1.5 Mô hình Input-Output Leontief (2LT+1BT)
1.5.1. Application Preview
Giả sử một nền kinh tế được dựa trên 3 ngành công nghiệp (nông nghiệp, chế tạo và nhiên liệu ,
) và trong nền kinh tế này, mỗi ngành sử dụng các sản phẩm đầu ra của
các ngành khác để sản xuất sản phẩm của mình. Bản dưới đây tóm tắt mối liên hệ
cho mỗi ngành theo nghĩa lượn
g sản phẩm đầu vào được yêu cầu để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm đầu ra. Outputs Inputs Agricultural Manufactured Fuels Products Products Agricultural 0.5 0.1 0.1 Products Manufactured 0.2 0.5 0.3 Products Fuels 0.1 0.3 0.4
Cột đầu tiên biểu thị các số lượng sản phẩm của ngành nông nghiệp, chế tạo và nhiên
liệu được yêu cầu để sản xuất ra 1 sản phẩm ngành nông nghiệp. Tương tự, cột thứ
2 biểu thị các lượng sản phẩm để sản xuất ra 1 sản phẩm ngành chế tạo, và cột cuối
là lượng đầu vào để sản xuất được 1 sản phẩm n hiên liệu.
Từ Bảng trên, chúng ta có thể định dạn
g một ma trận 𝐴, được gọi là ma trận kỹ thuật
(technology matrix) hay ma trận Leontief. 0.5 0.1 0.1 𝐴 = (0.2 0.5 0.3) 0.1 0.3 0.4
Ta có thể sử dụng ma trận kỹ thuật 𝐴 để định mức sản xuất cho mỗi ngành trong nền
kinh tế để cung cấp lượng hàng hóa (thặng dư) cho tiêu dùng hoặc xuất khẩu.
Mô hình Input-Output Leontief được đặt tên cho Wassily Leontief (người dành
giải Nobel kinh tế năm 1973 khi sử dụng mô hình này để phân tích nền kinh tế Mỹ).
Trong phần này, chúng ta sẽ giải thích ma trận kỹ thuật cho các mô hình kinh tế đơn
giản và giải bài toán Input-Output cho các nên kinh tế này bẳng cách sử dụng mô hình Leontief.
Tác phẩm đầu tiên của Leontief với mô hình Input-Output chia nền kinh tế thành
500 ngành (500 sectors) và bài báo sau đó được đăng trong tạp chí Scientific
American (October 1951) đã hạn chế tới 42 bộ phận sản xuất để dễ dàng quản lý
hơn. Mô hình Leontief được phát triển và là công cụ để dự đoán sự tác động lên một
nền kinh tế khi thay đổi giá hoặc chi tiêu của chính phủ.
Trong Bảng trên, cho ví dụ tại cột 3, tổng sản phẩm nông nghiệp, chế tạo, nhiên liệu
để sản xuất ra 1 sản phẩm nhiên liệu là nhỏ hơn 1. Điều này là bởi vì không phải tất
cả các hàng hóa được mô tả trong mô hình này. Cụ thể, theo lẽ thường, ta lờ đi công
lao động trong mô hình kinh tế kiểu này kiểu này.
Ví dụ 1. (Leontief Model) Từ bảng trên, hay trả lời các câu hỏi sau đây
(a) Xác đinh lượng sản phẩm đầu vào của AP và F được yêu cầu để sản xuất 100
đơn vị sản phẩm MP.
(b) Sản phẩm hàng hóa nào phụ thuộc ít nhất vào các sản phẩm hàng hóa khác?
(c) Nếu giá nhiện liệu tăng, hai ngành nào bị ảnh hưởng nhất. Giải
(a) Để sản xuất 1 đơn vị hàng MP cần 0.1 sản phẩm AP và 0.3 sản phẩm F, do
đó, để sản xuất 100 đơn vị MP, cần 10 AP và 30 F.
