Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số – Đặng Việt Đông Toán 12

Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

60 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Môn: Toán 12

Thông tin:

29 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – KIẾN THỨC CHUNG
1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng
x a
là TCĐ của đồ thị hàm số
y f x
nếu có một trong các điều kiện sau:
x a
lim y

hoặc
x a
lim y

hoặc
x a
lim y

hoặc
x a
lim y

+) Đường thẳng
y b
là TCN của đồ thị hàm số
y f x
nếu có một trong các điều kiện sau:
x
lim y b

hoặc
x
lim y b

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử
bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y ,y bt,y bt có TCN. (Dùng liên hợp)
+) Hàm
x
y a , 0 a 1
có TCN
y 0
+) Hàm số
a
y log x, 0 a 1
có TCĐ
x 0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn:
x
lim y

hoặc
x
lim y

4. Chú ý:
+) Nếu
2
x x 0 x x x

+) Nếu
2
x x 0 x x x

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Câu 1: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang:
A.
3 2
25 8
y x x
B.
4 2
8 99
y x x
C.
2
3 1
2
x
y
x
D.
2
2 1
2
x
y
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số ở câu A và B không có tiệm cận, đồ thị hàm số ở câu D có tiệm cận xiên
Xét ý C: Ta có
2
3 1
lim lim 0
2
x x
x
y
x
 
nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận
ngang.
Câu 2: Đường thẳng
8
y
là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số nào ?
A.
2
2 7
9
x
y
x
B.
16 25
3 2
x
y
x
C.
2
2 1
16 2
x
y
x
D.
8 25
1 3
x
y
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
lim 0;
x
ax b a
c ad bc
cx d c

nên đồ thị hàm số
0;
ax b
y c ad bc
cx d
nhận đường
thẳng
a
y
c
là tiệm cận ngang. Do vậy đường thẳng y = -8 là tiệm ngang của đồ thị hàm
số
16 25
2 3
x
y
x
.
Câu 3: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2 3
1
x
y
x
là:
A.
1, 2
y x
B.
2, 1
y x
C.
1
, 1
2
y x
D.
1
1,
2
y x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có
2 3
lim 2
1
x
x
x

Do đó là tiệm cận ngang là y = 2
Lại có
2 3 2 3
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
 

nên tiệm cận đứng là x = 1.
Câu 4: Cho hàm số
2
2 6
1
x x
y
x
và
2
2
4 3
9
x x
y
x
. Tổng số đường tiệm cận của hai đồ thị là
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Xét
2
2 6
1
x x
y
x
có 1 tiệm cận đứng là x = 1
Mặt khác
2
2 2
2 6
1
2 6
lim lim 1
1
1
1
x x
x
x
x x
x x
y y
x
x
x
 
;
2
2 2
2 6
1
2 6
lim lim 1
1
1
1
x x
x
x
x x
x x
y y
x
x
x
 
Nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là
y
1
Xét
2
2
1 3
4 3
9 3 3
x x
x x
y
x x x
ta có đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và chỉ có một
tiệm cận đứng là x = -3. Do vậy tổng số tiệm cận là 5. Chú ý: Do
3
1 2
lim
3 5
x
x
y
x
nên x = 3 không
là tiệm cận đứng.
Câu 5: Cho hàm số
3
y
x 1
có đồ thị là (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
C
có tiệm cận ngang là
y 3
B.
C
có tiệm cận ngang là
y 0
C.
C
có tiệm cận đứng là
x 1
D.
C
chỉ có một tiệm cận
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là
x 1
, tiệm cận ngang là
y 0
nên B đúng
Câu 6: Đồ thị hàm số
3 2x
y
x 1
có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là:
A.
x 1;y 2
B.
x 1;y 2
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
x 1;y 2
D.
x 2;y 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có
x
x
lim y 2
lim y 2


hàm số có TCN là đường thẳng
y 2
Lại có
x 1
x 1
lim y
lim y
Hàm số có TCĐ là đường thẳng
x 1
Câu 7: Đồ thị hàm số
2
1 2
x
y
x
có đường tiệm cận đứng là
A.
1
.
2
x
B.
2.
x
C.
1
.
2
x
D.
1
.
2
y
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Câu 8: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 2x
y
x 1
.
A.
x 2
B.
y 2
C.
y 1
D.
x 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có:
x x
x x
2 2x
lim y lim 2
x 1
2 2x
lim y lim 2
x 1
 
 
=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
y 2
.
Câu 9: Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
lần
lượt là
A.
2; 1
x y
B.
2; 1
y x
C.
2; 1
x y
D.
2; 1
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Tiệm cận đứng:
2
x
, tiệm cận ngang
1
y
.
Câu 10: Cho hàm số
3
2
3 2
.
4 3
x x
y
x x
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
1
y
và
3.
y
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng
1
x
và
3.
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
TXĐ
\ 1;3
D
+)
1 1 3 3
lim ,lim và lim ,lim
x x x x
y y y y
   
Vậy
1, 3
x x
là 2 đường TCĐ.
+) Chú ý: chỉ cần tính 1 giới hạn bên trái hoặc bên phải
Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đúng một đường tiệm cận (gồm các đường tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang).
A.
2
1 .
y x x
B.
1
.
2
x
y
x
C.
4 2
1.
y x x
D.
3
2 1.
y x x
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Ta có: Tập xác định của hàm số là
và:
2 2
2
1
lim 1 lim 0; lim 1 0
1
x x x
x x x x
x x
  
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
Câu 12: Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
2; 1
và có
x 2 x 1
lim f x 2, lim f x
.
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số
f x có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y 2 và y 1
B. Đồ thị hàm số
f x có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x 1
C. Đồ thị hàm số
f x có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 2
D. Đồ thị hàm số
f x có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x 2 và x 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có
x 1
lim f x

đồ thị hàm số
f x
có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng
x 1
Câu 13: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
2 2
2
4 1 3 2
x x
y
x x
là:
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
1.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Tập xác định:
1 1
; ;1 1;
2 2
D
Tiệm cận đứng:
2 2
1 1
4 1 3 2
lim lim
1

x x
x x
y
x x
;
2 2
1 1
4 1 3 2
lim lim
1

x x
x x
y
x x
Suy ra
1
x
là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang:
2 2
2 4 2
2
4 1 2
3
4 1 3 2
lim lim lim 3
1
1
  
x x x
x x
x x x
y
x x
x
3
y là tiệm cận ngang
2 2
2 4 2
2
4 1 2
3
4 1 3 2
lim lim lim 3
1
1
  
x x x
x x
x x x
y
x x
x
3
y là tiệm cận ngang
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Câu 14: Đồ thị hàm số
( )
y f x
có
lim 2; lim 2
x x
y y
 
. Chọn khẳng định đúng ?
A. Tiệm cận đứng
2
x
. B. Tiệm cận ngang
2
y
.
C. Hàm số có hai cực trị. D. Hàm số có một cực trị.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Với hàm số
ax b
y
cx d
có lim ; lim
x x
a a
y y
c c
 
suy ra tiệm cận ngay
a
y
c
Tiệm cận ngang
2
y
Câu 15: Xét các mệnh đề sau:
1. Đồ thị hàm số
1
2 3
y
x
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
2. Đồ thị hàm số
2
1
x x x
y
x
có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng.
3. Đồ thị hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng.
Số mệnh đề ĐÚNG là
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
1
2 3
y
x
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
2
1
lim 2;
x
x x x
x

2
1 1
lim
2
x
x x x
x

2
1
x x x
y
x
có hai đường tiệm cận ngang
và một đường tiệm cận đứng.
2
2 1
1
x x
y
x
có tập xác định
1
; \ 1
2
D
nên có tối đa một đường tiệm cận đứng.
Câu 16: Cho các hàm số
x 3
3
1
y 3 ;y log x; y ;y x
3x
. Chọn phát biểu sai
A. Có hai đồ thị có tiệm cận đứng. B. Có hai đồ thị có tiệm cận ngang.
C. Có đúng hai đồ thị có tiệm cận. D. Có hai đồ thị có chung một đường tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án ta thấy
Đồ thị hai hàm số
3
1
y log x;y
3x
cùng có tiệm cận đứng là đường thẳng
x 0
Đồ thị hai hàm số
x
1
y 3 ;y
3x
cùng có tiệm cận ngang là:
y 0
Có 3 đồ thị hàm số có tiệm cận nên C sai.
Câu 17: Số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
TXĐ:
; 1 1;D
 
.
lim 1
x
y

đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
2
1 1 1
1 1
lim lim lim 0
1
1
x x x
x x
y
x
x

2
1 1 1
1 1
lim lim lim
1
1
x x x
x x
y
x
x

đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng
1
x
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 18: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
?
A.
1
2
x
. B.
1
y
. C.
2
y
. D.
1
x
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có
lim 2 2
x
y y

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 19: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
x 1 2x
y f x
x 1
là:
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có:
2
x x
x 1 2x
lim y lim 1
x 1
 
nên đường thẳng
y 1
là tiệm cận ngang khi
x
.
+)
2
x x
x 1 2x
lim y lim 3
x 1
 
nên đường thẳng
y 3
là tiệm cận ngang khi
x

.
+) Mà đường thẳng
x 1
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số
3 2
1
x
y f x
x
-1, x = 1.
D. Đồ thị hàm số
f x
có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 và không có tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Ta có:
2
3
3 2 3 2
lim lim lim lim 3 3
1
1 1
1
x x x x
x x
x
y y
x x
x
   
là TCN.
2
3
3 2 3 2
lim lim lim lim 3 3
1
1 1
1
x x x x
x x
x
y y
x x
x
   
là TCN.
Không tồn tại giá trị x
o
để
lim 0
o
x x
y
Đồ thị hàm số không có TCĐ.
Câu 21: Đồ thị hàm số
2x 3
y 1
| x | 1
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. không có B. 1 C. 4 D. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
A. Đồ thị hàm số f
x
có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -3 , y = 3 và không có tiệm
cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f
x
không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
C. Đồ thị hàm số f
x
không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x =
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
x x x
3
2
2x 3
x
lim lim 1 lim 1 3 y 3
1
| x | 1
1
x
  
là TCN
x x x
3
2
2x 3
x
lim lim 1 lim 1 1 y 1
1
| x | 1
1
x
  
là TCN
Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Cách 2 : Dùng CALC của CASIO
Câu 22: Đường thẳng
2
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây?
A.
2
.
1
y
x
B.
1
.
1 2
x
y
x
C.
2 2
.
2
x
y
x
D.
2 3
.
2
x
y
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Tiệm cận ngang
2
a
y
c
Câu 23: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2
1
x
y
x x
là
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
4
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
2
2
1
x
y
x x
2 2
1 1 0
x x x x x
.
2 2
2 2
lim lim lim 1
1 1
1 1 1
x x x
x
y
x x
x x
  
. Tiệm cận ngang :
1
y
2
2
2 2
2 1
lim lim lim 2 1
1
x x x
x x x
y x x x
x x
  
.
Câu 24: Số tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
1
x
y
x
là
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
TXĐ:
; 1 1;D
 
.
lim 1
x
y

đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
2
1 1 1
1 1
lim lim lim 0
1
1
x x x
x x
y
x
x

2
1 1 1
1 1
lim lim lim
1
1
x x x
x x
y
x
x

đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng
1
x
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Cho hàm số
6 2
3
x
y
x
. Khi đó tiệm cận đứng và tiệm cân ngang là
A. Không có. B.
3; 2.
x y
C.
3; 2.
x y
D.
2; 3.
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Câu 26: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
2 1
2
x
y
x x
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta phải tính các giới hạn:
2 2
x x
2x 1 2x 1
lim 2; lim 2
x x 2 x x 2
 
