Hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018

Hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

21 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

43 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa
2
2 3 1 1 .f x f x x
Giá trị của tích phân
1
0
' df x x
bằng
A.
0.
B.
1
.
2
C.
1.
D.
3
.
2
Lời giải. Ta có
1
1
0
0
d 1 0 .
f x x f x f f
Từ
2
0
2 0 3 1 1
3
2 1 3 0 0
1
5
f
f f
f x f x x
f f
f

Vậy
1
0
3 2
' d 1 0 1.
5 5
I f x x f f
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 1 1.
f f
Biết rằng
1
0
d .
x
e f x f x x ae b
Tính
2018 2018
.
Q a b
A.
2017
2 1
Q
. B.
2
Q
. C.
0
Q
. D.
2017
2 1
Q
.
Lời giải. Ta có
1 1
0 1 1
1
/
0
0 0
d d 1 0 1.
f f
x x x
e f x f x x e f x x e f x ef f e
Suy ra
2018
2018 2018 2018
1
1 1 2.
1
a
Q a b
b

Chọn B.
Câu 3. Cho các hàm số
,y f x
y g x
có đạo hàm liên tục trên
0;2
và thỏa mãn
2
0
' d 2,
f x g x x
2
0
' d 3.
f x g x x
Tính tích phân
2
/
0
d .I f x g x x
A.
1.
I
B.
1.
I
C.
5.
I
D.
6.
I
Lời giải. Ta có
2 2
/
0 0
d ' ' dI f x g x x f x g x f x g x x
2 2
0 0
' d ' d 2 3 5.
f x g x x f x g x x
Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;

và thỏa
2
0
d .sin
x
f t t x x
. Tính
1
4
f
.
A.
1
.
4 2
f
B.
1 1
.
4 2
f
C.
1
1.
4
f
D.
1
1 .
4 2
f
Lời giải. Từ
2
0
d .sin
x
f t t x x
, đạo hàm hai vế ta được
2
2 sin cos .xf x x x x
Cho
1
2
x
ta được
1 1 1
2. . sin cos 1 1.
2 4 2 2 2 4
f f

Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số
f x
liên tục trên
;a

với
0
a
và thỏa
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
với mọi
.x a
Tính
4 .
f
A.
4 2.
f
B.
4 4.
f
C.
4 8.
f
D.
4 16.
f
Lời giải. Từ
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
, đạo hàm hai vế ta được
2
1
.
f x
x
x
Suy ra
4 4 4 8.
f x x x f

Chọn C.
2
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
Câu 6. Cho
2017
0
d 2
f x x
. Tính tích phân
2017
1
2
2
0
. ln 1 d .
1
e
x
I f x x
x
A.
1.
I
B.
2.
I
C.
4.
I
D.
5.
I
Lời giải. Đặt
2
ln 1 ,
t x
suy ra
2 2
2 d d d
d .
2
1 1
x x x x t
t
x x

Đổi cận:
2017
0 0
.
1 2017
x t
x e t
Khi đó
2017 2017
0 0
1 1 1
d d .2 1.
2 2 2
I f t t f x x
Chọn A.
Câu 7. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
9
2
1 0
d 4, sin cos d 2.
f x
x f x x x
x
Tính tích phân
3
0
d .I f x x
A.
2.
I
B.
6.
I
C.
4.
I
D.
10.
I
Lời giải. Xét
9
1
d 4.
f x
x
x
Đặt
2
,t x t x
suy ra
2 d d .t t x
Đổi cận
1 1
.
9 3
x t
x t
Suy ra
9 3 3
1 1 1
4 d 2 2d d 2.
f x
x f t t f t t
x

Xét
2
0
sin cos d 2.
f x x x
Đặt
sin ,u x
suy ra
d cos d .u x x
Đổi cận
0 0
.
1
2
x u
x u
Suy ra
1
2
0 0
2 sin cos d d .f x x x f t t
Vậy
3 1 3
0 0 1
d d d 4.
I f x x f x x f x x
Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và
1
2
4
2
0 0
tan d 4, d 2.
1
x f x
f x x x
x
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
6.
I
B.
2.
I
C.
3.
I
D.
1.
I
Lời giải. Xét
4
0
tan d 4.
f x x
Đặt
tan ,t x
suy ra
2
2 2
1 d
d d tan 1 d d .
cos 1
t
t x x x x
x t

Đổi cận:
0 0
.
1
4
x t
x t
Khi đó
1 1
4
2 2
0 0 0
4 tan d d d .
1 1
f t f x
f x x t x
t x
Từ đó suy ra
1 1 1
2
2 2
0 0 0
d d d 4 2 6.
1 1
f x x f x
I f x x x x
x x
Chọn A.
Câu 9. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa mãn
4
2
0
tan . cos d 1,
x f x x
2
2
ln
d 1.
ln
e
e
f x
x
x x
Tính tích phân
2
1
4
2
d .
f x
I x
x
A.
1.
I
B.
2.
I
C.
3.
I
D.
4.
I
Lời giải. ● Xét
4
2
0
tan . cos d 1
A x f x x
. Đặt
2
cos .t x
3
Suy ra
2
d
d 2 sin cos d 2 cos tan d 2 . tan d tan d .
2
t
t x x x x x x t x x x x
t

Đổi cận:
0 1
.
1
4 2
x t
x t

Khi đó
1
1 1 1
2
1 1 1
1
2 2 2
1 1 1
1 d d d d 2.
2 2 2
f t f t f x f x
A t t x x
t t x x

● Xét
2
2
ln
d 1.
ln
e
e
f x
B x
x x
Đặt
2
ln .u x
Suy ra
2
2 ln 2 ln 2 d du
d d d d .
ln ln ln 2
x x u x
u x x x
x x x x x x x u

Đổi cận:
2
1
.
4
x e u
x e u


Khi đó
4 4 4
1 1 1
1 1
1 d d d 2.
2 2
f u f x f x
B u x x
u x x

● Xét tích phân cần tính
2
1
2
2
d .
f x
I x
x
Đặt
2 ,v x
suy ra
1
d d
2
.
2
x v
v
x
Đổi cận:
1 1
.
4 2
2 4
x v
x v


Khi đó
4 4 1 4
1 1 1
1
2 2 2
d d d d 2 2 4.
f v f x f x f x
I v x x x
v x x x
Chọn D.
Câu 10. Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
1
;2 ,
2
thỏa
2
2
1 1
2.
f x f x
x
x
Tính tích phân
2
2
1
2
d .
1
f x
I x
x
A.
3
.
2
I
B.
2.
I
C.
5
.
2
I
D.
3.
I
Lời giải. Đặt
1
,
x
t
suy ra
2
1
d d .x t
t
Đổi cận:
1
2
2
.
1
2
2
x t
x t


Khi đó
1
2 2
2
2 2 2
1 1
2
2
2 2
1 1 1
1
. d d d .
1
1 1
1
f f f
t t x
I t t x
t t x
t
Suy ra
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
1
2
2 d d d d
1 1 1 1
f f x f
x
f x
x x
x
I x x x x
x x x x
2 2
2
2
1
2 2
2
1 1
2 2
1 1 1 3
d 1 d 3 .
2
x
x x x I
xx x

Chọn A.
4
Câu 11. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và thỏa
2 2 cos 2f x f x x
với mọi
x
.
Tính
3
2
3
2
dI f x x
.
A.
6
I
. B.
0
I
. C.
2I
. D.
6
I
.
Lời giải. Đặt
d d .t x x t 
Đổi cận:
3 3
2 2
.
3 3
2 2
x t
x t
Khi đó
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
d d d .I f t t f t t f x x
Suy ra
3 3 3
2 2 2
CASIO
3 3 3
2 2 2
2 d 2 2 cos 2 d 2 cos d 12 6.
I f t f t t t t t t I

Chọn D.
Câu 12. Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
,
thỏa
5
4 3 2 1
f x x x
với mọi
.
x
Tích phân
8
2
df x x
bằng
A.
2.
B.
10.
C.
32
.
3
D.
72.
Lời giải. Đặt
5
4 3,
x t t
suy ra
4
d 5 4 d .x t t
Đổi cận
2 1
.
8 1
x t
x t
Khi đó
8 1 1
5 4 4
2 1 1
d 4 3 5 4 d 2 1 5 4 d 10.
f x x f t t t t t t t
Chọn B.
Câu 13. Cho các hàm số
,f x
g x
liên tục trên
0;1 ,
thỏa
. . 1
m f x n f x g x
với
,m n
là số thực khác
0
và
1 1
0 0
d d 1.
f x x g x x
Tính
.m n
A.
0.
m n
B.
1
.
2
m n
C.
1.
m n
D.
2.
m n
Lời giải. Từ giả thiết
. . 1
m f x n f x g x
, lấy tích phân hai vế ta được
1 1
0 0
. . 1 d ( )dm f x n f x x g x x
Suy ra
1
0
1 d 1
m n f x x
(do
1 1
0 0
d d 1
f x x g x x
).
1
Xét tích phân
1
0
1 d .f x x
Đặt
1
t x
, suy ra
d d .t x
Đổi cận:
0 1
.
1 0
x t
x t
Khi đó
1 0 1 1
0 1 0 0
1 d d d d 1.
f x x f t t f t t f x x
2
Từ
1
và
2 ,
suy ra
1
m n
. Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số
f x
xác định và liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
' ' 1
f x f x
với mọi
0;1 .
x
Biết rằng
0 1, 1 41.
f f
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
41.
I
B.
21.
I
C.
41.
I
D.
42.
I
Lời giải. Ta có
' ' 1 1 .f x f x f x f x C 
Suy ra
0 1, 1 41.
0 1 42.
f f
f f C C
Suy ra
1 42 1 42
f x f x f x f x

1 1
0 0
1 d 42d 42.
f x f x x x

1
5
Vì
1 1
0 0
' ' 1 d 1 d .f x f x f x x f x x

2
Từ
1
và
2 ,
suy ra
1 1
0 0
d 1 d 21.
f x x f x x
Chọn B.
Câu 15. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
và thỏa mãn
3
f x f x x
với mọi
.
x
Tính
2
0
d .I f x x
A.
4
.
5
I
B.
4
.
5
I
C.
5
.
4
I
D.
5
.
4
I
Lời giải. Đặt
u f x
, ta thu được
3
.u u x
Suy ra
2
3 1 d d .u u x
Từ
3
u u x
, ta đổi cận
0 0
.
2 1
x u
x u
Khi đó
1
2
0
5
3 1 d .
4
I u u u
Chọn D.
Cách khác. Nếu bài toán cho
f x
có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau:
Từ giả thiết
3
3
3
0 0 0 0 0
.
2 1
2 2 2
f f f
f x f x x
f
f f
*
Cũng từ giả thiết
3
f x f x x
, ta có
3
' . ' . . ' .f x f x f x f x x f x
Lấy tích phân hai vế
2 2
3
0 0
' . ' . d . ' df x f x f x f x x x f x x
4 2
2 2
2 2
*
0 0
0 0
5
d d .
4 2 4
f x f x
xf x f x x f x x
 
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần
Câu 16. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
3
0
. . d 8
f x
x f x e x
và
3 ln 3
f
. Tính
3
0
d .
f x
I e x
A.
1.
I
B.
11.
I
C.
8 ln 3.
I
D.
8 ln 3.
I
Lời giải. Đặt
d d
.
d . d
f x
f x
u x
u x
v f x e x
v e
Khi đó
3 3
3
0
0 0
. . d . d .
f x f x f x
x f x e x x e e x
Suy ra
3 3
3
0 0
8 3. d d 9 8 1.
f f x f x
e e x e x

Chọn A.
Câu 17. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0; ,
2
thỏa mãn
2
2
0
' cos d 10
f x x x
và
0 3.
f
Tích phân
2
0
sin 2 df x x x
bằng
A.
13.
I
B.
7.
I
C.
7.
I
D.
13.
I
Lời giải. Xét
2
2
0
' cos d 10
f x x x
, đặt
2
2
d sin 2 d
cos
.
d ' cos d
u x x
u x
v f x
v f x x x
Khi đó
2 2
2 2
2
0
0 0
10 ' cos d cos sin 2 df x x x xf x f x x x
2 2
0 0
10 0 sin 2 d sin 2 d 10 0 13.
f f x x x f x x x f

Chọn D.
Câu 18. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
2
1
1 d 3
f x x
và
1 4.
f
Tích phân
1
3 2
0
' dx f x x
bằng
A.
1.
B.
1
.
2
C.
1
.
2
D.
1.
6
Lời giải. Ta có
2 1
1
1 0
1 d 3 d 3
t x
f x x f t t
hay
1
0
d 3.
f x x
Xét
2
1 1 1
3 2
0 0 0
1 1
' d ' d ' d .
2 2
t x
x f x x tf t t xf x x
Đặt
d d
.
d ' d
u x u x
v f x x v f x
Khi đó
2
1 1 1
1
3 2
0
0 0 0
1 1 1 1
' d ' d d 4 3 .
2 2 2 2
t x
x f x x tf t t xf x f x x
Chọn C.
Câu 19. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
0;2 .
Biết
0 1
f
và
2
2 4
2
x x
f x f x e
với mọi
0;2 .
x
Tính tích phân
3 2
2
0
3 '
d .
x x f x
I x
f x
A.
14
.
3
I
B.
32
.
5
I
C.
16
.
3
I
D.
16
.
5
I
Lời giải. Từ giả thiết
2
2 4 2
2 2 1.
x x x
f x f x e f
Ta có
3 2
2
0
3 '
d .
x x f x
I x
f x
Đặt
3 2
2
3
d 3 6 d
.
'
d d
ln
u x x
u x x x
f x
v x
v f x
f x
Khi đó
2 2
2
2 1
3 2 2 2
0
0 0
3 ln 3 6 ln d 3 2 ln d 3 .
f
I x x f x x x f x x x x f x x J
Ta có
2 0
2
2
2
0 2
2 ln d 2 2 2 ln 2 d 2
x t
J x x f x x t t f t t
0 2
2
2
2 0
2 2 2 ln 2 d 2 2 ln 2 d .x x f x x x x f x x
Suy ra
2 2 2
2 2 2
0 0 0
2 2 ln d 2 ln 2 d 2 ln 2 dJ x x f x x x x f x x x x f x f x x
2
2 2
2 2 4 2 2
0 0
32 16
2 ln d 2 2 4 d .
15 15
x x
x x e x x x x x x J
Vậy
16
3 .
5
I J
Chọn D.
Câu 20. Cho biểu thức
2
2
2 cot
4
ln 1 2 sin 2 d ,
x
n
m
S x e x
với số thực
0.
m
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A.
5.
S
B.
9.
S
C.
2 2
2 cot 2 ln sin .
4 4
S
m m
D.
2 2
2 tan 2 ln .
4 4
S
m m
Lời giải. Ta có
2 2 2
2 2 2
2 cot 2 cot 2cot
4 4 4
2 sin 2 d 2 d sin 2 d .
x x x
m m m
x e x e x xe x
1
Xét
2
2 2 2
2 2 2
2 cot 2 cot 2 2 2 cot 2 2 cot
2
2
4
4 4 4
2
sin 2 d d sin sin . sin d
sin
x x x x
m
m m m
xe x e x x e x e x
x
2
2
2
2 2 cot 2 cot
2
4
4
sin . 2 d .
x x
m
m
x e e x
2
7
Từ
1
và
2 ,
suy ra
2
2
2 cot
2 2 cot 2
4
2
2
4
sin . 1 sin . .
4
x
m
m
I x e e
m
2
2 cot
2
4
2 2 2
ln sin . 2 cot 2 ln sin .
4 4 4
m
S e
m m m

Chọn C.
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân
Câu 21. Biết
2
2
1
ln 9 d ln 5 ln 2
x x a b c
với
, , .
a b c
Tính
.P a b c
A.
13.
P
B.
18.
P
C.
26.
P
D.
34.
P
Lời giải. Đặt
2
2
2
ln 9
.
9
3
x
u x
du dx
x
dv dx
v x
Khi đó
2 2
2
2
2
1
1 1
3
3
3 ln 9 2 d 5 ln 5 4 ln 8 2 1 d
39
x x
I x x x x
xx
2
1
5
5ln 5 12 ln 2 2 3ln 3 5 ln 5 6 ln 2 2 6 13.
2
a
x x b P
c

Chọn A.
Nhận xét. Ở đây chọn
3
v x
thay bởi
x
để rút gọn cho
2
9
x
, giảm thiểu biến đổi.
Câu 22. Biết
1
3 3
0
2 2 1 1
d .ln
ln.2
x x
x
x ex e
x p
m e n ee
với
, , m n p
là các số nguyên dương. Tính tổng
.P m n p
A.
5.
P
B.
6.
P
C.
7.
P
D.
8.
P
Lời giải. Ta có
1 1
1
3 3
3 4
0
0 0
2 2 2 1 1
d d .
4 4.2 .2
x x x
x x
x ex
I x x x x A A
e e
Tính
1
0
2
d .
.2
x
x
A x
e
Đặt
1
.2 d .ln 2.2 d 2 d d .
ln 2
x x x
t e t e x x t
e
 
Đổi cận:
0
.
1 2
x t e
x t e
Khi đó
2
2
1 d 1 1 2 1
. ln ln ln 1 .
.ln 2 .ln 2 ln 2 ln 2
e
e
e
e
t e e
A t
e t e e e e e
Vậy
4
1 1
ln 1 2 7.
4 ln 2
1
m
e
I n P m n p
e e
p

Chọn C.
Câu 23. Biết
2
2
2
0
2 cos cos 1 sin
d ln
cos
x x x x x
c
x a b
x x
với
, , a b c
là các số hữu tỉ. Tính
3
.P ac b
A.
5
.
4
P
B.
3
.
2
P
C.
2.
P
D.
3.
P
Lời giải. Ta có
2 2
2
0
2 cos cos 1 sin
d
cos
x x x x x
I x
x x
2
2 2 2 2
0 0 0 0
cos d cos
1 sin
d d cos d
cos cos cos
x x x x
x
x x x x x
x x x x x x
2
2 2 2
0
1 1 1 2
sin ln cos 1 ln 1 ln
2 8 2 8
x x x x
3
1
8
1 2.
2
a
b P ac b
c
 
Chọn C.
8
Câu 24. Biết
ln 8
2
ln 3
1 1
d 1 ln
2
1
x x
b
x a a b
a
e e
với
, .
a b
Tính
.P a b
A.
1.
P
B.
1.
P
C.
3.
P
D.
5.
P
Lời giải. Ta có
ln 8 ln 8 ln 8 ln 8
2 2
2
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
1
d 1 d 1d d .
1
x x x x
x x
I x e e x e x e x
e e
ln 8
ln 8
ln 3
ln 3
d 2 2 3.
x x
e x e
ln 8
2
ln 3
1d .
x
e x
Đặt
2 2 2
1 1
x x
t e t e
, suy ra
2
2 2
d d
2 d 2 d d .
1
x
x
t t t t
t t e x x
e t
Đổi cận:
ln 3 2
.
ln 8 3
x t
x t
Khi đó
ln 8 3 3
3
2
2
2 2
2
2 2
ln 3
d 1 1 1 1 3
1d 1 d ln 1 ln .
2 1 2 2
1 1
x
t t t
e x dt t t
tt t
Vậy
2
1 3
1 ln 2 2 3 5.
3
2 2
a
I P a b
b

Chọn D.
Câu 25. Biết
2
1
d
1 1
x
a b c
x x x x
với
, , .
a b c
Tính
P a b c
.
A.
12P
. B.
18
P
. C.
24P
. D.
46
P
.
Lời giải. Ta có
2 2
2
1 1
d 1
d .
1 1
1 1
x x x
I x
x x x x
x x x x
Đặt
1
u x x
, suy ra
1 1 1
d d 2d d .
2 1 2
1
x x
u x u x
x x
x x

Đổi cận
2 3 2
.
1 2 1
x u
x u
Khi đó
3 2
3 2
2
2 1
2 1
d 2 1 1
2 2
3 2 2 1
u
I
uu
32
3 2 2 1
2 32 12 2 12 46.
3 2 2 1
2
a
b P
c
 
Chọn D.
Câu 26. Biết
4
2 2
0
sin 4 2 6
d
6
cos 1 sin 1
x a b c
x
x x
với
, , .
a b c
Tính
.P a b c
A.
10.
P
B.
12.
P
C.
14.
P
D.
36.
P
Lời giải. Ta có
4 4
2 2
0 0
sin 4 2 sin 2 cos 2
d 2 d .
3 cos 2 3 cos 2
cos 1 sin 1
x x x
I x x
x x
x x
Đặt
cos2 d 2 sin 2 d .t x t x x 
Đổi cận:
0 1
.
0
4
x t
x t
Khi đó
0 1 1
1 0 0
1
2 d 2 d 3 3 d
3 3 3 3 2
t t
I t t t t t
t t t t
1
3 3
0
16
1 2 2 16 2 12 6 8
3 3 12 36.
3 3 6
2
8
a
t t b P
c

Chọn D.
Câu 27. Biết
4
2
1
1
d
4
x
b c
x
x e
x a e e
x
xe
với
, , .
a b c
Tính
.P a b c
A.
5.
P
B.
4.
P
C.
3.
P
D.
3.
P
Lời giải. Ta có
2
4 4 4
2
2 2
2
1 1 1
2
1 4 4
d d d
4 4
2
x
x x x
x
x
x
e x
x e e x e x
x x x
x xe
xe
e x
9
4 4
4
1 4
4
1
1 1
2 1 1 1 1 1
d d 1 1
2 2
x
x x
x
e x
x x x e e
ee e e
e x x
1
1 4.
4
a
b P a b c
c
 
Chọn B.
Câu 28. Biết
2
0
2
d 2
2
x
x a b c
x
với
, , .
a b c
Tính
.P a b c
A.
1.
P
B.
2.
P
C.
3.
P
D.
4.
P
Lời giải. Đặt
2 cosx u
với
0;
2
u
. Suy ra
2
4 cos d 4 sin 2 d .x u x u u 
Đổi cận
0
2
.
2
4
x u
x u
Khi đó
2 2
4 4
cos
2 2 cos
2
4 sin 2 d 8 .sin .cos d
2 2 cos
sin
2
u
u
I u u u u u
u
u
2 2 2 2
2
4 4 4 4
16 cos .cos d 8 1 cos .cos d 8 cos d 4 1 cos 2 d
2
u
u u u u u u u u u
2 2
4 4
1
8sin 4 2.sin 2 4 2 6 4 3.
6
a
u x u b P
c
 
Chọn C.
Câu 29. Biết
2
3 2
1
ln ln 1
d
ln 1 2
e
x x b
I x
a
x x e
với
, .
a b
Tính
.P b a
A.
8.
P
B.
6.
P
C.
6.
P
D.
10.
P
Lời giải. Ta có
2
3 2
1 1
ln ln ln 1 ln
d . d .
ln 1
ln 1 ln 1
e e
x x x x
x x
x x
x x x x
Đặt
/
2
ln 1 ln 1 ln
d d d .
ln 1 ln 1
ln 1
x x x
t t x x
x x x x
x x

Đổi cận:
1
1
2
.
2
2
x t
x e t
e
Khi đó
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1 1 2
d .
2 8
2
e
e
I t t t
e
Chọn B.
Câu 30. Biết
6
2
2
6
cos 3
d
1
x x
x a
b c
x x
với
, , a b c
là các số nguyên. Tính
.P a b c
A.
37.
P
B.
35.
P
C.
35.
P
D.
41.
P
Lời giải. Ta có
6 6 6
2 2
2
6 6 6
cos
d cos 1 d 1 cos d .
1
x x
I x x x x x x x x x x x
x x
Lại có
6 6 6
2 2 2
6 6 6
cos
cos cos
d d d
1 1
1
x t
t t
x x t t
I x t t
x x t t
t t

6 6
2 2
6 6
1 cos d 1 cos d .t t t t t x x x x x
Suy ra
6 6 6
2 2 2
6 6 6
2 1 cos d 1 cos d 2 cos dI x x x x x x x x x x x x x
10
6
2
6
cos d .I x x x

Tích phân từng phần hai lần ta được
2
3
2
36 3
I
2
36 35.
3
a
b P a b c
c
 
Chọn C.
Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh
Câu 31. Cho hàm số
2
1 khi 0
.
khi 0
x
x x
f x
e x
Tính tích phân
2
1
d .I f x x
A.
2
2
3 1
.
2
e
I
e
B.
2
2
7 1
.
2
e
I
e
C.
2
2
9 1
.
2
e
I
e
D.
2
2
11 11
.
2
e
I
e
Lời giải. Ta có
0 2 0 2
2
2
2
1 0 1 0
9 1
d d d 1 d .
2
x
e
I f x x f x x e x x x
e
Chọn C.
Câu 32. Cho hàm số
f x
xác định trên
1
\ ,
2
thỏa
2
, 0 1
2 1
f x f
x
và
1 2.
f
Giá trị của biểu thức
1 3f f
bằng
A.
ln15.
B.
2 ln 15.
C.
3 ln15.
D.
4 ln 15.
Lời giải. Ta có
2
2 1
f x
x
1
2
1
ln 1 2 ;
2
2
d ln 2 1
1
2 1
l
.
n 2 1 ;
2
x C x
f x x x C
x
x C x

1 1
0 1 ln 1 2.0 1 1.
f C C

2 2
1 2 ln 2.1 1 2 2.
f C C

Do đó
1
ln 1 2 1 khi
1 ln 3 1
2
1
3 ln 5 2
ln 2 1 2 khi
2
x x
f
f x
f
x x
1 3 3 ln 5 ln3 3 ln15.
f f

Chọn C.
Câu 33. Cho hàm số
f x
xác định trên
,
\
2;1
thỏa mãn
2
1
2
f x
x x
,
3 3 0
f f
và
1
0 .
3
f
Giá trị
biểu thức
4 1 4
f f f
bằng
A.
1 1
ln 20 .
3 3
B.
1 1
ln 2 .
3 3
C.
ln 80 1.
D.
1 8
ln 1.
3 5
Lời giải. Ta có
2
1 1 1 1
3 1 2
2
f x
x x
x x
1
2
2
3
1
ln 1 ln 2 ; 2
3
1 1
d ln 1 ln 2 ; 2 1
32
1
ln 1 ln 2 ; 1
3
.
x x C x
f x x x x C x
x x
x x C x

2 2
1 1 1 1 1
0 ln 1 0 ln 0 2 ln 2 .
3 3 3 3 3
f C C
 
1 3
1 1
3 3 0 ln .
3 10
f f C C 
Ta có
2 1 3
1 5 1 1 1 1 1
4 1 4 ln ln 2 ln ln 2 .
3 2 3 3 2 3 3
f f f C C C
Chọn B.
11
Câu 34. Cho hàm số
f x
xác định trên
0; \
,e
thỏa mãn
1
,
ln 1
f x
x x
2
1
ln 6
f
e
và
2
3.
f e
Giá trị biểu
thức
3
1
f f e
e
bằng
A.
3 ln2 1 .
B.
2 ln 2.
C.
3 ln 2 1.
D.
ln 2 3.
Lời giải. Ta có
1
ln 1
f x
x x
1
2
ln 1 ln khi 0;
d ln 1
1
d ln ln 1 .
ln 1 ln 1
ln ln 1 khi ;
x C x e
x
f x x x C
x x x
x C x e


1 1
2 2
1 1
ln 6 ln 1 ln ln 6 ln 2.
f C C
e e

2 2
2 2
3 ln ln 1 3 3.
f e e C C

Do đó
3
1
ln 2 ln 2
ln 1 ln ln 2 khi 0;
ln ln 1 3 khi ;
ln 2 3
f
x x e
e
f x
x x e
f e

