Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 – Võ Công Trường

Tài liệu gồm 31 trang, được biên soạn bởi thầy Võ Công Trường, hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11, hỗ trợ học sinh trong quá trình học Đại số & Giải tích 11 và Hình học 11.

108 54 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

2020-2021

sin

cosin

cotang

tang

0 (rad)

-1

MỤC LỤC

VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC ............................................................................................................................. 1

I. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ........................................................................................................... 1

II. CÔNG THC LƯỢNG GÁC .............................................................................................................. 1

III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC ...................................................................................................................... 2

IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH: .......................................................................................................................... 3

V. SỰ BIẾN THIÊN: .................................................................................................................................. 3

VI. TNH CHẴN LẺ: ................................................................................................................................... 4

VII. TNH TUẦN HOÀN: ............................................................................................................................ 4

VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG: ...................................................................... 4

IX. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BN .................................................................................................................. 5

X. PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ...................................................................................................... 5

XI. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH: ............................ 6

VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT................................................................................................................... 7

I. QUY TẮC ĐẾM .................................................................................................................................... 7

II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP .................................................................................................... 7

III. NHỊ THC NIU-TƠN ........................................................................................................................... 7

IV. XÁC SUẤT ............................................................................................................................................ 8

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ............................................................................................................ 8

I. PHƯƠNG PHÁP CHNG MINH QUY NẠP .................................................................................... 11

II. DÃY SỐ ............................................................................................................................................... 11

III. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 11

VẤN ĐỀ 5. GIỚI HẠN .................................................................................................................................. 12

I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: ................................................................................................................. 12

II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: ................................................................................................................. 12

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN: ........................................................................................................... 12

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC: .......................................................................................................................... 14

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: ........................................................................................................ 14

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số

 

y f x

tại điểm

: ................................................................... 14

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số

 

y f x

liên tục tại điểm

: ............................................................. 14

Dạng 3: Chứng minh phương trình

 

0fx

có ít nhất 1 nghiệm: .......................................................... 14

VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM .................................................................................................................................. 15

I. CÔNG THC ĐẠO HÀM ................................................................................................................. 15

QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM ........................................................................................................................ 15

II. TIẾP TUYẾN ....................................................................................................................................... 15

VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ........................................................................... 17

I. PHÉP TỊNH TIẾN: .............................................................................................................................. 17

II. PHÉP ĐỐI XNG TÂM: .................................................................................................................... 17

III. PHÉP ĐỐI XNG TRỤC: .................................................................................................................. 17

IV. PHÉP QUAY: ...................................................................................................................................... 17

V. PHÉP DỜI HÌNH: ................................................................................................................................ 18

VI. PHÉP VỊ TỰ: ....................................................................................................................................... 18

VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG: .......................................................................................................................... 18

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: ......................................................................................................... 18

Dạng 1: Dựng ảnh của một hình qua phép biến hình. ............................................................................... 18

Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình. ................................................................ 19

Dạng 3: Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước. ........................................... 19

ĐẶC BIỆT: CÔNG THC NHANH ........................................................................................................... 19

VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 ............................................................. 20

I. QUAN HỆ SONG SONG .................................................................................................................... 20

Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song. ................................................................................................. 20

Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. ................................................................................................ 20

Dạng 3: Tìm giao điểm của đương thẳng d và mặt phẳng. ....................................................................... 20

Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng .................................................. 21

II. QUAN HỆ VUÔNG GC ................................................................................................................... 21

Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc. ................................................................................................. 21

Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên MP................................................................................................ 22

Dạng 3: Tính góc. ...................................................................................................................................... 22

Dạng 4: Tính khoảng cách. ....................................................................................................................... 23

ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: ...................................... 23

CÁC DẠNG HÌNH CHÓP......................................................................................................................... 24

CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TR ................................................................................................................. 25

PHỤ LỤC ........................................................................................................................................................ 27

HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP) ............................................................................................................ 27

I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: ........................................................................................ 27

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: ........................................................................................... 27

III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN: ............................................................................. 28

IV. TÂM CỦA TAM GIÁC ................................................................................................................... 28

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ........................................................................................... 28

I. TỌA ĐỘ............................................................................................................................................. 28

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................ 28

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ............................................................................................... 28

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 1 0983.900.570

VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC

I. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

II. CÔNG THC LƯỢNG GÁC

1) Hằng đẳng thức cơ bn:

sin cos 1 tan .cot 1

1 tan 1 cot

cos sin

a a a a

  

   

2) Cung liên kt:

Cos đối Sin bù

 

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot



  



  

 

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

  



  

3) Công thức cng:

 

sin sin .cos cos .sin

cos cos .cos sin .sin

tan tan

tan

1 tan .tan

a b a b a b

  







sin

cosin

cotang

tang

0 (rad)

-1

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 2 0983.900.570

4) Công thức nhân đôi:

sin 2 2sin .cos

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2tan

tan 2

1 tan

a a a









Chéo phụ

sin cos , cos sin

tan cot , cot tan



   



   

   

   

   

   

   

   

   

   

Tang, Cotang hơn kém



 

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

  

  



Sin hơn = Cos kém (



/2)

sin cos , cos sin

tan cot , cot tan



   



   

   

    

   

   

   

     

   

   

5) Công thức h bc

1 cos2

cos





1 cos2

sin





1 cos2

tan

1 cos2







6) Công thức nhân ba

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos



x x x

7) Công thức biên tch thnh tng

   

cos .cos cos cos

sin .sin cos cos

sin .cos sin sin

a b a b a b

   





   





   





8) Công thức bin tng thnh tch

cos cos 2cos .cos

cos cos 2sin .sin

sin sin 2sin .cos

sin sin 2cos .sin

a b a b







  









9) Công thức đặc biệt

 

cos sin 1 sin2x x x  

cos sin cos2x x x

4 4 2 2 2

cos sin 1 2cos .sin 1 sin 2

x x x x x    

6 6 2 2 2

cos sin 1 3cos .sin 1 sin 2

x x x x x    

sin cos 2sin 2 cos

x x x x



   

    

   

   

sin cos 2 sin 2 cos

x x x x



   

     

   

   

III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC

 sinyx

TXĐ:

D 

. TGT:

 

1;1T 

Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc

tọa độ

Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì



Sự biến thiên: Đồng biến trên

;











; Nghịch biến

trên

;









Đồ thị:

 cosyx

TXĐ:

D 

. TGT:

 

1;1T 

Tính chẵn chẵn: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua

trục tung.

Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì



Sự biến thiên: Nghịch biến trên

 



; Đồng biến

trên

 

;





Đồ thị:

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 3 0983.900.570

 tanyx

TXĐ:

D k k





  





. TGT:

T 

Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc

tọa độ

Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì



Sự biến thiên: Luôn đồng biến trên từng khoảng xác

định

;











;









Đồ thị:

cotyx

TXĐ:

 



D k k

. TGT:

T 

Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc

tọa độ

Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì



Sự biến thiên: Luôn đồng biến trên từng khoảng xác

định

 



;

 

;





Đồ thị:

IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH:

1. Phương pháp:

B1: Lập điều kiện xác định (ĐKXĐ):

xác định khi

0v 

xác định khi

0u 

tan u

xác định khi

 

u k k



  

cotu

xác định khi

 

,u k k





B2: Giải ĐKXĐ  Tìm điều kiện của biến

B3: Tùy theo ĐK của biến, Ta kết luận TXĐ như sau:



......

















 

\ ; ;...D a b

; 

a x b







;D a b

; 

......

















 

; ;...D a b

V. SỰ BIẾN THIÊN:

1. Hàm số LG sơ cấp:

Hàm số

Chiều biến thiên

Khoảng

sinyx

Nghịch biến

Bên trái Oy

Đồng biến

Bên phải Oy

cosyx

Nghịch biến

Phía trên Ox

Đồng biến

Phía dưới Ox

tanyx

Luôn Đồng biến

Không chứa

 

x k k



  

cotyx

Luôn Nghịch biến

Không chứa

 

,x k k





2. Tính chất cơ bản:

a) Nếu

 

y f x

Đồng biến (Nghịch biến) trên K thì

 

.y a f x b

cũng đồng biến (Nghịch biến) trên

b) Nếu

 

y f x

Đồng biến (Nghịch biến) trên K thì

 

y f x

Nghịch biến (Đồng biến) trên K

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 4 0983.900.570

VI. TNH CHẴN LẺ:

1. Định nghĩa:

 

là hàm chẵn 

   

,f x f x x D   

 

là hàm lẻ 

   

,f x f x x D    

2. Tính chất:

 Chẵn;

21n



 Lẻ

Hằng số  Chẵn

 

Chẵn 

 

f ax

Chẵn

 

Lẻ 

 

f ax

Lẻ

Chẵn  Chẵn  Chẵn

Lẻ  Lẻ  Lẻ

Chẵn  Lẻ  Không Chẵn, Không Lẻ

Chẵn x() Chẵn  Chẵn

Lẻ x() Lẻ  Chẵn

Chẵn x() Lẻ  Lẻ

(Chẵn)

 Chẵn

(Lẻ)

2n+1

Lẻ

(Lẻ)

Chẵn

k.Chẵn  Chẵn

k.Lẻ  Lẻ

|Chẵn|  Chẵn; |Lẻ|  Chẵn

f Lẻ, g Chẵn 

 

Chẵn

f Lẻ, g Lẻ

 

Lẻ

f Chẵn, g Chẵn (hay Lẻ)

 

Chẵn

VII. TNH TUẦN HOÀN:

1. Định nghĩa:

 

tuần hoàn với chu kì T  Tồn tại số T dương nhỏ nhất sao cho:

   

f x T f x

2. Tính chất:

sin , cosy x y x

tuần hoàn chu kì





tan , coty x y x

tuần hoàn chu kì





Nếu

 

tuần hoàn với chu kì T

thì

 

f ax b

tuần hoàn với chu kì



   

sin , cosy ax b y ax b   

tuần hoàn chu kì





   

tan , coty ax b y ax b   

tuần hoàn chu kì





Nếu

sin , cosy u y u

tuần hoàn chu kì

thì

sin , cosy u y u

tuần hoàn chu kì

Nếu

tan , coty u y u

tuần hoàn chu kì

thì

tan , coty u y u

tuiần hoàn chu kì

Nếu

 

tuần hoàn với chu kì

thì

   

f x g x

tuần hoàn với chu kì

 

,T BCNN T T

(Máy tính:

 

,LCM T T

)

Nếu

 

tuần hoàn với chu kì

thì

   

 

f x g x

tuần hoàn với chu kì

   

 

1 2 1 2

, . ,T BC T T k BCNN T T k  

(Máy tính:

 

.,k LCM T T

)

VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG:

1. Định nghĩa:

 

min

max

f x m

m f x M

f x M







  









(*)

2. Phương pháp: Chặn hm số

B1: Biến đổi hàm số đã cho đến khi chỉ còn chứa 1 HSLG (nếu được)

B2: Dùng Bất đẳng thức LG và Tính chất Bất đẳng thức  Biến đổi và dạng:

 

m f x M

B3: Dùng định nghĩa (công thức (*) )  Xác định GTLN–GTNN:

 

min

max

f x m

f x M















3. Bất đẳng thức LG:

1 sin 1u  

1 cos 1u  

0 sin 1u

0 cos 1u

0 sin 1u

0 cos 1u

tan 0u 

cot 0u 

2 sin cos 2uu   

sin .cos





1 sin cos 1uu   

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 5 0983.900.570

4. Tính chất Bất đẳng thức:

A B A C B C    

A C B D





   













  









 

. . 0

AC B C C

















AC B D





























0 1 1A

   

1 1 1

0m A n

m A n

     

IX. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BN

Dng

 

f u a

Dng

   

f u f v

sin ,( 1)

u a a



  





  



  



(Với

   

arcsin sinaa







)

sin sin

u v k













  



cos 2 ,( 1)u a u k a



     

(Với

   

arccos cosaa







)

cos cos 2u v u v k



    

tanu a u k



   

(Với

   

arctan tanaa







)

tan tanu v u v k



   

cotu a u k



   

(Với

 

arccot tana













)

cot cotu v u v k



   

Trường hợp đặc biệt: Đối với PT

sin ,cosu a u a

 Nếu

1a 

thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm.

 Nếu

0a 

thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm và thay



thành



sin 1 2

u u k



   

sin 1 2

u u k



     

sin 0u u k



  

cos 1 2u u k



  

cos 1 2u u k



    

cos 0

u u k



   

X. PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1. Phương trnh bc hai đối với mt HSLG là PT có dạng:

sin sin 0a u b u c  

(1)

(Tương tự cho

cos ,tan ,cotu u u

)

Cách giải: Xem

sin u

là ẩn, Ta có PT bậc 2 với ẩn là

sin u

 Giải PT bậc 2, Ta được PTLG cơ bản

 Giải PTLG cơ bản, tìm nghiệm.

2. Phương trnh bc nhất đối với sinu; cosu là PT có dạng:

.sin .cos ( 0)a u b u c a b   

(2)

Cách giải: B1. Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu

2 2 2

a b c

thì PT có nghiệm

B2.

.sin .cosa u b u c



2 2 2 2 2 2

.sin .cos

a b c

a b a b a b



  

(Chia 2 vế PT cho

ab

)



sin .cos cos .sin







(Đặt:

2 2 2 2

cos ; sin

a b a b







)



sin( )







(*) (Áp dụng công thức cộng)

B3. Giải PT cơ bản (*)  Tìm nghiệm.

MỞ RỘNG:

Loi 1:

2 2 2

.sin .cos .sin ( )a u b u c v a b c   

hay

2 2 2

.sin .cos .cos ( )a u b u c v a b c   

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 6 0983.900.570

Loi 2:

2 2 2 2

.sin .cos .sin .cos ( )a u b u c v d v a b c d     

Cách giải: Chia 2 vế cho

ab

 Biến đổi đưa về dạng

sin sintw

hay

cos costw

3. Phương trnh thuần nhất (đẳng cấp) bc hai đối với sinu, cosu là PT có dạng:

2 2 2 2

sin cos sin .cos ,( 0)a u b u c u u d a b    

(3)

Cách giải 1: Dùng công thức nhân đôi và hạ bậc Biến đổi đưa về PT bậc nhất đối với sin và cos.

Cách giải 2: Chia 2 vế cho

 

cos hay sinuu

Thu gọn, ta được PT bậc 1 hay bậc 2 đối với

 

tan hay cotuu

Chú ý KT: Nếu

cos 0u 

(hay

sin 0u 

) thỏa PT(3) thì nghiệm của

cos 0u 

(hay

sin 0u 

) là nghiệm của

PT(3)

4. Phương trnh đưa về phương trnh tch:

. . 0 0

A BC B







  







XI. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH:

Cách 1:  Biểu diễn điểm xác định công thức điều kiện và công thức nghiệm lên Đường tròn lượng giác

 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện

 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm



Cách 2:  Cho tham số nguyên (k) trong công thức điều kiện và công thức nghiệm chạy từ 0 đến khi tìm

đủ số điểm trên đoạn

 



 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện

 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm



Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 7 0983.900.570

VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT

I. QUY TẮC ĐẾM

1. Qui tắc cng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động: Hành động thứ nhất có n

cách thực hiện, hành động thứ hai có m cách thực hiện (không trùng với bất cứ cách nào của cảu hành

động thứ nhất). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi

nm

cách.

2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp: Hành động thứ nhất có n cách

thực hiện, với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có m cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó công

việc có thể được thực hiện bởi

.nm

cách.

