x0).
Khi ñoù phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm 0
M x0; f (x0) laø:
y – y0 = f (x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai ñöôøng (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x) tieáp xuùc nhau laø heä phöông trình sau coù nghieäm:  f (x)  ( g x)  (*)
f '(x)  g'(x)
Nghieäm cuûa heä (*) laø hoaønh ñoä cuûa tieáp ñieåm cuûa hai ñöôøng ñoù.
3. Neáu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau  phöông trình 2
ax bx c px q coù nghieäm keùp.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG TIẾP TUYẾN:
I/ Sử dụng pp viết tiếp tuyến tại điểm M
Tiếp tuyến của (C) tại M (x ; y ) luôn có dạng y y ' x x xy 0   0  0 0 0 Chú ý: nếu
Tiếp tuyến song song y ax b y '(x )  a 0 1
Tiếp tuyến vuông góc y ax b y '(x )   0 a
Tiếp tuyến tạo với Ox một góc   y '(x )   tan 0
y '(x )  a 0   tan 1 ay '(x )
Tiếp tuyến tạo với y ax b    cos   0 n ; n  cos 1 2  x
Ví dụ: Cho đồ thị (C) của hàm số 2 1 y
. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ x 1
điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x ; f (x )) (C) có phƣơng trình y f '(x )(x x )  f (x ) 0 0 0 0 0 Hay 2 2
x  (x 1) y  2x  2x 1  0 (d) 0 0 0
Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (d) bằng 2 2  2x 0   2 4 1 (x 1) 0  x  0 hoặc 0
Với x  0 tiếp tuyến cần tìm là : x y 1  0 0
91 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Với x  2 tiếp tuyến cần tìm là : x y  5  0 0 x 1
Ví dụ: Cho hàm số y  (C) 2x 1
a. Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M (C) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
b . Viết phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M (C) , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân.  1 3 1 
a. Gọi M  x  ;
 (C) . Tiếp tuyến tại M có dạng: 0 2 4x 2  0  3   d y   3 1 3 3 1 : x x    x   2 0  2 4x 4x 2 4x 2x 2 0 0 0 0
 2x (x  3)   3 x
Giả sử A d  Ox; B d Oy suy ra: 0 0 0 A ; 0 ; B   0;   3  x  0  1 2 OAB vuông tạo O 2  SO . A OB  (3  x )  1 OAB 0 2 3 6 6  6  3 x    x  0 0 2 2 3  4  6 3  4  6
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: y x  hay y x  40 12 6 20 40 12 6 20
b. Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  1  . Gọi
M (x ; y ) (C) là tiếp điểm 0 0 3  1   3 - Nếu k  1    1
  2x 1   3  x  2 0 0 (2x 1) 2 0 1   3 1   3 Với x   y
y  x   0 0 , suy ra tiếp tuyến là: 1 3 2 2 1   3 1   3 Với x   y
y  x   0 0 , suy ra tiếp tuyến là: 1 3 2 2 3  - Nếu 2 k  1  1 (2x 1)  3
 (PTVN) : Vô nghiệm 2 0 (2x 1) 0
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y  x 1 3 ; y  x 1 3
Ví dụ: Cho hàm số y x x3 3
(C). Tìm trên đƣờng thẳng (d): y  x các điểm M mà từ đó kẻ đƣợc
đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).  Gọi M m
( ;m)d . PT đƣờng thẳ
ạng: y k(x m)  m .
92 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3
 x x3  k(x m) m (1)
 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:  (*) 3
 3x2  k (2) 3 3 2 2x
Thay (2) vào (1) ta đƣợc: 2x m 3 x m 4  0  m  (**) 3x2  4
Từ M kẻ đƣợc đúng 2 tiếp tuyến với (C)  (**) có 2 nghiệm phân biệt 2x3  
Xét hàm số f (x) 
. Tập xác định D R 2 3 2 3 \  ;  3x2  4  3 3  6x4  24x2 x  0 f (x)  ; f (  x)  0  (3x2 2  4) x  2  m  2 
Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt  . Vậy: M( 2  ;2) hoặc M(2; 2  ). m  2
II/ Sự tiếp xúc của hai đồ thị và tiếp tuyến đi qua một điểm:
Cho y = f(x) có đồ thị (C), y = g(x) có đồ thị (C1) / /
f (x)  g (x) Khi đó, (C) và (C  1) tiếp xúc  có nghiệm.
f (x)  g(x) 19  Ví dụ: Cho hàm 3 2
y  2x  3x  5 (C). Tìm phƣơng trình các đƣờng thẳng qua A ; 4   và tiếp xúc với 12  đồ thị của hàm số .
Đƣờng thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: 19
y k(x  )  4 12   19  3 2
2x  3x  5  k x   4 (1)  
(d) tiếp xúc (C)  hệ   12  có nghiệm.  2
6x  6x k (2) Thay (2) vào (1): 19 3 2 2
2x  3x  5  (6x  6x)(x  )  4 12 3 2
 8x  25x 19x  2  0 2
 (x 1)(8x 17x  2)  0 
x 1  k  0 
x  2  k 12   1 21
x   k    8 32
Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng qua A và tiếp xúc với (C) là:
93 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 21 645
y=4 hoặc y=12x - 15 hoặc y    32 128 x  2
Ví dụ: Cho hàm số y  C . x  2
Viết phƣơng trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm A 6  ;5.
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua A 6
 ;5 là d : y k x  6 5.
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :     k x   4 x 2 x 2     x  6  5 6 5    2    x  2   x  2 x  2    4 4 k      k   x  22  x  22  4
 x  6  5x  22  x  2x  2 2
4x  24x  0
x  0;k  1       4   4  1 k   k          x kx  2  x  22 6; 2  4 x 7
Suy ra có 2 tiếp tuyến là : d : y  x 1; d : y    1   2 4 2
Ví dụ: Xác định m để đồ thị hàm số 3 2
y x  2x  (m 1)x m tiếp xúc với trục hoành.
Đồ thị tiếp xúc với trục hoành: y = 0 2 3
 x  4x m 1 0 (1)   có nghiệm. 3 2
x  2x  (m 1)x m  0 (2) x 1 Từ (1) 2
m  3x  4x 1 thay vào (2) ta đƣợc: 3 2 2x 5x 4x 1 0       1  x   2
* Với x  1 m  0 1 1 * Với x   m   2 4 1
Vậy m  0; m  
thỏa điều kiện bài toán. 4
Bài tập tƣơng tự 3 2
1/ Cho hàm số y  2x  3x 1 . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng 8. M( 1  ; 4  ) 3 2
2/ Cho hàm số y x  3x 1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . A(3;1), B( 1  ; 3  ) 3 2
3/ Cho hàm số y f (x)  x  6x  9x  3 (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C)
phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đƣờng thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các 9
trục Ox, Oy tƣơng ứng tại A và B sao cho OA O 2011. B .
k  ; k  6039 2
94 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3 2
4/ Cho hàm số y x  (1 m
2 )x  (2  m)x m  2 (1) (m là tham số).
Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đƣờng thẳng d: x y  7  0 góc  , biết 1 cos  . m 1   hoặc m 1  26 4 2 1 3 2
5/ Cho hàm số y f (x)  mx  (m 1)x  (4  m
3 )x 1 có đồ thị là (Cm). Tìm các giá trị m sao cho trên 3
đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đƣờng thẳng (d):
x  2y 3  0 . m hay m 2 0  . 3 3
6/ Cho hàm số y x mx m 1 (Cm).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ x  1
 cắt đƣờng tròn (C) có phƣơng trình x 2   y 2 ( 2)
( 3)  4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. m  2 3
7/ Cho hàm số y x  3x  2 . Tìm trên đƣờng thẳng d : y  4 các điểm mà từ đó kẻ đƣợc đúng 2 tiếp  2  tuyến với (C). ( 1  ;4)   ;4 (2;4) ; ; .  3  3 2
8/ Cho hàm số y x  2x m ( 1)x m
2 (Cm). Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ đƣợc đúng 2 tiếp tuyến m 4 AOx   3 với (Cm).    B Oxm 109   81 3 2
9/ Cho hàm số y  x  3x  2 (C). Tìm trên đƣờng thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp
m   m 5 1 
tuyến phân biệt với đồ thị (C).  3 m  2 4 2
10/ Cho hàm số y x m
2 x m (1) , m là tham số. Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành  
độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B 3
 ; 1 đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất  4  . m = 1. 2x  3 12/ Cho hàm số y
có đồ thị là (C). Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm x 1
thuộc đồ thị có khoảng cách đến đƣờng thẳng d : 3x  4y  2  0 bằng 2. 2x 1 13/ Cho hàm số y
. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp x 1 tuyến bằng 2 . 2x 14/ Cho hàm số y
(C). Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm x  2
đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. 2x 1 15/ Cho hàm số y
. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai x 1
95 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
điểm A(2; 4), B(4; 2). x  2 16/ Cho hàm số y =
. Gọi I là giao điểm của 2 đƣờng tiệm cận,  là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị x 1
(C). d là khoảng cách từ I đến  . Tìm giá trị lớn nhất của d. 2 x 1 17/ Cho hàm số y
. Chứng minh rằng với mọi m, đƣờng thẳng d : y x m luôn cắt (C) tại 2 điểm 2x 1
phân biệt A, B. Gọi k ,k lần lƣợt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng 1 2
k k đạt giá trị lớn nhất. m  1  1 2
Bài tập bắt buộc Câu 1. Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1
 thì tung độ đó bằng A. 4 . B. 3 . C. 3  . D. 4  . Câu 2. Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1
 thì hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng A. 9 . B. 3 . C. 3  . D. 9  . Câu 3. Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M
có hoành độ bằng 2 thì phƣơng trình tiếp tuyến đó có dạng
A. y  9x  21 .
B. y  24x  27 . C. y  9  x  39 . D. y  2  4x  69 . Câu 4. Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm M
có tung hoành độ bằng 1 thì tồn tại hai phƣơng trình tiếp tuyến với (C) trong đó là y 1. Tìm phƣơng
trình tiếp tuyến còn lại?
A. y  9x  28 .
B. y  9x 1.
C. y  9x  28 .
D. y  9x 1.
Câu 5. Cho đồ thị hàm số y f (x) xác định và liên tục trên
. Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C)
song song với đƣờng thẳng y  2016  2017x thì hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng A. 2016 . B. 2017 . C. 2016  . D. 2017  . Câu 6. Cho hàm số 4 2
y  x x  6 có đồ thị là (C). Nếu phƣơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với
đƣờng thẳng x  6y  2017  0 thì phƣơng trình tiếp tuyến đó có dạng A. y  6  x 10 . B. y  6  x 10 .
C. y  6x 10 .
D. y  6x 10 .
Câu 7. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  9x  5 tồn tại một tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất. Hỏi hệ số góc đó bằng bao nhiêu? A. 24  . B. 12  . C. 9  . D. 6  . Câu 8. Cho hàm số 3 2
y  2x  3x  5 có đồ thị (C). Tồn tại ba tiếp tuyến với của (C) là các đƣờng thẳng đi   qua điể 19 m A ; 4 
 . Gọi k ,k ,k lần lƣợt là các hệ số góc của tiếp tuyến nói trên. Đặt biểu thức 12  1 2 3
P k k k , khi đó giá trị P bằng bao nhiêu? 1 2 3 405 405 363 363 A. P  . B. P   . C. P  . D. P   . 32 32 32 32
Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y x  3x 1 tại điểm trên đồ thị có hoành độ x  1 , có phƣơng trình là
96 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
A. 2x y  3  0 .
B. 2x y  3  0 .
C. x  2y  3  0 .
D. x  2y  3  0 . Câu 10. Cho hàm số 3 2
y x  3x  3 có đồ thị (C). Qua điểm M 2;5 có thể kẻ đƣợc mấy tiếp tuyến đến (C)? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. Không có tiếp tuyến. x 1
Câu 11. Cho hàm số y
có đồ thị (H). Từ điểm M Oy có tung độ m kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến x 1
(H) thì giá trị m là: m  1  m  2  A.  . B.  . C. m  1  . D. m  2  . m  1 m  1 Câu 12. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 có đồ thị (C). Từ điểm M 2; m có thể kẻ đƣợc ba tiếp tuyến đến
(C) thì giá trị m là: A. m  ;  2 . B. m 2;3 .
C. m 3; . D. m  ;  23; .
Câu 13. Cho hàm số y  .
x ln x có đồ thị (C). Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm M x ; y C có dạng 0 0    1 y  
x  3 thì x y bằng 2 0 0 A. 2e . B. 3e . C. 4e . D. 5e . 1 Câu 14. Cho hàm số 3 2 y
x  2x  3x  5 có đồ thị (C). Khẳng định nào dƣới đây đúng? 3
A. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) song song với đƣờng thẳng x = 1.
B. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) song song với trục hoành.
C. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) có hệ số góc dƣơng.
D. Tiếp tuyến với (C) tại điểm cực tiểu của (C) có hệ số góc bằng 1. x  2
Câu 15. Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y
tại giao điểm của nó với trục tung là: x 1 A. y  3  x  2 . B. y  3  x  2 .
C. y  3x  2 .
D. y  3x  2 .
Câu 16. Tìm những điểm M thuộc đồ thị C 3 2
: y x  3x  2 biết hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng 9 ? A. M 1; 6  ,M  3  ; 2   . B. M  1  ; 6  ,M 3; 2   . C. M  1  ; 6  ,M  3  ; 2   .
D. M 1;6, M 3;2 .
Câu 17. Phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x 3 2
x 3x  2 tại điểm có hoành độ x thỏa 0
mãn f '  x  0 là: 0 
A. y  x 1. B. y  3  x  3.
C. y  x 1. D. y  3  x 3.
97 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số BÀI 10. TƢƠNG GIAO
A. LÝ THUYẾT CƠ SỞ:
Cho hai ñoà thò (C1): y = f(x) vaø (C2): y = g(x). Ñeå tìm hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) ta giaûi
phöông trình: f(x) = g(x) (*) (goïi laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm).
Soá nghieäm cuûa phöông trình (*) baèng soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò.
Ví dụ: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số sau: x 1 y  (C) và y = m – x (d) x 1
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
x 1  m x ( x 1) 2
x 1 mx m x x 2
x mx m 1 0 (*) x 1 2
  m  4m  4 (do pt(*) luôn không nhận x=1 làm nghiệm) Biện luận:
*   0  m  2  2 hoặc m  2  2  (C) và d có hai điểm chung.
*   0  m  2  2 hoặc m  2  2  (C) và d có một điểm chung.
*   0  2  2  m  2  2  (C) và d không có điểm chung.