3
1
3 ln 2 1 .
f f e
e

Chọn C.
Câu 35. Cho
F x
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 sin 2
y
x
với
\ , .
4
x k k
Biết
0 1, 0
F F
, tính
giá trị biểu thức
11
.
12 12
P F F
A.
0.
P
B.
2 3.
P
C.
1.
P
D. Không tồn tại
.P
Lời giải. Với
x
thuộc vào mỗi khoảng
; ,
4 4
k k k
ta có
2
2
d d d 1
tan .
1 sin 2 2 4
sin cos
2 cos
4
x x x
F x x C
x
x x
x
0; ;
12 4 4
nên
0
0 1
12
1 1 3 3 3
0 tan .
12 2 4 2 2 12 2 2
F
F F x F
11 5
; ;
12 4 4
nên
0
11
12
11 1 1 3 11 1 3
tan .
12 2 4 2 2 12 2 2
F
F F x F
Vậy
11
1.
12 12
P F F
Chọn C.
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất
Câu 36. Cho hàm số
f x
là hàm số lẻ, liên tục trên
4;4 .
Biết rằng
0
2
d 2
f x x
và
2
1
2 d 4.
f x x
Tính tích phân
4
0
d .I f x x
A.
10.
I
B.
6.
I
C.
6.
I
D.
10.
I
Lời giải. Do
f x
là hàm lẻ nên
.f x f x
Xét
0
2
d 2.
A f x x
Đặt
d d .t x t x 
Đổi cận:
2 2
.
0 0
x t
x t
Khi đó
0 2 2
2 0 0
d d d .A f t t f t t f x x
12
Xét
2 2
1 1
2 d 2 d .B f x x f x x
Đặt
2 d 2d .u x u x 
Đổi cận:
1 2
.
2 4
x u
x u
Khi đó
4 4 4
2 2 2
1 1
d d d 2 2.4 8.
2 2
B f u u f x x f x x B

Vậy
4 2 4
0 0 2
d d d 2 8 6.
I f x x f x x f x x
Chọn B.
Câu 37. Cho hàm số
f x
là hàm số chẵn, liên tục trên
1;6 .
Biết rằng
2
1
d 8
f x x
và
3
1
2 d 3.
f x x
Tính tích phân
6
1
d .I f x x
A.
2.
I
B.
5.
I
C.
11.
I
D.
14.
I
Lời giải. Vì
f x
là hàm số chẵn nên
3 3
1 1
2 d 2 d 3.
f x x f x x
Xét
3
1
2 d 3.
K f x x
Đặt
2 d 2d .t x t x 
Đổi cận:
1 2
.
3 6
x t
x t
Khi đó
6 6 6
2 2 2
1 1
d d d 2 6.
2 2
K f t t f x x f x x K 
Vậy
6 2 6
1 1 2
d d d 8 6 14.
I f x x f x x f x x
Chọn D.
Câu 38. Cho hàm số
f x
liên tục trên
3;7 ,
thỏa mãn
10
f x f x
với mọi
3;7
x
và
7
3
d 4.
f x x
Tính tích phân
7
3
d .I xf x x
A.
20.
I
B.
40.
I
C.
60.
I
D.
80.
I
Lời giải. Đặt
3 7 d d .t x t x 
Đổi cận
7 3
.
3 7
x t
x t
Khi đó
3 7 7
7 3 3
10 10 d 10 10 d 10 10 dI t f t t t f t t x f x x
7 7 7 7
10
3 3 3 3
10 d 10 d d 10 d .
f x f x
x f x x f x x xf x x f x x I
Suy ra
7
3
2 10 d 10.4 40 20.
I f x x I 
Chọn A.
Câu 39. Cho hàm số
y f x
là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn
; ,
thỏa mãn
0
d 2018.
f x x
Giá trị của tích phân
d
2018 1
x
f x
I x
bằng
A.
0.
I
B.
1
.
2018
I
C.
2018.
I
D.
4036.
I
Lời giải. Đặt
d d .x t x t 
Đổi cận
.
x t
x t
Khi đó
2018 2018
d d d d .
2018 1 2018 1 1 2018 1 2018
t x
t t t x
f t f t f t f x
I t t t x
Vì
y f x
là hàm số chẵn trên đoạn
;
nên
2018
d .
2018 1
x
x
f x
f x f x I x

Vậy
0
2018
2 d d d 2 d 2.2018 2018.
2018 1 2018 1
x
x x
f x f x
I x x f x x f x x I
Chọn C.
Câu 40. Biết
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
a
x x
x
x x b
với
, .
a b
Tính
2 .P a b
A.
6.
P
B.
8.
P
C.
10.
P
D.
12.
P
Lời giải. Gọi
2018
2018 2018
0
sin
d
sin cos
x x
I x
x x
13
Đặt
d d .t x t x 
Đổi cận
0
.
0
x t
x t
Khi đó
0
2018 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018 2018
0 0
sin sin sin
d d d .
sin cos sin cos sin cos
t t t t x x
I t t x
t t t t x x
Suy ra
2018
2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018 2018
0 0 0
sin
sin sin
2 d d d
sin cos sin cos sin cos
x x
x x x
I x x x
x x x x x x
2
2018 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018 2018
0 0
2
sin sin sin
d d d .
2 sin cos 2 sin cos sin cos
x x x
I x x x
x x x x x x

Đặt
2
x u
ta suy ra
2
2018 2018 2018
2018 2018 2018 2018 2018 2018
0
2 2
sin cos cos
d d d .
sin cos sin cos sin cos
x u x
x u x
x x u u x x
Vậy
2
2
0
2
d 8.
4
2 4
a
I x P
b
 
Chọn B.
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm
Câu 41. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
;
2 2
và thỏa mãn
2 cos .f x f x x
Tính tích phân
2
2
d .I f x x
A.
2.
I
B.
2
.
3
I
C.
3
.
2
I
D.
2.
I
Lời giải. Từ giả thiết, thay
x
bằng
x
ta được
2 cos .f x f x x
Do đó ta có hệ
2 cos 4 2 2 cos
1
cos .
3
2 cos 2 cos
f x f x x f x f x x
f x x
f x f x x f x f x x

Khi đó
2 2
2
2
2 2
1 1 2
d cos d sin .
3 3 3
I f x x x x x
Chọn B.
Câu 42. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
2;2
và thỏa mãn
2
1
2 3 .
4
f x f x
x
Tính tích phân
2
2
d .I f x x
A.
.
10
I
B.
.
20
I
C.
.
20
I
D.
.
10
I
Lời giải. Từ giả thiết, thay
x
bằng
x
ta được
2
1
2 3 .
4
f x f x
x
Do đó ta có hệ
2 2
2
2 2
1 2
2 3 4 6
1
4 4
.
1 3
5 4
2 3 9 6
4 4
f x f x f x f x
x x
f x
x
f x f x f x f x
x x

Khi đó
2 2
2
2 2
1 1
d d .
5 20
4
I f x x x
x
Chọn C.
Câu 43. Cho hàm số
y f x
liên tục trên
0;1
và thỏa mãn
2 4
1 2 .x f x f x x x
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
1
.
2
I
B.
3
.
5
I
C.
2
.
3
I
D.
4
.
3
I
Lời giải. Từ giả thiết, thay
x
bằng
1
x
ta được
2 4
1 1 2 1 1
x f x f x x x
2 2 3 4
2 1 1 1 2 6 4 .x x f x f x x x x x
1
Ta có
2 4 4 2
1 2 1 2
x f x f x x x f x x x x f x
. Thay vào
1
ta được
2 4 2 2 3 4
2 1 2 1 2 6 4
x x x x x f x f x x x x x
2 3 4 6 5 3 2
1 2 2 2 2 1
x x x f x x x x x
14
2 3 4 2 2 3 4
2
1 2 1 1 2
1 .
x x x f x x x x x
f x x

Vậy
1 1
1
2 3
0
0 0
1 2
d 1 d .
3 3
I f x x x x x x
Chọn C.
Câu 44. Cho hàm số
f x
liên tục trên
1
;2
2
và thỏa mãn
1
2 3 .f x f x
x
Tính tích phân
2
1
2
d .
f x
I x
x
A.
1
.
2
I
B.
3
.
2
I
C.
5
.
2
I
D.
7
.
2
I
Lời giải. Từ giả thiết, thay
x
bằng
1
x
ta được
1 3
2 .
f f x
x x
Do đó ta có hệ
1 1
2 3 2 3
2
.
1 3 1 6
2 4 2
f x f x f x f x
x x
f x x
x
f f x f x f
x x x x

Khi đó
2 2
2
1
2
2
1 1
2 2
2 2 3
1 .
2
f x
I dx dx x
x xx
Chọn B.
Cách khác. Từ
1 1
2 3 3 2 .
f x f x f x x f
x x

Khi đó
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
d 3 2 d 3 d 2 d .
f f
f x
x x
I x x x x
x x x
Xét
2
1
2
1
d .
f
x
J x
x
Đặt
1
t
x
, suy ra
2
2 2
1 1
d d d d d .t x t x x t
x t

Đổi cận:
1
2
2
.
1
2
2
x t
x t
Khi đó
1
2 2
2
2
1 1
2
2 2
1
d dt d .
f t f x
J tf t t x I
t xt
Vậy
2 2
1 1
2 2
3
3 d 2 d .
2
I x I I x 
Câu 45. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
và thỏa mãn
2
2 3 1 1 .f x f x x
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
.
20
B.
.
16
C.
.
6
D.
.
4
Lời giải. Từ giả thiết, thay
x
bằng
1
x
ta được
2
2 1 3 2 .f x f x x x
Do đó ta có hệ
2 2
2 2
2 3 1 1 4 6 1 2 1
2 1 3 2 9 6 1 3 2
f x f x x f x f x x
f x f x x x f x f x x x
2 2
3 2 2 1
.
5
x x x
f x

Vậy
1
2 2
0
1
3 2 2 1 d .
5 20
I x x x x
Chọn A.
Cách khác. Từ
2 2
1
2 3 1 1 1 3 1 .
2
f x f x x f x x f x

Khi đó
1 1 1
2
0 0 0
1
d 1 d 3 1 d .
2
I f x x x x f x x
15
Xét
1
0
1 d .J f x x
Đặt
1 d d .t x t x 
Đổi cận:
0 1
.
1 0
x t
x t
Khi đó
0 1 1
1 0 0
dt dt d .J f t f t f x x I
Vậy
1 1
2 2
0 0
1 1
1 d 3 1 d .
2 5 20
I x x I I x x

Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số
f x
thỏa
5 2
3 6 .f x f x x x
Biết rằng
0 2,
f
tính
2
2 .
f
A.
2
2 64.
f
B.
2
2 81.
f
C.
2
2 100.
f
D.
2
2 144.
f
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
6
5 2 3
. d 3 6 d 2 .
2 2
f x
x
f x f x x x x x x C
Thay
0
x
vào hai vế, ta được
2
0
2.
2
f
C C
Suy ra
2 6 3 2 6 3
4 4 2 2 4.2 4 100.
f x x x f

Chọn C.
Câu 47. Cho hàm số
f x
có đạo hàm
'f x
liên tục và nhận giá trị không âm trên
1; ,
thỏa
1 0,
f
2
2
2
. 4 4 1
f x
e f x x x
với mọi
1; .
x

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 4 0.
f
B.
0 4 1.
f
C.
1 4 2.
f
D.
2 4 3.
f
Lời giải. Từ giả thiết suy ra
2 1
f x
e f x x
(do
'f x
không âm trên
1;

)
2
d 2 1 d .
f x f x
e f x x x x e x x C

Thay
1
x
vào hai vế, ta được
1
2
1 1 1.
f
e C C
Suy ra
2 2
2
2 1 7
1 ln 1 4 .
13
1
f x
x
e x x f x x x f x f
x x

Chọn B.
Câu 48. Cho hàm số
f x
thỏa mãn
2
4
. 15 12f x f x f x x x
với mọi
x
và
0 0 1.
f f
Giá trị của
2
1
f
bằng
A.
5
.
2
B.
9
.
2
C.
8.
D.
10.
Lời giải. Nhận thấy được
2
. . .
f x f x f x f x f x
Do đó giả thiết tương đương với
4
. 15 12 .f x f x x x
Suy ra
0 0 1.
4 5 2
. 15 12 d 3 6 1
f f
f x f x x x x x x C C
5 2
. 3 6 1
f x f x x x
2
6
5 2 3
. d 3 6 1 d 2 '.
2 2
f x
x
f x f x x x x x x x C

Thay
0
x
vào hai vế ta được
2
0
1
' ' .
2 2
f
C C
Vậy
2 6 3 2
4 2 1 1 8.
f x x x x f

Chọn C.
Câu 49. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
1;2
và thỏa mãn
0, 1;2 .
f x x
Biết rằng
2
1
d 10
f x x
và
2
1
d ln 2.
f x
x
f x
Tính
2 .
f
A.
2 20.
f
B.
2 10.
f
C.
2 10.
f
D.
2 20.
f
Lời giải. Ta có
2
2
1
1
d 10 10 2 1 10.
f x x f x f f
1
16
Lại có
2
2 2
1 1
1
d ln 2 ln ln 2 ln ln 2
f x
x f x f x
f x
(do
0, 1;2
f x x
)
2 2
ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 2.
1 1
f f
f f
f f
2
Từ
1
và
2
, suy ra
2 20.
f
Chọn B.
Câu 50. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
1;1
, thỏa mãn
0, f x x
và
' 2 0
f x f x
. Biết rằng
1 1
f
, giá trị của
1
f
bằng
A.
2
.e
B.
3
.e
C.
4
.e
D.
3.
Lời giải. Ta có
'
' 2 0 ' 2 2
f x
f x f x f x f x
f x
(do
0
f x
)
'
d 2d ln 2
f x
x x f x x C
f x

(do
0
f x
).
Mà
2 2 4
1 1 2 ln 2 2 1 .
x
f C f x x f x e f e
 
Chọn C.
Câu 51. Cho hàm số
f x
xác định và liên tục trên
đồng thời thỏa mãn
2
0,
' , .
1
0
2
x
f x x
f x e f x x
f
Tính giá trị của
ln 2 .
f
A.
1
ln 2 .
4
f
B.
1
ln 2 .
3
f
C.
1
ln 2 ln 2 .
2
f
D.
2
1
ln 2 ln 2 .
2
f
Lời giải. Ta có
2
2
'
'
x x
f x
f x e f x e
f x
(do
0
f x
)
2
'
1 1
d d .
x x
x
f x
x e x e C f x
f x
f x e C

Thay
0
x
ta được
1
0
2
0
1
0 1.
f
f C
e C
Vậy
ln 2
1 1 1 1
ln 2 .
2 1 3
1 1
x
f x f
e e

Chọn B.
Câu 52. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;

, biết
2
' 2 3 0,
f x x f x
0
f x
với mọi
0
x
và
1
1 .
6
f
Tính
1 1 2 ... 2018 .
P f f f
A.
1009
.
2020
P
B.
2019
.
2020
P
C.
3029
.
2020
P
D.
4039
.
2020
P
Lời giải. Ta có
2
2
'
' 2 3 0 2 3
f x
f x x f x x
f x
(do
0
f x
)
2
2 2
'
1 1
d 2 3 d 3 .
3
f x
x x x x x C f x
f x
f x x x C
 
Mà
2 2
1 1 1 1 1 1
1 2 .
6 6 1 2
1 3.1 3 2
f C f x
x xC x x
 
Suy ra
1 1 1 1 1 1 3029
1 ... .
2 3 3 4 2019 2020 2020
P
Chọn C.
Câu 53. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0; 3 ,
thỏa mãn
1,
f x
0 0
f
và
2
1 2 1.
f x x x f x
Giá trị của
3
f
bằng
A.
0.
B.
3.
C.
7.
D.
9.
17
Lời giải. Từ giả thiết suy ra
2 2
2 2
d d
1 1
1 1
f x f x
x x
x x
f x f x
x x

/
2
2
2
1
2 d 2 d 2 1 2 1
2 1
2 1
x
f x
x x f x x C
f x
x
Mà
2
0 0 0 3 3.
f C f x x f

Chọn B.
Câu 54. Cho hàm số
f x
có đạo hàm và liên tục trên
1;4 ,
đồng biến trên
1;4 ,
thoản mãn
2
2
x xf x f x
với mọi
1;4 .
x
Biết rằng
3
1 ,
2
f
tính tích phân
4
1
d .I f x x
A.
1186
.
45
I
B.
1187
.
45
I
C.
1188
.
45
I
D.
9
.
2
I
Lời giải. Nhận xét: Do
f x
đồng biến trên
1;4
nên
' 0, 1;4
f x x
.
Từ giả thiết ta có
2
1 2 ' . 1 2 , 1;4
x f x f x f x x f x x

2 2
2
d d 1 2 .
3
2 1 2 2 1 2
f x f x
x x x x f x x x C
f x f x
 
Mà
2
3
2 4
1
3 4 2 8 7
3 3
1
2 3 2 9 9 18
x x
f C f x x x x

4
1
1186
d .
45
f x x
Chọn A.
Câu 55. Cho hàm số
f x
liên tục, không âm trên
0;
2
, thỏa
2
. ' cos 1
f x f x x f x
với mọi
0;
2
x
và
0 3.
f
Giá trị của
2
f
bằng
A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
2 2.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2 .
cos , 0;
2
2 1
f x f x
x x
f x
2
2
2 .
d cos d 1 sin .
2 1
f x f x
x x x f x x C
f x

Mà
2
2
0 3 2 sin 2 1 sin 4 sin 3, 0;
2
f C f x x x x x

2 2.
2
f

Chọn D.
Câu 56. Cho hàm số
f x
liên tục, không âm trên
0;3 ,
thỏa
2
. 2 1
f x f x x f x
với mọi
0;3
x
và
0 0.
f
Giá
trị của
3
f
bằng
A.
0.
B.
1.
C.
3.
D.
3 11.
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2 .
2 , 0;3
2 1
f x f x
x x
f x
2 2
2
2 .
d 2 d 1 .
2 1
f x f x
x x x f x x C
f x

Mà
2
2 4 2
0 0 1 1 1 2 , 0;3
f C f x x x x x 
3 3 11.
f
Chọn D.
18
Câu 57. Cho hàm số
f x
có đạo hàm không âm trên
0;1 ,
thỏa mãn
0
f x
với mọi
0;1
x
và
4 2 3
2
. ' . 1 1 .
f x f x x f x
Biết
0 2,
f
hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
A.
3
1 2.
2
f
B.
5
2 1 .
2
f
C.
5
1 3.
2
f
D.
7
3 1 .
2
f
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2 3
2
3 2
. '
1
. ' . 1 1
1
1
f x f x
f x f x x f x
x
f x
3
2
1 1 1 1
3 2 3 2
0 0 0 0
d 1
. '
1 2 1
d d d
3
1 1
1 2 1
f x
f x f x
x x x
x x
f x f x

1 1
3
0 2
2
0 0
2
1 ln 1 1 2,605.
3
f
f x x x f
Chọn C.
Câu 58. Cho hàm số
f x
liên tục trên
,
\
0; 1
thỏa mãn
2
1 .
x x f x f x x x
với mọi
0; 1
\x
và
1 2 ln 2.
f
Biết
2 ln 3
f a b
với
, a b
, tính
2 2
.P a b
A.
1
.
2
P
B.
3
.
4
P
C.
13
.
4
P
D.
9
.
2
P
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
\
1
, 0; 1 .
1 1
1
x x
f x f x x
x x
x
Nhận thấy
2
1
. .
1 1
1
x x
f x f x f x
x x
x
Do đó giả thiết tương đương với
. , 0; .
1
\
1
1
x x
f x x
x x
Suy ra
. d 1 d ln 1 .
1 1 1
x x
f x x x x x C
x x x
Mà
1 2 ln 2 1 . ln 1 1.
1
x
f C f x x x
x

Cho
2
x
ta được
3
2 3 3 9
2
2 . 2 ln 3 1 2 ln 3 .
3
3 2 2 2
2
a
f f P
b

Chọn D.
Câu 59. Cho hàm số
f x
có đạo hàm xác định, liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 1
f
và
2
0
f x f x
f x
với mọi
0;1 .
x
Đặt
1 0
P f f
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 1.
P
B.
1 0.
P
C.
0 1.
P
D.
1 2.
P
Lời giải. Nhận thấy
1
0
1 0 dP f f f x x
nên ta cần tìm
.f x
Từ giả thiết ta có
2 2
1 1
1 d 1d .
f x f x
x x x C f x
f x x C
f x f x

Mà
1
0 1 1 .
1
f C f x
x

Vậy
1 1
0 0
1
d d ln 2 0,69.
1
P f x x x
x
Chọn B.
Câu 60. Cho hai hàm số
f x
và
g x
có đạo hàm liên tục trên
0;2 ,
thỏa mãn
' 0 . ' 2 0
f f
và
. ' 2 .
x
g x f x x x e
Tính tích phân
2
0
. ' d .I f x g x x
A.
4.
I
B.
4.
I
C.
2.
I e
D.
2 .I e
Lời giải. Từ giả thiết
' 0 0
' 0 . ' 2 0 .
' 2 0
f
f f
f

19
Do đó từ
. ' 2
x
g x f x x x e
, suy ra
2 2 2
2 0
' 2
.
0 0 2
0 0
' 0
x
x
e
g
f
e
g
f
Tích phân từng phần ta được
2
2
0
0
. . dI f x g x g x f x x
2 2
0 0
2 . 2 0 . 0 2 d 2 d 4.
x x
f g f g x x e x x x e x
Chọn B.
Câu 61. Cho hàm số
0
f x
xác định và có đạo hàm trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
0
2
1 2018 d
.
x
g x f t t
g x f x
Tính
1
0
d .I g x x
A.
1009
.
2
I
B.
505.
I
C.
1011
.
2
I
D.
2019
.
2
I
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
' 2018
2018 2 ' .
' 2 ' .
g x f x
f x f x f x
g x f x f x

0
2 1009 ' 0 .
' 1009 1009
f x
f x f x
f x f x x C

loaïi
Thay ngược lại, ta được
2
0
1 2018 1009 d 1009
x
t C t x C
2
2 2
0
1009
1 2018 1009 1.
2
x
t Ct x C C
Suy ra
1009 1
f x x
hoặc
1009 1
f x x
(loại vì
0 0;1
f x x
).
Khi đó
1 1 1
0 0 0
1011
d d 1009 1 d .
2
I g x x f x x x x
Chọn C.
Câu 62. Cho hai hàm
f x
và
g x
có đạo hàm trên
1;4 ,
thỏa mãn
1 1 4
f g
g x xf x
f x xg x
với mọi
1;4 .
x
Tính tích phân
4
1
d .I f x g x x
A.
3 ln 2.
I
B.
4 ln 2.
I
C.
6 ln 2.
I
D.
8 ln 2.
I
Lời giải. Từ giả thiết ta có
. .
f x g x x f x x g x
. . 0 . . 0
f x x f x g x x g x x f x x g x
. . .
C
x f x x g x C f x g x
x

Mà
4 4
1 1
4
1 1 4 4 d d 8 ln 2.
f g C I f x g x x x
x

Chọn A.
Câu 63. Cho hai hàm
f x
và
g x
có đạo hàm trên
1;2 ,
thỏa mãn
1 1 0
f g
và
2
3
2
2017 1
1
, 1;2 .
2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x
Tính tích phân
2
1
1
d .
1
x x
I g x f x x
x x
20
A.
1
.
2
I
B.
1.
I
C.
3
.
2
I
D.
2.
I
Lời giải. Từ giả thiết ta có
2
2
1
1
2017
1
, 1;2 .
1
2018
1
x
g x f x
x
x
x
x
g x f x
x x
Suy ra
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
x x
x x
g x g x f x f x g x f x
x x x x x
x
1
.
1
x
x
g x f x x C
x x

Mà
2 2
1 1
1 1
1 1 0 1 d 1 d .
1 2
x x
f g C I g x f x x x x
x x

Chọn A.
Câu 64. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm trên
0;3 ,
thỏa mãn
3 . 1
1
f x f x
f x
với mọi
0;3
x
và
1
0 .
2
f
Tính tích
phân
3
2
2
0
'
d .
1 3 .
xf x
I x
f x f x
A.
1
.
2
I
B.
1.
I
C.
3
.
2
I
D.
5
.
2
I
Lời giải. Từ giả thiết
3
3 . 1
3 2.
1
0
2
x
f x f x
f
f
Ta có
3 . 1
2 2
2
1 3 . 1 .
f x f x
f x f x f x
Tích phân
3 3 3
3
2
0
0 0 0
'
1 1
d d d 1 .
1 1 1
1
xf x
x
I x x x J
f x f x f x
f x
Tính
3 0 3 3
3
0 3 0 0
1 1 1 1
d d d d .
1 1 3 1 3 1 3
t x
J x t t x
f x f t f t f x
Suy ra
3 3 3
3 . 1
0 0 0
f x f x
J x x x J
f x f x
Vậy
1
.
2
I
Chọn A.
Câu 65. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
1
af b bf a
với mọi
, 0;1 .
a b
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
1
.
2
I
B.
1
.
4
I
C.
.
2
I
D.
.
4
I
Lời giải. Đặt
sin , cosa x b x
với
0; .
2
x
Từ giả thiết, suy ra
sin cos cos sin 1
xf x xf x
2 2 2
0 0 0
sin cos d cos sin d 1d .
2
xf x x xf x x x

1
Ta có
0 1
2
cos
0 1 0
1 1
2
sin
0 0 0
sin cos d d d
.
cos sin d d d
t x
t x
xf x x f t t f x x
xf x x f t t f x x
Do đó
1
0
1 d .
4
f x x
Chọn D.
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng
21
Câu 66. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thoả mãn
2018
3
f x xf x x
với mọi
0;1 .
x
Tính
1
0
dI f x x
.
A.
1
.
2018 2021
I
B.
1
.
2019 2020
I
C.
1
.
2019 2021
I
D.
1
.
2018 2019
I
Lời giải. Từ giả thiết
2018
3 ,
f x xf x x
nhân hai vế cho
2
x
ta được
2 3 2020 3 2020
3 .
x f x x f x x x f x x
Suy ra
2021
3 2020
d .
2021
x
x f x x x C
Thay
0
x
vào hai vế ta được
2018
0 .
2021
x
C f x 
Vậy
1
1 1
2018 2019
0
0 0
1 1 1 1
d d . .
2021 2021 2019 2021 2019
f x x x x x
Chọn C.
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho
2
x
là để thu được đạo hàm đúng dạng
' ' '.uv u v uv
Câu 67. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;4 ,
thỏa mãn
2 1
x
f x f x e x
với mọi
0;4 .
x
Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A.
4
26
4 0 .
3
e f f
B.
4
4 0 3 .e f f e
C.
4 4
4 0 1.
e f f e
D.
4
4 0 3.
e f f
Lời giải. Nhân hai vế cho
x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
/
' 2 1 2 1.
x x x
e f x e f x x e f x x
Suy ra
1
2 1d 2 1 2 1 .
3
x
e f x x x x x C
Vậy
4
26
4 0 .
3
e f f
Chọn A.
Câu 68. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
,
thỏa mãn
2017 2018
' 2018 2018
x
f x f x x e
với mọi
x
và
0 2018.
f
Tính giá trị
1 .
f
A.
2018
1 2018 .
f e
B.
2018
1 2017 .
f e
C.
2018
1 2018 .
f e
D.
2018
1 2019 .
f e
Lời giải. Nhân hai vế cho
2018x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
2018 2018 2017 2018 2017
2018 2018 2018 .
x x x
f x e f x e x f x e x
Suy ra
2018 2017 2018
2018 d .
x
f x e x x x C
Thay
0
x
vào hai vế ta được
2018 2018
2018 2018 .
x
C f x x e
Vậy
2018
1 2019 .
f e
Chọn D.
Câu 69. Cho hàm số
f x
có đạo hàm và liên tục trên
,
thỏa mãn
2
2
x
f x xf x xe
và
0 2.
f
Tính
1 .
f
A.
1 .f e
B.
1
1 .
f
e
C.
2
1 .
f
e
D.
2
1 .
f
e
Lời giải. Nhân hai vế cho
2
2
x
e
để thu được đạo hàm đúng, ta được
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 .
x x x x x
f x e f x xe xe e f x xe
Suy ra
2 2 2
2 2 2
2 d 2 .
x x x
e f x xe x e C
Thay
0
x
vào hai vế ta được
2
0 2 .
x
C f x e
Vậy
1
2
1 2 .
f e
e
Chọn D.
22
Câu 70. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm trên
0; ,
2
thỏa mãn hệ thức
3
tan .
cos
x
f x xf x
x
Biết rằng
3 3 ln 3
3 6
f f a b
trong đó
, .
a b
Tính giá trị của biểu thức
.P a b
A.
4
.
9
P
B.
2
.
9
P
C.
7
.
9
P
D.
14
.
9
P
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
2 2
cos sin sin .
cos cos
x x
xf x xf x xf x
x x
Suy ra
2
sin d tan ln cos .
cos
x
xf x x x x x C
x
Với
3 2
. 3 ln 2 3 . 3 2 ln 2 2 .
3 2 3 3 3 3
x f f C
 
