Làm chủ kiến thức Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo (tập 2) – Trần Đình Cư

Tài liệu gồm 151 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm tóm tắt kiến thức cần nắm, bài tập mẫu, giải bài tập sách giáo khoa và giải bài tập sách bài tập môn Toán 11 bộ sách Chân Trời Sáng Tạo (tập 2).

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề HK1 Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

151 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung Tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm BDKT 168 Mai Thúc Loan
CS 3: Trung Tâm BDKT Thuận Hóa – 32 Lê Lợi
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
1
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên
Luỹ thừa với số mũ nguyên dương:
thua so
. . .... , 0,
n
n
a a n na aa a
Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:
0 *
1
, 1 , , 0 .
n
n
a a n a a
a
2. Căn bậc
n
Cho số thực
b
và số nguyên dương
2
n
.
Số
a
là căn bậc
n
của số
b
nếu
n
a b
.
Sự tồn tại căn bậc
n
:
Nếu
n
lẻ thì có duy nhất một căn bậc
n
của
b
, kí hiệu
n
b
.
Nếu
n
chẵn thì:
o
0
b
: không tồn tại căn bậc
n
của
b
.
o
0
b
: có một căn bậc
n
của
b
là 0.
o
0
b
: có hai căn bậc
n
của
b
đối nhau, kí hiệu giá trị dương là
n
b
và giá trị âm là
n
b
.
Các tính chất sau đây
n n n
a b ab
n
n
n
a a
b
b
( )
m n m
n
a a
khi le
khi ch
ăn
n n
a n
a
a n
m
n nm
a a
3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực dương
a
và số hữu tỉ
m
r
n
, trong đó
, , 0
m n n
. Ta có:
m
r n m
n
a a a
4. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử
a
là một số dương,
là một số vô tỉ và
n
r
là một dãy số hữu tỉ sao cho lim
n
r
.
Khi đó
lim
n
r
n
a a
.
5. Tính chất của phép tính luỹ thừa
Cho
,
a b
là những số thực dương;
,
là những số thực bất kì. Khi đó:
a a a
( )
ab a b
a
a
a
a a
b b
a a

B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
2
a)
5 5
9 27
; b)
3
3
128
2
; c)
5
3
3 9
;
d)
4
4 4
2 162 32
e)
6
4
5 5
( 3) 81
Lời giải
a)
5 2 5 3 5 2 3 5 5
5 5
9 27 3 3 3 3 3 3
;
b)
3
3
3
3
3
3
128 128
64 4 4
2
2
;
c)
5
5 5 3
3
3
.33 2 3 5 5 3 5 5 5 5
5
3
3 9 3 3 3 3 3 3 3
;
d)
44 5
4
4 4 4 4 4 4
4 4
2 162 32 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2
;
e)
4
6 5 6 5 4
5 55
4
55
( 3) 81 3 3 3 3 3 4 3
.
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
1
1
3
3
; b)
1
27
3
4
;
c)
2 2 3 2 2 3
3 3
; d)
1
6
3
3
3
( 0, 0)
a b a b
.
Lời giải
a)
1
1 1
2
1
3
3 3 9
3
;
b)
1 1
27 3 3 3
3 3
3
1 1
4 4 4
4 64
;
c)
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4
3 3 3 3 81
;
d)
1
6 1 6 1
3
3
3 2
3 3 3 3
2
a
a b a b ab
b
.
Bài 3. Biết rằng
4 5
x
. Tính giá trị của biểu thức
8 8
2 2
x x
x x
.
Lời giải
2 2
3 3
2 2
2 2 2 2 2 2
8 8 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 31
4 1 4 4 1 5 1
4 5 5
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x
Bài 4. Biết rằng
5 10 2
x y
. Tính giá trị của biểu thức
1 1
x y
.
Lời giải
Ta có:
1
1
5 2 5 2 ;10 2 10 2
x y
y
x
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
3
Từ đó,
1 1 1
1
1
5 1 1 1
2 2 : 2 2 1
10 2
x y y
x
x y
.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2
2 0
3
.3 .12
4
;
b)
2 2
1 2
.
12 3
;
c)
2
2 2 5
2 .5 : 5.5
.
Lời giải
a)
2
2 0
2
3 1 1 16
3 12 9 1 9 9 16
9
4 9
3
16
4
b)
1 2
2
1 2 1 1 1 9
12 12 27
1 4
12 3 4
2
12 9
3
c)
2
2
2
2
2 2 5 2
2 5 4
1 1 5 1
2 5 : 5 5 5 : 5 :
2 5 4 5
4 4 4
2 4
4
2
1 1 16
5 5 5 16
5
5
5
16
4
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa
0
a
:
a)
8
4
3. 3. 3. 3
;
b)
a a a
;
c)
3
4
2
3
5
5
. .
.
a a a
a a
.
Lời giải
a)
1 1 1 1 15
1 1
1
8
4
8 2 4 8 8
2 4
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
b)
1 1 3
1
2 2 2
a a a a a a a a a a
7
3 3 7
1
8
4 4 4
a a a a a
c)
1 1 1 1
1 1 13
13 1
3
4
3 2 3 4
2 4 12
1
12 12
2 3 2 3 2
3
5
5 5 5 5 5
( )
a a a a a a a a
a a
a
a a a a a
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau
0, 0
a b
:
a)
1 7
1
3 6
2
a a a
;
b)
2 1
1
3 6
4
:
a a a
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
4
c)
3 1 1 3
2 2 2 2
3 1
2 3
a b a b
.
Lời giải
a)
1 7 1 1 7
1
2
3 6 3 2 6
2
a a a a a
b)
2 1 2 1 1
1 3
3 6 3 4 6
4 4
:
a a a a a
c)
3 1 1 3 3 1 1 3
1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 1 1
2 3 2 3 2
a b a b a b a b
Bài 4. Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng
2
1m
và dày
khoảng
7
1,94.10 m
. Đồng xu
5000
đồng dày
3
2,2.10 m
. Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ
dày bằng đồng xu loại
5000
đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm.
Lời giải
Để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng ta cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên là:
3 7
2,2.10 : 1,94.10 11300 (lá vàng)
Bài 5. Tại một xí nghiệp, công thức
3
1
500.
2
t
P t
được dùng để tính giá trị còn lại ( tính theo triệu
đồng) của một chiếc máy sau thời gian
t
( tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm; sau 2 năm 3 tháng.
b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu ?
Lời giải
a) Với
2
3
1
2 : 2 500 314,98
2
t P
(triệu đồng)
2 năm 3 tháng
2,25
năm.
Với
2,25
3
1
2,25: 2,25 500. 297,3
2
t P
(triệu đồng)
b) Với
1
3
1
1: 1 500. 396,85
2
t P
(triệu đồng)
Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng:
396,85:500.100 79,37%
so với ban đầu.
Bài 6. Biết rằng
10 2;10 5
. Tính
2 2 2
10 ;10 ;10 ;10 ;1000 ;0,01
a)
16 16
;
b)
2
2 2
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
5
2
2 2
2
2
3
3 3
10 10 10 2 5 10
10 2
10
10 5
10 10 2 4
1 1
10
10 4
1000 10 10 5 125
2
2
2 4
2 4 4
2
1 1 1 1 1 1 1
0,01
100 100 10 2 16
10 10
Bài 7. Biết rằng
1
4
5
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16 16
;
b)
2
2 2
.
Lời giải
a)
2
2
2
2 2
2
1 1 1 1 1 626
16 16 16 4 4
16 5 25
1
4 4
5
b)
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
4 2 4 4 2 2
1
4 5 5
5
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
0
3
1
5
; b)
2
2
5
; c)
4
1
3
;
d)
0
( 55)
; e)
8 5
2 2
; g)
4
3
2
3
3
.
Lời giải
a) 1; b)
25
4
; c) 81;
d) 1; e)
1
8
; g)
1
9
.
2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
3
0,001
; b)
5
32
; c)
4
81
16
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
6
d)
6 3
100
; e)
4
4
( 3 2)
; g)
5
5
(2 5)
.
Lời giải
a) 0,1; b) -2; c)
3
2
;
d) -10; e)
2 3
; g)
2 5
.
3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 4
125 5
b)
4
4
243
3
; c)
3
3
3
24
;
d)
3
64
; e)
4
3
3 3
g)
3
6
( 4)
Lời giải
a)
3 4
4 4
4 4
125 5 5 5 5 5
; b)
4
4
4
4
4
4
243 243
81 3 3
3
3
;
c)
3
3
3
3
3
3
3 3 1 1 1
24 8 2
24
2
d)
2.3 6
6 6
3
64 2 2 2
;
e)
3
4
3 3 4
4
4
3 3
3 3 3 3 3 3
g)
6 6 6
3 3 2.3 6
6
( 4) 4 2 2 2
.
4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
3 3
135 5 5
; b)
4
3 3
81 3 3
c)
4
5
5 5
16 64 2 2
d)
5
4 4
( 5) 25
.
Lời giải
a)
3 3
3 3 3 3 3 3
135 5 5 3 5 5 5 3 5 5 3 2 5
;
b)
3
4
3 4 4
4
4
3 3 3 3 3 3 3
81 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3
;
c)
5
5
4 4 6
4
5 5 5 5 5 5
5 5
16 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2
;
d)
4
5 5 2
4
4 4 4 4 4
( 5) 25 5 5 5 5 5 4 5
.
5. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
2
3
8
; b)
2
5
32
; c)
1,25
81
;
d)
5
3
1000
e)
1
4
16
81
; g)
2
3
8
27
Lời giải
a)
2
2
3 2
3
3
2
1 1
8 2 2
2 4
; b)
2
2
5 2
5
5
2
1 1
32 2 2
2 4
;
c)
5
1,25 4 5
4
81 3 3 243
; d)
2
2
3 2
3
3
2
1 1
1000 10 10 0,01
10 100
;
e)
1
1 1
4 1
4
4
4 4
4
16 2 2 2 3
81 3 3 3 2
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
7
g)
2
2 2
3 2 2
3
3
3 3
3
8 2 2 2 3 9
27 2 3 3 2 4
.
6. Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa
( 0)
a
:
a)
4
3
2
; b)
5
3
1
2
; c)
4
5
( 3)
;
d)
3
a a
; e)
3 5
4
3 6
: ( )
a a a
g)
1 2
3
3 3
2
:
a a a
Lời giải
a)
3
4
2
; b)
3
5
2
; c)
4
5
3
;
d)
1 1 1
1 1 4 4 1 2
2 2 2
1
3
3 3 3 3 2 3
a a a a a a a a
;
e)
5
1 1 1 3 5
3 3 1
3 5
4
3 6
3 6 3 4 6
4 12 4
: ( ) :
a a a a a a a a a
;
g)
1 2 1 3 2 7
3
3 3 3 2 3 6
2
:
a a a a a
.
7. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):
a)
2
5
15
; b)
1
2
20
;
c)
2,4
5,7
; d)
2,38
0,45
.
Lời giải
a) 2,9542; b) 0,2236;
c) 65,1778; d) 6,6889
8. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 1 3 1
2 : 2
; b)
8
2
3 ; c)
8
2
( 7)
;
d)
2 5 1 2 5 2
:a a
; e)
3 2 1 2 1 2
3 3 9
; g)
1
1
3
3
3
a b
.
Lời giải
a)
3 1 3 1
3 1 3 1 2
2 : 2 2 2 4
; b)
8
2 2 8 16 4
3 3 3 3 81
;
c)
16
1 1
8
4
2 2
2 2
( 7) 7 7 7 49
; d)
2 5 1 2 5 2
2 5 1 2 5 2 3
:
a a a a
;
e)
1 2
3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4
3 3 9 3 3 3 3 3 81
;
g)
1
1 1 1 1
1
3
3
3
3 1
3 3 3 3
3
b
a b a b a b
a
.
9. Cho
0, 0
a b
. Rút gọn các biểu thức sau:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
8
a)
1 1 1 1
2 2 2 2
a b a b
; b)
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
a b a a b b
.
Lời giải
a)
1
a
b
; b)
a b
.
10. Biết rằng
2
5 3
x
. Tính giá trị của biểu thức
3 3
5 5
5 5
x x
x x
.
Lời giải
2 2
3 3
2 2
5 5 5 5 5 5
5 5 1 7
5 1 5 3 1
5 5 5 5 3 3
x x x x x x
x x
x x
x x x x
11. Biết rằng
3 3 3
. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
2 2
3 3
; b)
2 2
3 3
.
Lời giải
a)
2
2 2 2 2
3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 5
.
Suy ra
2 2
3 3 5
do
2 2
3 3 0
.
b)
2
2 2 2
3 3 3 3 2 3 3 3 2 7
.
12. Biết rằng
4 25 10
x y
. Tính giá trị của biểu thức
1 1
x y
.
Lời giải
1
1
4 10 10 4;25 10 10 25
x y
y
x
. Suy ra
1 1
2
1 1
10 4.25 100 10 2
x y
x y
13. Cường độ ánh sáng tại độ sâu
h
(m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức
4
0
1
2
h
h
I I
, trong
đó
0
I
là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.
a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu
1 m
bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu
3 m
gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu
6 m
?
Lời giải
a)
1
4
1
0
1
0,84 84%
2
I
I
.
b)
3 6 3
4 4 4
3
6
1 1
1,68
2 2
I
I
(lần).
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
9
BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương
,
a b
với
1
a
. Số thực
thoả mãn đẳng thức
a b
được gọi là lôgarit cơ số
a
của
b
và kí hiệu là
log
b
.
log .
a
b a b
Chú ý:
Từ định nghĩa, ta có:
log
log 1 0; log 1; log ; .
a
b
b
a a a
a a b a b
10
log
b
được viết là
log
b
hoặc
lg
b
;
log
e
b
được viết là
ln
b
.
2. Tính chất
Với
0, 1, 0, 0
a a M N
, ta có:
log log log
a a a
MN M N
(lôgarit của một tích)
log log log
a a a
M
M N
N
(lôgarit của một thương)
log log
a a
M M
(lôgarit của một luỹ thừa)
Chú ý: Đặc biệt, ta có:
1
log log ;
a a
N
N
1
log log
n
a a
M M
n
với
*
n
.
3. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương
, , , 1, 1
a b N a b
, ta có
log
log
log
b
a
b
N
N
a
.
Đặc biệt, ta có:
1
log 1
log
a
N
N N
a
;
1
log log 0
a
N N
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1
5
3
log 9
; b)
3
1
log
10
c)
5
1
log
3
1
25
.
Lời giải
a)
1 2
5 5
3 3
2
log 9 log 3
5
;
b)
1
3
3
1 1
log log10
3
10
;
c)
5
5 5
5
1
2
log 2
1 1
1
3
2log log
log
2 2
3 3
3
1 1
5 5 5 3 9
25 3
.
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
10
a)
3 3
1
log 45 log
5
; b)
4 4
log 48 log 3
;
c)
2 2
16
log 2log 6
3
; d)
3
3 3
1 9
log log 7
3 7
.
Lời giải
a)
2
3 3 3 3 3
1 1
log 45 log log 45 log 9 log 3 2
5 5
;
b)
2
4 4 4 4 4
48
log 48 log 3 log log 16 log 4 2
3
;
c)
5
2 2 2 2 2 2 2
16 16 16
log 2log 6 log log 6 log 6 log 32 log 2 5
3 3 3
;
d)
1
3
3
3 3 3 3 3
1 9 1
log log 7 log 9 log 7 log 7
3 7 3
2
3 3 3 3
1 1 1 2 2
log 3 log 7 log 7 log 3 .
3 3 3 3 3
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
9
1
log
27
; b)
8 27
1
log 9 log
16
; c)
4 3 25
log 27 log 5 log 8
.
Lời giải
a)
3
3
3
9
2
3 3
1
log
log 3
1 3
27
log
27 log 9 log 3 2
;
b)
2 4
2
2 2 2 2 2
8 27
3 3
2 2 2 2 2 2
1
log
log 9 log 3 log 2 2log 3 4log 2
1 2 4 8
16
log 9 log
16 log 8 log 27 log 2 log 3 3log 2 3log 3 3 3 9
3 3
2 2 2 2 2 2
4 3 25
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
log 27 log 5 log 8 log 3 log 5 log 2
c) log 27.log 5 log 8
log 4 log 3 log 25 log 2 log 3 log 5
3log 3 log 5 3log 2
9
2log 2 log 3 2log 5 4
Bài 4. Biết rằng
2log2 ,log3
a b
. Biểu thị các biểu thức sau theo
a
và
b
.
a)
log18
; b)
2
log 12
; c)
log75
.
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
log2
2
a
.
a)
2
log18 log 2 3 log2 2log3 2
2
a
b
.
b)
2
2
log 2 3
2
log12 2log2 log3
log 12
log2 log2 log2
2
a b
a b
a
a
.
c) Ta có
10
log5 log log10 log2 1
2 2
a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
11
Suy ra
2
log75 log 3 5 log3 2log5 2 1 2
2
a
b a b
.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2
log 16
b)
3
1
log
27
c)
log1000
d)
3
log 12
9
.
Lời giải
a)
4
2 2
log 16 log 2 4
b)
3
3 3
1
log log 3 3
27
c)
3
log1000 log10 3
d)
3
2
log 12
2
3 12 144
Bài 2. Tìm các giá trị của
x
đề biểu thức sau có nghĩa:
a)
3
log (1 2 )
x
; b)
1
log 5
x
.
Lời giải
a) Để
3
log 1 2
x
có nghĩa thì
1 2x 0
Hay
1
2
x
b) Để
1
log 5
x
có nghĩa thì
1 0
x
Hay
1
x
Bài 3. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ
tư):
a)
3
log 15
b)
log8 log3
; c)
3ln 2
Lời giải
a)
3
log 15 2,4650
b)
log8 log3 0, 4260
c)
3ln2 2,0794
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
6 6
log 9 log 4
b)
5 5
log 2 log 50
c)
3 3
1
log 5 log 15
2
.
Lời giải
a)
2
6 6 6 6 6
log 9 log 4 log 9.4 log 36 log 6 2
.
b)
2
5 5 5 5 5
2 1
log 2 log 50 log log log 5 2
50 25
c)
1
3 3 3 3 3 3 3
1 5 1 1 1
log 5 log 15 log 5 log 15 log log log 3
2 3 2 2
15
.
Bài 5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2 3
log 9 log 4
b)
25
1
log
5
c)
2 9 5
log 3 log 5 log 4
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
12
a)
2 2
2 3 2 3 2 3 2 2
log 9 log 4 log 3 log 4 2log 3 log 4 2log 4 2log 2 2 2 4
.
b)
2
1
2
25 5
5
1
1 1
2
log log 5 log 5
2 4
5
.
c)
2
1
2
2
2 9 5 2 5 2 3 5
3
2 3 5 2 5 2
1
2
log 3 log 5 log 4 log 3 log 5 log 2 log 3 log 5 2log 2
2
1 1 1 1
log 3 log 5 log 4 log 5 log 2 log 2
2 2 2 2
Bài 6. Đặt
log2 ,log3
a b
. Biểu thị các biểu thức sau theo
a
và
b
.
a)
4
log 9
; b)
6
log 12
c)
5
log 6
.
Lời giải
a)
2
4
2
log9 log3 2log3 log3
log 9
log4 log2 2log2 log2
b
a
.
b)
2
2
6
log 2 3
log12 log2 log3 2log2 log3 2
log 12
log6 log 2.3 log2 log3 log2 log3
a b
a b
.
c)
5
log 2.3
log6 log2 log3
log 6
10
log5 log10 log2 1
log
2
a b
a
.
Bài 7. a) Nước cất có nồng độ
H
là
7
10 mol / L
. Tính độ
của nước cất.
b) Một dung dịch có nồng độ
H
gấp 20 lần nồng độ
H
của nước cất. Tính độ
của dung dịch đó.
Lời giải
a) Độ pH của nước cất là:
7
log log 10 7
pH H
.
b) Nồng độ
H
của dung dịch đó là:
7
20.10 mol / L
Độ
pH
của dung dịch đó là:
7
log log 20.10 5,7
pH H
.
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
9
1
log
81
; b)
log10000
; c)
log0,001
;
d)
0,7
log 1
; e)
4
5
log 5
g)
0,5
log 0,125
.
Lời giải
a)
2
9 9
1
log log 9 2
81
; b)
4
log10000 log10 4
;
c)
3
log0,001 log10 3
; d)
0,7
log 1 0
;
e)
1
4
4
5 5
1
log 5 log 5
4
g)
3
0,5 0,5
log 0,125 log 0,5 3
.
2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
13
a)
3
log 5
3
; b)
ln3
e
; c)
7
2log 8
7
;
d)
2 2
log 3 log
2
s
; e)
2
1
log
5
4
g)
log2
0,001
.
Lời giải
a) 5; b) 3;
c)
7 7
2
2log 8 log 8
2
7 7 8 64;
d)
2 2 2 2
log 3 log 5 log 3 log 5
2 2 2 3 5 15
;
e)
2 2 2
2
2
1 1 1
log 2log log
5 5 5
1 1
4 2 2
5 25
; g)
log2 3
log2 3 log2 3
1
0,001 10 10 2
8
.
3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
3 3
9
log log 30
10
; b)
5 5
log 75 log 3
;
c)
3 3
5
log 2log 5
9
; d)
12 12
4log 2 2log 3
;
e)
5 5 5
2log 2 log 4 10 log 2
; g)
3
4
3 3 3
log 3 log 9 2log 27
.
Lời giải
a)
3
3 3 3 3
9 9
log log 30 log 30 log 3 3
10 10
;
b)
2
5 5 5 5 5
75
log 75 log 3 log log 25 log 5 2
3
;
c)
2
3 3 3 3 3 3 3 3
5 5 5 5 1
log 2log 5 log log ( 5) log log 5 log :5 log
9 9 9 9 9
2
3
log 3 2
;
d)
4 2 4 2 2
12 12 12 12 12 12
4log 2 2log 3 log 2 log 3 log 2 3 log (4 3)
2
12
log 12 2
;
e)
2
5 5 5 5 5 5
2log 2 log 4 10 log 2 log 2 log 4 10 log 2
1
2
5 5 5 5 5 5
4 2 1 1
log 4 log 4 10 log 2 log log log 5 ;
2
4 10 5
g)
2
1 3
3
4
3
2 4
3 3 3 3 3 3
log 3 log 9 2log 27 log 3 log 3 2log 3
1 2 3 4
2 .
2 3 4 3
4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
8
1
log
32
; b)
5 3
log 3 log 5
;
c)
5
1
log 2
2
; d)
27 5
log 25 log 81
.
Lời giải
a)
5
2
2
8
3
2 2
1
log
log 2
1 5
32
log
32 log 8 log 2 3
;
b)
5 3 5
5
1
log 3 log 5 log 3 1
log 3
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
14
c)
5
2
1
log 2
log 5
2 2 5
;
d)
2 4
3 3 3 3 3
27 5
3
3 3 3 3 3
log 25 log 81 log 5 log 3 2log 5
4 8
log 25 log 81
log 27 log 5 log 3 log 5 3 log 5 3
.
5. Tính:
a)
3 5 7
log 5 log 7 log 9
; b)
2 3 5
1 1 1
log log log
25 32 27
.
Lời giải
a)
2
3 3
3 5 7 3 3
3 3
log 7 log 9
log 5.log 7.log 9 log 5 log 3 2
log 5 log 7
;
2 5 3
2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5
1 1 1
b) log log log log 5 log 2 log 3
25 32 27
2 log 5 5 log 2 3 log 3 30log 5 log 2 log 3
2 2
2
2 2
log 2 log 3
30log 5 30;
log 3 log 5
6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):
a)
7
log 21
; b)
log2,25
;
c)
ln 14
; d)
0,5 5
log 3 log 0,3
.
Lời giải
a) 1,5646; b) 0,3522; c) 1,3195; d)
2,333
.
7. Đặt
2 2
log 3 ,log 5
a b
. Hãy biểu thị các biểu thức sau theo
a
và
b
.
a)
2
log 45
; b)
2
15
log
6
; c)
3
log 20
.
Lời giải
a)
2
2 2 2 2
log 45 log 3 5 2log 3 log 5 2
a b
;
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
15 1 1
b) log log 15 log 6 log 15 log 2.3 log 3.5 log 2 log 3
6 2 2
1 1
log 3 log 5 1 log 3 1 1
2 2 2 2
a b
a b a
c)
2
2
2 2 2
3
2 2 2
log 2 5
log 20 2log 2 log 5 2
log 20
log 3 log 3 log 3
b
a
.
8. Đặt
log ,log ,log ( , , 0)
x a y b z c x y z
. Biểu thị các biểu thức sau theo
, ,
a b c
.
a)
log
xyz
; b)
3
3
log
100
x y
z
c)
2
log 1
z
xy z
.
Lời giải
a)
log( ) log log log
xyz x y z a b c
;
b)
3
3
log
100
x y
z
=
3
3
log log(100 )
x y z
1
1
3 2
3
2
log log 10
x y z
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
15
1 1 1 1
3log log 2 log 3 2
3 2 3 2
x y z a b c
c)
2
2
log
log 2log 2
log
log log
z
xy
x y a b
xy
z z c
.
9. Đặt
2 3
log 3 ,log 15 b
a
. Biểu thị
30
log 18
theo
a
và
b
.
Lời giải
2
log 3
a
3
3
1
log 2
log 2
1
a
3 3 3 3 3 3
log 15 log (3.5) log 3 log 5 1 log 5 log 5 1.
b b
2
2
3
3 3 3
30
3 3 3 3 3
log 2 3
log 18 log 2 log 3
log 18
log 30 log (2 3 5) log 2 log 3 log 5
3
3 3
1
2
log 2 2
2 1
.
1
log 2 1 log 5 1
1 1
a
a
ab
b
a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
16
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ
1.Hàm số mũ
- Hàm số
x
y a
( 0, 1)a a
được gọi là hàm số mũ cơ số
a
.
- Hàm số
x
y a
( 0, 1)a a
có:
 Tập xác định:
D
 Tập giá trị:
0;
.
 Hàm số liên tục trên
.
 Sự biến thiên:
o Nếu
1a
thì hàm số đồng biến trên
và
lim , lim 0.
x x
y y
o Nếu
0 1a
thì hàm số nghịch biến trên
và
lim 0, lim .
x x
y y
 Đồ thị:
o Cắt trục tung tại điểm
0;1
, đi qua điểm
1;a
.
o Nằm phía trên trục hoành.
2. Hàm số lôgarit
- Hàm số log ( 0, 1)
a
y x a a được gọi là hàm số lôgarit cơ số
a
.
- Hàm số
log ( 0, 1)
a
y x a a
có:
 Tập xác định:
0;D
.
 Tập giá trị:
T
.
 Hàm số liên tục trên
0;
.
 Sự biến thiên:
o Nếu
1a
thì hàm số đồng biến trên
0;
và
0
lim , lim .
x
x
y y
o Nếu
0 1a
thì hàm số nghịch biến trên
0;
và
0
lim , lim .
x
x
y y
 Đồ thị:
o Cắt trục hoành tại điểm
1;0
, đi qua điểm
;1a
.
o Nằm bên phải trục tung.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
17
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số
3
2
x
y
Lời giải
Tập xác định:
. Do
3
1
2
nên hàm số đồng biến trên
.
Bảng giá trị:
x
-2 -1 0 1 2
y
4
9
2
3
1
3
2
9
4
Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọ
độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.
Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình bên.
Bài 2. Vẽ đồ thị hàm số
0,5
logy x
.
Lời giải
Tập xác định:
0;
.
Do
0 0,5 1
nên hàm số nghịch biến trên
0;
.
Bảng giá trị:
x
0,25 0,5 1 2 4
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
18
y
2 1 0 -1 -2
Đồ thị hàm số đi qua các điểm có toạ độ theo bảng giá trị và nằm bên phải trục tung.
Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình bên.
Bài 3. So sánh các cặp số sau:
a)
0,1
0,75
và
0,2
0,75
; b)
3
4
và
5
8 c)
4
1
27
và
3
1
9
Lời giải
a) Do
0,75 1
nên hàm số 0,75
x
y nghịch biến trên
và
0,1 0,2
nên
0,1 0,2
0,75 0,75
.
b) Ta có:
2 3
3
5
3 5
4 2 ; 8 2
.
Do
2 1
nên hàm số 2
x
y đồng biến trên
và
2 3
3 5
nên
2 3
3
5
3 5
2 2 hay 4 8
c) Ta có:
3 2
4 3
3
4
1 1 1 1
;
27 3 9 3
.
Do
1
1
3
nên hàm số
1
3
x
y
nghịch biến trên
và
3 2
4 3
nên
3 2
4 3
3
4
1 1 1 1
hay
3 3 27 9
Bài 4. So sánh các cặp số sau:
a)
0,2
log
và
0,2
log 3
; b)
3
4log 2 và
3
3
3log 15
.
Lời giải
a) Hàm số
0,2
logy x
có cơ số
0,2 1
nên nghịch biến trên
0;
và
3
nên
0,2 0,2
log log 3
.
b) Ta có
4 3
3 3
3 3 3 3 3 3
4log 2 log 2 log 16;3log 15 log ( 15) log 15
.
Hàm số
3
logy x có cơ số
3 1
nên đồng biến trên
0;
và
16 15
nên
3 3
log 16 log 15 hay
3
3 3
4log 2 3log 15
.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
19
a)
2
x
y f x
trên đoạn
2;3
; b)
2 1
1
3
x
y f x
trên đoạn
1;2
.
Lời giải
a) Hàm số
2
x
y f x
có cơ số
2 1
nên đồng biến trên
, ta có:
3 2
2;3
2;3
1
max 3 2 8 và min 2 2 .
4
x
x
y f y f
b) Với
1 2x
, ta có
3 2 1 3x
.
Hàm số
2 1
1
3
x
y f x
có cơ số
1
1
3
nên nghịch biến trên
, ta có:
3 2 1 3 2 1
1 1 1 1 1
hay 27 .
3 3 3 3 27
x x
Từ đó, ta có:
1;2
max 27
x
y
và
1;2
1
min
27
x
y
.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
4
x
y
b)
1
4
x
y
.
Lời giải
a) Bảng giá trị:
x
-1 0 1 2
y
1
4
1 4 16
Đồ thị:
b) Bảng giá trị:
x
-2 -1 0 1
y
16 4 1
1
4
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
20
Bài 2. So sánh các cặp số sau:
a)
0,7
1,3
và
0,6
1,3
b)
2,3
0,75
và
2,4
0,75
.
Lời giải
a) Do
1,3 1
nên hàm số 1,3
x
y đồng biến trên
.
Mà
0,7 0,6
nên
0,7 0,6
1,3 1,3 .
b) Do
0,75 1
nên hàm số 0,75
x
y nghịch biến trên
.
Mà
2,3 2,4
nên
2,3 2,4
0,75 0,75
.
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số:
a)
2
log 3 2 x
b)
2
3
log 4x x
.
Lời giải
a)
2
log 3 2x
xác định khi
3
3 2x 0 2x 3
2
x
Vậy hàm số có tập xác định
3
;
2
D
.
b)
2
3
log 4xx
xác định khi
2
0
4x 0 4 0
4
x
x x x
x
Vậy hàm số có tập xác định
; 4 0;D
.
Bài 4. Vẽ đồ thị các hàm số:
a)
logy x
b)
1
4
logy x
Lời giải
b)
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
21
Bài 5. So sánh các cặp số sau:
a)
log 0,8
và
log 1,2
; b)
0,3
log 2
và
0,3
log 2,1
.
Lời giải
a) Vì
1
nên hàm số
log
x
đồng biến trên
0;
Mà
0,8 1,2
nên
log 0,8 log 1, 2
b) Vì
0,3 1
nên hàm số
0,3
log
x
nghịch biến trên
0;
Mà
2 2,1
nên
0,3 0,3
log 2 log 2,1
Bài 6. Cường độ ánh sáng
I
dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức
0
.
d
I I a
, trong đó
0
I
là
cường độ ánh sáng tại mặt nước biển,
a
là hằng số
( 0)
a
và
d
là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước
biển.
(Nguồn: https://www.britannica.com/science/seawer/Optical-properties)
a) Có thể khẳng định rằng
0 1
a
không? Giải thích.
b) Biết rẳng cường độ ánh sáng tại độ sâu
1 m
bẳng
0
0,95
I
. Tìm giá trị của
a
.
c) Tại độ sâu
20 m
, cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với
0
I
? (Làm tròn kết quả đến hàng
đơn vì.)
Lời giải
a) Vì cường độ ánh sáng giảm dần theo độ sâu nên hàm số
0
.
d
I I a
nghịch biến.
Vậy
0 1
a
.
b) Ta có:
1
0 0 0
0,95 0,95
d
I I a I I a a
.
c) Ta có:
20
0 0 0
0,95 0,36
d
I I a I I
.
Vậy tại độ sâu
20 m
, cường độ ánh sáng bằng
36%
phần trăm so với
0
I
Bài 7. Công thức
0
19,4 log
P
h
P
là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao
h
so với mặt nước biển của
một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí
P
tại điểm đó và áp suất
0
P
của
không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng
Pa
đơn vị áp suất, đọc là
Pascal
).
(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6)
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng
0
1
2
P
thì máy bay đang ở độ cao nào?
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi
A
bằng
4
5
lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi
B
. Ngọn
núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
Lời giải
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng
0
1
2
P
là:
0
0
1
1
2
19,4 log 19,4 log 5,84 km
2
P
h
P
b) Độ cao của ngọn núi A là:
0
19,4 log
A
A
P
h
P
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
22
Độ cao của ngọn núi
B
là:
0
19,4 log
B
B
P
h
P
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi
A
bằng
4
5
lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi
B
nên ta
có:
4 4
5 5
A
A B
B
P
P P
P
Ta có:
0 0 0 0
0 0
19,4 log 19,4 log 19,4 log 19,4 log
4
19,4log : 19,4log 19,4log 1,88 km
5
A B A B
A B
A B A
B
P P P P
h h
P P P P
P P P
P P P
Vậy ngọn núi A cao hơn ngọn núi B 1,88km.
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Vẽ đồ thị hàm số
( 2)
x
y
.
Lời giải
2. Vẽ đồ thị hàm số
3
2
logy x
.
Lời giải
3. Tìm tập xác định của các hàm số:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
23
a)
2
log 4
y x
; b)
2
0,2
log 2 1
y x x
; c)
5
log
1
x
y
x
.
Lời giải
a)
(4; )

; b)
\{ 1}
; c)
( ;0) (1; )
 
.
4. So sánh các cặp số sau:
a)
1,7
1,04
và
2
1,04
; b)
2
5
3
5
và
3
5
3
5
;
c)
0,3
1,2
và
1,8
0,9
, d)
0,4
1
3
và
0,2
3
.
Lời giải
a)
1,7 2
1,04 1,04
; b)
2 3
5 5
3 3
5 5
;
c)
0,3 1,8
1,2 1 0,9
; d)
0.4
0.2
1
1 3
3
.
5. So sánh các cặp số sau:
a)
3
và
5
27
; b)
4
1
9
và
3
1
27
;
c)
3
1
5
và
5
25
d)
10
9
0,7
và
9
10
0,7
.
Lời giải
a)
3
1
5
2
3 3
hay
5
3 27
; b)
8 9
1 1
3 3
hay
4 3
1 1
9 27
;
c)
1 2
3 5
5 5
hay
5
3
1
25
5
; d)
10 9
9 10
0,7 0,7
hay
10 9
9 10
0,7 0,7
.
6. So sánh các cặp số sau:
a)
log4,9
và
log5, 2
; b)
0,3
log 0,7
và
0,3
log 0,8
; c)
log 3
và
3
log
.
Lời giải
a)
log4,9 log5,2
; b)
0,3 0,3
log 0,7 log 0,8
;
c)
3
log 3 1 log
.
7. So sánh các cặp số sau:
a)
0,6
2log 5
và
3
0,6
3log 2 3
; b)
5
6log 2
và
5
2log 6
;
c)
2
1
log 121
2
và
2
2log 2 3
; d)
3
2log 7
và
9
6log 4
.
Lời giải
a)
0,6 0,6
log 25 log 24
hay
3
0,6 0,6
2log 5 3log (2 3)
;
b)
5 5
log 64 log 36
hay
5 5
6log 2 2log 6
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
24
c)
2 2
log 11 log 12
hay
2 2
1
log 121 2log 2 3
2
;
d)
3 3
log 49 log 64
hay
3 9
2log 7 6log 4
.
8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
a)
5
2
x
y f x
trên đoạn
1;4
; b)
1
3
x
y f x
trên đoạn
2;2
.
Lời giải
a)
4 1
1;4
1;4
5 25 5 2 2 5
max (4) ; min ( 1)
2 16 2 5
5
x
x
y f y f
.
b) Hàm số
1 1
( )
3 3
x
x
y f x
có cơ số
1
1
3
nên nghịch biến trên
.
2
2
[ 2;2]
1
max ( 2) 3 9
3
x
y f
và
2
[ 2;2]
1 1
min (2)
3 9
x
y f
.
9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a)
1
3
log
y f x x
trên đoạn
1
;3
3
;
b)
2
log 1
y f x x
trên đoạn
1
;3
2
.
Lời giải
a)
1
1
;3
3
3
1 1
max log 2
3 3
x
y f
và
1
1
;3
3
3
min (3) log 3 2
x
y f
.
b)
2
2
1
;3
max (3) log 4 2
x
y f
và
1
;3
2
2
1 1
min log 1
2 2
x
y f
.
10. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo
công thức
0
mg
t
D t D a
, trong đó
0
D
và
a
là các hằng số dương,
t
là thời gian tính bằng giờ kể từ
thời điểm uống thuốc.
a) Tại sao có thể khẳng định rằng
0 1
a
?
b) Biết rằng bệnh nhân đã uống
100mg
thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn
80mg
. Hãy
xác định giá trị của
0
D
và
a
.
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu?
Lời giải
a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số
D t
nghịch biến, do đó
0 1
a
.
b)
0
80
100, 0,8
100
D a
.
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn
5
5 100 0,8
D
. Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là
5
0
0
5
100 100 0,8
0,6723 67,23%
100
D D
D
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
25
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
26
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình mũ cơ bản
( 0, 1)
x
a b a a
 Nếu
0
b
thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu
0
b
thì phương trình có nghiệm duy nhất
log
a
x b
.
Chú ý: Với
0, 1
a a
a)
x
a a x
.
b) Tổng quát hơn,
( ) ( )u x v x
a a u x v x
.
2. Phương trình lôgarit cơ bản
log ( 0, 1)
a
x b a a
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất
b
x a
.
Chú ý: Với
0, 1
a a
.
a)
log
b
a
u x b u x a
.
b)
0
log log
.
a a
u x
u x v x
u x v x
Có thể thay
0
u x
bằng
0
v x
(chọn bất phương trình đơn giản hơn).
3. Bất phương trình mũ cơ bản
x
a b
hoặc
x
a b
hoặc
x
a b
hoặc
( 0, 1)
x
a b a a
.
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:
Phương trình
0
b
0
b
1
a
0 1
a
x
a b
x
log
a
x b
log
a
x b
x
a b
log
a
x b
log
a
x b
x
a b
Vô nghiệm
log
a
x b
log
a
x b
x
a b
log
a
x b
log
a
x b
Chú ý:
 Nếu
1
a
thì
u x v x
a a u x v x
.
 Nếu
0 1
a
thì
vu x x
a a u x v x
.
4. Bất phương trình lôgarit cơ bản
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
27
log
log
( 0, 1).
log
log
a
a
a
a
x b
x b
a a
x b
x b
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:
Bất phương trình
1
a
0 1
a
log
a
x b
b
x a
0
b
x a
log
a
x b
b
x a
0
b
x a
log
a
x b
0
b
x a
b
x a
log
a
x b
0
b
x a
b
x a
Chú ý:
 Nếu
1
a
thì
0
log log
.
a a
v x
u x v x
u x v x
 Nếu
0 1
a
thì
0
log log
.
a a
u x
u x v x
u x v x
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
5 25
x
b)
2 1
3
1
32
8
x
x
.
Lời giải
a) Ta có:
2
2 2
3
3
2 2 4
5 25 5 5 2 2
3 3 3
x x
x x
.
Vậy phương trình có nghiệm là
4
3
x
.
b) Ta có:
2 1
2 1 3
3 3 5 6 3 5 15
1
32 2 2 2 2
8
x
x x
x x x
12
6 3 5 15 11 12 .
11
x x x x
Vậy phương trình có nghiệm là
12
11
x
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
16
1
log 3 5
2
x
; b)
3 3 3
log log 1 log 5 12
x x x
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
28
a) Ta có:
1
2
16
1
log 3 5 3 5 16 3 5 4 3 9 3
2
x x x x x
.
Vậy phương trình có nghiệm là
3
x
.
b) Điều kiện:
0
x
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
2 2
3 3
log 1 log 5 12 5 12 4 12 0
x x x x x x x x
⇔x=-2 (loại) hoặc x=6 (nhận).
Vậy phương trình có nghiệm là
6
x
.
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
a)
2 1
1 1
3 81
x
b)
3
1
1
25
5
x
x
.
Lời giải
a) Ta có:
2 1 2 1 4
1 1 1 1
2 1 4
3 81 3 3
x
x
(do
1
0 1
3
)
3
2 3 .
2
x x
Vậy bất phương trình có nghiệm là
3
2
x
.
b) Ta có:
3
3
1 3
1
1 2 2 2
2 2
1
25 5 5 5 5
5
x
x
x
x
x x
3
2 2 ( do 5 1) 2 4.
2 2
x x
x x
Vậy bất phương trình có nghiệm là
4
x
.
Bài 4. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
5
log 4 2
x
; b)
0,5 0,5
log 2 1 log 3 4
x x
.
Lời giải
a) Điều kiện:
2
4 0 2
x x
hoặc
2
x
.
Do
5 1
nên bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
4 ( 5) 9 0 3 3.
x x x
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là
3 2
x
hoặc
2 3
x
.
b) Do
0 0,5 1
nên bất phương trình đã cho tương đương với
1
2 1 0
5.
2
2 1 3 4
5
x
x
x
x x
x
Vậy nghiệm của bất phương trình là
5
x
.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1. Giải các phương trình sau:
a)
2 1
5 25
x
;
b)
1 2 1
3 9
x x
c)
1 2
10 100000
x
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
29
a)
2 1 2 1 2
3
5 25 5 5 2 1 2
2
x x
x x
b)
2 1
1 2 1 1 2
3 9 3 3
x
x x x
1 4 2
1
3 3 1 4 2
3
x x
x x x
c)
1 2 1 2 5
10 100000 10 10 1 2 5 2
x x
x x
2. Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng nghìn.
a)
2
3 7
x
;
b)
2 1
3.10 5
x
;
Lời giải
a)
2
3 3
3 7 2 log 7 log 7 2 0, 229
x
x x x
b)
2 1 2 1
5 5
3.10 5 10 2 1 log
3 3
x x
x
5
log 1 : 2 0,389
3
x x
3. Giải các phương trình sau:
a)
6
log 4 4 2
x
;
b)
3 3
log log 2 1
x x
Lời giải
a)
2
6
log 4 4 2 4 4 6 8
x x x
b)
3 3 3
log log 2 1 log 1
2
x
x x
x
3 3 2 3
2
x
x x x
x
4. Giải các bất phương trình sau:
a)
2 1
1
9
3
x
;
b)
2
4 2
x x
Lời giải
a)
2 1 2 1 2
1 1 1 3
9 2 1 2
3 3 3 2
x x
x x
(do
1
1
3
)
b)
2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x x x
x x x
(do
2 1
)
5. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
log 2 2
x
;
b)
log 1 log 2 1
x x
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
30
a)
2
2
log 2 2 2 2 6
x x x
b)
log 1 log 2 1 1 2 1 2
x x x x x
6. Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ sau 138 ngày,
lượng polonium còn lại trong một mẫu chỉ bằng một nửa lượng ban đầu. Một mẫu
100
g
có khối lượng
polonium-210 còn lại sau
t
ngày được tính theo công thức
138
1
100
2
t
M t g
(nguồn://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Polonium#section=Atiomc-Mass-Half-Life-anh-Decay)
a) Khối lượng polonium-210 còn lại bao nhiêu sau 2 năm?
b) Sau bao lâu thì còn lại
40
g
polonium-210.
Lời giải
a) Khối lượng polonium-210 còn lại sau 2 năm (730 ngày) là:
730
138
1
2 100 2,56
2
M g
b)
40
M t
khi
138
1
100 40 182,4
2
t
t
Vậy sau 182,4 ngày còn lại lại
40 g
polonium-210
7. Nhắc lại rằng, mức cường độ âm L được tính bằng công thức
0
log
I
L dB
I
, trong đó
I
là cường
độ của âm tính bằng
2
W /
m
và
12 2
0
10 W /
I m
(Nguồn: Vật lí 12, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 52)
a) Một giáo viên đang giảng bài trong lớp học, có mức cường độ âm là
50
dB
. Cường độ âm của giọng
nói giáo viên bằng bao nhiêu?
b) Mức cường độ âm trong một nhà xưởng thay đổi trong khoảng từ
75
dB
đến
90
dB
. Cường độ âm
trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng nào?
Lời giải
a) Khi
L 50
thì
7
12
10log 50 10
10
I
I
Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên là
7 2
10 W / m
b) Khi
L 75
thì
5
12
10log 75 3,2.10
10
I
I
Khi
L 90
thì
3
12
10log 90 10
10
I
I
Vậy cường độ âm trong nhà xưởng thay đổi từ
5
3, 2.10
đến
3
10
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
a)
2 1
1
3
27
x
; b)
2
5 10
x
; c)
3 18
x
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
31
d)
1
1
0,2
125
x
; e)
3 2
5 25
x x
; g)
1 1
1 1
8 32
x x
.
Lời giải
a) Đưa về phương trình
2 1 3
3 3
x
. Đáp số:
2
x
.
b)
5
1
log 10
2
x
.
c)
3
log 18
x .
d) Đưa về phương trình
3
1
2
1 1
5 5
x
. Đáp số:
5
2
x
.
e) Đưa về phương trình
3 2 4
5 5
x x
. Đáp số:
4
x
.
g) Đưa về phương trình
3 3 5 5
1 1
2 2
x x
. Đáp số:
4
x
.
2. Giải các phương trình sau:
a)
3
log 2 1 3
x
; b)
49
log 0,25
x ;
c)
2 2
log 3 1 log 2 4
x x
; d)
5 5 5
log 1 log 3 log 2 10
x x x
;
e)
log log 3 1
x x
; g)
2 81
log log 2
x
.
Lời giải
a)
14
x
; b)
7
x ; c) Vô nghiệm;
d)
7
x
; e)
5
x
; g)
3
x
.
3. Giải các bất phương trình sau:
a)
4 2 2
x
; b)
1
1 1
9
3
x
; c)
1
5 40
2
x
;
d)
2 1
4 8
x x
e)
2
1 1
5 25
x x
; g)
2 1
0,25 0,5
x x
.
Lời giải
a) Đưa về bất phương trình
3
2
2
2 2
x
. Đáp số:
3
4
x
.
b) Đưa về bất phương trình
1
2
2
1 1
3 3
x
. Đáp số:
5
x
.
c) Đưa về bất phương trình
3
1 1
2 2
x
. Đáp số:
3
x
.
d) Đưa về bất phương trình
4 3 3
2 2
x x
. Đáp số:
3
x
.
e) Đưa về bất phương trình
2 2
1 1
5 5
x x
. Đáp số:
2
3
x
.
g) Đưa về bất phương trình
2 4 1
0,5 0,5
x x
. Đáp số:
5
x
.
4. Giải các bất phương trình sau:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
32
a)
3
log 4 2
x
; b)
1
2
log 4
x
; c)
0,25
log 1 1
x
;
d)
2
5
log 24 2
x x
; e)
1 1
4 4
2log 1 log 3 7
x x
; g)
3 3
2log 1 1 log 7
x x
Lời giải
a)
4 5
x
; b)
1
0
16
x
;
c)
5
x
; d)
1
x
hoặc
25
x
.
e) Điều kiện:
1
x
.
Đưa về bất phương trình
2
1 1
4 4
log ( 1) log 3 7
x x
, rồi đưa về bất phương trình
2
6 0
x x
.
Đáp số:
1 3
x
.
g) Điều kiện:
1
x
.
Đưa về bất phương trình
2
3 3
log ( 1) log 3 7
x x
, rồi đưa về bất phương trình
2
20 0
x x
.
Đáp số:
1 5
x
.
5. Giải các phương trình sau:
a)
4 5 2 4 0
x x
; b)
1
1 1
2 27 0
9 3
x x
.
Lời giải
a) Đặt
2 ( 0)
x
t t
, nhận được phương trình
2
5 4 0
t t
.
Đáp số:
0
x
hoặc
2
x
.
b) Đặt
1
( 0)
3
x
t t
, nhận được phương trình
2
6 27 0
t t
9
t
( nhận) hay
3
t
(loại)
Đáp số:
2
x
.
6. Tìm tất cả các số nguyên
x
thoả mãn
3 3
log 2 log 1 0
x x
.
Lời giải
Từ giả thiết, nhận được
3
1 log 2
x
hay
3 9
x
. Từ đó, các số nguyên
x
cần tìm là
4;5;6;7;8
.
7. Tìm tập xác định của các hàm số
a)
2
1
4 2
log
x
y f x
x
; b)
1
2
log 2
y f x x
.
Lời giải
a)
1;2
; b)
2;3
.
8. Cho hàm số
2
log
y f x x
. Biết rằng
5( , 0)
f b f a a b
, tìm giá trị của
b
a
.
Lời giải
32
b
a
9. Cho hai số thực
a
và
b
thoả mãn
125 25 3
a b
. Tính giá trị của biểu thức
3 2 .
P a b
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
33
Lời giải
5
3 2 log 3
P a b
10. Đồng vị phóng xạ Uranium-235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kì bán rã là
703800000
T
năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium-235 thì sau
t
năm, do bị phân rã, lượng
Uranium-235 còn lại được tính bởi công thức
1
100
2
t
T
M
(g). Sau thời gian bao lâu thì lượng
Uranium-235 còn lại bằng
90%
so với ban đầu?
Lời giải
Khi
90 g
M
, ta có phương trình:
1
90 100
2
t
T
1
2
t
T
0,9
t
T
=
1
2
log 0,9
1
2
log 0,9 106979777
t T
( năm)
11. Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililít nước chứa
0
P
vi khuẩn thì sau
t
giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là
0
10
t
P P
, với
là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililít nước có 9000 vi khuẩn
và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 6000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi
khuẩn trong mỗi mililít nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000?
Lời giải
2
1 2 1 3
6000 9000.10 log log
2 3 2 2
1 1
9000.10 1000 10 log
9 9
t t
t
2 1 2 1 4log3
log log 10,8
1 3 3
3 3
log log
2 2 2
t
(giờ)
12. Độ
pH
của một dung dịch được tính theo công thức
pH log
x
, trong đó
x
là nồng độ ion
H
của
dung
dịch đó tính bằng
mol / L
. Biết rằng độ
pH
của dung dịch
A
lớn hơn độ
pH
của dung dịch
B
là 0,7.
Dung dịch
B
có nồng độ ion
H
gấp bao nhiêu lần nồng độ ion
H
của dung dịch
A
?
Lời giải
Ta có:
A A
pH log ;pH = log
B
B
x x
B
A B A B
A
pH pH log log log .
x
x x
x
Từ đó suy ra
0,7
B B
A A
log 0,7 10 5
x x
x x
(lần).
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
34
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Rút gọn biểu thức
1
2
4
5
1
. 3
3
, ta được
A.
3
. B.
3 3
. C.
1
3
. D.
9
.
Lời giải
Chọn D
1
5
2
1 1 5
1
4
2
5 1 2
2 2 2
4
1
( 3) (3) 3 3 3 3 9
3
Câu 2: Nếu
2 9
a
thì
8
1
16
a
có giá trị bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
1
9
. D.
1
3
.
Lời giải
Chọn A
1
1
8
4
2 2
8 2
1 1
2 2 2 9
16 3
Câu 3: Nếu
1
2
0, 1
a b a a
thì
A.
1
2
log
a b
. B.
2log 1
a
b
. C.
1
log
2
a
b
. D.
1
2
log
b a
.
Lời giải
Chọn B
Câu 4: Nếu
3 9
x log log 4
a thì
3
x
có giá trị bằng
A.
6
. B.
8
. C.
16
. D.
64
.
Lời giải
Chọn A
9
3 9 3 9 9
log 4
1 1 1
log 4 log 4 log 4 log 4 log 4
2 2 2
3 3 3 3 4 9 4 9 4 4 4 2 6
x
Câu 5: Cho
,
là hai số thực với
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A.
0,3 0,3
. B.
. C.
2 2
. D.
1 1
2 2
.
Lời giải
Chọn C
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
35
Câu 6: Hình nào vẽ đồ thị của hàm số
1
2
logy x
?
Lời giải
Chọn D
Câu 7: Phương trình
2 1
0,1 100
x
có nghiệm là
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
1
2
. D.
1
2
3
.
Lời giải
Chọn A
2 1
0,1
1
0,1 100 2 1 log 100 2 1 2
2
x
x x x
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình
3 1
0,5 0,25
x
A.
;1
. B.
1;
. C.
0;1
. D.
1
;
3
.
Lời giải
Chọn A
3 1 3 1 2
0,5 0,25 0,5 0,5 3 1 2 1
x x
x x
Câu 9: Nếu
log 2log5 log 2x
thì
A.
8x
. B.
23x
. C.
12,5x
. D.
5x
.
Lời giải
Chọn C
2
25
log 2log5 log2 log5 log2 log25 log2 log log12,5
2
x
Suy ra
12,5x
Câu 10: Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
0,1
log 1 2 1x
là
A.
0x
. B.
1x
. C.
5x
. D.
4x
.
Lời giải
Chọn D
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
36
1
0,1
log 1 2 1 1 2 0,1 1 2 10 4,5
x x x x
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 11: Biết
4 4 5
. Tính giá trị biểu thức :
1.
2 2
2.
2 2
4 4
Lời giải
2 2
2
a) 4 4 5
2 2 2 2 2 5 2
2 2 7
2 2 7
b)
2 2 2
2 2 2
4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 2 5 2 23
Câu 12: Tính giá trị của biểu thức :
1.
2 2 2
1
log 72 log 3 log 27
2
;
2.
2 2
log 40 log 5
5
;
3.
9
2 log 2
3
.
Lời giải
2 2 2
1
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
a) log 72 log 3 log 27
2
1 1
log 72 log 3.27 log 72 log 81 log 72 log 81
2 2
72
log 72 log 9 log log 8 3
9
b)
2
2 2 2
40
log
log 40 log 5 log 8 3
5
5 5 5 5 125
9 9
1
2
9 9
9 9
log 81 log 2
1 1 1
log 81.2 log 162
2 log 2 log 162
2 2 2
c) 3 9 9 9 9
1
2
162 9 2
Câu 13: Biết rằng
5 3
x
và
3 5
y
. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của
xy
.
Lời giải
5
3
3 5
5 3. Suy ra log 3
3 5. Suy ra log 5
log5 log3
Ta có . log 5 log 3 1
log3 log5
x
y
x
y
x y
Câu 14: Viết công thức biểu thị
y
theo
x
, biết
2 2
1
2log 2 log
2
y x
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
37
1
2
2
2 2 2 2 2
1
2 2
2
2 2
1
2log 2 log log log 4 log
2
log log 4 4 4
y x y x
y x y x y x
Câu 15: Giải các phương trình sau :
1.
2
1
8
4
x
;
2.
2 1
9 81.27
x x
;
3.
5 5
2log 2 log 9
x
;
4.
2 2
log 3 1 2 log 1
x x
.
Lời giải
2
3
1
2
2 3 2 4
2
2
2 1
2 1 2 4 3
1 3 5
a) 8 2 2 2 2 2 4
4 2 4
b) 9 81.27 3 3.3
x
x
x
x x
x x
x x
4 2 4 3
3 3 4 2 4 3 6
x x
x x x
2 2
5 5 5 5
c) 2log 2 log 9 log ( 2) log 9 ( 2) 9
2 3( 2 0) 5
x x x
x và x x
d) Điều kiện xác định:
3 1 0; 1 0
x x
. Hay
1
x
2 2 2 2
2 2
2
2
log 3 1 2 log 1 log 3 1 log 1 2
log 3 1 1 2 3 2 1 2
5
3 2 5 0
3
1
x x x x
x x x x
x
x x
x
Câu 16: Giải các bất phương trình :
1.
1
1 1
9 81
x
;
2.
4
3 27.3
x
x
;
3.
2
log 1 log 2 4
x x
.
Lời giải
1 1 2
1
3
4
4
1 1 1 1 1
a) 1 2 Do 1 1
9 81 9 9 9
b) ( 3) 27.3 3 3.3
x x
x
x x x
x x
1
3
4
1
3 3 3 do 3 1 4
4
x
x
x x x
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
38
2 2
1
c) 1 0;2 - 4 0 Hay -1
2
log 1 log 2 4
1 2 4
1
5
x x x
x x
x x
x
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:
1
1
5
x
Câu 17: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện số lượng
vi khuẩn tăng thêm
25%
sau mỗi hai ngày
1. Công thức
0
.
t
P t P a
cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau
t
ngày kể từ
thời điểm ban đầu. Xác định các tham số
0
P
và
a
0
a
. Làm tròn
a
đến hàn phần trăm.
2. Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu ? Làm tròn kết quả đến hàng trăm.
3. Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả
đến hàng phần mười.
Lời giải
a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên
0
1000
P .
Sau 2 ngày, số lượng vi khuẩn là:
0
125% 125%.1000 1250
P P
Ta có:
2 2 2
0
2 1250 1000 1,25 1,12
P P a a a a
b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là:
5 2
0
5 1000.1,12 1800
P P a
(vi khuẩn).
c) Với
0
P t P
ta có:
0 0 0 1,12
2 1,12 1,12 2 log 2 6,1 (ngày)
t t t
P t P a P P t
Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.
Câu 18: Nhắc lại rằng, độ
PH
của một dung dịch được tính theo công thức
logPH H
, trong đó
H
là nồng độ
H
của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ
H
trong dung dịch cho biết
độ acid của dung dịch đó.
1. Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9 ; dung dịch B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ
acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần
2. Nước cất có nồng độ
H
là
7
10 /
mol L
. Nước chảy từ một vòi nước có độ
pH
từ
6,5
đến
6,7
thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất.
Lời giải
a)
1,9
1,9 log 1,9 log 1,9 10
A
pH H H H
Vậy độ acid của dung dịch
A
là
1,9
10 mol / L
.
2,5
2,5 log 2,5 log 2,5 10
B
pH H H H
Vậy độ acid của dung dịch
B
là
2,5
10 mol / L
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
39
Ta có:
1,9
2,5
10
3,98
10
Vậy độ acid của dung dịch A cao hơn độ acid của dung dịch B 3,98 lần.
b) Ta có:
6,5 6,7
6,5 6,7 6,5 log 6,7 6,5 log 6,7 10 10
pH H H H
Vậy nước chảy từ vòi nước có độ acid từ
6,7
10 mol / L
đến
6,5
10 mol / L
.
Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất.
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
A. TRẮC NGHIỆM
1. Biết rằng
2 9
a
. Tính giá trị của biểu thức
6
1
8
a
.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
9
. D. 3.
Lời giải
Chọn B
2. Giá trị của biểu thức
5 5
2log 10 log 0,25
bằng
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn C
3. Cho
x
và
y
là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
log log log log
2 2 2
x y x y
. B.
log
log log
2 2 2
x y
x y
.
C.
log
log log
2 2 2
xy
x y
. D.
log log log log
2 2 2
x y x y
.
Lời giải
Chọn C
4. Biết rằng
3 9
log 6 log 4
x . Gia trị của biểu thức
3
x
bằng
A. 6. B. 12. C. 24. D. 48.
Lời giải
Chọn B
5. Giá trị của biểu thức
2 5
log 25 log 8
bằng
A. 4. B.
1
4
. C. 6. D.
1
6
.
Lời giải
Chọn C
6. Đặt
log3 ,log5
a b
. Khi đó
15
log 50
bằng
A.
1 2
b
a b
. B.
a b
a b
C.
1
b
a b
. D.
1
b
a b
.
Lời giải
Chọn D
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
40
7. Cho ba số
1,6
0,9 0,5
1
4 , 8 ,
2
a b c
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
c a b
. B.
c b a
.
C.
a b c
. D.
a c b
.
Lời giải
Chọn D
8. Cho ba số
1 1
3 3
1 1
log , log
2 2
a b
và
3
1
log 5
2
c
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
a b c
. B.
b a c
.
C.
c a b
. D.
a c b
.
Lời giải
Chọn A
9. Cho
1
0 1, log 2 log 3, log 5, log 14 log 2
2
a a a a a
a x y z
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
x y z
. B.
y x z
.
C.
z x y
. D.
z y x
.
Lời giải
Chọn C
10. Cho ba số
0,3
1
3
1
2
1
log 3, , 2
2
a b c
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
a b c
. B.
a c b
.
C.
c a b
. D.
b a c
.
Lời giải
Chọn A
11. Giải phương trình
4
1
3
3 3
x
.
A.
1
4
. B.
3
8
. C.
3
8
. D.
1
12 3
.
Lời giải
Chọn B
12. Tập nghiệm của bất phương trình
3 1
0,3 0,09
x
là
A.
1;
. B.
;1
. C.
1
;
3
. D.
0;1
.
Lời giải
Chọn B
13. Biết rằng
3 4 8 8
log 4 log 8 log log 64
x . Giá trị của
x
là
A.
9
2
. B. 9. C. 27. D. 81.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
41
Lời giải
Chọn B
14. Giải phương trình
5 5
log 4 5 2 log 4
x x
.
A. 9. B. 15. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn D
15. Giả sử
và
là hai nghiệm của phương trình
2 2
1
log log 3
3
x x
. Khi đó tích