II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Loại

Định nghĩa

Công thức tính số lượng

Dấu hiệu nhận

biết

Hoán vị

Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự của n phần tử

 

*n

gọi là một hoán vị của n

phần tử.

.( 1).( 2).....2.1 !

P n n n n   

Lấy hết n phần

tử để sắp xếp

thứ tự

Chỉnh

hợp

Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự k phần tử

được lấy trong n phần tử

 

nk

gọi là

một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 

( 1).....( 1)

A n n n k

    



Lấy k phần tử

trong n phẩn tử

để sắp xếp thứ

tự

T hợp

Mỗi tập hợp k phần tử được lấy trong n

phần tử

 

nk

gọi là một tổ hợp chập

k của n phần tử.

!( )!

k n k





Lấy k phần tử

trong n phẩn tử

và không sắp

xếp thứ tự

CÔNG THC TỔ HỢP MỞ RỘNG

Loại

Công việc thực hiện

Công thức đếm

Hoán vị vòng quanh

Sắp xếp n phần tử theo một vòng tròn

 

1!n

Chỉnh t hợp

Chọn

phần tử trong

phần tử và sắp xếp vào

vị trí

 

,k n k m

 Công thức đặc biệt:

0! 1

Nếu

kn

thì

0! 1

A n P   

CC

Cn

 

k n k

C C k n



  

 

= 0





  

k k k

n n n

C C C k n

 

0 1 2

... 2 0

k n n

n n n n n

C C C C C k n



       



! ( 1)( 2)...( 1)

!( )! ! !

n n n n n k

k n k k k

   

  



III. NHỊ THC NIU-TƠN

1. Công thức nhị thức Niu-Tơn:

 

0 1 1 2 2 2

... ...

n n n k n k k n n k n k k

n n n n n n

a b C a C a b C a b C a b C b C a b

   



        



 

*n

2. Tnh chất của nhị thức Niu-tơn

 Số các số hạng của công thức là

1n 

 Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n; đồng thời tổng các số mũ của a và b trong

mỗi hạng tử đều bằng n

 Số hạng tổng quát thứ

1k 

có dạng

( 0,1,..., )

k n k k

T C a b k n







 Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau:

k n k

C C k n



  

3. Mt số dng đặc biệt

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 8 0983.900.570

Dạng 1. Thay

1 và a b x

vào (1), ta được:

0 1 2 2 1 1

(1 ) ...

n n n n n

x C C x C x C x C x



      

 Cho

1x 



0 1 2

... 2

n n n n

C C C C    

Dạng 2. Thay

1, a b x  

vào (1), ta được:

0 1 2 2

(1 ) ... ( 1) ... ( 1)

n k k k n n n

n n n n n

x C C x C x C x C x         

 Cho

1x 



0 1 2

... ( 1) 0

n n n n

C C C C     

4. Tnh chất lũy thừa:

. ...

a a a a

(tích của n thừa số a)

 

1 , 0

, 0



  

m n m n

a a a









( . ) .

n n n

a b a b









( ) ( )

m n n m m n

a a a  



IV. XÁC SUẤT

1. Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu:



2. Bin cố:

Kí hiệu

Thuật ngữ biến cố

Kí hiệu

Thuật ngữ biến cố

A 

A là biến cố

C A B

C là biến cố: “A hoặc B”

A 

A là biến cố không

.C A B A B  

C là biến cố: “A và B”

A 

A là biến cố chắc chắn

AB  

A và B xung khắc

\AA

là biến cố đối của A

BA

A và B đối nhau

3. Xác suất của bin cố.

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:

b) Xác suất của biến cố A là:

 

()







Trong đó:

 

nA

là số phần tử (hay kết quả thuận lợi) của biến cố A;

 

n   

là số phần tử của không gian mẫu (hay tất cả kết quả có thể xảy ra của phép thử).

c) Tính chất: 

( ) 0P 

; 

( ) 1P 

; 

0 ( ) 1PA



 

1 ( )P A P A

d) Công thức cộng xác suất:

 Nếu

và

xung khắc thì

     

P A B P A P B  

 Mở rộng:

         

. , ,P A B P A P B P AB A B    

e) Công thức nhân xác suất:

Hai biến cố

và

độc lập 

     

..P AB P A P B

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dng 1: Bi toán đm:

Quy tắc: Hành động nào có điều kiện mạnh nhất thì thực hiện đếm trước nhất,...

Dạng 1.1: Đếm số lượng số tự nhiên:

B1: Gọi số tự nhiên có dạng:

...

x a a

0a

và

thuộc tập chứa các chữ số theo đề.

B2: Chọn chữ số thỏa điều kiện bài toán đặt vào các hàng số theo thứ tự ưu tiên: Hàng nào có điều kiện

“mạnh” nhất thì thực hiện trước nhất. (Chú ý phân ra nhiều trường hợp nếu bị trùng điều kiện)

B3: Dùng Quy tắc nhân để tính kết quả từng trường hợp và Dùng Quy tắc cộng để tính Kết quả cả bài.

Tính chất chia hết

Dấu hiệu chia hết

Số lẻ

Chữ số tận cùng là chữ số lẻ

Số chẵn (Số chia hết cho 2)

Chữ số tận cùng là chữ số chẵn

Chia hết cho 3

Tổng các chữ số chia hết cho 3

Chia hết cho 4

Số gồm 2 chữ số cuối là số chia hết cho 4

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 9 0983.900.570

Chia hết cho 5

Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Chia hết cho 8

Số gồm 3 chữ số cuối là số chia hết cho 8

Chia hết cho 9

Tổng các chữ số chia hết cho 9

Chia hết cho 11

Tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết

cho

Chia hết cho 25

Hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hoặc 75.

Dạng 1.2: Đếm số cách sắp xếp:

 Sắp xếp xen kẽ 2 nhóm A, B:

 TH1. Số phần tử 2 nhóm bằng nhau:

   

n A n B m

 Số cách sắp xếp là

2. !. !mm

 TH2. Số phần tử 2 nhóm hơn kém 1 đơn vị:

   

,1n A m n B m  

 Số cách sắp xếp là

 

!. 1 !mm

 Sắp xếp theo nhóm A, B, C:

     

,,n A a n B b n C c  

 TH1. Chỉ có các phần tử nhóm A kề nhau  Số cách săp xếp là

 

!. 1 !a b c

 TH2. Các phần tử 2 nhóm A, B kề nhau  Số cách săp xếp là

 

!. !. 2 !a b c 

 TH2. Các phần tử 3 nhóm A, B, C kề nhau  Số cách săp xếp là

!. !. !.3!abc

 Tương tự cho sắp xếp n nhóm.

 Sắp xếp nhóm A có

phần tử sao cho có

phần tử

, ,...,

a a a

không kề nhau











 B1. Xem số vị trí cần sắp xếp là

 

21nk

 Sắp xếp

nk

phần tử

, ,...,

k k n

a a a



vào các vị trí

chẵn  Có

 

!nk

cách

 B2. Sắp xếp

phần tử

, ,...,

a a a

vào

vị trí còn lại (

 

21m n k k   





)  Có

cách

 B3. Số cách sắp xếp là

 

n k A

Dạng 1.3: Đếm số cách chọn:

 Chọn không sắp xếp:

 Chọn k phần tử loại I từ các nhóm A, B, C,...  Phân nhiều Trường hợp, chọn mỗi nhóm 1 số lượng

phần tử loại I , sao cho tổng số lượng phẩn tử loại I ở mỗi trường hợp phải bằng k phần tử.



 Chọn có sắp xếp:

Dng 2: Xác định các hệ số, số hng trong khai triển nhị thức Newton

Dạng 2.1: Tìm hệ số của số hạng chứa

trong KT:

 

ax bx

B1: Khai triển:

     



  



  



n n k k

p q k p q k n k k np pk qk

ax bx C ax bx C a b x

B2: Số hạng chứa

ứng với giá trị

thỏa:

np pk qk m  

. Từ đó tìm

m np







B3: Vậy hệ số của số hạng chứa

là:

k n k k

C a b



với giá trị

đã tìm được ở trên.

Nếu

không nguyên hoặc

kn

thì trong khai triển không chứa

, hệ số phải tìm bằng 0.

Dạng 2.2: Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển:

 

  

P x a bx cx

0 1 2

...  

a a x a x

B1: Viết

 

   





    



p q k n k p q

P x a bx cx C a bx cx

;

B2: Viết số hạng tổng quát trong khai triển

 



bx cx

thành một đa thức theo luỹ thừa của

B3:Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của

Dạng 2.3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

B1: Tính hệ số

theo

và

;

B2: Giải bất phương trình

1



với ẩn số

;

B3: Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 10 0983.900.570

Dng 3: Bi toán tng

0



a C b

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton:

0 1 1 2 2 2

( ) ...



     

n n n n n n

n n n n

a b C a a bC a b C b C

Ta chọn những giá trị

,ab

thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:





k n k

... 2   

n n n

C C C

( 1) 0







2 2 1

2 2 2

0 0 0



  



  

n n n

k k k

n n n

k k k

C C C

(1 )







k k n

C a a

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa

) và

biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

Dng 4: Tnh xác suất

B1. Mô tả không gian mẫu



(Nếu được). Kiểm tra tính hữu hạn của



, tính đồng khả năng của các kết quả

 Đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử:

 

n 

B2. Xác định biến cố

 Đếm số kết quả có thể xảy ra của biến cố:

 

B3. Tính xác suất của biến cố

 





Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 11 0983.900.570

VẤN ĐỀ 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

I. PHƯƠNG PHÁP CHNG MINH QUY NẠP

1. Quy tắc: Để chứng minh mệnh đề chứa biến

 

là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương

, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

1n 

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương

nk

tuỳ ý

 

1k 

, chứng minh rằng mệnh đề

đúng với

1nk

2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề

 

là đúng với với mọi số nguyên dương

np

thì :

 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với

np

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì

n k p

và phải chứng minh mệnh

đề đúng với

1nk

II. DÃY SỐ

1. Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên

()

n u n



2. Dãy số tăng, dãy số giảm



 

là dãy số tăng

u u n



   



 

là dãy số giảm

u u n



   

3. Dãy số bị chặn



 

là dãy số bị chặn trên

M u M n     



 

là dãy số bị chặn dưới

m u m n     



 

là dãy số bị chặn

, : ,

m M m u M n      

III. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Cấp số cng

Cấp số nhân

Định nghĩa

Dãy số

 

là cấp số cộng

u u d n



    

Dãy số

 

là cấp số nhân

 

u u q n



    

Số hạng tổng quát

 

( 1) , 2 ,

u u n d n n     

 

. , 2 ,

u u q n n



   

Tính chất

 

, 2 ,

u k k





   

 

. , 2 ,

k k k

u u u k k



   

Tổng n số hạng

đầu tiên

...

S u u u   

 

()

2 ( 1)

n u u

S u n d



   

Khi 1:

q S nu

1: .

q S u







Khi

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 12 0983.900.570

VẤN ĐỀ 5. GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

Giới hn hữu hn

Giới hn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:



lim 0





; 

lim 0 ( )









lim 0 ( 1)





; 

lim





2. Định lí: Cho

lim , lim

u a v b

. Ta có:



 

lim

u v a b 



 

lim . .

u v ab



lim 

(nếu

0b 

) 

lim 



lim 

(

ua

)

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1 1 1

    



S u u q u q

 

1q

1. Giới hạn đặc biệt:



lim ( )



  



lim  n



lim ( 1)  

2. Định lí:(Quy tắc về giới hạn vô cực)









[ . ]







(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy

tắc nhân dấu)

II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:

Giới hn hữu hn

Giới hn vô cực, giới hn ti vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

 ; 

lim





(C là hằng số)

2. Định lí: Cho , . Ta có:

 ; 

 ;  (nếu

0M 

)



 

0fx



3. Giới hạn một bên:



1. Giới hạn đặc biệt:

 ; 



lim





; 

2. Định lí: (Quy tắc về giới hạn vô cực)

()





()





[ ( ). ( )]

f x g x







(

hayx x x  

)

(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy

tắc nhân dấu)

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN:

 Dạng vô định : ( Là giới hạn của thương mà tử và mẫu đều có giới hạn bằng 0:

()

)

a) Cách khử: Biến tử và mẫu thành tích rồi đơn giản (hết) nhân tử chung

b) Các dạng thường gặp:

Dạng 1.1: Giới hạn của phân thức hữu tỷ tại một điểm:

 

lim



, với

   

,f x g x

là các đa thức và

   

0x g xf 

PP: Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung:

 

   

 

0 0 0

lim lim lim ...

x x x x x x

f x x x u x u x

g x x x v x v x

  



  



lim





lim ( )

f x L





lim ( )

g x M





 

lim ( ) ( )

f x g x L M



  

 

lim ( ) ( )

f x g x L M



  

 

lim ( ). ( ) .

f x g x L M





()

lim

()

f x L

g x M





lim ( )

f x L





lim ( )

f x L





lim ( )

f x L





lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x L







lim



 

lim

neáu k chaün

neáu k leû















lim 0





Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 13 0983.900.570

VD:

Dạng 1.2:

 

lim



, với

   

,f x g x

là các biểu thức chứa căn cùng bậc và

   

0x g xf 

PP: Nhân biểu thức liên hợp (tương ứng) ở tử và mẫu để khử căn  Biến thành tích rồi đơn giản nhân tử

chung.

  

   

0 0 0

lim lim lim ...

x x x x x x

A B A B

C A B C A B

  





  



 













0 0 0

2 2 2 2

lim lim lim ...

. . . .

x x x x x x

A B A A B B

A B A B

C A A B B C A A B B

  

  



  

   

VD:

Dạng 1.3:

 

lim



, với

 

là các biểu thức chứa căn không cùng bậc và

   

0x g xf 

PP: Tách thành tổng các thương sao cho mỗi thương chỉ chứa căn cùng bậc và bảo toàn dạng VĐ

   

 

lim lim ...

x x x x

u x v x u x m m v x

h x h x h x





  



  





, (Với

   

m u x v x

)

VD: =…

 Dạng vô định : (Là giới hạn của thương mà tử và mẫu đều có giới hạn vô cực:

()



)

Các dạng thường gặp:

Dạng 2.1:

   

,f x g x

là các đa thức PP: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

VD:

Dạng 2.2:

   

,f x g x

có chứa lũy thừa

và căn thức PP: Rút lũy thừa cao nhất ra khỏi các căn rồi chia

cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

VD:

2 3 2 3

lim lim lim 1

. 1 . 1 1

x x x

  





   



     

 Giới hạn của tổng, hiệu: (Chứa lũy thừa

)

Các dạng thường gặp:

Dạng 3.1: Giới hạn tại vô cực của tổng, hiệu mà tổng hệ số các lũy thừa bậc cao nhất khác 0

PP: Rút lũy thừa bậc cao nhất làm nhân tử chung đưa về tích  Áp dụng quy tắc giới hạn của tích:

[ ( ). ( )]

f x g x







VD:





lim 2 lim 1 2

x x x x

 





       











3 2 2

2 2 2

8 ( 2)( 2 4) 2 4 12

lim lim lim 3

( 2)( 2) 2 4

x x x

x x x x x x

x x x

  

     

   

  



  

 

0 0 0

2 4 2 4 2 4 1 1

lim lim lim

x x x

  

     

  



1 1 1 1 1 1

lim lim

x x x x

x x x





      









2 5 3

lim lim 2

 







Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 14 0983.900.570

Dạng 3.2: Giới hạn tại vô cực của tổng, hiệu mà tổng hệ số các lũy thừa bậc cao nhất bằng 0 (Dạng này

thường có căn)

PP: Nhân chia biểu thức liên hợp để khử căn  Ta được giới hạn dạng vô định

VD:

 Giới hạn của tích:

Phương pháp:

TH1: Biến thành thương  Ta được dạng vô định

hoặc .