Hàm số có 2 tiệm cận ngang y=2 và
y 2
Câu 27: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2 1
?
1
x
y
x
A.
y 2.
B.
y 2.
C.
2.
x
D.
2.
x
đứng là
1.
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có :
lim 2
x
nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
2.
y
Câu 28: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
3x 2
y
x 1
A.
x 1
B.
x 1
C.
y 3
D.
y 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
x
3x 2
lim 3
x 1

suy ra
y 3
là tiệm cận ngang
Câu 29: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận?
A.
x 1
y .
x 3
B.
4 2
y x 5x 1.
C.
3
y x 2x 3.
D.
4 2
y x x .
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Câu 30: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1 2
2
x
y
x
có phương trình lần
lượt là
A.
2; 2.
x y
B.
2; 2.
x y
C.
2; 2.
x y
D.
2; 2.
x y
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Có:
2
2
lim
lim
x
x
y
y

nên đường thẳng
2
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
lim 2
x
y

nên đường thẳng
2
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 31: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
là:
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
+ Ta có: 1
2
x vô nghiệm suy ra hàm số không có tiệm cận đứng.
+
11
1
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
22
2

y
xx
x
x
x
x
xxx
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+
11
1
1
1
lim
1
1
lim
1
lim
22
2

y
xx
x
x
x
x
xxx
là tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là .11
yvày
Câu 32: Cho hàm số
2
4 3
2 3
x x
y
x
có đồ thị là
C
. Gọi
m
là số tiệm cận của
C
và
n
là giá trị
của hàm số tại
1
x
thì tích
là:
A.
14
5
. B.
2
15
. C.
3
5
. D.
6
5
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Ta có
2 2
3 3
2 2
4 3 4 3
lim , lim
2 3 2 3
 
x x
x x x x
x x
nên
3
2
x
là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số.
2
4 3 3
lim
2 3 2

x
x x
x
nên
3
2
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2
4 3 1
lim
2 3 2

x
x x
x
nên
1
2
y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị không có tiệm cận xiên.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận hay
3
m ,
2
5
n
.
Do đó
6
5
mn
.
Câu 33: Cho hàm số
2
2
2 3
4
x x
y
x
. Khi đó:
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
1
x
; tiệm cận ngang
2
y
và
2
y
.
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2
x
và
2
x
; tiệm cận ngang
1
y
.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2
x
và
2
x
; tiệm cận ngang
1
y
.
D. Đồ thị hàm số có tiệm đứng
1
x
và
1
x
; tiện cận ngang
1
y
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
2
2
2
2 3
1
2 3
lim lim lim 1
4
4
1
x x x
x x
x x
y
x
x
  
và
2
2
2
2
2 3
1
2 3
lim lim lim 1
4
4
1
x x x
x x
x x
y
x
x
  
.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
1
y
.
2
2
2 2
2 3
lim lim
4
x x
x x
y
x

và
2
2
2 2
2 3
lim lim
4
x x
x x
y
x


.
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
2
x
và
2
x
.
Câu 34: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 2
y
2 x
có phương trình là
A.
1
y
2
B.
y 1
C.
y 1
D.
y 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có
x x
x 2
lim y lim 1
2 x

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
y 1
Câu 35: Đồ thị hàm số
2 4
2
3x 1 x x 2
f(x)
x 3x 2
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có
2 4
2
x x
3x 1 x x 2
limf(x) lim 2
x 3x 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
y 2
.
Mặt khác
2 4 2 4
2 4
2
x x
2 2 4
3x 1 x x 2 3x 1 x x 2
3x 1 x x 2
limf(x) lim
x 3x 2
x 3x 2 3x 1 x x 2
3 2
4
2 2 4 2 4
x 1 8x 8x 8x 1
8x 7x 1
f(x)
x 3x 2 3x 1 x x 2 x 1 x 2 3x 1 x x 2
3 2
2 4
8x 8x 8x 1
f(x)
x 2 3x 1 x x 2
Suy ra
2 4
x 2 3x 1 x x 2 0 x 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
x 2
.
Câu 36: Cho hàm số
2
x 1
y
x 3x 2
có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
A. C không có tiệm cận ngang B.C có đúng một tiệm cận ngang
y 1
C.C có đúng một tiệm cận ngang
y 1
D. C có hai tiệm cận ngang
y 1
và
y 1
A. Tiệm cận đứng x 2, x 1; tiệm cận ngang y 2.
B. Tiệm cận đứng x 2; tiệm cận ngang y 2.
C. Tiệm cận đứng x 2, x 1; tiệm cận ngang y 2, y 3 .
D. Tiệm cận đứng x 2,; tiệm cận ngang y 2, y 3 .
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
x x x x
2 2
1 1
1 1
x x
lim y lim 1; lim y lim 1
3 2 3 2
1 1
x x x x
   
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang
y 1
và
y 1
Câu 37: Đồ thị hàm số
2
x 4
y
x 4
có bao nhiêu tiệm cận?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Ta có:
2
x x
2
x x
x 4
lim y lim 1
x 2
x 4
lim y lim 1
x 2
 
 
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
2
x 2
x 4 0 x 2
lim y
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Câu 38: Đồ thị của hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
A.
2
.
2 3
x
y
x x
B.
2
.
4
x
y
x
C.
2
.
3 2
x
y
x x
D.
3
.
2 1
x
y
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau:
Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất có hai đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số
2
3 2
x
y
x x
có ba đường tiệm cận vì mẫu số có nghiệm
2, 1 0
x x
và bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có tiệm cận ngang
0.
y
Đồ thị các hàm số
2
2
,
2 3
4
x x
y y
x x
x
có hai đường tiệm cận.
Câu 39: Cho hàm số
2
1
.
x
y
x
Tìm khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng
1, 1.
y y
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng
0, 1, 1.
x y y
D. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng
0.
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Lưu ý với
0
m
thì đồ thị của hàm số
2
1
mx
y
x
không có tiệm cận ngang.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thật vậy, ta có:
2
1
lim lim
1
x x
m
x
y m
 
với
0.
m
2
1
lim lim
1
x x
m
x
y m
 
với
0.
m
Do đó để đồ thị hàm số
2
1
mx
y
x
có tiệm cận ngang thì bắt buộc
0.
m
Như vậy đồ thị hàm số
2
1
mx
y
x
không có tiệm cận ngang.
Rõ ràng
0
x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 40: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1
y 3
x 3
A.
y 3
B.
x 3
C.
x 3
D.
y 3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Ta có
x x
1
lim y lim 3 3
x 3
 
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
y 3
Câu 41: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
3 2
2
x 3x 20
y
x 5x 14
A.
x 2
x 7
B.
x 2
C.
x 2
x 7
D.
x 7
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Ta có
2
3 2 2
2
x 2 x 5x 10
x 3x 20 x 5x 10
y
x 2 x 7 x 7
x 5x 14
Suy ra
x 7 0 x 7
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là
x 7
Câu 42: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
x 4
y
3 2x 5x
?
A. x = 1 và
3
x
5
B.
x 1
và
3
x
5
C.
x 1
D.
3
x
5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Ta có
2
3
x 1
x
5
3
3 2x 5x 0 x 1;
5
lim y ,lim y
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
3
x 1,x
5
.
Câu 43: Đường thằng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2x 1
y ?
x 1
A.
y 2
B.
y 2
C.
x 1
D.
x 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
x x
x x
2x 1
lim lim 2
x 1
2x 1
lim y lim 2
x 1
 
 
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang
y 2
.
Câu 44: Cho hàm số
2x 2017
y 1
x 1
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng
x 1
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng
y 2, y 2
và không có tiệm
cận đứng.
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng
y 2
và không có tiệm cận
đứng.
D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường
thẳng
x 1, x 1
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Hàm số
2x 2017
y 1
x 1
có tập xác định là
, nên đồ thị không có tiệm cận đứng
x x
2x 2017 2x 2017
lim 2; lim 2
x 1 x 1
 
nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường
thẳng
y 2, y 2
Câu 45: Cho hàm số
3x 1
y .
2x 1
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1
x .
2
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
1
y .
2
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1
y .
2
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1
x
2
và tiệm cận ngang là
1
y .
2
Câu 46: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
4x 1 x 2x 6
y .
x x 2
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chính là số nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2
4x 1 x 2x 6 0
4x 1 x 2x 6 0
x 2
x 1 x 2
x x 2 0
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng.
Câu 47: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
1
12
x
x
y có phương trình lần lượt là
A. 2;1
yx B. 2;1
yy
C. 1;2
yx D. 2;1
yx
Hướng dẫn giải:
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn đáp án A
Câu 48: Cho hàm số
2
2 3
2 3
x
y
x x
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận?
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
x 3
x 2x 3 0
x 1
Ta có
x
2
x x x
x
2
3
x 2
lim 2
2x 3
x
lim y lim lim
lim 2
2 3
x 2x 3
x 1
x x


đồ thị hàm số có hai TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận.
Câu 49: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số :
2
3
1 x x 1
y
x 1
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng B.
x 1
C.
x 0
D.
x 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
2
2
3
2 2 2 2
1 x x 1
x x 1
1 x x 1
y
x 1
x 1 x x 1 1 x x 1 x 1 x x 1 1 x x 1
2 2
x
x x 1 1 x x 1
.Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 50: Hỏi đồ thị hàm số
1 2x
y
3x 2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
2 2
x x
3 3
1 2x 2
lim y lim x
3x 2 3

là TCĐ
x x x
1
2
1 2x 2 2
x
lim y lim lim y
2
3x 2 3 3
3
x
  
là TCN
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận
x 1.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
4
1
m x
y
mx
có tiệm cận đi qua điểm
1;4
A
A.
1
m
B.
2
m
C.
3
m
D.
4
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
Điều kiện để hàm số không suy biến là
2
0
. 1 . 4
4
m
m m
m
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là:
1
;
x y m
m
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đi qua điểm A(1;4) nên ta có
1
1 1
4
m
m
m loai
.
Câu 2: Tìm
m
để đồ thị hàm số
1 5
2
m x m
y
x m
có tiệm cận ngang là đường thẳng
1
y
.
A.
2.
m
B.
5
.
2
m
C.
0.
m
D.
1.
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có
1
lim lim
2
x x
m
y y
 