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số (C) 3
y x mx  5 cắt đƣờng thẳng
d: y = 6x + m tại ba điểm phân biệt.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: 3
x mx  5  6x m (*) 3
x m x   m   x   2 ( 6) 5 0
1 x x m  5  0 x 1   2
x x m  5  0 (**)
Đồ thị (C) cắt đƣờng thẳng d tại ba điểm phân biệt
 phƣơng trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 phƣơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1  21
  21 4m  0 m      4 2 1
 1 m  5  0 m  3  21 m  Vậy 
4 đồ thị (C) cắt đƣờng thẳng d tại ba điểm phân biệt. m  3
Ví dụ: Cho hàm số 4 2
y x  (3m  2)x  3m có đồ thị (Cm).
Xác định m để (Cm) cắt đƣờng thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm: 4 2
x  (3m  2)x  3m  1   4 2
x  (3m  2)x  3m 1  0 (*) Đặt 2
t x , t  0
Phƣơng trình (1) trở thành: 2
t  (3m  2)t  3m 1  0 (**)
Đồ thị (Cm) cắt đƣờng thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt  phƣơng trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
98 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
 phƣơng trình (**) có hai nghiệm dƣơng phân biệt      m 0 0 2 9  m  0     m 0    1  P  0  3
m 1  0  m     1  3 m      S  0  3m  2  0  3   2 m    3 m  0  Vậy 
1 thỏa điều kiện bài toán. m    3 3
Ví dụ: Cho hàm số y x mx  2 có đồ thị (Cm)
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 3 2 2
 PT hoành độ giao điểm của (C
x mx  2  0  m  x  (x  0) m) với trục hoành: x 2 2 2  x3 2  2
Xét hàm số: f (x)  x   f '(x)  2  x   x x2 x2 Ta có bảng biến thiên: x  0 1  f (x) + + 0 – f (x)  –3    Dựa vào BBT suy ra: Đồ thị (C  m  3 
m) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất .
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP TRONG SỰ TƢƠNG GIAO:
I/ Sử dụng cực trị vào sự tƣơng giao
1. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 1 điểm chung duy nhất.
f khoâng coù cöïc trò
  f coù 2 cöïc trò
 Phƣơng trình (1) có 1 nghiệm duy nhất   C y Ñ. C y T  0
2. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 2 điểm chung phân biệt.
f coù 2 cöïc trò
 (C) tiếp xúc với Ox  
 Phƣơng trình (1) có đúng 2 nghiệm  C y Ñ. C y T  0
99 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
3. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) và trục hoành có 3 điểm chung phân biệt.
f coù 2 cöïc trò  
 Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  C y Ñ. C y T  0
4. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng.
f coù 2 cöïc trò y .y  0  CÑ CT
 Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm dƣơng phân biệt.  C x Ñ  0, C x T  0
a.f (0)  0 (hay ad  0)
5. Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
f coù 2 cöïc trò y .y  0  CÑ CT
 Phƣơng trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt.  C x Ñ  0, C x T  0
a.f (0)  0 (hay ad  0) 3 2
Ví dụ: Cho hàm số y f (x)  x mx m
2 (Cm) ( m là tham số).
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.  D=R 2
 Ta có: y  3x m
2 x x(3x m 2 )
+ Khi m = 0 thì y  x2
3  0  (1) đồng biến trên R  thoả yêu cầu bài toán.
100 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 2m
+ Khi m  0 thì (1) có 2 cực trị x  0 , x
. Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi 1 2 3  3   2  m  0
f (x ).f x 4m 2 2m  1
2   0  2m 2m
  0  4m 1   0   3 6 3 6  27   27    m   2 2   Kết luận: khi m 3 6 3 6   ;
 thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm.  2 2  3 2 2 2
Ví dụ: Cho hàm số y x m 3 x  3 m ( 1)x m (
1) ( m là tham số) (1).
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng. (
 1) coù 2 cöïc trò y .y  0
Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dƣơng  CÑ CT  (*)  C x Ñ  0, C x T  0
a.y(0)  0 2 2 2 2
x m 1  x
+ y  3x m
6 x  3(m 1) +   9(m m 1)  9  0, m  +  CÑ y  0   y x m 1   CT xm 1  0 m 1 0 Suy ra: (*)   2 2 2  3  m  1 2
(m 1)(m  3)(m  2m 1)  0   (  m2 1)  0
II/ Hai đƣờng cong cắt nhau thỏa một tính chất nào đó x  3
Ví dụ: Cho hàm số y
có đồ thị (C). Xác định m để đƣờng thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) tại hai x  2
điểm phân biệt A và B sao cho AB  3 2 .
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
x  3  x m ( x  2) 2
x  (m 3)x  2  2m  0 (*) x  2
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt  phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 2       m 2m 1 0   m  2 1
 0  m 1  0  m  1 x  2
Với m  1, đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt ( A x ; x  ) m
và B(x ; x  ) m . A A B B
x x  3 m
Ta có x và x là nghiệm của phƣơng trình (*) nên theo vi-et ta có: A BA B
x .x  2  2mA B Theo đề ta có 2 2
AB  3 2  (x x )  (x x )  3 2 2
 2(x x )  3 2 B A B A B A
 2 x x 2  4x x   3 2 A B . A B   2  2 (3 ) m
 42  2m  3 2   2
 2m  4m  2  3 2
101 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số m  2 (n) 2 2
 2m  4m  2 18  m  2m 8  0   m  4  (n)
Vậy m = 2; m = - 4 thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  (m  3)x  (2m 1)x  3(m 1) . Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm.
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là: 3 2
x  (m  3)x  (2m 1)x  3(m 1)  0 (*)  x   2
1 x  (m  4)x  3m  3  0 x  1    2
x  (m  4)x  3m  3  0 (**)
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm
 phƣơng trình (*) có ba nghiệm âm phân biệt
 phƣơng trình (**) có hai nghiệm âm phân biệt khác – 1   0 2
m  4m  4  0 m  2    P  0        3m 3 0 m 1       m S  0  m 1  0 m  1    2 ( 1  )  (m  4)( 1
 )  3m  3  0 4m8  0 m  2 
Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  3x  4 (C). Chứng minh rằng với k > -3 thì đƣờng thẳng d đi qua I(1; 2) có
hệ số góc k cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của AB.
Đƣờng thẳng d có phƣơng trình: y – 2 = k( x – 1) hay y = kx + 2 - k
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: x 1 3 2
x  3x  4  kx  2  k (*)   x   1  2
x  2x  2  k   0   2
x  2x  2  k  0 (**)
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt  phƣơng trình (*) có ba nghiệm phân biệt
 phƣơng trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác 1   3 k  0    k  3   3   k  0
Suy ra với k > - 3 đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B. (1) Gọi (
A x ; kx  2  k) , (
B x ; kx  2  k), I(1;2) là ba giao điểm của (C) và d, trong đó x , x là hai A A B B A Bx x  2
nghiệm của phƣơng trình (**), nên theo vi-et ta có A Bx x  2   kA Bx x 2 A B  1  2 2 Ta thấy: 
suy ra I là trung điểm của AB. (Đpcm)
k(x x )  4  2k k.2  4  2kA B   2  2 2
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  2x  (1 )
m x m (Cm) .Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt khi có hoành độ x , x , x thỏa mãn điều kiện 2 2 2
x x x  4 1 2 3 1 2 3
102 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Phƣơng trình xác định hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là: x 1 3 2
x  2x  (1 ) m x + m = 0 (*) 2
(x -1)(x x  ) m  0   2
x x m  0 (**)
Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt .
 phƣơng trình (*) có ba nghiệm âm phân biệt
 phƣơng trình (**) có hai nghiệm âm phân biệt khác 1  1  1 4m  0 m       4 (a) 2 1  1 m  0 m0
Gọi x  1; x , x là hai nghiệm của pt (**) 3 1 2
Theo Viet ta có: x x  1, x x   m nên 2 2 2
x x x  4   x x
 2x x  3 m 1 ( ) b 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1
Tổng hợp các điều kiện (a) và (b) ta đƣợc các giá trị cần tìm của m là: 
m  0; 0  m 1 4 2x 1
Ví dụ: Cho hàm số y
(C) .Tìm k để đƣờng thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân x 1
biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.  Pt hoành độ 2x 1 giao điểm :
kx  2k 1 ( x 1) x 1
 kx2 + (3k - 1)x + 2k = 0 (*)
Đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt  phƣơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 k  0 k  3 2 3    2
  k  6k 1  0  k  3 2 3 (a)   x  1  k  0 Gọi (
A x ; kx  2k 1) , (
B x ; kx  2k 1) là giao điểm của (C) và d, trong đó x , x là hai nghiệm của A A B A A B  1 3kx x
phƣơng trình (**), nên theo vi-et ta có A Bkx x  2  A B
Khoảng cách từ A và B đến Ox bằng nhau d  ,
A Ox  d  , B Oy      kx kx (loai)  A B 1 3k
kx  2k 1  kx  2k 1   k  4k  2  0 A B   
k(x x )  4k  2  0   k A B
 k = – 3 (thỏa đk (a) ).
Vậy k = – 3 là gia trị cần tìm. 3 2
Ví dụ: Cho hàm số y x m
3 x  9x  7 có đồ thị (C m m), trong đó là tham số thực.
Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 3 2
 Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phƣơng trình: x m
3 x  9x  7  0 (1)
Gọi hoành độ các giao điểm lần lƣợt là x ; x ; x ta có: x x x m 1 2 3 1 2 3 3
Để x ; x ; x lập thành cấp số cộng thì x
m là nghiệm của phƣơng trình (1) 1 2 3 2 
103 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số m  1  3 1   15     m 2
 9m  7  0  m  . Thử lại ta có m 1 15  là giá trị cần tìm.  2 2  m 1   15   2 3 2
Ví dụ: Cho hàm số y x m
3 x mx có đồ thị (C m m), trong đó là tham số thực. Tìm m để (C y x  2
m) cắt đƣờng thẳng d:
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
 Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d: 3 2 3 2 x m
3 x mx x  2  g(x)  x m
3 x (m 1)x  2  0
Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x lần lƣợt lập thành cấp số nhân. Khi đó ta có: 1 2 3
g(x)  (x x )(x x )(x x ) 1 2 3
x x x m 1 2 3 3 
Suy ra: x x x x x x  m 1 1 2 2 3 1 3 x x x  1 2 3  2 2 3 3 3 5
Vì x x x x  2  x  2 nên ta có: m 1  4  2 m .3  m   1 3 2 2 2 3 3 2 1 5 Thử lại m  
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn. 3 3 2 1 5 Vậy: m   . 3 3 2 1 4 2
Ví dụ: Cho hàm số y x  2(m 1)x  2m 1 có đồ thị là  m C  .
Định m để đồ thị  m
C  cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 4 2
 Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm: x  2(m 1)x  2m 1 0 (1) 2 2
Đặt t x ,t  0 thì (1) trở thành: f t
( )  t  2 m ( 1 t)  m 2 1 0. Để (C f t ( )  0
m) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
phải có 2 nghiệm dƣơng phân biệt   m2 '  0   m 1  
 S  2m   1  0   (*) 2
P  2m 1 0 m  0 
Với (*), gọi t t là 2 nghiệm của f t
( )  0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần lƣợt là: 1 2
x   t ; x   t ; x t ; x t 1 2 2 1 3 1 4 2
x , x , x , x lập thành cấp số cộng  x x x x x x t t 9 1 2 3 4 2 1 3 2 4 3 2 1 mm m  4 5 4  4
m 1 m  9m 1 m   5 m  4m   1    4 (thoả (*))  m 5  4m  4 m    9
Bài tập tƣơng tự 2x  2 1/ Cho hàm số y
(C). Tìm m để đƣờng thẳng (d): y  2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B x 1
104 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số sao cho AB  5 . m 10; m  2  2x 1 2/ Cho hàm số y  . x 1
Tìm các giá trị của tham số k sao cho đƣờng thẳng (d): y kx k
2 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau. k  3  2x 3/ Cho hàm số y
.Tìm m để đƣờng thẳng d : y mx m  2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao x 1
cho độ dài AB ngắn nhất. m 1 x  2 4/ Cho hàm y
. Tìm m để đƣờng thẳng d : y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2x  2 OA2 5  OB2 37  .
m   ; m  2 2 2 2x 1 5/ Cho hàm số y
(C). Tìm m để đƣờng thẳng d: y x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao x 1 cho OAB vuông tại O. m = –2. 2x 1
6/ Cho hàm số y f (x)  . x 1
Tìm các giá trị của m sao cho đƣờng thẳng (d): y x m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho diện
tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)). m  3; m  1  3 2 2
7/ Cho hàm số y x m 3 x m 2 m (  4)x m 9
m có đồ thị (C m m), trong đó là tham số thực. Tìm m để (C m 1
m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 1 3 2 2 8/ Cho hàm số y
x mx x m  có đồ thị . Tìm m để
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 3 3 m C ( ) m C ( )
có tổng bình phƣơng các hoành độ lớn hơn 15.  m 1 3 2
9/ Cho hàm số y x  3x  2 . Tìm các giá trị của tham số m để đƣờng thẳng d : y m(x  2)  2 cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị
(C) đạt giá trị nhỏ nhất. m  1  3 2
10/ Cho hàm số y x m 2 x m
(  3)x  4 có đồ thị là (Cm) (m là tham số).
Cho đƣờng thẳng (d): y x  4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt 
A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . m 1 137  2 3 2
11/ Cho hàm số y x  3x  4 có đồ thị là (C). Gọi d là đƣờng thẳng đi qua điểm A( 1  ;0) với hệ số k
góc k (k  ) . Tìm k để đƣờng thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C k
cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 . k  1 3 2
12/ Cho hàm số y x  3x mx 1 (m là tham số) (1)
Tìm m để đƣờng thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho các tiếp 9  65
tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. m  8
105 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Bài tập bắt buộc Câu 1. Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x 1 có đồ thị (C). Đƣờng thẳng y  3 cắt (C) tại mấy điểm? A. 3. B. 2. C.1. D. Không cắt.
Câu 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y x  2x  5x  6 với trục hoành là A. 1. B. 2. C.3. D. 0.
Câu 3. Các điểm dƣới đây điểm nào là giao điểm của đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  2 với đƣờng thẳng
y  9x  25 ? A. M ( 3  ; 5  2). B. M ( 3  ; 4  2). C. M (3; 5  2). D. M (3; 4  2).
Câu 4. Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y x   x2 3
cắt đƣờng thẳng y mx tại ba điểm phân biệt? m  0 A. m  0 . B. m  0 . C.  . D. m  . m  9 Câu 5. Cho hàm số 3 2
y x x  m  2 x  2m có đồ thị (C). Biết khi (C) cắt trục Ox có một hoành độ
nguyên mà ta có thể tính đƣợc đó là: A. x  2  . B. x  1  . C. x  1. D. x  2 .
