-
Thông tin
-
Quiz
Hệ phương trình tuyến tính - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng
Bài 3. Cho Anlà ma trận đối xứng.Chứng minh rằng A2là ma trận đối xứng.a)Chứng minh rằng 2A2−3A+Ilà ma trận đối xứng.b)Bài 4. Chứng minh rằng nếu ATA=Athì Alà ma trận đối xứng và A=A2.Bài 5. Tìm các ma trận Achéo có kích thước 3×3thỏa mãn A2−3A−4I= 0. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Toán Kinh Tế (C01120) 73 tài liệu
Đại học Tôn Đức Thắng 3.5 K tài liệu
Hệ phương trình tuyến tính - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng
Bài 3. Cho Anlà ma trận đối xứng.Chứng minh rằng A2là ma trận đối xứng.a)Chứng minh rằng 2A2−3A+Ilà ma trận đối xứng.b)Bài 4. Chứng minh rằng nếu ATA=Athì Alà ma trận đối xứng và A=A2.Bài 5. Tìm các ma trận Achéo có kích thước 3×3thỏa mãn A2−3A−4I= 0. Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn sinh viên cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Toán Kinh Tế (C01120) 73 tài liệu
Trường: Đại học Tôn Đức Thắng 3.5 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA TOÁN - THỐNG KÊ
BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Ngày 6 tháng 9 năm 2018
Tài liệu lưu hành nội bộ MỤC LỤC Trang -
PHẦN NỘI DUNG CHÍNH
1 Ma trận – Hệ phương trình tuyến tính 1
1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Cộng, trừ các ma trận, phép nhân ma trận với một số thực . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Phép nhân các ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Ma trận khả nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Hệ phương trình tuyến tính và phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Mô hình input – output Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Toán tài chính căn bản 34
2.1 Lãi đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Giá trị tương lai của dòng tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Giá trị hiện tại của dòng tiền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Vi tích phân hàm một biến 44
3.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Một số hàm thường gặp trong phân tích kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1 Hàm doanh thu (Revenue function, Total revenue function) . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2 Hàm chi phí (cost function, total cost function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Hàm lợi nhuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 i MỤC LỤC
3.2.4 Hàm sản xuất ngắn hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Tích phân & Ứng dụng tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Vi phân hàm nhiều biến 71
4.1 Hàm nhiều biến trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Một số hàm trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Ý nghĩa đạo hàm riêng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Cực trị hàm 2 biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ii / 83 CHƯƠNG 1
Ma trận – Hệ phương trình tuyến tính
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận Bài tập
1.1.1 Cộng, trừ các ma trận, phép nhân ma trận với một số thực
Bài 1. Tìm các ma trận A và B cấp 2 × 3 biết aij = i + j và bij = (−1)i+j X Đáp số: 2 3 4 1 −1 1 A = B = 3 4 5 1 1 −1
Bài 2. Tìm các ma trận A và B cấp 2 × 3 biết aij = ij and bij = 1 i+j X Đáp số: 1 1 1 1 2 3 A = 2 3 4 B = 1 1 1 2 4 6 3 4 5 1 −2 3 3 0 2 Bài 3. Cho A = . Tìm , B = C = 2A − 3B 4 5 −6 7 1 8 X Đáp số: 7 −4 0 C = 2A − 3B = 29 7 −36 2 5 −1 1 −2 −3 0 1 −2 Bài 4. Cho A = . Tìm , B = , C = D = 3A + 4B − 2C 3 0 −4 0 −1 5 1 −1 −1 2 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH X Đáp số: 10 5 −11 D = 3A + 4B − 2C = 7 −2 10 1 2 1 3 2 5 Bài 5. Cho A = , , . Tìm −1 0 B = 2 1 C = 0 3 D = 5A − 3B + 2C 2 1 3 −2 4 2 X Đáp số: 6 11 D = 5A − 3B + 2C = −11 3 27 15 5 8 −4 3 2 5 Bài 6. Cho A = , . Tìm 6 9 −5 B = 4 −1 3