Do đó hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng
1
y
khi chỉ khi
1 2 1
m m
.
Câu 3: Cho
M
là giao điểm của đồ thị
2 1
:
2 3
x
C y
x
với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ
điểm
M
đến hai đường tiệm cận là
A.
4
. B.
6
. C.
8.
D.
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có: Tiệm cận đứng
3
2
x
và tiệm cận ngang
1
y
Tọa độ giao điểm của
( )
C
và trục
Ox
: Với
2 1 1
0 0
2 3 2
x
y x
x
1
;0
2
M
Ta có: khoảng cách từ
M
đến tiệm cận đứng là
1
1
d
và khoảng cách từ
M
đến tiệm cận ngang là
1
2
d
.
Vậy tích hai khoảng cách là
1 2
. 1.2 2
d d
Câu 4: Tìm
m
để hàm số
3
6
4
x x m
y
x m
không có tiệm cận đứng?
A.
2
m
. B.
0
8
m
m
. C.
16
m
. D.
1
m
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có tập xác định \
4
m
D
.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì
4
m
x
là nghiệm của PT
2
6 0
x x m
.
Suy ra
2
2
0
6. 0 8 0
8
4 4
m
m m
m m m
m
.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x 1
y
2x m
đi qua điểm
A 1;2 .
A.
m 2.
B.
m 2.
C.
m 4.
D.
m 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Ta có:
m
2x m 0 x .
2
ĐT
m
x
2
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đi qua điểm A khi và chỉ khi
m
1
2
m 2.
m
1
2
Câu 6: Biết rằng các đường tiệm cận của đường cong
4
115
:
2
x
xx
yC và trục tung cắt nhau
tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đung?
A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16.
B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8.
C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
HD: Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần
lượt là 6,4,4
yyx như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô
màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12
Câu 7: Cho hàm số
1
2
ax
y
bx
. Tìm
,
a b
để đồ thị hàm số có
1
x
là tiệm cận đúng và
1
2
y
là tiệm
cận ngang.
A.
1; 2.
a b
B.
1; 2.
a b
C.
1; 2.
a b
D.
4; 4.
a b
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ĐK để hàm số không suy biến là
2a b 0
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đồ thị hàm số có
x 1
là TCĐ và
1
y
2
là TCN
x x
b 2 0
b 2
ax 1 a 1
a 1
lim y lim
bx 2 b 2
 
Câu 8: Cho hàm số
y f x
có
x
lim f x 0

và
x
lim f x


Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số
y f x
không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số
y f x
nằm phía trên trục hoành
C. Đồ thị hàm số
y f x
có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số
y f x
có một tiệm cận đứng là đường thẳng y 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Ta có
x
lim f x 0

Đồ thị hàm số
y f x
có một tiệm cần ngang là trục hoành.
Câu 9: Các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số
2
y ax 4x 1
có tiệm cận ngang là:
A.
a 2
B.
a 2
và
1
a
2
C.
1
a
2
D.
a 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Ta có
2 2
2 2
2
x x x
(4 a )x 1
y ax 4x 1 lim y lim ax 4x 1 lim
4x 1 ax

Câu 10: Tìm m để hàm số
mx 1
x m
có tiệm cận đứng
A.
m 1;1
B.
m 1
C.
m 1
D. không có m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Xét mẫu
x m 0
thì
x m
Để đường thẳng
x m
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là
m.m 1 0
nên
m 1
và
m 1
.
Câu 11: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số
2x 1
y
x 1
có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận
của (H) nhỏ nhất là
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
TCĐ:
x 1
; TCN:
y 2
. Gọi
2x 1
M x; H
x 1
Tổng khoảng cạc từ M đến hai tiệm cận là:
2x 1 3 3
d x 1 2 x 1 2 x 1. 2 3
x 1 x 1 x 1
Kí hiệu deg(u) là bậc của hàm số u(x) (4 a
2
)x
2
1 và deg v(x) là bậc của hàm số
v(x) 4x
2
1 - ax
Dễ thấy deg v(x)=1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi
degu(x) deg v(x) 4a
2
0 a 2
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
min
3
d 2 3 x 1 x 1 3 x 3 1
x 1
có tất cả 2 điểm thuộcd dồ thị (H)
thỏa mãn đề bài.
Câu 12: Cho hàm số
x 1
y
x 1
có đồ thị (C). Số điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị
(C) là
A. 2 B. 4 C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
TCĐ:
x 1
; TCN:
y 1
Gọi
x 1
M x; X
x 1
cách đều hai tiệm cận
2
x 1 2
x 1 1 x 1 x 1 2
x 1 x 1
x 2 1
có tất cả 2 điểm thỏa mãn đề
bài.
Câu 13: Cho hàm số
2
2
x
y
x
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao
cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
A.
2;2
M B.
0; 1
M
C.
1; 3
M
D.
4;3
M
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
+ Giả sử
0 0 0 0
M x ;y C x 0;x 2
+ Đths có TCĐ: x = 2 và TCN: y = 1
+ Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
0
0 0
0 0
x 2
4
MA x 2 ,MB y 1 1
x 2 x 2
Theo Cô-si thì
0
0
4
MA MB 2 x 2 . 4
x 2
x 0 KTM
Min MA MB 4 M 4;3
x 4 TM
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2
2x m 1 x 1
y
x 1
có
đúng hai tiệm cận ngang?
A.
m 1
B.
m 1;4 4;

C.
m 1
D.
m 1
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Ta có :
2
2
x x x
m 1 x 1
2
2x m 1 x 1
x
lim y lim lim 2 m 1
1
x 1
1
x
  
(với
m 1
)
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2
2
x x x x
m 1 x 1 m 1 x 1
2
2
2x m 1 x 1
x
x
lim y lim lim lim 2 m 1
1 1
x 1
1 1
x x
   
Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì
m 1
Câu 15: Cho hàm số
a
y (a 0)
x
có đồ thị (H). Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của
đồ thị (H) đến một tiếp tuyến của (H). Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là:
A.
a 2
B.
d a 2
C.
a
d
2
D.
a
d
2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Giao hai tiệm cận là O(0;0). Gọi
o
o
a
M x ; (H)
x
tiếp tuyến tại M có dạng:
2
0 o
ax x y 2ax 0
Ta có:
2
0
4
0
2 a
x
d d(O, ) 2 a a 2
1 x
2
Dấu “=” xảy ra tại
x 1
Câu 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
mx 2
y
x 1
có hai đường tiệm cận
ngang.
A.
m 0
B. Với mọi
m
C.
m 0
D.
m 0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Hàm số có 2 tiệm cận ngang
m m m 0
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số
2
2x 3x m
y
x m
không có
tiệm cận đứng.
A.
m 1
B.
m 0
C.
m 1
D.
m 1
và
m 0
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x = m là nghiệm của
2
p x 2x 3x m
2 2
m 0
2m 3m m 0 2m 2m 0 2m m 1 0
m 1
Câu 18: Cho hàm số
2
x 1
y , m 0
x 2mx 9
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị
của hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng?
A. 3 B. 2 C. 1 D.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
nghiệm khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiêm bằng 1
+
2
' m 9 0 m 3
phương trình có một nghiệm x=3 hoặc x= - 3 thỏa mãn
+
2
m 3
' m 9 0
m 3
khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để đồ thị có một tiệm
cận đứng thì một nghiệm bằng 1
1 2m 9 0 m 5
Vậy với m = 3, m = - 3, m = 5 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 19: Cho hàm số
2
mx m
y
x
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
A.
2
m B.
1
2
m
C.
4
m
D.
2
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là:
b' a
S .
a' a '
Tiệm cận đứng và ngang của hàm số đã cho là:
x 1;y 2m
. Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi
2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là:
S 2m 8 m 4
Câu 20: Tìm m để đồ thị hàm số
2
2x 1
y
x 2mx 3m 4
không có tiệm cận đứng
A.
m 1
hoặc
m 4
B.
m 1
hoặc
m 4
C.
1 m 4
D.
1 m 4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Để đồ thị hàm số
2
2x 1
y
x 2mx 3m 4
không có tiệm cận đứng khi
2
x 2mx 3m 4 0
vô
nghiệm.
Phương trình
2
x 2mx 3m 4 0
có
2
4m 4 3m 4
. Để phương trình vô nghiệm thì
2
0 4m 12m 16 0 1 m 4
Câu 21: Biết đồ thị hàm số
2
2
(4 ) 1
12
a b x ax
y
x ax b
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì
giá trị
a b
bằng:
A.
10
. B.
2
. C.
10
. D.
15
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang mà
lim 4 0 4
x
y a b b a

Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Biểu thức
2
+ax+ 12
x b
nhận
0
x
làm nghiệm
12 3
b a
15
a b
Câu 22: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
y mx 4x mx 1
có tiệm cận ngang
là:
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
4
y x m mx 1
x
. Để hàm số có giới hạn hữu hạn tại vô cực thì hệ số của x phải triệt tiêu
+)
4
x y x m mx 1
x

suy ra hệ số của x là
m m 0
nên giới hạn này không
hữu hạn.
+)
4
x y x m mx 1
x

suy ra hệ số của x là
m 0
m m 0
m 1
Với
m 0
thay trở lại hàm số không xác định khi
x
Với
m 1
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
2
2
x x
x 4x x 1
y x 4x x 1 lim y lim
x 4x x 1
 
=
2
x
2x 1 2
lim 1
2
x 4x x 1

Vậy có một giá trị thực của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
Câu 23: Cho hàm số
ax 1
y
x 3b 1
. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang
và tiệm cận đứng. Khi đó tổng
a b
bằng:
A.
1
3
B. 0 C.
1
3
D.
2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
ax 1
y
x 3b 1
có tiệm cận ngang là
y a 0
, tiệm cận đứng là
1
x 3b 1 0 b
3
Suy ra
1
a b
3
Câu 24: Cho hàm số
4 3
2
mx m
y
x
. Với giá trị nào của
m
thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng
2016
.
A.
m
. B.
504
m
. C.
252
m
. D.
1008
m
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
x 2
và tiệm cận đứng
y 4m
YCBT:
4m .2 2016 m 252
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2
x 1
y
x mx m
có đúng một tiệm
cận đứng.
A.
m 0
B.
m 0
C.
m 0;4
D.
m 4
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
TH1.
2
0
x mx m
có nghiệm kép khác
2
0
4 0
1
4
1 0
m
m m
m
m m
TH2.
2
0
x mx m
có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1
2
4 0
1 0
m m
m
m m
.
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
4
x 2
y
mx 3
có hai đường tiệm cận
ngang.
A.
m 0
B.
m 0
C.
m 0
D.
m 3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Đồ thị hàm số
2
4
x 2
y
mx 3
có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn
x x
lim y a a , lim y b b
 
tồn tại. Ta có:
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+ với
m 0
ta nhận thấy
x x
lim y , lim y
 

suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
+ Với
m 0
, khi đó hàm số có TXĐ
4 4
3 3
D ;
m m
, khi đó
x x
lim y, lim y
 
không tồn tại suy
ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
+ Với
m 0
, khi đó hàm số có TXĐ
D
suy ra
2
2
2
x x
2 2
2 4
2
2
x 1
1
1
x
x
lim , lim
3 3 m
x m x m
x x
 
suy ra
đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang.
Vậy
m 0
thỏa YCBT.
Câu 27: Cho hàm số
3x 1
y
x 3
có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ
M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
A.
1 2
M 1; 1 ;M 7;5
B.
1 2
M 1;1 ;M 7;5
C.
1 2
M 1;1 ;M 7;5
D.
1 2
M 1;1 ;M 7; 5
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng:
1
:x 3 0
và tiệm cận ngang
2
: y 3 0
Gọi
0 0
M x ;y C
với
0
0 0
0
3x 1
y x 3
x 3
. Ta có:
1 2 0 0
d M, 2.d M, x 3 2. y 3
2
0
0
0 0
0
0
x 1
3x 1
x 3 2. 3 x 3 16
x 7
x 3
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là
1
M 1;1
và
2
M 7;5
Câu 28: Cho hàm số
x 1
y
mx 1
(m: tham số). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có tiệm cận
đứng
A.
m \ 0;1
B.
m \ 0
C.
m \ 1
D.
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
m 1 y 1
Không có tiệm cận
m 0 y x 1
Không có tiệm cận. Suy ra A.
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của số thực m sao cho đồ thị hàm số
2
4x
y
x 2mx 4
có 2 đường tiệm
cận.
A.
m 2
B.
m 2 m 2
C.
m 2
D.
m 2 m 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
x
lim y 0

