Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang Toán 12

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:
58 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang Toán 12

Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – Dương Phước Sang Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

56 28 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

58 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
Chương 3
Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn [a; b].
1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
F(x) là 1 nguyên hàm của f (x) trên K ⇔F
0
(x) = f (x),∀x ∈K
Z
f (x)dx =F(x) +C ⇔F
0
(x) = f (x),∀x ∈K (với C là một hằng số thực bất kỳ).
Z
b
a
f (x)dx =F(x)
¯
¯
¯
b
a
=F(b) −F(a). Từ đây ta có F( b) = F(a) +
Z
b
a
f (x)dx.
2. Tích chất của nguyên hàm
Mỗi hàm số f (x) liên tục trên K có vô số nguyên hàm trên K. Các nguyên hàm đó chỉ
sai khác nhau một hằng số C, nghĩa là nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f (x)
trên K thì F(x) −G(x) =C,∀x ∈ K.
Z
[
f (x) ± g(x)
]
dx =
Z
f (x)dx ±
Z
g(x) dx;
Z
k f (x ) dx = k
Z
f (x)dx, ∀k ∈R, k 6=0.
Z
f
0
(x)dx = f (x) +C;
µ
Z
f (x)dx
0
= f (x);
(giả sử f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên K)
3. Tích chất của tích phân
Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c. Khi đó
Z
b
a
f
0
(x)dx = f (x )
¯
¯
¯
b
a
= f (b) − f (a).
Z
b
a
f (x)dx =
Z
b
a
f (t)dt =
Z
b
a
f (u)du.
Z
b
a
[
f (x) ± g(x)
]
dx =
Z
b
a
f (x)dx ±
Z
b
a
g(x) dx.
Z
b
a
k f (x) dx = k
Z
b
a
f (x)dx, ∀k ∈R
Z
b
a
f (x)dx =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx, ∀a, b, c ∈ K.
Z
a
a
f (x)dx =0.
Z
a
b
f (x)dx =−
Z
b
a
f (x)dx.
f (x) > 0,∀x ∈[a; b] ⇒
Z
b
a
f (x)dx > 0.
f (x) 6 0,∀x ∈[a; b] ⇒
Z
b
a
f (x)dx 6 0.
µ
Z
x
a
f (t)dt
0
= f (x),∀a ∈ K.
1
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thông dụng
Lưu ý: nếu
Z
f (x)dx = F(x) +C thì
Z
f (ax +b)dx =
1
a
·F(ax +b) +C (a 6=0).
Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng (đổi x thành ax +b, a 6=0)
•
Z
dx = x +C •
Z
adx = ax +C
•
Z
x
α
dx =
x
α+1
α +1
+C, α 6= −1 •
Z
(ax +b)
α
dx =
1
a
·
(ax +b)
α+1
α +1
+C, α 6= −1
•
Z
1
x
2
dx =−
1
x
+C •
Z
1
(ax +b)
2
dx =−
1
a
·
1
ax +b
+C
•
Z
1
p
x
dx =2
p
x +C •
Z
1
p
ax +b
dx =
2
a
·
p
ax +b +C
•
Z
p
xdx =
2
3
x
p
x +C •
Z
p
ax +bdx =
2
3a
·(ax +b)
p
ax +b +C
•
Z
e
x
dx =e
x
+C •
Z
e
ax+b
dx =
1
a
·e
ax+b
+C
•
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+C •
Z
a
mx+n
dx =
1
m
·
a
mx+n
ln a
+C
•
Z
1
x
dx =ln|x|+C •
Z
1
ax +b
dx =
1
a
·ln
¯
¯
ax +b
¯
¯
+C
•
Z
sin xdx =−cos x +C •
Z
sin(ax +b)dx =−
1
a
cos(ax +b) +C
•
Z
cos xdx =sin x +C •
Z
cos(ax +b)dx =
1
a
sin(ax +b) +C
•
Z
1
cos
2
x
dx =tan x +C •
Z
1
cos
2
(ax +b)
dx =
1
a
·tan(ax +b) +C
•
Z
1
sin
2
x
dx =−cot x +C •
Z
1
sin
2
(ax +b)
dx =−
1
a
·cot(ax +b) +C
Một số công thức bổ sung để làm bài trắc nghiệm
•
Z
1
x
2
−a
2
dx =
1
2a
ln
¯
¯
¯
x −a
x +a
¯
¯
¯
+C •
Z
1
(
ax +b
)(
cx +d
)
dx =
1
ad −cb
ln
¯
¯
¯
¯
ax +b
cx +d
¯
¯
¯
¯
+C
•
Z
tan
2
xdx =tan x −x +C •
Z
cot
2
xdx =−cot x −x +C
•
Z
tan x dx =−ln
|
cos x
|
+C •
Z
cot x dx =ln
|
sin x
|
+C
•
Z
1
sin x
dx =ln
¯
¯
¯
tan
x
2
¯
¯
¯
+C •
Z
1
cos x
dx =ln
¯
¯
¯
tan
³
x
2
+
π
4
´
¯
¯
¯
+C
•
Z
1
x
n
dx =−
1
n −1
·
1
x
n−1
+C •
Z
n
p
xdx =
n
n +1
·x
n
p
x +C
•
Z
1
p
a
2
−x
2
dx =arcsin
x
|a|
+C •
Z
1
x
2
+a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+C
•
Z
dx
p
x
2
+a
=ln
¯
¯
¯
x +
p
x
2
+a
¯
¯
¯
+C •
Z
p
x
2
+a dx =
x
2
p
x
2
+a +
a
2
ln
¯
¯
¯
x +
p
x
2
+a
¯
¯
¯
+C
Dương Phước Sang 2 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
5. Công thức nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần
Với u = u (x), v =v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K ta có
Z
u dv = uv −
Z
vdu
Z
b
a
u dv =
¡
uv
¢
¯
¯
b
a
−
Z
b
a
vdu
Dưới đây là bảng các dạng nguyên hàm (tích phân) từng phần thường gặp:
Z
P(x).e
ax+b
dx
Z
P(x). sinax dx
Z
P(x). cosax dx
Z
e
ax
cos x dx
Z
P(x). ln xdx
u P(x) P(x) P(x) cos x ln x
dv e
ax+b
dx sin ax dx cos ax dx e
ax
dx P(x) dx
(P(x) là ký hiệu cho một đa thức ẩn x có dạng a
n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+···+a
1
x +a
0
)
6. Phương pháp đổi biến số trong bài toán nguyên hàm, tích phân
Nếu
Z
f (x)dx = F(x) +C thì
Z
f
£
t(x)
¤
.t
0
(x)dx =F
£
t(x)
¤
+C
Dạng tích phân Đặc điểm nhận dạng Cách đặt
Z
a.t(x) +b.t
0
(x)
t(x)
dx Đặt biểu thức dưới mẫu t = t(x)
Z
f
³
e
t(x)
´
.t
0
(x)dx
Đặt biểu thức ở phần số mũ t = t(x)
Z
f
¡
t(x)
¢
.t
0
(x)dx Đặt biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc t = t(x)
Z
f
³
n
p
t(x)
´
.t
0
(x)dx Đặt căn thức có trong tích phân t =
n
p
t(x)
Z
f
(
ln x
)
.
dx
x
Đặt biểu thức chứa lnx t =ln x
Z
f (sin x).cos
2n−1
xdx Gặp cos
(mũ lẻ)
x.dx đi kèm biểu thức theo sinx t =sin x
Z
f (cos x).sin
2n−1
xdx Gặp sin
(mũ lẻ)
x.dx đi kèm biểu thức theo cosx t =cos x
Z
f (tan x).
dx
cos
2
x
Gặp
dx
cos
2
x
đi kèm biểu thức theo tan x t =tan x
Z
f (cot x).
dx
sin
2
x
Gặp
dx
sin
2
x
đi kèm biểu thức theo cot x t =cot x
Z
f (e
ax+b
).e
ax+b
dx Gặp e
ax+b
dx đi kèm biểu thức theo e
ax+b
t =e
ax+b
Z
f
¡
x
α+1
¢
.x
α
dx Gặp x
α
dx đi kèm biểu thức theo x
α+1
t = x
α+1
Z
f
¡
x
α
¢
.
dx
x
Gặp
dx
x
đi kèm biểu thức theo x
α
t = x
α
Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x) +n ta sẽ gặp thuận lợi hơn trong tính toán
Dương Phước Sang 3 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
7. Phép lượng giác hoá trong phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1)
Dấu hiệu Vi phân kèm theo Cách đặt (giả sử a > 0)
p
a
2
−x
2
x
2n
dx x = a sin t, với −
π
2
6 t 6
π
2
p
2ax −x
2
x
2n
dx x −a =a sin t, với −
π
2
6 t 6
π
2
a
2
+x
2
x
2n
dx x = a tan t, với −
π
2
< t <
π
2
p
x
2
−a
2
x
2n
dx x =
a
sin t
, với −
π
2
6 t 6
π
2
, t 6=0
r
a +x
a −x
hoặc
r
a −x
a +x
x = a cos2t, với 0 6 t 6
π
2
p
(x −a)(b −x) x −a =(b −a)sin
2
t, với 0 6 t 6
π
2
8. Một số dạng tích phân đặc biệt (hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn,...)
Nếu f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên khoảng K chứa [−a; a] thì
Z
a
−a
f (x)dx =0.
Nếu f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên khoảng K chứa [−a; a] thì
Z
a
−a
f (x)dx =2
Z
a
0
f (x)dx.
Z
a
−a
f (x)
1 +b
x
dx =
1
2
Z
a
−a
f (x)dx.
Nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì
Z
π
2
0
f (sin x)dx =
Z
π
2
0
f (cos x)dx.
Z
π
0
f (sin x)dx =2
Z
π
2
0
f (sin x)dx.
Z
π
0
x f (sin x) dx =
π
2
Z
π
0
f (sin x)dx.
Z
b
a
f (x)dx =
Z
b
a
f (a +b −x)dx.
Nếu hàm số f (x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì
Z
a+T
a
f (x)dx =
Z
T
0
f (x)dx.
Hai công thức tính tích phân đặc biệt:
Z
b
a
¡
u(x) +u
0
(x)
¢
e
x
dx =
¡
u(x)e
x
¢
¯
¯
¯
b
a
Z
b
a
¡
m.u(x) +u
0
(x)
¢
e
mx
dx =
¡
u(x)e
mx
¢
¯
¯
¯
b
a
9. Ứng dụng tích phân giải bài toán về tốc độ thay đổi của một đại lượng
Kiến thức chung: f
0
(x) đặc trưng cho tốc độ thay đổi của đại lượng f (x) theo biến số x.
Khi đó f (b) = f (a ) +
Z
b
a
f
0
(x)dx
Bài toán chuyển động: s(t
2
) = s(t
1
) +
Z
t
2
t
1
v(t)dt
µ
lưu ý: s(t) =
Z
v(t)dt, v(t) =
Z
a(t)dt
s(t), v(t), a(t) lần lượt là quãng đường, vận tốc, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t.
Bài toán sinh học: N(t
2
) = N(t
1
) +
Z
t
2
t
1
N
0
(t)dt, trong đó
N(t), N
0
(t) lần lượt là số lượng cá thể và tốc độ sinh sôi của chúng tại thời điểm t.
Dương Phước Sang 4 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
10. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng (H) giới hạn bởi
(
y = f (x), y = g(x)
x = a, x = b
có diện tích S =
Z
b
a
¯
¯
f (x) − g(x)
¯
¯
dx.
x
y
O
a
b
c d
y = f (x)
S =
Z
c
a
f (x)dx −
Z
d
c
f (x)dx +
Z
b
d
f (x)dx
x
y
O
a
b
c
f (x)
g(x)
S =
Z
c
a
¡
f (x) − g(x)
¢
dx +
Z
b
c
¡
g(x) − f (x)
¢
dx
? Một số lưu ý về cách xử lý dấu |·| trong dấu tích phân khi tính diện tích hình phẳng:
Phương trình của trục hoành là y =0, phương trình của trục tung là x =0.
Nếu có đồ thị của các hàm số (như hai hình minh hoạ trên đây), ta xác định hình
phẳng cần tính diện tích rồi lập công thức tính diện tích dựa trên hình đã vẽ đó.
Nếu s(x) > 0,∀x ∈[a; b] thì
Z
b
a
¯
¯
s(x)
¯
¯
dx =
Z
b
a
s(x)dx.
Nếu s(x) 6 0,∀x ∈[a; b] thì
Z
b
a
¯
¯
s(x)
¯
¯
dx =−
Z
b
a
s(x)dx.
Chỉ khi phương trình s(x) = 0 không có nghiệm nào ở giữa a và b ta mới được sử
dụng công thức
Z
b
a
¯
¯
s(x)
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
Z
b
a
s(x)dx
¯
¯
¯
¯
.
Nếu phương trình s(x) = 0 có nghiệm ở giữa a và b (giả sử chỉ có một nghiệm
x
0
∈ (a; b)) ta cần dùng nghiệm x
0
đó chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ hơn và
biến đổi tích phân theo kiểu như sau
Z
b
a
¯
¯
s(x)
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
Z
x
0
a
s(x)dx
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
Z
b
x
0
s(x)dx
¯
¯
¯
¯
.
11. Ứng dụng tích phân tính thể tích của một vật thể
? Công thức tính thể tích của một vật thể dựa vào diện tích mặt cắt
P
Q
x
y
O
a x
b
S(x)
V =
b
Z
a
S(x) dx
Trong đó S(x) là diện tích của
thiết diện được tạo ra bởi vật
thể và mặt phẳng vuông góc
với Ox, cắt Ox tại x.
? Các công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay (khi quay hình (H) quanh Ox)
x
y
O
a
b
f (x)
V =π
Z
b
a
f
2
(x)dx
x
y
O
a
b
f (x)
g(x)
V =π
Z
b
a
¯
¯
f
2
(x) −g
2
(x)
¯
¯
dx
Cho hình phẳng (H) giới hạn
bởi y = f (x), y = g(x) và hai
đường x = a, x = b (a < b). Khi
quay hình (H) quanh Ox , phải
có điều kiện f (x).g(x) > 0 với
mọi x ∈ [a; b] ta mới được sử
dụng công thức ghi bên đây để
tính thể tích vật thể tròn xoay
được tạo thành.
Dương Phước Sang 5 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
II. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH
| Ví dụ 1. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x ) =
p
2x +1 trên khoảng
¡
−
1
2
;+∞
¢
thoả mãn F(0) =1. T ính F(4).
M Lời giải
Xét
Z
f (x)dx =
Z
p
2x +1dx =
1
3
(2x +1)
p
2x +1 +C ⇒ F(x) =
1
3
(2x +1)
p
2x +1 +C.
Do F(0) =1 nên
1
3
+C =1 ⇔C =
2
3
.
Vậy F(x) =
1
3
(2x +1)
p
2x +1 +
2
3
, suy ra F(4) =
29
3
.
Cách 2
Ta có F(4) = F(0) +
Z
4
0
f (x)dx =1 +
Z
4
0
p
2x +1dx =1 +
µ
1
3
(2x +1)
p
2x +1
¯
¯
¯
4
0
=
29
3
.
| Ví dụ 2. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là nguyên hàm của
hàm số f (x) =
x(x +2)
(x +1)
2
?
A. F(x) =
x
2
x +1
. B. G(x) =
x
2
+x +1
x +1
. C. H(x) =
x
2
+x −1
x +1
. D. K(x) =
x
2
−x −1
x +1
M Lời giải
Hướng 1 (giải tìm họ nguyên hàm của f (x))
Ta có
Z
f (x)dx =
Z
x(x +2)
(x +1)
2
dx =
Z
µ
1 −
1
(x +1)
2
dx = x +
1
x +1
+C =
x
2
+(C +1)x +(C +1)
x +1
.
Như vậy H(x) không phải là nguyên hàm của f (x) do không có dạng đã tìm được.
Hướng 2 (dùng định nghĩa của nguyên hàm)
Theo hướng này ta cần tìm ra hàm số có đạo hàm không đồng nhất với f (x).
Nếu dùng công thức tính nhanh
µ
ax
2
+bx +c
mx +n
0
=
amx
2
+2anx +bn −cm
(mx +n)
2
ta tìm được
H
0
(x) =
x
2
+2x +2
(x +1)
2
6≡ f (x) nên H(x) không phải là một nguyên hàm của f (x).
Hướng 3 (dùng mối liên hệ giữa các nguyên hàm của cùng 1 hàm số)
Theo phát biểu của đề bài, trong 4 hàm số F(x), G(x), H(x), K(x) chắc chắn có 3 hàm số
là nguyên hàm của f (x) và 1 hàm số không phải là nguyên hàm của f (x).
Như vậy khi ta tìm hiệu của hai trong 4 hàm số đó có mà kết quả thu gọn là một hằng
số thì cả hai hàm số được xét đều là nguyên hàm của f (x).
G(x) −F(x) =
x
2
+x +1
x +1
−
x
2
x +1
=1,∀x do đó F(x), G(x) đều là nguyên hàm của f (x).
H(x) −F(x) =
x
2
+x −1
x +1
−
x
2
x +1
=
x −1
x +1
6=C ⇒ H(x) không là nguyên hàm của f (x).
Dương Phước Sang 6 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 3. Biết
Z
x
5
1 +x
2
dx = mx
4
+nx
2
+ p ln(x
2
+1) +C, trong đó C là hằng số thực;
m, n, p là các hệ số hữu tỷ. Hãy tính T = m +n +p.
M Lời giải
Cách 1: dùng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
5
1 +x
2
.
Xét I =
Z
x
5
1 +x
2
dx =
Z
x
4
1 +x
2
·xdx. Đặt t = x
2
thì dt =2x dx ⇒
1
2
dt = x dx.
Từ đó I =
1
2
Z
t
2
1 +t
dt =
1
2
Z
µ
t −1 +
1
1 +t
dt =
1
2
µ
t
2
2
−t +ln
¯
¯
1 +t
¯
¯
+C
=
1
4
t
2
−
1
2
t +
1
2
ln
¯
¯
1 +t
¯
¯
+C =
1
4
x
4
−
1
2
x
2
+
1
2
ln(1 +x
2
) +C.
Như vậy, m =
1
4
, n =−
1
2
, p =
1
2
⇒T = m +n + p =
1
4
.
Cách 2: dùng định nghĩa nguyên hàm
Z
x
5
1 +x
2
dx = mx
4
+nx
2
+ p ln(x
2
+1) +C ⇒
x
5
1 +x
2
=
¡
mx
4
+nx
2
+ p ln(x
2
+1)
¢
0
,∀x ∈R
⇒
x
5
1 +x
2
=4mx
3
+2nx +
2px
1 +x
2
,∀x ∈R ⇒ x
5
=4mx
5
+(4m +2n)x
3
+(2n +2p)x, ∀x ∈R
⇒
4m =1
4m +2n =0
2n +2p =0
⇒
m =
1
4
n =−
1
2
p =
1
2
⇒T = m +n + p =
1
4
.
| Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =(2x −1)e
3x
.
M Lời giải
Xét
Z
f (x)dx =
Z
(2x −1)e
3x
dx. Đặt
(
u =2x −1
dv =e
3x
ta có
du =2dx
v =
1
3
e
3x
nên
Z
f (x)dx =
(2x −1)e
3x
3
−
Z
2
3
e
3x
dx =
(2x −1)e
3x
3
−
2e
3x
9
+C.
| Ví dụ 5. Cho F(x) =−
1
3x
3
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
trên khoảng (0; +∞).
T ìm nguyên hàm của hàm số f
0
(x).ln x.
M Lời giải
Do F(x) =−
1
3x
3
là nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
trên R
+
nên
¡
F(x)
¢
0
=
f (x)
x
,∀x >0
hay
µ
−
1
3x
3
0
=
f (x)
x
⇔
1
x
4
=
f (x)
x
. Suy ra f (x) =
1
x
3
.
Xét
Z
f
0
(x)ln x dx. Đặt
(
u =ln x
dv = f
0
(x)dx
ta có
du =
1
x
dx
v = f (x)
do đó
Z
f
0
(x)ln x dx = f (x) ln x −
Z
f (x)
x
dx =
ln x
x
3
−
Z
1
x
4
dx =
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C.
Dương Phước Sang 7 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 6. Tính tích phân I =
Z
2
0
2x
2
−5x
2x +1
dx.
M Lời giải
2x
2
−5x
2x
2
+x
−6x
−6x −3
3
2x +1
x −3
Thực hiện phép chia đa thức 2x
2
−5x cho 2x +1 ta được
thương là x −3 và phần dư là 3.
I =
Z
2
0
µ
x −3 +
3
2x +1
dx =
µ
x
2
2
−3x +
3
2
ln
¯
¯
2x +1
¯
¯
¯
¯
¯
2
0
=
3
2
ln5 −4.
| Ví dụ 7. Tính tích phân I =
Z
3
1
11 −x
(2x −1)(3x +2)
dx.
M Lời giải
Ngoài nháp ta viết
11 −x
(2x −1)(3x +2)
=
A
2x −1
+
B
3x +2
và tìm được A =3, B =−5.
I =
Z
3
1
11 −x
(2x −1)(3x +2)
dx =
Z
3
1
µ
3
2x −1
−
5
3x +2
dx =
µ
3
2
ln
¯
¯
2x −1
¯
¯
−
5
3
ln
¯
¯
3x +2
¯
¯
¯
¯
¯
3
1
=
µ
3
2
ln5 −
5
3
ln11
−
µ
3
2
ln1 −
5
3
ln5
=
19
6
ln5 −
5
3
ln11.
| Ví dụ 8. Tính tích phân I =
Z
3
1
x
2
+5x −5
x
3
+1
dx.
M Lời giải
Ngoài nháp ta viết
x
2
+5x +5
x
3
+1
=
x
2
+5x +5
(x +1)(x
2
−x +1)
=
A
x +1
+
Bx +C
x
2
−x +1
và tìm được A =−3, B =4, C =−2.
Như vậy I =
Z
3
1
µ
4x −2
x
2
−x +1
−
3
x +1
dx =
Z
3
1
4x −2
x
2
−x +1
dx −
(
3ln|x +1|
)
¯
¯
¯
3
1
= A −3ln2.
Với A =
Z
3
1
2(2x −1)
x
2
−x +1
dx. Đặt t = x
2
−x +1 thì dt =(2x −1)dx.
Đổi cận
(
x =1 ⇒ t =1
x =3 ⇒ t =7
. Suy ra A =
Z
7
1
2
t
dt =
(
2ln|t|
)
¯
¯
¯
7
1
=2ln7. Như vậy I =2 ln 7 −3ln2.
| Ví dụ 9. Tính tích phân I =
Z
2
1
2x
2
+3x +3
(x +1)(2x +1)
2
dx
M Lời giải
Viết nháp:
2x
2
+3x +3
(x +1)(2x +1)
2
=
A
x +1
+
B
2x +1
+
C
(2x +1)
2
ta tìm được A =2, B =−3, C =4.
Ghi: I =
Z
2
1
µ
2
x +1
−
3
2x +1
+
4
(2x +1)
2
dx =
µ
2ln
¯
¯
x +1
¯
¯
−
3
2
ln
¯
¯
2x +1
¯
¯
−
2
2x +1
¯
¯
¯
2
1
=
µ
2ln3 −
3
2
ln5 −
2
5
−
µ
2ln2 −
3
2
ln3 −
2
3
=
7
2
ln3 −
3
2
ln5 −2 ln 2 +
4
15
.
Dương Phước Sang 8 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 10. Tính các tích phân sau đây
A =
Z
π
3
0
2sin x
1 +3 cos x
dxa) B =
Z
2
0
x
3
p
x
2
+1.dxb) C =
Z
2
1
1
x(x
3
+2)
2
dxc)
M Lời giải
Câu a. A =
Z
π
3
0
2sin x
1 +3 cos x
dx. Đặt t =1 +3cos x ⇒ dt =−3sin x dx ⇒−
1
3
dt =sin x dx.
Đổi cận và thay vào tích phân A ta được A =−
1
3
Z
5
2
4
2
t
dt =−
2
3
ln
¯
¯
t
¯
¯
¯
¯
¯
5
2
4
=
2
3
ln
8
5
.
Câu b. B =
Z
2
0
x
3
p
x
2
+1.dx =
Z
2
0
x
2
p
x
2
+1.x dx
Đặt t =
p
x
2
+1 ⇒ t
2
= x
2
+1 ⇒2t dt =2x dx hay t dt = x dx.
Đổi cận và thày vào tích phân B ta được
B =
Z
p
5
1
(t
2
−1).t.t dt =
Z
p
5
1
(t
4
−t
2
)dt =
µ
1
5
t
5
−
1
3
t
3
¯
¯
¯
p
5
1
=
10
p
5
3
+
2
15
.
Câu c. C =
Z
2
1
1
x(x
3
+2)
2
dx =
1
3
Z
2
1
3x
2
x
3
(x
3
+2)
2
dx.
Đặt t = x
3
+2 ⇒ dt =3x
2
dx. Đổi cận và thay vào tích phân C ta được
C =
1
3
Z
10
3
1
(t −2)t
2
dt =
1
12
Z
10
3
µ
1
t −2
−
1
t
−
2
t
2
dt =
1
12
µ
ln|t −2|−ln |t|+
2
t
¯
¯
¯
10
3
=
1
12
µ
ln8 −ln 10 +
1
5
−
1
12
µ
ln1 −ln 3 +
2
3
=
1
12
ln
12
5
−
7
180
.
| Ví dụ 11. Tính các tích phân sau đây:
A =
Z
1
0
(2x +1)e
x
dxa) B =
Z
2
0
xln(x
2
+3)dxb) C =
Z
π
0
e
x
cos x dxc)
M Lời giải
Câu a. A =
Z
1
0
(2x +1)e
x
dx. Đặt
(
u =2x +1
dv =e
x
dx
ta có
(
du =2dx
v =e
x
ta được
A =(2x +1)e
x
¯
¯
¯
1
0
−
Z
1
0
2e
x
dx =3e −1 −2e
x
¯
¯
¯
1
0
=e +1.
Câu b. B =
Z
2
0
xln(x
2
+3)dx. Đặt
(
u =ln(x
2
+3)
dv = xdx
ta có
du =
2x
x
2
+3
dx
v =
x
2
2
ta được
B =
x
2
ln(x
2
+3)
2
¯
¯
¯
2
0
−
Z
2
0
x
3
x
2
+3
dx ⇒ B =2 ln 7 −
Z
2
0
x
2
x
2
+3
·xdx
Đặt t = x
2
+3 ⇒dt =2x dx ⇒
1
2
dt = x dx. Đổi cận và thay vào B và được
B =2ln7 −
1
2
Z
7
3
t −3
t
dt =2ln7 −
1
2
Z
7
3
µ
1 −
3
t
dt =
7
2
ln7 −
3
2
ln3 −2.
Nhận xét: cách giải trên đây quá dài lại phải dùng phương pháp đổi biến số. Thực
ra khi đặt dv = xdx thì v =
x
2
2
+C. Nếu chọn C =
3
2
thay vì C =0 bài giải sẽ hay hơn.
Dương Phước Sang 9 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Giải lại: B =
Z
2
0
xln(x
2
+3)dx. Đặt
(
u =ln(x
2
+3)
dv = xdx
ta có
du =
2x
x
2
+3
dx
v =
x
2
+3
2
và được
B =
(x
2
+3)ln(x
2
+3)
2
¯
¯
¯
2
0
−
Z
2
0
xdx =
7
2
ln7 −
3
2
ln3 −
x
2
2
¯
¯
¯
2
0
=
7
2
ln7 −
3
2
ln3 −2.
Câu c. C =
Z
π
0
e
x
cos x dx. Đặt
(
u =cos x
dv =e
x
dx
ta có
(
du =−sin x dx
v =e
x
và được
C =e
x
cos x
¯
¯
¯
π
0
+
Z
π
0
e
x
sin x dx =−e
π
−1 +C
1
(1)
Trong đó C
1
=
Z
π
0
e
x
sin x dx. Lại đặt
(
u
1
=sin x
dv
1
=e
x
dx
ta có
(
du
1
=cos x
v
1
=e
x
dx
và được
C
1
=e
x
sin x
¯
¯
¯
π
0
−
Z
π
0
e
x
cos x dx =0 −C (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được C =−e
π
−1 −C ⇒2C =−e
π
−1 ⇒C =
e
π
+1
2
.
| Ví dụ 12. Cho f (x) là một hàm số chẵn, liên tục trên R thoả mãn
Z
1
−2
f (x)dx =2 và
Z
1
−3
f (2x)dx =10. Tính I =
Z
6
1
f (x)dx.
M Lời giải
Xét A =
Z
1
−3
f (2x)dx =10. Đặt t =−2x thì dt =−2 dx ⇒−
1
2
dt = dx.
Đổi cận và thay vào A ta được A =−
1
2
Z
−2
6
f (−t)dt =
1
2
Z
6
−2
f (−t)dt.
Do f (x) là hàm số chẵn nên f (−t) = f (t) và do đó A =
1
2
Z
6
−2
f (t)dt.
Suy ra
Z
6
−2
f (x)dx =
Z
6
−2
f (t)dt =2A =20.
Vậy
Z
6
1
f (x)dx =
Z
−2
1
f (x)dx +
Z
6
−2
f (x)dx =−2 +20 =18.
| Ví dụ 13. Cho f (x) là hàm số có đạo hàm f
0
(x) liên tục trên đoạn [−1;2] thoả mãn
f (2) + f (−1) =1 và
Z
2
−1
(2x −1)f
0
(x)dx =2. T ính
Z
2
−1
f (x)dx.
M Lời giải
Cách 1: Áp dụng phương pháp tích phân từng phần cho I và làm xuất hiện giả thiết.
Xét I =
Z
2
−1
f (x)dx. Đặt
(
u = f (x)
dv = dx
ta có
du = f
0
(x)dx
v = x −
1
2
=
1
2
(2x −1)
và như thế thì
I =
1
2
(2x −1)f (x)
¯
¯
¯
2
−1
−
1
2
Z
2
−1
(2x −1)f
0
(x)dx =
1
2
¡
3f (2) +3f (−1)
¢
−
1
2
·2 =
1
2
·3 −1 =
1
2
.
Cách 2: Áp dụng tích phân từng phần cho tích phân của giả thiết.
Xét A =
Z
2
−1
(2x −1)f
0
(x)dx =2. Đặt
(
u =2x −1
dv = f
0
(x)dx
ta có
(
du =2dx
v = f (x)
và như thế thì
A =(2x −1)f (x)
¯
¯
¯
2
−1
−2
Z
2
−1
f (x)dx =3 f (2) +3 f (−1) −2I ⇒ A =3 −2I ⇒ I =
3 −A
2
=
1
2
.
Dương Phước Sang 10 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 14. Tính tích phân I =
Z
π
2
0
sin x
sin x +cos x
dx.
M Lời giải
Cách 1: Phương pháp liên hợp tích phân
Xét hai tích phân I =
Z
π
2
0
sin x
sin x +cos x
dx và J =
Z
π
2
0
cos x
sin x +cos x
dx. Khi đó
I +J =
Z
π
2
0
1dx = x
¯
¯
¯
π
2
0
=
π
2
.
I −J =
Z
π
2
0
sin x −cos x
sin x +cos x
dx =
Z
π
2
0
−d(sin x +cos x)
sin x +cos x
=−ln
¯
¯
sin x +cos x
¯
¯
¯
¯
¯
π
2
0
=0.
Như vậy 2I =(I + J) +(I −J) =
π
2
⇒ I =
π
4
.
Cách 2: Dùng công thức biến đổi
Z
b
a
f (x)dx =
Z
b
a
f (a +b −x)dx (*).
Ta có I =
Z
π
2
0
sin x
sin x +cos x
dx =
Z
π
2
0
sin
¡
π
2
−x
¢
sin
¡
π
2
−x
¢
+cos
¡
π
2
−x
¢
dx =
Z
π
2
0
cos x
sin x +cos x
dx.
Như vậy 2I =
Z
π
2
0
sin x
sin x +cos x
dx +
Z
π
2
0
cos x
sin x +cos x
dx =
Z
π
2
0
1dx =
π
2
⇒ I =
π
4
.
? Chú ý: Xuất phát từ
Z
b
a
f (x)dx, dùng phương pháp đổi biến số với phép đặt t = a+b −x
ta sẽ chứng minh được (*) là công thức đúng.
| Ví dụ 15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y = x
3
−3x, trục hoành, x =−1 và x =
p
3
M Lời giải
Diện tích cần tìm được tính theo công thức: S =
Z
p
3
−1
¯
¯
x
3
−3x
¯
¯
dx
Cho x
3
−3x =0 ⇔
"
x =0
x =±
p
3
¡
trong kết quả giải được có x =0 nằm giữa −1 và
p
3
¢
Xử lý dấu |·| bằng cách xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối
x
x
3
−3x
−∞
−1
0
p
3
+∞
+
0
−
0
S =
Z
p
3
−1
|x
3
−3x|dx =
Z
0
−1
(x
3
−3x)dx −
Z
p
3
0
(x
3
−3x)dx =
5
4
−
µ
−
9
4
=
7
2
.
Xử lý dấu |·| bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của kết quả tính tích phân
S =
Z
p
3
−1
¯
¯
x
3
−3x
¯
¯
dx =
¯
¯
¯
¯
Z
0
−1
(x
3
−3x)dx
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
Z
p
3
0
(x
3
−3x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
5
4
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
−
9
4
¯
¯
¯
¯
=
7
2
.
? Chú ý: ghi S =
¯
¯
¯
¯
¯
Z
p
3
−1
(x
3
−3x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
là SAI vì x
3
−3x có nghiệm x =0 ở giữa −1 và
p
3
Dương Phước Sang 11 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 16. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =
p
x +1, y = x −1
và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H).
M Lời giải
Trước tiên ta vẽ đồ thị các hàm số y =
p
x +1, y = x −1
trên cùng 1 hệ trục toạ độ và xác định hình phẳng (H).
Sau đó ta xây dựng công thức tính diện tích của (H):
Cách 1: chia nhỏ hình (H) bởi đường thẳng x =1
S = S
1
+S
2
=
Z
1
−1
p
x +1dx +
Z
3
1
³
p
x +1 −(x −1)
´
dx
=
2
3
(x +1)
p
x +1
¯
¯
¯
1
−1
+
µ
2
3
(x +1)
p
x +1 −
x
2
2
+x
¯
¯
¯
3
1
=
4
3
p
2 +
µ
10
3
−
4
3
p
2
=
10
3
Cách 2: dùng phương pháp phần bù
S = S
lớn
−S
dư
=
Z
3
−1
p
x +1dx −
Z
3
1
(x −1)dx =
2
3
(x +1)
p
x +1
¯
¯
¯
3
−1
−
µ
x
2
2
−x
¯
¯
¯
3
1
=
10
3
.
x
y
−1 1 3
O
2
1
−1
y =
p
x +1
y = x −1
? Chú ý: với một hình phẳng có từ 3 đường biên dạng y = f (x), y = g(x), y = h(x) trở lên
như ví dụ này thì phương pháp giải cơ bản là phương pháp vẽ đồ thị, phác thảo hình
phẳng và xây dựng công thức tính diện tích như bài giải trên đây. Riêng với hình
phẳng trong ví dụ này ta còn có thể giải bằng một phương pháp khác (không cần vẽ
đồ thị của các hàm số). Dưới đây là cách giải đó (xem x là hàm số theo biến y).
Đổi vai trò của x và y:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y =
p
x +1 ⇔ x = y
2
−1
y = x −1 ⇔ x = y +1
trục hoành: y =0
.
Phương trình tung độ giao điểm của x = y
2
−1 (y > 0) và x = y +1
y
2
−1 = y +1 (y > 0) ⇔ y =2
Diện tích cần tìm: S =
Z
2
0
¯
¯
(y
2
−1) −(y +1)
¯
¯
dy =
10
3
| Ví dụ 17. Cho hai mặt cầu (S
1
), (S
2
) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm
của (S
1
) thuộc (S
2
) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi
(S
1
) và (S
2
).
M Lời giải
Gắn hệ trục Ox y như hình vẽ và gọi (H) là hình
phẳng được đánh dấu (tô nền) như trên hình.
Khi đó thể tích cần tính gấp đôi thể tích của vật
thể tròn xoay được tạo ra khi quay (H) quanh
Ox. Khối cầu S(O, R) chứa một đường tròn lớn là
(C) : x
2
+ y
2
=R
2
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
V =2 ·π
R
Z
R
2
(R
2
−x
2
)dx =2π
µ
R
2
x −
x
3
3
¯
¯
¯
R
R
2
=
5πR
3
12
.
x
y
O
R
2
R
x
2
+ y
2
=R
2
Dương Phước Sang 12 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 18.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2, đường cao bằng 3. Một
mặt phẳng qua tâm của mặt đáy hình trụ, hợp với mặt đáy
một góc 30
◦
chia hình trụ thành hai khối vật thể có thể tích
khác nhau. Gọi (N) là vật thể có thể tích nhỏ hơn trong hai
vật thể đó. Tính thể tích của (N).
O
2
3
M Lời giải
? Chú ý:
Để tính thể tích của vật thể này, ta cần gắn hệ trục toạ
độ vào hình vẽ để sử dụng công thức tính thể tích vật
thể dựa vào diện tích mặt cắt.
Điều quan trọng nhất khi chọn hệ trục toạ độ là phải
làm sao đảm bảo các mặt phẳng vuông góc với trục Ox
đều cắt vật thể tạo ra thiết diện là một miền dễ tính
được diện tích.
x
y
O
2
−2
2
x
H
B
A
? Gắn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Một mặt phẳng (P) thay đổi vuông góc với Ox cắt
Ox tại x, cắt vật thể theo thiết diện là tam giác ABH vuông tại H.
Ta có AH =
p
4 −x
2
và
BAH =30
◦
nên BH =
p
4 −x
2
p
3
⇒S
4ABH
=
1
2
AB.BH =
4 −x
2
2
p
3
Thể tích vật thể cần tìm là V =
Z
2
−2
S
4ABH
dx =
Z
2
−2
4 −x
2
2
p
3
dx =
µ
2x
p
3
−
x
3
6
p
3
¯
¯
¯
2
−2
=
16
p
3
9
.
| Ví dụ 19.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ. Trong khoảng
thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một
phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật
chuyển động trong 4 giờ đó.
x
2 3 4
y
9
O
I
M Lời giải
Trên đoạn [0;3], v(t) = at
2
+bt +c, trong đó
v(0) =0
v(2) =9
−
b
2a
=2
⇔
a =−
9
4
b =9
c =0
⇒v(t) =−
9
4
t +9t.
Trên đoạn [3; 4] thì v(t) =v(3) =
27
4
(vì v(t) là hằng số khi xét trên đoạn [3; 4]).
Như vậy s(4) =
Z
4
0
v(t)dt =
Z
3
0
v(t)dt +
Z
4
3
v(t)dt =
Z
3
0
µ
−
9
4
t
2
+9t
dt +
Z
4
3
27
4
dt =27 (km).
? Chú ý: parabol (P) : y = ax
2
+bx +c ( a 6=0) có toạ độ đỉnh là I
µ
−
b
2a
;−
∆
4a
.
Dương Phước Sang 13 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 20. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 0,
Z
1
0
£
f
0
(x)
¤
2
dx =7 và
Z
1
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. T ính tích phân
Z
1
0
f (x)dx.
M Lời giải
Cách 1: xét tích phân
Z
1
0
x
2
f (x)dx. Đặt
(
u = f (x)
dv = x
2
dx
ta có
du = f
0
(x)dx
v =
x
3
3
Do đó
1
3
=
Z
1
0
x
2
f (x)dx =
·
x
3
3
f (x)
¸
¯
¯
¯
¯
1
0
−
1
Z
0
x
3
3
f
0
(x)dx. Suy ra
Z
1
0
x
3
f
0
(x)dx =−1. (1)
Mặt khác, do
Z
1
0
£
f
0
(x)
¤
2
dx =7 và
Z
1
0
x
6
dx =
1
7
nên
Z
1
0
³
£
f
0
(x)
¤
2
+14x
3
f
0
(x) +49x
6
´
dx =0 hay
1
Z
0
¡
f
0
(x) +7x
3
¢
2
dx =0 (2).
Suy ra f
0
(x) +7x
3
=0, ∀x ∈[0;1] ⇒ f
0
(x) =−7x
3
⇒ f (x) =−
7
4
x
4
+C.
Mà f (1) =0 nên C =
7
4
, suy ra f (x) =
7
4
(1 −x
4
). Như vậy
Z
1
0
f (x)dx =
7
5
.
Lưu ý:
Có thể giải thích vì sao từ
Z
1
0
¡
f
0
(x) +7x
3
¢
2
dx =0 ta suy ra được f
0
(x)+7x
3
=0, ∀x ∈[0;1]
như sau: theo giả thiết, hàm số y =
¡
f
0
(x) +7x
3
¢
2
liên tục và không âm trên đoạn [0;1]
do đó, đồ thị của hàm số này là một đường nét liền trên đoạn [0;1] và không có điểm
nào nằm bên dưới trục Ox).
T ích phân ở (2) có giá trị bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y =
¡
f
0
(x) +7x
3
¢
2
, trục hoành, đường thẳng x =0, đường thẳng x =1.
Mà theo (2) thì hình phẳng này có diện tích bằng 0 nên f
0
(x) +7x
3
=0, ∀x ∈[0;1].
Cách 2: (tiếp nối từ (1))
Dưới đây là bất đẳng thức Bunyakovski đối với tích phân:
Nếu hai hàm số f (x), g (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì ta luôn có
µ
Z
b
a
f (x).g(x) dx
2
6
µ
Z
b
a
£
f (x)
¤
2
dx
.
Z
b
a
£
g(x)
¤
2
dx.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi g(x) = k f (x), ∀x ∈[ a; b].
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trở lại bài toán: từ (1), ta có
1 =
µ
Z
1
0
x
3
f
0
(x)dx
2
6
Z
1
0
x
6
dx ·
Z
1
0
£
f
0
(x)
¤
2
dx =
1
7
·7 =1.
Như vậy dấu “=” xảy ra, tức là f
0
(x) = kx
3
.
Thay trở lại vào (1), ta được k
Z
1
0
x
6
dx =−1 ⇒
k
7
=−1 ⇒ k =−7.
Vậy f
0
(x) =−7x
3
⇒ f (x) =−
7
4
x
4
+C
do f (1)=0
⇒
f (x) =−
7
4
x
4
+
7
4
.
Do đó
Z
1
0
f (x)dx =
7
5
.
Dương Phước Sang 14 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
MỘT SỐ CÂU HỎI ĐIỀN KHUYẾT
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Tìm
Z
sin3x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số y =10
2x
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x +1 là . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Tính nguyên hàm
Z
cos3x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+3x
2
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x +1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x +1
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 10. Tính F(x) =
Z
π
2
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(2x +1) là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2019x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
−x
+2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =sin x +1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =7x
6
+
1
x
+
1
x
2
−2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 16. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
1
cos
2
2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
1 −2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số y =10
2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 19.
Z
dx
2 −3x
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số y =12
12x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+3x
2
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 22. Tìm nguyên hàm
Z
p
2x +1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 23. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x −1
x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
−
1
x
2
+2
x
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =2x −sin x. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =e
3x+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
−2018x
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 28. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x
3
+x +1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x
3
+2018 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
x
4
−
4x
3
3
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dương Phước Sang 15 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM
Bài 1. Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
Z
(2x −1)(x
2
+1)dx.a)
Z
t
2
(t
3
−1)
2
dt.b)
Z
µ
1
x
−1
µ
x
2
2
+
1
x
3
dx.c)
Z
(2cos x +sin3x)dx.d)
Z
cos3x.cos x dx.e)
Z
sin4x.sin x dx.f)
Z
(e
2x
−2
x
)dx.g)
Z
(e
x
−2)
2
dx.h)
Z
³
p
e
x
−2
x
.3
x
´
dx.i)
Z
µ
2
x
+
1
3x −1
dx.j)
Z
µ
2x −1 +
5
x +1
dx.k)
Z
µ
4
1 −3x
+
1
x
2
dx.l)
Bài 2. Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
Z
3x +1
x −2
dx.a)
Z
2x
2
−x +2
x +1
dx.b)
Z
4x
3
−5x +1
2x −1
dx.c)
Z
9x +13
(2x −1)(3x +2)
dx.d)
Z
7x −1
(x −1)(2x +1)
dx.e)
Z
x
2x
2
+5x −3
dx.f)
Bài 3. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp đổi biến số:
Z
2sin x
1 +3 cos x
dx (HD: đặt t =1 +3cos x).a)
Z
e
p
x
p
x
dx (HD: đặt t =
p
x).b)
Z
(2x
3
−1)
7
.x
2
dx (HD: đặt t =2x
3
−1).c)
Z
3
p
x
2
+1.x dx (HD: đặt t =
3
p
x
2
+1).d)
Z
3ln
2
x −1
x
dx (HD: đặt t =ln x).e)
Z
1
x(2x
4
+1)
dx (HD: đặt t = x
4
).f)
Bài 4. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
Z
(2x +1)e
x
dx.a)
Z
xcos2x dx.b)
Z
(x +1)sin x dx.c)
Z
xln x dx.d)
Bài 5. Biết
Z
f (x)dx =2x ln(3x −1) +C. Tìm họ nguyên hàm
Z
f (3x)dx.
Bài 6. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =3sin x −1 biết rằng F(π) =1.
Bài 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
x
3
+3x
2
+3x −2
2
, biết rằng F(1) =
113
2
.
Bài 8. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =cos
2
x và F(π) =1. Tính F
³
π
4
´
.
Bài 9. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) =sin(1 −2x) thoả mãn F
µ
1
2
=1. Tìm F(x).
Bài 10. Cho hàm số f (x) thoả mãn f
0
(x) = (x +1)e
x
và
Z
f (x)dx = (ax +b)e
x
+C với a, b, C là
các hằng số. T ính a +b.
Bài 11. Cho hàm số f (x) có f
0
(x) =1 −4 sin 2x và f (0) =0. Tính f
³
π
4
´
.
Bài 12. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
. T ính F(e) −F(1).
Bài 13. Biết F(x) =(ax
2
+bx+c)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
e
x
. Tính a+2b+3c.
Bài 14. Với phép đặt t =
p
2x +1, họ nguyên hàm
Z
4x −1
p
2x +1 +2
dx được đổi biến trở thành
Z
µ
P(t) −
10
t +2
dt, trong đó P(t) là một đa thức theo biến t. Tính P(1).
Dương Phước Sang 16 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài 15. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
4x
3
+1
x
4
+x +1
biết F(0) =2.
Bài 16. Nguyên hàm của hàm số f (x) =
µ
1 −
1
x
3
·
1
x
2
có dạng F(x) =
m
x
4
+
n
x
3
+
p
x
2
+
q
x
+C, trong
đó C là hằng số thực; m, n, p, q là các hệ số hữu tỷ. Tính S = m +n + p +q.
Bài 17. Cho hàm số f (x) =3
p
2 +sin x. Tìm họ nguyên hàm
Z
f
0
(2x +1)dx.
Bài 18. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (0;+∞) sao cho f (1) =e, f (x) >0,∀x ∈R
+
và
f
0
(x) = f (x) ·
p
3x +1. Tính f (0).
Bài 19. Cho F(x) = x
2
là một nguyên hàm của f (x)e
2x
. Tìm nguyên hàm của g(x) = f
0
(x)e
2x
.
Bài 20. Cho F(x) =
1
2x
2
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
. Tìm họ nguyên hàm của hàm
số f
0
(x)ln x.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x
+2x là
A. 2ln |x|+x
2
+C. B. ln |x |+2x
2
+C. C. ln |x |+x
2
+C. D. ln|x
2
|+2x +C.
Câu 2. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =2
x
?
A. F(x) = x ·2
x−1
. B. F(x) =
2
x
+1
ln2
. C. F(x) =2
x
+1. D. F(x) =2
x
ln2.
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3
x
+
1
x
2
là
A. 3
x
+
1
x
+C. B.
3
x
ln3
+
1
x
+C. C. 3
x
−
1
x
+C. D.
3
x
ln3
−
1
x
+C.
Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(x +1).
A. x(x +1) +C. B. 2x +1 +C. C. x
3
+x
2
+C. D.
x
3
3
+
x
2
2
+C.
Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) =e
1−4x
.
A. y =
1
4
e
1−4x
. B. y =−4e
1−4x
. C. y =e
1−4x
. D. y =−
1
4
e
1−4x
.
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =(x −1)
3
.
A. 3(x −1) +C. B.
1
4
(x −1)
4
+C. C. 4(x −1)
4
+C. D.
1
4
(x −1)
3
+C.
Câu 7. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
2x +1
?
A. F(x) =ln|2x +1|+1. B. F(x) =
1
2
ln|2x +1|+2.
C. F(x) =
1
2
ln|4x +2|+3. D. F(x) =
1
4
ln(4x
2
+4x +1) +3.
Câu 8. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai?
A.
Z
ln x dx =
1
x
+C, (x >0). B.
Z
cos x dx =sin x +C.
C.
Z
1
x
dx =ln x +C,(x >0). D.
Z
e
x
dx =e
x
+C.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
Z
2
x
dx =2
x
·ln2 +C. B.
Z
2
x
dx =
2
x
ln2
+C.
C.
Z
2
x
dx =
2
x+1
x +1
+C. D.
Z
2
x
dx =−
2
x
ln2
+C.
Dương Phước Sang 17 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.
Z
e
x
dx =
x
e+1
e +1
+C. B.
Z
x
2
dx =
x
3
3
+C. C.
Z
e
x
dx =
e
x+1
x +1
+C. D.
Z
x
7
dx =
x
8
8
+C.
Câu 11. Hàm số y =sin2x là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. y =−
cos2x
2
. B. y =−2cos2x. C. y =2cos 2x. D. y =
cos2x
2
.
Câu 12. Hàm số F(x) =ln x +
1
x
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. y =ln x +1. B. y =
1
2
ln
2
x −
1
x
2
. C. y =
1
2
ln
2
x −
1
x
. D. y =
1
x
−
1
x
2
.
Câu 13. Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Khi đó
Z
¡
3f (x) +x
¢
dx bằng
A. 3F(x) +
x
2
2
+C. B. 3xF(x) +
x
2
2
+C. C.
1
3
F(x) +
x
2
2
+C. D.
1
3
F(3x) +
x
2
2
+C.
Câu 14. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = x
3
?
A. y =
x
4
4
+3. B. y =
x
4
4
+1. C. y =
x
4
4
+2. D. y =3x
2
.
Câu 15. Hàm số F(x) =e
x
2
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
A. f (x) = x
2
e
x
2
−1. B. f (x) =
e
x
2
2x
. C. f (x) =2xe
x
2
. D. f (x) =e
2x
.
Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) =(x −2)
5
?
A. F(x) =
(x −2)
6
6
+2x. B. F(x) =
(x −2)
6
6
+2.
C. F(x) =
(x −2)
6
6
+2017. D. F(x) =
(x −2)
6
6
−2018.
Câu 17. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
x−1 trên (0;+∞)?
A. F(x) =
2
3
3
p
x
2
−x +1. B. F(x) =
2
3
p
x
3
−x +2.
C. F(x) =
1
2
p
x
. D. F(x) =
1
2
p
x
−x.
Câu 18. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
, biết F(0) =4. Tìm F(x ).
A. F(x) =e
x
+2. B. F(x) =e
x
+3. C. F(x) =e
x
+4. D. F(x) =e
x
+1.
Câu 19. Cho F(x) =cos 2x −sin x +C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A. f (π) =−3. B. f (π) =1. C. f (π) =−1. D. f (π) =0.
Câu 20. Tìm hàm số f (x), biết rằng f
0
(x) =4
p
x −x và f (4) =0.
A. f (x) =
8x
p
x
3
−
x
2
2
−
40
3
. B. f (x) =
8x
p
x
3
+
x
2
2
−
88
3
.
C. f (x) =
2
p
x
−
x
2
2
+1. D. f (x) =
2
p
x
−1.
Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
3
x
e
3
.
A.
3
x
e
3
ln
3
e
+C. B.
3
x
−2ln3 ·e
2
+C. C.
3
x
ln3
e
3
+C. D.
3
x
e
3
ln3
+C.
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) =cos(2x +3).
A.
Z
f (x)dx =−sin(2x +3) +C. B.
Z
f (x)dx =−
1
2
sin(2x +3) +C.
C.
Z
f (x)dx =sin(2x +3) +C. D.
Z
f (x)dx =
1
2
sin(2x +3) +C.
Dương Phước Sang 18 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 23. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin
3
x·cos x và F(0) =π. Tìm F
³
π
2
´
.
A. F
³
π
2
´
=−π. B. F
³
π
2
´
=−
1
4
+π. C. F
³
π
2
´
=
1
4
+π. D. F
³
π
2
´
=π.
Câu 24. Biết
Z
f (2x)dx =sin
2
x +ln x +C, tìm nguyên hàm
Z
f (x)dx.
A.
Z
f (x)dx =sin
2
x
2
+ln x +C. B.
Z
f (x)dx =2 sin
2
x
2
+2ln x +C.
C.
Z
f (x)dx =2 sin
2
x +2ln x −ln 2 +C. D.
Z
f (x)dx =2 sin
2
2x +2ln x −ln2 +C.
Câu 25. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai?
A.
Z
1
x
dx =ln x +C . B.
Z
0dx =C.
C.
Z
e
x
dx =e
x
+C. D.
Z
cos x dx =sin x +C.
Câu 26. Cho F(x) là nguyên hàm của f (x) =1 +2x +3x
2
thỏa F(1) =2. T ính F(0) +F(−1).
A. −3. B. −4. C. 3. D. 4.
Câu 27. Tìm họ nguyên F(x) của hàm số y = f (x) =sin2x +2x.
A. F(x) =
cos2x
2
+x
2
+C . B. F(x) =−
cos2x
2
+x
2
+C.
C. F(x) =cos 2x +2 +C. D. F(x) =−cos2x +x
2
+C.
Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
2x
−
1
x
2
là
A.
1
2
e
2x
−
1
x
+C. B.
1
2
e
2x
+
1
x
+C. C. e
2x
+
1
x
+C. D. e
2x
−
1
x
+C.
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4
x
+sin
2
x là
A.
4
x
ln4
−
1
4
sin2x +C. B. 4
x
ln x +
sin
3
x
3
+C.
C. 4
x
ln x −
sin
3
x
3
+C. D.
4
x
ln4
+
x
2
−
1
4
sin2x +C.
Câu 30. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. Chọn mệnh đề sai.
A.
µ
x
Z
f (x)dx
0
= f
0
(x). B.
µ
Z
f (x)dx
0
= f (x).
C.
µ
Z
f (x)dx
0
=F
0
(x). D.
Z
f (x)dx = F(x) +C.
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =3
2x+1
.
A. (2x +1)3
2x
+C. B.
3
2x+1
ln3
+C. C. 3
2x+1
ln3 +C. D.
3
2x+1
ln9
+C.
Câu 32. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
Z
f (2x)dx =2F(2x) +C. B.
Z
f (2x)dx =
1
2
F(2x) +C.
C.
Z
f (2x)dx =
1
2
F(x) +C. D.
Z
f (2x)dx = F(x) +C.
Câu 33. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
(x +1)
3
x
3
,(x 6=0).
A. F(x) = x −3ln |x|−
3
x
+
1
2x
2
+C. B. F(x) = x −3ln|x|+
3
x
+
1
2x
2
+C.
C. F(x) = x +3ln|x|−
3
x
−
1
2x
2
+C. D. F(x) = x −3ln|x|+
3
x
−
1
2x
2
+C.
Dương Phước Sang 19 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 34. Cho hàm số f (x) xác định trên R \
{
kπ, k ∈Z
}
thỏa mãn f
0
(x) = cot x, f
³
π
4
´
= 2 và
f
µ
−
5π
3
=1. Giá trị của biểu thức f
³
π
6
´
− f
µ
−
7π
4
bằng
A. 1 +ln
p
3
2
. B. 3 +ln
1
2
−ln
p
3
2
. C. 1 −ln
p
3
2
. D. ln
1
2
−ln
p
2
2
.
Câu 35. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {−2;1} thỏa mãn f
0
(x) =
1
x
2
+x −2
, f (−3) − f (3) =0
và f (0) =
1
3
. Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng
A.
1
3
ln2 +
1
3
. B. ln80 +1. C.
1
3
ln
4
5
+ln2 +1. D.
1
3
ln
8
5
+1.
Câu 36. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [−1;2] thỏa mãn f
2
(x) · f
0
(x) = 3x
2
+2x −2 và
f (0) =1. Số nghiệm của phương trình f (x) =1 trên đoạn [−1;2] là
A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
Câu 37. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) =
1 −sin
3
x
sin
2
x
và F
³
π
4
´
=
p
2
2
. Có bao nhiêu số
thực x ∈(0;2018π) để F(x) =1.
A. 2018. B. 1009. C. 2017. D. 2016.
Câu 38. Biết
Z
(
sin2x −cos2x
)
2
dx = x +
a
b
cos4x +C, với a, b là các số nguyên dương,
a
b
là
phân số tối giản và C ∈R. Giá trị của a +b bằng
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f (x) = x f
0
(x)−2x
3
−3x
2
và f (1) =4. Tính f (2).
A. 5. B. 20. C. 10. D. 15.
Câu 40. Biết
Z
2x +2
(
2x +1
)
2
dx =
1
mx +n
+ p ln
|
2x +1
|
+C với m, n, p ∈Q. Tổng m +n + p bằng
A. −
11
2
. B.
11
2
. C.
13
2
. D. −
13
2
.
Câu 41. Cho hai hàm số F(x) =(x
2
+ax +b)e
−x
và f (x) =(−x
2
+3x +6)e
−x
. Tìm a và b để F(x)
là một nguyên hàm của hàm số f (x).
A. a =1, b =−7. B. a =1, b =7. C. a =−1, b =7. D. a =−1, b =−7.
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
x
p
x
2
+1
là
A. F(x) =2
p
x
2
+1 +C. B. F(x) =
p
x
2
+1 +C.
C. F(x) =ln
p
x
2
+1 +C. D. F(x) =
1
2
p
x
2
+1 +C.
Câu 43. Cho nguyên hàm
Z
dx
p
x +2018 +
p
x +2017
= m(x +2018)
p
x +2018 +n(x +2017)
p
x +2017 +C. Khi đó 4m −n bằng
A.
4
3
. B.
8
3
. C.
2
3
. D.
10
3
.
Câu 44. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
f
¡
p
x +1
¢
p
x +1
dx =
2
¡
p
x +1 +3
¢
x +5
+C.
Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R
+
là
A.
x +3
2
¡
x
2
+4
¢
+C. B.
x +3
x
2
+4
+C. C.
2x +3
4
¡
x
2
+1
¢
+C. D.
2x +3
8
¡
x
2
+1
¢
+C.
Dương Phước Sang 20 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau đây:
Z
1
0
(2x −x
2
+1)dx.a)
Z
1
−1
t
2
(t
3
−1)dt.b)
Z
π
0
(2cos x +sin3x)dx.c)
Z
π
2
−π
cos4x.cos x dx.d)
Z
0
π
sin3x.sin x dx.e)
Z
1
0
(e
2x
−3
x
)dx.f)
Z
1
0
(e
x
−2)
2
dx.g)
Z
2
1
µ
3
x
+
1
2x −1
dx.h)
Z
2
1
µ
4
1 −3x
+
1
x
2
dx.i)
Bài 2. Tính các tích phân sau đây:
Z
1
−2
3x −1
x −2
dx.a)
Z
1
0
7x +12
2x
2
+5x +3
dxb)
Z
2
1
x
3
−x −4
x
2
+4x
dx.c)
Bài 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số:
Z
1
−1
2x
2
2 +x
3
dx.a)
Z
π
4
0
e
tan x
cos
2
x
dx.b)
Z
−1
−3
(x +2)
2019
xdx.c)
Z
3
1
p
x
2
+3
x
dx.d)
Z
e
2
3ln x −1
xln x
dx.e)
Z
2
1
x
3
−1
x
4
+x
dx.f)
Bài 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần:
Z
1
0
(2x −1)e
x
dx.a)
Z
π
3
0
xsin2x dx.b)
Z
π
π
(x −1)cos x dx.c)
Z
2
−1
xln(9 −x
2
)dx.d)
Bài 5. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin
2
x và F(0) =π. Tính F
³
π
4
´
.
Bài 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và f (1) =3, f (2) =−1. Tính
Z
2
−1
f
0
(x)dx.
Bài 7. Biết
Z
b
a
f (x)dx =10 và
Z
b
a
g(x) dx =5. Tính tích phân I =
Z
b
a
[3f (x) −5g(x)] dx.
Bài 8. Cho
Z
3
0
f (x)dx =9 và
Z
1
0
f (x)dx =3. Tính các tích phân
Z
3
1
f (x)dx và
Z
1
0
f (3x)dx.
Bài 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [1;6] và
Z
2
1
f (x)dx =3,
Z
6
1
f (x)dx =5. Tính
Z
2
1
·
2f (x) −
1
x
¸
dxa)
Z
6
3
f (3x)dxb)
Z
3
1
f (2x)dx.c)
Bài 10. Biết
Z
3
1
dx
p
x +1 −
p
x
=a
p
3 +b
p
2 +c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a +b +c.
Bài 11. Biết tích phân
Z
1
0
x
p
3x +1 +
p
2x +1
dx =
a +b
p
3
9
với a, b ∈Z. Tính tổng T =a +b.
Bài 12. Biết
Z
e
1
(
x +1
)
ln x +2
1 +x ln x
dx =ae +b ln
µ
e +1
e
trong đó a, b ∈Z. Tính tỉ số
a
b
.
Bài 13. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
Z
1
0
(2x −2)f
0
(x)dx =6
và f (0) =6. Tính tích phân
Z
1
0
f (x)dx.
Bài 14. Cho
Z
4
3
1
x
2
−3x +2
dx =aln2 +b ln3 với a, b ∈Z. Tính a +3b.
Bài 15. Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương
trình i = I
0
sin
³
ωt +
π
2
´
. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn
của mạch trong thời gian
π
2ω
là bao nhiêu?
Dương Phước Sang 21 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 45. Tích phân
Z
1
0
e
−x
dx bằng
A. e −1. B.
1
e
−1. C.
1
e
. D.
e −1
e
.
Câu 46. Tích phân
Z
1
0
dx có giá trị bằng
A. −1. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 47. Giá trị tích phân
Z
1
0
x +4
x +3
dx bằng
A. ln
5
3
. B. 1 +ln
4
3
. C. ln
3
5
. D. 1 −ln
3
5
.
Câu 48. Tích phân
Z
ln2
0
e
2x
dx bằng
A. 4. B.
3
2
. C. 3. D.
1
2
(e
2
−1).
Câu 49. Tính tích phân
Z
1
0
8
x
dx.
A. I =8. B. I =
8
3ln2
. C. I =
7
3ln2
. D. I =7.
Câu 50. Tích phân
Z
2018
0
2
x
dx bằng
A. 2
2018
−1. B.
2
2018
−1
ln2
. C.
2
2018
ln2
. D. 2
2018
.
Câu 51. Tính I =
Z
2018
0
e
x
dx.
A. I =e
2018
−1. B. I =e
2019
−1. C. I =e
2019
. D. I =e
2018
.
Câu 52. Tính tích phân
Z
2
−1
(2x +1)
2018
dx.
A.
1
2019
¡
5
2019
+1
¢
. B.
1
2019
¡
5
2019
−1
¢
. C.
1
4038
³
5
5
2019
−1
´
. D.
1
4038
¡
5
2019
+1
¢
.
Câu 53. Tính tích phân
Z
π
2
0
xcos x dx.
A. I =
π
2
. B. I =
π
3
−
1
2
. C. I =
π
3
. D. I =
π
2
−1.
Câu 54. Tính tích phân I =
Z
2017π
6π
sin x dx.
A. I =2. B. I =−1. C. I =−2. D. I =1.
Câu 55. Tính tích phân I =
Z
2
0
x
2017
dx.
A. I =
2
2016
2016
. B. I =2017.2
2016
. C. I =
2
2018
2018
. D. I =2017.2
2018
.
Câu 56. Tính tích phân I =
Z
5
1
1
x
21
dx.
A. I =
1
20
µ
1
5
20
−1
. B. I =
1
20
µ
1 −
1
5
20
. C. I =
1
22
µ
1
5
22
−1
. D. I =
1
22
µ
1 −
1
5
22
.
Câu 57. Cho tích phân I =
Z
35
0
1
e
x
dx. Hãy chọn khẳng định đúng.
A. 0 6 I <1. B. 1 6 I <2. C. −1 6 I <0. D. I >2.
Dương Phước Sang 22 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 58. Tính tích phân I =
Z
5
0
x
3
e
x
4
dx.
A.
125e
3125
4
. B.
625e
3125
−1
4
. C.
125e
625
4
. D.
e
625
−1
4
.
Câu 59. Biết
Z
2
1
dx
3x +1
=aln7 +b ln2 (a, b ∈Q). Khi đó tổng a +b bằng
A.
1
3
. B. 1. C. −
1
3
. D. −1.
Câu 60. Cho
Z
b
a
f (x)dx =−2 và
Z
b
a
g(x) dx =3. Tính I =
Z
b
a
[2f (x) −3g(x)] dx.
A. I =−13. B. I =13. C. I =−5. D. I =5.
Câu 61. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;4], f (1) =15, f (4) = 8. Tính
Z
4
1
f
0
(x)dx.
A.
Z
4
1
f
0
(x)dx =7. B.
Z
4
1
f
0
(x)dx =3. C.
Z
4
1
f
0
(x)dx =23. D.
Z
4
1
f
0
(x)dx =−7.
Câu 62. Cho hàm số f
(
x
)
có đạo hàm trên [0;2] và f
(
0
)
=−1,
Z
2
0
f
0
(
x
)
dx =5. Tính f
(
2
)
.
A. f
(
2
)
=2. B. f
(
2
)
=6. C. f
(
2
)
=4. D. f
(
2
)
=5.
Câu 63. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =sin2x và F
³
π
4
´
=1. Tính F
³
π
6
´
.
A. F
³
π
6
´
=
5
4
. B. F
³
π
6
´
=0. C. F
³
π
6
´
=
3
4
. D. F
³
π
6
´
=
1
2
.
Câu 64. Cho hàm số f liên tục trên [0;3] với
Z
3
0
f (x)dx =2. Tính I =
Z
3
0
[x −2f (x)] dx.
A. I =
1
2
. B. I =
5
2
. C. I =5. D. I =7.
Câu 65. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
Z
f (x)dx =
1
3
x
3
−
1
2
x
2
+x+C. Tính I =
Z
4
3
f (x)dx.
A. I =−
59
6
. B. I =
59
6
. C. I =
137
6
. D. I =−
137
6
.
Câu 66. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
Z
f (x)dx =
1
2
x
2
−x +C. Tính
Z
2
1
f (x
2
)dx.
A.
Z
2
1
f (x
2
)dx =−
4
3
. B.
Z
2
1
f (x
2
)dx =
4
3
. C.
Z
2
1
f (x
2
)dx =−
2
3
. D.
Z
2
1
f (x
2
)dx =
2
3
.
Câu 67. Cho hàm số f (x) =3sin
3
x −1. Tính tích phân I =
Z
π
2
0
f
0
(x)dx.
A. I =6. B. I =−2. C. I =0. D. I =3.
Câu 68. Cho
Z
2
−1
f (x)dx =2,
Z
7
−1
f (t)dt =9. Giá trị của
Z
7
2
f (z)dz là
A. 7. B. 3. C. 11. D. 5.
Câu 69. Cho I =
Z
3
−2
2x −3
x −4
dx =a +b ln6 với a, b ∈Z. Tính a −b.
A. 15. B. 17. C. 7. D. 10.
Câu 70. Nếu f
(
1
)
=12, f
0
(x) liên tục trên [1;4] và
Z
4
1
f
0
(
x
)
dx =17. Giá trị của f
(
4
)
bằng
A. 19. B. 5. C. 29. D. 9.
Câu 71. Biết
Z
π
0
(x−sin2x)dx =
a
b
π
2
trong đó a, b là các số thực và
a
b
(tối giản). Tính a+b.
A. −3. B. 5. C. 3. D. 2.
Dương Phước Sang 23 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 72. Cho
Z
1
0
2x +3
2 −x
dx =a ·ln2 +b (với a, b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là
A. −7. B. 7. C. 5. D. −5.
Câu 73. Cho tích phân
Z
π
2
0
(
4x −1 +cos x
)
dx =π
µ
π
a
−
1
b
+c, (a, b, c ∈Q). Tính a −b +c.
A.
1
2
. B. 1. C. −2. D.
1
3
.
Câu 74. Cho
Z
2
1
x
3
−3x
2
+2x
x +1
dx =a +b ln2 +c ln 3 với a, b, c ∈Q. Chọn khẳng định đúng.
A. b <0. B. c >0. C. a <0. D. a +b +c >0.
Câu 75. Biết
Z
π
2
π
4
sin2x sin xdx = a +b
p
2, với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức S =
a
b
.
A. S =−4. B. S =4. C. S =5. D. S =−5.
Câu 76. Cho
Z
4
1
µ
1
x
+
1
2x +1
dx =aln2 +b ln3, với a, b ∈Q. Hãy tính tổng S =
1
a
+
1
b
.
A. S =
5
2
. B. S =3. C. S =1. D. S =
3
2
.
Câu 77. Cho
Z
π
2
0
(
2x −1 −sin x
)
dx =
π
2
a
−
π
b
+c, với a, b, c ∈Z. Tính S =a +b +c.
A. S =7. B. S =5. C. S =3. D. S =1.
Câu 78. Cho
Z
2
−1
x −3
(x +2)(x −4)
dx =aln2 +b ln5, với a, b ∈Q. Tính S =
a
b
.
A. S =−12. B. S =12. C. S =11. D. S =−11.
Câu 79. Cho
Z
π
4
π
6
tan
2
xdx = a+b
p
3+c.π, với a, b, c ∈Q. Tính giá trị biểu thức S =a +b+c.
A. S =
1
3
. B. S =
5
12
. C. S =
7
12
. D. S =
2
3
.
Câu 80. Biết
Z
2
0
µ
e
x
−
1
e
x
dx =e
2
+
a
e
2
+b, với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức ab.
A. ab =−2. B. ab =0. C. ab =1. D. ab =−1.
Câu 81. Biết
Z
π
4
0
cos
2
xdx = aπ +b, với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức S = a −b.
A. S =
3
4
. B. S =
1
4
. C. S =
5
4
. D. S =−
1
4
.
Câu 82. Biết tích phân
Z
2
1
(
4x −1
)
ln x dx =a ln2 +b với a, b ∈Z. Tính 2a +b.
A. 5. B. 8. C. 10. D. 13.
Câu 83. Biết
Z
1
0
xcos2x dx =
1
4
(
asin2 +bcos2 +c
)
, với a, b, c ∈Z. Khẳng định nào đúng?
A. a +b +c =1. B. a −b +c =0. C. 2a +b +c =−1. D. a +2b +c =1.
Câu 84. Dùng công thức tích phân từng phần với u =ln x, dv = x
2
dx ta được kết quả nào?
A.
Z
3
1
x
2
ln x dx =
x
3
ln x
3
¯
¯
¯
¯
3
1
−
1
3
Z
3
1
x
2
dx. B.
Z
3
1
x
2
ln x dx =
x
2
ln x
2
¯
¯
¯
¯
3
1
−
1
3
Z
3
1
x
2
dx.
C.
Z
3
1
x
2
ln x dx =
x
3
ln x
3
¯
¯
¯
¯
3
1
+
1
3
Z
3
1
x
2
dx. D.
Z
3
1
x
2
ln x dx = −
x
3
ln x
3
¯
¯
¯
¯
3
1
−
1
3
Z
3
1
x
2
dx.
Câu 85. Biết
Z
2
1
ln(2x +1)dx =
a
2
ln5 +
b
2
ln3 +c, với a, b, c ∈Z. Tính T = a +2b + c.
A. T =12. B. T =2. C. T =10. D. T =−2.
Dương Phước Sang 24 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 86. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.
Z
b
a
xe
x
dx = xe
x
¯
¯
¯
b
a
−
Z
b
a
xdx. B.
Z
b
a
xe
x
dx = xe
x
¯
¯
¯
b
a
−
Z
b
a
e
x
dx.
C.
Z
b
a
xe
x
dx = xe
x
¯
¯
¯
b
a
+
Z
b
a
xdx. D.
Z
b
a
xe
x
dx = xe
x
¯
¯
¯
b
a
+
Z
b
a
e
x
dx.
Câu 87. Cho
Z
1
0
(x +2)e
x
dx =ae +b (a, b ∈Q). Tính S = a
2
+b
2
.
A. S =−1. B. S =10. C. S =5. D. S =0.
Câu 88. Cho
Z
4
1
f (x)dx =9, tính I =
Z
1
0
f
(
3x +1
)
dx.
A. I =9. B. I =3. C. I =1. D. I =27.
Câu 89. Cho
Z
ln2
0
e
x
dx
e
x
+3
=aln2 +b ln5 với a, b ∈Z. Giá trị của a +b bằng
A. 3. B. −1. C. 0. D. 1.
Câu 90. Tích phân
Z
2
0
2x (x
2
+1)
2018
dx bằng
A.
5
2019
−1
2019
. B.
5
2019
−1
4038
. C.
5
2018
−1
4036
. D. 1.
Câu 91. Cho tích phân
Z
4
0
dx
3 +
p
2x +1
=a+b·ln
2
3
với a, b ∈Z. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a −b =3. B. a −b =5. C. a +b =5. D. a +b =3.
Câu 92. Biết
Z
4
0
p
2x +1
1 +
p
2x +1
dx =a +b ln2, (a, b ∈Q). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a −b =0. B. a
2
−4b −1 =0. C. a
2
−4b +1 =0. D. a
2
−4b =0.
Câu 93. Cho I =
Z
4
1
e
p
x
p
x
dx. Thực hiện phép đổi biến, đặt t =
p
x, ta được
A. I =
Z
4
1
e
t
dt. B. I =2
Z
4
1
e
t
dt. C. I =2
Z
2
1
e
t
dt. D. I =
Z
2
1
e
t
dt.
Câu 94. Tích phân
Z
7
2
xdx
x
2
+1
=aln2 −b ln5 với a, b ∈Q. Giá trị của 2a +b bằng
A.
3
2
. B.
1
2
. C. 1. D. 2.
Câu 95. Khi đặt u =
p
x
2
+9 tích phân I =
Z
4
0
x
p
x
2
+9dx trở thành tích phân nào?
A. I =
Z
5
3
u
2
du. B. I =
Z
5
3
p
u du. C. I =
Z
4
0
u
2
du. D. I =
Z
5
3
u du.
Câu 96. Biết I =
Z
4
3
2x −1
x
2
−x
dx =aln3+b ln2, với a, b ∈Z. Giá trị của biểu thức A =a
2
+b
2
là
A. A =1. B. A =5. C. A =10. D. A =2.
Câu 97. Nếu
Z
1
0
x
p
1 +x
2
dx =
a
p
2 +b
3
, với a, b ∈Q thì tổng S =
a
2
b
+ab
2
bằng bao nhiêu ?
A. S =−2. B. S =0. C. S =
7
2
. D. S =
50
3
.
Câu 98. Cho
Z
1
0
1
1 +
p
x
dx =a +b ln2 với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức S =
6a
b
−
b
2
a
.
A. S =
1
2
. B. S =−8. C. S =−1. D. S =
9
2
.
Dương Phước Sang 25 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 99. Nếu
Z
e
1
p
2 +ln x
2x
dx =a
p
3 +b
p
2, với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức S = ab.
A. S =
1
4
. B. S =−
2
3
. C. S =−
3
4
. D. S =
7
3
.
Câu 100. Có bao nhiêu giá trị thực của a để có
Z
a
0
(2x +5)dx = a −4.
A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số.
Câu 101. Giá trị nào của b để
Z
b
1
(2x −6)dx =0?
A. b =0 hoặc b =3. B. b =0 hoặc b =1. C. b =5 hoặc b =0. D. b =1 hoặc b =5.
Câu 102. Tính tích phân I =
Z
1
0
x
2018
(1 +x)dx.
A. I =
1
2018
+
1
2019
. B. I =
1
2020
+
1
2021
. C. I =
1
2019
+
1
2020
. D. I =
1
2017
+
1
2018
.
Câu 103. Cho f (x), g (x) là hai hàm liên tục trên
[
1;3
]
thỏa mãn
Z
3
1
[
f (x) +3g(x)
]
dx = 10 và
Z
3
1
[
2f (x) − g(x)
]
dx =6. Tính
Z
3
1
[
f (x) + g(x)
]
dx.
A. 9. B. 8. C. 6. D. 7.
Câu 104. Tất cả các giá trị của tham số m để
Z
m
0
(2x −1)dx <6 là
A. m ∈(0;4). B. m ∈(−2;3). C. m ∈(−3;2). D. m ∈(3;5).
Câu 105. Cho
Z
2
1
[3f (x) +2g(x)] dx =1 và
Z
2
1
[2f (x) − g(x)]dx =−3. Khi đó
Z
2
1
f (x)dx bằng
A.
11
7
. B. −
5
7
. C.
6
7
. D.
16
7
.
Câu 106. Cho I =
Z
1
0
(2x −m
2
)dx. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để I +3 > 0.
A. 4. B. 0. C. 5. D. 2.
Câu 107. Cho hàm số y = f (x) =
(
3x
2
khi 0 6 x 6 1
4 −x khi 1 6 x 6 2
. T ính tích phân
Z
2
0
f (x)dx.
A.
7
2
. B. 1. C.
5
2
. D.
3
2
.
Câu 108. Biết
Z
1
0
dx
p
x +1 +
p
x
=
2
3
¡
p
a −b
¢
với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a+b.
A. T =7. B. T =10. C. T =6. D. T =8.
Câu 109. Tính tích phân I =
Z
2
1
(
x +2
)
2017
x
2019
dx.
A.
3
2018
−2
2018
2018
. B.
3
2021
−2
2021
4040
. C.
3
2018
−2
2018
4036
. D.
3
2017
4034
−
2
2018
2017
.
Câu 110. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn
Z
e
1
f (ln x)
x
dx = e. Mệnh đề nào
sau đây là mệnh đề đúng?
A.
Z
1
0
f (t)dt =1. B.
Z
e
1
f (x)dx =1. C.
Z
e
1
f (t)dt =e. D.
Z
1
0
f (x)dx =e.
Câu 111. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
Z
9
1
f (
p
x)
p
x
dx =4 và
Z
π
2
0
f (sin x)cos x dx =2.
T ính tích phân I =
Z
3
0
f (x)dx.
A. I =2. B. I =6. C. I =10. D. I =4.
Dương Phước Sang 26 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 112. Một học sinh làm bài tích phân I =
Z
1
0
dx
1 +x
2
theo các bước sau.
Bước 1: Đặt x =tan t với −
π
2
< t <
π
2
suy ra dx =(1 +tan
2
t)dt.
Bước 2: Đổi cận x =1 ⇒ t =
π
4
; x =0 ⇒ t =0.
Bước 3: I =
Z
π
4
0
1 +tan
2
t
1 +tan
2
t
dt =
Z
π
4
0
dt = t
¯
¯
¯
π
4
0
=0 −
π
4
=−
π
4
.
Các bước làm ở trên, bước nào sai?
A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Không bước nào.
Câu 113. Cho tích phân I =
Z
1
0
dx
p
4 −x
2
. Nếu đổi biến số x =2sin t, t ∈
³
−
π
2
;
π
2
´
thì
A. I =
Z
π
6
0
dt. B. I =
Z
π
6
0
tdt. C. I =
Z
π
6
0
dt
t
. D. I =
Z
π
3
0
dt.
Câu 114. Biết rằng I =
Z
4
3
x
2
−x +2
x +
p
x −2
dx =
a −4
p
b
c
, với a, b, c ∈Z
+
. T ính a +b +c.
A. 39. B. 27. C. 33. D. 41.
Câu 115. Cho tích phân
Z
3
0
f (x)dx =1. Tính tích phân I =
Z
e
1
f
¡
ln x
3
¢
2x
dx.
A.
3
2
. B. 9. C.
1
6
. D. 6.
Câu 116. Đổi biến x =2 sin t thì tích phân
Z
1
0
dx
p
4 −x
2
trở thành
A.
Z
π
6
0
tdt. B.
Z
π
3
0
tdt. C.
Z
π
6
0
dt. D.
Z
π
6
0
dt
t
.
Câu 117. Cho
Z
1
0
2x
2
+3x +1
2x +3
dx =aln5 +b ln3 +c . Tính T = a +b +2c.
A. T =3. B. T =0. C. T =1. D. T =2.
Câu 118. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin
3
x ·cos x và F(0) = π. Tìm
F
³
π
2
´
.
A. F
³
π
2
´
=−
1
4
+π. B. F
³
π
2
´
=
1
4
+π. C. F
³
π
2
´
=−π. D. F
³
π
2
´
=π.
Câu 119. Cho
Z
2
1
ln x
x
2
dx =
b
c
+aln2, với a là số hữu tỷ và b, c là các số nguyên dương sao
cho phân số
b
c
tối giản. T ính giá trị của biểu thức T =2a +3b +c.
A. T =4. B. T =−6. C. T =5. D. T =6.
Câu 120. Biết
Z
3
0
xln(x
2
+16)dx =a ln5 +b ln 2 +
c
2
với a, b, c ∈Z. Tính T =a +b +c.
A. T =2. B. T =−16. C. T =−2. D. T =16.
Câu 121. Cho a > b >−1. Tích phân I =
Z
b
a
ln(x +1)dx bằng biểu thức nào sau đây?
A. I =(x +1)ln(x +1)
¯
¯
¯
¯
b
a
−a +b. B. I =(x +1)ln(x +1)
¯
¯
¯
¯
b
a
−b +a.
C. I =
1
x +1
¯
¯
¯
¯
b
a
. D. I = xln(x +1)
¯
¯
¯
¯
b
a
+
Z
b
a
x
x +1
dx.
Dương Phước Sang 27 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 122. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
Z
e
1
xln
2
xdx = x
2
ln
2
x
¯
¯
¯
e
1
−2
Z
e
1
xln x dx. B.
Z
e
1
xln
2
xdx =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
¯
e
1
−2
Z
e
1
xln x dx.
C.
Z
e
1
xln
2
xdx =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
¯
e
1
+2
Z
e
1
xln x dx. D.
Z
e
1
xln
2
xdx =
1
2
x
2
ln
2
x
¯
¯
¯
e
1
−
Z
e
1
xln x dx.
Câu 123. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) +x · f
0
(x) =3x
2
+2x, ∀x ∈R. Tính f (1).
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Câu 124. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) =16,
Z
1
0
f (2x)dx =2. Tính
Z
2
0
x · f
0
(x)dx.
A. 16. B. 28. C. 36. D. 30.
Câu 125. Biết I =
Z
2
1
(3x
2
+ln x)dx = a +bln2 với a, b là các số nguyên. Tính S = a +b.
A. S =4. B. S =6. C. S =2. D. S =8.
Câu 126. Cho
Z
2
0
xln(x+1)
2017
dx =
a
b
ln3,
³
a
b
là phân số tối giản và b >0
´
. Tính S = a−b.
A. 6049. B. 6053. C. 1. D. 5.
Câu 127. Cho I =
Z
1
0
xe
2x
dx =ae
2
+b (a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a +b là
A. 0. B.
1
4
. C. 1. D.
1
2
.
Câu 128. Cho tích phân I =
Z
3
0
x
1 +
p
x +1
dx. Viết dạng của I khi đặt t =
p
x +1.
A.
Z
2
1
(2t
2
+2t) dt. B.
Z
2
1
(2t
2
−2t) dt. C.
Z
2
1
(t
2
−2t) dt. D.
Z
2
1
(2t
2
−t)dt.
Câu 129. Cho biết
Z
p
2
0
x f (x
2
)dx =4,
Z
3
2
f (z)dz =2,
Z
16
9
f
¡
p
t
¢
p
t
dt =2. Tính
Z
4
0
f (x)dx.
A. 10. B. 11. C. 9. D. 1.
Câu 130. Một chiếc xe đang chuyển động đều với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh, chạy chậm
dần với vận tốc v(t) =20 −2t m/s đến khi dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu
hãm phanh đến khi dừng hẳn là
A. 98 m . B. 94 m. C. 100 m. D. 96 m.
Câu 131. Cho hàm số f (x) =
(
2x
2
+x với x > 0
xsin x với x 6 0
. T ính
Z
1
−π
f
(
x
)
dx.
A. I =
7
6
+π. B. I =
2
3
+π. C. I =3π −
1
3
. D. I =
2
5
+2π.
Câu 132. Biết
Z
1
0
3x
2
+1
3x +1
dx =a +b ln2, với a, b ∈Q. Tính giá trị biểu thức S =
b
a
.
A. S =
13
3
. B. S =4. C. S =
16
3
. D. S =−
14
3
.
Câu 133. Cho
Z
1
2
0
xe
3x
dx =ae
m
+b (trong đó a, b, m ∈Q). Tính P =
mb
a
.
A. P =3. B. P =2. C. P =−2. D. P =
3
2
.
Câu 134. Biết I =
Z
3
2
ln(x
2
−x) dx = a ln 3 +b ln2 −
Z
3
2
µ
c +
1
x −1
dx, với a, b, c ∈ Q. Tính giá trị
biểu thức A =a +b +c.
A. A =6. B. A =5. C. A =−1. D. A =3.
Dương Phước Sang 28 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 135. Biết
Z
6
0
2
p
4x +1 +1
dx =a+b ln3, với a, b ∈Q. Tính giá trị của biểu thức 3a+2b.
A. 3a +2b =4. B. 3a +2b =10. C. 3a +2b =14. D. 3a +2b =9.
Câu 136. Nếu
Z
π
4
0
2x cos xdx =
π
p
2
a
+b
p
2 +c, với a, b, c ∈ Q thì tổng S = a +b + c bằng bao
nhiêu?
A. S =7. B. S =2. C. S =−1. D. S =3.
Câu 137. Nếu
Z
e
1
ln x
x
2
dx =a +
b
e
n
, với a, b ∈Q thì tổng S = a +b +n bằng bao nhiêu?
A. S =−1. B. S =3. C. S =0. D. S =2.
Câu 138. Nếu
Z
2
1
xln x dx = a ln2 +
b
4
, với a, b ∈Q thì tích P =ab bằng bao nhiêu?
A. P =−6. B. P =−5. C. P =9. D. P =−10.
Câu 139. Cho
Z
1
0
x −2
(x +2)(x +4)
dx =aln5 +b ln3 +c ln2, với a, b, c ∈Q. Tính S = a +b +c.
A. S =4. B. S =6. C. S =−5. D. S =−3.
Câu 140. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x) liên tục trên [a; b]. Chọn mệnh đề đúng.
A.
Z
b
a
f
0
(x)dx = f (b) − f (a). B.
Z
b
a
f
0
(x)dx = f (b) + f (a).
C.
Z
b
a
f
0
(x)dx = f (a) − f (b). D.
Z
b
a
f
0
(x)dx =−f (b) − f (a).
Câu 141. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
e
x
x
trên khoảng (0;+∞). Tính
Z
2
1
e
3x
x
dx.
A.
Z
2
1
e
3x
x
dx =
F(6) −F(3)
3
. B.
Z
2
1
e
3x
x
dx =F(6) −F(3).
C.
Z
2
1
e
3x
x
dx =3[F(6) −F(3)]. D.
Z
2
1
e
3x
x
dx =3[F(3) −F(1)].
Câu 142. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và f (1) =−3, f (3) =2. Tính
tích phân I =
Z
3
1
f
2
(x).f
0
(x)dx.
A. I =
35
3
. B. I =−5. C. I =10. D. I =
11
6
.
Câu 143. Cho hàm số f (x) =cos2x +cos
2
x. Tính tích phân I =
Z
π
2
0
f (x). f
0
(x)dx.
A. I =−
3
2
. B. I =−3. C. I =−2. D. I =−
1
2
.
Câu 144. Hàm số nào bên dưới thoả mãn đẳng thức
Z
π
4
0
(1 −tan x)
4
cos
2
x
dx =
Z
1
0
f (t)dt ?
A. f (t) = t
2
. B. f (t) = t
4
. C. f (t) =(1 −t)
2
. D. f (t) =(t −1)
3
.
Câu 145. Chọn công thức đúng dùng để tính tích phân I =
Z
π
4
0
(x +1).sin2x dx.
A. I =
µ
(x +1)cos2x
2
¯
¯
¯
π
4
0
−
Z
π
4
0
1
2
cos2x dx. B. I =
µ
−
(x +1)cos2x
2
¯
¯
¯
π
4
0
+
Z
π
4
0
1
2
cos2x dx.
C. I =
µ
(x +1)cos2x
2
¯
¯
¯
π
4
0
+
Z
π
4
0
1
2
cos2x dx. D. I =
µ
−
(x +1)cos2x
2
¯
¯
¯
π
4
0
−
Z
π
4
0
1
2
cos2x dx.
Dương Phước Sang 29 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 146. Áp dụng phép đổi biến t = x
2
+2x +5 cho tích phân I =
Z
1
0
x +1
x
2
+2x +5
dx ta được
A. I =
Z
8
5
1
t
dt. B. I =
Z
1
0
tdt. C. I =
1
2
Z
8
5
1
t
dt. D. I =
1
2
Z
1
0
tdt.
Câu 147. Với phép đổi biến t =
p
1 −x
2
tích phân
Z
1
0
x
3
p
1 −x
2
dx được biến đổi thành tích
phân nào ?
A.
Z
1
0
(t
2
−t
4
)dt. B.
Z
1
0
(t
4
−t
2
)dt. C.
Z
1
0
(t
3
−t)dt. D.
Z
1
0
(t −t
3
)dt.
Câu 148. Với phép đặt t = sin
2
x thì tích phân
Z
π
2
0
sin x cos
3
x.e
sin
2
x
dx được biến đổi thành
tích phân nào ?
A.
1
2
Z
1
0
(1 −t)e
t
dt. B. 2
Z
1
0
(1 −t)e
t
dt. C.
1
2
Z
1
0
(1 +t)e
t
dt. D. 2
Z
1
0
(1 −t)e
t
dt.
Câu 149. Với phép đổi biến t =
3
p
4 +x
2
, tích phân
Z
2
0
x
3
3
p
4 +x
2
dx được biến đổi thành tích
phân nào ?
A.
3
2
Z
2
3
p
4
(t
3
−4)dt. B.
3
2
Z
2
3
p
4
(t
4
−4t) dt. C.
2
3
Z
2
3
p
4
(t
4
−4t) dt. D.
2
3
Z
2
3
p
4
(t
3
−4)dt.
Câu 150. Với phép đổi biến t = 2 +ln x, tích phân
Z
e
1
p
2 +ln x
2x
dx được biến đổi thành tích
phân nào ?
A.
Z
p
3
p
2
p
tdt. B.
Z
p
3
p
2
p
t
2
dt. C.
Z
3
2
p
tdt. D.
Z
3
2
p
t
2
dt.
Câu 151. Biết
Z
3
1
3 +ln x
(x +1)
2
dx =a +b ln3 +c ln 2 với a, b, c ∈Q. Khi đó a
2
+b
2
+c
2
bằng
A. a
2
+b
2
+c
2
=
3
2
. B. a
2
+b
2
+c
2
=
17
9
. C. a
2
+b
2
+c
2
=
17
8
. D. a
2
+b
2
+c
2
=
9
8
.
Câu 152. Biết
Z
2
1
4dx
(x +4)
p
x +x
p
x +4
=
p
a +
p
b −
p
c −d với a, b, c, d là các số nguyên dương.
T ính P = a +b +c +d.
A. 48. B. 46. C. 54. D. 52.
Câu 153. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{−1;1} thỏa mãn f
0
(x) =
1
x
2
−1
. Biết f (3)+f
(
−3
)
=
4 và f
µ
1
3
+ f
µ
−
1
3
=2. Tính m = f (−5) + f (0) + f (2).
A. m =5 +
1
2
ln2. B. m =6 −
1
2
ln2. C. m =5 −
1
2
ln2. D. m =6 +
1
2
ln2.
Câu 154.
Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của
hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu
thức S =
Z
4
0
f
0
(x −2)dx +
Z
2
0
f
0
(x +2)dx bằng
A. S =−2. B. S =10. C. S =2. D. S =6.
2 4
2
4
O
x
y
−2
−2
Dương Phước Sang 30 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 155. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 12 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng
đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi
công thức v
A
(t) = 12 −4t (đơn vị tính bằng m/s), thời gian t tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô
tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B
một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?
A. 37. B. 17. C. 19. D. 18.
Câu 156. Tìm a +b +c biết
Z
e
2
e
dx
xln x ln(ex)
=aln2 +b ln3 +c trong đó a, b, c ∈Q.
A. a +b +c =3 . B. a +b +c =−1 . C. a +b +c =1 . D. a +b +c =0 .
Câu 157. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
Z
π
4
0
f (tan x)dx =4 và
Z
1
0
x
2
f (x)
x
2
+1
dx =2. Tính tích
phân I =
Z
1
0
f (x)dx.
A. 6. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 158. Biết
Z
1
0
(x
2
+5x +6)e
x
x +2 +e
−x
dx =a.e −b −ln
a.e +c
3
với a, b, c là các số nguyên và e là cơ số
của logarit tự nhiên. Tính S =2a +b +c.
A. S =10. B. S =0. C. S =0. D. S =9.
Câu 159. Biết
Z
2
1
x
3x +
p
9x
2
−1
dx =a +b
p
2 +c
p
35 với a, b, c ∈Q. Tính P = a +2b +c −7.
A. −
1
9
. B.
86
27
. C. −2. D.
67
27
.
Câu 160. Tính tích phân
Z
3
−1
¡
x
3
−3x
2
+2
¢
2017
dx.
A. 0. B. 2,1 ·10
−15
. C. 690952,8. D.
272
35
.
Câu 161. Biết
Z
11
−1
f (x)dx =18. Tính I =
Z
2
0
x
¡
2 + f (3x
2
−1)
¢
dx.
A. I =5. B. I =7. C. I =8. D. I =10.
Câu 162. Biết
Z
π
6
−
π
6
xcos x
p
1 +x
2
+x
dx =a +
π
2
b
+
p
3π
c
với a, b, c ∈Z. Tính M =a −b +c.
A. M =35. B. M =41. C. M =−37. D. M =−35.
Câu 163. Biết
Z
2
1
x
3
dx
p
x
2
+1 −1
=a
p
5 +b
p
2 +c với a, b, c ∈Q. Giá trị của P = a +b +c là
A. −
5
2
. B.
7
2
. C.
5
2
. D. 2.
Câu 164. Cho hàm số f (x) liên tục trên R sao cho f (x) >0, ∀x ∈[0;2018] và f (x)·f (2018−x) =1,
∀x ∈[0;2018]. Giá trị của tích phân I =
Z
2018
0
1
1 + f (x)
dx là
A. 2018. B. 4016. C. 0. D. 1009.
Câu 165. Cho
Z
p
3
1
dx
1 +x +
p
1 +x
2
=a
p
3+b
p
2+c+ln
q
3
p
2 −3 với a, b, c ∈Q. T ính a+b+c.
A. a +b +c =
1
2
. B. a +b +c =−1. C. a +b +c =−
1
2
. D. a +b +c =
5
2
.
Câu 166. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16,
Z
2
0
f (x)dx =4. Tính I =
Z
1
0
x f
0
(
2x
)
dx.
A. 12. B. 13. C. 20. D. 7.
Dương Phước Sang 31 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 167. Cho tích phân I =
Z
12
1
12
µ
1 +x −
1
x
e
x+
1
x
dx =
a
b
·e
c
d
trong đó a, b, c, d là các số nguyên
dương và
a
b
,
c
d
là các phân số tối giản. T ính bc −ad.
A. 24. B.
1
6
. C. 12. D. 1.
Câu 168. Cho hàm số f liên tục trên Q thỏa mãn f
0
x)
p
x
2
+1 = 2x
p
f
(
x
)
+1 và f (x) > −1,
f (0) =0. Tính f
¡
p
3
¢
.
A. 0. B. 3. C. 7. D. 9.
Câu 169. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f
0
(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f (1) =0;
Z
1
0
[f
0
(x)]
2
dx =
Z
1
0
(x +1)e
x
f (x)dx =
e
2
−1
4
. T ính
Z
1
0
f (x)dx.
A.
e
2
. B.
e −1
2
. C.
e
2
4
. D. 2 −e.
Câu 170. Cho hàm số f (x) liên tục trên
[
−1;1
]
và f (−x)+2018f (x) =e
x
, ∀x ∈[−1;1]. Tính tích
phân
Z
1
−1
f (x)dx.
A.
e
2
−1
2018e
. B.
e
2
−1
e
. C.
e
2
−1
2019e
. D. 0.
Câu 171. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2], thỏa mãn f (2) =0 và các tích
phân:
Z
2
1
[f
0
(x)]
2
dx =
5
12
+ln
2
3
,
Z
2
1
f (x)
(x +1)
2
dx =−
5
12
+ln
3
2
. T ính tích phân
Z
2
1
f (x)dx.
A.
3
4
+2ln
2
3
. B. ln
3
2
. C.
3
4
−2ln
3
2
. D.
3
4
+2ln
3
2
.
Câu 172. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
Z
x
2
0
f (t)dt =e
x
2
+x
4
−1, ∀x ∈R. Tính f (4).
A. f (4) =e
4
+4. B. f (4) =4e
4
. C. f (4) =1. D. e
4
+8.
Câu 173. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; +∞), thoả mãn f
0
(x)+(2x+4) f
2
(x) =0,
f (x) >0 ∀x >0 và f (2) =
1
15
. T ính S = f (1) + f (2) + f (3).
A. S =
7
15
. B. S =
11
15
. C. S =
11
30
. D. S =
7
30
.
Câu 174. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {0} và thỏa mãn 2 · f (3x) +3 · f
µ
2
x
= −
15x
2
,
Z
9
3
f (x)dx = k. Tính I =
Z
3
2
1
2
f
µ
1
x
dx.
A. I =−
45 +k
9
. B. I =
45 −k
9
. C. I =
45 +k
9
. D. I =
45 −2k
9
.
Câu 175. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0; +∞) và
Z
x
2
0
f (t)dt = xe
x
. T ính giá trị f (4).
A. f (4) =3e
2
. B. f (4) =
3e
2
4
. C. f (4) =
5e
4
8
. D. f (4) =
e
2
4
.
Câu 176. Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (0;+∞) đồng thời thỏa mãn
điều kiện f (1) =1 +e; f (x) =e
1
x
+xf
0
(x) ∀x ∈(0;+∞). Giá trị của f (2) bằng
A. 1 +2
p
e. B. 1 +
p
e. C. 2 +2
p
e. D. 2+
p
e.
Câu 177. Tích phân I =
Z
π
4
−
π
4
sin
2
x
3
x
+1
dx =
π
a
−
1
b
với a, b là số tự nhiên. Tính P =
a
b
.
A. P =2. B. P =−4. C. P =4. D. P =8.
Dương Phước Sang 32 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 178. Giả sử
Z
3
1
p
1 +x
2
x
4
dx =
1
a
Ã
b
p
2 −
c
p
10
a
3
!
(với a, b, c ∈N và
b
a
là phân số tối giản). Khi
đó giá trị a +bc bằng
A. 43. B. 23. C. y =33. D. 13.
Câu 179.
Cho hàm số f liên tục trên đoạn
[
−6;5
]
, có
đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường
tròn như hình vẽ. Tính tích phân
I =
Z
5
−6
[
f
(
x
)
+2
]
dx.
A. I =2π +35. B. I =2π +34.
C. I =2π +33 . D. I =2π +32.
O
x
y
1 2 3−6 −2 5
Câu 180. Cho hàm số f (x) có các đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn x f
0
(x)−x
2
e
x
= f (x) và
f (1) =e. Tính tích phân I =
Z
2
1
f (x)dx.
A. I =e
2
−2e. B. I =e. C. I =e
2
. D. I =3e
2
−2e.
Câu 181. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
Z
1
−1
f (x) + f (−x)
2018
x
+1
dx = 2018. Tính tích phân
Z
1
−1
f (x)dx =2018.
A. 2017. B. 2018. C. 1009. D. 0.
Câu 182. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [1;4], f (1) =
1
3
, f
0
(1) =
2
5
và
thỏa mãn 2f
0
(x) +x f
00
(x) =
p
x,∀x ∈[1; 4]. Tính I =
Z
4
1
f (x)dx.
A. I =
139
75
. B. I =
213
25
. C. I =
263
75
. D. I =
119
25
.
Câu 183. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn đẳng thức
sau f (x) +2x f
¡
x
2
¢
+3x
2
f
¡
x
3
¢
=
p
1 −x
2
, ∀x ∈[0;1]. Tính
Z
1
0
f (x)dx.
A.
π
4
. B.
π
24
. C.
π
36
. D.
π
12
.
Câu 184. Biết
Z
4
1
s
1
4x
+
p
x +e
x
p
xe
2x
dx =a +e
b
−e
c
với a, b, c là các số nguyên. Tính a +b +c
A. a +b +c =−4. B. a +b +c =−5. C. a +b +c =−3. D. a +b +c =3.
Câu 185. Biết
Z
1
0
(x
2
+5x +6)e
x
x +2 +e
−x
dx =a.e −b −ln
a.e +c
3
với a, b, c là các số nguyên và e là cơ số
của logarit tự nhiên. Tính S =2a +b +c.
A. S =10. B. S =0. C. S =0. D. S =9.
Câu 186. Biết
Z
5
1
p
2x −1
2x +3
p
2x −1 +1
dx = a +b ln 2 +c ln3 +d ln5 với a, b, c, d là các số nguyên.
T ính S =a +b +c +d.
A. S =−1. B. S =2. C. S =5. D. S =3.
Câu 187. Biết I =
Z
3
2
s
1 +
1
x
2
+
1
(x −1)
2
dx =a+b ln2+c ln3, trong đó a, b, c là những số nguyên.
T ính biểu thức
¡
a +b
2
+3c
2
¢
.
A. 6. B. 5. C. 8. D. 9.
Dương Phước Sang 33 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y =2x
3
−3x
2
, Ox, x =0 và x =2.a) y = x
4
−2x
2
−3, y = x
2
+1, O y và x =2.b)
y = x
3
−12x và y = x
2
.c) y = x
3
+11x −6 và y =6x
2
.d)
y = x
3
và y =4x.e) y =(e +1) x và y =(1 +e
x
) x.f)
y =
4x −2
2x +1
và hai trục toạ độ.g) y =
p
1 +ln x
x
, trục hoành và x =e.h)
Bài 17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox , biết (H) giới hạn bởi
y = x
3
−3x, trục hoành, x =0 và x =2.a) y =cos x, trục hoành, x =0 và x =π.b)
y =
2
2 −x
, trục hoành, x =0 và x =1.c) y =e
x
p
x, trục hoành và x =1.d)
y =2x −x
2
và y = x.e) y =2 −x
2
và y =1.f)
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 188. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x
3
, trục hoành và hai
đường thẳng x =1, x =3.
A. 19. B.
2186
7
π. C. 20. D. 18.
Câu 189. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =3x
2
+1, trục hoành và
hai đường thẳng x =0, x =2 là
A. S =10. B. S =8. C. S =12. D. S =9.
Câu 190. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
−4x và x + y =−2 là
A.
6
5
. B.
5
2
. C.
1
2
. D.
1
6
.
Câu 191. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x
2
−2x và y =
−x
2
+x.
A. 6. B.
9
8
. C. 12. D.
10
3
.
Câu 192. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x sin2x, y =2x, x =
π
2
.
A.
π
2
4
+
π
4
. B. π
2
−π. C.
π
2
4
−4. D.
π
2
4
−
π
4
.
Câu 193. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
p
x
2
+1; x =1 và trục Ox .
A.
2
p
2 −1
3
. B.
3
p
2 −1
5
. C.
5 −
p
2
6
. D.
5 −2
p
2 −1
3
.
Câu 194. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x
2
−2x −2 và y =
x −4
2 −x
.
A.
4
3
. B.
5
3
−2ln 2. C. 0,28. D. 3 −ln 4.
Câu 195. Hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : x
2
−x −6 và trục Ox có diện tích bằng
A.
95
6
. B. −
95
6
. C.
125
6
. D. −
125
6
.
Câu 196. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = x
3
−3x và trục Ox.
A. S =
9
4
. B. S =
9
8
. C. S =
9
2
. D. S =
11
4
.
Dương Phước Sang 34 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 197. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số y = x
2
−2x, y =0, x =−1, x =2 quanh trục Ox bằng
A.
16π
5
. B.
18π
5
. C.
17π
5
. D.
5π
18
.
Câu 198. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong y =e
x
, Ox và các đường x =0, x = 1.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =
e
2
−1
2
. B. V =
π
¡
e
2
+1
¢
2
. C. V =
πe
2
2
. D. V =
π
¡
e
2
−1
¢
2
.
Câu 199. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn
bởi các đường y =
p
2x, y =0 và hai đường thẳng x =1, x =2 quanh trục Ox.
A. V =3π. B. V =3. C. V =π. D. V =1.
Câu 200. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y =cos x, y =0,
x =0, x =π quay xung quanh Ox.
A. 0. B.
π
2
2
. C. 2π. D. 2.
Câu 201. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
p
−e
x
+4x, trục hoành và
hai đường thẳng x = 1; x = 2. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung
quanh trục hoành bằng
A. π
Z
2
1
(e
x
−4x) dx. B.
Z
2
1
(e
x
−4x) dx. C.
Z
2
1
(4x −e
x
)dx. D. π
Z
2
1
(4x −e
x
)dx.
Câu 202. Cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường x =0, x = 1, y = 0 và y =
p
2x +1.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox có thể tích bằng
A. π
Z
1
0
p
2x +1dx. B. π
Z
1
0
(
2x +1
)
dx. C. π
Z
1
0
(
2x +1
)
2
dx. D.
Z
1
0
p
2x +1dx.
Câu 203. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = xe
x
, y =0, x =0, x =1 xung quanh trục Ox là
A. V =
Z
1
0
x
2
e
2x
dx. B. V =π
Z
1
0
xe
x
dx. C. V =π
Z
1
0
x
2
e
x
dx. D. V =π
Z
1
0
x
2
e
2x
dx.
Câu 204. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
1
x
và các đường thẳng y = 0,
x = 1, x = 4. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay xung
quanh trục Ox.
A. 2π ln 2. B.
3π
4
. C.
3
4
. D. 2ln2.
Câu 205. Cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = π, y = 0 và y = −sin x.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox có thể tích bằng
A. π
Z
π
0
|
sin x
|
dx. B. π
Z
π
0
sin
2
xdx. C.
Z
π
0
sin
2
xdx. D. π
¯
¯
¯
¯
Z
π
0
(
−sin x
)
dx
¯
¯
¯
¯
.
Câu 206. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y =e
x
và các đường thẳng y =0; x =0 và x =1 được tính bởi công thức nào sau đây?
A. V =
Z
1
0
e
2x
dx. B. V =π
Z
1
0
e
x
2
dx. C. V =
Z
1
0
e
x
2
dx. D. V =π
Z
1
0
e
2x
dx.
Câu 207. Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B
với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x, (0 ≤ x ≤ 2) ta được thiết
diện có diện tích bằng x
2
(2 −x). Thể tích của vật thể B là
A. V =
2
3
π. B. V =
2
3
. C. V =
4
3
. D. V =
4
3
π.
Dương Phước Sang 35 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 208.
Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho và trục Ox.
Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay
có thể tích V được xác định theo công thức nào dưới đây?
A. V =π
2
Z
3
1
[
f (x)
]
2
dx. B. V =
1
3
Z
3
1
[
f (x)
]
2
dx.
C. V =
Z
3
1
[
f (x)
]
2
dx. D. V =π
Z
3
1
[
f (x)
]
2
dx.
x
y
O
1 3
−1
y = f (x)
Câu 209. Cho đồ thị hàm số y = f (x). Diện tích hình phẳng
(phần tô đậm trong hình) là
A. S =
Z
4
−3
f (x)dx. B. S =
Z
−3
0
f (x)dx +
Z
4
0
f (x)dx.
C. S =
Z
1
−3
f (x)dx +
Z
4
1
f (x)dx. D. S =
Z
0
−3
f (x)dx −
Z
4
0
f (x)dx.
O
x
y
−3
4
Câu 210.
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b (như hình bên).
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
O
x
y
a
c
b
y = f (x)
A. S =
¯
¯
¯
¯
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
. B. S =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx.
C. S =−
Z
c
a
f (x)dx +
Z
b
c
f (x)dx. D. S =
Z
b
a
f (x)dx.
Câu 211.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f (x), trục hoành,
hai đường thẳng x = a, x = b (hình bên). Giả sử S
D
là diện
tích của hình phẳng D. Hãy chọn công thức tính S
D
.
A. S
D
=−
Z
0
a
f (x)dx −
Z
b
0
f (x)dx.
B. S
D
=
Z
0
a
f (x)dx −
Z
b
0
f (x)dx.
C. S
D
=−
Z
0
a
f (x)dx +
Z
b
0
f (x)dx.
D. S
D
=−
Z
0
a
f (x)dx +
Z
b
0
f (x)dx.
x
y
O
y = f (x)
a
b
Câu 212.
Tổng diện tích S = S
1
+S
2
+S
3
trong hình vẽ được tính
bằng tích phân nào sau đây?
A. S =
Z
b
a
f (x)dx.
B. S =
Z
c
a
f (x)dx −
Z
d
c
f (x)dx +
Z
b
d
f (x)dx.
C. S =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
d
c
f (x)dx −
Z
b
d
f (x)dx.
D. S =
Z
c
a
f (x)dx +
Z
d
c
f (x)dx +
Z
b
d
f (x)dx.
x
y
O
c
d
a
b
S
1
S
3
S
2
Câu 213.
Dương Phước Sang 36 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay
quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành
được tính theo công thức nào trong các công thức sau
đây?
x
y
O
a
b
y = f (x)
y = g(x)
A. V =π
Z
b
a
£
g
2
(x) − f
2
(x)
¤
dx. B. V =π
Z
b
a
[f (x) − g(x)]
2
dx.
C. V =π
Z
b
a
[f (x) − g(x)]dx. D. V =π
Z
b
a
£
f
2
(x) −g
2
(x)
¤
dx.
Câu 214.
Trong không gian Ox yz, cho vật thể được giới
hạn bởi hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với
trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt
phẳng (R) tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có
hoành độ x, (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo thiết diện
có diện tích là S(x), với y = S(x) là hàm số liên
tục trên [a; b]. Thể tích V của vật thể đó được
tính theo công thức
xa
P
x
R
b
Q
O
S(x)
A. V =
Z
b
a
S
2
(x)dx. B. V =π
Z
b
a
S
2
(x)dx. C. V =π
Z
b
a
S(x) dx. D. V =
Z
b
a
S(x) dx.
Câu 215.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị (C) là đường cong như
hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành
và hai đường thẳng x =0, x =2 (phần tô đen) là
A.
Z
2
0
f (x)dx. B. −
Z
1
0
f (x)dx +
Z
2
1
f (x)dx.
C.
Z
1
0
f (x)dx −
Z
2
1
f (x)dx. D.
¯
¯
¯
¯
Z
2
0
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
.
O
x
y
1 2
3
−2
Câu 216.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị (C) cắt trục Ox
tại ba điểm có hoành độ a, b, c với c ∈ (a; b) như hình bên. Đặt
m =
Z
c
a
f (x)dx, n =
Z
b
c
f (x)dx. Diện tích của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị (C) và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?
A. m +n. B. −m −n. C. m −n. D. n −m.
x
y
O
a
c
b
Câu 217.
Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ
thị 3 hàm số f (x), g(x ), h(x) như hình bên, bằng kết quả
nào sau đây.
A. S =
Z
c
a
|
f (x) − g(x)
|
dx +
Z
c
b
|
g(x) −h(x)
|
dx.
B. S =
Z
b
a
[
f (x) − g(x)
]
dx +
Z
c
b
[
g(x) −h(x)
]
dx.
C. S =
Z
b
a
[
f (x) − g(x)
]
dx −
Z
c
b
[
g(x) −h(x)
]
dx.
D. S =
Z
c
a
[
f (x) +h(x) − g(x)
]
dx.
O
x
y
a
b
c
h(x)
g(x)
f (x)
Dương Phước Sang 37 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 218. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).
Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức
A. S =
Z
1
0
f (x)dx +
Z
4
1
g(x) dx.
B. S =
Z
4
0
[
f (x) − g(x)
]
dx.
C. S =
Z
1
0
f (x)dx −
Z
4
1
g(x) dx.
D. S =
Z
4
0
|
f (x) − g(x)
|
dx.
x
1 2 3 4
y
1
2
3
O
(C
1
) : y = f (x)
(C
2
) : y = g (x )
Câu 219.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
y = f (x), y = g(x ) (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi S
là diện tích của hình phẳng D. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. S =
Z
0
−3
[
f (x) − g(x)
]
dx.
B. S =
Z
0
−3
[
g(x) − f (x)
]
dx.
C. S =
Z
0
−3
[
f (x) + g(x)
]
dx.
D. S =
Z
1
−3
[
f (x) − g(x)
]
2
dx.
x
y
O
y = f (x)
y = g(x)
−3
3
Câu 220.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x) và trục hoành
(phần gạch sọc) trong hình vẽ có công thức là
A.
¯
¯
¯
¯
Z
1
−3
f (x)dx +
Z
2
1
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
. B.
¯
¯
¯
¯
Z
1
−3
f (x)dx −
Z
2
1
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
.
C. −
Z
1
−3
f (x)dx +
Z
2
1
f (x)dx. D.
Z
1
−3
f (x)dx +
Z
2
1
f (x)dx.
x
y
O
−3 1 2
Câu 221.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y =
p
x, y = x −2 và
trục hoành (hình vẽ). Quay (H) xung quanh trục Ox.
T ính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
A.
10π
3
. B.
16π
3
. C.
7π
3
. D.
8π
3
.
x
y
O
y =
p
x
y = x −2
2 4
2
Câu 222. Xét vật thể (T ) nằm giữa hai mặt phẳng x =−1 và x =1. Biết rằng thiết diện của
vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một
hình vuông có cạnh 2
p
1 −x
2
. Thể tích vật thể (T ) bằng
A.
16π
3
. B.
16
3
. C. π. D.
8
3
.
Câu 223. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3 biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x
(
0 6 x 6 3
)
là
hình chữ nhật có kích thước là x và 2
p
9 −x
2
.
A. 36(đvtt). B. 9 (đvtt). C. 18 (đvtt). D. 54 (đvtt).
Câu 224. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành
Dương Phước Sang 38 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
độ x (0 ≤ x ≤3) là một hình tròn có đường kính bằng
p
36 −3x
2
.
A. V =
81π
4
. B. V =
81
4
. C. V =81π. D. V =81.
Câu 225. Một vật di chuyển với gia tốc a(t) = −20(1 +2t)
−2
(m/s
2
). Khi t = 0 thì vận tốc của
vật là 30 m/s. Tính quãng đường vật đó đi được sau 2 giây đầu tiên.
A. 47 m. B. 48 m. C. 49 m. D. 46 m.
Câu 226. Một vật chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −10 m/s
2
, vận tốc ban đầu là
v
0
=120 m/s. Tính quãng đường di chuyển của vật từ thời điểm t
0
=0 đến lúc dừng hẳn.
A. 1440 m. B. 1000 m. C. 680 m. D. 720 m.
Câu 227.
Cho hình phẳng
(
H
)
như hình vẽ (phần tô đậm).
Diện tích hình phẳng
(
H
)
là
A.
9
2
ln3 −
3
2
. B. 1.
C.
9
2
ln3 −4. D.
9
2
ln3 −2.
O
x
y
1 2 3 4 5
y = x.ln x
x =3
Câu 228. Hình phẳng giới hạn bởi các đường x = −3, x = 1, y = 0, y = x
2
−x có diện tích được
tính theo công thức
A. S =
Z
1
−3
¡
x
2
−x
¢
dx. B. S =
Z
0
−3
¡
x
2
−x
¢
dx −
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
dx.
C. S =
Z
0
−3
¡
x
2
−x
¢
dx +
1
Z
0
¡
x
2
−x
¢
dx. D. S =
Z
1
0
¯
¯
x
2
−x
¯
¯
dx.
Câu 229. Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x
2
−2x
x −1
, đường
thẳng y = x −1 và các đường thẳng x = m, x =2m (m >1). Giá trị của m sao cho S =ln 3 là
A. m =5. B. m =4. C. m =2. D. m =3.
Câu 230.
Cho hàm y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 3]. Gọi (H)
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f
0
(x) và
đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).
Diện tích hình (H) bằng
A. 2f (2) − f (1) − f (3) +1. B. f (3) − f (1) −4.
C. 2f (3) − f (2) − f (1) +1. D. f (1) − f (3) +4.
x
y
Câu 231.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y =
p
x, y =
x −2 và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của (H)
bằng
A.
10
3
. B.
16
3
. C.
7
3
. D.
8
3
.
x
y
O
f (x) =
p
x
g(x) = x −2
2 4
2
Câu 232. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) : y =
x −1
x +1
và các trục
tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
A. ln2 −1. B. 2ln2 −1. C. ln 2 +1. D. ln2 +1.
Dương Phước Sang 39 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 233.
Cho H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn
bởi các đường có phương trình y =
10
3
x −x
2
, y =
(
−x khi x ≤1
x −2 khi x >1
.
Diện tích của H bằng
A.
11
2
. B.
13
2
. C.
11
6
. D.
14
3
.
O
x
y
−1
1
1
3
Câu 234.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = e,
y =e
x
và y =(1 −e)x +1 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của
(H) là
A. S =
e +1
2
. B. S =e +
1
2
. C. S =e +
3
2
. D. S =
e −1
2
.
x
−2 −1 1
y
−1
1
2
3
O
y =e
y =e
x
y =(1 −e)x +1
Câu 235.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x
2
−1 và nửa
đường tròn có phương trình y =
p
2 −x
2
với −
p
2 ≤ x ≤
p
2 (phần
gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng
A.
3π −2
6
. B.
3π +10
3
. C.
3π +2
6
. D.
3π +10
6
.
Câu 236.
Gọi tam giác cong (O AB) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
hàm số y =2x
2
, y = 3 −x, y = 0 (hình vẽ bên). Tính diện tích S của
(OAB).
A. S =
8
3
. B. S =
4
3
. C. S =
5
3
. D. S =
10
3
.
x
y
O
3
3
B
A
Câu 237. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe
x
, trục hoành, hai
đường thẳng x = −2; x =3 có công thức tính là
A. S =
Z
3
−2
xe
x
dx. B. S =
Z
3
−2
¯
¯
xe
x
¯
¯
dx. C. S =
¯
¯
¯
¯
Z
3
−2
xe
x
dx
¯
¯
¯
¯
. D. S =π
Z
3
−2
xe
x
dx.
Câu 238. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) =−5t +10 m/s. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 20 m. B. 2 m. C. 0,2 m. D. 10 m.
Câu 239. Một ô-tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô-tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t) = −10t +20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô-tô còn di
chuyển bao nhiêu mét?
A. 20 m. B. 25 m. C. 60 m. D. 15 m.
Câu 240. Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t
2
+10t (m/s)
với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi
Dương Phước Sang 40 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển
trên đường băng là
A. 500 (m). B. 2000 (m). C.
4000
3
(m). D.
2500
3
(m).
Câu 241. Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện
có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì
vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc
v(t) = −5t +20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao
nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?
A. 5 m. B. 6 m. C. 4 m. D. 3 m.
Câu 242. Một học sinh đang điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng đều với vận tốc a
m/s. Khi phát hiện có chướng ngại vật phía trước học sinh đó thực hiện phanh xe. Sau khi
phanh, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = a −2t m/s. Tìm giá trị lớn nhất của
a để quãng đường xe đạp điện đi được sau khi phanh không vượt quá 9 m.
A. a =7. B. a =4. C. a =5. D. a =6.
Câu 243. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho
phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 −2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô
đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
A. 100 m. B. 150 m. C. 175 m. D. 125 m.
Câu 244. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm
đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) =−5t +10 (m/ s) trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn
di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 0.2 m. B. 2 m. C. 10 m. D. 20 m.
Câu 245. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc là v
0
(t) =
3
t +1
(m/s
2
). Vận tốc
ban đầu của vật là 6 m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn
vị).
A. 11 m/s. B. 12 m/s. C. 13 m/s. D. 14 m/s.
Câu 246. Một vật chuyển động với vận tốc v = 20 m/s thì thay đổi vận tốc với gia tốc được
tính theo thời gian t là a(t) = −4 +2t m/s
2
. Tính quãng đường vật đi được để từ thời điểm
thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất.
A.
104
3
m. B. 104 m. C. 208 m. D.
104
6
m.
Câu 247. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t +
12t
2
(m/s
2
). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
tốc là
A.
4300
3
m. B. 4300 m. C.
98
3
m. D. 11100 m .
Câu 248. Một xe buýt bắt đầu đi từ một nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 +3t
2
(m/s)
(khi bắt đầu chuyển động từ A thì t =0) đến nhà chờ xe buýt B cách đó 175 m. Hỏi thời gian
xe đi từ A đến B là bao nhiêu giây?
A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 5 .
Dương Phước Sang 41 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 249. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng
ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần
đều với gia tốc −a
¡
m/s
2
¢
,
(
a >0
)
. Biết ô tô chuyển động được 20m nữa thì dừng hẳn. Hỏi a
thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (3;4). B. (4;5). C. (5;6). D. (6; 7).
Câu 250. Độ lớn của vận tốc của một vật thay đổi theo thời gian v = f (t) (m/s) trong đó f (t)
nhận giá trị dương. Quãng đường đi được (tính theo đơn vị mét) từ thời điểm t = a (s) đến
thời điểm t = b (s), (0 <a < b), được tính theo công thức
A. f (b) − f (a). B.
Z
a
b
f (t)dt. C.
Z
b
a
f (t)dt. D. f (a) − f (b).
Câu 251. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
p
1 +ln x
x
, y = 0 , x = 1, x = e là
S = a
p
2 +b. Khi đó tính giá trị a
2
+b
2
?
A.
2
3
. B.
4
3
. C.
20
9
. D. 2.
Câu 252. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x và y = e
x
, trục
tung và đường thẳng x =1 được tính theo công thức nào dưới đây?
A. S =
1
Z
0
¯
¯
e
x
−1
¯
¯
dx. B. S =
1
Z
0
¡
e
x
−x
¢
dx. C. S =
1
Z
0
¡
x −e
x
¢
dx. D. S =
1
Z
−1
¯
¯
e
x
−x
¯
¯
dx.
Câu 253.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x)
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) là
A.
0
Z
−2
f (x)dx −
1
Z
0
f (x)dx. B.
0
Z
−2
f (x)dx +
1
Z
0
f (x)dx.
C.
1
Z
0
f (x)dx −
0
Z
−2
f (x)dx. D.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
Z
−2
f (x)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
x
y
1−2
O
Câu 254. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x
2
và y = 2 −x
2
. Đẳng
thức nào sau đây đúng?
A. S =2
1
Z
0
¯
¯
1 −x
2
¯
¯
dx. B. S =2
1
Z
−1
¡
1 −x
2
¢
dx. C. S =2
1
Z
0
¡
x
2
−1
¢
dx. D. S =2
1
Z
−1
¡
x
2
−1
¢
dx.
Câu 255.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a ; b] có đồ thị như
hình bên và c ∈ [a; b]. Gọi S là diện tích của hình phẳng
(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và các đường thẳng
y =0, x =a, x = b. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. S =
c
Z
a
f (x)dx +
b
Z
c
f (x)dx. B. S =
c
Z
a
f (x)dx −
b
Z
c
f (x)dx.
C. S =
b
Z
a
|f (x)|dx. D. S =
c
Z
a
f (x)dx +
c
Z
b
f (x)dx.
O
x
y
1
a c
b
(H)
Dương Phước Sang 42 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 256.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có
phương trình y =
p
x, nửa đường tròn có phương trình
y =
p
2 −x
2
(với 0 ≤ x ≤
p
2) và trục hoành (phần tô đậm
trong hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
A.
3π +2
12
. B.
4π +2
12
. C.
3π +1
12
. D.
4π +1
6
.
O
x
y
−
p
2
p
2
p
2
1
Câu 257.
Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị trên đoạn [−1;4]
như hình vẽ. Tính tích phân I =
4
Z
−1
f (x)dx.
A. I =
5
2
. B. I =
11
2
. C. I =5. D. I =3.
x
y
O
−1 1 2
3
4
−1
2
Câu 258. Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi (P): y = x
2
+1 và đường thẳng d : y = mx +2 là
A.
3
4
. B. 1. C.
4
3
. D.
2
5
.
Câu 259.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
p
3
2
x
2
và nửa elip có
phương trình y =
1
2
p
4 −x
2
(với −2 ≤ x ≤ 2) và trục hoành (phần tô
đậm trong hình vẽ). Gọi S là diện tích của, biết S =
aπ +b
p
3
c
(với
a, b, c,∈R). Tính P = a +b +c.
x
y
O
−2 2
1
A. P =9. B. P =12. C. P =15. D. P =17.
Câu 260.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1,
y = x và đồ thị hàm số y =
x
2
4
trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là
a
b
(phân số tối giản). Khi đó b −a bằng
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
O
x
y
1 2
1
2
3
g(x) = x
h(x) =
x
2
4
Câu 261.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f
0
(x) liên tục trên R
và đồ thị của f
0
(x) trên đoạn [−2;6] như hình bên
dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (−2) < f (−1) < f (2) < f (6).
B. f (2) < f (−2) < f (−1) < f (6).
C. f (−2) < f (2) < f (−1) < f (6).
D. f (6) < f (2) < f (−2) < f (−1).
x
y
O
3
−2 −1
1
2 6
Câu 262.
Dương Phước Sang 43 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
p
3
2
x
2
và đường elip có phương trình
x
2
4
+ y
2
= 1 (phần gạch chéo
trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A.
2π +
p
3
6
. B.
2π
3
. C.
π +
p
3
4
. D.
3π
4
.
O
x
y
−1 1
Câu 263.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
,
y = 0, x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k (0 < k < 16))
chia hình (H) thành hai phần có diện tích S
1
, S
2
(hình vẽ). Tìm k để S
1
=S
2
.
A. k =8. B. k =4. C. k =5. D. k =3.
y
x
O
x =4
y = k
S
1
S
2
y = x
2
Câu 264. Cho hàm số y = x
4
−4x
2
+m có đồ thị (C
m
). Giả sử (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (C
m
) với trục hoành có diện tích phần phía trên
trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới
đây?
A. m ∈(−1;1). B. m ∈(2; 3). C. m ∈(3; 5). D. m ∈(5;+∞).
Câu 265. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là (P), trên (P) có hai điểm A,B với hoành độ lần lượt
là a, b. Biết rằng AB = 3
p
2 và diện tích hình phẳng tạo bởi (P) với đường thẳng AB bằng
p
6. Giá trị của a
2
+b
2
là
A. 4. B. 10. C. 5. D. 8.
Câu 266.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y =
x
2
3
, y =
p
3x
2
,
cung tròn có phương trình y =
p
4 −x
2
với (−2 ≤ x ≤ 2) (phần tô
đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A.
π
3
. B.
π
6
.
C.
2π
3
+
8
9
+
p
3
6
. D.
2π
3
−
8
9
−
p
3
6
.
x
y
1
1
2
−1−2 2
O
Câu 267.
Đồ thị của hàm số y = f (x) liên tục trên
đoạn [−3;5] như hình vẽ dưới đây (phần
cong của đồ thị là một phần của parabol
y = ax
2
+bx +c). Tính I =
3
Z
−2
f (x)dx.
A. I =
53
3
. B. I =
97
6
.
C. I =
43
2
. D. I =
95
6
.
y
1
2
3
4
x
−3 −2 −1 1 2 3 4
O
E
G
D
C
A
H
B
Câu 268.
Dương Phước Sang 44 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
1
4
x
2
+1
với (0 ≤ x ≤ 2
p
2), nửa đường tròn y =
p
8 −x
2
và trục
hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện
tích của (H) bằng
A.
3π +14
6
. B.
2π +2
3
. C.
3π +4
6
. D.
3π +2
3
.
O
2
p
2
x
y
Câu 269.
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người ta đã dùng bốn đường
parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (phần
tô đậm như hình vẽ). Diện tích của mỗi cánh hoa đó bằng
A. 200 cm
2
. B.
800
3
cm
2
. C.
400
3
cm
2
. D.
200
3
cm
2
.
40 cm
Câu 270.
Cho nửa đường tròn đường kính AB =4
p
5. Trên
đó người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm
của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính
vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại
hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai
điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4 cm. Sau
đó người ta cắt bỏ phần
A
B
4 cm
4 cm
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch sọc trong hình vẽ). Đem phần
còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng
A. V =
π
15
¡
800
p
5 −464
¢
cm
3
. B. V =
π
3
¡
800
p
5 −928
¢
cm
3
.
C. V =
π
5
¡
800
p
5 −928
¢
cm
3
. D. V =
π
15
¡
800
p
5 −928
¢
cm
3
.
Câu 271.
Cho hình phẳng ( H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của
một parabol và một đường thẳng tiếp xúc với parabol đó
tại điểm A(2; 4), (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích
khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay quanh
trục Ox.
A.
32π
5
. B.
16π
15
. C.
22π
5
. D.
2π
3
.
O
x
y
1 2
4
Câu 272. Một ô-tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v
1
(t) =7t (m/s). Đi được
5 (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô-tô tiếp tục chuyển động chậm
dần đều với gia tốc a =−70 (m/s
2
). Tính quãng đường S (m) đi được của ô-tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. S =87,50 (m). B. S =94,00 (m). C. S =95,70 (m). D. S =96,25 (m).
Dương Phước Sang 45 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 273. Một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều
với gia tốc a(t) = 3t −8 (m/s
2
) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường
mà ô tô đi được sau 10s kể từ lúc tăng tốc là
A. 150 m. B. 250 m. C. 246 m. D. 540 m.
Câu 274.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy
cốc là 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng
một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc,
biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng
cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
A. 240 cm
3
. B. 240π cm
3
.
C. 120 cm
3
. D. 120π cm
3
.
Câu 275.
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình
vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤1) thì được thiết diện là một tam
giác đều. T ính thể tích V của vật thể đó.
A. V =
p
3. B. V =3
p
3. C. V =
4
p
3
3
. D. V =π.
x
y
z
Câu 276. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang
dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị
bằng công thức v
A
(t) = 16 −4t (m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để hai ô tô A và B
đạt khoảng cách an toàn thì khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách ô tô B một khoảng ít
nhất là bao nhiêu?
A. 33 m. B. 12 m. C. 31 m. D. 32 m.
Câu 277.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = −x
2
+4x và trục hoành. Hai đường thẳng y = m,
y = n chia hình (H) thành 3 phần có diện tích bằng
nhau (ta có thể tham khảo hình vẽ). Tính giá trị biểu
thức T =(4 −m)
3
+(4 −n)
3
.
A. T =
320
9
. B. T =
75
2
.
C. T =
512
15
. D. T =405.
x
y
O
y = m
y = n
Câu 278.
T ính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình
phẳng (H) (phần tô màu đen trong hình bên) quanh trục Ox .
A.
61π
15
. B.
88π
5
. C.
8π
5
. D.
424π
15
.
x
y
−2
1
5
3
O
2
4
Dương Phước Sang 46 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
TRÍCH DẪN CÂU TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ THI CỦA BỘ
Câu 279 (Đề 101 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos3x.
A.
Z
cos3x dx =3 sin3x +C. B.
Z
cos3x dx =
sin3x
3
+C.
C.
Z
cos3x dx =−
sin3x
3
+C. D.
Z
cos3x dx =sin 3x +C.
Câu 280 (Đề 102 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
5x −2
.
A.
Z
dx
5x −2
=
1
5
ln|5x −2|+C. B.
Z
dx
5x −2
=−
1
2
ln(5x −2) +C.
C.
Z
dx
5x −2
=5ln|5x −2|+C. D.
Z
dx
5x −2
=ln|5x −2|+C.
Câu 281 (Đề 103 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =2sin x.
A.
Z
2sin x dx =2cos x +C. B.
Z
2sin x dx =sin
2
x +C.
C.
Z
2sin x dx =sin2x +C. D.
Z
2sin x dx =−2cos x +C.
Câu 282 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f
(
x
)
=7
x
.
A.
Z
7
x
dx =7
x
ln7 +C. B.
Z
7
x
dx =
7
x
ln7
+C.
C.
Z
7
x
dx =7
x+1
+C. D.
Z
7
x
dx =
7
x+1
x +1
+C.
Câu 283 (Đề tham khảo - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x
2
+
2
x
2
.
A.
Z
f (x) dx =
x
3
3
−
2
x
+C. B.
Z
f (x) dx =
x
3
3
−
1
x
+C.
C.
Z
f (x) dx =
x
3
3
+
2
x
+C. D.
Z
f (x) dx =
x
3
3
+
1
x
+C.
Câu 284 (Đề tham khảo - 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =3x
2
+1 là
A. x
3
+C. B.
x
3
3
+x +C. C. 6x +C. D. x
3
+x +C.
Câu 285 (Đề 101 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 3x
2
+1 +C. C. x
3
+x +C. D.
1
4
x
4
+
1
2
x
2
+C.
Câu 286 (Đề 103 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
4
+x
2
là
A. 4x
3
+2x +C. B.
1
5
x
5
+
1
3
x
3
+C. C. x
4
+x
2
+C. D. x
5
+x
3
+C.
Câu 287 (Đề thử nghiệm - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =cos2x.
A.
Z
f (x)dx =
1
2
sin2x +C. B.
Z
f (x)dx =−
1
2
sin2x +C. .
C.
Z
f (x)dx =2 sin 2x +C. . D.
Z
f (x)dx =−2 sin 2x +C.
Câu 288 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho hàm số f (x ) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f (1) =1 và
f (2) =2.
T ính I =
Z
2
1
f
0
(x)dx
A. I =1. B. I =−1. C. I =3. D. I =
7
2
.
Dương Phước Sang 47 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 289 (Đề tham khảo - 2018). Tích phân
Z
2
0
dx
x +3
bằng
A.
16
225
. B. log
5
3
. C. ln
5
3
. D.
2
15
.
Câu 290 (Đề 101 - 2018). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e
x
,
y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S =π
Z
2
0
e
2x
dx. B. S =
Z
2
0
e
x
dx. C. S =π
Z
2
0
e
x
dx. D. S =
Z
2
0
e
2x
dx.
Câu 291 (Đề 102 - 2018). Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2
x
,
y =0, x =0, x =2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S =
Z
2
0
2
x
dx. B. S =π
Z
2
0
2
2x
dx. C. S =
Z
2
0
2
2x
dx. D. S =π
Z
2
0
2
x
dx.
Câu 292 (Đề minh họa - 2017). Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được
tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường
thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox .
A. V =π
Z
b
a
f
2
(x)dx. B. V =
Z
b
a
f
2
(x)dx. C. V =π
Z
b
a
f (x)dx. D. V =π
Z
b
a
|f (x)|dx.
Câu 293 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b (a < b). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là
A. V =π
Z
b
a
f
2
(x)dx. B. V =2π
Z
b
a
f
2
(x)dx.
C. V =π
2
Z
b
a
f
2
(x)dx. D. V =π
2
Z
b
a
f (x)dx.
Câu 294 (Đề 103 - 2018). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
+3, y =0, x =0,
x =2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =π
Z
2
0
(x
2
+3)
2
dx. B. V =π
Z
2
0
(x
2
+3)dx.
C. V =
Z
2
0
(x
2
+3)
2
dx. D. V =
Z
2
0
(x
2
+3)dx.
Câu 295 (Đề 104 - 2018). Cho hình phẳng
(
H
)
giới hạn bởi các đường thẳng y = x
2
+2, y =0,
x = 1, x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay
(
H
)
xung quanh
trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. V =π
Z
2
1
(x
2
+2)
2
dx. B. V =
Z
2
1
(x
2
+2)
2
dx.
C. V =π
Z
2
1
(x
2
+2)dx. D. V =
Z
2
1
(x
2
+2)dx.
Câu 296 (Đề 101 - 2017). Cho hàm số f (x) thỏa f
0
(x) =3 −5sin x và f (0) =10. Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. f (x) =3x +5cos x +5. B. f (x) =3x +5cos x +2.
C. f (x) =3x −5cos x +2. D. f (x) =3x −5cos x +15.
Câu 297 (Đề 103 - 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+2x thỏa mãn
F(0) =
3
2
. T ìm F(x).
A. F(x) =e
x
+x
2
+
3
2
. B. F(x) =2e
x
+x
2
−
1
2
.
C. F(x) =e
x
+x
2
+
5
2
. D. F(x) =e
x
+x
2
+
1
2
.
Dương Phước Sang 48 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 298 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm F(x) của f (x) =sin x +cos x biết F
³
π
2
´
=2.
A. F(x) =cos x −sin x +3. B. F(x) =−cos x +sin x +3.
C. F(x) =−cos x +sin x −1. D. F(x) =−cos x +sin x +1.
Câu 299 (Đề 102 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
4
+x là
A. x
4
+x
2
+C. B. 4x
3
+1 +C. C. x
5
+x
2
+C. D.
1
5
x
5
+
1
2
x
2
+C.
Câu 300 (Đề 104 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x
3
+x
2
là
A. x
4
+x
3
+C. B.
1
4
x
4
+
1
3
x
3
+C. C. 3x
2
+2x +C. D. x
3
+x
2
+C.
Câu 301 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =e
x
+x là
A. e
x
+x
2
+C. B. e
x
+
1
2
x
2
+C. C.
1
x +1
e
x
+
1
2
x
2
+C. D. e
x
+1 +C.
Câu 302 (Đề minh họa - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =
p
2x −1.
A.
Z
f (x)dx =
2
3
(2x −1)
p
2x −1 +C. B.
Z
f (x)dx =
1
3
(2x −1)
p
2x −1 +C.
C.
Z
f (x)dx =−
1
3
(2x −1)
p
2x −1 +C. D.
Z
f (x)dx =
1
2
(2x −1)
p
2x −1 +C.
Câu 303 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f (x) xác định trên D = R \
½
1
2
¾
thỏa mãn
f
0
(x) =
2
2x −1
, f (0) =1 và f (1) =2. Giá tr ị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
A. 4 +ln15. B. 2 +ln15. C. 3 +ln15. D. ln 15.
Câu 304 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =4x(1 +ln x) là
A. 2x
2
ln x +3x
2
. B. 2x
2
ln x +x
2
. C. 2x
2
ln x +3x
2
+C. D. 2x
2
ln x +x
2
+C.
Câu 305 (Đề 102 - 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
ln x
x
. Tính I =
F(e) −F(1).
A. I =e. B. I =
1
e
. C. I =
1
2
. D. I =1.
Câu 306 (Đề 102 - 2017). Cho
Z
2
−1
f (x)dx =2,
Z
2
−1
g(x) dx =−1. Tính I =
Z
2
−1
[
x +2f (x) −3g(x)
]
dx.
A. I =
5
2
. B. I =
7
2
. C. I =
17
2
. D. I =
11
2
.
Câu 307 (Đề 103 - 2017). Cho
Z
1
0
µ
1
x +1
−
1
x +2
dx =aln2 +b ln3 với a, b là các số nguyên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =2. B. a −2b =0. C. a +b =−2. D. a +2b =0.
Câu 308 (Đề 104 - 2017). Cho
Z
π
2
0
f (x)dx =5. Tính I =
Z
π
2
0
[f (x) +2sin x]dx.
A. 7. B. 5 +
π
2
. C. 3. D. 5 +π.
Câu 309 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
1
x −1
thoả mãn F(2) =1. T ính F(3).
A. F(3) =ln2 −1. B. F(3) =ln 2 +1. C. F(3) =
1
2
. D. F(3) =
7
4
.
Câu 310 (Đề 102 - 2018).
Z
1
0
e
3x+1
dx bằng
A.
1
3
¡
e
4
−e
¢
. B. e
4
−e. C.
1
3
¡
e
4
+e
¢
. D. e
3
−e.
Dương Phước Sang 49 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 311 (Đề 103 - 2018).
Z
2
1
dx
3x −2
bằng
A. 2ln 2. B.
1
3
ln2. C.
2
3
ln2. D. ln2.
Câu 312 (Đề 104 - 2018).
Z
2
1
dx
2x +3
bằng
A. 2ln
7
5
. B.
1
2
ln35. C. ln
7
5
. D.
1
2
ln
7
5
.
Câu 313 (Đề tham khảo - 2019). Cho
Z
1
0
f (x)dx =2 và
Z
1
0
g(x) dx =5, khi đó
Z
1
0
[
f (x) −2g(x)
]
dx
bằng
A. −3. B. 12. C. −8. D. 1.
Câu 314 (Đề 101 - 2017). Cho
Z
6
0
f (x)dx =12. Tính I =
Z
2
0
f (3x)dx.
A. I =6. B. I =36. C. I =2. D. I =4.
Câu 315 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I =
Z
π
0
cos
3
x.sin x dx.
A. I =−
1
4
π
4
. B. I =−π
4
. C. I =0. D. I =−
1
4
.
Câu 316 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho
Z
4
0
f (x)dx =16. Tính tích phân I =
Z
2
0
f (2x)dx.
A. I =32. B. I =8. C. I =16. D. I =4.
Câu 317 (Đề tham khảo - 2017). Khi tính tích phân I =
Z
2
1
2x
p
x
2
−1dx bằng phương pháp
đổi biến số với cách đặt u = x
2
−1 ta được kết quả nào dưới đây?
A. I =2
Z
3
0
p
udu. B. I =
Z
2
1
p
udu. C. I =
Z
3
0
p
udu. D. I =
1
2
Z
2
1
p
udu.
Câu 318 (Đề 101 - 2018).
Z
2
1
e
3x−1
dx bằng
A.
1
3
(e
5
−e
2
). B.
1
3
e
5
−e
2
. C. e
5
−e
2
. D.
1
3
(e
5
+e
2
).
Câu 319 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I =
Z
e
1
xln x dx
A. I =
1
2
. B. I =
e
2
−2
2
. C. I =
e
2
+1
4
. D. I =
e
2
−1
4
.
Câu 320 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f (x) thỏa mãn
Z
1
0
(x +1) f
0
(x)dx = 10 đồng
thời 2f (1) − f (0) =2. Tính
Z
1
0
f (x)dx.
A. I =−12. B. I =8. C. m =1. D. I =−8.
Câu 321 (Đề 103 - 2018). Cho
Z
e
1
(1+xln x)dx =ae
2
+be+c với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. a +b = c. B. a +b =−c. C. a −b = c. D. a −b =−c.
Câu 322 (Đề minh họa - 2017). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x
3
−x và đồ thị hàm số y = x −x
2
.
A.
37
12
. B.
9
4
. C.
81
12
. D. 13.
Dương Phước Sang 50 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 323 (Đề tham khảo - 2017).
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
y = f (x), trục hoành và 2 đường thẳng x = −1, x = 2 (như
hình vẽ bên). Đặt a =
Z
0
−1
f (x)dx, b =
Z
2
0
f (x)dx. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. S = b −a. B. S = b +a.
C. S =−b +a. D. S =−b −a.
x
1 2
−1
y
1
2
0
f
Câu 324 (Đề 101 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2 +cos x, trục
hoành và các đường thẳng x = 0, x =
π
2
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =π −1. B. V =(π −1)π. C. V =(π +1)π. D. V =π +1.
Câu 325 (Đề 102 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
2 +sin x, trục
hoành và các đường thẳng x = 0, x = π. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =2
(
π +1
)
. B. V =2π
(
π +1
)
. C. V =2π
2
. D. V =2π.
Câu 326 (Đề 103 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =e
x
, trục hoành và
các đường thẳng x =0, x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể
tích V bằng bao nhiêu?
A. V =
πe
2
2
. B. V =
π
¡
e
2
+1
¢
2
. C. V =
e
2
−1
2
. D. V =
π
¡
e
2
−1
¢
2
.
Câu 327 (Đề 104 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y =
p
x
2
+1, trục
hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V =
4π
3
. B. V =2π. C. V =
4
3
. D. V =2.
Câu 328 (Đề tham khảo - 2017). Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox
tại điểm có hoành độ x (1 6 x 6 3) thì được thiết diện là hình chữ nhật có 2 cạnh là 3x và
p
3x
2
−2.
A. V =32 +2
p
15. B. V =
124π
3
. C. V =
124
3
. D. V =
¡
32 +2
p
15
¢
π.
Câu 329 (Đề 101 - 2017). Cho F(x) = x
2
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm nguyên
hàm của hàm số f
0
(x)e
2x
.
A.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =−x
2
+2x +C. B.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =−x
2
+x +C.
C.
Z
f
0
(x)e
2x
dx = x
2
−2x +C. D.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =−2x
2
+2x +C.
Câu 330 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết I =
Z
4
3
dx
x
2
+x
=aln2 +b ln3 +c ln5, với a, b, c là các
số nguyên. Tính S = a +b +c.
A. S =6. B. S =2. C. S =−2. D. S =0.
Câu 331 (Đề tham khảo - 2018). Biết I =
Z
2
1
dx
(x +1)
p
x +x
p
x +1
=
p
a −
p
b − c với a, b, c là
các số nguyên dương. Tính P = a +b +c.
A. P =24. B. P =12. C. P =18. D. P =46.
Dương Phước Sang 51 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 332 (Đề 102 - 2017). Cho F(x) =(x −1)e
x
là một nguyên hàm của hàm số f (x)e
2x
. Tìm
nguyên hàm của hàm số f
0
(x)e
2x
.
A.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =(4 −2x)e
x
+C. B.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =
2 −x
2
e
x
+C.
C.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =(2 −x)e
x
+C. D.
Z
f
0
(x)e
2x
dx =(x −2)e
x
+C.
Câu 333 (Đề 103 - 2017). Cho F(x) = −
1
3x
3
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
. Tìm
nguyên hàm của hàm số f
0
(x)ln x.
A.
Z
f
0
(x)ln x dx =
ln x
x
3
+
1
5x
5
+C. B.
Z
f
0
(x)ln x dx =
ln x
x
3
−
1
5x
5
+C.
C.
Z
f
0
(x)ln x dx =
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C. D.
Z
f
0
(x)ln x dx =−
ln x
x
3
+
1
3x
3
+C.
Câu 334 (Đề 102 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
1
150
t
2
+
59
75
t (m/s), trong đó t (s) là khoảng thời
gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất
phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia
tốc bằng a (m/s
2
) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc
của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 20 (m/s). B. 16 (m/s). C. 13 (m/s). D. 15 (m/s).
Câu 335 (Đề tham khảo - 2019). Cho
Z
1
0
xdx
(x +2)
2
= a +b ln2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu
tỷ. Giá trị của 3a +b +c bằng
A. −2. B. −1. C. 2. D. 1.
Câu 336 (Đề tham khảo - 2017). Cho
Z
1
0
1
e
x
+1
dx = a +b ln
1 +e
2
, với a, b là các số hữu tỉ.
T ính S =a
3
+b
3
.
A. S =2. B. S =−2. C. S =0. D. S =1.
Câu 337 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) +
f (−x) =
p
2 +2 cos 2x, ∀x ∈R. T ính I =
Z
3π
2
−
3π
2
f (x)dx.
A. I =−6. B. I =0. C. I =−2. D. I =6.
Câu 338 (Đề 101 - 2018). Cho
Z
55
16
dx
x
p
x +9
= a ln 2 +b ln 5 +c ln11 với a, b, c là các số hữu tỉ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a −b =−c. B. a +b = c. C. a +b =3c. D. a −b =−3c.
Câu 339 (Đề 102 - 2018). Cho
Z
21
5
dx
x
p
x +4
= a ln 3 +b ln 5 + c ln 7 với a, b, c là các số hữu tỉ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−2c. B. a +b = c. C. a −b =−c. D. a −b =−2c.
Câu 340 (Đề 104 - 2017). Cho F(x) =
1
2x
2
là một nguyên hàm của hàm số
f (x)
x
. Tìm nguyên
hàm của hàm số f
0
(x)ln x.
A.
Z
f
0
(x)ln x dx =−
µ
ln x
x
2
+
1
2x
2
+C. B.
Z
f
0
(x)ln x dx =
ln x
x
2
+
1
x
2
+C.
C.
Z
f
0
(x)ln x dx =−
µ
ln x
x
2
+
1
x
2
+C. D.
Z
f
0
(x)ln x dx =
ln x
x
2
+
1
2x
2
+C.
Dương Phước Sang 52 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 341 (Đề 104 - 2018). Cho
Z
e
1
(2+xln x)dx =ae
2
+b·e+c với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. a +b =−c. B. a +b = c. C. a −b = c. D. a −b =−c.
Câu 342 (Đề 101 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = −
2
9
và f
0
(x) = 2x
[
f (x)
]
2
với mọi
x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
35
36
. B. −
2
3
. C. −
19
36
. D. −
2
15
.
Câu 343 (Đề 103 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) =−
1
25
và f
0
(x) =4x
3
[f (x)]
2
với mọi
x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
41
400
. B. −
1
10
. C. −
391
400
. D. −
1
40
.
Câu 344 (Đề thử nghiệm - 2017).
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y =e
x
, y =0, x =0,
x =ln 4. Đường thẳng x = k (0 < k <ln 4) chia (H) thành hai phần có
diện tích là S
1
và S
2
như hình vẽ bên. Tìm k để S
1
=2S
2
.
A. k =
2
3
ln4. B. k =ln 2.
C. k =ln
8
3
. D. k =ln3.
x
y
O k
ln4
S
1
S
2
Câu 345 (Đề tham khảo - 2018).
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
p
3x
2
, cung tròn
có phương trình y =
p
4 −x
2
(với 0 6 x 6 2 ) và trục hoành (phần
tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A.
4π +
p
3
12
. B.
4π −
p
3
6
.
C.
4π +2
p
3 −3
6
. D.
5
p
3 −2π
3
.
x
y
O
2
2
Câu 346 (Đề 102 - 2018).
Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx − 2 và g(x) = dx
2
+ ex + 2
(a, b, c, d, e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo
hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích
bằng
A.
37
6
. B.
13
2
. C.
9
2
. D.
37
12
.
x
y
O
−2 −1 1
Câu 347 (Đề 103 - 2018).
Cho hai hàm số f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx −1 và g(x) = dx
2
+ ex +
1
2
(a, b, c, d, e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x ) và
y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt −3;−1;2
(tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã
cho có diện tích bằng
A.
253
12
. B.
125
12
. C.
253
48
. D.
125
48
.
x
−3 −1 2
y
O
Dương Phước Sang 53 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 348 (Đề tham khảo - 2019).
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên
được tính theo công thức nào dưới đây?
A.
Z
2
−1
(2x
2
−2x −4)dx. B.
Z
2
−1
(−2x +2)dx.
C.
Z
2
−1
(2x −2)dx. D.
Z
2
−1
(−2x
2
+2x +4)dx.
x
y
y = x
2
−2x −1
y =−x
2
+3
−1
2
O
Câu 349 (Đề minh họa - 2017). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y =2(x−1)e
x
, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay
hình (H) xung quanh trục Ox .
A. V =4 −2e. B. V =(4 −2e)π. C. V =e
2
−5. D. V =(e
2
−5)π.
Câu 350 (Đề 101 - 2017).
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời
gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường
parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng
thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành.
T ính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm).
A. s =23,25 km. B. s =21,58 km.
C. s =15,50 km. D. s =13,83 km.
t
v
O
4
1 2 3
9
Câu 351 (Đề 103 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
1
100
t
2
+
13
30
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng
xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và
có gia tốc bằng a (m/s
2
) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 15 (m/s). B. 9 (m/s). C. 42 (m/s). D. 25 (m/s).
Câu 352 (Đề 104 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v
(
t
)
=
1
120
t
2
+
58
45
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng
xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có
giá tốc bằng a (m/s
2
) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 25 (m/s). B. 36 (m/s). C. 30 (m/s). D. 21 (m/s).
Câu 353 (Đề 102 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = −
1
3
và f
0
(x) = x
[
f (x)
]
2
với mọi
x ∈R. Giá trị của f (1) bằng
A. −
11
6
. B. −
2
3
. C. −
2
9
. D. −
7
6
.
Câu 354 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1]
thỏa mãn f (1) =0,
Z
1
0
£
f
0
(x)
¤
2
dx =7 và
Z
1
0
x
2
f (x)dx =
1
3
. T ích phân
Z
1
0
f (x)dx bằng
Dương Phước Sang 54 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
A.
7
5
. B. 1. C.
7
4
. D. 4.
Câu 355 (Đề 104 - 2018). Cho hàm số f
(
x
)
thỏa mãn f
(
2
)
=−
1
5
và f
0
(
x
)
= x
3
[
f
(
x
)
]
2
với mọi
x ∈R. Giá trị của f
(
1
)
bằng
A. −
4
35
. B. −
71
20
. C. −
79
20
. D. −
4
5
.
Câu 356 (Đề 101 - 2017).
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình
bên. Đặt h(x) =2 f (x) −x
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h(4) = h(−2) > h(2).
B. h(4) = h(−2) < h(2).
C. h(2) > h(4) > h(−2).
D. h(2) > h(−2) > h(4).
x
y
2 4
O
−2
2
4
−2
Câu 357 (Đề 102 - 2017).
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình bên.
Đặt g(x) =2 f (x) −(x +1)
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−3) > g(3) > g(1).
B. g(1) > g(−3) > g(3).
C. g(3) > g(−3) > g(1).
D. g(1) > g(3) > g(−3).
x
y
1 3
O
−3
−2
2
4
Câu 358 (Đề 103 - 2017).
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f
0
(x)
như hình bên. Đặt g(x) =2 f (x) +x
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(3) < g(−3) < g(1).
B. g(1) < g(3) < g(−3).
C. g(1) < g(−3) < g(3).
D. g(−3) < g(3) < g(1).
x
y
1
3
−3
3
O
−3
−1
Câu 359 (Đề 104 - 2017).
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình bên. Đặt
g(x) =2f (x) +(x +1)
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(1) < g(3) < g(−3).
B. g(1) < g(−3) < g(3).
C. g(3) = g(−3) < g(1).
D. g(3) = g(−3) > g(1).
x
y
1
3
−4
2
O
−3
−2
Câu 360 (Đề 101 - 2018).
Dương Phước Sang 55 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Cho hàm số f (x) = ax
3
+ bx
2
+ cx −
1
2
và g(x) = dx
2
+ ex +
1
(
a, b, c, d, e ∈R
)
. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo
hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích
bằng
A.
9
2
. B. 8. C. 4. D. 5.
x
−3 −1
y
1
O
Câu 361 (Đề 104 - 2018).
Cho hai hàm số f
(
x
)
= ax
3
+bx
2
+ cx +
3
4
và g
(
x
)
= dx
2
+ ex −
3
4
(
a, b, c, d, e ∈R
)
. Biết rằng đồ thị của hàm số y = f
(
x
)
và y = g
(
x
)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; 1; 3 (tham
khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có
diện tích bằng
A.
253
48
. B.
125
24
.
C.
125
48
. D.
253
24
.
x
−2
1
3
y
O
Câu 362 (Đề tham khảo - 2019).
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
A
1
, A
2
,B
1
,B
2
như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần
tô đậm là và phần còn lại. Hỏi số tiền để sơn theo cách
trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A
1
A
2
=8m,
B
1
B
2
= 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có
MQ =3m?
A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng.
C. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.
A
1
A
2
B
1
B
2
Q
M
N
P
Câu 363 (Đề thử nghiệm - 2017).
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn
bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m. Ông muốn trồng
hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip
làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng
hoa là 100.000 đồng/1m
2
. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền
để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn).
8m
A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Câu 364 (Đề 102 - 2017).
Một vật chuyển động trong 3 giờ đầu với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9)
và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s =24,25km. B. s =26,75km.
C. s =24,75km. D. s =25,25km.
t
v
O
2
I
9
3
6
Dương Phước Sang 56 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 365 (Đề 103 - 2017).
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. T ính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó.
A. s =26,5 km. B. s =28, 5 km.
C. s =27 km. D. s =24 km.
v
t
2 3 4
9
O
I
Câu 366 (Đề 104 - 2017).
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian
t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đi I
µ
1
2
;8
và trục đối xứng
song song với trục tung như hình bên. Tính quãng s đường người đó chạy
được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
A. s =4,0 km. B. s =2, 3 km.
C. s =4,5 km. D. s =5,3 km.
v
t
O
8
1
2
1
I
Câu 367 (Đề minh họa - 2017). Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp
phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t +10(m/s),
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m.
Dương Phước Sang 57 Ô 0942.080383
DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN
GIẢI TÍCH 12 Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cơ bản
sin
2
α +cos
2
α =1.
1
cos
2
α
=1 +tan
2
α.
1
sin
2
α
=1 +cot
2
α.
tan α =
sinα
cosα
.
cot α =
cosα
sinα
.
tan α cot α =1.
2. Công thức cộng
sin(a ±b) =sin a cos b ±cosa sin b.
cos(a ±b) =cos a cos b ∓sina sin b.
tan(a ±b) =
tan a ±tan b
1 ∓tan a tan b
.
3. Công thức nhân đôi
cos 2α =cos
2
α −sin
2
α.
cos2α =2cos
2
α −1.
cos2α =1 −2sin
2
α.
sin 2α =2sinα cosα.
tan 2α =
2tanα
1 −tan
2
α
.
sin 2α =
2tanα
1 +tan
2
α
.
cos 2α =
1 −tan
2
α
1 +tan
2
α
.
4. Công thức hạ bậc
cos
2
α =
1 +cos 2α
2
. sin
2
α =
1 −cos 2α
2
. tan
2
α =
1 −cos 2α
1 +cos 2α
.
5. Công thức nhân ba
sin 3α =3sinα −4 sin
3
α. cos3α =4cos
3
α −3 cos α.
tan 3α =
3tanα −tan
3
α
1 −2 tan
2
α
.
6. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin a +sin b =2 sin
a +b
2
cos
a −b
2
.
sin a −sin b =2 cos
a +b
2
sin
a −b
2
.
cos a +cos b =2 cos
a +b
2
cos
a −b
2
.
cos a −cos b =−2 sin
a +b
2
sin
a −b
2
.
tan a ±tan b =
sin(a ±b)
cos a.cos b
.
sin a +cos a =
p
2sin
³
a +
π
4
´
.
sin a −cos a =
p
2sin
³
a −
π
4
´
.
cos a +sin a =
p
2cos
³
a −
π
4
´
.
cos a −sin a =
p
2cos
³
a +
π
4
´
.
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a cos b =
1
2
£
cos(a −b) +cos(a +b)
¤
.
sin a sin b =
1
2
£
cos(a −b) −cos(a +b)
¤
.
sin a cos b =
1
2
£
sin(a +b) +sin(a −b)
¤
.
cos a sin b =
1
2
£
sin(a +b) −sin(a −b)
¤
.
8. Công thức bổ sung
sin
4
a +cos
4
a =1 −
1
2
sin
2
2a.
(sin a +cos a)
2
=1 +sin 2a.
sin
6
a +cos
6
a =1 −
3
4
sin
2
2a.
(sin a −cos a)
2
=1 −sin 2a.
Dương Phước Sang 58 Ô 0942.080383
| 1/58

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Chương 3 AN
Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng ĂN V
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn [a; b].
1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân CHU
F(x) là 1 nguyên hàm của f (x) trên K ⇔ F0(x) = f (x),∀x ∈ K Z
f (x) dx = F(x) + C ⇔ F0(x) = f (x),∀x ∈ K (với C là một hằng số thực bất kỳ). Z b ¯b Z b
f (x) dx = F(x)¯ = F(b) − F(a). Từ đây ta có F(b) = F(a) + f (x) dx. ¯ a a a THPT -
2. Tích chất của nguyên hàm
Mỗi hàm số f (x) liên tục trên K có vô số nguyên hàm trên K. Các nguyên hàm đó c G hỉ
sai khác nhau một hằng số C, nghĩa là nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f (x)
trên K thì F(x) − G(x) = C,∀x ∈ K. Z Z Z Z [ f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx; f 0(x) dx = f (x) + C; SAN Z Z µZ ¶0 k f (x) dx = k f (x) dx, ∀k ∈ R, k 6= 0. f (x) dx = f (x);
(giả sử f (x), g(x) là các hàm số liên tục trên K)
3. Tích chất của tích phân
Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c. Khi PHƯỚCđó Z b Z a ¯b
f 0(x)dx = f (x)¯ = f (b) − f (a). f (x) dx = 0. ¯ a a a G Z b Z b Z b Z a Z b f (x) dx = f (t) dt = f (u) du. f (x) dx = − f (x) dx. a a a b a Z b Z b Z b Z b [ f (x) ± g(x)]dx = f (x) dx ± g(x) dx.
f (x) > 0,∀x ∈ [a; b] ⇒ f (x) dx > 0. a a a a Z b Z b Z b DƯƠN k f (x) dx = k f (x) dx, ∀k ∈ R f (x) 6 0,∀x ∈ [a; b] ⇒ f (x) dx 6 0. a a a Z b Z c Z b µZ x ¶0 f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, ∀a, b, c ∈ K. f (t) dt = f (x),∀a ∈ K. a a c a 1 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thông dụng Z Z 1 Lưu ý: nếu f (x) dx = F(x) + C thì f (ax + b)dx = · F(ax + b) + C (a 6= 0). a Nguyên hàm
Nguyên hàm mở rộng (đổi x thành ax + b, a 6= 0) Z Z • dx = x + C • a dx = ax + C AN Z xα+1 Z 1 (ax + b)α+1 • xαdx = (ax α + C, α 6= −1 • + b)αdx = · + C, α 6= −1 + 1 a α + 1 Z Z ĂN 1 1 1 1 1 • dx = − + C • dx = − · + C x2 x (ax a ax V + b)2 + b Z 1 p Z 1 2 p • p dx = 2 x + C • p dx = · ax + b + C x ax + b a Z p 2 p Z p 2 p • x dx = x x + C • ax + b dx = · (ax + b) ax + b + C 3 3a CHU Z Z 1 • exdx = ex + C • eax+bdx = · eax+b + C a Z ax Z 1 amx+n • axdx = + C • amx+ndx = · + C ln a m ln a Z 1 Z 1 1 THPT• dx=ln|x|+C • dx = · ln ¯¯ax + b¯¯ + C x ax + b a - Z Z 1 • sin xdx = −cos x + C •
sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a G Z Z 1 • cos xdx = sin x + C • cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a Z 1 Z 1 1 • dx = tan x + C • dx = · tan(ax + b) + C SAN cos2x cos2(ax + b) a Z 1 Z 1 1 • dx = −cot x + C • dx = − · cot(ax + b) + C sin2 x sin2(ax + b) a
Một số công thức bổ sung để làm bài trắc nghiệm Z 1 1 ¯ ¯ ¯ x − a ¯ Z 1 1 ax + b • dx = ln ¯ ¯ ¯ ¯ + C • dx = ln ¯ ¯ + C ¯ ¯ PHƯỚC x2−a2 2a x + a (ax + b)(cx + d) ad − cb ¯ c x + d ¯ Z Z • tan2 x dx = tan x − x + C • cot2 x dx = −cot x − x + C G Z Z • tan x dx = −ln|cos x| + C • cot x dx = ln|sin x| + C Z 1 ¯ x ¯ Z 1 ¯ ³ x π´¯ • dx = ln¯tan ¯ + C • dx = ln¯tan + ¯ + C sin x ¯ 2 ¯ cos x ¯ 2 4 ¯ Z 1 1 1 Z p n p DƯƠN• dx = − · + C • n x dx = · x n x + C xn n − 1 xn−1 n + 1 Z 1 x Z 1 1 x • p dx = arcsin + C • dx = arctan + C a2 − x2 |a| x2 + a2 a a Z dx ¯ Z p ¯ p x p a ¯ p ¯ • p = ln ¯x + x2 + a¯ + C • x2 + a dx = x2 + a + ln¯x + x2 + a¯ + C ¯ ¯ ¯ ¯ x2 + a 2 2 Dương Phước Sang 2 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
5. Công thức nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần
Với u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K ta có Z Z Z b Z b u dv = uv − v du b u dv = ¡uv¢¯¯ v du a − a a
Dưới đây là bảng các dạng nguyên hàm (tích phân) từng phần thường gặp: AN Z Z Z Z Z P(x).eax+b dx P(x). sin ax dx P(x). cos ax dx eax cos x dx P(x). ln x dx u P(x) P(x) P(x) cos x ln x ĂN dv eax+b dx sin ax dx cos ax dx eax dx P(x) dx V
(P(x) là ký hiệu cho một đa thức ẩn x có dạng anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0)
6. Phương pháp đổi biến số trong bài toán nguyên hàm, tích phân CHU Z Z Nếu f (x)dx = F(x) + C thì
f £t(x)¤.t0(x)dx = F£t(x)¤ + C Dạng tích phân
Đặc điểm nhận dạng Cách đặt Z a.t(x) + b.t0(x) dx
Đặt biểu thức dưới mẫu t = t(x) t(x) THPT Z ³ - f et(x)´ .t0(x) dx
Đặt biểu thức ở phần số mũ t = t(x) Z G f ¡t(x)¢.t0(x) dx
Đặt biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc t = t(x) Z ³ ´ p f n pt(x) .t0(x)dx
Đặt căn thức có trong tích phân t = n t(x) SAN Z dx f (ln x) .
Đặt biểu thức chứa lnx t = ln x x Z f (sin x). cos2n−1 x dx
Gặp cos(mũ lẻ)x.dx đi kèm biểu thức theo sinx t = sin x Z f (cos x). sin2n−1 x dx
Gặp sin(mũ lẻ)x.dx đi kèm biểu thức theo cosx t = cos x Z dx dx PHƯỚC f (tan x). Gặp
đi kèm biểu thức theo tan x t = tan x cos2 x cos2 x Z dx dx G f (cot x). Gặp
đi kèm biểu thức theo cot x t = cot x sin2 x sin2 x Z f (eax+b).eax+b dx
Gặp eax+bdx đi kèm biểu thức theo eax+b t = eax+b Z
f ¡xα+1¢ .xα dx
Gặp xαdx đi kèm biểu thức theo xα+1 t = xα+1 DƯƠN Z dx dx f ¡xα¢ . Gặp
đi kèm biểu thức theo xα t = xα x x
Đôi khi thay cách đặt t = t(x) bởi t = m.t(x) + n ta sẽ gặp thuận lợi hơn trong tính toán Dương Phước Sang 3 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
7. Phép lượng giác hoá trong phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1) Dấu hiệu Vi phân kèm theo
Cách đặt (giả sử a > 0) p π π a2 − x2 x2ndx x = a sin t, với − 6 t 6 2 2 p π π AN 2ax − x2 x2ndx
x − a = a sin t, với − 6 t 6 2 2 π π a2 + x2 x2ndx
x = a tan t, với − < t < 2 2 ĂN p a π π x2 , với , t V − a2 x2ndx x = − 6 t 6 6= 0 sin t 2 2 r a + x r a − x π hoặc x = a cos2t, với 0 6 t 6 a − x a + x 2 p π (x − a)(b − x)
x − a = (b − a)sin2 t, với 0 6 t 6 CHU 2
8. Một số dạng tích phân đặc biệt (hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn,...) Z a
Nếu f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên khoảng K chứa [−a; a] thì f (x) dx = 0. −a
THPT Nếu f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên khoảng K chứa [−a;a] thì - Z a Z a Z a f (x) 1 Z a f (x) dx = 2 f (x) dx. dx = f (x) dx. −a 0 −a 1 + bx 2 −a
G Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] thì π π Z π π Z π Z Z 2 2 x f (sin x) dx = f (sin x) dx. SAN f (sin x) dx = f (cos x) dx. 0 2 0 0 0 π Z π Z Z b Z b 2 f (sin x) dx = 2 f (sin x) dx. f (x) dx = f (a + b − x)dx. 0 0 a a Z a+T Z T
Nếu hàm số f (x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì f (x) dx = f (x) dx. a 0
Hai công thức tính tích phân đặc biệt: PHƯỚC Z b ¯b Z b ¯b
¡u(x) + u0(x)¢exdx = ¡u(x)ex¢ ¡ ¯
m.u(x) + u0(x)¢emxdx = ¡u(x)emx¢¯ G ¯ ¯ a a a a
9. Ứng dụng tích phân giải bài toán về tốc độ thay đổi của một đại lượng
Kiến thức chung: f 0(x) đặc trưng cho tốc độ thay đổi của đại lượng f (x) theo biến số x. Z b Khi đó f (b) = f (a) + f 0(x) dx a DƯƠN Z t2 µ Z Z ¶
Bài toán chuyển động: s(t2) = s(t1) + v(t) dt lưu ý: s(t) = v(t) dt, v(t) = a(t) dt t1
s(t), v(t), a(t) lần lượt là quãng đường, vận tốc, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t. Z t2
Bài toán sinh học: N(t2) = N(t1) + N0(t) dt, trong đó t1
N(t), N0(t) lần lượt là số lượng cá thể và tốc độ sinh sôi của chúng tại thời điểm t. Dương Phước Sang 4 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
10. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ( y = f (x), y = g(x) Z b
Hình phẳng (H) giới hạn bởi có diện tích S = ¯ ¯ f (x) − g(x)¯¯dx. x = a, x = b y a y f (x) y = f (x) c d AN x c x O a b O a b g(x) Z c Z d Z b Z c Z b S = f (x)dx − f (x)dx + f (x)dx S = ¡ f (x) − g(x)¢dx + ¡ g(x) − f (x)¢dx ĂN a c d a c V
? Một số lưu ý về cách xử lý dấu |·| trong dấu tích phân khi tính diện tích hình phẳng:
Phương trình của trục hoành là y = 0, phương trình của trục tung là x = 0.
Nếu có đồ thị của các hàm số (như hai hình minh hoạ trên đây), ta xác định hì CHU nh
phẳng cần tính diện tích rồi lập công thức tính diện tích dựa trên hình đã vẽ đó. Z b Z b
Nếu s(x) > 0,∀x ∈ [a; b] thì ¯ ¯s(x)¯ ¯dx = s(x) dx. a a Z b Z b
Nếu s(x) 6 0,∀x ∈ [a; b] thì ¯ ¯s(x)¯ ¯dx = − s(x) dx. a a
Chỉ khi phương trình s(x) = 0 không có nghiệm nào ở giữa a và b ta mới được Z b ¯Z b ¯ THPTsử dụng công thức ¯ ¯ ¯ ¯s(x)¯ ¯dx = ¯ s(x) dx¯. ¯ ¯ - a a
Nếu phương trình s(x) = 0 có nghiệm ở giữa a và b (giả sử chỉ có một G nghiệm
x0 ∈ (a; b)) ta cần dùng nghiệm x0 đó chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ hơn và Z b ¯Z x0 ¯ ¯Z b ¯
biến đổi tích phân theo kiểu như sau ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯s(x)¯ ¯dx = ¯ s(x) dx¯ + ¯ s(x) dx¯. a ¯ a ¯ ¯ x ¯ 0
11. Ứng dụng tích phân tính thể tích của một vật thể SAN
? Công thức tính thể tích của một vật thể dựa vào diện tích mặt cắt y b P Q Z V = S(x) dx a S(x)
Trong đó S(x) là diện tích của
thiết diện được tạo ra bởi v PHƯỚCật
thể và mặt phẳng vuông góc O a x x b với Ox, cắt Ox tại x. G
? Các công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay (khi quay hình (H) quanh Ox) y y
Cho hình phẳng (H) giới hạn f (x) f (x)
bởi y = f (x), y = g(x) và hai g(x)
đường x = a, x = b (a < b). DƯƠN Khi
quay hình (H) quanh Ox, phải a O a x b O x b
có điều kiện f (x).g(x) > 0 với
mọi x ∈ [a; b] ta mới được sử
dụng công thức ghi bên đây để
tính thể tích vật thể tròn xoay Z b Z b V = π f 2(x)dx V = π ¯ ¯ f 2(x) − g2(x)¯¯ dx được tạo thành. a a Dương Phước Sang 5 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
II. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH p
| Ví dụ 1. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 trên khoảng ¡−1; 2 +∞¢
thoả mãn F(0) = 1. Tính F(4). M Lời giải AN Z Z p 1 p 1 p Xét f (x) dx =
2x + 1dx = (2x + 1) 2x + 1 + C ⇒ F(x) = (2x + 1) 2x + 1 + C. 3 3 1 2 Do F(0) = 1 nên + C = 1 ⇔ C = . ĂN 3 3 1 p 2 29
V Vậy F(x)= (2x+1) 2x+1+ , suy ra F(4)= . 3 3 3 Cách 2 Z 4 Z 4 p µ 1 p ¶ ¯4 29 Ta có F(4) = F(0) + f (x) dx = 1 + 2x + 1dx = 1 + (2x + 1) 2x + 1 ¯ = . ¯ 0 0 3 0 3
CHU|Vídụ2. Hàmsốnàotrongcáchàmsốdướiđâykhôngphảilànguyênhàmcủa x(x + 2) hàm số f (x) = ? (x + 1)2 x2 x2 + x + 1 x2 + x − 1 x2 − x − 1 A. F(x) = . B. G(x) = . C. H(x) = . D. K(x) = x x x x THPT + 1 + 1 + 1 + 1 - M Lời giải
Hướng 1 (giải tìm họ nguyên hàm của f (x)) G Z Z x(x + 2) Z µ 1 ¶ 1 x2 + (C + 1)x + (C + 1) Ta có f (x) dx = dx = 1 − dx = x + + C = . (x + 1)2 (x + 1)2 x + 1 x + 1
SAN Như vậy H(x) không phải là nguyên hàm của f(x) do không có dạng đã tìm được.
Hướng 2 (dùng định nghĩa của nguyên hàm)
Theo hướng này ta cần tìm ra hàm số có đạo hàm không đồng nhất với f (x). µ ax2 + bx + c ¶0 amx2 + 2anx + bn − cm
Nếu dùng công thức tính nhanh = ta tìm được mx + n (mx + n)2 PHƯỚC x2 + 2x + 2 H0(x) =
6≡ f (x) nên H(x) không phải là một nguyên hàm của f (x). (x + 1)2
G Hướng 3 (dùng mối liên hệ giữa các nguyên hàm của cùng 1 hàm số)
Theo phát biểu của đề bài, trong 4 hàm số F(x), G(x), H(x), K(x) chắc chắn có 3 hàm số
là nguyên hàm của f (x) và 1 hàm số không phải là nguyên hàm của f (x).
DƯƠN Như vậy khi ta tìm hiệu của hai trong 4 hàm số đó có mà kết quả thu gọn là một hằng
số thì cả hai hàm số được xét đều là nguyên hàm của f (x). x2 x2 + x + 1 G(x) − F(x) = −
= 1, ∀x do đó F(x), G(x) đều là nguyên hàm của f (x). x + 1 x + 1 x2 x2 x + x − 1 − 1 H(x) − F(x) = − =
6= C ⇒ H(x) không là nguyên hàm của f (x). x + 1 x + 1 x + 1 Dương Phước Sang 6 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z x5 | Ví dụ 3. Biết
dx = mx4 + nx2 + p ln(x2 + 1) + C, trong đó C là hằng số thực; 1 + x2
m, n, p là các hệ số hữu tỷ. Hãy tính T = m + n + p. M Lời giải x5
Cách 1: dùng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 1 + x2 AN Z x5 Z x4 1 Xét I = dx = · x dx.
+o Đặt t = x2 thì dt = 2xdx ⇒ dt = xdx. 1 + x2 1 + x2 2 1 Z t2 1 Z µ 1 ¶ 1 µ t2 ¶ ĂN Từ đó I = dt = t − 1 + dt = − t + ln ¯¯1 + t¯¯ + C 2 1 + t 2 1 + t 2 2 V 1 1 1 1 1 1
= t2 − t + ln ¯¯1 + t¯¯ + C = x4 − x2 + ln(1 + x2) + C. 4 2 2 4 2 2 1 1 1 1
Như vậy, m = , n = − , p = ⇒ T = m + n + p = . 4 2 2 4 CHU
Cách 2: dùng định nghĩa nguyên hàm Z x5 x5
dx = mx4 + nx2 + p ln(x2 + 1) + C ⇒
= ¡mx4 + nx2 + p ln(x2 + 1)¢0 , ∀x ∈ R 1 + x2 1 + x2 x5 2px ⇒ = 4mx3 + 2nx +
, ∀x ∈ R ⇒ x5 = 4mx5 + (4m + 2n)x3 + (2n + 2p)x,∀x ∈ R 1 + x2 1 + x2   THPT 4m = 1 m = 1  4     1 - ⇒ 4m + 2n = 0 ⇒ n = − 1 . 2 ⇒ T = m + n + p = 4   2n + 2p = 0   p = 12 G
| Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x − 1)e3x. SAN M Lời giải  ( du = 2dx Z Z u = 2x − 1  Xét f (x) dx = (2x − 1)e3xdx. Đặt ta có 1 dv = e3x v = e3x 3 Z (2x − 1)e3x Z 2 (2x − 1)e3x 2e3x nên f (x) dx = − e3xdx = − + C. 3 3 3 9 PHƯỚC 1 f (x)
| Ví dụ 5. Cho F(x) = −
là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0; +∞). 3x3 x G
Tìm nguyên hàm của hàm số f 0(x). ln x. M Lời giải 1 f (x) f (x) Do F(x) = −
là nguyên hàm của hàm số trên R+ nên ¡F(x)¢0 = , ∀x > 0 3x3 x x µ 1 ¶0 f (x) 1 f (x) 1 hay − = ⇔ = . Suy ra f (x) = . DƯƠN 3x3 x x4 x x3  1 ( Z u = ln x du = dx Xét f 0(x) ln x dx. Đặt ta có x do đó dv = f 0(x)dx v = f (x) Z Z f (x) ln x Z 1 ln x 1 f 0(x) ln x dx = f (x)ln x − dx = − dx = + + C. x x3 x4 x3 3x3 Dương Phước Sang 7 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 2 2x2 | − 5x
Ví dụ 6. Tính tích phân I = dx. 0 2x + 1 M Lời giải 2x2 − 5x 2x + 1
Thực hiện phép chia đa thức 2x2 − 5x cho 2x + 1 ta được 2x2 + x x − 3
thương là x − 3 và phần dư là 3. AN −6x Z 2 µ 3 ¶ µ x2 3 ¶ ¯2 3 −6x − 3 I = x − 3 + dx = − 3x + ln ¯ ¯ ¯2x + 1¯¯ = ln 5 − 4. ¯ 0 2x + 1 2 2 0 2 3 ĂN V Z 3 11 | − x
Ví dụ 7. Tính tích phân I = dx. 1 (2x − 1)(3x + 2) M Lời giải 11 − x A B
CHU Ngoài nháp ta viết = +
và tìm được A = 3, B = −5. (2x − 1)(3x + 2) 2x − 1 3x + 2 Z 3 11 Z 3 µ 3 5 ¶ µ 3 5 ¶ ¯3 − x I = dx = − dx = ln ¯ ¯ ¯2x − 1¯¯ − ln ¯¯3x + 2¯¯ ¯ 1 (2x − 1)(3x + 2) 1 2x − 1 3x + 2 2 3 1 µ 3 5 ¶ µ 3 5 ¶ 19 5 = ln 5 − ln11 − ln 1 − ln5 = ln 5 − ln11. 2 3 2 3 6 3 THPT - Z 3 x2 | + 5x − 5
Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx. G 1 x3 + 1 M Lời giải x2 x2 A Bx + 5x + 5 + 5x + 5 + C
SAN Ngoài nháp ta viết = = + x3 + 1 (x + 1)(x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1
và tìm được A = −3, B = 4, C = −2. Z 3 µ 4x 3 ¶ Z 3 4x ¯3 − 2 − 2 Như vậy I = − dx =
dx − (3ln|x + 1|)¯ = A − 3ln2. ¯ 1 x2 − x + 1 x + 1 1 x2 − x + 1 1 Z 3 2(2x − 1) Với A =
dx. Đặt t = x2 − x + 1 thì dt = (2x − 1)dx. 1 x2 − x + 1 PHƯỚC (x = 1 ⇒ t = 1 Z 7 2 ¯7 Đổi cận . Suy ra A =
dt = (2ln|t|)¯ = 2ln7. Như vậy I = 2ln7 − 3ln2. x = 3 ⇒ t = 7 ¯ 1 t 1 G Z 2 2x2 | + 3x + 3
Ví dụ 9. Tính tích phân I = dx 1 (x + 1)(2x + 1)2 M Lời giải DƯƠN 2x2 A B C + 3x + 3 Viết nháp: = + +
ta tìm được A = 2, B = −3, C = 4. (x + 1)(2x + 1)2 x + 1 2x + 1 (2x + 1)2 Z 2 µ 2 3 4 ¶ µ 3 2 ¶ ¯2 Ghi: I = − + dx = 2ln¯ ¯ ¯x + 1¯¯ − ln ¯¯2x + 1¯¯ − ¯ 1 x + 1 2x + 1 (2x + 1)2 2 2x + 1 1 µ 3 2 ¶ µ 3 2 ¶ 7 3 4 = 2 ln 3 − ln 5 − − 2 ln 2 − ln 3 − = ln 3 − ln5 − 2ln2 + . 2 5 2 3 2 2 15 Dương Phước Sang 8 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 10. Tính các tích phân sau đây π Z 3 2 sin x Z 2 Z 2 1 a) A = dx b) B = x3px2 + 1.dx c) C = dx 0 1 + 3cos x 0 1 x(x3 + 2)2 M Lời giải π Z 3 2 sin x 1 AN Câu a. A =
dx. Đặt t = 1 + 3cos x ⇒ dt = −3sin x dx ⇒ − dt = sin x dx. 0 1 + 3cos x 3 5 5 1 Z 2 2 2 ¯ 2 2 8
Đổi cận và thay vào tích phân A ta được A = − dt = − ln¯ ¯ ¯t¯ ¯ = ln . 3 ¯ 4 t 3 4 3 5 ĂN Z 2 Z 2 Câu b. B = x3px2 + 1.dx = x2px2 + 1.x dx V 0 0 p
Đặt t = x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ 2t dt = 2x dx hay t dt = x dx.
Đổi cận và thày vào tích phân B ta được p p p p Z 5 Z 5 µ 1 1 ¶ ¯ 5 10 5 2 CHU B = (t2 − 1).t.t dt = (t4 − t2)dt = t5 − t3 ¯ = + . ¯ 1 1 5 3 1 3 15 Z 2 1 1 Z 2 3x2 Câu c. C = dx = dx. 1 x(x3 + 2)2 3 1 x3(x3 + 2)2
Đặt t = x3 + 2 ⇒ dt = 3x2 dx. Đổi cận và thay vào tích phân C ta được Z 10 Z 10 µ ¶ µ ¶ 10 THPT 1 1 1 1 1 2 1 2 ¯ C = dt = − − dt = ln |t − 2| − ln|t| + ¯ ¯ - 3 3 (t − 2)t2 12 3 t − 2 t t2 12 t 3 1 µ 1 ¶ 1 µ 2 ¶ 1 12 7 = ln 8 − ln10 + − ln 1 − ln3 + = ln − . G 12 5 12 3 12 5 180
| Ví dụ 11. Tính các tích phân sau đây: Z 1 Z 2 Z SAN π a) A = (2x + 1)ex dx b) B = x ln(x2 + 3)dx c) C = ex cos x dx 0 0 0 M Lời giải ( ( Z 1 u = 2x + 1 du = 2dx Câu a. A = (2x + 1)ex dx. Đặt ta có ta được 0 dv = ex dx v = ex ¯1 Z 1 1 A ¯ 2ex dx PHƯỚC = (2x + 1)ex −
= 3e − 1 − 2ex¯¯ = e + 1. ¯ ¯ 0 0 0  2x ( du = dx Z 2   G u = ln(x2 + 3) x2 Câu b. + 3 B = x ln(x2 + 3)dx. Đặt ta có ta được 0 dv = x dx x2  v  = 2 x2 ln(x2 + 3)¯2 Z 2 x3 Z 2 x2 B = ¯ − dx ⇒ B = 2ln7 − · x dx 2 ¯0 0 x2 + 3 0 x2 + 3 1
Đặt t = x2 + 3 ⇒ dt = 2x dx ⇒ dt = x dx. Đổi cận và thay vào B và được DƯƠN 2 1 Z 7 t − 3 1 Z 7 µ 3 ¶ 7 3 B = 2ln7 − dt = 2ln7 − 1 − dt = ln7 − ln3 − 2. 2 3 t 2 3 t 2 2
Nhận xét: cách giải trên đây quá dài lại phải dùng phương pháp đổi biến số. Thực x2 3
ra khi đặt dv = x dx thì v = + C. Nếu chọn C =
thay vì C = 0 bài giải sẽ hay hơn. 2 2 Dương Phước Sang 9 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG  2x ( du = dx Z 2 u = ln(x2 + 3)   x2 Giải lại: + 3 B = x ln(x2 + 3)dx. Đặt ta có và được 0 dv = x dx x2 + 3  v  = 2 (x2 + 3)ln(x2 + 3)¯2 Z 2 7 3 x2 ¯2 7 3 B = ¯ − x dx = ln7 − ln3 − ¯ = ln 7 − ln3 − 2. 2 ¯ ¯ 0 0 2 2 2 0 2 2 ( ( Z π u = cos x du = −sin x dx AN Câu c. C = ex cos x dx. Đặt ta có và được 0 dv = ex dx v = ex ¯π Z π C = ex cos x¯ +
ex sin x dx = −eπ − 1 + C1 (1) ¯0 0 ĂN ( ( Z π u1 = sin x du1 = cos x V Trong đó C1 = ex sin x dx. Lại đặt ta có và được 0 dv1 = ex dx v1 = ex dx ¯π Z π C ¯ 1 = ex sin x − ex cos x dx = 0 − C (2) ¯0 0 eπ + 1
Kết hợp (1) và (2) ta được C = −eπ − 1 − C ⇒ 2C = −eπ − 1 ⇒ C = . 2 CHU Z 1
| Ví dụ 12. Cho f (x) là một hàm số chẵn, liên tục trên R thoả mãn f (x) dx = 2 và −2 Z 1 Z 6 f (2x) dx = 10. Tính I = f (x) dx. −3 1 THPT M Lời giải Z 1 - 1 Xét A =
f (2x) dx = 10. Đặt t = −2x thì dt = −2dx ⇒ − dt = dx. −3 2 Z −2 Z 6 G 1 1
Đổi cận và thay vào A ta được A = − f (−t)dt = f (−t)dt. 2 6 2 −2 1 Z 6
Do f (x) là hàm số chẵn nên f (−t) = f (t) và do đó A = f (t) dt. 2 −2 Z 6 Z 6
SAN Suy ra f(x)dx= f(t)dt=2A =20. −2 −2 Z 6 Z −2 Z 6 Vậy f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = −2 + 20 = 18. 1 1 −2
| Ví dụ 13. Cho f (x) là hàm số có đạo hàm f 0(x) liên tục trên đoạn [−1;2] thoả mãn Z 2 Z 2 f (2) + f (−1) = 1 và (2x − 1)f 0(x)dx = 2. Tính f (x) dx. PHƯỚC −1 −1 G M Lời giải
Cách 1: Áp dụng phương pháp tích phân từng phần cho I và làm xuất hiện giả thiết.  ( du = f 0(x)dx Z 2 u = f (x)  Xét I = f (x) dx. Đặt ta có 1 1 và như thế thì −1 dv = dx v = x − = (2x − 1) 2 2 1 ¯2 1 Z 2 1 1 1 1 ¡ ¯ DƯƠN I = (2x − 1)f (x) − (2x − 1)f 0(x)dx =
3 f (2) + 3f (−1)¢ − · 2 = · 3 − 1 = . 2 ¯−1 2 −1 2 2 2 2
Cách 2: Áp dụng tích phân từng phần cho tích phân của giả thiết. ( ( Z 2 u = 2x − 1 du = 2dx Xét A = (2x − 1)f 0(x)dx = 2. Đặt ta có và như thế thì −1 dv = f 0(x)dx v = f (x) ¯2 Z 2 3 − A 1 A = (2x − 1)f (x)¯ − 2
f (x) dx = 3f (2) + 3f (−1) − 2I ⇒ A = 3 − 2I ⇒ I = = . ¯−1 −1 2 2 Dương Phước Sang 10 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG π Z sin x | 2
Ví dụ 14. Tính tích phân I = dx. 0 sin x + cos x M Lời giải
Cách 1: Phương pháp liên hợp tích phân π π Z 2 sin x Z 2 cos x Xét hai tích phân I = dx và J = dx. Khi đó AN 0 sin x + cos x 0 sin x + cos x π π Z ¯ π 2 2 I + J = 1 dx = x¯ = . ¯ 0 0 2 π π π Z Z ¯ ĂN sin x 2 − cos x 2 − d(sin x + cos x) 2 I − J = dx = = −ln ¯ ¯ ¯ sin x + cos x¯¯ = 0. sin x sin x ¯ V 0 + cos x 0 + cos x 0 π π
Như vậy 2I = (I + J) + (I − J) = ⇒ I = . 2 4 Z b Z b
Cách 2: Dùng công thức biến đổi f (x) dx = f (a + b − x)dx (*). a a π π π Z Z Z CHU 2 sin x 2 sin ¡ π 2 cos x Ta có I = dx = 2 − x¢ dx = dx. 0 sin x + cos x 0 sin ¡ π sin x + cos x 2 − x¢ + cos ¡ π 2 − x¢ 0 π π π Z 2 sin x Z 2 cos x Z 2 π π Như vậy 2I = dx + dx = 1 dx = ⇒ I = . 0 sin x + cos x 0 sin x + cos x 0 2 4 Z b
f (x) dx, dùng phương pháp đổi biến số với phép đặt t THPT
? Chú ý: Xuất phát từ = a+ b − x a -
ta sẽ chứng minh được (*) là công thức đúng. G
| Ví dụ 15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: p
y = x3 − 3x, trục hoành, x = −1 và x = 3 M Lời giải SAN p Z 3
Diện tích cần tìm được tính theo công thức: S = ¯ ¯x3 − 3x¯¯dx −1 "x = 0 p Cho x3 − 3x = 0 ⇔
p ¡trong kết quả giải được có x = 0 nằm giữa − 1 và 3¢ x = ± 3
Xử lý dấu | · | bằng cách xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối PHƯỚC p x −∞ −1 0 3 +∞ G x3 − 3x + 0 − 0 p p Z 3 Z 0 Z 3 5 µ 9 ¶ 7 S = |x3 − 3x|dx = (x3 − 3x)dx − (x3 − 3x)dx = − − = . −1 −1 0 4 4 2
Xử lý dấu | · | bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của kết quả tính tích phân DƯƠN p p ¯ ¯ Z 3 ¯Z 0 ¯ 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ 5 9 7 S = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯x3 − 3x¯¯dx = ¯ (x3 − 3x)dx¯ +
(x3 − 3x)dx = ¯ ¯ + ¯− ¯ = . ¯ ¯ −1 ¯ −1 ¯ ¯ 4 ¯ ¯ 4 ¯ 2 ¯ 0 ¯ p ¯ ¯ Z 3 ? ¯ ¯ p Chú ý: ghi S = ¯
(x3 − 3x)dx¯ là SAI vì x3 − 3x có nghiệm x = 0 ở giữa −1 và 3 ¯ ¯ ¯ −1 ¯ Dương Phước Sang 11 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG p
| Ví dụ 16. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x + 1, y = x − 1
và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H). M Lời giải y p
Trước tiên ta vẽ đồ thị các hàm số y = x + 1, y = x − 1 2 p x+1
AN trên cùng 1 hệ trục toạ độ và xác định hình phẳng (H). y = 1 1 x −
Sau đó ta xây dựng công thức tính diện tích của (H): y = ĂN
Cách 1: chia nhỏ hình (H) bởi đường thẳng x = 1 x −1 O 1 3 V Z 1 p Z 3 −1 ³p ´ S = S1 + S2 = x + 1dx + x + 1 − (x − 1) dx −1 1 2 p µ ¶ µ ¶ ¯1 2 p x2 ¯3 4 p 10 4 p 10 = (x + 1) x + 1¯ + (x + 1) x + 1 − + x ¯ = 2 + − 2 = 3 ¯ ¯ −1 3 2 1 3 3 3 3 CHU
Cách 2: dùng phương pháp phần bù Z 3 p Z 3 2 p µ ¶ ¯3 x2 ¯3 10 S = S ¯ ¯ lớn − Sdư = x + 1dx − (x − 1)dx = (x + 1) x + 1 − − x = . ¯ ¯ −1 1 3 −1 2 1 3
? Chú ý: với một hình phẳng có từ 3 đường biên dạng y = f (x), y = g(x), y = h(x) trở lên
như ví dụ này thì phương pháp giải cơ bản là phương pháp vẽ đồ thị, phác thảo hình
THPT phẳng và xây dựng công thức tính diện tích như bài giải trên đây. Riêng với hình
- phẳng trong ví dụ này ta còn có thể giải bằng một phương pháp khác (không cần vẽ
đồ thị của các hàm số). Dưới đây là cách giải đó (xem x là hàm số theo biến y). G p ¯ y x ¯ = + 1 ⇔ x = y2 − 1 ¯
Đổi vai trò của x và y: ¯y = x − 1 ⇔ x = y + 1 . ¯ ¯ ¯trục hoành: y = 0 SAN
Phương trình tung độ giao điểm của x = y2 − 1 (y > 0) và x = y + 1
y2 − 1 = y + 1 (y > 0) ⇔ y = 2 Z 2 10 Diện tích cần tìm: S = ¯
¯( y2 − 1) − ( y + 1)¯¯ d y = 0 3
| Ví dụ 17. Cho hai mặt cầu (S1), (S2) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm
PHƯỚCcủa (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2). G M Lời giải
Gắn hệ trục Ox y như hình vẽ và gọi (H) là hình y 2
phẳng được đánh dấu (tô nền) như trên hình. R
Khi đó thể tích cần tính gấp đôi thể tích của vật 2 = y
thể tròn xoay được tạo ra khi quay (H) quanh 2 + x
Ox. DƯƠN Khối cầu S(O,R) chứa một đường tròn lớn là (C) : x2 + y2 = R2 x O R R
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là 2 R Z µ x3 ¶ ¯R 5πR3
V = 2 · π (R2 − x2)dx = 2π R2x − ¯ = . 3 ¯ R 12 2 R 2 Dương Phước Sang 12 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG | Ví dụ 18.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2, đường cao bằng 3. Một 3
mặt phẳng qua tâm của mặt đáy hình trụ, hợp với mặt đáy
một góc 30◦ chia hình trụ thành hai khối vật thể có thể tích
khác nhau. Gọi (N) là vật thể có thể tích nhỏ hơn trong hai O 2
vật thể đó. Tính thể tích của (N). M AN Lời giải ? Chú ý: B ĂN
Để tính thể tích của vật thể này, ta cần gắn hệ trục toạ V
độ vào hình vẽ để sử dụng công thức tính thể tích vật −2 x
thể dựa vào diện tích mặt cắt. H A y
Điều quan trọng nhất khi chọn hệ trục toạ độ là phải O 2
làm sao đảm bảo các mặt phẳng vuông góc với trục Ox 2
đều cắt vật thể tạo ra thiết diện là một miền dễ tính CHU x được diện tích.
? Gắn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Một mặt phẳng (P) thay đổi vuông góc với Ox cắt
Ox tại x, cắt vật thể theo thiết diện là tam giác ABH vuông tại H. p p 4 − x2 1 4 − x2 Ta có AH = 4 − x2 và B AH = 30◦ nên BH = p ⇒ S4ABH = AB.BH = p 2 THPT 3 2 3 p Z 2 Z 2 4 − x2 µ 2x x3 ¶ ¯2 16 3 -
Thể tích vật thể cần tìm là V = S ¯ 4ABH dx = p dx = p − p = . ¯ −2 −2 2 3 3 6 3 −2 9 G | Ví dụ 19.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc y I
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ. Trong khoảng 9 SAN
thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một
phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật
chuyển động trong 4 giờ đó. O x 2 3 4 M PHƯỚC Lời giải v(0) = 0  9  a   G = −     4 9 v(2)
Trên đoạn [0; 3], v(t) = at2 + bt + c, trong đó = 9 ⇔ b t = 9 ⇒ v(t) = − + 9t. 4  b       − = 2  2a c = 0 27
Trên đoạn [3; 4] thì v(t) = v(3) =
(vì v(t) là hằng số khi xét trên đoạn [3; 4]). 4 DƯƠN Z 4 Z 3 Z 4 Z 3 µ 9 ¶ Z 4 27 Như vậy s(4) = v(t) dt = v(t) dt + v(t) dt = − t2 + 9t dt + dt = 27 (km). 0 0 3 0 4 3 4 µ ¶ ? b ∆
Chú ý: parabol (P) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0) có toạ độ đỉnh là I − ; − . 2a 4a Dương Phước Sang 13 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
| Ví dụ 20. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 0, Z 1 Z 1 1 Z 1 £ f 0(x)¤2 dx = 7 và
x2 f (x) dx = . Tính tích phân f (x) dx. 0 0 3 0 M Lời giải  ( du = f 0(x)dx AN Z 1 u = f (x)  
Cách 1: xét tích phân x2 f (x) dx. Đặt ta có x3 0 dv = x2 dx v =  3 1 · ¸ ¯1 ĂN 1 Z 1 x3 Z x3 Z 1 Do đó = x2 f (x) dx = f (x) ¯¯ − f 0(x) dx. Suy ra x3 f 0(x) dx = −1. (1) V 3 0 3 ¯ 3 0 0 0 Z 1 Z 1 1 Mặt khác, do £ f 0(x)¤2 dx = 7 và x6 dx = nên 0 0 7 1 Z 1 Z
³£ f 0(x)¤2 +14x3 f 0(x)+49x6´dx = 0 hay ¡f 0(x)+7x3¢2 dx = 0 (2). CHU 0 0 7
Suy ra f 0(x) + 7x3 = 0, ∀x ∈ [0;1] ⇒ f 0(x) = −7x3 ⇒ f (x) = − x4 + C. 4 7 7 Z 1 7
Mà f (1) = 0 nên C = , suy ra f (x) = (1 − x4). Như vậy f (x) dx = . 4 4 0 5 Lưu ý: Z 1
THPT Có thể giải thích vì sao từ ¡f0(x)+7x3¢2 dx=0 ta suy ra được f0(x)+7x3 =0,∀x∈[0;1] - 0
như sau: theo giả thiết, hàm số y = ¡f 0(x) + 7x3¢2 liên tục và không âm trên đoạn [0;1]
G do đó, đồ thị của hàm số này là một đường nét liền trên đoạn [0;1] và không có điểm
nào nằm bên dưới trục Ox).
Tích phân ở (2) có giá trị bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = ¡f 0(x) + 7x3¢2, trục hoành, đường thẳng x = 0, đường thẳng x = 1.
SAN Mà theo (2) thì hình phẳng này có diện tích bằng 0 nên f0(x)+7x3 =0,∀x∈[0;1].
Cách 2: (tiếp nối từ (1))
Dưới đây là bất đẳng thức Bunyakovski đối với tích phân:
Nếu hai hàm số f (x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì ta luôn có 2 µZ b ¶ µZ b ¶ Z b f (x).g(x) dx 6 £ f (x)¤2 dx . £ g(x)¤2 dx. a a a
PHƯỚC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi g(x)= kf(x),∀x∈[a;b].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G Trở lại bài toán: từ (1), ta có 2 µZ 1 ¶ Z 1 Z 1 1 1 = x3 f 0(x) dx 6 x6 dx · £ f 0(x)¤2 dx = · 7 = 1. 0 0 0 7
Như vậy dấu “=” xảy ra, tức là f 0(x) = kx3. Z 1 k
DƯƠN Thay trở lại vào (1), ta được k x6dx=−1⇒ =−1⇒ k=−7. 0 7 7 do f (1)=0 7 7
Vậy f 0(x) = −7x3 ⇒ f (x) = − x4 + C ⇒ f (x) = − x4 + . 4 4 4 Z 1 7 Do đó f (x) dx = . 0 5 Dương Phước Sang 14 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
MỘT SỐ CÂU HỎI ĐIỀN KHUYẾT
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z Câu 2. Tìm
sin 3x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số y = 102x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AN Z
Câu 5. Tính nguyên hàm
cos 3x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + 3x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ĂN
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) =
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x + 1 Z CHU Câu 10. Tính F(x) =
π2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(2x + 1) là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2019x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e−x + 2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . THPT
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 1
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x6 + +
− 2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x2 G 1
Câu 16. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos2 2x p
Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 − 2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SAN
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 102x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z dx Câu 19.
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 − 3x
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + 3x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z p
Câu 22. Tìm nguyên hàm
2x + 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PHƯỚC x − 1
Câu 23. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 G 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 −
+ 2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2
Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − sin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = e3x+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) DƯƠN
= e−2018x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 28. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x3 + x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x3 + 2018 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4x3
Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = −
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x4 3 Dương Phước Sang 15 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM
Bài 1. Tìm các họ nguyên hàm sau đây: Z Z Z µ 1 ¶ µ x2 1 ¶ a) (2x − 1)(x2 + 1)dx. b) t2(t3 − 1)2 dt. c) − 1 + dx. x 2 x3 Z Z Z d) (2 cos x + sin3x)dx. e) cos 3x. cos x dx. f) sin 4x. sin x dx. AN Z Z Z ³p g) (e2x − 2x)dx. h) (ex − 2)2 dx. i) ex − 2x.3x´ dx. Z µ 2 1 ¶ Z µ 5 ¶ Z µ 4 1 ¶ j) + dx. k) 2x − 1 + dx. l) + dx. ĂN x 3x − 1 x + 1 1 − 3x x2 V
Bài 2. Tìm các họ nguyên hàm sau đây: Z 3x + 1 Z 2x2 − x + 2 Z 4x3 − 5x + 1 a) dx. b) dx. c) dx. x − 2 x + 1 2x − 1 Z 9x + 13 Z 7x − 1 Z x d) dx. e) dx. f) dx. CHU (2x−1)(3x+2) (x − 1)(2x + 1) 2x2 + 5x − 3
Bài 3. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp đổi biến số: p Z 2 sin x Z e x p a) dx (HD: đặt t = 1 + 3cos x). b) p dx (HD: đặt t = x). 1 + 3cos x x Z Z 3 p p c) 3
(2x3 − 1)7.x2 dx (HD: đặt t = 2x3 − 1). d) x2 + 1.x dx (HD: đặt t = x2 + 1). THPT Z 3ln2x−1 Z 1 -e) dx (HD: đặt t = ln x). f) dx (HD: đặt t = x4). x x(2x4 + 1) G
Bài 4. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: Z Z Z Z a) (2x + 1)ex dx. b) x cos 2x dx. c) (x + 1)sin x dx. d) x ln x dx. SAN Z Z Bài 5. Biết
f (x) dx = 2x ln(3x − 1) + C. Tìm họ nguyên hàm f (3x) dx.
Bài 6. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 3sin x − 1 biết rằng F(π) = 1. x3 + 3x2 + 3x − 2 113
Bài 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = , biết rằng F(1) = . 2 2 ³ π ´
Bài 8. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos2 x và F(π) = 1. Tính F . 4 PHƯỚC µ 1 ¶
Bài 9. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) = sin(1 − 2x) thoả mãn F = 1. Tìm F(x). 2 G Z
Bài 10. Cho hàm số f (x) thoả mãn f 0(x) = (x + 1)ex và
f (x) dx = (ax + b)ex + C với a, b, C là các hằng số. Tính a + b. ³ π ´
Bài 11. Cho hàm số f (x) có f 0(x) = 1 − 4sin2x và f (0) = 0. Tính f . 4 ln x DƯƠN
Bài 12. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Tính F(e) − F(1). x
Bài 13. Biết F(x) = (ax2+bx+c)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x2ex. Tính a+2b+3c. p Z 4x − 1
Bài 14. Với phép đặt t = 2x + 1, họ nguyên hàm p
dx được đổi biến trở thành 2x + 1 + 2 Z µ 10 ¶ P(t) −
dt, trong đó P(t) là một đa thức theo biến t. Tính P(1). t + 2 Dương Phước Sang 16 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 4x3 + 1
Bài 15. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = biết F(0) = 2. x4 + x + 1 µ 1 ¶3 1 m n p q
Bài 16. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 1 − · có dạng F(x) = + + + + C, trong x x2 x4 x3 x2 x
đó C là hằng số thực; m, n, p, q là các hệ số hữu tỷ. Tính S = m + n + p + q. p Z
Bài 17. Cho hàm số f (x) = 3 2 + sin x. Tìm họ nguyên hàm f 0(2x + 1)dx. AN
Bài 18. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (0;+∞) sao cho f (1) = e, f (x) > 0,∀x ∈ R+ và p
f 0(x) = f (x) · 3x + 1. Tính f (0).
Bài 19. Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của f (x)e2x. Tìm nguyên hàm của g(x) = f 0(x)e2x. ĂN 1 f (x) Bài 20. Cho F(x)
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm họ nguyên hàm của V = hàm 2x2 x số f 0(x) ln x.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 1 CHU
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = + 2x là x A. 2 ln |x| + x2 + C. B. ln |x| + 2x2 + C. C. ln |x| + x2 + C. D. ln |x2| + 2x + C.
Câu 2. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x? 2x + 1 A. F(x) = x · 2x−1. B. F(x) = . C. F(x) = 2x + 1. D. F(x) = 2x ln2. ln 2 THPT 1
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x + là - x2 1 3x 1 1 3x 1 A. 3x + + C. B. + + C. C. 3x − + C. D. − + C. x ln 3 x x ln 3 x G
Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x(x + 1). x3 x2 A. x(x + 1) + C. B. 2x + 1 + C. C. x3 + x2 + C. D. + + C. 3 2 SAN
Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f (x) = e1−4x. 1 1 A. y = e1−4x. B. y = −4e1−4x. C. y = e1−4x. D. y = − e1−4x. 4 4
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = (x − 1)3. 1 1 A. 3(x − 1) + C. B. (x − 1)4 + C. C. 4(x − 1)4 + C. D. (x − 1)3 + C. 4 4 1
Câu 7. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = ? 2x + 1 PHƯỚC 1
A. F(x) = ln|2x + 1| + 1.
B. F(x) = ln|2x + 1| + 2. 2 1 1 G
C. F(x) = ln|4x + 2| + 3.
D. F(x) = ln(4x2 + 4x + 1) + 3. 2 4
Câu 8. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai? Z 1 Z A. ln x dx = + C,(x > 0). B. cos x dx = sin x + C. x Z 1 Z C. dx = ln x + C,(x > 0). D. ex dx = ex + C. DƯƠN x
Câu 9. Khẳng định nào sau đây đúng? Z Z 2x A. 2x dx = 2x · ln2 + C. B. 2x dx = + C. ln 2 Z 2x+1 Z 2x C. 2x dx = + C. D. 2x dx = − + C. x + 1 ln 2 Dương Phước Sang 17 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? Z xe+1 Z x3 Z ex+1 Z x8 A. ex dx = +C. B. x2 dx = + C. C. ex dx = +C. D. x7 dx = + C. e + 1 3 x + 1 8
Câu 11. Hàm số y = sin2x là một nguyên hàm của hàm số nào? cos 2x cos 2x A. y = − . B. y = −2cos2x. C. y = 2cos2x. D. y = . 2 2 AN 1
Câu 12. Hàm số F(x) = ln x +
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? x 1 1 1 1 1 1 A. y = ln x + 1. B. y = ln2 x − . C. y = ln2 x − . D. y = − . 2 x2 2 x x x2 ĂN Z ¡ V
Câu 13. Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Khi đó 3 f (x) + x¢dx bằng x2 x2 1 x2 1 x2 A. 3F(x) + + C. B. 3xF(x) + + C. C. F(x) + + C. D. F(3x) + + C. 2 2 3 2 3 2
Câu 14. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = x3? CHU x4 x4 x4 A. y = + 3. B. y = + 1. C. y = + 2. D. y = 3x2. 4 4 4
Câu 15. Hàm số F(x) = ex2 là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? ex2 A. f (x) = x2ex2 − 1. B. f (x) = . C. f (x) = 2xex2. D. f (x) = e2x. 2x THPT
Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) = (x − 2)5? (x − 2)6 (x − 2)6 -A. F(x)= + 2x. B. F(x) = + 2. 6 6 (x − 2)6 (x − 2)6 GC. F(x)= + 2017. D. F(x) = − 2018. 6 6 p
Câu 17. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x−1 trên (0;+∞)? 2 p 2 p A. 3 F(x) = x2 − x + 1. B. F(x) = x3 − x + 2. SAN 3 3 1 1 C. F(x) = p . D. F(x) = p − x. 2 x 2 x
Câu 18. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex, biết F(0) = 4. Tìm F(x). A. F(x) = ex + 2. B. F(x) = ex + 3. C. F(x) = ex + 4. D. F(x) = ex + 1.
Câu 19. Cho F(x) = cos2x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f (x). Tính f (π).
A. f (π) = −3. B. f (π) = 1.
C. f (π) = −1. D. f (π) = 0. PHƯỚC p
Câu 20. Tìm hàm số f (x), biết rằng f 0(x) = 4 x − x và f (4) = 0. p p 8x x x2 40 8x x x2 88 GA. f(x)= − − . B. f (x) = + − . 3 2 3 3 2 3 2 x2 2 C. f (x) = p − + 1. D. f (x) = p − 1. x 2 x 3x
Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . e3 DƯƠN 3x 3x 3x ln 3 3x A. + C. B. + C. C. + C. D. + C. e3 ln 3 −2 ln 3 · e2 e3 e3 ln 3 e
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos(2x + 3). Z Z 1 A. f (x) dx = −sin(2x + 3) + C. B.
f (x) dx = − sin(2x + 3) + C. 2 Z Z 1 C. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. D. f (x) dx = sin(2x + 3) + C. 2 Dương Phước Sang 18 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG ³ π ´
Câu 23. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin3 x·cos x và F(0) = π. Tìm F . 2 ³ π ´ ³ π ´ 1 ³ π ´ 1 ³ π ´ A. F = −π. B. F = − + π. C. F = + π. D. F = π. 2 2 4 2 4 2 Z Z Câu 24. Biết
f (2x) dx = sin2 x + ln x + C, tìm nguyên hàm f (x) dx. Z x Z x A. f (x) dx = sin2 + ln x + C. B. f (x) dx = 2sin2 + 2ln x + C. 2 2 Z Z AN C.
f (x) dx = 2sin2 x + 2ln x − ln2 + C. D.
f (x) dx = 2sin2 2x + 2ln x − ln2 + C.
Câu 25. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai? Z 1 Z ĂN A. dx = ln x + C . B. 0 dx = C. x V Z Z C. ex dx = ex + C. D. cos x dx = sin x + C.
Câu 26. Cho F(x) là nguyên hàm của f (x) = 1 + 2x + 3x2 thỏa F(1) = 2. Tính F(0) + F(−1). A. −3. B. −4. C. 3. D. 4. CHU
Câu 27. Tìm họ nguyên F(x) của hàm số y = f (x) = sin2x + 2x. cos 2x cos 2x A. F(x) = + x2 + C . B. F(x) = − + x2 + C. 2 2
C. F(x) = cos2x + 2 + C.
D. F(x) = −cos2x + x2 + C. 1
Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = e2x − là THPT x2 1 1 1 1 1 1 - A. e2x − + C. B. e2x + + C. C. e2x + + C. D. e2x − + C. 2 x 2 x x x G
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x + sin2 x là 4x 1 sin3 x A. − sin 2x + C. B. 4x ln x + + C. ln 4 4 3 sin3 x 4x x 1 C. 4x ln x − + C. D. + − sin 2x + C. SAN 3 ln 4 2 4
Câu 30. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K. Chọn mệnh đề sai. µ Z ¶0 µZ ¶0 A. x f (x) dx = f 0(x). B. f (x) dx = f (x). µZ ¶0 Z C. f (x) dx = F0(x). D. f (x) dx = F(x) + C.
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 32x+1. PHƯỚC 32x+1 32x+1 A. (2x + 1)32x + C. B. + C. C. 32x+1 ln 3 + C. D. + C. ln 3 ln 9 G
Câu 32. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Mệnh đề nào sau đây đúng? Z Z 1 A. f (2x) dx = 2F(2x) + C. B. f (2x) dx = F(2x) + C. 2 Z 1 Z C. f (2x) dx = F(x) + C. D. f (2x) dx = F(x) + C. 2 DƯƠN (x + 1)3
Câu 33. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = , (x 6= 0). x3 3 1 3 1
A. F(x) = x − 3ln|x| − + + C.
B. F(x) = x − 3ln|x| + + + C. x 2x2 x 2x2 3 1 3 1
C. F(x) = x + 3ln|x| − − + C.
D. F(x) = x − 3ln|x| + − + C. x 2x2 x 2x2 Dương Phước Sang 19 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG ³ π ´
Câu 34. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ {kπ, k ∈ Z} thỏa mãn f 0(x) = cot x, f = 2 và 4 µ 5π¶ µ ¶ ³ π ´ 7π f −
= 1. Giá trị của biểu thức f − f − bằng 3 6 4 p p p p 3 1 3 3 1 2 A. 1 + ln . B. 3 + ln − ln . C. 1 − ln . D. ln − ln . 2 2 2 2 2 2 1
Câu 35. Cho hàm số f (x) xác định trên R \ { , f ( AN −2; 1} thỏa mãn f 0(x) = −3) − f (3) = 0 x2 + x − 2 1
và f (0) = . Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng 3 1 1 1 4 1 8 ĂNA. ln2+ . B. ln 80 + 1. C. ln + ln 2 + 1. D. ln + 1. 3 3 3 5 3 5 V
Câu 36. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [−1;2] thỏa mãn f 2(x) · f 0(x) = 3x2 + 2x − 2 và
f (0) = 1. Số nghiệm của phương trình f (x) = 1 trên đoạn [−1;2] là A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. p 1 − sin3 x ³ π ´ 2
Câu 37. Biết F(x) là một nguyên hàm của f (x) = và F = . Có bao nhiêu số CHU sin2 x 4 2
thực x ∈ (0;2018π) để F(x) = 1. A. 2018. B. 1009. C. 2017. D. 2016. Z a a Câu 38. Biết (sin 2x − cos2x)2 dx = x +
cos 4x + C, với a, b là các số nguyên dương, là b b
phân số tối giản và C ∈ R. Giá trị của a + b bằng THPTA. 5. B. 4. C. 2. D. 3. -
Câu 39. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f (x) = x f 0(x)−2x3 −3x2 và f (1) G =4. Tính f(2). A. 5. B. 20. C. 10. D. 15. Z 2x + 2 1 Câu 40. Biết dx =
+ p ln |2x + 1| + C với m, n, p ∈ Q. Tổng m + n + p bằng (2x + 1)2 mx + n SAN 11 11 13 13 A. − . B. . C. . D. − . 2 2 2 2
Câu 41. Cho hai hàm số F(x) = (x2 + ax + b)e−x và f (x) = (−x2 + 3x + 6)e−x. Tìm a và b để F(x)
là một nguyên hàm của hàm số f (x). A. a = 1, b = −7. B. a = 1, b = 7. C. a = −1, b = 7. D. a = −1, b = −7. x
Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = p là x2 + 1 p p A. F(x) x2 x2 PHƯỚC = 2 + 1 + C. B. F(x) = + 1 + C. p 1 p
C. F(x) = ln x2 + 1 + C. D. F(x) = x2 + 1 + C. 2 G
Câu 43. Cho nguyên hàm Z dx p p p p
= m(x + 2018) x + 2018 + n(x + 2017) x + 2017 + C. Khi đó 4m − n bằng x + 2018 + x + 2017 4 8 2 10 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 p p DƯƠN Z f ¡ x + 1¢ 2 ¡ x + 1 + 3¢
Câu 44. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn p dx = + C. x + 1 x + 5
Nguyên hàm của hàm số f (2x) trên tập R+ là x + 3 x + 3 2x + 3 2x + 3 A. + C. B. + C. C. + C. D. + C. 2 ¡x2 + 4¢ x2 + 4 4 ¡x2 + 1¢ 8 ¡x2 + 1¢ Dương Phước Sang 20 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau đây: Z 1 Z 1 Z π a) (2x − x2 + 1)dx. b) t2(t3 − 1)dt. c) (2 cos x + sin3x)dx. 0 −1 0 π Z 2 Z 0 Z 1 d) cos 4x. cos x dx. e) sin 3x. sin x dx. f) (e2x − 3x)dx. −π π 0 Z 1 Z 2 µ 3 1 ¶ Z 2 µ 4 1 ¶ AN g) (ex − 2)2 dx. h) + dx. i) + dx. 0 1 x 2x − 1 1 1 − 3x x2
Bài 2. Tính các tích phân sau đây: Z 1 3x − 1 Z 1 7x + 12 Z 2 x3 − x − 4 ĂN a) dx. b) dx c) dx. −2 x − 2 0 2x2 + 5x + 3 1 x2 + 4x V
Bài 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số: π Z 1 2x2 Z 4 etan x Z −1 a) dx. b) dx. c) (x + 2)2019x dx. −1 2 + x3 0 cos2 x −3 p Z 3 x2 + 3 Z e 3 ln x − 1 Z 2 x3 − 1 CHU d) dx. e) dx. f) dx. 1 x 2 x ln x 1 x4 + x
Bài 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần: π Z 1 Z 3 Z π Z 2 a) (2x − 1)ex dx. b) x sin 2x dx. c) (x − 1)cos x dx. d) x ln(9 − x2)dx. 0 0 π −1 ³ π ´
Bài 5. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2 x và F(0) = π. Tính F . THPT 4 Z 2 -
Bài 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và f (1) = 3, f (2) = −1. Tính f 0(x) dx. −1 Z b Z b Z b G Bài 7. Biết f (x) dx = 10 và
g(x) dx = 5. Tính tích phân I = [3 f (x) − 5g(x)]dx. a a a Z 3 Z 1 Z 3 Z 1 Bài 8. Cho f (x) dx = 9 và
f (x) dx = 3. Tính các tích phân f (x) dx và f (3x) dx. 0 0 1 0 SAN Z 2 Z 6
Bài 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [1; 6] và f (x) dx = 3, f (x) dx = 5. Tính 1 1 Z 2 · 1 ¸ Z 6 Z 3 a) 2 f (x) − dx b) f (3x) dx c) f (2x) dx. 1 x 3 1 Z 3 dx p p Bài 10. Biết p
p = a 3 + b 2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a + b + c. 1 x + 1 − x p Z 1 x a + b 3
Bài 11. Biết tích phân p p dx =
với a, b ∈ Z. Tính tổng T = a + b. 9 PHƯỚC 0 3x + 1 + 2x + 1 Z e (x + 1) ln x + 2 µ e + 1¶ a Bài 12. Biết dx = ae + b ln
trong đó a, b ∈ Z. Tính tỉ số . G 1 1 + x ln x e b Z 1
Bài 13. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn (2x − 2)f 0(x)dx = 6 0 Z 1
và f (0) = 6. Tính tích phân f (x) dx. 0 Z 4 1 Bài 14. Cho
dx = a ln2 + b ln3 với a, b ∈ Z. Tính a + 3b. DƯƠN 3 x2 − 3x + 2
Bài 15. Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương ³ π´ trình i = I0 sin ωt +
. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn 2 π của mạch trong thời gian là bao nhiêu? 2ω Dương Phước Sang 21 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Z 1 Câu 45. Tích phân e−x dx bằng 0 1 1 e − 1 A. e − 1. B. − 1. C. . D. . e e e Z 1 AN Câu 46. Tích phân dx có giá trị bằng 0 A. −1. B. 0. C. 1. D. 2. Z 1 x + 4 ĂN
Câu 47. Giá trị tích phân dx bằng 0 x + 3 V 5 4 3 3 A. ln . B. 1 + ln . C. ln . D. 1 − ln . 3 3 5 5 Z ln 2 Câu 48. Tích phân e2x dx bằng 0 3 1 A. 4. B. . C. 3. D. (e2 CHU − 1). 2 2 Z 1
Câu 49. Tính tích phân 8x dx. 0 8 7 A. I = 8. B. I = . C. I = . D. I = 7. 3 ln 2 3 ln 2 Z 2018 THPT Câu 50. Tích phân 2x dx bằng 0 - 22018 − 1 22018 A. 22018 − 1. B. . C. . D. 22018. ln 2 ln 2 G Z 2018 Câu 51. Tính I = ex dx. 0 A. I = e2018 − 1. B. I = e2019 − 1. C. I = e2019. D. I = e2018. Z 2 SAN
Câu 52. Tính tích phân (2x + 1)2018 dx. −1 1 1 1 ³ ´ 1 A. ¡52019 + 1¢. B. ¡52019 − 1¢. C. 552019−1 . D. ¡52019 + 1¢. 2019 2019 4038 4038 π Z 2
Câu 53. Tính tích phân x cos x dx. 0 π π 1 π π A. I = . B. I = − . C. I = . D. I = − 1. 2 3 2 3 2 PHƯỚC Z 2017π
Câu 54. Tính tích phân I = sin x dx. 6π GA. I =2. B. I = −1. C. I = −2. D. I = 1. Z 2
Câu 55. Tính tích phân I = x2017 dx. 0 22016 22018 A. I = . B. I = 2017.22016. C. I = . D. I = 2017.22018. 2016 2018 Z 5 DƯƠN 1
Câu 56. Tính tích phân I = dx. 1 x21 1 µ 1 ¶ 1 µ 1 ¶ 1 µ 1 ¶ 1 µ 1 ¶ A. I = − 1 . B. I = 1 − . C. I = − 1 . D. I = 1 − . 20 520 20 520 22 522 22 522 Z 35 1
Câu 57. Cho tích phân I =
dx. Hãy chọn khẳng định đúng. 0 ex A. 0 6 I < 1. B. 1 6 I < 2. C. −1 6 I < 0. D. I > 2. Dương Phước Sang 22 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 5
Câu 58. Tính tích phân I = x3ex4 dx. 0 125e3125 625e3125 − 1 125e625 e625 − 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Z 2 dx Câu 59. Biết
= a ln 7 + b ln 2 (a, b ∈ Q). Khi đó tổng a + b bằng 1 3x + 1 1 1 A. . B. 1. C. − . D. −1. 3 3 AN Z b Z b Z b Câu 60. Cho f (x) dx = −2 và g(x) dx = 3. Tính I = [2 f (x) − 3g(x)]dx. a a a A. I = −13. B. I = 13. C. I = −5. D. I = 5. ĂN Z 4 Câu 61. f 0(x) dx V
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [1; 4], f (1) = 15, f (4) = 8. Tính . 1 Z 4 Z 4 Z 4 Z 4 A. f 0(x) dx = 7. B. f 0(x) dx = 3. C. f 0(x) dx = 23. D. f 0(x) dx = −7. 1 1 1 1 Z 2
Câu 62. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [0; 2] và f (0) = −1, f 0 (x) dx = 5. Tính f (2). CHU 0 A. f (2) = 2. B. f (2) = 6. C. f (2) = 4. D. f (2) = 5. ³ π ´ ³ π ´
Câu 63. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin2x và F = 1. Tính F . 4 6 ³ π ´ 5 ³ π ´ ³ π ´ 3 ³ π ´ 1 A. F = . B. F = 0. C. F = . D. F = . 6 4 6 6 4 6 2 THPT Z 3 Z 3
Câu 64. Cho hàm số f liên tục trên [0; 3] với f (x) dx = 2. Tính I = [x − 2f (x)]dx. - 0 0 1 5 A. I = . B. I = . C. I = 5. D. I = 7. G 2 2 Z 1 1 Z 4
Câu 65. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và
f (x) dx = x3− x2+x+C. Tính I = f (x) dx. 3 2 3 59 59 137 137 A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = − . SAN 6 6 6 6 Z 1 Z 2
Câu 66. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và f (x) dx = x2 − x + C. Tính f (x2) dx. 2 1 Z 2 4 Z 2 4 Z 2 2 Z 2 2 A. f (x2) dx = − . B. f (x2) dx = . C. f (x2) dx = − . D. f (x2) dx = . 1 3 1 3 1 3 1 3 π Z 2
Câu 67. Cho hàm số f (x) = 3sin3 x − 1. Tính tích phân I = f 0(x) dx. 0 PHƯỚC A. I = 6. B. I = −2. C. I = 0. D. I = 3. Z 2 Z 7 Z 7 G Câu 68. Cho f (x) dx = 2, f (t) dt = 9. Giá trị của f (z) dz là −1 −1 2 A. 7. B. 3. C. 11. D. 5. Z 3 2x − 3 Câu 69. Cho I =
dx = a + b ln6 với a, b ∈ Z. Tính a − b. −2 x − 4 A. 15. B. 17. C. 7. D. 10. Z 4 DƯƠN
Câu 70. Nếu f (1) = 12, f 0(x) liên tục trên [1;4] và
f 0 (x) dx = 17. Giá trị của f (4) bằng 1 A. 19. B. 5. C. 29. D. 9. Z π a a Câu 71. Biết
(x−sin2x)dx = π2 trong đó a, b là các số thực và (tối giản). Tính a+b. 0 b b A. −3. B. 5. C. 3. D. 2. Dương Phước Sang 23 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 1 2x + 3 Câu 72. Cho
dx = a · ln2 + b (với a, b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là 0 2 − x A. −7. B. 7. C. 5. D. −5. π Z 2 µ π 1 ¶
Câu 73. Cho tích phân
(4x − 1 + cos x) dx = π −
+ c, (a, b, c ∈ Q). Tính a − b + c. 0 a b 1 1 A. . B. 1. C. −2. D. . 2 3 AN Z 2 x3 − 3x2 + 2x Câu 74. Cho
dx = a + b ln2 + c ln3 với a, b, c ∈ Q. Chọn khẳng định đúng. 1 x + 1 A. b < 0. B. c > 0. C. a < 0. D. a + b + c > 0. ĂN π Z p a V 2 Câu 75. Biết sin 2x sin x dx 2, với a, b . π = a + b
∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = b 4 A. S = −4. B. S = 4. C. S = 5. D. S = −5. Z 4 µ 1 1 ¶ 1 1 Câu 76. Cho +
dx = a ln2 + b ln3, với a, b ∈ Q. Hãy tính tổng S = + . 1 x 2x + 1 a b CHU 5 3 A. S = . B. S = 3. C. S = 1. D. S = . 2 2 π Z 2 π2 π Câu 77. Cho (2x − 1 − sin x) dx = −
+ c, với a, b, c ∈ Z. Tính S = a + b + c. 0 a b A. S = 7. B. S = 5. C. S = 3. D. S = 1. Z 2 x − 3 a THPT Câu 78. Cho
dx = a ln2 + b ln5, với a, b ∈ Q. Tính S = . (x + 2)(x − 4) b - −1 A. S = −12. B. S = 12. C. S = 11. D. S = −11. π Z p G 4 Câu 79. Cho tan2 x dx 3 π = a+ b
+ c.π, với a, b, c ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = a+ b + c. 6 1 5 7 2 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 12 12 3 SAN Z 2 µ 1 ¶ a Câu 80. Biết ex − dx = e2 +
+ b, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức ab. 0 ex e2 A. ab = −2. B. ab = 0. C. ab = 1. D. ab = −1. π Z 4 Câu 81. Biết
cos2 x dx = aπ + b, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = a − b. 0 3 1 5 1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = − . 4 4 4 4 Z 2 PHƯỚC
Câu 82. Biết tích phân
(4x − 1)ln x dx = a ln2 + b với a, b ∈ Z. Tính 2a + b. 1 A. 5. B. 8. C. 10. D. 13. G Z 1 1 Câu 83. Biết
x cos 2x dx = (a sin2 + b cos2 + c), với a, b, c ∈ Z. Khẳng định nào đúng? 0 4 A. a + b + c = 1. B. a − b + c = 0. C. 2a + b + c = −1. D. a + 2b + c = 1.
Câu 84. Dùng công thức tích phân từng phần với u = ln x, dv = x2 dx ta được kết quả nào? 3 3 Z 3 x3 ln x ¯ 1 Z 3 Z 3 x2 ln x ¯ 1 Z 3 ¯ ¯ DƯƠNA. x2lnxdx= ¯ − x2 dx. B. x2 ln x dx = ¯ − x2 dx. 1 3 ¯1 3 1 1 2 ¯1 3 1 3 3 Z 3 x3 ln x ¯ 1 Z 3 Z 3 x3 ln x ¯ 1 Z 3 C. x2 ln x dx = ¯ ¯ ¯ + x2 dx. D. x2 ln x dx = − ¯ − x2 dx. 1 3 ¯1 3 1 1 3 ¯1 3 1 Z 2 a b Câu 85. Biết ln(2x + 1)dx =
ln 5 + ln3 + c, với a, b, c ∈ Z. Tính T = a + 2b + c. 1 2 2 A. T = 12. B. T = 2. C. T = 10. D. T = −2. Dương Phước Sang 24 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 86. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? Z b b Z b Z b b Z b A. xex dx = xex¯¯ − x dx. B. xex dx = xex¯¯ − ex dx. ¯ ¯ a a a a a a Z b b Z b Z b b Z b C. xex dx = xex¯¯ + x dx. D. xex dx = xex¯¯ + ex dx. ¯ ¯ a a a a a a Z 1 Câu 87. Cho
(x + 2)exdx = ae + b (a, b ∈ Q). Tính S = a2 + b2. 0 A. S AN = −1. B. S = 10. C. S = 5. D. S = 0. Z 4 Z 1 Câu 88. Cho f (x) dx = 9, tính I = f (3x + 1) dx. 1 0 A. I = 9. B. I = 3. C. I = 1. D. I = 27. ĂN Z ln 2 exdx V Câu 89. Cho
= a ln 2 + b ln 5 với a, b ∈ Z. Giá trị của a + b bằng 0 ex + 3 A. 3. B. −1. C. 0. D. 1. Z 2 Câu 90. Tích phân 2x (x2 + 1)2018 dx bằng 0 CHU 52019 − 1 52019 − 1 52018 − 1 A. . B. . C. . D. 1. 2019 4038 4036 Z 4 dx 2
Câu 91. Cho tích phân p = a+b·ln
với a, b ∈ Z. Mệnh đề nào sau đây đúng? 0 3 + 2x + 1 3 A. a − b = 3. B. a − b = 5. C. a + b = 5. D. a + b = 3. p Z 4 THPT 2x + 1 Câu 92. Biết p
dx = a + b ln2, (a, b ∈ Q). Đẳng thức nào sau đây đúng? - 0 1 + 2x + 1 A. a − b = 0. B. a2 − 4b − 1 = 0. C. a2 − 4b + 1 = 0. D. a2 − 4b = 0. G p Z 4 e x p Câu 93. Cho I =
p dx. Thực hiện phép đổi biến, đặt t = x, ta được 1 x Z 4 Z 4 Z 2 Z 2 A. I = et dt. B. I = 2 et dt. C. I = 2 et dt. D. I = et dt. SAN 1 1 1 1 Z 7 x dx Câu 94. Tích phân
= a ln 2 − b ln 5 với a, b ∈ Q. Giá trị của 2a + b bằng 2 x2 + 1 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2 p Z 4 p
Câu 95. Khi đặt u = x2 + 9 tích phân I = x
x2 + 9dx trở thành tích phân nào? 0 Z 5 Z 5 p Z 4 Z 5 PHƯỚC A. I = u2 du. B. I = u du. C. I = u2 du. D. I = u du. 3 3 0 3 G Z 4 2x − 1 Câu 96. Biết I =
dx = a ln3+b ln2, với a, b ∈ Z. Giá trị của biểu thức A = a2+b2 là 3 x2 − x A. A = 1. B. A = 5. C. A = 10. D. A = 2. p Z 1 p a 2 + b a2 Câu 97. Nếu x 1 + x2 dx =
, với a, b ∈ Q thì tổng S = + ab2 bằng bao nhiêu ? 0 3 b 7 50 DƯƠN A. S = −2. B. S = 0. C. S = . D. S = . 2 3 Z 1 1 6a b2 Câu 98. Cho
p dx = a + b ln 2 với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = − . 0 1 + x b a 1 9 A. S = . B. S = −8. C. S = −1. D. S = . 2 2 Dương Phước Sang 25 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG p Z e 2 + ln x p p Câu 99. Nếu
dx = a 3 + b 2, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = ab. 1 2x 1 2 3 7 A. S = . B. S = − . C. S = − . D. S = . 4 3 4 3 Z a
Câu 100. Có bao nhiêu giá trị thực của a để có (2x + 5)dx = a − 4. 0 A. 1. B. 0. C. 2. D. Vô số. AN Z b
Câu 101. Giá trị nào của b để (2x − 6)dx = 0? 1 A. b = 0 hoặc b = 3. B. b = 0 hoặc b = 1. C. b = 5 hoặc b = 0. D. b = 1 hoặc b = 5. ĂN Z 1 V
Câu 102. Tính tích phân I = x2018(1 + x)dx. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 A. I = + . B. I = + . C. I = + . D. I = + . 2018 2019 2020 2021 2019 2020 2017 2018 Z 3
Câu 103. Cho f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên [1; 3] thỏa mãn [ f (x) + 3g(x)] dx = 10 và 1 Z 3 CHU Z 3
[2 f (x) − g(x)] dx = 6. Tính [ f (x) + g(x)] dx. 1 1 A. 9. B. 8. C. 6. D. 7. Z m
Câu 104. Tất cả các giá trị của tham số m để (2x − 1)dx < 6 là 0 A. m ∈ (0;4). B. m ∈ (−2;3). C. m ∈ (−3;2). D. m ∈ (3;5). THPT Z 2 Z 2 Z 2 - Câu 105. Cho [3 f (x) + 2g(x)]dx = 1 và
[2 f (x) − g(x)]dx = −3. Khi đó f (x) dx bằng 1 1 1 11 5 6 16 A. . B. . C. . D. . G − 7 7 7 7 Z 1 Câu 106. Cho I =
(2x − m2)dx. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để I + 3 > 0. 0 A. 4. B. 0. C. 5. D. 2. SAN (3x2 khi 0 6 x 6 1 Z 2
Câu 107. Cho hàm số y = f (x) = . Tính tích phân f (x) dx. 4 − x khi 1 6 x 6 2 0 7 5 3 A. . B. 1. C. . D. . 2 2 2 Z 1 dx 2 p Câu 108. Biết p ¡ p =
a − b¢ với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a+ b. 0 x + 1 + x 3 A. T = 7. B. T = 10. C. T = 6. D. T = 8. PHƯỚC Z 2 (x + 2)2017
Câu 109. Tính tích phân I = dx. 1 x2019 G 32018−22018 32021 − 22021 32018 − 22018 32017 22018 A. . B. . C. . D. − . 2018 4040 4036 4034 2017 Z e f (ln x)
Câu 110. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và thỏa mãn dx = e. Mệnh đề nào 1 x
sau đây là mệnh đề đúng? Z 1 Z e Z e Z 1 DƯƠNA. f (t) dt = 1. B. f (x) dx = 1. C. f (t) dt = e. D. f (x) dx = e. 0 1 1 0 p π Z 9 f ( x) Z 2
Câu 111. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn p dx = 4 và f (sin x) cos x dx = 2. 1 x 0 Z 3 Tính tích phân I = f (x) dx. 0 A. I = 2. B. I = 6. C. I = 10. D. I = 4. Dương Phước Sang 26 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 1 dx
Câu 112. Một học sinh làm bài tích phân I = theo các bước sau. 0 1 + x2 π π
Bước 1: Đặt x = tan t với − < t < suy ra dx = (1 + tan2 t)dt. 2 2 π
Bước 2: Đổi cận x = 1 ⇒ t = ; x = 0 ⇒ t = 0. 4 π π π Z 1 Z ¯ π π 4 + tan2 t 4 Bước 3: I = dt = dt = t 4 ¯ = 0 − = − . ¯0 AN 0 1 + tan2 t 0 4 4
Các bước làm ở trên, bước nào sai? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3.
D. Không bước nào. ĂN Z 1 dx ³ π π´ V
Câu 113. Cho tích phân I = p
. Nếu đổi biến số x = 2sin t, t ∈ − ; thì 0 4 − x2 2 2 π π π π Z 6 Z 6 Z 6 dt Z 3 A. I = dt. B. I = t dt. C. I = . D. I = dt. 0 0 0 t 0 p Z 4 x2 − x + 2 a − 4 b CHU
Câu 114. Biết rằng I = p dx =
, với a, b, c ∈ Z+. Tính a + b + c. 3 x + x − 2 c A. 39. B. 27. C. 33. D. 41. Z 3 Z e f ¡ln x3¢
Câu 115. Cho tích phân
f (x) dx = 1. Tính tích phân I = dx. 0 1 2x 3 1 A. . B. 9. C. . D. 6. 2 6 THPT Z 1 - dx
Câu 116. Đổi biến x = 2sin t thì tích phân p trở thành 0 4 − x2 π π π π G Z 6 Z 3 Z 6 Z 6 dt A. tdt. B. tdt. C. dt. D. . 0 0 0 0 t Z 1 2x2 + 3x + 1 Câu 117. Cho
dx = a ln5 + b ln3 + c. Tính T = a + b + 2c. 2x SAN 0 + 3 A. T = 3. B. T = 0. C. T = 1. D. T = 2.
Câu 118. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = sin3 x · cos x và F(0) = π. Tìm ³ π ´ F . 2 ³ π ´ 1 ³ π ´ 1 ³ π ´ ³ π ´ A. F = − + π. B. F = + π. C. F = −π. D. F = π. 2 4 2 4 2 2 Z 2 ln x b Câu 119. Cho dx =
+ a ln 2, với a là số hữu tỷ và b, c là các số nguyên dương PHƯỚC sao 1 x2 c b cho phân số
tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = 2a + 3b + c. G c A. T = 4. B. T = −6. C. T = 5. D. T = 6. Z 3 c Câu 120. Biết
x ln(x2 + 16)dx = a ln5 + b ln2 +
với a, b, c ∈ Z. Tính T = a + b + c. 0 2 A. T = 2. B. T = −16. C. T = −2. D. T = 16. Z b DƯƠN
Câu 121. Cho a > b > −1. Tích phân I =
ln(x + 1)dx bằng biểu thức nào sau đây? a ¯b ¯b
A. I = (x + 1)ln(x + 1)¯ ¯ ¯ − a + b.
B. I = (x + 1)ln(x + 1)¯ − b + a. ¯a ¯a 1 ¯b ¯b Z b x C. I = ¯ ¯ ¯ . D. I = x ln(x + 1)¯ + dx. x + 1¯ x a ¯a a + 1 Dương Phước Sang 27 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 122. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Z e ¯e Z e Z e 1 ¯e Z e A. x ln2 x dx = x2 ln2 x¯ − 2 x ln x dx. B. x ln2 x dx = x2 ln2 x¯ − 2 x ln x dx. ¯ ¯ 1 1 1 1 2 1 1 Z e 1 ¯e Z e Z e 1 ¯e Z e C. x ln2 x dx = x2 ln2 x¯ + 2 x ln x dx. D. x ln2 x dx = x2 ln2 x¯ − x ln x dx. ¯ ¯ 1 2 1 1 1 2 1 1
Câu 123. Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (x) + x · f 0(x) = 3x2 + 2x, ∀x ∈ R. Tính f (1). ANA. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Z 1 Z 2
Câu 124. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16, f (2x) dx = 2. Tính x · f 0(x)dx. 0 0 A. 16. B. 28. C. 36. D. 30. ĂN Z 2 V Câu 125. Biết I =
(3x2 + ln x)dx = a + b ln2 với a, b là các số nguyên. Tính S = a + b. 1 A. S = 4. B. S = 6. C. S = 2. D. S = 8. Z 2 a ³ a ´ Câu 126. Cho x ln(x +1)2017 dx = ln 3,
là phân số tối giản và b > 0 . Tính S = a− b. 0 b b CHUA. 6049. B. 6053. C. 1. D. 5. Z 1 Câu 127. Cho I =
xe2x dx = ae2 + b (a, b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a + b là 0 1 1 A. 0. B. . C. 1. D. . 4 2 Z 3 x p THPT
Câu 128. Cho tích phân I = p
dx. Viết dạng của I khi đặt t = x + 1. 0 1 + x + 1 - Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 A. (2t2 + 2t)dt. B. (2t2 − 2t)dt. C. (t2 − 2t)dt. D. (2t2 − t)dt. 1 1 1 1 G p p Z 2 Z 3 Z 16 f ¡ t¢ Z 4 Câu 129. Cho biết x f (x2) dx = 4, f (z) dz = 2, p dt = 2. Tính f (x) dx. 0 2 9 t 0 A. 10. B. 11. C. 9. D. 1. SAN
Câu 130. Một chiếc xe đang chuyển động đều với vận tốc 20 m/s thì hãm phanh, chạy chậm
dần với vận tốc v(t) = 20 − 2t m/s đến khi dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc bắt đầu
hãm phanh đến khi dừng hẳn là A. 98 m . B. 94 m. C. 100 m. D. 96 m. (2x2 + x với x > 0 Z 1
Câu 131. Cho hàm số f (x) = . Tính f (x) dx. x sin x với x 6 0 −π 7 2 1 2
PHƯỚCA. I = +π. B. I = + π. C. I = 3π − . D. I = + 2π. 6 3 3 5 G Z 1 3x2 + 1 b Câu 132. Biết
dx = a + b ln2, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = . 0 3x + 1 a 13 16 14 A. S = . B. S = 4. C. S = . D. S = − . 3 3 3 1 Z 2 mb Câu 133. Cho
xe3x dx = aem + b (trong đó a, b, m ∈ Q). Tính P = . DƯƠN 0 a 3 A. P = 3. B. P = 2. C. P = −2. D. P = . 2 Z 3 Z 3 µ 1 ¶ Câu 134. Biết I =
ln(x2 − x)dx = a ln3 + b ln2 − c +
dx, với a, b, c ∈ Q. Tính giá trị 2 2 x − 1 biểu thức A = a + b + c. A. A = 6. B. A = 5. C. A = −1. D. A = 3. Dương Phước Sang 28 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 6 2 Câu 135. Biết p
dx = a+ b ln3, với a, b ∈ Q. Tính giá trị của biểu thức 3a+2b. 0 4x + 1 + 1 A. 3a + 2b = 4. B. 3a + 2b = 10. C. 3a + 2b = 14. D. 3a + 2b = 9. π p Z 4 π 2 p Câu 136. Nếu 2x cos x dx =
+ b 2 + c, với a, b, c ∈ Q thì tổng S = a + b + c bằng bao 0 a nhiêu? A. S = 7. B. S = 2. C. S = −1. D. S = 3. Z e AN ln x b Câu 137. Nếu dx = a +
, với a, b ∈ Q thì tổng S = a + b + n bằng bao nhiêu? 1 x2 en A. S = −1. B. S = 3. C. S = 0. D. S = 2. Z 2 b ĂN Câu 138. Nếu
x ln x dx = a ln2 + , với a, b ∈ Q thì tích P = ab bằng bao nhiêu? 4 V 1 A. P = −6. B. P = −5. C. P = 9. D. P = −10. Z 1 x − 2 Câu 139. Cho
dx = a ln5 + b ln3 + c ln2, với a, b, c ∈ Q. Tính S = a + b + c. 0 (x + 2)(x + 4) A. S = 4. B. S = 6. C. S = −5. D. S = −3. CHU
Câu 140. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0(x) liên tục trên [a; b]. Chọn mệnh đề đúng. Z b Z b A. f 0(x) dx = f (b) − f (a). B. f 0(x) dx = f (b) + f (a). a a Z b Z b C. f 0(x) dx = f (a) − f (b). D.
f 0(x) dx = −f (b) − f (a). a a THPT ex
Câu 141. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = trên khoảng (0; +∞). T - ính x Z 2 e3x dx. G 1 x Z 2 e3x F(6) − F(3) Z 2 e3x A. dx = . B. dx = F(6) − F(3). 1 x 3 1 x Z 2 e3x Z 2 e3x C. dx = 3[F(6) − F(3)]. D. dx = 3[F(3) − F(1)]. SAN 1 x 1 x
Câu 142. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và f (1) = −3, f (3) = 2. Tính Z 3 tích phân I = f 2(x). f 0(x) dx. 1 35 11 A. I = . B. I = −5. C. I = 10. D. I = . 3 6 π Z 2
Câu 143. Cho hàm số f (x) = cos2x + cos2 x. Tính tích phân I = f (x). f 0(x) dx. PHƯỚC 0 3 1 A. I = − . B. I = −3. C. I = −2. D. I = − . G 2 2 π Z 4 (1 − tan x)4 Z 1
Câu 144. Hàm số nào bên dưới thoả mãn đẳng thức dx = f (t) dt ? 0 cos2 x 0 A. f (t) = t2. B. f (t) = t4. C. f (t) = (1 − t)2. D. f (t) = (t − 1)3. π Z 4 DƯƠN
Câu 145. Chọn công thức đúng dùng để tính tích phân I = (x + 1).sin2x dx. 0 π π π π µ (x + 1)cos2x ¶ µ ¶ ¯ Z Z 4 4 1 (x + 1)cos2x ¯ 4 4 1 A. I = ¯ − cos 2x dx. B. I = − ¯ + cos 2x dx. 2 ¯ ¯ 0 0 2 2 0 0 2 π π π π µ (x + 1)cos2x ¶ µ ¶ ¯ Z Z 4 4 1 (x + 1)cos2x ¯ 4 4 1 C. I = ¯ + cos 2x dx. D. I = − ¯ − cos 2x dx. 2 ¯ ¯ 0 0 2 2 0 0 2 Dương Phước Sang 29 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 1 x + 1
Câu 146. Áp dụng phép đổi biến t = x2 +2x +5 cho tích phân I = dx ta được 0 x2 + 2x + 5 Z 8 1 Z 1 1 Z 8 1 1 Z 1 A. I = dt. B. I = t dt. C. I = dt. D. I = t dt. 5 t 0 2 5 t 2 0 p Z 1
Câu 147. Với phép đổi biến t = 1 − x2 tích phân
x3p1 − x2 dx được biến đổi thành tích 0 AN phân nào ? Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 A. (t2 − t4)dt. B. (t4 − t2)dt. C. (t3 − t)dt. D. (t − t3)dt. 0 0 0 0 π ĂN Z 2
Câu 148. Với phép đặt t = sin2 x thì tích phân
sin x cos3 x.esin2 x dx được biến đổi thành tíc V 0 h phân nào ? 1 Z 1 Z 1 1 Z 1 Z 1 A. (1 − t)et dt. B. 2 (1 − t)et dt. C. (1 + t)et dt. D. 2 (1 − t)et dt. 2 0 0 2 0 0 p Z 2 3 x3 CHU
Câu 149. Với phép đổi biến t = 4 + x2, tích phân p
dx được biến đổi thành tích 3 0 4 + x2 phân nào ? 3 Z 2 3 Z 2 2 Z 2 2 Z 2 A. (t3 − 4)dt. B. (t4 − 4t)dt. C. (t4 − 4t)dt. D. (t3 − 4)dt. 2 3p4 2 3p4 3 3p4 3 3p4 p Z e 2 + ln x
Câu 150. Với phép đổi biến t
dx được biến đổi thành tích THPT = 2 + ln x, tích phân 1 2x - phân nào ? p p p p Z 3 p Z 3 t Z 3 p Z 3 t A. t dt. B. dt. C. t dt. D. dt. G p p 2 2 2 2 2 2 Z 3 3 + ln x Câu 151. Biết
dx = a + b ln3 + c ln2 với a, b, c ∈ Q. Khi đó a2 + b2 + c2 bằng 1 (x + 1)2 3 17 17 9
SANA. a2+b2+c2 = . B. a2+b2+c2 = . C. a2+b2+c2 = . D. a2+b2+c2 = . 2 9 8 8 Z 2 4dx p p p Câu 152. Biết p p =
a + b − c − d với a, b, c, d là các số nguyên dương. 1 (x + 4) x + x x + 4 Tính P = a + b + c + d. A. 48. B. 46. C. 54. D. 52. 1
Câu 153. Cho hàm số f (x) xác định trên R\{−1;1} thỏa mãn f 0(x) = . Biết f (3)+ f (−3) = µ 1 ¶ µ 1 ¶ 4 v PHƯỚC x2 − 1 à f + f −
= 2. Tính m = f (−5) + f (0) + f (2). 3 3 G 1 1 1 1 A. m = 5 + ln2. B. m = 6 − ln2. C. m = 5 − ln2. D. m = 6 + ln2. 2 2 2 2 Câu 154. y
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của
hàm số y = f (x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu 4 DƯƠN Z 4 Z 2 thức S = f 0(x − 2)dx + f 0(x + 2)dx bằng 0 0 2 A. S = −2. B. S = 10. C. S = 2. D. S = 6. −2 O 2 4 x −2 Dương Phước Sang 30 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 155. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 12 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng
đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi
công thức vA(t) = 12 − 4t (đơn vị tính bằng m/s), thời gian t tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô
tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B
một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét? A. 37. B. 17. C. 19. D. 18. AN Z e2 dx
Câu 156. Tìm a + b + c biết
= a ln 2 + b ln 3 + c trong đó a, b, c ∈ Q. e x ln x ln(ex) A. a + b + c = 3 . B. a + b + c = −1 . C. a + b + c = 1 . D. a + b + c = 0 . π Z Z 1 ĂN 4 x2 f (x)
Câu 157. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (tan x) dx = 4 và dx = 2. Tính tíc Vh 0 0 x2 + 1 Z 1 phân I = f (x) dx. 0 A. 6. B. 2. C. 3. D. 1. Z 1 (x2 + 5x + 6) ex a.e + c Câu 158. Biết dx = a.e − b − ln
với a, b, c là các số nguyên và e là cơ CHUsố 0 x + 2 + e−x 3
của logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c. A. S = 10. B. S = 0. C. S = 0. D. S = 9. Z 2 x p p Câu 159. Biết p
dx = a + b 2 + c 35 với a, b, c ∈ Q. Tính P = a + 2b + c − 7. 1 3x + 9x2 − 1 1 86 67 A. − . B. . C. −2. D. . THPT 9 27 27 - Z 3
Câu 160. Tính tích phân ¡x3 − 3x2 + 2¢2017 dx. −1 G 272 A. 0. B. 2,1 · 10−15. C. 690952,8. D. . 35 Z 11 Z 2 Câu 161. Biết f (x) dx = 18. Tính I = x ¡2 + f (3x2 − 1)¢ dx. −1 0 SAN A. I = 5. B. I = 7. C. I = 8. D. I = 10. π p Z 6 x cos x π2 3π Câu 162. Biết dx với a, b, c π p = a + + ∈ Z. Tính M = a − b + c. − b c 6 1 + x2 + x A. M = 35. B. M = 41. C. M = −37. D. M = −35. Z 2 x3 dx p p Câu 163. Biết p
= a 5 + b 2 + c với a, b, c ∈ Q. Giá trị của P = a + b + c là 1 x2 + 1 − 1 5 7 5 A. − . B. . C. . D. 2. PHƯỚC 2 2 2
Câu 164. Cho hàm số f (x) liên tục trên R sao cho f (x) > 0, ∀x ∈ [0;2018] và f (x)· f (2018−x) = 1 G, Z 2018 1
∀x ∈ [0; 2018]. Giá trị của tích phân I = dx là 0 1 + f (x) A. 2018. B. 4016. C. 0. D. 1009. p Z 3 dx p p q p Câu 165. Cho p = a 3+ b 2+ c+ln
3 2 − 3 với a, b, c ∈ Q. Tính a+b+ c. 1 1 + x + 1 + x2 1 1 5 DƯƠN A. a + b + c = . B. a + b + c = −1. C. a + b + c = − . D. a + b + c = . 2 2 2 Z 2 Z 1
Câu 166. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và f (2) = 16, f (x) dx = 4. Tính I = x f 0 (2x) dx. 0 0 A. 12. B. 13. C. 20. D. 7. Dương Phước Sang 31 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 12 µ 1 ¶ 1 a c
Câu 167. Cho tích phân I = 1 + x − ex+ x dx =
· e d trong đó a, b, c, d là các số nguyên 1 x b 12 a c dương và ,
là các phân số tối giản. Tính bc − ad. b d 1 A. 24. B. . C. 12. D. 1. 6 p
Câu 168. Cho hàm số f liên tục trên Q thỏa mãn f 0x) x2 + 1 = 2xpf (x) + 1 và f (x) > −1, p f AN (0) = 0. Tính f ¡ 3¢. A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. ĂN
Câu 169. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f (1) = 0; Z 1 Z 1 e2 − 1 Z 1 [ f 0(x)]2 dx = (x + 1)ex f (x)dx = . Tính f (x) dx. 0 V 0 4 0 e e − 1 e2 A. . B. . C. . D. 2 − e. 2 2 4
Câu 170. Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và f (−x)+2018f (x) = ex, ∀x ∈ [−1;1]. Tính tích CHU Z 1 phân f (x) dx. −1 e2 − 1 e2 − 1 e2 − 1 A. . B. . C. . D. 0. 2018e e 2019e
Câu 171. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 2], thỏa mãn f (2) = 0 và các tích Z 2 5 2 Z 2 f (x) 5 3 Z 2 phân: [ f 0(x)]2 dx , dx . Tính tích phân f (x) dx. THPT = + ln = − + ln 1 12 3 1 (x + 1)2 12 2 1 - 3 2 3 3 3 3 3 A. + 2 ln . B. ln . C. − 2 ln . D. + 2 ln . 4 3 2 4 2 4 2 G Z x2
Câu 172. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và
f (t) dt = ex2 + x4 −1, ∀x ∈ R. Tính f (4). 0 A. f (4) = e4 + 4. B. f (4) = 4e4. C. f (4) = 1. D. e4 + 8. Câu 173. SAN
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên (0; +∞), thoả mãn f 0(x)+(2x+4)f 2(x) = 0, 1
f (x) > 0 ∀x > 0 và f (2) =
. Tính S = f (1) + f (2) + f (3). 15 7 11 11 7 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 15 15 30 30 µ 2 ¶ 15x
Câu 174. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {0} và thỏa mãn 2 · f (3x) + 3 · f = − , x 2 3 Z 9 Z 2 µ 1 ¶ f (x) dx = k. Tính I = f dx. 1 3 PHƯỚC x 2 45 + k 45 − k 45 + k 45 − 2k A. I . B. I . C. I . D. I . G =− = = = 9 9 9 9 Z x2
Câu 175. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [0;+∞) và
f (t) dt = xex. Tính giá trị f (4). 0 3e2 5e4 e2 A. f (4) = 3e2. B. f (4) = . C. f (4) = . D. f (4) = . 4 8 4 DƯƠN
Câu 176. Cho hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (0; +∞) đồng thời thỏa mãn 1
điều kiện f (1) = 1 + e; f (x) = e x + x f 0(x) ∀x ∈ (0;+∞). Giá trị của f (2) bằng p p p p A. 1 + 2 e. B. 1 + e. C. 2 + 2 e. D. 2 + e. π Z 4 sin2 x π 1 a
Câu 177. Tích phân I = dx
với a, b là số tự nhiên. Tính P . π = − = − 3x + 1 a b b 4 A. P = 2. B. P = −4. C. P = 4. D. P = 8. Dương Phước Sang 32 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG p à p ! Z 3 1 + x2 1 p c 10 b Câu 178. Giả sử dx = b 2 − (với a, b, c ∈ N và
là phân số tối giản). Khi 1 x4 a a3 a đó giá trị a + bc bằng A. 43. B. 23. C. y = 33. D. 13. Câu 179. y
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [−6;5], có
đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường AN
tròn như hình vẽ. Tính tích phân Z 5 I = [ f (x) + 2] dx. −6 −6 −2 O x 1 2 3 5 ĂN A. I = 2π + 35. B. I = 2π + 34. V
C. I = 2π + 33 . D. I = 2π + 32.
Câu 180. Cho hàm số f (x) có các đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn x f 0(x)− x2ex = f (x) và Z 2
f (1) = e. Tính tích phân I = f (x) dx. 1 A. I = e2 − 2e. B. I = e. C. I = e2. D. I = 3e2 − 2e. CHU Z 1 f (x) + f (−x)
Câu 181. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và dx = 2018. Tính tích phân −1 2018x + 1 Z 1 f (x) dx = 2018. −1A. 2017. B. 2018. C. 1009. D. 0. 1 2
Câu 182. Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [1; 4], f (1) = , f 0(1) = v THPTà 3 5 Z 4 - p
thỏa mãn 2 f 0(x) + x f 00(x) = x,∀x ∈ [1;4]. Tính I = f (x) dx. 1 139 213 263 119 G A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 75 25 75 25
Câu 183. Cho hàm số y = f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn đẳng thức p Z 1
sau f (x) + 2x f ¡x2¢ + 3x2 f ¡x3¢ = 1 − x2, ∀x ∈ [0;1]. Tính f (x) dx. SAN 0 π π π π A. . B. . C. . D. . 4 24 36 12 s p Z 4 1 x + ex Câu 184. Biết + p
dx = a + eb − ec với a, b, c là các số nguyên. Tính a + b + c 1 4x x e2x A. a + b + c = −4. B. a + b + c = −5. C. a + b + c = −3. D. a + b + c = 3. Z 1 (x2 + 5x + 6) ex a.e + c Câu 185. Biết dx = a.e − b − ln
với a, b, c là các số nguyên và e là cơ số x 3 PHƯỚC 0 + 2 + e−x
của logarit tự nhiên. Tính S = 2a + b + c. A. S = 10. B. S = 0. C. S = 0. D. S = 9. G p Z 5 2x − 1 Câu 186. Biết p
dx = a + b ln2 + c ln3 + d ln5 với a, b, c, d là các số nguyên. 1 2x + 3 2x − 1 + 1 Tính S = a + b + c + d. A. S = −1. B. S = 2. C. S = 5. D. S = 3. s Z 3 1 1 DƯƠN Câu 187. Biết I = 1 + +
dx = a+b ln2+c ln3, trong đó a, b, c là những số nguyên. 2 x2 (x − 1)2
Tính biểu thức ¡a + b2 + 3c2¢. A. 6. B. 5. C. 8. D. 9. Dương Phước Sang 33 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) y = 2x3 − 3x2, Ox, x = 0 và x = 2.
b) y = x4 − 2x2 − 3, y = x2 + 1, O y và x = 2. c) y = x3 − 12x và y = x2.
d) y = x3 + 11x − 6 và y = 6x2. ANe) y= x3 và y=4x.
f) y = (e + 1) x và y = (1 + ex) x. p 4x − 2 1 + ln x g) y = và hai trục toạ độ. h) y = , trục hoành và x = e. 2x + 1 x ĂN V
Bài 17. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox, biết (H) giới hạn bởi
a) y = x3 − 3x, trục hoành, x = 0 và x = 2.
b) y = cos x, trục hoành, x = 0 và x = π. 2 c) y =
, trục hoành, x = 0 và x = 1.
d) y = expx, trục hoành và x = 1. 2 − x
CHUe) y=2x−x2 và y= x. f) y = 2 − x2 và y = 1.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 188. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai
đường thẳng x = 1, x = 3. THPT 2186 A. 19. B. π. C. 20. D. 18. - 7
Câu 189. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x2 + 1, trục hoành và
hai Gđường thẳng x=0, x=2 là A. S = 10. B. S = 8. C. S = 12. D. S = 9.
Câu 190. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 − 4x và x + y = −2 là 6 5 1 1 SANA. . B. . C. . D. . 5 2 2 6
Câu 191. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 − 2x và y = −x2 + x. 9 10 A. 6. B. . C. 12. D. . 8 3 π
Câu 192. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x sin2x, y = 2x, x = . 2 π2 π π2 π2 π PHƯỚCA. + .
B. π2 − π. C. − 4. D. − . 4 4 4 4 4 p G
Câu 193. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x x2 + 1; x = 1 và trục Ox. p p p p 2 2 − 1 3 2 − 1 5 − 2 5 − 2 2 − 1 A. . B. . C. . D. . 3 5 6 3 x − 4
Câu 194. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x2 − 2x − 2 và y = . 2 − x 4 5 A. . B. − 2 ln 2. C. 0,28. D. 3 − ln4. DƯƠN 3 3
Câu 195. Hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : x2 − x − 6 và trục Ox có diện tích bằng 95 95 125 125 A. . B. − . C. . D. − . 6 6 6 6
Câu 196. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = x3 −3x và trục Ox. 9 9 9 11 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 8 2 4 Dương Phước Sang 34 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 197. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm
số y = x2 − 2x, y = 0, x = −1, x = 2 quanh trục Ox bằng 16π 18π 17π 5π A. . B. . C. . D. . 5 5 5 18
Câu 198. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong y = ex, Ox và các đường x = 0, x = 1.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? e2 − 1 π¡e2 + 1¢ πe2 π¡e2 − 1¢ A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . AN 2 2 2 2
Câu 199. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn p
bởi các đường y = 2x, y = 0 và hai đường thẳng x = 1, x = 2 quanh trục Ox. ĂN A. V = 3π. B. V = 3. C. V = π. D. V = 1. V
Câu 200. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos x, y = 0,
x = 0, x = π quay xung quanh Ox. π2 A. 0. B. . C. 2π. D. 2. 2 p CHU
Câu 201. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = −ex + 4x, trục hoành và
hai đường thẳng x = 1; x = 2. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) xung quanh trục hoành bằng Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 A. π (ex − 4x)dx. B. (ex − 4x)dx. C. (4x − ex)dx. D. π (4x − ex)dx. 1 1 1 1 p
Câu 202. Cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = 1, y = 0 và y = 2x + 1 THPT-.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox có thể tích bằng Z 1 p Z 1 Z 1 Z 1 p A. π 2x + 1dx. B. π (2x + 1) dx. C. π (2x + 1)2 dx. D. 2x + 1dx. 0 0 0 0 G
Câu 203. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = xex, y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox là Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 A. V = x2e2x dx. B. V = π xex dx. C. V = π x2ex dx. D. V = π x2e2x dx. SAN 0 0 0 0 1
Câu 204. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
và các đường thẳng y = 0, x
x = 1, x = 4. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay xung quanh trục Ox. 3π 3 A. 2πln2. B. . C. . D. 2 ln 2. 4 4 Câu 205. PHƯỚC
Cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi các đường x = 0, x = π, y = 0 và y = −sin x.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox có thể tích bằng Z π Z π Z π ¯Z π ¯ G A. π |sin x| dx. B. π sin2 x dx. C. sin2 x dx. D. π¯ ¯ ¯ (−sin x) dx¯. 0 0 0 ¯ 0 ¯
Câu 206. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = ex và các đường thẳng y = 0; x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây? Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 A. V = e2x dx. B. V = π ex2 dx. C. V = ex2 dx. D. V = π e2x dx. 0 0 0 0 DƯƠN
Câu 207. Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B
với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x, (0 ≤ x ≤ 2) ta được thiết
diện có diện tích bằng x2(2 − x). Thể tích của vật thể B là 2 2 4 4 A. V = π. B. V = . C. V = . D. V = π. 3 3 3 3 Dương Phước Sang 35 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 208. y Cho hàm số y y
= f (x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ bên. = f (x)
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho và trục Ox.
Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay
có thể tích V được xác định theo công thức nào dưới đây? Z 3 1 Z 3 A. V = π2 [ f (x)]2 dx. B. V = [ f (x)]2 dx. AN 1 3 1 O 1 3 x Z 3 Z 3 C. V = [ f (x)]2 dx. D. V = π [ f (x)]2 dx. 1 1 −1 y ĂN
Câu 209. Cho đồ thị hàm số y = f (x). Diện tích hình phẳng V
(phần tô đậm trong hình) là x Z 4 Z −3 Z 4 A. S = f (x) dx. B. S = f (x) dx + f (x) dx. −3 O 4 −3 0 0 Z 1 Z 4 Z 0 Z 4 C. S = f (x) dx + f (x) dx. D. S = f (x) dx − f (x) dx. −3 1 −3 0 CHU Câu 210. y y = f (x)
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số a
y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b (như hình bên). O c x b
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? ¯Z c Z b ¯ Z c Z b A. S = ¯ ¯ ¯ f (x) dx + f (x) dx¯. B. S = f (x) dx + f (x) dx. THPT ¯ a c ¯ a c - Z c Z b Z b C. S = − f (x) dx + f (x) dx. D. S = f (x) dx. a c a G Câu 211.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là y y = f (x)
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f (x), trục hoành,
hai SANđường thẳng x=a,x=b (hình bên). Giả sử SD là diện
tích của hình phẳng D. Hãy chọn công thức tính SD. Z 0 Z b a A. SD = − f (x) dx − f (x) dx. O x a 0 b Z 0 Z b B. SD = f (x) dx − f (x) dx. a 0 Z 0 Z b C. SD = − f (x) dx + f (x) dx. a 0 PHƯỚC Z 0 Z b D. SD = − f (x) dx + f (x) dx. a 0 G Câu 212. y
Tổng diện tích S = S1 + S2 + S3 trong hình vẽ được tính
bằng tích phân nào sau đây? Z b A. S = f (x) dx. S O 1 S3 a a c Z c Z d Z b d b x
DƯƠNB. S = f(x)dx− f(x)dx+ f(x)dx. a c d S2 Z c Z d Z b C. S = f (x) dx + f (x) dx − f (x) dx. a c d Z c Z d Z b D. S = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx. a c d Câu 213. Dương Phước Sang 36 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y y = f (x)
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay
quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành
được tính theo công thức nào trong các công thức sau y = g(x) đây? x O a b Z b Z b A. V = π £ g2(x) − f 2(x)¤ dx. B. V = π [ f (x) − g(x)]2 dx. a a Z b Z b AN C. V = π [ f (x) − g(x)]dx. D. V = π £ f 2(x) − g2(x)¤ dx. a a Câu 214. P R Q ĂN
Trong không gian Ox yz, cho vật thể được giới V
hạn bởi hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với
trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt S(x)
phẳng (R) tùy ý vuông góc với Ox tại điểm có
hoành độ x, (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo thiết diện O
có diện tích là S(x), với y = S(x) là hàm số liên a x x b CHU
tục trên [a; b]. Thể tích V của vật thể đó được tính theo công thức Z b Z b Z b Z b A. V = S2(x) dx. B. V = π S2(x) dx. C. V = π S(x) dx. D. V = S(x) dx. a a a a Câu 215. y THPT
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị (C) là đường cong như 3 -
hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành
và hai đường thẳng x = 0, x = 2 (phần tô đen) là Z 2 Z 1 Z 2 G A. f (x) dx. B. − f (x) dx + f (x) dx. 1 2 0 0 1 −2 O x Z 1 Z 2 ¯Z 2 ¯ C. f (x) dx − f (x) dx. D. ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯. 0 1 ¯ 0 ¯ SAN Câu 216. y
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị (C) cắt trục Ox
tại ba điểm có hoành độ a, b, c với c ∈ (a; b) như hình bên. Đặt Z c Z b m = f (x) dx, n =
f (x) dx. Diện tích của hình phẳng giới hạn a c c
bởi đồ thị (C) và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu? a x O b A. m + n. B. −m − n. C. m − n. D. n − m. PHƯỚC Câu 217. G y
Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ h(x) f (x)
thị 3 hàm số f (x), g(x), h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây. Z c Z c A. S = | f (x) − g(x)| dx + |g(x) − h(x)| dx. a b Z b Z c DƯƠN B. S g = [ f (x) − g(x)] dx + [g(x) − h(x)] dx. (x) a b Z b Z c C. S = [ f (x) − g(x)] dx − [g(x) − h(x)] dx. a b O a x b c Z c D. S = [ f (x) + h(x) − g(x)] dx. a Dương Phước Sang 37 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 218. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).
Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức y Z 1 Z 4 3 A. S = f (x) dx + g(x) dx. (C1) : y = f (x) 0 1 Z 4 2 B. S = [ f (x) − g(x)] dx. 0 Z 1 Z 4 1 (C2) : y = g(x)
ANC. S = f(x)dx− g(x)dx. 0 1 x Z 4 D. S = | f (x) − g(x)| dx. O 1 2 3 4 0 ĂN V Câu 219.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y
y = f (x), y = g(x) (phần tô đậm trong hình vẽ). Gọi S y = f (x)
là diện tích của hình phẳng D. Mệnh đề nào dưới đây y = g(x) đúng? 3 CHU Z 0 A. S = [ f (x) − g(x)] dx. −3 Z 0 B. S = [g(x) − f (x)] dx. −3 −3 Z 0 C. S = [ f (x) + g(x)] dx. x O −3 THPT Z 1 D. S = [ f (x) − g(x)]2 dx. - −3 Câu 220. G
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (x) và trục hoành y O
(phần gạch sọc) trong hình vẽ có công thức là x ¯Z 1 Z 2 ¯ ¯Z 1 Z 2 ¯ −3 1 2 A. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x) dx + f (x) dx¯. B. ¯ f (x) dx − f (x) dx¯. ¯ −3 1 ¯ ¯ −3 1 ¯ SAN Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 C. − f (x) dx + f (x) dx. D. f (x) dx + f (x) dx. −3 1 −3 1 Câu 221. y p
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = x, y = x − 2 và 2 p
trục hoành (hình vẽ). Quay (H) xung quanh trục Ox. y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. 10π 16π 7π 8π PHƯỚCA. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 2 4 x O y = x − 2 G
Câu 222. Xét vật thể (T ) nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1. Biết rằng thiết diện của
vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một p
hình vuông có cạnh 2 1 − x2. Thể tích vật thể (T ) bằng 16π 16 8 A. . B. . C. π. D. . 3 3 3 DƯƠN
Câu 223. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3 biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (0 6 x 6 3) là p
hình chữ nhật có kích thước là x và 2 9 − x2. A. 36(đvtt). B. 9 (đvtt). C. 18 (đvtt). D. 54 (đvtt).
Câu 224. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành Dương Phước Sang 38 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG p
độ x (0 ≤ x ≤ 3) là một hình tròn có đường kính bằng 36 − 3x2. 81π 81 A. V = . B. V = . C. V = 81π. D. V = 81. 4 4
Câu 225. Một vật di chuyển với gia tốc a(t) = −20(1 + 2t)−2 (m/s2). Khi t = 0 thì vận tốc của
vật là 30 m/s. Tính quãng đường vật đó đi được sau 2 giây đầu tiên. A. 47 m. B. 48 m. C. 49 m. D. 46 m.
Câu 226. Một vật chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = −10 m/s2, vận tốc ban đầu ANlà
v0 = 120 m/s. Tính quãng đường di chuyển của vật từ thời điểm t0 = 0 đến lúc dừng hẳn. A. 1440 m. B. 1000 m. C. 680 m. D. 720 m. Câu 227. y ĂN
Cho hình phẳng (H) như hình vẽ (phần tô đậm). x y = 3 = x. ln x V
Diện tích hình phẳng (H) là 9 3 A. ln 3 − . B. 1. 2 2 9 9 C. ln 3 − 4. D. ln 3 − 2. 2 2 O x 1 2 3 4 5 CHU
Câu 228. Hình phẳng giới hạn bởi các đường x = −3, x = 1, y = 0, y = x2 − x có diện tích được tính theo công thức 1 Z 1 Z 0 Z A. S = ¡x2 − x¢dx. B. S =
¡x2 − x¢dx − ¡x2 − x¢dx. −3 −3 0 1 THPT Z 0 Z Z 1 ¡ ¡ ¯ - C. S = x2 − x¢dx + x2 − x¢dx. D. S = ¯x2 − x¯¯ dx. −3 0 0 G x2 − 2x
Câu 229. Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , đường x − 1
thẳng y = x − 1 và các đường thẳng x = m, x = 2m (m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3 là A. m = 5. B. m = 4. C. m = 2. D. m = 3. SAN Câu 230. y
Cho hàm y = f (x) có đạo hàm liên tục trên [1;3]. Gọi (H) y = f 0(x) y = x
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f 0(x) và
đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ bên). Diện tích hình (H) bằng
A. 2 f (2) − f (1) − f (3) + 1.
B. f (3) − f (1) − 4. C. 2 f (3) PHƯỚC − f (2) − f (1) + 1. D. f (1) − f (3) + 4. x O 1 2 3 G Câu 231. y p
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y = x, y = 2 p x f (x) x
− 2 và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của (H) = bằng 10 16 7 8 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 2 4 x DƯƠN O g(x) = x − 2 x − 1
Câu 232. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H) : y = và các trục x + 1
tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng A. ln 2 − 1. B. 2 ln 2 − 1. C. ln 2 + 1. D. ln 2 + 1. Dương Phước Sang 39 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 233. y
Cho H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn ( 10 − x khi x ≤ 1
bởi các đường có phương trình y = x − x2, y = . 3 1 x − 2 khi x > 1 1 Diện tích của H bằng 3 11 13 11 14 O x A. . B. . C. . D. . −1 AN 2 2 6 3 Câu 234. y
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = e, 3 y = e
y = ĂNex và y = (1−e)x+1 (tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của (H) Vlà 2 e + 1 1 3 e − 1 A. S = . B. S = e + . C. S = e + . D. S = . 1 2 2 2 2 y = ex x −2 −1 O 1 CHU −1 y = (1 − e)x + 1 Câu 235. y
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2x2 − 1 và nửa p p p p
đường tròn có phương trình y = 2 − x2 với − 2 ≤ x ≤ 2 (phần 2
gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng 3π − 2 3π + 10 3π + 2 3π + 10 THPTA. . B. . C. . D. . 6 3 6 6 - p p O x − 2 2 G Câu 236. y
Gọi tam giác cong (O AB) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
hàm số y = 2x2, y = 3 − x, y = 0 (hình vẽ bên). Tính diện tích S của 3 (O SANAB). 8 4 5 10 A A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 3 3 B O 3 x
Câu 237. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành, hai
đường thẳng x = −2; x = 3 có công thức tính là Z 3 Z 3 ¯Z 3 ¯ Z 3 PHƯỚCA. S = xexdx. B. S = ¯ ¯ ¯ ¯xex ¯ ¯ dx. C. S = ¯ xex dx¯. D. S = π xex dx. −2 −2 ¯ −2 ¯ −2 G
Câu 238. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 m/s. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 20 m. B. 2 m. C. 0,2 m. D. 10 m.
Câu 239. Một ô-tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô-tô chuyển động c DƯƠN
hậm dần đều với vận tốc v(t) = −10t + 20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô-tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 20 m. B. 25 m. C. 60 m. D. 15 m.
Câu 240. Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t2 + 10t (m/s)
với t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi Dương Phước Sang 40 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
máy bay đạt vận tốc 200 (m/s) thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là 4000 2500 A. 500 (m). B. 2000 (m). C. (m). D. (m). 3 3
Câu 241. Một người lái xe ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hiện
có hàng rào ngăn đường ở phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vì
vậy, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó xe chuyển động chậm dần đều với vận AN tốc
v(t) = −5t + 20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe ô tô còn cách hàng rào ngăn cách bao
nhiêu mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)? ĂN A. 5 m. B. 6 m. C. 4 m. D. 3 m. V
Câu 242. Một học sinh đang điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng đều với vận tốc a
m/s. Khi phát hiện có chướng ngại vật phía trước học sinh đó thực hiện phanh xe. Sau khi
phanh, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = a − 2t m/s. Tìm giá trị lớn nhất của
a để quãng đường xe đạp điện đi được sau khi phanh không vượt quá 9 m. A. a = 7. B. a = 4. C. a = 5. D. a = 6. CHU
Câu 243. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho
phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 − 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây
kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô THPTtô
đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét? A. 100 m. B. 150 m. C. 175 m. D. 125 m. -
Câu 244. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh, từ thời G điểm
đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t +10 (m/ s) trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn
di chuyển được bao nhiêu mét? A. 0.2 m. B. 2 m. C. 10 m. D. 20 m. SAN 3
Câu 245. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc là v0(t) = (m/s2). Vận tốc t + 1
ban đầu của vật là 6 m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). A. 11 m/s. B. 12 m/s. C. 13 m/s. D. 14 m/s.
Câu 246. Một vật chuyển động với vận tốc v = 20 m/s thì thay đổi vận tốc với gia tốc PHƯỚC được
tính theo thời gian t là a(t) = −4 + 2t m/s2. Tính quãng đường vật đi được để từ thời điểm
thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất. 104 104 G A. m. B. 104 m. C. 208 m. D. m. 3 6
Câu 247. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t +
12t2 (m/s2). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 4300 98 A. m. B. 4300 m. C. m. D. 11100 m . DƯƠN 3 3
Câu 248. Một xe buýt bắt đầu đi từ một nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t) = 10 + 3t2 (m/s)
(khi bắt đầu chuyển động từ A thì t = 0) đến nhà chờ xe buýt B cách đó 175 m. Hỏi thời gian
xe đi từ A đến B là bao nhiêu giây? A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 5 . Dương Phước Sang 41 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 249. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng
ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần
đều với gia tốc −a ¡m/s2¢,(a > 0). Biết ô tô chuyển động được 20m nữa thì dừng hẳn. Hỏi a
thuộc khoảng nào dưới đây? A. (3; 4). B. (4; 5). C. (5; 6). D. (6; 7).
Câu 250. Độ lớn của vận tốc của một vật thay đổi theo thời gian v = f (t) (m/s) trong đó f (t) AN
nhận giá trị dương. Quãng đường đi được (tính theo đơn vị mét) từ thời điểm t = a (s) đến
thời điểm t = b (s), (0 < a < b), được tính theo công thức Z a Z b ĂNA. f(b)− f(a). B. f (t) dt. C. f (t) dt. D. f (a) − f (b). b a V p1+lnx
Câu 251. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , y = 0, x = 1, x = e là x p
S = a 2 + b. Khi đó tính giá trị a2 + b2? 2 4 20 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 9 CHU
Câu 252. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x và y = ex, trục
tung và đường thẳng x = 1 được tính theo công thức nào dưới đây? 1 1 1 1 Z Z Z Z A. S = ¯ ¡ ¡ ¯ ¯ex − 1¯¯ dx. B. S = ex − x¢ dx. C. S = x − ex¢ dx. D. S = ¯ex − x¯¯ dx. 0 0 0 −1 THPT Câu 253. -
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) y
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) là G 0 1 0 1 Z Z Z Z A. f (x) dx − f (x) dx. B. f (x) dx + f (x) dx. −2 0 −2 0 1 0 ¯ 1 ¯ Z Z ¯Z ¯ SANC. f(x)dx− f(x)dx. D. ¯ ¯ ¯ f (x) dx¯. ¯ ¯ −2 O 1 x 0 −2 ¯−2 ¯
Câu 254. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2 − x2. Đẳng thức nào sau đây đúng? PHƯỚC 1 1 1 1 Z Z Z Z A. S = 2 ¯ ¡ ¡ ¡ ¯1 − x2¯¯ dx. B. S = 2 1 − x2¢ dx. C. S = 2 x2 − 1¢ dx. D. S = 2 x2 − 1¢ dx. G 0 −1 0 −1 Câu 255.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] có đồ thị như y
hình bên và c ∈ [a; b]. Gọi S là diện tích của hình phẳng b
(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và các đường thẳng O x 1 a c
y = DƯƠN0, x = a, x = b. Mệnh đề nào sau đây sai? (H) c b c b Z Z Z Z A. S = f (x) dx + f (x) dx. B. S = f (x) dx − f (x) dx. a c a c b c c Z Z Z C. S = | f (x)| dx. D. S = f (x) dx + f (x) dx. a a b Dương Phước Sang 42 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Câu 256. y
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có p p 2
phương trình y = x, nửa đường tròn có phương trình p p
y = 2 − x2 (với 0 ≤ x ≤ 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). p p Diện tích của (H) bằng O x − 2 1 2 3π + 2 4π + 2 3π + 1 4π + 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 6 AN Câu 257. y
Cho đồ thị hàm số y = f (x) có đồ thị trên đoạn [−1;4] 4 ĂN Z 2
như hình vẽ. Tính tích phân I f (x) dx. V = −1 5 11 A. I = . B. I = . C. I = 5. D. I = 3. O 3 4 2 2 x −1 1 2 −1 CHU
Câu 258. Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi (P) : y = x2 + 1 và đường thẳng d : y = mx + 2 là 3 4 2 A. . B. 1. C. . D. . 4 3 5 Câu 259. p3 THPT
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 và nửa elip có y 2 - 1 p 1 phương trình y =
4 − x2 (với −2 ≤ x ≤ 2) và trục hoành (phần tô 2 p G aπ + b 3
đậm trong hình vẽ). Gọi S là diện tích của, biết S = (với x −2 O 2 c
a, b, c, ∈ R). Tính P = a + b + c. A. P = 9. B. P = 12. C. P = 15. D. P = 17. SAN Câu 260. y
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, 3 g(x) = x x2 a
y = x và đồ thị hàm số y =
trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là x2 4 b 2 h(x) =
(phân số tối giản). Khi đó b 4 − a bằng A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 1 x PHƯỚC O 1 2 G Câu 261. y
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0(x) liên tục trên R 3
và đồ thị của f 0(x) trên đoạn [−2;6] như hình bên
dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. f (−2) < f (−1) < f (2) < f (6). 1 DƯƠN
B. f (2) < f (−2) < f (−1) < f (6). O x −2 −1 2 6
C. f (−2) < f (2) < f (−1) < f (6).
D. f (6) < f (2) < f (−2) < f (−1). Câu 262. Dương Phước Sang 43 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG p y 3
Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 2 x2
và đường elip có phương trình + y2 = 1 (phần gạch chéo 4
trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng O x p p −1 1 2π + 3 2π π + 3 3π A. . B. . C. . D. . 6 3 4 4 AN Câu 263. y y = x2
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2,
y = ĂN0, x =0, x =4. Đường thẳng y= k (0< k <16)) c V
hia hình (H) thành hai phần có diện tích S1, S2 S (hình vẽ). Tìm k để S 1 1 = S2. y = k A. k = 8. B. k = 4. C. k = 5. D. k = 3. S2 x O x = 4 CHU
Câu 264. Cho hàm số y = x4 − 4x2 + m có đồ thị (Cm). Giả sử (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành có diện tích phần phía trên
trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A. m ∈ (−1;1). B. m ∈ (2;3). C. m ∈ (3;5). D. m ∈ (5;+∞). THPT -
Câu 265. Cho hàm số y = x2 có đồ thị là (P), trên (P) có hai điểm A, B với hoành độ lần lượt p
là a, b. Biết rằng AB = 3 2 và diện tích hình phẳng tạo bởi (P) với đường thẳng AB bằng
p6.GGiá trị của a2+b2 là A. 4. B. 10. C. 5. D. 8. Câu 266. SAN x2 p
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = , y = 3x2, y 3 p 2
cung tròn có phương trình y = 4 − x2 với (−2 ≤ x ≤ 2) (phần tô
đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng π π 1 A. . B. . 3 6 p p 2π 8 3 2π 8 3 x −2 −1 O 1 2 C. + + . D. − − . 3 9 6 3 9 6 PHƯỚC Câu 267. y
Đồ Gthị của hàm số y = f(x) liên tục trên D A
đoạn [−3;5] như hình vẽ dưới đây (phần 4
cong của đồ thị là một phần của parabol C H 3 3 Z y = ax2 + bx + c). Tính I = f (x) dx. 2 −2 G DƯƠN 53 97 A. I = . B. I = . 3 6 1 43 95 C. I = . D. I = . E B 2 6 x −3 −2 −1 O 1 2 3 4 Câu 268. Dương Phước Sang 44 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y 1
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2+1 4 p p
với (0 ≤ x ≤ 2 2), nửa đường tròn y = 8 − x2 và trục
hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng 3π + 14 2π + 2 3π + 4 3π + 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3 x p O 2 2 AN Câu 269. ĂN
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người ta đã dùng bốn đường V
parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (phần
tô đậm như hình vẽ). Diện tích của mỗi cánh hoa đó bằng 800 400 200 A. 200 cm2. B. cm2. C. cm2. D. cm2. 3 3 3 40 cm CHU Câu 270. p
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 4 5. Trên
đó người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm 4 cm
của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính
vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại 4 cm
hai điểm cách nhau 4 cm và khoảng cách từ hai THPT
điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4 cm. Sau -
đó người ta cắt bỏ phần A B G
hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch sọc trong hình vẽ). Đem phần
còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng π p π p A. V = ¡800 5 − 464¢ cm3. B. V = ¡800 5 − 928¢ cm3. 15 3 π p π p SAN C. V = ¡800 5 − 928¢ cm3. D. V = ¡800 5 − 928¢ cm3. 5 15 Câu 271. y
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của
một parabol và một đường thẳng tiếp xúc với parabol đó 4
tại điểm A(2; 4), (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích
khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay quanh PHƯỚC trục Ox. 32π 16π 22π 2π A. . B. . C. . D. . G 5 15 5 3 O x 1 2
Câu 272. Một ô-tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1(t) = 7t (m/s). Đi DƯƠN được
5 (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô-tô tiếp tục chuyển động chậm
dần đều với gia tốc a = −70 (m/s2). Tính quãng đường S (m) đi được của ô-tô từ lúc bắt đầu
chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S = 87,50 (m). B. S = 94,00 (m). C. S = 95,70 (m). D. S = 96,25 (m). Dương Phước Sang 45 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 273. Một ô tô đang chạy với vận tốc 54 km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều
với gia tốc a(t) = 3t − 8 (m/s2) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường
mà ô tô đi được sau 10s kể từ lúc tăng tốc là A. 150 m. B. 250 m. C. 246 m. D. 540 m. Câu 274.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy
cốc ANlà 6 cm, chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng
một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc,
biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng
cốc ĂNthì đáy mực nước trùng với đường kính đáy. VA. 240 cm3. B. 240π cm3. C. 120 cm3. D. 120π cm3. Câu 275. z
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình
vẽ).CHU Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một tam
giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó. p p p 4 3 A. V = 3. B. V = 3 3. C. V = . D. V = π. y 3 THPT x -
Câu 276. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải
các Gh nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang
dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị
bằng công thức vA(t) = 16 − 4t (m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để hai ô tô A và B
đạt khoảng cách an toàn thì khi dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách ô tô B một khoảng ít SAN nhất là bao nhiêu? A. 33 m. B. 12 m. C. 31 m. D. 32 m. Câu 277. y
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = −x2 + 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y = m,
y = n chia hình (H) thành 3 phần có diện tích bằng y = m PHƯỚC
nhau (ta có thể tham khảo hình vẽ). Tính giá trị biểu
thức T = (4 − m)3 + (4 − n)3. y = n 320 75 GA. T = . B. T = . 9 2 x 512 O C. T = . D. T = 405. 15 Câu 278. y
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình 4 DƯƠN
phẳng (H) (phần tô màu đen trong hình bên) quanh trục Ox. 61π 88π 8π 424π A. 2 . B. . C. . D. . 15 5 5 15 5 −2 O 1 3 x Dương Phước Sang 46 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
TRÍCH DẪN CÂU TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ THI CỦA BỘ
Câu 279 (Đề 101 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos3x. Z Z sin 3x A. cos 3x dx = 3sin3x + C. B. cos 3x dx = + C. 3 Z sin 3x Z C. cos 3x dx = − + C. D. cos 3x dx = sin3x + C. 3 AN 1
Câu 280 (Đề 102 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = . 5x − 2 Z dx 1 Z dx 1 A. = ln |5x − 2| + C. B. = − ln(5x − 2) + C. 5x 5 5x 2 ĂN − 2 − 2 Z dx Z dx V C. = 5 ln |5x − 2| + C. D. = ln |5x − 2| + C. 5x − 2 5x − 2
Câu 281 (Đề 103 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin x. Z Z A. 2 sin x dx = 2cos x + C. B. 2 sin x dx = sin2 x + C. Z Z CHU C. 2 sin x dx = sin2x + C. D. 2 sin x dx = −2cos x + C.
Câu 282 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 7x. Z Z 7x A. 7x dx = 7x ln7 + C. B. 7x dx = + C. ln 7 Z Z 7x+1 C. 7x dx = 7x+1 + C. D. 7x dx = + C. THPT x + 1 - 2
Câu 283 (Đề tham khảo - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 + . x2 Z Z G x3 2 x3 1 A. f (x) dx = − + C. B. f (x) dx = − + C. 3 x 3 x Z x3 2 Z x3 1 C. f (x) dx = + + C. D. f (x) dx = + + C. 3 x 3 x SAN
Câu 284 (Đề tham khảo - 2018). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 1 là x3 A. x3 + C. B. + x + C. C. 6x + C. D. x3 + x + C. 3
Câu 285 (Đề 101 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x là 1 1 A. x4 + x2 + C. B. 3x2 + 1 + C. C. x3 + x + C. D. x4 + x2 + C. 4 2
Câu 286 (Đề 103 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x2 là PHƯỚC 1 1 A. 4x3 + 2x + C. B. x5 + x3 + C. C. x4 + x2 + C. D. x5 + x3 + C. 5 3 G
Câu 287 (Đề thử nghiệm - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos2x. Z 1 Z 1 A. f (x) dx = sin2x + C. B. f (x) dx = − sin2x + C. . 2 2 Z Z C. f (x) dx = 2sin2x + C. . D. f (x) dx = −2sin2x + C. DƯƠN
Câu 288 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f (1) = 1 và f (2) = 2. Z 2 Tính I = f 0(x)dx 1 7 A. I = 1. B. I = −1. C. I = 3. D. I = . 2 Dương Phước Sang 47 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 2 dx
Câu 289 (Đề tham khảo - 2018). Tích phân bằng 0 x + 3 16 5 5 2 A. . B. log . C. ln . D. . 225 3 3 15
Câu 290 (Đề 101 - 2018). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex,
y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z 2 Z 2 Z 2 Z 2
ANA. S =π e2xdx. B. S = ex dx. C. S = π ex dx. D. S = e2x dx. 0 0 0 0
Câu 291 (Đề 102 - 2018). Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x,
y = ĂN0, x=0, x=2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 VA. S = 2xdx. B. S = π 22xdx. C. S = 22xdx. D. S = π 2xdx. 0 0 0 0
Câu 292 (Đề minh họa - 2017). Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được
tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox và hai đường
thẳng x = a, x = b (a < b), xung quanh trục Ox. CHU Z b Z b Z b Z b A. V = π f 2(x) dx. B. V = f 2(x) dx. C. V = π f (x) dx. D. V = π | f (x)| dx. a a a a
Câu 293 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b (a < b). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là Z b Z b
THPTA. V =π f2(x)dx. B. V = 2π f 2(x) dx. - a a Z b Z b C. V = π2 f 2(x) dx. D. V = π2 f (x) dx. G a a
Câu 294 (Đề 103 - 2018). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 +3, y = 0, x = 0,
x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Mệnh đề nào dưới đây đúng? SAN Z 2 Z 2 A. V = π (x2 + 3)2 dx. B. V = π (x2 + 3)dx. 0 0 Z 2 Z 2 C. V = (x2 + 3)2 dx. D. V = (x2 + 3)dx. 0 0
Câu 295 (Đề 104 - 2018). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng y = x2+2, y = 0,
x = 1, x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh
trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Z 2 Z 2
PHƯỚCA. V =π (x2+2)2dx. B. V = (x2 + 2)2 dx. 1 1 Z 2 Z 2
GC. V =π (x2+2)dx. D. V = (x2 + 2)dx. 1 1
Câu 296 (Đề 101 - 2017). Cho hàm số f (x) thỏa f 0(x) = 3 − 5sin x và f (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f (x) = 3x + 5cos x + 5.
B. f (x) = 3x + 5cos x + 2.
C. f (x) = 3x − 5cos x + 2.
D. f (x) = 3x − 5cos x + 15. DƯƠN
Câu 297 (Đề 103 - 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ex +2x thỏa mãn 3 F(0) = . Tìm F(x). 2 3 1 A. F(x) = ex + x2 + .
B. F(x) = 2ex + x2 − . 2 2 5 1 C. F(x) = ex + x2 + . D. F(x) = ex + x2 + . 2 2 Dương Phước Sang 48 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG ³ π ´
Câu 298 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm F(x) của f (x) = sin x + cos x biết F = 2. 2
A. F(x) = cos x − sin x + 3.
B. F(x) = −cos x + sin x + 3.
C. F(x) = −cos x + sin x − 1.
D. F(x) = −cos x + sin x + 1.
Câu 299 (Đề 102 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x4 + x là 1 1 A. x4 + x2 + C. B. 4x3 + 1 + C. C. x5 + x2 + C. D. x5 + x2 + C. 5 2
Câu 300 (Đề 104 - 2018). Nguyên hàm của hàm số f (x) = x3 + x2 là AN 1 1 A. x4 + x3 + C. B. x4 + x3 + C. C. 3x2 + 2x + C. D. x3 + x2 + C. 4 3
Câu 301 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = ex + x là ĂN 1 1 1 A. ex + x2 + C. B. ex + x2 + C. C. ex + x2 + C. D. ex + 1 + C. V 2 x + 1 2 p
Câu 302 (Đề minh họa - 2017). Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 1. Z 2 p Z 1 p A.
f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. B.
f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. 3 3 Z 1 p Z 1 p C.
f (x) dx = − (2x − 1) 2x − 1 + C. D.
f (x) dx = (2x − 1) 2x − 1 + C. CHU 3 2 ½ 1 ¾
Câu 303 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f (x) xác định trên D = R \ thỏa mãn 2 2 f 0(x) =
, f (0) = 1 và f (1) = 2. Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng 2x − 1 A. 4 + ln15. B. 2 + ln15. C. 3 + ln15. D. ln 15. THPT
Câu 304 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1 + ln x) là - A. 2x2 ln x + 3x2. B. 2x2 ln x + x2. C. 2x2 ln x + 3x2 + C. D. 2x2 ln x + x2 + C. ln x G
Câu 305 (Đề 102 - 2017). Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . Tính I = x F(e) − F(1). 1 1 A. I = e. B. I = . C. I = . D. I = 1. e 2 SAN Z 2 Z 2 Z 2
Câu 306 (Đề 102 - 2017). Cho f (x) dx = 2, g(x) dx = −1. Tính I = [x + 2 f (x) − 3g(x)] dx. −1 −1 −1 5 7 17 11 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2 2 2 2 Z 1 µ 1 1 ¶
Câu 307 (Đề 103 - 2017). Cho −
dx = a ln2 + b ln3 với a, b là các số nguyên. 0 x + 1 x + 2
Mệnh đề nào dưới đây đúng? PHƯỚC A. a + b = 2. B. a − 2b = 0. C. a + b = −2. D. a + 2b = 0. π π Z 2 Z 2 G
Câu 308 (Đề 104 - 2017). Cho f (x) dx = 5. Tính I = [ f (x) + 2sin x]dx. 0 0 π A. 7. B. 5 + . C. 3. D. 5 + π. 2 1
Câu 309 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x−1
thoả mãn F(2) = 1. Tính F(3). DƯƠN 1 7 A. F(3) = ln2 − 1. B. F(3) = ln2 + 1. C. F(3) = . D. F(3) = . 2 4 Z 1
Câu 310 (Đề 102 - 2018). e3x+1 dx bằng 0 1 1 A. ¡e4 − e¢. B. e4 − e. C. ¡e4 + e¢. D. e3 − e. 3 3 Dương Phước Sang 49 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z 2 dx
Câu 311 (Đề 103 - 2018). bằng 1 3x − 2 1 2 A. 2 ln 2. B. ln 2. C. ln 2. D. ln 2. 3 3 Z 2 dx
Câu 312 (Đề 104 - 2018). bằng 1 2x + 3 7 1 7 1 7 ANA. 2ln . B. ln 35. C. ln . D. ln . 5 2 5 2 5 Z 1 Z 1 Z 1
Câu 313 (Đề tham khảo - 2019). Cho f (x) dx = 2 và g(x) dx = 5, khi đó [ f (x) − 2g(x)] dx ĂN 0 0 0 bằng VA. −3. B. 12. C. −8. D. 1. Z 6 Z 2
Câu 314 (Đề 101 - 2017). Cho f (x) dx = 12. Tính I = f (3x) dx. 0 0 A. I = 6. B. I = 36. C. I = 2. D. I = 4. CHU Z π
Câu 315 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I = cos3 x. sin x dx. 0 1 1 A. I = − π4. B. I = −π4. C. I = 0. D. I = − . 4 4 Z 4 Z 2
Câu 316 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho
f (x) dx = 16. Tính tích phân I = f (2x) dx. THPT 0 0 A. I = 32. B. I = 8. C. I = 16. D. I = 4. - Z 2 p
Câu 317 (Đề tham khảo - 2017). Khi tính tích phân I = 2x
x2 − 1dx bằng phương pháp đổi G 1
biến số với cách đặt u = x2 − 1 ta được kết quả nào dưới đây? Z 3 p Z 2 p Z 3 p 1 Z 2 p A. I = 2 udu. B. I = udu. C. I = udu. D. I = udu. 0 1 0 2 1 SAN Z 2
Câu 318 (Đề 101 - 2018). e3x−1 dx bằng 1 1 1 1 A. (e5 − e2). B. e5 − e2. C. e5 − e2. D. (e5 + e2). 3 3 3 Z e
Câu 319 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I = x ln x dx 1 1 e2 − 2 e2 + 1 e2 − 1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . PHƯỚC 2 2 4 4 Z 1 G
Câu 320 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f (x) thỏa mãn (x + 1)f 0(x)dx = 10 đồng 0 Z 1
thời 2 f (1) − f (0) = 2. Tính f (x)dx. 0 A. I = −12. B. I = 8. C. m = 1. D. I = −8. Z e
Câu 321 (Đề 103 - 2018). Cho
(1+ x ln x)dx = ae2 +be+ c với a, b, c là các số hữu tỷ. Mệnh đề DƯƠN 1 nào dưới đây đúng? A. a + b = c. B. a + b = −c. C. a − b = c. D. a − b = −c.
Câu 322 (Đề minh họa - 2017). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 − x và đồ thị hàm số y = x − x2. 37 9 81 A. . B. . C. . D. 13. 12 4 12 Dương Phước Sang 50 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 323 (Đề tham khảo - 2017).
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y
y = f (x), trục hoành và 2 đường thẳng x = −1, x = 2 (như 2 Z 0 Z 2 hình vẽ bên). Đặt a = f (x)dx, b = f (x)dx. Mệnh đề nào −1 0 1 sau đây là đúng? A. S = b − a. B. S = b + a. −1 x C. S = −b + a. D. S = −b − a. 0 1 2 AN p
Câu 324 (Đề 101 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cos x, trục π
hoành và các đường thẳng x = 0, x = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục 2 f ĂN
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? V A. V = π − 1.
B. V = (π − 1)π.
C. V = (π + 1)π. D. V = π + 1. p
Câu 325 (Đề 102 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + sin x, trục
hoành và các đường thẳng x = 0, x = π. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? CHU
A. V = 2(π + 1).
B. V = 2π(π + 1). C. V = 2π2. D. V = 2π.
Câu 326 (Đề 103 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = ex, trục hoành và
các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? πe2 π¡e2 + 1¢ e2 − 1 π¡e2 − 1¢ THPT A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 2 2 2 2 - p
Câu 327 (Đề 104 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tr Gục
hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục
hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 4π 4 A. V = . B. V = 2π. C. V = . D. V = 2. 3 3 SAN
Câu 328 (Đề tham khảo - 2017). Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt
phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox
tại điểm có hoành độ x (1 6 x 6 3) thì được thiết diện là hình chữ nhật có 2 cạnh là 3x và p3x2−2. p 124π 124 p A. V = 32 + 2 15. B. V = . C. V = .
D. V = ¡32 + 2 15¢π. 3 3
Câu 329 (Đề 101 - 2017). Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x. Tìm nguy PHƯỚCên
hàm của hàm số f 0(x)e2x. Z Z A.
f 0(x) e2x dx = −x2 + 2x + C. B. f 0(x) e2x dx = −x2 + x + C. G Z Z C. f 0(x) e2x dx = x2 − 2x + C. D.
f 0(x) e2x dx = −2x2 + 2x + C. Z 4 dx
Câu 330 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết I =
= a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, với a, b, c là các 3 x2 + x
số nguyên. Tính S = a + b + c. DƯƠN A. S = 6. B. S = 2. C. S = −2. D. S = 0. Z 2 dx p p
Câu 331 (Đề tham khảo - 2018). Biết I = p p
= a − b − c với a, b, c là 1 (x + 1) x + x x + 1
các số nguyên dương. Tính P = a + b + c. A. P = 24. B. P = 12. C. P = 18. D. P = 46. Dương Phước Sang 51 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 332 (Đề 102 - 2017). Cho F(x) = (x − 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x)e2x. Tìm
nguyên hàm của hàm số f 0(x) e2x. Z Z 2 − x A.
f 0(x) e2x dx = (4 − 2x)ex + C. B. f 0(x) e2x dx = ex + C. 2 Z Z C.
f 0(x) e2x dx = (2 − x)ex + C. D.
f 0(x) e2x dx = (x − 2)ex + C. 1 f (x) AN
Câu 333 (Đề 103 - 2017). Cho F(x) = −
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 3x3 x
nguyên hàm của hàm số f 0(x) ln x. Z ln x 1 Z ln x 1 A. ĂN f 0(x) ln x dx = + + C. B. f 0(x) ln x dx = − + C. x3 5x5 x3 5x5 Z Z V ln x 1 ln x 1 C. f 0(x) ln x dx = + + C. D. f 0(x) ln x dx = − + + C. x3 3x3 x3 3x3
Câu 334 (Đề 102 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc 1 59
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = t2 +
t (m/s), trong đó t (s) là khoảng thời 150 75 CHU
gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất
phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia
tốc bằng a (m/s2) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc
của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 20 (m/s). B. 16 (m/s). C. 13 (m/s). D. 15 (m/s). THPT Z 1 x dx
Câu 335 (Đề tham khảo - 2019). Cho
= a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. - 0 (x + 2)2
Giá trị của 3a + b + c bằng GA. −2. B. −1. C. 2. D. 1. Z 1 1 1 + e
Câu 336 (Đề tham khảo - 2017). Cho dx = a + b ln
, với a, b là các số hữu tỉ. 0 ex + 1 2 Tính S = a3 + b3. SANA. S =2. B. S = −2. C. S = 0. D. S = 1.
Câu 337 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f (x) liên tục trên R và thỏa mãn f (x) + 3π p Z 2
f (−x) = 2 + 2cos2x,∀x ∈ R. Tính I = f (x)dx. 3π − 2 A. I = −6. B. I = 0. C. I = −2. D. I = 6. Z 55 dx PHƯỚC
Câu 338 (Đề 101 - 2018). Cho p
= a ln 2 + b ln 5 + c ln 11 với a, b, c là các số hữu tỉ. 16 x x + 9
Mệnh đề nào dưới đây đúng? GA. a−b=−c. B. a + b = c. C. a + b = 3c. D. a − b = −3c. Z 21 dx
Câu 339 (Đề 102 - 2018). Cho p
= a ln 3 + b ln 5 + c ln 7 với a, b, c là các số hữu tỉ. 5 x x + 4
Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a + b = −2c. B. a + b = c. C. a − b = −c. D. a − b = −2c. DƯƠN 1 f (x)
Câu 340 (Đề 104 - 2017). Cho F(x) =
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên 2x2 x
hàm của hàm số f 0(x) ln x. Z µ ln x 1 ¶ Z ln x 1 A. f 0(x) ln x dx = − + + C. B. f 0(x) ln x dx = + + C. x2 2x2 x2 x2 Z µ ln x 1 ¶ Z ln x 1 C. f 0(x) ln x dx = − + + C. D. f 0(x) ln x dx = + + C. x2 x2 x2 2x2 Dương Phước Sang 52 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Z e
Câu 341 (Đề 104 - 2018). Cho
(2+x ln x)dx = ae2+b·e+c với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh 1
đề nào dưới đây đúng? A. a + b = −c. B. a + b = c. C. a − b = c. D. a − b = −c. 2
Câu 342 (Đề 101 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − và f 0(x) = 2x[f (x)]2 với mọi 9
x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng 35 2 19 2 A. − . B. − . C. − . D. − . AN 36 3 36 15 1
Câu 343 (Đề 103 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = −
và f 0(x) = 4x3[f (x)]2 với mọi 25
x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng ĂN 41 1 391 1 A. − . B. − . C. − . D. − . V 400 10 400 40
Câu 344 (Đề thử nghiệm - 2017). y
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = ex, y = 0, x = 0,
x = ln4. Đường thẳng x = k (0 < k < ln4) chia (H) thành hai phần có CHU
diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1 = 2S2. 2 A. k = ln4. B. k = ln2. 3 S2 8 C. k = ln . D. k = ln3. 3 S1 x O k ln 4 THPT
Câu 345 (Đề tham khảo - 2018). y - p
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 3x2, cung tròn p 2 G
có phương trình y = 4 − x2 (với 0 6 x 6 2 ) và trục hoành (phần
tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng p p 4π + 3 4π − 3 A. . B. . 12 6 p p SAN 4π + 2 3 − 3 5 3 − 2π x C. . D. . O 2 6 3
Câu 346 (Đề 102 - 2018). y
Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − 2 và g(x) = dx2 + ex + 2
(a, b, c, d, e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo
hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích x bằng −2 −1 O 1 PHƯỚC 37 13 9 37 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 12 G
Câu 347 (Đề 103 - 2018). y
Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − 1 và g(x) = dx2 + ex +
1 (a,b,c,d,e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và 2 DƯƠN
y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt −3;−1;2
(tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 125 x A. . B. . C. . D. . −3 −1 O 2 12 12 48 48 Dương Phước Sang 53 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 348 (Đề tham khảo - 2019). y
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên y = x2 − 2x − 1
được tính theo công thức nào dưới đây? Z 2 Z 2 A. (2x2 − 2x − 4)dx. B. (−2x + 2)dx. 2 −1 −1 O x −1 Z 2 Z 2 C. (2x − 2)dx. D. (−2x2 + 2x + 4)dx. AN −1 −1 y = −x2 + 3
Câu 349 (Đề minh họa - 2017). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = ĂN2(x−1)ex, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay V
hình (H) xung quanh trục Ox. A. V = 4 − 2e.
B. V = (4 − 2e)π. C. V = e2 − 5.
D. V = (e2 − 5)π.
Câu 350 (Đề 101 - 2017). v
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời 9 CHU
gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian
1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường
parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng
thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành.
Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm 4
tròn đến hàng phần trăm). THPTA. s=23,25 km. B. s = 21,58 km. -C. s=15,50 km. D. s = 13,83 km. G O 1 2 3 t
Câu 351 (Đề 103 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc 1 13
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = t2 +
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng 100 30 SAN
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng
xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và
có gia tốc bằng a (m/s2) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 15 (m/s). B. 9 (m/s). C. 42 (m/s). D. 25 (m/s).
Câu 352 (Đề 104 - 2018). Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc 1 58 PHƯỚC
biến thiên theo thời gian bởi quy luật v (t) = t2 +
t (m/s), trong đó t (giây) là khoảng 120 45
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng G
xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có
giá tốc bằng a (m/s2) ( a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận
tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng A. 25 (m/s). B. 36 (m/s). C. 30 (m/s). D. 21 (m/s). 1
Câu 353 (Đề 102 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = −
và f 0(x) = x [f (x)]2 với mọi x ∈ DƯƠN 3
R. Giá trị của f (1) bằng 11 2 2 7 A. − . B. − . C. − . D. − . 6 3 9 6
Câu 354 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] Z 1 Z 1 1 Z 1 thỏa mãn f (1) = 0, £ f 0(x)¤2 dx = 7 và x2 f (x) dx = . Tích phân f (x) dx bằng 0 0 3 0 Dương Phước Sang 54 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4. 5 4 1
Câu 355 (Đề 104 - 2018). Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (2) = − và f 0 (x) = x3 [f (x)]2 với mọi 5
x ∈ R. Giá trị của f (1) bằng 4 71 79 4 A. − . B. − . C. − . D. − . 35 20 20 5 AN
Câu 356 (Đề 101 - 2017). y
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình ĂN
bên. Đặt h(x) = 2f (x) − x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 4 V
A. h(4) = h(−2) > h(2).
B. h(4) = h(−2) < h(2). 2
C. h(2) > h(4) > h(−2).
D. h(2) > h(−2) > h(4). −2 O 2 4 x CHU −2
Câu 357 (Đề 102 - 2017). y
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình bên. 4
Đặt g(x) = 2f (x) − (x + 1)2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−3) > g(3) > g(1). THPT 2
B. g(1) > g(−3) > g(3). -
C. g(3) > g(−3) > g(1). −3 x D. g(1) O 1 3 G > g(3) > g(−3). −2 SAN
Câu 358 (Đề 103 - 2017). y Cho hàm số y = f (x). Đồ thị hàm số y = f 0(x) 3
như hình bên. Đặt g(x) = 2f (x) + x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? O 1 3
A. g(3) < g(−3) < g(1). x −3 −1
B. g(1) < g(3) < g(−3).
C. g(1) < g(−3) < g(3). −3
D. g(−3) < g(3) < g(1). PHƯỚC
Câu 359 (Đề 104 - 2017). y G
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình bên. Đặt
g(x) = 2f (x) + (x + 1)2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 −3 1 3
A. g(1) < g(3) < g(−3). x O
B. g(1) < g(−3) < g(3). −2
C. g(3) = g(−3) < g(1). DƯƠN
D. g(3) = g(−3) > g(1). −4
Câu 360 (Đề 101 - 2018). Dương Phước Sang 55 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG y 1
Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − và g(x) = dx2 + ex + 2
1 (a, b, c, d, e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo
hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích 1 bằng −3 −1 O x 9 ANA. . B. 8. C. 4. D. 5. 2
Câu 361 (Đề 104 - 2018). 3 3 ĂN
Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + và g (x) = dx2 + ex − y 4 4
(a, Vb,c,d,e ∈ R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x)
cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; 1; 3 (tham
khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có 1 3 diện tích bằng −2 x O 253 125 CHUA. . B. . 48 24 125 253 C. . D. . 48 24
Câu 362 (Đề tham khảo - 2019). B2
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh M N
A1, THPTA2,B1,B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần
tô -đậm là và phần còn lại. Hỏi số tiền để sơn theo cách
trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A A1 A2 1 A2 = 8m,
B1 GB2 = 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ = 3m? Q P A. 7.322.000 đồng. B. 7.213.000 đồng. B1
SANC. 5.526.000 đồng. D. 5.782.000 đồng.
Câu 363 (Đề thử nghiệm - 2017).
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn
bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m. Ông muốn trồng 8m
hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip
làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng
hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền
để PHƯỚCtrồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến G hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Câu 364 (Đề 102 - 2017). v I 9
Một vật chuyển động trong 3 giờ đầu với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) 6
và DƯƠNtrục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. A. s = 24,25km. B. s = 26,75km. C. s = 24,75km. D. s = 25,25km. O 2 3 t Dương Phước Sang 56 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Câu 365 (Đề 103 - 2017). v I
Một vật chuyển động trong 9
4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của
đường parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó. AN A. s = 26,5 km. B. s = 28,5 km. C. s = 27 km. D. s = 24 km.
Câu 366 (Đề 104 - 2017). O 2 3 4 t ĂN
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian v I µ ¶ 8 V 1
t(h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đi I ; 8 và trục đối xứng 2
song song với trục tung như hình bên. Tính quãng s đường người đó chạy
được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. A. s = 4,0 km. B. s = 2,3 km. CHU C. s = 4,5 km. D. s = 5,3 km. O 1 1 t 2
Câu 367 (Đề minh họa - 2017). Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp
phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −5t + 10 THPT (m/s),
trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc - đạp
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 0,2m. B. 2m. C. 10m. D. 20m. G SAN PHƯỚC G DƯƠN Dương Phước Sang 57 Ô 0942.080383 GIẢI TÍCH 12
Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cơ bản
sin2 α + cos2 α = 1. sin α tanα = . 1 cos α = 1 + tan2 α. cos α AN cos2α cotα = . 1 sin α = 1 + cot2 α. tanαcotα sin2 α = 1.
2. ĂNCông thức cộng
V sin(a±b)=sinacosb±cosasinb. tan a ± tan b tan(a ± b) = . 1 ∓ tan a tan b
cos(a ± b) = cos acos b ∓ sin asin b.
3. Công thức nhân đôi
CHU cos2α=cos2α−sin2α.
sin2α = 2sinαcosα. 2 tan α sin2α = . 1 + tan2 α
cos 2α = 2cos2 α − 1. 2 tan α 1 − tan2 α
cos 2α = 1 − 2sin2 α. tan2α = . cos2α = . 1 − tan2 α 1 + tan2 α
4. Công thức hạ bậc THPT 1 + cos2α 1 − cos2α 1 − cos2α - cos2α= . sin2 α = . tan2 α = . 2 2 1 + cos2α
5. Công thức nhân ba
G sin3α=3sinα−4sin3α. cos3α=4cos3α−3cosα. 3 tan α − tan3 α tan 3α = . 1 − 2tan2 α
6. Công thức biến đổi tổng thành tích SAN a a + b − b sin a p + sin b = 2 sin cos . ³ π´ 2 2 sin a + cos a = 2sin a + . 4 a a + b − b sin a − sin b = 2cos sin . p ³ π´ 2 2 sin a − cos a = 2sin a − . a a 4 + b − b cos a + cos b = 2cos cos . 2 2 p ³ π´ a a cos a + sin a = 2cos a − . + b − b cos a − cos b = −2sin sin . 4 2 2 p ³ π´ sin(a ± b) PHƯỚC cos a 2 cos a . tan a − sin a = + ± tan b = . 4 cos a. cos b
7. GCông thức biến đổi tích thành tổng 1 1
cos a cos b = £cos(a − b) + cos(a + b)¤.
sin a cos b = £sin(a + b) + sin(a − b)¤. 2 2 1 1
sin a sin b = £cos(a − b) − cos(a + b)¤.
cos a sin b = £sin(a + b) − sin(a − b)¤. 2 2
8. DƯƠNCông thức bổ sung1 3
sin4 a + cos4 a = 1 − sin2 2a.
sin6 a + cos6 a = 1 − sin2 2a. 2 4 (sin a + cos a)2 = 1 + sin2a.
(sin a − cos a)2 = 1 − sin2a. Dương Phước Sang 58 Ô 0942.080383
Document Outline

  • Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng
    • TÓM TẮT LÝ THUYẾT
      • CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH