Nghiệm tổng quát và phương trình tuyến tính | Toán cao cấp 1 (TCC1) | Đại học Tôn Đức Thắng

2
Ví dụ 5.8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y' '+ y'+ y=0 x sin biết một nghiệm riêng x y = 1 x
Giải: Tìm nghiệm y độc lập tuyến tính với y trong dạng (5.15). 2 1 2 x2 ⅇ−∫ ⅆx sin x x sin x x2 ⅇ−2ln x y = ∫ ⅆx= ⋅ ∫ ⅆx 2 x 2 sin x x sin x sin x ⅆx sin = x ∫ = ¿ x 2 sin x x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1
y= (C sin x +C cos x) x 1 2
Chú ý 5.4: Khi bài toán chưa cho trước nghiệm y  0 , ta phải xem xét dạng 1
phương trình để suy đoán được nghiệm hoặc tìm nghiệm theo sự gợi ý của bài toán.
B. Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp hai
* Dạng:y''+ p ( x) y'+q( x) y=f (x)
Định lí 5.9: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất
(5.13) bằng một nghiệm riêng bất kì của nó cộng với nghiệm tổng quát của
phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng (5.14).
Định lí 5.10: (Nguyên lý chồng nghiệm)
Nếu y ( ) là một nghiệm riêng của phương trình 1 x
y' '+ p ( x) y' +q ( x) y=f (x ) 1 Và y ( 2
x) là một nghiệm riêng của phương trình
y' '+ p ( x) y' +q ( x) y=f ( x ) 2
Thì y (x )= y (x)+ y (x) là một nghiệm riêng của phương trình 1 2
y' '+ p ( x) y' +q ( x ) y=f (x )+ ( x ) 1 f 2
Hệ quả 5.1: Nếu y (x ), y ( x ) là hai nghiệm riêng của phương trình (5.13) thì 1 2
y (x )− y ( x ) là một nghiệm phương trình (5.14). 1 2
Định lí 5.11: Nếu biết hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính y (x) , y (x) của 1 2
phương trình (5.14) thì có thể tìm nghiệm của phương trình (5.13) dạng
Y =C (x ) y ( x )+C (x ) y ( x) 1 1 2 2 y +C ' y =0 Trong đó :{ C'1 1 2 2 C ' + = 1 y ' 1
C '2 y ' 2 f (x)
Chứng minh: Giả sử biết hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của PTVP (5.14) là y , y2 . 1
Khi đó nghiệm tổng quát của (5.14) là: y=C y + y 1 1 C2 2
Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (5.13) dạng Y =C ( x ) y (x)+C (x) ( ) 2 y2 x 1 1
vớiC ( x ) ,C ( x ) là các hàm số của x 1 2
Có Y '=C ' y +C' y +C ' +C ' 1 1 2 2 1 y 1 2 y 2
Trước hết ta đặt điều kiện: C ' + ' =0 ' + ' (*) 1 y 1 C2 y2
, khi đó Y '=C1 y1 C2 y2
Bây giờ thay Y vào (5.13) ta sẽ nhận được:
C ( y¿¿1' ' + p y' +q y )+C ¿¿+q y ¿+C' y' +C' y' = 1 1 1 2 2 1 1 2 2 f (x)
Để Y là nghiệm thì cần: C ' y ' +C'
=f (x ) (**) 1 1 2 y ' 2
Các điều kiện (*) và (**) chính là hệ phương trình đối với các biếnC ' ' 1 , C2 { C' y +C' y =0 1 1 2 2 C ' + = 1 y ' 1
C '2 y ' 2 f ( x)
Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất vì w [ y , y ]≠ 0. 1 2
Từ đó ta tìm được các hàm số C ( x ) ,C ( x ) . 1 2