suy ra đường thẳng
y 0
là TCN.
Đồ thị hàm số có thêm một đường tiệm cận nữa khi phương trình
2
x 2mx 4 0
có một nghiệm,
suy ra
m 2
.
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 30: Cho hàm số
ax 1
y 1
bx 2
. Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng
x 1
là tiệm
cận đứng và đường thẳng
1
y
2
làm tiệm cận ngang.
A.
a 2;b 2
B.
a 1;b 2
C.
a 2;b 2
D.
a 1;b 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
Tiệm cận đứng
2
x 1 b 2
b
Tiệm cận ngang
a a 1
y a 1
b 2 2
Câu 31: Cho hàm số
2
5x 3
y
x 4x m
với m là tham số thực. Chọn khẳng định sai:
A. Nếu
m 4
đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
B. Nếu
m 4
đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
C. Nếu
m 4
đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Với mọi m hàm số luôn có hai tiệm cận đứng.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Xét phương trình
2
x 4x m 0
, với
' 4 m 0 m 4
thì phương trình này vô nghiệm
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 32: Cho hàm số
2x 1
y
x 1
. Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ
thị (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox.
A.
M 0; 1
M 4;3
B.
M 0;1
M 4;3
C.
M 0; 1
M 4;5
D.
M 1; 1
M 4;3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Gọi
0
0 0 0 0
0
2x 1
M x ;y , x 1 , y
x 1
. Ta có
1 0 0
d M, d M,Ox x 1 y
2
0
0 0 0
0
2x 1
x 1 x 1 2x 1
x 1
Với
0
1
x
2
, ta có:
0
2
0 0 0
0
x 0
x 2x 1 2x 1
x 4
Suy ra
M 0; 1 ,M 4;3
Với
0
1
x
2
, ta có phương trình:
2 2
0 0 0 0
x 2x 1 2x 1 x 2 0
(vô nghiệm).
Vậy
M 0; 1 ,M 4;3
Câu 33: Cho hàm số
2
3
6
x
y
x x m
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số chỉ có
một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?
A.
27
. B.
9
hoặc
27
. C.
0
. D.
9
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Điều kiện cần (): Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng khi mẫu số chỉ có một nghiệm hoặc
có hai nghiệm nhưng một nghiệm là
3
x
2
2
6 4 0
3 6. 3 0
m
m
9
27
m
m
Điều kiện đủ ()
+ Với
9
m
, hàm số
2
3
6 9
x
y
x x
2
3
3
x
y
x
: đồ thị có
3
:TCĐ x
,
0
:TCN y
.
+ Với
27
m
, hàm số
2
3
6 27
x
y
x x
3
3 9
x
y
x x
1
, 3
9
y x
x
đồ thị có
9
:TCĐ x
,
0
:TCN y
.
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
2x 1
y
3x m
có đường tiệm cận
đứng
A.
m 1
B.
m 1
C.
m
D.
3
m
2
Hướng dẫn giải:
Câu 35: Cho hàm số
2
2
y mx x x
. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận
ngang
A.
1
m
. B.
2;2
m
. C.
1;1
m
. D.
0
m
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A.
2
2 2
2
2 2
1 2
2
lim lim 2 lim lim
2 2
x x x x
m x x
mx x x
y mx x x
mx x x mx x x
   
Hàm số có tiệm cận ngang khi
1.
m
Vì
2
2
1 2
lim 2
2
x
x m x
mx x x

khi
1.
m
Câu 36: Giả sử đường thẳng
d: x a a 0
cắt đồ thị hàm số
2x 1
y
x 1
tại một điểm duy nhất, biết
khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu
0 0
x ;y
là tọa độ của
điểm đó. Tim
0
y .
A.
0
y 1.
B.
0
y 5.
C.
0
y 1.
D.
0
y 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Gọi
2a 1
M a; a 0
a 1
là điểm cần tìm. Đồ thị hàm số có TCĐ là đường
x 1.
Khi đó:
a 0
0
2a 1
d M;x 1 1 a 1 1 a 2 y 5.
a 1
Chọn đáp án D
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT 3x m 0 không có nghiệm x
1
2
Khi đó 3.
1
m 0 m
3
2 2
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 37: Cho hàm số:
2
x x 2
y
x 2
, điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với 2 đường tiệm cận
một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì hoành độ bằng
A.
4
2 10
B.
4
2 6
C.
4
2 12
D.
4
2 8
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D
ta có TCĐ của hàm đã cho là
x 2
và
2
x 2 x 3 4
x x 2 4
x 3
x 2 x 2 x 2
nên sẽ có TCX
là:
y x 3
2
2 2
2 2
2x 1 x 2 x x 2
x x 2 x 4x
y' '
x 2
x 2 x 2
Phương trình tiếp tuyến:
2 2
0 0 0 0
0
2
0
0
x 4x x x 2
y x x
x 2
x 2
Giao của tiếp tuyến với
y x 3
tại điểm có hoành độ là nghiệm của:
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
0
2 2 2
0 0
0 0 0
4x x x 2 4x 4x x x 2
x 3 x x x. 1 3
x 2 x 2
x 2 x 2 x 2
2 2 2
2 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0
2 2 2
0 0 0
4x 3 x 4x 4 x x 2 x 2
x 4 x 12x 16
x.
x 2 x 2 x 2
3 3 3 2
0 0 0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
x 12x 16 x 12x 16 x 3x 12x 4
x C ,
x 4 x 4 x 4
Các giao điểm còn lại:
2
0 0
0
x 5x 2
A 2;5 ;B 2;
x 2
Đến đây nhanh nhất vẫn là thử từng đáp án để xem đâu là chu vi nhỏ nhất
Câu 38: Cho hàm số
1
mx
y
x n
. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
3
x
và có tiệm cận ngang và
đi qua điểm
2;5
A thì phương trình hàm số là:
A.
2 1
3
x
x
B.
3 1
3
x
x
C.
5 1
3
x
x
D.
3 1
3
x
x
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
Xét
2
2
2 2
1 1
2 2
; lim 1
2 1
1 1
x
x
x x
y y
x mx m
x m x m

Chú ý 1# 1
m m m
do vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng
1; 1
x m x m
và 1 1 tiệm cận
ngang y = 1.
Câu 39: Gọi A là 1 điểm thuộc đồ thị hàm số
3
3
x
y C
x
. Gọi S là tổng khoảng cách từ A đến 2
đường tiệm cận của (C). Giá trị nhỏ nhất của S là
A.
6
B.
2 6
C. 6 D. 12
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
0
0
0
3
;
3
x
A x C
x
. Hàm số
3
3
x
y
x
có tiệm cận đứng x = 3, và tiệm cận ngang y = 1.
Tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận
0
1 2 0 0 0
0 0 0
3
6 6
, , 3 1 3 2 3 . 2 6
3 3 3
x
S d A d d A d x x x
x x x
.
Câu 40: Cho hàm số
2
2
x
y
x
, có đồ thị (C). Gọi P, Q là 2 điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng
khoảng cách từ P hoặc Q tới 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:
A.
4 2
B.
5 2
C. 4 D.
2 2
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Đồ thị hàm số
2
2
x
y
x
có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2. Suy ra tọa độ giao điểm
của hai đường tiệm cận là I (2;1)
Gọi
0
0
0
2
;
2
x
P x C
x
. Khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm
cận
0
1 2 0 0 0
0 0 0
3
4 4
, , 2 1 2 2 2 . 4
3 3 2
x
S d A d d A d x x x
x x x
2
0 0
min 0 0
0 0
0
2 2 4; 3
4
4 2 2 4
2 2 0; 1
2
4; 3 , 0; 1
x x y
S x x
x x y
x
P Q
4 2
PQ
.
Câu 41: Cho hàm số
2
2
4
x
y
x x m
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận
đứng?
A.
4
m
B.
4
m
C.
4
m
D. m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Cần nhớ số tiệm cận đứng của hàm số
f x
y
g x
bằng với số nghiệm của phương trình
0
g x
.
Yêu cầu bài toán phương trình
2
4 0
x x m
có nghiệm kép
4 0 4
m m
. Kiểm
tra lại với
4
m
ta được
2
2 1
4 4 2
x
y
x x x
Đồ thị hàm số
1
2
y
x
luôn có 1 tiêm cận đứng.
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong
3
3
2
3 2
mx
y
x x
có hai tiệm cận đứng ?
A.
1
2;
4
m
B.
1
3;
2
m
C.
1
m
D.
2;1
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Cần nhớ số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng với số giá trị x mà tại đó hàm số không xác định.
Ta có D = R\{1;2}
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Để hàm số
3
2
2
3 2
mx
y
x x
có hai tiệm cận đứng thì phương trình
3
2#0
g x mx và phương
trình
3
2 0
g x mx
có nghiệm khác 1 và 2
Suy ra
2
1 2 0
1
2 8 2 0
4
m
g m
m
g m
.
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong
2
2
4x
4x 3
m
y
x
có hai tiệm cận đứng.
A.
4;36
m B.
2;1
m C.
3;4
m D.
1
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Ta có
2
4 3 1 3
x x x x
Để đường cong
2
2
4
4 3
x m
y
x x
có hai tiệm cận đứng thì phương trình
2
4 0
g x x m
và
phương trình
2
4 0
g x x m
có nghiệm khác 1 và 3
Suy ra
1 4 0
4
36
3 36 0
g m
m
m
g m
.
Câu 44: Giả sử
0 0
;
M x y
là giao điểm của đường phân giác góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng tọa
độ) với tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
1
x
y
x
. Tính
0 0
x y
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án A
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x
Ta có
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim lim 1 1 1
x x x x
x
x
x
y y
x x x
   
là tiệm cận xiên
2
2
2
1
1
1 1
lim lim lim lim 1 1 1
x x x x
x
x
x
y y
x x x
   
là tiệm cận xiên
Trường hợp 1: y = -1 => x = y = - 1 => x + y = -2
Trường hợp 2: y = 1 => x = y = 1 => x + y = 2.
Câu 45: Cho hàm số
2
1
mx m
y
x
. Với giá trị nào của tham số
m
thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận
ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
A.
2
m
. B.
1
2
m
. C.
4
m
. D.
2
m
.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì
0
m
.
Khi đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là
1, 2
x y m
. Hình chữ nhật tạo bởi 2 tiệm cận và 2
trục tọa độ có diện tích là
2 .1 8 4
m m
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 47:
Giả sử
đường
thẳng
: , 0,
d x a a
cắt đồ thi hàm số hàm số
2 1
1
x
y
x
tại một điểm duy
nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; kí hiệu
0 0
;
x y
là
tọa độ của điểm đó. Tìm
0
y
.
A.
0
1
y
B.
0
5
y
C.
0
1
y
D.
0
2.
y
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
d cắt đồ thị tại
2 1
;
1
a
M a
a
Đồ thị có tiệm cận đứng
: 1
x
Ta có :
0
1
, 1 1 2 0
2
1
a
a
d M a
a
Với
0 0
2 2 5
a x y
Câu 48:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho đồ thị hàm số
2 2
1 2
1
m x x
y
x
có đúng một tiệm cận ngang.
A.
1
m
hoặc
1
m
B.
0
m
C.
1
m
D.
Với mọi giá trị
m
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C
2
2 2
2
2
1 2
1
1 2
lim lim lim 1
1
1
1
x x x
m
m x x
x x
y m
x
x
  