(b) Quan sát các cột, ta thấy để sản xuất 1 đơn vị AP, cần 0.3 đơn vị sản phẩm
hàng hóa khác; để sản xuất 1 đơn vị MP, cần 0.4 đơn vị sản phẩm hàng hóa
khác; và để sản xuất 1 đơn vị F, cần 0.4 đơn vị sản phẩm hàng hóa khác. Do
đó, ngành AP phụ thuộc ít nhất vào các ngành khác.
(c) Khi tăng giá nhiên liệu, thì ngành nào sử dụng nhiều nhiên liệu hơn sẽ bị ảnh
hưởng nhiều hơn. Do đó, hai ngành MP và F bị ảnh hưởng nhất khi tăng giá nhiên liệu.
1.5.2. Mô hình Leontief (mở)
Cho mô hình kinh tế đơn giản như được mô tả trong phần đầu của mục này, không
phải tất cả thông tin được chứa trong ma trận kỹ thuật 𝐴. Cụ thể, mỗi ngành có một
tổng sản lượng nhất định. Ma trận tổng sản lượng của nền kinh tế được mô tả trong một ma trận cột 𝑥1 𝑋 = (𝑥2) 𝑥3
Trong đó 𝑥1 là tổng sản lượng ngành nông nghiệp, 𝑥2 là tổng sản lượng ngành chế
tạo, 𝑥3 là tổng sản lượng ngành nhiên liệu. Tổn
g sản lượng (Outputs) cần được sử dụng trong nền kinh tế cho mỗi ngành
được mô tả bởi 𝐴𝑋. Lượng sản phẩm không được sử dụng bởi các ngành trong nền
kinh tế được gọi là thặng dư (Surpluses). Thặng dư có thể cho mục đích tiêu dùng,
cho chính phủ, hoặc để xuất khẩu. Nếu chúng ta ký hiệu 𝐷 là ma trận cột các thặng
dư cho các ngành trong nền kinh tế, thì ta có phương trình
𝑋 − 𝐴𝑋 = 𝐷 hay (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷.
Phương trình này được gọi là phương trình kỹ thuật cho mô hình Leontief mở
(Open Leontief Model). Mô hình được gọi là mở bởi vì một số lượng hàng hóa là
mở hoặc có thể được sử dụng ở ngoài nền kinh tế.
Ví dụ 2 (Xác định tổng sản lượng – Outputs) Ma trận kỹ thuật 𝐴 biểu diễn cho
nền kinh tế đơn giản với 03 ngành: Nông nghiệp, chế tạo và nhiên liệu (Application
Preview). Nếu ta muốn có thặng dư tương ứng cho 3 ngành này là 85, 65, 0, thì hỏi
tổng sản lượng mỗi ngành là bao nhiêu? 0.5 0.1 0.1 𝐴 = (0.2 0.5 0.3) 0.1 0.3 0.4 Giải
Gọi 𝑋 là ma trận tổng sản lượng cho mỗi ngành, 𝐷 là ma trận thặng dư. Thì, ta có
phương trình kỹ thuật là (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷
hay, dạng phương trình ma trận là 0.5 −0.1 −0.1 𝑥1 85
(−0.2 0.5 −0.3 ) ( 𝑥2) = (65) −0.1 −0.3 0.6 𝑥3 0
Ma trận hệ số mở rộng là 0.5 −0.1 −0.1 85 (−0.2 0.5 −0.3 | 65) −0.1 −0.3 0.6 0
Dùng phương pháp khử Gauss-Jordan, ta được 1 0 0 300 (0 1 0| 400) 0 0 1 250
Do đó, tổng sản lượng đầu ra cho mỗi ngành là
Nông nghiệp: 𝑥1 = 300
Chế tạo: 𝑥2 = 400
Nhiên liệu: 𝑥3 = 250.
Chú ý: Nhìn chung, phương trình kỹ thuật cho mô hình Leontief mở có thể được
giải bằng cách sử dụng ma trận ngược của ma trận 𝐼 − 𝐴. Nghĩa là
Phương trình (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷 có nghiệm là 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷
Ví dụ 3. (Sản phẩm) Một nền kinh tể nguyên thủy, với 2 ngành công nghiệp: gỗ
(lumber) và điện (power), có ma trận kỹ thuật là 𝐴 = (0.1 0.2 0.2 0.4)
(a) Nếu thặng dư mong muốn của ngành gỗ và điện là 30 và 70, thì tổng sản
lượng mỗi ngành cần sản xuất là bao nhiêu?