Câu 6. Cho hàm số y   x   2 2 2
x mx m  3 có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm
khác nhau thì giá trị của m phải là: A. 2   m  2 . B. 1   m  2 .  2   m  1  C. 2   m  1  . D.  .  1   m  2 Câu 7. Cho hàm số 3 2
y x mx  9x  9m có đồ thị (C). Nếu đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành thì giá trị của m phải là: A. m  0 . B. m  3  . C. m  3 . D. m  3  . Câu 8. Cho hàm số 3
y x  3x 1 có đồ thị (C). Tồn tại các giá trị nguyên của m để đồ thị (C) cắt đƣờng
thẳng y m tại ba điểm phân biệt. Tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 4 . 1 3
Câu 9. Đồ thị hàm số 4 2 y   x x
cắt trục hoành tại mấy điểm? 2 2 A. 1. B. 2. C.3. D. 4.
Câu 10. Đồ thị (C) của hàm số 4 2
y x bx c có một điểm cực tiểu (0; 2
 ) và cắt trục hoành tại hai
điểm có hoành độ x  1
 thì đồ thị (C) có dạng: A. 4 2
y x  3x  4 . B. 4 2
y x  2x 1. C. 4 2
y x x  2 . D. 4 2
y x  3x  2 .
Câu 11. Đồ thị (C) của hàm số 4
y x  m   2 2
1 x  2m 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có các
hoành độ đối xứng nhau qua gốc tọa độ, khi đó 1 A. m  1. B. m   . 2 C. m  0 . D. 1   m  0 .
Câu 12. Nếu đƣờng thẳng y m cắt đồ thị của hàm số 4 2
y x  5x  4 tại bốn điểm phân biệt thì 9 9 A. m   . B. m   . 4 4 9 9 C.   m  4. D. 4   m   . 4 4
106 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Câu 13. Đồ thị (C) của hàm số 4 2 3 2
y x  2mx m m tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì
giá trị thực của m phải bằng A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  0;  2 .
Câu 14. Trong các đồ thị của hàm số dƣới đây, đồ thị nào cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? 3  2x 4x 1 A. y  . B. y  . x 1 x  2 3x  4 2x  3 C. y  . D. y  . x 1 3x 1 x
Câu 15. Đồ thị (H) của hàm số 2 1 y
cắt đƣờng thẳng y  x m tại hai điểm phân biệt khi và chỉ x 1 khi:  1  A. m  1  ;   . B. m  ;
  3 3;.  2 
C. m  3; 3 . D. m  . x
Câu 16. Đồ thị (H) của hàm số 2 3 y
cắt đƣờng thẳng y x m tại hai điểm phân biệt khi và chỉ x  2 khi: A. m 2;6 . B. m  ;  26;.
C. m 6; . D. m  . 2 x x 1
Câu 17. Đồ thị (H) của hàm số y
cắt đƣờng thẳng y mx 1 tại hai điểm thuộc hai nhánh x  2
khác nhau của (H), khi đó A. m 0;  1 . B. m  ;  2 .
C. m 1; . D. m 2;3 .
Câu 18. Nếu đồ thị hàm số 3 2
y x mx  2m cắt trục hoành tại điểm duy nhất thì  3 6 3 6   3 6   3 6  A. m   ;    . B. m   ;     ;       . 2 2   2 2      3 6 3 6  C. m   ;  \  0   . D. m  . 2 2  
Câu 19. Nếu đồ thị hàm số 3 2
y  x mx m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì  3 3 3 3   3 3   3 3  A. m   ;    . B. m   ;     ;       . 2 2   2 2      3 3 3 3  C. m   ;  \  0   . D. m  . 2 2  
Câu 20. Đồ thị (C) của hàm số 3 2
y  x  6x 1 cắt đƣờng thẳng y mx 1 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A0; 
1 và B là trung điểm của AC, khi đó 9 A. m  . B. m  4 . 2 C. m  3 . D. m  1.
107 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Câu 21. Đồ thị (C) của hàm số 3 2
y x  3mx  3m  
1 x  6m  6 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
hoành độ x , x , x thỏa 2 2 2
x x x x x x  20 , khi đó: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 A. m  2 . B. m   . 3  2  2 2
C. m   ; 2 . D. m   .  3  3
Câu 22. Đồ thị (C) của hàm số 3 2
y x  3x  9x m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng , khi đó: A. m  11. B. m  9  . C. m  9 . D. m  11  . x
Câu 23. Cho đồ thị (C) của hàm số 2 1 y
. Gọi d là đƣờng thẳng đi qua ( A 2
 ;2) và có hệ số góc k . x 1
Tìm tất cả các giá trị thực của k để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt.
A. m 0;12 \  1 . B. m  ;  012; . C. m  ;0   .
D. m 12; . x
Câu 24. Cho đồ thị (C) của hàm số 2 1 y
. Gọi d là đƣờng thẳng đi qua ( A 2
 ;2) và có hệ số góc k . x 1
Tìm tất cả các giá trị thực của k để (C) cắt d tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C).
A. m 0;12 \  1 . B. m  ;  012; . C. m  ;0   .
D. m 12; . x
Câu 25. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị hàm số 1 y
cắt đƣờng thẳng y x  2 tại hai điểm x m
phân biệt M , N sao cho MN  2 2 . Khi đó tổng hai giá trị của m bằng A. 8  . B. 6  . C. 6 . D. 8  . x
Câu 26. Đồ thị (C) của hàm số 1 y
cắt đƣờng thẳng y mx  2 tại hai điểm phân biệt M , N với độ x  3
dài đoạn MN ngắn nhất thì A. m  0 . B. m  1. C. m  2 . D. m  3 .
Câu 27. Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2
y x  5x  3x  9 . Gọi d là đƣờng thẳng đi qua ( A 1  ;0) và có hệ
số góc m . Tìm tất cả các giá trị thực của m để (C) cắt d tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác   OBC nhận điểm 5 G ; 2 
 làm trọng tâm, với O là gốc tọa độ.  3  5 4 3 3 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 3 3 5 4
Câu 28. Tồn tại hai giá trị thực của m để đồ thị (C) y    m 3 2 2
x  6mx  92  mx  2 cắt đƣờng tiệm  cận ngang của (H) 1 2x y
tại ba điểm phân biêt A, B, C sao cho diện tích của tam giác OBC bằng x  3
13 , với O là gốc tọa độ và A0; 2
 . Tổng hai giá trị thực của m đó bằng 196 13 209 14 A. . B. . C. . D. . 13 196 14 209 Câu 29. Cho hàm số 4 2
y  x  2(m  2)x  2m  3 có đồ thị (C). Bốn giá trị m liệt kê dƣới đây có một giá
trị m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân. Giá trị m đó là
108 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 13 A. m  . B. m  3 . C. m  0 . D. m  1. 9 x
Câu 30. Đồ thị (C) của hàm số 1 y
cắt đƣờng thẳng y mx  2 tại hai điểm phân biệt M , N . Nếu x  3
đoạn MN ngắn nhất thì độ dài đoạn MN bằng A. 1. B. 2 2 . C. 3 . D. 4 . x
Câu 31. Giá trị m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số 2 1 y
cắt đƣờng thẳng y x m tại hai điểm phân x 1 biêt ,
A B sao cho tam giác AOB vuông tại O, với O là gốc tọa độ? A. m  2  . B. m  1  . C. m  0 . D. m  1.
109 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 11. SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH
A. SỬ DỤNG ĐÚNG ĐỒ THI (C):
Cho hàm số y f (x) (C)
y f (x) (C) Phƣơng trình: g( , x )
m  0 (*)  f (x)  ( A ) m   y  ( A ) m (d)
Số nghiệm PT (*) là số giao điểm của đồ thị (C) và (d).