2
2 2
2
2
1 2
1
1 2
lim lim lim 1
1
1
1
x x x
m
m x x
x x
y m
x
x
  
Do đó nếu
2
1
1 0
1
m
m
m
đồ thị hàm số có hai tiệm cận
Nếu:
2
1
1 0
1
m
m
m
đồ thị hàm số có một tiệm cận
0
y
Nếu
2
1 0 1 1
m m
đồ thị hàm số không có tiệm cận
| 1/29
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – KIẾN THỨC CHUNG 1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x  a là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y   hoặc lim y   hoặc lim y   hoặc lim y   x a  x a  x a  x a 
+) Đường thẳng y  b là TCN của đồ thị hàm số y  f  x nếu có một trong các điều kiện sau: lim y  b hoặc lim y  b x  x  2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y   , y   bt, y  bt  có TCN. (Dùng liên hợp) +) Hàm x y  a ,0  a   1 có TCN y  0
+) Hàm số y  log x, 0  a  1 có TCĐ x  0 a   3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y x  x  4. Chú ý: +) Nếu 2 x    x  0  x  x  x +) Nếu 2 x    x  0  x  x  x B – BÀI TẬP
DẠNG 1: BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Câu 1: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang: 3  x 1 2 2x 1 A. 3 2
y x  25x  8 B. 4 2
y x  8x  99 C. y D. y  2 x  2 x  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số ở câu A và B không có tiệm cận, đồ thị hàm số ở câu D có tiệm cận xiên 3  x 1
Xét ý C: Ta có lim y  lim
 0 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận 2 x
x x  2 ngang.
Câu 2: Đường thẳng y  8 là tiệm cận ngang của đồ thị của hàm số nào ? 2x  7 16x  25 2 2x 1 8x  25 A. y B. y C. y D. y  2 x  9 3  2x 16x  2 1 3x Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 ax b a ax b Ta có lim 
c  0;ad bc nên đồ thị hàm số y
c  0;ad bc nhận đường
x cx d c cx d a thẳng y
là tiệm cận ngang. Do vậy đường thẳng y = -8 là tiệm ngang của đồ thị hàm c 16x  25 số y  . 2  x  3 2x  3
Câu 3: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: x 1 1 1
A. y  1, x  2
B. y  2, x  1 C. y  , x  1
D. y  1, x  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2x  3 Ta có lim
 2 Do đó là tiệm cận ngang là y = 2 x x 1 2x  3 2x  3 Lại có lim  ; lim
  nên tiệm cận đứng là x = 1. x x 1 x x 1 2 x  2x  6 2 x  4x  3
Câu 4: Cho hàm số y  và y
. Tổng số đường tiệm cận của hai đồ thị là x 1 2 x  9 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2 x  2x  6 Xét y
có 1 tiệm cận đứng là x = 1 x 1 Mặt khác 2x 6 2x 6     2 x 1 x 1 2 2 x  2x  6 2 x x 2 2 x  2x  6 x x lim y  lim y  1; lim y  lim y  1  x x 1 x  1  x x 1 x  1  x 1   x 1    x   x
Nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y   1 2 x  4x  3  x   1  x  3 Xét y  
ta có đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1 và chỉ có một 2 x  9
x  3 x  3 x 1 2
tiệm cận đứng là x = -3. Do vậy tổng số tiệm cận là 5. Chú ý: Do lim y   nên x = 3 không x3 x  3 5 là tiệm cận đứng. 3
Câu 5: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Mệnh đề nào sau đây là đúng? x 1
A. C có tiệm cận ngang là y  3
B. C có tiệm cận ngang là y  0
C. C có tiệm cận đứng là x 1
D. C chỉ có một tiệm cận Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x  1
 , tiệm cận ngang là y  0 nên B đúng 3  2x
Câu 6: Đồ thị hàm số y 
có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là: x 1 A. x  1  ; y  2  B. x  1; y  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 C. x  1; y  2 D. x  2; y  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C  lim y  2  Ta có x 
 hàm số có TCN là đường thẳng y  2  lim y  2  x lim y     Lại có x 1  
 Hàm số có TCĐ là đường thẳng x  1 lim y    x 1  x  2
Câu 7: Đồ thị hàm số y
có đường tiệm cận đứng là 1  2x 1 1 1 A. x   . B. x  2. C. x  . D. y   . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2  2x
Câu 8: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  . x 1 A. x  2 B. y  2  C. y  1  D. x  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B  2  2x lim y  lim  2  x x  x 1 Ta có: 
=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2  . 2  2x  lim y  lim  2  x x  x 1 x 1
Câu 9: Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  lần x  2 lượt là
A. x  2; y  1
B. y  2; x  1
C. x  2; y  1  D. x  2  ; y  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Tiệm cận đứng: x  2 , tiệm cận ngang y  1. 3 x  3x  2
Câu 10: Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 x  4x  3
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1 và y  3.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  1 và x  3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D
TXĐ D   \ 1;  3
+) lim y  , lim y   và lim y  , lim y   Vậy x  1, x  3 là 2 đường TCĐ. x 1 x 1 x 3 x 3    
+) Chú ý: chỉ cần tính 1 giới hạn bên trái hoặc bên phải
Câu 11: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đúng một đường tiệm cận (gồm các đường tiệm cận
đứng và tiệm cận ngang). x 1 A. 2 y x 1  . x B. y  . C. 4 2
y x x  1. D. 3
y x  2x  1. x  2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Ta có: Tập xác định của hàm số là  và:   lim x   x     x   x x  1 2 1  lim 0; lim x x  2 1 0 2   x 1  x
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
Câu 12: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng  2  ;  
1 và có lim f x  2, lim f  x   .   x2 x  1
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số f x  có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2 và y  1 
B. Đồ thị hàm số f x  có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
C. Đồ thị hàm số f x  có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2
D. Đồ thị hàm số f x  có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  2 và x  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
Ta có lim f  x    đồ thị hàm số f x  có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1  x  1 2 2
4x 1  3x  2
Câu 13: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y  là: 2 x x A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A  1   1 
Tập xác định: D   ;    ;1  1;        2   2  Tiệm cận đứng: 2 2
4x 1  3x  2 2 2
4x 1  3x  2 lim y  lim
  ; lim y  lim   x 1 x 1   x x   1 x 1 x 1   x x   1
Suy ra x  1 là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: 4 1 2 2 2   3  2 4 2
4x 1  3x  2 lim  lim  lim x x x y
 3  y  3 là tiệm cận ngang 2 x x x x x 1 1 x 4 1 2 2 2   3  2 4 2
4x 1  3x  2 lim  lim  lim x x x y
 3  y  3 là tiệm cận ngang 2 x x x x x 1 1 x
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.
Câu 14: Đồ thị hàm số y f (x) có lim y  2; lim y  2 . Chọn khẳng định đúng ? x x
A. Tiệm cận đứng x  2 .
B. Tiệm cận ngang y  2 .
C. Hàm số có hai cực trị.
D. Hàm số có một cực trị. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 ax b a a a Với hàm số y  có lim y  ; lim y
suy ra tiệm cận ngay y cx d x x c  c c
Tiệm cận ngang y  2
Câu 15: Xét các mệnh đề sau: 1
1. Đồ thị hàm số y
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. 2x  3 2 x x x 1
2. Đồ thị hàm số y
có hai đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng. x x  2x 1
3. Đồ thị hàm số y
có một đường tiệm cận ngang và hai đường tiệm cận đứng. 2 x 1
Số mệnh đề ĐÚNG là A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 1 y
có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang. 2x  3 2 x x x  1 2 x x x  1 1 2 x x x  1 lim  2; lim   y
có hai đường tiệm cận ngang x x x x 2 x
và một đường tiệm cận đứng. x  2x 1  1  y
có tập xác định D  ;   \    
1 nên có tối đa một đường tiệm cận đứng. 2 x 1  2  1
Câu 16: Cho các hàm số x 3 y  3 ; y  log x; y 
; y  x . Chọn phát biểu sai 3 3x
A. Có hai đồ thị có tiệm cận đứng.
B. Có hai đồ thị có tiệm cận ngang.
C. Có đúng hai đồ thị có tiệm cận.
D. Có hai đồ thị có chung một đường tiệm cận. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án ta thấy 1
Đồ thị hai hàm số y  log x; y 
cùng có tiệm cận đứng là đường thẳng x  0 3 3x 1 Đồ thị hai hàm số x y  3 ; y 
cùng có tiệm cận ngang là: y  0 3x
Có 3 đồ thị hàm số có tiệm cận nên C sai. x 1
Câu 17: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x 1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
TXĐ: D   ;   
1  1;  . lim y  1
 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. x x  1  x 1  lim y  lim  lim     0 x 1 x 1 2 x 1     x 1  x 1   x 1 x 1 lim y  lim  lim
  đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1   2 x 1 x 1 x 1    x 1 x 1
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 2x 1
Câu 18: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  ? x 1 1 A. x   . B. y  1  . C. y  2 . D. x  1 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
 Ta có lim y  2  y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 2 x 1  2x
Câu 19: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  f x  là: x 1 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 2 x 1  2x Ta có: lim y  lim  1
 nên đường thẳng y  1
 là tiệm cận ngang khi x   . x x x 1 2 x 1  2x +) lim y  lim  3
 nên đường thẳng y  3
 là tiệm cận ngang khi x   . x x x 1
+) Mà đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 3x  2
Câu 20: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang và đứng của đồ thị hàm số y f x  x 1
A. Đồ thị hàm số f x có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = -3 , y = 3 và không có tiệm cận đứng.
B. Đồ thị hàm số f x không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
C. Đồ thị hàm số f x không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1, x = 1.
D. Đồ thị hàm số f x có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y 3 và không có tiệm cận đứng. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2 3  3x  2 3x  2 Ta có: lim  lim  lim  lim x y
 3  y  3 là TCN. x x x 1 x x 1 x 1 1 x 2 3  3x  2 3x  2 lim  lim  lim  lim x y  3   y  3  là TCN. x x x 1 x x  1 x 1 1 x
Không tồn tại giá trị xo để lim y  0  Đồ thị hàm số không có TCĐ. xxo 2x  3
Câu 21: Đồ thị hàm số y  1
có bao nhiêu đường tiệm cận? | x | 1  A. không có B. 1 C. 4 D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12  3  2   2x  3   x  lim  lim 1  lim 1  3  y  3     là TCN x x x | x | 1   1    1   x   3  2   2x  3   x  lim  lim 1  lim 1  1  y  1      là TCN x x x | x | 1   1    1     x 
 Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Cách 2 : Dùng CALC của CASIO
Câu 22: Đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây? 2 1 x 2x  2 2  x  3 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . x 1 1 2x x  2 x  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C a
Tiệm cận ngang y   2 c 2x
Câu 23: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x 1  x A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 2x y  2 x 1  x 2 2
x 1  x x
x  1  x  0 . 2x 2 lim y  lim  lim
 1 . Tiệm cận ngang : y  1  x x 1 x 1 x 1  x  1 1 2 2 x x 2x  2 x 1  x lim y  lim  lim 2x
x   x   . x x x  2 1 2 2  x 1 x x 1
Câu 24: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y  là 2 x 1 A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
TXĐ: D   ;   
1  1;  . lim y  1
 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. x x  1  x 1  lim y  lim  lim     0 x 1 x 1 2 x 1     x 1  x 1   x 1 x 1 lim y  lim  lim
  đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1   2 x 1 x 1 x 1    x 1 x 1
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 6  2x
Câu 25: Cho hàm số y
. Khi đó tiệm cận đứng và tiệm cân ngang là 3  x A. Không có.
B. x  3; y  2  .