(b) Nếu thặng dư ngành điện tăng thêm 5 (đơn vị), thì tổng sảng lượng mỗi
ngành tăng lên bao nhiêu đơn vị? Giải
(a) Gọi 𝑥, 𝑦 lần lượt là tổng sản lượng của ngành gỗ và điện. Thì 𝑥 𝐼 − 𝐴 = ( 0.9 −0.2
−0.2 0.6 ), 𝑋 = (𝑦), 𝐷 = (30 70)
Ta cần giải phương trình ma trận (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷 đối với 𝑋 và thu được
𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 Ta có 1
(𝐼 − 𝐴)−1 =0.54 − 0.04(0.6 0.2 0.2 0.9) = (1.2 0.4 0.4 1.8)
Do đó, tổng sản lượng mỗi ngành là
𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 = (1.2 0.4 0.4 1.8) (30 70) = ( 64 138)
Cụ thể, cho mỗi ngành là
Gỗ (Lumber): 𝑥 = 64
Điện (Power): 𝑦 = 138 (b) Nếu 5 đơn vị t ặ
h ng dư ngành điện được yêu cầu thêm, thì tổng sản lượng cần là (𝐼 − 𝐴)−1 ( 30 70 + 5) = (1.2 0.4 0.4 1.8) (30 75) = ( 66 147)
Do đó, nếu tăng 5 đơn vị t ặ
h ng dư ngành điện, thì cần tăng sản phẩm cho mỗi ngành là (Lumber Power ) = ( 66 147) − ( 64 138) = (2 9), tức là 5 (Cột 2 của (𝐼 − 𝐴)−1) = 5 (0.4 1.8) = (2 9)
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, cột thứ 𝑗 của (𝐼 − 𝐴)−1 là lượng sản phẩm
cần cho mỗi ngành công nghiệp để tăng 1 đơn vị t ặ
h ng dư cho ngành thứ 𝑗.
Ví dụ 4. (Open Economy) Nền kinh tế của một quốc gia đang phát triển dựa trên
các sản phẩm từ nông nghiệp, thép và than đá. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm nông
nghiệp yêu cầu 0.1 tấn sản phẩm nông nghiệp, 0.02 tấn thép, 0.05 tấn than đá; Để
sản xuất 1 tấn thép đầu vào yêu cầu là 0.01 tấn sản phẩm nông nghiệp, 0.13 tấn
thép, 0.18 tấn than đá; để sản xuất 1 tấn than đá, cần 0.01 tấn sản phẩm nông nghiệp,
0.20 tấn thép và 0.05 tấn than đá.
(a) Viết ma trận kỹ thuật cho nền kinh tế này.
(b) Tìm tổng sản lượng của mỗi ngành để cung cấp các thặng dư 2350 tấn sản
phẩm nông nghiệp, 4552 tấn thép và 91 1 tấn than đá. Giải
(a) Ma trận kỹ thuật cho nền kinh tế tương ứng với các ngành (Ag. Products, Steel, Coal) là 0.1 0.01 0.01 𝐴 = (0.02 0.13 0.20) 0.05 0.18 0.05
(b) Phương trình kỹ thuật cho nền kinh tế là (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐷 hay 0.9 −0.01 −0.01 2350
(−0.02 0.87 −0.20) 𝑋 = ( 4552) −0.05 −0.18 0.95 911 Ta có 1.1123 0.0159 0.0151 (𝐼 − 𝐴)−1 = ( 0.0408 1.2024 0.2536) 0.0663 0.2287 1.1015
Do đó 𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐷 hay 2700 𝑋 = (5800) 2200
Tổng sản lượng mỗi ngành là:
Sản phẩm nông nghiệp: 2700 tấn Thép: 5800 tấn Than đá: 2200 tấn
Checkpoint: Giả sử một nền kinh tế nguyên thủy dựa trên 2 ngành công nghiệp chính
là các sản phẩm về gõ (wood products) và các sản phẩm về khoáng sản (mineral
products) với ma trận kỹ thuật (Open Leontief model): 𝐴 = (0.12 0.11 0.09 0.15)
Nếu thặng du mong muốn các ngành (wood) và (minerals) lần lượt là 1738 và 1332.
Tìm tổng sản lượng mỗi ngành.
1.5.3. Mô hình Leontief (đóng)
Mô hình kinh tế đã xem xét là mô hình mở vì không phải tất cả các đầu vào (ra) được
tích hợp trong ma trận kỹ thuật. Giả sử có một mô hình phát triển ở đó tất cả các sản
phẩm đầu vào (ra) chỉ được sử dụng trong hệ thống, thì mô hình đó gọi là mô hình
Leontief đóng. Trong một mô hình, lao động (hoặc một nhân tố khác) phải được
bao gồm. Lao động được bao gồm bằng cách xem xét một ngành công nghiệp mới,
hộ gia đình, sản xuất ra lao động. Khi một mô hình đóng được phát triển, tất cả các
sản phẩm đầu ra được sử dụng trong hệ thống và tổng các phần tử trong mỗi cột đều
bằng 1. Trong trường hợp này, không có thặng dư và 𝐷 = 0. Chúng ta có, trong mô hình Leontief đóng:
Phương trình kỹ thuật cho một mô hình kinh tế đóng Leontief là (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 0
Trong một mô hình kinh tế đóng, phương trình kỹ thuật không có nghiệm duy nhất,
và do đó ma trận (𝐼 − 𝐴)−1 không tồn tại và ta không thể sử dụng nó để tìm nghiệm.
Ví dụ 5. Mô hình đóng Leontief với ma trận kỹ thuật 𝐴 mô tả nền kinh tế tổng thể
của một quốc gia, với 𝑥1 là ngân sách chính phủ, 𝑥2 là giá trị sản lượng công nghiệp
(tổ chức tạo ra lợi nhuận), 𝑥3 là ngân sách của tổ chức phi lợi nhuận, 𝑥4 là ngân sách hộ gia đình. 0.4 0.2 0.1 0.3 𝐴 = (0.2 0.2 0.2 0.1 0.2 0 0.2 0.1 ) 0.2 0.6 0.5 0.5
Tìm tổng ngân sách 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 Giải
Vì là mô hình kinh tế Leontief đóng nên ta cần giải hệ (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 0, hay 0.6 −0.2 −0.1 −0.3 𝑥1 0 𝑥 (−0.2 0.8 −0.2 −0.1 2 0 −0.2 0 0.8 −0.1 ) ( 𝑥 ) = ( ) 3 0 −0.2 −0.6 −0.5 0.5 𝑥4 0
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng 0.6 −0.2 −0.1 −0.3 0 (−0.2 0.8 −0.2 −0.1 0 −0.2 0 0.8 −0.1 | 0) −0.2 −0.6 −0.5 0.5 0 Về dạn g 1 0 0 − 55 82 0 1 |0 0 − 1541 00 0 0 1 −12 | 41 0 (0 0 0 0 )
Hệ phương trình tương ứng với ma trận mở rộng là 𝑥 𝑥1 = 55 𝑥4 1 − 55 𝑥 82 82 4 = 0 𝑥 𝑥2 = 15 𝑥4 2 − 15 𝑥 hay 41 41 4 = 0 𝑥3 = 12 𝑥4 {𝑥3 − 12 𝑥 41 41 4 = 0 {𝑥4 = ngân sách hộ GĐ
Nhận xét rằng nền kinh tế thỏa mãn phương trình đã cho, nếu ngân sách chính phủ 55 bằng ầ ộ gia đình, sản lượ ệ ằ 15 lần kinh tế hộ gia 82 l n ngân sách h ng công nghi m b ng 41
đình, và ngân sách phi lợi nhuận bằ 12
ng lần kinh tế hộ gia đình. Sự phụ thuộc ở đây 41
được mong đợi bởi vì sản lượng công nghiệp bị giới hạn bởi nguồn cung lao động.