X sao cho 3(X + 2A + B) = X + 7A − 2B 4 7 −3 9 6 5 X Đáp số: 29 −5 −1 − 2 1 X = (A − 5B) = 2 −7 7 −10 41 23 − − −14 2 2 1 −2 6
Bài 7. Cho ma trận A = . Tìm ma trận 4 3 −8 X sao cho 3A + 2X = I3 2 −2 5 3 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH X Đáp số: −1 3 −9 X = −6 −4 12 −3 3 −7
Bài 8. Tìm x và y sao cho 4x 17 −24 17 0.5 −3y 0.5 −3 a) b) = = y + 2 −42 15 −42 0.5x 4 5 4 5x 7 y 3 13 10 3x + 5y 4 5y 6 −10 10 c) d) + = + = −4 2x 13 y 9 7 7 x − 1 7 3y + 1 14 −9 X Đáp số: a) x = −6; y = 13 b) x = 10; y = 1 5x + y = 13 3x + 5y = −15 c) → x = 2; y = 3 d) → x = 0; y = −3 2x + y = 7 x + 3y = −9
Bài 9. Một nhà bán lẻ bán 2 loại sản phẩm Q và R ở 2 cửa hàng A và B. Số lượng sản phẩm bán được trong
4 tuần qua ở mỗi cửa hàng được thể hiện trong 2 ma trận A và B bên dưới, với các cột tương ứng
cho số tuần, các hàng tương ứng cho các sản phẩm Q và R. 5 4 12 7 8 9 3 4 A = , B = 10 12 9 14 8 18 21 5
Tìm ma trận tổng số lượng sản phẩm Q và R bán ra của nhà bán lẻ này trong 4 tuần qua.
Bài 10. Một công ty bán ra 4 loại sản phẩm và tổng doanh thu (đơn vị tính £m) từ các sản phẩm bán ra ở 3
cửa hàng bán lẻ trong năm qua được cho trong ma trận sau 7 3 1 4 A = 6 3 8 2.5 4 1.2 2 0 4 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Nếu lợi nhuận thu về luôn chiếm khoảng 20% tổng doanh thu, hãy sử dụng phép nhân một số với
ma trận để tính lợi nhuận của mỗi sản phẩm ở từng cửa hàng bán lẻ. 5 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập
1.1.2 Phép nhân các ma trận 1 2 2 −1 Bài 1. Cho A = , . Chứng minh B = AB 6= BA 3 2 −3 4 −4 7 −1 2 XĐáp số: AB = 6= BA = 0 5 9 2 1 −3 2 2 5 6 Bài 2. Cho A = và . Tìm 3 −4 1 B = 1 2 5 AB, BA. Nhận xét. 2 −5 3 1 3 2 1 5 −5 29 −56 −5 XĐáp số: AB = , 3 10
0 BA = 17 −36 19 ⇒ AB 6= BA 2 9 −7 14 −25 11 a b
Bài 3. Chứng minh rằng ma trận thỏa phương trình
X2 − (a + b)X + (ad − bc)I2 = 0 c d 1 4 1 −1 Bài 4. Cho A = , B = −2 0 0 1
a) Tổng quát, chứng minh rằng (A − B)(A + B) 6= A2 − B2, với A2 = AA, B2 = BB.
b) Tổng quát, chứng minh rằng (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2, với 2AB = AB + AB. 6 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH −2 1 2 −1 3 1 1 Bài 5. Cho A = , và B = 0 2 C = 0 1 2 0 1 1 −1
a) Có thể thành lập được tích của những cặp ma trận nào trong các ma trận trên. b) Tìm ABC. Tìm (AB)3 c) d) Tìm Cn với n ∈ N. 0 1 0 Bài 6. Cho A = .Tính 0 0 1 A2 và A3. 0 0 0 0 0 1 0 0 0 XSolution: A2 = AA = ; 0 0 0 A3 = AAA = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 Bài 7. Cho A = 4 0 −3 0 . Tính A . 0 0 5 x 0 0
Tổng quát, tính An với A = 0 y 0 . 0 0 z −1 k
Bài 8. Tính A2, với A = và
k là một số thực bất kì. 0 1 XSolution: −1 k −1 k A2 = 0 1 0 1 7 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(−1 × −1 + k × 0) (−1 × k + k × 1) 1 0 = = I = (0 × −1 + 1 × 0) (0 × k + 1 × 1) 0 1
Note that in scalar arithmetic x2 = 1 ⇒ x = ±1, but in matrix multiplication: A2 = I 6⇒ A = ±I. 2 −4
Bài 9. Tính A2, với A = . 1 −2 XSolution: 2 −4 2 −4 A2 = 1 −2 1 −2
(2 × 2 + −4 × 1) (2 × −4 + −4 × −2) 0 0 = = = 0
(1 × 2 + −2 × 1) (1 × −4 + −2 × −2) 0 0
Note that in scalar arithmetic x2 = 0 ⇒ x = 0, but in matrix multiplication: A2 = 0 6⇒ A = 0
Bài 10. A store sells brand X and Y brand dishwashers. The following matrices give the sales figures and
costs of these items for three months. Use matrix multiplication to determine the total dollar sales
