lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12
SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KRONECKER-CAPELLI GIẢI BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ
TƢƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Lê Hoàng Mai1* và Thái Minh Nguyễn2
1Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
2Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
*Tác giả liên hệ: lhmai@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo
Ngày nhận: 17/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 20/04/2021; Ngày duyệt ăng: 11/05/2021 Tóm tắt
Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng ịnh lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương ối
giữa hai mặt phẳng, giữa ường thẳng với mặt phẳng và giữa hai ường thẳng của hình học giải tích
trong không gian ở chương trình Toán phổ thông.
Từ khóa: Định lý Kronecker-Capelli, ường thẳng và mặt phẳng trong không gian, vị trí tương ối.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
USING KRONECKER-CAPELLI'S THEOREM TO SOLVE THE
EXERCISE ON THE RELATIVE POSITION OF ANALYTIC GEOMETRY IN SPACE
Le Hoang Mai1* and Thai Minh Nguyen2 1
Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University 2
Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University
* Corresponding author: lhmai@dthu.edu.vn Article history
Received: 17/03/2021; Received in revised form: 20/04/2021; Accepted: 11/05/2021 Abstract
In this paper, we use Kronecker-Capelli's theorem to solve the problem of relative position
between two planes, between the line and the plane, and between two lines of analytic geometry in
space in the Mathematics curriculum of general education. 3 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Keywords: Kronecker-Capelli's theorem, lines and planes in space, relative position.
DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.862
Trích dẫn: Lê Hoàng Mai và Thái Minh Nguyễn. (2021). Sử dụng ịnh lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí
tương ối của hình học giải tích trong không gian. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 3-12. 1. Đặt vấn ề
Vậy mặt phẳng hoàn toàn ược xác ịnh khi
Bài toán xét vị trí tương ối giữa hai mặt biết tọa ộ một iểm và véctơ pháp tuyến của nó.
phẳng, giữa ường thẳng với mặt phẳng và giữa
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt
hai ường thẳng nằm trong chương trình hình học
nâng cao lớp 12 (Đoàn Quỳnh, 2012). Đây là phẳng và
' lần lượt có phương trình
một nội dung khá quan trọng và thường xuyên
xuất hiện trong các ề thi trắc nghiệm học kỳ II : Ax By Cz D 0
lớp 12 của các sở giáo dục và ào tạo, ặc biệt là
' : A x B y C z D' ' ' '0. Khi ó,
các ề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc
gia môn Toán hàng năm. Trong chương trình (a) cắt ' khi và chỉ khi
Trung học phổ thông, bài toán vị trí tương ối
giữa hai mặt phẳng, giữa ường thẳng với mặt
A B C: : A B C': ': '.
phẳng và giữa hai ường thẳng ược giải quyết
tường minh dựa vào véctơ pháp tuyến của mặt (b) song song ' khi và chỉ khi
phẳng và véctơ chỉ phương của ường thẳng. A B C D
Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng kiến .
thức toán cao cấp ể giải một dạng toán Trung học
A' B' C ' D'
phổ thông. Cụ thể, chúng tôi sử dụng ịnh lý
Kronecker-Capelli trong Đại số tuyến tính ể xét (c) trùng ' khi và chỉ khi
vị trí tương ối giữa hai mặt phẳng, giữa ường A B C D
thẳng với mặt phẳng và giữa hai ường thẳng . trong không gian.
A' B' C ' D'
2. Bài toán vị trí tƣơng ối hình học giải
2.2. Vị trí tƣơng ối giữa ƣờng thẳng và
tích trong không gian mặt phẳng
Trong mục này chúng tôi giới thiệu lại
Trong không gian Oxyz, ường thẳng i qua
phương pháp xét vị trí tương ối giữa hai mặt
phẳng, giữa ường thẳng với mặt phẳng và giữa iểm M x( 0,y ,z )0 0 và có véctơ chỉ phương u
hai ường thẳng trong không gian ược trình bày (a b c, , ) trong ó a2 b2 c2 0 có phương trình trong Đoàn Quỳnh (2012). tham số là
2.1. Vị trí tƣơng ối giữa hai mặt phẳng x x
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) i 0 at y
qua iểm M x y z( 0, 0, 0) và có véctơ pháp tuyến y . 0 bt t, z
n (A B C, , ) trong ó A2 B2 C2 0 có phương
trình tổng quát là Ax By Cz D 0. z 0 ct 4 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 u n. 0
Trong trường hợp abc 0, viết dưới dạng .
phương trình chính tắc là A x x0 y y z z 0 0 (c) d song song khi và chỉ khi . a b c u n. 0
Ngoài ra, phương trình ường thẳng còn .
viết ược dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng A cắt nhau và như sau
2.3. Vị trí tƣơng ối giữa hai ƣờng thẳng
Trong không gian Oxyz, cho ường thẳng d Ax B y C z D 1 1 1 1 10 ,
i qua iểm M1, có véctơ chỉ phương u1 và ường A x B y C z D thẳng d 2 2 2 2 0
2 i qua iểm M2, có véctơ chỉ phương u2.
trong ó, A B C A B C: : ': ': ', phương trình này Khi ó,
ược gọi là phương trình tổng quát của ường
(a) d1 trùng d2 khi và chỉ khi
thẳng . Khi ó, véctơ chỉ phương của là u n n u u 1, 2
, với n1 (A B C1, 1, 1), n2 (A B C2, 1, 2 0 .
2, 2) lần lượt là các véctơ pháp tuyến của u M M1, 1 2 0 và .
Ta dễ dàng chuyển từ phương trình ường
(b) d1 song song d2 khi và chỉ khi
thẳng dạng tham số sang dạng tổng quát và ngược lại. u u1, 2
Trong không gian Oxyz, cho ường thẳng d i 0
qua iểm A và có véctơ chỉ phương u, . mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến n. Khi ó, u M M1, 1 2 0 (c) d (a)
1 cắt d2 khi và chỉ khi d cắt
khi và chỉ khi un. 0. (b) d nằm trên khi và chỉ khi u u1, 2 0 . 5 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên
3.3. Ma trận bậc thang dòng u u1, 2 .M M1 2 0 (d)
Ma trận có 2 tính chất sau ược gọi là ma
d1 chéo d2 khi và chỉ khi trận bậc thang dòng u u
- Các dòng khác không luôn ở trên các 1, 2 0 dòng không. .
- Trên hai dòng khác không thì phần tử u u1, 2 .M M1 2 0
khác không ầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở
bên phải cột chứa phần tử khác không ầu tiên ở
3. Định lý Kronecker-Capelli dòng trên.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu lại một
Những kết quả sau ây ã ƣợc chứng
số khái niệm liên quan ến ma trận, hệ phương minh
trình tuyến tính và ịnh lý KroneckerCapelli ược (a)
Mọi ma trận luôn luôn ưa ược về
trình bày trong (Đoàn Quỳnh,
dạng ma trận bậc thang dòng bằng các phép biến
2005), (Nguyễn Hữu Việt Hưng, 2004), (Nguyễn ổi sơ cấp dòng.
Viết Đông, 2009), (Leon, 2015) và (Trần Trọng Huệ, 2004). (b)
Các phép biến ổi sơ cấp dòng
không làm thay ổi hạng của ma trận. 3.1.
Hạng của ma trận (c)
Hạng của một ma trận bậc thang
Giả sử A là một ma trận m dòng, n cột với dòng bằng với số dòng khác không của nó.
các phần tử trong trường số thực . Cấp cao nhất
của các ịnh thức con khác 0 của A ược gọi là
3.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát
hạng của ma trận A, kí hiệu là rank A . Nói
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm rõ hơn, rank A
r nếu có một ịnh thức con m phương trình, n ẩn có dạng
cấp r của A khác 0 và mọi ịnh thức con cấp lớn
hơn r của A ều bằng 0.
a x11 1 a x12 2 ...a x1n n b1
3.2. Các phép biến ổi sơ cấp dòng
Cho ma trận A, các phép biến ổi sau ây ược
a x21 1 a x22 2 ... a x2n n b2 1
gọi là các phép biến ổi sơ cấp dòng trên ma trận A.
............................................ (a)
Nhân các phần tử trên một dòng
bất kì với một số thực k khác không;
a xm1 1 am2 2x ...a xmn n bm (b)
Đổi chỗ 2 dòng cho nhau; (c)
a11 a12 ... a1n
Cộng k lần các phần tử trên dòng
này vào các phần tử trên dòng kia. Ta kí hiệu A a21
a22 ... a2n ; 6 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 ... ... ... ... 4. Kết quả chính
Trong phần này, chúng tôi sử dụng ịnh lý am1
Kronecker-Capelli xét vị trí tương ối giữa hai am2 ... amn
mặt phẳng, giữa ường thẳng với mặt phẳng và
giữa hai ường thẳng trong không gian và cho các X x x T T 1 2 ... xn ; B b b
1 2 ... bm Khi ó, ví dụ vận dụng.
hệ 1 viết ược dưới dạng AX B gọi là dạng
4.1. Vị trí tƣơng ối của hai mặt phẳng trong không gian
ma trận của hệ phương trình tuyến
Định lý 4.1.1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
tính 1 . Ta kí hiệu A
A B| . Ma trận A ( ): Ax By Cz D 1 1 1 1 0, ( ):
ược gọi là ma trận hệ số và A A B| ược gọi Ax B y C z D 2 2 2 2 0, với A B C12
là ma trận bổ sung của hệ phương trình 1 .
12 12 0, A B C22 22 22 0.
3.5. Định lý Kronecker-Capelli A1 B1 C1
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát
gồm m phương trình, n ẩn có dạng 1 . Khi Đặt A và ó, A2 B2 C2 (a) Nếu rank A rank A
A12 B12 C12 DD12 . Khi ó, A B C
A thì hệ phương trình vô nghiệm. (a) Nếu rank A rank A (b) Nếu rank A rank 2 thì ( ) cắt . A n thì hệ
phương trình có nghiệm duy nhất. (b) Nếu rank A rank A (c) Nếu rank A rank 1 thì ( ) A
k n thì hệ phương trình có vô
số nghiệm và tập nghiệm của nó phụ trùng .
thuộc n k biến tự do. 7 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên (c)
Nếu 1 rank A( ) rank A( ) 2
Ví dụ 4.1.2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng thì ( ) song song . ( ):P
nx 9y 6z
Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn có dạng 12 0 ( ):3Q x 3y 2z m
Ax1 B y1 C z1 D1 0. 2 B y2 C z2 D2. A x
Hãy biện luận vị trí tương ối của P và
Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số
Q theo hai tham số m và n.
Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn
A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 1 và nx 9y 6z 12 bé hơn hoặc bằng 2. dạng 3 3y 2z
m . Ta có ma trận hệ số x (a) Vì rank A rank A
và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là
2 3 nên theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ
phương trình có vô số nghiệm và tập nghiệm A n
phụ thuộc một biến tự do hay giao iểm của ( ) 93 26 và A n3 93 3 26 12m . 3 và
là một ường thẳng trong
. Vậy ( ) Khi ó, nếu n 0 thì cắt . 2 m 6 2 (b) 3 Vì rank A rank A rank A rank 3 9 12
1 3 nên theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ
phương trình có vô số nghiệm và tập nghiệm 0
phụ thuộc hai biến tự do hay giao iểm của ( ) 3
hay rank A( ) rank A( ) 2, suy ra hai mặt và
là một mặt phẳng trong
. Vậy ( ) phẳng cắt nhau. Nếu n 0 thì trùng . rank A (c)
Vì 1 rank A( ) rank A( ) 2 9
nên theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương 6 12 rank 3 2
trình vô nghiệm. Vậy ( ) song song . m n 3 8 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 rank 33nn 327n 218n rank Arank A 12 3 n2mnn 27 1836 0 00 n 94. m mn36 rank 3n 27 27
- Hai mặt phẳng trùng nhau khi
2 n18 18 mn 36 36 . rank Arank A 11 3 n2n 2718 00 n 94. 0 3n mn 36 0 m Biện luận
Ví dụ 4.1.3. Trong không gian Oxyz, cho
- Hai mặt phẳng cắt nhau khi
hai mặt phẳng ( ):P x ay 3z b 0 và ( ):2Q x 4y cz 8 0 (a, b, c
là tham số). Giá trị của biểu thức T a b c
khi hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau là rank Arank A 22 A. T 8.
B. T 10. C. T 12.
D. T 14. 3 n2n 2718 0
Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn x ay 3z b 0 n 9. dạng 2x 4y cz 8. Ta có ma trận hệ số
- Hai mặt phẳng song song khi
và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là A 1 a4 3c , A 12 4a 3c b8 . 2 Khi ó, 9 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên rank A Đặt A A2 B C 2 2 và 1 a 3 b
A3 B3 C3 rank 2 4 c 8
A1 B1 C1 D1 rank
1 4 a2a c 36 A A B C 8 b2b . 2 2 2 D2 . Khi ó, 0
A3 B3 C3 D3
Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau khi rank A rank A 1 (a) Nếu rank A rank A 3 thì d 42a 0 a 2 cắt ( ). c 6 0 c 6 . (b) 82b 0 b 4 Nếu rank A rank A 2 thì d
Suy ra T a b c12. Chọn áp án C.
4.2. Vị trí tƣơng ối giữa ƣờng thẳng và nằm trong ( ).
mặt phẳng trong không gian
Định lý 4.2.1. Trong không gian Oxyz, cho (c)
Nếu 2 rank A( ) rank A( ) 3 ường thẳng
thì d song song với ( ). Ax B y Cz D1 1 1 1
Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn có dạng 0 d :
A x B y C z D2 2 2 2 0 với
Ax1 B y1 C z1 D1 A B C A B C 1: 1: 1 2 : 2 : 2 và mặt phẳng
A x2 B y2 C z2 D2. ( ): Ax B y C z D 3 3 3 3
A x3 B y3 C z3 D3
Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số
0 với A B C 32 32 32 0.
A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 2 và
A1 B1 C1
bé hơn hoặc bằng 3. 10 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 B (a) D Vì rank A rank A D 3 2 , C A3 A2
3 n nên theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ
phương trình có nghiệm duy nhất. Vậy d cắt ( D3 A3 ). B C 1 1 D1 C B 2 2 D2 . (b) Vì rank A rank A C3 D B
2 nên theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương 3 D3
trình có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc
một biến tự do hay giao iểm của d và ( ) là một
Nếu tồn tại detB 0 hoặc detC 0 hoặc
ường thẳng trong 3. Vậy d nằm trong ( ).
detD 0 thì rank A( ) 3. (c)
Vì 2 rank A( ) rank A( ) 3 Nếu detB detC detD 0 thì nên hệ
phương trình vô nghiệm. Vậy d song song với ( rank A( ) 2. ).
Ví dụ 4.2.3. Trong không gian Oxyz, cho
Nhận xét 4.2.2. Để tính hạng của ma trận A y z 5
ường thẳng d : x 1 và mặt
ta chỉ cần tính ịnh thức detA. Ta có thể dùng máy
tính cầm tay Casio fx-580VN X hoặc các loại 1 3 1 phẳng ( ): 3P
máy tính cầm tay khác có thể tính ược ịnh thức x 3y 2z 6 0. Mệnh cấp 3. ề nào dưới ây úng? Nếu A.
d cắt nhưng không vuông góc với
detA 0 thì rank A( ) 3. Suy ra rank mặt phẳng ( ).P A rank A
3. Nếu detA 0 thì rank B.
d vuông góc với mặt phẳng ( ).P
A( ) 2. Khi ó, ta tính các ịnh thức con C.
d song song với mặt phẳng ( ).P
D. d nằm trong mặt phẳng ( ).P
cấp 3 còn lại của ma trận A, cụ thể
Giải. Đường thẳng d có phương trình A B 1 1 D1 A1 C1 D1 3x y 3 B C A 2 2 tổng quát là z 2 D2 , 4 . Xét hệ phương B3 C3 trình x 11 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 3x y 3
( ):2P x 2y z 3 0. Mệnh ề nào dưới ây úng? 4 . Ma trận hệ số
tuyến tính 3 ẩn x z
A. d cắt ( ).P
B. d P . 3x 3y 2z 6 C. d P . D. d P . 3 1 0
Giải. Phương trình tổng quát của ường thẳng d là A 1 0 1 .
Để tính detA ta thao tác trên 3x 2y 7 3 3 2 2x 2z
8. Xét hệ phương trình tuyến
máy tính cầm tay Casio fx-580VN X như sau 3x 2y 7 Màn hình xuất hiện: 2z 8 . Ma trận hệ số tính 3 ẩn 2x
Suy ra detA 10 0, vậy d cắt ( ).P Để kiểm 2x 2y z 3
tra tính vuông góc của d và ( )P . Ta có u 3 2 0 d
(1, 3, 1), nP (3, 3,2). Vì tồn tại A 2 0 2 . Vì detA 0 nên 1 3 6
0 nên ud và nP không cùng 2 2 1 3 3
rank A( ) 2, do ó d song song hoặc nằm trong
phương hay d không vuông góc mặt phẳng ( ).P ( ).P Ta tiếp tục xác ịnh ma trận Vậy chọn áp án A. 3 2 0 7
Ví dụ 4.2.4. Trong không gian Oxyz, cho x 3 2t A 2 0 2 8 . Lần lượt tính ịnh 1 3t và mặt phẳng 2 2 1 3
ường thẳng d : y
thức các ma trận con cấp 3 của A là z 12t 12 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 3 . 2 7 3 0 7
x x2 a t2' a1 a2 0 2 2 2 2 8 , 8 , 1 ' 2 2 ' 2 1 b2 B 3 C 3
: y y b t , t . Đặt A b 2 2
z z2 c t2 ' 2 c 0 7 1 c2 D 0 2 8 .
Thao tác như trên ta tính a1 a2 x 2 x1 2 1 3
ược detB detC detD 0 và A b1 b2 y2 y1 .
nên d nằm trong ( ). Vậy chọn áp án C.
Chú ý. Trong bài toán này, khi ta tìm
c1 c2 z2 z1
ược ma trận A, vì theo Định lý 4.2.1 chỉ cần tồn Khi ó,
tại một trong ba ịnh thức con detB 0 hoặc
detC 0 hoặc detD 0 là có thể kết luận ược (a) Nếu 2 rank A rank A
d song song với ( )P nên ể rút ngắn ược thời gian
làm bài trắc nghiệm ta chỉ cần nhập ma trận B và 3 thì
tính detB. Nếu detB 0 ta kết luận ngay d song 1 và 2 chéo nhau.
song với ( )P , còn nếu detB 0, ta mới nhập
tiếp ma trận C, tính (b) Nếu 1 rank A rank A thì
detC rồi mới tới D.
4.3. Vị trí tƣơng ối giữa hai ƣờng thẳng trong không gian 1 và 2 song song.
Trong phần này, ta xét ường thẳng có
phương trình ở dạng tham số. Vì thế, nếu (c) Nếu rank A rank A 2 thì
phương trình ường thẳng chưa ở dạng tham số
thì ta chuyển về dạng tham số. Định lý 4.3.1. 1 và
Trong không gian Oxyz, cho 2 cắt nhau.
x x1 at1 (d) Nếu rank A rank A 1 thì hai ường thẳng 1:
y y1 bt t1 , và 1 và z z1ct1 2 trùng nhau. 13 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ần c. Vì rank A rank A 2 nên
theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương trình a t ' 1
a t2 x2 x
có nghiệm duy nhất. Vậy 1và 2 cắt nhau. ' 1
bt1 b t2 y2 y1 . d. Vì rank A rank A 1 nên c t ' 1
c t2 z2 z1
theo ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương trình
có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một a. Vì rank A
rank A nên theo biến tự do hay giao iểm của 1 và 2 là một
ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô ường thẳng. Vậy 1và 2trùng nhau.
nghiệm. Hơn nữa, rank A 2 nên hệ
Ví dụ 4.3.2. Trong không gian Oxyz, cho
hai ường thẳng d1 : x 7 y 3 z 9 và u u 1 2 1 1, 2
ộc lập tuyến tính hay u u1, 2 không
d2 : x 3 y 1 z 1. Chọn khẳng ịnh
cùng phương. Vậy 1 và 2 chéo nhau. 1 2 3
úng trong các khẳng ịnh sau? A. d1 b. Vì rank A rank A nên theo và d2 cắt nhau.
ịnh lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô
B. d1 và d2 song song.
C. d1 và d2 trùng nhau.
nghiệm. Hơn nữa rank A 1 nên hệ u u1,
D. d1 và d2 chéo nhau.
Giải. Phương trình tham số của d1 và d2 lần 2
phụ thuộc tuyến tính hay u u1, 2 cùng x 7 t x 3 t ' phương. Vậy 1 và 2 song song. lượt là d1 :
y 32t và d2 : y 1 2t '. Xét 14 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 1 z 9 t z 1 3t ' rank
hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn 0 t t '4 0 2t 2t '
2. Ta có ma trận hệ số và ma trận 3. t 3t ' 8 bổ sung 1 1 1 1 4 2 2 2 và A 3 2 . A Suy ra 2 rank A rank A 3. Vậy 2 1 8 d 3 1
1 và d2 chéo nhau. Chọn áp án D. Khi ó,
Ví dụ 4.3.3. Xét vị trí tương ố i của hai rank 4
ường thẳng d1 : x 3 y 3 z 1 và A 2 1 2 1 1 x 5 2t ' rank 8 d 2 2 : y 1 t ' 1 4 . 1 2 z 5 t ' 6 3
A. d1 chéo d2.
B. d1 d2. 1 1 12 C. d d 1 cắt d2. D. d1 2. rank 4 4 2 0
Giải. Phương trình tham số của ường 1 6 x 3 2t 0 4 1
3 t . thẳng d là 0 30 y 15 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên z 1 t Suy ra 1 rank A rank A 2. Vậy
Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn 2t 2t ' 2
d1 d2. Chọn áp án D. t t '
Ví dụ 4.3.4. Trong không gian Oxyz, cho x 4
. Ta có ma trận hệ số và ma trận hai ường thẳng 1 : 2 y 1 z 1 và t t ' 4 1 3 1 bổ sung
x 1 y 1 z . Chọn khẳng 2 2 2 2 2 2 : ịnh úng 3 2 1 trong các khẳng ịnh sau? A 1 1 và A 1 1 4 .
A. 1 và 2 trùng nhau. 1 1 1 1 4 B. Khi ó, 1 và 2 chéo nhau. C. 1 và 2 song song. rank A D. 1 và 2 cắt nhau. 2 2 2
Giải. Phương trình tham số của 1 và 2 lần rank 1 1 4 lượt là x 2 t x 1 3t' 1 1 4 1 : y 13t và 2 : y 1 2t'. rank 1212 42 z 1 t z t'
Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn rank 1010 410 t 3t '3 3t 2t '
2. Ta có ma trận hệ số và ma trận 2. t t ' 1 bổ sung 1 3 1 3 3 16 lOMoAR cPSD| 47207194
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 5. Kết luận. A 3
Trong bài viết này, chúng tôi ã trình bày một 1 1
phương pháp giải bài toán xét vị trí tương ối giữa 1 1 1 2
và A hai mặt phẳng, giữa ường thẳng với mặt phẳng
và giữa hai ường thẳng trong không gian bằng Khi ó, 3
2 cách áp dụng ịnh lý Kronecker-Capelli thông rank A
qua việc tính hạng của các ma trận hệ số và mở 2 .
rộng. Kết quả bài viết này cung cấp cho giáo
viên, sinh viên toán và học sinh trung học phổ
thông có thêm một cách giải khác cho bài toán 1
xét vị trí tương ối, từ ó góp phần nâng cao hiệu
quả dạy và học môn toán ở trường phổ thông và rank 3
khoa toán các trường ại học. 3
Qua bài viết trên, chúng ta thấy rằng có thể 1 2
sử dụng kiến thức Đại số tuyến tính mà sinh viên
ược học ở chương trình ại học vào việc giải một 1
số bài toán trong chương trình trung học phổ 3 1 thông. rank 1 2 1
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục 1 3
khai thác các ứng dụng của ịnh thức nói riêng và 3 1
ại số tuyến tính nói chung ể giải một số bài toán 2
về iều kiện thẳng hàng, iều kiện ồng phẳng, tính 1 3
thể tích khối chóp, khối hộp, khoảng cách giữa 2 1
hai ường thẳng chéo nhau… trong chương trình rank 0 1
toán trung học phổ thông. 4 0 4
Lời cám ơn: Nghiên cứu này ược hỗ trợ bởi 5 5
ề tài nghiên cứu khoa học sinh viên của 1
Trường Đại học Đồng Tháp mã số 1 1 SPD2020.02.05./. 4 rank 0 Suy ra, rank 4
Tài liệu tham khảo 0 0 A
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương 0
(Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng
và Tạ Mân. (2012). Hình học nâng cao 12. 2. rank A
Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam.
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh,
2. Vậy 1 và 2 cắt nhau. Chọn áp án D. 17 lOMoAR cPSD| 47207194
Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân và Nguyễn
Doãn Tuấn. (2005). Giáo trình Đại số tuyến
tính và Hình học giải tích. Hà Nội: NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
Nguyễn Hữu Việt Hưng. (2004). Đại số tuyến
tính. Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương,
Nguyễn Anh Tuấn và Lê Anh Vũ. (2009).
Toán cao cấp tập 2, Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam.
Leon S. J. (2015). Linear algebra with
applications. University of Massachusetts, Dartmouth.
Trần Trọng Huệ. (2004). Giáo trình Đại số tuyến
tính và hình học giải tích (Tập I). Hà Nội:
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 18