Chúng ta đã nghiên cứu hai kiểu mô hình Input-Output ở đó chúng liên quan tới nền kinh tế nói chung. V
ì tác phẩm gốc của Leontief với nền kinh tế, nhiều ứng dụng
khác nhau đã được phát triển. Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng làm cách nào để một mô
hình Leontief mở có thể được sử dụng để xác định những bộ phận cho việc chế tạo sản xuất.
Ví dụ 6. Một nhà kho gồm 4 bức tường và 1 mái. Các bức tường và mái được tạo
bởi các tấm nhôm và được gia cố bởi 4 thanh giằng, ở đó mỗi thanh được giữ bởi 6
bu lông. Lắp ráp cuối cùng kết nối các bức tường tới những cái khác và mái sử dụng
thêm tổng cộng 20 bu lông nữa. Danh sách các phần cho các kho này có thể được mô tả bởi ma trận sau S W R P Br Bo 0 0 0 0 0 0 Sheds 4 0 0 0 0 0 Wal s 𝑄 = 1 0 0 0 0 0 Roofs 0 1 1 0 0 0 Panels 0 4 4 0 0 0 Braces ( 20 24 24 0 0 0) Bolts
Ma trận này là một kiểu ma trận input-output, với các hàng biểu diễn đầu vào được
sử dụng trực tiếp để tạo ra các vật liệu khác. Chú ý rằng các phần tử trong ma trận
là số lượng được sử dụng chứ không phải là theo tỉ lệ. Các cột chứa toàn số 0 biểu
thị các mục lắp ráp chính cái mà không được tạo ra từ những thứ khác.
Do đó, để tạo ra một kho, yêu cầu 4 bức tường, 1 cái mái và 20 bu lông, và để tạo ra
1 cái mái cần 1 mảnh nhôm, 4 thanh giằng và 24 cái bu lông.
Giả sử một đơn hàng được nhận cho 4 kho, các phụ tùng bổ sung là 2 bức tường, 1
mái, 8 thanh giằng, và 24 bu lông. Hỏi bao nhiêu hạng mục lắp ráp được yêu cầu để
hoàn thành đơn đặt hàng trên. Giải
Ký hiệu D là ma trận theo đơn, và X là ma trận biểu diễn tổng sản phẩm mỗi loại, ta có 4 𝑥 Số kho được yêu cầu 1 2 𝑥2 Số tường đ ợ ư c yêu cầu 𝑥 𝐷 = 1 3 Số mái đ ợ ư c yêu cầu 0 và 𝑋 = 𝑥 = 4
Số tấm nhôm được yêu cầu 8 𝑥5
Số thanh giằng được yêu cầu (24)
(𝑥6) ( Số bu lông được yêu cầu )
Do đó, X phải thỏa mãn phương tình kỹ thuật (𝐼 − 𝑄)𝑋 = 𝐷 cho mô hình mở Leontief.
Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình là 1 0 0 0 0 0 4 −4 1 0 0 0 0 2 −1 0 1 0 0 0 | 1 0 −1 −1 1 0 0 | 0 0 −4 −4 0 1 0 8 (−20 −24 −24 0 0 1 24)
Ma trận này có cỡ hơi lớn, tuy nhiên, nó dễ dàng dùng phương pháp khử, và thu được 1 0 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 18 0 0 1 0 0 0 | 5 0 0 0 1 0 0 | 23 0 0 0 0 1 0 100 (0 0 0 0 0 1 656)
Ma trận này mô tả rằng đơn hàng sẽ có 4 kho được hoàn thành. 18 bức tường từ ma
trận bao gồm 16 cái từ 4 kho được hoàn thành, 5 cái mái bao gồm 4 cái từ 4 kho
được hoàn thành, 23 tấm nhôm, 100 thanh giằng và 656 bu lông là tổng số hạng mục
lắp ráp cơ bản (bu lông, thanh giằng, tấm nhôm) được yêu cầu để hoàn thành đơn hàng.
Nhận xét: Ma trận nghịch đảo của 𝐼 − 𝑄 tồn tại, nên ta có thể sử dụng để tìm lời
giải cho Ví dụ 6.
1.5.4. Bài tập: Page 238-241: 1-42