Hướng dẫn giải toán chuyên đề hàm số – Ngô Vương Quyền Toán 12

Hướng dẫn giải toán chuyên đề hàm số – Ngô Vương Quyền Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

35 18 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Kiến Thức Cần Nhớ

Cho hàm số y = f (x) có tập xác định là D khi đó:

• Nếu f

(x) > 0, ∀x ∈ D thì f (x) đồng biến trên D

• Nếu f

(x) < 0, ∀x ∈ D thì f (x) nghịch biến trên D

• Nếu f (x) đồng biến trên D thì f

(x) ≥ 0, ∀x ∈ D

• Nếu f (x) nghịch biến trên D thì f

(x) ≤ 0, ∀x ∈ D

Ta nói chung D là khoảng đơn điệu của hàm số

1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Phương Pháp Giải

Bài toán: Cho hàm số y = f (x) tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Quy trình bấm máy như sau:

Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y

Bước 2. Nhập hàm số y = f (x) vào máy tính và ta cho x = X .

Bước 3. Nhấn phím r

Bước 4. Thử các đáp án và nếu kết quả ra số dương thì hàm số y = f (x ) đồng

biến trên khoảng đó, ngược lại nếu kết quả ra âm thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên

khoảng đó.

Phương pháp làm tự luận:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Tính y

, giải phương trình y

= 0 và tìm những điểm mà tại đó y

không

xác định giả sử được các phần tử là x

Bước 3. Sắp xếp các điểm x

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y =

− x

A. (−1;0). B. (−1;0) và (1;+∞). C. (−1;1). D. (−∞; −1) và (0;1).

Lời giải. Chọn đáp án B

Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị

facebook.com/VuongQuyen894 1

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y.

Bước 2. Nhập hàm y = 2x

− x

vào bằng phím chức năng

Q và cho x = X .

Bước 3. Nhấn phím r ở đây máy tính sẽ hỏi X bằng

bao nhiêu ta thử X thuộc các đáp án.

Bước 4. Thử đáp án:

Đáp án A khoảng (−1; 0) ta chọn X = −0, 5 nhập vào

máy tính bằng cách nhấn p 0 . 5 sau đó nhấn

= được kết quả là −

< 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên

khoảng này, như vậy đáp án này có thể đúng nhưng ta

cần kiểm tra tất cả các đáp án để thu được đáp án chính

xác và đầy đủ nhất.

Đáp án B khoảng (−1; 0) và (1;+∞) ở đây khoảng

(−1;0) đã thử ở đáp án A nên ta chỉ cần thử khoảng

(1;+∞), khoảng này ta chọn X = 10 bằng cách tiếp tục

nhấn r và nhập X = 10 vào 1 0 rồi nhấn = được

kết quả là −3960 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng

này, như vậy đáp án đầy đủ và chính xác là đáp án B.

Để cho chắc chắn ta thử hai đáp án còn lại ta để ý

đáp án C, D đều có khoảng (0;1) vậy ta thử với X = 0, 5

bằng cách tiếp tục nhấn r 0 . 5 = được kết

quả là

> 0 ⇒ Hàm số không nghịch biến vậy đáp án cuối

cùng là đáp án B.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Hàm số y = x

− x

− x+ 3 nghịch biến

trên khoảng

−∞;−

. B.

(

1;+∞

)

−

. D.

−∞;−

và

(

1;+∞

)

Câu 2 (THPT Quốc Oai, Hà Nội). Cho hàm số y = x

− 2x

+ 5. Khẳng định nào dưới đây

đúng?

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞).

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞).

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1).

Câu 3 (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3). Hàm số y = 2x

− 6x nghịch biến

trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−∞;−1). B. (1;+∞). C. (−1;1). D. (−1;+∞).

Câu 4 (chuyên Hoàng Văn Thụ, Hoà Bình). Hàm số y =

− x

+ x đồng biến trên

A. R. B. (−∞;1) và (1;+∞). C. (−∞;1) ∪ (1; +∞). D. R\{1}.

Câu 5 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3). Cho hàm số f

(

)

−

−6x+

. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(

−2;3

)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−2;3

)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(

−2;+∞

)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(

−∞;−2

)

Đáp án

1 - C 2 - A 3 - C 4 - A 5 - B

2 Tìm m để hàm số đơn điệu

2.1 Hàm số bậc ba y = ax

+ bx

+ cx + d

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY

Phương Pháp Giải

Bài toán: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) = ax

+ bx

cx + d đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D.

TH1. Nếu D = R thì:

• Hàm số đồng biến trên R ⇔







− 3ac ≤ 0

a > 0

• Hàm số nghịch biến trên R ⇔







− 3ac ≤ 0

a < 0

TH2. Nếu tập D là một khoảng hay một đoạn ta nên sử dụng máy tính hoặc

phương pháp cô lập m tức làm như sau:

Bước 1. Tính đạo hàm f

(x, m) (hay tính y

). Ở đây ta xét trường hợp hàm

số đồng biến trên D (trường hợp nghịch biến làm tương tự f

(x, m) ≤ 0) tức f

(x, m) ≥ 0,

∀x ∈ D và dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn các điểm.

Bước 2. Biến đổi f

(x, m) ≥ 0 trên về dạng h(m) ≤ g(x) (hoặc h(m) ≥ g(x)) ở đó

g(x), h(m) là các hàm số (Tức là chuyển các phần tử có tham số m sang một vế và các

facebook.com/VuongQuyen894 3

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

phần tử không chứa tham số m ở một vế).

Bước 3. Sử dụng nhận xét:











h(m) ≤ g(x) ∀x ∈ D ⇔ h(m) ≤ min

g(x)

h(m) ≥ g(x) ∀x ∈ D ⇔ h(m) ≥ max

g(x)

. Từ đây ta

thu được giá trị của tham số m cần tìm

Ví dụ 1 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m

để hàm số y =

+ mx

+ 9x − 2m + 1 đồng biến trên khoảng

(

−∞;+∞

)

là

(

−3;3

)

. B.

[

−3;3

]

. C.

[

3;+∞

)

. D.

(

−∞;3

)

Lời giải. Chọn đáp án B

Hàm số đồng biến trên khoảng

(

−∞;+∞

)

chính là R. Như vậy bài toán rơi vào trường hợp

thứ nhất ở trên áp dụng vào ở đây











a =

b = m

c = 9

⇒







− 3ac ≤ 0

a > 0

⇔











− 3.

.9 ≤ 0

a =

> 0

⇒ m

− 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3

Ví dụ 2 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5). Tìm giá trị của m để hàm số

y = −

− mx

− mx + 1 nghịch biến trên R.





m ≤ 0

m ≥ 1

. B.





m < 0

m > 1

. C. 0 ≤ m ≤ 1. D. 0 < m < 1.

Lời giải. Chọn đáp án C

Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai nên







− 3ac ≤ 0

a < 0

⇔











(−m)

− 3.

−

.(−m) ≤ 0

a = −

< 0

⇒ m

− m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = x

+ (1 − 2m)x

+ (2 − m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞).

A. m ≤

. B. −1 ≤ m ≤ 5. C. m >

. D. −1 < m < 5.

Lời giải. Chọn đáp án A

Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai.

Bước 1. Ta có y

= 3x

+ 2(1 − 2m)x + 2 − m. Đề bài yêu cầu tìm m để hàm số đồng biến trên

khoảng (0;+∞) nên điều kiện là y

≥ 0 hay 3x

+ 2(1 − 2m)x + 2 − m ≥ 0 ∀x ∈ (0; +∞).

Bước 2. Biến đổi bất phương trình trên để cô lập m ta được 3x

+ 2(1 − 2m)x + 2 − m ≥ 0 ⇔

+ 2x − 4mx + 2 − m ≥ 0 ⇔ 4mx + m ≤ 3x

+ 2x + 2 ⇔ m(4x + 1) ≤ 3x

+ 2x + 2 ⇒ m ≤

+ 2x + 2

4x + 1

với x ∈ (0;+∞) ⇒ m ≤ min

(0;+∞)

+ 2x + 2

4x + 1

Bước 3. Xét hàm g(x) =

+ 2x + 2

4x + 1

trên (0;+∞). Có g

(x) =

12x

+ 6x − 6

(4x + 1)

⇒ y

= 0 ⇔







x = −1

x =

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

⇒ min

(0;+∞)

+ 2x + 2

4x + 1

= g

⇒ m ≤

Notes

Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số tức tìm m sao cho hàm f

(x, m) là hàm bậc hai

nằm phía trên hay phía dưới trục hoành.

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO

Phương Pháp Giải

Bài toán: (Ta vẫn sử dụng chức năng tính đạo hàm của hàm số) Tìm tất cả các giá

trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) = ax

+ bx

+ cx + d đồng biến (hoặc nghịch

biến) trên tập D. Sử dụng phương pháp loại đáp án:

Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y

Bước 2. Nhập hàm f (x, m) vào máy ta vẫn cho x = X .

Bước 3. Nhấn phím r

Bước 4. Thử các đáp án vì xét hàm số trên tập D nên sau khi nhấn r ta gán

cho X bằng các giá trị thuộc tập D và nhớ quy tắc chọn là chọn X không quá lớn và

chọn M ≈ X

(tức nếu ta chọn X = 10 thì chọn M = 10

= 100 hoặc M = −10

= −100). Nếu

kết quả ra dương là hàm số đồng biến, kết quả ra âm là hàm số nghịch biến.

Notes

Ta nên quan sát đáp án trước để gán các giá trị cụ thể nào đó vào biến M, sao cho có

thể loại được đáp án nhanh nhất. Thử với nhiều giá trị của X và M để cho đáp án chính

xác nhất.

Ví dụ 4 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m

để hàm số y =

+ mx

+ 9x − 2m + 1 đồng biến trên khoảng

(

−∞;+∞

)

là

(

−3;3

)

. B.

[

−3;3

]

. C.

[

3;+∞

)

. D.

(

−∞;3

)

Lời giải. Chọn đáp án B

Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị

Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y

facebook.com/VuongQuyen894 5

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Bước 2. Nhập hàm y =

+ mx

+ 9x − 2m + 1 vào bằng

phím chức năng Q cho x = X tức nhập

+ M X

9X − 2M + 1

Bước 3. Nhấn phím r

Bước 4. Khi nhấn nút r máy sẽ hỏi ta gán giá trị X

là bao nhiêu. Ta quan sát đáp án thấy đáp án A, B khác

hoàn toàn so với đáp án C, D như vậy ta gán các giá trị

như sau: Vì hàm số đồng biến trên khoảng D =

(

−∞;+∞

)

nên ta chọn gán cho X = 1 tức nhập 1 = màn hình sẽ

hiển thị gán M bằng bao nhiêu

Đáp án A gán M = 2 bằng cách tiếp tục nhấn 2

= khi đó được kết quả là 14 > 0 do đó thỏa mãn đáp án

này có thể chọn.

Đáp án B chỉ khác đáp án A tại hai điểm 3, −3 nên

ta gán M = 3 hoặc M = −3 xem có thỏa mãn không bằng

cách tiếp tục nhấn = = 3 = được kết quả là 16 > 0

như vậy có thể chọn đáp án này và loại đáp án A.

Đáp án C khác đáp án A, B nên ta gán giá trị M = 10

và thay đổi giá trị của X lúc này ta cho X = −1 bằng cách

tiếp tục nhấn = p 1 = 10 = được kết quả

là −10 < 0 ⇒ loại đáp án C.

Đáp án D ta lại gán giá trị X = 1 và M = −10 được

kết quả là −10 < 0 ⇒ loại đáp án D.

⇒ Chọn đáp án đúng là B.

Ví dụ 5 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5). Tìm giá trị của m để hàm số

y = −

− mx

− mx + 1 nghịch biến trên R.





m ≤ 0

m ≥ 1

. B.





m < 0

m > 1

. C. 0 ≤ m ≤ 1. D. 0 < m < 1.

Lời giải. Chọn đáp án C

Tương tự như trên ở đây Thầy sẽ nói các bước cơ bản:

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị

Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y

Bước 2+3. Nhập hàm y = −

− mx

− mx + 1 bằng cách

tiếp tục nhấn lần lượt p Q [ q d a 3 $

p Q m Q [ d p Q m Q [ +

1 $ Q [ r

Bước 4. Thử các đáp án, ở đây yêu cầu hàm số nghịch

biến trên R nên trước tiên ta gán X = 1 ta để ý ở các đáp

án A, C đều có m = 0 và m = 1 vậy ta sẽ thử với hai giá trị

này quy trình bấm máy tiếp tục như sau 1 = 0 =

được kết quả là −1 < 0 ⇒ m = 0 thỏa mãn hàm số nghịch

biến tiếp tục nhấn = = 1 = kết quả là −4 vậy hai

giá trị m = 0 và m = 1 đều thỏa mãn hàm số nghịch biến

ta thử đáp án:

Đáp án A, B với m ≤ 0 ta chọn m = −10 bằng cách

nhấn tiếp tục = = p 10 = kết quả là 29 > 0 ⇒

hàm số đồng biến, loại đáp án A, B

Đáp án C, D vì ở trên ta thử với m = 0 và m = 1 đều

thỏa mãn nên ta chọn đáp án C.

Ví dụ 6 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = x

+ (1 − 2m)x

+ (2 − m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞).

A. m ≤

. B. −1 ≤ m ≤ 5. C. m >

. D. −1 < m < 5.

Lời giải. Chọn đáp án A

Tương tự như trên các em tự giải và chú ý rằng ta đang xét đồng biến trên khoảng (0; +∞)

nên chỉ gán những giá trị X thuộc khoảng này.

Notes

Ví dụ sau sẽ cho ta thấy việc chọn M ở các đáp án rất quan trọng! nếu chọn không chính

xác ta khó có thể có kết luận đúng.

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x

+ 3mx

− 4mx + 4 đồng

biến trên R.

A. 0 ≤ m ≤

. B. −

≤ m ≤ 0. C. 0 ≤ m ≤

. D. −

≤ m ≤ 0.

facebook.com/VuongQuyen894 7

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Lời giải. Chọn đáp án B

Bước 1+2+3. Bạn đọc tự nhập!

Bước 4. Vì hàm số yêu cầu đồng biến trên tập số thực nên ta gán giá trị X tùy ý nhưng

không quá lớn! ở đây ta gán X = 0. Tiếp theo ta gán giá trị của M quan sát đáp án ta thấy

đáp án nào cũng có M = 0 vậy không xét M = 0.

∗) Hai đáp án A, C đều có phần chung vậy ta

chọn một số M đều thuộc cả hai đáp án này chọn

M =

ta được kết quả là −3 ⇒ loại A, C.

∗) Còn lại đáp án B, D ta thấy hai đáp án này

đều có phần chung cụ thể là đáp án B sẽ bao gồm

cả đáp án D như vậy ta sẽ thử với đáp án B trước ta

chọn M = −

⇒ kết quả là 5.333 > 0 ⇒ thỏa mãn hàm số đồng biến ⇒ loại đáp án D và chọn đáp án B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số y = −

+ (m − 1)x

− 4x nghịch biến trên R.

A. −1 ≤ m ≤ 3. B. m ∈ R. C. m ≥ 3. D.





m ≤ −1

m ≥ 3

Câu 2 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y =

(m + 1)x − 2

x − m

đồng

biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.

Câu 3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Lai Châu, lần 3). Tìm tập hợp tất cả các giá trị

của tham số thực m để hàm số y =

− mx

+ (2 + m)x + 1 đồng biến trên R.

A. (1; 2). B. (−∞;2). C. (−∞;−1] ∪ [2; +∞). D. [−1;2].

Câu 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3). Tìm tất cả các tham số thực m để

hàm số y = 2x

− 3(2m + 1)x

+ 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞).

A. m < 1. B. m ≤ 1. C. m < 2. D. m > 1.

Đáp án

1 - A 2 - C 3 - D 4 - B

2.2 Hàm bậc nhất trên bậc nhất y =

ax + b

cx + d

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

Phương Pháp Giải

Bài toán: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) =

ax + b

cx + d

thỏa

mãn đồng biến hoặc nghịch biến như sau:

TH1. Hàm số đồng biến trên tập xác định thì điều kiện là ad − bc > 0.

TH2. Hàm số nghịch biến trên tập xác định thì điều kiện là ad − bc < 0.

TH3. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; x

) thì điều kiện là











ad − bc > 0

−

≥ x

TH4. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; x

) thì điều kiện là











ad − bc < 0

−

≥ x

TH5. Hàm số đồng biến trên khoảng (x

;+∞) thì điều kiện là











ad − bc > 0

−

≤ x

TH6. Hàm số nghịch biến trên khoảng (x

;+∞) thì điều kiện là











ad − bc < 0

−

leqx

TH7. Hàm số đồng biến trên khoảng (x

; x

) thì điều kiện là











ad − bc > 0







−

≤ x

−

≥ x

TH8. Hàm số nghịch biến trên khoảng (x

; x

) thì điều kiện là











ad − bc < 0







−

≤ x

−

≥ x

Notes

∗) Để nhớ được các trường hợp trên ta nên hiểu tại sao có được như vậy: Hàm số

y =

ax + b

cx + d

⇒ y

ad − bc

(cx + d)

vì mẫu của y

là (cx + d)

luôn dương vậy dấu của y

chỉ phụ

thuộc vào ad − bc do đó ta có các trường hợp:

TH1. Hàm số đồng biến nếu ad − bc > 0

TH2. Hàm số đồng biến nếu ad − bc < 0

∗) Phương pháp bấm máy cũng gần tương tự đối với hàm bậc ba đã xét ở trên (ở dạng

này nên làm tay!)

Ví dụ 1 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2). Tìm giá trị của m để hàm số y =

mx + 4

x + m

nghịch

biến trên mỗi khoảng xác định.

A. −2 ≤ m ≤ 2. B. −2 < m ≤ −1. C. −2 < m < 2. D. −2 ≤ m ≤ 1.

Lời giải. Chọn đáp án C

facebook.com/VuongQuyen894 9

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Bài toán rơi vào trường hợp thứ 2 với











a = m

b = 4

c = 1

d = m

⇒ ad − bc < 0 ⇔ m.m − 4.1 < 0 ⇔ m

− 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2.

Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Lâm Đồng (HKII)). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số y =

mx + 4

x + m

nghịch biến (−∞;1) là

A. (−2; 1]. B. (−2;2). C. (−2; −1). D. [−2;2].

Lời giải. Chọn đáp án A

Bài toán rơi vào trường hợp thứ 4 với











a = m

b = 4

c = 1

d = m

= 1

⇒ điều kiện là











ad − bc < 0

−

> x

⇒







− 4 < 0

−

> 1

⇒







− 2 < m < 2

m ≤ 1

⇒ −2 < m ≤ 1 ⇒ m ∈ (−2; 1]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2). Cho hàm số y =

mx − 9

4x − m

, với m là tham số thực.

T ìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng

;+∞

A. m ∈ [−6;6]. B. m ∈ (−6; 6). C. m ∈ (−6;1]. D. m ∈ (−6; 1).

Câu 2 (SỞ GD-ĐT LONG AN). Cho hàm số y =

x − 1

x − m

, với m là tham số thực. Tìm tập hợp

T gồm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (3;+∞).

A. T = (1; +∞). B. T = (1;3]. C. T = (−∞;3). D. T = (1;3).

Câu 3 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm

số y =

mx + 4

x + m

nghịch biến trên khoảng (−∞;1).

A. −2 < m < −1. B. −2 ≤ m < 1. C. −2 ≤ m ≤ −1. D. −2 < m ≤ −1.

Câu 4 (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3). Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để hàm số y =

mx − 4

m − x

nghịch biến trên khoảng (−3;1).

A. m ∈ (1;2). B. m ∈ [1; 2]. C. m ∈ [1; 2). D. m ∈ (1; 2].

Câu 5 (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m

để hàm số y =

mx + 3

x + m + 2

nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Đáp án

1 - C 2 - B 3 - D 4 - C 5 - B

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Kiến Thức Cần Nhớ

Định lý 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (x

−h; x

+h) với h >0. Điều kiện cần

và đủ để hàm số đạt cực trị tại x

là

∗) Nếu







(x) >0, ∀x ∈(x

−h; x

)

(x) <0, ∀x ∈(x

; x

+h)

⇒ x

là điểm cực đại của hàm số y = f (x).

∗) Nếu







(x) <0, ∀x ∈(x

−h; x

)

(x) >0, ∀x ∈(x

; x

+h)

⇒ x

là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x).

Định lý 2. Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (x

−h; x

+h). Điều

kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x

là

∗) Nếu







) =0

) >0

⇒ x

là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x).

∗) Nếu







) =0

) <0

⇒ x

là điểm cực đại của hàm số y = f (x).

Notes

∗) Đối với định lí một ở trên ta có thể hiểu đơn giản là nếu f

−

) và f

) trái dấu thì

hàm đạt cực trị tại x

. Ở đây Thầy lạm dụng kí hiệu f

−

) ta sẽ hiểu là gán x = x

−10

−8

và f

) sẽ hiểu là gán x

=1 +10

−8

bằng máy tính.

Cho hàm số y = f (x). Khi đó:

∗) Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số kí hiệu lần lượt là x

CĐ

và x

các điểm

này gọi chung là điểm cực tr ị của hàm số.

∗) Các giá trị f (x

CĐ

) và f (x

) được gọi lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

của hàm số. Kí hiệu là f

CĐ

, f

và được gọi chung là cực đại, cực tiểu của hàm số.

∗) Điểm M

(

CĐ

; f (x

CĐ

)

, M

(

; f (x

)

được gọi lần lượt là điểm cực đại và điểm cực

tiểu của đồ thị hàm số.

∗) Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó không có đạo hàm.

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 1

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Minh họa bằng bảng biến thiên

Cực Đại Cực Tiểu

(x)

f (x)

−

f (a)f (a)

f (b)f (b)

(x)

f (x)

CĐ

−

f (a)f (a)

CĐ

f (b)f (b)

Minh họa bằng đồ thị

CĐ

Điểm cực tiểu

của đồ thị hàm

số

Điểm cực đại

của đồ thị hàm

số

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

I. Tìm cực trị của hàm số

1. Phương pháp - ví dụ

Phương Pháp Giải

Bài toán. Cho hàm số y = f (x), tìm các điểm cực trị của hàm số.

Cách 1. Sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính f

(x). Tìm các điểm tại đó f

(x) =0 bằng cách giải phương tr ình f

(x) =0

và các điểm mà f

(x) không xác định hoặc không có đạo hàm.

Bước 3. Xét dấu f

(x). Nếu f

(x) đổi dấu khi x đi qua x

thì hàm số đạt cực trị tại

cụ thể là nếu f

) đổi dấu từ dương sang âm thì đó là cực đại và f

) đổi dấu từ âm

sang dương thì đó là cực tiểu. Ở bước này ta có thể sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra

bằng cách tính f

−

) và f

) rồi so sánh dấu của chúng.

Cách 2. Sử dụng định lí 2

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính f

(x) và giải phương trình f

(x) = 0 kí hiệu x

(i =1, 2,...) là các nghiệm

của nó.

Bước 3. Tính f

(x) từ đó tính f

). Từ đó dựa vào dấu của f

) kết luận cực trị

cụ thể nếu f

) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x

, nếu f

) < 0 thì hàm số đạt cực đại

tại x

Notes

∗) Ta chỉ nên áp dụng cách số 1 cho trường hợp hàm số y = f (x) đã cho là hàm chứa

dấu giá trị tuyệt đối, hàm chứa căn thức.

∗) Cho hàm số y = f (x) và điểm x

thuộc tập xác định. Nếu y

đổi dấu từ dương sang

âm khi qua điểm x

thì điểm đó là điểm cực đại, nếu y

đổi dấu từ âm sang dương khi qua

điểm x

thì điểm đó là điểm cực tiểu.

Ví dụ 1 (Sở GD-ĐT HCM - Cụm II). Tìm giá trị cực tiểu y

của hàm số y = x

−3x.

A. y

=−4. B. y

=2. C. y

=−2. D. y

=−1.

Lời giải. Chọn đáp án C

Vì hàm y = x

−3x không chứa căn hay giá trị tuyệt đối nên ta áp dụng cách hai ta làm như

Bước 1. Tập xác định: D =R.

Bước 2. Tính đạo hàm y

=3x

−3. Giải phương trình y

=0 ⇔3x

−3 =0 ⇔





x =1

x =−1

Bước 3. Tính đạo hàm cấp hai y

=6x ⇒







(1) =6 >0

(−1) =−6 <0

⇒







CĐ

=−1

⇒







−3.1 =−2

CĐ

=(−1)

−3.(−1) =2

Ví dụ 2 (TT Lê Hồng Phong - NĐ lần 1). Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y =

−2x

+4.

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 3

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

A. (0; 2). B. (0;−4). C. (0;4). D. (4;0).

Lời giải. Chọn đáp án C

Vì đề bài yêu cầu tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số nên ta cần tìm đủ x

CĐ

và y

CĐ

mà

hàm số y = x

−2x

+4 không chứa dấu giá tr ị tuyệt đối hay căn thức, nên áp dụng cách số hai

ta làm như sau:

∗) Tính đạo hàm cấp một y

=4x

−4x ⇒ y

=0 ⇔4x

−4x =0 ⇔







x =0

x =1

x =−1

∗) Tính đạo hàm cấp hai y

=12x

−4 ⇒







(0) =12.0

−4 =−4 <0

(±1) =12.(−1)

−4 =8 >0

⇒







CĐ

=±1

⇒ y

CĐ

−2.0

+4 =4.

Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 4).

Nhận xét: Để làm nhanh ví dụ trên ta nhớ rằng hàm số trùng phương y =ax

+bx

+c với

a 6=0 luôn có cực trị cụ thể:

∗) Nếu a >0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là M(0, c).

∗) Nếu a <0 thì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M(0, c).

Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). T ìm giá trị cực tiểu của hàm số y =−x

+3x +2.

A. 0. B. 1. C. 4. D. −1.

Lời giải. Chọn đáp án A

Vì đề bài yêu cầu tìm giá trị cực tiểu nên ta cần tìm y

∗) Tính đạo hàm y

=−3x

+3 ⇒ y

=0 ⇔−3x

+3 =0 ⇔





x =1

x =−1

∗) Tính đạo hàm cấp hai y

=−6x ⇒







(1) =−6 <0

(−1) =6 >0

⇒ y

=−(−1)

+3.(−1) +2 =0

Ví dụ 4 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II).

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−2;2] và có

đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số y = f (x) là

A. x =1.

B. M(1;−2).

C. M(−2;−4).

D. x =−2.

−1 2

−2

−4

Lời giải. Chọn đáp án B

Vì đề bài yêu cầu tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên ta phải tìm cả x

và y

. Nhìn đồ

thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x

=1 và y

=−2 ⇒ M(1;−2).

2. Bài tập tự luyện

Câu 1 (THPT Phù Cừ, Hưng Yên). Cho hàm số y =

−2x

+3x −

. Tìm tọa độ điểm cực

đại của đồ thị hàm số.

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

A. (−1; 1). B.

3;−

. C.

0;−

. D. (1;1).

Câu 2 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Hàm số y =

−3x +2 đạt cực tiểu tại

A. x =1. B. x =−3. C. x =

. D. x =0.

Câu 3 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Hàm số y = x

−5x

+3x+1 đạt cực trị tại

2 điểm nào sau đây?

A. x =1, x =3. B. x =−3, x =−1. C. x =−1, x =3. D. x =

, x =3.

Câu 4 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Hàm số y =3x

−4x

−6x

+12x+1 có bao nhiêu cực

trị?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

Câu 5 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và

có bảng biến thiên

−∞

1 2

+∞

−

−∞−∞

−5−5

+∞+∞

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x =1 và cực tiểu tại x =2.

B. Hài số đạt cực đại tại x =3.

C. Hàm số có đúng 1 cực trị.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

ĐÁP ÁN

1 - D 2 - A 3 - D 4 - A 5 - A

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 5

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

II. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn tính chất

1. Phương pháp - ví dụ

Phương Pháp Giải

Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x, m) = ax

+bx

+cx +d, (a 6=0). Tìm điều kiện của tham số

m để hàm số thỏa mãn:

TH1: Hàm số không có cực trị thì điều kiện là b

−3ac ≤0.

TH2: Hàm số có hai điểm cực trị (hoặc hàm số có cực trị) thì điều kiện là b

−3ac >0.

Bài toán 2: Cho hàm số y = f (x, m) có đạo hàm tại điểm x

. Tìm điều kiện của tham số m

để hàm số thỏa mãn:

TH1: Hàm số có cực trị tại x

thì trước tiên ta tìm m bằng cách giải f

) =0 sau đó

thay m tìm được vào phương trình f

(x, m) để tính f

) và f

−

) bằng cách sử dụng máy

tính nếu hai giá trị này trái dấu thì ta kết luận được m là giá trị cần tìm. Có thể sử dụng

điều kiện sau chỉ đúng với hàm bậc ba là







−3ac >0

) =0

TH2: Hàm số đạt cực tiểu tại x

thì điều kiện là







) =0

) >0

TH3: Hàm số đạt cực đại tại x

thì điều kiện là







) =0

) <0

Notes

∗) Nếu ở bài toán số hai ở trên mà y

) = 0 với mọi m thì đối với cả hai trường hợp

(trường hợp hai và trường hợp ba) ta cần xét thêm trường hợp y

) = 0. Đối với trường

hợp này ta cần lập bảng biến thiên hoặc sử dụng máy tính để tính đạo hàm trái và đạo

hàm phải tức tính f

−

) và f

) nếu hai giá trị này trái dấu thì ta kết luận thêm được m

là giá trị cần tìm. Cụ thể nếu kết quả của phép tính f

−

) và f

) lần lượt ra dương và

âm thì x

là cực đại, kết quả lần lượt ra âm và dương thì x

là cực tiểu.

Ví dụ 1 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y =−x

+2x

−mx +1 đạt cực đại tại x =1.

A. m =−7. B. m =1. C. m =−1. D. m =7.

Lời giải. Chọn đáp án B

Phân tích: Yêu cầu đề bài giống với bài toán số hai thuộc trường hợp ba như vậy ta làm như

∗) Đạo hàm cấp một y

=−3x

+4x −m ⇒ y

(1) =−3.1

+4.1 −m =1 −m ⇒ y

(1) =0 ⇔1 −m =

0 ⇔ m =1.

∗) Đạo hàm cấp hai y

=−6x +4 ⇒ y

(1) =−6.1 +4 =−2 <0 (thỏa mãn).

Vậy với m =1 thì hàm số đạt cực đại tại x =1.

Ví dụ 2 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

y = x

−3x

+3mx +1 có cực trị.

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

A. m <1. B. m ≥1. C. m >1. D. m ≤1.

Lời giải. Chọn đáp án A

Phân tích: Yêu cầu của đề bài rơi vào bài toán một thuộc trường hợp thứ hai ta làm như sau:

Điều kiện để hàm số có cực trị là b

−3ac >0 ⇔(−3)

−3.1.3m >0 ⇔9 −9m >0 ⇔ m <1

Nhận xét: Một vài nhận xét cho việc giải nhanh các câu hỏi:

1. Đối với hàm bậc ba y = ax

+bx

+cx +d với a 6= 0 thì điều kiện để hàm số đạt cực

trị tại x

là







) =0

−3ac >0

2. Bài toán số hai ở trên đối với TH2 và TH3 ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra

điều kiện y

) xem kết quả âm hay dương, hoặc để cho có kết quả nhanh trước tiên ta

tính đạo hàm cấp một y

sau đó sử dụng máy tính để chọn đáp án đúng nhất bằng chức

năng r của CASIO.

3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax

+bx

cx +d với a 6=0 là y =

−

.x +d −

Ví dụ 3 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Cho hàm số y =

−

(

3m −2

)

x + m. Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x =1.

A. m =−1. B. m =2. C. m =1. D. m =−2.

Lời giải. Chọn đáp án B

Phân tích: Sử dụng nhận xét hai trước tiên ta tính đạo hàm cấp một y

= x

−(m

+1)x +3m −2

sau đó dùng CASIO ta tìm đáp án đúng như sau:

Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị

Bước 1. Nhập hàm y

= x

−(m

+1)x+3m−2 vào máy tính

CASIO.

Bước 2. Thử đáp án nếu đáp án bằng cách nhấn r ở

đây đề bài yêu cầu hàm số đạt cực đại tại x =1 nên ta gán

x =1 vào bằng cách tiếp tục nhấn 1 = tiếp tục gán giá

trị m nào cho kết quả là 0 thì tạm chấp nhận

Đáp án A gán m =−1 được kết quả −6 6=0 ⇒ loại

Đáp án B gán m = 2 được kết quả 0 ⇒ như vậy tạm

chấp nhận đáp án này.

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 7

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Để khẳng định xem đáp án B có chính xác hay không ta

tiếp tục tính f

−

) và f

) ở đây đề bài yêu cầu cực đại

tại x = 1 nên ta chú ý là kết quả của f

−

) phải ra dương

và kết quả của f

) phải ra âm tính bằng cách:

T ính f

−

) ta gán x = 1 −10

−8

và gán m = 2 bằng

cách nhấn = 1 p 1 0 ; p 8 = 2 =

được kết quả 3.10

−8

T ính f

) ta gán x = 1 +10

−8

và vẫn gán m = 2

bằng cách tiếp tục nhấn = 1 + 1 0 ; p

8 =2= được kết quả −3.10

−8

<0.

Vậy m =2 thỏa mãn mà f

−

) dương và f

) âm ta chọn

đáp án này.

Nhận xét: Cách làm bằng máy tính CASIO tương tự như ví dụ trên cũng được áp dụng

trong các hàm y = f (x, m) khác chỉ cần chú ý rằng nếu f

−

) và f

) trái dấu thì hàm sẽ

đạt cực trị tại x

. Cụ thể ta gán như sau







−

= x

−10

−8

= x

+10

−8

Ví dụ 4 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Hàm số y = x

−3x

+ mx −1 có hai

điểm cực trị x

, x

thỏa mãn x

=3. Giá trị của tham số m là

A. −3. B. −

. C.

. D. 3.

Lời giải. Chọn đáp án C

Phân tích: Đối với dạng này ta cần sử dụng định lí vi-ét và nhớ rằng x

, x

là nghiệm của

phương trình y

=0.

Cách 1: Ta có thể sử dụng CASIO để thử đáp án.

Cách 2: Để hàm số có hai điểm cực trị thì b

−3ac >0 ⇔(−3)

−3.1.m >0 ⇔ m <3.

Có y

=3x

−6x +m ⇒ y

=0 ⇔3x

−6x +m =0 theo vi-ét ta có











=−

−6

Điều kiện

đề bài x

=3 ⇔(x

)

−2.x

=3 ⇒2

−2.

=3 ⇒ m =

2. Bài tập tự luyện

Câu 1 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y = x

−2mx

x +2 đạt cực tiểu tại x =1.

A. m =1. B. m =3. C. m =1 ∨m =3. D. m =−1.

Câu 2 (THPT Thực hành Cao Nguyên, Đắk Lắk, lần 2). Hàm số y = x

+mx+2 có cực đại

và cực tiểu khi

A. m <0. B. m >0. C. m ≤0. D. m ≥0.

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

Câu 3 (HK2 THPT YÊN VIÊN). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

−3mx

+(2m +1)x −2 đạt cực trị tại x =1.

A. m =1. B. m =−1. C. m =2. D. Không tồn tại m.

Câu 4 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

y = x

−3mx

+6mx +m có 2 điểm cực trị.

A. 0 < m <2. B.





m <0

m >2

. C. −2 < m <0. D.





m <−2

m >0

Câu 5 (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số y = x

−mx +3 không có cực trị.

A. m <0. B. m >0. C. m =0. D. m ≤0.

Câu 6 (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3). Nếu x =−1 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

f (x) =−x

+2(2m −1)x

−(m

+8)x +2 thì giá trị của m là

A. m =−7. B. m =−1. C. Không có m. D. m =−1, m =−7.

Câu 7 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho

hàm số y =

−mx

−x +m +1 có hai điểm cực trị x

, x

thỏa mãn x

+4x

=2.

A. m =0. B. m =2. C. m =3, m =−3. D. m =1, m =−1.

ĐÁP ÁN

1 - A 2 - A 3 - D 4 - B 5 - D 6 - C 7 - D

3. Hàm trùng phương y = ax

+bx

Đối với hàm số trùng phương y = ax

+bx

+c ⇒ y

= 4ax

+2bx với a 6= 0 ta có một số kết quả

Hàm số có một cực trị là A(0; c) nếu ab ≥0 Hàm số có ba cực trị nếu ab <0

a > 0 có một cực tiểu

là A(0; c)

a < 0 có một cực đại

là A(0; c)

a > 0 có một cực đại

là A(0; c) và hai cực

tiểu

a < 0 có hai cực đại

và một cực tiểu là

A(0; c)

Nếu hàm số có ba cực trị thì ba cực trị là A(0; c), B

−

;−

∆

, C

−

;−

∆

⇒ AB = AC =

16a

−

, BC =2

−

với ∆ = b

−4ac

Phương tình qua điểm cực trị BC : y =−

∆

và AB, AC : y =±

−

x +c

Gọi



BAC =α, luôn có 8a

(

1 +cosα

)

(

1 −cosα

)

=0 ⇒cosα =

+8a

−8a

và S

∆ABC

=−

32a

Một số công thức giải nhanh: Nếu hàm số y =ax

+bx

+c có ba cực trị A(0; c), B

−

;−

∆

−

;−

∆

tạo thành một tam giác thỏa mãn dữ kiện:

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 9

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

STT Dữ Kiện Công Thức

Vì hàm số có ba cực trị nên trong trường hợp này ta luôn chú ý ab <0

1 Tam giác ABC vuông tại A hoặc tam giác ABC cân tại A 8a +b

2 Tam giác ABC đều 24a +b

3 Tam giác ABC có góc



BAC =α 8a +b

.tan

4 Tam giác ABC có diện tích S

∆ABC

32a

)

5 Tam giác ABC có diện tích max(S

) S

−

32a

6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r

∆ABC

4|a|





1 +

1 −





7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m

+2b =0

8 Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n

16a

−b

+8ab =0

9 Tam giác ABC có cực trị B,C ∈Ox b

−4ac =0

10 Tam giác ABC có ba góc nhọn b(8a +b

) >0

11 Tam giác ABC có trọng tâm O b

−6ac =0

12 Tam giác ABC có trực tâm O b

+8a −4ac =0

13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

R =

−8a

8|a| b

14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b

−2ac =0

15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b

−8a −4abc =0

16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b

−8a −8abc =0

17 Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b

−8a(k

−4) =0

18 Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện

tích bằng nhau

2|ac|

19 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b

−8ac =0

Ví dụ 1 (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội-Lần 3). Cho hàm số f (x) = x

−2x

+3. Tính diện

tích S của tam giác có ba đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. S =2. B. S =1. C. S =4. D. S =

Lời giải. Chọn đáp án B

Phân tích: Ở đây đề yêu cầu là tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của

đồ thị hàm số trùng phương nên ta áp dụng công thức tính nhanh ở trên là S

= −

32a

áp

dụng vào bài ta được:

Hàm số f (x) = x

−2x

+3 ⇒







a =1

b =−2

⇒ S

=−

32a

=−

(−2)

32.1

=1.

Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hàm số y = x

−mx

, với m là tham

số. T ìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m =−2. B. m =2. C. m =2

3. D. m =−2

Lời giải. Chọn đáp án B

Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất

Phân tích: Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông thì rơi vào trường hợp số 1 trong bảng

trên tức điều kiện là







ab <0

8a +b

áp dụng vào bài ta có:

Hàm số y = x

−mx

có







a =1

b =−m

⇒







ab <0

8a +b

⇔







m >0

8.1 −m

⇒ m =2

4. Bài tập tự luyện

Câu 1 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp). Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. y =

. B. y =−x

−3x

+4 . C. y = x

−6x

+9x −5 . D. y =2x

−4x

+1 .

Câu 2 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x

−6x

+5.

3,0

và

−

3,0

. B.

3,4

và

−

3,4

C. (0,5). D.

3,−4

và

−

3,−4

Câu 3 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của

hàm số y = x

−2mx

+1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn

ngoại tiếp bằng 1.

A. m =

−1 +

. B. m =1; m =

−1 −

. C. m =1. D. m =1; m =

−1 +

Câu 4 (Sở GD-ĐT HCM-Cụm 6). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm

số y = x

+2mx

+4 có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ.

A. m =2. B. m =−2 hoặc m =2.

C. Không có giá trị m nào. D. m =−2.

Câu 5 (Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Cho hàm số y = x

−2mx

+2m +m

. Tìm giá trị m để đồ thị

hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích

bằng 4.

A. m =16. B. m =

16. C.

16. D. −

16.

ĐÁP ÁN

1 - D 2 - D 3 - C 4 - D 5 - B

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 11

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

HÀM SỐ

Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

ã Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu

f (x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x

thuộc D sao cho f (x

) = M. Kí hiệu là

M =max

f (x).

ã Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu f (x) ≥

m với mọi x thuộc D và tồn tại x

thuộc D sao cho f (x

) = m. Kí hiệu m =min

f (x).

Định lý 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì tồn tại giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

I. Quy tắc tìm giá tr ị lớn nhất nhỏ nhất

Phương Pháp Giải

Bài toán: Cho hàm số y = f (x), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [a; b].

Bước 1. Tìm các điểm x

, x

,..., x

trên khoảng (a; b) mà tại đó f

(x) = 0

hoặc f

(x) không xác định.

Bước 2. Tính f ( a), f (x

), f (x

),..., f (x

), f (b).

Bước 3. Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số trên thì đó lần lượt là giá

tr ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ 1 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x

−

−8x trên đoạn [1;3].

A. max

[1;3]

y =

176

. B. max

[1;3]

y =−4. C. max

[1;3]

y =−6. D. max

[1;3]

y =−8.

Lời giải. Chọn đáp án C

Phương pháp tự luận:

Bước 1. Có y

=3x

−2x −8 ⇒ y

=0 ⇔3x

−2x −8 =0 ⇔







x =2

x =−

∉[1; 3]

Bước 2. Tính f (1) =1

−1

−8.1 =−8, tương tự ta có f (2) =−12, f (3) =−6.

Bước 3. So sánh các số ở bước hai ta thấy min

[1;3]

y =−12 và max

[1;3]

y =−6

Phương pháp sử dụng CASIO:

Ta sử dụng chức năng table của máy tính CASIO như sau: Để vào được chức năng này

nhấn w 7 sau đó nhập hàm y = x

−x

−8x vào máy tính rồi cho Start? bằng 1 rồi

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 1

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

nhấn = cho End? bằng 3 rồi nhấn = cho Step? bằng 0,5 (thường cho giá trị này bằng

0,5 trong một số trường hợp ta cho bằng 0, 2, 0,3...) rồi nhấn = máy sẽ cho một bảng

ta so sánh xem giá trị nào lớn nhất trong bảng thì đó là giá trị lớn nhất của hàm số và

giá trị nào nhỏ nhất trong

bảng thì đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Nhìn bảng ta thấy giá trị lớn nhất là −6 vậy max

[1;3]

y =

−6

Ví dụ 2 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x

+2x

−1 trên đoạn [−1; 2] là

A. −1. B. 2. C. 1. D. −2.

Lời giải. Chọn đáp án A

Phương pháp tự luận:

Bước 1. Có y

=4x

+4x ⇒ y

=0 ⇔4x

+4x =0 ⇔ x =0.

Bước 2. Tính y(−1) =(−1)

+2(−1)

−1 =2, y(0) =−1, y(2) =23.

Bước 3. So sánh các số vừa tính được ở trên ta thấy min

[−1;2]

y =−1.

Phương pháp sử dụng CASIO:

Nhấn liên tiếp các bước như sau: w 7 Q [

; 4 $ + 2 Q [ d p 1 = p

1 = 2 = 0 . 2 = $ sau đó tra

bảng ta thấy giá trị nhỏ nhất là −1 vậy min

[−1;2]

y =−1

Nhận xét:

∗) Ở đây Thầy cho Step? (bước nhảy) bằng 0,2 như vậy tùy bài em sẽ cho

Step? với giá trị là bao nhiêu (thường là 0, 2, 0,3, 0,5) lưu ý rằng bảng này chỉ tính

được 20 giá trị.

∗) Nếu đề bài không cho tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trên đoạn [a; b] thì ta

cần tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của nó trên tập xác định.

Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 2). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số f (x) = x +

4 −x

. Tính M −m.

A. M −m =2

2. B. M −m =2

2 −2. C. M −m =4. D. M −m =2

2 +2.

Lời giải. Chọn đáp án D

Phương pháp tự luận: Vì yêu cầu đề bài không có đoạn [a; b] nên ta sẽ tìm tập xác

định của hàm số trước rồi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định:

Bước 1. Tìm tập xác định: 4 −x

≥0 ⇒−2 ≤ x ≤2. Vậy ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [−2; 2]. Có y

=1 −

4 −x

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

⇒ y

=0 ⇔1 −

4 −x

=0 ⇔

4 −x

−x

4 −x

=0 ⇒

4 −x

−x =0 ⇔

4 −x

= x

⇔

(

x ≥0

4 −x

= x

⇔

(

x ≥0

⇔

(

x ≥0

x =±

⇒ x =

Bước 2. Tính y(−2) =−2 +

4 −(−2)

=−2 tương tự ta có y(

2) =2

2, y(2) =2.

Bước 3. So sánh các số vừa tính được ta thấy

(

M =max y =2

m =min y =−2

⇒ M −m =2

2+2.

Phương pháp sử dụng CASIO: Với phương pháp này ta vẫn cần phải tìm điều kiện

xác định của hàm số làm tương tự như trên ta có điều kiện xác định là [−2;2] ta sẽ tìm

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn này ta vẫn sử dụng chức năng w 7 như

trên và cho Step? bằng 0.5 được kết quả như sau:

Giá trị nhỏ nhất là m =min y =−2

Giá trị lớn nhất là M =max y =2, 8228 ≈2

Vậy M −m =2

2 +2

II. Mối liên hệ giữa f’(x) và f(x)

Ví dụ 1 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội).

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R, đồ thị của hàm số y = f

(x) có

dạng như hình vẽ bên. Số nào lớn nhất trong các số sau f (0), f (1),

f (2), f (3)?

A. f (1). B. f (2). C. f (3). D. f (0).

1 2 3

y = f

(x)

Lời giải. Chọn đáp án A

Để so sánh các số f (0), f (1), f (2), f (3) ta cần lập bảng biến thiên của hàm số ban đầu

y = f (x) mà để lập được bảng biến thiên ta cần biết dấu của hàm số f

(x) và những điểm

mà f

(x) =0 nhìn vào đồ thị ta thấy f

(x) =0 ⇔

x =1

x =3

Bảng biến thiên:

(x)

f (x)

−∞

+∞

−

f (1)f (1)

f (3)f (3)

f (2)

f (0)

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 3

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Để lập được bảng biến thiên như trên ta quan sát đồ thị của hàm số y = f

(x) thấy rằng:

∗) Từ (−∞; 1) hàm số f

(x) nằm phía trên trục hoành do đó mang dấu dương.

∗) Từ (1; 3) hàm số f

(x) nằm phía dưới trục hoành do đó mang dấu âm.

∗) Từ (3; +∞) hàm số f

(x) nằm phía trên trục hoành do đó mang dấu dương.

Như vậy nhìn vào bảng biến thiên ta thấy số lớn nhất trong các số f (0), f (1), f (2), f (3)

là số ở vị trí cao nhất f (1).

Ví dụ 2 (THPT Quốc Học, Quy Nhơn).

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f

(x) cũng liên tục

trên R. Hình bên là đồ thị của hàm số f

(x) trên đoạn [−5;4]. Trong các

khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. min

x∈[−5;4]

f (x) = f (−5). B. min

x∈[−5;4]

f (x) = f (−4).

C. min

x∈[−5;4]

f (x) = f (1). D. min

x∈[−5;4]

f (x) = f (4).

−4 1

−5

Lời giải. Chọn đáp án B

Bảng biến thiên của hàm số y = f (x)

(x)

f (x)

−∞

−4 1

+∞

−

f (−4)f (−4)

f (1)f (1)

−5

f (−5)

f (4)

Nhìn bảng biến thiên ta thấy

(

f (−5) > f (−4)

f (1) > f (4)

vậy để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [−5; 4] ta chỉ cần so sánh f (−4) và f (4).

Gọi S

, S

lần lượt là diên tích tạo bởi đồ thị của hàm số y = f

(x) và trục Ox trên các

đoạn [−4;1], [1; 4]. Từ đồ thị, ta thấy S

Suy ra

−4

(x) dx >−

(x) dx ⇔

−4

(x) dx +

(x) dx >0 ⇔

−4

(x) dx >0.

Vậy f (4) > f (−4). Do đó min

x∈[−5;4]

f (x) = f (−4).

Nhận xét: Như vậy đối với dạng toán cho đồ thị của hàm số y = f

(x) rồi yêu cầu

tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thì trước tiên từ đồ thị ta lập bảng biến thiên của

hàm số y = f (x) sau đó nếu chưa so sánh được ta cần dựa vào ứng dụng của tích

phân so sánh diện tích hai hình trên đồ thị.

Ví dụ 3 (THPT Hải An-Hải Phòng).

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f

(x) liên tục trên R

và đồ thị của hàm số f

(x) trên đoạn

[

−2;6

]

như hình

vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định

A. max

[

−2;6

]

f (x) = f (2). B. max

[

−2;6

]

f (x) = f (−1).

C. max

[

−2;6

]

f (x) = f (6). D. max

[

−2;6

]

f (x) = f (−2).

2 4

−1−2

Lời giải. Chọn đáp án C

Từ đồ thị của f

(x) ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau:

−2 −1 2

−

f (−2)f (−2)

f (−1)f (−1)

f (2)f (2)

f (6)f (6)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy











f (−1) > f (−2)

f (−1) > f (2)

f (6) > f (2)

Do vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị

lớn nhất tại x =−1 hoặc x =6.

Gọi S

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f

(x), trục Ox với −1 ≤ x ≤2 và S

là

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f

(x), trục Ox với 2 ≤ x ≤6.

Nhìn vào đồ thị ta thấy S

⇐⇒−

−1

(x)dx <

(x)dx =⇒ f (−1) < f (6). Vậy max

[

−2;6

]

f (x) =

f (6).

III. Bài tập tự luyện

Câu 1 (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Tìm giá trị lớn nhất của hàm

số y = x

+3x

−9x +7 trên đoạn

[

−2;2

]

A. max

[

−2;2

]

y =29. B. max

[

−2;2

]

y =9. C. max

[

−2;2

]

y =5. D. max

[

−2;2

]

y =34.

Câu 2 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 317). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của hàm số y =

x −1

2x +1

trên đoạn [1; 3]. Tính S = m +M.

A. S =

. B. S =−

. C. S =3. D. S =4.

Câu 3 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

+2x

−1 trên đoạn [−1; 2].

A. −1. B. 2. C. 1. D. −2.

Câu 4 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp).

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 5

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Cho hàm số y = f

(

)

xác định, liên tục trên

−1;

và có đồ thị là

đường cong như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m

của hàm số f

(

)

trên

−1;

là

A. M =4, m =1 . B. M =

, m =−1 .

C. M =4, m =−1 . D. M =

, m =−1 .

−1

Câu 5 (Sở GD & ĐT Phú Yên). Biết hàm số f (x) =

−2x

+1 đạt giá trị nhỏ nhất

trên đoạn [−1; 3] tại điểm x

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x

=0. B. x

=±2. C. x

=−3. D. x =2.

Câu 6 (Sở GD và ĐT TP.HCM,CỤM I). Cho hàm số f (x) = x

−3x

+7x +2017. Gọi M

là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[

0;2017

]

. Khi đó, phương trình f (x) = M có tất

cả bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Câu 7 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V). Tìm giá trị điểm cực tiểu của hàm số y =

−x

+6x

+15x +10.

A. 5. B. 110. C. 2. D. −1.

Câu 8 (SGD BẮC GIANG). Cho hàm số y = x +

1 −x

. Gọi M, m lần lượt là giá tr ị

lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Giá trị của biểu thức 49M

−m

bằng

A. 96. B. 97. C. 95. D. 94.

Câu 9 (Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =

−2x +5

trên đoạn [−1; 3].

A. 2. B. 2

3. C.

. D. 2

Câu 10 (Tạp chí THTT, lần 9). Giá trị lớn nhất của hàm số y =

2x −x

trên đoạn

là

A. 0. B. 1. C. 2. D.

Câu 11 (Tạp chí THTT, lần 9). Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của

hàm số f (x) = |x

+3x

−72x +90| trên đoạn [−5; 5]. Khi đó tổng M +m có giá trị là một

số thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (369; 471). B. (313;315). C. (149; 151). D. (−6;10).

Câu 12 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

x −m

x +1

trên [0;1].

A. max

[

0;1

]

y =

1 +m

. B. max

[

0;1

]

y =

1 −m

. C. max

[

0;1

]

y = m

. D. max

[

0;1

]

y =−m

Câu 13 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x

−3x +2 trên

đoạn

[

−1;2

]

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

A. max

[

−1;2

]

f (x) =−2. B. max

[

−1;2

]

f (x) =0. C. max

[

−1;2

]

f (x) =4. D. max

[

−1;2

]

f (x) =2.

Câu 14 (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH, LẦN 4). Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các

giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y =

−2x +m

trên

[

−1;2

]

bằng 5.

A. (−5; −2) ∪(0;3). B. (0;+∞). C. (−6; −3) ∪(0;2). D. (−4;3).

Câu 15 (Sở GD và ĐT Gia Lai).

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Biết rằng đồ thị của hàm số

y = f

(x) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a, b, c như

hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. f (c) > f (a) > f (b). B. f (a) > f (c) > f (b).

C. f (b) > f (a) > f (c). D. f (c) > f (b) > f (a).

Câu 16 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Biết giá trị lớn nhất của hàm số y =−x

+4x−m

trên đoạn [−1; 3] là 10. Khi đó, giá trị m là bao nhiêu?

A. 3. B. −15. C. −6. D. −7.

Câu 17 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x −1

trên

đoạn [2;4].

A. min

[2;4]

y =−2. B. min

[2;4]

y =6. C. min

[2;4]

y =−3. D. min

[2;4]

y =

Câu 18 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1).

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn

[−2;2], có đồ thị của hàm số y = f

(x) như hình vẽ. Tìm

giá tr ị x

để hàm số y = f (x) đạt giá trị lớn nhất trên

đoạn [−2;2].

A. x

=1. B. x

=−1. C. x

=−2. D. x

=2.

−2 −1 1 2

Câu 19 (THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3).

Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn 0 < a < b < c < d và hàm số

y = f (x). Biết hàm số y = f

(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tr ị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)

trên [0; d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. M +m = f (0) + f (c). B. M +m = f (d) + f (c).