C. x  3; y  2.
D. x  2; y  3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Dựa vào định nghĩa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. 2x 1
Câu 26: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  2 x x  2 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2x 1 2x 1
Ta phải tính các giới hạn: lim   2  ; lim   2 x  2 x 2 x  x  2 x  x  2
Hàm số có 2 tiệm cận ngang y=2 và y  2  2x  1
Câu 27: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  ? 1 x A. y  2. B. y  2. C. x  2  . D. x  2. đứng là x  1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B Ta có : lim  2
 nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y  2  . x 3x  2
Câu 28: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  x 1 A. x  1 B. x  1 C. y  3 D. y  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 3x  2 lim
 3 suy ra y  3 là tiệm cận ngang x  x  1
Câu 29: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận? x  1 A. y  . B. 4 2 y  x  5x 1. x  3 C. 3 y  x  2x  3. D. 4 2 y  x  x . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 1 2x
Câu 30: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  có phương trình lần x  2 lượt là
A. x  2; y  2.
B. x  2; y  2.
C. x  2; y  2. D. x  2  ; y  2  . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C  lim y     Có: x2 
nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. lim y    x2
lim y  2 nên đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 x
Câu 31: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y  là: 2 x 1 A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A + Ta có: 2
x  1 vô nghiệm suy ra hàm số không có tiệm cận đứng. x x 1 + lim  lim  lim
 1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 2 x  1 x 1 x 1 x 1  1  2 2 x x x x 1 + lim  lim  lim
 1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị x 2 x  1 x 1 x 1  x 1   1  2 2 x x
hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là y  1và y  1. 2 x  4x  3
Câu 32: Cho hàm số y
có đồ thị là C  . Gọi m là số tiệm cận của C  và n là giá trị 2x  3
của hàm số tại x  1 thì tích mn là: 14 2 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 15 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 2 2 x  4x  3 x  4x  3 3 Ta có lim  , lim
  nên x  
là tiệm cận đứng của đồ thị    3  2x  3  3  2x  3 2 x  x       2   2  hàm số. 2 x  4x  3 3 3 lim  nên y
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 2x  3 2 2 2 x  4x  3 1 1 lim   nên y  
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 2x  3 2 2
Đồ thị không có tiệm cận xiên. 2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận hay m  3 , n  . 5 6 Do đó mn  . 5 2 x  2x  3
Câu 33: Cho hàm số y  . Khi đó: 2 x  4
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 ; tiệm cận ngang y  2 và y  2 .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2
 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2
 và x  2 ; tiệm cận ngang y  1  .
D. Đồ thị hàm số có tiệm đứng x  1
 và x  1 ; tiện cận ngang y  1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 2 3 2 1  2 x  2x  3 Ta có lim  lim  lim x x y  1 2 x x x  4 x 4 1 2 x 2 3 2 1  2 x  2x  3 và lim  lim  lim x x y  1 . 2 x x x  4 x 4 1 2 x
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1. 2 x  2x  3 2 x  2x  3 lim y  lim
  và lim y  lim   .   2   2 x2 x2 x  4 x2 x 2  x  4
Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và x  2 . x  2
Câu 34: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  có phương trình là 2  x 1 A. y  B. y  1 C. y  1  D. y  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C x  2 Ta có lim y  lim
 1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1  x  x  2  x 2 4 3x 1 x  x  2
Câu 35: Đồ thị hàm số f (x) 
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2 x  3x  2
A. Tiệm cận đứng x  2 , x  1; tiệm cận ngang y  2 .
B. Tiệm cận đứng x  2 ; tiệm cận ngang y  2 .
C. Tiệm cận đứng x  2 , x  1; tiệm cận ngang y  2 , y  3 .
D. Tiệm cận đứng x  2 ,; tiệm cận ngang y  2 , y  3 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 2 4 3x 1 x  x  2 Ta có lim f (x)  lim
 2  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  2 . 2 x x x  3x  2      2 4
3x 1 x  x  2  2 4 2 4 3x 1 x  x  2 3x 1 x x 2  Mặt khác lim f (x)  lim  2 x  x  x  3x  2  2 x  3x  2 2 4 3x 1 x  x  2  x   1  3 2 4 8x  8x  8x     1 8x 7x 1  f (x)    2 x  3x  2 2 4
3x 1 x  x  2  x   1  x  2 2 4 3x 1 x  x  2   3 2 8x  8x  8x   1  f (x)  x  2 2 4 3x 1 x  x  2  Suy ra     2 4 x
2 3x 1 x  x  2   0  x  2  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2. x 1
Câu 36: Cho hàm số y 
có đồ thị C . Mệnh đề nào dưới đây là đúng. 2 x  3x  2
A. C không có tiệm cận ngang
B.C có đúng một tiệm cận ngang y  1
C.C có đúng một tiệm cận ngang y  1 
D. C có hai tiệm cận ngang y  1 và y  1 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 1 1 1 1 x x lim y  lim  1; lim y  lim  1  x x x x 3 2  3 2 1   1  2 2 x x x x
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang y  1 và y  1  x  4
Câu 37: Đồ thị hàm số y  có bao nhiêu tiệm cận? 2 x  4 A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D Ta có:  x  4 lim y  lim  1 x x 2  x  2  
 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. x  4  lim y  lim  1  x x 2   x  2 2   x  4  0  x  2   
 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. lim y    x2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Câu 38: Đồ thị của hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận? x x x x  3 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . 2 x  2x  3 2 2 x  4 x  3x  2 2x 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau: 
Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất có hai đường tiệm cận. x
Đồ thị hàm số y
có ba đường tiệm cận vì mẫu số có nghiệm 2 x  3x  2
x  2, x  1  0 và bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên có tiệm cận ngang y  0. x x
Đồ thị các hàm số y  , y
có hai đường tiệm cận. 2 2 x  2x  3 x  4 2 1 x
Câu 39: Cho hàm số y
. Tìm khẳng định đúng? x
A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1, y  1  .
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng x  0, y  1, y  1.
D. Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là đường thẳng x  0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 2 1 mx
Lưu ý với m  0 thì đồ thị của hàm số y
không có tiệm cận ngang. x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 1  m 2 x
Thật vậy, ta có: lim y  lim 
m với m  0. x x 1 1  m 2 x lim y  lim 
  m với m  0. x x 1 2 1 mx
Do đó để đồ thị hàm số y
có tiệm cận ngang thì bắt buộc m  0. x 2 1 mx
Như vậy đồ thị hàm số y
không có tiệm cận ngang. x
Rõ ràng x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 1
Câu 40: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  3  x 3 A. y  3  B. x  3 C. x  3 D. y  3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D  1  Ta có lim y  lim 3   3   
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  3 x x  x  3  3 2 x  3x  20
Câu 41: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  2 x  5x 14 x  2 x  2 A.B. x  2 C.D. x  7 x  7  x  7  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D   x  2 2 3 2 x  5x 10 x 3x 20  2 x  5x 10 Ta có y    2 x  5x 14 x  2x  7 x  7
Suy ra x  7  0  x  7  Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x  7 2 x  4
Câu 42: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  ? 2 3  2x  5x 3 3 3 A. x = 1 và x  B. x  1 và x  C. x  1 D. x  5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B   3 2 
3  2x  5x  0  x   1;    5 Ta có  
 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
 lim y  , lim y   x1 3 x   5 3 x  1, x  . 5 2x 1
Câu 43: Đường thằng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  ? x 1 A. y  2  B. y  2 C. x  1 D. x  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12  2x  1 lim  lim  2 x x  x 1 Ta có 
 Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y  2 . 2x 1  lim y  lim  2 x x  x 1 2x  2017
Câu 44: Cho hàm số y   
1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? x 1
A. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x  1
B. Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  2
 , y  2 và không có tiệm cận đứng.
C. Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 và không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x  1  , x  1 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 2x  2017 Hàm số y   
1 có tập xác định là  , nên đồ thị không có tiệm cận đứng x 1 2x  2017 2x  2017 lim  2; lim  2
nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường x x x 1  x 1 thẳng y  2  , y  2 3x 1
Câu 45: Cho hàm số y 
. Khẳng định nào dưới đây đúng? 2x 1 1 1
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x   . B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  . 2 2 1
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y  .
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B 1 1
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 
và tiệm cận ngang là y  . 2 2 2 4x 1 x  2x  6
Câu 46: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  . 2 x  x  2 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chính là số nghiệm của hệ phương trình: 2 2  4x 1 x 2x 6 0      
4x 1 x  2x  6  0     x  2  2 x  x  2  0 x  1  x  2   
Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng. 2x 1
Câu 47: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị y
có phương trình lần lượt là x  1 A. x   ; 1 y  2 B. y   ; 1 y  2 C. x  ; 2 y  1  D. x   ; 1 y  2 Hướng dẫn giải:
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 Chọn đáp án A 2x  3
Câu 48: Cho hàm số y
. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận? 2 x  2x  3 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C x  3
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2
x  2x  3  0  x  1    3  x 2     lim  2 2x  3  x  Ta có x lim y  lim  lim    x x 2 x x  2x  3  2 3 lim  2    x x 1  2 x x
 đồ thị hàm số có hai TCĐ. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận. 2 1 x  x 1
Câu 49: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số : y  3 x 1
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng B. x  1 C. x  0 D. x  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 1 x  x 1  2 2 1 x  x   1 x x   1 y    3 x 1 x   1  2 x  x   1  2
1 x  x 1 x   1  2 x  x   1  2 1 x  x 1 x 
.Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng.  2 x  x   1  2 1 x  x  1 1 2x
Câu 50: Hỏi đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận? 3x  2 A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 1 2x 2 lim y  lim    x   là TCĐ 2 2 3x  2 3 x x 3 3 1  2 1 2x 2 2 x lim y  lim  lim    y   là TCN x x x 3x  2  2 3 3 3  x
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận x  1.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 2 m x  4
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y
có tiệm cận đi qua điểm mx 1 A1;4 A. m  1 B. m  2 C. m  3 D. m  4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.m  0
Điều kiện để hàm số không suy biến là 2 m .  1  .
m 4  m  4  1
Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: x  ; y m m  1 1 m 1
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đi qua điểm A(1;4) nên ta có  m .
m  4 loai   m   1 x  5m
