Khai phóng năng lực môn Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (tập 1)

Tài liệu gồm 104 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hoàng Thanh, tổng hợp lý thuyết và bài tập môn Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (tập 1).

118 59 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK1 Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

104 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
N G U Y Ê
N H O À N G T H A N H
MỤC LỤC
Chương 1 Hàm số và phương trình lượng giác. 1
1 Góc lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Đơn vị radian................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Giá trị lượng giác của các góc liên kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Hai góc đối nhau: α và −α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Hai góc bù nhau: α và π − α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 Hai góc phụ nhau: α và
π
2
− α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Công thức cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Công thức góc nhân đôi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Công thức biến đổi tổng thành tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Hàm số lượng giác và đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Hàm số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 Hàm số y = cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.6 Hàm số y = tan x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.7 Hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Phương trình lượng giác cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.1 Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3 Phương trình cos x = m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.4 Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.5 Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân. 29
i
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1 Dãy Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1 Dãy số là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Cách xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Dãy số bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Số hạng tổng quát của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1 Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Bài tập cuối chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3 Giới hạn và hàm số liên tục. 43
1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.1 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6 Giới hạn vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Hàm số liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1 Hàm số liên tục tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Tính liên tục của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Ứng dụng của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chương 4 Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian. 59
SÁCH THAM KHẢO Trang ii
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1 Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.1 Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3 Cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.4 Hình chóp và hình tứ diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Hai đường thẳng song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2 Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại.. . . . . 74
3.5 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Định lý Thalès trong không gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Hình lăng trụ và hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.6 Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1 Khái niệm phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Hình biểu diễn của một hình không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Chương 5 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. 90
1 Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.1 Số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2 Số trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.3 Mốt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.4 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1 Trung vị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2 Tứ phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3 Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1 Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
SÁCH THAM KHẢO Trang iii
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chương 1
Bài 1. Góc lượng giác
1.1 Góc lượng giác
1.1.1 Khái niệm góc lượng giác
Khái niệm:
Cho tia Oa. Khi xét chuyển động của một tia Om quanh gốc O của nó tính từ
vị trí ban đầu Oa theo một chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược
chiều kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là
chiều âm.
Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay 360
◦
, một vòng
quay theo chiều âm tương ứng với góc quay −360
◦
.
O
a
m
+
−
Khi tia Om quay:
• nửa vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc
1
2
·360
◦
= 180
◦
;
•
1
6
vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc
1
6
·360
◦
= 60
◦
;
•
5
4
vòng theo chiều âm thì ta nói Om quay góc
5
4
·
(
−360
◦
)
= −450
◦
.
Khái niệm: Cho hai tia Oa, Ob.
• Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở
vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.
Ký hiệu: (Oa, Ob).
• Khi tia Om quay một góc α, ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng α.
Ký hiệu: (Oa, Ob) = α.
O
a
b
m
+
O
a
b
m
−
L Lưu ý: Với hai tia Oa và Ob cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu Oa và tia cuối Ob.
Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác (Oa, Ob) trong hình sau
1
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a
b
O
a)
a
b
O
b)
a
b
O
c)
a
b
O
d)
L Lưu ý: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên
của 360
◦
nên có công thức tổng quát là
sđ
(
Oa, Ob
)
= α
◦
+ k360
◦
(k ∈ Z).
hoặc thường viết là
(Oa, Ob) = α
◦
+ k360
◦
.
với α
◦
là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Chẳng hạn, trong hình đầu tiên
của ví dụ trên thì (Oa, Ob) = 90
◦
+ k360
◦
.
Ví dụ 2. Cho
÷
MON = 60
◦
. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức
tổng quát của số đo góc lượng giác (OM, ON).
M
N
O
a)
M
N
O
b)
M
N
O
c)
Ví dụ 3. Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu
độ?
1.1.2 Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Khái niệm: Với ba tia Oa, Ob và Oc bất kì, ta có (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) + k360
◦
, (k ∈ Z).
Ví dụ 4. Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công
thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác (Ox, ON) và (Ox, OP).
x
y
O
N
M
P
−50
◦
1.2 Đơn vị radian
Khái niệm: Trên đường tròn bán kính R tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi
là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1rad ).
SÁCH THAM KHẢO Trang 2
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Trên đường tròn bán kính R, một góc ở tâm có số đo α rad thì chắn một cung
có độ dài αR (Hình 10). Vì góc bẹt
(
180
◦
)
chắn nửa đường tròn với độ dài là
πR, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian là π. Khi đó ta viết
180
◦
= π rad.
R
R
1 rad
αR
B
A
O
Hình 10
Suy ra, với π ≈ 3,14, ta có 1
◦
=
π
180
rad ≈ 0,0175 rad và 1 rad =
Å
180
π
ã
◦
≈ 57,3
◦
(hay 57
◦
17
′
45
′′
).
Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau:
a
◦
=
πa
180
rad α rad =
Å
180α
π
ã
◦
Ví dụ 5. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại
45
◦
.a) −60
◦
.b)
2π
5
rad.c) 3 rad.d)
Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:
30
◦
;a) 45
◦
;b) 60
◦
;c) 120
◦
;d)
135
◦
;e) 180
◦
;f) 270
◦
;g) 360
◦
h)
−30
◦
;i) −45
◦
;j) −60
◦
;k) −120
◦
;l)
−135
◦
;m) −160
◦
;n) 275
◦
;o) 185
◦
.p)
Bài tập 2. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
π
3
;a)
π
4
;b)
π
2
;c)
π
6
;d)
2π
3
;e)
3π
2
;f)
5π
4
;g)
π
12
;h)
7π
4
;i)
5π
6
;j) −5;k)
13π
9
.l)
L Lưu ý:
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo. Ví dụ,
π
2
rad
được viết là
π
2
, 2 rad được viết là 2 .
b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Oa, Ob) là
(Oa, Ob) = α + k2π (k ∈ Z),
Trong đó α là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Lưu ý:
không được viết α + k360
◦
hay a
◦
+ k2π (vì không cùng đơn vị đo).
1.3 Đường tròn lượng giác
Khái niệm:
SÁCH THAM KHẢO Trang 3
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên
đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược
chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường
tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lương giác.
x
y
+
−
1−1
A(1; 0)
1
−1
O
Hình 11
Cho số đo góc α bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy
nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác (OA, OM) bằng α (Hình 12).
Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo α trên đường
tròn lượng giác.
x
y
O
M
α
A
Hình 12
Ví dụ 6. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
30
◦
;a) 45
◦
;b) 60
◦
;c) 90
◦
;d)
120
◦
;e) 135
◦
;f) 180
◦
;g) 225
◦
;h)
270
◦
;i) −30
◦
;j) −60
◦
;k) −90
◦
;l)
−120
◦
;m) −135
◦
;n) 865
◦
;o)
−7π
3
.p)
Bài tập 3. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:
π
3
;a)
π
4
;b)
π
6
;c)
π
2
;d)
2π
3
;e)
3π
4
;f)
−π
3
;g)
−π
4
;h)
−π
6
;i) −
π
2
;j)
−17π
3
;k)
13π
4
.l)
Bài tập 4. Góc lượng giác
31π
7
có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau
đây?
3π
7
;
10π
7
;
−25π
7
.
Bài tập 5. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) và
(OA, ON) trong hình bên.
x
y
A
O
M
120
◦
N
−75
◦
Hình 14
SÁCH THAM KHẢO Trang 4
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 6. Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần
bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON).
x
y
A
O
M
N
45
◦
Hình 15
Bài tập 7. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:
π
2
+ kπ (k ∈ Z);a) k
π
4
(k ∈ Z).b)
Bài tập 8. Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình 16 có
thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây?
π
2
+ k
2π
3
(k ∈ Z);
−π
6
+ k
2π
3
(k ∈ Z);
π
2
+ k
π
3
(k ∈ Z).
x
y
O
B
DC
A
Bài tập 9. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một
cung chắn một góc α =
Å
1
60
ã
◦
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo α
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính
trung bình của Trái Đất là 6371 km. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Cực Nam
Cực Bắc
hải lí
α =
Å
1
60
ã
◦
Đường xích đạo
Hình 17
SÁCH THAM KHẢO Trang 5
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
2.1 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Khái niệm: Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo α.
Khi đó:
• Tung độ y
M
của M gọi là sin của α, kí hiệu sin α.
• Hoành độ x
M
của M gọi là côsin của α, kí hiệu cos α.
• Nếu x
M
= 0 thì tỉ số
y
M
x
M
=
sin α
cos α
gọi là tang của α,
kí hiệu tan α.
• Nếu y
M
= 0 thì tỉ số
x
M
y
M
=
cos α
sin α
gọi là côtang của α,
kí hiệu cotα.
x
y
O
A
x
M
M
y
M
α
Các giá trị sin α, cos α, tan α và cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác α.
L Lưu ý:
• Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin.
• sin α và cos α xác định với mọi α ∈ R;
tan α chỉ xác định với các góc α =
π
2
+ kπ (k ∈ Z);
cotα chỉ xác định với các góc α = kπ (k ∈ Z).
• Với mọi góc lượng giác α và số nguyên k, ta có
sin(α + k2π) = sin α; tan(α + kπ) = tan α;
cos(α + k2π) = cos α; cot(α + kπ) = cot α.
• Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc α đặc biệt với 0 ⩽ α ⩽
π
2
(hay 0
◦
⩽ α ⩽ 90
◦
) như sau:
độ 0
◦
30
◦
45
◦
60
◦
90
◦
rad 0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin α 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos α 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
tan α 0
√
3
3
1
√
3 ||
cotα ||
√
3 1
√
3
3
0
Ví dụ 1. Quan sát bảng trên và đọc giá trị lượng giác của các góc 30
◦
, 45
◦
, 60
◦
và 90
◦
.
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc
π
3
;a)
π
4
;b)
π
6
;c)
π
2
;d)
13π
3
;e) 405
◦
;f) 450
◦
;g) −45
◦
.h)
Ví dụ 3. Em hãy xác định dấu của sin α, cos α, tan α và cot α trong các trường hợp sau
0 ⩽ α ⩽
π
2
.a)
π
2
⩽ α ⩽ π.b) π ⩽ α ⩽
3π
2
.c)
3π
2
⩽ α ⩽ 2π.d)
SÁCH THAM KHẢO Trang 6
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Nếu chia đường tròn lượng giác thành 4 phần (I, II, II và IV) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, em hãy
cho biết dấu của hàm số lượng giác khi α thuộc một trong các phần trên.
Ví dụ 4. Xác dấu các biểu thức sau
A = sin 40
◦
·cos(−290
◦
).a) B = sin(−25
◦
·cos 170
◦
.b)
C = sin 225
◦
·tan 130
◦
·cot(−175
◦
).c) D = cos 195
◦
·tan 269
◦
·cot(−98
◦
).d)
2.2 Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Công thức cần nhớ:
• tan x =
sin x
cosx
với α =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
• cotx =
cosx
sin x
với α = kπ, k ∈ Z
• sin
2
x + cos
2
x = 1
• 1 + tan
2
α =
1
cos
2
α
với α =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
• tan α ·cot α = 1 với α = k
π
2
, k ∈ Z
• 1 + cot
2
α =
1
sin
2
α
với α = kπ, k ∈ Z
2.2.1 Bài tập tính toán
Ví dụ 5. Cho cos α =
3
4
với −
π
2
< α < 0. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α.
Bài tập 1. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
sin α =
3
5
và cos α = −
4
5
;a) sin α =
1
3
và cot α =
1
2
;b)
tan α = 3 và cot α =
1
3
.c)
Bài tập 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
sin α =
5
13
và
π
2
< α < π;a) cos α =
2
5
và 0 < α < 90
◦
;b)
tan α =
√
3 và π < α <
3π
2
;c) cot α = −
1
2
và 270
◦
< α < 360
◦
.d)
Bài tập 3. Cho cot 15
◦
= 2 +
√
3. Hãy tính tan 15
◦
, sin 15
◦
, cos 15
◦
.
Bài tập 4. Tính sin x, cos x, cot x, biết
sin x =
1
2
và 90
◦
< x < 180
◦
a) sin x = −
4
5
và 270
◦
< x < 360
◦
b)
Bài tập 5. Tính sin x, tan x, cot x, biết
cos x =
3
5
và 0
◦
< x < 90
◦
a) cos x = −
5
13
và 180
◦
< x < 270
◦
b)
Bài tập 6. Tính sin x, cos x, cot x, biết
tan x =
3
4
và π < x <
3π
2
a) tan x = −
√
2 và
π
2
< x < πb)
Bài tập 7. Tính sin x, cos x, tan x, biết
cotx =
2
3
và 0 < x <
π
2
a) cotx = −
√
3 và
π
2
< x < πb)
Bài tập 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác
a) tan x = −2. Tính A
1
=
5 cot x + 4 tan x
5 cot x − 4 tan x
và A
2
=
2 sin x + cos x
cos x − 3 sin x
b) cotx = 2. Tính B
1
=
2
cos
2
x − sin x cos x
và B
2
=
3 sin x − 2 cos x
5 sin
3
x + 4 cos
3
x
SÁCH THAM KHẢO Trang 7
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
c) cos x = −
4
5
và
π
2
< x < π. Tính C
1
=
cotx + tan x
cotx − tan x
và C
2
= cotx +
sin x
1 + cos x
Bài tập 9. Tính giá trị các biểu thức lượng giác
a) sin x =
2
3
và 0 < x < 90
◦
. Tính M =
tan x − cos x
cotx
và N =
tan x cos x
sin
2
x
− cos x cot x
b) sin x + cos x =
1
2
. Tính sin x. cos x, từ đó suy ra giá trị của sin x, cos x khi
π
2
< x < π
2.2.2 Bài tập rút gọn, chứng minh
Bài tập 10. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
sin
4
α − cos
4
α = 1 − 2 cos
2
α;a) tan α + cot α =
1
sin α cos α
.b)
Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau
cos
2
x − sin
2
x = 1 − 2 sin
2
x.a) 2 cos
2
x − 1 = 1 − 2 sin
2
x.b)
3 − 4 sin
2
= 4 cos
2
x − 1.c) sin x ·cot x + cos x · tan x = sin x + cos x.d)
sin
4
x + cos
4
x = 1 − 2 sin
2
x ·cos
2
x.e) cos
4
x − sin
4
x = cos
2
x − sin
2
x.f)
4 cos
2
x − 3 = (1 − 2 sin x) ·(1 + 2 sin x).g) (1 + cos x) ·(sin
2
x − cos x + cos
2
x) = sin
2
x.h)
sin
4
x − cos
4
x = 1 − 2 cos
2
x = 2 sin
2
x − 1.i) sin
3
x ·cos x + sin x ·cos
3
x = sin x ·cos x.j)
Bài tập 12. Chứng minh các đẳng thức sau
1 − cos x
sin x
=
sin x
1 + cos x
.a)
1
1 + tan x
+
1
1 + cotx
= 1.b)
Å
1 −
1
cos x
ãÅ
1 +
1
cos x
ã
+ tan
2
x = 0.c)
1 + sin
2
x
1 − sin
2
x
= 1 + 2 tan
2
x.d)
tan x. tan y =
tan x + tan y
cotx + cot y
.e) tan x +
cos x
1 + sin x
=
1
cos x
.f)
(1 − cos x)(1 + cot
2
x) =
1
1 + cos x
.g)
1 + cos x
1 − cos x
−
1 − cos x
1 + cos x
=
4 cot x
sin x
.h)
Bài tập 13. Rút gọn các biểu thức sau
sin
4
x + sin
2
x ·cos
2
x.a) sin
4
x − cos
4
x + cos
2
x.b)
sin
2
x + sin
2
x ·cot
2
x.c) (1 − sin
2
x) ·cot
2
x + 1 − cot
2
x.d)
2 cos
2
x − 1
sin x + cos x
.e)
cos
2
x − cot
2
x
sin
2
x − tan
2
x
.f)
1 − sin
2
x ·cos
2
x
cos
2
x
− cos
2
x.g)
(sin x + cos x)
2
− 1
tan x − sin x ·cos x
.h)
Bài tập 14. Biến đổi các biểu thức sau thành tích
sin x ·cos x + cos
2
x − 1.a) 1 + sin x + cos x + tan x.b)
tan x − cot x + sin x + cos x.c) cos x · tan
2
x − (1 + cos x).d)
3 sin x + 2 cos x − 3 tan x − 2.e) (3 − 4 cos
2
x) − sin x ·(2 sin x + 1).f)
sin
2
x − 3 cos
2
x +
√
6 cos x −
√
2 sin x.g) cos
2
x + sin
3
x + cos x.h)
SÁCH THAM KHẢO Trang 8
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc liên kết
3.1 Hai góc đối nhau: α và −α
Công thức cần nhớ:
Các điểm biểu diễn của hai góc α và −α đối xứng qua tr ục Ox
(Hình 7), nên ta có
• sin(−α) = − sin α
• cos(−α) = cos α
• tan(−α) = − tan α
• cot(−α) = − cot α
x
y
O
A
M
N
−α
α
Hình 7
Ví dụ 1. Điền giá trị thích hợp vào dấu ba chấm
sin(−30
◦
) = ···;a) cos(−45
◦
) = ···;b) tan(−60
◦
) = ···;c) cot(−45
◦
) = ···.d)
3.2 Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π
Công thức cần nhớ:
Các điểm biểu diễn của hai góc α và α + π đối xứng nhau qua gốc toạ độ
O (Hình 8), nên ta có
• sin(α + π) = − sin α
• cos(α + π) = − cos α
• tan(α + π) = tan α
• cot(α + π) = cot α
x
y
O
A
M
N
y
N
y
M
x
N
x
M
π + α
α
Hình 8
Ví dụ 2. Tính các giá trị sau
sin 210
◦
.a) cos 225
◦
.b) tan 210
◦
.c) cos 315
◦
.d)
sin 13π.e) cot
7π
6
.f) cos
11π
3
.g) sin
17π
3
.h)
3.3 Hai góc bù nhau: α và π − α
Công thức cần nhớ:
Các điểm biểu diễn của hai góc α và π − α đối xứng nhau qua truc Oy
(Hình 9), nên ta có
• sin(π − α) = sin α
• cos(π − α) = − cos α
• tan(π − α) = − tan α
• cot(π − α) = − cot α
x
y
O
A
MN
π − α
α
Hình 9
Ví dụ 3. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống
sin 120
◦
= sin ···;a) cos 130
◦
= − cos ···;b) tan 155
◦
= − tan ···;c) cot 35
◦
= − cot···;d)
sin 70
◦
= sin ···;e) cos 10
◦
= − cos ···;f) tan 85
◦
= − tan ···;g) cot 175
◦
= − cot···.h)
SÁCH THAM KHẢO Trang 9
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
3.4 Hai góc phụ nhau: α và
π
2
− α
Công thức cần nhớ:
Các điểm biểu diễn của hai góc α và
π
2
− α đối xứng nhau qua đường phân
giác d của góc xOy (Hình 10) nên ta có
• sin
π
2
− α
= cos α
• cos
π
2
− α
= sin α
• tan
π
2
− α
= cotα
• cot
π
2
− α
= tan α
x
y
O
A
M
N
α
d
Hình 10
Ví dụ 4. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống
sin 10
◦
= cos ···;a) cos 40
◦
= sin ···;b) tan 15
◦
= cot···;c) cot 35
◦
= tan ···;d)
sin 7
◦
= cos ···;e) cos 12
◦
= sin ···;f) tan 5
◦
= cot···;g) cot 1
◦
= tan ···.h)
Ví dụ 5.
a) Biểu diễn sin
61π
8
qua giá trị lượng giác có số đo từ 0 đến
π
4
.
b) Biểu diễn tan 258
◦
qua giá trị lượng giác có số đo từ 0
◦
đến 45
◦
.
3.5 Bài tập
Bài tập 1. Cho sin α =
12
13
và cos α = −
5
13
. Tính sin
Å
−
15π
2
− α
ã
− cos(13π + α).
Bài tập 2. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x
sin(x − 90
◦
).a) cos(x − 180
◦
).b) sin(270
◦
− x).c) sin(x + 450
◦
).d)
tan(360
◦
− x).e) sin(450
◦
+ x).f) sin
2
(270
◦
+ x).g) cos
3
(90
◦
+ x).h)
Bài tập 3. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x
cot(x − π).a) tan(2π − x).b) sin(3π + x).c) cos(x − 7π).d)
tan(x − 5π).e) sin
Å
5π
2
+ x
ã
.f) cos
Å
3π
2
+ x
ã
.g) cot
Å
x −
3π
2
ã
.h)
cos
Å
x −
5π
2
ã
.i) tan
Å
11π
2
+ x
ã
.j) sin
Å
x +
7π
2
ã
.k) cos
Å
x −
3π
2
ã
.l)
Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = cos
x −
π
2
+ sin(x − π).
b) B = cos
π
2
− x
+ sin
π
2
− x
− cos
π
2
+ x
− sin
π
2
+ x
.
c) C = 2 cos x + 3 cos(π − x) − sin
Å
7π
2
− x
ã
+ tan
Å
3π
2
− x
ã
.
d) D = sin(π + x) − cos
π
2
− x
+ cot(2π − x) + tan
Å
3π
2
− x
ã
.
Bài tập 5. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau
A = sin 32
◦
·sin 148
◦
− sin 302
◦
·sin 122
◦
.a) B = sin 825
◦
·cos(−15
◦
) + cos 75
◦
·sin(−555
◦
).b)
Bài tập 6. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau
SÁCH THAM KHẢO Trang 10
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
A = sin
2
28
◦
+ sin
2
36
◦
+ sin
2
54
◦
+ cos
2
152
◦
a) B = sin
2
10
◦
+ sin
2
20
◦
+ sin
2
30
◦
+ . . . + sin
2
90
◦
b)
Bài tập 7. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau
A = cot 15
◦
·cot35
◦
·cot55
◦
·cot75
◦
.a) B = tan 10
◦
·tan 20
◦
. tan 30
◦
···tan 80
◦
.b)
C = tan 41
◦
·tan 42
◦
·tan 43
◦
···tan 49
◦
.c) D = tan 20
◦
+ tan 40
◦
+ tan 60
◦
+ . . . + tan 180
◦
.d)
Bài tập 8. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến
π
4
hoặc từ 0
◦
đến 45
◦
và tính:
cot 135
◦
;a) cos
21π
6
;b) sin
129π
4
;c) tan 1020
◦
.d)
Bài tập 9. Rút gọn các biểu thức sau:
1
tan α + 1
+
1
cotα + 1
;a) cos
π
2
− α
− sin(π + α);b)
sin
α −
π
2
+ cos(−α + 6π) − tan(α + π) cot(3π −
α).
c)
Bài tập 10. Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba góc của một tam giác thì
sin(A + 2B + C) = − sin Ba) tan(A + B + 2C) = tan Cb)
sin
A + B + 3C
2
= cos Cc) cot
A − 2B + C
2
= tan
3B
2
d)
Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau
sin A = sin B. cos C + sin C. cos B.a) cos A = sin B. sin C − cos B. cos C.b)
sin
A
2
= cos
B
2
. cos
C
2
− sin
B
2
. sin
C
2
.c) cos
A
2
= sin
B
2
. cos
C
2
− cos
B
2
. sin
C
2
.d)
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.e) cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1.f)
tan
A
2
. tan
B
2
+ tan
B
2
. tan
C
2
+ tan
C
2
. tan
A
2
= 1.g) cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
= cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
.h)
Bài tập 12. Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên
một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12.
Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O
′
M
′
của OM khi thanh quay
được 3
1
10
vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn
đến hàng phần mười.
O
A
M
α
M
′
O
′
bóng
ánh sáng
Hình 12
Bài tập 13. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe
quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ
góc không đổi là 11 rad/s (hình bên). Ban đầu van nằm ở
vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van
đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả
sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn
đến hàng phần mười.
x
y
V
A
O
α
Mặt đất
?
Hình 13
SÁCH THAM KHẢO Trang 11
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Các công thức lượng giác
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa
đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được
ghép bởi sau phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD,
DE, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết
chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH,
làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?
A
B
C
D
E
F
G
H
B
′
27 cm
? cm
C
′
O
4.1 Công thức cộng
Quan sát hình bên. Từ hai cách tính tích vô hướng của hai véc-tơ
−−→
OM và
−−→
ON sau đây
−−→
OM ·
−−→
ON = |
−−→
OM| ·|
−−→
ON| ·cos(
−−→
OM,
−−→
ON) = cos(
−−→
OM,
−−→
ON) = cos(α − β),
−−→
OM ·
−−→
ON = x
M
x
N
+ y
M
y
N
.
hãy suy ra công thức cos(α − β) theo các giá trị lượng giác α và β. Từ
đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng −β.
x
y
α
β
AO
M
N
x
M
x
N
y
M
y
N
Công thức cần nhớ:
• sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos a.
• sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos a.
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.
• tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan a tan β
.
• tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
.
Ví dụ 1. Tính giá trị cos
π
12
.
Bài tập 1. Tính sin
π
12
và tan
π
12
.
Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau
sin x. cos 5x − cos x. sin 5x.a) sin 4x. cot 2x − cos 4x.b)
tan 3x − tan x
1 + tan 3x. tan x
.c)
tan
2
2x − tan
2
x
1 − tan
2
2x. tan
2
x
.d)
Bài tập 3. Tính giá trị các biểu thức sau
A = sin 12
◦
. cos 48
◦
+ cos 12
◦
. sin 48
◦
.a) B = cos 38
◦
. cos 22
◦
− sin 38
◦
. sin 22
◦
.b)
C = sin 36
◦
. cos 6
◦
− sin 126
◦
. cos 84
◦
.c) D = sin 200
◦
. sin 310
◦
+ cos 340
◦
. cos 50
◦
.d)
Bài tập 4. Tính giá trị các biểu thức sau
E =
tan 25
◦
+ tan 20
◦
1 − tan 25
◦
. tan 20
◦
.a) F =
1 + tan 15
◦
1 − tan 15
◦
.b)
G =
sin 10
◦
. cos 20
◦
+ sin 20
◦
. cos 10
◦
cos 17
◦
. cos 13
◦
− sin 17
◦
. sin 13
◦
.c) H =
sin 73
◦
. cos 3
◦
− sin 87
◦
. cos 17
◦
cos 132
◦
. cos 62
◦
+ cos 42
◦
. cos 28
◦
.d)
Bài tập 5. Cho a − b =
π
3
. Tính giá trị các biểu thức
SÁCH THAM KHẢO Trang 12
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
X = (cos a + cos b)
2
+ (sin a + sin b)
2
.a) Y = (cos a + sin b)
2
+ (cos b − sin a)
2
.b)
Bài tập 6. Tính giá trị các biểu thức sau
A = cos(x − 30
◦
) với tan x =
1
√
3
(0 < x < 90
◦
).a) B = cot
x −
π
4
với sin x = −
4
5
Å
π < x <
3π
2
ã
.b)
Bài tập 7. Cho a, b là các góc nhọn và tan a =
1
2
, tan b =
1
3
. Tính a + b.
Bài tập 8. Cho sin a =
4
5
(0 < a < 90
◦
), sin b =
8
17
(90
◦
< b < 180
◦
). Tính cos(a + b), sin(a − b).
Bài tập 9. Cho sin a =
3
4
π
2
< a < π
, cot b =
2
5
Å
π < b <
3π
2
ã
. Tính sin(a − b), tan(a + b).
Bài tập 10. Thu gọn các biểu thức sau
sin x −
√
3 cos x.a) a sin x + b cos x (a
2
+ b
2
= 0).b)
cos 7x. cos 5x −
√
3 sin 2x + sin 7x. sin 5x.c)
√
3 sin
x −
π
3
+ sin
x +
π
6
.d)
Bài tập 11. Rút gọn các biểu thức sau
a) sin
x −
π
3
. cos
π
4
− x
+ sin
π
4
− x
. cos
x −
π
3
.
b) cos
x −
π
3
. cos
x +
π
4
+ cos
x +
π
6
. cos
Å
x +
3π
4
ã
.
c) cos
x −
π
3
. cos
x −
π
4
+ cos
x +
π
6
. cos
x +
π
4
.
Bài tập 12. Rút gọn các biểu thức sau
cos(a + b) + sin a. sin b
cos(a − b) − sin a. sin b
.a)
2 sin(a + b)
cos(a + b) + cos(a − b)
− tan b.b)
Bài tập 13. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin x. sin(y − z) + sin y. sin(z − x) + sin z. sin(x − y) = 0
b) cos x. sin(y − z) + cos y. sin(z − x) + cos z. sin(x − y) = 0
4.2 Công thức góc nhân đôi
Công thức cần nhớ:
• cos 2α = cos
2
α − sin
2
α = 2 cos
2
α − 1 = 1 − 2 sin
2
α.
• sin 2α = 2 sin α cos α.
• tan 2α =
2 tan α
1 − tan
2
α
.
Ví dụ 2. Tính giá trị sin
π
8
.
Bài tập 14. Tính cos
π
8
và tan
π
8
.
Bài tập 15. Chứng minh các đẳng thức sau
sin 2x = 2 sin x. cos x.a) cos 2x = cos
2
x − sin
2
x.b)
tan 2x =
2 tan x
1 − tan
2
x
.c) cot2x =
cot
2
x − 1
2 cot x
.d)
Bài tập 16. Cho sin x =
5
12
π
2
< x < π
. Tính cos x, sin 2x, cos 2x.
Bài tập 17. Cho cos x = −
2
√
2
3
Å
π < x <
3π
2
ã
. Tính tan x, sin 2x.
SÁCH THAM KHẢO Trang 13
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 18. Cho sin 2x =
4
5
0 < x <
π
4
. Tính A = sin x − cos x.
Bài tập 19. Cho tan x =
3
4
−π < x < −
π
2
. Tính tan 2x, tan
2x +
π
4
, cos x, cos
x
2
.
Bài tập 20. Cho tan x = 2 −
√
3
0 < x <
π
2
. Tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, rồi suy ra x.
Bài tập 21. Rút gọn biểu thức
(sin x + cos x)
2
.a) 1 − 4 sin
2
x. cos
2
x.b)
sin x. cos x. cos 2x.c) cos
4
2x − sin
4
2x.d)
4.3 Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức cần nhớ:
• cos α cos β =
1
2
[
cos
(
α − β
)
+ cos
(
α + β
)
]
;
• sin α sin β =
1
2
[
cos
(
α − β
)
− cos
(
α + β
)
]
;
• sin α cos β =
1
2
[
sin
(
α − β
)
+ sin
(
α + β
)
]
.
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức cos
11π
12
cos
7π
12
.
Bài tập 22. Tính giá trị của biểu thức sin
π
24
cos
5π
24
và sin
7π
8
sin
5π
8
.
Bài tập 23. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
sin 3x. sin x.a) sin 5x. cos 3x.b)
sin
3π
4
. cos
π
6
.c) sin
π
12
. cos
7π
12
.d)
sin(x + y). cos(x − y).e) sin(x + 30
◦
). cos(x − 30
◦
).f)
sin 3x. cos x + sin 4x. cos 2x.g) sin 2x. sin 6x − cos x. cos 3x.h)
8 cos x. sin 2x. sin 3x.i) 4 sin 2x. sin 5x. sin 7x − sin 4x.j)
Bài tập 24. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
sin
π
4
+ x
. sin
π
4
− x
−
1
2
cos
2
x.a) sin
x +
π
6
. sin
x −
π
6
. cos 2x.b)
4.4 Công thức biến đổi tổng thành tích
Công thức cần nhớ:
cos α + cos β = 2 cos
α + β
2
cos
α − β
2
;a) cos α − cos β = −2 sin
α + β
2
sin
α − β
2
;b)
sin α + sin β = 2 sin
α + β
2
cos
α − β
2
;c) sin α − sin β = 2 cos
α + β
2
sin
α − β
2
.d)
Ví dụ 4. Tính sin
5π
12
+ sin
π
12
.
Bài tập 25. Tính cos
7π
12
+ cos
π
12
.
Bài tập 26. Chứng minh các đẳng thức sau
SÁCH THAM KHẢO Trang 14
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
sin 3x = 3 sin x − 4 sin
3
x.a) cos 3x = 4 cos
3
x − 3 cos x.b)
sin x + cos x =
√
2 sin
x +
π
4
.c) cos x − sin x =
√
2 cos
x +
π
4
.d)
Bài tập 27. Biến đổi thành tích
cos 3x + cos x.a) sin 3x + sin 2x.b)
cos 4x − cos x.c) sin 5x − sin x.d)
1 + sin 2x + cos 2x.e) 1 + cos x + cos 2x + cos 3x.f)
cos 10x − cos 8x − cos 6x + 1.g) cos x + cos y + cos(x + y) + 1.h)
Bài tập 28. Biến đổi thành tích các biểu thức sau
√
3 − 2 cos 2x.a) cos 3x + cos x + 2 cos 2x.b)
sin 3x − 2 sin 2x + sin x.c) cosx + cos 2x + cos 3x.d)
cos x + sin 2x − cos 3x.e) cos 5 x + cos 7x − cos(π + 6x).f)
cos
π
2
+ 5x
+ sin x − cos 3x.g) cos7x + sin 3x + sin 2x − cos 3x.h)
cos 9x − cos 7x + cos 3x − cos x.i) cos 5x + 3 cos 7x + 3 cos 9x + cos 11x.j)
4.5 Bài tập
Bài tập 1. Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
5π
12
.a) −555
◦
.b)
Bài tập 2. Tính sin
α +
π
6
, cos
π
4
− α
biết sin α = −
5
13
và π < α <
3π
2
.
Bài tập 3. Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:
sin α =
√
3
3
và 0 < α <
π
2
;a) sin
α
2
=
3
4
và π < α < 2π.b)
Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau:
√
2 sin
α +
π
4
− cos α;a) (cos α + sin α)
2
− sin 2α.b)
Bài tập 5. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:
cos 2α =
2
5
và −
π
2
< α < 0;a) sin2α = −
4
9
và
π
2
< α <
3π
4
.b)
Bài tập 6. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sin A = sin B cos C + sin C cos B.
Bài tập 7.
Trong hình bên, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4,
BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn
’
CAD = 30
◦
. Tính
tan
’
BAD, từ đó tính độ dài cạnh CD.
B
C
A
D
4
3
30
◦
Bài tập 8. Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục
khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít-tông khi α =
π
2
và
H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có t hể xem như độ dài
MH không đổi và gần bằng MA.
a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính tọa độ x
M
của điểm M trên trục Ox theo α.
SÁCH THAM KHẢO Trang 15
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, x
M
= −3 cm. Xác định x
M
sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết
quả đến hàng phần mười.
Bài tập 9. Trong Hình 5 , ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31 m,
độ cao của điểm M so với mặt đất là 30 m, góc giữa các cánh quạt là
2π
3
và số đo góc (OA, OM) là α.
a) Tính sin α và cos α.
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt
đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
SÁCH THAM KHẢO Trang 16
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 5. Hàm số lượng giác và đồ thị
5.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Khái niệm:
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có −x ∈ D và
f(−x) = f(x).
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có −x ∈ D và
f(−x) = −f(x).
Chú ý:
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ các hàm số sau
y = x
2
;a) y = x
3
+ x − 1;b) y = x
4
− x
2
+ 3;c) y =
√
x.d)
5.2 Hàm số tuần hoàn
Khái niệm:
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao
cho với mọi x ∈ D ta có x ±T ∈ D và f(x + T ) = f(x).
• Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn
y = f(x).
Chú ý:
• Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T .
5.3 Hàm số y = sin x
• Đồ thị
x
y
O
1
−1
−2π−3π
−
5π
2
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
y = sin x
• Tập xác định là D = R.
• Tập giá trị T = [−1; 1].
• Hàm số y = f(x) = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T
0
= 2π, nghĩa là sin
(
x + k2π
)
= sin x với k ∈ Z.
• Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng
−
π
2
+ k2π;
π
2
+ k2π
và nghịch biến trên mỗi khoảng
Å
π
2
+ k2π;
3π
2
+ k2π
ã
với k ∈ Z.
SÁCH THAM KHẢO Trang 17
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
5.4 Hàm số y = cos x
• Đồ thị
x
y
O
1
−1
−2π
−3π
−
5π
2
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
y = cos x
• Tập xác định D = R.
• Tập giá trị T = [−1; 1].
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
• Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T
0
= 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x với k ∈ Z.
• Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng
(
−π + k2π; k2π
)
và nghịch biến trên mỗi khoảng
(
k2π; π + k2π
)
với k ∈ Z.
5.5 Bài tập
5.5.1 Tập xác định của hàm số
L Lưu ý:
• Hàm số y =
P
(
x
)
Q
(
x
)
xác định khi Q
(
x
)
= 0.
• Hàm số y =
p
f(x) xác định khi f(x) ⩾ 0.
• Các hàm số y = sin x, y = cos x xác định với mọi x ∈ R.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau
y = sin
1
x − 2
,a) y = cos
√
x − 1,b) y = cos |x − 1|,c) y = sin
x −
π
3
,d)
y = sin 3x,e) y = cos
3x +
π
3
,f) y = sin
Å
3x + 1
x
2
− 1
ã
,g) y = sin
√
3x,h)
y =
sin x
x
2
− 1
,i) y =
cos x
x + 1
,j) y =
x
2
+ 1
x sin x
,k) y =
sin x
cos
(
x − π
)
.l)
5.5.2 Tính chẵn lẻ của hàm số
L Lưu ý: Tính chẵn, lẻ
•
®
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
f(−x) = f(x), ∀x ∈ D
thì f là hàm số chẵn.
•
®
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D
f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D
thì f là hàm số lẻ.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x sin x.
Bài tập 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
y = f(x) = 2 cos 3x − 1,a) y = f(x) = x
3
+ sin x,b)
y = f(x) = 3 cos x + sin
2
x,c) y = f(x) = cos
(
x + 1
)
+ cos
(
x − 1
)
.d)
SÁCH THAM KHẢO Trang 18
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
5.5.3 Miền giá trị của hàm số
L Lưu ý: Miền giá trị
• Trên R ta có −1 ⩽ sin x, cos x ⩽ 1.
• Trên miền xác định, hàm số y = tan x, y = cot x nhận giá trị trên R.
Ví dụ 4. Tìm miền giá trị của hàm số y = 2 sin x − 3.
Bài tập 2. Tìm miền giá trị của các hàm số sau
y = sin 2x,a) y = 1 − cos x,b) y = 2 cos 3x,c) y = 2 sin x − 1,d)
y = 2 + 3 sin x,e) y =
√
1 − cos 4x,f) y = sin x + cos x,g) y = 3 − 2 cos
2
x.h)
Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
y = 3 + sin x,a) y = 1 − 2 sin x,b) y = 3 cos x − 2,c)
y = 3 − 2| sin 4x|,d) y = 3 cos
2x +
π
6
− 2,e) y =
√
2
(
sin x + cos x
)
.f)
Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
y = cos
2
x + 2 sin x + 2,a) y = cos
2
x + sin x + 1,b) y = 3 cos x + 4 sin x + 5,c)
y = 3 sin
2
x − sin 2x − cos
2
x,d) y = 2 cos
(
sin x + cos x
)
− 2,e) y =
2 + cos x
sin x + cos x − 2
.f)
5.6 Hàm số y = tan x
• Đồ thị
x
y
O
−2π
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3π
2
2π
y = tan x
• Tập xác định D = R \
n
π
2
+ kπ, k ∈ Z
o
, nghĩa là x =
π
2
+ kπ (k ∈ Z).
• Tập giá trị T = R.
• Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T
0
= π.
• Hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng
−
π
2
+ kπ;
π
2
+ kπ
, k ∈ Z.
5.7 Hàm số y = cot x
• Đồ thị
SÁCH THAM KHẢO Trang 19
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
x
y
O
−2π
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3π
2
y = cotx
• Tập xác định D = R \
{
kπ, k ∈ Z
}
, nghĩa là x = kπ, k ∈ Z.
• Tập giá trị T = R.
• Hàm số y = cot x là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T
0
= π.
• Hàm số y = cot x nghịch biến trên các khoảng
(
kπ; π + kπ
)
, k ∈ Z.
Bài tập 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau
y = tan 2x,a) y = cot 3x,b) y =
tan 2x
1 + cos
2
x
,c) y =
√
1 − sin x
1 + tan x
,d)
y = cot
x +
π
3
,e) y = tan x + cot 2x,f) y =
tan x − cos x
sin x
,g) y =
cos 2x
1 − sin x
+ tan x.h)
y =
1
cos x
;i) y = tan
x +
π
4
;j) y =
1
2 − sin
2
x
.k) y =
√
x
sin πx
.l)
Bài tập 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác y = cos x, y = tan x.
Bài tập 7. Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?
y = 5 sin
2
x + 1;a) y = cos x + sin x;b) y = tan 2x.c)
Bài tập 8. Cho hàm số f(x) xác định trên R và là hàm số lẻ. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số g(x) biết g(x) =
f(x)
cotx − 1
+
f(x)
cotx + 1
− cos 3x.
Bài tập 9. Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin x và hàm số y = tan x.
Bài tập 10. Chứng minh rằng các hàm số sau đều có tính chất f(x + kπ) = f(x) với k ∈ Z
y = cos 2x,a) y = tan x,b) y = cos
2
x,c) y = sin 2x − 2 tan x.d)
Bài tập 11. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ là π:
y = sin 2x,a) y = cot x,b) y = cos 2x,c) y = sin 2x + 3 cos 2x.d)
Bài tập 12. Nhiệt độ ngoài trời T (tính bằng
◦
C) vào thời điểm t giờ trong một ngày ở một thành phố được tính bởi
công thức T = 20 + 4 sin
Å
π
12
t −
5π
6
ã
. Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hoà nhiệt độ của một
bào tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ 22
◦
C trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định
khoảng thời gian t trong ngày (0 ⩽ t ⩽ 24) hệ thống điều hoà được bật. (Theo https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0168192385900139)
Bài tập 13. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, xác định các giá trị x ∈ [−π; π] thoả mãn sin x =
1
2
.
SÁCH THAM KHẢO Trang 20
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 14. Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của
một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α =
(
Ox, OM
)
theo hàm số
v
x
= 0,3 sin α (m/s) (Hình vẽ bên).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v
x
.
b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu
tiên
(
0 ⩽ α ⩽ 2π
)
, góc α ở trong các khoảng nào thì v
x
tăng?
Bài tập 15. Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính
của guồng đều bằng 3 m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A
(Hình vẽ bên).
a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt
nước theo góc α =
(
OA, OG
)
.