C. M +m = f (b) + f (a). D. M +m = f (0) + f ( a).

ĐÁP ÁN

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 7

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

1 A

2 A

3 A

4 C

6 C

7 C

8 B

9 A

10 B

11 A

12 B

13 C

14 A

15 A

16 C

17 B

18 A

19 A

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Kiến Thức Cần Nhớ

Định nghĩa: Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f (x), khi đó:

ã Tiệm cận đứng: Nếu có một trong các điều kiện lim

x→x

f (x) = +∞, hoặc

lim

x→x

f (x) =−∞, hoặc lim

x→x

−

f (x) =−∞, hoặc lim

x→x

−

f (x) =−∞ thỏa mãn thì đường thẳng

x = x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C).

ã Tiệm cận ngang: Nếu có một trong các điều kiện lim

x→+∞

f (x) = y

hoặc

lim

x→−∞

f (x) = y

thì đường thẳng y = y

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C).

I. Tìm tiệm cận ngang - tiệm cận đứng

Phương Pháp Giải

Bài toán: Cho hàm số y = f (x) =

P(x)

Q(x)

tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số.

∗) Tiệm cận đứng: Ta sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng như sau:

Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình Q(x) =0 giả sử được các

nghiệm là x

, x

,...

Bước 2. Thay các nghiệm x

, x

,... ở trên vào tử tức thay x

vào P(x) được P(x

)

nếu kết quả ra một số khác 0 thì x = x

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, nếu

kết quả ra 0 hoặc không xác định thì x = x

không phải là tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số.

∗) Tiệm cận ngang: Ta vẫn sử dụng định nghĩa của tiệm cận ngang như sau:

Bước 1. Tính lim

x→+∞

f (x) và lim

x→−∞

f (x).

Bước 2. So sánh kết quả nếu lim

x→+∞

f (x) ra kết quả là một số hữu hạn tức y

thì hàm số có tiệm cận ngang là y = y

tương tự đối với trường hợp lim

x→−∞

f (x), ngược

lại nếu ra kết quả là ±∞ thì hàm số không có tiệm cận ngang.

Notes

Nếu ở cách tìm tiệm cận đứng trên bước 1 ta giải ra nghiệm x = x

bội n với n ≥2 thì

ta cần sử dụng máy tính CASIO để tính giới hạn lim

x→x

P(x)

Q(x)

nếu kết quả ra vô cùng

thì x = x

là tiệm cận đứng và kết quả ra một số hữu hạn thì x = x

không là tiệm

cận đứng. Hoặc ta có thể tìm tiệm cận đứng bằng cách như sau:

Giải phương trình mẫu Q(x) = 0 được các nghiệm là x

sau đó ta tính giới hạn

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 9

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

lim

x→x

P(x)

Q(x)

nếu kết quả ra vô cùng thì x = x

là tiệm cận đứng nếu kết quả ra một số

hữu hạn thì x = x

không là tiệm cận đứng.

Ví dụ 1 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

2 −x

x +2

có

phương trình là

A. x =−2. B. y =2. C. y =−1. D. x =−1.

Lời giải. Chọn đáp án A

Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x +2 =0 ⇒ x =−2.

Bước 2. Thay x =−2 vào tử số tức thay vào 2 −x ta được kết quả là 4 6=0.

Vậy x =−2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Lâm Đồng - Học kì 2). Đường thẳng nào dưới đây là tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số y =

x −1

A. x =−1. B. y =1. C. x =1. D. y =0.

Lời giải. Chọn đáp án D

Bước 1. Tính giới hạn lim

x→+∞

x −1

=0 và lim

x→−∞

x −1

=0.

Bước 2. So sánh kết quả vì hai giá trị lim

x→+∞

f (x) và lim

x→−∞

f (x) đều ra một số hữu

hạn nên ta có y =0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ 3 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y =

7 −x

(

x −2

)(

x −3

)

A. x =−2, x =−3. B. y =2, y =3. C. x =2, x =3. D. y =−2, y =−3.

Lời giải. Chọn đáp án C

Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình (x −2)(x −3) =0 ⇔

x =2

x =3

Bước 2. Thay

(

x =2

x =3

vào tử số tức thay vào 7 −x

ta được:

- Với x =2 ⇒7 −x

=3 6=0 ⇒ x =2 là tiệm cận đứng.

- Với x =3 ⇒7 −x

=−2 6=0 ⇒ x =3 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x =2 và x =3.

Ví dụ 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3). Tìm đường tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số y =

2 −x

9 −x

A. x =0. B. y =1. C. y =0. D. Không có.

Lời giải. Chọn đáp án C

Bước 1. Tính giới hạn lim

x→+∞

2 −x

9 −x

=0 và lim

x→−∞

2 −x

9 −x

=0.

Bước 2. So sánh kết quả vì hai giá trị lim

x→+∞

f (x) và lim

x→−∞

f (x) đều ra một số hữu

hạn là 0 nên ta có y =0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Nhận xét: Đồ thị hàm số y =

ax +b

cx +d

có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −

và

tiệm cận ngang là đường thẳng x =

Ví dụ 5 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Đồ thị hàm số y =

1 −x

2x +1

có tất cả bao

nhiêu đường tiệm cận?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.

Lời giải. Chọn đáp án A

Sử dụng nhận xét trên ta có đồ thị hàm số y =

1 −x

2x +1

−x +1

2x +1

⇒











a =−1

b =1

c =2

d =1

có tiệm cận

đứng là đường thẳng x =−

=−

và tiệm cận ngang là đường thẳng y =

−1

=−

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Ví dụ 6 (THPT Bắc Duyên Hà, Thái Bình, lần 2). Đồ thị hàm số y =

−3|x|−4

có

bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.

Lời giải. Chọn đáp án D

Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x

−3|x|−4 = 0 ta xét hai

trường hợp như sau:

TH1: x ≥0 ⇒|x|= x ⇒ x

−3|x|−4 =0 ⇔ x

−3x −4 =0 ⇔

x =4

x =−1 <0

⇒ x =4.

TH2: x <0 ⇒|x|=−x ⇒ x

−3|x|−4 =0 ⇒ x

+3x −4 =0 ⇔

x =1

x =−4 <0

⇒ x =1.

Vậy phương tr ình x

−3|x|−4 =0 có hai nghiệm là

(

x =4

x =1

Bước 2. Thay

(

x =4

x =1

vào tử tức thay vào x

+1 ta được:

- Với x =4 ⇒ x

+1 =17 6=0 ⇒ x =4 là tiệm cận đứng.

- Với x =1 ⇒ x

+1 =2 6=0 ⇒ x =1 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x =4 và x =1.

Ví dụ 7 (Sở GD và ĐT Lâm Đồng (HKII)). Đồ thị hàm số y =

4 −x

−3x −4

có bao nhiêu

đường tiệm cận?

A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.

Lời giải. Chọn đáp án B

Tiệm cận đứng:

Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x

−3x −4 =0 ⇔

x =−1

x =4

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 11

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Bước 2. Thay

x =−1

x =4

vào tử tức thay vào

4 −x

ta được:

- Với x =−1 ⇒

4 −x

3 6=0 ⇒ x =−1 là tiệm cận đứng.

- Với x =4 ⇒

4 −x

4 −4

−12 không xác định do đó đường thẳng x =4

không là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x =−1.

Tiệm cận ngang: Tính giới hạn lim

x→+∞

4 −x

−3x −4

và lim

x→−∞

4 −x

−3x −4

ta thấy hai giới

hạn này đều không xác định tức không tồn tại hai giới hạn này nên đồ thị hàm số đã

cho không có tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận là x =−1.

Nhận xét: Trong một số trường hợp để làm nhanh cách tìm tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số chứa căn thức ta trước tiên có thể tìm tập xác định

của hàm số rồi áp dụng phương pháp trên thì sẽ loại được những giá trị không cần

thiết.

Áp dụng vào bài này ta có điều kiện xác định của hàm số là 4 −x

≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2

nên ta loại luôn trường hợp x = 4 và không cần tính hai giới hạn lim

x→+∞

4 −x

−3x −4

và

lim

x→−∞

4 −x

−3x −4

vì ở đây x →±∞ không thỏa mãn −2 ≤ x ≤2.

II. Tìm tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Ví dụ 1 (THPT Quốc Thái, An Giang). Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên

tập R\{1} và có bảng biến thiên như hình vẽ.

−∞

+∞

− −

−1−1

−∞

+∞

Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x).

A. y =−1, y =3. B. y =−1, y =1. C. y =0, y =1. D. y =1, y =3.

Lời giải. Chọn đáp án A

Tiệm cận đứng: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi x tiến tới 1 từ vế trái tức khi

x →1

−

thì hàm số y nhận giá trị −∞ điều này có nghĩa là lim

x→1

−

f (x) =−∞⇒ x =1 là tiệm

cận đứng.

Tiệm cận ngang: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

- Khi x → −∞ thì giá trị của y tiến đến −1 điều này có nghĩa là lim

x→−∞

f (x) = −1 ⇒

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 12

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

y =−1 là tiệm cận ngang.

- Khi x →+∞ thì giá trị của y tiến đến 3 điều này có nghĩa là lim

x→+∞

f (x) =3 ⇒ y =3

là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận ngang là y =−1 và y =3.

Nhận xét: Như vậy để làm được dạng toán này ta cần nhớ lại định nghĩa của tiệm

cận ở phần kiến thức cần nhớ trên ngoài ra ta có thể hiểu một cách đơn giản như

ã Tiệm cận đứng: Khi x tiến đến x

từ bên trái hoặc từ bên phải thì y tiến

đến vô cùng thì x = x

là tiệm cận đứng.

ã Tiệm cận ngang: Khi x tiến đến −∞ hoặc x tiến đến +∞ thì y tiến đến

một số y

thì y = y

là tiệm cận ngang.

∗) Tóm lại tiệm cận đứng có thể hiểu là x tiến đến một số, y tiến đến vô cùng.

tiệm cận ngang có thể hiểu là x tiến đến vô cùng, y tiến đến một số.

Ví dụ 2 (Chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ). Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên

như bảng dưới đây.

(x)

f (x)

−∞

−1

+∞

−

−1−1

−∞

+∞

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Đồ thị của hàm số f (x) có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

B. Đồ thị của hàm số f (x ) không có tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

C. Đồ thị của hàm số f (x ) có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị của hàm số f (x ) có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

Lời giải. Chọn đáp án D

Tiệm cận đứng: Quan sát bảng biến thiên ta thấy x tiến đến −1 thì y tiến đến vô

cùng nên x =−1 là tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang: Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

- Khi x tiến đến −∞ thì y tiến đến −1 nên y =−1 là tiệm cận ngang.

- Khi x tiến đến +∞ thì y tiến đến 1 nên y =1 là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x =−1 và hai tiệm cận ngang là

(

y =−1

y =1

III. Tìm m để hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện

Phương Pháp Giải

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 13

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Bài toán: Cho hàm số y = f (x, m) =

P(x)

Q(x)

tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để đồ thị hàm số có a tiệm cận đứng (hoặc a tiệm cận ngang, hoặc a tiệm cận nói

chung).

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của tử P(x) và mẫu Q(x).

Bước 2. Ta nhớ lại cách tìm tiệm cận để giải quyết bài toán này:

TH1. Có a tiệm cận đứng thì phương trình ở mẫu Q(x) = 0 phải có a nghiệm

trong đó a nghiệm này phải thuộc điều kiện xác định ở bước một và không là

nghiệm của tử.

TH2. Có a tiệm cận ngang thì các giới hạn







lim

x→+∞

f (x)

lim

x→−∞

f (x)

phải ra a số hữu hạn.

TH3. Có a tiệm cận thì ta cần tính cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đã

xét ở trên.

Ví dụ 1 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để đồ thị hàm số y =

+x −2

−2x +m

có hai đường tiệm cận đứng.

A. m ∈

(

−8;1

)

. B. m ∈

(

−∞;−8

)

∪

(

−8;1

)

C. m ∈

(

−∞;−1

)

. D. m ∈

(

−∞;1

)

Lời giải. Chọn đáp án B

Phân tích: Bài toán rơi vào trường hợp số 1. Vì yêu cầu đề bài cần có hai tiệm cận

đứng nên phương trình ở mẫu cần có hai nghiệm thuộc tập xác định của cả tử và mẫu

mà hai nghiệm này phải khác nghiệm của tử nên ta làm như sau:

Bước 1. Điều kiện xác định của tử x

+x −2 và mẫu x

−2x +m là x ∈R.

Bước 2. Yêu cầu đề bài có hai tiệm cận đứng nên phương trình ở mẫu x

−2x+m =0

phải có hai nghiệm phân biệt khi đó ∆

=1 −m >0 ⇒ m <1.

Hai nghiệm này phải khác nghiệm của phương trình tử mà phương trình tử là

+x −2 =0 ⇒

x =1

x =−2

⇒ phương trình mẫu x

−2x +m =0 phải có hai nghiệm

(

x 6=1

x 6=−2

⇒

(

−2.1 +m 6=0

(−2)

−2.(−2) +m 6=0

⇒

(

m 6=1

m 6=−8

Vậy với

(

m <1

m 6=−8

hay m ∈ (−∞;−8) ∪(−8;1) thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận

đứng.

Ví dụ 2 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội). Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để

đồ thị hàm số y =

x −1

x(x +m)

có đúng hai đường tiệm cận.

A. {−1; 0}. B. {1}. C. R\{1}. D. R\{−1}.

Lời giải. Chọn đáp án A

Phân tích: Đề bài yêu cầu đồ thị hàm số chỉ có đúng hai tiệm cận như vậy tổng số

tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chỉ là hai.

Điều kiện xác định: x ∈R.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 14

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Tiệm cận ngang: Ta tính hai giới hạn







lim

x→+∞

f (x)

lim

x→−∞

f (x)

tức tính











lim

x→+∞

x −1

x(x +m)

lim

x→−∞

x −1

x(x +m)

. Như

vậy cả hai giới hạn này chỉ cho một kết quả hữu hạn là y =0 nên đồ thị hàm số luôn có

một tiệm cận ngang. Do đó để đồ thị hàm số có hai tiệm cận thì ta chỉ tìm điều kiện để

đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.

Tiệm cận đứng: Ta xét phương trình ở mẫu x(x −m) =0 ⇒

x =0

x =−m

. Nghiệm của tử là

x −1 = 0 ⇒ x = 1. Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng thì hoặc phương trình ở mẫu

chỉ có một nghiệm khác nghiệm của tử hoặc phương trình ở mẫu có hai nghiệm mà

một nghiệm trùng với nghiệm của tử. Rõ ràng x = 0 là nghiệm của mẫu khác nghiệm

của tử nên ta xét nghiệm còn lại x = −m ở đây nghiệm này trùng với nghiệm tử khi

−m = 1 ⇒ m = −1, mặt khác để phương trình ở mẫu có duy nhất một nghiệm thì hai

nghiệm

x =0

x =−m

phải trùng nhau khi đó m =0.

Vậy với

m =−1

m =0

thì đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có nhận xét số tiệm cận đứng là số nghiệm của mẫu

(nghiệm này thuộc tập xác định của tử) mà không phải là nghiệm của tử, số tiệm

cận ngang là số kết quả hữu hạn khác nhau của hai giới hạn







lim

x→+∞

f (x)

lim

x→−∞

f (x)

Ví dụ 3 (THPT Hưng Nhân, Thái Bình, Lần 3). Cho hàm số y =

x −m

. Với giá tr ị

nào của m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang?

A. m =0. B. m 6=1. C. m 6=0. D. ∀m ∈R.

Lời giải. Chọn đáp án D

Để hàm số có tiệm cận ngang thì phải tồn tại một trong hai giới hạn lim

x→+∞

f (x) hoặc

lim

x→−∞

f (x) ta thấy với mọi m ∈R thì











lim

x→+∞

x −m

lim

x→−∞

x −m

Do đó với mọi m ∈R thì đồ thị hàm

số luôn có tiệm cận ngang là y =1.

IV. Bài tập vận dụng

Câu 1 (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Đường thẳng y = −1 là đường

tiệm cận của đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. y =

−x

x +2

. B. y =

−3x +4

3 +x

. C. y =

x +5

6 −x

. D. y =

−1

x +2

Câu 2 (THPT Sông Ray, Đồng Nai). Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của

đồ thị của hàm số y =

2x +1

x −1

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 15

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

A. x =1, y =−1. B. x =1, y =2. C. x =2, y =1. D. x =−1, y =2.

Câu 3 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x +

2x −3

là

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.

Câu 4 (THPT Quốc Thái, An Giang). Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y =

A. y =0 và y =−

. B. y =0 và y =2.

C. y =−2 và y =2. D. y =−

2 và y =

Câu 5 (Để TTTHPT QG- Sở Cần Thơ). Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y =

2x −4

x +2

A. y =2. B. y =−2. C. x =−2. D. x =2.

Câu 6 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2). Tính tổng số các đường tiệm cận đứng và

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

−3x +2

−5x +3

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 7 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 2). Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số y =

3x −1 −

x +3

+2x −3

A. x =−3. B. x =−1 và x =3. C. x =1 và x =−3. D. x =3.

Câu 8 (THPT Hậu Lộc, Thanh Hoá, lần 3). Đồ thị hàm số y =

x −2

−3x +2

có bao nhiêu

đường tiệm cận?

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 9 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An, lần 4). Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận

đứng của đồ thị hàm số y =

x −

x +2

−4

A. y =−2 . B. y =0. C. x =2. D. x =−2.

Câu 10 (THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3). Cho hàm số y =

10 −x

−2x −1

+3x −4

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số.

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 11 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1). Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số y =

2 −

+x +2

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

B. x =−2.

C. x =2.

D. y =0.

Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của

tham số thực m để đồ thị của hàm số y =

x −1

−3x +m

có đúng 2 đường tiệm cận.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 16

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

−∞;

. B.

. C.

−∞;

. D.

{

}

Câu 13 (Sở GD và ĐT Bình Phước). Biết đồ hị của hàm số y =

( a −2b)x

+bx +1

+x −b

có

tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cân ngang là đường thẳng y = 0. Tính

a +2b.

A. 6. B. 7. C. 8. D. 10.

Câu 14 (Sở GD và ĐT Hưng Yên). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

thị hàm số y =

(m +1)x

−2x +m

có đúng 2 đường tiệm cận.

A. m ∈[−1; 1). B. m ∈(−1;1).

C. m ∈[−1; 1]. D. m ∈(−∞; −1) ∪(1;+∞).

Câu 15 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số y =

x −1

có đường thẳng y =−2 là một tiệm cận ngang.

A. m ∈{−2; 2}. B. m ∈{−1;1}. C. m ∈{2}. D. m ∈{1; −2}.

Câu 16 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Gọi a, b tương ứng là số đường tiệm cận

đứng và số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

x −2 −1

−4x +3

. Tính a +b.

A. a +b =3. B. a +b =2. C. a +b =0. D. a +b =1.

Câu 17 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm

số y =

−6x +m

x −m

không có đường tiệm cận đứng.

A. m =6. B.

m =3

m =5

. C.

m =0

m =5

. D. m =7.

Câu 18 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

−∞

+∞

−

−∞−∞

−1−1

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số y = f (x) có một giá trị cực tiểu là −1.

B. Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận ngang là đường thẳng y =2.

C. Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x =0.

Câu 19 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có

bảng biến thiên như sau

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 17

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

(x)

f (x)

−∞

−1 1 2

+∞

−

+∞+∞

−3−3

−4−4

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(

−1;2

)

C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −3.

D. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.

Câu 20 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến

thiên như hình bên dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có bao nhiêu đường tiệm cận?

−∞

−1

+∞

−

+ +

−∞−∞

+∞

−2−2

+∞

−∞

A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.

Câu 21 (Sở GD và ĐT Bình Thuận). Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số y =

3x −1 −

+x +2

+2x −3

A. x =−3. B. x =0. C. x =−3 và x =1. D. x =1.

Câu 22 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hàm số y =

5x +3

−1

. Số đường

tiệm cận của đồ thị hàm số là

A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.

Câu 23 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

đây.

(x)

f (x)

−∞

−1

0 5

+∞

−

−∞−∞

+∞

−∞

−3

−4−4

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và bao nhiêu đường tiệm cận

ngang?

A. 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang. B. 3 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

C. 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. D. 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 18

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Câu 24 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 5). Hàm số y =

−2mx +m

−m +2

. Tìm

m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

A. m >0. B. m >3. C. m <1. D. m <2.

Câu 25 (SỞ GD-ĐT LONG AN). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

hàm số y =

mx +2

x −1

có tiệm cận đứng.

A. m 6=2. B. m <2. C. m ≤−2. D. m 6=−2.

Câu 26 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m sao

cho đồ thị hàm số y =

+3mx +1

x +2

có 3 tiệm cận.

A. m >0. B. −2 < m <−1. C. m ≤0. D. m ≥

Câu 27 (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4). Tìm tập hợp các giá trị thực của m để

đồ thị hàm số y =

2x −1

(mx

−2x +1)(4x

+4mx +1)

có đúng một đường tiệm cận.

A. (−∞; −1) ∪(1;+∞). B. {0}.

C. ∅. D. (−∞;−1) ∪{0} ∪(1;+∞).

Câu 28 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 5). Tập hợp các giá trị của m để đồ thị

hàm số y =

+6x −2

x +2

có tiệm cận đứng là

A. R \

. B. R. C. R \ {0}. D.

Câu 29 (THPT Cổ Loa, Hà Nội, lần 3). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

đồ thị hàm số y =

x +1

+3x +2)(x +m)

có đúng hai đường tiệm cận.

A. m ≤1. B. m >1. C. m ≥1. D. m <1.

Câu 30 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Ngãi). Tìm tất cả các giá trị thực

của tham số m để đồ thị hàm số y =

x +2

−4x +m

có đúng ba đường tiệm cận.

A. m <4 và m 6=−12. B. m >4.

C. m <4. D. m =−12 hoặc m =4.

Câu 31 (THPT Thạch Thành 1-Thanh Hóa). Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số y =

3x −

có ba đường tiệm cận.

A. m >0. B. 0 < m <9. C. m >0 và m 6=9. D. m >9.

ĐÁP ÁN

1 C

2 B

3 A

4 D

5 C

6 B

7 A

8 A

9 D

10 D

11 A

12 B

13 C

14 A

15 A

16 D

17 C

18 D

19 C

20 A

21 A

22 D

23 C

24 D

25 D

26 A

27 C

28 A

29 C

30 A

31 B

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 19

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

§5 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Kiến Thức Cần Nhớ

Khi nhìn một đồ thị hàm số, để kết luận được đó là đồ thị nào hay để chọn được

phương án trả lời đúng nhất các em cần nắm-vận được các kỹ năng sau:

ã Kỹ năng dựa vào dạng chuẩn của đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm

bậc nhất trên bậc nhất.

ã Kỹ năng dựa vào các giao điểm của đồ thị với các trục tung (O y) và trục hoành

(Ox).

ã Kỹ năng dựa vào điểm cực trị của đồ thị hàm số.

ã Kỹ năng dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Tùy vào đồ thị hàm số đề bài cho là gì ta sẽ ứng dụng linh hoạt các kỹ năng trên

một cách linh hoạt để nhanh chóng đưa ra phương án trả lời chính xác nhất.

I. Kỹ năng nhìn dạng chuẩn của đồ thị hàm số

1. Nhìn dạng chuẩn hàm số bậc ba y = ax

+bx

+cx +d

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y = ax

+bx

+cx +d với a 6=0

Dữ kiện

a >0 a <0

Hàm số có hai cực trị -

phương trình y

= 0 có hai

nghiệm phân biệt hay b

−

3 ac >0

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 20

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Hàm số

không có

cực trị

Phương trình y

có nghiệm kép hay

−3ac =0

Phương trình y

vô nghiệm hay b

−

3 ac <0

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Đường cong trong

hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. y =

−x

+3x +2. B. y =−x

+3x

+5x +1.

C. y =

−

x +1. D. y =−

x +1.

Lời giải. Chọn đáp án C

. Quan sát đồ thị và dựa vào bảng trên ta thấy hàm số có dạng là hàm bậc ba và

hệ số a >0 ⇒ loại phương án B, D.

. Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có hai cực trị nên b

−3ac > 0 ta thấy

đáp án A cho kết quả b

−3ac = −2 < 0 ⇒ loại phương án A, đáp án C cho kết quả là

−3ac =6 >0 ⇒ Chọn C.

Ví dụ 2 (THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội, lần 4).

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm

số dưới đây?

A. y = x

−3x

+3x +1. B. y =−x

+3x

+1.

C. y =−x

−3x

+1. D. y =2x

−x +1.

1 2 3

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 21

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Lời giải. Chọn đáp án A

. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị của hàm bậc ba và hệ số a >0 nên loại luôn hai

đáp án B, C.

. Tiếp tục ta để ý đồ thị rơi vào trường hợp phương trình y

= 0 có nghiệm kép

tức b

−3ac =0 ⇒ Chọn đáp án A.

2. Nhìn dạng chuẩn hàm số trùng phương y = ax

+bx

Các dạng đồ thị của hàm số trùng phương y = ax

+bx

+c với a 6=0

Dữ kiện a >0 a <0

Hàm số có ba cực trị -

phương trình y

= 0 có ba

nghiệm phân biệt hay ab <0

Hàm số có một cực tr ị

- phương trình y

= 0 có

nghiệm duy nhất là x =0 hay

ab ≤0.

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Đường

cong hình bên là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. y =−

+2x

−1. B. y = x

−2x

−

C. y = x

+3x

−1. D. y =−x

−x

−1.

Lời giải. Chọn đáp án B

. Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị là của hàm trùng phương có hệ số a > 0 ⇒ loại đáp

án A, D và hàm số có ba cực trị nên ab <0 ⇒ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2 (THPT Hải An-Hải Phòng).

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 22

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Hình vẽ ở bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới

đây?

A. y = x

−3x

+1. B. y =−2x

+4x

+1.

C. y =−x

+3x

+1. D. y =2x

−5x

+1.

Lời giải. Chọn đáp án D

. Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị là của hàm trùng phương nên loại đáp án A, C,

mặt khác hệ số hàm trùng phương này có hệ số a >0 ⇒ Chọn đáp án D.

3. Nhìn dạng chuẩn hàm số y =

ax +b

cx +d

với c 6=0, ad −bc 6=0

Các dạng của đồ thị hàm số y =

ax +b

cx +d

với c 6=0, ad −bc 6=0

Hàm số đồng biến ad −bc >0 Hàm số nghịch biến ad −bc <0

y =

x =−

y =

x =−

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Đường

cong hình bên là của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. y =

x +3

x +1

. B. y =

x −1

2x −1

C. y = x

−2x

+x −1. D. y =

−x +2

3x +1

Lời giải. Chọn đáp án B

. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số là hàm bậc nhất trên

bậc nhất y =

ax +b

cx +d

⇒ loại C mà hàm số đồng biến nên có ad −bc > 0 ⇒ Chọn đáp án

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 23

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

II. Kỹ năng dựa vào giao điểm - cực trị - tiệm cận của đồ

thị hàm số

Phương Pháp Giải

ã Kỹ năng nhìn vào giao điểm: Đối với các đồ thị hàm số cho các điểm mà nó

đi qua ta chỉ cần thay tọa độ điểm đi qua đó vào các đáp án nào thỏa mãn thì chọn

đáp án đó cụ thể:

2 Nếu đồ thị hàm số bậc ba y = ax

+bx

+cx +d giao điểm với trục tung tại

điểm y

thì x

=0 nên d = y

2 Đồ thị hàm số bậc ba có điểm uốn là U

−

3 a

; y

−

3 a

¶¶

. Hoành độ điểm uốn

là nghiệm của phương trình y

=0.