Câu 2: Tìm m để đồ thị hàm số y
có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1. 2x m 5 A. m  2. B. m  . C. m  0. D. m  1. 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. m 1
Ta có lim y  lim y x x 2
Do đó hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1 khi chỉ khi m 1  2  m  1 . 2x 1
Câu 3: Cho M là giao điểm của đồ thị C  : y
với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ 2x  3
điểm M đến hai đường tiệm cận là A. 4 . B. 6 . C. 8. D. 2 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. 3
Ta có: Tiệm cận đứng x
và tiệm cận ngang y  1 2 2x 1 1  1 
Tọa độ giao điểm của (C) và trục Ox : Với y  0   0  x   M ;0   2x  3 2  2 
Ta có: khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d  1 và khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là 1 d  2 . 1
Vậy tích hai khoảng cách là d .d  1.2  2 1 2 3
x  6x m
Câu 4: Tìm m để hàm số y
không có tiệm cận đứng? 4x mm  0 A. m  2 . B.  . C. m  16 . D. m  1. m  8  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 m
Ta có tập xác định D   \   .  4  m
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x  là nghiệm của PT 2
x  6x m  0 . 4 2  m mm  0 Suy ra 2  6.
m  0  m  8m  0     .  4  4 m  8 
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x 1 y 
đi qua điểm A 1; 2. 2x  m A. m  2. B. m  2  . C. m  4. D. m  4  . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. m
Ta có: 2x  m  0  x   . 2 m ĐT x  
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đi qua điểm A khi và chỉ khi 2  m   1   2   m  2. m 1      2 5x  1 2  x  1
Câu 6: Biết rằng các đường tiệm cận của đường cong C : y  và trục tung cắt nhau x  4
tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đung?
A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16.
B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8.
C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
HD: Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần
lượt là x  4, y  ,
4 y  6 như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô
màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12 ax 1 1
Câu 7: Cho hàm số y
. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x  1 là tiệm cận đúng và y  là tiệm bx  2 2 cận ngang.
A. a  1; b  2.
B. a  1; b  2.
C. a  1; b  2.
D. a  4; b  4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
ĐK để hàm số không suy biến là 2  a  b  0
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 b  2  0 1  b  2
Đồ thị hàm số có x  1 là TCĐ và y  là TCN   ax 1 a 1   2 lim y  lim   a  1   x x  bx  2 b 2
Câu 8: Cho hàm số y  f  x có lim f x  0 và lim f x   Mệnh đề nào sau đây là đúng? x x
A. Đồ thị hàm số y  f  x không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số y  f  x nằm phía trên trục hoành
C. Đồ thị hàm số y  f  x có một tiệm cận ngang là trục hoành.
D. Đồ thị hàm số y  f  x có một tiệm cận đứng là đường thẳng y  0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Ta có lim f  x  0  Đồ thị hàm số y  f  x có một tiệm cần ngang là trục hoành. x
Câu 9: Các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số 2
y  ax  4x 1 có tiệm cận ngang là: 1 1 A. a  2 B. a  2 và a  C. a   D. a  1 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2 2 (4  a )x 1 Ta có 2
y  ax  4x 1  lim y  lim ax  4x 1  lim x x  2  x 2 4x 1  ax
Kí hiệu deg(u) là bậc của hàm số u(x)  (4  a2 )x2 1 và deg v(x) là bậc của hàm số v(x)  4x2 1 - ax
Dễ thấy deg v(x) =1 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi
deg u(x)  deg v(x)  4  a2  0  a  2 mx 1
Câu 10: Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng x  m A. m  1   ;1 B. m  1 C. m  1 D. không có m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Xét mẫu x  m  0 thì x  m
Để đường thẳng x  m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là
m.m 1  0 nên m  1 và m  1 . 2x 1
Câu 11: Số điểm thuộc đồ thị (H) của hàm số y 
có tổng các khoảng cách đến hai tiệm cận x 1 của (H) nhỏ nhất là A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B  2x 1 
TCĐ: x  1; TCN: y  2 . Gọi M x;    H  x 1 
Tổng khoảng cạc từ M đến hai tiệm cận là: 2x 1 3 3 d  x 1   2  x 1   2 x 1 .  2 3 x 1 x 1 x 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 3  d  2 3  x 1   x  2 1
 3  x   3 1  có tất cả 2 điểm thuộcd dồ thị (H) min x 1 thỏa mãn đề bài. x 1
Câu 12: Cho hàm số y 
có đồ thị (C). Số điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị x 1 (C) là A. 2 B. 4 C. 0 D. 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
TCĐ: x  1 ; TCN: y  1  x 1  Gọi M x;   
X cách đều hai tiệm cận  x 1  x 1 2  x 1  1  x 1   x  2 1
 2  x   2 1  có tất cả 2 điểm thỏa mãn đề x 1 x 1 bài. x  2
Câu 13: Cho hàm số y
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc (C) sao x  2
cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. A. M 2;2
B. M 0;   1
C. M 1; 3 D. M 4;3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D
+ Giả sử M  x ; y  C x   0; x  2 0 0    0 0
+ Đths có TCĐ: x = 2 và TCN: y = 1
+ Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì x  2 4 0
MA  x  2 , MB  y 1  1  0 0 x  2 x  2 0 0 4
Theo Cô-si thì MA  MB  2 x  2 .  4 0 x  2 0 x  0KTM
Min MA  MB  4    M 4;3 x  4 TM       2 2x m 1 x 1
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y  có x 1
đúng hai tiệm cận ngang? A. m  1
B. m  1; 4  4; C. m  1 D. m  1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D m   2 1 x 1   2 2 2x m 1 x 1     Ta có : x lim y  lim  lim  2  m   1 (với m  1 ) x x x x 1  1 1 x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 m   2 1 x  1 m   2 1 x 1 2x  m   2 2  2 1 x  1  x x lim y  lim  lim  lim  2  m   1 x x x x 1  1 x 1 1 1 x x
Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì m  1 a
Câu 15: Cho hàm số y 
(a  0) có đồ thị (H). Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của x
đồ thị (H) đến một tiếp tuyến của (H). Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là: a a A. a 2 B. d  a 2 C. d  D. d  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B  a 
Giao hai tiệm cận là O(0;0). Gọi M x ;  (H)  
tiếp tuyến tại M có dạng: 2 ax  x y  2ax  0 o  x 0 o  o  2 x 2 a Ta có: 0 d  d(O, )  2 a   a
2 Dấu “=” xảy ra tại x  1 4 1 x 2 0 mx  2
Câu 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận 2 x 1 ngang. A. m  0
B. Với mọi m   C. m  0 D. m  0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.
Hàm số có 2 tiệm cận ngang  m  m  m  0 2 2x  3x  m
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y  không có x  m tiệm cận đứng. A. m  1 B. m  0 C. m  1 D. m  1 và m  0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì x = m là nghiệm của   2 p x  2x  3x  m m  0 2 2
 2m  3m  m  0  2m  2m  0  2m m   1  0  m 1  x 1
Câu 18: Cho hàm số y 
, m  0 . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị 2 x  2mx  9
của hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng? A. 3 B. 2 C. 1 D. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
nghiệm khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiêm bằng 1 + 2
 '  m  9  0  m  3
  phương trình có một nghiệm x=3 hoặc x= - 3 thỏa mãn m  3 + 2
 '  m  9  0  
khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt. Để đồ thị có một tiệm m  3  
cận đứng thì một nghiệm bằng 1  1 2m  9  0  m  5
Vậy với m = 3, m = - 3, m = 5 thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 2mx m
Câu 19: Cho hàm số y
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của x 1
đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. 1 A. m  2  B. m   C. m  4  D. m  2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C b ' a
Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là: S  . a ' a '
Tiệm cận đứng và ngang của hàm số đã cho là: x  1; y  2m . Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi
2 đường tiệm cận và 2 trục tọa độ là: S  2m  8  m  4  2x 1
Câu 20: Tìm m để đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng 2 x  2mx  3m  4
A. m  1 hoặc m  4 B. m  1 hoặc m  4 C. 1  m  4 D. 1  m  4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2x 1
Để đồ thị hàm số y 
không có tiệm cận đứng khi 2
x  2mx  3m  4  0 vô 2 x  2mx  3m  4 nghiệm. Phương trình 2
x  2mx  3m  4  0 có 2
  4m  43m  4 . Để phương trình vô nghiệm thì 2
  0  4m 12m 16  0  1  m  4 2 (4a  ) b x ax 1
Câu 21: Biết đồ thị hàm số y
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì 2
x ax b 12
giá trị a b bằng: A. 1  0 . B. 2 . C. 10 . D. 15 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D
Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang mà lim y  4a b  0  b  4a x
Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng  Biểu thức 2
x +ax+b 12 nhận x  0 làm nghiệm
b  12  a  3  a b  15
Câu 22: Số các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 y 
mx  4x  mx 1 có tiệm cận ngang là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 4 y  x m 
 mx 1 . Để hàm số có giới hạn hữu hạn tại vô cực thì hệ số của x phải triệt tiêu x 4
+) x    y  x m 
 mx 1 suy ra hệ số của x là  m  m  0 nên giới hạn này không x hữu hạn. 4 m  0
+) x    y  x m 
 mx 1 suy ra hệ số của x là m  m  0   x m  1 
Với m  0 thay trở lại hàm số không xác định khi x   Với m  1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 x  4x  x  2 2 1 2  y 
x  4x  x 1  lim y  lim x x 2 x  4x  x 1 2x 1 2  = lim   1  x  2 2 x  4x  x 1
Vậy có một giá trị thực của m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ax 1
Câu 23: Cho hàm số y 
. Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang x  3b  1
và tiệm cận đứng. Khi đó tổng a  b bằng: 1 1 2 A. B. 0 C.D. 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C ax 1 1 y 
có tiệm cận ngang là y  a  0 , tiệm cận đứng là x  3  b 1  0  b   x  3b  1 3 1 Suy ra a  b   3 4mx  3m
Câu 24: Cho hàm số y
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang x  2
của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016 .
A. m   .
B. m  504 .
C. m  252 .
D. m  1008 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 và tiệm cận đứng y  4m
YCBT: 4m .2  2016  m  2  52 x 1
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đúng một tiệm 2 x  mx  m cận đứng. A. m  0 B. m  0 C. m 0;  4 D. m  4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2
  m  4m  0 m  0 TH1. 2
x mx m  0 có nghiệm kép khác 1    
1 m m  0 m  4   TH2. 2
x mx m  0 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1 2
  m  4m  0    m   .
1 m m  0  2 x  2
Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận 4 mx  3 ngang. A. m  0 B. m  0 C. m  0 D. m  3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 2 x  2 Đồ thị hàm số y 
có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn 4 mx  3
lim y  a a   , lim y  b b   tồn tại. Ta có: x x
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12
+ với m  0 ta nhận thấy lim y  , lim y   suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. x  x   3 3 
+ Với m  0 , khi đó hàm số có TXĐ 4 4 D     ; 
 , khi đó lim y, lim y không tồn tại suy  m m    x  x 
ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. 2  2  2 x 1  2  1 2  x  1
+ Với m  0 , khi đó hàm số có TXĐ D   suy ra x lim , lim  suy ra x x 2 3 2 3 m x m  x m  2 4 x x
đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang. Vậy m  0 thỏa YCBT. 3x 1
Câu 27: Cho hàm số y 