bằng
A.
1
3
. B. 3. C.
3
. D.
2
log 3
.
Lời giải
Chọn A
B. TỰ LUẬN
1. Tính giá trị của các biểu thức
a)
1
3
5
2
2
6
3
27 4
8 3
; b)
log 5 log 2
;
c)
3
4
5 5
16 9 4
log log
81 4 9
; d)
2 3 9 7
log 7 log 16 log 3 log 9
.
Lời giải
a)
3
2
; b)
1
2
; c)
27
8
; d) 4.
2. Biết rằng
5
log 4 1
x
. Tìm giá trị của biểu thức
4 4
x x
.
Lời giải
Ta có:
5 4
5
1
log 4 1 log 5
log 4
x x
.
4 4
log 5 log 5
1
1
4 4 4 4 5 5 5 .
5
x x
3. Biết rằng
10 , 10
x y
a b . Hãy biểu thị biểu thức
2
3
log
a
A b
theo
x
và
y
.
Lời giải
2 2
3
3
10
10
1
log log 10 log 10
2 3 6
x
y
a
y y
A b
x x
4. Giải các phương trình sau:
a)
4 2 2
x
; b)
5 2
9 27
x x
;
c)
81
1
log
2
x
; d)
1 1
2 2
log 3 1 log 4 1
x x
;
e)
5 5
log 2 log 2 1
x x
; g)
3
log 8
4
x
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
42
Lời giải
a)
3
8
x
; b)
6
7
x
; c)
9
x
;
d)
2
x
; e)
3
x
; g)
16
x
.
5. Giải các bất phương trình sau:
a)
2 2
32 64
x x
; b)
2
2 2
2
25 4
5
x x
;
c)
log 11 1 2
x
; d)
1 1
3 3
log 3 1 log 2 1
x x
.
Lời giải
a)
3
x
; b)
2 0
x
;
c)
1
9
11
x
; d)
1
2
3
x
.
6. Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
log 1 log 1 log 1 log 1 .
1 2 3 99
A
Lời giải
1 1 1 1
log 1 log 1 log 1 log 1
1 2 3 99
A
3 4 100
log 2 log100 2.
2 3 99
7. Cho
là số thoả mãn
3 3 2
. Tìm giá trị của các biểu thức:
a)
3 3
; b)
9 9
.
Lời giải
a)
2 2
2 2 2
3 3 3 2 3 3 3 4 2 4 8
.
3 3 2 2 (do 3 3 0 .
b)
9 9 3 3 3 3 2 2 2 4 2
.
8. Công thức
1
0
1
2
T
M M
cho biết khối lượng của một chất phóng xạ sau thời gian
t
kể từ thời điểm
nào đó (gọi là thời điểm ban đầu),
0
M
là khối lượng ban đầu,
T
là chu kì bán rã của chất phóng xạ đó
(cứ sau mỗi chu kì, khối lượng của chất phóng xạ giảm đi một nửa). Trong một phòng thí nghiệm, với
khối lượng
200 g
radon ban đầu, sau 16 ngày, chỉ còn lại
11 g
. Chu kì bán rã của radon bằng bao nhiêu?
Lời giải
16
1 2
2
2
1 16 11 200 16
11 200. log log 3,8
200
2 200 11
log
11
T
T
T
(ngày)
9. Công thức
log 11,8 1,5
x M
cho biết mối liên hệ giữa năng lượng
x
tạo ra (tính theo erg, 1 erg tương
đương
7
10
jun) với độ lớn
M
theo thang Richter của một trận động đất.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
43
a) Trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra năng lượng gấp bao nhiêu lần so với trận động đất có độ
lớn 3 độ Richter?
b) Người ta ước lượng rằng một trận động đất có độ lớn khoảng từ 4 đến 6 độ Richter. Năng lượng do
trận động đất đó tạo ra nằm trong khoảng nào?
Lời giải
a) Gọi
1 2
,
x x
(erg) lần lượt là năng lượng tạo ra của hai trận động đất có độ lớn lần lượt là
1 2
5, 3
M M
(độ Richter).
Ta có:
1 1 2 2
log 11,8 1,5 ;log 11,8 1,5
x M x M
3
1 1
1 2 1 2
2 2
log log 1,5 log 3 10 1000
x x
x x M M
x x
.
b)
17,8 20,8
11,8 1,5.4 log 11,8 1,5 6 17,8 log 20,8 10 10
x x x .
CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM
BÀI 1. ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đạo hàm
Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;
a b
và
0
;
x a b
.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số
f x
tại
0
x
, kí hiệu là
0
f x
hoặc
0
y x
.
Vậy
0
0
0
0
lim
x x
f x f x
f x
x x
.
Chú ý:
- Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;
a b
. Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm
;
x a b
thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng
;
a b
, kí hiệu
y
hoặc
f x
.
- Cho hàm số
y f x
xác định trên khoảng
;
a b
, có đạo hàm tại
0
;
x a b
.
a) Đại lượng
0
x x x
gọi là số gia của biến tại
0
x
. Đại lượng
0
y f x f x
gọi là số gia tương
ứng của hàm số. Khi đó,
0
x x x
và
0 0
0
0 0
lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
.
b) Tỷ số
y
x
biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng
y
theo đại lượng
x
trong khoảng từ
0
x
đến
0
x x
; còn
0
f x
biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng
y
theo đại lượng
x
tại điểm
0
x
.
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
 Nếu hàm số
s f t
biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian
t
thì
0
f t
biểu thị
tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm
0
t
.
 Nếu hàm số
T f t
biểu thị nhiệt độ
T
theo thời gian
t
thì
0
f t
biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt
độ theo thời gian tại thời điểm
0
t
.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
44
Đạo hàm của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
0
M T
với đồ thị
C
của hàm số
tại điểm
0 0 0
;
M x f x
.
Tiếp tuyến
0
M T
có phương trình là
0 0 0
y f x f x x x
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
f x x x
với
0
x
; b)
1
x
f x
x
với
1
x
.
Lời giải
a) Với bất kì
0
0
x
, ta có:
0 0 0
0
2 2
0 0
0 0
0
0
0
0 0 0
lim lim lim
x x x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
f x f x
f x
x x x x x x
0
0 0
0 0
1 1
lim 2
2
x x
x x x
x x x
.
Vậy
1
2
2
f x x
x
trên khoảng
0;

.
b) Với
0
1
x
, ta có;
0 0 0 0
0
0
0 0
0
2
0 0 0 0 0
0
1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1 1 1
1
x x x x x x x x
x
x
f x f x
x x x x
f x
x x x x x x x x x x
x
.
Vậy
2
1
1
f x
x
trên các khoảng
;1

và
1;

.
Bài 2. Cho hàm số
1
x
y f x
x
có đồ thị là
H
.
a) Viết tiếp tuyến của
H
tại điểm
M H
có
2
M
x
.
b) Viết tiếp tuyến của
H
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
:
d y x
.
c) Viết tiếp tuyến của
H
biết tiếp tuyến đi qua điểm
1; 1
N
.
Lời giải
Ta có
2
1
1
y f x
x
trên khoảng
;1

và
1;

.
a) Phương trình tiếp điểm của
H
tại
M
có hệ số góc
2 1
f
là:
2 2 2 2 1 2 4
y f f x y x y x
b) Gọi
1
d
là tiếp tuyến cần tìm của
H
và
0 0 0
;
M x f x
là tiếp điểm của
H
và
1
d
.
Vì
1
/ /
d d
nên
0
1
f x
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
45
Suy ra
2
0 0
0
2
0 0
0
1 1 2
1
1 1 1
1 1 1
1
x x
x
x x
x
Với
0
2
x
, phương trình tiếp tuyến tại điểm
0
2;2
M
có hệ số góc
2 1
f
là:
2 2 2 2 1 2 4
y f f x y x y x
.
Với
0
0
x
, phương trình tiếp tuyến tại điểm
0
0;0
M
có hệ số góc
0 1
f
là:
0 0 0 0 1 0
y f f x y x y x
(loại vì trùng với đường thẳng
d
)
Vậy tiếp tuyến của
H
song song với đường thẳng
d
là
1
: 4
d y x
.
c) Gọi
a
là tiếp tuyến cần tìm của
H
và
0 0
;
A x f x
là tiếp điểm của
H
và
a
.
Phương trình tiếp tuyến
a
là:
0 0 0
y f x f x x x
.
Vì
a
qua điểm
1; 1
N
nên
0
0 0 0
2
0
0
1
1 1 2 1 0
1
1
x
x x x
x
x
0
0
x
(nhận) hoặc
0
1
x
(loại).
Vậy phương trình tiếp tuyến
: 0 0 0 :
a y f f x a y x
Bài 3. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
2
2 16 15
s t t t
, trong đó
s
tsinh bằng
mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm
3
t
.
Lời giải
Ta có
2
2 16 15 2.3 16 4 16
s t t t t t
.
Vận tốc tức thời tại thời điểm
3
t
là
3 1.3 16 4 /
s m s
.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
f x x
; b)
3
2
f x x x
; c)
4
f x
x
.
Lời giải
a)
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0
0 0 0
0
0 0 0 0
lim lim lim lim
x x x x x x x x
x x x x
f x f x x x x x
f x
x x x x x x x x
0
0
lim
x x
x x
0 0 0
2
x x x
b)
0 0 0
3 3
3 3
0 0
0
0 0
0
0 0 0
2x 2x
2x 2x
lim lim lim
x x x x x x
x x
f x f x
x x
f x
x x x x x x
0
2 2
0 0 0 0
0
. 2
lim
x x
x x x x x x x x
x x
0
2 2
0 0
lim . 2
x x
x x x x
2 2 2
0 0 0 0 0
. 2 3 2
x x x x x
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
46
c) b)
0 0 0 0
0
3 3
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
4x 4
4 4
2x 2x .
lim lim lim lim
x x x x x x x x
x
f x f x
x x x x x x
f x
x x x x x x x x
0
2
0 0 0
4 4 4
lim
. .
x x
x x x x x
Bài 2. Cho hàm số
2
2
f x x
có đồ thị
C
và điểm
1; 2
A C
. Tính hệ số góc của tiếp tuyến với
C
tại điểm
A
.
Lời giải
Ta có
0
4
f x x
Hệ số góc của tiếp tuyến với
C
tại điểm
A
là
4 .1 4
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
y x
a) Tại điểm
1;1
; b) Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
Lời giải
Ta có:
2
0
( )
3
y x x
a) Ta có điểm
1;1
không thuộc hàm số
3
y x
nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;1).
b) Khi
2
x
thì
3
2 8
y
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là
2
3.2 12
Phương trình tiếp tuyến tại điểm
2;8
là:
8 12. 2
( )
y x
hay
12 16
y x
Bài 4. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3
4 6 2
s t t t
, trong đó
s
tính bằng mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại
2
t
.
Lời giải
Vận tốc tức thời của chuyển động là:
2
12 6
v t s t t
Khi
2
2, v 2 12.2 6 54
t
Bài 5. Một người gửi tiết kiệm khoản tiền
10
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
5% /
năm. Tính
tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức
a) lãi kép với kì hạn 6 tháng; b) lãi kép liên tục.
Lời giải
a) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:
2
0,05
10000000 1 10506250
( )
2
T
(đồng)
b) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:
0,05
10000000 10512711
T e
(đồng)
Bài 6. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức
2
0,81
h t t
, với
t
được tính bằng giây và
h
tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt
Trăng tại thời điểm
2
t
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
47
(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)
Lời giải
Vận tốc tức thời của vật là:
1,62
v t h t t
Tại thời điểm
2
t
thì
2 1,62.2 3,24
v
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3
y x
. Chứng minh rằng
3 2
1
0
3
y x x
x
.
Lời giải
Với
0
0
x
, ta có:
0 0 0
3
3
00
0
3
2 2 2
3 3
3 3
3 3 3
3
0
0 0 0
0 0 0
1 1
lim lim lim
3
x x x x x x
x x
f x f x
y x
x x
x x x xx x
x xx x x
Vậy
3 2
1
0
3
y x x
x
.
2. Cho parabol
P
có phương trình
2
y x
. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol
P
a) Tại điểm
1;1
.
b) Tại giao điểm của
P
với đường thẳng
3 2
y x
.
Lời giải
a) Ta có
1 2
y
b) Giao điểm của
P
với đường thẳng
3 2
y x
là
3 17
2
x
và
3 17
2
x
, hệ số góc là
3 17
k và
3 17
k .
3. Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên
.
a)
2
2 khi 2
1
2
1
x x x
f x
khi x
x
b)
2
2 x 1
2
1 khi 1
x x khi
f x
x
x
Lời giải
a) Ta có:
2 2
1
lim lim 4
3
x x
f x f x
nên
f
gián đoạn tại 2, do đó
f
không có đạo hàm tại 2.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
48
b) Ta có
1 1
lim 3 lim 1
x x
f x f x f
nên
f
liên tục tại 1.
Ta lại có
1 1
1 1
lim 4, lim 2
1 1
x x
f x f f x f
x x
Suy ra
1 1
1 1
lim lim
1 1
x x
f x f f x f
x x
nên không tồn tại
1
1
lim
1
x
f x f
x
.
Vậy
f
không có đạo hàm tại 1.
4. Gọi
C
là đồ thị của hàm số
3 2
2 1
y x x
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
sao cho tiếp tuyến
đó
a) Song song với đường thẳng
2
y x
;
b) Vuông góc với đường thẳng
1
4
4
y x
;
c) Đi qua điểm
0;1
A
.
Lời giải
a) Hai tiếp tuyến
31
1;
27
y x y x
b) Hai tiếp tuyến:
67
4 7; 4
3
y x y x
c) Hai tiếp tuyến:
1; 1
y y x
5. Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình
2
2 5 2
s t t t
, trong đó
s
tính bằng mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm
4
t
.
Lời giải
Ta có
4 5, 4 21 /
s t t s m s
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
49
BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đạo hàm của hàm số
*
,
n
y x n
Hàm số
n
y x
với
*
n
có đạo hàm trên
và
1
n n
x nx
.
2. Đạo hàm của hàm số
y x
Hàm số
y x
có đạo hàm trên khoảng
0;

và
1
2
x
x
.
Nhận xét:
a) Cho số thực
. Hàm số
y x
được gọi là hàm số luỹ thừa (với tập xác định
0;

).
Công thức
1
n n
x nx
còn đúng khi
n
là số thực, tức là với số thực
bất kì
1
0
x x x
.
Với
1
2
, ta nhận được công thức đã biết:
1 1
2 2
1 1
0
2
2
x x x x
x
b) Ở bài học trước, dùng định nghĩa ta tìm được các công thức đạo hàm:
0
C
,
C
là hằng số;
2
1 1
, 0
x
x x
;
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
sin cos
x x
;
cos sin
x x
;
2
1
tan ,
cos 2
x x k k
x
;
2
1
cot ,
sin
x x k k
x
.
4. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Ta có công thức đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số logarit sau:
x x
e e
;
1
ln 0
x x
x
;
. 0,
x x
a a lna a a
;
1
log 0, 0, 1
ln
a
x x a a
x a
.
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
Cho hai hàm số
,
u x v x
có đạo hàm tại điểm
x
thuộc khoảng xác định. Ta có:
u v u v
;
u v u v
.
u v u v v u
;
1
2
u u v uv
v v
(với
0
u v x
).
2
Chú ý:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
50
 Với
u C
(
C
là hằng số), công thức
1
trở thành
. .
C v C v
.
 Với
1
u
, công thức
2
trở thành
2
1
v
v v
(với
0
v v x
).
6. Đạo hàm của hàm hợp
Cho hàm số
u g x
có đạo hàm tại
x
là
x
u
và hàm số
y f u
có đạo hàm tại
u
là
u
y
thì hàm hợp
y f g x
có đạo hàm tại
x
là
.
x u x
y y u
.
7. Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại mọi
;
x b
thì ta có hàm số
y f x
xác định trên
;
a b
.
Nếu hàm số
y f x
lại có đạo hàm tại
x
thì ta gọi đạo hàm của
y
là đạo hàm cấp hai của hàm số
y f x
tại
x
và kí hiệu là
y
hoặc
f x
.
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai
f t
là gia tốc tức thời tại thời điểm
t
của vật chuyển động có phương trình
s f t
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3
3
1
1
x
y
x
với
0
x
; b)
3
2 2
1 2 2
3
x
y x x x
.
Lời giải
a)
2 2
3 3
3 3
3 3 3 3
2 2
3 3
2
3
2 2
3 2
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
3 3
1 1
1 2 2 1
3 3
1 1
x x x x
x x x x
y
x x
x
x x x
b)
3 3
2 2 2 2
3 2
2 2
1 2 2 1 2 2
3 3
1 2.2 2 1 2 2 3.
3 3
x x
y x x x x x x
x x
x x x x x
3
2 2 2 2 3 4
28 10
1 4 2 1 2 2 2 10 2
3 3 3
x
x x x x x x x x x x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
sin 2cos 2cos 1
y x x sinx x
; b)
tan 1
cot 2
x
y
x
.
Lời giải
a)
sin 2cos 2cos 1 sin 2cos 2cos 1
y x x sinx x x x sinx x
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
51
cos 2sin 2cos 1 sin 2cos cos 2sin
x x sinx x x x x x
10sin cos cos 2sin
x x x x
.
b)
2 2
2 2
1 tan cot 2 tan 1 1 cot
tan 1 cot 2 tan 1 cot 2
cot 2 cot 2
x x x x
x x x x
y
x x
2 2
2
2cot 2 tan 2 tan cot 1
cot 2
x x x x
x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 1
2 1
x
x
y
; b)
3
3ln 2 2log 5
y x x
.
Lời giải
a)
1
2 2 2 2
2 ln 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln 2 2 1 2 ln 2 2 1
2 ln 2
2 1 2 1 2 1 2 1
x x x
x x x x x x x x
x
x x x x
y
b)
3 3 3
3 2
3ln 2 2log 5 3ln 2 2log 5 2log 5 3ln 2
ln3
y x x x x x x
x x
3
1 6 4
6log ln 15
ln3 ln3
x x
x
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 sin3
y x
; b)
2
ln 3 2
y x
;
c)
3
1
1
x
y
e
; d)
tan cot
y x
.
Lời giải
a)
2 sin3 cos3 . 3
3 os3
2 2 sin3 2 2 sin 3 2 2 sin 3
x x x
c x
y
x x x
.
b)
3 2
6
2ln 3 2 ln 3 2 2ln 3 2 ln 3 2
3 2 3 2
x
y x x x x
x x
c)
3
3
3
2 2 2
3 3 3
1
3
3
1 1 1
x
x
x
x x x
e
e x
e
y
e e e
.
d)
2 2 2
1
cos cot sin os cot
cotx
y
x xc x x
.
Bài 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
3 2
3 3 1
y x x x
; b)
2
os
y c x
.
Lời giải
a)
2 2
3.3 2 3 9 2 3, 9.2 2 18 2
y x x x x y x x
b) Đặt
cos
u x
thì
2
y u
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
52
Ta có
sin
x
u x
và
2
u
y u
.
Suy ra
. 2 . sin 2cos .sin sin 2
x u x
y y u u x x x x
2 .cos 2 -2cos2
y x x x
Bài 6. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
2
2 15 3
s t t t
, trong đó
s
tính bằng mét
và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
2
t
.
Lời giải
Ta có:
2.2 15 4 15
s t t t
, suy ra
4
s t
.
Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
2
t
lần lượt là
2 7 /
s m s
và
2
2 4 /
s t m s
.
Bài 7. Nếu số lượng sản phẩm được của một nhà máy là
x
(đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là
2
200 12800 - 74000
P x x x
(nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản
xuất 1200 sản phẩm.
Lời giải
Ta có
2.200 12800 400 12800
P x x x
Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 1200 sản phẩm là
12 400.12 12800 8000
P
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
3
1
2 4
2 3
x
y x x
; b)
2 3
4
x
y
x
;
c)
2
2 3
1
x x
y
x
; d)
5
y x
.
Lời giải
2
6 4
)a y x x
b)
2
2 3 5 5
2
(
4 4
)
4
x
y
x x x
c)
2 2
2 3 1 2 2
1
1 1 1
x x x x x
y x
x x x
2
(
1
1
)
2
y
x
d)
x
1 5
5 .
2 5
)
5
(
2
y x
x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
sin 3
y x
; b)
3
cos 2
y x
;
c)
2
tan
y x
; d)
2
cot 4
y x
.
Lời giải
.) (
3 3 3
) 3
a y x cos x cos x
2 2
2 .3. 2 2 . 2 .) 3( . 2 6 2( ) .)
2
) (
b y cos x cos x x sin x cos x sin x cos x
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
53
2 2
1
.)
2
2 .2.( )
tanx
c y tanx tanx tanx
cos x cos x
2
2 2 2
1 1 2
4 . 2) .) (
x
d y x x
sin x sin x sin x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
.2
x
y x x
;
b)
2
3
log
y x x
;
c)
3 1
x
y e
.
Lời giải
2 2 2
( .2) ( ) ( ) ( ) )
2
)
. 2 2 1 . 2 .
(2 .
x x x x
a y x x x x x x x ln
2 2 2
3 3 3
1
. . 2 . .
. 3
) ( ) ( )b y x log x x log x x log x x
x ln
3 1 3 1
3 1 .) 3( ) .
x x
c y x e e
Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
4 2
2 5 3
y x x ;
b)
x
y xe
.
Lời giải
3 2
8 10 ; 24 10
)a y x x y x

. ; y . .
) 2
x x x x x x
b y e x e e e x e e x ex

Bài 5. Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi
hàm số
3 2
0,000758 0,0596 1,82 8,15
w t t t t
, trong đó
t
được tính bằng tháng và
w
được tính bằng
pound (nguổn: https://www.cde.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng
của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.
Lời giải
Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái là:
2
0,002274 0,1192 1 2
)
,
(
8
w t t t
Khi
10
t
, ta có:
2
10 0,002274.10 0,1192.10 1,82 0,8554
( )w
Bài 6. Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất
x
mặt hảng là
2
( ) 5 60
C x x và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong
t
tháng kể từ nay theo hàm số
( ) 20 40
x t t
. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?
Lời giải
Tốc độ tăng của chi phí theo thời gian là
2
2
2
2
1 1
. 5 20 40 5 60 . .20 10 . .20
x2 5 2
( ) ( ) ( ) x 60 ( ) ( )
60 x 65 0
C t C x x t t x x
22
1 1
100 . 100 20 40 .
2 5 20 40 60
( )
x 60 5( )
x t
t
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
54
Khi
4
t
thì
2
1
4 100 20.4 40 . 44,7
0
( ) ( )
5 20.4 4( ) 60
C
Bài 7. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức
2
0,81
s t t
, trong đó
t
là thời gian được tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao
200 m
phía trên Mặt
Trăng. Tại thời điềm
2
t
sau khi thả vật đó, tính:
a) Quãng đường vật đã rơi;
b) Gia tốc của vật.
Lời giải
a) Khi
2
t
thì
2
)
0,81.2 ,
( ) (
3 24
s t m
b) Ta có:
1,6
( ) ( )
2
v t s t t
Gia tốc của vật là:
62
(
,
)
1
v t
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 3
3 2
2 3
x x
y
x
; b)
2 2 2
1 4 9
y x x x
;
c)
2
2
2
1
x x
y
x x
; d)
1 2
1
x
y
x
;
e)
2 1
x
y xe
; g)
2 1
2 3 3
x
y x
;
h)
2
ln
y x x
; i)
2
2
log 1
y x
.
Lời giải
a)
2
2
2
3
y x x
x
; b)
4 2
2 3 8 41
y x x x
;
c)
2
2
2
3 2 2
1
x x
y
x x
; d)
2
3
1
y
x
;
e)
2 1
2 1
x
y x e
; g)
2 1
2.3 2 3 ln3 1
x
y x
;
h)
2
ln 2ln
y x x
; i)
2
2
1 ln 2
x
y
x
2. Cho hàm số
3
3 4
f x x x
. Tính
2 2
4 ; 4 ; ;
f f f a f a
(
a
là hằng số khác 0).
Lời giải
Ta có
2
2
9f x x
x
2 6 2 4
2
4 184; 4 143; 3a 4 ; 9af f f a a f a
a
3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
20
2
1y x ; b)
2
1
x
y
x
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
55
a)
19
2
40 1y x x
; b)
4
2 1 1
x
y
x x
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
sin cos
x
y
x x
; b)
sinx
y
x
;
c)
3
1
sin sin
3
y x x
; d)
os 2sin
y c x
.
Lời giải
a)
2
sin cos - cos
sin cos
x x x sinx x
y
x x
b)
2
cos -sin
x x x
y
x
c)
3
os
y c x
d)
2cos .sin 2sin
y x x
5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
sin 2
y x x
; b)
2
os
y c x
; c)
4 3 2
3 1
y x x x
.
Lời giải
a)
4cos2 4sin 2
y x x
b)
2cos2
y x
c)
2
12 18 2
y x x
.
6. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình
2
100 2
s t t
trong đó thời gian được tính bằng
giây và
s
được tính bằng mét.
a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?
b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm
3s
t
.
Lời giải
a)
2 2
s t t
0 2 2 0 1
s t t t
Vận tốc chất điểm bằng 0 khi
1
t s
.
b) Khi
3s
t
3 2 2.3 4 /
s m s
2
3 2 3 2 /
s a m s
Vậy khi
3s
t
thì vận tốc của vật là
4 /
m s
. Gia tốc của vật là
2
2 /
m s
.
7. Một chuyển động thẳng xác đinh bởi phương trình
3
2 75 3
s t t t
, trong đó
s
tính bằng mét và
t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3
t
.
Lời giải
Ta có
2
6 75 12
s t t s t t
Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm
3
t
là
2 /
m s
.
8. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là
x
(đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh
ra là
200 2 17
P x x x
(nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất
3000 sản phẩm.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
56
Lời giải
Ta có:
400 3800
P x x
.
Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là
30 8200
P
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
57
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hàm số
3 2
3
y x x
. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm
1; 4
M
có hệ số góc
bằng
A.
3
. B.
9
. C.
9
. D.
72
.
Lời giải
Chọn B
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm
1; 4
M
có hệ số góc là:
2 2
1 3 6 3 ( 1) 6 1 9
y x x
Câu 2: Hàm số
2
7
y x x
có đạo hàm tại
1
x
bằng
A.
1
. B.
7
. C.
1
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
1 2 1 2.1 1 1
y x
Câu 3: Cho hai hàm số
3 2
2 3
f x x x
và
2
3
5
2
x
g x x
. Bất phương trình
f x g x
có
tập nghiệm là
A.
;0 1;

. B.
0;1
. C.
0;1
. D.
;0 1;
 
.
Lời giải
Chọn D
2 2 2
1
6 2 3 3 3 0
0
x
f x g x x x x x x x
x
Câu 4: Hàm số
3
2
x
y
x
có đạo hàm lả
A.
2
1
2
y
x
. B.
2
5
2
y
x
. C.
2
1
2
y
x
. D.
2
5
2
y
x
.
Lời giải
Chọn C
2 2 2
( 3) 2 3 ( 2) 1. 2 3 1
1
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x x x
y
x x x
Câu 5: Hàm số
1
1
y
x
có đạo hàm cấp hai tại
1
x
là
A.
1
1
2
y
. B.
1
1
4
y
. C.
1 4
y
. D.
1
1
4
y
.
Lời giải
Chọn D
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
58
2
4 3
3
2
4
2
1 1
( 1)
( 1) ( 1)
2 1
1
( 1) .
( 1) ( 1) ( 1)
1
1
(1 1) 4
2
2
y x
x x
x
y x
x x x
y
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 6: Cho hàm số
2
2 3
f x x x
có đồ thị
C
và điểm
1;6
M C
. Viết phương trình tiếp
tuyến với
C
tại điểm
M
.
Lời giải
Ta có:
2x 2
f x
nên tiếp tuyến của
C
tại điểm
1;6
M
có hệ số góc là:
1 2 1 2 4
f
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
M
là:
6 4 1 4x 4 6 4x 2.
y x y y
Câu 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 3 2
3 7 3 1
y x x x ;
b)
3
2
y x x
;
c)
4 1
2 1
x
y
x
.
Lời giải
a)
3 2 3 2
3.4x 7.3x 3.2x 0 12x 21x 6x
y
;
b) Đặt
2
u x x
thì
3
y u
. Ta có:
2
2x 1
x
u x x
và
3 2
3
u
y u u
.
Suy ra
2
2 2
3 2x 1 3 2x 1
x u x
y y u u x x
.
Vậy
2
2
3 2x 1
y x x
.
c)
2
2
2 2
(4x 1) 2x 1 4x 1 (2x 1)
(2x 1)
4 2x 1 4x 1 2
(2x 1)
8x 4 8x 2 6
(2x 1) (2x 1)
y
Câu 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
3 1
x
y x x e
;
b)
2
2
log
y x x
.
Lời giải
a)
2 2
3 1 3 1
x x
y x x e x x e
2 2
2 3 3 1 5 1
x x x
x e x x e x x e
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
59
b)
3 3 2 3
2 2 2
1
log log 3 log
ln2
y x x x x x x x
x
Câu 9: Tính đạo hàm của cảc hảm số sau:
a)
tan 1
x
y e
;
b)
sin3
y x
;
c)
cot 1 2
x
y
.
Lời giải
a)
2 2
1 1
1
cos 1 cos 1
x x
x x
y e e
e e
b)
'
1 1 1
(sin3 ) (3 ) cos3 3cos3
2 sin3 2 sin3 2 sin3
y x x x x
x x x
c)
2 2
1 1
1 2 2 ln2
sin 1 2 sin 1 2
x x
x x
y
Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai cúa các hàm số sau:
a)
3 2
4 2 3
y x x x
;
b)
2
x
y x e
.
Lời giải
2
) 3 8 2
a y x x
6 8
y x
b)
2 2 2 2
2 2
x x x x x
y x e x e x e x e x x e
2 2 2 2
2 2 2 2 2 4 2
x x x x x
y x x e x x e x e x x e x x e
Câu 11: Một viên sỏi rơi từ độ cao
44,1 m
thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức
2
4,9
s t t
, trong đó
t
là thời gian tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Tính:
a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc
2
t
;
b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.
Lời giải
Vận tốc rơi của viên sỏi là:
9,8
v t s t t
a) Khi
2
t
thì v(2) =9,8.2 = 19,6 (m/s)
b) Khi viên sỏi chạm đất thì
s t 44,1
Hay
2
4,9 44,1 3
t t
Ta có:
v 3 9,8.3 29,4 m / s
Câu 12: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức
3
2 4 1
s t t t
, trong đó
t
là thời gian tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi
1
t
.
Lời giải
Vận tốc của vật là:
2
6 4
v t s t t
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
60
Gia tốc của vật là
12
v t t
Khi
t 1
thì
2
1 6.1 4 10; 1 12.1 12
v v
Câu 13: Dân số
P
(tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức
2
500
9
t
P t
t
, trong đó
t
là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm
12
t
.
Lời giải
Tốc độ tăng trưởng dân số là:
'
' 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(500 ) 9 500 9
9
500. 9 500 .2
9
4500 500
9
4500 500.12
Khi t 12 thì 12 2,88
12 9
t t t t
P t
t
t t t
P t
t
t
P t
t
P
Câu 14: Hàm số
4
1
S r
r
có thể được sử dụng để xác định sức cản
S
của dòng máu trong mạch máu
có bán kính
r
(tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thư
Y
học "Harrison's internal medicine
21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của
S
theo
r
khi
r
.
Lời giải
Tốc độ thay đổi của S là
4 3
2
8 5
4
5
1 1 4
4
4
Khi r 0,8 thì 0,8 12.2
0,8
S r r r
r r
r
S
Câu 15: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức
2
0,1 1,2 98,6
T t t t
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
61
trong đó
T
là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm
t
(tính theo
ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm
1,5
t
.
(Nguồn: https://www.algebra.com/algebra/homework/ Trigonometry-basics/Trigonometry-
basics.faq.question.
1111985.html)
Lời giải
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ là:
0,2 1,2
T t t
Khi
t 1,5
thì
T 1,5 0,2 1,5 1,2 0,9
Câu 16: Hàm số
6000
R v
v
có thể được sử dụng để xác định nhịp tim
R
của một người mà tim của
người đó có thể đẩy đi được
6000 m
l
máu trên mỗi phút và
m
v l
máu trên mỗi nhịp đập (theo
Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine 21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của
nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là
80
v
.
Lời giải
Ta có:
2 2
1 6000
6000.R v
v v
.
Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là
80
v
là:
2
6000
80 0,9375
80
R
.
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
A. TRẮC NGHIỆM
1. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
. Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm
1; 6
M
có hệ số góc bằng:
A. 18. B. -3. C. 7. D. 9.
Lời giải
Chọn B.
2. Hàm số
3
3 1
y x x
có đạo hàm tại
1
x
bằng
A. 0. B. 6. C. -6. D. -1.
Lời giải
Chọn A.
3. Cho hai hàm số
3 2
3 3 6 1
f x x x x
và
3 2
2
g x x x
. Bất phương trình
8 0
f x f x g x
có tập nghiệm là
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
62
A.
10
1;
3
. B.
10
;1 ;
3
 
.
C.
10
1;
3
. D.
10
;1 ;
3
 
.
Lời giải
Chọn C.
4. Hàm số
2 1
3 2
x
y
x
có đạo hàm là
A.
2
1
3 2
y
x
. B.
2
7
3 2
y
x
.
C.
2
1
3 2
y
x
. D.
2
7
3 2
y
x
.
Lời giải
Chọn D.
5. Hàm số
1
1
x
y
x
có đạo hàm cấp 2 tại
1
x
là
A.
1
1
4
y
. B.
1
1
4
y
. C.
1
1
2
y
. D.
1
1
2
y
.
Lời giải
Chọn D.
6. Hàm số
2
1
3
x
y
có đạo hàm là
A.
2
2
1 3
x
x
. B.
2
2
1 3 ln3
x
x
.
C.
2
1
2 3 ln3
x
x
. D.
2
1
3
x
.
Lời giải
Chọn C.
7. Hàm số
ln cos
y x
có đạo hàm là
A.
1
cos
x
. B.
tan
x
. C.
tan
x
. D.
cot
x
.
Lời giải
Chọn B.
8. Hàm số
2
4
x
f x e
có đạo hàm tại
1
x
bằng
A.
5
1
f e
. B.
5
1 2
f e
. C.
5
1
5
e
f
. D.
5
1
2 5
e
f
.
Lời giải
Chọn C.
B. TỰ LUẬN
1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 1
f x x
tại
2
x
; b)
4
f x x
tại
1
x
;
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
63
c)
1
1
f x
x
; d)
3 2
1
f x x
.
Lời giải
a)
2
2
3
f
; b)
1 4
f
;
c)
2
1
1
f x
x
; d)
2
2
3
2
3 1
x
f x
x
2. Cho hàm số
3 2
2 2 1
f x x x x
có đồ thị
C
. Tìm tiếp tuyến với
C
có hệ số góc nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi tiếp tuyến là
và tiếp điểm là
0 0
;
M x f x
.
Hệ số góc của
là
2
2
0 0 0 0
1 11 11
6 2 2 6
6 6 6
f x x x x
Vậy hệ số góc của
nhỏ nhất bằng
11
6
khi
0
1
6
x
.
Vậy tiếp tuyến
là
1 11 1 11 109
6 6 6 6 108
y f x y x
.
3. Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức
3
3 5 2
s t t t
, trong
đó
t
là thời gian tính bằng giây và
s
tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi
1
t
.
Lời giải
Ta có
2
9 5
s t t
, vận tốc
1 14
s
.
Gia tốc
18
s t t
, gia tốc
1 18
s
.
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
y x x x
; b)
2
1
3 1
y
x x
; c)
2 3
3 2
x
y
x
;
Lời giải
a)
5 1
1
2
2
y x x
x
;
b)
2
2
2 3
3 1
x
y
x x
;
c)
2
5
3 2
y
x
.
5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
sin
1 tan
x x
y
x
; b)
2
os 1
y c x x
;
c)
2
sin 3
y x
; d)
2
cos cos3
y x
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
64
a)
2
2
sin cos -sin tan sin tan
1 tan
x x x x x x x x
y
x
b)
2
2
2 -1 sin 1
2 1
x x x
y
x x
c)
3sin 6
y x
d)
3sin 2cos3 sin 3
y x x
6. Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng
f và g
là các hàm số có đạo hàm trên
:
a)
3
y f x
; b)
2 2
y f x g x
.
Lời giải
a)
2 3
3
y x f x
; b)
2 2
f x f x g x g x
y
f x g x
7. Cho hàm số
3 2
2 5
f x x x mx
. Tìm
m
để
a)
0
f x
có nghiệm kép; b)
0
f x
với mọi
x
.
Lời giải
2
3 4
f x x x m
a)
4
0
3
m
b)
4
0 0
3
f x x m
8. Cho hàm số
2
2 8
f x x x
. Giải phương trình
2
3
f x
.
Lời giải
2
1
2 8
x
f x
x x
2
2 5 2 35 5 2 35
2 2 8 3 1 ; ;
3 5 5
f x x x x x L x N
9. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a)
1
2
x
y
x
; b)
3 2
y x
; c)
2
x
y xe
.
Lời giải
a)
2 3
3 6
;
2 2
y y
x x
b)
3
3 9
,
2 3 2
4 3 2
y y
x
x
.
c)
2 2
2 1 ; 4 1
x x
y x e y x e
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
65
CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng
a
,
b
trong không gian, kí hiệu
,a b
, là góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với
a
và
b
.
Chú ý:
Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ
0
đến
90
.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Hai đường thẳng
a
,
b
được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
90
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
, 3,a SA a SA BC
. Gọi
,I J
lần lượt
là trung điểm của
,SA SC
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a)
IJ
và
BD
; b)
SD
và
BC
.
Lời giải
a)
SAC
có
,I J
lần lượt là trung điểm của
,SA SC
, suy ra
IJ
là đường trung bình của
SAC
, suy ra
/ /IJ AC
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
.
Vậy
, , 90IJ BD AC BD AOB
.
b) Ta có
/ /AD BC
, suy ra
, ,SD BC SD AD
.
Mặt khác:
/ /
SA BC
SA AD
BC AD
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
66
Vậy
SAD
vuông tại
A
.
Suy ra
3
tan 3
SA a
SDA
AD a
. Suy ra
60SDA
.
Vậy
, , 60SD BC SD AD SDA
.
Bài 2. Cho tứ diện
ABCD
có
2AB CD a
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,BC AD
. Cho biết
3MN a , tính góc giữa
AB
và
CD
.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm
AC
.
ABC
có
,I M
lần lượt là trung điểm của
,AC BC
, suy ra
IM
là đường trung bình của
ABC
, suy ra
/ /IM AB
và
1
2
IM AB a
.
Tương tự, ta có
/ /IN CD
và
IN a
.
Ta có
/ /IM AB
và
/ /IN CD
, suy ra
, ,AB CD IM IN
.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác
MIN
:
2 2 2
2 cosMN IM IN IM IN MIN
2 2 2
2 2
2
3 2 cos
3 2 1
cos
2 2
120
a a a a a MIN
a a
MIN
a
MIN
Vậy
, , 180 180 120 60 . AB CD IM IN MIN
Bài 3. Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình vuông
ABCD
cạnh bằng
a
và các cạnh bên đều bằng
a
.
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AD SD
. Chứng minh rằng
MN SC
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
67
SAD
có
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AD SD
, suy ra
MN
là đường trung bình của
SAD
, suy ra
/ /MN SA
.
Vậy
, ,MN SC SA SC
.
ABC
vuông tại
B
nên
2 2
2AC AB BC a
. Xét
SAC
, nhận thấy:
2 2 2
AC SA SC
.
Theo định lí Pythagore đảo,
SAC
vuông tại
S
. Suy ra
90ASC
hay
, 90MN SC ASC
.
Vậy
MN SC
.
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho tứ diện đều
,ABCD M
là trung điểm của cạnh
BC
. Tính góc giữa
AB
và
DM
.
Lời giải
Đặt
2a
là độ dài cạnh của tứ diện đều.
Gọi
N
là trung điểm của
,AC H
là trung điểm của
MN
, ta có:
/ / , suy ra , ,MN AB AB DM MN DM
3, DM DN a MN a
nên DMN
cân tại D
Suy ra
2
a
MH
và
DH MN
.
3
cos 73,2
6
MH
DMN DMN
MD
Vậy
, , 73, 2 .AB DM MN DM DMN
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
68
2. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
, 3,a SA a SA AC
,
, 120SA BC BAD
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AD BC
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a)
SD
và
BC
. b)
MN
và
SC
.
Lời giải
a) Vì
/ /AD BC
nên
, ,SD BC SD AD
.
Vì
SA BC
và
/ /AD BC
nên
SA AD
hay tam giác
SAD
vuông tại
A
.
Do đó
, , 60SD BC SD AD SDA
.
b) Vì
/ /MN CD
nên
, ,SC MN SC CD
.
Vì
ABCD
là hình thoi cạnh
a
có
120A
nên
ACD
là tam giác đều cạnh
a
.
Xét các tam giác vuông
,SAC SAD
có:
2 2 2 2 2 2 2 2
3 2 và 3 2 .SC AC SA a a a SD AD SA a a a
Áp dụng định lí côsin trong tam giác
SCD
:
2 2 2
1
cos 75,5 .
2 4
SC CD SD
SCD SCD
SC CD
Vậy
, , 75,5SC MN SD AD SCD
.
3. Cho tứ diện
ABCD
có
, ,AB CD AC BD AD BC
.
a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
69
a) Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , ,AB CD AD BC
.
Ta có
ACD BDC
(c.c.c), suy ra
AN BN
, suy ra
NAB
cân tại
N
.
Mà
M
là trung điểm của
AB
, suy ra
NM AB
.
Tương tự ta có
NM CD
.
b) Ta có
, ,
2 2
AC BD
MQ PN MP QN AC BD
.Suy ra
MQ PN MP QN
.
Vậy tứ giác
MPNQ
là hình thoi, suy ra
MN PQ
.
4. Cho hình chóp tứ giác
SABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Gọi
, , ,M N I J
lần lượt là trung điểm
của
, ,SA SD SC
và
BC
. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
IJ
và
DC
; b)
MN
và
LJ
.
Lời giải
a) Ta có
/ / , / /IJ SB DC AB
, suy ra
, , 60IJ DC SB AB SBA
.
b) Ta có
/ / / / , / /MN AD BC L SB
, suy ra
, , 60MN L BC SB SBC
.
5. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Chứng minh hai
đường thẳng
OA
và
CD
vuông góc với nhau.
Lời giải
Qua
O
vẽ đường
/ / ,MN CD M BC N BD
. Ta có
,OM ON AM AN
, suy ra
AMN
cân tại
A
,
suy ra
AO MN
. Mà
/ /MN CD
nên
AO CD
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
70
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
71
BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa
Đường thẳng
d
gọi là vuông góc với mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng
a
nằm
trong
, kí hiệu
d
Định lí 1
Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
a
và
b
cùng nằm trong mặt phẳng
thì
d
.
Định lí 2.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho truớc.
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Định lí 3.
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc
với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Định lí 4.
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với
mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
a
b
Hình 11
P
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
72
Định lí 5.
a) Cho đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
. Đường thẳng nào vuông góc với
thì cũng
vuông góc với
a
.
b) Nếu đường thằng
a
và măt phẳng
(không chứa
a
) cùng vuông góc với một đường thẳng
b
thì
chúng song song với nhau.
3. Phép chiếu vuông góc
Định nghĩa
Cho mặt phẳng
P
và đường thẳng
d
vuông góc với
P
. Phép chiếu song song theo phương của
d
lên mặt phẳng
P
được gợi là phép chiếu vuông góc lên
P
.
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng
a
nằm trong mặt phẳng
P
và
b
là đường thẳng không nằm trong
P
và không
vuông góc với
P
. Gọi
b
là hình chiếu vuông góc của
b
trên
P
. Khi đó
a
vuông góc với
b
khi và
chi khi
a
vuông góc với
b
.
a
β
α
a
b
α
Hình 16
d
P
B'
B
A'
A
b'
b
a
Hình 22
P
A'
B'
A
B
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
73
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Gọi
I
là trung điểm của
AC
. Kẻ
AH SB H SB
. Chứng minh rằng:
a)
SA
vuông góc với các cạnh đáy; b)
BC SAB
;
c)
BI SAC
, từ đó suy ra
BI SC
; d)
AH SBC
, từ đó suy ra
AH SC
.
Lời giải
a) Vì
SA ABC
và
, ,AB BC CA
cùng nằm trong
ABC
nên
, ,SA AB SA BC SA CA
.
b) Ta có
BC AB
(vì
ABC
vuông tại
B
) và
BC SA
(chứng minh trên), suy ra
BC
(
)SAB
.
c) Do
ABC
vuông cân tại
B
và
I
là trung điểm của
AC
nên
BI AC
. (1)
Ta có
SA ABC
và
BI ABC
, suy ra
SA BI
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
BI
(
SAC
), suy ra
BI SC
.
d) Theo giả thiết ta có
AH SB
. (3)
Theo câu b) ta có
BC SAB
và
AH SAB
, suy ra
BC AH
.(4)
Từ (3) và (4) suy ra
AH
(
SBC
), suy ra
AH SC
.
Bài 2. Cho hình chóp
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA ABCD
. Gọi
, ,H I K
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên các cạnh
,SB SC
và
SD
. Chứng minh rằng:
a)
, ,BC SAB CD SAD BD SAC
.
b)
SC AHK
và điểm
I
thuộc mặt phẳng
AHK
.
c)
HK SAC
và
HK AI
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
74
a) Ta có
BC AB
(vì
ABCD
là hình vuông) và
SA BC
(vì
SA ABCD
), suy ra
BC SAB
.
Ta có
CD AD
(vì
ABCD
là hình vuông) và
SA CD
(vì
SA ABCD
), suy ra
CD SAD
.
Ta có
BD AC
(vì
ABCD
là hình vuông) và
SA BD
(vì
SA ABCD
), suy ra
BD SAC
.
b) Ta có
BC SAB
và
AH SAB
, suy ra
BC AH
.
Mặt khác
AH SB
, suy ra
AH SBC
, suy ra
AH SC
. (1)
Tương tự ta có
AK CD
và
AK SD
, suy ra
AK SCD
, suy ra
AK SC
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
SC AHK
.
Ta có
SC AHK
và
AI SC
, suy ra
I AHK
.
c) Ta có
90
90 .
SA AB SAB
SA ABCD
SA AD
SAD
Xét
SAB
và
SAD
, ta có:
SA là cạnh chung;
90 ;SAB SAD AB AD
Suy ra
SAB SAD
(c.g.c), suy ra
,SB SD SH SK
.
Suy ra
SH SK
SB SD
. Vậy
/ /HK BD
.
Theo câu a) ta có
BD SAC
, suy ra
HK
(SAC).
Ta lại có
AI SAC
, suy ra
HK AI
.
Bài 3. Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
và
BCD
là các tam giác cân tại
A
và
D
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
.
a) Chứng minh rằng
BC AD
.
b) Kẻ
AH
là đường cao của tam giac
ADI
. Chứng minh rằng
AH BCD
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
75
a) Tam giác
ABC
cân tại
A
và
I
là trung điểm của
BC
nên
AI BC
.(1)
Tam giác
DCB
cân tại
D
và
I
là trung điểm của
BC
nên
DI BC
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BC AID
, suy ra
BC AD
.
b) Ta có
AH DI
và
AH BC
(vì
BC ADI
,
AH ADI
), suy ra
AH BCD
.
Bài 4. Cho tứ diện
SABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,A SB AB
và
SB ABC
. Gọi
, ,H I K
lần lượt là trung điểm của
, ,SA BC AB
. Chứng minh rằng:
a)
AC SAB
; b)
BH SAC
;
c)
KI SA
; d)
AB IH
.
Lời giải
a) Ta có
AC AB
(vì
ABC
vuông tại
A
) và
AC SB
(vì
SB ABC
), suy ra
AC SAB
.
b) Vì
SB AB
nên
SAB
cân tại
B
. Mà
H
là trung điểm của
SA
, suy ra
BH SA
.(1)
Ta cũng có
AC SAB
và
BH SAB
, suy ra
AC BH
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
BH SAC
.
c)
ABC
có
,K I
lần lượt là trung điểm của
,AB BC
nên
KI
là đường trung bình của
ABC
, suy ra
/ /KI AC
. Ta lại có
AC SAB
, suy ra
KI SAB
, suy ra
KI SA
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
76
d)
SAB
có
,H K
lần lượt là trung điểm của
,SA AB
nên
HK
là đường trung bình của
SAB
, suy ra
/ /HK SB
. Mặt khác
SB AB
, suy ra
HK AB
.(3)
Ta có
KI SAB
, suy ra
KI AB
.(4)
Từ (3) và (4) suy ra
AB
(HIK), suy ra
AB IH
.
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
cạnh
2a
. Biết rằng
, 2 2SA SB SC SD SO a
.
a) Chứng minh rằng
SO ABCD
.
b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh
A
của tam giác
SAC
.
Lời giải
a) Ta có
SA SC
, suy ra
SAC
cân tại
S
, suy ra
SO AC
.(1)
Ta có
SB SD
, suy ra
SBD
cân tại
S
, suy ra
SO BD
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
SO ABCD
.
b) Ta có
2 ,AC a OC a
,
2 2
3SC SO OC a
.
Vẽ đường cao
AH
của tam giác
SAC
. Ta có:
2 2 2 4 2
.
3 3
SO AC a a a
AH
SC a
2. Cho tứ diện
ABCD
có
AB CD
và
AC BD
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
xuống mặt
phẳng
BCD
. Chứng minh rằng
H
là trực tâm của
BCD
và
AD BC
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
77
Ta có
CD AB
và
CD AH
, suy ra
CD ABH
, suy ra
CD BH
.
Tương tự ta cũng có
BD CH
.
Vậy
H
là trực tâm của
BCD
.
Ta có
H
là trực tâm của
BCD
, suy ra
BC DH
.
Ta lại có
BC AH
, suy ra
BC AHD
, suy ra
BC AD
.
3. Cho tứ diện
ABCD
có
,DA ABC ABC
là tam giác cân tại
A
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Vẽ
AH MD
tại
H
.
a) Chứng minh rằng
AH BCD
.
b) Gọi
,G K
lần lượt là trọng tâm của tam giác
ABC
và
DBC
. Chứng minh rằng
GK ABC
.
Lời giải
a) Ta có
,BC DA BC AM
, suy ra
BC ADM
, suy ra
BC AH
.
Ta lại có
AH DM
, suy ra
AH BCD
.
b) Ta có
1
3
MK MG
MD MA
, suy ra
/ /GK AD
.
Ta lại có
AD ABC
, suy ra
GK ABC
.
4. Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình thoi,
O
là giao điểm của hai đường chéo,
,SA SC SB SD
.
a) Chứng minh rằng
SO ABCD
.
b) Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của
,BA BC
. Chứng minh rằng
IJ SBD
.
c) Chứng minh rằng
BD SAC
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
78
a) Ta có
SA SC
, suy ra
SAC
cân tại
S
, suy ra
SO AC
.(1)
Tương tự ta có
SO BD
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
SO ABCD
.
b) Ta có
AC BD
và
AC SO
, suy ra
AC SBD
.
Ta có
IJ
là đường trung bình của
ABC
nên suy ra
/ /IJ AC
, suy ra
IJ SBD
.
c) Ta có
BD AC
và
BD SO
, suy ra
BD
(
SAC
).
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
79
BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
và
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
và
, kí
hiệu
,
.
Ta có:
, ,m n
với
,m n
2. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.
Hai mặt phẳng
P
và
Q
vuông góc được kí hiệu là
P Q
.
3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 1
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng kia.
4. Tính chất cơ bản vể hai mặt phẳng vuông góc
Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông
góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Định lí 3
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
80
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba.
5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.
Tên Hình vẽ Tính chất cơ bản
Hình lăng trụ
đứng
- Cạnh bên vuông góc với hai đáy.
- Mặt bên là các hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều
- Hai đáy là hai đa giác đều.
- Mặt bên là các hình chữ nhật.
- Cạnh bên và đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai
đáy
Hình hộp đứng
- Bốn mặt bên là hình chữ nhật.
- Hai đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật
- Sáu mặt là hình chữ nhật.
- Độ dài
, , a b c
của ba cạnh cùng đi qua một đỉnh gọi là
ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
- Độ dài đường chéo
d
được tính theo ba kích thước
2 2 2
.d a b c
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
81
Hình lập phương
- Sáu mặt là hình vuông.
- Độ dài đường chéo
d
được tính theo độ dài cạnh
a
:
3.d a
6. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý: Hình chóp đều có:
a) Các mặt bên là các tam giác cân tại đình hình chóp và bằng nhau.
b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của
hình chóp.
c) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.
b) Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp
đều được gọi là hình chóp cụt đều.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
82
Trong hình chóp cụt đều
1 2 3 6 1 2 3 6
A A A A A A A A
, ta gọi:
- Các điểm
1 2 3 6 1 2 3 6
, , , , , , , , ,A A A A A A A A
là các đỉnh.
- Đa giác
1 2 3 6
A A A A là đáy lớn, đa giác
1 2 3 6
A A A A
là đáy nhỏ. Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt
phẳng song song.
Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song từng đôi một.
 Các hình thang cân
1 2 2 2 3 3 2 6 1 1 6
, ,...,A A A A A A A A A A A A
là các mặt bên.
Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều.Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng
nhau, các mặt bên là những hình thang cân.
 Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
, , 3B AB a SA a
và
SA
vuông góc
với đáy. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
83
Ta có:
BC SA
(vì
SA ABC
) và
BC AB
(giả thiết)
BC SAB BC SB
.
Ta lại có:
SBC ABC BC
(1)
,AB ABC AB BC
(2)
SB
(
SBC
),
SB BC
(chứng minh trên) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
, ,SBC ABC AB SB
. Trong tam giác
SAB
vuông tại
A
ta có:
tan 3 60 .
SA
SBA SBA
AB
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
là
60SBA
.
Bài 2. Cho hình chóp đều
SABCD
có tất cả các cạnh bằng
a
. Gọi
M
là trung điểm
SC
. Tính góc giữa
hai mặt phẳng
MBD
và
ABCD
.
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm
/ /OC MM SO
MM ABCD
.
Ta có
MB MD
nên
MO BD
và
M O BD
nên góc giữa hai mặt phẳng
MBD
và
ABCD
là
,MO M O
Ta có:
1 2
2 2
a
OC AC
;
2
2 2 2
2
2 2
a a
SO SC OC a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
84
Trong tam giác vuông
MOM
,
ta có
tan 1 45
MM SO
MOM MOM
OM OC
.
Vậy
, , 45MBD ABCD MO M O MOM
.
Bài 3. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
. Các tam giác
SAC
và
SBD
cân tại
S
.
Chứng minh rằng:
a)
SO ABCD
; b)
SAC SBD
.
Lời giải
a) Ta có các tam giác
SAC
và
SBD
cân tại
S
nên
,SO AC SO BD SO ABCD
.
b) Ta có
AC SO
(vì
SO ABCD
) và
AC BD
(vì
ABCD
là hình thoi)
AC SBD
.
Vậy
SAC SBD
.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng lục giác đều có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên
2a
.
a) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
b) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ.
Lời giải
a) Lăng trụ đứng lục giác đều có sáu mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau với kích thước lần lượt là
,2a a
.
Vậy diện tích xung quanh của lăng trụ là:
2
6 2 12 .
xq
S a a a
b) Vì tam giác
21
A A O đều nên
1 2
2
Δ
3
4
A A O
a
S
. Diện tích đáy
1 2 3 4 5 6
A A A A A A của lăng trụ là:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
85
1 2 3 4 5 6 1 2
2 2
3 3 3
6 6 .
4 2
A A A A A A A A O
a a
S S
Diện tích toàn phần của lăng trụ là:
1 2 3 4 5 6
2
2 2
3 3
2 12 2 12 3 3 .
2
tp xq A A A A A A
a
S S S a a
Bài 5. Cho hình hộp
ABCDA B C D
có tất cả các cạnh bằng
a
và có
60BAD BAA DAA
. Tính
tổng diện tích các mặt của hình hộp.
Lời giải
Tam giác
ABD
có
AD AB a
và
60DAB
.
Suy ra tam giác
ABD
là tam giác đều, nên
2
3
2
2
ABCD A B C D ABD
a
S S S
.
Tương tự, ta có tam giác
A AB
và tam giác
A AD
là tam giác đều, nên
2
3
.
2
A B BA D C CD D A AD C B BC
a
S S S S
Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là
2
2
3
6 3 3
2
a
S a
.
Bài 6. Cho hình chóp cụt tứ giác đều
ABCDA B C D
có đáy lớn
ABCD
có cạnh bằng
2a
, đáy nhỏ
A B C D
có cạnh bằng
a
và cạnh bên
2a
. Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên.
Lời giải
Trong hình thang vuông
OO C C
, vẽ đường cao
C H
H OC
Ta có:
2
2,
2
a
OC a O C
, suy ra
2 2
2
2 2
a a
CH a
.
Trong tam giác vuông
C CH
, ta có:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
86
2
'2 2 2
2 14
(2 ) .
2 2
a a
C H CC CH a
Nên
14
2
a
OO C H
.
Trong hình thang
BB C C
, vẽ đường cao
C K K BC
.
Ta có
2
2 2 2
BC B C a a a
CK
.
Trong tam giác vuông
C CK
, ta có:
2
2 2 2
15
(2 ) .
2 2
a a
C K CC CK a
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
BCD
vuông cân tại
B
và
AB BCD
. Cho biết 2,
3
a
BC a AB
. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng
ACD
và
BCD
.
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm của
CD
.
Ta có:
CD BI
và
CD AB CD AI
.
Khi đó:
ACD BCD CD
;
,AI CD AI ACD
;
,BI CD BI BCD
suy ra
, ,ACD BCD AI BI
.
Do tam giác
BCD
vuông cân tại
B
nên
1 1
2
2 2
BI CD BC a
.
Xét tam giác
ABI
vuông tại
B
, ta có:
1
tan 30
3
AB
AIB AIB
BI
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
ACD
và
BCD
là
30AIB
.
2. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
2a
. Cho biết
SA a
và
SA ABCD
. Trên
BC
lấy điểm
I
sao cho tam giác
SDI
vuông tại
S
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
SDI
và
ABCD
là
60
. Tính độ dài
SI
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
87
Lời giải
Vẽ
AK ID K D
.
Ta có
ID SA
và
ID AK
ID SAK ID SK
.
Suy ra
, 60SDI ABCD AKS
.
Xét tam giác
SAK
vuông tại
A
, ta có:
2
sin .
sin60
3
SA SA a
AKS SK
SK
Tam giác
SAD
vuông tại
A
, ta có:
2 2
4 5SD a a a
.
Xét tam giác
SID
vuông tại
S
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 55
.
11
a
SI
SK SI SD SI SK SD
3. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
SA ABC
.
a) Chứng minh rằng
SBC SAB
.
b) Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Chứng minh rằng
SBM SAC
.
Lời giải
a) Ta có:
BC AB
(giả thiết),
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
88
(vì BC SA SA ABC
BC SAB SBC SAB
b) Vì tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
nên
BM AC
.
Mà
BM SA
(vì
SA
(
ABC
) suy ra
BM
(
)SAC
. Vậy
SBM SAC
.
4. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
. Hai mặt phẳng
SAB
và
SAD
cùng
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Gọi
H
và
K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
và
SD
. Chứng
minh rằng:
a)
SBC SAB
; b)
SCD SAD
;
c)
SBD SAC
; d)
SAC AHK
.
Lời giải
a) Ta có:
SAB ABCD
;
SAD ABCD
;
SAB SAD SA
SA ABCD
Khi đó:
BC AB
(giả thiết);
(vì BC SA SA ABCD
BC SAB SBC SAB
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được:
SCD SAD
.
c) Ta có:
BD AC
(giả thiết);
vì
BD SA SA ABCD
BD SAC SBD SAC
d) Ta có:
SAB SBC
(chứng minh trên);
SAB SBC SB
;
AH SB
(giả thiết)
. AH SBC AH SC
(1)
Ta có:
SCD
(
)SAD
(chứng minh trên);
SCD SAD SD
;
AK SD
(giả thiết)
AK SCD AK SC
(2)
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
89
Từ (1) và (2) suy ra:
SC AHK
.
Vậy
SAC AHK
.
5. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
, 3a SA a
. Hai mặt phẳng
SAB
và
SAD
cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
là mặt phẳng qua
AB
và vuông góc với mặt phẳng
SCD
.
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó.
Lời giải
a) Ta có:
SAB ABCD
;
SAD ABCD
;
SAB SAD SA
SA ABCD
.
Dễ dàng chứng minh được
SAD SCD
.
Vẽ
AM SD M SD AM SCD
ABM SCD
hay
ABM
là mặt phẳng
qua
AB
và vuông góc với mặt phẳng
SCD
.
Trong mặt phẳng
SCD
kẻ
/ /MN CD N SC
.
Suy ra:
/ /MN AB MN
.
Vậy các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp là
, , ,AB BN NM MA
.
b) Ta có:
/ /MN AB
và
AB AM
(vì
AB SAD
) nên
ABNM
là hình thang vuông tại
A
và
M
.
Tam giác
SAD
vuông tại
A
có
AM
là đường cao nên
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
.
3 3 2
a
AM
AM SA AD a a a
2
2 2 2
2 2 2 2
3
/ /
4
SA
MN SM MN SA SA a
SD
MN CD
CD SD CD SD SD SA AD a
3 3
.
4 4
MN CD a
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
90
Vậy
2
1 1 3 3 7 3
.
2 2 2 4 16
ABNM
a a
S AM MN AB a a
6. Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng
2 m
, đáy nhỏ có cạnh bằng
1 m
và cạnh bên bằng
2 m
(Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần
sơn.
Lời giải
2
2 1
15
4 4 1 5 3 5 16,62 m
2 2
tp
S
7. Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15 ), cạnh đáy bằng
10 cm
và
cạnh bên bằng
50 cm
. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.
Lời giải
2
đay
6 50 10 20 3
11,55
3
10 3
6
4
xq
S
S
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
91
BÀI 4: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Nếu
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên đường thẳng
a
thì độ dài đoạn MH được gọi là
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
a
, kí hiệu
,d M a
.
Nếu
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
P
thì độ dài đoạn
MH
được gọi là
khoảng cách từ
M
đến
P
, kí hiệu
,d M P
.
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
a
và
b
là khoảng cách từ một điểm bất kì trên
a
đến
b
,
kí hiệu
,d a b
.
Khoảng cách giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
song song với
a
là khoảng cách từ một điểm bất
kì trên
a
đến
P
, kí hiệu
,d a P
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
P
và
Q
là khoảng cách một điểm bất kì trên
P
đến
Q
, kí hiệu
,d P Q
.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng
c
vừa vuông góc vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
được gọi là đường vuông góc
chung của
a
và
b
.
Nếu đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
cắt chúng lần lượt tại
I
và
J
thì
đoạn
IJ
gọi là đoạn vuông góc chung của
a
và
b
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó,
kí hiệu
,d a b
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
92
Chú ý:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
bằng khoảng cách giữa một trong hai đường đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Thể tích khối hộp chữ nhật (Hình
5a
) bằng tích ba kích thước:
. V abc
Thể tích khối chóp (Hình 5 b) bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:
1
.
3
V Sh
Thể tích khối chóp cụt đều (Hình
5c
) có chiều cao
h
và diện tích hai đáy
, 'S S
:
1
3
V h S SS S
Thể tích khối lăng trụ (Hình
5 d
) bằng tích diện tích đáy và chiều cao:
V Sh
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
93
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác đều cạnh
2a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Góc giữa cạnh bên
SC
và mặt đáy bằng
30
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính khoảng cách từ
điểm
A
đến đường thẳng:
a)
SB
; b)
SC
; c)
SI
.
Lời giải
Ta có:
SA ABC
nên
, , 30SC ABC SC AC SCA
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có:
2 2 3
tan30 .
3
3
a a
SA AC
a) Vẽ
AH SB H SB
, ta có
,d A SB AH
.
Xét tam giác
SAB
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 1
.
4 4
AH a
AH SA AB a a a
b) Vẽ
AK SC K SC
, ta có
,d A SC AK
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 1
.
4 4
AK a
AK SA AC a a a
c) Vẽ
AN SI N SI
, ta có
,d A SD AN
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
94
Vì
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
nên 3AI a .
Xét tam giác
SAI
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 13 2 39
.
4 3 12 13
a
AN
AN SA AI a a a
Bài 2. Cho hình lập phương
ABCDA B C D
có cạnh bằng
a
. Tính khoảng cách từ đỉnh
D
đến đường
chéo
AC
.
Lời giải
Gọi
H
là hình chiếu của
D
trên
AC
.Ta có:
,C D A D C D DD
C D ADD A C D AD
.
Do tam giác
ADD
vuông cân tại
D
nên
2AD a
. Xét tam giác
D AC
vuông tại
D
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 6
.
2 2 3
a
D H
D H D A D C a a a
Vậy
6
,
3
a
d D AC
.
Bài 3. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy
ABCD
và
SA a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a)
SB
và
AD
; b)
BD
và
SC
.
Lời giải
a) Vẽ đường cao
AH
của tam giác
SAB
.
Ta có:
AD AB
và
AD SA
. AD SAB AD AH
Do đó
AH
là đoạn vuông góc chung của
SB
và
AD
nên
,d SB AD AH
.
Tam giác
SAB
vuông cân tại
A
nên
2SB a
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
95
AH
là đường cao của tam giác
SAB
nên
1 2
2 2
a
AH SB
.
Vậy
2
,
2
a
d AD SB AH
.
b) Ta có:
BD AC
và
BD SA BD SAC
.
Gọi
O
là tâm của hình vuông cân
ABCD
.
Trong mặt phẳng
SAC
, kẻ
,OK SC K SC
.
Ta có:
OK SC
và
OK BD
(do
BD
(SAC)) nên
OK
là đoạn vuông góc chung của
BD
và
SC
.
Suy ra
1
,
2
d BD SC OK AI
(với
I
là hình chiếu của
A
trên
SC
).
Tam giác
ABC
vuông tại
B
nên
2AC a
.
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 6
2 2 3
a
AI
AI AS AC a a a
Vậy
6
,
6
a
d BD SC
.
Bài 4. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SB
vuông góc với mặt phẳng
, 2ABC SB a
. Tính thể tích khối chóp
SABC
.
Lời giải
Diện tích tam giác đều
ABC
:
2 2
3 3
.
4 4
ABC
AB a
S
Thể tích khối chóp
SABC
là:
2 3
1 1 3 3
2 .
3 3 4 6
ABC
a a
V S SB a
Bài 5. Cho khối lăng trụ đứng
ABCA B C
có
BB a
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
2AC a
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
96
Chiều cao khối lăng trụ đứng là cạnh bên nên
h BB a
. Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
có
2AC a
2
2
1
.
2 2
2
ABC
AC a
AB a S AB
Vậy
2 3
2 2
ABC
a a
V S h a
.
Bài 6. Cho hình lập phương
ABCDA B C D
có 3AC a
. Tính thể tích của khối lập phương
ABCDA B C D
.
Lời giải
Đường chéo của một hình lập phương là 3d a với
a
là độ dài cạnh hình lập phương.
Dễ thấy rằng hình lập phương
ABCDA B C D
có
AC
là đường chéo và cạnh là
AB
.
Do đó:
3
3
3 3
AC a
AC AB AB a
.
Vậy thể tích khối lập phương là
3
V a
.
Bài 7. Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều
ABCA B C
có chiều cao bằng
3 , 4 ,a AB a A B a
.
Lời giải
Diện tích tam giác đều
2 2
2
3 (4 ) 3
: 4 3
4 4
AB a
ABC S a
.
Diện tích tam giác đều
'2 2
3 3
:
4 4
A B a
A B C S
.
Thể tích khối chóp cụt:
2 2 3
2 2
1 3 3 21 3
3 4 3 4 3 .
3 4 4 4
a a a
V a a a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
97
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
theo
a
, biết
6
2
a
SA
.
Lời giải
Gọi
E
là trung điểm của
BC
thì
BC AE
(vì
ABC
đều). Ta có
BC SA
và
BC AE BC SAE
SBC SAE
.
Trong mặt phẳng
SAE
, vẽ
AF SE F SE
.
Suy ra
AF SBC
hay
,d A SBC AF
.
Xét
SAE
vuông tại
A
:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 4 2 2
.
3 3 2
a
AF
AF AS AE a a a
Vậy
2
,
2
a
d A SBC AF
.
2. Cho hình chóp tam giác đều
SABC
có cạnh đáy bằng
3a
, cạnh bên bằng
2a
. Gọi
G
là trọng tâm của
tam giác
,ABC M
là trung điểm của
SC
.
a) Tính khoảng cách từ
S
đến mặt phẳng
ABC
.
b) Tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
SAG
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
98
a) Do
SABC
là hình chóp tam giác đều nên
SG ABC
hay
,d S ABC SG
.
b) Tam giác
ABC
là tam giác đều cạnh
3a
nên
2 3 3
3.
3 2
a
AG a
Tam giác
SAG
vuông tại
G
nên
2 2 2 2
4 3 . SG SA AG a a a
Vậy
,d S ABC a
.
b) Vì
SC SAG S
nên
,
1
2
,
d M SAG
MS
CS
d C SAG
1
, ,
2
d M SAG d C SAG
.
Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Ta có:
CB AI
và
CB SG CB SAG
và
CB SAG I
.
Do đó
1 3
,
2 2
a
d C SAG CI BC
. Vậy
3
,
4
a
d M SAG
.
3. Cho hình lập phương
ABCD A B C D
cạnh
a
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
AC
và
B C
.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN
và
B D
.
Lời giải
B D
cắt
A C
tại
O
. Gọi
P
là trung điểm của
OC
.
Vẽ
, / / , / /OH MP HE NP EF OH
.
Ta có:
,d MN B D EF OH
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
99
Xét tam giác vuông
MOP
, ta có
2
,
4
a
OM a OP
, suy ra
3
a
OH
.
4. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
11
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
CD
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AC
và
BI
.
Lời giải
Gọi
O
là trung điểm
,AC J
là trung điểm
OD
.
Vẽ
, / / , / /OH BJ HE AC EF OH
.
Ta có
,d AC BJ EF OH
.
Xét tam giác
OBD
cân tại
O
, ta có
33 11 11 2
11, , , , 2
2 4 4
OBD
BD OB OD BJ S OH
5. Cho hình chóp
SABC
có tam giác
ABC
vuông cân tại
, 2B AC a
, mặt phẳng
SAC
vuông góc
với mặt đáy
ABC
. Các mặt bên
,SAB SBC
tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng
60
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối chóp
SABC
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
100
Ta có:
SAC ABC
và
SAC ABC AC
.
Trong mặt phẳng
SAC
, vẽ
SH AC H AC
thì
SH ABC
.
Gọi
,I K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
H
lên cạnh
AB
và
BC
thì
,SAB ABC SIH
,
,SBC ABC SKH
.
Mà
60SIH SKH
nên
HI HK
.
Suy ra tứ giác
BIHK
là hình vuông nên
H
là trung điểm cạnh
AC
.
Khi đó tứ giác
BIHK
là hình vuông cạnh
2
a
và
3
tan60
2
a
SH HI
.
Vậy
2 3
.
1 1 3 3
3 3 2 (12 112
S ABC ABC
a a a
V S SH
.
6. Cho hình chóp
SABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và 3SA a , đáy
ABCD
là hình
thang vuông tại
A
và
B
có
, 3 ,AB a AD a BC a
. Tính thể tích khối chóp
SBCD
theo
a
.
Lời giải
Ta có:
2
1 1
3 2
2 2
ABCD
S AB AD BC a a a a
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
101
Lại có
2
1 1 3
3
2 2 2
ABD
a
S AB AD a a
.
Suy ra
2
2
BCD ABCD ABD
a
S S S
.
Vậy
2 3
.
1 1 3
3
3 3 2 6
S BCD BCD
a a
V S SA a
.
7. Cho hình lăng trụ đều
ABCA B C
có cạnh đáy bằng
a
. Biết
57
,
12
a
d A A BC
. Tính
'ABCA B C
V
Lời giải
Gọi
I
là trung điểm của
BC
và
H
là hình chiếu của
A
trên
A I
.
Ta có:
BC AI
và
BC AA BC A AI A BC A AI
.
Mặt khác:
A AI A BC A I
và
AH A I
.
Nên
57
,
12
a
d A A BC AH
.
ABC
đều cạnh
3
2
a
a AI
và
2
3
4
ABC
a
S
.
Xét tam giác
A AI
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 144 4 68 57
.
57 3 57
2 17
a
AA
A A AH AI a a a
Vậy
2 3
3 57 171
4
2 17 8 17
ABC A B C ABC
a a a
V S AA
.
8. Một hình hộp chữ nhật
ABCDA B C D
có ba kích thước là
2 cm,3 cm
và
6 cm
. Tính thể tích của
khối tứ diện
ACB D
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
102
Ta có:
ABCDA B C D BAB C DACD A B AD C B CD ACB D
V V V V V V
4
BAB C ACB D
V V
4
ACB D ABCDA B C D BAB C
V V V
1
4
6
ABCDA B C D ABCDA B C D
V V
1
3
ABCDA B C D
V
3
1
2 3 6 12 cm
3
.
9. Cho hình chóp cụt tam giác đều
ABCA B C
có đường cao
2HH a
. Cho biết
2 ,AB a A B a
. Gọi
1 1
,B C lần lượt là trung điểm của
,AB AC
. Tính thể tích của:
a) Khối chóp cụt đều
ABCA B C
; b) Khối lăng trụ
1 1
AB C A B C
.
Lời giải
a) Áp dụng công thức
1
3
V h S SS S
, với
2
2
3
3, , 2
4
a
S a S h a
,
ta có:
2 2
2 2
1 3 3
2 3 3
3 4 4
a a
V a a a
3
7 3
6
a
.
b) Áp dụng công thức
V S h
với
2
3
, 2
4
a
S h a
, Ta có
2 3
3 3
,2
4 2
a a
V a
.
10. Tính thể tích một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng
80 cm
, đáy
nhỏ có cạnh bằng
40 cm
và cạnh bên bằng
80 cm
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
103
Lời giải
Ta có:
40 2, 20 2OC O C
, suy ra
CH 20 2
.
Trong tam giác vuông
C CH
, ta có:
'2 2
20 14. C H CC CH
Nên
20 14OO C H
.
Thể tích của cái sọt đựng đồ là:
2
1
20 14 6400 6400 1600 1600 279377,08 cm
3
V
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
104
BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng
a
vuông góc với mặt phẳng
( )P
thì ta nói góc giữa đường thẳng
a
với
( )P
bằng
90
.
Nếu đường thẳng
a
không vuông góc với
( )P
thì góc giữa
a
và hình chiếu
a
của
a
trên
( )P
gọi là góc
giữa đường thẳng
a
và
( )P
.
Chú ý:
a)
Góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn
0 90
.
b) Nếu đường thẳng
a
nằm trong
( )P
hoặc
a
song song với
( )P
thì
,( ) 0a P
.
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Góc nhị diện
Cho hai nửa mặt phẳng
1
P
và
1
Q
có chung bờ là đường thẳng
d
. Hình tạo bởi
1 1
,P Q
và
d
được
gọi là góc nhị diện tạo bởi
1
P
và
1
Q
, kí hiệu
1 1
, ,P d Q
.
Hai nửa mặt phẳng
1 1
,P Q
gọi là hai mặt của nhị diện và
d
gọi là cạnh của nhị diện
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm
trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.
Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng
R
vuông góc với cạnh
d
của góc nhị diện và cắt hai mặt
1 1
,P Q
của góc nhị diện
theo hai nửa đường thẳng
Ou
và
Ov
thì
uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi
1 1
,P Q
.
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ
0
đến
180
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
105
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
. Biết
2AC a
,
2
60 ,
2
a
BAC SA
và
vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:
a)
SB
và
ABC
. b)
SC
và
ABC
. c)
SC
và
SAB
.
Lời giải
Trong tam giác
ABC
vuông tại
B
, ta có:
2
cos cos60 2 ;
2
a
AB BAC AC a
6
sin sin60 2
2
a
BC BAC AC a
.
a) Ta có:
.
SA ABC
SB ABC B
AB
là hình chiếu của
SB
trên
ABC
.
Do đó
, ,SB ABC SB AB
.
Trong tam giác
SAB
vuông tại
A
, ta có:
2 2
tan 1 45 .
2
2
SA a
SBA SBA
AB
a
Vậy
, 45SB ABC SBA
.
b) Ta có:
SA ABC
SC ABC C
AC
là hình chiếu của
SC
trên
ABC
.
Do đó
, ,SC ABC SC AC
.
Trong tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có:
2 1 1
tan 26,6
2 2
2
SA a
SCA SCA
AC
a
Vậy
, 26,6SC ABC SCA
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
106
c) Ta có:
BC AB
BC SAB
BC SA
.(1)
SC SAB S
.(2)
Từ (1) và
2 SB
là hình chiếu của
SC
trên
SAB
.
Do đó
, ,SC SAB SC SB
.
2 2
2 2
2 2
2 2
a a
SB SA AB a
.
Trong tam giác
SBC
vuông tại
B
, ta có:
6 6
tan 50,8 .
2 2
BC a
BSC BSC
SB a
Vậy
, 50,8SC SAB BSC
.
Bài 2. Cho hình lăng trụ đều
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi
là góc giữa hai mặt
phẳng
AB C
và
ABC
, tính
cos
.
Lời giải
Gọi
,M M
lần lượt là trung điểm của
BC
và
B C
. Vẽ đường cao
A H
của tam giác vuông
AA M
.
Ta có:
B C A M
B C AA M
B C AA
Mà
A H AA M
nên
B C A H
.(1)
Ta lại có:
A H AM
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
A H AB C
.(*)
Hơn nữa,
AA ABC
.
**
Từ (*) và
**
suy ra:
, ,ABC AB C A A A H
.
Trong tam giác đều
A B C
, ta có
3
2
a
A M
Trong tam giác vuông
AA M
, ta có
2 2 2 2
1 1 1 7 21
3 7
a
A H
A H A A A M a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
107
Trong tam giác vuông
AA H
, ta có
21 1 21
cos
7 7
A H a
AA H
AA a
.
Vậy
21
cos cos
7
AA H
.
Bài 3. Cho hình chóp
.S ABC
có
3
, , 120 ,
2
a
SA ABC AB AC a BAC SA
. Tính số đo của góc
phẳng nhị diện
, ,S BC A
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm của
BC
.
Ta có
AB AC AM BC
.
Mặc khác
(SC SB
do
)SAC SAB
nên
SCB
cân tại
S SM BC
.
Từ (1) và (2) suy ra
SMA là góc phẳng nhị diện
, ,S BC A
.
Tacó
60 , cos
2 2
BAC a
MAB AM MAB AB
,
Trong tam giác
SMA
vuông tại
A
, ta có:
3 2
tan 3 60 .
2
SA a
SMA SMA
MA a
Bài 4. Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA ABCD
, đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
,
,
2
a
AC a SA
. Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo hình thoi
ABCD
và
H
là hình chiếu của
O
trên
SC
. Tính số đo các
góc phẳng nhị diện:
a)
, ,B SA D
; b)
, ,S BD A
;
c)
, ,S BD C
; d)
, ,D SC B
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
108
a) Ta có
SA AD
DAB
SA AB
là góc phẳng nhị diện
, ,D SA B
.
Tam giác
DAC
là tam giác đều
AD DC AC a
, nên
60DAC
.
Ta có
2 2.60 120DAB DAC
.
b) Ta có
SAD SAB SD SB
.
Nên
SBD
cân tại
(S SO BD
do
)OB OD
.(1)
Ta lại có
OA BD
. (2)
Từ (1) và
2 SOA
là góc phẳng phẳng nhị diện
, ,S BD A
.
Trong tam giác
SOA
vuông tại
A
, ta có:
2
tan 1 45
2
SA a
SOA SOA
OA a
c) Ta có
OS BD
SOC
OC BD
là góc phẳng nhị diện
, ,S BD C
.
Ta có
180 180 45 135SOC SOA
.
d) Ta có
,BD AC BD SA BD SAC BD SC
hay
OD SC
Ta có
SC OD
SC ODH
SC OH
hay
SC DHB
.
Nên
SC DH
DHB
SC BH
là góc phẳng nhị diện
, ,D SC B
.
Trong tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có
2 2
5
2
a
SC SA AC
.
Ta có
2 5
OH OC SA OC a
OH
SA SC SC
.
ADC
là tam giác đều nên
3
2
a
DO
.
Trong tam giác
OHD
vuông tại
O
, ta có
3 2 5
tan 15 75,5
2
OD a
OHD OHD
OH a
.
Vậy
2. 2.75,5 151DHB OHB
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
109
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp
SABC
có đáy là hình vuông tâm
O
cạnh
, 3a SA a
và vuông góc với đáy. Xác định
và tính góc giữa:
a)
SB
và
ABCD
; b)
SC
và
ABCD
;
c)
SD
và
ABCD
; d)
SB
và
SAC
.
Lời giải
a) Ta có:
SA ABCD
SB ABCD B
AB
là hình chiếu của
SB
trên
ABCD
.
Do đó
, ,SB ABCD SB AB
.
Trong tam giác
SAB
vuông tại
A
, ta có:
tan 3 60
SA
SBA SBA
AB
.
Vậy
, 60SB ABCD SBA
.
b) Tương tự câu a) ta xác định được
, ,SC ABCD SC AC
.
Trong tam giác
SAC
vuông tại
A
, ta có:
3
tan 50,8
2
SA
SCA SCA
AC
.
Vậy
; 50,8SC ABCD SCA
.
c) Tương tự câu a) ta xác định được
, ,SD ABCD SD AD
.
Trong tam giác
SAD
vuông tại
A
, ta có:
tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
.
Vậy
, 60SD ABCD SDA
.
d) Ta có:
BD AC
BD SAC
BD SA
hay
BO SAC
.(1)
Mà
SB SAC S
.(2)
Từ (1) và (2) suy ra
SO
là hình chiếu của
SB
trên
SAC
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
110
Do đó:
, ,SB SAC SB SO
.
Trong tam giác
SBO
vuông tại
O
, ta có
1 2
, 2
2 2
a
BO BD SB a
.
2
sin 20,7 .
4
BO
BSO BSO
SB
Vậy
, 20,7SB SAC BSO
.
2. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt
phẳng đáy trùng với trung điểm
I
của cạnh
AB
. Biết rằng mặt bên
SAB
là tam giác vuông cân tại
S
.
Xác định và tính góc giữa:
a)
SA
và
ABC
; b)
SC
và
SAB
.
Lời giải
Vì
AI
là hình chiếu của
SA
trên
ABC
.
Do đó
, ,SA ABC SA AI
.
Vì tam giác
SAI
vuông cân tại
45I SAI
.
Vậy
, , 45SA ABC SA AI SAI
.
b) Ta có tam giác
ABC
đều nên
3 3
,
2
CI AB CI
.
Ta có:
do
CI AB
CI SAB
CI SI SI ABC
. (1)
Mà
SC SAB S
. (2)
Từ (1) và
2 SI
là hình chiếu của
SC
trên
SAB
.
Do đó
, ,SC SAB SC SI
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
111
Trong tam giác
SAB
vuông tại
1 3
,
2 2
S SI AB
.
Trong tam giác
SCI
vuông tại
I
, ta có
tan 3 60
IC
CSI CSI
SI
Vậy
, 60SC SAB CSI
.
3. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
, cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
15
6
a
. Tính số đo góc phẳng
nhị diện
, ,S BC A
.
Lời giải
Gọi
M
là trung điểm
,BC G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Ta có
, ,SG ABC SM BC AM BC
, suy
ra
SMG là góc phẳng nhị diện
, ,S BC A
Ta tính được
2 2 2 2
3 3 6 3
, , ,
2 6 6 6
a a a a
AM GM SM SB BM SG SM GM
Ta có tam giác
SMG
vuông cân tại
G
, suy ra số đo góc phẳng nhị diện
, , 45S BC A SMG
.
4. Cho hình chóp
SABC
có
SA
(
ABC
). Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
3
30 , ,
2
a
ABC AC a SA
.
Tính số đo góc phẳng nhị diện
, ,S BC A
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
112
Vẽ
AH BC H BC
, ta có
SH BC
, suy ra
SHA là góc phẳng nhị diện
, ,S BC A
. Ta có
3
sin60
2
a
AH AC SA
, suy ra
45SHA
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
113
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII
Phần 1: Bài tập sách giáo khoa
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt đáy. Đường
thẳng
CD
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A.
SAD
. B.
SAC
. C.
SAB
. D.
SBD
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
D
SA ABCD SA C
.
ABCD
là hình vuông
D D
C A
D D
C SA
Câu 2: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,
b SA
vuông góc với mặt đáy,
2 2
SC b
. Số đo góc giữa cạnh bên
SC
và mặt đáy là
A.
60
. B.
30
. C.
45
. D.
50
.
Lời giải
Chọn A
, ,
SA ABCD SC ABCD SC AC SCA
ABCD
là hình vuông
2 2
2
AC AB BC b
1
cos 60
2
AC
SCA SCA
SC
Vậy
, 60
SC ABCD
Chọn A.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
114
Câu 3: Cho hình chóp
.S ABCD
có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
a
. Gọi
M
là trung điểm của
SA
. Mặt phẳng
MBD
vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A.
SBC
. B.
SAC
. C.
SBD
. D.
ABCD
.
Lời giải
Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có:
SO ABCD
. Suy ra:
SO BD
Mà
BD AC
nên
BD SAC
Suy ra
MBD SAC
Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều
S ABC
có cạnh đáy bằng
2a
và chiều cao bằng
2a
. Khoảng
cách từ tâm
O
của đáy
ABC
đến một mặt bên là
A.
14
7
a
. B.
2
7
a
. C.
14
2
a
. D.
2 14
7
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm của
BC
, kẻ
OH SI H SI
.
ABC
là tam giác đều
AI BC
SO ABC SO BC
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
115
BC SAI BC OH
Mà
OH SI
,OH SBC d O SBC OH
ABC
là tam giác đều
3 1 3
3
2 3 3
AB a
AI a OI AI
2 2
. 14
2
7
SO OI a
SO a OH
SO OI
Câu 5: Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng
2a
, cạnh đáy nhỏ bằng
a
và chiều
cao bằng
6
3
a
là
A.
3
7 2
8
a
. B.
3
2
4
a
. C.
3
7 2
12
a
. D.
3
7 3
4
a
.
Lời giải
Chọn C
Diện tích đáy nhỏ là:
2
3
4
a
Diện tích đáy lớn là:
2 2
3
(2 ) 3
4
a a
Thể tích khối chóp là:
2 2 2 2 3
6
3 3 7 2
3
3 3
3 4 4 12
a
a a a a a
Câu 6: Cho chóp tứ giác
S ABCD
. có đáy là hình chữ nhật với
4 , 3AB a AD a
. Các cạnh bên đều
có độ dài
5a
. Góc nhị diện
, ,S BC A
có số đo là
A.
75 46
. B.
71 21
. C.
68 31
. D.
65 12
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
M
là trung điểm
BC
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
116
Ta có:
2 2
1 1 5
2 ; 5 ;
2 2 2
OM AB a AC AB BC a OC AC a
2 2
5 3
2
, ,
5 3
tan : 65,2
4
SO SC OC a
S BC A SMO
SO
SMO Suy ra SMO
OM
Câu 7: Nếu hình hộp chũ
nhật có ba kích thước là
3;4;5
thì độ dài đường chéo của nó là
A.
5 2