Với
1 3 1 1
. ln 3 ln 2 . 3 ln 3 2 ln 2 2 .
6 2 6 6 3 2 6 9
x f C f C

Suy ra
5
5 4
3 3 ln 3 .
9
3 6 9 9
1
a
f f P a b
b
 
Chọn A.
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1
Câu 71. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0; ,
2
thỏa
2
2
0
2
2 2 sin d .
4 2
f x f x x x
Tính tích phân
2
0
d .I f x x
A.
0.
I
B.
.
4
I
C.
1.
I
D.
.
2
I
Lời giải. Ta có
2
2
0
2
2 sin d .
4 2
x x
Do đó giả thiết tương đương với
2
2 2
0
2 2 sin 2 sin d 0
4 4
f x f x x x x
2
2
0
2 sin d 0 2 sin 0, 0; .
4 4 2
f x x x f x x x
Suy ra
2 2
0 0
2 sin d 2 sin d 0.
4 4
f x x I f x x x x

Chọn A.
Câu 72. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
thỏa
1 1
2 2
0 0
2
2 ln d 2 ln 1 d .f x x f x x x
e
Tích phân
1
0
d .I f x x
A.
ln
4
e
I
. B.
4
ln
I
e
. C.
ln
2
e
I
. D.
2
ln
I
e
.
Lời giải. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được
1 1
2 2 2
0 0
2 2
ln 1 d 2 ln 2 ln d .x x x
e e
Do đó giả thiết tương đương với
1
2
0
ln 1 d 0 ln 1 , 0;1 .
f x x x f x x x
Suy ra
1 1
0 0
4
d ln 1 d ln
f x x x x
e
. Chọn B.
Câu 73. Cho hàm số
f x
có đạo liên tục trên
0;1 ,
f x
và
'f x
đều nhận giá trị dương trên
0;1
và thỏa mãn
0 2
f
và
1 1
2
0 0
' . 1 d 2 ' . d .f x f x x f x f x x
Tính
1
3
0
d .I f x x
23
A.
15
.
4
I
B.
15
.
2
I
C.
17
.
2
I
D.
19
.
2
I
Lời giải. Giả thiết tương đương với
1
2
0
' . 1 d 0
f x f x x
2 2
' . 1, 0;1 ' 1 ' d df x f x x f x f x f x f x x x
  
3
0 2
8
.
3 3
f
f x
x C C

Vậy
1
3
3
0
19
3 8 d .
2
f x x I f x x

Chọn D.
Câu 74. Cho hàm số
f x
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
0;1
và thỏa mãn
0 1,
f
1 1
2
0 0
1
3 ' . d 2 ' . d .
9
f x f x x f x f x x
Tính
1
3
0
d .I f x x
A.
3
.
2
I
B.
5
.
4
I
C.
5
.
6
I
D.
7
.
6
I
Lời giải. Giả thiết
1 1
2
0 0
1
3 ' . d 2 ' . d
3
f x f x x f x f x x
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
3 ' . d 2 3 ' . d d 0 3 ' . 1 d 0
f x f x x f x f x x x f x f x x
2 2
3 ' . 1 0, 0;1 9 ' . 1 9 ' . d df x f x x f x f x f x f x x x
  
3
0 1
9. 3.
3
f
f x
x C C

Vậy
1
3
3
0
1 7
1 d .
3 6
f x x f x x

Chọn D.
Câu 75. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa
1 0 1
f f
và
1 1
2
0 0
' 1 d 2 ' d .f x f x x f x f x x
Giá trị của tích phân
1
3
0
df x x
bằng
A.
3
.
2
B.
5 33 27
.
18
C.
5 33
.
18
D.
5 33 54
.
18
Lời giải. Nhóm hằng đẳng thức ta có
1 1
2
0 0
' 1 d 2 ' df x f x x f x f x x
1 1
2
0 0
1 1
2
0 0
0 vi 1 0 1
' ' d 2 ' d 0
' 1 d ' 1 d 0
f f
f x f x f x x f x f x x
f x f x x f x x
2 2
' . 1, 0;1 ' 1 ' d df x f x x f x f x f x f x x x
  
3
1 0 1
3
5 33 27
3 3 .
3 54
f f
f x
x C f x x C C
  
Vậy
1
3
3
0
5 33 27 5 33
3 d .
18 18
f x x f x x

Chọn C.
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2
Kỹ thuật Holder
Câu 76. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1
f x x xf x x
và
1
2
0
d 4
f x x
. Giá trị của tích
phân
1
3
0
df x x
bằng
24
A.
1.
B.
8.
C.
10.
D.
80.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
2
, ,
f x xf x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
.
f x x
Với mỗi số thực
,
ta có
1 1 1 1
2 2
2
0 0 0 0
d d 2 d df x x x f x x x f x x x x
2
2
4 2 .
3

Ta cần tìm
,
sao cho
1
2
0
d 0
f x x x
hay
2
2
4 2 0
3

2 2
3 6 3 6 12 0.
Để tồn tại
thì
2
2
3 6 4 3 6 12 0
2
2
3 12 12 0 3 2 0 2 6.

Vậy
1 1
2 3
0 0
6 2 d 0 6 2, 0;1 d 10.
f x x x f x x x f x x
 
Chọn C.
Câu 77. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1
xf x x x f x x
và
1
2
0
d 5.
f x x
Giá trị của tích
phân
1
3
0
df x x
bằng
A.
5
.
6
B.
6
.
5
C.
8.
D.
10.
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
2
, ,
f x xf x x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
.f x x x
Với mỗi số thực
,
ta có
1 1 1 1
2 2
2
0 0 0 0
d d 2 d df x x x x f x x x x f x x x x x
2 2
4
5 2 .
3 5 2

Ta cần tìm
,
sao cho
1
2
0
d 0
f x x x x
hay
2 2
4
5 2 0.
3 5 2

Tương tự như bài trước, ta tìm được
15, 10.
Vậy
1 1
2
3
0 0
5
15 10 d 0 15 10 , 0;1 d .
6
f x x x x f x x x x f x x
 
Chọn A.
Câu 78. Cho hàm số
y f x
liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
1 1
2 2
0 0
1
d d .
16
xf x x x f x x
Giá trị của tích phân
1
0
df x x
bằng
A.
1
.
5
B.
1
.
4
C.
1
.
3
D.
2
.
5
Lời giải. Hàm bình phương không như thông thường là
2
f x
hoặc
2
' .
f x
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
2
2
,
x f x x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
2
2
??? 2 ??? ??? .
x f x xf x x f x
So sánh ta thấy được
??? .
2
x x
Do đó giả thiết được viết lại
2 2
1 1
0 0
1
d d 0.
2 2 16
x x x x
x f x x x
Suy ra
1
0
1
, 0;1 d .
2 2 4
x x x
x f x x f x f x x  
Chọn B.
Câu 79. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
1;8
và thỏa mãn
2 2 8
2
3 3
1 1 1
2 38
d 2 d d .
3 15
f x x f x x f x x
Tích phân
8
1
df x x
bằng
A.
8 ln 2
.
27
B.
ln 2
.
27
C.
4
.
3
D.
3
.
2
25
Lời giải. Nhận thấy có một tích phân khác cận là
8
1
d .f x x
Bằng cách đổi biến
3
x t
ta thu được tích phân
2 2
2 3 2 3
1 1
3 d 3 d .t f t t x f x x
Do đó giả thiết được viết lại
2 2 2
2
3 3 2 3
1 1 1
38
d 2 d 2 d .
15
f x x f x x x f x x
*
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là
2
3 3 2 3
, ,
f x f x x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
3 2
.
f x x
Tương tự như các bài trên ta tìm được
1, 1.
Do đó
2 2
2
2
3 2 2
1 1
38
* 1 d 1 d 0
15
f x x x x x
8
3
3 2 2
1
3
1, 1;2 1, 1;8 d .
2
f x x x f x x x f x x  
Chọn D.
Câu 80. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
d 7
f x x
và
1
2
0
1
d .
3
x f x x
Tích
phân
1
0
df x x
bằng
A.
1
. B.
7
5
. C.
7
4
. D.
4
.
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
2
,
f x x f x
không có mối liên hệ với nhau.
Dùng tích phân từng phần ta có
1 1
3
1
2 3
0
0 0
1
d ' d .
3 3
x
x f x x f x x f x x
Kết hợp với giả thiết
1 0
f
, ta suy ra
1
3
0
' d 1.
x f x x
Bây giờ giả thiết được đưa về
1
2
0
1
3
0
d 7
.
' d 1
f x x
x f x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
3
, 'f x x f x
nên ta sẽ liên kết với
bình phương
2
3
' .
f x x
Với mỗi số thực
ta có
1 1 1 1
2
2
3 3 2 6
0 0 0 0
' d ' d 2 ' d df x x x f x x x f x x x x
2
2
1
7 2 7 .
7 7
Ta cần tìm
sao cho
1
2
3
0
' d 0
f x x x
hay
2
1
7 0 7.
7
Vậy
1
2
3 3 4
0
7
' 7 d 0 ' 7 , 0;1
4
f x x x f x x x f x x C
 
1
1 0
4
0
7 7 7 7
d .
4 4 4 5
f
C f x x f x x
 
Chọn B.
Cách 2. Dùng tích phân từng phần ta có
1 1
3
1
2 3
0
0 0
1
d ' d .
3 3
x
x f x x f x x f x x
Kết hợp với giả thiết
1 0
f
, ta suy ra
1
3
0
' d 1.
x f x x
Theo Holder
2
1 1 1
7
1
2
2
3 6
0
0 0 0
1 ' d d . ' d .7 1.
7
x
x f x x x x f x x
26
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có
3
' ,f x kx
thay vào
1
3
0
' d 1
x f x x
ta được
7.
k
Suy ra
3
' 7f x x
(làm tiếp như trên)
Câu 81. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 1
f
,
1
5
0
11
d
78
x f x x
và
1
0
4
d .
13
f x f x
Tính
2 .
f
A.
2 2.
f
B.
251
2 .
7
f
C.
256
2 .
7
f
D.
261
2 .
7
f
Lời giải. Viết lại
1 1
2
0 0
4 4
d d .
13 13
f x f x f x x
Dùng tích phân từng phần ta có
1 1
6
1
5 6
0
0 0
1
d d .
6 6
x
x f x x f x x f x x
Kết hợp với giả thiết
1 1
f
, ta suy ra
1
6
0
2
d .
13
x f x x
Bây giờ giả thiết được đưa về
1
2
0
1
6
0
4
d
13
.
2
' d
13
f x x
x f x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
6
, 'f x x f x
nên ta sẽ liên kết với
bình phương
2
6
' .
f x x
Tương tự như bài trên ta tìm được
1 1
6 7
2 5
2 2 .
7 7
f
f x x f x x C C

Vậy
7
2 5 261
2 .
7 7 7
f x x f 
Chọn D.
Cách 2. Theo Holder
2
2
1 1 1
2
6 12
0 0 0
2 1 4 4
d . d . .
13 13 13 169
x f x x x dx f x x
Câu 82. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 2, 0 0
f f
và
1
2
0
' d 4.
f x x
. Tích phân
1
3
0
2018 d .f x x x
bằng
A.
0.
B.
1011.
C.
2018.
D.
2022.
Lời giải. Từ giả thiết
1 2, 0 0
f f
suy ra
1
1
0
0
' d 2.
f x x f x
Hàm dưới dấu tích phân là
2
' , 'f x f x
nên sẽ liên kết với bình phương
2
' .
f x
Ta tìm được
0 0
2 ' 2 2 0.
f
f x f x x C C

Vậy
1
3
0
2 2018 d 1011.
f x x f x x x

Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
1 1 1
2
2
0 0 0
2 ' d d . ' d 1.4 4.
f x x x f x x
Câu 83. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
1;2 ,
thỏa mãn
2
2
1
1
1 d ,
3
x f x x
2 0
f
và
2
2
1
' d 7.
f x x
Tích phân
2
1
df x x
bằng
A.
7
.
20
B.
7
.
20
C.
7
.
5
D.
7
.
5
27
Lời giải. Chuyển thông tin
2
2
1
1 dx f x x
sang
'f x
bằng cách tích phân từng phần, ta được
2
3
1
1 ' d 1.
x f x x
Hàm dưới dấu tích phân là
2
3
' , 1 'f x x f x
nên liên kết với
2
3
' 1 .
f x x
Ta tìm được
3 4
2 0
7 7
7 ' 7 1 1 .
4 4
f
f x x f x x C C
 
Vậy
2
4
1
7 7 7
1 d .
4 4 5
f x x f x x 
Chọn C.
Cách 2. Theo Holder
2
2 2 2
2
3 6
1
1 1 1
1
1 1 ' d 1 d ' d .7 1.
7
x f x x x x f x x
Câu 84. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1
2
0
9
1 1, ' d
5
f f x x
và
1
0
2
d .
5
f x x
Tích phân
1
0
df x x
bằng
A.
1
.
5
I
B.
1
.
4
I
C.
3
.
5
I
D.
3
.
4
I
Lời giải. Chuyển thông tin
1
0
df x x
sang
'f x
bằng cách:
Đặt
1
0
1
d
5
t x tf t t

hay
1
0
1
d .
5
xf x x
Tích phân từng phần
1
0
d ,xf x x
ta được
1
2
0
3
' d .
5
x f x x
Hàm dưới dấu tích phân là
2
2
' , 'f x x f x
nên liên kết với
2
2
' .
f x x
Ta tìm được
1 1
2 3
3 ' 3 0.
f
f x x f x x C C
Vậy
1
3
0
1
d .
4
f x x f x x 
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2
1 1 1
2
2 4
0 0 0
3 1 9 9
' d d ' d . .
5 5 5 25
x f x x x x f x x
Câu 85. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 1 0,
f f
1
0
' cos d
2
f x x x
và
1
2
0
1
d .
2
f x x
Tích phân
1
0
df x x
bằng
A.
1
.
B.
2
.
C.
.
D.
3
.
2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
f x
và
' cos
f x x
, không thấy liên kết.
Do đó ta chuyển thông tin của
' cos
f x x
về
f x
bằng cách tích phân từng phần của
1
0
' cos d
2
f x x x
cùng với kết
hợp
0 1 0,
f f
ta được
1
0
1
sin d .
2
f x x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
f x
và
sin
f x x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
sin .
f x x
Ta tìm được
1
0
2
1 sin d .
f x x f x x
 
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2
1 1 1
2
2
0 0 0
1 1 1
sin d d . sin . .
2 2 2
f x x x f x x x dx
28
Câu 86. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0; ,
thỏa mãn
0
' sin d 1
f x x x
và
2
0
2
d .
f x x
Tích phân
0
dxf x x
bằng
A.
6
.
B.
4
.
C.
2
.
D.
4
.
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
f x
và
' sinf x x
, không thấy liên kết.
Do đó ta chuyển thông tin của
' sinf x x
về
f x
bằng cách tích phân từng phần của
0
' sin d 1,
f x x x
ta được
0
cos d 1.
f x x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
f x
và
cosf x x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
cos .f x x
Ta tìm được
0 0
2 2 2 cos 4
cos d d .
x x
f x x xf x x x
 
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2
2 2
0 0 0
2
1 cos d d cos d . 1.
2
f x x x f x x x x
Câu 87. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa
1
2
2
0
1 0, ' d
8
f f x x
và
1
0
1
cos d .
2 2
x
f x x
Tích
phân
1
0
df x x
bằng
A.
1
.
B.
2
.
C.
.
2
D.
.
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
'
f x
và
cos
2
x
f x
, không thấy liên kết.
Do đó ta chuyển thông tin của
cos
2
x
f x
về
'f x
bằng cách tích phân từng phần của
1
0
1
cos d
2 2
x
f x x
cùng với kết
hợp
1 0,
f
ta được
1
0
sin ' d .
2 4
x
f x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
'
f x
và
sin '
2
x
f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
' sin .
2
x
f x
Ta tìm được
1 0
' sin cos 0.
2 2 2 2
f
x x
f x f x C C
 
Vậy
1
0
2
cos d .
2
x
f x f x x

Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
1
sin ' d sin d . ' d . .
4 2 2 2 8
x x
f x x x f x x
Câu 88. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1
0
' sin df x x x
và
1
2
0
d 2.
f x x
Tích phân
1
0
d
2
x
f x
bằng
A.
6
.
B.
4
.
C.
4
.
D.
6
.
Lời giải. Chuyển thông tin của
' sin
f x x
về
f x
bằng cách tích phân từng phần của
1
0
' sin d ,
f x x x
ta được
1
0
cos d 1.
f x x x
29
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
f x
và
cos
x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
cos .
f x x
Ta tìm được
1 1
0 0
4
2 2 cos d 2 cos d .
2 2
x x
f x x f x x
 
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
1
1 cos d cos d d .2.
2
f x x x x x f x x
Câu 89. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0; ,
2
thỏa
2
2
0
0, d 3
2
f f x x
và
0
sin d 6 .
2
x
x x f x
Tích phân
2
3
0
df x x
bằng
A.
2
.
B.
0.
C.
3 .
D.
9 .
Lời giải. Tích phân từng phần của
0
sin d 6 ,
2
x
x x f x
kết hợp với
0
2
f
ta được
ta được
2
2
0
3
sin d .
4
xf x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
f x
và
2
sin
xf x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
2
sin .f x x
Ta tìm được
2
4 4 sin ' 4 sin 2 '' 8cos2 .f x x f x x f x x
Vậy
2 2
3
3
0 0
d 8cos 2 d 0.
f x x x x
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2
2 2 2
2 4 2
0 0 0
3 3
sin d sin d d .3 .
4 16
xf x x x x f x x
Câu 90. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
1 0
f
và
1 1
2
2
0 0
1
' d 1 d .
4
x
e
f x x x e f x x
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A.
1
.
2
e
I
B.
2
.
4
e
I
C.
2.
I e
D.
.
2
e
I
Lời giải. Tích phân từng phần của
1
0
1 d ,
x
x e f x x
kết hợp với
1 0
f
ta được
1
2
0
1
' d .
4
x
e
xe f x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
'
f x
và
'
x
xe f x
nên ta sẽ liên kết với
2
.
x
f x xe
Ta tìm được
1 0
1 ' d 1 0.
f
x x x
f x xe f x xe x x e C C
 
Vậy
1 1
0 0
1 d 1 d 2.
x x
f x x e f x x x e x e

Chọn C.
Cách 2. Theo Holder
2
2
1 1 1
2 2 2
2
2 2
0 0 0
1 1 1
' d d . ' d . .
4 4 4
x x
e e e
xe f x x x e x f x x
Câu 91. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 0, 1 1
f f
và
2
1
0
'
1
d .
1
x
f x
x
ee
Tích phân
1
0
df x x
bằng
30
A.
2
.
1
e
e
B.
1
.
2
e
e
D.

1
.
1 2
e e
C.
1.
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
'
x
f x
e
nên ta cần tìm một thông tin liên quan
' .f x
Từ giả thiết
0 0, 1 1
f f
ta nghĩ đến
1
1
0
0
' d 1 0 1.
f x x f x f f
Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là
2
'
x
f x
e
và
'f x
nên sẽ liên kết với bình phương
2
'
.
x
x
f x
e
e
Với mỗi số thực
ta có
2
2
1 1 1 1
2
0 0 0 0
'
'
d d 2 ' d d
x x
x
x
f x
f x
e x x f x x e x
e
e
2
2
1 1
2 1 1 1 .
1 1
e e
e e
Ta cần tìm
sao cho
2
1
0
'
d 0
x
x
f x
e x
e
hay
2
1 1
1 1 0 .
1 1
e
e e
Với
1
1
e
thì
2
1
0
' '
1 1
d 0 , 0;1 .
1 1
x x
x x
f x f x
e x e x
e e
e e
Suy ra
0 0, 1 1
1
' d .
1 1 1 1
x x x
f f
e e e
f x f x x C C
e e e e

Vậy
1
0
1 2
d .
1 1
x
e e
f x f x x
e e

Chọn A.
Cách 2. Theo Holder
2 2 2
1 1 1 1
2
0 0 0 0
'
'
1
1 ' d . d d d . 1 1.
1
x x
x
x
f x
f x
f x x e x x e x e
ee
e
Câu 92. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 0, 1 1
f f
và
1
2
2
0
1
1 ' d .
ln 1 2
x f x x
Tích phân
1
2
0
d
1
f x
x
x
bằng
A.
2
1
ln 1 2 .
2
B.
2
2 1
ln 1 2 .
2
C.
1
ln 1 2 .
2
D.
2 1 ln 1 2 .
Lời giải. Tương tự bài trước, ta có
1
1
0
0
' d 1 0 1.
f x x f x f f
Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là
2
2
1 '
x f x
và
'f x
nên sẽ liên kết với bình phương
2
2
4
2
4
1 ' .
1
x f x
x
Ta tìm được
2
1 1 1
' .
ln 1 2 ln 1 2
1
f x
x

2
2
1 1 1
. d ln 1 .
ln 1 2 ln 1 2
1
f x x x x C
x

Mà
2
ln 1
0 0, 1 1 0 .
ln 1 2
x x
f f C f x
Vậy
2
1 1 1
2 2
2 2
0 0 0
ln 1
1 1
d d ln 1 d ln 1
ln 1 2 ln 1 2
1 1
x x
f x
x x x x x x
x x
2 2
1
0
ln 1
1 1
. ln 1 2 .
2 2
ln 1 2
x x
Chọn C.
Cách 2. Theo Holder
31
2
1 1 1 1
2
2 2 2
4
2 2
4
0 0 0 0
1 d
1 ' d 1 ' . d 1 ' d .
1 1
x
f x x x f x x x f x x
x x
1
.ln 1 2 1.
ln 1 2
Câu 93. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
1;1 ,
thỏa mãn
1 0,
f
1
2
1
' d 112
f x x
và
1
2
1
16
d .
3
x f x x
Tính tích phân
1
1
d .I f x x
A.
84
.
5
I
B.
35
.
2
I
C.
35
.
4
I
D.
168
.
5
I
Lời giải. Như các bài trước, ta chuyển
1
2
1
16
d
3
x f x x
về thông tin của
'f x
bằng cách tích phân từng phần. Đặt
3
2
d ' d
.
d d
3
u f x x
u f x
x
v x x
v
Khi đó
1 1 1
3
1
2 3 3
1
1 1 1
1 1 1 1
d ' d 1 1 ' d .
3 3 3 3 3
x
x f x x f x x f x x f f x f x x
Tới đây ta bị vướng
1f
vì giả
thiết không cho. Do đó ta điều chỉnh lại như sau
3
2
d ' d
d d
3
u f x x
u f x
x
v x x
v k
với
k
là hằng số.
Khi đó
1 1
3 3
1
2
1
1 1
d ' d
3 3
x x
x f x x k f x k f x x
1
3
1
0 do 1 0
1 1
1 1 ' d .
3 3 3
f
x
k f k f k f x x

Ta chọn
k
sao cho
1 1
0 .
3 3
k k
Khi đó
1 1 1
2 3 3
1 1 1
16 1
d 1 ' d 1 ' d 16.
3 3
x f x x x f x x x f x x

Hàm dưới dấu tích phân là
2
3
' , 1 'f x x f x
nên ta liên kết với
2
3
' 1
f x x
.
Ta tìm được
3 3 4
7
7 ' 7 1 7 1 d 7
4
f x x f x x x x x C

1 0
4
35 7 35
7 .
4 4 4
f
C f x x x

Vậy
1
1
84
d .
5
I f x x
Cách 2. Theo Holder
2
1 1 1
2
2
2
3 3
1 1 1
16
16 1 ' d 1 d . ' d .112 256.
7
x f x x x x f x x
Câu 94. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 0,
f
1
2
0
3
' d 2 ln 2
2
f x x
và
1
2
0
3
d 2 ln 2 .
2
1
f x
x
x
Tích phân
1
0
df x x
bằng
A.
1 ln 2
.
2
B.
1 2 ln 2
.
2
C.
3 2 ln 2
.
2
D.
3 4 ln 2
.
2
32
Lời giải. Như các bài trước, ta chuyển
1
2
0
3
d 2 ln 2
2
1
f x
x
x
về thông tin của
'f x
bằng cách tích phân từng phần. Đặt
2
d ' d
.
1
1
d d
1
1
u f x
u f x x
v x
v
x
x
Khi đó
1 1 1
1
2
0
0 0 0
' 1 0 '
d d d .
1 1 2 1 1
1
f x f x f x f f f x
x x x
x x x
x
Tới đây ta bị vướng
0
f
vì giả thiết không
cho. Do đó ta điều chỉnh lại như sau
2
d ' d
1
1
d d
1
1
u f x
u f x x
v x
v k
x
x
với
k
là hằng số.
Khi đó
1 1
1
2
0
0 0
1 1
d ' d
1 1
1
f x
x k f x k f x x
x x
x
1
1 0
0
1
1 0 ' d .
1
f
k f k f x x
x
Ta chọn
k
sao cho
1 0 1.
k k
Khi đó
1 1 1
2
0 0 0
3 3
2 ln 2 d ' d ' d 2 ln 2.
2 1 1 2
1
f x
x x
x f x x f x x
x x
x

Hàm dưới dấu tích phân là
2
' , '
1
x
f x f x
x
nên ta liên kết với
2
' .
1
x
f x
x
Ta tìm được
1 ' d ln 1
1 1
x x
f x f x x x x C
x x

1 0
ln 2 1 ln 1 ln 2 1.
f
C f x x x

Vậy
1
0
1 2 ln 2
d .
2
f x x
Chọn B.
Cách 2. Theo Holder
2
2 2
1 1 1
2
0 0 0
3 3 3
2 ln 2 ' d d ' d 2 ln 2 2 ln 2 .
2 1 1 2 2
x x
f x x x f x x
x x
Câu 95. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
1;2 ,
đồng biến trên
1;2 ,
thỏa mãn
1 0
f
,
2
2
1
d 2
f x x
và
2
1
. ' d 1.
f x f x x
Tích phân
2
1
df x x
bằng
A.
2
.
2
B.
2.
C.
2.
D.
2 2.
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
, .
f x f x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
.
f x f x
Nhưng khi khai
triển thì vướng
2
2
1
df x x
nên hướng này không khả thi.
Ta có
2
2 2 2 2
2
1
1
2 1 2 0
1 . ' d 2 2
2 2 2
f x f f f
f x f x x f

(do đồng biến trên
1;2
nên
2 1 0
f f
)
Từ
1 0
f
và
2 2
f
ta nghĩ đến
2
2
1
1
' d 2 1 2 0 2.
f x x f x f f
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
,
f x f x
nên ta sẽ liên kết với
2
.
f x
Ta tìm được
1 0
2 ' 2 2 2.
f
f x f x x C C