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm
số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách
của gàu đến mặt nước bằng 1,5 mét?
Bài tập 16. Trong hình vẽ bên dưới, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500 m theo một đường thẳng đi ngang qua
phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác
(
Tx,TA
)
(
0 < α < π
)
.
x (m)T (trạm quan sát)
H
A (máy bay)
500m
α
a) Biểu diễn tọa độ x
H
của điểm H trên trục Tx theo α.
b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với
π
6
< α <
2π
3
thì x
H
nằm trong khoảng nào? Làm tròn kết
quả đến hàng phần mười.
Bài tập 17. Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ
phẳng như trong hình bên. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục
hoành và kinh tuyến 0
◦
làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ
φ
◦
(−90 < φ < 90) được cho bởi hàm số y = 20 tan
π
180
φ
(cm). Sử dụng đồ
thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không
quá 20 (cm) trên bản đồ. (Theo https://geologyscience.com/geology/types-
of-maps/)
SÁCH THAM KHẢO Trang 21
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 6. Phương trình lượng giác cơ bản
6.1 Phương trình tương đương
Khái niệm: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
L Lưu ý:
a) Để giải phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
Ta có một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng sau
• Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà
không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
• Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức
luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
b) Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “⇔”.
Ví dụ 1. Phương trình x
2
− 4 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?
2x
2
= 8.a) x
2
− 4 +
1
x − 2
=
1
x − 2
.b)
6.2 Phương trình sin x = m
Xét phương trình sin x = m.
• Điều kiện để phương trình có nghiệm −1 ⩽ m ⩽ 1.
• Nếu sin u = sin v ⇔
ñ
u = v + k2π
u = π − v + k2π
, k ∈ Z.
• Nếu sin x = sin a
◦
⇔
ñ
x = a
◦
+ k360
◦
x = 180
◦
− a
◦
+ k360
◦
, k ∈ Z.
x
y
y = m
−3π
−
5π
2
−2π
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
π
3π
2
−2π 5π
2
3π
2π
α
π − α
−1
1
O
m
L Lưu ý: Một số trường hợp đặc biệt
sin x = 1 ⇔ x =
π
2
+ k2π, k ∈ Z;
sin x = −1 ⇔ x = −
π
2
+ k2π, k ∈ Z;
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Bài tập 1. Giải các phương trình sau
sin 2x = sin 3x.a) sin x = sin
π
4
.b) sin x = 0.c) sin x = 1.d)
sin x = −1.e) sin 2x =
1
2
.f) sin(3x + 2) = −
3
2
.g) sin(4x − 1) =
√
2
2
.h)
sin 5x =
√
3
2
.i) sin(6x + 3) = −
1
2
j) sin(7x −
√
2) = −
√
2
2
.k) sin 8x = −
√
3
2
.l)
SÁCH THAM KHẢO Trang 22
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
6.3 Phương trình cos x = m
Xét phương trình cos x = m.
• Điều kiện có nghiệm −1 ⩽ m ⩽ 1.
• Nếu cos u = cos v ⇔
ñ
u = v + k2π
u = −v + k2π
, k ∈ Z.
• Nếu cos x = cos a
◦
⇔
ñ
x = a
◦
+ k360
◦
x = −a
◦
+ k360
◦
, k ∈ Z.
x
y
y = m
−3π −2π −π
π
−2π
3π
2π
−α
α
−1
1
O
m
L Lưu ý: Một số trường hợp đặc biệt
cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z
cos x = 0 ⇔ x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
Bài tập 2. Giải các phương trình
cos 2x = cos
(
x + 60
◦
)
,a) cos 3x = sin x,b) cos x = −
1
2
,c) cos 3x =
1
2
,d)
cos(x + 10
◦
) =
√
2
2
,e) cos 2x =
√
3
2
,f) cos(5x − 1) = 0,g) cos(2x + 15
◦
) = 1,h)
cos(x − 2) = −
1
2
,i) cos 5x = −
√
2
2
,j) cos 7x = −
√
3
2
,k) cos(7x −
√
2) = −1.l)
6.3.1 Phương trình tan x = m
• Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm.
• Nếu tan x = tan a
◦
⇔ x = a
◦
+ k180
◦
, k ∈ Z.
• Nếu tan u = tan v ⇔ u = v + k2π, k ∈ Z.
x
y
π
y = m
−
3π
2
−
π
2
π
2
3π
2
5π
2
α
O
m
y = tan x
Bài tập 3. Giải các phương trình
SÁCH THAM KHẢO Trang 23
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
tan 2x = tan
π
11
.a) tan x = 0,b) tan x = 1,c) tan x =
√
3,d)
tan 3x =
1
√
3
,e) tan 5x = −1,f) tan(4x + 5
◦
) = −
√
3,g) tan(6 x + 10
◦
) = −
1
√
3
.h)
6.3.2 Phương trình cot x = m
• Với mọi số thực m, phương trình cotx = m có nghiệm.
• Nếu cot x = cot a
◦
⇔ x = a
◦
+ k180
◦
, k ∈ Z.
• Nếu cot u = cot v ⇔ u = av + k2π, k ∈ Z.
x
y
π
y = m
−π
π
2π 3π
α
O
m
y = cotx
Bài tập 4. Giải các phương trình
cot 3x = cot
π
7
,a) cotx = 0,b) cot 3x = 1,c) cot 4x =
√
3,d)
cot 5x =
1
√
3
,e) cot(2x + 10
◦
) = −1,f) cot x = −
√
3,g) cot(3x − 1) = −
1
√
3
.h)
6.4 Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
Ta có thể giải phương trình lượng giác dạng sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m bằng máy tính cầm
tay như trong ví dụ sau
Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau
a) sin x = −
1
2
. Kết quả ghi theo đơn vị radian.
b) cotx = 3. Kết quả ghi theo đơn vị độ.
L Lưu ý: Để giải phương trình cotx = m(m = 0), ta giải phương trình tan x =
1
m
.
6.5 Bài tập luyện tập
Bài tập 5. Giải các phương trình
sin
x −
π
7
= sin
2π
7
,a) sin 4x − cos
x +
π
6
= 0,b)
cos
2x +
π
3
= 0,c) 2 sin
x +
π
6
+
√
3 = 0,d)
2 cos
2x +
π
4
+
√
2 = 0,e) 2 cos
x +
π
6
+
√
3 = 0,f)
sin
2x +
π
3
+ sin x = 0,g) sin
Å
x −
2π
3
ã
− cos 2x = 0,h)
cos
2x −
π
4
− sin
2x +
π
3
= 0,i) sin
Å
x −
3π
4
ã
− cos
2x +
π
4
= 0,j)
SÁCH THAM KHẢO Trang 24
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
sin 3x = sin
90
0
− x
,k) cos
3x + 45
0
= − cos x,l)
cos
x +
π
3
=
√
3
2
,m) cos
2
x = 1.n)
Bài tập 6. Giải các phương trình lượng giác sau
tan x = tan 55
◦
.a) tan
2x +
π
4
= 0.b) cot
Å
1
2
x +
π
4
ã
= −1.c)
cot 3x = −
√
3
3
.d) tan2x = tan
x +
π
4
.e) cot
x −
π
4
= cot3x.f)
Bài tập 7. Giải các phương trình
sin 2x cos 2x = 0.a) cos
2
x = sin
2
x.b) 2 cos
2
2x = 1 .c) 8 sin
3
x − 1 = 0.d)
3
√
3 tan
3
2x = 1.e) 3cosx = 1 + 4 cos
3
x.f) 4 sin
2
x − 1 = 0.g) 3 − 4 cos
2
x = 0.h)
Bài tập 8. Giải các phương trình
4 sin x cos x cos 2x = 0a) sin x + cos x =
√
2b)
(
sin x + cos x
)
2
− 1 = 0c) sin 2x =
(
cos x − sin x
)
2
d)
(
cos x + 2
)
2 cos
2
x − cos x − 1
= 0e) sin 2x +
√
3 − 2 cos x −
√
3 sin x = 0f)
Bài tập 9. Giải các phương trình
sin x =
√
3
2
, x ∈ [−π, π]a) sin
2x +
π
3
= cos
x −
π
3
, x ∈
[
0; π
]
b)
Bài tập 10. Giải các phương trình
cos 2x
sin x
= 0.a)
cos 2x
sin x
= 1.b)
cos 3x
cos x
= 1.c)
sin x
1 + cos x
= 0.d)
Bài tập 11. Giải các phương trình
sin 2x cos x = cos x − cos 2x sin x.a) sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.b)
cos 3x + cos 7x = sin 3x − sin 7x.c) sin 3x − 4 sin x cos 2x = 0.d)
4
√
3 sin x cos x cos 2x = sin 8x.e) sin
x +
π
4
+ sin
π
4
− x
= 0.f)
Bài tập 12. Tifm m để phương trình sau có nghiệm
cos
2x − 55
0
= 2m
2
+ m,a) m cos x + 1 = 3 cos x − 2m,b)
(
4m − 1
)
sin x + 2 = m sin x − 3,c) m(m + 1) cos 2x = m
2
− m − 3 + m
2
cos 2x.d)
cos x =
2m − 3
4 − m
,e) sin2x − 1 =
m + 1
2m
.f)
Bài tập 13. Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cos x và y = sin x giao nhau?
Bài tập 14. Trong hình dưới, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo
khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau
khi buông tay được xác định bởi công thức s = 10 sin
10t +
π
2
. Vào các thời điểm nào thì s = −5
√
3 cm ?
(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)
xs
O
A
SÁCH THAM KHẢO Trang 25
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 15. Trong hình dưới, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy
′
một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay
ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ
π
10
rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn
xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.
(Theo https://www:mnhs.org/splitrock/learn/technology)
y
α
1 km
1 km
y
′
bờ biển
H
O
N
M
a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ y
M
của điểm M trên trục Oy
theo thời gian t.
b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ y
N
= −1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào
ngôi nhà.
SÁCH THAM KHẢO Trang 26
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 7. Bài tập cuối chương
7.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay 3
1
5
vòng ngược chiều kim đồng hồ?
A.
16π
5
. B.
Å
16
5
ã
◦
. C. 1152
◦
. D. 1152π.
Câu 2. Trong trường hợp nào dưới đây cos α = cos β và sin α = − sin β?
A. β = −α. B. β = π − α. C. β = π + α. D. β =
π
2
+ α.
Câu 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.
Câu 4. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác cos 2x = cos
x +
π
3
là
A. −
π
9
. B. −
5π
3
. C. −
7π
9
. D. −
13π
9
.
Câu 5. Số nghiệm của phương trình tan x = 3 trong khoảng
Å
−
π
2
;
7π
3
ã
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi
công thức
h(t) = 29 + 3 sin
π
12
(t − 9)
với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C
và vào lúc mấy giờ?
(Theo https://www.sciencedirect.com/science/ article/abs/pii/0168192385900139)
A. 32
◦
C, lúc 15 giờ. B. 29
◦
C, lúc 9 giờ. C. 26
◦
C, lúc 3 giờ. D. 26
◦
C, lúc 0 giờ.
7.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là
chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?
Bài tập 2. Cho cos α =
1
3
và −
π
2
< α < 0. Tính:
sin α;a) sin2α;b) cos
α +
π
3
.c)
Bài tập 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác:
sin(α + β) sin(α − β) = sin
2
α − sin
2
β;a) cos
4
α − cos
4
α −
π
2
= cos 2α.b)
Bài tập 4. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin
x +
π
6
− sin 2x = 0 là bao nhiêu?
Bài tập 5. Giải các phương trình sau:
sin 2x + cos 3x = 0a) sin x cos x =
√
2
4
;b) sin x + sin 2x = 0.c)
Bài tập 6. Độ sâu h( m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên
trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) = 0,8 cos 0,5t + 4.
(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/ business/an-introduction-to-tidalmodelling.pdf)
a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?
b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m đề có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của
hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào
tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Bài tập 7. Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức v = −3 sin
1,5t +
π
3
.
(Theo https://www.britannica.com/science/ simple-harmonic-motion)
Xác định các thời điểm t mà tại đó:
SÁCH THAM KHẢO Trang 27
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất;
b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.
Bài tập 8. Trong hình vẽ, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều
cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên
đỉnh θ
s
= (AB, AE) phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức
θ
s
(t) =
π
12
(t − 12) rad
với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18).
(Theo https://www.sciencedirect.com/ topics/engineering/solar-hour-angle)
5 m
4 m
A
BN E
θ
s
x (m)
a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.
b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết
N nằm trên trục Bx với toạ độ là x
N
= −4 (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. C 2. A 3. B 4. A 5. B 6. C
SÁCH THAM KHẢO Trang 28
DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
Chương 2
Bài 1. Dãy Số
1.1 Dãy số là gì?
Khái niệm: Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N
∗
được gọi là một dãy số vô hạn (hay
gọi tắt là dãy số), nghĩa là
u : N
∗
→ R
n 7→ u
n
= u(n).
Dãy số trên được kí hiệu là
(
u
n
)
. Dạng khai triển của dãy số
(
u
n
)
là: u
1
; u
2
; . . . ; u
n
; . . .
L Lưu ý:
• u
1
= u(1) gọi là số hạg đầu, u
n
= u(n) gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy
số.
• Nếu u
n
= C với mọi n, ta nói
(
u
n
)
là dãy số không đổi.
Ví dụ 1. Cho hàm số:
u : N
∗
→ R
n 7→ u(n) = n
2
.
Hàm số trên có là dãy số hay không? Nếu có, hãy tìm số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba và số hạng tổng quát của
dãy số.
Ví dụ 2. Cho hàm số:
v : {1; 2; 3; 4; 5} → R
n 7→ v(n) = 2n.
Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).
Khái niệm: Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; . . . ; m} thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng
khai triển của dãy số này là u
1
, u
2
, . . . , u
m
, trong đó u
1
là số hạng đầu và u
m
là số hạng cuối.
Ví dụ 3. Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1; 3; 5; . . . ; 19 có phải là dãy số hữu hạn không? Nếu có, tìm số hạng
đầu và số hạng cuối của dãy số.
Bài tập 1. Cho dãy số:
u : N
∗
→ R
n 7→ u
n
= n
3
.
a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.
b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài tập 2. Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.
a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.
29
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.2 Cách xác định dãy số
Khái niệm: Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
b) Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u
n
.
c) Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
• Cho số hạng thứ nhất u
1
(hoặc một vài số hạng đầu tiên);
• Cho một công thức tính u
n
theo u
n−1
(hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
d) Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Ví dụ 4. Cho các dãy số
(
a
n
)
,
(
b
n
)
,
(
c
n
)
,
(
d
n
)
được xác định như sau:
a
1
= 0; a
2
= 1; a
3
= 2; a
4
= 3; a
5
= 4.a)
®
c
1
= 1
c
n
= c
n−1
+ 1 (n ⩾ 2).
b)
b
n
= 2n.c) d
n
là chu vi của đường tròn có bán kính n.d)
Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.
Ví dụ 5. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
n − 1
3n + 1
.
Tìm ba số hạng đầu tiên.a) Tính u
50
và u
99
.b)
Ví dụ 6. Cho dãy số
(
u
n
)
xác định bởi:
®
u
1
= 1, u
2
= 1
u
n
= u
n−1
+ u
n−2
(n ⩾ 3).
Tính u
5
.
Bài tập 3. Hãy viết 3 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
u
n
=
n + (−1)
n
2n + 1
.a) u
n
=
Å
1 +
1
n
ã
n
.b)
(u
n
):
®
u
1
= 0
u
n+1
= 2u
n
+ 1
, n ∈ N
∗
.c) (u
n
):
(
u
1
= 1
u
n+1
=
»
u
2
n
+ 1
, n ∈ N
∗
.d)
Bài tập 4. Cho dãy số
(
u
n
)
xác định bởi:
®
u
1
= 3
u
n+1
= 2u
n
(n ⩾ 1).
a) Chứng minh u
2
= 2 ·3; u
3
= 2
2
·3; u
4
= 2
3
·3.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số
(
u
n
)
.
Bài tập 5. Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình vẽ). Gọi u
n
là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số
(
u
n
)
bằng hai cách:
Viết công thức số hạng tổng quát u
n
.a) Viết hệ thức truy hồi.b)
SÁCH THAM KHẢO Trang 30
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm
Ví dụ 7. Cho hai dãy số
(
a
n
)
và
(
b
n
)
được xác định như sau: a
n
= 3n + 1; b
n
= −5n.
So sánh a
n
và a
n+1
, ∀n ∈ N
∗
.a) So sánh b
n
và b
n+1
, ∀n ∈ N
∗
.b)
Khái niệm: Cho dãy số
(
u
n
)
,
• Dãy số
(
u
n
)
được gọi là dãy số tăng nếu u
n+1
> u
n
, ∀n ∈ N
∗
.
• Dãy số
(
u
n
)
được gọi là dãy số giảm nếu u
n+1
< u
n
, ∀n ∈ N
∗
.
Ví dụ 8. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
(
a
n
)
với a
n
=
1
n
;a)
(
b
n
)
với b
n
= n
2
;b)
(
c
n
)
với c
n
= (−2)
n
.c)
Ví dụ 9. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
(
a
n
)
với a
n
=
n
n + 1
;a)
(
b
n
)
với b
n
= n − n
2
.b)
Bài tập 6. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
(
u
n
)
với u
n
=
2n − 1
n + 1
;a)
(
x
n
)
với x
n
=
n + 2
4
n
;b)
(
t
n
)
với t
n
= (−1)
n
·n
2
.c)
Bài tập 7. Xét tính tăng giảm của dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát:
u
n
= n
2
+ 3n.a) u
n
= 2n
3
− 5n + 1.b) u
n
= n − 4n
2
.c)
u
n
=
n
n
2
+ 2
.d) u
n
= n
3
− 3n
2
− 7.e) u
n
=
n
2
+ n + 1
2n
2
+ 1
.f)
Bài tập 8. Xét tính tăng giảm của dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát:
u
n
=
n + 1
n
.a) u
n
=
(−1)
n
n + 2
.b) u
n
=
5n − 1
2n + 3
.c)
u
n
=
n
2
+ 1
n
.d) u
n
=
n
2
+ n + 1
n + 1
.e) u
n
=
−n
2
+ 5n + 2
3n + 1
.f)
Bài tập 9. Xét tính tăng giảm của dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát
u
n
=
Å
1
3
ã
n
.a) u
n
=
3
n
2
n+1
.b) u
n
= 3
n
− n.c)
u
n
=
Å
2
5
ã
n
·n.d) u
n
=
√
n
3
n
.e) u
n
=
3
n
n
2
.f)
u
n
=
n + 1
3
n
.g) u
n
=
n
2
4
n
.h) u
n
=
2
n
− 1
2
n
+ 1
.i)
Bài tập 10. Xét tính tăng giảm của dãy số (u
n
) sau
u
n
=
√
n + 1 −
√
n.a) u
n
= n −
√
n
2
− 1.b) u
n
=
√
n + 1 − 1
n
.c)
Bài tập 11. Với giá trị nào của a thì dãy số u
n
=
na + 2
n + 1
là dãy số tăng ? dãy số giảm ?
Bài tập 12. Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.
a) Gọi u
1
= 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u
n
là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới
lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
b) Gọi v
1
= 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v
n
là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên
xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
SÁCH THAM KHẢO Trang 31
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.4 Dãy số bị chặn
Khái niệm:
a) Dãy số
(
u
n
)
được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
u
n
⩽ M, ∀n ∈ N
∗
.
b) Dãy số
(
u
n
)
được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
u
n
⩾ m, ∀n ∈ N
∗
.
c) Dãy số
(
u
n
)
được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các
số M và m sao cho
m ⩽ u
n
⩽ M, ∀n ∈ N
∗
.
Ví dụ 10. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
1
n
. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Ví dụ 11. Xét tính bị chặn của dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
1
2
n
.
Ví dụ 12. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
(
a
n
)
với a
n
= cos
π
n
;a)
(
b
n
)
với b
n
=
n
n + 1
.b)
Bài tập 13. Xét tính bị chặn của các dãy số (u
n
) biết
u
n
= sin n + cos n.a) u
n
= (−1)
n
+ cos n.b) u
n
=
Å
−
1
4
ã
n
.c) u
n
=
1
n(n + 1)
.d)
u
n
=
2n + 1
n + 3
.e) u
n
=
n + 4
2n + 1
.f) u
n
=
n
2
+ 2n
n
2
+ n + 1
.g) u
n
=
3
√
n + 1 −
3
√
n.h)
1.5 Bài tập
Bài tập 1. Tìm u
2
, u
3
và dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n
của dãy số:
u
1
= 1
u
n+1
=
u
n
1 + u
n
(n ⩾ 1).
Bài tập 2. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
1
1 ·2
+
1
2 ·3
+ ··· +
1
n(n + 1)
. Tìm u
1
, u
2
, u
3
và dự đoán công thức số hạng
tổng quát u
n
.
Bài tập 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số
(
y
n
)
với y
n
=
√
n + 1 −
√
n.
Bài tập 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
(
a
n
)
với a
n
= sin
2
nπ
3
+ cos
nπ
4
;a)
(
u
n
)
với u
n
=
6n − 4
n + 2
.b)
Bài tập 5. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
2n − 1
n + 1
. Chứng minh
(
u
n
)
là dãy số tăng và bị chặn.
SÁCH THAM KHẢO Trang 32
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 6. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
na + 2
n + 1
. Tìm giá trị của a để
(
u
n
)
là dãy số tăng;a)
(
u
n
)
là dãy số giảm.b)
Bài tập 7. Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình vẽ .
Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?
1
2
3
5
8
13
21
SÁCH THAM KHẢO Trang 33
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Cấp số cộng
2.1 Cấp số cộng
Khái niệm: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:
u
n+1
= u
n
+ d với n ∈ N
∗
.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 1. Tìm cấp số cộng trong mỗi dãy số sau
5; 10; 15; 20; 25; 30.a) 1; 2; 4; 8.b) 7; 7; 7; 7; 7.c)
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng 3; 6; 9; 12; . . .. Tìm số hạng đầu, công sai và u
5
.
Ví dụ 3. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng đó.
Dãy số
(
u
n
)
với u
n
= 2n + 1.a) Dãy số
(
v
n
)
với u
n
= −3n + 5.b)
Ví dụ 4. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tính b theo a và c.
Công thức cần nhớ: Nếu
(
u
n
)
là cấp số cộng thì kể từ số hạng t hứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối
đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là
u
k
=
u
k−1
+ u
k+1
2
(
k ⩾ 2
)
.
Bài tập 1. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.
a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.
b) Dãy số
(
u
n
)
với u
n
= 9n − 9.
c) Dãy số
(
v
n
)
với v
n
= an + b, trong đó a và b là các hằng số.
Bài tập 2. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
Bài tập 3. Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều.
Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác;
bước thứ hai, các ong thợ tạo ra vòng 2 gồm 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ 3,
các các ong thợ tạo ra vòng 3 gồm 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục. Số ô
trên các vòng theo thứ tự có có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có tìm công
sai của cấp số cộng này.
2.2 Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Công thức cần nhớ: Nếu một cấp số cộng
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
và công sai d thì số hạng tổng quát
u
n
của nó được xác định bởi công thức
u
n
= u
1
+ (n − 1)d, n ⩾ 2.
Ví dụ 5. Tìm số hạng tổng quát u
n
của cấp số cộng có số hạng đầu u
1
= 3 và công sai d = 9.
Bài tập 4. Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau
a) Cấp số cộng
(
a
n
)
có a
1
= 5 và d = −5;
b) Cấp số cộng
(
b
n
)
có b
1
= 2 và b
10
= 20.
Bài tập 5. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
(
c
n
)
có c
4
= 80 và c
6
= 40.
SÁCH THAM KHẢO Trang 34
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
2.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Công thức cần nhớ: Giả sử (u
n
) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+ ···+ u
n
, khi đó
S
n
=
n
(
u
1
+ u
n
)
2
hay S
n
=
n
[
2u
1
+ (n − 1)d
]
2
.
Ví dụ 6. Tính các tổng sau
a) Tính tổng của 100 số nguyên dương đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có u
4
+ u
6
= 20. Tính tổng 9 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng
(
v
n
)
có S
3
= −3 và S
5
= −15. Tính S
50
.
Bài tập 6. Tính tổng sau
a) Tính tổng của 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có u
3
+ u
28
= 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng
(
v
n
)
có S
6
= 18 và S
10
= 110. Tính S
20
.
Bài tập 7.
Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế,
hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến
hàng cuối cùng.
a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.
b) Tính tổng số ghế có ở trong rạp.
2.4 Bài tập
Bài tập 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; −3; −7; −11; −15.
Bài tập 2. Cho
(
u
n
)
là cấp số cộng với số hạng đầu u
1
= 4 và công sai d = −10. Viết công thức số hạng tổng quát
u
n
.
Bài tập 3. Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
= −3 và công sai d = 2.
a) Tìm u
12
.
b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Bài tập 4. Cho cấp số cộng có u
6
= −5; d = 3
Tìm u
1
, u
10
, u
21
.a) Số hạng thứ mấy bằng 25.b)
Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.c) Tính công thức số hạng tổng quát u
n
theo n.d)
Tính tổng n số hạng đầu tiên theo n.e)
Bài tập 5. Trong các đãy số sau đây, đã số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
u
n
= 3 − 4n;a) u
n
=
n
2
− 4;b) u
n
= 5
n
;c) u
n
=
9 − 5n
3
.d)
Bài tập 6. Cho cấp số cộng (u
n
)
−6; −
14
3
; −
10
3
; ··· Tìm u
25
, S
10
.a)
√
2 + 1; 2; 3 −
√
2; ··· Tìm u
10
, S
12
.b)
Bài tập 7. Hãy tính:
a) Tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u
n
) có u
2
+ u
22
= 60.
b) Tổng 22 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u
n
) có u
5
+ u
18
= 100.
SÁCH THAM KHẢO Trang 35
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
c) Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u
n
) có S
6
= 12 và S
12
= 6.
Bài tập 8. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
(
u
n
)
, biết:
®
u
3
− u
1
= 20
u
2
+ u
5
= 54;
a)
®
u
2
+ u
3
= 0
u
2
+ u
5
= 80;
b)
®
u
5
− u
2
= 3
u
8
·u
3
= 24.
c)
Bài tập 9. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
®
u
3
= −15
u
14
= 18
a)
®
u
1
− u
3
+ u
5
= 10
u
2
+ u
5
= 7
b)
®
S
4
= 15
S
7
= 12
c)
®
u
7
− u
3
= 8
u
2
.u
7
= 75
d)
®
u
6
= 8
u
2
2
+ u
2
4
= 16
e)
®
u
2
+ u
3
= −4
u
2
1
+ u
2
5
= 50
f)
®
u
1
+ u
3
+ u
5
= −12
u
1
.u
2
.u
3
= 8
g)
®
u
1
+ u
2
+ u
3
= 9
u
2
1
+ u
2
2
+ u
2
3
= 36
h)
Bài tập 10. Hãy viết thêm 6 số xen giữa hai số 3 và 24 để được cấp số cộng tăng có 8 số hạng.
Bài tập 11. Cho cấp số cộng có 7 số hạng với công sai dương và số hạng thứ 4 bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn
lại của cấp số cộng đó biết hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 6.
Bài tập 12. Số đo 3 góc của một tam giác vuông ABC lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm 3 góc đó.
Bài tập 13. Tìm 3 cạnh của một tam giác vuông, biết chúng tạo thành một cấp số cộng và tam giác đó có chu vi
là 60 đơn vị.
Bài tập 14. Chu vi của một đa giác là 158cm và số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
d = 3cm. Biết độ dài cạnh lớn nhất của đa giác là 44cm. Tìm số cạnh của đa giác đó.
Bài tập 15. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của
chúng bằng 94.
Bài tập 16. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của
chúng bằng 165.
Bài tập 17. Cho cấp số cộng (u
n
) có công sai d. Chứng minh rằng:
a) u
n
− u
m
= (n − m)d với n, m ∈ N
∗
.
b) u
n
+ u
m
= u
k
+ u
r
, biết n + m = k + r biết (n, m, k, r ∈ N
∗
).
Bài tập 18. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Chứng minh:
a
2
+ 8bc = (2b + c)
2
.a) a
2
+ 2bc = c
2
+ 2ab.b)
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = 6(a − b)
2
+ (a + b + c)
2
.c)
Bài tập 19. Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng:
a) a
2
, b
2
, c
2
lập thành một cấp số cộng ⇔
1
b + c
+
1
c + a
+
1
a + b
lập thành một cấp số cộng.
b) a, b, c lập thành một cấp số cộng ⇒ a
2
(b + c), b
2
(c + a), c
2
(a + b) lập thành một cấp số cộng.
Bài tập 20. Tìm x biết 2 + 5 + 8 + ···+ x = 950 và là một số hạng của cấp số cộng: 2, 5, 8, ··· , x, ···
Bài tập 21. Giữa hai số −23 và 40 hãy đặt thêm 8 số nữa để được một cấp số cộng (u
n
). Tìm n để
√
2 − u
n
⩽
√
11.
Bài tập 22. Cho cấp số cộng (u
n
), biết S
n
= 4n
2
− 3n, ∀n ∈ N
∗
. Tìm n để S
n
− u
n
⩽ 7.
Bài tập 23. Biết dãy số 1, a, b là cấp số cộng có cộng sai d
1
và dãy số 1, a
2
, b
2
− 2 cũng là cấp số cộng có công sai
d
2
. Tính: d
1
+ d
2
.
Bài tập 24. Cho một hình vuông có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được một hình
vuông, tiếp tục làm như thế đối với hình vuông mới (như hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình vuông
liên tiếp.
SÁCH THAM KHẢO Trang 36
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 25. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm
các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh
ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43
cm, 41 cm, . . ., 31 cm.
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều
dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không
đáng kể.
Bài tập 26. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay,
giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi
giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80;
112; 144; . . . (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
a) Tính công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó
trong 10 giây đầu tiên.
Bài tập 27. Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy
định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm
5 cm. Khi trưởng thành, cây t hấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm. Hỏi cây cao nhất với
kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?
SÁCH THAM KHẢO Trang 37
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Cấp số nhân
Từ khóa: Cấp số nhân; Công bội; Tổng n số hạng đầu tiên
• Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao
của lần rơi trước đó.
• Gọi u
1
= 120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và u
2
; u
3
; . . .; u
n
; . . . là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số
hạng đầu tiên của dãy
(
u
n
)
và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.
3.1 Cấp số nhân
Bài toán mở đầu:
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:
3; 6; 12; 24; 48.i) 1;
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
.ii) 2; −6; 18; −54; 162; −486.iii)
Khái niệm: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là
u
n+1
= u
n
·q với n ∈ N
∗
.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
3; 6; 12; 24; 48; . . .;a) 1; −
1
2
;
1
4
; −
1
8
;
1
16
; . . . ;b)
9; 9; 9; 9; 9; . . .c)
Ví dụ 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
1; 11; 121; 12321; 1234321;a) 1;−1; 1; −1; 1;b) 4; 8; 12; 16.c)
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân: 1; 10; 100; 1000; 10000. Biểu diễn số hạng 10 và 100 theo hai số hạng kề nó.
L Lưu ý: Chú ý: Dãy số
(
u
n
)
là cấp số nhân thì u
2
n
= u
n−1
·u
n+1
với n ⩾ 2.
Bài tập 1. Trong các dãy số (u
n
) dưới dây, dãy số nào là một cấp số nhân
u
n
= 3(−2)
n
a) u
n+1
= 2u
n
b) u
n
= 4
n+1
c) u
n
=
n
3
n
d)
SÁCH THAM KHẢO Trang 38
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Cấp số nhân (u
n
) sau đây có bao nhiêu số hạng, biết: q = 2, u
n
= 96, S
n
= 189.
Bài tập 3. Hãy viết 6 số xen giữa các số −2 và 256 để được một cấp số nhân. Theo thứ tự đó nếu viết tiếp thì số
hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
Bài tập 4. Các số x + 6y; 5x + 2y; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đồng thời các số x − 1; y + 2;
x − 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Bài tập 5. Cho ba số tự nhiên m; n; p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2
m
; 2
n
; 2
p
theo thứ
tự lập thành cấp số nhân.
Bài tập 6. Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%.
Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công
bội của cấp số nhân này.
Bài tập 7. Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn
organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần
lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đô
_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
3.2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Công thức cần nhớ: Nếu một cấp số nhân
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
và công bội q thì số hạng tổng quát
u
n
của nó được xác định bởi công thức
u
n
= u
1
·q
n−1
, n ⩾ 2.
Ví dụ 4. Cho cấp số nhân có 8 số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là 2. Tìm công bội của cấp số nhân đó.
Bài tập 8. Viết công thức số hạng tổng quát u
n
theo số hạng đầu u
1
và công bội q của các cấp số nhân sau:
5; 10; 20; 40; 80; . . .;a) 1;
1
10
;
1
100
;
1
1000
;
1
10000
; . . .b)
Bài tập 9. Tính u
5
và S
6
của các cấp số nhân sau đây:
u
1
= 2, q = −1a) u
3
= 10, q = 5b)
Bài tập 10. Cấp số nhân (u
n
) có
®
u
1
+ u
5
= 51
u
2
+ u
6
= 102
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Bài tập 11. Tìm số hạng đầu và công bội của mỗi cấp số nhân sau, biết:
®
u
5
= 96
u
6
= 192
a)
u
4
= 8
u
6
= 72
u
7
< 0
b)
®
u
5
− u
1
= 15
u
4
− u
2
= 6
c)
®
u
3
+ u
5
= 90
u
2
− u
6
= 240
d)
®
u
1
− u
3
+ u
5
= 65
u
1
+ u
7
= 325
e)
®
u
2
− u
4
+ u
5
= 10
u
3
− u
5
+ u
6
= 20
f)
Bài tập 12. Cho cấp số nhân (u
n
) có 6u
2
+ u
5
= 1 và 3u
3
+ 2u
4
= −1. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Bài tập 13. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của
nguyên tố đó chi còn một nửa (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/ Poloni-210). Tính khối lượng còn lại của 20
gam poloni 210 sau:
690 ngày;a) 7314 ngày (khoảng 20 năm).b)
3.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cho cấp số nhân
(
u
n
)
có công bội q. Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+ ···+ u
n
.
So sánh q ·S
n
và
(
u
2
+ u
3
+ ···+ u
n
)
+ q ·u
n
;a) So sánh u
1
+ q ·S
n
và S
n
+ u
1
·q
n
.b)
SÁCH THAM KHẢO Trang 39
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Công thức cần nhớ: Giả sử
(
u
n
)
là một cấp số nhân có công bội q = 1. Đặt S
n
= u
1
+ u
2
+ ···+ u
n
, khi
đó
S
n
=
u
1
(
1 − q
n
)
1 − q
.
L Lưu ý: Chú ý: Khi q = 1 thì S
n
= n ·u
1
.
Ví dụ 5. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
= 1 và công bội q = 2.
Bài tập 14. Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
(
u
n
)
trong các trường hợp sau:
u
1
= 10
5
, q = 0,1, n = 5;a) u
1
= 10, u
2
= −20, n = 5.b)
Bài tập 15. Trong bài toán ở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên.
3.4 Bài tập
Bài tập 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
u
n
= 3(−2)
n
;a) u
n
= (−1)
n+1
·7
n
;b)
®
u
1
= 1
u
n+1
= 2u
n
+ 3.
c)
Bài tập 2. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
(
u
n
)
, biết:
®
u
5
− u
1
= 15
u
4
− u
2
= 6;
a)
®
u
1
− u
3
+ u
5
= 65
u
1
+ u
7
= 325.
b)
Bài tập 3.
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn
nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số −2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15
là bao nhiêu?
Bài tập 4. Ba số
2
b − a
,
1
b
,
2
b − c
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập
thành cấp số nhân.
Bài tập 5. Tính các tổng sau:
S
n
= 1 +
1
3
+
1
3
2
+ ···+
1
3
n
;a) S
n
= 9 + 99 + 999 + ···+ 99 . . . 9
| {z }
n chữ số 9
.b)
Bài tập 6. Số đo 4 góc của một tứ giác lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm 4 góc đó biết rằng số đo của góc lớn
nhất gấp 8 lần số đo của góc bé nhất.
Bài tập 7. Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
148
9
, đồng t hời theo thứ tự đó
chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài tập 8. Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn
hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số đó.
Bài tập 9. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số
hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng. Hãy tìm 3 số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.
Bài tập 10. Cho ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân và có tổng là 26. Nếu cộng thêm lần lượt 1, 6, 3 cho
ba số thì 3 số mới theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm ba số x, y, z.
Bài tập 11. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
(a
2
+ b
2
)(b
2
+ c
2
) = (ab + bc)
2
a) (a + b + c)(a − b + c) = a
2
+ b
2
+ c
2
b)
(ab + bc + ca)
3
= abc(a + b + c)
3
c) a
2
b
2
c
2
Å
1
a
3
+
1
b
3
+
1
c
3
ã
= a
3
+ b
3
+ c
3
d)
Bài tập 12. Tính tổng:
SÁCH THAM KHẢO Trang 40
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1 + 10 + 10
2
+ 10
3
+ ···+ 10
n
a) 9 + 99 + 999 + ···+ 99 ···9
| {z }
n chữ số 9
b)
1 + 11 + 111 + ···+ 11 ···1
| {z }
n chữ số 1
c) 6 + 6 + 666 + ···+ 66 ···6
| {z }
n chữ số 6
d)
Bài tập 13. Xét dãy (u
n
) xác định bởi u
1
= a và u
n+1
=
12
u
n
(a là số thực = 0). Hãy xác định các giá trị của a để
dãy số (u
n
) là một cấp số nhân.
Bài tập 14. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 2 và u
n+1
= 4u
n
+ 9. Chứng minh rằng: Dãy số (v
n
) xác định bởi:
v
n
= u
n
+ 3 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội.
Bài tập 15. Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác đó có 2 góc không
quá 60
0
.
Bài tập 16. Tìm cấp số nhân (u
n
) biết tổng của 4 số hạng đầu là 14, tổng của số hạng thứ 4, thứ 5, thứ 6 là
21
2
, với
công bội q dương.
Bài tập 17. Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân hoặc là các số hạng thứ 2,
thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là
820.
Bài tập 18. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng t hí nghiệm, cứ mỗi phút số
lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số
vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.
Bài tập 19. Giả sử một t hành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung
bình mỗi năm là 0,75%.
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032;
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì uớc tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ
tăng gấp đôi so với năm 2022?
Bài tập 20. Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy,
người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược
lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện
cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9 m.
a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba;
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5
lần nảy đầu.
SÁCH THAM KHẢO Trang 41
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Bài tập cuối chương
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
n
3
n
− 1
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số
(
u
n
)
lần lượt là
A.
1
2
;
1
4
;
3
27
. B.
1
2
;
1
4
;
3
26
. C.
1
2
;
1
4
;
3
25
. D.
1
2
;
2
3
;
3
28
.
Câu 2. Cho dãy số:
1
3
;
1
3
2
;
1
3
3
;
1
3
4
;
1
3
5
; . . .. Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. u
n
=
1
3
·
1
3
n+1
. B. u
n
=
1
3
n+1
. C. u
n
=
1
3
n
. D. u
n
=
1
3
n−1
.
Câu 3. Cho dãy số
(
u
n
)
với u
n
=
n + 1
n + 2
. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn. B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới. D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Câu 4. Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
, công sai d. Khi đó, với n ⩾ 2 ta có
A. u
n
= u
1
+ d. B. u
n
= u
1
+ (n + 1)d. C. u
n
= u
1
− (n − 1)d. D. u
n
= u
1
+ (n − 1)d.
Câu 5. Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có u
1
= 3 và u
2
= −1. Khi đó
A. u
3
= 4. B. u
3
= 2. C. u
3
= −5. D. u
3
= 7.
Câu 6. Cho cấp số cộng
(
u
n
)
có số hạng đầu u
1
= −1 và công sai d = 3. Khi đó S
5
bằng
A. 11. B. 50. C. 10. D. 25.
Câu 7. Có bao nhiêu số thực x để 2x − 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần
lượt là
A.
π
6
;
π
3
;
π
2
. B.
π
5
;
2π
5
;
4π
5
. C.
π
6
;
2π
6
;
4π
6
. D.
π
7
;
2π
7
;
4π
7
.
4.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Xét tính bị chặn của dãy số (u
n
) với u
n
=
2n + 1
n + 2
.
Bài tập 2. Tìm số hạng đầu u
1
và công sai d của cấp số cộng (u
n
) biết:
®
5u
1
+ 10u
5
= 0
S
4
= 14;
a)
®
u
7
+ u
15
= 60
u
2
4
+ u
2
12
= 1170.
b)
Bài tập 3. Tìm số hạng đầu u
1
và cộng bội q của cấp số nhân (u
n
) biết:
®
u
5
= 96
u
6
= 192;
a)
®
u
4
+ u
2
= 72
u
5
− u
3
= 144.
b)
Bài tập 4. Giả sử quần thể động vật này ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là
12%/năm, xuất cư 2%/năm, tử vong 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau 2 năm.
Bài tập 5. Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số
phím La trung là 400 Hz và tần số của phím La cao cao hơn 12 phím là 800 Hz (nguồn: https://vi.wikipedia.org/wikiOrgan).
Tìm công bội của cấp số nhân nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Bài tập 6. Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020). Nếu trung
bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả
đến hàng trăm nghìn)?
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D
SÁCH THAM KHẢO Trang 42
GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Chương 3
Bài 1. Giới hạn của dãy số
1.1 Giới hạn của dãy số
Giới thiệu: Nếu u
n
→ L khi n → ∞ thì ta nói dãy u
n
có giới hạn là L khi n → ∞. Kí hiệu: lim
n→∞
u
n
= L
(hay còn viết gọn là lim u
n
= L).
• Nếu L = 0 thì ta gọi là giới hạn 0 của dãy số,
• Nếu L = a là một số hữu hạn ta gọi là giới hạn hữu hạn của dãy,
• Nếu L = ∞ thì ta gọi là giới hạn vô cực.
1.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Công thức cần nhớ: Cho lim u
n
= a, lim v
n
= b và c là hằng số. Khi đó
lim
(
u
n
+ v
n
)
= a + b.a) lim
(
u
n
− v
n
)
= a − b.b)
lim
(
c ·u
n
)
= c ·a.c) lim
(
u
n
·v
n
)
= a ·b.d)
lim
u
n
v
n
=
a
b
(b = 0).e) Nếu u
n
⩾ 0, ∀n ∈ N
∗
thì a ⩾ 0 và
lim
√
u
n
=
√
a.
f)
1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.3.1 Giới hạn 0 của dãy số
Khái niệm: Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu
|
u
n
|
nhỏ hơn một số dương
bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim
n→+∞
u
n
= 0 hay u
n
→ 0 khi n → +∞. Ta còn
viết lim u
n
= 0.