. B. 50. C.
2 5
. D. 12.
Lời giải
Chọn A
Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật là:
2 2 2
3 4 5 5 2
Câu 8: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng
a
là
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
3
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
2
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Diện tích mặt đáy là:
2
3
4
a
Thể tích khối lăng trụ là:
2 3
3 3
4 4
a a
a
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 9: Cho hình vuông
ABCD
và tam giác đều
SAB
cạnh
a
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
AD
.
a) Chứng minh rằng
SMD SNC
.
b) Tính khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng (SNC).
Lời giải
Gọi
I CN DM
SAB
đều
SM AB
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
117
Mà ,
D Δ c.g.c D
Mà 90
90 180 90
D
D
SAB ABCD SAB ABCD AB
SM ABCD SM CN
A M DCN AM CND
AMD ADM
CND ADM NID CND ADM CN DM
SM CN
CN SM
CN DM
SNC SM
CN SNC
b) Kẻ
MH SI H SI
D
,
CN SM CN MH
MH SNC d M SNC MH
Δ DC N
vuông tại
D
có đường cao
DI
2 2
1 5 D 5
D , D ,
2 2 2 5
5 3 5
2 10
a a C DN a
DN A CN C DN DI
CN
a a
DM CN MI DM DI
ΔSAB
đều
3 3
2 2
AB a
SM
ΔSMI
vuông tại
M
có đường cao
MH
2 2
3 2
8
SM MI a
MH
SM MI
Câu 10: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,a SA ABCD
và
SA a
. Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm của
SB
,
SC
và
SD
. Tính khoảng cách giữa
AM
và
NP
.
Lời giải
SA SBCD
nên
SA BC
Mà
BC AB
nên
BC SAB
Tam giác
SBC
có
MN
là đường trung bình nên
1
MN / /BC,
2 2
a
MN BC
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
118
Suy ra:
MN SAB
và
MN AM
Tam giác
SCD
có
NP
là đường trung bình nên
NP / /CD
Mà MN / /BC, BC CD
Suy ra
MN NP
Vậy
,
2
a
d AM NP MN
Câu 11: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
; 2D AB AD a
;
CD a
; số đo góc nhị diện
, ,S BC A
bằng
60
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
AD
. Biết hai mặt phẳng
SBI
và
SCI
cùng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
Lời giải
SBI ABCD
SCI ABCD SI ABCD
SBI SCI SI
Kẻ
IH BC H BC
SI ABCD SI BC
BC SIH BC SH
Vậy
A H I
là góc nhị diện
, , 60S BC A AHI
2
D
1
D D 3
2
ABC
S AB C A a
2
2
D
2
D D
1
D D
2
1 1
, D D
2 2 2
3
2
AIB CI
BIC ABC AIB CI
AI I A a
a
S AB AI a S C I
a
S S S S
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
119
Gọi
M
là trung điểm của
AB
2 2
3
. D D
1
, 2 5
2
2 S
3 5 3 15
tan
5 5
1 3 15
3 5
BIC
S ABC ABC
BM AB a CM AD a BC BM CM a
a a
IH SI IH SHI
BC
a
V S SI
Câu 12: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng
2a
, cạnh đáy
nhỏ bằng
a
, chiều cao
2h a
và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng
2
a
.
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo
a
.
Lời giải
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều
ABCD A B C D
với
,O O
là tâm
của hai đáy. Vậy
2a, , 2AB A B a OO a
.
Gọi
,M M
lần lượt là trung điểm của
,CD C D
.
DA B C
là hình vuông
DO M C
CDD C
là hình thang cân
MM C D
Vậy
MM O
là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ,
M MO
là góc phẳng nhị diện giữa
mặt bên và đáy lớn.
Kẻ
M H OM H OM
OMM O
là hình chữ nhật
, ,
2 2
a a
OH O M OM a MH OM OH
tan 4
75,96 180 104,04
M H
M MO
MH
M MO MM O M MO
b) Diện tích đáy lớn là:
2 2
4aS AB
Diện tích đáy bé là:
'2 2
S A B a
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
120
Thể tích hình chóp cụt là:
3
2 2 2 2
1
1 1 14a
2 4a 4a
3 3 3
V h S SS S a a a
Thể tích hình trụ rỗng là:
2
3
2
2
2a
2 2
a a
V R h
Thể tích chân cột là:
3
1 2
14
3 2
V V V a
.
Câu 13: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
có cạnh bên
AA a
, đáy
ABCD
là hình thoi có
AB BD a
.
Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt đáy trùng với điểm
O
là giao điểm hai đường chéo của
đáy. Tính thể tích của khối hộp.
Lời giải
D DAB B A a
ABD
đều
D 60BA
O là trung điểm của
3 3
2 2
AB a
BD AO
'2 2
2
D
2
3
D sin D
2
ABC
AA ABCD AA AO
a
A O AA AO
a
S AB A BA
3
D
3
4
ABCD A B C D ABC
a
V S A O
Phần 2: Bài tập sách bài tập
A. TRẮC NGHIỆM
1. Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cùng vuông
góc với đường thẳng thứ hai.
B
. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song với
nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
121
Chọn A
2. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng
d
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
.
B
. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong
thì
d
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
thì
d
vuông góc với bất
kì đường thẳng nào nằm trong
.
D. Nếu
d
và đường thẳng
/ /a
thì
d a
.
Lời giải
Chọn B
3. Cho tứ diện
ABCD
. Vẽ
AH BCD
. Biết
H
là trực tâm tam giác
B C D
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
AB CD
. B.
AC BD
.
C.
AB CD
. D.
CD BD
.
Lời giải
Chọn C
4. Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy. Gọi
,
E F
lần
lượt là hình chiếu của
A
lên
,
SB SD
. Khằng định nào sau đây sai?
A.
SC EF
. B.
SC AE
.
C.
SC AF
. D.
SC BC
.
Lời giải
Chọn D
5. Cho hình chóp
SABCD
đáy là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
. Cạnh bên
2
SA a
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
60
. B.
75
.
C.
tan 1
. D.
tan 2
.
Lời giải
Chọn D
6. Cho tứ diện
ABCD
có cạnh
, ,
AB BC BD
bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. Góc giữa
AC
và
BCD
là góc
ACB
.
B. Góc giữa
AD
và
ABC
là góc
ADB
.
C. Góc giữa
AC
và
ABD
là góc
ACB
.
D. Góc giữa
CD
và
ABD
là góc
CBD
.
Lời giải
Chọn A
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
122
7. Cho hình chóp
SABC
có đáy
A B C
là tam giác vuông cân tại
A
và
2
AB a
. Biết
SA ABC
và
SA a
Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Lời giải
Chọn B
8. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
A. Song song với nhau.
B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Lời giải
Chọn D
9. Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt
phẳng
A BC
bằng
A.
2
a
. B.
6
4
a
. C.
3
7
a
. D.
3
4
a
.
Lời giải
Chọn C
10. Cho hình chóp
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
2 ,
AB a BC a
, mặt bên
SAB
là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
E
là trung điểm của
CD
. Tính theo
a
khoảng
cách giữa hai đường thẳng
BE
và
SC
.
A.
30
10
a
. B.
3
2
a
. C.
15
5
a
. D.
a
.
Lời giải
Chọn A
11. Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình chữ nhật với
2 ,
AB a AD a
. Tam giác
SAB
là tam giác cân
tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
SBC
và
ABCD
bằng
45
.
Khi đó thể tích khối chóp
.
S A B C D
là
A.
3
3
3
a
. B.
3
1
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
2
3
a
.
Lời giải
Chọn D
12. Cho khối chóp
SABCD
có đáy là hình chữ nhật
, 3,
AB a AD a SA
vuông góc với đáy và
SC
tạo
với mặt phẳng
SAB
một góc
30
. Tính thể tích
V
của khối chóp đã cho.
A.
3
2 6
3
a
V
. B.
3
6
3
a
V
. C.
3
2 6
V a
. D.
3
4
3
a
V
.
Lời giải
Chọn A
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
123
13. Cho lăng trụ đứng
ABC A B C
có đáy tam giác
A B C
vuông tại
, 2B AB a
,
, 2 3BC a AA a
.
Thể tích khối lăng trụ
ABC A B C
là
A.
3
4 3a . B.
3
2 3a . C.
3
2 3
3
a
. D.
3
4 3
3
a
.
Lời giải
Chọn B
14. Gọi
V
là thể tích của hình lập phương
1
. ABCDA B C D V
là thể tích của tứ diện
A ABD
. Hệ thức
nào sau
đây là đúng?
A.
1
6V V . B.
1
4V V . C.
1
3V V . D.
1
2V V .
Lời giải
Chọn A
B. TỰ LUẬN
1. Cho tứ diện
O ABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau. Gọi
H
là hình chiếu của điểm
O
trên mặt phẳng
ABC
. Chứng minh rằng:
a)
BC OAH
.
b)
H
là trực tâm của
AB C
.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
Lời giải
a) Ta có
,BC OH BC OA
, suy ra
BC OAH
.
b) Gọi
,E AH BC F BH AC
.
Theo câu a ta có:
. BC AOH BC AH BC AE
(1)
Chứng minh tương tự ta có:
. AC BOH AC BF
(2)
Từ (1) và (2)
H
là trực tâm tam giác
A B C
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
124
c) Tam giác vuông
AOE
có:
2 2 2
1 1 1
OH OA OE
. (3)
Tam giác vuông
BOC
có:
2 2 2
1 1 1
OE OB OC
.(4)
Thay (4) vào (3) ta được
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
2. Cho tứ diện
ABCD
có hai mặt phẳng
ABC
và
ABD
cùng vuông góc với
DBC
. Vẽ các đường
cao
,BE DF
của tam giác
B C D
, đường cao
DK
của tam giác
ACD
.
a) Chứng minh hai mặt phẳng
ABE
và
DFK
cùng vuông góc với
AD C
.
b) Gọi
O
và
H
là trực tâm
BCD
và
ACD
. Chứng minh
O H
vuông góc với
AD C
.
Lời giải
a) Ta có
ABC ABD AB
,
,ABC DBC ABD DBC
,
Suy ra
AB DBC
.
Ta có:
,CD BE CD AB CD ABE
.
Mà
CD ACD
nên
ADC ABE
.(1)
Ta lại có:
,DF BC DF AB DF ABC
DF AC
.
Mặt khác
D K AC
nên
AC DFK
.
Mà nên . AC ACD ADC DFK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
ABE
và
DFK
cùng vuông góc với
AD C
.
b) Ta có
O
là giao điểm của hai đường cao
BE
và
,DF H
là giao điểm của hai đường cao
AE
và
DK
.
Ta có:
,ABE ADC DFK ADC
và
ABE DFK OH
OH ADC
.
3. Cho hình chóp
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
S
trên mặt phẳng
ABC
là điểm
H
thuộc cạnh
AB
sao cho
2HA HB
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
theo
a
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
125
Áp dụng định lí côsin trong
AHC
:
2 2 2
2
2
2
2
2 2 7 7
2 cos60 1
3 3 9 3
CH AC AH AC AH CAH
a a a a
a a CH
Ta có:
SH ABC HC
là hình chiếu vuông góc của
SC
trên mặt phẳng
ABC
.
Suy ra
, , 60SC ABC SC HC SCH
do
90SCH
.
Trong
SCH
vuông tại
H
có:
7 21
tan60 3
3 3
a a
SH CH
.
Dựng hình bình hành
ACBD
. Ta có:
/ /
/ / .
3
Nên , , , ,
2
BC AD
BC SAD
AD SAD
d BC SA d BC SAD d B SAD d H SAD
Gọi
E
là trung điểm của
AD BE AD
.
Từ
H
kẻ
/ /HI BE I AD HI AD
.
Vẽ
HK SI K SI
.
Ta có:
AD HI
AD SHI AD HK
AD SH
.
Suy ra
HK SAD
hay
,d H SAD HK
.
Trong
AHH
vuông tại
I
, ta có:
2 3 3
sin60
3 2 3
a a
HI HA
.
Trong
SIH
vuông tại
H
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9 9 24
21 3 7HK HS HI a a a
42
12
a
HK
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
126
Từ (1), (2), (3) suy ra:
42
,
8
a
d BC SA
.
4. Cho khối chóp tam giác
SABC
có
SA ABC
, tam giác
A B C
có độ dài 3 cạnh là
5 , 8 , 7AB a BC a AC a
, góc giữa
SB
và
ABC
là
45
. Tính thể tích khối chóp
SABC
.
Lời giải
Ta có nửa chu vi
AB C
là
10 .
2
AB AC BC
p a
Diện tích
AB C
là
2
10 5 3 2 10 3 .
ABC
S a a a a a
Ta có
SA ABC
nên
SA A B
và
, 45SBA SB ABC
Suy ra
SAB
vuông tại
A
nên
5SA AB
a.
Thể tích khối chóp
SABC
là
2 3
1 1 50 3
5 10 3 .
3 3 3
S ABC ABC
V SA S a a a
5. Cho hình lăng trụ đứng
ABC A B C
có đây
A B C
là tam giác vuông tại
B
. Biết
, 3AB a BC a
,
góc giữa hai mặt phẳng
C AB
và
ABC
bằng
60
. Tính
ABCA B C
V
Lời giải
Ta có:
AB BC
AB BCC AB C B
AB CC
.
Khi đó:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
127
2
, , ,
, 60
1 3
và tan60 3 .
2 2
ABC
CB AB C B AB ABC C AB AB
ABC C AB CBC
a
S AB BC CC BC a
Vậy
3
3 3
2
ABC A B C ABC
a
V CC S
.
6. Cho khối lăng trụ đứng
ABC A B C
có đáy
A B C
là tam giác cân với
AB AC a
,
120BAC
, mặt
phẳng
AB C
tạo với đáy một góc
60
. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ đã cho.
Lời giải
Do
AA A B C
nên kẻ
A I B C I B C
.
Suy ra:
, 60AB C A B C A IA
.
Xét
: cos cos60
2
a
A IB A I A B B A I a
.
Suy ra:
3
tan tan60
2 2
a a
AA A I A IA
.
Khi đó:
3
2
1 3 1 3 3
sin120
2 2 2 2 8
ABC A B C ABC
a a
V AA S AA AB AC a
.
7. Cho hình hộp đứng
ABCDA B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
2 a
. Mặt phẳng
B AC
tạo với
đáy một góc
30
, khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
D AC
bằng
2
a
. Tính thể tích khối tứ diện
ACB D
.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
128
Gọi
O AC BD
. Ta có:
.
AC BD
AC BB D AC B O
AC BB
Khi đó:
, , ,BO AC B O AC ABCD B AC AC
, , 30B AC ABCD BO OB B OB
.
Dễ thấy
, ,
2
a
d B D AC d D D AC
.
AC BB D D D AC BB D D
và
D AC BB D D D O
.
Từ
D
kẻ
DH D O H DO
,suy ra
,
2
a
d D D AC DH
.
AC BB D D D AC BB D D
và
D AC BB D D D O
.
Từ
D
kẻ
DH D O H DO
,
suy ra
,
2
a
d D D AC DH
.
Xét
: tan30 3
BB
B BO OD BO BB
BO
.
Xét
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1
:
3
D DO
HD OD D D a B B D D
3
a
DD OB a
.
Gọi:
I BD B O
, suy ra
1
2
BI
D I
.
, 2 , 2
ACBD B ABC
d D B AC d B B AC V V
.
Mà
2 2 2 2
4 3OA AB OB a a a
.
2
1
2 2 3
2
ABC ABO
S S OB OA a
.
Suy ra:
3
2
1 1
3
3 3 3
3
BABC ABC
a a
V BB S a
. Vậy
3
2
3
ACB D
a
V
.
8. Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là
60 cm
và
12 0 cm
, cạnh bên của thùng dài
10 0 cm
. Tính thể tích của thùng.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
129
Kẻ
C H AC H AC
.
Có
2 2
120 120
60 2
2
O C
,
2 2
60 60
30 2.
2
OC
30 2CH O C OC
Áp dụng công thức
11
3
h
V S SS S
,
với
'2 2 2 2
100 (30 2) 10 82h C H CC CH
,
2 2
120 , 60S S
Ta có:
2 2 3
10 82
120 120.60 60 84000 82 cm .
3
V
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
130
CHƯƠNG IX. XÁC SUẤT
BÀI 1. BIẾN CỐ GIAO VÀ QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Biến cố giao
Cho hai biến cố
A và B
. Biến cố “Cả
A và B
cùng xảy ra”, kí hiệu
AB
hoặc
A B
được gọi là biến cố
giao của
A và B
.
Chú ý: Tập hợp mô tả biến cố
AB
là giao của hai tập hợp mô tả biến cố
A
và biến cố
B
. Biến cố
AB
xảy
ra khi và chỉ khi cả hai biến cố
A và B
xảy ra.
2. Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố
A và B
được gọi là xung khắc nếu
A và B
không đồng thời xảy ra.
Chú ý: Hai biến cố
A và B
là xung khắc khi và chỉ khi
A B
.
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố
A và B
được gọi là độc lập nếu xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng
tới xác suất của biến cố kia.
Nhận xét: Nếu hai biến cố
A và B
độc lập thì
; ;
A và B A và B A và B
cũng độc lập.
4. Quy tắc nhân xác suất của hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố
A và B
độc lập thì
P AB P A P B
.
Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy, nếu
P AB P A P B
thì hai biến cố
A và B
không độc lập.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Hộp thứ hai chứa 6 viên bi
cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 6. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Gọi
A
là biến cố “
Tổng các số ghi trên 2 viên bi bằng 8”,
B
là biến cố “Tích các số ghi trên 2 viên bi là số chẵn”.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Hãy tính xác suất của biến cố
AB
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
131
c) Tính xác suất của biến cố
A
và biến cố
B
.
d)
A và B
có là hai biến cố độc lập không?
e) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với biến cố
A
nhưng không xung khắc với biến cố
B
.
Lời giải
a) Không gian mẫu của phép thử là
; ,1 4,1 6
i j i i j
, trong đó kí hiệu
;
i j
là kết quả
viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất được đánh số
i
, viên bi lấy ra từ hộp thứ hai được đánh số
j
.
b) Số phần tử của không gian mẫu là
4.6 24
n
.
Khi đó biến cố
2;6 ; 4;4
AB
nên số kết quả thuận lợi cho
AB
là
2
n AB
.
Xác suất của biến cố
AB
là:
2 1
24 12
n AB
P AB
n
.
c) Ta có
2;6 ; 3;5 ; 4;4
A
nên số kết quả thuận lợi cho
A
là
3
n A
.
Xác suất của biến cố
A
là
3 1
24 8
n A
P A
n
.
Biến cố đối của biến cố
B
là
B
: “Tích các số ghi trên hai viên bi là số lẻ”. Biến cố
B
xảy ra khi cả hai
viên bi lấy ra đều ghi số lẻ. Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố
B
là
2.3 6
n B
.
Xác suất của biến cố
B
là
6 1
24 4
n B
P B
n
.
Xác suất của biến cố
B
là
3
1
4
P B P B
.
d) Ta có
1 3 3
.
8 4 32
P A P B
. Suy ra
P AB P A P B
nên
A và B
không là hai biến cố độc lập.
e) Gọi
C
là biến cố “Cả hai viên bi lấy ra đều ghi số 2”. Biến cố
C
xung khắc với
A
nhưng không xung
khắc với
B
.
Bài 2. Một hộp chứa 99 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 99. Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi
A
là biến cố “ Số ghi trên thẻ được chia hết cho 2”,
B
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho
5”.
a) Bình nói
AB
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 10”. Bình nói như vậy đúng hay sai?
Tại sao?
b) Hai biến cố
A và B
có độc lập không? Tại sao?
Lời giải
a) Bình nói đúng. Vì nếu số ghi trên thẻ vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 khi và chỉ khi nó chia hết
cho 10.
b) Từ 1 đến 99 có 49 số chia hết cho 2 nên xác suất của biến cố
A
là
49
99
P A
.
Từ 1 đến 99 có 19 số chia hết cho 5 nên xác suất của biến cố
B
là
19
99
P B
.
Từ 1 đến 99 có 9 số chia hết cho 10 nên xác suất của biến cố
AB
là
9 1
99 11
P AB
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
132
Vậy
P A P B P AB
. Do đó, hai biến cố
A và B
là không độc lập.
Bài 3. Cho
A và B
là hai biến cố độc lập.
a) Biết
0,3
P A
và
0,7
P B
. Hãy tính xác suất của các biến cố
,
AB AB
và
AB
.
b) Biết
0,8
P A
và
0,4
P AB
. Hãy tính xác suất của các biến cố
,
B AB
và
AB
.
Lời giải
a) Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố
AB
là:
0,3.0,7 0,21
P AB P A P B
.
Vì
A
là biến cố đối của
A
nên
1 0,7
P A P A
. Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên xác suất
của biến cố
AB
là
0,7.0,7 0,49
P AB P A P B
.
Vì
B
là biến cố đối của
B
nên
1 0,3
P B P B
. Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên xác suất của
biến cố
AB
là
0,7.0,3 0,21
P AB P A P B
.
b) Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,4
0,5
0,8
P AB
P B
P A
.
Vì
A
là biến cố đối của
A
nên
1 0,2
P A P A
. Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên xác suất
của biến cố
AB
là
0,2.0,5 0,1
P AB P A P B
.
Vì
B
là biến cố đối của
B
nên
1 0,5
P B P B
. Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên xác suất của
biến cố
AB
là
0,2.0,5 0,1
P AB P A P B
.
Bài 4. Minh gieo 1 hạt đậu và 1 hạt ngô. Xác suất nảy mầm của hạt đậu và hạt ngô lần lượt là 0,7 và 0,6.
Biết rằng sự nảy mầm của hai hạt này là độc lập. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:
a) “ Cả 2 hạt đều nảy mầm”;
b) “ Cả hai hạt đều không nảy mầm”;
c) “ Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô không nảy mầm”.
Lời giải
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Kết quả Xác suất
0,7
Hạt đậu nảy
mầm
0,6
0,4
Hạt ngô nảy
mầm
Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô
nảy mầm
0,42
Hạt ngô
không nảy
mầm
Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô
không nảy mầm
0,28
0,3
Hạt đậu
không nảy
mầm
0,6
0,4
Hạt ngô nảy
mầm
Hạt đậu không nảy mầm,
hạt ngô nảy mầm
0,18
Hạt ngô
không nảy
mầm
Hạt đậu không nảy mầm,
hạt ngô không nảy mầm
0,12
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
133
a) Xác suất cả 2 hạt đều nảy mầm là 0,42.
b)Xác suất cả 2 hạt đều không nảy mầm là 0,12.
c) Xác suất hạt đậu nảy mầm, hạt ngô không nảy mầm là 0,28.
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra
ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi
A
là biến “Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra”. Gọi
B
là biến
cố “Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra”.
a) Hãy tìm một biến cố xung khắc với biến cố
A
nhưng không xung khắc với biến cố
B
.
b) Tính xác suất của các biến cố
,
A B
và
AB
.
Lời giải
a) Biến cố “Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh” xung khắc với biến cố
A
nhưng không xung khắc với
biến cố
B
.
b)
1 2
1 5
3
6
0,5
C C
P A P B
C
AB
là biến cố “Lấy ra được 1 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ.
Do đó
1 1 1
4 1 1
3
6
0,2
C C C
P AB
C
.
2. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ 2 chứa 1 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các
viên bi cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi.
Gọi
A
là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”;
B
là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ
hộp thứ hai có cùng màu”.
a) Minh nói
AB
là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ”. Minh nói đúng hay sai?
Tại sao?
b) So sánh
P AB
với
P A P B
.
c) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với cả biến cố
A
và biến cố
B
.
Lời giải
a) Minh nói sai vì nếu lấy ra từ hộp thứ nhất 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ; lấy ra từ hộp thứ hai 1 viên bi
xanh, 1 viên bi đỏ thì trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ nhưng cả hai biến cố
A và B
đều không xảy ra.
b)
2 2 2 2
2 2
5 3 4 3
4 4
2 2 2 2 2 2
5 4 5 4 5 4
0,6; P 0,5; 0,3
C C C C
C C
P A B P AB
C C C C C C
.
Vậy
P A P B P AB
.
c) Gọi
C
là biến cố “Lấy ra từ mỗi hộp 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ”. Biến cố
C
xung khắc với cả hai biến
cố
A và B
.
3. Một hộp chứa 50 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi
A
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 4”,
B
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho
6”.
a) Giang nói
AB
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 24”. Giang nói như vậy đúng hay sai?
Tại sao?
b) Hai biến cố
A và B
có độc lập không? Tại sao?
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
134
a) Giang nói sai vì nếu lấy được thẻ ghi số 12 thì cả hai biến cố
A và B
xảy ra nhưng 12 không chia hết
cho 24.
b)
12 8
;
50 50
P A P B
.
AB
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 12” nên
4
50
P AB
.
Vì
P A P B P AB
nên
A và B
không là hai biến cố độc lập.
4. Cho
A và B
là hai biến cố độc lập.
a) Biết
0,4
P A
và
0,1
P B
. Hãy tính xác suất của các biến cố
,
AB AB
và
AB
.
b) Biết
0,8
P A P B
và
0,16
P AB
. Hãy tính xác suất của các biến cố
,
B AB
và
AB
.
Lời giải
a)
1 0,6; 1 0,9
P A P A P B P B
.
Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,06
P AB P A P B
.
Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,04
P AB P A P B
.
Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,36
P AB P A P B
.
b)
0,8
P A P B
và
0,16
P AB P A P B
. Suy ra
P A P B
.
1 0,6; 1 0,6
P A P A P B P B
.
Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,24
P AB P A P B
.
Do
A và B
là hai biến cố độc lập nên
0,36
P AB P A P B
.
5. Minh mua 2 bóng đèn. Theo một kết quả thống kê, tỉ lệ bị hỏng trong năm đầu sử dụng của loại bóng
đèn Minh mua là 23%. Tính xác suất của các biến cố:
:
A
“Cả hai bóng đèn đều bị hỏng trong năm đầu sử dụng”;
:
B
“Cả hai bóng đèn đều không bị hỏng trong năm đầu sử dụng”.
Lời giải
Do tỉ lệ bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 23% nên xác suất 1 bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng
là 0,23.
0,23.0, 23 0,0529; 1 0,23 1 0, 23 0,5929
P A P B
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
135
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Biến cố hợp
Cho hai biến cố
A và B
. Biến cố “
A
hoặc
B
xảy ra”, kí hiệu là
A B
, được gọi là biến cố hợp của
A và B
.
Chú ý: Biến cố
A B
xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố
A và B
xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố
A B
là hợp của hai tập hợp mô tả biến cố
A
và biến cố
B
.
2. Quy tắc cộng xác suất
Quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc:
Cho hai biến cố xung khắc
A và B
. Khi đó
P A B P A P B
Quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì:
Cho hai biến cố
A và B
. Khi đó
P A B P A P B P AB
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Một hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng.
Chọn ra ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Cả 4 viên bi lấy ra đều có cùng màu";
b) "Có ít nhất 3 viên bi xanh trong 4 viên bi lấy ra".
Lời giải
a) Gọi
A
là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra đều có cùng màu xanh",
B
là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra có
cùng màu đỏ". Vì chỉ có 3 viên bi màu vàng nên
A B
là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu". Do
A
và
B
là hai biến cố xung khắc nên
4
4
5
4
4 4
12 12
2
.
165
C
C
P A B P A P B
C C
b) Gọi
C
là biến cố "Có 3 viên bi xanh trong 4 viên lấy ra". Khi đó
A C
là biến cố "Có ít nhất 3 viên bi
xanh trong 4 viên bi lấy ra". Do
A
và
C
là hai biến cố xung khắc nên
3 1
4
4 8
4
4 4
12 12
1
.
15
C C
C
P A C P A P C
C C
Bài 2. Mai, Lan và 5 bạn cùng lớp xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất của
biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng".
Lời giải
Số cách xếp 7 người thành một hàng ngang là 7 !.
Gọi
A
là biến cố "Mai đứng ở đầu hàng",
B
là biến cố "Lan đứng ở đầu hàng".
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
136
Xác suất của biến cố
A
là
2 6! 2
7! 7
P A
.
Xác suất của biến cố
B
là
2 6! 2
7! 7
P B
.
Xác suất của biến cố "Hai bạn Lan và Mai đứng ở hai đầu hàng" là:
2.5! 1
.
7! 21
P AB
Xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng"là:
2 2 1 11
.
7 7 21 21
P A B P A P B P AB
Bài 3. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập.
a) Biết
0,8
P A
và
P AB
. Tính xác suất của biến cố
A B
.
b) Biết
0,3
P B
và
P A B
. Tính xác suất của biến cố
A
.
Lời giải
a)
Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên
0,2
0,25.
0,8
P AB
P B
P A
Xác suất của biến cố
A B
là
0,85
P A B P A P B P AB
.
b)
Do 0,6
P A B
nên
0,6
P A P B P AB
.
Theo giả thiết ta có
0,3
P B
nên
0,3
P A P AB
.
Do
A
và
B
là hai biến cố độc lập nên
0,3
P AB P A P B P A
.
Suy ra
0,7 0,3
P A
.
Vậy xác suất của biến cố
A
là
0,3 3
0,7 7
P A
.
Bài 4. Một nhóm gồm 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm. Sử
dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn".
Lời giải
Ta có sơ đồ hình cây:
3 nữ, 2 nam 4 nữ, 1 nam 5 nữ
3 2
12 8
C C
4 1
12 8
C C
5
12
C
Xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn" là
3 2 4 1 5
12 8 12 8 12
5
20
682
.
969
C C C C C
C
Bài 5. Một hộp chứa 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 20. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời
2 thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6".
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
137
a) Gọi
A
là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 4". Biến cố
A
xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số
1 và 2. Do đó
2
20
1 1
190
P A
C
.
Gọi
B
là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lớn hơn 37 ". Biến cố
B
xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số
20 và 18 hoặc 20 và 19. Do đó
2
20
2 2
190
P B
C
.
Do
A
và
B
là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn
4 hoặc lớn hơn 37 là
3
.
190
P A B P A P B
b) Gọi
D
là biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết cho 6 ".
Do có 3 thẻ chia hết cho 6 nên xác suất của biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra không có thẻ nào ghi số chia hết
cho 6 "là
2
17
2
20
68
.
95
C
P
C
D
Vậy xác suất của biến cố
D
là
1 .
DP D P
Gọi
E
là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6 nhưng không có thẻ nào ghi số chia hết
cho 6". Biến cố
E
xảy ra khi trong hai thẻ lấy ra có một thẻ ghi số chẵn nhưng không chia hết cho 3 (có 7
thẻ như vậy) và thẻ còn lại ghi số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6 (có 3 thẻ như vậy).
Vậy xác suất của biến cố
E
là
2
20
7.3 21
190
P E
C
Do
D
và
E
là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết
cho 6 "là
15
.
38
P D E P D P E
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Trong một cuộc gặp mặt có 63 đoàn viên tham dự, trong đó có 25 người đến từ miền Bắc, 19 người đến
từ miền Nam và 19 người đến từ miền Trung.
a) Gặp ngẫu nhiên 1 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tính xác suất của biến cố "Đoàn viên được gặp đến từ
miền Nam hoặc miền Trung".
b) Gặp ngẫu nhiên 2 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tính xác suất của biến cố "Hai đoàn viên được gặp
cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam".
Lời giải
a)
19 19 38
63 63
; b)
2 2
25 19
2 2
63 63
157
651
C C
C C
.
2. Một túi chứa 2 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra
ngẫu nhiên 3 viên bi từ túi. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu";
b) "Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra";
c) "Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra".
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
138
a)
3 3
5 3
3 3
10 10
11
120
C C
C C
; b)
3 2
8 8
3 3
10 10
2
14
15
C C
C C
.
c) Gọi
A
là biến cố "Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra". Biến cố đối của biến cố
A
là biến cố
B C
với
B
là biến cố "Cả 3 bi lấy ra đều có cùng màu" và
C
là biến cố " 3 viên bi lấy ra có đủ cả 3
màu". Ta có
11 1
; .
120 4
P B P C
Do
B
và
C
là hai biến cố xung khắc nên
41
120
P B C P B P C
.
Vậy
41 79
1
120 120
P A
.
3. Thanh có 4 tấm thẻ được đánh số
1,3, 4,7
. Thanh lấy ra 3 trong 4 thẻ và xếp chúng thành một hàng
ngang một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số có 3 chữ số. Tính xác suất của biến cố
A
: "Số tạo thành
chia hết cho 2 hoặc 3 ".
Lời giải
Số các số có 3 chữ số có thể tạo thành là 24 số.
Gọi
B
là biến cố "Số tạo thành chia hết cho 2 ".
Biến cố
B
xảy ra khi chữ số hàng đơn vị của số tạo thành là 4.
Có thể xếp được
3.2 6
số chia hết cho 2. Do đó
6
24
P B
.
Gọi
C
là biến cố "Số tạo thành chia hết cho 3 ". Biến cố
C
xảy ra khi 3 chữ số của số tạo thành là
1;4;7
.
Có thể xếp được
3.2 6
số chia hết cho 3. Do đó
6
24
P C
.
4. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập với nhau.
a) Biết
0,4
P A
và
0,3
P AB . Tính xác suất của các biến cố
B
và
A B
.
b) Biết
0,4
P AB và
P A B
. Tính xác suất của các biến cố
,
A B
và
AB
.
Lời giải
a) Ta có:
1 0,6
P A P A .
Do
A
và
B
là độc lập nên
0,5
P B
P
A
A
B
P
.
Do
A
và
B
là độc lập nên
0,7.
P A B P A P B P AB P A P B P A P B
b)
0,5; 0,8; 0,4
P A P B P AB
.
5. Một hộp chứa 10 quả bóng xanh và 10 quả bóng đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu
nhiên đồng thời 5 quả bóng từ hộp. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 quả
bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra".
Lời giải
Sơ đồ hình cây:
3 bóng xanh 4 bóng xanh 5 bóng xanh
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
139
2bóng đỏ 1bóng đỏ
3 2
10 10
C C
4 1
10 10
C C
5
10
C
6. Châu gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng
lại. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố "Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6
chấm".
Lời giải
Xác suất của biến cố "Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm" là
2
1 5 1 5 1 91
.
6 6 6 6 6 216
7. Trong một trò chơi, Dương chọn ra 5 số từ 100 số tự nhiên đầu tiên. Sau đó, người ta chọn ra ngẫu
nhiên 3 số may mắn từ 100 số tự nhiên đầu tiên đó. Tính xác suất của các biến cố:
A
: "Không có số may mắn nào trong 5 số Dương đã chọn";
B
: "Có đúng 1 số may mắn trong 5 số Dương đã chọn".
Lời giải
Biến cố
A
xảy ra khi 3 số may mắn nằm trong 95 số mà Dương không chọn.
Do đó, xác suất của biến cố
A
là
3
95
3
100
0,856.
C
P A
C
Biến cố
B
xảy ra khi trong 3 số may mắn, có 1 số Dương đã chọn, 2 số còn lại nằm trong 95 số mà
Dương không chọn.
Do đó, xác suất của biến cố
B
là
1 2
5 95
3
100
0,138.
C C
P B
C
8. Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bong đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu
nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng đỏ" gấp 5 lần xác suất của
biến cố "Lấy được 2 quả bóng xanh". Tính xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng có cùng màu".
Lời giải
Gọi
n
là số bóng đỏ có trong hộp. Khi đó, tổng số bóng có trong hộp là
3n
.
Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là:
2
3
2
3n
C
C
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
140
Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là:
2
2
3
n
n
C
C
.
Theo đề bài, ta có Theo đề bài, ta có:
2 2
3
2 2
3 3
1
5 15.
2
n
n n
n n
C C
C C
Do
n
là số tự nhiên nên
6
n
.
Do đó, xác suất của biến cố "Cả 2 quả bóng lấy ra đều có cùng màu" là
2 2 2 2
3 3 6
2 2 2 2
3 3 9 9
1
.
2
n
n n
C C C C
C C C C
9. Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc cân đối va đồng chât. Tính xác suất của biến cố
A
: "Tích số chấm xuất
hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15 ".
Lời giải
Gọi
B
là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 5 ",
C
là biến cố
"Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 3 ".
Khi đó,
A
là biến cố đối của biến cố
B C
.
Ta có
3 3 3
5 4 3 3
6 6 6 4
P B C P B P C P BC
.
Do đó, xác suất của biến cố
A
: "Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15 "là:
3 1
1 1 .
4 4
P A P B C
10. Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai
thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Lời giải
a) Gọi
A
là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ". Gọi
1
A
là biến cố
"Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 ",
2
A
là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76
".
Khi đó, ta có
1 2
A A A
.
Biến cố
1
A
xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó
1
2
40
1
P A
C
.
Biến cố
2
A
xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số
37;40 , 38;40 , 39;40
hoặc
38;39
. Do đó,
2
2
40
4
P A
C
Do
1
A
và
2
A
là hai biến cố xung khắc nên:
1 2 1 2
.
156
P A P A A P A P A
b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho
5;20
số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10. Gọi
B
là biến cố
"Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Gọi
1
B
là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5 ",
2
B
là biến cố "Tích các số ghi
trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2 ".
Khi đó,
B
là biến cố đối của biến cố
1 2
B B
.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
141
Ta có
2 2 2
32 20 16
1 2 1 2 1 2
2 2 2
40 40 40
283
.
390
C C C
P B B P B P B P B B
C C C
Do đó, xác suất biến cố B "Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10" là
1 2
107
1 .
390
P B P B B
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
142
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM
Câu 1: Gieo
2
con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi
A
là biến cố "Tích số chấm xuất hiện là số lẻ".
Biến cố nào sau đây xung khắc với biến cố
A
?
A. "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm".
B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ".
C. "Xuất hiện it nhất một mặt có số chấm là số lẻ".
D. "Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau".
Lời giải
Chọn B
Câu 2: Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập. Biết
0,4
P A
và
0,5
P B
. Xác suất của biến cố
A B
là
A. 0,9. B. 0,7. C. 0,5. D. 0,2.
Lời giải
Chọn B
0,7
P A B P A P B P AB
Câu 3: Gieo
2
con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên
hai con xúc xắc chia hết cho
5
" là
A.
5
36
. B.
1
6
. C.
7
36
. D.
2
9
.
Lời giải
Chọn C
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 5" là: 4
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 10" là: 3
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là:
3 4 7
Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là:
7
36
Câu 4: Lấy ra ngẫu nhiên
2
quả bóng từ một hộp chứa
5
quả bóng xanh và
4
quả bóng đỏ có kích
thước và khối lượng như nhau. Xác suất của biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu" là
A.
1
9
. B.
2
9
. C.
4
9
. D.
5
9
.
Lời giải
Chọn C
A là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu xanh",
2
5
2
9
C
P A
C
B là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu đỏ",
2
4
2
9
C
P B
C
A B
là biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu". A và
B
xung khắc nên:
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
143
4
9
P A B P A P B
Câu 5: Chọn ngẫu nhiên
2
đinh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm
O
bán kính
R
. Xác suất đề khoàng cách giũ
a hai đỉnh đó bằng
2R
là
A.
2
7
. B.
3
7
. C.
4
7
. D.
5
56
.
Lời giải
Chọn A
Để khoảng cách giữa hai điểm đó là
2R
thì giữa hai đỉnh đó có 1 đỉnh Xác suất của biến cố
đó là:
2
8
8 2
7C
BÀI TÂP TỰ LUẬN
Câu 6: Cho
A
và
B
là hai biến cố thoả mãn
0,5P A
;
0,7P B
và
0,8P A B
.
a) Tính xác suất của các biến cố
AB
, AB và AB .
b) Hai biến cố
A
và
B
có độc lập hay không?
Lời giải
a) . Suy ra P AB 0,4
0,7 0,4 0,3
1 0,2
P A B P A P B P AB
P A
AA
B P B P AB
P BB P
b) Vì
P AB P A P B
nên A và B không độc lập
Câu 7: Vệ tinh
A
lần lượt truyền một tin đến vệ tinh
B
cho đến khi vệ tinh
B
phản hồi là đã nhận được.
Biết khả năng vệ tinh
B
phản hồi đã nhận được tin ở mỗi lần
A
gửi là độc lập với nhau và xác
suất phản hồi mỗi lần đều là
0,4
. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất vệ tinh
A
phải gửi tin
không quá
3
lần.
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
144
Nhìn vào sơ đồ ta thấy xác suất vệ tính A phải gửi tin không quá 3 lần là:
0, 4 0,24 0,144 0,784
Câu 8: Gieo
2
con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố "Tích số chấm xuất hiện
trên hai con xúc xắc chia hết cho
6
".
Lời giải
Gọi
A
là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 6".
{ 1;6 ; 2;6 ; 3;6 ; 4;6 ; 5;6 ; 6;1 ; 6;2 ; 6;3 ; 6;4 ; 6;5 ; 6;6
15 5
15
Ω 36 12
A
n A
n A P A
n
Câu 9: Một hộp có
5
quả bóng xanh,
6
quả bóng đó và
4
quả bóng vàng có kích thước và khối lượng
như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp
4
quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:
A: "Cả
4
quả bóng lấy ra có cùng màu";
B
: "Trong
4
bóng lấy ra có đủ cả
3
màu".
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 15 quả bóng có
4
15
1365C
cách.
Ω 1365n
Gọi
1
A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh",
2
A là biến cố "Cả 4 quả bóng
lấy ra đều có cùng màu đô",
3
A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng".
Vậy
1 2 3
A A A A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu".
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có
4
5
5C
cách.
1
1 1
5 1
5
Ω 1365 273
n A
n A P A
n
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có
4
6
15C
cách.
2
2 2
15 1
15
Ω 1365 91
n A
n A P A
n
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có
4
4
1C
cách.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
145
3
3 3
1 2 3
1
1
Ω 1365
1
65
n A
n A P A
n
P A P A P A P A
Gọi
1
B
là biến cố "Lấy ra 2 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 1 bóng vàng",
2
B
là biến cố "Lấy ra 1 bóng
xanh, 2 bóng đỏ, 1 bóng vàng",
3
B
là biến cố "Lấy ra 1 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 2 bóng vàng".
Vậy
1 2 3
B B B B
là biến cố "Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu".
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có
2
5
10
C
cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.
1
1 1
240 16
10.6.4 240
Ω 1365 91
n B
n B P B
n
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có
2
6
15
C
cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.
2
2 2
300 20
5.15.4 300
Ω 1365 91
n B
n B P B
n
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có
2
4
6
C
cách.
3
3 3
1 2 3
180 12
5.6.6 180
Ω 1365 91
48
91
n B
n B P B
n
P B P B P B P B
Câu 10: Cường, Trọng và
6
bạn nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất
của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng".
Lời giải
A là biến cố "Cường đứng đầu hàng",
1
2
6!
2
7! 7
C
P A
B
là biến cố "Trọng đứng đầu hàng",
1
2
6!
2
7! 7
C
P B
AB
là biến cố "Trọng và Cường cùng đứng đầu hàng"
2!.5! 1
7! 21
P AB
A B
là biến cố "Có it nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng"
11
21
P A B P A P B P A P B
Câu 11: Chọn ngẫu nhiên
3
trong số
24
đinh của một đa giác đều
24
cạnh. Tính xác suất của biến cố "
3
đỉnh được chọn là
3
đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông".
Lời giải
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
146
Chọn ngầu nhiên 3 trong số 24 đỉnh của một đa giác đều 24 cạnh có
3
24
2024
C
Ω 2024
n
Gọi
A
là biến cố: "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân",
B
là biến cố "3 đỉnh
được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông".
Vậy
là biến cố "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân",
A B
là biến cố
"3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông".
Gọi
O
là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Mỗi tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác thì cạnh huyền của tam giác vuông phải là
đường kính của
O
, do đó ta có 12 cách chọn đường kính.
Với mỗi cách chọn đường kính, ta có 22 cách chọn đỉnh góc vuông (22 đỉnh còn lại của đa
giác)
Vậy số tam giác vuông thỏa mãn điều kiện là:
12.22 264
(tam giác).
264 3
264
Ω 2024 23
n A
n A P A
n
Mỗi tam giác cân có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác thì đường cao của tam giác cân phải là đường
kính của
O
.
Với mỗi một đỉnh trên
O
, ta có 10 cách tạo ra tam giác cân (không là tam giác đều).
Vậy số tam giác cân (không là tam giác đều) thỏa mãn điều kiện là:
10.24 240
(tam giác).
Số tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên
O
là:
24 : 3 8
(tam giác).
248 31
240 8 248
Ω 2024 253
n B
n B P B
n
Có 12 cách chọn đường kính.
Với mỗi cách chọn đường kính, ta có 2 cách chọn đỉnh góc vuông để tạo thành tam giác vuông
cân. Vậy số tam giác vuông cân thỏa mãn điều kiện là:
12.2 24
(tam giác).
24 3
24
Ω 2024 253
3 31 3 61
23 253 253 253
n AB
n AB P AB
n
P A B P A P B P AB
Câu 12: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có
3
chữ số. Tính xác suất của các biến cố:
A
: "Số được chọn chia hết cho
2
hoặc
7
";
B
: "Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn".
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 2 là: 450
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 là: 128
450 128 450 128 257
900 900 900 900 450
P A
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đều là số chẵn là: 100
Số các số tự nhiên có 1 chữ số chẫn, 2 chữ số lẻ là: 100
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
147
100 100 2
900 900 9
P B
Câu 13: Cho hai giống cá kiếm mắt đen thuần chủng và mắt đỏ thuần chủng giao phối với nhau được
F1
toàn cá kiếm mắt đen. Lại cho cá
F1
giao phối với nhau được một đàn cá con mới. Chọn ra ngẫu
nhiên
2
con trong đàn cá con mới. Ước lượng xác suất của biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen
trong
2
con cá đó".
Lời giải
Gọi
A
là biến cố: "Có 1 con cá mắt đen",
B
là biến cố "Có 2 con cá mắt đen".
Vậy
A B
là biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen trong 2 con cá đó".
Xác suất con cá là cá mắt đen là
3
4
, xác suất con cá là cá mắt đỏ là
1
4
3 1 3 3 3 9
;
4 4 16 4 4 16
P A P B
Vì hai biến cố
A
và
B
xung khắc nên
3 9 3
16 16 4
P A B P A P B
.
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
A. TRẮC NGHIỆM
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 1,2.
Một lớp học gồm 50 bạn, trong đó có 20 bạn thích chơi bóng đá, 28 bạn thích chơi bóng rổ và 8 bạn thích
chơi cả hai môn. Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp.
1. Xác suất của biến cố "Bạn được gặp thích chơi bóng đá hoặc bóng rổ" là
A. 0,16. B. 0,96. C. 0,48. D. 0,8.
Lời giải
Chọn D
2. Xác suất của biến cố "Bạn được gặp thích chơi bóng đá nhưng không thích chơi bóng rổ" là
A. 0,24. B. 0,12. C. 0,4. D. 0,16.
Lời giải
Chọn A
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 3, 4.
Một hộp đựng 10 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 15 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 15. Các
viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. Gọi
A
là biến cố
"Viên bi lấy ra có màu đỏ",
B
là biến cố "Viên bi lấy ra ghi số chẵn".
3. Xác suất của biến cố
AB
là
A. 0,28. B. 0,2. C. 0,4. D. 0,48.
Lời giải
Chọn B
4. Xác suất của biến cố
A B
là
A. 0,4. B. 0,88. C. 0,48. D. 0,68.
Lời giải
Chọn D
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 5, 6.
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
148
Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm là 0,7. Thực hiện thí nghiệm đó 2 lần liên tiếp một cách
độc lập với nhau.
5. Xác suất của biến cố "Cả 2 lần thí nghiệm đều thành công" là
A. 0,7. B. 0,21. C. 0,49. D. 1,4.
Lời giải
Chọn C
6. Xác suất của biến cố "Lần thứ nhất thí nghiệm thất bại, lần thứ hai thí nghiệm thành công" là:
A. 0,21. B. 0,09. C. 1. D. 0,42.
Lời giải
Chọn A
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 7,8.
Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập. Biết
0,4
P A
và
P AB
.
7. Xác suất của biến cố
B
là
A. 0,5. B. 0,6. C. 0,7. D. 0,8.
Lời giải
Chọn A
8. Xác suất của biến cố
A B
là
A. 0,6. B. 0,7. C. 0,8. D. 0,9.
Lời giải
Chọn B
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu
9,10
.
Một hộp chứa 5 viên bi xanh và một số viên bi trắng có cùng kích thước và khối lượng. Biết rằng nếu
chọn ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thì xác suất lấy được viên bi xanh là 0,25.
9. Nếu lấy ra 1 viên bi từ hộp thì xác suất của biến cố "Lấy được 1 viên bi trắng" là
A. 0,25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,95.
Lời giải
Chọn C
10. Số viên bi trắng trong hộp là
A. 20. B. 15. C. 4. D. 1.
Lời giải
Chọn B
B. TỰ LUẬN
1. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất của biến cố
A
: "Số được chọn chia hết
cho 2 hoặc 9 ".
Lời giải
Xác suất của biến cố
A
: "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 9 " là:
5
9
2. Trong một trò chơi, Trọng chọn ngẫu nhiên 5 số trong 20 số từ 1 đến 20, Thuỷ cũng chọn ra ngẫu nhiên
5 số trong 20 số đó. Tính xác suất của các biến cố
A
: "Trọng và Thuỷ đều chọn số 1 ";
B
: "Trọng và Thuỷ không chọn được số nào giống nhau".
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
149
Lời giải
a)
1
16
P A
; b)
1001
5168
.
3. Bốn bạn An, Bình, Châu, Dương đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Gọi
A
là biến
cố "An đứng cạnh Bình",
B
là biến cố "Châu đứng ở đầu hàng". Tính xác suất của các biến cố
AB
và
A B
.
Lời giải
1 1 1 2
; ; ;
2 2 3 3
P A P B P AB P A B
.
4. Cho
A
và
B
là hai biến cố độc lập.
a) Biết
0,8
P A
và
P AB
. Tính xác suất của biến cố
A B
.
b) Biết
0,3
P B
và
P A B
. Tính xác suất của biến cố
A
.
Lời giải
a) Xác suất của biến cố
A B
là: 0,85; b) Xác suất của biến cố
A
là:
3
7
.
5. Một hộp đựng 10 tấm thẻ màu trắng được đánh số từ 1 đến 10 và 5 tấm thẻ màu xanh được đánh số từ
1 đến
5. Các tấm thẻ có cùng kích thước và khối lượng. Rút ra ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất
của các biến cố:
a) "Hai thẻ lấy ra có cùng màu".
b) "Có ít nhất 1 thẻ màu trắng và ghi số chẵn trong hai thẻ lấy ra".
Lời giải
a)
11
21
; b)
4
7
.
6. Tỉ lệ chuyến bay từ Hà Nội vào Cần Thơ bị chậm giờ là
5%
. Tỉ lệ chuyến bay từ Cần Thơ về Hà Nội
bị chậm giờ là
3%
. Thảo bay từ Hả Nội vào Cần Thơ và bay trở lại Hà Nội sau một tháng. Biết rằng khả
năng bị chậm giờ của hai chuyến bay đó là độc lập với nhau. Tính xác suất của biến cố "Hai chuyến bay
đều không bị chậm giờ".
Lời giải
Xác suất của biến cố "Hai chuyến bay đều không bị chậm giờ" là: 0,9215
7. Một hộp chứa 1 viên bi xanh và một số viên bi trắng có cùng kích thước và khối lượng. Biết rằng nếu
chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thì xác suất lấy được 2 bi cùng màu là 0,6. Hỏi trong hộp có bao nhiêu
viên bi trắng?
Lời giải
Trong hộp có bao nhiêu viên bi trắng là: 4
8. Một nhóm học sinh gồm 4 bạn nữ và một số bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm. Biết rằng
xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là
1
3
. Tính xác suất của biến cố "Cả 2 bạn được chọn có cùng
giới tính".
Lời giải
Xác suất của biến cố "Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính" là:
7
15
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2 WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133
150
9. Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Tính xác suất của biến cố "Khoảng
cách giữa hai đỉnh được chọn lớn hơn
3
".
Lời giải
Xác suất của biến cố "Khoảng cách giữa hai đỉnh được chọn lớn hơn
3
" là:
1
5
10. Chọn ngẫu nhiên 2 hình vuông trong bảng ô vuông kích thước
3 3
. Gọi
A
là biến cố "Hai hình
vuông được chọn có đúng 1 đỉnh chung",
B
là biến cố "Hai hình vuông được chọn có 1 cạnh chung".
Tính xác suất của biến cố
A B
.
Lời giải
Xác suất của biến cố
A B
là:
5
9
| 1/151
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ
CS 1: Trung Tâm MASTER EDUCATION- 25 THẠCH HÃN
CS 2: Trung Tâm BDKT 168 Mai Thúc Loan
CS 3: Trung Tâm BDKT Thuận Hóa – 32 Lê Lợi
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên
 Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: n
a a . a . a .... a n  , n  0, a     n thua so n 1
 Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0: 0 a
, a  1 n   a   a n  * , , 0. a
2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n  2 . n
 Số a là căn bậc n của số b nếu a b .
 Sự tồn tại căn bậc n :
 Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu n b .
 Nếu n chẵn thì:
o b  0 : không tồn tại căn bậc n của b .
o b  0 : có một căn bậc n của b là 0.
o b  0 : có hai căn bậc n của b đối nhau, kí hiệu giá trị dương là n b và giá trị âm là nb .
 Các tính chất sau đây n a a n n n
a b ab n  ( n a )m n ma n b ba khi n le n n
a   a khi n chăn  m n nm a a
3. Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ m m
Cho số thực dương a và số hữu tỉ r  , trong đó , m n  ,
n  0 . Ta có: r n m n a aa n
4. Luỹ thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là một số dương,  là một số vô tỉ và r là một dãy số hữu tỉ sao cho limr   . n n
Khi đó a  lim rn a . n
5. Tính chất của phép tính luỹ thừa
Cho a, b là những số thực dương; ,  là những số thực bất kì. Khi đó: a
a  a  a  (ab) ab   a  a   a a      
a   a b bB. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 1
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 3 128 a) 5 5 9  27 ; b) ; c) 5 3 3 9 ; 3 2 d) 4 4 4 2  162  32 e) 5 6 4 5 ( 3)  81 Lời giải a) 5 5 5 2 5 3 5 2 3 5 5
9  27  3  3  3 3  3  3 ; 3 128 128 b) 3 3 3 3   64  4  4 ; 3 2 2 c) 5 3 5 3 3 2 5 3 5 5.3 5 3 5  5 3 5 5 3 3 9  3  3  3  3  3  3  3 ; d) 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 4 4
2  162  32  2  3  2  2  2  3 2  2 2  2 2 ; e) 5 6 4 5 5 6 4 5 4 5 5 5 ( 3)  81  3  3  3 3  3  4 3 .
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:  1 1 3   a) ; b)  27  3 4 ;  1 3  1 6 3    c) 22 3 22 3 3  3 ; d) 3 3  a b
(a  0,b  0) .     Lời giải  1 3  a)  1     1 2  3  3  9 ;  1 3  1 1    1 1 b)  27 4  3   3 3 4  3 3  4   ; 3 4 64 c) 22 3 22 3 22 3 22 3 4 3  3  3  3  81 ; 1 6 1 6 1 3    3   a d) 3 3 3 3 3 2  a b   a bab  . 2   b   8x  8x
Bài 3. Biết rằng 4x  5 . Tính giá trị của biểu thức . 2x  2x Lời giải xx xx  
2x  2x  2x xx 2 3 3 2  2 2  2 x 8 8 2 2  2 x xx 2    2  2 2  2 x 2x  2x 2x  2x 2x  2x xx x 1 1 31  4 1 4  4 1  5 1  4x 5 5 1 1
Bài 4. Biết rằng 5x 10y
 2 . Tính giá trị của biểu thức  . x y Lời giải 1 1 Ta có: 5x 2 5 2 ;10y 2 10 2 y x       .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 2
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1  5 1  1 1 Từ đó, x y y 1 2  2 x : 2    2    1  . 10 2 x y
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 2  3  a) 2 0 .3 .12   ;  4  2 2  1   2  b) .     ;  12   3  2  c)  2  2   5 2 .5 : 5.5  . Lời giải 2  3  1 1 16 a) 2 0  3 12   9 1   9   9  16   2  4 9   3 9    16  4  1  2  1   2  1 1 1 9 b)     12   12   27     2  12   3 1 4   2 4  12   9  3  2 2 2 2         1 1 5 1 1 1 16 c)  2 2 2  5  :  5 5  5  2   5 : 5   :  4 4 4   5   5   5  16 2   5    4 2 4  2   5  4 5 4   2 5 5  5    16 4  
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa a  0 : a) 4 8 3. 3. 3. 3 ; b) a a a ; 3 4 a. a. a c) . 2  a3 5 5 .a Lời giải 1 1 1 1 1 1 15 1   a) 4 8 2 4 8 2 4 8 8
3 3  3  3  3 3  3  3  3  3 1 1 3 3 3 7 7 1 1 b) 2 2 2
a a a a a aa aa a 4 4 4 8
a a aa a 1 1 1 1 1 1 13   3 4 13 1 2 3 4 2 3 4 12 1
a a a
a a a a a  c) 12 12     aa 2 3 2 3 2  a 5 3 5 5 5 5 5 ( a )  a a a a
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau a  0,b  0 : 1 1 7 a) 3 2 6 a a a ; 2 1 1 b) 3 4 6 a a : a ;
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 3
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 3 1 1 3  3     1  c) 2 2 2 2 a ba b     . 2 3     Lời giải 1 1 7 1 1 7   a) 2 3 2 6 3 2 6
a a a aa 2 1 1 2 1 1 3   b) 3 4 6 3 4 6 4
a a : a aa 3 1 1 3 3 1 1 3  3     1  3  1      1 c) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 aba b     ab   ab       2 3 2      3  2
Bài 4. Với một chỉ vàng, giả sử người thợ lành nghề có thể dát mỏng thành lá vàng rộng 2 1m và dày khoảng 7
1,94.10 m . Đồng xu 5000 đồng dày 3
2, 2.10 m . Cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên để có độ
dày bằng đồng xu loại 5000 đồng? Làm tròn kết quả đến chữ số hàng trăm. Lời giải
Để có độ dày bằng đồng xu loại 5000 đồng ta cần chồng bao nhiêu lá vàng như trên là:  3    7 2, 2.10
: 1, 94.10   11300 (lá vàng) t 3  1 
Bài 5. Tại một xí nghiệp, công thức P t   500.  được dùng để tính giá trị còn lại ( tính theo triệu  2 
đồng) của một chiếc máy sau thời gian t ( tính theo năm) kể từ khi đưa vào sử dụng.
a) Tính giá trị còn lại của máy sau 2 năm; sau 2 năm 3 tháng.
b) Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng bao nhiêu phần trăm so với ban đầu ? Lời giải 2 3  1 
a) Với t  2 : P 2  500   314, 98   (triệu đồng)  2 
2 năm 3 tháng  2, 25 năm. 2,25 3  1 
Với t  2, 25 : P 2, 25  500.  297, 3   (triệu đồng)  2  1 3  1 
b) Với t  1: P   1  500.  396,85   (triệu đồng)  2 
Sau 1 năm đưa vào sử dụng, giá trị còn lại của máy bằng: 396,85 : 500.100  79, 37% so với ban đầu.
Bài 6. Biết rằng 10 2;10   5 . Tính     2 2    2 10 ;10 ;10 ;10 ;1000 ;0, 01  a) 16 16 ; b)     2 2 2 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 4
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
10  10 10  2 5  10  10   2 10   10 5 10   10 2 2 2  2  4   1 1 2 10   2 10  4 
1000  10   10 3 3 3  5  125 2   1  1 1 1 1 1 1 2 0, 01          2  100  100   2 4 10    4 4 2 2 16 10 10  1
Bài 7. Biết rằng 4 
. Tính giá trị các biểu thức sau: 5 a) 16 16 ; b)     2 2 2 . Lời giải 2  2    1 1  1  1  1 626 a) 16 16  16           2 4   4    16 4  4 2 2 2  5   1 25     5  b)    2   2        2         2 2        2     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2      1 1 1 36  4  2  4  4  2    2   4 5 1 5 5
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 0 2  4   1   2   1  a)   ; b)   ; c)    ; 3  5   5   3  4 3 d) 0 (55) ; e) 8  5 2  2 ; g) .   3  3 2 Lời giải 25 a) 1; b) ; c) 81; 4 1 1 d) 1; e) ; g) . 8 9
2. Tính giá trị của các biểu thức sau: 81
a) 3 0, 001 ; b) 5 32 ; c) 4 16
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 5
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com d) 6 3  100 ; e) 4 4 ( 3  2) ; g) 5 5 (2  5) . Lời giải 3 a) 0,1; b) -2; c) ; 2
d) -10; e) 2  3 ; g) 2  5 .
3. Tính giá trị của các biểu thức sau: 4 243 3 3 a) 4 4 125  5 b) ; c) ; 4 3 3 24 d) 3 64 ; e) 4 3 3 3 g) 6 3 ( 4) Lời giải 4 243 243 a) 4 4 4 3 4 4
125  5  5 5  5  5 ; b) 4 4 4 4   81  3  3 ; 4 3 3 3 3 3 1 1 1 c) 3 3     d) 3 2.3 6 6 6 64  2  2  2 ; 3 3 3 24 24 8 2 2 e) 4 3 4 3 3 3 4 4 3 3 3  3  3  3  3 g) 6 3 6 3 6 2.3 6 6 ( 4)   4   2   2  2 .
4. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 3 3 135  5 5 ; b) 4 3 3 81  3 3 c) 4 5 5 5 16  64  2 2 d) 4 5 4 ( 5)  25 . Lời giải a) 3 3 3 3 3 3 3 3
135  5 5  3 5  5 5  3 5  5 3  2  5 ; b) 4 3 3 4 3 4 3 3 4 4 3 3 3 3 81  3 3  3  3 3 
3  3 3  3  3 3  4 3 ; c) 4 5 5 5 5 4 4 5 6 5 5 5 5 5 16  64  2 2  2  2  2 2  2  2 2  2 2  5 2 ; d) 4 5 4 4 5 4 2 4 4 4 ( 5)  25  5  5  5 5  5  4 5 .
5. Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2   a) 3 8 ; b) 5 32 ; c) 1,25 81 ; 1 2 5    4  16  3  8  d) 3 1000 e)   ; g)    81   27  Lời giải 2 2 2 2      1 1  1 1 a) 8   3 2  2 3 3  2   ; b) 32   5 2  2 5 5  2   ; 2 2 4 2 2 4 5 2 2    1 1 c) 1,25   4  5 4 81 3  3  243 ; d) 1000   3 10  2 3 3  10    0, 01; 2 10 100 1 1  1    4  1 4 4   4      4 16 2  2    2  3 e)        ; 4       81  3    3   3  2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 6
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 2  2    3  2  2 3 3   3      3 8 2  2    2   3  9 g)         . 3         27  2    3   3   2  4
6. Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một luỹ thừa (a  0) : 1 a) 4 3 2 ; b) ; c) 5 4 ( 3) ; 5 3 2 1 3 2  d) 3 a a ; e) 3 4 3 6 5
a a : ( a ) g) 3 2 3 a : aa Lời giải 3 3 4   a) 4 2 ; b) 5 2 ; c) 5 3 ; 1 1 1 1 1 4 4 1 2 2 2 2    1     d) 3 3 3 3 3 2 3
a a a aaaaa       ;       5 1 3 1 1 3 5 3 1     e) 3 4 3 6 5 3 4 6 3 4 6 12 4
a a : ( a )  a a :  a   aaa ;   1 3 2 1 3 2 7    g) 3 2 3 3 2 3 6
a : a aaa .
7. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư): 2 1  a) 5 15 ; b) 2 20 ; c) 2,4 5, 7 ; d) 2,38 0, 45 . Lời giải a) 2,9542; b) 0,2236; c) 65,1778; d) 6,6889
8. Rút gọn các biểu thức sau: 8 a) 3 1  3 1 2 : 2  ; b)   8 2 3 ; c) 2 ( 7)  ;   1 1 3   d) 2 5 1  2 5 2 a : a ; e) 3 2 1   2 1 2 3 3  9 ; g)  3 3  a b  .     Lời giải 3 1 3 1 3 1   3    1 a) 2 2 : 2  2  2  4 ; b)   8 2 2 8 16 4 3  3  3  3  81; 16 1 1 8   4 2 5 1     2 52 2 5 1 2 5 2  c) 2 2 2 2 ( 7)   7  7  7  49 3   ; d) a : aaa ;      e)             1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 22 2 22 2 4 3 3 9 3 3  3  3  3  81; 1 1 1 1 1 1 3 3    3    b g) 3 3 3 3 3 1 3  a b   aba b  .   a  
9. Cho a  0,b  0 . Rút gọn các biểu thức sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 7
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1  1 1 2 1 1 2          a) 2 2 2 2 a b a b     ; b) 3 3 3 3 3 3
a b   a a b b  .         Lời giải 1 a) a  ; b) a b . b 3 x 3 5  5 x 10. Biết rằng 2
5 x  3 . Tính giá trị của biểu thức . 5x  5x Lời giải xx
5x  5x  2x xx 2 3 3 5  5 5  5 x 5 5  xx 1 7 2 2   5 1 5  3 1  5x  5x 5x  5x 3 3
11. Biết rằng 3  3  3 . Tính giá trị của các biểu thức sau:   a) 2 2 3  3 ; b) 2 2 3  3  . Lời giải 2         a) 2 2  2 2 3  3  3  2  3  3  3  3  3    2  3  2  5   .           Suy ra 2 2 3  3  5 do 2 2 3  3  0   .   b)          2 2 2   2 3 3 3 3  2  3  3  3  2  7 . 1 1
12. Biết rằng 4x 25y
 10 . Tính giá trị của biểu thức  . x y Lời giải 1 1 1 1  1 1 4x 10 10 4; 25y 10 10 y x       25 . Suy ra x y 2 10  4.25  100  10    2 x y h 4  1 
13. Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức I I , trong h 0    2 
đó I là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó. 0
a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?
b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m ? Lời giải 1 4 I  1  a) 1   0,84  84%   . I  2 0  3 6 3   4 4 4 I  1   1  b) 3    1, 68     (lần). I  2   2 6 
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 8
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. PHÉP TÍNH LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương a, b với a  1. Số thực  thoả mãn đẳng thức a  b được gọi là lôgarit cơ số a
của b và kí hiệu là log b .  log b a     . b a Chú ý:
 Từ định nghĩa, ta có: b log log 1  0; log a  1; log a  ; b b a a  . b a a a
 log b được viết là logb hoặc lgb ; log b được viết là lnb . 10 e 2. Tính chất
Với a  0, a  1, M  0, N  0 , ta có:
 log MN   log M  log N (lôgarit của một tích) a a a M  log
 log M  log N (lôgarit của một thương) a a a N
 log M   log M    (lôgarit của một luỹ thừa) a a  
Chú ý: Đặc biệt, ta có: 1 1 log
 log N; log n M  log M với * n   . a a N a a n
3. Công thức đổi cơ số log N
Cho các số dương a, ,
b N, a  1, b  1, ta có log b N  . a log a b Đặc biệt, ta có: 1 1 log N N  ; log    .  N log N  0 aa   1 log a   N B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1 log 1 5 3  1  a) 5 log 9 ; b) log c) . 3   3 10  25  Lời giải 1 2 2 a) 5 5 log 9  log 3  ; 3 3 5 1 1  1 b) 3 log  log10   ; 3 10 3 1 2 log  1 1 1 2  5 3 log 2  log    log 1  5 5 5   1  c)     2 5  2 3 3 3  5  5   3  9     .  25     3 
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 9
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 a) log 45  log ; b) log 48  log 3 ; 3 3 5 4 4 16 1 9 c) log  2log 6 ; d) 3 log  log 7 . 2 2 3 3 3 3 7 Lời giải 1  1  a) 2 log 45  log  log 45   log 9  log 3  2 ; 3 3 3   3 3 5  5  48 b) 2 log 48  log 3  log  log 16  log 4  2 ; 4 4 4 4 4 3 16 16  16  c) 5 log  2log 6  log  log 6  log
 6  log 32  log 2  5 ; 2 2 2 2 2   2 2 3 3  3  1 1 9 1 1 1 1 2 2 d) 3 log  log 7  log 9  log 7 3  log 7 2  log 3  log 7  log 7  log 3  . 3 3 3 3 3 3 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1 a) log ; b) log 9  log
; c) log 27  log 5 log 8 . 9 27 8 27 16 4 3 25 Lời giải 1 log 3 3 1 log 3 3 a) 27 3 log     ; 9 2 27 log 9 log 3 2 3 3 1 log 2 4 2 1 log 9 log 3 log 2 2log 3 4log 2 2 4 8 b) 2 16 2 2 2 2 log 9  log           8 27 3 3 16 log 8 log 27 log 2 log 3 3log 2 3log 3 3 3 9 2 2 2 2 2 2 3 3 log 27 log 5 log 8 log 3 log 5 log 2 2 2 2 2 2 2 c) log 27.log 5  log 8       4 3 25 2 2 log 4 log 3 log 25 log 2 log 3 log 5 2 2 2 2 2 2 3log 3 log 5 3log 2 9 2 2 2     2log 2 log 3 2log 5 4 2 2 2
Bài 4. Biết rằng 2log2  a, log3  b . Biểu thị các biểu thức sau theo a và b .
a) log18 ; b) log 12 ; c) log75 . 2 Lời giải a
Từ giả thiết, ta có log2  . 2 a a)   2 log18
log 2 3   log2  2log3   2b . 2 log log12  2
2  3 2log2  log3 a b 2 a b b) log 12      . 2 log2 log2 log2 a a 2 10 a c) Ta có log5  log  log10  log2  1 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 10
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a  Suy ra   2 log75
log 3 5   log3  2log5  b  2 1
 2  a b   .  2 
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 a) log 16 b) log c) log1000 d) log312 9 . 2 3 27 Lời giải a) 4 log 16  log 2  4 2 2 1 b) 3 log log 3   3  3 3 27 c) 3 log1000  log10  3 2 d)  log 12 3  2 3  12  144
Bài 2. Tìm các giá trị của x đề biểu thức sau có nghĩa: a) log (1 2x) ; b) log 5 . 3 x 1  Lời giải 1
a) Để log 1 2x có nghĩa thì 1  2x  0 Hay x  3   2 b) Để log
5 có nghĩa thì x  1  0 Hay x  1 x 1 
Bài 3. Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư): a) log 15 b) log 8  log 3; c) 3 ln 2 3 Lời giải a) log 15  2, 4650 3 b) log8  log3  0, 4260 c) 3ln2  2, 0794
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 a) log 9  log 4 b) log 2  log 50 c) log 5  log 15 . 6 6 5 5 3 3 2 Lời giải
a) log 9  log 4  log 9.4 2  log 36  log 6  2 . 6 6 6 6 6 2 1 b) 2 log 2 log 50 log log log 5      2  5 5 5 5 5 50 25 1 5 1 1  1 c) 1 log 5  log 15  log 5  log 15  log  log  log 3   . 3 3 3 3 3 3 3 2 15 3 2 2
Bài 5. Tính giá trị các biểu thức sau: 1 a) log 9  log 4 b) log c) log 3 log 5  log 4 2 3 25 2 9 5 5 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 11
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a) 2 2
log 9  log 4  log 3  log 4  2log 3 log 4  2log 4  2log 2  2  2  4 . 2 3 2 3 2 3 2 2 1 1  1  1 b) 2 2 log  log 5  log 5   . 2 25 5 5 5 2 4 c) 1 1 2 2 2 log 3 log
5  log 4  log 3 log 5  log 2  log 3 log 5 2log 2 2 2 9 5 2 5 2 3 5 3 2 1 1 1 1  log 3 log 5  log 4  log 5 log 2  log 2  2 3 5 2 5 2 2 2 2 2
Bài 6. Đặt log 2  a, log 3  b . Biểu thị các biểu thức sau theo a và b . a) log 9 ; b) log 12 c) log 6 . 4 6 5 Lời giải 2 log9 log3 2log3 log3 b a) log 9      . 4 2 log4 log2 2log2 log2 a log  2 2 3 log12  2 log2  log3 2log2  log3 2a b b) log 12      . 6 log6 log 2.3 log2  log3 log2  log3 a b log6 log 2.3 log2  log3 a b c) log 6     . 5 log5 10 log10  log2 1 a log 2
Bài 7. a) Nước cất có nồng độ H là 7
10 mol / L . Tính độ pH của nước cất.
b) Một dung dịch có nồng độ H gấp 20 lần nồng độ H của nước cất. Tính độ pH của dung dịch đó. Lời giải
a) Độ pH của nước cất là: 7
pH  log H    log 10    7     .
b) Nồng độ H của dung dịch đó là: 7 20.10 mol / L
Độ pH của dung dịch đó là: 7
pH  log H    log 20.10   5, 7     .
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 a) log ; b) log10000 ; c) log0, 001; 9 81 d) log 1; e) 4 log 5 g) log 0,125 . 0,7 5 0,5 Lời giải 1 a) 2 log log 9   2  ; b) 4 log10000  log10  4 ; 9 9 81 c) 3 log0, 001 log10   3; d) log 1  0 ; 0,7 1 1 e) 4 4 log 5  log 5  g) 3 log 0,125  log 0,5  3 . 5 5 4 0,5 0,5
2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 12
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a) log35 3 ; b) ln3 e ; c) 2log78 7 ; 1 log2 d) log23log2 2 s ; e) 5 4 g) log 2 0, 001 . Lời giải a) 5; b) 3; 2 c) 2log 8 log 8 log 3log 5 log 3 log 5 7   7  2 7 7  8  64; d) 2 2 2 2 2  2  2  3 5  15 ; 2 1 1 1 2 log 2log  log  2 2 2  1  1 log2 3    1 e) 5 5 5 4  2  log 2 3 log2 3  2      ; g) 0, 001  10   10   2  .    5  25 8
3. Tính giá trị của các biểu thức sau: 9 a) log
 log 30 ; b) log 75  log 3 ; 3 3 10 5 5 5 c) log  2log 5 ; d) 4log 2  2log 3 ; 3 3 9 12 12 e) 2log 2  log 4 10  log 2 ; g) 3 4 log 3  log 9  2log 27 . 5 5 5 3 3 3 Lời giải 9  9  a) 3 log  log 30  log  30  log 3  3 ; 3 3 3   3 10  10  75 b) 2 log 75  log 3  log  log 25  log 5  2 ; 5 5 5 5 5 3 5 5 5  5  1 c) 2 log  2log 5  log  log ( 5)  log  log 5  log : 5  log 2 log 3   2  ; 3 3 3 3 3 3 3   3 9 9 9 3  9  9 d) 4 2
4log 2  2log 3  log 2  log 3  log  4 2 2  3  2  log (4  3) 2  log 12  2 ; 12 12 12 12 12 12 12 e) 2 2log 2  log 4 10  log
2  log 2  log 4 10  log 2 5 5 5 5 5 5 1 4 2 1 1 2  log 4  log 4 10  log 2  log  log  log 5   ; 5 5 5 5 5 5 4 10 5 2 1 2 3 1 2 3 4 g) 3 4 2 3 4 log 3  log 9  2log
27  log 3  log 3  2log 3    2   . 3 3 3 3 3 3 2 3 4 3
4. Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 a) log ; b) log 3 log 5 ; 8 32 5 3 1 c) log5 2 2 ; d) log 25 log 81 . 27 5 Lời giải 1 log 5 2 1 log 2 5 a) 32 2 log     ; 8 3 32 log 8 log 2 3 2 2 1 b) log 3 log 5  log 3  1 ; 5 3 5 log 3 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 13
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 c) log 2 log 5 5 2 2  2  5 ; 2 4 log 25 log 81 log 5 log 3 2log 5 4 8 d) 3 3 3 3 3 log 25 log 81        . 27 5 3 log 27 log 5 log 3 log 5 3 log 5 3 3 3 3 3 3 5. Tính: 1 1 1
a) log 5  log 7  log 9 ; b) log  log  log . 3 5 7 2 3 5 25 32 27 Lời giải log 7 log 9 a) 3 3 2
log 5.log 7.log 9  log 5    log 3  2 ; 3 5 7 3 3 log 5 log 7 3 3 1 1 1 2 5  3 b) log  log  log  log 5  log 2  log 3 2 3 5 2 3 5 25 32 27
 2 log 5 5 log 2  3 log 3  30log  5  log 2  log 3 2   3   5 2 3 5 log 2 log 3 2 2  30log 5    30; 2 log 3 log 5 2 2
6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư): a) log 21; b) log2, 25 ; 7
c) ln 14 ; d) log 3  log 0,3 . 0,5 5 Lời giải
a) 1,5646; b) 0,3522; c) 1,3195; d) 2  ,333 .
7. Đặt log 3  a, log 5  b . Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a và b . 2 2 15 a) log 45 ; b) log ; c) log 20 . 2 2 6 3 Lời giải a) 2
log 45  log 3 5  2log 3  log 5  2a b ; 2 2 2 2 15 1 1 b) log  log 15  log 6  log 15  log 2.3  log 3.5  log 2  log 3 2 2 2 2 2   2    2 2  6 2 2 1 1 a b
log 3  log 5  1 log 3 
a b  1 a    1 2 2   2      2 2 2 2 log  2 2  5 log 20 2
 2log 2  log 5 2  b c) 2 2 2 log 20     . 3 log 3 log 3 log 3 a 2 2 2
8. Đặt logx a, logy  ,
b logz c( ,
x y, z  0) . Biểu thị các biểu thức sau theo a, , b c . 3 3 x y
a) log  xyz ; b) log c)  2 log
xy  z   1 . z 100 z Lời giải
a) log(xyz)  log x  log y  log z a b c ; 3 3 x y 1 1     b) log =  3 3 log x
y   log(100 z ) 3 2 3 2
 log  x y   log 10 z   100 z    
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 14
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1 1
 3log x  log y  2 
log z  3a b c  2 3 2 3 2 log  2 xy
log x  2 log y a  2b 2  c) log xy    . z   log z log z c
9. Đặt log 3  a, log 15  b . Biểu thị log 18 theo a và b . 2 3 30 Lời giải 1 1 a  log 3   log 2  2 3 log 2 a 3
b  log 15  log (3.5)  log 3  log 5  1 log 5  log 5  b 1. 3 3 3 3 3 3 1 log  2 2  3  2 log 18  2 3 log 2  log 3 log 2  2 2a 1 3 3 3 log 18    3 a    . 30 log 30 log (2  3 5) log 2  log 3  log 5 log 2 1 log 5 1 ab 1 3 3 3 3 3 3 3 1 b 1 a
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 15
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẨN NHỚ 1.Hàm số mũ - Hàm số x
y a (a  0, a  1) được gọi là hàm số mũ cơ số a . x
- Hàm số y a (a  0, a  1) có:
Tập xác định: D   0;    Tập giá trị: .
Hàm số liên tục trên  . Sự biến thiên:
o Nếu a  1 thì hàm số đồng biến trên  và lim y    , lim y  0. x x
o Nếu 0  a  1 thì hàm số nghịch biến trên  và lim y  0, lim y    . x x Đồ thị:
o Cắt trục tung tại điểm 0; 
1 , đi qua điểm 1; a .
o Nằm phía trên trục hoành. 2. Hàm số lôgarit
- Hàm số y  log x(a  0, a  1) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . a
y  log x(a  0, a  1) - Hàm số a có:
Tập xác định: D  0;    .
Tập giá trị: T   .
Hàm số liên tục trên 0;    . Sự biến thiên:
o Nếu a  1 thì hàm số đồng biến trên 0; 
  và lim y    , lim y    . xx 0  
o Nếu 0  a  1 thì hàm số nghịch biến trên 0; 
  và lim y    , lim y    . xx 0   Đồ thị:
o Cắt trục hoành tại điểm 1;0 , đi qua điểm   ;1 a .
o Nằm bên phải trục tung.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 16
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com B. BÀI TẬP MẪU x  3 
Bài 1. Vẽ đồ thị hàm số y     2  Lời giải 3 Tập xác định:  . Do
 1 nên hàm số đồng biến trên  . 2 Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 4 2 3 9 y 1 9 3 2 4
Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọ ̣ độ theo bảng giá trị và nằm phía trên trục hoành.
Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình bên.
Bài 2. Vẽ đồ thị hàm số y  log x . 0,5 Lời giải Tập xác định: 0;    .
Do 0  0, 5  1 nên hàm số nghịch biến trên 0;    . Bảng giá trị: x 0,25 0,5 1 2 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 17
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com y 2 1 0 -1 -2
Đồ thị hàm số đi qua các điểm có toạ độ theo bảng giá trị và nằm bên phải trục tung.
Từ đó, ta vẽ được đồ thị hàm số như hình bên.
Bài 3. So sánh các cặp số sau: 1 1 a) 0,1 0, 75 và 0,2 0, 75 ; b) 3 4 và 5 8 c) 4 và 3 27 9 Lời giải
a) Do 0, 75  1 nên hàm số 0, 75x y
nghịch biến trên  và 0  ,1  0  , 2 nên 0,1 0  ,2 0, 75  0, 75 . 2 3 b) Ta có: 3 3 5 5 4  2 ; 8  2 . 2 3 2 3 Do 2  1 nên hàm số 2x y  đồng biến trên  và  nên 3 5 3 5 2  2 hay 4  8 3 5 3 2 4 3 1  1  1  1  c) Ta có: 4 3  ;      . 27  3  9  3  3 2 x 1  1  3 2 4 3  1   1  1 1 Do
 1 nên hàm số y    nghịch biến trên  và  nên 4 3  hay      3  3  4 3  3   3  27 9
Bài 4. So sánh các cặp số sau: a) log  và log 3; b) 4log 2 và 3 3log 15 . 0,2 0,2 3 3 Lời giải a) Hàm số y  log
x có cơ số 0, 2  1 nên nghịch biến trên 0; 
  và   3 nên log   log 3. 0,2 0,2 0,2 b) Ta có 4 3 3 3
4log 2  log 2  log 16;3log 15  log ( 15)  log 15 . 3 3 3 3 3 3
Hàm số y  log x có cơ số 3  1 nên đồng biến trên 0; 
  và 16  15 nên log 16  log 15 hay 3 3 3 3 4log 2  3log 15 . 3 3
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 18
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 x 1   1  a)     2x y f x trên đoạn  2  ; 
3 ; b) y f x    trên đoạn  1  ; 2.  3  Lời giải a) Hàm số     2x y f x
có cơ số 2  1 nên đồng biến trên  , ta có:  1
max y f 3 3
 2  8 và min y f  2   2  2  . x   2   ;3 x   2   ;3 4
b) Với 1  x  2 , ta có 3  2x 1  3 . 2 x 1   1  1
Hàm số y f x    có cơ số
 1 nên nghịch biến trên  , ta có:  3  3 3  2 x 1  3 2 x 1   1   1   1   1  1   hay 27   .          3   3   3   3  27 1
Từ đó, ta có: max y  27 và min y  . x   1  ;2 x   1;2 27
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau: x  1  a)  4x y b) y    .  4  Lời giải a) Bảng giá trị: x -1 0 1 2 1 y 1 4 16 4 Đồ thị: b) Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 1 y 16 4 1 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 19
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Bài 2. So sánh các cặp số sau: a) 0,7 1,3 và 0,6 1,3 b) 2,3 0, 75 và 2,4 0, 75 . Lời giải
a) Do 1, 3  1 nên hàm số 1,3x y  đồng biến trên  . Mà 0, 7  0, 6 nên 0,7 0,6 1, 3  1, 3 .
b) Do 0, 75  1 nên hàm số 0, 75x y  nghịch biến trên  . Mà 2  , 3  2  , 4 nên 2  ,3 2  ,4 0, 75  0, 75 .
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số: a) log 3  2x b) log  2 x  4x . 3  2   Lời giải 3 a) log
3  2x xác định khi 3  2x  0  2x  3  x  2   2  3 
Vậy hàm số có tập xác định D    ;   .  2  x  0 b) log  2
x  4x xác định khi 2
x  4x  0  x x  4  0  3  x  4 
Vậy hàm số có tập xác định D     ; 4    0;    .
Bài 4. Vẽ đồ thị các hàm số: a) y  logx
b) y  log x 1 4 Lời giải b)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 20
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Bài 5. So sánh các cặp số sau: a) log 0,8 và log 1, 2 ; b) log 2 và log 2,1 .   0,3 0,3 Lời giải
a) Vì   1 nên hàm số log x đồng biến trên 0;    
Mà 0,8  1, 2 nên log 0,8  log 1, 2  
b) Vì 0,3  1 nên hàm số log x nghịch biến trên 0;    0,3 Mà 2  2,1 nên log 2  log 2,1 0,3 0,3
Bài 6. Cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức  . d I
I a , trong đó I là 0 0
cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là hằng số (a  0) và d là độ sâu tính bằng mét tính từ mặt nước biển.
(Nguồn: https://www.britannica.com/science/seawer/Optical-properties)
a) Có thể khẳng định rằng 0  a  1 không? Giải thích.
b) Biết rẳng cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bẳng 0,95I . Tìm giá trị của a . 0
c) Tại độ sâu 20 m , cường độ ánh sáng bằng bao nhiêu phần trăm so với I ? (Làm tròn kết quả đến hàng 0 đơn vì.) Lời giải
a) Vì cường độ ánh sáng giảm dần theo độ sâu nên hàm số  . d I I a nghịch biến. 0 Vậy 0  a  1. b) Ta có: d 1
I I a  0,95I I a a  0, 95 . 0 0 0 c) Ta có: d 20
I I a I  0,95  0, 36I . 0 0 0
Vậy tại độ sâu 20 m , cường độ ánh sáng bằng 36% phần trăm so với I 0 P
Bài 7. Công thức h  1  9, 4  log
là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao h so với mặt nước biển của P0
một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí P tại điểm đó và áp suất P của 0
không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng Pa  đơn vị áp suất, đọc là Pascal ).
(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6) 1
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng
P thì máy bay đang ở độ cao nào? 0 2 4
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng
lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B . Ngọn 5
núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.) Lời giải 1
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng P là: 0 2 1 P0 1 2 h  19, 4  log  19  , 4  log  5,84 km P 2 0 P
b) Độ cao của ngọn núi A là: h  19  , 4  log A A P0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 21
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com P
Độ cao của ngọn núi B là: h  19  , 4  log B B P0 4
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng
lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B nên ta 5 có: 4 P 4 A P P   A 5 B P 5 B Ta có:  P   P P P
h h  19, 4  log A  19  , 4  log B  19 
, 4  log A 19, 4  log B A B     P P P P  0   0  0 0  P P P 4  19, 4log A : B  19  , 4log A  19  , 4log  1,88    km P P P 5  0 0  B
Vậy ngọn núi A cao hơn ngọn núi B 1,88km.
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Vẽ đồ thị hàm số ( 2)x y  . Lời giải
2. Vẽ đồ thị hàm số y  log x . 3 2 Lời giải
3. Tìm tập xác định của các hàm số:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 22
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com x a) y  log
x  4 ; b) y  log  2
x  2x 1 ; c) y  log . 0,2  2   5 x 1 Lời giải a) (4; ) ; b)  \ { 1  } ; c) ( ;  0)  (1; ) .
4. So sánh các cặp số sau: 2 3   5  3  5  3  a) 1,7 1, 04 và 2
1, 04 ; b)   và   ;  5   5  0  ,4  1  c) 0,3 1, 2 và 1,8 0,9 , d)   và 0,2 3 .  3  Lời giải 2 3   5 5  3   3  a) 1,7 2 1, 04  1, 04 ; b)      ;  5   5  0  .4  1  c) 0,3 1,8 1, 2  1  0,9 ; d) 0.2  1  3   .  3 
5. So sánh các cặp số sau: 4 3  1   1 
a) 3 và 5 27 ; b)   và   ;  9   27  1 c) 3 và 5 25 d) 9 10 0, 7 và 10 9 0, 7 . 5 Lời giải 1 3 8 9 4 3  1   1   1   1  a) 2 5 3  3 hay 5 3  27 ; b)      hay      ;  3   3   9   27  1 2 10 9  1 c) 3 5 5  5 hay 5 3  25 ; d) 9 10 0, 7  0, 7 hay 9 10 10 9 0, 7  0, 7 . 5
6. So sánh các cặp số sau:
a) log4,9 và log5, 2 ; b) log 0, 7 và log 0,8 ; c) log 3 và log  . 0,3 0,3  3 Lời giải
a) log 4,9  log 5, 2 ; b) log 0, 7  log 0,8 ; 0,3 0,3 c) log 3  1  log  .  3
7. So sánh các cặp số sau: a) 2log 5 và 3log  3 2 3 ; b) 6log 2 và 2log 6 ; 0,6  0,6 5 5 1 c)
log 121 và 2log 2 3 ; d) 2log 7 và 6log 4 . 2 2 2 3 9 Lời giải a) log 25  log 24 hay 3 2 log 5  3log (2 3) ; 0,6 0,6 0,6 0,6
b) log 64  log 36 hay 6 log 2  2 log 6 ; 5 5 5 5
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 23
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 c) log 11  log 12 hay log 121  2 log 2 3 ; 2 2 2 2 2
d) log 49  log 64 hay 2 log 7  6 log 4 . 3 3 3 9
8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số x  5  1
a) y f x    trên đoạn  1
 ; 4; b) y f x  trên đoạn  2  ; 2 .  2    3x Lời giải 4 1   5  25  5  2 2 5
a) max y f (4)    
; min y f (1)      . x   1  ;4   x   1  ;4 2 16  2  5 5     x 1  1  1
b) Hàm số y f (x) 
   có cơ số  1 nên nghịch biến trên  . 3x  3  3 2  2  1   1  1 2 max y f ( 2)    3  9  
và min y f (2)     . x [  2  ;2]  3  x [  2  ;2]  3  9
9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 
a) y f x  log x trên đoạn ;3 ; 1 3    3  1 
b) y f x  log x 1 trên đoạn  ;3 . 2    2    Lời giải  1  1 a) max y f  log  2  
và min y f (3)  log 3  2 . 1 1 1  1  x ;3  3  3   3 x ;3   3  3   3   1  1
b) max y f (3)  log 4  2 và min y f   log  1. 2   2  1   1  x  ;3 x   2  2  ;3 2       2 
10. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức   t
D t D a mg , trong đó D và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ 0   0
thời điểm uống thuốc.
a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0  a  1?
b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80mg . Hãy
xác định giá trị của D và a . 0
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu? Lời giải
a) Do lượng thuốc trong cơ thể giảm dần, nên hàm số D t  nghịch biến, do đó 0  a  1. 80
b) D  100, a   0,8 . 0 100
c) Sau 5 giờ, lượng thuốc còn D   5
5  100  0,8 . Tỉ lệ lượng thuốc đã giảm so với lượng thuốc ban đầu là D D 5 5 0 100 100  0,8   0, 6723  67, 23% . D 100 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 24
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 25
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình mũ cơ bản x
a b(a  0, a  1)
Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  log b . a
Chú ý: Với a  0, a  1 a) x
a a  x   .
b) Tổng quát hơn, u(x) v( x) aa
u x  v x .
2. Phương trình lôgarit cơ bản
log x b(a  0, a  1) a
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất b x a .
Chú ý: Với a  0, a  1 .
a) log u x  b u xba . a u    x  0 b) log u x v x a   loga   u
  x  v x. 
Có thể thay u x  0 bằng v x  0 (chọn bất phương trình đơn giản hơn).
3. Bất phương trình mũ cơ bản x
a b hoặc x
a b hoặc x
a b hoặc x
a b(a  0, a  1) .
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên: b  0 Phương trình b  0 a  1 0  a  1 x a b x  log b x  log b a ax   x a b x  log b x  log b a a x a b Vô nghiệm x  log b x  log b a a x a b x  log b x  log b a a Chú ý:
Nếu a  1 thì uxvxaa
u x  v x .
Nếu 0  a  1 thì ux v xaa
u x  v x .
4. Bất phương trình lôgarit cơ bản
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 26
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com log x b a log x b a
(a  0, a  1). log x b a log x ba
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên: Bất phương trình a  1 0  a  1 log x b a b x a 0 bx a log x b a b x a 0 bx a log x b a 0 bx a b x a log x b a 0 bx a b x a Chú ý:
v x  0
Nếu a  1 thì log u x v x a   loga   u
  x  v x.  u    x  0
Nếu 0  a  1 thì log u x v x a   loga   u
  x  v x.  B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải các phương trình sau: 2 x 1   1  a) x2 3 5  25 b) x3  32   .  8  Lời giải 2 xx 2 2 4 a) Ta có: 2 3 2 3 5  25  5  5  x  2   x   2   . 3 3 3 4
Vậy phương trình có nghiệm là x   . 3 2 x 1  2 x 1  x3  1  b) Ta có: x3  32     3 2    5 2  6  x3 5 x 15  2  2   8  12  6
x  3  5x 15  11x  12   x   . 11 12
Vậy phương trình có nghiệm là x   . 11
Bài 2. Giải các phương trình sau: 1 a) log 3x  5  ; b) log x  log
x 1  log 5x 12 . 3 3   3   16   2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 27
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1
a) Ta có: log 3x  5 2 
 3x  5  16  3x  5  4  3x  9  x  3 . 16 2
Vậy phương trình có nghiệm là x  3 .
b) Điều kiện: x  0 .
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
log  x x  
1   log 5x 12 2 2
x x  5x 12  x  4x 12  0 3 3  
⇔x=-2 (loại) hoặc x=6 (nhận).
Vậy phương trình có nghiệm là x  6 .
Bài 3. Giải các bất phương trình sau: 2 x 1  3x  1  1  1  a)  1x   b)  25   .  3  81  5  Lời giải 2 x 1  2 1  4  1  1  1   1  1 3 a) Ta có:     2x 1  4       (do 0 
 1 )  2x  3  x  .  3  81  3   3  3 2 3
Vậy bất phương trình có nghiệm là x  . 2 3 3 x x 1 3x      1 1  x 3x x b) Ta có: 1  25 x  5       2 5  22 2 2  5  5 x  
 2  2x( do 5  1)   2  x  4.  5    2 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là x  4 .
Bài 4. Giải các bất phương trình sau: a) log  2 x  4  2 ; b) log 2x 1  log 3x  4 . 0,5   0,5   5  Lời giải a) Điều kiện: 2
x  4  0  x  2  hoặc x  2 .
Do 5  1 nên bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 2
x  4  ( 5)  x  9  0  3   x  3.
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là 3  x  2 hoặc 2  x  3 .
b) Do 0  0, 5  1 nên bất phương trình đã cho tương đương với   1 2x 1  0 x      2  x  5.
2x 1  3x  4  x  5  
Vậy nghiệm của bất phương trình là x  5 .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
1. Giải các phương trình sau: a) 2x 1 5   25 ; b) x 1  2 x 1 3 9   c) 12 10 x  100000 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 28
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com xx 3 a) 2 1 2 1 2 5  25  5
 5  2x 1  2  x  2 x b) xxx     2 1 1 2 1 1 2 3 9 3 3  xx 1 1 4 2  3  3
x 1  4x  2  x  3 c) 12 x 12 x 5 10  100000  10
 10  1 2x  5  x  2 
2. Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng nghìn. a) x2 3  7 ; b) 2 x 1 3.10   5 ; Lời giải a) x2 3
 7  x  2  log 7  x  log 7  2  x  0  , 229 3 3 xx 5 5 b) 2 1 2 1 3.10  5  10   2x 1  log 3 3  5   x  log 1 : 2  x  0  ,389    3 
3. Giải các phương trình sau: a) log 4x  4  2 ; 6   b) log x  log x  2  1 3 3   Lời giải a) log 4x  4 2
 2  4x  4  6  x  8 6 x b) log x  log x  2  1  log  1 3 3   3 x  2 x
 3  x  3 x  2  x  3 x  2
4. Giải các bất phương trình sau: 2 x 1   1  a)  9   ;  3  b) x x  2 4  2 Lời giải 2 x 1  2 x 1  2  1   1   1  3 1 a)  9  
 2x 1  2  x        (do  1 )  3   3   3  2 3 x b) x x2    2  x2 2 x x2 4 2 2  2  2  2
 2x x  2  x  2  (do 2  1 )
5. Giải các bất phương trình sau: a) log x  2  2 ; 2   b) log  x   1  log 2x   1 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 29
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a) log  x  2 2
 2  x  2  2  x  6 2 b) log  x   1  log 2x  
1  x 1  2x 1  x  2
6. Chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là 138 ngày. Điều này có nghĩa là cứ sau 138 ngày,
lượng polonium còn lại trong một mẫu chỉ bằng một nửa lượng ban đầu. Một mẫu 100g có khối lượng t 138  1 
polonium-210 còn lại sau t ngày được tính theo công thức M t   100   g   2 
(nguồn://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Polonium#section=Atiomc-Mass-Half-Life-anh-Decay)
a) Khối lượng polonium-210 còn lại bao nhiêu sau 2 năm?
b) Sau bao lâu thì còn lại 40g polonium-210. Lời giải
a) Khối lượng polonium-210 còn lại sau 2 năm (730 ngày) là: 730 138  1  M 2  100  2, 56    g   2  t 138  1 
b) M t   40 khi 100  40  t  182, 4    2 
Vậy sau 182,4 ngày còn lại lại 40 g polonium-210  I
7. Nhắc lại rằng, mức cường độ âm L được tính bằng công thức L  log 
  dB , trong đó I là cường I  0  độ của âm tính bằng 2 W / m và 12 2 I  10 W / m 0
(Nguồn: Vật lí 12, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 52)
a) Một giáo viên đang giảng bài trong lớp học, có mức cường độ âm là 50dB . Cường độ âm của giọng
nói giáo viên bằng bao nhiêu?
b) Mức cường độ âm trong một nhà xưởng thay đổi trong khoảng từ 75dB đến 90dB . Cường độ âm
trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng nào? Lời giải I  a) Khi L  50 thì 7 10log  50  I  10  12   10 
Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên là 7  2 10 W / m  I  b) Khi L  75 thì 5 10log
 75  I  3, 2.10  1  2   10   I  Khi L  90 thì 3 10log  90  I  10  12   10 
Vậy cường độ âm trong nhà xưởng thay đổi từ 5 3, 2.10 đến 3 10
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau: x 1 a) 2 1 3  ; b) 2
5 x  10 ; c) 3x  18 ; 27
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 30
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com x 1  x 1   1   1 x 1  d) 1 0, 2  ; e) 3x x2 5  25 ; g)      . 125  8   32  Lời giải
a) Đưa về phương trình 2x 1  3 3 3 
. Đáp số: x  2 . 1 b) x  log 10 . 5 2 c) x  log 18 . 3 3 x 1  2  1   1  5 d) Đưa về phương trình   
  . Đáp số: x  .  5   5  2
e) Đưa về phương trình 3x 2 x4 5  5
. Đáp số: x  4 . 3x3 5 x5  1   1  g) Đưa về phương trình     
. Đáp số: x  4 .  2   2 
2. Giải các phương trình sau: a) log
2x 1  3 ; b) log x  0, 25 ; 3   49 c) log 3x 1  log 2x  4 ; d) log x 1  log x  3  log 2x 10 ; 5   5   5   2   2  
e) logx  log  x  3  1 ; g) log log x  2  . 2  81  Lời giải
a) x  14 ; b) x  7 ; c) Vô nghiệm;
d) x  7 ; e) x  5 ; g) x  3 .
3. Giải các bất phương trình sau: x 1  x  1  1  1  a) 4x  2 2 ; b)    ; c) 5  40   ;  3  9  2  2 x x  1   1  d) 2x x 1 4 8   e)  xx     ; g) 2 1 0, 25  0,5 .  5   25  Lời giải 3 3
a) Đưa về bất phương trình 2x 2 2
 2 . Đáp số: x  . 4 x 1  2 2  1   1 
b) Đưa về bất phương trình   
  . Đáp số: x  5 .  3   3  x 3   1   1 
c) Đưa về bất phương trình   
  . Đáp số: x  3 .  2   2 
d) Đưa về bất phương trình 4x 3x3 2  2
. Đáp số: x  3 . 2 x 2 x  1   1  2
e) Đưa về bất phương trình   
  . Đáp số: x  .  5   5  3
g) Đưa về bất phương trình 2 x4 x 1 0,5 0, 5  
. Đáp số: x  5 .
4. Giải các bất phương trình sau:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 31
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a) log
x  4  2 ; b) log x  4 ; c) log x 1  1  ; 0,25   3   1 2 d) log  2
x  24x  2 ; e) 2log x 1  log 3x  7 ; g) 2log x 1  1 log x  7 3   3   1   1   5  4 4 Lời giải 1
a) 4  x  5 ; b) 0  x  ; 16
c) x  5 ; d) x  1 hoặc x  25 .
e) Điều kiện: x  1 .
Đưa về bất phương trình 2 log (x 1)  log
3x  7 , rồi đưa về bất phương trình 2
x x  6  0 . 1 1   4 4
Đáp số: 1  x  3 .
g) Điều kiện: x  1 .
Đưa về bất phương trình 2
log (x 1)  log 3 x  7  x x   . 3 3   
 , rồi đưa về bất phương trình 2 20 0
Đáp số: 1  x  5 .
5. Giải các phương trình sau: x x 1   1   1  a) 4x 5 2x    4  0 ; b)  2   27  0     .  9   3  Lời giải a) Đặt  2x t
(t  0) , nhận được phương trình 2
t  5t  4  0 .
Đáp số: x  0 hoặc x  2 . x  1  b) Đặt t  (t  0)  
, nhận được phương trình 2
t  6t  27  0  3 
t  9 ( nhận) hay t  3 (loại)
Đáp số: x  2 .
6. Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn log x  2  log x 1  0 . 3   3   Lời giải
Từ giả thiết, nhận được 1  log x  2 hay 3  x  9 . Từ đó, các số nguyên x cần tìm là 4;5; 6; 7;8. 3
7. Tìm tập xác định của các hàm số x 1
a) y f x  4  2 
; b) y f x  log x  2 . 1   log x 2 2 Lời giải a) 1; 2 ; b) 2;  3 . b
8. Cho hàm số y f x  log x . Biết rằng f b  f a  5(a,b  0) , tìm giá trị của . 2 a Lời giải b  32 a
9. Cho hai số thực a và b thoả mãn 125a 25b
 3. Tính giá trị của biểu thức P  3a  2 . b
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 32
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
P  3a  2b  log 3 5
10. Đồng vị phóng xạ Uranium-235 (thường được sử dụng trong điện hạt nhân) có chu kì bán rã là
T  703800000 năm. Theo đó, nếu ban đầu có 100 gam Uranium-235 thì sau t năm, do bị phân rã, lượng t  1 T
Uranium-235 còn lại được tính bởi công thức M  100   (g). Sau thời gian bao lâu thì lượng  2 
Uranium-235 còn lại bằng 90% so với ban đầu? Lời giải
Khi M  90 g , ta có phương trình: t t 1 T   1 T   t 90  100       0,9  = log 0, 9 1  2   2  T 2
t T  log 0,9  106979777 ( năm) 1 2
11. Người ta dùng thuốc để khử khuẩn cho một thùng nước. Biết rằng nếu lúc đầu mỗi mililít nước chứa
P vi khuẩn thì sau t giờ (kể từ khi cho thuốc vào thùng), số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 0  10 t P P
 , với  là một hằng số dương nào đó. Biết rằng ban đầu mỗi mililít nước có 9000 vi khuẩn 0
và sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong mỗi mililít nước là 6000. Sau thời gian bao lâu thì số lượng vi
khuẩn trong mỗi mililít nước trong thùng ít hơn hoặc bằng 1000? Lời giải   1 2 1 3 2 6000  9000.10     log  log 2 3 2 2   t   t 1 1 9000.10  1000  10     t  log 9 9 2 1 2 1 4log3  t   log    log   10,8 (giờ)  3 1 3 3 3 log log 2 2 2
12. Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH  logx , trong đó x là nồng độ ion H của dung
dịch đó tính bằng mol / L . Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7.
Dung dịch B có nồng độ ion H gấp bao nhiêu lần nồng độ ion H của dung dịch A ? Lời giải
Ta có: pH  logx ; pH =  logx A A B B xB
 pH  pH  logx  logx  log . A B A B xA x x Từ đó suy ra B B 0,7 log  0, 7   10  5 (lần). x x A A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 33
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 2   4 5  1  Câu 1: Rút gọn biểu thức   .    3 , ta được  3     1 A. 3 . B. 3 3 . C. . D. 9 . 3 Lời giải Chọn D 1 5 2 4 1 1 1 5   2  1      5 1  2 4 2 2 2
   ( 3)  (3)   3  3 3  3  9   3         a  1 8 Câu 2: Nếu 2a  9 thì   có giá trị bằng  16  1 1 1 A. . B. 3 . C. . D. . 3 9 3 Lời giải Chọn A    1  1 8  1      1 4 2 8 2  2  2  2 2  9     16  3 1 Câu 3: Nếu 2
a b a  0, a   1 thì 1
A. log a b .
B. 2 log b  1. C. log  b .
D. log b a . 1 a a 2 1 2 2 Lời giải Chọn B Câu 4:
Nếu x  log3 a  log9 4 thì 3x có giá trị bằng A. 6 . B. 8 . C. 16 . D. 64 . Lời giải Chọn A log 4 9 1 1 1   x log 4log 4 log 4 log 4 log 4 3 9 3 9 2           9 2 2 3 3 3 3 4 9 4 9  4  4  4  2  6   Câu 5:
Cho  ,  là hai số thực với    . Khẳng định nào sau đây đúng ?        1   1 
A. 0,3  0,3 . B.      .
C.  2   2 . D.      .  2   2  Lời giải Chọn C
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 34
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Câu 6:
Hình nào vẽ đồ thị của hàm số y  log1 x ? 2 Lời giải Chọn D Câu 7: Phương trình 2x 1
0,1   100 có nghiệm là 1 1 1 1 A.  . B. . C. 1 . D. 2 . 2 3 2 3 Lời giải Chọn A x 1 2 1 0,1
 100  2x 1  log 100  2x 1  2   x   0,1 2 Câu 8:
Tập nghiệm của bất phương trình 3x 1 0,5   0, 25  1  A.    ;1 . B. 1;   . C. 0  ;1 . D.  ;    .  3  Lời giải Chọn A 3x 1  3x 1  2 0,5  0, 25  0,5
 0, 5  3x 1  2  x  1 Câu 9:
Nếu log x  2 log 5  log 2 thì A. x  8 . B. x  23 . C. x  12,5 . D. x  5 . Lời giải Chọn C 25 2
logx  2log5  log2  log5  log2  log25  log2  log  log12,5 2 Suy ra x  12, 5
Câu 10: Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn log0,1 1 2x  1  là A. x  0 . B. x  1 . C. x  5 . D. x  4 . Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 35
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com log 1 2x 1 1 1 2x 0,1      
 1 2x 10  x  4, 5 0,1
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 11: Biết 4 4   
 5 . Tính giá trị biểu thức : 1. 2 2    2. 2 2 4  4  Lời giải a) 4  4    5
 2 2  2 2  2  2   2  5  2  2  2   2  7  2  2    7 2 2 2 b) 2 2          
           2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4  2  5  2  23
Câu 12: Tính giá trị của biểu thức : 1
1. log2 72  log2 3  log2 27 ; 2 2. log2 40 log2 5 5  ; 3. 2 log9 2 3  . Lời giải 1 a) log 72  log 3  log 27 2  2 2  2 1 1 1  log 72   log 3.27 2  log 72 
 log 81  log 72  log 81 2 2 2 2 2 2 2 2 72  log 72  log 9  log  log 8  3 2 2 2 2 9 40 log2 b) log 40log 5 log 8 3 2 2 5 2 5  5  5  5  125 log 81  log 2 9 9 1 1 1 1   1 log  81.2 log  162 9   9 2 2log 2 log 162 9 2 2 2 9 c) 3  9  9  9  9   2  162  9 2  
Câu 13: Biết rằng 5x  3 và 3y  5 . Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của xy . Lời giải
5x  3. Suy ra x  log 3 5
3y  5. Suy ra y  log 5 3 log5 log3 Ta có .
x y  log 5  log 3    1 3 5 log3 log5 1
Câu 14: Viết công thức biểu thị y theo x , biết 2 log2 y  2  log2 x . 2 Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 36
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 2 2 2log y  2 
log x  log y  log 4  log x 2 2 2 2 2 2 1   2 2 2  log y  log 4  x
y  4  x y  4 x 2 2    
Câu 15: Giải các phương trình sau : x2  1  1.  8   ;  4  2. 2x 1 9   81.27x ;
3. 2 log5  x  2  log5 9 ; 4. log2 3x  
1  2  log2  x   1 . Lời giải x2 1 3  1 x  a)  8  2  2  x 3 5 2   3 2  2 4 2 2  2  2  2  x  4   x     4  2 4 xx
b) 9 x  81.27x  3 2 1 2 1 2 4  3 . 3 3  4 x2 43  3  3
x  4x  2  4  3x x  6 c) 2log  x  2 2 2
 log 9  log (x  2)  log 9  (x  2)  9 5 5 5 5
x  2  3(và x  2  0)  x  5
d) Điều kiện xác định: 3x 1  0; x 1  0 . Hay x  1 log 3x 1  2  log x 1  log 3x 1  log x 1  2 2   2   2   2  
 log 3x   1  x   2 2
1   2  3x  2x 1  2 2    5 x  2 3x 2x 5 0       3  x  1  
Câu 16: Giải các bất phương trình : x 1   1  1 1.    ;  9  81 x 2. 4 3 27.3x  ; 3. log2  x  
1  log 2  4x . Lời giải x 1  x 1  2  1  1  1   1   1  a)   
x 1  2 Do  1  x  1          9  81  9   9   9  x 1   4 x x 3 4 b) ( 3)  27.3  3  3 .3x     1 xx 1 3 4  3  3 
x  3  x  do 3   1  x  4  4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 37
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1
c) x 1  0; 2 - 4x  0 Hay -1  x  2 log x 1  log 2  4x 2   2  
x 1  2  4x 1  x  5 1
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 1   x  5
Câu 17: Thực hiện một mẻ nuôi cấy vi khuẩn với 1000 vi khuẩn ban đầu, nhà sinh học phát hiện số lượng
vi khuẩn tăng thêm 25% sau mỗi hai ngày 1. Công thức    0. t P t
P a cho phép tính số lượng vi khuẩn của mẻ nuôi cấy sau t ngày kể từ
thời điểm ban đầu. Xác định các tham số 0
P và a a  0 . Làm tròn a đến hàn phần trăm.
2. Sau 5 ngày thì số lượng vi khuẩn bằng bao nhiêu ? Làm tròn kết quả đến hàng trăm.
3. Sau bao nhiêu ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười. Lời giải
a) Ban đầu có 1000 vi khuẩn nên P  1000 . 0
Sau 2 ngày, số lượng vi khuẩn là: P  125%P  125%.1000  1250 0 Ta có: P 2 2 2 2
P a  1250  1000  a a  1, 25  a  1,12 0
b) Số lượng vi khuẩn sau 5 ngày là: P 5 5 2
P a  1000.1,12  1800 (vi khuẩn). 0
c) Với P t   2P ta có: 0   t    2 
1,12t  1,12t P t P a P P  2  t  log 2  6,1 (ngày) 0 0 0 1,12
Vậy sau 6,1 ngày thì số lượng vi khuẩn vượt gấp đôi số lượng ban đầu.
Câu 18: Nhắc lại rằng, độ PH của một dung dịch được tính theo công thức PH log H      , trong đó   H  
 là nồng độ H  của dung dịch đó tính bằng mol/L. Nồng độ H  trong dung dịch cho biết  
độ acid của dung dịch đó.
1. Dung dịch acid A có độ pH bằng 1,9 ; dung dịch B có độ pH bằng 2,5. Dung dịch nào có độ
acid cao hơn và cao hơn bao nhiêu lần
2. Nước cất có nồng độ H  là 7
10 mol / L . Nước chảy từ một vòi nước có độ pH từ 6, 5
đến 6, 7 thì có độ acid cao hay thấp hơn nước cất. Lời giải a)    1,9
pH  1, 9  log H   1, 9  log H   1  , 9  H  10 A    
Vậy độ acid của dung dịch A là 1  ,9 10 mol / L .    2,5
pH  2, 5  log H   2, 5  log H   2, 5  H  10 B    
Vậy độ acid của dung dịch B là 2  ,5 10 mol / L .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 38
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1  ,9 10 Ta có:  3,98 2  ,5 10
Vậy độ acid của dung dịch A cao hơn độ acid của dung dịch B 3,98 lần. b) Ta có:   6,5  6,7
6, 5  pH  6, 7  6, 5   log H   6, 7  6, 5  log H   6, 7  10  H  10    
Vậy nước chảy từ vòi nước có độ acid từ 6  ,7 10 mol / L đến 6  ,5 10 mol / L .
Vậy nước đó có độ acid cao hơn nước cất.
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP A. TRẮC NGHIỆM a 6  1 
1. Biết rằng 2a  9 . Tính giá trị của biểu thức   .  8  1 1 1 A. . B. . C. . D. 3. 2 3 9 Lời giải Chọn B
2. Giá trị của biểu thức 2log 10  log 0, 25 bằng 5 5 A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn C
3. Cho x và y là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. logxlogy logx log 2  2  2 y .
B. logxy logx log 2  2  2 y . C. logxy logx log 2 2 2 y   .
D. logxlogy logx log 2  2  2 y . Lời giải Chọn C
4. Biết rằng x  log 6  log 4 . Gia trị của biểu thức 3x bằng 3 9 A. 6. B. 12. C. 24. D. 48. Lời giải Chọn B
5. Giá trị của biểu thức log 25 log 8 bằng 2  5  1 1 A. 4. B. . C. 6. D. . 4 6 Lời giải Chọn C
6. Đặt log3  a, log5  b . Khi đó log 50 bằng 15 1 2b a b 1 b 1 b A. . B. C. . D. . a b a b a b a b Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 39
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1  ,6  1  7. Cho ba số 0,9 0,5
a  4 ,b  8 , c   
. Khẳng định nào sau đây đúng?  2 
A. c a b .
B. c b a .
C. a b c .
D. a c b . Lời giải Chọn D 1 1 1
8. Cho ba số a  log , b  log và c
log 5 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 2 2 3 2 3 3
A. a b c .
B. b a c .
C. c a b .
D. a c b . Lời giải Chọn A 1
9. Cho 0  a  1, x  log 2  log 3, y  log 5, z  log 14  log 2 . a a 2 a a a
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x y z .
B. y x z .
C. z x y .
D. z y x . Lời giải Chọn C 0,3 1  1  10. Cho ba số 3
a  log 3,b
, c  2 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1    2  2
A. a b c .
B. a c b .
C. c a b .
D. b a c . Lời giải Chọn A x 1
11. Giải phương trình 4 3  . 3 3 1 3 3 1 A.  . B.  . C. . D. . 4 8 8 12 3 Lời giải Chọn B
12. Tập nghiệm của bất phương trình 3 x 1 0, 3   0, 09 là  1  A. 1;    . B.     ;1 . C.   ;    . D. 0;  1 .  3  Lời giải Chọn B
13. Biết rằng log 4  log 8  log x  log 64 . Giá trị của x là 3 4 8 8 9 A. . B. 9. C. 27. D. 81. 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 40
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải Chọn B
14. Giải phương trình log 4x  5  2  log x  4 . 5   5   A. 9. B. 15. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn D 1
15. Giả sử  và  là hai nghiệm của phương trình log x  log 3x   . Khi đó tích  bằng 2 2 3 1 A. . B. 3. C. 3 . D. log 3 . 3 2 Lời giải Chọn A B. TỰ LUẬN
1. Tính giá trị của các biểu thức 1 3 5 2   2 6  27  4 a)      ; b) log 5  log 2 ; 3 8  3        3  4  16  9 4 c)  log  log  
; d) log 7  log 16  log 3 log 9 . 5 5 2 3 9 7  81  4 9 Lời giải 3 1 27 a) ; b) ; c) ; d) 4. 2 2 8 2. Biết rằng l
x og 4  1. Tìm giá trị của biểu thức 4x  4x . 5 Lời giải 1 Ta có: l
x og 4  1  x   log 5 . 5 4 log 4 5 xx   1 log4 5 log4 5 1 4  4  4  4  5  5  5 . 5 3. Biết rằng
 10x ,  10y a b
. Hãy biểu thị biểu thức 3 A  log
b theo x và y . 2 a Lời giải y 1 y y 3 3 A  log b  log    x 10 log 10 2 2 10 a 10 2x 3 6x
4. Giải các phương trình sau: a) 4x  2 2 ; b) 5x x2 9  27 ; 1 c) log x  ; d) log 3x 1  log 4x 1 ; 1   1   81 2 2 2 3 e) log x  2  log
x  2  1; g) log 8  . 5   5   x 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 41
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 3 6 a) x  ; b) x   ; c) x  9 ; 8 7
d) x  2 ; e) x  3 ; g) x  16 .
5. Giải các bất phương trình sau: 2 x 2 x2  2  a) 2 x x2 32  64 ; b) 25   4   ;  5  c) log 11x   1  2 ; d) log 3x 1  log 2x 1 . 1   1   3 3 Lời giải
a) x  3 ; b) 2  x  0 ; 1 1 c)   x  9 ; d)  x  2 . 11 3  1   1   1   1 
6. Tính giá trị của biểu thức A  log 1  log 1  log 1   log 1 .          1   2   3   99  Lời giải  1   1   1   1  A  log 1  log 1  log 1   log 1          1   2   3   99   3 4 100   log 2     log100  2.    2 3 99 
7. Cho  là số thoả mãn 3 3   
 2 . Tìm giá trị của các biểu thức: a) 3 3    ; b) 9 9    . Lời giải 2 2 a)      2 2            2 3 3 3 2 3 3 3  4  2  4  8 . 3 3   2 2 (do 3 3        0.
b) 9  9  3  3 3  3   2 2  2  4 2 . 1  1 T
8. Công thức M M
cho biết khối lượng của một chất phóng xạ sau thời gian t kể từ thời điểm 0    2 
nào đó (gọi là thời điểm ban đầu), M là khối lượng ban đầu, T là chu kì bán rã của chất phóng xạ đó 0
(cứ sau mỗi chu kì, khối lượng của chất phóng xạ giảm đi một nửa). Trong một phòng thí nghiệm, với
khối lượng 200 g radon ban đầu, sau 16 ngày, chỉ còn lại 11 g . Chu kì bán rã của radon bằng bao nhiêu? Lời giải 16  1 T  16 11 200 16 11  200.   log  log  T   3,8   (ngày) 1 2  2  T 200 11 200 2 log2 11
9. Công thức logx  11,8 1,5M cho biết mối liên hệ giữa năng lượng x tạo ra (tính theo erg, 1 erg tương đương 7
10 jun) với độ lớn M theo thang Richter của một trận động đất.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 42
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Trận động đất có độ lớn 5 độ Richter tạo ra năng lượng gấp bao nhiêu lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter?
b) Người ta ước lượng rằng một trận động đất có độ lớn khoảng từ 4 đến 6 độ Richter. Năng lượng do
trận động đất đó tạo ra nằm trong khoảng nào? Lời giải
a) Gọi x , x (erg) lần lượt là năng lượng tạo ra của hai trận động đất có độ lớn lần lượt là M  5, M  3 1 2 1 2 (độ Richter).
Ta có: logx  11,8 1,5M ; logx  11,8 1, 5M 1 1 2 2 x x
 logx  logx  1, 5 M M  log  3   10  1000 . 1 2  1 2  1 1 3 x x 2 2 b) 17,8 20,8
11,8 1,5.4  logx  11,8 1,5  6  17,8  logx  20,8  10  x  10 . CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đạo hàm
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x a;b . 0  
f x  f x0 
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f xx 0 x x x0
tại x , kí hiệu là f  x hoặc y x . 0  0  0
f x  f x0 
Vậy f  x  lim . 0  x 0 x x x0 Chú ý:
- Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x a;b
thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảnga;b , kí hiệu y hoặc f  x .
- Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b , có đạo hàm tại x a;b . 0  
a) Đại lượng x x x gọi là số gia của biến tại x . Đại lượng  y f x  f x gọi là số gia tương 0  0 0 y
f x x f x 0   0 
ứng của hàm số. Khi đó, x x x và f  x  lim  lim . 0  0 x0 x0 xxy b) Tỷ số
biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ x đến x 0
x x ; còn f  x biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm x . 0  0 0
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Nếu hàm số s f t  biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f t biểu thị 0 
tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t . 0
Nếu hàm số T f t  biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f t biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt 0 
độ theo thời gian tại thời điểm t . 0
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 43
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến M T với đồ thị C  của hàm số 0 0 tại điểm M x ; f x . 0  0  0 
Tiếp tuyến M T có phương trình là y f x f x x x . 0   0  0  0 B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau: x a)   2 f x x
x với x  0 ; b) f x  với x  1 . x 1 Lời giải
a) Với bất kì x  0 , ta có: 0 x x0 x x x x
f x  f
x x xx x x x 0  2  20 0   0   0 
f  x  lim  lim  lim 0  0 x 0 x x x x  0 x x x x  0 x x x 0 0 0  1  1
 lim  x x    2x  . 0 0 x   0 x x x 2 x  0  0 1
Vậy f  x  2x
trên khoảng 0;  . 2 x
b) Với x  1, ta có; 0 x x0 
f x  f x x 1 x 1 x x 1  1 0  f  x  0 0  lim  lim  lim  lim   0 2 x 0 x x x x  0 x x x x  0 x x x x 1 x 1 xx x 1 x 1 0 0  0    0  0   0   x 1 0  . 1
Vậy f  x   trên các khoảng  ;   1 và 1;  .  x  2 1 x
Bài 2. Cho hàm số y f x 
có đồ thị là  H  . x 1
a) Viết tiếp tuyến của  H  tại điểm M  H  có x  2 . M
b) Viết tiếp tuyến của  H  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  x .
c) Viết tiếp tuyến của  H  biết tiếp tuyến đi qua điểm N 1;   1 . Lời giải 1
Ta có y  f  x   trên khoảng  ;   1 và 1;  .  x  2 1
a) Phương trình tiếp điểm của  H  tại M có hệ số góc f 2  1 là:
y f 2  f 2 x  2  y  2  1 x  2  y  x  4
b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm của  H  và M x ; f x
là tiếp điểm của  H  và d . 0  0  0  1 1
Vì d / /d nên f  x  1 . 0  1
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 44
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 x 1  1 x  2 Suy ra   1   x 1  1   2  0 2 0 0    x   1 x 1  1  x  1  0  0 0
Với x  2 , phương trình tiếp tuyến tại điểm M
2; 2 có hệ số góc f 2  1 là: 0   0
y f 2  f 2 x  2  y  2  1 x  2  y  x  4 .
Với x  0 , phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0; 0 có hệ số góc f 0  1 là: 0   0
y f 0  f 0 x  0  y  0  1 x  0  y  x (loại vì trùng với đường thẳng d )
Vậy tiếp tuyến của  H  song song với đường thẳng d là d : y  x  4 . 1
c) Gọi a là tiếp tuyến cần tìm của  H  và Ax ; f x
là tiếp điểm của H và a . 0  0 
Phương trình tiếp tuyến a là: y f x f x x x . 0   0  0  x 1
Vì a qua điểm N 1;   1 nên 0 1     1 x  2x x 1  0 2  0  0  0  x 1 0  x 1 0 
x  0 (nhận) hoặc x  1(loại). 0 0
Vậy phương trình tiếp tuyến a : y f 0  f 0 x  0  a : y  x
Bài 3. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t  2  2
t 16t 15 , trong đó s tsinh bằng
mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t  3 . Lời giải
Ta có st    2 2
t 16t 15   2.3 
t 16  4t 16 .
Vận tốc tức thời tại thời điểm t  3 là s3  1.3  16  4m / s .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 a)   2 f x  x ; b) f x 3  x  2x ;
c) f x  . x Lời giải
f x  f x  2 x   2 x    2 2 x x 0 0  x x x x 0   0   0 
a) f  x  lim  lim  lim  lim 0  x 0 x x x x  0 x x x x  0 x x x x  0 x x x 0 0 0 0
 lim   x x   0  x 0 x
   x x  2  x 0 0  0
f x  f x x x  2x  2x
x  2x  x  2x 0   3 3 3 3 0   0 
b) f  x  0 0  lim  lim  lim 0 x 0 x x x x  0 x x x x  0 x x x 0 0 0
x x  2 2 x  . x x x  2 x x 0 0 0   0   lim x 0 x x x0  lim  2 2 x  . x x x  2 0 0  x   0 x   2 2 x
x .x x  2  2  3x  2 0 0 0 0 0
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 45
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 4 4 4x  4x 0 
f x  f x
x  2x  x  2x x x . x x 0  3 3
c) b) f  x  0 0 0 0  lim  lim  lim  lim 0 x 0 x x x x  0 x x x x  0 x x x x  0 x x x 0 0 0 0 4  4  4   lim   2 xx0 . x x . x x x 0 0 0
Bài 2. Cho hàm số f x 2  2
x có đồ thị C  và điểm A1; 2
  C  . Tính hệ số góc của tiếp tuyến với
C tại điểm A . Lời giải
Ta có f  x  4  x 0 
Hệ số góc của tiếp tuyến với C  tại điểm A là  4  .1  4 
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 y x a) Tại điểm  1   ;1 ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . Lời giải 2 y (  x )  3x Ta có: 0 3 a) Ta có điểm  1  
;1 không thuộc hàm số y x nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1;1). 3
b) Khi x  2 thì y  2  8 2
Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là 3.2  12
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 2;8 là: y  8  12.(x  2
) hay y 12x 16
Bài 4. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t  3
 4t  6t  2 , trong đó s tính bằng mét và
t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t  2 . Lời giải
Vận tốc tức thời của chuyển động là: v t   st  2  12t  6 Khi t    2 2, v 2  12.2  6  54
Bài 5. Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5% / năm. Tính
tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức
a) lãi kép với kì hạn 6 tháng; b) lãi kép liên tục. Lời giải
a) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là: 0, 05 2 T  10000000 1 (  )  10506250 2 (đồng)
b) Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là: 0,05 T  10000000e  10512711 (đồng)
Bài 6. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức h t  2
 0,81t , với t
được tính bằng giây và h tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt
Trăng tại thời điểm t  2 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 46
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon) Lời giải
Vận tốc tức thời của vật là: v t   ht   1, 62t
Tại thời điểm t  2 thì v 2  1, 62.2  3, 24
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP 1 1. Cho hàm số 3 y
x . Chứng minh rằng y x   x  0 . 3 2 3 x Lời giải
Với x  0 , ta có: 0
f x  f x x x 1 1 0  3 3
y x  lim  lim  lim  0  0 xx xx 3 3 xx 3 2 2 2 0 0 x x0  3 x x x xx x x xx x 3 x 0   3 3 0 0  0 3 3 3 0 0 0 1
Vậy y x   x  0 . 3 2 3 x
2. Cho parabol  P có phương trình 2
y x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol  P a) Tại điểm 1  ;1 .
b) Tại giao điểm của  P với đường thẳng y  3  x  2 . Lời giải
a) Ta có y  1  2  3   17 3   17
b) Giao điểm của  P với đường thẳng y  3
x  2 là x  và x  , hệ số góc là 2 2 k  3   17 và k  3   17 .
3. Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên  . 2
x x  2 khi x  2 2
x  2x khi x  1  
a) f x   1
b) f x   2 khi x  2  1 khi x  1   x 1  x Lời giải 1
a) Ta có: lim f x 
 lim f x  4 nên f gián đoạn tại 2, do đó f không có đạo hàm tại 2. x 2 x 2 3   
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 47
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
b) Ta có lim f x  3  lim f x  f  
1 nên f liên tục tại 1. x 1 x 1  
f x  f   1
f x  f   1 Ta lại có lim  4, lim  2 x 1 x 1 x 1    x 1
f x  f   1
f x  f   1
f x  f   1 Suy ra lim  lim nên không tồn tại lim . x 1 x 1 x 1    x 1 x 1  x 1
Vậy f không có đạo hàm tại 1.
4. Gọi C  là đồ thị của hàm số 3 2
y x  2x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C  sao cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng y  x  2 ; 1
b) Vuông góc với đường thẳng y   x  4 ; 4
c) Đi qua điểm A0;  1 . Lời giải 31
a) Hai tiếp tuyến y  x 1; y  x  27 67
b) Hai tiếp tuyến: y  4x  7; y  4x  3
c) Hai tiếp tuyến: y  1; y  x 1
5. Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình s t  2
 2t  5t  2 , trong đó s
tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t  4 . Lời giải
Ta có st   4t  5, s4  21m / s
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 48
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đạo hàm của hàm số n *
y x , n    Hàm số n y x với *
n   có đạo hàm trên  và  n x n 1  nx  .
2. Đạo hàm của hàm số y x  Hàm số y
x có đạo hàm trên khoảng 0;  và  x  1  . 2 x Nhận xét:
a) Cho số thực  . Hàm số y x 
được gọi là hàm số luỹ thừa (với tập xác định 0;  ).   Công thức  n x n 1
nx  còn đúng khi n là số thực, tức là với số thực  bất kì  x   1
  x   x  0 .  1 1 1    1 1 Với  
, ta nhận được công thức đã biết:  x  2 2  xx     x  0 2 2 2 x  
b) Ở bài học trước, dùng định nghĩa ta tìm được các công thức đạo hàm:
C   0 , C là hằng số; 1    1   , x  0   ; 2  x x
3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
sin x  cos x ; cos x  sin x ; 1     tan x  x
k , k   ; 2   cos x  2  1 cot x  
x k , k   . 2   sin x
4. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Ta có công thức đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số logarit sau:  1 x  x e
e ; ln x   x  0 ; x  1 x  x a
a .lna a  0, a  ; log x   x a a  . a   0, 0,  1 x ln a
5. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số
Cho hai hàm số u x, v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
u v  u  v; u v  u  v  u   u v   uv  .
u v  u v   v u  ;   1   
(với u v x  0 ). 2 2  v v Chú ý:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 49
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Với u C ( C là hằng số), công thức  
1 trở thành C.v  C.v .  1   v
Với u  1 , công thức 2 trở thành    
(với v v x  0 ). 2  v v
6. Đạo hàm của hàm hợp
Cho hàm số u g x có đạo hàm tại x là u  và hàm số y f u có đạo hàm tại u là y  thì hàm hợp x u
y f g x có đạo hàm tại x là y y .u   . x u x
7. Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số y f x có đạo hàm tại mọi x  ;b thì ta có hàm số y  f  x xác định trên a;b .
Nếu hàm số y  f  x lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y là đạo hàm cấp hai của hàm số
y f x tại x và kí hiệu là y hoặc f   x .
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f  t  là gia tốc tức thời tại thời điểm t của vật chuyển động có phương trình s f t  . B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 1 x 3  x  a) y
với x  0 ; b) y   2  x x  2 1 2 2  x    . 3 1 x 3   Lời giải a) 2  2
          1 1  3  x  3 1 x    3 1 1 1 1 1  x  3 3 3 3 3 x x x x x 3 3 y   1 x2 1 x2 3 3 2 1 2 2 1 3   x   3  3  x 2 3 1 x  3 1 x 2 3 2 b) 3 3       y   x x 2
1 x  2x  2 2  x    2
1 x  2x  2 2  x      3 3     3 2  x   x   1 2.2x 2 2  x      2
1 x  2x  2x  3.   3 3     3  x  28 10  1 4x 2 2  x      2
1 x  2x  2 2x x  2 3 4
 2 10x  2x x x 3 3 3  
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: tan x 1
a) y  sin x  2cos xsinx  2cos x   1 ; b) y  . cot x  2 Lời giải a) y
sin x 2cos x sinx 2cos x  1
sin x 2cos xsinx 2cos x  1          
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 50
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
 cos x  2 sin xsinx  2 cos x  
1  sin x  2 cos xcos x  2 sin x
 10 sin x cos x  cos x  2 sin x . tan x  
1  cot x  2  tan x   1 cot x  2  2
1 tan xcot x  2  tan x   1  2 1 cot x b) y   cot x  22 cot x  22 2 2
2 cot x  2 tan x  2 tan x  cot x 1  cot x  22
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2x 1 a) y
; b) y  3ln x  22 log x  5 . 3  2x 1 Lời giải a)    2x   1 2x   1  2x   1 2x   1
2x ln 2 2x  
1  2x ln 2 2x   1
2x ln 2 2x   1  2x   x 1 1   2  ln 2 y     2x  2 1 2x  2 1 2x  2 1 2x  2 1 3 2 b) y
3ln x 2 2log x 5
3ln x 2 2 log x 5          2 log x  5  3ln x  2 3    3   3    x x ln 3 1  6 4   6 log x  ln x 15   3  x  ln 3 ln 3 
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  2  sin 3x ; b) 2
y  ln 3x  2 ; 1 c) y
; d) y  tan cot x . 3x e 1 Lời giải 2 sin 3x cos3 . x 3x  3 os3 c x a) y    . 2 2  sin 3x 2 2  sin 3x 2 2  sin 3x  3x 2  6
b) y  2 ln 3x  2 ln 3x  2  2 ln 3x  2  ln 3x  2   3x  2 3x  2  3xe   3 1 x e 3x 3 3 x e c) y       .  x e  2 1  x e  2 1  x e  2 3 3 3 1 cotx 1 d) y   . 2 cos cot x 2 2 sin os xc x cot x
Bài 5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 3 2
y  3x x  3x 1; b) 2 y  os c x . Lời giải a) 2 2
y  3.3x  2x  3  9x  2x  3, y  9.2x  2  18x  2
b) Đặt u  cos x thì 2 y u .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 51
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Ta có u   sin x và y  2u . x u
Suy ra y  y .u  2u. sin x  2 cos .
x sin x   sin 2x x u x y 2x   
.cos 2x  -2 cos 2x
Bài 6. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t  2  2
t 15t  3 , trong đó s tính bằng mét
và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 . Lời giải
Ta có: st   2
 .2t 15  4t 15 , suy ra s t   4 .
Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 lần lượt là s2  7m / s và s  t  2 2  4m / s .
Bài 7. Nếu số lượng sản phẩm được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là P x 2
 200x 12800x - 74000 (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 1200 sản phẩm. Lời giải
Ta có P x  2.200x 12800  400x 12800
Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 1200 sản phẩm là
P12  400.12 12800  8000
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 x 1 2  x  3 a) 3 y  2x   4x  ; b) y  ; 2 3 x  4 2 x  2x  3 c) y  ; d) y  5x . x 1 Lời giải 2 a
) y  6x x  4  2x 3    5     5 b) y   2       2  x  4   x  4  (x  4) 2 2 x  2x  3
x x x 1 2 2 c) y    x 1 x 1 x 1 x 1 2 y  1 2 (x 1) 1 5 d) y  5 ( x).  2 5x 2 5x
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  sin 3x ; b) 3 y  cos 2x ; c) 2 y  tan x ; d) y   2 cot 4  x  . Lời giải
a) y  (3x).cos3x  3cos3x 2 2 b
) y  (cos2x) .
 3.cos 2x  (2x) .  (sin2x . ) 3.cos 2x  6  sin2 . x cos2x
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 52
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 2tanx
c) y  (tanx).2tanx  .2.tanx  2 2 cos x cos x 1 1  2x 2 d
) y  (4  x ).   2  . x  2 2 2 sin x sin x sin x
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   2  .2x y x x ; b) 2
y x log x ; 3 c) 3 1   x y e . Lời giải 2 x 2 x x 2 )   (  ) .  2  (  ) ( . 2 )  (2  ) 1 .2  (  ) 2 . . x a y x x x x x x x ln2 1 2 2 2 b
) y  (x ).log x x .(log x)  2 . x log x x . 3 3 3 . x 3 ln 3x 1  3x 1 c ) y 3 ( x 1) .e 3.e      
Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) 4 2
y  2x  5x  3 ; b)  x y xe . Lời giải 3 2 a
) y  8x 10 ;
x y  24x 10 ) x    . x; y x x     . x  2 x b y e x e e e x e e  . x ex
Bài 5. Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi
hàm số wt  3 2
 0, 000758t  0, 0596t 1,82t  8,15 , trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng
pound (nguổn: https://www.cde.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng
của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi. Lời giải 2
Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái là: w (
t)  0, 002274t  0,1192t 1, 2 8 2
Khi t  10 , ta có: w 1
( 0)  0,002274.10  0,1192.10 1,82  0,8554
Bài 6. Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hảng là 2
C(x)  5x  60 và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số
x(t)  20t  40 . Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó? Lời giải
Tốc độ tăng của chi phí theo thời gian là C (  t)  C (  x . ) x (  t)   1 1 2 5x  60  2 (20t  40)  5 ( x  60). .20  10 . x .20 2 2 2 5x  60 2 5x  60 1 1  100 . x  100(20t  40). 2 2 2 5x  60 5(20t  40)  60
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 53
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 C (  4)  100(20.4  40).  44, 7 2 5(20.4  40)  60 Khi t  4 thì
Bài 7. Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s t  2  0,81t , trong đó
t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt
Trăng. Tại thời điềm t  2 sau khi thả vật đó, tính:
a) Quãng đường vật đã rơi; b) Gia tốc của vật. Lời giải a) Khi t  2 thì 2
s(t)  0,81.2  , 3 2 ( 4 ) m
b) Ta có: v(t)  s (
t)  1, 62t
Gia tốc của vật là: v (  t)  , 1 62
D. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 3 3  x 2 x a) y    ; b) y   2 x   2 x   2 1 4 x  9 ; 2 x 3 2 x  2x 1 2x c) y  ; d) y  ; 2 x x 1 x 1 e) 2 x 1 y xe   ; g)   2 1 2 3 3 x y x    ; h) 2
y x ln x ; i) y  log  2 x 1 . 2  Lời giải 2 a) 2 y  3  x
x ; b) y  x  4 2 2 3x  8x   41 ; 2 x 2 3x  2x  2 3 c) y  ; d) y   ;
x x  2 2 1  x  2 1 e)   2 1 2 1 x y x e     ; g) 2 x 1 y 2.3   
2x  3 ln 3 1   ; 2x h) 2
y  ln x  2 ln x ; i) y   2 x   1 ln 2
2. Cho hàm số f x 3
 3x  4 x . Tính f   f   f  2 a f  2 4 ; 4 ; ;
a  ( a là hằng số khác 0). Lời giải 2
Ta có f  x 2  9x x 2
f 4  184; f 4  143; f  2 a  6
 3a  4 a ; f  2 a  4  9a  a
3. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  x
a) y    x 20 2 1 ; b) y  . 1 x Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 54
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com x  4 a) y 
x   x 19 2 40 1 ; b) y 
21 x 1 x
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x sinx a) y  ; b) y  ; sin x  cos x x 1 c) 3
y  sin x  sin x ; d) y cos 2sin x . 3 Lời giải
sin x  cos x - x sinx  cos x
x cos x - sin x a) y  b) y   2
sin x  cos x2 x c) 3 y  os c
x d) y  2 cos .
x sin 2sin x
5. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y x sin 2x ; b) 2 y  os c x ; c) 4 3 2
y x  3x x 1 . Lời giải
a) y  4 cos 2x  4sin 2x b) y  2  cos 2x c) 2
y  12x 18x  2 .
6. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình 2
s  100  2t t trong đó thời gian được tính bằng
giây và s được tính bằng mét.
a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?
b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t  3s . Lời giải
a) st   2  2t
st   0  2  2t  0  t  1
Vận tốc chất điểm bằng 0 khi t  1s . b) Khi t  3s
s3  2  2.3  4m / s
s      a   2 3 2
3  2m / s
Vậy khi t  3s thì vận tốc của vật là 4
m / s . Gia tốc của vật là 2 2  m / s .
7. Một chuyển động thẳng xác đinh bởi phương trình s t  3
 2t  75t  3 , trong đó s tính bằng mét và t
là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 . Lời giải
Ta có st  2
 6t  75  s t   12t
Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 là 2  m / s .
8. Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh
ra là P x  200 x  217  x (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 55
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Ta có: P x  400x  3800 .
Tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là P30  8200 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 56
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hàm số 3 2
y x  3x . Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M  1  ; 4   có hệ số góc bằng A. 3  . B. 9 . C. 9  . D. 72 . Lời giải Chọn B
Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M  1  ; 4
  có hệ số góc là: y  2 2
1  3x  6x  3 ( 1  )  6   1  9 Câu 2: Hàm số 2
y  x x  7 có đạo hàm tại x 1 bằng A. 1  . B. 7 . C. 1. D. 6 . Lời giải Chọn A Ta có: y  1  2  x 1  2  .11  1  2 x Câu 3:
Cho hai hàm số f x 3 2
 2x x  3 và g x 3  x
 5 . Bất phương trình f  x  g x có 2 tập nghiệm là A.  ;   0 1; . B. 0;  1 . C. 0  ;1 . D.  ;  0 1;  . Lời giải Chọn D x  1
f  x  g x 2 2 2
 6x  2x  3x x  3x  3x  0   x  0  x  3 Câu 4: Hàm số y  có đạo hàm lả x  2 1 5 1 5 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  .  x  22  x  22  x  22  x  22 Lời giải Chọn C
(x  3) x  2   x  3 (x  2) 1. x  2   x  3 1 1  y    2 2 2 (x  2) (x  2) (x  2) 1 Câu 5: Hàm số y
có đạo hàm cấp hai tại x 1 là x 1 1 1 1 A. y   1  . B. y   1   . C. y   1  4 . D. y   1  . 2 4 4 Lời giải Chọn D
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 57
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1  1
y  (x 1)   2 2 (x 1) (x 1)  1 2 x 1 2 2  
y  (x 1)  .     4 4 3 (x 1) (x 1) (x 1) 2 1 y   1   3 (11) 4
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 6:
Cho hàm số f x 2
x  2x  3 có đồ thị C  và điểm M  1
 ; 6C  . Viết phương trình tiếp
tuyến với C  tại điểm M . Lời giải
Ta có: f  x  2x  2 nên tiếp tuyến của C  tại điểm M  1
 ;6 có hệ số góc là: f   1  2   1  2  4
 Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm M là: y  6  4   x   1  y  4
 x  4  6  y  4  x  2. Câu 7:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 3 2
y  3x  7x  3x 1; b) yx x3 2   ; 4x 1 c) y  . 2x 1 Lời giải a) 3 2 3 2
y  3.4x  7.3x  3.2x  0  12x  21x  6x ;     b) Đặt 2
u x x thì 3
y u . Ta có: u    2
x x  2x 1 và  yuu . u   3  2 3 x Suy ra  y 
y  u     u      
  x x2 2 2 3 2x 1 3 2x 1 . x u x Vậy y  
  x x2 2 3 2x 1 . c) (4x 1)2x   1  4x   1 (2x 1) y  2 (2x 1) 42x   1  4x   1  2  2 (2x 1) 8x  4  8x  2 6   2 2 (2x 1) (2x 1) Câu 8:
Tính đạo hàm của các hàm số sau: a)   2  3   1 x y x x e ; b) 2
y x log x . 2 Lời giải   a)    2    x    2 3 1  3   1   x y x x e x x e      x    2    x    2 2 3 3 1  5   1 x x e x x e x xe
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 58
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com  1 b) y   3 x  3
 log x x  log x 2 3
 3x log x x  2 2 2 x  ln2 Câu 9:
Tính đạo hàm của cảc hảm số sau: a)  tan  x y e   1 ;
b) y  sin 3x ; c)  cot 1 2x y  . Lời giải x  1 x 1
a) y  e   1   e  cos  x e  2 1 cos  x e  2 1 1 1 1 b) '
y  (sin3x) 
 (3x)  cos3x   3cos3x  2  sin3x 2  sin3x 2  sin3x   x 1 x 1
c) y  1 2    2  ln2  2 sin 1 2x  2 sin 1 2x
Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai cúa các hàm số sau: a) 3 2
y x  4x  2x  3 ; b) 2  x y x e . Lời giải 2
a) y  3x  8x  2
y  6x  8   b)    2  x 2    x x 2 x       2 2 2   x y x e x e x e x e x xe   2  x  2   x           x    2   x    2 2 2 2 2 2  4  2 x y x x e x x e x e x x e x x e
Câu 11: Một viên sỏi rơi từ độ cao 44,1 m thì quãng đường rơi được biểu diễn bởi công thức s t 2  4,9t
, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính:
a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc t  2 ;
b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất. Lời giải
Vận tốc rơi của viên sỏi là: v t   st   9,8t
a) Khi t  2 thì v(2) =9,8.2 = 19,6 (m/s)
b) Khi viên sỏi chạm đất thì s t  44,1 Hay 2
4,9t  44,1  t  3
Ta có: v 3  9,8.3  29, 4 m / s
Câu 12: Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s t 3
 2t  4t 1, trong đó
t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật khi t 1. Lời giải
Vận tốc của vật là: v t   st  2  6t  4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 59
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Gia tốc của vật là vt   12t
Khi t  1 thì v   2
1  6.1  4  10;v  1  12.1  12 500t
Câu 13: Dân số P (tính theo nghìn người) của một thành phố nhỏ được cho bởi công thức P t   2 t  9
, trong đó t là thời gian được tính bằng năm. Tìm tốc độ tăng dân số tại thời điểm t  12 . Lời giải
Tốc độ tăng trưởng dân số là:
(500t) t  9  500t t  9' ' 2 2 Pt   t  92 2 500. 2
t  9  500t.2t Pt   t  92 2 2 4500  500t Pt   t  92 2 2 4500  500.12
Khi t  12 thì P12   2  ,88 12  92 2 1
Câu 14: Hàm số S r 
có thể được sử dụng để xác định sức cản S của dòng máu trong mạch máu 4 r
có bán kính r (tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine
21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của S theo r khi r  0,8 . Lời giải
Tốc độ thay đổi của S là  1  1 4
Sr    4 r  3   4r    2 8 5 4 r r r 4 
Khi r  0,8 thì S0,8   12.2 5 0,8
Câu 15: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức T t  2  0
 ,1t 1, 2t  98, 6
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 60
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo
ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t 1,5 .
(Nguồn: https://www.algebra.com/algebra/homework/ Trigonometry-basics/Trigonometry-
basics.faq.question. 1111985.html) Lời giải
Tốc độ thay đổi của nhiệt độ là: T t   0
 , 2t 1, 2 Khi t  1, 5 thì T1,5  0
 , 2 1, 5 1, 2  0,9 6000
Câu 16: Hàm số R v 
có thể được sử dụng để xác định nhịp tim R của một người mà tim của v
người đó có thể đẩy đi được 6000 ml máu trên mỗi phút và v ml máu trên mỗi nhịp đập (theo
Bách khoa toàn thư Y học "Harrison's internal medicine 21st edition"). Tìm tốc độ thay đổi của
nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v  80 . Lời giải  1  6000
Ta có: Rv  6000.     . 2  2  v v
Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp là v  80 là: 6000 R80    0  ,9375 . 2 80
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP A. TRẮC NGHIỆM 1. Cho hàm số 3 2
y x  3x  2 . Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm M 1; 6 có hệ số góc bằng: A. 18. B. -3. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn B. 2. Hàm số 3
y x  3x 1 có đạo hàm tại x  1 bằng A. 0. B. 6. C. -6. D. -1. Lời giải Chọn A.
3. Cho hai hàm số f x 3 2
 3x  3x  6x 1 và g x 3 2
x x  2 . Bất phương trình
f   x  f  x  g x  8  0 có tập nghiệm là
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 61
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com  10  10  A. 1;   . B.  ;   1  ;    .  3   3   10   10  C. 1;  . D.   ;1  ;    . 3     3  Lời giải Chọn C. 2x 1
4. Hàm số y  có đạo hàm là 3x  2 1 7 A. y   . B. y   . 3x  22 3x  22 1 7 C. y  . D. y  . 3x  22 3x  22 Lời giải Chọn D. x 1
5. Hàm số y
có đạo hàm cấp 2 tại x  1 là x 1 1 1 1 1 A. y   1  . B. y   1   . C. y   1  . D. y   1   . 4 4 2 2 Lời giải Chọn D. 2 6. Hàm số 1 3x y   có đạo hàm là A.   2 2 1 3x x  . B.   2 2 1 3x x  ln 3 . 2 2 C. x 1 2x3  ln 3 . D. 1 3x  . Lời giải Chọn C.
7. Hàm số y  ln cos x có đạo hàm là 1 A. . B.  tan x . C. tan x . D. cot x . cos x Lời giải Chọn B.
8. Hàm số f x 2 x 4 e  
có đạo hàm tại x  1 bằng 5 e 5 e A. f   5 1  e . B. f   5 1  2e . C. f   1  . D. f   1  . 5 2 5 Lời giải Chọn C. B. TỰ LUẬN
1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) f x  4x 1 tại x  2 ; b)   4
f x x tại x  1 ;
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 62
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1
c) f x  ; d) f x 3 2  x 1 . x 1 Lời giải 2
a) f 2  ; b) f   1  4  ; 3 1 2x
c) f  x  
; d) f  x   x  2 1 3  x  2 2 3 1
2. Cho hàm số f x 3 2
 2x x  2x 1 có đồ thị C  . Tìm tiếp tuyến với C  có hệ số góc nhỏ nhất. Lời giải
Gọi tiếp tuyến là  và tiếp điểm là M x ; f x . 0  0  2  1  11 11
Hệ số góc của  là f  x  2
 6x  2x  2  6 x    0 0 0  0   6  6 6 11 1
Vậy hệ số góc của  nhỏ nhất bằng khi x  . 6 0 6  1  11 1  11 109
Vậy tiếp tuyến  là y fx   y x      .  6  6  6  6 108
3. Vị trí chuyển động của một vật trên đường thẳng được biểu diễn bởi công thức s t  3
 3t  5t  2 , trong
đó t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc và gia tốc của vật đó khi t  1. Lời giải
Ta có st  2
 9t  5 , vận tốc s  1  14 .
Gia tốc s t   18t , gia tốc s   1  18 .
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 2x  3 a) y x  2 x x   1 ; b) y  ; c) y  ; 2 x  3x 1 3x  2 Lời giải 5 1 a) y  x x  1 ; 2 2 x 2x  3 b) y   ;
x 3x  2 2 1 5 c) y   . 3x  22
5. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x sin x a) y  ; b) 2 y  os c x x 1 ; 1 tan x c) 2
y  sin 3x ; d) 2
y  cos cos 3x . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 63
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2
sin x x cos x - sin x tan x x sin x tan x a) y  1 tan x2  2x -  2
1 sin x x 1 b) y  2 2 x x 1
c) y  3sin 6x
d) y  3sin 2 cos 3xsin 3x
6. Tính đạo hàm của các hàm số sau biết rằng f và g là các hàm số có đạo hàm trên  : a)   3 y f x  ; b) 2    2 y f
x g x . Lời giải
f xf  x  g xg x a) 2
y  x f  3 3
x  ; b) y  2 f x 2  g x
7. Cho hàm số f x 3 2
x  2x mx  5 . Tìm m để
a) f  x  0 có nghiệm kép; b) f  x  0 với mọi x . Lời giải f  x 2
 3x  4x m 4 a) 
  0  m   3 4
b) f  x  0 x   
  0  m   3 2
8. Cho hàm số f x 2 
x  2x  8 . Giải phương trình f  x   . 3 Lời giải x 1
f  x  2 x  2x  8 2 5  2 35 5  2 35 f  x 2  
 2 x  2x  8  3   x   1  x   L; x   N ; 3 5 5
9. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x 1 a) y
; b) y  3x  2 ; c) 2 x y xe . x  2 Lời giải 3 6 a) y  ; y    x  22  x  23 3 9 b) y  , y   . 2 3x  2 4 3x  23 c)      2x      2 2 1 ; 4 1 x y x e y x e .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 64
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng a , b trong không gian, kí hiệu  ,
a b , là góc giữa hai đường thẳng a và b
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b . Chú ý:
Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0 đến 90 .
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Hai đường thẳng a , b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 . B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA a 3, SA BC . Gọi I , J lần lượt
là trung điểm của S ,
A SC . Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a) IJ và BD ; b) SD và BC . Lời giải a) S
AC có I , J lần lượt là trung điểm của S ,
A SC , suy ra IJ là đường trung bình của SAC , suy ra IJ / / AC
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
Vậy  IJ BD   AC BD  , ,  AOB  90 .
b) Ta có AD / / BC , suy ra S ,
D BC   SD, AD . SA BC Mặt khác:   SA AD . BC / / AD
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 65
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Vậy S
AD vuông tại A . SA a Suy ra  3 tanSDA    3 . Suy ra  SDA  60 . AD a
Vậy SD BC   SD AD  , ,  SDA  60 .
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC, AD . Cho biết
MN a 3 , tính góc giữa AB và CD . Lời giải
Gọi I là trung điểm AC . A
BC có I , M lần lượt là trung điểm của AC, BC , suy ra IM là đường trung bình của ABC , suy ra 1
IM / / AB và IM AB a . 2
Tương tự, ta có IN / /CD và IN a .
Ta có IM / / AB và IN / /CD , suy ra  AB,CD   IM , IN  .
Áp dụng định lí côsin trong tam giác MIN : 2 2 2 
MN IM IN  2  IM IN  cosMIN 2 2 2 
 3a a a  2  a a  cosMIN  2 2 3a  2a 1  cosMIN    2 2a 2   MIN  120
Vậy  AB CD   IM IN    , ,
 180  MIN  180 120  60 . 
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, SD . Chứng minh rằng MN SC . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 66
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com S
AD có M , N lần lượt là trung điểm của AD, SD , suy ra MN là đường trung bình của SAD , suy ra MN / /SA .
Vậy MN, SC   S , A SC  . A
BC vuông tại B nên 2 2 AC
AB BC a 2 . Xét S
AC , nhận thấy: 2 2 2
AC SA SC .
Theo định lí Pythagore đảo, SAC vuông tại S . Suy ra 
ASC  90 hay MN SC   ,  ASC  90 .
Vậy MN SC .
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa AB và DM . Lời giải
Đặt 2a là độ dài cạnh của tứ diện đều.
Gọi N là trung điểm của AC, H là trung điểm của MN , ta có: MN / / A ,
B suy ra  AB, DM   MN, DM
DM DN a 3, MN a nên DMN cân tại D a MH 3 Suy ra MH  và DH MN .   cosDMN    DMN  73, 2 2 MD 6
Vậy  AB DM   MN DM   , ,  DMN  73, 2 . 
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 67
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA a 3, SA AC , SA BC, BAD  120 . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Tính góc giữa các cặp đường thẳng:
a) SD và BC . b) MN và SC . Lời giải
a) Vì AD / / BC nên SD, BC    S , D AD .
Vì SA BC và AD / / BC nên SA AD hay tam giác SAD vuông tại A .
Do đó SD BC   SD AD  , ,  SDA  60 .
b) Vì MN / /CD nên SC, MN   SC,CD .
Vì ABCD là hình thoi cạnh a có 
A  120 nên ACD là tam giác đều cạnh a .
Xét các tam giác vuông SAC, SAD có: 2 2 2 2 2 2 2 2 SC
AC SA a  3a  2a và SD
AD SA a  3a  2 . a
Áp dụng định lí côsin trong tam giác SCD :  2 2 2
SC CD SD 1  cosSCD    SCD  75,5 .  2  SC CD 4
Vậy SC MN   SD AD  , ,  SCD  75, 5 .
3. Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD, AD BC .
a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 68
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC . Ta có ACD B
DC (c.c.c), suy ra AN BN , suy ra NAB cân tại N .
Mà M là trung điểm của AB , suy ra NM AB .
Tương tự ta có NM CD . AC BD
b) Ta có MQ PN  , MP QN
, AC BD .Suy ra MQ PN MP QN . 2 2
Vậy tứ giác MPNQ là hình thoi, suy ra MN PQ .
4. Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N , I , J lần lượt là trung điểm của S ,
A SD, SC và BC . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) IJ và DC ; b) MN và LJ . Lời giải
a) Ta có IJ / /SB, DC / / AB , suy ra  IJ DC   SB AB  , ,  SBA  60 .
b) Ta có MN / / AD / / BC, L / /SB , suy ra MN L   BC SB  , ,  SBC  60 .
5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Chứng minh hai
đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau. Lời giải
Qua O vẽ đường MN / /CD M BC, N BD . Ta có OM ON , AM AN , suy ra A
MN cân tại A ,
suy ra AO MN . Mà MN / /CD nên AO CD .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 69
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 70
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định nghĩa
Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng   nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong
  , kí hiệu d    Định lí 1
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng   thì d    . Định lí 2.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho truớc.
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Định lí 3.
a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau a b P Hình 11 Định lí 4.
a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 71
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a α β Định lí 5.
a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   . Đường thẳng nào vuông góc với   thì cũng vuông góc với a .
b) Nếu đường thằng a và măt phẳng   (không chứa a ) cùng vuông góc với một đường thẳng b thì chúng song song với nhau. b a α Hình 16
3. Phép chiếu vuông góc Định nghĩa
Cho mặt phẳng  P và đường thẳng d vuông góc với  P . Phép chiếu song song theo phương của d
lên mặt phẳng  P được gợi là phép chiếu vuông góc lênP . A B d P A' B'
Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng  P và b là đường thẳng không nằm trong  P và không
vuông góc với  P . Gọi b là hình chiếu vuông góc của b trên  P . Khi đó a vuông góc với b khi và
chi khi a vuông góc với b . B b A b' A' a B' P Hình 22
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 72
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại B . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
ABC . Gọi I là trung điểm của AC . Kẻ AH SBH SB . Chứng minh rằng:
a) SA vuông góc với các cạnh đáy; b) BC   SAB ;
c) BI  SAC  , từ đó suy ra BI SC ; d) AH   SBC , từ đó suy ra AH SC . Lời giải
a) Vì SA   ABC  và AB, BC,CA cùng nằm trong  ABC nên SA AB, SA BC, SA CA .
b) Ta có BC AB (vì A
BC vuông tại B ) và BC SA (chứng minh trên), suy ra BC  ( SAB) . c) Do A
BC vuông cân tại B và I là trung điểm của AC nên BI AC . (1)
Ta có SA   ABC  và BI   ABC , suy ra SA BI . (2)
Từ (1) và (2) suy ra BI  ( SAC ), suy ra BI SC .
d) Theo giả thiết ta có AH SB . (3)
Theo câu b) ta có BC  SAB và AH  SAB , suy ra BC AH .(4)
Từ (3) và (4) suy ra AH  ( SBC ), suy ra AH SC .
Bài 2. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD . Gọi H , I , K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD . Chứng minh rằng:
a) BC  SAB,CD  SAD, BD  SAC  .
b) SC   AHK  và điểm I thuộc mặt phẳng  AHK  .
c) HK   SAC  và HK AI . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 73
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Ta có BC AB (vì ABCD là hình vuông) và SA BC (vì SA   ABCD ), suy ra BC   SAB .
Ta có CD AD (vì ABCD là hình vuông) và SA CD (vì SA   ABCD ), suy ra CD  SAD .
Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) và SA BD (vì SA   ABCD ), suy ra BD  SAC  .
b) Ta có BC   SAB và AH  SAB , suy ra BC AH .
Mặt khác AH SB , suy ra AH   SBC , suy ra AH SC . (1)
Tương tự ta có AK CD và AK SD , suy ra AK   SCD , suy ra AK SC .(2)
Từ (1) và (2) suy ra SC   AHK  .
Ta có SC   AHK  và AI SC , suy ra I  AHK  .    SA ABSAB  90
c) Ta có SA   ABCD     SA AD    SAD  90 .   Xét SAB và SAD , ta có:  
SA là cạnh chung; SAB SAD  90; AB AD Suy ra SAB S
AD (c.g.c), suy ra SB SD, SH SK . SH SK Suy ra 
. Vậy HK / / BD . SB SD
Theo câu a) ta có BD  SAC  , suy ra HK  (SAC).
Ta lại có AI  SAC , suy ra HK AI .
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D . Gọi I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng BC AD .
b) Kẻ AH là đường cao của tam giac ADI . Chứng minh rằng AH   BCD . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 74
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của BC nên AI BC .(1)
Tam giác DCB cân tại D và I là trung điểm của BC nên DI BC .(2)
Từ (1) và (2) suy ra BC   AID , suy ra BC AD .
b) Ta có AH DI và AH BC (vì BC   ADI  , AH   ADI  ), suy ra AH   BCD .
Bài 4. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A SB AB và SB   ABC . Gọi H , I , K
lần lượt là trung điểm của ,
SA BC, AB . Chứng minh rằng:
a) AC   SAB ; b) BH   SAC ;
c) KI SA ; d) AB IH . Lời giải
a) Ta có AC AB (vì A
BC vuông tại A ) và AC SB (vì SB   ABC ), suy ra AC  SAB .
b) Vì SB AB nên SA
B cân tại B . Mà H là trung điểm của SA , suy ra BH SA.(1)
Ta cũng có AC  SAB và BH  SAB , suy ra AC BH .(2)
Từ (1) và (2) suy ra BH   SAC . c) A
BC có K , I lần lượt là trung điểm của AB, BC nên KI là đường trung bình của ABC , suy ra
KI / / AC . Ta lại có AC  SAB , suy ra KI  SAB , suy ra KI SA .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 75
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com d) SA
B có H , K lần lượt là trung điểm của ,
SA AB nên HK là đường trung bình của SAB , suy ra
HK / /SB . Mặt khác SB AB , suy ra HK AB .(3)
Ta có KI   SAB , suy ra KI AB .(4)
Từ (3) và (4) suy ra AB  (HIK), suy ra AB IH .
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a 2 . Biết rằng
SA SB SC SD, SO  2a 2 .
a) Chứng minh rằng SO   ABCD .
b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC . Lời giải
a) Ta có SA SC , suy ra S
AC cân tại S , suy ra SO AC .(1)
Ta có SB SD , suy ra S
BD cân tại S , suy ra SO BD .(2)
Từ (1) và (2) suy ra SO   ABCD .
b) Ta có AC  2a, OC a , 2 2
SC SO OC  3a . SO AC 2a 2  2a 4a 2
Vẽ đường cao AH của tam giác SAC . Ta có: AH    . SC 3a 3
2. Cho tứ diện ABCD có AB CD và AC BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt
phẳng  BCD . Chứng minh rằng H là trực tâm của B
CD và AD BC . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 76
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Ta có CD AB và CD AH , suy ra CD   ABH  , suy ra CD BH .
Tương tự ta cũng có BD CH .
Vậy H là trực tâm của BCD .
Ta có H là trực tâm của B
CD , suy ra BC DH .
Ta lại có BC AH , suy ra BC   AHD , suy ra BC AD .
3. Cho tứ diện ABCD có DA   ABC, ABC là tam giác cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ
AH MD tại H .
a) Chứng minh rằng AH   BCD .
b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC . Chứng minh rằng GK   ABC  . Lời giải
a) Ta có BC D ,
A BC AM , suy ra BC   ADM  , suy ra BC AH .
Ta lại có AH DM , suy ra AH   BCD . MK MG 1 b) Ta có  
, suy ra GK / / AD . MD MA 3
Ta lại có AD   ABC  , suy ra GK   ABC  .
4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA SC, SB SD .
a) Chứng minh rằng SO   ABCD .
b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của B ,
A BC . Chứng minh rằng IJ   SBD .
c) Chứng minh rằng BD  SAC  . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 77
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Ta có SA SC , suy ra SAC cân tại S , suy ra SO AC .(1)
Tương tự ta có SO BD .(2)
Từ (1) và (2) suy ra SO   ABCD .
b) Ta có AC BD và AC SO , suy ra AC  SBD .
Ta có IJ là đường trung bình của A
BC nên suy ra IJ / / AC , suy ra IJ  SBD .
c) Ta có BD AC và BD SO , suy ra BD  ( SAC ).
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 78
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng   và   là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với   và   , kí
hiệu  ,  .
Ta có:  ,   m, n với m   , n   
2. Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.
Hai mặt phẳng  P và Q vuông góc được kí hiệu là  P  Q .
3. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Định lí 1
Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
4. Tính chất cơ bản vể hai mặt phẳng vuông góc Định lí 2
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông
góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Định lí 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 79
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
5. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mặt đáy là đa giác đều.
Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có mặt đáy là hình chữ nhật.
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Tên Hình vẽ Tính chất cơ bản Hình lăng trụ
- Cạnh bên vuông góc với hai đáy. đứng
- Mặt bên là các hình chữ nhật.
- Hai đáy là hai đa giác đều.
- Mặt bên là các hình chữ nhật. Hình lăng trụ đều
- Cạnh bên và đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai đáy
- Bốn mặt bên là hình chữ nhật. Hình hộp đứng
- Hai đáy là hình bình hành.
- Sáu mặt là hình chữ nhật.
- Độ dài a, b, c của ba cạnh cùng đi qua một đỉnh gọi là Hình hộp chữ nhật
ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
- Độ dài đường chéo d được tính theo ba kích thước 2 2 2
d a b c .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 80
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
- Sáu mặt là hình vuông. Hình lập phương
- Độ dài đường chéo d được tính theo độ dài cạnh a : d a 3.
6. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều a) Hình chóp đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Chú ý: Hình chóp đều có:
a) Các mặt bên là các tam giác cân tại đình hình chóp và bằng nhau.
b) Đoạn thẳng nối từ đỉnh hình chóp đến tâm của đáy thì vuông góc với mặt đáy và gọi là đường cao của hình chóp.
c) Độ dài đường cao gọi là chiều cao của hình chóp đều.
b) Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp
đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 81
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Trong hình chóp cụt đều A A A A AAA  A , ta gọi: 1 2 3 6 1 2 3 6
- Các điểm A , A , A ,, A , A ,
A, A,, A là các đỉnh. 1 2 3 6 1 2 3 6
- Đa giác A A A A là đáy lớn, đa giác AAA  A là đáy nhỏ. Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt 1 2 3 6 1 2 3 6 phẳng song song.
Cạnh của hai đa giác đáy là cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song từng đôi một.
Các hình thang cân A A AA , A A AA ,..., A A AA là các mặt bên. 1 2 2 2 3 3 2 6 1 1 6
Cạnh bên của mặt bên gọi là cạnh bên của hình chóp cụt đều.Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng
nhau, các mặt bên là những hình thang cân.
Đoạn thẳng nối tâm hai đáy là đường cao. Độ dài đường cao là chiều cao. B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, SA a 3 và SA vuông góc
với đáy. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 82
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: BC SA (vì SA   ABC  ) và BC AB (giả thiết)  BC  SAB  BC SB .
Ta lại có: SBC    ABC   BC (1)
AB   ABC, AB BC (2)
SB  ( SBC ), SB BC (chứng minh trên) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra SBC, ABC   A ,
B SB . Trong tam giác SAB vuông tại A ta có:  SA  tanSBA   3  SBA  60 .  AB
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC là  SBA  60 .
Bài 2. Cho hình chóp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm SC . Tính góc giữa
hai mặt phẳng MBD và  ABCD . Lời giải
Gọi M  là trung điểm OC MM  / /SO MM    ABCD .
Ta có MB MD nên MO BD và M O
  BD nên góc giữa hai mặt phẳng MBD và  ABCD là M , O M O   1 a 2 2 a a 2 Ta có: OC AC  ; 2 2 2 SO SC OC a   2 2 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 83
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Trong tam giác vuông MOM  , MM SO ta có   tanMOM   
 1  MOM   45 . OM OC
Vậy MBD  ABCD  MO M O    , ,
MOM   45 .
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Các tam giác SAC và SBD cân tại S . Chứng minh rằng:
a) SO   ABCD ; b) SAC    SBD . Lời giải
a) Ta có các tam giác SAC và SBD cân tại S nên SO AC, SO BD SO   ABCD .
b) Ta có AC SO (vì SO   ABCD ) và AC BD (vì ABCD là hình thoi)
AC  SBD .
Vậy SAC    SBD .
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng lục giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên 2a .
a) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
b) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ. Lời giải
a) Lăng trụ đứng lục giác đều có sáu mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau với kích thước lần lượt là a, 2a .
Vậy diện tích xung quanh của lăng trụ là: 2 S
 6  a  2a  12a . xq 2 a 3
b) Vì tam giác A A O đều nên S
. Diện tích đáy A A A A A A của lăng trụ là: 1 2 Δ 1 2 3 4 5 6 1 A 2 A O 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 84
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 2 a 3 3a 3 S  6  S  6   . A A A A A AA A O 1 2 3 4 5 6 1 2 4 2
Diện tích toàn phần của lăng trụ là: 2 3a 3 2 2
S S  2S  12a  2  12  3 3 a . tp xq A A A A A A 1 2 3 4 5 6   2
Bài 5. Cho hình hộp ABCDA BCD
  có tất cả các cạnh bằng a và có   
BAD BAA  DAA  60 . Tính
tổng diện tích các mặt của hình hộp. Lời giải
Tam giác ABD có AD AB a và  DAB  60 . 2 a 3
Suy ra tam giác ABD là tam giác đều, nên SS  2SABCD A BCD    . ABD 2
Tương tự, ta có tam giác AAB và tam giác AAD là tam giác đều, nên 2 a 3 SSSS  . A BBAD CCDD AADC BBC  2 2 a 3
Vậy tổng diện tích các mặt của hình hộp là 2 S  6   3a 3 . 2
Bài 6. Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCDA BCD
  có đáy lớn ABCD có cạnh bằng 2a , đáy nhỏ AB CD
  có cạnh bằng a và cạnh bên 2a . Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên. Lời giải
Trong hình thang vuông OO CC
 , vẽ đường cao C H
  H OCa 2 a 2 a 2
Ta có: OC a 2, O C   
, suy ra CH a 2   . 2 2 2 Trong tam giác vuông C C  H , ta có:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 85
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2  a 2  a 14 '2 2 2 C H
CC CH  (2a)     .  2  2   a 14
Nên OO  C H   . 2 Trong hình thang BB CC
 , vẽ đường cao C K
 K BC . BC B C   2a a a Ta có CK    . 2 2 2
Trong tam giác vuông C CK , ta có: 2  a a 15 2 2 2 C K
CC  CK  (2a)   .    2  2
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP a
1. Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và AB   BCD . Cho biết BC a 2, AB  3
. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng  ACD và  BCD . Lời giải
Gọi I là trung điểm của CD .
Ta có: CD BI và CD AB CD AI .
Khi đó:  ACD   BCD  CD ; AI CD, AI   ACD ; BI CD, BI   BCD
suy ra  ACD, BCD   AI, BI  . 1 1
Do tam giác BCD vuông cân tại B nên BI CD
BC 2  a . 2 2 AB 1
Xét tam giác ABI vuông tại B , ta có:   tan AIB    AIB  30 . BI 3
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ACD và  BCD là  AIB  30 .
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Cho biết SA a và
SA   ABCD . Trên BC lấy điểm I sao cho tam giác SDI vuông tại S . Biết góc giữa hai mặt phẳng
SDI  và  ABCD là 60 . Tính độ dài SI .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 86
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Vẽ AK ID K D .
Ta có ID SA và ID AK ID  SAK   ID SK .
Suy ra SDI   ABCD  ,  AKS  60 .
Xét tam giác SAK vuông tại A , ta có:  SA SA 2a sin AKS   SK   . SK sin60 3
Tam giác SAD vuông tại A , ta có: 2 2
SD a  4a a 5 .
Xét tam giác SID vuông tại S , ta có: 1 1 1 1 1 1 2a 55       SI  . 2 2 2 2 2 2 SK SI SD SI SK SD 11
3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA   ABC  .
a) Chứng minh rằng  SBC  SAB .
b) Gọi M là trung điểm của AC . Chứng minh rằng SBM   SAC  . Lời giải
a) Ta có: BC AB (giả thiết),
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 87
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BC SA (vì SA   ABC
BC  SAB  SBC   SAB
b) Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B nên BM AC .
Mà BM SA (vì SA  ( ABC ) suy ra BM  ( SAC) . Vậy SBM   SAC  .
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng
vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD . Chứng minh rằng:
a)  SBC  SAB ; b) SCD  SAD ;
c) SBD  SAC  ; d) SAC    AHK  . Lời giải
a) Ta có: SAB   ABCD ; SAD   ABCD ; SAB  SAD  SA
SA   ABCD
Khi đó: BC AB (giả thiết);
BC SA (vì SA   ABCD
BC  SAB  SBC   SAB
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được: SCD  SAD .
c) Ta có: BD AC (giả thiết);
BD SA vì SA   ABCD
BD  SAC   SBD  SAC
d) Ta có: SAB  SBC  (chứng minh trên);
SAB SBC  SB ; AH SB (giả thiết)
AH  SBC  AH SC. (1)
Ta có: SCD  ( SAD) (chứng minh trên);
SCD SAD  SD ; AK SD (giả thiết)
AK  SCD  AK SC (2)
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 88
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Từ (1) và (2) suy ra: SC   AHK  .
Vậy SAC    AHK  .
5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 3 . Hai mặt phẳng SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi   là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD .
a) Tìm các giao tuyến của mặt phẳng   với các mặt của hình chóp.
b) Các giao tuyến ở câu a tạo thành hình gì? Tính diện tích của hình đó. Lời giải
a) Ta có: SAB   ABCD ; SAD   ABCD ; SAB  SAD  SA
SA   ABCD .
Dễ dàng chứng minh được SAD  SCD .
Vẽ AM SD M SD  AM  SCD
  ABM   SCD hay  ABM  là mặt phẳng
  qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD .
Trong mặt phẳng SCD kẻ MN / /CD N SC .
Suy ra: MN / / AB MN    .
Vậy các giao tuyến của   với các mặt của hình chóp là AB, BN , NM , MA .
b) Ta có: MN / / AB và AB AM (vì AB   SAD ) nên ABNM là hình thang vuông tại A và M .
Tam giác SAD vuông tại A có AM là đường cao nên 1 1 1 1 1 4 a 3       AM  . 2 2 2 2 2 2 AM SA AD 3a a 3a 2 2 SA 2 2 2 MN SM MN SA SA 3a / / SD MN CD        2 2 2 2 CD SD CD SD SD SA AD 4a 3 3  MN CD  . a . 4 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 89
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 1 1 a 3  3  7a 3 Vậy S
AM MN AB    a a ABNM   .   2 2 2  4  16
6. Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng
2 m , đáy nhỏ có cạnh bằng 1 m và cạnh bên bằng 2 m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn. Lời giải 15 2   1 S  4  
 4 1  5  3 5  16, 62 tp  2 m  2 2
7. Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15 ), cạnh đáy bằng 10 cm và
cạnh bên bằng 50 cm . Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn. Lời giải Sxq 6 50 10 20 3    11, 55 2 S 10 3 3 đay 6  4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 90
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 4: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng a thì độ dài đoạn MH được gọi là
khoảng cách từ M đến đường thẳng a , kí hiệu d M , a .
Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  P thì độ dài đoạn MH được gọi là
khoảng cách từ M đến  P , kí hiệu d M , P .
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến b ,
kí hiệu d a,b .
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P song song với a là khoảng cách từ một điểm bất
kì trên a đến  P , kí hiệu d a, P .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song P và Q là khoảng cách một điểm bất kì trên  P đến
Q , kí hiệu d P,Q .
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng c vừa vuông góc vừa cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b được gọi là đường vuông góc
chung của a và b .
Nếu đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cắt chúng lần lượt tại I và J thì
đoạn IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a và b .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó,
kí hiệu d a,b .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 91
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Chú ý:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa một trong hai đường đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp
Thể tích khối hộp chữ nhật (Hình 5a ) bằng tích ba kích thước:V ab . c 1
Thể tích khối chóp (Hình 5 b) bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao:V S . h 3 1
Thể tích khối chóp cụt đều (Hình 5c ) có chiều cao h và diện tích hai đáy S , S ' : V
h S SS  S 3
Thể tích khối lăng trụ (Hình 5 d ) bằng tích diện tích đáy và chiều cao:V Sh
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 92
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
ABC . Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy bằng 30 . Gọi I là trung điểm của BC . Tính khoảng cách từ
điểm A đến đường thẳng:
a) SB ; b) SC ; c) SI . Lời giải
Ta có: SA   ABC  nên SC ABC   SC AC   , ,  SCA  30 .  2a 2a 3
Xét tam giác SAC vuông tại A , ta có: SA ACtan30   . 3 3
a) Vẽ AH SB H SB , ta có d  ,
A SB  AH .
Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có: 1 1 1 3 1 1       AH  . a 2 2 2 2 2 2 AH SA AB 4a 4a a
b) Vẽ AK SC K SC , ta có d  ,
A SC   AK .
Xét tam giác SAC vuông tại A , ta có: 1 1 1 3 1 1       AK  . a 2 2 2 2 2 2 AK SA AC 4a 4a a
c) Vẽ AN SI N SI  , ta có d  ,
A SD  AN .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 93
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Vì ABC là tam giác đều cạnh 2a nên AI a 3 . 1 1 1 3 1 13 2a 39
Xét tam giác SAI vuông tại A , ta có:       AN  . 2 2 2 2 2 2 AN SA AI 4a 3a 12a 13
Bài 2. Cho hình lập phương ABCDA BCD
  có cạnh bằng a . Tính khoảng cách từ đỉnh D đến đường chéo AC . Lời giải
Gọi H là hình chiếu của D trên AC .Ta có: C D
   AD , C D    DD  C D     ADD A    C D    AD .
Do tam giác ADD vuông cân tại D nên AD  a 2 . Xét tam giác D A
C vuông tại D , ta có: 1 1 1 1 1 3 a 6       D H   . 2 2 2 2 2 2 D HD AD C   2a a 2a 3 a 6
Vậy d D , AC  . 3
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy  ABCD và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SB và AD ; b) BD và SC . Lời giải
a) Vẽ đường cao AH của tam giác SAB .
Ta có: AD AB và AD SA AD  SAB  AD AH.
Do đó AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD nên d S ,
B AD  AH .
Tam giác SAB vuông cân tại A nên SB a 2 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 94
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 a 2
AH là đường cao của tam giác SAB nên AH SB  . 2 2 a 2
Vậy d AD, SB  AH  . 2
b) Ta có: BD AC và BD SA BD  SAC  .
Gọi O là tâm của hình vuông cân ABCD .
Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ OK SC, K SC .
Ta có: OK SC và OK BD (do BD  (SAC)) nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC . 1
Suy ra d BD, SC   OK
AI (với I là hình chiếu của A trên SC ). 2
Tam giác ABC vuông tại B nên AC a 2 . 1 1 1 1 1 3 a 6
Xét tam giác SAC vuông tại A , ta có       AI  2 2 2 2 2 2 AI AS AC a 2a 2a 3 a 6
Vậy d BD, SC   . 6
Bài 4. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng
ABC, SB  2a . Tính thể tích khối chóp SABC . Lời giải 2 2 AB 3 a 3
Diện tích tam giác đều ABC : S   .  ABC 4 4 2 3 1 1 a 3 a 3
Thể tích khối chóp SABC là:V   SSB    2a  .  3 ABC 3 4 6
Bài 5. Cho khối lăng trụ đứng ABCA BC
  có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
AC a 2 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 95
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Chiều cao khối lăng trụ đứng là cạnh bên nên h BB  a . Tam giác ABC vuông cân tại B có AC a 2 2 AC 1 a 2  AB   a SAB  .  ABC 2 2 2 2 3 a a Vậy V Sh   a   . ABC 2 2
Bài 6. Cho hình lập phương ABCDA BCD
  có AC  a 3 . Tính thể tích của khối lập phương ABCDA BCD   . Lời giải
Đường chéo của một hình lập phương là d a 3 với a là độ dài cạnh hình lập phương.
Dễ thấy rằng hình lập phương ABCDA BCD
  có AC là đường chéo và cạnh là AB . ACa 3
Do đó: AC  AB 3  AB    a . 3 3
Vậy thể tích khối lập phương là 3 V a .
Bài 7. Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều ABCA BC
  có chiều cao bằng 3a, AB  4a, AB  a . Lời giải 2 2 AB 3 (4a) 3 Diện tích tam giác đều 2 ABC : S    4a 3 . 4 4 '2 2 AB 3 a 3
Diện tích tam giác đều AB C   : S   . 4 4  2 2  3 1 a 3 a 3 21a 3
Thể tích khối chóp cụt: 2 2 V  3a  4a 3  4a 3     . 3  4 4  4  
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 96
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính a 6
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  theo a , biết SA  . 2 Lời giải
Gọi E là trung điểm của BC thì BC AE (vì ABC đều). Ta có BC SA và
BC AE BC  SAE   SBC   SAE .
Trong mặt phẳng SAE , vẽ AF SE F SE .
Suy ra AF  SBC  hay d  ,
A SBC  AF .
Xét SAE vuông tại A : 1 1 1 2 4 2 a 2       AF  . 2 2 2 2 2 2 AF AS AE 3a 3a a 2 a
Vậy d A SBC  2 ,  AF  . 2
2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là trọng tâm của
tam giác ABC, M là trung điểm của SC .
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC .
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAG . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 97
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Do SABC là hình chóp tam giác đều nên SG   ABC  hay d S, ABC  SG . 2 3a 3
b) Tam giác ABC là tam giác đều cạnh 3a nên AG    a 3. 3 2
Tam giác SAG vuông tại G nên 2 2 2 2
SG SA AG  4a  3a  . a
Vậy d S, ABC  a .
d M ,SAG MS 1
b) Vì SC   SAG  S nên  
d C,SAG CS 2  d  1
M , SAG  d C,SAG . 2
Gọi I là trung điểm của BC . Ta có: CB AI và CB SG CB  SAG và CB  SAG  I . a a
Do đó d C SAG 1 3 ,  CI BC
. Vậy d M SAG 3 ,  . 2 2 4
3. Cho hình lập phương ABCD A BCD
  cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và B C   .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B D   . Lời giải B D   cắt A C
  tại O . Gọi P là trung điểm của OC .
Vẽ OH MP, HE / / NP, EF / /OH .
Ta có: d MN, B D
   EF OH .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 98
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a 2 a
Xét tam giác vuông MOP , ta có OM a, OP  , suy ra OH  . 4 3
4. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 11 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và BI . Lời giải
Gọi O là trung điểm AC, J là trung điểm OD .
Vẽ OH BJ , HE / / AC, EF / /OH .
Ta có d AC, BJ   EF OH .
Xét tam giác OBD cân tại O , ta có 33 11 11 2
BD  11, OB OD  , BJ  , S  , OH  2 2 4 OBD  4
5. Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC a 2 , mặt phẳng  SAC  vuông góc
với mặt đáy  ABC . Các mặt bên SAB,SBC  tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Tính
theo a thể tích V của khối chóp SABC . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 99
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Ta có: SAC   ABC và SAC    ABC   AC .
Trong mặt phẳng  SAC  , vẽ SH AC H AC thì SH   ABC .
Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và BC thì SAB  ABC   ,  SIH ,
SBC   ABC  ,  SKH . Mà  
SIH SKH  60 nên HI HK .
Suy ra tứ giác BIHK là hình vuông nên H là trung điểm cạnh AC . aa 3
Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh
và SH HI  tan60  . 2 2 2 3 1 1 a a 3 a 3 Vậy VSSH     S . ABC  . 3 ABC 3 2 (12 112
6. Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SA a 3 , đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và B có AB a, AD  3a, BC a . Tính thể tích khối chóp SBCD theo a . Lời giải 1 1 Ta có: S
AB AD BC   a
a a a . ABCD   3  2 2 2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 100
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 1 1 3a Lại có SAB AD   a  3a   . ABD 2 2 2 2 a Suy ra SSS  BCD ABCD  . ABD 2 2 3 1 1 a a 3 Vậy VSSA    a 3  S .BCD  . 3 BCD 3 2 6 a
7. Cho hình lăng trụ đều ABCA BC
  có cạnh đáy bằng a . Biết d A ABC 57 ,  . Tính V   12 ABCA B 'C Lời giải
Gọi I là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên AI .
Ta có: BC AI và BC AA  BC   A A
I    A B
C    A AI  . Mặt khác:  A A
I   A B
C   A I
 và AH AI . a
Nên d A ABC  57 ,  AH  . 12 2  a 3 a 3
ABC đều cạnh a AI  và S  . 2 ABC 4
Xét tam giác AAI vuông tại A , ta có: 1 1 1 144 4 68 a 57       AA  . 2 2 2 2 2 2 AA AH AI 57a 3a 57a 2 17 2 3 a 3 a 57 a 171 Vậy VSAA    .
ABCAB C   ABC 4 2 17 8 17
8. Một hình hộp chữ nhật ABCDA BCD
  có ba kích thước là 2 cm,3 cm và 6 cm . Tính thể tích của
khối tứ diện ACB D   . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 101
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Ta có: VVVVVV  4VV ABCDAB CD   BAB CDACDA BAD   C BCD   ACB D   BAB CACB D   1 1  VV  4VV  4  VV ACB DABCDAB CD   BAB CABCDA BCD           6 ABCDA B C D 3 ABCDA B C D 1   2  3 6  12  3 cm  . 3
9. Cho hình chóp cụt tam giác đều ABCA BC
  có đường cao HH   2a . Cho biết AB  2a, AB  a . Gọi
B , C lần lượt là trung điểm của AB, AC . Tính thể tích của: 1 1
a) Khối chóp cụt đều ABCA BC
  ; b) Khối lăng trụ AB C AB C   . 1 1 Lời giải 1 2 a 3
a) Áp dụng công thức V
h S SS  S , với 2 S a 3, S  , h  2a , 3 4  2 2 1 a 3 a 3  3 7a 3 ta có: 2 2 V   2a  a 3  a 3     . 3  4 4  6   2 a 3 2 3 a 3 a 3
b) Áp dụng công thức V   S h với S 
, h  2a , Ta có V   , 2a  . 4 4 2
10. Tính thể tích một cái sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 80 cm , đáy
nhỏ có cạnh bằng 40 cm và cạnh bên bằng 80 cm .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 102
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải
Ta có: OC  40 2, O C
   20 2 , suy ra CH  20 2 . Trong tam giác vuông C C  H , ta có: '2 2 C H
CC CH  20 14.
Nên OO  C H   20 14 .
Thể tích của cái sọt đựng đồ là: 1 V
 20 14  6400  64001600 1600 2  279377, 08 cm 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 103
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Góc giữa đườ̀ng thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 90 .
Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a của a trên (P) gọi là góc
giữa đường thẳng a và (P) .
Chú ý: a) Góc  giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thoả mãn 0    90 .
b) Nếu đường thẳng a nằm trong (P) hoặc a song song với (P) thì a, (P)  0 .
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện Góc nhị diện
Cho hai nửa mặt phẳng  P và Q có chung bờ là đường thẳng d . Hình tạo bởi  P , Q và d được 1   1  1  1 
gọi là góc nhị diện tạo bởi  P và Q , kí hiệu P , d,Q . 1 1  1  1 
Hai nửa mặt phẳng  P , Q gọi là hai mặt của nhị diện và d gọi là cạnh của nhị diện 1   1 
Góc phẳng nhị diện
Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện, có hai cạnh lần lượt nằm
trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện. Chú ý:
a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.
b) Nếu mặt phẳng  R vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt  P , Q của góc nhị diện 1   1 
theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì 
uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi  P , Q . 1   1 
c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.
d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.
e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 0 đến 180 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 104
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com B. BÀI TẬP MẪUa
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B . Biết AC a 2 ,  2
BAC  60 , SA  và 2
vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:
a) SB và  ABC . b) SC và  ABC . c) SC và SAB . Lời giải
Trong tam giác ABC vuông tại B , ta có:   a 2
AB  cosBAC AC  cos60  a 2  ; 2   a 6
BC  sin BAC AC  sin60  a 2  . 2 
SA   ABC  a) Ta có:  SB    ABC   . B
AB là hình chiếu của SB trên  ABC . Do đó S ,
B ABC  SB, AB . SA a 2 2
Trong tam giác SAB vuông tại A , ta có:   tanSBA     1  SBA  45 .  AB 2 a 2
Vậy SB ABC   ,  SBA  45 . 
SA   ABC  b) Ta có:  SC  
ABC   C
AC là hình chiếu của SC trên  ABC .
Do đó SC, ABC  SC, AC .
Trong tam giác SAC vuông tại A , ta có:  SA a 2 1 1  tanSCA      SCA  26, 6 AC 2 a 2 2
Vậy SC ABC   ,  SCA  26, 6
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 105
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com BC AB c) Ta có: 
BC  SAB .(1) BC SA
SC  SAB  S .(2)
Từ (1) và 2  SB là hình chiếu của SC trên SAB .
Do đó SC,SAB  SC, SB . 2 2  a 2   a 2  2 2 SB
SA AB        a .  2   2      BC a 6 6
Trong tam giác SBC vuông tại B , ta có:   tan BSC     BSC  50,8 .  SB 2a 2
Vậy SC SAB  ,  BSC  50,8 .
Bài 2. Cho hình lăng trụ đều ABC A BC
  có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AB C
  và  ABC , tính cos . Lời giải
Gọi M , M lần lượt là trung điểm của BC và B C
  . Vẽ đường cao AH của tam giác vuông AAM . Ta có: B C
   AM    B C
    AAM  B C    AA   Mà A H    AA M   nên B C    A H  .(1)
Ta lại có: AH AM . (2)
Từ (1) và (2) suy ra A H    AB C   .(*)
Hơn nữa, AA   ABC  . ** Từ (*) và  **
 suy ra:  ABC, AB C
    A , A A H     . a 3
Trong tam giác đều A BC
  , ta có AM   2 1 1 1 7 a 21
Trong tam giác vuông AAM  , ta có     AH  2 2 2 2 AH AA AM 3a 7
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 106
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com AH a
Trong tam giác vuông AAH , ta có  21 1 21 cos AAH     . AA 7 a 7 Vậy  21
cos  cos AAH  . 7  a
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC   3
, AB AC a, BAC  120 , SA  . Tính số đo của góc 2
phẳng nhị diện S, BC,  A Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC .
Ta có AB AC AM BC .
Mặc khác SC SB( do SAC SAB) nên SCB cân tại S SM BC . Từ (1) và (2) suy ra 
SMA là góc phẳng nhị diện S, BC,  A .  BACa Tacó   MAB
 60 , AM  cosMAB AB  , 2 2
Trong tam giác SMA vuông tại A , ta có:  SA a 3 2  tanSMA     3  SMA  60 .  MA 2 a a
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a, SA  . Gọi 2
O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC . Tính số đo các góc phẳng nhị diện: a) B, S , A D ; b) S, B , DA ; c) S, B , D C; d)  , D SC, B. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 107
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com SA AD a) Ta có  
DAB là góc phẳng nhị diện D, S , A B . SA AB
Tam giác DAC là tam giác đều  AD DC AC a , nên  DAC  60 . Ta có  
DAB  2DAC  2.60  120 . b) Ta có SAD S
AB SD SB . Nên S
BD cân tại S SO BD( do OB OD) .(1)
Ta lại có OA BD . (2) Từ (1) và   
2  SOA là góc phẳng phẳng nhị diện S, B , DA . SA a 2
Trong tam giác SOA vuông tại A , ta có:   tanSOA   
 1  SOA  45 OA 2 a OS BD c) Ta có  
SOC là góc phẳng nhị diện S, B , D C. OC BD  Ta có   
SOC  180  SOA  180  45  135 .
d) Ta có BD AC, BD SA BD  SAC   BD SC hay OD SC SC OD Ta có 
SC  ODH  hay SC   DHB . SC OH  SC DH Nên  
DHB là góc phẳng nhị diện  , D SC, B. SC BHa 5
Trong tam giác SAC vuông tại A , ta có 2 2 SC SA AC  . 2 OH OC SAOC a Ta có   OH   . SA SC SC 2 5 a 3
ADC là tam giác đều nên DO  . 2
Trong tam giác OHD vuông tại O , ta có  OD a 3 2 5  tanOHD   
 15  OHD  75, 5 . OH 2 a  
Vậy DHB  2.OHB  2.75,5  151 .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 108
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Cho hình chóp SABC có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA a 3 và vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa:
a) SB và  ABCD ; b) SC và  ABCD ;
c) SD và  ABCD ; d) SB và  SAC  . Lời giải
SA   ABCD  a) Ta có:  SB  
ABCD  B
AB là hình chiếu của SB trên  ABCD .
Do đó SB, ABCD  SB, AB .
Trong tam giác SAB vuông tại A , ta có:  SA  tanSBA
 3  SBA  60 . AB 
Vậy SB, ABCD  SBA  60 .
b) Tương tự câu a) ta xác định được SC, ABCD  SC, AC . SA 3
Trong tam giác SAC vuông tại A , ta có:   tanSCA    SCA  50,8 . AC 2
Vậy SC ABCD  ;  SCA  50,8 .
c) Tương tự câu a) ta xác định được S ,
D ABCD  S , D AD . SA
Trong tam giác SAD vuông tại A , ta có:   tanSDA
 3  SDA  60 . AD
Vậy SD ABCD  ,  SDA  60 . BD AC d) Ta có: 
BD  SAC  hay BO  SAC  .(1) BD SA
Mà SB  SAC  S .(2)
Từ (1) và (2) suy ra SO là hình chiếu của SB trên  SAC  .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 109
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Do đó: S ,
B SAC  SB, SO . 1 a 2
Trong tam giác SBO vuông tại O , ta có BO BD  , SB  2a . 2 2  BO 2   sin BSO    BSO  20, 7 .  SB 4
Vậy SB SAC   ,  BSO  20, 7 .
2. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB . Biết rằng mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S .
Xác định và tính góc giữa:
a) SA và  ABC ; b) SC và SAB . Lời giải
Vì AI là hình chiếu của SA trên  ABC . Do đó S ,
A ABC   S , A AI  .
Vì tam giác SAI vuông cân tại 
I SAI  45 .
Vậy SA ABC   SA AI   , ,  SAI  45 . 3 3
b) Ta có tam giác ABC đều nên CI AB, CI  . 2 CI AB  Ta có:  . (1)    CI SAB CI SI SI    ABC    do 
Mà SC  SAB  S . (2)
Từ (1) và 2  SI là hình chiếu của SC trên SAB .
Do đó SC,SAB  SC, SI  .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 110
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 3
Trong tam giác SAB vuông tại S, SI AB  . 2 2 IC
Trong tam giác SCI vuông tại I , ta có   tanCSI   3  CSI  60 SI
Vậy SC SAB  ,  CSI  60 . a 15
3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng . Tính số đo góc phẳng 6
nhị diện S, BC,  A . Lời giải
Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có SG   ABC , SM BC, AM BC , suy ra 
SMG là góc phẳng nhị diện S, BC,  A Ta tính được a 3 a 3 a 6 a 3 2 2 2 2 AM  , GM  , SM SB BM  , SG SM GM  2 6 6 6
Ta có tam giác SMG vuông cân tại G , suy ra số đo góc phẳng nhị diện S BC A  , ,  SMG  45 .  a
4. Cho hình chóp SABC có SA  ( ABC ). Tam giác ABC vuông tại A ,  3
ABC  30 , AC a, SA  . 2
Tính số đo góc phẳng nhị diện S, BC,  A . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 111
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Vẽ AH BC H BC  , ta có SH BC , suy ra 
SHA là góc phẳng nhị diện S, BC,  A . Ta có  a 3
AH AC  sin60   SA , suy ra  SHA  45 . 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 112
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII
Phần 1: Bài tập sách giáo khoa
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1:
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy. Đường
thẳng CD vuông góc với mặt phẳng nào sau đây? A. SAD . B. SAC  . C. SAB . D. SBD . Lời giải Chọn A
Ta có: SA   ABCD  SA  D
C . ABCD là hình vuông  CD  AD  D C  S D A Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
b SA vuông góc với mặt đáy,
SC  2b 2 . Số đo góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 50 . Lời giải Chọn A
SA   ABCD   SC ABCD   SC AC   , ,  SCA AC 1  ABCD là hình vuông 2 2  AC
AB BC b 2 cosSCA    SCA  60 SC 2
Vậy SC, ABCD  60 Chọn A.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 113
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a . Gọi M là trung điểm của
SA . Mặt phẳng MBD vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. SBC  . B. SAC  . C. SBD .
D. ABCD . Lời giải Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có: SO   ABCD . Suy ra: SO BD Mà BD AC
nên BD  SAC
Suy ra MBD  SAC Câu 4:
Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 2 . Khoảng
cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên là a 14 a 2 a 14 2a 14 A. . B. . C. . D. . 7 7 2 7 Lời giải Chọn A
Gọi I là trung điểm của BC , kẻ OH SI H SI  .
ABC là tam giác đều  AI BC
SO   ABC  SO BC
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 114
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BC  SAI   BC OH Mà OH SI
OH  SBC   d O,SBC   OH AB 3 1 a 3
ABC là tam giác đều  AI
a 3  OI AI  2 3 3 . SO OI a 14
SO a 2  OH   2 2 7 SO OI Câu 5:
Thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a , cạnh đáy nhỏ bằng a và chiều a 6 cao bằng là 3 7 2 2 7 2 7 3 A. 3 a . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 8 4 12 4 Lời giải Chọn C 3 Diện tích đáy nhỏ là: 2  a 4 3 Diện tích đáy lớn là: 2 2
 (2a)  3a 4 Thể tích khối chóp là: a 6  3 3  7 2 3 2 2 2 2 3   a
a  3a  3a    a 3  4 4  12   Câu 6:
Cho chóp tứ giác S ABCD . có đáy là hình chữ nhật với AB  4a, AD  3a . Các cạnh bên đều
có độ dài 5a . Góc nhị diện S, B , C
A có số đo là A. 75 46   . B. 7121 . C. 6831 . D. 65 12   . Lời giải Chọn D
Gọi M là trung điểm BC .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 115
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 5 Ta có: 2 2 OM
AB  2a; AC AB BC  5a; OC AC a 2 2 2 5 3 2 2
SO SC OC a 2
S, BC,   A SMOSO 5 3  tanSMO  
Suy ra : SMO  65, 2 OM 4 Câu 7:
Nếu hình hộp chũ̃ nhật có ba kích thước là 3; 4; 5 thì độ dài đường chéo của nó là A. 5 2 . B. 50. C. 2 5 . D. 12. Lời giải Chọn A
Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật là: 2 2 2 3  4  5  5 2 Câu 8:
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là 3 a 3 3 a 3 3 a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 2 Lời giải Chọn A 2 a  3 2 3 a  3 a  3 Diện tích mặt đáy là:
Thể tích khối lăng trụ là: a   4 4 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 9:
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với
nhau. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AD .
a) Chứng minh rằng SMD   SNC .
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC). Lời giải
Gọi I CN DM
SAB đều  SM AB
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 116
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Mà  SAB   ABCD,SAB   ABCD  AB
SM   ABCD  SM CN  D
A M  ΔDCN  c.g.c    A D M CND  
Mà AMD ADM  90       
CND ADM  90  NID  180  CND ADM   90  CN DM SM CN  
  CN   S D M  CN DM
   SNC    S D M CNSNC   
b) Kẻ MH SI H SI CN  S D
M   CN MH
MH  SNC  d M ,SNC  MH Δ D
C N vuông tại D có đường cao DI 1 a a 5 CD  DN a 5 2 2 DN AD  , CN CD  DN  , DI   2 2 2 CN 5 a 5 3a 5 DM CN
MI DM DI  2 10 AB 3 a 3
ΔSABđều  SM   2 2
ΔSMI vuông tại M có đường cao MH SM MI 3a 2  MH   2 2 8 SM MI
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh ,
a SA   ABCD và SA a . Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm của SB, SC và SD . Tính khoảng cách giữa AM và NP . Lời giải
SA  SBCD nên SA BC
Mà BC AB nên BC  SAB 1 a
Tam giác SBC có MN là đường trung bình nên M N / /BC, MN BC  2 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 117
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Suy ra: MN  SAB và MN AM
Tam giác SCD có NP là đường trung bình nên NP / /CD
M à M N / / BC, BC CD
Suy ra MN NP a
Vậy d AM , NP   MN  2
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB AD  2a ; CD a
; số đo góc nhị diện S, B , C
A bằng 60 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng
SBI và SCI  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC
D . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải
SBI    ABCD   
SCI    ABCD   SI   ABCD
SBI  SCI SI    
Kẻ IH BCH BC
SI   ABCD  SI BC
BC  SIH   BC SH Vậy  
A H I là góc nhị diện S BC   ,
, A AHI  60 1 SAB CAa ABC  D  2 D 3 D 2 1 AI  D I  D Aa 2 2 1 1 a 2 S
AB AI a , SCD  D IAIB D 2 CI 2 2 2 3aSSSSBIC ABCD AIB D CI 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 118
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Gọi M là trung điểm của AB 1 2 2  BM
AB a, CM AD  2a BC BM CMa 5 2 2 S 3a 5 a BIC  3 15  IH  
SI IH  tanSHI BC 5 5 3 1 3a 15 VSSI S . ABCD ABCD 3 5
Câu 12: Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a , cạnh đáy a
nhỏ bằng a , chiều cao h  2a và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng . 2
a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
b) Tính thể tích chân cột nói trên theo a . Lời giải
Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD AB CD
  với O, O là tâm
của hai đáy. Vậy AB  2a, AB  a, OO  2a .
Gọi M , M  lần lượt là trung điểm của CD, C D   . AB C  D
  là hình vuông  O M    C D   CDD C
  là hình thang cân  MM   C D   Vậy  MM O
  là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ,  M M
O là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn. Kẻ M H
  OM H OM OMM O
  là hình chữ nhật a aOH O M   
,OM a, MH OM OH  2 2  M H  tanM MO    4 MH       M MO   75, 96  MM O
   180  M MO   104, 04
b) Diện tích đáy lớn là: 2 2 S AB  4a Diện tích đáy bé là: '2 2
S  AB a
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 119
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 3 1 1 14a
Thể tích hình chóp cụt là: V
h S SS  S   2a  2 2 2 2
4a  4a  a a  1  3 3 3 2 3  a   a
Thể tích hình trụ rỗng là: 2
V   R h     2a  2    2  2  14   Thể tích chân cột là: 3
V V V   a . 1 2    3 2 
Câu 13: Cho hình hộp ABC . D AB CD
  có cạnh bên AA  a , đáy ABCD là hình thoi có AB BD a .
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đáy trùng với điểm O là giao điểm hai đường chéo của
đáy. Tính thể tích của khối hộp. Lời giải
AB BD  AD  a  ABD đều   D BA  60 AB 3 a 3
O là trung điểm của BD AO   2 2
AA   ABCD  AA  AO a '2 2  AO AA AO  2  2 a 3 SAB  D A sin B D AA D BC 2 3 a 3 VSA O  
ABCDAB CD   A D BC 4
Phần 2: Bài tập sách bài tập A. TRẮC NGHIỆM
1. Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cùng vuông
góc với đường thẳng thứ hai.
B . Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 120
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Chọn A
2. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d    thì d vuông góc với hai đường thẳng trong   .
B . Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong   thì d    .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong   thì d vuông góc với bất
kì đường thẳng nào nằm trong   .
D. Nếu d    và đường thẳng a / /   thì d a . Lời giải Chọn B
3. Cho tứ diện ABC D . Vẽ AH   BCD  . Biết H là trực tâm tam giác B C D . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB C D .
B. AC BD .
C. AB CD .
D. CD BD . Lời giải Chọn C
4. Cho hình chóp SABC D có đáy ABC D là hình vuông, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi , E F lần
lượt là hình chiếu của A lên S ,
B SD. Khằng định nào sau đây sai?
A. SC EF .
B. SC AE .
C. SC AF .
D. SC BC . Lời giải Chọn D
5. Cho hình chóp SABC D đáy là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh bên SA  2 a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?   A.   60 . B.   75 . C. tan  1 . D. tan  2 . Lời giải Chọn D
6. Cho tứ diện ABC D có cạnh A , B B ,
C BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và  BCD  là góc  ACB . 
B. Góc giữa AD và  ABC  là góc ADB .
C. Góc giữa AC và  ABD  là góc  ACB .
D. Góc giữa CD và  ABD  là góc  CBD . Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 121
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
7. Cho hình chóp SABC có đáy A B C là tam giác vuông cân tại A và AB a 2 . Biết SA   ABC  và
S A a Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B
8. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
A. Song song với nhau. B. Trùng nhau.
C. Không song song với nhau.
D. Hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Lời giải Chọn D
9. Cho hình lăng trụ tam giác đều A B C AB C
  có tất cả các cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến mặt
phẳng  ABC  bằng a a 6 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 7 4 Lời giải Chọn C
10. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC D là hình chữ nhật, AB  2 ,
a BC a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD . Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng BE và SC . a 30 a 3 a 15 A. . B. . C. . D. a . 10 2 5 Lời giải Chọn A
11. Cho hình chóp SABC D có đáy là hình chữ nhật với AB  2 ,
a AD a . Tam giác SAB là tam giác cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng SBC  và  ABCD bằng 45 .
Khi đó thể tích khối chóp S . A B C D là 3 3 1 3 2 A. a . B. 3 a . C. 2a . D. 3 a . 3 3 3 Lời giải Chọn D
12. Cho khối chóp SABC D có đáy là hình chữ nhật AB a, AD a 3, SA vuông góc với đáy và SC tạo
với mặt phẳng SAB  một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 2a 6 3 a 6 3 4a A. V  . B. V  . C. 3 V  2 6a . D. V  . 3 3 3 Lời giải Chọn A
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 122
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
13. Cho lăng trụ đứng A B C AB C
  có đáy tam giác A B C vuông tại ,
B AB  2a , BC a, AA  2a 3 .
Thể tích khối lăng trụ ABC AB C   là 3 2a 3 3 4a 3 A. 3 4a 3 . B. 3 2a 3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn B
14. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCDAB CD
 . V là thể tích của tứ diện AABD . Hệ thức 1 nào sau đây là đúng?
A. V  6V .
B. V  4V .
C. V  3V .
D. V  2V . 1 1 1 1 Lời giải Chọn A B. TỰ LUẬN
1. Cho tứ diện O A B C có O , A O ,
B OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của điểm O
trên mặt phẳng  ABC  . Chứng minh rằng:
a) BC  OAH  .
b) H là trực tâm của  A B C . 1 1 1 1 c)    . 2 2 2 2 OH OA OB OC Lời giải
a) Ta có BC OH, BC OA , suy ra BC  OAH  .
b) Gọi E AH B ,
C F BH AC .
Theo câu a ta có: BC   AOH   BC AH BC AE. (1)
Chứng minh tương tự ta có: AC   BOH   AC BF . (2)
Từ (1) và (2)  H là trực tâm tam giác A B C .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 123
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 1 1 1
c) Tam giác vuông A O E có:   . (3) 2 2 2 OH OA OE 1 1 1
Tam giác vuông B O C có:   .(4) 2 2 2 OE OB OC 1 1 1 1 Thay (4) vào (3) ta được    . 2 2 2 2 OH OA OB OC
2. Cho tứ diện ABC D có hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  cùng vuông góc với  DBC  . Vẽ các đường cao B ,
E DF của tam giác B C D , đường cao D K của tam giác A C D .
a) Chứng minh hai mặt phẳng  ABE  và  D F K  cùng vuông góc với  AD C  .
b) Gọi O và H là trực tâm  B C D và  A C D . Chứng minh O H vuông góc với  AD C  . Lời giải
a) Ta có  ABC    ABD   AB ,  ABC    DBC ,  ABD    DBC  ,
Suy ra AB   DBC  .
Ta có: CD BE , CD AB CD   ABE  .
Mà C D   ACD  nên  ADC    ABE  .(1)
Ta lại có: DF BC , DF AB DF   ABC   DF AC .
Mặt khác D K A C nên AC   DFK  .
M à AC   ACD  nên 
ADC    DFK . (2)
Từ (1) và (2) suy ra  ABE  và  D F K  cùng vuông góc với  AD C  .
b) Ta có O là giao điểm của hai đường cao BE và DF, H là giao điểm của hai đường cao AE và D K .
Ta có:  ABE    ADC ,  DFK    ADC  và  ABE    DFK   OH OH   ADC  .
3. Cho hình chóp S A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC
bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng S A và BC theo a . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 124
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Áp dụng định lí côsin trong  AH C : 2 2 2 
CH AC AH  2AC AH CAH 2 2  2a  2a  7a a 7 2  a   2 a  cos60   CH  1    3  3 9 3
Ta có: SH   ABC   HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng  ABC  . 
Suy ra SC, ABC  SC, HC 
SCH  60  do  SCH  90  .  a 7 a 21
Trong  SC H vuông tại H có: SH CH  tan60   3  . 3 3
Dựng hình bình hành AC BD . Ta có:  BC / / AD
BC / / SAD.
AD   SAD  3
Nên d BC, SA  d BC,SAD  d B,SAD  d H,SAD 2
Gọi E là trung điểm của AD BE AD .
Từ H kẻ HI / / BE I AD   HI AD .
Vẽ HK SI K SI  .  AD HI Ta có: 
AD  SHI   AD HK . AD SH
Suy ra HK  SAD  hay d H,SAD  HK .  2a 3 a 3
Trong  AHH vuông tại I , ta có: HI HAsin60    . 3 2 3
Trong  SIH vuông tại H , ta có: 1 1 1 9 9 24      2 2 2 2 2 2 HK HS HI 21a 3a 7a a 42  HK  . 12
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 125
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com a 42
Từ (1), (2), (3) suy ra: d BC, S A  . 8
4. Cho khối chóp tam giác SABC có SA   ABC  , tam giác A B C có độ dài 3 cạnh là AB  5 , a BC  8 ,
a AC  7a, góc giữa SB và  ABC  là 45 . Tính thể tích khối chóp SABC . Lời giải
AB AC BC
Ta có nửa chu vi  A B C là p   10a. 2
Diện tích  A B C là 2 S
10a  5a  3a  2a  10 3a .  ABC  
Ta có SA   ABC  nên SA A B và SBA  S ,
B ABC  45
Suy ra  SAB vuông tại A nên SA AB  5 a. 1 1 50 3
Thể tích khối chóp SABC là 2 3 VSAS
 5a 10 3a a . SABC  3 ABC 3 3
5. Cho hình lăng trụ đứng A B C AB C
  có đây A B C là tam giác vuông tại B . Biết AB a, BC a 3 ,
góc giữa hai mặt phẳng C A
B  và  ABC  bằng 60 . Tính V ABCAB C   Lời giải AB BC Ta có: 
AB   BCC  AB C B  . AB CC  Khi đó:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 126
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
CB AB, C B
  AB, ABC  C AB  AB,
  ABC,C AB   CBC  60 2 1 a 3 SAB BC
và CC  BC  tan60  3 . aABC 2 2 3 3a 3 Vậy VCC SABCA BC    . ABC 2
6. Cho khối lăng trụ đứng  A B C AB C
  có đáy A B C là tam giác cân với AB AC a ,  BAC  120 , mặt phẳng  AB C
  tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. Lời giải
Do AA   AB C
  nên kẻ AI B C
   I B C   .  Suy ra:  AB C
   AB C    ,  A IA  60 .  a Xét 
AIB : AI AB c  osB A
 I a  cos60  . 2  aa 3
Suy ra: AA  A I   tan A IA   tan60  . 2 2 3 1  a 3 1 3 3a Khi đó: 2 VAA SAA
AB AC sin120    a   . ABCA BC   ABC 2 2 2 2 8
7. Cho hình hộp đứng ABC D AB CD
  có đáy A B C D là hình thoi cạnh 2 a . Mặt phẳng  B AC  tạo với a
đáy một góc 30 , khoảng cách từ B đến mặt phẳng  D AC  bằng
. Tính thể tích khối tứ diện AC B D   2 . Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 127
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Gọi O AC B D . Ta có:  AC BD
AC   BB D
   AC B . O AC BB 
Khi đó: BO AC , B O
AC ,  ABCD    B A
C   AC ,  B A
C  ABCD  BO OB  , ,  B OB  30 . a
Dễ thấy d B, D A
C   d D, D AC   . 2 AC   BB DD     D A
C    BB DD   và  D A
C    BB DD    D O  . a
Từ D kẻ DH D O
H DO  ,suy ra d D, D A
C   DH  . 2 AC   BB DD     D A
C    BB DD   và  D A
C    BB DD    D O  .
Từ D kẻ DH D O
H DO  , a
suy ra d D, D A
C   DH  . 2  BB Xét B BO : tan30 
OD BO  3BB . BO 1 1 1 4 1 1 Xét  a D DO :       DD   OB a . 2 2 2 2 2 2 HD OD D Da 3B BD D  3 BI 1
Gọi: I B D B O  , suy ra  . D I  2
d D ,B A
C  2d  , B B AC V  2V . ACB D   B ABC Mà 2 2 2 2 OA AB OB
4a a a 3 . 1 2  S  2S  2 
OB OA a 3 .  ABCABO 2 3 1 1 a a 3 2a Suy ra: 2 V   BB S    a 3  BABC  . Vậy V  . 3 ABC 3 3 3 ACB D   3
8. Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là
6 0 c m và 1 2 0 c m , cạnh bên của thùng dài 1 0 0 c m . Tính thể tích của thùng. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 128
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Kẻ C H
AC H AC  . 2 2 120 120 2 2 60  60 Có O C     60 2 , OC   30 2. 2 2  CH O C
   OC  30 2 h
Áp dụng công thức V   11 S SSS , 3 với '2 2 2 2 h C H
CC CH  100  (30 2)  10 82 , 2 2
S  120 , S   60 10 82 Ta có:V   2 2
120 120.60  60   84000 82  3 cm . 3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 129
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com CHƯƠNG IX. XÁC SUẤT
BÀI 1. BIẾN CỐ GIAO VÀ QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B . Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu AB hoặc A B được gọi là biến cố
giao của A và B .
Chú ý: Tập hợp mô tả biến cố AB là giao của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B . Biến cố AB xảy
ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B xảy ra.
2. Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.
Chú ý: Hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi A B   .
3. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng
tới xác suất của biến cố kia.
Nhận xét: Nếu hai biến cố A và B độc lập thì A và ;
B A và B; A và B cũng độc lập.
4. Quy tắc nhân xác suất của hai biến cố độc lập
Nếu hai biến cố A và B độc lập thì P AB  P AP B .
Chú ý: Từ quy tắc nhân xác suất ta thấy, nếu P AB  P AP B thì hai biến cố A và B không độc lập. B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Hộp thứ hai chứa 6 viên bi
cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 6. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Gọi A là biến cố “
Tổng các số ghi trên 2 viên bi bằng 8”, B là biến cố “Tích các số ghi trên 2 viên bi là số chẵn”.
a) Xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Hãy tính xác suất của biến cố AB .
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 130
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
c) Tính xác suất của biến cố A và biến cố B .
d) A và B có là hai biến cố độc lập không?
e) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B . Lời giải
a) Không gian mẫu của phép thử là   
i; ji,1 i  4,1 j  
6 , trong đó kí hiệu i; j là kết quả
viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất được đánh số i , viên bi lấy ra từ hộp thứ hai được đánh số j .
b) Số phần tử của không gian mẫu là n   4.6  24 .
Khi đó biến cố AB  
 2;6;4;4 nên số kết quả thuận lợi cho AB là nAB  2 . n AB 2 1
Xác suất của biến cố AB là: P AB    . n  24 12 c) Ta có A  
 2;6;3;5;4;4 nên số kết quả thuận lợi cho A là nA  3. n A 3 1
Xác suất của biến cố A là P A    . n  24 8
Biến cố đối của biến cố B là B : “Tích các số ghi trên hai viên bi là số lẻ”. Biến cố B xảy ra khi cả hai
viên bi lấy ra đều ghi số lẻ. Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố B là n B   2.3  6 . n B 6 1
Xác suất của biến cố B là P B    . n  24 4
Xác suất của biến cố B là P B   P B 3 1  . 4 1 3 3
d) Ta có P AP B  . 
. Suy ra P AB  P AP B nên A và B không là hai biến cố độc lập. 8 4 32
e) Gọi C là biến cố “Cả hai viên bi lấy ra đều ghi số 2”. Biến cố C xung khắc với A nhưng không xung khắc với B .
Bài 2. Một hộp chứa 99 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 99. Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi
A là biến cố “ Số ghi trên thẻ được chia hết cho 2”, B là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 5”.
a) Bình nói AB là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 10”. Bình nói như vậy đúng hay sai? Tại sao?
b) Hai biến cố A và B có độc lập không? Tại sao? Lời giải
a) Bình nói đúng. Vì nếu số ghi trên thẻ vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 10. 49
b) Từ 1 đến 99 có 49 số chia hết cho 2 nên xác suất của biến cố A là P A  . 99 19
Từ 1 đến 99 có 19 số chia hết cho 5 nên xác suất của biến cố B là P B  . 99 9 1
Từ 1 đến 99 có 9 số chia hết cho 10 nên xác suất của biến cố AB là P AB   . 99 11
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 131
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Vậy P AP B  P AB . Do đó, hai biến cố A và B là không độc lập.
Bài 3. Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P A  0,3 và P B  0, 7 . Hãy tính xác suất của các biến cố AB, AB và AB .
b) Biết P A  0,8 và P AB  0, 4 . Hãy tính xác suất của các biến cố B, AB và AB . Lời giải
a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là: P AB  P AP B  0,3.0, 7  0, 21 .
Vì A là biến cố đối của A nên P A  1 P A  0,7 . Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất
của biến cố AB là P AB  P AP B  0,7.0,7  0, 49 .
Vì B là biến cố đối của B nên P B  1 P B  0,3. Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của
biến cố AB là P AB  P AP B   0,7.0,3  0, 21. P AB 0, 4
b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên P B    0, 5 . P A 0,8
Vì A là biến cố đối của A nên P A  1 P A  0, 2 . Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất
của biến cố AB là P AB  P AP B  0, 2.0,5  0,1 .
Vì B là biến cố đối của B nên P B  1 P B  0,5. Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của
biến cố AB là P AB  P AP B   0, 2.0,5  0,1.
Bài 4. Minh gieo 1 hạt đậu và 1 hạt ngô. Xác suất nảy mầm của hạt đậu và hạt ngô lần lượt là 0,7 và 0,6.
Biết rằng sự nảy mầm của hai hạt này là độc lập. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:
a) “ Cả 2 hạt đều nảy mầm”;
b) “ Cả hai hạt đều không nảy mầm”;
c) “ Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô không nảy mầm”. Lời giải
Ta có sơ đồ hình cây như sau: Kết quả Xác suất Hạt đậu nảy
Hạt ngô nảy Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô 0,42 0,7 mầm 0,6 mầm nảy mầm 0,4 Hạt
ngô Hạt đậu nảy mầm, hạt ngô 0,28 không nảy không nảy mầm mầm Hạt đậu
Hạt ngô nảy Hạt đậu không nảy mầm, 0,18 0,3 không nảy 0,6 mầm hạt ngô nảy mầm mầm 0,4 Hạt
ngô Hạt đậu không nảy mầm, 0,12 không
nảy hạt ngô không nảy mầm mầm
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 132
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Xác suất cả 2 hạt đều nảy mầm là 0,42.
b)Xác suất cả 2 hạt đều không nảy mầm là 0,12.
c) Xác suất hạt đậu nảy mầm, hạt ngô không nảy mầm là 0,28.
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Một hộp chứa 4 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. Các cây bút có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra
ngẫu nhiên 3 cây bút từ hộp. Gọi A là biến “Có 1 cây bút đỏ trong 3 cây bút được lấy ra”. Gọi B là biến
cố “Có 1 cây bút đen trong 3 cây bút được lấy ra”.
a) Hãy tìm một biến cố xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B .
b) Tính xác suất của các biến cố , A B và AB . Lời giải
a) Biến cố “Lấy ra được 1 bút đen và 2 bút xanh” xung khắc với biến cố A nhưng không xung khắc với biến cố B . 1 2 C C
b) P A  P B 1 5   0,5 3 C6
AB là biến cố “Lấy ra được 1 bút xanh, 1 bút đen và 1 bút đỏ. 1 1 1 C C C
Do đó P AB 4 1 1   0, 2 . 3 C6
2. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ 2 chứa 1 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Các
viên bi cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi.
Gọi A là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”; B là biến cố “Cả 2 viên bi lấy ra từ
hộp thứ hai có cùng màu”.
a) Minh nói AB là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ”. Minh nói đúng hay sai? Tại sao?
b) So sánh P AB với P AP B .
c) Hãy tìm một biến cố khác rỗng, xung khắc với cả biến cố A và biến cố B . Lời giải
a) Minh nói sai vì nếu lấy ra từ hộp thứ nhất 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ; lấy ra từ hộp thứ hai 1 viên bi
xanh, 1 viên bi đỏ thì trong 4 viên bi lấy ra có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ nhưng cả hai biến cố A và B đều không xảy ra. 2 2 2 2 2 2 C C C C C C b) P A 4 4   0, 6; P B   0,5; P AB   0,3 . 2 2   5 3 2 2   4 3 2 2 C C C C C C 5 4 5 4 5 4
Vậy P AP B  P AB .
c) Gọi C là biến cố “Lấy ra từ mỗi hộp 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ”. Biến cố C xung khắc với cả hai biến
cố A và B .
3. Một hộp chứa 50 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi A
là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 4”, B là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 6”.
a) Giang nói AB là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 24”. Giang nói như vậy đúng hay sai? Tại sao?
b) Hai biến cố A và B có độc lập không? Tại sao? Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 133
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Giang nói sai vì nếu lấy được thẻ ghi số 12 thì cả hai biến cố A và B xảy ra nhưng 12 không chia hết cho 24. 12 8
b) P A  ; P B  . 50 50 4
AB là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 12” nên P AB  . 50
Vì P AP B  P AB nên A và B không là hai biến cố độc lập.
4. Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P A  0, 4 và P B  0,1. Hãy tính xác suất của các biến cố AB, AB và AB .
b) Biết P A  P B  0,8 và P AB  0,16 . Hãy tính xác suất của các biến cố B, AB và AB . Lời giải
a) P A  1 P A  0,6; P B   1 P B  0,9 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0, 06 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0,04 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0,36 .
b) P A  P B  0,8 và P AB  P AP B  0,16 . Suy ra P A  P B  0, 4 .
P A  1 P A  0,6; P B   1 P B  0,6 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0, 24 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0,36 .
5. Minh mua 2 bóng đèn. Theo một kết quả thống kê, tỉ lệ bị hỏng trong năm đầu sử dụng của loại bóng
đèn Minh mua là 23%. Tính xác suất của các biến cố:
A : “Cả hai bóng đèn đều bị hỏng trong năm đầu sử dụng”;
B : “Cả hai bóng đèn đều không bị hỏng trong năm đầu sử dụng”. Lời giải
Do tỉ lệ bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 23% nên xác suất 1 bóng bị hỏng trong năm đầu sử dụng là 0,23.
P A  0, 23.0, 23  0,0529; P B  1 0, 231 0, 23  0,5929
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 134
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B . Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A B , được gọi là biến cố hợp của
A và B .
Chú ý: Biến cố A B xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Tập hợp mô tả biến cố
A B là hợp của hai tập hợp mô tả biến cố A và biến cố B .
2. Quy tắc cộng xác suất
Quy tắc cộng cho hai biến cố xung khắc:
Cho hai biến cố xung khắc A và B . Khi đó P A B  P A  P B
Quy tắc cộng cho hai biến cố bất kì:
Cho hai biến cố A và B . Khi đó P A B  P A  P B  P AB . B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Một hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng.
Chọn ra ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Cả 4 viên bi lấy ra đều có cùng màu";
b) "Có ít nhất 3 viên bi xanh trong 4 viên bi lấy ra". Lời giải
a) Gọi A là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra đều có cùng màu xanh", B là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra có
cùng màu đỏ". Vì chỉ có 3 viên bi màu vàng nên A B là biến cố "Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu". Do 4 4 C C 2
A và B là hai biến cố xung khắc nên P A B  P A  P B 4 5    . 4 4 C C 165 12 12
b) Gọi C là biến cố "Có 3 viên bi xanh trong 4 viên lấy ra". Khi đó A C là biến cố "Có ít nhất 3 viên bi
xanh trong 4 viên bi lấy ra". Do A và C là hai biến cố xung khắc nên 4 3 1 C C C 1
P A C   P A  P C  4 4 8    . 4 4 C C 15 12 12
Bài 2. Mai, Lan và 5 bạn cùng lớp xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất của
biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng". Lời giải
Số cách xếp 7 người thành một hàng ngang là 7 !.
Gọi A là biến cố "Mai đứng ở đầu hàng", B là biến cố "Lan đứng ở đầu hàng".
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 135
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2  6! 2
Xác suất của biến cố A là P A   . 7! 7 2  6! 2
Xác suất của biến cố B là P B   . 7! 7 2.5! 1
Xác suất của biến cố "Hai bạn Lan và Mai đứng ở hai đầu hàng" là: P AB   . 7! 21
Xác suất của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Mai và Lan đứng ở đầu hàng"là: 2 2 1 11
P A B  P A  P B  P AB     . 7 7 21 21
Bài 3. Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P A  0,8 và P AB  0, 2 . Tính xác suất của biến cố A B .
b) Biết P B  0,3 và P A B  0, 6 . Tính xác suất của biến cố A . Lời giải P AB 0, 2
a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên P B    0, 25. P A 0,8
Xác suất của biến cố A B là P A B  P A  P B  P AB  0,85 .
b) Do P A B  0, 6 nên P A  P B  P AB  0, 6 .
Theo giả thiết ta có P B  0,3 nên P A  P AB  0,3 .
Do A và B là hai biến cố độc lập nên P AB  P AP B  0,3P A .
Suy ra 0, 7P A  0,3 . 0, 3 3
Vậy xác suất của biến cố A là P A   . 0, 7 7
Bài 4. Một nhóm gồm 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm. Sử
dụng sơ đồ hình cây, hãy tính xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn". Lời giải Ta có sơ đồ hình cây:
3 nữ, 2 nam 4 nữ, 1 nam 5 nữ 3 2 C C 4 1 C C 5 C 12 8 12 8 12
Xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 học sinh nữ trong 5 học sinh vừa chọn" là 3 2 4 1 5
C C C C C 682 12 8 12 8 12  . 5 C 969 20
Bài 5. Một hộp chứa 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 20. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời
2 thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6". Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 136
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
a) Gọi A là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 4". Biến cố A xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 1 1
1 và 2. Do đó P A   . 2 C 190 20
Gọi B là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lớn hơn 37 ". Biến cố B xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 2 2
20 và 18 hoặc 20 và 19. Do đó P B   . 2 C 190 20
Do A và B là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 3
4 hoặc lớn hơn 37 là P A B  P A  P B  . 190
b) Gọi D là biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết cho 6 ".
Do có 3 thẻ chia hết cho 6 nên xác suất của biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra không có thẻ nào ghi số chia hết cho 6 "là 2
P DC 68 17   . 2 C 95 20
Vậy xác suất của biến cố D là P D   P D 27 1  . 95
Gọi E là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6 nhưng không có thẻ nào ghi số chia hết
cho 6". Biến cố E xảy ra khi trong hai thẻ lấy ra có một thẻ ghi số chẵn nhưng không chia hết cho 3 (có 7
thẻ như vậy) và thẻ còn lại ghi số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6 (có 3 thẻ như vậy). 7.3 21
Vậy xác suất của biến cố E là P E    2 C 190 20
Do D và E là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6 "là 15
P D E   P D  P E   . 38
C. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP
1. Trong một cuộc gặp mặt có 63 đoàn viên tham dự, trong đó có 25 người đến từ miền Bắc, 19 người đến
từ miền Nam và 19 người đến từ miền Trung.
a) Gặp ngẫu nhiên 1 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tính xác suất của biến cố "Đoàn viên được gặp đến từ
miền Nam hoặc miền Trung".
b) Gặp ngẫu nhiên 2 đoàn viên trong cuộc gặp mặt, tính xác suất của biến cố "Hai đoàn viên được gặp
cùng đến từ miền Bắc hoặc cùng đến từ miền Nam". Lời giải 19 19 38 2 2 C C 157 a)  ; b) 25 19   . 63 63 2 2 C C 651 63 63
2. Một túi chứa 2 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra
ngẫu nhiên 3 viên bi từ túi. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Cả 3 viên bi lấy ra đều có cùng màu";
b) "Có không quá 1 viên bi xanh trong 3 viên bi lấy ra";
c) "Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra". Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 137
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 3 3 C C 11 3 2 C 2C 14 a) 5 3   ; b) 8 8   . 3 3 C C 120 3 3 C C 15 10 10 10 10
c) Gọi A là biến cố "Có đúng hai màu trong 3 viên bi lấy ra". Biến cố đối của biến cố A là biến cố
B C với B là biến cố "Cả 3 bi lấy ra đều có cùng màu" và C là biến cố " 3 viên bi lấy ra có đủ cả 3 11 1
màu". Ta có P B 
; P C   . 120 4 41
Do B và C là hai biến cố xung khắc nên P B C   P B  P C   . 120 41 79
Vậy P A  1  . 120 120
3. Thanh có 4 tấm thẻ được đánh số 1, 3, 4, 7 . Thanh lấy ra 3 trong 4 thẻ và xếp chúng thành một hàng
ngang một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số có 3 chữ số. Tính xác suất của biến cố A : "Số tạo thành chia hết cho 2 hoặc 3 ". Lời giải
Số các số có 3 chữ số có thể tạo thành là 24 số.
Gọi B là biến cố "Số tạo thành chia hết cho 2 ".
Biến cố B xảy ra khi chữ số hàng đơn vị của số tạo thành là 4. 6
Có thể xếp được 3.2  6 số chia hết cho 2. Do đó P B  . 24
Gọi C là biến cố "Số tạo thành chia hết cho 3 ". Biến cố C xảy ra khi 3 chữ số của số tạo thành là 1; 4; 7 . 6
Có thể xếp được 3.2  6 số chia hết cho 3. Do đó P C   . 24
4. Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
a) Biết P A  0, 4 và P AB  0,3. Tính xác suất của các biến cố B và AB .
b) Biết P AB  0,4 và P AB  0,9 . Tính xác suất của các biến cố , A B và AB . Lời giải
a) Ta có: P A 1 PA  0,6. P B A
Do A và B là độc lập nên P B   0, 5 . P A
Do A và B là độc lập nên P A B  P A  P B  P AB  P A  P B  P AP B  0, 7.
b) P A  0,5; P B  0,8; P AB  0, 4 .
5. Một hộp chứa 10 quả bóng xanh và 10 quả bóng đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu
nhiên đồng thời 5 quả bóng từ hộp. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố "Có ít nhất 3 quả
bóng xanh trong 5 quả bóng lấy ra". Lời giải Sơ đồ hình cây:
3 bóng xanh 4 bóng xanh 5 bóng xanh
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 138
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2bóng đỏ 1bóng đỏ 3 2 C C 4 1 C C 5 C 10 10 10 10 10
6. Châu gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng
lại. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố "Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm". Lời giải
Xác suất của biến cố "Châu phải gieo không quá 3 lần để xuất hiện mặt 6 chấm" là 2 1 5 1  5  1 91      .   6 6 6  6  6 216
7. Trong một trò chơi, Dương chọn ra 5 số từ 100 số tự nhiên đầu tiên. Sau đó, người ta chọn ra ngẫu
nhiên 3 số may mắn từ 100 số tự nhiên đầu tiên đó. Tính xác suất của các biến cố:
A : "Không có số may mắn nào trong 5 số Dương đã chọn";
B : "Có đúng 1 số may mắn trong 5 số Dương đã chọn". Lời giải
Biến cố A xảy ra khi 3 số may mắn nằm trong 95 số mà Dương không chọn. 3 C
Do đó, xác suất của biến cố A là P A 95   0,856. 3 C100
Biến cố B xảy ra khi trong 3 số may mắn, có 1 số Dương đã chọn, 2 số còn lại nằm trong 95 số mà Dương không chọn. 1 2 C C
Do đó, xác suất của biến cố B là P B 5 95   0,138. 3 C100
8. Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bong đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu
nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng đỏ" gấp 5 lần xác suất của
biến cố "Lấy được 2 quả bóng xanh". Tính xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng có cùng màu". Lời giải
Gọi n là số bóng đỏ có trong hộp. Khi đó, tổng số bóng có trong hộp là n  3 . 2 C
Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là: 3 . 2 Cn3
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 139
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 C
Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là: n . 2 Cn3 2 2 C C n n   1
Theo đề bài, ta có Theo đề bài, ta có: n 3  5   15. 2 2 C C 2 n3 n3
Do n là số tự nhiên nên n  6 . 2 2 2 2 C C C C 1
Do đó, xác suất của biến cố "Cả 2 quả bóng lấy ra đều có cùng màu" là 3 n 3 6     . 2 2 2 2 C C C C 2 n3 n3 9 9
9. Gieo ngẫu nhiên 3 con xúc xắc cân đối va đồng chât. Tính xác suất của biến cố A : "Tích số chấm xuất
hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15 ". Lời giải
Gọi B là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 5 ", C là biến cố
"Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc không chia hết cho 3 ".
Khi đó, A là biến cố đối của biến cố B C . 3 3 3  5   4   3  3
Ta có P B C   P B  P C   P BC            .  6   6   6  4
Do đó, xác suất của biến cố A : "Tích số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc chia hết cho 15 "là: 3 1
P A  1 P B C   1  . 4 4
10. Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai
thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ". Lời giải
a) Gọi A là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76 ". Gọi A là biến cố 1
"Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 ", A là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76 2 ".
Khi đó, ta có A A A . 1 2 1
Biến cố A xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó P A  . 1  1 2 C40
Biến cố A xảy ra khi 2 tấm thẻ được chọn ghi số 37; 40,38; 40,39; 40 hoặc 38;39 . Do đó, 2 4 P A  2  2 C40 1
Do A và A là hai biến cố xung khắc nên: P A  P A A P A P A  . 1 2   1  2  1 2 156
b) Từ 1 đến 40 có 8 số chia hết cho 5; 20 số chia hết cho 2 và 4 số chia hết cho 10. Gọi B là biến cố
"Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10 ".
Gọi B là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 5 ", B là biến cố "Tích các số ghi 1 2
trên 2 thẻ lấy ra không chia hết cho 2 ".
Khi đó, B là biến cố đối của biến cố B B . 1 2
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 140
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 2 2 2 C C C 283
Ta có P B B   P B   P B   P B B  32 20 16     . 1 2 1 2 1 2 2 2 2 C C C 390 40 40 40 107
Do đó, xác suất biến cố B "Tích các số ghi trên hai thẻ chia hết cho 10" là P B  1 P B B  . 1 2  390
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 141
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX
PHẦN 1: BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM Câu 1:
Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố "Tích số chấm xuất hiện là số lẻ".
Biến cố nào sau đây xung khắc với biến cố A ?
A. "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm".
B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ".
C. "Xuất hiện it nhất một mặt có số chấm là số lẻ".
D. "Xuất hiện hai mặt có số chấm khác nhau". Lời giải Chọn B Câu 2:
Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết P A  0, 4 và P B  0,5 . Xác suất của biến cố A B là A. 0,9. B. 0,7. C. 0,5. D. 0,2. Lời giải Chọn B
P A B  P A  P B  P AB  0, 7 Câu 3:
Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên
hai con xúc xắc chia hết cho 5 " là 5 1 7 2 A. . B. . C. . D. . 36 6 36 9 Lời giải Chọn C
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 5" là: 4
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 10" là: 3
Kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là: 3  4  7 7
Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5" là: 36 Câu 4:
Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ một hộp chứa 5 quả bóng xanh và 4 quả bóng đỏ có kích
thước và khối lượng như nhau. Xác suất của biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu" là 1 2 4 5 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải Chọn C 2 C
A là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu xanh", P A 5  2 C9 2 C
B là biến cố "Hai quả bóng lấy ra đều có màu đỏ", P B 4  2 C9
A B là biến cố "Hai bóng lấy ra có cùng màu". A và B xung khắc nên:
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 142
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 4
P A B  P A  P B  9 Câu 5:
Chọn ngẫu nhiên 2 đinh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R
. Xác suất đề khoàng cách giũ̃a hai đỉnh đó bằng R 2 là 2 3 4 5 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 56 Lời giải Chọn A
Để khoảng cách giữa hai điểm đó là R 2 thì giữa hai đỉnh đó có 1 đỉnh Xác suất của biến cố 8 2 đó là:  2 C 7 8 BÀI TÂP TỰ LUẬN Câu 6:
Cho A và B là hai biến cố thoả mãn P A  0,5 ; P B  0,7 và P AB  0,8 .
a) Tính xác suất của các biến cố AB , AB và AB .
b) Hai biến cố A và B có độc lập hay không? Lời giải
a) P A B  P A  P B  P AB. Suy ra P AB  0, 4
P AB  PB  PAB  0,7  0, 4  0,3
P AB 1 PA B  0,2
b) Vì P AB  P A P B nên A và B không độc lập Câu 7:
Vệ tinh A lần lượt truyền một tin đến vệ tinh B cho đến khi vệ tinh B phản hồi là đã nhận được.
Biết khả năng vệ tinh B phản hồi đã nhận được tin ở mỗi lần A gửi là độc lập với nhau và xác
suất phản hồi mỗi lần đều là 0, 4 . Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất vệ tinh A phải gửi tin không quá 3 lần. Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 143
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Nhìn vào sơ đồ ta thấy xác suất vệ tính A phải gửi tin không quá 3 lần là:
0, 4  0, 24  0,144  0, 784 Câu 8:
Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố "Tích số chấm xuất hiện
trên hai con xúc xắc chia hết cho 6 ". Lời giải
Gọi A là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 6". A  
{ 1;6;2;6;3;6;4;6;5;6;6 
;1 ;6; 2;6;3;6; 4;6;5;6;6 n A 15 5
n A  15  P A    n Ω 36 12 Câu 9:
Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đó và 4 quả bóng vàng có kích thước và khối lượng
như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:
A: "Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu";
B : "Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu". Lời giải
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 15 quả bóng có 4 C  1365 cách. 15
n Ω  1365
Gọi A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh", A là biến cố "Cả 4 quả bóng 1 2
lấy ra đều có cùng màu đô", A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng". 3
Vậy A A A A là biến cố "Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu". 1 2 3
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 4 C  5 cách. 5 n A1  5 1
n A  5  P A    1 
 1  nΩ 1365 273
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 4 C  15 cách. 6 n A2  15 1
n A  15  P A    2 
 2  nΩ 1365 91
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 C  1 cách. 4
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 144
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com n A3  1
n A  1  P A   3 
 3  nΩ 1365 1
P A  P A P A P A  1   2   3  65
Gọi B là biến cố "Lấy ra 2 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 1 bóng vàng", B là biến cố "Lấy ra 1 bóng 1 2
xanh, 2 bóng đỏ, 1 bóng vàng", B là biến cố "Lấy ra 1 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 2 bóng vàng". 3
Vậy B B B B là biến cố "Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu". 1 2 3
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 2 C  10 cách. 5
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách. n B1  240 16
n B  10.6.4  240  P B    1 
 1 nΩ 1365 91
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 2 C  15 cách. 6
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách. n B2  300 20
n B  5.15.4  300  P B    2 
 2  nΩ 1365 91
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 2 C  6 cách. 4 n B3  180 12
n B  5.6.6  180  P B    3 
 3  nΩ 1365 91 48
P B  P B P B P B  1   2   3  91
Câu 10: Cường, Trọng và 6 bạn nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất
của biến cố "Có ít nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng". Lời giải 1 6! C 2
A là biến cố "Cường đứng đầu hàng", P A 2   7! 7 1 6! C 2
B là biến cố "Trọng đứng đầu hàng", P B 2   7! 7 2!.5! 1
AB là biến cố "Trọng và Cường cùng đứng đầu hàng" P AB   7! 21
A B là biến cố "Có it nhất một trong hai bạn Cường và Trọng đứng ở đầu hàng" 11
P A B  P A  P B  P A  P B  21
Câu 11: Chọn ngẫu nhiên 3 trong số 24 đinh của một đa giác đều 24 cạnh. Tính xác suất của biến cố "
3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông". Lời giải
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 145
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Chọn ngầu nhiên 3 trong số 24 đỉnh của một đa giác đều 24 cạnh có 3 C  2024 24
n Ω  2024
Gọi A là biến cố: "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân", B là biến cố "3 đỉnh
được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông".
Vậy AB là biến cố "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân", A B là biến cố
"3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân hoặc một tam giác vuông".
Gọi O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều.
Mỗi tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác thì cạnh huyền của tam giác vuông phải là
đường kính của O , do đó ta có 12 cách chọn đường kính.
Với mỗi cách chọn đường kính, ta có 22 cách chọn đỉnh góc vuông (22 đỉnh còn lại của đa giác)
Vậy số tam giác vuông thỏa mãn điều kiện là: 12.22  264 (tam giác). n A 264 3
n A  264  P A    n Ω 2024 23
Mỗi tam giác cân có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác thì đường cao của tam giác cân phải là đường kính của O .
Với mỗi một đỉnh trên O , ta có 10 cách tạo ra tam giác cân (không là tam giác đều).
Vậy số tam giác cân (không là tam giác đều) thỏa mãn điều kiện là: 10.24  240 (tam giác).
Số tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên O là: 24 : 3  8 (tam giác). n B 248 31
n B  240  8  248  P B    n Ω 2024 253
Có 12 cách chọn đường kính.
Với mỗi cách chọn đường kính, ta có 2 cách chọn đỉnh góc vuông để tạo thành tam giác vuông
cân. Vậy số tam giác vuông cân thỏa mãn điều kiện là: 12.2  24 (tam giác). n AB 24 3
n AB  24  P AB    n Ω 2024 253 3 31 3 61
P A B  P A  P B  P AB     23 253 253 253
Câu 12: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Tính xác suất của các biến cố:
A : "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7 ";
B : "Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn". Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 2 là: 450
Số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 là: 128 450 128 450 128 257 P A      900 900 900 900 450
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đều là số chẵn là: 100
Số các số tự nhiên có 1 chữ số chẫn, 2 chữ số lẻ là: 100
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 146
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com 100 100 2 P B    900 900 9
Câu 13: Cho hai giống cá kiếm mắt đen thuần chủng và mắt đỏ thuần chủng giao phối với nhau được F1
toàn cá kiếm mắt đen. Lại cho cá F1 giao phối với nhau được một đàn cá con mới. Chọn ra ngẫu
nhiên 2 con trong đàn cá con mới. Ước lượng xác suất của biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen trong 2 con cá đó". Lời giải
Gọi A là biến cố: "Có 1 con cá mắt đen", B là biến cố "Có 2 con cá mắt đen".
Vậy A B là biến cố "Có ít nhất 1 con cá mắt đen trong 2 con cá đó". 3 1
Xác suất con cá là cá mắt đen là
, xác suất con cá là cá mắt đỏ là 4 4 3 1 3 3 3 9
P A   
; P B    4 4 16 4 4 16 3 9 3
Vì hai biến cố A và B xung khắc nên P A B  P A  P B    . 16 16 4
PHẦN 2: BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP A. TRẮC NGHIỆM
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 1,2.
Một lớp học gồm 50 bạn, trong đó có 20 bạn thích chơi bóng đá, 28 bạn thích chơi bóng rổ và 8 bạn thích
chơi cả hai môn. Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp.
1. Xác suất của biến cố "Bạn được gặp thích chơi bóng đá hoặc bóng rổ" là A. 0,16. B. 0,96. C. 0,48. D. 0,8. Lời giải Chọn D
2. Xác suất của biến cố "Bạn được gặp thích chơi bóng đá nhưng không thích chơi bóng rổ" là A. 0,24. B. 0,12. C. 0,4. D. 0,16. Lời giải Chọn A
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 3, 4.
Một hộp đựng 10 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 15 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 15. Các
viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. Gọi A là biến cố
"Viên bi lấy ra có màu đỏ", B là biến cố "Viên bi lấy ra ghi số chẵn".
3. Xác suất của biến cố AB là A. 0,28. B. 0,2. C. 0,4. D. 0,48. Lời giải Chọn B
4. Xác suất của biến cố A B là A. 0,4. B. 0,88. C. 0,48. D. 0,68. Lời giải Chọn D
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 5, 6.
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 147
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm là 0,7. Thực hiện thí nghiệm đó 2 lần liên tiếp một cách độc lập với nhau.
5. Xác suất của biến cố "Cả 2 lần thí nghiệm đều thành công" là A. 0,7. B. 0,21. C. 0,49. D. 1,4. Lời giải Chọn C
6. Xác suất của biến cố "Lần thứ nhất thí nghiệm thất bại, lần thứ hai thí nghiệm thành công" là: A. 0,21. B. 0,09. C. 1. D. 0,42. Lời giải Chọn A
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 7,8.
Cho A và B là hai biến cố độc lập. Biết P A  0, 4 và P AB  0, 2 .
7. Xác suất của biến cố B là A. 0,5. B. 0,6. C. 0,7. D. 0,8. Lời giải Chọn A
8. Xác suất của biến cố A B là A. 0,6. B. 0,7. C. 0,8. D. 0,9. Lời giải Chọn B
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu 9,10 .
Một hộp chứa 5 viên bi xanh và một số viên bi trắng có cùng kích thước và khối lượng. Biết rằng nếu
chọn ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thì xác suất lấy được viên bi xanh là 0,25.
9. Nếu lấy ra 1 viên bi từ hộp thì xác suất của biến cố "Lấy được 1 viên bi trắng" là A. 0,25. B. 0,5. C. 0,75. D. 0,95. Lời giải Chọn C
10. Số viên bi trắng trong hộp là A. 20. B. 15. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B B. TỰ LUẬN
1. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất của biến cố A : "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 9 ". Lời giải 5
Xác suất của biến cố A : "Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 9 " là: 9
2. Trong một trò chơi, Trọng chọn ngẫu nhiên 5 số trong 20 số từ 1 đến 20, Thuỷ cũng chọn ra ngẫu nhiên
5 số trong 20 số đó. Tính xác suất của các biến cố
A : "Trọng và Thuỷ đều chọn số 1 ";
B : "Trọng và Thuỷ không chọn được số nào giống nhau".
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 148
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com Lời giải 1 1001
a) P A  ; b) . 16 5168
3. Bốn bạn An, Bình, Châu, Dương đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Gọi A là biến
cố "An đứng cạnh Bình", B là biến cố "Châu đứng ở đầu hàng". Tính xác suất của các biến cố AB và A B . Lời giải 1 1 1 2
P A  ; P B  ; P AB  ; P A B  . 2 2 3 3
4. Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P A  0,8 và P AB  0, 2 . Tính xác suất của biến cố A B .
b) Biết P B  0,3 và P A B  0, 6 . Tính xác suất của biến cố A . Lời giải 3
a) Xác suất của biến cố A B là: 0,85; b) Xác suất của biến cố A là: . 7
5. Một hộp đựng 10 tấm thẻ màu trắng được đánh số từ 1 đến 10 và 5 tấm thẻ màu xanh được đánh số từ 1 đến
5. Các tấm thẻ có cùng kích thước và khối lượng. Rút ra ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Hai thẻ lấy ra có cùng màu".
b) "Có ít nhất 1 thẻ màu trắng và ghi số chẵn trong hai thẻ lấy ra". Lời giải 11 4 a) ; b) . 21 7
6. Tỉ lệ chuyến bay từ Hà Nội vào Cần Thơ bị chậm giờ là 5% . Tỉ lệ chuyến bay từ Cần Thơ về Hà Nội
bị chậm giờ là 3% . Thảo bay từ Hả Nội vào Cần Thơ và bay trở lại Hà Nội sau một tháng. Biết rằng khả
năng bị chậm giờ của hai chuyến bay đó là độc lập với nhau. Tính xác suất của biến cố "Hai chuyến bay
đều không bị chậm giờ". Lời giải
Xác suất của biến cố "Hai chuyến bay đều không bị chậm giờ" là: 0,9215
7. Một hộp chứa 1 viên bi xanh và một số viên bi trắng có cùng kích thước và khối lượng. Biết rằng nếu
chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thì xác suất lấy được 2 bi cùng màu là 0,6. Hỏi trong hộp có bao nhiêu viên bi trắng? Lời giải
Trong hộp có bao nhiêu viên bi trắng là: 4
8. Một nhóm học sinh gồm 4 bạn nữ và một số bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm. Biết rằng 1
xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là
. Tính xác suất của biến cố "Cả 2 bạn được chọn có cùng 3 giới tính". Lời giải 7
Xác suất của biến cố "Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính" là: 15
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 149
LÀM CHỦ KIẾN THỨC TOÁN 11 CTST- TẬP 2
WEB: Toanthaycu.com
9. Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Tính xác suất của biến cố "Khoảng
cách giữa hai đỉnh được chọn lớn hơn 3 ". Lời giải 1
Xác suất của biến cố "Khoảng cách giữa hai đỉnh được chọn lớn hơn 3 " là: 5
10. Chọn ngẫu nhiên 2 hình vuông trong bảng ô vuông kích thước 3 3 . Gọi A là biến cố "Hai hình
vuông được chọn có đúng 1 đỉnh chung", B là biến cố "Hai hình vuông được chọn có 1 cạnh chung".
Tính xác suất của biến cố A B . Lời giải 5
Xác suất của biến cố A B là: 9
Bản word đề bài và lời giải vui lòng lh Zalo Trần Đình Cư: 0834332133 150