and total costs of these items for the three months. Dec. Apr. Aug. X Y Brand X 18 10 12 Retailprice 350 260 Brand Y 19 12 14 DealerCost 240 190 XSolution: Dec. Apr. Aug. 350 260 18 10 12 = Brand X 11240 6620 7840 240 190 19 12 14 Brand Y 7930 4680 5540
Bài 11. A cycle shop sells two grades of bicycles, Easy Roller (ER) and Super Rider (SR), manufactured
by the same company. The following matrices give the sales of these items for four months and the 8 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
selling price and dealer’s cost of these items. Use matrix multiplication to determine the total dollar
sales and total costs of this company’s items for each of the four months. Fed. Mar. Apr. May ER SR EasyRoller 7 10 14 12 Retailprice 150 180 Super Rider 5 7 7 7 DealerCost 90 100 XSolution: Fed. Mar. Apr. May 150 180 7 10 14 12 = Easy Roller 90 100 5 7 7 7 Super Rider
Bài 12. Một nhà máy sản xuất 4 loại sản phẩm X, Y, Z, T và có 5 cửa hàng bán sản phẩm A, B, C, D và E.
Lượng hàng bán được (đơn vị: trăm sản phẩm) ở các cửa hàng trong năm qua cho bởi ma trận A B C D E X 20 23 19 23 14 Y 25 46 32 21 16 Z 16 18 8 15 42 T 17 16 9 8 15
Biết rằng giá của mỗi sản phẩm X, Y, Z, T (đơn vị: nghìn đồng) lần lượt là 300, 350, 400 và 450.
Sử dụng phép nhân ma trận, tìm doanh thu của mỗi cửa hàng trong năm qua.
Bài 13. Một nhà máy sản xuất 2 loại thiết bị. Để xuất khẩu được 1 thiết bị A, nhà máy phải chi 1 triệu đồng
cho nguyên liệu; 0,5 triệu đồng cho tiền lương và 0,15 triệu đồng cho các chi phí khác. Tương tự,
để xuất khẩu được 1 thiết bị B, nhà máy phải chi 2 triệu đồng cho nguyên liệu; 1 triệu đồng cho tiền
lương và 0,5 triệu đồng cho các chi phí khác. Sử dụng phép nhân ma trận, nếu muốn xuất khẩu được
100 sản phẩm A và 200 sản phẩm B, nhà máy phải chuẩn bị bao nhiêu tiền cho từng hạng mục.
Bài 14. (Sales) Let matrix Arepresent the sales (in thousands of dollars) for the Walbash Company in 2015
in various cities, and let matrix Brepresent the sales (in thousands of dollars) for the same company 9 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH in 2016 in the same cities. Chi. Atl.Mem Chi. Atl.Mem A = 450 280 850 Easy Roller B = 375 300 710 Wholesale 400 350 150 Super Rider 410 300 200 Retail
a) Write the matrix that represents the total sales by type and city for both years.
b) Write the matrix that represents the change in sales by type and city from 2015 to 2016.
Bài 15. (Revenue) A clothing manufacturer has factories in Atlanta, Chicago, and New York. Sales (in
thousands) during the first quarter are summarized in the matrix below. Atl. Chi. N.Y. Coats 40 63 18 Shirts 85 56 42 Pants 6 18 8 Ties 7 10 8
During this period the selling price of a coat was $200, of a shirt $40, of a pair of pants $50, and of
a tie $30. Use matrix multiplication to find the total revenue received by each factory 10 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập
1.1.3 Ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng 2 −1 1 −3 2 1 −2 5 Bài 1. Cho A = , và 1 0 B = C = 3 −4 1 3 4 0 −3 4 2 −5 3 Tìm ABC − ATC + 3B 2 1 −1 2 1 0
Bài 2. Cho hai ma trận A = , B = 0 1 −4 −3 2 2 Tìm 1AT A − 3BTB 2 2 1 −1 2 1 0
Bài 3. Cho hai ma trận A = , B = 0 1 −4 −3 2 2 Tính 3A − 2B, ATA, và AAT XĐáp số: 2 1 −3 4 2 −2 6 5 3 A − 2B = , AT A = , AAT = 6 −1 −16 2 2 −5 5 17 T 2 1 1 −1 0
Bài 4. Tìm ma trận A thỏa mãn phương trình A + 3 = 0 5 1 2 4 3 8 XSolution: −1 3 0 A = −2 −1 −4 11 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 5. Chứng minh rằng A + AT là ma trận đối xứng với mọi ma trận vuông A. 0 5 −2
Bài 6. Tìm ma trận chuyển vị của A = −5 0 −1 2 1 0 XSolution: 0 −5 2 AT = = 5 0 1 −A −2 −1 0
Notes: Matrices which are such that AT = –A are skew-symmetric.