Công thức cần nhớ: Một số giới hạn cơ bản
a) lim
1
n
= 0.
b) lim
1
n
k
= 0, với k nguyên dương bất kì.
c) lim q
n
= 0, với q là số thực thoả mãn
|
q
|
< 1.
Ví dụ 1. Áp dụng giới hạn cơ bản, tìm lim
1
Ä
√
3
ä
n
.
Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau
lim
1
n
2
.a) lim
Å
1
n
ã
2
.b) lim
Å
1
4
ã
n
.c) lim
Å
−
3
4
ã
n
.d)
43
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.3.2 Giới hạn hữu hạn của dãy số
Khái niệm: Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn là số a (hay u
n
dần tới a) khi n dần tới dương vô cực,
nếu lim
(
u
n
− a
)
= 0. Khi đó, ta viết lim
n→+∞
u
n
= a hay lim u
n
= a hay u
n
→ a khi n → +∞.
L Lưu ý: Nếu u
n
= c (c là hằng số) thì lim u
n
= lim c = c.
1.4 Bài tập
1.4.1 Khử dạng vô định
∞
∞
L Lưu ý:
• Một giới hạn lim
n→∞
u(n)
v(n)
được gọi là dạng vô định
∞
∞
, nếu u(n) → ∞ và v(n) → ∞ khi n → ∞.
• Để tính giới hạn này ta phải khử (làm mất) dạng vô định bằng cách, tại tử và mẫu số ta rút n có lũy
thừa cao nhất làm thừa số, sau đó rút gọn và tính.
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim
3n
2
+ 1
n
2
.
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau
lim
3n + 2
2n − 1
.a) lim
2n
2
+ 3n
n
2
+ 1
.b) lim
Å
2 +
Å
2
3
ã
n
ã
.c) lim
Å
1 − 4n
n
ã
.d)
lim
1
n
.e) lim
Å
2 −
1
n
ã
.f) lim
2
n + 1
.g) lim
3n + 1
n
.h)
lim
4n + 5
2n − 3
.i) lim
3n + 1
7 − 6n
.j) lim
2n
2
+ n
n
2
.k) lim
n + 1
n
2
+ 1
.l)
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau
lim
n
2
+ 2n
3n
2
+ n + 1
.a) lim
1 + n − 2n
2
2 − n + n
2
.b) lim
√
9n
2
+ 1
n
.c) lim
√
4n
2
+ 3
n
.d)
lim
√
n + 1
2n
.e) lim
n
2
+
√
n − 2
n
2
+ n
.f) lim
−n
2
+ n
√
n − 1
2n
2
− 1
.g) lim
n
2
+ n + 1
(2n + 1)
2
.h)
lim
2n
2
− n + 1
(n − 1)(3n + 1)
.i) lim
Å
n
n
2
+ 1
− 1
ã
.j) lim
2n
3
− 3n
2
+ 7
n
3
− 5n
2
.k) lim
4n
4
+ n
2
+ 6
−n
4
+ n + 2
.l)
Bài tập 4. Tính các giới hạn sau
lim
4n
2
− n + 1
(1 + 2n)
2
(n + 5)
a) lim
(n + 1)(3n − 2)
3
(n + 2)
4
b) lim
n
2
+ 1
n
2
− 3
(
1 + n
)
n
3
+ 2
c)
lim
(2n + 1)(n − 3)(3n − 4)
(6n − 1)
3
d) lim
n
4
+ 3n
3
+ 4n
2
+ 1
(
−n − 2
)
n
3
+ 5
e) lim
4n
4
− n
2
+ 1
(2n + 1)(3 − n)(n
2
+ 2)
f)
lim
(n + 1)n
4
+ (n + 1)
5
n
6
− 3n
3
+ 2
g) lim
(n − 1)
10
(n + 1)
2
− n
11
n
12
+ n
6
+ 2
h) lim
n
√
n
3 + 2
√
n
(n + 1)(n + 2)
i)
Bài tập 5. Tính các giới hạn sau
lim
2
n
− 3
n
4
n
.a) lim
1 + 2
n
1 − 2
n
.b) lim
3
n
− 4
n
3
n
+ 4
n
.c)
lim
√
5
n
3
n
+ 1
.d) lim
7 ·2
n
2 ·3
n
+ 4
n
.e) lim
3 ·3
n
− 5
n
3 ·2
n
+ 5 ·4
n
.f)
lim
(−2)
n
− 4
n
3
n+1
+ 5
n+1
.g) lim
3
n
− (−5)
n+2
2
n+1
+ 6
n
.h) lim
4 ·3
n
+ 7
n+1
2 ·5
n
+ 7
n
.i)
lim
5 ·2
n
− 3
n
2
n+1
+ 3
n+1
.j) lim
2
n+1
− 3
n
+ 11
3
n+2
+ 2
n+3
− 4
.k) lim
3
n
+ 2
n+1
5
n
+ 3
n+1
.l)
1.4.2 khử dạng vô định ∞ − ∞
SÁCH THAM KHẢO Trang 44
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
L Lưu ý: Thông thường, tính tính giới hạn dạng ∞ − ∞ ta chuyển dạng này về dạng
∞
∞
bằng cách nhân,
chia cho đại lượng liên hiệp của mẫu, rồi tính.
Bài tập 6. Tính các giới hạn sau
lim
Ä
√
n
2
+ 1 − n
ä
a) lim
√
n + 1 −
√
n
b) lim n
n − 2
√
n + 1
c)
lim
√
n
√
n + 2 −
√
n
d) lim
Ä
√
2n
2
+ 3 −
√
n
2
+ 1
ä
e) lim
Ä
√
n
2
+ 3n − n + 2
ä
f)
lim
Ä
3
√
n
2
− n
3
+ n
ä
g) lim
Ä
n + 2 −
3
√
n
3
+ 2n
ä
h) lim
Ä
1 + n
2
−
√
n
4
+ 3n + 1
ä
i)
1.5 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Khái niệm: Cấp số nhân vô hạn
(
u
n
)
có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là
S = u
1
+ u
2
+ ···+ u
n
+ ··· =
u
1
1 − q
.
Ví dụ 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 −
1
4
+
1
16
−
1
64
+ ···+
Å
−
1
4
ã
n
+ ···.
Ví dụ 4. Biết rằng có thể coi số t hập phân vô hạn tuần hoàn 0,666 . . . là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn:
0,666 . . . = 0,6 + 0,06 + 0,006 + ··· = 0,6 + 0,6 ·
1
10
+ 0,6 ·
1
10
2
+ ··· .
Hãy viết 0,666 . . . dưới dạng phân số.
Bài tập 7. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 +
1
3
+
Å
1
3
ã
2
+ ···+
Å
1
3
ã
n
+ ···.
Bài tập 8. Tính các tổng sau
S = 1 +
1
2
+
1
4
+ ···+
Å
1
2
ã
n
+ ···a) S = −1 +
1
10
−
1
10
2
+ ···+
(−1)
n
10
n−1
+ ···b)
Bài tập 9. Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn
bán kính
R
2
rồi chồng lên hình tròn đầu tiên
như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn
bán kính
R
4
rồi chồng lên các hình trước như
Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện
tích của các hình tròn.
a) b) c)
Hình 3
1.6 Giới hạn vô cực
Khái niệm:
• Ta nói dãy số
(
u
n
)
có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu u
n
lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u
n
= +∞ hay u
n
→ +∞ khi n → +∞.
• Ta nói dãy số
(
u
n
)
có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim
(
−u
n
)
= +∞, kí hiệu lim u
n
= −∞ hay
u
n
→ −∞ khi n → +∞.
SÁCH THAM KHẢO Trang 45
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
L Lưu ý: Ta có các kết quả sau:
a) Nếu lim u
n
= +∞ hoặc lim u
n
= −∞ thì lim
1
u
n
= 0.
b) Nếu lim u
n
= 0 và u
n
> 0 với mọi n thì lim
1
u
n
= +∞.
c) lim u
n
= +∞ khi và chi khi lim
(
−u
n
)
= −∞.
Ví dụ 5. Tìm giới hạn lim q
n
với q > 1.
L Lưu ý:
lim n
k
= +∞ (k ∈ N, k ⩾ 1).a) lim q
n
= +∞ (q > 1).b)
Bài tập 10. Tính các giới hạn sau
lim
n
2
− 1
n + 1
a) lim
3n − n
3
2n + 15
b) lim
n
4
− 2n
2
+ 1
2n
3
+ n
2
+ 7
c) lim
2n
2
− 15n + 11
√
3n
2
− n + 3
d)
Bài tập 11. Tính các giới hạn sau
lim
n
2
+ 2n
a) lim
−2n
4
+ 1
b) lim
√
5n − 9c) lim
√
2n
2
− n + 3d)
lim
3
√
7n
2
− n
3
e) lim
(
2
n
− 32
)
f) lim
(
3
n
− 2
n
)
g) lim
4 ·3
n
− 5
n+1
h)
1.7 Bài tập
Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau:
lim
−2n + 1
n
.a) lim
√
16n
2
− 2
n
.b) lim
4
2n + 1
.c) lim
n
2
− 2n + 3
2n
2
.d)
Bài tập 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau
−
1
2
+
1
4
−
1
8
+ ···+
Å
−
1
2
ã
n
+ ···.a)
1
4
+
1
16
+
1
64
+ ···+
Å
1
4
ã
n
+ ···.b)
Bài tập 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 . . . dưới dạng một phân số.
Bài tập 4.
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của
bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh
của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như t hế,
nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
Hình 5
a) Kí hiệu a
n
là diện tích của hình vuông thứ n và S
n
là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công
thức tính a
n
, S
n
(n = 1, 2, 3, . . .) và tìm lim S
n
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình
vuông).
b) Kí hiệu p
n
là chu vi của hình vuông thứ n và Q
n
là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức
tính p
n
và Q
n
(n = 1, 2, 3, . . .) và tìm lim Q
n
(giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình
vuông).
Bài tập 5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông H
0
cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H
0
thành chín hình
vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H
1
(xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của
H
1
thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H
2
(xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này,
ta nhận được một dãy hình H
n
(n = 1, 2, 3, . . .).
SÁCH THAM KHẢO Trang 46
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
H
0
a)
H
1
b)
H
2
c)
H
3
d)
Hình 6
Ta có: H
1
có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
1
3
;
Ta có: H
2
có 5 ·5 = 5
2
hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
1
3
·
1
3
=
1
3
2
; . . ..
Từ đó, nhận được H
n
có 5
n
hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng
1
3
n
.
a) Tính diện tích S
n
của H
n
và tính lim S
n
.
b) Tính chu vi p
n
của H
n
và tính lim p
n
.
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S
n
và chu vi lim p
n
).
Bài tập 6. Tính các giới hạn sau
lim
3n −
√
9n
2
+ 1
n −
√
n
2
+ 2n
a) lim
√
n
2
+ 1 −
√
n + 1
3n + 2
b) lim
√
n
2
+ 3n − 1 −
√
2n + 3
2n + 1
c)
lim
n + 3 −
√
n
2
+ n
√
4n
2
+ 5 − 2n + 1
d) lim
3
√
n
3
− n − n
√
n
2
+ 2 − n + 4
e) lim
n
2
+
3
√
1 − n
6
√
n
4
+ 1 − n
2
f)
Bài tập 7. Tính các giới hạn sau
lim
Å
1
n
2
+
2
n
2
+ ···+
n − 1
n
2
ã
a) lim
1 + 2 + 3 + 4 + ···+ 2n
1 + n
3
b)
lim
n
√
2 + 4 + 6 + ···+ 2n
3n
2
+ n − 2
c) lim
1 − 2 + 3 − ···+ (2n − 1) − 2n
√
2n
2
+ 1
d)
lim
Å
1
1 ·2
+
1
2 ·3
+
1
3 ·4
+ ···+
1
n ·(n + 1)
ã
e) lim
2 + 7 + 14 + ···+
n
2
+ 2n − 1
1 ·4 + 2 ·7 + 3 ·10 + ···+ n ·(3n − 1)
f)
lim
Å
1
1 ·3
+
1
3 ·5
+ ···+
1
(2n − 1) ·(2n + 1)
ã
g) lim
Å
1
1 ·3
+
1
2 ·4
+
1
3 ·5
+ ···+
1
n ·(n + 2)
ã
h)
lim
Å
1 −
1
2
ãÅ
1 −
1
3
ãÅ
1 −
1
4
ã
···
Å
1 −
1
n
ã
i) lim
Å
1 −
1
2
2
ãÅ
1 −
1
3
2
ãÅ
1 −
1
4
2
ã
···
Å
1 −
1
n
2
ã
j)
lim
C
0
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ ···+ C
n
n
3
n
k) lim
Å
1
2
√
1 +
√
2
+ ···+
1
(n + 1)
√
n + n
√
n + 1
ã
l)
SÁCH THAM KHẢO Trang 47
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Giới thiệu: Nếu f(x) → L khi x → a thì L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a. Kí hiệu: lim
x→a
f(x) = L.
2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Khái niệm: Cho điểm x
0
thuộc khoảng K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x
0
}. Ta nói hàm số
y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
∈ K \ {x
0
} và x
n
→ x
0
thì
f(x
n
) → L, kí hiệu lim
x→x
0
f(x) = L hay f(x) → L khi x → x
0
.
2.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Công thức cần nhớ:
a) lim
x→x
0
x = x
0
. lim
x→x
0
x
k
= x
k
0
, k là số nguyên dương;
b) lim
x→x
0
c = c (c là hằng số);
c) lim
x→x
0
[cf(x)] = c lim
x→x
0
f(x) (c ∈ R, nếu tồn tại lim
x→x
0
f(x) ∈ R).
d) Cho lim
x→x
0
f(x) = L và lim
x→x
0
g(x) = M. Khi đó:
• lim
x→x
0
[f(x) + g(x)] = L + M.
• lim
x→x
0
[f(x) − g(x)] = L − M.
• lim
x→x
0
[f(x) ·g(x)] = L · M.
• lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
L
M
(với M = 0).
e) Nếu f(x) ⩾ 0 và lim
x→x
0
f(x) = L thì L ⩾ 0 và lim
x→x
0
p
f(x) =
√
L.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x = x
0
).
2.3 Bài tập
2.3.1 Tính trực tiếp bằng cách thế số
L Lưu ý: Nếu f(a) = 0 thì lim
x→a
f(x) = f(a).
Bài tập 1. Sử dụng quy tắc thế số tính các giới hạn sau
lim
x→2
2x.a) lim
x→2
x
2
.b) lim
x→−2
(x
2
+ 5x − 2).c) lim
x→0
√
x
2
+ 1.d)
lim
x→1
(x
2
− 4x + 2).e) lim
x→2
3x − 2
2x + 1
.f) lim
x→
π
4
tan x.g) lim
x→1
x
2
− 1
x − 1
.h)
2.3.2 Dạng vô định
0
0
L Lưu ý:
• Khi tính lim
x→x
0
f(x)
g(x)
, mà khi thế số ta được f(x
0
) = 0 và g(x
0
) = 0 thì giới hạn được xem là dạng vô định
0
0
.
• Để tính giới hạn này ta phải khử dạng vô định, bằng cách biến đổi xuất hiện thừa số (x − x
0
) ở cả tử
và mẫu số, sau đó giản ước, thu gọn và tính.
SÁCH THAM KHẢO Trang 48
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) =
x
2
− 4
x + 2
. Tìm lim
x→−2
f(x).
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau
lim
x→2
x
2
− 4
x − 2
.a) lim
x→3
√
x + 1 − 2
x − 3
.b) lim
x→−1
x
2
+ 2x + 1
x + 1
.c) lim
x→1
x
2
− 1
x − 1
.d)
lim
x→2
x
2
− x − 2
x − 2
.e) lim
x→−3
x
2
+ x − 6
x + 3
.f) lim
x→3
x
2
+ 2x − 15
x − 3
.g) lim
x→2
x
2
− 3x + 2
2x
2
− 5x + 2
.h)
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau
lim
x→−2
x
2
− x − 6
x
3
+ 2x
2
.a) lim
x→0
(x − 2)
3
+ 8
x
b) lim
x→−2
x
3
+ 8
x
2
+ 11x + 18
.c)
lim
x→−1
x
4
− 1
x
2
+ 11x + 10
.d) lim
x→2
x
3
+ x
2
− 2x − 8
x
2
− 3x + 2
.e) lim
x→1
2x
2
− 3x + 1
x
3
− 2x
2
− x + 2
.f)
lim
x→1
Å
1
1 − x
−
3
1 − x
3
ã
.g) lim
x→2
Å
1
x
2
− 4
+
1
x
2
− 3x + 2
ã
.h) lim
x→−2
Å
2x − 3
x + 2
−
x − 26
4 − x
2
ã
.i)
2.4 Giới hạn một phía
Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x
0
; b). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là
số L khi x dần tới x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
0
< x
n
< b và x
n
→ x
0
thì f(x
n
) → L, kí hiệu
lim
x→x
+
0
f(x) = L.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x
0
). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên trái là
số L khi x dần tới x
0
nếu với dãy số (x
n
) bất kì, a < x
n
< x
0
và x
n
→ x
0
thì f(x
n
) → L, kí hiệu
lim
x→x
−
0
f(x) = L.
Công thức cần nhớ:
a) Ta thừa nhận các kết quả sau:
• lim
x→x
+
0
f(x) = L và lim
x→x
−
0
f(x) = L khi và chỉ khi lim
x→x
0
f(x) = L.
• Nếu lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0
f(x) thì không tồn tại lim
x→x
0
f(x).
b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở (2.2) vẫn đúng khi ta thay x → x
0
bằng
x → x
+
0
hoặc x → x
−
0
.
Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) =
®
0 khi x < 0
1 khi x > 0.
a) Tìm các giới hạn lim
x→0
+
f(x) và lim
x→0
−
f(x).
b) Có tồn tại lim
x→0
f(x)?
Bài tập 4. Tìm các giới hạn một bên của các hàm số sau
lim
x→1
+
x
2
+ 1
x − 1
.a) lim
x→3
+
1 − 2x
2
x − 3
.b) lim
x→0
+
Å
1
x
−
1
x
2
ã
.c)
lim
x→2
−
Å
1
x − 2
−
1
x
2
− 4
ã
.d) lim
x→2
−
|2 − x|
x
2
− 4x + 4
.e) lim
x→2
+
√
x
2
− 4
x − 2
f)
lim
x→2
−
x
2
− 3x + 2
√
2 − x
.g) lim
x→−2
−
|3x + 6|
x + 2
h) lim
x→−1
+
x
2
+ 5x + 4
|x + 1|
.i)
lim
x→−2
+
x|x + 2|
x
2
+ 3x + 2
.j) lim
x→0
−
√
3x
2
+ x
4
2x
.k) lim
x→0
+
3
√
x − x
√
2x + x
.l)
SÁCH THAM KHẢO Trang 49
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 5. Cho hàm số f(x) =
®
1 − 2x khi x ⩽ −1
x
2
+ 2 khi x > −1
. Tìm các giới hạn lim
x→−1
+
f(x) và lim
x→−1
−
f(x) và lim
x→−1
f(x) (nếu
có).
Bài tập 6. Xét sự tồn tại giới hạn
a) Cho hàm số f(x) =
®
2x + 1, x < 1
−x
2
+ 4, x ⩾ 1
. Tính các giới hạn lim
x→1
−
f(x), lim
x→1
+
f(x), lim
x→1
f(x).
b) Cho hàm số f(x) =
|x|
x
. Tính các giới hạn lim
x→0
−
f(x), lim
x→0
+
f(x), lim
x→0
f(x).
Bài tập 7. Cho hàm số f(x) =
27
x
2
− 4x + 3
x
3
− 27
(x > 3)
ax − 4 (x ⩽ 3)
. Tìm a để lim
x→3
f(x) tồn tại.
Bài tập 8. Cho hàm số f(x) =
®
ax + 1 (x < 1)
x
2
− a (x ⩾ 1)
. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x → 1.
Bài tập 9. Cho hàm số f(x) =
x
2
− 3x + 2
x − 1
(x > 1)
2mx + 3 (x ⩽ 1)
. Tìm m để lim
x→1
f(x) tồn tại.
2.5 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
> a và
x
n
→ +∞ thì f(x
n
) → L, kí hiệu lim
x→+∞
f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (−∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (x
n
) bất kì, x
n
< a và
x
n
→ −∞ thì f(x
n
) → L, kí hiệu lim
x→−∞
f(x) = L hay f(x) → L khi x → −∞.
Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) =
2x − 1
x + 2
. Tìm lim
x→+∞
f(x).
Công thức cần nhớ:
a) Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:
lim
x→±∞
c = c và lim
x→±∞
c
x
k
= 0.
b) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở (2.2) vẫn đúng khi thay x → x
0
bằng x → +∞ hoặc x → −∞.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
lim
x→+∞
1 − 3x
2
x
2
+ 2x
.a) lim
x→−∞
2
x + 1
.b)
L Lưu ý: Tính lim
x→∞
f(x) ta thực hiện như tính giới hạn dãy số.
Bài tập 10. Tính giới hạn hàm số
lim
x→+∞
2x − 3
1 − 3x
.a) lim
x→+∞
x
√
x
2
+ x
.b)
lim
x→+∞
(2x − 5)(1 − x)
2
3x
3
− x + 1
.c) lim
x→∞
x
x
2
+ 1
x
3
+ 2
x
6
.d)
SÁCH THAM KHẢO Trang 50
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 11. Tính giới hạn hàm số
lim
x→−∞
3x + 1
√
1 − x + 4x
2
− x
a) lim
x→−∞
2x −
√
x
2
+ 5x − 1
7x − 3
b) lim
x→+∞
(2x − 1)
√
x
2
− 3
x − 5x
2
c)
lim
x→−∞
√
x
2
+ x + 2 + 3x
√
4x
2
+ 1 − x + 1
d) lim
x→+∞
(1 − 2x)
…
3x − 1
x
3
+ 1
e) lim
x→−∞
(x + 2)
4x + 1
(
x − 1
)
x
2
+ 2x
f)
Bài tập 12. Tính giới hạn hàm số
lim
x→−∞
x
2
− 5x + 4
x
2
− 1
a) lim
x→−∞
|x| +
√
x
2
+ x
x + 10
b) lim
x→−∞
3x
2
− 2|5 − x| + 1
2x
2
− 5
+ 4
|
x + 1
|
− 1
c)
2.5.1 Khử dạng vô định ∞ − ∞
L Lưu ý:
• Nhân liên hiệp, đưa về dạng
∞
∞
.
• Khử dạng vô định
∞
∞
.
Bài tập 13. Tính các giới hạn
lim
x→+∞
Ä
√
x
2
+ x + 1 − x
ä
.a) lim
x→−∞
Ä
x +
√
x
2
− 4x
ä
.b) lim
x→−∞
Ä
√
x
2
+ 1 + 2x
ä
.c)
lim
x→+∞
Ä
√
4x
2
− x − 2x
ä
.d) lim
x→−∞
Ä
√
3x
2
+ 1 + x
√
3
ä
.e) lim
x→+∞
x
Ä
√
x
2
+ 1 − x
ä
.f)
lim
x→−∞
Ä
√
x
2
+ x −
√
x
2
+ 1
ä
.g) lim
x→−∞
Ä
x
√
4x
2
+ 1 + 2x
2
ä
.h) lim
x→+∞
Ä
3
√
x
3
+ 3x
2
−
√
x
2
− 2x
ä
.i)
Bài tập 14. Một cái hồ đang chứa 200 m
3
nước mặn với nồng độ muối 10 kg/m
3
. Người ta ngọt hóa nước trong
hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với vận tốc 2 m
3
/phút.
a) Viết biểu thức C(t) biểu t hị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.
b) Tìm giới hạn lim
t→+∞
C(t) và giải thích ý nghĩa.
2.6 Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Giới thiệu: Nếu lim
x→a
u(x) = const (hằng số) và lim
x→a
v(x) = 0 thì lim
x→a
u(x)
v(x)
= ∞. Lưu ý tùy trường hợp cho
kết quả là +∞ hay −∞.
Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x
0
; b).
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x dần tới x
0
về bên phải nếu với dãy số (x
n
)
bất kì, x
0
< x
n
< b và x
n
→ x
0
thì f(x
n
) → +∞, kí hiệu lim
x→x
+
0
f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi x → x
+
0
.
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x dần tới x
0
về bên phải nếu với dãy số (x
n
)
bất kì, x
0
< x
n
< b và x
n
→ x
0
thì f(x
n
) → −∞, kí hiệu lim
x→x
+
0
f(x) = −∞ hay f(x) → −∞ khi x → x
+
0
.
Công thức cần nhớ:
a) Ta có các giới hạn thường dùng như sau:
• lim
x→a
+
1
x − a
= +∞ và lim
x→a
−
1
x − a
= −∞ (a ∈ R);
• lim
x→+∞
x
k
= +∞ với k nguyên dương;
SÁCH THAM KHẢO Trang 51
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
• lim
x→−∞
x
k
= +∞ với k là số chẵn;
• lim
x→−∞
x
k
= −∞ với k là số lẻ.
b) Các giới hạn lim
x→x
−
0
f(x) = +∞, lim
x→x
−
0
f(x) = −∞, lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) = −∞, lim
x→−∞
f(x) =
+∞, lim
x→−∞
f(x) = −∞ được định nghĩa như trên.
c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của (2.2) chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới
hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu lim
x→x
+
0
f(x) = L = 0 và lim
x→x
+
0
g(x) = +∞ (hoặc lim
x→x
+
0
g(x) = −∞) thì lim
x→x
+
0
[f(x) · g(x)] được tính
theo quy tắc cho bởi bảng sau:
lim
x→x
+
0
f(x) lim
x→x
+
0
g(x) lim
x→x
+
0
[f(x) ·g(x)]
L > 0 +∞ +∞
L > 0 −∞ −∞
L < 0 +∞ −∞
L < 0 −∞ +∞
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x
+
0
thành x
−
0
(hoặc +∞, −∞).
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:
lim
x→2
+
1 − 2x
x − 2
.a) lim
x→−∞
(x
2
+ 1).b) lim
x→3
−
2x
x − 3
.c) lim
x→+∞
(3x − 1).d)
Bài tập 15. Tìm các giới hạn sau:
lim
x→2
3
x − 2
.a) lim
x→−1
+
1
x + 1
.b) lim
x→−∞
(1 − x
2
).c) lim
x→3
−
x
3 − x
.d)
2.7 Bài tập
Bài tập 16. Tìm các giới hạn sau
lim
x→−2
(x
2
− 7x + 4).a) lim
x→3
x − 3
x
2
− 9
.b) lim
x→1
3 −
√
x + 8
x − 1
.c)
Bài tập 17. Cho hàm số f(x) =
®
− x
2
khi x < 1
x khi x ⩾ 1.
Tìm các giới hạn lim
x→1
+
f(x), lim
x→1
−
f(x), lim
x→1
f(x) (nếu có).
Bài tập 18. Tìm các giới hạn sau:
lim
x→+∞
4x + 3
2x
.a) lim
x→−∞
2
3x + 1
.b) lim
x→+∞
√
x
2
+ 1
x + 1
.c)
Bài tập 19. Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ
với tốc độ 15 lít/phút.
a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là
C(t) =
30t
400 + t
(gam/lít).
b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu t → +∞.
Bài tập 20. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d
′
lần lượt là khoảng cách từ vật thật và
ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (xem hình bên dưới). Ta có công thức:
1
d
+
1
d
′
=
1
f
hay d
′
=
df
d − f
.
Xét hàm số g(d) =
df
d − f
. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.
SÁCH THAM KHẢO Trang 52
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
A
F
F
′
O
B
B
′
A
′
ff
d d
′
a) lim
d→f
+
g(d).
b) lim
d→+∞
g(d).
SÁCH THAM KHẢO Trang 53
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Hàm số liên tục
3.1 Hàm số liên tục tại một điểm
Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x
0
∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm
x
0
nếu lim
x→x
0
= f
(
x
0
)
.
• Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x
0
thì ta nói f(x) gián đoạn tại điểm x
0
và x
0
được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số f(x).
L Lưu ý: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x
0
thì phải có cả ba điều sau
a) Hàm số xác định tại x
0
.
b) Tồn tại lim
x→x
0
f(x).
c) lim
x→x
0
f(x) = f
(
x
0
)
.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số
f(x) = x
2
− 2x + 3 tại điểm x
0
= 2.a) f(x) =
®
x
2
+ 2 khi x > 0
2x khi x ⩽ 0
tại điểm x
0
= 0.b)
Bài tập 1. Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại điểm x
0
cho trước.
f(x) =
x
2
− 4
x + 2
, x = −2
− 4, x = −2
tại x
0
= −2.a) f(x) =
x
2
− 3x + 2
x
2
− 1
, x = 1
1, x = 1
tại x
0
= 1.b)
f(x) =
1 −
√
2x − 3
2 − x
, x = 2
1, x = 2
tại x
0
= 2.c) f(x) =
−
1
2
, x = 0
√
1 + x
2
− 1
x
2
, x = 0
tại x
0
= 0.d)
f(x) =
x
3
− x
2
− x + 1
x
2
− 3x + 2
, x = 1
1, x = 1
tại x
0
= 1.e) f(x) =
x + 2, x < 0
0, x = 0
x
2
+ 1, x > 0
tại x
0
= 0.f)
Bài tập 2. Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
cho trước.
f(x) =
x
2
− x − 2
x − 2
, x = 2
(a + 1)x − 3, x = 2
tại x
0
= 2a) f(x) =
x
4
− 3x
2
+ 2
x
2
− 1
, x > 1
ax + 2, x ⩽ 1
tại x
0
= 1b)
Bài tập 3. Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x
0
cho trước.
f(x) =
√
x − 2
√
x + 5
, x = 4
1 − 3a, x = 4
tại x
0
= 4.a) f(x) =
√
1 − x −
√
1 + x
x
, x < 0
a +
4 − x
x + 2
, x ⩾ 0
tại x
0
= 0.b)
3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng
(a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b]. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b]
SÁCH THAM KHẢO Trang 54
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
nếu f(x) liên tục tại trên khoảng (a; b) và lim
x→a
+
f(x) = f(a), lim
x→b
−
f(x) = f(b).
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
√
1 − x
2
trên đoạn [−1; 1].
3.3 Tính liên tục của hàm số sơ cấp
Khái niệm:
• Hàm số đa thức P(x), các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên R.
• Hàm số phân thức y =
P(x)
Q(x)
, hàm số căn thức y =
p
P(x), các hàm số lượng giác y = tan x, y = cotx
liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
Trong đó, P(x) và Q(x) là các đa thức.
L Lưu ý: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. Khi nói xét tính liên tục
của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng của
tập xác định của chúng.
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau
y = 3x
3
− 4x
2
+ 5x + 2.a) y =
3x
2
+ x − 1
x − 2
.b)
3.4 Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Khái niệm: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x
0
. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x), y = f(x) · g(x) liên tục tại x
0
.
• Hàm số y =
f(x)
g(x)
liên tục tại x
0
nếu g
(
x
0
)
= 0.
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số y =
sin x
x + 1
.
3.5 Ứng dụng của hàm số liên tục
Công thức cần nhớ:
Đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] là một đường liền,
có điểm đầu, điểm cuối như hình vẽ bên. Nếu hai điểm này nằm về
hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành
tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như
sau:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) · f(b) < 0 thì luôn tồn
tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
x
y
O
f(a)
f(b)
a
b
Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình
3x
3
+ 2x − 2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm.a) 2x
3
− 5x
2
+ x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.b)
x
3
− 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.c) x
3
− 2x
2
+ 3x = 7 có nghiệm lớn hơn 2.d)
Bài tập 5. Chứng minh rằng phương trình
SÁCH THAM KHẢO Trang 55
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) 4x
4
+ 2x
2
− x − 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (−1; 1).
b) x
5
+ x
3
− 4x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (−2; 1).
c) x
5
+ 7x
4
− 8x
3
− 9x
2
+ 11x + 2 = 0 có nghiệm.
Bài tập 6. Cho hàm số f(x) =
x
2
+ 5x − 2
2x + 2
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 2) sao cho f(c) = −0,8.
Bài tập 7. Chứng minh các phương trình luôn có nghiệm.
m(x − 1)
5
(x − 2) + 2x − 3 = 0.a)
m
2
+ m + 1
x
3
+ 2x − 2 = 0.b)
(x − 1)(x − 3) − m(x + 1)(x − 2) = 0.c) m
x
2
+ 3
x
2
− 4
+ 2x + 1 = 0.d)
x
4
+ mx
2
− 3mx − 79 = 0.e)
m
4
+ m + 2
x
3
− 8
+ 6x + 1 = 0.f)
m
2
+ 2m + 2011
x
2011
+ 2x − 2 = 0.g)
m
2
+ 1
x
3
− 2m
2
x
2
− 4x + m
2
+ 1 = 0.h)
Bài tập 8. Cho phương trình x
10
+
m
4
+ m + 1
x
2011
− 1024 = 0. Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất
một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
Bài tập 9. Chứng minh các phương trình luôn có nghiệm.
cos x + m cos 2x = 0.a)
1
sin x
−
1
cos x
= m.b)
3.6 Bài tập
Bài tập 10. Xét tính liên tục của hàm số:
f(x) =
®
x
2
+ 1 khi x ⩾ 0
1 − x khi x < 0
tại điểm x = 0.a) f(x) =
®
x
2
+ 2 khi x ⩾ 1
x khi x < 1
tại điểm x = 1.b)
Bài tập 11. Cho hàm số f(x) =
x
2
− 4
x + 2
khi x = −2
a khi x = −2.
Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R.
Bài tập 12. Xét tính liên tục của các hàm số sau
f(x) =
x
x
2
− 4
.a) g(x) =
√
9 − x
2
.b) h(x) = cos x + tan x.c)
Bài tập 13. Cho hàm số f(x) = 2x − sin x, g(x) =
√
x − 1.
Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) ·g(x) và y =
f(x)
g(x)
.
Bài tập 14. Một bãi đậu xe ô-tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:
C(x) =
60.000 khi 0 < x ⩽ 2
100.000 khi 2 < x ⩽ 4
200.000 khi 4 < x ⩽ 24.
Xét tính liên tục của hàm số C(x).
Bài tập 15. Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là
F(r) =
GMr
R
3
khi 0 < r ⩽ R
GM
r
2
khi r ⩾ R
, trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn.
Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?
SÁCH THAM KHẢO Trang 56
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Bài tập cuối chương
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. lim
n + 3
n
2
bằng
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn M = 1 +
1
4
+
1
4
2
+ ···+
1
4
n
+ ··· bằng
A.
3
4
. B.
5
4
. C.
4
3
. D.
6
5
.
Câu 3. lim
x→3
x
2
− 9
x − 3
bằng
A. 0. B. 6. C. 3. D. 1.
Câu 4. Hàm số f(x) =
®
x
2
+ 2x + m khi x ⩾ 2
3 khi x < 2
liên tục tại x = 2 khi
A. m = 3. B. m = 5. C. m = −3. D. m = −5.
Câu 5. lim
x→+∞
2x − 1
x
bằng
A. 2. B. −1. C. 0. D. 1.
4.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau
lim
3n − 1
n
.a) lim
√
n
2
+ 2
n
.b)
lim
2
3n + 1
.c) lim
(n + 1)(2n + 2)
n
2
.d)
Bài tập 2.
Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác H
1
. Nối các trung điểm của H
1
để
tạo thành tam giác H
2
. Tiếp theo, nối các trung điểm của H
2
để tạo t hành tam giác
H
3
(Hình bên). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác H
1
, H
2
, H
3
, . . .
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
a
Bài tập 3. Tìm các giới hạn sau
lim
x→−1
3x
2
− x + 2
.a) lim
x→4
x
2
− 16
x − 4
.b) lim
x→2
3 −
√
x + 7
x − 2
.c)
Bài tập 4. Tìm các giới hạn sau
lim
x→+∞
−x + 2
x + 1
.a) lim
x→−∞
x − 2
x
2
.b)
Bài tập 5. Tìm các giới hạn sau
lim
x→4
+
1
x − 4
.a) lim
x→2
+
x
2 − x
.b)
Bài tập 6. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
®
√
x + 4 khi x ⩾ 0
2 cos x khi x < 0.
Bài tập 7. Cho hàm số f(x) =
x
2
− 25
x − 5
khi x = 5
a khi x = 5.
Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R.
Bài tập 8. Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10
◦
C, mỗi phút tăng 2
◦
C
trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút 3
◦
C trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo
◦
C ) trong tủ theo
thời gian t (tính theo phút) có dạng
T(t) =
®
10 + 2t khi 0 ⩽ t ⩽ 60
k − 3t khi 60 < t ⩽ 100
(k là hằng số).
SÁCH THAM KHẢO Trang 57
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Biết rằng, T (t) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. B 2. C 3. B 4. D 5. A
SÁCH THAM KHẢO Trang 58
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN
HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Chương 4
Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1.1 Mặt phẳng trong không gian
Giới thiệu:
A
B
C
α
d
• Mặt phẳng là một đối tượng của toán học không có giới hạn. Mặt phẳng là một mặt hai chiều phẳng
mở rộng vô hạn.
• Trong đời sống chúng ta t hì mặt hồ nước (lặng), nền nhà, trần nhà, mặt bàn, tờ giấy phẳng, . . . là các
mặt phẳng.
• Trong chương trình toán học lớp 11, t hì hình tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thoi, hình vuông, . . . là các biểu diễn của mặt phẳng.
• Hình vẽ trên biểu diễn hai điểm A, B và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B cùng nằm trong mặt
phẳng (α).
– Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói A nằm trên (α) hay (α) chứa A, hay (α) đi qua A và
kí hiệu là A ∈ (α).
– Nếu điểm C không thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói C nằm ngoài (α) hay (α) không chứa C và kí
hiệu là C /∈ (α).
– Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) ta nói (α) chứa d kí hiệu d ⊂ (α).
– Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B nằm trong (α) thì d ⊂ (α).
Các kí hiệu thường dùng để biểu diễn điểm, đường thẳng và mặt phẳng
• Điểm: A, B, C, . . .
• Đường thẳng: a, b, d, ∆, . . .
• Mặt phẳng: (ABC), (P), (α), . . .
• Quan hệ điểm, đường và mặt
®
A ∈ d
d ⊂ (α)
⇒ A ∈ (α).
1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất cần nhớ:
59
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
A
B
d
Ví dụ 1. Cho ba điểm phân biệt M, N, P không thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong ba điểm
đã cho?
Tính chất cần nhớ:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho
trước.
A
B
C
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng (ABC).
Ví dụ 2. Cho đường thẳng a đi qua hai điểm phân biệt M, N và điểm O không thuộc a.
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O?
M
N
O
a
Tính chất cần nhớ:
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
A
B
P
d
Ví dụ 3. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm M nằm trên đường thẳng BC. Gọi (P) là mặt phẳng
đi qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ rằng M ∈ (P).
Tính chất cần nhớ: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu
không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Ví dụ 4. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong
bốn điểm đã cho?
Khái niệm: Giao tuyến hai mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng
chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
α
β
d
M
Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và (Q), kí hiệu
d = (P) ∩ (Q).
SÁCH THAM KHẢO Trang 60
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và một điểm O không thuộc mặt phẳng (ABC). Xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng (OAB) và (ABC).
Tính chất cần nhớ: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Ví dụ 6. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng.
a) Gọi O là trung điểm của CD, G và G
′
lần lượt là trọng tâm của tam giác
ACD và BCD. Chứng minh GG
′
∥ AB.
b) Cho điểm E trên AB sao cho EG cắt mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D
tại F. Chứng minh bốn điểm B, G
′
, O, F thẳng hàng.
A
B
C
D
G
G
′
O
E
F
1.3 Cách xác định mặt phẳng
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không
thẳng hàng.
• Mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C không thẳng hàng kí
hiệu là mp (ABC) hay (ABC).
A
B
C
Ví dụ 7. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trong mặt
phẳng (P). Biết ba đường thẳng AB, AC, BC lần lượt cắt (P) tại các điểm
M, N, E. Ba điểm M, N, E có thẳng hàng không? Giải thích.
A
M
N
E
B
C
P
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường
thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
• Mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a không qua
điểm A kí hiệu là mp(A, a) hay (A, a).
a
A
Ví dụ 8. Với đường thẳng d và hai điểm M, N phân biệt không thuộc d, ta xác định được
bao nhiêu mặt phẳng?
d
M
N
SÁCH THAM KHẢO Trang 61
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng
cắt nhau.
• Mặt phẳng xác định bởi điểm hai đường thẳng a, b cắt nhau kí
hiệu là mp(a,b).
a
b
Ví dụ 9. Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và
cùng đi qua một điểm O, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
a
b
c
O
1.4 Hình chóp và hình tứ diện
Khái niệm: Cho đa giác lồi A
1
A
2
. . . A
n
nằm trong mặt phẳng (α) và điểm S không thuộc (α). Nối S với
các đỉnh A
1
, A
2
, . . . , A
n
ta được n tam giác SA
1
A
2
, SA
2
A
3
, . . . , SA
n
A
1
. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa
giác A
1
A
2
. . . A
n
được gọi là hình chóp, kí hiệu S.A
1
A
2
. . . A
n
.
Trong hình chóp S.A
1
A
2
. . . A
n
, ta gọi:
• Điểm S là đỉnh;
• Các tam giác SA
1
A
2
, SA
2
A
3
,.. ., SA
n
A
1
là các
mặt bên;
• Đa giác A
1
A
2
. . . A
n
là mặt đáy;
• Các đoạn thẳng SA
1
, SA
2
, . . . , SA
n
là các cạnh
bên;
• Các cạnh của đa giác A
1
A
2
. . . A
n
là các cạnh đáy.
S
A
B
C
D
S
A
B
C
D
E
Đỉnh
Cạnh bên
Mặt bên
Cạnh đáy
Mặt đáy
Mặt đáy
Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,. . . lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác,
hình chóp ngũ giác, . . .
L Lưu ý:
• Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện.
• Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
• Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tuỳ ý của tứ diện
và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD (Hình vẽ bên). Gọi tên các mặt bên, mặt đáy,
cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD.
