Hướng dẫn làm bài tập khai triển chuỗi Laurent | Đại học Bách khoa Hà Nội

HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP
KHAI TRIỂN CHUỖI LAURENT
Bài 1. Khai triển Laurent của các hàm số sau f ( z) 1 = z (1− z)
trong miền 0  z   
Có hai điểm kỳ dị (không giải tích) z = 0 và z = 1 ; hàm giải tích trong 2 1 2 miền:
D : 0 | z |1, D :1| z | + 1 2
Trong mỗi miền này, f (z) được khai triển thành chuỗi bằng cách sử dụng khai
triển của chuỗi lũy thừa (*). Trong D , vì 0 |
 z | 1 nên ta có: 1 1 1 1 1 + + n n 1 f (z) = =
=  z =  z − z(1 − z) z 1 − z z n=0 n=0
Trong D , ta có: 1  2 1 z n n−2 1 1 1 1 +  1 +   1  f (z) = = − = −  =  
  (1 | z | +) 2 2 z(1 − z) z 1 z =  z  =  z  n 0 n 0 (1 − ) z
Bài 2. Khai triển Laurent của các hàm số sau f ( z) 1 = trong miền
(z −1) ( z − 2) 0  z   
Có hai điểm kỳ dị (không giải tích) z =1 và z = 2 ; hàm giải tích trong 3 miền: 1 2
D :| z | 1, D :1 | z | 2, D : 2 | z | + 1 2 3
Trong mỗi miền này, f (z) được khai triển thành chuỗi bằng cách sử dụng khai
triển của chuỗi lũy thừa (*). Trong z
D , vì | z | 1 suy ra  nên ta có: 1 1 2 1 1 1 1 1 f (z) = − = − − z − 2 z −1 2  z  1− z 1−    2  + n z + + n −(n 1 + ) = − −  z = − (2 +1) n
z ; (| z | 1). n 1 + n= 2 0 n=0 n=0 Trong z D , vì 1  và  nên ta có: 2 1 1 z 2 1 1 1 1 1 1 f (z) = − = − − z − 2 z −1 2  z  z  1  1 − 1 −      2   z  + n z + 1 = − −  ; (1 | z | 2). n 1 + n 1 = = z + n 2 0 n 0
Trong D , vì 1  và 2  nên ta có 3 1 1 z z 1 1 1 1 1 1 f (z) = − = − z − 2 z −1 z  2  z  1  1 − 1 −      z   z  n n 1 +  2  1 +  1  1 + 2n −1n =  −  =  ; (2  z  + ) .     n 1 z =  z  z =  z  z = z + n 0 n 0 n 0
Bài 3: Khai triển Laurent của hàm số 1
f (z) = z(z −3) z 1.0  z  3   1 3 n   n 1 1 1 1 1 1 1  z  z − f (z) = = − . . = − .  = −    n 1 z(z − 3) 3 z z 3 z +   n= 3 0 n=0 3 (1 − ) 3 3 2. z  3   1 z n 1 1 1 1   3   3n f (z) = = . = .  = .    n 1 z(z − 3) z 3 z =  z +  n 0 n=0 z (1 − ) z z − 3
3.0  z − 3  3   1 3 1 1 1 1 1 1 f (z) = = . = . = z(z − 3)
z − 3 3 + z − 3 z − 3 3 z − 3 (1 + ) 3 n   n 1 1  z −  z − − n 3 1 n ( 3)  f (z) = ( 1 − ) = ( 1 − )   n 1 3(z − 3) =   z + − n 3 3( 3) 0 n=0 3  1 1  z − 4
4.1  z − 4  4   z − 4   1  4   1 1 1 1 1  1 1 1 1    f (z) = = . − =    . + .  z(z − 3) 3  z − 3 z  3 z − 4 1 4 z − 4  1 + 1 +   z − 4 4  n 1    z −  n 1 1 4
 f (z) = ( 1 − ) +   n 1 3 + −   n= (z 4) 12 n= 4 0 0