Hình thang cân là gì? Định nghĩa và tính chất của hình thang cân Toán lớp 8
Hình thang cân là một kiến thức của chương trình Toán lớp 8. Trong bài viết sau đây, chúng
tôi sẽ giải đáp thắc mắc của quý bạn đọc về định nghĩa và tính chất của hình thang cân trong
chương trình Toán lớp 8.
Mục lục bài viết
 1. Hình thang cân là gì?
 2. Tính chất hình thang cân
 3. Cách nhận biết và chứng minh hình thang cân
 3.1. Cách nhận biết hình thang cân
 3.2. Cách chứng minh hình thang cân
 4. Một số bài tập về hình thang cân
 4.1. Bài tập 1: Chứng minh hình thang cân
 4.2. Bài tập 2: Tính diện tích hình thang cân
 4.3. Bài tập 3: Tính chu vi hình thang cân
1. Hình thang cân là gì?
Hình thang cân là tứ giác có hai cạnh song song (hình thang) và có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) <=> AB // CD và góc C = góc D
>> Xem thêm: Hình thang là gì? Dấu hiệu nhận biết hình thang?
2. Tính chất hình thang cân
Trong một hình thang cân có:
- Định lý 1: Hai cạnh bên bằng nhau
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AD = BC
- Định lý 2: Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => AC = BD
- Định lý 3: Hai đường chéo bằng nhau
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (đáy AB, CD) => góc C = góc D và góc A = góc B
Hình thang cân nội tiếp đường tròn, có nghĩa là bốn điểm của hình thang cân đều thuộc một hình tròn.
>> Xem thêm: Trục đối xứng là gì? Hình thang cân có mấy trục đối xứng?
3. Cách nhận biết và chứng minh hình thang cân
3.1. Cách nhận biết hình thang cân
 Hình thang có hai góc kề một cạnh đấy bằng nhau là hình thang cân.
 Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
 Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Ví dụ: Trong các tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông ở hình sau, tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao? Lời giải:
Để nhận biết được tứ giác nào là hình thang cân thì phải dùng tính chất của hình thang cân: (1)
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau; (2) Hình thang có hai góc kề bằng nhau, (3) Hình thang có
hai đường chéo bằng nhau.
Ở đây, hai tứ giác được vẽ trên các ô vuông nên chúng ta có thể dễ dàng so sánh bằng mắt thường
độ dài của các cạnh bên, từ đó sử dụng tính chất này để nhận biết được tứ giác nào là hình thang cân. Theo đó:
 Tứ giác ABCD là hình thang cân vì AD = BC (đều là hai đường chéo của hai hình tam giác có độ dài các bằng nhau)
 Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH (đường chéo của hình tam giác lớn hơn cạnh của hình tam giác đó) Lưu ý:
Hình thang cân thì có hai cạnh bên bằng nhau nhưng điều ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ tứ
giác có hai cặp cạnh song song với nhau cũng có các cạnh bên bằng nhau, nhưng không phải là hình thang cân.
3.2. Cách chứng minh hình thang cân
Chứng minh một hình thang là hình thang cân
 Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau thì suy ra hình thang đó là hình thang cân.
 Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì suy ra hình thang đó là hình thang cân.
4. Một số bài tập về hình thang cân
4.1. Bài tập 1: Chứng minh hình thang cân
VD1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân. Lời giải:
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C1 = góc D1, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)
Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).
VD2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. CHứng mình EA = EB, EC = ED. Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)
Xét tam giác ADC và tam giác BCD có: AD = BC (chứng minh trên) AC = BD (chứng mình trên) DC chung
=> tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh - cạnh - cạnh)
Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)
Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => EC = ED (tính chất tam giac cân)
Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)
=> AC - CE = BD - ED => EA = EB
Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).
VD 3: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB).
Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Đây là dạng chứng mình 1 tứ giác là hình thang cân, để giải dạng bài này ta tiến hành 2 bước:
- Bước 1: Chứng minh tứ giác đó là hình thang bằng các tính chất tứ giác có hai cạnh song song
với nhau. Để chứng minh song song có thể dựa vào các cách như: (1) Hai góc đồng vị bằng nhau,
(2) hai góc so le trong bằng nhau, (3) hai góc trong cùng phía bù nhau, (4) định lý từ vuông góc đến song song.
- Bước 2: Chứng minh hình thang đó là hình thang cân. Lời giải:
Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và góc ABC = góc ACB (tính chất tam giác cân)
Vì BD, CE lần lượt là phân giác của góc ABC và góc ACB (giả thiết) nên theo tính chất tia phân giác:
Góc B1 = góc B2 = 1/2 của góc ABC
Góc C1 = góc C2 = 1/2 của góc ACB
Mà góc ABC = góc ACB (chứng minh trên) => góc B1 = góc B2 = góc C1 = góc C2
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: (1) AB = AC, (2) Góc A chung, (3) Góc B1 = góc C1
(chứng minh trên) => tam giác ABD = tam giác ACE (góc - cạnh - góc)
=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AD = AE (chứng minh trên) nên tam giác ADE cân tại A (dấu hiêu nhận biết tam giác cân)
=> góc AED = góc ADE (tính chất tam giác cân)
Xét tam giác ADE có: góc AED + góc ADE + góc A = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam
giác) => AED = (180 độ - góc A) / 2 (1)
Xét tam giác ABC có: góc A + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong một tam
giác) => ABC = (180 độ - góc A) / 2 (2)
Từ (1) và (2) => góc AED = góc ABC, mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC. Do đó BEDC là hình thang.
Lại có góc ABC = góc ACB (chứng minh trên)
=> BEDC là hình thang cân.
Ta có: DE // BC => góc D1 = góc B2 (hai góc so le trong)
Lại có góc B2 = góc B2 (chứng minh trên) nên góc B1 = góc D1
=> Tam giác EBD cân tại E => EB = ED
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
4.2. Bài tập 2: Tính diện tích hình thang cân
Muốn tính diện tích hình thang cân, ta áp dụng công thức tính diện tích hình thang như thông thường:
Diện tích hình thang bằng chiều coa nhân với trung bình công của hai đáy.
("Muốn tính diện tích hình thang
Đáy lớn đáy bé ta đem cộng vào
Cộng vào nhân với chiều cao
Chia đôi lấy nửa thế nào cũng ra")
4.3. Bài tập 3: Tính chu vi hình thang cân
Giả sử có hình thang cân ABCD (AB // CD), độ dài hai cạnh đấy là a, b và độ dài cạnh bên là c.
Khi đó chu vi hình thang cân ABCD là: P = a + b + 2c
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB. AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE.
a) Chứng minh BDEC là hình thang cân
b) TÍnh các góc của hình thang cân đó, biết góc A = 50 độ. Lời giải
a) Ta có: tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, mà AD = AE (giả thiết) => DB = EC
=> BDEC là hình thang cân
b) Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C
Mà góc A + B + C = 180 độ => góc B = góc C = (180 độ - 50 độ) / 2 = 65 độ
Vì BDEC là hình thang cân nên góc BDE = góc DEC
Mà góc B + C + BDE = DEC = 360 độ
=> Góc BDE = DEC = (360 - 2 x 65) / 2 = 115 độ