A
B
C
D
S
SÁCH THAM KHẢO Trang 62
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 11. Gọi tên các mặt, các cặp cạnh đối diện của tứ diện MNPQ.
M
N
P
Q
Ví dụ 12. Cho tứ diện SABC. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và BC sao cho MN không song
song với AC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SMN) và (SAC); (SAN) và (SCM).
1.5 Bài tập
1.5.1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
L Lưu ý: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của 2 mặt phẳng đó.
Đường thẳng nối hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác không có cặp cạnh đối song song. Điểm M thuộc cạnh SA.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
(SAC) và (SBD)a) (SAC) và (MBD)b) (SAB) và (SCD)c) (MBC) và (SAD)d)
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng:
(SBM) và (SCD)a) (ABM) và (SCD)b) (ABM) và (SAC)c)
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD)
b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB, N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
Bài tập 4. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm trên đoạn SB và SC sao cho MN không song song với
BC.
Tìm giao tuyến (AMN) và (ABC)a) Tìm giao tuyến (ABN) và (ACM).b)
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có AB cắt CD tại E; AC cắt BD tại F.
Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)b)
Tìm giao tuyến của (SEF) và (SAD)c) Tìm giao tuyến của (SEF) và (SBC)d)
Bài tập 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC; K là một điểm trên cạnh BD sao cho
KD < KB
Tìm giao tuyến của (IJK) và (ACD)a) Tìm giao tuyến của (IJK) và (ABD)b)
Bài tập 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm bên trong tam giác ABD, N là điểm bên trong tam giác ACD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng:
(AMN) và (BCD)a) (DMN) và (ABC)b)
Bài tập 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M là điểm trên AO
a) Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC) và (ABD)
b) Gọi I, J là hai điểm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của (IJM) và (ACD)
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và
SD; P là điểm trên SC và SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD).
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M thuộc cạnh AB.
a) Dựng đường thẳng qua M, cắt AO và CD.
b) N là một điểm trên BC và ON không song song với BD. Dựng đường t hẳng qua N, cắt AO và DM.
SÁCH THAM KHẢO Trang 63
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.5.2 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
L Lưu ý: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta có hai phương pháp:
a) Phương pháp 1: Tìm đường thẳng trong mặt phẳng cắt đường thẳng đã cho.
b) Phương pháp 2:
• Bước 1: chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đã cho.
• Bước 2: tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho.
• Bước 3: giao điểm cần tìm là giao điểm của giao tuyến với đường thẳng đã cho.
Bài tập 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt nằm trên AB và AD với IB = 2IA và AD = 2AJ. Tìm giao điểm
của IJ với (BCD).
Bài tập 12. Cho tứ diện SABC, M là điểm thuộc tia đối của tia SA, O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm các
giao điểm sau:
BC và (SOA)a) MO và (SBC)b) AB và (MOC)c) SB và (MOC)d)
Bài tập 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang có đáy lớn AD.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Tìm giao điểm K của MN và (SBD).
Bài tập 14. Cho hình chóp S.ABCD, M và N tương ứng là các điểm thuộc cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD
với (AMN).
Bài tập 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC, CD sao cho AB = 3AI, 2BC =
3BJ, 4CD = 5CK. Tìm giao điểm của (IJK) với AD.
Bài tập 16. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N là trung điểm AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K
không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của AD và (MNK).
Bài tập 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy nhỏ AB). Gọi M là điểm thuộc BD sao cho MB =
3MD và G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm các giao điểm của GM với (SAC).
Bài tập 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và không có cặp cạnh đối nào song song. Lấy
điểm M trên cạnh SC và điểm N trên cạnh SD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (NBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD)
Bài tập 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam
giác SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I nằm trên CD và IC = 2ID.
b) Tìm giao điểm J của (OMG) và AD.
c) Tìm giao điểm K của (OMG) và SA.
Bài tập 20. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy điểm J, K lần lượt thuộc miền trong tam giác BCD
và ACD
a) Tìm giao điểm của JK với (ABC)
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
Bài tập 21. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớn là AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD)
b) Tìm giao điểm của mặt (IJK) với SD và SC.
1.5.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường đồng quy
SÁCH THAM KHẢO Trang 64
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
L Lưu ý:
a) Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này thuộc
đường thẳng kia.
b) Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó thuộc cùng hai mặt phẳng.
Bài tập 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD là đáy lớn). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SB, SC và O = AC ∩ BD.
a) Tìm giao tuyến của (ABN) và (SCD)
b) Tìm giao điểm P của DN và (SAB)
c) Gọi K = AN ∩ DM. Chứng minh 3 điểm S, K, O thẳng hàng.
Bài tập 23. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm Q của SD và (MNP)
b) Gọi E = MN ∩ PQ, F = AB ∩CD. Chứng minh S, E, F thẳng hàng.
Bài tập 24. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD
cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a) Tìm giao điểm R của SD và (BQP)
b) Gọi M là giao điểm của PR và AD, N là giao điểm của QR và CD. Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.
Bài tập 26. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α), điểm S nằm ngoài (α). Lấy một điểm M trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm N của SD và (ABM)
b) Giả sử AB và CD cắt nhau. Khi đó hãy chứng tỏ ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
1.6 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 27. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.
a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Bài tập 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.
b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).
c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
Bài tập 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt
là trung điểm của SB, SD; P thuộc đọan SC và không là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP).
c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I
(I = C), EG cắt AD tại H (H = D).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD).
b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.
SÁCH THAM KHẢO Trang 65
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 31. Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh
sáng. Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường
thẳng trên tường hoặc sàn nhà.
SÁCH THAM KHẢO Trang 66
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Hai đường thẳng song song
Giới thiệu: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Quan sát các cặp đường thẳng a và b, b và c, c và d trong
hình bên, ta thấy
• Đường thẳng a và b không có điểm chung.
• Đường thẳng b và c song song.
• Đường thẳng c và d cắt nhau.
2.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
α
a
b
α
M
a
b
α
a
b
α
I
a
b
a ≡ b a ∩b = M a ∥ b a, b chéo nhau
Hình 3.
• Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của
hình học phẳng, có ba khả năng sau đây xảy ra: a ≡ b, a ∩b = M và a ∥ b.
• Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói hai đường thẳng a và b chéo
nhau hay a chéo với b.
Khái niệm:
• Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm
chung.
• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
L Lưu ý:
• Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó,
kí hiệu mp(a,b).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét
vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
AB và CD;a) SA và SC;b) SA và BC.c)
B
A
C
D
S
Hình 5.
SÁCH THAM KHẢO Trang 67
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
2.2 Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Tính chất cần nhớ:
Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng
có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
M
P
d
′
d
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong
không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD).
Tính chất cần nhớ:
Định lí 2. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo
ba giao tuyến phân biệt t hì ba giao tuyến ấy hoặc
đồng quy hoặc đôi một song song.
M
Q
R
P
a
b
c
c
b
a
P
Q
R
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
d
1
d
2
d
α
β
a)
d
1
d
2
d
α
β
b)
d
2
d
1
d
α
β
c)
Hình 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).
B
A
C
D
S d
Hình 12
Ví dụ 4. Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là
SÁCH THAM KHẢO Trang 68
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a,c) và mp(M,b).
a
b
c
a)
M
c
b
a
d
b)
Hình 13.
Tính chất cần nhớ:
Định lí 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
L Lưu ý: Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì ta có thể kí
hiệu là a ∥ b ∥ c và gọi là ba dường thẳng song song.
Ví dụ 5. Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD như Hình 14. Chứng minh rằng các đoạn
thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
và BD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt
tại M và N.
a) Chứng minh IJNM là một hình thang.
b) Tìm vị trí của điểm M để IJNM là hình bình hành.
B D
C
A
I
J
M
N
P
||
||
| |
Ví dụ 7. Một chiếc lều (Hình a) được minh hoạ như Hình b.
a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.
a)
S
Q
R
P
b)
2.3 Bài tập
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là tr ung điểm của BD và CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN)
và (ABC)
SÁCH THAM KHẢO Trang 69
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy AB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD).
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Tìm giao tuyến của (AIJ)
và (ACD)
Bài tập 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Chứng minh ba đoạn MP, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bài tập 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Lấy Q t huộc AD và gọi P là giao điểm của
CD và MNQ. Chứng minh PQ ∥ MN và PQ ∥ AC.
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của
SA, SB, BC.
a) Chứng minh rằng MN ∥ CD và NH ∥ SC.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNH) và (ABCD).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MDH) và (NAC).
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các
cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh HKEF là hình bình hành.
b) Tìm giao tuyến của (SHK) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của (SEK) và (SAD)
d) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và (HKM).
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh EF ∥ CD
b) Tìm giao điểm P của SC với (AFD)
c) Gọi I là giao điểm của AF và DP. Chứng minh SI ∥ AB ∥ CD.
d) Hình tính của tứ giác SABI.
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên
BC, SC, SD, AD sao cho MN ∥ BS, NP ∥ CD, MQ ∥ CD.
a) Chứng minh PQ ∥ SA
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK ∥ AD ∥ BC.
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD; I là một điểm thuộc cạnh AD; (α) là mặt phẳng đi
qua M, (α) song song với CI và BD, đồng thời cắt các cạnh AD, AB, BC lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MN ∥ CI
b) MNPQ là hình gì? Chứng minh.
c) Gọi R là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh R chạy trên một đường thẳng cố định khi I di động trên
cạnh AD.
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC
a) Tìm giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD).
c) Gọi N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM). Chứng minh (d), AN, BM đồng quy.
Bài tập 12. Cho tứ diện ABCD. Trên AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho
AM
AB
=
AN
AC
SÁCH THAM KHẢO Trang 70
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) Chứng minh MN ∥ BC
b) Chứng minh giao tuyến của (MND) và (BCD) song song với BC.
Bài tập 13. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q là trung điểm của AB và CD. Điểm R thuộc BC sao cho BR = 2RC.
Gọi S là giao điểm của AD và (PQR). Chứng minh AS = 2SD.
Bài tập 14. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không nằm trong cùng một mặt phẳng.
Điểm M nằm trên đường chéo AC và điểm N nằm trên đường chéo BF với
AM
AC
=
BN
BF
=
1
3
a) Chứng minh DM và EN đồng quy tại trung điểm I của AB
b) Chứng minh rằng MN ∥ DE
Bài tập 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm
của OB (O là giao điểm của BD và AC) .
Tìm giao điểm I của SD và (AMN)a) Tính tỷ số
SI
ID
.b)
2.4 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 16. Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Một đường t hẳng c cắt a thì cũng cắt b.
b) Một đường t hẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.
Bài tập 17. Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam
giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt
(SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao
tuyến của hai mặt phằng (SAC) và (CMN).
A C
B
S
M
Hình 17
Bài tập 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?
Bài tập 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC)
và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx ∥ SB.
Bài tập 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của
SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N.
a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.
b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK ∥ BC ∥ AD.
Bài tập 21. Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường
thẳng song song trong thực tế.
SÁCH THAM KHẢO Trang 71
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
SÁCH THAM KHẢO Trang 72
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng
Giới thiệu: Hình vẽ sau thể hiện 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Em
hãy đặt tên cho từng trường hợp?
P
a
a)
P
A
a
b)
Hình 2
P
a
c)
Khái niệm: Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.
3.2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Công thức cần nhớ:
Định lí 1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song
song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với
(P).
P
a
b
Hình 6
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng
(ABMN) lần lượt với các đường thẳng CD, BD và BN.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A, B cùng thuộc mặt phẳng (P) và một điểm C không
thuộc (P). Vẽ đường thằng d
1
đi qua A, B; d
2
đi qua A, C; d
3
đi qua C và song
song với AB (Hình 7). Tìm số điểm chung của mỗi đường thẳng vừa vẽ với
(P). Xét vị trí tương đối của mặt phẵng (P) lần lượt đối với các đường thẳng
d
1
, d
2
, d
3
.
C
d
2
P
d
3
d
1
A B
Hình 7
3.3 Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
Công thức cần nhớ:
Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao
tuyến b thì a song song với b.
SÁCH THAM KHẢO Trang 73
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Hệ quả 1. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua
điểm M thuộc (P) ta vẽ đường thẳng b song song với a thì b phải nằm
trong (P).
P
a
b
Hình 12
M
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường
thẳng đó.
a
b
Q
P
Hình 13
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh đường
thẳng MN song song với các mặt phẳng (CAB) và (DAB).
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có M là trung điểm của AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa CB và song song với SA,
(Q) là mặt phẳng chứa CM và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Vẽ đường thẳng b qua B và b ∥ SA. Chứng minh b ⊂ (P).
3.4 Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường
còn lại.
Công thức cần nhớ:
Định lí 3. Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với
b.
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD.
a) Nêu cách vẽ mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Ta có thể vẽ bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (BCD).
3.5 Bài tập
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh
rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE).
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm △ABC, M ∈ CD với MC = 2MD.
Chứng minh MG ∥ (ABD).a) Tìm (ABD) ∩(BGM).b) Tìm (ABD) ∩(AGM).c)
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA,
SD. Chứng minh rằng:
SÁCH THAM KHẢO Trang 74
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
BC ∥ (SAD).a) AD ∥ (SBC).b) MN ∥ (ABCD).c)
MN ∥ (SBC).d) MO ∥ (SCD).e) NO ∥ (SBC).f)
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và
E là điểm trên cạnh DC sao cho DC = 3DE, I là trung điểm AD.
a) Chứng minh OI ∥ (SAB) và OI ∥ (SCD).
b) Tìm giao điểm P của IE và (SBC). Chứng minh GE ∥ (SBC).
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
a) Chứng minh MN ∥ (SBC) và MN ∥ (SAD).
b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB ∥ (MNP) và SC ∥ (MNP).
c) Gọi G, I là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh GI ∥ (PAM).
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm trên cạnh SD sao cho 3SE = 2SD.
Chứng minh:
DI ∥ (SBC).a) GO ∥ (SCD).b) SB ∥ (ACE).c)
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, AD.
Gọi I, J thuộc SM, SN sao cho
SI
SM
=
SJ
SN
=
2
3
. Chứng minh
MN ∥ (SBD).a) IJ ∥ (SBD).b) SC ∥ (IJO).c)
Bài tập 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng minh rằng
GP ∥ (BCD), GP ∥ (ABD).
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC.
Chứng minh IG ∥ (ACD).
3.6 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Cho M là
trung điểm của SC.
a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SAB).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD).
Bài tập 12. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi O và O
′
lần lượt
là tâm của ABCD và ABEF.
a) Chứng minh đường thẳng OO
′
song song với các mặt phẳng (CDFE), (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN ∥ (CDFE).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD).
Bài tập 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một
mặt phẳng (α) qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) MNPQ là hình gì?
b) Gọi I = MQ ∩ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.
Bài tập 14. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và DB.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
Bài tập 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là
mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD.
SÁCH THAM KHẢO Trang 75
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 16. Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của toà nhà
trong hình dưới đây.
SÁCH THAM KHẢO Trang 76
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Hai mặt phẳng song song
4.1 Hai mặt phẳng song song
Giới thiệu: Hai mặt phẳng trong không gian có các vị trí tương đối sau: Trùng nhau, cắt nhau và song
song
A
B
C
P
Q
P
Q
d
M
P
Q
Khái niệm: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Công thức cần nhớ:
Định lí 1. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường t hẳng a, b cắt nhau và hai
đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với
(Q).
Q
P
a b
Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Q
P
a
′
a
b
′
b
A
Định lí 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R)
cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.
P
Q
R
a
b
SÁCH THAM KHẢO Trang 77
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 1. Hộp giấy có các mặt là hình chữ nhật ở Hình 3a được vẽ lại với các đỉnh là A, B, C, D, A
′
, B
′
, C
′
, D
′
như
Hình 3b. Quan sát hộp giấy và chỉ ra các cặp mặt phẳng song song với nhau ở Hình 3b.
Hình 3a
A
′
B
′
C
′
D
′
A
B C
D
Hình 3b
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AD và AD =
2BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh rằng hai mặt
phẳng (BMN) và (SCD) song song với nhau.
A
B C
D
S
M
N
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Vẽ các nửa đường
thẳng song song với nhau, nằm về một phía đối với (P) và lần lượt đi qua
các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P
′
) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên
tại A
′
, B
′
, C
′
, D
′
.
a) Chúng minh mp(AA
′
, BB
′
) song song với mp(CC
′
, DD
′
).
b) Chứng minh tứ giác A
′
B
′
C
′
D
′
là hình bình hành.
c) Gọi O và O
′
lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của ABCD và
A
′
B
′
C
′
D
′
. Chứng minh OO
′
∥ AA
′
.
A
B C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
x
y
z
t
O
O
′
4.2 Bài tập
4.2.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song
L Lưu ý: Cách chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần chỉ ra
a ∥ (α)
b ∥ (α)
a, b ⊂ (β)
a ∩b = A
⇒ (α) ∥ (β).
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (MNP) ∥ (BCD).
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng
minh (MNP) ∥ (ABCD).
Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABC. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh
rằng (IJK) ∥ (ABC).
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của AD, BC, SA. Chứng
minh (MNP) ∥ (SCD).
Bài tập 5. Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng (ADF) ∥
(BCE).
SÁCH THAM KHẢO Trang 78
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M, N là 2 điểm trên cạnh SA sao cho
SM = MN = NA.
a) Chứng minh GM ∥ (SBC)
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh (MCD) ∥ (NBG)
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
Gọi M là giao điểm của AH và DK, N là giao điểm của DI và CH.
Chứng minh (IHK) ∥ (ABCD)a) Chứng minh (SMN) ∥ (IHK)b)
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên AD. Gọi (α) là mặt phẳng
qua M và song song với AB và SC. Chứng minh (α) ∥ (SDC).
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD ∥ BC và AD = 2BC. Gọi J là trung điểm SD và
O = AC ∩ BD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (BCJ)
b) Gọi E, F, Q lần lượt là trung điểm của AD, DE, OA. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SQE) và (SCF).
c) Gọi M là điểm thuộc đoạn SC sao cho MC = 3MS. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (MFJ) và (SQE) song
song với nhau.
Bài tập 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và ∆SAB đều. Lấy một điểm M trên BC và điểm K
trên SA sao cho BM = AK.
a) Chứng minh MK ∥ (SCD)
b) Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB, SB. Mặt phẳng (α) cắt SC, SD, AD theo thứ tự tại N, P, Q. Chứng
minh MNPQ là hình thang.
c) Tìm vị trí của M để NK ∥ (ABCD).
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SD.
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC)
b) Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ ∥ (SBC).
Bài tập 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của SA, CD, KS
a) Chứng minh (OHK) ∥ (SBC)
b) Gọi J là điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ ∥ (SAB)
c) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và
SAB. Chứng minh EF ∥ (SAD).
4.3 Định lý Thalès trong không gian
Công thức cần nhớ:
Định lí 4. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất
kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
C
C
′
B
B
′
d
A
A
′
d
′
Ví dụ 4. Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Hai đường thẳng d và d
′
cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R)
lần lượt tại A, B, C và A
′
, B
′
, C
′
. Cho AB = 3, BC = 7, A
′
C
′
= 20. Tính các độ dài A
′
B
′
, B
′
C
′
.
4.4 Hình lăng trụ và hình hộp
SÁCH THAM KHẢO Trang 79
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Khái niệm: Cho hai mặt phẳng (P) và
(
P
′
)
song song với nhau. Trên (P) cho đa giác lồi A
1
A
2
. . . A
n
. Qua các
đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt
(
P
′
)
lần lượt tại A
′
1
, A
′
2
, . . . , A
′
n
. Hình
tạo bởi các hình bình hành A
1
A
2
A
′
2
A
′
1
, A
2
A
3
A
′
3
A
′
2
, . . . , A
n
A
1
A
′
1
A
′
n
và hai đa giác A
1
A
2
. . . A
n
, A
′
1
A
′
2
. . . A
′
n
gọi là hình lăng trụ, kí hiệu A
1
A
2
. . . A
n
·A
′
1
A
′
2
. . . A
′
n
.
Trong hình lăng trụ A
1
A
2
. . . A
n
, A
′
1
A
′
2
. . . A
′
n
, ta gọi
• Hai đa giác A
1
A
2
. . . A
n
và A
′
1
A
′
2
. . . A
′
n
là hai mặt đáy
nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Các điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
, A
′
1
, A
′
2
, . . . , A
′
n
là các đỉnh.
• Các hình bình hành A
1
A
2
A
′
2
A
′
1
, A
2
A
3
A
′
3
A
′
2
, . . . , A
n
A
1
A
′
1
A
′
n
là các mặt bên.
• Các đoạn thẳng A
1
A
′
1
, A
2
A
′
2
, . . . , A
n
A
′
n
là các cạnh
bên.
• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh
đáy tương ứng song song và bằng nhau.
A
1
A
′
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
′
2
A
′
3
A
′
4
A
′
5
L Lưu ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,. . . tương ứng được gọi là hình lăng
trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác,. . .
Ví dụ 5. Thực hiện theo các yêu cầu sau
a) Gọi tên các hình lăng trụ trong các hình sau đây.
b) Gọi tên các thành phần của hình lăng trụ trong hình đầu tiên.
A
B
C
A
′
C
′
B
′
a)
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
b)
I
B
C
J
I
′
B
′
C
′
J
′
E
E
′
c)
Khái niệm: Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Trong một hình hộp ta có
SÁCH THAM KHẢO Trang 80
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
• Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một
mặt song song với nó.
• Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
• Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo.
• Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
I
Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD ·A
′
B
′
C
′
D
′
. Chứng minh
(
BDA
′
)
và
(
B
′
D
′
C
)
là các mặt phẳng song song.
4.5 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 13. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau
và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng
nói trên tại A
′
, B
′
, C
′
, D
′
. Chứng minh rằng
AA
′
+ CC
′
= BB
′
+ DD
′
.
Bài tập 14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh rằng (OMN) ∥ (SBC).
b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm t huộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).
Bài tập 15. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và
BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD,
AF tại M
′
, N
′
.
a) Chứng minh
(
CBE
)
∥
(
ADF
)
.
b) Chứng minh
(
DEF
)
∥
(
MNN
′
M
′
)
.
Bài tập 16. Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi G và G
′
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác B
′
D
′
A và BDC
′
.
Chứng minh G và G
′
chia đoạn A
′
C thành ba phần bằng nhau.
Bài tập 17. Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lúc giác ABCDEF.A
′
B
′
C
′
D
′
E
′
F
′
, Bình gắn hai
thanh tre A
1
D
1
, F
1
C
1
song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại O
1
(hinh bên dưới).
A
B C
D
E
F
A
′
B
′
C
′
D
′
E
′
F
′
A
1
C
1
D
1
F
1
O
1
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
(
A
1
D
1
, F
1
C
1
)
với các mặt bên của lăng trụ.
b) Cho biết A
′
A
1
= 6AA
1
và AA
′
= 70 cm, tính CC
1
và C
1
C
′
.
Bài tập 18. Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng
song song trong thực tế.
SÁCH THAM KHẢO Trang 81
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
4.6 Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao
Bài tập 19 (HKI 2011-2012 PTNK). Hình chóp S.ABCD có O là tâm hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh
SA sao cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (MBC).
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN); giao điểm J của SA và (ICD).
c) Chứng minh ID, JC và SO đồng quy tại E. Tính tỷ số
SE
SO
Bài tập 20 (HKI 2010-2011 THTH). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SD và K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2KB
a) Xác định giao tuyến (d
1
) của (SBC) và (SAD), giao tuyến (d
2
) của (SBC) và (KMN)
b) DM cắt (SBC) tại I. Tứ giác ISDA là hình gì?
c) Gọi J là giao điểm của (d
2
) và SC. Tính tỷ số
S
∆SNJ
S
∆SDC
.
Bài tập 21 (HKI 2012-2013 THTH). Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
b) Gọi Q là tr ung điểm SD, lấy M ∈ SA sao cho SA = 3SM. Mặt phẳng (α) chứa MQ và song song AB, lần
lượt cắt SB, SC tại N và K. Tứ giác MNKQ là hình gì, vì sao? Tính tỷ số diện tích
S
∆KNS
S
∆BCS
c) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: MQ, NK, SI đồng quy.
Bài tập 22 (HKI 2011-2012 Lê Quý Đôn). Cho hình chóp S.ABCD biết đáy là hình thang, có đáy lớn AD bằng 2
lần đáy nhỏ BC và O là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm SA và SD. Điểm G là trọng tâm
tam giác SDC.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).
b) Mặt phẳng (α) qua EF và song song SB, cắt CD và AB lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng EQ ∥ SB. Tứ giác
EFPQ là hình gì ?
c) Chứng minh rằng BE ∥ (SCD) và GO ∥ (SBC).
d) Tìm giao điểm M của SB và (CDE). Chứng minh rằng
S
∆SME
S
∆SMF
=
S
∆SBA
S
∆SBD
Bài tập 23 (HKI 2011-2012 PTNK). Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình hình hình ABCD, điểm M t huộc
cạnh SA sao cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (MBC)
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN); giao điểm J của SA và (ICD).
c) Chứng minh ID, JC và SO đồng quy tại E. Tính tỷ số
SE
SO
Bài tập 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2a, cạnh AD = CD = a. Mặt
bên SAB là tam giác đều. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = x, (0 < x < a) và (α) là mặt phẳng qua M,
song song với 2 cạnh SA và AB, cắt các cạnh BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
SÁCH THAM KHẢO Trang 82
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) Nêu rõ cách xác định thiết diện MNPQ của mặt phẳng (α) với hình chóp đã cho.
b) Chứng minh thiết diện MNPQ là hình thang cân.
c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên đoạn AD thì điểm I luôn di
động trên một đường thẳng cố định.
Bài tập 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AD).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC).
b) Gọi M là trung điểm của SD. Tìm giao điểm K của AM và mặt phẳng (SBC). Tìm thiết diện của mặt phẳng
(MAB) với hình chóp S.ABCD.
c) Gọi G, H, I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD, SAB, SBC. Chứng minh GH ∥ IJ.
Bài tập 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AD). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm
AB, CD, SA
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và hình chóp S.ABCD
b) Chứng minh rằng SC song song với (MNE). Gọi F là giao điểm (MNE) với SD. Đường thẳng AF có song
song với mặt phẳng (SBC) không ?
c) Cho M, N là hai điểm cố định nằm lần lượt trên hai cạnh AB, CD sao cho MN song song với AD và E, F là
hai điểm lần lượt di động trên các cạnh SA, SD sao cho EF song song với AD. Gọi I là giao điểm của ME và
NF thì I di động trên đường nào?
Bài tập 27. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CD, DB
a) Chứng minh rằng các mặt phẳng (ADI), (ABJ) và (ACK) có chung một đường thẳng.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xác định thiết diện của tứ diện với (KGE).
Bài tập 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a
√
3. Gọi E, F
lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = x, (0 < x < a)
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF)? Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 29. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, P là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho
AM = CP = x, (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.
a) Chứng minh thiết diện thông thường là hình thang cân.
b) Tìm x để diện tích thiết diện là nhỏ nhất.
Bài tập 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a và ∆SAB vuông cân
tại đỉnh A. Điểm M di động trên AD với AM = x. Mặt phẳng (α) qua M và song song với mặt phẳng (SAB), cắt
BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Tính diện tích MNPQ theo a, x. Tính x để diện tích này bằng
3a
2
8
.
c) Tìm tập hợp các giao điểm I của MQ và NP khi M di động trên AD.
Bài tập 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, hai điểm M và P lần lượt di động trên AD và SC
sao cho
MA
MD
=
PS
PC
= x, (x > 0).
a) Chứng minh MP luôn song song với một mặt phẳng Q cố định.
b) Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (Q) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J.
Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ ∥ (SAD).
SÁCH THAM KHẢO Trang 83
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 32. Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt
trên AD
′
, DB sao cho AM = DN = x, (0 < x < a
√
2).
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Chứng minh rằng khi x =
a
√
2
3
thì MN ∥ A
′
C.
Bài tập 33. Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B
′
C
′
, DD
′
.
a) Chứng minh (MNP) song song với các mặt phẳng (AB
′
D
′
) và (BDC
′
).
b) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết
diện của nó.
Bài tập 34. Cho hình lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB
′
A
′
, ACC
′
A
′
là hình
vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh IJ ∥ (ABC).
b) Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (IJD). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. Tính
diện tích của nó theo a.
SÁCH THAM KHẢO Trang 84
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 5. Phép chiếu song song
5.1 Khái niệm phép chiếu song song
Phép chiếu song song thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng.
Khái niệm:
Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P).
Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua
M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại
M
′
. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với
điểm M
′
trong (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt
phẳng (P) theo phương l.
l
P
Mặt phẳng chiếu
Phương chiếu
M
M
′
• Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép
chiếu song song nói trên.
• Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l.
• Điểm M
′
gọi là ảnh của điểm M qua phép chiếu theo phương l.
• Cho hình H trong không gian. Ta gọi tập hợp H
′
các ảnh M
′
của tất cả những điểm M thuộc H
qua phép chiếu song song theo phương l là hình chiếu song song của H lên mặt phẳng (P).
5.2 Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song
Tính chất cần nhớ:
Tính chất 1. Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của
một đoạn t hẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.
Tính chất 2. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau.
Tính chất 3.
• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự ba điểm đó.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng
song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ 1.
a) Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng AC, tia AB và đường thẳng AD trong Hình b).
b) Quan sát Hình a) và so sánh hai ti số
AB
CD
,
A
′
B
′
C
′
D
′
.
c) Quan sát Hình b) và so sánh hai tỉ số
DA
DB
,
D
′
A
′
D
′
B
′
.
l
P
C
′
D
′
A
′
B
′
C
D
A
B
a)
l
P
C
′
D
′
A
′
B
′
C
D
A
B
b)
SÁCH THAM KHẢO Trang 85
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
5.3 Hình biểu diễn của một hình không gian
Khái niệm: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
L Lưu ý: Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ
hình biểu diễn, chẳng hạn như
a) Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì
chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng
nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương
ứng trên hình H .
b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì
• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.
• Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình
hành.
Ví dụ 2. Quan sát bên dưới và tìm hình biểu diễn của
a) đoạn thẳng AB. b) tam giác ABC. c) đường tròn (C) tâm O.
d
P
A
B
C
A
′
B
′
C
′
a)
O
P
O
′
(E)
(C)
b)
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn và nêu nhận xét về hình biểu diễn của các mặt của các hình sau
a) Hình hộp. b) Lăng trụ có đáy là lục giác đều. c) Tứ diện.
5.4 Bài tập
Bài tập 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Một đường t hẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
b) Một đường t hẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể tr ùng nhau.
SÁCH THAM KHẢO Trang 86
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
Bài tập 3. Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.
Bài tập 4. Cho hai điểm A, B nằm ngoài mặt phẳng (α) và đường thẳng d cắt (α). Già sử đường thẳng AB cắt (α)
tại điểm O. Gọi A
′
và B
′
lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (α) theo phương của đường thẳng d. Ba
điểm O, A
′
, B
′
có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn d sao cho
a) A
′
B
′
= AB. b) A
′
B
′
= 2AB.
Bài tập 5. Vẽ hình biểu diễn của
a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều.
b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều.
c) Hình hộp.
SÁCH THAM KHẢO Trang 87
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 6. Bài tập cuối chương
6.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh AC kéo dài (Hình bên). Mệnh
đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. M ∈ (ABC). B. C ∈ (ABM). C. A ∈ (MBC). D. B ∈ (ACM).
A
B
C
M
Câu 2. Cho tứ diện ABCD với I và J lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Bốn điểm I, J, B, C đồng phẳng. B. Bốn điểm I, J, A, C đồng phẳng.
C. Bốn điểm I, J, B, D đồng phẳng. D. Bốn điểm I, J, C, D đồng phẳng.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại N. Trong các đường thẳng sau đây, đường nào
là giao tuyến của (SAC) và (SBD)?
A. SM. B. SN. C. SB. D. SC.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC,
SD. Trong các đường thẳng sau, đường nào không song song với IJ?
A. EF. B. CD. C. AD. D. AB.
Câu 5. Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AB. B. AC. C. BC. D. SA.
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho
SM
SA
=
2
3
. Một mặt
phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là
A.
400
9
. B.
200
3
. C.
40
9
. D.
200
9
.
Câu 7. Quan hệ song song trong không gian có tính chất nào trong các tính chất sau?
A. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với
(Q).
B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với
mọi đường thằng nằm trong (Q).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì (P) và
(Q) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt
phẳng cho trước đó.
Câu 8. Cho hình lăng trụ ABC.A
′
B
′
C
′
. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AA
′
, A
′
C
′
, BC.
Ta có
A. (MNP) ∥ (BCA). B. (MNQ) ∥
(
A
′
B
′
C
′
)
. C. (NQP) ∥ (CAB). D. (MPQ) ∥
(
ABA
′
)
.
6.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Cho hình hộp ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A
′
B
′
và O là một điểm
thuộc miền trong của mặt bên CC
′
D
′
D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) với các mặt của hình hộp.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều, M là điểm trên cạnh AB,
(α) là mặt phẳng qua M và (α) ∥ (SAD) cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.
b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.
Bài tập 3. Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau a, b cắt (α) tại A và B. Gọi d là đường thẳng thay
đổi luôn luôn song song với (α) và cắt a tại M, cắt b tại N. Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α)
tại điểm C.
a) Tứ giác MNCA là hình gì?
b) Chứng minh rằng điểm C luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
SÁCH THAM KHẢO Trang 88
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần
lượt thuộc các đường chéo AC và BF sao cho MC = 2MA; NF = 2NB. Qua M, N ké các đường thẳng song song
với AB, cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M
1
, N
1
. Chứng minh rằng
a) MN ∥ DE;
b) M
1
N
1
∥ (DEF);
c)
(
MNN
1
M
1
)
∥ (DEF).
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. D 2. D 3. A 4. C 5. A 6. A 7. A 8. D
SÁCH THAM KHẢO Trang 89
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG
TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Chương 5
Bài 1. Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
1.1 Số liệu ghép nhóm
Khái niệm: Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:
Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm
Nhóm
[
u
1
; u
2
)
[
u
2
; u
3
)
. . .
[
u
k
; u
k+1
)
Tần số n
1
n
2
. . . n
k
• Bảng trên gồm k nhóm
u
j
; u
j+1
với 1 ⩽ j ⩽ k, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo
một tiêu chí xác định.
• Cỡ mẫu n = n
1
+ n
2
+ ···+ n
k
.
• Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm
[
u
1
; u
2
)
có giá trị đại diện là
1
2
(
u
1
+ u
2
)
.
• Hiệu u
j+1
− u
j
được gọi là độ dài của nhóm
u
j
; u
j+1
.
Ví dụ 1. Tính giá trị đại diện và độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu sau
Khoảng tuổi [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70)
Số khách hàng nữ 3 9 6 4 4
L Lưu ý: Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy
tắc sau:
• Sử dụng từ k = 5 đến k = 20 nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có
cùng độ dài bằng L thoả mãn R < k ·L, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.
• Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm
[
u
1
; u
2
)
và càng gần u
1
càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu
thuộc nhóm
[
u
k
; u
k+1
)
và càng gần u
k+1
càng tốt.
Ví dụ 2. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9
49,7 45,1 56,2 63,2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6
Hãy chia mẫu dữ liệu trên t hành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
• Các đầu mút của các nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.
• Ta hay gặp các bảng số liệu ghép nhóm là số nguyên, chẳng hạn như bảng thống kê số lỗi chính tả
trong bài kiểm tra giữa học kì 1 môn Ngữ Văn của học sinh khối 11 như sau:
Số lỗi [1; 2] [3; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10]
Số bài 122 75 14 5 2
Bảng số liệu này không có dạng như Bảng 1. Để thuận lợi cho việc tính các số đặc trưng cho bảng số
90
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
liệu này, người ta hiệu chỉnh về dạng như Bảng 1 bằng cách thêm và bớt 0,5 đơn vị vào đầu mút bên
phải và bên trái của mỗi nhóm số liệu như sau:
Số lỗi [0,5; 2,5) [2,5; 4,5) [4,5; 6,5) [6,5; 8,5) [8,5; 10,5)
Số bài 122 75 14 5 2
Ví dụ 3. Một cửa hàng đã thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau:
12 29 12 19 15 21 19 29 28 12 15 25 16 20 29
21 12 24 14 10 12 10 23 27 28 18 16 10 20 21
Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm và xác
định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
1.2 Số trung bình
Khái niệm: Số trung bình cuả mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x, được tính như sau
x =
n
1
c
1
+ n
2
c
2
+ ···+ n
k
c
k
n
,
trong đó n = n
1
+ n
2
+ ···+ n
k
.
Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của
mẫu số liệu.
Ví dụ 4. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau:
Cân nặng (g) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175)
Số quả cam ở lô hàng A 2 6 12 4 1
Số quả cam ở lô hàng B 1 3 7 10 4
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B.
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn?
1.3 Mốt
Khái niệm: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Giả sử nhóm chứa mốt là
[
u
m
; u
m+1
)
, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là M
0
, được xác
định bởi công thức
M
0
= u
m
+
n
m
− n
m−1
(
n
m
− n
m−1
)
+
(
n
m
− n
m+1
)
·
(
u
m+1
− u
m
)
.
Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì u
m−1
= 0. Nếu không có nhóm kề sau của
nhóm chứa mốt thì n
m+1
= 0.
Ví dụ 5. Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát
được ghi lại ở bảng sau
Mức giá
(triệu đồng/m
2
)
[10; 14) [14; 18) [18; 22) [22; 26) [26; 30)
Số khách hàng 54 78 120 45 12
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất?
SÁCH THAM KHẢO Trang 91
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 6. Số cuộc gọi điện thoại một nguời thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được
thống kê trong bảng sau:
Số cuộc gọi [3; 5] [6; 8] [9; 11] [12; 14] [15; 17]
Số ngày 5 13 7 3 2
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Hãy dự đoán xem khả năng người đó thực hiện bao nhiêu cuộc gọi mỗi ngày là cao nhất.
Ý nghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
• Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt
của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm M
0
xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị
nằm xung quanh M
0
thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.
• Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.
1.4 Bài tập
Bài tập 1. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):
72,1 72,9 70,2 70,9 72,2 71,5 72,5 69,3 72,3 69,7
72,3 71,5 71,2 69,8 72,3 71,1 69,5 72,2 71,9 73,1
71,6 71,3 72,2 71,8 70,8 72,2 72,2 72,9 72,7 70,7
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.
b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Cự li (m) [69,2; 70) [70; 70,8) [70,8; 71,6) [71,6; 72,4) [72,4; 73,2)
Số lần ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.
d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
Bài tập 2. Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ
30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
15 16 13 21 17 23 15 21 6 11 12 23 19 25 11
25 7 29 10 28 29 24 6 11 23 11 21 9 27 15
a) Tính số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút.
b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Số xe [6; 10] [11; 15] [16; 20] [21; 25] [26; 30]
Số lần ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng tr ung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 3. Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:
Số sách [16; 20] [21; 25] [26; 30] [31; 35] [36; 40] [41; 45] [46; 50]
Số ngày 3 6 15 27 22 14 5
Hãy ước lượng số tr ung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài tập 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới
đây.
SÁCH THAM KHẢO Trang 92
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
20
20
35
35
60
60
55
55
30
30
[8,5; 8,8) [8,8; 9,1) [9,1; 9,4) [9,4; 9,7) [9,7; 10,0) (m)
O
(Số cây)
Chiều cao 200 cây keo 3 năm tuổi
Hãy ước lượng số tr ung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
SÁCH THAM KHẢO Trang 93
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
2.1 Trung vị
Khái niệm: Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Gọi n là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm
[
u
m
; u
m+1
)
chứa trung vị;
• n
m
là tần số của nhóm chứa trung vị;
• C = n
1
+ n
2
+ ···+ n
m−1
.
Khi đó
M
e
= u
m
+
n
2
− C
n
m
·
(
u
m+1
− u
m
)
.
Ví dụ 1. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:
Cân nặng (g)
[
150; 155
)
[
155; 160
)
[
160; 165
)
[
165; 170
)
[
170; 175
)
Số quả bơ 1 7 12 3 2
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ví dụ 2. Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà
trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 11 ở bảng sau:
Số vỏ chai nhựa
[
11; 15
] [
16; 29
] [
21; 25
] [
26; 30
] [
31; 35
]
Số học sinh 53 82 48 39 18
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của
mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số
liệu.
Ví dụ 3. Trong một hội thao, t hời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (giây)
[
21; 21,5
)
[
21,5; 22
)
[
22; 22,5
)
[
22,5; 23
)
[
23; 23,5
)
Số vận động viên 5 12 32 45 30
Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục
thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây?
2.2 Tứ phân vị
Khái niệm: Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q
2
, cũng hính là trung vị của mẫu số liệu ghép
nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q
1
, ta thực hiện như sau:
• Giả sử nhóm
[
u
m
; u
m+1
)
chứa tứ phân vị thứ nhất;
• n
m
là tần số của nhóm tứ phân vị thứ nhất;
• C = n
1
+ n
2
+ ···+ n
m−1
.
Khi đó
Q
1
= u
m
+
n
4
− C
n
m
·
(
u
m+1
− u
m
)
.
Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q
3
, ta thực hiện như sau:
SÁCH THAM KHẢO Trang 94
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
• Giả sử nhóm
u
j
; u
j+1
chứa tứ phân vị thứ ba;
• n
j
là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba;
• C = n
1
+ n
2
+ . . . + n
j−1
.
Khi đó
Q
3
= u
j
+
3n
4
− C
n
j
·
u
j+1
− u
j
.
Ví dụ 4. Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian luyện tập (giờ)
[
0; 2
)
[
2; 4
)
[
4; 6
)
[
6; 8
)
[
8; 10
)
Số vận động viên 3 8 12 12 4
Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho.
Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện
viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này?
Nếu tứ phân vị thứ k là
1
2
(
x
m
+ x
m+1
)
, trong đó x
m
và x
m+1
thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như x
m
∈
u
j−1
; u
j
và x
m+1
∈
u
j
; u
j+1
thì ta lấy Q
k
= u
j
.
Ví dụ 5. Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng
đầu tiên ở bảng sau:
Số lần gặp sự cố
[
1; 2
] [
3; 4
] [
5; 6
] [
7; 8
] [
9; 10
]
Số xe 17 33 25 20 5
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Một người cho rằng có trên 25% xe của hãng gặp không ít hơn 4 sự cố về đồng cơ trong 2 năm sử dụng đầu
tiên. Nhận định trên có hợp lí không?
Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau.
• Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu
ghép nhóm.
• Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và
được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
• Tứ phân bị thứ nhất và thứ ba đo xu thế tr ung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q
2
) và nửa
trên (các dữ liệu lớn hơn Q
2
) của mẫu số liệu.
Ví dụ 6. Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng
sau:
Thời gian
(đơn vị: giây)
[
0; 60
)
[
60; 120
)
[
120; 180
)
[
180; 240
)
[
240; 300
)
[
300; 360
)
Số cuộc gọi 8 10 7 5 2 1
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ví dụ 7. Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong tháng 4 năm 2022 ở bảng sau:
Số bệnh nhân
[
1; 10
] [
11; 20
] [
21; 30
] [
31; 40
] [
41; 50
]
Số ngày 7 8 7 6 2
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Quản lý phòng khám cho rằng có khoảng 25% số ngày khám có nhiều hơn 35 bệnh nhân đến khám. Nhận định
trên có hợp lý không?
SÁCH THAM KHẢO Trang 95
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
2.3 Bài tập
Bài tập 1. Lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):
12,5 9,6 11,7 12,7 10,0 10,0 12,2 9,8 10,9 6,7 13,6 9,2
13,1 6,5 10,7 8,9 11,2 13,2 8,3 11,1 11,9 8,4 6,7 13,8
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên dựa vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Lương tháng
(triệu đồng)
[
6; 8
)
[
8; 10
)
[
10; 12
)
[
12; 14
)
Số nhân viên ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 2. Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:
25 23 21 13 8 14 15 18 22 11
24 12 14 14 18 6 8 25 10 11
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Điểm số
[
6; 10
] [
11; 15
] [
16; 20
] [
21; 25
]
Số trận ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 3. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả như sau:
Điện lượng
(nghìn mAh)
[
0,9; 0,95
)
[
0,95; 1,0
)
[
1,0; 1,05
)
[
1,05; 1,1
)
[
1,1; 1,15
)
Số viên pin 10 20 35 15 5
Hãy ước lượng số tr ung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài tập 4. Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị:
kg).
(Số con)
10
20
30
40
Cân nặng của một số
lợn con mới sinh
Giống A Giống B
8
13
28
14
32
24
17
14
[
1,0; 1,1
)
[
1,1; 1,2
)
[
1,2; 1,3
)
[
1,3; 1,4
)
O
(kg)
a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.
b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con
mới sinh giống B.
SÁCH THAM KHẢO Trang 96
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Bài tập cuối chương
3.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn
vị: triệu đồng):
Doanh thu [5; 7) [7; 9) [9; 11) [11; 13) [13; 15)
Số ngày 2 7 7 3 1
Câu 1. Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 2. Tr ung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 3. Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 4. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A. 7. B. 7,6. C. 8. D. 8,6.
Câu 5. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
3.2 Bài tập tự luận
Câu 6. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:
Khoảng điểm [6,5; 7) [7; 7,5) [7,5; 8) [8; 8,5) [8,5; 9) [9; 9,5) [9,5; 10)
Tần số 8 10 16 24 13 7 4
Hãy ước lượng số tr ung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 7. Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của một chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện
thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Thời gian sử dụng (giờ)
[
7; 9
)
[
9; 11
)
[
11; 13
)
[
13, 15
)
[
15; 17
)
Số lần 2 5 7 6 3
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị An sạc đầy pin điện thoại cho tới khi hết pin.
b) Chị An cho rằng có khoảng 25% số lần sạc điện thoại chỉ dùng được 10 giờ. Nhận định của chị An có hợp lí
không?
Câu 8. Tổng số lượng mưa trong tháng 8 đo được tại một trạm quan trắc đặt tại Vũng Tàu từ năm 2002 đến năm
2020 được ghi lại như dưới đây (đơn vị: mm)
121,8 158,3 334,9 200,9 165,6 161,5 194,3 220,7 189,8 243,2
165,9 165,9 134 173 169, 189, 254 168 255
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
a) Xác định số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Tổng lượng mưa trong tháng 8 (mm)
[
120; 175
)
[
175; 230
)
[
230; 285
)
[
285; 340
)
Số năm ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số tr ung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Câu 9. Bảng sau thống kê số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 mỗi ngày trong tháng 12/2021 tại Việt Nam.
SÁCH THAM KHẢO Trang 97
KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ngày Số ca Ngày Số ca Ngày Số ca Ngày Số ca
1 15139 9 15 965 17 15 685 25 16 046
2 14295 10 15 474 18 16 363 26 15 667
3 14254 11 16 830 19 16 586 27 15 310
4 14598 12 15 264 20 15 420 28 14 866
5 14927 13 16 035 21 16 806 29 14 299
6 15215 14 15 871 22 17 044 30 20 454
7 14433 15 16 192 23 16 860 31 17 004
8 15223 16 15 720 24 16 633
(Nguồn: worldmeters.info)
a) Xác định số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Mẫu số liệu có bao nhiêu có bao nhiêu giá trị ngoại
lệ?
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Số ca (nghìn)
[
14; 15,5
)
[
15,5; 17
)
[
17; 18,5
)
[
18,5; 20
)
[
20; 21,5
)
Số ngày ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số tr ung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1. B 2. B 3. B 4. C 5. B
SÁCH THAM KHẢO Trang 98
| 1/104
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

N G U Y Ê N H O À N G T H A N H MỤC LỤC
Chương 1 Hàm số và phương trình lượng giác. 1 1
Góc lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1
Góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2
Đơn vị radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3
Đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1
Giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2
Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
Giá trị lượng giác của các góc liên kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1
Hai góc đối nhau: α và −α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2
Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3
Hai góc bù nhau: α và π − α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4
Hai góc phụ nhau: α và π − α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 3.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4
Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1
Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2
Công thức góc nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3
Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.4
Công thức biến đổi tổng thành tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5
Hàm số lượng giác và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.1
Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.2
Hàm số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3
Hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.4
Hàm số y = cos x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.6
Hàm số y = tan x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.7
Hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6
Phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.1
Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.2
Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.3
Phương trình cos x = m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4
Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.5
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7
Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân. 29 i KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 1
Dãy Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1
Dãy số là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2
Cách xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3
Dãy số tăng, dãy số giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4
Dãy số bị chặn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2
Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1
Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2
Số hạng tổng quát của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3
Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1
Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2
Số hạng tổng quát của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4
Bài tập cuối chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.1
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Chương 3 Giới hạn và hàm số liên tục. 43 1
Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.1
Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.2
Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3
Giới hạn hữu hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.5
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6
Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2
Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2
Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4
Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6
Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3
Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.1
Hàm số liên tục tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2
Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3
Tính liên tục của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4
Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5
Ứng dụng của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4
Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Chương 4 Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian. 59 SÁCH THAM KHẢO Trang ii KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 1
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.1
Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.2
Các tính chất thừa nhận của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.3
Cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4
Hình chóp và hình tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.6
Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2
Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2
Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4
Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3
Đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1
Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2
Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3
Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4
Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại. . . . . . 74 3.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.6
Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4
Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1
Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3
Định lý Thalès trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4
Hình lăng trụ và hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5
Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6
Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5
Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1
Khái niệm phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2
Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3
Hình biểu diễn của một hình không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6
Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.1
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Chương 5 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm. 90 1
Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.1
Số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.2
Số trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.3
Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2
Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.1
Trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.2
Tứ phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3
Bài tập cuối chương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2
Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 SÁCH THAM KHẢO Trang iii Chương 1
HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Góc lượng giác 1.1 Góc lượng giác
1.1.1 Khái niệm góc lượng giác Khái niệm:
Cho tia Oa. Khi xét chuyển động của một tia Om quanh gốc O của nó tính từ +
vị trí ban đầu Oa theo một chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược
chiều kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là m chiều âm. −
Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay 360◦, một vòng
quay theo chiều âm tương ứng với góc quay −360◦. O a Khi tia Om quay: 1
• nửa vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc · 360◦ = 180◦; 2 1 1 •
vòng theo chiều dương thì ta nói Om quay góc · 360◦ = 60◦; 6 6 5 5 •
vòng theo chiều âm thì ta nói Om quay góc · (−360◦) = −450◦. 4 4
Khái niệm: Cho hai tia Oa, Ob.
• Nếu một tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở
vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob. Ký hiệu: (Oa, Ob).
• Khi tia Om quay một góc α, ta nói số đo của góc lượng giác (Oa, Ob) bằng α. Ký hiệu: (Oa, Ob) = α. m + m − b b O a O a L Lưu ý:
Với hai tia Oa và Ob cho trước, có vô số góc lượng giác có tia đầu Oa và tia cuối Ob.
Ví dụ 1. Xác định số đo của các góc lượng giác (Oa, Ob) trong hình sau 1 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 b b b b O a O a O a O a a) b) c) d) L Lưu ý:
Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Oa và tia cuối Ob sai khác nhau một bội nguyên
của 360◦ nên có công thức tổng quát là
sđ (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ (k ∈ Z). hoặc thường viết là (Oa, Ob) = α◦ + k360◦.
với α◦ là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Chẳng hạn, trong hình đầu tiên
của ví dụ trên thì (Oa, Ob) = 90◦ + k360◦. Ví dụ 2. Cho ÷
MON = 60◦. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong hình vẽ và viết công thức
tổng quát của số đo góc lượng giác (OM, ON). N N N O M O M O M a) b) c)
Ví dụ 3. Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là bao nhiêu độ?
1.1.2 Hệ thức Chasles (Sa-lơ)
Khái niệm: Với ba tia Oa, Ob và Oc bất kì, ta có (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) + k360◦, (k ∈ Z).
Ví dụ 4. Trong hình bên, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công y
thức tổng quát đo số đo của các góc lượng giác (Ox, ON) và (Ox, OP). N O x −50◦ P M 1.2 Đơn vị radian
Khái niệm: Trên đường tròn bán kính R tuỳ ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi
là một góc có số đo 1 radian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1rad ). SÁCH THAM KHẢO Trang 2 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Trên đường tròn bán kính R, một góc ở tâm có số đo α rad thì chắn một cung B
có độ dài αR (Hình 10). Vì góc bẹt (180◦) chắn nửa đường tròn với độ dài là αR
πR, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian là π. Khi đó ta viết R 1 rad 180◦ = π rad. A O R Hình 10 π Å 180 ã◦
Suy ra, với π ≈ 3,14, ta có 1◦ = rad ≈ 0,0175 rad và 1 rad =
≈ 57,3◦ (hay 57◦17′45′′ ). 180 π
Do đó ta có công thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ và ngược lại như sau: πa Å 180α ã◦ a◦ = rad α rad = 180 π
Ví dụ 5. Đổi các số đo góc sau đây từ radian sang độ hoặc ngược lại 2π a) 45◦. b) −60◦. c) rad. d) 3 rad. 5
Bài tập 1. Đổi số đo của các góc sau đây sang radian: a) 30◦; b) 45◦; c) 60◦; d) 120◦; e) 135◦; f) 180◦; g) 270◦; 360◦ h) i) −30◦; j) −45◦; k) −60◦; l) −120◦; m) −135◦; n) −160◦; o) 275◦; p) 185◦.
Bài tập 2. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ: π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 2 6 2π 3π 5π π e) ; f) ; g) ; h) ; 3 2 4 12 7π 5π 13π i) ; j) ; k) −5; l) . 4 6 9 L Lưu ý: π
a) Khi ghi số đo của một góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ đi chữ rad sau số đo. Ví dụ, rad 2 π được viết là
, 2 rad được viết là 2 . 2
b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Oa, Ob) là
(Oa, Ob) = α + k2π (k ∈ Z),
Trong đó α là số đo theo radian của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Oa và tia cuối Ob. Lưu ý:
không được viết α + k360◦ hay a◦ + k2π (vì không cùng đơn vị đo).
1.3 Đường tròn lượng giác Khái niệm: SÁCH THAM KHẢO Trang 3 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Trên y
đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương là chiều ngược 1
chiều kim đồng hồ và chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ. Đường +
tròn cùng với gốc và chiều như trên được gọi là đường tròn lương giác. A(1; 0) x −1 O 1 − −1 Hình 11
Cho số đo góc α bất kì. Trên đường tròn lượng giác, ta xác định được duy y
nhất một điểm M sao cho số đo góc lượng giác (OA, OM) bằng α (Hình 12).
Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn của góc có số đo α trên đường M tròn lượng giác. α A x O Hình 12
Ví dụ 6. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là: a) 30◦; b) 45◦; c) 60◦; d) 90◦; e) 120◦; f) 135◦; g) 180◦; h) 225◦; i) 270◦; j) −30◦; k) −60◦; l) −90◦; −7π m) −120◦; n) −135◦; o) 865◦; p) . 3
Bài tập 3. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác: π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 6 2 2π 3π −π −π e) ; f) ; g) ; h) ; 3 4 3 4 −π π −17π 13π i) ; j) − ; k) ; l) . 6 2 3 4 31π
Bài tập 4. Góc lượng giác
có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào sau 7 đây? 3π 10π −25π ; ; . 7 7 7
Bài tập 5. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác (OA, OM) và y (OA, ON) trong hình bên. M 120◦ A x O −75◦ N Hình 14 SÁCH THAM KHẢO Trang 4 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 6. Trong hình vẽ bên, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần y
bằng nhau. Viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ox, ON). M 45◦ A x O N Hình 15
Bài tập 7. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là: π π a) + kπ (k ∈ Z); b) k (k ∈ Z). 2 4
Bài tập 8. Vị trí các điểm B, C, D trên cánh quạt động cơ máy bay trong hình 16 có y
thể được biểu diễn cho các góc lượng giác nào sau đây? B π 2π −π 2π π π + k (k ∈ Z); + k (k ∈ Z); + k (k ∈ Z). 2 3 6 3 2 3 O A x C D
Bài tập 9. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một Cực Bắc Å 1 ã◦ cung chắn một góc α =
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo α hải 60 lí
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính
trung bình của Trái Đất là 6371 km. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. Å 1 ã◦ α = 60 Đường xích đạo Cực Nam Hình 17 SÁCH THAM KHẢO Trang 5 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
2.1 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Khái niệm: Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo α. Khi đó: y
• Tung độ yM của M gọi là sin của α, kí hiệu sin α.
• Hoành độ xM của M gọi là côsin của α, kí hiệu cos α. α y sin α xM A • Nếu x M M ̸= 0 thì tỉ số =
gọi là tang của α, O x xM cos α kí hiệu tan α. M yM x cos α • Nếu y M M ̸= 0 thì tỉ số =
gọi là côtang của α, yM sin α kí hiệu cot α.
Các giá trị sin α, cos α, tan α và cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc lượng giác α. L Lưu ý:
• Ta gọi trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin.
• sin α và cos α xác định với mọi α ∈ R; π
tan α chỉ xác định với các góc α ̸= + kπ (k ∈ Z); 2
cot α chỉ xác định với các góc α ̸= kπ (k ∈ Z).
• Với mọi góc lượng giác α và số nguyên k, ta có sin(α + k2π) = sin α; tan(α + kπ) = tan α;
cos(α + k2π) = cos α; cot(α + kπ) = cot α. π
• Ta đã biết bảng giá trị lượng giác của một số góc α đặc biệt với 0 ⩽ α ⩽
(hay 0◦ ⩽ α ⩽ 90◦) như sau: 2 độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ π π π π rad 0 6 4 3 2 √ √ 1 2 3 sin α 0 1 2 2 2 √ √ 3 2 1 cos α 1 0 2 2 2 √3 √ tan α 0 1 3 || 3 √ √ 3 cot α || 3 1 0 3
Ví dụ 1. Quan sát bảng trên và đọc giá trị lượng giác của các góc 30◦, 45◦, 60◦ và 90◦.
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc π π π π a) ; b) ; c) ; d) ; 3 4 6 2 13π e) ; f) 405◦; g) 450◦; h) −45◦. 3
Ví dụ 3. Em hãy xác định dấu của sin α, cos α, tan α và cot α trong các trường hợp sau π π 3π 3π a) 0 ⩽ α ⩽ . b) ⩽ α ⩽ π. c) π ⩽ α ⩽ . d) ⩽ α ⩽ 2π. 2 2 2 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 6 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Nếu chia đường tròn lượng giác thành 4 phần (I, II, II và IV) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, em hãy
cho biết dấu của hàm số lượng giác khi α thuộc một trong các phần trên.
Ví dụ 4. Xác dấu các biểu thức sau
a) A = sin 40◦ · cos(−290◦).
b) B = sin(−25◦ · cos 170◦.
c) C = sin 225◦ · tan 130◦ · cot(−175◦).
d) D = cos 195◦ · tan 269◦ · cot(−98◦).
2.2 Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Công thức cần nhớ: sin x π 1 π • tan x = với α ̸= + kπ, k ∈ Z • 1 + tan2 α = với α ̸= + kπ, k ∈ Z cosx 2 cos2 α 2 cosx π • cot x =
với α ̸= kπ, k ∈ Z
• tan α · cot α = 1 với α ̸= k , k ∈ Z sin x 2 1 • sin2 x + cos2 x = 1 • 1 + cot2 α =
với α ̸= kπ, k ∈ Z sin2 α
2.2.1 Bài tập tính toán 3 π
Ví dụ 5. Cho cos α = với −
< α < 0. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. 4 2
Bài tập 1. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không? 3 4 1 1 a) sin α = và cos α = − ; b) sin α = và cot α = ; 5 5 3 2 1 c) tan α = 3 và cot α = . 3
Bài tập 2. Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu: 5 π 2 a) sin α = và < α < π; b) cos α = và 0 < α < 90◦; 13 2 5 √ 3π 1 c) tan α = 3 và π < α < ;
d) cot α = − và 270◦ < α < 360◦. 2 2 √
Bài tập 3. Cho cot 15◦ = 2 +
3. Hãy tính tan 15◦, sin 15◦, cos 15◦.
Bài tập 4. Tính sin x, cos x, cot x, biết 1 4 sin x = và 90◦ < x < 180◦ a)
sin x = − và 270◦ < x < 360◦ b) 2 5
Bài tập 5. Tính sin x, tan x, cot x, biết 3 5 cos x = và 0◦ < x < 90◦ a) cos x = − và 180◦ < x < 270◦ b) 5 13
Bài tập 6. Tính sin x, cos x, cot x, biết 3 3π √ π a) tan x = và π < x < b) tan x = − 2 và < x < π 4 2 2
Bài tập 7. Tính sin x, cos x, tan x, biết 2 π √ π a) cot x = và 0 < x < b) cot x = − 3 và < x < π 3 2 2
Bài tập 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác 5 cot x + 4 tan x 2 sin x + cos x a) tan x = −2. Tính A1 = và A 5 cot x − 4 tan x 2 = cos x − 3 sin x 2 3 sin x − 2 cos x b) cot x = 2. Tính B1 = và B cos2 x − sin x cos x 2 = 5 sin3 x + 4 cos3 x SÁCH THAM KHẢO Trang 7 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 4 π cot x + tan x sin x c) cos x = − và < x < π. Tính C và C 5 2 1 = cot x − tan x 2 = cot x + 1 + cos x
Bài tập 9. Tính giá trị các biểu thức lượng giác 2 tan x − cos x tan x cos x a) sin x =
và 0 < x < 90◦. Tính M = và N = − cos x cot x 3 cot x sin2 x 1 π b) sin x + cos x =
. Tính sin x. cos x, từ đó suy ra giá trị của sin x, cos x khi < x < π 2 2
2.2.2 Bài tập rút gọn, chứng minh
Bài tập 10. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 1
a) sin4 α − cos4 α = 1 − 2 cos2 α; b) tan α + cot α = . sin α cos α
Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau
a) cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x.
b) 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
c) 3 − 4 sin2 = 4 cos2 x − 1.
d) sin x · cot x + cos x · tan x = sin x + cos x.
e) sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x · cos2 x.
f) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x.
g) 4 cos2 x − 3 = (1 − 2 sin x) · (1 + 2 sin x).
h) (1 + cos x) · (sin2 x − cos x + cos2 x) = sin2 x.
i) sin4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x = 2 sin2 x − 1.
j) sin3 x · cos x + sin x · cos3 x = sin x · cos x.
Bài tập 12. Chứng minh các đẳng thức sau 1 − cos x sin x 1 1 a) = . b) + = 1. sin x 1 + cos x 1 + tan x 1 + cot x Å 1 ã Å 1 ã 1 + sin2 x c) 1 − 1 + + tan2 x = 0. d) = 1 + 2 tan2 x. cos x cos x 1 − sin2 x tan x + tan y cos x 1 e) tan x. tan y = . f) tan x + = . cot x + cot y 1 + sin x cos x 1 1 + cos x 1 − cos x 4 cot x g) (1 − cos x)(1 + cot2 x) = . h) − = . 1 + cos x 1 − cos x 1 + cos x sin x
Bài tập 13. Rút gọn các biểu thức sau a) sin4 x + sin2 x · cos2 x. b) sin4 x − cos4 x + cos2 x. c) sin2 x + sin2 x · cot2 x.
d) (1 − sin2 x) · cot2 x + 1 − cot2 x. 2 cos2 x − 1 cos2 x − cot2 x e) . f) . sin x + cos x sin2 x − tan2 x 1 − sin2 x · cos2 x (sin x + cos x)2 − 1 g) − cos2 x. h) . cos2 x tan x − sin x · cos x
Bài tập 14. Biến đổi các biểu thức sau thành tích
a) sin x · cos x + cos2 x − 1. b) 1 + sin x + cos x + tan x.
c) tan x − cot x + sin x + cos x.
d) cos x · tan2 x − (1 + cos x).
e) 3 sin x + 2 cos x − 3 tan x − 2.
f) (3 − 4 cos2 x) − sin x · (2 sin x + 1). √ √ g) sin2 x − 3 cos2 x + 6 cos x − 2 sin x. h) cos2 x + sin3 x + cos x. SÁCH THAM KHẢO Trang 8 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc liên kết
3.1 Hai góc đối nhau: α và −α
Công thức cần nhớ: y
Các điểm biểu diễn của hai góc α và −α đối xứng qua trục Ox (Hình 7), nên ta có M • sin(−α) = − sin α α A • cos(−α) = cos α O −α x • tan(−α) = − tan α N • cot(−α) = − cot α Hình 7
Ví dụ 1. Điền giá trị thích hợp vào dấu ba chấm a) sin(−30◦) = · · · ; b) cos(−45◦) = · · · ; c) tan(−60◦) = · · · ; d) cot(−45◦) = · · · .
3.2 Hai cung hơn kém nhau π: α và α + π
Công thức cần nhớ: y
Các điểm biểu diễn của hai góc α và α + π đối xứng nhau qua gốc toạ độ O (Hình 8), nên ta có yM M • sin(α + π) = − sin α x π + α N A α • cos(α + π) = − cos α xM x O • tan(α + π) = tan α N yN • cot(α + π) = cot α Hình 8
Ví dụ 2. Tính các giá trị sau a) sin 210◦. b) cos 225◦. c) tan 210◦. d) cos 315◦. 7π 11π 17π e) sin 13π. f) cot . g) cos . h) sin . 6 3 3
3.3 Hai góc bù nhau: α và π − α
Công thức cần nhớ: y
Các điểm biểu diễn của hai góc α và π − α đối xứng nhau qua truc Oy (Hình 9), nên ta có N M • sin(π − α) = sin α π − α A α
• cos(π − α) = − cos α x O
• tan(π − α) = − tan α
• cot(π − α) = − cot α Hình 9
Ví dụ 3. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống a) sin 120◦ = sin · · · ;
b) cos 130◦ = − cos · · · ;
c) tan 155◦ = − tan · · · ;
d) cot 35◦ = − cot · · · ; e) sin 70◦ = sin · · · ;
f) cos 10◦ = − cos · · · ;
g) tan 85◦ = − tan · · · ;
h) cot 175◦ = − cot · · · . SÁCH THAM KHẢO Trang 9 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
3.4 Hai góc phụ nhau: α và π − α 2
Công thức cần nhớ: y π
Các điểm biểu diễn của hai góc α và
− α đối xứng nhau qua đường phân d 2 N
giác d của góc xOy (Hình 10) nên ta có M π • sin − α = cos α 2 A α x O π • cos − α = sin α 2 π • tan − α = cot α 2 π Hình 10 • cot − α = tan α 2
Ví dụ 4. Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống a) sin 10◦ = cos · · · ; b) cos 40◦ = sin · · · ; c) tan 15◦ = cot · · · ; d) cot 35◦ = tan · · · ; e) sin 7◦ = cos · · · ; f) cos 12◦ = sin · · · ; g) tan 5◦ = cot · · · ; h) cot 1◦ = tan · · · . Ví dụ 5. 61π π a) Biểu diễn sin
qua giá trị lượng giác có số đo từ 0 đến . 8 4
b) Biểu diễn tan 258◦ qua giá trị lượng giác có số đo từ 0◦ đến 45◦. 3.5 Bài tập 12 5 Å 15π ã
Bài tập 1. Cho sin α = và cos α = − . Tính sin − − α − cos(13π + α). 13 13 2
Bài tập 2. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x a) sin(x − 90◦). b) cos(x − 180◦). c) sin(270◦ − x). d) sin(x + 450◦). e) tan(360◦ − x). f) sin(450◦ + x). g) sin2(270◦ + x). h) cos3(90◦ + x).
Bài tập 3. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x a) cot(x − π). b) tan(2π − x). c) sin(3π + x). d) cos(x − 7π). Å 5π ã Å 3π ã Å 3π ã e) tan(x − 5π). f) sin + x . g) cos + x . h) cot x − . 2 2 2 Å 5π ã Å 11π ã Å 7π ã Å 3π ã i) cos x − . j) tan + x . k) sin x + . l) cos x − . 2 2 2 2
Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau: π a) A = cos x − + sin(x − π). 2 π π π π b) B = cos − x + sin − x − cos + x − sin + x . 2 2 2 2 Å 7π ã Å 3π ã
c) C = 2 cos x + 3 cos(π − x) − sin − x + tan − x . 2 2 Å ã π 3π d) D = sin(π + x) − cos − x + cot(2π − x) + tan − x . 2 2
Bài tập 5. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau
a) A = sin 32◦ · sin 148◦ − sin 302◦ · sin 122◦.
b) B = sin 825◦ · cos(−15◦) + cos 75◦ · sin(−555◦).
Bài tập 6. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau SÁCH THAM KHẢO Trang 10 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
A = sin2 28◦ + sin2 36◦ + sin2 54◦ + cos2 152◦ a)
B = sin2 10◦ + sin2 20◦ + sin2 30◦ + . . . + sin2 90◦ b)
Bài tập 7. Rút gọn và tính giá trị các biểu thức sau
a) A = cot 15◦ · cot 35◦ · cot 55◦ · cot 75◦.
b) B = tan 10◦ · tan 20◦. tan 30◦ · · · tan 80◦.
c) C = tan 41◦ · tan 42◦ · tan 43◦ · · · tan 49◦.
d) D = tan 20◦ + tan 40◦ + tan 60◦ + . . . + tan 180◦. π
Bài tập 8. Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến hoặc từ 0◦ 4 đến 45◦ và tính: 21π 129π a) cot 135◦; b) cos ; c) sin ; d) tan 1020◦. 6 4
Bài tập 9. Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 π a) + ; b) cos − α − sin(π + α); tan α + 1 cot α + 1 2 π c) sin α −
+ cos(−α + 6π) − tan(α + π) cot(3π − 2 α).
Bài tập 10. Chứng minh rằng nếu A, B, C là ba góc của một tam giác thì a) sin(A + 2B + C) = − sin B b) tan(A + B + 2C) = tan C A + B + 3C A − 2B + C 3B c) sin = cos C d) cot = tan 2 2 2
Bài tập 11. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin A = sin B. cos C + sin C. cos B.
b) cos A = sin B. sin C − cos B. cos C. A B C B C A B C B C c) sin = cos . cos − sin . sin . d) cos = sin . cos − cos . sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
e) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
f) cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1. A B B C C A A B C A B C g) tan . tan + tan . tan + tan . tan = 1. h) cot + cot + cot = cot . cot . cot . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ánh sáng
Bài tập 12. Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên
một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12.
Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O′M′ của OM khi thanh quay 1 được 3
vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm? Kết quả làm tròn 10 α A đến hàng phần mười. O M M′ O′ bóng Hình 12
Bài tập 13. Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe
quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ y
góc không đổi là 11 rad/s (hình bên). Ban đầu van nằm ở
vị trí A. Hỏi sau một phút di chuyển, khoảng cách từ van
đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả
sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn x đến hàng phần mười. A O α V ? Mặt đất Hình 13 SÁCH THAM KHẢO Trang 11 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Các công thức lượng giác
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa
đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được E D
ghép bởi sau phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, F C
DE, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết
chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH,
làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH? G B ? cm 27 cm H A C′ O B′ 4.1 Công thức cộng −−→
Quan sát hình bên. Từ hai cách tính tích vô hướng của hai véc-tơ OM và y −−→ ON sau đây N −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ yN
OM · ON = |OM| · |ON| · cos(OM, ON) = cos(OM, ON) = cos(α − β), M yM −−→ −−→ OM · ON = xMxN + yMyN. α β x
hãy suy ra công thức cos(α − β) theo các giá trị lượng giác α và β. Từ O xN xM A
đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng −β.
Công thức cần nhớ:
• sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos a. tan α + tan β • tan(α + β) = . 1 − tan a tan β
• sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos a.
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. tan α − tan β
• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. • tan(α − β) = . 1 + tan α tan β π
Ví dụ 1. Tính giá trị cos . 12 π π Bài tập 1. Tính sin và tan . 12 12
Bài tập 2. Rút gọn các biểu thức sau
a) sin x. cos 5x − cos x. sin 5x. b) sin 4x. cot 2x − cos 4x. tan 3x − tan x tan2 2x − tan2 x c) . d) . 1 + tan 3x. tan x 1 − tan2 2x. tan2 x
Bài tập 3. Tính giá trị các biểu thức sau
a) A = sin 12◦. cos 48◦ + cos 12◦. sin 48◦.
b) B = cos 38◦. cos 22◦ − sin 38◦. sin 22◦.
c) C = sin 36◦. cos 6◦ − sin 126◦. cos 84◦.
d) D = sin 200◦. sin 310◦ + cos 340◦. cos 50◦.
Bài tập 4. Tính giá trị các biểu thức sau tan 25◦ + tan 20◦ 1 + tan 15◦ a) E = . b) F = . 1 − tan 25◦. tan 20◦ 1 − tan 15◦
sin 10◦. cos 20◦ + sin 20◦. cos 10◦
sin 73◦. cos 3◦ − sin 87◦. cos 17◦ c) G = . d) H = .
cos 17◦. cos 13◦ − sin 17◦. sin 13◦
cos 132◦. cos 62◦ + cos 42◦. cos 28◦ π
Bài tập 5. Cho a − b =
. Tính giá trị các biểu thức 3 SÁCH THAM KHẢO Trang 12 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) X = (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2.
b) Y = (cos a + sin b)2 + (cos b − sin a)2.
Bài tập 6. Tính giá trị các biểu thức sau 1 Å ã π 4 3π
a) A = cos(x − 30◦) với tan x = √ (0 < x < 90◦). b) B = cot x − với sin x = − π < x < . 3 4 5 2 1 1
Bài tập 7. Cho a, b là các góc nhọn và tan a = , tan b = . Tính a + b. 2 3 4 8
Bài tập 8. Cho sin a = (0 < a < 90◦), sin b =
(90◦ < b < 180◦). Tính cos(a + b), sin(a − b). 5 17 3 Å ã π 2 3π
Bài tập 9. Cho sin a = < a < π , cot b = π < b <
. Tính sin(a − b), tan(a + b). 4 2 5 2
Bài tập 10. Thu gọn các biểu thức sau √ a) sin x − 3 cos x.
b) a sin x + b cos x (a2 + b2 ̸= 0). √ √ π π c) cos 7x. cos 5x − 3 sin 2x + sin 7x. sin 5x. d) 3 sin x − + sin x + . 3 6
Bài tập 11. Rút gọn các biểu thức sau π π π π a) sin x − . cos − x + sin − x . cos x − . 3 4 4 3 Å ã π π π 3π b) cos x − . cos x + + cos x + . cos x + . 3 4 6 4 π π π π c) cos x − . cos x − + cos x + . cos x + . 3 4 6 4
Bài tập 12. Rút gọn các biểu thức sau cos(a + b) + sin a. sin b 2 sin(a + b) a) . b) − tan b. cos(a − b) − sin a. sin b cos(a + b) + cos(a − b)
Bài tập 13. Chứng minh các đẳng thức sau
a) sin x. sin(y − z) + sin y. sin(z − x) + sin z. sin(x − y) = 0
b) cos x. sin(y − z) + cos y. sin(z − x) + cos z. sin(x − y) = 0
4.2 Công thức góc nhân đôi
Công thức cần nhớ:
• cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α. • sin 2α = 2 sin α cos α. 2 tan α • tan 2α = . 1 − tan2 α π
Ví dụ 2. Tính giá trị sin . 8 π π
Bài tập 14. Tính cos và tan . 8 8
Bài tập 15. Chứng minh các đẳng thức sau a) sin 2x = 2 sin x. cos x. b) cos 2x = cos2 x − sin2 x. 2 tan x cot2 x − 1 c) tan 2x = . d) cot 2x = . 1 − tan2 x 2 cot x 5 π
Bài tập 16. Cho sin x =
< x < π . Tính cos x, sin 2x, cos 2x. 12 2 √ 2 2 Å 3π ã
Bài tập 17. Cho cos x = − π < x < . Tính tan x, sin 2x. 3 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 13 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 4 π
Bài tập 18. Cho sin 2x = 0 < x < . Tính A = sin x − cos x. 5 4 3 π π x
Bài tập 19. Cho tan x = −π < x < − . Tính tan 2x, tan 2x + , cos x, cos . 4 2 4 2 √ π
Bài tập 20. Cho tan x = 2 − 3 0 < x <
. Tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, rồi suy ra x. 2
Bài tập 21. Rút gọn biểu thức a) (sin x + cos x)2. b) 1 − 4 sin2 x. cos2 x. c) sin x. cos x. cos 2x. d) cos4 2x − sin4 2x.
4.3 Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức cần nhớ: 1 • cos α cos β =
[cos (α − β) + cos (α + β)]; 2 1 • sin α sin β =
[cos (α − β) − cos (α + β)]; 2 1 • sin α cos β =
[sin (α − β) + sin (α + β)]. 2 11π 7π
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức cos cos . 12 12 π 5π 7π 5π
Bài tập 22. Tính giá trị của biểu thức sin cos và sin sin . 24 24 8 8
Bài tập 23. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau a) sin 3x. sin x. b) sin 5x. cos 3x. 3π π π 7π c) sin . cos . d) sin . cos . 4 6 12 12 e) sin(x + y). cos(x − y).
f) sin(x + 30◦). cos(x − 30◦).
g) sin 3x. cos x + sin 4x. cos 2x.
h) sin 2x. sin 6x − cos x. cos 3x. i) 8 cos x. sin 2x. sin 3x.
j) 4 sin 2x. sin 5x. sin 7x − sin 4x.
Bài tập 24. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau π π 1 π π a) sin + x . sin − x − cos2 x. b) sin x + . sin x − . cos 2x. 4 4 2 6 6
4.4 Công thức biến đổi tổng thành tích
Công thức cần nhớ: α + β α − β α + β α − β a) cos α + cos β = 2 cos cos ;
b) cos α − cos β = −2 sin sin ; 2 2 2 2 α + β α − β α + β α − β c) sin α + sin β = 2 sin cos ; d) sin α − sin β = 2 cos sin . 2 2 2 2 5π π Ví dụ 4. Tính sin + sin . 12 12 7π π
Bài tập 25. Tính cos + cos . 12 12
Bài tập 26. Chứng minh các đẳng thức sau SÁCH THAM KHẢO Trang 14 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x.
b) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x. √ π √ π c) sin x + cos x = 2 sin x + . d) cos x − sin x = 2 cos x + . 4 4
Bài tập 27. Biến đổi thành tích a) cos 3x + cos x. b) sin 3x + sin 2x. c) cos 4x − cos x. d) sin 5x − sin x. e) 1 + sin 2x + cos 2x.
f) 1 + cos x + cos 2x + cos 3x.
g) cos 10x − cos 8x − cos 6x + 1.
h) cos x + cos y + cos(x + y) + 1.
Bài tập 28. Biến đổi thành tích các biểu thức sau √ a) 3 − 2 cos 2x. b) cos 3x + cos x + 2 cos 2x.
c) sin 3x − 2 sin 2x + sin x. d) cos x + cos 2x + cos 3x. e) cos x + sin 2x − cos 3x.
f) cos 5x + cos 7x − cos(π + 6x). π g) cos + 5x + sin x − cos 3x.
h) cos 7x + sin 3x + sin 2x − cos 3x. 2
i) cos 9x − cos 7x + cos 3x − cos x.
j) cos 5x + 3 cos 7x + 3 cos 9x + cos 11x. 4.5 Bài tập
Bài tập 1. Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc: 5π a) . b) −555◦. 12 π π 5 3π
Bài tập 2. Tính sin α + , cos − α biết sin α = − và π < α < . 6 4 13 2
Bài tập 3. Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết: √3 π α 3 a) sin α = và 0 < α < ; b) sin = và π < α < 2π. 3 2 2 4
Bài tập 4. Rút gọn các biểu thức sau: √ π a) 2 sin α + − cos α;
b) (cos α + sin α)2 − sin 2α. 4
Bài tập 5. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết: 2 π 4 π 3π a) cos 2α = và − < α < 0; b) sin 2α = − và < α < . 5 2 9 2 4
Bài tập 6. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sin A = sin B cos C + sin C cos B. Bài tập 7.
Trong hình bên, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, A
BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn ’ CAD = 30◦. Tính tan ’
BAD, từ đó tính độ dài cạnh CD. 30◦ 4 B D 3 C
Bài tập 8. Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục π
khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít-tông khi α = và 2
H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài
MH không đổi và gần bằng MA.
a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính tọa độ xM của điểm M trên trục Ox theo α. SÁCH THAM KHẢO Trang 15 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, xM = −3 cm. Xác định xM sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết
quả đến hàng phần mười.
Bài tập 9. Trong Hình 5 , ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31 m, 2π
độ cao của điểm M so với mặt đất là 30 m, góc giữa các cánh quạt là
và số đo góc (OA, OM) là α. 3 a) Tính sin α và cos α.
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt
đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. SÁCH THAM KHẢO Trang 16 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 5. Hàm số lượng giác và đồ thị
5.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Khái niệm:
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có −x ∈ D và f(−x) = f(x).
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có −x ∈ D và f(−x) = −f(x). Chú ý:
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ các hàm số sau √ a) y = x2; b) y = x3 + x − 1; c) y = x4 − x2 + 3; d) y = x.
5.2 Hàm số tuần hoàn Khái niệm:
• Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao
cho với mọi x ∈ D ta có x ± T ∈ D và f(x + T ) = f(x).
• Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x). Chú ý:
• Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T . 5.3 Hàm số y = sin x • Đồ thị y 1 y = sin x − 5π − π 3π 2 2 2 −π π π x −3π −2π O − 3π 2π 5π 3π 2 2 2 −1
• Tập xác định là D = R.
• Tập giá trị T = [−1; 1].
• Hàm số y = f(x) = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z. π π
• Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π;
+ k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng 2 2 Å π 3π ã + k2π; + k2π với k ∈ Z. 2 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 17 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 5.4 Hàm số y = cos x • Đồ thị y 1 y = cos x 3π −3π − 5π 2 −π − π 2 π 2 3π π x −2π O − 3π 2π 5π 2 2 2 −1
• Tập xác định D = R.
• Tập giá trị T = [−1; 1].
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
• Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x với k ∈ Z.
• Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k2π; π + k2π) với k ∈ Z. 5.5 Bài tập
5.5.1 Tập xác định của hàm số L Lưu ý: P (x) • Hàm số y = xác định khi Q (x) ̸= 0. Q (x)
• Hàm số y = pf(x) xác định khi f(x) ⩾ 0.
• Các hàm số y = sin x, y = cos x xác định với mọi x ∈ R.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau 1 √ π a) y = sin , b) y = cos x − 1, c) y = cos |x − 1|, d) y = sin x − , x − 2 3 Å ã π 3x + 1 √ e) y = sin 3x, f) y = cos 3x + , g) y = sin , h) y = sin 3x, 3 x2 − 1 sin x cos x x2 + 1 sin x i) y = , j) y = , k) y = , l) y = . x2 − 1 x + 1 x sin x cos (x − π)
5.5.2 Tính chẵn lẻ của hàm số L Lưu ý: Tính chẵn, lẻ ®∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D • thì f là hàm số chẵn. f(−x) = f(x), ∀x ∈ D ®∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D • thì f là hàm số lẻ. f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = x sin x.
Bài tập 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) y = f(x) = 2 cos 3x − 1, b) y = f(x) = x3 + sin x,
c) y = f(x) = 3 cos x + sin2 x,
d) y = f(x) = cos (x + 1) + cos (x − 1). SÁCH THAM KHẢO Trang 18 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
5.5.3 Miền giá trị của hàm số L Lưu ý: Miền giá trị
• Trên R ta có −1 ⩽ sin x, cos x ⩽ 1.
• Trên miền xác định, hàm số y = tan x, y = cot x nhận giá trị trên R.
Ví dụ 4. Tìm miền giá trị của hàm số y = 2 sin x − 3.
Bài tập 2. Tìm miền giá trị của các hàm số sau a) y = sin 2x, b) y = 1 − cos x, c) y = 2 cos 3x, d) y = 2 sin x − 1, √ e) y = 2 + 3 sin x, f) y = 1 − cos 4x, g) y = sin x + cos x, h) y = 3 − 2 cos2 x.
Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y = 3 + sin x, b) y = 1 − 2 sin x, c) y = 3 cos x − 2, π √ d) y = 3 − 2| sin 4x|, e) y = 3 cos 2x + − 2, f) y = 2 (sin x + cos x). 6
Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y = cos2 x + 2 sin x + 2, b) y = cos2 x + sin x + 1, c) y = 3 cos x + 4 sin x + 5, 2 + cos x
d) y = 3 sin2 x − sin 2x − cos2 x,
e) y = 2 cos (sin x + cos x) − 2, f) y = . sin x + cos x − 2 5.6 Hàm số y = tan x • Đồ thị y y = tan x −2π −π π π 3π x − π O − 3π 2π 2 2 2 2 π
• Tập xác định D = R \ n π + kπ, k ∈ Zo, nghĩa là x ̸= + kπ (k ∈ Z). 2 2
• Tập giá trị T = R.
• Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T0 = π. π π
• Hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z. 2 2 5.7 Hàm số y = cot x • Đồ thị SÁCH THAM KHẢO Trang 19 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 y y = cot x O −π π π 3π x −2π − 3π − π 2 2 2 2
• Tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa là x ̸= kπ, k ∈ Z.
• Tập giá trị T = R.
• Hàm số y = cot x là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T0 = π.
• Hàm số y = cot x nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z.
Bài tập 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau √ tan 2x 1 − sin x a) y = tan 2x, b) y = cot 3x, c) y = , d) y = , 1 + cos2 x 1 + tan x π tan x − cos x cos 2x e) y = cot x + , f) y = tan x + cot 2x, g) y = , h) y = + tan x. 3 sin x 1 − sin x √ 1 π 1 x i) y = ; j) y = tan x + ; k) y = . l) y = . cos x 4 2 − sin2 x sin πx
Bài tập 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác y = cos x, y = tan x.
Bài tập 7. Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không? a) y = 5 sin2 x + 1; b) y = cos x + sin x; c) y = tan 2x.
Bài tập 8. Cho hàm số f(x) xác định trên R và là hàm số lẻ. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số g(x) biết g(x) = f(x) f(x) + − cos 3x. cot x − 1 cot x + 1
Bài tập 9. Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin x và hàm số y = tan x.
Bài tập 10. Chứng minh rằng các hàm số sau đều có tính chất f(x + kπ) = f(x) với k ∈ Z a) y = cos 2x, b) y = tan x, c) y = cos2 x, d) y = sin 2x − 2 tan x.
Bài tập 11. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ là π: a) y = sin 2x, b) y = cot x, c) y = cos 2x, d) y = sin 2x + 3 cos 2x.
Bài tập 12. Nhiệt độ ngoài trời T (tính bằng ◦C) vào thời điểm t giờ trong một ngày ở một thành phố được tính bởi Å π 5π ã công thức T = 20 + 4 sin t −
. Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hoà nhiệt độ của một 12 6
bào tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ 22◦C trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy xác định
khoảng thời gian t trong ngày (0 ⩽ t ⩽ 24) hệ thống điều hoà được bật. (Theo https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0168192385900139) 1
Bài tập 13. Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, xác định các giá trị x ∈ [−π; π] thoả mãn sin x = . 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 20 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 14. Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của
một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số
vx = 0,3 sin α (m/s) (Hình vẽ bên).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của vx.
b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu
tiên (0 ⩽ α ⩽ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì vx tăng?
Bài tập 15. Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính
của guồng đều bằng 3 m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình vẽ bên).
a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt
nước theo góc α = (OA, OG).
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm
số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách
của gàu đến mặt nước bằng 1,5 mét?
Bài tập 16. Trong hình vẽ bên dưới, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500 m theo một đường thẳng đi ngang qua
phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (T x, T A) (0 < α < π). A (máy bay) 500m α T (trạm quan sát) H x (m)
a) Biểu diễn tọa độ xH của điểm H trên trục T x theo α. π 2π
b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với < α < thì x 6 3
H nằm trong khoảng nào? Làm tròn kết
quả đến hàng phần mười.
Bài tập 17. Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ
phẳng như trong hình bên. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục
hoành và kinh tuyến 0◦ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ π
φ◦(−90 < φ < 90) được cho bởi hàm số y = 20 tan φ (cm). Sử dụng đồ 180
thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không
quá 20 (cm) trên bản đồ. (Theo https://geologyscience.com/geology/types- of-maps/) SÁCH THAM KHẢO Trang 21 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 6. Phương trình lượng giác cơ bản
6.1 Phương trình tương đương
Khái niệm: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. L Lưu ý:
a) Để giải phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
Ta có một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng sau
• Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà
không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
• Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức
luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
b) Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “⇔”.
Ví dụ 1. Phương trình x2 − 4 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 a) 2x2 = 8. b) x2 − 4 + = . x − 2 x − 2
6.2 Phương trình sin x = m
Xét phương trình sin x = m.
• Điều kiện để phương trình có nghiệm −1 ⩽ m ⩽ 1. ñu = v + k2π • Nếu sin u = sin v ⇔ , k ∈ Z. u = π − v + k2π ñx = a◦ + k360◦
• Nếu sin x = sin a◦ ⇔ x = 180◦ − a◦ + k360◦ ,k ∈ Z. y 1 y = m m x −3π 5π −2π 3π −π π α π O π − α π 3π −2π 5π 3π − − − 2 2 2 2 2 2 −1 2π L Lưu ý:
Một số trường hợp đặc biệt π sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z; 2 π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π, k ∈ Z; 2
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Bài tập 1. Giải các phương trình sau π a) sin 2x = sin 3x. b) sin x = sin . c) sin x = 0. d) sin x = 1. 4 √ 1 3 2 e) sin x = −1. f) sin 2x = . g) sin(3x + 2) = − . h) sin(4x − 1) = . 2 2 2 √ √ √ 3 1 √ 2 3 i) sin 5x = . j) sin(6x + 3) = − k) sin(7x − 2) = − . l) sin 8x = − . 2 2 2 2 SÁCH THAM KHẢO Trang 22 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
6.3 Phương trình cos x = m
Xét phương trình cos x = m.
• Điều kiện có nghiệm −1 ⩽ m ⩽ 1. ñu = v + k2π • Nếu cos u = cos v ⇔ , k ∈ Z. u = −v + k2π ñx = a◦ + k360◦
• Nếu cos x = cos a◦ ⇔ x = −a◦ + k360◦ ,k ∈ Z. y 1 y = m −3π −2π −π m π −2π 3π −α α x O −1 2π L Lưu ý:
Một số trường hợp đặc biệt
cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z π cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. 2
Bài tập 2. Giải các phương trình 1 1 a) cos 2x = cos (x + 60◦), b) cos 3x = sin x, c) cos x = − , d) cos 3x = , 2 2 √ √ 2 3 e) cos(x + 10◦) = , f) cos 2x = , g) cos(5x − 1) = 0, h) cos(2x + 15◦) = 1, 2 2√ √ 1 2 3 √ i) cos(x − 2) = − , j) cos 5x = − , k) cos 7x = − , l) cos(7x − 2) = −1. 2 2 2
6.3.1 Phương trình tan x = m
• Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm.
• Nếu tan x = tan a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦, k ∈ Z.
• Nếu tan u = tan v ⇔ u = v + k2π, k ∈ Z. y y = tan x y = m m π α π x 3π O 3π 5π − − 2 2 2 2 2 π
Bài tập 3. Giải các phương trình SÁCH THAM KHẢO Trang 23 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 π √ a) tan 2x = tan . b) tan x = 0, c) tan x = 1, d) tan x = 3, 11 1 √ 1 e) tan 3x = √ , f) tan 5x = −1, g) tan(4x + 5◦) = − 3, h) tan(6x + 10◦) = − √ . 3 3
6.3.2 Phương trình cot x = m
• Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm.
• Nếu cot x = cot a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦, k ∈ Z.
• Nếu cot u = cot v ⇔ u = av + k2π, k ∈ Z. y y = cot x y = m m x −π α π O 2π 3π π
Bài tập 4. Giải các phương trình π √ a) cot 3x = cot , b) cot x = 0, c) cot 3x = 1, d) cot 4x = 3, 7 1 √ 1 e) cot 5x = √ , f) cot(2x + 10◦) = −1, g) cot x = − 3, h) cot(3x − 1) = − √ . 3 3
6.4 Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
Ta có thể giải phương trình lượng giác dạng sin x = m, cos x = m, tan x = m và cot x = m bằng máy tính cầm tay như trong ví dụ sau
Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau 1
a) sin x = − . Kết quả ghi theo đơn vị radian. 2
b) cot x = 3. Kết quả ghi theo đơn vị độ. 1 L Lưu ý:
Để giải phương trình cot x = m(m ̸= 0), ta giải phương trình tan x = . m
6.5 Bài tập luyện tập
Bài tập 5. Giải các phương trình π 2π π a) sin x − = sin , b) sin 4x − cos x + = 0, 7 7 6 π π √ c) cos 2x + = 0, d) 2 sin x + + 3 = 0, 3 6 π √ π √ e) 2 cos 2x + + 2 = 0, f) 2 cos x + + 3 = 0, 4 6 Å ã π 2π g) sin 2x + + sin x = 0, h) sin x − − cos 2x = 0, 3 3 Å ã π π 3π π i) cos 2x − − sin 2x + = 0, j) sin x − − cos 2x + = 0, 4 3 4 4 SÁCH THAM KHẢO Trang 24 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 k) sin 3x = sin 900 − x, l) cos 3x + 450 = − cos x, √ π 3 m) cos x + = , n) cos2 x = 1. 3 2
Bài tập 6. Giải các phương trình lượng giác sau Å ã π 1 π a) tan x = tan 55◦. b) tan 2x + = 0. c) cot x + = −1. 4 2 4 √3 π π d) cot 3x = − . e) tan 2x = tan x + . f) cot x − = cot 3x. 3 4 4
Bài tập 7. Giải các phương trình a) sin 2x cos 2x = 0. b) cos2 x = sin2 x. c) 2 cos2 2x = 1 . d) 8 sin3 x − 1 = 0. √ e) 3 3 tan3 2x = 1. f) 3cosx = 1 + 4 cos3 x. g) 4 sin2 x − 1 = 0. h) 3 − 4 cos2 x = 0.
Bài tập 8. Giải các phương trình √ a) 4 sin x cos x cos 2x = 0 b) sin x + cos x = 2 c) (sin x + cos x)2 − 1 = 0 sin 2x = (cos x − sin x)2 d) √ √
e) (cos x + 2) 2 cos2 x − cos x − 1 = 0 f) sin 2x + 3 − 2 cos x − 3 sin x = 0
Bài tập 9. Giải các phương trình √3 π π a) sin x = , x ∈ [−π, π] b) sin 2x + = cos x − , x ∈ [0; π] 2 3 3
Bài tập 10. Giải các phương trình cos 2x cos 2x cos 3x sin x a) = 0. b) = 1. c) = 1. d) = 0. sin x sin x cos x 1 + cos x
Bài tập 11. Giải các phương trình
a) sin 2x cos x = cos x − cos 2x sin x.
b) sin 4x cos 3x = sin x cos 6x.
c) cos 3x + cos 7x = sin 3x − sin 7x.
d) sin 3x − 4 sin x cos 2x = 0. √ π π
e) 4 3 sin x cos x cos 2x = sin 8x. f) sin x + + sin − x = 0. 4 4
Bài tập 12. Tifm m để phương trình sau có nghiệm a) cos 2x − 550 = 2m2 + m,
b) m cos x + 1 = 3 cos x − 2m,
c) (4m − 1) sin x + 2 = m sin x − 3,
d) m(m + 1) cos 2x = m2 − m − 3 + m2 cos 2x. 2m − 3 m + 1 e) cos x = , f) sin 2x − 1 = . 4 − m 2m
Bài tập 13. Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cos x và y = sin x giao nhau?
Bài tập 14. Trong hình dưới, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo
khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau π √
khi buông tay được xác định bởi công thức s = 10 sin 10t +
. Vào các thời điểm nào thì s = −5 3 cm ? 2
(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion) A s x O SÁCH THAM KHẢO Trang 25 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 15. Trong hình dưới, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy′ một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay π
ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ
rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn 10
xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.
(Theo https://www:mnhs.org/splitrock/learn/technology) y M H α O 1 km 1 km N y′ bờ biển
a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ yM của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.
b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ yN = −1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà. SÁCH THAM KHẢO Trang 26 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 7. Bài tập cuối chương
7.1 Câu hỏi trắc nghiệm 1
Câu 1. Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay 3 vòng ngược chiều kim đồng hồ? 5 16π Å 16 ã◦ A. . B. . C. 1152◦. D. 1152π. 5 5
Câu 2. Trong trường hợp nào dưới đây cos α = cos β và sin α = − sin β? π A. β = −α. B. β = π − α. C. β = π + α. D. β = + α. 2
Câu 3. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. π
Câu 4. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác cos 2x = cos x + là 3 π 5π 7π 13π A. − . B. − . C. − . D. − . 9 3 9 9 Å π 7π ã
Câu 5. Số nghiệm của phương trình tan x = 3 trong khoảng − ; là 2 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 6. Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức π h(t) = 29 + 3 sin (t − 9) 12
với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?
(Theo https://www.sciencedirect.com/science/ article/abs/pii/0168192385900139)
A. 32◦C, lúc 15 giờ.
B. 29◦C, lúc 9 giờ.
C. 26◦C, lúc 3 giờ.
D. 26◦C, lúc 0 giờ.
7.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là
chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian? 1 π
Bài tập 2. Cho cos α = và − < α < 0. Tính: 3 2 π a) sin α; b) sin 2α; c) cos α + . 3
Bài tập 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác: π
a) sin(α + β) sin(α − β) = sin2 α − sin2 β; b) cos4 α − cos4 α − = cos 2α. 2 π
Bài tập 4. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + − sin 2x = 0 là bao nhiêu? 6
Bài tập 5. Giải các phương trình sau: √2 a) sin 2x + cos 3x = 0 b) sin x cos x = ; c) sin x + sin 2x = 0. 4
Bài tập 6. Độ sâu h( m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên
trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) = 0,8 cos 0,5t + 4.
(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/ business/an-introduction-to-tidalmodelling.pdf )
a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?
b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m đề có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của
hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng sau khi thuỷ triều lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào
tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. π
Bài tập 7. Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức v = −3 sin 1,5t + . 3
(Theo https://www.britannica.com/science/ simple-harmonic-motion)
Xác định các thời điểm t mà tại đó: SÁCH THAM KHẢO Trang 27 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất;
b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.
Bài tập 8. Trong hình vẽ, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều
cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên
đỉnh θs = (AB, AE) phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức π θs(t) = (t − 12) rad 12
với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18).
(Theo https://www.sciencedirect.com/ topics/engineering/solar-hour-angle) A θs 5 m N 4 m B E x (m)
a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.
b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết
N nằm trên trục Bx với toạ độ là xN = −4 (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. C 2. A 3. B 4. A 5. B 6. C SÁCH THAM KHẢO Trang 28 Chương 2
DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN Bài 1. Dãy Số 1.1 Dãy số là gì?
Khái niệm: Hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số vô hạn (hay
gọi tắt là dãy số), nghĩa là u : N∗ → R n 7→ un = u(n).
Dãy số trên được kí hiệu là (un). Dạng khai triển của dãy số (un) là: u1; u2; . . . ; un; . . . L Lưu ý:
• u1 = u(1) gọi là số hạg đầu, un = u(n) gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số.
• Nếu un = C với mọi n, ta nói (un) là dãy số không đổi.
Ví dụ 1. Cho hàm số: u : N∗ → R n 7→ u(n) = n2.
Hàm số trên có là dãy số hay không? Nếu có, hãy tìm số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba và số hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 2. Cho hàm số:
v : {1; 2; 3; 4; 5} → R n 7→ v(n) = 2n.
Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).
Khái niệm: Hàm số u xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; . . . ; m} thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng
khai triển của dãy số này là u1, u2, . . . , um, trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối.
Ví dụ 3. Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên 1; 3; 5; . . . ; 19 có phải là dãy số hữu hạn không? Nếu có, tìm số hạng
đầu và số hạng cuối của dãy số.
Bài tập 1. Cho dãy số: u : N∗ → R n 7→ un = n3.
a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.
b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Bài tập 2. Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.
a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên. 29 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.2 Cách xác định dãy số
Khái niệm: Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
b) Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát un.
c) Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
• Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
• Cho một công thức tính un theo un−1 (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
d) Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Ví dụ 4. Cho các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) được xác định như sau: ®c1 = 1
a) a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4. b) cn = cn−1 + 1 (n ⩾ 2). c) bn = 2n.
d) dn là chu vi của đường tròn có bán kính n.
Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên. n − 1
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) với un = . 3n + 1
a) Tìm ba số hạng đầu tiên. b) Tính u50 và u99. ®u1 = 1, u2 = 1
Ví dụ 6. Cho dãy số (un) xác định bởi: Tính u5.
un = un−1 + un−2 (n ⩾ 3).
Bài tập 3. Hãy viết 3 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: n + (−1)n Å 1 ãn a) un = . b) u 1 + . 2 n = n + 1 n ® ( u u 1 = 0 1 = 1 c) (un) : , n ∈ N∗. d) (un) : , n ∈ N∗. » un+1 = 2un + 1 un+1 = u2n + 1 ®u1 = 3
Bài tập 4. Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1 = 2un (n ⩾ 1).
a) Chứng minh u2 = 2 · 3; u3 = 22 · 3; u4 = 23 · 3.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un).
Bài tập 5. Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình vẽ). Gọi un
là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (un) bằng hai cách:
a) Viết công thức số hạng tổng quát un.
b) Viết hệ thức truy hồi. SÁCH THAM KHẢO Trang 30 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm
Ví dụ 7. Cho hai dãy số (an) và (bn) được xác định như sau: an = 3n + 1; bn = −5n.
a) So sánh an và an+1, ∀n ∈ N∗.
b) So sánh bn và bn+1, ∀n ∈ N∗.
Khái niệm: Cho dãy số (un),
• Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un, ∀n ∈ N∗.
• Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un, ∀n ∈ N∗.
Ví dụ 8. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau 1 a) (an) với an = ; b) (bn) với bn = n2; c) (cn) với cn = (−2)n. n
Ví dụ 9. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau n a) (an) với an = ; b) (bn) với bn = n − n2. n + 1
Bài tập 6. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau 2n − 1 n + 2 a) (un) với un = ; b) (xn) với xn = ;
c) (tn) với tn = (−1)n · n2. n + 1 4n
Bài tập 7. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) có số hạng tổng quát: a) un = n2 + 3n. b) un = 2n3 − 5n + 1. c) un = n − 4n2. n n2 + n + 1 d) un = . e) un = n3 − 3n2 − 7. f) un = . n2 + 2 2n2 + 1
Bài tập 8. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) có số hạng tổng quát: n + 1 (−1)n 5n − 1 a) un = . b) un = . c) un = . n n + 2 2n + 3 n2 + 1 n2 + n + 1 −n2 + 5n + 2 d) un = . e) un = . f) un = . n n + 1 3n + 1
Bài tập 9. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) có số hạng tổng quát Å 1 ãn 3n a) un = . b) u . c) u 3 n = 2n+1 n = 3n − n. √ Å 2 ãn n 3n d) un = · n. e) u . f) u . 5 n = 3n n = n2 n + 1 n2 2n − 1 g) un = . h) u . i) u . 3n n = 4n n = 2n + 1
Bài tập 10. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) sau √ √ √ √ n + 1 − 1 a) un = n + 1 − n. b) un = n − n2 − 1. c) un = . n na + 2
Bài tập 11. Với giá trị nào của a thì dãy số un =
là dãy số tăng ? dãy số giảm ? n + 1
Bài tập 12. Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.
a) Gọi u1 = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, un là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới
lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
b) Gọi v1 = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, vn là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên
xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này. SÁCH THAM KHẢO Trang 31 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.4 Dãy số bị chặn Khái niệm:
a) Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ⩽ M, ∀n ∈ N∗.
b) Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ⩾ m, ∀n ∈ N∗.
c) Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho
m ⩽ un ⩽ M, ∀n ∈ N∗. 1
Ví dụ 10. Cho dãy số (un) với un =
. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1. n 1
Ví dụ 11. Xét tính bị chặn của dãy số (un) với un = . 2n
Ví dụ 12. Xét tính bị chặn của các dãy số sau π n a) (an) với an = cos ; b) (bn) với bn = . n n + 1
Bài tập 13. Xét tính bị chặn của các dãy số (un) biết Å 1 ãn 1 a) un = sin n + cos n. b) un = (−1)n + cos n. c) un = − . d) u . 4 n = n(n + 1) 2n + 1 n + 4 n2 + 2n √ √ e) un = . f) un = . g) un = . h) un = 3 n + 1 − 3 n. n + 3 2n + 1 n2 + n + 1 1.5 Bài tập u1 = 1 
Bài tập 1. Tìm u2, u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát un của dãy số: un u (n ⩾ 1).  n+1 = 1 + un 1 1 1
Bài tập 2. Cho dãy số (un) với un = + + · · · + . Tìm u 1 · 2 2 · 3 n(n + 1)
1, u2, u3 và dự đoán công thức số hạng tổng quát un. √ √
Bài tập 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số (yn) với yn = n + 1 − n.
Bài tập 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau nπ 6n − 4
a) (an) với an = sin2 nπ + cos ; b) (u . 3 4 n) với un = n + 2 2n − 1
Bài tập 5. Cho dãy số (un) với un =
. Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn. n + 1 SÁCH THAM KHẢO Trang 32 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 na + 2
Bài tập 6. Cho dãy số (un) với un =
. Tìm giá trị của a để n + 1 a) (un) là dãy số tăng; b) (un) là dãy số giảm.
Bài tập 7. Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình vẽ .
Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên? 13 21 2 3 1 8 5 SÁCH THAM KHẢO Trang 33 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Cấp số cộng 2.1 Cấp số cộng
Khái niệm: Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:
un+1 = un + d với n ∈ N∗.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 1. Tìm cấp số cộng trong mỗi dãy số sau a) 5; 10; 15; 20; 25; 30. b) 1; 2; 4; 8. c) 7; 7; 7; 7; 7.
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng 3; 6; 9; 12; . . .. Tìm số hạng đầu, công sai và u5.
Ví dụ 3. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng đó.
a) Dãy số (un) với un = 2n + 1.
b) Dãy số (vn) với un = −3n + 5.
Ví dụ 4. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tính b theo a và c.
Công thức cần nhớ: Nếu (un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối
đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là u u k−1 + uk+1 k = (k ⩾ 2) . 2
Bài tập 1. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó. a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.
b) Dãy số (un) với un = 9n − 9.
c) Dãy số (vn) với vn = an + b, trong đó a và b là các hằng số.
Bài tập 2. Số đo ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
Bài tập 3. Mặt cắt của một tổ ong có hình lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều.
Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong thợ tạo ra vòng 1 gồm 6 ô lục giác;
bước thứ hai, các ong thợ tạo ra vòng 2 gồm 12 ô bao quanh vòng 1; bước thứ 3,
các các ong thợ tạo ra vòng 3 gồm 18 ô bao quanh vòng 2; cứ thế tiếp tục. Số ô
trên các vòng theo thứ tự có có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có tìm công
sai của cấp số cộng này.
2.2 Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Công thức cần nhớ: Nếu một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát
un của nó được xác định bởi công thức un = u1 + (n − 1)d, n ⩾ 2.
Ví dụ 5. Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 9.
Bài tập 4. Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau
a) Cấp số cộng (an) có a1 = 5 và d = −5;
b) Cấp số cộng (bn) có b1 = 2 và b10 = 20.
Bài tập 5. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) có c4 = 80 và c6 = 40. SÁCH THAM KHẢO Trang 34 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
2.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Công thức cần nhớ: Giả sử (un) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un, khi đó n (u n [2u S 1 + un) 1 + (n − 1)d] n = hay S . 2 n = 2
Ví dụ 6. Tính các tổng sau
a) Tính tổng của 100 số nguyên dương đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng (un) có u4 + u6 = 20. Tính tổng 9 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng (vn) có S3 = −3 và S5 = −15. Tính S50.
Bài tập 6. Tính tổng sau
a) Tính tổng của 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng (un) có u3 + u28 = 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng (vn) có S6 = 18 và S10 = 110. Tính S20. Bài tập 7.
Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. Hàng thứ nhất có 17 ghế,
hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, ... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng.
a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.
b) Tính tổng số ghế có ở trong rạp. 2.4 Bài tập
Bài tập 1. Chứng minh dãy số hữu hạn sau là cấp số cộng: 1; −3; −7; −11; −15.
Bài tập 2. Cho (un) là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 4 và công sai d = −10. Viết công thức số hạng tổng quát un.
Bài tập 3. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = −3 và công sai d = 2. a) Tìm u12.
b) Số 195 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Bài tập 4. Cho cấp số cộng có u6 = −5; d = 3 a) Tìm u1, u10, u21.
b) Số hạng thứ mấy bằng 25.
c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên.
d) Tính công thức số hạng tổng quát un theo n.
e) Tính tổng n số hạng đầu tiên theo n.
Bài tập 5. Trong các đãy số sau đây, đã số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. n 9 − 5n a) un = 3 − 4n; b) un = − 4; c) u d) u . 2 n = 5n; n = 3
Bài tập 6. Cho cấp số cộng (un) 14 10 √ √ a) −6; − ; − ; · · · Tìm u b) 2 + 1; 2; 3 − 2; · · · Tìm u 3 3 25, S10. 10, S12.
Bài tập 7. Hãy tính:
a) Tổng 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60.
b) Tổng 22 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un) có u5 + u18 = 100. SÁCH THAM KHẢO Trang 35 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
c) Tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un) có S6 = 12 và S12 = 6.
Bài tập 8. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết: ®u ® ® 3 − u1 = 20 u2 + u3 = 0 u5 − u2 = 3 a) b) c) u2 + u5 = 54; u2 + u5 = 80; u8 · u3 = 24.
Bài tập 9. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của các cấp số cộng sau, biết: ®u ® ® ® 3 = −15 u1 − u3 + u5 = 10 S4 = 15 u7 − u3 = 8 a) b) c) d) u14 = 18 u2 + u5 = 7 S7 = 12 u2.u7 = 75 ®u ® ® ® 6 = 8 u2 + u3 = −4 u1 + u3 + u5 = −12 u1 + u2 + u3 = 9 e) f) g) h) u2 u 2 + u24 = 16 u21 + u25 = 50 1.u2.u3 = 8 u21 + u22 + u23 = 36
Bài tập 10. Hãy viết thêm 6 số xen giữa hai số 3 và 24 để được cấp số cộng tăng có 8 số hạng.
Bài tập 11. Cho cấp số cộng có 7 số hạng với công sai dương và số hạng thứ 4 bằng 11. Hãy tìm các số hạng còn
lại của cấp số cộng đó biết hiệu của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 6.
Bài tập 12. Số đo 3 góc của một tam giác vuông ABC lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm 3 góc đó.
Bài tập 13. Tìm 3 cạnh của một tam giác vuông, biết chúng tạo thành một cấp số cộng và tam giác đó có chu vi là 60 đơn vị.
Bài tập 14. Chu vi của một đa giác là 158cm và số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai
d = 3cm. Biết độ dài cạnh lớn nhất của đa giác là 44cm. Tìm số cạnh của đa giác đó.
Bài tập 15. Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 14 và tổng bình phương của chúng bằng 94.
Bài tập 16. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của chúng bằng 165.
Bài tập 17. Cho cấp số cộng (un) có công sai d. Chứng minh rằng:
a) un − um = (n − m)d với n, m ∈ N∗.
b) un + um = uk + ur, biết n + m = k + r biết (n, m, k, r ∈ N∗).
Bài tập 18. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng. Chứng minh: a) a2 + 8bc = (2b + c)2. b) a2 + 2bc = c2 + 2ab.
c) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a − b)2 + (a + b + c)2.
Bài tập 19. Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: 1 1 1
a) a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng ⇔ + +
lập thành một cấp số cộng. b + c c + a a + b
b) a, b, c lập thành một cấp số cộng ⇒ a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) lập thành một cấp số cộng.
Bài tập 20. Tìm x biết 2 + 5 + 8 + · · · + x = 950 và là một số hạng của cấp số cộng: 2, 5, 8, · · · , x, · · · √ √
Bài tập 21. Giữa hai số −23 và 40 hãy đặt thêm 8 số nữa để được một cấp số cộng (un). Tìm n để 2 − un ⩽ 11.
Bài tập 22. Cho cấp số cộng (un), biết Sn = 4n2 − 3n, ∀n ∈ N∗. Tìm n để Sn − un ⩽ 7.
Bài tập 23. Biết dãy số 1, a, b là cấp số cộng có cộng sai d1 và dãy số 1, a2, b2 − 2 cũng là cấp số cộng có công sai d2. Tính: d1 + d2.
Bài tập 24. Cho một hình vuông có cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên tiếp để được một hình
vuông, tiếp tục làm như thế đối với hình vuông mới (như hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình vuông liên tiếp. SÁCH THAM KHẢO Trang 36 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 25. Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm
các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh
ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm, . . ., 31 cm.
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều
dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.
Bài tập 26. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay,
giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi
giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80;
112; 144; . . . (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
a) Tính công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
Bài tập 27. Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy
định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm
5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm. Hỏi cây cao nhất với
kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu? SÁCH THAM KHẢO Trang 37 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Cấp số nhân
Từ khóa: Cấp số nhân; Công bội; Tổng n số hạng đầu tiên
• Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao
của lần rơi trước đó.
• Gọi u1 = 120 là độ cao của lần rơi đầu tiên và u2; u3; . . .; un; . . . là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số
hạng đầu tiên của dãy (un) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó. 3.1 Cấp số nhân Bài toán mở đầu:
a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau: 1 1 1 1 i) 3; 6; 12; 24; 48. ii) 1; ; ; ; .
iii) 2; −6; 18; −54; 162; −486. 2 4 8 16
Khái niệm: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là
un+1 = un · q với n ∈ N∗.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau: 1 1 1 1 a) 3; 6; 12; 24; 48; . . .; b) 1; − ; ; − ; ; . . . ; 2 4 8 16 c) 9; 9; 9; 9; 9; . . .
Ví dụ 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. a) 1; 11; 121; 12321; 1234321; b) 1; −1; 1; −1; 1; c) 4; 8; 12; 16.
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân: 1; 10; 100; 1000; 10000. Biểu diễn số hạng 10 và 100 theo hai số hạng kề nó. L Lưu ý:
Chú ý: Dãy số (un) là cấp số nhân thì u2n = un−1 · un+1 với n ⩾ 2.
Bài tập 1. Trong các dãy số (un) dưới dây, dãy số nào là một cấp số nhân n un = 3(−2)n a) b) un+1 = 2un un = 4n+1 c) d) un = 3n SÁCH THAM KHẢO Trang 38 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Cấp số nhân (un) sau đây có bao nhiêu số hạng, biết: q = 2, un = 96, Sn = 189.
Bài tập 3. Hãy viết 6 số xen giữa các số −2 và 256 để được một cấp số nhân. Theo thứ tự đó nếu viết tiếp thì số
hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
Bài tập 4. Các số x + 6y; 5x + 2y; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đồng thời các số x − 1; y + 2;
x − 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
Bài tập 5. Cho ba số tự nhiên m; n; p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2m; 2n; 2p theo thứ
tự lập thành cấp số nhân.
Bài tập 6. Một quốc gia có dân số năm 2011 là P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng a%.
Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công
bội của cấp số nhân này.
Bài tập 7. Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn
organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần
lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đô
_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).
3.2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Công thức cần nhớ: Nếu một cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát
un của nó được xác định bởi công thức un = u1 · qn−1, n ⩾ 2.
Ví dụ 4. Cho cấp số nhân có 8 số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là 2. Tìm công bội của cấp số nhân đó.
Bài tập 8. Viết công thức số hạng tổng quát un theo số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân sau: 1 1 1 1 a) 5; 10; 20; 40; 80; . . .; b) 1; ; ; ; ; . . . 10 100 1000 10000
Bài tập 9. Tính u5 và S6 của các cấp số nhân sau đây: a) u1 = 2, q = −1 b) u3 = 10, q = 5 ®u1 + u5 = 51
Bài tập 10. Cấp số nhân (un) có u2 + u6 = 102
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
Bài tập 11. Tìm số hạng đầu và công bội của mỗi cấp số nhân sau, biết: u ® 4 = 8 u  ® 5 = 96  u5 − u1 = 15 a) b) u6 = 72 c) u6 = 192 u  4 − u2 = 6 u7 < 0 ®u ® ® 3 + u5 = 90 u1 − u3 + u5 = 65 u2 − u4 + u5 = 10 d) e) f) u2 − u6 = 240 u1 + u7 = 325 u3 − u5 + u6 = 20
Bài tập 12. Cho cấp số nhân (un) có 6u2 + u5 = 1 và 3u3 + 2u4 = −1. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Bài tập 13. Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của
nguyên tố đó chi còn một nửa (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/ Poloni-210). Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau: a) 690 ngày;
b) 7314 ngày (khoảng 20 năm).
3.3 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cho cấp số nhân (un) có công bội q. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un.
a) So sánh q · Sn và (u2 + u3 + · · · + un) + q · un;
b) So sánh u1 + q · Sn và Sn + u1 · qn. SÁCH THAM KHẢO Trang 39 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Công thức cần nhớ: Giả sử (un) là một cấp số nhân có công bội q ̸= 1. Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un, khi đó u S 1 (1 − qn) n = . 1 − q L Lưu ý:
Chú ý: Khi q = 1 thì Sn = n · u1.
Ví dụ 5. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = 2.
Bài tập 14. Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) trong các trường hợp sau: a) u1 = 105, q = 0,1, n = 5; b) u1 = 10, u2 = −20, n = 5.
Bài tập 15. Trong bài toán ở đầu bài học, tính tổng các độ cao của quả bóng sau 10 lần rơi đầu tiên. 3.4 Bài tập
Bài tập 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? ®u1 = 1 a) un = 3(−2)n; b) un = (−1)n+1 · 7n; c) un+1 = 2un + 3.
Bài tập 2. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết: ®u ® 5 − u1 = 15 u1 − u3 + u5 = 65 a) b) u4 − u2 = 6; u1 + u7 = 325. Bài tập 3.
a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn
nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số −2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu? 2 1 2 Bài tập 4. Ba số , ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập b − a b b − c thành cấp số nhân.
Bài tập 5. Tính các tổng sau: 1 1 1 a) Sn = 1 + + + · · · + ; b) S . 3 32 3n
n = 9 + 99 + 999 + · · · + 99 . . . 9 | {z } n chữ số 9
Bài tập 6. Số đo 4 góc của một tứ giác lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm 4 góc đó biết rằng số đo của góc lớn
nhất gấp 8 lần số đo của góc bé nhất. 148
Bài tập 7. Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
, đồng thời theo thứ tự đó 9
chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài tập 8. Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ 2 của cấp số cộng lớn
hơn số hạng thứ 2 của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số đó.
Bài tập 9. Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Đồng thời chúng lần lượt là số hạng đầu, số
hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng. Hãy tìm 3 số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.
Bài tập 10. Cho ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân và có tổng là 26. Nếu cộng thêm lần lượt 1, 6, 3 cho
ba số thì 3 số mới theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm ba số x, y, z.
Bài tập 11. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
(a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2 a)
(a + b + c)(a − b + c) = a2 + b2 + c2 b) Å 1 1 1 ã
(ab + bc + ca)3 = abc(a + b + c)3 c) a2b2c2 + + = a3 + b3 + c3 d) a3 b3 c3
Bài tập 12. Tính tổng: SÁCH THAM KHẢO Trang 40 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1 + 10 + 102 + 103 + · · · + 10n a)
b) 9 + 99 + 999 + · · · + 99 · · · 9 | {z } n chữ số 9
c) 1 + 11 + 111 + · · · + 11 · · · 1
d) 6 + 6 + 666 + · · · + 66 · · · 6 | {z } | {z } n chữ số 1 n chữ số 6 12
Bài tập 13. Xét dãy (un) xác định bởi u1 = a và un+1 =
(a là số thực ̸= 0). Hãy xác định các giá trị của a để un
dãy số (un) là một cấp số nhân.
Bài tập 14. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 4un + 9. Chứng minh rằng: Dãy số (vn) xác định bởi:
vn = un + 3 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội.
Bài tập 15. Độ dài 3 cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác đó có 2 góc không quá 600. 21
Bài tập 16. Tìm cấp số nhân (un) biết tổng của 4 số hạng đầu là 14, tổng của số hạng thứ 4, thứ 5, thứ 6 là , với 2 công bội q dương.
Bài tập 17. Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân hoặc là các số hạng thứ 2,
thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820.
Bài tập 18. Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số
lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số
vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.
Bài tập 19. Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.
a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032;
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì uớc tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ
tăng gấp đôi so với năm 2022?
Bài tập 20. Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy,
người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược
lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện
cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9 m.
a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba;
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu. SÁCH THAM KHẢO Trang 41 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Bài tập cuối chương
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm n
Câu 1. Cho dãy số (un) với un =
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số (u 3n n) lần lượt là − 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 2 3 A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 2 4 27 2 4 26 2 4 25 2 3 28 1 1 1 1 1
Câu 2. Cho dãy số: ; ; ; ;
; . . .. Số hạng tổng quát của dãy số này là 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. un = · . B. u . C. u . D. u . 3 3n+1 n = 3n+1 n = 3n n = 3n−1 n + 1
Câu 3. Cho dãy số (un) với un =
. Phát biểu nào sau đây đúng? n + 2
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Câu 4. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1, công sai d. Khi đó, với n ⩾ 2 ta có A. un = u1 + d. B. un = u1 + (n + 1)d.
C. un = u1 − (n − 1)d.
D. un = u1 + (n − 1)d.
Câu 5. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và u2 = −1. Khi đó A. u3 = 4. B. u3 = 2. C. u3 = −5. D. u3 = 7.
Câu 6. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = −1 và công sai d = 3. Khi đó S5 bằng A. 11. B. 50. C. 10. D. 25.
Câu 7. Có bao nhiêu số thực x để 2x − 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là π π π π 2π 4π π 2π 4π π 2π 4π A. ; ; . B. ; ; . C. ; ; . D. ; ; . 6 3 2 5 5 5 6 6 6 7 7 7
4.2 Bài tập tự luận 2n + 1
Bài tập 1. Xét tính bị chặn của dãy số (un) với un = . n + 2
Bài tập 2. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết: ®5u ® 1 + 10u5 = 0 u7 + u15 = 60 a) b) S4 = 14; u24 + u212 = 1170.
Bài tập 3. Tìm số hạng đầu u1 và cộng bội q của cấp số nhân (un) biết: ®u ® 5 = 96 u4 + u2 = 72 a) b) u6 = 192; u5 − u3 = 144.
Bài tập 4. Giả sử quần thể động vật này ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là
12%/năm, xuất cư 2%/năm, tử vong 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau 2 năm.
Bài tập 5. Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số
phím La trung là 400 Hz và tần số của phím La cao cao hơn 12 phím là 800 Hz (nguồn: https://vi.wikipedia.org/wikiOrgan).
Tìm công bội của cấp số nhân nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
Bài tập 6. Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020). Nếu trung
bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)?
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D SÁCH THAM KHẢO Trang 42 Chương 3
GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1. Giới hạn của dãy số
1.1 Giới hạn của dãy số
Giới thiệu: Nếu un → L khi n → ∞ thì ta nói dãy un có giới hạn là L khi n → ∞. Kí hiệu: lim un = L n→∞
(hay còn viết gọn là lim un = L).
• Nếu L = 0 thì ta gọi là giới hạn 0 của dãy số,
• Nếu L = a là một số hữu hạn ta gọi là giới hạn hữu hạn của dãy,
• Nếu L = ∞ thì ta gọi là giới hạn vô cực.
1.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
Công thức cần nhớ: Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó a) lim (un + vn) = a + b. b) lim (un − vn) = a − b. c) lim (c · un) = c · a. d) lim (un · vn) = a · b. u a e) lim n = (b ̸= 0).
f) Nếu un ⩾ 0, ∀n ∈ N∗ thì a ⩾ 0 và v √ √ n b lim un = a.
1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số
1.3.1 Giới hạn 0 của dãy số
Khái niệm: Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| nhỏ hơn một số dương
bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞. Ta còn n→+∞ viết lim un = 0.
Công thức cần nhớ: Một số giới hạn cơ bản 1 a) lim = 0. n 1 b) lim
= 0, với k nguyên dương bất kì. nk
c) lim qn = 0, với q là số thực thoả mãn |q| < 1. 1
Ví dụ 1. Áp dụng giới hạn cơ bản, tìm lim √ Ä än . 3
Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau 1 Å 1 ã2 Å 1 ãn Å 3 ãn a) lim . b) lim . c) lim . d) lim − . n2 n 4 4 43 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.3.2 Giới hạn hữu hạn của dãy số
Khái niệm: Ta nói dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là số a (hay un dần tới a) khi n dần tới dương vô cực,
nếu lim (un − a) = 0. Khi đó, ta viết lim un = a hay lim un = a hay un → a khi n → +∞. n→+∞ L Lưu ý:
Nếu un = c (c là hằng số) thì lim un = lim c = c. 1.4 Bài tập
1.4.1 Khử dạng vô định ∞ ∞ L Lưu ý: u(n) ∞ • Một giới hạn lim
được gọi là dạng vô định n→∞ v(n)
∞, nếu u(n) → ∞ và v(n) → ∞ khi n → ∞.
• Để tính giới hạn này ta phải khử (làm mất) dạng vô định bằng cách, tại tử và mẫu số ta rút n có lũy
thừa cao nhất làm thừa số, sau đó rút gọn và tính. 3n2 + 1
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim . n2
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau 3n + 2 2n2 + 3n Å Å 2 ãnã Å 1 − 4n ã a) lim . b) lim . c) lim 2 + . d) lim . 2n − 1 n2 + 1 3 n 1 Å 1 ã 2 3n + 1 e) lim . f) lim 2 − . g) lim . h) lim . n n n + 1 n 4n + 5 3n + 1 2n2 + n n + 1 i) lim . j) lim . k) lim . l) lim . 2n − 3 7 − 6n n2 n2 + 1
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau √ √ n2 + 2n 1 + n − 2n2 9n2 + 1 4n2 + 3 a) lim . b) lim . c) lim . d) lim . 3n2 + n + 1 2 − n + n2 n n √ √ √ n + 1 n2 + n − 2 −n2 + n n − 1 n2 + n + 1 e) lim . f) lim . g) lim . h) lim . 2n n2 + n 2n2 − 1 (2n + 1)2 2n2 − n + 1 Å n ã 2n3 − 3n2 + 7 4n4 + n2 + 6 i) lim . j) lim − 1 . k) lim . l) lim . (n − 1)(3n + 1) n2 + 1 n3 − 5n2 −n4 + n + 2
Bài tập 4. Tính các giới hạn sau 4n2 − n + 1 (n + 1)(3n − 2)3 n2 + 1 n2 − 3 a) lim b) lim c) lim (1 + 2n)2(n + 5) (n + 2)4 (1 + n) n3 + 2 (2n + 1)(n − 3)(3n − 4) n4 + 3n3 + 4n2 + 1 4n4 − n2 + 1 d) lim e) lim f) lim (6n − 1)3 (−n − 2) n3 + 5 (2n + 1)(3 − n)(n2 + 2) √ √ (n + 1)n4 + (n + 1)5 (n − 1)10(n + 1)2 − n11 n n 3 + 2 n g) lim h) lim i) lim n6 − 3n3 + 2 n12 + n6 + 2 (n + 1)(n + 2)
Bài tập 5. Tính các giới hạn sau 2n − 3n 1 + 2n 3n − 4n a) lim . b) lim . c) lim . 4n 1 − 2n 3n + 4n √5n 7 · 2n 3 · 3n − 5n d) lim . e) lim . f) lim . 3n + 1 2 · 3n + 4n 3 · 2n + 5 · 4n (−2)n − 4n 3n − (−5)n+2 4 · 3n + 7n+1 g) lim . h) lim . i) lim . 3n+1 + 5n+1 2n+1 + 6n 2 · 5n + 7n 5 · 2n − 3n 2n+1 − 3n + 11 3n + 2n+1 j) lim . k) lim . l) lim . 2n+1 + 3n+1 3n+2 + 2n+3 − 4 5n + 3n+1
1.4.2 khử dạng vô định ∞ − ∞ SÁCH THAM KHẢO Trang 44 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 ∞ L Lưu ý:
Thông thường, tính tính giới hạn dạng ∞ − ∞ ta chuyển dạng này về dạng ∞ bằng cách nhân,
chia cho đại lượng liên hiệp của mẫu, rồi tính.