Chú ý: so sánh A(m) với tung độ cực trị. Ví dụ: Cho hs 3 2
y x  3x  2 (C).
a/ khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b/ biện luận số nghiệm phƣơng trình : 3 2
x  3x  2  m .
c/ Tìm m để phƣơng trình 3 2
x  3x  3  m có 3 nghiệm phân biệt. a) 3 2
y x  3x  2  D=R    x 0 2
y '  3x  6x . Cho 2
y '  0  3x  6x  0   x  2  lim y   ;  lim y   x x  BBT
 Nhận xét: hs tăng trên các khoảng: ( ;  0)và (2; )
 . Hs giảm trên khoảng (0;2) .
Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2).
y '  6x  6 . Cho y '  0  6x 6  0  x 1 y  0 . Vậy hs nhận điểm uôn I(1;0) làm tâm đối xứng.  Cho x  1   y  2
 ; x  3  y  2  Đồ thị: b) 3 2
x  3x  2  m (*)  y m (D)
số nghiệm PT(*) là số giao điểm của đƣờng thẳng (D) cắt (C) dựa vào đồ thị (C), biện luận:
110 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số     m 2 
=> (D) cắt (C) tại 1 điểm => pt (*) có 1 nghiệm. m  2     m 2 
=> (D) cắt (C) tại 2 điểm => pt (*) có 2 nghiệm (1 kép, 1 đơn). m  2  2
  m  2 => (D) cắt (C) tại 3 điểm => pt (*) có 3 nghiệm phân biệt. c) 3 2
x  3x  3  m (*)  y m 1 (D)
số nghiệm PT(*) là số giao điểm của đƣờng thẳng (D) cắt (C)
dựa vào đồ thị (C), PT(*) có ba nghiệm phân biệt khi (D) cắt (C) tại 3 giao điểm.  2
  m1 2  1   m  3
B. SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Cho hàm số y f (x) (C)
f (x) if f (x)  0
y f (x) (C')  
 f (x) if f (x)  0
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) trên Ox
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox.
f (x) if x  0
y f ( x ) (C')  
f (x) if x  0
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy.  ax b d if x   ax b   cx d cy  (C')   cx d ax b d  if x    cx d c
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng.
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải tiệm cận đứng qua tiệm cận đứng. Ví dụ: Cho hs 3 2
y x  3x  2 (C).
a/ khảo sát và vẽ đồ thị (C).
b/ Tìm m để phƣơng trình 3 2
x  3x  2  m có 6 nghiệm phân biệt.
c/ Tìm m để phƣơng trình 3 2
x  3x  2  m có 2 nghiệm phân biệt.
a/ tƣơng tự trên phần A. b/ 3 2
x  3x  2  m (*) 3 2 3 2
x 3x  2;(x 3x  2  0) 3 2
y x  3x  2   (C’) 3 2 3 2
x  3x  2;(x 3x  2  0)
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
111 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Phần 1: phần đồ thị (C) trên Ox
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) dƣới Ox qua Ox.
Dựa vào (C’) , PT(*) có 6 nghiệm phân biệt  0  m  2 3 c) 2
x  3x  2  m (*) 3 2     3 x 3x 2;(x 0) 2
y x  3x  2   (C’) 3 2
x 3x  2;(x  0)
Đồ thị (C’) gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị (C) bên phải Oy
Phần 2: phần đối xứng của đồ thị (C) bên phải Oy qua Oy. m  
Dựa vào (C’) , PT(*) có 2 nghiệm phân biệt  0  m  2 2   m  2
C. SỬ DỤNG ĐỒ THI (C) BIẾN ĐỔI BỞI ĐIỀU KIỆN ĐƢỢC SINH RA DO ĐẶT ẨN PHỤ:
Cho hàm số y f (x) (C) sin ;
x cos x t  1  Nếu đặt 2 2 t  sin ;
x cos x t 0  ;1  x
a t  0;   
Ví dụ: Cho hàm số 4 2
y f (x)  8x  9x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình 4 2 8 o c s x  9 o
c s x m  0 với x [0; ] .
1. Tự làm nào ( Thầy tin đến giờ này thì các em đã làm đƣợc, Thầy tin các em) 2. Xét phƣơng trình 4 2 8 o c s x  9 o
c s x m  0 với x [0; ] (1) Đặt t  o
c sx , phƣơng trình (1) có dạng: 4 2
8t  9t m  0 (2)
Vì x [0; ] nên t [ 1
 ;1] , giữa x và t có sự tƣơng ứng một đối một, do đó số nghiệm của phƣơng trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: 4 2
(2)  8t  9t 1  1 m (3) Gọi (C     1): 4 2 y 8t 9t
1 với t [ 1;1] và (D): y = 1 – m.
Phƣơng trình (3) là phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D). Đồ thị (C   
1) giống nhƣ đồ thị (C) trong miền 1 t 1.
Dựa vào đồ thị (C1) ta có kết luận sau:  81 m
: Phƣơng trình đã cho vô nghiệm. 32  81 m
: Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm. 32
112 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số  81 1  m
: Phƣơng trình đã cho có 4 nghiệm. 32  0  m  1
: Phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm.  m  0
: Phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm.  m < 0
: Phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập tƣơng tự
Bài 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. Duøng ñoà thò (C) bieän luaän theo m soá
nghieäm cuûa phöông trình: 3 3 3 3
a) y x  3x 1; x  3x 1 m  0
b) y  x  3x 1; x  3x m 1  0 3 3 2 3 3
c) y x  3x 1; x  3x m  2m  2  0
d) y  x  3x 1; x  3x m  4  0 4 x 2 4 2 4 2 4 2 e) y  
 2x  2; x  4x  4  2m  0
y x  2x  2; x  2x m  2  0 2 f) 3 2 3 2 3 2
g) (C) : y x  3x  6; (T) : y x  3x  6 ; x  3x  6  m  3  0 Bài 2. Cho hàm số 4 y x  4 2 x  3 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số đã cho.
b) Biện luận theo tham số k số nghiệm của phƣơng trình 4 2 k
x  4x  3  3 . x 1
Bài 3. Cho hàm số y  . x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. x 1
b) Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình  . m x 1 4 2 3
Bài 4. Cho hàm số y  2x  4x  . 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 4 2 3 2 1
b) Tìm m để phƣơng trình sau có đúng 8 nghiệm thực phân biệt: | 2x  4x
|  m m  . 2 2 Bài 5. Cho hàm số 3
y x  3x  1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Định m để phƣơng trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: 3
x  3 x m3  m 3 x  Bài 6. Cho haøm soá 2
y f (x)  . x 1
a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng x 3y  0 .
c) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình: 2
3x (m  2)x m  2  0
113 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Bài tập bắt buộc (VỀ BBT VÀ ĐỒ THỊ)
Câu 1. Cho hàm số y f (x) , xác định, liên tục
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số không có GTLN và GTNN.
C. Đồ thị hàm số có một cực trị.
D. Hàm số có đạo hàm tại x . 0
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 2. Cho hàm số y f (x) , xác định, liên tục
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên x ; x . 1 2 
B. Hàm số không có GTLN và GTNN.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có hai cực trị.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 3. Cho hàm số y f (x) , xác định, liên tục
và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên 0;. B. Hàm số không có GTNN.
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 4. Cho hàm số y f (x) liên tục  ;3
  và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 0;4 .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1  .
D. Hàm số không có cực trị.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 5. Cho hàm số y f (x) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên  1  ;0 .
114 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
B. Hàm số đạt cực đại tại x  0 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  3 .
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 6. Cho hàm số y f (x) liên tục 2; 
5 và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây sai?
A. max f (x)  3 . x   2;  5
B. max f (x)  1. x   2;  3
C. min f (x)  1  . x   3;  5
D. max f (x)  1  . x   2;  5
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 7. Cho hàm số y f (x) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào dƣới đây đúng ?
A. Phƣơng trình f (x)  0 vô nghiệm.
B. Phƣơng trình f (x)  3 vô nghiệm . m  0
C. Đồ thị hàm số f (x) cắt đƣờng thẳng y m tại hai điểm phân biệt khi  . m  3
D. Đồ thị hàm số f (x) cắt đƣờng thẳng y  2017 tại một giao điểm duy nhất.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 8. Bảng biến thiên bên là của một trong bốn hàm số đƣợc liệt kê bên dƣới. Hãy tìm hàm số đó? A. y  . x ln 2  2017 . B. 2 y  2
 016x  2017x  2018. 1 C. 3 2
y   x x  3x . 3 D. 3 2
y  x  3x  9x  5.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
115 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số x 1
Câu 9. Cho hàm số y
. Hãy tìm bảng biến thiên của hàm số đã cho? (phần tô đen là không xác 2 x 1 định). A. B. C. D.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 10. Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào? A. 3 2
y x  3x 1. B. 3 2
y x  3x . C. 3 2
y x  3x . D. 3 2
y x  3x 1.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 11. Đƣờng cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn
hàm số đƣợc liệt kê ở bốn phƣơng án A, B, C, D dƣới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 4 2
y  x  2x 1. B. 4 2
y  x  2x 1. C. 4 2 y  2
x  4x  2 . D. 4 2
y  x  2x .
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 12. Đồ thị hàm số y f (x) là đƣờng cong trong hình.
Khẳng định nào sao đây đúng?
A. Đồ thị hàm số đi qua điểm M (2;5) .
B. Hàm số đạt GTLN tại x  2 .
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x  2  .
D. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2  .
116 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 13. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục . Đô thị hàm số
f (x) là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình f (x)  m 1 có bốn nghiệm phân biệt khi A. 2  m  4 . B. 1  m  3. C. 2  m  4 . D. 1  m  3.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 14. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục . Đô thị hàm số
f (x) là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình f (x)  m có 6 nghiệm phân biệt khi A. m  1. B. m  1. C. m  1. D. 0  m  3.
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
Câu 15. Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục . Đô thị hàm số
f (x) là đƣờng cong trong hình. Khi đó phƣơng trình f ( x )  m 1 có 4 nghiệm phân biệt khi A. 1   m  3. B. 1   m  4 . C. 0  m  1. D. 0  m  4 .
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................
117 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
BÀI 12. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (C)
A. ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN:
Cho hàm số y f (x) (C) (hàm nhất biến)
Tìm M thuộc (C) sao cho M có tọa độ nguyên. 
y f (x) (C)      AxAxx  3
Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị là (C) . x 1
Tìm điểm M thuộc (C), sao cho M có tọa độ nguyên đồng thời hoành độ dƣơng.  D=R 4 Ta có: y  1 x 1  4 
Gọi M x ;1
 C . Tọa độ M nguyên dƣơng 0   x 1  0  x Z * 0 x Z *  0  x Z *  x 1  1  x 1 0 0 0   4        1  Z  4   x 1 x 1  2  x  3 0   0    0 x 1  0 x 1 4   0 Vậy M 1;  
1 , M 3;0  thõa mãn bài toán.
B. CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG:
Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b
A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB
 Phƣơng trình đƣờng thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng: 1
: y   x m (C) (d) a ()
 Phƣơng trình hoành độ giao điểm của  và (C): 1 B f(x) =  x m (1) a A I
 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
đƣợc m  xA, xB  yA, yB  A, B. x x
Chú ý:  A, B đối xứng nhau qua trục hoành  A By   yA B
118 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số x  x
 A, B đối xứng nhau qua trục tung  A By yA Bx x
 A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng y = b  A B
y y  2bA B
x x  2a
 A, B đối xứng nhau qua đƣờng thẳng x = a  A By yA B
Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) I B A
A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.
 Phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y k(x a)  b .
 Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
f(x) = k(x a)  b (1)
 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm đƣợc k  xA, xB. x  x
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O  A By   yA B
Ví dụ: Cho hàm số 3
y  x  3x  2 (C).
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đƣờng thẳng d: 2x – y  2  0 .
 Gọi M x ; y ; N x ; y thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đƣờng thẳng d 1 1   2 2
x x y y
I là trung điểm của AB nên 1 2 1 2 I ; 
 , ta có I d  2 2  y y  3
x  3x  2 3
x  3x  2  1 1 2 2  x x Có: 1 2 1 2   2.  2 2 2 2 x x  0 3 1 2
   x x
 3x x x x  3 x x  2 x x   1 2  1 2  1 2   1 2   1 2  2 2
x x x x  1  1 1 2 2
Lại có: MN d   x x .1 y y .2  0 2 1   2 1 7
 7x x   2x x  2 2
x x x x  2 2
 0  x x x x  2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 7 7
- Xét x x  0  x   ; x  1 2 1 2 2 2  9 2 2 2 2
x x x x 1 x x  1 1 2 2  1 2   4 - Xét  7    vô nghiệm 2 2
x x x x  5   1 1 2 2 2 x x   1 2  4  7 1 7   7 1 7 
Vậy 2 điểm cần tìm là:  ; 2  ;  ; 2       2 2 2 2 2 2    
119 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3 x 11
Ví dụ: Cho hàm số 2 y    x  3x  . 3 3
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
x  x  0
 Hai điểm M (x ; y ), N(x ; y )(C) đối xứng nhau qua Oy  2 1  1 1 2 2 y y  1 2
x  x  0 2 1   x  3 x  3   3 3  x 11 x 11  1  hoặc 1  1 2 2 3   x  3x     x  3x x  3   x  3  2  1 1 2  2 2 3 3 3 3  16   16 
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 3; , N  3  ;  .  3   3  2x  4
Ví dụ: Cho hàm số y  . x 1
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đƣờng thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).  MN  (2; 1
 )  Phƣơng trình MN: x  2y  3  0.
Phƣơng trình đƣờng thẳng (d)  MN có dạng: y  2x m .
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 2x  4
 2x m  2
2x mx m  4  0 (x  1  ) (1) x 1
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B  2
  m – 8m – 32  0 (2) Khi đó ( A x ; 2x  ) m , ( B x ; 2x  )
m với x , x là các nghiệm của (1) 1 1 2 2 1 2  x x   m m  Trung điểm của AB là 1 2 I
; x x m
I  ;  (theo định lý Vi-et) 1 2   2   4 2 
A, B đối xứng nhau qua MN  I  MN  m  4  x  0 Suy ra (1)  2
2x  4x  0    A(0; –4), B(2; 0). x  2
Ví dụ: Cho hàm số 3
y  x  3x  2 (C).
Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
 Gọi Ax ; y , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1  ;3)  B 2
  x ;6  y 0 0  0 0  3
y  x  3x  2 , A B (C)  0 0 0  3 6  y  ( 2   x )  3( 2   x )  2  0 0 0 3 3
 6  x  3x  2  2   x  3 2   x  2
 2  6x 12x  6  0 0 0 0 0 0 0  x  1   y  0 0 0
Vậy 2 điểm cần tìm là:  1  ;0 và  1  ;6
120 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
C. ĐIỂM – TRỤC ĐỐI XỨNG:
Đối xứng tâm ( đối xứng điểm)
x X x
y=f(x) (C) nếu ta dời trục Oxy -> IXY theo 0 
đƣợc Y=f(X) là hs lẻ => I (x ; y ) là tâm đối xứng
y Y y  0 0 0 của (C). Đối xứng trục
tƣơng tự nhƣ trên => Y=f(X) là hàm chẳn => (C) nhận y=... làm trục đối xứng. Ví dụ: CM hs 3 2
y x  3x 1 nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng. x X 1
Dời trục tọa độ Oxy thanh IXY. Ta có:  y Y 1 => 3 2 3 2 2
Y 1  (X 1)  3( X 1) 1  Y X  3X  3X 1 3( X  2 X 1)  2 3
Y X 3X f (X ) 3
f (X )  X  3X   f (X ) hs lẻ => đồ thị của hàm số trên nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng.
