Lý thuyết Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính | Môn Đại số tuyến tính

lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Phần 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Gv: Phan Ngô Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
I. Một ví dụ dẫn về hệ phương trình tuyến tính
Một nhà ầu tư dự ịnh dùng số tiền 500000$ ể mua 3 loại cổ phiếu là A, B, C. Biết rằng, •
Cổ phiếu A có giá là 50$ và cho lợi nhuận hàng năm là 12% •
Cổ phiếu B có giá là 70$ và cho lợi nhuận hàng năm là 16% •
Cổ phiếu C có giá là 30$ và cho lợi nhuận hàng năm là 9% Nhà ầu tư dự tính mua cổ
phiếu B nhiều gấp 3 lần cổ phiếu C.
Nếu nhà ầu tư muốn lợi nhuận của việc mua cổ phiếu là 14% thì cần mua cổ phiếu A,B,C với số lượng bao nhiêu?
Gọi x ,x ,x lần lượt là số cổ phiếu A,B,C ược mua thì: A B C
Tổng số tiền mua cổ phiếu là 50xA 70xB 30xC , phải bằng với số vốn ầu tư ban ầu là 500000$, nghĩa là: 50xA 70xB 30xC 500000 (1)
Số cổ phiếu B ược mua nhiều gấp 3 lần số cổ phiếu C, nghĩa là: xB 3x C (2)
Tổng lợi nhuận ầu tư cổ phiếu là 50xA 12% 70xB 16% 30xC 9% 6xA 11.2xB 2.7xC bằng với lợi
nhuận mong muốn là 500000 14 % 70000, nghĩa là: 6xA 11.2xB 2.7xC 70000 (3)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ phương trình: 50xA 70xB 30xC 500000 (1) x 3xC 0 (2) B 6xA 11.2xB 2.7xC 70000 (3) Trang | 1 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Mỗi phương trình trong hệ phương trình trên là bậc nhất ối với các ẩn x ,x ,x nên ta gọi hệ A B
C phương trình này hệ phương trình tuyến tính.
Trong phần sau, ta sẽ khảo sát hệ phương trình tuyến tính tổng quát, cùng với phương pháp giải và
iều kiện có nghiệm của hệ.
II. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính (linear equation system) gồm m phương trình, n ẩn có dạng tổng quát như sau: a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm trong ó, x ,x ,1
2 ,xn là các ẩn số (unknowns) và a , bij i là các hằng số.
Nghiệm (solution) của hệ thường ược viết dưới dạng véc tơ (x ,x ,1 2 ,x )n
Nếu toàn bộ vế phải của hệ ều bằng 0, nghĩa là bi 0 i thì ta có hệ thuần nhất (homogeneous system): a x11 1 a x12 2 a x1n n 0 a x21 1 a x22 2 a2nxn 0 (hệ thuần nhất) am1x1 am2x2 amnxn 0
Dĩ nhiên, hệ thuần nhất luôn có sẵn nghiệm O (0,0, ,0), ược gọi là nghiệm tầm thường (trivial
solution) hoặc gọi là nghiệm zero. Ngoài nghiệm bằng 0 này, hệ thuần nhất có thể có nghiệm khác 0,
vấn ề này sẽ ược bàn ở cuối chương. Đặt a11 a12 a1n x1 b1 A a21 a22 a2n ; X x2 ; B b2 Trang | 2 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính am1 am2 amn m n xn n 1 bm m 1
thì A ược gọi là ma trận hệ số (của hệ phương trình), X ược gọi là ma trận ẩn số, B ược gọi là ma trận hệ số tự do.
Lấy ma trận A nhân với ma trận X, ta ược: a11 a12 a1n x1 a x11 1 a x12 2 a x1n n a21 a22 a2n x2 a x211 a x22 2 a2nxn
: vế trái của hệ phương trình AX am1 am2 amn xn am1x1 am2x2 amnxn m 1
Do ó, hệ phương trình có thể viết ngắn gọn là AX B 0 0
Hệ thuần nhất ược viết ngắn gọn là AX O , trong ó O 0 m 1
Ta nói hai hệ phương trình là tương ương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm, nghĩa là nghiệm của
hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại.
Sau ây, ta xét một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát. II. Phương pháp Gauss
2.1 Hệ phương trình tuyến tính bậc thang Xét hệ phương trình: x1 2x2 x3 3x4 1 (1) x2 2x3 2x4 4 (2) 3x3 6x4 0 (3)
Ma trận hệ số của hệ phương trình: 1 2 1 3 Trang | 3 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính A 0 1 2 2 0 0 3 6
là ma trận bậc thang. Ta gọi hệ phương trình trên là hệ phương trình bậc thang.
Tổng quát, ta nói hệ phương trình tuyến tính AX B (gồm m phương trình, n ẩn) là hệ phương trình
bậc thang nếu ma trận hệ số A là ma trận bậc thang.
Khi giải hệ phương trình bậc thang, ta giải ngược từ phương trình cuối trở lên.
Ví dụ: Giải hệ phương trình trên
Từ phương trình (3), ta tính x theo 3 x : 4 x3 2x4 Từ
phương trình (2) , ta tính x theo 2 x ,x : 3 4 x2 2x3 2x4 4
2.(2x )4 2x4 4 (thay x3 2x4 ) 2x4 4
Từ phương trình (1) , ta tính x theo 1 x ,x ,x : 2 3 4 x1 2x2 x3 3x4 1
2.(2x4 4) 2x4 3x4 1 (thay x2 2x4 4 và x3 2x4 ) 5x4 9
Ta thấy không có thông tin nào từ hệ nói về giá trị của x , iều này có nghĩa là 4 x có thể nhận giá 4
trị tùy ý (ta gọi x là 4 ẩn tự do – free unknown). Đặt x4 t với t
thì ta có biểu thức nghiệm tổng quát của hệ là: x1 5t 9 xx23 2t2 t 4 với t x4 t Trang | 4 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
(ta gọi t là tham số của nghiệm)
Với mỗi giá trị của t thì ta có một nghiệm riêng tương ứng. Chẳng hạn, nếu cho t 0 thì ược nghiệm riêng là:
(x ,x ,x ,x1 2 3 4 ) (9, 4,0, 0) Nếu
cho t 1 thì ược nghiệm riêng là: (x ,x ,x ,x1 2 3 4 ) (4, 2,2, 1)
Vì t có thể nhận vô số giá trị nên ta thấy hệ có vô số nghiệm. Khi hệ có vô số nghiệm thì trong biểu
thức nghiệm tổng quát của hệ sẽ chứa những ẩn tự do (free unknowns). Trong ví dụ trên thì hệ có vô
số nghiệm với 1 ẩn tự do (là x ). 4
2.2 Các phép biến ổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính
Trong chương 1 (ma trận & ịnh thức), ta ã biết các phép biến ổi sơ cấp trên dòng của ma trận. Đối với
hệ phương trình tuyến tính, ta cũng có các phép biến ổi tương tự:
• Đổi chỗ 2 phương trình của hệ.
• Nhân 2 vế của một phương trình với một số thực khác 0.
• Lấy một phương trình cộng (hoặc trừ) với lần phương trình khác.
Qua các phép biến ổi này, ta nhận ược một hệ phương trình mới tương ương với hệ ban ầu. 2.3 Phương pháp Gauss
Ý tưởng của phương pháp này là, từ hệ phương trình ban ầu, ta dùng các phép biến ổi sơ cấp thích
hợp ưa hệ về dạng bậc thang rồi giải hệ bậc thang này.
Ưu iểm của phương pháp Gauss là nó không òi hỏi iều kiện nào cả và có thể viết thành thuật
toán cho máy tính dễ dàng. Ví dụ: Giải hệ phương trình x1 2x2 x3 1 3x1 5x2 2x3 4 4x1 6x2 3x3 2
Ta tạm thời gỡ bỏ các ký hiệu x ,x ,x trong hệ phương trình, chỉ giữ lại ma trận hệ số của 2 vế. 1 2 3 Việc
làm này gọi là ma trận hóa hệ phương trình. Sau ó, ta dùng các phép biến ổi sơ cấp thích hợp ể ưa hệ về dạng bậc thang: 1 2 1 1 1 2 11 1 2 11 3 52 4 d 4dd 3d32 11 0 1 11 d 2d3 2 0 1 11 : bậc thang 4 6 3 2 0 2 12 0 0 1 4 Trang | 5 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Gắn các ẩn x ,x ,x vào trở lại, ta ược hệ phương trình bậc thang (tương ương với hệ ban ầu): 1 2 3 x1 2x2 x3 1 (1) x x3 1 (2) 2 x3 4 (3) Từ (3), ta có x3 4 Từ (2), ta có x2 x3 14 1 3 Từ (1) , ta có x1 2x2 x3 1 2.( 3) ( 4) 1 1 x1 1
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất là: x 3 2 x3 4
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 x2 x3 3 3x1 2x2 4x3 5 7x1 3x2 x3 10
Ma trận hóa hệ phương trình: 2 1 1 3 1 1 32 1 1 32 1 1 32 3 2 4 5 d d1 2 3 2 45 d 3dd 7d32 11 0 1 51 d 4d3 2 0 1 51 7 3 110 7 3 1 10 0 4 20 4 0 0 00 Hệ trở thành:
x1 x2 3x3 2 (1) x2 5x3 1 (2) : bậc thang Trang | 6 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
(phương trình cuối trong hệ bậc thang trên là 0x1 0x2 0x3 0 là một phương trình thừa, nó không
cho ta thông tin gì về nghiệm nên ta loại bỏ) Từ (2), ta có x2 5x3 1 Từ (1) , ta có x1 x2 3x3 2 (5x3 1) 3x3 2 2x3 1
Ta thấy không có thông tin nào nói về giá trị của x nên 3
x nhận giá trị tùy ý (ẩn tự do). 3 Đặt x3 t, t
thì hệ có vô số nghiệm và nghiệm tổng quát là: x1 2t 1 x2 5t 1 với t x3 t
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 x2 3x3 1 5x1 x2 2x3 4 8x1 3x2 x3 5 Ma trận hóa hệ phương trình: 2 1 31 1 3 4 2 1 3 4 2 5 1 24 2d d1 2 5 1 2 4 d 5dd 8d23 11 0 14 22 6 8 3 15 8 3 1 5 0 21 33 11 1 1 3 4 2 1 3 4 2 21d2 0 7 11 3 d d3 2 0 7 11 3 d3 3 0 7 11 0 0 0 Hệ trở thành: x1 3x2 4x3 2 (1) 7x 11x3 3 (2) 2 Trang | 7 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 0x3 (3)
Từ (3) ta thấy hệ vô nghiệm vì không tồn tại (x ,x ,x ) nào thỏa 1 2 3 (3)
Các ví dụ trên minh họa phương pháp Gauss và cũng cho thấy 3 khả năng xảy ra về nghiệm của một
hệ phương trình tuyến tính: có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
Trong phần cuối của chương này, ta sẽ thấy rằng, ối một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có thể xảy
ra một trong 3 khả năng này mà thôi.
Ví dụ: Một công ty ầu tư bán ba loại quỹ ầu tư cổ phần là S (Standard), D (Deluxe), G (Gold Star). Biết rằng:
• Mỗi ơn vị S gồm 12 cổ phiếu A, 16 cổ phiếu B, 8 cổ phiếu C
• Mỗi ơn vị D gồm 20 cổ phiếu A, 12 cổ phiếu B, 28 cổ phiếu C
• Mỗi ơn vị G gồm 32 cổ phiếu A, 28 cổ phiếu B, 36 cổ phiếu C
Giả sử một nhà ầu tư muốn có 220 cổ phiếu A, 176 cổ phiếu B, 264 cổ phiếu C bằng cách mua các ơn vị S, D, G ở trên.
a) Xác ịnh tổ hợp các ơn vị S,D,G cần mua sao cho thỏa mãn úng yêu cầu của nhà ầu tư.
Gọi x ,x ,x là số ơn vị cổ phần S,D,G ược nhà ầu tư mua thì: S D G
• Số cổ phiếu A có ược là: 12xS 20xD 32xG Số cổ phiếu B có ược là: 16xS 12xD 28xG
• Số cổ phiếu C có ược là: 8xS 28xD 36xG
Theo giả thiết, nhà ầu tư muốn có 220 cổ phiếu A, 176 cổ phiếu B, 264 cổ phiếu C. Vậy ta có hệ: 12xS 20xD 32xG 220 16xS 12xD 28xG 176 8xS 28xD 36xG 264 với x ,x ,x là những S D G số nguyên không âm.
Chia hai vế của mỗi phương trình cho 4, ta ược hệ phương trình tương ương: 3xS 5xD 8xG 55 4xS 3xD 7xG 44 2xS 7xD 9xG 66
với chú ý x ,x ,x là những S D G số nguyên không âm. Trang | 8 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Ta giải hệ trên bằng phương pháp Gauss: 3 5 855 1 2 111 1 2 111 1 2 111 4 3 744 d d1 2 4 3 744 d 4dd 2d23 11 0 11 1188 d d3 2 0 11 1188 2 7 966 0 11 1188 0 0 0 0 2 7 966 Hệ trở thành: xS 2xD xG 11 (1) D 11xG 88 (2) : bậc thang 11x Từ (2): 11xD 88 11xG xD 8 xG
Từ (1) : xS 2xD xG 11 2(8 x )G xG 11 5 xG Tóm lại, ta có: xS 5 xG (3) xD 8 xG (4) x ,x ,S D xG (5) Vì x ,xS
D 0 nên từ (3),(4) dẫn ến xG 5
Cho xG 0,1,2,3,4,5 ta ược 6 nghiệm của hệ là: xS 5 xS 4 xS 3 xS 2 xS 1 xS 0 xD 8 ; x D 7 ; x D 6 ; x D 5 ; x D 4 ; x D 3 xG 0 xG 1 xG 2 xG 3 xG 4 xG 5
Mỗi nghiệm trong 6 nghiệm trên là một phương án ầu tư thỏa mãn yêu cầu của nhà ầu tư.
b) Giá của một ơn vị S,D,G là 300$, 400$, 600$. Trong các phương án ầu tư ở câu trên, phương án
nào có chi phí thấp nhất ? Tổng chi phí ầu tư là: C 300xS 400xD 600xG 300(5 x )G 400(8 x )G 600xG 100xG 4700 Trang | 9 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính với xG 0,1,2,3,4,5
Hàm chi phí C là hàm tuyến tính, có hệ số góc (slope) là a
100 0 nên là hàm nghịch biến.
Do ó, nếu xG 0,1,2,3,4,5 thì hàm chi phí C sẽ ạt cực tiểu khi xG 5 và phương án ầu tư với chi phí thấp nhất sẽ là: xS 0 x 3 D xG 5
Chi phí thấp nhất có giá trị là: Cmin 100 5 4700 4200$ IV. Quy tắc Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và n ẩn: a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a2nxn b2 a xn1 1 an2x2 a xnn n bn Đặt a11 a12 a1n b1 A a21 a22 a2n ; B b2 an1 an2 ann bn
Gọi D detA và với mỗi j 1,2, ,n ta gọi Dj là ịnh thức có ược từ A bằng cách thay cột j của A bởi B. Khi ó,
• Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất cho bởi công thức sau ( ược gọi là công thức Cramer): D x j j j 1,2, ,n D Trang | 10 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
• Nếu D 0 và có ít nhất một Dj 0 thì hệ vô nghiệm.
Ghi chú: Nếu D 0 và tất cả các Dj ồng thời bằng 0 thì ta chưa có kết luận: hệ có thể có vô số nghiệm,
mà cũng có thể vô nghiệm. Gặp trường hợp này, ta phải giải hệ bằng phương pháp Gauss. Ví dụ: Giải
hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer 2x1 x2 3x3 1 x1 2x2 x3 0 4x1 3x2 x3 2 2 1 3 1 Ta có: A 1 2 1 ; B 0 4 3 1 2 Ta tính các ịnh thức: 2 1 3 Casio D detA 1
2 130 0 (suy ra hệ có nghiệm duy nhất) 4 3 1 1 1 3 Casio D1
0 2 1 11 (thay cột 1 của A bởi B) 2 3 1 2 1 3 Casio D2 1
0 1 5 (thay cột 2 của A bởi B) 4 2 1 2 1 1 Casio D3 1 2
0 1 (thay cột 3 của A bởi B) 4 3 2
Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất cho bởi: Trang | 11 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính x1 DD1 1130 x D2 5 2 D 30 x3 DD3 301
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer x1 3x2 2x3 4 2x1 x2 x3 1 3x1 4x2 x3 0 1 3 2 4 Ta có: A 2 1 1 ; B 1 3 4 1 0 Ta tính các ịnh thức: 1 3 2 Casio D detA 2 1 10 3 4 1 4 3 2 Casio D1 1 1 1
25 0 (thay cột 1 của A bởi B) 0 41
Vì D 0 và có (ít nhất) D1 0 nên ta kết luận hệ vô nghiệm.
Ví dụ: Một công ty sản xuất ba loại sản phẩm là A, B, C. Biết rằng,
• Một ơn vị A, B, C ược bán sẽ cho lợi nhuận tương ứng là 1$, 2$, 3$
• Chi phí cố ịnh là 17000$/năm và chi phí sản xuất một ơn vị A, B, C lần lượt là 4$, 5$, 7$
• Trong năm tới, tổng số sản phẩm A, B, C sản xuất và ược bán là 11000 với tổng lợi nhuận ước tính là 25000$ Trang | 12 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Nếu tổng chi phí là 80000$ thì số ơn vị sản phẩm A, B, C cần sản xuất là bao nhiêu ?
Gọi x ,x ,x là số ơn vị sản phẩm A, B, C ược sản xuất. Khi ó, A B C
• Tổng số ơn vị sản phẩm A, B, C ược sản xuất là: xA xB xC
• Tổng lợi nhuận là: 1xA 2xB 3xC
• Tổng chi phí là: 17000 4xA 5xB 7xC
Theo giả thiết, ta có hệ phương trình: xA xB xC 11000 xA xB xC 11000 1xA 2xB 3xC 25000 ( ) 1xA 2xB 3xC 25000 17000 4xA 5xB 7xC 80000 4xA 5xB 7xC 63000
Ta giải hệ ( ) bằng quy tắc Cramer: thành lập các ma trận 1 1 1 11000 A 1 2 3 ; B 25000 4 5 7 63000 Tính các ịnh thức: 1 1 Casio D detA 1 2 3 1 4 5 11000 1 1 Casio D1 25000
2 3 2000 (thay cột 1 của A bởi B) 63000 5 7 1 11000 1 Casio D2 125000
3 4000 (thay cột 2 của A bởi B) 4 63000 7 1 1 11000 Casio D3 1 2
25000 5000 (thay cột 3 của A bởi B) 4 5 63000 Trang | 13 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Vậy, số ơn vị sản phẩm A, B, C cần sản xuất là: xA DD1 20001 2000 x D2 4000 4000 B D 1 DD3 50001 5000 xC
Ghi chú: Một hệ phương trình tuyến tính AX B ược gọi là hệ phương trình Cramer nếu:
• Số phương trình bằng với số ẩn
• Ma trận hệ số A của hệ là không suy biến (có ịnh thức khác 0)
Vậy, mọi hệ phương trình Cramer ều có nghiệm duy nhất (vì D detA 0). Ví dụ:
Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau là hệ Cramer mx1 x2 2x3 1 2x mx2 x3 m (với m là tham số) 1 3x1 2x2 x3 m 3
Hệ phương trình trên có 3 phương trình và 3 ẩn (số phương trình bằng với số ẩn).
Do ó, ể hệ phương trình này là hệ Cramer thì chỉ cần iều kiện ma trận hệ số là không suy biến.
Ma trận hệ số của hệ phương trình là: m 1 2 A 2 m 1 3 2 1 m 1 2 Sarrus D detA 2 m 1 m2 4m 3 3 2 1
Nhắc lại quy tắc Sarrus: Trang | 14 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 2 4m 3 0 mm 13
Để hệ phương trình là hệ Cramer thì: D 0 m V.
Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính AX B, gồm m phương trình và n ẩn: a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm Đặt a11 a12 a1n b1 A a21 a22 a2n ; B b2 am1 am2 amn m n bm m 1
Gọi A (A B ) là ma trận hệ số mở rộng, có ược từ A bằng cách ghép thêm một cột là B: a11 a12 a1n b1 b2 a a2n : ma trận hệ số mở 21 a22 A rộng am2 amn b a m m1 Khi ó,
- Hệ có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A) Trang | 15 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
- Khi hệ có nghiệm, nghĩa là khi r(A) r(A) k , thì
• Nếu k n thì nghiệm là duy nhất
• Nếu k n thì nghiệm là vô số và số ẩn tự do của hệ là n k
Ghi chú: Nếu k r(A) thì do A là ma trận có n cột nên r(A) n , nghĩa là k n Tóm tắt:
Cho hệ phương trình tuyến tính AX B gồm m phương trình và n ẩn
• Điều kiện có nghiệm là: r(A) r(A)
• Điều kiện có nghiệm duy nhất là: r(A) r(A) n (với n là số ẩn)
• Điều kiện có vô số nghiệm: r(A) r(A) n (với n là số ẩn)
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có nghiệm (không cần tìm nghiệm) x1 x2 2x3 a
2x1 3x2 x3 b với a,b,c là tham số 3x1 5x2 4x3 c Ta có: 1 1 2 a 1 1 2 a A 2 3 1 ; B b ; A 2 3 1 b 3 5 4 c 3 5 4 c A B
Để hệ có nghiệm thì r(A) r(A) , do ó ta phải tìm r(A) và r(A) bằng cách ưa các ma trận A và A về dạng bậc thang: 1 1 2 a 1 1 2 a 1 1 2 a A 23 1 b d 2dd23 3d11 00 12 105bc 32aa d 2d3 2 00 10 05a b 2b2 a c 3 5 4 c A B Trang | 16 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Vậy, 2 khi a 2b c 0 r(A) 3 khi a 2b c 0
Trong ma trận bậc thang ở trên, nếu ta che cột cuối lại, thì 3 cột ầu cũng tạo thành một ma trận bậc
thang có úng 2 dòng khác 0 và ma trận bậc thang tạo bởi 3 cột ầu này ược sinh ra từ A bởi các phép
biến ổi sơ cấp. Do ó, ta kết luận r(A) 2
Để hệ có nghiệm thì r(A) r(A) a 2b c 0 Khi a 2b c 0 thì r(A) r(A) 2 n
3 nên hệ có vô số nghiệm và số ẩn tự do là n k 3 2 1
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có nghiệm x1 2x2 3x3 1
4x1 5x2 6x3 2 (với m là tham số) 7x1 mx2 9x3 0 Ta có: 1 2 3 1 1 2 3 1 A 4 5 6 ; B 2 ; A 4 5 6 2 7 m 9 0 7 m 9 0 A B Để hệ có nghiệm thì
r(A) r(A) , do ó ta phải tìm r(A)
và r(A) bằng cách ưa các ma trận A và A về dạng bậc thang.
Dùng các phép biến ổi sơ cấp: 1 2 31 d 4 d d2 1 3 7 d 10 23 36 12 c2 c3 10 36 1 23 12 A 74 m5 96 02 0 m 14 12 7 0 12 m 14 7 Trang | 17 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính A B 1 3 2 1 d3 2d2 0 6 3 4 0 0 m 8 3
Ma trận bậc thang trên có úng 3 dòng khác 0 (với mọi m) nên r(A) 3 m
Trong ma trận bậc thang trên, nếu ta che cột cuối lại thì 3 cột ầu tạo thành ma trận bậc thang và 3
cột ầu này có ược từ A bởi các phép biến ổi sơ cấp. Do ó, hạng của A chính là số dòng khác 0 của ma
trận bậc thang tạo bởi 3 cột ầu này: 2 khi m 8 r(A) 3 khi m 8
Vậy, hệ có nghiệm khi r(A) r(A) m 8 Khi ó, r(A) r(A) 3
n nên hệ có nghiệm duy nhất. 1 2 3 Sarrus Cách khác: Ta tính D detA 4 5 6 6m 48 7 m 9
Nhắc lại quy tắc Sarrus: Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: D 0 6m 480 m 8
Theo ịnh lý Cramer, vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất, thỏa yêu cầu có nghiệm nên ta nhận m 8 Trường hợp 2: D 0 6m 480 m 8 Ta thay m 8 vào hệ: x1 2x2 3x3 1 Trang | 18 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 4x1 5x2 6x3 2 7x1 8x2 9x3 0 1 2 3 1 1 2 3 1 A 4 5 6 ; B 2 ; A 4 5 6 2 7 8 9 0 7 8 9 0
Ta tìm hạng của A và hạng của A: 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 A 4 5 62 dd32 74dd11 0 3 6 2 d3 2d2 0 3 6 4 7 8 9 0 0 6 12 7 0 0 0 3
Vậy, r(A) 3 và che cột cuối của ma trận bậc thang trên thì ta thấy r(A) 2
Suy ra r(A) r(A) , do ó hệ vô nghiệm, không thỏa yêu cầu ề bài. Ta loại m 8
Qua 2 trường hợp trên, ta thấy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 8
Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính ax by c
bx cy a (với a,b,c là tham số) cx ay b
Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm thì a3 b3 c3 3abc 0
Ma trận hệ số A và ma trận hệ số mở rộng A : a b a b c A b c ; A b c a c a c a b Trang | 19 lOMoAR cPSD| 47305584
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Nếu hệ có nghiệm thì r(A) r(A)
Mà r(A) 2 (hạng của ma trận không thể vượt quá số cột) Do ó r(A) 2
Ma trận A vuông cấp 3 và r(A) 2 nên không khả ảo Suy ra det(A) 0
Dùng quy tắc Sarrus, ta tính ược: det(A) 3abc a3 b3 c3 Vậy, 3abc a3 b3 c3 0
Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính AX B gồm m phương trình, n ẩn. Biết rằng r(A) m, hãy
chứng minh hệ có nghiệm. Ta sẽ chứng minh r(A) m
Thật vậy, ma trận A có ược từ A bằng cách ghép thêm một cột là B, do ó r(A) r(A) gt
Ma trận A có m dòng nên r(A) m. Vậy, ta có m r(A) r(A) m Suy ra r(A) m r(A): hệ có nghiệm.
Sau ây, ta xét các hệ quả của ịnh lý sự tồn tại nghiệm ở trên.
Hệ quả 1. Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có thể xảy ra một trong các khả năng sau:
hoặc là hệ vô nghiệm, hoặc là hệ có nghiệm duy nhất, hoặc là hệ có vô số nghiệm. Nói riêng, nếu hệ
phương trình tuyến tính có 2 nghiệm khác nhau thì có vô số nghiệm. Chú ý: Đối với hệ phương
trình không tuyến tính thì hệ quả 1 là sai, chẳng hạn hệ x y 3 xy 2
có úng 2 nghiệm khác nhau là (x,y) (1,2) và (x,y) (2,1) mà không có vô số nghiệm.
Hệ quả 2. Cho hệ phương trình tuyến tính AX B gồm n phương trình và n ẩn. Khi ó, hệ có
nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu detA 0 Ghi chú: Trang | 20