Bài tập 6. Tính các giới hạn sau √ √ √ Ä ä √ a) lim n2 + 1 − n lim n + 1 − n b) lim n n − 2 n + 1 c) √ √ √ √ √ √ Ä ä Ä ä lim n n + 2 − n d) e) lim 2n2 + 3 − n2 + 1 f) lim n2 + 3n − n + 2 √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä g) lim 3 n2 − n3 + n h) lim n + 2 − 3 n3 + 2n i) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1
1.5 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Khái niệm: Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là u S = u 1
1 + u2 + · · · + un + · · · = . 1 − q 1 1 1 Å 1 ãn
Ví dụ 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 − + − + · · · + − + · · · . 4 16 64 4
Ví dụ 4. Biết rằng có thể coi số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,666 . . . là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1
0,666 . . . = 0,6 + 0,06 + 0,006 + · · · = 0,6 + 0,6 · + 0,6 · + · · · . 10 102
Hãy viết 0,666 . . . dưới dạng phân số. 1 Å 1 ã2 Å 1 ãn
Bài tập 7. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 + + + · · · + + · · · . 3 3 3
Bài tập 8. Tính các tổng sau 1 1 Å 1 ãn 1 1 (−1)n a) S = 1 + + + · · · + + · · · b) S = −1 + − + · · · + + · · · 2 4 2 10 102 10n−1
Bài tập 9. Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn R bán kính
rồi chồng lên hình tròn đầu tiên 2
như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn R bán kính
rồi chồng lên các hình trước như 4
Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn. a) b) c) Hình 3
1.6 Giới hạn vô cực Khái niệm:
• Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.
• Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim (−un) = +∞, kí hiệu lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞. SÁCH THAM KHẢO Trang 45 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 L Lưu ý: Ta có các kết quả sau: 1
a) Nếu lim un = +∞ hoặc lim un = −∞ thì lim = 0. un 1
b) Nếu lim un = 0 và un > 0 với mọi n thì lim = +∞. un
c) lim un = +∞ khi và chi khi lim (−un) = −∞.
Ví dụ 5. Tìm giới hạn lim qn với q > 1. L Lưu ý:
a) lim nk = +∞ (k ∈ N, k ⩾ 1). b) lim qn = +∞ (q > 1).
Bài tập 10. Tính các giới hạn sau n2 − 1 3n − n3 n4 − 2n2 + 1 2n2 − 15n + 11 a) lim b) lim c) lim d) lim √ n + 1 2n + 15 2n3 + n2 + 7 3n2 − n + 3
Bài tập 11. Tính các giới hạn sau √ √ lim n2 + 2n a) lim −2n4 + 1 b) c) lim 5n − 9 d) lim 2n2 − n + 3 √ lim 3 7n2 − n3 e) f) lim (2n − 32) g) lim (3n − 2n) lim 4 · 3n − 5n+1 h) 1.7 Bài tập
Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau: √ −2n + 1 16n2 − 2 4 n2 − 2n + 3 a) lim . b) lim . c) lim . d) lim . n n 2n + 1 2n2
Bài tập 2. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau 1 1 1 Å 1 ãn 1 1 1 Å 1 ãn a) − + − + · · · + − + · · · . b) + + + · · · + + · · · . 2 4 8 2 4 16 64 4
Bài tập 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444 . . . dưới dạng một phân số. Bài tập 4.
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của
bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh
của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế,
nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5). Hình 5
a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ n và Sn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công
thức tính an, Sn (n = 1, 2, 3, . . .) và tìm lim Sn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ n và Qn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức
tính pn và Qn (n = 1, 2, 3, . . .) và tìm lim Qn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Bài tập 5. Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chín hình
vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của
H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này,
ta nhận được một dãy hình Hn (n = 1, 2, 3, . . .). SÁCH THAM KHẢO Trang 46 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 H0 H1 H2 H3 a) b) c) d) Hình 6 1
Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ; 3 1 1 1
Ta có: H2 có 5 · 5 = 52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng · = ; . . .. 3 3 32 1
Từ đó, nhận được Hn có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . 3n
a) Tính diện tích Sn của Hn và tính lim Sn.
b) Tính chu vi pn của Hn và tính lim pn.
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim Sn và chu vi lim pn).
Bài tập 6. Tính các giới hạn sau √ √ √ √ √ 3n − 9n2 + 1 n2 + 1 − n + 1 n2 + 3n − 1 − 2n + 3 a) lim √ b) lim c) lim n − n2 + 2n 3n + 2 2n + 1 √ √ √ n + 3 − n2 + n 3 n3 − n − n n2 + 3 1 − n6 d) lim √ e) lim √ f) lim √ 4n2 + 5 − 2n + 1 n2 + 2 − n + 4 n4 + 1 − n2
Bài tập 7. Tính các giới hạn sau Å 1 2 n − 1 ã 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 2n a) lim + + · · · + b) lim n2 n2 n2 1 + n3 √ n 2 + 4 + 6 + · · · + 2n
1 − 2 + 3 − · · · + (2n − 1) − 2n c) lim d) lim √ 3n2 + n − 2 2n2 + 1 Å 1 1 1 1 ã
2 + 7 + 14 + · · · + n2 + 2n − 1 e) lim + + + · · · + f) lim 1 · 2 2 · 3 3 · 4 n · (n + 1)
1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + n · (3n − 1) Å 1 1 1 ã Å 1 1 1 1 ã g) lim + + · · · + h) lim + + + · · · + 1 · 3 3 · 5 (2n − 1) · (2n + 1) 1 · 3 2 · 4 3 · 5 n · (n + 2) Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã Å 1 ã i) lim 1 − 1 − 1 − · · · 1 − j) lim 1 − 1 − 1 − · · · 1 − 2 3 4 n 22 32 42 n2 C0 Å 1 1 ã
k) lim n + C1n + C2n + · · · + Cn n l) lim √ √ + · · · + √ √ 3n 2 1 + 2 (n + 1) n + n n + 1 SÁCH THAM KHẢO Trang 47 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Giới thiệu: Nếu f(x) → L khi x → a thì L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a. Kí hiệu: lim f(x) = L. x→a
2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Khái niệm: Cho điểm x0 thuộc khoảng K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x0}. Ta nói hàm số
y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0 thì
f(xn) → L, kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0. x→x0
2.2 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Công thức cần nhớ: a) lim x = x0. lim xk = xk x→x
0 , k là số nguyên dương; 0 x→x0 b) lim c = c (c là hằng số); x→x0 c)
lim [cf(x)] = c lim f(x) (c ∈ R, nếu tồn tại lim f(x) ∈ R). x→x0 x→x0 x→x0
d) Cho lim f(x) = L và lim g(x) = M. Khi đó: x→x0 x→x0 • lim [f(x) + g(x)] = L + M. x→x0
• lim [f(x) − g(x)] = L − M. x→x0
• lim [f(x) · g(x)] = L · M. x→x0 f(x) L • lim = (với M ̸= 0). x→x0 g(x) M √ p
e) Nếu f(x) ⩾ 0 và lim f(x) = L thì L ⩾ 0 và lim f(x) = L. x→x0 x→x0
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ̸= x0). 2.3 Bài tập
2.3.1 Tính trực tiếp bằng cách thế số L Lưu ý:
Nếu f(a) ̸= 0 thì lim f(x) = f(a). x→a
Bài tập 1. Sử dụng quy tắc thế số tính các giới hạn sau √ a) lim 2x. b) lim x2. c) lim (x2 + 5x − 2). d) lim x2 + 1. x→2 x→2 x→−2 x→0 3x − 2 x2 − 1 e) lim (x2 − 4x + 2). f) lim . g) lim tan x. h) lim . x→1 x→2 2x + 1 x→ π x→1 x − 1 4
2.3.2 Dạng vô định 00 L Lưu ý: f(x) • Khi tính lim
, mà khi thế số ta được f(x0) = 0 và g(x0) = 0 thì giới hạn được xem là dạng vô định x→x0 g(x) 0 . 0
• Để tính giới hạn này ta phải khử dạng vô định, bằng cách biến đổi xuất hiện thừa số (x − x0) ở cả tử
và mẫu số, sau đó giản ước, thu gọn và tính. SÁCH THAM KHẢO Trang 48 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 x2 − 4
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = . Tìm lim f(x). x + 2 x→−2
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau √ x2 − 4 x + 1 − 2 x2 + 2x + 1 x2 − 1 a) lim . b) lim . c) lim . d) lim . x→2 x − 2 x→3 x − 3 x→−1 x + 1 x→1 x − 1 x2 − x − 2 x2 + x − 6 x2 + 2x − 15 x2 − 3x + 2 e) lim . f) lim . g) lim . h) lim . x→2 x − 2 x→−3 x + 3 x→3 x − 3 x→2 2x2 − 5x + 2
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau x2 − x − 6 (x − 2)3 + 8 x3 + 8 a) lim . b) lim c) lim . x→−2 x3 + 2x2 x→0 x x→−2 x2 + 11x + 18 x4 − 1 x3 + x2 − 2x − 8 2x2 − 3x + 1 d) lim . e) lim . f) lim . x→−1 x2 + 11x + 10 x→2 x2 − 3x + 2 x→1 x3 − 2x2 − x + 2 Å 1 3 ã Å 1 1 ã Å 2x − 3 x − 26 ã g) lim − . h) lim + . i) lim − . x→1 1 − x 1 − x3 x→2 x2 − 4 x2 − 3x + 2 x→−2 x + 2 4 − x2
2.4 Giới hạn một phía Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là
số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → L, kí hiệu lim f(x) = L. x→x+ 0
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên trái là
số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0 thì f(xn) → L, kí hiệu lim f(x) = L. x→x− 0
Công thức cần nhớ:
a) Ta thừa nhận các kết quả sau:
• lim f(x) = L và lim f(x) = L khi và chỉ khi lim f(x) = L. x→x+ x→x− x→x0 0 0
• Nếu lim f(x) ̸= lim f(x) thì không tồn tại lim f(x). x→x+ x→x− x→x0 0 0
b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở (2.2) vẫn đúng khi ta thay x → x0 bằng x → x+ hoặc x → x−. 0 0 ®0 khi x < 0
Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = 1 khi x > 0.
a) Tìm các giới hạn lim f(x) và lim f(x). x→0+ x→0− b) Có tồn tại lim f(x)? x→0
Bài tập 4. Tìm các giới hạn một bên của các hàm số sau x2 + 1 1 − 2x2 Å 1 1 ã a) lim . b) lim . c) lim − . x→1+ x − 1 x→3+ x − 3 x→0+ x x2 √ Å 1 1 ã |2 − x| x2 − 4 d) lim − . e) lim . f) lim x→2− x − 2 x2 − 4 x→2− x2 − 4x + 4 x→2+ x − 2 x2 − 3x + 2 |3x + 6| x2 + 5x + 4 g) lim √ . h) lim i) lim x→2− 2 − x x→−2− x + 2 x→−1+ |x + 1| . √ √ x|x + 2| 3x2 + x4 3 x − x j) lim . k) lim . l) lim √ . x→−2+ x2 + 3x + 2 x→0− 2x x→0+ 2x + x SÁCH THAM KHẢO Trang 49 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 ®1 − 2x khi x ⩽ −1
Bài tập 5. Cho hàm số f(x) =
. Tìm các giới hạn lim f(x) và lim f(x) và lim f(x) (nếu x2 + 2 khi x > −1 x→−1+ x→−1− x→−1 có).
Bài tập 6. Xét sự tồn tại giới hạn ® 2x + 1, x < 1 a) Cho hàm số f(x) =
. Tính các giới hạn lim f(x), lim f(x), lim f(x). −x2 + 4, x ⩾ 1 x→1− x→1+ x→1 |x| b) Cho hàm số f(x) =
. Tính các giới hạn lim f(x), lim f(x), lim f(x). x x→0− x→0+ x→0  27 x2 − 4x + 3   (x > 3)
Bài tập 7. Cho hàm số f(x) = x3 − 27
. Tìm a để lim f(x) tồn tại. x→3  ax − 4 (x ⩽ 3) ®ax + 1 (x < 1)
Bài tập 8. Cho hàm số f(x) =
. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x → 1. x2 − a (x ⩾ 1)  x2 − 3x + 2  (x > 1)
Bài tập 9. Cho hàm số f(x) = x − 1
. Tìm m để lim f(x) tồn tại. x→1 2mx + 3 (x ⩽ 1)
2.5 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và
xn → +∞ thì f(xn) → L, kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞. x→+∞
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (−∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và
xn → −∞ thì f(xn) → L, kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) → L khi x → −∞. x→−∞ 2x − 1
Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) = . Tìm lim f(x). x + 2 x→+∞
Công thức cần nhớ:
a) Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có: c lim c = c và lim = 0. x→±∞ x→±∞ xk
b) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở (2.2) vẫn đúng khi thay x → x0 bằng x → +∞ hoặc x → −∞.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau 1 − 3x2 2 a) lim . b) lim . x→+∞ x2 + 2x x→−∞ x + 1 L Lưu ý:
Tính lim f(x) ta thực hiện như tính giới hạn dãy số. x→∞
Bài tập 10. Tính giới hạn hàm số 2x − 3 x a) lim . b) lim √ . x→+∞ 1 − 3x x→+∞ x2 + x (2x − 5)(1 − x)2 x x2 + 1 x3 + 2 c) lim . d) lim . x→+∞ 3x3 − x + 1 x→∞ x6 SÁCH THAM KHẢO Trang 50 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 11. Tính giới hạn hàm số √ √ 3x + 1 2x − x2 + 5x − 1 (2x − 1) x2 − 3 a) lim √ b) lim c) lim x→−∞ 1 − x + 4x2 − x x→−∞ 7x − 3 x→+∞ x − 5x2 √x2 + x + 2 + 3x … 3x − 1 4x + 1 d) lim √ e) lim (1 − 2x) f) lim (x + 2) x→−∞ 4x2 + 1 − x + 1 x→+∞ x3 + 1 x→−∞ (x − 1) x2 + 2x
Bài tập 12. Tính giới hạn hàm số √ x2 − 5x + 4 |x| + x2 + x 3x2 − 2|5 − x| + 1 a) lim b) lim c) lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x2 − 1 x + 10 2x2 − 5 + 4 |x + 1| − 1
2.5.1 Khử dạng vô định ∞ − ∞ L Lưu ý: ∞
• Nhân liên hiệp, đưa về dạng ∞. ∞
• Khử dạng vô định ∞.
Bài tập 13. Tính các giới hạn √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä a) lim x2 + x + 1 − x . b) lim x + x2 − 4x . c) lim x2 + 1 + 2x . x→+∞ x→−∞ x→−∞ √ √ √ √ Ä ä Ä ä Ä ä d) lim 4x2 − x − 2x . e) lim 3x2 + 1 + x 3 . f) lim x x2 + 1 − x . x→+∞ x→−∞ x→+∞ √ √ √ √ √ Ä ä Ä Ä ä g) lim x2 + x − x2 + 1 . h) lim x 4x2 + 1 + 2x2ä. i) lim 3 x3 + 3x2 − x2 − 2x . x→−∞ x→−∞ x→+∞
Bài tập 14. Một cái hồ đang chứa 200 m3 nước mặn với nồng độ muối 10 kg/m3. Người ta ngọt hóa nước trong
hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với vận tốc 2 m3/phút.
a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.
b) Tìm giới hạn lim C(t) và giải thích ý nghĩa. t→+∞
2.6 Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm u(x)
Giới thiệu: Nếu lim u(x) = const (hằng số) và lim v(x) = 0 thì lim
= ∞. Lưu ý tùy trường hợp cho x→a x→a x→a v(x)
kết quả là +∞ hay −∞.
Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x dần tới x0 về bên phải nếu với dãy số (xn)
bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → +∞, kí hiệu lim f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi x → x+. 0 x→x+ 0
• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x dần tới x0 về bên phải nếu với dãy số (xn)
bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → −∞, kí hiệu lim f(x) = −∞ hay f(x) → −∞ khi x → x+. 0 x→x+ 0
Công thức cần nhớ:
a) Ta có các giới hạn thường dùng như sau: 1 1 • lim = +∞ và lim = −∞ (a ∈ R); x→a+ x − a x→a− x − a •
lim xk = +∞ với k nguyên dương; x→+∞ SÁCH THAM KHẢO Trang 51 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 •
lim xk = +∞ với k là số chẵn; x→−∞ •
lim xk = −∞ với k là số lẻ. x→−∞
b) Các giới hạn lim f(x) = +∞, lim f(x) = −∞, lim f(x) = +∞, lim f(x) = −∞, lim f(x) = x→x− x→x− x→+∞ x→+∞ x→−∞ 0 0
+∞, lim f(x) = −∞ được định nghĩa như trên. x→−∞
c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của (2.2) chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới
hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.
Nếu lim f(x) = L ̸= 0 và lim g(x) = +∞ (hoặc lim g(x) = −∞) thì lim [f(x) · g(x)] được tính x→x+ x→x+ x→x+ x→x+ 0 0 0 0
theo quy tắc cho bởi bảng sau: lim f(x) lim g(x) lim [f(x) · g(x)] x→x+ x→x+ x→x+ 0 0 0 L > 0 +∞ +∞ L > 0 −∞ −∞ L < 0 +∞ −∞ L < 0 −∞ +∞
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x+ thành x− (hoặc +∞, −∞). 0 0
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau: 1 − 2x 2x a) lim . b) lim (x2 + 1). c) lim . d) lim (3x − 1). x→2+ x − 2 x→−∞ x→3− x − 3 x→+∞
Bài tập 15. Tìm các giới hạn sau: 3 1 x a) lim . b) lim . c) lim (1 − x2). d) lim . x→2 x − 2 x→−1+ x + 1 x→−∞ x→3− 3 − x 2.7 Bài tập
Bài tập 16. Tìm các giới hạn sau √ x − 3 3 − x + 8 a) lim (x2 − 7x + 4). b) lim . c) lim . x→−2 x→3 x2 − 9 x→1 x − 1 ® − x2 khi x < 1
Bài tập 17. Cho hàm số f(x) = x khi x ⩾ 1.
Tìm các giới hạn lim f(x), lim f(x), lim f(x) (nếu có). x→1+ x→1− x→1
Bài tập 18. Tìm các giới hạn sau: √ 4x + 3 2 x2 + 1 a) lim . b) lim . c) lim . x→+∞ 2x x→−∞ 3x + 1 x→+∞ x + 1
Bài tập 19. Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ
với tốc độ 15 lít/phút.
a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là 30t C(t) = (gam/lít). 400 + t
b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu t → +∞.
Bài tập 20. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d′ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và 1 1 1 df
ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (xem hình bên dưới). Ta có công thức: + = hay d′ = . d d′ f d − f df Xét hàm số g(d) =
. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa. d − f SÁCH THAM KHẢO Trang 52 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 f f B F′ A′ A F O B′ d d′ a) lim g(d). d→f+ b) lim g(d). d→+∞ SÁCH THAM KHẢO Trang 53 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Hàm số liên tục
3.1 Hàm số liên tục tại một điểm Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu lim = f (x0). x→x0
• Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f(x) gián đoạn tại điểm x0 và x0 được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số f(x). L Lưu ý:
Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều sau
a) Hàm số xác định tại x0. b) Tồn tại lim f(x). x→x0 c) lim f(x) = f (x0). x→x0
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số ®x2 + 2 khi x > 0
a) f(x) = x2 − 2x + 3 tại điểm x0 = 2. b) f(x) = tại điểm x0 = 0. 2x khi x ⩽ 0
Bài tập 1. Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 cho trước.  x2 − 4  x2 − 3x + 2  , x ̸= −2  , x ̸= 1 a) f(x) = x + 2 tại x0 = −2. b) f(x) = x2 − 1 tại x0 = 1.  − 4, x = −2 1, x = 1 √  1  1 − 2x − 3  − , x = 0   , x ̸= 2  2 c) f(x) = 2 − x tại x d) √ 0 = 2. f(x) = tại x0 = 0. 1 + x2 − 1 1, x = 2    , x ̸= 0 x2   x3 − x2 − x + 1 x + 2, x < 0   , x ̸= 1  e) f(x) = x2 − 3x + 2 tại x0 = 1. f) f(x) = 0, x = 0 tại x0 = 0. 1, x = 1  x2 + 1, x > 0
Bài tập 2. Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 cho trước.  x2 − x − 2  x4 − 3x2 + 2  , x ̸= 2  , x > 1 a) f(x) = x − 2 tại x0 = 2 b) f(x) = x2 − 1 tại x0 = 1 (a + 1)x − 3, x = 2 ax + 2, x ⩽ 1
Bài tập 3. Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 cho trước. √ √ √   x − 2 1 − x − 1 + x    , x < 0  √ , x ̸= 4  a) f(x) = x + 5 tại x x 0 = 4. b) f(x) = tại x 4 − x 0 = 0.   1 − 3a, x = 4 a + , x  ⩾ 0 x + 2
3.2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Khái niệm:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng
(a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b]. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] SÁCH THAM KHẢO Trang 54 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
nếu f(x) liên tục tại trên khoảng (a; b) và lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b). x→a+ x→b− √
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f(x) =
1 − x2 trên đoạn [−1; 1].
3.3 Tính liên tục của hàm số sơ cấp Khái niệm:
• Hàm số đa thức P(x), các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên R. P(x) • Hàm số phân thức y =
, hàm số căn thức y = pP(x), các hàm số lượng giác y = tan x, y = cot x Q(x)
liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
Trong đó, P(x) và Q(x) là các đa thức. L Lưu ý:
Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. Khi nói xét tính liên tục
của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng của
tập xác định của chúng.
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau 3x2 + x − 1 a) y = 3x3 − 4x2 + 5x + 2. b) y = . x − 2
3.4 Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Khái niệm: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x), y = f(x) · g(x) liên tục tại x0. f(x) • Hàm số y = liên tục tại x g(x) 0 nếu g (x0) ̸= 0. sin x
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số y = . x + 1
3.5 Ứng dụng của hàm số liên tục Công thức cần nhớ:
Đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] là một đường liền, y
có điểm đầu, điểm cuối như hình vẽ bên. Nếu hai điểm này nằm về
hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành f
tại ít nhất một điểm. Điều này có thể được phát biểu dưới dạng như (b) sau:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) · f(b) < 0 thì luôn tồn
tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. a O x b f(a)
Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình
a) 3x3 + 2x − 2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm.
b) 2x3 − 5x2 + x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
c) x3 − 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
d) x3 − 2x2 + 3x = 7 có nghiệm lớn hơn 2.
Bài tập 5. Chứng minh rằng phương trình SÁCH THAM KHẢO Trang 55 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) 4x4 + 2x2 − x − 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (−1; 1).
b) x5 + x3 − 4x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (−2; 1).
c) x5 + 7x4 − 8x3 − 9x2 + 11x + 2 = 0 có nghiệm. x2 + 5x − 2
Bài tập 6. Cho hàm số f(x) =
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 2) sao cho f(c) = −0,8. 2x + 2
Bài tập 7. Chứng minh các phương trình luôn có nghiệm.
a) m(x − 1)5(x − 2) + 2x − 3 = 0.
b) m2 + m + 1 x3 + 2x − 2 = 0.
c) (x − 1)(x − 3) − m(x + 1)(x − 2) = 0.
d) m x2 + 3 x2 − 4 + 2x + 1 = 0.
e) x4 + mx2 − 3mx − 79 = 0. f)
m4 + m + 2 x3 − 8 + 6x + 1 = 0.
g) m2 + 2m + 2011 x2011 + 2x − 2 = 0.
h) m2 + 1 x3 − 2m2x2 − 4x + m2 + 1 = 0.
Bài tập 8. Cho phương trình x10 + m4 + m + 1 x2011 − 1024 = 0. Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất
một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m.
Bài tập 9. Chứng minh các phương trình luôn có nghiệm. 1 1 a) cos x + m cos 2x = 0. b) − = m. sin x cos x 3.6 Bài tập
Bài tập 10. Xét tính liên tục của hàm số: ®x2 + 1 khi x ⩾ 0 ®x2 + 2 khi x ⩾ 1 a) f(x) = tại điểm x = 0. b) f(x) = tại điểm x = 1. 1 − x khi x < 0 x khi x < 1  x2 − 4  khi x ̸= −2
Bài tập 11. Cho hàm số f(x) = x + 2 a khi x = −2.
Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R.
Bài tập 12. Xét tính liên tục của các hàm số sau x √ a) f(x) = . b) g(x) = 9 − x2. c) h(x) = cos x + tan x. x2 − 4 √
Bài tập 13. Cho hàm số f(x) = 2x − sin x, g(x) = x − 1. f(x)
Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) · g(x) và y = . g(x)
Bài tập 14. Một bãi đậu xe ô-tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau: 60.000 khi 0 < x ⩽ 2   C(x) = 100.000 khi 2 < x ⩽ 4  200.000 khi 4 < x ⩽ 24.
Xét tính liên tục của hàm số C(x).
Bài tập 15. Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là  GMr  khi 0 < r ⩽ R  R3 F(r) =
, trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. GM   khi r ⩾ R r2
Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không? SÁCH THAM KHẢO Trang 56 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Bài tập cuối chương
4.1 Câu hỏi trắc nghiệm n + 3 Câu 1. lim bằng n2 A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. 1 1 1
Câu 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn M = 1 + + + · · · + + · · · bằng 4 42 4n 3 5 4 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 5 x2 − 9 Câu 3. lim bằng x→3 x − 3 A. 0. B. 6. C. 3. D. 1. ®x2 + 2x + m khi x ⩾ 2
Câu 4. Hàm số f(x) = liên tục tại x = 2 khi 3 khi x < 2 A. m = 3. B. m = 5. C. m = −3. D. m = −5. 2x − 1 Câu 5. lim bằng x→+∞ x A. 2. B. −1. C. 0. D. 1.
4.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau √ 3n − 1 n2 + 2 a) lim . b) lim . n n 2 (n + 1)(2n + 2) c) lim . d) lim . 3n + 1 n2 Bài tập 2.
Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác H1. Nối các trung điểm của H1 để
tạo thành tam giác H2. Tiếp theo, nối các trung điểm của H2 để tạo thành tam giác
H3 (Hình bên). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác H1, H2, H3, . . . a
Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
Bài tập 3. Tìm các giới hạn sau √ x2 − 16 3 − x + 7 a) lim 3x2 − x + 2. b) lim . c) lim . x→−1 x→4 x − 4 x→2 x − 2
Bài tập 4. Tìm các giới hạn sau −x + 2 x − 2 a) lim . b) lim . x→+∞ x + 1 x→−∞ x2
Bài tập 5. Tìm các giới hạn sau 1 x a) lim . b) lim . x→4+ x − 4 x→2+ 2 − x √ ® x + 4 khi x ⩾ 0
Bài tập 6. Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2 cos x khi x < 0.  x2 − 25  khi x ̸= 5
Bài tập 7. Cho hàm số f(x) = x − 5 a khi x = 5.
Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R.
Bài tập 8. Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10◦C, mỗi phút tăng 2◦C
trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút 3◦C trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo ◦C ) trong tủ theo
thời gian t (tính theo phút) có dạng ®10 + 2t khi 0 ⩽ t ⩽ 60 T (t) = (k là hằng số). k − 3t khi 60 < t ⩽ 100 SÁCH THAM KHẢO Trang 57 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Biết rằng, T (t) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của k.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. B 2. C 3. B 4. D 5. A SÁCH THAM KHẢO Trang 58 Chương 4
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN
HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1.1 Mặt phẳng trong không gian Giới thiệu: C d B α A
• Mặt phẳng là một đối tượng của toán học không có giới hạn. Mặt phẳng là một mặt hai chiều phẳng mở rộng vô hạn.
• Trong đời sống chúng ta thì mặt hồ nước (lặng), nền nhà, trần nhà, mặt bàn, tờ giấy phẳng, . . . là các mặt phẳng.
• Trong chương trình toán học lớp 11, thì hình tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thoi, hình vuông, . . . là các biểu diễn của mặt phẳng.
• Hình vẽ trên biểu diễn hai điểm A, B và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B cùng nằm trong mặt phẳng (α).
– Nếu điểm A thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói A nằm trên (α) hay (α) chứa A, hay (α) đi qua A và kí hiệu là A ∈ (α).
– Nếu điểm C không thuộc mặt phẳng (α) thì ta nói C nằm ngoài (α) hay (α) không chứa C và kí hiệu là C / ∈ (α).
– Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) ta nói (α) chứa d kí hiệu d ⊂ (α).
– Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B nằm trong (α) thì d ⊂ (α).
Các kí hiệu thường dùng để biểu diễn điểm, đường thẳng và mặt phẳng • Điểm: A, B, C, . . .
• Đường thẳng: a, b, d, ∆, . . .
• Mặt phẳng: (ABC), (P), (α), . . . ®A ∈ d
• Quan hệ điểm, đường và mặt ⇒ A ∈ (α). d ⊂ (α)
1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
Tính chất cần nhớ: 59 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. d B A
Ví dụ 1. Cho ba điểm phân biệt M, N, P không thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong ba điểm đã cho? Tính chất cần nhớ:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. B C A
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng (ABC).
Ví dụ 2. Cho đường thẳng a đi qua hai điểm phân biệt M, N và điểm O không thuộc a. O
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, O? N a M Tính chất cần nhớ:
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. d B A P
Ví dụ 3. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và một điểm M nằm trên đường thẳng BC. Gọi (P) là mặt phẳng
đi qua ba điểm A, B, C. Chứng tỏ rằng M ∈ (P).
Tính chất cần nhớ: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu
không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Ví dụ 4. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong bốn điểm đã cho?
Khái niệm: Giao tuyến hai mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng
chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. β M α d
Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và (Q), kí hiệu d = (P) ∩ (Q). SÁCH THAM KHẢO Trang 60 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC và một điểm O không thuộc mặt phẳng (ABC). Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OAB) và (ABC).
Tính chất cần nhớ: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
Ví dụ 6. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. A
a) Gọi O là trung điểm của CD, G và G′ lần lượt là trọng tâm của tam giác
ACD và BCD. Chứng minh GG′ ∥ AB. E
b) Cho điểm E trên AB sao cho EG cắt mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D
tại F. Chứng minh bốn điểm B, G′, O, F thẳng hàng. G B D G′ O F C
1.3 Cách xác định mặt phẳng
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng. B C
• Mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C không thẳng hàng kí A hiệu là mp (ABC) hay (ABC).
Ví dụ 7. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trong mặt A
phẳng (P). Biết ba đường thẳng AB, AC, BC lần lượt cắt (P) tại các điểm
M, N, E. Ba điểm M, N, E có thẳng hàng không? Giải thích. B C N E M P
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường A
thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
• Mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a không qua a
điểm A kí hiệu là mp(A, a) hay (A, a).
Ví dụ 8. Với đường thẳng d và hai điểm M, N phân biệt không thuộc d, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng? d N M SÁCH THAM KHẢO Trang 61 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Tính chất cần nhớ:
• Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. a
• Mặt phẳng xác định bởi điểm hai đường thẳng a, b cắt nhau kí hiệu là mp(a, b). b
Ví dụ 9. Với ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và O
cùng đi qua một điểm O, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng? c a b
1.4 Hình chóp và hình tứ diện
Khái niệm: Cho đa giác lồi A1A2 . . . An nằm trong mặt phẳng (α) và điểm S không thuộc (α). Nối S với
các đỉnh A1, A2, . . . , An ta được n tam giác SA1A2, SA2A3, . . . , SAnA1. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa
giác A1A2 . . . An được gọi là hình chóp, kí hiệu S.A1A2 . . . An.
Trong hình chóp S.A1A2 . . . An, ta gọi: S Đỉnh S
• Điểm S là đỉnh; Cạnh bên
• Các tam giác SA1A2, SA2A3,. . . , SAnA1 là các mặt bên; Mặt bên A E D A • Đa giác A D
1A2 . . . An là mặt đáy; Mặt đáy Mặt đáy • Các đoạn thẳng Cạnh đáy
SA1, SA2, . . . , SAn là các cạnh C B bên; B C
• Các cạnh của đa giác A1A2 . . . An là các cạnh đáy.
Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,. . . lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, . . . L Lưu ý:
• Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện.
• Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
• Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tuỳ ý của tứ diện
và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABCD (Hình vẽ bên). Gọi tên các mặt bên, mặt đáy, S
cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD. D A C B SÁCH THAM KHẢO Trang 62 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 11. Gọi tên các mặt, các cặp cạnh đối diện của tứ diện MNPQ. M N Q P
Ví dụ 12. Cho tứ diện SABC. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và BC sao cho MN không song song với AC.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SMN) và (SAC); (SAN) và (SCM). 1.5 Bài tập
1.5.1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng L Lưu ý:
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của 2 mặt phẳng đó.
Đường thẳng nối hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác không có cặp cạnh đối song song. Điểm M thuộc cạnh SA.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SAC) và (SBD) b) (SAC) và (MBD) c) (SAB) và (SCD) d) (MBC) và (SAD)
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD. Lấy điểm M thuộc miền trong tam giác SCD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (SBM) và (SCD) b) (ABM) và (SCD) c) (ABM) và (SAC)
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD)
b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB, N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
Bài tập 4. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm trên đoạn SB và SC sao cho MN không song song với BC.
a) Tìm giao tuyến (AMN) và (ABC)
b) Tìm giao tuyến (ABN) và (ACM).
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có AB cắt CD tại E; AC cắt BD tại F.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)
c) Tìm giao tuyến của (SEF) và (SAD)
d) Tìm giao tuyến của (SEF) và (SBC)
Bài tập 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC; K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB
a) Tìm giao tuyến của (IJK) và (ACD)
b) Tìm giao tuyến của (IJK) và (ABD)
Bài tập 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm bên trong tam giác ABD, N là điểm bên trong tam giác ACD. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng: a) (AMN) và (BCD) b) (DMN) và (ABC)
Bài tập 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M là điểm trên AO
a) Tìm giao tuyến của (MCD) với (ABC) và (ABD)
b) Gọi I, J là hai điểm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của (IJM) và (ACD)
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và
SD; P là điểm trên SC và SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD).
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD, M thuộc cạnh AB.
a) Dựng đường thẳng qua M, cắt AO và CD.
b) N là một điểm trên BC và ON không song song với BD. Dựng đường thẳng qua N, cắt AO và DM. SÁCH THAM KHẢO Trang 63 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
1.5.2 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng L Lưu ý:
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta có hai phương pháp:
a) Phương pháp 1: Tìm đường thẳng trong mặt phẳng cắt đường thẳng đã cho. b) Phương pháp 2:
• Bước 1: chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đã cho.
• Bước 2: tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho.
• Bước 3: giao điểm cần tìm là giao điểm của giao tuyến với đường thẳng đã cho.
Bài tập 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt nằm trên AB và AD với IB = 2IA và AD = 2AJ. Tìm giao điểm của IJ với (BCD).
Bài tập 12. Cho tứ diện SABC, M là điểm thuộc tia đối của tia SA, O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm các giao điểm sau: a) BC và (SOA) b) MO và (SBC) c) AB và (MOC) d) SB và (MOC)
Bài tập 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang có đáy lớn AD.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD. Tìm giao điểm K của MN và (SBD).
Bài tập 14. Cho hình chóp S.ABCD, M và N tương ứng là các điểm thuộc cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD với (AMN).
Bài tập 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, BC, CD sao cho AB = 3AI, 2BC =
3BJ, 4CD = 5CK. Tìm giao điểm của (IJK) với AD.
Bài tập 16. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N là trung điểm AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K
không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của AD và (MNK).
Bài tập 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy nhỏ AB). Gọi M là điểm thuộc BD sao cho MB =
3MD và G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm các giao điểm của GM với (SAC).
Bài tập 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi và không có cặp cạnh đối nào song song. Lấy
điểm M trên cạnh SC và điểm N trên cạnh SD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (NBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD)
Bài tập 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I nằm trên CD và IC = 2ID.
b) Tìm giao điểm J của (OMG) và AD.
c) Tìm giao điểm K của (OMG) và SA.
Bài tập 20. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy điểm J, K lần lượt thuộc miền trong tam giác BCD và ACD
a) Tìm giao điểm của JK với (ABC)
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
Bài tập 21. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớn là AB. Gọi I, J, K là ba điểm trên SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD)
b) Tìm giao điểm của mặt (IJK) với SD và SC.
1.5.3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và 3 đường đồng quy SÁCH THAM KHẢO Trang 64 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 L Lưu ý:
a) Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này thuộc đường thẳng kia.
b) Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó thuộc cùng hai mặt phẳng.
Bài tập 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD là đáy lớn). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SB, SC và O = AC ∩ BD.
a) Tìm giao tuyến của (ABN) và (SCD)
b) Tìm giao điểm P của DN và (SAB)
c) Gọi K = AN ∩ DM. Chứng minh 3 điểm S, K, O thẳng hàng.
Bài tập 23. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC.
a) Tìm giao điểm Q của SD và (MNP)
b) Gọi E = MN ∩ PQ, F = AB ∩ CD. Chứng minh S, E, F thẳng hàng.
Bài tập 24. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB, SC lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD
cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a) Tìm giao điểm R của SD và (BQP)
b) Gọi M là giao điểm của PR và AD, N là giao điểm của QR và CD. Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.
Bài tập 26. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α), điểm S nằm ngoài (α). Lấy một điểm M trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm N của SD và (ABM)
b) Giả sử AB và CD cắt nhau. Khi đó hãy chứng tỏ ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
1.6 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 27. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC.
a) Chứng minh đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (SAC).
b) Chứng minh O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Bài tập 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.
b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).
c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).
Bài tập 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; M, N lần lượt
là trung điểm của SB, SD; P thuộc đọan SC và không là trung điểm của SC.
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng SO và mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao điểm Q của đường thẳng SA và mặt phẳng (MNP).
c) Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của QM và AB, QP và AC, QN và AD. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I
(I ̸= C), EG cắt AD tại H (H ̸= D).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (EFG) và (BCD); (EFG) và (ACD).
b) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm. SÁCH THAM KHẢO Trang 65 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 31. Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh
sáng. Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường
thẳng trên tường hoặc sàn nhà. SÁCH THAM KHẢO Trang 66 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Hai đường thẳng song song
Giới thiệu: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Quan sát các cặp đường thẳng a và b, b và c, c và d trong hình bên, ta thấy
• Đường thẳng a và b không có điểm chung.
• Đường thẳng b và c song song.
• Đường thẳng c và d cắt nhau.
2.1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian a a I b M b a b b a α α α α a ≡ b a ∩ b = M a ∥ b a, b chéo nhau Hình 3.
• Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của
hình học phẳng, có ba khả năng sau đây xảy ra: a ≡ b, a ∩ b = M và a ∥ b.
• Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói hai đường thẳng a và b chéo
nhau hay a chéo với b. Khái niệm:
• Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
• Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng. L Lưu ý:
• Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu mp(a, b).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét S
vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và CD; b) SA và SC; c) SA và BC. A D B C Hình 5. SÁCH THAM KHẢO Trang 67 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
2.2 Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
Tính chất cần nhớ:
Định lí 1. Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng
có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. M d′ d P
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Vẽ hình thang ADMS có hai đáy là AD và MS. Gọi d là đường thẳng trong
không gian đi qua S và song song với AD. Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (SAD).
Tính chất cần nhớ:
Định lí 2. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo
ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc c R
đồng quy hoặc đôi một song song. M b c b a R a Q Q P P
Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. β d β d β α α α d d d d 1 2 2 d2 d1 d1 a) b) c) Hình 11
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác S d
định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). A D B C Hình 12
Ví dụ 4. Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c không đồng phẳng, a và b cùng song song với c. Gọi M là SÁCH THAM KHẢO Trang 68 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
điểm thuộc a, d là giao tuyến của mp(a, c) và mp(M, b). c c M d a a b b a) b) Hình 13. Tính chất cần nhớ:
Định lí 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. L Lưu ý:
Khi hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì ta có thể kí
hiệu là a ∥ b ∥ c và gọi là ba dường thẳng song song.
Ví dụ 5. Gọi M, N, P, Q, R, S là trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD như Hình 14. Chứng minh rằng các đoạn
thẳng MN, PQ, RS có cùng trung điểm.
Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC
và BD. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt A P tại M và N.
a) Chứng minh IJNM là một hình thang. N
b) Tìm vị trí của điểm M để IJNM là hình bình hành. M B | | D J || I || C
Ví dụ 7. Một chiếc lều (Hình a) được minh hoạ như Hình b.
a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy. P R S Q a) b) 2.3 Bài tập
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BD và CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) SÁCH THAM KHẢO Trang 69 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy AB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Tìm giao tuyến của (AIJ) và (ACD)
Bài tập 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD, AC, BD.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Chứng minh ba đoạn MP, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Bài tập 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Lấy Q thuộc AD và gọi P là giao điểm của
CD và MNQ. Chứng minh PQ ∥ MN và PQ ∥ AC.
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC.
a) Chứng minh rằng MN ∥ CD và NH ∥ SC.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNH) và (ABCD).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MDH) và (NAC).