2 Nếu đồ thị hàm số trùng phương y = ax

+bx

+c giao điểm với trục tung

tại điểm y

thì x

=0 nên c = y

2 Nếu đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y =

ax +b

cx +d

giao với trục tung tại

điểm y

thì x

=0 nên

= y

và nếu đồ thị giao với trục hoành tại điểm x

thì y

nên −

= x

ã Kỹ năng nhìn vào cực trị: Cũng gần tương tự như trên đối với các hình vẽ đồ

thị hàm số cho ta tọa độ các điểm cực trị thì có thể thay tọa độ điểm đó vào các đáp

án hoặc thay vào phương trình y

=0 và để ý rằng điểm cực trị của hàm bậc ba và

hàm trùng phương là nghiệm của phương trình y

=0.

ã Kỹ năng nhìn vào tiệm cận: Đối với kỹ năng này thường chỉ áp dụng cho hàm

phân thức y =

ax +b

cx +d

với c 6= 0, ad −bc 6= 0 có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −

và tiệm cận ngang là đường thẳng y =

Ví dụ 1 (THPT Tiên Hưng, Thái Bình).

Đồ thị bên là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. y =

−x

+1. B. y =

+1.

C. y =−x

+3x

−2. D. y =−

+1.

Lời giải. Chọn đáp án A

. Đồ thị hàm số là hàm bậc ba y =ax

+bx

+cx +d cắt trục O y tại điểm y

=1 ⇒ d =

= 1 ⇒ loại C, kết hợp với dạng chuẩn ở trên (kỹ năng nhìn dạng chuản) thì a > 0 ⇒

loại D.

. Hàm số có hai cực trị nên b

−3ac >0 ⇒ Chọn A vì có b

−3ac =0

−3.

.(−1) =1 >0.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 24

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp).

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm

số nào được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới dây?

A. y =−x

−2x

−1 . B. y = x

−2x

−1.

C. y = x

+2x

−1 . D. y =−x

+2x

−1 .

−1 1

Lời giải. Chọn đáp án C

. Đồ thị hàm số đi qua điểm

(

⇒ Thay vào từng đáp án ta thấy chỉ đáp án C

thỏa mãn ⇒ Chọn C.

Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Hưng Yên).

Đồ thị trong hình vẽ bên là đồ thị của

hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. y =

2x +1

x +1

. B. y =

x −1

x +1

C. y =

2x +1

x −1

. D. y =

−x +1

x −2

−1

Lời giải. Chọn đáp án A

. Nhìn đồ thị ta thấy hàm số là hàm bậc nhất trên bậc nhất y =

ax +b

cx +d

, đồ thị có

tiệm cận đứng là đường thẳng x =−1 =−

⇒ loại đáp án C, D.

. Tương tự đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 =

⇒ Chọn đáp

án A vì đáp án B có tiệm cận ngang là y =1.

Ví dụ 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3).

Cho hàm số y = ax

+bx

+c có đồ thị như hình dưới đây. Chọn

đáp án đúng.

A. a >0, b >0, c <0.

B. a >0, b <0, c <0.

C. a <0, b >0, c <0.

D. a <0, b >0, c >0.

Lời giải. Chọn đáp án B

. Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có đồ thị hàm số đã cho là hàm trùng

phương và hệ số a >0 ⇒ loại C, D.

. Hàm số có ba cực trị nên a.b <0 mà a >0 ⇒ b <0 ⇒ Chọn B.

Ví dụ 5 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2).

Cho hàm số y =

ax +b

x +c

có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của

S = a +2b +c.

A. S =0.

B. S =−1.

C. S =3.

D. S =−2.

−1

−

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 25

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Lời giải. Chọn đáp án C

. Vấn đề ta cần tìm a, b, c. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

là đường thẳng x =2 =−

⇒−c =2 ⇒ c =−2.

. Tiệm cận ngang là đường thẳng y =−1 =

⇒a =−1.

. Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại x

=3 ⇒−

−1

=3 ⇒ b =3.

Vậy S = a +2b +c =−1 +2.3 −2 =3.

Ví dụ 6 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II).

Cho hàm số y = ax

+bx

+cx +d (a 6=0) có đồ thị như

hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a >0, b <0, c >0, d >0.

B. a <0, b <0, c >0, d >0.

C. a <0, b =0, c >0, d >0.

D. a >0, b >0, c <0, d >0.

−2 1 2 3

−1

Lời giải. Chọn đáp án C

. Hàm số bậc ba có hệ số a <0 ⇒ loại A, D.

. Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có điểm uốn tại y =1 ⇒ x =0 =−

3 a

⇒ b =0 ⇒ Chọn

Nhận xét:

ã Đôi khi ta cần chú ý đến dấu của hai điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị

hàm số y = ax

+bx

+cx +d sau đó sử dụng định lí vi-ét như sau Vì điểm cực đại

và cực tiểu là nghiệm của phương trình y

=0 hay 3ax

+2bx +c =0 (1) nên:

∗) Nếu hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung O y thì phương

tr ình (1) có hai nghiệm trái dấu x

3 a

<0 hay ta có điều kiện

<0.

∗) Nếu hàm số có hai cực trị nằm cùng phía so với trục tung O y thì phương trình

(1) có hai nghiệm cùng dấu: Nếu cùng nằm bên phải so với O y thì phương trình

(1) có hai nghiệm dương, cùng nằm bên trái so với O y thì phương trình (1) có hai

nghiệm âm.

ã Ta cần nhớ rằng nếu điểm M(x

; f (x

)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì hình

chiếu của M lên trục hoành sẽ là nghiệm của phương trình f

(x) = 0 hay nói các

khác điểm M(x

; f (x

)) là giao điểm của đồ thị hàm số y = f

(x) với trục hoành.

Ví dụ 7 (Vương Quyền).

Cho hàm số y = ax

+ bx

+ cx + d có đồ thị như hình

vẽ bên. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A. a <0, b >0, c <0, d >0. B. a <0, b >0, c <0, d <0.

C. a <0, b >0, c >0, d <0. D. a >0, b >0, c >0, d <0.

Lời giải. Chọn đáp án C

. Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có a <0 ⇒ loại D.

. Đồ thị hàm số cắt trục O y tại điểm có tung độ y

<0 ⇒ d <0 ⇒ loại A.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 26

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

. Đồ thị hàm số có hai cực trị trái dấu nhau nên theo nhận xét trên thì

<0 mà hệ

số a <0 ⇒ c >0.

. Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x

> 0 ⇒ −

3 a

> 0 ⇒

3 a

< 0 mà a < 0 ⇒ b > 0 ⇒ chọn

III. Một số đồ thị có được từ đồ thị của hàm số y = f (x)

1. Đồ thị hàm y = f (|x|)

Phương Pháp Giải

Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f (|x|).

Bước 1: Xác định phần bên phải trục tung rồi giữ nguyên phần đó và bỏ phần

bên trái trục tung.

Bước 2: Lấy đối xứng phần bên phải ở trên qua trục tung khi đó phần bên phải

đã xác định và phần bên trái vừa lấy đối xứng là của đồ thị hàm số y = f (|x|).

Notes

Cơ sở của các phương pháp là dựa vào tính chất |x|≥0,∀x ∈R và |x|=

(

x nếu x ≥0

−x nếu x <0

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ dưới đây hình nào là của đồ thị hàm số y = f (|x|)?

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án A

. Ta giữ nguyên phần bên phải trục tung O y

như sau:

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 27

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

. Lấy đối xứng phần này qua trục tung ta

được đồ thị của hàm số y = f (|x|) là:

2. Đồ thị hàm y =|f (x)|

Phương Pháp Giải

Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y =|f (x)|

Bước 1: Xác định phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm y = f (x).

Bước 2: Lấy đối xứng hết phần dưới trục hoành của đồ thị hàm y = f (x) qua tr ục

hoành khi đó đồ thị hàm số y = |f (x)| là tất cả phần phía trên đã xác định ở bước

một và phần vừa đối xứng lên trục hoành.

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ dưới đây hình nào là của đồ thị hàm số y =|f (x)|?

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án C

. Ta xác định phần trên trục hoành (phần

màu xanh) như hình bên:

. Lấy đối xứng phần biên dưới (phần màu

đen) trục Ox lên phía trên trục Ox ta được

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 28

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

. Kết hợp hai phần trên ta được đồ thị của

hàm số y =|f (x)| là

3. Đồ thị hàm số y =|f (|x |)|

Phương Pháp Giải

Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị của hàm số y =|f (|x|)|

Bước 1: Ta xác định đồ thị của hàm số y = f (|x|) theo các bước đã được nhắc đến

ở trên.

Bước 2: Từ đồ thị hàm y = f (|x|) vừa xác định ta tiếp tục lấy đối xứng phần bên

dưới qua trục Ox để được đồ thị hàm y =|f (|x|)|.

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y =|f (|x|)|?

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án D

Bước 1: Xác định hàm y = f (|x|) bằng cách bỏ phần bên

trái trục O y rồi lấy đối xứng phần bên phải sang ta được:

Bước 2: Từ đồ thị trên xác định đồ thị hàm số y =|f (|x|)|

bằng cách giữ nguyên phần trên trục Ox và lấy đối xứng

phần dưới lên ta được:

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 29

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

4. Đồ thị hàm |y|= f (x)

Phương Pháp Giải

Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị của hàm số |y|= f (x)

Bước 1: Xác định phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ

phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = f (x).

Bước 2: Lấy đối xứng phần vừa xác định (phía trên trục hoành) qua trục hoành

khi đó cả hai phần phía trên và phía dưới tr ục hoành là của đồ thị hàm số |y|= f (x).

Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số |y|= f (x)?

. B.

. C.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án B

Bước 1: Ta xác định phần phía trên trục hoành của đồ

thị hàm số y = f (x) được:

Bước 2: Lấy đối xứng phần đã xác định ở trên qua trục

Ox ta được:

⇒ Đồ thị của hàm số |y|= f (x) chính là hai phần trên

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 30

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

5. Một số dạng đồ thị khác

Phương Pháp Giải

Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x) +a ta thực hiện phép tịnh

tiến:

2 Nếu a ≥ 0 thì ta tịnh tiến đồ thị y = f (x) về phía bên trên trục hoành a đơn

vị.

2 Nếu a < 0 thì ta tịnh tiến đồ thị y = f (x) về phía bên dưới trục hoành a đơn

vị.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ được cho dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = f (x) −1

. B.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án B

. Vì số a = −1 < 0 ⇒ Đồ thị hàm số y = f (x) −1 thu được từ đồ thị hàm số y = f (x)

bằng cách tịnh tiến xuống dưới trục hoành 1 đơn vị ta được đồ thị là đáp án B.

. Ta có thể lập luận đơn giản như sau ta thấy rằng đồ thị hàm số y = f (x) đi qua

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 31

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

điểm (0, 1) ⇒ f (0) = 1 ⇒ f (0) −1 =0 ⇒ đồ thị hàm y = f (x) −1 có điểm (0,1) sẽ bị tịnh tiến

xuống thành điểm (0, 0) ⇒ đồ thị đáp án B.

Nhận xét: Như vậy ở dạng này từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có thể tự suy ra được

các đồ thị tương ứng bằng cách lấy một điểm thuộc đồ thị rồi thực hiện phép toán

như cách số hai ở ví dụ trên theo đề bài cho, biến đổi theo tính chất giá trị tuyệt

đối rồi thực hiện phép toán theo đề bài ra. Ta xét như ví dụ sau

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y =||f (x)|−1|?

. B.

. D.

Lời giải. Chọn đáp án C

. Cơ sở của cách tìm hàm y =||f (x)|−1| là tính chất của hàm trị tuyệt đối như sau:

y = ||f (x)|−1| =

(

|f (x)|−1 nếu |f (x)|≥1

−(|f (x)|−1) nếu |f (x)|<1

(

|f (x)|−1 nếu f (x) ≥1 hoặc f (x) ≤−1

−(|f (x)|−1) nếu −1 < f (x) <1

Do đó

ta lần lượt xác định hai hàm số y = |f (x)|−1 với f (x) ≥ 1 hoặc f (x) ≤ −1 và hàm số

y =−(|f (x)|−1) =−|f (x)|+1 với −1 < f (x) <1.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 32

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

IV. Bài tập tự luyện

Câu 1 (Chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ). Trong các

hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

A. y =

−x +2

x +2

B. y =

2x −2

x +1

C. y =

−2x +2

x +1

D. y =

x −2

x +1

−2

−1

Câu 2 (THPT Sông Ray, Đồng Nai). Đồ thị hàm số y = x

−3x +2 có dạng nào sau

đây?

. B.

. C.

. D.

Câu 3 (Để TTTHPT QG- Sở Cần Thơ- Mã 329).

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số được

liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm

số nào?

A. y = x

−2x

+1.

B. y =2x

−4x

+1.

C. y = x

−4x

+1.

D. y =2x

−2x

+1.

−1 1

Câu 4 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông).

Đồ thị trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số

được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó

là hàm số nào?

A. y =

2x +1

x −1

. B. y =

x +1

x −1

. C. y =

x +2

x −1

. D. y =

x +2

1 −x

−2

−2 1

Câu 5 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3).

Cho hàm số y =

ax +1

x −b

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. a >0 > b. B. a > b >0.

C. a < b <0. D. a <0 < b.

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 33

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Câu 6 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1).

Cho hàm số y = ax

+bx

+ cx +d có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a >0, c <0, d >0.

B. a >0, c >0, d >0.

C. a <0, c <0, d >0.

D. a >0, c <0, d <0.

Câu 7 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1).

Cho đồ thị của ba hàm số y = f (x), y = f

(x), y = f

(x) được

mô tả bằng hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của các hàm số y = f (x),

y = f

(x) và y = f

(x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với

đường cong nào?

A. (C

); (C

). B. (C

); (C

C. (C

); (C

). D. (C

); (C

(

)

(

)

(

)

−1 1

−1

Câu 8 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V).

Cho hàm số y = ax

+bx

+c có đồ thị như hình bên. T rong các

mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. a <0, b <0, c >0.

B. a >0, b >0, c >0.

C. a >0, b <0, c >0.

D. a <0, b >0, c >0.

Câu 9 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VIII).

Hàm số y = ax

+bx

+cx +d

(

a 6=0

)

có đồ thị sau. Khi đó, khẳng định

nào sau đây là đúng?

A. a >0, b >0, c =0, d >0.

B. a >0, b <0, c >0, d >0.

C. a >0, b >0, c >0, d >0.

D. a >0, b <0, c =0, d >0.

Câu 10 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2). Cho

hàm số y = f (x) có đồ thị y

= f

(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành

độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

(

f (b) − f (a)

)(

f (b) − f (c)

)

<0. B. f (c) > f (b) > f (a).

C. f (c) + f (a) −2f (b) >0. D. f (a) > f (b) > f (c).

a b c

Câu 11 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2).

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 34

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Cho hàm số bậc ba y = ax

+bx

+cx +d có đồ thị như hình

vẽ. Dấu của a; b; c; d là

A. a <0; b <0; c >0; d <0. B. a <0; b <0; c <0; d <0.

C. a <0; b >0; c <0; d <0. D. a >0; b >0; c >0; d <0.

Câu 12 (THPT Lê Viết Thuật, Nghệ An, lần 2). Cho hàm số y = ax

+bx

+c có đồ

thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a <0, b >0, c >0.

B. a >0, b <0, c >0.

C. a <0, b <0, c >0.

D. a >0, b <0, c >0.

Câu 13 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2). Đồ thị ở hình bên dưới là đồ thị của

hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở các đáp án A, B, C, D?

A. y =−x

−x +2.

B. y =−x

+1.

C. y =−x

+3x +2.

D. y =−x

+2.

Câu 14 (THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định).

Cho hàm số y = ax

+bx

+cx +d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào

sau đây đúng?

A. a >0, b <0, c >0, d <0.

B. a >0, b <0, c <0, d >0.

C. a <0, b >0, c >0, d <0.

D. a <0, b >0, c <0, d >0.

Câu 15 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 324).

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm

số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số

nào?

A. y = x

−3x

−3. B. y = x

−6x

+9x +3.

C. y =−x

+3x +3. D. y = x

−3x

+3.

Câu 16 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 324).

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 35

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Cho hàm số y =

x +b

cx +d

có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới

đây đúng?

A. b <0, c >0, d <0.

B. b >0, c >0, d >0.

C. b <0, c <0, d >0.

D. b <0, c >0, d >0.

Câu 17 (THPT Chuyên Hà Tĩnh, lần 2).

Đường cong như trong hình vẽ bên có thể là đồ thị của hàm số nào trong

các hàm số cho dưới đây?

A. y =−x

−1.

B. y =

−1.

C. y = x

−x

−1 .

D. y = x

−1.

Câu 18 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3).

Cho hàm số y =

ax +1

x −b

có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. a >0 > b. B. a > b >0.

C. a < b <0. D. a <0 < b.

Câu 19 (THPT Minh Khai, Hà Nội).

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?

A. y =

x −1

x +1

B. y =

2x −1

x +1

C. y =

2x +1

2x −1

D. y =

2x −1

2x +1

−1

−1 1

Câu 20 (THPT Bắc Duyên Hà, Thái Bình, lần 2). Đường cong trong hình bên là

đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = x

+2x

+1.

B. y = x

−2x

+1.

C. y =−x

+2x

+1.

D. y =−x

−2x

+1.

Câu 21 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang). Cho hàm số y =

x +2

x −1

có đồ thị như

hình vẽ.

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 36

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị của hàm số y =

|x|+2

|x|−1

1−1

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

A. Hình 4. B. Hình 3. C. Hình 2. D. Hình 1.

Câu 22. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = f (|x|)?

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 37

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

. B.

. D.

Câu 23. Cho hàm số y = x

−2x

có đồ thị như hình vẽ

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y =|x

−2x

. B.

. D.

Câu 24. Đồ thị nào dưới đây là của hàm số y =|x|

+2x

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 38

Vương Quyền

Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!

. B.

. D.

Câu 25. Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ

Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào biểu diễn đồ thị hàm số y =|f (x)|+1?

. B.

. D.

Câu 26 (Sở GD và ĐT TP.HCM,CỤM I).

https://www.facebook.com/VuongQuyen894 39

Vương Quyền

Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền

Biết rằng hàm số y = 4x

−6x

+1 có đồ thị như hình vẽ bên.

Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?

A. Đồ thị hàm số y =

−6x

có 3 cực trị.

B. Đồ thị hàm số y =

−6x

có 2 cực trị.

C. Đồ thị hàm số y =

−6x

có 5 cực trị.

D. Đồ thị hàm số y =

−6x

có 1 cực trị.

−1

ĐÁP ÁN

1 C

2 C

3 B

4 C

5 A

6 A

7 A

8 D

9 D

10 C

11 C

12 A

13 D

14 C

15 D

16 D

17 B

18 A

19 A

20 C

21 D

22 C

23 A

24 B

25 C

26 C

Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 40

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/61

| | Tải xuống

Preview text:

Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất
SỰ ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Kiến Thức Cần Nhớ
Cho hàm số y = f (x) có tập xác định là D khi đó: •
Nếu f 0(x) > 0, ∀x ∈ D thì f (x) đồng biến trên D •
Nếu f 0(x) < 0, ∀x ∈ D thì f (x) nghịch biến trên D •
Nếu f (x) đồng biến trên D thì f 0(x) ≥ 0, ∀x ∈ D •
Nếu f (x) nghịch biến trên D thì f 0(x) ≤ 0, ∀x ∈ D
Ta nói chung D là khoảng đơn điệu của hàm số 1
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số Phương Pháp Giải
Bài toán: Cho hàm số y = f (x) tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Quy trình bấm máy như sau:
Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y
Bước 2. Nhập hàm số y = f (x) vào máy tính và ta cho x = X .
Bước 3. Nhấn phím r
Bước 4. Thử các đáp án và nếu kết quả ra số dương thì hàm số y = f (x) đồng
biến trên khoảng đó, ngược lại nếu kết quả ra âm thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng đó.
Phương pháp làm tự luận:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2. Tính y0, giải phương trình y0 = 0 và tìm những điểm mà tại đó y0 không
xác định giả sử được các phần tử là xi
Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 1 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x2 − x4. A. (−1;0).
B. (−1;0) và (1;+∞). C. (−1;1).
D. (−∞;−1) và (0;1).
Lời giải. Chọn đáp án B Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị facebook.com/VuongQuyen894 1
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền
Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y.
Bước 2. Nhập hàm y = 2x2 − x4 vào bằng phím chức năng Q và cho x = X.
Bước 3. Nhấn phím r ở đây máy tính sẽ hỏi X bằng
bao nhiêu ta thử X thuộc các đáp án.
Bước 4. Thử đáp án:
Đáp án A khoảng (−1;0) ta chọn X = −0,5 nhập vào
máy tính bằng cách nhấn p 0 . 5 sau đó nhấn = 3
được kết quả là − < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên 2
khoảng này, như vậy đáp án này có thể đúng nhưng ta
cần kiểm tra tất cả các đáp án để thu được đáp án chính xác và đầy đủ nhất.
Đáp án B khoảng (−1;0) và (1;+∞) ở đây khoảng
(−1;0) đã thử ở đáp án A nên ta chỉ cần thử khoảng
(1; +∞), khoảng này ta chọn X = 10 bằng cách tiếp tục
nhấn r và nhập X = 10 vào 1 0 rồi nhấn = được
kết quả là −3960 < 0 ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng
này, như vậy đáp án đầy đủ và chính xác là đáp án B.
Để cho chắc chắn ta thử hai đáp án còn lại ta để ý
đáp án C, D đều có khoảng (0; 1) vậy ta thử với X = 0,5
bằng cách tiếp tục nhấn r 0 . 5 = được kết 3 quả là
> 0 ⇒ Hàm số không nghịch biến vậy đáp án cuối 2 cùng là đáp án B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Hàm số y = x3 − x2 − x+3 nghịch biến trên khoảng µ 1 ¶ A. −∞;− . B. (1; +∞). 3 µ 1 ¶ µ 1 ¶ C. − ; 1 . D. −∞;− và (1; +∞). 3 3
Câu 2 (THPT Quốc Oai, Hà Nội). Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 5. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞).
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞).
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1;0) và (1;+∞).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1).
Câu 3 (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3). Hàm số y = 2x3 − 6x nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. (−∞;−1). B. (1; +∞). C. (−1;1). D. (−1;+∞). 1
Câu 4 (chuyên Hoàng Văn Thụ, Hoà Bình). Hàm số y = x3 − x2 + x đồng biến trên 3 A. R.
B. (−∞;1) và (1;+∞). C. (−∞;1) ∪ (1;+∞). D. R\{1}. x3 x2 3
Câu 5 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3). Cho hàm số f (x) = − −6x+ . Mệnh đề nào 3 2 4 dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;3).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−2;3).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−2). Đáp án 1 - C 2 - A 3 - C 4 - A 5 - B 2
Tìm m để hàm số đơn điệu 2.1
Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY Phương Pháp Giải
Bài toán: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) = ax3 + bx2 +
cx + d đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D. TH1. Nếu D = R thì:  b2 − 3ac ≤ 0 •
Hàm số đồng biến trên R ⇔ a > 0  b2 − 3ac ≤ 0 •
Hàm số nghịch biến trên R ⇔ a < 0
TH2. Nếu tập D là một khoảng hay một đoạn ta nên sử dụng máy tính hoặc
phương pháp cô lập m tức làm như sau:
Bước 1. Tính đạo hàm f 0(x, m) (hay tính y0). Ở đây ta xét trường hợp hàm
số đồng biến trên D (trường hợp nghịch biến làm tương tự f 0(x, m) ≤ 0) tức f 0(x, m) ≥ 0,
∀x ∈ D và dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn các điểm.
Bước 2. Biến đổi f 0(x, m) ≥ 0 trên về dạng h(m) ≤ g(x) (hoặc h(m) ≥ g(x)) ở đó
g(x), h(m) là các hàm số (Tức là chuyển các phần tử có tham số m sang một vế và các facebook.com/VuongQuyen894 3
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền
phần tử không chứa tham số m ở một vế). h(m) g(x) 
≤ g(x) ∀x ∈ D ⇔ h(m) ≤ min  Bước 3. D Sử dụng nhận xét: . Từ đây ta
h(m) ≥ g(x) ∀x ∈ D ⇔ h(m) ≥ max g(x)  D
thu được giá trị của tham số m cần tìm
Ví dụ 1 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m 1
để hàm số y = x3 + mx2 + 9x − 2m + 1 đồng biến trên khoảng (−∞;+∞) là 3 A. (−3;3). B. [−3;3]. C. [3; +∞). D. (−∞;3).
Lời giải. Chọn đáp án B
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;+∞) chính là R. Như vậy bài toán rơi vào trường hợp  1 a  =   3 
thứ nhất ở trên áp dụng vào ở đây b = m      c = 9  1   m2 − 3. .9 ≤ 0 b2 − 3ac ≤ 0  3 ⇒ ⇔
⇒ m2 − 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3 1 a > 0  a = > 0  3
Ví dụ 2 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5). Tìm giá trị của m để hàm số x3 y = −
− mx2 − mx + 1 nghịch biến trên R. 3   m ≤ 0 m < 0 A.  . B.  . C. 0 ≤ m ≤ 1. D. 0 < m < 1. m ≥ 1 m > 1
Lời giải. Chọn đáp án C  µ 1 ¶  ( .(  −m)2 − 3. − −m) ≤ 0 b2 − 3ac ≤ 0  3
Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai nên ⇔ 1 a < 0  a  = − < 0 3
⇒ m2 − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1
Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞). 5 5 A. m ≤ . B. −1 ≤ m ≤ 5. C. m > . D. −1 < m < 5. 4 4
Lời giải. Chọn đáp án A
Bài toán rơi vào trường hợp thứ hai.
Bước 1. Ta có y0 = 3x2 + 2(1 − 2m)x + 2 − m. Đề bài yêu cầu tìm m để hàm số đồng biến trên
khoảng (0; +∞) nên điều kiện là y0 ≥ 0 hay 3x2 + 2(1 − 2m)x + 2 − m ≥ 0 ∀x ∈ (0;+∞).
Bước 2. Biến đổi bất phương trình trên để cô lập m ta được 3x2 + 2(1 − 2m)x + 2 − m ≥ 0 ⇔ 3x2 + 2x + 2
3x2 + 2x − 4mx + 2 − m ≥ 0 ⇔ 4mx + m ≤ 3x2 + 2x + 2 ⇔ m(4x + 1) ≤ 3x2 + 2x + 2 ⇒ m ≤ 4x + 1 3x2 + 2x + 2
với x ∈ (0;+∞) ⇒ m ≤ min (0;+∞) 4x + 1 x 3x2 + 2x + 2 12x2 + 6x − 6 = −1
Bước 3. Xét hàm g(x) = trên (0; +∞). Có g0(x) = ⇒ y0 = 0 ⇔  4x + 1 (4x 1 + 1)2 x = 2
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất 3x2 + 2x + 2 µ 1 ¶ 5 5 ⇒ min = g = ⇒ m ≤ (0;+∞) 4x + 1 2 4 4 Notes
Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số tức tìm m sao cho hàm f 0(x, m) là hàm bậc hai
nằm phía trên hay phía dưới trục hoành.
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO Phương Pháp Giải
Bài toán: (Ta vẫn sử dụng chức năng tính đạo hàm của hàm số) Tìm tất cả các giá
trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên tập D. Sử dụng phương pháp loại đáp án:
Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y
Bước 2. Nhập hàm f (x, m) vào máy ta vẫn cho x = X .
Bước 3. Nhấn phím r
Bước 4. Thử các đáp án vì xét hàm số trên tập D nên sau khi nhấn r ta gán
cho X bằng các giá trị thuộc tập D và nhớ quy tắc chọn là chọn X không quá lớn và
chọn M ≈ X 2 (tức nếu ta chọn X = 10 thì chọn M = 102 = 100 hoặc M = −102 = −100). Nếu
kết quả ra dương là hàm số đồng biến, kết quả ra âm là hàm số nghịch biến. Notes
Ta nên quan sát đáp án trước để gán các giá trị cụ thể nào đó vào biến M, sao cho có
thể loại được đáp án nhanh nhất. Thử với nhiều giá trị của X và M để cho đáp án chính xác nhất.
Ví dụ 4 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m 1
để hàm số y = x3 + mx2 + 9x − 2m + 1 đồng biến trên khoảng (−∞;+∞) là 3 A. (−3;3). B. [−3;3]. C. [3; +∞). D. (−∞;3).
Lời giải. Chọn đáp án B Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị
Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y facebook.com/VuongQuyen894 5
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền 1
Bước 2. Nhập hàm y = x3 + mx2 + 9x − 2m + 1 vào bằng 3 1
phím chức năng Q cho x = X tức nhập X 3 + M X 2 + 3 9X − 2M + 1
Bước 3. Nhấn phím r
Bước 4. Khi nhấn nút r máy sẽ hỏi ta gán giá trị X
là bao nhiêu. Ta quan sát đáp án thấy đáp án A, B khác
hoàn toàn so với đáp án C, D như vậy ta gán các giá trị
như sau: Vì hàm số đồng biến trên khoảng D = (−∞;+∞)
nên ta chọn gán cho X = 1 tức nhập 1 = màn hình sẽ
hiển thị gán M bằng bao nhiêu
Đáp án A gán M = 2 bằng cách tiếp tục nhấn 2
= khi đó được kết quả là 14 > 0 do đó thỏa mãn đáp án này có thể chọn.
Đáp án B chỉ khác đáp án A tại hai điểm 3, −3 nên
ta gán M = 3 hoặc M = −3 xem có thỏa mãn không bằng
cách tiếp tục nhấn = = 3 = được kết quả là 16 > 0
như vậy có thể chọn đáp án này và loại đáp án A.
Đáp án C khác đáp án A, B nên ta gán giá trị M = 10
và thay đổi giá trị của X lúc này ta cho X = −1 bằng cách
tiếp tục nhấn = p 1 = 10 = được kết quả
là −10 < 0 ⇒ loại đáp án C.
Đáp án D ta lại gán giá trị X = 1 và M = −10 được
kết quả là −10 < 0 ⇒ loại đáp án D.
⇒ Chọn đáp án đúng là B.
Ví dụ 5 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH 2016-2017-LẦN 5). Tìm giá trị của m để hàm số x3 y = −
− mx2 − mx + 1 nghịch biến trên R. 3   m ≤ 0 m < 0 A.  . B.  . C. 0 ≤ m ≤ 1. D. 0 < m < 1. m ≥ 1 m > 1
Lời giải. Chọn đáp án C
Tương tự như trên ở đây Thầy sẽ nói các bước cơ bản:
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị
Bước 1. Nhấn tổ hợp phím q Y x3
Bước 2+3. Nhập hàm y = −
− mx2 − mx + 1 bằng cách 3
tiếp tục nhấn lần lượt p Q [ q d a 3 $ p Q m Q [ d p Q m Q [ + 1 $ Q [ r
Bước 4. Thử các đáp án, ở đây yêu cầu hàm số nghịch
biến trên R nên trước tiên ta gán X = 1 ta để ý ở các đáp
án A, C đều có m = 0 và m = 1 vậy ta sẽ thử với hai giá trị
này quy trình bấm máy tiếp tục như sau 1 = 0 =
được kết quả là −1 < 0 ⇒ m = 0 thỏa mãn hàm số nghịch
biến tiếp tục nhấn = = 1 = kết quả là −4 vậy hai
giá trị m = 0 và m = 1 đều thỏa mãn hàm số nghịch biến ta thử đáp án:
Đáp án A, B với m ≤ 0 ta chọn m = −10 bằng cách
nhấn tiếp tục = = p 10 = kết quả là 29 > 0 ⇒
hàm số đồng biến, loại đáp án A, B
Đáp án C, D vì ở trên ta thử với m = 0 và m = 1 đều
thỏa mãn nên ta chọn đáp án C.
Ví dụ 6 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞). 5 5 A. m ≤ . B. −1 ≤ m ≤ 5. C. m > . D. −1 < m < 5. 4 4
Lời giải. Chọn đáp án A
Tương tự như trên các em tự giải và chú ý rằng ta đang xét đồng biến trên khoảng (0; +∞)
nên chỉ gán những giá trị X thuộc khoảng này. Notes
Ví dụ sau sẽ cho ta thấy việc chọn M ở các đáp án rất quan trọng! nếu chọn không chính
xác ta khó có thể có kết luận đúng.
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3mx2 − 4mx + 4 đồng biến trên R. 4 4 3 3 A. 0 ≤ m ≤ . B. − ≤ m ≤ 0. C. 0 ≤ m ≤ . D. − ≤ m ≤ 0. 3 3 4 4 facebook.com/VuongQuyen894 7
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền
Lời giải. Chọn đáp án B
Bước 1+2+3. Bạn đọc tự nhập!
Bước 4. Vì hàm số yêu cầu đồng biến trên tập số thực nên ta gán giá trị X tùy ý nhưng
không quá lớn! ở đây ta gán X = 0. Tiếp theo ta gán giá trị của M quan sát đáp án ta thấy
đáp án nào cũng có M = 0 vậy không xét M = 0.
∗) Hai đáp án A, C đều có phần chung vậy ta
chọn một số M đều thuộc cả hai đáp án này chọn 3 M =
ta được kết quả là −3 ⇒ loại A, C. 4
∗) Còn lại đáp án B, D ta thấy hai đáp án này
đều có phần chung cụ thể là đáp án B sẽ bao gồm
cả đáp án D như vậy ta sẽ thử với đáp án B trước ta 4 chọn M = −3
⇒ kết quả là 5.333 > 0 ⇒ thỏa mãn hàm số đồng biến ⇒ loại đáp án D và chọn đáp án B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 1
hàm số y = − x3 + (m − 1)x2 − 4x nghịch biến trên R. 3 m ≤ −1 A. −1 ≤ m ≤ 3. B. m ∈ R. C. m ≥ 3. D.  . m ≥ 3 (m + 1)x − 2
Câu 2 (Sở GD và ĐT Gia Lai). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = đồng x − m
biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Câu 3 (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Lai Châu, lần 3). Tìm tập hợp tất cả các giá trị 1
của tham số thực m để hàm số y = x3 − mx2 + (2 + m)x + 1 đồng biến trên R. 3 A. (1; 2). B. (−∞;2).
C. (−∞;−1] ∪ [2;+∞). D. [−1;2].
Câu 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3). Tìm tất cả các tham số thực m để
hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2;+∞). A. m < 1. B. m ≤ 1. C. m < 2. D. m > 1. Đáp án 1 - A 2 - C 3 - D 4 - B ax + b 2.2
Hàm bậc nhất trên bậc nhất y = cx+d PHƯƠNG PHÁP GIẢI TAY
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất Phương Pháp Giải ax + b
Bài toán: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f (x, m) = thỏa cx + d
mãn đồng biến hoặc nghịch biến như sau:
TH1. Hàm số đồng biến trên tập xác định thì điều kiện là ad − bc > 0.
TH2. Hàm số nghịch biến trên tập xác định thì điều kiện là ad − bc < 0. ad  − bc > 0 
TH3. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; x1) thì điều kiện là d   − ≥ x1 c ad  − bc < 0 
TH4. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; x1) thì điều kiện là d   − ≥ x1 c ad  − bc > 0 
TH5. Hàm số đồng biến trên khoảng (x1;+∞) thì điều kiện là d   − ≤ x1 c ad  − bc < 0 
TH6. Hàm số nghịch biến trên khoảng (x1;+∞) thì điều kiện là d  l eqx  − 1 c ad − bc > 0       d 
TH7. Hàm số đồng biến trên khoảng (x − ≤ x 1; x2) thì điều kiện là 1  c     d     − ≥ x2 c ad − bc < 0       d 
TH8. Hàm số nghịch biến trên khoảng (x − ≤ x 1; x2) thì điều kiện là 1  c     d     − ≥ x2 c Notes
∗) Để nhớ được các trường hợp trên ta nên hiểu tại sao có được như vậy: Hàm số ax + b ad − bc y = ⇒ y0 =
vì mẫu của y0 là (cx + d)2 luôn dương vậy dấu của y0 chỉ phụ cx + d (cx + d)2
thuộc vào ad − bc do đó ta có các trường hợp:
TH1. Hàm số đồng biến nếu ad − bc > 0
TH2. Hàm số đồng biến nếu ad − bc < 0
∗) Phương pháp bấm máy cũng gần tương tự đối với hàm bậc ba đã xét ở trên (ở dạng này nên làm tay!) mx + 4
Ví dụ 1 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2). Tìm giá trị của m để hàm số y = nghịch x + m
biến trên mỗi khoảng xác định. A. −2 ≤ m ≤ 2.
B. −2 < m ≤ −1. C. −2 < m < 2. D. −2 ≤ m ≤ 1.
Lời giải. Chọn đáp án C facebook.com/VuongQuyen894 9
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy! GV: Ngô Vương Quyền a  = m      b = 4
Bài toán rơi vào trường hợp thứ 2 với  c = 1      d = m
⇒ ad − bc < 0 ⇔ m.m − 4.1 < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2.
Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Lâm Đồng (HKII)). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mx + 4 hàm số y = nghịch biến (−∞;1) là x + m A. (−2;1]. B. (−2;2). C. (−2;−1). D. [−2;2].
Lời giải. Chọn đáp án A a = m      b  = 4   
Bài toán rơi vào trường hợp thứ 4 với c = 1    d = m      x1 = 1 ad    − bc < 0 m2 − 4 < 0    − 2 < m < 2 ⇒ điều kiện là d ⇒ m ⇒
⇒ −2 < m ≤ 1 ⇒ m ∈ (−2; 1]   − > 1 m ≤ 1  − > x1 c 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN mx − 9
Câu 1 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2). Cho hàm số y =
, với m là tham số thực. 4x − m µ 1 ¶
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ; +∞ . 4 A. m ∈ [−6;6]. B. m ∈ (−6;6). C. m ∈ (−6;1]. D. m ∈ (−6;1). x − 1
Câu 2 (SỞ GD-ĐT LONG AN). Cho hàm số y =
, với m là tham số thực. Tìm tập hợp x − m
T gồm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (3; +∞). A. T = (1;+∞). B. T = (1;3]. C. T = (−∞;3). D. T = (1;3).
Câu 3 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm mx + 4 số y =
nghịch biến trên khoảng (−∞;1). x + m
A. −2 < m < −1. B. −2 ≤ m < 1. C. −2 ≤ m ≤ −1.
D. −2 < m ≤ −1.
Câu 4 (THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai, lần 3). Tìm tất cả các giá trị thực của mx − 4
tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng (−3;1). m − x A. m ∈ (1;2). B. m ∈ [1;2]. C. m ∈ [1;2). D. m ∈ (1;2].
Câu 5 (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m mx + 3 để hàm số y =
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. x + m + 2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Đáp án 1 - C 2 - B 3 - D 4 - C 5 - B
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Kiến Thức Cần Nhớ
Định lý 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (x0 − h; x0 + h) với h > 0. Điều kiện cần
và đủ để hàm số đạt cực trị tại x0 là 
 f 0(x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0) ∗) Nếu
⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số y = f (x).
 f 0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; x0 + h) 
 f 0(x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0) ∗) Nếu
⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x).
 f 0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; x0 + h)
Định lý 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (x0 − h; x0 + h). Điều
kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x0 là   f 0(x0) = 0 ∗) Nếu
⇒ x0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f (x).  f 00(x0) > 0   f 0(x0) = 0 ∗) Nếu
⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số y = f (x).  f 00(x0) < 0 Notes
∗) Đối với định lí một ở trên ta có thể hiểu đơn giản là nếu f 0(x−) và f 0(x+) trái dấu thì 0 0
hàm đạt cực trị tại x0. Ở đây Thầy lạm dụng kí hiệu f 0(x−) ta sẽ hiểu là gán x 0 = x0 − 10−8
và f 0(x+) sẽ hiểu là gán x 0
0 = 1 + 10−8 bằng máy tính.
Cho hàm số y = f (x). Khi đó:
∗) Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số kí hiệu lần lượt là xCĐ và xCT các điểm
này gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
∗) Các giá trị f (xCĐ) và f (xCT) được gọi lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu
của hàm số. Kí hiệu là fCĐ, fCT và được gọi chung là cực đại, cực tiểu của hàm số.
∗) Điểm M (xCĐ; f (xCĐ)), M (xCT; f (xCT)) được gọi lần lượt là điểm cực đại và điểm cực
tiểu của đồ thị hàm số.
∗) Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà nó không có đạo hàm.
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 1
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Minh họa bằng bảng biến thiên Cực Đại Cực Tiểu x a xCT b x a xCĐ b f 0(x) − + f 0(x) + − f (a) f (b) fCĐ f (x) f (x) fCT f (a) f (b)
Minh họa bằng đồ thị y Điểm cực đại của đồ thị hàm số fCĐ xCT x x O CĐ fCT Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất I.
Tìm cực trị của hàm số 1.
Phương pháp - ví dụ Phương Pháp Giải
Bài toán. Cho hàm số y = f (x), tìm các điểm cực trị của hàm số.
Cách 1. Sử dụng bảng biến thiên
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính f 0(x). Tìm các điểm tại đó f 0(x) = 0 bằng cách giải phương trình f 0(x) = 0
và các điểm mà f 0(x) không xác định hoặc không có đạo hàm.
Bước 3. Xét dấu f 0(x). Nếu f 0(x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại
xi cụ thể là nếu f 0(xi) đổi dấu từ dương sang âm thì đó là cực đại và f 0(xi) đổi dấu từ âm
sang dương thì đó là cực tiểu. Ở bước này ta có thể sử dụng máy tính CASIO để kiểm tra
bằng cách tính f 0(x−) và f 0(x+) rồi so sánh dấu của chúng. i i
Cách 2. Sử dụng định lí 2
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính f 0(x) và giải phương trình f 0(x) = 0 kí hiệu xi (i = 1,2,...) là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f 00(x) từ đó tính f 00(xi). Từ đó dựa vào dấu của f 00(xi) kết luận cực trị
cụ thể nếu f 00(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi, nếu f 00(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Notes
∗) Ta chỉ nên áp dụng cách số 1 cho trường hợp hàm số y = f (x) đã cho là hàm chứa
dấu giá trị tuyệt đối, hàm chứa căn thức.
∗) Cho hàm số y = f (x) và điểm x0 thuộc tập xác định. Nếu y0 đổi dấu từ dương sang
âm khi qua điểm x0 thì điểm đó là điểm cực đại, nếu y0 đổi dấu từ âm sang dương khi qua
điểm x0 thì điểm đó là điểm cực tiểu.
Ví dụ 1 (Sở GD-ĐT HCM - Cụm II). Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = x3 − 3x. A. yCT = −4. B. yCT = 2. C. yCT = −2. D. yCT = −1.
Lời giải. Chọn đáp án C
Vì hàm y = x3 − 3x không chứa căn hay giá trị tuyệt đối nên ta áp dụng cách hai ta làm như sau:
Bước 1. Tập xác định: D = R. x = 1
Bước 2. Tính đạo hàm y0 = 3x2 − 3. Giải phương trình y0 = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔  . x = −1     y00(1) = 6 > 0 xCT = 1  yCT = 13 − 3.1 = −2
Bước 3. Tính đạo hàm cấp hai y00 = 6x ⇒ ⇒ ⇒  y00(−1) = −6 < 0 xCĐ = −1
 yCĐ = (−1)3 − 3.(−1) = 2
Ví dụ 2 (TT Lê Hồng Phong - NĐ lần 1). Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 4.
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 3
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền A. (0; 2). B. (0; −4). C. (0; 4). D. (4; 0).
Lời giải. Chọn đáp án C
Vì đề bài yêu cầu tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số nên ta cần tìm đủ xCĐ và yCĐ mà
hàm số y = x4 − 2x2 + 4 không chứa dấu giá trị tuyệt đối hay căn thức, nên áp dụng cách số hai ta làm như sau: x = 0 
∗) Tính đạo hàm cấp một y0 = 4x3 − 4x ⇒ y0 = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔ x = 1 .   x = −1  
 y00(0) = 12.02 − 4 = −4 < 0 xCĐ = 0
∗) Tính đạo hàm cấp hai y00 = 12x2 − 4 ⇒ ⇒
 y00(±1) = 12.(−1)2 − 4 = 8 > 0 xCT = ±1
⇒ yCĐ = 04 − 2.02 + 4 = 4.
Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 4).
Nhận xét: Để làm nhanh ví dụ trên ta nhớ rằng hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c với
a 6= 0 luôn có cực trị cụ thể:
∗) Nếu a > 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là M(0, c).
∗) Nếu a < 0 thì đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M(0, c).
Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = −x3 + 3x + 2. A. 0. B. 1. C. 4. D. −1.
Lời giải. Chọn đáp án A
Vì đề bài yêu cầu tìm giá trị cực tiểu nên ta cần tìm yCT. x = 1
∗) Tính đạo hàm y0 = −3x2 + 3 ⇒ y0 = 0 ⇔ −3x2 + 3 = 0 ⇔  . x = −1   y00(1) = −6 < 0
∗) Tính đạo hàm cấp hai y00 = −6x ⇒
⇒ yCT = −(−1)3 + 3.(−1) + 2 = 0  y00(−1) = 6 > 0
Ví dụ 4 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II).
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−2;2] và có y 4
đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Điểm cực tiểu của đồ thị 3 hàm số y = f (x) là 2 A. x = 1. 1 x B. M(1; −2 −2). −1 2 −2 C. M(−2;−4). D. x = −2. −4
Lời giải. Chọn đáp án B
Vì đề bài yêu cầu tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên ta phải tìm cả xCT và yCT. Nhìn đồ
thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 1 và yCT = −2 ⇒ M(1;−2). 2. Bài tập tự luyện 1 1
Câu 1 (THPT Phù Cừ, Hưng Yên). Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x − . Tìm tọa độ điểm cực 3 3
đại của đồ thị hàm số.
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất µ 1 ¶ µ 1 ¶ A. (−1;1). B. 3; − . C. 0; − . D. (1; 1). 3 3 1
Câu 2 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Hàm số y = x3 + x2 − 3x + 2 đạt cực tiểu tại 3 1 A. x = 1. B. x = −3. C. x = . D. x = 0. 3
Câu 3 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Hàm số y = x3−5x2+3x+1 đạt cực trị tại 2 điểm nào sau đây? 1 A. x = 1, x = 3. B. x = −3, x = −1. C. x = −1, x = 3. D. x = , x = 3. 3
Câu 4 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Hàm số y = 3x4−4x3−6x2+12x+1 có bao nhiêu cực trị? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Câu 5 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên x −∞ 1 2 +∞ y0 + − 0 + 3 +∞ y −∞ −5 −
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và cực tiểu tại x = 2.
B. Hài số đạt cực đại tại x = 3.
C. Hàm số có đúng 1 cực trị.
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2. ĐÁP ÁN 1 - D 2 - A 3 - D 4 - A 5 - A
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 5
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền II.
Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn tính chất 1.
Phương pháp - ví dụ Phương Pháp Giải
Bài toán 1: Cho hàm số y = f (x, m) = ax3 + bx2 + cx + d, (a 6= 0). Tìm điều kiện của tham số m để hàm số thỏa mãn:
TH1: Hàm số không có cực trị thì điều kiện là b2 − 3ac ≤ 0.
TH2: Hàm số có hai điểm cực trị (hoặc hàm số có cực trị) thì điều kiện là b2 −3ac > 0.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f (x, m) có đạo hàm tại điểm x0. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số thỏa mãn:
TH1: Hàm số có cực trị tại x0 thì trước tiên ta tìm m bằng cách giải f 0(x0) = 0 sau đó
thay m tìm được vào phương trình f 0(x, m) để tính f 0(x+) và f 0(x−) bằng cách sử dụng máy 0 0
tính nếu hai giá trị này trái dấu thì ta kết luận được m là giá trị cần tìm. Có thể sử dụng  b2 − 3ac > 0
điều kiện sau chỉ đúng với hàm bậc ba là  f 0(x0) = 0   y0(x0) = 0
TH2: Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì điều kiện là  y00(x0) > 0   y0(x0) = 0
TH3: Hàm số đạt cực đại tại x0 thì điều kiện là  y00(x0) < 0 Notes
∗) Nếu ở bài toán số hai ở trên mà y0(x0) = 0 với mọi m thì đối với cả hai trường hợp
(trường hợp hai và trường hợp ba) ta cần xét thêm trường hợp y00(x0) = 0. Đối với trường
hợp này ta cần lập bảng biến thiên hoặc sử dụng máy tính để tính đạo hàm trái và đạo
hàm phải tức tính f 0(x−) và f 0(x+) nếu hai giá trị này trái dấu thì ta kết luận thêm được m 0 0
là giá trị cần tìm. Cụ thể nếu kết quả của phép tính f 0(x−) và f 0(x+) lần lượt ra dương và 0 0
âm thì x0 là cực đại, kết quả lần lượt ra âm và dương thì x0 là cực tiểu.
Ví dụ 1 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = −x3 + 2x2 − mx + 1 đạt cực đại tại x = 1. A. m = −7. B. m = 1. C. m = −1. D. m = 7.
Lời giải. Chọn đáp án B
Phân tích: Yêu cầu đề bài giống với bài toán số hai thuộc trường hợp ba như vậy ta làm như sau:
∗) Đạo hàm cấp một y0 = −3x2 + 4x − m ⇒ y0(1) = −3.12 + 4.1 − m = 1 − m ⇒ y0(1) = 0 ⇔ 1 − m = 0 ⇔ m = 1.
∗) Đạo hàm cấp hai y00 = −6x + 4 ⇒ y00(1) = −6.1 + 4 = −2 < 0 (thỏa mãn).
Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.
Ví dụ 2 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội). Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số
y = x3 − 3x2 + 3mx + 1 có cực trị.
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất A. m < 1. B. m ≥ 1. C. m > 1. D. m ≤ 1.
Lời giải. Chọn đáp án A
Phân tích: Yêu cầu của đề bài rơi vào bài toán một thuộc trường hợp thứ hai ta làm như sau:
Điều kiện để hàm số có cực trị là b2 − 3ac > 0 ⇔ (−3)2 − 3.1.3m > 0 ⇔ 9 − 9m > 0 ⇔ m < 1
Nhận xét: Một vài nhận xét cho việc giải nhanh các câu hỏi:
1. Đối với hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= 0 thì điều kiện để hàm số đạt cực   y0(x0) = 0 trị tại x0 là b2 − 3ac > 0
2. Bài toán số hai ở trên đối với TH2 và TH3 ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra
điều kiện y00(x0) xem kết quả âm hay dương, hoặc để cho có kết quả nhanh trước tiên ta
tính đạo hàm cấp một y0 sau đó sử dụng máy tính để chọn đáp án đúng nhất bằng chức năng r của CASIO.
3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3+bx2+ µ 2c 2b2 ¶ bc cx + d với a 6= 0 là y = − .x + d − . 3 9a 9a 1 1
Ví dụ 3 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Cho hàm số y = x3 − ¡m2 + 1¢ x2 + (3m − 2) x + m. Tìm tất cả 3 2
các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. A. m = −1. B. m = 2. C. m = 1. D. m = −2.
Lời giải. Chọn đáp án B
Phân tích: Sử dụng nhận xét hai trước tiên ta tính đạo hàm cấp một y0 = x2 − (m2 + 1)x + 3m − 2
sau đó dùng CASIO ta tìm đáp án đúng như sau: Quy trình bấm máy Màn hình hiển thị
Bước 1. Nhập hàm y0 = x2 −(m2 +1)x+3m−2 vào máy tính CASIO.
Bước 2. Thử đáp án nếu đáp án bằng cách nhấn r ở
đây đề bài yêu cầu hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên ta gán
x = 1 vào bằng cách tiếp tục nhấn 1 = tiếp tục gán giá
trị m nào cho kết quả là 0 thì tạm chấp nhận
Đáp án A gán m = −1 được kết quả −6 6= 0 ⇒ loại
Đáp án B gán m = 2 được kết quả 0 ⇒ như vậy tạm chấp nhận đáp án này.
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 7
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Để khẳng định xem đáp án B có chính xác hay không ta
tiếp tục tính f 0(x−) và f 0(x+) ở đây đề bài yêu cầu cực đại 0 0
tại x = 1 nên ta chú ý là kết quả của f 0(x−) phải ra dương 0
và kết quả của f 0(x+) phải ra âm tính bằng cách: 0 Tính f 0(x−) ta gán x 0
= 1 − 10−8 và gán m = 2 bằng
cách nhấn = 1 p 1 0 ; p 8 = 2 =
được kết quả 3.10−8 > 0 Tính f 0(x+) ta gán x 0
= 1 + 10−8 và vẫn gán m = 2
bằng cách tiếp tục nhấn = 1 + 1 0 ; p
8 =2= được kết quả −3.10−8 < 0.
Vậy m = 2 thỏa mãn mà f 0(x−) dương và f 0(x+) âm ta chọn 0 0 đáp án này.
Nhận xét: Cách làm bằng máy tính CASIO tương tự như ví dụ trên cũng được áp dụng
trong các hàm y = f (x, m) khác chỉ cần chú ý rằng nếu f 0(x−) và f 0(x+) trái dấu thì hàm sẽ 0 0  x− 0 = x0 − 10−8
đạt cực trị tại x0. Cụ thể ta gán như sau x+ 0 = x0 + 10−8
Ví dụ 4 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II). Hàm số y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai
điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x21 + x22 = 3. Giá trị của tham số m là 3 3 A. −3. B. − . C. . D. 3. 2 2
Lời giải. Chọn đáp án C
Phân tích: Đối với dạng này ta cần sử dụng định lí vi-ét và nhớ rằng x1, x2 là nghiệm của phương trình y0 = 0.
Cách 1: Ta có thể sử dụng CASIO để thử đáp án.
Cách 2: Để hàm số có hai điểm cực trị thì b2 − 3ac > 0 ⇔ (−3)2 − 3.1.m > 0 ⇔ m < 3.  b −6 x = − = 2  1 + x2 = −
Có y0 = 3x2 − 6x + m ⇒ y0 = 0 ⇔ 3x2 − 6x + m = 0 theo vi-ét ta có a 3 Điều kiện c m  x1.x2 = = a 3 m 3 đề bài x2 . 1 + x2
2 = 3 ⇔ (x1 + x2)2 − 2.x1.x2 = 3 ⇒ 22 − 2. = 3 ⇒ m = 3 2 2. Bài tập tự luyện
Câu 1 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VII). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x3 − 2mx2 + m2x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1. A. m = 1. B. m = 3. C. m = 1 ∨ m = 3. D. m = −1.
Câu 2 (THPT Thực hành Cao Nguyên, Đắk Lắk, lần 2). Hàm số y = x3+mx+2 có cực đại và cực tiểu khi A. m < 0. B. m > 0. C. m ≤ 0. D. m ≥ 0.
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất
Câu 3 (HK2 THPT YÊN VIÊN). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
x3 − 3mx2 + (2m + 1)x − 2 đạt cực trị tại x = 1. A. m = 1. B. m = −1. C. m = 2.
D. Không tồn tại m.
Câu 4 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
y = x3 − 3mx2 + 6mx + m có 2 điểm cực trị.   m < 0 m < −2 A. 0 < m < 2. B.  . C. −2 < m < 0. D.  . m > 2 m > 0
Câu 5 (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
hàm số y = x3 − mx + 3 không có cực trị. A. m < 0. B. m > 0. C. m = 0. D. m ≤ 0.
Câu 6 (THPT Chuyên Thái Nguyên, lần 3). Nếu x = −1 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f (x) = −x3 + 2(2m − 1)x2 − (m2 + 8)x + 2 thì giá trị của m là A. m = −7. B. m = −1. C. Không có m. D. m = −1, m = −7.
Câu 7 (THPT Chu Văn An, Đắk Nông). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho 1
hàm số y = x3 − mx2 − x + m + 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x2 3 1 + x2 2 + 4x1 x2 = 2. A. m = 0. B. m = 2. C. m = 3, m = −3. D. m = 1, m = −1. ĐÁP ÁN 1 - A 2 - A 3 - D 4 - B 5 - D 6 - C 7 - D 3.
Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
Đối với hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c ⇒ y0 = 4ax3 + 2bx với a 6= 0 ta có một số kết quả sau:
Hàm số có một cực trị là A(0; c) nếu ab ≥ 0
Hàm số có ba cực trị nếu ab < 0
a > 0 có một cực đại a < 0 có hai cực đại
a > 0 có một cực tiểu
a < 0 có một cực đại là A(0; c) và hai cực và một cực tiểu là là A(0; c) là A(0; c) tiểu A(0; c) µ r b ∆ ¶ µr b ∆ ¶
Nếu hàm số có ba cực trị thì ba cực trị là A(0; c), B − − ; − , C − ; − 2a 4a 2a 4a s b4 b r b ⇒ AB = AC = − , BC = 2 − với ∆ = b2 − 4ac 16a2 2a 2a ∆ 3 µr b ¶
Phương tình qua điểm cực trị BC : y = − và AB, AC : y = ± − x + c 4a 2a b3 + 8a b5 Gọi
B AC = α, luôn có 8a (1 + cosα) + b3 (1 − cosα) = 0 ⇒ cosα = và S2 = − . b3 − 8a ∆ABC 32a3 µ r b ∆ ¶
Một số công thức giải nhanh: Nếu hàm số y = ax4+bx2+c có ba cực trị A(0; c), B − − ; − , 2a 4a µr b ∆ ¶ C − ; −
tạo thành một tam giác thỏa mãn dữ kiện: 2a 4a
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 9
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền STT Dữ Kiện Công Thức
Vì hàm số có ba cực trị nên trong trường hợp này ta luôn chú ý ab < 0 1
Tam giác ABC vuông tại A hoặc tam giác ABC cân tại A 8a + b3 = 0 2 Tam giác ABC đều 24a + b3 = 0 α 3 Tam giác ABC có góc B AC = α 8a + b3.tan2 = 0 2 4
Tam giác ABC có diện tích S∆ABC = S0 32a3(S0)2 + b5 = 0 s b5 5
Tam giác ABC có diện tích max(S0) S0 = − 32a3 b2 6
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0 =  s  r b3 0 4|a|1 + 1 −  8a 7
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 am20 + 2b = 0 8
Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16a2n20 − b4 + 8ab = 0 9
Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 − 4ac = 0 10
Tam giác ABC có ba góc nhọn b(8a + b3) > 0 11
Tam giác ABC có trọng tâm O b2 − 6ac = 0 12
Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a − 4ac = 0 b3 − 8a 13
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 8|a|b R∆ABC = R0 14
Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 − 2ac = 0 15
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 − 8a − 4abc = 0 16
Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 − 8a − 8abc = 0 17
Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC b3.k2 − 8a(k2 − 4) = 0 p 18
Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện b2 = 4 2|ac| tích bằng nhau 19
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 − 8ac = 0
Ví dụ 1 (THPT Lương Thế Vinh-Hà Nội-Lần 3). Cho hàm số f (x) = x4 − 2x2 + 3. Tính diện
tích S của tam giác có ba đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số. 1 A. S = 2. B. S = 1. C. S = 4. D. S = . 2
Lời giải. Chọn đáp án B
Phân tích: Ở đây đề yêu cầu là tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của b5
đồ thị hàm số trùng phương nên ta áp dụng công thức tính nhanh ở trên là S2 = − áp 32a3 dụng vào bài ta được:  a = 1 b5 (−2)5
Hàm số f (x) = x4 − 2x2 + 3 ⇒ ⇒ S2 = − = − = 1. 32a3 32.13 b = −2
Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hàm số y = x4 − mx2 + m4, với m là tham
số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. p p A. m = −2. B. m = 2. C. m = 2 3 3. D. m = −2 3 3.
Lời giải. Chọn đáp án B
Tham gia hỏi bài tại Group: facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10
Lớp Luyện Thi Đại Học Thầy Giuse Quyền
Tham gia lớp học để có Skill giải nhanh nhất
Phân tích: Để ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông thì rơi vào trường hợp số 1 trong bảng  ab < 0 trên tức điều kiện là áp dụng vào bài ta có: 8a + b3 = 0    a = 1 ab < 0 m > 0
Hàm số y = x4 − mx2 + m4 có ⇒ ⇔ ⇒ m = 2 b = −m 8a + b3 = 0 8.1 − m3 = 0 4. Bài tập tự luyện
Câu 1 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp). Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị? A. y = ¡x2 + 1¢2 .
B. y = −x4 − 3x2 + 4 .
C. y = x3 −6x2 +9x −5 . D. y = 2x4 − 4x2 + 1 .
Câu 2 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x4 −6x2 +5. p p p p
A. ¡ 3, 0¢ và ¡− 3,0¢.
B. ¡ 3, 4¢ và ¡− 3,4¢. p p C. (0, 5).
D. ¡ 3, −4¢ và ¡− 3,−4¢.
Câu 3 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của
hàm số y = x4 −2mx2 +1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. p p p −1 + 5 −1 − 5 −1 + 5 A. m = . B. m = 1; m = . C. m = 1. D. m = 1; m = . 2 2 2
Câu 4 (Sở GD-ĐT HCM-Cụm 6). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm
số y = x4 + 2mx2 + 4 có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ. A. m = 2.
B. m = −2 hoặc m = 2.
C. Không có giá trị m nào. D. m = −2.
Câu 5 (Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4. Tìm giá trị m để đồ thị
hàm số có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4. p p p A. m = 16. B. m = 5 16. C. 3 16. D. − 3 16. ĐÁP ÁN 1 - D 2 - D 3 - C 4 - D 5 - B
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 11
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.
ã Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu
f (x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f (x0) = M. Kí hiệu là M = max f (x). D ền ền ã Số m được Quy
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) Quy trên tập D nếu f (x) ≥
m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f (x0) = m. Kí hiệu m = min f (x). D
Định lý 1. Hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì tồn tại giá trị lớn nhất và giá Vương
trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Vương I.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất Phương Pháp Giải ền ền
Bài toán: Cho hàm Quy
số y = f (x), tìm giá trị lớn nhất và giá trị Quy nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b]. Vương
Bước 1. Tìm các điểm x1, x2, x3,..., xn trên Vương
khoảng (a; b) mà tại đó f 0(x) = 0
hoặc f 0(x) không xác định.
Bước 2. Tính f (a), f (x1), f (x2), f (x3),..., f (xn), f (b).
Bước 3. Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số trên thì đó lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].
Ví dụ 1 (THPT Chu Văn An, ền
Đắk Nông). Tìm giá trị lớn nhất của hàm ền số y = x3 − x2 − 8x trên đoạn [1;3]. 176 Quy Quy A. max y = . B. max y = −4. C. max y = −6. D. max y = −8. [1;3] 27 [1;3] [1;3] [1;3] Lời Vương
giải. Chọn đáp án C Vương
Phương pháp tự luận: x = 2
Bước 1. Có y0 = 3x2 − 2x − 8 ⇒ y0 = 0 ⇔ 3x2 − 2x − 8 = 0 ⇔  4 x = − ∉ [1;3] 3
Bước 2. Tính f (1) = 13 − 12 − 8.1 = −8, tương tự ta có f (2) = −12, f (3) = −6.
Bước 3. So sánh các số ở bước hai ta thấy min y = −12 và max y = −6 [1;3] [1;3]
Phương pháp sử dụng CASIO:
Ta sử dụng chức năng table của máy tính CASIO như sau: Để vào được chức năng này
nhấn w 7 sau đó nhập hàm y = x3 − x2 − 8x vào máy tính rồi cho Start? bằng 1 rồi
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 1
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
nhấn = cho End? bằng 3 rồi nhấn = cho Step? bằng 0, 5 (thường cho giá trị này bằng
0, 5 trong một số trường hợp ta cho bằng 0, 2, 0, 3...) rồi nhấn = máy sẽ cho một bảng
ta so sánh xem giá trị nào lớn nhất trong bảng thì đó là giá trị lớn nhất của hàm số và
giá trị nào nhỏ nhất trong
bảng thì đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Nhìn bảng ta thấy giá trị lớn nhất là −6 vậy max y = [1;3] −6
Ví dụ 2 (THPT Ngô Sĩ Liên, ền
Bắc Giang -Học kì II). Giá trị nhỏ nhất ền của hàm số
y = x4 + 2x2 − 1 trên đoạn [−1;2] là A. −1. Quy B. 2. C. 1. Quy D. −2.
Lời giải. Chọn đáp án A Vương
Phương pháp tự luận:
Bước 1. Có y0 = 4x3 + 4x ⇒ y0 = 0 ⇔ 4x3 + 4x = 0 Vương ⇔ x = 0.
Bước 2. Tính y(−1) = (−1)4 + 2(−1)2 − 1 = 2, y(0) = −1, y(2) = 23.
Bước 3. So sánh các số vừa tính được ở trên ta thấy min y = −1. [−1;2]
Phương pháp sử dụng CASIO:
Nhấn liên tiếp các bước như ền sau: w 7 Q [ ền ; 4 $ + 2 Q [ d p 1 = p 1 = 2 = 0 Quy . 2 = $ sau đó tra Quy
bảng ta thấy giá trị nhỏ nhất là −1 vậy min y = −1 [−1;2] Vương Vương Nhận xét:
∗) Ở đây Thầy cho Step? (bước nhảy) bằng 0, 2 như vậy tùy bài em sẽ cho
Step? với giá trị là bao nhiêu (thường là 0, 2, 0, 3, 0, 5) lưu ý rằng bảng này chỉ tính được 20 giá trị. ền ền
∗) Nếu đề bài Quy
không cho tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất Quy trên đoạn [a; b] thì ta
cần tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của nó trên tập xác định. Vương Vương
Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 2). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ p
nhất của hàm số f (x) = x + 4 − x2. Tính M − m. p p p A. M − m = 2 2. B. M − m = 2 2 − 2. C. M − m = 4. D. M − m = 2 2 + 2.
Lời giải. Chọn đáp án D
Phương pháp tự luận: Vì yêu cầu đề bài không có đoạn [a; b] nên ta sẽ tìm tập xác
định của hàm số trước rồi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định:
Bước 1. Tìm tập xác định: 4 − x2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2. Vậy ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và x
giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [−2;2]. Có y0 = 1 − p4−x2
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 2
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! p x 4 − x2 − x p p ⇒ y0 = 0 ⇔ 1 − p = 0 ⇔ p = 0 ⇒ 4 − x2 − x = 0 ⇔ 4 − x2 = x 4 − x2 4 − x2 (x ≥ 0 (x ≥ 0 (x ≥ 0 p ⇔ ⇔ ⇔ p ⇒ x = 2 4 − x2 = x2 2x2 = 4 x = ± 2 p p Bước 2. p Tính y(−2) = −2 +
4 − (−2)2 = −2 tương tự ta có y( 2) = 2 2, y(2) = 2. p (M = max y = 2 2 p
Bước 3. So sánh các số vừa tính được ta thấy ⇒ M − m = 2 2+2. m = min y = −2
Phương pháp sử dụng C ền
ASIO: Với phương pháp này ta vẫn cần phải ền tìm điều kiện
xác định của hàm số làm tương tự như trên ta có điều kiện xác định là [−2;2] ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và Quy
nhỏ nhất trên đoạn này ta vẫn sử dụng chức Quy năng w 7 như
trên và cho Step? bằng 0.5 được kết quả như sau:
Giá trị nhỏ nhất là m = min y = −2 Vương Vương p
Giá trị lớn nhất là M = max y = 2,8228 ≈ 2 2 ền ền p Vậy M − m = 2 2 + 2 Quy Quy II. Vương
Mối liên hệ giữa f’(x) và f(x) Vương
Ví dụ 1 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội).
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R, đồ thị của hàm số y = f 0(x) có y y = f 0(x)
dạng như hình vẽ bên. Số nào lớn nhất trong các số sau f (0), f (1), x f (2), f (3)? ền O 1 2 ền 3 A. f (1). B. f (2). C. f (3). D. f (0).
Lời giải. Chọn đáp Quy án A Quy
Để so sánh các số f (0), f (1), f (2), f (3) ta cần lập bảng biến thiên của hàm số ban đầu y = f (x) Vương
mà để lập được bảng biến thiên ta cần biết "x Vương
dấu của hàm số f 0(x) và những điểm = 1
mà f 0(x) = 0 nhìn vào đồ thị ta thấy f 0(x) = 0 ⇔ x =3 Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 2 3 +∞ f 0(x) + 0 − 0 + f (1) f (x) f (2) f (0) f (3)
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 3
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Để lập được bảng biến thiên như trên ta quan sát đồ thị của hàm số y = f 0(x) thấy rằng:
∗) Từ (−∞; 1) hàm số f 0(x) nằm phía trên trục hoành do đó mang dấu dương.
∗) Từ (1; 3) hàm số f 0(x) nằm phía dưới trục hoành do đó mang dấu âm.
∗) Từ (3; +∞) hàm số f 0(x) nằm phía trên trục hoành do đó mang dấu dương.
Như vậy nhìn vào bảng biến thiên ta thấy số lớn nhất trong các số f (0), f (1), f (2), f (3)
là số ở vị trí cao nhất f (1).
Ví dụ 2 (THPT Quốc Học, Quy Nhơn). Cho hàm số y
y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f 0(x) cũng liên tục
trên R. Hình bên là đồ thị của ền
hàm số f 0(x) trên đoạn [−5;4]. Trong các −5 ền
khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 4 O x A. min f (x) −4 1 = f (−5).
B. min f (x) = f (−4). x∈[−5;4] Quy x∈[−5;4] Quy C. min f (x) = f (1). D. min f (x) = f (4). x∈[−5;4] x∈[−5;4] Lời Vương
giải. Chọn đáp án B Vương
Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) x −∞ −5 −4 1 4 +∞ f 0(x) − ền0 + 0 − ền f (1) f (x) Quy f (−5) f Quy (4) f (−4) − Vương Vương ( f (−5) > f (−4)
Nhìn bảng biến thiên ta thấy
vậy để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (1) > f (4)
trên đoạn [−5;4] ta chỉ cần so sánh f (−4) và f (4).
Gọi S1, S2 lần lượt là diên tích tạo bởi đồ thị của hàm số y = f 0(x) và trục Ox trên các
đoạn [−4;1], [1;4]. Từ đồ thị, ta ền thấy S1 > S2. ền 1 4 1 4 4 Z Z Z Z Z Suy ra f 0(x) dx > − Quy f 0(x) dx ⇔ f 0(x) dx + f 0(x) dx > 0 ⇔ f 0(x) dxQuy > 0. −4 1 −4 1 −4
Vậy f (4) > f (−4). Do đó min f (x) = f (−4). Vương x∈[−5;4] Vương
Nhận xét: Như vậy đối với dạng toán cho đồ thị của hàm số y = f 0(x) rồi yêu cầu
tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất thì trước tiên từ đồ thị ta lập bảng biến thiên của
hàm số y = f (x) sau đó nếu chưa so sánh được ta cần dựa vào ứng dụng của tích
phân so sánh diện tích hai hình trên đồ thị.
Ví dụ 3 (THPT Hải An-Hải Phòng).
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 4
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0(x) liên tục trên R y
và đồ thị của hàm số 3
f 0(x) trên đoạn [−2;6] như hình
vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 2 sau 1 A. max f (x) = f (2).
B. max f (x) = f (−1). O [−2;6] [−2;6] −2 −1 2 4 6 x C. max f (x) = f (6).
D. max f (x) = f (−2). [−2;6] [−2;6]
Lời giải. Chọn đáp án C
Từ đồ thị của f 0(x) ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau: x −2 ền−1 2 ền 6 y0 Quy + 0 − 0 +Quy f (−1) − f (6) y Vương f (−2) − Vương f (2)  f (−1) > f (−2)   
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f (−1) > f (2)
Do vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị   lớn nhất tại x ềnf(6)> f(2) ền = −1 hoặc x = 6.
Gọi S1 là hình phẳng Quy
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f 0(x), trục Ox v Quy
ới −1 ≤ x ≤ 2 và S2 là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f 0(x), trục Ox với 2 ≤ x ≤ 6. 2 6 Z Z Nhìn v Vương
ào đồ thị ta thấy S1 < S2 ⇐⇒ − f 0(x)dx < f 0 Vương
(x)dx =⇒ f (−1) < f (6). Vậy max f (x) = [−2;6] −1 2 f (6). III.
Bài tập tự luyệnền ền
Câu 1 (THPT Thạch Quy
Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Tìm giá tr Quy ị lớn nhất của hàm
số y = x3 + 3x2 − 9x + 7 trên đoạn [−2;2]. A. max y = 29. B. max y = 9. C. max y = 5. D. max y = 34. [−2;2] [−2;2] [−2;2] [−2;2] Câu 2 Vương
(Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 317). Gọi Vương
m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và x − 1
giá trị lớn nhất của hàm số y =
trên đoạn [1; 3]. Tính S = m + M. 2x + 1 2 2 A. S = . B. S = − . C. S = 3. D. S = 4. 7 7
Câu 3 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x4 + 2x2 − 1 trên đoạn [−1;2]. A. −1. B. 2. C. 1. D. −2.
Câu 4 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp).
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 5
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền · 3 ¸
Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên −1; và có đồ thị là y 2 4
đường cong như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m · 3 ¸
của hàm số f (x) trên −1; là 2 7 A. M = 4, m = 1 . B. M = , m = −1 . 2 1 7 x C. M = 4, m = −1 . D. M = , m = −1 . 2 −1 O 3 2 −1 1
Câu 5 (Sở GD & ĐT Phú Y ền
ên). Biết hàm số f (x) = x4 − 2x2 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất 4 ền trên đoạn [−1;3] tại Quy
điểm x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 = 0. B. x0 = ±2. C. x0 = −3. Quy D. x = 2.
Câu 6 (Sở GD và ĐT TP.HCM,CỤM I). Cho hàm số f (x) = x3 − 3x2 + 7x + 2017. Gọi M là giá Vương
trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 2017]. Vương
Khi đó, phương trình f (x) = M có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 7 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V). Tìm giá trị điểm cực tiểu của hàm số y = −x3 + 6x2 + 15x + 10. A. 5. B. 110. ền C. 2. D. −1. ền p Câu 8 (SGD BẮC Quy
GIANG). Cho hàm số y = x + 1 − x2. Gọi M, Quy m lần lượt là giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Giá trị của biểu thức 49M2 − m2 bằng A. 96. B. 97. C. 95. D. 94. p Câu 9 Vương
(Sở GD và ĐT Hà Tĩnh). Tìm giá trị nhỏ Vương
nhất của hàm số f (x) = x2 − 2x + 5 trên đoạn [−1;3]. p 5 p A. 2. B. 2 3. C. . D. 2 2. 2 p
Câu 10 (Tạp chí THTT, lần 9). Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2x − x2 trên đoạn · 3 ¸ 0; là ền ền 2 p A. 0. Quy B. 1. C. 2. Quy D. 3.
Câu 11 (Tạp chí THTT, lần 9). Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm sốVương
f (x) = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trên đoạn [−5;5]. Vương
Khi đó tổng M + m có giá trị là một
số thuộc khoảng nào dưới đây? A. (369; 471). B. (313; 315). C. (149; 151). D. (−6;10).
Câu 12 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x − m2 trên [0;1]. x + 1 1 + m2 1 − m2 A. max y = . B. max y = . C. max y = m2. D. max y = −m2. [0;1] 2 [0;1] 2 [0;1] [0;1]
Câu 13 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 − 3x + 2 trên đoạn [−1;2].
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 6
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! A. max f (x) = −2. B. max f (x) = 0. C. max f (x) = 4. D. max f (x) = 2. [−1;2] [−1;2] [−1;2] [−1;2]
Câu 14 (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH, LẦN 4). Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các
giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = ¯¯x2 − 2x + m¯¯ trên [−1;2] bằng 5.
A. (−5;−2) ∪ (0;3). B. (0; +∞).
C. (−6;−3) ∪ (0;2). D. (−4;3).
Câu 15 (Sở GD và ĐT Gia Lai).
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Biết rằng đồ thị của hàm số y
y = f 0(x) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a, b, c như
hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới ền đây là mệnh đề đúng? ền
A. f (c) > f (a) > f (b).
B. f (a) > f (c) > f (b). x a b c O
C. f (b) > f (a) > f (c). Quy
D. f (c) > f (b) > f (a). Quy
Câu 16 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = −x2+4x−m trên Vương
đoạn [−1;3] là 10. Khi đó, giá trị m là bao Vương nhiêu? A. 3. B. −15. C. −6. D. −7. x2 + 3
Câu 17 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên x − 1 đoạn [2; 4]. 19 A. miny = −2. B. miny = 6. C. miny = −3. D. miny = . [2;4] [2;4] ền [2;4] [2;4] ền 3 Câu 18 (Sở GDDT Quy Phú Thọ, Lần 1). Quy Cho hàm số y y
= f (x) xác định và liên tục trên đoạn
[−2;2], có đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình vẽ. Tìm giá trị Vương
x0 để hàm số y = f (x) đạt giá trị lớn nhất Vương trên 1 x đoạn [−2;2]. 0 −2 −1 1 2 A. x0 = 1. B. x0 = −1. C. x0 = −2. D. x0 = 2. ền ền Quy Quy Câu Vương
19 (THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, Vương lần 3).
Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y a
y = f (x). Biết hàm số y = f 0(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m b c d x
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) O
trên [0; d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. M + m = f (0) + f (c).
B. M + m = f (d) + f (c).
C. M + m = f (b) + f (a).
D. M + m = f (0) + f (a). ĐÁP ÁN
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 7
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền 1 A 3 A 6 C 8 B 10 B 12 B 14 A 16 C 18 A 2 A 4 C 7 C 9 A 11 A 13 C 15 A 17 B 19 A ền ền Quy Quy Vương Vương ền ền Quy Quy Vương Vương ền ền Quy Quy Vương Vương
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 8
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! §4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Kiến Thức Cần Nhớ
Định nghĩa: Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f (x), khi đó:
ã Tiệm cận đứng: Nếu có một trong các điều kiện lim f (x) = +∞, hoặc x→x+ 0
lim f (x) = −∞, hoặc lim f (x) = −∞, hoặc lim f (x) = −∞ thỏa mãn thì đường thẳng x→x+ x→x− x→x− 0 0 0
x = x0 là tiệm cận đứng của ền đồ thị hàm số (C).
ã Tiệm cận ngang: Nếu có một trong các điều kiện lim f (x) ền = y0 hoặc x→+∞
lim f (x) = y0 thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C). x→−∞ Quy Quy I. T Vương
ìm tiệm cận ngang - tiệm cận Vương đứng Phương Pháp Giải P(x)
Bài toán: Cho hàm số y = f ( ền x) =
tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ Q(x) ền thị hàm số.
∗) Tiệm cận đứng: Quy
Ta sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng Quy như sau:
Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình Q(x) = 0 giả sử được các Vương nghiệm là x1, x2,...
Bước 2. Thay các nghiệm x1, x2,... ở trên vào Vương
tử tức thay xi vào P(x) được P(xi)
nếu kết quả ra một số khác 0 thì x = xi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, nếu
kết quả ra 0 hoặc không xác định thì x = xi không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
∗) Tiệm cận ngang: Ta vẫn f (x) ền
sử dụng định nghĩa của tiệm cận ngang và lim f (x). ền như sau: Bước 1. Tính lim x x Bước 2. So Quy →+∞ →−∞
sánh kết quả nếu lim f (x) ra kết quả là một số hữu hạn tức y0 x→+∞ Quy
thì hàm số có tiệm cận ngang là y = y0 tương tự đối với trường hợp lim f (x), ngược x→−∞ lại Vương
nếu ra kết quả là ±∞ thì hàm số không có Vương tiệm cận ngang. Notes
Nếu ở cách tìm tiệm cận đứng trên bước 1 ta giải ra nghiệm x = x0 bội n với n ≥ 2 thì P(x)
ta cần sử dụng máy tính CASIO để tính giới hạn lim nếu kết quả ra vô cùng x→x± Q(x) 0
thì x = x0 là tiệm cận đứng và kết quả ra một số hữu hạn thì x = x0 không là tiệm
cận đứng. Hoặc ta có thể tìm tiệm cận đứng bằng cách như sau:
Giải phương trình mẫu Q(x) = 0 được các nghiệm là xi sau đó ta tính giới hạn
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 9
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền P(x) lim
nếu kết quả ra vô cùng thì x = xi là tiệm cận đứng nếu kết quả ra một số x→x± Q(x) i
hữu hạn thì x = xi không là tiệm cận đứng. 2 − x
Ví dụ 1 (Sở GD-ĐT Yên Bái). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = có x + 2 phương trình là A. x = −2. B. y = 2. C. y = −1. D. x = −1.
Lời giải. Chọn đáp án A
Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x + 2 = 0 ⇒ x = −2.
Bước 2. Thay x = −2 vào ền
tử số tức thay vào 2 − x ta được kết quả là 4 6= ền 0.
Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Ví dụ 2 (Sở GD và Quy
ĐT Lâm Đồng - Học kì 2). Đường thẳng Quy nào dưới đây là tiệm 1
cận ngang của đồ thị hàm số y = ? x − 1 A. x Vương = −1. B. y = 1. C. x = Vương 1. D. y = 0.
Lời giải. Chọn đáp án D 1 1
Bước 1. Tính giới hạn lim = 0 và lim = 0. x→+∞ x − 1 x→−∞ x − 1
Bước 2. So sánh kết quả vì hai giá trị lim f (x) và lim f (x) đều ra một số hữu x→+∞ x→−∞
hạn nên ta có y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ví dụ 3 (THPT Chu Văn An, ền
Đắk Nông). Tìm tất cả các đường tiệm ền cận đứng của 7 − x2 đồ thị hàm số y = Quy. Quy (x − 2)(x − 3) A. x = −2, x = −3. B. y = 2, y = 3. C. x = 2, x = 3. D. y = −2, y = −3. Lời Vương
giải. Chọn đáp án C Vương "x = 2
Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình (x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x =3 (x = 2 Bước 2. Thay
vào tử số tức thay vào 7 − x2 ta được: x = 3
- Với x = 2 ⇒ 7 − x2 = 3 ền
6= 0 ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng. ền - Với x = 3 ⇒ 7Quy
− x2 = −2 6= 0 ⇒ x = 3 là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = 3. Quy
Ví dụ 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3). Tìm đường tiệm cận ngang của 2 − x đồ thị Vương hàm số y = . 9 − x2 Vương A. x = 0. B. y = 1. C. y = 0. D. Không có.
Lời giải. Chọn đáp án C 2 − x 2 − x
Bước 1. Tính giới hạn lim = 0 và lim = 0. x→+∞ 9 − x2 x→−∞ 9 − x2
Bước 2. So sánh kết quả vì hai giá trị lim f (x) và lim f (x) đều ra một số hữu x→+∞ x→−∞
hạn là 0 nên ta có y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 10
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! ax + b d
Nhận xét: Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận đứng là đường thẳng x = − và cx + d c a
tiệm cận ngang là đường thẳng x = . c 1 − x
Ví dụ 5 (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HK2)). Đồ thị hàm số y = có tất cả bao 2x + 1 nhiêu đường tiệm cận? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Lời giải. Chọn đáp án A  ền a = −1      ền 1 − x −x + 1 b = 1 Sử dụng nhận xét Quy
trên ta có đồ thị hàm số y = = ⇒ có tiệm cận 2x + 1 2x + 1 Quy  c = 2     d = 1 d 1 a −1 1 đứng Vương
là đường thẳng x = − = − và tiệm cận ngang là đường thẳng y = = = − . c 2 Vương c 2 2
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. x2 + 1
Ví dụ 6 (THPT Bắc Duyên Hà, Thái Bình, lần 2). Đồ thị hàm số y = có x2 − 3|x| − 4
bao nhiêu tiệm cận đứng? A. 1. B. 4. ền C. 3. D. 2. ền
Lời giải. Chọn đáp án D Bước 1. Giải Quy
phương trình mẫu tức giải phương trình x2 − 3Quy |x| − 4 = 0 ta xét hai trường hợp như sau: "x Vương = 4
TH1: x ≥ 0 ⇒ |x| = x ⇒ x2 − 3|x| − 4 = 0 ⇔ x2 −Vương 3x − 4 = 0 ⇔ ⇒ x = 4. x = −1 < 0 "x = 1
TH2: x < 0 ⇒ |x| = −x ⇒ x2 − 3|x| − 4 = 0 ⇒ x2 + 3x − 4 = 0 ⇔ ⇒ x = 1. x = −4 < 0 (x = 4
Vậy phương trình x2 − 3|x| − 4 = ền 0 có hai nghiệm là . x = 1 ền (x = 4 Bước 2. Thay
vào tử tức thay vào x2 + 1 ta được: x Quy Quy = 1
- Với x = 4 ⇒ x2 + 1 = 17 6= 0 ⇒ x = 4 là tiệm cận đứng. Vương
- Với x = 1 ⇒ x2 + 1 = 2 6= 0 ⇒ x = 1 là tiệm Vương cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1. p4−x2
Ví dụ 7 (Sở GD và ĐT Lâm Đồng (HKII)). Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu x2 − 3x − 4 đường tiệm cận? A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Lời giải. Chọn đáp án B Tiệm cận đứng: "x = −1
Bước 1. Giải phương trình mẫu tức giải phương trình x2 − 3x − 4 = 0 ⇔ x =4
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 11
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền "x = −1 p Bước 2. Thay vào tử tức thay vào 4 − x2 ta được: x = 4p p
- Với x = −1 ⇒ 4 − x2 = 3 6= 0 ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng. p p p
- Với x = 4 ⇒ 4 − x2 = 4 − 42 = −12 không xác định do đó đường thẳng x = 4
không là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = −1. p p 4 − x2 4 − x2
Tiệm cận ngang: Tính giới hạn lim và lim ta thấy hai giới x→+∞ x2 − 3x − 4 x→−∞ x2 − 3x − 4
hạn này đều không xác định tức không tồn tại hai giới hạn này nên đồ thị hàm số đã
cho không có tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số có duy nhất ền
một đường tiệm cận là x = −1. ền Quy Quy
Nhận xét: Trong một số trường hợp để làm nhanh cách tìm tiệm cận đứng và tiệm
cận ngang của đồ thị hàm số chứa căn thức ta trước tiên có thể tìm tập xác định của Vương
hàm số rồi áp dụng phương pháp trên thì sẽ Vương
loại được những giá trị không cần thiết.
Áp dụng vào bài này ta có điều kiện xác định của hàm số là 4 − x2 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 p4−x2
nên ta loại luôn trường hợp x = 4 và không cần tính hai giới hạn lim và p4−x2 ền x→+∞ x2ền − 3x − 4 lim
vì ở đây x → ±∞ không thỏa mãn −2 ≤ x ≤ 2. x→−∞ x2 − 3x − 4 Quy Quy II.
Tìm tiệm cận dựa vào bảng biến thiên Vương Vương
Ví dụ 1 (THPT Quốc Thái, An Giang). Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên
tập R\{1} và có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 1 +∞ y0 ền− − ền Quy −1 − +∞ Quy y Vương −∞ Vương3
Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x). A. y = −1, y = 3. B. y = −1, y = 1. C. y = 0, y = 1. D. y = 1, y = 3.
Lời giải. Chọn đáp án A
Tiệm cận đứng: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi x tiến tới 1 từ vế trái tức khi
x → 1− thì hàm số y nhận giá trị −∞ điều này có nghĩa là lim f (x) = −∞ ⇒ x = 1 là tiệm x→1− cận đứng.
Tiệm cận ngang: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:
- Khi x → −∞ thì giá trị của y tiến đến −1 điều này có nghĩa là lim f (x) = −1 ⇒ x→−∞
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 12
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
y = −1 là tiệm cận ngang.
- Khi x → +∞ thì giá trị của y tiến đến 3 điều này có nghĩa là lim f (x) = 3 ⇒ y = 3 x→+∞ là tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận ngang là y = −1 và y = 3.
Nhận xét: Như vậy để làm được dạng toán này ta cần nhớ lại định nghĩa của tiệm
cận ở phần kiến thức cần nhớ trên ngoài ra ta có thể hiểu một cách đơn giản như sau:
ã Tiệm cận đứng: Khi x tiến đến x0 từ bên trái hoặc từ bên phải thì y tiến
đến vô cùng thì x = x0 là tiệm ền cận đứng. ền
ã Tiệm cận ngang: Khi x tiến đến −∞ hoặc x tiến đến +∞ thì y tiến đến
một số y0 thì y = y0 Quy là tiệm cận ngang. Quy
∗) Tóm lại tiệm cận đứng có thể hiểu là x tiến đến một số, y tiến đến vô cùng.
tiệm cận ngang có thể hiểu là x tiến đến vô cùng, y tiến đến một số. Vương Vương
Ví dụ 2 (Chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ). Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như bảng dưới đây. x −∞ −1 +∞ f 0(x) ền+ − ền −1 − +∞ f ( Quy x) Quy −∞ 1 Trong Vương
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Vương
A. Đồ thị của hàm số f (x) có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
B. Đồ thị của hàm số f (x) không có tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
C. Đồ thị của hàm số f (x) có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị của hàm số f (x) có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.
Lời giải. Chọn đáp án D ền ền Tiệm cận đứng: Quy
Quan sát bảng biến thiên ta thấy x tiến đến Quy −1 thì y tiến đến vô
cùng nên x = −1 là tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang: Quan sát bảng biến thiên ta thấy: - Vương
Khi x tiến đến −∞ thì y tiến đến −1 nên y = Vương −1 là tiệm cận ngang.
- Khi x tiến đến +∞ thì y tiến đến 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang. ( y = −1
Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = −1 và hai tiệm cận ngang là y =1 III.
Tìm m để hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện Phương Pháp Giải
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 13
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền P(x)
Bài toán: Cho hàm số y = f (x, m) =
tìm tất cả các giá trị thực của tham số m Q(x)
để đồ thị hàm số có a tiệm cận đứng (hoặc a tiệm cận ngang, hoặc a tiệm cận nói chung).
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của tử P(x) và mẫu Q(x).
Bước 2. Ta nhớ lại cách tìm tiệm cận để giải quyết bài toán này:
TH1. Có a tiệm cận đứng thì phương trình ở mẫu Q(x) = 0 phải có a nghiệm
trong đó a nghiệm này phải thuộc điều kiện xác định ở bước một và không là nghiệm của tử.  lim f (x)  TH2. x Có a tiệm cận ền ngang thì các giới hạn →+∞ phải ra a số ền hữu hạn. TH3. Quy  lim f (x) x→−∞ Quy
Có a tiệm cận thì ta cần tính cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đã xét ở trên. Vương Vương
Ví dụ 1 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số x2 + x − 2
m để đồ thị hàm số y =
có hai đường tiệm cận đứng. x2 − 2x + m A. m ∈ (−8;1).
B. m ∈ (−∞;−8) ∪ (−8;1). C. m ∈ (−∞;−1). D. m ền ∈ (−∞; 1).
Lời giải. Chọn đáp án B ền
Phân tích: Bài toán Quy
rơi vào trường hợp số 1. Vì yêu cầu đề bài Quy cần có hai tiệm cận
đứng nên phương trình ở mẫu cần có hai nghiệm thuộc tập xác định của cả tử và mẫu
mà hai nghiệm này phải khác nghiệm của tử nên ta làm như sau: Vương
Bước 1. Điều kiện xác định của tử x2 + x − 2 vàVương
mẫu x2 − 2x + m là x ∈ R.
Bước 2. Yêu cầu đề bài có hai tiệm cận đứng nên phương trình ở mẫu x2−2x+m = 0
phải có hai nghiệm phân biệt khi đó ∆0 = 1 − m > 0 ⇒ m < 1.
Hai nghiệm này phải khác nghiệm của phương trình tử mà phương trình tử là "x = 1 (x 6= 1 x2 + x − 2 = 0 ⇒
⇒ phương trình mẫu x2 − 2x + m = 0 phải có hai nghiệm x = −2 ( ( ền ềnx6=−2 12 − 2.1 + m 6= 0 m 6= 1 ⇒ ⇒
(−2)2 − 2.(−2) + m 6= Quy 0 m 6= −8 Quy (m < 1 Vậy với
hay m ∈ (−∞;−8) ∪ (−8;1) thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Vương m 6= −8 Vương đứng.
Ví dụ 2 (THPT ĐỐNG ĐA, Hà Nội). Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để x − 1 đồ thị hàm số y =
có đúng hai đường tiệm cận. x(x + m) A. {−1;0}. B. {1}. C. R\{1}. D. R\{−1}.
Lời giải. Chọn đáp án A
Phân tích: Đề bài yêu cầu đồ thị hàm số chỉ có đúng hai tiệm cận như vậy tổng số
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chỉ là hai.
Điều kiện xác định: x ∈ R.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 14
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!  x − 1  lim f (x)  lim  = 0   x→+∞ x(x Tiệm cận ngang: x Ta tính hai giới hạn →+∞ tức tính + m) . Như x − 1  lim f (x)  x→−∞  lim  x→−∞ x(x + m)
vậy cả hai giới hạn này chỉ cho một kết quả hữu hạn là y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có
một tiệm cận ngang. Do đó để đồ thị hàm số có hai tiệm cận thì ta chỉ tìm điều kiện để
đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. "x = 0
Tiệm cận đứng: Ta xét phương trình ở mẫu x(x − m) = 0 ⇒ . Nghiệm của tử là x = −m
x − 1 = 0 ⇒ x = 1. Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng thì hoặc phương trình ở mẫu chỉ có một nghiệm khác ền
nghiệm của tử hoặc phương trình ở mẫu có hai ền nghiệm mà
một nghiệm trùng với nghiệm của tử. Rõ ràng x Quy
= 0 là nghiệm của mẫu khác nghiệm
của tử nên ta xét nghiệm còn lại x = −m ở đây nghiệm này tr Quy ùng với nghiệm tử khi
−m = 1 ⇒ m = −1, mặt khác để phương trình ở mẫu có duy nhất một nghiệm thì hai "x Vương = 0 nghiệm
phải trùng nhau khi đó m = 0. x = −m Vương "m = −1 Vậy với
thì đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận. m = 0
Nhận xét: Từ ví dụ trên ta ền
có nhận xét số tiệm cận đứng là số nghiệm ền của mẫu
(nghiệm này thuộc tập xác định của tử) mà không phải là nghiệm của tử, số tiệm Quy  lim f (x)  x Quy
cận ngang là số kết quả hữu hạn khác nhau của hai giới hạn →+∞  lim f (x) x→−∞ x Ví dụ Vương
3 (THPT Hưng Nhân, Thái Bình, Lần 3).Vương Cho hàm số y = . Với giá trị x − m
nào của m thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang? A. m = 0. B. m 6= 1. C. m 6= 0. D. ∀m ∈ R.
Lời giải. Chọn đáp án D
Để hàm số có tiệm cận ngang ền
thì phải tồn tại một trong hai giới hạn ền lim f (x) hoặc x→+∞  x  lim = 1  x lim f (x) ta thấy với Quy mọi m →+∞ x ∈ R thì − m x Do đó với mọi Quy m ∈ R thì đồ thị hàm x→−∞  lim  = 1 x→−∞ x − m số luôn Vương
có tiệm cận ngang là y = 1. Vương IV. Bài tập vận dụng
Câu 1 (THPT Thạch Thành 1, Thanh Hóa, lần 2). Đường thẳng y = −1 là đường
tiệm cận của đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây? −x2 + 1 −3x + 4 x + 5 −1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x + 2 3 + x 6 − x x + 2
Câu 2 (THPT Sông Ray, Đồng Nai). Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của 2x + 1
đồ thị của hàm số y = . x − 1
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 15
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền A. x = 1, y = −1. B. x = 1, y = 2. C. x = 2, y = 1. D. x = −1, y = 2.
Câu 3 (Chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi). Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = p x + x2 + 1 là 2x − 3 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Câu 4 (THPT Quốc Thái, An Giang). Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm p2x2+3 số y = . x 3 A. y = 0 và y = − . B. y = 0 và y = 2. 2 p p C. y = −2 và y = 2. ền D. y = − 2 và y = 2. ền Câu 5 (Để TTTHPT 2x − 4 Quy
QG- Sở Cần Thơ). Tìm đường tiệm cận Quy
đứng của đồ thị hàm số y = . x + 2 A. y = 2. B. y = −2. C. x = −2. D. x = 2. Câu 6 Vương
(THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2). Tính Vương
tổng số các đường tiệm cận đứng và px2−3x+2
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . 2x2 − 5x + 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 7 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, lần 2). Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ p 3x − 1 − x + 3 ền ền thị hàm số y = . x2 + 2 A. x = −3. Quy x − 3 B. x = −1 và x = 3. C. x = 1 và x = −3. Quy D. x = 3. x − 2
Câu 8 (THPT Hậu Lộc, Thanh Hoá, lần 3). Đồ thị hàm số y = có bao nhiêu x2 − 3x + 2 đường Vương tiệm cận? Vương A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.
Câu 9 (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An, lần 4). Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận p x − x + 2
đứng của đồ thị hàm số y = ? x2 − 4 A. y = −2 . B. y = 0 ền . C. x = 2. D. x = −2 ền . p10−x2−2x−1 Câu 10 (THPT ChuyQuy
ên Lam Sơn, Thanh Hóa, lần 3). Cho Quy hàm số y = . x2 + 3x − 4
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số. A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu Vương
11 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1). TìmVương
tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị p 2 − x2 + x + 2 hàm số y = . x3 + 8
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. B. x = −2. C. x = 2. D. y = 0.
Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang - HK2). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x − 1
tham số thực m để đồ thị của hàm số y =
có đúng 2 đường tiệm cận. x2 − 3x + m
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 16
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! µ 9 ¶ ½ 9 ¾ µ 9 ¸ A. −∞; . B. 2; . C. −∞; . D. {2}. 4 4 4 (a − 2b)x2 + bx + 1
Câu 13 (Sở GD và ĐT Bình Phước). Biết đồ hị của hàm số y = có x2 + x − b
tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cân ngang là đường thẳng y = 0. Tính a + 2b. A. 6. B. 7. C. 8. D. 10.
Câu 14 (Sở GD và ĐT Hưng Yên). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ (m + 1)x4 + 1 thị hàm số y =
có đúng 2 đường tiệm cận. x2 − 2x + m2 A. m ∈ [−1;1). ền B. m ∈ (−1;1). ền C. m ∈ [−1;1]. Quy
D. m ∈ (−∞;−1) ∪ (1; Quy +∞).
Câu 15 (Sở GD và ĐT Bình Dương). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để p m x2 + 1 hàm số A. m Vương y =
có đường thẳng y = −2 là một tiệm cận ngang. x − 1 Vương ∈ {−2; 2}. B. m ∈ {−1;1}. C. m ∈ {2}. D. m ∈ {1;−2}.
Câu 16 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Gọi a, b tương ứng là số đường tiệm cận px−2−1
đứng và số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . Tính a + b. x2 − 4x + 3 A. a + b = 3. B. a + b ền = 2. C. a + b = 0. D. a + b =ền 1.
Câu 17 (TRƯỜNG THPT ĐÔNG ANH). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm x2 − 6x + m Quy Quy số y =
không có đường tiệm cận đứng. x − m "m = 3 "m = 0 A. m Vương = 6. B. . C. . D. m = 7. m = 5 m Vương = 5
Câu 18 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x −∞ ền 0 1 +∞ ền y0 Quy + − 0 + Quy 0 2 y Vương −∞ Vương −1 −
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số y = f (x) có một giá trị cực tiểu là −1.
B. Đồ thị hàm số y = f (x) có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
C. Đồ thị hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị.
D. Đồ thị hàm số y = f (x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 0.
Câu 19 (TT Lê Hồng Phong-NĐ lần 1). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 17
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền x −∞ −1 1 2 +∞ f 0(x) − || + 0 + || − +∞ 2 f (x) −3 − −4 −
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên ền khoảng (−1;2). ền
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −3.
D. Đồ thị hàm số có Quy
đúng một đường tiệm cận. Quy
Câu 20 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên Vương
như hình bên dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số y = Vương
f (x) có bao nhiêu đường tiệm cận? x −∞ −1 0 1 +∞ y0 + − 0 + + 1 +∞ +∞ 3 y −∞ ền −2 − −∞ ền Quy Quy A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 21 (Sở GD và ĐT Bình Thuận). Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm p 3x − 1 − x2 + x + 2 số y = Vương . Vương x2 + 2x − 3 A. x = −3. B. x = 0. C. x = −3 và x = 1. D. x = 1. 5x + 3
Câu 22 (Sở GD và ĐT Đà Nẵng, mã đề 224). Cho hàm số y = p . Số đường 4x2 − 1
tiệm cận của đồ thị hàm số là A. 3. B. 2. ền C. 1. D. 4. ền
Câu 23 (Vương Quy Quy
ền). Cho hàm số y = f (x) có bảng biến Quy thiên như hình vẽ dưới đây. Vương x −∞ −1 0 5 +∞ f 0 Vương (x) + − + − 1 +∞ 7 f (x) −∞ −∞ −3 −4 −
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 3 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang. B. 3 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
C. 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. D. 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 18
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! 2
Câu 24 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 5). Hàm số y = . Tìm x2 − 2mx + m2 − m + 2
m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. A. m > 0. B. m > 3. C. m < 1. D. m < 2.
Câu 25 (SỞ GD-ĐT LONG AN). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị mx + 2 hàm số y = có tiệm cận đứng. x − 1 A. m 6= 2. B. m < 2. C. m ≤ −2. D. m 6= −2.
Câu 26 (Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, lần 4). Tìm tất cả các giá trị của m sao pmx2+3mx+1 cho đồ thị hàm số y = có 3 tiệm cận. x + ền 2 1 ền A. m > 0.
B. −2 < m < −1. C. m ≤ 0. D. m ≥ . Quy Quy2
Câu 27 (THPT CHUYÊN SƠN LA, LẦN 4). Tìm tập hợp các giá trị thực của m để 2x − 1 đồ thị hàm số y =
có đúng một đường tiệm cận. A. ( Vương
(mx2 − 2x + 1)(4x2 + 4mx + 1) −∞; −1) ∪ (1; +∞). B. {0}. Vương C. ∅.
D. (−∞;−1) ∪ {0} ∪ (1;+∞).
Câu 28 (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 5). Tập hợp các giá trị của m để đồ thị mx2 + 6x − 2 hàm số y = có tiệm cận đứng là x + 2 ½ 7 ¾ ền ½ 7 ¾ ền A. R \ . B. R. C. R \ {0}. D. . 2 Quy Quy 2
Câu 29 (THPT Cổ Loa, Hà Nội, lần 3). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để px+1 đồ thị hàm số y =
có đúng hai đường tiệm cận. A. m Vương (x2 + 3x + 2)(x + m) ≤ 1. B. m > 1. C. m ≥Vương 1. D. m < 1.
Câu 30 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Ngãi). Tìm tất cả các giá trị thực x + 2
của tham số m để đồ thị hàm số y =
có đúng ba đường tiệm cận. x2 − 4x + m
A. m < 4 và m 6= −12. B. m > 4. C. m < 4. ền
D. m = −12 hoặc m = 4. ền
Câu 31 (THPT Thạc Quy
h Thành 1-Thanh Hóa). Tìm tất cả các 2x Quy giá trị của tham số m
để đồ thị hàm số y = p có ba đường tiệm cận. 3x − mx2 + 1 A. m > 0. B. 0 < m < 9. C. m > 0 và m 6= 9. D. m > 9. Vương Vương ĐÁP ÁN 1 C 5 C 9 D 13 C 17 C 21 A 25 D 29 C 2 B 6 B 10 D 14 A 18 D 22 D 26 A 30 A 3 A 7 A 11 A 15 A 19 C 23 C 27 C 4 D 8 A 12 B 16 D 20 A 24 D 28 A 31 B
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 19
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
§5 NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Kiến Thức Cần Nhớ
Khi nhìn một đồ thị hàm số, để kết luận được đó là đồ thị nào hay để chọn được
phương án trả lời đúng nhất các em cần nắm-vận được các kỹ năng sau:
ã Kỹ năng dựa vào dạng chuẩn của đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương, hàm
bậc nhất trên bậc nhất. ã Kỹ năng dựa vào các ền
giao điểm của đồ thị với các trục tung (O y) và tr ền ục hoành (Ox).
ã Kỹ năng dựa v Quy
ào điểm cực trị của đồ thị hàm số. Quy
ã Kỹ năng dựa vào các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Tùy vào đồ thị hàm số đề bài cho là gì ta sẽ ứng dụng linh hoạt các kỹ năng trên một Vương
cách linh hoạt để nhanh chóng đưa ra Vương
phương án trả lời chính xác nhất. I.
Kỹ năng nhìn dạng chuẩn của đồ thị hàm số 1. Nhìn dạng chuẩn ền
hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ền Các dạng Quy
đồ thị của hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + Quy d với a 6= 0 Dữ kiện a > 0 a < 0 Vương Vương y y
Hàm số có hai cực trị - phương trình y0 = 0 có hai x O
nghiệm phân biệt hay b2 − ền x O ền 3ac > 0 Quy Quy Vương Vương
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 20
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! y y Phương trình y0 = 0 có nghiệm kép hay b2 − 3ac = 0 Hàm số x O x O không có cực trị ền ền Quy Quy Vương Vương y y Phương trình y0 = 0 vô nghiệm hay b2 − 3ac < 0 ền ền Quy x O Quy x O Vương Vương
Ví dụ 1 (Vương Quyền). Đường cong trong
hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây? y 1
A. y = x3 − x2 + 3x + 2.
B. y = −x3 + 3x2 + 5x + 1. 3 4 3 ền 1 2 ền C. y = x3 − x + 1. D. y = − x3 + x + 1. 3 2
Lời giải. Chọn đáp Quy 3 3 án C Quy O x
. Quan sát đồ thị và dựa vào bảng trên ta thấy hàm số có dạng là hàm bậc ba và hệ số a Vương
> 0 ⇒ loại phương án B, D.
. Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có Vương
hai cực trị nên b2 − 3ac > 0 ta thấy
đáp án A cho kết quả b2 − 3ac = −2 < 0 ⇒ loại phương án A, đáp án C cho kết quả là
b2 − 3ac = 6 > 0 ⇒ Chọn C.
Ví dụ 2 (THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội, lần 4).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm y 3 số dưới đây? 2
A. y = x3 − 3x2 + 3x + 1. B. y = −x3 + 3x2 + 1. 1
C. y = −x3 − 3x2 + 1. D. y = 2x3 − x + 1. x O 1 2 3
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 21
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Lời giải. Chọn đáp án A
. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị của hàm bậc ba và hệ số a > 0 nên loại luôn hai đáp án B, C.
. Tiếp tục ta để ý đồ thị rơi vào trường hợp phương trình y0 = 0 có nghiệm kép
tức b2 − 3ac = 0 ⇒ Chọn đáp án A. 2.
Nhìn dạng chuẩn hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c
Các dạng đồ thị của hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c với a 6= 0 Dữ kiện ền a > 0 a < 0 ền Quy y Quy y Vương Hàm số có ba cực trị - Vương phương trình y0 = 0 có ba x nghiệm phân biệt hay O x O ab < 0 ền ền Quy y Quy y
Hàm số có một cực trị - Vương phương trình y0 = 0 có O Vương
nghiệm duy nhất là x = 0 hay x x O ab ≤ 0. ền ền Quy Quy
Ví dụ 1 (Vương Quyền). Đường cong Vương
hình bên là của hàm số nào trong các hàm số Vương sau đây? y x4 1 A. y = − + 2x2 − 1. B. y = x4 − 2x2 − . 2 2 O C. y = x4 + 3x2 − 1.
D. y = −x4 − x2 − 1. x
Lời giải. Chọn đáp án B
. Nhìn đồ thị ta thấy đồ thị là của hàm trùng phương có hệ số a > 0 ⇒ loại đáp
án A, D và hàm số có ba cực trị nên ab < 0 ⇒ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2 (THPT Hải An-Hải Phòng).
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 22
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
Hình vẽ ở bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới y đây? A. y = x3 − 3x2 + 1.
B. y = −2x4 + 4x2 + 1. C. y = −x3 + 3x2 + 1. D. y = 2x4 − 5x2 + 1. O x
Lời giải. Chọn đáp án D
. Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị là của hàm trùng phương nên loại đáp án A, C,
mặt khác hệ số hàm trùng phương này có hệ số a ền
> 0 ⇒ Chọn đáp án D. ền ax + b 3. Nhìn dạng c Quy huẩn hàm số y =
với c 6= 0, ad − bc 6= 0 cx Quy + d Vương ax + b
Các dạng của đồ thị hàm số y =
với c 6= 0, ad − bc 6= 0 cx +Vương d
Hàm số đồng biến ad − bc > 0
Hàm số nghịch biến ad − bc < 0 y x y = − c d ền ền Quy a y = c Quy O x O x Vương Vương a y = c x = − c d ền ền
Ví dụ 1 (Vương Quy Quy ền). Đường Quy
cong hình bên là của hàm số nào trong các hàm số sau? y x + 3 x − 1 A. y Vương = . B. y = . x + 1 2x − 1 Vương −x + 2
C. y = x3 − 2x2 + x − 1. D. y = . 3x + 1 x O
Lời giải. Chọn đáp án B
. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số là hàm bậc nhất trên ax + b bậc nhất y =
⇒ loại C mà hàm số đồng biến nên có ad − bc > 0 ⇒ Chọn đáp án cx + d B.
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 23
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền II.
Kỹ năng dựa vào giao điểm - cực trị - tiệm cận của đồ thị hàm số Phương Pháp Giải
ã Kỹ năng nhìn vào giao điểm: Đối với các đồ thị hàm số cho các điểm mà nó
đi qua ta chỉ cần thay tọa độ điểm đi qua đó vào các đáp án nào thỏa mãn thì chọn đáp án đó cụ thể: 2 Nếu đồ thị hàm số ền
bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d giao điểm với trụcền tung tại
điểm y0 thì x0 = 0 nên d = y0. µ b µ b ¶¶ 2 Đồ thị hàm Quy
số bậc ba có điểm uốn là U − ; y − . Hoành độ điểm uốn 3a 3a Quy
là nghiệm của phương trình y00 = 0. 2
Nếu đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c giao điểm với trục tung tại Vương
điểm y0 thì x0 = 0 nên c = y0. Vương ax + b 2
Nếu đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y = giao với trục tung tại cx + d b điểm y0 thì x0 = 0 nên
= y0 và nếu đồ thị giao với trục hoành tại điểm x0 thì y0 = 0 d b nên − = x0. a ền ền
ã Kỹ năng nhìn vào cực trị: Cũng gần tương tự như trên đối với các hình vẽ đồ thị hàm số cho ta Quy
tọa độ các điểm cực trị thì có thể thay tọa độ Quy điểm đó vào các đáp
án hoặc thay vào phương trình y0 = 0 và để ý rằng điểm cực trị của hàm bậc ba và
hàm trùng phương là nghiệm của phương trình y0 = 0. ã K Vương
ỹ năng nhìn vào tiệm cận: Đối với kỹ năng Vương
này thường chỉ áp dụng cho hàm ax + b d phân thức y =
với c 6= 0, ad − bc 6= 0 có tiệm cận đứng là đường thẳng x = − cx + d c a
và tiệm cận ngang là đường thẳng y = c ền ền
Ví dụ 1 (THPT Tiên Quy Hưng, Thái Bình). Quy y 1
Đồ thị bên là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 1 1 x A. y Vương = x3 − x2 + 1. B. y = x3 + x2 + 1. O 3 3 Vương 1
C. y = −x3 + 3x2 − 2. D. y = − x3 + x2 + 1. 3
Lời giải. Chọn đáp án A
. Đồ thị hàm số là hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục O y tại điểm y0 = 1 ⇒ d =
y0 = 1 ⇒ loại C, kết hợp với dạng chuẩn ở trên (kỹ năng nhìn dạng chuản) thì a > 0 ⇒ loại D. 1
. Hàm số có hai cực trị nên b2−3ac > 0 ⇒ Chọn A vì có b2−3ac = 02−3. .(−1) = 1 > 0. 3
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 24
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
Ví dụ 2 (Sở GD và ĐT Đồng Tháp). y 2
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm
số nào được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới dây?
A. y = −x4 − 2x2 − 1 .
B. y = x4 − 2x2 − 1. O x C. y = x4 + 2x2 − 1 .
D. y = −x4 + 2x2 − 1 . −1 1
Lời giải. Chọn đáp án C (x0 = 1
. Đồ thị hàm số đi qua điểm
⇒ Thay vào từng đáp án ta thấy chỉ đáp án C y0 = 2
thỏa mãn ⇒ Chọn C.
Ví dụ 3 (Sở GD và ĐT Hưng ền Yên). y ền
Đồ thị trong hình v Quy ẽ bên là đồ thị của Quy
hàm số nào trong các hàm số dưới đây? 2x + 1 x − 1 2 A. y = . B. y = . 2x + 1 −x + 1 C. y Vương x + 1 x + 1 = . D. y = . Vương x − 1 x − 2 x −1 O
Lời giải. Chọn đáp án A ax + b
. Nhìn đồ thị ta thấy hàm số là hàm bậc nhất trên bậc nhất y = , đồ thị có cx + d d
tiệm cận đứng là đường thẳng ền
x = −1 = − ⇒ loại đáp án C, D. c a ền
. Tương tự đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y
án A vì đáp án B có Quy tiệm cận ngang là y = 1. Quy = 2 = ⇒ Chọn đáp c
Ví dụ 4 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3). Cho Vương
hàm số y = ax4+bx2+c có đồ thị như hình dưới Vương đây. Chọn y đáp án đúng. x A. a O > 0, b > 0, c < 0.
B. a > 0, b < 0, c < 0.
C. a < 0, b > 0, c < 0.
D. a < 0, b > 0, c > 0. ền ền
Lời giải. Chọn đáp Quy án B Quy
. Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có đồ thị hàm số đã cho là hàm trùng
phương và hệ số a > 0 ⇒ loại C, D. . Vương
Hàm số có ba cực trị nên a.b < 0 mà a > 0 ⇒ b Vương < 0 ⇒ Chọn B.
Ví dụ 5 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần 2). ax + b Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của y x + c S = a + 2b + c. A. S = 0. O 2 3 x B. S = −1. −1 C. S = 3. −3 D. 2 S = −2.
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 25
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Lời giải. Chọn đáp án C
. Vấn đề ta cần tìm a, b, c. Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng c
là đường thẳng x = 2 = − ⇒ −c = 2 ⇒ c = −2. 1 a
. Tiệm cận ngang là đường thẳng y = −1 = ⇒ a = −1. 1 b b
. Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại x0 = 3 ⇒ − = 3 ⇒ − = 3 ⇒ b = 3. a −1
Vậy S = a + 2b + c = −1 + 2.3 − 2 = 3.
Ví dụ 6 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang -Học kì II).
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) có đồ thị như y
hình vẽ bên. Khẳng định nào ền sau đây là đúng? 3 ền
A. a > 0, b < 0, c > 0, dQuy > 0. 2
B. a < 0, b < 0, c > 0, d > 0. − Quy 1 1
C. a < 0, b = 0, c > 0, d > 0. x −2 1 2 3 D. a −1 Vương
> 0, b > 0, c < 0, d > 0. Vương
Lời giải. Chọn đáp án C
. Hàm số bậc ba có hệ số a < 0 ⇒ loại A, D. b
. Quan sát đồ thị ta thấy hàm số có điểm uốn tại y = 1 ⇒ x = 0 = − ⇒ b = 0 ⇒ Chọn 3a C. ền ền Nhận xét:
ã Đôi khi ta cần c Quy
hú ý đến dấu của hai điểm cực đại và điểm Quy cực tiểu của đồ thị
hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d sau đó sử dụng định lí vi-ét như sau Vì điểm cực đại và Vương
cực tiểu là nghiệm của phương trình y0 = 0 ha Vương y 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) nên:
∗) Nếu hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung O y thì phương c c
trình (1) có hai nghiệm trái dấu x1.x2 =
< 0 hay ta có điều kiện < 0. 3a a
∗) Nếu hàm số có hai cực trị nằm cùng phía so với trục tung O y thì phương trình
(1) có hai nghiệm cùng dấu: Nếu cùng nằm bên phải so với O y thì phương trình (1) có hai nghiệm dương, ền
cùng nằm bên trái so với O y thì phương trình ền (1) có hai nghiệm âm.
ã Ta cần nhớ rằng Quy
nếu điểm M(x0; f (x0)) là điểm cực trị của đồ Quy thị hàm số thì hình
chiếu của M lên trục hoành sẽ là nghiệm của phương trình f 0(x) = 0 hay nói các khác điểm M(x Vương
0; f (x0)) là giao điểm của đồ thị hàm số y = f 0(x) với trục hoành. Vương
Ví dụ 7 (Vương Quyền). y Cho hàm số
y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình
vẽ bên. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0.
B. a < 0, b > 0, c < 0, d < 0. O x
C. a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.
D. a > 0, b > 0, c > 0, d < 0.
Lời giải. Chọn đáp án C
. Quan sát đồ thị đối chiếu với dạng chuẩn ta có a < 0 ⇒ loại D.
. Đồ thị hàm số cắt trục O y tại điểm có tung độ y0 < 0 ⇒ d < 0 ⇒ loại A.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 26
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! c
. Đồ thị hàm số có hai cực trị trái dấu nhau nên theo nhận xét trên thì < 0 mà hệ a số a < 0 ⇒ c > 0. b b
. Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x0 > 0 ⇒ − > 0 ⇒
< 0 mà a < 0 ⇒ b > 0 ⇒ chọn 3a 3a C. III.
Một số đồ thị có được từ đồ thị của hàm số y = f (x) 1.
Đồ thị hàm y = f (|x|) Phương Pháp Giải ền ền
Từ đồ thị hàm số y Quy Quy
= f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f (|x|).
Bước 1: Xác định phần bên phải trục tung rồi giữ nguyên phần đó và bỏ phần bên Vương trái trục tung. Vương
Bước 2: Lấy đối xứng phần bên phải ở trên qua trục tung khi đó phần bên phải
đã xác định và phần bên trái vừa lấy đối xứng là của đồ thị hàm số y = f (|x|). Notes ền ( ền x nếu x ≥ 0 Cơ sở của các Quy
phương pháp là dựa vào tính chất |x| ≥ 0,∀x ∈ R và |Quy x| = −xnếu x<0 Ví dụ Vương
1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có Vương đồ thị như hình vẽ y x O ền ền Trong các hình vẽ Quy
dưới đây hình nào là của đồ thị hàm số y Quy = f (|x|)? y y y y Vương O Vương O x x O x O x A. . B. . C. . D. .
Lời giải. Chọn đáp án A y
. Ta giữ nguyên phần bên phải trục tung O y O như sau: x
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 27
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền y
. Lấy đối xứng phần này qua trục tung ta O
được đồ thị của hàm số y = f (|x|) là: x 2.
Đồ thị hàm y = |f (x)| Phương Pháp Giải ền ền
Từ đồ thị hàm số y Quy
= f (x) suy ra đồ thị hàm số y = | f (x)|
Bước 1: Xác định phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm Quy y = f (x).
Bước 2: Lấy đối xứng hết phần dưới trục hoành của đồ thị hàm y = f (x) qua trục Vương
hoành khi đó đồ thị hàm số y = |f (x)| là tất cả Vương
phần phía trên đã xác định ở bước
một và phần vừa đối xứng lên trục hoành.
Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ ền y ền Quy O Quy x Vương Vương
Trong các hình vẽ dưới đây hình nào là của đồ thị hàm số y = |f (x)|? y y y y O x ền O x x ền O x O Quy Quy A. . B. . C. . D. .
Lời giải. Chọn đáp án C Vương Vương y
. Ta xác định phần trên trục hoành (phần O màu xanh) như hình bên: x y
. Lấy đối xứng phần biên dưới (phần màu
đen) trục Ox lên phía trên trục Ox ta được x O
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 28
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! y
. Kết hợp hai phần trên ta được đồ thị của hàm số y = |f (x)| là x O 3.
Đồ thị hàm số y = |f (|x|)| Phương Pháp Giải ền ền Quy Quy
Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị của hàm số y = |f (|x|)|
Bước 1: Ta xác định đồ thị của hàm số y = f (|x|) theo các bước đã được nhắc đến ở Vương trên. Vương
Bước 2: Từ đồ thị hàm y = f (|x|) vừa xác định ta tiếp tục lấy đối xứng phần bên
dưới qua trục Ox để được đồ thị hàm y = |f (|x|)|.
Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ ền ền y Quy Quy O x Vương Vương
Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = |f (|x|)|? y y y y O x ền O ền x x O x O Quy Quy A. . B. . C. . D. .
Lời giải. Chọn đáp án D Vương Vương y
Bước 1: Xác định hàm y = f (|x|) bằng cách bỏ phần bên O
trái trục O y rồi lấy đối xứng phần bên phải sang ta được: x y
Bước 2: Từ đồ thị trên xác định đồ thị hàm số y = |f (|x|)|
bằng cách giữ nguyên phần trên trục Ox và lấy đối xứng x O
phần dưới lên ta được:
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 29
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền 4.
Đồ thị hàm |y| = f (x) Phương Pháp Giải
Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị của hàm số |y| = f (x)
Bước 1: Xác định phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm số y = f (x) và bỏ
phần phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = f (x).
Bước 2: Lấy đối xứng phần vừa xác định (phía trên trục hoành) qua trục hoành
khi đó cả hai phần phía trên và phía dưới trục hoành là của đồ thị hàm số |y| = f (x). ền ền
Ví dụ 1 (Vương Quyền). Cho hàm số y Quy
= f (x) có đồ thị như hình vẽ Quy y Vương O Vương x
Trong các hình vẽ dưới đây, y ền
hình nào là của đồ thị hàm số |y| = f (x)? y y y ền QuyO QuyO x O x x O x A. Vương . B. . C. Vương . D. .
Lời giải. Chọn đáp án B y
Bước 1: Ta xác định phần phía trên trục hoành của đồ O
thị hàm số y = f (x) được: ền x ền Quy Quy y
Bước 2: Lấy đối xứng phần đã xác định ở trên qua trục O Ox ta Vương được: Vương x
⇒ Đồ thị của hàm số |y| = f (x) chính là hai phần trên y O x
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 30
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! 5.
Một số dạng đồ thị khác Phương Pháp Giải
Từ đồ thị hàm số y = f (x) suy ra đồ thị hàm số y = f (x) + a ta thực hiện phép tịnh tiến: 2
Nếu a ≥ 0 thì ta tịnh tiến đồ thị y = f (x) về phía bên trên trục hoành a đơn vị. 2
Nếu a < 0 thì ta tịnh tiến đồ thị y = f (x) về phía bên dưới trục hoành a đơn vị. ền ền
Ví dụ 1. Cho hàm số Quy
y = f (x) có đồ thị như hình vẽ Quy y Vương Vương x O ền ền Quy Quy
Trong các hình vẽ được cho dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = f (x) − 1 Vương y Vương y O O x x ền ền A. y Quy. B. Quy . y O Vương x Vương x O C. . D. .
Lời giải. Chọn đáp án B
. Vì số a = −1 < 0 ⇒ Đồ thị hàm số y = f (x) − 1 thu được từ đồ thị hàm số y = f (x)
bằng cách tịnh tiến xuống dưới trục hoành 1 đơn vị ta được đồ thị là đáp án B.
. Ta có thể lập luận đơn giản như sau ta thấy rằng đồ thị hàm số y = f (x) đi qua
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 31
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
điểm (0, 1) ⇒ f (0) = 1 ⇒ f (0) − 1 = 0 ⇒ đồ thị hàm y = f (x) − 1 có điểm (0,1) sẽ bị tịnh tiến
xuống thành điểm (0, 0) ⇒ đồ thị đáp án B.
Nhận xét: Như vậy ở dạng này từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có thể tự suy ra được
các đồ thị tương ứng bằng cách lấy một điểm thuộc đồ thị rồi thực hiện phép toán
như cách số hai ở ví dụ trên theo đề bài cho, biến đổi theo tính chất giá trị tuyệt
đối rồi thực hiện phép toán theo đề bài ra. Ta xét như ví dụ sau
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f (x) ền
có đồ thị như hình vẽ ền Quy Quy y Vương Vương x O ền ền Trong các hình dưới y Quy
đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = ||f (x)| − y Quy 1|? Vương x Vương O x O A. . B. . y y ền ền Quy x x Quy O O C. Vương . D. Vương .
Lời giải. Chọn đáp án C
. Cơ sở của cách tìm hàm y = ||f (x)| − 1| là tính chất của hàm trị tuyệt đối như sau:
(|f (x)| − 1 nếu |f (x)| ≥ 1
(|f (x)| − 1 nếu f (x) ≥ 1 hoặc f (x) ≤ −1 y = ||f (x)| − 1| = = Do đó
− (| f (x)| − 1) nếu | f (x)| < 1
− (| f (x)| − 1) nếu − 1 < f (x) < 1
ta lần lượt xác định hai hàm số y = |f (x)| − 1 với f (x) ≥ 1 hoặc f (x) ≤ −1 và hàm số
y = −(|f (x)| − 1) = −|f (x)| + 1 với −1 < f (x) < 1.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 32
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! IV. Bài tập tự luyện
Câu 1 (Chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu ). Trong các
hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây? y −x + 2 A. y = . 2 x + 2 x 2x − 2 −1 1 B. y = . O x + 1 −2x + 2 C. y = . −2 x + 1 x − 2 D. y = . x + 1 ền ền
Câu 2 (THPT Sông Ray, Đồng Nai). Đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 2 có dạng nào sau đây? Quy Quy y y y y Vương Vương x O x O x x O O A. . B. . C. . D. .
Câu 3 (Để TTTHPT QG- Sở ền Cần Thơ- Mã 329). ền Đường cong trong Quy
hình vẽ là đồ thị của một trong bốn hàm số Quy được y
liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? −1 1 x A. y Vương = x4 − 2x2 + 1. Vương O B. y = 2x4 − 4x2 + 1. C. y = x4 − 4x2 + 1. D. y = 2x4 − 2x2 + 1.
Câu 4 (THPT Chu Văn An, ền Đắk Nông). ền
Đồ thị trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số y được liệt kê ở bốn Quy
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó Quy là hàm số nào? 2x + 1 x + 1 x + 2 x + 2 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . Vương x − 1 x − 1 x − 1 Vương 1 − x O x −2 1 −2
Câu 5 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3). ax + 1 Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề y x − b nào sau đây đúng? A. a > 0 > b. B. a > b > 0. C. a < b < 0. D. a < 0 < b. O x
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 33
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Câu 6 (THPT Phù Cừ - Hưng Yên, lần 1).
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. y
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a > 0, c < 0, d > 0.
B. a > 0, c > 0, d > 0. C. a x < 0, c < 0, d > 0. O
D. a > 0, c < 0, d < 0.
Câu 7 (Sở GDDT Phú Thọ, Lần 1).
Cho đồ thị của ba hàm số y = f ền
(x), y = f 0(x), y = f 00(x) được y ền (C3) (C
mô tả bằng hình vẽ bên. Hỏi đồ thị của các hàm số y = f (x), 2)
y = f 0(x) và y = f 00(x) Quy
theo thứ tự, lần lượt tương ứng với Quy 2 đường cong nào? (C1) A. (CVương 3); (C2); (C1). B. (C2); (C1); (C3). O C. (C2); (C3); (C1). D. (C1); (C3); (C2). Vương x −1 1 −1
Câu 8 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm V).
Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có ền
đồ thị như hình bên. Trong các y ền mệnh đề sau, mệnh Quy đề nào đúng?
A. a < 0, b < 0, c > 0. Quy
B. a > 0, b > 0, c > 0. C. a Vương > 0, b < 0, c > 0.
D. a < 0, b > 0, c > 0. Vương O x
Câu 9 (Sở GD và ĐT TP HCM, Cụm VIII).
Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ền
6= 0) có đồ thị sau. Khi đó, khẳng định ền y nào sau đây là đúng?
A. a > 0, b > 0, c = 0, dQuy > 0. Quy
B. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. O x C. a Vương
> 0, b > 0, c > 0, d > 0.
D. a > 0, b < 0, c = 0, d > 0. Vương
Câu 10 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2). Cho y
hàm số y = f (x) có đồ thị y0 = f 0(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành a O b c
độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? x
A. ( f (b) − f (a))(f (b) − f (c)) < 0.
B. f (c) > f (b) > f (a).
C. f (c) + f (a) − 2f (b) > 0.
D. f (a) > f (b) > f (c).
Câu 11 (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2).
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 34
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay!
Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình y
vẽ. Dấu của a; b; c; d là
A. a < 0; b < 0; c > 0; d < 0.
B. a < 0; b < 0; c < 0; d < 0. O x
C. a < 0; b > 0; c < 0; d < 0.
D. a > 0; b > 0; c > 0; d < 0.
Câu 12 (THPT Lê Viết Thuật, Nghệ An, lần 2). Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ
thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0, b > 0, c > 0. y
B. a > 0, b < 0, c > 0. ền ền
C. a < 0, b < 0, c > 0.
D. a > 0, b < 0, c > 0. Quy Quy O x Vương Vương
Câu 13 (THPT Đông Hà-Quảng Trị-lần 2). Đồ thị ở hình bên dưới là đồ thị của
hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở các đáp án A, B, C, D? A. y = −x3 − x + 2. y B. y = −x3 + 1. C. y = −x3 + 3x + 2. ền ền2 D. y = −x3 + 2. Quy Quy 1 1 x O Vương Vương
Câu 14 (THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định).
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào y sau đây đúng?
A. a > 0, b < 0, c > 0, d < 0.
B. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0. ền ền O x
C. a < 0, b > 0, c > 0, d Quy < 0.
D. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0. Quy Câu Vương
15 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 324). Vương
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm y
số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x3 − 3x2 − 3.
B. y = x3 − 6x2 + 9x + 3. O x C. y = −x2 + 3x + 3. D. y = x3 − 3x2 + 3.
Câu 16 (Sở GD và ĐT Cần Thơ, mã đề 324).
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 35
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền x + b Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới y cx + d đây đúng?
A. b < 0, c > 0, d < 0.
B. b > 0, c > 0, d > 0.
C. b < 0, c < 0, d > 0. O x
D. b < 0, c > 0, d > 0.
Câu 17 (THPT Chuyên Hà Tĩnh, lần 2).
Đường cong như trong hình vẽ ền
bên có thể là đồ thị của hàm số nào trong ền y
các hàm số cho dưới đây? A. O y = −x2 − 1. Quy Quy x 1 B. y = x4 + x2 − 1. 2 C. y Vương = x4 − x2 − 1 . Vương D. y = x3 + x2 − 1.
Câu 18 (THPT Kim Liên, Hà Nội, lần 3). ax + 1 Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề y x − b nào sau đây đúng? ền ền A. a > 0 > b. QuyB. a>b>0. C. a < b < 0. D. a < 0 < b. Quy O x Câu Vương
19 (THPT Minh Khai, Hà Nội). Vương
Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên? y x − 1 A. y = . x + 1 2x − 1 B. y = . x + 1 1 2x + 1 ền ền C. y = . O x −1 1 2x − 1 2x − 1 Quy Quy −1 D. y = . 2x + 1 Câu Vương
20 (THPT Bắc Duyên Hà, Thái Bình, lần Vương
2). Đường cong trong hình bên là
đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y = x4 + 2x2 + 1. y B. y = x4 − 2x2 + 1. C. y = −x4 + 2x2 + 1.
D. y = −x4 − 2x2 + 1. O x x + 2
Câu 21 (Trường THPT Tân Yên - Bắc Giang). Cho hàm số y = có đồ thị như x − 1 hình vẽ.
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 36
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! y 1 O x 1 |x| + 2
Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị ền của hàm số y = ? ền |x| − 1 y Quy y Quy Vương 1 x Vương − O 1 1 1 x O 1 Hình 1 ền Hình 2 ền y Quy y Quy Vương 1 x Vương O 1 1 x O 1 Hình 3 ền Hình 4 ền A. Hình 4. B. Quy Hình 3. C. Hình 2. D. Quy Hình 1.
Câu 22. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Vương Vương y x O
Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào là của đồ thị hàm số y = f (|x|)?
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 37
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền y y O x x O A. . B. . y y O x O ền x ền Quy Quy C. . D. . Câu Vương 23. Cho hàm số y Vương
= x4 − 2x2 có đồ thị như hình vẽ y ền ền O Quy x Quy Vương Vương
Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = |x4 − 2x2|? y y ền ền O O Quy x x Quy A. Vương . B. Vương . y y O x x O C. . D. .
Câu 24. Đồ thị nào dưới đây là của hàm số y = |x|3 + 2x2?
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 38
Like Page: https://www.facebook.com/Hoctot.com.vn để có thêm nhiều tài liệu hay! y y x O x O A. . B. . y y O x ền x O ền Quy Quy C. . D. . Câu Vương
25. Cho đồ thị hàm số y Vương
= f (x) có đồ thị như hình vẽ y ền ền O Quy x Quy Vương Vương
Trong các hình vẽ dưới đây, hình nào biểu diễn đồ thị hàm số y = |f (x)| + 1? y y ền ền O Quy x x O Quy A. Vương . B. Vương . y y x O x O C. . D. .
Câu 26 (Sở GD và ĐT TP.HCM,CỤM I).
https://www.facebook.com/VuongQuyen894 39
Nếu cố gắng sẽ KHÔNG bao giờ là quá MUỘN khi học cùng thầy!
GV: Ngô Vương Quyền
Biết rằng hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 có đồ thị như hình vẽ bên. y
Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng? 1
A. Đồ thị hàm số y = ¯¯4x3 − 6x2 + 1¯¯ có 3 cực trị.
B. Đồ thị hàm số y = ¯¯4x3 − 6x2 + 1¯¯ có 2 cực trị. 1 x
C. Đồ thị hàm số y = ¯¯4x3 − 6x2 + 1¯¯ có 5 cực trị. O
D. Đồ thị hàm số y = ¯¯4x3 − 6x2 + 1¯¯ có 1 cực trị. −1 ền ĐÁP ÁN ền 1 C 4 C 7 A Quy 10 C 13 D 16 D 19 A 22 C Quy 25 C 2 C 5 A 8 D 11 C 14 C 17 B 20 C 23 A 3 B Vương 6 A 9 D 12 A 15 D 18 A Vương 21 D 24 B 26 C ền ền Quy Quy Vương Vương ền ền Quy Quy Vương Vương
Tham gia hỏi bài tại Group: https://www.facebook.com/groups/giupnhauhoctap 40
Document Outline

CASIO_Thầy-Quyền_Tăng-giảm-hàm-số
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
- Tìm m để hàm số đơn điệu
  - Hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d
  - Hàm bậc nhất trên bậc nhất y= *ax+bcx+d
Vương-Quyền-Cực-Trị-Của-Hàm-Số
- Tìm cực trị của hàm số
  - Phương pháp - ví dụ
  - Bài tập tự luyện
- Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn tính chất
  - Phương pháp - ví dụ
  - Bài tập tự luyện
  - Hàm trùng phương y=ax4+bx2+c
  - Bài tập tự luyện
[Vương Quyền]_Bài_3_4_5_Hàm_số
- §3 Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
  - Quy tắc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
    - Mối liên hệ giữa f'(x) và f(x)
    - Bài tập tự luyện
      - §4 Đường tiệm cận
        Tìm tiệm cận ngang - tiệm cận đứng
        Tìm tiệm cận dựa vào bảng biến thiên
        Tìm m để hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện
        Bài tập vận dụng
        §5 Nhận dạng đồ thị hàm số
        Kỹ năng nhìn dạng chuẩn của đồ thị hàm số
        Nhìn dạng chuẩn hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d
        Nhìn dạng chuẩn hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c
        Nhìn dạng chuẩn hàm số y= *ax+bcx+d với c=0, ad-bc=0
        Kỹ năng dựa vào giao điểm - cực trị - tiệm cận của đồ thị hàm số
        Một số đồ thị có được từ đồ thị của hàm số y=f(x)
        Đồ thị hàm y=f(|x|)
        Đồ thị hàm y=|f(x)|
        Đồ thị hàm số y=|f(|x|)|
        Đồ thị hàm |y|=f(x)
        Một số dạng đồ thị khác
        Bài tập tự luyện

Hướng dẫn giải toán chuyên đề hàm số – Ngô Vương Quyền Toán 12

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng tính đơn điệu của hàm số

Ôn kiến thức, luyện kỹ năng bài giảng cực trị của hàm số