D. ĐIỂM CỐ ĐỊNH:
Cho hàm số y f ( , x ) m (C ) m
Tìm điểm cố định M mà (Cm) luôn đi qua khi m thay đổi.  A  0
Am B  0    B  0
M (x ; y )(C ) 0 0 m    A  0
y f (x , m)    0 0 2
Am Bm C  0  B  0  C  0  
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  3x mx m  2 (C).
Tìm điểm cố định trên đồ thị hàm số với m
 Gọi Ax ; y (C) 0 0  3 2
y x 3x mx m  2  x   3 2
1 m x  3x  2  y  0 (*) 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1  0  x 1 0
Theo YCBT  (*) có vô số nghiệm  0    3 2
x  3x  2  y  0 y  0   0 0 0 0
Vậy: A1;0 là điểm cố định trên (C) với m
E. ĐIỂM THỎA TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ ĐÃ HỌC:
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y x  3x 1 có đồ thị (C).
Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . Giả sử 3 2 3 2 ( A ;
a a  3a 1), ( B ;
b b  3b 1) thuộc (C), với a b .
121 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: y (
a)  y ( ) b  2 2 2 2
3a  6a  3b  6b a b  2(a  )
b  0  (a  )
b (a b  2)  0
a b  2  0  b  2 a . Vì a b nên a  2  a a 1 Ta có: 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
AB  (b a)  (b  3b 1 a  3a 1)  (b a)  (b a  3(b a )) 2 2 3
 (b a)  (b a) 3a (
b b a)  3(b a)(b a) 2 2 2 2
 (b a)  (b a) (b a) 3ab 3.2 2 2 2 2
 (b a)  (b a) (b a)  ab 6 2 2 2
 (b a)  (b a) ( 2   a ) b 2 2 2 2 2 2
AB  (b a) 1  ( 2   a )
b   (2  2a) 1
 (a 2a 2)  2   2 2 2 4 2  4(a 1) 1  
(a 1) 3  4(a 1)  
(a 1)  6(a 1) 10 6 4 2
 4(a 1)  24(a 1)  40(a 1) Mà AB  4 2 nên 6 4 2
4(a 1)  24(a 1)  40(a 1)  32 6 4 2
 (a 1)  6(a 1) 10(a 1) 8  0 (*) Đặt 2
t  (a 1) , t  0 . Khi đó (*) trở thành:
a  3  b  1  3 2 2
t  6t 10t  8  0  (t  4)(t  2t  2)  0  t  4  2 (a 1)  4   a  1   b  3
Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: ( A 3;1), ( B 1  ; 3  ) .
Ví dụ: Cho hàm số 3 2
y  x  3x  2 (C).
Tìm trên đƣờng thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C).  Gọi M ( ; m 2) (d ) .
PT đƣờng thẳng  đi qua điểm M và có hệ số góc k có dạng : y k(x  ) m  2 3 2
x 3x  2  k(x  ) m  2 (1)
 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm  (*). 2  3
x  6x k (2) Thay (2) và (1) ta đƣợc: 3 2 2
2x  3(m 1)x  6mx  4  0  (x  2) 2x  (3m 1)x  2  0 x  2   2
f (x)  2x  (3m 1)x  2  0 (3)
Từ M kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)  hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt  5   0 m  1  hoÆc m
 (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2     3 .  f (2)  0 m  2  5 m  1  hoÆc m
Vậy từ các điểm M(m; 2)  (d): y = 2 với 
3 có thể kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến đến (C). m  2 2x  3
Ví dụ: Cho hàm số y  có đồ thị (C). x  2
122 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số
Ví dụ: Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.  1  1  Lấy điểm M ; m 2  
 C . Ta có: y( ) m    m  2  2 (m  2) 1 1
Tiếp tuyến (d) tại M có phƣơng trình: y   (x  ) m  2  2 (m  2) m  2  2 
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: A 2;2     m  2 
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2;2)  1  m  3 Ta có: 2 2
AB  4 (m  2)   8  
. Dấu “=” xảy ra   2  (m  2)  m 1
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M (3;3) hoặc M (1;1) 2x 1
Ví dụ: Cho hàm số y  (C). x 1
Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đƣờng thẳng đi qua M và giao điểm hai
đƣờng tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
 Giao điểm 2 tiệm cận là I( 1  ;2) .  3  y y 3  Gọi M x ; 2  (C) M Ik    0  IM 2 x 1 x x (x 1)  0  M I 0 3
+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k
y (x )  M 0 x  2 1 0 x  0 + YCBT  k .k  9  0
. Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5) M IMx  2   0 2x 1
Ví dụ: Cho hàm số y  (C). x 1
Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 2x 1 1
 Gọi M (x ; y ) (C), ( x  1  ) y   2  0 0 0 thì 0 0 x 1 x 1 0 0
Gọi A, B lần lƣợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: 1
MA x 1 , MB y  2  0 0 x 1 0 1
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB  2 M .
A MB  2 x 1 .  2 0 x 1 0 1 x  0
 MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi 0 x 1   . 0  x 1 x  2   0 0
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
123 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304
Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số 3x  4
Ví dụ: Cho hàm số y  (C). x  2
Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.  Gọi M ( ;
x y)  (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 3x  4 x xx 1
Ta có: x  2  y  3  x  2   2  x  2  
 (x  2)   x  2 x  2 x  2 x  4
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 2x 1
Ví dụ: Cho hàm số y  . x 1
Tìm tọa độ điểm M  (C) sao cho khoảng cách từ điểm I ( 1
 ; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.  3 
 Giả sử M x ; 2 
(C) . PTTT  của (C) tại M là: 0 x 1  0  3 3 y  2   (x x )  2
3(x x )  (x 1) ( y  2)  3(x 1)  0 2 0 x 1 (x 1) 0 0 0 0 0
Khoảng cách từ I ( 1
 ;2) tới tiếp tuyến  là: 3( 1
  x )  3(x 1) 6 x 1 6 0 0 0 d    . 9   x  4 4 1 9  (x 1) 9 2 0 0  (x 1) 2 0 (x 1) 0 9 Theo BĐT Cô–si: 2
 (x 1)  2 9  6  d  6 . 2 0 (x 1) 0 9
Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi
 (x 1)  x  2 2 1  3  x  1   3 . 2 0 0 0 (x 1) 0
Vậy có hai điểm cần tìm là: M  1
  3;2  3 hoặc M  1   3;2  3 x  3
Ví dụ: Cho hàm số y  . x 1
Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.
 Tập xác định D = R \{1}. Tiệm cận đứng x  1  .  4   4  Giả sử A 1   ; a 1 , B 1   ; b 1
 (với a  0,b  0 ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)  a   b  2  1 1   16   16  64 2 2 2
AB  (a b) 16    (a b) 1  4ab 1  4ab   32  2 2   2 2   a b   a b   a b aba b  a b AB nhỏ nhất  4 AB  4 2   16  
a b  4 4 4ab   a  4  ab Khi đó: A 4 4     B 4 4 1 4;1 64 , 1   4;1 64.
124 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304