TH2: Biến thành tổng, hiệu  Ta được giới hạn của tổng, hiệu như mục 3.

VD:

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1. Hàm số liên tục tại một điểm:

 

y f x

liên tục tại



   

lim

f x f x





 

y f x

liên tục tại



     

lim lim

x x x x

f x f x f x







2. Hàm số liên tục trên một khoảng khi hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

4. Tính chất:

 Hàm số đa thức liên tục trên .

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

 Tổng hiệu, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.

5. Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Nếu

 

y f x

liên tục trên

 

;ab

và

   

. 0f a f b 

thì tồn tại ít nhất một số

 

;c a b

sao cho

 

0fc

Nói cách khác: Nếu

 

y f x

liên tục trên

 

;ab

và

   

. 0f a f b 

thì phương trình

 

0fx

có ít nhất một

nghiệm thuộc

 

;ab

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

Dng 1: Xét tnh liên tục của hm số

 

y f x

ti điểm

B1: Tính

 

B2: Tính

 

lim



(Hay tính

   

lim , lim

x x x x

f x f x





)

B3: So sánh ,

 

 Kết luận.

Dng 2: Tm tham số để hm số

 

y f x

liên tục ti điểm

B1: Tính

 

B2: Tính

 

lim



(Hay tính

   

lim , lim

x x x x

f x f x





)

B3: Cho =

 

(Hay cho

     

lim lim

x x x x

f x f x f x







) Giải PT, HPT tìm tham số.

Dng 3: Chứng minh phương trnh

 

0fx

có t nhất 1 nghiệm:

B1: Chọn đoạn

 

;ab

sao cho hàm số

 

y f x

liên tục và

   

. 0f a f b 

B2: Kết luận: PT

 

0fx

có ít nhất một nghiệm thuộc

 

;ab



 

  

1 1 1

lim 1 lim lim 0

x x x

x x x x

  

   

    

   



2. 0. 2

lim ( 2) lim 0

x x x







   





lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a x b

f x f a f x f b







lim ( )



lim ( )



Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 15 0983.900.570

VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM

I. CÔNG THC ĐẠO HÀM

Hàm sơ cấp

Hàm hợp

Phép toán

 



































 

sin cos

cos sin

tan

cos

cot

sin



















   

.f u f u u











 

u u u



























 

sin .cos

cos .sin

tan

cos

cot

sin

u u u





















 

   

. . . . .

. . .

u v u v

u v u v u v k v k v

u u v v u k k v

v v v v





  



  

   



  



   

  

   

   

Đặc biệt



















( ) ( )

ax b ad bc

cx d cx d cx d











  



 

adx aex

ax bx c

dx e

















QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM

Khi tìm đạo hàm của hàm số ta thực hiện theo thứ tự ưu tiên như sau:

PHÉP TOÁN



HÀM HỢP



SƠ CẤP.

II. TIẾP TUYẾN

1) Định lý: PT tiếp tuyến của đường cong

   

:C y f x

tại tiếp điểm

 

0 0

; M x y

có dạng:

 

.y y k x x  

(*)

Trong đó: +

: Hoành độ tiếp điểm;

 

y y x

: Tung độ tiếp điểm;

 

k f x





: Hệ số góc của tiếp tuyến.

2) Quy tắc lp phương trnh tip tuyn của đường cong

 

y f x

B1. Tìm đạo hàm

 

''y f x

B2. Dựa vào giả thiết, tính

 

0 0 0

, , x y f x



B3. Thay vào PT (*), thu gọn, ta được PT tiếp tuyến cần tìm (Chú ý: So điều kiện, loại PTTT nếu có)

3) Chú ý:

 Đường thẳng

 

:d y ax b

 Hệ số góc

ka

;

 Đường thẳng

 

:0d ax by c  

 Hệ số góc







d d k k

; 

' . 1

d d k k   

4) Các dng phương trnh tip tuyn:

Giả thiết

Theo GT, Ta có:

Các đại lượng cần tính

Biết hoành độ tiếp điểm

Tính:

 

y y x

 

k f x





Biết tung độ tiếp điểm

Từ:

 

y y x

 Tính được

và

 

k f x





Biết hệ số góc của TT

Từ:

 

k f x





 Tính được

và

 

y y x

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 16 0983.900.570

Biết TT song song ĐT

 

kk

Từ:

 

k f x





 Tính được

và

 

y y x

(Chú ý loại PTTT trùng PT ĐT d)

Biết TT vuông góc ĐT

 

k k k



   

Từ:

 

k f x





 Tính được

và

 

y y x

Biết TT qua

 

;

A x y

     

0 0 0

y y x y x x x



  

Giải PT tìm

 Tính

 

y y x

 

k f x





TT tại giao điểm của

   

:C y f x

và

 

:d y ax b

 

f x ax b

Giải PT tìm

 Tính

 

y y x

 

k f x





TT tại giao điểm của

 

và

0y 

Từ:

 

y y x

 Tính được

và

 

k f x





TT tại giao điểm của

 

và

0x 

Tính:

 

y y x

 

k f x





Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 17 0983.900.570

VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

I. PHÉP TỊNH TIẾN:

1. Định nghĩa:

 

T M M MM v  

2. Biểu thức tọa độ:

 

;

v a b

x x a

T M M

y y b













3. Tính chất: Phép tịnh tiến biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

d) Tam giác thành tam giác bằng nó.

e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

II. PHÉP ĐỐI XNG TÂM:

1. Định nghĩa:

 

'

Ñ M M

I là trung điểm

'MM

2. Biểu thức tọa độ:

 













M I M

x x x

Ñ M M

y y y

3. Tính chất: Phép đối xứng tâm biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

d) Tam giác thành tam giác bằng nó.

e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III. PHÉP ĐỐI XNG TRỤC:

1. Định nghĩa:

 



Ñ M M



là đường trung trực của

'MM

2. Biểu thức tọa độ:

 

   



























ax by c

x x a

Ñ M M

ax by c

y y b

 













Ñ M M

 













Ñ M M

3. Tính chất: Phép đối xứng trục biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng.

b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

d) Tam giác thành tam giác bằng nó.

e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

IV. PHÉP QUAY:

1. Định nghĩa:

 

;



















IM IM

Q M M

IM IM

2. Biểu thức tọa độ:

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 18 0983.900.570

 

;

.cos .sin

















M M M

x x y

Q M M

y y x

 

,90















Q M M

 

, 90















Q M M

3. Tính chất: Phép quay biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng.

b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

d) Tam giác thành tam giác bằng nó.

e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

V. PHÉP DỜI HÌNH:

1. Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.

2. Tính chất: Phép dời hình biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng.

b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

c) Tam giác thành tam giác bằng nó.

d) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

VI. PHÉP VỊ TỰ:

1. Định nghĩa:

 

' ' .  

V M M IM k IM

2. Biểu thức tọa độ:

 

  









  





M I M I

x x k x x

V M M

y y k y y

 













x k x

V M M

y k y

3. Tính chất: Phép vị tự tỉ số k biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

b) Đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài

.ka

c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

d) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số

e) Đường tròn bán kính

thành đường tròn có bán kính

.kr

VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG:

1. Định nghĩa:

Phép đồng dạng tỉ số

0k 

là phép biến hình đoạn thẳng có độ dài

thành đoạn thẳng có độ dài

.ka

2. Tính chất: Phép đông dạng tỷ số

0k 

biến:

a) Đường thẳng thành đường thẳng.

b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.

c) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số

d) Đường tròn bán kính

thành đường tròn có bán kính

.kr

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:

Dng 1: Dựng nh của mt hnh qua phép bin hnh.

Phương pháp:

B1: Tìm ảnh của các yếu tố xác định một hình.

B2: Dựng ảnh của hình theo các yếu tố đã tìm.

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 19 0983.900.570

Dng 2: Xác định nh, to nh hay yu tố của phép bin hnh.

Phương pháp:

B1: Lập công thức tọa độ của phép biến hình.

B2: Thay dữ kiện giả thiết đã cho vào công thức tọa độ.

B3: Tìm đại lượng theo yêu cầu bài toán.

Dng 3: Vit phương trnh nh của mt hnh qua phép bin hnh cho trước.

Phương pháp:

Cách 1: Xác đinh yếu tố.

B1: Tìm các yếu tố xác định hình đã cho.

B2: Tìm ảnh của các yếu tố này qua phép biến hình cho trước  Suy ra các yếu tố của ảnh cần tìm.

B3: Từ các yếu tố tìm được ở B2  Lập phương trình ảnh cần tìm.

Cách 2: Thế biểu thức tọa độ.

B1: Lập biểu thức tọa độ của phép biến hình đã cho  Rút ra biểu thức tọa độ của điểm tạo ảnh.

B2: Thế biểu thức tọa độ vào phương trình của hình (tạo ảnh) đã cho.

B3: Rút gọn  Ta được phương trình ảnh cần tìm.

ĐẶC BIỆT: CÔNG THC NHANH

Cho

 

: 0; ;ax by c v v v    

. Khi đó, ta có:

( ) '

T   



   

': . . 0ax by a v b v c       





 

  

Ñ '



 

': 2 2 0      

ax by ax by c

 

Ñ   



': 0   ax by c

 

Ñ   



': 0   ax by c

 

Ñ   



': 0    ax by c

 

;90

( ) '



  



': 0    bx ay c

 

; 90

( ) '



  



': 0   bx ay c

 

;

( ) '  



': 0   ax by kc

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 20 0983.900.570

VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11

I. QUAN HỆ SONG SONG

Dng 1: Chứng minh quan hệ song song.

1. Chứng minh 2 ĐT song song: Sử dụng kết quả hình học phẳng để chứng minh

2. Chứng minh ĐT song song MP

Cách

()

' ( )

d d d



















 Chứng minh: ĐT không chứa

trong MP và song song 1 ĐT

khác chứa trong MP đó.

Cách

()

( ) ( )

















 Chứng minh: ĐT này chứa

trong MP song song với MP đó.

3. Chứng minh 2 MP song song

Cách

, ( )

' ( ) ( )

', ' ( )

a b I





























 Chứng minh: MP này có

chứa 2 ĐT cắt nhau lần lwutj

song song 2 ĐT chứa trong MP

kia.

Dng 2: Tm giao tuyn của 2 mặt phẳng.

Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng  Giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm chung

đó.

   









  









Cách 2: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong 2 mặt phẳng lần lượt có chưa 2 đường

thẳng song song nhau  Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song 2 đường thẳng đó.

   

         



   







    







a b Ix Ix a b

Cách 3: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong mặt phẳng này có chưa 1 đường thẳng

song song với mặt phẳng kia Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song đường thẳng đó.

   

 

     



  









   







a Ix Ix a

Dng 3: Tm giao điểm của đương thẳng d v mặt phẳng.

TH1: Nếu trong

 



có sẵn chứa đường thẳng a cắt d tại I thì I là giao điểm của d và

 



 









  









a d I

TH2: Nếu trong

 



không có sẵn chứa đường thẳng a cắt d thì ta thực hiện như sau:

B1: Chọn mặt phẳng phụ

 



chứa d sao cho giao tuyến của

 



và

 



dễ tìm.

B2: Tìm giao tuyến



của

 



và

 



B3: Trong

 



, tìm giao điểm I của



và d  I là giao điểm của d và

 



Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 21 0983.900.570

 

     



  







     





  



Dng 4: Tm thit diện của hnh chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng

Cách 1: Tìm tất cả các đoạn giao tuyến của

 



với các mặt của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là đa

giác tạo bởi các đoạn giao tuyến đó.

Cách 2: Tìm tất cả các giao điểm của

 



với các cạnh (nếu có) của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là

đa giác tạo bởi các giao điểm đó.

II. QUAN HỆ VUÔNG GC

Dng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.

4. Chứng minh 2 ĐT vuông góc:

Cách

()















 Chứng minh: ĐT này vuông

góc với MP chứa ĐT kia.

Cách

d AB

d BC

d AC













 Chứng minh: ĐT này vuông

góc 2 cạnh tam giác có cạnh còn

lại nằm trên ĐT kia.

5. Chứng minh ĐT vuông góc MP:

Cách

;

()

, ( )

d a d b

a b I d









   









 Chứng minh: ĐT vuông góc

với 2 ĐT cắt nhau cùng chứa

trong MP.

Cách

( ) ( )

()

















  











 Nếu 2 MP vuông góc nhau thì

bất kì ĐT nào nằm trong MP này

và vuông góc với giao tuyến 2

MP sẽ vuông góc MP kia.

Cách

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )



  









  









 2 MP phân biệt cùng vuông

góc MP thứ 3 thì giao tuyến của

2 MP đó (nếu có) sẽ vuông góc

MP thứ 3 đó.

6. Chứng minh 2 MP vuông góc:

Cách

()

( ) ( )

()



















 Chứng minh: MP này có chứa

1 ĐT vuông góc MP kia.



















Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 22 0983.900.570

Cách

 

   













   















a b I

 Chứng minh MP này chứa 1

ĐT vuông góc với 2 ĐT cắt nhau

chứa trong MP kia.

Dng 2: Tm hnh chiu của Điểm lên MP

 Định nghĩa: H là hình chiếu của M lên

 





 



MH

tại H.

TH1: Có ĐT



đi

qua điểm M và vuông

góc mp

 



tại H  H

là hình chiếu của M

lên

 



TH2: Chưa có sẵn ĐT



như TH1.

 Tìm mp

 



qua M và

   

 



 Tìm

   





 Vẽ

MH d

tại H



()MH





tại H

 H là hình chiếu của M lên

 



Dng 3: Tnh góc.

1. Góc giữa 2 ĐT cắt nhau

ĐN: Là góc có số đo nhỏ nhất

(góc nhọn) trong 4 góc tạo

thành.

2. Góc giữa 2 ĐT bất kì

ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng

cắt nhau lần lượt song song với

2 đường thẳng đó.

   

; '; '









a b a b

3. Góc giữa ĐT và MP

ĐN: Là góc giữa đường thẳng

với hình chiếu của nó trên mặt

phẳng.

 

( ( )), , ’dd d





(với d’ là hình chiếu của d lên



))

Lấy

, A B d

Tìm

', 'AB

lần lượt là hình chiếu của

,AB

lên

 



 d’ (A’B’) là hình chiếu của d lên

 





 

( ( )), , ’dd d





Đặc biệt: Nếu d cắt

 



tại I thì:

 

taïi



















AI I

AI AIH

AH H

4. Góc giữa 2 MP

ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng

lần lượt vuông góc với 2 mặt

phẳng đó.

 

(( ),( )) ( , )























Cách xác định thường dùng: Góc giữa hai

MP bằng góc giữa 2 ĐT lần lượt chứa trong 2

MP và cùng vuông góc với giao tuyến của 2

MP đó.

   

       

 

; , ,

;

a b a b

a d b d



   







   



























Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 23 0983.900.570

Cách xác định khác:

     

   

 

;

a a b

  

   



  





   









Dng 4: Tnh khong cách.

