Lý thuyết và bài tập ôn thi cuối kỳ - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

ÔN TẬP TOÁN KINH TẾ
Chương 2. Toán tài chín h căn bản
1. Phương thức lãi đơn, lãi kép a. Lãi đơn: S = P(1 + rt) mt b. Lãi kép: (1 )n  r S P i P 1  = + = +  m   c. Lãi kép liên tục: rt S =Pe.
Trong đó: P và S lần lượt là giá trị hiện tại, và giá trị tương lai; i và r lần lượt là lãi suất
mỗi chu kỳ và lãi suất (danh ghĩa) hàng năm; t là số năm đầu tư; m à l số chu kỳ trong mỗi
năm và n là tổng số chu kỳ đầu tư.
2. Chuỗi tiền tệ đều
a. Chuỗi tiền tệ đều chi trả cuối mỗi chu kỳ: (1 i )n 1 1 (1 i − + − − + )n S= R ; A= R . n i i
b. Chuỗi tiền tệ đều chi trả đầu mỗi chu kỳ: (1 i )n 1 1 (1 i − + − − + )n S = R (1+ i); A = R (1+ i. ( n , du ) e ( , n du)e i i
Trong đó: A và S lần lượt là giá trị hiện tại và tương lai của dòng tiền; R à l số tiền đóng
trong mỗi chu kỳ; i là lãi suất mỗi chu kỳ; và n là tổng số chu kỳ.
Chương 3. Đạo hàm – tích phân hàm một biến số và ứng dụng trong kinh tế 1. Hàm doanh thu o ( R ) x .x
= ; với x là doanh số(sản lượng) và p là giá bán.
o Hàm doanh thu biên: M(R )x ='( R .
o R(0) = 0 (doanh thu chưa bán = 0)
o R(x) là hàm đồng biến theo x, '( R )x 0  , x  0 . ( R )x
o Hàm doanh thu trung bình: ( R ) x = x 2. Hàm chi phí o C( )
x , với x là sản lượng.
o Hàm chi phí biên: M (C )x = '( C
o C(0): chi phí cố định. ( C )x o Hàm chi phí trung bình: ( C ) x = x
o Hàm chi phí đồng biến theo x: M ( C )x 0  , x  0 
3. Hàm lợi nhuận: P(x) = R(x) – C(x). o Hàm lợi nhuận biện: ( M ) P x '(P = ) x =( MR) x − ( M
Bài toán thường gặp:
o Thiết lập các hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận, các hàm trung bình(dựa trên dữ liệu bài cho)
o Tính các đạo hàm của các hàm trên và nêu ý nghĩa.
o Tìm x để doanh thu (trung bình) đạt cực đại, lợi nhuận đạt cực đại; chi phí(trung bình đạt cực tiểu).
o Cho các hàm cận biên, tìm hàm gốc(Lưu ý R(0) = 0, C(0),.. để tìm hằng số tíc h phân).
Chương 4. Hàm 2 biến số và ứng dụng
Bài toán: Thiết lập các hàm tổng doanh thu, chi phí, lợi nhuận. Tín h các đạo hàm riêng và
nêu ý nghĩa. Bài toán tìm x, y để R(x,y), P(x,y) đạt cực đại; C(x,y) đạt cực tiểu. Bài tập
Bài 1: a)Tìm giá trị tương lai của 2000 đô la được đầu tư trong 5 năm vào một tài khoản
có lãi suất 8% theo phương thức tính lãi đơn.
HD: S = P(1+rt) = 2000(1+0,08.5) = 2800 đôla.
b)Tìm khoản tiền lời kiếm được nếu đầu tư 5000 đôla trong 3 năm với lãi suất 12% theo
phương thức lãi kép với chu kỳ tính lãi theo quý. 3.4  0,12 HD: = (1+ )n  S P i = 5000. 1 + =  4   Tiền lời: I = S – P =
c)Nếu 2000 đôla được đầu tư vào cuối mỗi quý trong một tài khoản kiếm lãi s ấ u t 6% theo
phương thức tính lãi kép hàng quý. Hỏi ầ
c n đầu tư bao lâu để tài khoản đạt 50 000 đôla?  0,06  (1 50000. + )n i − 1  . S i   HD: S= . R , suy ra  4 n= log + 1 = log + 1= i (1 i + )    0,06  R    +   1  2000  4      n=21quý
d)Tìm lãi suất theo năm mà ngân hàng đã tính trên khoản vay 100 000 000 đồng trong 2 năm, biết t ề
i n lãi là 20 000 000 đồng được tính theo phương thức lãi kép hàng quý.
HD: P = 100 000 000 đồng; n = 2.4 = 8 chu kỳ; I = 20 000 000 đồng. = (1 + )n S P i ; = − = ((1 + )n I S P P
i − )1 = i = ?= r = 4.i =
e)Đầu tư 100 000 000 đồng vào ngân hàng theo phương thức lãi kép liên tục , lãi suất
6%. Tìm số tiền có được sau 5 năm đầu tư. HD: rt 0,06.5 S = . P e 1 = 00.000.000.e
f)Mỗi năm bạn gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng trong 8 năm. Biết lãi suất của hai năm
đầu là 6,5%; ba năm kế t ế
i p là 6,8% và ba năm còn lại là 5,5%. Tìm số tiền bạn có sau 8 năm đầu tư. HD: Ta lần lượt tín
h giá trị tương lai của 3 chuỗi tiền đều phát sinh trong 3 giai đoạn: giai
đoạn 1(2 năm đầu), giai đoạn 2(3 năm kế), và giai đoạn 3(3 năm cuối) như sau: -Giai đoạn 1:
Giá trị của chuỗi tiền phát sinh hai năm đầu: n 2 1 (1+ i ) −1 (1+ 0,065)− 1 1 S = R = 100 = ? 1 i 0,065 1
Sau 6 năm tiếp theo, giá trị này trở thành 3 3 S (1 =S 0,0 + 68) (1 0 +,055) 2 1 -Giai đoạn 2:
Giá trị của chuỗi tiền phát sinh 3 năm có đóng tiền: n 3 2 (1+ i ) −1 (1+ 0,068)− 1 2 S = R =100 = ? 3 i 0,068 2
Sau 3 năm cuối, giá trị này trở thành 3 S = (1 S 0 +,055) = 4 3 -Giai đoạn 3:
Giá trị của chuỗi tiền phát sinh 3 năm(cuối) : n 3 3 (1+ i ) − 1 (1+ 0,055)− 1 3 S = R = 100 = ? 5 i 0,055 3
Vậy số tiền có được sau 8 năm là: S S= S + + ? S 2 4 5
g)Hai người bạn rủ nhau thực hiện một kế hoạch tiết kiệm vốn trong 5 năm để làm ăn.
Với khả năng của mỗi người khác nhau nên kế hoạch tích vốn khác nhau:
-Bạn A: Gửi tiền vào ngân hàng vào cuối mỗi năm 120 000 000 đồng.
-Bạn B: Gửi tiền với năm đầu 100 000 000 đồng, hai năm kế mỗi năm 150 000 000, hai
năm cuối mỗi năm 100 000 000 đồng.
Giả sử phương thức tính lãi là lãi kép theo năm với lãi suất 6,8%. Tìm số tiền tích lũy của mỗi người sau 5 năm. n 5 (1+ i ) −1 (1+ 0,068)− 1
HD: - Số tiền A có được sau 5 năm là: S= R = 120. = 687,34 i 0,068 triệu đồng.
-Số tiền B có sau 5 năm là S S + +S, với: 5 S 10 = 0(1 0 + ,068, 1 2 3 1 (1 + 0,06)28 − 1 2 (1 + 0,068) − 1 S = 100 ;S =150 . 1+ 0,068 2 ( )2 3 0,068 0,068 2 x
Bài 2: Hàm cầu của một loại hàng hóa cho bở pi =8000− 8x −
, với x là số đvsp và p 3 40000
(đôla) là đơn giá. Hàm chi phí trung bình cho bởi (C )x= + 10 x + 1600. x
a)Tìm hàm tổng lợi nhuận.
b)Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa?Giả sử sản phẩm làm ra đều bán hết.
HD: a)Hàm doanh thu: R(x) = x. p = Hàm chi phí: (C )x .x = (C )x
Hàm lợi nhuận: P(x) = R(x) – C(x) =
b)Tìm x để P(x) đạt cực đại
Bài 3: Hàm chi phí biên và doanh thu biên (đơn vị tính đầu là nghìn đô la) của một doanh nghiệp cho bởi M (C )x 3 =0 2 x 1 +và M ( R )x = x 1 +. Tìm hàm lợi n
huận, biết chi phí cô định là 10 nghìn đôla. Doanh nghiệp cần sản xuất bao
nhiêu đơn vị sản phẩm để thu được lợi nhuận tối đa?
Bài 4: Hàm chi phí của một xí nghiệp sản xuất cho bởi: 2 (C )x 0, =1 x 0, + 3 x 5 +0Với x là số đơn vị sản phẩm. a)Tìm hàm chi phí biên MC( )x. Tính M (
C 50)và giải thích ý nghĩa.
b)Tìm hàm chi phí trung bình ( C ) x . Tính (
C100)và giải thích ý nghĩa. HD:a) M (C )x 0=,2 x 0 + ,3; ( M50 C ) 0,2 = .50 0, +3 1 = 0,
Ý nghĩa: chi phí khi sản xuất sản phẩm thứ 51 xấp xỉ 10,3 đvtt. C (x ) 50 b) ( C ) x= = 0,1x+ 0,3+ ; x x (1
C 00) =? Ý nghĩa: khi sản xuất 100 sản phẩm t ì h chi phí trung ì b nh của mỗi sản phẩm là…
Bài 5: Hàm chi phí biên và doanh thu biên của một xí nghiệp cho bởi 2 0,05 M(C )x 1, = 05( x 1 +80) và M ( R ) x = + 2,8. 0,05 x+ 4
Với x(nghìn sản phẩm) là sản lượng. Doanh thu, chi phí tính theo đơn vị là nghìn đô la.
Biết chi phí cố định là 150 nghìn đôla, và giới hạn sản xuất ở mức tối đa 200 nghìn sản phẩm. a)Tìm hàm lợi nhuận.
b)Xác định mức sản xuất ể
đ xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.
HD: a) Tìm R(x), C(x); P(x) = R(x) -C(x)=
b)Tìm MaxP(x), với0  x 200.
Giải P’(x) = 0 tìm điểm dừng trong khoảng trên(dùng máy tính). Tính giá trị P(x) tại điểm
dừng và 0, 180. So sánh và chọn MaxP(x).
Bài 6: Một công ty sản xuất và bán hai loại sản phẩm A và B với giá bán tương ứng 180
và 210 (ngàn đồng). Khi sản xuất x sản phẩm A và y sản phẩm B cho bởi 2 2 (C , ) x 1 y 20 = 1 x 60 + 2 y + x +x 0 y ,5 + .
a)Tìm hàm tổng lợi nhuận.
b)Xác định mức sản xuất ể
đ công ty đạt lợi nhuận tối đa.
HD: a)R(x,y) = 180x + 210y; P(x,y) = R(x,y) – C(x,y) = ?
b)Tìm x, y để P(x,y) đạt cực đại
Bài 7: Một công ty có hàm sản xuất ngắn hạn cho bở z i 0,7 0,3 2
= 00 x y . Với x là số giờ
công lao động, và y là số vốn đầu tư(nghìn đôla) trong khoảng thời gian xác định và z là
giá trị sản xuất(nghìn đôla).
a)Giả sử vốn hiện có là 20 nghìn đôla, và tổng giờ công lao động là 1600 giờ. Tìm giá trị sản xuất.
b)Tính z (1600,20),z (1600,2và nếu ý nghĩa. x y HD: a) 0,7 0,3 2 z 0 = 0.1600 .20 =nghì n đôla . 0,3  y b) −0,3 0,3 z 200.0,7.x .y 140.  = = ; x  x   0,3  20  z (1600,20)= 140. = x  1600   
Ý nghĩa: Nếu đã đầu tư 20 nghìn đôla vốn và 1600 giờ công lao động, giữ nguyên vốn và đầu tư t ê h m 1 giờ công lao đ
ộng thì giá trị sản xuất tăng xấp xỉ … nghì n đôla.
Tương tự cho trường hợp còn lại.