In any skew-symmetric matrix A , the main diagonal elements aii = 0. Bài 7. Cho 2 −1 3 8 −3 −5 0 −2 3 A = 0 4 5 , B = 0 1 2 , C = 1 7 4 , a = 4, b = −7 −2 1 4 4 −7 6 3 5 9 Chứng minh rằng a) AT T = A (A+B)T = AT + BT b) (aC)T = aCT c) (AB)T = BTAT d)
Bài 8. Tìm các giá trị a, b, và c sao cho A là ma trận đối xứng. 2 a − 2b + 2c 2a + b + c A = 3 5 a + c 0 −2 7 12 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập
1.1.4 Ma trận khả nghịch
Bài 1. Tìm các giá trị a và b sao cho A và B đều không khả nghịch. a + b − 1 0 5 0 A = , B = 0 3 0 2a − 3b − 7
Bài 2. Tìm ma trận chéo A thỏa 1 0 0 9 0 0 a) A5 = b) 0 −1 0 A−2 = 0 4 0 0 0 −1 0 0 1
Bài 3. Cho A là ma trận đối xứng. n
a) Chứng minh rằng A2 là ma trận đối xứng.
b) Chứng minh rằng 2A2 − 3A + I là ma trận đối xứng.
Bài 4. Chứng minh rằng nếu ATA = A thì A là ma trận đối xứng và A = A2.
Bài 5. Tìm các ma trận A chéo có kích thước 3 × 3 thỏa mãn A2 − 3A − 4I = 0. 13 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.2 Hệ phương trình tuyến tính và phương pháp Gauss
Bài 1. Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Jordan x + 2x + 2x = 8 2x + 2x + 2x = 0 1 2 3 1 2 3 a) −x b) 1 − 2x2 + 3x3 = 1 − 2x1 + 5x2 + 2x3 = 1 3x1 − 7x2 + 4x3 = 10 8x1 + 1x2 + 4x3 = −1 − 2b + 3c = 1 2x − 3x = −2 1 2 c) 3a + 6b − 3c = −2 d) 2x1 + x2 = 1 6a + 6b + 3c = 5 3x1 + 2x2 = 1 3x1 + 2x2 − x3 = −15 4x − 8x = 12 1 2 5x + 3x + 2x = 0 1 2 3 e) f) 3x1 − 6x2 = 9 3x1 + x2 + 3x3 = 11 −2x + 4x = −6 1 2 −6x − 4x + 2x = 30 1 2 3 x − y + 2z − w = −1 5x 2x + 6x = 0 2x + y 2z 2w = 1 − 2 3 − − −2 g) h) −2x1 + x2 + 3x3 = 1 − x + 2y − 4z + w = 1 3x − 3w = −3 10y − 4z + w = 1 x − y + 2z − w = −1 x + 4y − z + w = 2 2x + y − 2z − 2w = −2 i) j) 3x + 2y + z + 2w = 5 − x + 2y − 4z + w = 1 −2x − 8y + 2z − 2w = −4 3x − 3w = −3 6y + 3z = 1 x − 14 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 10y 4z + = 1 − w x + 4y − z + w = 2 x − 2x + x − 4x = 1 1 2 3 4 k) 3x + 2y + z + 2w = 5 l) x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2 −2x − 8y + 2z − 2w = −4 x − 12x − 11x − 16x = 5 1 2 3 4 x 6y + 3z = 1 − w + 2x − y = 4 x − y = 3 m) w + 3x − 2y = 7 2u + 4v + w + 7x = 7
Bài 2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss 3x + 2y = 0 x − x − x = 4 1 2 3 a) b) 6x + 7y = 3 x1 + x2 + x3 = 2 x + 2y + z = 8 x + 7x − 7x = 0 1 2 3 c) −x + 3y − 2z = 1 d) 2x1 + 3x2 + x3 = 0 3x + 4y − 7z = 10 x1 − 4x2 + 3x3 = 0 2x + 3x − x + x = −5 1 2 3 4 − x + 2x − x = −4 1 2 3 4x + 5x + 2x + x = 4 1 2 3 4 e) 3x f) 1 + 4x2 +2 x3 = 15 − 2x − x2 − x3 + x4 = 1 1 − 4x1 + 6x2 + x3 = −7 6x + 7x + x − 4x = 2 1 2 3 4 2u − 3v + w − x + y = 0 g)
