Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12

Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 0

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”

MỤC LỤC

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ............................................................................................................................... 1

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................ 1

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN .............................. 10

DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN .......................................................................... 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ...................................... 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng .............................................. 18

MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN .......................................... 20

CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................ 20

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ...................... 22

CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ................................................................................................... 23

CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ

năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. .................................................................................................. 26

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ....................................................................................... 31

BÀI TẬP ..................................................................................................................................................... 46

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

1 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

Ví dụ 1: Cho

 





d 10f x x

. Kết quả

 









2 4 df x x

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Tacó

   



  



  

2 2 2

5 5 5

2 4 d 2 d 4 df x x x f x x

   

       



2 4 d 2. 5 2 4.10 34x f x x

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

liên tục trên và

 

là nguyên hàm của

 

, biết

 





d9f x x

và

 

03F

. Tính

 

96F

. B.

 

96F

. C.

 

9 12F

. D.

 

9 12F

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   





dI f x x F x

   

9 0 9FF

 

9 12F

Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả

thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số

trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến

tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Ví dụ 3: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn

 





10f x dx

và

 





6f x dx

. Tính

giá trị của biểu thức

   





P f x dx f x dx

 4P

.` B.

 16P

. C.

 8P

. D.

 10P

Lời giải

Chọn A

Ta có

       

  

   

6 2 4 6

0 0 2 4

f x dx f x dx f x dx f x dx

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 2

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

       

       

   

2 6 6 4

0 4 0 2

10 6 4P f x dx f x dx f x dx f x dx

Ví dụ 4: Cho hàm số

 

xác định trên

 

, thỏa mãn

 







 

1fa

và

 

2fb

. Tính

   

12ff

   

    12f f a b

. B.

   

   12f f a b

   

   12f f a b

. D.

   

   12f f b a

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

   





  





 



fx

nên

 



là hàm số lẻ.

Do đó

     





  

   

  

2 1 2

2 2 1

d 0 d df x x f x x f x x

Suy ra

               

             1 2 2 1 1 2 2 1f f f f f f f f a b

Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ

năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.

Ví dụ 5: Cho hàm số

 

liên tục trên

 

0;

và thỏa

 







.cos

f t dt x x

. Tính

 

4 123f

. B.

 



. C.

 



. D.

 



Lời giải

Chọn D

Ta có:

       

  



'F t f t dt F t f t

Đặt

   

 

  



G x f t dt F x F

 

   



  



' 2 .G x F x x f x

(Tính chất đạo hàm hợp:

     







' ' . 'f u x f u u x

)

Mặt khác, từ gt:

   







.cos

G x f t dt x x

   

   

    ' .cos ' sin cosG x x x x x x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

3 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

  

   

2 . sin cosx f x x x x

(1)

Tính

 

 ứng với

 2x

Thay

 2x

vào (1)

 

  

    4. 4 2 sin2 cos2 1f

 



Ví dụ 6: Cho hàm số

   





.cos .

G x t x t dt

. Tính



















. B.











. C.











. D.











Lời giải:

Chọn B

Cách 1: Ta có:

       

    



.cos ' .cosF t t x t dt F t t x t

Đặt

       

   



.cos 0

G x t x t dt F x F

           

   

         

   

' 0 ' ' 0 cos 0 ' 1G x F x F F x F x x x x











Cách 2: Ta có

   





.cos

G x t x t dt

. Đặt

  u t du dt

 

cosdv x t dx

chọn

 

  sinv x t

         

             



.sin sin sin cos cos0 cos 1 cos

G x t x t x t dt x t dt x t x x

 





    





' sin ' sin 1

G x x G

Ví dụ 7: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên thỏa

   

       











       





0 0 1;

3 1, x,y .

f x y f x f y xy x y

. Tính

 





1df x x

. B.



. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 4

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lấy đạo hàm theo hàm số

   



   

36f x y f y x xy

x

Cho

   



   

0 0 3y f x f x

 



  

13f x x

Vậy

   



   



f x f x dx x x C

mà

 

01f

1C

suy ra

 

  

1f x x x

 





1df x x

 







f x dx

 







1x x dx





  





   



DẠNG SAU:







'( )

'( ) ( ), ( )

()

f x g x g x

(Trong đó

()gx

là hàm số đã biết,

là số dương).

Ví dụ 8: Cho hàm số

 

xác định trên

 

thỏa mãn

 







 

0 2017f

 

2 2018f

. Tính

   

  31S f f

 1S

. B.

 ln2S

. C.

 ln4035S

. D.

 4S

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Ta có

 

   





d d ln 1

f x x x x C

Theo giả thiết

 

0 2017f

 

2 2018f

nên

 



   





   





ln 1 2017 khi 1

ln 1 2018 khi 1

f x x x

Do đó

   

  31S f f

    ln2 2018 ln2 2017 1

Cách 2:

Ta có:







      











     









(0) ( 1) '( ) ln 1| ln (1)

(3) (2) '( ) ln 1| ln2 (2)

f f f x dx x

Lấy (1)+(2), ta được

      (3) (2) (0) ( 1) 0 S 1f f f f

Ví dụ 9: Cho hàm số

()fx

xác định trên







thỏa mãn

   







, 0 1

f x f

và









Giá trị của biểu thức

   

13ff

bằng

3 5ln2

. B.

2 5ln2

. C.

4 5ln2

. D.

2 5ln2

Lời giải

Chọn A

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

5 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách 1: Từ

   





   











  









   











ln 3 1 khi x ;

dx=

3 1 3 1

ln 3 1 khi x ;

f x f x

Ta có:

 





    





  



  













0 1 1

0 2 2

 





   

















   









ln 3 1 1 khi x ;

ln 3 1 2 khi x ;

Khi đó:

   

         1 3 ln4 1 ln8 2 3 ln32 3 5ln2ff

Cách 2: Ta có

         

       









       















      













0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

3 dx dx ln 3 1 ln8 2

3 3 1

f f f x f x x

Lấy

   

21

, ta được:

         



         





3 1 0 ln32 1 3 3 5ln2

f f f f f f

Ví dụ 10: Cho hàm số

 

xác định trên







thỏa mãn

 







và

 

01f

. Giá trị

của biểu thức

   

13ff

bằng

4 ln15

. B.

3 ln15

. C.

2 ln15

. D.

ln15

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

 





     



  

2. 2 1

ln 2 1

2 1 2 1

f x f x dx dx x c

 

01f

1c

 

   ln 2 1 1f x x

 



  











1 ln3 1

3 ln5 1

   

    1 3 2 ln15ff

Ví dụ 11: Cho hàm số

()fx

xác định trên







thỏa mãn







()

(0) 1f

và

(1) 2f

Giá trị của biểu thức

( 1) (3)ff

bằng

4 ln5

. B.

2 ln15

. C.

3 ln15

. D.

ln15.

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 6

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng









;

   





( ) ln(2 1) .

f x dx x C

Lại có

  

(1) 2 2.fC

• Trên khoảng









;

   





( ) ln(1 2 ) .

f x dx x C

Lại có

  

(0) 1 1.fC

Vậy



  









  





ln(2 1) 2

()

ln(1 2 ) 1

x khi x

Suy ra

   ( 1) (3) 3 ln15.ff

Cách 2:

Ta có:







      











     









(0) ( 1) '( ) ln 2 1| ln (1)

2 1 3

(3) (1) '( ) ln 2 1| ln5 (2)

f f f x dx x

Lấy (2)-(1), ta được

         (3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15f f f f f f

Ví dụ 12: Cho hàm số

()fx

xác định trên







thỏa mãn

   







, 0 1

f x f

và









. Giá trị của biểu thức

   

13ff

bằng

3 5ln2

. B.

2 5ln2

. C.

4 5ln2

. D.

2 5ln2

Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   





   











  









   











ln 3 1 khi x ;

dx=

3 1 3 1

ln 3 1 khi x ;

f x f x

Ta có:

 





    





  



  













0 1 1

0 2 2

 





   

















   









ln 3 1 1 khi x ;

ln 3 1 2 khi x ;

Khi đó:

   

         1 3 ln4 1 ln8 2 3 ln32 3 5ln2ff

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

7 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách 2: Ta có

         

       









       















      













0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

3 dx dx ln 3 1 ln8 2

3 3 1

f f f x f x x

Lấy

   

21

, ta được:

         



         





3 1 0 ln32 1 3 3 5ln2

f f f f f f

Ví dụ 13: Cho hàm số

 

xác định trên

 

\ 2;2

và thỏa mãn

   



  



; 3 0

f x f

;

 

01f

và

 

32f

. Tính giá trị biểu thức

     

    4 1 4P f f f



3 ln

. B.

3 ln3P

. C.



2 ln

. D.



2 ln

Lời giải

Chọn B

Từ

 







 







  







 





   











   









  









ln ; 2

ln 2;2

ln 2;

C khi x

Ta có

 



























  









ln5 0

ln 2

  













ln5

2 ln5

 

 fx

 





  











   









   









ln -ln5 ; 2

ln 1 2;2

ln 2 ln5 2;

khi x

Khi đó

     

    4 1 4P f f f

      

ln3 ln5 ln3 1 ln 2 ln5

3 ln3

Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở

nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy

tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học.

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 8

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ví dụ 13: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm và liên tục trên đoạn

 



1;1

, thỏa mãn

 

  0,f x x

và

   

' 2 0f x f x

. Biết

 

11f

, tính

 

1f

 





1fe

. B.

 



1fe

. C.

 



1fe

. D.

 

13f

Lời giải

Chọn C

Biến đổi:

   

 



  

             

  

1 1 1

' 2 0 2 2 4 ln 4

f x f x df x

f x f x dx dx f x

f x f x f x

 

   



       



4 4 4

ln 4 1 1 .

e f f e e

Ví dụ 15: Cho hàm số

 

 0fx

thỏa mãn điều kiện

     





23f x x f x

và

 



. Biết rằng tổng

         

     1 2 3 ... 2017 2018

f f f f f

với

 



,ab

và

là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

. B.

 1

. C.

1010ab

. D.

3029ba

Lời giải

Chọn D

Ta có

     





23f x x f x

 



  

 



  



d 2 3 d

x x x

 

    

3x x C

Vì

 

   

Vậy

 

  

   



1 1 1

Do đó

         

        

1 1 1009

1 2 3 ... 2017 2018

2020 2 2020

f f f f f

Vậy

1009a

;

 2020b

. Do đó

3029ba

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

9 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 16: Cho hàm số

 

0y f x

xác định, có đạo hàm trên đoạn





0;1

và thỏa mãn:

   





1 2018 dt

g x f t

   



g x f x

. Tính

 



dg x x

1011

. B.

1009

. C.

2019

. D.

505

Lời giải

Chọn A

Ta có

   





1 2018 dt

g x f t

     



  2018 2018g x f x g x

 



2018

 







d 2018 d

 







2 2018

g x x

 





  2 1 2018g t t

(do

 

01g

)

 

  1009 1g t t

 



   







1009 1011

g t t t

Ví dụ 17: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

đồng thời thỏa mãn

 



09f

và

   



 

  



99f x f x x

. Tính

   

10T f f

2 9ln2T

. B.

 9T

. C.



9ln2

. D.

2 9ln2T

Lời giải

Chọn C

Ta có

   



 

  



99f x f x x

 



 

    



91f x f x x

 





  









f x x

Lấy nguyên hàm hai vế

 















f x x

 

  





f x x

 



09f

nên



suy ra

 







f x x

 



  



f x x

Vậy

   



   









1 0 d

T f f x x



  





9ln 1



9ln2

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 10

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh

phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng.

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Ví dụ 18: Cho hàm số

 

liên tục trên và

 

là nguyên hàm của

 

, biết

 





d9f x x

và

 

03F

. Tính

 

96F

. B.

 

96F

. C.

 

9 12F

. D.

 

9 12F

Lời giải

Chọn C

Ta có:

   





dI f x x F x

   

9 0 9FF

 

9 12F

Ví dụ 19: Cho

 





d3I f x x

. Khi đó

 









4 3 dJ f x x

bằng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   



      



  

2 2 2

0 0 0

4 3 d 4 d 3 d 4.3 3 6J f x x f x x x x

Ví dụ 20: Cho

 





d 10f x x

và

 





d5g x x

. Tính

   









3 5 dI f x g x x

 5I

. B.

 15I

. C.

5I

. D.

 10I

Lời giải

Chọn A

Có:

   









3 5 dI f x g x x

   

  



3 d 5 d 5f x x g x x

Ví dụ 21: Cho

 





d 10f x x

. Kết quả

 









2 4 df x x

bằng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Tacó

   



  



  

2 2 2

5 5 5

2 4 d 2 d 4 df x x x f x x

   

       



2 4 d 2. 5 2 4.10 34x f x x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

11 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 22: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn





0;10

và

 





d7f x x

và

 





d3f x x

. Tính

   





2 10

ddP f x x f x x

 7P

. B.

4P

. C.

 4P

. D.

 10P

Lời giải

Chọn C

Ta có

 





d7f x x

     

   

  

2 6 10

0 2 6

d d d 7f x x f x x f x x

   

    



2 10

d d 7 3 4f x x f x x

Vậy

 4P

Ví dụ 23: Cho

 

y f x

 

y g x

là các hàm số có đạo hàm liên tục trên





0;2

và

   





. d 2g x f x x

   





. d 3g x f x x

. Tính tích phân

   











.dI f x g x x

1I

. B.

 6I

. C.

 5I

. D.

 1I

Lời giải

Chọn C

Xét tích phân

           



   



  

   



. d . . dI f x g x x f x g x f x g x x

       

    



0 0

. d . d 5g x f x x g x f x x

Ví dụ 24: Cho

   









3 2 d 1f x g x x

   



  





2 d 3f x g x x

. Khi đó,

 



df x x

bằng

. B.



. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Đặt

 





da f x x

 





db f x x

, ta có hệ phương trình

  



  



3 2 1



















 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 12

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Vậy

 





f x x

DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại

Cho







'( ). ( ) .

u x f u x dx

, tính



( ).

f x dx

. Hoặc cho



( ).

f x dx

, tính







'( ). ( ) .

u x f u x dx

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến

 ()t u x

và lưu ý cho học sinh tích phân

của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.

Ví dụ 25: Cho

 





d 16f x x

. Tính

 



2df x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Xét tích phân

 



2df x x

ta có

Đặt

2xt



d dt

. Khi

 0x

thì

 0t

; khi

 2x

thì

 4t

Do đó

   





2 d dt

f x x f t

 





f x x



.16

 8

Ví dụ 26: Nếu

 





d 12f x x

thì

 



3df x x

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt

  3 d 3dt x t x

. Đổi cận:

  00xt

  26xt

Khi đó:

   

  



3 d d .12 4

f x x f t t

Ví dụ 27: Cho

 





1 d 2f x x x

. Khi đó

 





dI f x x

bằng:

. B.

. C.

1

. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt

   

12t x dt xdx

Đổi cận:

  12xt

  25xt

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

13 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Khi đó:

 





1 d d

f x x x f t t

 

   



d 2 1 d 4f t t f x x x

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên:

   

  



d d 4I f x x f t t

Ví dụ 28: Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

 







d9f x x

. Tính tích phân

 









1 3 9 df x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Đặt

13tx

  d 3dtx

Với

  01xt

và

   25xt

Ta có

 









1 3 9 df x x

 

  



1 3 d 9df x x x

 













f t x

 











d 18

f x x

  

.9 18 21

Ví dụ 29: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa

 





d 10f x x

. Tính



















. B.











d 20

. C.











d 10

. D.











Lời giải

Chọn B

Đặt





Đổi cận:

 0x

0t

;

 2x

1t

Ta có:









 





2. df t t

 2.10

 20

Ví dụ 30: Cho hàm số

 

liên tục trên



 



và

 





1 d 8f x x

. Tích phân

 





dI xf x x

bằng:

 16I

. B.

 2I

. C.

 8I

. D.

 4I

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 14

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Lời giải

Chọn D

 

  



1 d 8I f x x

. Đặt

      

1 1 2 d dt x t x t t x

;

đổi cận:

  01xt

;

  32xt

Khi đó

 





2 d 8I tf t t

 





d4tf t t

. Vậy

 





d4I xf x x

Ví dụ 31: Cho

 





d2f x x

. Tính

 





bằng

 1I

. B.

 2I

. C.

 4I

. D.



Lời giải

Chọn C

Đặt

  

t x t x

; đổi cận:

  11xt

  42xt

 

   

    

  

4 2 2

1 1 1

d 2d 2 d 2.2 4

I x f t t f t t

Ví dụ 32: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

 





và

 







sin cos d 3f x x x

Tính tích phân

 





dI f x x

2I

. B.

 6I

. C.

 9I

. D.

 2I

Lời giải

Chọn B

Xét

 





, đặt

  

x t t

Đổi cận:

  11xt

;

  16 4xt

nên

 





2 d 6I f t t

 

  



f t t



 







sin cos d 3J f x x x

, đặt

  sin cos d dx u x x u

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

15 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Đổi cận:

  00xu

;



   1

 

  



d3J f u u

Vậy

     

     

  

4 1 4

0 0 1

d d d 3 3 6I f x x f x x f x x

Ví dụ 33: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa

 





2 d 2f x x

và

 





6 d 14f x x

. Tính

 







5 2 df x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

+ Xét

 





2 d 2f x x

. Đặt

  2 d 2du x u x

;

  00xu

;

  12xu

Nên

 





2 2 df x x

 





f u u

 





d4f u u

+ Xét

 





6 d 14f x x

. Đặt

  6 d 6dv x v x

;

  00xv

;

  2 12xv

Nên

 





14 6 df x x

 





f v v

 





d 84f v v

+ Xét

 







5 2 df x x

   



   



5 2 d 5 2 df x x f x x

* Tính

 







5 2 dI f x x

Đặt

52tx

.Khi

  20x

  52tx

  d 5dtx

;

   2 12xt

;

  02xt

 







I f t t

   











12 2

f t t f t t

 

  

84 4 16

* Tính

 





5 2 dI f x x

Đặt

52tx

.Khi

02x

52tx

d 5dtx

;

  2 12xt

;

  02xt

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 16

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 





I f t t

   











12 2

f t t f t t

 

  

84 4 16

Vậy

 







5 2 d 32f x x

Hoặc: Do hàm

 

52fx

là hàm số chẵn nên

   



    



5 2 d 2 5 2 d 2.16 32f x x f x x

Ví dụ 34: Biết

 







d 18f x x

. Tính

 

  



2 3 1 dI x f x x

 5I

. B.

 7I

. C.

 8I

 10I

Lời giải

Chọn B

Đặt



31tx

d 6 dt x x

. Đổi cận

   01xt

  2 11xt

 



          

   

2 2 2 11

0 0 0 1

2 3 1 d 2 d 3 1 d 4 d 4 .18 7

I x f x x x x xf x x f t t

Ví dụ 35: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và

 





2 d 8f x x

. Tính

 





dI xf x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Đặt

    

2 2 d 2d d dx t x x t x x t

. Đổi cận:

  00xt

  21xt

Ta có:

 





2 d 8I f t t

Ví dụ 36: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và thỏa mãn

   

4f x f x

. Biết

 





d5xf x x

Tính

 





dI f x x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

17 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh

Cho hàm số

 

liên tục trên





;ab

và thỏa mãn điều kiện

   

     



,;f a b x f x x a b

. Khi đó

   







xf x x f x x

Chứng minh:

Đặt

  t a b x

  ddxt

, với

 



;x a b

. Đổi cận: khi

  x a t b

; khi

  x b t b

Ta có

       

d d d      

  

b b a

a a b

xf x x xf a b x x a b t f t t

               

d d d d d        

    

b b b b b

a a a a a

a b t f t t a b f t t tf t t a b f x x xf x x

         

d d d d



    

   

b b b b

a a a a

xf x x a b f x x xf x x f x x

Áp dụng tính chất trên với

 1a

 3b

 

liên tục trên





;ab

và thỏa mãn

   

  13f x f x

Khi đó

     



  

  

3 3 3

1 1 1

1 3 5

d d d

xf x x f x x f x x

Cách 2: Đổi biến trực tiếp:

Đặt

4tx

, với

 



1;3x

Ta có

           

     

    

3 3 3 3 3

1 1 1 1 1

d 4 d 4 d 4 d . dxf x x xf x x t f t t f t t t f t t

   

    



5 4 d 5 d

f t t f t t

Ví dụ 37: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn





1;3

thỏa mãn

   

    



4 , 1;3f x f x x

và

 





d2xf x x

. Giá trị

 



df x x

bằng

. B.

1

. C.

2

. D.

Lời giải

Chọn B

Xét





( )dI xf x x

(1).

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 18

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Đặt

4xt

, ta có

ddxt

;

  13xt

  31xt

Suy ra

 

  



4 (4 )dI t f t t

 





4 ( )dt f t t

, hay

 





4 ( )I x f x dx

(2).

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được





2 4 ( )I f x dx

   



( ) 1

f x dx

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng

Tính

 



f x dx

, biết hàm số

 

thỏa mãn :

       



    . . . . .A f x B u f u C f a b x g x

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng :

+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số

,,A B C

+ Nếu

 

liên tục trên





;ab

thì

   

  



f a b x dx f x dx

+ Với

 















u a a

u b b

thì

   







f x dx g x dx

A B C

+ Với

 















u a b

u b a

thì

   







f x dx g x dx

A B C

+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng

Ví dụ 38: Cho hàm số

 

liên tục trên





0;1

thỏa mãn

 





f x x f x

. Tính

 



df x x

. B.

. C.

1

. D.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi

 





f x x f x

 

   



2.3 .

f x x f x

với

 1A

2B

Áp dụng công thức ta có:

 











d d 4

f x x x

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

19 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Từ

 





f x x f x

 

   



  

1 1 1

0 0 0

d 2 3 d 6 d

f x x x f x x x

Đặt

  

3 dxu x du x

; Với

  00xu

và

  11xu

Khi đó

 

   



  

1 1 1

0 0 0

3 d d dx f x x f u u f x x

thay vào

 

, ta được:

   

  



  

1 1 1

0 0 0

d 2 d 6 d

f x x f x x x

 

  





d 6 d 4

f x x x

Ví dụ 39: Cho hàm số

()fx

liên tục trên





0;2

và thỏa mãn điều kiện

   

  22f x f x x

. Tính

giá trị của tích phân

 





I f x dx

4I

. B.



. C.



. D.

 2I

Lời giải

Chọn D

Cách 1:(Dùng công thức)

Với

   

  22f x f x x

ta có

 1A

;

 1B

, suy ra:

 





I f x dx







xdx



 2

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

   

  22f x f x x

   

   

  

2 2 2

0 0 0

22f x dx f x dx xdx

4

(*)

Đặt

2ux

 du dx

; Với

 0x

2u

và

 2x

0u

Suy ra

 





2f x dx

 





f u du

 





f x dx

Thay vào (*), ta được

 





24f x dx

 





2f x dx

Ví dụ 40: Xét hàm số

 

liên tục trên

 



1;2

và thỏa mãn

 

    

2 2 3 1 4f x xf x f x x

Tính giá trị của tích phân

 







I f x dx

 5I

. B.



. C.

 3I

. D.

 15I

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 20

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn C

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với:

   

 

    

2 2 3 1 4f x x f x f x x

. Ta có:

  1; 1; 3A B C

và



2ux

thỏa mãn

 



  











. Khi đó áp dụng công thức có:

 





   





4 dx 3

1 1 3 5

I f x x

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

 

    

2 2 3 1 4f x xf x f x x

 

   

   

     

   

2 2 2 2

1 1 1 1

dx 2 . 2 dx 3 1 dx 4 dx *f x x f x f x x

+) Đặt

   

2 du 2 dxu x x

; với

    11xu

và

  22xu

Khi đó

 

     

  

  

  

2 2 2

1 1 1

2 . 2 dx du dx 1x f x f u f x

+) Đặt

    1 dt dxtx

; Với

   12xt

và

   21xt

Khi đó

       

  

  

  

2 2 2

1 1 1

1 dx dt dx 2f x f t f x

Thay

   

1 , 2

vào

 

ta được:

   



  



5 dx 15 dx 3f x f x

MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN

CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ

Nếu hàm

 

CHẴN thì

   







f x dx f x dx

2. Nếu hàm

 

LẺ thì

 







f x dx

Ví dụ 41: Cho hàm số

 

y f x

là hàm lẻ và liên tục trên

 



4;4

biết

 







d2f x x

và

 





2 d 4f x x

. Tính

 





dI f x x

10I

. B.

6I

. C.

 6I

. D.

 10I

Lời giải

Chọn B

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

21 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách1: Sử dụng công thức:

   





f ax b x f ax x

và tính chất

 







f x x

với

 

là hàm số lẻ trên đoạn

 



;aa

Áp dụng, ta có:



     



    

  

4 2 d d d

f x x f x x f x x

 







d8f x x



     



    

  

2df x x f x f x

 





2fx

Suy ra:

       



  

   

   

4 2 0 4

4 4 2 0

0 d d d df x x f x x f x x f x x

   

 



    



0 8 d df x x f x x I

 

       0 8 0 2 6II

Cách2:Xét tích phân

 







d2f x x

Đặt

xt

  d dtx

.Đổi cận: khi

2x

thì

 2t

; khi

 0x

thì

 0t

do đó

   



  



d dtf x x f t

 





dtft

 





dt 2ft

 





d2f x x

Do hàm số

 

y f x

là hàm số lẻ nên

   

  22f x f x

Do đó

   

  



2 d 2 df x x f x x

 

  



2 d 4f x x

Xét

 



2df x x

Đặt

2xt



d dt

.Đổi cận: khi

 1x

thì

 2t

; khi

 2x

thì

 4t

do đó

   

  



2 d dt 4

f x x f t

 

  



dt 8ft

 

  



d8f x x

 





dI f x x

   





ddf x x f x x

   2 8 6

Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn

 

y f x

liên tục trên và

 









. Tính

 



df x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có

   



  





d 8 d 16

f x f x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 22

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Đặt

    ddt x t x

, khi đó

     





    

  

  

2 2 2

16 d dt d

1 2 1 2 1 2

x t t

f x f t f t

I x t

Suy ra

   





   



   

2 2 2 2

2 2 2 0

2 d d d 2 d

1 2 1 2

f x f x

I x x f x x f x x

. Vậy

 





d 16f x x

Ví dụ 43: Cho

 

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn

 



1; 1

và

 







d2f x x

. Kết quả

 









bằng

 1I

. B.

 3I

. C.

 2I

. D.

 4I

Lời giải

Chọn A

     



    

  

  

1 0 1

1 1 0

d d d

1 e 1 e 1 e

x x x

f x f x f x

I x x x I I

Xét

 









Đặt

    ddx t x t

đổi cận:

  00xt

   11xt

 



  





1 e 1 e

f x f x

I t t

. Lại có

   







e . e .

1 e 1 e

f t f x

Suy ra:

     

 

   





      

   

     

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1

1 e .

d d d d d d 1

1 e 1 e 1 e 1 e

x t t t

f x f t f t

I x t x t f t t f t t

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.

Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

 







g f x x

và

 

là hàm đơn điệu (luôn đồng

biến hoặc nghịch biến) trên . Hãy tính tích phân

 





I f x dx

Cách giải: Đặt

     



    y f x x g y dx g y dy

Đổi cận

 







    





    





x a g y a y

x b g y b y

Suy ra

   









I f x dx yg y dy

Ví dụ 44: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

   

   

,f x f x x x

. Tính

 





I f x dx

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

23 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 2I

. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn D

Đặt

 

      

31y f x x y y dx y dy

Đổi cận



     





     





0 0 0

2 2 1

x y y y

Khi đó

 

   

     

  

2 1 1

0 0 0

3 1 3 .

I f x dx y y dy y y dy

Ví dụ 45: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

     

  

2 3 6f x f x f x x

x

. Tính

tích phân

 





dI f x x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Đặt

 

    

2 3 6y f x x y y y

 

   

d 6 1 dx y y y

Đổi cận: với

      

0 2 3 6 0 0x y y y y

và

      

5 2 3 6 5 1x y y y y

Khi đó

 

   



d .6 1 dI f x x y y y y

 

   



y y y y

Ví dụ 46: Cho hàm số

 

liên tục trên thỏa mãn

   

  

21x f x f x

xR

. Tính

 







dI f x x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Đặt

 

         

2 1 d 3 2 dy f x x y y x y y

Đổi cận: Với

         

2 2 1 2 1x y y y

;

       

1 2 1 1 0x y y y

Khi đó:

 

   



3 2 d

I y y y

CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau:

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 24

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Bài toán: Cho

   

  

.f x f a b x k

, khi đó

 









x b a

k f x

Chứng minh:

Đặt

  t a b x

 

















dt dx

và

  x a t b

;

  x b t a

Khi đó

 

  





  

d d 1

b b b

a a a

k f x k f x

 

  





k f x k f x

 





x b a





Ví dụ 47: Cho hàm số

 

liên tục và nhận giá trị dương trên





0;1

. Biết

   

. 1 1f x f x

với

  



0;1x

. Tính giá trí

 







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

       

   11f x f x f x f x

 

   



  

1 1 1

f x f x

Xét

 







Đặt

    11t x x t

  ddxt

. Đổi cận:

  01xt

;

  10xt

Khi đó

     

 

    

      

   

0 1 1 1

1 0 0 0

d d d

1 1 1 1 1 1 1

f x x

t t x

f t f t f x f x

Mặt khác

 



   





   

1 1 1 1

0 0 0 0

d d 1

1 ( )

f x x f x

f x f x

hay

21I

. Vậy



Ví dụ 48: Cho hàm số

 

liên tục trên , ta có

 

 0fx

và

   

0 . 2018 1f f x

. Giá trị của

tích phân

 







2018

 2018I

. B.

 0I

 1009I

4016

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

25 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lời giải

Chọn C

ta có

I

 









2018

1 2018 0

d 1009

2.1

Ví dụ 49: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm, liên tục trên và

 

 0fx

khi





0;5x

Biết

   

. 5 1f x f x

tính tích phân

 









. B.



. C.



. D.

 10I

Lời giải

Chọn C

Đặt

5xt

  ddxt

 0 5x t

;

 5 0x t

 



 





1 5 1

f t t

f f t

(do

 

5

)

  



2 d 5It



Ví dụ 50: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và thỏa mãn

   

4f x f x

. Biết

 





d5xf x x

Tính tích phân

 



df x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Đặt

4tx

  ddtx

và

  13xt

;

  31xt

Khi đó:

     

   



5 d 4 4 dxf x x t f t t

       

    



4 4 d 4 dx f x x x f x x

Suy ra:

     

  



10 d 4 dxf x x x f x x

 





f x x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 26

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có

kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc.

Ví dụ 51: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;4

, đồng biến trên đoạn





1;4

và thỏa mãn đẳng thức

 

 2.x x f x

 









  



1;4x

. Biết rằng

 



, tính

 





dI f x x



1186

. B.



1174

. C.



1222

. D.



1201

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

 2.x x f x

 









   



  . 1 2x f x f x

 





12

  



1;4x

Suy ra

 









x x x C

 

  





x x x C

 

   

f x x C

. Mà

 





. Vậy

 











Vậy

 





1186

I f x x

Ví dụ 52: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm trên thỏa mãn

 







3 .e 0

f x x

và

 

01f

. Tích phân

 



.dx f x x

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 







3 .e 0

f x x



   

 







3 . .e 2 .e

f x f x x

Suy ra

 





. Mặt khác, vì

 

01f

nên

 0C

Do đó

 





 

  

1f x x

 

  

1f x x

Vậy

 



.dx f x x





. 1dx x x

 

  



1d 1

 



  







 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

27 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 53: Cho hàm số

 

    

4 3 2

4 3 1f x x x x x

x

. Tính

   







.dI f x f x x

. B.

2

. C.



. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt

   



  ddt f x t f x x

. Đổi cận:

 

   0 0 1x t f

 

   1 1 2x t f

Khi đó

    



8 1 7

3 3 3 3

I t t

Ví dụ 54: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên khoảng

 

0;1

và

 

 0fx

 

0;1x

. Biết

rằng

















và

   



  24x xf x f x

 

0;1x

. Tính tích phân

 









sin .cos 2sin2

sin

x x x

theo

và









. C.





. D.





Lời giải

Chọn D

 

0;1x

ta có:

   



  24x xf x f x

   



   42x f x xf x

   



   

42x x xf x x f x

 

   

 









xf x x f x

f x f x

 













4x x x

Tính

   









sin .cos 2sin2 sin .cos 4sin .cos

sin sin

x x x x x x x

I x x

f x f x

Đặt

  sin d cos dt x t x x

, đổi cận



  



  

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 28

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có

 







 







   



   

   









3 1 3

4 4 4

b a ab

Ví dụ 55: Cho hàm số

liên tục,

 

1fx

 

00f

và thỏa

   



  

1 2 1f x x x f x

. Tính

 

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

 



    



1 2 1

f x x x f x

 

   



        





d d 1 1 1 1

x x f x x f x

 

   

         3 1 0 1 1 3 1 2 3 3f f f f

Ví dụ 56: Cho hàm số

 

liên tục trên và

 





d4f x x

 

53f

 

22f

. Tính

 







1dI x f x x

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Đặt



1tx

d 2 dt x x

  12xt

;

   2 5xt

. Khi đó

   







I t f t t

Đặt

   1 d du t u t

;

 



d d ,v f t t

chọn

 

v f t

     

  



I t f t f t t

   

 

   

4 5 2 2 3

Ví dụ 57: Cho hàm số

 

liên tục trên đoạn





1;4

và thỏa mãn

 





. Tính

tích phân

 





dI f x x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

29 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold



3 2ln 2I

. B.



2ln 2I

. C.



ln 2I

. D.

 2ln2I

Lời giải

Chọn B

Ta có

 



df x x

 















 







Xét

 







Đặt

21xt





 





dK f t t

 





df x x

Xét





 





ln d lnxx



2ln 2

Do đó

   





d d 2ln 2f x x f x x

 





d 2ln 2f x x

Ví dụ 58: Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

 







cot . sin d d 1

x f x x x

Tính tích phân

 



 3I

. B.



. C.

 2I

. D.



Lời giải

Chọn D

Đặt

 







cot . sin d 1I x f x x

 

 



Đặt



sintx

d 2sin .cos dt x x x



2sin .cot dx x x

 2 .cot dt x x



 







cot . sin dI x f x x

 





f t t

 





 





 





 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 30

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Suy ra

 





d 2 2

Đặt

tx

2 d dt t x

 





 





 





 





2 d 4

 





Suy ra

 





Khi đó, ta có:

     



  

1 1 1

8 8 4

4 4 4

d d d

f x f x f x

x x x

  

Ví dụ 59: Xét hàm số

 

liên tục trên





0;1

và thỏa mãn điều kiện

 

   

4 . 3 1 1x f x f x x

. Tích phân

 





dI f x x

bằng:





. B.





. C.





. D.





Lời giải

Chọn C

Vì

 

liên tục trên





0;1

và

 

   

4 . 3 1 1x f x f x x

nên ta có

 



   





4 . 3 1 d 1 dx f x f x x x x

 

    

  

1 1 1

0 0 0

4 . d 3 1 d 1 dx f x x f x x x x

 

Mà

 



4 . dx f x x

   





2df x x

 







f t t

 2I

và

 





3 1 df x x

   

   



3 1 d 1f x x

 







f u u

 3I

Đồng thời





1dxx





 



sin

1 sin .cos d

t t t







cos dtt

 







1 cos2 d





Do đó,

 

1



23

hay





 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

31 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 60: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

 

11f

 











f x x

và

 





f x x

. Tính tích phân

 





dI f x x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Đặt

    

d 2 dt x t x x t t

. Đổi cận

     0 0; 1 1x t x t

Suy ra

 





d 2 . df x x t f t t

 





t f t t

. Do đó

 





x f x x

Mặt khác

     







. d d

x f x x f x f x x

 







f x x

Suy ra

 



  



1 1 3

2 2 5 10

f x x

 







x f x x

Ta tính được

 





Do đó

   

 





  



  

1 1 1

0 0 0

d 2 3 d 3 d 0f x x x f x x x x

 



  



3 d 0f x x x

 



  

30f x x

 





3f x x

 

  

f x x C

Vì

 

11f

nên

 



f x x

Vậy

 

  



I f x x x x

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết

hoặc kết luận có một trong các tích phân sau



( ). '( ).

u x f x dx

hoặc



'( ). ( ).

u x f x dx

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 32

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ví dụ 61: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm

 



liên tục trên





0;2

và

 

23f

 





d3f x x

Tính

 





.dx f x x

3

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

 





.dx f x x

 





dx f x

   





.dx f x f x x

 

  2 2 3 3f

Ví dụ 62: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm là

 

'fx

liên tục trên đoạn [0; 1] và

 

12f

. Biết

 





1f x dx

, tính tích phân

 





.'I x f x dx

 1I

. B.

1I

. C.

 3I

. D.

3I

Lời giải

Ta có:

 





.'I x f x dx

Đặt

  u x du dx

 

 'dv f x dx

chọn

   





'v f x dx f x

         

        



. 1. 1 0. 0 2 1 1I x f x f x dx f f f x dx

Chọn A

Ví dụ 63: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   





1 ' 10x f x dx

và

   

2 1 0 2ff

. Tính

 





I f x dx

 8I

. B.

8I

. C.

 4I

. D.

4I

Lời giải

   





1'A x f x dx

Đặt

   1u x du dx

 

 'dv f x dx

chọn

 

v f x

           

            

   

1 1 1 1

0 0 0 0

1 . 2 (1) (0) 2 10 8A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

Chọn B

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

33 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 64: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;2

và thỏa mãn

 

2 16f

 





d4f x x

. Tính tích phân

 







. 2 dI x f x x

 12I

. B.

 7I

. C.

 13I

. D.

 20I

Lời giải

Chọn B

Đặt

 

















d 2 d

v f x x

Khi đó:

 

      



. 2 2

1 1 16 1

2 d d .4 7

2 2 2 4 2 4

x f x f

I f x x f t t

Ví dụ 65: Cho hàm số

 

và

 

liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn

   



0 . 2 0ff

và

     



2e

g x f x x x

. Tính giá trị của tích phân

   







.dI f x g x x

4

. B.

e2

. C.

. D.

2e

Lời giải

Chọn C

Ta có

     



2e

g x f x x x

   

  0 2 0gg

(vì

   



0 . 2 0ff

)

   







.dI f x g x x

   





df x g x

   

 



.f x g x

   







.dg x f x x

 

   



2 e d 4

x x x

Ví dụ 66: Cho hàm số

 

thỏa mãn

   





1 ' 10x f x dx

và

   

2 1 0 2ff

. Tính

 





I f x dx

 8I

. B.

8I

. C.

 4I

. D.

4I

Lời giải

Chọn B

   





1'A x f x dx

Đặt

   1u x du dx

 

 'dv f x dx

chọn

 

v f x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 34

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

           

            

   

1 1 1 1

0 0 0 0

1 . 2 (1) (0) 2 10 8A x f x f x dx f f f x dx f x dx f x dx

Ví dụ 67: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

 

     

3 1 3 2, .f x x x x

Tính

 







.I x f x dx

. B.

. C.

. D.

1761

Lời giải

Chọn C

Đặt

   

   



   













u x du dx

I xf x f x dx

dv f x dx v f x

Từ

 

   







    









5 5 1

3 1 3 2

1 2 0

f x x x

, suy ra

 





23 .I f x dx

Đặt

 







   









dt x dx

t x x

f t x

Đổi cận: Với

      

1 1 3 1 0t x x x

và

      

5 3 1 5 1t x x x

Khi đó

   

 

      



23 23 3 2 3 3

Casio

I f x dx x x dx

Chọn C

Ví dụ 68: Cho hàm số

 

liên tục trong đoạn





1;e

, biết

 





 

e1f

. Khi đó

 







.ln dI f x x x

bằng

 4I

. B.

 3I

. C.

 1I

. D.

 0I

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

       



       



.ln d .ln . d e 1 1 1 0I f x x x f x x f x x f

Cách 2: Đặt

 

























v f x x

v f x

Suy ra

   

 



       



.ln d ln d e 1 1 1 0

I f x x x f x x x f

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

35 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 69: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

 

π

  





sin .cos

f x f x x x

, với mọi

x

và

 

00f

. Giá trị của tích phân

 





.dx f x x

bằng



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn D

Theo giả thiết,

 

00f

và

 

π

  





sin .cos

f x f x x x

nên

 

π







π







Ta có:

 







.dI x f x x

 









dx f x

   









dxf x f x x

Suy ra:

 





dI f x x

Mặt khác, ta có:

 

π

   





sin .cos

f x f x x x

 

  





   





  

2 2 2

0 0 0

d d sin .cos d

f x x f x x x x x

Suy ra:

   







    





  

d d d

2 2 4

f x x f x x f x x

Vậy

 

   



I f x x

Ví dụ 70: Cho hàm số

 

thỏa

   

0 1 1ff

. Biết

   



  





e f x f x dx ae b

. Tính biểu

thức



2018 2018

Q a b

 8Q

. B.

 6Q

. C.

 4Q

. D.

 2Q

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 36

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

       



   



  

1 1 1

0 0 0

x x x

A e f x f x dx e f x dx e f x dx

 





A e f x dx

Đặt

   

   'u f x du f x dx



dv e dx

chọn



   

  



A e f x e f x dx

Vậy

       

       

. 1 0 1

A e f x A A e f x e f f e



     







2018 2018

1 1 2

Chọn D

Ví dụ 71: Cho hàm số

 

có đạo hàm trên thỏa mãn

   





2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x

với

mọi

x

và

 

0 2018.f

Tính giá trị

 

1.f

 



2018

1 2019ef

. B.

 





2018

1 2018.ef

. C.

 



2018

1 2018.ef

. D.

 



2018

1 2017.ef

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   





2017 2018

2018 2018. .e

f x f x x

   







2017

2018

2018.

f x f x

   









2017

2018

2018.

d 2018. d

f x f x

x x x

 

Xets

   









2018

2018.

f x f x

   









2018 2018

.e d 2018. .e d

f x x f x x

Xét

 







2018

2018. .e d

I f x x

. Đặt

   















  





2018 2018

d 2018.e d e

u f x u f x x

v x v

Do đó

 

   

  



     



2018 1 2018 2018

. e .e d 1 .e 2018

x x x

I f x f x x I f

Khi đó

 



  

2018 2018 1

1 .e 2018

 



2018

1 2019.ef

Ví dụ 72: Cho hàm số

 

y f x

với

   

0 1 1ff

. Biết rằng:

   





  





e d e

f x f x x a b

Tính

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

37 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold



2017 2017

Q a b



2017

21Q

. B.

 2Q

. C.

 0Q

. D.



2017

21Q

Lời giải

Chọn C

Đặt

   



















d e d e

u f x u f x x

v x v

         



  

   



  

1 1 1

0 0 0

e d e e d e d

x x x x

f x f x x f x f x x f x x

   

e 1 0ff

e1

Do đó

 1a

1b

Suy ra



2017 2017

Q a b

 

   

2017

1 1 0

. Vậy

 0Q

Ví dụ 73: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;5

và

 

5 10f

 







d 30xf x x

. Tính

 



df x x

. B.

30

. C.

20

. D.

Lời giải

Chọn A

Đặt

   

   







  





u x u x

v f x x v f x

   

 







. d . dx f x x x f x f x x

   

  



30 5 5 df f x x

   

   



d 5 5 30 20f x x f

Ví dụ 74: Cho hai hàm số liên tục

và

có nguyên hàm lần lượt là

và

trên đoạn





1;2

Biết rằng

 

11F

 

24F

 



 

22G

và

   





f x G x x

. Tính

   



dF x g x x

. B.



145

. C.



. D.

145

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 38

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn A

Đặt

 















u F x

dv g x x

 

















ddu f x x

v G x

   



dF x g x x

   

 

   





dF x G x f x G x x

           

  



2 2 1 1 dF G F G f x G x x

  

3 67

4.2 1.

2 12



Ví dụ 75: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên





0;1

thỏa mãn

   











2 d 1x f x x f

Giá trị của

 





dI f x x

bằng

2

. B.

. C.

1

. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

 











2dx f x x

 







. d 2 dx f x x x x

 









dx f x x

   

  



. d 1x f x f x x

 

  11fI

Theo đề bài

   











2 d 1x f x x f

  1I

Ví dụ 76: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn





1;2

và

   







1dx f x x a

. Tính

 



df x x

theo

và

 

 2bf

ba

. B.

ab

. C.

ab

. D.

ab

Lời giải

Chọn A

Đặt

   1 d du x u x

;

 



ddv f x x

chọn

 

v f x

   







1dx f x x

     

  



1dx f x f x x

   





f f x x

 





b f x

Ta có

   







1dx f x x a

 

  



db f x x a

 

  



df x x b a

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

39 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ví dụ 77: Cho hàm số

 

liên tục trên và

 

2 16f

 





d4f x x

. Tính tích phân

 







. 2 dI x f x x

 13I

. B.

 12I

. C.

 20I

. D.

 7I

Lời giải

Chọn D

Đặt

 

















d 2 d

v f x x

v f x

Khi đó,

         

     

  

1 1 1

0 0 0

1 1 1 1 1

. 2 2 d 2 2 d 8 2 d

2 2 2 2 2

I x f x f x x f f x x f x x

Đặt

  2 d 2dt x t x

Với

  00xt

;

  12xt

Suy ra

 

    



8 d 8 1 7

I f t t

Ví dụ 78: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   







sin . d 0x f x x f

 1

. Tính

 









cos . dI x f x x

 1I

. B.

 0I

. C.

 2I

. D.

2

Lời giải

Chọn C

Đặt

 





  





   





d ( )d

d sin d cos

u f x u f x x

v x x v x

   

 







   



sin . d cos . cos . dx f x x x f x x f x x

 









cos . dI x f x x

   







sin . d cos .x f x x x f x

11

 0

Ví dụ 79: Xét hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện

 

11f

và

 

24f

. Tính

   















f x f x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 40

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

1 ln4J

. B.

4 ln2J

. C.



ln2

. D.



ln4

Lời giải

Chọn D

Cách 1: Ta có

   















f x f x

   





   





  

2 2 2

1 1 1

d d d

f x f x

x x x

Đặt

 





















v f x x

v f x

   















f x f x

 

   



    





  

2 2 2

1 1 1

1 2 1

. d d d

f x f x

f x x x x

x x x

   



     





1 1 1

2 1 2ln ln4

f f x

Cách 2:

   















f x f x

   







  







xf x f x

1

 



    





2ln ln4

Cách 3: ( Trắc nghiệm)

Chọn hàm số

 

f x ax b

. Vì

 























, suy ra

 

32f x x

Vậy

    

     

   

   



5 3 1 1 1

d 2ln ln4

J x x

Ví dụ 80: Cho hàm số

 

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn





0; 2

. Biết

 

01f

và

   





. 2 e

f x f x

, với mọi

 



0; 2x

. Tính tích phân

 







x x f x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

41 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Cách 1: Theo giả thiết, ta có

   





. 2 e

f x f x

và

 

nhận giá trị dương nên

   









ln . 2 lne

f x f x



   

   

ln ln 2 2 4f x f x x x

Mặt khác, với

 0x

, ta có

   

0 . 2 1ff

và

 

01f

nên

 

21f

Xét

 







x x f x

, ta có

 







3 . d

I x x x

Đặt

 

















u x x

 

















d 3 6 d

u x x x

v f x

Suy ra

 



   





3 2 2

3 ln 3 6 .ln dI x x f x x x f x x

 

  



3 6 .ln dx x f x x

 

Đến đây, đổi biến

2xt

  ddxt

. Khi

  02xt

và

  20xt

Ta có

 

  

    



3 6 .ln 2 dI t t f t t

 

   



3 6 .ln 2 dt t f t t

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên

 

   



3 6 .ln 2 dI x x f x x

 

Từ

 

và

 

ta cộng vế theo vế, ta được

 

   



    





2 3 6 . ln ln 2 dI x x f x f x x

Hay

   

   



3 6 . 2 4 d

I x x x x x



Cách 2 (Trắc nghiệm)

Chọn hàm số

 





, khi đó:

 







    



3 2 2

3 .e . 2 2

d 3 . 2 2 d

x x x

I x x x x x

Ví dụ 81: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

 

10f

và

     







  





d 1 e d

f x x x f x x

. Tính tích phân

 





dI f x x

2eI

. B.

e2I

. C.



. D.





Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 42

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn B

Xét

   





1 e d

A x f x x

. Đặt

 















d 1 e d

u f x

v x x

 



















u f x x

Suy ra

   







e e d

A x f x x f x x

 







x f x x

 









x f x x

Xét

  

   







2 2 2 2

1 1 1 e 1

e d e

2 2 4 4

x x x x

Ta có

   





  



  

1 1 1

0 0 0

d 2 e d e d 0

f x x x f x x x x

 



  



e d 0

f x x x

Suy ra

 



e0

f x x

  



0;1x

(do

 





f x x

  



0;1x

)

 



   e

f x x

   

   1e

f x x C

 

10f

nên

   

1e

f x x

Vậy

     

      



d 1 e d 2 e e 2

I f x x x x x

Ví dụ 82: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





1;2

thỏa mãn

   

  



x f x x

 

20f

và

 











d7f x x

. Tính tích phân

 





dI f x x



. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Đặt

   



  ddu f x u f x x

 



   

d 1 d

v x x v

Ta có

   

  



x f x x

 









f x f x x

   



    



x f x x

   



  



1 d 1x f x x

   



    



2.7 1 d 14x f x x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

43 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Tính được

 





49 1 d 7xx

 











df x x

   







2.7 1 dx f x x

 

  



49 1 d 0xx

   





   







7 1 d 0x f x x

   



  

71f x x

 



  

f x C

 

20f

 



  

Vậy

 





dI f x x

 

















Ví dụ 83: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn





0;1

thỏa mãn

 

11f

 











d9f x x

và

 





x f x x

. Tích phân

 



df x x

bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 











d9f x x

 

- Tính

 





x f x x

Đặt

 















d .d

u f x

v x x

 



















u f x x

 





x f x x

 









 







x f x x

 







x f x x

 



  



. d 1x f x x

 



  



18 . d 18x f x x

 

- Lại có:









81 d 9xx

 

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 44

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

- Cộng vế với vế các đẳng thức

 

và

 

ta được:

   





  









18 . 81 d 0f x x f x x x

 





  





9 d 0f x x x

 







  





. 9 d 0f x x x

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 





9y f x x

, trục hoành

, các đường thẳng

 0x

 1x

khi quay quanh

bằng

 



  

90f x x

 



  

9f x x

   







.df x f x x

  

Lại do

 

11f



 

   

9 14

f x x

 





df x x











9 14



   





3 14 5

10 5 2

Ví dụ 84: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn









và











. Biết

 







f x x

 









sin 2 d

f x x x

. Tính tích phân

 







2dI f x x

 1I

. B.



. C.

 2I

. D.



Lời giải

Chọn D

Tính

 









sin 2 d

f x x x

. Đặt

   

   















sin2 2cos2 d d

x u x x u

f x x v f x v

, khi đó

     











sin 2 d sin 2 . 2 cos2 df x x x x f x f x x x

   







  







sin . sin0. 0 2 cos2 d

f f f x x x

 







2 cos2 df x x x

Theo đề bài ta có

 









sin 2 d

f x x x



 







cos2 d

f x x x

Mặt khác ta lại có







cos 2 d

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

45 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

     





   





cos2 d 2 .cos2 cos 2 df x x x f x f x x x x

  



   





8 8 8

nên

 

 cos2f x x

Ta có



  



cos4 d sin4

I x x x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 46

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số

 

y f x

xác định trên thỏa mãn

 

0,f x x  

và

   

2 0.f x f x





Biết

 

1 1,f 

tính

( 1).f 



Lời giải

Chọn C

Ta có

 

2 2 4.

f x f x

dx dx

f x f x





      



Suy ra

 

ln 1 ln 1 4 1 .f f f e      

Câu 2: Cho hàm số

 

khi 0 1

2 1 khi 1 3

y f x















  



. Tính tích phân

 

df x x



6 ln4

. B.

4 ln4

. C.

6 ln2

. D.

2 2ln2

Lời giải

Chọn A

Ta có:

     

3 1 3

0 0 1

d d df x x f x x f x x

  

 

d 2 1 d

x x x

  





 

2ln 1x x x   

ln4 6

Câu 3: Xác định số thực dương

để tích phân

 

x x x



có giá trị lớn nhất.

1m 

. B.

2m 

. C.

3m 

. D.

4m 

Lời giải

Chọn A

 

P x x x













Đặt

 

fm

 

f m m m



  

 

0fm





0m

hoặc

1m 

Lập bảng biến thiên

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

47 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Vậy

 

đạt GTLN tại

1m 

Câu 4: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho

()fx

là hàm liên tục và

0a 

. Giả sử rằng với mọi

 

0;xa

, ta có

( ) 0fx

và

   

1f x f a x

. Tính

1 ( )

fx



được kết quả bằng:

. B.

. C.

 

ln 1aa

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

()

( ) 1

()

dx f a x

I dx

f a x













Đặt:

a x t

thì

dx dt

Đổi cận

Ta được:

( ) ( )

(t) 1 ( ) 1

f t f x

I dt dx

f f x

  





Do đó:

II

1 ( )

fx



()

1 ( )

f x dx

fx



 

1 ( )

f x dx





dx a



. Vậy:

I 

Câu 5: [KHTN Hà Nội, Lần 3, Năm 2018] Cho hàm số

 

liên tục trên và

   

3 2 tanf x f x x  

. Tính

 

df x x











. B.





. C.





. D.





Lời giải

Chọn D

     

3 2 tan 1f x f x x  

Thay

         

. 1 3 2 tan tan 2x x f x f x x x       

     

 

1 .2 2 .3 5tan 5

tan

x f x

f x x

  



 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 48

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

4 4 4 4

2 2 2

d tan xd 2 tan xd 2 1+tan x 1 dI f x x x x x

   







    



   

 

2 tan 2

I x x



   

Câu 6: Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   

..f x f x x x





Biết

 

02f 

Tính

 

2.f

 

313

f 

 

332

f 

 

324

f 

 

323

f 

Lời giải

Chọn B

Ta có

 

           

 

4 2 2 2

. 2 0

x x dx f x f x dx f x d f x f f





    

  

Suy ra

 

2 4 2 2

332

2 2 0 .

f x x dx f   



Câu 7: (Chu Văn An 2018) Xét hàm số

 

liên tục trên

 

0;1

và thỏa mãn điều kiện

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

. Tích phân

 

dI f x x



bằng:





. B.





. C.





. D.





Lời giải

Chọn A

Vì

 

liên tục trên

 

0;1

và

 

4 . 3 1 1x f x f x x   

nên ta có

 

4 . 3 1 d 1 dx f x f x x x x



   





 

1 1 1

0 0 0

4 . d 3 1 d 1 dx f x x f x x x x    

  

 

Mà

 

4 . dx f x x



   

2df x x



 

f t t







2I

và

 

3 1 df x x



   

3 1 d 1f x x   



 

f u u







I

Đồng thời

1dxx



sin

1 sin .cos d

t t t





 



cos dtt







 

1 cos2 d











Do đó,

 

1 





hay





 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

49 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Câu 8: Cho hàm số

 

liên tục trên

 

\ 0; 1

thỏa mãn điều kiện

 

1 2ln2f 

và

     

1x x f x f x x x



   

. Giá trị

 

2 ln3f a b

,ab

.Tính

ab

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

     

1x x f x f x x x



   

 

f x f x



  





 













Lấy tích phân từ

đến

hai vế ta được

 

f x x x















 

ln 1

f x x x

   



       

2 1 2 ln3 1 ln2

ff     

 

2 ln2 1 ln3 ln2

f    

 

2 ln3

f  

Suy ra

a 

và

b 

Vậy

3 3 9

2 2 2

   

    

   

   

Câu 9: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số

 

liên tục

trên đoạn

 

0;1

thỏa mãn điều kiện

   

2 1 3 6f x f x x x   

 

0;1x

. Tính tích

phân

 

1dI f x x



I 

. B.

1I 

. C.

I 

. D.

I 

Lời giải

Chọn C

Đặt

1tx

 

0;1x

thì

 

0;1t

Ta có

   

2 1 3 6f x f x x x   

     

2 1 3 1 3f x f x x     

   

1 2 3 3f t f t t    

   

2 1 3 3f x f x x    

Xét hệ phương trình:

   

2 1 3 6

2 1 3 3

f x f x x x

f x f x x



   





   





   

2 1 3 6

4 2 1 6 6

f x f x x x

f x f x x



   







   





 

3 3 6 6f x x x   

   

13f x x   

 

0;1x

Khi đó

   

1 2 3f x x   

41xx  

Suy ra

 

1dI f x x



 

4 1 dx x x  





  







 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 50

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Phân tích:

+ Bước 1: Từ

   

2 1 3 6f x f x x x   

ta giải phương trình hàm tìm hàm số

 

+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm

 

1fx

rồi tính

 

1dI f x x



Câu 10: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số

 

y f x

liên tục

với mọi

1x 

thỏa mãn

3, 1

f x x





  







. Tính

 

I f x x







41Ie

. B.

2Ie

. C.

42Ie

. D.

3Ie

Lời giải

Chọn C

Đặt

t xt t x x



      



, suy ra

 



   



hay

( ) 4





Ta có

 

4 d 4 2ln 1 4 2

I x x x e





      









Câu 11: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số

 

y f x

liên tục

với mọi

0x 

thỏa mãn

 

2 3 , 0f x f x x



  





. Tính

 





I 

. B.

I 

. C.

I 

. D.

I 

Lời giải

Chọn A

Tương tự ta xác định được

 

f x x

  

Suy ra

 

2 2 3

d 1 d

I x x x

x x x

   

       

   

   



Câu 12: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số

 

liên tục trên khoảng

 

2;3

. Gọi

 

là một nguyên hàm của

 

trên khoảng

 

2;3

. Tính

 











I f x x xd

, biết

 

11F

và

 

24F

6I

. B.

10I

. C.

3I

. D.

9I

Câu 13: Nếu

()

f t dt





với

0x 

thì hệ số

bằng

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

51 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi

()Ft

là một nguyên hàm của

()ft

, suy ra

()

'( )



Ta có

()

f t dt





( )| 6 2

F t x  

( ) ( ) 6 2F x F a x   

'( ) 2.



( ) 1fx



()f x x x

( ) 1

2 | 2 2 2 6

x x x

a a a

f t dt t t

dt dt t x a x

       

  

(gt)

Vậy

39aa  

Câu 14: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 39] Cho hàm số

 

y f x

liên tục và

thoả mãn

 

23f x f x









với









. Tính

 



. B.



. C.

. D.



Lời giải

Chọn A

Đặt

 





Với









 

23f x f x









 







  

 

2 2 2

1 1 1

2 2 2

d 2 d 3d (1)

x x x







  

  

Đặt

ddt t x

   

ddtx

  

 

2 d 2 d 2

x t I











 

1 3 3d .

I x I   



 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 52

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 15: Cho

()fx

là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn

   

2 2cos2f x f x x   

. Tính

tích phân

 

dI f x x









3I 

. B.

4I 

. C.

6I 

. D.

8I 

Lời giải

Chọn C

Ta có

     

d d dI f x x f x x f x x





  

  

Xét

 

df x x







Đặt

ddt x t x    

; Đổi cận:



   

;

00xt  

Suy ra

       

d dt d df x x f t f t t f x x





      

   

Theo giả thiết ta có:

       

 

2 2cos2 d 2 2cos df x f x x f x f x x x x



        



   

3 3 3

2 2 2

0 0 0

d d 2 sin df x x f x x x x

  

   

  

   

0 0 0

d d 2 sin d 2 sin df x x f x x x x x x







   

   

 

d6f x x









Câu 16: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Cho hàm số

 

có đạo hàm

 



thỏa

mãn

       

2 1 d 10, 1 0 8x f x x f f



   



. Tính

 

dI f x x



2I 

. B.

1I 

. C.

1I 

. D.

2I 

Lời giải

Chọn C

Xét

   

2 1 dx f x x







Đặt

 

   

2 1 d 2d

u x u x

v f x x v f x

   









  





 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

53 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

ta có

   

10 2 1 dx f x x







     

2 1 2 d

x f x f x x  



       

10 1 0 2 d 10 8 2 df f f x x f x x      



 

2 d 2f x x  



 

d1f x x  



Câu 17: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn

 

     

d 10, 1 0 8x x f x x f f



   



. Tính

 

dI f x x



9I 

. B.

3I 

. C.

3I 

. D.

9I 

Lời giải

Chọn D

Xét

 

dx x f x x







Đặt

 

   

d 2 1 d

u x x u x x

v f x x v f x



    





 

  





ta có

 

     

10 d 2 1 d

x x f x x x x f x x f x x

  

     



   

2 1 dx f x x



  



Đặt

 

   

2 1 d 2d

u x u x

v f x x v f x



   







  





ta có

         

10 2 1 d 2 1 2 d

x f x x x f x f x x



     



     

10 1 0 2 df f f x x    



   

10 8 2 d d 9f x x f x x     



Câu 18: Cho hàm số

 

có đạo hàm

 



thỏa mãn

 

   

d 10, 5 1 8f x x x f f



   



. Tính

 

dI f x x



2I 

. B.

1I 

. C.

1I 

. D.

2I 

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 54

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn C

Xét

 

df x x x







Đặt

 

d 2 1 dt x x t x x    

 

       

1 2 2

0 0 0

d 2 1 d 2 1 d 10f x x x t f t t x f x x

  

      

  

Đặt

 

   

2 1 d 2d

u x u x

v f x x v f x

   









  





ta có

         

10 2 1 d 2 1 2 d

x f x x x f x f x x



    



     

10 5 1 2 df f f x x   



   

10 8 2 d 2 d 1f x x f x x     



Câu 19: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số

 

liên tục trên

1;2018





và:

2017

(2018 ) ( ) [1;2018], ( ) 10f x f x x f x dx    



. Tính

2017

. ( )I x f x dx



10100.I 

20170.I 

20180.I 

10090.I

Lời giải

Chọn D

Đặt

2018 .t x dt dx    

1 2017, 2017 1x t x t     

1 2017

2017 1

(2018 ) (2018 ) (2018 ) ( )I t f t dt t f t dt     



2017 2017

2018 ( ) ( )f x dx xf x dx



    2018.10 10090.I I I

Câu 20: Hàm số

 

liên tục trên

;ab





và:

( ) ( ) [ ; ]    f a b x f x x a b

;

() 



f x dx a b

Tính

. ( )



I x f x dx

 





 





 





 





Lời giải

Chọn D

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

55 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Đặt

.t a b x dt dx     

,.x a t b x b t a     

( ) ( )

I a b t f a b t dt     



( ) ( )

a b t f t dt  



( ) ( ) ( )

a b f x dx xf x dx  



 

( ).( ) .

I a b a b I I



      

Câu 21: Giả sử hàm số

 

y f x

đồng biến trên

 

0;

;

 

y f x

liên tục, nhận giá trị dương

trên

 

0;

và thỏa mãn:

 

f 

và

     

1.f x x f x









. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

 

2613 8 2614f

. B.

 

2614 8 2615f

 

2618 8 2619f

. D.

 

2616 8 2617f

Lời giải

Chọn A

Vì

 

y f x

liên tục, nhận giá trị dương trên

 

0;

và

     

1.f x x f x









     

1.f x x f x



  

 



  

 

d 1d

x x x



  



   

f x x C   

. Vì

 

f 

C  





 

1 6 8



  









 

19 6

8 2613,261





  





Vậy

 

2613 8 2614f

Câu 22: [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa

mãn

 

cot . sin d d 1

x f x x x







. Tính tích phân

 





3.I 

I 

2I 

. D.

I 

Lời giải

Chọn D

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 56

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Đặt

sin d 2sin cos d cot d

t x t x x x x x

    

 

   

1 1 1

4 2 2 2

1 cot . sin d d d 2

f x f x

x f x x f t x x

t x x



    

   

Đặt

2 d dt t x













 

     

16 4 4 4

1 1 1 1

1 d 2td 2 d d

f t f x f x

x t x x

    

   

Đặt

4 d 4dt x t x  

         

1 4 4 1 4

1 1 1 1

8 2 2 2

d d d d

f x f t f x f x f x

I x x x x

x x x x

     

    

Phân tích:

Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm

 

nào đó không biết, nhưng

sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu

là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết.

Câu 23: Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

 





và

 

cos tan d 2f x x x







Tính

 



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Đặt

ln d

t x t

  

     

1 d d d

f x f t f x

x t x

x x t x

  

  

Đặt

cos d sin dt x t x x   

 

   

sin

2 cos d d d

cos

f t f x

f x x t x

x t x



   

  

Do đó

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

57 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

     

2 1 2

d d d 3

f x f x f x

x x x

  

  

Câu 24: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên









và

 

00f 

 

f x x













 

sin . d

x f x x







. Tính

 

dI f x x







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có

     

 

f x x f x f x















         

2 2 2

0 0 0

in . d d cos cos . cos dx f x x f x x x f x f x x x

  





     

  

Mặt khác ta tính được:

1 cos2 1 sin2

cos d d

2 2 2 4

x x x x









   







Vậy

   

4 2 2

0 0 0 0

d cos . ( )d cos d cos d 0'( ) 2 '( )f x x f x x x x xx f x x

   

   





   

Suy ra

   

cos sinf x x f x x C



   

 

0 0 0fC  

Vậy

 

d sin d cos 1I f x x x x x





    



Câu 25: Cho hàm số

 

()

f x bxe





. Tìm

và

biết rằng

'(0) 22f 

và

( ) 5f x dx 



2, 8ab   

. B.

2, 8ab

. C.

8, 2ab

. D.

8, 2ab   

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

'( ) ( 1)

f x b x e

   



Suy ra

'(0) 22 3 22f a b      

(1)

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 58

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có

   

( ) ( 1)

1 2 1

f x dx bxe dx b x e a b

   

       

   



   

   



Theo bài ra

( ) 5f x dx 



ab  

(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ

3 22

   























Câu 26: Cho hàm số

 

y f x

là hàm lẻ và liên tục trên

 

4;4 ,

biết

 

d2f x x







và

 

2 d 4.f x x



Tính

 

d.I f x x



10I 

. B.

6I 

. C.

6I 

. D.

10I 

Lời giải

Chọn B

Vì

 

là hàm lẻ nên ta có

   

  f x f x

Ta có:

       

0 0 2 2

2 2 0 0

d 2 d 2 d 2 d

f x x f t t f t t f x x





      

   

         

2 2 4 4 4

1 1 2 2 2

2 d 2 d d 4 d 8 d 8

f x x f x x f u u f u u f x x



          

    

Do đó:

     

4 2 4

0 0 2

d d d 2 8 6.f x x f x x f x x     

  

Câu 27: Cho hàm số

 

d4f x x







, trong đó hàm số

 

y f x

là hàm số chẵn trên

 

1;1

. Tính

 







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Đặt

ddt x t x    

. Đổi cận

11xt   

;

11xt   

Ta được:

       

1 1 1 1

1 1 2 2

d d d d

1 2 1 2 1 2 1 2

x t t x

I f x x f t t f t t f x x



  

     

   

   

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

59 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Do đó:

     

1 1 1

2 d d d 4 2

1 2 1 2

I f x x f x x f x x I

  

     



  

Cách 2.

Chọn

 

h x x

là hàm số chẵn. Ta có:







. Do đó:

   

f x h x x

Khi đó:

 

d d 2

2 1 2 1









Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại

diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài

toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số

 

y f x

khá đơn

giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số

 

1hx

cho đơn giản.

Câu 28: Cho hàm số

()fx

thỏa mãn

   

3 d 25x f x x







và

   

33 8 18 3 83ff

Giá trị

 

df x x



là:

83I 

. B.

38I 

. C.

I 

. D.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   

3 d 25x f x x







Đặt

   

3 d d

u x u x

v f x dx v f x

  

















     

3dA x f x f x x   



     

11 8 6 3 df f f x x  



Ta có

   

33. 8 18 3 83ff

   

11 8 6 3

ff  

Suy ra

 

A f x x



. Mà

25A 

 

83 8

d 25

f x x   



Câu 29: Cho hàm số

 

y f x

dương có đạo hàm liên tục trên đoạn

0; 3





biết rằng

   

10f x f x x



  

và

 

3fe

. Tính

 

ln dI f x x











3 3 2

Lời giải

Chọn B

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 60

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có

   

10f x x f x



  

 



  

Đặt

 

u f x



















 

















Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

 

ln dI f x x







 

ln d

xf x

x f x x









 

ln 1 dx f x x x x  







 

3 2 2

ln 1 d 1

x f x x x   







 

3 2 2 3

ln 1 1

x f x x x   







Câu 30: [THPT QUỲNH LƯU 2_NGHỆ AN_LẦN 1] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên và

thỏa mãn

   

f x f x x x   

. Tính

 

I f x dx



. B.

. C.



. D.



Lời giải

Chọn A

Đặt

 

31t f x t t x dx t dt      

Suy ra

 

I t t dt  



Câu 31: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm và

liên tục trên thỏa mãn

   

' 2 2 .

f x xf x x e





và

 

01f 

. Tính

 

. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn C

         

 

2 2 2 2

' 2 2 . . ' 2 . . 2 . ' 2

x x x x

f x xf x xe e f x x e f x x e f x x



      

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

61 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Lấy tích phân cả hai vế ta được:

 

     

. ' 2 . . 1 0 1

e f x dx xdx e f x x e f f     



   

. 1 2 1e f f

   

Câu 32: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tực trên đoạn

 

0;1

thỏa mãn

   

2018

3 . 'f x x f x x

với mọi

 

0;1x

. Giá trị nhỏ nhất của tích phân

 

f x dx



bằng:

2019.2021

. B.

2018.2021

. C.

2018.2019

. D.

2021.2022

Lời giải

Chọn A

Ta có:

   

2018

3 . 'f x x f x x

với mọi

 

0;1x

Nhân thêm cả

vế cho

để đưa về dạng

   

.'f x g x





Ta được:

   

2 3 2020

3'x f x x f x x

   

2 3 2020

3'x f x x f x dx x dx



  





   

3 2020

. ' 1

2021

x f x dx x dx f



   





Mặt khác:

   

2018

3 . 'f x x f x x

   

1 1 1

2018

0 0 0

3'f x dx xf x dx x dx   

  

     

1 1 1

2018

0 0 0

f x dx x f x f x dx x dx    

  

   

1 1 1 1 1 1

2 2019 2 2019 2021 2019.2021

f x dx f

   

     

   

   



Câu 33: (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN – 2018) Cho hàm số

()fx

có

đạo hàm không âm trên đoạn

 

0;1

thỏa

   

 

4 2 3

( ) ( ) 1 1 ( )



  f x f x x f x

và

 

( ) 0, 0;1  f x x

. Biết

(0) 2f

, hãy chọn khẳng định đúng trong những khẳng định

dưới đây.

2 (1)

f

. B.

(1) 3

f

. C.

(1) 2

f

. D.

3 (1)

f

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 62

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn B

Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định

nghĩa tích phân.

Phân tích: Từ giả thiết

   

 

4 2 3

( ) ( ) 1 1 ( )



  f x f x x f x

và

 

( ) 0; ( ) 0, 0;1



   f x f x x

suy ra:

   

 

( ) ( )

1 ( )







f x f x

. Lấy tích phân hai vế

trên

 

0;1

ta được:

( ) '( ) 1

1 ( ) 1







f x f x

dx dx

f x x

Ta có:

 

1 ( )

( ) '( ) 1

1 ( ) 1 ( )









d f x

f x f x









3 1 3 3 3

2 2 2

1 ( ) | 1 (1) 1 (0) 1 (1) 3

3 3 3

        f x f f f





 

ln 1 ln 1 2

    





dx x x

. Từ đó

(1) 2.6 (1) 3

    ff

Câu 34: Cho hàm số

()fx

xác định, liên tục và có đạo hàm không âm trên







thỏa mãn

( ) 0, 0; ;



  





f x x

   

 

2 2 2

( ) ( ) 1 ( ) 1



  f x f x x f x

và

(0) 1f

. Chọn khẳng định

đúng bằng:

2 ( )

f

. B.

( ) 3

f

. C.

( ) 2

f

. D.

3 ( )

f

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết

   

 

2 2 2

( ) ( ) 1 ( ) 1



  f x f x x f x

và

( ) 0; ( ) 0, 0;





   





f x f x x

suy ra:

  

 

( ) ( )

1 ( )









f x f x

. Lấy tích phân hai vế trên







ta được:

( ) '( ) 1

1 ( ) 1







f x f x

dx dx

f x x

Ta có:

 

1 ( )

( ) '( ) 1

1 ( ) 1 ( )









d f x

f x f x

2 2 2

1 ( ) 1 (0) 1 ( ) 2

   

      

   

   

f f f

. ( )



  





dx dt x sint

. Từ đó

1 3 1

( ) 1.66 ( ) 2

2 2 2

    ff

Câu 35: Cho hàm số

()fx

xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn

 

1 ( ) 2 ( )



  

x f x xf x xe

và

(0) 1f 

. Giá trị

(1)f

bằng:

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

63 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

. B.

. C.

ln2

. D.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết

   

 

1 ( ) 2 ( ) 1 ( )



     

x f x xf x xe x f x xe

Suy ra

 

1 ( )







x f x dx xe dx

 

1 ( ) 2 (1) (0)      



x x x

x f x xde f f xe e dx

2 (1) (0) (1) 1.     

f f e e f

Câu 36: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số

 

liên tục và có đạo hàm tại mọi

 

0;x 

đồng thời thỏa mãn điều kiện:

   

 

sin cosf x x x f x x



  

và

 

sin d 4f x x x







. Khi đó,

 



nằm trong khoảng

nào?

 

6;7

. B.

 

5;6

. C.

 

12;13

. D.

 

11;12

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:

   

 

sin cosf x x x f x x



  

   

sinx cosf x x x f x x



   

   

..f x x x f x





sin cosx x x  

   

. . (cos ) x cosf x x x f x x x x

   

   

(*).

Vì

 

0;x 

, ta chia

vế của (*) cho

ta được

   

(cos ) x cos

f x x x f x

x x x











 

cos











 

cos

  

 

cosf x x cx  

Mặt khác lại có

 

sin 4f x xdx







Xét

   

sin d cos sin sin df x x x x x c x x x







 

cos cos sin dxxd x c x x



  



 

cos

cos sin

c x x x





   





2c

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 64

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Mà

 

sin d 4f x x x







24c   

2c

 

cos 2f x x x  

Ta có:

 

12f



  

5,28

Tổng quát:

Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng

         

..a x f x b x f x g x





 

Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa

 

về dạng

         

..u x f x u x f x h x

  



 

Với

 

()

u x b x





, kết hợp với giả thiết ta tìm được

()ux

suy ra biểu thức nhân thêm là

 

. Khi có

 

ta sẽ tìm được

 

Câu 37: (Đề HK2 Sở GD Nam Định – 2018) Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên

đoạn









và











. Biết

 

f x x







 

sin2 d

f x x x









. Tính tích phân

 

2dI f x x







I 

. B.

I 

. C.

2I 

. D.

1I 

Lời giải

Chọn B

Ta có

   

sin2 d sin 2 df x x x x f x









   

sin2 dsin 2f x x f x x











     

sin 2. 0 sin 2.0 2 cos2 d

f f f x x x





   

  

   

   



 

2 cos2 d

f f x x x













 

2 cos2 df x x x







Do đó

 

2 cos2 d

f x x x







Mặt khác:

 

cos 2 d 1 cos4 d

x x x x







sin4















Bởi vậy:

   

4 4 4

0 0 0

d 2 cos2 d cos 2 d

8 4 8

f x x f x x x x x

  

    

  

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

65 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

   

2 cos2 cos 2 d 0f x f x x x x





   





   

cos2 d 0 cos2f x x x f x x



    







Nên:

 

2dI f x x







cos4 dxx







sin4





Câu 38: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số

 

y f x

xác định trên









thỏa mãn

   

2 2. sin





  



  











f x f x x xd

. Tính

 





f x x



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn B

+) Ta có

2 sin 1 cos 2 sin 2

4 2 2 2 2





   

    

     

       

     

   

     

   



x x x x x xdd

+) Từ đó

   

2 2. .sin





  



  











f x f x x xd

   

2 2. .sin 2sin

4 4 2 2



   

   

   

      

   



   





f x f x x x x xdd

 

2sin 0.







   











f x x xd

 

2sin 0, 0;





   

    





   



f x x x

nên

 

2sin 0







  











f x x xd

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

2sin











f x x

+) Vậy

 

d 2 sin d 2 cos 0







   

     

   

   



f x x x x x

Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “

 

y f x

liên tục trên









” ở đề bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 66

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 39: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

0;1

thỏa mãn

   

 

6. . d











f x f x e x

Tính

   

1d



x f x x

1e

. B.

25e

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

+) Ta có

   

 

6. . d











f x f x e x

   

 

1 1 1

2 2 2

0 0 0

6. . d 9 d 9 d





    



  

x x x

f x f x e x e x e x

 



  





f x e

 

3.

f x e

+) Vậy

     

1 d 3 1 d 3 3    



x f x x x e x xe e

Câu 40: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

;









thỏa mãn

     

109

2. . 3 d





   





f x f x x x

. Tính

 

1



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

+) Ta có

     

109

2. . 3 d





   





f x f x x x

         

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

109

2. . 3 d 3 d 3 d

  



        



  

f x f x x x x x x x

   

3 d 0



   







f x x x

 

3.  f x x

+) Vậy

 

111

222

000

3 1 2 2

d d ln 1 2ln 1 ln

1 1 1 1 9





       



   





x x dx x x

x x x x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

67 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Câu 41: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm dương liên tục trên

 

0;1

thỏa mãn

   

1 0 1ff

và

       

1 d 2 df x f x x f x f x x











. Tính

 

df x x







. B.

5 33 27



. C.

5 33

. D.

5 33 54



Lời giải

Chọn C

Ta có

   

1df x f x x











     

ddf x f x x f x x







       

d 1 0f x f x x f f



  



       

1 1 1

0 0 0

d d 1 df x f x x x f x f x x





   



  

       

1 d 2 df x f x x f x f x x











       

1 d 2 d 0f x f x x f x f x x





   





   

1 d 0f x f x x





  





   

1f x f x





     

f x f x f x x C



    

   

33f x x C f x x C     

và

 

 

0, 0;1 3f x x C     

Mà

   

1 0 1 3 1f f C C     

 

3 3 3 3

3 3 3. 3 1C C C C     

CC  

8 27 5 33 27 5 33

27 18 18

C C C C



   

       

Suy ra

 

27 5 33 5 33

d 3 d

18 18

f x x x x





  













Câu 42: Cho hàm số

 

y f x

nhận giá trị không âm và liên tục trên

 

0;1

. Đặt

   

g x f t dt



. Biết

   

g x f x





với mọi

 

0;1x

. Tìm giá trị lớn nhất của

 

g x dx







. B.

. C.

. D.

Lời giải.

Chọn D

Cách 1.

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 68

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Ta có

   

g x f t dt



 

   

g x f x



















   

g x f x





 











 





 

0;1t

ta có

 

dx dx







 

g x x





   

g t g t



  

   

   





 

g t t  





 

g t t  





 

g x dx x dx



   











Cách 2.

Gọi

 

là một nguyên hàm của

 

thỏa

 

00F 

. Ta có

   

F x f x





Ta có

       

1 2 1 2

g x f t dt F x f x    



, với mọi

 

0;1x

   

12F x F x



  





 

0;1x

 



  



 

0;1x

Đặt

 

h t dx

















     

3 3 3

1 2 1 2

4 4 4

h t F x x F t t



       

   

   





là hàm số nghịch biến trên

 

0;1

, vì

 



  



   

0h x h

 

0;1x

 

F x x   





 

0;1x

 

g x x  





 

0;1x

 

g x dx x dx



   











Câu 43: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn









. Biết

   

cos sinx 1f x x f x















và

 

01f 

. Tính

 

dxI f x













. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết:

   

cos sinx 1f x x f x





   

sinx

cos cos cos

f x f x

x x x



  

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

69 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

cos cos











 

dx dx

cos cos













 

=tanx

cos



 

sinx .cosf x C x  

 

01f 

1C

 

sinx cosf x x  

Vậy

     

3 1 3 3

dx= sinx cos dx= cos sinx 1

2 2 2

f x x x







       



Câu 44: Cho hàm số

()fx

có đạo hàm liên tục trên

 

0;1

thỏa mãn

 

(0) 1, ( ) , (2 1) ( ) .

30 30

f f x x f x dx



    



Tính tích phân

()f x dx



bằng:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

1 1 1

2 2 2

0 0 0

(2 1) ( ) ( ) ( ) ( )

x f x dx f x d x x x x f x x x f x dx





       

  

 

( ) .

f x x x dx



  



Mà

 

x x dx



nên suy ra

 

   





( ) 2 ( ) 0f x f x x x x x dx



    



 

( ) 0f x x x dx





   





()f x x x



  

()

f x C   

Vì

(0) 1 1 ( ) 1

f C f x      

Vậy

()

f x dx 



. Chọn D

Câu 45: Cho hàm số

 

0y f x

xác định và có đạo hàm trên đoạn

[0;1]

đồng thời thỏa mãn

các điều kiện sau:

   

1 2018

g x f t dt



;

   

g x f x

. Tính

 

g x dx



1011

. B.

1009

. C.

2019

. D.

505

Lời giải

Chọn A

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 70

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Theo giả thiết ta có

       

' 2018 2 ' .g x f x f x f x

. Vì

 

0fx

trên đoạn

[0;1]

   

' 1009 1009f x f x x C    

và

   

1009g x x C

Mặt khác

 

01g 

và

 

0fx

trên đoạn

[0;1]

suy ra

1C 

Vậy

   

1011

1009 1

g x dx x dx  



Câu 46: Số điểm cực trị của hàm số

 





2017

12 4 d

f x t t



  



là:

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Giả sử là một nguyên hàm của

 





2017

12 4g t t  

   

F t g t





Khi đó

 

11f x F x F  

 

   

3 2 3

1 3 1f x F x x g x







    



 

2017

3 1 12 4f x x x





    





 

1 12 4













  



 

1 12 4x   

 

14x  









  















Bảng xét dấu:

Vậy hàm số có

điểm cực trị.

Câu 47: Cho hàm số

 

có đạo hàm đến cấp

liên tục trên và thỏa mãn

   

0 0 1ff





     

22f x f x f x x x

 

   

với

x

. Tích phân

( )dxfx



bằng.

107 21

12 e



. B.

107 12

21 e



. C.

107 21

12 e



. D.

107 12

21 e



Lời giải

Chọn A

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

71 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Ta có:

 

   

. . .

x x x

e f x e f x e f x





 

     

. 2 . . .

x x x x

e f x e f x e f x e f x



 

  

     

 

e f x f x f x e x x

 

    

Lại có:

 

     

3 2 3 2

. 2 dx= 2 2

x x x

e f x x x e x x x e C



     



 

. 2 2 dx

e f x x x x e C     



 

. 4 10 12 (*)

e f x x x x e C x C      

   

1 12 4

0 0 1

2 12 10 13

   





   



    



 

4 13

4 10 12

f x x x x



     

Bấm máy ta có kết quả là A

Câu 48: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 49] Cho hàm số

()fx

có đạo hàm liên

tục trên

[0; ]



thỏa mãn

(0) 0f 

[ '( )]

f x dx







và

sin . ( )

x f x dx







. Tích phân

()f x dx





bằng:



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn B

Ta có

sin . ( ) cos . ( ) cos . '( )

x f x dx x f x x f x dx





  



cos . '( )

x f x dx







, ta tính được

cos

xdx







. Do đó

2 2 2

0 0 0

[ '( )] 2. cos . '( ) cos 0f x dx x f x dx xdx

  

  

  

[ '( ) cos ] 0f x x dx



  



'( ) cosf x x

( ) sinf x x C

vì

(0) 0f 

nên

0C 

. Vậy

( ) sinf x x

suy ra

()f x dx





sin 1xdx







Câu 49: [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho

       

1 2 f' d 3 2 0 2016x x x f f  



. Tích phân

 

2dI f x x



bằng

4032

. B.

1008

. C.

. D.

2016

Lời giải

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 72

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Chọn B

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:

         

121 2 f .2'd x f x f xx x x dx   



     

3 2 0 2f f f x dx   



Mà

   

21 2 f' d 016x x x 



và

   

3 2 0 2016ff

nên

 

2 20162f x dx  



 

2016f x dx



Mặt khác

 

2dI f x x



   

f x d x



 

f t dt



(Ở đây đổi biến

2tx

Vậy

   

I f t dt f x dx



201 0

6 10 8

Câu 50: [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Cho hàm số

()fx

có đạo hàm liên tục trên

đoạn

 

0;1

thỏa mãn

( ) ,

x f x dx 



 

(1) 1, '( ) 28.f f x dx



Tính

 

( ) .I f x dx



I 

I 

I 

Lời giải

Chọn A

Từ

 

       

1 2 2

0 1 1

1 1 1

( ) . ( ) ' ' 2

3 3 3 3

x f x dx f x x f x dx x f x dx       

  

(1)

Ta có

           

1 1 1 1

3 6 3

0 0 0 0

' . ' .28 4 2 ' 2.

x f x dx x dx f x dx x f x dx





      







   

Do đó từ (1) suy ra dấu đẳng thức xảy ra

   

' . .f x k x

Thay vào (1) tính được

14.k 

Từ đó

 

( ) .

f x x C

Mà

   

5 7 5

1 1 .

4 2 2

f C f x x      

Vậy

 

7 5 37

2 2 9

f x dx x dx



  







Câu 51: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

[0; 1]

thỏa mãn

 

d0xf x x 



và

 

[0; 1]

max 1fx

. Tích phân

 

I e f x x



thuộc khoảng nào trong các

khoảng sau đây?

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

73 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

;



 





. B.









. C.

;









. D.

 

1;e   

Lời giải

Chọn B

Chú ý rằng

ex

với

0x 

. Thật vậy, xét hàm số

 

f x e x  

với

0x 

, ta có

 



e  

nên hàm đồng biến, do đó

   

00f x f

, suy ra

ex

Vì

[0;1]

max ( ) 1fx

nên suy ra

 

10fx

và

 

10fx

Ta có



 

1 1 0

e x f x   

suy ra

 

e f x

   

e x xf x f x    

 

e x xf x  

, do đó

 

( )d d

I e f x x e x xf x x   



 

e x x



1,21828

e  



 

1 1 0

e x f x   

suy ra

 

e f x 

   

x e xf x f x   

 

x e xf x  

, do đó

 

( )d d

I e f x x x e xf x x   



 

d 1,21828

x e x e     



Câu 52: [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] Cho hàm số

 

có đạo hàm trên

thỏa

       

2 1 '

x f x x f x e   

và

 

f 

. Tính

 

f 

. B.

 

f 

. C.

 

f 

. D.

 

f 

Lời giải

Chọn D

Ta có

     

2 ' 1

f x x f x x e   

     

 

2 ' 1

x x x

e f x x e f x x e    

  

 

f x x e e





  



Do đó

  

 

  

2 2 2

0 0 0

x x x x

f x x e dx e dx f x x e e dx





    



  

   

3 2 0

e f f



  

 

f

Câu 53: Cho hàm số

 

có đạo hàm trên thỏa

       

2 1 .ln2 2 2 1 ' 2

x f x x f x    





và

 

01f 

. Tính

 

f 

. B.

 

ln2

f 

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 74

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

15 1

56ln2 56

f 

. D.

 

15 3

28ln2 28

f 

Lời giải

Chọn D

Ta có:

       

2 1 .ln2 2 2 1 ' 2

x f x x f x    





       

 

2 2 1 .ln2 2 2 2 1 ' 2

x x x

x f x x f x     





  

2 1 2 2

f x x





  



Do đó:

     

3 3 3

1 1 1

2 1 2 2 2 1 2 2

x x x x

f x x dx dx f x x dx





    



  

     

2.3 2.1

2 2 15 3

56 3 6 1 3

2ln2 28ln2 28

f f f



     

Câu 54: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên

 

\ 0; 1

thỏa:

       

1 , 0; 1x x f x f x x x x



      

và

 

1 2ln2.f 

Biết

   

2 ln3 ,f a b a b  

. Tính

?ab

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Ta có

       

11x x f x f x x x



   

 



  



 



  





 













Do đó

 

f x dx dx















 

. ln 1

f x x x



   







       

2 1 2 2 1 2

2 . 1 . 1 ln ln3 2ln2 1 ln

3 2 3 3 2 3

f f a b         

2 2 9

ln3 1 ln3 .

3 3 2

a b a b







       











 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

75 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Câu 55: Cho hàm số

 

y f x

có đạo làm liên tục trên đoạn









và











. Biết

 

f x x







 

sin2 d

f x x x









. Tính

 

2dI f x x







I 

. B.

I 

. C.

2I 

. D.

1I 

Lời giải

Chọn B

Cách

Ta thấy:

       

4 4 4

0 0 0

sin2 d sin2 d sin2 . 2cos2 d

f x x x x f x x f x f x x x

  







      

   

   

  



   

sin . 0 2cos2 d cos2 d

2 4 4 8

f f x x x f x x x



   



     







 

cos 2 d







nên:

       

4 4 4

0 0 0

d 2 .cos 2 d cos 2 d 0f x x f x x x x x

  

  

  



   

cos 2 d 0f x x x













 

cos2f x x C













0C 

, nên

 

cos2f x x

Vậy

   

2 d cos 4 d

I f x x I x x



   



Cách

: Dùng bất đẳng thức Holder.

   





   

. d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

  

Dấu bằng xảy ra



   

.f x k g x

k 

Theo cách thứ nhất, ta đã có:

   

cos 2 d

f x x x







       

4 4 4

0 0 0

.cos 2 d d . cos 2 d .

8 8 64

f x x x f x x x x

  



  





  

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 76

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Dấu bằng xảy ra



 

.cos2f x k x

k 

Với

 

.cos2f x k x

k 



 

.cos2 .cos2 d

k x x x









 

cos2 d

k x x









1k 



 

cos2f x x

Vậy

   

2 d cos 4 d

I f x x I x x



   



Câu 56: (PTNK-HCM LẦN 1) Cho hai hàm

 

và

 

có đạo hàm trên đoạn

 

1;4

và

thỏa mãn hệ thức

   

       

1 1 4

. ' ; . '

g x x f x x x gf x









   





. Tính

   

dI f x g x x   





8ln2

3ln2

6ln2

4ln2

Lời giải

Chọn A

Ta có

     

( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) d '( ) '( ) df x g x x f x g x f x g x x x f x g x x        



   

( ) ( ) ( ) ( ) dx f x g x f x g x x    



 

( ) ( )x f x g x C   

( ) ( )

f x g x

   

Vì

(1) (1) 4f g C C     

 

( ) ( ) d d =8ln2I f x g x x x

   



Câu 57: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1

và

   

0 1 0ff

. Biết

 

f x x 



   

cos d

f x x x









. Tính

 

df x x





. B.



. C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Ta có

               

1 1 1

0 0 0

cos d cos d cos sin d

f x x x x f x f x x f x x x

    



  

  

               

1 1 1

0 0 0

1 0 sin d sin d sin d

f f f x x x f x x x f x x x



    

       

  

Áp dụng bất đẳng thức

       

d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x









  

ta có:

       

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 cos2 1 sin2 1

sin d d . sin d d

4 2 2 2 2 4 4

x x x

f x x x f x x x x x









     









   

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

77 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 

sinf x k x





Từ đó ta có:

   

1 1 1

0 0 0

1 1 cos2 sin2

sin d sin d d 1

2 2 2 2 2

x k x k

f x x x k x x k x x k







       





  

Suy ra

 

sinf x x





Do đó

 

cos 2

sin .

f x dx xdx





   



Câu 58: [Thi thử THPT Gia Bình - Bắc Ninh] Gọi

là giá trị lớn nhất của

để bất phương

trình

 

1 sin

a x a



  



có ít nhất một nghiệm, ở đó

,mn

là những số

nguyên dương và

là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức

22P m n

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện:

1x 

. Biến đổi tương đương bất phương trình ta được

   

 

1 sin 1 0

1 sin sin 0

2 2 4 2

a x a x a

a x a





    



     





Nếu

a 

thì

sin 0,





  





nên bất phương trình vô nghiệm.

Nếu

a 

thì bất phương trình trở thành

 

1 1 1

1 sin 1 sin 0

8 2 2 4 2





    





 

sin 1

1 sin

8 2 2





















3, 1xx   

Vậy

a 

là giá trị lớn nhất để bất phương trình có nghiệm.

Suy ra

1; 16 22 22.1 16 38m n P m n       

Câu 59: (THPT Quảng Xương - Thanh Hoá - Lần 2 - Năm 2018) Cho hàm số

 

0y f x

xác

định, có đạo hàm trên đoạn

 

0;1

và thỏa mãn:

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 78

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

       

1 2018 d , .

g x f t t g x f x  



Tính

 

d.g x x



1011

1009

2019

505

Lời giải

Chọn A

Ta có

 

01g 

   

1 2018 d

g x f t t



     

' 2018 2018g x f x g x  

 

2018



 

2018 d .

dx x





 

2 1 2018g t t  

 

1009 1g t t  

 

1011

g t dt



Câu 60: Cho hàm số

 

y f x

xác định trên đoạn









thỏa mãn

   

2 2 sin d

f x f x x x





  



  











. Tích phân

 

df x x





bằng



. B.

. C.

. D.



Lời giải

Chọn B

+) Đặt

I 

   

2 2 sin d

f x f x x x



















. Ta có

I 

   

2 2 sin 2sin d

f x f x x x x







   

   

   



   





2sin d













I 

 

2sin d

f x x x



















2sin d













+) Có

2sin d













1 os 2 d

c x x













 

1 sin 2 dxx







cos2

















+) Mà

I 





suy ra

 

2sin d 0

f x x x







  











(1).

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

79 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

+) Áp dụng kết quả: Nếu

 

liên tục và không âm trên đoạn

 

;ab

thì

 

f x x 



Dấu

""

xảy ra khi

 

0fx

với mọi

 

;x a b

Từ (1) suy ra

 

2sin 0

f x x





  





hay

 

2sin

f x x











+) Do đó

 

df x x







2sin d













2cos











0

. Chọn B

Câu 61: (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên

đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

10f 

 

d7f x x











và

 

x f x x 



. Tích phân

 

df x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn A

+) Đặt

 

d 3 d

u f x

v x x













 

ddu f x x

















, khi đó

     

2 3 3

3 d . dx f x x x f x x f x x







+) Ta có

   

1 1 df x f x x







suy ra

 

d1x f x x







+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân

       

d d . d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x









  

. Dấu

""

xảy ra khi

   

f x kg x

với

là hằng số.

Ta có

 

x f x x













 

d . d

x x f x x











1

. Dấu

""

xảy ra khi

 

f x kx





với

là hằng số. Mà

 

d1x f x x







hay

d1kx x 



suy ra

7k 

+) Vậy

 

7f x x





nên

 

f x x c  

mà

 

10f 

nên

 

f x x

suy ra

 

f x x 



. Chọn A

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 80

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 62: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

01f 

và

       

2 d 3 d

f x f x x f x f x x













. Tích phân

 

df x x



bằng

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân

       

d . d d

b b b

a a a

f x x g x x f x g x x









  

. Dấu

""

xảy ra khi

   

f x kg x

với

là hằng số.

+) Ta có

       

1 1 1

0 0 0

d . d dx f x f x x f x f x x











  

(1) nên từ giả thiết suy ra

       

2 d 3 d

f x f x x f x f x x













   

f x f x x













hay

   

3 d 0

f x f x x















   

f x f x x







và dấu

""

ở (1) xảy ra, tức là ta

có

   

f x f x x

f x f x k





















k

. Từ đó tính được

 





suy ra

 

f x x 



Chọn D

Câu 63: Cho hàm số

 

y f x

có đạo hàm liên tục trên

[0;1]

thỏa mãn

 

13f 

[ '( )] d

f x x 



và

 

x f x x 



. Giá trị của

 

df x x



là

. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn C

Cách1: Xét

( )dA x f x x



, Đặt

'( )dx

()

du f x

u f x

dv x x

1 1 1

5 5 5 5

0 0 0

1 1 7 3 1 7 2

( ) '( )d '( )d '( )d

5 5 11 5 5 11 11

A x f x x f x x x f x x x f x x

Lại có

xx



nên:

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

81 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

 

1 1 1

5 10

0 0 0

'( ) d 4 '( )d 4 d 0f x x x f x x x x  

  

 

'( ) 2 d 0 '( ) 2f x x x f x x     



( ) ( (1) 0)

f x C C do f



     

10 23

3 3 7

I dx





   







Cách 2: Trắc nghiệm

Từ

'( )

'( ) '( ) 2 0.

'( )

f x dx

f x f x x dx

x f x dx

Chọn

10 23

'( ) 2 ( ) .

3 3 7

f x x f x I

Câu 64: Cho

 

0fx

biết

   







f x f x

và

 

f

. Cho biết giá trị của

       

1 2 3 ... 2017 1



     





f f f f

, với

là phân số tối giản. Tính

ab

4070307

. B.

4070308

. C.

4066273

. D.

40662241

Lời giải

Chọn B

Có

   







f x f x



 



  

f x x

 

d 3 1 d





   







x x x

f x x

 

     x x C

f x x

 

fC   

 

1 1 1

     

f x x x

 

  





 





   

1 . 1

    



   

x x x x

 

   

1 1 1

2 1 1 1 1



  



   



x x x x

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 82

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

 

2017

1 1 1 1 1 1 1

...

2 1.2 1 0.1 1 2.3 1 1.2 1 2017.2018 1 2016.2017 1





       



     





S f x

1 1 1

2 2017.2018 1 2

   

     

   



   

2017.2018 1  a

1b

4070308  ab

Câu 65: Cho hàm số

 

có đạo hàm trên thỏa mãn

2017 2018

( ) 2018 ( ) 2018. .





f x f x x e

với

mọi

x

và

(0) 2018f

. Tính giá trị

(1)f

2018

(1) 2019fe

. B.

2018

(1) 2019



fe

. C.

2018

(1) 2018fe

. D.

2018

(1) 2017.fe

Lời giải

Chọn A

Ta có

2017 2018

( ) 2018 ( ) 2018. .





f x f x x e

2017

2018

( ) 2018 ( )

2018.







f x f x

2017

2018

( ) 2018 ( )

d 2018. d









f x f x

x x x

(1).

Xét

1 1 1

2018 2018

2018

0 0 0

( ) 2018 ( )

d ( ). d 2018. ( ). d









  

  

f x f x

I x f x e x f x e x

Xét

2018

2018. ( ). d







I f x e x

. Đặt

2018 2018

( ) d ( )d

d 2018. d













  



u f x u f x x

v e x v e

Do đó

2018 2018 2018

( ).( ) ( ). d (1). 2018.

  



     



I f x e f x e x I f e

Khi đó từ (1) suy ra

2018 2018 2018

(1). 2018 (1) 2019.



    I f e x f e

Câu 66: Cho hàm số

()fx

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn

 

0;1

thỏa mãn

(0) 1f 

và

       

3 d 2 d

f x f x x f x f x x

















Tính tích phân

 

df x x







. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn D

Áp dụng BĐT Holder ta có:

 

1 1 1

0 0 0

9 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )

f x f x dx f x f x dx f x f x dx

   



  

  









   

  

9 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0

f x f x dx f x f x dx







   











9 ( ) ( ) 0 ( ) ( )

f x f x dx f x f x





    







( ) 1

xC  

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

83 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Vì

(0) 1f 

nên

C 

Khi đó

( ) 1.

f x x

Vậy

 

( ) 1 .

f x dx x dx



  







Câu 67: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49] Cho hàm số

()fx

dương và có đạo hàm

liên tục trên

 

0; 1

thỏa mãn

   

0 4 1

ff

 

 

0 0; 1f x x



  

và

   

1 . dx=

x f x









 













. Tính tích phân

 

dxfx



. B.

. C.

. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

         

3 3 2

1 ( )dx= 1 3 1 dxx f x x f x x f x



   



mà

   

0 4 1 ,

ff

   

1 . dx=

x f x









Nên

   

1 dx=

x f x



Vì

 

0fx

 

 

0 0; 1f x x



  

nên

 













;

   

10x f x



  

 

0; 1x

   

1 dx

x f x



 

   

1 . ' dx

x f x





























 

   

dx. 1 dx

x f x









  













1 1 1

64 8 16









Dấu

""

xảy ra khi và chỉ khi

 

   

k x f x















 

f x x







   

ln ln 1f x x C

   





 

f 

 

f 

nên

C 



 





 

fx



 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 84

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 68: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018] Cho hàm số

()fx

có đạo hàm liên tục trên

 

0; 1

thỏa mãn

 

11f 

 

 

0 0; 1f x x



  

và

 

dx=









 

dx=



. Tính

tích phân

 

dxI f x



I 

. B.

I 

. C.

I 

. D.

I 

Câu 69: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Lần 1 - 2018) Cho hai hàm

 

và

 

có đạo hàm

trên đoạn

 

1;4

và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi

 

1;4x

   

1 2 1 2

1 1 2 1

' . ; ' .

( ) ( )

f x g x

g x f x

x x x x









  





. Tính

 

( ). ( )I f x g x dx



4ln2

. B.

. C.

2ln2

. D.

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có

'( ). ( )f x g x



và

'( ). ( )g x f x



, suy ra

'( ). ( ) '( ). ( )f x g x g x f x

  

, hay

 

( ). ( )f x g x





Do đó

   

.f x g x dx C

x x x

   



. Lại có

   

1 . 1 2.1 2fg

nên

0C 

 

( ). ( ) x x=4I f x g x d d

  



Câu 70: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1

thỏa mãn

 

10f 

và

     

d 1 e d

f x x x f x x





  







. Tính tích phân

 

dI f x x



2eI 

. B.

e2I 

. C.

I 

. D.





Lời giải

Chọn B

Xét

   

1 e d

A x f x x



Đặt

 

d 1 d

u f x

v x e x















 

u f x x

















 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

85 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

Suy ra

   

e e d

A x f x x f x x







 

xe f x x







 

xe f x x









Xét

x e x



1 1 1

2 2 4

e x x



  





e 



Ta có :

   

1 1 1

0 0 0

d 2 d d 0

f x x xe f x x x e x



  





  

 

f x xe x



  



Suy ra

 

 

0, 0;1

f x xe x



   

(do

 

 

0, 0;1

f x xe x



   

)

 

f x xe



  

   

f x x e C   

 

10f 

nên

   

f x x e

Vậy

     

d 1 d 2 2

I f x x x e x x e e      



Câu 71: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số

()fx

liên tục, có đạo

hàm đến cấp 2 trên và

(0) 0, '(1)

ff

[ '( )]

f x dx 



( ) "( ) .

x x f x dx



Tính

tích phân

()I f x dx



. B. 14. C.

. D. 7.

Lời giải

Chọn D

Chọn

( ) ax , (0) 0; '( ) 2 , '(1) 2

f x bx f f x ax b f a b        

(1)

2 2 2 2 2

4 39

[ '( )] ( ) ( ) 2

f x ax b ax b dx a ab b       



(2)

Lại có:

5 5 5 3

"( ) 2 ( ) "( ) 2 ( )

3 3 2 2

f x a x x f x dx a x x dx a         



(3)

Thay (3) vào (1) ta được

b 

Từ đây thay

,ab

vào (2) kiểm chứng (2) đúng.

Vậy ta tìm được

( ) ( )

f x x x

. Vậy

( ) (x ) 7

I f x dx x dx   



 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 86

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

Câu 72: Cho hàm số

 

liên tục trên



thỏa mãn

 

,f x x x





   

và

 

1 1.f 

Tìm giá

trị nhỏ nhất của

 

2.f

ln2.



Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết

 

,f x x x





   

nên lấy tích phân hai vế với cận từ

đến

được:

 

d d ln2.

f x x x x





   







Mà

         

d 2 1 2 1f x x f x f f f



    



nên

 

2 1 ln2.

f   

Suy ra

 

2 ln2.

f 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 

, 0.f x x x



  

Suy ra

 

ln ,

f x x C  

mà

 

11f 

nên

C 

Do đó

 

ln .

f x x  

Vậy giá trị nhỏ nhất của

 

2 ln2

f 

khi

 

ln .

f x x  

Câu 73: Cho hàm số

 

và

 

thỏa mãn

         

1 1 1; 2 2 1



  











   

  









f g f g f

f x g x g x f x f x

Tính tích phân

   







I f x g x

ln2

I 

. B.

ln2

I   

. C.

ln2

I 

. D.

ln2

I   

Lời giải

Chọn D

         



   

  





f x g x g x f x f x

         

   

   





x xf x g x g x xf x f x

 Ba Đồn – Quảng Bình “Thành công là nói không với lười biếng”

87 THẦY VIỆT



0905.193.688

https://luyenthitracnghiem.vn

https://www.facebook.com/vietgold

       



  

  





g x xf x xf x g x x

   









xf x g x x

   



  

xf x g x C

   

1 1 1



fg

nên

   





xf x g x

hay

   





f x g x

Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 ta được

       

3 1 1

ln2 d d

4 2 2 2





     







x f x g x x f x g x I

ln2

I   

Câu 74: Cho hàm số

 

y f x

liên tục trên đoạn







và thỏa mãn

 

2 f x f









x

. Tính tích phân

 





I 

. B.

I 

. C.

4ln2

I 

. D.

4ln2

I 

Lời giải

Chọn A

Đặt:





ddxt

  

Đổi cận:











dft











dfx











 

3 2 d d

I x f x

x x x



  







 

2df x f x

















.dx









 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN

THẦY VIỆT



0905.193.688 88

https://www.facebook.com/vietgold

https://luyenthitracnghiem.vn

dIx







  





Câu 75: Cho hàm số

 

có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn

   

2018

3f x xf x x





 

0;1x

. Tính

 

dI f x x



2019.2021

I 

. B.

2018.2019

I 

. C.

2018.2020

I 

. D.

2019.2020

I 

Lời giải

Chọn A

Nhân

vào hai vế của giả thiết ta được

     

2 3 2020 3 2010

3 ' . .x f x x f x x x f x x



   



Suy ra

     

2021 2018

3 2010 3

. d d

2021 2021





      





x x c

x f x x x x x f x c f x

Chọn

 

2018

2021

fx

ta có

 

2018 2019

d d .

2021 2019.2021 2019.2021

  



f x x x

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/89

| | Tải xuống

Preview text:

 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” h ttp s:// lu ye n th it rac n gh ie MỤC LỤC m.vn
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ............................................................................................................................... 1
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ............................................ 1
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN .............................. 10
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN .......................................................................... 12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ...................................... 12
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng .............................................. 18 http
MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN .......................................... 20 s://www
CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ............................................................................ 20
CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ...................... 22 .fa
CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ................................................................................................... 23 ceboo
CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ k.com
năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. .................................................................................................. 26
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ....................................................................................... 31 /viet
BÀI TẬP ..................................................................................................................................................... 46 gold
THẦY VIỆT  0905.193.688 0
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” TÍCH PHÂN HÀM ẨN
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 5 2
Ví dụ 1: Cho f xdx   10 . Kết quả 2 
 4 f xdx bằng 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . m.vn ie Lời giải gh Chọn A racn 2 2 2 5 5 it Tacó 2  
4 f x dx  2 dx    
4 f xdx  2x  4 f xdx  2.5  2 4.10  34. 2  th 5 5 5 2 n ye 9 lu
Ví dụ 2: Cho hàm số f x liên tục trên và F x là nguyên hàm của f x , biết f xdx   9 s:// 0 ttp
và F 0  3 . Tính F 9 . h
A. F 9  6 .
B. F 9  6 .
C. F 9  12 .
D. F 9  12 . Lời giải Chọn C 9 9
Ta có: I  f xdx  
F x  F 9  F 0  9  F 9  12 . 0 0 /vietgold
Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả
thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số k.com
trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến ceboo
tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ. .fa 6 4
Ví dụ 3: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn f xdx  
10 và f xdx   6 . Tính 0 2 2 6
giá trị của biểu thức P  f xdx  
 f xdx. https://www 0 4
A. P  4 .`
B. P  16 .
C. P  8 . D. P  10 . Lời giải Chọn A 6 2 4 6
Ta có f xdx  f xdx  f xdx    
 f xdx 0 0 2 4 1
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2 6 6 4
 P  f xdx  f xdx  f xdx  f xdx  10  6      4 . 0 4 0 2 1
Ví dụ 4: Cho hàm số f x xác định trên  \ 
0 , thỏa mãn f x  , f   1  a và 3 x  5 x
f 2  b . Tính f  
1  f 2 . A. f  
1  f 2  a  b . B. f  
1  f 2  a  b . h ttp
f 1  f 2  a 
f 1  f 2  b  s:// C.     b . D.     a . lu ye Lời giải n th Chọn C it r 1 1 a
Ta có f x   
  f x nên f x là hàm số lẻ. 3 5 3 5 c x  x n
x x gh ie 2 1 2 m.vn Do đó f 
 xdx  0  f
 xdx   f  xdx . 2 2 1 Suy ra f  
1  f 2   f 2  f   1  f  
1  f 2  f 2  f   1  a  b .
Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ
năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán. 2 x 0;  f t dt 
Ví dụ 5: Cho hàm số f x liên tục trên   và thỏa    .
x cos x . Tính f 4 . ht 0 tps://www
A. f 4  123 .
B. f    2 4 .
C. f    3 4 .
D. f    1 4 . 3 4 4 .fa Lời giải ceboo Chọn D k.com
Ta có: F t  f tdt  F t   ' f t /viet 2 x gold
Đặt G x 
f tdt  F  2 x    F 0 0
 G x  Fx / 2  2 '   2 .
x f x  (Tính chất đạo hàm hợp: f ' ux  
 f 'u.u'x ) 2 x
Mặt khác, từ gt: G x   f tdt  . x cos x 0
 G'x   .
x cos x'   
x sin x  cos x
THẦY VIỆT  0905.193.688 2
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  x f  2 2 . x    
x sin x  cos x (1)
Tính f 4  ứng với x  2
Thay x  2 vào (1)  4. f 4    2 sin  2  cos 
2  1  f    1 4 4 x    m.vn
Ví dụ 6: Cho hàm số G x  t.cosx  
t.dt . Tính G'  . ie  2  0 gh             A. G'     1. B. G'    1. C. G'    0 . D. G'    2 . racn  2   2   2   2  it th n Lời giải: ye lu Chọn B s://
Cách 1: Ta có: F t  t
xtdt  F t t x  .cos ' .cos t ttp h x
Đặt G x  .
t cosx  t dt  F x   F 0 0   
 G x  Fx F /  F x F    x
xx / ' 0 ' ' 0 cos 0  x'      1  G'    1  2  x
Cách 2: Ta có G x  t.cosx  
tdt . Đặt u  t  du  dt , dv  cosx tdx chọn 0
v   sin x  t /vietgold x x k.com      x x G x
t.sin x  t  sinx  tdt  sinx  tdt  cosx  t  cos0  cos x  1 cos x 0   0 0 0 ceboo .fa  G'x      sin x  G'  sin    1  2  2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên thỏa https://www
 f 0  f 0   1; 1 
. Tính f x   1dx.
f x  y  f x  f y  3xy x  y  1,  x,y   . 0 1 1 7 A. . B.  1 . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C 3
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f x  y  f y  2
3x  6xy , x  .
Cho y   f x  f    2 0 0
3x  f x   2 1 3x Vậy          3 f x f x dx x
x C mà f 0  1  C  1 suy ra f x  3 x  x  1. h 0 1 0 0 4 2 ttp  x x  1 1 f x   1 dx  
f xdx    3x x 
1dx   x    1  1 . s:// 4 2 4 2 4 0 1 1   1 lu ye f '(x)
DẠNG SAU: f '(x)  ( g x),  ( g x) (Trong đó (
g x) là hàm số đã biết, n là số dương). n n  f (x) th   it ra f  x  1 c
Ví dụ 8: Cho hàm số f x xác định trên  \  1 thỏa mãn   , f 0  2017 , n x  1 gh
f 2  2018 . Tính S  f 3  f   1 . ie m.vn
A. S  1 .
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 . D. S  4 . Lời giải Chọn A
Cách 1: Ta có  f x x  x   1 d d
ln  x 1  C . x  1
 f x  ln x1 2017 khix   1
Theo giả thiết f 0  2017 , f 2  2018 nên  .
 f x  
ln  x 1   2018 khi x  1 http
Do đó S  f 3  f  
1  ln 2  2018  ln 2  2017  1. s://www Cách 2:  0 0 dx 1
 f (0)  f (1)  f '(x)dx  ln x  0 1 |  ln (1) .fa     x  1  1 2 1 1 ceboo Ta có:   3 3 dx
f (3)  f (2)  f '(x)dx  ln x  3 1 |     ln 2 (2) 2 k.com x   1 2 2
Lấy (1)+(2), ta được f (3)  f (2)  f (0)  f(1)  0  S  1 . /viet 1  2  f  x  3 , f 0  f  gold
Ví dụ 9: Cho hàm số f (x) xác định trên \  thỏa mãn     1 và   2 . 3 3x  1  3 
Giá trị của biểu thức f  
1  f 3 bằng
A. 3  5ln 2 .
B. 2  5ln 2 .
C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . Lời giải Chọn A
THẦY VIỆT  0905.193.688 4
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”   1 
ln 3x  1  C khi x    ; 1   3 3   3 
Cách 1: Từ f x 
 f x   dx=  . x  x  3 1 3 1  1 
ln 3x 1 C khi x ; 1     3    1   f 0  1
ln 3x  1  1 khi x     ;   0  C  1 C  1   3  Ta có:    f x 2    1   1   . m.vn f  2 0  C  2 C      2  1  2   ie   3  2
ln 3x  1  2 khi x  ;      3  gh racn Khi đó: f  
1  f 3  ln 4 1 ln8  2  3  ln 32  3  5ln 2 . it th n  0 0 0 0 3 1
 f 0  f 1  f x  f  x dx dx ln 3x 1 ln 1 1           ye   3x   1  1 4 1 1 lu Cách 2: Ta có   2  3 3 3 3 3 s://
 f 3  f
 f x  f  2  xdx  dx  ln 3x  1     2 ln 8 2   3  3x  1 3 2 2 3 ttp  h 3 3  2  Lấy 2   
1 , ta được: f 3  f  
1  f 0  f
 ln 32  f  
1  f 3  3    5ln 2 .  3  1 2
Ví dụ 10: Cho hàm số f x xác định trên \  thỏa mãn f x 
và f 0  1 . Giá trị 2  2x  1
của biểu thức f  
1  f 3 bằng A. 4  ln15 . B. 3  ln15 . C. 2  ln15 . D. ln15 . /vietgold Lời giải k.com Chọn C ceboo 1 .fa
2. d2x   1 2
Ta có f x  f 
 xdx  dx  2  ln 2x 1    c . 2x  1 2x  1
f 0  1  c  1  f x  ln 2x 1  1 . https://www  f   1  ln 3   1   f  
1  f 3  2  ln15 . f 3  ln 5   1 1 2
Ví dụ 11: Cho hàm số f (x) xác định trên \  thỏa mãn f (x) 
, f (0)  1 và f (1)  2 . 2  2x  1
Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng A. 4  ln 5 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15. Lời giải 5
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn C  1  2
Cách 1: • Trên khoảng ;    : f (x) 
dx  ln(2x  1)   C .  2  2x  1 1
Lại có f (1)  2  C  2. 1  1  2 • Trên khoảng  
;  : f (x) 
dx  ln(1 2x)   C .  2  2x  2 1
Lại có f (0)  1  C  1. 2 h ttp
ln(2x1) 2 khi x  1 s://  Vậy f x   2 ( ) . lu 
 x  khi x  1 ln(1 2 ) 1 ye  2 n th
Suy ra f (1)  f (3)  3  ln15. it r Cách 2: ac 0 0 n  2dx 0 1 gh
 f (0)  f (1)  f '(x)dx  ln 2x 1|     ln (1)  2x  1 1 3 ie Ta có: 1   1 3 3 m.vn   f
 f x dx  2dx f (3) (1) '( ) ln 2x  3 1 |     ln 5 (2) 2x   1 1 1 1
Lấy (2)-(1), ta được f (3)  f (1)  f (0)  f(1)  ln15  f(1)  f(3)  3 ln15 . 1 3
Ví dụ 12: Cho hàm số f (x) xác định trên
\  thỏa mãn f x  , f 0  1 và 3 3x  1  2  f 
  2 . Giá trị của biểu thức f  
1  f 3 bằng  3  http
A. 3  5ln 2 .
B. 2  5ln 2 .
C. 4  5ln 2 . D. 2  5ln 2 . s://www Lời giải Chọn A .fa ceboo   1 
ln 3x  1  C khi x    ; 1   k.com 3 3   3 
Cách 1: Từ f x 
 f x   dx=  . x  x  3 1 3 1  1 
ln 3x 1 C khi x ; 1   /v   3  ietgold   1   f 0 
ln 3x  1  1 khi x     1   ;   0  C  1 C  1   3  Ta có:   2    1   1
 f x   . f  2 0  C  2 C      2  1  2     3  2
ln 3x  1  2 khi x  ;      3  Khi đó: f  
1  f 3  ln 4 1 ln8  2  3  ln 32  3  5ln 2 .
THẦY VIỆT  0905.193.688 6
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  0 0 0 0 3 1
 f 0  f 1  f x  f  x dx dx ln 3x 1 ln 1 1             3x   1  1 4 1 1 Cách 2: Ta có  3 3  f    2   f
 f x 3  f  3 3 2  xdx  dx  ln 3x  3 1     2 ln 8 2   3  3x  1  3 2 2 3 3 3  2  Lấy 2   
1 , ta được: f 3  f  
1  f 0  f
 ln 32  f  
1  f 3  3    5ln 2 . m.vn  3  ie gh 4
Ví dụ 13: Cho hàm số f x xác định trên  \ 2; 
2 và thỏa mãn f x  ; f 3 0 ; 2    x  4 racn f 0 
P  f 4  f 1  it
1 và f 3  2 . Tính giá trị biểu thức
    f 4. th n ye A. P   3 3 ln .
B. P  3  ln 3. C. P   5 2 ln . D. P   5 2 ln . 25 3 3 lu Lời giải s:// ttp Chọn B h  x  2 ln
 C khi x ; 2 1     x   2 4 4dx dx  x  2
Từ f x 
 f x     4  ln
 C khi x 2; 2 2   2 x  4 2 x  4
x2x2 x   2  x   2 ln
 C khi x 2; 3    x   2   f 3  0 ln 5 C  0 C  ln 5 1 1 /vietgold   
Ta có  f 0  1  0  C  1  C  1   2  2 C  2  k.com f 2   2  1 ln 5 ln  C  2  3  3 5 ceboo .fa  x  2 ln -ln5
khi x ;   2 x   2  x   2
f x  ln  1
khi x 2; 2 . x   2  x  https://www  2 ln
 2  ln 5 khi x2;   x   2 1
Khi đó P  f 4  f  
1  f 4  ln 3  ln 5  ln 3  1 ln  2  ln 5  3  ln 3 . 3
Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở
nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy
tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học. 7
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Ví dụ 13: Cho hàm số y  f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;    1 , thỏa mãn
f x  0,x và f 'x  2 f x  0 . Biết f  
1  1 , tính f   1 . A. f      2 1 e .
B. f    3 1 e .
C. f    4 1 e . D. f   1  3 . Lời giải Chọn C h Biến đổi: ttp 1 f ' x f 'x 1 1 df x s://
f 'x  2 f x  
 0  f x 2
dx  2dx   4  1 ln f x      4 1  f x f x 1   1 1      lu ye n th f   1 f   1  ln  4   4 e  f 1  4 f 1 .e  4 e . it f   1 f       1 rac 2 n
Ví dụ 15: Cho hàm số f x  0 thỏa mãn điều kiện f x  2x  3 f x và gh ie a f     1 0
. Biết rằng tổng f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018  với m.vn 2 b  a a  , b  
 và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? b a a A.  1 . B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 . b b Lời giải Chọn D https://www f x
Ta có f x   x   2 2 3 f x 
f x  2x  3 2 .fa f x 1 2 ceboo  dx 2x 3 dx  
 x  3x C . 2 f x       f x k.com 1
Vì f 0    C  2 . /v 2 ietgold 1 1 1
Vậy f x    . x   1 x  2   x  2 x  1 1 1 1009 Do đó f  
1  f 2  f 3  ...  f 2017  f 2018     . 2020 2 2020
Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .
THẦY VIỆT  0905.193.688 8
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ví dụ 16: Cho hàm số y  f x  0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;    1 và thỏa mãn:   x 1
g x  1 2018 f tdt ,    2 g x
f x . Tính  gxdx . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 m.vn Lời giải ie gh Chọn A x racn
Ta có g x  1 2018 f tdt  
g x  2018 f x  2018 gx it th 0 n ye gx t   t g x t   t 2018  dx  
2018dx  2 gx  2018x lu g x 0 0 g x 0 0 s:// ttp  2 g t   h
  1  2018t (do g0 1)
 gt  1009t 1 1 1  gt  1009    2 t  t  1011 dt   . 2 2 0   0
Ví dụ 17: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;   
1 đồng thời thỏa mãn f 0  9 2
và 9 f  x   f 
 x  x  9. Tính T  f  
1  f 0 . /vietgold  1 k.com
A. T  2  9ln 2 .
B. T  9 . C. T   9ln 2 .
D. T  2  9ln 2 . 2 ceboo Lời giải .fa Chọn C
f x  2 2 1 1
Ta có 9 f  x   f x  x   
9  9 f  x   1    f 
 x  x    .  f  2
 x  x 9 https://www
f  x 1 1 1 x
Lấy nguyên hàm hai vế  dx   dx    C . 2   f x 
 f x  x 9 ' x 9 9 9
Do f 0  9 nên C  1 suy ra f x  x 
 f x   x 9 x  1 x  1 1 1 9  2 x  Vậy T f   1 f 0       
x dx  9ln x  1     1 9 ln 2 . x 1 2 2 0      0 9
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh
phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng.
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN 9
Ví dụ 18: Cho hàm số f x liên tục trên và F x là nguyên hàm của f x , biết f xdx   9 0
và F 0  3 . Tính F 9 . h ttp
A. F 9  6 .
B. F 9  6 .
C. F 9  12 .
D. F 9  12 . s:// lu Lời giải ye n Chọn C th it 9 9 r
I  f x dx 
 F 9  F 0   F 9  a Ta có:    F x     9   12. 0 c 0 n gh 2 2 ie
Ví dụ 19: Cho I   f xdx  3 . Khi đó J  
4 f x3dx bằng: m.vn  0 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . Lời giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có J  
 4 f x3dx  4 f xdx3 dx  4.33x     6 . 0 ht 0 0 0 tps://www 4 4 4
Ví dụ 20: Cho f xdx  
10 và g xdx   5 . Tính I  
 3f x 
5g xdx 2 2 2 .fa
A. I  5 .
B. I  15 .
C. I  5 . D. I  10 . ceboo Lời giải k.com Chọn A 4 4 4 /v Có: I  
 3f x 
5g xdx  3 f xdx  5 gxdx    5 . iet 2 2 2 gold 5 2
Ví dụ 21: Cho f xdx   10 . Kết quả 2 
 4 f xdx bằng: 2 5 A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 . Lời giải Chọn A 2 2 2 5 5 Tacó 2  
4 f x dx  2 dx    
4 f xdx  2x  4 f xdx  2.5  2 4.10  34. 2  5 5 5 2
THẦY VIỆT  0905.193.688 10
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 10 6
Ví dụ 22: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 
 và f xdx  
7 và f xdx   3 . Tính 0 2 2 10
P  f xdx  
 f xdx. 0 6
A. P  7 .
B. P  4 .
C. P  4 .
D. P  10 . m.vn Lời giải ie gh Chọn C 10 2 6 10 racn
  f xdx  f xdx  f xdx  it Ta có
f xdx   7 7 th 0 0 2 6 n 2 10 ye
 f xdx  f xdx  7  3    4 . lu 0 6 s:// ttp Vậy P  4 . h
Ví dụ 23: Cho y  f x , y  gx là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2   và 2 2 2
g x. f xdx   2 , 
g x. f xdx  
3 . Tính tích phân I    f x.gx    dx . 0 0 0
A. I  1.
B. I  6 .
C. I  5 . D. I  1 . Lời giải Chọn C /vietgold 2  2
Xét tích phân I  
 f x.gx dx   f
 x.gx   
f x.gxdx k.com 0 0 2 2 ceboo  
g x. f xdx  g x. f xdx    5 . .fa 0 0 2 2 2 Ví dụ 24: Cho 
 3f x2gxdx    1 , 
 2 f x gxdx    
3 . Khi đó,  f xdx bằng 1 1 1 https://www 11 6 16 A. . B.  5 . C. . D. . 7 7 7 7 Lời giải Chọn B a   5 2 2
3a  2b  1 
Đặt a   f xdx, b   f xdx, ta có hệ phương trình    7
2a  b  3 11 1 1  b   7 11
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2 5
Vậy f xdx    . 7 1
DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại b b b b Cho u x f  ( u x)
 '( ).  .dx, tính  f(x).dx . Hoặc cho  f(x).dx , tính u x f  (ux)  '( ).  .dx . a a a a h ttp
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  ( u )
x và lưu ý cho học sinh tích phân s://
của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. lu 4 2 ye
Ví dụ 25: Cho f xdx  
16 . Tính  f 2xdx n 0 0 th it r A. 16 . B. 4 . C. 32 . D. 8 . acn Lời giải gh Chọn D ie 2 m.vn
 f 2xdx Xét tích phân 0 ta có
Đặt 2x  t  x  1 d
dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì t  4 . 2 2 4 1 4 1
Do đó f 2xdx  
 f tdt   f xdx  1.16  8. 2 2 2 0 0 0 6 2
Ví dụ 26: Nếu f xdx  
12 thì  f 3xdx bằng 0 0 https://www A. 6 . B. 36 . C. 2 . D. 4 . Lời giải .fa Chọn D ceboo
Đặt t  3x  dt  3dx . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  6 k.com 2 6 1 1
Khi đó: f 3xdx 
f tdt  .12    4 . /v 3 3 0 0 ietgold 2 5
Ví dụ 27: Cho f  2 x   1 d x x  
2 . Khi đó I   f xdx bằng: 1 2 A. 2 . B. 1 . C. 1 . D. 4 . Lời giải Chọn D Đặt t  2
x  1  dt  2xdx .
Đổi cận: x  1  t  2 , x  2  t  5.
THẦY VIỆT  0905.193.688 12
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 2 5 1 5 2 Khi đó: f  2 x   1 d x x  
 f tdt  f tdt  2 f  2x  1 d x x    4 . 2 1 2 2 1 5 5
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I  f xdx  f tdt    4 . 2 2 1
Ví dụ 28: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
f xdx   9 . Tính tích phân m.vn 5 ie 2 gh 
 f 13x9dx. 0 racn it A. 27 . B. 21. C. 15 . D. 75 . th n Lời giải ye lu Chọn B s:// ttp
Đặt t  1 3x  dt  3dx . h
Với x  0  t  1 và x  2  t  5 . 2 2 2 5 dt Ta có 
 f 13x9dx  f 13xdx  9dx  
 f t    2 9x  0 3 0 0 0 1 1  1   1
f x dx    18  .9  18  21 . 3  3 5 1 2  x 
Ví dụ 29: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa f xdx  
10 . Tính  f  dx. 2 0   /vietgold 0 2  x  5 2  x  2  x  2  x  k.com A. f dx     . B. f dx     20 . C. f dx     10 . D. f dx     5 . 2 2 2 2 2 0   0   0   0   ceboo Lời giải .fa Chọn B x Đặt t   t  1 d dx . 2 2 https://www
Đổi cận: x  0  t  0 ; x  2  t  1. 2  x  1
Ta có:  f  dx  2 . f tdt  2.10  20. 2 0   0 3 2
Ví dụ 30: Cho hàm số f x liên tục trên   1;
 và f  x1dx  
8 . Tích phân I   xf xdx 0 1 bằng:
A. I  16 .
B. I  2 .
C. I  8 . D. I  4 13
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Lời giải Chọn D 3
I  f  x 1dx  
8 . Đặt t  x   2 1
t  x  1  2 d t t  dx ; 0
đổi cận: x  0  t  1; x  3  t  2 . h 2 2 2 ttp
Khi đó I  2tf tdt  
8  tf tdt  
4 . Vậy I  xf xdx   4 . s:// 1 1 1 lu 2 4 f x ye  
Ví dụ 31: Cho f xdx   2 . Tính I   dx bằng n x th 1 1 it ra
A. I  1 .
B. I  2 .
C. I  4 . D. I  1 . cn 2 gh ie Lời giải m.vn Chọn C
Đặt t  x  t  1 d
dx ; đổi cận: x  1  t  1, x  4  t  2 2 x 4 f  x  2 2 I 
dx  f t 2dt  2 f tdt  2.2     4 . 1 x 1 1  ht 16 2 tp f  x  s://www
Ví dụ 32: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn dx  
6 và f sin xcos d x x   3 . 1 x 0 4
Tính tích phân I   f xdx . .fa 0 ceboo
A. I  2 . B. I  6 .
C. I  9 . D. I  2 . k.com Lời giải /viet Chọn B gold 16 f  x   dx Xét I  dx  
6 , đặt x  t   dt 1 x 2 x 4 4 6
Đổi cận: x  1  t  1; x  16  t  4 nên I  2 f tdt  
6  f tdt    3 . 2 1 1  2
 J  f sin xcos d x x  
3 , đặt sin x  u  cos d x x  du 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 14
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  1
Đổi cận: x  0  u  0 ; x 
 u  1  J  f udu   3 2 0 4 1 4
Vậy I  f xdx  f xdx  f  xdx  3  3     6 . 0 0 1 1 2
Ví dụ 33: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa f 2xdx  
2 và f 6xdx   14 . Tính m.vn 0 0 ie 2 gh f 5 x   2dx . 2 racn it A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . th n Lời giải ye lu Chọn B s:// 1 ttp h
+ Xét f 2xdx  
2 . Đặt u  2x  du  2dx ; x  0  u  0 ; x  1  u  2 . 0 1 2 1 2
Nên 2   f 2xdx   f udu  f udu   4 . 2 0 0 0 2
+ Xét f 6xdx  
14 . Đặt v  6x  dv  6dx ; x  0  v  0 ; x  2  v  12 . 0 2 12 1 12
Nên 14   f 6xdx   f vdv  f vdv   84 . /vietgold 6 0 0 0 2 0 2 k.com + Xét f 5 x  
2dx  f 5 x  2dx  f 5 x    2dx . 2 2 0 ceboo .fa 0 * Tính I  f 5 x 2 dx . 1     2
Đặt t  5 x  2 .Khi 2  x  0 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . https://www  2 12 2  1 1 I  1
f t dt    f tdt   f tdt  84  4  16 . 1    5 5 5 12  0 0  2
* Tính I  f 5 x 2 dx . 1     0
Đặt t  5 x  2 .Khi 0  x  2 , t  5x  2  dt  5dx ; x  2  t  12 ; x  0  t  2 . 15
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 12 12 2  1 1 I  1
f t dt    f tdt   f tdt  84  4  16 . 2    5 5 5 2  0 0  2 Vậy
f 5 x  2dx   32 . 2 Hoặc: Do hàm
f 5 x  2 là hàm số chẵn nên 2 0 h ttp
f 5 x  2dx  2 f 5 x  2dx  2.16    32 . 2 2 s:// lu 11 2 2 ye Ví dụ 34: Biết
f xdx  
18 . Tính I  x2  f 3x   1 dx.  n 1 0 th it
A. I  5 .
B. I  7 .
C. I  8 D. I  10 . racn Lời giải gh ie Chọn B m.vn Đặt t  2
3x  1  dt  6 d
x x . Đổi cận x  0  t  1, x  2  t  11 2 2 2 11
I  x  f  2 x   x  x x  xf  2
x   x   1 f t t   1 2 3 1 d 2 d 3 1 d 4 d 4 .18      7 6 6 0 0 0 1 1 2
Ví dụ 35: Cho hàm số y  f x liên tục trên và f 2xdx  
8 . Tính I   xf  2 x dx 0 0 ht A. 4 . B. 16 . C. 8 . D. 32 . tps://www Lời giải Chọn C .fa ceboo Đặt 2 x  2t  2 d
x x  2dt  d
x x  dt . Đổi cận: x  0  t  0 , x  2  t  1. k.com 1
Ta có: I  f 2tdt   8 . 0 /viet 3 gold
Ví dụ 36: Cho hàm số y  f x liên tục trên và thỏa mãn f 4  x  f x. Biết xf xdx   5 . 1 3
Tính I   f xdx . 1
A. I  5 .
B. I  7 .
C. I  9 . D. I  11 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
THẦY VIỆT  0905.193.688 16
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh
Cho hàm số f x liên tục trên a; b 
 và thỏa mãn điều kiện b a  b b
f a  b  x  f x ,x  ; a b 
 . Khi đó xf xdx  
 f xdx 2 a a Chứng minh: m.vn ie
Đặt t  a  b  x  dx  dt , với x   ; a b 
 . Đổi cận: khi x  a  t  b ; khi x  b  t  b gh b b a
Ta có xf xdx  xf a  b  xdx   a  b    
t f tdt racn it a a b th n b b b b b
 a  b t f tdt  a  b f tdt  tf tdt  a  b f xdx      xf x ye dx lu a a a a a s:// b b b a  b b ttp
 2 xf xdx  a  b f xdx  xf xdx    
 f xdx . h 2 a a a a
Áp dụng tính chất trên với a  1, b  3 .
f x liên tục trên a; b 
 và thỏa mãn f 1 3  x  f x . 3 1 3 3 3 5
Khi đó xf xdx 
f xdx  f xdx     . 4 2 1 1 1
Cách 2: Đổi biến trực tiếp: /vietgold
Đặt t  4  x , với x  1; 3   . k.com 3 3 3 3 3
Ta có xf xdx  xf 4  xdx  4  t f tdt  4 f tdt     
t.f tdt ceboo 1 1 1 1 1 .fa 3 3  
f t t   f t t    5 5 4 d 5 d . 2 1 1
Ví dụ 37: Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1; 3 thỏa mãn f 4  x  f x ,x 1; 3 và https://www     3 3
xf xdx   
2 . Giá trị  f xdx bằng 1 1 A. 2 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn B 3
Xét I   xf (x)dx (1). 1 17
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Đặt x  4  t , ta có dx  dt ; x  1  t  3 , x  3  t  1. 3 3 3
Suy ra I  4  t f (4  
t)dt  4  
t f (t)dt , hay I  4  
x f (x)dx (2). 1 1 1 3 3 I
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2I   4 f(x)dx  f(x)dx     1. 2 1 1 h
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ttp b s:// Tính
 f xdx , biết hàm số f x thỏa mãn : a lu ye .
A f x  . B  u . f   u  .
C f  a b  x   g  x . n th
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai về ta cần chú ý rằng : it
+ Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B,C . rac b b n gh
+ Nếu f x liên tục trên a; b 
 thì f a  b  xdx  
 f xdx a a ie m.vn ua   a b 1 b + Với 
thì  f xdx 
gxdx. ub   b
A  B  C a a ua   b b 1 b + Với 
thì  f xdx 
gxdx. ub   a
A  B  C a a
+ Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1. ht 2 3 6 tp
Ví dụ 38: Cho hàm số f x liên tục trên 0;   
1 thỏa mãn f x  6x f x   . Tính s://www 3x  1 1
 f xdx 0 .fa ceboo A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 6 . k.com Lời giải /v Chọn B ietgold
Cách 1: (Dùng công thức) 6 6
Biến đổi f x  2 6x f  3 x    f x 2 2.3x . f  3 x    với A  1, 3x  1 3x  1 B  2 . 1 1 1 6
Áp dụng công thức ta có:  f xdx  dx 4 . 1 2 0       0 3x 1
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
THẦY VIỆT  0905.193.688 18
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 6 1 1 1 1
Từ f x  2 6x f  3 x  
  f xdx2 2 3x f  3
x dx  6 dx 3x  1 0 0 0 3x  1 Đặt u  3 x  du  2
3x dx ; Với x  0  u  0 và x  1  u  1. 1 1 1 Khi đó 2 3x f  3
x dx  f udu   
 f xdx thay vào *, ta được: 0 0 0 m.vn 1 1 1 1 1 ie  1
f x x   f x x    1 d 2 d 6
dx   f xdx  6 dx   4 . gh 0 0 3x  0 0 0 3x  1 1 racn
Ví dụ 39: Cho hàm số f (x) liên tục trên 0; 2 
 và thỏa mãn điều kiện f x  f 2  x  2x . Tính it th 2 n
giá trị của tích phân I   f xdx . ye 0 lu s://
A. I  4 .
B. I  1 .
C. I  4 .
D. I  2 . 2 3 ttp h Lời giải Chọn D
Cách 1:(Dùng công thức) Với
f x  f 2  x  2x ta có A  1; B  1, suy ra: 2 2 2 1 2 x
I   f x  dx  2xdx  2 . 1  1 2 0 0 0
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) /vietgold 2 2 2
Từ f x  f 2  x  2x  f xdx  f 2  xdx    2xdx 4 (*) 0 0 0 k.com
Đặt u  2  x  du   dx ; Với x  0 u  2 và x  2  u  0 . ceboo 2 2 2 .fa Suy ra f 2  
xdx   f udu   f xdx . 0 0 0 2 2
Thay vào (*), ta được 2 f xdx  
4  f xdx   2 . 0 0
https://www Ví dụ 40: Xét hàm số fx liên tục trên1;2 
 và thỏa mãn f x  xf  2
x    f   x  3 2 2 3 1 4x . 2
Tính giá trị của tích phân I   f xdx . 1
A. I  5 .
B. I  5 .
C. I  3 . D. I  15 . 2 Lời giải 19
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn C
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f x   x f  2
x    f   x  3 2 2 3 1 4x . Ta có: u1    1
A  1; B  1;C  3 và u  2 x  2 thỏa mãn 
. Khi đó áp dụng công thức có: u2   2 h ttp 2 2 2 4 1 x s://
I   f x  3 4x dx    3 . 1 1 3 5 lu 1 1 1 ye n
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) th it
Từ f x  xf  2
x    f   x  3 2 2 3 1 4x . racn 2 2 2 2 gh
 f xdx  2 . x f  2
x  2dx  3 f 1 xdx      3 4x dx * ie 1 1 1 1 m.vn +) Đặt u  2 x  2  du  2 d
x x ; với x  1 u  1 và x  2  u  2 . 2 2 2 Khi đó 2 . x f  2
x  2dx  f udu   
 f xdx  1 1 1 1
+) Đặt t  1 x  dt  dx ; Với x  1 t  2 và x  2  t  1. 2 2 2 f 1 x dx  f t dt  Khi đó      
 f xdx 2 ht 1 1 1 tps://www 2 2 Thay  
1 ,2 vào * ta được: 5 f xdx  15  f xdx    3 . 1 1 .fa
MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN ceboo
CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ k.com a a a
Nếu hàm f x CHẴN thì f xdx  
2 f xdx 2. Nếu hàm f x LẺ thì f xdx   0 /v a 0 a ietgold 0
f xdx   2
y  f x 4; 4
Ví dụ 41: Cho hàm số
là hàm lẻ và liên tục trên   biết 2 và 2 4
f 2xdx   4
I   f xdx 1 . Tính 0 .
A. I  10 . B. I  6 . C. I  6 . D. I  10 . Lời giải Chọn B
THẦY VIỆT  0905.193.688 20
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” x x 2 a f  2
ax  b x   1 d
 f axdx
f x x   d 0 a
Cách1: Sử dụng công thức: x x 1 1 và tính chất a f x a; a với
là hàm số lẻ trên đoạn   . Áp dụng, ta có: 2    f  x  x   4 1 f x  x    1 4 2 d d f x dx 
f xdx   2 8 . 2  2    4 2 2 4 m.vn 1 ie 0
 2  f xdx   0 f x    f x  f x  2 2 2 2   gh 0 0 2 4 2 0 4 racn Suy ra: 0 
f xdx 
f xdx 
f xdx   f x dx 4  4  2    it    0 th
 0  8   2 f xdx 2 f xdx  
I  0  8  0  2  I  I  6 . 2   0  n ye 0 lu
f xdx   2 s:// Cách2:Xét tích phân 2 . ttp
Đặt x  t  dx  dt .Đổi cận: khi x  2 thì t  2 ; khi x  0 thì t  0 do đó h 0 2 2 2 f  0
xdx   
 f tdt   f tdt  f tdt  
2  f xdx   2 2 2 0 0 0 .
y  f x
f 2x   f 2x Do hàm số là hàm số lẻ nên . 2 2 f  2
2xdx   
 f 2xdx  f 2xdx    4 Do đó 1 1 1 . 2
 f 2xdx Xét 1 . /vietgold  x  1 d dt k.com Đặt 2x  t 2
.Đổi cận: khi x  1 thì t  2 ; khi x  2 thì t  4 do đó 2 4 4 f  x 4 x  1 2 d f t  f t  f x ceboo dt     4 dt    8 dx    8 2 .fa 1 2 2 2 . 4 2 4
I   f xdx  f xdx  
 f xdx Do 0 0 2  2 8  6 . 1 f 2x 2 y  dx 
https://www Ví dụ 42: Cho hàm số chẵn f xliên tục trên và 
8 . Tính  f xdx . 1   2x 1 0 A. 2 . B. 4 . C. 8 . D. 16 . Lời giải Chọn D 1 f 2x 2 f x Ta có dx  8  dx   . x  16 1 x  2 1 2 1  2 21
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN t 2 f x 2 f t 2 2 f t
Đặt t  x  dt  dx , khi đó 16  I  dx   dt   t . x  t  d  t 2 1  2 2 1  2 2 1  2 x 2 f x 2 2 f x 2 2 2 Suy ra 2I  dx  dx   f x x f x
x . Vậy f xdx   16 . x  x   d  2  d 2 1  2 2 1  2 0 2 0 1 f x dx  h
Ví dụ 43: Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn 1;    1 và    2 . Kết quả ttp 1 s:// 1 f x I   dx bằng lu 1   ex 1 ye n
A. I  1 .
B. I  3 .
C. I  2 . D. I  4 . th it r Lời giải acngh Chọn A ie 1 0 1 m.vn f x f x f x I  dx  dx  dx  I   I x  x  1 e 1 e 1 x 1 2  e 1 1 0 0 f  x Xét I  d . x 
Đặt x  t  dx  dt x 0 t
0 , x  1  t  1 1 , đổi cận:    1 ex 1  0 f x 1 et. f x
1 et. f t
1 ex. f x I  dt dt . Lại có dt   x . t  d 1  t         1 e 1 et 1 e 1  ex 1 0 0 0 ht Suy ra: tps://www 1 f x
1 et. f t 1 f t
1 1 et . f t 1 1 I  x  t  x  t   f t t f t t . x  t  t  t     1 d d d d d   d 1 1 e 1 e 1 e 1   e 2 1 0 0 0 0 1 .fa
CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ceboo
Cho hàm số y  f x thỏa mãn g  f x  
 x và gt là hàm đơn điệu (luôn đồng k.com
biến hoặc nghịch biến) trên
. Hãy tính tích phân I  b f xdx . a /vietgold
Cách giải: Đặt y  f x  x  g y  dx  
g  y dy x  a  
g y  a  y   b  Đổi cận  Suy ra I 
f xdx   yg y dy a    x  b  
g y  b  y   
Ví dụ 44: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 3
f x  f x  x, x . Tính
I  2 f xdx 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 22
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
A. I  2 .
B. I  3 .
C. I  1 .
D. I  5 . 2 2 4 Lời giải Chọn D
Đặt y  f x  x  3
y  y  dx   2 3y   1 dy m.vn ie x  0  3
y  y  0  y  0 Đổi cận  Khi đó gh x  2  3
y  y  2  y   1 racn
I  2 f xdx  1 y3y   1 dy  1 2  3 3y  y 5 it dy   . 0 0 0 4 th n 3 2 ye
Ví dụ 45: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 2 f x  3 f x  6 f x  x , x . Tính lu 5 s://
tích phân I   f xdx . 0 ttp h
A. I  5 .
B. I  5 .
C. I  5 . D. I  5 . 4 2 12 3 Lời giải Chọn B
Đặt y  f x  x  3 y  2 2
3y  6y  x   2 d
6 y  y   1 dy .
Đổi cận: với x   3 y  2 0 2
3y  6y  0  y  0 và x   3 y  2 5 2
3y  6y  5  y  1. 1 1 1 5
Khi đó I  f xdx  . y 6 2 y  y   
1dy  6  3y  2y  ydy   . 2 /vietgold 0 0 0
Ví dụ 46: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn x  3
f x  2 f x  1, xR . Tính k.com 1
I   f xdx . ceboo 2 .fa
A. I  7 .
B. I  7 .
C. I  7 . D. I  5 . 4 2 3 4 Lời giải Chọn A https://www
Đặt y  f x  x   3
y  y   x   2 2 1 d 3y  2dy .
Đổi cận: Với x     3 2
y  2y  1  2  y  1 ; x    3 1
y  2y  1  1  y  0 . 0 7
Khi đó: I  y  2
3y  2dy   . 4 1
CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: 23
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN b x b  a
Bài toán: Cho f x f a  b  x  2 .
k , khi đó I   d k f x k a     2 Chứng minh: dt  dx 
Đặt t  a  b  x  
và x  a  t  b; x  b  t  a . f x 2  k   f t h ttp b d b x dx
1 b f xdx s:// Khi đó I   . k f x k k k f x a      2    a a   lu k  ye f t n th b dx
1 b x x 1 b 1 b  a it 2I    dx  b   a  I  . r   f d a k  f x k k f x k k 2k a    a   a cngh
Ví dụ 47: Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;   
1 . Biết f x. f 1 x  1 với ie m.vn 1  dx x 0;   
1 . Tính giá trí I   1  f x 0   3 1 A. . B. . C. 1 . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn B http f x 1 s://www
Ta có: 1 f x  f x f 1 x  f x 
1 f x f 1 x  1 1 dx .fa Xét I   . ceboo 1  f x 0   k.com
Đặt t  1 x  x  1t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 . 0 1 1 1 /v dt dt dx
f xdx Khi đó I      iet     1 f 1 t 1 f 1 t 1 f 1 x 1 f x 1     0     0     0   gold 1 1 dx f x 1 dx 1 f x 1 Mặt khác    dx
dx 1 hay 2I 1. Vậy I  1 . 1 f x 1 f x 1 f (t) 2 0     0       0 0
Ví dụ 48: Cho hàm số f x liên tục trên
, ta có f x  0 và f 0. f 2018  x  1 . Giá trị của 2018 dx tích phân I   1  f x 0  
A. I  2018 .
B. I  0
C. I  1009 D. 4016
THẦY VIỆT  0905.193.688 24
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” Lời giải Chọn C 2018 1 2018  0 ta có I   dx 1009 . 1 f x 2.1 0     
Ví dụ 49: Cho hàm số y  f x có đạo hàm, liên tục trên và f x0 khix0;5 Biết   . m.vn dx ie
f x. f 5  x  1 tính tích phân I  5 . ,
0 1  f x gh racn
A. I  5 .
B. I  5 .
C. I  5 . D. I  10 . it 4 3 2 th n Lời giải ye lu Chọn C s://
Đặt x  5  t  dx  dt
x  0  t  x  5  ttp 5 ; t  0 h 0 5 dt
f tdt 1 I    
(do f 5  t  ) 5 
1 f 5  t
0 1  f t f t
 2I  dt  5 5  I  5 . 0 2 3
Ví dụ 50: Cho hàm số y  f x liên tục trên và thỏa mãn f 4  x  f x. Biết xf xdx   5 . 1 3
Tính tích phân  f xdx . 1 /vietgold 5 7 9 11 A. . B. . C. . D. . k.com 2 2 2 2 Lời giải ceboo .fa Chọn A
Đặt t  4  x  dt  dx và x  1  t  3 ; x  3  t  1. 3 3 3 3
Khi đó: 5  xf xdx  4  t f 4   
tdt  4  x f 4  xdx  4   
x f xdx . 1 1 1 1 https://www 3 3 3 5
Suy ra: 10  xf xdx  4   
x f xdx  4 f xdx   . 2 1 1 1 25
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có
kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc.
Ví dụ 51: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 
 , đồng biến trên đoạn 1; 4   2
và thỏa mãn đẳng thức x  2 .
x f x   f 
 x ,x 1; 4 
 . Biết rằng f    3 1 , tính 2 4
I   f xdx ? 1 h ttp
A. I  1186 .
B. I  1174 .
C. I  1222 . D. I  1201 . s:// 45 45 45 45 lu ye Lời giải n th Chọn A it f  r x 2 a Ta có x  2 .
x f x   f 
 x  x. 1 2 f x  f x 
 x , x1; 4 . c    n
1  2 f x gh ie f  m.vn x df x Suy ra dx  d x x    C  dx  d x x    C
1  2 f x
1  2 f x  2 3  2 4 2 x    1 3 3 3   
1 2 f x  2 2
x  C . Mà f    3 1
 C  4 . Vậy f x  . 3 2 3 2 4 1186
Vậy I   f xdx  . ht 45 1 tps://www 3 f x  2 x  2x
Ví dụ 52: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên
thỏa mãn 3 f x   1 .e  0 và 2 f x  7 .fa
f 0  1. Tích phân  .
x f xdx bằng ceboo 0 k.com 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 /viet Lời giải gold Chọn C 3 f x  2 x  2x 3 2
Ta có 3 f x   1 .e  0  2
f x f x f x x    1 3 . .e 2 . x e 2 f x  3 f x 2 Suy ra x   1 e e
C . Mặt khác, vì f 0  1 nên C  0 . 3 f x 2 Do đó x   1 e e  3 f x  2
x  1  f x  3 2 x  1 . 7 7 7 1 7 3 Vậy  .
x f xdx  3 2 . x x   1 dx  3 2 x  1 d  2 x   1  2 3 2 x     1 x  1  45 . 2 8   8 0 0 0 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 26
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1
Ví dụ 53: Cho hàm số f x  4 x  3 x  2 4
3x  x  1, x  . Tính I   2
f x. f xdx . 0 7 A. 2 . B. 2 . C.  7 . D. . 3 3 Lời giải m.vn Chọn D ie gh
Đặt t  f x  dt  f xdx . Đổi cận: x  0  t  f 0  1, x  1  t  f   1  2 . racn 2 2 3 it t 8 1 7 Khi đó I  2 t dt      . th 3 3 3 3 n 1 1 ye lu
Ví dụ 54: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và f x  0 , x0;  1 . Biết s://  1    3 f  f   
x  xf  x  2 f x  x ttp rằng   a ,   b và     4, 0; 1. Tính tích phân h  2   2   3 2 sin . x cos x    2 sin 2x I
dx theo a và b . 2  f sin x 6 a  b b  a b  a a  b A. I  3 . I  3 I  3 I  3 B. . C. . D. . 4ab 4ab 4ab 4ab Lời giải /vietgold Chọn D x0;  1 ta có: k.com
x  xf x  2 f x   x  4  2 f x  xf x  2
x  x  xf x  2 4 2 x f x ceboo 4 .fa  x  4x
2xf x  2 2 x f x 2 x   2   
4x   x  . 2 f x  2 f x 2 f x
 f x      3 2 3 2 https://www sin .
x cos x  2 sin 2x sin .
x cos x  4 sin . x cos x Tính I  dx   dx 2  2  f sin x  f sin x 6 6  
Đặt t  sin x  dt  cos d
x x , đổi cận x 
 t  1 , x   t  3 . 6 2 3 2 27
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN  2  1 2 3 3 3       2 2 t  4t 2 2 t  2   2  3 1 3a  b Ta có I   dt       . 2 f t f t    1  4b 4a 4ab 1   1  3  f f   2 2    2 2   
Ví dụ 55: Cho hàm số f liên tục, f x  1, f 0  0 và thỏa f x 2
x  1  2x f x  1 . Tính h f  3 . ttp s:// A. 0 . B. 3 . C. 7 . D. 9 . lu ye Lời giải n Chọn B th it f  x 2 2x r
Ta có f x x  1  2x f x    1   a 2 c f x  1 x  1 n gh 3 f x 3 3 3 3 2x ie  dx  dx    f x  1  2 x  1
 f x 1  1 m.vn 0 f x  2 1 0 x  0 0 0 1
 f  31  f 01  1 f  31  2  f  3  3. 5
Ví dụ 56: Cho hàm số f x liên tục trên và
f xdx  
4 , f 5  3 , f 2  2 . Tính 2 2 I  3 x f  2 x   1dx 1 http A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 6 . s://www Lời giải Chọn A .fa ceboo Đặt t  2
x  1  dt  2 d x x. k.com 5 1
x  1  t  2 ; x  2  t  5 . Khi đó I  t  
1 ftdt. 2 2 /vietgold
Đặt u  t 1  du  dt ; dv  f tdt, chọn v  f t . 5 5 1
I  1 t   f t  1 1
 f tdt  4 f 5 f 22  3. 2 2 2 2 2 f 2 x   1 ln x
Ví dụ 57: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1; 4 
 và thỏa mãn f x   . Tính x x 4
tích phân I   f xdx . 3
THẦY VIỆT  0905.193.688 28
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” A. I   2 3 2ln 2 . B. I  2 2 ln 2 . C. I  2 ln 2 .
D. I  2ln 2 . Lời giải Chọn B   4
4 f 2 x   4 f 2 x   1 lnx 4 1 ln x
Ta có  f xdx     dx    dx   dx . x x x x 1 1   1 1 m.vn ie
4 f 2 x   1 K  gh Xét  dx . 1 x racn t  it dx
Đặt 2 x  1  t  x  1   dt . th 2 x n ye 3 3 lu
 K   f tdt   f xdx. s:// 1 1 ttp 4 h 4 ln x 4 2 ln x Xét M   dx  ln d x ln x   2 2 ln 2 . x 2 1 1 1 4 3 4
Do đó f xdx  f xdx    2
2 ln 2  f xdx   2 2 ln 2 . 1 1 3  2 16 f x 2  
Ví dụ 58: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn cot .xf sin xdx  dx    1 .  x 1 4 1 f 4x /vietgold Tính tích phân  dx . x 1 k.com 8 ceboo
A. I  3 .
B. I  3 .
C. I  2 . D. I  5 . 2 2 .fa Lời giải Chọn D  16 f  x  2 Đặt I  cot . x f  2
sin x dx 1 , I  dx  1 . 2  1    https://www  x 1 4 Đặt t  2
sin x  dt  2sin . x cos d x x  2 2sin . x cot d x x  2 . t cot d x x .   x 4 2 1 t 1 2  1 1 2 1 1 1 1 f t 4 1 f 4x 4 1 f 4x I   cot . x f  2
sin x dx   f t. dt   dt   d 4x   dx . 1   2t 2 t 2 4x 2 x 1 1 1 1 4 2 2 8 8 29
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 4 f 4x Suy ra dx  2I   2 1 x 1 8
Đặt t  x  2 d t t  dx . x 1 16 t 1 4 16 f  x  4 f t 4 f t 1 f 4x 1 f 4x h I  dx  2 d t t  2 dt  2 d 4x  2 dx . ttp    2  x 2 t t 4x x 1 1 1 1 1 s:// 4 4 1 lu f 4x 1 1 Suy ra dx  I  ye  2 x 2 2 1 n 4 th it Khi đó, ta có: r 1 ac 1 f 4x 4 f 4x 1 f 4x n 1 5 dx  dx   2   gh    dx . x x x 2 2 1 1 1 ie 8 8 4 m.vn
Ví dụ 59: Xét hàm số
f x liên tục trên 0;   
1 và thỏa mãn điều kiện 1 x f  2
x   f   x   2 4 . 3 1
1 x . Tích phân I   f xdx bằng: 0     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 6 20 16 Lời giải ht Chọn C tps://www
Vì f x liên tục trên 0;    1 và x f  2
x   f   x   2 4 . 3 1 1 x nên ta có 1 1 1 1 1  2 4 .
x f x  3 f 1   2 2 2 .fa   
 x dx  1    x dx  4 .
x f x dx  3 f 1 xdx  1    x dx ceboo 0 0 0 0 0 1 . k.com 1 1 1 2 2 2 t 2 x /v Mà  4 .
x f x dx  2 f x dx  
2 f tdt  2I iet 0 0 0 gold 1 1 1 u  1 x và 3 f 1 
xdx  3 f 1 xd1 
x 3 f udu  3I 0 0 0    1 2 2 2 1  Đồng thời 1   2 x dx x s in t 1  2 sin t.cos d t t   2 cos d t t  1
 cos2tdt  . 2 4 0 0 0 0   Do đó,  
1  2I  3I  hay I  . 4 20
THẦY VIỆT  0905.193.688 30
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ví dụ 60: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;    1 thỏa mãn f   1  1 , 1 1 1  2 f 
 x2 dx  9  
và f  x dx  
. Tính tích phân I   f xdx . 5 5 0 0 0
A. I  3 .
B. I  1 .
C. I  3 . D. I  1 . 5 4 4 5 m.vn Lời giải ie gh Chọn B 2 racn
Đặt t  x  t  x  dx  2 d
t t . Đổi cận x  0  t  0; x  1  t  1 it th 1 1 1 1 n 1 1
Suy ra f  xdx  
2t. f tdt  t. f tdt   . Do đó  .
x f xdx   ye 5 5 0 0 0 0 lu 1 s:// 1 2 1 2 x x 1 2 1 x Mặt khác  .
x f xdx  f x  f  
xdx   f   xdx. ttp 2 2 2 2 h 0 0 0 0 1 2 x 1 1 3 1 3 Suy ra
f xdx      2
x f xdx   2 2 5 10 5 0 0 1 2 9 Ta tính được  2 3x  dx   . 5 0 1 1 1 1 2 2 2 Do đó  f 
 x dx 2 2 3x f  
xdx  2 3x  dx   
0   f x  2 3x  dx   0 0 0 0 0 /vietgold
 f x 2
3x  0  f x  2 3x     3 f x x  C . k.com Vì f   1  1 nên    3 f x x ceboo .fa 1 1 1
Vậy I  f xdx  3 x dx    . 4 0 0
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN https://www
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết
hoặc kết luận có một trong các tích phân sau b b
 (ux).f '(x).dx
u'(x).f( )x.dx a hoặc a . 31
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2
Ví dụ 61: Cho hàm số y  f x có đạo hàm f x liên tục trên 0; 2 
 và f 2  3 , f xdx   3 . 0 2 Tính . x f 
 xdx. 0 A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 6 . Lời giải h ttp Chọn B 2 2 2 2 s:// Ta có . x f 
 xdx   d
x  f x  .
x f x   f xdx  2 f 2  3  3. lu 0 0 0 0 ye n
Ví dụ 62: Cho hàm số y  f x có đạo hàm là f 'x liên tục trên đoạn [0; 1] và f   1  2 . Biết th it 1 1 ra
 f xdx 1, tính tích phân I   .xf 'xdx. cn 0 0 gh ie
A. I  1 .
B. I  1 .
C. I  3 . D. I  3 . m.vn Lời giải 1 Ta có: I   .
x f 'xdx 0
Đặt u  x  du  dx , dv  f 'xdx chọn v  f xdx   ' f x 1 1 1  I  .
x f x  f x dx 1. f 1 0. f 0 f x dx 2 1 1 0
             http 0 0 s://www Chọn A 1 .fa
Ví dụ 63: Cho hàm số f x thỏa mãn x  
1 f 'xdx   10 và 2 f  
1  f 0  2 . Tính ceboo 0 1 k.com
I   f xdx . 0 /viet
A. I  8 .
B. I  8 .
C. I  4 . D. I  4 . gold Lời giải 1 A  x  
1 f 'xdx Đặt u x1du dx, dv  f 'xdx chọn v  f x 0 1 1 1 1
 A  x  
1 . f x 1  f xdx  2 f (1)  f (0)  f xdx  2  f xdx  10  f xdx  8 0     0 0 0 0 Chọn B
THẦY VIỆT  0905.193.688 32
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ví dụ 64: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 
 và thỏa mãn f 2  16 , 2 1
f xdx  
4 . Tính tích phân I  . x f  
2xdx. 0 0
A. I  12 .
B. I  7 .
C. I  13 . D. I  20 . Lời giải m.vn ie Chọn B gh du  u  dx  x  Đặt  f x . dv  f  2  2x     racn dx v  it  2 th . x f 2x 1 1 2 n 1 f 2 1 16 1 Khi đó: I   f 2x   dx  
f tdt   .4    7 . ye 2 0 2 2 4 2 4 0 0 lu
Ví dụ 65: Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn f 0. f 2  0 và s:// 2 ttp
      2
I  f x .g h ex g x f x x x
. Tính giá trị của tích phân
   xdx? 0 A. 4 . B. e  2 . C. 4 . D. 2  e . Lời giải Chọn C
Ta có        2ex g x f x x x
 g0  g2  0 (vì f 0. f 2  0) 2 2 2 2
I   f x.gxdx   f xdgx   f x.gx  gx. f xdx 0 /vietgold 0 0 0 2
   2  2 ex x x dx   4 . k.com 0 1 ceboo
Ví dụ 66: Cho hàm số f x thỏa mãn x  
1 f 'xdx   10 và 2 f  
1  f 0  2 . Tính .fa 0 1
I   f xdx . 0 https://www
A. I  8 .
B. I  8 .
C. I  4 . D. I  4 . Lời giải Chọn B 1 A  x  
1 f 'xdx Đặt u x1du dx, dv  f 'xdx chọn v  f x 0 33
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 1 1 1
 A  x  
1 . f x 1  f xdx  2 f (1)  f (0)  f xdx  2  f xdx  10  f xdx  8 0     0 0 0 0 5
Ví dụ 67: Cho hàm số y  f x thỏa mãn f  3 x  3x  
1  3x  2, x  . Tính I  . x f 
 xdx. 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761 . h 4 4 4 ttp Lời giải s:// lu Chọn C ye n u  x du    5 dx 5 th Đặt   
 I  xf x  f x dx . 1  it dv  f   xdx v    f x     1 rac
 f 5  5 x  1 5 n 3  I  23  gh
Từ f x  3x       1  3x  2   , suy ra
 f xd .x f   1  2 x   0 1 ie m.vn
dt  3x 3 dx 3  2   
Đặt t  x  3x  1  
 f t  3x     2
Đổi cận: Với t    3 1
1 x  3x  1  x  0 và t   3 5
x  3x  1  5  x  1. 5 1 Casio 33
Khi đó I  23  f xdx  23  3x  2 2
3x  3dx    4 1 0 Chọn C ht e f x tp
Ví dụ 68: Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1; e   , biết dx  
1 , f e  1 . Khi đó s://www x 1 e I  f   x.ln d x x bằng 1 .fa ceboo
A. I  4 .
B. I  3 .
C. I  1 . D. I  0 . Lời giải k.com Chọn D e e /v e 1 iet
Cách 1: Ta có I  f x.ln d
x x  f x.ln x  f x. dx  f e 1  11   0 . 1  x gold 1 1  dx u   ln x du  Cách 2: Đặt  x . dv   f x    dx v   f x e e e f x
Suy ra I  f x.ln d
x x  f x   ln x 
dx  f e 1  11   0 . 1  x 1 1
THẦY VIỆT  0905.193.688 34
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Ví dụ 69: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f x  π   f  x    sin .
x cos x , với mọi x 
và f 0  0 . Giá trị của tích phân  2  π 2 . x f 
 xdx bằng 0 m.vn π 1 π ie A.  . B. . C. . D.  1 . 4 4 4 4 gh Lời giải racn it Chọn D th n   f x  f  x  ye
Theo giả thiết, f 0  0 và   π   sin . x cos x nên  2  lu s://  π  f 0  π   f    0  f    0 . ttp  2   2  h Ta có: π π π 2 2 π 2 I  . x f 
 xdx  d x 
  f x  xf x 2    f x dx 0    0 0 0 π 2
Suy ra: I   f xdx . 0 /vietgold Mặt khác, ta có: k.com       1 f x  π   f  x  sin . x cos x   
2 f xdx 2 f x dx  2 sin .xcosxdx  0    0 0 ceboo  2   2  2 .fa   0    1 1
Suy ra:  2 f xdx  2  f  x dx   f x dx 0         2  0 2 4 2 π 2 https://www 1
Vậy I   f xdx    . 4 0 1
Ví dụ 70: Cho hàm số f x thỏa f 0  f   1  1 . Biết x e 
 f x f 'xdx  ae    b . Tính biểu 0 thức  2018  2018 Q a b .
A. Q  8 .
B. Q  6 .
C. Q  4 . D. Q  2 . Lời giải 35
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 1 1 A  x e 
 f x f 'xdx   xe f xdx  
 xe f 'xdx 0 0 0 A A 1 2 1  x A e f x dx 1    0 1 1
Đặt u  f x  du  f 'x dx,  x
dv e dx chọn  x
v e  A  x e . x f x e f ' x dx 1    0    h ttp 0 A s:// 2 lu  1 x    1 x A e f x A A e f x  .
e f 1  f 0  e  ye Vậy   1 2 2       0 0 n th a  1 it    2018 a  2018 b  1 1  2 r b   a  1 cngh Chọn D ie m.vn
Ví dụ 71: Cho hàm số f x có đạo hàm trên thỏa mãn       2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x với mọi x 
và f 0  2018. Tính giá trị f   1 . A. f    2018 1 2019e . B. f     2018 1 2018.e
. C. f    2018 1 2018.e
. D. f    2018 1 2017.e . Lời giải Chọn A http
f x  2018. f x  s://www Ta có:      2017 2018 2018 2018. .e x f x f x x   2017 2018.x 2018 e x
1 f x  2018. f x 1  dx  2017 .fa  2018.x dx 1 2018  e x 0 0 ceboo
1 f x  2018. f x 1 1 k.com Xets I   dx    2018 .e xd   2018.     2018 .e x f x x f x dx 2018 e x 0 0 0 /viet 1
u  f x
du  f xdx 2018x gold Xét I 2018. f x .e dx . Đặt    . 1      2018x  dv   2018.e dx
v   2018x 0  e 1 Do đó  . e x .e xd 1 .e x I f x f x x I f 2018 1      2018  1  0
  2018       2018  0 Khi đó 1     2018 1 .e x f  2018  2018 1 x  f    2018 1 2019.e . 0 1
Ví dụ 72: Cho hàm số y  f x với f 0  f  
1  1 . Biết rằng: ex 
 f x fxdx  e a    b Tính 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 36
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  2017  2017 Q a b . A. Q  2017 2 1.
B. Q  2 .
C. Q  0 . D. Q  2017 2 1. Lời giải Chọn C
u  f x
du  f xdx   m.vn Đặt  . dv   exdx v  x ie  e gh 1 1 1 ex   2
     d  
ex    ex  d ex f x f x x f x f x x
f x dx  ef  
1  f 0  e 1. 1         racn it 0 0 0 th n
Do đó a  1, b  1. ye lu 2017 Suy ra  2017  2017 Q a b  2017 1    1
 0 . Vậy Q  0 . s:// ttp
y  f x h
Ví dụ 73: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 5 
 và f 5  10 , 5 5
xf xdx  
30 . Tính  f xdx . 0 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Lời giải Chọn A
u  x  du  /vietgold  dx Đặt 
dv  f xdx  v   f x k.com 5 5 5 .
x f xdx   .
x f x 5  
f x dx  30  5 f 5   f xdx 0    ceboo .fa 0 0 0 5
 f xdx  5 f 5  30   20 . 0
https://www Ví dụ 74: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2   . 2 67 Biết rằng F  
1  1 , F 2  4 , G   3 1 , G 2  2 và
f xGxdx   . Tính 2 12 1 2
Fxgxdx 1 11 145 A. . B.  145 . C.  11 . D. . 12 12 12 12 Lời giải 37
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn A u   F x du  
f xdx Đặt    dv  
g xdx v   G x 2 2  2
F x g xdx  F xGx  f x G x dx 1      1 1 2 h
 F 2G2  F  1 G  
1   f xGxdx ttp 1 s:// 3 67 lu  4.2 1.   11 . ye 2 12 12 n th 1
x  f  x  2 it
Ví dụ 75: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;    1 thỏa mãn    dx    f   1 . r 0 acn 1 gh
Giá trị của I   f xdx bằng ie 0 m.vn A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . Lời giải Chọn C 1 1 1
Ta có x  f 
  x2dx  .xfxdx  2 d x x 0 0 0 1 1 1 1  d x   f x    2 x  .
x f x  f xdx   1  f   1  I  1. ht 0 0 0 0 tp 1 s://www
Theo đề bài x  f  
x2dx    f   1  I  1. 0 2 2 x  1 f  .fa
Ví dụ 76: Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn 1; 2   và 
 xdx  
a . Tính  f xdx ceboo 1 1
theo a và b  f 2 . k.com
A. b  a .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b . /v Lời giải ietgold Chọn A
Đặt u  x 1  du  dx ; dv  f xdx chọn v  f x. 2  2 b 2 2 x  
1 fxdx  x 1 f x  f x dx  f 2 f xdx  b f x. 1    1 1 a 1 2 2 2 Ta có x  
1 f xdx  
a  b  f xdx  
a  f xdx  b   a . 1 1 1
THẦY VIỆT  0905.193.688 38
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 2
Ví dụ 77: Cho hàm số f x liên tục trên
và f 2  16 ,
f xdx   4 . Tính tích phân 0 1 I  . x f 
 2xdx. 0
A. I  13 .
B. I  12 .
C. I  20 . D. I  7 . m.vn Lời giải ie gh Chọn D du  racn     dx u x it Đặt  . dv  1  f 2x    th dx v   f 2x n  2 ye 1 lu 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I  . x f 2x 
f 2xdx  f 2 
f 2xdx  8   
 f 2xdx. s:// 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ttp h
Đặt t  2x  dt  2dx.
Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 . 2 1 Suy ra I  8 
f tdt  8 1   7 . 4 0   2 2
Ví dụ 78: Cho hàm số y  f x thỏa mãn sin .
x f xdx  
f 0  1. Tính I  cos . x f  
xdx . 0 0 /vietgold
A. I  1 .
B. I  0 .
C. I  2 . D. 2 . k.com Lời giải ceboo Chọn C .fa
u  f x  du  f(x)dx Đặt 
dv  sin xdx  v    cos x   https://www  2 2
 sin .xf xdx  cos .xf x 2  cos .xf x dx . 0    0 0   2 2   I  cos . x f  
xdx  sin .xf xdx  cos .
x f x 2  11  0 . 0 0 0
Ví dụ 79: Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện f   1  1 và
2  f x  2
f x  1 
f 2  4 . Tính J      dx . 2  x x 1   39
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1
A. J  1 ln 4 .
B. J  4  ln 2 . C. J   1 ln 2 . D. J   ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2  f x  2
f x  1  2 f x 2 f x 2  2 1 
Cách 1: Ta có J      dx  dx  dx     dx . 2  2  2  x x x x x x 1 1 1   1   h ttp  1  s:// 1 u  du   dx Đặt  x  2 lu  x dv  f   ye xdx v    f x n th
2  f x  2
f x  1  2 2 2 2 f x f x it 1 2 1 J    dx . f x         dx  dx   dx r   2  2  2  2  a x x x x x x x 1 1 1 1   1   cngh 2 ie
1 f   f    1     x   1 2 1 2 ln    ln 4 . m.vn 2  x  2 1
2  f x  2
f x  1 
2  xf x  f x  2 1
Cách 2: J      dx       dx 2  x x  2 2  x x x 1   1    f x  2  1 1 1  
 2ln x       ln 4 .  x x  2 1 ht
Cách 3: ( Trắc nghiệm) tps://www  f   1  1 a  3
Chọn hàm số f x  ax  b . Vì 
, suy ra f x  3x  2 .  f 2    4 b    2 .fa ceboo  5 3x 1  1  2 2 1 Vậy J  
dx  2 ln x   ln 4   . 2    k.com x x x 2 1     1 /v
Ví dụ 80: Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2   . Biết ietgold f 0  1 và        2 2 4 . 2 e x x f x f x , với mọi x  0; 2   . Tính tích phân  3x  2 2
3x  f x I   dx . f x 0  
A. I   16 .
B. I   16 .
C. I   14 .
D. I   32 . 3 5 3 5 Lời giải Chọn B
THẦY VIỆT  0905.193.688 40
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Cách 1: Theo giả thiết, ta có        2 2 4 . 2 e x x f x f x
và f x nhận giá trị dương nên      2 2     2   4 ln . 2 ln e x x f x f x
 ln f x  ln f 2  x  2x  4x .
Mặt khác, với x  0 , ta có f 0. f 2  1 và f 0  1 nên f 2  1.  3x  2 2
3x  f x 2 f  x Xét I  
dx , ta có I   3 x   2 3x    . dx m.vn f x f x 0   0   ie gh u  3 x  2 3x   u   2 d 3x   6xdx racn Đặt  f x   it dv   dx v   ln f x  f x th n ye 2 2 2 lu Suy ra I   3 x  2
3x ln f x   2 3x  2   
6x.ln f xdx   3x  
6x.ln f xdx 1 . 0 s:// 0 0 ttp h
Đến đây, đổi biến x  2  t  dx  dt . Khi x  0  t  2 và x  2  t  0 . 0 2 Ta có I    2
3t  6t.ln f 2  t  dt    2
3t  6t.ln f 2   tdt 2 0 2
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I    2
3x  6x.ln f 2  
xdx 2 . 0 2
Từ 1 và 2 ta cộng vế theo vế, ta được 2I   2
3x  6x.ln f x  ln f 2   xdx 0 /vietgold 2 1 Hay I    2
3x  6x. 2 2x  
4xdx   16 . k.com 2 5 0 ceboo
Cách 2 (Trắc nghiệm) .fa Chọn hàm số     2 2 ex x f x , khi đó:  3x  2 3x  2x2 2 .e
x .2x  2 2  I  x  3 x  2 x x  x   16 d 3 . 2 2 d . 2 x 2x       https://www e 5 0 0
Ví dụ 81: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;    1 thỏa mãn f   1  0 và 1 1 2 1 
   2 d    1ex f x x x f x e    dx  1  
. Tính tích phân I   f xdx . 4 0 0 0 
A. I  2  e .
B. I  e  2 .
C. I  e . D. I  e 1 . 2 2 Lời giải 41
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn B 1 u   f x
du  f xdx Xét     1ex A x
f xdx . Đặt    v  x  d
1exdx v  0  ex x 1 1 1 2 1 x 1 e Suy ra
 ex    ex A x f x x
f  x dx   ex x f   xdx  e x f x   dx   0    4 0 0 0 h 1 1 2 ttp  x x 1 1 1  e  1 Xét 2 2 x e dx  2 2 e x  x      . s:// 2 2 4 4 0   0 lu 1 1 1 1 ye 2 2 Ta có  
   d 2 ex     d  2 2ex f x x x f x x x dx  
0      ex f x x  dx   0 n th 0 0 0 0 it r 2 x x a
Suy ra f x  e x  0 x0; 
1 (do  f x  e
x   0 x 0;  1 ) c     n gh       1 ex f x x  ie   ex f x x     C m.vn Do f  
1  0 nên    1 ex f x x 1 1 1 Vậy 
 d  1 exd 2 ex I f x x x x x  e    2 . 0 0 0
Ví dụ 82: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2   thỏa mãn 2 2 2 2 1 2
x 1 f xdx   
, f 2  0 và  f 
 x dx  7 . Tính tích phân I   f xdx. ht  3 1 1 1 tps://www
A. I  7 .
B. I   7 .
C. I   7 . D. I  7 . 5 5 20 20 .fa Lời giải ceboo Chọn B k.com x  3 2 1
Đặt u  f x  du  f xdx , dv  x     1 dx  v  /v 3 ietgold 2 3 3 2 x  2 1 x   1  1 x  2 1 f x dx  . f x    f   x Ta có     dx 3 3 3 1 1 1 2 2 2   1   1  3 3 x   3 1
f xdx  x   1
f xdx  
1   2.7 x   1
f xdx    14 3 3 1 1 1
THẦY VIỆT  0905.193.688 42
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 2 6
Tính được 49x   1 dx   7 1 2 2 2   3 6 f   2
 x dx  2.7 x  
1 fxdx  49x 1 dx   0 1 1 1 4 2  2 7 x    3 1 7 x  3
1  f x  dx  
 f x  7x    f x       0 1 C . 4 m.vn 1 ie 7 x  4 gh 1 7
Do f 2  0  f x     . 4 4 racn it 2 7x 4 2   th 1 7 I      n Vậy
 f xdx  dx   7 .  4 4  5 ye 1 1   lu s://
Ví dụ 83: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;    1 thỏa mãn f   1  1 , ttp 1 1 1 2 1 h  f 
 x dx    9 và 3
x f xdx  
. Tích phân  f xdx bằng 2 0 0 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Lời giải Chọn B 1 2 Ta có:  f 
 x dx    9 1 /vietgold 0 k.com 1 1 - Tính 3
x f xdx   . 2 ceboo 0 .fa 
du  f xdx
u  f x  Đặt    4  x v   3 d x .dx v   4 https://www 1 1  4 x  1 1  1   3 1 1 1
x f xdx  
. f x  4 x . f  
xdx   4 x . f   xdx 2 4 4 4 4 0   0 0 0 1 1  4
x . f xdx    1  4
18 x . f xdx    18 2 0 0 1 1 9 x 1 1 - Lại có: 8 x dx     8 81 x dx   9 3 9 9 0 0 0 43
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
- Cộng vế với vế các đẳng thức 1 , 2 và 3 ta được: 1  1 f   x 2  4
18x . f x 8   
 81x dx    f   4
 x  9x    dx    0  0 0 0 1  .  f   x 4 9x  dx    0 0
Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số h ttp
y  f x  4
9x , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox bằng s:// 0 lu ye 4 9 4 n
 f x  9x  0  f x   4
9x  f x  f 
 x.dx   x C . th 5 it ra  9 14
C  14  f x   5 x  c Lại do f   1  1   n 5 5 5 gh ie 1 1  1 9 14   3 14  5 m.vn
 f xdx    5 x   dx   6 x  x    . 5 5  10 5  2 0   0 0      
Ví dụ 84: Cho hàm số y  f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;  và f    0 . Biết  4   4     4 4  8 2 f x  dx  
, f xsin 2 d x x   
. Tính tích phân I   f 2xdx 8 4 0 0 0 http
A. I  1 .
B. I  1 .
C. I  2 . D. I  1 . s://www 2 4 Lời giải Chọn D  .fa 4  ceboo
f xsin 2 d x x    4 sin 2x  u 2cos 2 d x x    du Tính 0 . Đặt    , khi đó k.com f 
 xdx  dv
 f x    v   /v 4  4 4 iet
f xsin 2 d x x  sin 2 . x f x   2 f x cos2 d x x 0    gold 0 0       4 4  sin . f  sin0. f 0   
2 f xcos2 d
x x  2 f xcos2 d x x . 2  4  0 0   4  4 
Theo đề bài ta có f xsin 2 d x x   
 f xcos2 d x x   . 4 8 0 0  4 2 
Mặt khác ta lại có cos 2 d x x   . 8 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 44
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”   4 4 2      Do 
 f xcos2x dx     2 2
 f x  2f x.cos2x  cos 2xdx   2     0 nên  8 8 8  0 0
f x  cos 2x .   8 8 1 1 Ta có I  cos 4 d
x x  sin 4x   . 4 4 0 0 m.vn ie gh racn it th n ye lu s:// ttp h /vietgold k.com ceboo .fa https://www 45
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN BÀI TẬP Câu 1:
Cho hàm số y  f  x xác định trên
thỏa mãn f  x  0, x
  và f x  2 f x  0. Biết f   1  1, tính f ( 1  ). A. 3. B. 2 e . C. 4 e . D. 3 e . Lời giải Chọn C h ttp f  x  1 f  x 1 Ta có  2   dx  2  dx  4  . s://   f  x 1  f  x 1  lu ye Suy ra