1. Khoảng cách từ 1 Điểm đến MP

ĐN: Là khoảng

cách từ điểm đó

đến hình chiếu của

nó lên mặt phẳng.

Tìm H là hình chiếu của A lên (



Khi đó:

( ( ), )d A AH





2. Khoảng cách giữa ĐT và MP song song

ĐN: Là khoảng

cách từ 1 điểm bất

kì thuộc đường

thẳng đến mặt

phẳng.

Lấy

A

Khi đó:

( ( )) ( ),,()



d d A

3. Khoảng cách giữa 2 MP song song

ĐN: là khoảng

cách từ 1 điểm bất

kì thuộc mặt phẳng

này đến mặt phẳng

kia.

Lấy

 





Khi đó:

(( ) ( )) ( , ), ()d d A

  



4. Khoảng cách giữa 2 ĐT chéo nhau

ĐN: Là độ dài

đoạn vuông góc

chung của 2 ĐT

đó.

Tìm ĐT



cùng vuông góc a tại M và vuông

góc với b tại N. Khi đó:

 

taïi













d a b MN

Cách khác:

 

   

 

















d a b d b

   

     

 

















d a b d

ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tnh khong cách từ điểm đn mặt phẳng:

   

 

d , d ,AB A B

  



 

AB I



   













Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 24 0983.900.570

CÁC DẠNG HÌNH CHÓP

1. Hnh chóp có mt cnh bên vuông góc đáy:

 Đường cao là cạnh bên vương góc đáy.

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và cạnh bên

SA vuông góc mặt đáy.

,HK

lần lượt là hình chiếu của

lên

,SB SD

 Đường cao là

;

 

,BC AD SAB

;

 

,AB DC SAD

;

 

AH SBC

;

 

AK SCD

* Nếu đáy là hình vuông thì

 

BD SAC

Ví dụ 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và cạnh bên SA

vuông góc mặt đáy.

là trung điểm

;

lần lượt là hình chiếu

của

lên

 Đường cao là

;

 

BC SAM

;

 

AH SBC

;

2. Hnh chóp có 2 mặt qua đỉnh v cùng vuông góc mặt đáy:

 Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến của 2 mặt đó

Ví dụ: Hình chóp S.ABC có 2 mặt (SAB), (SAC) cùng vuông góc

mặt đáy (ABC)  Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến SA của

2 mặt (SAB), (SAC).

3. Hnh chóp có mt mặt bên vuông góc đáy:

 Đường cao hình chóp là đường cao của mặt bên đó (hạ từ đỉnh

hình chóp).

Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc mặt đáy (ABCD)

 Đường cao SH của tam giác SAB là đường cao hình chóp S.ABCD

4. Hnh chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy

Tính chất (chung):

- Các cạnh bên bằng nhau, cạnh đáy bằng nhau

- Các mặt bên là những tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau

- Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là tâm đáy)

- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau,

- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau.

1) Hình chóp tam giác đều:

a) Tính chất (riêng):

Mặt đáy là tam giác đều

Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm

2 đường trung tuyến của tam giác đáy)

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:



  SAH SBH SCH

Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

SIH





(với I là trung điểm

cạnh đáy)

b) Công thức liên hệ: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a,

cạnh bên b, chiều cao h, góc giữa cạnh bên và mặt đáy , góc giữa

mặt bên và mặt đáy . Khi đó:

Cách vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC

(hoặc tứ diện đều):

Vẽ đáy ABC  Dựng trọng tâm H (Là giao

điểm 2 đường trung tuyến)  Vẽ SH vuông

góc (ABC)  Vẽ các cạnh bên

Gc gia cnh

bên v mt đy

Gc gia mt

bên v mt đy

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 25 0983.900.570

. 3.cos

.sin

.tan





.tan















V a h

1) Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng

cạnh đáy (hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau.

Cho khối tứ diện đều cạnh a, chiều cao h, khoảng cách giữa 2 cạnh

đối diện d. Ta có:

ha

da



3). Hình chóp tứ giác đều

a) Tính chất (riêng):

Mặt đáy là hình vuông

Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm

2 đường chéo của đáy hình vuông)

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:



   SAH SBH SCH SDH

Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:

SIH





(với I là trung điểm

cạnh đáy)

b) Công thức liên hệ:

. 2.cos

.sin

.tan





.tan







V a h

Cách vẽ hình chóp tứ giác đều S.ABCD:

Vẽ đáy hình bình hành ABCD  Vẽ H là

giao điểm của hai đường chéo AC & BD 

Vẽ SH vuông góc (ABCD)  Vẽ các cạnh

bên

5. Hnh chóp có tất c cnh bên bằng nhau:

 Đường cao hình chóp là đoạn thẳng hạ từ đỉnh hình chóp đến tâm

đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.

Ví dụ: Hình chóp S.ABC các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và đáy

ABC là tam giác vuông tại B Đường cao hình chóp là SI, với I là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (I là trung điểm AC)

6. Tứ diện vuông: (Tứ diện có 3 mặt là 3 tam giác vuông tại cùng

một đỉnh hay có 3 cạnh đôi một vuông góc)

 Chân đường cao ứng với đỉnh vuông là trực tâm mặt đối diện với

đỉnh vuông.

Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB, SBC, SCA là tam giác

vuông tại S Đường cao SH, (với H là trực tâm tam giác ABC)

CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ

Tnh chất: Hình Lăng trụ có:

+ Các cạnh bên song song và bằng nhau;

+ Các mặt bên là hình bình hành;

+ Hai mặt đáy song song và bằng nhau;

+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ một điểm thuộc đáy này đến hình chiếu của nó lên

đáy kia;

+ Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau;

+ Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau;

Gc gia cnh

bên v mt đy

Gc gia mt

bên v mt đy

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 26 0983.900.570

Lăng trụ đứng: là lăng trụ có các

cạnh bên vuông góc với đáy

Đường cao là các cạnh bên A’A,

B’B, C’C

Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có

đáy là đa giác đều

Đường cao là các cạnh bên A’A,

B’B, C’C

Hình hộp: là lăng trụ có đáy là

hình bình hành

Đường cao: A’H (với H là hình

chiếu của A’ lên (ABC)

Hình hộp đứng: là hình hộp có các

cạnh bên vuông góc đáy (đáy là

hình bình hành)

Đường cao:

' , ' , ' , 'A A B B C C D D

Hình hộp chữ nhật: là hình hộp

đứng có đáy là hình chữ nhật (có 6

mặt đều là hình chữ nhật)

Đường chéo:

2 2 2

''AC AB AD AA  

Hình lập phương: là hình hộp có 6

mặt dều là hình vuông

Đường chéo:

' . 3AC AB

Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 27 0983.900.570

PHỤ LỤC

HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP)

I. HỆ THC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:

1) Tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM. Ta có:



2 2 2

BC AB AC

(Pi-ta-go) 

..AH BC AB AC



.AC CH BC



.AB BH BC



2 2 2

1 1 1

AH AB AC





.AB AC

AB AC







2 2 2

BH AB AB

BC BC AB AC







2 2 2

CH AC AC

BC BC AB AC







AM 

 Diện tích:

S AB AC

(bằng nửa tích độ dài 2 cạnh góc vuông)

2) Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Ta có:



AB AC a



2BC a



AH a

 Diện tích:

2 2 2

2 2 4

AB AC BC

S   

3) Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, có tâm I và đường cao AH.

Ta có:



AH 



AI 



IH 

 Diện tích:

S 

4) Nửa tam giác đều:

5) Tam giác thường: Cho ABC độ dài cạnh

,,BC a AC b AB c  

, đường cao

AH h

, trung tuyến

AM m

, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Ta có:

 Định lí côsin:

2 2 2

2 .cosa b c bc A  

 Định lí sin:

sin sin sin

a b c

A B C

  



2 2 2

cos

b c a







2 2 2

b c a





 Diện tích:

S a h

.sin

S bc A

abc



.S p r

   

S p p a p b p c   

(với

abc





)

II. HỆ THC LƯỢNG TRONG T GIÁC:

1) Hình thang: Diện tích hình thang ABCD có đáy AB, CD:

 

S AB CD h

(với h là chiều cao và h

bằng khoảng cách giữa AB và CD)

2) Hình thang vuông: Diện tích hình thang ABCD vuông tại A, D:

 

S AB CD AD

3) Hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD:

 

S AB CD h

(với h là chiều cao và h bằng

khoảng cách giữa AB và CD)

4) Hình thoi: Diện tích hình thoi ABCD:

S AC BD

(bằng nửa tích độ dài 2 đường chéo)

5) Hnh chữ nht: Diện tích hình chữ nhật ABCD:

.S AB BC

(bằng tích chiều dài và chiều rộng)

6) Hình vuông: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O



2AC BD a



OA OB OC OD a   

 Diện tích:

Sa



Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 Bí Kíp Võ Công Trường

2020-2021 28 0983.900.570

III. HỆ THC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:

 Diện tích hình tròn bán kính R:

.SR





 Chu vi đường tròn bán kính R:

2.CR





IV. TÂM CỦA TAM GIÁC

 Trọng tâm tam giác là giao điểm 3 đường trung tuyến

 Trực tâm tam giác là giao điểm 3 đường cao

 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm 3 đường trung trực

 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điiểm 3 đường phân giác

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

I. TỌA ĐỘ

Cho

( ; ), ( '; ')u x y v x y













 

'; 'u v x x y y   

( ; )ku kx ky

. ' 'u v xx yy

' ' 0u v xx yy   

u x y

 

cos ,



Cho

   

; , ;

A A B B

A x y B x y

 

;

B A B A

AB x x y y  

   

B A B A

AB x x y y   

M là trung điểm của AB:

A B A B

x x y y





G là trọng tâm tam giác ABC:

A B C

xxx





;

A B C

yyy





G là trọng tâm tứ giác ABCD :

;

A B C D A B C D

x x x x y y y y

     







M chia AB theo tỉ số k:

;

A B A B

x kx y ky







II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1. Phương trnh: Đường thẳng  đi qua điểm

 

;M x y

và có 1 VTPT

 

;n A B

hay có 1 VTCP

 

;a a b

,có:

Phương trình tổng quát:

   

00A x x B y y Ax By C       

(với

C Ax By  

)

Phương trình tham số:

x x at

y y bt











 

t

Phương trình chính tắc:

x x y y





 

.0ab

Chú ý: Phương trình đường thẳng qua

 

;M x y

có hệ số góc k:

 

y y k x x  

Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B:

A B A B

x x y y







2. Khong cách từ một điểm

 

;

M x y

đến một đường thẳng :

0Ax By C  

là:

 

Ax By C







III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trnh: Đường tròn có tâm

 

;I a b

và bán kính R, có phương trình:

Dạng 1:

   

x a y b R   

Dạng 2:

2 2 0x y ax by c    

, với điều kiện

0a b c  

và

R a b c  

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/31

| | Tải xuống

Preview text:

sin y tang t 3 - 3 π 3 - 3 -1 3 2 3 1 3 B s 2π π 1 3 cotang 3 3 3π 2 2 π 4 2 4 1 3 5π π 2 3 6 6 - 2 2 π -1 1 0 (rad) x 2 2 A' - 3 -1 1 O 3 A cosin 2 2 2 2 -1 - 3 7π 2 3 11π - 2 6 6 5π 2 - 3 7π 4 2 4π 4 -1 5π -1 3 3π B' 3 2 - 3 2020-2021 MỤC LỤC
VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC ............................................................................................................................. 1 I.
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ........................................................................................................... 1 II.
CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC .............................................................................................................. 1
III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC ...................................................................................................................... 2
IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH: .......................................................................................................................... 3 V.
SỰ BIẾN THIÊN: .................................................................................................................................. 3
VI. TÍNH CHẴN LẺ: ................................................................................................................................... 4
VII. TÍNH TUẦN HOÀN: ............................................................................................................................ 4
VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG: ...................................................................... 4
IX. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN .................................................................................................................. 5 X.
PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ...................................................................................................... 5
XI. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH: ............................ 6
VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT................................................................................................................... 7 I.
QUY TẮC ĐẾM .................................................................................................................................... 7 II.
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP .................................................................................................... 7
III. NHỊ THỨC NIU-TƠN ........................................................................................................................... 7
IV. XÁC SUẤT ............................................................................................................................................ 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ............................................................................................................ 8 I.
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP .................................................................................... 11 II.
DÃY SỐ ............................................................................................................................................... 11
III. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ..................................................................................................... 11
VẤN ĐỀ 5. GIỚI HẠN .................................................................................................................................. 12 I.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: ................................................................................................................. 12 II.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: ................................................................................................................. 12
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN: ........................................................................................................... 12
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC: .......................................................................................................................... 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: ........................................................................................................ 14
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y  f x tại điểm x : ................................................................... 14 0
Dạng 2: Tìm tham số để hàm số y  f x liên tục tại điểm x : ............................................................. 14 0
Dạng 3: Chứng minh phương trình f x  0 có ít nhất 1 nghiệm: .......................................................... 14
VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM .................................................................................................................................. 15 I.
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM ................................................................................................................. 15
QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM ........................................................................................................................ 15 II.
TIẾP TUYẾN ....................................................................................................................................... 15
VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ........................................................................... 17 I.
PHÉP TỊNH TIẾN: .............................................................................................................................. 17 II.
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: .................................................................................................................... 17
III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: .................................................................................................................. 17
IV. PHÉP QUAY: ...................................................................................................................................... 17 V.
PHÉP DỜI HÌNH: ................................................................................................................................ 18
VI. PHÉP VỊ TỰ: ....................................................................................................................................... 18
VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG: .......................................................................................................................... 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: ......................................................................................................... 18
Dạng 1: Dựng ảnh của một hình qua phép biến hình. ............................................................................... 18
Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình. ................................................................ 19
Dạng 3: Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước. ........................................... 19
ĐẶC BIỆT: CÔNG THỨC NHANH ........................................................................................................... 19
VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 ............................................................. 20 I.
QUAN HỆ SONG SONG .................................................................................................................... 20
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song. ................................................................................................. 20
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. ................................................................................................ 20
Dạng 3: Tìm giao điểm của đương thẳng d và mặt phẳng. ....................................................................... 20
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng .................................................. 21 II.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC ................................................................................................................... 21
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc. ................................................................................................. 21
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên MP................................................................................................ 22
Dạng 3: Tính góc. ...................................................................................................................................... 22
Dạng 4: Tính khoảng cách. ....................................................................................................................... 23
ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: ...................................... 23
CÁC DẠNG HÌNH CHÓP......................................................................................................................... 24
CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................. 25
PHỤ LỤC ........................................................................................................................................................ 27
HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP) ............................................................................................................ 27 I.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: ........................................................................................ 27
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: ........................................................................................... 27 III.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN: ............................................................................. 28 IV.
TÂM CỦA TAM GIÁC ................................................................................................................... 28
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ........................................................................................... 28 I.
TỌA ĐỘ............................................................................................................................................. 28
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................ 28 III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ............................................................................................... 28
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC I.
ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC sin y tang t 3 - 3 π 3 - 3 -1 3 2 3 1 3 B s 2π π 1 3 cotang 3 3 3π 2 2 π 4 2 4 1 3 5π π 2 3 6 6 - 2 2 π -1 1 0 (rad) x 2 2 A' - 3 -1 1 O 3 A cosin 2 2 2 2 -1 - 3 7π 2 3 11π - 2 6 6 5π 2 - 3 7π 4 2 4 4π -1 5π -1 3π 3 B' 3 2 - 3 II.
CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC
1) Hằng đẳng thức cơ bản:
2) Cung liên kết: 2 2
sin a  cos a  1 tan . a cot a  1
Cos đối Sin bù sin        sin      1 1 sin sin 2 2 1 tan a  1 cot a  2 2 cos a sin a cos      cos
cos      cos
3) Công thức cộng: tan       tan
tan      tan
sin a  b  sin .
a cos b  cos . a sin b cot      cot
cot      cot
cos a  b  cos . a cos b sin . a sin b tan a  tan b
tan a  b  1 tan .atanb 2020-2021 1 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
4) Công thức nhân đôi: Chéo phụ sin 2a  2 sin . a cos a       sin   cos, cos   sin     2 2
cos 2a  cos a  sin a  2   2  2  2 cos a 1       tan   cot, cot   tan     2  1 2 sin a  2   2 
Tang, Cotang hơn kém  2 tan a tan 2a  sin        2 1 tan a sin
5) Công thức hạ bậc
cos       cos  1 cos 2a 2 cos a 
tan      tan 2 cot 1 cos 2a     cot 2 sin a  2
Sin hơn = Cos kém (/2) 1 cos 2a 2       tan a  sin   cos, cos   sin     1 cos 2a  2   2 
6) Công thức nhân ba       3 tan    cot, cot    tan
sin 3x  3sin x  4 sin x      2   2  3
cos 3x  4 cos x  3cos x
7) Công thức biên tích thành tổng
8) Công thức biến tổng thành tích a  b a  b
cos a  cos b  2 cos .cos 1 cos . a cos b 
cosa  b  cosa b   2 2 2 a  b a  b
cos a  cos b  2  sin .sin 1 sin . a sin b 
cosa b  cosa  b   2 2 2 a  b a  b
sin a  sin b  2sin .cos 1 sin . a cos b 
sin a  b  sin a b   2 2 2 a  b a  b
sin a  sin b  2 cos .sin 2 2
9) Công thức đặc biệt  x  x2 cos sin 1 sin 2x 4 4
cos x  sin x  cos 2x 1 3 4 4 2 2 2
cos x  sin x  1 2 cos .
x sin x  1  sin 2x 6 6 2 2 2
cos x  sin x  1 3cos .
x sin x  1  sin 2x 2 4            
sin x  cos x  2 sin x   2 cos x    
 sin x  cos x  2 sin x    2 cos x       4   4   4   4  III.
HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
1. y  sin x
2. y  cos x
TXĐ: D 
. TGT: T   1  ;  1
TXĐ: D 
. TGT: T   1  ;  1
Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc Tính chẵn chẵn: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua tọa độ trục tung.
Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì 2
Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì 2    
Sự biến thiên: Nghịch biến trên 0;  ; Đồng biến
Sự biến thiên: Đồng biến trên  ;   ; Nghịch biến  2 2  trên ;      3  trên ;   Đồ thị:  2 2  Đồ thị: 2020-2021 2 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
3. y  tan x
4. y  cot x   D   k k  TXĐ: TXĐ: \ /
. TGT: T  D 
\   k / k   . TGT: T   2 
Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc Tính chẵn lẻ: Là hàm lẻ  Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ tọa độ
Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì 
Tính tuần hoàn: Tuần hoàn với chu kì 
Sự biến thiên: Luôn đồng biến trên từng khoảng xác Sự biến thiên: Luôn đồng biến trên từng khoảng xác
        định 0;     định  3 ;  ;  ;   ; ;    2 2   2 2  Đồ thị: Đồ thị: IV.
TÌM TẬP XÁC ĐỊNH:
1. Phương pháp:
B1: Lập điều kiện xác định (ĐKXĐ):
tan u xác định khi u
cot u xác định khi
xác định khi v  0
u xác định khi u  0  v u 
 k ,k  
u  k ,k   2
B2: Giải ĐKXĐ  Tìm điều kiện của biến
B3: Tùy theo ĐK của biến, Ta kết luận TXĐ như sau: x  a x  a  
 x  b  D  \ ; a ; b ..  . ;
 a  x  b  D   ; a b;
 x  b  D  ; a ; b ..  .   ......  ......  V.
SỰ BIẾN THIÊN:
1. Hàm số LG sơ cấp: Hàm số
Chiều biến thiên Khoảng Nghịch biến Bên trái Oy y  sin x Đồng biến Bên phải Oy Nghịch biến y  cos x Phía trên Ox Đồng biến Phía dưới Ox  y  tan x     Luôn Đồng biến Không chứa x k ,k  2 y  cot x    Luôn Nghịch biến
Không chứa x k ,k 
2. Tính chất cơ bản:
a) Nếu y  f x Đồng biến (Nghịch biến) trên K thì y  .
a f x  b cũng đồng biến (Nghịch biến) trên K
b) Nếu y  f x Đồng biến (Nghịch biến) trên K thì y   f  x Nghịch biến (Đồng biến) trên K 2020-2021 3 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường VI.
TÍNH CHẴN LẺ:
1. Định nghĩa:
f  x là hàm chẵn  f x  f x, x  D
f  x là hàm lẻ  f x   f x, x  D
2. Tính chất: 2n
x  Chẵn; 2n 1 x   Lẻ
f  x Chẵn  f ax Chẵn
f  x Lẻ  f ax Lẻ Hằng số  Chẵn Chẵn  Chẵn  Chẵn Lẻ  Lẻ  Lẻ
Chẵn  Lẻ  Không Chẵn, Không Lẻ
Chẵn x() Chẵn  Chẵn Lẻ x() Lẻ  Chẵn Chẵn x() Lẻ  Lẻ (Chẵn)n  Chẵn (Lẻ)2n+1 Lẻ (Lẻ)2n Chẵn k.Chẵn  Chẵn k.Lẻ  Lẻ
|Chẵn|  Chẵn; |Lẻ|  Chẵn
f Lẻ, g Chẵn  f  g Chẵn
f Lẻ, g Lẻ f  g Lẻ
f Chẵn, g Chẵn (hay Lẻ) f  g Chẵn VII.
TÍNH TUẦN HOÀN:
1. Định nghĩa:
f  x tuần hoàn với chu kì T  Tồn tại số T dương nhỏ nhất sao cho: f  x T   f x
2. Tính chất: y  sin ,
x y  cos x tuần hoàn chu kì T  2 y  tan ,
x y  cot x tuần hoàn chu kì T   
Nếu f x tuần hoàn với chu kì T
y  sin ax  b, y  cosax  b tuần hoàn chu kì 2 T  a T
thì f ax  b tuần hoàn với chu kì T '   a
y  tan ax  b, y  cot ax  b tuần hoàn chu kì T  a
Nếu y  sinu, y  cosu tuần hoàn chu kì T Nếu y  tan ,
u y  cot u tuần hoàn chu kì T T thì 2 2
y  sin u, y  cos u tuần hoàn chu kì thì 2 2
y  tan u, y  cot u tuiần hoàn chu kì T 2
Nếu f x , g x tuần hoàn với chu kì T , T thì 1 2
Nếu f x , g x tuần hoàn với chu kì T , T f x 1 2
f  x.g  x   , tuần hoàn với chu kì
thì f x  g x tuần hoàn với chu kì g  x *
T  BCNN T ,T (Máy tính: LCM T ,T )
T  BC T ,T  k.BCNN T ,T k  1 2   1 2   1 2  1 2 
(Máy tính: k.LCM T ,T ) 1 2 
VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG:
1. Định nghĩa: min f  x     m m
f x  M   (*) max f  x  M
2. Phương pháp: Chặn hàm số
B1: Biến đổi hàm số đã cho đến khi chỉ còn chứa 1 HSLG (nếu được)
B2: Dùng Bất đẳng thức LG và Tính chất Bất đẳng thức  Biến đổi và dạng: m  f  x  M min f  x  m
B3: Dùng định nghĩa (công thức (*) )  Xác định GTLN–GTNN:  max f  x  M
3. Bất đẳng thức LG:   1
  sin u 1 2
0  sin u 1 0 sin u 1 2
tan u  0
1  cos u  1 2
0  cos u  1
0  cosu 1 2
cot u  0 1  1
 2  sinu  cosu  2
 sin u.cosu  2 2 1
  sin u cos u 1 2 2 2020-2021 4 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
4. Tính chất Bất đẳng thức: A  B 2 2 A  B
A  B  A  C  B  C 
 A  C  B  D
A  B  0   C   D  A  B  . A C  . B C  C  0 A  B  0 3 3 A  B A  B     . A C  . B D A  B    . A C  . B C  C  0 C   D  0 3 3  A  B 1 1 1 1 0  A  1   1
m  A  n  0    A m A n IX.
PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Dạng f u  a
Dạng f u  f v
u    k2 sin u  a  ,( a  1) 
u  v  k2
u     k2
sin u  sin v          u v k 2 (Với   a 1 arcsin  sin a)
cosu  a  u  
  k2,( a 1)
cos u  cos v  u  v  k 2 (Với  a 1 arccos cos   a)
tan u  a  u    k     (Với   tan u tan v u v k a 1 arctan tan   a)
cot u  a  u    k      (Với   cot u cot v u v k arccot a   1 1  tan  )  a 
Trường hợp đặc biệt: Đối với PT sinu  ,
a cosu  a
 Nếu a  1 thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm.
 Nếu a  0 thì chỉ cần lấy 1 trong 2 công thức nghiệm và thay k2 thành k  
sin u  1  u   k2
sin u  1  u    k2
sin u  0  u  k 2 2 
cos u  1  u  k 2 cos u  1
  u    k2
cos u  0  u   k 2 X.
PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc hai đối với một HSLG là PT có dạng: 2
a sin u  bsin u  c  0 (1)
(Tương tự cho cos , u tan ,
u cot u )
Cách giải: Xem sin u là ẩn, Ta có PT bậc 2 với ẩn là sin u  Giải PT bậc 2, Ta được PTLG cơ bản
 Giải PTLG cơ bản, tìm nghiệm.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinu; cosu là PT có dạng: 2 2 . a sin u  .
b cos u  c (a  b  0) (2)
Cách giải: B1. Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu 2 2 2
a  b  c thì PT có nghiệm B2. . a sinu  .
b cosu  c a b c  .sin u  .cosu  (Chia 2 vế PT cho 2 2 a  b ) 2 2 2 2 2 2 a  b a  b a  b c a b  sin . u cos  cos . u sin  (Đặt:  cos;  sin ) 2 2 a  b 2 2 2 2 a  b a  b c
 sin(u   ) 
(*) (Áp dụng công thức cộng) 2 2 a  b
B3. Giải PT cơ bản (*)  Tìm nghiệm.
MỞ RỘNG: Loại 1: 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c sin v (a  b  c ) hay 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c cos v (a  b  c ) 2020-2021 5 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường Loại 2: 2 2 2 2 . a sin u  . b cos u  .
c sin v  d.cos v (a  b  c  d )
Cách giải: Chia 2 vế cho 2 2
a  b  Biến đổi đưa về dạng sin t  sin w hay cost  cos w
3. Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) bậc hai đối với sinu, cosu là PT có dạng: 2 2 2 2
a sin u  b cos u  c sin .
u cos u  d, (a  b  0) (3)
Cách giải 1: Dùng công thức nhân đôi và hạ bậc Biến đổi đưa về PT bậc nhất đối với sin và cos.
Cách giải 2: Chia 2 vế cho 2 u  2 cos
hay sin u Thu gọn, ta được PT bậc 1 hay bậc 2 đối với tanu hay cot u
Chú ý KT: Nếu cos u  0 (hay sinu  0 ) thỏa PT(3) thì nghiệm của cos u  0 (hay sinu  0 ) là nghiệm của PT(3) A  0 
4. Phương trình đưa về phương trình tích: . A .
B C  0  B  0  C  0  XI.
PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Cách 1:  Biểu diễn điểm xác định công thức điều kiện và công thức nghiệm lên Đường tròn lượng giác
 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm k2 ).
Cách 2:  Cho tham số nguyên (k) trong công thức điều kiện và công thức nghiệm chạy từ 0 đến khi tìm
đủ số điểm trên đoạn 0; 
 Loại bỏ điểm trùng của nghiệm so với điểm của điều kiện
 Kết luận: Nghiệm PT là những điểm còn lại (Mỗi điểm cộng thêm k2 ). 2020-2021 6 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT I.
QUY TẮC ĐẾM
1. Qui tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động: Hành động thứ nhất có n
cách thực hiện, hành động thứ hai có m cách thực hiện (không trùng với bất cứ cách nào của cảu hành
động thứ nhất). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n  m cách.
2. Qui tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp: Hành động thứ nhất có n cách
thực hiện, với mỗi cách thực hiện hành động thứ nhất có m cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó công
việc có thể được thực hiện bởi . n m cách. II.
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Dấu hiệu nhận Loại Định nghĩa
Công thức tính số lượng biết
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự của n phần tử
Lấy hết n phần Hoán vị n 
* gọi là một hoán vị của n P  .
n (n 1).(n  2).....2.1  n!
tử để sắp xếp n phần tử. thứ tự
Mỗi vị trí sắp xếp thứ tự k phần tử
Lấy k phần tử Chỉnh được lấy trong n k !
n phần tử n  k gọi là
A  n(n 1).....(n  k 1) 
trong n phẩn tử hợp n n  k  một chỉnh hợp chập !
để sắp xếp thứ
k của n phần tử. tự
Mỗi tập hợp k phần tử được lấy trong n
Lấy k phần tử n k ! Tổ hợp
phần tử n  k
trong n phẩn tử
gọi là một tổ hợp chập C  n 
và không sắp
k của n phần tử. k !(n k)!
xếp thứ tự
CÔNG THỨC TỔ HỢP MỞ RỘNG Loại
Công việc thực hiện
Công thức đếm Hoán vị vòng quanh
Sắp xếp n phần tử theo một vòng tròn
n 1!
Chọn k phần tử trong n phần tử và sắp xếp vào m vị trí Chỉnh tổ hợp  k C . k A k  , n k  m n m
 Công thức đặc biệt: n n n ! ! 0!  1
Nếu k  n thì A    n!  P . n 0! 1 n 0 n C  C  1 1 C  n n n n k nk C  C  k  n k k  k  1 1 C  C =C 0  k  n n n n 1    n n 0  n k n n n  n  n  k  A k 0 1 2  k ! ( 1)( 2)...( 1)
C  C  C  C  ... n  C  2n  k  n n C    n n n n n 0  n  k 0 k !(n k)! k ! k ! III.
NHỊ THỨC NIU-TƠN
1. Công thức nhị thức Niu-Tơn: n n     a  b 0 n 1 n 1 2 n 2 2
 C a  C a b  C a b ... k n k k  C a b ... n n k n k k
 C b  C a b ,n  * n n n n n n k 0
2. Tính chất của nhị thức Niu-tơn
 Số các số hạng của công thức là n 1
 Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n; đồng thời tổng các số mũ của a và b trong
mỗi hạng tử đều bằng n
 Số hạng tổng quát thứ k 1 có dạng k nk k T
 C a b (k  0,1,..., n) k 1  n
 Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau: k nk C  C
; 0  k  n n n
3. Một số dạng đặc biệt 2020-2021 7 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Dạng 1. Thay a  1 và b  x vào (1), ta được: n 0 1 2 2 n 1  n 1
(1 x)  C  C x  C x  ...  n n
 C x  C x n n n n n  Cho x  1  0 1 2
C  C  C  ... n  C  2n n n n n
Dạng 2. Thay a 1, b  x vào (1), ta được: n 0 1 2 2
(1 x)  C  C x  C x  ...  ( 1  )k k k C x  ...  ( 1  )n n n C x n n n n n  Cho x  1 0 1 2
C  C  C  ...  ( 1  )n n C  0 n n n n
4. Tính chất lũy thừa:  n a  . a . a ..a m m  a mn m n m n n m n (tích của n thừa số a)    a   a  a a a .a n a 0  1
a  1 , a  0 n n   n n   n n n a a a a  ( .
a b)  a .b      n n 1  a  , a   b  b n  0 a m n n m m.  ( )  ( ) n a a  a IV. XÁC SUẤT
1. Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu:  2. Biến cố: Kí hiệu
Thuật ngữ biến cố Kí hiệu
Thuật ngữ biến cố A   A là biến cố
C  A  B
C là biến cố: “A hoặc B” A  
A là biến cố không
C  A  B  .
A B C là biến cố: “A và B” A  
A là biến cố chắc chắn
A  B  
A và B xung khắc
A   \ A
A là biến cố đối của A B  A
A và B đối nhau
3. Xác suất của biến cố.
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: n  A 
b) Xác suất của biến cố A là: P( ) A A   n   Trong đó: n 
A   là số phần tử (hay kết quả thuận lợi) của biến cố A; A
n   là số phần tử của không gian mẫu (hay tất cả kết quả có thể xảy ra của phép thử).
c) Tính chất:  ( P )   0 ;  P( )  1;  0  ( P ) A  1
 P A 1 P( ) A
d) Công thức cộng xác suất:
 Nếu A và B xung khắc thì P A B  P 
A  PB
 Mở rộng: P A B  P 
A  PB  P . A B,  , A B
e) Công thức nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập  P .
A B  P 
A .PB
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Bài toán đếm:
Quy tắc: Hành động nào có điều kiện mạnh nhất thì thực hiện đếm trước nhất,...
Dạng 1.1: Đếm số lượng số tự nhiên:
B1: Gọi số tự nhiên có dạng: x  a ...a , a  0 và a thuộc tập chứa các chữ số theo đề. 1 n 1 i
B2: Chọn chữ số thỏa điều kiện bài toán đặt vào các hàng số theo thứ tự ưu tiên: Hàng nào có điều kiện
“mạnh” nhất thì thực hiện trước nhất. (Chú ý phân ra nhiều trường hợp nếu bị trùng điều kiện)
B3: Dùng Quy tắc nhân để tính kết quả từng trường hợp và Dùng Quy tắc cộng để tính Kết quả cả bài.
Tính chất chia hết
Dấu hiệu chia hết Số lẻ
Chữ số tận cùng là chữ số lẻ
Số chẵn (Số chia hết cho 2)
Chữ số tận cùng là chữ số chẵn Chia hết cho 3
Tổng các chữ số chia hết cho 3 Chia hết cho 4
Số gồm 2 chữ số cuối là số chia hết cho 4 2020-2021 8 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường Chia hết cho 5
Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Chia hết cho 8
Số gồm 3 chữ số cuối là số chia hết cho 8 Chia hết cho 9
Tổng các chữ số chia hết cho 9
Tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết Chia hết cho 11 cho 11. Chia hết cho 25
Hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hoặc 75.
Dạng 1.2: Đếm số cách sắp xếp:
 Sắp xếp xen kẽ 2 nhóm A, B:
 TH1. Số phần tử 2 nhóm bằng nhau: n 
A  nB  m Số cách sắp xếp là 2.m!.m!.
 TH2. Số phần tử 2 nhóm hơn kém 1 đơn vị: n  A  ,
m nB  m 1 Số cách sắp xếp là ! m .m   1 !
 Sắp xếp theo nhóm A, B, C: n  A  , a nB  ,
b nC  c
 TH1. Chỉ có các phần tử nhóm A kề nhau  Số cách săp xếp là a!.b  c   1 !
 TH2. Các phần tử 2 nhóm A, B kề nhau  Số cách săp xếp là a!. !
b .c  2!
 TH2. Các phần tử 3 nhóm A, B, C kề nhau  Số cách săp xếp là a!.b!.c!.3!
 Tương tự cho sắp xếp n nhóm.     n 1
Sắp xếp nhóm A có n phần tử sao cho có k phần tử a , a ,..., a không kề nhau k 
: 1 2 k    2 
 B1. Xem số vị trí cần sắp xếp là 2n  k 1  Sắp xếp n  k phần tử a , a ,...,a k 1  k  vào các vị trí 2 n
chẵn  Có n  k! cách
 B2. Sắp xếp k phần tử a , a ,...,a vào m vị trí còn lại ( m  2
 n  k 1  k
A cách 1 2 k  )  Có km
 B3. Số cách sắp xếp là n  k!. k A m
Dạng 1.3: Đếm số cách chọn:
 Chọn không sắp xếp:
 Chọn k phần tử loại I từ các nhóm A, B, C,...  Phân nhiều Trường hợp, chọn mỗi nhóm 1 số lượng
phần tử loại I , sao cho tổng số lượng phẩn tử loại I ở mỗi trường hợp phải bằng k phần tử. 
 Chọn có sắp xếp:
Dạng 2: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton
Dạng 2.1: Tìm hệ số của số hạng chứa m
x trong KT:   n p q ax bx n  n n n k k
B1: Khai triển:  p ax  q bx    k C  p ax   q bx  k nk k np pk    qk C a b x n n k 0 k 0 
B2: Số hạng chứa m
x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk  m . Từ đó tìm m np k  p  q
B3: Vậy hệ số của số hạng chứa m  x là: k n k C a . k
b với giá trị k đã tìm được ở trên. n
Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa m
x , hệ số phải tìm bằng 0. Dạng 2.2: n
Tìm hệ số của số hạng chứa m
x trong khai triển:      p  q P x a bx cx  = 2
a  a x  ...  n a x . 0 1 2n k
B1: Viết P  x  a  p bx  q cx  k n  n n k C a  p bx  q cx ; n  k 0 k
B2: Viết số hạng tổng quát trong khai triển  p  q bx
cx  thành một đa thức theo luỹ thừa của x .
B3:Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của m x .
Dạng 2.3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
B1: Tính hệ số a theo k và n ; k
B2: Giải bất phương trình a
 a với ẩn số k ; k 1  k
B3: Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên. 2020-2021 9 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Dạng 3: Bài toán tổng n k k a C b . k n k 0
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton: n 0 n n 1  1 n2 2 2
(a  b)  C a  a bC  a
b C  ...  n n b C . n n n n
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng: * k n C  k C * 0 1
C  C  ...  n C  2n n n n n n n n 2n k k  1 *  n ( 1  )k k C  0 * 2 2 1 C  C C *  n k k
C a  (1 a)n . n   n  k n 2 2 2n n k  k  2 k 0 0 0 k 0 k 0
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k ) và
biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Dạng 4: Tính xác suất
B1. Mô tả không gian mẫu  (Nếu được). Kiểm tra tính hữu hạn của  , tính đồng khả năng của các kết quả
 Đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử: n
B2. Xác định biến cố A  Đếm số kết quả có thể xảy ra của biến cố: n A n A
B3. Tính xác suất của biến cố A : P A    n 2020-2021 10 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I.
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
1. Quy tắc: Để chứng minh mệnh đề chứa biến An là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n , ta thực hiện như sau:
 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n  1.
 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n  k tuỳ ý k  
1 , chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n  k 1 .
2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề An là đúng với với mọi số nguyên dương n  p thì :
 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n  p
 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n  k  p và phải chứng minh mệnh
đề đúng với n  k 1 . II. DÃY SỐ
1. Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên u : *  n u(n)
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
 u là dãy số tăng *  u  u , n   n  n 1  n
 u là dãy số giảm *  u  u , n   n  n 1  n
3. Dãy số bị chặn
 u là dãy số bị chặn trên *
 M  : u  M , n   . n  n
 u là dãy số bị chặn dưới *
 m : u  m , n   . n  n
 u là dãy số bị chặn *
 m , M  : m  u  M , n   . n  n III.
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Cấp số cộng Cấp số nhân Dãy số
u là cấp số cộng Dãy số u là cấp số nhân n  n  Định nghĩa *  u
 u  d , n  
 u  u q , n   n n  * 1  n 1  n
Số hạng tổng quát 
u  u  (n 1)d ,  * n   2 , n n 1
u  u .q , n   n  n  * 2 , 1  n 1  u  u Tính chất k 1  k 1 u   , k   k  2 u  u .u , k   k   k   * 2 , k k 1 1  k  * 2 ,  2
Tổng n số hạng
Khi q  1: S  nu n 1 đầu tiên
n(u  u ) n 1 n S 
 2u  (n 1)d n  1  1 q Khi  
S  u  u  ...  u 2 2 q 1: S u . n 1 n 1 2 n 1 q 2020-2021 11 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 5. GIỚI HẠN I.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: 1 1  k 
n   k  n  lim  0 lim  0 (k  )  lim ( )  lim   n n ;   k n n n
 lim q   (q  1) n
 lim q  0 ( q 1) ;  lim C  C
2. Định lí:(Quy tắc về giới hạn vô cực) n n
2. Định lí: Cho lim u  a, lim v  b . Ta có: n n a0 a u u
 limu  v  a b
 limu .v  ab n  0 n
  [u .v ]   n n  . n n  n n v v   n  n 0   n u a a 0  lim  b  )  lim  n u a
(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy n v b (nếu 0 tắc nhân dấu)  lim  n u
a (u , a  0 ) n
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 2 1 u S  1 u  1 u q  1 u q   q  1 q  1 II.
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
 lim x  x ;
 lim C  C (C là hằng số) 0
 neáu k chaün xx xx  lim k
x   ;  lim k x   0 0 x x  neáu k leû
2. Định lí: Cho lim f (x)  L , lim (
g x)  M . Ta có: xx xx c 0 0
 lim C  C ;  lim  0
 lim  f (x)  ( g x  )  L  M k x ;  x x xx0
2. Định lí: (Quy tắc về giới hạn vô cực)
lim  f (x) ( g x  )  L  M xx L L0 0 f (x) f (x) L  f (x) 0
  [f (x). g(x)]  
 lim  f (x). ( g x 
)  L.M ;  lim 
(nếu M  0 ) g(x) g(x)    0  L0 xx xx ( g x) M 0 0
x  x hay x    lim
f (x)  L  ( )
f  x  0  lim f (x)  L 0 xx xx
(Dấu của giới hạn vô cực được xác định theo quy 0 0
3. Giới hạn một bên: tắc nhân dấu)
lim f (x)  L  lim f (x)  lim f (x)  L xx x x  x x    0 0 0
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN: 0 0  f (x)
Dạng vô định
: ( Là giới hạn của thương mà tử và mẫu đều có giới hạn bằng 0: ) 0 g(x) 0
a) Cách khử: Biến tử và mẫu thành tích rồi đơn giản (hết) nhân tử chung
b) Các dạng thường gặp: f  x
Dạng 1.1: Giới hạn của phân thức hữu tỷ tại một điểm: lim
, với f  x, g x là các đa thức và x 0 x g  x
f  x  g x  0 0   0
PP: Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung: f  x
x  x .u x u x 0      lim  lim  lim  ... x    0 x g  x x 0 x  x x . x x v x v x 0    0   2020-2021 12 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường 3 2 2 x 8
(x  2)(x  2x  4)
x  2x  4 12 VD: lim  lim  lim   3 2 x 2  x 2 x  4 
(x  2)(x  2) x 2  x  2 4 f  x Dạng 1.2: lim
, với f x, g x là các biểu thức chứa căn cùng bậc và f  x  g x  0 0   0 x 0 x g  x
PP: Nhân biểu thức liên hợp (tương ứng) ở tử và mẫu để khử căn  Biến thành tích rồi đơn giản nhân tử chung. 
A BA B A B  2 A  B lim  lim  lim  ... x   0 x x C 0 x .
C  A B  x 0
x C. A B     3   3 A B  2 3 3 2 A . A B B A B  3 A  B lim  lim  lim  ... x   0 x x C 0 x C. 2 3 3 2 A  . A B  B  x 0 x C. 2 3 3 2 A  . A B  B  2  4  x
2 4 x2 4 x 1 1 VD: lim  lim  lim  x0 x x0
x 2  4  x 
x0 2  4  x 4 f  x Dạng 1.3: lim
, với f  x là các biểu thức chứa căn không cùng bậc và f  x  g x  0 0   0 x 0 x g  x
PP: Tách thành tổng các thương sao cho mỗi thương chỉ chứa căn cùng bậc và bảo toàn dạng VĐ 0 . 0 u  x 3  vx  ux 3
 m m  v x  lim  lim  
  ..., (Với m  ux  3  v x ) 0  0 x    0 x h  x x 0 x h  x h  x   3  3 x 1 1 x x 1 1 1 1 x         VD: lim  lim    =… x 0  x x 0   x x     f (x)
Dạng vô định
: (Là giới hạn của thương mà tử và mẫu đều có giới hạn vô cực: )  g(x) 
Các dạng thường gặp:
Dạng 2.1: f x, g x là các đa thức PP: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 5 3 2 2   2 2x  5x  3 x x VD: lim  lim  2 2
x x  6x  3 x 6 3 1  2 x x
Dạng 2.2: f x, g x có chứa lũy thừa k
x và căn thức PP: Rút lũy thừa cao nhất ra khỏi các căn rồi chia
cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 3 2  2x  3 2x  3 VD: lim  lim  lim x  1  x 2 x  3 x  x  3 x 3  . x 1  x .  1 1 2 2 x x
 Giới hạn của tổng, hiệu: (Chứa lũy thừa k x )
Các dạng thường gặp:
Dạng 3.1: Giới hạn tại vô cực của tổng, hiệu mà tổng hệ số các lũy thừa bậc cao nhất khác 0
PP: Rút lũy thừa bậc cao nhất làm nhân tử chung đưa về tích  Áp dụng quy tắc giới hạn của tích:
[f (x). g(x)]      L0   1  VD: lim   
          2 x x 2x lim x 1 2   x x  x    2020-2021 13 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Dạng 3.2: Giới hạn tại vô cực của tổng, hiệu mà tổng hệ số các lũy thừa bậc cao nhất bằng 0 (Dạng này thường có căn) 
PP: Nhân chia biểu thức liên hợp để khử căn  Ta được giới hạn dạng vô định 
lim  1 x  x 
 1 x  x 1 x  x 1 VD:  lim  lim  0 x x 1 x  x  x
 1 x  x
 Giới hạn của tích: Phương pháp: 
TH1: Biến thành thương  Ta được dạng vô định 0 hoặc . 0 
TH2: Biến thành tổng, hiệu  Ta được giới hạn của tổng, hiệu như mục 3. x x  2. x 0. 2
VD: lim (x  2)  lim   0  2 x 2 x  4 x 2   x  2 2 III.
HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y  f x liên tục tại x  lim f  x  f  x 0  0 x 0 x
y  f x liên tục tại x  lim f  x  lim f  x  f  x   0  0 x  0 x x 0 x
2. Hàm số liên tục trên một khoảng khi hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim f (x)  f ( )
a , lim f (x)  f ( ) b x a x b  
4. Tính chất:
 Hàm số đa thức liên tục trên .
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
 Tổng hiệu, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.
5. Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Nếu y  f x liên tục trên  ;
a bvà f a. f b  0 thì tồn tại ít nhất một số c ;
a b sao cho f c  0 .
Nói cách khác: Nếu y  f x liên tục trên  ;
a b và f a. f b  0 thì phương trình f  x  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  ; a b .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số y  f x tại điểm x : 0
B1: Tính f  x . 0 
B2: Tính lim f  x (Hay tính lim f  x, lim f  x ) x     0 x x 0 x x 0 x
B3: So sánh lim f (x) , f  x  Kết luận. 0  xx0
Dạng 2: Tìm tham số để hàm số y  f x liên tục tại điểm x : 0
B1: Tính f  x . 0 
B2: Tính lim f  x (Hay tính lim f  x, lim f  x ) x     0 x x 0 x x 0 x
B3: Cho lim f (x) = f  x (Hay cho lim f  x  lim f  x  f  x ) Giải PT, HPT tìm tham số.   0  0  xx x  0 x x 0 x 0
Dạng 3: Chứng minh phương trình f x  0 có ít nhất 1 nghiệm: B1: Chọn đoạn  ;
a b sao cho hàm số y  f x liên tục và f a. f b  0 .
B2: Kết luận: PT f x  0 có ít nhất một nghiệm thuộc  ; a b 2020-2021 14 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM I.
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm hợp Phép toán     C   0  f
 u  f  
u.u
u  v  u v     x  1
 .uv  u .v  .uv  k.v  k.v       x  1
 .x               u  1
 .u  .u u u .v v .u k k.v        2 2    v  v  v  v   x  1    u u  Đặc biệt 2. x 2. u    1     1  1           1  u   1  x  x  2   x  x   2  u  u a b  
sin x  cos x   
sin u   u .cos u  ax  b  c d ad  bc       2 2     
cos x   sin x   cx d (cx d ) (cx d ) cos u   u  .sin u b c    2   x 1 tan   u  adx 2aex  tan u   2 2     cos x ax bx c d e 2 cos u    2        dx e  dx  e x 1 cot   u  cot u   2 sin x 2 sin u
QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM
Khi tìm đạo hàm của hàm số ta thực hiện theo thứ tự ưu tiên như sau:
PHÉP TOÁN  HÀM HỢP  SƠ CẤP. II. TIẾP TUYẾN
1) Định lý: PT tiếp tuyến của đường cong C : y  f  x tại tiếp điểm M  x ; y có dạng: 0 0 
y  y  k. x  x (*) 0  0  Trong đó: + x : Hoành độ tiếp điểm; 0
+ y  y x : Tung độ tiếp điểm; 0  0
+ k  f x : Hệ số góc của tiếp tuyến. 0 
2) Quy tắc lập phương trình tiếp tuyến của đường cong y  f x
B1. Tìm đạo hàm y '  f 'x
B2. Dựa vào giả thiết, tính x , y , f  x . 0 0  0
B3. Thay vào PT (*), thu gọn, ta được PT tiếp tuyến cần tìm (Chú ý: So điều kiện, loại PTTT nếu có) 3) Chú ý:
 Đường thẳng d: y  ax b
 Hệ số góc k  a ; d   a
Đường thẳng d  : ax  by  c  0  Hệ số góc k  . d b
 d d '  k  k ;
 d  d '  k .k  1  d d ' d d '
4) Các dạng phương trình tiếp tuyến: Giả thiết
Theo GT, Ta có:
Các đại lượng cần tính
Biết hoành độ tiếp điểm x
Tính: y  y x , k  f x 0  0  0 0
Biết tung độ tiếp điểm y
Từ: y  y x  Tính được x và k  f x 0  0  0 0 0
Biết hệ số góc của TT k
Từ: k  f x  Tính được x và y  y x 0  0 0  0 2020-2021 15 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Biết TT song song ĐT
Từ: k  f x  Tính được x và y  y x 0  0 0   k  k 0 d  d
(Chú ý loại PTTT trùng PT ĐT d)
Biết TT vuông góc ĐT 1   k.k  1   k 
Từ: k  f x  Tính được x và y  y x 0  0 0  d  d k 0 d
Biết TT qua Ax ; y
y  yx  y x . x  x Giải PT tìm x  Tính y  y x , k  f x 0  0  0 A 0   0  A 0 A A  0
TT tại giao điểm của
C: y  f x và
f  x  ax  b
Giải PT tìm x  Tính y  y x , k  f x 0  0  0 0  0 0
d: y  ax b
TT tại giao điểm của  y  0
Từ: y  y x  Tính được x và k  f x 0  0  0
C  và Ox 0 0
TT tại giao điểm của  x  0
Tính: y  y x , k  f x 0  0  0
C  và Oy 0 2020-2021 16 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I.
PHÉP TỊNH TIẾN:
1. Định nghĩa:
T M   M '  MM '  v v
2. Biểu thức tọa độ:    T M  x x a '    M ' M M  v a;b y  y  b  M ' M