4u − 6v + 2w − 3x − y = −5 −2u + 3v − 2w + 2x − y = 3 15 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3x − y = 7 3x − x + x − 4x = 2 1 2 3 4 h) 6x + 2y = 10 i) 6x1 + 3x2 − x3 − 4x4 = 3 − 3x + 4y = −10 9x1 + 2x2 − 8x4 = 6 3x − x + x − 5x − x = 0 1 2 3 4 5 j) 6x1 − 2x2 + 2x3 − 9x4 + x5 = 0 −
9x1 + 3x2 − 3x3 + 11x4 − x5 = 0 x + x + x3 + x x = 5 1 2 4 + 5 k) x1 + x5 = −4 x1 − x2 = 3 2I1 − I2 + 3I3 + 4I4 = 9 I 2I + 7I = 11 1 − 3 4 l) 3I1 − 3I2 + I3 + 5I4 = 8 2I + I + 4I + 4I = 10 1 2 3 4
Bài 3. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau bằng phương pháp bất kỳ 2x + x + 3x = 0 1 2 3 3x + x + x + x = 0 1 2 3 4 a) x b) 1 + 2x2 = 0 5x1 − x2 + x3 − x4 = 0 x2 + x3 = 0 2x + 2y + 4z = 0 x + 7x − 7x = 0 1 2 3 w − y − 3z = 0 c) d) 2x1 + 3x2 + x3 = 0 2w + 3x + y + z = 0 x1 − 4x + 3x = 0 2 3 − 2w + x + 3y − 2z = 0 16 / 83
CHƯƠNG 1. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH + 3x + = 0 x1 2 x4 v + 3w − 2x = 0 x + 4x + 2x = 0 1 2 3 2u + v − 4w + 3x = 0 e) f) − 2x2 − 2x3 − x4 = 0 2u + 3v + 2w − x = 0 2x − 4x + x + x = 0 1 2 3 4 − 4u − 3v + 5w − 4x = 0 x 2x x + x = 0 1 − 2 − 3 4 Z3 + Z4 + Z5 = 0 −Z − Z + 2Z − 3Z + Z = 0 1 2 3 4 5 g) Z1 + Z2 − 2Z3 − Z5 = 0 2Z + 2Z − Z + Z = 0 1 2 3 5
Bài 4. (Ticket sales) A 3500-seat theater sells tickets for $75 and $110. Each night the theater’s expenses
total $245,000. When all 3500 seats sell, the owners want ticket revenues to cover expenses plus
earn a profit of 25% of expenses. How many tickets of each price should be sold to achieve this?
Bài 5. (Investment) A man has $235,000 invested in three properties. One earns 12%, one 10%, and one
8%. His annual income from the properties is $22,500 and the amount invested at 8% is twice that invested at 12%.
a) How much is invested in each property?
b) What is the annual income from each property?
Bài 6. (Loans) A bank lent $1.2 million for the development of three new products, with one loan each at
6%, 7%, and 8%. The amount lent at 8% was equal to the sum of the amounts lent at the other two
rates, and the bank’s annual income from the loans was $88,000. How much was lent at each rate? x + y + z = 1200000 x = XSolution: x + y − z = 0 ⇔ y =
0, 06x + 0, 07y + 0, 08z = 88000 z =
Bài 7. An ice cream stand sells chocolate, strawberry, and vanilla ice cream. Yesterday they sold a total of
232 ice creams. The number of strawberry is equal to 4 fewer than 3 times the number of vanilla.
The number of strawberry and vanilla combined equals the number of chocolates sold. How many of each did they sell? 17 / 83