 f    f      f   4 ln 1 ln 1 4 1  e . n th it  2 3 r  khi 0  x  1 a Câu 2:
Cho hàm số y  f  x   x 1 . Tính tích phân f
 xdx. cn
2x 1 khi 1 x  3 0 gh ie A. 6  ln 4 . B. 4  ln 4. C. 6  ln 2 . D. 2  2ln 2 . m.vn Lời giải Chọn A 3 1 3 1 3 2 Ta có: f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  dx  
2x 1dx x 1 0 0 1 0 1
 2ln x 1  x  x 3 1 2  ln 4  6 . 0 1 ht m tp Câu 3:
Xác định số thực dương m để tích phân  2
x  x dx có giá trị lớn nhất. s://www 0 A. m  1. B. m  2 . C. m  3 . D. m  4 .fa Lời giải ceboo Chọn A k.com m m 2 3  x x  2 3 m m P   2
x  x dx       . /v  2 3  2 3 0 0 ietgold m m Đặt f m 2 3      2 f
m  m  m  f m  0  m  0 hoặc m 1 2 3 Lập bảng biến thiên
THẦY VIỆT  0905.193.688 46
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Vậy f m đạt GTLN tại m 1. Câu 4:
(SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho f (x) là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi a dx
x 0;a , ta có f (x)  0 và f  x f a  x 1. Tính  được kết quả bằng: 1 f (x) 0 a a A. . B. 2a .
C. a ln a   1 . D. . 3 2 m.vn ie Lời giải gh Chọn D racn a a it dx
f (a  x) Ta có: I   dx   . th 1
f (a  x) 1 n 0 0
1 f (a x) ye lu
Đặt: a  x  t thì dx  dt . s:// Đổi cận ttp h 0 f (t) a f (x)
Ta được: I   dt  dx   . f (t) 1 f (x) 1 a 0 a dx a f (x)dx
a 1 f (x)dx a a
Do đó: I  I   +  =  = dx  a  . Vậy: I  . 1 f (x) 1 f (x) 1 f (x) 2 0 0 0 0 Câu 5:
[KHTN Hà Nội, Lần 3, Năm 2018] Cho hàm số f  x liên tục trên và /vietgold  4 k.com
f x  f  x 2 3 2  tan x . Tính f  xdx .   4 ceboo     .fa A. 1 . B. 1. C. 1 . D. 2  . 2 2 4 2 Lời giải Chọn D https://www
f x  f  x 2 3 2  tan x  1
Thay x  x    f  x  f x 2  x 2 . 1 3 2 tan  tan x2   1 .2  2 2
.3  5 tan x  5 f  x  f x 2  tan x 47
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN     4 I  f  x 4 4 4 2 2 dx 
tan x dx  2 tan x dx  2     2 1+tan x  1 dx    0 0   4 4  
I  2tan x  x 4  2  . 0 2 Câu 6:
Cho hàm số y  f  x thỏa mãn f  x f  x 4 2 .
 x  x . Biết f 0  2 Tính 2 f 2. h ttp 313 332 324 323 A. 2 f 2  . B. 2 f 2  . C. 2 f 2  . D. 2 f 2  . s:// 15 15 15 15 lu Lời giải ye Chọn B n th 2 2 it 2 1 4 2 2 2 r
Ta có  x  x dx  f 
 x.f xdx  f
 xd  f x  
 f 2 f 0 a 0 c 2 0 0 n gh 2 332 2 4 2 2 ie
Suy ra f 2  2 x  x dx  f 0  . 0 m.vn 15 Câu 7:
(Chu Văn An 2018) Xét hàm số f  x liên tục trên 0 
;1 và thỏa mãn điều kiện 1 x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1
 1 x . Tích phân I  f
 xdx bằng: 0     A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 20 16 6 4 Lời giải http Chọn A s://www
Vì f  x liên tục trên 0  ;1 và x f  2
x   f   x 2 4 . 3 1
 1 x nên ta có 1 1 1 1 1 .fa 4 . x f  2 2 
 2x3f 1 x 2 dx  1  x dx    4 . x f 
x dx  3f
 1 xdx  1 x dx    1 . ceboo 0 0 0 0 0 1 1 1 k.com 2 Mà 4 . x f  2 x dx   2 f
  2xd 2x tx  2 f
 tdt  2I 0 0 0 /viet 1 1 1   gold và 3 f
 1 xdx  3  f
 1 xd1 x u 1 x 3 f
 udu  3I 0 0 0    1 2 2 2 1  Đồng thời 2  1  x dx  x sin t 2  1  sin t.cos d t t  2  cos d t t 
 1cos2tdt  . 2 4 0 0 0 0   Do đó,  
1  2I  3I  hay I  . 4 20
THẦY VIỆT  0905.193.688 48
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” Câu 8:
Cho hàm số f  x liên tục trên \ 0;  1
 thỏa mãn điều kiện f   1  2  ln 2 và
x  x   f  x  f  x 2 1
 x  x . Giá trị f 2  a bln3, , a b  .Tính 2 2 a  b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B m.vn Ta có ie  x 1 x  x  x gh
x  x   f  x  f  x 2 1  x  x 
f  x  f x   f  x  . 2     x 1 x   1 x 1  x 1  x 1 racn it
Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế ta được th 2 2  2 n  x    x 2 x f x dx  dx  
f  x   x  ln x 1  ye    x 1  x 1 1 x 1 1 1 1 lu 2  2 f   1 2  f  
1  2  ln 3  1 ln 2  f 2      f 2 3 3   s:// ln 2 1 ln 3 ln 2 ln 3 . 3 2 3 2 2 ttp h 3 3 Suy ra a  và b   . 2 2 2 2  3   3  9 Vậy 2 2 a  b         .  2   2  2 Câu 9:
[Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số f  x liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn điều kiện f  x  f   x 2 2 1
 3x  6x , x  0;  1 . Tính tích 1 phân I  f   2 1 x dx . 0 /vietgold 4 2 2 A. I   . B. I  1. C. I   . D. I  . 15 15 15 k.com Lời giải ceboo .fa Chọn C
Đặt t 1 x , x  0;  1 thì t  0;  1 .
Ta có f  x  f   x 2 2 1
 3x  6x  f x  f   x  x  2 2 1 3 1  3 https://www
 f  t  f t 2 1 2
 3t 3  f x  f   x 2 2 1  3x 3 .  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6x  f
  x  2 f 1 x 2  3x  6x Xét hệ phương trình:    2 f 
x f 1 x 2  3x  3 4 f 
x 2 f 1 x 2  6x  6  f x 2 3
 3x  6x  6  f x  x  2 1  3, x  0;  1 .
Khi đó f   x     x 2 2 2 1 2 3 4 2
 x  4x 1. 1 1 1 5 3  x 4x  2 Suy ra I  f   2
1 x dx   4 2 x  4x  
1dx     x   .  5 3  15 0 0 0 49
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Phân tích:
+ Bước 1: Từ f  x  f   x 2 2 1
 3x  6x ta giải phương trình hàm tìm hàm số f x . 1
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm f  2
1 x  rồi tính I  f   2 1 x dx . 0
Câu 10: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số y  f  x liên tục e 1  h  x 1 ttp
với mọi x  1 thỏa mãn f
 x  3, x  1   . Tính I  f  xdx.  x 1 2 s://
A. I  4e 1.
B. I  e  2.
C. I  4e  2.
D. I  e  3 . lu ye Lời giải n th it Chọn C rac x 1 t 1 t  n Đặt t 
 xt  t  x 1 x 
, suy ra f t  1 2   3  4  hay gh x 1 t 1 t 1 t 1 ie 2   m.vn f (x) 4 x 1 e 1  e 1 2    Ta có I  4  dx    
4x2ln x1  4e2. 2  x 1 2
Câu 11: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018] Cho hàm số y  f  x liên tục   2 f  x
với mọi x  0 thỏa mãn f  x 1  2 f  3 , x x  0   . Tính I  dx  .  x  x 1 2 http 3 9 1 4 I  I  I  I  s://www A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Lời giải .fa Chọn A ceboo
Tương tự ta xác định được   2 f x  x  . k.com x 2 f  x 2 2 /v  2   2  3 I  dx  1   dx  x        iet Suy ra 2 . 1 x  x   x  2 1 1 gold 2 2 2
Câu 12: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số f  x
liên tục trên khoảng  2
 ;3 . Gọi F x là một nguyên hàm của f x trên khoảng 2  2
 ;3 . Tính I  
 f x2x   x d , biết F  
1  1 và F 2  4 . 1 
A. I  6 .
B. I 10 .
C. I  3 .
D. I  9 . x f (t)dt Câu 13: Nếu  6  2 x 
với x  0 thì hệ số a bằng 2 t a
THẦY VIỆT  0905.193.688 50
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” A. 9 . B. 19 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn A f (t) f (t) 
Gọi F(t) là một nguyên hàm của , suy ra F '(t) . 2 t 2 t x m.vn f (t)dt Ta có  6  2 x 
 F(t) |x 6
  2 x  F(x)  F(a)  6  2 x ie 2 t a a gh 1  f (x) 1 F '(x)  2.  
 f (x)  x x racn 2 x 2 x x it th n x f (t) x x dt t t 1   dt 
dt  2 t |x  2 x  2 a  2 x  6    (gt) ye 2 2 a t t t lu a a a s://
Vậy a  3  a  9 . ttp h
Câu 14: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 39] Cho hàm số y  f  x liên tục và   1  2 f  x
thoả mãn f  x 1  2 f  3x   với x  ; 2 . Tính dx  .    x  2  x 1 2 3 3 9 9 A. . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 2 f  x /vietgold Đặt I  dx  x 1 2 k.com  1  f    1    f  x   ceboo x Với x  ; 2   , f  x 1  2 f  3x     2  3 . .fa 2   x  x x  1  f 2   f  x 2 2  x   dx  2 dx  3dx (1)    x x 1 1 1 2 2 2 https://www 1 1 Đặt t   dt   1 1
dx   dt  dx . 2 x x t x  1  f 2   2  x f  t 2 dx  2 dt  2I   . x t 1 1 2 2 2   3
1  3I  3dx  I  .  2 1 2 51
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 15: Cho f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f  x  f x  2  2cos 2x . Tính 3 2 tích phân I  f  xdx . 3  2 A. I  3 . B. I  4 . C. I  6 .
D. I  8 . Lời giải h Chọn C ttp s:// 3 3 2 0 2 lu Ta có I  f
 xdx  f
 xdx f  xdx . ye 3 3 0   2 2 n th 0 it 3 3 r Xét f
 xdx Đặt t  x dt  d
 x ; Đổi cận: x    t 
; x  0  t  0 . a 2 2 c 3  n 2 gh ie 3 3 0 0 2 2 m.vn Suy ra f
 xdx   f
  tdt  f
  tdt  f
 xdx. 3 3 0 0  2 2 Theo giả thiết ta có: 3 3
f  x  f x 2
 2  2cos 2x    f x f x 2 dx  2  2 cos xdx  0 0 3 3 3 2 2 2     f  xdx f
  xdx 2 sin x dx  ht 0 0 0 tps://www 3 3 3 2 0  2  f
 xdx f  x 2
dx  2 sin x dx  2 sin x dx    f
 xdx  6. 0 3 0 0   3  .fa 2 2 ceboo
Câu 16: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x thỏa k.com 1 1 mãn 2x  
1 f  xdx  10, f  
1  f 0  8 . Tính I  f
 xdx. /v 0 0 iet A. I  2 . B. I  1. C. I  1  . D. I  2  . gold Lời giải Chọn C 1 Xét 2x   
1 f  xdx . 0 u    2x   1  du  2dx Đặt  dv  f  
xdx  v  f x
THẦY VIỆT  0905.193.688 52
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 1 1 ta có 10  2x   
1 f  xdx  2x  
1 f  x  2 f  xdx 0 0 0 1 1 1 10  f  
1  f 0  2 f
 xdx 10 8 2 f
 xdx . 2 f xdx  2   0 0 0 1
 f xdx  1   . m.vn 0 ie gh Câu 17: Cho hàm số
f  x có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn 1 1 racn
 2x  x f xdx 10, f  1 f 0 8. Tính I  f
 xdx. it 0 0 th n A. I  9  . B. I  3 . C. I  3  . D. I  9 . ye Lời giải lu s:// Chọn D ttp h 1 Xét  2
x  x f  xdx . 0 u
   1x  x  du  2x   1dx Đặt  dv  f  
xdx  v  f x 1 1 1 1 ta có 10   2
x  x f   xdx   2
x  x f  x  2x    
1 f  xdx   2x   
1 f  xdx . 0 0 0 0 /vietgold u
  2x 1  du  2dx  1   1 Đặt 
dv  f  x dx  v  f x  1   1   k.com 1 1 1 ceboo ta có 1
 0  2x  1 f xdx  2x  1 f x  2 f  xdx .fa 0 0 0 1  1  0  f  
1  f 0  2 f  xdx. 0 https://www 1 1  1  0  8  2 f
 xdx  f
 xdx  9. 0 0
Câu 18: Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x thỏa mãn 1 2 f 
  2x  xdx 10, f 5 f  1 8. Tính I  f
 xdx. 0 0 A. I  2 . B. I  1. C. I  1  . D. I  2  . Lời giải 53
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn C 1 Xét f 
  2x  xdx . 0 Đặt 2
t  x  x  dt  2x   1 dx 1  f 
 x  x 2 2 2
dx  2t  
1 f t dt  2x  
1 f  xdx  10 . h 0 0 0 ttp s:// u    2x   1  du  2dx Đặt  lu dv  f  
xdx  v  f x ye n 2 2 th 2
ta có 10  2x  
1 f  xdx  2x  
1 f  x  2 f  xdx it 0 r 0 0 acn 2 2 1 gh
10  f 5  f   1  2 f
 xdx 10 8 2 f xdx  2 f xdx  1    . ie 0 0 0 m.vn
Câu 19: [SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm số f  x liên tục trên 1  ;2018   và: 2017 2017
f (2018  x)  f (x) x  [1;2018] ,
f (x)dx  10  . Tính I  . x f (x)dx  . 1 1
A. I 10100.
B. I  20170.
C. I  20180.
D. I 10090. Lời giải Chọn D http
Đặt t  2018 x  dt  d  x . s://www
x 1t  2017, x  2017 t 1 1 2017 I  
(2018t )f (2018t )dt 
(2018t )f (t )dt   .fa 2017 1 ceboo 2017 2017  2018
f (x )dx  xf (x )dx   k.com 1 1
 I  2018.10  I  I 10090. /viet b gold
Câu 20: Hàm số f  x liên tục trên  ; a b  
 và: f (a  b  x)  f (x) x[ ; a ] b
; f (x)dx  a   b Tính a b I  . x f (x)  dx . a      2      2 A.  a b I . B.  a b I . C.  a b I . D.  a b I . 2 4 4 2 Lời giải Chọn D
THẦY VIỆT  0905.193.688 54
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Đặt t  a b  x  dt  d  x.
x  a t  b, x  b t  . a a
I   (a b t )f (a b t )dt  b b
 (a b t )f (t )dt  a m.vn b b
 (a b) f (x )dx  xf (x )dx ie   a a gh ab2 racn
 I  (a b).(a b)  I  I  . it 2 th n
Câu 21: Giả sử hàm số y  f  x đồng biến trên 0; ; y  f  x liên tục, nhận giá trị dương ye 2 lu
trên 0;  và thỏa mãn: f   2 3 
và  f  x   x    
1 . f  x . Mệnh đề nào dưới đây 3 s:// đúng? ttp h A. 2
2613  f 8  2614. B. 2
2614  f 8  2615 . C. 2
2618  f 8  2619 . D. 2
2616  f 8  2617 . Lời giải Chọn A 2
Vì y  f  x liên tục, nhận giá trị dương trên 0;  và  f   x   x   1 . f  x f  x f  x  1
f  x   x  
1 . f  x   x    dx  x 1dx   f  x 1 2 f  x 2 /vietgold   f x 1  x  3 1
 C . Vì f   2 3  2 8    6 8 C   C k.com 3 3 3 3 3 ceboo      4    .fa    19 6 f  x x  2 3 1 6 8  2  f 8      2613, 261   . 3    3   Vậy 2 2613  f   8  2614.
https://www Câu 22: [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa  2 16 f x 1 f 4x mãn cot . x f   2 sin x   dx  dx  1 
. Tính tích phân I  d . x  x  x 1 1 4 8 3 5
A. I  3.
B. I  .
C. I  2 . D. I  . 2 2 Lời giải Chọn D 55
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN dt Đặt 2
t  sin x  dt  2sin x cos xdx   cot xdx 2t  2 t f x f x 1  cot . x f   d 1 2 sin x 1 1 1 dx  f  t      dx  dx  2    2t 2 x x 1 1 1 4 2 2 2
2tdt  dx
Đặt t  x   2 h x  t ttp s:// 16 f  x  4 f t 4 f  x 4 f  x 1 lu 1  dx  2tdt 2 dx  dx      2 x t x x 2 ye 1 1 1 1 n th
Đặt t  4x  dt  4dx it r 1 4 4 1 4 a f 4x
f t  dt f  x f  x f  x 5 c I  dx   dx  dx  dx  n      x t gh 4 x x x 2 1 1 1 1 1 8 2 2 2 4 ie m.vn Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm f  x nào đó không biết, nhưng
sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu
là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết.  2 e f ln x 3
Câu 23: Cho hàm số f  x liên tục trên và thỏa mãn dx  1  và f  cos xtan d x x  2 . x ln x e 0 ht 2 f  x tp Tính d . x  s://www x 1 2 5 A. 3 . B. . C. 2 . D. 1. .fa 2 ceboo Lời giải k.com Chọn A dx
Đặt t  ln x  dt  /v x iet 2 gold e f ln x 2 f t 2 f  x 1  dx  dt  dx    x ln x t x e 1 1
Đặt t  cos x  dt  sin d x x  1 3 2 1 x f t f x 2  f  cos x sin     dx   dt  dx   cos x t x 0 1 1 2 Do đó
THẦY VIỆT  0905.193.688 56
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 2 f  x 1 f  x 2 f  x dx  dx  dx  3    x x x 1 1 1 2 2     2 2 
Câu 24: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên 0; 
 và f 0  0 ,  f 
 x dx   ,  2  4 0   2  2 m.vn sin .
x f  x dx   . Tính I  f  xdx? ie 4 0 0 gh A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . racn Lời giải it Chọn B th n   2 2 ye 2  Ta có  f 
 x dx  f  
 xd f x  . lu 4 0 0 s://    2 2  2  ttp sin . x f 
xdx   f
 xdcosx  cos .xf x 2  f   x  h cos x dx 0 4 0 0 0    2 2 2 1 cos 2x 1  sin 2x  
Mặt khác ta tính được: 2 cos d x x  dx  x       2 2  2  4 0 0 0     4 2 2 2 2 2
Vậy  f '(x) 2 dx  2 cos . x f (
 x)dx  cos d x x   
 f '(x)cosx dx  0 0 0 0 0
Suy ra f  x  cos x  f  x  sin x  C .
Do f 0  0  C  0 . /vietgold   2 2  k.com Vậy I  f  x    2 dx sin d x x cos x 1  . 0 0 0 ceboo a
.fa Câu 25: Cho hàm số f (x) x     
. Tìm a và b biết rằng f '(0) 22 x   bxe 3 1 1
và f (x)dx  5  . 0 https://www A. a  2  ,b  8  .
B. a  2,b  8.
C. a  8,b  2. D. a  8  ,b  2  Lời giải Chọn C 3a Ta có f '(x) x      x   b(x 1)e 4 1 Suy ra f '(0)  2  2  3
 a  b  2  2 (1) 57
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1 1 1  a   a  x x 3
Ta có f (x)dx              .
x   bxe dx b(x 1)e a b 3 1   2   x  2 1  8 0 0  0 1
Theo bài ra f (x)dx  5  3
 a  b  5 (2). 8 0  3
 a  b  2  2  a  8   h Từ (1) và (2) ta có hệ 3  .      ttp a b 5 b 2 8 s:// 0 lu
Câu 26: Cho hàm số y  f  x là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 , biết f
 xdx  2 và ye 2 n 2 4 th    it f
  2xdx 4. Tính I f  xd .x r 1 0 acn A. I  10.
B. I   6 . C. I  6 . D. I 10 . gh Lời giải ie m.vn Chọn B f x
f x   f x
Vì   là hàm lẻ nên ta có    . 0 0 2 2
Ta có:   d  2 tx f x x   f
 tdt  2  f
 tdt  2  f  xdx. 2  2 0 0 2 2 4 4 4 f  2
 xdx   f 2x u x 1 2 dx  
f udu  4  f udu  8
  f xdx  8       . 2 1 1 2 2 2 http 4 2 4 s://www Do đó: f
 xdx  f
 xdx f
 xdx  28  6  . 0 0 2 1 .fa Câu 27: Cho hàm số f
 xdx  4, trong đó hàm số y  f x là hàm số chẵn trên  1  ;  1 . Tính ceboo 1  1 f  x k.com dx  . 2x 1 1  /v A. 2 . B. 16 . C. 8 . D. 4 . ietgold Lời giải Chọn A Cách 1.
Đặt t  x  dt  d
 x. Đổi cận x  1
  t 1; x 1 t  1  . 1 1  1 t 1 1 1 2 2x Ta được: I  f x x   f t  t  f t t  f x x     . x  d t  d t  d x  d 1 2 1 2 1 2 1 2 1  1 1  1 
THẦY VIỆT  0905.193.688 58
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 1 x 1 1 2 Do đó: 2I  f x x  f x x  f x x   I     . x  d x  d  d 4 2 1 2 1 2 1  1  1  Cách 2. 1 2 4 Chọn   2
h x  x là hàm số chẵn. Ta có: 2 x dx  
. Do đó: f  x  h  x 2  6x . 3 2 1  3 m.vn ie 1 f  x 1 2 6x gh Khi đó: dx  dx  2  . x  2 1 2x 1 1  1  racn it
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại th n
diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài ye
toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số y  f  x khá đơn lu  s://
giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số h x 1 cho đơn giản. ttp h 8
Câu 28: Cho hàm số f (x) thỏa mãn  x 3 f xdx  25 và 33 f 8 18 f 3  83. 3 8 Giá trị
f  x dx  là: 3 8 3 A. I  83 . B. I  38 . C. I  . D. . 3 8 Lời giải Chọn C 8 /vietgold
Ta có  x 3 f xdx  25. 3 k.com u   x  3  du  dx  Đặt    dv  f  
xdx v  f  x ceboo .fa  8
A   x  3 f  x 8 8  f
 xdx 11f 86 f 3 f  xdx 3 3 3
Ta có 33. f 8 18 f 3  83 
f    f   83 11 8 6 3  . 3 https://www 8 83 8 83 8 Suy ra A   f
 xdx . Mà A 25  f xdx  25   . 3 3 3 3 3
Câu 29: Cho hàm số y  f  x dương có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 3   biết rằng 3
f  x  f  x 2
x  1  0 và f   3
3  e . Tính I  ln  f 
 x dx  0 7 7 A. 2 3    . B. 3 3 C. 3 3 D. 3 3 2 3 . . 3 . Lời giải Chọn B 59
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN f  x
Ta có f  x 2
 x 1f x  0 2    f  x x 1  f '  x
u  ln  f   x du  dx Đặt    f  x dv  dx  v  x
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được h 3 3 xf ' x 3 ttp I  ln  f
  xdx   x ln  f   x 3     dx    x ln  f  x 3 2   x x 1 dx 0   f x 0 0   s:// 0 0 lu 3 1 ye  x ln  f  x 3 2   x  1 d    2x 1 0  2 n 0 th it 1 3 2 2 3 r  x ln  f  x  x  1 x  1 a  0   0 c 3 n gh 7 ie  3 3  m.vn 3
Câu 30: [THPT QUỲNH LƯU 2_NGHỆ AN_LẦN 1] Cho hàm số y  f  x liên tục trên và 2 thỏa mãn 3
f  x  f  x  x x
  . Tính I  f  xdx. 0 5 4 5 4 A. . B. . C.  . D.  . 4 5 4 5 Lời giải http Chọn A s://www
Đặt t  f  x 3
 t  t  x  dx   2 3t   1 dt .fa x 0 2 ceboo t 0 1 k.com 1 5
Suy ra I  t  2 3t   1 dt   . /v 4 0 ietgold
Câu 31: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn     2 ' 2 2 . x f x xf x x e  
và f 0  1. Tính f   1 . 1 2 2 A. e . B. . C. . D.  . e e e Lời giải Chọn C     2 2 x x     2 x       2 ' 2 2 . . ' 2 . . 2 x f x xf x x e e f x x e f x x
e . f x'  2x .
THẦY VIỆT  0905.193.688 60
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Lấy tích phân cả hai vế ta được: x . '  2 x e f x dx
xdx  e . f x  x  .
e f 1  f 0  1   0  1 1 2   1 2   1 2     0 0 0
 e f     f   2 . 1 2 1  . e
Câu 32: (SGD&ĐT Cao Bằng – 2018) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tực trên đoạn m.vn ie 0 
;1 thỏa mãn f  x  x f  x 2018 3 . '  x
với mọi x 0; 
1 . Giá trị nhỏ nhất của tích phân gh 1
f  x dx  bằng: racn 0 it 1 1 1 1 th A. . B. . C. . D. . n 2019.2021 2018.2021 2018.2019 2021.2022 ye lu Lời giải s:// Chọn A ttp h
Ta có: f  x  x f  x 2018 3 . '  x
với mọi x 0;  1 . Nhân thêm cả 2 vế cho 2
x để đưa về dạng  f
  x.g x '  . Ta được: 2 x f  x 3  x f x 2020 3 '  x 1 1 2  3x f  x 3  x f 'x 2020  dx  x dx    0 0 1 1 1 3  x . f  x 2020
 'dx  x dx  f    1    . 2021 0 0 /vietgold
Mặt khác: f  x  x f  x 2018 3 . '  x k.com 1 1 1  3 f
 xdx   xf '  x 2018 dx  x dx  ceboo 0 0 0 .fa 1 1 1  f
 xdx  x f x1 3 .  f  x 2018 dx  x dx  0 0 0 0 1      f  x 1 1 dx   f   1 1 1 1 1        . https://www 2  2019
 2  2019 2021 2019.2021 0
Câu 33: (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN – 2018) Cho hàm số f (x) có 4 2 3
đạo hàm không âm trên đoạn 0  ;1 2
thỏa  f (x)  f (
 x) x  
1  1  f (x) và
f (x)  0,x 0; 
1 . Biết f (0)  2, hãy chọn khẳng định đúng trong những khẳng định dưới đây. 5 5 3 7
A. 2  f (1)  .
B.  f (1)  3 . C.  f (1)  2 .
D. 3  f (1)  . 2 2 2 2 Lời giải 61
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn B
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân. 4 2 3 Phân tích: Từ giả thiết
 f x   f  x   2 ( ) ( ) x  
1  1  f (x) và
 f (x)2  f (x) 1
f (x)  0; f (
 x)  0,x0;  1 suy ra:  . Lấy tích phân hai vế
1  f (x)3 2 x 1 h 1 2 1
f (x) f '(x) 1 ttp trên0  ;1 ta được: dx  d .   x 3 2  f x  s:// 0 1 ( ) 0 1 x 3 lu 1 2 1 1 ( ) ( ) '( ) 1  ye Ta có:    d f x f x f x dx 3 3  3 f x  0 1 ( ) 0 1 f (x) n th 2 2 2 3 1 3 3 3 it  1 f (x) | 
1 f (1)  1 f (0)  1 f (1)  3 . 0     r 3 3 3 ac 1 1 n 1 5 2 gh  ln  1  ln 1 2  dx x x
. Từ đó  f (1)  2.6   f (1)  3 . 2     0  2 0 1 x ie m.vn  1 
Câu 34: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm không âm trên 0;   thỏa mãn  2  1  2 2 2
f (x)  0,x  0; ; 
  f x   f  x   2 ( ) ( )
1 x    f (x) 1 f  . Chọn khẳng định  2 và (0) 1 đúng bằng: 1 5 5 1 3 1 1 7
A. 2  f ( )  .
B.  f ( )  3. C.  f ( )  2 .
D. 3  f ( )  . 2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải http Chọn C s://www  1
Từ giả thiết  f x 2  f  x 2   x    f x 2 2 ( ) ( ) 1 ( )
1 và f (x)  0; f (x)  0,x  0;   suy ra:  2 .fa
 f (x) f (x) 1   1 
. Lấy tích phân hai vế trên 0; ta được: ceboo  
1  f (x)2 2 1 x  2 1 1 k.com 2 2
f (x) f '(x) 1 dx    dx 2 2 /v  f x  0 1 ( ) 0 1 x ietgold Ta có: 1 1 2 2 2 1 ( ) ( ) '( ) 1         d f x f x f x 1 1 dx 2 2 2
  1 f ( )  1 f (0)    1 f ( )  2      . 2 2  2 f x  2 2 0 1 ( ) 0 1 f (x)     1  2 6 1  1 3 1 dx  dt  . (x  sint)  
. Từ đó  f ( )  1.66   f ( )  2 . 2  6 2 2 2 0 1 x 0
Câu 35: Cho hàm số f (x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn
 2  1 ( )2 ( )  x x f x xf x
xe và f (0)  1. Giá trị f (1) bằng:
THẦY VIỆT  0905.193.688 62
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” A. e . B. 1. C. ln 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B x 
Từ giả thiết  2        2 1 ( ) 2 ( )   1 ( )  x x f x xf x xe x f x xe Suy ra 1    1 ( ) 1 2  m.vn  x x f x dx xe dx . ie 0 0 gh     1 ( ) 1 1 1 1 2  x  2 (1)  (0)  x    x x f x xde f f xe e dx 0 0 0 0 racn it 1
 2 (1)  (0)   x f f e e  f (1) 1. th 0 n ye
Câu 36: [Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số f  x liên tục và có đạo hàm tại mọi x 0; lu
đồng thời thỏa mãn điều kiện: s:// 3 2 ttp
f x  x sin x  f  x  h  
  cos x và f xsin d x x  4  
. Khi đó, f   nằm trong khoảng  2 nào? A. 6;7 . B. 5;6 . C. 12;13 . D. 11;12 . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết: f  x  xsin x  f x  cos x  f  x  xsinx  x f x cos x
 f x.x  x . f x  xsin x cos x  f x.x x . f x  (cos x)x  xcos x (*). /vietgold
Vì x 0; , ta chia 2 vế của (*) cho 2 x ta được k.com 
f  x.x  x . f  x 
( cos x) x  xcos x
 f x  f  x    cos x  cos x          c 2 2 ceboo x x x    x  x x .fa
 f x  cos xcx . 3 2 Mặt khác lại có
f  xsin xdx  4   .  https://www 2 3 3 3 3 2 2 2 2 Xét f  xsin d
x x   cos xsin x  c xsin xdx   cos x d 
cos x c xsin xdx      2 2 2 2 3 2 2   cos x   
  c x cos x  sin x 32    2c .  2   2 2 63
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 3 2 Mà f  xsin d x x  4    2  c  4
  c  2  f x  cos x2x .  2
Ta có: f    1   2  5,28 . Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng a  x. f  x  b x. f  x  g  x   1
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa  
1 về dạng u x. f  x  u  x. f  x  h x 2 h ttp u (
 x) ax s:// Với 
, kết hợp với giả thiết ta tìm được u(x) suy ra biểu thức nhân thêm là u(x) b  x lu ye
u  x . Khi có 2 ta sẽ tìm được f x. n b  x th it r
Câu 37: (Đề HK2 Sở GD Nam Định – 2018) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên ac   n gh       4  4  đoạn 0; và f  0   . Biết 2 f
 xdx  , f   xsin2 d x x   . Tính tích phân ie    4   4  8 4 0 0 m.vn  8 I  f  2xdx. 0 1 1 A. I  . B. I  . C. I  2 . D. I  1 2 4 Lời giải Chọn B    ht 4 4  4 tp Ta có f   xsin2 d x x  sin 2 d x f 
x   f   x 4 sin 2x  f 
 xdsin2x s://www 0 0 0 0  4          .fa f sin 2. f     0sin2.0 2 f  xcos2 d x x  4   4  0 ceboo   4    4 k.com  f  2 f    xcos2 d x x  2  f  xcos2 d x x .  4  0 0 /v  4 iet   gold Do đó 2 f  xcos2 d x x . 4 0    4 4 1 4  1 1   Mặt khác: 2 cos 2 d x x  
1cos4xdx  x sin4x    . 2  2 8  8 0 0 0 Bởi vậy:    4    f  x 4
dx  2 f  x 4 2 2 cos 2 d x x  cos 2 d x x       8 4 8 0 0 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 64
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  4 2   f
 x2 f x 2
cos 2x  cos 2x dx  0   0  4   f  x 2
 cos 2x dx  0  f 
x  cos2x . 0    8 8   1 1   m.vn Nên: I f
 2xdx cos4 d x x  8 sin 4x . 4 4 ie 0 0 0 gh
Câu 38: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số y  f  x  racn    2     2   it xác định trên 0;   thỏa mãn 2
 f x2 2.f xsin x x d    . Tính th  2    4  2 0 n  ye 2 lu
 f xdx. s:// 0   ttp A. . B. 0 . C. 1. D. . h 4 2 Lời giải Chọn B    2 2 2         1      2 +) Ta có 2 2 sin x  x d  1 cos 2x  x
d  x  sin 2x            .  4    2   2  2  2 0 0 0 +) Từ đó  2     2   2
 f x2 2.f x.sin x x d    . /vietgold   4  2 0   k.com 2 
   f x         
 2 2. f x 2 2 2 2 2 .sin x  x d  2sin x  x d          4   4  2 2 0 0 ceboo  .fa 2 2 
   f x     2 sin x  x d  0.     4  0  2        2 2    
Do  f x  2 sin x   0, x  0;   
 nên   f  x  2 sin x  x d  0   . https://www   4   2    4  0   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x  2 sin x    .  4     2 2 2      
+) Vậy  f xdx  2 sin x 
dx   2 cos x   0      .  4   4  0 0 0
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ y  f  x liên tục trên    0; 
 ” ở đề bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.  2  65
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 9 e x  2 1 1 2 
Câu 39: Cho hàm số y  f  x liên tục trên 0  ;1 thỏa mãn 
 f x6.f x.e dx    . 2 0 1 Tính  
 x 1 f xdx. 0 A. e 1. B. 2e  5. C. e . D. 3e . Lời giải h Chọn D ttp +) Ta có s:// 9 e x  2 1 1 2  lu 
 f x6.f x.e dx    ye 2 0 n 2 1 1 1  th 9 1 e 2 x 2 x    
 f x6.f x 2
.e  dx  9e dx   9 x e dx it     2 r 0 0 0 a 1 c 2 n     3 x f x e   0 gh   0 ie x m.vn
 f x  3e . 1 1 1 +) Vậy    1  d  3
   1 xd  3 x x f x x x e x xe  3e . 0 0 0  1 1  Câu 40: Cho hàm số
y  f  x liên tục trên  ;   thỏa mãn  2 2 1 1 2 109 2   2 
 f x2.f x.3 xdx     . Tính d  f x x. 12 2 x 1 1  0 2 http 2 5 7 8 s://www A. ln . B. ln . C. ln . D. ln . 9 9 9 9 Lời giải .fa Chọn A ceboo +) Ta có 1 k.com 2 109 2 
 f x2.f x.3 xdx     12 1 /v  2 iet 1 1 1 gold 2  
 f x f x   x 2
 x     x 2 2 109 2. . 3 d 3 dx     3 x2 2 d   x 12 1 1 1    2 2 2 1 2  
  f x3 x 2 dx  0 
 f x  3 . x 1  2 1 1 1 2 f  x 2 2 1 3  x  1 2  2 +) Vậy dx  dx   dx     
ln x1 2ln x1 2  ln . 2 2 0 x 1 x 1
 x 1 x 1 9 0 0 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 66
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Câu 41: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm dương liên tục trên 0 
;1 thỏa mãn f   1  f 0  1 1 1 1 3 và f   x 2
 f x 1dx  2 f  
x f xdx   . Tính  f
 x dx  . 0 0 0 3 5 33  27 5 33 5 33  54 A. . B. . C. . D. . 2 18 18 18 Lời giải m.vn Chọn C ie gh 1 1 1 Ta có f   x 2
 f x 1 dx    f 
 x 2f xdx f   xdx racn 0 0 0 it th 1 1 1 1 n  f 
 x 2f xdx f  1 f 0  f 
 x 2f xdx dx   f  
 x 2f x1dx   . ye 0 0 0 0 lu 1 1 1 1 s:// f   x 2
 f x 1dx  2 f  
x f xdx     f 
 x 2f x1dx2 f  
x f xdx  0   ttp 0 0 0 0 h 1   1 f  
x f x 2
1 dx  0  f x f x
 f x 2 f  x 3
1 f x   1  x  C 3 0 3
 f x  x C  f x 3 3
 3x  C và f x  0, x  0;  1  C  3  .
Mà f    f   3 3 1
0  1 C  3  C  1 3 3   C  C  3 3 3 3 3.
C  3  C  1 2 8 2  7  5 33   C  27 5 33 3 3
 C  3 C  2 3  C  3C   0  C   C  . 3 27 18 18 /vietgold 1 1     3 27 5 33 5 33 k.com Suy ra  f
 x dx   3x dx    . 18 18 0 0   ceboo 
.fa Câu 42: Cho hàm số y f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 0 ;1. Đặt x
g  x  1 2 f
 tdt . Biết       3 g x f x  
 với mọi x0; 
1 . Tìm giá trị lớn nhất của 0 1 g   x 2 3  dx  . https://www 0 7 2 5 A. 2 . B. . C. . D. . 3 3 3 Lời giải. Chọn D Cách 1. 67
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN x g  0 1
Ta có g  x  1 2 f
 tdt   . g
  x  2 f  x 0  g x  g x Do       3 g x f x  
  g  x   3      2 . 2   3 g  x t   t g x t 3 t 3 2 2   t  0;  1 ta có dx  2dx    g   x 2 3   2x  3  g   t 3   g   0  2t  0  h 3 2 2   0 g  x 0 0 ttp s:// 3 3 1 1      4      2  4  5 3       lu g  t 2 3 2t  g  t 2 3 t 1  g
  x dx x 1 dx    . 2 2 3  3  3 0 0 ye n th Cách 2. it ra
Gọi F  x là một nguyên hàm của f  x thỏa F 0  0 . Ta có F x  f  x . cngh x 3 ie
Ta có g  x  1 2 f
 tdt 12F x  f x , với mọi x0; 1. m.vn 0 F x         3 1 2F x F x    , x  0;  1  1 0 , x  0;  1
3 1 2F  x t    F x 3 t 2   t 3 2 3
Đặt h t      1 d  x   ht 3  1   2F   x 3   x  1   2F    t    t  0 3   4   4 4 0 1 2F  x   0 F t
là hàm số nghịch biến trên 0 
;1 , vì ht     1 0 . ht
3 1 2F t  tps://www  3 3
h  x  h0 , x  0;  1  1   2F  x 2 3   x   , x  0;  1 . 4 4 .fa 1 1 ceboo   2  4  5 g   x 2 4 3   x 1  , x  0;  1 3  g
  x dx  x 1 dx     . 3  3  3 0 0 k.com   
Câu 43: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn 0; 
 . Biết f xcos x  f  xsinx  1, /v  6  iet  gold    6 x   0; 
 và f 0 1. Tính I  f  xdx .  6  0 2  3  3  3 2  3 3 1 A.  . B. . C. . D. . 2 6 2 2 2 Lời giải Chọn B f  x f  xsinx 1
Từ giả thiết: f  xcos x  f  xsinx 1    2 2 cos x cos x cos x
THẦY VIỆT  0905.193.688 68
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”    f  x  1
 f x   1       dx  dx  2 cos x cos x   2 cos x cos x   f  x 
=tanx  C  f  x  sinx  . C cos x . cos x
Do f 0  1  C 1  f  x  sinx  cos x .    6 6 3 1 3  3 m.vn
Vậy f  xdx= sinx  cos xdx=  cos x  sinx 6    1    . ie 2 2 2 0 0 0 gh Câu 44: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 thỏa mãn racn it 1 1 1 2 1 1 th
f (0)  1,  f (x) 
, (2x 1) f (x)dx   . 
Tính tích phân f (x)dx  bằng: n 30 30 0 0 0 ye 11 1 11 11 lu A. . B. . C. . D. . 30 30 4 12 s:// Lời giải ttp h Chọn D 1 1 1 1 1 
Ta có (2x 1) f (x)dx  f (x)d  2
x  x   2
x  x f (x)   2
x  xf (x)dx     . 0 30 0 0 0 1  f (x)   1 2
x  xdx  . 30 0 1 1 2 1 2 2 Mà  2
x  x dx  
nên suy ra  f (x)  2 f (x) 2
x  x   2
x  x dx  0 30 /vietgold 0 0 1 3 2 2 k.com
  f (x)   2 
 2x  x dx  0 
 f (x)  x  x x x  f (x)    C 3 2 0 ceboo .fa 3 2 x x
Vì f (0)  1 C  1 f (x)   1. 3 2 1 11
Vậy f (x)dx   . Chọn D 12 0
https://www Câu 45: Cho hàm số y  f x0xác định và có đạo hàm trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn x 1
các điều kiện sau: g  x  1 2018 f
 tdt ;   2
g x  f  x . Tính
g  xdx  . 0 0 1011 1009 2019 A. . B. . C. . D. 505 . 2 2 2 Lời giải Chọn A 69
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Theo giả thiết ta có g ' x  2018 f  x  2 f ' x. f  x . Vì f  x  0 trên đoạn [0;1]
 f 'x 1009  f x 1009x C và g x   x  C 2 1009 .
Mặt khác g 0  1 và f  x  0 trên đoạn [0;1] suy ra C 1. 1 1 1011 Vậy
g  xdx  1009x   1 dx    . 2 0 0 h ttp 3 x 1  2017 2 s://
Câu 46: Số điểm cực trị của hàm số f  x    t 12  4 dt là: 1 lu ye A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . n Lời giải th it r Chọn D acngh
Giả sử là một nguyên hàm của g t    t   2017 2 12 4
 Ft  g t . ie m.vn 
Khi đó f  x  F  3 x   1  F  
1  f  x  F  3 x   2   x g  3 1 3 x    1  
 f x  x  x   2017 2 2 3 3 1 12  4    x  0
f  x  0    x  2 3 1 12  4  http 3    x 1 s://www  x 1 2 x  2 3
1 12  4   x  2 3 1  4     . 3 x 1  2  3 x   3 .fa Bảng xét dấu: ceboo k.com /v ietgold
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 47: Cho hàm số f  x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên và thỏa mãn 1
f 0  f 0 1, f  x  f  x  f   x 3 2 2
 x  2x với x
  . Tích phân f (x)dx  bằng. 0 107 21 107 12 107 21 107 12 A.  . B.  . C.  . D.  . 12 e 21 e 12 e 21 e Lời giải Chọn A
THẦY VIỆT  0905.193.688 70
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 
Ta có:  x.   x  .   x e f x e f
x  e . f  x  
x .    2 x.   x  .    x e f x e f x e f
x  e . f  x x x 3 2
 e  f x  2 f x  f  x  e x  2x  
Lại có:  x.     3 2  2  xdx= 3 2   2  2 x e f x x x e x x x e  C1 x  .     3 2   2  2 x e f x x x x e  C dx 1  m.vn ie x  .     3 2  4 10 12 x e f x x x x
e  C x  C (*) gh 1 2 1   1  2  C C   4 racn
f 0  f 0 2 1 1    it 2  1  2 10  C C  13  1  2 th n   f x 4x 13 3 2
 x  4x 10x 12  ye x e lu
Bấm máy ta có kết quả là A s://
Câu 48: [Sở GD & ĐT tỉnh Hưng Yên, năm 2018 - Câu 49] Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên ttp h    2  2  tục trên [0;
] thỏa mãn f (0)  0 , 2
[f '(x)] dx   và sin .
x f (x)dx   . Tích phân 2 4 4 0 0  2 f (x)dx  bằng: 0   A. . B. 1. C. 2 . D. . 4 2 Lời giải /vietgold Chọn B     2 2 2  k.com Ta có sin .
x f (x)dx   cos .
x f (x) 2  cos .
x f '(x)dx    cos .
x f '(x)dx   , ta tính được 4 0 0 0 0 ceboo     .fa 2  2 2 2 2 cos xdx   . Do đó 2 2
[f '(x)] dx  2. cos .
x f '(x)dx  cos xdx  0    4 0 0 0 0  2 2
 [f '(x)  cos x] dx  0 
 f '(x)  cos x f (x)  sin x  C vì f (0)  0 nên C  0 . Vậy https://www 0   2 2
f (x)  sin x suy ra f (x)dx   sin xdx 1  . 0 0 Câu 49: [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho 2 1
12xf'xdx  3f 2 f 0  2016. Tích phân I  f
 2xdx bằng 0 0 A. 4032 . B. 1008 . C. 0 . D. 2016 . Lời giải 71
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chọn B
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: 2 2 2
12xf'xdx  12x.f x2  2 f
 xdx  3
 f 2  f 0  2 f  xdx. 0 0 0 0 2
Mà 1 2xf'xdx  2016 và 3 f 2  f 0  2016 nên 0 2 2 h ttp 2 f
 xdx  22016  f
 xdx  2016. 0 0 s:// 1 1 2 lu 1 1 Mặt khác I  f
 2xdx  f
 2xd2x  f
 tdt (Ở đây đổi biến t  2x). ye 2 2 0 0 0 n th 2 2 1 1 1 it Vậy I  f
 tdt  f
 xdx  2016 1 0 0 8 . r 2 2 2 a 0 0 cngh
Câu 50: [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ie 1 1 1 1 2 2 m.vn đoạn 0  ;1 thỏa mãn 2
x f (x)dx   , 
f (1)  1,  f '(x) dx  28. Tính I   f (x) d .x 3 0 0 0 37 37 9 9 A. I  . B. I   . C. I   . D. I  . 9 9 5 5 Lời giải Chọn A 1 x 1 1 2   1 3 1 2 2 3 3         ht
Từ x f (x)dx . f (x) 
x f 'xdx
x f 'xdx 2 (1) 3 3 3 3 tp 0 1 1 0 s://www 2 1 1 1 1   3 6 2 1 3
Ta có  x f 'xdx  x d .x  f '
 x dx  .28  4 2   
x f 'xdx  2. 7 .fa  0  0 0 0 ceboo
Do đó từ (1) suy ra dấu đẳng thức xảy ra  f  x  k  x3 ' .
. Thay vào (1) tính được k.com k  14. /v 7 5 7 5 iet
Từ đó f (x)   x4  C. Mà f   1  1C    f x 4  x  . 2 4 2 2 gold 1 1 2  7 5  37 Vậy 2 f  x 4 dx  x  dx  .    2 2  9 0 0
Câu 51: [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số y  f  x liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 1 1 xf
 xdx  0 và max f x 1. Tích phân x I  e f
 xdx thuộc khoảng nào trong các [0; 1] 0 0 khoảng sau đây?
THẦY VIỆT  0905.193.688 72
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”  5   3   5 3  A.  ;     . B. ; e 1   . C.  ;   .
D. e 1;   .  4   2   4 2  Lời giải Chọn B Chú ý rằng x
e  1 x với x  0 . Thật vậy, xét hàm số   x
f x  e  x 1 với x  0 , ta có f  x x
 e 1 0 nên hàm đồng biến, do đó f x  f 0  0 , suy ra x e  1 x . m.vn ie
Vì max f (x)  1 nên suy ra f  x 1  0 và f  x 1  0 . [0; 1] gh Ta có racn it x e f  x x
 e  x  xf x  f x x
 e  x  xf x  1  x e  x  
1  f  x   1  0 suy ra , do đó th n ye 1 1 1 3 x x x lu
I  e f (x)dx  
 e  x xf xdx   e  xdx  e 1,21828. 0 0 2 s:// 0 x e f  x  x
x  e  xf  x  f  x  x
 x  e  xf x ttp  1  x e  x  
1  f  x   1  0 suy ra , do đó h 1 1 1 x 3 x  ( )d     x I e f x x
x  e  xf  xdx   x  e dx   e  1  ,21828 . 0 0 2 0
Câu 52: [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018] Cho hàm số f  x có đạo hàm trên
thỏa   2       1 '  x x f x x f
x  e và f   1 0 
. Tính f 2 ? 2 e e e e
A. f 2  .
B. f 2  . C. f   2 2  . D. f   2 2  . 3 6 3 6 /vietgold Lời giải k.com Chọn D ceboo
Ta có    2  '    1 x f x x f x x  e x      x 
      x e f x x e f x x e 2 2 ' 1 .fa             2 1 x x f x x e e . 2 2 2 2 2  x x x 2 x        https://www Do đó f
 xx 1e dx  
e  dx f xx 1e e dx  0 0 0 0 e   e
3e f 2  f 0 4 1 2   f   2 2  . 2 6
Câu 53: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên thỏa   2   1 .ln 2  2      2   1 '   2x x f x x f x và
f 0  1. Tính f 3 ? A. f   9 3  . B. f   30 3  . 14 ln 2 73
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN C. f   15 1 3   . D. f   15 3 3   . 56 ln 2 56 28ln 2 28 Lời giải Chọn D Ta có: 2   1 .ln 2  2      2   1 '   2x x f x x f x h x           x
        x x f x x f x 2 2 2 1 .ln 2 2 2 2 1 ' 2 ttp s://  x x      lu
f  x x  2 2 1 2 2   ye 3 3 3 n 3  x 2 x x 2 x th Do đó:  f
 x2x 12  dx  2 dx  f 
x2x   1 2  2 dx    1 it 1 1 1 rac 2.3 2.1 n 2  2 15 3       gh
56 f 3 6 f   1 f 3 . 2 ln 2 28ln 2 28 ie m.vn
y  f  x \ 0;  1  Câu 54: Cho hàm số liên tục trên thỏa: 2 x  x  
1 f  x  f  x  x  , x x   0;  1 f   1  2  ln 2. và Biết
f 2  a  bln 3  a,b  . Tính 2 2 a  b  ? 3 13 1 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 2 Lời giải ht Chọn D tps://www
Ta có x x  
1 f  x  f  x  x x   1 f x x f x x .fa  f x   
  f x     ceboo
x  x   1 1 x  x  2 1 1 x 1 k.com      x  x f x .     x 1  x 1 /viet 2 2  2 gold  x  x 2  x  Do đó f  x. dx  dx    f   x.  
xln x1  x 1  x 1 1  x 1 1 1 1
 f   2  f   1 2 2    a  b  1    2 2 . 1 . 1 ln ln 3 2 ln 2  1 ln 3 2 3 3 2 3  3 a  2 2  2 9 2 2
 a  bln 3 1 ln 3  
 a  b  . 3 3 3 2 b     2
THẦY VIỆT  0905.193.688 74
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”      
Câu 55: Cho hàm số y  f  x có đạo làm liên tục trên đoạn 0;   và f  0   . Biết  4   4     4  4  8 2
f  x dx  
, f  xsin2 d x x    . Tính I  f  2xdx. 8 4 0 0 0 1 1 A. I  . B. I  . C. I  2 . D. I  1. 2 4 m.vn Lời giải ie gh Chọn B racn Cách 1: it th n Ta thấy: ye    lu 4    f   x 4 sin2x dx  
 sin2x d  f 
 x  sin 2 . x f   x 4 4   f   x s://
2cos2x dx    0 4 4 0 0 0 ttp   h 4       sin . f  0  f  x 4
2cos2x dx    f
 xcos2xdx    . 2  4  4 8 0 0     4  4 4 4 Do 2
cos 2x dx   nên: 2 f
 xdx2 f
 x.cos2x 2 dx  cos 
2xdx  0. 8 0 0 0 0  4   f
 xcos2x 2 dx  0 
 f x  cos2x C . 0 /vietgold    Do f  0  
 C  0 , nên f x  cos2x . k.com  4    ceboo 8 8 .fa 1 Vậy I 
f 2x dx  I  cos 4xdx    . 4 0 0
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Holder. 2 b b b https://www  f
 x gx x  f x x g x x   . a  2   2 . d d .  d a a
Dấu bằng xảy ra  f  x  k.g  x , k  .  4 
Theo cách thứ nhất, ta đã có: f  xcos2xdx   . 8 0 2          f
 x.cos2xdx  f  xd .x cos  2x 2 2 2 4 4 4 dx  .  . 0 0 0 8 8 64   75
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Dấu bằng xảy ra  f  x  k.cos 2x , k  .  
Với f  x  k.cos 2x , k 
 4 k.cos2 .xcos2xdx   0 8  
 k cos2x2 4 dx  
 k 1  f x  cos2x . 0 8   8 8 h 1 ttp Vậy I 
f 2x dx  I  cos 4xdx    . 4 0 0 s:// lu
Câu 56: (PTNK-HCM LẦN 1) Cho hai hàm f  x và g  x có đạo hàm trên đoạn 1;4 và ye n  f    1  g   1  4 4 th thỏa mãn hệ thức 
. Tính I   f
 x gxdx  . it g  x   .
x f ' x; f  x   . x g ' x 1 racn A. 8ln 2 B. 3ln 2 C. 6ln 2 D. 4ln 2 gh Lời giải ie m.vn Chọn A
Ta có f (x)  g(x)  x f '(x)  g '(x)   f (x)  g(x)dx  x
  f '(x) g'(x)dx.   C
x f (x)  g(x)   f (x)  g(x)dx  x f (x)  g(x)  C  f (x)  g(x)   x
Vì f (1)  g(1)  C   C  4  4
 I   f x  g x  4 4 ( ) ( ) dx  dx=8ln2  . ht x 1 1 tps://www
Câu 57: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 và f 0  f   1  0 . Biết 1 1 1  1 2
f  x dx  
, f  xcos xdx  
. Tính f  xdx  . .fa 2 2 0 0 0 ceboo 1 2 3 A.  . B.  . C.  . D. . 2 k.com Lời giải /v Chọn C iet 1 1 1 1 gold Ta có f 
 xcosxdx  cos
 xdf x  f xcosx  f
 xsinxdx 0 0 0 0 1 1 1 
  f    f    f x
 x x  f x  x x   f x  x 1 1 0 sin d sin d sin dx     . 2 2 0 0 0 2 b b b  
Áp dụng bất đẳng thức  f
 xgx 2 x  f  x 2 d d . x g
 xdx ta có: a  a a 2 1 1 1 1 1        x  x  x  
f x sin  x 1 1 cos 2 1 sin 2 1 1 2 dx  f  x 2 d . x sin 
 xdx  dx       4 2 2 2    2 4  0 4 0 0 0 0 .
THẦY VIỆT  0905.193.688 76
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f  x  k sin x . Từ đó ta có: 1 1 1 1   f  x 1 cos 2 x k sin 2 x 1 k 2 sin  d x x k sin       
x dx  k dx  x    k 1    . 2 2 2  2  0 2 0 0 0  
Suy ra f  x sin x . 1 1 cos x 1 2 Do đó f
 xdx  sinxdx   .  m.vn  0  0 0 ie gh m
Câu 58: [Thi thử THPT Gia Bình - Bắc Ninh] Gọi
là giá trị lớn nhất của a để bất phương n racn  it a x
trình a  x  2 3 4 3 1   a sin
có ít nhất một nghiệm, ở đó , m n là những số th x  2 1 2 n ye m nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P  22m  n . lu n s:// A. 46 . B. 38 . C. 24 . D. 35 . ttp Lời giải h Chọn B
Điều kiện: x  1. Biến đổi tương đương bất phương trình ta được  a  x  4 x 4 1  a sin x  2 3 3 1  a  0 2 2  1  x  1   x  4  a  x  2 3 2 1  sin  a  sin  0     2 2  4  2  /vietgold 1 1   x  Nếu a  thì 2 a  sin  0, x   
nên bất phương trình vô nghiệm. 16 4  2  k.com 1 Nếu a 
thì bất phương trình trở thành ceboo 16 .fa   x 2  2 sin 1   1  2        x  2 1 x 1 x 2 1  sin  1 sin  0     
 x  3, x  1   8 2 2  4  2  1      2 1 x x 1  sin 8 2 2 https://www 1 Vậy a 
là giá trị lớn nhất để bất phương trình có nghiệm. 16
Suy ra m 1;n 16  P  22m  n  22.116  38 .
Câu 59: (THPT Quảng Xương - Thanh Hoá - Lần 2 - Năm 2018) Cho hàm số y  f  x  0 xác
định, có đạo hàm trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn: 77
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN x 1
g  x  1 2018 f
 tdt,gx 2
 f x. Tính g  xd . x  0 0 1011 1009 2019 A. B. C. D. 505 2 2 2 Lời giải Chọn A h Ta có g 0 1 ttp s:// x
g  x  1 2018 f  tdt lu 0 ye n g ' x t '  t g x th
 g 'x  2018 f x  2018 g x   2018  dx  2018 d . x   it g  x 0 g  x 0 ra 1 c 1011 n
 2 gt  1  2018t  gt 1009t 1  g
 tdt  . gh 2 0 ie m.vn    Câu 60: Cho hàm
số y  f  x xác định trên đoạn 0;   thỏa mãn  2    2     2   2 2 f
 x2 2 f xsin x dx    . Tích phân f
 xdx bằng   4  2 0 0   A. . B. 0 . C. 1. D. . 4 2 Lời giải http Chọn B s://www  2     +) Đặt I  2 f
 x2 2 f xsin x dx   . Ta có   4  .fa 0 ceboo   2        2    2 2 2 k.com I  f
 x2 2 f xsin x 2sin x dx      2sin x  dx      4   4   4  0 0 /v   iet 2 2     2    2 gold I  f
 x 2sin x dx    2sin x  dx      4   4  0 0    2    2     2   1    2 +) Có 2 2sin x  dx     1 o c s 2x  dx   
 1sin2xdx 2  x  cos2x  |    4    2  0  2  2 0 0 0   2 2     +) Mà I  2 suy ra f
 x 2sin x dx  0   (1). 2   4  0
THẦY VIỆT  0905.193.688 78
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” b
+) Áp dụng kết quả: Nếu f  x liên tục và không âm trên đoạn  ; a b thì f
 xdx  0 . a
Dấu "  " xảy ra khi f  x  0 với mọi x  ; a b .           
Từ (1) suy ra f  x 2 sin x 0   hay f  x 2 sin x   .  4   4    m.vn 2 2        ie
+) Do đó f  x dx   2 sin x  dx     2  2cos x   |  0 . Chọn B  4  0  4  gh 0 0 racn
Câu 61: (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên it 1 1 1 th  2   1 2 n đoạn 0 
;1 thỏa mãn f   1 0 , f
 x dx  7 
và x f  xdx  
. Tích phân f  x dx  3 ye 0 0 0 lu bằng s:// 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . ttp h 5 4 Lời giải Chọn A u
  f x
du  f xdx 1 1 1 +) Đặt    , khi đó 2 3x f  x 3
dx  x . f  x 3  x f   xdx 2
dv  3x dx 3 v  x 0 0 0 1 1
+) Ta có 1  f   3 1  x f  
xdx suy ra 3x f  
xdx  1. 0 0 /vietgold 2 b b b  
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân  f
 xgx 2 x   f  x 2 d d . x g
 xdx. Dấu k.com  a  a a
"  " xảy ra khi f  x  kg  x với k là hằng số. ceboo .fa 2 b   b b 1 7 x Ta có 3 1   x f  
xdx  x x  f    x 2 6 d .  dx   7
1. Dấu "  " xảy ra khi  7 a  a a 0 1 1   3 f
x  kx với k là hằng số. Mà 3 x f  
xdx  1 hay 6 kx dx  1  suy ra k  7  . https://www 0 0 7 7
+) Vậy f  x 3  7
 x nên f x 4
  x  c mà f  
1  0 nên f  x   4 1 x  suy ra 4 4 1 f  x 7 dx   . Chọn A 5 0 79
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 62: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn f 0  1 và 1 1   1 2 f  
x f xdx  3 f   x 1 2 f  x  dx   . Tích phân 3
f  x dx  bằng  9  0 0 0 5 3 8 7 A. . B. . C. . D. . 4 2 5 6 Lời giải h Chọn D ttp 2 b b b s://  
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân 2 f  x 2 d . x g
 xdx   f
 xgxdx . Dấu lu a a  a  ye
"  " xảy ra khi f  x  kg  x với k là hằng số. n th it 2 1 1 1   r 2 a +) Ta có d . x f 
  x f xdx   f  
x f xdx (1) nên từ giả thiết suy ra cn 0 0  0  gh 2 ie 1 1 1 1   1 2 m.vn 2 f  
x f xdx  3  f 
 x f xdx     3 f  
x f xdx  3 3 0 0  0  2 1  1  1 1 hay 3 f  
x f xdx    0  f x f xdx  
và dấu "  " ở (1) xảy ra, tức là ta 3  3 0  0 1   f  
x f x 1 dx  1 x  3 1 7 có 3     3 0 k
. Từ đó tính được f  x 3
suy ra f  xdx   .  3 3 6 0
f  x f  x  k  http Chọn D s://www
Câu 63: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f   1  3 , 1 4 1 7 1 2 4 .fa
[ f '(x)] dx  
và x f  x dx  
. Giá trị của f  x dx  là 11 11 ceboo 0 0 0 35 65 23 9 A. . B. . C. . D. . k.com 11 21 7 4 Lời giải /viet Chọn C gold du f '(x) dx 1 u f (x) Cách1: Xét 4
A  x f (x)dx  , Đặt 1 4 5 dv x dx v x 0 5 1 1 1 1 1 1 7 3 1 7 2 5 5 5 5 A x f (x)
x f '(x)dx
x f '(x)dx
x f '(x)dx 5 0 5 11 5 5 11 11 0 0 0 1 1 Lại có 10 x dx   nên: 11 0
THẦY VIỆT  0905.193.688 80
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1  f '(x) 1 1 2 5 10
dx  4 x f '(x)dx  4 x dx  0   0 0 0 1
  f '(x) 2x 2 5 5
dx  0  f '(x)  2  x 0 6 x 10  f (x)   C  C 
(do f (1)  0) m.vn 3 3 ie 1 6    gh x 10 23  I     dx  3 3 7   0 racn it
Cách 2: Trắc nghiệm th n 1 ye 2 4 f '(x) dx lu 1 11 0 5
f '(x) f '(x) 2x dx 0. s:// Từ 1 2 5 0 ttp
x f '(x)dx h 11 0 6 x 10 23 Chọn 5 f '(x) 2x f (x) I . 3 3 7 4 2 3  1
Câu 64: Cho f  x  0 biết   2  x x f x . f x và f   1
1   . Cho biết giá trị của 2   x 3  b  b
8 f    f    f     f   1 1 2 3 ... 2017  1 
 , với là phân số tối giản. Tính a  b . 2  a  a A. 4070307 . B. 4070308 . C. 4066273. D. 40662241. /vietgold Lời giải k.com Chọn B ceboo Có .fa f  x f  x   4 2 3  1   2  x x 1 1 f x . f x  2  3x 1 2  dx  3x 1 d    x 2   x 2 f  x 2 x 2 f  x 2  x  1 1 3
     x  x C . f x x https://www 4 2 1 1  1 f   1 1    C  0 3       x x x x 3 f  x x x 1  2 x  x   1   2 x  x   1    x 1 2x f x     .  . . 4 2 x  x 1 2  2  2 x  x   1 . 2 x  x   x  2 2 2 1  x 1 f  x 1  1 1       2  x  x  1 1 x  x  1 1        81
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2017 S
 f x 1 1 1 1 1 1 1        ...    x
2 1.2 1 0.11 2.3 1 1.2 1 2017.2018 1 2016.2017 1  1 1  1  1  b   1    1       2  2017.2018 1  2  a 
 a  2017.20181, b 1  a  b  4070308 .
Câu 65: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên thỏa mãn 2017 2018 ( )  2018 ( )  2018. . x f x f x x e với h x f  f ttp
mọi  và (0) 2018 . Tính giá trị (1) . s:// A. 2018 f (1)  2019e . B. 2018 f (1) 2019   e . C. 2018 f (1)  2018e . D. 2018 f (1)  2017.e lu Lời giải ye Chọn A n th f (
 x)  2018 f (x) Ta có 2017 2018 (  )  2018 ( )  2018. . x f x f x x e 2017   2018.x it 2018x e ra 1 1 c f (
 x)  2018 f (x) n 2017  dx  2018.x dx (1). gh  x  2018 e 0 0 ie 1 1 1 f  m.vn
(x)  2018 f (x) Xét 2  018x 2  018 I  dx  f (  x).e
dx  2018. f (x). x e d  x x   2018 e 0 0 0 1
u  f (x) d
 u  f (x)dx Xét 2018 2018. ( ).   d  x I f x e x . Đặt    1 2  018x 2  018 dv  2018.e dx v   x e 0 1 1 Do đó 2  018x 2  018x 2  018
I  f (x).(e )  f (  x).e
dx  I  f (1).e  2018.  1 0 0 1 Khi đó từ (1) suy ra 2  018 2018 2018
I  f (1).e  2018  x
 f (1)  2019.e . 0 http
Câu 66: Cho hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn f (0) 1 và s://www 1 1   1 3 f   x f   x 2 1 3   dx  2 f  
 x f xdx  .  f x  dx  . 
Tính tích phân    9  0 0 0 .fa 3 5 5 7 ceboo A. . B. . C. . D. . 2 4 6 6 k.com Lời giải Chọn D /vietgold
Áp dụng BĐT Holder ta có: 2 2 1       9  f (  x)   f (x) 1 1 2 1 2  dx    4 f (
 x) f (x)dx 
  4 f (x) f (x)dx    9  0   0  0 2 1 1   1   2 2
 9  f (x) f (x)  dx 
   4 f (x) f (x)dx  0    9  0  0 2 1  1  1 3 f (x) 1 2 2
 9  f (x) f (x)dx  
  0  f (x) f (x)    x  C 9 9  3 9 0 
THẦY VIỆT  0905.193.688 82
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 1
Vì f (0)  1 nên C  . Khi đó 3 f (x)  x 1. 3 3 1 1 3  1  7
Vậy  f (x) dx  x 1 dx  .    3  6 0 0
Câu 67: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 49] Cho hàm số f (x) dương và có đạo hàm  m.vn liên tục trên
0; 1 thỏa mãn f    f   1 0 4 1  ,
f  x  0 x  0;  1 và ie 16 3 gh 1 1  f  x 1      1 x  
3 f x 1 1 . dx= , dx= 
. Tính tích phân f  x  dx . 8    64 0 f   x 2 racn 0  0 it 1 1 1 1 th A. . B. . C. . D. . n 24 32 8 4 ye Lời giải lu s:// Chọn B ttp h Ta có: 1 1 x   1 f (
 x)dx=x   1 f  x 1 3 3  3x    2 1 f  xdx 0 0 0 1 1  mà 3
f    f   1 0 4 1  ,  x   
1 . f  xdx= 16 8 0 1 1 Nên  x   2 1 f  x dx= . 16 0 /vietgold  f x 3   
Vì f  x  0 , f  x  0 x  0;  1 nên  0 ; x  
1 f  x  0 x  0;  1 2 k.com
 f x   ceboo   1 1 f  x .fa 1    2 2  x   2
1 f  x dx    x   3 1 .  f '  
  x dx 16 2   0 3 0   f     x     f x 3 2 1 1      2  1  1  1 dx.     x 3 3  3 1 f x dx  3 3  .    2   https://www    64  8  16 0 f  x  0   
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  f x 3    f  x  1 1 1 k  x  3 1 f  x    ln  f   x  ln  x   1  C 2  
 f x   f  x 3 k x 1 3 k 1 1 1 1 1 Do f   1 0  , f   1 1  nên C  ln ,  2
  f x 
 f  xdx   . 4 16 4 3 k x  2 1 32 0 83
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 68: [THPT ĐẶNG THÚC HỨA LẦN 1- 2018] Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên 1  1 2 9 2 0;  1 thỏa mãn f  
1  1, f  x  0 x  0;  1 và  f   x dx=  , f  x  dx= . Tính 5 5 0 0 1
tích phân I  f  xdx . 0 3 1 3 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 5 4 4 5 h ttp
Câu 69: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Lần 1 - 2018) Cho hai hàm f  x và g  x có đạo hàm s://
trên đoạn 1;4 và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi x 1;4 lu ye  f   1  2g   1  2  4 n 
. Tính I   f (x).g(x)dx . th f   x 1 1  g  x 2 1 ' . ; '   . 1 it  x x g(x) x x f (x) rac A. 4ln 2 . B. 4 . C. 2ln 2 . D. 2 . n gh Lời giải ie m.vn Chọn B 1 2
Từ giả thiết ta có f '(x).g(x) 
và g '(x). f (x)   , suy ra x x x x 1 
f '(x).g(x)  g '(x). f (x)   , hay  f x g x  1 ( ). ( )   . x x x x
Do đó f  x g  x 1 2 .   dx   C  . Lại có f   1 .g  
1  2.1  2 nên C  0 . x x x ht 4 4 2 tp
 I   f (x).g(x) x d  x d =4  . s://www x 1 1
Câu 70: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 
;1 thỏa mãn f   1  0 và .fa 1 1 2 1 2 e  x 1 ceboo  f 
 x dx  
x 1e f xdx 
. Tính tích phân I  f  xdx . 4 0 0 0 k.com e e 1
A. I  2  e .
B. I  e  2 . C. I  . D. I  . 2 2 /viet Lời giải gold Chọn B 1 Xét      1 ex A x
f  xdx 0 u   f  x
du  f xdx Đặt    dv   x   1 x e dx v  ex x
THẦY VIỆT  0905.193.688 84
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng” 1 1 1 2 1  e x 1 Suy ra
 ex    ex A x f x x f   xdx x   xe f  
xdx  xe f xdx   0 4 0 0 0 1 1   2 e 1 x 1 1 1 Xét 2 2 x x e dx  2 2  e x  x      2 2 4  4 0 0 1 1 1 1 2 2 Ta có :  
   d 2 x      2 2 d x f x x xe f x
x  x e dx  0      x f
x  xe  dx  0 m.vn 0 0 0 0 ie 2 gh Suy ra   x f
x  xe  0, x  0;  1 (do    x f
x  xe   0, x  0;  1 ) racn  f x x  
 f x  1 x x  it xe e C th n Do f  
1  0 nên    1  x f x x e ye lu 1 1 1 x x s:// Vậy I  f
 xdx  1 xe dx  2 xe  e2. 0 0 0 ttp h
Câu 71: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo 9 1 39 1 5 hàm đến cấp 2 trên
và f (0)  0, f '(1)  , 2
[f '(x)] dx   , 2
(x  x) f "(x)dx  .  Tính 2 4 2 0 0 2
tích phân I  f (x)dx  . 0 14 7 A. . B. 14. C. . D. 7. 3 3 Lời giải /vietgold Chọn D k.com 9 9 Chọn 2
f (x)  ax  b ,
x f (0)  0; f '(x)  2ax  , b f '(1) 
 2a  b  (1) ceboo 2 2 .fa 1 4 39 2 2 2 2 2
[ f '(x)]  (ax  b)  (ax  b) dx 
a  2ab  b   (2) 3 4 0 1 1 5a 5a 5 3 2 2           https://www
Lại có: f "(x) 2a (x
x) f "(x)dx 2a (x x)dx a   (3) 3 3 2 2 0 0 9
Thay (3) vào (1) ta được b 
Từ đây thay a,b vào (2) kiểm chứng (2) đúng. 2 3 2 2 3 Vậy ta tìm được 2 f (x) 
(x  x) . Vậy 2 I 
f (x)dx 
(x  x)dx  7   2 2 0 0 85
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Câu 72: Cho hàm số f  x liên tục trên  thỏa mãn f  x 1 x , x       và f   1  1. Tìm giá x
trị nhỏ nhất của f 2. 5 A. 3. B. 2. C.  ln 2. D. 4. 2 Lời giải Chọn C h ttp       s://
Theo giả thiết f  x 1 x , x
nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta x lu 2 2  1  3 ye được: f 
 xdx  x dx  ln2.    x  2 n 1 1 th it 2 2 r
f  x dx  f x
 f 2  f 1  f 2 1 f    a Mà            nên   3 2 1 ln 2. 1 c 2 1 n gh ie Suy ra f   5 2   ln 2. m.vn 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f  x 1
 x  , x  0. x x 1
Suy ra f  x 2 
 ln x  C, mà f   1  1 nên C  . 2 2 x
Do đó f  x 2 1   ln x  . 2 2 http x s://www
Vậy giá trị nhỏ nhất của f   5 2 
 ln 2 khi f x 2 1   ln x  . 2 2 2  f   1  g  
1  1; f 2 g 2  f   1 .fa  f x g x  x  0 ceboo
Câu 73: Cho hàm số   và   thỏa mãn  f  
x gx  g x  f  x 1  1 .  f x     x  k.com 2
Tính tích phân I   f x gx /v 1 ietgold 3 1 3 1 3 1 3 1 A. I   ln 2 .
B. I    ln 2 . C. I   ln 2.
D. I    ln 2 . 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải Chọn D
 f x gx  g x  f  x 1  1 .  f x    x 
 x  xf x gx  g x.xf  x  f x  
THẦY VIỆT  0905.193.688 86
 Ba Đồn – Quảng Bình
“Thành công là nói không với lười biếng”
 g xxf x     xf  
x gx  x
 xf x g x      x x
 xf x g x 2   C 2 m.vn x x f   g  xf  x g x   f  x g x   ie Do   1   1 1 nên     2 1 hay     1 2 2 2 2x gh
Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 ta được racn it 2 2 3 1  x 1  th  ln 2   dx  f  
 xgxdx  f xgx   I n 4 2  2 2x  1 1 ye lu 3 1
 I    ln 2 . s:// 4 2 ttp h 1   
Câu 74: Cho hàm số y  f  x liên tục trên đoạn ; 2   và thỏa mãn   1 3 2 f x  f    ,  2   x  x 2 f  x * x  
. Tính tích phân I  dx  . x 1 2 3 5 15 15 A. I  . B. I  .
C. I  4ln 2  .
D. I  4ln 2  . 2 2 8 8 Lời giải Chọn A /vietgold 1 1 Đặt: t  1
 x   dx   dt 2 k.com x t t ceboo Đổi cận: .fa https://www 1 f 2    2 2 t  1 1 1 1  1  I  dt   f dt     f dx    2 1 t t  t  x  x  1 1 1 2 t 2 2 2 f  x 2 1  1  2    2 2  1 1 1 3 3 3I  2 dx  f dx      2 f
  x f dx    . dx   dx  x x  x  x   x  x x 2 x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 87
THẦY VIỆT  0905.193.688
 Ba Đồn – Quảng Bình TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2 2 1   1  3 I  dx       . 2 x  x 1  2 1 2 2
Câu 75: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn     2018 3 f x xf x  x , 1 x  0;  1 . Tính I  f
 xdx . 0 1 1 1 1 h A. I  . B. I  . C. I  . D. I  ttp 2019.2021 2018.2019 2018.2020 2019.2020 . s:// Lời giải lu ye Chọn A n th Nhân 2
x vào hai vế của giả thiết ta được x f  x  x f x  x
 x f x ' 2 3 2020 3 2010 3 ' .   x . it   rac 2021 2018 n  x x c 3 2010 3
x . f x  dx  x dx  x f x 
 c  f x   gh Suy ra           . 3 2021 2021 x ie m.vn x
Chọn f  x 2018  ta có 2021 1 1 1    2018 2019 1 d  d   .  x x f x x x 2021 2019.2021 2019.2021 0 0 0 https://www .fa ceboo k.com /vietgold
THẦY VIỆT  0905.193.688 88
Document Outline

TÍCH PHÂN HÀM ẨN
- DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
- DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
- DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN
  - TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại
  - TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng
- MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN
  - CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ
  - CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
  - CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau:
  - CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc.
- DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
BÀI TẬP

Hướng dẫn giải bài toán tích phân hàm ẩn – Nguyễn Hoàng Việt Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian – Phương Nguyễn Toán 12

20 kĩ thuật chinh phục vận dụng cao số phức – Hoàng Xuân Nhàn Toán 12

Phân dạng bài tập và lời giải chi tiết chuyên đề Tích phân – Lưu Huy Thưởng Toán 12

Phương pháp giải các bài toán Tích phân – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn Toán 12

Phương pháp giải các dạng Tích phân thường gặp Toán 12