3. Tính chất: Phép tịnh tiến biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
d) Tam giác thành tam giác bằng nó.
e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. II.
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
1. Định nghĩa:
Ñ M  M'  I
I là trung điểm MM '
2. Biểu thức tọa độ: x x x Ñ M M I     2  M '  I M
'  y  2y   y M ' I M
3. Tính chất: Phép đối xứng tâm biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
d) Tam giác thành tam giác bằng nó.
e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. III.
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1. Định nghĩa:
Ñ M  M'   
là đường trung trực của MM '
2. Biểu thức tọa độ: 
ax  by  c
x  x  2 . M M  a  M M a    b Ñ M M
 axbyc   ' 2 2 '  : 0 ax  by   c
y  y  2 . M M b M ' M 2 2  a  b x x Ñ M M Ox     M '  M '  y    y M ' M x x Ñ M M Oy      M '  M '  y   y M ' M
3. Tính chất: Phép đối xứng trục biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
d) Tam giác thành tam giác bằng nó.
e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. IV. PHÉP QUAY:
1. Định nghĩa: IM  IM '  Q M  M '  I  ;       IM; IM '   
2. Biểu thức tọa độ: 2020-2021 17 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
x  x .cos  y .sin Q M  M M M M '  O  ;   '  
y  y .cos  x .sin  M' M M x  y Q M  M M M '  O  ,90   '   y   x M ' M x  y Q M  M M M '  O  , 9  0   '   y    x M ' M
3. Tính chất: Phép quay biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
d) Tam giác thành tam giác bằng nó.
e) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. V.
PHÉP DỜI HÌNH:
1. Định nghĩa:
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
2. Tính chất: Phép dời hình biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
c) Tam giác thành tam giác bằng nó.
d) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. VI.
PHÉP VỊ TỰ:
1. Định nghĩa: V
M  M '  IM '  k.IM I ,k    
2. Biểu thức tọa độ:
x  x  k x   x M ' I  M I  V M  M '  I k  ,    
y  y  k y   y M ' I  M I 
x  k.x V M  M M M '  O k  ,   '   y  k.  y M ' M
3. Tính chất: Phép vị tự tỉ số k biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
b) Đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài k .a .
c) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
d) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k .
e) Đường tròn bán kính r thành đường tròn có bán kính k .r . VII.
PHÉP ĐỒNG DẠNG:
1. Định nghĩa:
Phép đồng dạng tỉ số k  0 là phép biến hình đoạn thẳng có độ dài a thành đoạn thẳng có độ dài k.a .
2. Tính chất: Phép đông dạng tỷ số k  0 biến:
a) Đường thẳng thành đường thẳng.
b) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự ba điểm đó.
c) Tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k .
d) Đường tròn bán kính r thành đường tròn có bán kính k.r .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Dựng ảnh của một hình qua phép biến hình. Phương pháp:
B1: Tìm ảnh của các yếu tố xác định một hình.
B2: Dựng ảnh của hình theo các yếu tố đã tìm. 2020-2021 18 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình. Phương pháp:
B1: Lập công thức tọa độ của phép biến hình.
B2: Thay dữ kiện giả thiết đã cho vào công thức tọa độ.
B3: Tìm đại lượng theo yêu cầu bài toán.
Dạng 3: Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước. Phương pháp:
Cách 1: Xác đinh yếu tố.
B1: Tìm các yếu tố xác định hình đã cho.
B2: Tìm ảnh của các yếu tố này qua phép biến hình cho trước  Suy ra các yếu tố của ảnh cần tìm.
B3: Từ các yếu tố tìm được ở B2  Lập phương trình ảnh cần tìm.
Cách 2: Thế biểu thức tọa độ.
B1: Lập biểu thức tọa độ của phép biến hình đã cho  Rút ra biểu thức tọa độ của điểm tạo ảnh.
B2: Thế biểu thức tọa độ vào phương trình của hình (tạo ảnh) đã cho.
B3: Rút gọn  Ta được phương trình ảnh cần tìm.
ĐẶC BIỆT: CÔNG THỨC NHANH
Cho  : ax  by  c  0; v  v ;v . Khi đó, ta có: 1 2 
1) T ()   '
 ' : ax  by   . a   v   . b v   c  0 1   2  v
2) Ñ   '
 ax by   ax  by c  I  ':  2 2 I I  0
3) Ñ   '
 ax  by  c  O  ': 0
4) Ñ   '
 ax by  c  Ox  ': 0
5) Ñ   '
 ax  by  c  Oy  ': 0 6)  Q ( )   '
 ': bx  ay  c  0 O;90 7)  Q ( )   '
 ': bx  ay  c  0 O; 9  0 8)  V ( )   '
 ': ax  by  kc  0 O;I  2020-2021 19 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11 I.
QUAN HỆ SONG SONG
Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song.
1. Chứng minh 2 ĐT song song: Sử dụng kết quả hình học phẳng để chứng minh
2. Chứng minh ĐT song song MP d  ( ) 
 Chứng minh: ĐT không chứa d' Cách  d d '   d ()
trong MP và song song 1 ĐT 1  d d '  ( )
khác chứa trong MP đó. α Cách d  ( )   β  
Chứng minh: ĐT này chứa d ( ) 2 ( ) ( )
trong MP song song với MP đó. d α
3. Chứng minh 2 MP song song
a, b  ( )  
a  b  I 
 Chứng minh: MP này có a' Cách 
chứa 2 ĐT cắt nhau lần lwutj b' β a a '   ( ) ( ) 1 
song song 2 ĐT chứa trong MP b b '  kia. a I b
a ', b '  ( )  α
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng  Giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó.
A       AB   
B      
Cách 2: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong 2 mặt phẳng lần lượt có chưa 2 đường
thẳng song song nhau  Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song 2 đường thẳng đó.
I        a  
  , b         Ix Ix a b  a b 
Cách 3: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng và chứng tỏ trong mặt phẳng này có chưa 1 đường thẳng
song song với mặt phẳng kia Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song đường thẳng đó.
I       a     
       Ix Ix a a    
Dạng 3: Tìm giao điểm của đương thẳng d và mặt phẳng.
TH1: Nếu trong   có sẵn chứa đường thẳng a cắt d tại I thì I là giao điểm của d và   .
   a d  I
a  d  I  
TH2: Nếu trong   không có sẵn chứa đường thẳng a cắt d thì ta thực hiện như sau:
B1: Chọn mặt phẳng phụ   chứa d sao cho giao tuyến của   và   dễ tìm.
B2: Tìm giao tuyến  của   và  .
B3: Trong  , tìm giao điểm I của  và d  I là giao điểm của d và   . 2020-2021 20 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường    d   
      d    I    d  I 
Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng
Cách 1: Tìm tất cả các đoạn giao tuyến của   với các mặt của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là đa
giác tạo bởi các đoạn giao tuyến đó.
Cách 2: Tìm tất cả các giao điểm của   với các cạnh (nếu có) của hình chóp, lăng trụ  Thiết diện là
đa giác tạo bởi các giao điểm đó. II.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.
4. Chứng minh 2 ĐT vuông góc: d Cách d  ( )   
Chứng minh: ĐT này vuông d  a 1 a  ( )
góc với MP chứa ĐT kia. a α d
 Chứng minh: ĐT này vuông Cách d  AB  A   C d  BC
góc 2 cạnh tam giác có cạnh còn 2 d  AC 
lại nằm trên ĐT kia. B
5. Chứng minh ĐT vuông góc MP: d  ; a d  b
 Chứng minh: ĐT vuông góc d Cách 
với 2 ĐT cắt nhau cùng chứa
a  b  I
  d  () 1 a  trong MP. a,b  ( )  I α b  ( )  ( )  
 Nếu 2 MP vuông góc nhau thì  Cách
( )  ( )  d 
bất kì ĐT nào nằm trong MP này     () 2   ( ) 
và vuông góc với giao tuyến 2 d  
MP sẽ vuông góc MP kia. d    
( )  ( )  d 
 2 MP phân biệt cùng vuông d Cách 
góc MP thứ 3 thì giao tuyến của ( )  ( )   d  ( ) 3 
2 MP đó (nếu có) sẽ vuông góc ( )  ( )  MP thứ 3 đó. 
6. Chứng minh 2 MP vuông góc:   Cách   ( )
 Chứng minh: MP này có chứa ( )  ( )   1   ()
1 ĐT vuông góc MP kia.  2020-2021 21 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường       
 Chứng minh MP này chứa 1  Cách
  a,   b  ĐT vuông góc với 2 ĐT cắt nhau 2
a  b  I  chứa trong MP kia. a, b       b a
Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên MP
 Định nghĩa: H là hình chiếu của M lên    MH   tại H. 
TH2: Chưa có sẵn ĐT  như TH1.
TH1: Có ĐT  đi  qua điểm M M và vuông
 Tìm mp qua M và    M
góc mp   tại H  H
 Tìm d   
là hình chiếu của M  H
 Vẽ MH  d tại H d H lên  
 MH  () tại H 
 H là hình chiếu của M lên  . Dạng 3: Tính góc.
1. Góc giữa 2 ĐT cắt nhau
ĐN: Là góc có số đo nhỏ nhất
(góc nhọn) trong 4 góc tạo a thành. I b
2. Góc giữa 2 ĐT bất kì
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng a a ' a'
cắt nhau lần lượt song song với    ;
a b  a ';b ' b b ' I 2 đường thẳng đó.  b' a b
3. Góc giữa ĐT và MP
ĐN: Là góc giữa đường thẳng Lấy , A B  d
với hình chiếu của nó trên mặt A
Tìm A', B ' lần lượt là hình chiếu của , A B d phẳng. B lên  
(d, ( ))  d, d’
 d’ (A’B’) là hình chiếu của d lên  
(với d’ là hình chiếu của d lên d' A' B'   ))
 (d,())  d,d’
Đặc biệt: Nếu d cắt   tại I thì: d A
AI     I 
   AI,  AIH AH      taïi H  I d' H 
4. Góc giữa 2 MP
ĐN: Là góc giữa 2 đường thẳng Cách xác định thường dùng: Góc giữa hai
lần lượt vuông góc với 2 mặt MP bằng góc giữa 2 ĐT lần lượt chứa trong 2  phẳng đó.
MP và cùng vuông góc với giao tuyến của 2 MP đó. b a   
    d      a b  d b      (( ), ( )) ( , ) 
a   ;b      ,   a,b I  a 
a  d; b  d  2020-2021 22 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Cách xác định khác:   b γ
    d;   d a a  
    a
   ,   a,b d b        b   
Dạng 4: Tính khoảng cách.
1. Khoảng cách từ 1 Điểm đến MP
ĐN: Là khoảng
Tìm H là hình chiếu của A lên ().  cách từ điểm đó Khi đó: M đến hình chiếu của
nó lên mặt phẳng. d( ,
A ())  AH  H
2. Khoảng cách giữa ĐT và MP song song
ĐN: Là khoảng Lấy A . A Δ cách từ 1 điểm bất Khi đó: kì thuộc đường thẳng đến mặt d( ,  ())  d( , A ( ) ) H  phẳng.
3. Khoảng cách giữa 2 MP song song ĐN: là khoảng cách từ 1 điểm bất Lấy A . A kì thuộc mặt phẳng α Khi đó: này đến mặt phẳng
d((),( ))  d( , A ( ) ) kia. β H
4. Khoảng cách giữa 2 ĐT chéo nhau
ĐN: Là độ dài Tìm ĐT  cùng vuông góc a tại M và vuông đoạn vuông góc M
góc với b tại N. Khi đó: a chung của 2 ĐT
  a taïi M đó.   d  , a b N  MN   b taïi N  Δ b Cách khác: b    a   d  ,
a b  d  , b     a / /b  
 ,ab a   d  ,
a b  d  ,  α   / /    b β
ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: A B A B I H K H K   d  , A   AI
AB    d ,
A    d ,
B   AB      I   d  B,  BI 2020-2021 23 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
CÁC DẠNG HÌNH CHÓP
1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc đáy: S
 Đường cao là cạnh bên vương góc đáy. K
Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và cạnh bên
SA vuông góc mặt đáy. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên H A S , B SD D
 Đường cao là SA ; BC, AD  SAB; A ,
B DC  SAD ; B
AH  SBC; AK  SCD C
* Nếu đáy là hình vuông thì BD  SAC S
Ví dụ 2: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và cạnh bên SA vuông góc mặt đáy H
. M là trung điểm BC ; H lần lượt là hình chiếu
của A lên SM
 Đường cao là SA ; BC  SAM ; AH  SBC; A C M B
2. Hình chóp có 2 mặt qua đỉnh và cùng vuông góc mặt đáy: S
 Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến của 2 mặt đó
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có 2 mặt (SAB), (SAC) cùng vuông góc
mặt đáy (ABC)  Đường cao hình chóp là đoạn giao tuyến SA của A C
2 mặt (SAB), (SAC). B
3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc đáy: S
 Đường cao hình chóp là đường cao của mặt bên đó (hạ từ đỉnh hình chóp).
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc mặt đáy (ABCD)
 Đường cao SH của tam giác SAB là đường cao hình chóp S.ABCD A D H B C
4. Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng tâm đáy Tính chất (chung):
- Các cạnh bên bằng nhau, cạnh đáy bằng nhau
- Các mặt bên là những tam giác cân tại đỉnh hình chóp và bằng nhau
- Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là tâm đáy)
- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau,
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau.
1) Hình chóp tam giác đều: S
a) Tính chất (riêng):
Mặt đáy là tam giác đều Gó c giữa cạnh Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm bên và mặt đáy
2 đường trung tuyến của tam giác đáy) h
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH  SBH  SCH   . A C β
Góc giữa mặt bên và mặt đ H
áy là: SIH   (với I là trung điểm cạnh đáy) B
b) Công thức liên hệ: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy a, Cách vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC
cạnh bên b, chiều cao h, góc giữa cạnh bên và mặt đáy , góc giữa (hoặc tứ diện đều):
mặt bên và mặt đáy . Khi đó:
Vẽ đáy ABC  Dựng trọng tâm H (Là giao
điểm 2 đường trung tuyến)  Vẽ SH vuông
góc (ABC)  Vẽ các cạnh bên 2020-2021 24 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường a a  . b 3.cos h  . tan  2 3 1  3  h  . b sin  2 V   a .   h 2 a 3 4   2 2  a b  h  h . tan  3 3
1) Hình tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng
cạnh đáy (hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau. 6 2 3 2
Cho khối tứ diện đều cạnh h  a d  a  a V
a, chiều cao h, khoảng cách giữa 2 cạnh 3 2 12
đối diện d. Ta có:
3). Hình chóp tứ giác đều S
a) Tính chất (riêng):
Mặt đáy là hình vuông Góc giữa mặt
Đường cao của hình chóp là SH (Với S là đỉnh và H là giao điểm bên và mặt đáy
2 đường chéo của đáy hình vuông) Góc giữa cạnh Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: bên và mặt đáy A D
SAH  SBH  SCH  SDH   . β
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: H I
SIH   (với I là trung điểm B C cạnh đáy)
b) Công thức liên hệ:
Cách vẽ hình chóp tứ giác đều S.ABCD: 2
Vẽ đáy hình bình hành ABCD  Vẽ H là a  . b 2.cos a 2 2 b  h 
giao điểm của hai đường chéo AC & BD  1 h  . b sin 2 2 V  a .h
Vẽ SH vuông góc (ABCD)  Vẽ các cạnh a   3 bên  a h . tan h . tan 2 2
5. Hình chóp có tất cả cạnh bên bằng nhau: S
 Đường cao hình chóp là đoạn thẳng hạ từ đỉnh hình chóp đến tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC các cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau và đáy
ABC là tam giác vuông tại B Đường cao hình chóp là SI, với I là A C
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I
ABC (I là trung điểm AC) B
6. Tứ diện vuông: (Tứ diện có 3 mặt là 3 tam giác vuông tại cùng S
một đỉnh hay có 3 cạnh đôi một vuông góc)
 Chân đường cao ứng với đỉnh vuông là trực tâm mặt đối diện với đỉnh vuông.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có mặt bên SAB, SBC, SCA là tam giác A C
vuông tại S Đường cao SH, (với H là trực tâm tam giác ABC) H B
CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ
Tính chất: Hình Lăng trụ có: A'
+ Các cạnh bên song song và bằng nhau; C'
+ Các mặt bên là hình bình hành; B'
+ Hai mặt đáy song song và bằng nhau; h
+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ một điểm thuộc đáy này đến hình chiếu của nó lên φ đáy kia; A H C
+ Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau;
+ Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau; B 2020-2021 25 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường
Lăng trụ đứng: là lăng trụ có các
Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có
Hình hộp: là lăng trụ có đáy là
cạnh bên vuông góc với đáy đáy là đa giác đều hình bình hành A' C' A' C' D' A' C' B' B' B' h h h D A φ C A C A H C B B B
Đường cao là các cạnh bên A’A,
Đường cao là các cạnh bên A’A,
Đường cao: A’H (với H là hình B’B, C’C B’B, C’C
chiếu của A’ lên (ABC)
Hình hộp đứng: là hình hộp có các
Hình hộp chữ nhật: là hình hộp
Hình lập phương: là hình hộp có 6
cạnh bên vuông góc đáy (đáy là
đứng có đáy là hình chữ nhật (có 6 mặt dều là hình vuông hình bình hành)
mặt đều là hình chữ nhật) A' B' B' C' A' B' D' A' D' C' D' C' h B C A B A A B D D C C D Đường cao: A' , A B' ,
B C 'C, D' D Đường chéo:
Đường chéo: AC '  A . B 3 2 2 2 AC ' 
AB  AD  AA' 2020-2021 26 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường PHỤ LỤC
HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP) I.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
1) Tam giác vuông: Cho ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM. Ta có:  A 2 2 2
BC  AB  AC (Pi-ta-go)  AH.BC  A . B AC  2
AC  CH.BC  2
AB  BH.BC 2 2  1 1 1 AB .AC    2 AH  2 2 2 AH AB AC 2 2 AB  AC B H M C 2 2 2 2  BH AB AB CH AC AC      2 2 2 BC BC AB  AC 2 2 2 BC BC AB  AC  BC AM   Diện tích: 1 S  .A .
B AC (bằng nửa tích độ dài 2 cạnh góc vuông) 2 2
2) Tam giác vuông cân: Cho ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Ta có: C  2
AB  AC  a  BC  a 2  AH  a 45 a 2 2 a H 2 2 2 AB AC BC
 Diện tích: S    45 B A 2 2 4 a
3) Tam giác đều: Cho ABC đều cạnh a, có tâm I và đường cao AH. 4) Nửa tam giác đều: Ta có: A  a 3 a 3 30 AH   AI  2 3 2a a 3 2 I  a 3 a 3 IH 
 Diện tích: S  6 4 B H C 60 a
5) Tam giác thường: Cho ABC độ dài cạnh BC  , a AC  ,
b AB  c , đường cao AH  h , trung tuyến a
AM  m , bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Ta có: a A  a b c Định lí côsin: 2 2 2
a  b  c  2b .
c cos A  Định lí sin:    2R sin A sin B sin C 2 2 2   2 2 2   b c a b c a B H C cos A   2 m   M 2bc a 2 4  Diện tích: 1 1 abc
a  b  c S  . . a h S  .
bc sin A S  S  . p r S 
p  p  a p  b p  c (với p  ) 2 a 2 4R 2 II.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC: 1
1) Hình thang: Diện tích hình thang ABCD có đáy AB, CD: S 
 AB CD.h (với h là chiều cao và h 2
bằng khoảng cách giữa AB và CD) 1
2) Hình thang vuông: Diện tích hình thang ABCD vuông tại A, D: S 
 AB  CD.AD 2 1
3) Hình bình hành: Diện tích hình bình hành ABCD: S 
 AB CD.h (với h là chiều cao và h bằng 2
khoảng cách giữa AB và CD)
4) Hình thoi: Diện tích hình thoi ABCD: 1 S 
AC.BD (bằng nửa tích độ dài 2 đường chéo) 2
5) Hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật ABCD: S  .
AB BC (bằng tích chiều dài và chiều rộng)
6) Hình vuông: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O  2
AC  BD  a 2  OA  OB  OC  OD  a  Diện tích: 2 S  a 2 2020-2021 27 0983.900.570
Hê thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11
Bí Kíp Võ Công Trường III.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
 Diện tích hình tròn bán kính R: 2
S  .R  Chu vi đường tròn bán kính R: C  2 .R IV.
TÂM CỦA TAM GIÁC
 Trọng tâm tam giác là giao điểm 3 đường trung tuyến
 Trực tâm tam giác là giao điểm 3 đường cao
 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm 3 đường trung trực
 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điiểm 3 đường phân giác
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. TỌA ĐỘ Cho u  ( ;
x y), v  (x '; y ') x  x ' u  v  
u  v   x  x '; y  y ' ku  (k ; x ky) .
u v  xx ' yy ' y  y ' u v cos u,v . 
u  v  xx ' yy '  0 2 2 u  x  y u . v
Cho A x ; y , Bx ; y A A B B 
AB   x  x ; y  y
AB   x  x  y  y B A 2  B A2 B A B A 
M là trung điểm của AB:
G là trọng tâm tam giác ABC: x  x y  y
x  x  x
y  y  y A B x  ; A B y  . A B C x  ; A B C y  M 2 M 2 G 3 G 3
G là trọng tâm tứ giác ABCD :
M chia AB theo tỉ số k:
 x  x  x  x
y  y  y  y  x  kx y  ky A B C D G ; A B C D   A B x  ; A B y   4 4  M 1 M  k 1 k II.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình: Đường thẳng  đi qua điểm M  x ; y và có 1 VTPT n   ;
A B hay có 1 VTCP a   ; a b 0 0  ,có:
Phương trình tổng quát: Ax  x  B y  y  0  Ax  By C  0 (với C  Ax  By ) 0   0  0 0
x  x  at
Phương trình tham số: 0  , t   .
y  y  bt  0 x  x y  y
Phương trình chính tắc: 0 0  ,  .
a b  0 a b Chú ý:
Phương trình đường thẳng qua M x ; y có hệ số góc k: y  y  k x  x . 0  0  0 0  x  x y  y
Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A, B: B B  x  x y  y A B A B
2. Khoảng cách từ một điểm M x ; y
đến một đường thẳng : Ax  By  C  0 là: M M  
Ax  By  C d M ,  M M  2 2 A  B III.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình: Đường tròn có tâm I  ;
a b và bán kính R, có phương trình:
Dạng 1:   2    2 2 x a y b  R . Dạng 2: 2 2
x  y  2ax  2by  c  0 , với điều kiện 2 2
a  b  c  0 và 2 2
R  a  b  c . 2020-2021 28 0983.900.570
Document Outline