Vậy
2
1
2
2 2 d .
2
f x x f x x 
Chọn A.
33
Câu 96. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 0
f
,
1
2
0
d 1
f x x
và
1
2
2
0
3
d .
4
f x f x x
Giá
trị của
2
2
f
bằng
A.
3
.
2
B.
3
.
2
C.
3 1 2
.
2
D.
3 1 2
.
2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2
2
f x f x
và
2
f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
.
f x f x f x
Nhưng
khi khai triển thì vướng
1
2
0
' df x f x x
nên hướng này không khả thi.
Tích phân từng phần
1
2
0
d 1
f x x
kết hợp với
1 0,
f
ta được
1
0
1
' d .
2
xf x f x x
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là
2
2
f x f x
và
'xf x f x
nên ta sẽ liên kết với bình phương
2
' .f x f x x
Ta tìm được
2
2
3 3 3 3
' ' d d
2 2 2 2 4
f x
f x f x x f x f x x x x x C

1 0
2 2 2
3 3 3
1 2 .
4 2 2
f
C f x x f
 
Chọn A.
Câu 97. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;2 ,
thỏa mãn
2 1
f
,
2
2
0
8
d
15
x f x x
và
2
4
0
32
' d .
5
f x x
Giá
trị của tích phân
2
0
df x x
bằng
A.
3
.
2
B.
2
.
3
C.
7
.
3
D.
7
.
3
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân
4
'
f x
và
2
x f x
. Lời khuyên là đừng có cố liên kết với bình phương nào, vì có tìm cũng
không ra.
Tích phân từng phần
2
2
0
8
d
15
x f x x
kết hợp với
2 1
f
, ta được
2
3
0
32
d .
5
x f x x
Áp dụng Holder
2
lần ta được
4 4 2 2
4
2 2 2 2
2
3 2 4 2
0 0 0 0
32
d . d d ' d
5
x f x x x xf x x x x x f x x
2
2 2 2
4
4 4
0 0 0
3
4
2 2
4
4
0 0
d d . ' d
1048576 32
d ' d .
625 5
x x x x f x x
x x f x x
Dấu
'' ''
xảy ra, tức là
2
' '
xf x kx f x kx
thay vào
2
4
0
32
' d
5
f x x
tìm được
1
k
2
2 1
' d 1.
2
f
x
f x x f x x x C C
 
Vậy
2
2
0
2
1 d .
2 3
x
f x f x x

Chọn B.
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
4
4 4 4 3
' 4 ' .f x x x x x f x
Do vậy
2 2 2
4
4 3
0 0 0
' d 3 d 4 d .f x x x x x f x x
Mà giá trị của hai vế bằng nhau, có nghĩa là dấu
'' ''
xảy ra nên
' .f x x
(Làm tiếp như trên).
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM
34
Câu 98. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
'f x
liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 0
f ef
và
1 1
2
2
0 0
d
' d 2.
x
f x x
f x
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
2
1 .
1
e
f
e
B.
2 2
1 .
1
e
f
e
C.
2
2
2
1 .
1
e
f
e
D.
2 2
1 .
1
e
f
e
Lời giải. Ta có
1 1 1 1
AM GM
2 2
2 2
0 0 0 0
'
d 1
' d ' d 2 d
f x
x
f x x f x x x
f xf x f x
1
0
1
2 ln 2 ln 1 2 ln 0 2 ln 2 ln 2.
0
f
f x f f e
f
Mà
1 1
2
2
0 0
d
' d 2
x
f x x
f x
nên dấu
'' ''
xảy ra, tức là
1
' ' 1
f x f x f x
f x
2
' d d 2 2 .
2
f x
f x f x x x x x C f x x C
 
Theo giả thiết
1 0
f ef
nên ta có
2
2
1
2 2 2 2 2 2
1
C e C C e C C
e
2
2 2 2
2 2 2
2 1 2 .
1 1 1
e
f x x f
e e e

Chọn C.
Câu 99. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên
0;1 ,
có đạo hàm dương và liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
0 1
f
và
1 1
3
3 2
0 0
4 ' d 3 ' d .f x f x x f x f x x
Tính
1
0
d .I f x x
A.
2 1 .
I e
B.
2
2 1 .
I e
C.
1
.
2
e
I
D.
2
1
.
2
e
I
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức
AM GM
cho ba số dương ta có
3 3 3 3
3 3 3
3 2
3
4 ' 4 ' 3 4 ' . . 3 ' .
2 2 2 2
f x f x f x f x
f x f x f x f x f x f x
Suy ra
1 1
3
3 2
0 0
4 ' d 3 ' d .f x f x x f x f x x
Mà
1 1
3
3 2
0 0
4 ' d 3 ' df x f x x f x f x x
nên dấu
'' ''
xảy ra, tức là
3 3
3
1
4 ' '
2 2 2
f x f x
f x f x f x
1
2
' '
1 1 1
d d ln .
2 2 2
x C
f x f x
x x f x x C f x e
f x f x
 
Theo giả thiết
1
1
2
0
0 1 0 d 2 1 .
x
f C f x e f x x e 
Chọn A.
Câu 100. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương trên
0;1 ,
có đạo hàm dương liên và tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1
0
'
d 1
xf x
x
f x
và
0 1,
f
2
1 .f e
Tính giá trị của
1
.
2
f
A.
1
1.
2
f
B.
1
4.
2
f
C.
1
.
2
f e
D.
1
.
2
f e
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
' '
. , 0;1 .
xf x f x
x x
f x f x
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
'f x
f x
,
muốn vậy ta phải đánh giá theo
AM GM
như sau:
' '
2 .
f x xf x
mx m
f x f x
với
0
m
và
0;1 .
x
35
Do đó ta cần tìm tham số
0
m
sao cho
1 1
0 0
' '
d 2 . d
f x xf x
mx x m x
f x f x
hay
2
1 1
0 0
ln 2 .1 ln 1 ln 0 2 2 0 2 .
2 2 2
x m m
f x m m f f m m
Để dấu
'' ''
xảy ra thì ta cần có
2 0 2 4.
2
m
m m
Với
4
m
thì đẳng thức xảy ra nên
'
4
f x
x
f x
2
2 2
'
d 4 d ln 2 .
x C
f x
x x x f x x C f x e
f x

Theo giả thiết
2
2
2
0 1
1
0 .
2
1
x
f
C f x e f e
f e
 
Chọn C.
Cách 2. Theo Holder
2 2
1 1 1 1
2
0 0 0 0
' ' ' 1
1
1 d . d d . d .ln 1.
2 0
xf x f x f x f
x x x x x x
f x f x f x f
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có
'
,
f x
kx
f x
thay vào
1
0
'
d 1
xf x
x
f x
ta được
4.
k
Suy ra
'
4 .
f x
x
f x
(làm tiếp như trên)
Câu 101. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1
2
0
' d 1
f x f x x
và
0 1,
f
1 3.
f
Tính giá
trị của
1
.
2
f
A.
1
2.
2
f
B.
1
3.
2
f
C.
1
.
2
f e
D.
1
.
2
f e
Lời giải. Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên.
Hàm dưới dấu tích phân là
2
' .
f x f x
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
'f x f x
, muốn vậy ta phải đánh giá
theo
AM GM
như sau:
2
' 2 . 'f x f x m m f x f x
với
0.
m
Do đó ta cần tìm tham số
0
m
sao cho
1 1
2
0 0
' d 2 ' d .f x f x m x m f x f x x
hay
2
1
0
1 2 . 1 2 .
2
f x
m m m m
Để dấu
'' ''
xảy ra thì ta cần có
1 2 1.
m m m
Với
1
m
thì đẳng thức xảy ra nên
2
' 1
' 1 .
' 1
f x f x
f x f x
f x f x
1 1
2
1 1
0 0
0 0
' 1 ' d d 1 1.
2
f x
f x f x f x f x x x x

(vô lý)
2
' 1 ' d d 2 2 .
2
f x
f x f x f x f x x x x C f x x C
 
Theo giả thiết
0 1
1 1
2 1 2.
2 2
1 3
f
C f x x f
f
 
Chọn A.
36
Cách 2. Ta có
1
2
1
2 2
0
0
1
' d 1 0 1.
2 2
f x
f x f x x f f
Theo Holder
2
1 1 1
2
2 2
0 0 0
1 1. ' d 1 d . ' d 1.1 1.
f x f x x x f x f x x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có
' ,f x f x k
thay vào
1
0
' d 1
f x f x x
ta được
1.
k
Suy ra
' 1.
f x f x
(làm tiếp
như trên)
Câu 102. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
'f x
liên tục trên
1;2 ,
thỏa mãn
2
2
1
'
d 24
f x
x
xf x
và
1 1,
f
2 16.
f
Tính giá trị của
2 .
f
A.
2 1.
f
B.
2 2.
f
C.
2 2.
f
D.
2 4.
f
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
2 2
' '
1
. .
f x f x
xf x x f x
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng
'
f x
f x
, muốn vậy ta
phải đánh giá theo
AM GM
như sau:
2
'
'
2
f x
f x
mx m
xf x
f x
với
0
m
và
1;2 .
x
Do đó ta cần tìm tham số
0
m
sao cho
2
2 2
1 1
'
'
d 2 d
f x
f x
mx x m x
xf x
f x
hay
2
1
2 2 2
24 4 24 4 2 1 24 12 16.
3 3 3
m m m
m f x m f f m m
Để dấu
'' ''
xảy ra thì ta cần có
2
24 12 16.
3
m
m m
Với
16
m
thì đẳng thức xảy ra nên
2
'
'
16 2
2
f x
f x
x x
xf x
f x
2
2 2
'
d 2 d .
2
f x
x x x f x x C f x x C
f x
 
Theo giả thiết
4
1 1
0 2 4.
2 16
f
C f x x f
f
 
Chọn D.
Cách 2. Ta có
2 2
2
1
1 1
' '
d 2. d 2 2 2 1 6.
2
f x f x
x x f x f f
f x f x
Theo Holder
2 2
2
2 1 2 2
2
2
2
1
1 1 1 1
'
' '
6 d . d d . d .24 36.
2
f x
f x f x
x
x x x x x x
xf x
f x xf x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có
' '
,
f x f x
k x kx
xf x f x
thay vào
2
1
'
d 6
f x
x
f x
ta được
4.
k
Suy ra
'
4 .
f x
x
f x
(làm tiếp như trên)
Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân
Câu 103. Cho hàm số
f x
liên tục trên
,
có đạo hàm cấp hai thỏa mãn
.
x
x f x e x
và
2 2 ,f e
2
0 .f e
Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A.
2 4 1.
f e
B.
2
2 2 .f e e
C.
2
2 2 .f e e
D.
2 12.
f
37
Lời giải. Từ giả thiết
.
x
x f x e x
ta có
2 2
0 0
. d d .
x
x f x x e x x
1
Đặt
d d
.
d
u x u x
v f x v f x
Khi đó
2
2
2
2
0
0
0
1 . d
2
x
x
x f x f x x e
2
2 2 2
0 0 0
2
.
2
2. 2 0. 0 2 0 2 1
x
x
x f x f x e
f f f f e
2 4 1f e
(do
2 2 ,f e
2
0
f e
). Chọn A
Câu 104. Cho hàm số
f x
dương và liên tục trên
1;3 ,
thỏa
1;3
max 2,
f x
1;3
1
min
2
f x
và biểu thức
3 3
1 1
1
d . dS f x x x
f x
đạt giá trị lớn nhất, khi đó hãy tính
3
1
d .I f x x
A.
3
.
5
B.
7
.
5
C.
7
.
2
D.
5
.
2
Lời giải. Từ giả thiết ta có
1
2
2
f x
, suy ra
1 5
.
2
f x
f x
Suy ra
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 5 1 1
d d d d 5 d 5 d .
2
f x x x f x x x x f x x
f x f x f x
Khi đó
3 3 3 3
1 1 1 1
1 25
d . d d . 5 d .
4
S f x x x f x x f x x
f x
(dạng
2
2
5 25 25
5 5
2 4 4
t t t t t
)
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
3
1
5
d .
2
f x x
Chọn D.
Câu 105. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
,
thỏa mãn
1
f x f x
với mọi
x
và
0 0.
f
Giá trị lớn
nhất của
1f
bằng
A.
1.
e
B.
1
.
e
e
C.
.
1
e
e
D.
.e
Lời giải. Từ giả thiết
1
f x f x
, nhân thêm hai vế cho
x
e
để thu được đạo hàm đúng là
, , .
x x x x x
e f x e f x e x e f x e x
Suy ra
1 1
1 1
0 0
0 0
d d 1 1 1. 0 1
x x x
e f x x e x e f x e ef f e
0 0
1
1 .
f
e
f
e
Chọn B.
Câu 106. Cho hàm số
f x
nhận giá trị dương và có đạo hàm
f x
liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 2018 0 .
f f
Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
1 1
2
2
0 0
1
d dM x f x x
f x
bằng
A.
ln 2018.
B.
2 ln 2018.
C.
2 .m e
D.
2018 .m e
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được
1 1 1
1
2
2
0
0 0 0
1
1
d d 2 d 2 ln 2 ln 2 ln 2018.
0
f x f
M x f x x x f x
f x f
f x
Chọn B.
Câu 107. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1
và
1
2
0
1
1 d .
3
x f x x
Giá trị nhỏ nhật của biểu thức
1
2
0
d 0f x x f
bằng
38
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
1
.
3
D.
2
.
3
Lời giải. Tích phân từng phần
1
2
0
1
1 d
3
x f x x
, ta được
1
0
1
0 2 1 d .
3
f x f x x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được
1 1 1
2
2
0 0 0
2 1 d 1 d d .x f x x x x f x x
Từ đó suy ra
1 1 1
2
2
0 0 0
d 2 1 d 1 df x x x f x x x x
3
1
1
2
0
0
1
1
d 0 .
3 3
x
f x x f
Vậy
1
2
0
2
d 0 .
3
f x x f
Chọn D.
Câu 108. Cho hàm số
( )f x
liên tục trên
[0; 1]
thỏa mãn
1
0
d 0
xf x x
và
[0; 1]
max 1.
f x
Tích phân
1
0
d
x
e f x x
thuộc
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.
5
; .
4

B.
3
; 1 .
2
e
C.
5 3
; .
4 2
D.
1; .
e
Lời giải. Với mỗi số thực
ta có
1 1 1
0 0 0
d d d
x x
e f x x e f x x xf x x
1 1 1
0 0 0
d . d d .
x x x
f x e x x f x e x x e x x
Suy ra
1 1 1
0;1 0;1
0 0 0
3
d min d min d min 1 .
2 2
x x x
e f x x e x x e x x e e
Chọn C.
Câu 109. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên
0;1 .
Đặt
0
1 d .
x
g x f t t
Biết
g x f x
với mọi
0;1
x
, tích phân
1
0
1
dx
g x
có giá trị lớn nhất bằng
A.
1
.
3
B.
1
.
2
C.
2
.
2
D.
1.
Lời giải. Từ giả thiết
0
1 d ,
x
g x f t t
ta có
0 1
'
g
g x f x
và
0, 0;1 .
g x x
Theo giả thiết
2
'
'
' 1 1.
g x
g x
g x f x g x g x
g x g x

Suy ra
2
0 0
0 0
'
1 1 1 1
d 1d , 0;1 1 .
0
t t
t t
g x
x x t x t t
g x g t g g tg x
Do đó
1 1
0 0
1 1
d 1 d .
2
x x x
g x
Chọn B.
Câu 110. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
2
0
1 3 d
x
f x f t t g x
với mọi
0;1
x
, tích phân
1
0
dg x x
có giá trị lớn nhất bằng
A.
4
.
3
B.
7
.
4
C.
9
.
5
D.
5
.
2
Lời giải. Từ giả thiết
0
1 3 d ,
x
g x f t t
ta có
0 1
' 3
g
g x f x
và
0, 0;1 .
g x x
39
Theo giả thiết
2
2
'
'
3
.
9 2
2
g x
g x
g x f x g x
g x

Suy ra
0 0
0 0
'
3 3 3 3
d d , 0;1 0 1.
2 2 2 2
2
t t
t t
g x
x x t g x x g t g t g t t
g x
Do đó
1 1
0 0
3 7
d 1 d .
2 4
g x x x x
Chọn B.
Câu 111. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn
0;1 ,
thỏa mãn
0
2018 2 d
x
f x f t t
với mọi
0;1 .
x
Biết giá trị lớn nhất của tích phân
1
0
df x x
có dạng
2
ae b
với
, .
a b
Tính
.a b
A.
0.
B.
1009.
C.
2018.
D.
2020.
Lời giải. Đặt
0
2018 2 d ,
x
g x f t t
ta có
0 2018
' 2
g
g x f x
và
0, 0;1 .
g x x
Theo giả thiết
' '
2.
2
g x g x
g x f x g x
g x

Suy ra
0 0
0 0
'
d 2d , 0;1 ln 2
t t
t t
g x
x x t g x x
g x
2
ln ln 0 2 ln 2 ln 2018 2018.
t
g t g t g t t g t e
Do đó
1 1 1
1
2 2 2
0
0 0 0
d d 2018 d 1009 1009 1009.
x x
f x x g x x e x e e
Chọn A.
Câu 112. Cho hàm số
f x
nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn
0;1 .
Đặt
2
0
1 d .
x
g x f t t
Biết
2
2
g x xf x
với mọi
0;1
x
, tích phân
1
0
dg x x
có giá trị lớn nhất bằng
A.
1.
B.
1.
e
C.
2.
D.
1.
e
Lời giải. Từ giả thiết
2
0
1 d ,
x
g x f t t
ta có
2
0 1
' 2
g
g x xf x
và
0, 0;1 .
g x x
Theo giả thiết
2
'
2 ' 1.
g x
g x xf x g x g x
g x

Suy ra
0 0
0 0
'
d 1d , 0;1 ln
t t
t t
g x
x x t g x x
g x
ln ln 0 ln .
t
g t g t g t t g t e
Do đó
1 1
0 0
d d 1.
x
g x x e x e
Chọn B.
Nhận xét. Gọi
F t
là một nguyên hàm của hàm số
f t
trên đoạn
2
0; .x
Khi đó
2
/
/
2 2 2 / 2 2
0
1 1 0 ' 2 .
x
g x F t F x F g x F x x F x xf x

Câu 113. Cho hàm số
f x
có đạo hàm liên tục trên
0;1 ,
thỏa
' 0, 0;1 .
f x f x x
Giá trị lớn nhất của biểu thức
1
0
1
0 . df x
f x
bằng
A.
1.
B.
1
.
e
e
C.
1
.
e
e
D.
1.
e
Lời giải. Từ giả thiết
' 0, 0;1
f x f x x
ta có
'
1, 0;1 .
f x
x
f x
Suy ra
0 0
0 0
'
d 1d , 0;1 ln ln ln 0 0 .
t t
t t
t
f x
x x t f x x f t f t f t f e
f x
40
Do đó
1 1
0 0
1 1 1
0 . d d .
x
e
f x x
f x e
e
Chọn B.
Câu 114. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0; ,
thỏa mãn
0 0
d cos d 1.
f x x xf x x
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
2
0
df x x
bằng
A.
2
.
B.
3
.
C.
4
.
D.
3
.
2
Lời giải. Theo Holder
2
2
2 2 2
0 0 0 0
1 cos d cos d . d . d .
2
xf x x x x f x x f x x
Suy ra
2
0
2
d .
f x x
(Đến đây bạn đọc có thể chọn A)
Dấu
'' ''
xảy ra khi
cosf x k x
thay vào
0
d 1
f x x
ta được
0
0 0
1 d cos d .sin 0.
f x x k x x k x
Điều này hoàn toàn vô lý.
Lời giải đúng. Ta có
0
0 0
0
cos d
d cos d 1
d
a a xf x x
f x x xf x x
b bf x x

với
2 2
,
.
0
a b
a b
Theo Holder
2
2 2
2
0 0 0
cos d cos d d .a b a x b f x x a x b x f x x
Lại có
2
2 2
0
1
cos d 2 .
2
a x b x a b
Từ đó suy ra
2
2
2 2
0
2
d
2
a b
f x x
a b
với mọi
, a b
và
2 2
0.
a b
Do đó
2
2
2 2
0
2 3
d .max .
2
a b
f x x
a b
Chọn B.
Nhận xét: Ta nhân thêm
, a b
vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiên hằng số.
Cách tìm giá trị lớn nhất của
2
2 2
2
a b
P
a b
ta làm như sau:
Nếu
0 1.
b P

(chính là đáp án sai mà mình đã làm ở trên)
Nếu
2
2
2
2 2 2 2
2 1
2 1
0 .
2 2
2
a
t
b
a a
a b
t t
b b
b P
a b t
a
b

Tới đây ta khảo sát hàm số hoặc dùng MODE 7 dò tìm. Kết quả
thu được GTLN của
P
bằng
3
2
khi
2 2 2 .
a
t a b
b

Vậy dấu
'' ''
để bài toán xảy ra khi
2
2 cos 1
a b
f x b x
thay ngược lại điều kiện, ta được
0
1 2 cos 1
2 cos 1 d 1 .
x
b x x b f x

Lúc này
2
0 0
2 cos 1 3
d d .
x
f x x x
41
Cách khác. Đưa về bình phương
Hàm dưới dấu tích phân là
2
, , cos
f x f x xf x
nên ta liến kết với
2
cos .
f x x
Với mỗi số thực
,
ta có
2
2
2
0 0 0 0
cos d 2 cos d cos df x x f x x x f x x x x
2 2 2
0
d 2 .
2
f x x

Ta cần tìm
,
sao cho
2 2
2
2

đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có
2 2
2 2
2 1 3 3
2 .
2 2

Vậy với
2 1
;
thì ta có
2
2
0 0
2 1 3
cos d .
f x x f x x
Suy ra
2
2
0 0
2 1 3 3
d cos .
f x x f x x
Dấu
'' ''
xảy ra khi
2 cos 1
.
x
f x
Câu 115. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0; ,
thỏa mãn
0 0
sin d cos d 1.
xf x x xf x x
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
2
0
df x x
bằng
A.
2
.
B.
3
.
C.
4
.
D.
3
.
2
Lời giải. Liên kết với bình phương
2
sin cos .f x x x
Ta có
2
0
sin cos df x x x x
2
2
0 0 0
2 2
2
0
d 2 sin cos d sin cos d
d 2 .
2 2
f x x x x f x x x x x
f x x
 
Phân tích
2 2
2 2
2 2 4
2 .
2 2 2 2
 
Chọn C.
Câu 116. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1 ,
thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1.
x
f x x e f x x
Gọi
m
là giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
2
0
d .f x x
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
0 1.
m
B.
1 2.
m
C.
2 3.
m
D.
3 4.
m
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
1
0
1
0
d
.
d
x
a ae f x x
b bf x x
Theo Holder
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
d d d .
x x
a b ae b f x x ae b x f x x
Lại có
42
1 1
2
2 2 2 2 2 2
0 0
1
d 2 d 1 2 1 .
2
x x x
ae b x a e abe b x e a e ab b
Suy ra
2
1
2
2 2 2
0
d
1
1 2 1
2
a b
f x x
e a e ab b
với mọi
, a b
và
2 2
0.
a b
Do đó
2
1
2
2 2 2
0
1 1
d max 1 3,1316.
1
3 1
1 2 1
2
a b
f x x
e e
e a e ab b
Chọn D.
Câu 117. Cho hàm số
f x
liên tục trên
0;1
thỏa mãn
1 1
0 0
d d 1.
f x x x f x x
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
2
0
df x x
bằng
A.
2
.
3
B.
1.
C.
8
.
3
D.
3.
Lời giải. Từ giả thiết, ta có
1
0
1
0
d
.
d
a a x f x x
b bf x x
Theo Holder
2
1 1 1
2
2
2
0 0 0
d d . d .a b a x b f x x a x b x f x x
Lại có
1
2
2
2
0
4
d .
2 3
a ab
a x b x b
Suy ra
2
1
2
2
2
0
d
4
2 3
a b
f x x
a ab
b
với mọi
, a b
và
2 2
0.
a b
Do đó
2
1
2
2
2
0
d max 3.
4
2 3
a b
f x x
a ab
b
Chọn D.
Cách 2. Liên kết với bình phương
2
.
f x x
Ta có
2
0
df x x x
2
2
0 0 0
2
2
2
0
d 2 d d
4
d 2 .
2 3
f x x x f x x x x
f x x

Phân tích
2
2
2
2
4 2 1
2 1 6 3.
2 3 3 18

Câu 118. Cho hàm số
y f x
có đạo hàm liên tục trên
1;2 ,
thỏa
2
3
1
d 31.
x f x x
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
2
4
1
df x x
bằng
A.
961.
B.
3875.
C.
148955.
D.
923521.
Lời giải. Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được
43
2
4 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2
4 3 2 4 2 2 4 4
1 1 1 1 1 1
31 d . d d d d d .x f x x x xf x x x x x f x x x x f x x
Suy ra
2
4
4
3
2
1
4
1
31
d 3875.
d
f x x
x x
Dấu
'' ''
xảy ra khi
f x kx
nên
2
4 2
1
d 31 5 5 .k x x k f x x

Chọn B.
Câu 119. Cho hàm số
f x
liên tục và có đạo hàm đến cấp
2
trên
0;2
thỏa
0 2 1 2 1.
f f f
Giá trị nhỏ nhất của tích
phân
2
2
0
'' df x x
bằng
A.
2
.
3
B.
3
.
2
C.
4
.
5
D.
5
.
4
Lời giải. Ta có
2
1 1 1 1
Holder
2 2
2
0 0 0 0
'' d 3 d . '' d 3 . '' df x x x x f x x x f x x
d '' d
2
3 ' 1 0 1 ;
u x
v f x x
f f f
2 2 2 2
Holder
2 2
2
1 1 1 1
'' d 3 2 d . '' d 3 2 . '' d 2f x x x x f x x x f x x
2
d '' d
2
3 ' 1 2 1 .
u x
v f x x
f f f
Suy ra
2
2 2 2
0
'' d 3 ' 1 0 1 3 ' 1 2 1
f x x f f f f f f
2
0 2 1 2
3
3. .
2 2
f f f
Chọn B.
Nhận xét: Lời giải trên sử dụng bất đẳng thức ở bước cuối là
2
2 2
.
2
a b
a b
Câu 120. Cho hàm số
f x
có đạo hàm trên
1;3
và
1 0,
f
1;3
max 10.
f x
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
3
2
1
' df x x
bằng
A.
1.
B.
5.
C.
10.
D.
20.
Lời giải. Vì
0
1;3
max 10 1;3
f x x
sao cho
0
10
f x
1 0
0
1;3
f
x
sao cho
0
10.
f x
Theo Holder
0 0 0 0
2
2 2
2
0
1 1 1 1
' d 1 d . ' d 1 . ' d .
x x x x
f x x x f x x x f x x
Mà
0
0
2
2
2
0
1
1
' d 1 10.
x
x
f x x f x f x f
Từ đó suy ra
0
2
0
1
10
' d
1
x
f x x
x
0
3
2 2
0
1 1
10 10
' d ' d
1 3 1
x
f x x f x x
x

