lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Phần 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Gv: Phan Ngô Tuấn Anh
Khoa Toán – Thống Kê, UEH
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính
I. Một ví dụ dẫn về hệ phương trình tuyến tính
Một nhà ầu tư dự ịnh dùng số tiền 500000$ ể mua 3 loại cổ phiếu là A, B, C. Biết rằng, •
Cổ phiếu A có giá là 50$ và cho lợi nhuận hàng năm là 12% •
Cổ phiếu B có giá là 70$ và cho lợi nhuận hàng năm là 16% •
Cổ phiếu C có giá là 30$ và cho lợi nhuận hàng năm là 9% Nhà ầu tư dự tính mua cổ
phiếu B nhiều gấp 3 lần cổ phiếu C.
Nếu nhà ầu tư muốn lợi nhuận của việc mua cổ phiếu là 14% thì cần mua cổ phiếu A,B,C với số lượng bao nhiêu? Gọi x ,x ,x l1 2
3 ần lượt là số cổ phiếu A,B,C ược mua thì:
Tổng số tiền mua cổ phiếu là 50x1 70x2 30x3 , phải bằng với số vốn ầu tư ban ầu là 500000$, nghĩa
là: 50x1 70x2 30x3 500000 (1)
Số cổ phiếu B ược mua nhiều gấp 3 lần số cổ phiếu C, nghĩa là: x2 3x 3 (2)
Tổng lợi nhuận ầu tư cổ phiếu là 50x1 12% 70x2 16% 30x3 9% 6x1 11.2x2 2.7x3 bằng với
lợi nhuận mong muốn là 500000 14 % 70000, nghĩa là: 6x1 11.2x2 2.7x3 70000 (3) Từ
(1),(2),(3) ta có hệ phương trình: 50x1 70x2 30x3 500000 (1) x2 3x3 0 (2) 6x1 11.2x2 2.7x3 70000 (3)
Mỗi phương trình trong hệ phương trình trên là bậc nhất ối với các ẩn x ,x ,x nên ta g1 2 3
ọi hệ phương trình này hệ phương trình tuyến tính.
Trong phần sau, ta sẽ khảo sát hệ phương trình tuyến tính tổng quát, cùng với phương pháp giải và iều
kiện có nghiệm của hệ. Trang | 1 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
II. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính (linear equation system) gồm m phương trình, n ẩn có dạng tổng quát như sau:
a x11 1 a x12 2  a x1n n b1 a x21 1 a x22 2  a2nxn b2   am1x1 am2x2  amnxn bm
trong ó, x ,x ,1 2 ,xn là n ẩn số (unknowns) và a , bij i là các hằng số.
Nghiệm (solution) của hệ thường ược viết dưới dạng véc tơ (x ,x ,1 2 ,x )n
Nếu toàn bộ vế phải của hệ ều bằng 0, nghĩa là bi 0 i thì ta có hệ phương trình thuần nhất (homogeneous system): a x111 a x12 2  a x1n n 0 a x211 a x22 2  a2nxn 0 (hệ thuần nhất)   am1x1 am2x2  amnxn 0
Dĩ nhiên, hệ thuần nhất luôn có sẵn nghiệm O (0,0,,0), ược gọi là nghiệm tầm thường (trivial
solution) hoặc gọi là nghiệm zero. Ngoài nghiệm bằng 0 này, hệ thuần nhất có thể có nghiệm khác 0,
vấn ề này sẽ ược bàn ở cuối chương. Đặt a11 a12 a1n x1 b1 A a21 a22 a2n ; X x2 ; B b2      am1 am2 amn m n xn n 1 bm m 1
thì A ược gọi là ma trận hệ số (của hệ phương trình), X ược gọi là ma trận ẩn số, B ược gọi là ma trận hệ số tự do. Trang | 2 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Lấy ma trận A nhân với ma trận X, ta ược: a11 a12 a1n x1 a x111 a x12 2  a x1n n AX a21 a22a2n x2 a x21 1 a x22 2  a2nxn : vế trái của hệ phương trình      am1 am2 amn xn am1x1 am2x2  amnxn m 1
Do ó, hệ phương trình có thể viết ngắn gọn là AX B 0 0
Hệ thuần nhất ược viết ngắn gọn là AX O , trong ó O  0 m 1
Ta nói hai hệ phương trình là tương ương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm, nghĩa là nghiệm của hệ
này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại.
Sau ây, ta xét một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát. II. Phương pháp Gauss
2.1 Hệ phương trình tuyến tính bậc thang Xét hệ phương trình: x1 2x2 x3 3x4 1 (1) x2 2x3 2x4 4 (2) 3x3 6x4 0 (3)
Ma trận hệ số của hệ phương trình: 1 2 1 3 A 0 1 2 2 0 0 3 6 Trang | 3 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
là ma trận bậc thang. Ta gọi hệ phương trình trên là hệ phương trình bậc thang.
Tổng quát, ta nói hệ phương trình tuyến tính AX B (gồm m phương trình, n ẩn) là hệ phương trình
bậc thang nếu ma trận hệ số A là ma trận bậc thang.
Khi giải hệ phương trình bậc thang, ta giải ngược từ phương trình cuối trở lên. Ví
dụ: Giải hệ phương trình trên
Từ phương trình (3), ta tính x theo 3 x : 4 x3 2x4 Từ
phương trình (2), ta tính x theo 2 x ,x : 3 4 x2 2x3 2x4 4
2.(2x )4 2x4 4 (thay x3 2x4 ) 2x4 4
Từ phương trình (1) , ta tính x theo 1 x ,x ,x : 2 3 4 x1 2x2 x3 3x4 1
2.(2x4 4) 2x4 3x4 1 (thay x2 2x4 4 và x3 2x4 ) 5x4 9
Ta thấy không có thông tin nào từ hệ nói về giá trị của x4 , iều này có nghĩa là x có th4 ể nhận giá trị tùy ý (ta gọi x là 4
ẩn tự do – free unknown).
Đặt x4 t với t  thì ta có biểu thức nghiệm tổng quát của hệ là: x1 5t 9 xx23 2t2 t 4 với t  x4 t
(ta gọi t là tham số của nghiệm)
Với mỗi giá trị của t thì ta có một nghiệm riêng tương ứng. Chẳng hạn, nếu cho t 0 thì ược nghiệm riêng là:
(x ,x ,x ,x1 2 3 4) (9, 4,0, 0)
Nếu cho t 1 thì ược nghiệm riêng là: Trang | 4 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính (x ,x ,x ,x1 2 3 4) (4, 2,2, 1)
Vì t có thể nhận vô số giá trị nên ta thấy hệ có vô số nghiệm. Khi hệ có vô số nghiệm thì trong biểu
thức nghiệm tổng quát của hệ sẽ chứa những ẩn tự do (free unknowns). Trong ví dụ trên thì hệ có vô
số nghiệm với 1 ẩn tự do (là x4 ).
2.2 Các phép biến ổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính
Trong chương 1 (ma trận & ịnh thức), ta ã biết các phép biến ổi sơ cấp trên dòng của ma trận. Đối với
hệ phương trình tuyến tính, ta cũng có các phép biến ổi tương tự:
• Đổi chỗ 2 phương trình của hệ.
• Nhân 2 vế của một phương trình với một số thực khác 0.
• Lấy một phương trình cộng (hoặc trừ) với lần phương trình khác.
Qua các phép biến ổi này, ta nhận ược một hệ phương trình mới tương ương với hệ ban ầu.
2.3 Phương pháp Gauss
Ý tưởng của phương pháp này là, từ hệ phương trình ban ầu, ta dùng các phép biến ổi sơ cấp thích
hợp ưa hệ về dạng bậc thang rồi giải hệ bậc thang này.
Ưu iểm của phương pháp Gauss là nó không òi hỏi iều kiện nào cả và có thể viết thành thuật toán cho máy tính dễ dàng.
Ví dụ: Giải hệ phương trình x1 2x2 x3 1 3x1 5x2 2x3 4 4x1 6x2 3x3 2
Ta tạm thời gỡ bỏ các ký hiệu x ,x ,x trong h1 2 3 ệ phương trình, chỉ giữ lại ma trận hệ số của 2 vế. Việc
làm này gọi là ma trận hóa hệ phương trình. Sau ó, ta dùng các phép biến ổi sơ cấp thích hợp ể ưa hệ về dạng bậc thang: 1 2 1 1 1 2 11 1 2 11 3 52 4 d 4dd 3d32 11 01 11 d 2d3 2 0 1 11 : bậc thang 4 6 3 2 0 2 12 0 0 1 4
Gắn các ẩn x ,x ,x vào tr1
ở lại, ta ược hệ phương 2 3
trình bậc thang (tương ương với hệ ban ầu): x1 2x2 x3 1 (1) Trang | 5 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính x2 x3 1 (2) x3 4 (3) Từ (3), ta có x3 4 Từ (2), ta có x2 x3 1 4 1 3
Từ (1) , ta có x1 2x2 x3 1 2.( 3) ( 4) 1 1 x1 1
Vậy, hệ có nghiệm duy nhất là: x 3 2 x3 4
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 x2 x3 3 3x 2x2 4x3 5 1 7x1 3x2 x3 10
Ma trận hóa hệ phương trình: 2 1 1 3 1 1 32 1 1 32 1 1 32 3 2 4 5 d d 1 2 3 245 d 7dd 3d32 11 0 1 51 d 4d3 2 0 1 51 7 3 110 7 3 1 10 0 4 20 4 0 0 00 Hệ trở thành: x1 x 2 3x3 2 (1) x2 5x3 1 (2) : bậc thang
(phương trình cuối trong hệ bậc thang trên là 0x1 0x2 0x3 0 là một phương trình thừa, nó không
cho ta thông tin gì về nghiệm nên ta loại bỏ) Từ (2), ta có x2 5x3 1
Từ (1) , ta có x1 x2 3x3 2 (5x3 1) 3x3 2 2x3 1 Trang | 6 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Ta thấy không có thông tin nào nói về giá trị của x nên 3 x nh ận giá trị tùy ý (ẩn tự do). 3
Đặt x3 t, t  thì hệ có vô số nghiệm và nghiệm tổng quát là: x1 2t 1 x 5t 1 với t  2 x3 t
Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 x2 3x3 1 5x1 x2 2x3 4 8x1 3x2 x3 5
Ma trận hóa hệ phương trình: 2 1 3 1 1 3 4 2 1 3 4 2 5 1 2 4 2d 1 d2 5 124 dd23 85dd11 0 14 22 6 8 3 1 5 8 3 15 0 21 33 11 1 3 4 2 1 3 4 2 1 21dd 32 0 7 11 3 d3 d2 0 7 11 3 3 0 7 11 113 0 0 0 32 Hệ trở thành: x1 3x2 4x3 2 (1) 7x 11x3 3 (2) 2 0x3 (3)
Từ (3) ta thấy hệ vô nghiệm vì không tồn tại (x ,x ,x ) nào th1 ỏa (3) 2 3
Các ví dụ trên minh họa phương pháp Gauss và cũng cho thấy 3 khả năng xảy ra về nghiệm của một
hệ phương trình tuyến tính: có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm. Trang | 7 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Trong phần cuối của chương này, ta sẽ thấy rằng, ối một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có thể xảy
ra một trong 3 khả năng này mà thôi. IV. Quy tắc Cramer
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và n ẩn:
a x11 1 a x12 2  a x1n n b1 a x21 1 a x22 2  a2nxn b2   a xn1 1 an2x2  annxn bn Đặt a11 a12 a1n b1 A a21 a22 a2n ; B b2     an1 an2 ann bn
Gọi D detA và với mỗi j 1,2,,n ta gọi Dj là ịnh thức có ược từ A bằng cách thay cột j của A bởi B. Khi ó,
• Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất cho bởi công thức sau ( ược gọi là công thức Cramer): D x j j j 1,2,,n D
• Nếu D 0 và có ít nhất một Dj 0 thì hệ vô nghiệm.
Ghi chú: Nếu D 0 và tất cả các Dj ồng thời bằng 0 thì ta chưa có kết luận: hệ có thể có vô số
nghiệm, mà cũng có thể vô nghiệm. Gặp trường hợp này, ta phải giải hệ bằng phương pháp Gauss. Ví
dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer 2x1 x2 3x3 1 x1 2x2 x3 0 Trang | 8 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 4x1 3x2 x3 2 2 1 3 1 Ta có: A 1 2 1 ; B 0 4 3 1 2 Ta tính các ịnh thức: 2 1 3 Casio D det A 1
2 130 0 (suy ra hệ có nghiệm duy nhất) 4 3 1 1 1 3 Casio D1
0 2 1 11 (thay cột 1 của A bởi B) 2 3 1 2 1 3 Casio D2
1 0 1 5 (thay cột 2 của A bởi B) 4 2 1 2 1 1 Casio D3 1 2
0 1 (thay cột 3 của A bởi B) 4 3 2
Vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất cho bởi: x1 D1 11 D 30 x2 D2 5 D 30 D3 1 x3 D 30
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer Trang | 9 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính x1 3x2 2x3 4 2x1 x2 x3 1 3x1 4x2 x3 0 1 3 2 4 Ta có: A 2 1 1 ; B 1 3 4 1 0 Ta tính các ịnh thức: 1 3 2 Casio D det A 2 1 10 3 4 1 4 3 2 Casio D1
1 1 1 25 0 (thay cột 1 của A bởi B) 0 4 1
Vì D 0 và có (ít nhất) D1 0 nên ta kết luận hệ vô nghiệm.
Ghi chú: Một hệ phương trình tuyến tính AX B ược gọi là hệ phương trình Cramer nếu:
• Số phương trình bằng với số ẩn
• Ma trận hệ số A của hệ là không suy biến (có ịnh thức khác 0)
Vậy, mọi hệ phương trình Cramer ều có nghiệm duy nhất (vì D detA 0).
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau là hệ Cramer mx1 x2 2x3 1
2x mx2 x3 m (với m là tham số) 1 3x1 2x2 x3 m 3
Hệ phương trình trên có 3 phương trình và 3 ẩn (số phương trình bằng với số ẩn).
Do ó, ể hệ phương trình này là hệ Cramer thì chỉ cần iều kiện ma trận hệ số là không suy biến. Trang | 10 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận hệ số của hệ phương trình là: m 1 2 A 2 m 1 3 2 1 m 1 2 Sarrus D det A 2 m 1 m2 4m 3 3 2 1 2 4m 3 0 mm 13
Để hệ phương trình là hệ Cramer thì: D 0 m
V. Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , gồm m phương trình và n ẩn:
a x11 1 a x12 2  a x1n n b1 a x21 1 a x22 2  a2nxn b2   am1x1 am2x2  amnxn bm Đặt a11 a12 a1n b1 A a21 a22 a2n ; B b2     am1 am2 amn m n bm m 1
Gọi A (A B) là ma trận hệ số mở rộng, có ược từ A bằng cách ghép thêm một cột là B: a11 a12 a1n b1 Trang | 11 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính A a21 a22 a2n b2
: ma trận hệ số mở rộng     am1 am2 amn bm Khi ó,
- Hệ có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A)
- Khi hệ có nghiệm, nghĩa là khi r(A) r(A) k , thì
• Nếu k n thì nghiệm là duy nhất
• Nếu k n thì nghiệm là vô số và số ẩn tự do của hệ là n k
Ghi chú: Nếu k r(A) thì do A là ma trận có n cột nên r(A) n , nghĩa là k n Ví
dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có nghiệm (không cần tìm nghiệm) x1 x2 2x3 a
2x1 3x2 x3 b với a,b,c là tham số 3x1 5x2 4x3 c Ta có: 1 1 2 a A 2 3 1 ; B b 3 5 4 c 1 1 2 a A 2 3 1 b 3 5 4c A B
Để hệ có nghiệm thì r(A) r(A) , do ó ta phải tìm r(A) và r(A) bằng cách ưa các ma trận A và Trang | 12 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính A về dạng bậc thang: 1 1 2 a 1 1 2 a 1 1 2 a A 2353 41 bc d 2dd 3d 23 11 00 12 105 bc 32aa d 2d 3 2 00 10 05a b 2b2a c A B Vậy, 2 khi a 2b c 0 r(A) 3 khi a 2b c 0
Trong ma trận bậc thang ở trên, nếu ta che cột cuối lại, thì 3 cột ầu cũng tạo thành một ma trận bậc
thang có úng 2 dòng khác 0 và ma trận bậc thang tạo bởi 3 cột ầu này ược sinh ra từ A bởi các phép
biến ổi sơ cấp. Do ó, ta kết luận r(A) 2
Để hệ có nghiệm thì r(A) r(A) a 2b c 0 Khi a 2b c 0 thì r(A) r(A) 2 n
3 nên hệ có vô số nghiệm
và số ẩn tự do là n k 3 2 1
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có nghiệm x1 2x2 3x3 1
4x1 5x2 6x3 2 (với m là tham số) 7x1 mx2 9x3 0 Ta có: 1 2 3 1 A 4 5 6 ; B 2 7 m 9 0 1 2 3 1 Trang | 13 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính A 4 5 6 2 7 m 90 A B
Để hệ có nghiệm thì r(A) r(A) , do ó ta phải tìm r(A) và r(A) bằng cách ưa các ma trận A và A về dạng bậc thang.
Dùng các phép biến ổi sơ cấp: 1 2 3 1 1 2 3 1 1 3 2 1 A 74m569 02 dd 32 74dd11 00m 314 126 72 c 2 c3 00 126m 314 72  A B 1 3 2 1 d3 2d2 0 6 3 4 0 0 m 8 3
Ma trận bậc thang trên có úng 3 dòng khác 0 (với mọi m) nên r(A) 3 m
Trong ma trận bậc thang trên, nếu ta che cột cuối lại thì 3 cột ầu tạo thành ma trận bậc thang và 3 cột
ầu này có ược từ A bởi các phép biến ổi sơ cấp. Do ó, hạng của A chính là số dòng khác 0 của ma trận
bậc thang tạo bởi 3 cột ầu này: 2 khi m 8 r(A) 3 khi m 8
Vậy, hệ có nghiệm khi r(A) r(A) m 8
Khi ó, r(A) r(A) 3 n nên hệ có nghiệm duy nhất. Trang | 14 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 1 2 3 Sarrus
Cách khác: Ta tính D det A 45 6 6m 48 7 m 9 Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: D 0 6m 48 0 m 8
Theo ịnh lý Cramer, vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất, thỏa yêu cầu có nghiệm nên ta nhận m 8 Trường hợp 2: D 0 6m 48 0 m 8 Ta thay m 8 vào hệ: x1 2x2 3x3 1 4x1 5x2 6x3 2 7x1 8x2 9x3 0 1 2 3 1 1 2 3 1 A 4 56 ; B 2 ; A 45 6 2 7 8 9 0 7 8 9 0
Ta tìm hạng của A và hạng của A: 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 A 4 5 62 dd 23 74dd11 0 0 3 6 2 d3 2d2 3 6 4 7 8 9 0 0 6 12 7 0 0 0 3
Vậy, r(A) 3 và che cột cuối của ma trận bậc thang trên thì ta thấy r(A) 2
Suy ra r(A) r(A) , do ó hệ vô nghiệm, không thỏa yêu cầu ề bài. Ta loại m 8
Qua 2 trường hợp trên, ta thấy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 8
Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính AX B gồm m phương trình, n ẩn. Biết rằng r(A) m, hãy
chứng minh hệ có nghiệm. Trang | 15 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Ta sẽ chứng minh r(A) m
Thật vậy, ma trận A có ược từ A bằng cách ghép thêm một cột là B, do ó r(A) r(A) gt
Ma trận A có m dòng nên r(A) m. Vậy, ta có m r(A) r(A) m
Suy ra r(A) m r(A): hệ có nghiệm.
Sau ây, ta xét các hệ quả của ịnh lý sự tồn tại nghiệm ở trên:
Hệ quả 1. Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có thể xảy ra một trong các khả năng sau:
hoặc là hệ vô nghiệm, hoặc là hệ có nghiệm duy nhất, hoặc là hệ có vô số nghiệm. Nói riêng, nếu hệ
phương trình tuyến tính có 2 nghiệm khác nhau thì có vô số nghiệm. Chú ý: Đối với hệ phương
trình không tuyến tính thì hệ quả 1 là sai, chẳng hạn hệ x y 3 xy 2
có úng 2 nghiệm khác nhau là (x,y) (1,2) và (x,y) (2,1) mà không có vô số nghiệm.
Hệ quả 2. Cho hệ phương trình tuyến tính AX B gồm n phương trình và n ẩn. Khi ó, hệ có nghiệm
duy nhất nếu và chỉ nếu detA 0
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất x1 mx2 2x3 1
3x1 2x2 x3 m (với m là tham số) 2x1 x2 3x3 4 1 m 2 Ma trận hệ số: A 3 2 1 2 1 3 1 m 2 Sarrus det A 3 2 1 7m 7 2 1 3
Để hệ có nghiệm duy nhất thì detA 07m 7 0 m 1 Trang | 16 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Hệ quả 3. Cho hệ phương trình thuần nhất AX O (vế phải bằng 0) gồm m phương trình, n ẩn. Khi ó,
• Nếu r(A) n thì hệ có nghiệm duy nhất là X O (chỉ có nghiệm tầm thường)
• Nếu r(A) n thì hệ có vô số nghiệm, nghĩa là có nghiệm X O (có nghiệm không tầm thường)
Đặc biệt, nếu hệ thuần nhất AX O có số phương trình bằng với số ẩn thì:
• Nếu detA 0 thì hệ có nghiệm duy nhất là X O (chỉ có nghiệm tầm thường)
• Nếu detA 0 thì hệ có vô số nghiệm, nghĩa là có nghiệm X O (có nghiệm không tầm thường)
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có vô số nghiệm 3x1 x2 x3 0 mx1 2x2 3x3 0 4x1 3x2 2x3 0
Hệ phương trình trên là hệ thuần nhất (vế phải bằng 0), có số phương trình bằng với số ẩn nên ta dùng hệ quả 3. 3 1 1 Ma trận hệ số: A m 2 3 4 3 2 3 1 1 Sarrus det A m 2 3 5m 5 4 3 2
Theo hệ quả 3, ể hệ thuần nhất trên có vô số nghiệm thì detA 0 5m 5 0 m 1
Chú ý: detA 0 là iều kiện ể hệ thuần nhất AX O có vô số nghiệm, ta không ược áp dụng kết quả
này cho hệ không thuần nhất AX B ( ối với hệ không thuần nhất AX B thì khi detA 0, hệ vẫn có thể vô nghiệm).
Ví dụ: Tìm iều kiện ể hệ phương trình sau có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát trong trường hợp này x1 x2 x3 m Trang | 17 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 2x1 2x2 mx3 2 3x1 mx2 2x3 1 1 1 1 Ma trận hệ số: A 2 2 m 3 m 2 1 1 1 Sarrus D det A 2 2 m m2 m 2 3 m 2 Xét 2 trường hợp: 2 m 1 Trường hợp 1: D 0 m m 2 0 m 2
Theo ịnh lý Cramer, vì D 0 nên hệ có nghiệm duy nhất, không thỏa yêu cầu (có vô số nghiệm). Ta loại m 1,m 2 Trường hợp 2: D 0 m2 m 2 0 m 1 m 2 x1 x2 x3 1 - Với m 1 thì hệ trở thành 2x1 2x2 x3 2 3x1 x2 2x3 1
Ta giải hệ bằng phương pháp Gauss: Trang | 18 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 d 2dd 3d 23 11 0 4 14 d d3 2 0 0 14 2 2 1 00 3 1 2 1 0 4 14 0 Hệ trở thành: x1 x2 x3 1 (1) 2 x3 4 ( )2 4x 1 Từ (2) ta có: x2 1(x3 4) x3 1 4 4 1 3
Từ (1) ta có: x1 x2 x3 1 ( x3 1) x3 1 x3 4 4
Không có thông tin nào về giá giá trị của x nên 3 x nh ận giá trị tùy ý (ẩn tự do). 3
Đặt x3 t, t  thì hệ có vô số nghiệm, với nghiệm tổng quát là: x1 t x2 t 1 với t  x3 t
Ta nhận giá trị m 1 này vì thỏa yêu cầu ề bài (có vô số nghiệm). x1 x2 x3 2 - Với m 2 thì hệ trở thành 2x1 2x2 2x3 2 3x1 2x2 2x3 1 Trang | 19 lOMoAR cPSD| 49519085
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính
Ta giải hệ bằng phương pháp Gauss: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 22 22 d 2dd 3d23 11 0 4 42 d2 d3 0 1 15 d 4d3 2 0 1 15 3 2 2 1 0 1 15 0 4 42 0 0 0 18 Hệ trở thành: x1 x2 x3 2 (1) x2 x3 5 ( )2 0x3 18 (3)
Từ (3) ta thấy hệ vô nghiệm, không thỏa yêu cầu ề bài (có vô số nghiệm) nên ta loại m 2 Tóm lại,
ể hệ có vô số nghiệm thì m 1 và khi ó nghiệm tổng quát là x1 34 t x2 1 t 1 với t  4 x3 t
Ví dụ: Cho hệ phương trình không thuần nhất AX B (gồm m phương trình, n ẩn) và hệ thuần nhất
tương ứng AX O . Phát biểu sau úng hay sai:
a) Nếu hệ AX B có nghiệm duy nhất thì hệ AX O có nghiệm duy nhất
Giả sử hệ AX B có nghiệm duy nhất, khi ó r(A) r(A) n Do
r(A) n nên theo hệ quả 3, hệ AX O có nghiệm duy nhất
b) Nếu hệ AX B có vô số nghiệm thì hệ AX O có vô số nghiệm Trang | 20