có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ x  3
M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. A. M 1; 1  ; M 7;5 B. M 1;1 ; M 7;5 1   2   1   2   C. M 1  ;1 ; M 7;5 D. M 1;1 ; M 7; 5 1   2   1   2   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Đồ thị (C) có tiệm cận đứng:  : x  3  0 và tiệm cận ngang  : y 3  0 1 2 3x 1 Gọi M  x ; y  C với 0 y  x  3 . Ta có: 0  0  0 0    x  3 0 d M,   2.d M,   x  3  2. y  3 1   2  0 0 3x 1 x  1   x  3  2.  3  x  32 0 0  16  0 0  x  3 x  7 0  0
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là M 1;1 và M 7;5 2   1   x 1
Câu 28: Cho hàm số y 
(m: tham số). Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có tiệm cận mx 1 đứng A. m   \ 0  ;1 B. m   \   0 C. m   \   1 D. m   Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
m  1  y  1  Không có tiệm cận
m  0  y  x 1  Không có tiệm cận. Suy ra A. 4x
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của số thực m sao cho đồ thị hàm số y  có 2 đường tiệm 2 x  2mx  4 cận. A. m  2
B. m  2  m  2 C. m  2
D. m  2  m  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
lim y  0 suy ra đường thẳng y  0 là TCN. x 
Đồ thị hàm số có thêm một đường tiệm cận nữa khi phương trình 2
x  2mx  4  0 có một nghiệm, suy ra m  2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 ax 1
Câu 30: Cho hàm số y   
1 . Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  1 là tiệm bx  2 1
cận đứng và đường thẳng y  làm tiệm cận ngang. 2 A. a  2; b  2  B. a  1  ; b  2  C. a  2; b  2 D. a  1; b  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 2 Tiệm cận đứng x   1  b  2 b a a 1 Tiệm cận ngang y     a  1 b 2 2 5x  3
Câu 31: Cho hàm số y 
với m là tham số thực. Chọn khẳng định sai: 2 x  4x  m
A. Nếu m  4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang.
B. Nếu m  4 đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
C. Nếu m  4 đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
D. Với mọi m hàm số luôn có hai tiệm cận đứng. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Xét phương trình 2
x  4x  m  0 , với  '  4  m  0  m  4
 thì phương trình này vô nghiệm
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 2x 1
Câu 32: Cho hàm số y 
. Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ x 1
thị (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox. M 0;  1 M 0;  1 M 0;  1 M 1;  1 A.B.C.D.  M 4;3  M  4;3  M 4;5  M 4;3  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A 2x 1
Gọi M  x ; y , x   0 1 , y 
. Ta có d M,   d M, Ox  x 1  y 1    0 0 0 0 x 1 0 0 0 2x 1  x 1    x  2 0 1  2x 1 0 0 0 x 1 0 1 x  0 Với x   , ta có: 2 0 x  2x 1  2x 1  0  2 0 0 0 x  4  0 Suy ra M 0;  1 , M 4;3 1 Với x   , ta có phương trình: 2 2 x  2x 1  2
 x 1  x  2  0 (vô nghiệm). 0 2 0 0 0 0 Vậy M 0;  1 , M 4;3 x  3
Câu 33: Cho hàm số y
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số chỉ có 2
x  6x m
một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang? A. 27 . B. 9 hoặc 27 . C. 0 . D. 9 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12
 Điều kiện cần (): Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng khi mẫu số chỉ có một nghiệm hoặc 2 6  4m  0 m  9
có hai nghiệm nhưng một nghiệm là x  3        3  2  6. 3    m  0  m  27    Điều kiện đủ () x  3 x  3
+ Với m  9 , hàm số y   y
: đồ thị có TCĐ : x  3 , TCN : y  0 . 2 x  6x  9  x  32 x  3 x  3 1 + Với m  2  7 , hàm số y   y   y  ,  x  3   đồ thị có 2 x  6x  27
x  3 x  9 x  9
TCĐ : x  9 , TCN : y  0 . 2x 1
Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận 3x  m đứng 3 A. m  1 B. m  1 C. m   D. m  2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 1
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT 3x  m  0 không có nghiệm x  2 1 3
Khi đó 3.  m  0  m  2 2 Câu 35: Cho hàm số 2
y mx  2x x . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang A. m  1 .
B. m  2;2.
C. m  1;  1 . D. m  0 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.  
m x x mx x x lim y  lim
mx x x   x x   2    2 2 2 1 2 2 2 lim lim x  2 x  2
mx  2x x
mx  2x x
Hàm số có tiệm cận ngang khi m  1. 2 x m   1  2x Vì lim  2 khi m  1. x 2
mx  2x x 2x 1
Câu 36: Giả sử đường thẳng d : x  a a  0 cắt đồ thị hàm số y 
tại một điểm duy nhất, biết x 1
khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu  x ; y là tọa độ của 0 0  điểm đó. Tim y . 0 A. y  1.  B. y  5. C. y  1. D. y  2. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.  2a 1  Gọi M a; 
 a  0 là điểm cần tìm. Đồ thị hàm số có TCĐ là đường x  1.  a 1    2a 1 Khi đó: d M; x   a 0
1  1  a 1  1  a  2  y   5. 0 a 1
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 2 x  x  2
Câu 37: Cho hàm số: y 
, điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với 2 đường tiệm cận x  2
một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì hoành độ bằng A. 4 2  10 B. 4 2  6 C. 4 2  12 D. 4 2  8 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D 2 x  x  2
x  2x  3  4 4
ta có TCĐ của hàm đã cho là x  2 và   x  3  nên sẽ có TCX x  2 x  2 x  2 là: y  x  3     2x   1  x  2   2 2 x  x  2 x x 2  2 x  4x y '  '     x  2   x  22 x  22 2 2 x  4x x  x  2
Phương trình tiếp tuyến: 0 0 y  x  x  2  0  0 0 x  2 x  2 0 0
Giao của tiếp tuyến với y  x  3 tại điểm có hoành độ là nghiệm của: 2 2 2 4x x x 2  4x     4x x  x  2 0 x  3  x  x   x.1    3  2  0  0 0 0 0 0 0 x  2 x  2 
x  22  x  22 x  2 0 0 0  0  0 2 4x  3   2 x  4x  4   2 2 x  x  2x  2 x 4  3 0 0 0 0 0 0 x 12x 16 0 0 0  x.   x  22 x  22 x  22 0 0 0 3 3 3 2 x 12x 16
 x 12x 16 x  3x 12x  4  0 0 0 0 0 0 0  x   C , 2  2 2  x  4 x  4 x  4 0  0 0  2  x  5x  2  A 2;5 0 0 ; B 2;   x  2 Các giao điểm còn lại:  0 
Đến đây nhanh nhất vẫn là thử từng đáp án để xem đâu là chu vi nhỏ nhất mx  1
Câu 38: Cho hàm số y
. Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  3 và có tiệm cận ngang và x n
đi qua điểm A2;5 thì phương trình hàm số là: 2  x 1 3  x 1 5  x 1 3x 1 A. B. C. D. x  3 x  3 x  3 x  3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B x  2x  2  x  2 2 1 1 Xét y   ; lim y  1 2 2
x  2mx m 1
x  m  
1   x  m   1 x     
Chú ý m 1# m 1 m
 do vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng x m 1; x m 1 và 1 1 tiệm cận ngang y = 1. x  3
Câu 39: Gọi A là 1 điểm thuộc đồ thị hàm số y
C  . Gọi S là tổng khoảng cách từ A đến 2 x  3
đường tiệm cận của (C). Giá trị nhỏ nhất của S là A. 6 B. 2 6 C. 6 D. 12 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 x  3  x  3 Gọi 0 A x ;  C  . Hàm số y
có tiệm cận đứng x = 3, và tiệm cận ngang y = 1. 0    x  3  x  3 0 
Tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận x  3 6 6 S d  ,
A d   d  , A d  0  x  3  1  x  3   2 x  3 .  2 6 . 1 2 0 0 0 x  3 x  3 x  3 0 0 0 x  2
Câu 40: Cho hàm số y
, có đồ thị (C). Gọi P, Q là 2 điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng x  2
khoảng cách từ P hoặc Q tới 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là: A. 4 2 B. 5 2 C. 4 D. 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A x  2
Đồ thị hàm số y
có tiệm cận ngang y = 1 và tiệm cận đứng x = 2. Suy ra tọa độ giao điểm x  2
của hai đường tiệm cận là I (2;1)  x  2  Gọi 0 P x ;  C
. Khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm 0    x  2  0  x  3 4 4
cận S d  ,
A d   d  , A d  0  x  2  1  x  2   2 x  2 .  4 1 2 0 0 0 x  3 x  3 x  2 0 0 0 4  x  2  2
x  4; y  3   S  4  x  2    x  22 0 0  4   min 0 0   x  2 x  2  2 x  0; y  1  0  0  0  P 4; 3
  ,Q 0;   1
PQ  4 2 . x  2
Câu 41: Cho hàm số y
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận 2
x  4x m đứng? A. m  4 B. m  4 C. m  4 D. m  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A f x
Cần nhớ số tiệm cận đứng của hàm số y
bằng với số nghiệm của phương trình g x  0 . g x
Yêu cầu bài toán  phương trình 2
x  4x m  0 có nghiệm kép    4  m  0  m  4 . Kiểm x  2 1 1
tra lại với m  4 ta được y  
Đồ thị hàm số y
luôn có 1 tiêm cận đứng. 2 x  4x  4 x  2 x  2 3 mx  2
Câu 42: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y
có hai tiệm cận đứng ? 3 x  3x  2  1   1 
A. m  2;  B. m  3  ;  C. m  1  D. m 2  ;1  4   2  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Cần nhớ số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng với số giá trị x mà tại đó hàm số không xác định. Ta có D = R\{1;2}
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 3 mx  2 Để hàm số y
có hai tiệm cận đứng thì phương trình g x 3
mx  2 # 0 và phương 2 x  3x  2
trình g x 3
mx  2  0 có nghiệm khác 1 và 2   g    m 2 1  m  2  0  Suy ra    1 . g
  2  8m  2  0 m     4 2 4x  m
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y  có hai tiệm cận đứng. 2 x  4x  3
A. m 4;3  6 B. m 2  ;1
C. m 3;  4 D. m  1  Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A Ta có 2
x  4x  3   x   1  x  3 2 4x m
Để đường cong y
có hai tiệm cận đứng thì phương trình g x 2
 4x m  0 và 2 x  4x  3
phương trình g x 2
 4x m  0 có nghiệm khác 1 và 3 g    1  4  m  0 m  4 Suy ra    . g
 3  36  m  0 m  36  
Câu 44: Giả sử M x ; y là giao điểm của đường phân giác góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng tọa 0 0  2 x 1
độ) với tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  . Tính x y x 0 0 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x 1  2 x 1 2 x 1 x  1  Ta có lim y  lim  lim  lim   1   1
  y  1là tiệm cận xiên 2 x x x x x x   x    1  2 x 1 2 x 1 x  1  lim y  lim  lim  lim  1
  1  y  1 là tiệm cận xiên 2 x x x x x x   x   
Trường hợp 1: y = -1 => x = y = - 1 => x + y = -2
Trường hợp 2: y = 1 => x = y = 1 => x + y = 2. 2mx m
Câu 45: Cho hàm số y
. Với giá trị nào của tham số m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận x 1
ngang cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. A. m  2 . B. 1 m   . C. m  4 . D. m  2  . 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C
Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì m  0 .
Khi đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là x  1, y  2m . Hình chữ nhật tạo bởi 2 tiệm cận và 2
trục tọa độ có diện tích là 2m .1  8  m  4 
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Phần Hàm số - Giải tích 12 2x 1
Câu 47: Giả sử đường thẳng d : x a, a  0, cắt đồ thi hàm số hàm số y  tại một điểm duy x 1
nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; kí hiệu  x ; y là 0 0 
tọa độ của điểm đó. Tìm y . 0 A. y  1  B. y  5 C. y 1 D. y  2. 0 0 0 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B  2a 1 
d cắt đồ thị tại M ; a    a 1 
Đồ thị có tiệm cận đứng  : x  1 a 1 a  0
Ta có : d M ,   1   1   a  2  0  1 a  2 
Với a  2  x  2  y  5 0 0
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số  2 m   2 1 x x  2 y
có đúng một tiệm cận ngang. x 1 A. m  1
hoặc m  1 B. m  0 C. m  1
D. Với mọi giá trị m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C 1 2    2 2 2 m m x x   1 1 2      2 x x 2 lim y  lim  lim  m 1 x x x 1 x 1 1 x 1 2     2 2 2 m m x x   1 1 2      2 x x 2 lim y  lim  lim   m 1 x x x 1 x 1 1 xm  1 Do đó nếu 2 m 1  0  
đồ thị hàm số có hai tiệm cận m  1  m  1 Nếu: 2 m 1  0  
đồ thị hàm số có một tiệm cận y  0 m  1   Nếu 2 m 1  0  1
  m  1 đồ thị hàm số không có tiệm cận
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com
Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay