Một số bài toán hay về đồ thị hàm số – Nguyễn Minh Tuấn Toán 12

TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY
Nguyễn Minh Tuấn y
Câu 1. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Số tiệm cận đứng ít nhất có thể của đồ thị 4 2 x  1  1 hàm số y   có thể bằng bao 2
x  1 f x  1 nhiêu? 1 A. 1 B. 2 O 6 x C. 3 D. 4
Câu 2. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ y
đồng thời f x  1  f x  2x 2x  1x  1* Biết rằng hàm 11 số   4 2
f x  ax  bx  c ;   2
g x  mx  nx  p
và f x  g  2
x  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
hàm số g x O x 1 1 1 2 A.  B.  2 4 C. 2 D. 4
Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4 : y  f x y
được cho như hình vẽ bên. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
y  g x   f   x 2   f 
x.f  x và trục Ox . A. 4 C. 6 B. 2 D. 4 O x y
Câu 4. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số f 'x
y  f x như hình vẽ bên. Xét hàm số
g x  f x 3 2
 2x  4x  3m  6 5 với m là số 2
thực. Để g x  0 x    5; 5   thì điều kiện  5 O 5 x của m là 2 2 A. m  f  5 B. m  f  5 3 3 2 2 B 13 A C. m 
f 0  2 5 D. m  f  5  4 5 3 3
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục và xác y định trên
và có đồ thị f 'x như
hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 y f x  x ? A. 10 O x B. 11 C. 12 1  D. 13 4
Câu 6. Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số y a  ; b  ; c
y x y x y  x có đồ thị như hình c x
bên. Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ 2m b
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức x
3a  2b  a  c2 2 m T  0, 5 a 2 2
a  5c  4ac x A. 31 B. 32 O  x C. 33 D. 34
Câu 7. Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm y y  log x a số y  log x y  f x a và
  . Đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường O 1 x
thẳng y  x  1 .Tính f loga 2018 a A. f log    a 2018 1 2018 B. f     a  1 log 2018 1 2018a a   
y  f x y x 1 C. f log    a 2018 1 2018 D. f     a  1 log 2018 1 2018a
Câu 8. Cho hàm số bậc ba f x và y
g x  f  2
mx  nx  pm,n, p  có đồ thị g x f x
như hình dưới, trong đó đường nét liền là 2
đồ thị hàm f x , đồ thị hàm nét đứt là đồ 1
thị hàm g x , đường x   là trục đối 2 O 1 2 x
xứng hàm g x . Giá trị của biểu thức 2 1
P  n  mm  pp  2n bằng bao nhiêu?  2 A. 6 B. 24 C. 12 D. 16
2 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN y
Câu 9. Cho 0  a  1  b  1  a và hàm số
y  f x
y  g x f x  có đạo hàm trên
f x  2 1 
0;. Biết đồ thị hàm số y  f x như n
hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng m
với mọi x   a  1; b  1   f  b 1 f  a 1
A. g x 
B. g x  O a b x m n f  b 1   
C. g x  D. 10 g x 0 m y
Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm trên \ 
b và hàm số g x có đạo hàm trên .
y  f x Biết đồ thị của hai hàm số
y  f 'x , y  g'x như hình vẽ dưới. Đặt
h x  f x  g x và
y  gx S   h
 x  b 2   h 
bx   hchc 2 2 2 1 2    O a b c x
với a,b,c là các số thực đã biết. Khẳng định
đúng với mọi x  0 là?
A. S  h c ; h a  c 
 B. S  h c
C. S  h c ; h a  b 
 D. S  ha ;hc  
Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm và x  2 y
xác định trên tập số thực và có đồ thị như
hình vẽ dưới. Tính tổng tất cả các giá trị
nguyên của tham số m  20  ;20 để hàm 3
số y  f  x  m có 5 điểm cực trị? A. 210 B. 212 3 O 1 x C. 211 D. 209 2
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY
Câu 12. Cho 3 hàm số y  f x , y  g x y
y  g'x
, y  h x . Đồ thị của 3 hàm số y  f x ,
, y  gx , y  hx có đồ thị như hình vẽ 10
dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ thị của
y  f 'x
hàm số y  f x . Hàm số 5  
k x  f x    g x   3 7 5 1  h 4x   . O 2    3 4 8 x
Đồng biến trên khoảng nào dưới đây?  15   1 
y  h'x A.   ;0. B.   ; .  4   4   3   3  C.  ;1. D. ;  .  8   8 
Câu 13. Cho 2 hàm số f x , g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng x  1, x  6
đều là các điểm cực trị của 2 hàm số f x , g x đồng thời f 1  g 6 , 2 f 6   g 1  3 và 2 f  5
 x  16  3g5x  9  1* .Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S  f x f x  gx   2 2
1  g x  g x . Tính tổng P  M  m ? y g x f x O 1 6 x 27 23 9 11 A. B. C. D. 4 4 2 2 y
Câu 14. Cho hàm số y  f x liên tục
y  f x
trên đoạn 2; 2 và có đồ thị trên đoạn 1
2;2 như hình vẽ dưới. Hỏi phương 1 trình 2
3 f x  2 f x  9 
f x  2  3 2 O 1 2 x
có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn 2;3? 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN LỜI GIẢI y
Câu 1. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Số tiệm cận đứng ít nhất có thể của đồ thị hàm 4 2 x  1  1 số y   có thể bằng bao nhiêu? 2
x  1 f x  1 A. 1 B. 2 1 C. 3 D. 4 O 6 x Lời giải Hàm số có dạng f x 2  1  k. p x . q x  x
 ;x  6; p  1;q  1 1 2 1 1 2 2 x  1  1 x 1  y    f x 2  1 k. p
x .x  x 2q1 2 2 p2
. x  1  1 k.x
.x  x 2q1 2 . x  1  1 1 1
Trường hợp ít TCĐ nhất là 2p  2  0  p  1. khi đó: 2 2 x  1  1 x 1  y    f x 2 p2  1 k.x
.x  x 2q1 2
. x  1  1 k x  x 2q1 2 . x  1  1 1 1
Suy ra có TCĐ duy nhất x  x1
Câu 2. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ y
đồng thời f x  1  f x  2x 2x  1x  1* Biết rằng hàm số   4 2
f x  ax  bx  c ;   2
g x  mx  nx  p 11
và f x  g  2
x  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g x 1 1 O x A.  B.  2 4 1 2 C. 2 D. 4 Lời giải
Từ * ta thay x  0  f 1  f 0 a  b  0
Ta có x  0  y  1   c  1    và x  y   f x 4 2 2, 11
 x  x  1 c  1   2 Mặt khác 4 2
x  x   g  2
x    m 2
x    n 2 1 1 1 x  1  p 4 2 2
 mx  2mx  m  nx  n  p m  1 m  1    1  2   n  1
  n  1  gx 2
 x  x; g'x  2x  1; g'x  0  x    2 1   n    p p   0
Vậy giá trị nhỏ nhất g x 1   4
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 5
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY
Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4 : y  f x y
được cho như hình vẽ bên. Tìm số giao điểm của 2
đồ thị hàm số y  g x   f 
 x  f 
x.f  x và trục Ox . A. 4 C. 6 B. 2 D. 4 O x Lời giải 2
Số giao điểm của đồ thị hàm số y  g x   f 
 x  f 
x.f  x và trục Ox bằng số 2 2
nghiệm của phương trình:  f 
 x  f 
x.f  x  0   f 
 x  f 
x.f  x.
Giả sử đồ thị hàm số    4 3 2 y
f x  ax  bx  cx  dx  e , a,b ,c,d, e  ; a  0,b  0 cắt trục
hoành Ox tại 4 điểm phân biệt x x x x 1 , 2 , 3 , 4 .
Đặt A  x  x
B  x  x C  x  x D  x  x 1 , 2 , 3 , 4 ta có:
f x  ax  x x  x x  x x  x  . a ABCD 1   2   3   4  . 
TH1: Nếu x  x i 
g x   f  x   i với
1,2,3, 4 thì  i    i  2 0  .
Do đó x  x i  g x  i ,
1, 2, 3, 4 không phải nghiệm của phương trình   0 . 
TH2: Nếu x  x i  i với 1,2,3, 4 thì ta viết lại  
f x  aBCD  ACD  ABD  ABC    1 1 1 1 f x     . A B C D   
      1 1 1 1        1 1 1 1  f x f x f x       2 2 2 2 A B C D A B C D      2    
 f x 1 1 1 1     f x 1 1 1 1 . .       2 2 2 2 A B C D A B C D      2  1 1 1 1   1 1 1 1 
Suy ra, f x. f x 2  f x 2 .     f x.       . 2 2 2 2 A B C D A B C D      2  1 1 1 1 
Khi đó g x   f 
 x  f  
x.f x 2  f x.       0 x   x i  i  1, 2, 3, 4 . 2 2 2 2  A B C D 
Từ đó suy ra phương trình g x  0 vô nghiệm.
Vậy đồ thị hàm số y  g x không cắt trục hoành.
6 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN y
Câu 4. Cho hàm số y  f x có đồ thị hàm số f 'x
y  f x như hình vẽ bên. Xét hàm số
g x  f x 3 2
 2x  4x  3m  6 5 với m là số thực. 2
Để g x  0 x    5; 5 
 thì điều kiện của m là  5 O 5 x 2 2 A. m  f  5 B. m  f  5 3 3 2 2 C. m 
f 0  2 5 D. m  f  5  4 5 B 13 A 3 3 Lời giải
Ta có g x   g x  f x 3
 x  x  m 
  m  f x 3 0 2 2 4 3 6 5 0 3 2
 2x  4x  6 5 .
Đặt h x  f x 3 2
 2x  4x  6 5 . Ta có hx  f x 2 2  6x  4 .
h 5  2 f  56.5 4  0  h
  5   2 f  5   6.5  4  0 
Suy ra h0  2 f 0  0  4  0
h1  2 f 16.14  0  h 1
   2 f  1    6.1 4  0 
Từ đó ta có bảng biến thiên x  5 0 5 h  0  h  5 h 0 h h  5 2
Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5  m  f  5 . 3
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục và xác y định trên
và có đồ thị f 'x như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 y f x  x ? A. 10 O x B. 11 C. 12 1  D. 13 4 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 7
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY 1
Ta có y   x   f  2 ' 2 1 ' x  x, 2
x  x  m có nghiệm khi và chỉ khi m   . Dựa vào đồ thị ta 4
thấy đồ thị hàm f 'x cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1  1
và có một tiệm cận. Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ lớn hơn  và 1 điểm 4 4
không xác định thì y '  0 có 2 nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra hàm   2 y
f x  x có 11 cực trị!
Câu 6. Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số y a  ; b  ; c
y x y x y  x có đồ thị như hình bên. c x
Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và 2m b
giá trị lớn nhất của biểu thức x
3a  2b  a  c2 2 m T  0, 5 a 2 2
a  5c  4ac x A. 31 B. 32 O  x C. 33 D. 34 Hướng dẫn
Nhận thấy ngay khi x   , ta có c   2 b
  c log   1  blog   c  b log   1 2 2   2 a
  0.5  alog   1  2
 a  c  b
Đến đây thay vào biểu thức ta được một hàm thuần nhất 2 biến rồi đặt 1 ẩn đưa về khảo sát hàm 1 biến!
Câu 7. Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm y y  log x a số y  log x y  f x a và
  . Đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường O 1 x
thẳng y  x  1 .Tính f loga 2018 a A. f log    a 2018 1 2018 B. f     a  1 log 2018 1 2018a a   
y  f x y x 1 C. f log    a 2018 1 2018 D. f     a  1 log 2018 1 2018a Lời giải
Gọi b;c C : y  log x e f  C y  f x a ; ; : . 1     2    Ta có hệ điều kiện c   
f  b  e  2
b  c   f  e  2 b   f  1     1
 b  e  1c  f   0
b  c  e  f c    e  1
 e  1  log  f    f   a   f    a   f x    a  a  1 e 1 e 1 1 1   e 1 1 .
8 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Vậy f   log 20181 1 log 2018  1 a  a    a 1 2018a
Câu 8. Cho hàm số bậc ba f x và y
g x  f  2
mx  nx  pm,n, p  có đồ thị như g x f x
hình dưới, trong đó đường nét liền là đồ thị hàm 2
f x, đồ thị hàm nét đứt là đồ thị hàm g x , 1
đường x   là trục đối xứng hàm g x . Giá trị 2 O 1
của biểu thức P  n  mm  pp  2n bằng bao 2 x 2 1 nhiêu?  2 A. 6 B. 24 C. 12 D. 16 Lời giải Ta có f x 3 2
 ax  bx  cx  d  f x 2 '
 3ax  2bx  c . Hàm số đạt cực trị tại x  0; x  2 và
đồ thị đi qua điểm 1;0 ,0; 2 nên ta có  f '0  0 a  1   f '2 0   b  3      f x 3 2    f   x x 1 3 2  0 c  0   f  0  2 d  2 3 2
Ta có g x   2
mx  nx  p   2
3 mx  nx  p  2 . Hệ số tự do bằng 3 2
p  3p  2 . Đồ thị
hàm số g x đi qua điểm 0;0 nên 3 2
p  3p  2  0  p  1 . Đồ thị hàm số     2 1 g x
f mx  nx  p có trục đối xứng x   nên đồ thị hàm số 2
y  mx  nx  p cũng có 2 1 n 1
trục đối xứng x    
   m  n. 2 2m 2
Đồ thị hàm số g x đi qua điểm 2; 2 nên m  n  1 g  2 0
g x 2m 13 32m 12 2 2            1  m  n    2
Do đồ thị có hướng quay lên trên nên ta suy ra m  0  m  n  p  1 f x
Câu 9. Cho 0  a  1  b  1  a và hàm số y  g x    có đạo hàm trên
f x  2 1 
0;. Biết đồ thị hàm số y  f x như hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng với
mọi x   a  1; b  1  
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 9
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y
y  f x n m O a b x f  b 1 f  a 1 f  b 1   
A. g x 
B. g x 
C. g x  D. 10 g x 0 m n m Lời giải 2
Ta có x   a  1; b  1  x  1 a;b  
, dựa vào đồ thị ta có
m  f  x  2  1 1 1 1  n    n
f x  12  m
Mặt khác 0  a  1  b  1  a dựa vào đồ thị ta thấy f x đồng biến trên  a  1; b  1   f  b 1
nên ta có f  a  1  f x  f  b  1  gx  m y
Câu 10. Cho hàm số f x có đạo hàm trên \ 
b và hàm số g x có đạo hàm trên . Biết
y  f x
đồ thị của hai hàm số y  f 'x , y  g 'x như
hình vẽ dưới. Đặt h x  f x  g x và S   h
 x  b 2   h 
bx   hchc 2 2 2 1 2   
y  gx
với a,b,c là các số thực đã biết. Khẳng định đúng
với mọi x  0 là? O a b c x
A. S  h c ; h a  c 
 B. S  h c
C. S  h c ; h a  b 
 D. S  ha ;hc   Lời giải x  a
Từ đồ thị đã cho ta suy ra h'x  f 'x  g'x ; h'x  0  f 'x  g'x   x   c
Lập bảng biến thiên ta có
10 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x
 a b c  h'x  0 + + 0  h c h x h a 2 Lại có     2        2     2 S h b x h c h b x
h x  b  hc
Câu 11. Cho hàm số f x có đạo hàm và xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình
vẽ dưới. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m  20  ;20 để hàm số
y  f  x  m có 5 điểm cực trị? x  2 y 3 3 O 1 x 2 A. 210 B. 212 C. 211 D. 209 Lời giải
Chúng ta có thể tính nhanh theo công thức là hàm số y  f  x  m có 5 điểm cực trị khi
và chỉ khi hàm số y  f x  m có 2 điểm cực trị dương và hàm số phải liên tục tại x  0 0 .
Dựa vào đồ thị của hàm số ta suy ra 1  m  0 m  1     m 2  0, 1  9, 1  8,..., 3  , 1  ,  0 2   m  0 m  2   
Câu 12. Cho 3 hàm số y  f x , y  g x , y  h x . Đồ thị của 3 hàm số
y  f x , y  gx , y  hx có đồ thị như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ  
thị của hàm số y  f x . Hàm số k x  f x    g  x   3 7 5 1  h 4x   đồng biến trên 2    khoảng nào dưới đây ?
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 11
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY y
y  g'x 10
y  f 'x 5 O 3 4 8 x
y  h'x  15   1   3   3  A.   ;0. B.   ; . C.  ;1. D. ;  .  4   4   8   8  Lời giải    
Ta cần giải bất phương trình k x  f x   15 3 ' ' 7  2g' 2x   4h' 4x       0  2   2 
Không thể giải trực tiếp bất phương trình này. Quan sát các đồ thị của các hàm số
y  f 'x , y  g'x , y  h'x ta nhận thấy
f 'x  10, x
 3;8; g'x  5, x
 , h'x  5, x  3;8
Do đó f 'a  2g'b  4h'c  10  2.5  4.5  0, a
 ,c 3;8,b 3  x  7  8  3
Vì vậy ta chỉ cần chọn  3
  x  1 . Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C. 3  4x   8 8  2
Câu 13. Cho 2 hàm số f x , g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng x  1, x  6
đều là các điểm cực trị của 2 hàm số f x , g x đồng thời f 1  g 6 , 2 f 6   g 1  3 và 2 f  5
 x  16  3g5x  9  1* .Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S  f x f x  gx   2 2
1  g x  g x . Tính tổng P  M  m ? y g x f x O 1 6 x 27 23 9 11 A. B. C. D. 4 4 2 2
12 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Lần lượt thay x  2, x  3 vào * đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương
2 f 1  3g6  1 
 f    g  
 f 1  g6  1 2 6 3 1  1  trình   
f    g   f   5 2 6 4 1 4 6  , g 1    2   f     g  2 2 1 4 6  4
Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận thấy rằng g x nghịch biến trên 1;6 và f x đồng biến   trên 
 gx  f x 5 1;6 1;2 ,  1; . 
để đơn giản ta đặt u  f x , y  g x 2    Ta có 2 2
S  u  2uy  y  u  y  f u; y. Coi đây là 1 hàm số theo ẩn u ta có y  f
u y  u  y    u  u   2 1 ' ; 2 2 1 0 2 5 35
Ta có f 1; y 2 2  
 1  2y  y  y  1  y  y  2; f ; y  2 y  4y     2  4  5   f
; y  f 1; y  0,y    1;2  2   3  2y  1  5   3  2y  1  5  Xét y  1;  u     1; và y  ; 2  u   1;  2 2  2    2  2  2      3   5  Với y  1; 
1 khảo sát hàm số f u; y theo biến u 1;  2   2     5  35 23 f u y  f
y  y  y  
f u; y  f  ;y   y  4y   u     2 ; 1; 2 1 ,và u   2  2  4 4  3   5  Với y  ;2 2 
. Lập bảng biến thiên cho hàm số f u; y theo biến u 1; ta có 2     2   2  y    y   y  y 
 f u y  f  y     
y y   y   y   u   2 1 2 1   2 2 1 8 1 7 ; ; 2 1  2   2  2 2 4  5  35 23
Và f u y  f  y   y  y   u  ;  2 ; 4  2  4 4 23 23 27
Từ 1 và 2  max S  M 
,min S  m  1  P  M  m   1  4 4 4 y
Câu 14. Cho hàm số y  f x liên tục trên
y  f x
đoạn 2; 2 và có đồ thị trên đoạn 2; 2 1
như hình vẽ dưới. Hỏi phương trình 2
3 f x  2 f x  9 
f x  2  3 có bao 1
nhiêu nghiệm thực trên đoạn 2; 3 ? 2 O 1 2 x A. 1 B. 2 1 C. 3 D. 4 Lời giải
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học
Chinh phục olympic toán | 13
MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỒ THỊ HAY
Ta có đồ thị hàm y  f x  2 như hình vẽ dưới ( phần trên trục Ox) y 1 O 1 2 3 4 x Xét hàm số y 
f x  2  3 trên đoạn 0; 4 ta có y  f x  2  3  2 ,
Xét hàm số y  f x trên đoạn 2; 2 ta có 3 f x  2 f x  9   f x  12 2 3  8  2
 f x  2  1 x  0
Suy ra VT  VP dấu “=” xảy ra khi     f  x  1 x  2
14 | Chinh phục olympic toán
Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học