VẤN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC
- I. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
- II. CÔNG THỨC LƯỢNG GÍÁC
- III. HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC
- IV. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH:
- V. SỰ BIẾN THIÊN:
- VI. TÍNH CHẴN LẺ:
- VII. TÍNH TUẦN HOÀN:
- VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– NHỎ NHẤT CỦA HSLG:
- IX. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
- X. PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
- XI. PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
VẤN ĐỀ 2. TỔ HỢP XÁC SUẤT
- I. QUY TẮC ĐẾM
- II. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
- III. NHỊ THỨC NIU-TƠN
- IV. XÁC SUẤT
  - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
- I. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP
- II. DÃY SỐ
- III. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
VẤN ĐỀ 5. GIỚI HẠN
- I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
- II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
  - PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN:
- III. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
  - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
  - Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm :
  - Dạng 2: Tìm tham số để hàm số liên tục tại điểm :
  - Dạng 3: Chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm:
VẤN ĐỀ 5. ĐẠO HÀM
- I. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
- QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM
- II. TIẾP TUYẾN
VẤN ĐỀ 6. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
- I. PHÉP TỊNH TIẾN:
- II. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
- III. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
- IV. PHÉP QUAY:
- V. PHÉP DỜI HÌNH:
- VI. PHÉP VỊ TỰ:
- VII. PHÉP ĐỒNG DẠNG:
- CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
  - Dạng 1: Dựng ảnh của một hình qua phép biến hình.
  - Dạng 2: Xác định ảnh, tạo ảnh hay yếu tố của phép biến hình.
  - Dạng 3: Viết phương trình ảnh của một hình qua phép biến hình cho trước.
- ĐẶC BIỆT: CÔNG THỨC NHANH
VẤN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (TỔNG HỢP) LỚP 11
- I. QUAN HỆ SONG SONG
  - Dạng 1: Chứng minh quan hệ song song.
  - Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng.
  - Dạng 3: Tìm giao điểm của đương thẳng d và mặt phẳng.
  - Dạng 4: Tìm thiết diện của hình chóp, lăng trụ được cắt bởi mặt phẳng
- II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
  - Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc.
  - Dạng 2: Tìm hình chiếu của Điểm lên MP
  - Dạng 3: Tính góc.
  - Dạng 4: Tính khoảng cách.
  - (ĐẶC BIỆT: Quy tắc dời điểm khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
  - CÁC DẠNG HÌNH CHÓP
  - CÁC DẠNG HÌNH LĂNG TRỤ
PHỤ LỤC
- HÌNH HỌC PHẲNG (TỔNG HỢP)
  - I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC:
  - II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TỨ GIÁC:
  - III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN:
  - IV. TÂM CỦA TAM GIÁC
- HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
  - I. TỌA ĐỘ
  - II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
  - III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Word Bookmarks
- MTBlankEqn

Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 – Võ Công Trường

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Đề cương giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Sơn Động 3 – Bắc Giang

Đề cương giữa kỳ 1 Toán 11 năm 2024 – 2025 trường THPT Châu Văn Liêm – Cần Thơ

Tài liệu chuyên Toán chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Hệ thống kiến thức và phương pháp giải Toán 11 GDPT 2018 – Võ Công Trường

Chuyên đề toán thực tế giới hạn và hàm số liên tục Toán 11