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh HKEF là hình bình hành.
b) Tìm giao tuyến của (SHK) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của (SEK) và (SAD)
d) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABCD) và (HKM).
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm SA, SB. a) Chứng minh EF ∥ CD
b) Tìm giao điểm P của SC với (AFD)
c) Gọi I là giao điểm của AF và DP. Chứng minh SI ∥ AB ∥ CD.
d) Hình tính của tứ giác SABI.
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên
BC, SC, SD, AD sao cho MN ∥ BS, NP ∥ CD, MQ ∥ CD. a) Chứng minh PQ ∥ SA
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK ∥ AD ∥ BC.
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD; I là một điểm thuộc cạnh AD; (α) là mặt phẳng đi
qua M, (α) song song với CI và BD, đồng thời cắt các cạnh AD, AB, BC lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MN ∥ CI
b) MNPQ là hình gì? Chứng minh.
c) Gọi R là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh R chạy trên một đường thẳng cố định khi I di động trên cạnh AD.
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC
a) Tìm giao tuyến (d) của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD).
c) Gọi N là giao điểm của SD và mặt phẳng (ABM). Chứng minh (d), AN, BM đồng quy. AM AN
Bài tập 12. Cho tứ diện ABCD. Trên AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho = AB AC SÁCH THAM KHẢO Trang 70 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 a) Chứng minh MN ∥ BC
b) Chứng minh giao tuyến của (MND) và (BCD) song song với BC.
Bài tập 13. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q là trung điểm của AB và CD. Điểm R thuộc BC sao cho BR = 2RC.
Gọi S là giao điểm của AD và (PQR). Chứng minh AS = 2SD.
Bài tập 14. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không nằm trong cùng một mặt phẳng. AM BN 1
Điểm M nằm trên đường chéo AC và điểm N nằm trên đường chéo BF với = = AC BF 3
a) Chứng minh DM và EN đồng quy tại trung điểm I của AB
b) Chứng minh rằng MN ∥ DE
Bài tập 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm
của OB (O là giao điểm của BD và AC) . SI
a) Tìm giao điểm I của SD và (AMN) b) Tính tỷ số . ID
2.4 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 16. Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Một đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b.
b) Một đường thẳng c chéo với a thì cũng chéo với b.
Bài tập 17. Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam S
giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt
(SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao
tuyến của hai mặt phằng (SAC) và (CMN). A C M B Hình 17
Bài tập 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?
Bài tập 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC)
và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx ∥ SB.
Bài tập 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của
SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N.
a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.
b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK ∥ BC ∥ AD.
Bài tập 21. Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường
thẳng song song trong thực tế. SÁCH THAM KHẢO Trang 71 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 SÁCH THAM KHẢO Trang 72 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng
Giới thiệu: Hình vẽ sau thể hiện 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Em
hãy đặt tên cho từng trường hợp? a a a A P P P a) b) c) Hình 2
Khái niệm: Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.
3.2 Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Công thức cần nhớ:
Định lí 1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song a
song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P). b P Hình 6
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN không đồng phẳng. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng
(ABMN) lần lượt với các đường thẳng CD, BD và BN.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A, B cùng thuộc mặt phẳng (P) và một điểm C không C d3
thuộc (P). Vẽ đường thằng d1 đi qua A, B; d2 đi qua A, C; d3 đi qua C và song
song với AB (Hình 7). Tìm số điểm chung của mỗi đường thẳng vừa vẽ với
(P). Xét vị trí tương đối của mặt phẵng (P) lần lượt đối với các đường thẳng A B d1, d2, d3. d1 P d2 Hình 7
3.3 Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song Công thức cần nhớ:
Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao
tuyến b thì a song song với b. SÁCH THAM KHẢO Trang 73 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Hệ quả 1. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua a
điểm M thuộc (P) ta vẽ đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P). M b P Hình 12
Hệ quả 2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. a b P Q Hình 13
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh đường
thẳng MN song song với các mặt phẳng (CAB) và (DAB).
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có M là trung điểm của AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa CB và song song với SA,
(Q) là mặt phẳng chứa CM và song song với SA.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Vẽ đường thẳng b qua B và b ∥ SA. Chứng minh b ⊂ (P).
3.4 Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại. Công thức cần nhớ:
Định lí 3. Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD.
a) Nêu cách vẽ mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Ta có thể vẽ bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (BCD). 3.5 Bài tập
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh
rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE).
Bài tập 3. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm △ABC, M ∈ CD với MC = 2MD. a) Chứng minh MG ∥ (ABD). b) Tìm (ABD) ∩ (BGM). c) Tìm (ABD) ∩ (AGM).
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. Chứng minh rằng: SÁCH THAM KHẢO Trang 74 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 a) BC ∥ (SAD). b) AD ∥ (SBC). c) MN ∥ (ABCD). d) MN ∥ (SBC). e) MO ∥ (SCD). f) NO ∥ (SBC).
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có tâm O. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD và
E là điểm trên cạnh DC sao cho DC = 3DE, I là trung điểm AD.
a) Chứng minh OI ∥ (SAB) và OI ∥ (SCD).
b) Tìm giao điểm P của IE và (SBC). Chứng minh GE ∥ (SBC).
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
a) Chứng minh MN ∥ (SBC) và MN ∥ (SAD).
b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB ∥ (MNP) và SC ∥ (MNP).
c) Gọi G, I là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh GI ∥ (PAM).
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của AC và
BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm trên cạnh SD sao cho 3SE = 2SD. Chứng minh: a) DI ∥ (SBC). b) GO ∥ (SCD). c) SB ∥ (ACE).
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, AD. SI SJ 2
Gọi I, J thuộc SM, SN sao cho = = . Chứng minh SM SN 3 a) MN ∥ (SBD). b) IJ ∥ (SBD). c) SC ∥ (IJO).
Bài tập 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng minh rằng GP ∥ (BCD), GP ∥ (ABD).
Bài tập 10. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh IG ∥ (ACD).
3.6 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm hai đường chéo. Cho M là trung điểm của SC.
a) Chứng minh đường thẳng OM song song với hai mặt phẳng (SAD) và (SAB).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMD) và (SAD).
Bài tập 12. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi O và O′ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.
a) Chứng minh đường thẳng OO′ song song với các mặt phẳng (CDFE), (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN ∥ (CDFE).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD).
Bài tập 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một
mặt phẳng (α) qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) MNPQ là hình gì?
b) Gọi I = MQ ∩ NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.
Bài tập 14. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và DB.
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?
Bài tập 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD, (P) là
mặt phẳng qua M song song với SA và BC. Tìm giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD. SÁCH THAM KHẢO Trang 75 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 16. Mô tả vị trí tương đối của các đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) là mặt trước của toà nhà trong hình dưới đây. SÁCH THAM KHẢO Trang 76 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 4. Hai mặt phẳng song song
4.1 Hai mặt phẳng song song
Giới thiệu: Hai mặt phẳng trong không gian có các vị trí tương đối sau: Trùng nhau, cắt nhau và song song M P d Q Q C A P B Q P
Khái niệm: Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.
Công thức cần nhớ:
Định lí 1. Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai
đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q). a b P Q
Định lí 2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. a A b P a′ b′ Q
Định lí 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R)
cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau. a P b Q R SÁCH THAM KHẢO Trang 77 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 1. Hộp giấy có các mặt là hình chữ nhật ở Hình 3a được vẽ lại với các đỉnh là A, B, C, D, A′, B′, C′, D′ như
Hình 3b. Quan sát hộp giấy và chỉ ra các cặp mặt phẳng song song với nhau ở Hình 3b. B C A D C′ B′ A′ D′ Hình 3a Hình 3b
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AD và AD = S
2BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh rằng hai mặt
phẳng (BMN) và (SCD) song song với nhau. M N A D B C
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Vẽ các nửa đường z
thẳng song song với nhau, nằm về một phía đối với (P) và lần lượt đi qua y
các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (P ′) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên C′ tại A′, B′, C′, D′. B′ O′ t
a) Chúng minh mp(AA′, BB′) song song với mp(CC′, DD′). x D′
b) Chứng minh tứ giác A′B′C′D′ là hình bình hành. A′
c) Gọi O và O′ lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của ABCD và B C
A′B′C′D′. Chứng minh OO′ ∥ AA′. O A D 4.2 Bài tập
4.2.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song L Lưu ý:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần chỉ ra a ∥ (α)    b ∥ (α) ⇒ (α) ∥ (β). a, b ⊂ (β)    a ∩ b = A
Bài tập 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (MNP) ∥ (BCD).
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh (MNP) ∥ (ABCD).
Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABC. Các điểm I, J, K lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng (IJK) ∥ (ABC).
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm của AD, BC, SA. Chứng minh (MNP) ∥ (SCD).
Bài tập 5. Cho hình bình hành ABCD và ABEF nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng (ADF) ∥ (BCE). SÁCH THAM KHẢO Trang 78 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M, N là 2 điểm trên cạnh SA sao cho SM = MN = NA. a) Chứng minh GM ∥ (SBC)
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh (MCD) ∥ (NBG)
Bài tập 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
Gọi M là giao điểm của AH và DK, N là giao điểm của DI và CH.
a) Chứng minh (IHK) ∥ (ABCD)
b) Chứng minh (SMN) ∥ (IHK)
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên AD. Gọi (α) là mặt phẳng
qua M và song song với AB và SC. Chứng minh (α) ∥ (SDC).
Bài tập 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AD ∥ BC và AD = 2BC. Gọi J là trung điểm SD và O = AC ∩ BD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (BCJ)
b) Gọi E, F, Q lần lượt là trung điểm của AD, DE, OA. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SQE) và (SCF).
c) Gọi M là điểm thuộc đoạn SC sao cho MC = 3MS. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (MFJ) và (SQE) song song với nhau.
Bài tập 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông và ∆SAB đều. Lấy một điểm M trên BC và điểm K trên SA sao cho BM = AK. a) Chứng minh MK ∥ (SCD)
b) Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB, SB. Mặt phẳng (α) cắt SC, SD, AD theo thứ tự tại N, P, Q. Chứng minh MNPQ là hình thang.
c) Tìm vị trí của M để NK ∥ (ABCD).
Bài tập 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD.
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC)
b) Gọi P và Q là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ ∥ (SBC).
Bài tập 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của SA, CD, KS
a) Chứng minh (OHK) ∥ (SBC)
b) Gọi J là điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ ∥ (SAB)
c) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và
SAB. Chứng minh EF ∥ (SAD).
4.3 Định lý Thalès trong không gian
Công thức cần nhớ:
Định lí 4. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất d d′
kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A′ A B′ B C C′
Ví dụ 4. Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Hai đường thẳng d và d′ cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R)
lần lượt tại A, B, C và A′, B′, C′. Cho AB = 3, BC = 7, A′C′ = 20. Tính các độ dài A′B′, B′C′.
4.4 Hình lăng trụ và hình hộp SÁCH THAM KHẢO Trang 79 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Khái niệm: Cho hai mặt phẳng (P) và (P′) song song với nhau. Trên (P) cho đa giác lồi A1A2 . . . An. Qua các
đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P′) lần lượt tại A′1, A′2, . . . , A′n. Hình
tạo bởi các hình bình hành A1A2A′ A′ A′ A′ A′ 2 1, A2A3A′3 2, . . . , AnA1A′1
n và hai đa giác A1A2 . . . An, A′1 2 . . . A′n
gọi là hình lăng trụ, kí hiệu A1A2 . . . An · A′ A′ 1 2 . . . A′n.
Trong hình lăng trụ A1A2 . . . An, A′ A′ 1 2 . . . A′n, ta gọi
• Hai đa giác A1A2 . . . An và A′ A′ 1
2 . . . A′n là hai mặt đáy
nằm trên hai mặt phẳng song song. A′5
• Các điểm A1, A2, . . . , An, A′ A′
1, A′2, . . . , A′n là các đỉnh. 4 A′ • Các hình bình hành A 1 1A2A′ A′ A′ A′ 2 1, A2A3A′3 2, . . . , AnA1A′1 n A′ là các mặt bên. A′2 3
• Các đoạn thẳng A1A′1, A2A′2, . . . , AnA′n là các cạnh bên.
• Các cạnh bên song song và bằng nhau.
• Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh
đáy tương ứng song song và bằng nhau. A5 A4 A1 A A 2 3 L Lưu ý:
Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,. . . tương ứng được gọi là hình lăng
trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác,. . .
Ví dụ 5. Thực hiện theo các yêu cầu sau
a) Gọi tên các hình lăng trụ trong các hình sau đây.
b) Gọi tên các thành phần của hình lăng trụ trong hình đầu tiên. A′ C′ A′ D′ E′ I′ J′ B′ B′ C′ B′ C′ A C A D I E J B B C B C a) b) c)
Khái niệm: Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. Trong một hình hộp ta có SÁCH THAM KHẢO Trang 80 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
• Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một A′ D′ mặt song song với nó.
• Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
• Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo. B′ C′
• Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. I A D B C
Ví dụ 6. Cho hình hộp ABCD · A′B′C′D′. Chứng minh (BDA′) và (B′D′C) là các mặt phẳng song song.
4.5 Bài tập sách giáo khoa
Bài tập 13. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau
và nằm về một phía đối với (P) lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng
nói trên tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh rằng AA′ + CC′ = BB′ + DD′.
Bài tập 14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
a) Chứng minh rằng (OMN) ∥ (SBC).
b) Gọi E là trung điểm của AB và F là một điểm thuộc ON. Chứng minh EF song song với (SBC).
Bài tập 15. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và
BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M′, N′.
a) Chứng minh (CBE) ∥ (ADF).
b) Chứng minh (DEF) ∥ (MNN′M′).
Bài tập 16. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác B′D′A và BDC′.
Chứng minh G và G′ chia đoạn A′C thành ba phần bằng nhau.
Bài tập 17. Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lúc giác ABCDEF.A′B′C′D′E′F′, Bình gắn hai
thanh tre A1D1, F1C1 song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại O1 (hinh bên dưới). E′ F′ A′ D′ B′ C′ F1 O A 1 1 D1 C1 E F A D B C
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (A1D1, F1C1) với các mặt bên của lăng trụ.
b) Cho biết A′A1 = 6AA1 và AA′ = 70 cm, tính CC1 và C1C′.
Bài tập 18. Chỉ ra các mặt phẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các mặt phẳng song song trong thực tế. SÁCH THAM KHẢO Trang 81 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
4.6 Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao
Bài tập 19 (HKI 2011-2012 PTNK). Hình chóp S.ABCD có O là tâm hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh
SA sao cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (MBC).
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN); giao điểm J của SA và (ICD). SE
c) Chứng minh ID, JC và SO đồng quy tại E. Tính tỷ số SO
Bài tập 20 (HKI 2010-2011 THTH). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SD và K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2KB
a) Xác định giao tuyến (d1) của (SBC) và (SAD), giao tuyến (d2) của (SBC) và (KMN)
b) DM cắt (SBC) tại I. Tứ giác ISDA là hình gì? S∆SNJ
c) Gọi J là giao điểm của (d2) và SC. Tính tỷ số . S∆SDC
Bài tập 21 (HKI 2012-2013 THTH). Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).
b) Gọi Q là trung điểm SD, lấy M ∈ SA sao cho SA = 3SM. Mặt phẳng (α) chứa MQ và song song AB, lần S
lượt cắt SB, SC tại N và K. Tứ giác MNKQ là hình gì, vì sao? Tính tỷ số diện tích ∆KNS S∆BCS
c) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: MQ, NK, SI đồng quy.
Bài tập 22 (HKI 2011-2012 Lê Quý Đôn). Cho hình chóp S.ABCD biết đáy là hình thang, có đáy lớn AD bằng 2
lần đáy nhỏ BC và O là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm SA và SD. Điểm G là trọng tâm tam giác SDC.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).
b) Mặt phẳng (α) qua EF và song song SB, cắt CD và AB lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng EQ ∥ SB. Tứ giác EFPQ là hình gì ?
c) Chứng minh rằng BE ∥ (SCD) và GO ∥ (SBC). S∆SME S∆SBA
d) Tìm giao điểm M của SB và (CDE). Chứng minh rằng = S∆SMF S∆SBD
Bài tập 23 (HKI 2011-2012 PTNK). Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình hình hình ABCD, điểm M thuộc
cạnh SA sao cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (MBC)
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN); giao điểm J của SA và (ICD). SE
c) Chứng minh ID, JC và SO đồng quy tại E. Tính tỷ số SO
Bài tập 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2a, cạnh AD = CD = a. Mặt
bên SAB là tam giác đều. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = x, (0 < x < a) và (α) là mặt phẳng qua M,
song song với 2 cạnh SA và AB, cắt các cạnh BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. SÁCH THAM KHẢO Trang 82 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
a) Nêu rõ cách xác định thiết diện MNPQ của mặt phẳng (α) với hình chóp đã cho.
b) Chứng minh thiết diện MNPQ là hình thang cân.
c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng khi điểm M di động trên đoạn AD thì điểm I luôn di
động trên một đường thẳng cố định.
Bài tập 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AD).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC).
b) Gọi M là trung điểm của SD. Tìm giao điểm K của AM và mặt phẳng (SBC). Tìm thiết diện của mặt phẳng
(MAB) với hình chóp S.ABCD.
c) Gọi G, H, I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SCD, SAB, SBC. Chứng minh GH ∥ IJ.
Bài tập 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (đáy lớn AD). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AB, CD, SA
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và hình chóp S.ABCD
b) Chứng minh rằng SC song song với (MNE). Gọi F là giao điểm (MNE) với SD. Đường thẳng AF có song
song với mặt phẳng (SBC) không ?
c) Cho M, N là hai điểm cố định nằm lần lượt trên hai cạnh AB, CD sao cho MN song song với AD và E, F là
hai điểm lần lượt di động trên các cạnh SA, SD sao cho EF song song với AD. Gọi I là giao điểm của ME và
NF thì I di động trên đường nào?
Bài tập 27. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, CD, DB
a) Chứng minh rằng các mặt phẳng (ADI), (ABJ) và (ACK) có chung một đường thẳng.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xác định thiết diện của tứ diện với (KGE). √
Bài tập 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a 3. Gọi E, F
lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = x, (0 < x < a)
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MEF)? Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 29. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, P là hai điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho
AM = CP = x, (0 < x < a). Một mặt phẳng qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.
a) Chứng minh thiết diện thông thường là hình thang cân.
b) Tìm x để diện tích thiết diện là nhỏ nhất.
Bài tập 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a và ∆SAB vuông cân
tại đỉnh A. Điểm M di động trên AD với AM = x. Mặt phẳng (α) qua M và song song với mặt phẳng (SAB), cắt
BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. 3a2
b) Tính diện tích MNPQ theo a, x. Tính x để diện tích này bằng . 8
c) Tìm tập hợp các giao điểm I của MQ và NP khi M di động trên AD.
Bài tập 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, hai điểm M và P lần lượt di động trên AD và SC MA PS sao cho = = x, (x > 0). MD PC
a) Chứng minh MP luôn song song với một mặt phẳng Q cố định.
b) Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (Q) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J.
Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ ∥ (SAD). SÁCH THAM KHẢO Trang 83 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 32. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt √
trên AD′, DB sao cho AM = DN = x, (0 < x < a 2).
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. √ a 2 b) Chứng minh rằng khi x = thì MN ∥ A′C. 3
Bài tập 33. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B′C′, DD′.
a) Chứng minh (MNP) song song với các mặt phẳng (AB′D′) và (BDC′).
b) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện của nó.
Bài tập 34. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB′A′, ACC′A′ là hình
vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC. a) Chứng minh IJ ∥ (ABC).
b) Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (IJD). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. Tính diện tích của nó theo a. SÁCH THAM KHẢO Trang 84 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 5. Phép chiếu song song
5.1 Khái niệm phép chiếu song song
Phép chiếu song song thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng. Khái niệm:
Trong không gian, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Phương chiếu
Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua l M
M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại
M′. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với
điểm M′ trong (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt M′ phẳng (P) theo phương l. P Mặt phẳng chiếu
• Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song nói trên.
• Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l.
• Điểm M′ gọi là ảnh của điểm M qua phép chiếu theo phương l.
• Cho hình H trong không gian. Ta gọi tập hợp H ′ các ảnh M′ của tất cả những điểm M thuộc H
qua phép chiếu song song theo phương l là hình chiếu song song của H lên mặt phẳng (P).
5.2 Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song Tính chất cần nhớ:
Tính chất 1. Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của
một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.
Tính chất 2. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Tính chất 3.
• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Ví dụ 1.
a) Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng AC, tia AB và đường thẳng AD trong Hình b). AB A′B′
b) Quan sát Hình a) và so sánh hai ti số , . CD C′D′ DA D′A′
c) Quan sát Hình b) và so sánh hai tỉ số , . DB D′B′ A A C B l l B D C D A′ B′ A′ B′ C′ D′ P C′ D′ P a) b) SÁCH THAM KHẢO Trang 85 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
5.3 Hình biểu diễn của một hình không gian
Khái niệm: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H trên một
mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó. L Lưu ý:
Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ
hình biểu diễn, chẳng hạn như
a) Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì
chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng
nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H .
b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì
• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.
• Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
Ví dụ 2. Quan sát bên dưới và tìm hình biểu diễn của a) đoạn thẳng AB. b) tam giác ABC. c) đường tròn (C) tâm O. O (C) (E) B O′ d A C P B′ A′ C′ P a) b)
Ví dụ 3. Vẽ hình biểu diễn và nêu nhận xét về hình biểu diễn của các mặt của các hình sau a) Hình hộp.
b) Lăng trụ có đáy là lục giác đều. c) Tứ diện. 5.4 Bài tập
Bài tập 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
b) Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
c) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
d) Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau. SÁCH THAM KHẢO Trang 86 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 2. Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.
Bài tập 3. Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một hình tròn.
Bài tập 4. Cho hai điểm A, B nằm ngoài mặt phẳng (α) và đường thẳng d cắt (α). Già sử đường thẳng AB cắt (α)
tại điểm O. Gọi A′ và B′ lần lượt là hình chiếu song song của A và B trên (α) theo phương của đường thẳng d. Ba
điểm O, A′, B′ có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn d sao cho a) A ′B ′ = AB. b) A ′B ′ = 2AB.
Bài tập 5. Vẽ hình biểu diễn của
a) Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều.
b) Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều. c) Hình hộp. SÁCH THAM KHẢO Trang 87 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 6. Bài tập cuối chương
6.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên cạnh AC kéo dài (Hình bên). Mệnh A
đề nào sau đây là mệnh đề sai? C A. M ∈ (ABC). B. C ∈ (ABM). C. A ∈ (MBC). D. B ∈ (ACM). M B
Câu 2. Cho tứ diện ABCD với I và J lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Bốn điểm I, J, B, C đồng phẳng.
B. Bốn điểm I, J, A, C đồng phẳng.
C. Bốn điểm I, J, B, D đồng phẳng.
D. Bốn điểm I, J, C, D đồng phẳng.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại N. Trong các đường thẳng sau đây, đường nào
là giao tuyến của (SAC) và (SBD)? A. SM. B. SN. C. SB. D. SC.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC,
SD. Trong các đường thẳng sau, đường nào không song song với IJ? A. EF. B. CD. C. AD. D. AB.
Câu 5. Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AB. B. AC. C. BC. D. SA. SM 2
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho = . Một mặt SA 3
phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là 400 200 40 200 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9
Câu 7. Quan hệ song song trong không gian có tính chất nào trong các tính chất sau?
A. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).
B. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với
mọi đường thằng nằm trong (Q).
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.
Câu 8. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AA′, A′C′, BC. Ta có A. (MNP) ∥ (BCA).
B. (MNQ) ∥ (A′B′C′). C. (NQP) ∥ (CAB). D. (MPQ) ∥ (ABA′).
6.2 Bài tập tự luận
Bài tập 1. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A′B′ và O là một điểm
thuộc miền trong của mặt bên CC′D′D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) với các mặt của hình hộp.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều, M là điểm trên cạnh AB,
(α) là mặt phẳng qua M và (α) ∥ (SAD) cắt CD, SC, SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.
b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.
Bài tập 3. Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau a, b cắt (α) tại A và B. Gọi d là đường thẳng thay
đổi luôn luôn song song với (α) và cắt a tại M, cắt b tại N. Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α) tại điểm C.
a) Tứ giác MNCA là hình gì?
b) Chứng minh rằng điểm C luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định. SÁCH THAM KHẢO Trang 88 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài tập 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần
lượt thuộc các đường chéo AC và BF sao cho MC = 2MA; NF = 2NB. Qua M, N ké các đường thẳng song song
với AB, cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng a) MN ∥ DE; b) M1N1 ∥ (DEF); c) (MNN1M1) ∥ (DEF).
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. D 2. D 3. A 4. C 5. A 6. A 7. A 8. D SÁCH THAM KHẢO Trang 89 Chương 5
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG
TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Bài 1. Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
1.1 Số liệu ghép nhóm
Khái niệm: Mẫu số liệu ghép nhóm thường được trình bày dưới dạng bảng thống kê có dạng như sau:
Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm Nhóm [u1; u2) [u2; u3) . . . [uk; uk+1) Tần số n1 n2 . . . nk
• Bảng trên gồm k nhóm u j; uj+1
với 1 ⩽ j ⩽ k, mỗi nhóm gồm một số giá trị được ghép theo một tiêu chí xác định.
• Cỡ mẫu n = n1 + n2 + · · · + nk.
• Giá trị chính giữa mỗi nhóm được dùng làm giá trị đại diện cho nhóm ấy. Ví dụ nhóm [u1; u2) 1
có giá trị đại diện là (u 2 1 + u2). • Hiệu u
j+1 − uj được gọi là độ dài của nhóm uj; uj+1 .
Ví dụ 1. Tính giá trị đại diện và độ dài của mỗi nhóm trong mẫu số liệu sau Khoảng tuổi [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) Số khách hàng nữ 3 9 6 4 4 L Lưu ý:
Một số quy tắc ghép nhóm của mẫu số liệu
Mỗi mẫu số liệu có thể được ghép nhóm theo nhiều cách khác nhau nhưng thường tuân theo một số quy tắc sau:
• Sử dụng từ k = 5 đến k = 20 nhóm. Cỡ mẫu càng lớn thì cần càng nhiều nhóm số liệu. Các nhóm có
cùng độ dài bằng L thoả mãn R < k · L, trong đó R là khoảng biến thiên, k là số nhóm.
• Giá trị nhỏ nhất của mẫu thuộc vào nhóm [u1; u2) và càng gần u1 càng tốt. Giá trị lớn nhất của mẫu
thuộc nhóm [uk; uk+1) và càng gần uk+1 càng tốt.
Ví dụ 2. Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau: 55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9 49,7 45,1 56,2 63,2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6
Hãy chia mẫu dữ liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm và xác định giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
• Các đầu mút của các nhóm có thể không là giá trị của mẫu số liệu.
• Ta hay gặp các bảng số liệu ghép nhóm là số nguyên, chẳng hạn như bảng thống kê số lỗi chính tả
trong bài kiểm tra giữa học kì 1 môn Ngữ Văn của học sinh khối 11 như sau: Số lỗi [1; 2] [3; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10] Số bài 122 75 14 5 2
Bảng số liệu này không có dạng như Bảng 1. Để thuận lợi cho việc tính các số đặc trưng cho bảng số 90 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
liệu này, người ta hiệu chỉnh về dạng như Bảng 1 bằng cách thêm và bớt 0,5 đơn vị vào đầu mút bên
phải và bên trái của mỗi nhóm số liệu như sau: Số lỗi [0,5; 2,5) [2,5; 4,5) [4,5; 6,5) [6,5; 8,5) [8,5; 10,5) Số bài 122 75 14 5 2
Ví dụ 3. Một cửa hàng đã thống kê số ba lô bán được mỗi ngày trong tháng 9 với kết quả cho như sau: 12 29 12 19 15 21 19 29 28 12 15 25 16 20 29 21 12 24 14 10 12 10 23 27 28 18 16 10 20 21
Hãy chia mẫu số liệu trên thành 5 nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm, hiệu chỉnh bảng tần số ghép nhóm và xác
định giá trị đại diện cho mỗi nhóm. 1.2 Số trung bình
Khái niệm: Số trung bình cuả mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x, được tính như sau n x = 1c1 + n2c2 + · · · + nkck , n
trong đó n = n1 + n2 + · · · + nk.
Ý nghĩa của số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Ví dụ 4. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau: Cân nặng (g) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) Số quả cam ở lô hàng A 2 6 12 4 1 Số quả cam ở lô hàng B 1 3 7 10 4
a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô hàng A và lô hàng B.
b) Nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng nào nặng hơn? 1.3 Mốt
Khái niệm: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Giả sử nhóm chứa mốt là [um; um+1), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là M0, được xác định bởi công thức nm − n M m−1 0 = um + · (u ( m+ n 1 − um) . m − nm−1) + (nm − nm+1)
Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì um−1 = 0. Nếu không có nhóm kề sau của
nhóm chứa mốt thì nm+1 = 0.
Ví dụ 5. Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát
được ghi lại ở bảng sau Mức giá [10; 14) [14; 18) [18; 22) [22; 26) [26; 30) (triệu đồng/m2) Số khách hàng 54 78 120 45 12
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất? SÁCH THAM KHẢO Trang 91 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Ví dụ 6. Số cuộc gọi điện thoại một nguời thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được thống kê trong bảng sau: Số cuộc gọi [3; 5] [6; 8] [9; 11] [12; 14] [15; 17] Số ngày 5 13 7 3 2
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Hãy dự đoán xem khả năng người đó thực hiện bao nhiêu cuộc gọi mỗi ngày là cao nhất.
Ý nghĩa của mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
• Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt
của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm M0 xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm. Các giá trị
nằm xung quanh M0 thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.
• Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt. 1.4 Bài tập
Bài tập 1. Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét): 72,1 72,9 70,2 70,9 72,2 71,5 72,5 69,3 72,3 69,7 72,3 71,5 71,2 69,8 72,3 71,1 69,5 72,2 71,9 73,1 71,6 71,3 72,2 71,8 70,8 72,2 72,2 72,9 72,7 70,7
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.
b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Cự li (m) [69,2; 70) [70; 70,8) [70,8; 71,6) [71,6; 72,4) [72,4; 73,2) Số lần ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.
d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
Bài tập 2. Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ
30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau: 15 16 13 21 17 23 15 21 6 11 12 23 19 25 11 25 7 29 10 28 29 24 6 11 23 11 21 9 27 15
a) Tính số xe trung bình đi qua trạm thu phí trong mỗi phút.
b) Tổng hợp lại số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Số xe [6; 10] [11; 15] [16; 20] [21; 25] [26; 30] Số lần ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 3. Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau: Số sách [16; 20] [21; 25] [26; 30] [31; 35] [36; 40] [41; 45] [46; 50] Số ngày 3 6 15 27 22 14 5
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài tập 4. Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây. SÁCH THAM KHẢO Trang 92 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Chiều cao 200 cây keo 3 năm tuổi (Số cây) 60 60 55 55 35 35 30 30 20 20 O [8,5; 8,8) [8,8; 9,1) [9,1; 9,4) [9,4; 9,7) [9,7; 10,0) (m)
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên. SÁCH THAM KHẢO Trang 93 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 2. Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm 2.1 Trung vị
Khái niệm: Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm • Gọi n là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm [um; um+1) chứa trung vị;
• nm là tần số của nhóm chứa trung vị;
• C = n1 + n2 + · · · + nm−1. Khi đó n − C M 2 e = um + · (um+ n 1 − um) . m
Ví dụ 1. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau: Cân nặng (g) [150; 155) [155; 160) [160; 165) [165; 170) [170; 175) Số quả bơ 1 7 12 3 2
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ví dụ 2. Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà
trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 11 ở bảng sau: Số vỏ chai nhựa [11; 15] [16; 29] [21; 25] [26; 30] [31; 35] Số học sinh 53 82 48 39 18
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ý nghĩa của trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của
mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ 3. Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau: Thời gian (giây) [21; 21,5) [21,5; 22) [22; 22,5) [22,5; 23) [23; 23,5)
Số vận động viên 5 12 32 45 30
Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục
thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây? 2.2 Tứ phân vị
Khái niệm: Công thức xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q2, cũng hính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q1, ta thực hiện như sau:
• Giả sử nhóm [um; um+1) chứa tứ phân vị thứ nhất;
• nm là tần số của nhóm tứ phân vị thứ nhất;
• C = n1 + n2 + · · · + nm−1. Khi đó n − C Q 4 1 = um + · (um+ n 1 − um) . m
Tương tự, để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu Q3, ta thực hiện như sau: SÁCH THAM KHẢO Trang 94 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 • Giả sử nhóm u j; uj+1
chứa tứ phân vị thứ ba;
• nj là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba;
• C = n1 + n2 + . . . + nj−1. Khi đó 3n − C Q 4 3 = uj + · uj+ . n 1 − uj j
Ví dụ 4. Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian luyện tập (giờ) [0; 2) [2; 4) [4; 6) [6; 8) [8; 10)
Số vận động viên 3 8 12 12 4
Hãy xác định các tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho.
Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện
viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này? 1
Nếu tứ phân vị thứ k là (x 2
m + xm+1), trong đó xm và xm+1 thuộc hai nhóm liên tiếp, ví dụ như xm ∈ u j−1; uj
và xm+1 ∈ uj; uj+1 thì ta lấy Qk = uj.
Ví dụ 5. Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau:
Số lần gặp sự cố [1; 2] [3; 4] [5; 6] [7; 8] [9; 10] Số xe 17 33 25 20 5
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Một người cho rằng có trên 25% xe của hãng gặp không ít hơn 4 sự cố về đồng cơ trong 2 năm sử dụng đầu
tiên. Nhận định trên có hợp lí không?
Ý nghĩa của tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
• Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm thành bốn phần đều nhau.
• Giống như với trung vị, nói chung không thể xác định chính xác các điểm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và
được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
• Tứ phân bị thứ nhất và thứ ba đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn Q2) và nửa
trên (các dữ liệu lớn hơn Q2) của mẫu số liệu.
Ví dụ 6. Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau: Thời gian [0; 60) [60; 120) [120; 180) [180; 240) [240; 300) [300; 360) (đơn vị: giây) Số cuộc gọi 8 10 7 5 2 1
Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ví dụ 7. Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong tháng 4 năm 2022 ở bảng sau: Số bệnh nhân [1; 10] [11; 20] [21; 30] [31; 40] [41; 50] Số ngày 7 8 7 6 2
a) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Quản lý phòng khám cho rằng có khoảng 25% số ngày khám có nhiều hơn 35 bệnh nhân đến khám. Nhận định trên có hợp lý không? SÁCH THAM KHẢO Trang 95 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 2.3 Bài tập
Bài tập 1. Lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng): 12,5 9,6 11,7 12,7 10,0 10,0 12,2 9,8 10,9 6,7 13,6 9,2 13,1 6,5 10,7 8,9 11,2 13,2 8,3 11,1 11,9 8,4 6,7 13,8
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên dựa vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Lương tháng [6; 8) [8; 10) [10; 12) [12; 14) (triệu đồng) Số nhân viên ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 2. Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau: 25 23 21 13 8 14 15 18 22 11 24 12 14 14 18 6 8 25 10 11
a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên.
b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Điểm số [6; 10] [11; 15] [16; 20] [21; 25] Số trận ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên.
Bài tập 3. Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả như sau: Điện lượng [0,9; 0,95) [0,95; 1,0) [1,0; 1,05) [1,05; 1,1) [1,1; 1,15) (nghìn mAh) Số viên pin 10 20 35 15 5
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bài tập 4. Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).
Cân nặng của một số lợn con mới sinh (Số con) 40 32 30 28 24 20 17 13 14 14 10 8 O [1,0; 1,1) [1,1; 1,2) [1,2; 1,3) [1,3; 1,4) (kg) Giống A Giống B
a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.
b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B. SÁCH THAM KHẢO Trang 96 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11
Bài 3. Bài tập cuối chương
3.1 Câu hỏi trắc nghiệm
Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng): Doanh thu [5; 7) [7; 9) [9; 11) [11; 13) [13; 15) Số ngày 2 7 7 3 1
Câu 1. Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 2. Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 3. Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. [7; 9). B. [9; 11). C. [11; 13). D. [13; 15).
Câu 4. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 7. B. 7,6. C. 8. D. 8,6.
Câu 5. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
3.2 Bài tập tự luận
Câu 6. Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau: Khoảng điểm [6,5; 7) [7; 7,5) [7,5; 8) [8; 8,5) [8,5; 9) [9; 9,5) [9,5; 10) Tần số 8 10 16 24 13 7 4
Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Câu 7. Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của một chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện
thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Thời gian sử dụng (giờ) [7; 9) [9; 11) [11; 13) [13, 15) [15; 17) Số lần 2 5 7 6 3
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị An sạc đầy pin điện thoại cho tới khi hết pin.
b) Chị An cho rằng có khoảng 25% số lần sạc điện thoại chỉ dùng được 10 giờ. Nhận định của chị An có hợp lí không?
Câu 8. Tổng số lượng mưa trong tháng 8 đo được tại một trạm quan trắc đặt tại Vũng Tàu từ năm 2002 đến năm
2020 được ghi lại như dưới đây (đơn vị: mm) 121,8 158,3 334,9 200,9 165,6 161,5 194,3 220,7 189,8 243,2 165,9 165,9 134 173 169, 189, 254 168 255
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
a) Xác định số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Tổng lượng mưa trong tháng 8 (mm) [120; 175) [175; 230) [230; 285) [285; 340) Số năm ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Câu 9. Bảng sau thống kê số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 mỗi ngày trong tháng 12/2021 tại Việt Nam. SÁCH THAM KHẢO Trang 97 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Ngày Số ca Ngày Số ca Ngày Số ca Ngày Số ca 1 15 139 9 15 965 17 15 685 25 16 046 2 14 295 10 15 474 18 16 363 26 15 667 3 14 254 11 16 830 19 16 586 27 15 310 4 14 598 12 15 264 20 15 420 28 14 866 5 14 927 13 16 035 21 16 806 29 14 299 6 15 215 14 15 871 22 17 044 30 20 454 7 14 433 15 16 192 23 16 860 31 17 004 8 15 223 16 15 720 24 16 633
(Nguồn: worldmeters.info)
a) Xác định số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Mẫu số liệu có bao nhiêu có bao nhiêu giá trị ngoại lệ?
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Số ca (nghìn) [14; 15,5) [15,5; 17) [17; 18,5) [18,5; 20) [20; 21,5) Số ngày ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1. B 2. B 3. B 4. C 5. B SÁCH THAM KHẢO Trang 98
Document Outline

  • Hàm số và phương trình lượng giác
    • Góc lượng giác
      • Góc lượng giác
      • Đơn vị radian
      • Đường tròn lượng giác
    • Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
      • Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
      • Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
    • Giá trị lượng giác của các góc liên kết
      • Hai góc đối nhau: và -
      • Hai cung hơn kém nhau : và +
      • Hai góc bù nhau: và -
      • Hai góc phụ nhau: và 2-
      • Bài tập
    • Các công thức lượng giác
      • Công thức cộng
      • Công thức góc nhân đôi
      • Công thức biến đổi tích thành tổng
      • Công thức biến đổi tổng thành tích
      • Bài tập
    • Hàm số lượng giác và đồ thị
      • Hàm số chẵn, hàm số lẻ
      • Hàm số tuần hoàn
      • Hàm số y=x
      • Hàm số y=x
      • Bài tập
      • Hàm số y=x
      • Hàm số y=x
    • Phương trình lượng giác cơ bản
      • Phương trình tương đương
      • Phương trình x=m
      • Phương trình x=m
      • Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay
      • Bài tập luyện tập
    • Bài tập cuối chương
      • Câu hỏi trắc nghiệm
      • Bài tập tự luận
  • Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
    • Dãy Số
      • Dãy số là gì?
      • Cách xác định dãy số
      • Dãy số tăng, dãy số giảm
      • Dãy số bị chặn
      • Bài tập
    • Cấp số cộng
      • Cấp số cộng
      • Số hạng tổng quát của cấp số cộng
      • Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
      • Bài tập
    • Cấp số nhân
      • Cấp số nhân
      • Số hạng tổng quát của cấp số nhân
      • Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
      • Bài tập
    • Bài tập cuối chương
      • Câu hỏi trắc nghiệm
      • Bài tập tự luận
  • Giới hạn và hàm số liên tục
    • Giới hạn của dãy số
      • Giới hạn của dãy số
      • Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
      • Giới hạn hữu hạn của dãy số
      • Bài tập
      • Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
      • Giới hạn vô cực
      • Bài tập
    • Giới hạn của hàm số
      • Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
      • Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
      • Bài tập
      • Giới hạn một phía
      • Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
      • Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
      • Bài tập
    • Hàm số liên tục
      • Hàm số liên tục tại một điểm
      • Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
      • Tính liên tục của hàm số sơ cấp
      • Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
      • Ứng dụng của hàm số liên tục
      • Bài tập
    • Bài tập cuối chương
      • Câu hỏi trắc nghiệm
      • Bài tập tự luận
  • Đường thẳng và mặt phẳng. Quan hệ song song trong không gian
    • Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
      • Mặt phẳng trong không gian
      • Các tính chất thừa nhận của hình học không gian
      • Cách xác định mặt phẳng
      • Hình chóp và hình tứ diện
      • Bài tập
      • Bài tập sách giáo khoa
    • Hai đường thẳng song song
      • Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
      • Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song
      • Bài tập
      • Bài tập sách giáo khoa
    • Đường thẳng và mặt phẳng song song
      • Đường thẳng song song với mặt phẳng
      • Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
      • Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
      • Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại.
      • Bài tập
      • Bài tập sách giáo khoa
    • Hai mặt phẳng song song
      • Hai mặt phẳng song song
      • Bài tập
      • Định lý Thalès trong không gian
      • Hình lăng trụ và hình hộp
      • Bài tập sách giáo khoa
      • Bài tập và các dạng toán tổng hợp và nâng cao
    • Phép chiếu song song
      • Khái niệm phép chiếu song song
      • Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song
      • Hình biểu diễn của một hình không gian
      • Bài tập
    • Bài tập cuối chương
      • Câu hỏi trắc nghiệm
      • Bài tập tự luận
  • Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm
    • Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
      • Số liệu ghép nhóm
      • Số trung bình
      • Mốt
      • Bài tập
    • Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
      • Trung vị
      • Tứ phân vị
      • Bài tập
    • Bài tập cuối chương
      • Câu hỏi trắc nghiệm
      • Bài tập tự luận