. Chọn B.
| 1/43
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa 1
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa f x  f   x 2 2 3 1
 1 x . Giá trị của tích phân
f 'x dx  0 bằng 1 3 A. 0. B. . C. 1. D. . 2 2 1 1 Lời giải. Ta có
f xdx f x  f   1  f 0.  0 0  2  f   2
 f 03 f    0 1 1   5
Từ 2 f x  3 f 1 x  2  1 x     . 2  f   1  3 f 0   0    f   3 1   5 1 3 2 Vậy I
f 'x dx f   1  f 0    1.  Chọn C. 5 5 0 1
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f 0  f   1  1. Biết rằng x
e f x  f x  dx ae  . b    0 Tính 2018 2018 Q ab . A. 2017 Q  2 1 . B. Q  2 . C. Q  0 . D. 2017 Q  2 1 . 1 1 1
f 0 f   1 1  / Lời giải. Ta có
x      d x          d x e f x f x x e f x x   e f   
x  ef     1  f 0  e 1.  0 0 0 a   1  Suy ra   Q ab  1  2018 2018 2018 2018 1  2. Chọn B. b   1  2
Câu 3. Cho các hàm số y f x, y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
f 'x g xdx  2,  0 2 2 /
f xg 'x dx  3. 
Tính tích phân I
f xgx dx.    0 0 A. I  1. B. I  1. C. I  5. D. I  6. 2 2 /
Lời giải. Ta có I
f xgx dx   f 'xgx f xg 'x dx       0 0 2 2 
f 'xg xdx
f xg 'xdx  2  3  5.   Chọn C. 0 0 2 x 1
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên 0;   và thỏa
f tdt x.sinx   . Tính f       . 4 0 1 1 1 1 1 A. f       .         f    . f    1. f    1 .  B.   C.   D.   4  2 4 2 4 4 2 2 x Lời giải. Từ
f tdt x.sinx  
, đạo hàm hai vế ta được xf  2 2
x   sinx  x cosx. 0 1 1 1 1 Cho x
ta được 2. . f  
   sin  cos  1   f    
   1. Chọn C.     2 2 4 2 2 2 4 x f t
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên a; 
 với a  0 và thỏa dt  6  2 x  với mọi x  .
a Tính f 4. 2 t a
A. f 4  2.
B. f 4  4.
C. f 4  8.
D. f 4  16. x f t f x 1 Lời giải. Từ dt  6  2 x
, đạo hàm hai vế ta được  . 2 t 2 x x a
Suy ra f x   x x 
f 4  4 4  8. Chọn C. 1
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến 2017 2017 e 1  x Câu 6. Cho
f x dx  2  . Tính tích phân I . f ln    2 x 1    dx. 2    x 1   0 0 A. I  1. B. I  2. C. I  4. D. I  5. 2xdx xdx dt
Lời giải. Đặt t   2 ln x   1 , suy ra dt     . 2 2 x 1 x 1 2
x  0  t  0  Đổi cận:  . 2017
x e 1  t  2017  2017 2017 1 1 1 Khi đó I
f t dt
f x dx  .2  1.   Chọn A. 2 2 2 0 0 9 f x  2 3
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên  và dx  4,
f sin xcos d x x  2.  
Tính tích phân I
f xdx.  x 1 0 0 A. I  2. B. I  6. C. I  4.
D. I  10. 9 f x Lời giải.  Xét dx  4.  Đặt 2 t
x t x, suy ra 2 d t t  dx. x 1
x  1 t  1 9 f x  3 3  Đổi cận  . 4  dx  2
f t 2dt   f t    Suy ra dt 2.   
x  9  t  3  x 1 1 1 2  Xét
f sin xcos d x x  2. 
Đặt u  sin x, suy ra du  cos xdx. 0 
x  0  u  0  2 1  Đổi cận  .    Suy ra 2
f sin x cos xdx
f tdt.   x   u  1  2 0 0 3 1 3 Vậy I
f x dx
f x dx
f x dx  4.    Chọn C. 0 0 1 4 1 2 x f x 1
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên  và
f tan xdx  4, dx  2.  
Tính tích phân I
f xdx.  2 x 1 0 0 0 A. I  6. B. I  2. C. I  3.
D. I  1. 4 Lời giải. Xét
f tan x dx  4.  0 1 dt
Đặt t  tan x, suy ra dt  dx   2
tan x 1 dx   dx  . 2  2 cos x 1 t
x  0  t  0  4 1 1  f tf x Đổi cận:  .     Khi đó 4
f tan xdx dt dx.    x   t  1  2 2 t 1 x 1  4 0 0 0 1 1 f x 1 2 x f x  Từ đó suy ra I
f x dx  dx  dx  4  2  6.    Chọn A. 2 2 x 1 x 1 0 0 0 2 4 e f  2 ln x
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa mãn tan x. f   2
cos x dx  1, dx  1.  Tính tích phân x ln x 0 e 2 f 2x I  dx.  x 1 4 A. I  1. B. I  2. C. I  3. D. I  4. 4
Lời giải. ● Xét A  tan x. f   2
cos x dx  1. Đặt 2 t  cos x. 0 2 dt Suy ra 2
dt  2 sin x cos xdx  2 cos x tan xdx  2t. tan xdx 
 tan xdx   . 2t x  0  t  1  Đổi cận:  . 1  x   t   4 2 1 2 1 f t  1 1 f t  1 1 f x  1 f x
Khi đó 1  A   dt  dt  dx   dx  2.     2 t 2 t 2 x x 1 1 1 1 2 2 2 2 e f  2 ln x  ● Xét B  dx  1.  Đặt 2 u  ln x. x ln x e 2 2 ln x 2 ln x 2u dx du Suy ra du  dx  dx  dx    . x x ln x x ln x x ln x 2u
x e  u  1  Đổi cận:  . 2
x e  u  4  4 1 f u 4 1 f x  4 f x  Khi đó 1  B  du  dx   dx  2.    2 u 2 x x 1 1 1 2 f 2x
● Xét tích phân cần tính I  dx.  x 1 2  1 d  x  dv   1 1   2 x   v  
Đặt v  2x, suy ra  .  Đổi cận:  4 2 . v   x    x  2  v  4   2 4 f v 4 f x 1 f x 4 f x Khi đó I  dv  dx  dx  dx  2  2  4.     Chọn D. v x x x 1 1 1 1 2 2 2 1   1 1   
Câu 10. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên  ;2 ,      
thỏa f x 2 f x 2.   Tính tích phân 2    2  x x 2 f x I  dx.  2 x 1 1 2 3 5 A. I  . B. I  2. C. I  . D. I  3. 2 2  1 x   t  2  1 1  2
Lời giải. Đặt x  , suy ra dx   dt. Đổi cận:  . t 2 t  1
x  2 t   2       1 1 1 1 f     f       f           2 2 2 t 1 t  x  Khi đó I  .     dt  dt  dx.   2   2 2 1  t t 1 x 1 2 1 1 1 2 2 2 t 1 1        1       f xf f x 2 2 2 2 f 2 x 2     2 xx  Suy ra 2  d  d  d x I x x x  dx     2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1  1   1  3  dx  1   
   dx    x     3 
I  . Chọn A. 2 2 1     x xx  2 1 1 2 2 2 3
Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên  và thỏa f x  f x   2  2 cos 2x với mọi x   . 3 2 Tính I
f x d x  . 3  2 A. I  6 . B. I  0 . C. I  2  . D. I  6 .  3 3x    t   2 2
Lời giải. Đặt t x   dx  d
t. Đổi cận:  .  3 3 x   t    2 2 3 3 3  2 2 2 Khi đó I   f t  dt f t  dt
f x dx.    3 3 3   2 2 2 3 3 3 2 2 2 CASIO Suy ra 2I
f t f t   dt
2  2 cos 2tdt
2 cos t dt  12   I  6.      Chọn D. 3 3 3    2 2 2 8
Câu 12. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , thỏa f  5
x  4 x  3  2x 1 với mọi x  .  Tích phân
f x dx  2  bằng 32 A. 2. B. 10. C. . D. 72. 3
x  2  t  1  Lời giải. Đặt 5
x t  4t  3, suy ra x   4 d
5t  4dt. Đổi cận  . 
x  8  t  1  8 1 1 Khi đó
f xdx f
  5t 4t   3  4
5t  4dt  2t   1   4
5t  4dt  10. Chọn B. 2  1  1 
Câu 13. Cho các hàm số f x, g x  liên tục trên 0  ;1 , thỏa . m f x .
n f 1 x   gx với ,
m n là số thực khác 0 và 1 1
f xdx
g x dx  1.   Tính m  . n 0 0 1
A. m n  0.
B. m n  .
C. m n  1.
D. m n  2. 2
Lời giải. Từ giả thiết . m f x .
n f 1 x   gx, lấy tích phân hai vế ta được 1 1  .
m f x  .
n f 1 x d
x g(x)dx     0 0 1 1 1 Suy ra m n
f 1 x dx  1  (do
f xdx
g xdx  1   ).   1 0 0 0 1
x  0  t  1  Xét tích phân
f 1 x dx. 
Đặt t  1 x , suy ra dt  d
x. Đổi cận:  . 
x  1  t  0  0 1 0 1 1 Khi đó
f 1 x dx  
f tdt
f tdt
f x dx  1.     2 0 1 0 0 Từ  
1 và 2, suy ra m n  1 . Chọn C.
Câu 14. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 'x  f '1 x  với mọi x 0  ;1 . Biết rằng 1
f 0  1, f  
1  41. Tính tích phân I
f xdx.  0 A. I  41. B. I  21. C. I  41. D. I  42.
Lời giải. Ta có f 'x  f '1 x  
f x   f 1 xC.  
Suy ra f     f  
f 0 1, f   1 41. 0
1 C     C  42.
Suy ra f x    f 1 x 42 
f x f 1 x  42 1 1 
  f x f 1 x dx  42dx  42.       1 0 0 4 1 1
Vì f 'x   f '1 x   
f xdx
f 1 x dx.   2 0 0 1 1 Từ   1 và 2, suy ra
f x dx
f 1 x dx  21.   Chọn B. 0 0 2
Câu 15. Cho hàm số y f x liên tục trên  và thỏa mãn 3
f x  f x   x với mọi x  .  Tính I
f x dx.  0 4 4 5 5 A. I   . B. I  . C. I   . D. I  . 5 5 4 4
Lời giải. Đặt u f x , ta thu được 3
u u x. Suy ra  2 3u   1 du  dx.
x  0  u  0 1  5 Từ 3
u u x , ta đổi cận  . 2     Khi đó I u  3u  1 du . Chọn D.
x  2  u  1  4 0
Cách khác. Nếu bài toán cho f x có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau: 3
 f 0 f 0 0  f 0 0   Từ giả thiết 3
f x  f x   x     . * 3
 f 2 f 2 2  f   2  1   Cũng từ giả thiết 3
f x  f x   x , ta có f x 3 '
. f x f 'x. f x  x. f 'x. 2 2 Lấy tích phân hai vế  f '   x 3 . f x
f 'x . f x   dx x. f '   xdx   0 0   
f x 4  f x 2 2 2  2 2             xf  
x  f x * x  f x  5 d dx  .   4 2    0 0 4   0 0
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần 3 3 f x
Câu 16. Cho hàm số f x thỏa mãn
x. f xf x .e dx  8  và f  
3  ln 3 . Tính I e dx.  0 0 A. I  1. B. I  11.
C. I  8  ln 3.
D. I  8  ln 3. u   x d  u  dx  3 3  3
Lời giải. Đặt    f x f x f x     Khi đó
x. f x       .e dx x.e e dx.   v f  
xf xf x . d .e dx v     e  0 0 0 3 3 f   3 f x f x  Suy ra 8  3.ee dx   e dx  9 8  1.   Chọn A. 0 0  2
Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  , 2    thỏa mãn f 'xcos d x x 10  và f 0 3. Tích phân 2    0 2
f x sin 2 d x x  bằng 0 A. I  13. B. I  7.  C. I  7. D. I  13. 2 2 u   cos x d
 u  sin 2xdx   Lời giải. Xét f 'x 2 cos d x x  10  , đặt    . d  v f '  x 2 cos d x x v
  f x   0  2 2 Khi đó 10  f 'x 2 2 cos d
x x  cos xf x  2  f xsin 2 d x x   0 0 0 2 2
 10   f 0 f xsin 2 d x x  
f x sin 2xdx  10  f 0  13.   Chọn D. 0 0 2
Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 , thỏa mãn f x   1 dx  3  và f   1  4. Tích phân 1 1 3 x f ' 2 x dx  bằng 0 1 1 A. 1. B.  . C. . D. 1. 2 2 5 2 1 1 Lời giải. Ta có f xt x 1 1 dx 3    
f t dt  3   hay
f xdx  3.  1 0 0 1 1 1 u   x d  u  dx 2 t x 1 1   Xét 3 x f '   2
x dx  
tf 't dt
xf 'xdx.   Đặt    . 2 2 d
v f 'xdx v
  f x   0 0 0  1 1 1   1 2  1 1 1 1   Khi đó 3 '   2d t x x f x x  
tf 't dt xf x  
f x dx  4 3  .     Chọn C. 2 2 0 2 2   0 0 0  
Câu 19. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên 0;2. Biết f 0  1 và     2 2 4 2 x x f x f x e    với mọi 2  3 2
x 3x f 'x
x  0;2. Tính tích phân I   f x  dx. 0 14 32 16 16 A. I   . B. I   . C. I   . D. I   . 3 5 3 5 2
Lời giải. Từ giả thiết f x f   x  2 x 4 x x 2 2  e   f 2  1. 3 2 u
  x 3x 2  3 2
x 3x f 'x  d  u    2
3x  6x dx   Ta có I   Đặt  f 'x    . f x  dx. d  v  dxv
  ln f x 0  f x    2 2 f 2 2 1  Khi đó I   3 2
x 3x ln f x    2
3x  6x ln f x dx  3  2
x  2x ln f x  dx  3  J. 0 0 0 2 0 x 2t 2   Ta có J    2
x  2x ln f x dx
2t 22t ln f 2t d2t      0 2 0 2   
2  x 2 22  x  ln f 2  x d2  x     
  2x 2xln f 2x dx.   2 0 2 2 2 Suy ra 2J    2
x  2x ln f x dx    2
x  2x ln f 2  x dx    2
x  2x ln f xf 2  x dx 0 0 0 2 2    x x 32 16 2 x  2x  2 2 4 ln e dx    2 x  2x  2
2x  4x dx    J  . 15 15 0 0 16
Vậy I  3J   . Chọn D. 5     2       
Câu 20. Cho biểu thức S ln 1 
2sin 2x 2cotx e dx,    với số thực
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.  m  0.  n     2  4m A. S  5. B. S  9.       
C. S  2 cot     2 ln          sin .  D. S 2 tan 2 ln    . 2 2           4 m  4  m  2 2 4 m 4  m 2 2 2 Lời giải. Ta có
2sin 2x 2cotx 2 cot x 2 cot e dx  2 e dx  sin 2 x xe dx.      1 2 2 2 4m 4m 4m 2 2 2   x x x 2 Xét 2 cot 2 cot sin 2xe dx e d    2 sin x  2 2 cot 2 2 cot 2  sin x.e  sin x x      e dx 2    sin x  2 4m 2 2 2 4m 4m 4m 2 2 2 cot x 2 cot 2  sin x.e  2 x e dx.  2 2 4m 2 4m 6 2 cot 2 Từ   1 và 2, suy ra 2 2 cot x 2 2 4
I  sin x.e  1   sin . m e . 2 4  m 2 4m   2 cot       2 2 4    lnsin . m S e     2 cot    2 lnsin . Chọn C. 2 2     2          4 m 4 m  4  m
Vấn đề 4. Tính a, b, c trong tích phân 2 Câu 21. Biết ln   2
9  x dx a ln 5  b ln 2  c với , a , b c  .
 Tính P a b c . 1 A. P  13. B. P  18. C. P  26. D. P  34.       2  x  2x u ln 9 du dxLời giải. Đặt 2    9  x . d  v dx    v   x 3  2 2 2 x x  3  3 
Khi đó I  x   3 ln 2 9  x     2
dx  5 ln 5 4 ln 8  2     1    dx 2       1 9 x 3 x 1 1 a   5 
 5ln512 ln 22x 3ln 3 x  2  5ln56 ln 22   b   6   P  13.  Chọn A. 1 c   2  
Nhận xét. Ở đây chọn v x  3 thay bởi x để rút gọn cho 2
9  x , giảm thiểu biến đổi. 1 3 x 3
x  2  ex 2x 1 1  eCâu 22. Biết dx   .ln   p    với , m ,
n p là các số nguyên dương. Tính tổng P m n  . p    e.2x m e ln ne  0 A. P  5. B. P  6. C. P  7. D. P  8. 1 1 3 x 3 x x 1
x  2  ex 2  2    1 1 Lời giải. Ta có 3 4 I  dx  x  dx xA   . A      e.2x 
e.2x  4 4 0 0 0 1 2x x x x 1 Tính A  dx. 
Đặt t e.2 
dt e.ln 2.2 dx  2 dx  dt.
e.2x e ln 2 0
x  0  t e  Đổi cận:  . 
x  1  t  2e  2e 2 1 dt 1 e 1  2e 1  e  Khi đó A  .  ln t  ln  ln 1     .    e.ln 2 t e.ln 2    e e ln 2 e e ln 2 e e m   4  1 1  e       Vậy I ln 1      n
  2  P m n p  7.   Chọn C. 4 e ln 2  e  p 1  2 2
x 2x  cos x cos x 1sin x c Câu 23. Biết 2
dx a b  ln  với , a ,
b c là các số hữu tỉ. Tính 3 P ac  . b x  cos x 0 5 3 A. P  . B. P  . C. P  2. D. P  3. 4 2  2 2 2
x  2x cos x  cos x 1sin x
Lời giải. Ta có I  dxx  cos x 0
x cos x2 2 2 2 2 1 sin x
dx  cos x   dx  dx
x cos xdx      x  cos x x  cos x x  cos x 0 0 0 0 1  2 1 1 2 2 2 2
  x sin x  ln x cos x   1 ln  1ln   2  8 2 8 0  1 a    8  3   b   1 
P ac b  2.  Chọn C.c   2  7 ln 8 1 1 b Câu 24. Biết dx  1 ln  a a b  với a, b
  . Tính P a b. 2 x x   2 1 a e e ln 3 A. P  1. B. P  1. C. P  3. D. P  5. ln 8 ln 8 ln 8 ln 8 1
Lời giải. Ta có I  dx e   e x ex e x     x x  2x 1 x 2 d x 1d x d . 2 e 1e ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 8 ln 8  x d x e x e  2 2  3.  ln 3 ln 3 ln 8 t t t t x d d  2 x e 1dx.  Đặt 2 x 2 2  1 x t e
t e 1 , suy ra 2
2tdt  2e dx  dx   . 2 x 2 e t 1 ln 3
x  ln 3  t  2  Đổi cận:  . 
x  ln 8  t  3  ln 8 3 3 2 3 t t    t   x d 1 1 1 1 3        Khi đó 2 e 1dx dt 1     
dt  t  ln   1 ln . 2 2         t 1 t 1  2 t 1  2 2 ln 3 2 2 2 1 3 a   2  Vậy I  1 ln  2 2  3   
P a b  5. Chọn D. 2 2 b   3  2 dx Câu 25. Biết
a b c  với a, , b c
  . Tính P a b c . x 1 x x x 1 1   A. P  12 . B. P  18 .
C. P  24 . D. P  46 . 2 2 dx x 1  x
Lời giải. Ta có I   dx.   x x  
1  x 1  x x x  
1  x 1  x 2 1 1  1 1    x x 1 Đặt u
x 1  x , suy ra du    dx  2du  dx.    2 x 1 2 x  x x   1
x  2  u  3  2    3 2 3 2  du 2  1 1    Đổi cận  .           Khi đó I 2 2   2  
x  1  u  2 1  u u     2 1  3 2 2 1 2 1  a   32     3  2 2 1       2   32  12 2   b   12 
P  46. Chọn D.  32 2 1    c   2  4 sin 4x
a 2  b 6  c Câu 26. Biết dx   với ,
a b, c  .
 Tính P a b c . 2 2    6 cos x 1 sin x 1 0 A. P  10. B. P  12. C. P  14. D. P  36. 4 4 sin 4x 2 sin 2x cos 2x
Lời giải. Ta có I  dx  2 dx.   2 2
cos x 1  sin x 1
3  cos 2x  3 cos 2x 0 0
x  0  t  1 
Đặt t  cos 2x  dt  2  sin 2 d x x. Đổi cận:  .  x   t  0  4 0 1 1 t t 1 Khi đó I   2 dt  2 dt   
  3t  3tdt
3  t  3 t
3  t  3 t 2 1 0 0 a  16 1  1  2         t3 2   t3 16 2 12 6 8 3 3     b   1
 2  P  36. Chọn D. 2  3 3   0  6 c   8  4 1 x x e Câu 27. Biết  d b c
x a e e  với ,
a b, c  .
 Tính P a b c. 2 4 x x x e 1 A. P  5. B. P  4. C. P  3. D. P  3.     x x x x e  2 1 4 4 x x e e x e x 2 4 4 4 2 Lời giải. Ta có  dx  dx  dx    2 x 2 4x x e 4 x xe x 1 1 1 2e x2 8 4 4 x 4 e  2 x  1 1   1  1 1   1  4  dx      dx      x     1
  1 e ex x x     4 2e x 2 x e   e e e 1 1 1 a  1    b   1  
P a b c  4  .  Chọn B.c   4   2 2  x Câu 28. Biết
dx a b 2  c  với ,
a b, c  .
 Tính P a b c. 2  x 0 A. P  1. B. P  2. C. P  3. D. P  4.  Lời giải. Đặt
x  2 cos u với u  0;        . Suy ra 2 x 4 cos u dx 4 sin 2 d u . u 2     u x  0  u   cos  2 2 2 2  2 cos u Đổi cận  . 2    Khi đó I 4 sin 2udu 8 .sin . u cos udu    2  2 cos u ux  2  u  sin  4 4 4 2 2 2 2 2 u 2  16 cos .cos udu  8
1cosu.cosudu  8 cosudu  4 1 cos 2udu     2 4 4 4 4 a  1  2  8sinu            
4x 2.sin 2u 2 4 2 6 b 4 P 3. Chọn C. 4 4 c   6  e 2 ln x  ln x 1 b
Câu 29. Biết I  dx    với a, b
  . Tính P b  . a
ln x x  3 1 ae  22 1 A. P  8. B. P  6. C. P  6. D. P  10. e 2 e ln x  ln x ln x 1 ln x Lời giải. Ta có dx  . dx.  
ln x x  3 1
ln x x 1 ln x x  2 1 1 1 / ln x 1  ln x 1  ln x Đặt t   dt      dx   dx.   ln x x 1
ln x x 1
ln x x  2 1  1  2 2
x  1  t   e 2   2 e 2 1 1 2 Đổi cận:  . 2        Khi đó I tdt t .  Chọn B. 2  2 8  1 1 e 22
x e t   e  2 2 2 6 2 x cos x 3 Câu 30. Biết dx a    với , a ,
b c là các số nguyên. Tính P a b c. 2 1  b c x x  6 A. P  37. B. P  35. C. P  35. D. P  41. 6 6 6 x cos x
Lời giải. Ta có I  dx x cos x    2
1 x x dx x   2
1 x x cos xdx. 2  1 x x    6 6 6   6 6 x cos x t xt  cos t   6 t cos t Lại có I  dx  d t    dt    2 1 x x 1       t2 2 t 1 t t 6 6 6 6   t
  1t t 6 2 cos tdt   x   2
1 x x cos xdx.   6 6 6 6 6 Suy ra 2I x   2
1 x x cos d x x x   2 1 x x  2 cos xdx  2 x cos d x x    6 6 6 9 6 2 3 2 
I   x cos xdx. 
Tích phân từng phần hai lần ta được I  2   3  6 3   6 a   2    b   36 
P a b c  35.  Chọn C.c   3  
Vấn đề 5. Tính tích phân hàm phân nhánh x 1 khi x  0 2 
Câu 31. Cho hàm số f x   
. Tính tích phân I
f xdx.  2 x e  khi x  0  1 2 3e 1 2 7e 1 2 9e 1 2 11e 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2e 2 2e 2 2e 2 2e 0 2 0 2 2 e x 9 1
Lời giải. Ta có I
f x dx f x  2 dx e dx  x   1 dx  .     Chọn C. 2 2e 1  0 1 0 1   2
Câu 32. Cho hàm số f x xác định trên  \ ,     
thỏa f x  , f 0 1 và f   1
2. Giá trị của biểu thức 2   2x 1 f   1  f   3 bằng A. ln 15. B. 2  ln 15. C. 3  ln 15. D. 4  ln 15.
Lời giải. Ta có f x  2  2x 1
   x 1 ln 1 2 C ; x  1    f x 2 2 
dx  ln 2x 1 C    . 2x 1
ln2x   1 1 C ; x  2  2
f 0  1 
ln12.0C 1 C 1. 1 1  f   1  2  ln2.1 
1 C  2  C  2. 2 2
   x 1 ln 1 2 1 khi x   f    1  ln 3 1  2 
Do đó f x             x   1  f   3 ln 5 2 ln 2 1  2 khi x    2   f   1  f  
3  3  ln 5  ln 3  3  ln15. Chọn C. 1
Câu 33. Cho hàm số f x xác định trên \   2  ; 
1 , thỏa mãn f x   , f   3  f   3  0 và f   1 0  . Giá trị 2 x x  2 3 biểu thức f  4   f   1  f 4 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20  . B. ln 2  . C. ln 80 1. D. ln 1. 3 3 3 3 3 5 1 1  1 1 
Lời giải. Ta có f x         2   x x  2 3  x 1 x  2 1  ln 
1 xln x  2 C ; x  2  1   3     f x 1 1  dx   
 ln1 xlnx  2 C ;2  x  1. 2 2    x x  2 3
1lnx 1lnx2C ;x1 3     3 1 1 1 1 1
f 0  
 ln10 ln0  2 C   C  ln 2  . 2 2   3 3 3 3 3 1 1
f 3 f 3  0  C C  ln . 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1
Ta có f 4 f  
1  f 4  ln  ln 2  ln C C C  ln 2  . Chọn B. 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 10 1  1 
Câu 34. Cho hàm số f x xác định trên 0; 
 \e, thỏa mãn f x  f      ln 6 2  
và f e   3. Giá trị biểu x x  , ln 1 2 e  1 thức f     f  3 e    bằng e A. 3ln 2   1 . B. 2 ln 2. C. 3 ln 2 1. D. ln 2  3. 1
Lời giải. Ta có f x  
x ln x   1  1 dln x   1
ln1ln xC khi x  0;e 1    
f x          x x   dxx   ln ln x 1 C . ln 1 ln 1 lnln x  
1 C khi x e;  2     1   1   f      ln 6  ln 1     ln
C  ln6 C  ln2. 2 2 1 1     ee   f  2 e   3   ln 2 ln e  
1 C  3  C  3. 2 2        ln
 1ln x ln 2 khi x 0;e 1
f    ln 2  ln 2    
Do đó f x  e      ln  ln x  
1  3 khi x  e;    
 f  3e ln23  1   f     f  
 3e 3ln2  1 . Chọn C.e  1    
Câu 35. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số y  với x   \    k ,  k  
 . Biết F 0 1, F   0 , tính 1 sin 2x  4      11
giá trị biểu thức P F      F      .     12  12  A. P  0.
B. P  2  3. C. P  1.
D. Không tồn tại P. 
Lời giải. Với x thuộc vào mỗi khoảng  
k;  k, k     ta có  4 4   F x  dx dx dx 1     tan    x   C.      1 sin 2x
sin x cos x2   2 2 4 2 cos x     4    0   1   1 3    F 3 3  0;   ;  0 1                       nên F 0   F tan x F           .      12  4 4  12 2 4  2 2  12 2 2 12 115       11 1 1 3 F  11 1 3 ;   ;                     
 nên F    0 F tan x F          .      12  4 4  11 12 2 4 2 2  12  2 2 12   11
Vậy P F      F        1. Chọn C.     12  12 
Vấn đề 6. Tính tích phân dựa vào tính chất 0 2
Câu 36. Cho hàm số f x  là hàm số lẻ, liên tục trên 4;4 . Biết rằng
f x dx  2  và
f 2x dx  4.  Tính tích phân 2 1 4 I
f x dx.  0 A. I  1  0.
B. I  6.
C. I  6.
D. I  10.
Lời giải. Do f x  là hàm lẻ nên f x    f x . 0 x  2   t  2  Xét  A
f x dx  2. 
Đặt t  x  dt  d
x. Đổi cận:  . 
x  0  t  0   2 0 2 2 Khi đó A  
f t dt
f tdt
f x dx.    2 0 0 11 2 2
x 1 u  2   Xét B
f 2x dx  
f 2x dx.  
Đặt u  2x 
du  2dx. Đổi cận:  . 
x  2  u  4  1 1 4 4 4 1 1 Khi đó B  
f udu  
f x dx  
f x dx  2B  2.4  8.    2 2 2 2 2 4 2 4 Vậy I
f xdx
f x dx
f xdx  2  8  6.     Chọn B. 0 0 2 2 3
Câu 37. Cho hàm số f x  là hàm số chẵn, liên tục trên  1  ;6. Biết rằng
f x dx  8  và
f 2x dx  3.  Tính tích phân 1 1 6 I
f x dx.  1 A. I  2. B. I  5. C. I  11. D. I  14. 3 3
Lời giải. Vì f x  là hàm số chẵn nên
f 2x dx
f 2x dx  3.   1 1 3
x 1 t  2  Xét K
f 2x dx  3. 
Đặt t  2x 
dt  2dx. Đổi cận:  . 
x  3  t  6  1 6 6 6 1 1 Khi đó K
f t dt
f x dx  
f x dx  2K  6.    2 2 2 2 2 6 2 6 Vậy I
f x dx
f x dx
f x dx  8  6  14.    Chọn D. 1 1 2 7
Câu 38. Cho hàm số f x  liên tục trên 3;7, thỏa mãn f x   f 10  x  với mọi x 3;7 và
f x dx  4.  Tính tích phân 3 7 I
xf x dx.  3 A. I  20. B. I  40. C. I  60. D. I  80.
x  7  t  3 
Lời giải. Đặt t  3  7 x  dt  d  x. Đổi cận  . 
x  3  t  7  3 7 7
Khi đó I   10  tf 10  tdt
10 tf 10 tdt  10  xf 10  xdx    7 3 3
f x f  x  7 7 7 7 10 
10  xf xdx 10 f xdx xf xdx 10 f xdx I.     3 3 3 3 7 Suy ra 2I  10
f x dx  10.4  40  I  20.  Chọn A. 3
Câu 39. Cho hàm số y f x  là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn 
 ;, thỏa mãn
f xdx  2018.  Giá trị của tích phân 0 f x I  dx  bằng 2018x 1  1 A. I  0. B. I  . C. I  2018. D. I  4036. 2018 x
  t
Lời giải. Đặt x t   dx  d  t. Đổi cận  . 
x t    f t   f t   2018t f t   2018x f x   Khi đó I   dt  dt  dt  dx.     2018t 1 2018t 1 1  2018t 1  2018x
2018x f x
Vì y f x  là hàm số chẵn trên đoạn 
 ; nên f x  f x   I  dx.  2018x 1  f x  2018x f x  Vậy 2I  dx  dx
f x dx  2
f x dx  2.2018  I  2018.     Chọn C. 2018x 1 2018x 1  0 2018 sin a x x Câu 40. Biết dx   với , a b
  . Tính P  2a  . b 2018 2018 sin x  cos x b 0 A. P  6. B. P  8. C. P  10. D. P  12. 2018 x sin x
Lời giải. Gọi I  dx  2018 2018 sin x  cos x 0 12
x  0  t Đặt 
t x   dt  d  x. Đổi cận  . 
x t  0  0  t 2018 sin t
t 2018 sin t
x 2018 sin x Khi đó I   dt  dt  dx.    2018 sin t 2018  cos t 2018 2018 2018 2018 sin t  cos t sin x  cos x 0 0 2018 x sin x
x 2018 2018 sin x sin x Suy ra 2I  dx  dx  dx    2018 2018 2018 2018 2018 2018 sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 0 0 0   2018  2 2018 2018  sin x sin x sin x     I  dx  dx  dx .    2018 2018  2018 2018 2018 2018  2 sin x  cos x 2  sin x  cos x sin x  cos x  0 0    2  2018 2 2018 2018 sin x cos u cos x
Đặt x u  ta suy ra dx  du  dx.    2 2018 2018 2018 2018 2018 2018 sin x  cos x sin u  cos u sin x  cos x 0 2 2 2 2 a   2 Vậy  I  dx      
P  8. Chọn B. 2 4 b   4  0
Vấn đề 7. Kỹ thuật phương trình hàm   2
Câu 41. Cho hàm số y f x liên tục trên  ;      
và thỏa mãn 2 f xf x
cos x. Tính tích phân I
f x dx.  2 2     2 2 3 A. I  2. B. I  . C. I  . D. I  2. 3 2
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x
  f x cos x. 2
 f x f x cos x
4 f x2 f x    2cos x   1 Do đó ta có hệ    
f x  cos x. 2  f
x f x cos xf
 x 2 f x    cos x 3  2 2 1 1 2 Khi đó I f x  2 dx  cos xdx  sin x  .   Chọn B. 3 3  3 2   2 2 2 1
Câu 42. Cho hàm số y f x liên tục trên 2;2 và thỏa mãn 2 f x  3 f x  
. Tính tích phân I
f xdx.  2 4  x 2  A. I   . B. I   . C. I  . D. I  . 10 20 20 10 1
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng x ta được 2 f x  3 f x   . 2 4  x  
f x f x 1 
f x f x   2 2 3 4 6    2 2  4  x  4  x 1 Do đó ta có hệ    
f x  . 2      x 2  f x
  3 f x 1  9
f x 6 f x   3 54   2 2  4 x    4  x 2 2 1 1 Khi đó I
f x dx  dx  .   Chọn C. 2 5 4  x 20 2 2  1
Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên 0  ;1 và thỏa mãn 2
x f x f   x 4 1
 2x x . Tính tích phân I
f x dx.  0 1 3 2 4 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 5 3 3 2 4
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được 1 x f 1 x  f x   21 x 1 x    2
x x   f   x f x  2 3 4 2 1 1
 1 2x  6x  4x x .   1 Ta có 2
x f x f   x 4
x x 
f   x 4 2 1 2 1
 2x x x f x . Thay vào   1 ta được  2 x x   4 2
x x x f  x  f   x 2 3 4 2 1 2
 1 2x  6x  4x x    2 3 4
x x x f x 6 5 3 2 1 2
x 2x  2x 2x 1 13   2 3 4
1 x  2x x f x   2 1 x  2 3 4
1 x  2x x    f x 2  1 x . 1 1 1  1  2 Vậy I
f xdx     2 1 x  3
dx  x x   .   Chọn C.  3  3 0 0 0  2 1    f x   
Câu 44. Cho hàm số f x liên tục trên  ;2     
và thỏa mãn f x 1 2 f 3x.   Tính tích phân I dx.  2     x x 1 2 1 3 5 7 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 1  1 3
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng ta được f  
  2 f x  .   xx x        f x 1  f      x  f x 1 2 3  2 f      3x         xx    2  Do đó ta có hệ    
f x   x.   1       
  f x 3   f x 1 6 x f 2 4  2 f               x x    x x  2 f x 2 2  2   2  3 Khi đó I dx   
  1dx    
x  . Chọn B. 2 1     x xx  2 1 1 2 2 2  1  1            
Cách khác. Từ f x  2 f 3x f x 3x 2 f    .      xx    1  1              2   2 f 2 2 f f x   x  x  Khi đó I  dx  3 2  
dx  3 dx 2 dx.       xxx 1 1   1 1     2 2 2 2   1     2 f x 1 1 1 Xét J  dx.  Đặt t  , suy ra 2 dt   dx t  dx  dx   dt. x x 2 2 x t 1 2  1  1 x   t  2  2 2 2  2  1  f t f x  Đổi cận:  .            Khi đó J tf t  dt dt dx I .     1  2  t t x
x  2  t  2 1 1  2 2 2 2 2 3 Vậy I  3 dx  2I   I  dx  .   2 1 1 2 2 1
Câu 45. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 
1 và thỏa mãn f x  f   x  2 2 3 1
 1 x . Tính tích phân I
f xdx.  0 A. . B. . C. . D. . 20 16 6 4
Lời giải. Từ giả thiết, thay x bằng 1 x ta được
f   x  f x 2 2 1 3  2x x .   2
f x 3 f 1 x 2 1 x 4     
f x 6 f 1 x 2  2 1 x   Do đó ta có hệ      2
f 1 x3 f x 2  2x x 9
f x 6 f 1 x 2  3 2x x   2 2 
   3 2x x 2 1 x f x  . 5 1 1 Vậy I    2 2
3 2x x  2 1 x dx  . Chọn A. 5 20 0 1  
Cách khác. Từ 2 f x  3 f 1 x  2  1 x   f x 2  1 x 3 f  1 x . 2   1 1 1   1 Khi đó I f x 2 dx  1 x dx 3
f 1 x dx      .     2   0 0 0  14 1 Xét J
f 1 x dx. 
Đặt t  1 x  dt  d  x. 0
x  0  t  1 0 1 1  Đổi cận:  .       Khi đó J f t dt f t dt
f x dx I.   
x  1  t  0  1 0 0 1 1   1 1 Vậy 2 2 I  1 x dx 3I       I  1 x dx  .    2 5 20   0  0
Vấn đề 8. Kỹ thuật biến đổi
Câu 46. Cho hàm số f x thỏa f x f x  5 2
 3x  6x . Biết rằng f 0  2, tính 2 f 2. A. 2 f 2  64. B. 2
f 2  81. C. 2 f 2 100. D. 2 f 2 144. 2 6 f x x
Lời giải. Từ giả thiết ta có
f x f xx     5 2 x x    3 . d 3 6 dx    2x C. 2 2 2 f 0
Thay x  0 vào hai vế, ta được
C C  2. 2 Suy ra 2 f x 6 3 2
x x    f   6 3 4 4
2  2  4.2  4  100. Chọn C.
Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm f 'x liên tục và nhận giá trị không âm trên 1;   , thỏa f   1  0, f x e
f x 2 2 2 .
  4x 4x 1   với mọi x 1; 
 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1
  f 4 0.
B. 0  f 4 1.
C. 1  f 4  2.
D. 2  f 4  3. f x
Lời giải. Từ giả thiết suy ra e
f x  2x 1 (do f 'x không âm trên 1;   ) f x    e
f xx   x   f x  2 d 2 1 dx e
x x C.   f  
Thay x  1 vào hai vế, ta được 1 2 e
 1 1C C  1.  f x  2x 1 7 Suy ra 2 e
x x 1  f x  ln 2 x x  
1  f x     f 4  . Chọn B. 2 x x 1 13 2
Câu 48. Cho hàm số f x thỏa mãn  f x   f x f  x  4 .  15x 12x  
với mọi x   và f 0  f 0  1. Giá trị của 2 f   1 bằng 5 9 A. . B. . C. 8. D. 10. 2 2 2 
Lời giải. Nhận thấy được  f x   f x . f  x    f x . f x  .     
Do đó giả thiết tương đương với  f x f x  4 .
 15x 12x.     
Suy ra f x . f x     4 15x 12x  5 2
f 0 f 0 1.
dx  3x  6x C   C  1 
f xf x 5 2 .
 3x 6x 1 2 6  
f x f x x     f x x 5 2 x x     3 . d 3 6 1 dx  
 2x x C '. 2 2 2 f 0 1
Thay x  0 vào hai vế ta được
C '  C '  . 2 2 Vậy 2 f x 6 3 2
x  4x 2x 1   f   1  8. Chọn C. 2
Câu 49. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn f x   0, x
 1;2. Biết rằng
f xdx  10  và 1 2 f x   Tính f 2.
f x dx ln 2. 1
A. f 2  2  0.
B. f 2  10.
C. f 2  10.
D. f 2  20. 2 2 Lời giải. Ta có
f xdx  10  f x   10  f 2 f   1  10.    1 1 1 15 2 f x 2 2 Lại có
dx  ln 2  ln f x
 ln 2  ln  f x    
(do f x  0, x  1;2) f x ln 2 1 1 1 f 2 f 2
 ln f 2ln f   1  ln 2  ln    2 f   ln 2 f   2. 1 1 Từ  
1 và 2 , suy ra f 2  20. Chọn B.
Câu 50. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  1  ; 
1 , thỏa mãn f x  0, x
   và f 'x2 f x  0 . Biết rằng f  
1  1 , giá trị của f   1 bằng A. 2 e . B. 3 e . C. 4 e . D. 3. f 'x
Lời giải. Ta có f 'x  2 f x  0  f 'x   2
f x 
  (do f x 0 ) f x 2 f 'x    dx
2dx  ln f x        2x C  (do f x  0 ). f x
Mà f     C  
f x   x    f x 2  x2  e   f   4 1 1 2 ln 2 2
1  e . Chọn C.
Câu 51. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên  đồng thời thỏa mãn
f x0, x   
f 'xx 2  e
f x, x  .
f   1 0   2
Tính giá trị của f ln 2. A. f   1 ln 2  . B. f   1 ln 2  . 4 3 1 C. f   1 ln 2  ln 2  . D. f ln 2 2  ln 2  . 2 2 f 'x
Lời giải. Ta có f 'x x 2  ef xx   e
 (do f x 0 ) 2 f x f 'x x 1 x   x ex    e
 C f x 1 d d  .   2 f xf x x e C 1 f
Thay x  0 ta được f 0   1 0 2  C  1  . 0 e C 1 1 1 1
Vậy f x     f ln 2    . Chọn B. x ln 2 e 1 e 1 2 1 3
Câu 52. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
 , biết f x x   2 ' 2
3 f x  0, f x  0 với mọi x  0 và f   1 1 
. Tính P  1 f  
1  f 2... f 2018. 6 1009 2019 3029 4039 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2020 2020 2020 2020 f 'x
Lời giải. Ta có f 'x 2x   2
3 f x  0     2x  
3 (do f x  0 ) 2 f xf 'x  
dx   2x   1 1 2 3 dx    x
 3x C   f x .   2 f x f x 2
x  3x C 1 1 1 1 1 1 Mà f   1      C  2 
f x    . 2 2 6 6 1  3.1C x  3x  2 x 1 x  2 1 1 1 1  1 1  3029 Suy ra P  1          ...  Chọn C.         .     2 3 3 4 2019 2020 2020
Câu 53. Cho hàm số f x liên tục trên 0; 3 , 2      
 thỏa mãn f x 1, f 0
0 và f xx 1  2x f x1. Giá trị của f  3 bằng A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. 16 f x 2x f x  2x
Lời giải. Từ giả thiết suy ra    dx  dx   f x  2 1 x 1 f x 2 1 x 1 f x  x  / 2 1  2 dx  2
dx  2 f x  2
1  2 x 1 C   2 f x  2 1 2 x 1
Mà f     C   f x 2 0 0 0  x 
f  3  3. Chọn B.
Câu 54. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 1;4, đồng biến trên 1;4, thoản mãn x xf x    f x  2 2    với mọi 4
x 1;4. Biết rằng f   3 1 
, tính tích phân I
f xdx.  2 1 1186 1187 1188 9 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 45 45 45 2
Lời giải. Nhận xét: Do f x đồng biến trên 1;4 nên f 'x  0, x  1;4 . 2
Từ giả thiết ta có x 1
 2 f x   f x 
f 'x  x. 1 2 f x, x 1;4     2 f x 2 f x    x   x x x   f x 2 d d 1 2  x x C.  
2 1 2 f x
2 1 2 f x 3 2 2 4   x x    1 3 4 3 3  2 8 7 Mà f   1   C    f x 3 
x x x  2 3 2 9 9 18 4   f x  1186 dx  .  Chọn A. 45 1   
Câu 55. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;  2      
, thỏa f x . f 'x  cos x 1
f x  với mọi x 0; và 2     2    
f 0  3. Giá trị của f       bằng  2  A. 0. B. 1. C. 2. D. 2 2.
2 f x . f x  
Lời giải. Từ giả thiết ta có
 cos x, x  0;  2    f x  2 2 1 
2 f x. f x 2   dx  cos d
x x  1 f x  sin x C.   2 2 1 f x   Mà f     C  
f x   x  2 2 0 3 2 sin
2 1  sin x  4 sin x  3, x   0;   2       f      2 2.   Chọn D.  2
Câu 56. Cho hàm số f x liên tục, không âm trên 0;3, thỏa f x f x  2 .
 2x f x1 với mọi x 0;3 và f 0  0. Giá trị của f   3 bằng A. 0. B. 1. C. 3. D. 3 11.
2 f x. f x
Lời giải. Từ giả thiết ta có
 2x, x 0;3 2 2 1 f x
2 f x. f x 2   dx  2 d
x x  1 f x  2  x C.   2 2 1 f x 2
Mà f     C  
f x   2 x   4 2 0 0 1 1 1 
x  2x , x  0;3   f   3  3 11. Chọn D. 17 Câu 57. Cho hàm số
f x có đạo hàm không âm trên 0 
;1 , thỏa mãn f x  0 với mọi x 0  ;1 và
f x 4  f x 2   
 x      f x 3 2 . ' . 1 1  . 
 Biết f 0  2, hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây. 3 5 A.f   1  2. B.f   5 2 1  . C.f   1  3. D.f   7 3 1  . 2 2 2 2
f x 2 2 3 . f 'x  1  
Lời giải. Từ giả thiết ta có  f x  . f 'x  2
. x 1  1  f x      
  f x 3 2  x 1 1   3      f x  2 1 . f 'x  1 1 d   1 2 1 f x    1 1   dx  dx    dx    
  f x 3 2   3 x 1
  f x 3 2   0 0 0 0 x 1 1 2 1     1 1 2 
  1  f x 3  ln    2 x x 1 f 0 2  f   1  2,605. Chọn C. 3 0 0
Câu 58. Cho hàm số f x liên tục trên \0;  1
 , thỏa mãn x x   f x f x 2 1 .
x x với mọi x  \0;  1 và f   1  2
 ln 2. Biết f 2 a b ln 3 với ,
a b   , tính 2 2
P a b . 1 3 13 9 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2 4 4 2 x 1 x
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x f x   , x   \0;  1 . x 1 x  2 1 x 1  x 1  x  Nhận thấy f x 
f x    f x .
 . Do đó giả thiết tương đương với x 1 x  2 1  x 1       x x f x .  
, x  \0;  1 .   x 1 x 1 x x  
Suy ra f x.  dx  1      
dx x ln x 1 C.   x 1 x 1  x 1 x Mà f  
1  2 ln 2  C  1   f x.
x  ln x 1 1. x 1  3 a    2 3 3  2 9
Cho x  2 ta được f 2.  2  ln 31  f 2   ln 3  
P  . Chọn D. 3 2 2  3 2 b     2
 f x 2  f  x  
Câu 59. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định, liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 0  1  và  với mọi
f x  0  x 0 
;1 . Đặt P f  
1  f 0 , khẳng định nào sau đây đúng? A. 2   P  1  . B. 1   P  0.
C. 0  P 1.
D. 1  P  2. 1
Lời giải. Nhận thấy P f   1  f 0 
f x dx
nên ta cần tìm f x. 0 f  x f  x  1 1 Từ giả thiết ta có  1   dx  1dx  
x C f x   .      2    2 f x x C f x f x    
Mà f      C    f x 1 0 1 1   . x 1 1 1 1 Vậy P
f x dx  
dx  ln 2  0, 69.   Chọn B. x 1 0 0
Câu 60. Cho hai hàm số f x và g x  có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f '0. f '2  0 và  . '    2 x g x f x x x e . 2 Tính tích phân I
f x .g 'x dx.  0 A. I  4. B. I  4.
C. I e  2.
D. I  2  e.  f '0 0 
Lời giải. Từ giả thiết f '0. f '2  0   .  f '  2  0  18  22  2 x   e g 2    f   0 ' 2 
Do đó từ  . '    2 x g x f x x x e , suy ra  .   00  2 x   e g 0    f   0 ' 0  2 2
Tích phân từng phần ta được I   f x .g x  
g x. f xdx    0 0 2 2
 2. 2 0. 0  2 xd    2 x f g f g x x e x x x e dx  4.   Chọn B. 0 0 x
gx12018 f tdt  
Câu 61. Cho hàm số f x  0 xác định và có đạo hàm trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn  . Tính 0
gx 2  f x  1 I
g x dx.  0 1009 1011 2019 A. I  . B. I  505. C. I  . D. I  . 2 2 2
g 'x 2018 f x 
Lời giải. Từ giả thiết, ta có  
2018 f x  2 f 'x. f x  g '
 x  2 f 'x. f x 
f x 0 loaïi      2 f x 1009
f 'x   0  .   
f 'x  1009 
f x  1009x Cx
Thay ngược lại, ta được 1 2018
1009t C dt  1009x C2  0 1009 x   1 2018
t Ct  1009x C 2 2 2  C  1.    2  0
Suy ra f x  1009x 1 hoặc f x  1009x 1
 (loại vì f x 0 x  0  ;1 ). 1 1 1 1011 Khi đó I
g x dx
f x dx  1009x   1 dx  .    Chọn C. 2 0 0 0  f   1  g   1  4 
Câu 62. Cho hai hàm f x và g x  có đạo hàm trên 1; 4, thỏa mãn g x   xf x 
với mọi x 1;4. Tính tích phân
f x xgx  4 I
f x gx dx.    1
A. I  3 ln 2.
B. I  4 ln 2.
C. I  6 ln 2.
D. I  8 ln 2.
Lời giải. Từ giả thiết ta có f x  g x  x
 . f x x.gx  
  f x x. f x   gx x.gx  0  x. f x  x.gx  0         C 
x. f x x.gx  C f x gx  . x 4 4 4 Mà f   1  g  
1  4  C  4   I
f x gx dx  dx  8 ln 2.     Chọn A. x 1 1
Câu 63. Cho hai hàm f x và g x  có đạo hàm trên 1;2, thỏa mãn f   1  g   1  0 và  x
g x 2017x  x    1 f x   x  2 1  , x  1;2.  3  xg  
x f x 2  2018x x 1 2  x x 1 
Tính tích phân I   g x 
f x dx.    x 1 x  1 19 1 3 A. I  .
B. I  1. C. I  . D. I  2. 2 2  1 x    g x  1 
f x   2017   x  2 1 x
Lời giải. Từ giả thiết ta có  , x  1;2.   x  g x  1 
f x   2018 2 x 1 x        1 xx  1 1  x  x   1  Suy ra   g  x
gx    f   x
f x   1  
g x   
f x   1                 x 2 2 1 x 1 x x x 1  x   xx     g x 1 
f x  x C. x 1 x 2 2  x x 1  1 Mà f   1  g  
1  0  C  1   I   g x 
f x  dx  x   1 dx  .    Chọn A.x 1 x  2 1 1
 f 3 x. f x1 
Câu 64. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;  3 , thỏa mãn   
với mọi x 0;3 và f   1 0 . Tính tích f x  1   2 3 xf 'x  phân I  dx.  1
  f 3 x 2 2  0 . f x    1 3 5 A. I  . B. I  1. C. I  . D. I  . 2 2 2
 f 3x. f x1 
Lời giải. Từ giả thiết x 3    f   3  2.   f   1 0   2
f 3x . f x  1  2 2
Ta có   f   x  2 1 3  . f x  1
  f x .     3 xf 'x  3 3   3  1  x 1 Tích phân I  dx   d x         
dx  1 J .     1 f x  1 f x 1 f x 0 1 f x  2     0   0 0   3 0 3 3 t 3 1 x 1 1 1 Tính J         
f x dx
f  t dt
f  t dt
f   x dx. 1 1 3 1 3 1 3 0 3 0 0 3 3
f  x f x  3 3 . 1 1 1  3 1 Suy ra 2J          Vậy I  . Chọn A.
f x dx
f   x dx 1.dx 3 J . 1 1 3 2 2 0 0 0
Câu 65. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0 
;1 và thỏa mãn af b bf a  1 với mọi ,
a b  0  ;1 . Tính tích phân 1 I
f xdx.  0 1 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 4 2 4 
Lời giải. Đặt a  sin x, b  cos x với x  0;  .  2   
Từ giả thiết, suy ra sin xf cos x cos xf sin x   1 2 2 2 
 sin xf cos xdx  cos xf sin xdx  1dx  .      1 2 0 0 0  2 0 1 t x
 sinxf cosx cos dx  
f t dt
f x dx     1  Ta có 0 1 0  . Do đó   1 
f x dx  .  Chọn D.  4 2 1 1  0 t x
 cos xf sin x sin dx
f t dt
f xdx     0 0 0
Vấn đề 9. Kỹ thuật đạo hàm đúng 20
Câu 66. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 , thoả mãn     2018 3 f x xf x x
với mọi x 0  ;1 . Tính 1 I
f x dx  . 0 1 1 1 1 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 20182021 20192020 20192021 20182019
Lời giải. Từ giả thiết f x xf x 2018 3  x , nhân hai vế cho 2 x ta được 2       x f x  3 x f x  2020 3 x x f  x 2020 3  x .   2021 x Suy ra 3 x f x 2020  x dx  C.  2021 2018 x
Thay x  0 vào hai vế ta được C  0 
f x  . 2021 1 1 1 1 1 1 1 Vậy f x  2018 2019 dx x dx  . x  .   Chọn C. 2021 2021 2019 20212019 0 0 0
Nhận xét: Ý tưởng nhân hai vế cho 2
x là để thu được đạo hàm đúng dạng uv'  u 'v uv '.
Câu 67. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;4, thỏa mãn     x f x f x e
2x 1 với mọi x 0;4. Khẳng định nào sau đây là đúng? 26 A. 4
e f 4 f 0  . B. 4
e f 4 f 0  3e. 3 C. 4
e f   f   4 4 0  e 1. D. 4
e f 4 f 0  3.
Lời giải. Nhân hai vế cho x
e để thu được đạo hàm đúng, ta được x   x    x e f x e f x x   e f  x / ' 2 1   2x 1.   x 1
Suy ra e f x  
2x 1dx  2x   1 2x 1 C.  3 26 Vậy 4
e f 4 f 0  . Chọn A. 3
Câu 68. Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn     2017 2018 ' 2018  2018 x f x f x x e
với mọi x   và f 0  2018.
Tính giá trị f   1 . A. f   2018 1 2018e  . B. f   2018 1  2017e . C. f   2018 1  2018e . D. f   2018 1  2019e .
Lời giải. Nhân hai vế cho 2018x e
để thu được đạo hàm đúng, ta được  f x 201  8x e
f x 2018x 2017 ex   f
 x 2018x 2017 2018 2018 e   2018x .  
Suy ra f x  2  018x 2017 2018 e  2018x dx xC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được        2018   2018 2018 2018 x C f x x e . Vậy f   2018 1  2019e . Chọn D.
Câu 69. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên , thỏa mãn     2 2 x f x xf x xe    và f 0  2  . Tính f   1 . A. f   1  . e B. f   1 1  . C. f   2 1  . D. f   2 1   . e e e 2 x
Lời giải. Nhân hai vế cho 2 e
để thu được đạo hàm đúng, ta được 2 2 2 2  2 x x xxx   f x  2 ef x 2 2  2 xexe
e f x 2 2  2xe .     2 2 2 x x x   Suy ra 2 e f x 2 2  2xe dx  2eC. 
Thay x  0 vào hai vế ta được   2 0 2 x C f x e      .  2 Vậy f   1 1  2e   . Chọn D. e 21  x
Câu 70. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; ,   
 thỏa mãn hệ thức f x tan xf x  . Biết rằng  2  3 cos x  3 f     f    
   a 3  b ln 3 trong đó , a b  .
 Tính giá trị của biểu thức P a  . b     3  6  4 2 7 14 A. P   . B. P   . C. P  . D. P  . 9 9 9 9 xx
Lời giải. Từ giả thiết, ta có cos xf x  sin xf x  
 sin xf x  . 2   2 cos x cos x x
Suy ra sin xf x  
dx x tan x  ln cos x C.  2 cos x 3  2  Với x    f  
   . 3  ln 2   3 f  
   .3 2 ln 2  2C.       3 2 3 3  3  3 1  3 1  1  Với x    f      .
 ln 3 ln 2 C   f  
   .3  ln 32 ln 2  2C.       6 2 6 6 3 2  6  9  5   5 a          4 Suy ra 3 f
f    3  ln 3   9 
P a b   .   Chọn A.     3  6  9  9 b   1 
Vấn đề 10. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 1  2    2 
Câu 71. Cho hàm số f x liên tục trên 0;  , 2           thỏa
f x 2 2 f xsin x dx .    Tính tích phân 2     4   2   0 2 I
f xdx.  0 A. I  0. B. I  . C. I  1. D. I  . 4 2 2   2    Lời giải. Ta có 2 2 sin 
x  dx   .    4  2 0 2     
Do đó giả thiết tương đương với 2
f x2 2 f x 2 sin  x    2sin     x    dx  0     4  4     0 2 2        
f x 2 sin  x  
 dx  0  f x 2 sin    x
   0, x  0; .     4  4      2  0 2 2   
Suy ra f x   2 sinx      I
f xdx  2 sin     x
 dx  0. Chọn A.     4  4  0 0 1 1  1 2 
Câu 72. Cho hàm số f x liên tục trên 0;  1 thỏa 2  f x 2  2 ln
 dx  2  f xlnx   1  dx.       Tích phân I
f xdx.  e    0 0 0 e 4 e 2 A. I  ln . B. I  ln . C. I  ln . D. I  ln . 4 e 2 e
Lời giải. Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được 1 1 2 2 2 ln x   2 2 1 dx  2 ln  2 ln dx.   e e 0 0 1 2
Do đó giả thiết tương đương với
f xln1 x dx  0  f x ln1 x, x 0  ;1 .    0 1 1 4 Suy ra
f x dx
ln1 xdx  ln   . Chọn B. e 0 0
Câu 73. Cho hàm số f x có đạo liên tục trên 0 
;1 , f x và f 'x  đều nhận giá trị dương trên 0 
;1 và thỏa mãn f 0  2 1 1 1 2   3 và f '
  x. f x 1 dx  2 f '      
x. f xdx. I f x dx.    Tính      0 0 0 22 15 15 17 19 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 4 2 2 2 1 2  
Lời giải. Giả thiết tương đương với f '  
x. f x1 dx  0    0 
f xf x  x    f x 2
f x     f x  2 ' . 1, 0;1 ' 1 '
f x dx  dx   3 f x f 02 8  
x C C  . 3 3 1 3 19 Vậy 3
f x  3x  8   I
f x dx  .    Chọn D. 2 0 Câu 74. Cho hàm số
f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0  ;1 và thỏa mãn f 0  1, 1 1   1  3
f x   f x  2 1 3 ' .    dx  2
f 'x . f x dx.         Tính I
f x dx.    9    0 0 0 3 5 5 7 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 4 6 6 1 1 2 1  
Lời giải. Giả thiết  3 f '  
x. f x dx   2 f ' 
x. f xdx    3 0 0 1 1 1 1      3 f '  
x. f x 2dx 2 3 f ' 
x. f xdx  dx  0  3 f '    
x. f x 2 1 dx  0      0 0 0 0  
f x f x   x    f x 2
f x     f x  2 3 ' . 1 0, 0;1 9 ' . 1 9 '
. f x dx  dx   3 f x f 0 1   9.
x C C  3. 3 1 1 3 7 Vậy 3 f x   x 1  
f x dx  .    Chọn D. 3 6 0
Câu 75. Cho hàm số y f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0  ;1 , thỏa f  
1  f 0  1 và 1 1 1 3 f 'x  2  f   x 1  dx  2 f '    
xf xdx.   Giá trị của tích phân
f x  dx    bằng 0 0 0 3 5 33  27 5 33 5 33  54 A. . B. . C. . D. . 2 18 18 18 1 1
Lời giải. Nhóm hằng đẳng thức ta có f 'x 2  f  
x1 dx  2 f '  
xf xdx   0 0 1 1  f '
  x 2f xf 'x   dx  2 f '  
xf xdx  0   0 0 1 1   
f 'x f x  2 1 dx
f 'x1 dx  0         0 0
 0 vi f   1  f 0 1  
f xf x  x    f x 2
f x     f x  2 ' . 1, 0;1 ' 1 '
f x dx  dx   3 f x   ff  5 33 27 3  
x C   f x   1 0 1
 3x  3C  C  . 3 54 1 5 33  27 3 5 33 Vậy 3
f x   3x  
  f x dx  .    Chọn C. 18 18 0
Vấn đề 11. Kỹ thuật đưa về bình phương loại 2 Kỹ thuật Holder 1 1 1 2
Câu 76. Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn
f x dx
xf x dx  1   và
f x dx  4    . Giá trị của tích 0 0 0 1 3 phân
f x dx    bằng 0 23 A. 1. B. 8. C. 10. D. 80. 2
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  f x  , xf x, f x       
nên ta sẽ liên kết với bình phương f x  2 x  .   1 1 1 1 2 2
Với mỗi số thực 2 , ta có
f x x  dx   f x dx  2 x f xdx  x  dx         0 0 0 0 2
   2 4 2 
 . 3 1 2 2
Ta cần tìm , sao cho
f x x  dx  0  2  
hay 4  2 
  0 3 0 2
    2 2 3
6  3 6 12  0. Để tồn tại thì        2 3 6
4 3 6 12  0
 
    2 2 3 12 12 0 3 2
 0   2   6.  1 1 2 3 Vậy
f x6x  2 dx  0 
f x  6x  2, x 0;  1 
  f x dx  10.       Chọn C. 0 0 1 1 1 2
Câu 77. Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn
xf x dx
x f x dx  1   và
f x dx  5.    Giá trị của tích 0 0 0 1 3 phân
f x dx    bằng 0 5 6 A. . B. . C. 8. D. 10. 6 5 2
Lời giải. Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  f x  , xf x, x f x   
nên ta sẽ liên kết với bình phương  f x 2 x  x    .  
Với mỗi số thực , ta có 1 1 1 1 2 2 2
f xx  x  dx   f x dx  2      
 x  x f xdx   x  x  dx 0 0 0 0 2 2 4
 5  2   . 3 5 2 1 2 2 2 4 Ta cần tìm   , sao cho
f x  x  x dx  0   
hay 5  2    0. 3 5 2 0
Tương tự như bài trước, ta tìm được  15,  10. 1 1 2 3 5 Vậy
f x15x 10 x  dx  0 
f x  15x 10 x , x  0;  1 
  f x dx  .       Chọn A. 6 0 0 1 1 1 1
Câu 78. Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn 2 xf x  2 dx
x f x dx  .   Giá trị của tích phân
f x dx  16 0 0 0 bằng 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 5
Lời giải. Hàm bình phương không như thông thường là    2 f x    
 hoặc f x 2 ' .   2
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  x f x  2 , x f x   
nên ta sẽ liên kết với bình phương  x x x f x  2  
xf x
x f x   2 2 ??? 2 ??? ??? .    
So sánh ta thấy được ??? . 2 2 2 1 1  x x  x x    1
Do đó giả thiết được viết lại
x f x     dx         dx   0.  2   2  16 0 0 1 x x x 1
Suy ra x f x  , x  0;  1 
f x   
f x dx  .  Chọn B. 2 2 4 0
Câu 79. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;8 và thỏa mãn 2 2 8  f   x  2 2 38 3  dx  2 f  
  3xdx
f x dx  .   3 15 1 1 1 8 Tích phân
f xdx  bằng 1 8 ln 2 ln 2 4 3 A. . B. . C. . D. . 27 27 3 2 24 8
Lời giải. Nhận thấy có một tích phân khác cận là
f xdx.  Bằng cách đổi biến 3
x t ta thu được tích phân 1 2 2 2 3 t f   3t 2 dt  3 x f   3 x dx. 1 1 2 2 2 2 38
Do đó giả thiết được viết lại  f
   3x dx 2 f     3x 2 dx  2 x f   3 x dx  .  * 15 1 1 1 2
Ở đây các hàm xuất hiện dưới dấu tích phân là  f     3 x  f    3 x  2 x f  3 , , x  
nên ta sẽ liên kết với bình phương f  x  2 3 2
x .  
Tương tự như các bài trên ta tìm được  1  ,  1. 2 2 2 38 2 Do đó *  f
   3x 2x 1    dx        2
1 x  dx  0  15 1 1 8   f  3 3 x  2
x 1, x 1;2 
f x 3 2
x 1, x 1;8  
f x dx  .  Chọn D. 2 1 1 1 2 1
Câu 80. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  0 ,
f x dx  7  2   và
x f xdx  .  Tích 3 0 0 1 phân
f x dx  bằng 0 7 7 A. 1. B. . C. . D. 4 . 5 4 2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là  f x  2
 , x f x  
không có mối liên hệ với nhau. 1 1 3 1 x 1
Dùng tích phân từng phần ta có 2
x f xdx f x  3 
x f 'xdx.  
Kết hợp với giả thiết f   1  0 , ta suy ra 3 0 3 0 0 1 3
x f 'x dx  1.  0 1
  f x2 dx 7     2
Bây giờ giả thiết được đưa về 0 
. Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  f x  3
 , x f 'x  
nên ta sẽ liên kết với 1  3  x f ' 
xdx  1   0 bình phương  f  x 2 3 '  x  .   1 1 1 1 2 2
Với mỗi số thực ta có  f '   x 3
x  dx   f '   x 3
 dx  2 x f 'x 2 6 dx x dx       0 0 0 0 2 1 2  7  2  7 . 7 7 1 2 1
Ta cần tìm sao cho  f '   x 3
x  dx  0  
hay 72  0   7. 7 0 1 2 7 Vậy  f '   x 3 7x   dx  0   f '   x 3
 7x , x 0  ;1   f x 4   x C  4 0 1 f   1 0 7
C    f x 7 7 7 4   x   
f xdx  .  Chọn B. 4 4 4 5 0 1 1 3 1 x 1
Cách 2. Dùng tích phân từng phần ta có 2
x f x dx f x  3 
x f 'x dx.  
Kết hợp với giả thiết f   1  0 , ta suy ra 3 0 3 0 0 1 3
x f 'x dx  1.   0 Theo Holder 2 1 1 1   7 1  2   x 3 1
  x f 'x 6 dx    x dx.
f 'x 2 dx  .7  1.          7 0 0 0 0 25 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f x 3 '  kx , thay vào 3
x f 'xdx  1 
ta được k  7. 0 Suy ra f x 3 '  7
x (làm tiếp như trên) 1 1 11 4
Câu 81. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  1 , 5
x f x dx   và f xd 
f x . 78 13 0 0 Tính f 2.
A. f 2  2. B. f   251 2  . C. f   256 2  . D. f   261 2  . 7 7 7 1 1 4 2 4
Lời giải. Viết lại f xd 
f x   f x dx  .    13 13 0 0 1 1 6 1 x 1
Dùng tích phân từng phần ta có 5
x f x dx f x  6 
x f x dx.  
Kết hợp với giả thiết f   1  1 , ta suy ra 6 0 6 0 0 1 2 6
x f xdx  .  13 0 1
  f x2 4  dx      13  2
Bây giờ giả thiết được đưa về 0 
. Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  f x  6
 , x f 'x  
nên ta sẽ liên kết với 1  2 6
x f 'xdx   13  0 bình phương  f x 2 6 '  x  .   Tương tự như bài trên ta tìm được   2   f x 2 f 5 6  2x   f x 7   1 1
x C C  . 7 7 2 5 261 Vậy f x  7  x    f 2  . Chọn D. 7 7 7 Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 1    2     
    x f x dx      x dx.
f x 2 1 4 4 6 12  dx  .  .         13    13 13 169 0 0 0 1 2
Câu 82. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; 
1 , thỏa mãn f  
1  2, f 0  0 và
f 'x dx  4.    . Tích phân 0 1 3  f
  x 2018x  dx.   bằng 0 A. 0. B. 1011. C. 2018. D. 2022. 1 1
Lời giải. Từ giả thiết f  
1  2, f 0  0 suy ra
f 'x dx f x   2.  0 0 2
Hàm dưới dấu tích phân là  f 'x  , f 'x      
nên sẽ liên kết với bình phương f x  2 ' .   Ta tìm được    
f x    f xf 0 0 2 ' 2
 2x C C  0. 1 Vậy f x  3 2xf
  x 2018x     dx  1011.   Chọn B. 0 Cách 2. Theo Holder 2 1 1 1     2  
f 'x dx     dx.  f 'x 2 2  dx  1.4  4.          0 0 0 2 2 2 1 2
Câu 83. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2, thỏa mãn x   1
f x dx   ,  f 2  0 và
f 'x dx  7.    3 1 1 2 Tích phân
f x dx  bằng 1 7 7 7 7 A.  . B. . C.  . D. . 20 20 5 5 26 2 2 2 3
Lời giải. Chuyển thông tin x   1
f xdx
sang f 'x bằng cách tích phân từng phần, ta được x   1
f 'xdx  1.  1 1 2 3  
Hàm dưới dấu tích phân là  f 'x  , x   1 f 'x  
nên liên kết với f x  x   2 3 ' 1 .     3 7 4 f 7 Ta tìm được   7 
f 'x  7x   1 
f x  x   2 0
1 C C   . 4 4 2 7 4 7 7
Vậy f x   x   1   
f xdx   .  Chọn C. 4 4 5 1 Cách 2. Theo Holder 2 2 2 2   1   x  3 1
f 'x dx   x  6 1 1 1 dx
f 'x 2 dx  .7 1.       7   1  1 1 1 1 2 9 2
Câu 84. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  1,
f 'x dx     và f
  xdx  . Tích phân 5 5 0 0 1
f xdx  bằng 0 1 1 3 3 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 5 4 5 4 1
Lời giải. Chuyển thông tin
f x dx
sang f 'x bằng cách: 0 1 1 1 1
 Đặt t x 
tf tdt   hay
xf x dx  .  5 5 0 0 1 1 3  Tích phân từng phần
xf xdx,  ta được 2
x f 'x dx  .  5 0 0 2
Hàm dưới dấu tích phân là  f x 2 '
 , x f 'x     
nên liên kết với f  x 2 2 ' x .   Ta tìm được   3   f 'x  2  3x   f x  3 f   1 1
x C  C  0. 1 1 Vậy f x  3  x  
f x dx  .  Chọn B. 4 0 Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 1   3      
x f 'x dx   x dxf 'x 2 1 9 9 2 4  dx  .  .         5 5 5 25   0  0 0 1
Câu 85. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 0 f   1  0,
f 'x cosx dx   và 2 0 1 1 1 2
f xdx  .  Tích phân
f xdx  bằng 2 0 0 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là 2
f x  và f 'xcosx , không thấy liên kết. 1
Do đó ta chuyển thông tin của f 'xcosx  về f x bằng cách tích phân từng phần của
f 'x cosx dx   cùng với kết 2 0 1 1
hợp f 0 f   1  0, ta được
f xsinx dx  .  2 0
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là 2
f x  và f xsinx nên ta sẽ liên kết với bình phương  f x  x 2 sin  .   1 2
Ta tìm được  1 
f x  sinx  
f x dx  .  Chọn B. 0 Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 1   1        
f x sinx dx     
f x dx. sinx 2 1 1 2  dx  . .         2    2 2 0 0 0 27 2
Câu 86. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;, thỏa mãn
f 'xsin xdx  1   và 2
f x dx  .  Tích phân 0 0
xf xdx  bằng 0 6 4 2 4 A.  . B.  . C. . D. .
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là 2
f x  và f 'x sin x , không thấy liên kết.
Do đó ta chuyển thông tin của f 'x sin x về f x bằng cách tích phân từng phần của f 'x sin d x x  1  ,  ta được 0 f x cos d x x  1.  0
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là 2
f x  và f xcos x nên ta sẽ liên kết với bình phương  f x 2
cos x .   2 2 2x cos x 4
Ta tìm được   
f x  cos x  
xf x dx  dx   .   Chọn B. 0 0 Cách 2. Theo Holder 2  2 1  f x 2 2 cos d x x f x 2 dx cos d x x  .  1.    2 0 0 0 1 2 1   2 x 1
Câu 87. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa f   1  0,
f 'x dx       và cos  
f xdx  .   Tích 8  2  2 0 0 1 phân
f x dx  bằng 0 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 x
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là  f x  2 '      và cos  f x   , không thấy liên kết.  2  x  1 x  1
Do đó ta chuyển thông tin của cos    f x    
về f 'x  bằng cách tích phân từng phần của cos  
f xdx  cùng với kết    2   2  2 0 1 x hợp f   1  0, ta được sin 
   f 'xdx  .    2  4 0  2 x   x 
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  f x  2 '          và sin  f 'x   
nên ta sẽ liên kết với bình phương f 'xsin  .     2   2    x  x  Ta tìm được   
f x         f xf   1 0 ' sin  cos    
C C  0.     2 2 2  2  1 x  2
Vậy f x   cos     
f xdx  .    Chọn B.  2  0
Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 1   2       x   x      sin     
f 'x dx  sin    
dx.  f 'x  2 1 2  dx  . .              4  2    2  2 8 0 0 0 1 1
Câu 88. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 , thỏa mãn
f 'x sinx dx  và 2
f x dx  2.  Tích phân 0 0 1  x f     dx   bằng  2 0 6 4 4 6 A.  . B.  . C. . D. . 1
Lời giải. Chuyển thông tin của f 'x sinx về f x bằng cách tích phân từng phần của
f 'xsinxdx  ,  ta được 0 1
f xcosx dx  1  .  0 28
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là 2
f x  và cosxf x  nên ta sẽ liên kết với bình phương  f x x 2 cos  .   1 1  x  x  4
Ta tìm được  2 
f x  2 cosx   f  
  dx 2 cos     
dx   . Chọn B.     2  2  0 0
Cách 2. Theo Holder 2 1 1 1    2 1  
f x cosx  1 2 dx  
cos x dx
f x 2 dx  .2.       2   0  0 0  2 x
Câu 89. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  , 2               thỏa f 0,
f xdx 3   sin x x f dx 6 .   2     2  và   2 0 0 2 3 Tích phân
f x dx    bằng 0 2 A.  . B. 0. C. 3 . D. 9 . x    
Lời giải. Tích phân từng phần của
sin x xf   
 dx  6,  
kết hợp với f    0 ta được    2   2  0 2 3 ta được 2
sin xf x dx  .  4 0
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là 2 f x  và 2
sin xf x nên ta sẽ liên kết với bình phương  f  x 2 2
sin x .  
Ta tìm được     f x 2 4
 4 sin x f 'x  4 sin 2x f ' x 8cos2x. 2 2 3 3 Vậy
f x dx  8cos2x dx  0.     Chọn B. 0 0
Cách 2. Theo Holder 2     2 2 2 2 3       3 2 
   sin xf x 4 2 dx     sin xdx
f xdx  .3 .       4     16  0  0 0     Câu 90. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0  ;1 , thỏa mãn f   1  0 và 1 1 2  1
f x 2 x  x   e x e f x 1 ' d 1 dx  .    
Tính tích phân I
f xdx.  4 0 0 0 e 1 2 e e A. I  . B. I  .
C. I e  2. D. I  . 2 4 2 1
Lời giải. Tích phân từng phần của    1 x x
e f x dx, 
kết hợp với f   1  0 ta được 0 1 2 e x xe f x  1 ' dx   .  4 0
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  f x  2 '  x x    
 và xe f 'x nên ta sẽ liên kết với f  x 2 xe .   Ta tìm được     f xxxe   f xx
  xe x    xx f   1 0 1 ' d 1
e C C  0.  1 1 Vậy
   1  x  
 d  1  x f x x e f x x
x e dx e  2.   Chọn C. 0 0 Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 1 2      2 2 e 1     e e x      xe f '   xd x x    x e dx.  f 'x 2 1 1 2 2  dx  . .           4    4 4 0 0 0  f 'x 2 1  1  
Câu 91. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 0  0, f   1  1 và dx  .  Tích phân x e e 1 0 1
f xdx  bằng 0 29 e  2 e 1 1 A. . B. . D. . C. 1. e 1 e  2 e   1 e  2  f x 2 '   
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là
nên ta cần tìm một thông tin liên quan f 'x. x e 1 1
Từ giả thiết f 0  0, f   1  1 ta nghĩ đến
f 'x dx f x   f   1  f 0  1.  0 0  f x 2 '     f x 2 ' 
Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là
và f 'x nên sẽ liên kết với bình phương x e  
. Với mỗi số thực x e   x  e  ta có  f 'x 2 1 1   f 'x 2 1 1      x e dx  dx  2 f 'x 2 d x x e dx       x x   e 0 e  0 0 0 1 1 
 2e   1  e   2 2 1 1 .   e 1 e 1  f 'x 2 1  1 1
Ta cần tìm sao cho x e   dx  0        hay e  2 1 1  0    .   x   e 1 e 1 0 e  2 1   1 f 'x 1 f 'xx 1 Với   thì  e   dx  0 x  
e , x 0  ;1 .    e 1 xe 1 x   e 1 0 ee x x x e e e  
Suy ra f x     f x
f 0 0, f   1 1 1 '  dx
C C   .  e 1 e 1 e 1 e 1 1 x e 1 e  2
Vậy f x    
f xdx  .  Chọn A. e 1 e 1 0 Cách 2. Theo Holder 2    f 'x  2   f 'x 2 1 1 1 1  1 2       1 
f 'x dx  . x e dx  d x x e dx  .e   1  1.       x x e e 1     0 0 e  0 0 1 2 1
Câu 92. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 0  0, f   1  1 và 2
1 x f 'x  dx  .    ln 1 2 0   1 f x  Tích phân dx  bằng 2  0 1 x 1 2 1 1 A. 2 ln 1 2. B. 2
ln 1 2. C. ln1 2. D.  2   1 ln 1 2. 2 2 2 1 1
Lời giải. Tương tự bài trước, ta có
f 'x dx f x   f   1  f 0  1.  0 0 2 
Do đó ta có hàm dưới dấu tích phân là
x f x 2 2 1 '   4 2  
 và f 'x nên sẽ liên kết với bình phương 1 x f 'x  .   4 2  1 x  1 1 1
Ta tìm được     f x  ln1 2 '  ln1 2. 2 1 x   f x 1 1 1  . dx  ln   2 x  1 xC. 2  ln1 2 1 x ln1 2  2
ln x  1 x
Mà f 0  0, f  
1  1  C  0 
f x     . ln 1 2   ln 2 1 1 x  1  1 x f x  1 1   Vậy dx  dx  ln     2
x  1  x d ln 2 x  1  x  2 2  1  x ln 1  2 1  x ln 1  2   0   0   0 2 ln  2 x  1 1 x  1 1  .  ln1 2 Chọn C. ln1 2 . 2 2 0 Cách 2. Theo Holder 30 2 1 1 1 1     x 1   f 'x  1 d 4 dx   
1 x f 'x . dx
1 x f 'x  2 2 2 2  dx.        4 2 2      0 0 1 x 0 0 1 x 1  .ln1 2     1. ln 1 2 1 1 2 16
Câu 93. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  1  
;1 , thỏa mãn f   1  0,
f 'x dx 112  2   và
x f x dx  .  3 1 1 1 Tính tích phân I
f xdx.  1 84 35 35 168 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 5 2 4 5 1 16
Lời giải. Như các bài trước, ta chuyển 2
x f x dx  
về thông tin của f 'x bằng cách tích phân từng phần. Đặt 3 1      d
u f 'xdx u f x      3  . x 2 d  v x dx v       3 1 1 1 3 1 x 1 1 1 1 Khi đó 2
x f xdx f x 3 
x f 'x dx f   1  f   3 1 
x f 'xdx.   
Tới đây ta bị vướng f   1 vì giả 3 1 3 3 3 3 1 1  1 
thiết không cho. Do đó ta điều chỉnh lại như sau      d
u f 'xdx u f x      3  x
với k là hằng số. 2 d  v x dx v       k  3 1 1 3 1 3  x   x      Khi đó 2
x f x dx    kf    x    kf '      xdx  3    1  3  1 1  1 3 1   1   x            k f   1  
kf   1    kf '          xdx. 3  3   3 
 1  0 do f   1 0 1 1 Ta chọn k sao cho
k  0  k   . 3 3 1 1 1 16 1 Khi đó 2 
x f x dx   
  3x  1 f 'xdx   3x  1 f 'xdx 16. 3 3 1  1  1  2
Hàm dưới dấu tích phân là  f x   3 ' , x      
1 f 'x  nên ta liên kết với f x x    2 3 ' 1   . 7
Ta tìm được  7 
f 'x  7 3 x  
1  f x   7  3 x   4 1 dx  
x  7x C 4 1 f   1 0 35   84 C    f x 7 35 4
  x 7x  . Vậy I
f x dx  .  4 4 4 5 1  Cách 2. Theo Holder 2 1 1 1      162    16 3 x  
1 f 'x dx    3 x  2 1 dx.
f 'x 2 dx  .112  256.         7 1 1  1 1 2 3
Câu 94. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  0,
f 'x dx  2 ln 2    và 2 0 1 f x  1 3 dx  2 ln 2  .  Tích phân
f x dx  bằng x  2 1 2 0 0 1 ln 2 1 2 ln 2 3  2 ln 2 3 4 ln 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 31 1 f x  3
Lời giải. Như các bài trước, ta chuyển dx  2 ln 2  
về thông tin của f 'x bằng cách tích phân từng phần. Đặt x  2 1 2 0 u
  f x  d
 u f 'xdx      1   . 1 d  v  dx         2 v x 1      x 1 1 f x f x  1 f 'x f   1 f 0 1 1 f 'x  Khi đó dx    dx     dx.   
Tới đây ta bị vướng f 0 vì giả thiết không x  2 1 x 1   0 x 1 2 1 x 1 0 0 0
cho. Do đó ta điều chỉnh lại như sau u
  f x  d
 u f 'xdx      1   1
với k là hằng số. d  v  dx          2 v k x 1      x 1 1 f x  1 1  1   1  Khi đó dx    
k f x    
k f 'xdx           x 2 1 x 1    0 x 1 0 0 f   1 1 0  1    1
  kf 0   
k f 'xdx.    x 1  0
Ta chọn k sao cho 1 k  0  k  1. 1 3 f x  1 1 x x 3 Khi đó 2 ln 2   dx  
f 'x dx  
f 'x dx  2 ln 2.    2 x  2 1 x 1 x 1 2 0 0 0 2   2 x x
Hàm dưới dấu tích phân là  f 'x  , f 'x   
nên ta liên kết với  f 'x   . x 1  x 1 x x
Ta tìm được  1 
f 'x 
f x 
dx x  ln x 1 Cx 1 x 1 1  f   1 0  1 2 ln 2 C  ln 2 1 
f x  x  lnx   1  ln 2 1. Vậy
f xdx  .  Chọn B. 2 0 Cách 2. Theo Holder 2 2 1 1 2 1   3  x               x f x x          
x f x 2 3 3 2 ln 2 ' d d '  dx           2 ln 2  2 ln 2.          2 x 1 x 1 2 2    0  0 0 2 2
Câu 95. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 1;2, đồng biến trên 1;2, thỏa mãn f   1  0 ,
f x dx  2    và 1 2 2
f x.f 'xdx  1.  Tích phân
f xdx  bằng 1 1 2 A. . B. 2. C. 2. D. 2 2. 2 2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là  f x  , f x . f x       
nên ta sẽ liên kết với bình phương f x  f x  2 .   Nhưng khi khai 2 2 triển thì vướng
f x dx   
nên hướng này không khả thi. 1 2 2 f x 2 f 2 2  f   2 2 1 f 2 0 Ta có 1 
f x.f 'xdx      f 2  2 
(do đồng biến trên 1;2 nên 2 1 2 2 1
f 2  f   1  0 ) 2 2 Từ f  
1  0 và f 2  2 ta nghĩ đến
f 'x dx f x  f 2 f   1  2  0  2.  1 1 2
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là  f x  , f x       
nên ta sẽ liên kết với f x  2 .   Ta tìm được    
f x    f xf   1 0 2 ' 2
 2x C C   2. 2 2
Vậy f x  2x  2  
f x dx  .  Chọn A. 2 1 32 1 1 2 3
Câu 96. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  0 , 2
f xdx  1  và  f x 2
f xdx  .    Giá 4 0 0 trị của 2 f  2 bằng 31 2 31 2 3 3 A.  . B. . C. . D.  . 2 2 2 2 2
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là    2 f
x f x 2      
và f x nên ta sẽ liên kết với bình phương f x f x  f x  2 .   Nhưng 1
khi khai triển thì vướng 2
f x f 'x dx
nên hướng này không khả thi. 0 1 1 1 Tích phân từng phần 2
f x dx  1 
kết hợp với f   1  0, ta được
xf x f 'x dx   .  2 0 0 2
Hàm dưới dấu tích phân bây giờ là    2 f
x f x      
và xf x f 'x  nên ta sẽ liên kết với bình phương f x f x  2 ' x .   2 3 3 3 f x  3
Ta tìm được  
f xf 'x   x
f xf 'x  2 dx   d x x    x C   2 2 2 2 4 f   1 0 3 3 3 2
C  
f x   2 1 x  2 
f  2   . Chọn A. 4 2 2 2 2 8 4 32
Câu 97. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;2, thỏa mãn f 2  1 , 2
x f xdx   và
f 'x dx  .    Giá 15 5 0 0 2 trị của tích phân
f x dx  bằng 0 3 2 7 7 A.  . B.  . C.  . D. . 2 3 3 3
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân  f x  4 '  2 
 và x f x. Lời khuyên là đừng có cố liên kết với bình phương nào, vì có tìm cũng không ra. 2 2 8 32 Tích phân từng phần 2
x f x dx  
kết hợp với f 2  1 , ta được 3
x f x dx  .  15 5 0 0
Áp dụng Holder 2 lần ta được 4 4 2 2 4 2 2 2 2         32         2   3 
   x f x 2 dx   
   x .xf x 4 2 dx        
   x dx      
x f 'x  dx        5            0 0 0 0 2 2 2 2          x dx     x dx.  f 'x 4 4 4  dx                0 0 0 3 2 2 4         x dx 
   f 'x 4 1048576 32 4  dx        .          625  5  0 0 2 4 32
Dấu '  '' xảy ra, tức là xf x 2 '
kx f 'x  kx thay vào  f 'x dx     tìm được k  1 5 0 2  
f x  x f xx f 2 1 '  d x x
C C  1.  2 2 2 x 2
Vậy f x   1  
f x dx   .  Chọn B. 2 3 0
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  f x 4 4 4 4 3 '
  x x x  4x f 'x.   2 2 2 4 Do vậy  f 'x 4 3
 dx 3 x dx  4 x f xdx.     
Mà giá trị của hai vế bằng nhau, có nghĩa là dấu '  '' xảy ra nên f 'x   x. 0 0 0 (Làm tiếp như trên).
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM 33
Câu 98. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f 'x liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f   1  ef 0 và 1 1 dx
f 'x 2 dx  2.  
Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2   f x  0 0 e 2e 2 2 2e 2e 2 A. f   2 1  . B. f   1  . C. f   1  . D. f   1  . e 1 e 1 2 e 1 e 1 1 1 1 1   AM GM dx  2 1 2 f 'xLời giải. Ta có 
f 'x dx  
  f 'x  dx  2 dx     2       f x 2 f  xf   x 0 0 0  0 1 f    f x  f    f   1 2 ln 2 ln 1 2 ln 0  2 ln   f   2 ln e 2. 0 0 1 1 dx 2 1 Mà 
f 'x dx  2  
nên dấu '  '' xảy ra, tức là f 'x  
f xf 'x  1 2   f xf x  0 0 2 f x   
f x f 'xdx xdx
x C 
f x  2x 2C .   2 1
Theo giả thiết f  
1  ef 0 nên ta có 2
2  2C e 2C  2  2C e 2C C  2 e 1 2     2  x   f   2 2e f x 2 1  2   . Chọn C. 2 2 2 e 1 e 1 e 1
Câu 99. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0 
;1 , có đạo hàm dương và liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f 0  1 và 1 1   1 f
  x4  f 'x 3 3  dx  3 f '    x 2
f xdx. I f x dx.    Tính    0 0 0 e 1 2 e 1
A. I  2 e   1 . B. I   2 2 e   1 . C. I  . D. I  . 2 2
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho ba số dương ta có 3 f x 3 f x 3 f x 3 3 3 3 f x 3
f x  f x    f x     f x  f x 2 3 4 ' 4 ' 3 4 ' . . 3 ' f x.       2 2 2 2 1 1 3   Suy ra 3 f
  x4 f 'x dx  3 f '    x 2
f x dx.    0 0 1 1 3   Mà 3 f
  x4  f 'x dx 3 f '    x 2
f xdx  xảy ra, tức là    nên dấu ' '' 0 0 3 f x 3 3 f x
f x    f x 1 4 ' '  f x   2 2 2 f 'x  1 f 'x  1 1      x x f x  1 x C d d ln
x C   f x 2    f xf x e . 2 2 2 1 1 x
Theo giả thiết f 0  1  C  0  f x  2  e  
f x dx  2 e   1. Chọn A. 0 1 xf 'x
Câu 100. Cho hàm số f x nhận giá trị dương trên 0 
;1 , có đạo hàm dương liên và tục trên 0  ;1 , thỏa mãn  
f x  dx 1 0 1
và f 0  1, f   2
1  e . Tính giá trị của f    .   2 1 1 1 1 A. f      1.         f    4.
f    e.
f    e.  B.   C.   D.   2  2 2 2 xf 'x f 'x f 'x
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là  x.
, x  0  Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng , f xf x  ;1 . f x
muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau: f 'x xf 'x  
với m  0 và x 0;  1 . f x mx 2 m. f x 34
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 1  f 'x 1  xf 'x    
    mx dx 2 m.       dx f x f x 0  0 hay 1 2 1 x m m ln f x   m
 2 m.1  ln f   1  ln f 0   2 m  2 0   2 m. 0 2 0 2 2 m
Để dấu '  '' xảy ra thì ta cần có 2  0 
 2 m m  4. 2 f 'x
Với m  4 thì đẳng thức xảy ra nên    4x f x
f 'x  dx 4xdx ln f x  2x C f x  2 2 2 x C            f x e .  f 01    x 1 Theo giả thiết   C  0   f x 2 2  e   f      e.    Chọn C.f   2 1  e 2  Cách 2. Theo Holder      xf 'x  2   f 'x  2 1 1 1 1  f 'x  1 f   1 2 1                      
f x  dx x .    
f x  dx xdx. 
f x  dx . ln f   1. 2 0 0  0  0 0 f 'x 1 xf 'x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  thay vào dx  1  ta được k  4. f xkx, f x 0 f 'x  Suy ra  (làm tiếp như trên) f x  4x. 1 2
Câu 101. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;  1 , thỏa mãn
f xf 'x dx 1   
và f 0  1, f   1  3. Tính giá 0 1 trị của f    .   2 1 1 1 1        
A. f    2.  
B. f    3.
C. f    e.
D. f    . e        2 2 2 2
Lời giải. Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên.
Hàm dưới dấu tích phân là  f x f x  2 '  . 
 Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f xf 'x , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM  GM như sau:
f xf x 2 '
  m  2 m. f xf 'x   với m  0.
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho 1   1
f xf 'x 2 m  
dx 2 m f xf 'xdx.  0 0 hay 2 f x  1 1 m  2 m.
 1 m  2 m. 2 0
Để dấu '  '' xảy ra thì ta cần có 1 m  2 m m  1.
f x f ' x  1 2       
Với m  1 thì đẳng thức xảy ra nên f x f 'x   1  .   
f x f 'x   1   1 1 2 f x  1 1
f xf 'x  1   
f xf 'xdx   dx   x   1  1  .   (vô lý) 2 0 0 0 0 2 f x
f xf 'x   1  
f x f 'x dx  dx
x C 
f x  2x  2C .   2  f 01 1 1  Theo giả thiết   C  
f x  2x 1   f      2.    Chọn A.f   1  3 2 2  35 1 2 f x 1 1 Cách 2. Ta có
f xf 'x 2 dx    f     2
1  f 0  1.   2  0 2 0 Theo Holder 2 1 1 1     1  
1. f x f 'x dx 
  1 dx.  f xf 'x  2 2 2  dx 1.1 1.          0 0 0 1
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f 'xf x  k, thay vào
f x f 'x dx  1 
ta được k  1. Suy ra f 'xf x   1. (làm tiếp 0 như trên)  f 'x 2 2   
Câu 102. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f 'x liên tục trên 1;2, thỏa mãn   và
xf x  dx 24 1 f  
1  1, f 2  16. Tính giá trị của f  2.
A. f  2  1.
B. f  2  2.
C. f  2  2.
D. f  2  4.
f x 2   1 f x  2 ' '     f 'x
Lời giải. Hàm dưới dấu tích phân là 
Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng , muốn vậy ta xf x  . x f x  . f x
phải đánh giá theo AM  GM như sau:  f x 2 '  f 'x       mx 2 m
với m  0 và x 1;2. xf x f x
Do đó ta cần tìm tham số m  0 sao cho     f 'x 2 2 2   f '     x           mx dx 2 m dxxf x    f x 1   1   hay 2 2m     m f x  2m    m f    f   2m 24 4 24 4 2 1  24 
12 m m  16.  3   1 3 3 2m
Để dấu '  '' xảy ra thì ta cần có 24 
 12 m m  16. 3  f x 2 '  f 'x   
Với m  16 thì đẳng thức xảy ra nên      16x 2x xf x 2 f xf 'x    dx  2xdx
f x   x C 
f x    x C2 2 2 . 2 f x   f   1  1  Theo giả thiết   C  0   f x 4  x   f  2  4.  Chọn D. f  2  16  2 f 'x 2 f 'x 2   Cách 2. Ta có dx  2.
dx  2 f x  2 f    2 f   1  6.  f x  2 f x   1 1 1 Theo Holder 2 2      f 'x   f 'x   f 'x 2 2 1 2 2  2 2        x 2   6 dx     x . dx  d x x. dx  .24  36.       f  x   xf  x     xf x  2 1 1 1  1 1 f 'x f 'x  2 f 'x
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có  k x   kx, thay vào dx  6 
ta được k  4. Suy ra xf x f x f x 1  
f 'x   4x. (làm tiếp như trên) f x
Vấn đề 13. Tìm GTLN-GTNN của tích phân
Câu 103. Cho hàm số f x liên tục trên , có đạo hàm cấp hai thỏa mãn .   x x f
x e x và f 2  2e, f   2 0  e . Mệnh
đề nào sau đây là đúng?
A. f 2  4e 1. B. f   2
2  2e e . C. f   2
2  e 2e.
D. f 2  12. 36 2 2
Lời giải. Từ giả thiết .   x x f
x e x ta có .  d     x x f x x
e x dx.   1 0 0 u   x d  u  dx   Đặt    
v f xv
  f x. d   2 2 2 2  x        Khi đó   1
x. f x f x d x x  e      0   0  2  0 2 2 2 2  x   
x. f x  f xx e       0 0  2  0
 2. f 20. f 0   f 2 f 0 2   e 21    
f 2  4e 1 (do f 2  2e, f   2
0  e ). Chọn A 1
Câu 104. Cho hàm số f x dương và liên tục trên 1;3, thỏa max f x   2, min f x   và biểu thức 1;3 1;3 2 3 3 3 S f x  1 dx.   
 dx đạt giá trị lớn nhất, khi đó hãy tính I
f xdx.  f x 1 1 1 3 7 7 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 2 2 1 1 5
Lời giải. Từ giả thiết ta có
f x 2 , suy ra f x  . 2 f x  2 3 3 3 3 3 3  1  5 1 1 Suy ra  f x   dx  dx
f xdx  dx  5  dx  5 f x          f  xf   xf x dx. 2 1  1 1 1 1 1 3 3 3 3   1   25 Khi đó S
f xdx. dx
f xdx. 5   f x         f x  dx .     4 1 1 1 1 2  5  25 25
(dạng t 5 t 2  t
  5t  t        )  2  4 4 3 5
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
f x dx  .  Chọn D. 2 1
Câu 105. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f x f x 1 với mọi x   và f 0  0. Giá trị lớn nhất của f   1 bằng e 1 e A. e 1. B. . C. . D. e. e e 1
Lời giải. Từ giả thiết
f x  f x  1 , nhân thêm hai vế cho x e
để thu được đạo hàm đúng là x   x    x   ,     x    x e f x e f x e x
e f x   e , x  .    1 1 1 1  Suy ra x      d x  d x e f x x e x   e f    
x  e 1  ef     1 1. f 0  e 1    0 0 0 0 f 0  0
 f   e 1 1  . Chọn B. e
Câu 106. Cho hàm số f x nhận giá trị dương và có đạo hàm f x liên tục trên 0 
;1 , thỏa mãn f  
1  2018 f 0. Giá trị nhỏ 1 1 1 2
nhất của biểu thức M  dx
f x dx     bằng
f x 2 0 0   A. ln 2018. B. 2 ln 2018.
C. m  2e.
D. m  2018e.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được 1 1 1 1 f x  1 2 f   M  dx
f x dx  2
dx  2 ln f x 1  2 ln  2 ln 2018.      Chọn B.   f x f 0 0 f x  2   0   0 0   1 2 1
Câu 107. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0  ;1 và
1 xf xdx   . 
Giá trị nhỏ nhật của biểu thức 3 0
1  f x 2 dx f 0    bằng 0 37 1 2 1 2 A. . B. . C.  . D.  . 3 3 3 3 1 1 2 1 1
Lời giải. Tích phân từng phần
1 xf xdx   
, ta được f 0  2 1 x f x dx.  3 3 0 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được 1 1 1 2
1 xf xdx  1 x2 dx   f x 2 dx.      0 0 0 1 1 1 2 2 Từ đó suy ra
f x dx  2 1 xf xdx  1 x dx      0 0 0 1 1 x3 1 1 2 
f x dx f 0  .    3 3 0 0 1 2 2 Vậy
f x dx f 0 .    Chọn D. 3 0 1 1
Câu 108. Cho hàm số f (x ) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
xf xdx  0 
và max f x   1. Tích phân x
e f x dx  thuộc [0; 1] 0 0
khoảng nào trong các khoảng sau đây?  5    3     5 3   A.   ;   .  
B.  ; e 1. C.   ; .
D. e 1;    .      4  2   4 2 1 1 1
Lời giải. Với mỗi số thực   ta có x  d x e f x x
e f x dx
xf xdx    0 0 0 1 1 1    
x d 
  . x d x f x e x x f x e x x
e x dx.   0 0 0 1 1 1     x x x 3  Suy ra
e f x dx  min
e x dx  min
e x dx  min eChọn C.   
 1   e  .   0;  1   0;  1   2    2 0 0 0 x
Câu 109. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên 0 
;1 . Đặt gx  1
f tdt. 
Biết g x  
f x  với mọi 0 1 1 x 0; 
1 , tích phân   dx có giá trị lớn nhất bằng g x 0 1 1 2 A. . B. . C. . D. 1. 3 2 2 x g01 
Lời giải. Từ giả thiết g x   1
f tdt,  ta có      và g x 0, x 0  ;1 . g '
 x  f x 0  g 'x g 'x
Theo giả thiết g x  
f x  
gx  g 'x     g x 1 1. 2 g xt '  t 1 t t g x 1 1 1 Suy ra dx
1dx, t  0  ;1    x     t  1t.   2 g x g x 0 0 g t g 0 g t  0 0 1 1 1 1 Do đó dx  1 x    Chọn B. g x  dx . 2 0 0 x
Câu 110. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0;  1 , thỏa mãn 2
f x  1 3
f t dt g x   với mọi 0 1 x 0  ;1 , tích phân
g x dx
có giá trị lớn nhất bằng 0 4 7 9 5 A. . B. . C. . D. . 3 4 5 2 x g01 
Lời giải. Từ giả thiết g x   1 3
f t dt,  ta có      và g x  0, x 0  ;1 . g '
 x  3 f x 0  38
g 'x 2 g 'x 3  
Theo giả thiết g x  2
f x   g x   . 9 2 g x  2 t '  t 3 t 3 t g x 3 3 Suy ra dx  dx, t  0;  1 
gx  x gt  g0  t gt  t 1.   2 g x  2 0 2 0 2 2 0 0 1 1 3  7 Do đó
g xdx   
  x 1dx  .   Chọn B. 2  4 0 0 x
Câu 111. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0 
;1 , thỏa mãn f x  2018  2
f t dt  với mọi 0 1 x 0; 
1 . Biết giá trị lớn nhất của tích phân
f x dx  có dạng 2
ae b với , a b  .  Tính a  . b 0 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. x g0 2018 
Lời giải. Đặt g x   2018  2
f t dt,  ta có      và g x  0, x 0  ;1 . g '
 x  2 f x 0  g 'xg 'x
Theo giả thiết g x   f x    gx    g x 2. 2 t '  t t t g x Suy ra dx
2dx, t    0;1 
 ln gx     2xg x 0 0 0 0             2 ln ln 0 2 ln 2 ln 2018  2018. t g t g t g t t g t e 1 1 1 1 Do đó
f x dx g x  2 x 2 x 2 dx  2018
e dx  1009e  1009e 1009.    Chọn A. 0 0 0 0 2 x
Câu 112. Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn 0; 
1 . Đặt g x   1
f tdt. 
Biết g x   xf  2 2 x  0 1
với mọi x 0  ;1 , tích phân
g x dx
có giá trị lớn nhất bằng 0 A. 1. B. e 1. C. 2. D. e 1. 2 x g01 
Lời giải. Từ giả thiết g x   1
f tdt,  ta có      và g x  0, x 0  ;1 . g 'x    2xf  2 x  0  g 'x
Theo giả thiết g x   2xf  2 x  
gx  g 'x   g x  1. t '  t t t g x Suy ra dx
1dx, t    0;1 
 ln g x     xg x 0 0 0 0
 ln   ln 0   ln       t g t g t g t t g t e . 1 1 Do đó  d x g x x
e dx e 1.   Chọn B. 0 0
Nhận xét. Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số f t  trên đoạn 2 0;x .   2 x / /
Khi đó g x  1 F t  1 F  2 x F 0 g 'x  F   2 x              2 x  / F  2
x   2xf  2 x .  0
Câu 113. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0 
;1 , thỏa f 'x  f x 0, x  0 
;1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 f   1
0 .  dx bằng f x 0 e 1 e 1 A. 1. B. . C. . D. e 1. e e f 'x
Lời giải. Từ giả thiết f 'x  f x  0, x  0;  1 ta có 1, x  0  f x ;1 . t f 'xt t t Suy ra dx
1dx, t  0  ;1 
 ln f x  x  ln f tln f 0  t f t f 0 t   f xe . 0 0 0 0 39 1 1 1 1 e 1 Do đó f 0.     Chọn B.
f x dx dx . x e e 0 0
Câu 114. Cho hàm số f x liên tục trên 0;, thỏa mãn
f xdx
cos xf xdx  1.  
Giá trị nhỏ nhất của tích phân 0 0 2
f x dx  bằng 0 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 2
Lời giải. Theo Holder 2     2 1
 cos xf x 2 2 dx    cos xdx. f x  2 dx  .
f x dx.      2   0  0 0 0 2 Suy ra 2
f xdx  . 
(Đến đây bạn đọc có thể chọn A) 0
Dấu '  '' xảy ra khi f x  k cos x thay vào
f x dx  1  ta được 0 1 
f xdx k cos xdx  . k sin x  0.   0 0 0
Điều này hoàn toàn vô lý.
a  acosxf xdx  a  , b   
Lời giải đúng. Ta có
f xdx  cos xf x  0 dx  1      với  .  2 2 a  b  0  0 0  b   bf  xdx    0 Theo Holder 2  
a b2  a cos x bf xdx   
 a cos x b2 2 dx
f x dx.       0  0 0 Lại có a x b2 1 cos dx   2 2 a  2b . 2 0 2a b2 Từ đó suy ra 2
f x dx   với mọi ,
a b   và 2 2 a b  0.  2 2 a  2b 0    2
 a b2    3  Do đó 2
f x dx  .max     . Chọn B. 2 2
a  2b   0  
Nhận xét: Ta nhân thêm a, b vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiên hằng số. a b2
Cách tìm giá trị lớn nhất của P  ta làm như sau: 2 2 a  2b Nếu b  0 
P 1. (chính là đáp án sai mà mình đã làm ở trên) 2 aa         a ba 2 2 1 t 2   bb b t  2t 1 Nếu b  0   P   
. Tới đây ta khảo sát hàm số hoặc dùng MODE 7 dò tìm. Kết quả 2 2 2 2 a  2bat  2      2 b 3 a
thu được GTLN của P bằng khi t  2    2  a  2 . b 2 b a   2b
Vậy dấu '  '' để bài toán xảy ra khi 
thay ngược lại điều kiện, ta được
f x   b2 cos x   1  b x   1 x   b  
f x 2 cos x 1 2 cos 1 d 1  .  0
2cos x 1 3 Lúc này 2
f xdx        dx  .    0 0 40
Cách khác. Đưa về bình phương
Hàm dưới dấu tích phân là 2
f x , f x , cos xf x nên ta liến kết với  f x  2
cos x  .  
Với mỗi số thực , ta có 2 2  f x 2
cos x  
f x dx  2 cos x f x dx
cos x  dx       0 0 0 0 2 
f xdx  2 2 2
 .  2 0
Ta cần tìm , sao cho  2 2 2
 đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có 2 2 2    
2 2 1 3 3 2 2
  
           .       2 2 2 1 Vậy với   ;   thì ta có 2    f x 2 1 3 2  cos x   
f xdx  .       0 0 2  2 1  3 3 x  Suy ra 2
f x dx
f x cos x     .      Dấu '
'' xảy ra khi f x 2 cos 1.    0 0
Câu 115. Cho hàm số f x liên tục trên 0;, thỏa mãn
sin xf x dx
cos xf x dx  1.  
Giá trị nhỏ nhất của tích phân 0 0 2
f x dx  bằng 0 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 2
Lời giải. Liên kết với bình phương  f x  2
sin x cos x .   Ta có  f x 2
sin x cos x dx    0
f x 2 dx 2 sin x cos xf xdx  sin x cos x2 dx      0 0 0 2 2  
f x 2 dx 2  .    2 2 0 2 2 2 2    2   2  4
Phân tích 2    
         .   Chọn C.     2 2 2 2  1 1
Câu 116. Cho hàm số f x liên tục trên 0  ;1 , thỏa mãn  d x f x x
e f x dx  1.  
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân 0 0
1  f x2 dx.   
Mệnh đề nào sau đây đúng? 0
A. 0  m  1.
B. 1  m  2.
C. 2  m  3.
D. 3  m  4. 1  x a  
ae f x dx   
Lời giải. Từ giả thiết, ta có 0  . 1
b  bf  xdx    0 Theo Holder 2 1 1 1        x   d         x a b ae b f x x ae b2 2 2 dx
f x dx.    0  0 0 Lại có 41 1 1   x
ae b2 dx    x x 1 2 2 2 a e
 2abe b dx   2 e   2
1 a  2e   2 1 ab b . 2 0 0 a b2 1 Suy ra 2
f x dx   với mọi ,
a b   và 2 2 a b  0. 1  2e   2
1 a  2e   2 0 1 ab b 2        a b2 1    1 1  Do đó 2
f x dx  max     1     3,1316.  Chọn D. 1      2   2 e e e
1 a  2e   2 3 1   0 1 ab b  2  1 1
Câu 117. Cho hàm số f x liên tục trên 0;  1 thỏa mãn
f x dx
x f x dx  1.  
Giá trị nhỏ nhất của tích phân 0 0 1 2
f x dx  bằng 0 2 8 A. . B. 1. C. . D. 3. 3 3 1
a  a x f xdx   
Lời giải. Từ giả thiết, ta có 0  . 1
b  bf  xdx    0 Theo Holder 2 1 1 1     
a b   a x bf xdx   a x b2 2 2 dx.
f x dx.      0 0 0 Lại có 1
 a x b 2 2 a 4ab 2 dx    b . 2 3 0 a b2 1 Suy ra 2
f xdx   với mọi ,
a b   và 2 2 a b  0. 2 a 4ab 2 0   b 2 3        a b2 1      Do đó 2
f x dx  max     3. Chọn D. 2  a 4ab   2  0    b   2 3     
Cách 2. Liên kết với bình phương f x 2
 x .   Ta có  f x 2  x    dx    0
f x dx  2   
  x f xdx   x 2 2 dx 0 0 0 2
f x 2 dx  2 4 2 
 .    2 3 0 2 2 4  2  1 2
Phân tích 2 2 
  1   6 3.   2 3  3  18 2
Câu 118. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên 1;2, thỏa 3
x f xdx  31. 
Giá trị nhỏ nhất của tích phân 1 2 4
f xdx  bằng 1 A. 961. B. 3875. C. 148955. D. 923521.
Lời giải. Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được 42 2 4 2 2 2 3   2 2 2 2 2 2                           4 3 31 x f x  2 dx    
x .xf x  4 2 2 dx    x dx         x f x  4 4 dx           
   x dx        
f x dx.          1 1   1 1 1 1 2 4 31 Suy ra 4
f x dx   3875.  3 2   1   4  x dx       1 2
Dấu '  '' xảy ra khi f x   kx nên 4 k
x dx  31  k  5   f x 2  5x .  Chọn B. 1
Câu 119. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên 0;2 thỏa f 02 f  
1  f 2  1. Giá trị nhỏ nhất của tích 2 2 phân
f ''x dx    bằng 0 2 3 4 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 5 4 2 1 1 1 1   Holder 2 2   Lời giải. Ta có  f ' x 2
 dx  3 x dx.  f ' x dx  3 x. f ' xdx              0 0 0 0 ux dv f  '' xdx 2  3  f ' 
1  f 0 f   1  ;   2 2 2 2   Holder 2 2 2  
f ' x dx  3 x 2 dx.  f ' x dx  3 x 2. f ''xdx         2     1 1 1 1 ux2
dv f ' x dx 2  3  f ' 
1  f 2 f   1  .   2 2 2 2 Suy ra
f ''x dx  3 f ' 
1  f 0 f  
1   3  f ' 
1  f 2 f   1         0
f   f   f   2 0 2 1 2    3  3.  . Chọn B. 2 2 a b2
Nhận xét: Lời giải trên sử dụng bất đẳng thức ở bước cuối là 2 2 a b  . 2 3 2
Câu 120. Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1;3 và f  
1  0, max f x   10. Giá trị nhỏ nhất của tích phân
f 'x dx     1;3 1 bằng A. 1. B. 5. C. 10. D. 20.
Lời giải. Vì max f x
 10 x  1;3 sao cho f x  10 0  0   1;3 f   1 0
x  1;3 sao cho f x  10. 0  0   Theo Holder 2 x  0 x  0 x0 x0    f ' 
xdx  1 dx.  f 'x 2 dx  x   1 .  f 'x 2 2  dx.     0           1 1 1 1 2 x 2   0  x  0   2     Mà f ' 
xdx   f x      
f x f 1 10. 0           1  1 x0 2 10 Từ đó suy ra
f 'x dx     x 1 1 0 3 x0  
f x 2 x   f x 2 10 10 ' d '  dx         . Chọn B. x 1 3 1 1 1 0 43